Van Rekeningh in Spelen van Geluck:

een bijlage voor VWO-kansrekening

Annemarie Baars 3257118

Auke Mollema 3233626

Geschiedenis van de Wiskunde WISB281

12-01-2009

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 1

Inhoudsopgave

1. Inleiding ................................................................................................ 2

1.1 Werkmethode .......................................................................... 2

2. Christiaan Huygens ............................................................................. 3

3. Opkomst van de waarschijnlijkheidsrekening ...................................... 4

3.1 Over Van Rekeningh in Spelen van Geluck ........................... 4

4. Vandaag de dag .................................................................................. 6

5. Van Rekeningh in Spelen van Geluck de voorstellen .......................... 7

6. Vergelijking .......................................................................................... 11

7. Invoeren op het VWO .......................................................................... 11

8. Conclusie; Huygens op het VWO?........................................................ 12

9. Referentielijst ....................................................................................... 13

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 2

1. Inleiding

We gaan terug naar de 17e eeuw. Kooplieden en kaartspelende lieden vroegen zich

toentertijd af of er enige wetmatigheid te vinden was in spelletjes waarbij geluk om

een hoekje kwam kijken. Één van de wiskundigen die er in de 17e eeuw mee bezig

ging was Christiaan Huygens. Met zijn Van Rekeningh in Spelen van Geluck zette hij

de beginselen van de kansrekening op papier. Kan dit boek vandaag de dag nog

gebruikt worden op het VWO? En wat heeft Christiaan Huygens voor invloed gehad

op het huidige VWO-onderwijs? In het bijzonder zullen wij gedeelten uit een gesprek

geven die wij gehad hebben met een huidige VWO-scholier. Dit hebben we gedaan

om een betere kijk te kunnen geven op het nut van ons essay.

1.1 Werkmethode

Voor dit essay hebben we uiteraard het vertaalde boek van Christiaan Huygens, Van

Rekeningh in Spelen van Geluck[3], gebruikt. Deze vertaling is ook toegelicht door

Wim Kleijne. De toelichting die Kleijne geeft hebben we ook gebruikt voor de

algemene informatie over het boek. Alle citaten die in dit essay staan komen, tenzij

anders vermeld, uit dit boek. Het zijn citaten uit Huygens werk of de vertaling hiervan.

Dit boek is de lopende draad door dit essay.

Voor de biografie van Huygens hebben we informatie gehaald uit het Dictionary of

Scientific Biography Volume VI[1].

Het boek Geschiedenis van de kansrekening en statistiek[2] geschreven door J.H.

van der Vlis hebben we gebruikt om een algemene indruk te krijgen over de

ontwikkeling van de kansrekening in de 17e-eeuw.

De informatie over het huidige VWO-onderwijs hebben we gehaald van de website

digischool.nl[4] Deze link kregen we van een wiskunde docent op de middelbare

school omdat dit een betrouwbare site is voor het examenprogramma.

In het essay verwijzen we aan het eind van een paragraaf naar de gebruikte bronnen

en we wijken niet af van de gebruikte literatuur.

Bij de behandeling van de voorstellen sluiten we bijna elke alinea af met eigen

inzicht. Vooral de paragrafen: “Vergelijking”, “Invoegen op het VWO” en “Huygens op

het VWO” bevatten voornamelijk eigen opvattingen. De eindverantwoordelijkheid van

dit essay ligt bij ons beide.

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 3

2. Christiaan Huygens

Christiaan Huygens kan beschouwd worden

als een van de grote wetenschappers uit de

17e eeuw. Hij werd geboren op 14 april 1629

en had het geluk om te behoren tot een

vooraanstaande en rijke familie, opleiding en

cultuur stonden hoog in het vaandel.

Huygens’ vader Constantijn zorgde ervoor

dat zijn kinderen een goede opleiding

kregen, zo werden ze onderwezen in

muziek, Latijn, Frans, Grieks, logica,

wiskunde, mechanica en geografie. Van

1645 tot 1647 studeerde Huygens wiskunde en rechten in Leiden. Afbeelding 1 [5]

Bij Frans van Schooten jr. bestudeerde hij niet alleen de klassieke wiskunde maar

ook de nieuwe, zoals methodes van Descartes, Viète en Fermat. Hierna heeft hij nog

een periode gestudeerd aan het Collegium Arausiacum in Breda. Na zijn studie koos

hij niet het leven van een diplomaat, zoals gewoonte was in zijn omgeving.

Financiële ondersteuning van zijn vader zorgde ervoor dat hij zijn leven aan de

wetenschap kon wijden. Huygens’ interesses waren heel breed. In de jaren na zijn

studie hield hij zicht bezig met wiskunde, sterrenkunde en optica. Huygens heeft vele

publicaties op zijn naam staan over uiteenlopende onderwerpen. Zijn ontwerp voor

een slingeruurwerk en de bijbehorende wetten waren een grote bijdrage aan de

natuurkunde. Verder heeft hij de maan van Saturnus ontdekt met een zelfgemaakte

telescoop. Van 1655 tot 1675 heeft Huygens lange perioden in Parijs gewoond,

afgewisseld met perioden waar hij weer in Den Haag terug was. In Parijs kwam hij in

contact met andere wiskundige die zich interesseerden in wat wij nu kansrekening

zouden noemen. Dit inspireerde hem tot het schrijven van Van Rekeningh in Spelen

van Geluck. In deze periode richtte Huygens ook, samen met anderen, de ‘Académie

Royale des Sciences’ (de Franse Koninklijke Academie van Wetenschappen) op.

Van dit instituut bleef hij vijftien jaar secretaris. Huygens’ gezondheid was niet de

beste. In de laatste twintig jaar van zijn leven was hij soms voor langere tijd terug in

Den Haag vanwege zijn slechte gezondheid. In 1694 werd hij weer ziek maar dit keer

herstelde hij niet. Huygens overleed op 8 juli 1695.[1] [2]

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 4

3. Opkomst van de waarschijnlijkheidsrekening

In de zeventiende eeuw begon de belangstelling voor waarschijnlijkheidsrekening

onder de wiskundigen te groeien. Al voor Huygens zich verdiepte in dit onderwerp

werd dit rond 1654 al bestudeerd door Pierre Fermat en Blaise Pascal. De aanleiding

tot deze ontwikkelingen was heel simpel; gokken. Kaart- en dobbelspelen leidden tot

vragen die van groot belang waren voor de ontbloeiing van de

waarschijnlijkheidsrekening.

Antoine Gombauld, beter bekend als Chevalier de Méré, was een Franse schrijver en

ook een groot liefhebber van gokken. Hij kwam in contact met Blaise Pascal en legde

deze twee problemen voor. Het eerste probleem betrof een dobbelspel. Bekend was

al dat in vier worpen met één dobbelsteen de kans om een zes te gooien iets meer

dan 50 procent was (op een moderne manier uitgedrukt). Maar wat als er met twee

dobbelstenen gegooid wordt? De Méré dacht: Met één dobbelstenen zijn er zes

mogelijkheden en er zijn vier worpen nodig om meer dan 50 procent kans te hebben

op een zes. Speelt men met twee dobbelstenen dan zijn er 36 mogelijkheden, dit is

zes keer zoveel, dus zijn er 6x4 = 24 worpen nodig om meer dan 50 procent kans te

hebben op een worp van dubbel zes. Uit ervaring bleek dit echter niet te kloppen, De

Méré vroeg Pascal waarom dit zo was. Het tweede probleem ging over hoe de inzet

het beste verdeeld kon worden als een spel voortijdig gestopt werd. Dit werd ook wel

het problème des partis genoemd. Over deze en anderen vragen correspondeerden

Pascal en Fermat.[2] [3]

3.1 Over Van Rekeningh in Spelen van Geluck

Het was de correspondentie van Pascal en Fermat die Huygens, tijdens zijn verblijf in

Parijs, aanspoorde om zich ook te verdiepen in deze vragen. Onbekend is in

hoeverre Huygens informatie heeft overgenomen van Pascal en Fermat en wat hij

zelf heeft bedacht. Huygens zelf beweert in een brief aan Frans van Schooten jr. dat

hij alles zelf onderzocht heeft zoals te lezen is in het citaat op de volgende bladzijde.

Maar het is niet onwaarschijnlijk dat hij het een en ander heeft opgepikt tijdens zijn

verblijf in Parijs.

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 5

“...Voorts is te weeten, dat al over eenighen tijdt, sommige van de Vermaertste

Wiskonstenaers van geheel Vranckrijck met deze soorte van Rekeningh zijn bezigh

geweest, op dat niemandt hier in, de eer van de eerste Inventie die de myne niet en

is, my toe en schrijve. Doch zy luyden, ofze wel zich onder malkanderen met veele

zwaere questien ter proeve stelden, zoo hebbenze nochtans elck zijn maniere van

uytvinding bedeckt gehouden. Zoo dat ick van noode gehad heb, alles van vooren

aen zelfs te onderzoecken en te doorgronden... ([3], blz. 15/16)”

[citaat uit de brief aan F. Van Schooten, uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck]

Zijn werk Van Rekeningh in Spelen van Geluck was al snel klaar, in 1956 was het af.

Voor het werk gepubliceerd werd in 1657 werd het eerst door Frans van Schooten jr.

vertaald in het Latijn, dit was immers de taal van de wetenschap in die tijd. Het werd

gepubliceerd als deel van Exercitationum mathematicorum libri quinque (Vijf boeken

met wiskundige oefeningen) van Frans van Schooten. Dit werk werd drie jaar later

ook in het Nederlands uitgegeven en daarin stond de oorspronkelijke tekst van

Huygens. Dit was tevens de eerste Nederlandse tekst over kansrekening.

In Van Rekeningh in Spelen van Geluck behandelt Huygens, na een korte inleiding,

veertien zogenaamde voorstellen. Deze voorstellen worden bewezen door Huygens

en we zullen hier later nog op terug komen. Als laatst laat hij de lezer achter met vijf

onopgeloste vraagstukken. In zijn brief aan Van Schooten zegt hij hier het volgende

over:

“...U zal vinden dat ick in ’t eynde van dit Tracteat noch eenige van die questien

bygevoegt hebbe, achterlaetende nochtans de werckingh; eensdeels om dat ick te

veel moeyte te gemoet zagh, indien ick alles nae behooren wilde afdoen; ten

anderen om dat yj raetzaem dacht, iets overigh te laeten, ’t welck onze Lezers (zoo

der eenige zijn zullen) mochte dienen tot oeffening en tijdt-verdrijf. ([3], blz. 16)”

[citaat uit de brief aan F. Van Schooten, uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck]

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 6

4. Vandaag de dag

Nu gaan we kijken naar het huidige VWO-onderwijs. Daarin is sinds 2007 aanzienlijk

wat veranderd. Voorheen was het wiskunde A1(2) en wiskunde B1(2), vandaag de

dag bevat het VWO vier verschillende soorten wiskunde. De zogenaamde Wiskunde

A, B, C en D.

In het programma van wiskunde A staat vermeld dat de kandidaat een

toevalsexperiment moet kunnen vertalen in een kansmodel, de begrippen

onafhankelijke gebeurtenissen en voorwaardelijke kansen moeten gehanteerd

kunnen worden. Ten tweede moet de kandidaat kansen berekenen op basis van een

kansexperiment, symmetrie en combinatoriek. In de combinatoriek worden eindige

verzamelingen van objecten bestudeerd, die aan bepaalde eigenschappen voldoen.

Ten derde moet de kandidaat bij discrete toevalsvariabelen kansen berekenen met

behulp van de somregel, complementregel en productregel. Tenslotte moet het

begrip onafhankelijkheid worden gehanteerd en van een discrete toevalsvariabele de

verwachtingswaarde kunnen worden berekend. Ook moet de kandidaat overweg

kunnen met de normale verdeling en onder andere de standaardafwijking. Maar zo

‘diep’ gaat (de vertaalde) Van Rekeningh in Spelen van Geluck niet.

Het programma van wiskunde B bevat geen kansrekening meer.

Combinatoriek, kans, normale verdeling en toetsen zijn daar niet meer onderdeel van

het lesprogramma.

De kansrekening binnen de wiskunde C die ons interesseert, verschilt niet met

de kansrekening binnen wiskunde A. Dezelfde onderwerpen worden besproken en

getoetst.

In het programma van wiskunde D wordt heel uitgebreid de kansrekening

besproken. Opvallend is dat in dit programma gesproken wordt over permutaties en

combinaties. Huygens noemt die twee begrippen niet in zijn boek, maar die wel

gebruikt kunnen worden om de enige voorstellen (die aan het eind van zijn boek

worden genoemd) op te lossen.[4]

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 7

5. Van Rekeningh in Spelen van Geluck de voorstellen

Christiaan Huygens behandelt in zijn boek gedeelten van de kansrekening. Als het

ware was de publicatie van Van Rekeningh in Spelen van Geluck de markering van

het begin van de waarschijnlijkheidsrekening. Opvallend daarin is dat hij in zijn boek

alles uitlegt door middel van voorbeelden, deze voorbeelden zijn beschreven in

zogenoemde voorstellen. Deze voorstellen zijn niet de voor ons bekende stellingen,

want bij een stelling denken wij aan een uitspraak in algemene bewoordingen, die

een algemeen bewijs vereist. Huygens had niet de mogelijkheid om een bewijs te

leveren omdat hij alles moest redeneren met zijn eigen verstand en niet de

beschikking had over ‘axioma’s’ vanuit de kansrekening.

Huygens begint zijn voorstellen met een korte inleiding. Daarin vertelt hij dat

ondanks dat de uitkomsten van de kansspelen bepaald worden door toeval, de kans

die iemand heeft om te winnen toch vastgesteld kan worden. De eerste drie

voorstellen bevatten een antwoord op de vraag hoeveel je op een bepaald spel in

zou kunnen zetten zodat het een eerlijk spel is. Zo vertelt voorstel 1: “Als ik gelijke

kans heb op a of b, dan is mij dit (a+b)/2 waard. ([3], blz. 20)” De formulering in de

voorstellen die Huygens gebruikt sluit aan de ene kant aan op het dagelijkse

taalgebruik maar aan de andere kant verwachten wij vandaag de dag andere

woorden. Het lijkt namelijk dat de kans gelijkgesteld wordt aan een geldbedrag.

Huygens drukt zich uit met de vraag wat een kans waard is of wat een speler waard

is om te spelen. Onder voorstel 1 legt Huygens het voorstel uit en geeft daarna een

‘bewijs’: “Want als ik (a+b)/2 heb dan kan ik dat tegen een ander inzetten die ook

(a+b)/2 zal inzetten en afspreken dat degene die het spel wint aan de ander a zal

geven. Waardoor ik gelijke kans zal hebben om a te krijgen, te weten als ik verlies, of

b als ik win; want in dit geval krijg ik de inzet a+b, waarvan ik a aan mijn tegenspeler

geef.([3], blz. 20)” Verder komt hij aan de term (a+b)/2 door een spel te schetsen met

twee spelers, deze spelers zetten beide x in. De winnaar geeft aan de verliezer een

bedrag a, dus de winnaar wint 2x-a.

Stel 2x-a=b. Dan heb ik evenveel kans op b als op 2x-a. Daaruit volgt dat ‘de waarde

van mijn kans’ (a+b)/2 is.

We hebben voorstel 1 voorgelegd aan een leerling uit VWO 6. Zij antwoordde: “Op

zich is dat best logisch maar wat leuk dat het van een andere kant wordt benaderd!”

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 8

Na even doorvragen bleek dat vrijwel alle vragen vandaag de dag beginnen met:

‘hoe groot is de kans dat…’. Terwijl bij voorstel 1 eigenlijk uitgerekend wordt wat je

voor een spel zou geven om het te kunnen spelen.

Voorstel 2 is een uitbereiding van voorstel 1 alleen nu wordt het spel gespeeld

met 3 personen. Voorstel 3 is daar weer een uitbereiding op. Zo vertelt voorstel 3:

“Als ik p kansen heb om a te krijgen, en q kansen om b te krijgen en als ik ervan

uitga dat iedere kans even gemakkelijk kan optreden, dan is mij dit (pa+qb)/(p+q)

waard. ([3], blz. 22)” Hierin zie je een nadere generalisatie van de afgelopen twee

voorstellen. De tekst die Huygens erbij zet is onduidelijk. Het is van belang om zijn

denkwijze en beredeneerwijze onder de knie te krijgen want de volgende voorstellen

zijn gebouwd op de eerste drie. De overige gecompliceerde situaties zal Huygens

reduceren tot eenvoudigere gevallen.

Voorstel 4: “Stel dat ik tegen een ander om drie gewonnen spelen speel, dat ik

al 2 spelen heb gewonnen en de ander maar een. Als wij niet zouden willen

doorspelen maar als wij wat ingezet is op een rechtmatige wijze zouden willen

verdelen, dan zou ik willen weten hoeveel van de inzet mij zou toekomen. ([3], blz. 24)”

In de uitleg van dit probleem gebruikt Huygens een generalisatie van het probleem,

een opsomming van alle mogelijkheden en past hij voorstel 1 toe. Voor de

voorstellen 5 tot en met 9 gebruikt Huygens dezelfde werkwijze. Iedere keer past hij

na de opsomming van de mogelijkheden voorstel 1,2 of 3 toe. De voorstellen

verschillen van elkaar in het aantal spelers die ontbreken en die meespelen.

Wanneer we kijken naar de manier van ‘bewijzen’ en de aanpak van een probleem,

past dit prima in het programma van het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs.

Al wordt er wel enige voorkennis van je vereist dat behandeld wordt in de klassen 4

en 5.

Tussen voorstel 9 en 10 worden de dobbelstenen er even uitgelicht. Daarbij

staan vragen als hoeveel worpen men kan accepteren om met een dobbelsteen

minstens één zes te gooien. Daarin wil je als speler het liefst een kans groter dan 50

procent, een typische opgave voor kansrekening in klas 4. Deze kennis wordt

gebruikt in de voorstellen vanaf 10. Daar komen we namelijk bij het doel van het

boek: het kunnen voorspellen of een bepaald dobbelspel voordelig is. Voorstel 10

vertelt dan ook: “Gezocht wordt het aantal worpen dat men kan nemen om met een

dobbelsteen minstens één 6 te werpen. ([3], blz. 32)” Wim Kleijne verwoordt het als

volgt: “Wat is het kleinste aantal keren dat men met een dobbelsteen moet gooien

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 9

zodat de kans op minstens één zes groter is dan de kans dat men helemaal geen

zes gooit. ([3], blz. 43)” Ook deze vraag sluit prima aan op de kennis van het VWO. Het

is een vraag die je eerst moet opsplitsen in standaardvragen die een VWO-scholier

weer op kan lossen.

Voorstel 11 behandeld een gokprobleem die veel mensen toentertijd bezig

heeft gehouden: hoeveel moet je wedden dat je binnen vierentwintig worpen twee

zessen gooit? Het voorstel luidt: “Te vinden het aantal worpen dat men kan nemen

om met twee stenen twee zessen te werpen([3], blz. 34)”. Na enig rekenen komt

Huygens tot de conclusie dat je voor 24 worpen je nog net iets te kort komt en vanaf

25 worpen het in je eigen voordeel is. Hij komt tot deze conclusie door steeds het

voorgaande te gebruiken in het volgende. Huygens leidt hier eigenlijk een recurrente

betrekking af. Wij zouden zeggen: w(n+1)=(5/6).w(n)+(1/6).a voor de waarde w(n)

van de spelsituatie waarin men in één keer minstens een zes moet werpen. Een

recurrente betrekking of ook wel een recursieformule genoemd, zit nog steeds in het

wiskundepakket. Maar er wordt niet van de kandidaat gevraagd om deze ook toe te

passen op de kansrekening.

Voor de oplossing van voorstel 12, “Gevraagd wordt hoe veel stenen men kan

nemen om 2 zessen te werpen([3], blz. 36)”, wordt weer gebruikt gemaakt van een

belangrijk wiskundig principe: probeer het probleem terug te brengen tot een

makkelijker, al opgelost, probleem. Tot nu toe zijn de voorstellen een leer voor iedere

VWO-scholier. Meestal moet het voorgaande gebruikt worden om het volgende

vraagstuk op te lossen.

Tenslotte voorstel 13 en 14, beide voorstellen lijken de problemen waarnaar

Huygens toegewerkt heeft in z’n boek. Hij wilde weten wat hij het beste kon doen bij

een gokspelletje in de praktijk. Zo lost hij op: “Ik speel tegen een ander met 2 stenen

door slechts een worp te gooien, onder de voorwaarde dat ik zal winnen als er 7

ogen boven komen, maar de ander zal winnen, als er 10 ogen boven komen; in ieder

ander geval zullen wij de inzet gelijk verdelen. Gevraagd wordt, welk deel van de

inzet aan ieder van ons toekomt. ([3], blz. 36,38)” Voorstel 14 is een uitbreiding op

voorstel 13, nu gooien de deelnemers om de beurt een dobbelsteen en niet achter

elkaar. Bij de oplossing van deze vraagstukken valt hij weer terug op het tweede en

derde voorstel.

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 10

Wel verwacht Huygens dat de lezer bij deze voorstellen extra meedenkt. Onze VWO-

6 scholiere slikte een keer en zei toen: “Geen idee hoe ik dit aan zou moeten pakken,

waarom maakt hij de spelletjes niet gewoon af! Dan kan ik de kansen wel geven!”.

Huygens eindigt zijn boek met enige voorstellen. Vijf vraagstukken met bij drie

van de 5 een antwoord zonder verdere uitleg. Voorstel 5 vertelt het volgende:

“A en B hebben elk 12 penningen en spelen met 3 dobbelstenen onder deze

voorwaarde: als er 11 ogen geworpen worden, dan moet A een penning aan B

geven; als er 14 ogen geworpen worden, dan moet B een penning aan A geven;

diegene zal het spel winnen, die het eerst alle penningen zal hebben gekregen

([3], blz. 40)”. Dit probleem is aanleiding geweest tot een uitwisseling van oplosmethode

door verschillende wiskundigen. Bijvoorbeeld geeft Bernoulli in Ars Conjectandi uit

1713 een volledige oplossing van het probleem. Opvallend is dat Huygens tot het

antwoord A : B = 244140625 : 282429536481 komt. Van de overige toegevoegde

voorstellen hebben een aantal tot felle discussies geleidt en dat heeft ook gezorgd

voor verschillende oplosmethoden. Een VWO-scholier zou zeker drie van de vijf

problemen op kunnen lossen. De overige twee (een daarvan is hierboven vermeldt)

zouden voor wat meer moeite kunnen zorgen. Onze scholiere herkent in twee van de

vijf voorstellen het vaasmodel zoals zij die ook heeft geleerd. Zo staat er in het

tweede voorstel:”Drie spelers A,B en C spelen met 12 schijven, waarvan er 4 wit zijn

en 8 zwart, onder de voorwaarde, dat diegene van hen die blindelings eerst een witte

schijf gekozen zal hebben winnen zal, en dat A de eerste schijf zal nemen, B de

tweede, en dan C, en dan weer A, en zo vervolgens om de beurt. De vraag is in

welke verhouding hun kansen tot elkaar staan.” En het vierde voorstel: “We hebben

zoals hiervoor 12 schijven genomen, 4 wit en 8 zwart; A wedt tegen B dat hij

blindelings 7 schijven daaruit zal nemen waardonder er 3 witten zullen zijn. Gevraagd

in welke verhouding de kans van A staat tot die van B. ([3], blz. 40)”

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 11

6. Vergelijking

Na alle voorstellen stuk voor stuk doorgenomen te hebben kunnen we nu de

vergelijking beginnen. Allereerst heb je kennis over kansrekening nodig om Van

Rekeningh in Spelen van Geluck te begrijpen. De onderwerpen die besproken

worden zijn tot op zeker hoogte dezelfde als op het VWO behandeld worden. Een

verschil daarin is wel dat in Huygens’ boek vraagstukken staan over als een

(gok)spelletje eerder wordt afgebroken. Een hele andere invalshoek voor een huidige

VWO-er. Om deze kansen uit te rekenen gebruikt Huygens dezelfde methode als

een ‘VWO-er zonder rekenmachine’. Opvallend daarin is de manier van Huygens om

daadwerkelijk tot die eindberekening te komen. Door elke keer de vraag te herleiden

tot één van de drie beginvoorstellen.

7. Invoeren op het VWO

Voordat we conclusies gaan trekken over het wel of niet toevoegen van onderdelen

uit Van Rekeningh in Spelen van Geluck aan de VWO-lesstof, vermelden wij nog een

gedeelte van de inleiding van het vertaalde en toegelichte Van Rekeningh in Spelen

van Geluck door Wim Kleijne. Hij vermeldt daar: “De tekst is ongetwijfeld geschikt om

ook bestudeerd te worden door bijvoorbeeld leerlingen van het voorbereidend

wetenschappelijk onderwijs (VWO). Met name in het zogenoemde ‘studiehuis’ van de

bovenbouw van het VWO wordt een beroep gedaan op het zelfstandig studeren van

leerlingen. Deze tekst van Christiaan Huygens lijkt hiervoor geschikt te zijn. ([3], blz. 7)”

Dit meenemend zijn wij van mening dat Van Rekeningh in Spelen van Geluck

inderdaad aansluit op het VWO-onderwijs. Iets concreter kijken, vertelt ons dat de

eerste drie voorstellen voor een VWO-er prima te begrijpen zijn en deze zijn ook

onderdeel van de normale lesstof. Nadat een probleem herleidt is tot de drie

basisproblemen zijn de voorstellen van Huygens ook goed op te lossen door onze

scholiere. Het herleiden is echter het grote struikelblok. Een VWO-er moet daar meer

van weten voordat hij of zij daadwerkelijk Huygens oplossing onder de knie kan

krijgen, er moet veel mee geoefend worden. Wanneer we kijken naar de interesse

van onze VWO-scholiere, viel een andere vraagstelling erg in de smaak. Zij vond het

interessant om ook eens ‘kansen’ te berekenen halverwege een spel in plaats van de

standaard vragen als: “Hoe groot is de kans dat de zestiende knikker een blauwe is?”

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 12

8. Conclusie; Huygens op het VWO?

Van Rekeningh in Spelen van Geluck, een boekje van Christiaan Huygens bevat een

aantal voorstellen over gokspelletjes. Het huidige wiskunde onderwijs op het VWO

heeft met sommige vraagstukken te maken gehad maar vele ook niet. Gokken is dan

ook niet de bezigheid die men de leerlingen mee wil geven. Maar ballen uit een vaas

trekken is nou ook weer het andere uiterste. Gezocht moet worden naar een

middenweg. Daarin past Van Rekeningh in Spelen van Geluck prima tussen

Huygens’ manier van denken en doen zou menig VWO-scholier een stap verder

helpen. Nadeel daarvan is wel dat het tijd vergt om de oplossingen van Huygens

onder de knie te krijgen, tijd die meestal niet beschikbaar is. Verrassende vragen die

je halverwege een spelletje kan stellen en ook kan oplossen vallen zeker in de

smaak bij de huidige VWO-er. Voor het nieuwe Wiskunde D is dit boekje absoluut

een aanrader doordat het ook prima als zelfstudie gebruikt kan worden. Voor de

Wiskunde A en C, die ongeveer hetzelfde programma hebben binnen de

kansrekening, zal het boekje een te hoog niveau hebben. Maar een andere soort

vragen zou meer in de lesstof betrokken moeten worden, bekijk een spelletje eens

halverwege in plaats van aan het eind!

Huygens zou prima bij kunnen dragen aan de kansrekening vandaag de dag. Al zal

hij wel zijn oplossingen moeten uitleggen en toelichten om echt zijn vruchten achter

te laten.

+ Van Rekeningh in Spelen van Geluck: een bijlage voor VWO-kansrekening – Annemarie Baars & Auke Mollema – 12-01-2009 – Geschiedenis van de Wiskunde + 13

9. Referentielijst

[1] Bos, H.J.M., 1974. Dictionary of Scientific Biography Volume VI. (blz. 597)

Charles Scribner’s sons, New York.

[2] Vlis, J.H. van der, 1988. Geschiedenis van kansrekening en statistiek.

Uitgeverij Pandata, Rijswijk.

[3] Kleijne, W. 1998. Toelichting op Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Epsilon

Uitgaven, Utrecht.

[4] Digischool, 2008. Examenprogramma’s 2007-2010. 16-01-2009,

http://www.digischool.nl/wi/wiscom/examenprog-2007.htm

[5] Entoen, 2009. De canon van Nederland. 18-01-2009,

http://entoen.nu/media/_600/gravure%20huygens.jpg