Vergelijkingen met breuken

© WISNET-HBO

update juli 2013

De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier.

1 Oplossen van gebroken vergelijkingenKijk ook nog even in de cursus Vergelijkingen op Wisnet naar het inleidende bestand "Het =-teken" met daarin een aantal rekenregels voor vergelijkingen.Bij het oplossen van een vergelijking met breuken zijn er verschillende manieren van aanpak mogelijk als je met pen en papier werkt.

Het kan helpen om links en rechts één breuk te maken, eventueel te vereenvoudigen en vervolgens op te lossen. (Zie voorbeeld 1.4.)

Als je links en rechts één breuk hebt (gemaakt), kun je ook de truc van het kruislinks vermenigvuldigen gebruiken. (Zie voor uitleg van deze truc in paragraaf 1.5.)

Je kunt links en rechts de vergelijking met iets vermenigvuldigen om alle breuken in de vergelijking weg te werken. Dat lost meestal een heleboel ellende op.

Een andere mogelijkheid is alles naar de linkerkant van het isgelijkteken te werken en samen nemen. (Zie voorbeeld 1.2 en voorbeeld 1.3.)

Belangrijk is te weten dat als een breuk gelijk is aan 0, dat dan de teller (boven de streep)gelijk is aan 0 en dat dan de noemer (onder de streep) niet gelijk is aan 0.

Verder wordt er steeds gevraagd naar de oplossingen in de reële getallenverzameling als er verder niets bij staat.

Mocht het zo zijn dat je een kwadratische vergelijking moet oplossen, dan staat hier onder een paragraaf om de oplossingen van kwadratische vergelijkingen te repeteren met de a,b,c-formule. Zie ook een les oven de a,b,c-formule.

Ook met ontbinden in factoren kun je een heel eind komen ten behoeve van het vereenvoudigen en gelijkstellen aan nul.

Voor complexe oplossingen moet je eerst iets meer weten van complexe getallen. Zie voor meer informatie in paragraaf complexe oplossingen. Mocht het zijn dat er complexe oplossingen gegenereerd worden bij het rekenen met de computer, dan kun je deze negeren als er toch alleen gevraagd wordt naar de reële oplossingen. Complexe oplossingen zijn te herkennen aan de letter I in de uitvoer.

1.1 Kwadratische vergelijkingenBekend moet zijn de les over kwadratische vergelijkingen met de verschillende manierenvan oplossen.Ook bekend moet zijn de a,b,c-formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.Als de parameters a, b en c niet gelijk zijn aan 0, dan is de algemene vorm voor een kwadratische vergelijking in x :

De twee oplossingen zijn

x = en x = Als er onder het wortelteken een negatief getal ontstaat (discriminant kleiner dan 0), dan heeft de vergelijking geen oplossingen in de verzameling van reële getallen R maar wél in de complexe getallen (te herkennen aan de imaginaire eenheid). Zie ook een aparte les over de afleiding van de a,b,c-formule.

voorbeeld

De oplossingen zijn:

Twee oplossingen verkregen met behulp van de a,b,c-formule waarbij de waarde van de discriminant gelijk is aan 61.Eventueel kunnen deze waarden benaderd worden met decimale getallen (floating point).

1.2 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op met t als onbekende en bekijk de drie manieren om deze

vergelijking op te lossen.

oplossing 1Ga na dat t ongelijk moet zijn aan 1 vanwege de noemer die niet gelijk aan 0 mag zijn.Vermenigvuldig links en rechts van het =-teken met .

Werk de haakjes weg.

Je hebt een kwadratische vergelijking gekregen.Alles naar de linker kant van het =-teken brengen (links en rechts 2 t er van aftrekken).

Links en rechts met -1 vermenigvuldigen en de termen rangschikken en bijelkaar nemen.

Je hebt een kwadratische vergelijking gekregen.Ontbinden in factoren (altijd eerst kijken of je iets buiten haken kunt halen).

Elke factor ombeurten gelijkstellen aan 0. of

Echter t mag niet gelijk zijn aan 1 en dat is ook niet zo. De oplossing van de vergelijking is dus t = 0 of t = -1.

oplossing 2Ga na dat t ongelijk moet zijn aan 1.Ga ook na dat er eigenlijk staat:

Dus links en rechts van het =-teken één breuk.Kruislinks vermenigvuldigen:

Zie nu weer verder in de uitwerking van oplossing 1.oplossing 3Alles naar de linkerkant van het isgelijkteken brengen.

Gelijke noemers maken en breuken samen nemen tot één breuk.

Ga na dat .

Bij de eerste "breuk" de teller en de noemer met 1 - t vermenigvuldigen.De andere breuk onveranderd overschrijven.

De breuken samen nemen

Herleiden.

Vervolgens: als een breuk gelijk is aan 0, dan is de teller gelijk aan 0 (waarbij de noemer niet ook gelijk aan 0 mag zijn!!!!).

Links en rechts met -1 vermenigvuldigen.

Ontbinden in factoren en elke factor ombeurten gelijk aan 0 stellen.

Anwoord of .Controleer altijd even of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk worden aan 0 bij deze waarden van t.De oplossing is dus .

1.3 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op met x als onbekende en bekijk twee verschillende manieren van oplossen.

oplossing 1

Kruislings vermenigvuldigen:

Zie meer informatie over kruislings vermenigvuldigen in paragraaf 1.5.

Haakjes wegwerken:

Alles naar de linkerkant brengen:

Onbinden in factoren:

Elke factor gelijkstellen aan 0. of

Controleren of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk zijn aan 0.De oplossing is dus of (Bij geen van beide waarden van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuk gelijk aan 0.)

oplossing 2In de vergelijking kun je breuken gelijknamig maken, alles naar links brengen en dan één breuk maken die je gelijkstelt aan 0.

Gelijke noemers maken:

Alles naar links brengen:

Eén breuk maken:

Als een breuk gelijk is aan 0, dan is de teller (boven de streep) gelijk aan 0, maar!!! denoemer mag niet gelijk zijn aan 0.

Met behulp van de rekentechniek van het oplossen van kwadratische vergelijkingen (ontbinden of a,b,c-formule), kan het antwoord gevonden worden.Anwoord: of . Controleer dat deze waarden de noemers van de oorspronkelijke vergelijking niet

gelijk maken aan 0.Deze manier van doen is gebruikmakend van de rekenregels voor breuken.Je kunt ook de methode "kruislings vermenigvuldigen" toepassen die afgeleid is van bovenstaande manier. Zie voor deze truc in paragraaf 1.5 Kruislings vermenigvuldigen.

1.4 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op:

oplossing 1

Misschien zie je dat de eerste en de laatste breuk bijna dezelfde noemers hebbenHet is dan makkelijk om deze bijelkaar te nemen:

De laatste breuk teller en noemer met -1 vermenigvuldigen:

Dan de twee breuken rechts bijelkaar nemen:

Toevallig zijn bij deze breuken links en rechts de tellers gelijk,dan moeten dus ook de noemers gelijk zijn. (Eventueel kun je ook kruislings vermenigvuldigen)

oplossing 2De volgende vergelijkingen eerst omvormen tot links en rechts één breuk staat. Vervolgens vereenvoudigen en oplossen.

De rechterbreuk noemer met -1 vermenigvuldigen en goedmaken met een minteken voor de breuk.

Links en rechts van het isgelijkteken kan vermenigvuldigd worden met .

Links en rechts van het isgelijkteken kan vermenigvuldigd worden met .Zie voor deze truc in paragraaf 1.5 Kruislings vermenigvuldigen.

Anwoord:

Controleer altijd of deze waarde de noemer in de oorspronkelijke opgave niet 0 maakt.

1.5 Kruislings vermenigvuldigenGa het volgende na als links en rechts van het isgelijkteken één breuk staat:

verklaring

Wat je doet is eigenlijk uitgaande van

links en rechts met 2 vermenigvuldigen

en daarna links en rechts met 6 vermenigvuldigen

Uiteindelijk links en rechts weer door 2 delen

truc

nogmaals voorbeeld 1.3Zie ook voorbeeld 7.3 voor de uitgebreide rekenmanier. Hieronder staat de korte manier met "kruislings vermenigvuldigen".

truc

Haakjes wegwerken:

Alles naar de linkerkant brengen:

Onbinden in factoren:

Elke factor gelijkstellen aan 0. of

Controleren of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk zijn aan 0. (Bij geen van beide waarden van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuk gelijk aan 0.)

nogmaals voorbeeld 1.4Zie ook voorbeeld 7.4 voor de uitgebreide rekenmanier.De truc met het "kruislings vermenigvuldigen" werkt alleen als je links en rechts één breuk hebt!!

truc

truc

Bij deze waarde van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuken niet gelijk

aan 0 dus de oplossing is .

2 Oefeningen om zelf te doenLos de volgende vergelijkingen op en controleer of de noemer van de breuk in de opgave niet gelijk wordt aan 0.In de oefeningen kunnen eventueel zelf ook veranderingen aangebracht worden. De antwoorden worden automatisch aangepast na Enter als je op de rode invoer gaat staan.

vraag 1

a =

antwoordTip: links en rechts ALLES met vermenigvuldigen.

Antwoord:

vraag 2

x =

antwoordTip: met kruislings vermenigvuldigen.

vraag 3

p =

antwoordLinks en rechts handig één breuk maken en dan kruislings vermenigvuldigen.

vraag 4

v = of v =

antwoordTip: links ook één breuk maken en dan kruislings vermenigvuldigen.Je krijgt dan een kwadratische vergelijking.

vraag5

v = of v =

antwoordTip: maak links één breuk en dan kruislings vermenigvuldigen.Je krijgt dan een kwadratische vergelijking.

vraag 6

t =

antwoordTip: alles links en rechts vermenigvuldigen met en let op dat t niet gelijk is aan 5.

vraag 7

x =

antwoordTip: links en rechts met vermenigvuldigen en vervolgens alle haakjes wegwerken en dan herleiden.

Als het antwoord zou luiden , dan betekent dit dat de vergelijking waar is voor iedere waarde van x. De oplossingsverzameling is dan de gehele getallenverzameling waarvoor opgelost moet worden.Let wel op dat noemers nooit nul mogen zijn.

3 Gebroken vergelijkingen met parametersWaneer in gebroken vergelijkingen meer variabelen voorkomen, dan kan men bijvoorbeeld één van deze variabelen als onbekende aanwijzen. De andere variabelen kunnen dan opgevat worden als parameters. De onbekende kan "vrijgemaak" of "geïsoleerd" worden door de vergelijking op te lossen naar deze onbekende.

3.1 VoorbeeldGegeven is de vergelijking:

Het is mogelijk om uit deze vergelijking a, of b of c vrij te maken.Het vrijmaken van a gaat als volgt:

Om eerst de breuken uit de vergelijking te werken, ga je links en rechts ALLES met b vermenigvuldigen.

Omdat a de onbekende is, zorg je dat alle termen met a erin aan de linkerkant van het =-teken komen te staan.Dus hier is dat links en rechts a ervan aftrekken.

Ontbinden in factoren:

Links en rechts delen door .

De breuk aan de rechterkant van het =-teken vereenvoudigen door boven en ondermet -1 te vermenigvuldigen

Probeer nu met dezelfde vergelijking ook b en c vrij te maken. De antwoorden staan hieronder.

b vrijmakenMaak b vrij uit de vergelijking.

b =

aanwijzingAlles met b naar links.

Links en rechts de breuk op de kop.

Links en rechts met a vermenigvuldigen.

c vrijmakenMaak c vrij uit de vergelijking.

c =

aanwijzing

Uit deze vergelijking willen we c vrijmaken. We zeggen ook wel dat c in de andere variabelen wordt uitgedrukt.

Alles links en rechts vermenigvuldigen met b om de breuken uit de vergelijking te krijgen.

Toevallig is al alles met c links, anders had dat nog gemoeten.Nu links en rechts delen door b c.

4 Oefeningen om zelf te doen

Neem pen en papier ter hand en oefen de volgende vragen.

Vraag 1Gegeven de vergelijking .

Maak uit deze vergelijking vrij.

TipMaak van de drie breuken links één breuk en zet dan links en rechts de breuken op de kop.antwoord

Vraag 2Gegeven de volgende vergelijking:

Maak hieruit vrij.

TipMaak van de drie breuken links één breuk en zet dan links en rechts de breuken op de kop.

antwoord

Vraag 3Maak achtereenvolgens a en b en c vrij uit de volgende vergelijking:

a = b = c =

TipLinks en rechts alles eerst alles met a vermenigvuldigen om de breuken uit de vergelijking te halen en bekijk daarna welke letter je vrijmaakt.

antwoordMaak nu zelf achtereenvolgens de a en de b en de c uit de vergelijking vrij.Hieronder staan de antwoorden.

Vraag 4Gegeven is de formule van een belaste balk. (De betekenis van de letters doet er niet toe voor deze opdracht maar heeft te maken met de eigenschappen van deze balk. De letters a en l zijn bijvoorbeeld lengtematen en q is de belasting op de balk en E is de elasticiteitsmodulus (eigenschappen van het materiaal) en I is het traagheidsmoment vande doorsnede van de balk (dus afhankelijk van het profiel van de balk).)

Stel als wordt ingevuld en druk vervolgens P uit in de andere grootheden.

antwoordInvullen:

Links en rechts vermenigvuldigen met EI en ook delen door

Eventueel één breuk van maken

Eventueel q buiten de haakjes

Vraag 5Gegeven de vergelijking

Maak achtereenvolgens a en d vrij uit deze vergelijking.

a = d =

TipKruislings vermenigvuldigen dan krijg je

Werk de haakes weg en zorg dat de termen met de onbekenden links komen te staan.

antwoordDaarna kan a en d vrijgemaakt worden met de antwoorden hieronder.

Vraag 6Gegeven de volgende vergelijking

Maak m (kleine letter) vrij uit deze vergelijking

m =

TipKruislings vermenigvuldigenantwoord

Haakjes wegwerken en de term met kleine m naar links.

Links en rechts delen door

Eventueel als twee breuken geschreven:

Vraag 7

De VanderWaals-formule voor een gas (hoeveelheid van 1 mol) luidt:

(De betekenis van de letters is voor deze opdracht verder niet belangrijk. De druk p is in Pascal, V is het volume in kubieke meters. De temperatuur T in Kelvin.) Druk p uit in de overige grootheden. Het antwoord mag naar keuze als één breuk gepresenteerd worden of als meerdere breuken.

p =

TipHet is handig dat er al haakjes staan, je hoeft zelf dus niet meer in factoren te ontbinden.Begin met links en rechts door te delen.

Daarna hoef je nog alleen maar naar rechts te brengen.

antwoord

Vraag 8Maak p vrij uit de volgende vergelijking:

p =

TipAls je links en rechts door deelt, dan is het al klaar. Vergeet niet dan ook in zijn geheel door te delen.Schrijf dan ook een volledige breuk.antwoord

Als je in de teller de haakjes eventueel weer wegwerkt is het ook goed.

Vraag 9Maak p vrij uit de volgende vergelijking

p =

TipBreng eerst naar de rechterkant van het isgelijk-teken.Deel vervolgens links en rechts door .antwoord

Vraag 10Maak p vrij uit de volgende vergelijking:

p =

TipVermenigvuldig links en rechts met .Breng daarna alles waar p inzit naar de linkerkant en vereenvoudig.antwoord

5 Woordenlijst

a,b,c-formuleDe a,b,c-formule gebruik je om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Deze komen erg veel voor. Zie paragraaf a,b,c-formule.De algemene vorm voor een kwadratische vergelijking in x is:

De twee oplossingen zijn

x = en x =

De vorm onder het wortelteken wordt de discriminant genoemd.Zie verder voor informatie bij paragraaf a,b,c-formule.

DiscriminantZie bij a,b,c-formule.

factorenFactoren in een formule zijn de onderdelen van een vermenigvuldiging.

voorbeeld

Er staat tussen deze factoren steeds spaties. (Als het niet verwarrend is zoals bij getallen, dan hoeft er voor vermenivuldiging geen teken te staan.De uitdrukking a b betekend eigenlijk en is een product bestaande uit de factoren a en b.)

De 4 factoren van deze vorm zijn achtereenvolgens Echter de tweede factor bestaat weer uit twee termen (a en b) en de laatste factor (

) bestaat ook weer uit een tweeterm.De factor bestaat weer uit twee factoren:

gelijknamigBij breuken met verschillende noemers, moeten de noemers eerst gelijknamig gemaakt worden, voordat ze samengenomen kunnen worden.

isolerenKijk bij vrijmaken.

kruislings vermenigvuldigenAls je een vergelijking hebt met links en rechts één breuk, dan kun je gebruik maken van kruislings vermenigvuldigen. Zie voor voorbeelden en uitleg bij kruislings vermenigvuldigen

noemerDe noemer van een breuk is het gedeelte onder de breukstreep.

onbekendeZie ook bij parameter.

parameter

Neem bijvoorbeeld de vergelijking . Dit is de algemene vorm van een kwadratische vergelijking in x.We bedoelen daarmee dat x de onbekende is en dat je voor de andere letters naar willekeur een getal kunt invullen zodat je steeds een andere kwadratische vergelijking hebt in x. De letters a, b, en c zijn hierin de parameters.

Je kunt ook de grafiek van de parabool tekenen waarbij x de variabele is. Voor de andere letters moet je dan getallen invullen zodat de grafiek daadwerkelijk getekend kan worden.In dit geval is x de variabele en de andere letters zijn weer parameters.Rolwisseling is ook mogelijk. Je kunt ook een andere letter kiezen voor de variabele en de overblijvende letters opvatten als parameters.Zie meer daarover bij de voorbeelden van paragraaf 3.

tellerDe teller van een breuk is het gedeelte boven de breukstreep.

termenTermen in een formule zijn de onderdelen van een optelsom (mag ook aftrekken).

voorbeeld

De termen van deze formule zijn dan , en c.Deze eerste term bestaat weer uit twee factoren: 3 en (a + b) en de tweede term bestaat weer uit twee factoren .

variabeleZie ook bij parameter.

vrijmakenAls je een vergelijking hebt met meer dan één onbekende, dan kun je kiezen welke letterje als variabele kiest en je kunt de rest van de letters als parameter opvatten. De vergelijking los je dan op met als onbekende de gekozen variabele.Vrijmaken noemt men ook wel isoleren.