Wat verandert in perspectief ?

Wat verandert NIET ?

Twee lijnen snijden elkaar in één punt.

Twee punten liggen op één lijn.

Er zijn ook nog ‘ontaarde’ kegelsneden, die ontstaan als de snijvlak door de top van de kegel gaat:- twee snijdende lijnen,- twee samenvallende lijnen.

De doorsnede kan tenslotte ook slechts één punt zijn,dit geval wordt later geïnterpreteerd als een cirkel met een imaginaire straal.

A is een projectieve* eigenschap

A geldt voor cirkels

A geldt voor alle kegelsneden

* dwz: een eigenschap die niet verandert bij centrale projecties

Stelling van Pascal:Liggen de hoekpunten van een zeshoek op een kegelsnededan liggen de snijpunten van overstaande zijden op één lijn.

Sluitstelling van Poncelet:Sluit een n-hoek tussen twee kegelsneden, dan sluit elke n-hoek tussen deze twee kegelsneden.

?

De sluitstelling wist Poncelet in eerste instantie alleen te bewijzen voor het geval van twee cirkels. Hij zocht vervolgens naar een methode om twee willekeurige kegelsneden middels projecties te vervormen tot twee cirkels.Zo kwam hij erop “ideale punten” toe te voegen. Tegenwoordig zijn die ideale punten punten met complexe coördinaten. Net als bij het factoriseren van veeltermen over R is het nuttig te werken over C.

Uitbreiding met ‘ideale’ punten:Een kegelsnede en een rechte snijden elkaar intwee punten (of één dubbelpunt)

Twee kegelsneden hebben altijd vier punten gemeen.

Stelling van Bézout

Gegeven twee algebraïsche krommen van graad n resp m. Dan hebben zij nm punten gemeen óf hun polynomen hebben een gemeenschappelijke factor.

Algebraïsche aanpak (toelichting)Krommen zijn verzamelingen nulpunten van polynomen.

De rechte lijnen horen bij de eerstegraads polynomen.De kegelsneden horen bij de tweedegraads polynomen.

Als het polynoom ontbonden kan worden in factoren is de bijbehorende kromme “ontaard”, en bestaat uit de vereniging van de krommen die bij de afzonderlijke polynomen horen. Bijvoorbeeld: de ontaarde kegelsneden “twee snijdende lijnen” hoort bij een tweedegraads polynoom van de vorm l1l2 waarbij de ene lijn bij

de eerstegraads l1, en de andere bij de eerstegraads l2 hoort. Uit de stelling van Bézout volgt dat als een tweedegraads K en een lijn l meer dan twee punten gemeen hebben, de polynomen van K en l een factor gemeen hebben, en dat danwel het polynoom van l zijn. De kromme K is dan dus een ontaarde kegelsnede en bestaat dus uit twee snijdende lijnen (die eventueel samen kunnen vallen), en waarvan l er één is.

Door de kegelsneden als nulpuntverzamelingen van tweedegraads polynomen te beschouwen kunnen veel stellingen uit de projectieve meetkunde algebraisch worden bewezen. In sommige gevallen worden die bewijzen zeer eenvoudig en berusten slechts op het handig tellen van eventuele snijpunten. Als voorbeeld bekijken we een algebraisch bewijs van de Stelling van Pascal, berustend op de voornoemde Stelling van Bézout.

Familie derdegraads krommenvervormt van het ene drietal zijden tot het drietal overstaande zijden.Steeds liggen de zes hoekpunten en dedrie snijpunten op die derdegraads.

K t : t l1l3l5 (1 t)l2l4l6 0 t [0,1]

Door elk punt van het vlak passeert een Kt

dus zekere derdegraads Kt heeft meer dan 6 punten gemeen met de tweedegraads K. Dan blijft voor Kt nog een eerstegraads factor over,oftewel een rechte lijn.

Door elk punt van het vlak passeert een Kt ,

dus zekere derdegraads Kt heeft meer dan 6 punten gemeen met de tweedegraads K. Dan blijft voor Kt nog een eerstegraads factor over,oftewel een rechte lijn. En daarop liggen de drie snijpunten van overstaande zijden.

Door elk punt van het vlak passeert een Kt ,