WilfriedVanHirtum - Denkende handenEengrotedoosmet999getallen [1,] 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

Het geheim van de huisnummers

Wilfried Van Hirtum

Versie 1.11 26 februari 2021

1 2 3 4 5 6 7 8 9Begincijfer b van huisnummer

0.0

0.1

0.2

0.3

Kans

P(b) = log b+1b

Neem een lijst met de huisnummers van een adressenbestand.Dan blijkt dat het begincijfer 1 het meest voorkomt, en het begincijfer 9 het minstvaak. Hetzelfde fenomeen treedt op bij vele andere getallenreeksen zoals in eenlijst van de beurskoersen in een krant, of een lijst van alle getallen die voorkomenop de voorpagina van een krant. Hoe komt dat eigenlijk?

Cijfer 1 aan de top

Copyright© 2021Wilfried Van Hirtum

Dit werk wordt vrij gegeven aan de gemeenschap en mag dus gekopieerd, verspreid enaangepast worden mits vermelding van de bron onder voorbehoud dat het resultaat blijftbeantwoorden aan deze voorwaarden, dus vrij blijft voor de gemeenschap.

Inhoudsopgave

Referenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Een leerling zoekt huisnummers in zijn kot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 De proof of the pudding is in the eating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Alle huisnummers samen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Heb je echt wel goed opgeruimd? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Fraude opsporen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Een frauduleuze advertentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 De ontdekking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 Schaal-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10 Niet voor alle getallenlijsten geldig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11 Meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A Begincijfers van beurskoersen in een krant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B Alle getallen op willekeurige pagina in een krant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Referenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Referenties

1 Frank Benford. The law of anomalous numbers. Engels. Proceedings of the AmericanPhilosophical Society 78, 551-572., 1938.

2 Jurjen de Jong. De Wet van Benford, bizar en nog onverklaarbaar. https://www.scientias.nl/de-wet-van-benford-bizar-en-nog-onverklaarbaar/. 2018.

3 Voortschrijdende Inzichten. De Wet van Benford. https://www.inzichten.nl/wetenschap/weten_52.htm. 2011.

4 Yak. Yak’s toetsenbord en de wet van ... http://log.krak.nl/2005/05/page/3/.2-05-2005.

2

https://www.scientias.nl/de-wet-van-benford-bizar-en-nog-onverklaarbaar/


https://www.inzichten.nl/wetenschap/weten_52.htm


http://log.krak.nl/2005/05/page/3/

1 Een leerling zoekt huisnummers in zijn kot

Een wiskundeleraar uit Kumtich — verder aangeduid met de ik-persoon — gaf zijn leer-lingen van 5 Industriële Wetenschappen in Westerlo de opdracht om eens rond tegaan in haar/zijn kot (dit is een uitdrukking die door de Belgische minister van Volks-gezondheid Maggie De Block werd gebruikt om de mensen in lockdown/quarantaine tehouden tijdens de Corona-crisis van 2020, lang geleden).

En tijdens de opruimactie in huis werden telkens 50 huisnummers verzameld die voor-kwamen in adressen op allerlei drukwerk.

We zijn geïnteresseerd in het begincijfer van de huisnummers, het eerste cijfer dus.

Bijvoorbeeld huisnummer 345 geeft begincijfer 3.

De vraag is: hebben alle begincijfers evenveel kans om voor te komen?

Onderzoeksvraag

Je zou kunnen denken, als huisnumers zich gedragen als een puur willekeurige lijst vangetallen, dat elk begincijfer dan evenveel kans heeft.

We gaan dit eens onderzoeken voor een doos met alle getallen van 1 tot 999, en wenemen daarna echte huisnummers onder de loep. Is er een verschil?

0 200 400 600 800 1000Nummer in een doos (n= 999)

Figuur 1 – De nummers van 1 tot 999 zijn mooi uniform verdeeld op dit strookdiagram. Elk vierkantjestelt een huisnummer voor. Overal dezelfde gezellige drukte.

Stel dat we een grote doos hebben met daarin alle getallen van 1 tot en met 999. Jetrekt daar lukraak een getal uit. Het begincijfer kan dan ofwel 1, ofwel 2, ofwel 3, ...,ofwel 9 zijn.

Deze begincijfers zijn dan uniform verdeeld in de doos met 999 getallen. Dit wil zeggendat elk begincijfer evenveel kans heeft om voor te komen in deze doos.

3

Een grote doos met 999 getallen

[1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

[26,] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[51,] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

[76,] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[101,] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

[126,] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

[151,] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

[176,] 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

[201,] 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

[226,] 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

[251,] 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275

[276,] 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

[301,] 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325

[326,] 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350

[351,] 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375

[376,] 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

[401,] 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425

[426,] 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450

[451,] 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475

[476,] 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500

[501,] 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525

[526,] 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550

[551,] 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575

[576,] 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600

[601,] 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625

[626,] 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650

[651,] 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675

[676,] 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700

[701,] 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725

[726,] 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750

[751,] 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

[776,] 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800

[801,] 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825

[826,] 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850

[851,] 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875

[876,] 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900

[901,] 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925

[626,] 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950

[951,] 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975

[976,] 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999

Laten we eens het aantal getallen met begincijfer 1 bekijken.Er zijn in totaal 1+10+100=

�� ⊵�111 getallen die beginnen met 1 . De kans op begincijfer1 in deze doos met 999 nummers is dus

P(1) =111999

=

��

⊵�

19= 11.11 % .

De andere begincijfers hebben allemaal dezelfde kans om begincijfer te zijn van een luk-raak gekozen getal uit de doos. Bijvoorbeeld, het aantal getallen met begincijfer 9 isook 111, dus de kans op begincijfer 9 is ook 1

9 , oftewel 11.11% . Alle negen begincijferskomen dus even vaak voor als begincijfer, tenminste in deze doos van 999 getallen.

4

Huisnummers gedragen zich niet als een doos met getallen

n = 1043

[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

[26,] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

[51,] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

[76,] 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

[101,] 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

[126,] 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

[151,] 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12

[176,] 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

[201,] 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16

[226, ] 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18

[251, ] 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

[276, ] 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

[301, ] 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25

[326, ] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27

[351, ] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

[376, ] 29 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32

[401, ] 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

[426, ] 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37

[451, ] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 41

[476, ] 41 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 44 44

[501, ] 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 47 47

[526, ] 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 49 49 49 49 50 50 50 50 50

[551, ] 50 50 51 51 51 51 51 51 51 51 52 52 52 52 52 52 53 53 53 54 54 54 54 54 55

[576, ] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 57 57 57 57

[601, ] 57 58 58 58 58 58 58 58 58 58 59 59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 60

[626, ] 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64

[651, ] 64 64 65 65 65 65 65 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 67 67 67 67 67 67 67

[676, ] 68 68 68 68 69 69 69 69 69 69 70 70 70 70 70 71 71 71 71 71 71 71 72 72 72

[701, ] 73 73 73 73 73 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 75 75 76 76

[726, ] 76 76 76 76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78

[751, ] 78 78 79 79 79 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 81 81 82 82 82 83 83 83 83 84

[776, ] 84 84 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 88 88

[801, ] 88 88 88 88 89 89 89 89 89 89 89 89 90 90 90 90 91 91 91 91 91 92 92 93 94

[826, ] 94 94 95 95 96 96 96 96 96 96 97 97 97 97 97 97 98 98 98 98 98 98 98 98 98

[851, ] 98 99 99 99 99 99 99 99 99 99 100 100 100 100 101 101 101 101 102 102 102 103 103 103 104

[876, ]104 105 105 107 107 107 108 109 110 110 111 112 112 112 112 113 114 117 117 118 119 120 120 121 121

[901, ]122 122 122 122 122 123 125 126 126 126 126 127 127 128 128 128 130 130 132 133 133 133 134 134 134

[926, ]135 137 138 138 139 142 142 142 143 145 146 146 147 149 150 150 152 153 153 153 153 155 155 156 157

[951, ]157 158 160 160 162 162 163 163 164 164 165 166 169 171 173 173 173 174 174 175 176 176 177 180 181

[976, ]181 182 183 184 185 185 186 188 190 190 191 193 195 197 201 201 205 205 206 208 212 212 216 227 229

[1001,]230 231 233 234 234 245 247 251 256 256 258 259 266 267 269 277 283 288 291 297 297 298 314 324 337

[1026,]347 356 356 358 363 402 411 435 444 483 529 531 611 644 667 745 999 1103

Hier zijn alle (n = 1043) huisnummers, verzameld door 21 van de 23 leerlingen van5iw. Wat meteen opvalt is, dat er heel veel kleine huisnummers zijn, laten we zeggen,getallen van maximum twee cijfers. En er zijn weinig grote huisnummers.

Er zijn heel veel kleine huisnummers.

De grote huisnummers zijn zeldzamer.

Eigenschap van huisnummers

5

De drukte van de kleine huisnummers is ook goed te zien in een zogenaamde stripchart.Alle huisnummers worden als een lange strook voorgesteld. Elk vierkantje stelt een aparthuisnummer voor. Het kleinste huisnummer in de lijst van huisnummers van 5iw is ’1’.En er zijn heel veel enen. Het grootste huisnummer in de lijst is ’1103’. Bekijk figuur 2

0 200 400 600 800 1000 1200Huisnummer (n= 1043)

Figuur 2 – Alle 1043 huisnummers van 5IW in een zogenaamde stripchart. Elk vierkantje stelt eenhuisnummer voor. Het ziet ’zwart van het volk’ bij de kleine huisnummers. Hoe groter het huisnum-mer, hoe zeldzamer ze worden.

Een gewone lineaire schaal is eigenlijk niet geschikt om zo’n scheve verdeling voor testellen. Er is te weinig plaats in het begin van de as om de vele kleine huisnummers voorte stellen. En de schaarse grote huisnummers aan de rechterkant zouden gerust dichterbij elkaar mogen zitten.

Maar er bestaan ook logaritmische schalen. Zie figuur 3. Als we de huisnummers opeen logaritmische schaal uitzetten, wordt de verdeling ineens min of meer uniform. Dehuisnummers zijn min of meer gelijkmatig verdeeld. Het is overal op de schaal ongeveereven druk.

1 5 10 50 100 500 1000Huisnummer (n= 1043)

Figuur 3 – Een logaritmische schaal om de 1043 huisnummers van 5IW in een stripchart te zetten. Nuis de verdeling wel enigszins uniform. De verdeling van huisnummers is dus eigenlijk logaritmisch.

Huisnummers zijn logaritmisch verdeeld.Logaritmische Wet

6

We zullen dat nog eens overdoen met een steekproef van 100 huisnummers van 5iw. Wenemen de huisnummers die twee leerlingen van 5iw hebben verzameld. Dan hebben we2× 50 oftewel 100 huisnummers. We zetten ze achtereenvolgens in een gewone lineaireschaal en een logaritmische schaal uit. Je ziet dat in de figuren figuur 4 en figuur 5.

Oeioeioei, zou viroloog Steven Van Gucht zeggen, datzijn grote bubbels, vooral bij de kleintjes, ik zou dezesamenscholingen vermijden.(Foto: Belga)

0 100 200 300 400 500Huisnummer (n= 100)

Figuur 4 – Je ziet alle 100 huisnummers van twee leerlingen van 5IW op een lineaire schaal uitgezet.Veel gedrum bij kleine huisnummers. Grote huisnummers liggen te los verdeeld.

1 2 5 10 20 50 100 200 500Huisnummer (n= 100)

Figuur 5 – De 100 huisnummers van twee leerlingen van 5IW op een logaritmische schaal zijn onge-veer uniform of gelijkmatig verdeeld.

Prima, alle huisnummers op een redelijke afstand van el-kaar, kleine bubbels, zou viroloog Steven Van Gucht zeg-gen. En iedereen — klein en groot — moet zich aandezelfde maatregelen houden.(Foto: De Zondag)

7

Huisnummers staan comfortabeler op een logaritmische schaal

1 2 5 10 20 50 100 200 500Huisnummer (n= 100)

De huisnummers zijn nu wel uniform verdeeld op een logaritmische schaal. Geen gedrumbij de kleine huisnummers. Er is links veel plaats om de kleine huisnummers geleidelijkte laten groeien.

1 2 5 10 20 50 100 200 500Huisnummer (≤ 100) (n= 92)

Het grootste deel van de schaal (92%) wordt gereserveerd voor de huisnummers tot100. Grote huisnummers van 100 tot 500 kunnen gerust toekomenmet een beetje plaatsrechts op de schaal.

Een test voor logaritmisch gedrag: verdeling van de begincijfers

Het logaritmische gedrag van huisnummers heeft ook gevolgen voor de verdeling vanhet begincijfer van huisnummers. Er zijn 9 mogelijke begincijfers. In de doos met 999getallen kwam elk begincijfer met evenveel kans

�

19

�

voor. Maar bij huisnummers, diedus logaritmische verdeeld zijn, is de kans op een klein begincijfer ineens veel grotergeworden. Deze vaststelling heet De Wet van Benford. Je ziet dat in de volgende tabel.De huisnummers met begincijfer 1 zijn daar gekleurd. Er zijn veel enen. We hebbenook de veel kleinere groep van huisnummers gekleurd die beginnen met 9 , om eens tevergelijken.

8

Veel meer huisnummers met begincijfer 1 danmet begincijfer 9

n = 1043

[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

[26,] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

[51,] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

[76,] 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

[101,] 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

[126,] 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

[151,] 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12

[176,] 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

[201,] 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16

[226, ] 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18

[251, ] 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

[276, ] 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

[301, ] 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25

[326, ] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27

[351, ] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

[376, ] 29 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32

[401, ] 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

[426, ] 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37

[451, ] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 41

[476, ] 41 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 44 44

[501, ] 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 47 47

[526, ] 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 49 49 49 49 50 50 50 50 50

[551, ] 50 50 51 51 51 51 51 51 51 51 52 52 52 52 52 52 53 53 53 54 54 54 54 54 55

[576, ] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 57 57 57 57

[601, ] 57 58 58 58 58 58 58 58 58 58 59 59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 60

[626, ] 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64

[651, ] 64 64 65 65 65 65 65 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 67 67 67 67 67 67 67

[676, ] 68 68 68 68 69 69 69 69 69 69 70 70 70 70 70 71 71 71 71 71 71 71 72 72 72

[701, ] 73 73 73 73 73 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 75 75 76 76

[726, ] 76 76 76 76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78

[751, ] 78 78 79 79 79 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 81 81 82 82 82 83 83 83 83 84

[776, ] 84 84 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 88 88

[801, ] 88 88 88 88 89 89 89 89 89 89 89 89 90 90 90 90 91 91 91 91 91 92 92 93 94

[826, ] 94 94 95 95 96 96 96 96 96 96 97 97 97 97 97 97 98 98 98 98 98 98 98 98 98

[851, ] 98 99 99 99 99 99 99 99 99 99 100 100 100 100 101 101 101 101 102 102 102 103 103 103 104

[876,] 104 105 105 107 107 107 108 109 110 110 111 112 112 112 112 113 114 117 117 118 119 120 120 121 121

[901,] 122 122 122 122 122 123 125 126 126 126 126 127 127 128 128 128 130 130 132 133 133 133 134 134 134

[926,] 135 137 138 138 139 142 142 142 143 145 146 146 147 149 150 150 152 153 153 153 153 155 155 156 157

[951,] 157 158 160 160 162 162 163 163 164 164 165 166 169 171 173 173 173 174 174 175 176 176 177 180 181

[976,] 181 182 183 184 185 185 186 188 190 190 191 193 195 197 201 201 205 205 206 208 212 212 216 227 229

[1001,]230 231 233 234 234 245 247 251 256 256 258 259 266 267 269 277 283 288 291 297 297 298 314 324 337

[1026,]347 356 356 358 363 402 411 435 444 483 529 531 611 644 667 745 999 1103

We kleuren alle huisnummers met begincijfer 1 . En er zijn er vele. Kijk maar in dezetabel van alle 1043 huisnummers van 5iw. Je trekt daar lukraak een huisnummer uit.Het begincijfer kan dan ofwel 1, ofwel 2, ofwel 3, ofwel 4, ..., ofwel 9 zijn. Maar, er zijnenorm veel begincijfers 1, namelijk 12+127+129+1= 269 huisnummers die beginnenmet 1. De kans op begincijfer 1 in deze doos met 999 nummers is dus

P(1) =2691043

= 25.79 % .

Dat is een pak meer dan 19 of 11.11%!

9

In lijsten met echte huisnummers is het begincijfer 1 aan de top.

Dit is een gevolg van de logaritmische verdeling van huisnummers. Daardoor ko-men de kleine begincijfers veel vaker voor als begincijfer van een huisnummer.

Dus er zijn veel huisnummers met begincijfer 1, dan wat minder met begincijfer 2,en weer minder met begincijfer 3, enzovoort.

De begincijfers 7, 8, 9 komen het minst voor als begincijfer van een huisnummer.

De Wet Van Benford

Vergelijk nog eens een doos met getallen van 1 tot 999, versus de lijst van de 1043 echtereal-life huisnummers .

[1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

[26,] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[51,] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

[76,] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[101,] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

[126,] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

[151,] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

[176,] 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

[201,] 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

[226,] 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

[251,] 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275

[276,] 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

[301,] 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325

[326,] 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350

[351,] 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375

[376,] 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

[401,] 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425

[426,] 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450

[451,] 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475

[476,] 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500

[501,] 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525

[526,] 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550

[551,] 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575

[576,] 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600

[601,] 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625

[626,] 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650

[651,] 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675

[676,] 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700

[701,] 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725

[726,] 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750

[751,] 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

[776,] 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800

[801,] 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825

[826,] 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850

[851,] 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875

[876,] 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900

[901,] 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925

[626,] 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950

[951,] 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975

[976,] 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999

n = 1043

[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

[26,] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

[51,] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

[76,] 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

[101,] 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

[126,] 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

[151,] 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12

[176,] 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

[201,] 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 16 16 16 16

[226, ] 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18

[251, ] 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

[276, ] 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

[301, ] 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25

[326, ] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27

[351, ] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

[376, ] 29 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32

[401, ] 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

[426, ] 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37

[451, ] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 41

[476, ] 41 41 41 41 41 42 42 42 42 42 42 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 44 44

[501, ] 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 47 47

[526, ] 47 47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 49 49 49 49 50 50 50 50 50

[551, ] 50 50 51 51 51 51 51 51 51 51 52 52 52 52 52 52 53 53 53 54 54 54 54 54 55

[576, ] 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 57 57 57 57 57 57

[601, ] 57 58 58 58 58 58 58 58 58 58 59 59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 60

[626, ] 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64

[651, ] 64 64 65 65 65 65 65 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 67 67 67 67 67 67 67

[676, ] 68 68 68 68 69 69 69 69 69 69 70 70 70 70 70 71 71 71 71 71 71 71 72 72 72

[701, ] 73 73 73 73 73 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 75 75 76 76

[726, ] 76 76 76 76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78

[751, ] 78 78 79 79 79 79 80 80 80 80 80 80 80 81 81 81 81 82 82 82 83 83 83 83 84

[776, ] 84 84 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 87 88 88

[801, ] 88 88 88 88 89 89 89 89 89 89 89 89 90 90 90 90 91 91 91 91 91 92 92 93 94

[826, ] 94 94 95 95 96 96 96 96 96 96 97 97 97 97 97 97 98 98 98 98 98 98 98 98 98

[851, ] 98 99 99 99 99 99 99 99 99 99 100 100 100 100 101 101 101 101 102 102 102 103 103 103 104

[876,] 104 105 105 107 107 107 108 109 110 110 111 112 112 112 112 113 114 117 117 118 119 120 120 121 121

[901,] 122 122 122 122 122 123 125 126 126 126 126 127 127 128 128 128 130 130 132 133 133 133 134 134 134

[926,] 135 137 138 138 139 142 142 142 143 145 146 146 147 149 150 150 152 153 153 153 153 155 155 156 157

[951,] 157 158 160 160 162 162 163 163 164 164 165 166 169 171 173 173 173 174 174 175 176 176 177 180 181

[976,] 181 182 183 184 185 185 186 188 190 190 191 193 195 197 201 201 205 205 206 208 212 212 216 227 229

[1001,]230 231 233 234 234 245 247 251 256 256 258 259 266 267 269 277 283 288 291 297 297 298 314 324 337

[1026,]347 356 356 358 363 402 411 435 444 483 529 531 611 644 667 745 999 1103

Hoe komt dat eigenlijk?

Vraagje

10

Hoe vaak komt het begincijfer 1 voor?

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Met begincijfer 1

Overige

Huisnummer (n= 73)Logaritme van

We hebben de stripchart opgesplitst in twee groepen. De onderste groep huisnummers,met begincijfer 1, hebben een ruime plaats om zich te nestelen. Ze nemen 30.1% vande beschikbare ruimte in op de logaritmische schaal, waar ze dus gelijkmatig verdeeldzijn. We kunnen dus de kans berekenen als verhouding van de plaats die de begincijfersinnemen ten opzichte van de totale plaats op de logaritmische schaal.

Hoe kom je aan dat percentage?

Kijk naar bovenstaande figuur. Alle huisnummers met begincijfer 1 hebben een logaritme

ofwel tussen 0 (= log 1) en 0.301 ( = log 2) voor (1≤ huisnummer< 2),

ofwel tussen 1.0 (= log 10) en 1.301 ( = log 20) voor (10≤ huisnummer< 20),

ofwel tussen 2.0 (= log 100) en 2.301 ( = log 200) voor (100≤ huisnummer< 200),

enzovoort.

log 2− log 1= log21≈

�� ⊵�0.301

Op een gelijkaardige manier vinden we het percentage van huisnummers met begincijfer2, met begincijfer 3, ..., met begincijfer b.


�� ⊵�0.176


�� ⊵�0.125


�� ⊵�0.097

...��

� P(b) = log

b + 1b

11

2 Samenvatting

In lijsten met echte huisnummers is het begincijfer 1 aan de top.

Dit is een gevolg van de logaritmische verdeling van huisnummers. Daardoor ko-men de kleine begincijfers veel vaker voor als begincijfer van een huisnummer.

Dus er zijn veel huisnummers met begincijfer 1, dan wat minder met begincijfer 2,en weer minder met begincijfer 3, enzovoort.

De begincijfers 7, 8, 9 komen het minst voor als begincijfer van een huisnummer.

De Wet Van Benford

1 2 3 4 5 6 7 8 9Begincijfer b van huisnummer

0.0

0.1

0.2

0.3

Wet van BenfordKans

0.301

0.176

0.1250.097

0.0790.067 0.058 0.051 0.046

P(b) = log b+1b

12

3 De proof of the pudding is in the eating

We gaan eerst eens kijken, of de Wet van Benford opgaat voor de verzamelde lijsten vanhuisnummers van 5iw 2021.

Begincijfer van huisnummers / 1 Wout / 2021-5iw

Frequentie (n = 51)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

14

8

6

3 34 4

2

7

Begincijfer van huisnummers / 1 Wout / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.27

0.16

0.12

0.06 0.060.08 0.08

0.04

0.14

13

Begincijfer van huisnummers / 2 Robbe Ca / 2021-5iw

Frequentie (n = 47)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15

7

43

43

43

4

Begincijfer van huisnummers / 2 Robbe Ca / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.32

0.15

0.090.06

0.090.06

0.090.06

0.09

14

Begincijfer van huisnummers / 3 Stan / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

8

3

6

5

6 6

8

3

Begincijfer van huisnummers / 3 Stan / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.10

0.16

0.06

0.12

0.10

0.12 0.12

0.16

0.06

15

Begincijfer van huisnummers / 4 Goran / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

18

2

4

6

4

65

32


Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.36

0.04

0.08

0.12

0.08

0.120.10

0.060.04

16

Begincijfer van huisnummers / 5 Jonas Ha / 2021-5iw

Frequentie (n = 45)

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

6

4

7

5

2

5

3 3

Begincijfer van huisnummers / 5 Jonas Ha / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.13

0.09

0.16

0.11

0.04

0.11

0.07 0.07

17

Begincijfer van huisnummers / 6 Herbert / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

8

67

11

5

3

5

2


Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.06

0.16

0.120.14

0.22

0.10

0.06

0.10

0.04

18

Begincijfer van huisnummers / 7 Dante / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

18

11

7

5

1 1

3

1

3

Begincijfer van huisnummers / 7 Dante / 2021-5iw

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.36

0.22

0.14

0.10

0.02 0.02

0.06

0.02

0.06

19

Begincijfer van huisnummers / 8 Siebe / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

19

68

5

2 24

2 2

Begincijfer van huisnummers / 8 Siebe / 2021-5iw

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.38

0.120.16

0.10

0.04 0.040.08

0.04 0.04

20

Begincijfer van huisnummers / 9 Aleksy / 2021-5iw

Frequentie (n = 49)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

14

7

54

6

34

1

5


Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.29

0.14

0.100.08

0.12

0.060.08

0.02

0.10

21

Begincijfer van huisnummers / 10 Alexander / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

3

5

7

4

76

1

6

Begincijfer van huisnummers / 10 Alexander / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.06

0.10

0.14

0.08

0.140.12

0.02

0.12

22

Begincijfer van huisnummers / 11 Corneel / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

87

5

7

3

5

3

1

Begincijfer van huisnummers / 11 Corneel / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.160.14

0.10

0.14

0.06

0.10

0.06

0.02

23

Begincijfer van huisnummers / 12 Maxime / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

21

7

21

54

2

53

Begincijfer van huisnummers / 12 Maxime / 2021-5iw

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.42

0.14

0.040.02

0.100.08

0.04

0.100.06

24

Begincijfer van huisnummers / 13 Bram / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

16

10

4

6

8

23

1

Begincijfer van huisnummers / 13 Bram / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.32

0.20

0.08

0.12

0.16

0.040.06

0.02

25

Begincijfer van huisnummers / 14 Raf / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

14

87

45

2

43 3

Begincijfer van huisnummers / 14 Raf / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.28

0.160.14

0.080.10

0.04

0.080.06 0.06

26

Begincijfer van huisnummers / 15 Jonas Vd / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9

13

8

4

6

3

54 4

3

Begincijfer van huisnummers / 15 Jonas Vd / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.26

0.16

0.08

0.12

0.06

0.100.08 0.08

0.06

27

Begincijfer van huisnummers / 16 Teun / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

6 6 67

34

5

2

Begincijfer van huisnummers / 16 Teun / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.12 0.12 0.120.14

0.060.08

0.10

0.04

28

Begincijfer van huisnummers / 17 Malin / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

14

67

4

2

4

6

43

Begincijfer van huisnummers / 17 Malin / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.28

0.120.14

0.08

0.04

0.08

0.12

0.080.06

29

Begincijfer van huisnummers / 18 Quinten / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

7

10

6

8

3

54 4

3

Begincijfer van huisnummers / 18 Quinten / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.14

0.20

0.12

0.16

0.06

0.100.08 0.08

0.06

30

Begincijfer van huisnummers / 19 Cis / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

19

4

1

57

65

3

Begincijfer van huisnummers / 19 Cis / 2021-5iw

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.38

0.08

0.02

0.100.14

0.120.10

0.06

31

Begincijfer van huisnummers / 20 Louka / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9

6

10

34

5 54 4

Begincijfer van huisnummers / 20 Louka / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.18

0.12

0.20

0.060.08

0.10 0.100.08 0.08

32

Begincijfer van huisnummers / 21 Robbe We / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8

7

5

7

5 5 5

3

5

Begincijfer van huisnummers / 21 Robbe We / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.16

0.14

0.10

0.14

0.10 0.10 0.10

0.06

0.10

33

Begincijfer van huisnummers / 22 Lenn / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

20

13

21

2

53

4

Begincijfer van huisnummers / 22 Lenn / 2021-5iw

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.40

0.26

0.040.02

0.04

0.100.06

0.08

34

Begincijfer van huisnummers / 23 Xiu Yi / 2021-5iw

Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

8

10

6

45

2

4

Begincijfer van huisnummers / 23 Xiu Yi / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.16

0.20

0.12

0.080.10

0.04

0.08

Oordeel zelf, welke grafieken vind jij verdacht?

35

4 Alle huisnummers samen

Hier staan de grafieken voor heel 5iw samen, dus voor alle onderzochte 1043 huisnum-mers. Dat komt aardig overeen, vind je niet?

Begincijfer van huisnummers / Alle / 2021-5iw

Frequentie (n = 1043)

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9

269

158

114 10590 80 90

72 65

Begincijfer van huisnummers / Alle / 2021-5iw

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.26

0.15

0.11 0.100.09 0.08 0.09

0.07 0.06

Begincijfer / Verdeling volgens de Wet van Benford

Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.30

0.18

0.120.10

0.08 0.07 0.06 0.05 0.05

36

5 Heb je echt wel goed opgeruimd?

Het vuilste object in uw kot is wellicht uw toetsenbord. Heb je daar eens goed naargekeken, vooral naar de cijfertoetsen. Misschien is hier wel het bewijs aanwezig dat deWet van Benford echt bestaat. Uit de volgende foto blijkt van wel!

Figuur 6 – De cijfertoetsen 1,2, 3 en 4 zijn minder vuil enworden dus meer gebruiktdan de cijfertoetsen 5, 6, 7, 8en 9.

Bron: (Yak, Yak’s toetsenborden de wet van ...)

. . .Benford dus. Hoe minder je toetsen gebruikt, hoe viezer ze worden. Te zienis dus dat de 9 het minst gebruikte cijfer is, en 0 de meest gefrequenteerdeDit lijkt een bevestiging van de wet van Benford.. . .Het cijfer 0 wordt blijkbaar nóg vaker gebruikt. Toch laten we dit cijfer bui-ten beschouwing. Waarom? De wet van Benford zegt dat de kans dat eengetal met het cijfer b begint gelijk is aan log(1+ 1

b ). Je hoeft geen rekenwon-der te zijn om in te zien dat je dan met de nul een probleem hebt. MijnheerBenford deed dus niet aan leading zeroes. Voor het geval u denkt dat dezetoetsen alleen gebruikt worden voor bijzondere getallen: ik heb geen nume-riek toetsenbordje, dus ik gebruik altijd het bovenste rijtje toetsen voor decijfers. Mocht u het nog niet gezien hebben, ik heb de cijfers 6 tot 0 in eenfotobewerkingsprogramma verplaatst om de afbeelding minder breed te ma-ken. . .

6 Fraude opsporen

De Wet van Benford wordt in de praktijk ook gebruikt om fraude op te sporen, bijvoor-beeld in aangifte van financiële eindverslagen.

Als mensen zomaar getallen beginnen te ’verzinnen’ om fraude te plegen, vallen ze doorde mand, als ze geen rekening houden met de Wet van Benford, omdat ze te veel hunbest doen om zo gelijkmatig mogelijk verspreide getallen te gebruiken. Dat mag dus netniet, want echte getallen zijn logaritmisch verdeeld.

37

De tweede rapste leerling

De tweede snelste leerling, qua insturen van zijn ’gevonden’ verzameling van 50 huis-nummers vond het volgende.


Frequentie (n = 50)

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

18

2

4

6

4

65

32

Ik vind dit een beetje verdacht. Dit is althans niet wat ik zou verwachten. Ik vroeg dezeleerling naar de herkomst van zijn huisnummers. Hier is zijn antwoord.

... Ik ben als inspiratie van de huisnummers eens een keertje naar buiten gegaan, enheb dan gewoon de nummers genoteerd die ik tegenkwam.

Verdachte praktijk

Ik vroeg nochtans naar huisnummers die echt op papier in huis gevonden werden. Endeze opportunistische straatwandeling is door de grafiek aan het licht gekomen.

38

Nog een ‘verdachte’ situatie


Frequentie (n = 50)

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

8

67

11

5

3

5

2

Ik vind dit een beetje verdacht. Dit is althans niet wat ik zou verwachten. Ik vroeg dezeleerling naar de herkomst van zijn huisnummers. Hier is zijn antwoord.

... Dat staat bij het telefoonboek van mijn moeder. Dat is alfabetisch, vandaar de rarevolgorde van de cijfers.

Verdachte praktijk

De opdracht was nochtans als volgt. Ga nog eens rond in uw studeerplek, of elders in huisen zoek in totaal 50 adressen die ergens op papier staan, maakt niet uit welk soort adreshet is: facturen, publiciteit, infobladen, drukwerk, ...

Een telefoonboekje gebruiken met adressen van familie bevat misschien mensen die indezelfde straat wonen: zussen, ouders, tantes . . . . Dus deze bron is wellicht ook te op-portunistisch.

39

Nog een derde ‘verdachte’ situatie


Kans

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.29

0.14

0.100.08

0.12

0.060.08

0.02

0.10

Ik vind dit op het eerste gezicht niet verdacht, behalve het hoge percentage bij begincij-fer 9. Maar de originele lijst met huisnummers is op zijn zachtst gezegd wél eigenaardig.

7, 45, 31, 16, 5, 2012 , 176, 79, 55, 2, 1337, 63, 12, 2003 , 1976 , 1979 ,

48, 399, 7000 , 41, 351, 133, 228, 270, 19999 , 21, 50, 3, 69, 96, 100,

39, 25, 89, 74, 113, 112, 997, 998, 999 , 101, 500, 57, 4, 9, 10, 18, 611, 515

De getallen 2012, 2003, 1976, 1979 lijken verdacht veel op jaartallen. Verder vallen deextreem hoge huisnummers 7000 en 19 999 op. Zijn dit geldbedragen? En wat met deserie 997, 998, 999?

Dus, de vraag of dit echte huisnummers zijn, is terecht. Ik vroeg deze leerling naar deherkomst van zijn huisnummers. Hier is zijn antwoord.

... Het is fout aan mijn kant. Ik was thuis aan het zoeken naar de getallen en op gegevenmoment kwam ik bij documenten waar geld in spel kwam.

Ik was vergeten om het realistisch te behouden. Mijn excuses daarvoor.

Wat bedoel je precies? Zijn de getallen die je opgaf dus geen huisnummers?

. . . Neen, overdreven grote getallen zijn fout gekozen van mij. Fout aan mijn kant.

Toegegeven

Maar, begincijfer "1"staat wel aan de top!

Had deze leerling dan voorkennis van de Wet van Benford? Of gewoon geluk gehad?

Zo zie je maar, dat met behulp van de Wet Van Benford ook eventuele fraude kan op-gezocht worden, als bijvoorbeeld mensen zomaar denkbeeldige getallen beginnen teverzinnen bij frauduleuze belastingsaangiften, of zo.

40

Moraal van het verhaal

Dus, als je leraar wiskunde nog eens een huistaak geeft, denk dan niet direct

Punten waren goed / Dat ik gok op de testen /dat weet hij nog niet(Haiku volgens Alexander K, 2020).

7 Een frauduleuze advertentie

Bron: (Voortschrijdende Inzichten, De Wet van Benford).

Onlangs plaatste een groot bedrijf in elektronica in een huis-aan-huisblad een pagina-grote advertentiemet opruimingsaanbiedingen. Bij elk item stond ook het aantal vermelddat nog in voorraad was. De boodschap was duidelijk: lage prijzen gecombineerd metkleine aantallen, dus snel naar de winkel, voordat het op is.

Wij onderzochten de begincijfers van de vermelde aantallen op frequentie van voorko-men. We telden totaal 159 aantallen. Het onderzoek leidde tot een verrassende uit-komst. De begincijfers in de advertentie voldeden in het geheel niet aan de Wet vanBenford!

Zo had het begincijfer 1 ongeveer in 30% van de gevallen moeten voorkomen; het wasechter slechts 13%. Wat verder opvalt is dat alle begincijfers tussen de 5 en 15% vande gevallen voorkomen. Dit lijkt dus nergens op. Het is een sterke aanwijzing dat hetbedrijf de aantallen in de advertentie gewoon verzonnen heeft.

Daarbij heeft men de klassieke fout gemaakt. Men heeft gedacht: ‘Het moet niet opvallendat we het verzonnen hebben, dus alle getallen moeten ongeveer evenveel voorkomen,althans in mate van voorkomen niet al te erg van elkaar verschillen’. Jammer dat de Wetvan Benford voorschrijft dat het nu juist wel veel van elkaar moet verschillen.

Figuur 7 – Verzonnen gege-vens in een advertentie vol-doen niet siaan de wet vanBenford

De donkerblauwe balken geven de verdeling volgens de Wet van Benford weer. In deadvertentie van bedrijf X (lichtblauwe balken) begint echter slechts 13% van de getallenmet een 1 (volgens Benford dus veel te weinig) en bijvoorbeeld 16% met een 9 (watvolgens Benford weer veel te veel is). Bedrijf X is een gefingeerde naam. Het bedrijf isom redenen van privacy niet met de werkelijke naam weergegeven.

41

8 De ontdekking

Er zijn twee ontdekkers van deWet van Benford. De eerste was Simon Newcomb in 1881.Maar zijn artikel werd nauwelijks opgemerkt en raakte snel in de vergetelheid.

Figuur 8 – Simon NewcombIn die tijd waren er nog geen rekenmachines, en vermenigvuldigin-gen werden gedaan door middel van logaritmen.Het viel hem op dat in logaritmetabellen de eerste bladzijden meergebruikt waren dan de laatste. Daaruit leidde hij de stelling af datin een lijst van willekeurige getallen het getal 1 meer dan elk andercijfer op de eerste plaats staat. Later werd dit de wet van Benfordgenoemd.

Dit fenomeen staat nu bekend als de wet van Benford, genoemd naar de Amerikaansefysicus Frank Benford, die dit merkwaardige feit opnieuw ontdekte in 1938 (Benford,The law of anomalous numbers).

Figuur9 – De Amerikaanse fysicus Frank Benford herontdekte het feitdat begincijfer 1 het vaker voorkomt in talrijke lijsten van getallen.

Zoals je verder kunt lezen is het feit dat de ontdekking gedaan werd in een logaritmen-boekje een mooie beeldspraak, want de verdeling die aan de bais ligt van dit fenomeenis logaritmisch van aard.

Wil je meer weten, lees dan zeker eens (Jong, De Wet van Benford, bizar en nog onver-klaarbaar).

42

9 Schaal-invariant

Dewet blijkt van toepassing op heel wat reeksen van getallen, zoals bijv. een willekeurigekrantenpagina met beurscijfers in euro. Als je deze beurscijfers zou omrekenen naarbijv. Amerikaanse dollars, zou je dezelfde wetmatigheid vaststellen: het cijfer 1 komtbeduidend meer voor dan de andere cijfers, op de tweede plaats gevolgd door het cijfer2, enz. De wet is dus ‘schaal-invariant’, dit wil zeggen dat hij onafhankelijk is van deeenheid waarin de getallen worden uitgedrukt.

Wiskundigen kunnen bewijzen dat een verdeling die schaalinvariant is, automatisch eenlogaritmische verdeling is.

10 Niet voor alle getallenlijsten geldig

Aan de andere kant is de wet weer verre van absoluut. Zo gaat hij niet op voor tele-foonnumers uit Tienen - want die beginnen, bijna altijd met een acht - en ook niet voorprijzen in een supermarkt.

Maar dan wel voor de lijst van betalingen die je deze maand hebt verricht. Hier zullenwel vele kleine bedragen bij zijn, enkele grotere bedragen, en een zeldzame keer heb jeeen heel grote aankoop verricht.

11 Meetkundige reeksen

Benford zelf ontdekte dat een meetkundige reeks als 1, 2, 4, 8, 16, . . .weer wel voldoetaan zijn wet, en daar lag volgens hem ook de sleutel tot een beter begrip van wat aande verdeling ten grondslag ligt.

Hij meende soortgelijke reeksen namelijk terug te kunnen vinden in natuurlijke pro-cessen en gaf daarvan talloze voorbeelden. Volgens hem telt de natuur logaritmisch, enfunctioneert ze ook zo.

43

Appendix

A Begincijfers van beurskoersen in een krant

Figuur 10 – Verdeling van de begincij-fers van beurskoersen (n = 1497) vanDe Morgen van zaterdag 16 oktober2004.

Begincijfer Frequentie Relatieve frequentie

1 447 0.302 312 0.213 167 0.114 146 0.105 123 0.086 88 0.067 80 0.058 66 0.049 68 0.05

Totaal n= 1497

Tabel 1 – De gegevens verzamelddoor Tine.

Begincijfer van beurskoersen (n= 1497 ) Tine 2004


0

100

200

300

400

1 2 3 4 5 6 7 8 9

447

312

167 146 12388 80 66 68

Figuur 11 – Beurskoersen uit De Mor-gen (Financiële)van zaterdag 16 okto-ber 2004, pagina 47.Het valt weer op dat het begincijfer 1veel meer voorkomt dan het begin-cijfer 2 en dat de frequentie van deandere cijfers nog verder zakken.

44

Begincijfer van beurskoersen (n= 2265 ) Joyce/Elisabeth 2004


0

200

400

600

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9

740

442

292232

177125 103

61 93

Begincijfer van beurskoersen (n= 2265 ) Joyce/Elisabeth 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.33

0.20

0.130.10

0.080.06 0.05

0.03 0.04

Figuur 12 – Beurskoersen uit Het Nieuws-blad van vrijdag 15 oktober 2004

Begincijfer van beurskoersen ( n= 8043 ) Dorien 2004


0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9

19801710

1512

888 819

369 468

153 144

Begincijfer van beurskoersen ( n= 8043 ) Dorien 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.250.21

0.19

0.11 0.10

0.05 0.06

0.02 0.02

Figuur 13 – Beurskoersen uit Gazet vanAntwerpen van vrijdag 15 oktober 2004

45

Begincijfer van beurscijfers ( n= 2654 ) Caroline 2004


0

200

400

600

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9

900

607

303

173260

173 182

43 13

Begincijfer van beurscijfers ( n= 2654 ) Caroline 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.34

0.23

0.11

0.070.10

0.07 0.07

0.02 0.00 Figuur 14 – Beurskoersen uit Het LaatsteNieuws van zaterdag 16 oktober 2004, pa-gina 45

Begincijfer van beurskoersen ( n= 2284 ) Stéphanie 2004


0

200

400

600

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9

792

414

288218 189

130 107 63 83

Begincijfer van beurskoersen ( n= 2284 ) Stéphanie 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.35

0.18

0.130.10 0.08

0.06 0.05 0.03 0.04Figuur 15 – Beurskoersen uit Het Nieuws-blad van woensdag 13 oktober 2004, pa-gina 34

46

Begincijfer van beurskoersen (n= 1993 ) Chrissie 2004


0

100

200

300

400

500

1 2 3 4 5 6 7 8 9

484

357

246 223187

132 116 115 133

Begincijfer van beurskoersen (n= 1993 ) Chrissie 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.24

0.18

0.12 0.110.09

0.07 0.06 0.06 0.07

Figuur 16 – Beurskoersen uit De Stan-daard van woensdag 13 oktober 2004

Begincijfer van beurskoersen (n= 364 ) Jef 2004


0

50

100

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9

156

3654

32 40

12 11 176

Begincijfer van beurskoersen (n= 364 ) Jef 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.43

0.100.15

0.09 0.11

0.03 0.03 0.050.02

Figuur 17 – Beurskoersen uit Gazet vanAntwerpen van vrijdag 1 oktober 2004

47

Begincijfer van beurskoersen (n= 318 ) Ward 2004


0

20

40

60

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9

65 67

79

2631

1813 11 8

Begincijfer van beurskoersen (n= 318 ) Ward 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.20 0.21

0.25

0.080.10

0.060.04 0.03 0.03

Figuur 18 – Beurskoersen uit Gazet vanAntwerpen van maandag 11 oktober 2004

B Alle getallen op willekeurige pagina in een krant

De wet van Benford blijkt ook op te gaan als je alle getallen noteert die je tegenkomt opeen willekeurige pagina in een krant. Hier zijn enkele voorbeelden.

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 87 ) Caroline 2004

Frequentie (n = 87)

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

35

15

8 8 6 5 4 4 2

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 87 ) Caroline 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.40

0.17

0.09 0.09 0.07 0.06 0.05 0.05 0.02

Figuur 19 –Het LaatsteNieuws van zaterdag16 oktober 2004, pagina 1

48

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 27 ) Joyce/Elisabeth 2004

Frequentie (n = 27)

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

5 5

1

2

5 5

2

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 27 ) Joyce/Elisabeth 2004

Kans

0.0

0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.07

0.19 0.19

0.04

0.07

0.19 0.19

0.07

Figuur 20 – Het Nieuwsblad van vrij-dag 15 oktober 2004

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 26 ) Chrissie 2004

Frequentie (n = 26)

02468

1012

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

53

21 1

2

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 26 ) Chrissie 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.46

0.190.12

0.080.04 0.04

0.08

Figuur 21 –De Standaard van woens-dag 13 oktober 2004, pagina 14

49

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 52 ) Dorien 2004

Frequentie (n = 52)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15

23

42

42 2

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 52 ) Dorien 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.29

0.44

0.080.04

0.080.04 0.04

Figuur 22 – Gazet van Antwerpen vanvrijdag 15 oktober 2004, pagina 1

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 23 ) Stéphanie 2004

Frequentie (n = 23)

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

9

1 1 1

4

2

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 23 ) Stéphanie 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.22

0.39

0.04 0.04 0.04

0.17

0.09

Figuur 23 – Het Nieuwsblad vanwoensdag 13 oktober 2004, pagina34

50

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 20 ) Jef 2004

Frequentie (n = 20)

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8

4

1 12

4

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 20 ) Jef 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.40

0.20

0.05 0.050.10

0.20

Figuur 24 – Gazet van Antwerpen vanvrijdag 1 oktober 2004, pagina 10

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 18 ) Ward 2004

Frequentie (n = 18)

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

8

21 1

Begincijfer van getallen op een krantenpagina (n= 18 ) Ward 2004

Kans

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.33

0.44

0.110.06 0.06

Figuur 25 – Gazet van Antwerpen vanmaandag 11 oktober 2004

51

Referenties

1 Frank Benford. The law of anomalous numbers. Engels. Proceedings of the AmericanPhilosophical Society 78, 551-572., 1938.

2 Jurjen de Jong. De Wet van Benford, bizar en nog onverklaarbaar. https://www.scientias.nl/de-wet-van-benford-bizar-en-nog-onverklaarbaar/. 2018.

3 Voortschrijdende Inzichten. De Wet van Benford. https://www.inzichten.nl/wetenschap/weten_52.htm. 2011.

4 Yak. Yak’s toetsenbord en de wet van ... http://log.krak.nl/2005/05/page/3/.2-05-2005.

52





http://log.krak.nl/2005/05/page/3/

WilfriedVanHirtum - Denkende handenEengrotedoosmet999getallen [1,] 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

Documents

Transcript of WilfriedVanHirtum - Denkende handenEengrotedoosmet999getallen [1,] 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...