Uitwerkingen van de opgaven - Open Universiteit5 12.2. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 4 Opgave...

Computeralgebra met Maxima

1

12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1

Bereken met behulp van Maxima:3,87 0,152 641,2

2,13 7,29 78 0,62 45

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Opgave 3.2

Bereken met behulp van Maxima: 7 42527 1897−

Opgave 3.3 Bereken met behulp van Maxima elk van de volgende uitdrukkingen:

3

1723 0,0729

1524 6,215 11,20

⋅

− ⋅ ;

32

36

732,46,28 1,235

2,764

⋅ −

; 2 2 312,25 15,73 6,25

4,98 2,725

+ −⋅

(%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

(%i2) (sqrt(2527)-(1897)^(1/4))^(1/7);

(%i3) float(%), numer;

Uitwerkingen van de opgaven

2

Opgave 3.4

Bereken de waarde van 4 3 2

3 2

1,2 2,5 0,8

5,1 4.2

a a aa

a a

− +−+

voor a=1, a=2 en a=3.

Opgave 3.5

Bereken de waarde van 35 45 4 3x y z+ + voor x = 2.1 , y = 7.2 en z = 3.6

Opgave 3.6

Bereken de waarde van 5 4 3 125 3 zx y +− voor x = -10.1 , y = 2.1 en z = 7.2


3

Opgave 3.7

Bereken de grootste gemeenschappelijke deler van 3465, 924 en 462 en bepaal ook hun gemeenschappelijke delers.

Opgave 3.8

Hoeveel uur u (bij een dagindeling van 24 uur) is het "1000 uur na middernacht"? Hoeveel dagen d zijn er dan verstreken?

Dus u=16 en d= 41; controle:

Opgave 3.9 Mersennegetallen zijn getallen van de vorm 2 1nm = − met n∈� Ga na of het Mersennegetal 232 1m = − een priemgetal is. Bepaal het eerstvolgende en het vorige priemgetal. Ga tevens na wat de volgende Maximaopdracht zal doen (%i35) for n:1 thru 400 do ( if primep(2^n-1) then print (n,2^n-1) );


4

.

Opgave 3.10

Reken een tijdsduur t = 9724 sec om naar uren (u), minuten (m) en seconden (s) en controleer uw antwoord.


5

12.2. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 4

Opgave 4.1

Ontbind het natuurlijke getal 2310 1+ in priemfactoren en controleer of de factoren inderdaad priemgetallen zijn.

Opgave 4.2

Ontbind de veelterm 4 26 8x x− + op 2 manieren in factoren: rationaal en met wortelvormen.

Eerst de rationale ontbinding

Nu de ontbinding met wortelvormen


6

Opgave 4.3

Pas partiële breuksplitsing toe op de volgende breuk 5

2

2

5

x

x −

Opgave 4.4

Schrijf de uitdrukking 3(2 3 )x y− helemaal uit en probeer het resultaat weer in factoren te ontbinden.


7

Opgave 4.5

Schrijf de uitdrukking 3 2 2(2 5)(5 4 ) ( 5 )(10 4)x x x x x x+ − − + − helemaal uit en ontbind het resultaat in factoren.

Opgave 4.6

Ontbind de veelterm v =12·x4 - 9·x3 - 17·x2 + 15·x – 5 in factoren. Laat zien dat bij deling van v door deze factoren de rest inderdaad 0 is. Bepaal quotient en rest bij deling van v door 3·x2 – 6 en controleer het resultaat

De twee factoren noemen we v1 en v2:

De deling levert inderdaad twee keer de rest 0. Nu de deling van v door 3·x2 – 6


8

Het resultaat kunnen we als volgt controleren:

Dit is inderdaad weer de veelterm v. Opgave 4.7

Voer de uitdrukking (5-a·b)/(3+a·b) in en vervang dan het product a·b door c

Opgave 4.8

Vereenvoudig de uitdrukking x4y3 + x4y8 door de term xy2 te vervangen door a.


9


Opgave 5.1

Bereken de variabele k uit de vergelijking k a

s mk a

⋅= −+

via herleiden en via de solve-

opdracht. Het oplossen van k via eenvoudige herleidingen verloopt als volgt:

Het oplossen via de krachtige solve –opdracht:


10

Opgave 5.2

Bepaal de oplossingen van de vergelijking 4 3 262 112 18 1

015 25 25 15

x x x x+ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = .

Controleer de antwoorden door substitutie in de oorspronkelijke vergelijking.

We kunnen nu alle antwoorden in één keer controleren (zie paragraaf 3.2.2)

Of nog eenvoudiger:

Opgave 5.3

Bepaal de oplossingen van de vergelijking 3 23 19 17 0x x x− + − = .

Er is dus een reële oplossing 1x = en er zijn twee complexe oplossingen 1 4x i= − en

1 4x i= + . Hierbij is i het complexe getal met de eigenschap dat 2 1i = − .


11

Opgave 5.4

Voor het numeriek oplossen van de vergelijking 1 2

2y y

y= +

gebruiken we het volgende

iteratieproces 11 2

2n n

n

y yy

+ = +

.

a. Als het iteratieproces convergeert, naar welke waarde zal het dan convergeren ?

Als het proces convergeert, dan geldt 1lim limn nx n x n

y y c+→ →= = . Uit de iteratieformule volgt dan dat

c moet voldoen aan de vergelijking 1 2

2c c

c = +

. Via enige formulemanipulatie kunnen we

dit herleiden tot de vergelijking 2 2c = . In geval van convergentie, zal de rij ny dus

convergeren naar de waarde 2± b. Bepaal via een for-loop de waarden 1y t/m 8y ; neem als startwaarde 0 0.4y =

c. Plot de grafiek van ny als functie van n voor n = 0,1, 2, ………..,8


12

Opvallend is de zeer snelle convergentie!

d. Teken de webgrafiek van 11 2

2n n

n

y yy

+ = +

; neem als startwaarde 0 0.5y =

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 10 12

y(n)

n

0.5

1

1.5

2

2.5

y(n+

1)


13

Opgave 5.5

Los het volgende lineaire stelsel met 4 onbekenden op

I: a + b - 2c + d = 2 II: -2a -2b + c + d = 2 III: a - b + c + 2d = 10 IV: a + b - 4c + 5d = 12

Opgave 5.6

Bepaal de snijpunten van de rechte r: 4x y− = met de cirkel c: 2 2( 2) ( 2) 36x y+ + − = Controleer de gevonden antwoorden.


14

Opgave 5.7

Los het volgende stelsel op en geef een interpretatie van de parameter %r1

3 2 5

3

x y

x y z

+ = + + =

Het symbool %r1 geeft een willekeurige constante aan. Dit betekent dus dat er oneindig veel oplossingen zijn. Voor bijvoorbeeld %r1 =1 hebben we dan de oplossing [x=1 , y=1, z=1] . 12.4. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 6 Opgave 6.1

We definiëren de functie s via 2

2 1( )

3 2s t t

= − . Bereken de functiewaarden s(0), s(1) en s(2).

Opgave 6.2

We definiëren een functie O van twee variabelen als volgt 2 ( sin( ))

( , ) :2

rO r

α αα ⋅ −= .

Bepaal de functiewaarden voor α = 3, 2, 1 en r = 4.


15

Opgave 6.3 Definieer in Maxima de functie k(x) = (x-8)/2. Maak een tabel met functiewaarden voor x = -4, -3, ……, 4 en maak hiervan een grafiek in een geschikt gekozen venster.


16

Opgave 6.4

Definieer en teken de volgende functie:

2

1 5 1

( ) 1 2

1 2 5

x x

f x x x

x x

− − < < −= − <


17

Opgave 6.5

Schrijf de volgende trigonometrische expressie cos(2*x+y)-sin(2*x) zo ver mogelijk uit en probeer daarna het resultaat weer zo veel mogelijk te vereenvoudigen.

Opgave 6.6

Definieer met behulp van de cosinusregel een functie, die bij de invoer van de drie zijden van een driehoek de hoek uitrekent tussen de eerste twee ingevoerde zijden. Als we de ingevoerde zijden opvolgend a, b en c noemen, dan moeten we dus de hoek gamma tegenover de zijde c bepalen. Voor de hoek gamma moet gelden gamma>=0 en gamma


18

Laten we de functie hoekgamma testen op een rechthoekige en een gelijkzijdige driehoek :

Opgave 6.7 Bereken de oplossingen van de goniometrische vergelijking cos(x)=cos(2x) op het interval [ ]0,2π We proberen eerst de solve-opdracht :

Dit levert helaas geen resultaat op.


19

Laten we daarom de grafieken van cos(x) en cos(2x) eens tekenen op het interval [ ]0,2π :

We

zien hieruit dat er 4 oplossingen zijn op het interval [ ]0,2π . Uit het plaatje is onmiddellijk duidelijk dat x=0 en x=2π twee oplossingen zijn. Controleer dit zelf! Met behulp van de functie find_root kunnen we de andere 2 oplossingen numeriek bepalen:

Hier volgt nog een andere oplossing door de vergelijking cos(x)=cos(2x) eerst te herschrijven:


20

Wat zijn de exacte waarden van de andere oplossingen?


21

12.5. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 7 Opgave 7.1

Teken de grafieken van 3 2

13 2 4

x x x− + − , 2 5 1x x− + en 75

x − in het venster [ ] [ ]3,7 6,7− × − .

Opgave 7.2

Teken in één figuur de elliptische krommen 2 3 5 3y x x= − + en 2 3 3 3y x x= − + in het venster [ ] [ ]3,3 4,4− × − .

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 0 2 4 6x

x^3/3-x^2/2+x/4-1x^2-5*x+1

x-7/5

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y^2 = x^3-5*x+3y^2 = x^3-3*x+3


22

Opgave 7.3

Maak een parameterplot van de zogenaamde cardioïde:[2cos(t)-cos(2t),2sin(t)-sin(2t)]

Opgave 7.4

Een punt P doorloopt een Lissajousfiguur K met parametervoorstelling

( ) 100 sin( )

:( ) sin ( )

x t tK

y t A tω α= ⋅

= ⋅ +


23

a. Om het effect van de verandering in het faseverschil α na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A = 100, ω =1 en α = 0, / 4, / 2, 3 / 4,π π π π

0α =

/ 4α π= / 2α π=

3 / 4α π= α π=


24

b. Om het effect van de verandering in de hoekfrequentie ω na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval A=100, α = 0 en ω = 0.25, 0.50, 0.75.

ω = 0.25

ω = 0.5 ω = 0.5 ω = 0.5 ω = 0.75


25

c. Om het effect van de verandering in de amplitude A na te gaan, tekenen we de parameterplot van K in geval ω =1, α = 0 en A = 25, 50, 75.

A = 25

A = 50

A = 75


26


Opgave 8.1

Bepaal de limiet van de rij u(n) = 2 3

3 1

n

n

−+

voor n gaat naar oneindig

Opgave 8.2

Bereken de helling van de functie f(x) = abs(x2-1) in het punt x = 1.

Kennelijk bestaat de afgeleide van f in het punt x = 1 niet. We gaan na of de rechter afgeleide van f in x = 1 bestaat.

De linkerafgeleide in het punt x = 1

De grafiek van f kan de resultaten duidelijk maken.


27

Opgave 8.3

Beschouw de functie: 3: 2 5f x x x→ + − . Bepaal de nulpunten en extremen van f .

De eerste afgeleide is nergens 0 en vanwege (%o2) overal positief. De functie heeft dus geen extremen en is overal stijgend.


28

Opgave 8.4

Beschouw de schaar van functies: 3:af x x ax→ + met a ∈� Plot de functieschaar voor a = -4, -3, …….,2, 3, 4. Bepaal de nulpunten, extreme waarden en buigpunten in afhankelijkheid van de parameter a.


29

Verloop van de grafieken: * de grafieken gaan allemaal door de oorsprong * de grafieken zijn symmetrisch t.o.v. de oorsprong * voor a0 is de functie monotoon stijgend en heeft een buigpunt in de oorsprong

Er is dus een reëel nulpunt x=0 voor a>0 .


30

Ook voor a=0 is er dus een reëel nulpunt x=0

Voor a


31

Voor a


32

Opgvave 8.5 Beschouw de functie 3 2: 3 9 6f x x x→ − +

Bepaal de buigpunten van f en bepaal de vergelijking(en) van de buigraaklijn(en).

Teken de grafiek van f en de buigraaklijnen van f in één figuur.

Oplossing:

De buigpunten vinden we door na te gaan waar de tweede afgeleide van teken verandert:

Het is duidelijk dat de tweede afgeleide van teken verandert in x = 1. Het buigpunt heeft de coördinaten (1,0). De vergelijking van de buigraaklijn wordt dan:


33

Opgave 8.6

Bereken de oppervlakte van een cirkel via de integraal 2 2

0

4r

r x dx⋅ −∫ .

12.7. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 9 Opgave 9.1

Schrijf een functie hoek(p,q) welke bij twee gegeven vectoren p en q de scherpe hoek tussen p en q bepaalt. Bepaal met behulp van deze functie ABC∠ in driehoek ABC met A(1, 2), B(4, 2) en C(4, 6).

Met de zijde AB correspondeert de vector b-a = [3,0] en met de zijde BC correspondeert de vector c-b= [0,4]

Het gearceerde gebied komt overeen met de

integraal 2 2

0

r

r x dx−∫


34

Opgave 9.2

Bepaal in driehoek ABC - met A(-5, -2), B(6, -1) en C(2, 7) - de middelloodlijnen van AB en BC, evenals de straal en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Oplossing: We definiëren eerst de plaatsvectoren van A, B en C:

Voor de plaatsvectoren [x,y] van de punten op de middelloodlijn mab van AB geldt:

Op dezelfde manier bepalen we de middelloodlijn mbc van BC:

Het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC vinden we nu door het snijpunt van mab en mbc te bepalen:


35

Voor de plaatsvector m van M geldt dus:

De straal r van de omgeschreven cirkel is nu gelijk aan de lengte van het lijnstuk MA, d.w.z. de lengte van de vector a-m:

Dit moet natuurlijk ook gelijk zijn aan de lengte van de lijnstukken MB en MC:

Opgave 9.3

Los het volgende stelsel vergelijkingen op twee manieren op

2 3 7 12

4 2 3

2 3 5

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

We lossen het stelsel eerst op met de matrixmethode, we schrijven het stelsel daartoe in de vorm A x b⋅ =

rr met:


36

De oplossing van dit stelsel is nu eenvoudig : 1x A b−= ⋅rr

:

Een andere manier van oplossen verkrijgen we door de drie vergelijkingen apart in te voeren:

Nu kunnen we het stelsel via solve of linsolve oplossen :

U ziet dat we in beide gevallen dezelfde oplossing vinden.


Opgave 10.1

a. Maak een lijst met de eerste 20 elementen van de rij na mit 12n n

a =


37

b. Maak door middel van de opdracht makelist de volgende lijst :

De n-de term van deze rij is: ( 1)1

n n

n− ⋅

+


38

c. Maak een lijst van de eerste 20 partiële sommen van de rij 1 1 1 1

, , , , .......1! 3! 5! 7!

− −


39

Opgave 10.2

Definieer een functie hoek (r,n) , die de hoekpunten van een regelmatige n-hoek creëert met behulp van de opdracht makelist (straal van de omgeschreven cirkel = r). Teken met behulp van deze hoekpunten een regelmatige 6-hoek, met r = 4.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

discrete1discrete2


40

Opgave 10.3

Schrijf een functie kapitaal_verd ( k, p) welke berekent in hoeveel jaar een kapitaal k, bij een samengestelde interest van p procent, verdubbelt.


Opgave 11.1

Schrijf/programmeer een functie kwad(a,b,c,x) welke bij een gegeven kwadratische functie 2ax bx c+ + een kwadraat afsplitst.

Voorbeelden: Omdat 2 2 3x x+ + geschreven kan worden als 2( 1) 2x + + , moet kwad (1,2,3,x) dus als resultaat opleveren 2( 1) 2x + + ;

Omdat 24 2 1x x− + geschreven kan worden als 2

1 32

2 4x

− +

, moet kwad (4,-2,1,x) dus het

resultaat 2

1 32

2 4x

− +

geven.

Oplossing:

2ax bx c+ + = 2 2

2 4( )2 4

b c b b aca x x a x

a a a a

− ⋅ + + = ⋅ + −

Dus de gevraagde functie wordt : kwad(a,b,c,x):=2 2 4

2 4

b b aca x

a a

− ⋅ + −

In Maxima ziet dat er als volgt uit:


41

Controle:

Opgave 11.2

Gegeven zijn de lijnen l : 1 1y m x b= + en m: 2 2y m x b= + .

Schrijf een functie snijpunt (x, y, m1, m2, b1, b2) die bepaalt of de lijnen l en m een snijpunt hebben. Onderscheid hierbij 3 gevallen. In geval van een snijpunt moeten de coördinaten van het snijpunt worden getoond. Oplossing: We kunnen de volgende 3 gevallen onderscheiden:

• m1= m2 én b1= b2 : l en m vallen samen ( oneindig veel snijpunten) • m1= m2 én b1 ≠ b2 : l en m lopen evenwijdig (geen snijpunt) • m1 ≠ m2 : l en m hebben één snijpunt

In geval van een snijpunt kan het snijpunt bepaald worden door het oplossen van de vergelijkingen:

verg1: 1 1y m x b= + en verg2 : 2 2y m x b= +

De gevraagde functie gaat er dan als volgt uitzien:


42

Voorbeelden:

Opgave 11.3

Schrijf naar analogie van de functie dobbelsteen uit paragraaf 11.3 een functie cdobbelsteen die bij de aanroep cdobbelsteen (3000) het volgende resultaat geeft:

Het zal duidelijk zijn dat we met behulp van de tabel freq een tabel cfreq met cumulatieve frequenties moeten maken. Dat kan wiskundig gezien op de volgende wijze:

1[ ] [ ]

j

icfreq i freq j

==∑ voor i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

In Maxima ziet dat er als volgt uit:

Deze cumulatieve frequenties moeten dan worden afgedrukt:


43

De gevraagde functie cdobbelsteen gaat er als volgt uitzien:

De aanroep cdobbelsteen (3000) geeft dan het volgende resultaat :

Uitwerkingen van de opgaven - Open Universiteit5 12.2. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 4 Opgave...

Documents

Transcript of Uitwerkingen van de opgaven - Open Universiteit5 12.2. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 4 Opgave...