Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 1 / 11

Wiskunde logicaWerkcollege 3

Jolien Oomens

24 februari 2017

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(a)Bewijs dat de ontkenning van een universele uitspraak logisch equivalent is aan eenexistentiële uitspraak en dat de ontkenning van een existentiële uitspraak equivalent isaan een universele uitspraak.

We bewijzen dit met inductie naar de opbouw van de universeleformule.

• Als ϕ geen kwantoren heeft, geldt hetzelfde voor ϕwaardoor dit een existentiële formule is.

• Stel dat ϕ en ψ universeel zijn. Dan zijn er existentiëleformules ϕ̃ en ψ̃ zodat ϕ )( ϕ̃ en ψ )( ψ̃. Nu zien wedat pϕ_ ψq )( ϕ̃^ ψ̃. (Bewijs dat dit existentieel is!)(Evenzo “^”).

• Stel dat ϕ universeel is. Er geldt @xϕ )( Dx ϕ. Volgensde IH is er een existentiële ϕ̃ die logisch equivalent is aan ϕ.Dit impliceert dat Dxϕ̃ ook existentieel is.

De tweede uitspraak is op eenzelfde manier te bewijzen.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 2 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ

niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ

niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren.

Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ

niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ.

We hebben

A |ù ϕ ðñ

niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ

niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ niet A |ù ϕ

ðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃

ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃

ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕ

ðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 3(b)Stel dat A Ď B en dat ϕ een existentiële formule is. Laat zien dat A |ù ϕ impliceertdat B |ù ϕ.

Gevolg 5.8

Als A Ď B en ϕ een universele formule is, dan impliceert B |ù ϕdat A |ù ϕ.

We kunnen nu onderdeel (a) en dit gevolg combineren. Zij ϕ eenexistentiële formule en ϕ̃ een universele formule die equivalent isaan ϕ. We hebben

A |ù ϕ ðñ niet A |ù ϕðñ niet A ( ϕ̃ùñ niet B |ù ϕ̃ðñ niet B |ù ϕðñ B |ù ϕ.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 3 / 11

Opgave 4Zij Φpos de axioma’s van een poset. Laat zien dat er een Spos-formule ϕ bestaat zodatΦpos * ϕ maar ook Φpos * ϕ.

Dit zegt dat ϕ een formule is die voor sommige posets wel waar isen voor sommige niet. Een voorbeeld is de formule die aangeeftdat een verzameling totaal geordend is:

ϕ “ @x@y pRxy _ Ryxq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 4 / 11

Opgave 4Zij Φpos de axioma’s van een poset. Laat zien dat er een Spos-formule ϕ bestaat zodatΦpos * ϕ maar ook Φpos * ϕ.

Dit zegt dat ϕ een formule is die voor sommige posets wel waar isen voor sommige niet.

Een voorbeeld is de formule die aangeeftdat een verzameling totaal geordend is:

ϕ “ @x@y pRxy _ Ryxq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 4 / 11

Opgave 4Zij Φpos de axioma’s van een poset. Laat zien dat er een Spos-formule ϕ bestaat zodatΦpos * ϕ maar ook Φpos * ϕ.

Dit zegt dat ϕ een formule is die voor sommige posets wel waar isen voor sommige niet. Een voorbeeld is de formule die aangeeftdat een verzameling totaal geordend is:

ϕ “ @x@y pRxy _ Ryxq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 4 / 11

Opgave 4Zij Φpos de axioma’s van een poset. Laat zien dat er een Spos-formule ϕ bestaat zodatΦpos * ϕ maar ook Φpos * ϕ.

Dit zegt dat ϕ een formule is die voor sommige posets wel waar isen voor sommige niet. Een voorbeeld is de formule die aangeeftdat een verzameling totaal geordend is:

ϕ “ @x@y pRxy _ Ryxq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 4 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.

Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau

en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.

Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a.

We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2

want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ a

J ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn

want Rna . . . a

J ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . a

J ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ

ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ

(IH)

J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)

J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)

J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ

ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A

ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ

(IH)

J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ

ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A

ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ

(IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(a)Bewijs dat voor elke positieve S-formule er een S-interpretatie bestaat die de for-mule waar maakt.

Er is een S-interpretatie die alle positieve formules ϕ waar maakt.Kies A “ tau en zij J “ pA, a, βq een interpretatie zodat allerelatiesymbolen met ariteit n worden afgebeeld op Rn “ An.Omdat A maar één element heeft wordt elke S-term door Jafgebeeld op a. We bewijzen nu met inductie naar de complexiteitvan ϕ dat J ( ϕ.

J ( t1 ” t2 want Jpt1q “ Jpt2q “ aJ ( Rt1 . . . tn want Rna . . . aJ ( ϕ^ ψ ðñ J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( ϕ_ ψ ðù J |ù ϕ en J ( ψ (IH)J ( @xϕ ðñ Jbx ( ϕ voor alle b P A ðñ J |ù ϕ (IH)J ( Dxϕ ðñ Jbx ( ϕ voor een b P A ðñ J |ù ϕ (IH)

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 5 / 11

Opgave 5(b)Geef een formule die deze structuur niet vervult.

Een eenvoudig voorbeeld is

DxDy p x ” yq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 6 / 11

Opgave 5(b)Geef een formule die deze structuur niet vervult.

Een eenvoudig voorbeeld is

DxDy p x ” yq .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 6 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ.

Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ.

Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ.

Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ,

oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee.

Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.

(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ.

Dan bestaat er een a P A zodat voor alleb P A geldt dat J ax

by ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ. Dan bestaat er een a P A zodat voor alle

b P A geldt dat J axby ( ϕ.

In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ. Dan bestaat er een a P A zodat voor alle

b P A geldt dat J axby ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ,

oftewel Jbyax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ. Dan bestaat er een a P A zodat voor alle

b P A geldt dat J axby ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ. Dan bestaat er een a P A zodat voor alle

b P A geldt dat J axby ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.

(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 6(a) Bewijs dat @xϕ |ù Dxϕ. Wat als A leeg zou zijn? (b) Geldt Dxϕ |ù @xϕ?(c) Bewijs dat Dx@yϕ |ù @yDxϕ. (d) Bewijs dat “)” niet waar is.

(a) Zij J “ pA, a, βq een interpretatie en stel dat J |ù @xϕ. Ditbetekent dat voor alle a P A er geldt dat J ax ( ϕ. Omdat Aniet leeg is, bestaat er dus een a P A zodat J ax ( ϕ, oftewelJ |ù Dxϕ.

(b) Nee. Bekijk bijvoorbeeld pN,ďq met ϕ “ x ” 0.(c) Stel dat J |ù Dx@yϕ. Dan bestaat er een a P A zodat voor alle

b P A geldt dat J axby ( ϕ. In het bijzonder hebben we dan

voor elke b P B een a P A zodat J axby ( ϕ, oftewel J

byax ( ϕ,

dus J |ù @yDxϕ.(d) Bekijk pZ,ďq met ϕ “ x ď y .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 7 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie.

Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñ

niet J ( @x ðñniet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñ

J ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñ

J ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(a)Bewijs dat @xϕ )( Dx ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie. Er geldt

J ( @xϕ ðñniet J ( @x ðñ

niet voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñer is een a P A zodat niet J ax ( ϕ ðñ

er is een a P A zodat J ax ( ϕ ðñJ ( Dx ϕ,

zoals gewenst.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 8 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is. Er geldt

J ( @xϕ ðñ

voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is.

Er geldt

J ( @xϕ ðñ

voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is. Er geldt

J ( @xϕ ðñ

voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is. Er geldt

J ( @xϕ ðñ voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ

J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is. Er geldt

J ( @xϕ ðñ voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 7(e)Als x R freepxq, dan geldt @xϕ )( ϕ.

Zij J “ pA, βq een interpretatie en stel dat x geen vrije variabelevan ϕ is. Er geldt

J ( @xϕ ðñ voor alle a P A geldt J ax ( ϕ ðñ J ( ϕ,

waar we in de laatste stap het Coincidence Lemma (4.6) gebruiken.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 9 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening:

@x@y pRxy _ Ryxq

“ ϕ1Transitiviteit:

@x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq

“ ϕ2Antisymmetrie:

@x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq

“ ϕ3Kleinste element:

Dx@y pRxyq

“ ϕ4Directe opvolger:

@xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq

“ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening: @x@y pRxy _ Ryxq “ ϕ1Transitiviteit:

@x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq

“ ϕ2Antisymmetrie:

@x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq

“ ϕ3Kleinste element:

Dx@y pRxyq

“ ϕ4Directe opvolger:

@xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq

“ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening: @x@y pRxy _ Ryxq “ ϕ1Transitiviteit: @x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq “ ϕ2Antisymmetrie:

@x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq

“ ϕ3Kleinste element:

Dx@y pRxyq

“ ϕ4Directe opvolger:

@xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq

“ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening: @x@y pRxy _ Ryxq “ ϕ1Transitiviteit: @x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq “ ϕ2Antisymmetrie: @x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq “ ϕ3Kleinste element:

Dx@y pRxyq

“ ϕ4Directe opvolger:

@xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq

“ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening: @x@y pRxy _ Ryxq “ ϕ1Transitiviteit: @x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq “ ϕ2Antisymmetrie: @x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq “ ϕ3Kleinste element: Dx@y pRxyq “ ϕ4Directe opvolger:

@xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq

“ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(a) Geef een formule ϕ die weergeeft dat een structuur een lineaire ordening is met eenkleinste element en waarvan elk punt een directe opvolger heeft.

Totale ordening: @x@y pRxy _ Ryxq “ ϕ1Transitiviteit: @x@y@z ppRxy ^ Ryzq Ñ Rxzq “ ϕ2Antisymmetrie: @x@y ppRxy ^ Ryxq Ñ x ” yq “ ϕ3Kleinste element: Dx@y pRxyq “ ϕ4Directe opvolger: @xDy pRxy ^ @z pRxz Ñ Ryzqq “ ϕ5

Nu definiëren we ϕ :“ ϕ1 ^ ϕ2 ^ ϕ3 ^ ϕ4 ^ ϕ5.

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 10 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend, ď is transitief en antisymmetrisch. Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend,

ď is transitief en antisymmetrisch. Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend, ď is transitief en antisymmetrisch.

Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend, ď is transitief en antisymmetrisch. Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend, ď is transitief en antisymmetrisch. Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11

Opgave 8(b) Laat zien dat pN,ďq ( ϕ.(c) Vind een S-structuur A zodat A |ù ϕ die niet isomorf is aan pN,ďq.

(b) De verzameling N met de relatie ď is inderdaad totaalgeordend, ď is transitief en antisymmetrisch. Verder is 0 hetkleinste element en heeft elk getal een directe opvolger.

(c) Bekijk de volgende structuur:

0 1 2 3. . .

0̃ 1̃ 2̃. . .

Een ander voorbeeld is:

0 1 2 3. . . . . .

´1̃ 0̃ 1̃. . .

Jolien Oomens Werkcollege 3 24 februari 2017 11 / 11