Warmteleer Voor Technici

Ir. A.J.M. van Kimmenaede

warmteleer voor technici

achtste druk

Wolters-Noordhoff GroningenIHouten

Omslagontwerp: V + K Design, Naarden.

Wolters-Noordhoff bv voert voor het hoger onderwijs de imprints Wolters-Noordhoff, Stenfert Kroese en Martinus Nijhoff. Eventuele open aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan: Wolters-Noordhoff bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer 13,9700 VB Groningen, e-mail: [email protected]

Copyright @ 2001 Wolters-Noordhoff bv GroningenIHouten, The Netherlands

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geau- tomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of op enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 Ja het besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zoals gewijzigd bij het besluit van 23 augustus 1985, St.b. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht, Postbus 882,1180 AW Amstelveen. Voor het overnemen van een of enkele gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.

Al1 rights reserved. N o part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmit- ted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

Woord vooraf

Gebruikers van het boek 'Warmteleer voor technici' hebben erop gewezen dat het huidige aantal beschikbare lesuren ontoereikend is om de aangeboden leerstof in zijn geheel te behandelen. Vandaar dat getracht is de omvang van de stof te beperken zonder de opzet van het boek aan te tasten. In vergelijking met de voorgaande druk uit 1985 verschilt deze uitgave op de volgende punten: - De twee hoofdstukken over niet-omkeerbare toestandsveranderingen zijn samen-

gevoegd. - De toelichting op de tweede hoofdwet is ingekort. - Het hoofdstuk over stoomturbines is sterk gereduceerd. Dat geldt ook, maar in

mindere mate, voor het hoofdstuk over gasturbines. - Het hoofdstuk over warmte-overdracht is komen te vervallen. - Het hoofdstuk exergie en anergie is bekort en aan het einde van het boek geplaatst. - Ook de verklarende tekst is op veel plaatsen beknopter gehouden.

Door bovengenoemde veranderingen kon de omvang van het boek aanzienlijk worden gereduceerd. De vraagstukken zijn voor een deel vernieuwd en het aantal is beperkt tot 250. Alle uitwerkingen zijn opgenomen in een gelijknamige uitgave van Delta Press B.V. Ik vertrouw erop dat met deze aanpassingen tegemoet is gekomen aan de wensen van de gebruikers.

Haarlem, maart 1995 A.J.M. van Kimmenaede

Inhoud

Symbolen

Hoofdstuk 1 Algemene begrippen

Inleiding Eenhedenstelsel Volume en dichtheid Soortelijke warmte Verbrandingswaarde, stookwaarde Rendement Gassen en gasmengsels Inleiding Wet van Boyle-Gay Lussac Algemene gasconstante Wet van Dalton; eigenschappen van gasmengsels Vraagstukken

Hoofdstuk 2 De eerste hoofdwet

Inleiding Systeem en omgeving Toestandsgrootheden en -veranderingen Omkeerbare en niet-omkeerbare toestandsveranderingen Inleiding Omkeerbare expansie en compressie Niet-omkeerbare toestandsveranderingen De eerste hoofdwet voor gesloten systemen Inwendige energie Volume-arbeid Het verband tussen R, c en cv Formuleringen van de eerste hoofdwet Vraagstukken

Hoofdstuk 3 Toestandsveranderingen in gesloten systemen

3.1 Inleiding 3.2 Wetten van Poisson 3.3 Arbeid en warmte bij polytrope toestandsveranderingen 3.4 Bijzondere polytropen 3.4.1 Exponent en helling van bijzondere polytropen

3.4.2 3.5

Hoofdstuk 4

Hoofdstuk 5

Hoofdstuk 6

Arbeid en warmte bij bijzondere polytropen Vraagstukken

Kringprocessen

Positieve kringprocessen Thermisch rendement Gemiddelde druk Bijzondere kringprocessen Kringproces van Carnot Kringproces van Stirling Kringproces van Joule Kringprocessen in verbrandingsmotoren Negatieve kringprocessen Koudefactor Kringproces van Carnot Warmtepomp, warmteproduktiegetal Kringproces van Joule Vraagstukken

Zuigercompressoren

Inleiding Werking van een zuigercompressor Technische arbeid Koeling van de compressor Volumetrisch rendement Tweetrapscompressor Optimale drukverhouding Vraagstukken

Toestandsveranderingen in open systemen

Inleiding De eerste hoofdwet voor open systemen Adiabatische toestandsveranderingen Straalbuis Roterende stromingsmachines Warmtewisselaars Smoren Kringprocessen Vraagstukken

Hoofdstuk 7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.7 7.8 7.9 7.10

7.11

Hoofdstuk 8

8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.4 8.5 8.6

8.7

Hoofdstuk 9

9.1 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.4 9.5 9.6

De tweede hoofdwet; entropie

Formulering van de tweede hoofdwet Omkeerbare kringprocessen Ongelijkheid van Clausius Vraagstukken Entropie Entropieberekeningen Algemeen Entropieverandering bij de overgang van vloeistof-damp Entropieverandering van ideale gassen Vraagstukken Het T-s-diagram Toestandsveranderingen van ideale gassen in een T-s-diagram Entropieverandering bij niet-omkeerbare toestandsveranderingen Vraagstukken

Toestandsdiagrammen

Inleiding Het p-v-diagram Het T-s-diagram Algemene opzet Volume-arbeid en technische arbeid in het T-s-diagram Het h-s-diagram Stoomturbine-installatie in Ts- en h-s-diagram De gemiddelde temperatur van warmtetoevoer en warmte-afvoer Vraagstukken

Niet-omkeerbare toestandsveranderingen

Inleiding Niet-omkeerbare overdracht van thermische energie Niet-omkeerbare overdracht van mechanische energie Stoom- en gasturbine Compressor en pomp S traalbuis Smoren, srnoorcalorimeter Vraagstukken

Hoofdstuk 10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Hoofdstuk 11

11.1 11.2 11.3 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.4.4 11.5 11.6 11.7 11.8

Hoofdstuk 12

12.1 12.2 12.3 12.4 12.4.1 12.4.2 12.5 12.5.1 12.5.2 12.6 12.7 12.8 12.9

Inleiding Het kringproces van Carnot en Rankine Oververhitting en heroververhitting Voedingswatervoorwarming Vraagstukken

Inleiding Het kringproces van Brayton Optimale drukverhouding Middelen tot verbetering van het thermisch rendement Warmtewisselaar Meertrapscompressie Herverhitting Inlaattemperatuur van de gasturbine De gasturbine-installatie als gesloten systeem Gasturbines in de luchtvaart Combinatie van gas- en stoomturbine Vraagstukken

Koelinstallaties

Inleiding Werking en inrichting van een compressiekoelmachine Koelmiddelen Smoorkraan; droge compressie Smoorkraan Droge compressie Oververhitting en nakoeling Oververhitting Nakoeling Meertrapscompressie Het p-h-diagram Warmtepomp Vraagstukken

Hoofdstuk 13 Exergie en anergie

13.1 Inleiding 13.2 De exergie van een warmtehoeveelheid 13.3 Exergiebeschouwingen bij kringprocessen 13.4 Exergie van een stromend medium 13.5 Exergieverlies bij niet-omkeerbare toestandsveranderingen 13.5.1 Algemeen 13.5.2 Exergieverliezen in stoom- en gasturbine-installaties 13.6 Vraagstukken

Tabellen

Tabel I Tabel 11

Tabel 111

Tabel IV

Tabel v Tabel v1 Tabel v11

Tabel v111

Tabel ix Tabel x

Uitkomsten van de vraagstukken

Gassen 283 Water, verzadigingstoestand (temperatuurtabel) 284 Water, verzadigingstoestand (druktabel) 286 Oververhitte stoom 288 Water ( T < Tv) 291 Freon 12 (CF2C12), verzadigingstoestand (temperatuurtabel) 292 Freon 12 (CF2C12), verzadigingstoestand (druktabel) 293 Oververhitte damp van Freon 12 (CF2C12) 294 Ammoniak (NH3), verzadigingstoestand 297 Oververhitte ammoniakdamp 299

Symbolen

symbool betekenis

oppervlakte relatieve atoommassa anergie, anergie per massa-eenheid constante soortelijke warmte, compressieverhouding, snelheid soortelijke warmte bij constante druk soortelijke warmte bij constant volume gemiddelde soortelijke warmte diameter exergie, exergie per massa-eenheid potentiële energie, kinetische energie potentiële resp. kinetische energie per massa-eenheid kracht gewicht zwaarteveldsterkte enthalpie, soortelijke enthalpie elektrische stroom verhouding van c en cv molaire massa massa, massastroom hoeveelheid stof, rotatiefrequentie exponent in de wetten van Poisson effectief vermogen, indicateurvermogen druk, effectieve druk, geïndiceerde druk en partiële druk hoeveelheid warmte, warmtestroom hoeveelheid warmte per massa-eenheid gasconstante algemene gasconstante, gasconstante van een mengsel straal, verdampingswarmte entropie, stookwaarde soortelijke entropie, weglengte temperatuur in K, verdampingstemperatuur in K temperatuur in 'C, tijd verdampingstemperatuur in "C inwendige energie, elektrische spanning soortelijke inwendige energie volume, volumestroom, molair volume specifiek volume arbeid, technische arbeid, indicateurarbeid

symbool betekenis

dampgehalte bij tweefasensysteem hoogteverschil

a hoek

Y soortelijk gewicht E drukverhouding

q, q", q,,,, qiM qi rendement, volumetrisch, mechanisch, thermisch en isentroop (inwendig) rendement

Q volumieke massa (dichtheid)

functie normaal-m3

getalwaarde van een grootheid eenheid van een grootheid

Hoofdstuk 1

Algemene begrippen

Inleiding

In de techniek komen veel machines en installaties voor waarin energie en energieomzettingen een voorname rol spelen. De energiedrager is gewoonlijk een gas of vloeistof waarvan de toestand verandert bij de processen die zich hierbij afspelen. Uit deze toestandsverandering kunnen conclusies worden getrokken over de hoeveelheid arbeid en warmte die worden overgedragen, over het rendement van de energie- transformatie, over de verliezen die optreden enz. Daarbij wordt ook gebruik gemaakt van kennis uit de vooropleiding. Het eerste hoofdstuk is bedoeld als een korte herha- ling van begrippen en definities die voor dit vakgebied relevant zijn en die voor het merendeel in de vooropleiding reeds ter sprake zijn gekomen.

Een hedenstelsel

Om de waarde van allerlei grootheden die gemeten of berekend worden, in een getal te kunnen vastleggen, is er behoefte aan een stelsel van eenheden. Internationaal is het SI (Système International d'unités) als eenhedenstelsel aanvaard. Dit stelsel bestaat uit zeven grondeenheden; zie tabel 1.1.

Tabel 1.1

grootheid SI-eenheid

naam symbool

lengte meter m massa kilogram kg tijd seconde s elektrische stroom ampère A thermodynamische temperatuur kelvin K hoeveelheid stof mol mol lichtsterkte candela cd

Uit deze grondeenheden kunnen andere eenheden worden afgeleid. Een aantal van dergelijke afgeleide eenheden zijn vermeld in tabel 1.2.

Tabel 1.2


naam symbool

oppervlakte inhoud snelheid versnelling dichtheid

vierkante meter m2

kubieke meter m3

meter per seconde m/s of m . s-' meter per seconde kwadraat m/s2 of m . s 2

kilogram per kubieke meter kg/m3 of kg m 3

Er bestaan ook afgeleide SI-eenheden met een eigen naam en een eigen symbool zoals de newton, pascal, joule en watt (tabel 1.3). Door een combinatie van deze eenheden en de grondeenheden kunnen weer nieuwe eenheden worden gevormd. Voorbeelden hiervan zijn aangegeven onder de horizontale stippellijn in genoemde tabel.

Tabel 1.3


naam symbool pp - -

kracht newton N druk pascal Pa energie, arbeid hoeveelheid warmte joule J vermogen watt W ...........................................................................................................................

moment van een kracht newtonmeter N - m soortelijke warmte joule per kilogram kelvin J/(kg . K) of J - kg-' . K" thermische geleiding watt per meter kelvin W/(m . K) of W . m"' . K" molaire energie joule per mol Jlmol of J . mol 1

Zijn de gebruikte grootheden zeer klein of zeer groot ten opzichte van de bijbehorende eenheid, dan kan men gebruik maken van een aantal internationaal aanvaarde voorvoegsels waarvan de meest gebruikte in tabel 1.4 zijn opgenomen. De symbolen van deze voorvoegsels worden zonder spatie vóór de symbolen van de eenheden geplaatst, b.v. MJ.

Tabel 1.4

voorvoegsel symbool factor voorvoegsel symbool factor

peta P l0+l5 centi c 10-~ tera T 10+l2 milli m I O - ~

gigs G I O + ~ micro U W mega M 10'~ nano n IO-~ kilo k loL3 pico P 10-l2 deci d 10-I femto f ml5

Uit tabel 1.1 blijkt dat de temperatuur in kelvin moet worden uitgedrukt (absolute temperatuur). Het verband tussen de temperatuur T en de temperatuur t in graden Celsius luidt met enige benadering:

Hieruit volgt dat een bepaald temperatuurverschil op beide schalen met hetzelfde aantal eenheden overeenkomt.

Het gebruik van de Celsiusschaal is nog wel toegestaan, behalve in samengestelde eenheden. We moeten dus voor de eenheid van de soortelijke warmte J/(kg - K) schrijven en niet J/(kg 'C)

De in tabel 1.1 genoemde 'mol' is een grootheid die voornamelijk in de chemie wordt gebruikt om een hoeveelheid materie aan te duiden. In de werktuigbouwkunde is het gebruikelijker om daarvoor de massa te nemen, uitgedrukt in kg. De massa van een stof (m) gedeeld door de stofhoeveelheid in km01 (n) noemen we de molaire massa M [kglkmol]. Uit m = n M volgt dat de massa van l km01 (n = l ) overeenkomt met M kg, zodat omrekening van kg + km01 en omgekeerd eenvoudig is. De molaire massa van een stof kan worden vastgesteld als de chemische formule bekend is, alsmede de (relatieve) atoommassa's, b.v. l km01 methaan (CHL) g (12 + 4) kg = 16 kg.

De eenheid van kracht, afgeleid uit de wet van Newton (F = m a), wordt uitgedrukt in kg m/s2. Deze eenheid heeft een eigen naam (de newton) en een eigen symbool (N). Aan de eenheid van druk (N m ) is de naam pascal gegeven met symbool Pa (tabel 1.3). Deze eenheid is echter te klein voor praktisch gebruik. Daarom is een hulpeenheid - de bar - ingevoerd die 10' maal zo groot is.

l bar = lo5 Pa

Het voordeel van de bar als eenheid van druk is dat deze vrijwel gelijk is aan de atmosferische druk die (gemiddeld) overeenkomt met de druk die wordt uitgeoefend door een kwikkolom met een hoogte van 76 cm. Deze gelijkheid volgt uit p = p g h, waarin h de hoogte van de vloeistofkolom voorstelt en p de dichtheid van kwik (13,6 103 kg - m3).

p = p g h = 13,6 x lo3 x 9,8 x 0,76 ~ l r n ' = l01 350 ~ l m ~ = 1,013 bar

In alle berekeningen moet voor p de absolute druk worden ingevuld. Gemeten wordt echter het drukverschil met de atmosferische druk pa, zodat bij een manometeraanwij- zing pman geldt:

Isp < pa, dan wordt de absolute druk verkregen door de aanwijzing van de vacuiimme- ter pãac van de atmosferische druk af te trekken. Het vacuüm kan ook in procenten worden uitgedrukt. Is de beschouwde druk p =pa, dan is het vacuüm 0%; is de druk p = O, dan is het vacuüm 100%. Een en ander is in fig. 1.1 verduidelijkt.

Onder het vermogen P verstaat men een energiehoeveelheid per tijdseenheid. De SI-eenheid is dus joule per seconde (watt).

P Z P a + P m a n Prnan t PZPa-Pvac ,

P = O vacuüm 100 ¡/o

Fig. 1.1

Indien behoefte bestaat onderscheid te maken tussen mechanisch, thermisch of elektrisch vermogen, dan kan dit door een aanwijzing in de tekst (b.v. het elektrisch vermogen is . . . W) of door een toevoeging tussen haakjes achter de eenheid, b.v. kW (me.), kW (th.) of kW(e1.).

Volume en dichtheid

Het volume van een stof is in het algemeen afhankelijk van de druk en de temperatuur. Bij vaste stoffen is de invloed hiervan gering en in de meeste gevallen te verwaarlozen. Bij vloeistoffen geldt dit in mindere mate; daar kan echter veelal wel de invloed van de druk t.o.v. die van de temperatuur buiten beschouwing worden gelaten. Bij gassen daarentegen is het volume sterk afhankelijk van zowelp als T, zodat bij een opgave van het volume tevens de bijbehorende druk en temperatuur moeten worden vermeld. Het is in veel gevallen wenselijk het volume op een genormaliseerde druk en temperatuur te herleiden. Meestal wordt voor de temperatuur O 'C genomen en voor de druk 1013 mbar. Men spreekt dan van 'normale omstandigheden'.* Is het volume van een gas onder normale omstandigheden 1 m3, dan noemt men dit volume een normaal kubieke meter, afgekort m:. Deze afkorting is niet genormali- seerd; ook de schrijfwijze nm3, m: of ~m~ komt voor.

Is van een stof met massa m het volume V, dan de dichtheid p per definitie:

Zoals uit de definitie van p blijkt, wordt deze grootheid uitgedrukt in kg/m3. Omdat een volume afhankelijjk is van druk en temperatuur, geldt dit ook voor de dichtheid.

Het soortelijk gewicht y is gedefinieerd als het quotiënt van gewicht en volume:

I n plaats van O T wordt in de praktijk ook wel 15 'C als standaardtemperatuur genomen.

Het soortelijk gewicht is niet in het SI opgenomen, zodat het gebruik van deze grootheid vermeden dient te worden.

Het soortelijk (specifiek) volume is gedefinieerd als het volume per massa-eenheid en is dus de reciproke waarde van p.

1.4 Soortelijke warmte

Voor de hoeveelheid warmte die aan een stof met massa m moet worden toegevoerd om de temperatuur van Tl tot T2 te verhogen kan worden geschreven:

Hierin stelt c de soortelijke warmte van de betreffende stof voor. Voor een uiterst kleine warmtetoevoer dQ geldt:

De soortelijke warmte wordt uitgedrukt in Jl(kg - K) of -meer praktisch - in kJl(kg K). De waarde van de soortelijke warmte kan voor verschillende stoffen zeer uiteenlopen. Ook voor één bepaalde stof is c echter geen constante maar neemt gewoonlijk toe met het toenemen van de druk en de temperatuur. De invloed van de druk is bij vaste stoffen en vloeistoffen zeer gering en kan meestal worden verwaarloosd. Wordt de afhankelijkheid van de druk buiten beschouwing gelaten, dan is:

In fig. 1.2 is een dergelijke functie aangegeven. We kunnen nu voor de toe te voeren hoeveelheid warmte per massa-eenheid schrijven:

q 2 = j c d t 2 opp. 1-2-3-4 l

Fig. 1.2

Normaliter wordt echter met een gemiddelde waarde van de soortelijke warmte (c) gerekend:

De oppervlakte 1-2-3-4 in fig. 1.2 wordt dus vervangen door een rechthoek met dezelfde oppervlakte en met dezelfde breedte (t2 - t,). De hoogte van deze rechthoek is dan per definitie cl-2. Voor een snelle bepaling van qn zou cl.-, aan een tabel moeten kunnen worden ontleend. Het opstellen van zo'n tabel levert echter praktische problemen op. (waarom?) Met de navolgende werkwijze heeft men deze problemen niet. In fig. 1.2 is:

opp. 1-2-3-4 = opp. 5-2-3-0 - opp. 5-1-44

ofwel:

Vervangen we elk van de bovengenoemde oppervlakten door rechthoeken, dan geldt dat:

waarin c, de gemiddelde waarde van c voorstelt tussen O 'C en t-, en c2 de gemiddelde waarde van c tussen O°C en t2. Hieruit volgt dat:

Daarmee wordt de toe te voeren warmte:

Voor vele stoffen zijn tabellen opgesteld waarin cl en c, direct afleesbaar zijn. Daar de variatie van c met de temperatuur betrekkelijk gering is, kan worden volstaan met een tabel waarbij de temperatuur met 50 'C of 100 'C oploopt. Voor tussenliggende waarden moet men dan lineair interpoleren. Als het beschouwde temperatuurtraject klein is, kan met enige benadering het verloop van de soortelijke warmte als rechtlijnig worden beschouwd. In dat geval is c,, het rekenkundig gemiddelde van c, en c,.

Wordt de soortelijke warmte van een gas bepaald, dan blijkt de uitkomst meestal van de druk en de temperatuur afhankelijk te zijn en altijd van de wijze waarop de proef wordt uitgevoerd. Twee bijzonder belangrijke gevallen zijn: l Verwarming van het gas bij constant volume. De druk van het gas neemt hierbij toe.

Voor de soortelijke warmte schrijven we cv 2 Verwarming van het gas bij constante druk. Dit is te realiseren door het gas te

brengen in een cilinder afgesloten door een zuiger die zich wrijvingsloos kan bewegen. Bij warmtetoevoer neemt het volume toe, waarbij de zuiger zich tegen de uitwendige druk in verplaatst en -in tegenstelling tot het gelijkvolumeproces - door het gas arbeid wordt geleverd. Hierdoor is er meer warmte om het gas één graad in temperatuur te doen stijgen dan in geval l, zodat c > cv

Opmerking

Bij vaste stoffen en vloeistoffen is de volumeverandering bij verwarming zeer klein, zodat c,, = cv = c. Het is in zo'n geval niet nodig de wijze waarop de warmtetoevoer plaatsvindt, nader aan te duiden. Voor een ideaal gas is de soortelijke warmte per km01 voor alle éénatomige gassen gelijk en van de temperatuur en druk onafhankelijk. Dit geldt voor zowel c,, als cv Ook bij alle twee-atomige gassen is er een zekere mate van overeenkomst, maar c,, en cv variëren wél met de temperatuur. Voor meeratomige gassen zoals CO:,, CH4, NH3 enz. varieert zowel c,, als cv sterk met de temperatuur en zijn zij ook onderling niet meer gelijk. Voor de verhouding van c,, en cv wordt gewoonlijk k geschreven. Voor gassen met hetzelfde aantal atomen zijn de onderlinge verschillen in de k-waarde gering. Voor twee- en rneeratomige gassen is k zelf ook weer van de temperatuur af- hankelij k. Het verschil tussen c,, en cv is constant zoals in paragraaf 2.8 zal worden aangetoond.

Verbrandingswaarde, stookwaarde

Onder de verbrandingswaarde van een vaste of vloeibare brandstof verstaat men de warmtehoeveelheid die vrijkomt bij volledige verbranding van l kg brandstof met inbegrip van de condensatiewarmte van de, bij de verbranding gevormde, waterdamp.

De verbrandingswaarde wordt met een proef bepaald. Hierbij worden de verbrandingsgassen die ontstaan bij verbranding van een brandstofmonster, tot ongeveer kamertemperatuur afgekoeld, zodat bovengenoemde condensatie plaatsvindt. De afgevoerde warmte wordt gemeten en dit is per definitie de verbrandingswaarde. In de praktijk ontwijken de verbrandingsgassen echter meestal met een zo hoge temperatuur dat er geen condensatie optreedt. De verbrandingswaarde is dan geen juiste maatstaf voor de hoeveelheid warmte die voor praktische doeleinden uit de brandstof wordt verkregen. Men rekent daarom met de z.g. stookwaarde van de brandstof (ook wel onderste verbrandingswaarde genoemd).

De stookwaarde is te definiëren als de verbrandingswaarde minus de condensatiewarmte van de bij de verbranding gevormde waterdamp.

Bij gasvormige brandstoffen wordt de stookwaarde niet per kg maar per m3 opgegeven. Om de stookwaarde van verschillende gassen gemakkelijk te kunnen vergelijken, wordt het volume genomen bij normale omstandigheden.

Rendement

In veel machines en installaties (verbrandingsmotor, stoomketel, elektromotor, stoomturbine enz.) vinden energieomzettingen plaats. Steeds zal men daarbij constateren dat de energie die is toegevoerd, groter is dan de energie die nuttig wordt verkregen. Met 'nuttige' energie wordt de energievorm bedoeld die het werktuig moet leveren. Men tracht uiteraard machines en installaties te ontwerpen waarbij de verhouding tussen de nuttige energie en de toegevoerde energie zo groot mogelijk is. Bij de omzetting van warmte in arbeid (een voor de techniek zeer belangrijke omzetting) wordt deze verhouding het thermische rendement n,,, genoemd. Dit is dus per definitie de verhouding tussen de verkregen arbeid en de hiervoor benodigde warmte:

Voor een verbrandingsmotor is de waarde van het aldus gedefinieerde rendement erg laag nl. 0,20 . . .0,45. (Zou men het rendement in procenten willen uitdrukken, dan moet het quotiënt nog met 100 worden vermenigvuldigd.) Om de verschillende verliezen nader te onderzoeken, kan ook van onderdelen van het

totale proces een rendement worden bepaald. Zo kent men bij motoren o.a. een verbrandingsrendement r]" en een mechanisch rendement r]-. Het laatst genoemde rendement is gedefinieerd als de verhouding tussen de effectieve arbeid W, die aan de uitgaande as vrijkomt en de arbeid W, (de z.g. indicateurarbeid) die aan zuigers wordt afgegeven. Het verschil tussen W, en W, wordt veroorzaakt dor de mechanische wrijvingsverliezen. Bij een motor - en bij elk werktuig dat mechanisch energie levert - is de arbeid die per tijdseenheid aan de as vrijkomt (Pe), kleiner dan de arbeid die per tijdseenheid in de cilinder wordt ontwikkeld (P,), zodat:

Bij een machine waaraan mechanische energie moet worden toegevoerd, zoals bij een compressor, is P, > P, en moeten in de bovengenoemde formule voor r ] de teller en noemer worden verwisseld. De waarde van kan immers nooit groter zijn dan één ofwel 100 % .

In de literatuur komen vele rendementen voor; de benamingen zijn echter niet genor- maliseerd, zodat voor hetzelfde soort rendement soms verschillende benamingen worden gebruikt en omgekeerd dezelfde benaming geen waarborg is dat ook hetzelfde soort rendement wordt bedoeld. Dit betekent dat steeds moet worden nagegaan hoe de rendementen zijn gedefinieerd.

toepassing 1 .l

Voor de gemiddelde soortelijke warmte van een metaal tussen O°C en t°C is gegeven:

Bereken met behulp hiervan de hoeveelheid warmte die moet worden toegevoerd om 5 kg van dit metaal van 125 'C tot 350°C te verwarmen.

oplossing

Substitutie van C,, volgens (1.3) levert:

De waarden van c2 en C, zijn weliswaar niet gegeven maar door lineaire interpolatie wel uit de gegevens te berekenen:

toepassing 1.2

Hoeveel liter brandstof verbruikt een motor per uur als het thermisch rendement van de motor 25% bedraagt en het vermogen 30 kW? Van de brandstof is de stookwaarde 38 MJ/kg en de dichtheid 900 kg/m3.

oplossing

w' Het motorrendement q,,, = - = zodat de warmtestroom

Q Q

Q = - = - e ' 30 kW = 120 kW, d.i. 120 x 3600 kJ/h = 432 x lo3 kJlh n., 025

432 x lo3 Benodigde brandstof: kglh = 11,37 kglh

38 x 103

m 11,37 - - De volumestroom brandstof is - - m3/h = 0,0126 m3/h = 12,6 l/h

p 900

1.7 Gassen en gasmengsels

1.7.1 Inleiding

Alle stoffen kunnen onder bepaalde omstandigheden in de gasvorm overgaan. Wat die omstandigheden zijn, wordt bepaald door de aard van de stof. Wordt aan een kokende vloeistof bij constante druk warmte toegevoerd, dan ontstaat verzadigde damp die bij verdere warmtetoevoer overgaat in z.g. oververhitte damp. Bij een zeer sterk oververhitte damp spreekt men ten slotte van een gas. Verzadigde damp, oververhitte damp en een gas zijn verschillende toestanden van een stof in een gasfase. Een scherpe grens tussen oververhitte damp en een gas is niet te trekken. In installaties of machines waarin thermische energie in mechanische energie wordt omgezet, fungeert een gas of een damp als energiedrager. Daarbij is het, voor het uitvoeren van berekeningen, van essentieel belang te weten hoe druk, temperatuur en volume verlopen en hoe hun onderlinge samenhang is. Deze samenhang is niet op theoretische gronden vast te stellen en moet dus experimenteel worden bepaald. Uit de proefnemingen van Boyle en Gay-Lussac bleek het verband tussenp, V en Tvan een stof in de gasfase met een eenvoudige formule te kunnen worden weergegeven. De geldigheid van de 'Wet van Boyle en Gay-Lussac', ook wel de gaswet genoemd, is echter beperkt tot ideale gassen. Hieronder verstaat men een gas waarvan het eigen volume van de moleculen kan worden verwaarloosd alsmede hun onderlinge aantrekkings- kracht. Hoewel de in de techniek toegepaste gassen in werkelijkheid niet ideaal zijn, blijkt deze wet in een groot aantal gevallen toch redelijk te voldoen. Indien echter zeer hoge drukken optreden of indien een damp als energiedrager wordt toegepast zijn de afwijkingen te groot. Men moet dan empirisch bepaalde correctietermen aanbrengen waardoor de eenvoud van de formule verloren gaat. Het verdient in dat geval de voorkeur gebruik te maken van tabellen of grafische voorstellingen waaruit het verband tussen p, V en T kan worden afgelezen. Voor vele technisch belangrijke stoffen zijn deze gegevens beschikbaar.

1.7.2 Wet van Boyle-Gay Lussac

Volgens deze wet, ook wel de gaswet genoemd, is voor een bepaalde hoeveelheid gas het produkt van druk en volume gedeeld door de absolute temperatuur constant.

Tussen twee willekeurige toestanden van een bepaalde hoeveelheid gas bestaat dus de volgende betrekking:

Voor l kg gas is het volume Vin (1.6) per definitie het soortelijk volume v, terwijl voor de constante C een R wordt geschreven. In dat geval geldt: p v = R T. We noemen R de specifieke gasconstante. Deze is afhankelijk van de aard van het gas en kan door meting van p, v en T worden bepaald. Substitutie van v = V/m in p v = R T levert:

Een vergelijking die het verband weergeeft tussen druk, temperatuur en volume van een stof, wordt een toestandsvergelijking genoemd. Formule (1.7) is dus de toestandsvergelijking van een ideaal gas. In deze vergelijking isp de absolute druk van het gas (N - m-2) en wordt de gasconstante R uitgedrukt in J/(kg K). De uitdrukkingen (1.6) en (1.7) gelden alleen voor ideale gassen. In werkelijkheid zal geen enkel gas volledig aan de wet van Boyle-Gay Lussac voldoen. Ze vertonen alle afwijkingen, maar deze zijn kleiner naarmate de druk lager is.

Dit blijkt ook uit fig. 1.3 waarin voor lucht bij verschillende drukken en temperaturen de experimenteel bepaalde waarde van het quotiëntp v/R Tis uitgezet. Voor een ideaal gas inp v/R T = l. Uit de grafiek blijkt dat geen grote fout gemaakt wordt door lucht, bij niet te hoge drukken, als een ideaal gas te beschouwen. Hetzelfde geldt voor alle een- en twee-atomige gassen, zoals helium, argon, zuurstof, stikstof, waterstof en koolstofmonoxide. Het hangt van de gewenste rekennauwkeurigheid af onder welke omstandigheden een gas nog als ideaal kan worden opgevat.

Fig. 1.3

bar

1.7.3 Algemene gasconstante

Vervangen we de massa in (1.7) door het produkt van n (kmol) en de molaire massa M (kglkmol), dan verkrijgen we de volgende uitdrukking:

Hieruit volgt dat:

Van elk ideaal gas is bij dezelfde druk en temperatuur het volume per km01 gelijk. Dit betekent dat het rechterlid van (a) voor elk ideaal gas dezelfde waarde heeft, zodat ook het produkt M R constant is. Men noemt dit produkt de algemene of absolute gasconstante Ra welke wordt uitgedrukt in J/(kmol K). Ook spreekt men wel van de molaire gasconstante:

Als Ra bekend is, kan de gasconstante R van elk ideaal gas berekend worden door R, te delen door de molaire massa van het desbetreffende gas. De waarde van R, is uit metingen bepaald en bedraagt:

Voor reële gassen is het produkt van R (uit tabel I achterin het boek) en de molaire massa M niet precies 8 315 J/(kmol. K) maar de verschillen zijn klein. De gaswet kan nu geschreven worden als:

Deze toestandsvergelijking is onafhankelijk van de aard van het gas. Het molaire volume V_ voor de normtoestand (1,013 bar en 273 K) bedraagt volgens (1.9):

Eén km01 van elk ideaal gas heeft dus een volume van 22,4 m: of anders geformuleerd: elk ideaal gas heeft een volume van 22,4 m:/kmol.

toepassing 1.3

50 liter lucht van 1 bar en 17OC wordt gecomprimeerd tot 9 bar, waarbij het volume daalt tot 10 liter. Als R = 287 J/(kg - K) bepaal dan: a de hoeveelheid lucht in kg en in km01 als R, = 8 315 J/(kmol - K); b de eindtemperatuur van de lucht; c het aantal m

3 lucht betrokken op O°C en 1,013 bar;

d de dichtheid en het molaire volume in de eindtoestand.

oplossing

a De massa m kan worden berekend uit (1.7) en het aantal km01 n uit (1.9):

p, v, 105 x o,os n = - = 2,07 10'~ km01

R, T - 8315 x 290

b De temperatuur na compressie volgt uit:

c Geeft men de nieuwe toestand aan met de index O dan is:

Daar het volume van l km01 gelijk is aan 22,4 m:, is Vã ook te bepalen door 22,4 m:/kmol te vermenigvuldigen met n (0,002 O7 kmol).

Het molaire volume V- = - = - Ra Uitwerking levert: n P2

1.7.4 Wet van Dalton; eigenschappen van gasmengsels

In de praktijk bestaan gasvormige media dikwijls uit een mengsel van verschillende gassen zoals aardgas, lucht of verbrandingsgassen. Zoals bekend kunnen gassen gemakkelijk en in iedere verhouding met elkaar worden gemengd (diffusie). Van bekende gasmengsels (lucht b.v.) zijn de stofeigenschappen voldoende bekend, maar in andere gevallen - b.v. verbrandingsgassen - niet. We kunnen echter deze eigenschappen afleiden uit die van de gassen waaruit het mengsel is samengesteld. Daarbij wordt aangenomen dat we te maken hebben met een homogeen mengsel van ideale gassen die chemisch niet met elkaar reageren. Een belangrijk uitgangspunt bij de bepaling van de stofeigenschappen is de wet van Dalton. Deze empirisch gevonden wet kan als volgt worden geformuleerd:

De druk die een gasmengsel in een ruimte met volume V uitoefent, is de som van de partiële drukken.

De partiële druk is de druk die door elk gas afzonderlijk wordt uitgeoefend, wanneer het zich alleen in de ruimte met volume V zou bevinden bij dezelfde temperatuur. Behalve voor een mengsel bestaande uit twee gassen, geldt het bovenstaande ook wanneer het mengsel bestaat uit n verschillende gassen. De wet van Dalton kan in zo'n geval als volgt genoteerd worden:

waarin pi de partiële druk voorstelt van het i-de gas.

Wordt één van de gassen uit het mengsel, met partiële drukp, bij constante temperatuur samengeperst tot de druk p van het mengsel en verandert het volume hierbij van V tot Vi dan geldt:

De verhouding van de partiële drukken is dus gelijk aan de volumeverhouding. Voor elk van de gassen uit een mengsel geldt de gaswet zodat:

De samenstelling van een gasmengsel wordt gegeven door de massaverhoudingen (m,/m) of door de volumeverhoudingen ( V i m .

Van elk gas is, bij dezelfde p en T, het volume per km01 gelijk, zodat een kmolver- houding overeenkomt met een volumeverhouding.

Voor een gasmengsel waarvoor op elk van de afzonderlijke gassen de gaswet (p; V = mi R, T) mag worden toegepast, geldt:

Voor de eerste term kanp V worden geschreven, zodat in het laatste lid de term tussen haakjes beschouwd kan worden als de gasconstante R,,, van het mengsel:

Voor de dichtheid van een gasmengsel kan met behulp van de gaswet worden geschreven:

De dichtheid p_ kan echter ook berekend worden uit die van de afzonderlijke gassen. We schrijven dan:

mi Hierin is p, = - de dichtheid van een willekeurig gas uit het mengsel bij de druk p v. en temperatuur T van het mengsel:

Wordt aan een gasmengsel warmte toegevoerd, dan kan de totaal toe te voeren warmte worden gevonden door sommering van de termen dQ = m c d T voor de afzonderlijke gassen. Dit levert:

De term tussen haakjes kan beschouwd worden als de soortelijke warmte van het mengsel:

toepassing 1.4

Een gasmonster bestaat uit 30% koolstofdioxide (CO,), 15% waterstof (H,) en 55% stikstof (N,). De percentages hebben betrekking op het volume. Bepaal van dit mengsel: a de massapercentages van CO,, H, en N,; b de gasconstante; c de dichtheid bij 10°C en l bar. Rco, = 189 J/(kg K), Rh = 4 123 J/(kg K) en Rb = 297 J/(kg K).

oplossing

a Stel dat we uitgaan van 100 m3 mengsel van l bar en 10 'C. Uit de gaswet kan dan de massa m,, m-, en m, van resp. CO:, H, en N-, worden berekend.

Op dezelfde wijze vinden we:

56,09 Het massapercentage CO, bedraagt dus: - x 100 % = 45,67 %.

122,8

Voor H, wordt dit dan 1,05 % en voor N, 53,28 %.

p v - - 10 x 100 b Voor dit mengsel in R,,, = - J/(kg . K) = 287,7 J/(kg . K). m T 122,8 x 283

m 122,8 c Voor de dichtheid geldt: p,,, = - = - v 100

kg/m3 = 1,23 kg/m3

Dezelfde uitkomst levert de gaswet geschreven als p_ = pIRm T. Als we van een ander volume, een andere druk of een andere temperatuur zouden zijn uitgegaan, zouden de uitkomsten van a en b hetzelfde zijn gebleven.

In c wordt de dichtheid gevraagd bij l bar en 10 'C, zodat het een logische keuze was van deze toestand uit te gaan.

Vraagstukken

Maak eerst de vraagstukken met de even nummers.

l Voor het meten van de hoeveelheid water die door een leiding stroomt, is een meetflens ingebouwd. De leiding direct voor een achter de meetflens is op een U-buis aangesloten die gevuld is met kwik. Als de kwikspiegel aan de ene zijde 150 mm boven de onderkant van de U-buis staat en aan de andere zijde 255 mm, hoe groot is dan het drukverschil over de meetflens in Pa? p = 13,6 x lo3 kg/m3; pã = 103 kg/m3; g = 10 m/s2.

2 Als de soortelijke warmte afhankelijk is van de temperatuur volgens c = a + bt, waarin a = 0,s kJ/(kg. K), b = 0,0125 kJ/(kg K ~ ) en t de temperatuur in OC, hoeveel warmte moet dan worden toegevoerd om 2,5 kg van de desbetreffende stof van 60 OC op 400 'C te brengen?

3 Gegeven is dat voor stikstof tussen 27OC en 4 000 'C gerekend mag worden met:

8,07 . 10" 498 . 106 -f- ] [J/(kmol * K)]

T T 2

Bereken nu de hoeveelheid warmte in kJ die nodig is om 8 kg stikstof van 30 'C bij constante druk tot 180°C te verwarmen. Wat is de gemiddelde waarde van c (in J/(kg . K)) voor het laatstgenoemde temperatuurtraject? De relatieve atoommasa A, van stikstof is 14.

4 Een as van 50 mm diameter roteert met een frequentie van 60 Hz. De asbelasting is 1 500 N en de wrijvingscoëfficiënt p = 0,03. Bereken het vermogen dat door wrijving verloren gaat. Als de wrijvingswarmte volledig door olie van 50°C moet worden afgevoerd, hoeveel liter olie moet men dan per minuut toevoeren als de eindtemperatuur 60 'C bedraagt? Van de olie is gegeven dat co = 1700 J/(kg K) en po = 900 kg/m3.

5 Door een scheepsturbine die een vermogen levert van 10 MW, wordt de schroefas aangedreven. Om de rotatiefrequentie te reduceren wordt tussen de turbine en de as een tandwielkast geplaatst met een mechanisch rendement van 96 %. Als de wrijvingswarmte door de smeerolie wordt opgenomen waardoor deze een temperatuurstijging verkrijgt van 12 'C, hoeveel ton olie wordt dan per uur aan de tandwielkast toegevoerd? co,, = 1,7 kJ/(kg K).

6 a Het uitgaande vermogen van een tandwielkast met een mechanisch rendement x [%l is P.,., [kW]. De wrijvingswarmte wordt opgenomen door smeerolie waarvan de temperatuurstijging A T bedraagt en de doorstromende hoeveelheid mã [kg per minuut]. Bepaal de soortelijke warmte c, [kJ/(kg . K)] van de olie uitgedrukt in de gegevens.

b De smeerolie wordt in een koeler weer op de begintemperatuur gebracht. Als de doorstromende hoeveelheid koelwater mã [kg per uur] bedraagt, bereken dan de temperatuurstijging AT-, van het koelwater, uitgedrukt in de gegevens. cã =

4,2 kJ/(kg K).

7 Aan een verbrandingsmotor wordt per seconde 12,5 kJ chemische energie (brandstof) toegevoerd. De uitgaande as is gekoppeld aan een elektrische generator. Het ingaande vermogen hiervan bedraagt 5,O kW (me.), hel: uitgaande vermogen is 4,5 kW (el.). Vervolgens wordt de elektrische energie toegevoerd aan een elektromotor die, via een verliesloze overbrenging, een gewicht van 500 N in 3 s over een afstand van 18 m omhoogbrengt. Bereken het rendement van de energieomzetting in de verbrandingsmotor, de generator en de elektromotor, alsmede het totale rendement van de energieomzetting.

8 Van een scheepsdieselmotor is het brandstofverbruik 60 g/MJ. Bereken het thermisch rendement van deze motor als de stookwaarde van de brandstof 40 MJ/kg bedraagt.

Een auto verbruikt in 1,25 uur l 8 liter brandstof met een stookwaarde van 40 MJ/kg. Het geleverde vermogen bedraagt 30 kW. Bereken het thermisch rendement van de motor als de brandstof (p = 800 kg/m3) volledig wordt verbrand.

10 Als het thermisch rendement van een elektrische centrale op 36 % gesteld wordt en de prijs van elektrische energie 20 ct/kWh bedraagt, bereken dan het procentuele aandeel van de brandstofkosten in de prijs van elektrische energie. Ruwe olie (p = 900 kg/m3) met een stookwaarde van S = 40 MJ/kg wordt ingekocht voor f 90,- per vat van 159 liter.

11 Welk vermogen kan een windmolen met een wiekdiameter van 10 m leveren als 41,5 % van de kinetische energie van de aanstromende lucht (p = 1,2 kg/m3) nuttig worden gebruikt? De windsnelheid bedraagt 8 m/s. Als voor een stad van een miljoen inwoners een vermogen van 1000 MW moeten worden opgesteld, hoeveel windmolens zou men dan nodig hebben? Wat wordt dit aantal als de windsnelheid daalt van 8 m/s tot 4 m/s?

12 Door een pomp, aangedreven door een dieselmotor, wordt elk uur 50 m3 water over een afstand van 90 m omhooggebracht. Als in pomp en leidingen geen verliezen optreden en het thermisch rendement van de dieselmotor 30 % bedraagt, bereken dan het brandstofverbruik in kg per uur. De stookwaarde van de brandstof is 40 MJ/kg, pã = 1000 kg/m3 en g = 10 m/s2.

13 Een straalmotor verbruikt per seconde 15 kg brandstof met een stookwaarde van 39500 kJ/kg. De benodigde massa lucht is 125 maal zo groot als die van de brandstof. Men tracht de chemische energie van de brandstof om te zetten in snelheidsenergie van het gas. Als de snelheid c vanhet uitstromende gas 500 m/s bedraagt, hoe groot is dan het rendement van de energieomzetting en het vermogen dat de uittredende gasstraal vertegenwoordigt?

14 Een met kolen gestookte elektrische centrale van 1500 MW heeft een thermisch rendement van 40 %. De stookwaarde van de brandstof is 30 MJIkg de massafractie as bedraagt 0,10. Bereken bij een bedrijfstijd van 5 700 uur per jaar: a het kolenverbruik per jaar alsmede de brandstofkosten per jaar als de prijs van 1

ton kolen f 200,- bedraagt; b de hoeveelheid as die de centrale in 25 jaar produceert; c de benodigde grondoppervlakte (in m ) als de as in een kuil van 5 m diepte wordt

gestort. pa = 2500 kg/m3.

15 In een industriële installatie wordt per uur 12 ton stoom geproduceerd die vervolgens in een machine een vermogen levert van 4 000 kW. Het brandstofverbruik bedraagt 1350 kg/h, de stookwaarde van de brandstof is 27 500 kJ/kg. Bereken het thermisch rendement van de installatie alsmede het rendement van de ketel als voor de omzetting van 1 kg water in stoom 2 500 kJ warmte nodig is.

16 In een elektrische centrale moet aan de turbine per seconde 1 kg stoom worden toegevoerd voor de levering van een vermogen van 1 MW. De stoom wordt met een druk van 0,04 bar naar een condensor afgevoerd. Bij de condensatie die hierin optreedt, wordt per kg stoom l 899,5 kJ warmte aan het koelwater afgestaan. De beschikbare hoeveelheid koelwater waarvan de temperatuurstijging maximaal 9 K mag zijn, bedraagt 72 000 ton per uur. Bepaal het maximale vermogen van de turbine die in de centrale mag worden opgesteld. cã = 4,2 kJ/(kg - K).

17 Een compressor zuigt lucht aan met een onderdruk van 0,1 bar. De barometerstand is 720 mm kwik. Als bij de compressie de temperatuur constant blijft en het volume verkleind wordt tot 4 van de oorspronkelijke waarde, wat is dan de aanwijzing van een manometer in bar (overdruk) aan het einde van de compressieslag? pkã = 13,6 x 1o3 kg/m3, g = 10 &s2.

18 In de luchtverhitter van een ketel wordt per uur 5 000 m lucht verwarmd van 20 OC tot 250°C. Hierbij treedt geen drukverlies op. Bereken de volumetoename in procenten alsmede het percentage waarmee de zijde van een vierkant luchtkanaal moet worden vergroot als de eis wordt gesteld dat de luchtsnelheid vóór en na de luchtverhitter gelijk moet zijn.

19 In een tank met een inhoud van 60. l o 3 m3 bevindt zich zuurstof van 140 bar en een

constante temperatuur van 17 'C. Voor het lassen van een constructie is per minuut 10 liter zuurstof van 17 'C en een druk van 2,5 bar nodig. Deze zuurstof wordt aan het bovengenoemde vat onttrokken. Als aan het einde van de lasperiode de druk in het vat nog 98 bar bedraagt, hoeveel kilogram zuurstof is dan uit het vat ontweken en hoe lang heeft het lassen geduurd? Mo;, = 32 kglkmol, Ra = 8 315 JI(kmo1 K).

In een vat van 5 m3 bevindt zich een gas dat van O 'C tot 82 'C wordt verwarmd. Bij dit proces blijft de druk constant doordat het gas door een veiligheid kan ontwijken. Hoeveel procent van de oorspronkelijke massa blijft in het vat achter?

In een zuurstoffles bevindt zich 50 dm3 zuurstof van 17 OC en 150 bar. Als R = 260 J/(kg . K) bereken dan: a de temperatuur die de zuurstof heeft als de druk in het vat door warmtetoevoer

tot 180 bar is opgelopen; b de druk en de dichtheid bij 17 OC resp. O 'C als de helft van de zuurstof verbruikt

is.

22) Een ketel met een rendement van 80 % verbruikt per uur 200 kg olie met een - stookwaarde van 40 MJIkg. Per kilogram brandstof ontstaat bij de verbranding

15 m: rookgassen (R = 280 J/(kg K)) die met l60 'C en een druk van l bar de ketel verlaten. Bereken: a de hoeveelheid rookgassen in kglh; b de dichtheid hiervan zowel in de normaaltoestand als direct na de ketel; c de oppervlakte van het rookkanaal na de ketel als de gassnelheid er 4 m/s

bedraagt; d de stoomproduktie van de ketel per uur als voor de vorming van l kilogram

stoom 3 000 kJ warmte aan het water moet worden toegevoerd.

23 Een ballon wordt volledig gevuld met 250 m3 helium van 20°C en l bar. Op grote hoogte is de temperatuur van het gas -23OC, de druk j van de oorspronkelijke waarde en de dichtheid 0,128 kg/m3. Hoeveel m3 helium, betrokken op de begintoestand, is uit de ballon ontweken als de diameter gelijk is gebleven en wat is de gasconstante R?

24 Door zoninstraling wordt een gas (CHJ van 320 K dat zich in een gesloten tank bevindt, 80°C in temperatuur verhoogd. Als de warmtetoevoer 1 524 kJ bedraagt, bereken dan van dit gas: a de hoeveelheid gas in kg en in kmol; b de gasconstante R in J/(kg - K) en de molaire gasconstante in Jl(kmo1- K); c het percentage waarmee de druk in het vat is toegenomen;

cv = 38,l kJ/(kmol q K); relatieve atoommassa's: A , = 12 en A , = l .

Van een gas is bekend dat bij 2 bar en 300 K de dichtheid p = a [kg/m3]. Als bovendien gegeven is dat 1 km01 van dit gas een massa heeft van b [kg], bereken dan het quotiënt b/a.

Voor de soortelijke warmte van een gas met een molaire massa van 0,3p wordt opgegeven 30 kJ/(kmol. K). Reken de laatstgenoemde waarde om in kJ/(kg. K).

In een gasmotor wordt 32 % van de toegevoerde warmte in nuttige arbeid omgezet. Als aan de motor per uur 8 km01 gas met een molaire massa M = 16 kglkmol wordt toegevoerd, bepaal dan het geleverde motorvermogen en het brandstofverbruik in ~ZIMJ. De stookwaarde van de brandstof bedraagt 21 MJIkg.

Een gasmotor van 500 kW gebruikt per uur 650 m3 gas van 1 bar en 30°C. De stookwaarde van dit gas is 13 M J / ~ ; . a Als deze motor een ander gas zou gebruiken met een temperatuur van 47 'C, een

druk van 0,85 bar en een stookwaarde S van 30 M J I ~ ~ , wat zou dan het gasverbruik per uur zijn? Het thermisch rendement van de motor blijft gelijk.

b Wat is in het laatste geval het gasverbruik in m; per MJ en wat is het thermisch rendement van de motor?

Een ballon met een inhoud van 5 dm3 wordt gevuld met 3 dm3 lucht van 100 kPa en 57 'C en 4 dm3 koolstofdioxide van 175 kPa en dezelfde temperatuur. Bepaal van dit mengsel de partiële drukken, de massaverhouding, de volumeverhouding en de gasconstante. Bereken de partiële drukken eveneens als door warmte-afvoer bij constant volume de temperatuur is afgenomen tot O°C. R, = 287 J/(kg . K), R m = 189 J/(kg . K).

Tien kilogram gas (R = 297 J/(kg . K)) wordt gemengd met 5 kg van een ander gas waarvan de gasconstante 519 J/(kg . K) bedraagt. De temperatur van de gassen is gelij k. Bereken de gasconstante van het mengsel, de volumeverhouding en de dichtheid bij 0 'C en 1,013 bar. Hoe groot zijn de partiële drukken als de druk van het mengsel 2 bar bedraagt?

In een vat van 5 m3 bevindt zich lucht met een temperatuur van 20 OC en een druk van 2 bar. Men vult het vat verder met zoveel propaangas van 20 'C dat het mengsel ten slotte een druk van 10 bar verkrijgt. De stookwaarde van het propaan is 45 MJIkg. Bepaal de partiële drukken, de massa- en volumeverhoudingen, de gasconstante van het mengsel en de stookwaarde van het mengsel in M J I ~ . R, = 287 J/(kg . K) en Rã = 189 J/(kg . K).

Een mengsel van waterstof en stikstof wordt zo samengesteld dat de volumeverhouding 4 : 1 bedraagt. De druk van het mengsel is 3 bar en de temperatuur 17 'C. Bereken de benodigde massa stikstof en het vereiste volume van het opslagvat, beide per kg waterstof. Ra = 8 315 J/(kmol . K); relatieve atoommassa's: ArH = 1 en ArN = 14.

Een mengsel van 2 km01 CO en 6 km01 lucht bevindt zich in een vat bij een temperatuur van 17OC en een druk van 2 bar. Van lucht is de samenstelling in volumefracties: 0'79 stikstof en 0,21 zuurstof. Als voor de relatieve atoommassa's geldt dat A , = 12, A , = 16 en A , = 14, bereken dan: a de massa CO, O-, en N-,; b het massapercentage koolstof in het mengsel.

33 Een gasmengsel bestaat uit 56 kg CO en 96 kg O, van 500 K. Dit mengsel wordt bij een constante druk van 3 bar tot 300 K afgekoeld. Voor koolstofmonoxide is CP =

1,055 kJ/(kg K) tussen O 'C en 300 OC en C = 1,076 kJ/(kg. K) tussen O OC en 500 ¡C. Voor zuurstof zijn deze waarden resp. 0,950 kJ/(kg . K) en 0,979 kJ/(kg . K). Ra = 8 315 J/(kmol . K); relatieve atoommassa's: A , . = 12 en A , = 16. Bereken van dit gasmengsel:

het aantal kilomol CO en O, en hun volumefracties; de molaire massa en de gasconstante R., in J/(kg - K); het volume van CO en O, in de begintoestand; de dichtheid in de begintoestand en in de normaaltoestand; de af te voeren warmte Q,., in MJ.

Hoofdstuk 2

De eerste hoofdwet

Inleiding

Energie kan in verschillende vormen voorkomen o.a. als elektrische energie, als kinetische energie, als thermische energie (warmte) enz. Volgens een ervaringswet, de wet van behoud van energie, kan er geen energie verloren gaan, noch kan er energie uit het niets ontstaan. Het is echter wel mogeljk de ene vorm van energie in een andere te doen overgaan. Zo kan b.v. mechanische energie worden omgezet in thermische energie (wrijving) of in elektrische energie (generator) en kan chemische energie in thermische energie (verbranding van brandstof) of in elektrische energie (galvanisch element) worden getransformeerd. Bij al deze omzettingen geldt de wet van behoud van energie. Dit betekent echter niet dat elke vorm van energie volledig in elke gewenste eindvorm kan overgaan. Integendeel, meestal is de omzetting onvolledig en is het verlangde eindprodukt slechts een klein deel van de toegevoerde energie; de rest bestaat dan uit energievormen die niet of minder gewenst zijn. Het 'rendement' van de omzetting is dikwijls laag, zelfs bij de huidige stand van de techniek. In een verbrandingsmotor b.v. wordt uit de toegevoerde chemische energie (brandstof) mechanische energie (de gewenste eindvorm) verkregen met een rendement van 25 à 40 % en wordt de rest van de toegevoerde energie als warmte afgevoerd (smeerolie, koelwater en uitlaatgassen). Ook in een elektrische centrale wordt de brandstof slechts voor ca. 40 % getransformeerd in de gewenste elektrische energie. De resterende 60 % wordt als warmte naar de omgeving afgevoerd. Bij de beschouwingen over energie-omzettingen, met name de omzetting van thermische in mechanische energie, zijn twee hoofdwetten van fundamenteel belang. Deze kunnen niet worden bewezen, maar het feit dat geen enkel experiment ooit met deze twee hoofdwetten en de daaruit afgeleide wetten in tegenspraak is geweest vormt een indirect bewijs hiervan. De reeds genoemde wet van behoud van energie staat in de warmteleer bekend als de eerste hoofdwet. Uit ervaring is gebleken dat het niet mogelijk is een gegeven hoeveelheid thermisch energie volledig in mechanische energie om te zetten. Steeds zal, zelfs bij de meest ideale procesvoering, een gedeelte van de toegevoerde warmte ongebruikt moeten

worden afgevoerd. De mogelijkheid om thermische energie in mechanische energie (arbeid) om te zetten is dus beperkt, een verschijnsel waarover de tweede hoofdwet een uitspraak doet. Niet alle energievormen kennen een dergelijke beperking. Elektrische energie b.v. kan volledig in thermische en mechanische energie worden omgezet, zodat de waarde (kwaliteit) van elektrische energie hoger kan worden aangeslagen dan die van thermisch energie. Voor allerlei doeleinden in de samenleving is mechanische energie nodig en als bij de 'produktie' hiervan ook andere vormen van energie worden verkregen, wordt dit als een verlies beschouwd. Energie kan echter niet verloren gaan, zodat beter gesproken kan worden over verlies van kwaliteit ofwel van 'degradatie' van energie. Met behulp van de tweede hoofdwet is deze degradatie kwantitatief te bepalen. Alvorens op beide hoofdwetten in te gaan, zullen enige algemene begrippen nader worden toegelicht.

2.2 Systeem en omgeving

Om de gevolgen van een energietoe- of -afvoer te kunnen bepalen, moet men o.a. bekend zijn met de aard van het medium waaraan de energie wordt overgedragen en met de machine, het onderdeel of de installatie waarin zich deze energiedrager bevindt. In meer algemene beschouwingen spreken we gewoonlijk over energie-uitwisseling met een 'systeem', zonder hierover nadere details te verstrekken. Onder een systeem verstaan we dan een ruimtelijk begrensd gebied waarbinnen zich het medium bevindt waarop de beschouwingen betrekking hebben. Alles wat zich buiten het systeem bevindt, wordt de 'omgeving' genoemd. Tussen systeem en omgeving bevinden zich de systeemgrenzen. Deze grenzen kunnen star zijn, zoals de wanden van een gesloten vat, maar ook verplaatsbaar. Een verplaatsing van de systeemgrens of een deel ervan is zelfs noodzakelijk om een uitwisseling van mechanische energie tussen systeem en omgeving mogelijk te maken (fig. 2.1, blz. 41). Systeemgrenzen zijn normaliter reëel maar kunnen ook - geheel of gedeeltelijk - denkbeeldig zijn, b.v. als men een deel van de omgeving bij het systeem wil betrekken (fig. 2.8, blz. 53). De keuze van de systeemgrenzen is meestal geen probleem, maar een onverstandige keuze kan de analyse van een systeem zeer bemoeilijken of zelfs onmogelijk maken. Er kan onderscheid worden gemaakt tussen open en gesloten systemen. Men spreekt van een gesloten systeem als dezelfde hoeveelheid stof binnen de gestelde grenzen blijft en er dus geen materie de systeemgrens passeert. Bij open systemen daarentegen bestaat er een transport van massa over de grenslijnen. Dit is de normale situatie in technische apparatuur (ketel, turbine, compressor, pomp, enz.). De beschouwingen hebben meestal betrekking op één stofstroom (turbine, pomp, enz.) maar door de aard van het systeem of door de keuze van de systeemgrenzen, kan dit aantal ook groter zijn dan één, b.v. stoomketel (brandstof, water, lucht).

Onder een geïsoleerd systeem wordt een systeem verstaan dat geen enkele wissel- werking heeft met zijn omgeving. Met name is de overdracht van energie, zowel thermisch als mechanisch, niet mogelijk. De betekenis van het woord 'isolatie' gaat dus verder dan wat er gewoonlijk onder wordt verstaan. Wordt alleen de 'thermische' isolatie bedoeld, dan zal dit uitdrukkelijk worden vermeld. In een homogeen systeem zijn de chemische samenstelling en de fysische eigenschappen binnen de systeemgrenzen overal gelijk. In een heterogeen systeem is dat niet het geval. Zijn verschillende fasen aanwezig, b.v. een vat gevuld met water en waterdamp, dan veranderen de fysische eigenschappen sprongsgewijs bij de overgang van de vloeibare in de gasvormige fase. Elke fase op zich is weer homogeen.

2.3 Toestandsgrootheden en -veranderingen

Als tussen systeem en omgeving energie wordt uitgewisseld, zal de 'toestand' van het systeem veranderen. Onder de toestand verstaat men de waarde die bepaalde karakteristieke grootheden op het beschouwde ogenblik hebben. Deze grootheden worden daarom toestandsgrootheden genoemd. Vrijwel altijd zijn dit p, T of V omdat die gemakkelijk meetbaar zijn, maar soms zijn geheel andere parameters nodig om de toestand van het systeem te karakteriseren, b.v. voor een accu. Uit p, V en T kunnen weer nieuwe toestandsgrootheden worden afgeleid, zoals: - de inwendige energie U; - de enthalpie H; - de entropie S.

We noemen dit afgeleide toestandsgrootheden; deze zijn niet rechtstreeks meetbaar. Toestandsgrootheden betrokken op de eenheid van massa worden specifieke toestandsgrootheden genoemd. Deze worden met een kleine letter geschreven (v, u, h en s). Aan een toestandsgrootheid kan alleen een waarde worden toegekend als deze eenduidig bepaald is. Dit is het geval als de toestandsgrootheid op elke willekeurige plaats dezelfde waarde heeft, zodat er dus binnen de systeemgrenzen geen druk- enlof temperatuurverschillen optreden. Het systeem is dan in thermodynamisch evenwicht (inwendig evenwicht). Het minimale aantal toestandsgrootheden dat nodig is om de toestand van een systeem vast te leggen, wordt bepaald door de aard van het systeem en is groter naarmate het systeem gecompliceerder is. Voor gesloten éénfasesystemen is experimenteel aangetoond dat het voldoende is om twee, van elkaar onafhankelijke toestandsgrootheden te geven. De waarde van elke andere toestandsgrootheid ligt dan vast. Bij open systemen daarentegen moet ook de snelheid van het medium bij in- en uitstromen alsmede de plaats in het zwaartekrachtveld in de beschouwingen worden betrokken. We noemen dit wel de 'mechanische' toestandsgrootheden. Deze zijn onafhankelijk van elkaar en van de 'thermodynamische' toestandsgrootheden.

Voor sommige stoffen is het verband tussen de toestandsgrootheden door een eenvoudige vergelijking weer te geven, (gaswet b.v.) maar meestal is deze relatie gecompliceerd en kan het beste in tabelvorm worden gepresenteerd. Het wiskundige verband tussen toestandsgrootheden als het systeem in evenwicht is, wordt een toestandsvergelijking genoemd. Processen die zich in de techniek afspelen, gaan altijd gepaard met veranderingen in de toestand van het systeem. Zijn begin- en eindtoestand gegeven (b.v. door p,, T, en p> T.,), dan is daarmee ook de waarde van elke andere toestandsgrootheid in begin- en eindtoestand vast te stellen. De verandering die zo'n toestandsgrootheid ondergaat is dus niet afhankelijk van de wijze waarop het systeem van de ene in de andere toestand is gekomen. Deze veranderingen zijn - zoals men dat noemt - onafhankelijk van de gevolgde weg. Om toestandsveranderingen in beeld te brengen maakt men gebruik van diagrammen waarin op de beide assen een toestandsgrootheid wordt uitgezet. De toestand van een systeem dat in evenwicht verkeert, kan hierin door een punt worden weergegeven. Verkeert een systeem bij een toestandsverandering continu in evenwicht, dan zouden alle toestanden door punten kunnen worden weergegeven. Door deze punten met elkaar te verbinden, ontstaat een z.g. toestandskromme. In het bovenstaande werd gesproken over de toestandsverandering van een systeem in evenwicht. Dit is in tegenspraak met elkaar, want zolang er evenwicht bestaat, kan de toestand niet veranderen. Als we echter een oneindig kleine verstoring in het evenwicht aanbrengen, is een verandering van de toestand wel mogelijk. Het systeem bevindt zich dan op elk moment in de onmiddellijke nabijheid van de evenwichtstoestand. We noemen dit wel een quasistatische toestandsverandering, daarmee aangevend dat alle toestanden bij benadering evenwichtstoestanden zijn. Dit is een belangrijk uitgangspunt bij berekeningen, omdat dan de toestandsvergelijking mag worden toegepast. Bij een grote verstoring van het evenwicht verloopt de toestandsverandering snel en bestaat niet uit een reeks van evenwichtstoestanden. Men spreekt dan van een niet- statische toestandsverandering. Alleen begin- en eindtoestand zijn per definitie evenwichtstoestanden. Het is gebruikelijk het vermoedelijk verloop van het proces tussen begin- en eindtoestand gestippeld te tekenen, daarmee aangevend dat de tussenliggende toestanden niet eenduidig bepaald zijn.

2.4 Omkeerbare en niet-omkeerbare toestandsveranderingen

2.4.1 Inleiding

Een toestandsverandering verloopt omkeerbaar (reversibel) als het theoretisch mogelijk is alle toestanden in omgekeerde volgorde te laten verlopen, zodat tenslotte zowel systeem als omgeving weer in de begintoestand terugkeren. Het omkeerbare proces is te beschouwen als een ideaal proces waarin geen enkele vorm van energiedegradatie optreedt. Dergelijke processen lenen zich uitstekend voor een wiskundige benadering.

De berekeningsresultaten kunnen vervolgens worden vergeleken met de uitkomsten die in de praktijk worden verkregen, zodat beoordeeld kan worden in hoeverre men het ideale proces heeft kunnen benaderen. De omstandigheden die bepalend zijn voor het al dan niet omkeerbaar verlopen van een toestandsverandering, zullen aan de hand van een aantal voorbeelden duidelijk worden gemaakt.

2.4.2 Omkeerbare expansie en compressie

Om het begrip 'omkeerbaarheid' toe te lichten, beschouwen we een verticaal geplaatste, thermisch geïsoleerde cilinder die met een gasvormig medium is gevuld. Als gevolg van de isolatie kan de overdracht van thermische energie buiten beschouwing blijven. D e zuiger kan wrijvingsloos in de cilinder bewegen en is voorzien van een plateau waarop zich een aantal oneindig kleine massa's dm bevinden (fig. 2.1). We gaan uit van een stilstaande zuiger, dus van een evenwichtstoestand. Zouden we nu één van de massa's naar het platform ernaast verschuiven, dan is het (mechanisch) evenwicht verbroken en zal de zuiger zich over een oneindig kleine afstand omhoog bewegen tot een nieuwe evenwichtstoestand is bereikt. Daarbij wordt door het systeem een oneindig kleine hoeveelheid arbeid geleverd. Vervolgens wordt weer een oneindig kleine massa op het ernaast gelegen platform gebracht en gaat de zuiger opnieuw omhoog. Op deze wijze kunnen alle massa's op de verschillende platforms worden gebracht, waarna de zuiger de hoogste (gestippelde) stand bereikt heeft. De aldus verkregen expansie van het gas zou men kunnen laten volgen door een compressie. Men moet dan de massa's in omgekeerde volgorde van de verschillende platforms op het zuigerplateau plaatsen. Uiteindelijk wordt dan de begintoestand weer bereikt waarbij zowel systeem als omgeving in dezelfde situatie verkeren als bij de aanvang van de expansie.

Fig. 2.1

Dat laatste is strikt genomen niet helemaal juist. De eerst afgenomen massa heeft geen verticale verplaatsing ondergaan en is van geen waarde voor de omgekeerde zuigerbeweging. De laatst verschoven massa bevindt zich onder het zuigerplateau in de hoogste stand. Om de omgekeerde zuigerbeweging in gang te zetten moet de eerst verschoven massa dm op het zuigerplateau worden geplaatst met als gevolg dat er in de omgeving een oneindig kleine (verwaarloosbare) verandering optreedt (levering van een oneindig kleine arbeid dm g s h door de 'omgeving'). Een expansie die op de bovenomschreven wijze wordt uitgevoerd noemt men omkeerbaar omdat er zowel in het systeem als in de omgeving geen waarneembare (slechts oneindig kleine) veranderingen optreden als het systeem in gedachten weer wordt gecomprimeerd. Het systeem bevindt zich op elk moment in evenwicht met de omgeving (uitwendig evenwicht). Doordat het drukverschil tussen systeem en omgeving oneindig klein is, zal de zuiger oneindig langzaam bewegen, zodat het systeem ook inwendig steeds in evenwicht za1 zijn. In de praktijk, waar het proces in een eindige tijd moet aflopen, is het genoemde evenwicht, dus de omkeerbaarheid van het proces, nooit te realiseren.

In het voorafgaande speelde de thermische energie-overdracht geen rol, omdat het systeem thermisch geïsoleerd werd van zijn omgeving. Gewoonlijk zal er echter wel transport van thermische energie tussen systeem en omgeving plaatsvinden. Ook aan dit energietransport moeten dan bepaalde eisen worden gesteld, wil men de toestandsverandering als omkeerbaar kunnen beschouwen. Geheel in analogie met de overdracht van mechanische energie geldt dat de overdracht van thermische energie slechts omkeerbaar kan plaatsvinden als op elk moment het temperatuurverschil tussen systeem en omgeving oneindig klein is. Dit betekent dat het systeem op elk moment in thermisch evenwicht moet zijn met zijn omgeving (uitwendig thermisch evenwicht). Opgemerkt kan worden dat de overdracht van mechanische en thermische energie een grote overeenkomst vertonen. De mechanische energie-overdracht wordt veroorzaakt door een drukverschil tussen systeem en omgeving, terwijl een temperatuurverschil de drijvende kracht is bij de thermische energie-overdracht. De overdracht geschiedt omkeerbaar als het drukverschil resp. het temperatuurverschil tussen systeem en omgeving op elk moment oneindig klein is. Er is dan voortdurend thermisch en mechanisch evenwicht, zowel tussen systeem en omgeving als in het systeem zelf. Zowel de thermische als de mechanische energie worden dan omkeerbaar overgedragen en de toestandsveranderingen verlopen volledig omkeerbaar.

2.4.3 Niet-omkeerbare toestandsveranderingen

Als voorbeeld hiervan beschouwen we een tweetal 'natuurlijke' processen. Dit zijn processen die vanzelf verlopen, zoals: - drukvereffening; - temperatuurvereffening.

grenslijn f

Liso~atie

Fig. 2.2

Een thermisch perfect geïsoleerd systeem (fig. 2.2) bestaat uit een ruimte I waarin zich een gas bevindt met druk pl en een ruimte I1 waarin de druk p2 = O. Als de afsluiter in de verbindingsleiding wordt geopend, stroomt het gas uit de ruimte I en verdeelt zich over I en I1 totdat de druk overal gelijk is geworden.

Zou dit proces omkeerbaar zijn, dan moeten zowel systeem als omgeving weer in de oorspronkelijke toestand kunnen worden teruggebracht. Tijdens de expansie is in de omgeving niets veranderd, omdat er tussen systeem en omgeving geen thermische of mechanische energie werd uitgewisseld. Voor het herstellen van de begintoestand mag in de omgeving dus wederom niets veranderen. Dit zou betekenen dat het gas uit zichzelf uit I1 naar I moet terugstromen, zodat de druk in I1 weer nul wordt. Dit verschijnsel is nog nimmer waargenomen, zodat de conclusie moet luiden dat er sprake is van een niet-omkeerbaar proces. De begintoestand van het systeem kan wel met behulp van een vacuümpomp worden hersteld, maar de hiervoor benodigde arbeid moet aan de omgeving worden onttrokken, zodat hierin dan een blijvende verandering optreedt. Bij de drukvereffening ontstaan wervelingen en zijn er tijdelijk druk- en temperatuurverschillen in dit systeem (geen evenwichtstoestanden). Alleen begin- en eindtoestand kunnen in een toestandsdiagram worden afgebeeld.

Bij temperatuurvereffening kan een soortgelijke redenering worden opgezet. We beschouwen een systeem bestaande uit twee blokken metaal van verschillende temperatuur. Worden deze blokken met elkaar in contact gebracht en wordt ervoor gezorgd dat met de omgeving geen thermische energie kan worden uitgewisseld, dan zal de warmte die het ene blok afgeeft door het andere worden opgenomen. Dit transport van thermische energie gaat door totdat een evenwichtstoestand is bereikt en de temperatuur van beide blokken gelijk is geworden. De omgeving ondergaat daarbij geen verandering. Zou dit proces omkeerbaar zijn, dan moet de oorspronkelijke toestand weer kunnen worden hersteld zonder ingreep van buitenaf, want in de omgeving mogen geen veranderingen optreden. Dit betekent dat de thermische energie dus 'vanzelf' van het ene naar het andere blok moet overgaan (om aldus het temperatuurverschil tussen beide blokken weer te herstellen) en de ervaring leert dat dit niet gebeurt. De omgekeerde warmtestroom is in principe wel mogelijk met een zogenaamde

'warmtepomp'. Om deze warmtepomp te laten functioneren moet hieraan, zoals later zal worden verklaard, energie worden toegevoerd die weer afkomstig is uit de omgeving. Na afloop van het proces zal het systeem zich dan wel in dezelfde toestand bevinden als vóór de warmte-overdracht, maar de omgeving niet. De conclusie luidt dus dat het hier een niet-omkeerbaar proces betreft.

Temperatuurvereffening en drukvereffening zijn processen die vanzelf (dus zonder ingreep van buitenaf) verlopen in een richting waarin temperatuurverschillen resp. drukverschillen worden vereffend en nimmer in omgekeerde richting.

Uit de voorgaande voorbeelden blijkt dat de omkeerbaarheid van een proces alleen kan worden beoordeeld als ook de omgeving in de beschouwingen wordt betrokken. Niet-omkeerbare verschijnselen kunnen zich zowel binnen de systeemgrenzen voordoen als erbuiten. Soms kan het zinvol zijn dit onderscheid te maken. We kunnen dan b.v. spreken van een toestandsverandering die inwendig omkeerbaar verloopt.

In werkelijkheid zal geen enkele toestandsverandering omkeerbaar verlopen. Om berekeningen mogelijk te maken moeten we echter wel uitgaan van evenwichtstoestanden, dus van een quasistatische toestandsverandering. In de praktijk blijkt nu dat druk- en temperatuurverschillen in zuigermachines zo snel vereffend worden, dat - bij de gebruikelijke zuigersnelheden - geen merkbare afwijking van het evenwicht in het systeem optreedt. Het proces binnen de systeemgrenzen kan dus als omkeerbaar worden beschouwd. Uitwendig is het proces meestal niet-omkeerbaar als gevolg van mechanische verliezen en eindige temperatuurverschilien bij de warmte-overdracht. De consequenties van met name de genoemde temperatuurverschillen komen echter pas bij de tweede hoofdwet aan de orde. Dan wordt ook de 'omgeving' bij de beschouwingen betrokken en zijn we in staat om de invloed van de niet-omkeerbare verschijnselen kwantitatief vast te stellen. In tegenstelling tot gesloten systemen zijn de stromingssnelheden binnen de systeemgrenzen van open systemen dikwijls zo groot, dat er sprake is van inwendige wrijving als gevolg van de beweging van volumedee1tjes t.o.v. elkaar (wervelingen) en t.o.v. de wand. Ook hier gaan we echter uit van een omkeerbaar verlopende toestandsverandering; pas achteraf worden de berekeningsresultaten gecorrigeerd om de invloed van de niet-omkeerbare verschijnselen in rekening te brengen. Toestandsveranderingen zullen in de volgende hoofdstukken als omkeerbaar worden beschouwd, tenzij uit de tekst anders blijkt.

2.5 De eerste hoofdwet voor gesloten systemen

Wordt aan een gesloten systeem met starre begrenzingen thermische energie toegevoerd, dan wordt deze energie geheel door het systeem opgenomen waardoor de z.g. 'inwendige' energie hiervan toeneemt.

Noemen we de inwendige energie in de begintoestand UI en in de eindtoestand UZ, dan moet volgens de wet van behoud van energie UZ - UI gelijk zijn aan de toegevoerde warmte. Zijn de begrenzingen van het systeem niet star, dan zou ook mechanische energie kunnen worden toe- of afgevoerd. Gaat nu een dergelijk systeem door toevoer van warmte (Q) en arbeid (W) van toestand l over in toestand 2, dan luidt de energiebalans:

Wordt echter arbeid toegevoerd en warmte afgevoerd, dan zou men moeten schrijven.

De wet van behoud van energie levert dus steeds een andere vergelijking, aîhankelijk van de richting van de energiestromen. Dit kan worden vermeden door aan Q en W een teken toe te kennen. Daar het bij de meeste technische processen gaat om de levering van arbeid ten koste van warmte, is het logisch de tekens zo te kiezen dat in dit 'normale' geval de waarde van Q en W positief worden. (Een afspraak waarbij alle toegevoerde energiestromen positief worden gerekend, zou overigens ook te ver- dedigen zijn.) We kunnen dan schrijven:

of:

Bij het gebruik van (2.1) moeten we ons dus houden aan de volgende tekenafspraak: Q is positief als warmte wordt toegevoerd, Q is negatief als warmte wordt afgevoerd, W is positief als arbeid wordt geleverd en W is negatief als arbeid wordt toegevoerd.

Vergelijking (2.1) is de wiskundige vertaling van de wet van behoud van energie toegepast op een gesloten systeem.

2.6 Inwendige energie

In het voorafgaande bleek dat een systeem in staat is thermische eldof mechanische energie op te nemen. Deze energie is dan in het systeem aanwezig in de vorm van potentiële en kinetische energie van de atomen en moleculen of onderdelen daarvan.

De kinetische energie bestaat uit translatie- en rotatie-energie van de moleculen en uit de vibratie-energie van de atomen waaruit een molecule is samengesteld. De potentiële energie van de moleculen vindt zijn oorzaak in de onderlinge aan- trekkingskracht (cohesie) en is afhankelijk van de plaats die zij t.o.v. elkaar innemen. Een absolute waarde van de inwendige energie van een systeem kan niet worden bepaald. Het is echter wel mogelijk de verandering van de inwendige energie vast te stellen en omdat in (2.1) AU voorkomt, is dit voldoende. De waarde van AU is afhankelijk van de verandering van de potentiële en kinetische energie van de deeltjes die samen het systeem vormen. Bestaat het systeem uit een ideaal gas dan is per definitie de onderlinge afstand van de deeltjes zo groot dat de cohesiekrachten kunnen worden verwaarloosd. Bij een volumeverandering van een dergelijk systeem kan de verandering van de potentiële energie nul worden gesteld. Voorts is uit de kinetische gastheorie bekend dat de verandering van de kinetische energie alleen bepaald wordt door de verandering van de translatiesnelheid van de deeltjes. De temperatuur van het gas is een maatstaf voor die verandering, zodat de inwendige energie van een ideaal gas alleen een functie is van de temperatuur. In het algemeen geldt voor een enkelvoudig systeem dat U een functie is van twee toestandsgrootheden. Kieze we hiervoor V en T, dan kunnen we dus schrijven:

Voor een ideaal gas is de invloed van het volume verwaarloosbaar zodat de inwendige energie dan alleen afhankelijk is van de temperatuur.

Om deze functie te bepalen tekenen we in fig. 2.3 een aantal willekeurige toestandsveranderingen (1-2,l-2' enz.), alle met dezelfde eindtemperatuur T;,. Omdat U alleen een functie is van de temperatuur, is AU voor elke van deze toestandsveranderingen gelijk. Het is dus onverschillig langs welke weg de waarde van AU wordt bepaald.

l v

Fig. 2.3

Kiezen we hiervoor het constant-volume-proces 1-2, dan kan geen arbeid aan het systeem worden overgedragen. Voor de overdracht van mechanische energie moet immers het volume veranderen (verplaatsing van grenslijnen). Volgens (2.1) moet nu gelden dat:

Voor de warmtetoevoer aan een constant-volume-proces geldt:

zodat ook:

AU = m y ( T 2 - T,)

Deze uitdrukking is voor een ideaal gas dus algemeen geldig. De beperking tot een constant-volume-proces is, zoals uit het bovenstaande duidelijk is, niet vereist; ook als b.v. de druk constant wordt gehouden (1-2fff) mag (2.2) worden toegepast. Voor praktische doeleinden wordt de inwendige energie per massa-eenheid dikwijls in een bepaalde toestand (referentietoestand) nul gesteld (uo = 0). Voor de inwendige energie (u) in een willekeurig andere toestand kan dan een tabel worden opgesteld. De getabelleerde waarden stellen in werkelijkheid het verschil voor tussen de u in de gegeven toestand en de referentietoestand. Bij de bepaling van Au tussen twee toestanden met behulp van deze tabel worden dus (u2 - uo) en (u, - uo) van elkaar afgetrokken. Hierbij valt u. weg, zodat de keuze van de referentietoestand, maar ook de waarde die aan de inwendige energie in deze toestand wordt toegekend, blijkbaar van geen belang is. Zou de inwendige energie nul gesteld worden bij O0C, dan zal u negatief worden bij temperaturen beneden O0C. Een negatieve waarde van de inwendige energie kan weliswaar niet voorkomen, maar rekentechnisch is het wel verantwoord. Dezelfde beschouwing is van toepassing op andere toestandsgrootheden, met name de enthalpie h en de entropie s.

In een cilinder, afgesloten door een gewichtloze zuiger die zich wrijvingsloos kan bewegen, bevindt zich een gegeven hoeveelheid gas met drukp, en volume V, (fig. 2.4). De begrenzing van het beschouwde systeem wordt gevormd door de cilinderwand en de zuigerbodem met oppervlakte A. We veronderstellen dat het systeem inwendig in evenwicht verkeert, zodat de toestand van het gas in een p-V-diagram kan worden weergegeven (punt l in fig. 2.5). Is er bovendien uitwendig evenwicht, dan is de uitwendige kracht F die loodrecht op de

Fig. 2.4 Fig. 2.5

zuiger werkt, gelijk aan de kracht die door het gas op de zuiger wordt uitgeoefend ( F = P , A). Wordt de kracht F nu met een oneindig klein bedrag verminderd, dan is het uitwendig evenwicht verbroken. Het gas zal de zuiger over een afstand ds verplaatsen tot een nieuwe evenwichtstoestand bereikt is. Wordt de druk gedurende deze oneindig kleine toestandsverandering constant verondersteld, dan is de door het systeem verrichte arbeid:

Wordt de op het systeem werkende uitwendige kracht op een zodanige wijze verder verlaagd dat deze nooit meer dan een oneindig klein verschil vertoont met de kracht t.g.v. de gasdruk, dan verloopt het expansieproces omkeerbaar en kan door de in fig. 2.5 getrokken kromme worden voorgesteld. Het eindvolume is V , de totale zuigerverplaatsing s. De arbeid die door het systeem wordt geleverd is de som van alle oneindig kleine arbeidshoeveelheden p dl?

waarin voor p de absolute druk moet worden ingevuld. Deze arbeid die de volume- arbeid genoemd wordt, komt, rekening houdend met de schaalwaarden, overeen met opp. 1-2-2'-l' in fig. 2.5. Bij elk proces waarbij het volume groter wordt (dV > 0) wordt er door het systeem arbeid geleverd. Vergelijking (2.3) levert in dat geval een positieve uitkomst, hetgeen in overeenstemming is met de gemaakte tekenafspraak. Bij compressie daarentegen is de uitkomst van (2.3) negatief, d.w.z. er wordt arbeid op het systeem verricht. Om de arbeid uit (2.3) te kunen berekenen moet p als functie van V bekend zijn. Is b.v. het volume constant dan is W^ = O, terwijl voor een toestandsverandering met constante druk geldt dat WW = p(V2 - V,).

Worden in fig. 2.5 de toestanden l en 2 verbonden door een andere kromme - en daarvoor zijn oneindig veel mogelijkheden - dan verkrijgt de oppervlakte er dus de arbeid, een andere waarde. Men zegt daarom dat de arbeid afhankelijk is van de gevolgde weg. Daar een toestandsgrootheid de eigenschap bezit alleen afhankeljk te zijn van begin- en eindtoestand, is de arbeid W dus geen toestandsgrootheid. Dit geldt ook voor de warmtehoeveelheid Q die volgens de eerste hoofdwet de som is van AU die onafhankelijk is van de gevolgde weg en W die dat wel is. De arbeid die bij expansie 1-2 wordt verkregen, is niet volledig voor technisch gebruik beschikbaar. Een deel van deze arbeid is nodig om de zuiger, tegen de atmosferische druk pa in, te verplaatsen. Deze arbeid bedraagt:

W, = pa As = pã(V2 - Vi) 2 opp. 3-4-1'-2'

Het verschil tussen opp. 1-2-2'-l' en opp. 3-4-1'-2' zou men de nuttige arbeid kunnen noemen die aan de zuigerstang ter beschikking komt, wanneer de mechanische verliezen buiten beschouwing blijven.

opmerkingen

l In het voorgaande werd voor een berekening van de arbeid uitgegaan van een zuiger in een cilinder. Formule (2.3) geldt echter ook als de systeemgrens de in fig. 2.6 aangegeven willekeurige vorm heeft. We kunnen ons de systeemgrens dan opgebouwd denken uit een oneindig aantal zuigertjes die zich loodrecht op de systeemgrens bewegen. Voor elk zuigertje geldt dat de geleverde arbeid gelijk is aanp . dA . ds. Als nu al deze elementaire arbeidshoeveelheden worden gesommeerd, dan levert dit weer dW = p dV, waarin dV de oneindig kleine volumeverandering van het gehele systeem voorstelt.

Fig. 2.6

2 Elektrische en mechanische energie zijn gelijkwaardige energievormen. Elek- trische energie kan theoretisch volledig in mechanische energie worden omgezet en omgekeerd. Beide energievormen kunnen ook volledig in thermische energie worden getransformeerd. We beschouwen nu een gas in een afgesloten ruimte (fig. 2.7). Hieromheen wordt een elektrische weerstandsdraad gelegd die

uit een accu of uit het openbare net wordt gevoed. Wanneer de systeemgrenzen alleen het gas omvatten, wordt thermische energie aan het gas overgedragen omdat de temperatuur van de wanden van het vat hoger zijn dan die van het gas zelf. De overdracht van energie is dus het gevolg van een temperatuurverschil en dit is per definitie thermische energie (de term Q in de eerste hoofdwet). Omsluit de begrenzing echter niet alleen het gas maar ook het vat en de weerstandsdraad, dan wordt aan het systeem elektrische energie toegevoerd en dit is synoniem met mechanische energie (de term Win de eerste hoofdwet). Hieruit blijkt wederom dat de keuze van de systeemgrenzen de berekening kan beïnvloeden.

2.8 Het verband tussen R, c,, en c.,

Wordt een ideaal gas verwarmd van T, tot T-, dan is de toe te voeren warmtehoeveelheid voor een proces waarbij de druk constant wordt gehouden, groter dan wanneer dit volume constant blijft, zoals op pag. 20 is verklaard. Alsp = Cneemt namelijk het volume van het gas van V , tot V2 toe, zodat de arbeid door het gas verricht, gelijk is aan p(V2 - V^). Deze waarde moet gelijk zijn aan het verschil van de toegevoerde warmtehoeveelheden, daar in beide gevallen de temperatuurstijging van het gas even groot is en de inwendige energie dus met eenzelfde bedrag is toegenomen. Derhalve is

nz R(T2 - Tl) = m cp(T2 - T,) - m cv(T2 - Ti)

In tabel I achterin het boek zijn voor verschillende gassen R, c en cv vermeld. Aan de betrekking (2.4) wordt niet geheel voldaan, omdat de genoemde gassen niet volkomen ideaal zijn.

2.9 Formuleringen van de eerste hoofdwet

De meest algemene schrijfwijze luidt

Deze uitdrukking kan ook in differentiaalvorm worden geschreven:

Als de toestandsverandering in een systeem omkeerbaar verloopt, kan dW door p dV worden vervangen. Substitutie in bovenstaande vergelijking levert:

Is het medium binnen de systeemgren.zen als een ideaal gas te beschouwen, dan geldt (2.21, zodat

Doorp, V, T en Uop een verstandige manier te combineren, kunnen nieuwe toestandsgrootheden worden gevormd. Eén van deze toestandsgrootheden is de eerder genoemde enthalpie H die als volgt is gedefinieerd:

Dit is met name voor stromingsprocessen een zeer bruikbare toestandsgrootheid. De 'bruikbaarheid' betreft het feit dat belangrijke technische informatie in termen van enthalpie kan worden uitgedrukt en dat voor vele stoffen tabellen met enthalpiewaarden beschikbaar zijn. De enthalpie kan ook in de eerste hoofdwet worden ingevoerd. Differentiatie van H = U + p V levert namelijk:

In (2.6) kan het tweede lid dus door d H - Vdp worden vervangen:

Voor een ideaal gas kunnen we voor de enthalpieverandering A H schrijven: AH = (Ul - UI) + ('p2V2 - p,Vl) = mcv(T2 - Tl) + mR(T2 - Tl) Substitutie van R = cp - cv levert:

De enthalpie van een ideaal gas is dus alleen van de temperatuur afhankelijk. De uitdrukking (2.9) geldt voor elk willekeurig proces van een ideaal gas, dus ook voor een proces met constant volume (vergelijk hiermee de uitdrukking (2.2) van pag. 47). Substitutie van (2.9) in (2.8) levert:

Voor een gesloten systeem wordt meestal uitgegaan van (2.7).

toepassing 2.1

Bereken de arbeid die nodig is om l kg gas van 171 bar en 300 K te comprimeren tot 4,4 bar. Het proces verloopt omkeerbaar en het verband tussen p en V is gegeven door p v2 = C. De specifieke gasconstante R = 286 J/(kg . K).

oplossing

Omdat de gasmassa l kg bedraagt, kan in (2.3) het volume V door het specifieke volume v worden vervangen. De benodige arbeid is:

Berekening van vl, v2 en C levert achtereenvolgens:

Substitutie van de berekende waarden van v l , v 2 en C in (a) levert:

toepassing 2.2

In een cilinder bevindt zich een luchtvolume VA (fig. 2.8). Als de zuiger zich wrijvingsloos naar links beweegt, wordt buitenlucht door een opening in het cilinderdeksel aangezogen. Het volume lucht in de cilinder wordt dan VB. Bereken de toe te voeren arbeid.

Fig. 2.8

oplossing

Het te beschouwen systeem kunnen we ons begrensd denken door de zuigerbodem, de cilinderwand en een denkbeeldig volume Vl = VB - VA waarop de atmosferische druk pa werkt. De volumeverandering van dit laatstgenoemde deel van de begrenzing is A V = O - Vl = -V,. De hierop verrichte arbeid is p AV = -pa Vl, hetgeen betekent dat er door de omgeving arbeid op het systeem is verricht. Voor de cilinderruimte geldt dat:

De totale arbeid bedraagt dus W,.2 = -pa Vl +pa Vl =O, hetgeen te verwachten was bij de afwezigheid van mechanische wrijving.

2. l O Vraagstukken

Maak eerst de vraagstukken met de oneven nummers.

1 Een geladen accu ontlaadt zich vanzelf in een ruimte met een constante temperatuur van 20 'C. Er wordt geen elektrische energie geleverd maar wel wordt 1 S00 kJ thermische energie naar de omgeving afgevoerd. Als de accu vervolgens weer langzaam wordt opgeladen tot de begintoestand, kost dit 2000 kWs elektrische energie. Hoe groot is de warmtetoevoer aan de accu tijdens dit opladen?

2 Aan een installatie wordt per uur l00 MJ warmte toegevoerd, terwijl het toegevoerde mechanische vermogen 3 kW bedraagt. Als de afgevoerde mechanische energie 6 MJ per S minuten bedraagt, bereken dan de verandering van de inwendige energie van de installatie in het laatstgenoemde tijdsbestek.

l !

2

3 Voor de inwendige energie van een gas kan worden geschreven: u = (0,745T + C) kJ/kg waarin C een constante voorstelt. Een kilogram van dit gas wordt van S0 'C tot 375 'C verwarmd. Bereken de toe te voeren hoeveelheid warmte in de volgende twee gevallen: a Het genoemde gas bevindt zich in een ruimte waarvan het volume constant is. b Het gas bevindt zich in een cilinder die is afgesloten door een zuiger die zich vrij

kan bewegen. Het specifiek volume van het gas dat een constante druk van 2 bar heeft, neemt bij de verwarming toe van 0,3 m3/kg tot 0,6 m3/kg.

Bepaal ten slotte uit het voorgaande de c,,-waarde van het gas.

4 Water van 50 'C (v = 0,001 m3/kg) wordt toegevoerd aan een ketel waarin een druk heerst van 8 MPa. Het specifieke volume van de afgevoerde stoom bedraagt 0,032 m3/kg. Bereken de arbeid (kJ/kg) die bij de overgang van water in stoom wordt verricht.

Aan een ideaal gas wordt bij constante druk 266 kJ warmte toegevoerd. Bereken de op de omgeving verrichte arbeid, de verandering van de inwendige energie en die van de enthalpie, alsmede de k-waarde van het gas. Gegeven is dat het l60,2 kJ warmte kost om dezelfde temperatuurtoename te realiseren als het volume constant wordt gehouden.

6 Water van l 0 bar en de daarbij behorende verdampingstemperatuur (toestand l) wordt door warmtetoevoer bij constante druk in verzadigde stoom (toestand 2) omgezet. Hoeveel procent van de toegevoerde verdampingswarmte r is nodig geweest voor het vergroten van de inwendige energie bij de faseverandering en hoe groot is de inwendige energie (kJ/kg) van de stoom in de eindtoestand? r = 2 Ol3,6 kJ/kg, v? = 0,001 m3/kg, v2 = 0,1943 m3/kg, h* = 2 776,2 kJ/kg.

7 Een gas wordt van l bar tot 4 bar gecomprimeerd; het volume verandert daarbij van 0,l m3 tot 0,05 m3. Het verband tussen druk en volume bij deze compressie luidt:

pVn = C. Als tijdens deze toestandsverandering de verhouding tussen Q,.2 en Wl.2 gelijk is aan -0,6, bereken dan de verandering van de inwendige energie van dit gas, alsmede de waarde van n.

In een cilinder afgesloten door een zuiger bevindt zich 0,04 m3 gas van l 0 bar. Bereken bij de expansie van dit gas de geleverde arbeid in de volgende gevallen: a De expansie verloopt volgens p V = C tot een eindvolume van O,l5 m

3.

b De expansie verloopt volgens p ~ 3 = C tot V2 = 0,05 m3.

Een gas expandeert in een cilinder van 0,2 m3 tot 0,4 m3. Het verband tussen de druk p (bar) en het volume V (m3) kan als volgt worden geschreven: p = 3,2V + 1,2. a Teken de toestandsverandering in eenp-V-diagram en bereken de door het gas

geleverde arbeid, alsmede de arbeid nodig om de buitenlucht (pa = l bar) te verdringen. De zuigerbeweging verloopt wrijvingsloos.

b Als de wrijvingskracht tussen zuiger en cilinder 3 000 N bedraagt en de zuigerop- pervlakte (A7) 0,4 m2 is, bepaal dan de wrijvingsarbeid.

c Hoe zou de gegeven druk-volume-relatie in de praktijk kunnen worden gerealiseerd?

l 0 Een gas wordt door middel van een zuiger via een nauwe opening in de cilinderwand naar de omgeving (l bar) afgevoerd. De zuiger beweegt zich zo langzaam dat de druk in de cilinder constant (3 bar) blijft. Het verdreven gasvolume bedraagt 0,7 m

3. Buiten de cilinder neemt dit gas een volume in van 2,5 m

3.

Bereken de totale arbeid die door dit gas is verricht.

In een cilinder, afgesloten door een zuiger die zich wrijvingsloos kan bewegen, bevindt zich 0,06 m3 gas van 30 bar. Tijdens een expansie van dit gas waarbij p ~ 2 = C wordt het volume verdubbeld. Als op de buitenzijde van de zuiger de atmosferische druk ( l bar) werkt, bereken dan de totale arbeid die door het gas aan de omgeving wordt afgestaan en de arbeid die aan de zuigerstang kan worden afgenomen.

De toepassing van (3.5) is echter beperkt tot ideale gassen.

Voor de bepaling van de warmtehoeveelheid die bij een polytrope toestandsverandering wordt overgedragen, gaan we uit van de eerste hoofdwet.

Substitutie van (2.2) en (3.5) in deze vergelijking levert:

m R Q,.; = m cv (T2 - T,) - - (T , - T,) = m (cv -

n - 1 n - 1

R De factor cv - - is constant. Schrijven we hiervoor c, dan is

n - l

De constante c heeft dezelfde dimensie als een soortelijke warmte en ook dezelfde betekenis. Daarom wordt c de soortelijke warmte van de polytroop genoemd. Daar de toe- of afgevoerde hoeveelheid warmte afhankelijk is van de gevolgde weg en er oneindig veel mogelijkheden zijn om van toestand l in toestand 2 te komen, kan c theoretisch elke willekeurige waarde hebben. Van twee toestandsveranderingen is de soortelijke warmte al bekend namelijk voor een isobaar (c = c ) en een isochoor (c = cv).

R U i t c = c v - - volgt na enige herleiding:

n - 1

Evenals c kan dus ook n elke willekeurige waarde hebben. Zouden we in (3.6) de temperatuur met behulp van de gaswet elimineren, dan vinden we:

Tussen Ql-, uit (3.6) en W n uit (3.5) bestaat een betrekkelijk eenvoudig verband, dat als volgt kan worden bepaald:

R Met R = cp - cv en c = cv - - volgt na enige herleiding:

n - 1

Is Qi.2 eenmaal bepaald, dan kan hieruit eenvoudig W^ worden berekend en omgekeerd.

3.4 Bijzondere polytropen

3.4.1 Exponent en helling van bijzondere polytropen

De exponent n van een polytroop is, zoals eerder werd opgemerkt, een constante die nader moet worden vastgesteld. We zullen nu de volgende veel voorkomende toestandsveranderingen nader onderzoeken: - de isobaar p = C; - de isochoor V = C; - de isotherm T = C; - de adiabaat.

De adiabaat is een toestandsverandering waarbij geen warmte wordt toe- of afgevoerd. Veel processen in de techniek kunnen als adiabatisch worden beschouwd, Óf omdat ze zo snel verlopen dat er geen tijd is voor warmte-uitwisseling met de omgeving, Óf omdat het systeem thermisch goed geïsoleerd is. Een omkeerbaar verlopend adiabatisch proces wordt een isentroop genoemd, een benaming die in 7.5 verder zal worden toegelicht. Van bovengenoemde vier toestandsveranderingen zal getracht worden een waarde voor de soortelijke warmte c en de exponent n vast te stellen waarna uit (3.1) het verband tussen p en V kan worden bepaald.We maken daarbij gebruik van een aantal betrekkingen die aan de voorgaande tekst zijn ontleend en wel:

De soortelijke warmte c is voor een isobaar en een isochoor reeds bekend en kan voor een isotherm (dT = 0) en voor een isentroop (dq = 0) uit (1.4) worden berekend. Vervolgens wordt uit (3.7) de exponent n bepaald, waarna deze in p V" = C wordt gesubstitueerd. We komen dan tot het volgende resultaat: Isobaar c = cp n = 0 p = C Isochoor c = cv n = V = C* Isotherm c = 00 n = l p V = C Isentroop c = 0 n = k p V" = C De bovengenoemde toestandsveranderingen zijn dus alle op te vatten als bijzondere gevallen van een polytroop. De isobaar en isochoor zijn grensgevallen van een meer algemeen proces waarbij zowel de druk als het volume veranderen. In fig. 3.1 zijn deze polytropen aangegeven. Blijkbaar lopen polytropen steiler naarmate n groter is.

opmerking

Maatgevend voor de helling van een polytroop is het differentiaalquotiënt dp/dV. Differentiatie van p V" = C levert: p n ~ ' " ~ d ~ + V " d p = O + p n d V = - V d p

t otherm

entroop

v Fig. 3.1

* We schrijven voor het verband tussen p en V:

p,V," = p , ~ " -+ p l l i " ~ , = p"V2 Voor n = o- is V , = V , ofwel V = C.

De raaklijn in l (o,, V,) aan een willekeurige polytroop maakt met de V-as een hoek a waarvoor geldt dat:

Hieruit blijkt dus dat de isentroop in fig. 3.1 steiler moet lopen dan de isotherm door hetzelfde punt.

Voor een polytroop met een gegeven waarde van n, kan de soortelijke warmte c uit (3.7) worden berekend. Dit levert:

n CV - CP - n - k c = -cã*-

n - 1 n - 1

Voor 0 < n < l is c > 0, omdat k > 1 is. Voor l < n < k is c < 0. Voor k < n < is c > 0. In de praktijk ligt de exponent n gewoonlijk tussen l en k, zodat dikwijls met een negatieve soortelijke warmte gerekend moet worden. De negatieve c-waarde voor alle polytropen die tussen de isotherm en isentroop zijn gelegen, is ook aan de hand van fig. 3.1 te verklaren. Bij alle polytropen die steiler lopen dan de isotherm neemt de temperatuur bij drukverhoging toe (dT > 0). Voor alle polytropen die minder steil lopen dan de isentroop, wordt bij compressie warmte afgevoerd (dq < 0). Dit betekent dat voor l < n < k de teller en noemer in (1.4) een verschillend teken hebben, zodat c < 0. Warmteafvoer gaat gepaard met een temperatuurtoename of omgekeerd. Hoewel het theoretisch mogelijk is een proces in het derde of vierde kwadrant te laten verlopen, zal dat in praktische gevallen zelden voorkomen. Bij een dergelijke toestandsverandering zou bij een volumevergroting ook de druk moeten toenemen. Een voorbeeld hiervan is de warmtetoevoer aan een gas in een cilinder waarvan de zuiger door een veer is belast. Bij volumetoename neemt ook de druk toe als gevolg van de indrukking van de veer.

3.4.2 Arbeid en warmte bij bijzondere polytropen

Toestandsveranderingen waarbij de druk, de temperatuur of het volume constant is en toestandsveranderingen waarbij geen warmte wordt toe- of afgevoerd, komen in de praktijk dikwijls voor. Omdat deze toestandsveranderingen eveneens polytropen zijn, maar dan met een bijzondere waarde van de exponent n, kan de thermische en mechanische energie die hierbij betrokken is, worden ontleend aan de formules die hiervoor in paragraaf 3.3 zijn afgeleid. In het navolgende overzicht zijn deze gerecapituleerd:

Als we hierin voor isobaar, isochoor enz. de desbetreffende waarde van n en c substitueren, verkrijgen we - vrijwel zonder enige herleiding - de volgende uitdrukkingen Isobaar (n = O, c = c,)

Isochoor (n = m, c = cv)

Isotherm (n = l , c = m) Substitutie leidt voor zowel Q,, als Wl., tot een onbepaalde vorm. We zullen daarom in dit geval een andere werkwijze volgen. Met AU = O levert de eerste hoofdwet Qn = W,,. Nu is:

p d V = m R T m R Tln- v, v1

zodat:

In deze uitdrukking kan VJV, desgewenst door p ,/p2 worden vervangen. Isentroop (n = k, c = 0)

R - Het laatste lid van (3.15) volgt uit - - k - 1 cv.

62

-l -m R 1-2 - k - 1 (P - PIK) = - (T2 - Tl) = -m C" (T, - T,) k - 1

(3.15)

Voor een ideaal gas geldt dat bij elk van de bovengenoemde toestandsveranderingen:

opmerking

Bij het berekenen van de arbeidsterm in de eerste hoofdwet werd steeds uitgegaan

p dV. Dit houdt in dat de uitkomst alleen geldig is voor omkeerbaar

verlopende toestandsveranderingen. Soms is dezelfde uitkomst ook te verkrijgen door niet van bovenstaande uitdrukking gebruik te maken. Met name geldt dit voor de veel voorkomende adiabatische processen. Omdat dan Q,, = O is W,, = -AU. Verdere uitwerking levert (3.15), waaruit volgt dat deze uitdrukkingen ook voor niet-omkeerbare adiabatische toestandsveranderingen (van ideale gassen) mogen worden toegepast.

toepassing 3.1

Bereken de hoeveelheid warmte nodig om 3 kg stikstof bij constant volume te verwarmen van O 'C tot 50 'C. Wat is hierbij de toeneming van de inwendige energie, de drukstijging en de verandering van de enthalpie per m: als de begindruk l bar bedraagt? Er wordt aangenomen dat stikstof zich als een ideaal gas bedraagt. cv =741 J/(kg a K), R = 297 J/(kg . K).

oplossing

U, - U, = m cV(T2 - T,) = 111,2 kJ

T2 323 De einddruk p, = -pl = x l bar = 1,18 bar -+ drukstijging is 0,18 bar. TI 273

Voor de verandering van de enthalpie geldt AH = m c(T, - T,).

Voor een ideaal gas is R = c, - cv zodat c, = (297 + 741) J/(kg . K) = 1 038 J/(kg . K).

AH = 3 x 1,038 x 50 kJ = 155,7 kJ

De massa van 3 kg komt overeen met een normaal-volume:

m R T. 3 x 297 x 273 - V" = - - m,, = 2,4 m,?, PO 1,013 x lo5

zodat de gevraagde enthalpieverandering gelijk is aan:

De toestandsverandering verloopt bij constant volume. Het proces dat deze verandering veroorzaakt, kan warmtetoevoer zijn maar ook toevoer van mechanische energie als zich in het vat een roerwerk bevindt dat van buitenaf wordt aangedreven. Aan de toestandsverandering zelf is niet te zien of deze heeft plaatsgevonden door de toevoer van thermische energie, door mechanische energie of door een combinatie van beide. Voor de berekening van Q enlof W moet dus duidelijk omschreven worden hoe het proces wordt uitgevoerd.

toepassing 3.2

In een thermisch geïsoleerd vat van 0,4 m bevindt zich waterstof onder een druk van 20 bar. Hierin is een roerwerk geplaatst, waarvan de as wordt aangedreven door een elektromotor die buiten het vat is opgesteld. Als door de rotatie van het roerwerk de druk in het vat tot 26 bar is opgelopen, bereken dan de verandering van de inwendige energie, alsmede de hoeveelheid arbeid en warmte die wordt toegevoerd. c, = 14 266 J/(kg . K) en cv = 10 130 J/(kg . K).

oplossing

Voor AU geldt de volgende uitdrukking:

v A U = m cV(T2 - T,) = -

k - 1 (pi - P I )

Het proces is weliswaar niet-omkeerbaar, maar op de berekening van AU heeft dat geen invloed.

c 14 266 De k-waarde van een gas i s 2 -> k = - 10 130 = 1,408.

cv

Substitutie van de gegevens in bovengenoemde vergelijking levert:

De volumeverandering is nul, zodat uit (2.3) geconcludeerd zou kunnen worden dat W12 = 0. Deze conclusie is echter niet juist omdat de genoemde formule voor een niet-omkeerbare toestandsverandering niet mag worden toegepast. Uit Qi.2 = AU + W,.:, (algemeen geldig) volgt dat = -AU omdat het vat thermisch geïsoleerd is en Qn derhalve nul is. Er treedt wel een temperatuurstijging van de waterstof op maar er is geen transport van thermische energie over de grenslijnen van het systeem.

toepassing 3.3

Lucht van 933 kPa en 77 OC wordt isentroop gecomprimeerd tot het volume 5 maal zo klein geworden is. Bereken de einddruk, de eindtemperatuur, de verrichte arbeid per kg en per m en de verandering van de inwendige energie per kg en per m3.

cp = 1005 J/(kg . K) en cv = 716 J/(kg K).

oplossing

Een druk van 933 kPa = 93 500 Pa = 0,935 bar.

k

p = C = p l ( >') = 0,935 x 5" bar = 8,9È bar

P2 V2 8,90 X 0,2 V, Volgens de gaswet is T2 = - T, = x 350 K = 666,3 K.

Pi V, 0,935 V,

De gevraagde arbeid per massa-eenheid berekend uit (3.15) bedraagt:

- l Als we in W,-, = - @,V, - p,Vl) voor V, = l m nemen,

k - 1 vinden we de verrichte arbeid per m3:

Bij een isentrope toestandsverandering is W, = -(U2 - U,) zodat:

toepassing 3.4

Tot welke druk moet lucht van 42 ¡C en 1,3 bar in een dieselmotor polytroop worden gecomprimeerd teneinde een temperatuur van 600°C te bereiken en wat is de verhouding van het volume voor en na de compressie? Bepaal eveneens de compressie-arbeid en de warmte-afvoer als het volume in de begintoestand 0,5 m3

bedraagt. n = 1,350, c, = 1005 J/(kg - K), cv = 716 J/(kg - K), k = 1,403 en R = 287 J/(kg - K).

oplossing

T , T , - - p x 1,3 bar = 51,O x 1,3 bar = 66,3 bar

l ( 2 ) z (%)lr: 18,4. Uit TV "-l = C volgt: = - v2

Het laatste resultaat kan ook worden gevonden door gebruik te maken van de wet van Boyle-Gay Lussac:

De compressie-arbeid kan uit (3.5) worden berekend.

p, V, 1,3 x 10 x 0,5 Hierin is de massa m = - - kg = 0,72 kg, zodat:

R TI 287 x 315

k - n Ql-2 n Wn + Q1.2 = -- x 329,4 U = -433 U

0.403

Dit laatste resultaat kan ook worden verkregen door c te berekenen uit:

en de gevonden waarde te substitueren in Q,.-, = m c (T2 - T,).

Vraagstukken


l Hoeveel warmte moet men toevoeren om de temperatuur van 2 kg van een gas bij constante druk van 25 OC tot 175 'C te laten toenemen? Gegeven is dat de soortelijke warmte van de temperatuur afhangt volgens c = a x b(T - 273), waarin a = 1,O kJ/(kg . K) en b = 10" kJ/(kg - K').

2 In een verticale cilinder, aan de bovenzijde afgesloten door een zuiger waarop de atmosferische druk ( l bar) werkt, bevindt zich 0,5 m lucht van 100 ¡C. De oppervlakte van de zuiger is 0,l m2, de massa ervan 100 kg. Door afkoeling wordt het volume van de lucht 0,125 m3 kleiner. Bereken de eindtemperatuur van het gas, de afgevoerde warmte en de door het gas verrichte arbeid. c,, = 1005 J/(kg . K), R = 287 J/(kg . K), g = 9,8 m/s2.

3 Twee kilogram gas stroomt door een verhitter waarvan de weerstand wordt verwaarloosd. Hierin stijgt de temperatuur van het gas 150 K. Als c = 1,O kJ/(kg . K), bereken dan: a de toe te voeren thermische energie; b de arbeid die door het systeem op de omgeving wordt verricht als k = 1,4; c de gasconstante R in J/(kg - K); d de verandering van de inwendige energie in kJ/m;.

4 Aan 3 m3 lucht van 40 'C en 3 bar wordt 358 kJ warmte toegevoerd. De lucht bevindt zich in een gesloten vat. Wat is de eindtoestand van de lucht en hoeveel m- lucht moet men vervolgens laten ontsnappen om de begindruk weer te bereiken?

R = 287 J/(kg . K), C,, = 716 J/(kg K).

5 a In een cilinder, afgesloten door een zuiger, bevindt zich 0,3 m3 van een gas waarvan de druk door afkoeling daalt tot 113 van de beginwaarde. Het volume wordt hierbij constant gehouden. Met welk bedrag moet het volume vervolgens bij een verwarming onder constante druk toenemen om de begintemperatuur weer te bereiken?

b Als de begindruk 3 baris, wat is dan de netto warmtehoeveelheid die tijdens de bovengenoemde toestandsveranderingen moet worden toegevoerd en wat is de totale verandering van de inwendige energie?

6 Aan 0,5 km01 stikstof in een afgesloten ruimte wordt door middel van een elektrische weerstandsdraad warmte toegevoerd. De draad, die rondom de genoemde ruimte is aangebracht, wordt gedurende 80 s aangesloten op een gelijkspanning van 125 V. De stroom is 5 A. Het gas wordt als ideaal beschouwd. Bereken de toename van de inwendige energie van het gas, alsmede de waarde van C,, en c als de temperatuurstijging 4,8 K bedraagt en alle thermische energie door de stikstof wordt opgenomen. De molaire massa M van stikstof bedraagt 28 kglkmol; R, = 8 315 J/(kmol . K).

7 Aan 3 kg gas van 300 K wordt bij constant volume 193,5 kJ warmte toegevoerd. Vervolgens wordt het gas isothermisch gecomprimeerd waarbij 193,5 kJ arbeid wordt toegevoerd. De drukverhouding is hierbij gelijk aan die van het eerstgenoemde proces. Teken de beide toestandsveranderingen in éénp-V-diagram, arceer de totaal toe te voeren arbeid en bepaal, als cv = 322 J/(kg . K): a de gasconstante R in J/(kg - K); b de warmte-afvoer tijdens de isothermische compressie in kJ/kg; c de verandering van de inwendige energie tijdens elk van de bovengenoemde

toestandsveranderingen.

8 a In een cilinder met een inhoud van 5 dm3 bevindt zich een gas met een druk van 10 bar. Bij expansie moet 11 515 J warmte worden toegevoerd om de temperatuur constant te houden. Bereken druk en volume aan het einde van de expansie.

b Vervolgens wordt bij constant volume wederom 11 515 J warmte toegevoerd. Bereken de einddruk en de verandering van de enthalpie als de temperatuurstijging bij dit proces 288 K bedraagt en k = 1,4.

9 Twee kilogram gas van 1000 K wordt bij constante druk afgekoeld tot het volume gehalveerd is. Vervolgens wordt het gas isentroop van 2 -> 3 gecomprimeerd tot de inwendige energie weer de oorspronkelijke waarde heeft. Teken het proces in een p-V-diagram en bereken W , Q1.* per m:, alsmede W2_? R = 190 J/(kg . K) en c, = 840 J/(kg . K).

10 Bij een isothermische expansie van 2 kg lucht met een druk van 10 kPa en een temperatuur van 446 K wordt 210 kJ warmte toegevoerd. Bereken de einddruk in kPa als het gas vanuit dezelfde begintoestand isentroop expandeert en de geleverde arbeid even groot is als bij de isothermische expansie. R = 287 J(kg K) en k = 1,4.

11 Lucht met een druk van 10 bar en een temperatuur van 160°C expandeert polytroop tot l bar en 27 'C. Bepaal de exponent n en de soortelijke warmte c van de polytroop, alsmede de hoeveelheid warmte die per kilogram lucht moet worden toegevoerd. cp = 1005 J/(kg - K) en cv = 716 J/(kg K).

12 a Bereken de verandering van de inwendige energie van l m gas dat isentroop van l bar tot 6 bar wordt gecomprimeerd. k = 1,3.

b Bepaal de verandering eveneens wanneer het gas vervolgens bij constante druk tot op de begintemperatuur wordt afgekoeld. Verklaar de uitkomst van deze berekening.

Aan een gas van 10 bar en 500 K (toestand l ) wordt bij constant volume zoveel warmte onttrokken dat de druk daalt tot 2 bar (toestand 2). Daarna wordt bij

constante druk thermische energie toegevoerd tot het snijpunt 3 van de isentroop door l en de genoemde isobaar. Teken het gehele proces in een p-v-diagram en bereken q= en in kJ per kg gas. c, = 1000 J/(kg . K), cv = 716 J/(kg . K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg - K).

a Twee kilogram lucht (R = 287 J/(kg . K), k = 1,4) expandeert polytroop waarbij de geleverde arbeid 443 kJ bedraagt. Bereken de temperatuurdaling van het gas als bij de expansie 55,5 kJ aan warmte wordt toegevoerd. Wat is de soortelijke warmte van de polytroop en wat is de geleverde arbeid in k~lm;?

b Bereken de drukverhouding bij de expansie als gegeven is dat de begintemperatuur 600 K bedraagt.

Een hoeveelheid lucht van 2 bar en 27OC wordt polytroop tot 150°C gecomprimeerd, waarbij 1 600 kJ warmte wordt onttrokken. Bereken de exponent van de polytroop, de einddruk en de toe te voeren arbeid, als gegeven is dat de hoeveelheid lucht 25 kg bedraagt. c, = 1000 J/(kg . K), cv = 716 J/(kg . K) en R = 287 J/(kg . K).

Eén kilogram lucht van l bar en 300 K (toestand l ) wordt isothermisch gecomprimeerd tot p2 = 5 bar. Daarna volgt een polytrope toestandsverandering 2-3, die verloopt volgens een rechte lijn door de oorsprong van hetp-V-diagram. De drukp, wordt hierbij 10 bar. Bereken voor de processen 1-2 en 2-3 de toe te voeren arbeid in kJ/kg, alsmede de exponent van de polytroop. R = 287 J/(kg . K).

a Een gas met een volume van 1,4 m3 en een druk van 0,2 MPa wordt polytroop (n = 1,32) gecomprimeerd. Bereken de drukverhouding bij de compressie als de toe te voeren arbeid 476 kJ bedraagt.

b Als bij de bovengenoemde compressie de begintemperatuur wordt verhoogd, bedraagt de toe te voeren arbeid 547,4 kJ. Bereken het percentage waarmee de begintemperatuur is toegenomen.

Eén kilogram lucht van l bar en 27 'C wordt polytroop gecomprimeerd (n = 1,25), waarbij de toe te voeren arbeid 600 kJ bedraagt. Vervolgens wordt bij constante druk x [kJ] warmte toegevoerd. Bepaal x als de eindtoestand van dit laatstgenoemde proces met de begintoestand verbonden kan worden door een polytroop waarvan n = 1,35.

R = 287 J/(kg . K) en c" = 1005 J/(kg K).

Lucht expandeert polytroop (n = l ) van 5 bar tot l bar. Vervolgens wordt de lucht polytroop (n = k) gecomprimeerd, waarbij de toe te voeren arbeid de helft is van de warmte die bij de eerstgenoemde toestandsverandering moet worden toegevoerd. Geef deze toegevoerde warmte aan als een oppervlakte in het p-V-diagram en bereken het eindvolume V, als het beginvolume 2 m3 bedraagt. k = 1,2.

Hoofdstuk 4

Kringprocessen

4.1 Positieve kringprocessen

Wordt een systeem aan een zodanige reeks toestandsveranderingen onderworpen dat het tenslotte weer in de begintoestand terugkeert, dan spreekt men van een kringproces. Alle toestandsgrootheden hebben dan weer dezelfde waarde, zodat het kringproces in elk willekeurig toestandsdiagram als een gesloten figuur kan worden weergegeven. In fig. 4.4 is een kringproces afgebeeld. Passen we de eerste hoofdwet toe op elk van de toestandsveranderingen waaruit het kringproces is samengesteld en sommeren we de linker- en rechter leden, dan vinden we:

Voor de eerste hoofdwet toegepast op een kringproces kunnen we dus schrijven:

De inwendige energie komt hierin niet meer voor omdat deze alleen afhankelijk is van begin- en eindtoestand. In een kringproces vallen deze toestanden samen zodat AU= 0. In fig. 4.1 is een willekeurig omkeerbaar kringproces getekend. Door de hierin aangegeven verticale lijnen wordt het proces gescheiden in een deel waarin het volume toeneemt en een deel waarin het volume kleiner wordt. De arbeid is positief langs de weg a-b-c (AV > O), maar negatief langs de weg c-d-a. Het verschil van de positieve arbeid (opp. a-b-c-e-f) en de negatieve arbeid (opp. c-d-a-f-e) is de nuttig geleverde arbeid. Deze komt overeen met opp. a-b-c-d, zijnde de oppervlakte die door het kringproces wordt ingesloten. Wiskundig kan dit als volgt worden geschreven:

ìW= p d V f Hierin geeft het -teken aan dat de integratie over de gehele kringloop dient te f

Fig. 4.1

geschieden (kringintegraal). We noemen dit een rechtsomdraaiend of positief kringproces. Dergelijke kringprocessen zijn voor de techniek van groot belang omdat men, voor het continu leveren van arbeid, aangewezen is op processen die steeds herhaald kunnen worden. Bij kringprocessen kan nog onderscheid worden gemaakt tussen openen gesloten kringprocessen. Bij open kringprocessen wordt het werkzame medium na afloop van het proces uit het systeem verwijderd en vervangen door een even grote hoeveelheid medium van de begintoestand. In gesloten systemen circuleert steeds hetzelfde medium. Ook in niet-omkeerbaar verlopende kringprocessen wordt de begintoestand weer bereikt, zodat de afbeelding van zo'n kringproces weer een gesloten figuur vormt. De ingesloten oppervlakte is nu echter geen maat meer voor de netto-arbeid die tijdens de cyclus wordt geleverd. Omdat AU = O, geldt echter wel dat 2 Q = ZW. Deze gelijkheid betekent overigens niet dat bij een gegeven Qi de waarde van Q2 en ìW gelijk zijn aan die van het omkeerbare kringproces. Door inwendige wrijving b.v. wordt een deel van de mechanische energie in warmte omgezet, waardoor Q2 toeneemt en de nuttige arbeid derhalve afneemt.

4.2 Thermisch rendement

In elk positief kringproces wordt een deel van de toegevoerde thermische energie in mechanische energie omgezet. Uiteraard zal men trachten een kringproces te ontwerpen waarin deze transformatie zo verloopt dat uit de toegevoerde warmte een maximale hoeveelheid arbeid wordt verkregen. Om de mate waarin men hierin is geslaagd te beoordelen, wordt gebruik gemaakt van een waarderingsgetal waarvan de waarde varieert van nul tot maximaal één. Men noemt dit getal het thermisch rendement qh. Het is de verhouding van de nuttige arbeid die wordt verkregen (ZW) tot de totale hoeveelheid warmte die men hiervoor heeft moeten toevoeren (d.i. de som van de positieve Q-waarden ofwel 2Q+). De warmte die wordt afgevoerd, wordt voor de desbetreffende machine als een verlies

beschouwd, ook al zou men deze warmte op een andere plaats nog benutten. De uitlaatgassen van een motor kunnen b.v. worden gebruikt voor verwarmingsdoelein- den. Het motorrendement verandert hierdoor niet, hoewel voor de installatie in zijn geheel deze werkwijze uiteraard een besparing aan brandstof oplevert.

Bij positieve kringprocessen is het gebruikelijk om voor de som van de toegevoerde warmtehoeveelheden Q, te schrijven en de som van de afgevoerde warmtehoeveelheden aan te duiden met Qy. Voor Q, en Q2 moeten dan positieve getallen worden ingevuld, hetgeen afwijkt van wat in voorgaande hoofdstukken werd gedaan. Daarin werd het symbool Q namelijk gebruikt voor zowel positieve als negatieve warmtehoeveelheden en fungeerde het + en - teken als middel om de richting van de warmtestroom aan te geven. Dit wordt nu dus gedaan door middel van de indices l en 2. Voor het thermisch rendement kan nu worden geschreven:

Zelfs voor een technisch volmaakte machine is een thermisch rendement van 100 % niet te realiseren. Volgens de tweede hoofdwet is het immers niet mogelijk alle toegevoerde warmte in arbeid om te zetten. Dit betekent dat door de natuur bepaalde verliezen in n.,, zijn opgenomen en dus aan dit werktuig worden toegeschreven. Ter vereenvoudiging van de berekening van het thermisch rendement wordt uitgegaan van de volgende veronderstellingen: l De toestandsveranderingen verlopen omkeerbaar. 2 Hoeveelheid en samenstelling van het arbeidsmedium worden gedurende het gehe-

le proces constant verondersteld. De warmte-ontwikkeling door verbranding wordt dus vervangen door een warmtetoevoer van buitenaf (indirecte warmtetoevoer).

3 Het arbeidsmedium bestaat uit zuivere lucht die als een ideaal gas wordt beschouwd met een constante soortelijke warmte c en cv

Om de theoretische kringprocessen te onderscheiden van de werkelijke spreekt men van standaardkringprocessen. De uitkomsten van berekeningen die hieraan worden uitgevoerd, kunnen echter sterk afwijken van wat in de praktijk wordt gevonden. Toch zijn deze berekeningen niet zonder betekenis omdat daarmee de belangrijkste factoren die de waarde van het thermisch rendement bepalen, op betrekkelijk eenvoudige wijze kunnen worden vastgesteld.

Gemiddelde druk

Vervangt men het in fig. 4.2 afgebeelde kringproces door een rechthoek met dezelfde oppervlakte en gelijke Vmãx - V.-,,.,, dan wordt de hoogte van deze rechthoek de gemiddelde druk pm genoemd. Dit is de constante druk die op de zuiger zou moeten werken om, bij één slag, dezelfde arbeid te leveren als het kringproces tijdens één arbeidscyclus. Schrijven we voor Vma - Vmn het slagvolume VS dan is:

Fig. 4.2

Wordt niet uitgegaan van een standaardkringproces maar van een aan de machine ontleend indicateurdiagram dan wordt de hoogte van de bovengenoemde rechthoek de gemiddelde geïndiceerde druk p,,,,,, genoemd. Wordt de gemiddelde druk betrokken op de effectieve arbeid W,, dan leidt dit tot de gemiddelde effectieve druk pmg = qm p,,,i. Gemiddelde drukken zijn nuttige gegevens bij de berekening en de beoordeling van kringprocessen in zuigermachines. Een hoge waarde betekent dat, voor een bepaald vermogen, de afmetingen van de machine klein zullen zijn. Verhoging van de gemiddelde druk kan bij verbrandingsmotoren o.a. worden gerealiseerd door opvoeren van de compressieverhouding en door drukvulling.

toepassing 4.1

l m3 lucht van l bar worden isentroop samengeperst tot 217 van het beginvolume. Bij constant volume wordt de druk verdubbeld, waarna de lucht isentroop tot op de begindruk expandeert. Ten slotte volgt een afkoeling bij constante druk tot de begintoestand weer is bereikt.

73

Bepaal van dit kringproces de energiebalans en het thermisch rendement. k = 1,4.

op lossing

Het p-V-diagram van het kringproces is in fig. 4.3 getekend.

Uit p, V '[ = p2 V k, volgt p2 = $78 bar en p, = 2 p, = 11.55 bar.

Uit p, V k, = p, V k, volgt: V, = 1,64 m3.

Om de energiebalans te kunnen opstellen, moeten Q en W van elk van de vier deelprocessen worden berekend. Dit levert:

pi = l bar V, = l m3

- l W1.2 = - (Pi V2 - p l VJ = -2,5 X (165 143 - 100000) J = -162,86 kJ k - \

WW = p, (V, - V,) = -64 000 J = -64,OO kJ

p2 = 5,78 bar v 2-7m - 2 3

k Q4-l = n p(v, - V,) = -33 x 10' x 0,64 J = -224,OO k~

De energiebalans ziet er nu als volgt uit:

p3 = 11,55 bar v - 7 m - 2 3

proces

p, = l bar V, = 1,64 m3

Bij het kringproces is dus inderdaad 2Q = ZW.

Wordt geen energiebalans gevraagd dan kan worden volstaan met een berekening van de overgedragen warmtehoeveelheden en het thermisch rendement worden berekend uit: n,,, = l - Q2lQ1. Daarbij kan, als de gashoeveelheid niet gegeven is, van een willekeurige massa of een willekeurig volume worden uitgegaan. Meestal wordt daarvoor l kg of l m3 genomen.

Fig. 4.3 Fig. 4.4

toepassing 4.2

Lucht van l bar en 300 K beschrijft het volgende kringproces: Isothermische compressie tot 6 bar, waarna bij constante druk warmte wordt toegevoerd tot de temperatuur 500 K is geworden. Vervolgens expandeert de lucht polytroop, waarbij de begintoestand weer wordt bereikt. Bepaal het rendement van dit kringproces als R = 287 J/(kg K), c = 1 005 J/(kg. K) en k = 1,4.

oplossing

De gegevens zijn in de volgende tabel samengevoegd.

pi = 6 bar p, = 6 bar T, = 300 K T, = 500 K

De exponent van de polytroop 3-1 volgt uit:

De polytroop 3-1 (zie fig. 4.4) blijkt dus een isentroop te zijn. Voor m = l kg geldt:

= cp(T3 - T;) = 1,005 X 200 kJ/kg = 201,O kJ/kg

In de formule van qth is q, = 201,O kJ/kg en q, = 154,3 kJ/kg

zodat:

4.4 Bijzondere kringprocessen

In het hierna volgende zullen kringprocessen worden besproken die uit een aantal bijzondere polytropen zijn samengesteld en die werken met een ideaal gas als arbeidsmedium. Deze kringprocessen vormen een vereenvoudigd model van de werkelijkheid, maar dankzij de schematisering kan betrekkelijk eenvoudig een uitdrukking voor het thermisch rendement worden afgeleid. Hierin is te zien welke factoren het rendement beïnvloeden en in welke mate. De vereenvoudigingen leiden echter ook tot een model waarin een aantal invloedsfactoren niet zijn opgenomen, waardoor de rendementen van de theoretische en de werkelijke processen vrij grote verschillen kunnen vertonen.

4.4.1 Kringproces van Carnot

Kringprocessen moeten zo worden ontworpen dat uit de toegevoegde warmte zoveel mogelijk arbeid wordt verkregen. Volgens Carnot (1796-1832) zou men dit kunnen bereiken door alle warmte bij de hoogst mogelijk temperatuur toe te voeren en de gehele warmteafvoer bij een zo laag mogelijk temperatuur te laten plaatsvinden. Dit betekent dat de temperatuur van het arbeidsmedium bij de toe- en afvoer van warmte constant moet blijven. In het kringproces van Carnot (fig. 4.5) wordt bij het isothermische proces 4-1 warmte toegevoerd. De warmteafvoer vindt plaats bij de

isothermische compressie 2-3. De twee isothermen moeten verbonden worden door toestandsveranderingen waarbij geen warmteoverdracht mogelijk is. De toestandsveranderingen 3-4 en 1-2 zijn daarom isentropen. Noemen we de temperaturen van warmtetoe- en afvoer T, resp. T2, dan kunnen we voor het thermisch rendement schrijven:

Voor de isentropen 1-2 resp. 3-4 geldt:

Omdat T3 = T2 en T4 = Tl volgt uit (b) dat:

l v

Fig. 4.5

Deze uitkomst, ingevuld in (a) levert:

Het thermisch rendement blijkt alleen afhankelijk te zijn van de temperatuur T, waarbij de warmte wordt toegevoerd en van de temperatuur T2 waarbij de warmte-afvoer plaatsvindt. De temperatuur T, moet zo hoog mogelijk zijn, de temperatuur T2 daarentegen zo laag mogelijk. D e maximaal toelaatbare temperatuur van het arbeidsmedium wordt echter begrensd door de toegepaste materialen. De warmte-afvoer vindt gewoonlijk plaats aan de omgeving (lucht of koelwater). De minimumtemperatuur van het arbeidsmedium is theoretisch hieraan gelijk, zodat de temperatuur van de omgeving eveneens een grens stelt aan de maximumwaarde van het thermisch rendement.

In (4.4) komen de eigenschappen van het arbeidsmedium niet voor, zodat het van geen belang is welk ideaal gas hiervoor wordt gebruikt.

In de praktijk kan een Carnot-proces niet worden gerealiseerd. Een isothermische toestandsverandering in een zuigermachine met normale zuigersnelheden b.v. is niet mogelijk vanwege de vereiste snelle warmte-opname en -afgifte. Ook is het niet mogelijk om de isothermische en isentrope toestandsveranderingen in één cilinder te laten plaatsvinden, zodat er vier cilinders in serie moeten worden geplaatst en de machine zeer gecompliceerd zou worden. Een ander praktisch bezwaar is dat, bij een redelijke maxirnumdruk, de oppervlakte van het standaardkringproces dermate klein is dat de afmetingen van de machine buitengewoon groot zouden worden vergeleken met moderne machines van hetzelfde vermogen. Zou men de arbeidsoppervlakte willen vergroten dan zal (pmã, - pmiã) van het proces vergroot moeten worden, hetgeen al snel leidt tot hoge piekdrukken in de machine. Hoewel het Carnot-proces dus niet praktisch uitvoerbaar is, wordt het wel gebruikt als een 'standaard' waarmee de rendementen van uitgevoerde machines worden vergeleken. De inzichten van Carnot blijken ook op willekeurige omkeerbare kringprocessen te kunnen worden toegepast, zoals in paragraaf 8.6 zal worden aangetoond. Omdat de temperatuur van het arbeidsmedium bij warmtetoe- en -afvoer in het algemeen niet constant is, moet een gemiddelde temperatuur voor warmtetoe- en -afvoer (Tl en z) worden vastgesteld. Met deze temperatuur kan dan het thermisch rendement uit (4.4) worden berekend.

4.4.2 Kringproces van Stirling

Deze kringloop bestaat uit twee isothermen verbonden door twee isochoren (fig. 4.6). De warmtetoevoer vindt niet alleen plaats langs de isotherm 3-4 (de hoogste temperatuur in het proces), maar ook langs de isochoor 2-3 waar de temperaturen lager zijn dan T,. Ook wordt niet alle warmte bij de laagste temperatuur T, afgegeven. Voor de warmtehoeveelheid en Q geldt:

Daar T, = T-, en T, = T, zijn de bovengenoemde warmtehoeveelheden in absolute zin aan elkaar gelijk.

De toestandsveranderingen 2-3 en 4-1 verlopen bovendien tussen dezelfde temperatuurgrenzen, zodat het theoretisch mogelijk is om de warmte die bij de toestandsverandering 4-1 wordt afgevoerd omkeerbaar over te dragen aan het arbeidsmedium dat van 2 -+ 3 moet worden verwarmd. Men zou dan een regeneratieve warmtewisselaar

moeten opstellen die van een geschikte vulmassa is voorzien. Eerst stromen hier de uitlaatgassen doorheen en verwarmen de vulmassa. Aan de instroomzijde wordt de temperatuur hiervan T^, aan de uitlaatzijde T,. Daartussen verloopt de temperatuur dan geleidelijk van T, tot Tl. Vervolgens stroomt het arbeidsmedium van toestand 2 in omgekeerde richting door de vulmassa en wordt daarbij opgewarmd van T, tot T3. De verandering in temperatuur van elk deeltje van de vulrnassa is oneindig klein. Ook is op elk moment het temperatuurverschil tussen het arbeidsmedium en de vulmassa oneindig klein, zodat de warmteoverdracht omkeerbaar verloopt. De warmtewisselaar fungeert als een opslagsysteem van thermische energie. De warmtehoeveelheden die in de warmtewisselaar worden overgedragen, kunnen voor de bepaling van het thermisch rendement buiten beschouwing blijven. Het gaat immers alleen om de warmtehoeveelheden die de begrenzingen van het systeem overschrijden en de gehele machine inclusief de warmtewisselaar wordt binnen deze grens gehouden. We hebben dus alleen te maken met de warmtetoevoer Q-,, en de warmteafvoer Qn. Hiervoor geldt:

Dit rendement is weer gelijk aan dat van een Carnot-proces, omdat de gehele uitwendige warmtetoevoer plaatsvindt bij de hoogste temperatuur T-, en alle warmte wordt afgevoerd bij de laagste temperatuur die in het proces voorkomt. De gemiddelde druk van het Stirling-proces is echter aanzienlijk hoger dan die van een Carnot-proces. Omdat de kringloop gesloten is, moet de warmte van buitenaf aan dit arbeidsmedium worden toegevoerd. Dit houdt in dat in principe elke brandstof kan worden toegepast. Een van de problemen bij de praktische uitvoering van dit proces was de fabricage van

l l

v v

Fig. 4.6 Fig. 4.7

een effectief werkende warmtewisselaar. Ontwikkelingen hierin hebben geleid tot een motor met een thermisch rendement dat vergelijkbaar is met dat van motoren met inwendige verbranding. Tot op heden hebben Stirling-motoren nog geen belangrijke rol gespeeld.

Vergelijkbaar met het Stirling-proces is het kringproces van Ericcson (fig. 4.7) waarin de isochoren van het Stirling-proces door isobaren zijn vervangen. De temperatuurverandering bij de isobaar 2-3 is in absolute zin gelijk aan die bij de isobaar 4-1 zodat

= 1 Q4-1 1. Evenals bij het Stirlling-proces kan van de totaal benodige warmte Q2-3 + Q^ door het opstellen van een warmtewisselaar het eerstgenoemde deel aan het proces zelf worden onttroken. Daardoor verloopt de gehele uitwendige warmtetoevoer bij de hoogste temperatuur en de gehele warmte-afvoer bij de laagste temperatuur. Er zijn dus meer kringprocessen die, werkzaam tussen gegeven temperatuurgrenzen, even effectief zijn als een Carnot-proces. Een hoger rendement is echter zoals later (7.2) zal blijken, niet mogelijk.

4.4.3 Kringproces van Joule

Het schema van een kringproces werkend volgens het idee van Joule is in fig. 4.8 weergegeven. Het proces verloopt als volgt: In een zuigercompressor I wordt lucht isentroop gecomprimeerd. Bij het overstromen naar de expansiemachine wordt hieraan, bij constante druk, warmte toegevoerd. In de expansiecilinder I1 expandeert het medium isentroop waarbij een deel van de ontwikkelde arbeid wordt gebruikt om de compressor te drijven die mechanisch aan de expansiemachine gekoppeld is. Ten slotte wordt in een koeler de lucht bij constante druk weer op de begintemperatuur gebracht, zodat het gesloten kringproces van fig. 4.9 ontstaat.

Fig. 4.8 Fig. 4.9

Het thermisch rendement hiervan kan als volgt worden berekend:

Schrijven we voor de drukverhoudingp2/pl =p& = e, dan geldt voor de isentropen 1-2 en 3-4 achtereenvolgens

Derhalve is k - l

k T, - T, = (T. - T>

zodat:

Uit (4.6) is duidelijk dat het thermisch rendement kan worden verhoogd door de drukverhouding op te voeren. Als de toegevoerde warmte daarbij even groot blijft, neemt ook de nuttig geleverde arbeid toe. De maximum toelaatbare temperatuur die in grote mate door de materiaaleigenschappen wordt bepaald, is echter beperkt. Zou de in fig. 4.9 aangegeven temperatuur T, niet mogen worden overschreden, dan wordt bij toename van e de nuttige arbeid steeds kleiner. Als het geleverde vermogen gelijk zou moeten blijven, moet de massastroom worden vergroot, aannemende dat de rotatiefrequentie niet verandert. Dit leidt dan weer tot een grotere en duurdere installatie. De keuze van s zal dus zeer zorgvuldig moeten worden overwogen.

Tl Voor het thermisch rendement kan m.b.v. (a) ook geschreven worden: = l - - T2

Voor een Carnot-proces tussen dezelfde temperatuurgrenzen zouden we voor n.i. moeten schrijven:

Daar T-, > T2 is het Carnot-rendement hoger dan van het kringproces van Joule. In de praktijk wordt het kringproces toegepast in een uitvoering waarbij de zuigermachines door roterende machines zijn vervangen (gasturbine-installatie). De afbeelding van dit proces in eenp-V-diagram is gelijk aan fig. 4.9, maar wordt dan het kringproces van Brayton genoemd.

Van de verschillende kringprocessen is de naam genoemd die in de literatuur gebruikelijk is. Daarbij kan worden opgemerkt dat, historisch gezien, een naam soms ten onrechte met een bepaald proces verbonden is.

4.4.4 Kringprocessen in verbrandingsmotoren

Verbrandingsmotoren behoren tot de warmtewerktuigen met 'inwendige' verbranding, hetgeen betekent dat de benodigde brandstof met het arbeidsmedium wordt gemengd en daarin vervolgens tot verbranding wordt gebracht. Door deze werkwijze kan het werkzame medium niet opnieuw worden gebruikt, maar moet na afloop van de cyclus worden afgevoerd (open kringproces). Bij de kringprocessen wordt wel onderscheid gemaakt tussen mengselmotoren en dieselmotoren maar niet tussen twee- en vierslagmotoren. De in- en uitlaatslag van een vierslagmotor worden buiten beschouwing gelaten omdat de invloed hiervan op de nuttige arbeid gering is. Om de berekeningen te vereenvoudigen wordt verder uitgegaan van de veronderstellingen zoals genoemd op pag. 72. Daardoor treden grote verschillen op tussen het thermische rendement van het standaard kringproces en dat van het werkelijke proces. Het standaardkringproces van een mengselmotor is afgebeeld in fig. 4.10. Dit wordt wel het Otto-proces genoemd naar de Duitser Otto die een belangrijk aandeel had in de ontwikkeling van dit motortype. De verbranding verloopt zo snel dat deze toestandsverandering in fig. 4.10 als een constant-volume-proces kan worden getekend. In genoemde figuur ondergaat het arbeidsmedium (lucht) de navolgende toestandsveranderingen: l isentrope compressie 1-2; 2 warmtetoevoer bij constant volume: Q, = Q= = m cv(T3 - T,); 3 isentrope expansie 3-4 tot het beginvolume; 4 warmte-afvoer bij constant volume tot de begintoestand weer is bereikt:

Q I 0 4 . 1 I = m cdT4 - 7'1).

Dit laatstgenoemde proces vindt in werkelijkheid niet plaats. In 4 gaat namelijk de uitlaat open en expandeert het arbeidsmedium buiten de cilinder van p4 tot p1 zonder arbeidslevering. Het is in feite een open proces maar het is gebruikelijk om het als een gesloten kringproces op te vatten. Voor de berekening van het thermisch rendement maakt dit geen verschil.

We zullen nu m.b.v. de wet van Poisson T2 uitdrukken in T, en T, in T,. Dit levert:

De verhouding Vl/V2 wordt de compressieverhouding c genoemd.

Op dezelfde wijze geldt voor de isentroop 3-4 dat:

k-1 k-l

T ì=T4 (3 = T 4 (3 = r 4 c k - '

zodat:

Substitutie in (a) levert:

Het rendement is afhankelijk van de aard van het arbeidsmedium (k-waarde) en van de compressieverhouding c. Bij hoge c-waarden bestaat de mogelijkheid dat het mengsel al vóór het dode punt tot (zelflverbranding komt. Om praktische redenen moet de compressieverhouding daarom - afhankelijk van motortype, aard van de brandstof e.d. - tot ca. 10 worden beperkt. Boven deze waarde vlakt trouwens de waarde van het theoretisch thermisch rendement sterk af. De uitdrukking (4.7) is de gebruikelijke schrijfwijze voor het rendement van een Otto-proces, maar niet de enig mogelijke. We kunnen het rendement ook schrijven als een functie van temperaturen of als een functie van de drukverhouding e = p2/pi.

Het in fig. 4.11 getekende standaardkringproces van een dieselmotor met drukver- stuiving wordt het Seiliger-proces genoemd. Dit kringproces bestaat uit: 1-2 isentrope compressie van de aangezogen lucht; 2-3 warmtetoevoer bij constant volume;

Fig. 4.10 Fig. 4.1 1

3-4 warmtetoevoer bij constante druk; 4-5 isentrope expansie; 5-1 warmte-afvoer bij constant volume tot de begintoestand weer bereikt is.

Ook hier is de uitlaat van de verbrandingsgassen en de toevoer van nieuwe lucht vervangen door een warmte-afvoer bij constant volume. Nu is:

zodat:

Bovenstaande vergelijking kan weer worden herleid tot een meer praktische vorm waarin de verschillende invloedsgrootheden beter tot uitdrukking komen. We zullen hier echter van afzien en ons beperken tot een aantal opmerkingen. l Uit de boven bedoelde 'herleide' uitdrukking van n,i, blijkt dat ook het rendement

van een dieselmotor voornamelijk bepaald wordt door de compressieverhouding. Omdat lucht gecomprimeerd wordt en geen mengsel, kan een veel grotere compressieverhouding worden toegepast (c = 15 a 20).

2 Doordat aan het einde van de zuigerslag brandstof wordt ingespoten, verloopt de verbranding minder snel dan in een mengselmotor. We kunnen het verbrandingsproces het beste benaderen door een warmtetoevoer die deels bij constant volume en deels bij constante druk verloopt. Verbranding bij constant volume is echter gunstiger dan verbranding bij constante druk, zodat het horizontale deel 3-4 in het kringproces van fig. 4.11 zo klein mogelijk gemaakt moet worden.

3 Met betrekking tot de verbranding kunnen we de volgende twee bijzondere gevallen onderscheiden: - De gehele warmtetoevoer vindt plaats bij constante druk. Het deel 2-3 in fig. 4.11

komt dus te vervallen. Dit z.g. 'gelijkdruk'-proces (zie stippellijn 2-3' in fig. 4.11) was het standaardkringproces voor een dieselmotor met luchtverstuiving, een werkwijze die al lang niet meer wordt toegepast. Het kringproces 1-2-3'4 staat bekend als het 'Diesel'-proces.

- De gehele warmtetoevoer vindt plaats bij constant volume. Het rendement is dan uiteraard gelijk aan dat van een mengselmotor met dezelfde compressieverhouding. De verbranding in moderne dieselmotoren verloopt in de praktijk zo snel

dat het overweging verdient om het Otto-proces ook als standaardkringproces voor een dieselmotor te gebruiken. Omdat het verbrandingsproces van fig. 4.11 hier tussenin ligt, wordt dit ook wel het 'gemengde' proces genoemd.

4.5 Negatieve kringprocessen

Een kringproces dat linksom doorlopen wordt, noemen we een negatief kringproces. In fig. 4.12 is een willekeurig negatief kringproces weergegeven. De pijlrichting volgend, blijkt, dat van l Ñ> 2 arbeid vrijkomt, terwijl daarentegen van 2 Ñ> l arbeid moet worden toegevoerd. De oppervlakte ingesloten door het kringproces is nu een maat voor de netto toe te voeren arbeid:

Fig. 4.12

Niet alleen de arbeid verandert van teken, ook de thermische energiestromen zijn van richting - dus van teken - veranderd.*

Om te voldoen aan de eerste hoofdwet moet de warmtehoeveelheid Q, die aan de omgeving wordt afgestaan, gelijk zijn aan de som van de opgenomen warmte Q-, en de netto toegevoerde arbeid (de aandrijfenergie). Derhalve geldt dat:

* Op te merken valt dat door het veranderen van de richting van de energiestromen. Q, nu een afgevoerde

warmtehoeveelheid voorstelt in tegenstelling tot de in paragraaf 4.2 gemaakte afspraak. De toegevoerde warmte

wordt nu aangegeven met Q,. Het is uiteraard ook mogelijk de afgevoerde warmtehoeveelheid met Q, aan te geven

en de toe te voeren hoeveelheid warmte met Q,. Bij negatieve kringprocessen is deze schrijfwijze echter niet

gebruikelijk.

Negatieve kringprocessen vinden toepassing in koelinstallaties waarbij in een ruimte die thermisch zo goed mogelijk van de omgeving wordt geïsoleerd, een temperatuur wordt onderhouden die beneden de temperatuur van de omgeving ligt. Door de onvermijdelijke warmtetoevoer vanuit de omgeving (Q2) moet - in een stationaire toestand - deze warmtehoeveelheid weer aan de koelruimte worden onttrokken. Dit wordt gerealiseerd door de warmte toe te voeren aan een of ander medium dat een negatief kringproces doorloopt. Met behulp van dit kringproces wordt deze warmte op een dusdanig hoog temperatuurniveau gebracht, dat het aan de omgeving kan worden overgedragen. Dit proces verloopt niet vanzelf maar kost arbeid, zoals uit (4.8) blijkt.

Koudefactor

De warmtehoeveelheid Q2 die bij het negatieve kringproces door het arbeidsmedium wordt opgenomen, wordt de koudeproduktie genoemd. Uiteraard zal men trachten deze Q2 met een minimum aan arbeid naar de omgeving af te voeren. De verhouding van Q2 en lZWl is daarom een belangrijke grootheid bij de beoordeling van deze processen. Deze verhouding leidt echter tot waarden die niet, zoals bij positieve kringprocessen, tussen nul en één variëren, maar tot waarden die soms < l maar in het algemeen groter dan de eenheid zijn. Vandaar dat men, om verwarring te voorkomen, deze verhouding niet het rendement noemt, maar dat hiervoor een andere benaming is gekozen, namelijk de koudefactor e, ook wel het koeleffect* genoemd:

Hoewel e dimensieloos is, kan aan e ook de dimensie van twee energiehoeveelheden worden gegeven, b.v. kJIkJ. Onder de specifieke koudeproduktie wordt verstaan het aantal warmte-eenheden dat bij een bepaalde arbeidstoevoer aan de koelruimte kan worden onttrokken. Is de toegevoerde arbeid b.v. l kJ of (minder gewenst) l kWh, dan is de specifieke koudeproduktie Q2 = e kJ/kJ resp. Q2 = 3 600 e kJIkWh.

Kringproces van Carnot

Ook voor koelinstallaties is het kringproces van Carnot het proces dat bij gegeven temperatuurgrenzen de beste resultaten geeft, dat wil zeggen de hoogste waarde van de koudefactor oplevert.

* In de literatuur wel C.O.P. genoemd (coefficient of performance).

Fig. 4.13

Het Carnot-proces dat linksom wordt doorlopen, is in fig. 4.13 getekend. Voor de koudefactor van dit proces kan worden geschreven:

Met behulp van de wet van Poisson kan worden aangetoond (zie par. 4.4.1) dat:

zodat:

Hieruit blijkt dat, in tegenstelling tot een positief kringproces, de laagste temperatuur T, zo hoog mogelijk en de hoogste temperatuur T, zo laag mogelijk moet worden genomen. Het temperatuurverschil Ti -T2 moet nu dus zo klein mogelijk gemaakt worden. Men moet dus niet dieper koelen dan strikt noodzakelijk is (T2 is dan zo hoog mogelijk) terwijl de temperatuur van warmteafvoer zo laag mogelijk moet zijn. Een lage omgevingstemperatuur (b.v. koud koelwater) is dus gewenst. Uit (4.10) volgt dat cc = l als T2 = \ T,. Is de temperatuur in de koelruimte < \ Tl dan wordt < l . Gewoonlijk in T, = 300 K zodat = l als T, 150 K (-123 'C). Hieruit volgt dat een waarde van lager dan één slechts weinig zal voorkomen.

opmerking

Daar (T, - T,) in het algemeen niet zo groot is (b.v. 20 K) zal een verhoging van T, of een verlaging van T-, al snel tot een ongunstige waarde van E leiden. Is b.v. de omgevingstemperatuur 300 K en de temperatuur in de koelruimte 268 K

dan is = 268

= 8,375 300 - 268

Terwille van het noodzakelijke temperatuurverschil bij de warmte-overdracht (b.v. 7 K), zal de temperatuur van het arbeidsmedium bij de warmte-opname 261 K

bedragen. Om dezelfde reden is T, = 307 K zodat e,- = 261

=5,674. 307 - 261

Voor dezelfde koudeproduktie wordt het krachtverbruik dus bijna, 1,5 maal zo groot.

4.8 Warmtepomp, warmteprodu ktiegetal

Als het in een negatief kringproces niet gaat om het onttrekken van warmte maar om de levering van warmte aan een ruimte, spreekt men van een warmtepomp. In principe is het kringproces gelijk aan dat in een koelinstallatie. Het verschil bestaat hierin dat de temperatuurgrenzen anders worden genomen. Het arbeidsmedium neemt warmte op uit de omgeving (rivier, lucht, grondwater, aardbodem) of verkrijgt de noodzakelijke thermische energie Qy als 'afvalwarmte' van lage temperatuur uit een of ander industrieel proces. Deze warmte wordt vervolgens, onder toevoer van mechanische energie, op een dusdanig hoog temperatuurniveau gebracht dat zij geschikt is voor ruimteverwarming. Bij deze installatie is dus het doel het verkrijgen van warmte (Q,) zodat als 'rendement' de verhouding wordt genomen van Q, en de netto toe te voeren arbeid [ml. Deze verhouding noemt men het warmteproduktiegetal ,sã:

Het warmteproduktiegetal is dus steeds l groter dan het koeleffect van het overeenkomstige proces in een koelinstallatie. In analogie met (4.11) kunnen we voor het warmteproduktiegetal van een negatief Carnot-proces afleiden dat:

In paragraaf 12.8 zal op warmtepompen nader worden ingegaan.

4.9 Kringproces van Joule

Het kringproces van Joule zoals beschreven in 4.4.3 kan ook linksom worden doorlopen en werkt dan als koelmachine. In fig. 4.14 is het schema weergegeven, fig. 4.15 is het bijbehorende p-V-diagram.

De werking is als volgt: l Lucht met temperatuur Ti wordt uit de koelruimte onttrokken en door de com-

pressor I isentroop van p, tot p, gecomprimeerd. De temperatuur neemt hierbij toe tot T,.

2 Vervolgens wordt de lucht door een koeler geleid. Bij constante druk wordt een warmtehoeveelheid Q, aan het medium onttrokken, waarbij de temperatuur daalt tot T.. In een ideale warmtewisselaar in tegenstroom geschakeld zou Ty gelijk kunnen worden aan de begintemperatuur van het koelwater.

Fig. 4.14

l 0-1 Fig. 4.15

3 In een expansiecilinder I1 expandeert de lucht vervolgens isentroop tot op de begindruk en daalt de temperatuur tot Tb welke lager moet liggen dan de vereiste temperatuur in de koelruimte.

4 Ten slotte wordt in de koelruimte bij constante druk een warmtehoeveelheid Q, opgenomen, waarbij de temperatuur weer de beginwaarde T, bereikt. Daarna wordt de lucht opnieuw door de compressor aangezogen.

De koudefactor

Volgens de wet van Poisson is:

zodat:

en: k - l

De eerstgenoemde uitkomst ingevuld in de koudefactor levert:

Hieruit volgt dat het koeleffect toeneemt naarmate de drukverhouding kleiner kan worden genomen. De drukken kunnen willekeurig worden gekozen maar de drukverhouding moet ten minste zo groot zijn dat T, > T, en T, < T, opdat een warmtestroom in de gewenste richting mogelijk is. Zou T, slechts weinig hoger zijn dan de koelwatertemperatuur Ty dan wordt het kringproces zeer smal. De temperatuur T, is dan nagenoeg gelijk aan T, zodat weinig warmte kan worden opgenomen en de cilinderaf- metingen voor een bepaalde koudeproduktie zeer groot zullen uitvallen. Voor een redelijke koudeproduktie per massa-eenheid moet echter T, < Ti zijn. De lucht die aan de koelruimte wordt toegevoerd heeft dan echter een temperatuur die veel lager is dan de geëiste temperatuur in de koelruimte, zodat het moeilijk is hierin een gelijkmatige temperatuurverdeling te onderhouden. Een ander nadeel van deze installatie is dat de soortelijke warmte van lucht gering is zodat, om een zeker aantal warmte-eenheden uit de koelruimte te onttrekken, de circulerende luchthoeveelheid groot moet zijn. Uiteraard heeft dit een ongunstige invloed op de afmetingen van de installatie. In de gebruikelijke koelinstallaties wordt deze werkwijze dan ook niet meer toegepast, hoewel door verhoging van het drukniveau waarop de installatie werkt, de afmetingen weer zouden kunnen worden gereduceerd.

Ook met het negatieve Stirling-proces kan gekoeld worden, maar evenals het Joule1 Brayton-proces wordt dit slechts sporadisch toegepast.

toepassing 4.3

Van een koelmachine volgens het kringproces van Joule met lucht als koelmedium is gegeven: koelwatertemperatuur 15 'C, aanzuigdruk l bar, de geëiste koeltempe- ratuur -3OC, het door de compressor aangezogen volume is 3 dm3 per slag, het aantal slagen is 600 per minuut. De koeler is een ideale tegenstroom-warmtewisselaar.

De smeltingswarmte van ijs is 336 kJ/kg, de soortelijke warmte van water is 4,2 kJ/(kg - K), de dichtheid van lucht bij O°C en 1 bar is 1,29 kg/m3, k = 1,4, c = 1,005 kJ/(kg . K), de drukverhouding is 3. Bepaal de koudefactor en de koudeproduktie per kJ toegevoerde arbeid. Hoeveel kg ijs van O°C kan men per uur maken uit water van 17OC? Wat is de benodigde hoeveelheid koelwater voor de koeler wanneer dit hierin 5 'C wordt verwarmd?

oplossing

De koudefactor van het negatieve kringproces van fig. 4.15 is:

De koudeproduktie per kJ is Q, = e W = 2,7 k - l

k T, = 270 K T, = T, x 3 = 270 X 1,37 K

T, = (273 + 15)K = 288 K T, = - _____ K = 210,4 K 288 l 3

A - l 1,37 3 k

Per uur wordt aangezogen: 3 x l o 3 x 600 x 60 m3 = 108 m,.

273 Voor lucht van l bar en 270 K is p = -x 1,29 kg/m3

= 1,304 kg/m3. 270

De aangezogen massastroom lucht h = 108 x 1,304 kg/h = 140,s kglh.

Uit de koelcel wordt per uur onttrokken:

Q, = m c, (T, - T,) = 140,8 X 1,005 x 59,6 kJ = 8433,6 kJ

Voor het maken van 1 kg ijs van 0 'C uit water van 17 'C is nodig:

(4,2 x 17 + 336)kJ = 407,4 kJ

8 433,6 De installatie kan dus kglh = 20,7 kg ijs per uur leveren.

407,4

De in de koeler af te voeren hoeveelheid warmte bedraagt:

Q, = h c, (T., - T,) = 140,s X 1,005 x 81,6 kJ/h = 11 546,7 kJ/h

De benodigde hoeveelheid koelwater bedraagt dus:

4.10 Vraagstukken


Vijf m3 lucht van l bar wordt isothermisch gecomprimeerd tot 5 bar. Bij constante druk wordt het volume verdubbeld waarna, via een isentrope expansie tot het beginvolume en een warmte-afvoer bij constant volume de begintoestand weer wordt bereikt. Stel een energiebalans op en bepaal het thermisch rendement van het kringproces. c,, = 1005 J/(kg K) en cv = 716 J/(kg . K).

Een gas met een druk van l bar wordt isentroop gecomprimeerd tot 6 bar. Daarna volgt een polytrope expansie tot het snijpunt met de isochoor door het beginpunt. De druk in het snijpunt bedraagt 4,5 bar, het volume 0,5 m3. Ten slotte wordt het gas bij constant volume afgekoeld tot de begintoestand weer is bereikt. Stel een energiebalans op en bepaal het thermisch rendement van het kringproces. k = 1,43.

Lucht van l bar en 300 K beschrijft het volgende kringproces: isentrope compressie tot 10 bar, gevolgd door een isothermische expansie tot het snijpunt met de polytroop = C door de begintoestand. Vervolgens wordt deze polytroop gevolgd tot de begintoestand is bereikt. Bepaal het thermisch rendement door berekening van de warmtehoeveelheden. C,, = 1005 J/(kg . K), cv = 716 J/(kg - K), k = 1,4 en R = 287 J(kg . K).

f"} Lucht van l bar en 300 K wordt isothermisch tot 5 bar samengeperst. Vervolgens %..-.

wordt bij constant volume warmte toegevoerd tot de druk 1,5 maal zo groot geworden is. Ten slotte volgt een toestandsverandering met constante druk tot het snijpunt met de polytroop = C door het beginpunt, waarna genoemde polytroop wordt gevolgd tot de begintoestand weer bereikt is. Stel per eenheid van massa een energiebalans op en bepaal het thermisch rendement van dit kringproces. cp = 1005 J/(kg . K), cv = 716 J/(kg . K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg . K).

5 a Twee kilogram zwaveldioxide van l bar en 300 K wordt isentroop samengeperst tot 400 K. Vervolgens expandeert het gas isothermisch tot de begindruk. Door warmte-afvoer bij constante druk wordt de begintoestand weer bereikt. Stel een energiebalans op en bereken het thermisch rendement van het kringproces als c = 609 J/(kg. K), cv = 479 J/(kg . K) en R = 130 J/(kg . K).

b Toon aan dat het thermisch rendement van bovengenoemd kringproces voldoet aan de volgende betrekking:

6 Een gas van 5 bar en 500 K doorloopt het volgende kringproces: l drukverhoging volgens een polytroop met n = -l tot P-, = 10 bar; 2 expansie volgens een polytroop (n = 2) tot p g = 1,6 bar; 3 compressie volgens een polytroop met n = l ; 4 volumevermindering volgens een polytroop (n = 0) tot de begintoestand weer is

bereikt. Stel een energiebalans op voor l kg gas en bepaal het thermisch rendement van het

kringproces k = 1,4 en R = 300 J/(kg K).

7 Teken in een p-V-diagram de isotherm voor 300 K en die voor 1200 K. Trek vervolgens door de oorsprong een rechte die deze isothermen snijdt in de punten l en 4. Een tweede rechte door de oorsprong, steiler verlopend dan de eerstgenoemde rechte, snijdt de isothermen in de punten 2 en 3. Bereken van het positieve kringproces 1-2-3-4 het thermisch rendement als gegeven is datp, = l bar,p-, = 5 bar, k = 1,4 en R = 300 J/(kg . K).

8 Lucht van l bar en 300 K wordt isothermisch gecomprimeerd tot 2 bar en vervolgens isentroop gecomprimeerd tot de temperatuur 1800 K is geworden. Daarna expandeert het gas isotherrnisch waarna een isentrope expansie volgt tot de begintoestand weer is bereikt. Bereken voor m = l kg thermisch rendement van het kringproces, de nuttige arbeid, de compressieverhouding c en de gemiddelde druk p,,, (in Pa). R = 287 J/(kg - K) en k = 1,4.

Een massa van 0,6 kg lucht beschrijft een positief Carnot-proces. Het thermisch rendement is 60 %, terwijl de nuttig geleverde arbeid 15 kJ bedraagt. Aan het begin van de isothermische expansie is de druk 8 bar en het volume 0,2 m3. Bereken het volume na de isothermische expansie, alsmede de thermische en mechanische energie die bij elk van de vier deelprocessen wordt overgedragen. C,, = 716 J/(kg . K) en R = 287 J/(kg - K).

10 In een Otto-proces is bij de aanvang van de compressieslag, het volume 0,2 m3, de

druk 0,9 bar en de temperatuur 290 K. Aan het einde van de compressieslag is de druk 13 bar waarna 154,5 kJ warmte wordt toegevoerd. Bereken van het standaardkringproces de druk, de temperatuur en het volume na elke toestandsverandering, de schadelijke ruimte in procenten van het slagvolume, de compressieverhouding c, het thermisch rendement, alsmede de gemiddelde druk

P,,,. C,, = 718 J/(kg . K) en R = 287 J/(kg K).

Van het standaardkringproces van een dieselmotor volgens Seiliger is het volgende gegeven: p, = l bar, T, = 300 K, p3 = 80 bar, compressieverhouding c = 18, de warmtetoevoer Qã = Q^. Bereken het thermisch rendement en de gemiddelde druk van dit kringproces. c- = 1000 J/(kg . K), C,, = 714 J/(kg . K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg . K).

12 Een dieselmotor, werkend volgens het gemengde proces, heeft een gemiddelde druk van 10 bar. De minimumdruk en -temperatuur zijn resp. l bar en 1 7 T ; de compressieverhouding bedraagt 16. Bereken de maximumtemperatuur van het standaardkringproces als het thermisch rendement 60 % bedraagt en de maximumdruk gelijk is aan 60 bar. cã = 1005 J/(kg - K), C,, = 718 Jl(kg . K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg - K).

Van een dieselmotor volgens het 'gemengde' proces is de aanzuigdruk 0,9 bar, de druk na de compressie 35 bar en de maximale druk 53 bar. Tijdens de verbranding wordt het volume verdrievoudigd. De exponent van de polytrope compressie bedraagt 1,38 en die van de expansie 1,3. Bepaal het thermisch rendement van dit kringproces als k = 1,4.

Uit water van O 'C moet ijs van dezelfde temperatuur worden gevormd. Hoeveel ijs kan een koelinstallatie per uur maximaal produceren als het toegevoerde vermogen 1,7 kW bedraagt? De smeltingswarmte van ijs is 336 kJ/kg en de omgevingstemperatuur bedraagt 27 'C.

Van een koelmachine met lucht als werkzaam medium (zie fig. 4.15) is p, = l bar, T, = 270 K, p, = 3 bar en T, = 300 K. Bereken de koudefactor, het benodigde vermogen als per uur 200 MJ warmte aan de koelruimte wordt onttrokken, de warmte-afgifte in de koeler (in MJlh) en het aantal kg lucht dat per uur moet circuleren. cP = 1 005 J/(kg - K), k = l,4.

In een negatief Carnot-proces is de laagste temperatuur 5'C en de hoogste 27'C. Bereken de verandering van het toe te voeren vermogen in procenten als de temperatuur waarbij de warmte aan de koelruimte wordt onttrokken -1O0C bedraagt in plaats van 5'C en de hoeveelheid warmte die wordt onttrokken niet verandert.

Een woning moet op 20 'C worden gehouden bij een buitentemperatuur van -10 'C. De warmte-afgifte door muren, raamvlakken enz. bedraagt 18 kW. Bereken het vermogen dat minimaal nodig is voor een warmtepomp die tussen deze twee temperaturen werkzaam is.

Een koelmachine werkend volgens een Carnot-proces onttrekt warmte uit een ruimte met een constante temperatuur van -4'C en brengt deze warmte op omgevingstemperatuur welke 15 'C bedraagt. Als per seconde 15 kJ warmte uit de ruimte van lage temperatuur wordt onttrokken en de machine een rotatiefrequentie heeft van l1 s , bereken dan het minimum toe te voeren vermogen, de benodigde arbeid per omwenteling en de minimale hoeveelheid warmte die per seconde aan de omgeving wordt toegevoerd.

19 In een Carnot-machine zijn de temperatuurgrenzen van het arbeidsmedium 900 K en 290 K (omgevingstemperatuur). De warmte-afvoer bedraagt 85 kJ en de geleverde arbeid wordt toegevoerd aan een negatief Carnot-proces waarvan de laagste temperatuur T, bedraagt en de hoogste temperatuur 290 K. Als gegeven is dat 800 kJ warmte aan de laatstgenoemde machine wordt toegevoerd, bereken dan T,, alsmede de warmte die door deze machine wordt afgestaan.

Hoofdstuk 5

Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken werd steeds uitgegaan van gesloten systemen. Zuiger- compressoren zijn echter machines waaraan een medium wordt toegevoerd dat, na afloop van het proces, weer moet worden verwijderd. Tijdens een deel van de cyclus is het systeem gesloten, maar tijdens aanzuigen en uitdrijven van het medium is er sprake van een open systeem. Als echter de verandering van de kinetische en potentiële energie van het medium buiten beschouwing wordt gelaten, kan de eerste hoofdwet voor gesloten systemen, ook op compressoren worden toegepast. Hieruit kan de technische arbeid - de arbeid die aan de as van de compressor moet worden toegevoerd - worden berekend. Bij compressie tot een hoge einddruk kan ook de eindtemperatuur hoog oplopen. Dit geeft problemen zodat in zo'n geval de compressie over een aantal, in serie geplaatste cilinders wordt verdeeld. Tussen de cilinders wordt het werkzame medium dan zo ver mogelijk afgekoeld.

Werking van een zuigercompressor

De werking van een zuigercompressor zal aan de hand van fig. 5.1 worden verklaard. We gaan daarbij uit van een zuiger die zich in de uiterste stand ( l ) bevindt.

De cilinderruimte (volume V,) is gevuld met een gas, dat polytroop gecomprimeerd wordt van p, tot p,. In 2 opent de uitlaatklep waarna - van 2 -> 3 - het gas wordt uitgedreven in een vat van zodanige afmetingen dat de druk hierin niet oploopt tijdens deze zuigerverplaatsing. In 3 (dode punt) keert de bewegingsrichting van de zuiger om en sluit de persklep. Het achtergebleven gasvolume V-, expandeert vervolgens polytroop van 3 -+ 4. Dan is de druk gedaald tot de aanzuigdruk p, en wordt de inlaatklep geopend. Bij constante druk wordt van 4 -+ l nieuw gas aangezogen waarna de cyclus opnieuw kan aanvangen. Men noemt dergelijke machines periodiek werkend. De zuiger kan niet de gehele gecomprimeerde luchthoeveelheid V2 uitdrijven omdat er

L J Fig. 5.1

altijd een bepaalde afstand moet blijven tussen zuiger en cilinderdeksel. Dit volume is noodzakelijk voor het plaatsen van de kleppen en om contact tussen zuiger en cilinderdeksel te vermijden. Men noemt Vi het schadelijke volume omdat de levering van de compressor hierdoor ongunstig wordt beïnvloed. Het openen en sluiten van de kleppen geschiedt 'automatisch', dat wil zeggen onder invloed van drukverschillen voor en achter de klep. Aangenomen wordt dat dit drukverschil te verwaarlozen is. In het diagram van fig. 5.1 is: het geleverde volume V , = V2 - V3 het aangezogen volume V = V A het slagvolume VS = Vl - V3 Het diagram is geen kringproces omdat de massa die zich in het systeem bevindt, niet constant is. Dit is wel het geval bij compressie en expansie, maar niet tijdens het uitdrijven en aanzuigen van het gas. De lijnstukken 2-3 en 4-1 geven aan hoe het cilindervolume bij de uitlaatslag resp. inlaatslag verandert. De toestand van het gas zelf (p, V, T) verandert daarbij niet zodat T, = T, en T, = Tã Van 2 + 3 en van 4 + l geldt de gaswet dus niet. Het diagram van fig. 5.1 wordt een (theoretisch) indicateurdiagram genoemd. Hierin wordt aangegeven hoe de druk van het medium verandert bij een verandering van het cilindervolume. Is geen schadelijke ruimte aanwezig, dan krijgt het indicateurdiagram de in fig. 5.2 getekende vorm.

5.3 Technische arbeid

De arbeid W. die aan de as van een compressor moet worden toegevoerd, is de algebraïsche som van de arbeidshoeveelheden voor de in fig. 5.1 aangegeven vier deelprocessen. Derhalve is

Bij het uitdrijven van het gas is de door het gas verrichte arbeid p2(V3 - V2) en dus negatief. Bij aanzuigen daarentegen is de arbeid pi(V, - Vs) positief. De arbeid bij compressie en expansie is te bepalen uit (3.4), zodat:

Hierbij is aangenomen dat de exponent van de polytroop bij compressie gelijk is aan die bij expansie. P- - j

r -

Schrijven we nu voor: V2 - Vy = Vge, = het geleverde gasvolume en voor V, - Va, = V = het aangezogen gasvolume, dan luidt de uitdrukking voor de technische arbeid:

De gaswet legepast op de geleverde en aangezogen hoeveelheid gas, luidt:

a a n g = maan$ Tl en ~2Vgei = mgei' '2

In het bovenstaande is m = m , . Schrijven we hiervoor m, dan bevat substitutie in

Met behulp van de wet van Poisson - = C - kan voor (5.2) ook geschreven worden:

Hieruit blijkt dat Wt afhankelijk is van de drukverhouding en recht evenredig met de begintemperatuur T,. Bij compressie van een gas moet de begintemperatuur dus zo laag mogelijk worden genomen, bij expansie daarentegen zo hoog mogelijk. Uit (5.3) blijkt tevens dat de technische arbeid afneemt naarmate de exponent n kleiner is.

Elk van de vier arbeidshoeveelheden genoemd op pag. 98 komt overeen met een oppervlakte. Afgezien van tekens zouden we kunnen schrijven (fig. 5.1):

W. A OPP. 1-2-2'-l' + OPP. 2-3-3'-2' - OPP. 3 4 ' - 3 ' - OPP. 4-1-1'4' W, A opp. 1-2-3-4

Evenals bij kringprocessen is het ingesloten diagramoppervlak een maat voor netto arbeid die bij het proces betrokken is.

Het indicateurdiagram van een compressor zonder schadelijke ruimte is in fig. 5.2 getekend. Passen we (5.1) hierop toe dan is de uitkomst:

Vergelijken we deze arbeid met (3.4), dan blijkt de technische arbeid gelijk te zijn aan n maal de volume-arbeid.

Uit deze betrekking volgt dat voor een isothermisch verlopende compressie als W i l = W^_? Voor de technische arbeid kan zodoende geschreven worden:

Toepassing van (5.1) en (5.2) zou voor n = l tot een onbepaalde vorm leiden.

o ; 2' '1'

v2 v-, v v Fig. 5.2 Fig. 5.3

Het opp. 1-2-3-4 kan ook als een integraal worden geschreven. Sommering van alle oppervlakte-elementjes Vdp (fig. 5.3) van p =pl tot p =p2 levert:

Het minteken is toegevoegd om te bereiken dat W. bij expansiemachines een positieve waarde verkrijgt en daardoor in overeenstemming is met eerder gemaakte tekenaf- spraken. Voor een polytrope toestandsverandering kan deze integraal worden uitgewerkt (zie ook pag. 57) met het onder a genoemde antwoord als resultaat.

Een zuigercompressor zonder schadelijke ruimte is slechts in theorie mogelijk. Het indicateurdiagram van fig. 5.2 is echter wel een juiste weergave van het proces in een roterende compressor. Het begrip 'schadelijke ruimte' heeft voor deze machines geen betekenis. Op de horizontale as wordt nu of een volumestroom ~ a f ~ e z e t of het soortelijk volume v in plaats van het 'cilindervolume'.

De technische arbeid in fig. 5.1 kan ook worden opgevat als het resultaat van een compressor en een expansiemachine, beide zonder schadelijke ruimte.

Wt = opp. 1-2-3-4 = opp. 1-2-5-6 - opp. 3 4 6- 5

Deze schrijfwijze maakt het mogelijk om onderscheid te maken tussen de exponent n, bij compressie en n2 bij expansie:

opp. 3 4 6 - 5 = - Vdp = Ñ"2- (&V, - p2V,) Il " 2 - 1

De eerste term is negatief, de tweede term levert een positieve uitkomst. De expansie- arbeid is overigens maar gering zodat kleine verschillen in de waarde van n maar een zeer gering effect hebben op Wt.

opmerkingen

Het gebruik van de uitdrukkingen (5.2) en (5.3) is beperkt tot ideale gassen in tegenstelling tot (5.1). Een zuivere polytroop komt in werkelijkheid niet voor. Bij de compressie van een medium met omgevingstemperatuur zal eerst warmte van de wand worden opgenomen terwijl de warmtestroom op een gegeven moment van richting omkeert. Uit een opgenomen indicateurdiagram kan, door het opmeten van oppervlakten, de toestandskromme met behulp van (5.4) door een polytroop worden benaderd. Uit (5.2) volgt dat de aan de as toe te voeren arbeid evenredig is met de geleverde (of aangezogen) massa m en dus onafhankelijk is van de schadelijke ruimte. Als deze wordt vergroot waardoor b.v. 5 % minder gas kan worden aangezogen, wordt de benodigde arbeid eveneens 5 % lager. Voor de levering van een bepaalde hoeveelheid gas moet de compressor echter meer slagen maken. Aangezien men in werkelijkheid nog met verliezen te maken heeft - o.a. de mechanische verliezen -zal de schadelijke ruimte in de praktijk w61 invloed hebben op de benodigde hoeveelheid arbeid. In de uitdrukkingen (5.1) enz. kan W, door een vermogen P worden vervangen als in de formules volumestromen resp. massastromen worden gesubstitueerd. Zou de technische arbeid per machinecyclus berekend zijn, dan moet de uitkomst nog met de rotatiefrequentie worden vermenigvuldigd. Voor de eerste hoofdwet kan volgens (2.10) geschreven worden:

Met c opgelost uit (3.7) blijkt dat we c-c, kunnen vervangen door

nR --

n - l '

Substitutie in (a) levert (5.2). De technische arbeid kan dus ook direct uit de eerste hoofdwet worden afgeleid, zoals in de inleiding reeds werd betoogd. Wanneer een vloeistof in een zuigerpomp in druk wordt verhoogd, is het indicateurdiagram een rechthoek, omdat een vloeistof niet samendrukbaar is. Gecomprimeerde lucht vindt o.a. toepassing als arbeidsmedium in expansiemachines. Nemen we hiervoor een zuigermachine, dan vindt, in de meest eenvoudige uitvoering, de toevoer van perslucht plaats gedurende de gehele slag z.g. 'volle vulling'). Het indicateurdiagram (fig. 5.4) is een rechthoek waarin 4-1 de vulling van de machine voorstelt. Aan het einde van de slag sluit de inlaat en

Fig. 5.4

v

Fig. 5.5

opent de uitlaat waarna de druk van l -+ 2 zakt tot de tegendruk p,. De uitlaatslag

wordt door het lijnstuk 2-3 voorgesteld. Bij deze werkwijze is de arbeidslevering maximaal terwijl de kracht op de zuiger

gedurende de gehele slag constant is. Het luchtverbruik (kg lucht per kJ arbeid) is echter hoog omdat de druk van de lucht op het moment dat de uitlaat opent nog gelijk is aan de toevoerdruk. De energie die de lucht dan nog bezit wordt, zonder dat hieraan arbeid wordt onttrokken, naar de omgeving afgevoerd. Een economischer gebruik van het arbeidsmedium wordt verkregen door de lucht slechts over een gedeelte van de slag toe te voeren. Het diagram krijgt daarbij de gedaante van fig. 5.5. De expansie wordt niet voortgezet tot op de tegendruk, maar afgebroken in 2. Dit heeft o.a. tot gevolg dat de slag korter wordt en de machine kleiner en lichter kan

worden uitgevoerd. De geleverde arbeid is:

W A opp. 1-2-346 = opp. 1-2-54 + opp. 2 - 3 4 5

Bij expansie van lucht daalt de temperatuur. Uitgaande van kamertemperatuur kan

de temperatuur zo laag worden dat de waterdamp in de lucht bevriest en de goede werking van de machine door ijsafzetting in gevaar zou kunnen komen. Dit kan worden vermeden door de lucht voor te verwarmen. Wordt de lucht die de compressor levert niet eerst in een luchtvat opgeslagen maar direct gebruikt, dan is de temperatuur hiervan zo hoog dat zich geen moeilijkheden zullen voordoen.

5.4 Koeling van de compressor

Zuigercompressoren worden met water of omgevingslucht gekoeld om de eindtemperatuur van het gas te beperken. Vooral bij grote drukverhoudingen waarvoor zuigercompressoren bij uitstek geschikt zijn, kunnen de hoge temperaturen tot problemen leiden.

We zullen nu de warmte-afvoer berekenen uitgaande van een compressor mit schadc- - .. - b-"-- .................................. . . .. .

De massa m3 in fig. 5.1 is de massa die in de schadelijke ruimte achterblijft. Deze hoeveelheid expandeert maar wordt vervolgens weer gecomprimeerd. De warmtehoeveelheid die bij de ene toestandsverandering wordt opgenomen, wordt bij de volgende toestandsverandering weer afgegeven. Deze massa kan dus voor de netto warmte- uitwisseling buiten beschouwing blijven, zodat we ons kunnen beperken tot m . De netto warmte-uitwisseling met de omgeving kan nu worden berekend met:

Hierin kan c op de bekende wijze worden bepaald mits n bekend is. Als echter de technische arbeid W, bekend is kan voor de bepaling van Q beter worden uitgegaan van (3.9) en (5.4). Dit levert:

k - n k - n Wt Qnetto = n w =-

k - l n

Voor een isothermische compressie levert (5.6) een onbepaalde vorm, maar uit (5.7) volgt dat Qnetm = W,. Van alle polytropen van n = l t.e.m. n = k, is de afgegeven warmte bij de isotherm (n = l ) het grootste, de benodigde technische arbeid Wt daarentegen het kleinste.

Wordt tijdens de compressie geen warmte met de omgeving uitgewisseld (zoals in de meeste roterende compressoren), dan kan de technische arbeid uit (5.1) of (5.2) worden berekend door voor n = k in te vullen. De uitdrukking (5.2) levert:

-k Wt = - m R (T, - Tl) = -m c,, (T2 - T,)

k - 1

5.5 Volumetrisch rendement

De invloed van de schadelijke ruimte op de aangezogen hoeveelheid lucht kan worden aangegeven met het volumetrisch rendement n.,. Dit is gedefinieerd als de verhouding van het aangezogen volume per slag en het slagvolume:

Met verwijzing naar fig. 5.1 kan hiervoor ook worden geschreven:

Uit deze betrekking is de invloed van de verschillende factoren op het volumetrisch rendement en dus op de capaciteit van de compressor, duidelijk te zien. Weliswaar werd eerder aangetoond dat de schadelijke ruimte theoretisch geen energieverlies betekent, maar de verminderde compressorcapaciteit is een duidelijk nadeel.

5.6 Tweetrapscom pressor

Van alle polytropen met exponent n 2 l, is de benodigde arbeid Wt voor een isothermische compressie het kleinste.

at noch voldoende koeloppervlakte noch voldoende tijd voor koeling ter beschikking staan. De temperatuur van het gas zal dus bij de compressie stijgen. Hierdoor bestaat er o.a. gevaar voor kromtrekken van de perskleppen of ontleding van de smeerolie. De lichtere fracties hiervan kunnen met lucht een explosief mengsel vormen, terwijl de zwaardere koolwaterstoffen aanleiding geven tot slijtage en vervuiling. Men beperkt daarom de eindtemperatuur van het gas tot ca. 200 'C, waarmee tevens aan de toelaatbare drukverhouding een grens is gesteld. Deze ligt voor lucht bij ca. 8, afhankelijk van de mate waarin de compressor wordt gekoeld. Moet de einddruk hoger zijn, dan wordt de compressie in twee of meer cilinders (trappen) uitgevoerd. Tussen de cilinders wordt dan een z.g. tussenkoeler geplaatst, waarin de lucht, bij constante druk, zo ver mogelijk wordt afgekoeld alvorens tot de volgende trap te worden toegelaten. Er bestaat nog een andere belangrijke reden om bij hoge einddrukken de compressie over een aantal trappen te verdelen. Als in een compressor met een gegeven schadelijke ruimte (fig. 5.6) de einddruk wordt opgevoerd van p, tot pã, dan neemt het aangezogen volume af van (V, - V^) tot (V, - V<). Het volumetrisch rendement daalt dus. Er is zelfs met behulp van (5.8) een einddrukp3 vast te stellen waarbij in het geheel geen gas meer wordt aangezogen. Het is duidelijk dat aan de toelaatbare drukverhouding in één cilinder, een grens moet worden gesteld. Stel nu dat de compressie over twee trappen wordt verdeeld. Het indicateurdiagram krijgt dan de in fig. 5.7 aangegeven vorm als de schadelijke ruimte buiten beschouwing blijft.

v Fig. 5.6

v

Fig. 5.7

In deze figuur is: 1-2 de polytrope compressie in de lage-druk(L.D.)-cilinder (exponent n,); 2-2' de warmteafvoer bij constante druk in een tussenkoeler; 2'-3 de polytrope compressie in de H.D.-cilinder (exponent n^); 3-4 het uit de machine verwijderen van het gecomprimeerde gas; 6-1 het aanzuigen, waarbij de L.D.-cilinder opnieuw met gas wordt gevuld. Voor de L.D.-cilinder is:

Voor de H.D.-cilinder is:

(T2 - Ti) A opp. 1-2-5-6

(T3 - T;,) A opp. 2'-34-5

Stellen we n, = n2 = n dan geldt dat:

-n m R Wt W t + Wt2,-3 = n - 1 (T2 - Tl + T, - T2-)

Uit fig. 5.7 blijkt dat vergeleken met compressie in één trap volgens de polytroop 1-2-7, met tweetrapscompressie tevens een arbeidsbesparing wordt verkregen, die kan worden voorgesteld door het gearceerde oppervlak 2-2'-3-7. Deze arbeidsbesparing kan van belang zijn voor grote compressoren met een groot aantal bedrijfsuren per jaar.

5.7 Optimale drukverhouding

De optimale drukverhouding is die drukverhouding waarbij de eerdergenoemde arbeidsbesparing zo groot mogelijk is en de toe te voeren technische arbeid derhalve een minimale waarde heeft. Zijn begin- en einddruk van een tweetrapscornpressor gegeven alsmede de exponent van de beide polytropen, dan is de maximale arbeidsbesparing afhankelijk van de tussendruk p2 en van de temperatuur T,,. Deze temperatuur moet uiteraard zo laag mogelijk zijn. De totale aan de as toe te voeren arbeid is, bij een gelijke waarde van de exponent n in de L.D.- en H.D.-cilinder:

We zullen deze uitdrukking verder herleiden, aannemende dat de temperatuur na koeling (T2,) gelijk kan worden gesteld aan de begintemperatuur Tl.

De meest gunstige waarde van p, kan nu worden gevonden door het minimum te

n - 1 bepalen van deze functie. Differentiatie van W. naar p2 waarbij voor - = u wordt n

geschreven levert:

Hieruit blijkt dat de technische arbeid minimaal is als de drukverhouding per trap gelijk wordt genomen. Ditzelfde geldt voor compressoren met meer dan twee trappen. Gelijke drukverhouding betekent tevens gelijke temperatuurverhouding (Poisson). Derhalve geldt voor een tweetrapscompressor dat:

Omdat verondersteld werd dat T, = TT is dus ook T, = Ty De technische arbeid heeft in dit geval voor elke trap dezelfde waarde. In fig. 5.7 is dan opp. 1-2-5-6 = opp. 2 '- 345. Hoe groter het aantal trappen wordt genomen, hoe meer het ideaal - isothermische compressie - wordt benaderd. Uit het oogpunt van prijs en afmetingen beperkt men zich meestal tot het strikt noodzakelijke aantal (zelden meer dan drie).

toepassing 5.1

In een compressor zonder schadelijke ruimte wordt per uur 360 m3 lucht van l bar en 17 OC aangezogen. Als de compressie polytroop verloopt (n = 1,3) tot een einddruk van 6 bar, bereken dan, als R = 287 J/(kg - K):

de door de compressor geleverde volumestroom lucht per seconde; de geleverde massastroom lucht per seconde; de temperatuur T3 aan het einde van de uitlaatslag (zie fig. 5.2); het toe te voeren vermogen in kW en het percentage hiervan dat nodig is voor het aanzuigen en uitdrijven gezamenlijk; de tijd nodig om een luchtvat met een inhoud van 5 m te vullen met lucht van 6 bar en 17 'C.

oplossing

a u i t p , ~ > volgt dat:

b De massastroom aangezogen lucht bedraagt:

V, 105 x o,i m a a n g = - kgls = 0,120 kgls

R T, 287 x 290

Dit is tevens de geleverde hoeveelheid per seconde, omdat bij de compressie wél het volume maar niet de massa verandert.

T" 0,3

- T"

c Uit - - volgt dat: T, = T, = 290 x 6"3 K = 438,5 K P? P?

Tijdens het uitdrijven verandert de temperatuur van de lucht niet zodat:

T = T = 438,5 K

Het toe te voeren vermogen is het gemakkelijkst te berekenen uit schreven als:

(5.21, ge-

-22,2 kW

De arbeid nodig voor het uitdrijven van de lucht (-p2 V,) en voor het aanzuigen (p, V, ) vertegenwoordigen in dit geval een vermogen van:

5,12 Dit komt overeen met - x 100 % = 23,1% van het vermogen.

22,2

We kunnen het gevraagde percentage ook berekenen uit:

Met n = 1,3 levert dit eveneens 23,1%.

Bij de voorgeschreven p en T is de in het luchtvat aanwezige massa:

De tijd waarin deze hoeveelheid wordt geleverd bedraagt:

toepassing 5.2

In een compressor met schadelijke ruimte volgens fig. 5.1 wordt per seconde 1,2 kg stikstof van 12 bar geleverd. Het gas wordt aangezogen bij 1,2 bar en 300K en polytroop ( n = 1,35) gecomprimeerd. In de schadelijke ruimte expandeert per seconde 0,06 kg stikstof eveneens volgens een polytroop met n = 1,35. Als R = 297 J/(kg. K ) en k = 1,4 bereken dan: a het toe te voeren vermogen in kW, b de arbeid W, die de expanderende stikstof per seconde levert; c de netto warmtestroom naar de omgeving uitgedrukt in kW.

oplossing

T" a Uit - toegepast op de toestandsverandering 1-2, vinden we:

ptr-l

Met dezelfde formule toegepast op de polytroop 3-4 vinden we uiteraard dat T, = 300 K, omdat n dezelfde waarde heeft. Met behulp van (5.2) kunnen we voor het toe te voeren vermogen schrijven:

-n . -1,35 p = - m R (T, - Tl ) = - x 1,2 x 0,297 x (545,l - 300) kW = -336,9 kW n - 1 0,35

b Het vermogen dat bij expansie wordt geleverd, kan met dezelfde formule worden berekend als voor h = 0,06 kgls wordt genomen en voor het temperatuurverschil (T , - T,) = -245,l K wordt ingevuld. Dit levert:

c De netto hoeveelheid warmte die wordt overgedragen kan worden berekend uit (5.7):

5.8 Vraagstukken


l Een compressor zonder schadelijke ruimte zuigt 35 m3 lucht aan van l bar en 300 K. De levering bedraagt lom3, bij een druk van 5 bar. Bereken: a het verschil tussen de technische arbeid en de compressiearbeid; b de exponent n van de polytroop; c de warmte die bij de compressie wordt afgevoerd ( k = 1,4), alsmede de com-

pressiearbeid

2 Een compressor zonder schadelijke ruimte zuigt lucht aan van 0,9 bar en 300 K en comprimeert dit polytroop (n = 1,3) tot 5,4 bar. Bereken het toe te voeren vermogen in kW en de warmte-afvoer bij de compressie in kJ/h als per uur 100 m: lucht wordt aangezogen. R = 287 J/(kg K) en k = 1,4.

3 Een elektrisch gedreven compressor zuigt een gas aan van 10°C en l bar. De eindtemperatuur is 157OC, de drukverhouding 5. Het rendement van de elektromotor is 90 %, het mechanisch rendement van de compressor is 85 %. De motor neemt per uur 275 MJ elektrische energie uit het net op. De koelwaterhoeveelheid van de compressor bedraagt 7,7 llmin en de schadelijke ruimte kan buiten beschouwing blijven. Als p w,,ãr = l 000 kg/m3, c w,.,,r = 4,2 kJ/(kg K) en k = 1,4, bereken dan: a de gaslevering in m3 per uur als de compressie polytroop verloopt; b de temperatuurstijging van het koelwater als de mechanische verliezen buiten

beschouwing blijven.

4 In een roterende compressor wordt per seconde 60 kg lucht van 0,9 bar en 17OC isentroop tot 6 bar gecomprimeerd. R = 287 J/(kg e K) en k = 1,4. a Bereken de eindtemperatuur van de lucht en het toe te voeren vermogen in MW. b Door koeling tijdens de compressie kan de eindtemperatuur tot 150 'C worden

teruggebracht. Hoe groot is nu het toe te voeren vermogen en hoeveel warmte moet per uur

l worden afgevoerd als de toestandsverandering polytroop verloopt? Wat is de

l soortelijke warmte c van de polytroop die bij deze compressie wordt gevolgd? 1' l c- i

1 a Als begin- en eindddruk van een compressor met 20 % worden verhoogd, met hoeveel procent neemt dan voor een gegeven hoeveelheid gas de toe te voeren arbeid toe? De begintemperatuur is in beide gevallen gelijk, evenals de exponent van de polytrope compressie.

b Als begin- en einddruk ( l bar resp. 8 bar) beide met 1 bar worden verhoogd, met hoeveel procent zal dan het toe te voeren vermogen per kg gas afnemen? De begintemperatuur T, is in beide gevallen gelijk, evenals de exponent n die 1,35 bedraagt.

6 In een compressor zonder schadelijke ruimte wordt lucht van l bar en 290K polytroop gecomprimeerd tot 5 bar en 450 K. Het toegevoerde vermogen bedraagt 5 kW en de warmte-afgifte aan de omgeving 5 kJ/kg. Bereken de massa lucht die per minuut wordt aangezogen, uitgaande van (2.10). Gegeven is dat c,, = l 005 J/(kg. K).

7 Van een compressor is de schadelijke ruimte 5 % van het slagvolume. De zuiger- diameter D = 10 cm, de slag s = 9 cm en de rotatiefrequentie n bedraagt 15 s ' . De begindruk is l bar, de einddruk 7 bar. Compressie en expansie verlopen polytroop met ni = 1,3 resp. n* = 1,2. Als het mechanisch rendement 85 % bedraagt, hoe groot is dan het toe te voeren vermogen (in kW)? Bereken vervolgens de warmtehoeveelheid (in kJ/min) die bij compressie resp. expansie wordt overgedragen. k = 1,4.

8 Van een compressor is bekend dat per minuut 0,25 m3 gas wordt aangezogen. De druk bij aanzuigen is 1,013 bar en de temperatuur 15 'C; de einddrukp, is 25 bar. De verhouding van slag en boring is 1,2; de schadelijke ruimte bedraagt 3 % van het slagvolume en de rotatiefrequentie n = l 000 S ' . De exponent van de polytroop bij compressie is gelijk aan die bij expansie (n = 1,3). Bereken het toe te voeren vermogen in kW, alsmede de boring en de slag in mm.

9 Van een compressor is de schadelijke ruimte 5 % van het slagvolume. Met hoeveel procent moet de schadelijke ruimte worden vergroot om de levering met 10 % te doen afnemen als het cilindervolume constant is (slagvolume wijzigen)? De begindruk is l bar, de einddruk 5 bar. Compressie en expansie verlopen isentroop met k = 1,4.

10 Van een luchtcompressor met schadelijke ruimte wordt per omwenteling 20 dm3

lucht aangezogen. De exponent van de polytroop bij compressie en expansie is 1,3. Als gegeven is dat p, = l bar, T, = 300 K, p, = 5 bar en de rotatiefrequentie n =500min1, bereken dan het toe te voeren vermogen (in kW), het geleverde volume lucht (in dm310mw.) en de temperatuur van de lucht die na de uitlaatslag in de schadelijke ruimte achterblijft.

11 Een compressor zuigt per uur 95 kg lucht aan en comprimeert dat, te zamen met 5 kg lucht die in de schadelijke ruimte is achtergebleven, polytroop tot een zekere einddruk. Bij de compressie stijgt de temperatuur 160°C en wordt 4 000 kJ warmte per uur afgevoerd. De exponent van de polytroop bij compressie is gelijk aan die bij expansie. Bereken deze exponent, alsmede het toe te voeren vermogen. Bereken ook de netto warmte die per uur wordt overgedragen. c, = l 005 J/(kg. K), C,, = 716 Jl(kg - K) en R = 287 J/(kg. K).

12 Van een compressor met een schadelijke ruimte is de drukp, bij de aanvang van de compressie l bar. Het schadelijk volume is V.,, de exponent van de polytroop n = 1,306, zowel bij compressie als bij expansie. Als bekend is dat V1/V3 = 20, bereken dan de persdruk p2 waarbij het volumetrisch rendement nul is.

13 Een expansiemachine verbruikt per uur 100m3 perslucht van 6 bar en 20°C. De vulling bedraagt 40 % van de slag; de tegendruk bij de teruggaande slag is 1,2 bar; de expansie verloopt isentroop (k = 1,4). Bereken: a het geleverde vermogen; b de geleverde arbeid per mi perslucht; c de toeneming van de arbeid en van de slag uitgedrukt in procenten, als de

expansie tot op de tegendruk zou worden voortgezet.

14 In een expansiemachine, werkend met lucht van 8 bar en 19,S°C, expandeert de lucht polytroop (n= 1,2) tot -lO°C. De druk bij de teruggaande slag is 1,l bar. Bereken:

a de druk aan het einde van de expansie; b de geleverde arbeid per n-&

c het luchtverbruik in m3 per MJ.

15 Van een expansiemachine met schadelijke ruimte is het volgende bekend. De vulling 1-2 bedraagt 40 % van het slagvolume,pl = 6 bar, T, = 410 K. Na de expansie 2-3 die isentroop verloopt, is de druk^ = 2 bar. Dan gaat de uitlaat open en daalt de druk plotseling tot de tegendruk pi = l bar. Vervolgens wordt de lucht van 4 -+ 5 bij constante druk uitgedreven, waarna in 5 de uitlaat sluit en de nog aanwezige lucht van 5 + l isentroop wordt gecomprimeerd. Als de schadelijke ruimte 10 % van het slagvolume bedraagt, bereken dan de nuttige arbeid per m3 toegevoerde lucht, per kg toegevoerde lucht en per m3 slagvolume. k= l , 4 en R=287 J/(kg-K).

16 In een tweetrapscompressor zonder schadelijke ruimte wordt per uur 250 m stikstof van 27 'C en l bar tot 35 bar gecomprimeerd. Na de lagedrukcilinder wordt het gas bij een constante druk van 7 bar in een tussenkoeler tot 17OC afgekoeld. De compressie verloopt polytroop met een exponent nl = 1,30 in de eerste trap en n, = 1,35 in de tweede trap. Bereken het toe te voeren vermogen in kW, alsmede de af te voeren warmte in L.D.-cilinder, tussenkoeler en H.D.-cilinder, uitgedrukt in MJ/h. R = 297 J/(kg. K), k = 1,4 en cp = 1 040 J/(kg K).

17 Een tweetrapscompressor zonder schadelijke ruimte levert per seconde 0,05 kg lucht van 24 bar. De lucht wordt aangezogen bij l bar en 300K en polytroop (n = 1,3) gecomprimeerd tot 6 bar. Bij de daaropvolgende tussenkoeling wordt per seconde 7,68 kJ warmte aan de lucht onttrokken. Ten slotte wordt de lucht isothermisch verder gecomprimeerd tot de einddruk waarbij per seconde 5,96 kJ warmte wordt afgevoerd. cp = 1000 J/(kg -K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg K). a Bereken het toe te voeren vermogen in kW. b Bepaal de hoeveelheid warmte in kW die bij de compressie in de L.D.-cilinder

wordt afgevoerd. c Als V op 100 % wordt gesteld, wat is dan in procenten V , ? d Wat is in dit geval de meest gunstige tussendrukp-, als wordt aangenomen dat de

temperatuur na tussenkoeling 300 K bedraagt?

18 In een tweetrapscompressor zonder schadelijke ruimte wordt een gas polytroop gecomprimeerd. De exponent n van de polytroop is in beide cilinders gelijk aan 1,3. De temperatuurstijging in elke cilinder bedraagt 125 K. Als R = 287 J/(kg - K) en cp = 1 000 J/(kg. K), bereken dan de technische arbeid per kg gas en per m: gas. Is de aldus berekende arbeid ook de minimale arbeid?

19 Een vacuümpomp zuigt per uur 10 m3 lucht uit een vat en comprimeert dit isentroop tot l bar. Teken het verloop van de technische arbeid als de druk in het vat varieert

van absoluut vacuüm tot l bar en bepaal hiervan het maximum. k = 1,4. (Door een luchtlek in het vat wordt de beschouwde druk constant gehouden.)

20 Een tweetrapscompressor zonder schadelijke ruimte zuigt per uur 300m3 lucht aan van 300 K en comprimeert die polytroop (n = 1,2). De begindruk is l bar, de einddruk 25 bar. In een tussenkoeler wordt de lucht tot de begintemperatuur afgekoeld. Bereken het theoretisch toe te voeren vermogen in kW en de benodigde hoeveelheid koelwater als de temperatuurstijging hiervan 10°C bedraagt en de tussendruk de meest gunstige waarde heeft. k = 1,4, c,, = 1 005 J/(kg - K), R = 287 J/(kg. K) en c- = 4,2 kJ/(kg. K).

Hoofdstuk 6

Toestandsveranderingen in open systemen

6.1 Inleiding

De eerste hoofdwet geschreven als Q,^ = U2 - UI + Wn is een energievergelijking voor gesloten systemen. Hierbij blijft het beschouwde medium binnen de gekozen begrenzingen van het systeem. Meestal zal echter een stroming van het medium plaatsvinden waarbij een zekere massastroom wordt toe- resp. afgevoerd en dus de grenslijnen van het systeem overschrijdt. Voor deze z.g. open systemen is de bovengenoemde uitdrukking van de eerste hoofdwet ontoereikend, omdat in deze energiebalans de potentiële en kinetische energie van de in- en uitstromende massa niet zijn verdisconteerd. We zullen daarom nu een energiebalans opstellen voor een open systeem waarbij met genoemde termen wél rekening wordt gehouden. Het resultaat staat bekend als de eerste hoofdwet van open systemen.

6.2 De eerste hoofdwet voor open systemen

Bij de nu volgende beschouwingen beperken we ons tot open systemen waarin een stationaire stroming optreedt; dit is een stroming waarbij: l de massa die per tijdseenheid door een doorsnede stroomt, constant is. 2 de toestand van het medium (p, V, T, grootte en richting van de snelheid enz.) in een

willekeurig punt van het systeem constant is. Elke massadeeltje passeert telkens een andere doorsnede, zodat het tijdens de stroming wel een toestandsverandering zal ondergaan.

3 De overgedragen hoeveelheid arbeid en warmte per tijdseenheid constant is.

We beschouwen nu een machine met toe- en afvoerleidingen volgens fig. 6.1 en stellen een energiebalans op voor het systeem binnen de gestippelde begrenzing. Stroomt per tijdseenheid een massa m (het gearceerde element) bij doorsnede I naar binnen, dan zal eenzelfde hoeveelheid bij I1 het systeem weer verlaten. Daar de totale energiehoeveelheid die in het systeem aanwezig is constant is, moet in dit tijdsbestek:

A t t B

Fig. 6.1

energie-toevoer = energie-afvoer

De toegevoerde energie is te splitsen in: l De inwendige energie U, van het instromende massadeeltje. 2 De energie nodig om de massa m bij I te laten binnenstromen tegen de drukp, in. De

tegenwerkende kracht op het element isp, A,, de te verrichten arbeidp, A, s,. Omdat A, s, = V, is de op het systeem verrichte arbeid gelijk aan pi Vl.

2 3 De kinetische energie E), van dit element; Ek = 2 m cl. 4 De potentiële energie E t.o.v. een gekozen niveau A-B. Is z , de hoogte boven dit

niveau dan is E = m g z^ .

Van de bij doorsnede I1 afgevoerde energie kan men een dergelijke opstelling maken waarbij de verschillende symbolen van de index 2 worden voorzien. De term^ V2 is nu de arbeid die door het systeem moet worden geleverd om het element bij 11, tegen de druk p2 in, over de afstand s2 te verplaatsen en zo naar de omgeving af te voeren. Verder wordt aangenomen dat er een warmtehoeveelheid Q aan het systeem wordt toegevoerd en dat de machine een arbeidshoeveelheid Wt aan de as levert. Dit is de arbeid die voor technisch gebruik ter beschikking komt (niet te verwarren met de volume-arbeid). Resumerend komen we dan tot het volgende resultaat:

Toegevoerde energie: Q^ + UI + pl Vl + E k + EP,

Afgevoerde energie: U2 + p2 V2 + E k + E + WW

Gelijkstelling hiervan levert het volgende resultaat:

In bovengenoemde uitdrukking is

Zoals bekend kan voor U + p V = H worden geschreven zodat:

Enthalpiewaarden kunnen meestal aan tabellen worden ontleend, zodat daarmee het berekenen van A U en de arbeid voor toe- en afvoer van het medium overbodig wordt. Invoering van de enthalpie geeft dus een besparing op het rekenwerk. De energievergelijking voor open systemen luidt dus:

Bovengenoemde vergelijking is algemeen geldig, dus zowel voor omkeerbare als voor niet-omkeerbare processen, alsmede voor elk willekeurig medium. Bij de afleiding is namelijk de wijze waarop de omzettingen in het systeem plaatsvinden - omkeerbaar of niet-omkeerbaar - niet ter sprake gekomen en ook over de aard van het medium werden geen voorwaarden gesteld. Alleen de thermodynamische en 'mechanische' toestandsgrootheden in de doorsnede van toe- en afvoer zijn van belang.* In de meeste gevallen kan (6.1) nog worden vereenvoudigd. Welke termen eventueel kunnen worden weggelaten, hangt van het beschouwde probleem af. De term A E b.v. is vrijwel altijd nul of zeer klein t.o.v. de andere termen. Dit geldt in mindere mate ook voor AEk.

6.3 Adiabatische toestandsveranderingen

Volgens (6.1) is de technische arbeid per eenheid van massa:

Is de machine thermisch goed geïsoleerd ( q = 0) of is de verblijfstijd van het medium kort als gevolg van een grote stromingssnelheid, dan verloopt de toestandsverandering van het medium adiabatisch, al of niet omkeerbaar:

Veelal in het hoogteverschil tussen toe- en afvoeropening gering, zodat de term A e kan worden verwaarloosd. In dat geval schrijven we:

Bij beschouwingen over gasturbines, stoomturbines, roterende gascompressoren, pom-

* In fig. 6.1 is aangenomen dat p, v T U en c in elk punt van een dwarsdoorsnede dezelfde waarde hebben. Door de

wrijving langs de wand en tussen de stromende delen onderling, is dit niet het geval. Het is echter gebleken dat de

afgeleide vergelijking met voldoende nauwkeurigheid kan worden toegepast wanneer men de gemiddelde waarde

van deze grootheden in de dwarsdoorsnede invult.

pen en waterturbines kan van de laatstgenoemde vergelijking worden uitgegaan. Bij de verdere uitwerking treden echter wel verschillen op. Er bestaan ook adiabatische processen waarbij w* = 0. Voorbeelden hiervan zijn de expansie van een medium in een straalbuis en de drukdaling van een stromend medium als gevolg van de plaatselijke vernauwing van de leidingdoorsnede.

6.3.1 Straalbuis

Dit is een buis van speciale vorm waarin de snelheid van het doorstromende medium door expansie sterk toeneemt. De stromingssnelheid is zo groot dat de toestandsverandering door de optredende wrijvingseffecten niet omkeerbaar adiabatisch verloopt. Voor de eenheid van massa volgt uit (6.1) dat:

2 2 Aek = - Ah -+ \ (c2 - c,) = hl - h2

t^ = J 2 (hl - h2) + c2

Veelal is cl <¤ c2, zodat c; kan worden verwaarloosd. Wordt de enthalpie ingevuld in kJIkg, dan kan voor de uittredesnelheid van het medium geschreven worden:

Voor een ideaal gas is hl - h2 = cp(Ti - T;), zodat:

De vorm van een straalbuis kan convergent zijn of convergent-divergent zoals fig. 6.2 aangeeft. Een diffusor is een buis die zodanig is gevormd dat de stroming vertraagd wordt en de druk toeneemt. De werking is dus tegengesteld aan die van een straalbuis. Een eenvoudige diffusor is in fig. 6.3 aangegeven.

Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.3.2 Roterende stromingsmachines

Behalve A e heeft ook de term Aek meestal weinig invloed, zoals in toepassing 6.1 wordt aangetoond. Voor een berekening van de technische arbeid kunnen we dan uitgaan van:

Voor een ideaal gas is Ah = c AT, zodat in dat geval voor (6.3) geschreven kan worden:

Bij een isentrope toestandsverandering kan T-, uit de wet van Poisson worden berekend, mits de begintemperatuur en de drukverhouding bekend zijn. Voor stoom geldt (a) niet en moet de geleverde arbeid uit (6.3) worden berekend. Is de toestand van de stoom vóór en na de turbine bekend door p en T, dan kunnen de desbetreffende enthalpiewaarden aan een tabel of aan een toestandsdiagram worden ontleend. Ook bij een waterturbine zijn de termen Aek en A e te verwaarlozen, vooropgesteld dat het turbinehuis als systeemgrens wordt genomen. Voor de berekening van w, kan dan wederom van (6.3) worden uitgegaan. Water is echter vrijwel niet samendrukbaar (v = constant), zodat:

Tengevolge van druk- en temperatuurverandering (wrijving) kan de inwendige energie ook veranderen, maar deze verandering blijkt uitermate gering te zijn en bovendien moeilijk te bepalen. We stellen daarom u, = u2 en schrijven:

Bovengenoemde uitdrukking (6.4) is ook geldig bij het op druk brengen van een vloeistof in een pomp.

Bij een geringe drukverhoging van een gasvormig medium zoals in een ventilator, is (6.4) eveneens toepasbaar. Het specifieke volume verandert niet veel, zodat met voldoende nauwkeurigheid voor v = (v, + v2)12 kan worden genomen.

opmerking

De stroming in zuigerpompen en zuigercompressoren is niet stationair. Als we echter een windketel geplaatst denken aan de zuig- en perszijde, dan is de stroming wel als stationair te beschouwen omdat de variatie in druk en doorstromende massa door de windketels wordt afgevlakt. Ook bij zuigermachines kan dan de eerste hoofdwet voor open systemen worden toegepast. De toestanden l en 2 in de formules hebben dan betrekking op de toestand van het medium vóór en achter de zuig- en perswindketel.

6.3.3 Warmtewisselaars

We beschouwen een warmtewisselaar waarbij twee media, die door een pijpwand gescheiden zijn, thermische energie met elkaar uitwisselen (fig. 6.4). De snelheidsveranderingen van de media zijn gewoonlijk gering en kunnen buiten beschouwing blijven. Ook het drukverlies van de media is meestal verwaarloosbaar, zodat met een constante-drukproces gerekend kan worden. Van levering van mechanische energie is geen sprake (Wt = 0) terwijl, als de systeemgrenzen rondom de warmtewisselaar worden getrokken, ook de term Q in (6.1) gelijk is aan nul. Die term heeft namelijk betrekking op de energie die de grenslijnen van het systeem passeert t.g.v. een temperatuurverschil tussen systeem en omgeving. Bij een goed geïsoleerde warmtewisselaar is Q= 0. De energie die met het stromende medium wordt toe- en afgevoerd, heeft op de term Q geen invloed. De eerste hoofdwet (6.1) levert nu:

Gelet op de in fig. 6.4 bijgeschreven grootheden moet dus gelden dat:

m,, hl + me, h, - m,, h, - mB h, = O

Fig. 6.4 Fig. 6.5

of:

Als het medium B thermische energie aan het medium A overdraagt, zijn beide termen positief.

We kunnen de grenslijnen ook anders kiezen. Nemen we aan dat het medium A door de pijpen stroomt, en trekken we de grenslijnen lang de pijpwand, zoals aangegeven in fig. 6.5 dan volgt uit (6.1) dat:

De term Qn heeft nu w61 een waarde omdat, als gevolg van het temperatuurverschil tussen beide media, thermische energie de gekozen grenslijnen passeert. Als h2 > h, is deze energie positief en afkomstig van het medium B zodat voor Q1.. ook geschreven kan worden:

Gelijkstelling van (c) en (d) levert wederom de eerder gevonden betrekking (b).

Een ketel is ook als een warmtewisselaar op te vatten. Beschouwen we de pijpwanden als systeemgrens, dan is volgens (6.1) de toegevoerde warmte per massa-eenheid:

Is de snelheid waarmee het voedingswater wordt toegevoerd l mís, de snelheid waarmee de stoom wordt afgevoerd 50 mís en het hoogteverschil tussen toe- en afvoer van het medium 25 m, dan is:

Aek = \(c. - c;) = 1250 Jlkg = 1,25 kJ1kg

Aep = (z2 - zi) = 250 Jlkg = 0,25 kJ1kg

Daar Ah gewoonlijk 2 500.. . 3 000 kJlkg bedraagt, kunnen Aek en A e ook hier worden verwaarloosd, zodat per eenheid van massa geschreven kan worden:

De door het medium bij constante druk opgenomen warmte is gelijk aan de en- thalpievermeerdering hiervan.

Zouden we omtrek van de ketel als systeemgrens gekozen hebben, dan moeten alle energiestromen [lucht (l), water (w), rookgassen (g), stoom (st) en brandstof] in de beschouwing worden betrokken (fig. 6.6). De toevoer van brandstof is toevoer van chemische energie, een vorm van energie die niet in de energievergelijking (6.1) is opgenomen. Een 'aanpassing' van deze vergelijking is te voorkomen door Q niet nul te stellen zoals op pag. 119, maar te beschouwen als de thermische energie die de toegevoerde brandstof vertegenwoordigt. We veronderstellen dus dat de chemische energie buiten de ketel in thermische energie wordt omgezet en vervolgens aan het systeem wordt toegevoerd. Daar voor een ketel Wt = O en de termen A E en AEk kunnen worden verwaarloosd, luidt de algemene energievergelij king:

m g m, i

ha l l hst

Hierin is mw = ml, zodat:

Q w

ml

hl

Om aan te tonen dat deze vergelijk identiek is met (6.5) schrijven we:

De term Q is het produkt van de hoeveelheid brandstof die in de beschouwde tijd wordt toegevoerd en de stookwaarde hiervan. De term tussen haakjes komt overeen met het schoorsteenverlies. Het gehele eerste lid van bovenstaande vergelijking correspondeert dus met de hoeveelheid warmte die per kilogram water in de ketel is opgenomen.

Fig. 6.6

r---------l l l l l l

l l

l ketel l

l l

l l 1 I l l l l L A

6.3.4 Smoren

mw - hw

We beschouwen een leiding waarin zich een regelklep (fig. 6.7) bevindt. Plaatselijk treedt een vernauwing op van de leidingdoorsnede waardoor het stromende medium -

1

Fig. 6.7

vloeibaar of gasvormig - een drukdaling ondergaat. Er wordt geen mechanische energie aan de omgeving overgedragen (W, = O), terwijl ook warmte-uitwisseling met de omgeving kan worden verwaaloosd. Uit (6.1) volgt dan voor de eenheid van massa dat:

In het algemeen kan de verandering van de kinetische energie buiten beschouwing blijven, zodat als criterium voor dit proces geschreven kan worden:

Men noemt deze toestandsverandering smoren; het is een drukdaling van het stromende medium zonder arbeidslevering en zonder warmte-uitwisseling met de omgeving. Smoren is vergelijkbaar met een drukvereffeningsproces en derhalve een niet-omkeerbare toestandsverandering. In de directe omgeving van de vernauwing verkeert het medium niet in evenwicht. Om te voldoen aan de eis dat begin- en eindtoestand altijd evenwichtstoestanden zijn, moet de toestand van het medium op enige afstand vóór en na de plaats van smoren worden genomen. Volgens (2.9) geldt dat h2 - hl = c(T, - Tl) , zodat bij smoren van een ideaal gas ook de temperatuur niet verandert.

6.4 Kringprocessen

Voor een arbeidsmedium dat in een gesloten systeem een al of niet omkeerbaar kringproces beschrijft, werd eerder (pag. 70) gevonden dat:

In de praktijk bestaat zo'n gesloten systeem meestal uit een aantal achter elkaar geschakelde open systemen die zo met elkaar zijn verbonden dat een gesloten circuit ontstaat.

l l

l l l

l l l l b

1 2 l ^2-3 l l

l l

l 3 l l

l l ketel

91-21 - condensor

l - l l 1 l l l l l l l

%4-1

Fig. 6.8

In fig. 6.8 is het kringproces in een stoomturbine-installatie getekend. Een stoomketel, een turbine, een condensor en een pomp zijn hierbij in serie geschakeld en de systeemgrenzen zijn rondom de gehele installatie getrokken. We zullen nu voor de eenheid van massa een energiebalans over de verschillende onderdelen opstellen. We gaan daarbij uit van een stationaire stroming. Er geldt nu achtereenvolgens:

ketel: = h2 - hl + \ (C\ - C,) + g (z2 - Z, )

2 2 turbine: O = h3 - h2 + 4 (c3 - c2) + g (z3 - z2) + w , ~ - ~ 2 2 condensor: q3-4 = h, - h3 + \ (c. - c3) + g ( z , - z ^ )

pomp: O = h , - h, + i (c; - c;) + g ( z , - z4) + wã-, +

91-2 + 93-4 = + t4.)

Bij het sommeren van bovengenoemde vier vergelijkingen, vervallen de potentiële- en kinetische-energietermen. De term is negatief evenals

Uit het bovenstaande volgt dan 2 Q = 'ZWt, zodat ì.W = ZW,. Voor een omkeerbaar verlopend kringproces is:

toepassing 6.1

Bereken voor een stoomturbine en een gasturbine de geleverde technische arbeid bij expansie als het volgende gegeven is: - Stoomturbine: cl = 50 mls, c2 = 150 rnls, daling enthalpie 1000 kJ1kg. - Gasturbine: c, = 10 mls, c2 = 100 mls, temperatuurdaling 500 K.

In beide gevallen ligt de afvoeropening 4 m lager dan de toevoeropening. c, = 1,O kJ/(kg - K) en g = 10 m/s2.

oplossing

Stoomturbine Voor de technische arbeid per massa-eenheid geldt: w , = - Ah - Aek - Aep

Aek = \ (c\ - c;) = \ (22 500 - 2 500) Jlkg = 10 kJ1kg

Aep = (z2 - z1) = - 10 x 4 Jlkg = -0,04 kJ1kg

w t 2 = (1 000 - 10 + 0,04) kJ1kg 990 kJ1kg Verwaarlozing van A e is toegestaan, terwijl verwaarlozing van Aek tot een fout van ca. 1 % leidt. Gasturbine Ook het proces in een gasturbine verloopt adiabatisch, zodat uit (a) volgt dat:

= - cp (T2 - Tl) - Aek - Aep Ae, = \ (10 000 - 100) Jlkg = 4,95 kJ1kg; Aep = -0,04 kJ1kg

= (500 - 4,95 + 0,04) kJ1kg 495,l kJ1kg De fout die zou worden gemaakt door het verwaarlozen van Aek en A e ligt in dezelfde orde van grootte als bij de stoomturbine.

toepassing 6.2

Leid uit (6.1) voor een stationaire wrijvingsloze stroming van een gas of vloeistof door een buis de wet van Bernoulli af als geen thermische of mechanische energie met de omgeving wordt uitgewisseld. De wet Bernoulli luidt:

oplossing

Volgens het gegeven is ql.2 = O en wt,-2 = O. Omdat de stroming bovendien wrijvingsloos is, kunnen we stellen dat xl = UZ. Uit (6.1) volgt nu dat:

l Per kilogram medium geldt: V = v = -zodat

P

Na deling door g en andere rangschikking vinden we:

Dit is de bekende wet van Bernoulli.

Vraagstukken


l In een ongekoelde centrifugaalcompressor wordt een gasmengsel van 0,8 bar en 17'C gecomprimeerd tot 5,6 bar en 300°C. De intreesnelheid is 150 m/s, de

z*. doorsnede van de troomopening is 0,01 m2 en de snelheid bij uitstromen bedraagt 250 m/s. Als het gas als ideaal kan worden beschouwd, bereken dan het toe te voeren vermogen. c,, = 700 J/(kg . K) en R = 350 J/(kg . K).

2 Door een lange geïsoleerde leiding met een constante diameter wordt stoom getransporteerd. In een gegeven doorsnede is de druk 12 bar en de temperatuur 3.50 'C (h = 3 154,6 kJ/kg, v = 0,2345 m3/kg). In een dwarsdoorsnede verder stroom- afwaarts gelegen wordt een druk gemeten van 10 bar en een temperatuur van 345 'C (h = 3 147,9 kJ/kg, v = 0,3700 m3 /kg). Bereken de snelheid in de eerstgenoemde doorsnede.

3 Door een waterturbine stroomt per seconde 5 m3 water. De overdruk van de vloeistof vóór de turbine bedraagt 22 bar, na de turbine is de overdruk 2 bar. De doorstroomoppervlakte van de aanvoerleiding is 1 m2, die van de afvoerleiding 2 m2. Bereken het geleverde vermogen in kW als de druk van de buitenlucht l bar bedraagt en de wrijvingsverliezen buiten beschouwing worden gelaten. pw = 1 000 kg/m3.

4 Door een turbine met een mechanisch rendement van 95 % stroomt per uur 60 ton stoom. Het geleverde vermogen bedraagt 19 MW. a Bereken de specifieke enthalpiedaling van de stoom als de expansie adiabatisch

verloopt. b Hoe groot is de uittreesnelheid van de stoom als bij de berekende enthalpieda-

ling het geleverde vermogen 1,5 % afneemt ten gevolge van de snelheids- toename van de stoom? De beginsnelheid wordt gesteld op 50 m/s.

125

Door een horizontale leiding van constante diameter stroomt wrijvingsloos lucht van 27 'C met een snelheid van 10 rnls. Door warmtetoevoer stijgt de temperatuur 300°C. Als de doorstromende hoeveelheid constant is, bereken dan de enthalpie- toename van de lucht in kJlkg. Hoeveel procent van de toegevoerde energie is nodig geweest om de inwendige energie van de lucht te vergroten?

cp = 1005 Jl(kg . K), cv = 716 J/(kg K).

Aan de as van een pomp die per seconde 3 kg water verpompt, moet per kg water 850 kJ mechanische energie worden toegevoerd. Bij de pompinlaat is de druk 0,6 bar en de snelheid 2 d s . In een punt van de persleiding dat zich x meter boven de inlaat bevindt, is de druk 5 bar en de snelheid 4 rnls. Als geen warmte wordt toe- of afgevoerd, bereken dan de afstand x. De wrijvingsverliezen kunnen worden verwaarloosd. p," = 1000 kg/m3 en g = 10 d s .

Lucht van 1.2 bar en 17OC wordt met een snelheid van 300 rnls aan een diffusor toegevoerd. In de uittreedoorsnede is de druk 1,45 bar en de snelheid 50 rnls. Als per seconde 5 kg lucht door de diffusor stroomt, bereken dan de vereiste diameter van de diffusor aan de uittreezijde. De stroming verloopt adiabatisch. cp = 1 050 J/(kg . K) en R = 287 J/(kg . K).

De instroomcondities van een gas in een diffusor zijn: p, = 0,s bar, T, = 500 K, c, = 250 mls. De druk bij uittrede is 1,l bar en de uitlaatdoorsnede is 25 % groter dan die bij intrede. a Bereken de snelheid c-, en de temperatuur T-, bij de uitlaat als de stroming

adiabatisch verloopt. c = 1030 Jl(kg . K). b Hoe luiden de uitkomsten als er tijdens de stroming een warmtetoevoer plaats-

vindt van 30 kJlkg?

Bij de stroming in een straalbuis expandeert lucht van 5 bar en 250°C tot 3 bar en 200 OC. Als c, = 40 rnls, bereken dan de verhouding van de instroom- en uitstroom- doorsnede van de straalbuis. De bij de stroming toegevoerde warmte bedraagt 8,O kJ1kg. cp = 1050 J/(kg - K). Hoe groot is deze verhouding als de stroming zonder warmtewisseling met de omgeving zou zijn verlopen?

In een straalbuis wordt de snelheid van een medium verhoogd van 50 rnls tot 900 mls. Als de enthalpie in de eindtoestand 2500 kJ1kg bedraagt, bereken dan de enthalpie vóór de straalbuis in kJ1kg. Bereken vervolgens de massastroom (kgls) als de straalbuisdoorsnede in het begin 0,l m

2 bedraagt en het specifiek volume van het

medium ter plaatse 0,2 m3/kg is.

In een gasturbine met een vermogen van 250 kW expandeert per minuut 120 kg lucht van 8 bar en 300 'C tot 1,2 bar. Tijdens de expansie wordt per massa-eenheid 25 kJ warmte naar de omgeving afgevoerd. Als de intreesnelheid van het gas 50 rnls bedraagt en de snelheid bij uittrede 100 rnls, bereken dan de eindtemperatuur van

het arbeidsmedium, alsmede de oppervlakte A, van de uitlaatopening. c, = 1000 J/(kg K) en R = 287 J/(kg e K).

12 Een ketel produceert stoom van 40 bar en 450°C (h = 3 331,2 kJ1kg) uit water van 150 'C (h = 629 kJ1kg). Het voedingswater wordt met een snelheid van 2 rnls aan de ketel toegevoerd en als stoom met een snelheid van 40 rnls afgevoerd. In een straalbuis expandeert de stoom vervolgens adiabatisch waarbij een enthalpiedaling optreedt van 1000 kJlkg. Bereken de warmte die door het water in de ketel is opgenomen (kJlkg), alsmede de snelheid waarmee de stoom uit de straalbuis treedt.

13 Een zonnecollector met een oppervlakte van 25 m2 ontvangt aan stralingsenergie 600 ~ l m ; de warmteverliezen bedragen 30 %. De massastroom water door de collector is 0,05 kgls, de waterintreetemperatuur 20 'C. De uittree-opening ligt 3 m boven de intrede. Bereken de uittreetemperatuur van het water. cã = 4,2 kJ/(kg - K) en g = 10 m/s2.

14 Natte stoom die aan een condensor wordt toegevoerd heeft een snelheid van 150 rnls en een enthalpie van 2250 kJlkg. Het uitstromende condensaat heeft een snelheid van 2 mls en een enthalpie van 120 kJlkg. Bereken per kg stoom de door het koelwater opgenomen warmte, alsmede de fout die wordt gemaakt door de snelheidsenergie van het medium te verwaarlozen.

15 Door een horizontale leiding met een constante diameter van 15 cm stroomt per seconde 2 kg lucht van 6 bar en 157OC. Deze lucht wordt gesmoord tot 3 bar. Bereken de luchtsnelheid c; op enige afstand van de plaats van smoren.

c, = 1000 J/(kg . K) en R = 287 J/(kg K).

16 a Door een hellende leiding van constante diameter stroomt water van omgevingstemperatuur naar beneden. Bereken met behulp van (6.1) het drukverschil tussen twee punten waartussen de afstand, verticaal gemeten, 8 m bedraagt. De stroming is wrijvingsloos. g = 10 m/s2, pw = 1000 kg/m3.

b Als t.g.v. wrijving een drukverlies optreedt van 0,5 bar, hoeveel warmte [Jlkg] wordt dan naar de omgeving afgevoerd als de inwendige energie van de vloeistof niet veranderd is?

Hoofdstuk 7

De tweede hoofwet; entropie

7.1 Formulering van de tweede hoofdwet

Voor een positief kringproces geldt volgens de eerste hoofdwet dat:

Men streeft ernaar om een kringproces zo in te richten dat, bij een gegeven Q,, de afgevoerde warmte Q2 zo klein mogelijk is. Zou Q, = O zijn, dan volgt uit het bovenstaande dat Q, = ìW en = 100 %. Deze uitkomst sluit een perpetuum mobile uit. Het is dus niet mogelijk een machine te ontwerpen die meer energie levert dan er aan wordt toegevoerd. Volgens de tweede hoofdwet is het echter niet mogelijk om alle toegevoerde warmte in arbeid om te zetten. Dit betekent dat Q, # O, zodat Q, > SW en vth < 100 %. De tweede hoofdwet is dus een beperking van de eerste hoofdwet, want een machine met een thermisch rendement van 100 % is niet in tegenspraak met de eerste hoofdwet.

Uit het bovenstaande volgt dat voor een kringproces de warmte-afvoer even essentieel is als de warmtetoevoer. Men heeft nu, ten behoeve van de theoretische beschouwingen, het begrip 'warmtereservoir' (W.R.) ingevoerd. Hieronder verstaat men een thermisch energiereservoir van zodanige capaciteit dat de temperatuur hiervan bij warmtetoe- of afvoer niet verandert. Voorbeelden van dergelijke warmtereservoirs in de praktijk zijn de zee of de atmosfeer. De enige karakteristieke grootheid van een warmtereservoir is zijn temperatuur. Om de eerder genoemde warmte-opname Qi te realiseren moet het systeem op een gegeven moment in contact worden gebracht met een (of meer) warmtereservoir(s) waarvan de temperatuur hoger is dan die van het systeem zelf. Voor de noodzakelijke warmte-afvoer Q2 moet het systeem in staat worden gesteld thermische energie uit te wisselen met een (of meer) warmtereservoir(s) waarvan de temperatuur lager ligt dan die van het beschouwde systeem. O m een kringproces mogelijk te maken, dient men dus te beschikken over ten minste twee warmtereservoirs van verschillende temperatuur.

Fig. 7.1 Fig. 7.2

Symbolisch is dit voorgesteld in fig. 7.1 waar een machine A werkzaam is tussen twee warmtereservoirs met temperaturen T, en T, (T, > T,). De eerste en tweede hoofdwet gelden ook voor negatieve kringprocessen (fig. 7.2). Hierbij wisselen de in fig. 7.1 aangegeven energiestromen van richting zodat nu een zekere warmtehoeveelheid Qy aan het W.R. van lage temperatuur (T,) wordt onttrokken en op een hogere temperatuur (Ti) wordt gebracht onder toevoer van een arbeidshoeveelheid W . Volgens de eerste hoofdwet moet nu gelden:

Het is een ervaringswet dat warmte w61 vanzelf overgaat van hogere naar lagere temperatuur, maar dat voor de omgekeerde warmtestroom energie nodig is. Door Clausius werd dit als volgt verwoord:

Warmtetransport van een kouder naar een warmer lichaam is niet mogelijk zonder toevoer van energie.

De noodzaak om, voor de uitvoering van een kringproces, over ten minste twee warmtereservoirs te kunnen beschikken, bracht Kelvin tot de volgende uitspraak:

Het is onmogelijk een periodiek werkende machine te ontwerpen die aan één warmtereservoir warmte onttrekt en dit volledig omzet in mechanische arbeid.

De uitdrukking 'periodiek werkend' wijst op een kringproces. Uit deze formulering blijkt dat het niet mogelijk is een machine te ontwerpen die de grote warmtecapaciteit van de zee of van de atmosfeer gebruikt als warmtebron voor de levering van arbeid. (Plaatselijke temperatuurverschillen in de zee of de atmosfeer worden hierbij buiten beschouwing gelaten.) De tweede hoofdwet is dus door Clausius op een andere manier verwoord dan door Kelvin. Aangetoond kan worden dat beide formuleringen equivalent zijn.*

* Om dit aan te tonen moet worden bewezen dat de juistheid van de ene uitspraak tevens inhoudt dat de andere

uitspraak juist is en omgekeerd.

7.2 Om keerbare kringprocessen

Stel dat een medium een kringproces beschrijft en dat voor de warmtetoe- en -afvoer twee warmtereservoirs met temperatuur Ti resp. T; ter beschikking staan. De vraag kan nu gesteld worden hoe dit kringproces moet worden uitgevoerd om uit een gegeven warmtehoeveelheid Q, de maximale hoeveelheid arbeid te verkrijgen. Het meest ideale kringproces is - aldus Carnot - een omkeerbaar verlopend kringproces. Dit leidt tot de volgende uitspraken, waarvan de bewijsvoering achterwege wordt gelaten.

A Het is niet mogelijk een machine te ontwerpen die, werkend tussen twee gegeven warmtereservoirs, een hoger rendement heeft dan een omkeerbaar werkende machine.

B Alle omkeerbaar werkende machines hebben hetzelfde rendement wanneer dezelfde twee warmtereservoirs ter beschikking staan.

Dit rendement is blijkbaar onafhankelijk van het arbeidsmedium en van de wijze waarop het omkeerbare kringproces wordt uitgevoerd.

Voor een Carnot-proces met een ideaal gas als arbeidsmedium werd in 4.4.1 afgeleid dat

Dit rendement geldt dus voor alle omkeerbare kringprocessen die tussen dezelfde twee warmtereservoirs werkzaam zijn (vergelijk het Carnot-proces met het kringproces van Stirling). Uit de bovenstaande rendementsformule volgt:

We beschouwen vervolgens een willekeurig omkeerbare kringproces met dezelfde temperatuurgrenzen T, en T, zoals aangegeven in fig. 7.3. Deze kringloop kan men zich opgebouwd denken uit een oneindig aantal Carnot- procesjes. Elk oneindig klein boogelement van het willekeurige kringproces - de temperatuurverandering hierlangs is ook oneindig klein - is vervangen door een isotherm. De temperaturen van warmtetoe- en -afvoer zijn T' en T', T"n T'[ enz. Gelet op (a) geldt voor het gearceerde Carnot-proces in fig. 7.3:

v Fig. 7.3

Voor het volgende Carnot-procesje geldt:

d o ; + - dQ; = O enz. T; T;

Voor het gehele kringproces - de som van een oneindig aantal van deze Carnot- procesje - kan dus geschreven worden:

Deze uitdrukking geldt dus voor elk willekeurig omkeerbaar kringproces.

opmerking

In fig. 7.3 is de temperatuur van het systeem bij toe- en afvoer van warmte niet constant maar verandert voortdurend. Als we slechts over twee warmtereservoirs (met constante temperaturen T, en T-,) zouden beschikken, heeft dat tot gevolg dat de temperatuur van het arbeidsmedium alleen in A en B gelijk is aan die van een warmtereservoir. In alle andere fasen van het proces vindt de overdracht van thermische energie plaats met eindige temperatuurverschillen. We introduceren dan een niet-omkeerbaar verschijnsel waardoor - in tegenspraak met het uitgangspunt - het kringproces niet meer volledig omkeerbaar is. We kunnen een dergelijk kringproces echter wel als omkeerbaar beschouwen door aan te nemen dat we de beschikking hebben over een oneindig aantal warmtereservoirs die onderling een oneindig klein temperatuurverschil bezitten. Tijdens de warmte- overdracht kan het systeem dan op elk moment in contact worden gebracht met een warmtereservoir waarvan de temperatuur een fractie afwijkt van die van het systeem op dat moment, zodat de warmte omkeerbaar wordt overgedragen. Voor dit gearceerde Carnot-proces in fig. 7.3 geldt:

7 - 2 Daar T' < T, en T' > T, is q(,, < l - -. T,

Dit geldt voor elk van de deelprocessen waaruit het willekeurige kringproces is opgebouwd, zodat ook het thermisch rendement van het gehele proces lager zal moeten zijn dan l - TJTã De oorzaak hiervan ligt dus in het feit dat slechts een fractie van de totaal toegevoerde warmte Q, opgenomen wordt bij de hoogste temperatuur T, en ook maar een klein gedeelte van de warmte Q-, bij de laagste temperatuur T, wordt afgegeven. Het grootste deel wordt toegevoerd bij temperaturen die lager zijn dan T, en afgevoerd bij temperaturen die hoger zijn dan T^, zodat niet voldaan wordt aan de voorwaarde van Carnot.

Het thermisch rendement van een willekeurig omkeerbaar kringproces, werkend tussen meer dan twee warmtereservoirs, is altijd lager dan dat van een omkeerbare machine, werkend tussen twee warmtereservoirs waarvan de temperaturen gelijk zijn aan de hoogste en de laagste temperatuur die in het kringproces voorkomen.

Ongelijkheid van Clausius

Als twee warmte reservoirs met temperaturen T, en T2 beschikbaar zijn, is de maximale hoeveelheid arbeid die een kringproces uit een gegeven warmtetoevoer Q, kan leveren als volgt te schrijven:

Het kringproces moet dan wel omkeerbaar verlopen. Is dat niet het geval, dan is de nuttig geleverde arbeid kleiner en dientengevolge ook het thermisch rendement, zodat:

Een kringproces als geheel verloopt reeds onomkeerbaar als één van de deelprocessen in- of uitwendig niet-omkeerbaar is. Eindige temperatuurverschillen bij de warmte- overdracht, wrijvingsverschijnselen e.d. resulteren dus altijd in een lager thermisch rendement

Een willekeurig niet-omkeerbaar kringproces kan worden samengesteld uit een aantal elementaire Carnot-procesjes, die het beschouwde kringproces beter benaderen naarmate dit aantal groter wordt genomen. Voor een oneindig aantal Carnot-processen waarvan de temperaturen van de warmtereservoirs T', Tpesp. T', T>m. worden genoemd, kan in analogie met pag. 130 worden geschreven:

Sommering levert: J Ñ'-- < O. T

Bij niet-omkeerbare kringprocessen is de uitkomst van de kringintegraal dus negatief. De resultaten van de voorgaande beschouwingen kunnen nu aldus worden samengevat:

Warmte die aan het kringproces wordt toegevoerd (en dus uit het warmtereservoir wordt onttrokken) wordt positief gerekend. Het gelijkteken heeft hier betrekking op kringprocessen die omkeerbaar verlopen en het ongelijkteken op kringprocessen die niet-omkeerbaar verlopen. Deze uitkomst, die bekend staat als de ongelijkheid van Clausius, is ook geldig voor negatieve kringprocessen (de bewijsvoering wordt achterwege gelaten). Voor alle kringprocessen geeft de ongelijkheid van Clausius dus een verband aan tussen de warmtehoeveelheden die aan een serie warmtereservoirs worden onttrokken resp. toegevoerd en de temperaturen van deze warmtereservoirs. De uitdrukking (7.1) kan worden beschouwd als de wiskundige vertaling van de tweede hoofdwet. Met behulp hiervan zal in 7.5 een nieuwe toestandsgrootheid, de entropie S, worden afgeleid.

toepassing 7.1

In een omkeerbaar, negatief Carnot-proces wordt bij een temperatuur van 275 K een hoeveelheid warmte van 20 kJ aan een koelruimte onttrokken en op de

omgevingstemperatuur (300 K) gebracht. Bereken de koudefactor e en J+ Voer deze berekening nogmaals uit als ten gevolge van inwendig niet-omkeerbare verschijnselen het toe te voeren vermogen 25 % groter is dan in het ideale geval.

oplossing

Fig. 7.4

Het kringproces verloopt tussen de temperatuurgrenzen 275 K en 300 K (fig. 7.4). Voor de koudefactor e van een Carnot-proces geldt:

In werkelijkheid is de benodigde arbeid voor dezelfde koudeproduktie 25 % groter zodat de werkelijke koudefactor:

Dit negatieve antwoord was te verwachten voor een kringproces dat niet-omkeerbaar verloopt.

Vraagstukken


l Een machine A waarin zich een inwendig omkeerbaar kringproces voltrekt ontvangt 1000 kJ thermische energie uit een warmtereservoir van 1000 K. De temperatuur T' van het arbeidsmedium blijft hierbij constant. De warmte-afgifte aan de omgeving (300 K) geschiedt omkeerbaar. Als de machine een hoeveelheid arbeid

levert van 600 kJ, bereken dan de temperatuur T'. Bepaal ook . Is het ant-

woord in overeenstemming met uw verwachting?

2 Het oppervlaktewater van de zee dat een temperatuur heeft van 22 'C fungeert als warmtebron voor een positief kringproces. De warmte-afvoer vindt plaats aan zeewater op een diepte van 60 m waarvan de temperatuur 6 'C bedraagt. Wat is de maximale waarde van het thermisch rendement van een machine die tussen de genoemde temperatuurgrenzen werkzaam is? Welke gevolgen heeft lage rendement op de afmetingen van de installatie voor een gegeven vermogen?

Aan een koelinstallatie wordt een vermogen P toegevoerd van 150 W. De warmte-afgifte Q, aan de omgeving bedraagt 400 W. Bepaal de minimumtemperatuur die in de koelruimte kan worden gehandhaafd als de omgevingstempera-

tuur 300 K bedraagt. Wat is de uitkomst van T? Als de temperatuur in de koelruimte 12,5 'C hoger is dan de berekende mini- mumwaarde, bepaal dan bij dezelfde P en Q, de waarde van de koudefactor

In een omkeerbaar Carnot-proces wordt warmte (600 kJ) opgenomen uit een warmtereservoir van 1200 K en afgegeven aan een warmtereservoir van 300 K. Bereken van dit kringproces het thermisch rendement, de afgevoerde hoeveel-

heid warmte en bepaal ! %. Wat zijn de uitkomsten als in bovenstaande machine de nuttige arbeid (ZW) daalt tot 400 kJ omdat het kringproces inwendig niet-omkeerbaar verloopt? Bereken het gevraagde in a opnieuw als het kringproces inwendig wel omkeerbaar verloopt maar uitwendig niet t.g.v. een temperatuurverschil bij de warmte-overdracht. Het medium neemt namelijk warmte op bij 1000 K, terwijl er bij de warmte-afgifte een temperatuurverschil van 100 K bestaat met het warmtereservoir van lage temperatuur. Stel dat in geval c de nuttig geleverde arbeid met 25 % daalt als gevolg van niet-omkeerbare verschijnselen in de machine (het krinproces verloopt dan ook inwendig niet-omkeerbaar). Bereken voor deze situatie het in a gevraagde opnieuw.

5 Een warmtepomp wordt gebruikt om een woning in de winter te verwarmen en in de zomer te koelen. De vereiste binnentemperatuur bedraagt 17 'C. Als het warmtetransport door muren, raamvlakken enz. 3 000 kJ per uur per graad temperatuurverschil (woning - omgeving) bedraagt, bereken dan: a het minimumvermogen dat aan de warmtepomp moet worden toegevoerd bij

een buitentemperatuur van -3 'C; b de maximale buitentemperatuur in de zomer als het aan de machine toegevoer-

de vermogen 1,5 kW bedraagt.

6 Een koelmachine onttrekt een hoeveelheid warmte Q' aan een koelruimte met een temperatuur van -23 'C en brengt deze op de omgevingstemperatuur die 27OC bedraagt. De hiervoor benodigde arbeid wordt geleverd door een machine die uit een warmtereservoir van 223 OC een hoeveelheid warmte Q, onttrekt en warmte afvoert naar de omgeving. Bereken de verhouding van Q, en Q[ als beide machines

omkeerbaar werken. Controleer vervolgens of voor beide machines

7 Men heeft de beschikking over drie warmteservoirs van constante temperatuur. Tussen warmtereservoir l (900°C) en 2 (40°C) werkt een machine A die de aandrijfenergie levert voor een koelmachine B die werkzaam is tussen warmtereservoir 3 (-7 OC) en warmtereservoir 2, maar bovendien een machine C aandrijft die 22 kW vermogen vraagt. Tussen het arbeidsmedium van de eerstgenoemde machine en de warmtereservoirs bestaat een temperatuurverschil van 50°C bij de warmte-overdracht. Voor de koelmachine zijn deze temperatuurverschillen 10°C. Bereken de warmtehoeveelheden die de grenslijnen van de warmtereservoirs l en 2 per seconde passeren als gegeven is dat uit het warmtereservoir 3 een hoeveelheid warmte van 16 kW wordt onttrokken en de machines inwendig omkeerbaar werken.

8 Van een kringproces wordt opgegeven dat een warmtehoeveelheid van 600 kJ aan het arbeidsmedium wordt toegevoerd bij een temperatuur van 1200 K en dat de warmte-afvoer 140 kJ bedraagt bij een temperatuur van 300 K. Ga na of het genoemde kringproces kan worden uitgevoerd.

9 a In een machine A voltrekt zich een kringproces waarvan de hoogste temperatuur T, is en de laagste temperatuur T, (omgevingstemperatuur). Bereken de nuttig geleverde arbeid uitgedrukt in T,, T-, en de toegevoerde warmte Q, als de machine omkeerbaar werkt.

b Vervolgens wordt (bij dezelfde warmtetoevoer Q,) door een omkeerbaar werkende koelmachine B de temperatuur van warmteafvoer verlaagd van T-, tot T3, zodat de omkeerbare machine A werkzaam is tussen T, en T3. De temperatuur waarbij de koelmachine de warmte afvoert, is eveneens Ti. Vergelijk de nuttige arbeid van de complete installatie met de bij a berekende arbeid. Welke conclusie kan uit uw antwoord worden getrokken?

10 Voor een omkeerbaar werkende koelmachine die per uur 21 MJ warmte aan een ruimte onttrekt, is een vermogen nodig van 2,5 kW. Als deze machine wordt 'omgekeerd' wat is dan het geleverde vermogen als hieraan per uur 80 MJ warmte

wordt toegevoerd? Toon m.b.v. - dg aan dat het kringproces in de koel-

machine omkeerbaar verloopt.

11 Men heeft de beschikking over een eindig reservoir (l) van thermische energie met een temperatuur van 600 'C en een oneindig groot warmtereservoir 2 met dezelfde temperatuur. Tussen de warmtereservoirs l en 2 wordt een omkeerbaar werkende machine geplaatst. Als men de beschikking heeft over een warmtehoeveelheid van 45 000 kJ die aan het warmtereservoir l wordt toegevoerd, bereken dan de maximale arbeid die uit deze installatie kan worden verkregen. Gegeven is dat van het warmtereservoir l de temperatuurstijging 1 'C bedraagt per 30 kJ die wordt toegevoerd en dat de maximaal toelaatbare temperatuur van dit warmtereservoir l 600 'C bedraagt.

Entropie

In fig. 7.5 zijn twee toestanden van een systeem verbonden door een omkeerbare weg a.

Zouden we langs deze weg bepalen, dan blijkt de uitkomst niet afhankelijk 1: te zijn van de gevolgde weg, mits deze omkeerbaar is. Om dit aan te tonen verbinden we de beide toestanden door een tweede omkeerbare maar verder willekeurige weg b zodat een kringproces l-a-2-b-l ontstaat. Voor dit

omkeerbare kringproces geldt volgens (7.1) dat % = O .

Splitsen we deze kringintegraal in twee delen nl. een langs de weg 'a' en vervolgens terug naar de begintoestand langs de weg 'b' dan kunnen we schrijven:

Fig. 7.5

De letters a en b geven de gevolgde weg aan terwijl T de temperatuur is van het medium op het beschouwde moment. Deze temperatuur is, vanwege de omkeerbaarheid van het proces, gelijk aan de temperatuur van het denkbeeldige warmtereservoir waarmee thermische energie wordt uitgewisseld. Uit het bovenstaande volgt dat:

Ditzelfde kan men aantonen voor de wegen af-br, enz. die elk ook weer deel uitmaken van een omkeerbaar kringproces waarop de toestanden l en 2 zijn gelegen. Hieruit volgt dat de som van dQ/T niet afhankelijk is van de gevolgde weg (mits omkeerbaar) maar uitsluitend bepaald wordt door begin- en eindtoestand van het systeem. Dit is een eigenschap die karakteristiek is voor een toestandsgrootheid. We kunnen nu dus een nieuwe toestandsgrootheid invoeren waarvan het verschil tussen twee toe-

standen l en 2, gelijk is aan / %. Deze toestandsgrootheid wordt de entropie genoemd en aangegeven met de letter S. We kunnen nu schrijven:

De entropieverandering is, zoals gezegd, onafhankelijk van de wijze waarop de toestandsverandering verloopt. Om AS te kunnen berekenen, moet echter een omkeerbare, maar verder geheel willekeurige weg worden gekozen die de begin- en eindtoestand met elkaar verbindt. De entropie wordt uitgedrukt in J/K of, als het op de massa-eenheid wordt betrokken, in J/(kg - K). Laatstgenoemde grootheid noemt men wel de specifieke entropie s. Van bijzonder belang is de omkeerbare adiabatische toestandsverandering. Hierbij wordt geen warmte overgedragen, zodat uit (7.2) volgt bij:

Bij een omkeerbare adiabatische toestandsverandering blijft de entropie constant. Vandaar dat een dergelijke toestandsverandering een isentroop wordt genoemd, een benaming die in 3.4 reeds werd ingevoerd. Met de zojuist geïntroduceerde entropie kunnen nieuwe toestandsdiagrammen worden opgezet. Bekend zijn het T-s-diagram en het h-s-diagram. In een T-s-diagram kunnen warmtehoeveelheden als oppervlakten worden weergege-

ven en kunnen de processen in o.a. stoominstallaties en koelinstallaties aanschouwelijk worden voorgesteld. Bovendien zijn verliezen t.g.v. niet-omkeerbare verschijnselen met behulp van de entropie te kwantificeren. Omdat in de techniek geen enkel proces omkeerbaar verloopt, is dit een bijzonder praktische toepassing van de entropie. De entropie is echter een grootheid waarvan men zich geen voorstelling kan vormen zoals bij veel andere toestandsgrootheden. Slechts door veelvuldig gebruik kan men hiermee vertrouwd raken. Bij veranderingen van de toestand van een systeem, zal ook de entropie veranderen. Alvorens verder op de entropie in te gaan, zal eerst worden nagegaan hoe entropieveranderingen kunnen worden berekend.

7.6 Entropieberekeningen

7.6.1 Algemeen

De entropieverandering kan worden bepaald met behulp van (7.2):

Meestal geldt bij warmtetoe- of -afvoer dat dQ = m c dTzodat de integratie kan worden uitgevoerd mits c constant is of c = f(T) bekend is. Aannemende dat c constant is, geldt:

Voor een groot temperatuurverschil kan het nodig zijn om eerst een gemiddelde waarde van c te bepalen. De uitdrukking (7.4) kan worden toegepast voor vaste stoffen, vloeistoffen en gasvormige stoffen. In het laatste geval is de waarde van c afhankelijk van de wijze waarop de toestandsverandering wordt uitgevoerd. Bij een polytrope toestandsverandering van een ideaal gas kan, als de exponent n van de polytroop gegeven is, de c uit (4.19) worden berekend.

7.6.2 Entropieverandering bij de overgang van vloeistof-damp

Warmtetoe- of -afvoer gaat niet altijd gepaard met een verandering van de temperatuur. Faseveranderingen b.v. verlopen bij constante temperatuur zodat voor de entropieverandering kan worden geschreven:

Hierin stelt Q de warmte voor die bij de fase-overgang wordt overgedragen en is T de temperatuur waarbij het proces zich afspeelt. Bij verdamping van een vloeistof geldt per eenheid van massa dat s-, - si = r/Tv. Hierin is r de verdampingswarmte per kg vloeistof en Tv de verdampingstemperatuur. Wordt maar een deel van de verdampingswarmte toegevoerd, dan wordt ook eenzelfde deel van de vloeistof in verzadigde damp omgezet. We schrijven dan s2 - sl = x rlTv waarin x het dampgehalte voorstelt uitgedrukt in kglkg.

Wordt een vloeistof met temperatuur T, bij constante druk in oververhitte damp met temperatuur T2 omgezet, dan kan de entropieverandering m.b.v. het voorgaande worden berekend. We splitsen daartoe het proces in drie delen (fig. 7.6) en wel de opwarming van de vloeistof tot de verdampingstemperatuur Tv, de verdamping 1'-2' van de vloeistof en ten slotte de oververhitting 2'-2 van de verzadigde damp. We kunnen dan voor de entropieverandering schrijven:

Hierin is ZP de gemiddelde waarde van de soortelijke warmte van de damp tussen de temperaturen Tv en Ti. Zou de eindtoestand na de warmtetoevoer tussen l' en 2' liggen (fig. 7.6), dan geldt:

Wordt in fig. 7.6 uitgegaan van een vaste begintoestand met index O, dan kan sl - sO worden bepaald en worden afgetrokken van s2 - S,,. Het antwoord hiervan komt weer overeen met (7.5). De entropie S,, kan dus zonder bezwaar nul worden gesteld. E.e.a. werd reeds op pag. 47 verklaard. De formules voor de entropieverandering zijn weliswaar eenvoudig, maar om nauwkeurige uitkomsten te verkrijgen, moeten de waarden van Tv, C en CP exact bekend zijn.

tijd

Fig. 7.6

Met name voor de c van oververhitte damp die van druk en temperatuur afhankelijk is, kan dat problemen geven. Voor vele stoffen zijn echter tabellen opgesteld waarin de entropie kan worden afgelezen. Voor water b.v. is in tabel 111 (pag. 289) de entropie van de vloeistof op de verdampingstemperatuur tv opgenomen (svl), alsmede de entropie van de verzadigde damp (sd). In tabel IV (pag. 291) is de entropie s van oververhitte stoom vermeld als functie van de druk en temperatuur. In tabel v (pag. 294) ten slotte is de entropie van water opgegeven als functie van de druk en temperatuur (t < L). Voor toestanden binnen het coexistentiegebied worden geen waarden opgegeven omdat deze gemakkelijk kunnen worden berekend. De entropie van natte damp met dampgehalte x kan worden bepaald door de entropie van de verzadigde damp op te tellen bij die van de aanwezige vloeistof. Dit bevat per kilogram natte damp:

De entropiewaarden uit de tabellen zijn eigenlijk de entropieverschillen met een of andere referentietoestand. Omdat in alle beschouwingen alleen entropieveranderingen voorkomen, is de keuze van deze referentietoestand van geen belang. Om practi- sche redenen bestaat er echter wel enige voorkeur. Voor water is het nulpunt van de entropie gekozen bij het triplepunt van water, zijnde 0,0061 bar en 0,01 'C. De invloed van de druk op de entropie van een vloeistof is niet groot. Daarom kunnen we voor de entropie van water b.v. 100 'C 1,3069 kJ/(kg K) nemen (tabel 11) ongeacht de druk op het water. Voor een meer nauwkeurige waarde zou echter de eerder genoemde tabel v moeten worden geraadpleegd.

7.6.3 Entropieverandering van ideale gassen

Zijn van een ideaal gas begin- en eindtoestand bekend, dan kan het entropieverschil worden bepaald door de beide toestanden te verbinden door een omkeerbare maar verder geheel willekeurige weg. Zijn in begin- en eindtoestand v en T gegeven, dan wordt een weg gekozen zoals aangegeven in fig. 7.7 (v = C en T = C).

Voor het isothermische proces l ' -2 geldt:

Voor de totale entropieverandering kan dus worden geschreven:

Uiteraard kan ook eerst een isotherm worden gevolgd, waarna met een constant- volumeproces toestand 2 weer wordt bereikt. Omdat in het antwoord de gegeven toestandsgrootheden voorkomen, is de gevolgde weg een verstandige keuze geweest. Zijn echter p en T bekend, dan wordt AS bepaald langs de in fig. 7.8 aangegeven omkeerbare weg (p = C, T = C):

Ten slotte kan, als in begin- en eindtoestand p en v gegeven zijn, As met behulp van fig. 7.9 worden berekend:

1 l , 1 2 s2 - s1 = (sr - si) + (s2 - si.) = c, In- + cv In - Tl Tl

Substitueert men hierin:

dan is het resultaat:

Fig. 7.7

142

Fig. 7.8 Fig. 7.9

Afhankelijk van de gegeven grootheden (p, v, T) in begin- en eindtoestand, kan uit een van de drie bovenstaande uitdrukkingen, voor elke willekeurige toestandsverandering van een ideaal gas, de entropieverandering worden berekend. Hoewel dus de noodzaak om de beide toestanden door andere 'wegen' te verbinden, ontbreekt, is dit in principe altijd mogelijk. De meest voor de hand liggende 'weg' is een omkeerbare polytroop. De exponent n hiervan kan uit een van de wetten van Poisson worden berekend. Vervolgens kan dan de entropieverandering volgens de op pag. 139 genoemde wijze worden bepaald.

toepassing 7.2

Een ideaal gas van 2 bar en 300 K wordt polytroop (n = 1,25) tot 14 bar gecomprimeerd. Bereken per eenheid van massa de verandering van de entropie alsmede de afgevoerde warmte. c, = 1005 J/(kg . K) en c, = 716 J/(kg . K)

oplossing

T. De specifieke entropieverandering is: s-, - s, = c ln- T,

c - CP Uitn=---- volgt:

C - C"

11-1

De temperatuur T, = T, (',/p,) n = 300 x 7'', K = 442,7 K, zodat:

Het is echter eenvoudiger om gebruik te maken van (7.8):

waarin R berekend kan worden uit het verschil van c en C,,. De afgevoerde warmte bedraagt:

q,., = C (T2 - T,) = - 0,44 X 142,7 kJ/kg = - 62,s kJ/kg

toepassing 7.3

Van een medium heeft men 1,s kg verzadigde damp van l bar en 111 'C. Door warmte-afvoer bij constante druk gaat een deel hiervan in vloeistof over; De entropieverandering S, - S, die hierbij optreedt bedraagt -1,004 kJ/K. Bereken als r = 357 kJ/kg: a de hoeveelheid damp die hierbij is gecondenseerd (in procenten en in kg); b de entropie in de eindtoestand als de entropie van de vloeistofbij l bar en 27 'C

op -0,250 kJ/(kg - K) wordt gesteld. De soortelijke warmte van de vloeistof bedraagt gemiddeld 1,623 kJ/(kg - K).

oplossing

a Voor het gegeven condensatieproces 1-2 (fig. 7.10) met condensatietemperatuur T = 384 K geldt:

Bij volledige condensatie van 1,s kg damp is de warmte-afvoer:

385,5 Er is dus - x 100 % = 60 % gecondenseerd.

642,6

Dit is 0,6 x 1,s kg = 1,08 kg.

tijd

Fig. 7.10

Om de gevraagde entropie te bepalen moeten we het entropieverschil berekenen tussen 1,s kg vloeistof van de gegeven referentietoestand (toestand 3) en natte damp met een dampgehalte van 40 % (toestand 2). Het proces tussen deze twee toestanden bestaat uit een verwarming bij constante druk waarbij de temperatuur toeneemt van 27 'C tot 111° C, gevolgd door een verdamping van 0,4 x 1,s kg = 0,72 kg van het medium. Dit levert:

toepassing 7.4

Een vat van 3 m3 waarin zich een ideaal gas bevindt van 5 bar en 300 K wordt in verbinding gebracht met een tweede vat van gelijke inhoud, waarin volkomen vacuüm heerst. Bereken de entropieverandering van het gas als de vaten thermisch geïsoleerd zijn. R = 287 J/(kg . K) en cv = 716 J/(kg - K).

oplossing

Bij de expansie wordt door het systeem bestaande uit de gekoppelde vaten geen uitwendige arbeid geleverd, zodat W,, = 0. Gegeven is dat Q = O, zodat U, = UT Bij een ideaal gas is U alleen afhankelijk van de temperatuur, zodat T, = T,. Het proces verloopt, zoals toegelicht in 2.4.3, niet-omkeerbaar. Het entropieverschil tussen begin- en eindtoestand kan alleen bepaald worden langs een omkeerbare weg. Omdat T = constant, wordt hiervoor een omkeerbare isotherm gekozen (fig. 7.11). Volgens (7.7) geldt hiervoor dat:

v2 v2 s, - si = R In -= R In- = 287 x In 2 J/(kg . K) = 198,9 J/(kg . K) v1 v,

p, V. 5 x 105 x 3 m z- - - kg = 17,42 kg zodat:

R T, 287 x 300

S, - S, = m (sy - s,) = 17,42 x 198,9 J/K = 3464,8 J/K

p l

v Fig. 7.11

Voor de berekeningen van S, - S, kan uiteraard ook een andere omkeerbare weg worden gevolgd, b.v. een isentrope expansie 1-3 tot het volume V. = V, is geworden waarna, bij constant volume, zoveel warmte wordt toegevoerd dat de begintemperatuur (T2 = T,) weer wordt bereikt. Nu is:

T. S, - S, = (S3 - S,) + (S, - S,) = m C,, In - T.

Uit R = c,, - C,, kan c en daarmee ook k worden berekend. Vervolgens kan uit T,v,~"~ = ~~k'3-l de temperatuur T3 worden bepaald. Substitutie in (a) levert dan eveneens de gevraagde entropieverandering.

Het expansieproces 1-2 verloopt, zoals reeds werd opgemerkt, adiabatisch en niet-omkeerbaar. Zouden we voor deze adiabatische toestandsverandering het

entropieverschil AS willen berekenen uit dan vinden we AS = O (omdat 1: dQ = 0). Deze uitkomst komt niet overeen met die van de boven uitgevoerde berekening (AS = 3 464,8 JIK). Dit voorbeeld illustreert dat bij niet-omkeerbare processen de

entropieverandering niet bepaald kan worden uit r 9 1 T .

Vraagstukken


12 Een blok koper van 4 kg en 300°C (c = 0,385 kJl(kg. K)) wordt in contact gebracht met een blok aluminium van 2 kg en 20°C (c = 0,9 kJl(kg . K)). Als geen warmte naar de omgeving wordt afgevoerd, bereken dan de entropieverandering van elk blok nadat thermisch evenwicht is bereikt.

13 Een stalen onderdeel met een massa van 1,5 kg, een temperatuur van 500 'C en een soortelijke warmte c van 0,7 kJ/(kg . K) wordt in 3 kg olie (c = 2,2 kJ/(kg . K)) gedompeld. Voordat een evenwichtstoestand bereikt is, wordt het onderdeel er weer uitgehaald. Als de temperatuurstijging van de olie 31,8 'C bedraagt en de entropietoename gelijk is aan 2,16 maal de entropie-afname van het stalen onderdeel, bereken dan de temperatuur van het oliebad voor en na de genoemde handeling.

14 Water wordt bij een constante druk van 10 bar verwarmd van 20°C tot 80°C. Bereken de entropie s, en s2 van de vloeistof bij 20°C resp. 80°C, alsmede de entropieverandering As. De entropie van water van 1 bar en O OC wordt gesteld op 2 kJl(kg . K). c = 4,2 kJ/(kg . K).

15 Bereken de entropieverandering van 3 kg stikstof wanneer dat van 10 bar en 450 'C polytroop (n = 1,25) expandeert tot 2 bar. c = 1,04 kJ/(kg - K) en c, = 0,74 kJ/(kg. K). Bepaal vervolgens de entropie in de begintoestand als de entropie van stikstof van l bar en O OC nul gesteld wordt.

16 Verzadigde stoom van 1,O bar wordt door een warmte-afvoer bij constante druk omgezet in ijs van -15 'C. Als de stollingswarmte van water 336 kJ/kg bedraagt en c,js = 2,l kJ/(kg . K), bereken dan de entropieverandering die hierbij optreedt, uitgedrukt in J/(kg . K). Bij 1,O bar is r = 2257,9 kJ/kg, t, = 99,6OC en cã = 4,18 kJ/(kg . K).

17 Vier kilogram stoom van 120 bar en 560°C (toestand l ) wordt bij constante druk afgekoeld waarbij de entropie 7,5 kJ/K lager wordt (toestand 2). Bereken het percentage damp in de eindtoestand. De soortelijke warmte van de oververhitte stoom bedragt 3,47 kJ/(kg . K), de verdampingswarmte r = 1197,4 kJ/kg en de verdampingstemperatuur t,, bedraagt 324,65 'C.

18 Aan een gas van 8 bar en 350 K wordt bij constante druk 10 MJ warmte toegevoerd. Bereken de verandering van de entropie in J/K als het beginvolume 3,61 m

3

bedraagt. k = 1,4.

19 Stikstof van 127OC en 10 bar expandeert isothermisch tot het specifiek volume de waarde 0,24 m3/kg heeft bereikt. Bereken per kg stikstof de geleverde arbeid, de overgedragen warmte, de verandering van de entropie en van de inwendige energie. Bepaal As en AM eveneens als de genoemde expansie volgens een niet-omkeerbare isotherm zou hebben plaatsgevonden. R = 297 J/(kg . K).

20 Een gas expandeert polytroop (exponent n) waarbij de temperatuur daalt van T, tot T2. Vervolgens wordt het gas bij constant volume van T2 tot T, verwarmd waarbij de entropieverandering gelijk is aan die van het eerstgenoemde proces. Toon aan dat deze bewering juist is indien n = \ (k + l).

21 a Vijf kilogram lucht van 4 bar en 27OC wordt isentroop tot 10 bar gecomprimeerd. Bepaal de toe te voeren arbeid, de overgedragen warmte, de verandering van de inwendige energie en van de entropie als c, = 716 J/(kg . K) en k = 1,4.

b Als bovengenoemde lucht polytroop zou worden gecomprimeerd met dezelfde eindtemperatuur als in a en met een entropieverandering van -562,46 J/K, bereken dan de exponent van deze polytroop en de druk na compressie.

7.8 Het T-s-diagram

Dit is een toestandsdiagram waarin de temperatuur verticaal wordt uitgezet en de entropie horizontaal. Omdat uit (7.2) volgt dat dQ = T dS, kan een warmtehoeveelheid hierin dus als een oppervlakte worden weergegeven, mits de toestandsverandering omkeerbaar verloopt. In fig. 7.12 is een willekeurige, omkeerbaar verlopende toestandsverandering getekend. Voor de eenheid van massa geldt:

Bij een toename van de entropie zoals getekend, is de uitkomst van de integraal positief en stelt de genoemde oppervlakte dus de toegevoerde hoeveelheid warmte voor.

Fig. 7.12 Fig. 7.13

In fig. 7.13 is een willekeurig maar omkeerbaar kringproces getekend. Voor deze figuur geldt: de toegevoerde warmte q, A opp. 1-2-3-6-5; de afgevoerde warmte q2 A opp. 3-4-1-5-6. Voor elk kringproces geldt dat:

zodat de oppervlakte, ingesloten door het kringproces, ook in een T-s-diagram een maat is voor de nuttig geleverde arbeid. Het thermisch rendement q,,, is de verhouding van 2w en q, en zou dus bepaald kunnen worden door het opmeten van oppervlakten.

In een T-s-diagram wordt een isotherm voorgesteld door een horizontale lijn en een isentroop (s = constant) door een verticale lijn. Dit maakt het bijzonder eenvoudig om een Carnot-proces in een T-s-diagram weer te geven. In fig. 7.14 t.e.m. 7.16 zijn achtereenvolgens aangegeven: - een positief Carnot-proces;

Fig. 7.14 Fig. 7.15 Fig. 7.16

- een negatief Carnot-proces in een koelmachine; - een negatief Carnot-proces in een warmtepomp.

Voor het thermisch rendement van het kringproces van fig. 7.4 kan worden geschreven:

ZW opp. 1-2-3-4 (Tl - T2) As - - - - Tl - T2 -

Vth = - T2 - 1 --

Q1 opp. 4-1-6-5 T~ AS Tl Tl

Met behulp van het T-s-diagram verloopt de afleiding van het thermisch rendement dus veel eenvoudiger dan in 4.4.1. Voor de koudefactor van een koelmachine (7.15) geldt:

Q2 OPP. 2-3-6-5 - T, AS - - - T2

E = m opp. 1-2-3-4 (T, - T,) As TI b T2

(Vergelijk dit met de afleiding op pag. 87.) Ten slotte is het Carnot-proces voor een warmtepomp in fig. 7.16 geschetst. Voor het warmteproduktiegetal kan worden geschreven:

Q, opp. 4-1-5-6 - T, AS - - Tl W m= opp. 1-2-3-4 (T, - T2) As T, - T,

In fig. 7.14 t.e.m. 7.16 zijn niet alleen warmte én arbeid als oppervlakten afleesbaar, maar komen ook de verschillen tussen de installaties m.b.t. hun temperatuurgrenzen duidelijk tot uiting.

7.9 Toestandsveranderingen van ideale gassen in een T-s-diagram

Een T-s-diagram voor een ideaal gas bestaat meestal alleen uit een reeks isobaren en isochoren. Zouden we voor een bepaald gas de isobaren willen tekenen, dan wordt eerst een nulpunt voor de entropie aangenomen (toestand po, T. in fig. 7.17). Dan geldt voor een willekeurig punt van de isobaar p = po dat:

T s - s n = s = c In-

p To

Door aan T achtereenvolgens verschillende waarden toe te kennen en de daarbij behorende s te berekenen, kan de isobaar worden vastgelegd. Een willekeurige andere isobaar (p, > pn) heeft eveneens een snijpunt met de T-as. Nemen we aan dat punt l dit snijpunt is, dan kan T, worden gevonden uit de overweging dat 0-1 een isentroop voorstelt waarvoor de wet van Poisson geldt, zodat T, kan worden berekend. Uitgaande van de aldus berekende T, geldt voor een willekeurig punt van de isobaar door punt l eveneens de uitdrukking (a), maar nu moet sn door s, worden vervangen. Ook deze isobaar kan men nu tekenen, hetgeen weer een logaritmische kromme oplevert. Expandeert het gas isothermisch van een willekeurig punt 3 -+ 4 (fig. 7.17), dan volgt uit (7.8) dat:

Uit dit antwoord blijkt dat de horizontale afstand tussen twee isobaren onafhankelijk is van de temperatuur. Dit betekent dat als één isobaar geconstrueerd is, elke andere isobaar gevonden kan worden door horizontale verschuiving van deze isobaar.

Voor een isochoor door het punt 0 geldt:

Deze isochoor kan nu getekend worden. De waarde van V,, volgt uit po V n = R Tn. Ook de horizontale afstand tussen twee isochoren blijkt onafhankelijk te zijn van de temperatuur. Dit volgt uit de isothermische expansie 3'-4' waarvoor geldt:

Fig. 7.17 Fig. 7.18

Bij een toename van de druk neemt het specifieke volume af. Omdat pl > p,, is dus v i < v(,.

Voor een willekeurige polytroop door l (fig. 7.18) geldt volgens (7.2) dat:

dq c d T ds= - - dT T -

T - T dsc

Naarmate het differentiaalquotiënt toeneemt, gaat de polytroop steiler lopen. Een isochoor loopt dus steiler dan een isobaar omdat c, > cv Van een gegeven isobaar neemt de steilheid toe met de temperatuur. De verticale afstand tussen twee isobaren neemt dus eveneens toe met de temperatuur, in tegenstelling tot de horizontale afstand. In fig. 7.18 zijn ook een isothermische en een isentrope compressie getekend. In de praktijk zijn polytropen gewoonlijk tussen de isotherm en de isentroop ( l < n < k) gelegen.

7.10 Entropieverandering bij niet-omkeerbare toestandsveranderingen

In fig. 7.19 stelt de gestippelde kromme 'a' een niet-omkeerbaar verlopende toestandsverandering 1-2 voor (geen evenwichtstoestanden). Verbinden we nu 2 met l door een omkeerbare weg 'b', dan vormen a en b samen een niet-omkeerbaar kringproces waarvoor volgens (7.1) geldt:

v Fig. 7.19

Deze kringintegraal kan weer in twee delen worden gesplitst: één langs het niet- omkeerbare gedeelte 'a' en één langs de omkeerbare weg 'b,.

Voor de omkeerbare weg 'b' geldt dat integratie het entropieverschil oplevert, zodat:

In deze ongelijkheid stelt T de temperatuur voor van de warmte als deze de grenslijnen van het systeem passeert. Deze kan afwijken van de temperatuur van het systeem op het beschouwde moment. Uit (7.10) volgt dat de entropieverandering van het systeem nu niet alleen wordt bepaald door de overgedragen thermische energie, maar ook door de niet-omkeerbare verschijnselen die binnen de systeemgrenzen optreden.

Noemen we de entropietoename die het gevolg is van de niet-omkeerbare effecten de entropieproduktie AS,,o., dan kunnen we de betrekking (7.10) als een vergelijking schrijven en wel:

Uit (7.10) en (7.11) volgt dat A S altijd positief is. De voorafgaande term daarentegen kan zowel positief als negatief zijn, afhankelijk van de richting van de warmtestroom, zodat ook S-, - S, positief of negatief kan uitvallen.

Verloopt een toestandsverandering isentroop, dan is niet alleen = O maar is

ook = 0. Uit (7.11) volgt dan dat S, = S-, hetgeen reeds in paragraaf 7.5 werd gevonden. Verloopt de toestandsverandering echter niet omkeerbaar maar wel adiabatisch, dan volgt uit (7.10) dat:

of:

De entropie van een systeem dat thermisch van zijn omgeving is geïsoleerd en waarin zich een niet-omkeerbaar proces afspeelt, zal dus altijd toenemen. De entropietoename wordt dan alleen veroorzaakt door de niet-omkeerbare effecten die binnen de systeemgrenzen optreden, zoals uit (7.11) blijkt.

De voorgaande beschouwingen zijn van bijzondere betekenis omdat, door het op een verstandige wijze aanbrengen van systeemgrenzen, elke toestandsverandering als adiabatisch kan worden opgevat. Zou namelijk een systeem (A) een toestandsverandering ondergaan waarbij tevens thermische energie wordt uitgewisseld met een deel (B) van zijn omgeving, dan kunnen A en B te zamen worden beschouwd als een nieuw systeem (C) waarin zich een adiabatisch proces afspeelt. Hiervoor geldt dan dat:

ASc = AS, + ASo 2 O

of, algemeen geschreven:

waarbij het gelijkteken slaat op de situatie waarbij alleen van omkeerbare toestandsveranderingen sprake is. Elk niet-omkeerbaar verschijnsel binnen het gekozen adiabatische systeem, levert een bijdrage aan de entropietoename. Vandaar dat de totale entropietoename een maat is voor alle dissipatieve effecten die zich binnen de systeemgrenzen voordoen. Daartoe behoren niet alleen de wrijvingsverliezen, maar ook de thermische energiedissipatie als gevolg van eindige temperatuurverschillen bij de warmteoverdracht. We zien dus dat met deze kunstgreep alle niet-omkeerbare effecten, ook die welke buiten de oorspronkelijke systeemgrenzen optreden, tot uitdrukking komen in de entropietoename van het gehele systeem (d.i. het oorspronkelijke systeem vermeerderd met alle subsystemen die binnen de nieuwe systeemgrens zijn komen te liggen). Slechts als alle toestandsveranderingen omkeerbaar verlopen geldt dat AStot = O zodat:

De entropieverandering van systeem en omgeving zijn dan gelijk maar hebben een tegengesteld teken.

toepassing 7.5

a Twee kilogram verzadigde stoom van 195OC wordt tot condensatie gebracht door vloeibare freon die zich bevindt op een verdampingstemperatuur van - 1O0C. Bereken de entropieverandering van de stoom en die van de freon in kJIK. De

verdampingswarmte van stoom bedraagt 1960,7 kJ/kg en die van freon 156,3 kJ/kg. Voer de berekening nogmaals uit indien tussen de twee genoemde media een omkeerbaar werkende machine wordt geplaatst waaraan de condensatiewarmte van de stoom wordt toegevoerd. Hoe groot is de door de machine geleverde arbeid?

oplossing

t i jd

Fig. 7.20

De door de stoom afgegeven hoeveelheid warmte bedraagt

De temperaturen van zowel stoom als freon blijven gedurende de warmteoverdracht constant. Voor de entropieverandering geldt dus:

en:

AS,,,, = (- 8,38 + 14,91) kJ/K = 6,53 kJ/K

De positieve uitkomst is in overeenstemming met de tweede hoofdwet. De warmteoverdracht verloopt namelijk niet-omkeerbaar als gevolg van het eindige temperatuurverschil tussen stoom en freon. De machine werkt tussen twee warmtereservoirs met als temperatuur T, = 468 K en T, = 263 K (fig. 7.20). Alle omkeerbare machines werkzaam tussen deze warmtereservoirs hebben hetzelfde thermische rendement en wel het rendement van een omkeerbaar Carnot-proces:

Hieruit volgt dat de arbeid die de omkeerbare machine levert gelijk is aan:

ZW = "]c Q = 0,438 X 3 921,4 kJ = 1717,6 kJ

Daarmee wordt de door de machine afgevoerde warmte:

Q2 = Ql - 2W = (3 921,4 - 1717,6) kJ = 2203,s kJ

Dit is de warmte die aan de freon wordt overgedragen.

AS,,,, = ASs, + ASfr = 0

Bij een volledig omkeerbaar proces is de totale entropieverandering nul, zoals op pag. 153 werd betoogd.

7.1 1 Vraagstukken


22 Bij een isothermische compressie van zuurstof resp. stikstof van 1,2 bar en 290 K wordt het volume verkleind van 12,5 m3 tot 2,5 m3. Bereken in beide gevallen de entropieverandering in J/K en de afgevoerde hoeveelheid warmte. Teken het proces in een T-s-diagram en geef hierin de overgedragen hoeveelheid warmte aan.

23 Vijftig kilogram gas (cp = 1,s kJ/(kg. K)) van 1 200 'C daalt bij constante druk 400 'C in temperatuur. Alle warmte wordt overgedragen aan m [kg] water van 40 bar en de daarbij behorende verdampingstemperatuur Tv. Als het water daarbij overgaat in verzadigde damp (r = 1712,9 kJ/kg) en de entropietoename hiervan 2,41 maal zo groot is als de entropieafname van het gas, bereken dan de bovengenoemde m en Tv. Teken beide toestandsveranderingen in één T-S-diagram, bepaal AStãt en geef dit aan als een lijnstuk in het T-S-diagram.

24 Een ideaal gas beschrijft het volgende omkeerbare positieve kringproces: a een isothermische toestandsverandering 1-2; b een toestandsverandering 2-3 waarbij het volume constant is; c een polytrope toestandsverandering 3-4 (exponent n);

d een polytrope toestandsverandering 4-1 (exponent k).

P3 P2 Gegeven is dat p2 = p 4 en dat - = -. P2 PI

Teken het proces in een p-v-diagram en een T-s-diagram en bereken het verband

tussen n en k uit

25 Lucht van 7 bar en 400 'C expandeert adiabatisch tot l,2 bar en 160 'C. Ga na of het proces omkeerbaar verloopt en bereken de entropieverandering per kg lucht. Teken de toestandsverandering in een T-s-diagram. k = 1,4 en cp = 1000 J/(kg. K).

26 Twee kg van een gas wordt niet-omkeerbaar gecomprimeerd van toestand l ( l bar en 300 K) totp, = 8 bar. De warmte die hierbij wordt afgevoerd bedraagt 48,O kJ en men constateert dat de entropie in de eindtoestand gelijk is aan die in de begintoestand. Bereken de toe te voeren arbeid W,, voor deze compressie; k = 1,25 en cã = 650 J/(kg - K).

27 Een ideaal gas doorloopt een kringproces bestaande uit: a een isentrope compressie 1-2 van l bar en 300 K tot 8 bar; b een warmtetoevoer bij constante druk tot de temperatuur T. = 1,5 T.,; c een niet-omkeerbare adiabatische expansie 3-4 tot de begintemperatuur

{ps = 0,2 bar); d een isothermische compressie 4-1 tot de begindruk is bereikt. Als m = l kg, cã = 5,27 kJ/(kg . K) en cv = 3,18 kJ/(kg K), bereken dan de entropieverandering bij de genoemde vier toestandsveranderingen en hieruit de totale entropieverandering. Teken het kringproces in een T-s-diagram.

28 Vijf kilogram ijzer (c = 0,5 kJ/(kg - K)) van 307 'C koelt in de buitenlucht (17 OC) af tot een evenwichtstoestand bereikt is. Bereken de entropieverandering van het ijzer en van de omgeving afzonderlijk alsmede de totale toename van de entropie.

29 Een gas van 8 bar stroomt door een zeer nauwe buis. Hierdoor daalt de druk sterk t.g.v. wrijving en neemt de entropie met 86,3 JIK toe. Bereken de einddruk van het gas als het proces adiabatisch verloopt en de doorstromende massa 0,25 kg bedraagt. R = 296,7 J/(kg . K).

30 Twee kg ijs van -lO°C (c = kJ/(kg - K)) wordt door warmtetoevoer vanuit de omgeving omgezet in water van 20°C. Als de smeltingswarmte van ijs 336 kJ1kg bedraagt en de omgevingstemperatuur 20 'C is, bereken dan de entropieverande-

ring van systeem en omgeving te zamen. cã = 4,2 kJ/(kg K).

31 Twintig kilogram water van 30 'C wordt gemengd met 50 kg water van 86 'C. Bepaal de totale entropieverandering in J/K door: a de totale entropie voor en na de menging te berekenen met O OC als nulpunt voor

de entropie; b de entropieverandering van 20 kg water en die van 50 kg water afzonderlijk vast

te stellen. cã = 4,2 kJ/(kg K).

32 De warmte die aan een bad van 25 kg gesmolten koper (t = 1 080°C) wordt onttrokken, wordt opgenomen door de omgeving (t = 27 'C). De temperatuurverandering hiervan kan worden verwaarloosd. Als de entropietoename van de omgeving op een gegeven moment 3,5 kJ/K bedraagt, hoeveel procent van het koper is dan gestold en wat is de totale entropieverandering die bij dit proces optreedt? De stollingswarmte van koper is 210 kJ/kg.

33 In een cilinder expandeert een ideaal gas van 6 bar en 450 K tot 2 bar en 303 K. De hierbij geleverde arbeid bedraagt 45 kJ/kg, terwijl er tevens warmte met de omgeving (Tn = 280 K) wordt uitgewisseld. Bepaal de overgedragen warmte in kJ/kg en ga na of het proces omkeerbaar resp. niet-omkeerbaar verloopt. cv = 746 J/(kg - K) en cp = 1050 J/(kg - K).

34 Lucht van 15OC wordt tot 50°C verwarmd door menging met lucht van 100°C. Bereken per kg menglucht van 50 'C de totale verandering van de entropie als de druk niet verandert: c = 1,O kJ/(kg . K). Welke conclusie kan uit het antwoord worden getrokken?

35 a In een goed-geïsoleerde boiler wordt 80 l water van 20 'C tot 80 'C verwarmd door middel van een elektrisch element. Bereken de hierbij optredende entropieverandering van het water en de omgeving te zamen. cW = 4,2 kJ/(kg K) en pw = 1000 kg/m3.

b Als de isolatie wordt verwijderd, koelt het water weer af tot de orngevings- temperatuur die 20 'C bedraagt. Wat is hierbij de entropietoename van de omgeving?

Wat kunt u in beide gevallen opmerken over de omkeerbaarheid van de toestandsveranderingen?

36 Men heeft de beschikking over twee warmtereservoirs van resp. 1200 K en 300 K. Aan een Carnot-machine die tussen deze twee warmtereservoirs werkzaam is wordt per seconde 1000 kJ warmte toegevoerd. Bereken: a het door de machine geleverde vermogen, de afgevoerde warmtestroom en de

totale entropieverandering in kJ/K-s als de machine volledig omkeerbaar werkt.

b het bovenstaande nogmaals als bij de warmtetoevoer een temperatuurverschil van 200 K aanwezig is. Toon aan dat het vermogensverlies gelijk is aan het produkt van de omgevingstemperatuur (300 K) en de totale entropieverandering per tijdseenheid.

c het bij punt b gevraagde opnieuw als bovendien de expansie niet-omkeerbaar adiabatisch verloopt en de daarbij optredende entropieverandering gelijk is aan 0,5 kJ1K - S.

Teken de kringprocessen in een T-s-diagram.

37 Van een gas (R = 290 J/(kg a K)) wordt 2 kg van 1 bar en 500 K isothermisch gecomprimeerd tot 8 bar. Bereken de entropieverandering van systeem (het gas) en omgeving in de volgende gevallen: a Het proces verloopt volledig omkeerbaar. b Het proces verloopt alleen inwendig omkeerbaar. De omgevingstemperatuur

bedraagt 300 K. c Het proces verloopt inwendig niet-omkeerbaar waardoor de compressiearbeid

20 % groter is dan in geval b. De omgevingstemperatuur is wederom 300 K.

38 In een cilinder expandeert 2 kg lucht van 2,5 bar en 250°C tot 1,25 bar en 125 ¡C. Als de omgevingstemperatuur 17 OC bedraagt, bereken dan de totale entropieverandering van lucht en omgeving in kJ/K in de volgende gevallen: a De toestandsverandering verloopt inwendig omkeerbaar volgens pV" = C. b De expansie verloopt niet-omkeerbaar en de geleverde arbeid bedraagt

45 kJ/kg. C,, = 1005 J/(kg - K), cv = 716 J/(kg . K), R = 287 J/(kg . K).

39 a Een weerstand van 25 ohm wordt op een constante temperatuur van 27°C gehouden terwijl er gedurende 3 s een stroom van 6 A doorheen wordt gevoerd. Als de omgevingstemperatuur eveneens 27 'C bedraagt, bereken dan de entropieverandering van de weerstand en die van de omgeving in JIK.

b Bereken het gevraagde opnieuw als de weerstand geïsoleerd wordt en de stroomdoorgang gedurende 1 s plaatsvindt. De weerstand heeft een massa van 9

gram en een soortelijke warmte van 1,1 kJ/(kg K).

40 Een blok metaal met een massa van 8 kg, een soortelijke warmte c van 0,4 kJ(kg. K) en een temperatuur van 1000 K wordt op dezelfde temperatuur gebracht als een tweede blok metaal met een massa van 4 kg, een temperatuur van 300 K en een soortelijke warmte van 0,5 kJ/(kg . K). Dit wordt bewerkstelligd door: a de blokken met elkaar in contact te brengen. Hierbij wordt aangenomen dat met

de omgeving geen warmte-uitwisseling plaatsvindt. b de warmte-overdracht tussen de twee blokken metaal op omkeerbare wijze te

laten verlopen. Hiertoe wordt er tussen de twee blokken een machine geplaatst waarin zich een omkeerbaar positief kringproces voltrekt.

Bereken voor geval a de eindtemperatuur van beide blokken alsmede de totale entropieverandering, en voor geval b de eindtemperatuur en de geleverde arbeid.

Hoofdstuk 8

Toestandsdiagrammen

Inleiding

Als de toestand van een systeem verandert, b.v. door verandering vanp en T, zullen in het algemeen alle toestandsgrootheden andere waarden verkrijgen. Om deze nieuwe waarden te kunnen bepalen moet men bekend zijn met het verband dat er tussen de verschillende toestandsgrootheden bestaat. Soms, zoals voor ideale gassen, zijn de onderlinge relaties eenvoudig, zoals blijkt uit de vergelijkingen (1.7), (2.2) en (2.9). Dit is echter niet het geval voor gasvormige stoffen in de nabijheid van de verzadigingstoestand. De gaswet gaat dan niet op en in plaats daarvan maken we gebruik van tabellen of diagrammen die het resultaat zijn van talloze metingen. In tabel IV op pag. 288 b.v. is voor oververhitte stoom het soortelijke volume af te lezen als druk en temperatuur gegeven zijn. Enthalpie en entropie die eveneens staan vermeld, kunnen niet worden gemeten. Voor de bepaling daarvan is men aangewezen op wiskundige vergelijkingen die het verband met p, v of T aangeven. In de reeks half-empirische vergelijkingen die hiervoor in de loop der tijd zijn opgesteld, is die van Mollier het meest bekend. De stoomtabellen van pag. 284 t.e.m. pag. 291 zijn hierop gebaseerd. Met behulp van deze tabellen kunnen toestandsdiagrammen worden opgesteld zoals het p-v-diagram, het T-s-diagram en het h-s-diagram. Dit zijn uiterst nuttige hulpmid- delen om inzicht te krijgen in een proces enlof om berekeningen te kunnen uitvoeren. De nauwkeurigheid waarmee de verschillende grootheden kunnen worden afgelezen, is echter minder groot dan wanneer van getabelleerde waarden wordt uitgegaan.

Het p-v-diagram

Als water bij een gegeven constante druk door warmtetoevoer op de verdampingstemperatuur tv wordt gebracht (toestand A in fig. 8.1) en vervolgens in verzadigde stoom wordt omgezet (toestand B), dan kunnen de specifieke volumina v* en V* in een stoomtabel worden afgelezen en in een p-v-diagram worden uitgezet. Deze v* en n

Fig. 8.1

kunnen uit tabel I1 achterin het boek worden afgelezen in de kolommen vv, en v., en stellen het specifiek volume voor van de kokende vloeistof resp. van de verzadigde damp bij de beschouwde druk. Herhaalt men deze bewerking voor een hogere druk, dan ontstaat b.v. de lijn A'B'. Door de hogere temperatuur is het vloeistof volume toegenomen, maar het verschil V*, - v* is uitermate gering. Het horizontale lijnstuk A'B' < AB, voornamelijk omdat het volume van verzadigde damp sterk afneemt als de druk toeneemt. Dit lijnstuk gaat ten slotte over in een punt (K). Dit noemt men het kritische punt. Hierbij is er geen verschil meer tussen de vloeibare en de gasvormige fase. Voor water zijn de kritische druk en de kritische temperatuur in fig. 8.1 vermeld. De isotherm die door het kritische punt loopt, is gestippeld aangeven. Bij temperaturen boven de kritische temperatuur is het niet mogelijk een damp nog tot vloeistof te verdichten, hoe hoog men de druk ook maakt. Het is dan een permanent gas geworden zoals lucht boven -192OC (de kritische temperatuur van lucht). Voor het vloeibaar maken van gassen moeten deze dus eerst tot beneden hun kritische temperatuur worden afgekoeld. Bij de verwarming van water bij een druk p 2 221,2 bar stijgt de temperatuur tot 374,15 'C waarbij de vloeistof zonder verdamping in damp overgaat. Verdampen en condenseren is alleen mogelijk bij temperaturen T < T^. Worden de punten A, A' enz. resp. B, B' enz. met elkaar verbonden, dan verkrijgt men de dik getrokken kromme in fig. 8.1. Deze z.g. grensk kromme^ omsluit het twee- fasengedbied (coëxistentiegebied) waar damp en vloeistof met elkaar in evenwicht zijn. Een medium waarvan de toestand binnen het coexistentiegebied is gelegen, bestaat uit

een mengsel van verzadigde damp en vloeistof van dezelfde temperatuur. Men spreekt dan van natte damp. De toestand van een natte damp is niet bepaald door de druk en de temperatuur, omdat dit van elkaar afhankelijke toestandsgrootheden zijn. Naast p (of T) wordt als tweede toestandsgrootheid meestal het dampgehalte x genomen. Dit is het aantal kilogram verzadigde damp dat in één kilogram natte damp aanwezig is (O < x < l ) . Op de verzadigde-vloeistoflijn is x = O, op de verzadigde damplijn is x = l. Het specifiek volume van de natte damp kan worden berekend door het volume van de aanwezige vloeistof op te tellen bij dat van de aanwezige verzadigde damp. In analogie met (7.6) kan dan voor v worden geschreven:

a Uit (8.1) volgt dat: x = v - vv1 - -

v*-vvl a + b '

Is bijvoorbeeld x = 0,3 dan is het lijnstuk a = 0,3 (a + b). We vinden dan een punt C waarvoor x = 0,3. Ook op het lijnstuk A'B' kunnen we volgens dezelfde methode een punt C' vastleggen waarvoor x = 0,3. Door op deze wijze elk horizontaal lijnstuk binnen het coexistentiegebied in een gelijk aantal delen te verdelen en de overeenkomstige punten met elkaar te verbinden, verkrijgen we de lijnen van constant dampgehalte.

Bij compressie van een vloeistof is de benodigde arbeid zéér klein (v ss constant). Daardoor verandert ook de temperatuur nauwelijks. Dit houdt in dat isothermen in het vloeistofgebied ongeveer verticaal verlopen. Tijdens het verdampingsproces blijft niet alleen de druk, maar ook de daarbij behorende temperatuur Tv constant. In het coexistentiegebied vallen isothermen dus samen met de isobaren. Isothermen in het dampgebied kunnen worden bepaald door aan een verzadigde damp van b.v. toestand B bij constante druk warmte toe te voeren. De damp wordt dan oververhit (t > tv) en bij elke temperatuur t kan het bijbehorende specifieke volume aan de stoomtabel worden ontleend en in het p-v-diagram worden opgetekend. Voert men dezelfde bewerking uit voor een reeks van drukken dan kunnen ten slotte alle punten waar de temperatuur dezelfde waarde heeft, met elkaar worden verbonden. De aldus verkregen isothermen zijn hyperbolisch van karakter. Hoe lager de druk is en hoe hoger de temperatuur, des te meer gedraagt de damp zich als een ideaal gas. Een isotherm gaat dan over in een zuivere hyperbool. Van iedere vloeistof kan een dergelijk diagram worden opgesteld. De vorm hiervan blijft nagenoeg gelijk, de bijgeschreven waarden zijn uiteraard verschillend. Het diagram is alleen van belang als de toestandsveranderingen van het werkzame medium zich in of in de nabijheid van het coexistentiegebied afspelen. De praktische waarde van een p-v-diagram is beperkt. Het T-s-diagram en het h-s-diagram bieden meer mogelijkheden en worden daarom bij voorkeur toegepast.

Het T-s-diagram

8.3.1 Algemene opzet

Om aan te geven hoe een T-s-diagram in principe kan worden opgezet, wordt aan een vloeistof (water) vanp, = l bar en T, = 273 K bij constante druk warmte toegevoerd. In de genoemde toestand wordt de entropie nul gesteld. Voor de entropie s bij een willekeurige temperatuur T geldt dan per massa-eenheid: s = c In (Tl273). Voor elke temperatuur tussen 273 K en Tv kan hieruit de bijbehorende s worden berekend. De bij elkaar behorende waarden van T en s kunnen dan worden uitgezet (fig. 8.2), waarbij de logaritmische kromme A-l wordt verkregen. Bij verdamping van de vloeistof (Tv = constant) is de entropieverandering (s2 - s,) = r/Tv. Deze entropieverandering kan als een horizontaal lijnstuk worden uitgezet. Tenslotte volgt de oververhitting van de verzadigde damp tot T,, waarbij de entropieverandering gelijk is aan: s3 - s2 = c In (T3/Tv). Door aan T3 verschillende waarden toe te kennen (T3 > Tv) en de bijbehorende entropieverandering uit te rekenen, kan de isobaar in het dampgebied worden getekend. Dit levert weer een kromme die logaritmisch verloopt. De helling is echter groter dan die van het deel A-1 omdat c < c. Het tekenen van een isobaar van hogere druk (b.v. p2), geschiedt op dezelfde wijze. Het snijpunt hiervan met de T-as kan worden gevonden door water van O°C en l bar isentroop tot p, te comprimeren (A + A'). Het temperatuurverschil tussen de punten A en A' is echter zo gering (waarom?) dat de verschillende vloeistofisobaren vrijwel samenvallen. Het horizontale lijnstuk 1'-2' is kleiner dan 1-2, omdat de verdampingswarmte r bij hogere drukken afneemt en de verdampingstemperatuur toeneemt. Door alle punten 1-1' enz. en 2-2' enz. met elkaar te verbinden wordt, evenals in het p-v-diagram, een kromme verkregen die het coexistentiegebied omsluit. Het deel K-A van de grenskromme wordt de verzadigde-vloeistoflijn, het deel K-B de verzadigde damplijn genoemd. Het punt K is het kritische punt. In deze toestand is de verdampingswarmte r = O, zodat ook de entropieverandering tijdens 'verdampen' nul is. Het is de hoogste temperatuur die in het twee-fasengebied mogelijk is. De kritische isotherm is dus een raaklijn aan de top van de kromme.

l s

Fig. 8.2

s

Fig. 8.3

s

Fig. 8.4

Het vloeistofgebied wordt ingesloten door de verzadigde vloeistoflijn, de T-as en de kritische isotherm. Het diagram is nogmaal afgebeeld in fig. 8.3. De vloeistof-isobaren zijn hierin niet aangegeven. Deze lopen - zoals eerder werd opgemerkt - zo dicht bij elkaar dat het verschil op geen enkele redelijke schaal zichtbaar gemaakt kan worden. Het is daarom een goede benadering al deze isobaren met elkaar en met de verzadigde vloeistoflijn te laten samenvallen. Slechts bij zeer hoge druk is dit niet juist. In het T-s-diagram van fig. 8.4 zijn in het coexistentiegebied lijnen van constant dampgehalte getekend, alsmede een isochoor. De eerstgenoemde lijnen zijn met behulp van (7.6) te bepalen. Deze uitdrukking kan namelijk worden herleid tot: x = (s - svJí(sd - sv,) zodat x4 = (s, - si}/(s, - s,). Lijnen van constante dampgehalte kunnen dus geconstrueerd worden door elke lijn 1-2,11-2' enz. in een gelijk aantal delen te verdelen en de overeenkomstige punten met elkaar te verbinden. Voor het tekenen van de isochoor door 2 kan men als volgt te werk gaan. Lees voor een willekeurige druk p < p2 uit tabel 111 de waarde af voor vd en vv,. Uit v, = x vd + (1-x) vv, kan dan x als enige onbekende worden berekend. De waarde van v, komt namelijk overeen met de bij p, behorende waarde van v^. De gekozen p en de berekende x leveren één punt van de gezochte isochoor. Deze procedure moet vervolgens voor een aantal drukken worden herhaald.

toepassing 8.1

Stoom van 10 bar en 400°C (toestand l) expandeert isentroop tot 0,l bar (toestand 2). Bereken het vochtgehalte van de stoom na de expansie. Gegeven: bij 10 bar is de verzadigingstemperatuur t, = 180°C en r = 2 014 kJ/kg; bij 0,l bar is de verzadigingstemperatuur tv = 46OC en r = 2393 kJ1kg. ëã = 4,2 kJ/(kg - K) en c, = 2,2 kJ/(kg - K).

s

Fig. 8.5

oplossing

Het expansieproces is afgebeeld in fig. 8.5 waarbij geldt dat s, = s2.

Stelt men de entropie van water van 0 'C en 1 bar gelijk aan nul, dan kan voor de entropie s, van stoom van 10 bar en 400°C volgens (7.5) worden geschreven:

Voor de toestand van de stoom na expansie zijn er drie mogelijkheden. l de stoom is nog oververhit. In dat geval kan de entropie in de eindtoestand

worden gevonden uit:

Hierin zijn T en r natuurlijk de verdampingstemperatuur en verdampingswarmte behorende bij de einddruk.

2 de stoom is juist verzadigd. De entropie in de eindtoestand is dan:

3 de stoom is nat. In dat geval geldt:

Is van de eindtoestand niets bekend, dan kan men het beste van veronderstelling 2

uitgaan. Constateert men nu dat de berekende s, gelijk is aan s^, dan is de veronderstelling juist geweest, want bij een isentrope toestandsverandering blijft de entropie constant. Blijkt daarentegen s, < sl te zijn dan betekent dit dat s, te klein is, d.w.z. de stoom is oververhit. Men moet dan de formule van mogelijkheid 1 gebruiken met T, als onbekende. Is s, > s, dan is de stoom in de eindtoestand nat en kan uit de bij 3 genoemde uitdrukking voor s, het dampgehalte x worden berekend. Past men deze werkwijze toe op het vraagstuk dan gaat men dus uit van de onder 2 genoemde formule:

Nu is s, > s,, zodat de stoom in de eindtoestand nat moet zijn (zoals ook al uit het gevraagde blijkt). We schrijven daarom voor S;

Uit s, = s, volgt:

Het stoomgehalte in de eindtoestand is 90,5 %, het vochtgehalte is derhalve 9,5 %.

8.3.2 Volume-arbeid en technische arbeid in het T-s-diagram

In een T-s-diagram kunnen warmtehoeveelheden als oppervlakten worden afgebeeld. Is de toestand van het beschouwde medium ver buiten het coexistentiegebied gelegen, dan gedraagt het zich als een ideaal gas. Voor zo'n ideaal gas kunnen ook de volume- arbeid en de technische arbeid als oppervlakten worden weergegeven, zoals in het volgende zal worden aangetoond. In fig. 8.6 is een willekeurige polytrope compressie 1-2 ( l < n < k) getekend. Volgens de eerste hoofdwet geldt voor de compressie-arbeid per eenheid van massa:

Niet alleen q I 2 maar ook (u2 - u,) kan in het T-s-diagram als een oppervlakte worden weergegeven. Wordt namelijk vanuit punt 2 een isochoor gevolgd tot in punt 3 (T, = T,), dan is:

Daar u alleen een functie is van de temperatuur kan u, door ul worden vervangen, zodat q2.3 = - u2- Substitutie in (a) levert:

De compressiearbeid is dus de som van de warmte die tijdens de compressie wordt overgedragen en de warmte die moet worden afgevoerd om het medium bij constant volume weer op de begintemperatuur te brengen, zodat A opp. 1-2-3-3'-1'-l. Het constant-volumeproces 2-3 behoeft niet te worden uitgevoerd. Het is slechts een gedachtenproces, om aan te tonen dat in de uitdrukking (a) ook Au als een oppervlakte kan worden weergegeven.

Om ook de technische arbeid in een Ts-diagram te kunnen afbeelden gaan we uit van de eerste hoofdwet, geschreven als:

Volgens (5.5) is w, = - v dp zodat: 1: -

^fn - <?l-2 - (h2 - hl)

Als dit gas nu vanuit toestand 2 bij constante druk wordt afgekoeld tot de begintemperatuur (fig. 8.7), dan geldt voor de afgevoerde warmte volgens (6.5):

'72-3 = -

Omdat de enthalpie van een ideaal gas alleen van de temperatuur afhankelijk is, is h, = hl zodat:

q2-3 = hl -

Fig. 8.6 Fig. 8.7

Substitutie in de eerder genoemde uitdrukking voor wt levert:

Evenals de volume-arbeid bestaat de technische arbeid uit de som van twee termen die elk met een bepaald oppervlak in het T-s-diagram in verband kunnen worden gebracht. In fig. 8.7 komt de technische arbeid overeen met opp. 1-2-3-3'-1'-l. Hoewel de rechter leden van (8.2) en (8.3) dezelfde gedaante vertonen, leveren ze niet dezelfde uitkomst. Het verschil bestaat hierin dat q-,., in (8.2) de afgevoerde warmte bij constant volume voorstelt en in (8.3) de afgevoerde warmte bij constante druk. Wordt bij de compressie warmte toegevoerd (n > k), dan is q,.2 positief en komt de technische arbeid in fig. 8.8 overeen met opp. 1-2-3-3'-1'-l. Voor een isentrope compressie (fig. 8.9) is q,.2 = O, zodat w t A opp. 2-3-3'-1'-2.

Fig. 8.8 Fig. 8.9

toepassing 8.2

In een tweetrapscompressor wordt per uur 310 m3 lucht van l bar en 300 K tot 24 bar gecomprimeerd. De druk na de eerste trap is 6 bar, de temperatuur na de tussenkoeler 320 K. In een koeler, die na de H.D.-cilinder is geplaatst, wordt de lucht tot 290 K nagekoeld. De compressie verloopt in beide trappen polytroop met n = 1,3. Teken het proces in een T-S-diagram. Bepaal de afgevoerde warmtehoeveelheden in kW en beschrijf welke oppervlakten in het T-S-diagram hiermee overeenkomen. Bereken de arbeidsbesparing in kW t.o.v. een polytrope compressie (n = 1,3) tot 24 bar in één trap. Geef de arbeidsbesparing in het diagram door een arcering aan. R = 287 J/(kg K), c, = 1005 J/(kg - K), C, = 716 J/(kg - K).

oplossing

Het proces is weergegeven in fig. 8.10. Hierin is:

/ 2 4 bar

Fig. 8.10

c - CP U i t n = - volgt c = -0,247 kJ/(kg . K), terwijl de massastroom:

C - C"

De gevraagde warmtehoeveelheden kunnen nu worden berekend

Q L 2 = m c (T2 - T,) = - 0,l X 0,247 X 153,6 kW = -3,8 kW

Q2., = m c ( T , - T,) = - 0,l x 1,005 x 133,6 kW = -13,4 kW

Q,.~ = m c (T5 - T,) = - 0,l x 0,247 X 120,6 kW = -3,O kW

= m cp(T7 - T;) = - 0,l x 1,005 x 150,6 kW = -15,l kW

Qi.2 A opp. 1-2-2'-l' Q2-, A OPP. 2-3-3'-2'

Q3.5 A OPP. 3-5-5'-3' Q5.7 A OPP. 5-7-7'-5'

Het vermogen nodig voor de lage- en hogedrukcilinder tezamen bedraagt:

Bij compressie tot 24 bar in één trap is:

De arbeidsbesparing is: (40,4 - 34,l) kW = 6,3 kW.

& opp. 1-24 ' -1 ' en W,^ A opp. 3-5-6-6'-3'

Isobaren lopen 'evenwijdig', zodat opp. 3-4-4'-3' = opp. 6-8-8'-6'.

Derhalve is W,^ + W,^ A opp. 1-2-3-5-8-8'-1'.

W A opp. 1-9-8-Sr-!'.

De arbeidsbesparing per tijdseenheid komt dus overeen met opp. 2-3-5-9.

8.4 Het h-s-diagram

De enthalpie is een toestandsgrootheid die een functie is van twee andere toestandsgrootheden; gewoonlijk worden hiervoor de druk en de temperatuur genomen: f (p . T). Deze functie is voor veel stoffen bepaald, zodat voor elke toestand (o, T) van de beschouwde stof een waarde van de enthalpie kan worden vastgelegd. Het nulpunt van de enthalpie is gelijk aan dat van de entropie (zie tabel 11).

In de stoomtabellen van pag. 284 e.v. wordt voor de enthalpie van water op de verdampingstemperatuur h geschreven en voor de enthalpie van verzadigde damp h,. In analogie met (7.6) en (8.1) geldt dan voor de enthalpie van natte stoom:

De waarden van h en s die door verschillende onderzoekers zijn gevonden, vertonen verschillen, vooral bij hoge drukken. Het kan dus nuttig zijn bij berekeningen op te geven van welke tabellen men is uitgegaan.

-c

Fig. 8.1 1

Bij de opstelling van een h-s-diagram wordt de enthalpie op de verticale as uitgezet en de entropie op de horizontale as. Wanneer men de beschikking heeft over de stoomtabellen, kunnen bij elke druk de waarden van hvl en svl resp. hd en sd aan deze tabellen worden ontleend en in het h-s-diagram worden uitgezet. Worden alle punten die aldus zijn opgetekend met elkaar verbonden, dan ontstaat weer de grenskromme die het coexistentiegebied omsluit. Het linkerdeel van de grenskromme (x = 0) en het rech- terdeel hiervan (x = l ) komen samen in het kritische punt K. Zoals uit fig. 8.11 blijkt, is dit niet de top van de kromme. Voor de enthalpie en de entropie van een punt in het coexistentiegebied kan uit (7.6) en (8.4) worden afgeleid dat:

Wordt uit laatstgenoemde vergelijking x r opgelost en in de eerstgenoemde betrekking gesubstitueerd, dan blijkt dat:

Voor een isotherm is de term tussen haakjes constant (C) zodat:

Dit is de vergelijking van een rechte lijn; isothermen en dus ook isobaren in het coexistentiegebied zijn rechte lijnen met een richtingscoëfficiënt Tv. Bij een hogere druk neemt de verdampingstemperatuur Tv toe zodat deze lijnen steeds steiler gaan lopen. De helling van de isotherm is maximaal in het buigpunt van de grenskromme. Dit is dus per definitie het kritische punt K. Lijnen van constant dampgehalte worden gevonden door iedere isotherm AB, A'B', enz. in een aantal gelijke delen te verdelen en alle overeenkomstige punten met elkaar te verbinden. Deze lijnen zijn gestippeld weergegeven. In het gebied van de oververhitte damp kunnen de enthalpie- en entropiewaarde voor een bepaaldep en t van het medium aan de stoom tabellen worden ontleend. Als in elk punt dat in het diagram wordt afgezet, ook de druk en temperatuur worden vermeld, kunnen isobaren worden verkregen door alle punten van gelijke druk met elkaar te verbinden. Isothermen ontstaan door het verbinden van alle punten met dezelfde temperatuur. Isobaren in het dampgebied lopen vrijwel logaritmisch. Ze sluiten vloeiend aan op de isobaren van het coexistentiegebied. Isothermen daarentegen vertonen op de grenskromme een knik. De eigenschappen van een damp benaderen die van een ideaal gas des te beter naarmate de druk lager of zijn temperatuur hoger is. Vandaar dat de isothermen steeds meer horizontaal gaan lopen. Soms zijn ook lijnen van constant volume in het diagram aangegeven, zodat men ook volumina snel kan bepalen. Deze lijnen lopen in het gehele diagram iets steiler dan de isobaren.

Links van de top liggen, voor de meest gebruikte drukken, de punten B, B' enz. dicht bij elkaar en maken het diagram onoverzichtelijk. Bovendien is voor de praktijk het dampgebied en het bovenste deel van het coexistentiegebied het meest belangrijk. Van een h-s-diagram vindt men dan ook meestal alleen het in fig. 8.11 omlijnde gedeelte vergroot afgebeeld, hetgeen de afleesnauwkeurigheid bevordert. Een exemplaar van een dergelijk diagram is aan dit boek toegevoegd.

De enthalpie is een toestandsgrootheid die vooral bij de navolgende drie toestandsveranderingen van grote praktische betekenis is: - een adiabatische toestandsverandering, al of niet omkeerbaar verlopend. Hierbij

geldt voor de technische arbeid volgens (6.3) dat:

- een warmtetoe- of -afvoer bij constante druk. Hiervoor werd in paragraaf 6.3.3 afgeleid dat:

- smoren. Bij deze (niet-omkeerbare) toestandsverandering is h, = h-,.

Zowel arbeid als warmtehoeveelheden kunnen dus in toestandsdiagrammen waarin op een van de assen de enthalpie is uitgezet, in bepaalde gevallen als lijnstukken worden afgelezen, waardoor berekeningen gemakkelijker zijn uit te voeren dan wanneer oppervlakten moeten worden opgemeten.

Stoomturbine-installatie in T-s- en h-s-diagram

Het kringproces in een stoomturbine-installatie is in het onderstaande T-s-diagram en h-s-diagram getekend. Het kringproces bestaat uit de navolgende toestandsveranderingen:

Fig. 8.12

172

Fig. 8.13

Isentrope compressie 1-2 van de vloeistof in een ketelvoedingpomp. De pomparbeid is meestal zeer klein zodat de punten l en 2 vrijwel samenvallen. Doorgaans wordt het lijnstukje 1-2 dan ook niet aangegeven. Verwarming van het water tot de verdampingstemperatuur T,. Het volume neemt slechts in geringe mate toe en q^ = h3 - h2 = c (T3 - T^) A opp. 2-3-3'-1'. Verdamping van de vloeistof bij constante druk en temperatuur: q3-4 = h4 - h3 = r A opp. 3-4-4'-3'. Oververhitting van de verzadigde damp. De oververhittingswarmte q4-5 = h, - h, = cã (T5 - T4) A opp. 4-5-6'4'. Isentrope expansie van de stoom tot de condensordruk pg. Condensatie van de natte stoom van toestand 6, waarna de begintoestand l weer wordt bereikt. De afgevoerde warmte = h, - h6 A opp. 1-6-6'-1'.

De totaal toegevoerde warmte q^ = h5 - h2 A opp. 2-345-6'-1'-2. Deze warmtehoeveelheid wordt wel de vormingswarmte genoemd. De nuttige arbeid - het verschil tussen de toe- en afgevoerde hoeveelheid warmte - komt overeen met opp. 1-2-345-6.

8.6 De gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer en warmteafvoer

In het kringproces 1-2-3-4 van fig. 8.14 vervangen we de warmtetoevoer q,, overeenkomend met opp. 1-2-6-5, door een warmtetoevoer bij constante temperatuur (T,). We noemen T, de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer als voldaan wordt aan de navolgende betrekking:

Hierin is As de entropieverandering bij de warmtetoevoer 1-2. Ook de warmteafvoer, vertegenwoordigd door de oppervlakte 3-4-5-6, kunnen we ons vervangen denken door

Fig. 8.14 Fig. 8.15

een rechthoek met dezelfde breedte As In en hoogte T,, die per definitie de gemiddelde temperatuur van warmte-afvoer voorstelt. Voor het thermisch rendement kunnen we nu schrijven:

Het rendement is dus gelijk aan dat van een Carnot-proces (fig. 8.15) met dezelfde q,, q, en As. Het maakt dus geen verschil of de warmte bij constante, dan wel bij een stijgende of dalende temperatuur wordt overgedragen. Het thermisch rendement blijft gelijk, zolang de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer en -afvoer niet verandert. Veranderingen die in een kringproces worden aangebracht, beinvloeden de Tl enlof de T2. In veel gevallen is met behulp van het T-s-diagram direct te zien of de beoogde verandering tot een rendementsverbetering van het kringproces zal leiden of juist niet. We beschouwen daartoe het kringproces 1-2-3-4-1 in fig. 8.16. De gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer is aangegeven met Tã. Zouden we de stoom gaan oververhitten, dan ontstaat het kringproces 1-2-3-5-6-1. Het thermisch rendement neemt door de oververhitting toe, omdat de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer is toegenomen (7,; > z.3) en de temperatuur van warmte-afvoer gelijk is gebleven. Het bovenstaande geldt echter alleen als het kringproces omkeerbaar verloopt, zoals uit het navolgende blijkt. In fig. 8.16 wordt de isentrope expansie 5-6 vervangen door een niet-omkeerbare adiabatische expansie 5-7. Van het niet-omkeerbare kringproces 1-2-3-5-7-1 is de warmtetoevoer niet verandert, maar de warmte-afvoer is toegenomen. De toename is door arcering aangegeven. Daardoor is 2w afgenomen en dat geldt ook voor q,,,. Zouden we het effect van de niet-omkeerbare expansie op het rendement met behulp van de gemiddelde temperatuur van warmtetoe- en -afvoer bepalen, dan constateren we dat de beide temperaturen niet zijn veranderd en dat dus ook T}^, berekend uit (8.5), ongewijzigd is. Dit kan niet juist zijn, zodat deze methode, zoals reeds wordt opgemerkt, bij niet-omkeerbare kringprocessen niet mag worden toegepast: - - qth = l - q2/ql # l - TJTl.

Fig. 8.16

toepassing 8.3

Aan een ketel wordt per uur 10,8 ton water van 86'C toegevoerd. De ketel levert oververhitte stoom van 20 bar en 350 'C (h = 3 138,6 kJ/kg, s = 6,9596 kJ/(kg. K)) die in een turbine-installatie isentroop expandeert tot 0,6 bar, en vervolgens tot condensatie wordt gebracht. Bereken het vermogen dat de turbine ontwikkelt, de hoeveelheid warmte die per tijdseenheid in de condensor wordt afgegeven, het thermisch rendement van de gehele installatie en de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer. Gegeven: bij 0,6 bar is t, = 86 'C, h", = 359,9 kJ/kg, h, = 2 653,6 kJIkg, s", = 1,145 4 kJ/(kg . K) en s, = 7,5327 kJ/(kg - K).

oplossing

l s

Fig. 8.17

Het proces is afgebeeld in fig. 8.17. Het geleverde vermogen:

f' = = &(h3 - h,)

De enthalpie in het coexistentiegebied kan niet uit de stoomtabel worden afgelezen maar moet worden berekend.

Uit s3 = s, en s4 = x4ss, + ( l - x4) s, volgt dat:

Daarmee kan h, worden berekend uit:

Dus:

De waarden van h, en h4 kunnen ook in het h-s-diagram worden afgelezen. Ga dit na. De warmteafgifte in de condensor bedraagt per eenheid van massa:

Q~., = m q,, = 3 x 2 087,3 kJ/s = 6 26l,9 kJ/s

Het thermisch rendement is:

De gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer kan berekend worden uit: T, (s, - s,) = h, - hl. Uitwerking levert:

Voor dit omkeerbaar kringproces geldt ook dat:

Vraagstukken


l Stoom van l bar en een watergehalte van 10 % wordt isentroop gecomprimeerd tot 30 bar. Bereken de stoomtemperatuur na de compressie. Gegeven: bij l bar is t, = 99,6OC en r = 2257,9 kJIkg; bij 30 bar is tv = 233,8 'C, r = 1793,9 kJ/kg en c = 2,63 kJ/(kg a K). ZW = 4,2 kJ/(kg . K).

2 Hoeveel graden moet stoom van 50 bar worden oververhit om, na een isentrope expansie tot 5 bar, juist verzadigde stoom te verkrijgen?

Gegeven: bij 5 bar is tv = 152 'C en r = 2 107 kJ/kg; bij 50 bar is tv = 264 'C, r = 1640 kJ/kg en F, = 2,75 kJ/(kg - K). - cã = 4,2 kJ/(kg - K).

3 Van oververhitte stoom van 18 bar en 350 OC (t., = 207 'C, Z, = 2,2 kJ/(kg. K), sd = 6,38 kJ/(kg K) en v = 0,150 m3/kg) die zich in een afgesloten ruimte van 2 m3 bevindt, wordt zoveel warmte afgevoerd dat de druk ten slotte 6 bar wordt. v,, = 0,001 1 m3/kg, v,, = 0,315 5 m3/kg, sv, = 1,9300 kJ/(kg - K) en sd = 6,755 5 kJ/(kg . K). Bereken het vochtpercentage in de eindtoestand alsmede het entropieverschil tussen begin- en eindtoestand. Teken de toestandsverandering in een T-s-diagram.

4 Natte ammoniakdamp vanl,90 bar en -20 'C wordt isentroop gecomprimeerd tot 6,15 bar. Als de damp nu juist droog is geworden, wat was dan het vochtpercentage in de begintoestand? Gegeven: bij 1,90 bar is tv = -20°C en r = 1329 kJ/kg; bij 6,15 bar is tv = +lO°C en r = 1226 kJ/kg.

De soortelijke warmte van ammoniak is 4,12 kJ/(kg K).

5 In een stoommachine expandeert natte stoom (x = 0,8) van 10 bar tot 2 bar. Het verband tussen p en v tijdens de expansie kan worden beschreven door pvl'\ = C. Bereken de entropieverandering die bij deze toestandsverandering optreedt (in kJ/kg). Gegeven: bij 10 bar is s,, = 2,1382 kJ/(kg . K), sd = 6,5828 kJ/(kg K), v,, = 0,001 1 m3/kg en vd = 0,1943 m3/kg; bij 2 bar is S", = 1,530 1 kJ/(kg K), sd = 7,1268 kJ/(kg - K), vv, = 0,001 m3/kg en v,, = 0,885 4 m3/kg.

6 Een ideaal gas van l bar en 300 K wordt van l -+ 2 isothermisch gecomprimeerd waarna bij constante druk 2 -+ 3 warmte wordt afgevoerd. De entropieverandering van beide processen afzonderlijk is gelijk en bedraagt - 8,409 kJ/K. Als de gasrnassa 2,5 kg bedraagt, bereken dan de totale verandering van de enthalpie (in kJ), de totale warmte-afvoer (in kJ), de druk na de compressie en de gemiddelde temperatuur van warmte-afvoer z.3. Verbind 1 en 3 door een polytroop en geef w aan als een oppervlakte in een T-s-diagram. c = 5,27 kJ/(kg . K) en c, = 3,18 kJ/(kg . K).

7 In een ketel wordt natte stoom van 8 bar gevormd uit voedingswater van 100°C (hã = 420 kJIkg). ~ e t ketelrendement bedraagt 80 %, de benodige hoeveelheid brandstof 954 kg/h en de stookwaarde van de brandstof 40 MJIkg. De gevormde natte stoom wordt door een stoomdroger geleid waarin al het vocht (2250 kglh) wordt afgescheiden.

Bereken het vochtgehalte van de door de ketel geproduceerde natte stoom alsmede de stoomproduktie van de ketel in kglh. Gegevens: zie tabel 111 achterin het boek.

8 Aan 3 kg oververhitte stoom van 10 bar wordt bij constante druk 2 959,l kJ warmte onttrokken. In de eindtoestand bevat de stoom 30 % vocht. Bereken met behulp van de stoomtabellen: a de begin- en eindtemperatuur van de stoom; b de oververhittingswarmte (in kJ); c de gemiddelde soortelijke warmte Z van de oververhitte stoom.

9 Een ketel levert per uur 4 ton stoom van 6 bar die 100 OC oververhit is. Hiervoor is 0,317 ton brandstof nodig met een stookwaarde van 40 MJ/kg. Bereken de temperatuur waarmee het voedingswater de ketel wordt ingepompt als het ketelrendement 80 % bedraagt. De soortelijke warmte Z van de oververhitte stoom is 2,O kJ/(kg - K), voor water is - cW = 4,2 kJ/(kg . K). Voor verdere gegevens zie tabel 111 achterin het boek.

10 Verzadigde stoom van 90 bar expandeert isothermisch tot 10 bar. Als het proces omkeerbaar verloopt, bereken dan de toe te voeren warmte en de geleverde volumearbeid per kg stoom. Teken het proces in een T-s-diagram. Gegeven zijn de stoomtabellen.

11 Vloeibare ammoniak van 5 'C wordt bij een druk van 11,66 bar omgezet in oververhitte damp van 40°C (Z = 2,O kJ/(kg . K)). Vervolgens expandeert deze damp isentroop totp = 1,59 bar. Bij deze druk is de verdampingstemperatuur tv = -24 'C, h", = 71,6 kJ/kg en h. = 1413,4 kJ/kg. Teken het proces in een T-s-diagram en bereken de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer alsmede het vochtgehalte in de eindtoestand. De verdampingswarmte bij 11,66 bar (t, = 30 'C) kan worden gesteld op 1 145 kJ/kg; van vloeibare

ammoniak is i? = 4,O kJ/(kg K).

12 Water van 30°C wordt in een ketel bij een constante druk van 140 bar omgezet in verzadigde stoom. Bereken van het proces in de ketel: a de gemiddelde temperatuur T van warmtetoevoer; b de T als het water wordt omgezet in oververhitte stoom van 550°C; c de r als het voedingswater bovendien van 30 'C tot 160 'C wordt voorverwarmd

voordat het in de ketel wordt gepompt; d de T van het oververhittingsproces zelf. Bij 140 bar en 550 'C is h = 3 458,8 kJ/kg en s = 6,563 0 kJ/(kg . K). Voor verdere gegevens: zie stoomtabellen achterin het boek.

13 Vijfhonderd kilogram natte stoom van 10 bar wordt bij constante druk tot 250°C verwarmd. Als hiervoor 468 kJ warmte per kilogram stoom moet worden toegevoerd, bepaal dan het vochtpercentage in de begintoestand.

Bereken het volume van de stoom in begin- en eindtoestand, alsmede de gemiddelde waarde van de soortelijke warmte bij de oververhitting. Gegeven zijn de stoomtabellen achterin het boek.

14 Een stoommachine met een vermogen van 100 kW verbruikt 4 kg verzadigde stoom van 8 bar voor een arbeidslevering van l MJ. Het voedingswater (cw = 4,2 kJ/(kg - K)) wordt met 50 'C aan de ketel toegevoerd. Deze heeft een rendement van 85 %

en wordt gestookt met olie waarvan de stookwaarde S = 38 MJIkg. Hoeveel olie wordt per etmaal verbruikt en wat is het thermisch rendement van de gehele installatie?

15 In een gesloten vat van 15 m bevindt zich 10 ton water op een verdampingstemperatuur van 111,37OC. Hierin leidt men 0,6 ton stoom van 6 bar met een vochtgehalte van 10 %. Wat is de enthalpie van het water in de eindtoestand uitgedrukt in kJ/kg? Bereken de hoeveelheid stoom die is toegevoerd als de temperatuur tot 158,84 OC is opgelopen. Bij de berekening wordt de invloed van de stoomruimte buiten beschouwing gelaten. Gegeven is tabel 111 achterin het boek.

16 Teken in een p-v-diagram het volgende kringproces: 1-2 De verwarming van water van 20 bar in een ketel, totdat verzadigde stoom

is verkregen. 2-3 Isentrope expansie in een turbine tot de condensordruk (0,4 bar). In de

eindtoestand is de enthalpie 2 170 kJ/kg. 3-4 Condensatie van de stoom. 4-1 Het isentroop comprimeren van het condensaat van 0,4 bar (t = t,) tot 20

bar in een ketelvoedingspomp. Bereken de arbeid die de turbine levert en de arbeid die voor de voedingspomp nodig is, uitgedrukt in kJ/kg. Geef deze laatstgenoemde arbeid door arcering aan. Bereken vervolgens de verandering van de inwendige energie en de geleverde arbeid bij de verdamping, uitgedrukt in kJIkg. Bij 0,4 bar is = 0,001 m3/kg en vã = 4,O m3/kg. Bij 20 bar is vv, = 0,001 m3/kg en vd = 0,l m3/kg. Verder is gegeven tabel 111 achterin het boek.

17 In een turbine expandeert stoom van 50 bar isentroop tot het vochtgehalte 15 % geworden is, en de druk 0,l bar. De afgewerkte stoom wordt in een condensor geleid en hieruit met de verzadigingstemperatuur afgevoerd. Bepaal met behulp van het /z-s-diagram en de stoomtabellen de begintemperatuur van de stoom, de geleverde arbeid per massa-eenheid, de gemiddelde waarde van de soortelijke warmte i? van de stoom en de hoeveelheid warmte die per kg stoom in de condensor wordt afgegeven. Wat is het circulatievoud (waterhoeveelheid: stoomhoeveelheid) als de temperatuurstijging van het koelwater van de condensor 6 OC bedraagt? ZW = 4,2 kJ/(kg . K).

18 Bij compressie van natte freon-12-damp met een temperatuur van 12 'C wordt de eindtoestand 10 bar en 80 'C. In de begintoestand bevat de damp 10 % vocht en is het volume 0,l m . Als gegeven is dat bij de compressie een warmteverlies optreedt van 15 kJ, bereken dan de compressiearbeid W,.;, met behulp van tabel vr en vin achterin het boek.

19 a Stoom van 6 bar en een entropie van 6,5 kJ/(kg. K) wordt bij constante druk tot 250°C verwarmd. Bereken de toe te voeren warmte in kJ/kg met behulp van de stoomtabellen achterin het boek en teken het proces in een T-s-diagram en een h-s-diagram. Bij 6 bar en 250 'C is h = 2 957,6 kJ/kg.

b Als de stoom vanuit de begintoestand bij constant volume zou worden afgekoeld tot een druk van 2 bar, bereken dan het vochtgehalte in de eindtoestand en geef de toestandsverandering aan in het T-s-diagram.

20 Stoom van 40 bar en 450°C wordt door het inspuiten van water van 30°C in verzadigde toestand gebracht. Hoeveel kg water is hiervoor per kg verzadigde stoom nodig en met welk percentage neemt de dichtheid van de stoom toe als de druk van de stoom niet verandert? cã = 4,2 kJ/(kg K). Gegeven zijn verder tabel i n en IV achterin het boek.

21 Verzadigde stoom van 30 bar expandeert isothermisch tot 5 bar. Bereken de hierbij toe te voeren warmte per massaeenheid en geef die als oppervlakte aan in een T-s-diagram. Vervolgens wordt bij constant volume warmte afgevoerd. Bereken bij welke druk de stoom begint te condenseren en bepaal het vochtpercentage als de stoom een druk van 2 bar heeft bereikt. De benodigde gegevens kunnen aan de stoomtabellen worden ontleend.

22 Stoom van 40 bar en 450°C expandeert isentroop in een turbine tot 0,05 bar. Na condensatie wordt de vloeistof weer in de ketel gepompt. Bereken met behulp van de stoomtabellen: a de enthalpie van de stoom na de expansie (in kJ/kg); b de arbeid w. die elke kg stoom levert en de warmte (in kJ/kg) die aan de ketel

moet worden toegevoerd bij een ketelrendement van 90 %; c het thermisch rendement van de istallatie; d de druk waarbij - tijdens de expansie - de stoom juist verzadigd is.

Hoofdstuk 9

Niet-omkeerbare toestandsveranderingen

Inleiding

In de praktijk verlopen de toestandsveranderingen niet omkeerbaar, waardoor een aantal wiskundige betrekkingen die in de vorige hoofdstukken werden afgeleid, niet meer geldig zijn. Daardoor zal in bepaalde gevallen een andere methode moeten worden toegepast om b.v. de arbeidslevering van een systeem te bepalen. Het niet-omkeerbaar verlopen van processen is meestal het gevolg van wrijvingsverschijnselen enlof van thermische energie-overdracht met eindige temperatuurverschillen. De wrijving tussen medium en de wand of tussen volumedeeltjes van het medium onderling, kon bij zuigermachines buiten beschouwing worden gelaten. Bij stromingsmachines zijn de snelheden van het medium in het algemeen zo groot, dat dit niet meer is toegestaan. Bij niet-omkeerbare processen gaat weliswaar geen energie verloren, maar er treedt wel degradatie van energie op. Dit betekent dat de energie voor een deel in een vorm wordt gebracht die voor de samenleving minder waardevol is. Met behulp van de entropieveranderingen kan de waardevermindering kwantitatief worden bepaald.

Niet-omkeerbare overdracht van thermische energie

We beschouwen twee systemen l en 2 met temperaturen T, en T, (T, > T,) die alleen met elkaar warmte uitwisselen. Als het temperatuurverschil eindig is, verloopt de warmte-overdracht niet omkeerbaar. Er treedt een degradatie van energie op omdat uit warmte van een lagere temperatuur minder arbeid kan worden verkregen. Om dit verlies te berekenen zal de arbeid worden bepaald die uit een warmtehoeveelheid dQ met temperatuur T, resp. T, maximaal kan worden verkregen. We voeren de beschouwde warmtehoeveelheid dan toe aan een omkeerbaar kringproces (Carnot- proces) met temperatuurgrenzen Tl en Tã resp. T, en Ta. Deze Ta is de omgevings-

temperatuur, de laagste temperatuur die voor het warmtereservoir van lage temperaturen mogelijk is. We kunnen nu schrijven:

en:

Het arbeidsverlies bedraagt dus:

Op pag. 153 werd opgemerkt dat de totale entropietoename van de beide bovengenoemde systemen een maat is voor de optredende verliezen. Leggen we de grenslijnen rondom deze twee systemen, dan ontstaat een adiabatisch systeem waarin zich een niet-omkeerbaar proces afspeelt. Uit (7.11) volgt dat de totale entropieverandering alleen veroorzaakt wordt door de niet-omkeerbare verschijnselen. We kunnen voor de totale entropieverandering schrijven:

Substitutie hiervan in (9.1) levert: dW, = T. dStot.

De arbeid die bij de warmte-overdracht verloren is gegaan, is dus gelijk aan het produkt van de omgevingstemperatuur Tn en de totale entropieverandering van alle systemen die energetisch bij het beschouwde proces zijn betrokken. We zullen dit in hoofdstuk 13 het 'exergieverlies' noemen.

opmerkingen

l Uit (9.1) volgt dat het theoretisch gunstig is de temperatuurverschillen tussen twee systemen die warmte met elkaar moeten uitwisselen zo klein mogelijk te maken. Om praktische redenen echter zou het temperatuurverschil juist groot moeten zijn om daarmee een gegeven warmtehoeveelheid met een zo klein mogelijk V.O. te kunnen overdragen. Tevens blijkt het verlies afhankelijk te zijn van het produkt van T, en TT Het is gunstig als dit produkt een hoge waarde heeft. De overdracht van een bepaalde hoeveelheid warmte veroorzaakt bij een gegeven temperatuurverschil in een koelinstallatie dus een veel groter verlies dan in een stoominstallatie. Verder blijkt dat bij een gegeven hoeveelheid over te dragen warmte en gegeven verlies in het gebied met hogere temperaturen (stoominstallaties) een veel groter temperatuurverschil kan worden toegelaten. Deze grotere temperatuurverschillen resulteren in een kleiner te installeren V.O. Dit is gunstig omdat de materialen en technieken die bij hoge temperaturen moeten worden toegepast, kostbaar zijn.

2 Bij de afleiding van (9.2) is alleen de entropietoename berekend als gevolg van de eindige temperatuurverschillen. Dikwijls vindt de overdracht van warmte plaats in een warmtewisselaar waarin twee stromende media thermische energie met elkaar uitwisselen. De stroming gaat gepaard met wrijvingsverschijnselen die eveneens bijdragen aan de totale entropietoename. We kunnen ook voor dit geval (9.2) toepassen. Het totale verlies is dan de som van het energieverlies t.g.v. de eindige temperatuurverschillen bij de warmte-overdracht en de energieverlies t.g.v. wrijving. Bij vergroting van het V.O. van de warmtewisselaar kan het temperatuurverschil (T, - T,) kleiner worden gemaakt, maar de wrijvingsverliezen zullen dan bij gelijk blijvende stromingssnelheden toenemen. De grootte van het V.O. zou nu zo moeten worden berekend dat de som van de verliezen minimaal wordt. Thermodynamisch bezien is de warmtewisselaar dan optimaal. In de praktijk spelen ook andere factoren een rol, zoals de afschrijvingsduur, het energiever- bruik (pomparbeid) enz. De grootte van het te installeren V.O. wordt mede op grond van de laatstgenoemde overwegingen bepaald.

toepassing 9.1

Door een warmtereservoir met een constante temperatuur T, van 1 000 K wordt 500 kJ warmte overgedragen aan een warmtereservoir met een constante temperatuur van 500 K. Bereken het arbeidsverlies als gevolg van deze warrnteuitwisseling. De omgevingstemperatuur Ty bedraagt 300 K.

oplossing

Het verlies kan uit (9.2) worden berekend. De entropieveranderingen van de systemen l en 2 zijn achtereenvolgens:

-IQ/ -500 - AS, = - -

1 000 kJ/K = - 0,5 kJ/K en

T.

101 - - 500

AS, = - - kJ/K = 1 ,O kJ/K, zodat 7'2 500

AStut = AS, + AS, = 0,5 kJ/K.

Voor het arbeidsveriies bij deze niet-omkeerbare warmte-overdracht kunnen we dus schrijven: W, = T. AStut = 300 X 0,5 kJ = 150 kJ

opmerking

Uit de afleiding van (9.1) blijkt dat het arbeidsverlies kan worden bepaald m.b.v. Carnot-processen waaraan de beschouwde warmtehoeveelheid wordt toegevoerd. De voor deze toepassing relevante kringprocessen zijn in fig. 9.1 weergegeven (kringproces 1-2-3-4 en 5-6-7-3). De afgevoerde warmte is T" AS, resp. Tg AS2, hetgeen overeenkomt met 150 kJ resp. 300 kJ. De nuttig geleverde arbeid is Q , - Q2. De uitkomsten zijn in het volgende overzicht samengevoegd.

Fig. 9.1

kringproces

warmtetoevoer Q, warmteafvoer min. Q-, arbeidslevering max. Q,-Q-,

Het verlies aan arbeid door de niet-omkeerbare overdracht van warmte bedraagt dus (350 - 200) kJ = 150 kJ. Dit komt ook tot uiting in de extra warmte-afvoer die in fig. 9.1 door een dubbele arcering is aangegeven. Deze oppervlakte stelt dus tevens het arbeidsverlies voor, hetgeen ook volgt uit W, = Ty (AS, + AS,) = Tg AStot. Het verlies W" in procenten bedraagt:

Alle warmte die door het systeem van 1000 K is afgestaan, is opgenomen door het systeem van 500 K. Er zijn geen warmteverliezen zodat men het rendement van de warmteoverdracht 100 % zou kunnen noemen. Uit het eerder genoemde antwoord blijkt dat de warmte-overdracht, bezien in het licht van de tweede hoofdwet, wel degelijk met verliezen gepaard gaat. Duidelijk is ook dat men het verlies kan beperken door het temperatuurverschil bij de warmte-overdracht zo klein mogelijk te maken. Hierdoor wordt echter de warmte-overdracht vertraagd tenzij de warmtewisselaar dienovereenkomstig wordt vergroot. De omgevingstemperatuur Ty bepaalt mede het exergieverlies, maar hierop kan men geen invloed uitoefenen, zodat deze temperatuur als een constante moet worden opgevat.

toepassing 9.2

In een ruimte wordt bij constante druk 20 kg water van omgevingstemperatuur (20 'C) tot 80 OC verwarmd. De warmte wordt geleverd door verzadigde stoom van 120 'C die condenseert en daarbij 5 040 kJ condensatiewarmte afgeeft. Bij t, = 120 'C is s", = 1,527 6 kJ/(kg . K) en sd = 7,129 3 kJ/(kg . K); cW = 4,2 kJ/(kg - K). Bereken: a de entropieverandering van het water en die van de stoom; b het arbeidsverlies bij de warmte-overdracht. Arceer dit verlies als een opper-

vlakte in een T-S-diagram.

oplossing

T2 a Volgens (7.4) is AS = m c In -. Tl

Voor de stoom die bij constante temperatuur warmte afgeeft, geldt:

Q -5040 ASst, = - =

T 393 kJ/K = -12,824 kJ/K

Fig. 9.2

b In fig. 9.2 is het proces getekend. Hierin stelt 3-4 het condensatieproces voor en 1-2 de verwarming van het water. Berekening van het arbeidsverlies met (9.2) levert: W, = T, AStãt = 293 X (15,649 - 12,824) kJ = 827,7 kJ

Dit verlies komt overeen met de gearceerde oppervlakte in fig. 9.2. De maximale hoeveelheid arbeid die uit de condensatiewarmte (5 040 kJ) van 393 K kan worden verkregen, komt in fig. 9.2 overeen met de oppervlakte ingesloten door het positieve Carnot-proces 4-3-5-1. De afgevoerde warmte Q-, = T,. lASstl = 3 757,5 kJ, zodat: ìW = Q, - Q, = (5 040 - 3 757,5) kJ = 1282,5 kJ Nadat de warmte aan het water is overgedragen, komt de maximale hoeveelheid arbeid overeen met de door het kringproces 1-2-6 ingesloten oppervlakte. Dit kringproces is de som van een oneindig aantal Carnot-procesjes. Elk van deze procesjes heeft dezelfde temperatuur van warmte-afvoer (To) , maar de temperatuur van warmtetoevoer varieert van 293 K tot 353 K. De warmte-afvoer Q-, van het kringproces 1-2-6 is T.AS., = 293 x 15,649 kJ = 4585,l kJ. De maximale arbeidslevering is dus: Q, - Q, = (5 040 - 4585,l) kJ = 454,9 kJ.

De uitkomsten zijn in onderstaande tabel samengevoegd.

kringproces

opmerking

1-4-3-5 1-2-6

warmtetoevoer Q, warmte-afvoer min. Q-, geleverde arbeid max. Q, - Q2

De afbeelding van een proces waarbij verschillende media zijn betrokken die bovendien een verschillende massa hebben, is mogelijk als op de horizontale as niet de specifieke entropie maar de entropie (uitgedrukt in kJ/K) wordt uitgezet. Aan- gezien het altijd gaat om entropieveranderingen, is de plaats waar de toestandsveranderingen 1-2 en 3-4 worden getekend niet van belang. Deze kunnen dus in horizontale richting worden verschoven. Om echter het verlies direct als een oppervlakte te kunnen aflezen, moeten de oppervlakten zo verschoven worden dat de punten l en 4 loodrecht boven elkaar komen te liggen.

kJ 5 040 5 040 kJ 3 757,5 4 585,l kJ 1282,5 454,9

9.3 Niet-omkeerbare overdracht van mechanische energie

Bij de inleiding werd al duidelijk gemaakt dat toestandsveranderingen in stromingsmachines niet-omkeerbaar verlopen als gevolg van de hoge stromingssnelheden. Er treedt dan wrijving op waardoor de arbeidslevering resp. de arbeidstoevoer in negatieve zin wordt beïnvloed. Voor de arbeidsterm W- uit de eerste hoofdwet wordt dan geschreven:

Hierin stelt de volume-arbeid voor. Aan de wrijvingsterm wordt geen +- of -teken toegekend, omdat wrijvingsarbeid alleen maar aan een systeem kan worden toegevoerd (als wrijvingswarmte Qw) en dus altijd negatief is. Vandaar de schrijfwijze met absoluut strepen. Bij expansie komt dus minder arbeid beschikbaar dan bij omkeerbare procesvoering, terwijl compressie daarentegen juist meer arbeid kost. Dikwijls kan de toestandsverandering met enige benadering als quasistatisch worden beschouwd. Dat betekent dat ook het niet-omkeerbaar proces uit evenwichtstoestanden bestaat en in een toestandsdiagram als een getrokken kromme kan worden afgebeeld.

In dat geval is W[. = pdV en geldt: 1:

Zoals eerder opgemerkt bestaat er een verband tussen de optredende wrijving en de entropietoename van het systeem. Om die samenhang te bepalen, schrijven we de eerste hoofdwet op voor een omkeerbare (o) en een niet omkeerbare (n.o.) toestandsverandering verlopend tussen dezelfde twee toestanden en elimineren daaruit dU, omdat deze in beide gevallen dezelfde waarde heeft. Dit levert:

In deze uitdrukking kan dQo door TdS worden vervangen en komt d Wo - d volgens (9.3) overeen met IdwJ. Uitwerking levert nu de volgende betrekking:

In (9.4) is de index bij dQ weggelaten, omdat door de wrijvingsterm wel duidelijk is dat het een niet-omkeerbaar proces betreft. De uitdrukking toont aan dat de entropieverandering voor een deel het gevolg is van de warmtewisseling tussen systeem en omgeving en voor een ander deel bepaald wordt door de wrijving. Schrijven we voor de entropietoename als gevolg van de niet- omkeerbare wrijvingsverschijnselen dSn,,,, dan zijn de uitdrukkingen (9.4) en (7.11) identiek. Voor een adiabatische toestandsverandering gaat de uitdrukking (9.4) over in (9.5):

Verloopt een niet-omkeerbare adiabatische toestandsverandering quasistatisch, dan kan de toestandskromme worden getekend. In een T-s-diagram is de oppervlakte tussen de toestandskromme en de s-as gelijk aan

Tds. Uit (9.5) volgt dan dat deze oppervlakte overeenkomt met de wrijvingsarbeid.

Ten slotte kan nog worden opgemerkt dat uit (9.5) volgt dat de entropieproduktie t.g.v. wrijving kleiner is naarmate de temperatuur waarbij de wrijvingswarmte ontstaat, hoger ligt. In fig. 9.3 is deze uitspraak verduidelijkt. De wrijvingswarmte bij hoge- en

Fig. 9.3

lage temperaturen is gelijk genomen (opp. A = opp. B). Wrijving die bij hoge temperatuur optreedt, leidt dus tot een kleiner arbeidsverlies. Dit is een gevolg van het feit dat de kwaliteit van thermische energie groter is naarmate de temperatuur ervan toeneemt. Van wrijvingswarmte kan dus een groter deel in mechanische energie worden omgezet naarmate de temperatuur waarbij deze warmte ontstaat, hoger is. Praktisch betekent dit dat de wrijvingsverliezen in het hogedrukgedeelte van een stoom- of gasturbine (de temperaturen zijn daar ook het hoogst) minder bezwaarlijk zijn dan wrijvingsverliezen die in de laatste schoepenrijen optreden. Omgekeerd zal bij een roterende compressor b.v. meer aandacht moeten worden geschonken aan het vermijden van wrijvingsverliezen in het begin van het proces, o.a. door een betere aerodynamische vormgeving van de eerste schoepenrijen, het gladder afwerken van de schoepen e.d.

De voorgaande beschouwingen zijn nuttig voor het inzicht maar voor een berekening van de arbeid die wordt toe- of afgevoerd, gaan we uit van de eerste hoofdwet voor open systemen, die ook voor niet-omkeerbaar verlopende toestandsveranderingen geldig is:

Bij stromingsmachines kunnen enige termen buiten beschouwing worden gelaten (zie pag. 116), zodat we kunnen uitgaan van

Bij een niet-omkeerbare adiabatische expansie is de enthalpie in de eindtoestand groter dan bij een isentrope expansie omdat de wrijvingswarmte door het arbeidsmedium wordt opgenomen. Deze enthalpie kan met de wetten van de warmteleer niet worden berekend. Voor het bepalen van de technische arbeid wordt daarom de toestandsverandering als omkeerbaar beschouwd en de berekende arbeid vervolgens gecorrigeerd met een empirische factor om de invloed van de niet-omkeerbare ver-

Fig. 9.4

l s

Fig. 9.5

schijnselen in rekening te brengen. Deze correctiefactor is altijd < l . Voor een adiabatisch verlopende toestandsverandering noemt men deze factor het isentrope rendement qi omdat de technische arbeid van het niet-omkeerbare proces vergeleken wordt met die van het omkeerbare (isentrope) proces. Bij expansie geldt dan dat w , = q, w , terwijl voor de technische arbeid bij een adiabatische compressie geschreven moet worden w , = wt/T},.

9.3.1 Stoom- en gasturbine

De expansie van stoom in een turbine is in fig. 9.4 en fig. 9.5 weergegeven. Bij een isentrope expansie is sl = s^, zodat de eindtoestand op de verticaal door l is gelegen. Verloopt de toestandsverandering niet-omkeerbaar adiabatisch, dan moet volgens (7.12) de entropie toenemen. Bij dezelfde einddrukp, ligt de eindtoestand 2' rechts van 2. De geleverde arbeid wto = Aho = hl - h, en w , = Ahn.o = h, - h,,.

Voor het isentrope rendement ~ l , geldt volgens de eerder gegeven definitie dat:

Zijn van stoom de begincondities (p, t ) gegeven alsmede de einddruk, dan kan Ahã uit het h-s-diagram worden opgemeten. Met een gegeven waarde van qi kan dan de geleverde arbeid worden berekend. Voor het verlies aan arbeid t.o.v. een isentrope expansie kunnen we schrijven:

wv = W , - W = (h, - h,) - (h, - h,,) = hy - h,

Omdat de toestanden 2 en 2' op dezelfde isobaar zijn gelegen, geldt dat:

4 3 s

Fig. 9.6 Fig. 9.7

In fig. 9.4 komt wV overeen met opp. 2-2'-6-7, in fig. 9.5 met de verticale afstand tussen 2 en 2'. Zou de niet-omkeerbare expansie 1-2' een quasi-statisch verloop hebben, dan kan de toestandsverandering als een ononderbroken kromme worden getekend en komt het wrijvingsverlies in fig. 9.4 overeen met opp. 1-2'-6-7-1.

Voor een gasturbine is de niet-omkeerbare adiabatische expansie 1-2' van het arbeidsmedium weergegeven in het T-s-diagram van fig. 9.6. Voor het isentrope rendement geldt (9.6), maar omdat er bij een gas een eenvoudig verband bestaat tussen de enthalpieverandering en de temperatuurverandering, wordt n, meestal als volgt geschreven:

De eindtemperatuur T, na een isentrope expansie kan uit een van de wetten van Poisson worden berekend. Met een gegeven of geschatte waarde van n, kan dan de werkelijke eindtemperatuur T2, worden bepaald. In een uitgevoerde installatie kan TT worden gemeten, waarna uit (9.7) het isentrope rendement van de gasturbine kan worden vastgesteld. Voor het arbeidsverlies t.o.v. een isentrope expansie kan, in analogie met het voorgaande, worden geschreven:

In fig. 9.6 is hv - h, A opp. 2-2'-34. Als de toestandsverandering niet-omkeerbaar maar wel quasi-statisch verloopt, komt het wrijvingsverlies overeen met de oppervlakte 1-2'-3-4 in het T-s-diagram van fig. 9.7. Evenals bij de stoomturbine is het arbeidsverlies kleiner dan de wrijvingsarbeid. Blijkbaar wordt in het expansiewerktuig nog een deel van de wrijvingswarmte in mechanische energie omgezet. Dit deel komt overeen met opp. 1-2'-2. Het arbeidsverlies wV zoals bepaald voor een stoom- en gasturbine, is voor het expansiewerktuig als een verlies te beschouwen. Het arbeidsverlies komt tot uitdrukking in een grotere warmte-afvoer overeenkomend met opp. 2-2'4-7 in fig. 9.4 en met opp. 2-2'-34 in fig. 9.6. Maar als de temperatuur van de extra afgevoerde warmte groter is dan de omgevingstemperatuur Tg, kan daaruit theoretisch nog een zekere hoeveelheid arbeid worden gewonnen. Het uiteindelijke verlies zal dan afnemen. Bij stoominstallaties is de temperatuur van de afgewerkte stoom gewoonlijk niet veel groter dan Tn en zijn hiervoor geen mogelijkheden. Bij gasturbines echter wel omdat de temperatuur van de uitlaatgassen nog betrekkelijk hoog is. Uit het bovenstaande volgt dat het begrip 'verlies' duidelijk gedefinieerd moet worden.

9.3.2 Compressor en pomp

In fig. 9.8 is de niet-omkeerbare adiabatische compressie van een gas weergegeven. Aangenomen is dat de toestandsverandering quasi-statisch verloopt. Ook nu kan men de toe te voeren arbeid bepalen m.b.v. het isentrope rendement van de compressor. Omdat q, < l moet zijn, is het isentrope rendement bij compressie als volgt gedefinieerd:

Voor een ideaal gas kan hiervoor worden geschreven:

De extra arbeid die, in vergelijking met een isentrope compressie 1-2, moet worden toegevoerd en die we weer wv noemen bedraagt (zie fig. 9.8):

De wrijvingsarbeid /ww[ A opp. l-2'-3-4. De extra arbeid die aan de compressor moet worden toegevoerd is nu groter dan de wrijvingsarbeid. Het verschil komt overeen met opp. 1-2-2'. De oorzaak hiervan is dat t.g.v. de wrijvingswarmte de temperatuur in het proces 1-2'

Fig. 9.8

voor elke druk p groter is dan in het proces 1-2 (Tg > Ti). En omdat de benodigde compressie-arbeid recht evenredig is met de begintemperatuur, zal daarom elke drukverhoging in het niet-omkeerbare proces meer arbeid kosten dan in het omkeerbaar verlopende proces. Hoge temperaturen zijn in principe ongewenst. De compressor maakt echter gewoonlijk deel uit van een gehele installatie en het is goed mogelijk dat de hogere eindtemperatuur juist weer gunstig uitwerkt in een ander deel van de installatie.

Wordt de druk van een vloeistof met behulp van een pomp verhoogd van p, tot p. en verloopt het proces 1-2 isentroop, dan is volgens (6.4):

Bij een niet-omkeerbare adiabatische compressie geldt voor het isentrope rendement van een pomp de uitdrukking (9.8). Substitutie van w t = - v ( p 2 - pi) levert:

Deze uitdrukking kan ook worden toegepast bij compressie van een gas als de drukverhouding klein is (ventilator). Voor v moet dan de gemiddelde waarde van het specifiek volume bij begin- en eindtoestand worden ingevuld. Met (9.10) is een zeer goede benadering van de pomparbeid te verkrijgen. Theoretisch zouden we echter moeten schrijven:

waarin 2' de werkelijke eindtoestand voorstelt en 2 de eindtoestand bij een isentrope compressie. De waarde van h2 kan in een stoomtabel worden opgezocht omdat p, en s2 = s, bekend zijn. In toepassing 9.4 is aangegeven hoe de berekening kan worden uitgevoerd.

9.4 Straal buis

Voor een straalbuis werd in paragraaf 6.3.1 afgeleid dat

Aek = -Ah + $(c; - c;) = h, - h2

De waarde van h2 na een isentrope expansie kan worden b diagram worden afgelezen.

berekend n h-s-

In een straalbuis treden wrijvingsverliezen op, waarop de werkelijke eindsnelheid c2, lager is dan de theoretische waarde c2. In dat geval is:

Voor de bepaling van h2, maken we weer gebruik van een isentroop rendement. Voor een straalbuis is T ] als volgt gedefinieerd:

Meestal is de uittreesnelheid zo hoog, dat de beginsnelheid kan worden verwaarloosd. Dan geldt dat:

De theoretische snelheid c2 kan gemakkelijk worden berekend (pag. 117), waarna met een gegeven of geschatte waarde van n, de werkelijke uittreesnelheid c2, kan worden bepaald.

9.5 Smoren, smoorcalorimeter

Smoren is een niet-omkeerbare adiabatische toestandsverandering waarbij de enthalpie constant blijft. E.e.a. werd reeds in paragraaf 6.3.4 toegelicht. Voor een ideaal gas in h2 - hl = cp(T2 - T,), zodat een isotherm evenwijdig loopt met de s-as en dus samenvalt met een lijn van constante enthalpie (isenthalp).

Fig. 9.9 Fig. 9.10

Bij het smoren van natte damp van toestand l zoals afgebeeld in fig. 9.9 kan de eindtoestand binnen het coexistentiegebied vallen (b.v. toestand 2), maar het is ook mogelijk dat de smoring zo ver wordt doorgezet dat de damp in de eindtoestand verzadigd is (toestand 2') of zelfs oververhit raakt (toestand 2"). In het coexistentiegebied verandert de stoomtemperatuur bij smoren aanzienlijk, in het dampgebied is de temperatuurverandering door smoren sterk afhankelijk van de begintoestand. In het bijgevoegde h-s-diagram van water en waterdamp kan e.e.a. gemakkelijk worden geverifieerd. Eveneens is duidelijk te zien dat isothermen in het dampgebied steeds vlakker gaan lopen, zodat de temperatuur bij smoren dan nog maar weinig verandert. Smoring van natte damp tot in het oververhittingsgebied - de toestandsverandering 1-2" -biedt de mogelijkheid om het vochtgehalte van natte stoom te bepalen (smoorcalorimeter). Een andere technische toepassing van smoren kan men aantreffen bij de vermogens- regeling van een stoomturbine. De technische arbeid die theoretisch uit l kilogram stoom van toestand l (fig. 9.10) kan worden verkregen, bedraagt (hs - h^). Wordt de stoom vóór de turbine gesmoord tot l' dan is, bij expansie tot dezelfde einddruk p2 de theoretisch mogelijke arbeidslevering nog slechts (hs, - h2,) = h, - hy, derhalve een vermindering van (h2, - h^). Door het plaatsen van een afsluiter in de stoomtoevoerleiding kan het turbinevermogen dus op een eenvoudige wijze worden geregeld. Deze z.g. 'kwaliteitsregeling' is echter niet gunstig omdat hierdoor een zekere energiegradatie optreedt. De bovengenoemde hy - h2 komt overeen met een verlies aan arbeid.

Een technische toepassing is de smoorcalorimeter, waarmee de toestand van stoom binnen het coexistentiegebied kan worden bepaald. Wordt namelijk bij het meten van de stoomdruk en -temperatuur geconstateerd dat de gemeten temperatuur de verdampingstemperatuur is die bij de gemeten stoomdruk behoort, dan kan over de stoomtoestand geen uitspraak worden gedaan. De stoom kan dan verzadigd zijn, maar het is ook mogelijk dat de stoom nat is. In zo'n geval kan gebruik worden gemaakt van een smoorcalorimeter. Dit toestel bestaat uit een geïsoleerd vat b (fig. 9.11) dat op de stoomleiding wordt aangesloten. Met de regelbare smoorafsluiter c wordt de stoom die

Fig. 9.1 1 Fig. 9.12

vanuit de leiding in het vat stroomt, op een lagere druk gebracht. Deze stoom wordt bij d weer afgevoerd. De druk en temperauur van de stoom in b kunnen worden gemeten. Men regelt nu de afsluiters c en d zodanig dat de temperatuur T, (zie figuur) hoger is dan de bij p, behorende verdampingstemperatuur. Men is er dan zeker van dat de stoom oververhit is geworden. De enthalpie h, van deze stoom kan dan in een stoomtabel worden opgezocht. Voor de enthalpie van de stoom in de leiding a geldt: hl = hv, + xl r. waarin hv, en r eveneens aan de stoomtabel (bij een drukp,) kunnen worden ontleend. Omdat bij dit smoorproces h, = h, geldt dus dat:

h.,, + X, r = h,

In deze vergelijking is x, de enige onbekende. Ook uit het h-s-diagram kan x, worden bepaald. Men trekt dan een horizontaal door de (bekende) eindtoestand 2 en bepaalt het snijpunt hiervan met de isobaar?,. De lijn van constant dampgehalte die door dit punt gaat, geeft de gezochte waarde vanx, (fig. 9.12).

toepassing 9.3

In een centrifugaalcompressor wordt lucht van l bar en 300 K adiabatisch tot 3 bar gecomprimeerd. De massastroom bedraagt 5 kg/s en het toe te voeren vermogen 740 kW. Bereken de eindtemperatuur van de lucht en het isentrope rendement van de compressor. c" = 1005 J/(kg - K) en k = l,4.

oplossing

Het toe te voeren vermogen bij een adiabatische toestandsverandering is:

als T,, de werkelijke eindtemperatuur voorstelt.

De temperatuur na een isentrope compressie tot 3 bar bedraagt:

Volgens (9.9) geldt dat:

Het is uiteraard ook mogelijk eerst voor een isentrope compressie de per seconde toe te voeren technische arbeid te berekenen:

W = mcP(T2 - T,) = 5 X 1,005 X (410,6 - 300) kW = 555,77 kW

Het werkelijk toe te voeren vermogen bedraagt 740 kW (gegeven) zodat:

Vervolgens kan dan uit (9.9) de werkelijke eindtemperatuur T,, worden bepaald.

toepassing 9.4

Een ketelvoedingspomp verhoogt de druk op water van 0,05 bar tot 140 bar. Als de watertemperatuur 32,9 'C bedraagt en het isentrope rendement van de pomp 0,7 bereken dan de aan de pompas toe te voeren arbeid in kJ/kg. Vergelijk de uitkomst met een benaderde berekening. Gegeven: stoomtabellen.

oplossing

Bij de pompintrede geldt: p, = 0,05 bar, tv = 32,9OC, sã = 0,4763 kJ/(kg - K), hã = 137,77 kJ/kg. Na een isentrope compressie 1-2 is s, = s-,. Aan tabel v ontlenen we de volgende waarden: bij 140 bar en 30°C is s = 0,432 2 kJ/(kg K) en h = 138,4 kJ/kg; bij 140 bar en 40°C is s = 0,566 6 kJ/(kg - K) en h = 179,8 kJ/kg. Nu is s-, = 0,476 3 kJ/(kg - K) zodat, door interpolatie van bovengenoemde waarden, blijkt dat de enthalpie na de pomp gelijk is aan:

Schrijven we van de werkelijke eindtoestand van het water 2' (zie fig. 10.11 op pag. 208), dan geldt voor het isentrope rendement:

Een benaderde berekening van deze arbeid kan worden uitgevoerd met behulp van (9.10). Dit levert:

Zoals uit beide antwoorden blijkt, levert de benaderde (en eenvoudige) berekening een goed bruikbaar resultaat.

Vraagstukken


l Hoeveel bedraagt het isentrope rendement van een stoomturbine als gegeven is dat de begindruk van de stoom 30 bar bedraagt en de einddruk 0,05 bar, dat het vochtgehalte na een isentrope expansie gelijk is aan 15 % en na de werkelijke expansie 7 %? Wat is de gemiddelde soortelijke warmte i?,, van de stoom in de begintoestand? Gegeven stoomtabel 111 achterin het boek en het h-s-diagram.

2 In een goed geïsoleerde turbine met een isentroop rendement van 85 % expandeert 72 ton stoom per uur. De enthalpie van de stoom bij intrede is 3000 kJ/kg; de enthalpiedaling als de stoom isentroop zou expanderen, bedraagt 1000 kJ/kg. Bereken de enthalpie h van de stoom na de turbine, het geleverde vermogen en de procentuele verandering van het vermogen als de intreesnelheid van de stoom (35 mis) en de uittreesnelheid (150 mls) in rekening worden gebracht.

3 Een ketel produceert 80 ton stoom per uur met een druk van 50 bar en een temperatuur van 500 'C. De druk na een niet-omkeerbare adiabatische expansie in een turbine is 0,05 bar. Als het vermogen van de turbine 23 MW bedraagt en het mechanisch rendement 90 %, wat is dan het isentrope rendement van de turbine?

Als het condensaat met 5,9OC nakoeling uit de condensor naar de ketel wordt gepompt, wat is dan het thermisch rendement van de gehele installatie als het ketelrendement 90 % bedraagt? Bereken het olieverbruik per uur als voor de stookwaarde hiervan 40 MJIkg wordt opgegeven. Gegeven zijn de stoomtabellen en het h-s-diagram.

4 In een turbine expandeert stoom van 80 bar en 51OoC isentroop tot verzadigde stoom van 6 bar. Vervolgens wordt bij constante druk zoveel warmte toegevoerd dat de entropie 7,6060 kJ/(kg K) wordt. Daarna expandeert de stoom niet-omkeerbaar adiabatisch in een tweede turbine tot verzadigde stoom van 0,05 bar. Bereken met behulp van de stoomtabellen: a het vermogen dat de eerste turbine levert als h = 50 kgls; b de gemiddelde waarde van c, bij de genoemde warmtetoevoer; c het isentrope rendement van de laatstgenoemde turbine.

5 a Van stoom van 24 bar en 300 'C is h = 3 012,4 kJ1kg en s = 6,63 kJ/(kg - K). Na een niet-omkeerbare adiabatische expansie tot 6 bar is de stoom juist verzadigd. Bereken m.b.v. de stoomtabellen de geleverde arbeid (in kJ/kg) en het isentrope rendement van de turbine.

b Als lucht van 24 bar en 300°C adiabatisch expandeert in een turbine met hetzelfde isentrope rendement, bereken dan de einddruk van de lucht alsmede de eindtemperatuur als de geleverde arbeid per massa-eenheid gelijk moet zijn aan die bij a. c, = 1,O kJ/(kg K) en k = 1,4.

6 Van een ideaal gas worden de entropie en de enthalpie nul gesteld bij l bar en O 'C. R = 287 J/(kg - K), c, = 1005 J/(kg . K) en k = 1,4. a Als l kilogram van dit gas van l bar en O0C niet-omkeerbaar wordt gecom-

primeerd tot 10 bar en 800 K, bereken dan de entropie en de enthalpie in de eindtoestand. Geef in een T-s-diagram deze enthalpie als een oppervlakte aan.

b Het gas van 10 bar en 800 K wordt vervolgens gesmoord tot l bar. Als de snelheidsverandering buiten beschouwing kan blijven, bereken dan voor deze toestandsverandering de verandering van de entropie, de enthalpie en de inwendige energie per eenheid van massa.

7 In een straalbuis met een isentroop rendement van 90 % expandeert stoom. Als de einddruk l bar bedraagt en de beginsnelheid kan worden verwaarloosd, bereken dan, zonder gebruik te maken van het h-s-diagram, de eindsnelheid van de stoom in de volgende gevallen: a De stoomdruk is 10 bar, de stoomtemperatuur 250 'C. b De stoomdruk is 10 bar, de stoomtemperatuur 400°C. Bij l bar kan voor de gemiddelde waarde van de soortelijke warmte van stoom 2,01 kJ/(kg. K) worden genomen. De benodigde gegevens ontlenen aan de stoomtabellen.

8 Een centrifugaalpomp verwerkt per uur 10,8 ton water van 15 'C (p = 1000 kg/m3). Vóór de pomp is de druk 0,6 bar en de snelheid van de vloeistof 2 d s ; na de pomp is de druk 5,6 bar en de snelheid 4 d s . De plaatsen waar de bovengenoemde waarden zijn gemeten, liggen op een afstand van 2 m van elkaar, verticaal gemeten. Als het toe te voeren vermogen 1,9 kW bedraagt, bereken dan de wrijvingsverliezen in kW, alsmede het isentrope rendement van de pomp. g = 10 m/s2.

9 In een gasturbine expandeert per seconde 25 kg gas van 8 bar en 1 000 K adiabatisch tot 1,2 bar en 615 K. De toestandsverandering verloopt quasistatisch en kan door een polytroop worden benaderd. Het verschil in kinetische energie bij in- en uittrede kan worden verwaarloosd. Bereken het vermogen dat aan de as vrijkomt, het vermogensverlies t.o.v. een isentrope expansie, alsmede het wrijvingsvermogen. Waarom is het vermogensverlies niet gelijk aan het wrijvingsvermogen? k = 1,4, c, = 1005 J/(kg - K) en R = 287 J/(kg + K).

10 In een turbine met een isentroop rendement van 80 % expandeert per uur 144 ton stoom van 200 bar en 500 ¡C. Als de druk 20 bar geworden is, wordt deze stoom in de ketel opnieuw tot 500 'C oververhit. Daarna expandeert de stoom wederom adiabatisch in een tweede turbine tot 0,05 bar. Het isentrope rendement van deze turbine is 85 %. Bereken het vermogen dat de beide turbines gezamenlijk ontwikkelen als elke turbine een mechanisch rendement bezit van 90 %.

Hoe groot is het thermisch rendement van de gehele installatie als het voedingswater met de verzadigingstemperatuur (hã = 137,8 kJ/kg) uit de condensor naar de ketel wordt gepompt? Het ketelrendement bedraagt 85 %. Hoe groot is het percentage vocht in de stoom na de expansie in de tweede turbine en hoeveel warmte (kW) wordt in de heroververhitter overgedragen? Gegeven is het h-s-diagram.

11 a Aan een turbine met een isentroop rendement van 85 % wordt stoom van 80 bar en 510 'C toegevoerd. De condensordruk bedraagt 0,05 bar. Bereken uit het h-s-diagram het vermogen PI dat, bij een massastroom van 100 kgls, wordt geleverd.

b Door een afsluiter in de toevoerleiding gedeeltelijk te sluiten, wordt de massastroom met 25 % verlaagd en daalt de stoomdruk met 20 %. Bereken wederom het geleverde vermogen Pi, alsmede het percentage waarmee het vermogen gedaald is.

12 Een condenspot laat per uur 50 kg water door met een druk van 4 bar en de hierbij behorende verzadigingstemperatuur. Als de druk na de condenspot l bar bedraagt, hoeveel kg stoom ontstaat hierbij dan? Gegeven is tabel 111.

Teken de toestandsverandering in een T-s-diagram en toon aan dat het proces niet-omkeerbaar verloopt.

13 a Voor een verwarmingsinstallatie met een verbruik van 20 ton verzadigde stoom van 2 bar per uur, is stoom van 30 bar en 300 'C (hl = 2 9933 kJ/K) beschikbaar. Deze stoom wordt eerst gesmoord tot 2 bar en vervolgens afgekoeld tot de verzadigingstemperatuur door het inspuiten van water van 30°C (c,, = 4,2 kJ/ (kg . K)). Hoeveel oververhitte stoom van 30 bar en hoeveel water is per uur nodig? Gegeven zijn de stoomtabellen.

b Als de gevraagde stoom geleverd wordt door een tegendrukturbine waaraan stoom van 40 bar en 450°C wordt toegevoerd en waaruit de stoom wordt afgevoerd met 2 bar en 200 'C, hoeveel water moet dan per uur in de afgevoerde stoom worden ingespoten en hoeveel stoom moet per uur aan de turbine worden toegevoerd? Bereken het isentrope rendement van de turbine en het geleverde vermogen als het mechanisch rendement 90 % bedraagt. Gegeven zijn de stoomtabellen.

14 In een straalbuis met en isentroop rendement van 90 % expandeert lucht van 227 OC van 5 bar tot l bar. Bereken de eindsnelheid van de lucht als de beginsnelheid verwaarloosbaar is. cp = 1 005 J/(kg - K) en k = l,4.

Hoofdstuk 10

10.1 Inleiding

De theorie die in de voorgaande hoofdstukken is behandeld, zal nu worden toegepast op een aantal installaties dat in de praktijk is uitgevoerd. Een van de belangrijkste daarvan is de stoomturbine-installatie die zo'n grote rol speelt in de openbare elek- triciteitsvoorziening. Een schema van een dergelijke installatie is afgebeeld in fig. 10.1. In de ketel wordt bij constante druk stoom gevormd die vervolgens in een turbine adiabatisch expandeert tot de condensordruk en daarbij arbeid levert. De afgewerkte stoom van lage druk condenseert bij constante druk in een condensor, waarna het condensaat door middel van een pomp weer in de ketel wordt gebracht. Ketel, turbine, condensor en pomp behoren tot de z.g. open systemen, maar omdat alle componenten in serie zijn geschakeld, ondergaat de werkstof (water) een gesloten kringproces. Dit kringproces kan in elk toestandsdiagram als een gesloten figuur worden afgebeeld, maar het T-S-diagram is daarvoor het meest geschikt.

Fig. 10.1

In dit hoofdstuk zal worden nagegaan welke wijzigingen in het kringproces moeten worden aangebracht teneinde het thermisch rendement ervan te verbeteren. Om verschillende installaties met elkaar te kunnen vergelijken wordt hiervan, behalve het thermisch rendement, het specifiek stoomverbruik bepaald. Dit is het aantal kilogram stoom dat nodig is voor een bepaalde arbeidslevering, b.v. l MJ. Het specifiek stoomverbruik (S.S.V.) wordt dan uitgedrukt in kg/MJ. Deze grootheid kan men zien als een maat voor de afmetingen die een installatie voor een bepaald vermogen gaat aannemen, aangezien de grootte van de diverse onderdelen samenhangt met de hoeveelheid stoom die per tijdseenheid het kringproces doorloopt.

10.2 Het kringproces van Carnot en Rankine

Het Carnot-proces is afgebeeld in fig. 10.2. Verdamping van de vloeistof vindt plaats bij de hoogste temperatuur T, en de condensatie 3-4 bij de laagste temperatuur T3. Voor het thermisch rendement geldt algemeen:

De enthalpiewaarden h, en h2 kunnen in een stoomtabel worden opgezocht, de enthalpiewaarden h, en h4 moeten worden berekend. Voor een Carnot-proces is het natuurlijk veel eenvoudiger om te schrijven: % = l - T3/Tl. Het rendement kan worden verbeterd door de verdampingstemperatuur Ti te verhogen en de condensatietemperatuur T3 te verlagen. Dit kan worden gerealiseerd door verhoging van de keteldruk en verlaging van de condensordruk. De laagste temperatuur die bereikt kan worden, is afhankelijk van de temperatuur van het beschikbare koelwater. Is dit bijvoorbeeld 15OC dan moet, in verband met het noodzakelijke temperatuurverschil bij de warmte-overdracht, de condensatietemperatuur ca. 3WC bedragen. Om condensatie bij deze temperatuur mogelijk te maken, moet de druk in de condensor tot 0,042 bar (zie stoomtabel) worden gereduceerd. De condensor wordt daarom voorzien van een vacuümpomp om deze lage druk te bereiken en deze, bij een

l

s

Fig. 10.2

in bedrijf zijnde installatie, te onderhouden (luchtlekkages). Als gevolg van de lage druk is het stoomvolume zeer groot en dientengevolge ook de omvang van de condensor. Toepassing van een condensor biedt ook de mogelijkheid om in het kringproces steeds hetzelfde arbeidsmedium te gebruiken. Dit is gunstig omdat aan het ketelvoedingwater meestal nog een kostbare voorbehandeling moet worden gegeven. Bij een gegeven condensordruk zal een verhoging van de keteldruk (dus van de temperatuur T,) leiden tot een hoger thermisch rendement, hoewel de toeneming relatief gezien steeds minder wordt. De oppervlakte ingesloten door het diagram wordt echter kleiner (zie gestippelde rechthoek in fig. 10.2), zodat ook de arbeidslevering per kilogram stoom sterk afneemt. Dit heeft weer een ongunstige uitwerking op de afmetingen van de installatie voor een gegeven vermogen. Doordat de druk in het coëxistentiegebied niet hoger kan zijn dan de kritische druk pk, is ook de maximale waarde van T, beperkt tot de kritische temperatuur Tk die voor water 374 'C bedraagt. Daarmee wordt een grens gesteld aan het thermisch rendement dat maximaal haalbaar is. De mogelijkheden van moderne constructiematerialen worden dan niet ten volle benut omdat deze materialen temperaturen kunnen verdragen die enige honderden graden hoger liggen. In de praktijk wordt het Carnot-proces niet uitgevoerd. Het is namelijk niet mogelijk het condensatieproces in punt 4 te beëindigen terwijl aan de compressor, die een water-stoommengsel van groot volume tot de keteldruk moet comprimeren, wel zeer bijzondere eisen zouden moeten worden gesteld. Bovendien is het hoge vochtgehalte van de stoom in het laatste deel van het expansieproces een ernstig nadeel. De waterdruppeltjes die met grote snelheid tegen de schoepen botsen, veroorzaken een daling van het rendement van de laatste schoepenrijen. Daarenboven treedt erosie op waardoor eerder tot vervanging van de grote en dure laatste schoepenrijen moet worden overgegaan. Een deel van de genoemde bezwaren wordt ondervangen als de condensatie wordt voortgezet tot alle stoom in vloeistof is overgegaan (fig. 10.3). We noemen dit een Rankine-proces. In plaats van een water-stoommengsel wordt dan het condensaat van toestand 4 isentroop gecomprimeerd tot op de keteldruk (toestand 5). Vervolgens wordt de

Fig. 10.3

204

Fig. 10.4

vloeistof door warmtetoevoer bij constante druk op de verdampingstemperatuur T, gebracht en daarna bij constante druk en temperatuur in verzadigde stoom omgezet. Ten opzichte van een Carnot-proces werkend tussen dezelfde temperatuurgrenzen vertoont het Rankine-proces 1-2-3-4-5 de volgende verschillen: l De oppervlakte ingesloten door het kringproces is groter. De geleverde arbeid per

kg stoom is dus groter en derhalve is het specifiek stoomverbruik lager. 2 De compressie van het stoom-watermengsel is vervangen door een compressie van

vloeistof. Dit vindt plaats in een relatief kleine, goedkope ketelvoedingspomp die weinig arbeid vraagt. Bij niet te hoge keteldrukken kan deze arbeid dan ook t.o.v. de in de turbine geleverde arbeid worden verwaarloosd.

3 De gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer (G in fig. 10.4) is lager dan bij een Carnot-proces, de temperatuur waarbij de warmte wordt afgevoerd heeft voor beide processen dezelfde waarde. Het thermisch rendement zal daarom lager zijn dan van het vergelijkbare Carnot- proces.

Het Rankine-proces is evenmin praktisch uitvoerbaar vanwege het hoge vochtgehalte van de stoom na de expansie. Het vochtpercentage moet worden beperkt tot 10 a 12 %. Dit is te realiseren door de stoom in de ketel te oververhitten.

10.3 Oververhitting en heroververhitting

Als aan verzadigde stoom warmte wordt toegevoerd, neemt de stoomtemperatuur toe en wordt de stoom 'oververhit'. In een stoomketel verloopt dit proces bij constante druk. In fig. 10.5 is een Rankine-proces met oververhitting getekend. De vereiste stoomtemperatuur T. kan worden gevonden door het snijpunt te bepalen van de isentroop door de gewenste eindtoestand 4 en de isobaar door 2. Of deze temperatuur toelaatbaar is, hangt af van de materialen die worden toegepast. De

Fig. 10.5 Fig. 10.6

205

maximaal toelaatbare temperatuur ligt bij ca. 550 'C voor ferrietische staalsoorten en bij 600 à 650 'C voor de duurdere austenietische staalsoorten. Om praktische redenen worden stoomtemperaturen boven 600 'C zelden toegepast. Uit fig. 10.5 blijkt dat de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer van het kringproces 1-2-3-4-6 groter is dan van het kringproces 1-2-5-6. Omdat de temperatuur van warmteafvoer voor beide kringprocessen gelijk is, is het thermisch rendement door de oververhitting dus toegenomen. Het specifieke stoomverbruik is ook gunstiger (lager) geworden, omdat per kg stoom meer arbeid wordt geleverd. Dit blijkt uit de toename van de oppervalkte die door het kringproces wordt ingesloten. Ook de keteldruk beïnvloedt de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer. Zou in fig. 10.6 de keteldruk van pi tot pl, worden verhoogd, dan ontstaat het kringproces 1'-2'-3'-4'-5 als we de maximale stoomtemperatuur gelijk houden. Of het thermisch rendement toeneemt, zal uit een berekening moeten blijken. In het algemeen wordt bij toename van de keteldruk ook de stoomtemperatuur verhoogd en neemt het thermisch rendement toe. In fig. 10.6 neemt, bij een isentrope expansie vanuit 3', het vochtgehalte na expansie toe. Verloopt de expansie echter niet omkeerbaar, dan verschuift het punt 4' naar rechts en zou zelfs - zoals getekend - kunnen samenvallen met het oorspronkelijke punt 4. Uiteraard is een niet-omkeerbare expansie ongewenst en geen praktisch middel om het vochtgehalte te beperken. De vereiste keteldruk hangt ook samen met de condensordruk. Zou in het kringproces 1-2-3-4-5 van fig. 10.7 de condensordruk toenemen vanps totp4,, dan zal, bij eenzelfde vochtgehalte na de expansie en eenzelfde stoomtemperatuur, de keteldruk moeten toenemen van pi tot pl,. Doorgaans is de condensordruk een gegeven (zo laag mogelijk en afhankelijk van de koelwatertemperatuur), evenals het toelaatbare vochtgehalte (ca. 12 %). Met de toelaatbare stoomtemperatuur (materiaalkwestie) en het isentroop rendement van de turbine (praktijkgegeven), ligt de noodzakelijke keteldruk vast.

Fig. 10.7

206

Fig. 10.8

Het streven naar een hoger thermisch rendement van de turbine-installatie leidde tot het steeds verder verhogen van de stoomdruk en stoomtemperatuur. De drukverhoging leverde in technisch opzicht niet veel moeilijkheden op. Gelijktijdig echter moest de temperatuur van de stoom zodanig worden verhoogd dat het vochtgehalte na expansie binnen redelijke grenzen bleef. Fig. 10.8 toont aan dat door het verhogen van de stoomdruk van pi tot p> het vochtgehalte na expansie toeneemt als de stoomtemperatuur Ti gelijk wordt gehouden. Om stoom met hetzelfde vochtpercentage te verkrijgen, zou de stoomtemperatuur tot T, moeten worden verhoogd. Bij verhoging van de stoomdruk leidde dit ten slotte tot een dermate hoge waarde van T2 dat de veilige grens voor turbine- en ketelrnaterialen werd overschreden. Men moest dus het proces zo veranderen dat hoge stoomdrukken konden worden toegepast zonder dat een onacceptabel hoge stoomtemperatuur nodig was. Her-oververhitting van de stoom bood daartoe de mogelijkheid.

Bij een installatie met her-oververhitting expandeert de stoom eerst gedeeltelijk in een hogedrukturbine, waarna de stoom opnieuw door de ketel wordt geleid. Bij constante druk wordt dan weer warmte toegevoerd, waardoor de temperatuur toeneemt, meestal tot ongeveer de oorspronkelijke stoomtemperatuur. Uit fig. 10.9 blijkt dat de arbeid die per kilogram arbeidsmedium wordt geleverd, door heroververhitting toeneemt, waardoor het specifieke stoomverbruik daalt. Ook de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer zal in het algemeen toenemen, en daarmee het thermisch rendement van de installatie. De rendementstoename wordt echter mede bepaald door de druk p4 na de expansie in de hogedrukturbine zoals een nadere beschouwing van fig. 10.9 duidelijk maakt. Voor elke installatie zal derhalve de meest gunstige waarde van toestand 4 moeten worden vastgesteld. Uitgaande van een stoomtemperatuur van 525 'C is de toelaatbare keteldruk voor installaties zonder heroververhitting ca. 95 bar. Hierbij is het watergehalte van de stoom na de expansie ca. 13 %. Bij hogere drukken moet heroververhitting worden toegepast. In Europa zijn dan de meest gebruikte stoomcondities 140.. .200 bar en 525 'C met een heroververhitting eveneens tot 525 'C. De theoretische winst is in de praktijk niet bereikbaar ten gevolge van druk- en stralingsverliezen in de heroverver-

Fig. 10.9

!l

3

herovo /-1.d:turbine

L -

h.d-turbine-\

P-

"''""'-e

p4 - k e t e l

- -

Fig. 10.10

hitterleidingen en omdat de kringloop eenvoudiger werd voorgesteld dan ze in werkelijkheid wordt uitgevoerd, zoals in de volgende paragraaf zal worden aangetoond. Bij zeer hoge keteldrukken is, zelfs met de werkwijze van fig. 10.9, het vochtgehalte in de eindtoestand te groot. Men moet dan overgaan op meervoudige heroververhitting. In fig. 10.11 is voor een keteldruk die boven de kritische druk ligt, het kringproces met een heroververhitting in twee trappen getekend. In deze figuur gaat bij de verdampingstemperatuur T, (= T,,) alle vloeistof direct over in verzadigde stoom (r = 0) die vervolgens van 3 + 4 wordt oververhit. In dit geval is een tweevoudige heroververhitting nodig om de gewenste eindtoestand (9) te bereiken. De toepassing van zeer hoge keteldrukken, gepaard gaande met meervoudige heroververhitting komt alleen voor bij installaties die zeer grote vermogens moeten leveren. Slechts dan zijn de extra investeringen in leidingen, meet- en regelapparatuur enz. economisch verantwoord. In Nederland worden dergelijke hoge drukken niet toegepast. De arbeid die aan de ketelvoedingspomp moet worden toegevoerd, is bij deze hoge drukken ook niet meer te verwaarlozen.

s

Fig. 10.11

10.4 Voedingswatervoorwarming

Het thermisch rendement van een Rankine-proces is lager dan van het vergelijkbare Carnot-proces, vanwege de lagere gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer. Dit gemiddelde kan worden verhoogd door de temperatuur waarmee het water aan de ketel wordt toegevoerd, op te voeren. De hiervoor benodigde warmte moet dan wel aan het proces zelf worden onttrokken en niet van buiten de systeemgrenzen worden toegevoerd (een vergelijkbare situatie als bij het Stirlingproces van pag. 79). We kunnen dit realiseren door het voedingswater vóór de ketel door een warmtewisselaar te voeren (fig. 10.12). Hierin wordt water van toestand 6 (fig. 10.13) gemengd met stoom van toestand 3 die aan de turbine wordt onttrokken. Is de hoeveelheid afgetapte stoom voldoende groot, dan kan de temperatuur van het mengsel tot T7 worden opgevoerd, zijnde de condensatietemperatuur van de aftapstoom. Dit water wordt vervolgens met een pomp weer in de ketel gebracht. Het thermisch rendement is nu toegenomen, omdat het water met een hogere temperatuur aan de ketel wordt toegevoerd, zodat % > %. Het specifieke stoomverbruik is echter ook toegenomen, omdat de stoom die aan de turbine wordt onttrokken slechts van 2 + 3 expandeert en niet van 2 + 4. Daardoor moet er voor een bepaalde arbeidslevering meer stoom aan de turbine worden toegevoerd. Het T-s-diagram van fig. 10.13 is eigenlijk een combinatie van twee kringprocessen met verschillende massastromen. Schrijven we voor de stoomproduktie van de ketel m en voor de afgetapte stoomhoeveelheid m,, dan wordt het kringproces 1-2-4-6 doorlopen door de hoeveelheid (m - m,), terwijl m, alleen deelneemt aan de kringloop 1-2-3-7. Voor de toe- en afgevoerde hoeveelheid warmte geldt dus:

Lwarrntewissetaar

Fig. 10.12 Fig. 10.13

De hoeveelheid stoom die moet worden afgetapt om de ketelwatertemperatuur tot T7 op te voeren, kan worden berekend uit een warmtebalans over de voorwarmer:

mlh3 + ( m - m,) h(, = m h7

Door het aftappunt 3 steeds te verleggen en telkens het thermisch rendement van de bijbehorende kringloop te berekenen, kan de meest gunstige plaats van het aftappunt worden bepaald. Het blijkt dan dat dit rendement maximaal is als de temperatuur T, van de afgetapte stoom ongeveer de helft is van (T, + Te}. Hoe meer van deze waarde wordt afgeweken, hoe kleiner de rendementsverbetering is, terwijl aftappen in 2 of 4 helemaal geen verbetering oplevert t.o.v. het Rankine-proces. Met aftapstoom van toestand 2 kan men wel de hoogste voedingswatertemperatuur (T,) bereiken, maar of de temperatuurstijging (T, - T.) nu gerealiseerd wordt in de ketel zelf of indirect via door de ketel geproduceerde stoom, maakt voor het thermisch rendement geen verschil. Aftappen in 4 is ook zinloos, omdat deze stoom niet in staat is het voedingswater in temperatuur te verhogen. Als op de juiste plaats stoom aan de turbine wordt onttrokken, neemt het thermisch rendement wel toe t.o.v. een Rankine-proces zonder voedingswatervoorwarming, maar het rendement is zeker niet gelijk aan dat van een Carnot-proces met dezelfde temperatuurgrenzen. Daarvoor is nodig dat het voedingswater wordt voorverwarmd tot de verdampingstemperatuur T, in plaats van tot TT Bovendien moet de warmte-overdracht omkeerbaar verlopen en ook dat is hier niet het geval. Om omkeerbaarheid te realiseren moet het temperatuurverschil bij de warmte-overdracht oneindig klein zijn. De turbine zou dan van oneindig veel aftappunten moeten worden voorzien en er zouden ook oneindig veel warmtewisselaars nodig zijn (fig. 10.14). Uiteraard is dit niet uitvoerbaar. Het aantal voorwarmers wordt bepaald op economische gronden en is zelden groter dan vijf.

In het voorgaande werd verondersteld dat het voedingswater en de aftapstoom met elkaar worden gemengd. Aan mengvoorwarmers zijn echter verschillende nadelen

Fig. 10.14

210

Fig. 10.15

verbonden, zodat algemeen warmtewisselaars voorzien van pijpenbundels worden toegepast. De stoom die om de pijpen stroomt en gescheiden is van het water, wordt na condensatie naar de stoomruimte van een voorgaande voorwarmer gevoerd (zoals bij voorwarmer 11 in fig. 10.16) of wordt, met behulp van een pomp, in de voedingswaterleiding ná de desbetreffende voorwarmer geperst. Hoewel de laatstgenoemde methode, warmtetechnisch gezien, beter is omdat dan waterhoeveelheden van vrijwel gelijke temperatuur met elkaar worden gemengd, is een extra pomp nodig. Deze functioneert onder moeilijke omstandigheden omdat betrekkelijk kleine waterhoeveelheden op druk moeten worden gebracht. Vóór de ketelvoedingspomp wordt wel een mengvoorwarmer geplaatst. Deze dient als buffer, zodat sterke fluctuaties in de stoomproduktie van de ketel geen problemen opleveren met de watertoevoer aan de ketel. Deze voorwarmer fungeert tevens als ontgasser. Lucht en koolzuur die verantwoordelijk zijn voor corrosie in de ketel en condensaatleidingen, worden naar buiten afgevoerd. Dit verloopt 'automatisch', omdat de druk in deze voorwarmer iets boven de atmosferische druk ligt (ca. 0,l.. .0,4 bar), zodat de vrijkomende gassen door een open verbindingspijp met de buitenlucht vanzelf worden verwijderd. De voorwarmers die vóór de mengvoorwarmer zijn gelegen, noemt men lagedruk- voorwarmers, de voorwarmers die erna zijn geplaatst (dus achter de ketelvoedingspomp) zijn dan de hogedrukvoorwarmers. De ontgasser zelf is dan de z.g. middeldruk- voorwarmer.

Stoominstallaties voor groot vermogen werken altijd met oververhitte stoom, zoals getekend in fig. 10.15. Hierbij is weer uitgegaan van een eenvoudige uitvoering waarin het voedingswater in één trap wordt verwarmd, in dit geval tot Tg. Wanneer de aftapstoom oververhit is, zal worden aangenomen dat het voedingswater slechts kan worden opgewarmd tot de condensatietemperatuur behorende bij de aftapdruk. In fig. 10.15 kan dus met aftapstoom van toestand 4 het water tot T8 = Tg worden voorverwarmd. De in de ketel toe te voeren warmte per kg geproduceerde stoom bedraagt:

Als de in 4 afgetapte hoeveelheid stoom m, bedraagt en de stoomproduktie van de ketel m, dan is de arbeid die bij een isentrope expansie wordt geleverd:

Volgens het gestelde op pag. 210 zou, als één voorwarmer wordt opgesteld, het thermisch rendement een optimum vertonen voor Tg = \ (T , + T^). Het kringproces is echter niet gelijk aan dat van fig. 10.13, terwijl ook andere factoren een rol spelen bij het bepalen van de gunstigste eindtemperatuur van het voedingswater. Deze temperatuur zal daarom bij vraagstukken worden opgegeven. Wordt meer dan één voorwarmer opgesteld, dan moet worden berekend hoe de totale

temperatuurstijging van het water moet worden verdeeld om een zo hoog mogelijk thermisch rendement te verkrijgen. Met enige benadering geldt dat een optimale situatie optreedt als de temperatuurstijging per voorwarmer gelijk wordt genomen. Dus bij een temperatuurverhoging van 50 'C tot 170 'C in drie voorwarmers stijgt de temperatuur in elke voorwarmer 40 'C. De aftapdrukken moeten dan zo gekozen worden dat de bijbehorende condensatietempe- raturen resp. 170 'C, 130 OC en 90 'C bedragen. Het aantal voorwarmers varieert van twee of drie voor installaties met matige stoomdrukken (b.v. 40 bar) tot zes à acht voor grote landinstallaties, werkend met zeer hoge stoomdrukken. Daar elke volgende voorwarmer minder tot een verdere rendementsverbetering bij- draagt, is een groot aantal voorwarmers slechts bij installaties van groot vermogen economisch verantwoord. Berekening van het kringproces kan, en dit geldt trouwens ook voor de vorige toepassing, het beste geschieden met behulp van het h-s-diagram. De enthalpie van water kan hierin echter niet worden afgelezen, zodat deze aan de stoomtabellen moet worden ontleend.

toepassing 10.1

Bereken het thermisch rendement en het specifiek stoomverbruik van een turbine- installatie, werkend volgens het Rankine-proces met oververhitting, isentrope expansie en voedingswatervoorwarming. De stoomcondities na de ketel zijn 40 bar, 450°C; de condensordruk bedraagt 0,l bar. Het voedingswater wordt in twee voorwarmers van 45,8 'C tot 167,8 OC verwarmd. Alleen de eerste voorwarmer is een mengvoorwarmer. Er wordt aangenomen dat de watertemperatuur na elke

voorwarmer gelijk is aan de condensatietemperatuur behorende bij de druk van de afgetapte stoom. Bereken de stoomhoeveelheden die aan de turbine moeten worden onttrokken en het door de turbine ontwikkelde vermogen als per seconde 50 kg stoom door de ketel wordt geleverd. Teken het proces in een T-s-diagram en geef een schema van de installatie. De pomparbeid wordt verwaarloosd.

oplossing

In fig. 10.16 is het schema van de installatie weergegeven, in fig. 10.17 het bijbehorende T-s-diagram. De temperatuurstijging per voorwarmer bedraagt:

Derhalve verloopt de temperatuur: in voorwarmer I van 45.8 'C -r 106,8 "C; in voorwarmer 11 van 106,8 'C -r 167.8 "C. De condensatietemperatuur van de afgetapte stoom moet dus 106.8OC resp. 167,8OC zijn. De hiermee overeenkomende aftapdrukken (1,3 bar en 7,5 bar) kunnen uit het h-s-diagram worden afgelezen. Door de snijpunten te bepalen van deze isobaren met de expansielijn 3-6 (fig. 10.17 en fig. 10.18) vinden we de punten 4 en 5, zijnde de toestanden van de afgetapte stoom. Uit het h-s-diagram lezen we nu af dat:

0,1 b a r

Fig. 10.17 Fig. 10.18

Uit de stoomtabel volgt dat h, = 191,8 kJ1kg. Om de aftaphoeveelheden te berekenen, wordt voor elke voorwarmer een warmtebalans opgesteld, beginnend met de hogedrukvoorwarmer. Dit levert, aannemende dat door de ketel een massastroom m wordt geproduceerd, de volgende betrekking:

We veronderstellen dat de enthalpie van water onafhankelijk is van de druk. In dat geval kunnen h, en ha bepaald worden uit tabel 11 (interpoleren). We vinden dan: h, = 447,8 kJ1kg en hg = 709,5 kJ1kg. Vervolgens kan m, uit vergelijking (a) worden berekend. Dit levert:

Ten behoeve van de H.D.-voorwarmer wordt dus per seconde 6,O kg stoom aan de turbine onttrokken. Voor de mengvoorwarmer geldt:

Met ml = 0,12 m kan deze uitdrukking worden omgewerkt tot:

De voor de mengvoorwarmer afgetapte hoeveelheid stoom is dus 4,1 kgls. De totaal geleverde arbeid per tijdseenheid is nu:

P = m (h3 - h4) + (m -&,)(h4- h.,) + (m - m , -&)(h,, - h^

Het aan de as geleverde vermogen bedraagt dus 50,9 MW.

In de ketel wordt door het water per tijdseenheid aan warmte opgenomen:

Afgezien van de warmteverliezen in de ketel is het thermisch rendement van de installatie:

50 kgIMJ. Het specifiek stoomverbruik S.S.V. = - 50,9

opmerking

Verloopt de expansie niet-omkeerbaar adiabatisch, dan wordt dezelfde werkwijze gevolgd. Het enige verschil bestaat hierin dat nu het snijpunt bepaald moet worden van de isobarenp = 7,5 bar enp = 1,3 bar met de werkelijke expansiekromme, die in fig. 10.18 als een onderbroken rechte lijn is getekend. De desbetreffende punten zijn van een accent voorzien.

10.5 Vraagstukken


l a Bereken voor een Carnot-proces volgens fig. 10.2 werkend met stoom als arbeidsmedium, de toegevoerde en de afgevoerde hoeveelheid warmte (in kJIkg), de nuttige arbeid (in kJIkg), het thermisch rendement en het specifiek stoomverbruik (in kgIMJ). Voer de berekening uit voor een keteldruk van 120 bar en een condensordruk van 0,04 bar. Gegevens: zie stoomtabellen.

b Bereken het bovenstaande opnieuw als de expansie en compressie niet-omkeerbaar adiabatisch verlopen met een isentroop rendement van 0,9 voor de expansiemachine en 0,85 voor de compressor. Vergelijk de uitkomsten met die van onderdeel a.

2 a Bereken voor een Rankine-proces 1-2-3-4-5 volgens fig. 10.3 met stoom als arbeidsmedium de toe- en afgevoerde hoeveelheid warmte (in kJIkg), de nuttig geleverde arbeid (in kJIkg), het thermisch rendement en het specifiek stoomverbruik (in kgIMJ) als de pomparbeid niet mag worden verwaarloosd. De condensordruk is 0,05 bar en de keteldruk is 120 bar.

b Bereken het bovenstaande nogmaals als het isentroop rendement van de expansiemachine 85 % bedraagt en ook de pomp niet-omkeerbaar werkt met een isentroop rendement van 70 %. Vergelijk de uitkomsten van a en b.

3 Een stoominstallatie volgens fig. 10.5 werkt met een stoomdruk van 100 bar en een stoomtemperatuur van 500 'C. De condensordruk bedraagt 0,05 bar.

Bereken: a de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer van het proces 6-1-2, van het

proces 2-3 en van het proces 6-1-2-3; b het thermisch rendement van het kringproces 1-2-5-6 en van het kringproces

1-2-3-4-6; c het percentage van de totaal toegevoerde warmte dat in de oververhitter wordt

overgedragen; d het percentage waarmee de warmte-afvoer toeneemt als de expansie niet-

omkeerbaar adiabatisch verloopt met een isentroop rendement van 90 %.

Hoe groot is nu het thermisch rendement? Gegeven zijn de stoomtabellen achterin het boek.

4 Bereken voor een Rankine-proces met oververhitting en een niet-omkeerbare expansie van het arbeidsmedium (stoom) het isentrope rendement van de turbine, het thermisch rendement en de warmte-afvoer per massa-eenheid als het volgende gegeven is: Stoomtemperatuur en -druk na de ketel 100 bar en 520°C, enthalpie van de stoom na de expansie 2 325 kJ/kg condensordruk 0,05 bar. Bereken het thermisch rendement nogmaals als de arbeid voor de ketelvoedingspomp wél in rekening wordt gebracht. Gegevens te ontlenen aan de stoomtabel.

5 a Bereken met behulp van het h-s-diagram het thermisch rendement van een turbine-installatie volgens fig. 10.5, alsmede het vochtgehalte na expansie. De stoomdruk bedraagt 100 bar, de stoomtemperatuur 500°C, de condensordruk 0,05 bar. De arbeid voor de ketelvoedingspomp wordt verwaarloosd.

b Als de stoom na expansie tot 14 bar opnieuw tot 500 'C wordt verhit, bepaal dan het vochtgehalte na expansie, het thermisch rendement en de toename van de geleverde arbeid in procenten. Bereken in beide gevallen het thermisch rendement eveneens met behulp van de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer en -afvoer.

Bij 0,05 bar is t = 32,9OC, hã, = 137,8 kJ/kg en s", = 0,4763 kJ/(kg K).

6 Een ketel levert stoom van 300 bar en 600°C (toestand 1). Deze stoom expandeert isentroop tot 100 bar (toestand 2) waarna weer warmte wordt toegevoerd tot de temperatuur 600°C is geworden (toestand 3). Vervolgens wordt de stoom, na een isentrope expansie tot 15 bar (toestand 4) opnieuw oververhit, nu tot 550°C (toestand 5). Ten slotte expandeert de stoom wederom isentroop tot 0,05 bar (toestand 6). Na condensatie (toestand 7) wordt het water, met de bij deze druk behorende condensatietemperatuur, weer naar de ketel gepompt. Bepaal, met behulp van de stoomtabellen, het h-s-diagram en de ondervermelde gegevens: a de druk, de temperatuur en de enthalpie in elk van de genoemde toestanden; b de totaal toe te voeren warmte (in kJ/kg);

c het percentage hiervan dat aan het medium in de gasfase moet worden toegevoerd;

d het thermisch rendement dat met deze installatie theoretisch behaald kan worden.

De arbeid voor de ketelvoedingspomp wordt verwaarloosd. Bij 300 bar en 370 'C is h = 1749,O kJ/kg. Bij 300 bar en 380°C is h = 1837,7 kJ/kg.

7 In een Rankine-proces 1-2-3-4-5 volgens fig. 10.3 wordt het ketelvoedingswater in één mengvoorwarmer verhit tot de verdampingstemperatuur T, met behulp van stoom die aan de turbine wordt onttrokken. De keteldruk bedraagt 80 bar en de condensordruk 0,05 bar. De pomparbeid mag niet worden verwaarloosd. Bereken de toe- en afgevoerde hoeveelheid warmte en de nuttig geleverde arbeid per kg stoom die de ketel produceert alsmede het thermisch rendement. Wat kunt u opmerken over het thermisch rendement van dit kringproces zonder voedingswatervoorwarming? Gegeven zijn de stoomtabellen achterin het boek.

8 In een Rankine-proces werkend met verzadigde stoom van 40 bar en een condensordruk van 0,1 bar wordt het voedingswater in één mengvoorwarmer verhit tot 158,S°C met behulp van stoom die aan de turbine wordt onttrokken. Bepaal het thermisch rendement en het specifieke stoomverbruik van dit kringproces als de stoomtabellen gegeven zijn. De arbeid voor de ketelvoedingspomp wordt verwaarloosd. Hoe groot zijn het thermisch rendement en het specifieke stoomverbruik als het voedingswater niet zou worden voorverwarmd?

9 In een stoominstallatie met herverhitting is de keteldruk 200 bar en de stoomtemperatuur 600 OC. Aan het einde van de expansie in de hogedrukturbine is de druk 15 bar. Een deel van deze stoom wordt dan onttrokken voor de verwarming van het voedingswater in een mengvoorwarmer. De resterende stoom wordt bij constante druk opnieuw verwarmd, nu tot 500 'C, waarna de stoom expandeert tot 0,04 bar. Als de gehele expansie isentroop verloopt, bereken dan de stoomproduktie van de ketel (in tlh) als de turbine een vermogen levert van 150 MW. Gegeven zijn de stoomtabellen en het h-s-diagram.

10 Stoom van 60 bar en 475 OC expandeert adiabatisch in een turbine met een isentroop rendement van 82 % tot 0,08 bar. Het geleverde vermogen bedraagt 75 MW. In één voorwarmer waarin stoom en water door pijpwanden zijn gescheiden, wordt het voedingswater tot 195OC opgewarmd met stoom die tijdens de expansie aan de turbine wordt onttrokken. De eindtemperatuur van het water is gelijk aan de condensatietemperatuur behorende bij de aftapdruk. Het condensaat van de aftapstoom wordt met een pomp weer aan het voedingswater achter de voorwarmer toegevoerd. Bepaal m.b.v. de stoomtabellen en het h-s-diagram:

a het percentage stoom dat aan de turbine wordt onttrokken ten behoeve van de voorwarming van het voedingswater;

b de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer met en zonder voedingswatervoorwarming;

c het thermisch rendement van deze installatie; d de stoomproduktie van de ketel in tlh. De pomparbeid mag buiten beschouwing worden gelaten.

11 In een stoominstallatie die met herverhitting werkt, is de condensordruk 0,04 bar en de keteldruk 300 bar. Het isentroop rendement van de ketelvoedingspomp is 0,7. De door de stoom geleverde arbeid bedraagt totaal 1500 kJ/kg. Bereken de pomparbeid als percentage van de door de stoom geleverde arbeid, alsmede de temperatuur van het voedingswater na de pomp. De intreetemperatuur in de pomp is gelijk aan de condensatietemperatuur behorende bij 0,04 bar. Hoe groot is de pomparbeid als de vloeistof als onsamendrukbaar wordt beschouwd? Welke conclusies kunnen uit de berekeningen worden getrokken? Gegeven:

Bij 0,04 bar is t, = 28,98 'C, h", = h, = 121,41 kJ1kg en s", = s* = 0,422 5 kJ/(kg K). Voor water van 300 bar geldt:

bij 20°C is h = 111,7 kJ/kg en s = 0,289 5 kJ/(kg K); bij 30 OC is h = 152,7 kJ1kg en s = 0,427 1 kJ/(kg K); bij 40 'C is h = 193,8 kJ/kg en s = 0,560 4 kJ/(kg . K).

12 In een turbine met een isentroop rendement van 85 % en een mechanisch rendement van 97 % expandeert stoom van 90 bar en 500 'C tot 0,05 bar. Het condensaat uit de condensor wordt door twee warmtewisselaars naar de ketel teruggepompt. In elke warmtewisselaar stijgt de temperatuur van het voedingswater 7S°C. Het verwarmingsmedium is aftapstoom van de turbine. Het condensaat hiervan wordt met de verzadigingstemperatuur naar de voorgaande voorwarmer teruggevoerd. Het condensaat van de eerste voorwarmer stroomt terug naar de condensor. De condensatietemperatuur van de aftapstoom is 10 OC hoger dan de temperatuur van het ketelvoedingswater bij het verlaten van de desbetreffende voorwarmer. Het effectieve vermogen dat de turbine ontwikkelt is 150 MW. De ketel heeft een rendement van 90 %; de brandstof hiervoor is olie met een stookwaarde van 40 MJIkg. De soortelijke warmte van water wordt gesteld op 4,2 kJ/(kg - K). Bepaal met behulp van het h-s-diagram en de stoomtabellen: a de stoomproduktie van de ketel in tlh; b de hoeveelheden aftapstoom in tlh; c het olieverbruik van de ketel in tlh; d het thermisch rendement van de installatie; e de stoomproduktie van de ketel en het thermisch rendement van de installatie

als het voedingswater niet zou worden voorverwarmd.

13 Een ketel levert per uur 120 ton stoom van 100 bar en 500°C die door een hogedruk(H.D.)-turbine wordt geleid. Hieruit ontwijkt de stoom met een druk van 15 bar en een temperatuur van 250 'C. In de ketel wordt deze stoom opnieuw verhit tot 450°C en vervolgens naar een lagedruk(L.D.)-turbine gevoerd, waarvan het isentroop rendement 85 % bedraagt. In de condensor achter de L.D.-turbine heerst een druk van 0,05 bar. Het condensaat wordt de ketel ingepompt via drie voorwarmers waaraan stoom wordt toegevoerd die aan de turbine wordt onttrokken; een L.D.-voorwarmer die het water tot 70 'C verwarmt (hoeveelheid aftapstoom m,), een middeldruk(M.D.)-voorwarmer die het verder verwarmt tot 110 OC (aftaphoeveelheid h , ) en een H.D.-voorwarmer die het water een eindtemperatuur van 160 'C geeft (aftaphoeveelheid &). Het condensaat van de aftapstoom van de L.D.-voorwarmer wordt naar de condensor geleid; dat van de H.D.-voorwarmer naar de M.D.-voorwarmer. De laatstgenoemde is een mengvoorwarmer. Aangenomen wordt dat de afgetapte stoom het water slechts kan verwarmen tot de verzadigingstemperatuur behorende bij de aftapdruk, terwijl het condensaat van L.D.- en H.D.-voorwarmers ook met de condensatietemperatuur wordt afgevoerd. Gegeven zijn het h-s-diagram en voor zover nodig, de stoomtabellen. Gevraagd: a het isentrope rendement van de H.D.-turbine; b druk en temperatuur van de stoom in elk aftappunt en de per tijdseenheid . .

afgetapte hoeveelheden m,, m, en m,; c het geleverde vermogen en het percentage hiervan dat door de H.D.-turbine

wordt geleverd; d het thermisch rendement van de installatie als het ketelrendement 88 % be-

draagt.

Hoofdstuk 11

11 .l Inleiding

Het schema van een gasturbine-installatie is in fig. 11.1 weergegeven. Door een snel roterende compressor C wordt lucht aangezogen en op de gewenste einddruk (doorgaans 6.. . l0 bar) gebracht. Deze lucht stroomt vervolgens naar de verbrandingskamer V waaraan een vloeibare of gasvormige brandstof wordt toegevoerd. Door verbranding hiervan wordt de temperatuur van het gas verhoogd bij vrijwel gelijkblijvende druk. De uittredende gasstroom met een temperatuur van 600 à 1 300 'C expandeert ten slotte in een turbine T tot de omgevingsdruk, waarna de verbrandingsgassen naar de omgeving worden afgevoerd. Een deel van de expansie-arbeid is nodig voor het aandrijven van de compressor waarmee de turbine mechanisch gekoppeld is. De overgebleven arbeid staat dan ter beschikking voor de aandrijving van een scheepsschroef, een generator, een pomp enz. Om het proces op gang te brengen, is een startmotor S opgesteld. In de schets worden de hete gassen naar de omgeving afgevoerd en wordt nieuwe omgevingslucht aangezogen. Men spreekt dan van een open kringproces. Het is echter ook mogelijk om steeds hetzelfde arbeidsmedium te gebruiken. De gasstroom uit de turbine wordt dan niet afgevoerd, maar opnieuw door de compressor aangezogen. Vóór de compressor wordt een koeler geplaatst om het gas weer op de begintemperatuur te brengen. We noemen dit een gesloten systeem, een werkwijze die slechts bij uit- zondering wordt toegepast. Het proces in een gasturbine-installatie is in principe gelijk aan dat in een verbrandingsmotor namelijk compressie, verbranding en expansie. Bij een verbrandingsmotor

Fig. 11.1

speelt het gehele proces zich echter af in de motorcilinder terwijl bij de gasturbine- installatie de delen waarin de verschillende processen plaatsvinden, gescheiden zijn. De gasturbine-installatie is een stromingsmachine met een massastroom die aanzienlijk groter is dan bij een verbrandingsmotor. In de verbrandingsmotor zijn echter de maximale druk en temperatuur die in het proces voorkomen, veel hoger. De hoge gastemperatuur geeft geen problemen, omdat, door het intermitterend karakter van het proces, deze hoge temperatuur slechts kortstondig optreedt en de motorcilinder bovendien wordt gekoeld. Bij een gasturbine staat de eerste schoepenrij continu in contact met de hete gassen zodat de maximaal toelaatbare temperatuur veel lager is dan bij de verbrandingsmotor. Uiteraard kan door schoepkoeling hierin verbetering worden gebracht. Het verschil met een stoominstallatie bestaat hierin dat het arbeidsmedium voortdurend in de gasfase verkeert. Daardoor zijn er geen erosieproblemen in de turbine en behoeft een hoge gastemperatuur niet in te houden dat ook de gasdruk hoog is. De toegepaste gasdrukken komen dan ook zelden boven de 10.. .20 bar, hetgeen aanzienlijk lager is dan bij de meeste stoominstallaties. Deze lage druk leidt tot lichte constructies. Bovendien ontbreekt een condensor en is de ketel vervangen door één of meer kleine verbrandingskamers. Naast deze voordelen zijn er ook duidelijk nadelen. Eén hiervan is dat in vergelijking met een stoominstallatie een gas gecomprimeerd moet worden en niet een vloeistof. Het op druk brengen van een vloeistof vraagt zeer weinig arbeid, terwijl in een gasturbine-installatie een groot deel van de arbeid die de turbine levert, nodig is om de compressor aan te drijven (40.. .60 x). In een installatie met een nuttige arbeid van 10 MW zal een turbine moeten worden geïnstalleerd met een vermogen van ca. 25 MW. De principes van de installatie zijn reeds lang bekend, maar o.a. door de lage isentrope rendementen van compressor en turbine, heeft dit krachtwerktuig lange tijd geen praktische betekenis gehad. Men is pas na 1940 tot bruikbare uitvoeringen gekomen, o.a. als gevolg van de grotere kennis van de aerodynamica waardoor de schoepvormen konden worden verbeterd. Ook de ontwikkelingen in de metallurgie, waardoor hittebe- stendige materialen op de markt kwamen en de gastemperatuur bij de inlaat van de turbine kon worden verhoogd, heeft hiertoe bijgedragen. De voordelen van dit krachtwerktuig liggen voornamelijk in de kleine afmetingen voor een gegeven vermogen, het geringe gewicht, de gemakkelijke automatisering, de snelle startmogelijkheden en in het feit dat geen of slechts weinig koelwater nodig is. Het thermisch rendement is echter beperkt, met name voor de meer eenvoudige installaties, en aan de brandstof worden bepaalde eisen gesteld die financiële consequenties hebben. Toepassingen zijn te vinden in de voortstuwing van vliegtuigen en schepen, voor de aandrijving van grote pompen en compressoren (olie- en aardgastransport), voor de aandrijving van noodgeneratoren en in elektrische centrales voor het opvangen van de piekbelasting. De ontwikkelingen zijn nog in volle gang, zodat het belang van deze installaties in de komende periode nog zal toenemen.

11.2 Het kringproces van Brayton

Om een gasturbine-installatie te beoordelen, wordt gebruik gemaakt van het standaard-kringproces van Brayton, bestaande uit twee isentropen verbonden door twee isobaren (fig. 11.2). Dit komt overeen met het kringproces van Joule van pag. 80; alleen worden geen zuigerwerktuigen toegepast maar stromingsmachines. Het arbeidsmedium is lucht dat als een ideaal gas wordt beschouwd. Het proces verloopt als volgt: l Lucht (p,, T,) wordt aangezogen en in een compressor C isentroop gecomprimeerd

tot P 2 7 T.. 2 Daarna wordt in een verbrandingskamer V bij constante druk warmte toegevoerd

door inwendige verbranding. De temperatuur neemt daarbij toe van T2 tot T3. De druk in de verbrandingskamer blijft vrijwel constant omdat deze in open verbinding staat met compressor en turbine (geen kleppen).

3 In een turbine expandeert het gas vervolgens isentroop tot de druk van de omgeving (p,). De eindtemperatuur van het gas is T^.

4 Ten slotte worden de verbrandingsgassen naar buiten afgevoerd en wordt opnieuw atmosferische lucht aangezogen.

Zoals bij kringprocessen reeds is opgemerkt, maakt het geen verschil of gassen van toestand 4 worden afgevoerd en nieuwe lucht van toestand l wordt aangezogen of dat men zich voorstelt dat de gassen van 4 Ñ>¥ l bij constante druk worden afgekoeld. In beide gevallen gaat dezelfde hoeveelheid warmte verloren. Met de laatstgenoemde beschouwingswijze komt men tot het gesloten kringproces van fig. 11.2. Omdat de hoogste temperatuur T3 beperkt is, moet bij de verbranding een zeer grote luchtovermaat worden toegepast. Gewoonlijk is de toegevoerde massa lucht 50 à 60 maal zo groot als die van de toegevoerde brandstof. In een deel van deze lucht (ca. 20 %) wordt brandstof ingespoten. Het resterende deel stroomt om de verbrandingskamer heen, zorgt voor koeling hiervan en mengt zich daarna met de verbrandingsgassen tot de gewenste eindtemperatuur Ty

Fig. 11.2 Fig. 11.3

Bij de berekening van het kringproces worden weer de gebruikelijke vereenvoudigingen ingevoerd, waardoor aan de berekeningsresultaten geen absolute betekenis mag worden toegekend. Er zijn wel nuttige conclusies uit te trekken, maar als een installatie ook werkelijk moet worden uitgevoerd, zal een gedetailleerde analyse gemaakt moeten worden en zijn de eerder genoemde vereenvoudigingen van het proces uiteraard niet toegestaan.

Voor de bepaling van het thermisch rendement kan de afleiding van pag. 81 worden gevolgd zodat:

Voor een gegeven k-waarde is het thermisch rendement alleen afhankelijk van de drukverhouding e. Vergroting van de drukverhouding tot pv/p, levert: l het kringproces 1-2'-3'-4 als we de breedte van het diagram (fig. 11.2) gelijk houden;

de maximumtemperatuur van het proces neemt toe (van T, tot T3,) evenals het thermisch rendement en de nuttig geleverde arbeid.

2 het kringproces 1-2'-3"-4" als de temperatuur T3 niet mag worden overschreden. Ook nu stijgt het thermisch rendement, maar de nuttige arbeid verandert. Uitgaande van e = l neemt - bij toename van E - de nuttige arbeid eerst toe tot een maximum om daarna weer af te nemen. E.e.a. kan in fig. 11.2 gemakkelijk worden geverifieerd.

De maximumwaarde die e bij een gegeven T3 kan verkrijgen, treedt op als de temperatuur T-, na compressie gelijk is aan T,. Uit de algemene betrekking:

k

volgt dat: tmax = (+)E P1

Substitutie hiervan in (11.1) levert:

Het thermisch rendement is gelijk aan dat van een Carnot-proces omdat de gehele warmtetoevoer q, plaatsvindt bij de hoogste temperatuur die in het proces voorkomt en alle warmte wordt afgevoerd bij de laagste temperatuur. Uit fig. 11.3 blijkt dat de nuttige arbeid van het kringproces tot nul nadert als e -> .zmax. Deze e-waarde heeft dus geen praktische betekenis. Het andere uiterste ontstaat als de drukverhouding e ~r l , zodat de gehele temperatuurstijging het gevolg is van warmtetoevoer. Niet alleen de nuttig geleverde arbeid nadert dan tot nul, maar ook het thermisch rendement.

De nuttige arbeid, uitgezet tegen e, levert dus een kromme op die twee nulpunten bezit en wel voor e = l en voor e = erna. Tussen deze beide e-waarden vertoont deze kromme een maximum.

1 1.3 Optimale drukverhouding

Tussen e = l en e = erna bestaat een drukverhouding waarvoor de arbeidsoppervlakte 1-2-3-4 in fig. 11.3 maximaal is. Deze optimale waarde van e kan als volgt worden bepaald:

Nu geldt dat:

zodat:

Bij gegeven Tl en T3 kan het maximum van deze functie worden gevonden door wt naar T2 te differentiëren en het differentiaalquotiënt nul te stellen:

Uitwerking levert:

Algemeen geldt: 1 2 - -3 Tl T4

Uit (a) en (b) volgt dat T. = T4. De temperatuur na compressie is dan gelijk aan de temperatuur na expansie. De optimale e-waarde kan nu gevonden worden door in

k

e = (2)' voor T, = i / r , in te vullen.

Dit levert:

Voor deze waarde van e zijn de afmetingen van de installatie minimaal. De gevonden e P t ingevuld in (11.1) levert het thermisch rendement voor deze situatie:

toepassing 1 1 .l

a In het kringproces 1-2-3-4 van een gasturbine-installatie (fig. 11.4) is de hoogste temperatuur 1000 K en de laagste temperatuur 300 K. De drukverhouding e = 6. Bereken het vermogen PT dat de turbine levert, het vermogen Pc benodigd voor de compressor, het nuttig geleverde vermogen, de toe te voeren warmtestroom en het thermisch rendement van de installatie als

= 50 kgls, k = 1,4 en c,, = 1,O kJ/(kg + K). b Voer de berekening nogmaals uit als de isentrope rendementen van compressor

en turbine in rekening moeten worden gebracht (qc = 0,80 en n,-r = 0,85) en vergelijk de gevonden resultaten.

oplossing

a Om de gestelde vragen te kunnen beantwoorden, moeten alle temperaturen bekend zijn

k - l

= 300 x 1,67 K = 501,O K

k - l

OoO K = 598,8 K

Q2., = m c(T, - T,) = 50 x 1,O x ( l 000 - 501) kW = 24950 kW

ZW, 10 010 % h = - x 100% =-

24 950 x 100 % = @,l%

Qu

b In fig. 11.4 stelt 1-2'-3-4' het bedoelde niet-omkeerbare kringproces voor. De toestandsveranderingen in compressor en turbine verlopen niet-omkeerbaar, waardoor de arbeidstoevoer aan de compressor groter is dan bij omkeerbaar procesvoering en de arbeidslevering van de turbine juist minder groot. Hoeveel meer en hoeveel minder arbeid is in het T-s-diagram door arcering aangegeven. Op de nuttige arbeid -het verschil van twee grote arbeidshoeveelheden - heeft dit een grote invloed. Brengen we de isentrope rendementen in rekening, dan verloopt de berekening van het kringproces als volgt:

L-, = cP(T, - T,,) = 50 x 1,O x ( l 000 - 551,3) kW = 22435 kW

Fig. 11.4

De voorgaande uitkomsten kunnen nu als volgt worden samengevat:

zonder verliezen -10 050 kW 20 060 kW 10 O I O kW 24 950 kW 40,1% met verliezen -12 565 kW 17 050 kW 4 485 kW 22 435 kW 20,O %

Om de compressor aan te drijven is theoretisch (10 O50/2O 000) x 100 % = 50 % van de turbine-arbeid nodig. In het niet-omkeerbare kringproces is dit percentage bijna 75. Het thermisch rendement wordt vrijwel gehalveerd. Door de grote invloed van de negatieve arbeid (compressor) op de nuttige arbeid is dit kringproces zeer gevoe- lig voor niet-omkeerbare verschijnselen, veel gevoeliger dan een stoominstallatie.

11.4 Middelen tot verbetering van het thermisch rendement

Verbetering van het kringproces kan men op de volgende manieren bereiken: Het verminderen van het warmteverlies in de afgevoerde gassen door het toepassen van een warmtewisselaar. Hierin wordt de lucht na de compressor verwarmd d.m.v. de hete gassen die uit de turbine stromen, zodat in de verbrandingskamer minder warmte behoeft te worden toegevoerd. Het verminderen van de voor de compressor benodigde arbeid. Dit kan men bereiken door de compressie in meer trappen uit te voeren en de lucht tussen de trappen te koelen. Het vergroten van de arbeid die de turbine levert. Zonder de toelaatbare maximale gastemperatuur te overschrijden kan dit worden bereikt door het toepassen van herverhitting. Hierbij worden de gassen, na gedeeltelijke expansie, opnieuw tot de begintemperatuur verwarmd. Het verhogen van de inlaattemperatuur. Bepalend voor de toelaatbare maximumtemperatuur zijn de toegepaste schoepmaterialen, de geëiste levensduur van de installatie en de aard van de brandstof. Het verminderen van de verliezen door o.a. het verbeteren van de schoepvorm van de compressor en de turbine, en het verlagen van de drukverliezen in aan- en afvoerleidingen.

11.4.1 Warmtewisselaar

In een eenvoudige gasturbine-installatie worden de hete uitlaatgassen van de turbine naar de omgeving afgevoerd zodat een zekere hoeveelheid warmte verloren gaat. Tegelijkertijd is warmte nodig om de lucht na de compressie te verhitten. Het ligt dus voor de hand na te gaan of voor de levering van deze warmte (of voor een deel daarvan) de hete uitlaatgassen kunnen worden gebruikt. Een noodzakelijke voorwaarde is echter dat de temperatuur T4 van deze gassen (fig. 11.5) groter is dan T2. Nu werd eerder berekend dat T, = T4 indien e voldoet aan (11.2). Aan de bovengenoemde voorwaarde dat T4 > T2 wordt dus voldaan als:

Voor deze gevallen is het mogelijk om, door het plaatsen van een warmtewisselaar volgens het schema van fig. 11.6, de temperatuur van de lucht na de compressor te verhogen met behulp van de uitlaatgassen van de turbine. Als aangenomen wordt dat de hoeveelheid uitlaatgassen en de soortelijke warmte hiervan gelijk zijn aan die van de toegevoerde lucht, dan is de temperatuurstijging van de lucht in de warmtewisselaar gelijk aan de temperatuurdaling van de uitlaatgassen. In een ideale tegenstroomwarmtewisselaar is het dan theoretisch mogelijk de luchttemperatuur in de warmtewisselaar op te voeren van T, tot T,, = T4. De temperatuurverandering van de uitlaatgassen is even groot zodat deze afkoelen van T4 tot T4, = T^. In de verbrandingskamer moet de temperatuur van de lucht dan verder worden verhoogd van T2, tot T,. Door deze werkwijze zal het thermisch rendement toenemen, omdat bij dezelfde nuttige arbeid de hoeveelheid warmte die vanuit de omgeving moet worden toegevoerd, kleiner is geworden. De berekening van het thermisch rendement verloopt als volgt:

Fig. 11.5 Fig. 11.6

= cP(T3 - T,,) = c/T3 - T4)

Voor het thermisch rendement kunnen we dan schrijven:

En\ - Vth = - -

(7-3 - T,) - (T2 - Tl) q1 7 3 - T4

Vth = l - T2 - Tl = l - T1 {(T2/Tl) - 1 ) T3 - T4 T3{1 - (TJT3)}

Hieruit blijkt dat niet alleen afhankelijk is van s maar ook van de begintemperatuur T, en de maximale gastemperatuur T3. Bij een gegeven Tl en T3 is %h maximaal als e minimaal is. Dit resultaat is juist het omgekeerde van wat bij de gasturbine-installatie zonder warmtewisselaar werd gevonden. De kleinste waarde van de drukverhouding is l . Uit (11.4) volgt dan dat

1 1 Vth = %hmait = 1 - -

T3

hetgeen weer gelijk is aan het thermisch rendement van een Carnot-proces. Deze uitkomst was te verwachten omdat alle warmte bij de hoogste temperatuur wordt toegevoerd en bij de laagste temperatuur wordt afgevoerd. Dit blijkt ook uit fig. 11.7, waarbij alleen gelet moet worden op de uitwendige warmte toe- en afvoer. De hoeveelheid warmte die in de warmtewisselaar wordt overgedragen blijft buiten beschouwing, omdat deze energie-overdracht zich binnen de systeemgrenzen van de installatie afspeelt.

Fig. 11.7

Naarmate E toeneemt, neemt het effect van de warmtewisselaar af. Is E = E ~ ~ ~ , dan is T2 = T4 en heeft opstelling van een warmtewisselaar geen enkele zin. Zou E > worden genomen, dan is T2 > T4 en werkt de warmtewisselaar averechts omdat de uitlaatgassen dan warmte onttrekken aan de lucht na de compressor.

In de praktijk zal T2, = T4 nooit worden bereikt. Daarvoor zou een oneindig groot verwarmend oppervlak (V.O.) nodig zijn. Welk V.O. verantwoord is, hangt o.a. af van het vermogen van de installatie. De temperatuur die het gas in de warmtewisselaar verkrijgt kan worden berekend uit het rendement van de warmtewisselaar (qw). Dit is de verhouding van de opgenomen warmte en de warmte die maximaal zou kunnen worden opgenomen. Is 5 de werkelijke eindtoestand van de lucht in het kringproces 1-2-3-4 van fig. 11.9, dan geldt dus dat:

Het rendement van de warmtewisselaar kan dus ook gedefinieerd worden als de werkelijke temperatuurtoename van de lucht gedeeld door de maximaal mogelijke temperatuurstijging. Voor het niet-omkeerbare kringproces l-2'-3-4' kan qw uit (11.5) worden berekend als hierin T2 door T2, en T4 door T4, wordt vervangen. De waarde van qw varieert van 50 % tot 85 Yo. De hoogste waarden gelden voor roterende warmtewisselaars (regeneratoren) voorzien van een poreus metaal. Deze kunnen zeer compact en licht worden gebouwd en zijn daardoor bijzonder geschikt voor tractiedoeleinden. Voor grotere vermogens worden warmtewisselaars toegepast die voorzien zijn van pijpen (recuperatoren). De warmte-transmissiecoëfficiënt is laag zodat, om een bepaalde temperatuurstijging van de lucht te bewerkstelligen, een groot V.O. nodig is. Dit heeft, naast een ongewenst drukverlies, een aanzienlijke ruimte- en gewichtstoename tot gevolg.

In fig. 11.8 is voor verschillende installaties het thermisch rendement uitgezet als functie van E. De kromme l geeft het rendementsverloop voor een installatie zonder regenerator met qi.c = qi,T = l00 %, berekend volgens (11.1). Mét een regenerator (qw = 100 Yo) verkrijgt men kromme 2 voor b.v. T3/Tl = 3 en voor een lagere waarde van dit quotiënt de daaronder gelegen (dun aangegeven) kromme 2'. De invloed van de warmtewisselaar is theoretisch dus het grootst bij een hoge waarde van de temperatuurverhouding T3/Tl en een lage drukverhouding. In de snijpunten van de krommen l en 2 zijn de rendementen van de installatie met en zonder regenerator gelijk. Zoals reeds eerder werd geconstateerd is dan de drukverhouding E = en is de temperatuur na compressie gelijk aan die na expansie. Wordt qw in rekening gebracht, dan wordt het verloop geheel anders, zoals uit de gestippelde kromme 3 blijkt. Bij lage drukverhouding wordt ql,, = O in plaats van qc, omdat de nuttige arbeid tot nul nadert maar de toegevoerde warmte niet.

Fig. 11.8 Fig. l l .g

toepassing l l .2

Van een gasturbine-installatie, voorzien van een warmtewisselaar, is het niet- omkeerbare kringproces 1-2r-3-4r en fig. 11.9 aangegeven. Hierin is Tl = 300 K, T2, = 480 K, T3 = 900 K en T4, = 646 K. De drukverhouding E = 4; het rendement van de warmtewisselaar is 74 %.

Per seconde wordt 80 kg lucht aangezogen, c,, = 1,005 kJ/(kg K), k = 1,4. Gevraagd wordt het volgende te berekenen: a Het isentroop rendement van compressor en turbine. b De temperatuur T5 van de lucht na de warmtewisselaar. c Het thermisch rendement van de instailatie. d Het geleverde vermogen met en zonder warmtewisselaar.

oplossing

k - 1 900 a T2 = Tl = 300 x 1,486 K = 445,8 K; T4 = - K = 605,7 K

1,486

(T3 - T4,) - (T2, - TTl) (900 - 646) - (480 - 300) c Qth = -

T3 - T5 900 - 602,8

Zonder de warmtewisselaar is het thermisch rendement:

Op de geleverde arbeid heeft de warmtewisselaar geen invloed, zodat het geleverde vermogen ook zonder warmtewisselaar 5 949,6 kW bedraagt.

l 1.4.2 Meertrapscompressie

Bij meertrapscompressie wordt de compressor in een aantal trappen uitgevoerd en wordt de lucht tussen de trappen gekoeld. Hierdoor is de totaal benodigde compressiearbeid kleiner dan wanneer de compressie in één trap zou hebben plaatsgevonden en neemt de nuttige arbeid dienovereenkomstig toe. Wordt de lucht in de tussenkoeler tot de begintemperatuur afgekoeld, dan is de verkregen arbeidsbesparing maximaal als de drukverhouding per trap gelijk wordt genomen. Een en ander is in paragraaf 5.8 afgeleid. Bij tweetrapscompressie kan deze arbeidsbesparing worden voorgesteld door de gearceerde oppervlakte in fig. 11.10. In dit diagram is echter tevens te zien dat de lucht met een lagere temperatuur de verbrandingskamer intreedt dan bij compressie in één trap (T4 < T7), zodat meer warmte moet worden toegevoerd om dezelfde eindtemperatuur te bereiken.

Fig. 11.10 Fig. l l .l l

232

Het gevolg van e.e.a. is - zo blijkt uit berekeningen - dat het theoretisch thermisch rendement iets daalt. Zou in de installatie echter een warmtewisselaar zijn opgenomen, dan biedt meertrapscompressie duidelijk voordelen. De verklaring hiervoor is dat de luchttemperatuur na de warmtewisselaar (T6,) theoretisch gelijk is aan T6, ongeacht de temperatuur na compressie. De warmte q6v.5 die in de verbrandingskamer moet worden toegevoerd verandert dus niet, maar de nuttig geleverde arbeid wordt groter. Derhalve za1 ook het thermisch rendement toenemen.

opmerking

Ook voor tweetrapscompressie is het mogelijk om een waarde voor E vast te stellen waarbij de nuttige arbeid maximaal is. Deze waarde wordt in principe op dezelfde wijze berekend als de coPt in paragraaf 11.3. Bij een gelijke drukverhouding per trap en terugkoeling tot de begintemperatuur

2k

(T5 = Tl) vinden we -

Voor deze drukverhouding blijkt T2 gelijk te zijn aan T6 zoals in fig. 11.11 is getekend.

l 1.4.3 Herverhitting

Bij herverhitting expandeert het gas eerst in een hogedrukturbine en vervolgens in een lagedrukturbine. Tussen de beide turbines wordt een tweede verbrandingskamer geplaatst. Hierin wordt de temperatuur van het gas bij constante druk weer opgevoerd, bij voorkeur tot de maximaal toelaatbare waarde. De verbranding in de tweede verbrandingskamer is mogelijk omdat, als gevolg van de zeer grote luchtovermaat die wordt toegepast, nog voldoende zuurstof aanwezig is om een volledige verbranding van de ingespoten brandstof te bewerkstelligen. In figuur 11.12 is het T-s-diagram voor een eenmalige herverhitting getekend. De toestandsverandering 4-5 stelt het herverhittingsproces voor en opp. 4-5-5'-4' de toe te

Fig. 11.12 Fig. 11.13

voeren herverhittingswarmte. Na de herverhitting expandeert het gas van 5 -+ 6 in de lagedrukturbine tot de einddruk bereikt is. De winst aan nuttige arbeid komt overeen met opp. 4-5-6-7. In welke richting het thermisch rendement bij toepassing van herverhitting zal veranderen, is niet zonder meer te voorzien omdat niet alleen de nuttig geleverde arbeid toeneemt maar ook de toe te voeren warmte. Evenals bij tweetrapscompressie blijkt dit rendement af te nemen. Slechts voor een installatie die van een warmtewisselaar is voorzien neemt het thermisch rendement door herverhitting we1 toe. Dit volgt uit vth =

l - Q2/Ql waarin Ql door herverhitting toeneemt maar Q2 niet. In de warmtewisselaar worden namelijk de uitlaatgassen theoretisch afgekoeld tot T2 en deze temperatuur is onafhankelijk van de temperatuur van de gassen na de turbine. Tussenkoeling en herverhitting hebben dus alleen zin als tevens een warmtewisselaar wordt opgesteld. Theoretisch moet het aantal trappen bij compressie en expansie zo groot mogelijk worden genomen. Fig. 11.13 is het T-s-diagram voor het geval de compressie en expansie in vier trappen worden uitgevoerd. Doordat een warmtewisselaar is opgesteld, is de gemiddelde temperatuur van warmtetoevoer TH en die van warmte-afvoer TL. Bij een oneindig aantal trappen wordt TL = Tl = T2 en TH = T3 = Td. Er ontstaat dan een kringproces bestaande uit twee isothermen en twee isobaren. Dit is het kringproces van Ericsson (pag. 80), waarvan het thermisch rendement gelijk is aan dat van een Carnot- proces. Immers de gehele uitwendige warmtetoevoer resp. -afvoer vindt plaats bij de hoogste resp. de laagste temperatuur die in het proces voorkomt. Uit praktische overwegingen wordt het aantal trappen tot 2 of 3 beperkt. Meertrapscompressie resp. herverhitting maakt een installatie uiteraard gecompliceerder en duurder maar kan in bepaalde gevallen - vooral voor grote installaties - lonend zijn.

l 1.4.4 Inlaattemperatuur van de gasturbine

In het voorgaande werd reeds gewezen op het feit dat de gastemperatuur T3 bij de inlaat van de turbine aan een maximum gebonden is. Dit maximum varieert van 600 'C tot l 350°C. Omdat deze temperatuur in grote mate het thermisch rendement van de installatie bepaalt, is het dus gewenst de factoren te kennen die deze temperatuur beperken. Factoren die de toelaatbare temperatuur T3 be'ïnvloeden zijn: l De toegepaste schoepmaterialen. De schoepen worden zowel op buiging als op trek

belast. Naarmate de temperatuur van het materiaal hoger is, daalt de treksterkte. 2 De geëiste levensduur van de schoepen. Een schoep zal, onder invloed van een

gegeven trekbelasting, steeds langer worden. Dit staat bekend als kruipen, een verschijnsel dat afhankelijk is van de temperatuur. In fig. 11.14 is een kruipdiagram afgebeeld. Wordt voor de schoep een rek van 0,l % toelaatbaar geacht, dan moeten de schoepen na een zeker aantal bedrijfsuren worden vervangen (punten A en B). Dit varieert van enige honderden uren in de militaire luchtvaart tot enige honderd- duizenden uren in de zware industrie.

3 De kwaliteit van de toegepaste brandstof. Aardgas en kerosine b.v. zijn uitstekende brandstoffen, maar de verbrandingsprodukten van zware olie bevatten bestandde-

len die corrosie kunnen veroorzaken enlof zich op de schoepwanden kunnen afzetten. Of deze verschijnselen ook optreden en in welke mate wordt mede bepaald door de toegepaste schoepmaterialen en de bedrijfstemperatuur. In landinstallaties, waar dikwijls met kwalitatief slechte (en dus goedkope) brandstoffen wordt gewerkt, is de toelaatbare maximumtemperatuur daarom aanzienlijk lager dan in gasturbines voor de luchtvaart. De koeling van de schoep. Wordt schoepkoeling toegepast, dan wordt een deel van de lucht na de compressor via een groot aantal kleine openingen in de schoep langs het schoepblad geblazen. De relatief koude lucht verhindert een direct contact van de hete gassen met de schoep. Er kan dan een hoge gastemperatuur worden toegelaten zonder dat het gevaar bestaat dat de schoeptemperatuur te hoog oploopt. De prijs van de schoepen neemt dan echter aanzienlijk toe.

bedrijfsuren-

Fig. 11.14

1 1.5 De gasturbine-installatie als gesloten systeem

Bij een gesloten systeem wordt het arbeidsmedium, na de turbine te zijn gepasseerd, niet naar de omgeving afgevoerd maar opnieuw door de installatie geleid. Het gas wordt dus na de turbine (of na de warmtewisselaar indien deze is opgesteld) naar de compressor teruggevoerd. Om de benodigde compressiearbeid zoveel mogelijk te beperken, moet de temperatuur van dit gas bij de compressorinlaat zo laag mogelijk zijn. Vandaar dat in deze installatie een koeler is opgenomen zoals in het schema van fig. 11.15 is aangegeven. In het continu circulerende gas kan geen brandstof worden verbrand, omdat de eventueel aanwezige zuurstof spoedig verbruikt zou zijn. Daarom wordt aan de verbrandingskamer brandstof én (omgevings)lucht toegevoerd (z.g. uitwendige verbranding zoals in een stoomketel). De gevormde hete verbrandingsgassen verwarmen het arbeidsmedium waarvan ze gescheiden zijn door een vaste wand (pijpwand) en worden daarna naar de omgeving afgevoerd. De voordelen van een dergelijke uitvoering zijn:

&uitlaatgassen

-verbrand~ngsruimte brandstof+ f \ lucht 7

l

-

Fig. 11.15

l De werking van de gasturbine-installatie wordt niet beïnvloed door de aard van de brandstof. Vervuiling enlof corrosie van compressor en turbine door stoffen uit de aangezogen lucht of uit de verbrandingsprodukten treedt niet op. In principe kan iedere brandstof worden toegepast.

2 Men is vrij in de keuze van het arbeidsmedium, zodat gezocht kan worden naar arbeidsmedia waarvan de eigenschappen gunstiger zijn dan die van lucht. Helium b.v. heeft een k-waarde van 1,67 in plaats van 1,4 zodat voor een eenvoudige gasturbine-installatie het thermisch rendement volgens (11.1) hoger is dan wanneer lucht zou zijn toegepast. Bovendien is de geleidingscoëfficiënt van helium groter dan die van lucht, zodat de afmetingen van warmtewisselaars kleiner kunnen zijn.

3 Het drukniveau waarop de installatie werkt, kan worden verhoogd. In een open kringproces wordt bij e = 5 de lucht van l bar tot 5 bar gecomprimeerd. In een gesloten installatie zou men, bij dezelfde e, een drukverhoging van b.v. 10 bar tot 50 bar kunnen overwegen. De temperatuur na de compressor verandert daarbij niet omdat deze, bij een gegeven begintemperatuur T,, alleen afhankelijk is van de drukverhouding. Het gasvolume is echter veel kleiner, zodat de afmetingen van de installatie aanzienlijk kunnen worden gereduceerd. Bovendien zal de warmte- overdrachtscoëfficiënt van het arbeidsmedium groter zijn als gevolg van de grotere dichtheid.

4 Ten slotte kan met eenvoudige middelen de circulerende massastroom worden gewijzigd. Dit betekent dat belastingsveranderingen verkregen kunnen worden door aan de kringloop arbeidsmedium toe te voegen of te onttrekken. In een open kringproces is de circulerende massastroom meestal constant en wordt de arbeidslevering verlaagd door minder brandstof toe te voeren. Hierdoor neemt de gastemperatuur vóór de turbine af zodat het thermisch rendement van de installatie bij deellast slecht is. Met de boven beschreven werkwijze kan de gastemperatuur vóór de turbine constant blijven. De installatie wordt echter wel gecompliceerder en duurder, hetgeen uiteraard een nadeel betekent.

11.6 Gasturbines in de luchtvaart

We zullen ons hierbij beperken tot de turbojet waarvan het principe in fig. 11.16 is aangegeven. Centraal is een gasturbine-installatie aangebracht bestaande uit een compressor, verbrandingskamers en gasturbine. Toegevoegd zijn een diffusor en een straalbuis. De diffusor is vóór de compressor geplaatst en brengt de snelheid van de instromende lucht tot een acceptabele waarde terug. De snelheidsenergie van de lucht neemt daarbij af met als gevolg dat de druk enige decibars toeneemt (toestandsverandering 0-1 in het T-s-diagram van fig. 11.17). Vervolgens vindt in de compressor een drukverhoging plaats van p, tot p; waarna, bij constante druk, warmte wordt toegevoerd tot een temperatuur T, bereikt is. Bij de expansie 3-4 in de gasturbine is de geleverde arbeid juist voldoende om de compressor en eventuele hulpapparatuur aan te drijven. Er is dus geen arbeidsover- schot zoals in de tot dusver besproken installaties. De expansie vanp4 tot de omgevingsdruk pc = po vindt plaats in een straalbuis. Hierin wordt het medium op een hoge eindsnelheid (b.v. 600.. .900 rnls) gebracht. Ten gevolge van de grote versnelling die het arbeidsmedium hierbij ondergaat, ontstaat een stuwkracht in de vliegrichting.

Fig. 11.16

Fig. 11.17 Fig. 11.18

Bij gasturbines in de luchtvaart is een veel grotere drukverhouding (10.. .25) en een veel hogere gastemperatuur ( l 000 'C en meer) gebruikelijk dan bij landinstallaties. Om de stuwkracht te vergroten wordt soms gebruik gemaakt van een nabrander. Na expansie in de turbine worden de verbrandingsgassen dan van 4 -+ 5 in temperatuur verhoogd (fig. 11.18) waardoor de uittreesnelheid van de lucht uit de straalbuis toe-

neemt. Behalve een toename van de stuwkracht treedt er ook een onevenredig sterke stijging op van het brandstofverbruik. Vandaar dat nabranders slechts kortstondig worden ingeschakeld en wel op momenten dat een hoge stuwkracht noodzakelijk is. Uiteraard moet ook hier rekening worden gehouden met niet-omkeerbare verschijnselen zoals druk- en wrijvingsverliezen, waardoor het T-s-diagram anders wordt dan de theoretische diagrammen van fig. 11.17 en fig. 11.18.

11.7 Combinatie van gas- en stoomturbine

De temperatuur van de gassen na de turbine is nog vrij hoog, zodat een grote hoeveelheid warmte naar de omgeving wordt afgevoerd, zeker wanneer geen warmtewisselaar wordt opgesteld. De thermische energie van deze uitlaatgassen zou ook aan een tweede arbeidsmedium b.v. water kunnen worden overgedragen, zoals in het schema van fig. 11.19 is aangegeven. De gevormde stoom kan in een turbine nog arbeid leveren, waardoor het thermisch rendement van het gecombineerde proces hoger is dan van de gasturbine-installatie alleen. Het is ook mogelijk om de uitlaatgassen te gebruiken als verbrandingslucht voor een stoomketel. Op deze wijze kunnen de stoomtemperatuur en de stoornproduktie worden opgevoerd. Ook voor het gecombineerd leveren van kracht en warmte is een gasturbine-installatie zeer geschikt. De benodige warmte kan door de ketel worden geleverd, maar het is ook mogelijk een aftapcondensatieturbine of een tegendrukturbine op te stellen. Het e.e.a. is afhankelijk van de benodigde hoeveelheid warmte en het vereiste temperatuurniveau. De installatie kan op veel verschillende manieren zijn opgebouwd, afhankelijk van de behoefte van het bedrijf.

verbrandingskamer

stoomturbine--

10

1 5 1

1 [ Lstoomketd T Fig. 11.19

1 1.8 Vraagstukken


l In een gasturbine-installatie wordt lucht van 1 bar en 20°C adiabatisch tot 4 bar gecomprimeerd. De temperatuur na de verbrandingskamer is 600 ¡C. Het isentroop rendement van de compressor bedraagt 65 %, dat van de turbine 87 %. Als c, = 1,O kJ/(kg . K) en k = 1,4 bereken dan: a het thermisch rendement van de installatie en het specifieke brandstofverbruik

in g/MJ; de stookwaarde van de brandstof is 35 MJlkg; b het bij a gevraagde opnieuw als het isentroop rendement van de compressor tot

85 % wordt opgevoerd.

2 Van het standaardkringproces van een eenvoudige gasturbine-installatie (kringproces van Brayton) is de laagste temperatuur T, = 300 K en het thermisch rendement 35 %. De massastroom gas bedraagt 380 kgls en het nuttig geleverde vermogen 80 MW. Bereken voor zowel lucht als helium als arbeidsmedium: a de drukverhouding p21pl; b de maximale procestemperatuur T,.

Voor lucht is k = 1,4 en c, = 1,005 kJ/(kg K). Voor helium is k = 1,66 en c = 5,23 kJ/(kg - K).

3 Van een gasturbine-installatie volgens fig. 11.9 is T, = 300 K, T, = 1000 K, E = 4, c, = 1,O kJ/(kg K) en k = 1,4. Het isentrope rendement van de compressor is 80 %, dat van de turbine 85 %.

a Bepaal van de installatie het thermisch rendement en het specifieke brandstofverbruik in g/MJ als de stookwaarde van de brandstof 40 MJIkg bedraagt.

b Wat wordt het thermisch rendement als een warmtewisselaar wordt opgesteld met een rendement van 70 %?

4 In een gasturbine-installatie, voorzien van een warmtewisselaar met een rendement van 70 %, is de temperatuur van het arbeidsmedium vóór de compressor 300 K en vóór de turbine 1 200 K. De isentrope rendementen van compressor en turbine zijn resp. 0,82 en 0,87. De begindruk is l bar, de druk vóór de turbine 5 bar, terwijl de drukverliezen in warmtewisselaar en verbrandingskamer te zamen 0,5 bar bedragen. Het drukverlies aan de gaszijde van de warmtewisselaar is 0,3 bar. Bereken van deze installatie het thermisch rendement en het geleverde vermogen als bij de compressie k = 1,4 en c, = 1,005 kJ/(kg . K), terwijl tijdens de verwarming en de expansie met een k van 1,33 en een c van 1,16 kJ/(kg . K) gerekend moet worden. De massastroom bedraagt 250 kgls.

5 Van een gasturbine-aggregaat zijn bij de beproeving de volgende waarde gemeten: luchttemperatuur vóór de compressor 300 K, na de compressor 474 K;

gastemperatuur vóór de turbine 1000 K, na de turbine 712 K; gastemperatuur na de warmtewisselaar 600 K. De drukverhouding e = 4 en k = 1,4. Bereken het isentrope rendement van compressor en turbine, het rendement van de warmtewisselaar, alsmede het thermisch rendement van de gehele installatie.

6 Van een gasturbine-installatie is de temperatuur vóór de compressor 300 K en de temperatuur vóór de turbine 1000 K. Per seconde stroomt er 20 kg lucht door de installatie. De drukverhouding e is 6,25 en het isentrope rendement van turbine en compressor is 85 %. Als c = 1,O kJ/(kg . K) en k = 1,4 bereken dan: a het thermisch rendement en het vermogen van de installatie; b het thermisch rendement als de compressie in twee trappen wordt uitgevoerd;

de drukverhouding per trap is gelijk en na de eerste trap wordt de lucht weer tot de begintemperatuur afgekoeld;

c het thermisch rendement en het geleverde vermogen als bovendien een warmtewisselaar met een rendement van 60 % aan de installatie wordt toegevoegd.

7 Van een gasturbine-aggregaat, werkend volgens het kringproces 1-2-3-7 van fig. 11.12 is T, = 300 K, T, = 475 K, T, = 1000 K, p, = l bar en k = 1,4. Bereken: a het thermisch rendement van de installatie; b het thermisch rendement van de installatie als de gassen, na expansie tot 2,5 bar,

opnieuw tot 1000 K worden verhit; c het onder b gevraagde opnieuw als het isentrope rendement van de compressor

85 % bedraagt en dat van de beide turbines 90 %;

d het thermisch rendement als in het bovenstaande geval c bovendien een warmtewisselaar met een rendement van 75 % wordt opgesteld.

8 Het isentrope rendement van compressor en turbine in een gesloten gasturbine- installatie is 0,82 resp. 0,88. Aan de inlaat van de compressor is de druk 4,5 bar en de temperatuur 320 K, terwijl de toestand van het gas aan de turbine-inlaat gegeven is door 27 bar en 1 150 K. Bereken, voor een nuttig vermogen van 3 MW en argon als arbeidsmedium: a de vereiste massastroom in kgls; b het 'bruto' turbinevermogen in MW, c de warmte-afgifte in de koeler (in kJIs) en het percentage dat dit uitmaakt van de

toegevoerde warmte; d het brandstofverbruik (in m'ls) en het thermisch rendement als de stookwaarde

van de gasvormige brandstof 32 M J I ~ ? bedraagt. c, = 0,54 kJl(kg . K) en k = 1,66.

9 In een gesloten gasturbine-installatie wordt het arbeidsmedium (helium) in twee trapen adiabatisch gecomprimeerd van 25 bar en 30°C tot 100 bar. Het isentrope rendement van beide trappen is 80 %. Na de eerste trap wordt het gas met een druk van 50 bar in een tussenkoeler tot 40°C afgekoeld en vervolgens verder gecomprimeerd tot de einddruk. Na een warmtewisselaar te zijn gepasseerd, moet aan de

verbrandingskamer waarvan het thermisch rendement 90 % bedraagt, per kilogram helium 3 026,9 kJ warmte worden toegevoerd om de maximale procestemperatuur van 1150 K te bereiken. Na een niet-omkeerbare adiabatische expansie in een turbine worden de uitlaatgassen in de bovengenoemde warmtewisselaar afgekoeld tot 522,3 K en vervolgens in een met water gekoelde warmtewisselaar weer op 30 'C gebracht. Bereken voor een massastroom van 120 kgls het isentrope rendement van de turbine, het thermisch rendement van de installatie alsmede het geleverde vermogen.

k = 1,66 en c, = 5,3 kJ/(kg K).

10 Van een gecombineerde installatie, bestaande uit een gasturbine en een stoomturbine (fig. 11.19), zijn de volgende gegevens bekend: De drukverhouding e van de gasturbine-installatie is 10, de inlaattemperatuur van compressor resp. turbine is 300 K en 1325 K. Het isentrope rendement van de compressor is 85 %, dat van de gasturbine 87 %. De uitlaatgassen van de turbine gaan naar een stoomketel en verlaten de ketel met een temperatuur van 450 K. Voor de stoomcyclus geldt: stoomcondities 100 bar 470°C, condensordruk 0,06 bar, isentroop rendement van de turbine 86 %. Als k = 1,4 en = 1,l kJ/(kg . K), bereken dan m.b.v. de stoomtabellen en het h-s-diagram: a de vereiste warmtetoevoer in de verbrandingsruimte per kg lucht; b de verhouding van de massastromen lucht-stoom; c de netto-arbeidslevering van de gasturbine in kJ per kg lucht; d de arbeidslevering van de stoomturbine in kJ per kg stoom; e het thermisch rendement van de gasturbine-installatie, van de stoomcyclus en

van de gecombineerde installatie; de arbeid die aan de ketelvoedingspomp moet worden toegevoerd, wordt verwaarloosd.

11 Van een vliegtuig voorzien van een turbojet is het door de gasturbine geleverde vermogen juist voldoende om de compressor aan te drijven. De temperatuur, druk en snelheid van de lucht bij de inlaat van de diffusor, die vóór de compressor is aangebracht, zijn achtereenvolgens Tg = 240 K, p,, = 0,4 bar en c, = 300 mls. De luchtsnelheid vóór de compressor en na de turbine kan worden verwaarloosd. De drukverhouding e in de compressor is 9 en de gastemperatuur T, vóór de turbine bedraagt 1200 K. Als de massastroom m = 70 kg/s, bereken dan bij een isentrope compressie en expansie, de uittreesnelheid van het gas uit de straalbuis die achter de turbine is geplaatst en de stuwkracht die op het vliegtuig wordt uitgeoefend. c = 1050 J/(kg - K) en k = l,4.

Hoofdstuk 12

Koelinstallaties

Inleiding

In hoofdstuk 4 werden negatieve kringprocessen en de toepassing hiervan voor koelen en verwarmen toegelicht. De belangrijkste conclusies uit dit hoofdstuk zijn in het onderstaande gerecapituleerd. - De taak van een koelinstallatie is om een ruimte op een lage temperatuur (T, < Torn)

te brengen en te houden. Dit wordt gerealiseerd m.b.v. een of ander 'koelmedium' dat een negatief krinproces doorloopt.

- Omdat T, < T zal een zekere warmtehoeveelheid (Q2) vanuit de omgeving naar de koelruimte stromen ondanks het feit dat deze ruimte thermisch geïsoleerd wordt. Om de temperatuur in de koelruimte te handhaven, moet deze Q, hieraan worden onttrokken en weer naar de omgeving worden afgevoerd.

- Als een warmtehoeveelheid (Q2) van lage temperatuur (T2) op een hogere temperatuur (T,) wordt gebracht, kost dit energie (2de hoofdwet). Schrijven we voor de netto arbeid die aan het negatieve kringproces moet worden toegevoerd ISWI, dan geldt voor de warmte-afvoer (Qi) naar de omgeving: Ql = Q, + w .

- Voor het kringproces moet de verhouding QJISWI zo groot mogelijk zijn. We noemen deze verhouding de koudefactor E.

Theoretisch is het meest ideale kringproces een Carnot-proces. Hierdoor geldt: = T2/(T, - T,).

- Het kringproces in een warmtepomp is in principe gelijk aan dat in een koelmachine, alleen de temperatuurgrenzen (T, en T,) zijn anders. De 'kwaliteit' van dit kringproces wordt aangegeven met het warmteproduktiegetal Dit is als volgt gedefinieerd: e = Q,/]ZWI. De hoogste waarde van wordt verkregen in een Carnot-proces. Dan geldt: eã = T,/(T, - T;).

Koelmiddelen

Het werkzame medium wordt in de koelruimte door warmtetoevoer in de gasfase gebracht en in de condensor door afgifte van warmte weer tot vloeistof verdicht. Bij de gewenste verdampings- en condensatietemperatuur moet het medium wel aan een aantal eisen voldoen, waardoor vele stoffen voor praktisch gebruik ongeschikt blijken te zijn. Een belangrijk gegeven van een koelmiddel is de dampspanningskromme die het experimenteel bepaalde verband aangeeft tussen de druk op de vloeistof en de daarbij behorende verdampingstemperatuur. In fig. 12.3 zijn een drietal dampspanningskrom- men getekend. Voor een verdampingstemperatuur t2 en condensatietemperatuur t, is de drukverhoging die in de compressor aan b.v. koelmiddel A moet worden gegeven p, - P-,. Uiteraard is het gewenst datp, - p 2 zo klein mogelijk is omdat mede hierdoor het aan de compressor toe te voeren vermogen wordt bepaald. Bij koelmiddel C is het drukverschil veel kleiner, een voordeel dat vooral aanspreekt bij hoge koelwatertemperaturen. Bij lage verdampingstemperaturen echter kan de verdampingsdruk lager worden dan l bar, zodat lucht in het systeem kan lekken. Voor lage temperaturen is dit koelmiddel dus niet geschikt. Behalve door de ligging van de dampspanningskromme wordt de keuze van een koelmiddel nog door een groot aantal andere factoren bepaald zoals: l het gedrag van het koelmiddel t.o.v. lucht, water en smeerolie waarmee het in

aanraking kan komen; 2 de eigenschappen bij hoge temperatuur (de maximumtemperatuur van het proces)

en de corrosieve eigenschappen;

Fig. 12.3

3 de prijs, de veiligheid (brandbaarheid, giftigheid) en de verkrijgbaarheid; 4 de verdampingswarmte en het specifiek volume van de gevormde damp; 5 de mogelijke schade voor het milieu (aantasting ozonlaag).

D e verdampingswarmte wenst men zo groot mogelijk, het specifiek volume van de damp daarentegen zo klein mogelijk, omdat voor een bepaald koudevermogen de afmetingen van de compressor daarvan afhankelijk zijn. Het quotiënt van r en v moet daarom zo groot mogelijk zijn. Een koelmiddel dat aan alle wensen voldoet, bestaat niet; elk koelmedium heeft zijn voor- en nadelen. Ammoniak is vrij goedkoop en heeft een grote verdampingswarmte bij niet al te hoge drukken maar is wel giftig, brandbaar en explosief. Voor grote installaties wordt het veel toegepast. Freon 12 (handelsnaam) behoort tot de z.g. halogeenwaterstoffen. Dit zijn synthetische koelmiddelen waarvan er een aantal in de handel zijn zoals freon 12, freon 13, freon 22, freon 114, enz., elk met een eigen toepassingsgebied. Freon 12 is onbrandbaar, reukloos en niet giftig; het wordt vooral in koelmachines voor huishoudelijk gebruik toegepast. De verdampingswarmte is echter vrij laag. Door de verscherpte milieuwetgeving zullen een aantal koelmiddelen in de toekomst niet meer mogen worden toegepast. Inmiddels zijn reeds enige minder schadelijke vervangers op de markt geïntroduceerd.

opmerking

Voor het opstellen van een T-s-diagram van een koelmiddel gelden dezelfde beschouwingen als voor water. De vorm van zo'n diagram vertoont dan ook grote gelijkenis met dat van water. Het nulpunt van de entropie wordt niet bij O°C genomen omdat anders bij temperaturen beneden O 'C zoals die in koelinstallaties voorkomen, met een negatieve entropiewaarde moet worden gerekend. De afbeelding van het kringproces valt dan gedeeltelijk links van de T-as. Dit kan worden voorkomen door het nulpunt zo laag te kiezen (b.v. - 40 'C zoals in tabel V1 en IX) dat men er zeker van kan zijn dat in het temperatuurgebied waarin met het beschouwde koelmiddel gewerkt wordt, alle entropiewaarden positief blijven. Dit- zelfde geldt voor de enthalpiewaarden. Het is ook mogelijk om bij O OC aan zowel svl als /zãl een dusdanig grote waarde toe te kennen dat hetzelfde effect wordt bereikt.

12.4 Smoorkraan; droge compressie

Het kringproces zoals dat in de praktijk wordt toegepast, vertoont een tweetal belangrijke verschillen met het Carnot-proces van fig. 12.1. Dit betreft: - de expansiecilinder, die door een smoorkraan wordt vervangen;

- de toestand (3) van het medium vóór de compressie; er wordt door de compressor geen natte damp aangezogen maar verzadigde damp.

In het navolgende zullen beide verschillen nader worden toegelicht.

12.4.1 Smoorkraan

De in fig. 12.2 getekende expansiecilinder levert maar een geringe hoeveelheid arbeid. In de praktijk wordt deze cilinder dan ook vervangen door een regelkraan (smoorkraan), waarmee op eenvoudige wijze de druk tot de gewenste waarde kan worden gereduceerd. In fig. 12.4 is het smoorproces door de gestippelde kromme 1-2 weergegeven. Het is een niet-omkeerbaar adiabatisch proces waarvoor geldt dat de enthalpie constant is en de entropie toeneemt. Tijdens het smoren vormt zich damp en daalt de temperatuur van het koelmedium tot T,, zijnde de verdampingstemperatuur bij de druk p^. De hoeveelheid warmte die per kilogram koelmedium aan de koelruimte kan worden onttrokken, is kleiner dan wanneer de expansie isentroop zou zijn verlopen en bedraagt:

q = h3 - h2 A opp. 2-3-3'-2'

Voor het kringproces van fig. 12.4 geldt dat:

w = wt3-4 = h4 - h3 A opp. 1-4-3-7

Ten opzichte van het vergelijkbare Carnot-proces 1-6-3-4 is de koudeproduktie q, afgenomen met (h2 - h^) en is de benodigde arbeid toegenomen met (h, - h^). Dit betekent dat de koudefactor e = q2/[2wl lager is dan die van het Carnot-proces. Hoewel in het kringproces 1-2-3-4 de warmte bij constante temperatuur wordt toe- en afgevoerd, is e # T2/(Ti - T2) omdat door het niet omkeerbare proces 1-2 het kringproces als geheel onomkeerbaar is. Bovendien is e niet meer onafhankelijk van de aard van het medium.

Fig. 12.4 Fig. 12.5

Het verlies in koudeproduktie door het wegvallen van de expansie-arbeid is meestal klein. Bij koelmiddelen met een lage waarde van de kritische temperatuur kan dit verlies echter aanzienlijk zijn, zoals in fig. 12.5 duidelijk is gemaakt. Bij een hogere koelwatertemperatuur of verlaging van verdampingstemperatuur zou de koudeproduktie zelfs tot het nul kunnen worden gereduceerd.

12.4.2 Droge compressie

Bij het aanzuigen van natte damp kunnen zich een aantal problemen voordoen. Een ervan is dat smeerolie door het koelmiddel kan worden opgenomen. De smering van de compressor loopt dan gevaar terwijl de smeerolie zich elders in de kringloop kan afzetten, b.v. op de condensorpijpen, waardoor de warmteoverdracht wordt belem- merd. Dit kan voorkomen worden als de compressor verzadigde damp aanzuigt. Hierdoor neemt tevens de koudeproduktie q, toe, een toename die in fig. 12.6 overeenkomt met het opp. 6-3-3'-5'. Bij compressie van verzadigde damp (z.g. droge compressie) wordt deze oververhit. In vergelijking met een Carnot-proces, met Ti en T2 als temperatuurgrenzen, betekent oververhitting van de damp dat de gemiddelde temperatuur van warmte-afvoer (T,) toeneemt, hetgeen een verlaging van de koudefactor betekent.

Om de kwaliteit van een negatief kringproces te beoordelen wordt in het algemeen niet het Carnot-proces als vergelijkingsbasis genomen. Een Carnot-proces is technisch niet uitvoerbaar zodat bij de beoordeling van een compressiekoelinstallatie een realistischer vergelijkingsproces wordt genomen en wel het kringproces 1-2-3-4-5 (fig. 12.6). In dit proces is Ti gelijk aan de omgevingstemperatuur en komt T, overeen met de temperatuur die in de koelruimte gehandhaafd moet worden. Deze temperatuur is afhankelijk van de aard van de opgeslagen goederen. In werkelijkheid verloopt de compressie niet isentroop, treden er drukverliezen op en bestaan er temperatuurverschillen bij de warmte-overdracht. Hierdoor is de verdampingstemperatuur van het koelmedium lager dan de bovengenoemde T2. Om dezelfde reden is de condensatietemperatuur hoger dan de omgevingstemperatuur T,.

Fig. 12.6

Gewoonlijk wordt een temperatuurverschil van 7 a 10 K aangehouden. Bij kleinere waarden zou het benodigde condensor- en verdamperoppervlak te groot worden, hetgeen in de aanschaffingsprijs van de installatie tot uitdrukking komt. De e-waarde van het werkelijke proces wordt nu vergeleken met die van het theoretische proces van fig. 12.6. De verhouding van de e-waarde wordt wel het rendement van de installatie genoemd.

12.5 Oververhitting en nakoeling

12.5.1 Oververhitting

Omdat de temperatuur in de koelruimte altijd hoger ligt dan de verdampingstemperatuur, is het mogelijk dat de damp in de verdamperpijpen wordt oververhit. Om er zeker van te zijn dat geen vloeistofdeeltjes in de compressor terecht komen, is enige oververhitting gewenst tenzij een zeer goede vloeistofafscheider wordt aangebracht. In fig. 12.7 wordt de oververhitting voorgesteld door het deel 4-5 van de verdamper- isobaar. De koudeproduktie neemt toe, maar ook de toe te voeren compressie-arbeid stijgt. Hoe de koudefactor verandert, zal uit een berekening van de installatie moeten blijken. Door de toegenomen temperatuur van de aangezogen damp (T5 > T^) is het specifiek volume van de damp ook groter. Bij een gegeven cilindervolume wordt dan de circulerende massastroom kleiner. Bij lange zuigleidingen enlof niet goed geïsoleerde zuigleidingen kan ook buiten de koelruimte warmte uit de omgeving worden opgenomen. Deze situatie moet uiteraard worden vermeden omdat de koudeproduktie niet toeneemt en alleen de nadelige effecten (kleinere massastroom en grotere compressie-arbeid per massa-eenheid) overblijven.

T

Fig. 12.7

12.5.2 Nakoeling

De temperatuur van het koelwater is altijd lager dan de condensatietemperatuur. Daardoor is het mogelijk dat het koelmiddel tot beneden de condensatietemperatuur wordt afgekoeld. We spreken dan van nakoeling. De nakoeling kan overigens maar gering zijn (enige graden) omdat het verschil tussen de condensatietemperatuur en de koelwatertemperatuur zo klein mogelijk gemaakt wordt teneinde een zo groot mogelijke koudefactor te verkrijgen. In fig. 12.7 stelt 1-2 de nakoeling voor. Wordt de vloeistof van toestand 2 gesmoord, dan is het dampgehalte x, lager dan wanneer de smoring vanuit toestand l zou hebben plaatsgevonden. De koudeproduktie is door de nakoeling dus toegenomen en eveneens de koudefactor E omdat de toe te voeren arbeid niet is veranderd. In fig. 12.7 is: opp. 1-2-2'-l' = h - h = warmte-afvoer door het koelwater bij nakoeling; opp. 4-5-5'-4' = h5 - h, = warmte-opname door het koelmedium tijdens de

oververhitting; opp. 6-7-7'-5' = h/, - hi = de afgevoerde oververhittingswarmte; opp. 6-7-1-8-4-5 = hg - h5 = de voor de compressor benodigde arbeid.

Nakoeling is van bijzondere betekenis wanneer men over weinig koelwater beschikt. Het verschil tussen de temperatuur van het koelwater bij in- en uittree (tw,+ - ty.) is dan groot. De condensatietemperatuur tc is dan ook hoog, omdat deze temperatuur altijd boven de uittreetemperatuur van het koelwater moet liggen ( t > tW,+). E r is dus een groot verschil tussen tc en tã,i, zodat, bij toepassing van tegenstroom, de nakoeling aanzienlijk kan zijn.

12.6 Meertrapscompressie

Bij grote drukverschillen tussen verdamper en condensor kan de temperatuur T4 (fig. 12.6) een hoge waarde bereiken. Dit kan gevaar inhouden voor de smering van de compressor. Ook bestaat de mogelijkheid dat het koelmiddel gaat ontleden. Bij NH3 b.v. moet daarom de compressie-eindtemperauur tot 130 'C worden beperkt. Deze, maar ook andere niet genoemde redenen, kunnen ertoe leiden dat de compressie in twee of meer trappen moet worden uitgevoerd. In fig. 12.8 is een kringproces met tweetrapscompressie getekend. De in de tussenkoeler afgegeven warmte wordt bij een constante druk p: = pg aan het koelwater van omgevingstemperatuur overgedragen. De temperatuur van de oververhitte damp daalt dan van Te tot T/,. In vergelijking met eentrapscompressie is de eindtemperatuur T, lager geworden en is de totaal toe te voeren arbeid verminderd. De gearceerde oppervlakte is een maat voor de arbeidsbesparing. De koudeproduktie blijft gelijk zodat de koudefactor E zal toenemen. De verbetering is echter gering. Betere resultaten kunnen worden bereikt als tevens het smoorproces in twee trappen wordt uitgevoerd met pc als tussendruk.

Fig. 12.8 Fig. 12.9

Op deze (en andere) mogelijkheden om het rendement te verbeteren zal echter niet verder worden ingegaan.

Het p-h-diagram

In het voorgaande werden de processen steeds in een T-s-diagram getekend. Hoewel dit diagram bijzonder instructief is omdat de invloed van bepaalde wijzigingen in een proces gemakkelijk kan worden nagegaan, is het voor praktisch gebruik minder geschikt. Zowel warmte- als arbeidshoeveelheden worden namelijk als oppervlakten weergegeven en om hiervan een getalwaarde te kunnen geven, moeten deze oppervlakten worden opgemeten. Vandaar dat in de koeltechniek gebruik wordt gemaakt van een ander toestandsdiagram, en wel van een p-h-diagram. Wordt in het diagram de druk verticaal uitgezet, dan zijn isobaren hierin horizontale lijnen. Voor toestandsveranderingen die bij constante druk verlopen geldt dat de warmte die wordt toe- of afgevoerd overeenkomt met de enthalpieverandering van het medium. De verschillende warmtehoeveelheden die bij het proces betrokken zijn, kunnen in een p-h-diagram dus als horizontale lijnstukken worden afgelezen. Ditzelfde geldt voor de technische arbeid bij een adiabatische toestandsverandering die volgens (6.3) eveneens in een enthalpieverschil kan worden uitgedrukt. Berekeningen kunnen dus zeer snel worden uitgevoerd. Om ook bij lage drukken nog een goede afleesnauwkeurigheid te verkrijgen, wordt de druk logaritmisch uitgezet. In fig. 12.9 is het kringproces van fig. 12.7 nogmaals afgebeeld. Hierin is:

toepassing 12.1

In een koelinstallatie werkend met freon 12 is de verdampingstemperatuur -5 OC en de condensatietemperatuur 28 ¡C. Bepaal van het kringproces 1-2-3-4 van fig. 12.10: a het dampgehalte na de regelkraan en vóór de compressie; b de koudefactor en de koudeproduktie bij een arbeidstoevoer van l MJ; c de benodige massastroom freon 12 in kglh als per uur 200 MJ warmte aan de

koelruimte moet worden onttrokken. Gegeven zijn de freon 12 tabellen VI, v11 en v111 achterin het boek.

s

Fig. 12.10

oplossing

Aan tabel v1 zijn de volgende waarden ontleend: s, = 0,233 5 kJ/(kg - K) s4 = 0,685 9 kJ/(kg - K) s, = 0,125 1 kJ/(kg . K) s, = 0,699 1 kJl(kg . K) h, = 62,63 kJ1kg h4 = 198,87 kJkg h, = 31,45 kJ1kg h, = 185,37 kJ1kg

a Het dampgehalte X? in toestand 2' kan worden bepaald uit h,, = xyh5 + ( l - x2,)h,. Met h2, = h, levert dit:

Het dampgehalte in toestand 3 kan berekend worden uit: s3 = X 3 S , + ( l - x&, Hieruit kan x3 worden opgelost, omdat s3 = s4 (tabel):

b De hoeveelheid warmte die per kilogram koelrnedium uiit de koelruimte wordt opgenomen bedraagt:

Voor de koudefactor schrijven we:

De koudeproduktie per MJ arbeid die aan de installatie wordt toegevoerd:

c De gevraagde massastroom bedraagt:

. 200 x 103 kJ/h - -

200 x 103 m = kglh = 1677,5 kglh

q 2 k J k 119,20

12.8 Warmtepomp

De werking hiervan zal aan de hand van fig. 12.11 worden verklaard. De benodigde warmte voor de verdamping van het werkzame medium is afkomstig van rivier- of bronwater. Ook kan met een ventilator buitenlucht langs de verdamper worden gevoerd. Voor woonhuizen is dit de meest aangewezen 'warmtebron'. Is de temperatuur hiervan b.v. 10 'C, dan zal, in verband met het noodzakelijke temperatuurverschil bij de

p radiatoren

Fig. 12.11

warmteoverdracht, de verdampingstemperatuur tv ca. O 'C moeten zijn. De verdamperdruk moet dus zo worden ingesteld dat de bijbehorende verdampingstemperatuur hiermee overeenkomt. De gevormde damp wordt door de compressor op de condensordruk gebracht. Het koelwater van de condensor wordt voor verwarrningsdoeleinden gebruikt en moet daarom een temperatuur van b.v. 55 'C hebben. Om dit te bereiken moet de condensatietemperatuur dus 60 a 65 OC bedragen. De druk na de compressor moet dus zo hoog zijn dat deze temperatuur bereikt wordt. Nadat het koelwater door het verwarmingssysteem is gepompt, stroomt het met ca. 45 OC naar de condensor terug. De genoemde watertemperaturen zijn, in vergelijking met een gebruikelijke c.v.-installatie vrij laag. Voor dezelfde warmteafgifte zal de radiatoroppervlakte moeten worden vergroot of moet een ander verwarmingssysteem worden toegepast (vloerverwarming).

Het warmteproduktiegetal dat praktisch haalbaar is, ligt op ca. 3.. .4. Voor = 3 zal door een elektrisch aangedreven warmtepomp 3 kJ aan warmte geleverd kunnen worden bij toevoer van l kJ elektrische energie. Wordt deze elektrische energie opgewekt met een rendement van 30 %, dan moet voor elke kJ elektrische energie l

k J = 3,33 kJ aan energie in de vorm van brandstof (primaire energie) worden 0,30 toegevoerd. Het totale rendement, inclusief de opwekking van de elektrische energie, bedraagt dan:

Bij directe verwarming van het water in een ketel zal, voor de nieuwe generatie c.v.-ketels, het rendement ongeveer dezelfde waarde bezitten. T.a.v. dit punt zal de warmtepomp dan geen wezenlijke voordelen bieden. De installatie is zelfs duurder maar daar staan enige voordelen tegenover, zoals de afwezigheid van stof en rook en de mogelijheid om de warmtepomp in de zomer voor koeling van de lucht te benutten. De waarde van het warmteproduktiegetal wordt in hoge mate bepaald door het temperatuurverschil tussen verdamper en condensor. Bij een warmtepomp die zelfs bij een buitentemperatuur van -15 'C de gehele warmtebehoefte zou moeten dekken is ew zeer laag. Normaal werkt deze installatie dan op een sterk gereduceerde belasting, hetgeen eveneens de in ongunstige zin beinvloedt. Het is echter ook mogelijk een z.g. bivalente installatie op te stellen, d.w.z. een combinatie van een normale c.v.-ketel en een warmtepomp. De c.v.-ketel wordt alleen ingeschakeld op momenten van grote warmtevraag. De verdeling wordt zo gekozen dat de warmtepomp de belastingen van 0.. .60 % opvangt. In verband met de betrekkelijk korte tijd van de maximale warmtevraag zal de warmtepomp ca. 80 % van de totale jaarlijkse warmtevraag voor zijn rekening nemen. De vraag of de opstelling van een warmtepomp zin heeft, kan niet zonder meer worden beantwoord. Het aantal factoren dat deze keuze beinvloedt is daarvoor te groot.

12.9 Vraagstukken Maak eerst vraagstukken met de even nummers.

l Van twee koelmachines A en B, werkend volgens een Carnot-proces is de condensatietemperatuur gelijk (25OC). De verdampingstemperatuur van machine A is echter l 'C en die van machine B -12OC. Als dezelfde hoeveelheid warmte uit de koelruimte moet worden onttrokken, bereken dan de benodigde arbeid van B t.o.v. A in procenten.

2 Van een koelinstallatie werkend met NH3 is gegeven dat de condensatietemperatuur 24OC en de verdampingstemperatuur -lO°C bedraagt. Als de compressor verzadigde damp aanzuigt en geen nakoeling plaatsvindt, bepaal dan m.b.v. de gegevens uit tabel IX: a de temperatuur en de enthalpie van de damp na de isentrope compressie als

voor de gemiddelde soortelijke warmte van de damp bij 9,72 bar 2,5 kJ/(kg K) wordt aangenomen;

b de afgevoerde warmte in de condensor per kg koelmedium en het percentage dat de oververhittingswarmte hiervan uitmaakt;

c het damppercentage na de regelkraan; d de koudefactor en de koudeproduktie in kJ1kWh; e de circulerende hoeveelheid ammoniak in kglh als per uur 600 MJ warmte uit de

koelcel moet worden onttrokken.

3 Als het thermisch rendement van een positief werkende Carnot-machine gelijk is aan 115, bereken dan: a de maximale waarde van de koudefactor van een compressiekoelmachine waar-

van de verhouding tussen de maximale en minimale procestemperatuur gelijk is aan die van het genoemde Carnot-proces;

b het maximale warmteproduktiegetal van een warmtepomp met dezelfde temperatuurgrenzen.

4 Van een koelinstallatie met freon 12 als koelmiddel is het slagvolume van de elektrisch aangedreven compressor 50 m3/h en de vullingsgraad 79 %. De verdampingstemperatuur is -lO°C en de condensatietemperatuur 15OC. De compressor zuigt verzadigde damp aan waarvan de enthalpie, na de isentrope compressie 197,6 kJ1kg bedraagt. In een regelkraan wordt de vloeistof (15 'C) op de vereiste verdamperdruk gebracht. a Teken het proces in een T-s-diagram en bereken het koudevermogen van de

installatie in kW. b Bepaal de elektrische energie in kJ die per uur uit het net wordt onttrokken als

het rendement van de elektromotor 90 % en het mechanisch rendement van de compressor 85 % bedraagt.

c Als het koelwater in de condensor een temperatuurstijging van 5 OC verkrijgt, wat is dan de benodigde hoeveelheid koelwater uitgedrukt in kglh; cw = 4,2 kJ/(kg . K). Gegeven: tabel VI achterin het boek.

5 In een koelinstallatie werkend met ammoniak als koelmiddel, is de condensatie- druk 8,57 bar en de druk na de regelkraan 2,91 bar. De compressie van de aangezogen verzadigde damp verloopt niet-omkeerbaar adiabatisch. Na de compressie is de temperatuur van de damp 354 K en de enthalpie 1625 kJ/kg. Gevraagd: a het proces af te beelden in een T-s-diagram als geen nakoeling van het conden-

saat optreedt; b de gemiddelde waarde van de soortelijke warmte van de oververhitte damp; c het dampgehalte na de regelkraan; d de koudefactor e en de koudeproduktie in kJ/kg; e de benodigde arbeid per kilogram koelmedium in het T-s-diagram aan te geven. Gegeven: tabel IX achterin het boek.

6 Van een compressiekoelmachine met ammoniak als werkzaam medium is de verdamperdruk 1,195 bar en de druk in de condensor 8,57 bar. Na de condensor (toestand 1) wordt de vloeibare ammoniak van 20°C gesmoord (toestand 2). Vervolgens wordt uit de koelruimte warmte opgenomen en bij een dampgehalte van 0,94 kglkg (toestand 3) wordt het medium isentroop gecomprimeerd (toestand 4). De daarvoor benodigde arbeid bedraagt 248,7 kJ/kg. De soortelijke warmte van de oververhitte damp kan op 2,74 kJ/(kg . K) worden gesteld. a Teken het kringproces in een T-s-diagram en geef hierin de koudeproduktie, de

benodigde arbeid voor de compressor alsmede de winst in koudeproduktie als een expansiecilinder in plaats van een regelkraan zou zijn aangebracht, door arcering aan.

b Se1 een tabel op voor p. T, s, h en x in elk van de bovengenoemde vier toestanden.

c Bereken de koudefactor e alsmede het toe te voeren vermogen, als per uur lo3 MJ warmte aan de koelruimte wordt onttrokken.

Gegeven zijn de tabellen ix en x achterin het boek.

7 In een compressiekoelmachine wordt verzadigde damp van freon 12 adiabatisch gecomprimeerd van 1,826 bar tot 8 bar en 60 'C. Ten gevolge van nakoeling stroomt de freonvloeistof van 8 bar met een temperatuur van 28 'C naar de regelkraan. Bereken van deze machine de koudefactor e, het voor de compressor benodigde vermogen als de geëiste koelcapaciteit 27,8 kW bedraagt en de hoeveelheid freon die per uur moet circuleren. Gegeven: tabellen VI, vn en vin van freon 12 achterin het boek.

8 In een koelmachine werkend met freon 12 is de verdamperdruk 1,8 bar en de druk bij condensatie 8,O bar. De compressor zuigt verzadigde damp aan die isentroop wordt gecomprimeerd. In de condensor wordt het koelmedium 4OC nagekoeld alvorens de vloeistof naar de regelkraan stroomt. Het koudevermogen bedraagt 305,55 kW. Bereken met behulp van tabel vn en v111 achterin het boek: a het aantal graden dat de damp bij de compressie wordt oververhit;

b de gemiddelde soortelijke warmte van de vloeistof bij de nakoeling en het percentage van de vloeistof dat in de regelkraan in verzadigde damp wordt omgezet;

c het aantal kg koelmiddel dat per seconde moet circuleren; d het slagvolume van de compressor in m3/min alsmede het aan de compressor toe

te voeren vermogen als het volumetrisch rendement op 71 % wordt gesteld.

9 a In een negatief kringproces wordt verzadigde freon 12 damp van -30,l OC door de compressor aangezogen en isentroop tot 10 bar gecomprimeerd. Het condensaat uit de condensor stroomt met een temperatuur van 41,64'C naar de regelkraan. Bereken van dit kringproces de koudefactor e.

b Om de koudefactor te vergroten wordt een in tegenstroom werkende warmtewisselaar aangebracht. De media die hier doorstromen zijn de verzadigde damp van -30,l 'C en het condensaat van 41,64 'C. De damp wordt hierbij opgewarmd tot 20 'C. De compressie verloopt wederom isentroop. Bereken de koudefactor opnieuw en vergelijk de uitkomst met de eerder gevonden waarde.

Gegeven zijn de tabellen VI, vn en v111 achterin het boek.

10 Voor een gebouw dat door middel van een warmtepomp wordt verwarmd, is bij een buitentemperatuur van -lO°C 60 kW warmte nodig om de lucht op de vereiste temperatuur te brengen. Er is een verschil van 10°C tussen de verdampingstemperatuur van het werkzame medium en de temperatuur van de buitenlucht. De condensordruk bedraagt 10 bar. De compressor werkt met een isentroop rendement van 75 OIO en zuigt verzadigde damp aan. De vloeistof die naar de regelkraan stroomt bezit de verzadigingstemperatuur behorende bij de condensordruk. Bere- ken van deze installatie, die gevuld is met freon 12: a de verdamperdruk; b het minimale temperatuurverschil in de condensor tussen het werkzame me-

dium en de te verwarmen lucht als de maximale temperatuur hiervan 33OC bedraagt;

c de freontemperatuur aan de uitlaat van de compressor; d het warmteproduktiegetal; e de massastroom freon 12 in kglh. Gegeven zijn de tabellen van freon 12 achterin het boek.

11 Een gebouw wordt verwarmd met een ketelinstallatie waarvan het rendement 85 %

bedraagt. De ketel wordt vervangen door een elektrisch aangedreven warmtepomp met freon 12 als werkzaam medium. Het kringproces verloopt volgens fig. 12.6 met een verdampingstemperatuur van O 'C en een condensatietemperatuur van 56,l OC. Bereken met behulp van de tabellen achterin het boek: a de temperatuur na de compressie; b de besparing aan primaire energie (brandstof) in procenten als het warmte-

produktiegetal in werkelijkheid 75 % bedraagt van de theoretische waarde en het totale omzettingsrendement van de elektrische energie wordt gesteld op 36 %.

Hoofdstuk 13

txerg ie en anergie

Inleiding

Als we de verschillende vormen waarin energie kan voorkomen met elkaar vergelijken, dan blijkt dat niet elke energievorm dezelfde waarde heeft voor de samenleving. Die waarde wordt afgemeten naar de hoeveelheid mechanische energie die uit de beschouwde energievorm kan worden verkregen. Het is dus zinvol een onderscheid aan te brengen met dit aspect als criterium.

Het deel dat volledig in arbeid kan worden omgezet noemt men de exergie E en het deel waaruit in het geheel geen arbeid kan worden verkregen de anergie B (per massa- eenheid e resp. b). Daarmee is in principe elke energievorm opgebouwd te denken uit exergie en anergie, waarbij het wel mogelijk is dat E of B nul is. Mechanische energie, elektrische energie, potentiële en kinetische energie bestaan volledig uit exergie. Thermische energie bestaat uit exergie én anergie, terwijl de inwendige energie van de omgeving geheel uit anergie bestaat. Bij de tweede hoofdwet is immers aangetoond dat het niet mogelijk is een machine te ontwerpen die de atmosfeer of de zee gebruikt als warmtebron voor de levering van mechanische energie. Voor iedere energievorm geldt dus de volgende betrekking:

Energie = exergie + anergie

De omzetting van anergie in exergie is niet mogelijk. Dit zou in strijd zijn met de definitie die we van anergie hebben gegeven. De omzetting van exergie in anergie is wél mogelijk maar niet wenselijk, omdat dit een technisch onbruikbare vorm van energie oplevert. Verloopt een proces omkeerbaar, dan is de omzetting van exergie in anergie uit- gesloten. Om het systeem in de begintoestand terug te brengen, zou het in anergie omgezette deel van de exergie weer in exergie moeten overgaan en deze omzetting is per definitie niet mogelijk. Dit betekent dat bij een omkeerbaar proces geen exergie verloren gaat en dat de toegevoerde hoeveelheid exergie gelijk is aan de afgevoerde hoeveelheid.

Constateert men dat er een omzetting van exergie in anergie heeft plaatsgevonden, dan moet het proces onomkeerbaar zijn. En daar in werkelijkheid alle processen in meer of mindere mate onomkeerbaar verlopen, zal dus continu exergie in anergie worden omgezet, een omzetting die op geen enkele manier meer ongedaan kan worden gemaakt. Er treedt dus voortdurend een degradatie van energie op, want exergie is de energievorm waar het in de techniek op aankomt. Onze energiebronnen zijn in werkelijkheid exergiebronnen, omdat daaruit mechanische energie verkregen kan worden. De eerste hoofdwet - de z.g. behoudswet - geldt wel voor energie maar niet voor exergie. Exergie kan w61 verloren gaan en in feite gebeurt dat ook in elk proces. We spreken dan van exergieverlies. Deze uitspraak is zinvol in tegenstelling tot de vroegere uitspraken over energieverlies. De eerste hoofdwet - de wet van behoud van energie - zou nu ook als volgt kunnen worden geformuleerd: Bij alle processen blijft de som van exergie en anergie constant:

Exergieverliezen moeten zoveel mogelijk vermeden worden en het is logisch een installatie of onderdeel daarvan op grond van dit aspect te beoordelen. Om de kwaliteit van de energie-omzetting weer te geven, gebruiken we het z.g. exergetisch rendement. Dit is hiervoor een zeer bruikbaar criterium, omdat de waarde van T]= alleen bepaald wordt door verliezen die theoretisch vermeden kunnen worden.

13.2 De exergie van een warmtehoeveelheid

Het exergie-aandeel in een hoeveelheid warmte is de maximale hoeveelheid mechanische energie die uit deze warmte kan worden verkregen. Om het exergie-aandeel te bepalen stellen we ons voor (gedachtenexperiment) dat de beschouwde hoeveelheid warmte wordt toegevoerd aan een arbeidsmedium dat een omkeerbaar positief kringproces beschrijft. Als de gehele afvoer van warmte plaatsvindt bij de omgevingstemperatuur Tn, is de nuttig geleverde arbeid (2 W) maximaal en komt per definitie overeen met de exergie van de warmte. Voor het bovengenoemde kringproces kiezen we een Carnot-proces. Moeten we nu de exergie en anergie bepalen van een warmtehoeveelheid Q met een constante temperatuur Ti, dan gaan we uit van fig. 13.1. Hierin is: - de toegevoerde warmte Q A opp. 4-1-54; - de exergie van deze warmte En A opp. 1-2-34; - de anergie van de warmte BQ A opp. 2-3-6-5.

De temperatuur van de afgevoerde warmte is de omgevingstemperatuur Tg. Het exergie-aandeel is dan nul, zodat deze warmte geheel uit anergie bestaat. De bepaling

van Eg en BQ is dus, gelet op fig. 13.1, mogelijk met de navolgende betrekkingen:

Bovendien geldt volgens (13.1):

In het voorgaande werd de temperatuur van de warmte constant verondersteld, maar in het algemeen zal dit niet het geval zijn. Stel dat aan een energiedrager b.v. rookgassen een warmtehoeveelheid Q wordt onttrokken, dan zal de temperatuur van de rookgassen en dus van de onttrokken warmte afnemen. In fig. 13.2 is dit door de stippellijn 2 + l aangegeven. We stellen ons nu weer voor dat de beschouwde warmte wordt overgedragen aan een arbeidsmedium dat een omkeerbaar positief kringproces doorloopt. Vanwege de omkeerbaarheid moet de getrokken kromme 1-2 deel uitmaken van dit kringproces. De toestandsverandering 1-2 wordt verder aangevuld met twee isentropen en met de isotherm 3-4. Kiezen we voor de temperatuur hiervan de omgevingstemperatuur To, dan komt de nuttig geleverde arbeid van dit kringproces overeen met de exergie van de toegevoerde warmte en de afgevoerde warmte Q2 met de anergie hiervan. Voor de berekening van EQ en BQ denken we ons het kringproces 1-2-3-4 opgebouwd uit een oneindig aantal Carnot-procesjes a-b-c-d. Verwijzend naar de tekst behorend bij fig. 13.1 komen we tot het volgende resultaat:

6L A s A 5 s

Fig. 13.1

L A s J s

Fig. 13.2

opmerking

Met behulp van het voorgaande is ook gemakkelijk het exergieverlies te berekenen als thermische energie van hoge temperatuur (T,) naar een lagere temperatuur (T2) stroomt zonder arbeid te verrichten. Dit verlies werd ook reeds in paragraaf 9.2 (pag. 182) bepaald. We noemden dit het arbeidsverlies W,. Maar omdat voor de temperatuur van het warmtereservoir niet een willekeurige temperatuur T werd genomen, maar de omgevingstemperatuur T,,, komen (9.1) en (9.2) dus ook overeen met het exergieverlies. We kunnen dus voor het exergieverlies schrijven: E, = T,,AStOt

toepassing 13.1

In een warmtewisselaar wordt per uur 7,2 ton olie van 60 "C tot 50 "C afgekoeld met behulp van koelwater van 15 ¡C. De koelwaterhoeveelheid is 1,667 maal zo groot als de hoeveelheid olie. co = 2,l kJ/(kg. K) cw = 4,2 i~J/(kg - K), T,, = 288 K. Bereken het exergieverlies dat hierbij optreedt (kW) uit de toename van de anergie en geef dit verlies als een oppervlakte in een T-S-diagram aan. Teken een exergie-anergie- strorningsdiagram voor één bepaalde plaats in de warmtewisselaar (geen getallen).

oplossing

De hoeveelheid warmte die de olie afstaat, wordt door het koelwater opgenomen zodat, bij een oliestroom van 2 kgls, moet gelden dat:

In het T-S-diagram van fig. 13.3 is het temperatuurverloop van olie en water aangegeven. Opp. 1-2-3'4' = opp. 4-5-6'4'. De warmte afgegeven door de olie wordt overgedragen aan een omkeerbaar verlopend kringproces 1-2-34 De anergie van deze warmte, overeenkomend met opp. 4-3-3'4 is:

Om de anergie te bepalen van de warmte die door het koelwater is opgenomen, gaan we uit van het omkeerbare kringproces 4-5-6. De anergie van de warmte die door dit kringproces wordt opgenomen, wordt in fig. 13.3 weergegeven door de oppervlakte van de rechthoek 4-64-4'. We kunnen dus schrijven:

Fig. 13.3 Fig. 13.4

T5 T.

291 kW BQ = To(Ss - S,) = T,, m, cã In - = 288 x 3,334 x 4,2 In - 288

Het exergieverlies E" = (41,79 - 36,88) kW = 4,9 kW. In fig. 13.3 is dit verlies door arcering aangegeven. Het temperatuurverschil olie-water is op elke plaats langs de strorningsweg anders. Schrijven we voor de (constante) temperatuur van olie en water op één bepaalde plaats van het V.O. Tl en T,, dan kan het gevraagde stromingsdiagram worden getekend (fig. 13.4). Het exergieverlies ontstaat in de vaste wand.

toepassing 13.2

Voor ruimteverwarming wordt lucht van omgevingstemperatuur (10 'C) door middel van een elektrische weerstandsdraad tot 20°C verwarmd. Bereken het exergieverlies dat hierbij optreedt in procenten. Schets een exergie-anergiestromingsdiagram.

oplossing

Stel dat een warmtehoeveelheid Q nodig is om de lucht van 10 'C tot 20 'C te verwarmen. De exergie van de toegevoerde warmte bedraagt:

De lucht die verwarmd moet worden heeft de omgevingstemperatuur en bezit dus

Ä elektr. verwarming

Fig. 13.5

geen exergie. Na verwarming is de exergie 0,034 Q. Er wordt echter een warrntehoe- veelheid Q toegevoerd die geheel uit exergie bestaat (elektrische energie). Het exergieverlies is der halve:

Er gaat hierbij dus ca. 96,s % van de energie verloren. Zouden we van dit proces een rendement moeten bepalen op basis van exergie, dan moet de verhouding worden berekend van de verkregen exergie en de toegevoerde exergie:

Het exergetisch rendement (ca. 3,s %) is zeer laag. In fig. 13.5 is de degradatie van de toegevoerde exergiestroom in beeld gebracht. Deze verwarmingsmethode is echter bijzonder eenvoudig en bovendien goedkoop in aanschaf. De oorzaak hiervan is dat niet omkeerbare processen vanzelf verlopen en in het algemeen geen bijzondere technische voorzieningen vereisen. Het is veel moeilijker om het proces zo in te richten dat er weinig exergie verloren gaat.

13.3 Exergiebeschouwingen bij kringprocessen

We beschouwen alleen positieve kringprocessen waarin thermische energie in mechanische energie wordt omgezet. Het rendement van die omzetting wordt met het thermisch rendement v,, = l - QJQ, tot uitdrukking gebracht. Volgens de tweede hoofdwet kan Q^ nooit nul zijn, zodat het thermisch rendement ook nooit 100% kan worden, zelfs niet in een technisch volmaakte machine. Dit is een tekortkoming van de gehanteerde definitie, Dit nadeel kan worden ondervangen door de exergie als basis voor een waarderingsgetal te nemen in plaats van thermische energie. We komen dan tot het exergetisch

rendement van een kringproces, gedefinieerd als de verhouding van de nuttig verkregen arbeid en de toegevoerde exergie, De toegevoerde exergie komt overeen met de exergie van de toegevoerde warmte terwijl de nuttige arbeid het verschil is van de toegevoerde exergie Eg en de exergieverliezen Ev. Voor het exergetisch rendement kunnen we dus schrijven:

De waarde van het aldus gedefinieerde rendement kan nu wel gelijk aan l worden, namelijk als de machine omkeerbaar werkt en de exergieverliezen dus nul zijn. Is T ] < l dan wordt dit veroorzaakt door niet-omkeerbare verschijnselen die in principe vermeden kunnen worden en wel door een betere constructie van de machine of door het kiezen van een gunstiger proces. Alle niet-omkeerbare verschijnselen die in het kringproces optreden veroorzaken exergieverliezen hetgeen een omzetting van exergie in anergie betekent. De anergie van de afgevoerde warmte is dus de som van de anergie van de toegevoerde warmte en de exergieverliezen:

De exergie- en anergiestromen kunnen ook bij een kringproces eenvoudig worden weergegeven. In fig. 13.6 is dit gedaan voor een omkeerbaar verlopend kringproces, in fig. 13.7 voor een kringproces dat niet-omkeerbaar verloopt. In beide gevallen wordt een warmtehoeveelheid Qs met een gegeven temperatuur Tl toegevoerd. E Q = qcQs. De warmteafvoer vindt plaats bij de omgevingstemperatuur Tg. In fig. 13.6 wordt de exergie van de warmte als arbeid geleverd. De afgevoerde warmte Q2 is gelijk aan de anergie van de toegevoerde warmte. Verder geldt dat nÈ, = en qex = 100 %.

Fig. 13.6 Fig. 13.7

In fig. 13.7 wordt door het niet-omkeerbare verloop van het proces, een deel van de toegevoerde exergie omgezet in anergie. De afgevoerde warmte Q2 is nu de som van -Sgl en het exergieverlies Ev. Het exergetisch rendement is nu <l00 %. Soms leidt het aangeven van exergie- en anergiestromen tot een onoverzichtelijk diagram, b.v. als de installatie waarin zich het kringproces afspeelt, uit meerdere onderdelen bestaat. In zo'n geval wordt dan volstaan met het tekenen van uitsluitend de exergiestromen. Om de verschillende energiestromen die bij een kringproces betrokken zijn aanschouwelijk voor te stellen, maakt men wel gebruik van een z.g. Sankey-diagram. Fig. 13.8 is een dergelijk diagram, opgesteld voor een stoomturbine- installatie. De totale breedte van de deelstromen is gelijk aan de breedte van de ingangsstroom (toegevoerde warmte). In dit diagram komt dus de wet van behoud van energie (eerste hoofdwet) tot uitdrukking. In het voorgaande is aangetoond dat exergiebeschouwingen realistischer zijn. We splitsen dan de energiestroom in de beide componenten exergie en anergie, waardoor duidelijk zichtbaar wordt waar de exergieverliezen optreden en welk onderdeel van het proces nog voor verbetering in aanmerking komt. In zo'n diagram komt ook de tweede hoofdwet tot uitdrukking.

Voor een stoomturbine-installatie is in fig. 13.9 het exergiestromingsdiagram getekend. Tussen beide diagrammen blijken grote verschillen te bestaan. In het Sankey-diagram van fig. 13.8 is een ketelverlies (voornamelijk uitlaatgassen) aangegeven van 10 %, terwijl met het koelwater van de condensor ca. 55 % van de toegevoerde warmte verdwijnt. De warmteverliezen in de turbine zijn te verwaarlozen. In het diagram van fig. 13.9 is voor het exergieverlies in de ketel 48 % ingevoerd, voor het exergieverlies in de turbine 7 % en bedraagt het exergieverlies in de condensor slechts 5 %. Dit lage percentage wordt veroorzaakt door het geringe temperatuurverschil tussen de condenserende stoom en het koelwater (de omgeving) waardoor de afgevoerde warmte vrijwel geen exergie meer bezit. De ingangsstroom is voor beide diagrammen hetzelfde, omdat aangenomen kan worden (de afleiding wordt niet gegeven) dat de stookwaarde van een gebruikelijke brandstof vrijwel gelijk is aan de exergie van deze brandstof.

-energie brandstof- - exergie brandstof- 10O0/o 100 '10

energieverlies ketel ca 10°/o

eiergieverlies ketel ca 'i8 "Is

Is-

energieverlies condensor ca 55% exergieverlies turbine ca 7'10

< exergieverlies condensor ca 5'10

nuttige energie ca LO0/o nuttige arbeid ca W ¡/O

Fig. 13.8

264

Fig. 13.9

13.4 Exergie van een stromend medium

In de praktijk hebben we meestal te maken met een stromend medium. We kunnen ons nu weer de vraag stellen wat de exergie hiervan is of, anders geformuleerd, wat de maximale hoeveelheid arbeid is die uit dit stromende medium kan worden verkregen. Om deze vraag te beantwoorden beschouwen we een open systeem (fig. 6.1) met een stationaire stroming. De begintoestand van het medium is gegeven. De maximale hoeveelheid arbeid die hieruit kan worden verkregen ontstaat als het medium op omkeerbare wijze in evenwicht gebracht wordt met de omgeving. Dit laatste houdt in dat de drukp. van het medium op het moment van uitstromen gelijk moet zijn aan po, terwijl voorts ook de eindtemperatuur T, gelijk moet zijn aan de omgevingstemperatuur To. Bovendien mag het medium geen potentiële en kinetische energie bezitten t.o.v. de omgeving, zodat ook c2 en z2 nul moeten zijn. We stellen ons nu voor dat het bovengenoemde omkeerbare proces bestaat uit een isentrope expansie tot op de omgevingstemperatuur waarna, bij constante temperatuur T. de druk wordt veranderd (door compressie of expansie) tot het systeem de omgevingsdruk po bereikt heeft. Bij deze toestandsverandering wordt thermische energie met de omgeving uitgewisseld, maar deze bestaat geheel uit anergie. Het uitstromende medium bevat dan alleen nog anergie en de geleverde arbeid is maximaal. In fig. 13.10 is het proces afgebeeld. Voor de technische arbeid geldt volgens (6.1):

Vertalen we deze uitkomst voor het beschreven omkeerbare proces dan geldt:

Fig. 13.10 Fig. 13.11

Omdat het eerste deel van de expansie isentroop verloopt, wordt er alleen tijdens het laatste deel 2'-2, warmte overgedragen zodat q= =

Voor het isothermische proces 2'-2 geldt dat:

Substitutie hiervan in wtmax levert:

Hieruit blijkt dat nadere bijzonderheden over het omkeerbare proces niet gegeven behoeven te worden, omdat alleen de waarden van de diverse grootheden aan de systeemgrenzen in de formule voorkomen. Als we Tg als een constante beschouwen bevat bovengenoemde uitdrukking alleen toestandsgrootheden. Dit houdt in dat e, - e2 niet afhankelijk is van de weg die tussen 1 en 2 wordt gevolgd, mits deze omkeerbaar is. Voor het exergieverschil tussen twee toestanden geldt:

De laatste twee termen zijn meestal verwaarloosbaar, zodat we kunnen schrijven dat:

Deze uitkomst stelt de maximale hoeveelheid arbeid voor die het systeem kan leveren wanneer het van toestand l in toestand 2 overgaat. Om dit maximum te realiseren dient de toestandsverandering 1-2 omkeerbaar te verlopen.

De exergie van een medium kan in een T-s-diagram als een oppervlakte worden weergegeven. Uitgaande van (13.7) kunnen we voor de exergie in de begintoestand schrijven:

Trekken we nu in fig. 13.12 een isobaar door 1, dan is

De laatste term To(s, -so) = Tn(sy-s0) is een rechthoek die bij de genoemde oppervlakte moet worden opgesteld, zodat:

e, A opp. 1-3-6-44-2

Fig. 13.12 Fig. 13.13

Is sl > sg (fig. 13.13), dan moet deze oppervlakte worden afgetrokken, zodat:

e, A opp. 1-2-0-4-5-3

13.5 Exergieverlies bi j niet-omkeerbare toestandsveranderingen

13.5.1 Algemeen

Bij alle niet-omkeerbare processen wordt exergie in anergie omgezet. Omdat het omgekeerde - de omzetting van anergie in exergie - niet mogelijk is, treedt er dus een exergieverlies op. Het is van groot belang dit verlies te kunnen bepalen. We beschouwen daartoe een open systeem waarin zich, tussen de begintoestand l en de eindtoestand 2 een niet-omkeerbaar proces afspeelt met arbeidslevering w.. Het exergieverlies kan nu berekend worden door de arbeid die maximaal kan worden geleverd te verminderen met de arbeid w, die in werkelijkheid wordt geleverd.

e = w - w. = (e, - e2) - w, tmax

Voor (e, - e2) geldt volgens de uitdrukking op pag. 266:

Voor open systemen geldt algemeen dat:

Combinatie van (a) en (b) levert:

Nemen we nu aan dat de toestandsverandering adiabatisch verloopt, dan is qn = O, zodat voor het exergieverlies per massa-eenheid geldt:

Bij een omkeerbaar adiabatische toestandsverandering is s, = s-,, zodat eV = 0. Verloopt de toestandsverandering wel adiabatisch, maar niet omkeerbaar, dan is S., > s, en is eV dus positief. Er treedt een exergieverlies op. De veronderstelling dat de toestandsverandering adiabatisch verloopt, lijkt een beperking in te houden voor het gebruik van de gevonden formule. Dit is echter niet juist omdat, als er w61 warmtewisseling tussen systeem en omgeving optreedt, de systeemgrenzen eenvoudig verlegd kunnen worden en wel zo dat het nieuwe systeem weer als adiabatisch kan worden opgevat. Wel moet worden bedacht dat onder de entropieverandering in (c) de entropieverandering van het 'nieuwe' systeem moet worden verstaan. Dit bestaat uit het oorspronkelijke systeem vermeerderd met die delen van de omgeving die door de warmtewisseling zijn be"nvloed. Schrijven we voor deze totale entropieverandering AStot, dan geldt dus algemeen dat:

Deze uitkomst werd al eerder (pag. 260) gevonden voor het exergieverlies bij warmte- overdracht.

Op basis van exergie kunnen we van een toestandsverandering een exergetisch rendement bepalen. Dit is het quotiënt van de afgevoerde exergie E f en de toegevoerde exergie Etoe. Als een proces volledig omkeerbaar verloopt, wordt geen exergie in anergie omgezet en is Eaf = E , . Bij elk niet omkeerbaar proces is E f < E , en het verschil komt overeen met het exergieverlies:

'v 'toe - 'af

13.5.2 Exergieverliezen in stoom- en gasturbine-installaties

In de onderstaande T-s-diagrammen zijn de kringprocessen in een stoom- en gasturbine-installatie getekend. De kringprocessen verlopen niet-omkeerbaar, waardoor exergieverliezen optreden die met de afgeleide formules kunnen worden berekend en voor een deel ook als een oppervlakte kunnen worden weergegeven. Dit geldt met name voor de adiabatische compressie en expansie van het arbeidsmedium. Hierbij is het exergieverlies eV = Tg Asssi, een verlies dat in beide diagrammen overeenkomt met de oppervlakte van een rechthoek ( e , e , eV l-2,, e , ) . De warmtehoeveelheid q^_, die in de condensor wordt afgegeven is (h, - h.) en komt overeen met de oppervlakte tussen de lijn 3-4 en de s-as. De exergie van deze warmte -

- = (l - Tn/T3) - kan theoretisch nog als arbeid worden gewonnen. In e13-4 - werkelijkheid wordt de gehele warmtehoeveelheid aan het koelwater overgedragen en dus naar de omgeving afgevoerd. De exergie van deze warmte moet dus als verloren worden beschouwd. Het exergieverlies e is dus gelijk aan de exergie van de overgedragen warmte. Het grootste exergieverlies treedt op in de stoomketel. Hierin wordt chemische energie omgezet in thermische energie. De chemische energie (de stookwaarde van de brandstof) is gelijk te stellen aan de exergie van de brandstof zoals al eerder (pag. 264) werd opgemerkt. De exergie van de gevormde verbrandingsgassen is echter, afhankelijk van de temperatuur ervan, 25 à 30 % kleiner. Vervolgens dragen deze gassen warmte over aan het water in de ketel. Vanwege het grote temperatuurverschil dat hierbij optreedt, gaat wederom ca. 25 % van de exergie verloren. Het exergetisch rendement van de ketel, gedefinieerd als de verhouding van de exergietoename van het ketelwater mst(est - ew) en de toegevoerde exergie m^, - ehr is ca. 40 à 50 %. De grote exergieverliezen komen niet tot uitdrukking in het normaal gebruikte 'ener- getische' ketelrendement, gedefinieerd als de verhouding van mst(hst - hw) en mh,S. D e rookgassen worden met een temperatuur van ca. 150 'C uit de ketel afgevoerd. Ze bezitten dan nog een zekere exergie, maar deze moet als verloren worden beschouwd. Dit betekent een exergieverlies van 4 à 5 %.

Fig. 13.14 Fig. 13.15

In een gasturbine-installatie (fig. 13.15) is de temperatuur T4, van de uitlaatgassen hoog, waardoor deze nog een grote hoeveelheid exergie bezitten. In een open installatie mengen deze gassen zich met de orngevingslucht. Ze worden daarbij op de omgevingstoestand (p,, T,) gebracht, zodat alle exergie ervan verloren gaat. Het exergieverlies is dus gelijk aan de exergie van de afgevoerde warmte. Hiervoor geldt:

eV,,-, = ey - e, = (h4, - h,) - To(s4, - s,)

e"4,-, A opp. 4'-l-1'-5' - opp. 5-1-1'-5' = opp. 1-4'-5

Evenals in een stoomketel treedt een groot exergieverlies op in de verbrandingsruimte van de gasturbine-installatie. De verbrandingsgassen fungeren echter tevens als arbeidsmedium voor de gasturbine, zodat het eerder genoemde exergieverlies bij de warmte-overdracht vervalt.

toepassing 13.3

In bijgaande figuren is voor een ideaal gas weergegeven: - een omkeerbaar verlopende isothermische compressie; - een omkeerbaar verlopende polytrope compressie;

- een smoorproces. Geef in fig. 13.16 en fig. 13.17 aan door welke oppervlakte wtl_2 en e2 - e, worden voorgesteld. Hoe groot is r/ Welke oppervlakte komt in fig. 13.18 overeen met eV, el en e, en wat kunt u opmerken over

oplossing

Volgens (8.3) kunnen we voor de technische arbeid schrijven: = ql-, + q,-" In fig. 13.16 is w = q,-, A opp. 1-2-3-4-1. Voor de exergieverandering geldt de uitdrukking (13.7).

e2 - e, = (h, - h,) - Tã(s2 - s,) = T,,(s, - s^) 4 opp. 1-2-341

De toegevoerde arbeid is dus gelijk aan de exergietoename. Er zijn geen exergieverliezen, zodat n,-. = 100 %. In fig. 13.17 is w = q,-2 + A opp. 1-2-345-1.

e2 - e, = h2 - hl - TO(s, - s,) = h2 - h3 + To(s, - s,) A opp. 2-345-14-2

In dit geval is de toegevoerde arbeid groter dan de exergietoename van het gas. Het verschil wordt voorgesteld door opp. 1-24 en komt overeen met de exergie van de warmte die bij de compressie wordt afgevoerd. In T}^ = ed/em is e^ = e2 + eql-, en etoe = wt,-2. Teller en noemer zijn gelijk, zodat r/ = 100%. Dit volgt ook uit het gegeven dat de toestandsverandering omkeerbaar verloopt.

Fig. 13.16 Fig. 13.17 Fig. 13.18

In de praktijk wordt de afgevoerde warmte aan de omgeving (lucht of koelwater) overgedragen en gaat de exergie hiervan verloren -+ n,., < 100 %

Bij het smoorproces l - 2 van fig. 13.18 wordt geen arbeid geleverd en geen warmte overgedragen, zodat el - e;, = ev. Volgens (13.7) geldt:

ei - e, = e, = (h1 - h,) - T,,(sl - s2) = T,,(s2 - S,) A opp. 4-3-8-7-4

Het smoren is een niet-omkeerbare adiabatisch proces, zodat ook geldt dat E,, = T,,ASIOt. Met ASomg = O levert dit:

De exergie van het gas in de begintoestand bedraagt:

e, = (hl - ha) - Tn(s, - S,,) = (h, - h,) - T& - s,) = (hl - hã) + To(s5 - s,) el A opp. 1-6-10-9-541

e2 = (h, - h,) - Ty(s2 - s,) A opp. 2-5-9-8-2 - opp. 3-5-9-8-3 = opp. 2-3-5-2

Omdat in het exergetisch rendement qeX = eJe, de teller e, kleiner is dan de noemer is nex < 100%. Zou 6-5 het verloop voorstellen van het smoorproces, dan is e,. = e, =

e,, = O -+ q,,, = O.

toepassing 13.4

Lucht (p,, T,,) expandeert omkeerbaar isothermisch tot de omgevingsdruk p,,.

Omdat n = l geldt volgens (5.4) en (3.14) dat w , =

Hieruit zou men de conclusie kunnen trekken dat de uit de omgeving toegevoerde warmte q,, geheel in arbeid wordt omgezet. Toon met behulp van een exergie- anergiestromingsdiagram aan dat deze conclusie niet juist is.

Op gelijke wijze kunnen we de waarde van e2 bepalen:

Het exergieverlies E" = To(AS s,,st + ASomg) = ToAS

Deze uitkomst moet ook berekend kunnen worden uit het verschil van de toe- en afgevoerde hoeveelheid exergie: e,, = el - (wtl-2 + e2) = {459,99 - (251,25 + 181,45)} kJlkg = 27,29 kJIkg Voor het exergetisch rendement schrijven we:

afgevoerde exergie - + e2

"X toegevoerde exergie e1

De gasturbine op zich heeft dus een hoog exergetisch rendement. De exergie e2 gaat echter in de meeste gevallen geheel verloren, zodat het exergetisch rendement van het proces bestaande uit de expansie in de turbine en de daaropvolgende menging van de gassen met de omgevingslucht aanzienlijk lager is (65,OYo in dit geval). Het gevraagde exergie-anergie-stromingsdiagram is in fig. 13.20 weergegeven.

Fig. 13.20

13.6 Vraagstukken


l Een gas met een temperatuur van 500 K bevindt zich in een cilinder. Bij constante druk wordt dit gas afgekoeld tot 330 K waarbij de warmte naar de omgeving (280 K) wordt afgevoerd. Bereken de exergie en de anergie van de afgevoerde warmte als de hoeveelheid gas 3 kg bedraagt en cp gelijk is aan 850 J/(kg. K). Hoe groot is de anergietoename van de omgeving en wat is het exergieverlies dat bij de warmteafvoer optreedt? Toon aan dat dit verlies gelijk is aan ToAStot. Teken het proces in een TS-diagram en geef hierin het exergieverlies als een oppervlakte aan.

2 In een condensor wordt stoom met een vochtpercentage van l0 % bij een constante druk van 0,04 bar verdicht tot vloeistof met de bij deze druk behorende verzadigingstemperatuur van 29 OC ( r = 2 433,l kJIkg). Het koelwater van de condensor heeft een intredetemperatuur van 17 'C; de temperatuur na de condensor bedraagt 23 'C. Bepaal bij een omgevingstemperatuur van 17 'C: a de afgegeven hoeveelheid warmte per kg natte stoom; b de exergie van deze warmte; welk percentage is dit van de overgedragen

hoeveelheid warmte en welke conclusie kan uit dit antwoord worden getrokken?

c de exergie van de bij a berekende warmte nadat deze door het koelwater is opgenomen, cw = 4,2 kJ/(kg K);

d het exergieverlies bij de warmte-overdracht.

3 In een gesloten, thermisch geïsoleerd systeem bevindt zich 2,5 kg gas van 22OC. Door een elektrisch aangedreven roeiwerk wordt 90 kJ wrijvingswarmte aan het gas toegevoerd. Het volume van het gas is constant. Bereken de exergie van de door het gas opgenomen warmte, alsmede het exergieverlies dat bij dit proces optreedt (in kJ en in procenten). De omgevingstemperatuur is 17 'C en cv = 720 J/(kg e K).

4 In een vat wordt l00 kg water van 3OO0C bij constante druk gemengd met 50 kg water van 200 'C. Bereken het exergieverlies dat bij deze menging optreedt. De omgevingstemperatuur bedraagt 17 'C en cw = 4,2 kJ/(kg - K).

5 Vanuit een warmtereservoir met een constante temperatuur van 1500 K wordt 1200 kJ warmte overgedragen aan een kringproces van Carnot waarvan de maximale temperatuur l O00 K bedraagt en de minimumtemperatuur gelijk is aan de temperatuur van de omgeving (T,, = 300 K). Ten gevolge van niet omkeerbare verschijnselen binnen de systeemgrenzen van de Carnot-machine is de afgevoerde warmte 140 kJ groter dan van de inwendig omkeerbaar werkende Carnot-machine.

Bereken het thermisch en exergetisch rendement van het kringproces en van de gehele installatie. Teken voor deze installatie een exergiestromingsdiagram met bijgeschreven waarden.

6 In een compressor wordt lucht van l bar en l 5 OC adiabatisch gecomprimeerd tot 5,s bar waarna de lucht bij constante druk in een nakoeler tot 40 'C wordt afgekoeld. Bereken per massa-eenheid: a de arbeid wt die moet worden toegevoerd als het isentrope rendement van de

compressor 75 % bedraagt; b de exergie van de warmte die in de nakoeler wordt afgevoerd; c het exergetisch rendement van het gehele proces inclusief de nakoeling. De omgevingsconditie is l bar en 15OC, k = 1,4, R = 287 J(kgeK) en cp = 1,O kJ/(kg K). De exergietoename van het koelwater kan worden verwaarloosd.

7 Lucht wordt adiabatisch gecomprimeerd van 0,95 bar en 15OC tot 6 bar. De benodigde technische arbeid bedraagt 250 kJ1kg. Als t. = 12OC, bereken dan de technische arbeid die minimaal nodig is om dezelfde eindtoestand te bereiken, alsmede het exergieverlies (in kJlkg) dat bij de genoemde compressie optreedt. Gegeven is dat Aek = 1,s kJlkg, cp = l O00 Jl(kg. K) en R = 287 Jl(kg K).

8 a Lucht beschouwd als een ideaal gas wordt van 2,s bar gesmoord tot l bar. Bereken het exergieverlies per massa-eenheid dat bij deze toestandsverandering optreedt. De omgevingstemperatuur is 288 K en R = 287 J/(kg K).

b Als begin- en eindtoestand van het bovengenoemde stromingsproces door een omkeerbare isotherm worden verbonden, bereken dan ql-2, eq1-?, en el - e2 in kJ1kg. De begintemperatuur van de lucht is 400 K. Geef elk van de berekende grootheden aan als een oppervlakte in een T-s-diagram.

9 Een ideaal gas van 6 bar en 500 K expandeert in een stromingsmachine polytroop (n = 1,3) tot 2 bar en levert daarbij aan de as van de machine een hoeveelheid arbeid w + ~ - ~ . De omgevingsconditie is l bar en 300 K. Van het gas cp = l O00 Jl(kg. K) en R =

287 Jl(kg . K). a Bereken de bovengenoemde arbeid en geef deze aan als een oppervlakte in

het T-s-diagram. b Bereken de exergie-afname per kilogram gas en geef ook deze aan in het

T-s-diagram. c Verklaar het verschil tussen de antwoorden van vraag a en b. d Als het gas na de expansie wordt gesmoord tot op de omgevingsdruk, hoe groot

is dan het daarbij optredende exergieverlies in kJ/kg?

10 Na de verbrandingskamer van een gasturbine wordt 40 kg verbrandingsgas van 6 bar en l400 K gemengd met zoveel lucht van 500 K en dezelfde druk dat de

eindtemperatuur l O00 K bedraagt. De druk blijft 6 bar. De druk en temperatuur van de omgeving zijn resp. l bar en 300 K. Als cpg = cpl = l O00 Jl(kg K), R = 287 Jl(kg - K) en k = 1,4, bereken dan: a de exergie van zowel de lucht als de verbrandingsgassen vóór de menging; b de exergie van het gasmengsel na de menging; c het exergieveriies dat bij de menging optreedt, m.b.v. de uitkomsten van a en b

en uit ToAStot.

Door een pijpenbundel die geplaatst is in een oven met een constante temperatuur van l 200 'C stroomt een vloeistof met een soortelijke warmte van 0,35 kJl(kg K). Deze vloeistof wordt bij constante druk van 15 'C tot 145 'C verwarmd. Bereken het exergieverlies per massa-eenheid alsmede het exergetisch rendement van dit proces. De omgevingstemperatuur bedraagt 7 'C.

In een ketel worden de verbrandingsgassen van l 200 OC bij een constante druk van l bar tot 5OO0C afgekoeld (cp = 1,l kJl(kg-K)). Hiermee wordt water van llOaC bij een constante druk van 6 bar omgezet in oververhitte stoom van 300 OC. De omgevingstemperatuur is 17 'C. Bereken het exergieverlies dat bij dit proces optreedt per kilogram water. Teken het proces in een T-S-diagram en geef hierin de exergieverandering van het water alsmede het exergieverlies als een oppervlakte aan. De warmte-overdracht verloopt omkeerbaar als tussen de beide media gas en water een omkeerbaar werkende machine wordt geplaatst. Bereken de arbeid die, uitgaande van l kg water, door deze machine kan worden geleverd. Geef deze arbeid in het T-S-diagram eveneens als een oppervlakte aan. Voor stoom van 6 bar en 300 OC is h = 3 062,3 kJlkg en s = 7,3740 kJl(kg K). cw = 4,2 kJl(kg K). Verder zijn gegeven de stoomtabellen achterin het boek.

In een gasgeyser wordt 80 l water van omgevingstemperatuur ( l0 OC) verwarmd tot 80 OC. Als kan worden aangenomen dat de exergie van de brandstof gelijk is aan de stookwaarde en 20% hiervan niet ten goede komt aan het water, maar naar de omgevingslucht wordt afgevoerd, wat is dan het exergetisch rendement van dit proces? cw = 4,2 kJ/(kg - K), pw = l O00 kglm3. Als het water elektrisch zou worden verwarmd en het thermisch rendement van de elektrische centrale 35 '%O is, wat is dan het exergetisch rendement van het gehele proces inclusief dat in de elektrische centrale? In de elektrische centrale wordt hetzelfde gas gebruikt als in de gasgeyser.

Water van 40 bar en 250,3 'C wordt bij constante druk omgezet in verzadigde stoom (r = 1715,7 kJikg). De hiervoor benodigde warmte is afkomstig van een brandstof die volledig uit exergie bestaat. Bij de verbranding gaat 25 '%O van de warmte verloren. Bereken de cmgevingstemperatuur T. als gegeven is dat de verhouding tussen de

exergietoename van het water en de exergie van de toegevoerde brandstof 0,32 bedraagt. Gegeven zijn de stoomtabellen achterin het boek.

l5 In een elektrisch aangedreven compressor wordt lucht van l bar en l 7 'C isentroop tot 5 bar gecomprimeerd. c,, = 1005 J/(kg - K), R = 287 J/(kg - K) en k = l,4. a Bereken het exergetisch rendement van het proces als l bar en 17 'C tevens de

omgevingstoestand is. b De perslucht wordt v e ~ o l g e n s in een koeler afgekoeld door warmte-afvoer aan

de omgevingslucht. Als de eindtemperatuur van de perslucht 17 'C bedraagt, bereken dan het exergetisch rendement van het gehele proces (compressie en afkoeling van de lucht).

c Bepaal het exergieverlies in de koeler. De berekening achtereenvolgens uitvoeren met behulp van een exergiebalans voor de koeler, uit de exergie van de afgevoerde warmte en uit (13.5).

16 In een gasturbine expandeert lucht van 6 bar en 800 K adiabatisch tot l,2 bar. Het isentrope rendement van de turbine is 85 %. De gassnelheid bij intrede bedraagt 50 d s en bij uittrede 150 d s . Bereken de arbeid die aan de as wordt geleverd als percentage van de arbeid die lucht van de gegeven begintoestand maximaal kan leveren en als percentage van de maximale hoeveelheid arbeid die bij de gegeven begin- en eindtoestand uit de lucht kan worden verkregen. Schets een exergie-stromingsdiagram. De omgevingstoestand is l bar en 290 K. c,, = 1050 J/(kg K), k = 1,4 en R = 287 J/(kg K).

17 Stoom van 8 bar en met 8 % vocht wordt gesmoord tot 2 bar. Bereken de exergie van het medium vóór en na de smoorkraan en het exergieverlies dat bij smoren optreedt. Teken het proces in een T-s-diagram en teken een exergie-anergiestromingsdiagram met bijgeschreven waarden. De snelheden vóór en na de smoorkraan blijven buiten beschouwing. Gegeven: Bij 8 bar: hvl = 720,94 kJ/kg, hd = 2 767,5 kJIkg, sv, = 2,045 7 kJ/(kg K), s,, = 6,659 6 kJ/(kg. K). Bij 2 bar: hvl = 504,70 kJ/kg, hd = 2 706,3 kJ/kg, svl = 1,530 l kJ/(kg. K), sd = 7,126 8 kJ/(kg. K). Bij een t,, van 15 'C is hvl = 62,94 kJ/kg en svl = 0,2243 kJ/(kg - K). De omgevingstoestand is 1 bar en 288 K.

Uitkomsten van de vraagstukken

Hoofdstuk l

l 13230 Pa 2 3123,s kJ 3 1239 kJ; 1032,5 J/(kg K) 4 424,2 W, 1,67 llmin 5 70,6 t/h

60 (100-X) Pu 6 co =

m,, ATo x [kJ/(kg . K)];

3600 (100-X) P,, ATã =

mw 4,2 . x 7 40%, 90%, 67%, 24% 8 41,7% 9 23,4O/o 10 78,6%; 1666,7 liter 11 10 kW, 100000; 8 maal zoveel 12 3,75 kg/h 13 39,9%; 236,3 MW 14 2565 - lo3 t; 513 miljoen gulden

6412,5 103 t; 513000 m2

15 38,8%; 80,8% 16 398,O MW 17 2,54 bar 18 78,5%; 33,6% 19 3,35 kg; 1,68 uur 20 76,9% 21 348,O K; 75,O bar; 70,6 bar; 99,5 kg/m3 22 3975,7 kglh; 1,33 kg/m:; 0,825 kg/m3; 0,335

m2; 2133,3 kg/h 23 54,7 m3; 2083,3 J/(kg . K) 24 8,O kg; 0,5 km01

519,5 J/(kg - K); 8312,O J/(kmol K); 25% 25 12,5; lOO/p kJ/(kg K) 26 238,9 kW; 0,21 ~ ; / M J 27 349,9 m3/h; 0,14 ~ ; / M J , 24,0% 28 60 kPa; 140 kPa; mllm = 0,221; m2/m = 0,779;

VJV = 0,3; V2/V = 0,7; Rm = 210,9 J/(kg - K); 49,64 kPa; 115,81 kPa

29 Ra = 371 J/(kg - K); VJV = 0,534; V2/V =

0,466; 1,O kg/m3; 1,07 bar; 0,93 bar

30 2 bar, 8 bar; m,/m = 0,141; m2/m = 0,859; VJV = 0,2; V2/V = 0,s; 202,9 J/(kg - K); 70,7 M J / ~

31 3,5 kg; 5,O m3

32 CO: 56 kg, O,: 40,3 kg, N2: 132,7 kg; 10,5% 33 2 kmol CO; 3 kmol O,; CO: 0,4; O,: 0,6

30,4 kglkmol; 273,5 J/(kg - K) 27,70 m

3; 41,55 m

3

2,19 kg/m3; 1,36 kg/rr( -32,O MJ

Hoofdstuk 2 l -600 kJ 2 3234 kJ 3 242,l kJ/kg; 302,l kJ/kg; 929,5 J/(kg . K) 4 248 kJ/kg 5 105,8 kJ; 160,2 kJ; 266 kJ; 1,66 6 90,4%; 2581,9 kJ/kg 7 16000 J; n = 2 8 52870,2 J; 7200 J 9 43,2 kJ; 20 kJ; 1,5 kJ

Door op de bovenkant van de zuiger een veer aan te brengen die wordt ingedrukt als het cilindervolume toeneemt.

10 40 kJ 11 90 kJ: 84 kJ

Hoofdstuk 3 l 330 kJ 2 279,7 K; -48,l kJ; -13,7 kJ 3 300 kJ; 85,7 kJ; 285,7 J/(kg . K)

139,2 k~/m; 4 3,47 bar; 363 K; 1,05 rr( 5 0,6m3;60kJ;AU=0 6 50 kJ; cv = 744 J/(kg. K); cã = 1041 J/(kg K) 7 252,l J/(kg K); -64,5 kJ/kg; AU = 193,5 kJ

enAU=O 8 l bar; 0,05 m3; 1,92 bar; 16,l kJ 9 -190 kJ; -820,3 k~/m: -650 kJ 10 248,7 kPa 11 1,19; -805,l J/(kg K); 107,l kJ/kg 12 170,7 kJ; -170,7 kJ

13 -286,4 kJ/kg; 215,7 kJ/kg; 61,9 kJ/kg 14 270,l K (n = 1,35); -102,7 J/(kg - K);

285,8 k ~ / d ; 10 15 1,23; 12,6 bar; -3837,l kJ 16 -138,6 kJ/kg, n = l ; 129,l kJ@, n = -l 17 6,O; 15% 18 287,9 kJ 19 4,74 m3

Hoofdstuk 4 l p, = 1,386 bar; 26,4% 2 n = 0,23; 19,3% 3 26,8% 4 T, = 477,6 K; 22,1% 5 13,1% 6 16,4% 7 31,3% 8 83,3%; 298,4 kJ/kg; c = 176; p, = 348,5 kPa 9 0,234 m3; Q: -10 kJ, O kJ, 25 kJ, O kJ; W: -10

kJ, -239,5 kJ, 25 kJ,239,5 kJ T, = T. = 371,7 K; T, = T, = 929,2 K

10 p: 0,9 bar, 13 bar, 33,8 bar, 2,34 bar; T: 290 K, 621,9 K, 1616,7 K, 753,9 K; V: 0,2 m3, 0,0297 m3, 0,0297 m3, 0,2 m3; 17,4%; 6,7; 53,4%; 484,4 kPa

11 67,9%; 453 bar 12 2232,2 K 13 52,7% 14 184,2 kg/h 15 e = 2,71; 20,5 kW, 273,8 MJIh; 3917,4 kg/h 16 77,8% 17 1,84 kW 18 1,06 kW, 96,4 Jlomw; 16,06 kW 19 237,O K; 979,O kJ

Hoofdstuk 5 l -1500,O kJ; 1,285; -1513,2 kJ; -5263,2 kJ 2 -6,9 kW, -4761 kJ/h 3 319,O m3/h; 10,O K 4 498,7 K; -12,6 MW; -11,5 MW,

-12633,4 MJ/h; -0,44 kJ/(kg . K) 5 0%; 33,25% 6 1,8 kglmin 7 -2,5 kW -31,6 kJ/min; 15,4 kJ/& 8 -2,O kW; 73,2 mm; 87,8 mm

9 56,5% 10 -32,5 kW, 5,8 dm3/omw; 434,9 K 11 1,3; -5,25 kW, -3800 kJ/h 12 50,O bar 13 21,2 kW, 138,2k~/mi; 1,3%; 26,4% 14 4,2 bar; 138,7 k~lrn:; 0,98 m 3 / ~ . T 15 765 k ~ l m ~ ; 150 kJ/kg; 306 k ~ / m ~ slagvolume 16 -30,5 kW, -11,8 MJ/h; -52,6 MJIh;

-43 MJ/h. 17 -15,5 kW, -1,84 kW, 4,2%, p, = p , 18 -310,9 kJ1kg; -402,O k~lm: 19 Wtma = -430 kJ 20 -30,8 kW, 1868,2 kg/h

Hoofdstuk 6 l -374,2 kW 2 94,8 m/s 3 10046,9 kW 4 1200 kJ/kg; 196,2 m/s 5 301,5 kJ/kg; 71,2% 6 40,4 m 7 28,9 cm 8 151,l m/s; 519,4 K; 159,2 m/s; 547,2 K 9 5,8; 5,4 10 2903,8 kJ1kg; 25 kgls 11 419,3 K; 2005,6 x 10"~ m2

12 2703,O kJ/kg; 1414,8 mls 13 70°C 14 2141,3 kJ/kg; ca. 0,5% 15 46,5 m/s

16 0,8 bar; -50 Jlkg

Hoofdstuk 7

T = -0,33 kJ/K -r n.o. kring-

proces door eindig temp. verschil bij de warmtetoevoer

2 5,4%; grote afmetingen voor een bepaald vermogen

3 187,5 K; O J/(K S); 1,67; -0,083 J/(K S) 4 75%; 150 kJ; O

66,7%; 200 kJ; -0,166 kJ/K 60%; 240 kJ; -0,3 kJ/K 45%; 330 kJ; -0,6 kJ/K

5 1,15 kW, 39,8OC

6 Q, : Q; = 0,s 7 38,7 kW, 32,7 kW 8 qt,, = 76,7% > " } t h -P kringproces kan met

de opgegeven waarden niet worden uitgevoerd

9 ZWA = (l- T2/T,)Q; de nuttige arbeid verandert niet zodat de toevoeging van een koelmachine zinloos is.

10 6,7 kW 11 18016,s kJ 12 -0,4707 kJ/K (koper); 06571 kJ/k 13 T, = 293,6 K; T2 = 325,4 K 14 s, = 2,2969 kJ/(kg -K); s2 = 3,0794 kJ/(kg . K)

AS = 0,7825 kJ/(kg - K) 15 444,2 J/K; 966,4 J/K 16 -8709,4 J/(kg . K) 17 63,9% 18 19865,6 J/K

19 q,.2 = = 83539,9 Jlkg; 208,85 J/(kg . K); Au = O

20 - 21 -321,5 kJ; O; 321,5 kJ; O

n = 1,25; 14,8bar 22 -8324,8 J/K; -2414,2 kJ; geldt voor zowel

zuurstof als stikstof 23 12,84 kg; 523,7 K; 24571,l J/K 24 n = k/(k-l) 25 niet omkeerbaar adiabatisch, omdat As > 0;

62,9 J/(kg . K) 26 -208,9 kJ 27 s2-s, = O; s, - s2 = 2136,80 J/(kg - K)

s4 - s, = 1226,93 J/(kg K); s; - s4 = -3363,73 J/(kg . K); Astot = O

28 AS = -1,73 kJ/K; ASomg = 2,50 kJ/K; AStot = 0,77 kJ/K

29 2,5 bar 30 AS = (3,212 - 3,010) kJ/K = 0,202 kJ/K 31 841,5 J/K 32 20%; 2723,9 J/K 33 -64,7 kJ/kg

AStot = (-81,3 + 230,9) kJ/K > O dus de toestandsverandering verloopt niet omkeerbaar

34 8,14 J/(kg . K)

35 AStot = ASã = 62,60 kJ/K; A S o = 68,80 kJ/K; in beide gevallen is AStot > O -r n.o. toestandsveranderingen

36 750 kW; 250 kW, AStot = 0; 700 kW, 300 kW, AStot = 166,7 J/(K . s); 50 kW; 550 kW, 450 kW; AStot = 666,7 J/(K . s); 200 kW

37 Asomg ASTã, Astot (J/K) 1206,l -1206,l 0 2010,l -1206,1 804 2412,2 -1206,l 1206,l

38 AStot = (-0,151 + 0,237) kJ/K = 0,086 kJ/K; AStot = (-0,151 + 0,307) kJ/K = 0,156 kJ/K

39 ASwrst = 0; ASomg = 9 J/K; AS-, = 2,62 J/K; ASãmg = 0

40 730,s K; ASto, = 777,l J/K; 629,4 K; W = 527,l kJ

Hoofdstuk 8 l 642,l K 2 213,7OC 3 52,7%; 36,s kJ/K 4 8,7% 5 84,1 J/(kg . K) 6 -1864,3 kJ; -4387,l kJ; 5,O bar; 260,86 K 7 14966,4 kg; 15% 8 350°C; 179,88OC; 1146,9 kJ;

2,25 kJ/(kg K) 9 99,9OC 10 838,5 kJ/kg; 599,l kJ/kg 11 302,O K; l4,1% 12 506,1 K; 541,6 K; 598,7 K; 690,3 K 13 15,0%; V, = 82,7 m3;

V2 = 116,4 m3; 2,38 J/(kg - K) 14 2736,s kg124 h; 8,3%; 78 mm 15 584,s kJ/kg; 1083,4 kg 16 627,2 kJ/kg; -1,96 kJ/kg; 1690,6 kJ/kg;

198 kJ/kg 17 51S0C; 1245 kJ/kg; 2,69 kJ/(kg. K)

2033,2 kJ/kg; 80,7 18 -156,2 kJ 19 313,2 kJ/kg; 66,3% 20 0,166 kglkg; 60,7%

21 516,63 kJ1kg 4,04 bar; 48,3 %

22 2115,6 kJ1kg; 1215,6 kJ1kg; 3548,2 kJ/kg; 34,3%; ca. 3,5 bar

Hoofdstuk 9 1 84,4%; 2,47 kJ/(kg K) 2 2150 kJ1kg; 17000 kW, 1,25% 3 88,2%; 28,1%; 7379,l kg/h 4 33380 kW, 2,165 kJ/(kg . K); 72,6% 5 256,9 kJ1kg; 82,4%; 1,53 bar; 316,1 K 6 419,7 J/(kg + K); 529,6 x lo3 Jlkg;

660,8 J/(kg . K); Ah = 0; Au = O 7 880,O mls; 993,4 m/s 8 322 W; 83,1% 9 9673,l kW, 839,2 kW, 1100,9 kW 10 52128 kW, 29,5%;

ca. 4,8% (h-s-diagram); 25920 kW 11 116030 kW, 85110 kW, 26,6% 12 4,15 kg; niet omk. omdat S2 > S, 13 18,O tlh; 2,O tlh; 18,8 tlh; 1,2 tlh;

65,8%, 2165,3 kW 14 577,4 mls

Hoofdstuk 10 l q, kJ/kg a 1197,4 b 1119,5

02 kJ1kg 604,9 708,5 ¥ZW kJlkg 592,5 411,l

Vth % 49,5 36,7 S.S.V. kg1MJ 1,69 2,43

2 q, kJ/kg a 2539,4 b 2534,3

q, kJlkg 1536,8 1689,O ¥ZW kJ1kg 1002,6 845,3

Vih 39,5 33,- S.S.V. kg/MJ 1 ,o 1,18

3 a T = 503,5 K; F = 660,4 K; - T = 528,6 K

b 39,2%; 42,1% c 20% d 7,373, 37,9%

4 ~ = 7 8 , 9 % Vth = 33,5%; q, = 2187,2 kJ/kg r,., = 33,3 %

De invloed van de pomparbeid is gering

5 a 42,1%; 22,5% b 10%; V,. = 43,5%; 23,0%; -

T, = 528,6 K; T, = 305,9 K; - T, = 540,7 K; T, = 305,9 K

6 a l 300 bar, 600°C, 3443 kJ1kg a2 100 bar, 403OC, 3115 kJ1kg a3 100 bar, 60OoC, 3623 kJ1kg a4 15 bar, 295"C, 3025 kJ1kg a5 15 bar, 550°C, 3580 kJ1kg a6 0,05 bar, 32,9OC, 2350 kJ1kg a7 0,05 bar, 32,0°C, 137,8 kJ1kg b 4368,2 kJ/kg c 62,3% d 49,473

7 1442,8 kJ1kg; -890,4 kJ; 552,6 kJ; 38,3%; dit is eveneens 38,3 %

8 36,0%; 1,30 kgMJ 33,8%; 1,14 kgMJ

9 340,5 tlh 10 22,7%; T = 560,5 K resp. T = 513,5 K;

33,6%; 317,l tlh 11 2,85%; 32,8"C; -42,8 kJ/kg;

l pomparbeid bij hoge drukken niet te verwaarlozen;

2 ook bij grote drukverschillen is de vloeistof als onsamendrukbaar te beschouwen

12 561,2 tlh; 81,3 tlh, 69,7 tlh; 40,8 tlh; 33,1%; 482,3 tlh; 31,0%

13 88,2%; 6,lbar, 350 'C; 10,32 tlh 1,4 bar, 209 'C; 6,26 tlh 0,32 bar, 85 OC; 6,79 tlh 43163 kW; 34,8%; 36,3%

Hoofdstuk 11 l 8,1%; 351,6 gMJ; 19,6%; 145,8 g/MJ 2 lucht: 4,52; 1060,l K

helium: 2,95; 576,2 K 3 18,5%; 135,1 gMJ; 27,4% 4 23,9%;28328 kW 5 84%; 88%; 52,9%; 28,5% 6 22,7%, 2074 kW, 22,8%; 30,4%, 2706 kW 7 36,8%; 33,3%; 24,9%; 37,0% 8 50,4 kg/s; 14,O MW, -8554,O kJIs, 74,0%;

0,36 mãls, 26,0%

Hoofdstuk 12 l 161,8% 2 352,2 K, 1602,3 kJ1kg; 1308,3 kJIkg, 10,5%;

12,25%; 6,68,24056 kJ1kWh 527,2 kg/h 3 4 - 5 4 19,l kW; 9707 kJ; 3619,4 kg/h 5 2,68 kJ/(kg - K); 0,108 kg/kg; E = 6,O kJ/kg;

1157,l kJ1kg 6 p bar 8,57 1,195 1,195 8,57

T K 293 243 243 333,2 s kJ/(kg - K) 1,0434 1,1344 5,4458 5,4458 h kJ1kg 274,9 274,9 1323,O 1571,7 x kglkg O 0,1693 0,94 O E 4,2; -65,9 kW

7 E = 2,98; -9,3 kW, 845,7 kg/h 8 8,7 K; 0,984 kJ/(kg K); 26,1%; 2,6 kgls;

20,3 m3/min; -68,4 kW 9 E = 2,39; E = 2,52 10 1,51 bar; 8,64 K; 340,4 K; = 3,29;

1466,9 kglh 11 63,S°C; 31,0%

Hoofdstuk 13 l 136,8 kJ; 296,7 kJ; 433,s kJ; E" = 136,8 kJ 2 -2189,9 kJ/kg; 87,O kJ/kg; ca. 4%

22,3 kJ; 64,7 kJ 3 8,3 kJ; 81,7 kJ; 90,8% 4 731,2 kJ 5 kringproces: 58,3 % , 83,3 %;

installatie: 58,3%, 72,9% 6 240,9 kJ1kg; 64,8 kJ/kg; 58,9% 7 223,s kJ/kg; 26,s kJ1kg 8 75,7 kJ1kg; q = 105,2 kJ1kg; 12 1031,s kJ; 3860,O kJ

e, = 29,s kJ1kg; w, = 105,2 kJ1kg 13 8,5%; 3,7% e, - e, = 75,7 kJ/kg 14 300,6 K

9 139,3 kJ1kg; 130,s kJ1kg; d.i. de exergie van 15 100%; 78,8%; 36,l kJ/kg de toegevoerde warmte; 59,7 kJ/kg 16 67,2%, 92,8%

10 31685,s kJ; 6432,7 kJ; 35501,6 kJ; 2616,s kJ 17 793,77 kJ1kg; 628,03 kJ1kg 11 27,9 kJ1kg; 24,5% e, = 165,74 kJ1kg

Ta bellen

Tabel I Gassen

vol. massa p c en C,, bij symbool molaire bij O0C en R 20°C, l bar C,

gas massa M 76 cm Hg k = - cv

CP C"

helium He 4,002 0,178 2 079 5274 3 181 1,66 argon A 39,95 1,782 208,5 532 322 1,66 lucht - (28,951 1,293 287,O 1 005 716 1,402 zuurstof o2 32,OO 1,429 259,9 913 633 1,400 stikstof N2 28,02 1,251 296,7 1 047 746 1,400 waterstof H2 2,016 0,089 9 4125,O 14266 10130 1,407 koolstofmonooxide CO 28,OO 1,250 297,O 1 047 754 1,40 koolstofdioxide CO, 44,OO 1,977 189,O 837 653 1,30 methaan (3% 16,03 0,717 518,8 2225 1700 1,31 ammoniak NH3 17,03 0,771 488,3 2219 1680 1,32 freon 12 CF,C12 120,92 - 68,7 532 465 1,148

Tabel U Water, verzadigingstoestand (temperatuurtabel)

temp. druk specifiek volume enthalpie verd. entropie

warmte

P ""1 "d hã hi r sV1 sd

bar m/ks m3/kg kJ/kg kJkg kJ/kg kJ/(kg - K) kJ/(kg . K)

Tabel JJ Vervolg

temp. druk specifiek volume enthalpie verd. entropie

warmte

P v4 vã h", hã r Svl ^d

bar m3/kg m

3/kg kJ/kg kJ/kg kJ/kg kJ/(kg . K) kJ/(kg . K)

Tabel Dl Water, verzadigingstoestand (druktabel)

druk temp. specifiek volume enthalpie verd. entropie

warmte

bar ¡C m3kg m3/kg kJ/kg kJ/kg kJkg kJ/(kg - K) kJ/(kg K)

0,06 36,183 0,001 006 23,74 151,50 2 567,5 2416,O 0,520 9 8,331 2 0,08 41,534 0,001 008 18,lO 173,86 2 577,l 2 403,2 0,592 5 8,229 6

0,lO 45,833 0,001 OIO 14,67 191,83 2 584,8 2392,9 0,6493 8,151 1

0,20 60,086 0,001 017 7,650 251,45 2 609,9 2 358,4 0,832 1 7,909 4

0,30 69,124 0,001 022 5,229 289,30 2 625,4 2336,l 0,944 1 7,7695

Tabel ffl Vervolg

druk temp. specifiek volume enthalpie verd. entropie

warmte

bar ¡C m3/kg m3/kg kJ/kg kJ/kg kJ/kg kJ/(kg . K) kJ/(kg . K)

Tabel IV Oververhitte stoom

l bar 2 bar

5 bar 7 bar

0,276 7 2 774,2 6,733 0

0,299 9 2 844,2 6,885 9

0,336 4 2 954,O 7,106 6

0,371 4 3 059,8 7,299 7

l 0 bar 12 bar

15 bar 20 bar

Tabel IV Oververhitte stoom

40 bar 50 bar

60 bar 80 bar

120 bar 100 bar

140 bar 160 bar

Tabel IV Vervolg

1 180 bar

1 250 bar

200 bar

300 bar

Tabel V Water (T < T.)

10 bar

v h s

40 bar

100 bar 80 bar

0,001 039 6 425,O 1,3007

0,001 056 2 509,2 1,520 6

0,001 075 2 594,l 1,731 1 0,001 096 8 679,8 1,933 8

0,001 121 6 766,7 2,129 9

120 bar 140 bar

0,000 995 5 97,O 0,293 3

0,000 998 2 138,4 0,432 2

0,001 OOI 7 179,8 0,566 6

0,001 010 9 262,8 0,823 6

0,001 022 6 346,O 1,066 1

Tabel V1 Freon 12 (CFzCiJ, verzadigingstoestand (temperatuurtabel)

l temp. 1 druk specifiek volume enthalpie verd. entropie

-k-- warmte

bar dm3/kg dm3/kg kJ/kg kJIkg kJ/kg kJ/(kg . K) kJ/(kg . K)

Gegevens ontleend aan Freon Products Division, E.I. du Pont de Nemours & Company 1969.

Tabel VH Freon 12 (CF,CI,), verzadigingstoestand (druktabel)

druk

P

bar

0,6 130

12

1,4 16

13 2 8

2,4

2,s

32

temp. specifiek volume enthalpie verd. entropie warmte

tv ""1 "a h. ha r ^,I sd

Tabel WlI Oververhitte damp van Freon 12 (CF2C12)

40

50

60

80

100

verz. o

10

20

30

40

0,6 bar (t, = -41,42 T)

257,5 168,94 0,729 0

259.3 169,72 0,732 4

283,8 180,94 0,778 5

307,9 192,52 0,822 5

319,8 198,45 0,843 9

331,7 204,47 0,864 7

343,s 210,57 0,885 2

355,2 216,77 0,905 3

367,O 223,04 0,925 1

378,7 229,41 0,944 4

402,O 242,37 0,982 2

1,4 bar (t, = -21,97 ' C )

2,O bar ( t = -12,53 ¡C)

1,O bar (t, = -30,lO ¡C)

v h s

1,8 bar (t , = -15,38 "C)

92,25 180,80 0,705 4

2,4 bar (t,, = -7,42 ' C )

Tabel Vm Vervolg

3,2 bar (t, = -J,11 "C) 2.8 bar (t, = -2,93 'C)

75,94 220,44 0,813 4

78,65 227,02 0,833 4

83,99 240,34 0,872 2

89,24 253,88 0,909 5

94,43 267,65 0,945 5

4,O bar (t , = 8,15 'C) 5,O bar (t, = 15,60 ¡C)

6,O bar (6 = 22,OO 'C) 7,O bar (t, = 27,65 ¡C)

Tabel Vin Vervolg

8 bar ( t , = 32,74 "C) 9,O bar ( t , = 37,37 'C)

3 1,62 263.81 0,866 4

3339 278,26 0,902 2

35,52 292,83 0,936 7

37,42 307,59 0,969 9

10,O bar (tã = 41,64'C) 12,O bar ( t = 49,31 'C)

14,41 206,24 0.679 9

14,48 206,81 0,681 6

15,46 214,96 0,706 5

17,22 230,57 0,752 0

18,81 245,70 0,793 7 20,30 260,63 0,832 6

14,O bar (t , = 56,09'C) 16,O bar (t, = 62,19"C

Tabel K Ammoniak (NH3), verzadigingstoestand

r ha S"] "d Sd hã t P ""l

Tabel IX Vervolg

Gegevens ontleend aan Circular No. 142 'Tables of Thermodynamic Porperties of Ammonia- National Bureau of Standards.

Tabel X Oververhitte ammoniakdamp

0,5 bar ( t = -46,54 ¡Q

1,5 bar (tv = -25,23 'C)

2,5 bar (t, = -13,67 ¡C)

1,O bar (L = -33,61 ¡C)

2,O bar (t, = -18,86 'C)

3,O bar ( t , = -9,23 'C)

Tabel X Vervolg

3,5 bar (t,, = -5,35 'Q

0 0,360 5 1451,s 5,460 0

10 0,377 0 1476,5 5,550 2

20 0,392 9 1500,7 5,634 2

30 0,408 6 1524,4 5,713 5

40 0,423 9 1547.6 5,789 0

50 0,439 1 1570,7 5,861 5

60 0,454 1 1593,6 5,931 4

70 0,468 9 1616,s 5,999 0

80 0,483 7 1639,3 6,064 7

100 0,5129 1685,2 6,191 0

4,5 bar (t, = 1,26 "C)

6,O bar (L = 9,29 'Q

4,O bar (t, = -1,89 'C)

5,O bar (t,,= 4,14 'C)

7,O bar (t, = 13,81 'C)

20 0,1874 1474,5 5,225 9

30 0,1963 1501,9 5,317 9

40 0,204 8 1528,l 5,402 9

50 0,213 1 l 553,4 5,482 6

60 0,221 2 1578,2 5,5582

Tabel X Vervolg

8,O bar ( t = 17,86 ' C )

t v h s

9,O bar ( t = 21,54 'C)

t v h s

80 0,206 0 1623,l 5,626 8

100 0,2196 1 671,6 5,7603

120 0.232 9 1719,8 5,886 1

140 0,245 9 1768,O 6,005 7

160 0,258 9 1816,4 6,1202

10,O bar (t, = 24,93 ' C )

80 0,182 0 1619,4 5,561 4

100 0,1942 1668.5 5,696 8

120 0,206 1 1717,l 5,823 7

140 0,217 8 1765,7 5,944 2

160 0,229 4 1814,4 6,059 4

12,O bar (t, = 30,96 ¡C)

80 0,1627 1615,6 5,502 1

100 0,173 9 1665,4 5,6392

120 0,184 7 1714,5 5,767 4

140 0,195 4 1763,4 5,888 8

160 0,205 8 1812,4 6,004 7

14,O bar ( t , = 36,28 ' C )

100 0,143 4 1659,2 5,537 9

120 0,1526 1709,2 5,668 7

140 0,161 6 1758,9 5,791 9

160 0,1705 1808,s 5,909 1

180 0,1792 1858,2 6,021 4

16,O bar (t,, = 41,05 'C )

Warmteleer Voor Technici

Documents

Transcript of Warmteleer Voor Technici