Werkbladen ICT - Proximususers.skynet.be/dannyspriet/Jaar 5 6u/Oplossing... · De grafiek kan geen,...

WPP 5.1: Reële functies

Oplossing

onderzoeksopdrachten

Opgaven en oplossingenWerkbladen ICT :

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 30 Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie

( ) 5 2Gegeven : de functie f x 0,001x 100x

In het vorige voorbeeld stelde je vast dat de bijdrage van de hoogstegraadsterm in de

berekening van de functiewaarde doorslaggevend is.

In dit voorbeeld zijn de coefficienten speciaal gekoze

= +

( ) ( )

n. Verklaar.Wat stel je vast in dit voorbeeld bij ' voldoende grote en kleine ' invoerwaarden ?Bereken bijvoorbeeld f 1000 en f 1000 .−

Oplossing

( )

( )

5 2 5

5

De coefficient van x is zeer klein gekozen t.o.v. de coefficient van x . De coefficient van xis namelijk een factor 10 kleiner zo dat zich de vraag stelt of de hoogstegraadsterm vanf x nog wel doorslaggevend is.

f 1000 0,00=

( ) ( ) ( )

5 2 12 8

5 2 12 8

1 1000 100 1000 10 10

f 1000 0,001 1000 100 1000 10 10Je stelt vast dat voor deze invoerwaarden de bijdrage van de hoogstegraadsterm in deberekening van de functiewaarde nog steeds doorslaggevend is.

Voor x 30 i

⋅ + ⋅ = +

− = ⋅ − + ⋅ − = − +

=

( )( )

5 2

s dit echter niet het geval.Immers, f 30 0,001 30 100 30 24300 90000

x moet dus 'voldoende groot ' of ' voldoende klein ' gekozen worden x of x .

= ⋅ + ⋅ = +

→ +∞ → −∞

2

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 34 Het gedrag op oneindig van een veeltermfunctie – Aantal nulpunten van een veeltermfunctie Veeltermfuncties van een oneven graad Onderzoek met PC/GRT het gedrag op oneindig van veeltermfuncties van een oneven graad waarvan de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm positief is. Bijvoorbeeld: ( ) ( ) 3 2f x 2x 4, f x x 2x , ... .= + = +Het gedrag op oneindig van dit type veeltermfuncties vertoont steeds hetzelfde patroon. Formuleer dit in woorden en met behulp van de limietnotatie. Trek conclusies over het bestaan van nulpunten als je de grafiek van links naar rechts doorloopt. Oplossing

( )Grafiek van f x 2x 4= + ( ) 3 2Grafiek van f x x 2x= +

( ) 5 4Grafiek van f x x x= − ( ) 7 4Grafiek van f x 2x x x3= − +

− Als x (zeer) klein wordt, of nog (uiterst) links in de grafiek worden de functiewaarden

steeds kleiner. In limietnotatie: ( )xlim f x→−∞

= −∞

− Als x (zeer) groot wordt, of nog (uiterst) rechts in de grafiek worden de functiewaarden steeds groter. In limietnotatie: ( )

xlim f x→+∞

= +∞

− Omdat je van −∞ naar +∞ loopt en de grafiek geen onderbrekingen vertoont, zal er minstens één nulpunt zijn.

3

Doe hetzelfde voor veeltermfuncties van een oneven graad waarvan de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm negatief is. Oplossing Voor veeltermfuncties van een oneven graad waarvan de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm negatief is geldt: ( ) ( )

x xlim f x en lim f x→−∞ →+∞

= +∞ = −∞ .

Er is ook steeds minstens één nulpunt. Veeltermfuncties van een even graad Herhaal dit onderzoek voor functies zoals ( ) ( )2 4 3x x 3, f x 0,5x x 3, ... .= + = − +f Wijzig het voorschrift zo dat de grafiek verticaal verschuift. Trek conclusies over het bestaan van nulpunten. Oplossing

( ) 2Grafiek van f x x 3= + ( ) 4 3Grafiek van f x 0,5x x 3= − +

( ) 2Grafiek van f x x= ( ) 4 3Grafiek van f x 0,5x x 6= − −

( ) ( )


= +∞ = +∞

De grafiek kan geen, één of meerdere nulpunten hebben afhankelijk onder meer van de exponent van de hoogstegraadsterm.

4

Doe een analoog onderzoek voor veeltermfuncties van een even graad waarvan de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm negatief is. Oplossing Als de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm negatief is en f(x) is van een even graad, dan geldt: . ( ) ( )


= −∞ = −∞

Maximaal aantal nulpunten van een veeltermfunctie – Werkblad ICT Open het bestand 'Aantal nulpunten van een veeltermfunctie'. Bij elke keuze van de coëfficiënten bekom je het voorschrift van een veeltermfunctie. Bepaal het aantal nulwaarden van elke veeltermfunctie en vergelijk dit aantal met de graad van de veeltermfunctie. Is het mogelijk om bijvoorbeeld vier nulpunten te bekomen voor een derdegraadsfunctie? Oplossing Het aantal nulwaarden is steeds kleiner dan of gelijk aan de graad van de veeltermfunctie. Het is bijgevolg onmogelijk om vier nulpunten te bekomen voor een derdegraadsfunctie.

5

Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie

Werkblad ICT: Aantal nulpunten van een veeltermfunctie

Open het Cabri-programma. Open het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’

Door het instellen van de waarden a, b, c, d, e en f definiëren we de functie met voorschrift

5 4 3 2f (x) ax bx cx dx ex f .= + + + + +

Door de punten a, b, c, d, e en f op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van de coëfficiënten a, b, c, d, e en f in. Door het punt x op het lijnstuk [-20, 20] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde). We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.

Geef nu aan a, b, c, d, e en f telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in onderstaande tabel. Beweeg met het punt x om de nulwaarde(n) op het scherm af te lezen. Tel het aantal gevonden nulwaarden. Bepaal de graad van de functie.

Functievoorschrift Verzameling

nulwaarden Aantal

nulwaarden Graad f

f (x) 0= f (x) 3= f (x) 2x 5= + f (x) 5x 14= − +

2f (x) x x 12= + − 2f (x) x 4x 4= + +

2f (x) x 7x 13= − + − 3 2f (x) x 3x x 3= − − +

3 2f (x) 2x x 2x 8= + − + 3 2f (x) x x 8x 12= − − + 3f (x) x 5x 12= − −

3 2f (x) 4x 12x 9x 7= + − − 4 2f (x) x 2x 1= − +

4 3 2f (x) 2x 3x 12x 7x 6= + − − + 4 3 2f (x) x 4x 6x 4x= + + + +1

4 3 2f (x) 2x 5x 3x 8x 4= + − − + 4 3 2f (x) 3x 4x 5x 2x 1= + + + +

5 4 3 2f (x) x x 5x 2x 4x 8= − − + + + 5 3 2f (x) 4x 13x 8x 3x 2= − − + +

5 3f (x) x 5x 4x= − + 5 4 3 2f (x) x 5x 10x 10x 5x 1= − + − + − 5 3 2f (x) x 6x 7x 6x= − − −

WiskundeProjectPlantyn Aantal nulpunten van een veeltermfunctie

6


Besluit …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Een nulwaardenprobleem

Beschouw de functie met voorschrift 3f (x) x x 1.= − − Om algebraïsch de nulwaarden te bepalen, probeer je de vergelijking

3x x 1 0 op te lossen naar x in R.− − = l

Welke methoden ken je om deze vergelijking op te lossen?

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Probeer je beschreven methoden uit te voeren.

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Wat stel je (helaas) vast ?

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. We brengen nu een ‘grafische oplossing’.

Maak in het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’ een passende instelling om de functie met voorschrift 3f (x) x x 1= − − te tekenen.

Beweeg het punt x in [-20, 20]. In welk interval ligt de nulwaarde? …………………………………………………….. Om de nulwaarde in dit interval te benaderen, kunnen we gebruik maken van ons grafisch rekentoestel (TI-83).

~

Voer het functievoorschrift in. Teken de grafiek in het venster [-3, 3] op [-3, 3]. Gebruik nu 2nd CALC 2 : zero .

Het toestel vraagt naar een ‘Left Bound?’.

Gebruik een pijltjestoets om je links van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.


7


Het toestel vraagt nu naar een ‘Right Bound?’.

Gebruik een pijltjestoets om je rechts van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.

Het toestel vraagt nu een ‘Guess?’.

Gebruik een pijltjestoets om je tussen de opgegeven ‘Left Bound’ en ‘Rigth Bound’ te plaatsen, en druk ENTER.

Het toestel toont een benadering van het nulpunt. Wat is de waarde van je verkregen benadering? …………………………………………… Via het programma ‘Derive 5’ kunnen we de vergelijking in exacte mode oplossen.

Open het programma ‘Derive 5’. Tik op de invoerlijn de vergelijking x^3 − x − 1 = 0 in, gevolgd door ENTER.

Gebruik de knop om de vergelijking op te lossen.

Opteer in Oplossingsgebied voor 'Reëel'.

Welke exacte oplossing verkrijg je? ………………………………………………………

Gebruik de knop om de exacte oplossing te benaderen. Vergelijk deze benadering met de benadering van je rekentoestel! Nog even dit!

− In de analyse ontwikkelen we later ‘benaderingsmethoden’ om nulwaarden van een functie te bepalen. Deze methoden zijn nu in ons rekentoestel (standaard) geïmplementeerd.

− Het programma ‘Derive 5’ is in staat een derdegraadsvergelijking in exacte mode op te lossen omdat er in de wiskunde methoden ontwikkeld werden om zo’n vergelijking algebraïsch op te lossen. Het zijn deze algoritmen die in de informatica werden geprogrammeerd (zie historische noot ‘Korte geschiedenis van veeltermen’).


8


Het oplossen van een derdegraadsvergelijking Het oplossen van vergelijkingen is voor wiskundigen steeds een even fascinerende als nuttige bezigheid geweest. In het begin van de 16-de eeuw vond Scipione del Ferro (°1465-†1526), professor te Bologna, een formule om de derdegraadsvergelijking 3

0x px q met p, q R += + ∈ l op te lossen. del Ferro publiceerde zijn formule echter niet. Toch verspreidde zich het nieuws over de ontdekking en zette anderen aan om de formule eveneens te vinden. Nicolo Fontana (°±1500-†1557) uit Brescia, beter bekend onder de naam Tartaglia (= stotteraar) slaagde in dit opzet. Maar ook hij hield de formule geheim. Een Milanese arts, Geronimo Cardano (°1501-†1576) slaagde erin om de formule van Tartaglia te bemachtigen na hem onder eed beloofd te hebben ze niet openbaar te maken. Maar Cardano kon niet nalaten om de formule toch te publiceren in zijn boek ‘Ars Magna’ (1545), weliswaar met de vermelding van de naam van Tartaglia. Zo vinden we ook in dit werk dat men de oplossingen van de vergelijking 3

0x px q met p, q R += + ∈ l kan bepalen met de formule:

2 3 2

3 3q q p q q px2 2 3 2 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

0

.

Pas deze formule toe op de vergelijking 3x x 1− − = en vergelijk met het resultaat gegeven door het programma ‘Derive 5’.


9


Oplossing Werkblad ICT : Aantal nulpunten van een veeltermfunctie

Open het Cabri-programma. Open het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’

Door het instellen van de waarden a, b, c, d, e en f definiëren we de functie met voorschrift

5 4 3 2f (x) ax bx cx dx ex f .= + + + + +

Door de punten a, b, c, d, e en f op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van de coëfficiënten a, b, c, d, e en f in. Door het punt x op het lijnstuk [-20, 20] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde). We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.

Geef nu aan a, b, c, d, e en f telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in onderstaande tabel. Beweeg met het punt x om de nulwaarde(n) op het scherm af te lezen. Tel het aantal gevonden nulwaarden. Bepaal de graad van de functie.

Functievoorschrift Verz. nulwaarden Aantal

nulwaarden Graad f

f (x) 0= Rl ∞ n.g. f (x) 3= ∅ 0 0 f (x) 2x 5= + { }2,5− 1 1

f (x) 5x 14= − + { }2,8 1 1 2f (x) x x 12= + − { }4, 3− 2 2 2f (x) x 4x 4= + + { }2− 1 2

2f (x) x 7x 13= − + − ∅ 0 2 3 2f (x) x 3x x 3= − − + { }1, 1, 3− 3 3

3 2f (x) 2x x 2x 8= + − + { }2− 1 3 3 2f (x) x x 8x 12= − − + { }3, 2− 2 3 3f (x) x 5x 12= − − { }3 1 3

3 2f (x) 4x 12x 9x 7= + − − { }3,5 ; 0,5 ; 1− − 3 3 4 2f (x) x 2x 1= − + { }1, 1− 2 4

4 3 2f (x) 2x 3x 12x 7x 6= + − − + { }3 ; 1 ; 0,5 ; 2− − 4 4 4 3 2f (x) x 4x 6x 4x= + + + +1 { }1− 1 4

4 3 2f (x) 2x 5x 3x 8x 4= + − − + { }2 ; 0,5 ;1− 3 4 4 3 2f (x) 3x 4x 5x 2x 1= + + + + ∅ 0 4

5 4 3 2f (x) x x 5x 2x 4x 8= − − + + + { }2, 2− 2 5 5 3 2f (x) 4x 13x 8x 3x 2= − − + + { }1; 0,5 ; 0,5 ; 2− − 4 5

5 3f (x) x 5x 4x= − + { }2, 1, 0, 1, 2− − 5 5


10


5 4 3 2f (x) x 5x 10x 10x 5x 1= − + − + − { }1 1 5 5 3 2f (x) x 6x 7x 6x= − − − { }2, 0, 3− 3 5

Besluit Als de graad van een veeltermfunctie n is, dan is het aantal verschillende nulwaarden van de veeltermfunctie hoogstens gelijk aan n. Een nulwaardenprobleem

Beschouw de functie met voorschrift 3f (x) x x 1.= − − Om algebraïsch de nulwaarden te bepalen, probeer je de vergelijking

3x x 1 0 op te lossen naar x in R.− − = l

Welke methoden ken je om deze vergelijking op te lossen?

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Probeer je beschreven methoden uit te voeren.

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. Wat stel je (helaas) vast ?

We kunnen deze vergelijking niet met de tot nu toe aangeleerde methoden. We brengen nu een ‘grafische oplossing’.

Maak in het bestand ‘01 Aantal nulpunten van een veeltermfunctie’ een passende instelling om de functie met voorschrift 3f (x) x x 1= − − te tekenen.

Beweeg het punt x in [-20, 20]. In welk interval ligt de nulwaarde? In [1,3 ; 1,4] Om de nulwaarde in dit interval te benaderen, kunnen we gebruik maken van ons grafisch rekentoestel (TI-83).

~

Voer het functievoorschrift in. Teken de grafiek in het venster [-3, 3] op [-3, 3]. Gebruik nu 2nd CALC 2 : zero .

Het toestel vraagt naar een ‘Left Bound?’.


11


Gebruik een pijltjestoets om je links van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.

Het toestel vraagt nu naar een ‘Right Bound?’.

Gebruik een pijltjestoets om je rechts van het nulpunt te plaatsen, en druk ENTER.

Het toestel vraagt nu een ‘Guess?’.

Gebruik een pijltjestoets om je tussen de opgegeven ‘Left Bound’ en ‘Rigth Bound’ te plaatsen, en druk ENTER.

Het toestel toont een benadering van het nulpunt. Wat is de waarde van je verkregen benadering? 1,324718 Via het programma ‘Derive 5’ kunnen we de vergelijking in exacte mode oplossen.

Open het programma ‘Derive 5’. Tik op de invoerlijn de vergelijking x^3 − x − 1 = 0 in, gevolgd door ENTER.

Gebruik de knop om de vergelijking op te lossen.

Opteer in Oplossingsgebied voor 'Reëel'.

Welke exacte oplossing verkrijg je? ………………………………………………………

Gebruik de knop om de exacte oplossing te benaderen. Vergelijk deze benadering met de benadering van je rekentoestel!

Het oplossen van een derdegraadsvergelijking Het oplossen van vergelijkingen is voor wiskundigen steeds een even fascinerende als nuttige bezigheid geweest. In het begin van de 16-de eeuw vond Scipione del Ferro (°1465-†1526), professor te Bologna, een formule om de derdegraadsvergelijking 3

0x px q met p, q R += + ∈ l


12


op te lossen. del Ferro publiceerde zijn formule echter niet. Toch verspreidde zich het nieuws over de ontdekking en zette anderen aan om de formule eveneens te vinden. Nicolo Fontana (°±1500-†1557) uit Brescia, beter bekend onder de naam Tartaglia (= stotteraar) slaagde in dit opzet. Maar ook hij hield de formule geheim. Een Milanese arts, Geronimo Cardano (°1501-†1576) slaagde erin om de formule van Tartaglia te bemachtigen na hem onder eed beloofd te hebben ze niet openbaar te maken. Maar Cardano kon niet nalaten om de formule toch te publiceren in zijn boek ‘Ars Magna’ (1545), weliswaar met de vermelding van de naam van Tartaglia. Zo vinden we ook in dit werk dat men de oplossingen van de vergelijking 3

0x px q met p, q R += + ∈ l kan bepalen met de formule:

2 3 2

3 3q q p q q px2 2 3 2 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

0

.

Pas deze formule toe op de vergelijking 3x x 1− − = en vergelijk met het resultaat gegeven door het programma ‘Derive 5’.

3

3

2 3 2 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3

x x 1 0x x 1

1 1 1 1 1 1x2 2 3 2 2 3

1 1 1 1 1 1x2 4 27 2 4 27

1 27 4 1 27 4x2 108 2 108

1 23 1 23x2 108 2 1

3 33

08

1 23 1 23x2 26 3 6 3

1 23 1 23x2 26 3 6 3

1 69 1x2 18 2

3

− − =

⇔ = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ = + − + − −

− −⇔ = + + −

⇔ = + + −

⇔ = + + −

⋅ ⋅⇔ = + + −

⋅ ⋅

⇔ = + + −3

1 13 3

6918

1 69 1 69x2 18 2 18

Dit is de oplossing die het programma 'Derive 5' ons toont.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


13

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 93 Rationale functies en verticale asymptoten

( ) ( ) ( )7xPas deze werkwijze toe om na te gaan of f x verticale asymptoten

x 2 x 3heeft en geef hun vergelijking. Ga na hoeveel VA er zijn.

• =+ −

Oplossing We maken een tabel in de omgeving van de nulwaarden van de noemer.

Je stelt vast dat deze functie een VA heeft x = −2 en x = 3. Er zijn bijgevolg twee VA.

( ) ( )( ) ( )

7x x 2Ga na of f x verticale asymptoten heeft. Bepaal zonder het voorschrift

x 2 x 3te vereenvoudigen, het domein en de nulwaarden van f en stel tabellen op om het verloopvan deze functie na te gaan.

Maak ook de grafiek van deze functie in e

+• =

+ −

en gepast venster.

Oplossing

{ }dom f R \ 2, 3De nulwaarde van f is 0.

= −l

Er is enkel een VA bij x = 3. In x = −2 heeft de grafiek een onderbreking. Niet bij elke nulwaarde van de noemer van het voorschrift heeft deze rationale functie een verticale asymptoot.

14

( ) ( ) ( )( )

2

2

x 2 x 2Ga na of f x en of g x verticale asymptoten hebben,x 2 x 2

door een tabel of een grafiek te maken.

+ +• = =

+ +

Oplossing Functiewaardentabel van f Functiewaardentabel van g

Uit de functiewaardentabel leiden we af dat f geen VA heeft en dat g een VA heeft met vergelijking x = −2. De grafiek van f is een rechte met een onderbreking in x = −2.

Het vereenvoudigd voorschrift van g is ( ) 1g xx 2

=+

. De grafiek van g is een orthogonale

hyperbool met VA : x = −2.

Volstaat het om te kijken naar de nulwaarden van de noemer in het voorschrift om eenVA te vinden ? Formuleer wanneer een nulwaarde van de noemer tot een VA leidt oftot een onderbreking leidt.

•

Oplossing Neen, het volstaat niet te kijken naar de nulwaarden van de noemer in het voorschrift om een VA te vinden.

Als in het vereenvoudigde voorschrift van f een nulwaarde a in de noemer voorkomt, dan is er een VA met vergelijking x = a.

Een nulwaarde van de noemer die ook een nulwaarde is van de teller leidt meestal tot een onderbreking in de grafiek.

15

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 95 Rationale functies en horizontale asymptoten

( ) 2

x 5Pas deze werkwijze toe om na te gaan of f x een HA heeft.x 3

Herinner je dat een HA een horizontale rechte is die door de grafiek van de functie altijdbeter benaderd wordt als x en / of als x .

+• =

−

→ −∞ → +∞

Oplossing

Je stelt vast dat ( ) ( )

x xlim f x 0 en lim f x 0→−∞ →+∞

= = .

Bijgevolg zal f een horizontale asymptoot hebben met vergelijking y = 0.

( )2

2

3x 15x 8Ga na of f x een HA heeft. Merk je een verschil op in de ligging vanx 4

de grafiek t.o.v. de HA bij deze en bij de vorige functie?

+ +• =

+

Oplossing

Je stelt vast dat ( ) ( )

x xlim f x 3 en lim f x 3→−∞ →+∞

= = .

Bijgevolg zal f een horizontale asymptoot hebben met vergelijking y = 3. Je stelt vast dat de grafiek de HA wel snijdt, maar niet voor zeer grote of zeer kleine invoerwaarden.

Is het volgens jou mogelijk dat een rationale functie meerdere HA heeft ?•

( ) ( )x x

Een functie heeft meerdere HA indien lim f x a en lim f x b met a, b R en a b.

In de analyse zullen we aantonen dat er geen rationale functies bestaan die hieraan voldoen.→−∞ →+∞

= = ∈ l ≠

16

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 97 Rationale functies en schuine asymptoten

( )3

2

Voor zeer grote en voor zeer kleine invoerwaarden zullen de functiewaarden vanxf x praktisch gelijk worden aan de bijbehorende functiewaarden van de

x 9SA : y x. Je kan ook zeggen dat, als er een SA is, de grafiek van de functie zich als

•

=−

=een rechte gedraagt voor zeer grote en voor zeer kleine invoerwaarden.Onderzoek dit door de grafiek van f één of meerdere keren uit te zoomen.

Oplossing

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]10, 10 op 10, 10 30, 30 op 30, 30 100, 100 op 100, 100− − − − − −

( )20,5x 3xOnderzoek de rationale functie f x .

x 1Bepaal het domein, de nulpunten en de asymptoten.Probeer met ' trial and error ' de vergelijking te vinden van de SA.Gedraagt deze grafiek zich op oneindig als een rechte?Gedragen de graf

+• =

+

ieken van functies die een HA hebben zich op oneindig ook als een rechte?Ga dit na met zelf gekozen voorbeelden.

Oplossing

{ }dom f R \ 1De nulwaarden van f zijn 0 en 6.VA : x 1

= −

−= −

l

Om de HA te onderzoeken tekenenwe de grafiek in het standaardvenster. Als x nadert naar +∞ worden de functiewaarden steeds groter. Als x nadert naar −∞ worden de functiewaarden steeds kleiner. Er zal dus geen HA zijn.

17

Om de SA te onderzoeken gaan we inzoomen. We tekenen de grafiek in het venster [−100, 100] op [−100, 100].

Je stelt vast dat de grafiek erg dicht ligt bij de rechte y = 0,5x.

De functie heeft een SA : y = 0,5x. Om na te gaan of de grafieken van functies die een HA hebben zich op oneindig ook als een

rechte gedragen, stellen we ( ) 1f x 3x

= + .

We tekenen de grafiek van deze functie in hetstandaardvenster.

Deze functie heeft een HA : y 3.=

[ ] [ ]We tekenen de grafiek van deze functie in hetvenster 100, 100 op 10, 10 .

Op oneindig gedraagt deze functie zich zoals derechte y 3.

Dit is de HA.

− −

=

Kies zelf nog een aantal verdere voorbeelden.

Je stelt vast dat de grafieken van functies die een HA hebben, zich op oneindig ook als een rechte gedragen.

18

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 117 Grondeigenschap van een n-de machtswortel − nn a

nn

In de grondeigenschap trek je eerst de n-de machtswortel uit a en daarna verhef je hetbekomen resultaat tot de n-de macht.

Verhef nu eerst het reeel getal a tot de n-de macht en trek daarna de n-de machtswortel,

of nog, bepaal waaraan a ge

( ) ( ) ( ) ( )

3 542 3 4 5

2 3 4 53 54

lijk is.

Je kan starten met het berekenen van :

2 2 2 2

2 2 2 2

Vul aan met goed gekozen voorbeelden en formuleer je besluit.

− − − −

Oplossing

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

3 3 3

3 33

4 4 4

4 44

5 5 5

5 55

6 6 6

6 66

nn

nn

nn

2 4 2

2 4 2 2 !!

2 8 2

2 8 2

2 16 2

2 16 2 2 !!

2 32 2

2 32 2

en ook :

4 4096 4

4 4096 4 4 !!

enz.

Besluit

a a als n oneven is.

a a als n even is en a positief

a a als n even is en a negatief .

= =

− = = ≠ −

= =

− = − = −

= =

− = = ≠ −

= =

− = − = −

= =

− = = ≠ −

=

⎧ =

= −

⎪⎨⎪⎩

19

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 135 Irrationale vergelijkingen − Machtverheffingsvoorwaarde

0

n n

Gegeven : a, b R en n IN

Ga na of geldt : a b a b .

∈ ∈

= ⇔ =

l

n nAls a b, mag je dan besluiten dat a b ?

Indien niet, bepaal de bijkomende voorwaarden.

Maak een onderscheid voor n even en n oneven.

• = =

Oplossing

n nJe bekomt steeds : a b a b .= ⇒ =

n nAls a b , mag je dan besluiten dat a b?Indien niet, bepaal de bijkomende voorwaarden.

Maak een onderscheid voor n even en n oneven.

• = =

Oplossing

n n n nn n

0 0

0 0

0 0

0 0

Uit a b volgt dat a b .

Indien a R en b R dan geldt dat a b.

Indien a R en b R dan geldt dat a b, of nog, a b.

Indien a R en b R dan geldt dat a b.

Indien a R en b R dan gedlt d

Voor n even geldt

at a b.

+ +

− −

+ −

− +

= =

∈ ∈ =

∈ ∈ − = − =

∈ ∈ = −

∈ ∈ − =

- n is even

l l

l l

l l

l l

n n n nn

n n

n n

n

n nn n

n

nUit a b volgt dat a b .

Voor n oneven is steeds a a e

:Uit a b volgt dat a b, op voorwaarde dat a en b hetzelfde teken hebben.

Voor n oneven geldt :Uit a b volgt

Voor n oneven

n

zal dus ook gelden : a b a

dat a b

b .

.

b

b=

= =

= =

= =

=

= =

⇔

- n is oneven

.

20

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 155

( ) 2Een functie van het type f x = ax + bx + c

( )

( )

2

0

2

Onderzoek de grafiek van irrationale functies van het type f x ax bx cmet a R en b, c R.

Stel g x ax bx c.Bespreek de nulpunten van g en van f .Er zijn zes gevallen voor het tekenschema van g.Bepaal in elk van deze gevallen het dome

= + +

∈ ∈

− = + +

−−

l l

( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

2

in van f .Geef in elk van deze gevallen het grafiektype van f .

Als b 0 in het voorschrift van f x ax bx c , dan geldt : f x f x .

Wat betekent dit voor de symmetrie van de grafiek van f x ax c ?

Met f x ax c kan je ook grafieken bekomen die on

−

− = = + + − =

= +

− = − + der de x-as liggen.Zoek zes voorschriften van functies die samen resulteren in onderstaand scherm op PC / GRT.−

Op deze grafiek worden twee hyperbolen en één ellips afgebeeld.

In de analytische meetkunde bestudeer je deze krommen en leer je hun vergelijking omvormen tot voorschriften van irrationale functies. Oplossing ( ) ( )2 2g x 0 ax bx c 0 f x 0 ax bx c 0 ax bx c 0

De functies g en f hebben dezelfde nulpunten.= ⇔ + + = = ⇔ + + = ⇔ + + =2

x 1x 2x 1. a > 0 en D > 0

g(x) + 0 − 0 + ] ] [ [1 2dom f , x x ,= −∞ ∪ +∞

x 1x 2. a > 0 en D = 0 g(x) + 0 +

dom f R= l

x 3. a > 0 en D < 0 g(x) +

dom f R= l

21

x 1x 2x 4. a < 0 en D > 0 g(x) − 0 + 0 −

[ ]1 2dom f x , x=

x 1x 5. a < 0 en D = 0 g(x) − 0 −

{ }1dom f x=

x 6. a < 0 en D < 0 g(x) −

dom f = ∅

Mogelijke grafiektypen :

1. a > 0 en D > 0 4. a < 0 en D > 0

2. a > 0 en D = 0 5. a < 0 en D = 0

3. a > 0 en D < 0 6. a < 0 en D < 0

1x 2x1x 2x

1x 1x

( ) 2Als b 0, dan is f x ax c.f is een even functie. De y-as is een symmetrieas voor de grafiek van f .

= = +

We zoeken zes voorschriften die resulteren in het gegeven scherm.

( )( )

( )

( )

( )

21

21

21

21

21

Stel f x ax c.

f 0 2 a 0 c 2 c 2 c 4.

Dus f x ax 4.4f 3 0 a 3 4 0 9a 4 0 9a 4 0 a9

4Hieruit bekomen we : f x x 4.9

= +

= ⇔ ⋅ + = ⇔ = ⇔ =

= +

= ⇔ ⋅ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

= − +

.

22

We tekenen de grafiek van f1.

Hieruit leiden we af : ( ) 22

4f x x 49

= − − + .

1 2De grafiek van f f is de ellips in de gegeven tekening.∪

( ) ( )

] [( ) ( )

2 23 4

3 4

4 4Beschouwen we de functies f x x 4 en f x x 4, dan zal het domein9 9

van deze functies R \ 3, 3 zijn.

De grafiek van f f is de hyperbool die de x-as snijdt in 3, 0 en 3, 0 .

= − = − −

−

∪ −

l

We tekenen de grafiek van f3. De functie f5 moet de tak van de hyperbool die boven de x-as ligt en die de y-as snijdt in (0, 2) en (0, −2) beschrijven.

( )( )

( )

25 1

2 25 5

1

25

Stel f x ax c. Zoals bij f vinden we dat c 4.

Dus f x ax 4. Omdat f geen nulwaarden heeft, is 0 4 a 4 0, of nog, a 0.4Rekening houdend met de symmetrie en het voorschrift van f , stellen we voorop : a .9

4Hieruit volgt : f x x 4 en :9

= + =

= + − ⋅ ⋅ < >

=

= + ( ) 26

4f x x 4.9

= − +

We tekenen de grafiek van f5.

23

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 162 Transcendente functies

( )

( )

De 'zaagtandfunctie ' is een reele, transcendentefunctie met als voorschrift f : R R : x Z x .

Geef in woorden en symbolen het voorschrift Z xvan deze functie als de grafiek van Z gegeven is.

→l l Z

Oplossing

[ [ ( )[ [

[ [ ( ) ( )

[ [ ( )horizontale verschuiving met waarde 1

In het interval 0, 1 is Z x x.

De overige lijnstukjes in de grafiek van Z ontstaan door de grafiek van Z beperkt tot 0, 1horizontaal te verschuiven.

In het interval 1, 2 is Z x x 1

In het interval 2, 3 is Z x x

=

= −

= ( )

[ [ ( ) ( )

[ [ ( ) ( )

( )

horizontale verschuiving met waarde 2



2



Hieruit leiden we het voorschrift van Z af :

Z x x int

−

−

−

− = +

− − = +

= − ( )x met int de functie die x afbeeldt op het grootste geheel getal kleiner danof gelijk aan x.

We controleren met GRT.

24

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 181-182 Goniometrische getallen van merkwaardige hoeken In toepassingen worden de hoeken van 30°, 45° en 60° veel gebruikt. Met behulp van de bijbehorende figuren en de formules voor verwante hoeken kan je de goniometrische getallen van deze hoeken exact bepalen.

2Bewijs in OBD dat sin 452

• ∆ ° =

Oplossing

( )

( )

1

2

OB 1

BD BDIn OBD is sin 45 BD

OB 1

=

∆ ° = = =

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 22

3

4

5

OBD 45 . OBD is dus gelijkbenig. Bijgevolg is OD DB .

De stelling van Pythagoras levert : OD DB OB .

Invullen van (1) en (3) in (4) levert : DB DB 1 , of nog, 2 DB 1.

1 2Hieruit volgt dat DB .2 2

2Uit (2) en (5) volgt : sin 45 .2

= ° ∆ =

+ =

+ = =

= =

° =

1Bewijs in OAD dat cos 602

• ∆ ° =

Oplossing

( )

( )

1

2

OA OB 1

BOA 60

= =

= °

[ ] ( )

( )

( )

3

4

5

Uit (1) en (2) volgt dat OAB gelijkzijdig is. Elke zijde heeft lengte 1.AD is de hoogtelijn uit A op de zijde OB.Het voetpunt D van deze hoogtelijn is het midden van OB .

1Uit (1) en (3) volgt dat OD .2

OD ODIn OAD is cos60 OD

OA 1Uit (4) en

∆

=

∆ ° = = =

12(5) volgt : cos60 .° =

25

Neem de onderstaande tabel over en vul aan •

α 0 0 ra° = d 30 rad

6π

° = 45 rad4π

° = 60 rad3π

° = 90 rad2π

° =

cos α sin α tan α cot α

Oplossing

22 2

Door de formules voor complementaire hoeken toe te passen, vinden we :

2 1cos 45 sin 45 en sin 30 cos60 .2 2

Uit de hoofdformule volgt :

1 1 3sin 60 1 cos 60 1 1 3sin 602 4 4 2sin 60 0

° = ° = ° = ° =

⎫⎛ ⎞° = − ° = − = − = ⎪⎜ ⎟ ⇒ ° =⎬⎝ ⎠⎪° > ⎭

3Met de formules voor complementaire hoeken bekomen we : cos30 sin 60 .2

Dit stelt ons in staat om de tabel aan te vullen.

° = ° =

α

0 0 ra° = d 30 rad6π

° = 45 rad4π

° = 60 rad3π

° = 90 rad2π

° =

cos α 1 32

22

12

0

sin α 0 12

22

32

1

tan α 0 33

1 3

niet gedefinieerd

cot α

niet gedefinieerd 3 1 33

0

Breid de tabel uit voor hoeken van 120 , 135 , 150 en 180 • ° ° ° ° Oplossing

26

α 120° 135° 150° 180°

cos α 12

− 22

− 32

− −1

sin α 32

22

12

0

tan α 3− −1 33

− 0

cot α 33

− −1 3−

niet gedefinieerd


α 210° 225° 240° 270°

cos α 32

− 22

− 12

− 0

sin α 12

− 22

− 32

− −1

tan α 33

1 3

niet gedefinieerd

cot α 3 1 33

0


α 300° 315° 330° 360°

cos α 12

22

32

1

sin α 32

− 22

− 12

− 0

tan α 3− −1 33

− 0

cot α 33

− −1 3−

niet gedefinieerd

27

Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie


Open het Cabri-programma. Open het bestand ‘31 De algemene sinusfunctie f(x) = a sin(bx + c) + d'

Door het instellen van de waarden a, b, c en d definiëren we de functie met voorschrift

f (x) a sin(bx c) d.= + +

Door de punten a, b, c en d op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van a, b, c en d in. Door het punt x op het lijnstuk [-8, 25] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde). We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.

Geef nu aan a, b, c en d telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in onderstaande tabel. Beweeg met het punt x om het bereik van f te bepalen. Lees de periode p op het scherm af.

functievoorschrift ber f periode p functievoorschrift ber f periode pf (x) sin x= f (x) sin x = f (x) 2sin x= f (x) 2sin 2x = f (x) 3sin x= ( )f (x) 3sin x= −

f (x) 4sin x= f (x) 4sin 3x = f (x) sin x= − f (x) sin 4x = − f (x) 2sin x= − f (x) 2sin 3x = − f (x) 3sin x= − ( )f (x) 3sin 2x= − −

f (x) 4sin x= − ( )f (x) 4sin 1,5 x= − ⋅

f (x) sin x= f (x) sin x = f (x) sin 2x=

f (x) 2sin 2x 0,54π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

f (x) sin 3x= f (x) 3sin x 0,5

2π⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

f (x) sin 4x= 3f (x) 4sin 3x 14π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )f (x) sin x= − f (x) sin 4x 1

4π⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )f (x) sin 2x= − f (x) 2sin 3x 1,5

2π⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )f (x) sin 3x= − 3f (x) 3sin 2x 1,54π⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )f (x) sin 4x= − ( )f (x) 4sin 1,5 x 2= − ⋅ − π +

WiskundeProjectPlantyn De algemene sinusfunctie

28


− Van welke parameter(s) hangt het bereik van f(x) = a sin (bx + c) + d af ? ………………………………………………………………………………………….

− Van welke parameter(s) hangt de periode van f(x) = a sin(bx + c) + d af ? ………………………………………………………………………………………….

Schrijf een algemene formule neer om ber f en periode p te bepalen. Voor f(x) = a sin(bx + c) + d is ber f = …………….. en p = ………… Transformaties van f(x) = sin x Uit de studie van reële functies (zie WPP 4.1) weten we:

f

g

Als we de grafiek van een functie f horizontaalverschuiven met een waarde k, dan is

het functievoorschrift van hetschuifbeeld.

Als we de grafiek van een functie f verticaalverschuiven met een waarde k, dan is

•

•

g(x) = f(x - k)

g(x) = f(x) +

( )0

het functievoorschrift van hetschuifbeeld.

Als we de grafiek van een functie f verticaaluitrekken of samendrukken met een waarde kk R dan is het

functievoorschrift van de vervormde grafiek.

Als dan wordt de grafie

•

∈ ⋅

k

g(x) = k f(x)

k > 1

l

k van f verticaaluitgerokken.Als dan wordt de grafiek van f verticaalsamengedrukt.

Bij de transformatie van f naar g volgens deformule g(x) k f (x) blijven de nulpuntenbehouden.

= ⋅

k < 1

f

g

f

g

f

g


29


Open het bestand ‘32 De algemene sinusfunctie ( ) ( )( )g x a sin b x c d= − + '

De grafiek van ( )f x sin x= staat getekend.

Beweeg het punt b van −4 naar 4.

Treedt er één van de drie bekende tranformaties op ? ……………………………

De optredende transformatie kan beschreven worden als een horizontale vervorming.

Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale samendrukking ?

…………………………………………………………………………………..

Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale uitrekking ?

…………………………………………………………………………………..

Beweeg het punt c van −2π naar 2π.

Welke transformatie treedt er op ? Verklaar.

Wat is de invloed van het teken van c ?

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

Beweeg het punt a in van −4 naar 4.


Wat is de invloed van het teken van a ?

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..

Beweeg het punt d van −2 naar 2.

Welke transformatie treedt er op? Verklaar.

Wat is de invloed van het teken van d ?

…………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………..


30


Oplossing Werkblad ICT : De algemene sinusfunctie

Open het Cabri-programma. Open het bestand ‘31 De algemene sinusfunctie f(x) = a sin(bx + c) + d'

Door het instellen van de waarden a, b, c en d definiëren we de functie met voorschrift

f (x) a sin(bx c) d.= + +

Door de punten a, b, c en d op de lijnstukken te verslepen stellen we de waarden van a, b, c en d in. Door het punt x op het lijnstuk [-8, 25] te verslepen bepalen we de x-waarde (de invoerwaarde). We kunnen dan de bijhorende functiewaarde f(x) (de uitvoerwaarde) aflezen op het scherm.

Geef nu aan a, b, c en d telkens de waarden passend bij de functievoorschriften in onderstaande tabel. Beweeg met het punt x om het bereik van f te bepalen. Lees de periode p op het scherm af.

functievoorschrift ber f periode p functievoorschrift ber f periode pf (x) sin x= [ 1, 1]− f (x) sin x 6,28318 = [ 1, 1]− 6,28318 f (x) 2sin x= [ 2, 2]− f (x) 2sin 2x 6,28318 = [ 2, 2]− 3,14159 f (x) 3sin x= [ 3, 3]− ( )f (x) 3sin x= − [ 3, 3]− 6,28318 6,28318

f (x) 4sin x= [ 4, 4]− f (x) 4sin 3x 6,28318 = [ 4, 4]− 2,09439 f (x) sin x= − [ 1, 1]− f (x) sin 4x 6,28318 = − [ 1, 1]− 1,57079 f (x) 2sin x= − [ 2, 2]− f (x) 2sin 3x 6,28318 = − [ 2, 2]− 2,09439 f (x) 3sin x= − [ 3, 3]− ( )f (x) 3sin 2x= − − [ 3, 3]− 6,28318 3,14159

f (x) 4sin x= − [ 4, 4]− ( )f (x) 4sin 1,5 x= − ⋅ [ 4, 4]− 6,28318 4,18879

f (x) sin x= [ 1, 1]− f (x) sin x 6,28318 = [ 1, 1]− 6,28318 f (x) sin 2x= [ 1, 1]− 3,14159

f (x) 2sin 2x 0,54π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 1,5 ; 2,5]−

3,14159

f (x) sin 3x= [ 1, 1]− 2,09439 f (x) 3sin x 0,5

2π⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 3,5 ; 2,5]−

6,28318

f (x) sin 4x= [ 1, 1]− 1,57079 3f (x) 4sin 3x 14π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 3, 5]−

2,09439

( )f (x) sin x= − [ 1, 1]− 6,28318 f (x) sin 4x 1

4π⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 2, 0]−

1,57079

( )f (x) sin 2x= − [ 1, 1]− 3,14159 f (x) 2sin 3x 1,5

2π⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 3,5 ; 0,5]−

2,09439

( )f (x) sin 3x= − [ 1, 1]− 2,09439 3f (x) 3sin 2x 1,54π⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

[ 1,5 ; 4,5]−

3,14159

( )f (x) sin 4x= − [ 1, 1]− ( )f (x) 4sin 1,5 x 2= − ⋅ − π + [ 2, 6]− 1,57079 4,18879


31


− Van welke parameter(s) hangt het bereik van f(x) = a sin (bx + c) + d af ? Het bereik van f(x) = a sin(bx + c) + d hangt van de parameters a en d af.

− Van welke parameter(s) hangt de periode van f(x) = a sin(bx + c) + d af ? De periode van f(x) = a sin(bx + c) + d hangt enkel van de parameter b af.

Schrijf een algemene formule neer om ber f en periode p te bepalen.

Voor f(x) = a sin(bx + c) + d is ber f = a d, a d⎡− + + ⎤⎣ ⎦ en p = 2bπ .

Open het bestand ‘32 De algemene sinusfunctie ( ) ( )( )g x a sin b x c d= − + '

De grafiek van ( )f x sin x= staat getekend.

Beweeg het punt b van −4 naar 4.

Treedt er één van de drie bekende tranformaties op ? Nee.

De optredende transformatie kan beschreven worden als een horizontale vervorming.

Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale samendrukking ?

Als b > 1 of b < −1 verkrijgen we een horizontale samendrukking.

Welke waarden van b geven aanleiding tot een horizontale uitrekking ?

Als −1 < b < 1 verkrijgen we een horizontale uitrekking.

Beweeg het punt c van −2π naar 2π.


Wat is de invloed van het teken van c ?

Er treedt een horizontale verschuiving op. Als g(x) = f(x − k), dan is de grafiek van g het horizontaal schuifbeeld van de grafiek van f.

Als c > 0, dan schuift de grafiek naar rechts. Als c < 0, dan schuift de grafiek naar links.

Beweeg het punt a in van −4 naar 4.


Wat is de invloed van het teken van a ?

Er treedt een verticale vervorming op. Als g(x) = k.f(x), dan is de grafiek van g de verticale vervorming van de grafiek van f.

Als 0 < a < 1, dan wordt de grafiek verticaal samengedrukt.

Als 1 < a < +∞, dan wordt de grafiek verticaal uitgerekt.

Als −1 < a < 0, dan wordt de grafiek gespiegeld om de x-as en daarna verticaal samengedrukt. Deze twee transformaties samen, noemen we ook kortweg een verticale samendrukking.


32


Als −∞ < a < −1 dan wordt de grafiek gespiegeld om de x-as en daarna verticaal uitgerekt. Deze twee transformaties samen, noemen we ook kortweg een verticale uitrekking.

Beweeg het punt d van −2 naar 2.

Welke transformatie treedt er op? Verklaar.

Wat is de invloed van het teken van d ?

Er treedt een verticale verschuiving op. Als g(x) = f(x) + k, dan is de grafiek van g het verticaal schuifbeeld van de grafiek van f.

Als d > 0, dan schuift de grafiek naar boven. Als d < 0, dan schuift de grafiek naar beneden.


33

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 199 De grafiek van f(x) = sin x horizontaal vervormen

[ ]( ) ( )

( )

Bestudeer de horizontale vervorming in het periode-interval 0, 2 van de grafiek van

f x sin x tot de grafiek van g x sin 2x.Voer in het rekentoestel de functies f en g in en maak een fTblSta

uncrt

tiewaardentabel met0 Tblen 1.

Vul aan : f 2

π

= =

= =∆

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g ... ; f 4 g ... ; f 6 g ... ; ... ; f a g ... .

Controleer op de figuur.

Vergelijk de periode van f met de periode van g.

= = =

Oplossing

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) af 2 g 1 ; f 4 g 2 ; f 6 g 3 ; ... ; f a g .2

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

De periode van g is de helft van de periode van f.

34

[ ]

( ) ( )

( )

Bestudeer de horizontale vervorming in het periode-interval 0, 2 van de grafiek van1f x sin x tot de grafiek van g x sin x.2

Voer in het rekentoestel de functies f en g in en maak een functiewaardentabel met0 eTblStart Tn 1.

Vul aan : f 1

bl∆

π

= =

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g ... ; f 3 g ... ; f 5 g ... ; ... ; f a g ... .

Controleer op de figuur.

Vergelijk de periode van f met de periode van g.

= = = =

Oplossing

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 1 g 2 ; f 3 g 6 ; f 5 g 10 ; ... ; f a g 2a .= = = =

De periode van g is het dubbel van de periode van f.

( )( ) ( ) ( ) [ ]

( )

1 2

1 2

3

Bestudeer de horizontale vervorming van de grafiek van f x sin x tot de grafiek van

g x sin 3x en tot de grafiek van g x sin 3x in het periode-interval 0, 2 .

Vergelijk de periode van f met de periode van g en g .

1Herhaal dit voor g x sin x e3

=

= = −

= ( )

π

41n g x sin x .3

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Oplossing

35

De periode van g1 is één derde van de periode van f.

De periode van g2 is één derde van de periode van f.

De periode van g3 is het drievoud van de periode van f.

De periode van g4 is het drievoud van de periode van f.

Besluit

( ) ( ) 2De periode van g x sin kx is .kπ

=

36

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 211 Kenmerken van de cotangensfunctie Onderzoek de kenmerken van de cotangensfunctie. Schets de grafiek. We herschrijven cot x.

2

cot x tan x2

tan x2

tan x2

De grafiek van de cotangensfunctie ontstaat door de grafiek van de tangensfunctie horizontaalte verschuiven met een waarde en vervolgens te spiegelen om de x-as.π

π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ π ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

4π2

7π3π2

5π2π2

3ππ2π

23− π

2−π−π2− π

Domein, bereik en symmetrie• Oplossing

{ }

( )

dom cot R \ k met kber cot RDe cotangensfunctie is een oneven functie want, x dom cot : cot x cot x.

= π ∈

=

∀ ∈ − = −

l

l

37

Bijgevolg is de oorsprong van het assenstelsel een symmetriecentrum van de grafiek vande cotangensfunctie.

Periode• Oplossing

( )

( )( )

De periode is .De cotangensfunctie is een periodieke functie. Immers, x dom cot : cot x 2 cot x.We tonen aan dat de periode is.Daarvoor lossen we de vergelijking cot x p cot x op naar p.

cot x p cot x

x p x k , met k

p k , met k

π

− ∀ ∈

− π

+ =

+ =

+ = + π ∈

= π ∈

In p k is het kleinste strikt positief reeel getal.

Bijgevolg is de periode van de cotangensfunctie.

= π π

π

+ π =

Nulwaarden• Oplossing

De grafiek snijdt de x-as in de punten k , 0 met k .2

3 3 5 7De nulwaarden zijn bijgevolg ..., , , , , , , ... .2 2 2 2 2 2

π⎛ ⎞+ π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

− π π π π π π−

Teken- en verloopschema• Oplossing

[ ]Tekenschema in het periode-interval 0, π

x 0 2π π

cot(x) + 0 − Dit tekenschema herhaalt zich in de intervallen …, [−π, 0], [π, 2π], [2π, 3π], …

38

[ ]Verloopschema in het periode-interval 0, π

x 0 π cot(x)

Dit verloopschema herhaalt zich in de intervallen …, [−π, 0], [π, 2π], [2π, 3π], …

Verticale asymptoten• Oplossing De rechten zijn verticale asymptoten voor de grafiek van de cotangensfunctie.

x k met k= π ∈

39

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 223 Som- en verschilformules

( ) ( )( )

Leid de formule voor cos af uit de formule voor cos .

Stel daarvoor en pas de formules van de verwante hoeken toe.

• α + β α −

α + β = α − −β

β

Oplossing

[ ]cos( ) cos ( )cos cos( ) sin sin( )cos cos sin ( sin )cos cos sin sin

α +β = α − −β

= α ⋅ −β + α ⋅ −β= α ⋅ β + α ⋅ − β= α ⋅ β − α ⋅ β

( )Besluit : cos cos cos sin sinα +β = α ⋅ β − α ⋅ β

( ) ( )

( ) ( )

De formule voor sin kan je afleiden uit de formule voor cos .

Stel daarvoor sin cos en herschik de haakjes.2

• α + β

π⎡ ⎤α + β = − α + β⎢ ⎥⎣ ⎦

α −β

Oplossing

sin( ) cos ( )2

cos2

cos cos sin sin2 2

sin cos cos sin

π⎡ ⎤α + β = − α + β⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ π ⎤⎛ ⎞= − α −β⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − α ⋅ β + − α ⋅ β⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= α ⋅ β + α ⋅ β

( )Besluit : sin sin cos cos sinα +β = α ⋅ β + α ⋅ β

( )Leid ook de formule af voor sin .• α −β

Oplossing

[ ]sin( ) sin ( )sin cos( ) cos sin( )sin cos cos ( sin )sin cos cos sin

α −β = α + −β

= α ⋅ −β + α ⋅ −β= α ⋅ β + α ⋅ − β= α ⋅ β − α ⋅ β

( )Besluit : sin sin cos cos sinα −β = α ⋅ β − α ⋅ β

40

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 227 Formules van Simpson Toon aan.

p q p qcos p cosq 2 cos cos2 2

p q p qcos p cosq 2 sin sin .2 2

Volg een analoge werkwijze als voor de formules sin p sin q en sin p sin q.

+ −+ = ⋅ ⋅

+ −− = − ⋅ ⋅

+ −

Oplossing

( )( )

( ) ( )

Om deze formules op te stellen, vertrekken we van de som- en verschilformules voorde cosinus.

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

We tellen de overeenkomstige leden op.cos cos 2 cos cos

We trekken d

−

α + β = α ⋅ β − α ⋅ β

α −β = α ⋅ β + α ⋅ β

α + β + α −β = ⋅ α ⋅ β

( ) ( )

( )( )1

2

e overeenkomstige leden van elkaar af .cos cos 2 sin sin

We stellen p en q.

Zo bekom je : cos p cos q 2 cos cosen cos p cos q 2 sin sin .

We bepalen en in functie van p en q.

Daarvoor lossen we het stelsel S :

α +β − α −β = − ⋅ α ⋅ β

− α +β = α −β =

+ = ⋅ α ⋅ β− = − ⋅ α ⋅ β

α β

α +

( )3

pop.

q

p qp 2S :q p q

2

In (1) en (2) vervangen we en .

p q p qcos p cos q 2 cos cos2 2

p q p qcos p cos q 2 sin sin2 2

β =⎧⎨α −β =⎩

+⎧α =⎪α + β =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨α −β = −⎩ ⎪β =⎪⎩

− α β

+ −+ = ⋅ ⋅

+ −− = − ⋅ ⋅

41

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 228 Een product van goniometrische getallen omzetten in een som of een verschil

( ) ( )( ) ( )

Toon aan.

2 cos cos cos cos

2 sin sin cos cos

Volg een analoge werkwijze als voor de formules 2 sin cos en 2 cos sin .

⋅ α ⋅ β = α + β + α −β

− ⋅ α ⋅ β = α + β − α −β

⋅ α ⋅ β ⋅ α ⋅ β

Oplossing

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

Om deze formules op te stellen, vertrekken we van de som- en verschilformules voorde cosinus.

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

We tellen de overeenkomstige leden van (1) en (2) op.cos cos 2 cos

−

α + β = α ⋅ β − α ⋅ β

α −β = α ⋅ β + α ⋅ β

−

α + β + α −β = ⋅ α ⋅

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

cos , of nog,

2 cos cos cos cos

We trekken de overeenkomstige leden van (1) en (2) van elkaar af .cos cos 2 sin sin , of nog

2 sin sin cos cos

β

⋅ α ⋅ β = α +β + α −β

α + β − α −β = − ⋅ α ⋅ β

− ⋅ α ⋅ β = α + β − α −β

42

Onderzoeksopdracht leerboek bladzijde 246 Vergelijkingen van de vorm a sin x + b cos x = 0

Los de vergelijking 3sin x 5 cos x 0 op naar x met de oplossingsmethode van dehomogene vergelijkingen.

• − =

Oplossing

3sin x 5 cos x 0

3sin x 5 cos x 0cos x cos x

3tan x 5 0

5tan x3

x 0,6405223127 k , met k

− =

−⇔ =

⇔ − =

⇔ =

⇔ = + π ∈

Geef de grafische voorstelling van de oplossingen van de vergelijking 3sin x 5 cos x 0.• − = Oplossing

( )Stel f x 3sin x 5 cos x.We tekenen de grafiek van f .

De oplossingen van 3sin x 5 cos x 0 zijn de nulwaarden van f .

= −

− =

............. .............

43

Werkbladen ICT - Proximususers.skynet.be/dannyspriet/Jaar 5 6u/Oplossing... · De grafiek kan geen,...

Documents

Transcript of Werkbladen ICT - Proximususers.skynet.be/dannyspriet/Jaar 5 6u/Oplossing... · De grafiek kan geen,...