Verzekeringen op twee levens

13
PMA Levensverzekeringswiskunde (vakcode 370894) 3. Verzekeringen op twee levens

Transcript of Verzekeringen op twee levens

Page 1: Verzekeringen op twee levens

PMA Levensverzekeringswiskunde

(vakcode 370894)

3. Verzekeringen op twee levens

Page 2: Verzekeringen op twee levens

Verzekeringen op twee levens

- Verzekeringen met uitkering mits beide personen leven

- Verzekeringen op de langstlevende:

niet beïnvloed door het overlijden van de 1e persoon, maar eindigend bij het

overlijden van de 2e

- Overlevingsverzekeringen (bijvoorbeeld bij nabestaandenpensioen):

- Weduwepensioen

- Weduwnaarspensioen

- Wezenpensioen (voor wezenpensioen en erfrente wordt verwezen naar Van As

e.a., in het bijzonder §4.4.3)

In de voorbeelden wordt hierbij vaak uitgegaan van een combinatie van

een man en een vrouw. Voor combinaties van twee personen van

hetzelfde geslacht kan men gebruik maken van de aantallen levenden in

de overlevingstabellen.

Page 3: Verzekeringen op twee levens

Voorbeeld van kapitaalverzekering indien

beide personen leven

Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen tegen koopsombetaling

een kapitaal van €50.000 ontvangen over 35 jaar mits zij beiden in leven

zijn.

Overlevingskans man = l65/l30 (GBM) = 8610212/9860917 = 0.8732

Overlevingskans vrouw = l63/l28 (GBV) = 9166121/9916378 = 0.9243

Overlevingskans stel = l65/l30 (GBM) x l63/l28 (GBV) = 0.8071

Koopsom = €50.000 x l65/l30 (GBM) x l63/l28 (GBV) x

€50.000 x 0.8071 x 1.03-35 = €14.341

Of (zie verbindingstafel GB): €50.000 x D65 63/D30 28 =

€50.000 x 115553/402860 = €14.342

353A

Page 4: Verzekeringen op twee levens

Voorbeeld van lijfrente

indien beide personen leven

Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen een 35 jaar

uitgestelde, levenslange, prenumerando lijfrente ontvangen, zolang

ze beiden leven. De uitkeringen zijn €10.000 per jaar.

Koopsom = €10.000 x 35|ä30 28 = €10.000 x N65 63/D30 28 =

€10.000 x 1326007/402860 = €32.915

Bij direct ingaan van de lijfrente:

Koopsom = €10.000 x ä30 28 = €10.000 x N30 28/D30 28 =

€10.000 x 9912576/402860 = €246.055

Page 5: Verzekeringen op twee levens

Voorbeeld van lijfrente

op de langstlevende persoon

Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen een direct ingaande,

levenslange, prenumerando lijfrente ontvangen, zolang een van hen beiden leeft.

De uitkeringen zijn €10.000 per jaar.

Dit komt feitelijk neer op een combinatie

oftewel één uitkering indien beiden leven, dan wel één uitkering indien een van

beiden leeft, dan wel geen uitkering indien geen van beiden leeft.

Koopsom = €10.000 x €10.000 x

€10.000 x

€10.000 x (1042410/40626 + 1172705/43342 – 9912576/402860) =

€10.000 x (25,6587 + 27,0570 – 24,6055) = €10.000 x 28,1102 = €281,102

man vrouwx y x ya a a

30 28 30 28man vrouwa a a

30 28

a

30 2830 28

30 28 30 28

man vrouw NN N

D D D

Page 6: Verzekeringen op twee levens

Voorbeeld van overlevingsverzekering:

nabestaandenpensioen - weduwe

Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw sluiten een verzekering waarbij de vrouw een levenslange prenumerando lijfrente ontvangt, wanneer de man komt te overlijden. De uitkeringen zijn €10.000 per jaar.

Dit komt feitelijk neer op een combinatie

oftewel één uitkering indien de man is overleden en de vrouw nog leeft, dan wel geen uitkering indien beiden leven, geen van beiden leeft, of de man leeft en de vrouw is overleden. Zo geldt voor het weduwnaarspensioen

Koopsom = €10.000 x €10.000 x

€10.000 x

€10.000 x (1172705/43342 – 9912576/402860) =

€10.000 x (27,0570 – 24,6055) = €10.000 x 2,4515 = €24.515

vrouwy x ya a

manx x ya a

30|28a

28 30 28vrouwa a

30 2828

28 30 28

vrouw NN

D D

Page 7: Verzekeringen op twee levens

Voorbeeld van overlevingsverzekering:

nabestaandenpensioen - weduwnaar

Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw sluiten een verzekering waarbij

de man een levenslange prenumerando lijfrente ontvangt, wanneer de

vrouw komt te overlijden. De uitkeringen zijn €10.000 per jaar

Koopsom = €10.000 x

€10.000 x

€10.000 x

€10.000 x (1042410/40626 – 9912576/402860) =

€10.000 x (25,6587 – 24,6055) = €10.000 x 1,0532 = €10.532

28|30a

30 30 28mana a

30 2830

30 30 28

man NN

D D

Page 8: Verzekeringen op twee levens

Opmerkingen over

verzekeringen op twee levens

- Er is geen verschil tussen de koopsom van een prenumerando

weduwepensioen en een postnumerando weduwepensioen,

aangezien er geen verschil is in het startmoment van de

uitkeringen (begin van het jaar na overlijden c.q. eind van het

jaar van overlijden).

- Koopsom indien beiden leven €246.055

+ Koopsom weduwepensioen €24.515

+ Koopsom weduwnaarspensioen €10.532

= Koopsom langstlevende €281.102

Page 9: Verzekeringen op twee levens

Formules:

indien beide personen leven (1)

- Koopsom voor uitkering over n jaar, van een kapitaal U voor een

x-jarige man en een y-jarige vrouw, mits beiden leven:

Koopsom = 1nx y

U A

x n y n

x y

DU

D

1 1

1 1

x n y n x n y n

x y x y

N NU

N N

Page 10: Verzekeringen op twee levens

Formules:

indien beide personen leven (2)

- Koopsom voor een n jaar uitgestelde, levenslange, prenumerando

lijfrente met periodieke uitkering van U, voor een x-jarige man

en een y-jarige vrouw, mits beiden leven:

Koopsom = n x y

U a

x n y n

x y

NU

D

Page 11: Verzekeringen op twee levens

Formules:

op de langstlevende persoon

- Koopsom voor een n jaar uitgestelde, levenslange, prenumerando

lijfrente met periodieke uitkering van U, voor een x-jarige man

en een y-jarige vrouw, zolang een van hen beiden leeft:

Koopsom =n x y

U a

x yx yn n n

U a a a

vrouwmany n x n y nx n

x y x y

N NNU

D D D

Page 12: Verzekeringen op twee levens

Formules:

nabestaandenpensioenen (1)

- Koopsom voor een x-jarige man en een y-jarige vrouw, voor een

weduwepensioen met periodieke uitkering van U zolang de

vrouw leeft, na het overlijden van de man:

Koopsom =|x y

U a

y x yU a a

vrouwy x y

y x y

N NU

D D

Page 13: Verzekeringen op twee levens

Formules:

nabestaandenpensioenen (2)

- Koopsom voor een x-jarige man en een y-jarige vrouw, voor een

weduwnaarspensioen met periodieke uitkering van U zolang de

man leeft, na het overlijden van de vrouw:

Koopsom = |y x

U a

x x yU a a

man x yx

x x y

NNU

D D