Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

22
Rekenen-wiskunde R Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den Brom- Snijders Ortwin Hutten Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Reken-wiskundedidactiek

description

Met behulp van de boeken en de website www.paborekenen.nl kun je op verschillende manieren werken aan de ontwikkeling van je vakspecifieke competenties voor rekenen-wiskunde. Je leert op gevarieerde wijze de mogelijkheden die de rekenwiskundedidactiek biedt om kinderen vooruit te helpen in hun ontwikkeling.

Transcript of Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Page 1: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Verhoud

ingen, pro

centen, breuken en ko

mm

agetallen

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

R

Rekenen-wiskund

e

R

Rekenen-wiskund

e

Marc van Zanten Jos van den BerghPetra van den Brom- Snijders Ortwin Hutten

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Reken-wiskundedidactiek

De driedelige serie Reken-wiskundedidactiek vormt een belang -rijke bron voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak Rekenen-wiskunde. De boeken zijn opgezet vanuit de domeinen van de Kennisbasis: hoe komen ze voor in de realiteit, om welke wiskunde(taal) gaat het en hoe kun je eraan werken in de basis-school. In elk deel is aandacht voor de globale theorie van het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde.

Deze herziene serie Reken-wiskundedidactiek speelt in op de hogere eisen die de Kennisbasistoets stelt aan de professionele gecijferdheid van studenten en houdt tegelijk voldoende rekening met al het overige dat in de Kennisbasis zit: didactiek, leerlijnen en differentiatie.

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen hebben van alles met elkaar te maken. Tegelijkertijd zijn ze ook verschillend van elkaar. Dit deel beschrijft deze domeinen in hun onderlinge samenhang. Aan bod komt vooral hoe je basisschoolkinderen greep kunt laten krijgen op deze pittige leerstof en hoe het reken-wiskundeonderwijs hen daarbij ondersteunt. De nadruk ligt op de groepen 5 tot en met 8.

Naast de boeken is er een ondersteunende website www.paborekenen.nl met o.a. docenten handreikingen. De serie is ook beschikbaar via de Schooltas-app.

Page 2: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Marc van Zanten Jos van den Bergh Petra van den Brom- Snijders Ortwin Hutten

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Reken-wiskundedidactiek

15303_Rekendidactiek_boek.indb 1 14-01-14 14:25

Page 3: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

2

COLOFON

auteurs Marc van ZantenJos van den BerghPetra van den Brom-SnijdersOrtwin Hutten

redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht

art directionIneke de Graaff, Amsterdam

opmaak binnenwerkImago Mediabuilders, Amersfoort

ontwerp omslag en binnenwerkStudio Fraaj, Rotterdam

beeld omslagBade creatieve communicatie, Baarn

illustraties hoofdstukopeningenCor den Dulk

Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Over ThiemeMeulenhoff

ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert

educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet

Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs.

Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking

met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde

leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling.

ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke student.

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van

onze educatieve oplossingen:

www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088 800 20 16

ISBN 978 90 06 95537 8

Tweede druk, eerste oplage, 2014

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2014

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden

verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd

gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op

enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,

opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande

schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan

op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23

augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient

men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te

voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten

Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.

stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze

uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken

(artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden.

Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het

maken van kopieën in het onderwijs zie www.

auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen

volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks

menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich

alsnog tot de uitgever wenden.

15303_Rekendidactiek_boek.indb 2 14-01-14 14:25

Page 4: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

3

Inhoud

1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen1.1 Verhoudingen zijn de basis

1.1.1 Overeenkomsten en verschillen1.1.2 Absoluut en relatief

1.2 Onderlinge relaties1.2.1 Begrip

Breuken en kommagetallenBreuken en procenten

1.2.2 Weetjes

2 Verhoudingen2.1 Verhoudingen zijn overal

2.1.1 Evenredige verbandenKwalitatieve en kwantitatieve verhoudingenInterne en externe verhoudingenVerhoudingsdelingLineair verband

2.1.2 Niet-evenredige verbanden2.1.3 Bijzondere verhoudingen

De gulden snedeDe verhouding π

2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen2.2 Verhoudingen op de basisschool

2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingenInformeel handelen en redenerenModelondersteund redeneren en rekenen in contextsituatiesModelondersteund en formeel redeneren en rekenen

2.2.2 Modellen bij verhoudingenDe dubbele getallenlijnDe verhoudingstabelKruiselings vermenigvuldigenSchaal en schaallijn

2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen SnelheidAndere verschijningsvormenGestandaardiseerde verhoudingen

2.2.4 Samenhang met andere domeinenVerbandenMeten en meetkunde

15303_Rekendidactiek_boek.indb 3 14-01-14 14:25

Page 5: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

3 Procenten3.1 Procenten kom je veel tegen

3.1.1 Verschijningsvormen in de realiteitGrapjes en aandachtstrekkers

3.1.2 Een gestandaardiseerde verhoudingRedeneren met kansen

3.1.3 Wiskundetaal bij procentenGeschiedenis van procenten

3.2 Procenten op de basisschool3.2.1 Schets van de leerlijn procenten3.2.2 Introductie van procenten3.2.3 Modellen bij procenten

De strookDe verhoudingstabelCirkelmodel en sectordiagram

3.2.4 Rekenen en redeneren met procentenDeel-totaalvraagstukkenToename- en afnamevraagstukkenHoofdrekenen mét papierDe standaardprocedure rekenen via de 1%ProcentenasymmetrieRekenen met de rekenmachine

3.4.5 Samenhang met andere domeinenVerbanden

4 Breuken4.1 Verschijningsvormen van breuken

4.1.1 Getal en verhouding4.1.2 Wiskundetaal bij breuken

Geschiedenis van breuken4.2 Breuken op de basisschool

4.2.1 Schets van leerlijn breuken4.2.2 Breukbegrip

GelijkwaardigheidGelijknamigheid

4.2.3 Modellen bij breukenDe cirkelStok, strook en getallenlijnDe rechthoek

4

15303_Rekendidactiek_boek.indb 4 14-01-14 14:25

Page 6: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

4.2.4 Rekenen en redeneren met breukenDeel, veel en eerlijk delenVergelijkenMeten met breukenOptellen en aftrekken met breukenVermenigvuldigen met breukenDelen met breuken

4.2.5 Samenhang met andere domeinenMeten

5 Kommagetallen 5.1 Kommagetallen in de realiteit

5.1.1 Meetgetallen5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen

Geschiedenis van kommagetallen5.2 Kommagetallen op de basisschool

5.2.1 Schets van de leerlijn kommagetallen5.2.2 Inzicht in kommagetallen

Decimale structuur en continu karakter Meten en meetcontextenIs 8,9 hetzelfde als 8,90?Cijfers of getallen? Uitspraak van kommagetallen

5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallenDe getallenlijnGeld als denkmodelHet positieschema

5.2.3 Rekenen en redeneren met kommagetallenOrdenen en vergelijken De nul in kommagetallenInschatten en schattend rekenenOptellen en aftrekken met kommagetallenVermenigvuldigen en delen met kommagetallen

5.2.5 Samenhang met andere domeinenHele getallenMeten

6 Globale theorie reken-wiskundedidactiek6.1 Domeinen en doelen

6.1.1 Gecijferdheid6.1.2 Doelen

Kerndoelen en referentiekader

5

15303_Rekendidactiek_boek.indb 5 14-01-14 14:25

Page 7: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

6.2 Leerprocessen bij rekenen-wiskunde6.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde6.2.2 Rekenen-wiskunde leren

Mathematiseren Taal en betekenisOefenen

6.2.3 LeertheorieënOntwikkelingspsychologieHandelings(leer)psychologieCognitieve psychologieSociaal constructivisme

6.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde6.3.1 Onderwijsleerprincipes rekenen-wiskunde

Mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteitModelleren en formaliserenRuimte voor eigen inbreng van leerlingenInteractie en reflectieVerstrengeling van leerlijnen

6.3.2 Didactische modellenDe ijsbergmetafoorHet handelingsmodelHet drieslagmodel

6.3.4 Ontwikkelingen in de didactiekGeschiedenis van reken-wiskundedidactiekDidactiek in discussie

7 Differentiatie7.1 Differentiatie in niveau

7.1.1 Fundamenteel niveau 1F7.1.2 Als 1F niet haalbaar is7.1.3 Hoger dan 1S: compacten en verrijken

7.2 Omgaan met verschillen7.2.1 Waarnemen: verzamelen van gegevens in een groepsoverzicht

LeerlingvolgsysteemDL, DLE en LRQToetsenObservaties en gesprekken

7.2.2 Begrijpen: formuleren van onderwijsbehoeftenWelke doelen wil je bereiken?Hoe kun je de doelen bereiken?Domeinspecifieke onderwijsbehoeften

6

15303_Rekendidactiek_boek.indb 6 14-01-14 14:25

Page 8: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

7.2.3 Plannen: een groepsplan opstellenClusteren van onderwijsbehoeftenExtra ondersteuningCompacten en verrijkenOpzetten van je reken-wiskundelesEen groepsplan in groep 1 en 2

7.2.4 Realiseren en evalueren van een gedifferentieerd aanbod7.3 Individueel maatwerk

7.3.1 Diagnostisch gesprekDoelVoorbereidingTijdens het gesprekProtocol

7.3.2 Het handelingsplanOpstellen handelingsplanEvalueren

8 Meer weten over…

7

15303_Rekendidactiek_boek.indb 7 14-01-14 14:25

Page 9: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

15303_Rekendidactiek_boek.indb 8 14-01-14 14:25

Page 10: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

1 Samenhang tussen verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Flinke daling aantal inbraken

De politie heeft meegedeeld dat er vorig jaar in 1 op de 25 huizen in Breu-kelerdam een inbraak is gepleegd. Dit jaar bleek dat nog maar in 1 op de 20 huizen te zijn gebeurd. Een flinke daling. Maar ook 20% is natuurlijk nog altijd te veel. Het is te hopen dat de politie alles in het werk stelt om de vei-ligheid in Breukelerdam te vergroten.

Bron: Buys et al., 1996

De schrijver van het krantenbericht ‘Flinke daling aantal inbraken’ lijkt zich een beetje te vergissen. Welke fouten maakt hij?

1.1 Verhoudingen zijn de basisVerhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking brengen. Bijvoorbeeld:

❍ 1 op de 4 pabostudenten is een jongen; ❍ 1

4 deel van de pabostudenten is een jongen;

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

9

15303_Rekendidactiek_boek.indb 9 14-01-14 14:25

Page 11: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

❍ 25% van de studenten op de pabo is een jongen; ❍ de verhouding van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het

totale aantal studenten is 1 : 4. Maar let op: de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de pabo is 1 : 3!

Ook kun je de breuk 1 4 ook als het kommagetal 0,25 noteren en heeft de

deelopgave 1 : 4 als uitkomst 1 4 ofwel 0,25.

Overeenkomsten en verschillenWiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub)domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen ook breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd is gesteld. Hierdoor kun je hetzelfde op verschillende manieren zeggen of schrijven, zoals in de tekst ‘Flinke daling aantal inbraken’ is gedaan.Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschij-ningsvormen in de realiteit. Bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten kom je veel tegen bij kortingen en rente, terwijl kortingen niet worden uitgedrukt in kommag-etallen.In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. Bijvoorbeeld in een krant, waar ze worden gebruikt om getals-matige informatie weer te geven. In het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is dit goed te zien. Verhoudingen worden hier niet alleen geschreven als verhouding, maar ook als percentage en breuk.

Proefrijbewijs jongeren succes

Veel ongelukken op de weg worden veroorzaakt door te hard rijden. Zo’n 60% van de on-gelukken vindt plaats op provinciale wegen waar de maximumsnelheid 80 km/u is. Uit on-derzoek blijkt dat zeker de helft van de mannen tot 28 jaar wel eens te hard rijdt. Een derde geeft aan regelmatig veel harder te rijden dan is toegestaan. Het ingevoerde proefrijbewijs voor jongeren die net hun rijbewijs hebben gehaald, kan dan ook op veel instemming reke-nen: 4 op de 5 Nederlanders vindt dat een prima zaak. Slechts 10% vindt het een overbodi-ge maatregel en een tiende van de ondervraagden heeft geen mening.

MaximumsnelheidIn het krantenbericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ is sprake van een (maxi-mum)snelheid van 80 kilometer per uur. Hoeveel meter per seconde is dat?

overregularisatie

verschijningsvorm

notatie

getalsmatige informatie

10

15303_Rekendidactiek_boek.indb 10 14-01-14 14:25

Page 12: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

De wijzers van de klokOm de snelheid van een voorwerp dat ronddraait (boortol, benzinemotor) te duiden, gebruik je bijvoorbeeld het aantal toeren per minuut.a Bereken met welke snelheid de grote wijzer van de klok ronddraait, in toeren per minuut of omwentelingen per seconde.b Doe hetzelfde voor de kleine wijzer.c Hoe verhouden de omwentelingssnelheden van de grote en kleine wijzer zich tot elkaar?

Breuken en verhoudingen ziena Welke breuken zie je in de figuur?b Welke verhoudingen zie je in de figuur?

1.1.1 Absoluut en relatiefIn het bericht ‘Proefrijbewijs jongeren succes’ gaat het niet om absolute gegevens, maar om relatieve gegevens. Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo. Relatieve gegevens zijn verhoudingsmati-ge gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: 1 op de 4 pabostudenten is man. Het daadwerkelijke aantal mannelijke pabostudenten weet je daarmee nog niet. Om dat te bepalen, heb je het absolute aantal pabostudenten nodig. In dit voorbeeld is het absolute aantal pabostudenten 536. Daarvan is 1 op de 4 man. Dat is dus 536 : 4 ofwel 134.Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onder-scheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en het nieuws niet goed begrijpen. Juist dit onderscheid is erg lastig voor kinderen, zoals te zien is in het volgende lesfragment (Uit: Van Galen, 2003. Het complete artikel vind je op www.paborekenen.nl.).

Speel je een muziekinstrument?De gegevens in de volgende tabel komen uit een onderzoekje ‘Speel je een muziekinstrument?’.

ja nee totaaljongens 39 125 164meisjes 73 165 238

absolute gegevensrelatieve gegevens

gecijferdheid

11

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 11 14-01-14 14:25

Page 13: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Samira (groep 7) heeft de gegevens ingevoerd in een computerprogramma.Het computerprogramma laat twee stroken zien:

Bron: Rekenweb.

Meester Frans vraagt: ‘Zijn er verschillen tussen jongens en meisjes?’Samira antwoordt: ‘Dat kan je niet goed zeggen. Want er hebben wel meer meisjes ja gezegd, maar er hebben ook veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek. Je kunt het zo niet vergelijken.Meester Frans laat het computerprogramma de gegevens nu in een cirkeldi-agram plaatsen:

Bron: Rekenweb.

Samira wijst naar het roodgekleurde stuk bij de meisjes en zegt dat dit inderdaad groter is dan bij de jongens. ‘Maar,’ zegt ze, ‘dat is logisch, want er hebben veel meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’Met hulp van meester Frans worden de antwoorden uitgedrukt in breuken: ongeveer een kwart van de jongens en ongeveer 3

10 deel van de meisjes antwoordt ja. Waarop Samira besluit: 3

10 is meer dan een kwart, dus de meisjes zeggen iets meer ja.’ ‘Maar,’ vervolgt ze, ‘dat is ook wel logisch, want er hebben meer meisjes meegedaan aan het onderzoek.’

Samira blijft herhalen dat het logisch is dat er meer meisjes ja antwoorden, omdat er meer meisjes aan het onderzoek meededen. Hieruit kun je afleiden dat zij het relatieve aspect nog niet doorziet, ondanks de verschillende representaties (het cirkeldiagram en de breuken). Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband

12

15303_Rekendidactiek_boek.indb 12 14-01-14 14:25

Page 14: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

te brengen. Dit kan bijvoorbeeld met het strookmodel, zoals te zien is in de volgende opgave ‘Wie vind je de beste?’. Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens (de aantallen) als de relatieve gegevens (het percentage). De strook maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens (het aantal rake worpen in de basket in verhouding tot het totale aantal worpen) met elkaar kunt vergelijken: door het totale aantal (worpen) op 100% te stellen en (dus) de stroken even lang te maken.

Bron: Pluspunt, groep 7.

Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het – vooral in het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren: zoveel keer raak, zoveel procent. Of, zoals in het volgende voorbeeld, zoveel euro. Dit helpt om het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.

Bron: Rekenrijk, groep 7.

In gesprek met kinderen over verhoudingen Verhoudingen zijn overal om ons heen. In hoeverre hebben kinderen hier zicht op?1 Noteer voor jezelf situaties waarin mensen te maken hebben met verhou-dingen.2 Hoe denken kinderen hier over? Kies een van de twee volgende werkvor-men of bedenk zelf een variant. Wissel je ervaringen uit met medestudenten die in dezelfde groep en juist in andere groepen stagelopen.

strookmodel

benoemd getal

13

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 13 14-01-14 14:25

Page 15: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

GroepsgesprekVraag aan een aantal kinderen uit de bovenbouw waar zij aan denken bij verhoudingen bij rekenen-wiskunde. Maak samen met de kinderen een woord-veld van dagelijkse situaties die te maken hebben met verhoudingen. Waar komen de kinderen zelf mee? Wat begrijpen ze van situaties die jij inbrengt?

CollageLaat kinderen op zoek gaan naar verhoudingen in hun dagelijks leven en voorbeelden meenemen naar school. Ze kunnen bijvoorbeeld reclamefolders en kranten doorzoeken of foto’s maken in de supermarkt en op andere plekken. Laat ze in groepjes collages maken met zoveel mogelijk verschillende voorbeelden. In een klassikaal nagesprek kan het gaan over de betekenis van de gevonden voor- beelden en de verschillen en overeenkomsten tussen de verschillende collages.

Bron: Alles telt, groep 8.

Wel of geen verhoudingen?Is in de figuur sprake van verhoudingen? Gebruik de kleuren bij het benoe-men van de verhoudingen die je ziet.

14

15303_Rekendidactiek_boek.indb 14 14-01-14 14:25

Page 16: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

1.2 Onderlinge relatiesOm goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook om de domeinen door elkaar heen te gebruiken, zoals bij de volgende opgave.

Bron: Rekenrijk, groep 8.

Voor sommige kinderen is dit best lastig, met name als gebroken getallen, verhoudingen en procenten – en de bewerkingen ermee – voor hen nog onvoldoende betekenis hebben. De leerkracht moet dus bewust aandacht besteden aan betekenisverlening.

1.2.1 BegripOm kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes aan-dacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Hierover lees je meer in de volgende hoofdstukken. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen, bijvoorbeeld in (fictieve) krantenberichtjes.Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals:

❍ 1 5 × 10 betekent het 1

5 deel nemen van 10; ❍ ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als 1

5 deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20;

❍ 1 5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.

Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Bovendien kun je zo gemakkelijk optredende misvattingen voorkomen, zoals: een vierde deel is hetzelfde als 4%.

15

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 15 14-01-14 14:25

Page 17: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Maar ook als kinderen al goed zicht hebben op betekenissen en verschijnings-vormen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, blijft het helpen om onderlinge relaties te visualiseren, zoals in de volgende opgave is gedaan.

Bron: Alles telt, groep 7.

Breuken en kommagetallenBreuken en kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale getallen met verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel wat moeilijkheden op. Hierover lees je meer in hoofdstuk 5.Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen (kommag-etallen overigens vaker dan breuken). Verder zijn er vooral verschillen: breuken komen bijvoorbeeld vaker voor als deel-van-een-geheel en deel-van-een-hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit.Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen, bijvoorbeeld 1 2 = 0,5 en 1

5 = 0,2. Bij onvoldoende begrip halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken dan bijvoorbeeld dat 1

5 hetzelfde is als 0,5. Om kinderen dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel, gebruikmaken van de verschijningsvorm meetgetal (van zowel breuk als kommagetal). Bijvoorbeeld met behulp van geld, zoals in de volgende opgave is gedaan.

rationaal getal

verschijningsvormmeetgetal

strook

16

15303_Rekendidactiek_boek.indb 16 14-01-14 14:25

Page 18: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Bron: Alles telt, groep 7.

Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat het rekengetal 0,10 = 0,1. Dit lijkt misschien vanzelfsprekend, maar dat is het voor kinderen zeker niet. Met alleen de mededeling dat je nullen mag toevoegen, maak je het voor kinderen niet makkelijker. Want als ze niet begrijpen waarom dit mag, kan dit fouten veroorzaken als 0,1 = 0,01. En op die manier nullen toevoegen, mag juist niet.Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschil-lende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter is hetzelfde als 1 decimeter. En 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter. Dat 0,01 meter een andere afstand is, kan ook worden beredeneerd of nagegaan met dezelfde ondermaat: 0,01 meter is immers 1 centimeter.Wanneer je breuken als 1

7 als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, kom je tot de ontdekking dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft: een sliert van decimalen die zichzelf herhaalt: 0,142857142857.... De breuk 1

7 heet een repeterende breuk en de sliert 142857 heet het repetendum.

Breuken en procentenEen breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Een voorbeeld zie je in de volgende opgave.

rekengetal

ondermaten

repeterende breukrepetendum

absoluut getalpunt op de getallenlijn

operator

17

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 17 14-01-14 14:25

Page 19: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Bron: Wizwijs, groep 7.

Als het hele pak konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft 3 5 aan wat er met 1

(kilogram) gebeurt (delen door 5 en het resultaat daarvan vermenigvuldigen met 3). Zodoende wordt een deel (van een geheel) bepaald. Anders gezegd: de breuk geeft hier een relatief gegeven aan. Een breuk kan dus zowel een absoluut als een relatief gegeven representeren. Bij procenten is dit anders: een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Voorkom daarom dat kinderen het idee krijgen dat bijvoorbeeld 20% hetzelfde is als 20

100 en 1 5 . Dat is niet altijd zo,

want 20 100 en 1

5 zijn absolute getallen en 20% is een operator. Wel is het zo dat 20% van iets hetzelfde is als het 20

100 deel van iets of het 1 5 deel van iets.

In het laatste geval is de breuk immers een operator.Om deze reden moet je ook voorzichtig zijn met het plaatsen van percenta-ges op de getallenlijn tussen 0 en 1, alsof het gebroken getallen zijn. De dubbele getallenlijn en de strook zijn geschikter om percentages te plaatsen en te ordenen, omdat je daarop zo nodig ook de absolute gegevens kunt plaatsen.

1.2.2 Weetjes Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis, zoals 1

2 = 5 10 = 0,5 = 1 : 2 en

komt overeen met 50%. Dit soort ‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen.Sommige weetjes zijn overigens al bekend vanuit informele voorkennis. Veel jonge kinderen weten al dat 50% de helft is en zelf kleuters hebben vaak al begrip van ‘de helft’. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou denken. In de bovenbouw moet die kennis van onderlinge relaties vlot worden uitgebreid. Allerlei weetjes oefen je daarom in. Al snel op formeel niveau, maar eerst ook nog modelondersteund. Bijvoorbeeld met de strook en het cirkelmodel, zoals in de volgende opgave.

dubbele getallenlijn

strook

declaratieve kennisparate

feitenkennis

formeel niveaumodelondersteund

cirkelmodel

18

15303_Rekendidactiek_boek.indb 18 14-01-14 14:25

Page 20: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Bron: Rekenrijk, groep 7.

Productief oefenenReken-wiskundemethodes bieden oefenopgaven voor het leren van al die weetjes, zoals in de vorige opgave. Een andere manier van oefenen is kinderen zelf opgaven te laten bedenken. Op deze manier gebruiken ze meer kennis die ze al hebben, denken ze na over de leerinhoud en oefenen ze tegelijkertijd. Deze vorm van oefenen heet productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven (en weetjes) produceren.

KwartetspelLaat de kinderen van je stagegroep hun eigen kwartetspel maken met relatieweetjes over verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen. Je zult merken dat ze eerst voor de hand liggende combinaties maken die al eens aan de orde zijn geweest. Zo zullen ze de koppeling tussen 1

2 en de verhouding 1 : 2 eerder maken dan de koppeling tussen 1

2 en de verhouding 3 : 6. Maar als je doorvraagt en kinderen uitdaagt tot het maken van ‘moeilij-ke’ kwartetsetjes, maken ze ook minder bekende combinaties. Laat kinderen samenwerken in groepjes, zodat ze door interactie van elkaar kunnen leren. Sterkere rekenaars zullen op combinaties komen die zwakkere kinderen niet bedenken.

Repeterende breukena Welk breuken hebben een repeterende breuk als je de breuk schrijft als kommagetal? 11 20, 17

25, 3 32, 19

57, 13 125, 6

75, 7 75, 19

57 en 7 75

b Schrijf de breuken als kommagetallen. Rond zo nodig af op drie decimalen.1 40, 7

40, 7 75, 3

7 , 1 5 12, 35

25, 4 13 en 2

15

productief oefenen

19

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 19 14-01-14 14:25

Page 21: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

Terras betegelenVoor het betegelen van mijn tuin heb ik speciale tegels besteld. Er zijn twee verschillende typen tegels. Met de tegels kun je twee verschillende terrassen betegelen (zie afbeelding).

a Welke afmetingen kan ieder type tegels hebben?b De tuinarchitect heeft de afmetingen zo gekozen dat het rechterterras perfect past aan het linkerterras als je het rechterterras een kwartslag draait (zie afbeelding). Kun je passende afmetingen vinden voor de gebruikte tegels?

Verhoudingen op een fotocamera Op een dure (digitale) fotocamera kun je het volgende rijtje getallen aantref-fen: 1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250, 500, 1.000. Dit zijn de noemers van breuken die de sluitertijd aangeven, dus 1

1 , 1 2 , 1

4 , 1 8 , 1

15, 1 30, enzovoort. De

sluitertijd is de tijd die de sluiter van de camera openstaat, gemeten in seconden. Dus 1

1.000 staat voor een sluitertijd van 1 milliseconde. Merk op dat elke sluitertijd in de reeks ongeveer de helft van de vorige is.Een andere reeks die je kunt aantreffen op duurdere modellen met meer instelmogelijkheden is: 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22.6. Dit zijn de zogeheten diafragmagetallen: een maat voor de grootte van de lensopening. Merk op dat ook hier per stap ongeveer een halvering optreedt. Dit is een halvering van oppervlakte, dus van de hoeveelheid licht die naar binnen kan. Ook deze getallen zijn in feite noemers van breuken.Beide systemen zijn ontworpen om de hoeveelheid licht die op de gevoelige plaat komt te reguleren (hoewel het effect van een kortere sluitertijd anders is

20

15303_Rekendidactiek_boek.indb 20 14-01-14 14:25

Page 22: Verhoudingen en procenten Reken-wiskundedidactiek

dan van een kleiner diafragma). Door een slimme combinatie van sluitertijd en diafragma te kiezen, kan de fotograaf in vrijwel elke omstandigheid een optimale foto maken. In sommige gevallen voegt de fotograaf nog extra licht toe in de vorm van een flits.De hoeveelheid licht die op de lichtgevoelige cel van je camera valt bij een sluitertijd van 1

125 en diafragma 11 in verhouding tot de hoeveelheid licht die bij een sluitertijd van 1

500 en diafragma 2.8 naar binnen valt, is ongeveer 1 op 4. Klopt deze bewering?

BreukenReken met behulp van een deling en wat handig redeneren het bijbehorende kommagetal van de breuken uit. Noteer steeds 12 decimalen!1 7 , 2

7 , 3 7 , 4

7 , 5 7 , 6

7 en 7 7

Hoeveel blauw?a Welk deel van de figuur is blauw?

b Wie van de volgende kinderen geeft een correct antwoord?Jantine zegt: ‘Er zijn 13 blauwe hokjes.’Petri zegt: ‘De verhouding blauwe en witte hokjes is 13 op 12.’Mees zegt: ‘13

25 deel is blauw.’Ruud zegt: ‘52% is blauw.’Pleuni zegt: ‘Ongeveer de helft is blauw.’c Wat zouden de kinderen geantwoord hebben bij andere afmetingen, zoals 8 × 8 of 9 × 9?

RepetendumElke breuk is via een deling te schrijven als een decimaal getal. Zo’n deling komt uit (bijvoorbeeld bij 3 : 4) of de deling gaat repeteren (bijvoorbeeld bij 2 : 3).a Beredeneer waarom het repetendum van een repeterende breuk nooit langer kan zijn dan de waarde van de noemer.b Hoe ziet het getal 0,2142857… er uit als het als gewone breuk geschreven is? De breuk heeft als repetendum 142857.

21

2 Samenhang tussen verho

udingen, p

rocenten, b

reuken en kom

magetallen

15303_Rekendidactiek_boek.indb 21 14-01-14 14:25