Wiskundige Structuren - TU Delft OCW Dit dictaat is sterk gebaseerd op het dictaat van Eva Coplakova

download Wiskundige Structuren - TU Delft OCW Dit dictaat is sterk gebaseerd op het dictaat van Eva Coplakova

of 168

  • date post

    21-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Wiskundige Structuren - TU Delft OCW Dit dictaat is sterk gebaseerd op het dictaat van Eva Coplakova

  • wi1607 Wiskundige Structuren

    Cursus 2011/2012

    Eva Coplakova

    Bas Edixhoven

    Lenny Taelman

    Mark Veraar

  • i

  • Inhoudsopgave

    I Verzamelingen en afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    I.1 Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Operaties op verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.3 Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.4 Aftelbare en overaftelbare verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    II Natuurlijke, gehele en rationale getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

    II.1 Natuurlijke getallen en volledige inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.2 Gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.3 Equivalentierelaties en quotiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.4 Rationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    III De reële getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    III.1 Algebräısche structuur van reële getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 III.2 De ordening op R en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III.3 Supremum en infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    IV Rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    IV.1 Rijen, convergentie en limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 IV.2 Eigenschappen van convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 IV.3 Monotone rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 IV.4 Volledigheid van R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 IV.5 De exponentiële functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    V Continüıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

    V.1 Continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 V.2 Limieten van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 V.3 Uniforme continüıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 V.4 Eigenschappen van continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 V.5 De exponentiële functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    VI Reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    VI.1 Convergentie van reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 VI.2 Reeksen met positieve termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 VI.3 Absolute convergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 VI.4 De exponentiële functie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

    VII Afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    VII.1 Differentiëren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 VII.2 De Middelwaardestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 VII.3 De exponentiële functie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

    ii INHOUDSOPGAVE

  • VIII Riemann-integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    VIII.1 Definitie en criteria voor Riemann-integreerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VIII.2 Eigenschappen van de Riemann-integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 VIII.3 De Hoofdstelling van de Integraalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    IX Puntsgewijze en uniforme convergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    IX.1 Convergentie van rijen van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 IX.2 Uniforme convergentie en integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    X Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    X.1 De Axioma’s van Zermelo en Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 X.2 Axioma’s van Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 X.3 De recursiestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    Antwoorden en Uitwerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    INHOUDSOPGAVE iii

  • Voorwoord

    Dit dictaat is sterk gebaseerd op het dictaat van Eva Coplakova en Bas Edixhoven dat al geruime tijd in Delft en sinds 2007 ook in Leiden wordt gebruikt. Delen van de hoofdstukken IV, V, VI en VII zijn gebaseerd op een dictaat van Ben de Pagter.

    Het doel van dit college is niet zozeer het leren van rekenvaardigheden in de analyse, maar meer het begrijpen van de theorie daarachter, in het bijzonder het leren omgaan met definities, stellingen en bewijzen. Hiermee hopen we een stevig fundament te leggen voor de verdere studie in de wiskunde.

    De naam “Wiskundige structuren” is een erfenis uit het verleden, en is nu misschien aan herziening toe. In dit college worden, na enige voorbereidingen over verzamelingen en afbeeldingen, de getalsystemen van natuurlijke, gehele, ra- tionale en reële getallen axiomatisch ingevoerd, en dus exact beschreven. Daarna worden reële rijen, limieten en reeksen bestudeerd, en vervolgens reële functies, limieten, continüıteit, de Riemann-integraal, en tot slot puntsgewijze en uniforme convergentie van rijen van reële functies.

    Het dictaat eindigt met een index. Daarvoor staan er antwoorden en uitwer- kingen van sommige opgaven (dit wordt aangegeven met het symbool -). De uitwerkingen zijn soms beknopt tot een aantal aanwijzingen.

    Alle commentaar, maar liefst wel constructief, is welkom (liefst per email aan één van de docenten).

    Actuele informatie over de twee colleges zal te vinden zijn op blackboard, respectievelijk in Delft en in Leiden.

    Lenny Taelman Mark Veraar

    INHOUDSOPGAVE 1

  • I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

    Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen ook uit de wiskunde: de verzameling van alle getallen, de verzameling van alle punten in het platte vlak, de verzameling van alle op- lossingen van een vergelijking; in feite kunnen we zeggen dat de hele wiskunde opgebouwd is uit verzamelingen. Verzamelingen en hun eigenschappen zijn on- derwerp van een breed wiskundig gebied — de verzamelingenleer.

    Ongeveer honderd jaar geleden begonnen wiskundigen met een groot enthou- siasme verzamelingen overal te gebruiken: het was heel handig elementen die een bepaalde eigenschap hadden als een geheel, een verzameling, te beschouwen. Maar heel snel ontstonden problemen: sommige groepen elementen leidden tot tegen- spraken: men stuitte op paradoxen. Blijkbaar kunnen niet alle eigenschappen gebruikt worden om nieuwe verzamelingen te vormen.

    We zullen twee van die tegenspraken bekijken.Paradoxen

    I.0.1 Voorbeeld. Paradox van Russell In een dorp woont kapper Hans die alléén die mannen uit het dorp scheert die zichzelf niet scheren. Wie scheert kapper Hans?

    Het is duidelijk dat er twee mogelijkheden zijn: kapper Hans scheert zichzelf of hij scheert zichzelf niet. Als hij zichzelf scheert dan scheert de kapper hem niet, maar hij zelf is de kapper, dus hij kan zichzelf niet scheren. Aan de andere kant, als hij zichzelf niet scheert dan moet hij, de kapper,