Volume 2 Antonio Carlos

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Empatia e história da matemática Volume 2

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Empatia e história da matemática

Volume 2

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Antonio Carlos Brolezzi

Volume 2

Empatia e história da matemática

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Série História da Matemática para o EnsinoVOLUME 2

Editor responsável: José Roberto MarinhoCoordenadores da Série: Iran Abreu Mendes e Bernadete Morey

Co-edição: Sociedade Brasileira de História da Matemática

Capa, Projeto Gráfico e Diagramação: Waldelino DuarteRevisão: o autor

Diretoria da SBHMATPresidente: Sergio Nobre (UNESP)

Vice-Presidente: Clóvis Pereira da Silva (UFPR)Secretário Geral: Iran Abreu Mendes (UFRN)

Tesoureiro: Bernadete Morey (UFRN)1° Secretário: Mariana Feiteiro Cavalari (UNIFEI)

Membros Conselheiros: Romélia Alves Souto (UFSJ)Lígia Arantes Sad (UFES)

Conselho fiscal: Fabio Maia Bertato (UNICAMP)Carlos Roberto Moraes (UNIARARAS)

Ficha Catalográfica

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora.

Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998

Editora Livraria da Físicawww.livrariadafisica.com.br

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Comissão Científica do XI SNHM

Iran Abreu Mendes Presidente da Comissão - UFRNAntonio Vicente Marafioti Garnica UNESP/Rio Claro; UNESP/Bauru

Bernadete Barbosa Morey UFRNCarlos Henrique Barbosa Gonçalves USP

Carlos Roberto Moraes UNIARARAS/SPEva Maria Siqueira Alves UFS

Fabio Maia Bertato UNICAMPFernando Guedes Cury UFRN

Fumikazu Saito PUC/SPGiselle Costa Sousa UFRN

Ítala Maria Loffredo D’ottaviano UNICAMPJoão Cláudio Brandemberg Quaresma UFPA

John Andrew Fossa UFRNLígia Arantes Sad UFES

Liliane dos Santos Gutierre UFRNLucieli Trivizoli UEM/PR

Marcos Vieira Teixeira UNESP/Rio ClaroMaria Célia Leme da Silva UNIFESP/SP

Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha IFPAMariana Feiteiro Cavalari UNIFEI/MG

Maria Terezinha de Jesus Gaspar UNB/DFMiguel Chaquiam UEPA/PA

Romélia Alves Souto UFSJ/MGSergio Roberto Nobre UNESP/RIO Claro

Tatiana Roque UFRJUbiratan D’Ambrosio USP

Wagner Rodrigues Valente UNIFESP/SP

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Sumário

Abertura ..............................................................................................................................9Agradecimentos .........................................................................................................11Nota Inicial .................................................................................................................... 13

Parte 1Empatia e conhecimento .................................................................................... 15

O que é empatia? ............................................................................................... 18Zona de desenvolvimento proximal de Vigotski ................... 26Obstáculos epistemológicos de Bachelard ................................... 27Exatidão empática de Rogers ................................................................ 30Olho da mente de Goleman .................................................................... 32Douta ignorância de Nicolau de Cusa ........................................... 34Empatia e projeção mental ........................................................................ 37Qual é o centro do universo? .................................................................. 39Empatia e matemática em construção ............................................. 43Conclusão ................................................................................................................ 49

Parte 2Atividades ...................................................................................................................... 53

1. Teorema de Pitágoras ............................................................................... 552. Terna pitagórica ............................................................................................ 563. Números triangulares ............................................................................. 57

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4. Números quadrados ................................................................................. 585. Somando um ímpar a um quadrado .......................................... 586. Números quadrados e ternas pitagóricas ............................... 607. Euclides .............................................................................................................. 60

Referências .................................................................................................................... 63O autor ............................................................................................................................. 71

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Abertura

A publicação de livros sobre história da matemática para uso didáticos pelos professores de Matemática teve sua origem no IV Seminário Nacional de História da

Matemática (IV SNHM), realizado em Natal (Rio Grande do Norte), em 2001. Naquele ano foram publicados nove títu-los referentes a temas variados. A receptividade dos textos, por parte de estudantes de licenciatura em matemática e por professores dos três níveis de ensino (fundamental, médio e superior), fez com que a sociedade brasileira de história da matemática levasse em frente o projeto, de modo a contribuir para a divulgação e uso dessa produção nas aulas de matemá-tica nos diversos níveis de ensino.

Com essa finalidade seguiram-se as coleções de 2003 no V SNHM em Rio Claro (SP), de 2005 em Brasília (DF), no VI SNHM, de 2007 em Guarapuava, no VII SN HM, em Belém/Pará no VIII SNHM de 2009, em Aracaju no IX SNHM de 2011 e em Campinas no X SNHM de 2013.

Para o XI SNHM de 2015, consideramos importante apresentar aos professores de Ensino Fundamental, Médio e Superior e aos estudantes de Licenciatura em Matemática de todo o Brasil, um rol mais diversificado de temas, tendo em vista o avanço dos estudos sobre História da Matemática nos

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diversos centros de estudos do país. Nessa perspectiva orga-nizamos os 09 volumes na Série História da Matemática para o Ensino.

Neste volume o autor argumenta que o conhecimen-to da história da matemática, pode deixar o professor mais próximo do aluno, e se colocar no lugar dele na tentativa de compreender suas lógicas, dificuldades e formas de aprender matemática. Assim, as atividades de sala de aula permitem refletir sobre o valor didático da história da Matemática no processo de tomada de perspectiva em relação ao aluno.

Iran abreu mendesBernadete morey(Organizadores)

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Agradecimentos

Agradeço ao professor Iran Abreu Mendes e aos organi-zadores do XI Seminário Nacional de História da Ma-temática pela oportunidade de apresentar essas ideias

pela primeira vez ao público.

Para Viviane, Alice, André e Cecília, com afeto tão gran-de que não cabe em livros.

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Nota Inicial

O conhecimento de história da matemática pode permi-tir ao professor colocar-se mais próximo do aluno, fa-cilitando eventualmente o processo de empatia, de se

colocar no lugar do outro na tentativa de compreender suas lógicas, dificuldades e formas de aprender matemática. Esse texto irá propor atividades de sala de aula que permitam re-fletir sobre o valor didático da história da matemática no pro-cesso de tomada de perspectiva em relação ao aluno.

O texto explora releituras de clássicos da educação do século XX, como Vigotski, Bachelard e Rogers, e ainda um au-tor do século XV, Nicolau de Cusa, não para apresentar o que eles têm de totalmente diferente, mas o que o que têm em comum. Nessa releitura, faremos uso do construto empatia, resposta afetiva ou cognitiva vicária a outras pessoas. Adota-mos a definição de Batson de que empatia é mobilização para o outro, para introduzir a ideia de que a empatia possibilita a mobilização para o conhecimento novo, uma projeção para fora de si mesmo, em direção ao universo. Nesse caminho, abordamos os construtos de zona de desenvolvimento proxi-mal, obstáculos epistemológicos, douta ignorância e projeção mental para então refletir, por meio dessa análise integrada, sobre a influência dos próprios conhecimentos, ou sobre o que

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achamos conhecer, no olhar sobre os conhecimentos alheios e o mundo da cultura. É na constituição sobre o conhecimento que temos do próprio conhecimento matemático é que se sita a história da matemática, que defendemos como elemento chave na formação do professor de matemática.

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1Parte

Empatia e conhecimento

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17Série História da Matemática para o Ensino

O tema da empatia na educação, enfocando particu-larmente a relação professor/aluno, foi proposto na década de 70 do século passado, principalmente

pela corrente originada do trabalho do psicólogo Carl Rogers (1902-1987). Sua abordagem reduzia, de certa forma, a ques-tão do conhecimento do professor dando ênfase à empatia do professor diante do aluno. Saber lidar e saber estar com o aluno pareciam ser os principais saberes necessários ao professor. Consequentemente, essa abordagem contribuiria para uma desvalorização de outros saberes e do próprio trabalho do professor (TARDIF, 2005).

Entretanto, o estudo sobre a empatia tem crescido nos últimos anos, ultrapassando a questão meramente comporta-mental e ligando-se ao estudo da própria constituição do co-nhecimento. Novas leituras permitem estabelecer, por exem-plo, uma relação mais forte entre Rogers e a obra de Paulo Freire (1921-1997), a qual Rogers se referia e admirava (GON-ÇALVES, 2008). Parece ter sido aberta a possibilidade de ex-plorar a existência de uma verdadeira empatia intelectual entre autores bem diferentes, de épocas e contextos muitas vezes considerados incompatíveis. O tema da empatia ainda parece ter valor para o crescimento profissional do professor, e em particular para o professor de matemática.

Ao invés de ampliar o fosso enorme que separa tantos autores e ideias importantes para a formação do educador, o presente texto irá propor releituras conciliatórias de alguns temas clássicos da educação, sob o prisma da empatia. Esse exercício de criatividade manifesta uma tentativa, incipiente e ingênua, de mostrar ideias próximas entre Lev Semenovit-ch Vigotski (1896-1934), Gaston Bachelard (1884-1962) e até

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mesmo um autor do século XV, Nicolau de Cusa (1401-1464). Nessa aproximação, utilizaremos o construto da empatia e seus desdobramentos na psicologia social e na neurociência. A hipótese é a de que a empatia possa servir para potenciali-zar a visão sobre a relação entre os aspectos afetivos, sociais e cognitivos do conhecimento humano, derivando disso, entre outras inúmeras consequências, um suporte para estudar o valor didático da história da matemática.

A pretensão é a de que estudos sobre a relação entre empatia e altruísmo (BATSON, 1991, 2009) que já tem sido explorados no que se refere à formação ética e ao convívio social (FESHBACK & FESHBACK, 2009; GOLEMAN, 2011), possam também representar formas de considerar a aprendi-zagem como abertura para o universo exterior, por meio da ampliação da realidade individual. Para tanto, considera-se o conceito de projeção mental (NICKERSON et al, 2009) que explicita a influência dos próprios conhecimentos ou expecta-tivas sobre eles na abertura para a aquisição de conhecimen-tos novos.

As potencialidades pedagógicas da história da matemá-tica (MIGUEL et al, 2009) aparecem então como componente fundamental que deve ser explicitado na formação do profes-sor de matemática. Pois é o conhecimento da história que per-mitiria ao professor e ao aluno um olhar mais reflexivo sobre seu próprio conhecimento matemático e sobre suas formas de aprender, ensinar e compreender seus erros e acertos. Enten-dendo melhor a forma como os outros pensam e sentem, a educação matemática se torna mais criativa, humana, simples e eventualmente divertida.

O que é empatia?

Empatia pode ser definida como uma resposta afetiva e cognitiva vicária a outras pessoas, ou seja, uma resposta afetiva e cognitiva apropriada à situação de outra pessoa, e

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não à própria situação. Segunda a definição que adotaremos aqui, essa resposta supõe uma mobilização para o outro. Ire-mos propor então que essa mobilização também seja impor-tante para a abertura para o mundo exterior, transcendendo a circunscrição do sujeito, necessária para abrir-se a conhe-cimentos novos. Em particular, entendemos que a formação em história da matemática, como parte da cultura matemática geral que todo professor deve ter, pode ajuda-lo a entendem melhor como se dá o processo de ensino aprendizagem da matemática. A questão da demonstração, no contexto da his-tória da matemática, será apresentada como exemplo do que estamos falando, ao final do texto.

A palavra empatia tem pouco mais de cem anos (GAL-VÃO, 2010). O termo empatia surgiu da palavra alemã Ein-fühlung (sentir dentro, sentir em) no contexto da filosofia da arte, no final do século XIX, e era utilizado inicialmente para descrever a experiência estética. O conceito Einfühlung tenta-ria representar o mecanismo por meio do qual os seres huma-nos entendem ou captam a perspectiva de objetos inanima-dos e outras espécies de animais se colocando em seu lugar. (GALLESE, 2003).

Ao contemplar uma pintura artística ou outro objeto, o conjunto das respostas físicas e sentimentos despertados seria descrito como Einfühlung (FREEDBERG & GALLESE, 2007). A relação entre o observador e o objeto, na qual o observa-dor se projeta pela imaginação dentro do objeto contempla-do, essa fruição (ARAUJO, 2009) transferiria às obras de arte, por exemplo, propriedades subjetivas como elegância e força, dando vida a essas obras (SAMPAIO et al, 2009). Vigotski, no início do século passado, indicava que empatia seria uma es-pécie de transferência de estados de espírito do observador para o interior de formas, objetos e fenômenos (VIGOTSKI, 1999; SMAGORINSKY, 2011).

Teria sido a experiência estética que levou o filósofo ale-mão Robert Vischer (1847-1933) a inventar o termo Einfühlung (GALLESE, 2003). A contemplação de uma pintura artística

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poderia provocar uma simpatia (sentir com) estética (FREE-DBERG; GALLESE, 2007). Vigotski captou esse conceito e o utilizou em sua investigação sobre a estética da arte:

A natureza da nossa alma é tal que ela se insere integral-mente nos fenômenos da natureza exterior ou nas formas criadas pelo homem, atribuindo a esses fenômenos – que nada tem em comum com nenhum tipo de expressão – certos estados da alma, e mediante um ato não arbitrário e inconsciente transfere-se com seu estado d’alma para o objeto. Esse empréstimo, esse investimento, essa em-patia da alma com formas inanimadas é precisamente o problema fundamental da estética (FISCHER, 1905 apud VIGOSTKI, 1999, p. 261).

Freud já fazia uso do vocábulo Einfühlung desde, pelo menos, 1905 (COELHO JUNIOR, 2004), influenciado pelos trabalhos do filósofo alemão Theodor Lipps (1851-1914), a quem ele admirava profundamente (DECETY; JACKSON, 2004), atribuindo à empatia papel fundamental na psicaná-lise.

É possível que Vigotski já tivesse contato com o termo a partir de Freud, mas ele se refere diretamente a outros autores e a Lipps que, inspirado pelas ideias de Vischer, estendeu o conceito de Einfühlung para o domínio da intersubjetividade, da relação entre pessoas, utilizando-o para descrever uma imitação interior do movimento percebido em outros (GAL-LESE, 2003).

Na descrição de Lipps, esse fenômeno ocorreria no mo-vimento de um indivíduo que se projeta para o interior do outro, e dá o exemplo clássico da sensação de quem assiste à performance de um acrobata: “Quando assisto a um acroba-ta andando sobre uma corda bamba, sinto-me nele” (LIPPS, 1903 apud DE WAAL, 2010, p. 94).

Essa forma de ligar a empatia com a experiência estética parece ter sido relevante para Vigotski, a ponto de se referir a