V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r

O r g a a n v a n d e

N e d e r l a n d s e V e r e n i g i n g

v a n W i s k u n d e l e r a r e n

j a a r g a n g 7 5

1 9 9 9 - 2 0 0 0 m r t / a p r . 6

NVvW-

Lustrumcongres 2000

GWA in mavo-4

Wisconstighe

Vermaecklyckheden:

Marci de boekhouder

Euclides is het orgaan van de Neder-landse Vereniging van Wiskunde-leraren. Het blad verschijnt 8 maalper verenigingsjaar.

Redactie

Dr. A.G. van AschDrs. R. BoschH.H. DaaleDrs. W.L.J. Knoester-DoeveDrs. J.H. de GeusDrs. C.P. Hoogland hoofdredacteurIr. W.J.M. Laaper secretarisW. SchaafsmaIr. V.E. Schmidt voorz./penningm.Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred.J. SinnemaJ. van ’t Spijker

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Kees HooglandVeldzichtstraat 243731 GH De Bilte-mail: redactie-euclides@nvvw.nl

Richtlijnen voor artikelen:• goede afdruk met illustraties/foto’s/

formules op juiste plaats of goed inde tekst aangegeven.

• platte tekst op diskette: WP, Word ofASCII.

• illustraties/foto’s/formules op apartevellen: genummerd, zwart/wit,scherp contrast.

Richtlijnen voor mededelingen:• zie kalender achterin.

Nederlandse Vereniging vanWiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterDrs. M. KollenveldLeeuwendaallaan 432281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: M.Kollenveld@nvvw.nlSecretarisW. KuipersWaalstraat 88052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail:W.Kuipers@nvvw.nlLedenadministratieMw. N. van Bemmel-HendriksDe Schalm 198251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: ledenadministratie@nvvw.nl

Contributie per ver. jaar: ƒ 80,00Studentleden: ƒ 40,00Leden van de VVWL: ƒ 55,00Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ 55,00Betaling per acceptgiro. Nieuweleden geven zich op bij de ledenad-ministratie. Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanafhet eerstvolgende nummer.Abonnementsprijs voor personen:ƒ 85,00 per jaar. Voor instituten enscholen: ƒ 240,00 per jaar.Betaling geschiedt per acceptgiro.Losse nummers op aanvraag leverbaarvoor ƒ 30,00. Opzeggingen vóór 1 juli.

AdvertentiesInformatie, prijsopgave en inzending:L. Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordecht, tel. 078-6390890fax 078-6390891 e-mail lbozuwa@worldonline.nlofF. Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-673468

Colofonproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Adresgegevens auteurs

A.G. van AschBenedenmolenweg 3D4112 NS Beusichem

D. BeckersMerelstraat 166542 WJ Nijmegen

R. BoschHeiakker 164841 CR Prinsenbeek

M. KollenveldLeeuwendaallaan 432281 GK Rijswijk

W. KuipersWaalstraat 88052 AE Hattem

W. LaaperWaleweinlaan 1165665 CL Geldrop

A. NiënkemperVan Lodenstein CollegeUtrechtseweg 2283818 ET Amersfoort

182 Kees Hoogland

Van de redactietafel

118833 Danny Beckers

Wisconstighe Vermaecklyck-

heden III

Recreatieve wiskunde in de

18de eeuw:

A.F. Marci de boekhouder

186 Rob Bosch

Quod erat demonstrandum

Fermat's descente infinie

190 F. van der Blij , A.G. van Asch

Een oud probleem

196 Boekbespreking

197 De Nationale Doorsnee

119988 Redactiecommissie Jubileumboek

Honderd jaar wiskunde-

onderwijs (6)

199 Jaarvergadering-

Lustrumcongres 2000

Eerste aankondiging

200 Examenbesprekingen

in mei 2000

202 Wim Kuipers

In memoriam

Gerrit van den Heuvel

202 Loopbaanoriëntatie en

begeleiding in de vakles

203 Marian Kollenveld

Heeft u zebra 3 al in huis?

220044 Adrie Niënkemper

Geïntegreerde Wiskundige

Activiteiten (GWA) in mavo-4

209 Rectificatie

209 Praktische opdrachten met

computergebruik op de

SLO-site

210 Wim Laaper

'De omgang met leerlingen is

het meest interessant'

211 40 jaar geleden

214 Recreatie

216 Kalender

interview

aankondiging

aankondiging

nv vw

nv vw

aankondiging

Inhoud

18175 | 6 Euclides

198

183

204

182 Euclides 75 | 6

re

da

ctie

tafe

l

va

n d

eAls u dit nummer krijgt zijn de

examens al weer in aantocht.Voor de havo gaat het bij vrijwel

alle scholen om de laatste examens‘oude stijl’.Een klein aantal scholen zal dit jaar voorhet eerst de nieuwe examens havo A12,havo B1 en havo B12 afnemen. Voor heteerst officiële examens volgens het nieu-we programma, met de grafische reken-machine, met de formulekaart (ofnatuurlijk met het boekje Wisforta, datde Vereniging heeft gemaakt) en metnieuwe correctievoorschriften voor deoplossingen die leerlingen geven metbehulp van de grafische rekenmachine.In Euclides zullen we u zo snel mogelijkop de hoogte proberen te brengen vande wetenswaardigheden over deze nieu-we examens.

Oproep

Bent u docent aan een school die dit jaarde nieuwe Tweede Fase havo-examensafneemt en wilt u een bijdrage leverenaan het informeren van uw collega’sover het wel en wee van deze examens,dan verzoekt de redactie u contact op tenemen. Het adres staat in het colofon.De bijdrage kan bijvoorbeeld via eeninterview gaan, maar bijvoorbeeld ookaan de hand van enkele karakteristiekeleerlingenuitwerkingen.De redactie hoopt van u te horen.

Examenbesprekingen

Zoals altijd organiseert de Verenigingweer examenbesprekingen op diverseplaatsen in het land. Uiteraard voor alleexamens: vbo/mavo C/D, havo wiskun-de A en B en vwo wiskunde A en B. Ookis er voorzien in een examenbesprekingvoor de nieuwe Tweede Fase havo-exa-mens. Elders in dit nummer staan allegegevens weer bij elkaar.

Weging Praktische Opdrachtenhavo A1

Bij de laatste wijzigingen rond de Twee-de Fase van januari jongstleden ging deweging van de Praktische Opdrachtenvoor het schoolexamen terug van 40%naar 20%.Dat geldt voor alle profielwiskundes, dieworden afgesloten met een CentraalExamen.Onduidelijk was wat dit betekende voorde weging van 30% die was vastgesteldvoor het schoolexamen havo A1. Hetlaatste bericht dat mij heeft bereikt, isdat dit 30% blijft. Wilt u het echt zekerweten dan moet u het maart-nummervan Uitleg even op school opzoeken.Daar schijnt het formeel te worden vast-gelegd.

Vmbo

Op de scholen voor vmbo gaat de aan-dacht op dit moment vooral uit naar hetgroeperen van de leerlingenstromen:welke leerlingen gaan naar het praktijk-onderwijs en welke leerlingen krijgenleerwegondersteunend onderwijs? Wel-ke leerlingen plaatsen we in de basisbe-roepsgerichte leerweg, welke in dekaderberoepsgerichte leerweg, en welkein de gemengde of theoretische leerweg?Daarna komt al snel de vraag welke leer-lingen in de derde klas dan bij elkaarkunnen zitten en welke niet?De verschillende uitgevers leveren op ditmoment in ieder geval al informatieover hoe deze leerwegen in de boekenverwerkt worden.In Euclides besteden we ook in dit num-mer weer aandacht aan GWA en prakti-sche opdrachten voor vbo en/of mavo.Dat zal namelijk zeker een rol gaan spel-len in de nieuwe programma’s en wehopen u daarmee praktische voorbeel-den te kunnen geven.

Kees Hoogland

Inleiding

Voor een grote groep men-sen in de achttiende eeuwbestond recreatieve wiskun-de uit het reproduceren vanverbazingwekkende, maarrationeel verklaarbare proe-ven met apparaten. Debenodigde machinerie wastamelijk prijzig, maar in detweede helft van de eeuw derVerlichting wist Guyot zijnwerkplaats te Parijs draaien-de te houden op bestellin-gen van dit soort apparaten.Zijn klanten kwamen uitheel Europa.1)De opkomende midden-klasse van ingenieurs, boek-houders en onderwijzers,kon zich niet veroorlovengrote bedragen te spenderenaan haar vermaak. Echter:ook in deze groep verspreid-de zich in de loop van de18de eeuw de kennis en degelegenheid om zich op eenrecreatieve wijze met wis-kunde bezig te houden. Bijgebrek aan financiële mid-delen creëerden zij een geheel eigenstijl van recreatieve wiskunde; eenstijl die veel nauwer aansloot bij de

hedendaagse recreatieve wiskunde,dan de recreatie die hun rijkeretijdgenoten bedreven.

Status van de wiskunde

Wiskunde werd door de achttien-de-eeuwse middenklassebeschouwd als een zeer belangrijkvak. De kooplieden leerden hunrekenwerk in de overtuiging dat dezekerheid brengende wetten van dewiskunde hun de welvaart brachtendie ze genoten. Voor boekhoudersen ingenieurs was de wiskundezeker zo belangrijk. Niet dat zij wis-kunde leerden op de manier zoalswij dat vandaag doen. Integendeelzelfs: zij leerden voor het meren-deel regeltjes volgens welke eenbepaald soort opgaven diende teworden opgelost. Maar zij waren erten sterkste van overtuigd dat de

structuur achter dieregels voor de goede leer-ling zich zou opdringen,en voor de minder goedeleerling uiteindelijk hethouvast zou bieden dathij nodig had om snel envaardig zijn werk te kun-nen verrichten.De onderwijzer die reken-onderwijs kon geven, derekenmeester, kon eenaardige cent bijverdienen.Weeskinderen die zichbekwaam toonden op deweesschool kondenterecht op de charitatievefundatiescholen van devrijvrouwe van Renswou-de. Daar werden ze, meteen stevige dosis wiskun-de, opgeleid tot een (inge-nieurs-)vak en zodoendebleef hun de armoedebespaard.2) Wiskunde waskortom voor velen eenbron van (extra) inkom-sten, en daarmee genootdegene die in de wiskundethuis was een zeker aan-zien in de lage midden-klasse. Mogelijk was de

beoefening van recreatieve wiskun-de voor de middenklasse dus ookeen soort statussymbool.

18375 | 6 Euclides

Recreatieve wiskunde in Nederland in de

18de eeuw: A.F. Marci de boekhouder

WisconstigheVermaecklyck-heden III

Danny Beckers

Recreatie en educatie

De wiskundige recreatie die dezegroep achttiende-eeuwers beoe-fende, was zeker niet vrij van edu-catieve elementen. Welbeschouwd

leert een mens natuurlijk altijdwanneer hij een nieuwe opgavemaakt, maar in de achttiende-eeuwse middenklasse-literatuurop het gebied van de recreatievewiskunde was het educatieve ele-ment heel pregnant aanwezig. Zobevatte het tijdschrift voor reken-meesters de Mathematische Lief-hebberye (1754-1765), tevens klei-ne stukjes theorie, onder andereover rijen en reeksen. Bij die theo-rie stonden veel opgaven waarvan

het recreatief karakter ver te zoe-ken was: ze konden zo uit de les-boeken van die tijd zijn geplukt.Iets dat wij, afgaande op de titelvan het tijdschrift, niet zoudenverwachten. 3)

Het boekMathema-tisch Zinnen-Confect ofWiskundigeUytspannin-gen (1767)van PaulHalcken wasgeschrevenmet als doel‘een aange-naame ver-lustiging’ tebieden, maardiende tevens‘ter beoeffe-ningen van

het Ver-stand’. Ookhier treffenwe naast‘vermakelij-ke opgaven’theorie aan,en eengeschiede-nis vanbenaderin-gen van π. 4)In de titels

van de boeken werd steeds bena-drukt dat het echt om recreatieging, en dat de koppeling vanrecreatie aan educatie volkomenvanzelfsprekend was. De titel vaneen van de eerste tijdschriften vanhet Wiskundig Genootschap bij-voorbeeld: Wiskunstige Verlusti-ging (1793-1795) laat aan duide-lijkheid niets te wensen over. Hetgenootschap stelde zich een zeerserieus doel: het verspreiden vankennis omtrent de nuttige wiskun-dige wetenschap. 5)

Onderwerpen

Zoals gezegd waren de onderwer-pen die aan bod kwamen in dezerecreatieve wiskundeliteratuur zeerherkenbaar. De sporadisch voorko-mende astronomische vraagstuk-ken zijn nog het meest exotisch.

184 Euclides 75 | 6

Wegens de onmogelijkheid voor demiddenklasse om gebruik te makenvan dure instrumenten, waren devragen allemaal theoretisch vanaard. Veel algebraïsche vergelijkin-gen op een aardige wijze ingekleed(‘Iemant heeft een schoon Mathe-matisch Boek gekogt voor zoo veelRyxdaalders, dat, wanneer mendezelve met 696 multipliceert…’),of opgaven die een ontbinding infactoren en een beetje puzzelen ver-eisten:

Daar is een Breuk wiens Noemer 108

meer is als de Teller: als men deze

Breuk verkleynd, zoo doet de Noe-

mer 6 meer als de Teller, en zoo men

de Noemers en Tellers van de onver-

kleynde en verkleynde Breuken met

elkander multipliceert, komt ’er

2683044. Wat is het voor een

Breuk? 6)

Ook eenvoudige vlakke meetkundekwam aan bod, en af en toe zelfseen beetje analyse.Het Vermaakelyk ReekenkonstigSpel van de Quadrata Magica(1744) van A.F. Marci gaat voor hetmerendeel over tovervierkanten,een voor de hand liggend onder-werp voor recreatieve wiskunde.Marci geeft zelf ook aan dat hetbepaald geen nuttig onderwerpbetreft, maar gewoon erg leuk enleerzaam is. 7) Het boek van Marcimag illustratief worden genoemdvoor de recreatieve wiskunde vande middenklasse in de achttiendeeeuw. Het was tamelijk populair: in1791 verscheen een herdruk, endaarmee is het een van de weinigeachttiende eeuwse boeken in zijnsoort 8); bovendien had Marci eenorigineel onderwerp dat navolgingvond 9).

Wiskunde en ‘ondervinding’

Het werk van Marci in zijn geheel isillustratief voor een curieuze opvat-ting over wiskunde bij zijn vak- entijdgenoten. In een boek overpriemgetallen bijvoorbeeld meendehij na het controleren van een aan-tal voorbeelden ontdekt te hebbendat elk priemgetal, op de eerstepaar na, van de vorm 6n ± 1(n � �) moest zijn. Een bewijs hadhij er niet voor, maar dat maaktevoor hem de stelling niet minderzeker. 10) Het bewijs is echt nietmoeilijk te bedenken; als hem’n regelmaat was opgevallen, hadhij die ook in een redenering kun-nen vatten. Omdat Marci niet debeschikking had over onze notatiesen ideeën van wiskundige streng-heid had zijn bewijs ons misschienniet aangestaan, maar dan haddenwe hem kunnen begrijpen. Met zijnexpliciete opmerking dat het ont-breken van een bewijs de stellingniet minder zeker maakt omdat hijzoveel voorbeelden heeft gecontro-leerd, mengt Marci de wiskundigezekerheid met experimenteel ver-kregen informatie. Het geeft eenbeetje aan wat Marci onder wis-kunde verstond en hoe goed hijerin thuis was. Wiskunde en de‘ondervinding’ stonden voor Marciveel dichter bij elkaar dan voor onstegenwoordig gebruikelijk is.Deze opvatting vinden we in eenvoor ons nog minder herkenbare(extreme) vorm terug in een ‘wis-kundige’ ontdekking in een tijd-schrift, bestemd voor de midden-klasse uit 1762. Daarin beweerdeeen anonieme auteur aan de handvan een aantal voorbeelden dat eenlot uit een kermis-loterij op 22 sep-tember of 21 december altijd prijsgaf. 11) Voor deze man was dat hetbewijs van de aanwezigheid van‘een zekere wiskunst’ in zaken vangeluk. Marci was dus zeker niet deenige met deze voor ons enigszinsvreemde opvatting over wiskunde.

18575 | 6 Euclides

QU

OD

ER

AT

DE

MO

NS

TR

AN

DU

M

186 Euclides 75 | 6

Een primitief drietal van Pythagoras is een drietal positie-ve gehele getallen x, y, z met ggd(x, y, z) � 1 die voldoenaan de vergelijking x2�y2� z 2. Men gaat gemakkelijk nadat in zo’n drietal één van de getallen x en y even is.De bekende karakterisering van de primitieve drietallenvan Pythagoras wordt gegeven door de volgende stelling.

Stelling 1Alle oplossingen van de Pythagoras-vergelijkingx2�y2�z 2 die voldoen aan ggd(x, y, z)�1; 2⏐x ; x, y, z � 0worden gegeven doorx�2st ; y�s2 � t 2 ; z�s2 � t 2

met s en t geheel, s � t � 0, ggd(s, t)�1 en s � t mod 2.

Fermat gebruikte deze stelling om aan te tonen dat deDiophantische vergelijking x 4�y4�z 2 geen oplossingenheeft in de positieve gehele getallen. De bewijstechniekdie hij hierbij gebruikte, noemde hij descente infinie, let-terlijk oneindige afdaling. We zullen deze methode illu-streren aan de hand van een voorbeeld van Fermat zelf.

Stelling 2 (Fermat)De vergelijking x 4�y4�z 2 heeft geen oplossing in posi-tieve gehele getallen x, y, z.

Bewijs: Stel dat x0, y0, z0 een positieve oplossing is van devergelijking x 4�y4�z 2. Zonder beperking van de alge-meenheid mogen we aannemen dat ggd(x0, y0) = 1,anders delen we het linker- en rechterlid van de vergelij-king door de ggd van x0 en y0. Voor x0, y0, z0 geldt(x0

2)2+ (y02)2 = z0

2

en dus is x02, y0

2 en z0 een primitief Pythagoras drietal.Volgens Stelling 1 bestaan er dus twee positieve gehelegetallen s en t (s � t) die relatief priem zijn metx0

2�2st ; y02�s 2�t 2 ; z0�s 2�t 2

waarbij of s of t even is. Indien s even is dan is1 ≡ y0

2�s 2�t 2 ≡ 0�1 ≡ 3 mod 4hetgeen onmogelijk is. Dus moet s oneven en t even zijn.Zij t = 2u. De vergelijking x0

2�2st wordt dan x02�4su

ofwel (x0/2)2�suAangezien s en u relatief priem zijn, moeten beide eenkwadraat zijn. We kunnen dus schrijven s = z1

2 en u = w12

met z1 en w1 positief. We passen Stelling 1 nogmaals toe,ditmaal op de vergelijking t 2�y0

2 � s 2

Daar ggd(s, t) = 1 is, geldt ggd(t, y0, s) = 1 en dus is t , y0, seen primitief Pythagoras drietal. Met t is even krijgen wet�2vw ; y0�v 2�w 2 ; s� v2� w 2

met v en w relatief priem. Uit de relatie vw = t/2 = u = w12

volgt dat zowel v als w kwadraten zijn. Zeg v�x12 en

w� y12. Substitutie in de vergelijking voor s geeft:

z12� s�v2�w 2�x1

4�y14

Omdat z1 en t positief zijn, geldt0 � z1 � z1

2 � s � s2 � s2�t 2�z02

Uitgaande van een positieve oplossing x0, y0, z0 vanx4� y4 �z2 , hebben we een tweede oplossing x1, y1, z1

geconstrueerd met z1� z0. Herhaling van de constructieleidt tot een derde oplossing x2, y2, z2 met z2� z1, welkedan weer leidt tot een vierde oplossing enz.De constructie leidt zo tot een oneindige rij van positievegehele getallen kleiner dan z0

z0�z1�z2�…Aangezien er slechts eindig veel positieve gehele getallenkleiner dan z0 zijn, geeft dit een tegenspraak. De conclusieluidt dat de vergelijking x4�y4�z2 geen positieve oplos-sing heeft.Een direct gevolg van stelling 2 is

Stelling 3De vergelijking x4�y4�z4

heeft geen oplossing in de positieve gehele getallen.

De bovenstaande stelling is een bijzonder geval van hetberoemde vermoeden van Fermat dat de vergelijkingenxn�yn�zn, n � 2 geen oplossingen hebben in de posi-tieve gehele getallen. Fermat heeft dit vermoeden dusvoor het geval n � 4 bewezen. Zoals bekend heeft And-rew Wiles enige tijd geleden aangetoond dat het vermoe-den juist is.Fermat gebruikte de descente infinie voor verschillendebewijzen. In een brief aan Huygens in 1659 schrijft hijhierover: ‘Omdat de gewone methoden die we in boekentegenkomen, niet toereikend zijn om zulke moeilijke stel-lingen te bewijzen, vond ik een heel aparte methode …die ik descente infinie heb genoemd. Eerst gebruikte ikdeze methode om er negatieve beweringen mee te bewij-zen, zoals ‘‘Er is geen rechthoekige driehoek met gehelezijden waarvan de oppervlakte een kwadraat is.’’… Het isveel moeilijker om er positieve beweringen mee te bewij-zen. Toen ik wilde bewijzen dat ieder priemgetal van devorm 4n�1 de som van twee kwadraten is, had ik danook grote problemen. Maar uiteindelijk bleek de metho-de ook geschikt voor deze vragen.’

Rob Bosch

Literatuur

A. Weil Number Theory, an approach through history

Fermat’s descente infinie

De auteur en zijn publiek

Adolph Frederik Marci (†1774)was werkzaam als boekhouder envertaler te Amsterdam. Hij waseen groot bewonderaar van hetwerk van zijn tijdgenoot Euler 12)en lid van het Wiskundig Genoot-schap te Hamburg: het oudstegenootschap aan de wiskunde toe-gewijd. Het Hamburgse Genoot-schap bestond uit liefhebbers alsMarci, die zichzelf in toerbeurtopwierpen als de auteur van eenboekje om de medeleden mee teplezieren. In dat kader schreefMarci ook zijn Quadrata Magica.Hij hield er echter terdege reke-ning mee dat het boek ook onderzijn landgenoten aftrek zou vin-den: hij had zelfs een aantal pagi-

na’s speciaal aan ‘onkundige cijf-fermeesters’ gewijd. Hier liet hijde rekenmeesters kennis makenmet de 9-proef, en liet hij zien datmen op analoge wijze ook een 19-proef of 37-proef zou kunnendoen 13).De Quadrata Magica bestaat grof-weg uit twee stukken. In het eerstestuk gaat Marci in op de construc-tie van een tovervierkant. In hettweede stuk geeft hij enkele tien-tallen reken- en meetkunde-opga-ven ter oefening. Die opgavengaan over hogeremachts vergelij-kingen (m.b.v. de regels van Car-dano en Descartes), het benade-ren van logarithmen, en opgavendie met een van de regels uit hetrekenboek van Bartjens te lijf kon-den worden gegaan. Aardig zijn

met name de vragen over rijen enreeksen. In moderne notatie luidteen van deze opgaven: gegeven derijen an : � 127 � 131 � n , bn : � b � 171 � n èn a2056 � b2056.Gevraagd werd de waarde van b.Tevens waren enige opgaven overde sommen van reeksen opgeno-men 14). Allemaal zeer geschiktekost voor de betere achttiende-eeuwse rekenmeester of ingenieurdie zich in zijn spaarzame vrijeuurtjes nog wat met wiskundewilde bezig houden. Al de bespro-ken eigenaardigheden van derecreatieve wiskundebeoefeningdoor de achttiende-eeuwse mid-denklasse zijn herkenbaar in Mar-ci’s boek over de tovervierkanten.

18775 | 6 Euclides

Slotvraag (met gedicht) uit Paul Halcken’s Mathematisch Zinnen-Confect

Tovervierkanten

Een tovervierkant is voor Marci eenvierkant(e matrix) waarin getallenuit een rekenkundige rij zijngeplaatst, zodanig dat de som vande getallen horizontaal en verticaalsteeds dezelfde waarde oplevert. Hijlaat aan de hand van een paar voor-beelden zien dat als je eenmaal zoeen tovervierkant hebt, de eigen-schap van het tovervierkant behou-den blijft wanneer je rijen ofkolommen onderling verwisselt.

Zijn uiteindelijke doel is een receptvoor het opstellen van een tover-vierkant met een bepaald getal alsuitkomst van de kolom- en rij-sommen. Daartoe heeft hij eengroot schema opgesteld waarvan hijhet gebruik in receptvorm ver-klaart, en met een voorbeeld, hetjaartal 1743, illustreert. Het schema,40 bij 40 vakjes groot, heeft in hetmidden een vak van vier bij viermet daaromheen ringen met een

breedte van één vakje. Het vak inhet midden en elk van de ringenzijn door Marci in zijn schemagevuld met de getallen 1, 2, 3, …Wanneer je nu een tovervierkantvan k bij k (vanwege de afmetingenvan het schema is k aan de restrictie4�k �40 èn k even gebonden) wiltmaken kies je eerst een rekenkundi-ge rij. Welke rij je kiest is afhankelijkvan de uitkomst die je bij elke rij- enkolomsom wilt krijgen. Eenvoudigvalt na te gaan, en Marci doet datook, dat wanneer je de eerste k2 ele-

menten van de rij (a�b�n)n � �

gebruikt om een tovervierkant vank bij k te vullen, dat de kolom- enrijsommen dan allemaal ka� Qw k3bzijn (k nog steeds even).Na de keuze van de rekenkundigerij beperken we ons tot de eerste k2

opeenvolgende elementen uit dezerij. Deze elementen (vanaf nu ‘devulrij’ genoemd) verdelen we ingroepjes volgens het schema vanMarci: begin bij de buitenste ring

van het vierkant van k bij k. Diebevat een even aantal elementen,zeg 2n. Uit de vulrij nemen we deeerste n, en de laatste n elementen,zetten die in volgorde van kleinnaar groot, en plaatsen ze in de bui-tenste ring. Het eerste element uitde groep komt op het vak in diering waar Marci een 1 heeftgeplaatst, het tweede op 2 etcetera.Met het restant elementen uit devulrij herhalen we deze operatiemet de volgende ring, tot alle vakjesvan het vierkant gevuld zijn en de

vulrij in zijn geheel gebruikt is.Opvallend is dat het schema vanMarci niet erg regelmatig is. Met dekolom- en rijwisselingen die hij zelfter sprake bracht, is het uiteraardmogelijk om in de linkerbovenhoekvan iedere ring een 1 te hebbenstaan. Daarnaast moeten de getallendie met sterretjes en kruisjes zijngemarkeerd in bepaalde gevallenverwisseld: iets dat overbodig is bijeen andere invulling van het sche-

188 Euclides 75 | 6

ma15). Het zou kunnen dat Marcizijn schema heeft gevonden doorgewoon te experimenteren. Min-stens zo waarschijnlijk is echter datMarci hier bewust enige mystificatiedoor zijn vinding heeft gemengd,om te voorkomen dat iedere reken-meester met zijn werk zou gaanlopen pochen: het vereist veelinzicht in het schema om de cijfer-verwisselingen aan te brengen, enhij legt wel uit hoe het verwisselenmoet gebeuren, maar niet waarom.Een dergelijke vorm van obscuran-tisme was onder uitgevers vangoniometrietabellen niet onge-woon; een paar taktisch geplaatstefoutjes in de laatste decimalenmaakten roofdrukken onmiddellijkals zodanig herkenbaar. In Marci’sschema stonden geen fouten, maarhet effect dat hij trachtte te berei-ken was hetzelfde: eenvoudigereproductie van zijn werk werddoor een ongewone presentatiebemoeilijkt. Het is opvallend dateen dergelijke presentatie in wis-kundig werk heel gewoon werdgevonden.

Conclusie

Wiskunde was voor de opkomendemiddenklasse in de achttiendeeeuw een vak dat een hoge statusgenoot. De recreatieve beoefeningvan het vak had voor deze groep(mogelijk juist wegens die status)een tamelijk serieuze ondertoon.Bij gebrek aan financiële middelengaven de rekenmeesters, boekhou-ders en ingenieurs aan hun (recre-atief) wiskundige activiteiten eenandere invulling dan hun elitairetijdgenoten. Qua onderwerpskeuzewas de recreatieve wiskunde van demiddenklasse voor ons zeer her-kenbaar. Voor deze mensen was dewiskundebeoefening echter ver-mengd met experimentele princi-pes. Mogelijk voegden zij ookopzettelijk obscurantistische ele-menten toe om hun werk te

beschermen tegen ideeën-roof.Deze ideeën over wiskunde, en deserieuze ondertoon waamee zewerd beoefend, maken dat er tus-sen de hedendaagse recreatieve wis-kunde en die zoals die door deachttiende-eeuwse middenklassebeoefend werd, toch een wereld vanverschil bestaat.

Noten

1 Zie deel 2 in deze serie, in:Euclides 74 nr. 3 (december 1998), pp.76-78

2 E.P. de Booy en J. EngelVan erfenis tot studiebeursDelft (1985)

3 Mathematische Liefhebberye, methet Nieuws, der Fransche en Duyt-sche Schoolen1754-1765

4 Paul HalckenMathematisch Zinnen-Confect ofWiskundige Uytspanningen terbeoeffeningen van het VerstandPurmerend (1767)-vertaald uit het Duits door Jacob Oost-woud.

5 S.B. Engelsman‘Het Wiskundig Genootschap en eerstesecretaris Strabbe’ in:Tweehonderd Jaar onvermoeidearbeid -tentoonstellingscataloguspp. 9-19

6 P. HalckenMathematisch Zinnen-Confectpp. 271-272

7 A.F. MarciHet Vermaakelyk Reeken-KonstigSpel van de Quadrata MagicaAmsterdam: De Janssoons van Waes-berge (1744), p. 20

8 Andere populaire recreatieve wiskunde-boeken voor de 18de-eeuwse midden-klasse waren het eerder genoemdeMathematisch Zinnenconfect, en deLiefhebbery der Reekenkonst vanG. van Steyn.

9 In de Rekenkundige Byzonderhedenvan Marten Jellen (1779) werden debeschouwingen van Marci over detovervierkanten verder doorgevoerd.

10 A.F. MarciUitvoerige Tafelen van de Ondeel-baare of Prim-GetallenAmsterdam (1772)

11 ‘De Wiskonst in het Geluk of Ongelukder Loteryen’ in:De Boekzaal der Heeren en Dames I(1762), pp. 75-80

12 Marci schreef twee artikelen die geba-seerd waren op werk van Euler: A.M.,‘De verworpene Annhilatio ultimi termi-ni, als een qualyk verzonne Konstgreepder Wiskonstenaren nopens de Arith-metica Infinitorum’ in:Vaderlandsche Letteroefeningen1762-I, pp. 45-56, 136-146, 214-234; enA.F.M., ‘Methodus de Maximis et Mini-mis opgehelderd’ in:Vaderlandsche Letteroefeningen1763-II, pp. 346-354, 390-397, 429-438,473-482, 507-522. Marci biecht zijnauteurschap van deze artikelen op inzijn Uitvoerige Tafelen uit 1772.

13 A.F. MarciQuadrata Magica(1744), pp. 127-136

14 ibidem, pp. 54-12515 ibidem, pp. 26-34

18975 | 6 Euclides

190 Euclides 75 | 6

Voorwoord

In Euclides nr. 7, jaargang 73 stelden we het volgendeprobleem, afkomstig uit deel 1, jaargang 1 van het Wis-kundig Tijdschrift, uit 1904.

Vraag 30. De volgende vormen zijn door a�b�c deel-baar:a + b + c

a3�b3�c3�3abc

a5�b5�c5�5abc(ab�ac�bc)

a7�b7�c7�7abc(a2b2�a2c2�b2c2)

Er schijnt een algemene gedaante voor deze en soortgelijkedoor a�b�c deelbare vormen te bestaan.Deze is niet �a2n � 1�(2n � 1)(�1)n abc�bn � 1cn � 1,want de tweede vorm is niet �a3�3abc�b0c0, maar

�a3�abc�b0c0. De eerste vorm kan wel onder dezegedaante gebracht worden, als men hem verdubbelt. Devolgende (5de) vorm, nl. �a9 � 9abc�b3c3 blijkt echter bijonderzoek niet deelbaar te zijn door a�b�c. De alge-meene gedaante is ook niet �a2n � 1�(2n � 1)(�1)n

abc(�bc)n � 1. De 2de en de 3de vorm zijn wel van diegedaante. De 4de ook, indien men er 14a2b2c2(a � b � c)aftrekt. De 1ste echter niet. Ook blijkt de volgende vorm

�a9 � 9abc(�bc)3 weer niet deelbaar te zijn doora � b � c.Welke is de algemeene gedaante dezer vormen?

En wij vroegen ons af of er lezers van Euclides zoudenzijn die zich met dit probleem wilden bezig houden.Allereerst willen we nu veel dank en waardering uit-spreken voor de inzendingen die we ontvingen. We kre-gen schriftelijke reacties van

H. BoertienL. van den BroekL. van den BromE.C. Buissant des AmorieM. KindtR.J. KortramH. PotF.H. Simons

Ieder van de inzenders had een eigen methode en eeneigen, soms gedeeltelijke oplossing. In het onderstaan-de willen we hun werk samenvatten, combineren enhier en daar iets aanvullen.Eerst enkele algemene opmerkingen. Het onderstaandeartikel wil niet alleen over de wiskundige probleemstel-ling en de formele oplossing er van handelen. We willenook enkele heuristische opmerkingen en didactischevraagstellingen terloops aan de orde stellen.Enkele inzenders gaven een boeiend verslag van hetverloop van hun onderzoekingen. We willen daar in ditoverzicht ook enige aandacht aan geven.We merken op dat vele inzenders ontdekten dat de for-mulering van de vraagstelling uit 1904 niet tot een een-duidige oplossing kan voeren. Het ‘op een zelfdemanier voortzetten’ van de rij van enkele voorbeeldenis altijd een ongedefinieerde zaak, maar ook wiskundiglijkt een eenduidige voortzetting niet mogelijk.Maar toen wij de vraagstelling uit 1904 overnamen washet niet onze bedoeling de lezers een soort ‘eindexa-men-vraagstuk’ voor te zetten, waarvan de oplossing inalle details eenduidig vanuit de normen lijkt te zijnvastgelegd.Het is meer een onderzoeks-opdracht. En zo als zovaak, of zelfs meestal bij wiskundig onderzoek gebeurt,moet de vraagstelling tijdens het onderzoek aange-scherpt en verduidelijkt worden. Ook dat is een stukjewiskundige activiteit.Een wiskundige vraagstelling kan de gedaante hebben‘Er moet een stelling zijn die ongeveer zo en zo ietszegt’.

Inleiding

Sommige inzenders hebben zich tot één interpretatiebeperkt, anderen hebben duidelijk gemaakt dat zij eenaantal interpretaties hebben bestudeerd en bij dezeinterpretaties gepoogd hebben algemene resultaten teverkrijgen.Maar ook nadat een interpretatie gekozen is zijn er ver-schillende manieren om resultaten te bereiken.Een wezenlijk verschil voor de oplossing van combina-torische problemen is of men aan de hand van een aan-tal expliciete voorbeelden tot een algemeen vermoedenkan komen en daarna bijvoorbeeld met volledige

Een oud probleemF. van der Blij, A.G. van Asch

19175 | 6 Euclides

inductie een bewijs geven. I. Stewart noemt dezemethode spottenderwijs de methode van ‘Let 2�n’.Soms werd met de hand en het hoofd gerekend, somswerd de computer mee ingeschakeld. Een anderemethode geeft zonder volledige inductie direct eengezochte formule, als regel lijkt ons deze methodedidactisch aantrekkelijker. Het verschil van dezemethoden is bijvoorbeeld duidelijk bij de verschillendebewijzen die voor het binomium van Newton gegevenworden. Men kan de vorm van de binomiaal coëfficiën-ten raden en dan met volledige inductie naar n de for-mule voor (a + b)n bewijzen.Maar men kan ook de coëfficiënt van akb n � k in het uit-gewerkte binomium interpreteren als het aantal manie-ren om k objecten uit een verzameling van n objecten tekiezen en hiervoor met combinatorische methoden af-leiden:

�� �.

Vanuit didactisch oogpunt lijkt de tweede methodemooier. Maar in een aantal gevallen is de eerste metho-de eenvoudiger. Voor ons probleem zullen we beidemethoden gebruiken.

Overzicht van het probleem

De opmerking dat

a3 �b3 �c3 �3abc

a 5 �b 5 �c 5 �5abc(ab�ac�bc)

a 7 �b 7 �c7 �7abc(a 2b 2 �a 2c 2 �b 2c 2)

deelbaar zijn door (a�b�c) is het beginpunt.Is de rij voort te zetten? Wat kan de bedoeling van devraag zijn? Laten we een wat ruime formulering kiezen.Alle inzenders zijn het er wel over eens dat we vooroneven waarden van n een functie F zoeken zodat

an + bn + cn ± n abcF(a, b, c) deelbaar is door (a�b�c).Maar aan welke eisen moet F voldoen? Duidelijk is datF nooit eenduidig bepaald kan zijn, vermeerdering vaneen gevonden F met een willekeurig veelvoud van(a�b�c) zal ook voldoen.We formuleren nu een aantal eisen zoals we die expli-ciet of impliciet bij de inzenders vonden:

1 F moet een veelterm in a, b en c zijn.2 F moet een symmetrische veelterm in a, b en c zijn.3 De coëfficiënten van F moeten gehele getallen zijn.

4 F moet van de gedaante akbk �akck �bkck zijn.5 F moet een polynoom in (ab�ac�bc) zijn.6 F moet een som zijn van termen

(abc)p (akbk �akck �bkck).7 F moet een polynoom zijn in de elementair symme-

trische functies (ab�ac�bc) en abc.

Een eerste vraag is verder hoe men de eis ‘moet deel-baar zijn door (a�b�c)’ gaat gebruiken. Verschillendeinzenders stellen voor de reststelling daarvoor tegebruiken. Een veelterm G(a, b, c) is deelbaar door(a�b�c) als G(a, b, (�a�b))�0. Hoewel dezemethode het rekenwerk vereenvoudigt lijkt het niet ver-standig deze methode te gebruiken als men aan voor-waarde 2 wil voldoen.Ook kan men proberen een uitdrukking vana n + bn + cn in elementair symmetrische functies te vin-den en dan modulo (a + b + c) te rekenen, of eenvoudig(a + b + c) gelijk aan 0 stellen.

Een eenvoudiger probleem

Hoewel we het niet expliciet bij inzenders opgemerktvonden, is het niet ondenkbaar dat men eerst een ana-loog probleem voor twee letters a en b heeft bekeken.In eerste opzet is dit triviaal:an �bn is voor oneven n altijd door a�b deelbaar.Verder is a 2n �b 2n �2anbn voor n�1, 3, 5, 7… en isa 2n �b 2n �2anbn voor n�2, 4, 6, 8, … door a�b deel-baar.Maar we zouden hier dus meer kunnen vragen, bijvoorbeeld of an �bn expliciet als functie van a�b en abte schrijven is. Dit soort opgaven werden in vroegerejaren wel bij de theorie van de vierkantsvergelijkingenop de HBS gesteld.Het begin is duidelijka 2 �b 2 �(a�b)2 �2aba3 �b3 �(a�b)3 �3ab(a�b)a4 �b4 �(a�b)4 �4ab(a�b)2 �2a 2b 2

Hoe gaat dit verder?Een speciaal geval is het geval dat a en b de wortels zijnvan de vierkantsvergelijkingx2 �2r cos (f )x �r 2 �0.Dan geldt a �b�2r cos (f ) en ab�r 2.De stelling van Le Moivre leertan �bn �(r cos (f ) � ir sin (f ))n �(r cos (f )�

ir sin (f ))n �2rn cos (nf ).En het probleem is nu cos (nf ) uit te drukken incos (f ).(Een opmerking voor insiders: mocht de vierkantsver-gelijking reële wortels hebben dan is een analoge for-mulering met hyperbolische functies mogelijk.)We behandelen nog een stukje het algemene geval en

nk

n(n�1)(n�2) …… (n�k�1)1.2.3 ……k

192 Euclides 75 | 6

voeren in a �b�A, ab ��B en S n �a n �b n. Dangeldt:S1 �AS2 �A2 �2BS3 �A3 �3ABS4 �A4 �4A2B�2B 2

De vierkantsvergelijking is in dit geval x 2 �Ax�B.Om deze rij voort te zetten kunnen we de eenvoudig afte leiden recurrente betrekking Sn � 2 �ASn � 1 �BSn

gebruiken.De structuur van de formules is duidelijk, maar watzijn de coëfficiënten? We schrijven ze voor een stukje intabelvorm

1 0 0 0 0 01 2 0 0 0 01 3 0 0 0 01 4 2 0 0 01 5 5 0 0 01 6 9 2 0 01 7 14 7 0 01 8 20 16 2 01 9 27 30 9 0

We kijken naar de kolommen. De tweede kolom zalvermoedelijk wel de rij van de natuurlijke getallen zijn.De derde kolom heeft als rij van verschillen de rij 3, 4, 5,6, 7. Dus vermoedelijk is de tweede kolom een reken-kundige rij van de tweede orde waarvan de termendoor een kwadratische formule in n gegeven worden.Met wat experimenteren blijkt Qw n(n�3) te voldoen.Deze formule is ook nog goed voor n = 3.De vierde kolom is nog maar kort. Zullen we het wagener een rekenkundige reeks van de derde orde voor testellen? De formule Qy n(n�5)(n�4) voldoet aan deuitkomsten op de vierde tot en met de negende regel.Heel veel brutaliteit (of wat langer experimenteel werk,dat met de computer niet zo moeilijk is) laat ons ver-moeden dat de (k + 1)-ste coëfficiënt in de n-de regelgelijk is aan

.

En u zult het niet geloven, nu is de algemene formulemet volledige inductie te bewijzen!

Het gestelde probleem

Als u de lectuur nog niet opgegeven hebt zult u wel ver-ontwaardigd zijn over de lange uitwijding over eenander probleem dan het gestelde. Didactisch onverant-woord? Maar u leest deze regels nog dus hebben wemoed nu aan het echte probleem te beginnen.

We voeren een paar afkortingen in om op een uniformemanier over de inzendingen te kunnen berichten. Hetblijkt dat handige notaties je soms in de richting vaneen interpretatie sturen.A�a�b�cB��(ab�ac�bc)C�abcSn �an �bn �cn

Tn �(�1)n (a nb n �a nc n �bncn).

De vraag komt neer op het zoeken van twee functiesvan a, b en c zodatSn �n.C.F(a, b, c)�A.G(a, b, c)We merkten boven al op dat F en G door deze vraagstel-ling niet eenduidig bepaald zijn. De factor n heeftnatuurlijk alleen zin als we in F alleen gehele getallen alscoëfficiënten willen toelaten. Modulo n rekenen leertons dat (a � b � c)n modulo n met an �bn �cn congru-ent is als n een priemgetal is. De optredende multino-miaal coëfficiënten zijn namelijk voor het priemgetal ndoor n deelbaar.

Verder merken we op dat a, b en c opgevat kunnen wor-den als de wortels van de derdegraads vergelijkingX 3 � AX 2 �BX�C.Substitutie van de wortels in deze vergelijking, verme-nigvuldiging met de n-de macht van de wortel en optel-ling geeft de recurrente betrekkingSn � 3 �ASn � 2 �BSn � 1 �CSn.En hiermee zijn met computeralgebra direct uitdruk-kingen voor Sn als functie van A, B, C te vinden.Even een begin; we rekenen modulo A:S3 �CS0 �3CS5 �BS3 �CS2 �C (BS0 �S2)S7 �BS5 �CS4 �C (B2S0 �BS2 �S4)Het vermoeden rijst dat modulo A geldt:

S2k � 3 �

C(BkS0 �B k �1S2 �B k � 2S4 �……�BS2k � 2 �S2k).

En dit is direct met volledige inductie te bewijzen. Wehebben nu de som van de (2k�3)-de machten geschre-ven als een veelvoud van abc en een symmetrisch poly-noom in a, b en c. Dat de coëfficiënten voor een priem-getal 2k + 3 deelbaar door dit priemgetal zijn is nietdirect duidelijk. Ook is de vorm van F niet direct eengeneralisatie van de gegeven vormen voor 5 en 7. Hoe-wel we bij verschillende inzenders aanzetten voor dezeoplossing vonden bleek hij de inzenders niet te bevredi-gen.Omdat in de opgave alleen sprake is van Sn voor onevenn zou het de moeite waard kunnen zijn voor de som-men van oneven machten een recurrente betrekking tevinden. Natuurlijk zullen we ook modulo A reduceren.

n(n�2k�1)(n�2k�2) ……(n�k�1)1.2.3 ……k

19375 | 6 Euclides

Eén van de inzenders vermeldt deze recurrente betrek-king modulo A:S2n � 7 �2BS2n � 5 �B 2S2n � 3 �C 2S2n � 1.

Verschillende inzenders proberen aan de vierde of zesdeeis van het lijstje in het voorwoord te voldoen.Dat wil zeggen men probeert de functie F in de vormTk te gieten of men probeert de functie F voor te stellenals een som van factoren C mTk, waarbij 3m�2k �

n� 3.Eenvoudig rekenen modulo A leertS1 �0S3 �3CS5 �5CT1

S7 �7CT2

S9 �9CT3 �30C 3

S11 �11CT4 �55C 3T1

S13 �13CT5 �91C 3T2

S15 �15CT6 �140C 3T3 �378C 5.De voortzetting met de eis 4, namelijk dat F gelijk zouzijn aan een term Tk met k� Qw (n�3) is dus niet moge-lijk voor 9 tot en met 15. Men kan bewijzen dat dezevoorstelling alleen mogelijk is in de boven genoemdegevallen 3, 5 en 7.De voorstelling gebruikmakend van de voorwaarde 6lijkt voor de functie F te voeren tot de vraag naar decoëfficiënten in de opvolgende machten. Het lukte eenvan de inzenders een expliciete formule voor deze coëf-ficiënten te vinden, maar het leek alleen mogelijk dezemet volledige inductie te bewijzen. We merken hieralleen op dat 55�30�25; 91�55�36; 140�91�49opvolgende kwadraten zijn, maar dat kan natuurlijktoeval zijn. Al moeten we eerlijk bekennen dat we tocheven door zijn gaan rekenen en dit patroon bleefbestaan. Misschien komen we aan het einde van dit ver-haal hier nog op terug.

De voorwaarde 7

Omdat we een recurrente betrekking vonden waardoorSn modulo A direct als functie van B en C te bepalen is,lijkt deze aanpak meer succes te kunnen hebben.We merken daarbij nog op dat a 2b 2 �a 2c 2 �b 2c 2

modulo A congruent is met B 2.Eenvoudig rekenen leert

S0 �3S1 �0S2 �2BS3 �3CS4 �2B 2

S5 �5BCS6 �2B 3 �3C 2

S7 �7B 2CS8 �2B4 �8BC 2

S9 �9B 3C�3C 3

De structuur van deze rij is duidelijk, voor even waar-den van n zijn het sommen van termen BsC t met2s � 3t�n en even t. Voor oneven waarden van n zijnhet sommen van termen BsC t met 2s �3t�n en one-ven t.We geven nu een tabel van de coëfficiënten in het one-ven geval:

Tabel 1: coëfficiënten van BsC t in Sn , waarbij n oneven is en 2s�3t�n

Het is weliswaar wat vervelend cijferwerk, maarnatuurlijk ook eenvoudig met de computer te doen.Wie met de hand rekent heeft iedere keer bij het berei-ken van een priemwaarde voor n de fraaie controle vande deelbaarheid van alle coëfficiënten door dat priem-getal.Maar is er regelmaat in de coëfficiënten te vinden? Demeeste inzenders, die deze weg bewandelden, gaven opdit ogenblik op.Het gedrag van de getallen in de bovenste diagonaal isduidelijk. In de eerste daaropvolgende diagonaal lezenwe 3, 11, 26, 50, 85, 133, 196, 276. De rij van de ver-schillen in deze nevendiagonaal is 8, 15, 24, 35, 48, 63,80. Voor fijnproevers direct duidelijk een rij met ver-schillen 7, 9, 11, 13, 15, 17 en nu zijn we bij een reken-kundige rij. De oorspronkelijke rij zal dus een reken-kundige rij van de derde orde kunnen zijn. Uit de eerstetermen van de rij kunnen we de coëfficiënten vinden,het wordt als we invoeren n �2k�1

Qy n(k�3)(k�2)� sQfn(n�7)(n�5)

Het ligt voor de hand voor de volgende nevendiagonaalnu een rekenkundige rij van de vijfde orde te veronder-stellen. Het is weer rekenwerk om het voor het begin-stuk passend te krijgen, maar we zouden een gokje kun-nen wagen en veronderstellen dat voor n = 7, 9, 11 en13 de formule 0 moet opleveren. Ons gokje wordtbeloond:

3

3

3

3

5

11

17

23

7

26

57

9

50

147

11

85

322

13

133

15

196

17

276

1921

23

1 3579

11131517192123

n s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

194 Euclides 75 | 6

a Qw ;n(k�6)(k�5)(k�4)(k�3)�

alQs;n(n�13)(n� 11)(n�9)(n�7)

past voor n�7, 9, 11, 13, … , 23.

Met weer wat stoutmoedig generaliseren van vermoedestructuren wagen we de veronderstelling dat de algeme-ne coëfficiënt gegeven zal worden door

En met volledige inductie is alles te bewijzen. Het iseerlijk waar dat dit op deze manier gevonden is. Maarer is wel heel wat geluk aan te pas gekomen.Wanneer we de formule goed bekijken kunnen we decoëfficiënt van BsCt met 2s �3t �n ook schrijven als

Zouden binomiaal coëfficiënten toch een rol spelen? Deeerder gemaakte opmerking over het optreden van defactor n voor n een priemgetal wees in die richting.

Een alternatieve methode

Enkele inzenders merkten op dat met voortbrengendefuncties wel wat te bereiken zou zijn. We laten even zienwat deze suggestie oplevert.Een inzender leidt de voortbrengende functie uit derecurrente betrekking af en vindt daarmee de oplos-sing, die we hieronder op een klein beetje anderemanier vermelden. We werken, zoals in de combinato-riek gebruikelijk, met formele machtreeksen, we hoe-ven ons dan niet om convergentie te bekommeren.We voeren een voortbrengende functie in door dedefinitie

F(t)� �(a n �b n �c n)t n � �a nt n � �b nt n � �c nt n

� � �

�

We gaan nu modulo A rekenen, dan worden de formu-les vereenvoudigd tot

F(t)�

We ontwikkelen nu (1�x�y)�1 �1�(x � y)�

(x � y) 2 �(x �y)3……

Passen we dit toe op (1�Bt 2 �Ct 3)�1 dan vinden we

F(t)�(3�Bt 2){1�(Bt 2 �Ct 3)�(Bt 2 �Ct 3)2 ……}

�3� �n � B k C l t 2k � 3l.

Uit de vorm voor de voortbrengende functie vinden wedirect de waarde van Sn modulo A expliciet als functievan B en C :

Sn �n � B kC l (n2)

We merken nog op dat de reductie modulo A, dooronze probleemstelling ingegeven, hier geen wezenlijkevereenvoudiging brengt. Dat wil zeggen dat we eenvou-dig de gedaante van Sn als veelterm in A, B en C kunnengeven.We moeten dan de multinomiale formule

(x�y�z)m� � x iy jz k gebruiken.

Het eindresultaat wordt:

Sn � n � A iB jC k (n 1)

En hieruit zijn direct F en G uit ons probleem af telezen.

Nog onopgeloste vragen

In de bovenstaande paragraaf vonden we een eenvoudi-ge formule voor de voortbrengende functie

F(t)� �Snt n

Op geheel analoge manier kunnen we een formule voorde voortbrengende functie

G(t)� �Tnt n

vinden. Na enig rekenen vinden we

Tn � n � AjBiC j�2k (n 1)

We hebben nu zowel Sn als Tn expliciet als veelterm inA, B en C geschreven.Omdat alle formules homogeen in de variabelen a, b en c

(i� j�k)!i!j!k!

(�1)j �ki� j�k

(i� j�k)!i!j!k!

1i� j�k

m!i!j!k!

(k� l)!k!l!

1k� l

(k� l�1)!k!l!

3�Bt 21�Bt 2 �Ct 3

3�2At�Bt 21�At�Bt 2 �Ct 3

11�ct

11�bt

11�at

n(s� t)!(s� t)s!t!

n(k�m)(k�m�1) … (k�3m�3)(2m�1)!

k, l 02k�3l�n

k, l 02k�3l�n

i, j, k 0i �j�k�m

i, j, k 0i �2j�3k�n

i, j, k 0i �2j�3k�n

∞

n�2

19575 | 6 Euclides

zijn mogen we zonder de algemeenheid te schaden ver-onderstellen C�1. Wanneer we weer modulo A reduce-ren vinden we

Sn �n � B j (n 2)

en

Tn �n � B i (n 1)

We hebben nu zowel Sn als Tn geschreven als polyno-men in B.In een vorige paragraaf probeerden we met enkeleinzenders Sn te schrijven als een som van termen Tm , bijoneven n met toevoeging van factoren die een geschiktemacht van C zijn.In onze nieuwe formulering, nog steeds modulo Arekenend met de extra veronderstelling C�1 moeten

we uit de polynoom-relaties voor Sn en Tn de B probe-ren te elimineren en zo Sn als een som van de Tm schrij-ven.Eén van de inzenders heeft opgemerkt dat de nu optre-dende coëfficiënten in de kolommen gerangschikt weerrekenkundige reeksen van hogere orde zijn. Uit eenpaar voorbeelden is de algemene vorm te raden en danzal een bewijs met volledige inductie het werk kunnenvoltooien.Het gelukte ook ons nog niet een ‘mooi’ bewijs voordeze zaak te vinden.Daar zowel de Sn als de Tn polynomen in B zijn is heteen probleem van lineaire algebra om Sn te schrijven alslineaire combinatie van de Tm. Het probleem is, watgeleerd gezegd, een inverse van een oneindig dimensio-nale matrix te vinden en deze te vermenigvuldigen meteen andere oneindig dimensionale matrix. We zien ervanaf dit program uit te voeren. Het is eerlijk waar datdit op deze manier gevonden is. Maar er is wel heel watgeluk aan te pas gekomen.

(�1)k (i�k�1)!i!k!

(j�k�1)!j!k!j, k 0

2j�3k�n

i, k 0i �3k�n

B E S T E L B O NDe Multiline - in etui - wordt per set à 5 stuks geleverd.

Gelieve te zenden op rekening rechtstreeks/via boekhandel:

set à 5 stuks Multilineexpl. Handleiding à fl. 37,50

School:Naam:Straat:Pc en Plaats:Telefoon:

Vermelde prijzen zijn incl. btw. Bestellingen beneden f 150,- wordt f 7,50 voor verzendkosten doorberekend.

Deze coupon zenden naar:Optimumboek b.v.Antwoordnummer 79

9400 VB ASSEN

De Multifunctionele liniaalpraktisch hulpmiddel bij het tekenen

van lijnen, figuren en vormen.

fl.6,45 per stuk

De Multiline wordt uitsluitend per set van 5 stuks geleverd.

196 Euclides 75 | 6

Laura T. RigatelliEvariste Galois 1811 – 1832Translated in English by John DentonBirkhäuser Verlag, 1996160 p., DM 38,-

Samenzwering, revolutie, vurige liefde voor het vaderland,onbeantwoorde liefde, geniale wiskundige theorieën enontdekkingen, miskenning door de gevestigde wiskundigeelite, een gewelddadige dood nog voor zijn 21-steverjaardag: het zijn ideale ingrediënten voor een roman,film of theaterproductie over het leven van de beroemde,jonggestorven wiskundige Evariste Galois.Lastiger is het om een goed gedocumenteerde biografieover het leven van Galois te schrijven, die teruggaat oporiginele bronnen uit het Frankrijk van het begin van de19de eeuw. Dit laatste heeft de Italiaanse hoogleraar in degeschiedenis van de wiskunde Laura Rigatelli gedaan. Hetboek is in een Engelse vertaling verschenen als deel 11 inde serie Vita Mathematica van de Zwitserse uitgeverBirkhäuser. Voor lezers die geïnteresseerd zijn in devoorgaande delen in deze serie biografieën vanwiskundigen: bijna alle delen zijn in het Duits, er is nog éénander deel in het Engels (over Norbert Wiener) en één inhet Frans (over André Weil).Het boek is goed verzorgd, niet heel duur (DM 38) en hetgeeft in 160 bladzijden een minutieus getekend beeld vanhet leven van Galois in het rumoerige Parijs van de jarenrond 1830. Juist in dat jaar vond de bloedige revolutieplaats, waarbij de laatste Bourbon koning verjaagd werden de 'burgerkoning' Louis Philippe aan de macht kwam.Deze gebeurtenissen hadden een zeer grote impact op hetleven van de jonge Galois en zijn familie.Galois' vader was burgemeester van een klein voorstadjevan Parijs, raakte door politiek gekonkel zijn baan kwijt enpleegde zelfmoord. Galois zelf was zeer actief in derevolutionaire republikeinse beweging, en volgensRigatelli was zijn (zelfgekozen) dood een onderdeel in een

complot om een opstand van het volk tegen demachthebbers te forceren. Dat hij überhaupt de tijd envooral de rust kon opbrengen om in die paar jaar eenwiskundig oeuvre bij elkaar te schrijven, mag een wonderheten. De kritische editie van zijn verzamelde publicatiesen manuscripten uit 1962 beslaat 541 pagina's! Het laatstehoofdstuk van het boek van mevr. Rigatelli is trouwens eenoverzicht van het wiskundige werk van Galois, metuitgebreide citaten uit het werk zelf. Helaas wreekt zichhier, dat de Engelse vertaler van het boek geen wiskundigeis: nogal onbeholpen vertalingen van wiskundige termenduiken op. Zo wordt een zuiver periodieke kettingbreukeen 'immediately periodic continuous fraction' in plaatsvan een 'purely perodic continued fraction'.Het boek eindigt met een zeer uitgebreide bibliografie,waarin behalve biografische studies over Galois' leven enstudies over het werk van Galois, ook de romans, films entheaterstukken over Galois opgenomen zijn.Door bovenbouwleerlingen zou dit boek gebruikt kunnenworden als belangrijkste bron bij een werkstuk overGalois' leven en werk. Voor wiskundeleraren en anderewiskundigen is het heel interessant om te lezen onderwelke penibele omstandigheden de eerste aanzet tot demoderne abstracte algebra gegeven werd en hoe dezedoor de toenmalige wiskundige wereld ontvangen werd.

Rob Potharst

Boekb esprekingen

Op de website van de vereniging staan allerlei boek-besprekingen.www.nvvw.nl/besprekingen.html

19775 | 6 Euclides

Zit de gemiddelde leerling van

Nederland bij u in de klas?

Is uw klas de gemiddelde klas van

Nederland?

Voorspelt een van uw leerlingen

hoe de gemiddelde leerling van

Nederland eruit ziet?

U denkt van niet? Denken is echter niet genoeg. Uweet als geen ander; meten isweten. Om dus te ontdekken of uwklas de gemiddelde klas van Neder-land is moet er gemeten worden.Gelukkig hoeft u dat niet zelf tedoen. Uw leerlingen zullen zelf hetonderzoek verrichten en zo deelne-men aan dit speciaal ontwikkeldestatistiekproject ter gelegenheidvan het Wereld Wiskunde Jaar2000.

Door onderzoek te doen naar degemiddelde leerling van Nederlandworden meerdere vliegen in éénklap gevangen. De leerlingen pas-sen spelenderwijs statistiek toe bin-nen de kerndoelen, de computerwordt geïntegreerd in de les en vooru is het een welkome afwisseling opde bestaande lesstof.

Waarom gaat u meedoen?

Uniek aan dit project is, dat alledeelnemende scholen op hetzelfdemoment de op school verzameldedata doorsturen naar het CBS.Daar vindt op professionele wijzede centrale dataverwerking plaats.Dat levert een prachtige dataverza-meling op, waar u en uw leerlingeneen steentje aan hebben bijgedra-gen.Als school houdt u er ook iets aanover: een datacollectie van de eigenschool en aanvullend lesmateriaaldat u kunt hergebruiken in uw sta-tistiek-onderwijs.

Uw leerlingen zullen graag willenmeedoen omdat het project isopgezet als wedstrijd waarin ‘vette’prijzen te winnen zijn.

Statistiek is knowledge science enbevredigt nieuwsgierigheid.

Dus:……bent u al nieuwsgierig?

Belangrijk om te weten is dat alleleerlingen van de brugklassen en detweede klassen (kunnen) meedoenaan deze nationale wedstrijd.Ook handig om te weten is dat hetproject De Nationale Doorsneeheet, plaats zal vinden in de weten-schapsweek op dinsdag 10 oktober2000 en dat u nog veel meer infor-matie zult ontvangen.

De Nationale Doorsnee komt medetot stand dankzij bijdragen van deStichting WeTen, het CBS, hetFreudenthal Instituut en het APS.Het is geïnitieerd door de NVvWter gelegenheid van haar 75-jarigbestaan.

Contactpersoon: Philip van Schaik

P.vanSchaik@fi.uu.nlFreudenthal Instituut(030)261 16 11 (op wo-do-vr).

De Nationale Doorsnee

dinsdag 10 oktober 2000

198 Euclides 75 | 6

Van CMLW tot FreudenthalInstituut

In het Jubileumboek wordt, natuur-lijk, een hoofdstuk opgenomen overdat bijzondere instituut in Utrecht,het Freudenthal Instituut. Zulkeinstituten zijn er niet veel op dewereld. Hoe kan het dat in Nederlandwel zo’n instituut tot stand kwam?De voorgeschiedenis begint al eindjaren ’50. De Russen lanceerden deallereerste ‘kunstmaan’, in de Ver-enigde Staten schrok men daarvan.Het Spoetnik-effect was geboren, eenachterstand moest worden ingelo-pen. Ook in Europa werden dekrachten gebundeld. In november1959 vond te Royaumont bij Parijseen conferentie plaats, georganiseerddoor de Organisatie voor EuropeseEconomische Ontwikkeling (OEES).Daar werd onder meer de vloer aan-geveegd met het traditionele meet-kundeprogramma.Als vervolg op de conferentie te Roy-aumont werd in 1961 de CommissieModernisering Leerplan Wiskunde(CMLW) opgericht. De CMLWmoest de kloof tussen de universitai-re wiskunde en de schoolwiskundedichten, de afstand was te grootgeworden. Er moest een nieuw leer-plan komen.Van meet af aan heeft Freudenthal,zelf lid, zich actief met het werk vande CMLW bezig gehouden. Hij ver-breedde de aandacht naar de onder-bouw en stimuleerde dat er een sub-commissie voor het basisonderwijs

werd gevormd, na initiatieven daar-toe van buiten de CMLW. Zo ont-stond de subcommissie Wiskobas.Het ging Freudenthal om verbeteringvan het wiskundeonderwijs, zoals hijzelf zei, niet zozeer om een nieuwleerplan. Er werden medewerkersaangetrokken om uitwerking tegeven aan de gevormde ideeën. Zowerd de CMLW een bedrijf, al washet formeel alleen een adviescom-missie. In 1971 ging de staatssecreta-ris accoord met de oprichting vaneen instituut. Dit werd het Instituutvoor de Ontwikkeling van het Wis-kunde Onderwijs (IOWO), verbon-den aan de universiteit van Utrecht,met Freudenthal als hoogleraar-directeur. Het IOWO breidde zijnactiviteiten uit. In 1973 werd Wiski-von opgericht als afdeling voor hetvoortgezet onderwijs. En er kwameen onderwijscomputercentrum(OC).Het IOWO werkte geïntegreerd, datwil zeggen leerplanontwikkeling,toetsing, opleiding, nascholing,didactiek, alle aspecten werden in

samenhang aangepakt. Uiteraard wasveel onderzoek nodig; dat begon metobservaties in de klassen. In 1975 ver-scheen voor het eerst de Wiskrant, alsuitgave van Wiskivon. In de jarendaarna verschenen experimenteleleerstofpakketjes voor lbo t/m vwo,die in klassen werden uitgeprobeerd.Ook werd samengewerkt met deHewet-commissie, die een nieuwleerplan moest maken voor debovenbouw van het vwo.Maar intussen dreigde de opheffingvan het IOWO, dat niet paste in destructuur die onderwijskundigenhadden bedacht. Het geïntegreerdwerken zou juist niet goed zijn; voorde genoemde aspecten werdenafzonderlijke instanties beter geacht.Op 31 december 1980 werd deopheffing van het IOWO een feit, albleven enkele medewerkers inUtrecht verbonden aan een onder-zoeksinstituut, het OW&OC. HetHewet-project, waarin wiskunde Aen wiskunde B op poten werdengezet, was een sterk argumentgeweest om niet alle activiteiten stopte zetten. In 1981 kwam de NieuweWiskrant uit. Geleidelijk ontstondeen professionele samenwerking metde Stichting voor de Leerplanontwik-keling (SLO) en met de pedagogischecentra. Telkens wanneer leerplanwij-zigingen aan de orde waren speeldehet OW&OC een hoofdrol. Het aan-tal medewerkers was gaandewegweer uitgebreid en tegenwoordig ishet Freudenthal Instituut – zoals denaam sinds 1991 luidt – ook in hetbuitenland actief.Freudenthal was in 1976 als hoogle-raar-directeur opgevolgd door Vander Blij, die op zijn beurt deze functiein 1988 overdroeg aan Jan de Lange.In hoofdstuk 28 van het Jubileum-boek Honderd jaar wiskundeonder-wijs beschrijven Edu Wijdeveld,Heleen Verhage en George Schoema-ker op basis van eigen ervaringen degeschiedenis van een bijzonder insti-tuut.

Redactiecommissie Jubileumboek

Honderd jaar wiskunde-onderwijs (6)

Prof.dr. H. Freudenthal (1905-1990)

75 | 6 Euclides 199

NederlandseVereniging vanWiskundeleraren

erenigingsnieuws

Eerste aankondiging

Dit is een eerste aankondiging voor het

lustrumcongres en de jaarvergadering

2000 van de Nederlandse Vereniging

van Wiskundeleraren. Dit jaar bestaat

de Vereniging 75 jaar. Bovendien is

2000 uitgeroepen tot het jaar van de

wiskunde. Vandaar dat we dit jaar een

uitgebreide en feestelijke jaarvergade-

ring/studiedag organiseren. Om het bij-

zonder te maken wordt het een twee-

daags lustrumcongres, inclusief de

mogelijkheid tot overnachten.

Dit congres organiseert de NVvW

samen met de Faculteit Wiskunde en

Informatica van de Universiteit van

Utrecht en de Hogeschool van Utrecht.

Reserveer de volgende data en tijden

in uw agenda:

vrijdag 17 november 2000 vanaf 15:30

uur tot en met zaterdag 18 november

2000 16:00 uur.

Ook de plaats van handeling is van een

feestelijk tintje voorzien, de locatie is

het Educatorium van de Universiteit

van Utrecht, te Utrecht.

De lustrumcommissie is volop bezig met het programma. Een tip van desluier kunnen we al wel oplichten: hetprogramma bestaat onder andere uiteen aantal plenaire lezingen, work-shops, de presentatie van het jubileum-boek, een verrassend vrijdagavondpro-gramma dat u beslist niet mag missenen natuurlijk de jaarvergadering van deNVvW.In een van de volgende nummers vanEuclides volgt er een uitvoeriger aan-kondiging en in het eerste Euclides-nummer van het lustrumjaar staat deaanmeldingsprocedure uitvoerigbeschreven.

Inlichtingen:Marianne Lambriextel. overdag 040-2415380tel. ’s avonds 0497-517781email: m.lambriex@nvvw.nl

Namens de congrescommissie,Marianne Lambriex

Het thema van dit congres is:

Wiskundeonderwijs over de grensMet drie subthema’s:

wiskundeonderwijs over de landsgrenzen

wiskundeonderwijs over de vakgrenzen

wiskundeonderwijs over de tijdsgrenzen

Lustrumcongres2000

JaarvergaderingNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

200 Euclides 75 | 6

VBO/MAVO-C/D dinsdag 30 mei 2000 van 15.00 - 18.00 uur

Plaats Gespreksleider

ALKMAAR

OSG Willem Blaeu mw. B. v.d. TuinRobonsbosweg 11 0229-218245072-5122477 tuinjw@tref.nl

AMSTERDAM

CSG Buitenveldert mw. C.E. GaykemaDe Cuserstraat 3 020-6131802020-6423902 pascal03@svm.nl(CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51)

GRONINGEN

Zernike College dhr. J. RijnaardBordewijklaan 34 050-5254709050-5266866(station buslijn 5)

’S-HERTOGENBOSCH

Ds. Pierson College mw. M. Lambriex-G. ter Borchstraat 1 van der Heijden073-6442929(NS Den Bosch-OOST)

ROTTERDAM

Geref. Sg. Randstad C: dhr. W. de JagerValenciadreef 15 0184-683829010-4552511 D: dhr. H. Entrop(NS Alexanderpolder)

BURGUM

CSG Liudger dhr. T. de GrootTj.H. Haismastraat 10511-460260

ZEIST

KSG De Breul dhr M. WestlandArnhemsebovenweg 98 035-5420849030-6915604

ZWOLLE

Thorbecke SG dhr. R. KronenbergDr. C.A. van Heesweg 1 038-4210044038-4564540

HAVO-A maandag 29 mei 2000 van 16.00 - 18.00 uur

HAVO-B donderdag 25 mei 2000 van 18.30 - 20.30 uur

Voor Tweede Fase Havo A12, B1 en B12 zie volgendepagina.

Plaats Gespreksleider

AMERSFOORT

De Amersfoortseberg A: dhr. A.B. v.d. RoestHugo de Grootlaan 25 0318-543167033-4618845 B: dhr. H.P. van Kampen

035-6922318

AMSTERDAM

CSG Buitenveldert A: dhr. H. RozenhartDe Cuserstraat 3 072-5716448020-6423902 B: mw. G.W. Fokkens

020-6438447(CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51)

ARNHEM

Stedelijk Gymnasium A: dhr. H. RuttenArnhem 024-3240637Statenlaan 8 B: dhr. L.H. Rietveld026-4423025 055-5419287(NS Velperpoort)

GOES

Buys Ballot College A: dhr. F. van LamoenBergweg 4 0113-2308780113-213010

’S-GRAVENHAGE

Hofstad Lyceum A: dhr. J.P.C. van der MeerColijnplein 9 B: dhr. T.M. Pronk070-3687670 0174-419038

GRONINGEN

Röling College A: mw. H. LüderMelisseweg 2 0516-432889050-5474141 B: dhr. J. Tolboom

050-5776928

Examenbesprekingen in mei 2000

75 | 6 Euclides 201

’S-HERTOGENBOSCH

Ds. Pierson College A: dhr. W.J.M. LaaperG. ter Borchstraat 1 040-2867720073-6442929 B: dhr. C.J.M. Nienhuis(NS Den Bosch-OOST) 0411-678501

ROTTERDAM

Geref. Sg. Randstad A: dhr. R.E. HouwelingValenciadreef 15 0180-315302010-4552511 B: dhr. B.L.G.P. Hillebrand(NS Alexanderpolder) 0180-515210

ZWOLLE

Van der Capellen SG A: dhr. G. HajeeLassuslaan 230 0571-271542038-4225202 B: dhr. J.P. Scholten

053-4768791

VWO-A vrijdag 19 mei 2000 van 16.00 - 18.00 uur

VWO-B maandag 29 mei 2000 van 18.30 – 20.30 uur

Plaats Gespreksleider

AMERSFOORT

De Amersfoortseberg A: dhr. C. BrouwerHugo de Grootlaan 25 0341-460552033-4618845 B: dhr. F.W. Zwagers

033-4752341

AMSTERDAM

CSG Buitenveldert A: dhr. S.T. MinDe Cuserstraat 3 0229-237756020-6423902 B: dhr. B. Giskes

0299-655525(CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51)

ARNHEM

Stedelijk Gymnasium A: dhr. P.J. DonkelaarArnhem 055-5341611Statenlaan 8 B: dhr. G.A.J. Voetelink026-4423025 026-3886258(NS Velperpoort)

GOES

Buys Ballot College A: dhr. S. GarstBergweg 4 0187-6421770113-213010

’S-GRAVENHAGE

Hofstad Lyceum A: dhr. C.D. HendriksColijnplein 9 0174-620131070-3687670 B: dhr. R.J. Klinkenberg

070-3559938

GRONINGEN

Röling College A: dhr. L. TolboomMelisseweg 2 050-3146093050-5474141 B: mw. H. Lüder

0516-432889

’S-HERTOGENBOSCH

Ds. Pierson College A: dhr. H.J. KruisselbrinkG. ter Borchstraat 1 073-5216386073-6442929 B: dhr. A.L.P. van Merode(NS Den Bosch-OOST) 0162-313746

ROTTERDAM

Geref. Sg. Randstad A: dhr. C. RijkeValenciadreef 15 078-6194286010-4552511 B: dhr. B.L.G.P. Hillebrand(NS Alexanderpolder) 0180-515210

ZWOLLE

Van der Capellen SG A: dhr. H. SchutjesLassuslaan 230 0529-427306038-4225202 B: dhr. A.T. Sterk

055-3666466

Examenbesprekingen Tweede Fase Havo A12,B1 en B12 Een klein aantal scholen zal dit jaar voorhet eerst de Tweede Fase examens havo A12, B1 en B12afnemen. Ook voor hen zal dit jaar door de NVvW eenexamenbespreking worden georganiseerd.

Havo B1 en B12 woensdag 24 mei, 19.00 - 21.00 uurJaarbeurs, Utrecht

Havo A12vrijdag 26 mei, 19.00 - 21.00 uurJaarbeurs, Utrecht

Wij verzoeken u zich hiervoor uiterlijk 15 mei op tegeven bij de voorzitter van de NVvWschriftelijk:M. Kollenveld, Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijkof per e-mail: M.Kollenveld@nvvw.nlU ontvangt geen bevestiging van aanmelding.De bespreking is toegankelijk voor leden van de Vereni-ging en voor hen die zich bij de aanmelding opgeven alslid. In verband met de zaalruimte worden alleen de eer-ste 45 aanmeldingen geplaatst.

202 Euclides 75 | 6

Een schok gaat door je heen. Eencollega zet op de mail: gisterenbereikte ons het bericht van hetplotselinge overlijden op 7 januarivan Gerrit van den Heuvel. Gerritis er niet meer. Dat kan toch nietzo zijn. Je leest nog eens en staartdan in de ruimte. Eind decemberliepen we samen nog van het Freu-denthal Instituut naar stationOvervecht en treinden naar hetCentraal station. Voldoende tijdom van gedachten te wisselen overontwikkelingen rond de wiskun-de. De zwakke leerling en het leer-wegondersteunend onderwijs,ontwikkelingen binnen het vmbo.Er zou nog veel moeten gebeuren.Enthousiast ontwikkelt Gerrit eenpaar lijnen, zoekend naar de besteinvulling. Wie hem kent weet dathij niet zomaar wat zei. Zijn spre-ken inspireert. Een docent met hethart op de goede plek. Een manmet een zwak voor de zwakke leer-ling. Een ontwikkelaar van materi-aal, zorgvuldig gewogen. We ken-

nen hem uit de W12-16 periode.Hij was er altijd en zijn construc-tieve bijdragen volgen hem. Alsdocenten hebben we kennismogen maken met zijn creativiteitin al het nagelaten materiaal.Nooit deed je tevergeefs eenberoep op hem. Een regionale bij-eenkomst en niet te vergeten dejaarvergadering van de Vereni-ging: Gerrit was er en boeide velenmet zijn kennis en met de rustigewijze van presenteren. Luisterendnaar anderen. In Utrecht vroeg hijme nog naar de gezondheid vanmijn vrouw. Ook dat was Gerrit.Een man die in zijn leven veel ver-driet en zorg heeft moeten verwer-ken had aandacht voor de persoonvan de ander. Een mens voor deander.Voor me ligt: Wiskunde in exa-mendossier vmbo, uitgave SLO.Ook hier een bijdrage van Gerrit.Zijn bijdrage: Wiskunde engezondheid. Geschreven door eenman die een zorg, als gevolg van

kinderverlamming, al de jarenvan zijn leven heeft moeten dra-gen. Wie kent niet de markanteverschijning van Gerrit?We zullen hem niet gauw vergeten.De Vereniging is veel dank aanhem verschuldigd voor zijn bete-kenis voor het wiskundeonder-wijs. We gaan zonder Gerrit verderen hopen verder te werken aanwaar we samen over hebbengesproken en waar we samen aanzouden werken. In het Freuden-thal Instituut spraken we over deaandacht voor het vmbo en dewiskunde. Het valt ons zwaar omdie draad op te pakken maar wezijn het aan hem verplicht.We hopen dat zijn vrouw en kin-deren, die het gemis het meestintens ervaren, de moed zullenontvangen om verder te kunnenleven. Onze gedachten gaan ooknaar hen uit en we wensen Gerdaen de kinderen veel sterkte.

Wim Kuipers

Lo opbaanor iëntat ie en b e geleiding in dev a k l e s

De praktijk van studievoorlichting en beroepskeuzevoorbe-reiding in het (voortgezet) onderwijs is aan het veranderen.De huidige maatschappij vraagt andere strategieën vantoekomstige deelnemers, leerlingen dus. In de voorberei-ding op de toekomst, meer specifiek op de wereld vanarbeid en beroep, gaat de traditionele decaan steeds meereen tweedelijns functie vervullen, terwijl de vakdocentenen mentoren een veel centralere positie krijgen in het pro-ces van loopbaanoriëntatie (LOB). Vakdocenten speleneen sleutelrol bij het dusdanig aanbieden van leerstof datde leerlingen een gedifferentieerd inzicht krijgen in dewereld van arbeid en beroep.

Om docenten een kans te bieden kennis te maken met LOBorganiseert het LCV op donderdag 27 april voor maximaal20 docenten Wiskunde in het VMBO/AVO een studiedag op3 verschillende plaatsen in Nederland.Programma: ‘s ochtends een workshop, ‘s middags eenbedrijvenbezoek.

Datum: donderdag 27 april 2000Kosten: ƒ 145,00Plaatsen: Zwolle, Rozenburg en KerkradeInschrijving:tel: 0184-669120 (E&MC2) of06-2681 8758 (Ben Rubingh)fax: 0184-669123e-mail: BRubingh@freeler.nl

In memoriam Gerrit van den Heuvel

20375 | 6 Euclides

Tijdens de Nationale WiskundeDagen werd begin februari inNoordwijkerhout het derdezebraatje ten doop gehouden. Ditderde deel was oorspronkelijkbedoeld als het eerste deel, vanwegede bijzondere verbondenheid vanJan Breeman met de auteurs van ditdeel, via het gezamenlijk werkenaan ‘De Wageningse Methode’. Janmaakte daarvoor de computerpro-gramma’s.

De Zebra-reeks is de verwezenlij-king van de ‘droom van een oudeman’ zoals Jan zelf ooit zei. DeZebra-ruimte in het wiskundepro-gramma van het vwo in de TweedeFase biedt de mogelijkheid aanleerlingen om kennis te maken metinteressante wiskunde en toepas-singen buiten het geijkte curricu-lum.

Helaas is Jan Breeman overledenvoor zijn droom werkelijkheidwerd. Daarom is de reeks, en in hetbijzonder dit boekje, aan hemopgedragen. Ter nagedachtenis aaneen bijzonder mens met een grotebetrokkenheid bij leerlingen en eenhart voor goed wiskundeonderwijs.

Dit derde deel gaat over schatten.De voorkant toont wat bommen-werpers uit de Tweede Wereldoor-log, ter illustratie van het strate-gisch belang van goedeschattingsmethoden om het aantalvijandige vliegtuigen te bepalen.Toepassingen uit vredestijd zijn te

vinden in schattingen van het aan-tal demonstranten (-de politiekomt steevast lager uit dan de orga-nisatoren, hoe zou dat komen?-) ofhet aantal bezoekers van een pop-concert. Verschillende schattings-methoden worden gepresenteerden de betrouwbaarheid ervanwordt onderzocht.Verder wordt aandacht besteed aanhet fenomeen steekproeven, enwaaraan je een ‘goede’ steekproefherkent.Het boekje laat zich genieten opeen aantal niveau’s: allereerst is er

het doorlopende verhaal, tussen-door is via opgaven de mogelijk-heid om de wiskundige achter-grond wat beter te verwerken. Inlosse kaders wordt de noodzakelij-ke voorkennis nog even kortsamengevat, terwijl de appendixvoor de liefhebber een nadere wis-kundige onderbouwing van detheorie geeft. Daardoor stelt hetboekje geen hoge eisen aan de

voorkennis vande lezer.Ten slotte biedtde website vande verenigingnog veel meerinformatie overhet onderwerp,te vinden op hetadres:www.nvvw.nlDit bijzondergoed leesbareboekje geeft eenduidelijk beeldvan de valkuilendie in steek-proeftrekkingenverborgen zit-ten, en tips hoedie te vermij-den.

Het boekje isgeschreven doorWim Kremersen Jan Smit.

Deel 4 zal gaan over de GuldenSnede en Fibonacci.Nog in voorbereiding zijn deeltjesover onder andere de volgendeonderwerpen:- grafentheorie- chaos en itereren- pi- knopen- de invloed van stemsystemen opverkiezingsuitslagen- geschiedenis

Marian Kollenveld,voorzitter van de redactie

Heeft uzebra nummer 3al in huis?

204 Euclides 75 | 6

Inleiding

Op het Fruytier College uit Rijssendoen leerlingen in groepen van vierin het kader van het schoolonder-zoek als GWA-onderdeel onder-zoek bij statistiek. De GWA is opge-nomen in het programma vantoetsing en afsluiting voor mavo-4-leerlingen. Door GWA schoolbreedin te voeren, krijgt het een vasteplaats binnen het wiskundepro-gramma en kan het van de experi-mentele fase uitgroeien naar eendefinitieve plaats binnen het vakwiskunde op onze school.Per groep kiezen leerlingen eenonderwerp uit een beschikbaargestelde lijst. Na het indienen vanhet onderzoeksplan en het uitvoe-ren van het onderzoek, maken zeeen scriptie waarbij de onderzoeks-resultaten verwerkt moeten zijnmet de computer. Ten slotte pre-senteren de groepen hun onder-zoeksresultaten aan de klas, diemee-beoordeelt op product en pro-ces.

Netwerk ALLSOAdrie Niënkemper werkt op persoonlij-ke titel mee in het netwerk ALLSO(Actief Lerende Leerlingen doorSamenwerken aan Onderzoek), eennetwerk van vier scholen met afdelin-gen (i)vbo/mavo. De afgelopen tweejaar werkten, onder leiding van hetAPS, van elke school verschillendesecties (wiskunde, natuur- en schei-kunde, biologie en techniek) aan ditnetwerk mee. In het eerste jaar lag hetaccent op de basisvorming, in hettweede jaar meer op het werken in deandere klassen.De doelen van het netwerk waren leer-lingen te leren meer samen te werkenen verantwoordelijkheid te dragen. Datwilde men bereiken door leerlingenmet elkaar op verschillende manierenonderzoek te laten doen. Indien moge-lijk werkten leerlingen, docenten ensecties daarbij vakoverstijgend samen.

De kracht van het netwerk was datdocenten veel van elkaar leerden,elkaar bemoedigden, inspireerden enhet werk onder elkaar verdeelden.Samen werd (les)materiaal ontwikkeld.

Hiervan werd en wordt verslag gedaanin een serie artikelen in IMPULS. Deresultaten van het netwerk wordenvastgelegd in een bronnenboek, dat infebruari op de Reehorstconferentiegepresenteerd is.

De scholen die in het netwerk ALLSOsamenwerkten met het APS zijn:• Zuyderzee College Emmeloord,• Bornego College Heerenveen,

locatie Wolvega,• Stedelijk College Zoetermeer,

locatie Van Doornenplantsoen,• CSG Gaasterland, Balk.

Wat aan deze GWA vooraf gaat

In voorgaande lessen zijn de leer-lingen op de hoogte gebracht vande bedoelingen van deze lessense-rie. Ze weten dat bij een wiskundigpracticum een juiste onderzoeks-houding hoort. In voorgaande leer-jaren is dat stap voor stap aange-leerd. Het begrijpend leren is al eenprobleemoplossingsproces. Eenleerling die met een wiskundigeopdracht bezig gaat, activeert dewiskundige voorkennis om deopdracht naar behoren uit te voe-ren. De leerling zoekt naar een wis-kundig elegante en efficiënte aan-pak voor de wiskundige opdracht.Zo wordt het nieuwe probleem eréén dat tot de reeds bekende te her-leiden is.Het gaat er dus om dat de leerlin-gen een practicumopdracht insamenhang zien met het eerdergeleerde en in de context waarinhet probleem wordt aangeboden.Het herkennen van die relaties islastig en een vaak vakoverstijgendevaardigheid, maar is wel heel essen-tieel! In diverse eindtermen van deverschillende vakken is deze vaar-digheid opgenomen.

Groepen doen onderzoek bij statistiek

GeïntegreerdeWiskundigeActiviteiten(GWA) inmavo-4

Adrie Niënkemper

20575 | 6 Euclides

Lijst met onderwerpen1 Een onderzoek naar de relatie

gewicht-lengte van leerlingen vaneen bepaald leerjaar met daarbij hetonderscheid tussen jongens en meis-jes.

2 Een onderzoek naar hoeveel tijd elkeleerling per week aan zijn huiswerkbesteedt. Maak daarbij onderscheidtussen jongens en meisjes en hetniveau (VBO, MAVO, HAVO en VWO).

3 Een onderzoek naar de hoeveelheidzakgeld per week per leeftijd binnende school. Maak daarbij onderscheidtussen jongens en meisjes.

4 Er moet een speeltuin komen. Onder-zoek in een bepaalde buurt of straathet aantal kinderen onder de 16 jaaren hun leeftijd, zodat bepaald speel-goed kan worden aangeschaft. Erkan dan een notitie geschreven wor-den die geschikt is om naar degemeente te sturen.

5 Een onderzoek, op twee verschillen-de tijdstippen (spits én een ander tijd-stip op de dag), naar de wachttijd bijeen bepaald verkeerslicht op eenkruispunt (bijvoorbeeld Otje van Pot-je).

6 Een onderzoek naar hobby’s van leer-lingen binnen de school. Maak daar-bij onderscheid tussen jongens enmeisjes.

7 Een onderzoek naar de buitentempe-ratuur op twee verschillende tijdstip-pen gedurende 14 dagen.

8 Een onderzoek naar bijvoorbeeld hetmerk schoenen die leerlingen dra-gen. Maak daarbij onderscheid tus-sen jongens en meisjes en de leeftijd.

9 Een onderzoek naar het dragen vanautogordels. Maak daarbij een ver-schil tussen man of vrouw en voor ofachter.

10 Een onderzoek naar betaalwijze ineen bepaalde supermarkt. (Of hetverschil daarvan tussen twee soor-ten winkels.)

11 Een onderzoek naar de besteding vanvrije tijd bij leerlingen op onze school.

12 Een onderzoek naar het aantal klan-ten dat op een bepaalde dag (ofweek) een supermarkt bezoekt.

13 Een eigen onderwerp.

Het onderzoek

Bij zo’n praktisch onderzoek door-loopt de leerling de volgendecyclus:

Onderzoeken → analyseren →probleemoplossen →nadenken → verdiepen

Training van een juiste onderzoeks-houding, te beginnen in de brugklas,is van groot belang. Kernwoorden bijzo’n onderzoekshouding zijn: proble-matiseren, structureren, werkdisci-pline, creativiteit en het vermogen totreflecteren. Een praktische opdrachtverhoogt het zelfstandig werken en dekunst om samen te werken. Het leidtvoor leerlingen tot een herkenbaareindproduct. Er worden (vakoverstij-gende) verbanden ontdekt.De vaardigheid ‘plannen’, van ondermeer het huiswerk, komt bij dezeopdracht uitgebreid aan bod, omdatgrote delen van de praktischeopdracht buiten schooltijd moetengebeuren.We hebben gekozen voor het onder-werp statistiek omdat de leerlingendit onderwerp in de voorgaandejaren al uitgebreid gehad hebben. Bijstatistiek zijn veel onderwerpen tevinden waarbij een onderzoek moge-lijk is, en deze staan vaak dicht bij debelevingswereld van de leerlingen.Er zijn drie soorten van onderzoek teonderscheiden:- onderzoeken waarmee proble-

men opgelost worden,- onderzoeken waarmee verschijn-

selen beschreven en/of verklaardworden,

- onderzoeken waarmee de varia-belen van een verschijnsel geana-lyseerd en de relatie tussen devariabelen gezocht worden.

Elk van de onderzoeken kan op ver-schillende manieren worden uitge-voerd met variatie in openheid.Hierin zit dan een structureleopbouw voor GWA. Er zal verschui-ving te zien zijn van gesloten naarmeer open onderzoek.

De oriëntatie op het onderzoek

In de eerste les worden door lotinggroepjes van vier gevormd. In groe-pen van vier worden leerlingengedwongen tot samenwerken, eenbelangrijke vaardigheid binnen deeindtermen. Nadat de groepjesgevormd zijn, krijgen ze een lijst metonderwerpen. Bij de lijst van onder-werpen zitten ook het tijdpad, denormering en de invulbladen voorhet handelingsplan (zie de kaders).De leerlingen kregen ongeveer tienminuten om met elkaar te overleg-gen welk onderzoek ze wilden doen.Ze bleven bij elkaar om te besprekenhoe ze hun onderzoek verder gingenaanpakken. Als voor enquêteren ofinterviewen is gekozen, moet daarbijeen vraagvorm (beknopt en duide-lijk) ontworpen worden.

Tijdpad en normeringTijdpad:week 42 maken van groepsindeling / keu-

ze-onderwerp / taakverdelingweek 44 inleveren handelingsplanweek 45 teruggeven handelingsplan /

opdracht uitvoerenweek 46 werken aan opdracht of verwer-

ken van gegevens / controlevoortgang

week 47 idemweek 48 idemweek 49 inleveren opdracht in de vorm

van een getypt verslag, waarinduidelijk blijkt waarom voor eenbepaald diagram is gekozen.

week 50 presentatie

Normering:10 pt onderzoeksvraag20 pt onderzoeksplan30 pt werkstuk inhoudelijk, werkwijze,

tabellen met gegevens / verwerkinggegevens

10 pt motivatie verwerking gegevens10 pt conclusie

(of 20 pt bij geen presentatie)10 pt functionele verzorging10 pt presentatie

bijlage: invulblad handelingsplan

206 Euclides 75 | 6

Werken aan het handelingsplan

In de volgende lessen stuurt enbewaakt de docent het proces. In dereguliere les hebben de leerlingeneen kwartier om in hun groep tewerken aan het maken van het han-delingsplan. Afhankelijk van hetonderwerp moeten ze duidelijkvaststellen wat ze te weten willenkomen en welke populatie ze willenonderzoeken. Gaat het om een vol-ledig populatie-onderzoek, eensteekproef of een onderzoek naarniet beïnvloede werkelijkheid?Ook een waarnemingsmethode isvan belang. Het gaat daarbij omkwantitatieve kenmerken, zoals tel-len en meten, of kwalitatieve ken-merken door ondervraging ofrangschikking.

HandelingsplanNadat je een onderwerp hebt uitge-zocht, overleggen jullie binnen je groephoe je jouw onderzoek gaat aanpak-ken. Dit plan van aanpak moet resulte-ren in één of twee door jullie groepgeformuleerde onderzoeksvra(a)g(en),een onderzoeksplan, met daarin onderandere de bronnen die er eventueelzijn geraadpleegd. Verder geef je in jeonderzoeksplan aan wie wat doet:- Wie verzamelt de gegevens?- Wie maakt er een statistisch over-

zicht, of wie verwerkt de gegevens,de resultaten?

- Wie maakt het verslag (op de com-puter!!!)?

- Wie maakt de conclusie?- Wie doet de presentatie?

Nadat de groepen hun plan van aan-pak hebben ingevuld, worden dezeplannen ingeleverd voor commen-taar van mij. Bij het becommenta-riëren let ik op de soort fouten diezoal gemaakt kunnen worden bij deonderzoeken, bijvoorbeeld:- mogelijke meetfouten door

onnauwkeurigheid of verkeerdeaflezing,

- systematische fouten door ver-keerde ijking,

- subjectieve elementen zoals ver-schillende waarnemers of vageformuleringen.

Samenwerken

In de eerstvolgende les van denieuwe week krijgen de groe-pen het handelingsplan voor-zien van commentaar enhints (zoals: kijk nog eens inhet boek bij … ) terug.In het vak voor taakverdelinggeven ze aan wie wat doet.Daardoor heeft iedereen bin-nen de groep een specifieketaak. Ik kan ze op deze taakaanspreken (individuele ver-antwoordelijkheid). Samenstaan ze borg voor hun eind-product (wederzijdse afhan-kelijkheid).Bij het samenwerken is somsbijsturing noodzakelijk,omdat sommige groepsleden ‘mee-liften’ op het werk van de anderegroepsleden. Niet altijd lost degroep dit probleem zelf op.In het vervolg van dit artikel dus derest van dit onderzoek.

De uitvoering

De groepen hebben voor het uit-voeren van het onderzoek tweeweken. Het onderzoek wordt gro-tendeels buiten de gewone wiskun-delessen uitgevoerd. Plannen,afspraken maken en nakomen zijnbelangrijke vaardigheden die hier-bij geoefend worden. Tijdens dezetwee weken wordt het laatste kwar-tier van elke ‘gewone’ wiskundelesgebruikt om in de groepen te wer-ken aan het onderzoek. Het voor-deel hiervan is, dat niet alle aan-dacht naar het onderzoek gaat endat je als docent toch enig zicht opde vorderingen houdt. Het werkenaan de gebruikelijke wiskundige

onderwerpen gaat gewoon door, zijhet iets minder snel.Sommige groepen benutten ditkwartier om nog delen van hetonderzoek uit te voeren. Anderegroepen zijn in het informaticalo-

kaal met de verwerking van deresultaten bezig. Een enkele keervoert een groep het onderzoek inde middagpauze uit.

Gekozen onderwerpen

Voorbeelden van onderwerpen diede leerlingen uit de beschikbare lijstkozen.• Het dragen van autogordels bij

mannen en bij vrouwen, voorinof achterin. Hierbij heb ik deleerlingen na hun telling eenkrantenartikel juist uit die tijdgegeven, zodat ze ook vergelij-kingsmateriaal hadden.

• Huiswerkbelasting in verschillen-de klassen 1 tot en met 4, uitge-splitst naar niveau. Dat was nietalleen een enquête. Zij moestenook een decaan of directielid eeninterview afnemen, waaringevraagd werd hoe deze tegen dehuiswerkbelasting aankijken.

• Betaalmiddel in de supermarkt.

20775 | 6 Euclides

Dit was een observatie met inter-view van klanten. Ook hier vondik een krantenartikel over koop-en betaalgedrag uit de betreffen-de periode. Maar deze groepdeed er niets mee. Alleen tijdenshun presentatie hadden ze hetblijkbaar bekeken.

• Temperatuurverloop gedurendetwee weken op verschillende tijd-stippen op een dag. Een meernatuurkundige onderwerp mis-schien, maar het ging vooral omhet verzamelen en verwerken vande gegevens.

• Onderzoek naar het aantal klan-ten bij een supermarkt op ver-

schillende tijdstippen van de dag.Deze groep had goed kunnensamenwerken met de groep dienaar de betalingswijze ging kij-ken. Maar nee, dat deden zij niet.Zij zochten een buurtsuper uit.Het leuke van dit onderzoek was,dat de eigenaar van deze buurt-super nu bevestigd werd in zijnvoornemen de winkel ’s ochtendsom kwart over acht open te doen.Dit in verband met de moedersdie hun kinderen naar schoolbrengen. (Er staan vijf grotebasisscholen in de buurt. Tweepal naast de supermarkt, de

andere 200 - 300 m verderop.)• In de andere klas werd nog geke-

ken naar huisdieren. Dit onder-zoek werd vergeleken met eenartikel uit een reclamefolder.Deze leerlingen hadden er echtiets moois van gemaakt. Een vanhen was een ICT-expert en datkon je aan het verslag goed zien.

• In die klas werd ook een onder-zoek gedaan naar merkkleding.Dit onderzoek verzandde eigen-lijk in de hoeveelheid informatie

die zij kregen. Door veelsturing kon er een leukepresentatie gedaan worden.

De verwerking van deonderzoeksresultaten

Omdat computergebruik bij wis-kunde een leerdoel is, moeten deresultaten van het onderzoek op decomputer verwerkt worden. Daar-voor hadden de leerlingen nietalleen een tekstverwerkingspro-gramma tot hun beschikking, maarook programma’s als: Excel, VU-Stat en VU-Graf.Omdat niet elke leerling thuis overde nodige programmatuurbeschikt, heb ik voor de verwerkingvan de gegevens met deze program-

ma’s wel een gehele les gebruikt.Volgend jaar zal ik vooraf informe-ren welke leerlingen thuis over debenodigde programmatuurbeschikken. Daar kan ik dan bij detaakverdeling binnen de groepenrekening mee houden. Dan is ermisschien niet een gehele les voornodig. Van elkaar weten leerlingensnel wat binnen de groep iemandssterke en zwakke punten zijn. Zehouden daar bij het verdelen van degroepstaken terdege rekening mee

en dat doe ikdus in het ver-volg ook!Als docentmoet je steedsletten op welkestatistischetechnieken deleerlingen bijhet verwerkenvan hun meet-resultatengebruiken.Daarom neemik de volgendekeer daarovereen vraag opin het hande-lingsplan. Diemoeten ze ver-

plicht beantwoorden en dus moe-ten ze over hun keuze nadenken.Soms worden de meetresultatenniet goed geïnterpreteerd, waar-door de conclusie geen absolutezekerheid biedt. Ook de betrouw-baarheid van de onderzoeken kante wensen over laten. Als docentmoet je erop wijzen als er te weinigmetingen zijn gedaan om betrouw-bare conclusies te trekken.

Het verslag

Nadat er gemeten is en de resulta-ten gerangschikt en verwerkt zijn,maken de leerlingen per groep eenverslag. Iemand binnen de groepheeft hier de verantwoordelijkheidvoor. Het verslag bestaat uit een

208 Euclides 75 | 6

aantal voor de leerlingen bekendeonderdelen: titel, doel, methode,resultaten, vragen en conclusies.Deze onderdelen zijn schoolbreeddezelfde, zodat hierover voor deleerlingen geen onduidelijkhedenbestaan.Voor ze hun onderzoek mondelingaan de klas presenteren, beoordeelik de verslagen. Ze krijgen nog niette horen welk cijfer ze hebben, omgeen extra druk op het presenterente zetten. Wel krijgen ze het verslagterug, zodat ze het kunnen gebrui-ken bij de voorbereiding op demondelinge presentatie.

De presentaties en debeoordeling

Bij het vak Nederlands is het pre-senteren geoefend. Het gaat eromdoor middel van verbale en non-verbale middelen een goed verhaalnaar het publiek over te brengen.Zo maken de leerlingen vaakgebruik van de overheadprojector.De groepen beoordelen elkaar metbehulp van een beoordelingsfor-mulier (zie hierbij in het kader).Ook een docent Nederlands beoor-deelt tegelijk de presentaties aan dehand van dezelfde criteria. Dedocent Nederlands en ik bepalensamen ons cijfer van het presente-ren. Later middelen we dit met debeoordelingen van de leerlingen. Inde toekomst gaat het cijfer voorpresenteren bij wiskunde ook mee-tellen bij Nederlands.De verantwoording van het onder-zoek wordt bij het verslag beoor-deeld, evenals de inhoud en de ver-zorging. Daarnaast heb ik degroepen ook beoordeeld op werk-houding en inzet tijdens diemomenten dat de groepen in deklas met het onderzoek bezigwaren. Hoe het eindcijfer tot standkwam, staat in het begin van ditartikel.

Reacties van leerlingen

Het samen werken aan een werk-stuk werd door de meeste leerlin-gen als leuk ervaren. Ze hebbensamen soms echt plezier beleefdaan het maken van de werkstukken.In bepaalde groepen werd het welals moeilijk ervaren. Eerst vondenze het ‘gek’ dat je bij wiskunde eenwerkstuk moet maken. Ze zijn datniet gewend. Het presenteren von-den de meeste leerlingen lastig.Waren ze eenmaal bezig met depresentatie, dan ging het goed. Het

verwerken van de gegevens vondende meesten echt prachtig. Hethoofdstuk Statistiek ging voorsommigen ‘leven’.De meeste leerlingen vonden hetwel veel werk. De waardering ismaar 1/40 van het totale eindcijfer(inclusief het examencijfer). Ditvonden ze wel wat weinig. Graagvolgende jaren meer waarderinghiervoor. Leerlingen gaven realisti-sche cijfers voor de presentaties vanandere groepen. Zij gingen er seri-eus mee om.

Beoordeling presentatie groepen

Presentatie van groep …………………………………

Geef als groep punten over de volgende onderdelen(je mag ook een gemiddeld cijfer per onderdeel geven).

We letten op:

1 duur van de presentatieminimaal 5 minuten, maximaal 7 minuten

2 inhoudelijkwordt het verhaal ingeleidsluit het verhaal bij de doelstelling aanis er een afsluiting (eindconclusie)

3 taalgebruikgoede zinsbouwniet te veel moeilijke woordenbegrijpelijk voor de luisteraars

4 de presentatie zelfnaar de luisteraars gerichtgeen gehakkelgeen grote pauzes

5 beantwoording vragen klas

6 voegen iets extra’s toe

TotaalGemiddeld

Motivatie beoordeling: ………………………………

Groep:

score

……

………………

………………

………………

……

……

…………

20975 | 6 Euclides

Wat heb IK van dit onderzoekgeleerd?

Allereerst dat GWA-activiteiten van-af de brugklas een vaste plaats bin-nen de wiskundelessen moeten krij-gen, zodat de leerlingen lerenhiermee goed om te gaan. Daarnaastdat ik meer structuur moet aan-brengen bij de controle op de voort-gang tijdens het onderzoek. Nukomt het voor dat groepen op hetlaatste moment nog sheets moetenmaken, of erger, het materiaal dat zebij het presenteren nodig hebben,vergeten mee te nemen. Ik denk aaneen logboek waarin de leerlingen devorderingen per groep nauwkeurigkunnen bijhouden, zodat ik zonodig op tijd kan corrigeren.Verschillende groepen hebben hunonderzoek in school gedaan. Nietiedere docent reageerde hierenthousiast op. Vroegtijdige infor-matie naar de betreffende docentenvoorkomt ergernis.Leerlingen hebben vaak grote moeitemet het zoeken naar goede bronnenof vergelijkingsmateriaal bij hunonderzoek. Ook bij andere vakkenzijn deze vaardigheden belangrijk.Wij zullen daar binnen de school bijverschillende vakken meer aandachtaan moeten schenken.

Ten slotte

Door het werken aan zulke prakti-sche opdrachten, zoals hier bijGWA, worden de leerlingen vaardi-ger. Ze leren verbanden zien en ken-nis wordt geïntegreerd en toegepastin nieuwe situaties. Hun zelfstandig-heid neemt toe en ze leren sameneen klus te klaren. Deze vaardighe-den zijn van groot belang voor eenvervolgstudie op het mbo, maar ookin hun verdere (beroeps)leven.Onderzoekend leren moet vanaf deonderbouw van het voortgezetonderwijs stap voor stap getraindworden om een goede basis voorlater te bewerkstelligen. De opbouw

kan gaan van meer gesloten onder-zoeken naar meer open onderzoekmet een grotere mate van zelfstan-digheid voor de leerlingen. En latenwe bedenken wat C. Verheul schreef:‘Van alles wat je probeert, kun jeleren, soms hoe je het niet moet doen!Er moet een sfeer ontstaan waarinexperimenteren heel normaal is: wantniks proberen is niks riskeren en dat ispas ECHT riskant!’

Noten

Adrie Niënkemper was docent aan hetFruytier College te Rijssen. Hij is vanaf1 januari 1999 docent aan het Van Loden-stein College te Amersfoort.

Dit artikel is eerder verschenen inImpuls, het blad van APS-Natuurweten-schappen en Techniek.

Pr akt ische opdr achten met computer-gebr uik op de SLO-site

Het project 'ICT en wiskunde' heeft vijf praktischeopdrachten opgeleverd waarin gebruik wordt gemaaktvan Excel.Deze opdrachten zijn voor gebruik binnen school vrij tedownloaden van de SLO-sitehttp://www.slo.nl/~ICTenWIS.De reeds bestaande computerpractica (Excel) voorgebruik naast de methode Getal en Ruimte zijn nu ookte downloaden als Zip-bestand.Alle hier gepubliceerde opdrachten zijn ontworpenvanuit het idee dat ook de docent die nauwelijks ofgeen ervaring heeft met computergebruik de leerlin-gen hiermee kan laten werken.Binnenkort hoopt het project de web-pagina uit tebreiden met computerpractica (Excel) voor gebruiknaast de methode Netwerk. Ook zijn nog enkele prakti-sche opdrachten in productie.Het project is gestart naar aanleiding van een aan-vraag van de Nederlandse Vereniging van Wiskunde-leraren. In het project worden lesmaterialen gemaaktwaarin computergebruik een centrale plaats heeft,met een zo laag mogelijke drempel voor docenten metweinig of geen ICT-ervaring.

Re ct if icat ie

In de instructie bij de werkbla-den van nummer 6, op blz. 167,zitten wat onvolkomenheden.1 De kalender is niet bewerkt,

maar bedacht en uitgewerktdoor Sjoerd Schaafsma.

2 De twee ‘halve’ kalenderdelenvan blz. 168 en 169 moetengekopieerd, uitgeknipt entegen elkaar elkaar geplaktworden met de blanco achter-kanten; dan verder instructiesvolgen.

Excuses voor deze foutjes.

De redactie

210 Euclides 75 | 6

Adriaan Nieuwenhuizen, 47 jaar,werkt op het Europa College, sectortechniek, onderdeel van ROC ASA(vestigingen in Utrecht, Amersfoorten Amsterdam). Los van alle fusies,dus ook naamsveranderingen, is ditde school waar hij augustus 1977begonnen is als docent wiskunde.Naast de wiskunde is allereerst hetvak ‘practicum wiskunde’ erbijgekomen wat later overging in ‘prac-ticum informatica’. Sinds schooljaar1993-1994 geeft hij naast wiskundeook programmeren in PASCAL opde afdeling technische informatica.Adriaan werkt zowel overdag (vol-tijd) als ’s avonds (deeltijd) in desector techniek.Dit schooljaar heeft hij eerste entweede klassen voltijd aan de afde-lingen electrotechniek en technischeinformatica. Verder de ‘examen-groep’ voltijd waarin leerlingen uitalle afdelingen. In de deeltijdoplei-ding geeft Adriaan les aan leerlingenelectrotechniek en werktuigbouw-kunde.

Wat vind je leuk en interessant inhet werken aan wiskunde op jeschool?Het meest interessante aan werkenop school is de omgang met leerlin-

gen. Contact hebben met deze groepis nog steeds de drijfveer van mijnwerk. Het is daarbij niet echt belang-rijk of dit contact nu via de wiskun-de, mentoraat of informatica ont-staat. Ik zou er voorlopig nog nietaan moeten denken zonder contactmet leerlingen te moeten werken.Natuurlijk zijn er wel eens dagen datook ik dat wel als ideaal zie, maarover het algemeen motiveert het‘bezig zijn met leerlingen’ mij nogvoldoende.Het interessante aan de wiskunde oponze school is voor mij toch wel deverandering die het vak doormaakt.Was het jaren geleden toch slechts hetna-apen van de docent, tegenwoordigworden er heel andere vaardighedenvan de leerling verwacht. De rol vande docent is hierdoor natuurlijk ookdrastisch veranderd. Stond je vroegerelke drie kwartier leerstof te behande-len en opgaven voor te doen, tegen-woordig ben je vooral bezig leerlingente begeleiden en te proberen ze zelf telaten nadenken over de(wiskunde)problemen. Vooral hetniet onmiddellijk geven van het juisteantwoord is een ‘180 graden omslag’.Het contact met de leerling is inten-siever en dus, als de leerling ook op dejuiste manier werkt, productiever.

De moeilijkheden bij het oplossenvan (wiskunde)problemen komenop deze manier sneller boven water.De docent zal de leerling de wegmoeten wijzen hoe verder te gaan,maar de leerling zal dat dan ook nogmoeten gaan doen. Je ziet helaas alsdocent ook heel snel dat er nietgewerkt wordt, terwijl je vroegerdoor de ‘grotere afstand’ daar min-der kijk op had.

Je werkt, heb ik begrepen, in hetnieuwe programma met het experi-mentele TWIN-materiaal. Ben jehierdoor veranderd in je kijk op deplaats van wiskunde in het MTO?Door de veranderde eindtermen vande wiskunde in het MTO hebben weook andere wiskundemethodengekregen. Daar je als school de eind-termen moet halen, kun je bijna nietvasthouden aan ‘oude ideeën’ en/of‘oude methoden’.Gezien de vele problemen die de leer-lingen hebben met de (basis)wiskun-de, denk hierbij alleen maar eensaan de rekenvaardigheden, zou een‘oud’ idee misschien nog steeds goedwerken:• bied de wiskunde(basis)vaardig-

heden zonder context en met veelwiskundevoorbeelden aan.

• laat de leerlingen vervolgens dewiskunde(basis)vaardighedenzonder context vele malen oefenen(rijtjes sommen).

• bied aan het eind van het hoofd-stuk enige wiskundige opgaven ineen (technische) context aan.

• verplicht de techniek slechts deoplossing van het technische pro-bleem tot aan de wiskunde uit tevoeren en verwijs de leerling daar-na naar de wiskunde.

Bij bovenstaande manier van wer-ken is heel erg duidelijk waar devaardigheden aangeleerd worden.De leerling kan dan ook, als hij lateriets niet meer precies weet van dewiskunde, terugkijken. Nadat dewiskundige (basis)vaardighedenaangebracht zijn komen de toepas-singen. Het uit elkaar trekken van

Vernieuwing in het MBO

‘De omgangmet leerlingenis het meestinteressant’

I N T E R V I E W

21175 | 6 Euclides

het aanleren van de wiskundige vaar-digheden en het toepassen daarvanzou voor veel leerlingen wel eens pret-tiger kunnen zijn.Het aantal uren dat beschikbaar isvoor de huidige wiskundemethode isvoor vele leerlingen momenteel teweinig. Vroeger hadden we vier uurwiskunde en werden alleen de wis-kundige vaardigheden goed en duide-lijk ‘aangebracht’. Tegenwoordigmoeten, naast puur wiskundige vaar-digheden, ook nog andere vaardighe-den getraind worden, maar dit alleswel in de helft van de tijd van vroe-ger. De factor tijd speelt dus ook eengrote rol in het huidige MTO.

Wat zijn je ervaringen met het wer-ken met de grafische rekenmachinein het nieuwe programma?Wij hebben voor de TI-83 dan ookeen kleine inleiding in het gebruikvan de machine gemaakt. Naast hetmaken van deze inleiding hebben wijgeprobeerd om wiskundige toepassin-gen binnen de techniek te zoeken dieop te lossen zijn met behulp van degrafische rekenmachine. Dit zoutevens een brug kunnen slaan tussenhet vak wiskunde en de technischevakken. Het tweede doel was om de,bij de leerling niet aanwezige, wis-kundige (reken)vaardigheden teondersteunen. De inleiding wordtgratis aan de leerlingen verstrekt dieeen TI-83 via school kopen. Het valtop dat de leerlingen hun grafischerekenmachine sneller vol hebben zit-ten met spelletjes die ze van internetafhalen, dan dat ze de belangrijkezaken uit de inleiding voor hun stu-die bestuderen. Het kost enige tijd enoverredingskracht voordat de leerlin-gen de inleiding bestuderen. Ook hiermoet je als leraar dus wederom nietmeteen vertellen hoe het zit, maar zeverwijzen naar de speciaal voor hengeschreven korte overzichtelijke inlei-ding. In mijn ogen maken ze er nog teweinig gebruik van, als je het spelenvan spelletjes tenminste niet meere-kent. Op het Europa College mogende leerlingen de grafische rekenma-

40 jaar geleden

1185Van een reeks wordt de ke term voorgesteld door tk ende som van de eerste k termen door sk ; s1 � t1.

Gegeven is datsk �– 10log (k�1)voor k = 1, 2, 3, enz.

a Bewijs dat alle termen van de reeks negatief zijn.b Voor welke waarden van k is tk > – 0,1?c Bereken lim

k → ∞tk.

d Is de reeks convergent (d.w.z. heeft sk een limiet,als k → ∞)?

(Gymnasium 1959)

1186Bepaal de gehele, positieve getallen a, b en c zo, dat

a�2b�4c�53,

en waarbij

sk = a �32k + 1 – b (k geheel en 1)

de somreeks van een meetkundige reeks is, waarbijs1 = t1 is.Bereken van de mogelijke reeks(en) de eerste term ende reden.

1187Uit een punt van de schuine zijde van een rechthoekigedriehoek ziet men de aan de rechthoekszijden aange-schreven cirkels onder gelijke hoeken. Bepaal dat punt,alsmede de kleinste waarde, die deze gelijke hoekenkunnen aannemen.

H. Verdonk

1188In de rechthoekige ∆ABC (�C�90o) trekt menCL ⊥ AB en op de zijde BC beschrijft men buiten-waarts het vierkant CBGF. Als AG de rechte CL in Ssnijdt, bewijs dan:

= �

Vraagstukken uit Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde 47 (1959-1960)

1CL

1AB

1CS

212 Euclides 75 | 6

chine gebruiken bij alle vakken enalle proefwerken, behalve als in hetOnderwijs Examen Reglement(afgekort OER) staat dat het bij eenbepaald vak of proefwerk niet mag.Dit hebben we speciaal zo geregeldomdat het toch nog een prijzigemachine is en die uitgave nietgerechtvaardigd zou zijn indien hetapparaat slechts bij een paar uurtjeswiskunde gebruikt zou mogen wor-den. Als de leerlingen kleine pro-grammaatjes hebben gemaakt voor’n bepaald proefwerk, zie je wel datze ze onderling uitwisselen.Het allergrootste voordeel van degrafische rekenmachine is in eersteinstantie dat wat de leerlingen inty-pen zichtbaar blijft in het display. Zezien dus sneller of ze iets verkeerdinvoeren. Hebben ze iets verkeerdsingevoerd, dan kunnen ze de foutieveinvoer nogmaals opvragen en verbe-teren. Daarnaast is het mogelijk“onderzoek” te plegen en/of “simula-ties” te draaien. Dit onderdeel wordtde leerlingen vaak pas later duide-lijk. Voor een aantal onderwerpenuit de techniek, onder andere de wis-selstroomtheorie, is het daarom eenextra ondersteuning en kunnen deleerlingen zich de theorie snellereigen maken. Bij de wiskunde kandit alles natuurlijk ook. Los van hetfeit dat het zowel in het nieuwe als inhet oude wiskunde programma zit,kun je met de grafische rekenmachi-ne natuurlijk snel achter de betekenisvan de factoren a en b uit de uit-drukking: y�a.x�b komen. Het“mooiste” voorbeeld is natuurlijkechter het voorbeeld: y�a . sin( b . x – c )�d, waarbijleerlingen binnen een paar minutende betekenis van de factoren a, b, c end leren, terwijl daarbij vroeger eendocent “uren” stond te tekenen enerover stond te praten.Het onderzoeken van de invloed vande constante a op de standaardsinuskan door het invoeren van een ofmeerdere sinusvormen met eenwaarde van a ongelijk aan 1 gemak-kelijk worden uitgevoerd:

De effecten van wijzigingen van deconstanten b, c en d op de standaard-sinus kunnen ook met de grafischerekenmachine gemakkelijk wordennagegaan:

Natuurlijk moet er nu nog onder-zocht worden wat er gebeurt als wey � sin (2x – 6) invoeren, maar deervaring leert dat de geleerde effectenvan de verandering van constantenop de standaardsinus de leerling ookdit probleem snel doen oplossen. Ditalles gaat veel sneller dan zonder degrafische rekenmachine.

Kun je iets zeggen over hoe de leer-lingen het werken in het nieuweprogramma ervaren? (moeilijk-heidsgraad, werkvormen, toetsen,enz.)De huidige leerlingen moeten nogheel erg wennen aan de nieuwemanier van werken, namelijk hetzelfstandig werken. Ze zien toch noghet liefst de docent die het hele lesuurklassikaal iets uitlegt. Ze zien nog nietin dat ze naast het leren van wiskun-de ook andere vaardigheden oefenen,zoals onder andere: samenwerken –luisteren – discussiëren. Het is ook ergmoeilijk om bij de les te blijven enniet in de verleiding te komen om hethele lesuur over andere zaken danwiskunde te praten. De aangereikteplanning, of de door hen zelfgemaakte planning, wordt zeldengevolgd. Het op het laatste momentwerken is nog steeds een veel voorko-mende manier van werken. Daar hetop de vorige school werkte denken zedat het nu ook wel weer zal lukken.Dit is echter niet het geval daar demethode TWIN “geen” uitleg, voor-beelden of samenvattingen geeft. Alsde leerling dus zijn werk niet goedverdeeld heeft en dus niet gedurendede gehele periode gewerkt heeft zal deleerling slecht voorbereid op de toetsverschijnen. “De avond van tevorenleren” werkt bij TWIN zeker niet.Helaas zijn veel leerlingen niet tebewegen om een samenvatting of uit-treksel van het te leren hoofdstuk temaken. Bij die leerlingen ontbreektdan ook het overzicht.

Wat vind jij als leraar moeilijk inhet werken met het nieuwe pro-gramma?

21375 | 6 Euclides

De rol van de leraar is natuurlijk welveranderd (zie ook boven), maar demoeilijkheden van het nieuwe pro-gramma zitten denk ik vooral aan dekant van de leerling.Het nieuwe wiskundeprogramma isop zich niet moeilijker dan het vroe-gere wiskundeprogramma. Ik denkdat de andere, niet-wiskundigeeisen, die aan de leerlingen gesteldworden een grotere rol spelen. Deleerling van vroeger hoefde zich bijde wiskunde niet druk te makenover:a zelfstandig de leerstof doorspittenb samenwerken met anderenc naast het eigen maken van wis-

kundige vaardigheden deze ookkunnen toepassen

d taalvaardigheid om de methode tekunnen begrijpen/volgen.

Dit alles betekent meer “druk” op deleerling en dus meer reactie naar deleraar. Een leerling ziet liever dateen docent even snel het goede ant-woord geeft, dan dat hij samen metde leerling het probleem gaatbespreken en oplossen. Dit heeft totgevolg dat er wel eens extra span-ning ontstaat tussen leraar en leer-ling, omdat de docent nu juist nietmeteen het goede antwoord of dejuiste uitleg moet geven. Een van devele leerdoelen is nu eenmaal dat deleerling het zelf moet uitzoeken,maar wel onder begeleiding van dedocent. Soms heeft de leerling daareenvoudigweg het geduld niet voor.Indien dit vaak voorkomt is ditknap lastig en zou je als docent deneiging kunnen krijgen maar weerte gaan doceren om van die extraspanning tussen leraar en leerling afte zijn.

Wat verwacht je op het punt vankennis en (reken- en algebraïsche)vaardigheden van de leerlingen dieuit de mavo bij jullie binnenko-men? Dit vooral ook in relatie methet gebruik van de grafische reken-machine.De rekenvaardigheid van leerlingenin het algemeen is de afgelopen jaren

verslechterd. Er is ook minder alge-braïsche kennis aanwezig. Toch zul-len we met deze beperkingen moetenleren leven omdat er helaas geen(extra) tijd is om alle hiaten weg tewerken. De grafische rekenmachineis dan een extra hulpmiddel om ertoch voor te zorgen dat een leerlingeen technische studie met succes kanafronden.Op dit moment is er nog nauwelijkskennis van het gebruik van de grafi-sche rekenmachine bij de leerlingendie op het MTO komen. Ik denk datwe in de toekomst leerlingen krijgendie de grafische rekenmachine inieder geval kennen en er mee kunnenrekenen. Wij zullen denk ik wel dekennis aan moeten brengen van degrafische rekenmachine die zeer goedte gebruiken is op het MTO. Zoalshet bovenstaande voorbeeld laat zienzal dat zeker het grafische gedeeltezijn, maar ook de SOLVER zal daarzeker onder vallen. Leerlingen zijnnamelijk nog wel in staat om metbehulp van een ezelsbruggetje,namelijk het tekenen van een drie-hoek, de formule : I = U/R om tewerken, maar zijn niet meer in staatom onder andere de volgende formu-le voor uitzetting om te werken:Lw = Lk { 1 + c ( tw – tk ) }De SOLVER biedt dan in ieder gevalde mogelijkheid om de formule uit terekenen zonder hem zelf om te wer-ken. Techniek zonder rekenen“bestaat niet” en dus zal de grafischerekenmachine, of we het willen ofniet, steeds belangrijker worden voordie leerlingen die onvoldoendereken- en/of algebraïsche vaardighe-den hebben. Als die leerling wel dewil heeft om een technische studie tegaan volgen, moet de kennis van degrafische rekenmachine hem/haar instaat stellen de technische studie metsucces af te ronden.

In het nieuwe programma moet dewiskunde vooral nuttig en bruik-baar zijn voor de technische vak-ken. Lukt dat? Zijn er reacties uitdie hoek?

De technische collega’s beginnen ernu eigenlijk pas achter te komen datde leerlingen anders zijn opgeleiddan zij zelf in het verleden. Ook deverminderde reken- en algebraïschevaardigheden beginnen nu pas echtin beeld te komen. Toch lijkt het eropdat er nog onvoldoende op wordtingespeeld. Zelfs de nieuwste techni-sche boeken gaan er nog steeds van-uit dat de leerling goed kan rekenenen algebraïsch vaardig is. Deze boe-ken maken dan ook nog geen gebruikvan de grafische rekenmachine,maar gaan er gewoonweg van uit datde leerling over de “ouderwetse wis-kundige reken- en algebraïsche vaar-digheden” beschikt. Vooral in detweede klas van het MTO grijpen deleerlingen snel naar hun grafischerekenmachine om die “moeilijke”wiskundige problemen op te lossen.De technische docenten zouden ech-ter nog steeds de “oude wiskundigeoplossingen” willen zien. Helaas is ernog steeds te weinig overleg tussen deverschillende vakgebieden en dus isniet bij elke technische collegabekend hoe wiskunde in ons MTOveranderd is. Het werken in groepenen zelfstandig werken is ingevoerd bijde wiskunde, maar er staan nogsteeds (veel) technische collega’s“urenlang” te doceren. Ook de kreet:”ze kunnen niet rekenen en wat doenjullie daaraan?” is nog steeds tehoren in MTO-land.

Wat verwacht je, tenslotte, van deleerlingen die bij jullie instromenop het vlak van houding en studie-vaardigheden voor het vak wiskun-de?Ik verwacht, vooral in de toekomst,dat de leerlingen kunnen plannen enzelfstandig werken, omdat ik denkdat ze dat in het traject voor hetMTO geleerd en toegepast hebben.Op dit moment mis ik dit erg, naastde wil om iets te doen.

Wim Laaper

214 Euclides 75 | 6

Oplossingen, nieuwe opgaven en correspondentieover deze rubriek aan

Jan de GeusValkenboslaan 262-A 2563 EB Den Haag

Opgave 699

RRee

ccrr

eeaa

ttiiee

Op 4 en 5 februari 2000 vonden de zesde NationaleWiskunde Dagen plaats. Nieuw in het programma wasde WISRUN, die ’s zaterdags van 9 tot 11.30 uurplaatsvond. Hierbij moesten groepjes van 4 personenpuzzels oplossen en de antwoorden daarvan ludiek aande jury rappen, zingen, toneelspelen, enz. Na afloopontvingen de deelnemers een boekje met alle 52 wis-run-opdrachten.

Een paar voorbeelden:‘Hoe kun je met een oneerlijke dobbelsteen eerlijk tos-sen? Het groepslid met de meeste jaren onderwijserva-ring mag de toelichting aan de jurytafel geven.’

Leuk is ook:‘Het antwoord is 5. Wat was de vraag? Hier zijn uitslui-tend originaliteitspunten te verdienen!’

Formuletaal moet lukken:‘O-A X-S B-U → O, Mina, ik bemin u.Verzin zo uw eigen wiskundeboodschap en laat de juryhem oplossen.U mag ook getallen gebruiken.’

De laatste twee voorbeelden brachten me op het ideeof alle getallen te ‘benoemen’ zijn.

� Het Franse S heeft 37 P.� De 150 L van de T K.� Een S heeft 8 P.� A B en de 40 R.� 52 K in een S of 52 W in een J.� Een R H is 90 G.

Probeer nu de volgende vijf getallen te benoemen. Alsu de oplossing binnen een maand instuurt ontvangt umaximaal 5 punten voor de doorlopende ladderwed-strijd.

� De 13 V van de Nederlandse T.� De F 10 met B D en D M.� De 13659 P onder het P op de D.� De 45 B van de Nederlandse L.� De 57 V van H.

En tot slot (buiten mededinging):EEN 10 MET EEN G VOOR DE NVVW, DIE AL 75 JBESTAAT!

(Het Franse Solitaire heeft 37 Pionnen)(De 150 Leden van de Tweede Kamer)(Een Spin heeft 8 Poten)(Ali Baba en de 40 Rovers)(52 Kaarten in een Spel of 52 Weken in een Jaar)(Een Rechte Hoek is 90 Graden)

21575 | 6 Euclides

Oplossing 696 RRee

ccrr

eeaa

ttiiee

Met 60 punten is winnaar vaneen boekenbon van ƒ 50,–:

Tamme AfmanW.D. van Dommelenstraat 148181 MA Heerde

Heel hartelijk gefeliciteerd!

Frans Cremers, een gepensioneerde onderwijzer uit Aalter(Belgie) bestudeerde al een tijdje oude gravures van hetFranse solitaire spel met 37 pionnen. Het viel hem op dathet altijd een vol bord was. Hij ging uit van de stelling dathet Franse solitaire ooit oplosbaar moet zijn geweest. Inhet boek ’T is me een raadsel haalt hij de middelste pionweg (W) en zet hem gedurende het spel weer terug (T).Na 27 zetten eindigt de laatste pion in het midden!De Amerikaan Leonard Gordon uit Tucson, Az heeft ditspel intussen opgelost in 23 zetten:d4W, d2-d4, f2-d2, e4-e2, g3-e3, d1-d3-f3, e1-e3, b2-d2,c4-c2, c1-c3, g4-e4-e2-c2-c4, a3-c3, d5-d3-b3, d4T, a5-a3-c3, b5-b3-d3-d5-b5, f6-f4, d7-d5-f5, g5-e5, c7-c5, c4-c6,f3-f5-d5, e7-e5-c5, c6-c4, b6-b4-d4.

Len lost onze recreatie-puzzel op in 24 zetten:d1W, d3-d1, f3-d3, e1-e3, e4-e2, c1-e1-e3, d1T, d3-f3, g3-e3, e6-e4-e2, g5-e5, g4-e4-e6, e7-e5, c4-e4-e6, c7-e7-e5,c6-e6, f6-d6-d4, c2-c4-c6, b6-d6, a5-c5, a3-c3, a4-c4-e4-e6-c6-c4-c2, b2-d2, d1-d3, f2-d2, d3-d1.We kunnen ook in het midden eindigen als we als laatstezet d2-d4 hadden gedaan!

De enige(!) inzending van een ladderpuzzelaar was vanWilma den Boer (35 punten), Gouda, die een oplossingvond voor d5→d4. Onze complimenten!

Len Gordon heeft nu een nieuwe variant: d4 is leeg, zet inf3 een dubbele pion, eindig in f3. Dit lukt hem in 24 zet-ten:d2-d4, f3-d3, f3T, g3-e3, d3-f3, g5-g3-e3, b3-d3, c1-c3,d3-b3, f2-d2, e4-e2-c2, a3-c3, b5-b3, b2-b4, d5-d3-b3-b5-d5, e1-c1-c3-c5, d5-b5, b6-b4, c7-c5, f5-d5-b5, a5-c5, e7-e5, a4-c4-c6-e6, f6-d6, d7-d5-f5-f3.

In het maartnummer van Natuur & Techniek wordt hetdriehoekig solitaire bestudeerd.

1

2

3

4

5

6

7

a b c d e f g

216 Euclides 75 | 6

Conferentie Sporen 2000

Rekenen/wiskunde voor BVE

do. 13 en vr. 14 april 2000

CINOP: 073 6800744

www.fi.uu.nl/sporen

Symposium Wiskunde in

Bedrijven

vr. 14 april 2000

Noordelijke Hogeschool

Leeuwarden

tel. 058 2961740

www.tem.nhl.nl/tem/

exact/bwisymp

Zie ook Euclides 75-5, p. 161

Vakdocentendagen LOB

Loopbaanoriëntatie voor

vmbo

do 27 april 2000

Zwolle, Rozenburg,

Kerkrade

Meer info op:

www.e4-mc2.nl/LCV

of www.ldc.nl

Examendata 2000

vbo/mavo C/D vr.26/5/00

havo A/A12 do. 25/5/00

havo B/B1/B12 di. 23/5/00

vwo A wo. 17/5/00

vwo B/profi do. 25/5/00

Examenbesprekingen 2000

vbo/mavo C/D di. 30/5/00

van 15.00 - 18.00 uur

havo A ma. 29/5/00

van 16.00 - 18.00 uur

havo B do. 25/5/00

van 18.30 - 20.30 uur

vwo A vr. 19/5/00

van 16.00 - 18.00 uur

vwo B ma. 29/5/00

van 18.30 - 20.30 uur

Zie ook p. 200

In deze kalender kunnen alle

voor wiskundedocenten toe-

gankelijke en interessante

bijeenkomsten worden opge-

nomen. Wil eenieder die rele-

vante data heeft, deze zo

spoedig mogelijk doorgeven

aan de hoofdredacteur. Hier-

onder treft u de verschij-

ningsdata aan van Euclides

in het lopende schooljaar.

Achter de verschijningsda-

tum is de deadline voor het

inzenden van mededelingen

vermeld. Doorgeven kan ook

via e-mail:

redactie-euclides@nvvw.nl

nr. versch. deadline

7 15-05-00 30-03-00

8 26-06-00 11-05-00

Examenbespreking

Tweede Fase

havo B1 en B12 wo. 24/5/00

van 19.00 - 21.00 uur

havo A12 vr. 26/5/00

van 19.00-21.00 uur

Locatie: Jaarbeurs, Utrecht

HKRWO-symposium

za. 27 mei 2000, Utrecht

100 jaar wiskunde-

onderwijs

Naar aanleiding van het

gelijknamige boek dat ver-

schijnt bij het 75-jarig

bestaan van de NVvW.

Zie aankondiging Euclides

75-5, p.161.

Ed de Moor: 020

6121382/030 2611611

Wiskunde en praktische

opdrachten met Coach

do. 8 juni 2000,

10.00 - 15.30

Amstel Instituut, A’dam

tel: 020 - 5255886

www.wins.uva.nl/

research/amstel/vo

9th International Congress

on Mathematical

Education (ICME)

31 juli - 6 augustus 2000

Tokyo, Japan

www.ma.kagu.sut.ac.jp/

~icme9/

T3-symposium in

Oostende

Teachers teaching with

technology

di. 22 - do. 24 augustus

2000

De Nationale Doorsnee

di. 10 oktober 2000

Voor alle scholen in Neder-

land

Zie dit nummer p. 197

NVvW-Lustrumcongres

vr. 17 en za. 18 nov. 2000

Het 75-jarig bestaan van de

Vereniging.

Zie ook: www.nvvw.nl

Internetsites voor

wiskundedocenten:

NVvW website

De website van de NvvW

staat nog steeds boordevol

actuele informatie:

http://www.nvvw.nl

Onder andere met alle exa-

menbesprekingen

Voor TI-gebruikers

www.cmta.delmar.com

Symposium Wiskunde in

Bedrijven

www.tem.nhl.nl/tem/exact/

bwisymp

Vakdocentendagen LOB

Loopbaanoriëntatie voor

vmbo

www.e-mc2.nl/LCV

www.ldc.nl

Praktische opdrachten met

Coach

www.wins.uva.nl/research/

amstel/vo

Praktische opdrachten met

Excel

www.slo.nl/~ICTenWIS

Suggesties voor interessante

sites of interessante free-

ware voor wiskundedocen-

ten graag zenden aan e-mail:

redactie-euclides@nvvw.nl

KALENDER

218 Euclides 75 | 6

2000Toegestaan op Tweede Fase eindexamens havo-vwo

WisfortaWiskunde, Formules en Tabellen

Het boek is alleen voor rekening leverbaar. Stuur de bon in een gefrankeerde envelop

naar Wolters-Noordhoff, t.a.v. afd. voorlichting Exact, Postbus 58, 9700 mb Groningen.

E-mailen kan ook: voorlichting.vo.exact@wolters.nl.

Bestelcoupon

Ja, ik bestel

___ ex Wisforta à ƒ 15,00/€ 6,81 isbn 90 01 65956 x

Naam school

Ter attentie van

Adres

Postcode

Plaats

419/0505

Wolters-Noordhoff

Postbus 58

9700 mb Groningen

Telefoon (050) 522 63 11

Fax (050) 522 62 55

Ook verkrijgbaar via de

boekhandel

Wo

lte

rs

No

ord

ho

ff

✃

419/0068

Het is een boekje van 40 pagina’s geworden

en zal vanaf maart 2000 verkrijgbaar zijn.

De inhoud:

• formulekaart havo

• formulekaart vwo

• cumulatieve binomiale verdeling

• cumulatieve normale verdeling

• toevalsgetallen.

Het boekje is goedgekeurd door de CEVO en

mag bij de centrale examens wiskunde in de

Tweede Fase worden gebruikt.

(Bron: www.eindexamen.nl en de novemberbrief 1999)

isbn 90 01 65956 x ƒ 15,00 € 6,81

Eindelijk duidelijkheid! Alles wat een leerling mag

raadplegen op zijn Tweede Fase wiskunde-examen in

een overzichtelijk boekje.