Uitwerkingen Rekenen met cijfers en...

106
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 1 5 oktober 2009 1 c Swier Garst - RGO Middelharnis

Transcript of Uitwerkingen Rekenen met cijfers en...

Page 1: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Maerlant College Brielle1

5 oktober 2009

1 c©Swier Garst - RGO Middelharnis

Page 2: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2

Page 3: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Inhoudsopgave

1 Rekenen met gehele getallen 71.1 De gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Optellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Delen op nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.12 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Delen door nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.14 Nul gedeeld door nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.15 Machtsverheffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.16 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.17 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.18 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.19 Delen van machten met hetzelfde grondtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.20 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.21 Machten van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.22 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.23 Combinaties van bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.24 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Breuken 232.1 De breuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Optellen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Vermenigvuldigen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

Page 4: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4 INHOUDSOPGAVE

2.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Delen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11 Een deel van een deel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.12 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.13 Decimale schrijfwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.14 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.15 Procenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.16 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Korter schrijven 453.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Optellen met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Meer letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Rekenen met letters 514.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Het tegengestelde van x+y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6 Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8 Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.10 Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.11 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.12 Delen van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.13 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.14 Machten van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.15 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.16 Vereenvoudigen van breuken met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.17 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.18 Optellen en aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.19 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.20 Vermenigvuldigen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.21 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.22 Haakjes wegwerken I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.23 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.24 Haakjes wegwerken II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.25 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.26 (a + b)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.27 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.28 (a + b)(a− b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Page 5: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

INHOUDSOPGAVE 5

4.29 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.30 Haakjesvaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Ontbinden in factoren 895.1 Ontbinden in factoren I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 Ontbinden in factoren II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5 Ontbinden allerlei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6 Breuken 996.1 Vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Optellen en aftrekken van breuken met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Page 6: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

6 INHOUDSOPGAVE

Page 7: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 1

Rekenen met gehele getallen

1.1 De gehele getallen

De getallen 0, 1, 2, 3, 4, ... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool NDe natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn.Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleennatuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken.Zo kun je 5− 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 3− 5 niet.De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden:De getallen ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, .... heten de gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z

De getallen 1, 2, 3, .. heten de positieve gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z+

De getallen ...,−4,−3,−2,−1 heten de negatieve gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z−

Twee getallen, zoals 3 en -3 of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegenge-stelde.

1.2 Optellen

Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen eenvoortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:

4 + 3 = 74 + 2 = 64 + 1 = 5

7

Page 8: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

4 + 0 = 44 +−1 = 34 +−2 = 24 +−3 = 14 +−4 = 04 +−5 = −14 +−6 = −24 +−7 = −3

De getallen 3 en 4 in 3 + 4 = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan 3 en 4.We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengestelde.

De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4+6 de volgorde van determen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdatde gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellenvan gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen.Bijvoorbeeld: 4 +−6 = −6 + 4

1.3 Opgaven

Som 1

Schrijf het tegengestelde op van:

a. Het tegengestelde van −3 is 3

b. Het tegengestelde van4 is −4

c. Het tegengestelde van−5 is 5

d. Het tegengestelde van6 is −6

e. Het tegengestelde van12 is −12

f. Het tegengestelde van−32 is 32

g. Het tegengestelde van32 is −32

h. Het tegengestelde van−34 is 34

Som 2

Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:

a. 2 + 3 = 5

b. −2 + 3 = 1

c. −4 + 8 = 4

d. 8 +−3 = 5

e. 5 +−2 = 3

f. 6 +−3 = 3

g. −3 +−5 = −8

h. −1 +−5 = −6

Som 3

Schrijf de opgave over en bereken:

Page 9: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.3. OPGAVEN 9

a. 6 +−4 = 2

b. −8 + 5 = −3

c. −4 +−5 = −9

d. −12 + 11 = −1

e. −7 + 9 = 2

f. −4 +−6 = −10

g. 12 +−8 = 4

h. 4 +−7 = −3

Som 4

Schrijf de opgave over en bereken:

a. −5 +−8 = −13

b. 19 +−11 = 8

c. −17 + 38 = 21

d. −9 +−25 = −34

e. −4 + 7 = 3

f. 4 +−7 = −3

g. 4 +−7 = −3

h. 4 + 7 = 11

Som 5

Schrijf de opgave over en bereken:

a. −3 + 8 = 5

b. 6 +−7 = −1

c. −5 +−4 = −9

d. −9 + 6 = −3

e. 16 +−15 = 1

f. 23 +−24 = −1

g. −1 +−5 = −6

h. 1 +−7 = −6

Som 6

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 13 +−6 = 7

b. −4 +−4 = −8

c. 2 +−2 = 0

d. 7 +−1 = 6

e. −11 +−7 = −18

f. 5 +−5 = 0

g. −8 + 9 = 1

h. −10 +−10 = −20

Som 7

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 6 +−5 +−4 = −3

b. −3 + 7 +−4 = 0

c. 8 +−10 + 7 = 5

d. 4 +−4 + 4 = 4

Page 10: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

10 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

e. 9 +−4 + 7 = 12

f. 9 + 7 +−4 = 12

g. 7 + 9 +−4 = 12

h. −4 + 9 + 7 = 12

Som 8

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 7 +−3 +−4 = 0

b. −3 +−4 +−5 = −12

c. 3 +−3 + 0 = 0

d. 4 +−5 + 6 = 5

e. −1 +−2 +−3 = −6

f. −3 + 4 +−5 = −4

g. −2 +−2 +−2 = −6

h. −5 +−5 +−5 = −15

Som 9

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 17 + 24 +−11 + 1 = 31

b. 6 +−4 +−9 + 2 = −5

c. −14 + 7 + 11 + 2 = 6

d. −3 + 9 +−7 + 5 = 4

e. 3 + 28 +−7 +−4 = 20

f. 12 +−10 +−6 + 4 = 0

g. 19 + 38 +−64 + 25 =

h. −18 +−75 + 12 +−21

Som 10

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 9 +−5 +−3 = 1

b. −6 + 9 + 5 = 8

c. −6 + 19 + 5 = 18

d. 4 +−11 + 8 = 1

e. 15 +−3 + 11 = 23

f. 10 + 5− 4 = 11

g. 7 + 12 +−6 = 13

h. 4 + 19 +−11 = 12

1.4 Aftrekken

Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen eenvoortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:4− 3 = 14− 2 = 24− 1 = 34− 0 = 44−−1 = 54−−2 = 6

Page 11: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.5. OPGAVEN 11

4−−3 = 74−−4 = 8Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengestelde.

1.5 Opgaven

Som 11

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 2− 3 = −1

b. −2− 3 = −5

c. −4− 8 = −12

d. 8−−3 = 11

e. 5−−3 = 8

f. −3−−5 = 2

g. −1−−5 = 4

h. −8−−2 = −6

Som 12

Schrijf de opgave over en bereken

a. 17− 4 = 13

b. 18− 19 = −1

c. 14− 20 = −6

d. 13− 6 = 7

e. 6− 13 = −7

f. 11− 28 = −17

g. 17− 15 = 2

h. 30− 45 = −15

Som 13

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 0− 7 = −7

b. −1− 12 = −13

c. −5− 14 = −19

d. −15− 8 = −23

e. −11− 25 = −36

f. 17− 38 = −21

g. −17− 38 = −55

h. −24− 1 = −25

Som 14

Schrijf de opgaven over en bereken:

a. 12−−43 = 55

b. 34−−54 = 88

c. −12−−67 = 55

d. −45− 23 = −68

Page 12: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

12 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

e. −455−−123

f. −867− 435

g. −294− 857

h. 645−−746

Som 15

Schrijf de opgave over en bereken:

a. −38− 43−−83

b. 73− 27− 68

c. −1− 2− 3− 4 = −10

d. 0−−2 = 2

e. 0−−3 = 3

f. 1−−2−−3−−4 = 10

g. −12−−12− 12 = −12

h. 12− 12− 12 = −12

1.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken

Som 16

Schrijf de som over en bereken

a. 4 +−8 = −4

b. 18− 11 = 7

c. −13− 9 = −22

d. −10 +−15 = −25

e. 11− 19 = −8

f. −24 + 16 = −8

g. 35−−9 = 44

h. 12− 24 = −12

Som 17

Schrijf de som over en bereken

a. −7−−7 = 0

b. 16− 14 = 2

c. 29 +−19 = 10

d. 23−−11 = 34

e. −14− 14 = −28

f. −20 +−10 = −30

g. 16−−1 = 17

h. 0−−8 = 8

Som 18

Schrijf de som over en bereken

a. 12− 13 = −1

b. −12− 13 = −25

c. 13−−12 = 25

d. −12− 13 = −25

Page 13: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 13

e. −12−−13 = 1

f. −12 + 13 = 1

g. 12 +−13 = −1

h. −13 +−12 = −25

Som 19

Schrijf de som over en bereken

a. 4−−3 +−5

b. −9− 16− 11

c. −13−−11− 24

d. 15 +−8− 7

e. 25− 17−−18

f. −14−−11− 13

g. 7− 38− 15

h. 11 + 19−−10

Som 20

Schrijf de som over en bereken:

a. 14− 18 + 12

b. 7 +−9− 13

c. 24−−11− 15

d. 19 + 25− 12

e. −33−−14− 1

f. −16 + 38−−10

g. 14− 19−−21

h. −12 +−15− 15

Som 21

Schrijf de som over en bereken:

a. 28− 45 + 17

b. −12− 15−−8

c. 6−−2− 2

d. −14 + 17−−5

e. 37− 19−−11

f. 25−−13 + 9

g. −8− 8−−8

h. 7−−13− 17

Som 22

Schrijf de som over en bereken

a. 22 +−18−−14

b. −15 + 16− 17

c. 41− 25− 28

d. −17 + 8− 12

e. 38 + 17− 20

f. 45− 10− 29

g. 18 +−23− 12

h. −14− 14− 14

Page 14: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

14 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

Som 23

Schrijf de som over en bereken

a. −3−−5 + 11

b. 8− 6− 8

c. 14 +−17− 17

d. −9 + 9− 9

e. 27−−11− 15

f. 16 +−14−−3

g. −38− 37− 36

h. 10 +−27 + 9

Som 24

Schrijf de som over en bereken

a. −1−−1− 1

b. 7 + 4−−8

c. −5 +−5 +−5

d. 6 +−8− 12

e. 11− 7− 15

f. −10− 20 + 25

g. −13 + 26− 13

h. −5 + 47−−8

Som 25

Schrijf de som over en bereken

a. 19 +−15− 7−−2

b. 31− 18−−5 + 12

c. −26− 14− 19 + 7

d. 17 + 11−−10− 3

e. −5− 5−−5 + 5

f. 7 +−12− 9 + 4

g. 16− 8− 24 + 14

h. −7− 13− 19− 25

1.7 Vermenigvuldigen

Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel:

4× 3 = 124× 2 = 84× 1 = 44× 0 = 04×−1 = −44×−2 = −84×−3 = −124×−4 = −164×−5 = −20

Page 15: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.8. OPGAVEN 15

Zoals 4× 3 = 3× 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehelegetallen:4×−2 = −2× 4

Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken:−4× 3 = −12−4× 2 = −8−4× 1 = −4−4× 0 = 0−4×−1 = 4−4×−2 = 8−4×−3 = 12−4×−4 = 16−4×−5 = 20

We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt:

positief getal × positief getal = positief getalpositief getal × negatief getal = negatief getalnegatief getal × positief getal = negatief getalnegatief getal × negatief getal = positief getal

1.8 Opgaven

Som 26

Schrijf de sommen over en bereken

a. 4× 7 = 28

b. −4× 7 = −28

c. 15×−8 = −120

d. 7×−9 = −63

e. −6×−12 = 72

f. 9×−11 = −99

g. 8× 6 = 48

h. 7×−5 = −35

Som 27

Schrijf de som over en bereken

a. 14×−5 = −70

b. 9×−12 = −108

c. −6×−13 = 78

d. 11× 11 = 121

e. −4×−8 = 32

f. 3×−12 = −36

g. −7× 7 = −49

h. −15× 5 = −75

Page 16: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

16 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

Som 28

Schrijf de som over en bereken

a. 6×−18 = −108

b. −5× 5 = −25

c. 12×−3 = −36

d. −9×−9 = 81

e. −7×−14 = 98

f. 12×−12 = −144

g. 13×−7 = −91

h. −5×−10 = 50

Som 29

Schrijf de som over en bereken:

a. 16× 4 = 64

b. −15×−6 = 90

c. 18×−5 = −90

d. −17× 4 = −68

e. 3×−19 = −57

f. 11× 13 = 143

g. −14×−8 = 112

h. 15×−4 = −60

Som 30

Schrijf de som over en bereken

a. 6× 8×−3 = −144

b. 7×−5×−2 = 70

c. −9× 10× 3 = −270

d. 7×−8×−4 = 226

e. −5×−2×−8 = −80

f. −3× 7×−5 = 105

g. 4×−4×−4 = 64

h. −10×−11× 3 = 330

Som 31

Schrijf de som over en bereken

a. 7× 7×−2 = −98

b. 9×−5×−4 = 180

c. −6× 6×−6 = 216

d. 4×−5× 6 = −120

e. 7× 8×−1 = −56

f. −3×−6× 9 = 162

g. −5×−8×−6 = −240

h. −2×−3× 0 = 0

Page 17: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.9. DELEN 17

1.9 Delen124 = 3, omdat 3× 4 = 12Daarom is 12

−4 = −3: Immers −3×−4 = 12Zo is:−12−4 = 3 omdat 3×−4 = −12−124 = −3 omdat −3× 4 = −12

1.10 Opgaven

Som 32

Schrijf de opgave over en reken uit:

a. −155 = −3

b. 14−7 = −2

c. −248 = −3

d. 366 = 6

e. −4816 = −3

f. −648 = −8

g. 45−5 = −9

h. −45−9 = 9

Som 33

Schrijf de opgave over en reken uit:

a. 144−16 = −9

b. −16218 = 9

c. −222653

d. −222653

e. 6450−75

f. −645075

g. 520862

h. −520862

1.11 Delen op nul03 = 0, want 0 = 3× 0.Net zo is 0

4 = 0 en 0127 = 0

1.12 Opgaven

Som 34

Schrijf over en bereken

Page 18: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

18 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

a. 06 = 0

b. 0−3 = 0

c. 0−1000 = 0

d. 0−200 = 0

1.13 Delen door nul30 =?Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan?Als je op de plaats van ? een getal denkt, dan moet 0×? = 2.Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden.Dus: Delen door nul kan niet.

1.14 Nul gedeeld door nul00 =?Wel getal kan er op de plaats van ??.Voor zo’n getal moet gelden: 0×? = 0. Maar dan kan op de plaats van ? ieder getal staan. Daaromzeggen we 0

0 kan niet.

1.15 Machtsverheffen

54 is de korte schrijfwijze van 5× 5× 5× 5Een uitdrukking als 54 heet een macht.De 5 heet het grondtalDe 4 heet de exponent

Voorbeelden:

1. 43 = 4× 4× 4 = 64

2. (−3)4 = −3×−3×−3×−3 = 81

3. Pas op: −34 = −3× 3× 3× 3

1.16 Opgaven

Som 35

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.

a. 22 = 4

b. 23 = 8

c. 24 = 16

d. 25 = 32

e. 26 = 64

f. (−2)2 = 4

Page 19: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.17. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL 19

g. (−2)3 = −8 h. (−2)4 = 16

Som 36

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.

a. (−2)3 = −8

b. (−2)4 = 16

c. (−2)5 = −32

d. (−2)6 = 64

e. −22 = −4

f. −23 = −8

g. −24 = −16

h. −25 = −32

Som 37

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.

a. 32 = 9

b. 33 = 27

c. 34 = 81

d. 35 = 243

e. 36 = 729

f. (−3)2 = 9

g. (−3)3 = −27

h. (−3)4 = 81

Som 38

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.

a. (−3)3 = −27

b. (−3)4 = 81

c. (−3)5 = −243

d. (−3)6 = 729

e. −32 = −9

f. −33 = −27

g. −34 = −81

h. −35 = −243

1.17 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal

Omdat 74 = 7× 7× 7× 7 en 75 = 7× 7× 7× 7× 7is74 × 75 = 7× 7× 7× 7︸ ︷︷ ︸

4 factoren 7

× 7× 7× 7× 7× 7︸ ︷︷ ︸5 factoren 7

= 79

Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de expo-nenten van die machten bij elkaar optellen.

1.18 Opgaven

Som 39

Schrijf als een macht

Page 20: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

20 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

a. 34 × 36 = 310

b. 105 × 106 = 1011

c. 42 × 43 = 47

d. 77 × 77 = 714

e. 134 × 138 = 1312

f. 1203 × 1204 = 1207

g. 1224 × 1212 × 1210 = 1246

h. 5× 52 × 53 . . .× 59 × 510 = 524

1.19 Delen van machten met hetzelfde grondtal

712

74 = 78 omdat 712 = 78 × 74

Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van diemachten van elkaar aftrekken.

1.20 Opgaven

Som 40

Schrijf als een macht:

a. 39

33 = 36

b. 512

53 = 59

c. 47

4 = 46

d. 1212

1211 = 12

e. 106

102 = 104

f. 1245

1234 = 1211

g. 155

153 = 152

h. 2222

2221 = 22

1.21 Machten van machten

754 heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van 75

754 = 75 × 75 × 75 × 75

︸ ︷︷ ︸4 factoren 75

= 720

Als je een macht van een macht wilt schrijven als een macht, dan moet je de exponenten van debeide machten met elkaar vermenigvuldigen.

1.22 Opgaven

Som 41

Schrijf de machten als macht van een grondtal:

a. 745 = 720

b. 222 = 24

c. 234 = 212

d. (−2)34 = (−2)12

Page 21: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

1.23. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN 21

e. −234 = 212

f. (−4)53 = (−4)15

g. 3456= 3120

h. (−3)456= (−3)120

1.23 Combinaties van bewerkingen

Gevraagd: Bereken 4 + 5× 6.Omdat 5× 6 betekent 6 + 6 + 6 + 6 + 6 moet je bij 4 + 5× 6 eerst 5× 6 uitrekenen en dan pas bijde uitkomst 4 optellen.Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen.4 + 5× 6 =4 + 30 = 34

Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken:(4 + 5)× 6 =9× 6 = 54

1.24 Opgaven

Som 42

Bereken:

a. 4× 5 + 6 = 20 + 6 = 26

b. 4 + 5× 6 = 4 + 30 = 34

c. 4 + 5× 6 + 7 = 4 + 30 + 7 = 41

d. 4 + 5 + 6× 7 = 4 + 5 + 42 = 51

e. 4× 5 + 6× 7 = 20 + 42 = 62

f. (4 + 5)× 6 + 7 = 9× 6 + 7 = 54 + 7 = 61

g. 4 + 5× (6 + 7) = 4 + 5× 13 = 4 + 65 = 69

h. (4 + 5)× (6 + 7) = 9× 13 = 117

Som 43

Bereken:

a. (4− 5)× (6 + 7) = −1× 13 = −13

b. 4− 5× 6 + 7 = 4− 30 + 7 = −19

c. 4− 5× 6 = 4− 30 = −26

d. −4− 5×−6 = −4 + 30 = 26

e. (4− 5)×−6 = −1×−6 = 6

f. (−4− 5)×−6 = −9×−6 = 54

g. 4− 5 + 6×−7 = 4− 5− 42 = −43

h. 4− 5 +−6×−7 = 4− 5 + 42 = 41

Som 44

Bereken

Page 22: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

22 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN

a. −4 + 5− 6× 7 = −4 + 5− 42 = −41

b. −4 + 5×−6 + 7 = −4− 30 + 7 = −27

c. −4− 5×−6− 7 = −4 + 30− 7 = 19

d. (5− 7)×−2 = −2×−2 = 4

e. (5− 9)× (5− 11) = −4×−6 = 24

f. 5× 9− 5× 11 = 45− 55 = −10

g. (5−8)×3−10 = −3×3−10 = −9−10 =−19

h. (4−6)×−2+3 = −2×−2+3 = 4+3 = 7

Som 45

Bereken

a. 12+8−5 = 20

−5 = −4

b. −48+18−4−1 = −30

−5 = 6

c. 24− 123

6−8 = 24−4−2 = −10

d. 4×3+1−1+2×7 = 12+1

−1+14 = 1

e. 5×8+9×51+2×8 = 40+45

1+16 = 8517 = 5

f. 5×(9+8)×540−16−1 = 5×17×5

23 =

g. 4 + 12+85 − −3−3

12−5 = 4 + 205 − −6

7 = 8 + 67 = 8 6

7

h. 5×−6×7(3−2−1)×3 = −210

0 = kanniet

Page 23: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 2

Breuken

2.1 De breuk

Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 63 je kunt voorstellen.

Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeeld. Ieder deel heeftde lengte 2 en het eerste deel loopt van 0 tot en met 2, precies het getal 2 = 6

3 .Zoals 6

3 kun je ook van de deling 13 een voorstelling maken:

De uitkomst van de deling 13 noemen we de breuk 1

3 . Het getal 1 in de breuk heet de teller.Het getal 3 in de breuk heet de noemer.Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken.Dat 1

3 = 26 kun je in het volgende plaatje zien:

23

Page 24: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

24 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

Gevolg:Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waardevan die breuk gelijk.Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijftde waarde van die breuk gelijk.

Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen.

Met de uitdrukking 3 34 bedoelen we 3 + 3

4Voor 3 3

4 kunnen we ook 154 schrijven.

2.2 Opgaven

Som 46

Laat met een getallenlijn zien:

a. 105 = 2

b. 102 = 5

c. −84 = −2

d. −13 = − 1

3

e. 3 34 = 15

4

Som 47

Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk:

a. 420 = 1

5

b. 530 = 1

6

c. 1518 = 5

6

d. −912 = − 3

4

e. −812 = − 2

3

f. 4864 = 3

4

g. 4060 = 2

3

h. −3045 = − 2

3

Page 25: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.2. OPGAVEN 25

Som 48

Vereenvoudig

a. 1221 = 4

7

b. 1624 = 2

3

c. 77 = 1

d. 1133 = 1

3

e. 4015 = 8

3

f. 834 = 4

17

g. 4613 = is niet te vereenvoudigen

h. 4816 = 3

Som 49

Vereenvoudig

a. 6016 = 15

4

b. 4416 = 11

4

c. 446 = 22

3

d. 14412 = 12

e. 14424 = 6

f. 303202 = 3

2

g. 46184 =

h. 25172 =

Som 50

Vul het ontbrekende getal in:

a. 413 = 28

91

b. 16 = 11

66

c. 710 = 49

70

d. 723 = 14

46

e. 723 = 21

69

f. 234 = 24

32

g. 456 = 80

96

h. 79 = 63

81

Page 26: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

26 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

2.3 Optellen van breuken

Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 23 + 5

3 = 73

Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breukenbij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk.

VoorbeeldOm 2

4 + 34 uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden:

23 = 8

1234 = 9

12

Dus:

24 + 3

4=812 + 9

12 = 1712

Voorbeeld:Bereken 1 2

3 + 3 35

Uitwerking:

1 23 = 5

33 3

5 = 185

Dus:53 + 18

5 = 2515 + 54

15 = 7915 = 5 4

15

2.4 Opgaven

Som 51

Leg uit hoe je 45 + 5

8 uitrekent.

Som 52

Bereken

a. 23 + 2

5 = 1015 + 6

15 = 1615

b. 14 + 1

2 = 14 + 2

4 = 34

Page 27: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.4. OPGAVEN 27

c. 1 14 + 1

2 = 1 14 + 2

4 = 1 34

d. 18 + 1

2 = 18 + 4

8 = 58

e. 23 + 1

8 = 1624 + 3

24 = 1924

f. 23 + 5

8 = 1624 + 15

24 = 3124

g. 1 23 + 1

6 = 1 46 + 1

6 = 1 56

h. 1 23 + 2 1

6 = 1 46 + 2 1

6 = 3 56

Som 53

Bereken

a. 1 56 + 1

4 = 1 1012 + 3

12 = 1 1312 = 2 1

12

b. 1 14 + 5

6 = 2 112Gaat over dezelfde getallen als a.

c. 1 19 + 5

6 = 1 436 + 30

36 = 1 3436 = 1 17

18

d. 2 19 + 3

4 = 2 436 + 27

36 = 2 3136

e. 2 34 + 2 7

9 = 2 2736 + 2 28

36 = 4 5536 = 5 19

36

f. 1 14 + 2 4

5 = 1 520 + 2 16

20 = 3 2120 = 4 1

20

g. 56 + 1 1

7 = 3542 + 1 6

42 = 1 4142

h. 17 + 1

8 = 856 + 7

56 = 1556

Som 54

Bereken

a. 6 13 + 1 4

21 = 6 721 + 1 4

21 = 7 1121

b. 8 23 + 1

30 = 8 2030 + 1

30 = 8 2130 = 8 7

10

c. 4 16 + 1

30 = 4 530 + 1

30 = 4 630 = 4 1

5

d. 125 + 1

100 = 4100 + 1

100 = 5100 = 1

20

e. 2 12 + 1

100 = 2 50100 + 1

100 = 2 51100

f. 1 56 + 7

30 = 1 2530 + 7

30 = 1 3230 = 2 1

15

g. 6 17 + 7 1

6 = 6 642 + 7 7

42 = 13 1342

h. 5 811 + 1 4

55 = 5 4055 + 1 4

55 = 6 4455 = 6 4

5

Som 55

Bereken

Page 28: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

28 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

a. 14 + 1

2 = 14 + 2

4 = 34

b. 1 14 + 1

2 = 1 34

c. 18 + 1

2 = 18 + 4

8 = 58

d. 18 + 1

4 = 18 + 2

8 = 38

e. 23 + 1

8 = 1624 + 3

24 = 1924

f. 23 + 5

8 = 1624 + 15

24 = 3124 = 1 7

24

g. 1 23 + 1

6 = 1 46 + 1

6 = 1 56

h. 1 23 + 5

6 = 1 46 + 5

6 = 1 96 = 2 1

2

Som 56

Bereken

a. 215 + 3

5 = 215 + 9

15 = 1115

b. 215 + 5

6 = 430 + 25

30 = 2930

c. 215 + 7

10 = 430 + 21

30 = 2530 = 5

6

d. 2 15 + 5

9 = 2 945 + 25

45 = 2 3445

e. 1 + 713 = 1 7

13

f. 38 + 1 1

2 = 38 + 1 4

8 = 1 78

g. 1 524 + 2 7

12 = 1 524 + 2 14

24 = 3 1924

h. 1 913 + 2 4

39 = 1 2739 + 2 4

39 = 3 3139

Som 57

Bereken

a. 6 13 + 1 4

21 = 6 721 + 1 4

21 = 7 1121

b. 8 23 + 1

30 = 8 2030 + 1

30 = 8 2130 = 8 7

10

c. 4 16 + 1

30 = 4 530 + 1

30 = 4 630 = 4 1

5

d. 125 + 1

100 = 4100 + 1

100 = 5100 = 1

20

e. 725 + 1

10 = 1450 + 5

50 = 1950

f. 2 12 + 7

100 = 50100 + 7

100 = 57100

g. 160 + 7

30 = 160 + 14

60 = 1560 = 1

4

h. 25 + 7

30 = 1230 + 7

30 = 1930

Page 29: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.5. AFTREKKEN VAN BREUKEN 29

2.5 Aftrekken van breuken

Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 73 − 5

3 = 23 .

Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van diebreuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk.

2.6 Opgaven

Som 58

Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat 23 − 7

3 = − 53 .

Som 59

Bereken

a. 16 − 5

6 = − 46 = − 2

3

b. 67 − 2

7 = 47

c. 27 − 6

7 = − 47

d. 715 − 13

15 = − 615 = − 2

5

e. 1419 − 5

19 = 919

f. 519 − 1 14

19 = −1 919

g. 1 37 − 5

7 = 107 − 5

7 = 57

h. 2 37 − 1 6

7 = 1 107 − 16

7 = 1 47

Som 60

Bereken

a. 13 − 1

6 = 26 − 1

6 = 16

Page 30: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

30 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

b. 16 − 1

3 = 16 − 2

6 = − 16

c. 1 13 − 1

5 = 1 515 − 3

15 = 1 215

d. 1 15 − 1

3 = 1 315 − 5

15 = 1815 − 5

15 = 1315

e. 13 − 1 1

5 = 515 − 18

15 = − 1315

f. 15 − 1 1

3 = 315 − 20

15 = − 1715 = −1 2

15

g. 15 − 1

3 − 1 = 315 − 5

15 − 1515 = −1 2

15

h. 1− 13 − 1

5 = 1515 − 5

15 − 315 = 7

15

Som 61

Bereken

a. 17 − 1

14 = 214 − 1

14 = 114

b. 1 114 − 1

7 = 1514 − 2

14 = 1314

c. 2 314 − 1

7 = 2 314 − 2

14 = 2 114

d. 4 56 − 7

8 = 4 2024 − 21

24 = 3 4424 − 21

24 = 3 2324

e. 1112 − 11

24 = 2224 − 11

24 = 1124

f. 2 1124 − 11

12 = 2 1124 − 22

24 = 1 3524 − 22

24 = 1 1324

g. 1 38 − 5

12 = 1 924 − 10

24 = 3324 − 10

24 = 2324

h. 38 − 5

12 = 924 − 10

24 = − 124

Som 62

Bereken

a. 14 − 1

2 = 14 − 2

4 = −frac14

b. 1 14 − 1

2 = 1 14 − 2

4 = 54 − 2

4 = 34

c. 18 − 1

2 = 18 − 4

8 = − 38

d. 18 − 1

4 = 18 − 2

8 = − 18

e. 23 − 1

8 = 1624 − 3

24 = 1324

f. 23 − 5

8 = 1624 − 15

24 = 124

g. 1 23 − 1

6 = 1 812 − 2

12 = 1 612 = 1 1

2

h. 1 23 − 5

6 = 1 812 − 10

12 = 2012 − 10

12 = 1012 = 5

6

Som 63

Page 31: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.6. OPGAVEN 31

Bereken

a. 215 − 3

5 = 215 − 9

15 = − 715

b. 215 − 5

6 = 430 − 25

30 = − 2130

c. 215 − 7

10 = 430 − 21

30 = − 1730

d. 2 15 − 5

9 = 945 − 25

45 = − 1645

e. 1− 713 = 13

13 − 713 = 6

13

f. 38 − 1 1

2 = 38 − 12

8 = − 98 = −1 1

8

g. 1 524 − 2 7

12 = 1 524 − 214

24 = 2924 − 62

24 = − 3324 = −1 7

24

h. 1 913 − 2 4

39 = 1 2739 − 2 4

39 = 1 + 2739 − 2− 4

39 = −1 + 2339 = − 16

39

Som 64

Bereken

a. 6 13 − 1 4

21 = 6 721 − 1 4

21 = 5 321 = 5 1

7

b. 8 23 − 1

30 = 8 2030 − 1

30 = 8 1930

c. 4 16 − 1

30 = 4 530 − 1

30 = 4 430 = 4 2

15

d. 125 − 1

100 = 4100 − 1

100 = 3100

e. 725 − 1

10 = 1450 − 5

50 = 950

f. 2 12 − 7

100 = 2 50100 − 7

100 = 2 43100

g. 160 − 7

30 = 160 − 14

60 = − 1360

h. 25 − 7

30 = 1230 − 7

30 = 530 = 1

6

Page 32: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

32 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

2.7 Vermenigvuldigen van breuken

Voor de vermenigvuldiging van de breuken 25 en 3

7 maken we de volgende afspraak:

25× 3

7=

635

Twee breuken vermenigvuldig je door: teller × teller en noemer × noemer.

Zo is:

223× 3

15

=

83× 16

5=

12815

=

8815

Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien: 41 .

Dan is 4× 15 = 4

5

2.8 Opgaven

Som 65

Bereken en vereenvoudig het antwoord

a. 23 × 1

5 = 215

b. 23 × 4

9 = 827

c. 263 × 63

7 = 27

d. 638 × 2

63 = 14

e. 569 × 69

25 = 15

f. 12 × 1

2 = 14

g. 7611 × 611

25 = 725

h. 711 × 13

23 = 91253

Som 66

Bereken en vereenvoudig het antwoord

a. 16 × 1

6 = 136

Page 33: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.8. OPGAVEN 33

b. 16 × 5

6 = 536

c. 166 × 66

5 = 15

d. 6566 × 66

65 = 1

e. 03 × 4

7 = 0

f. 38 × 9

16 = 27128

g. 38 × 16

9 = 631

681 × 6162

693 = 23

h. 1 12 × 1 1

2 = 32 × 3

2 = 94 = 2 1

4

Som 67

Bereken en vereenvoudig het antwoord

a. 1 23 × 2 1

5 = 53 × 11

5 = 113 = 3 2

3

b. 2 23 × 1 1

5 = 83 × 6

5 = 4815 = 3 1

5

c. 3 14 × 1 1

13 = 134 × 14

13 = 18254 = 3 20

54 = 3 1027

d. 1 713 × 3 1

4 = 2013 × 13

4 = 5

e. 2 16 × 2 1

6 = 136 × 13

6 = 16936 = 4 25

36

f. 1 13 × 2 5

8 = 641

631 × 6217

682 = 72 = 3 1

2

g. 67 × 1 5

9 = 67 × 14

9 = 43 = 1 1

3

h. 1 14 × 1 1

2 = 54 × 3

2 = 158 = 1 7

8

Page 34: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

34 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

2.9 Delen van breuken

1218

= 4

Want4× 1

8=

12

Als we de uitdrukking1218

ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogenvermeningvuldigen:

1218

=12 × 818 × 8

=12 × 8

1=

41

= 4

Belangrijk is het stukje:1218

=12× 8

Daarom zeggen we:Delen door een breuk (hier 1

8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerdevan die breuk ( 8

1 = 8) Zo is dus:12

3=

12× 1

3=

16

2.10 Opgaven

Som 68

Bereken

a.123 = 1

2 × 13 = 1

6

b.133 = 1

3 × 13 = 1

9

c.373 = 3

7 × 13 = 1

7

d.253 = 2

5 × 13 = 2

15

e.473 = 4

7 × 13 = 4

21

f. 1 123 = 3

2 × 13 = 1

2

g. 2 253 = 12

5 × 13 = 4

5

h. −2 25

3 = − 125 × 1

3 = − 45

Page 35: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.10. OPGAVEN 35

Som 69

Bereken

a. 62 1

2= 6

52

= 61 × 2

5 = 125 = 2 2

5

b. 62 4

7= 6

187

= × =

c. 31 1

5= 3

65

= 31 × 5

6 = 156 = 2 1

2

d. 24 1

6= 2

256

= 21 × 6

25 = 1225

e. 54 1

6= 5

256

= 51 × 6

25 = 65 = 1 1

5

f. 814

= 81 × 4

1 = 32

g. 834

= 81 × 4

3 = 323 = 10 2

3

h. 845

= 81 × 5

4 = 10

Page 36: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

36 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

2.11 Een deel van een deel

Hieronder is 13 deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd:

Hieronder is van het 13 deel nu het 2

5 deel gearceerd:

Het gearceerde deel is het 215 deel van de oorspronkelijke rechthoek.

Dus het 13 deel van het 2

5 deel is het 13 × 2

5 = 215 deel van het geheel.

2.12 Opgaven

Som 70

Bereken wel deel van het geheel is:

a. 13 deel van het 1

4 deel is 13 × 1

4 = 112

b. 35 deel van het 1

3 deel is 35 × 1

3 = 15

c. 27 deel van de helft is 2

7 × 12 = 1

7

d. 15 deel van het 1

5 deel is 15 × 1

5 = 125

e. 25 deel van het 2

5 deel is 25 × 2

5 = 425

Page 37: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.13. DECIMALE SCHRIJFWIJZE 37

2.13 Decimale schrijfwijze

In het getal 235 staatde 2 voor 200de 3 voor 30de 5 voor 5

Zo kunnen we 210 schrijven als 0,2. 2

100 als 0,02, 21000 als 0,002.

En zo verder.Willen we 1

4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten,duizenden,..., er in 1

4 gaan.Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 1

4 gaan, delen we 14 door 1

10 :

14110

= 14 × 10 = 2 1

2

Er gaan dus 210 in 1

4 en je houdt nog:

14− 2

10=

25100

− 20100

=5

100

Dus14

=210

+5

100Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven:

2.14 Opgaven

Som 71

Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze

a. 38 = 0, 375

b. 1116 = 0, 6875

Page 38: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

38 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

c. 716 = 0, 4375

d. 12 = 0, 5

e. 2332 = 0, 71875

f. 441 = 0, 097560

g. 37 = 0, 428571

h. 543 = 0, 116279069767441860465116279069767441860465

Som 72

Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze

a. 58 = 0, 625

b. 1316 = 0, 8125

c. 723 = .3043478260869565217391Deze decimale schrijfwijze heeft periode 22. De decimalen zijnonder andere te vinden door een staartdeling te maken.

d. 17 = 0, 142587

e. 2312 = 1.916

f. 453 = .0754716981132

g. 37 = 428571

h. 557 = .0877192982456140350

Som 73

Schrijf de volgende getallen als een breuk

a. 0, 45 = 45100 = 9

50

b. 0, 54 = 54100 = 27

50

c. 0, 30 = 30100 = 3

10

d. 0, 75 = 75100 = 3

4

e. 0, 72 = 72100 = 18

25

f. 0, 65 = 65100 = 13

20

g. 0, 3030 = 303010000 =

h. 0,1875

Page 39: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.15. PROCENTEN 39

2.15 Procenten

De oorsprong van het woord pro-cent is per honderdAls je leest: 1

4 is 1 per 4, dan is 1 per 4gelijk aan 25 per 100. Het aantal per 100 is het percentage

Dus 14 = 25%

Om een breuk, zoals hier 14 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan:

• schrijf de breuk (hier 14 )in decimale vorm: 0,25

• dit betekent 25100

• en dus is 14 = 25%

Zo is 35% van 83 is dus35100

× 83 = 0, 35× 83 = 29, 05

2.16 Opgaven

Som 74

Schrijf de volgende breuken als procenten

a. 12 = 1

2 × 100% = 50%

b. 18 = 1

8 × 100% = 12, 5%

c. 13 = 1

3 × 100% = 33, 3%

d. 27 = 2

7 × 100% = 28, 6%

e. 34 = 3

4 × 100% = 75%

f. 516 = 5

16 × 100% = 31, 25%

g. 410 = 4

10 × 100% = 40%

h. 49 = 4

9 × 100% = 44, 4%

Som 75

Schrijf de volgende breuken als procenten

a. 25 = 2

5 × 100% = 40%

b. 512 = 5

12 × 100% = 41, 7%

c. 23 = 2

3 × 100% = 66, 7%

d. 57 = 5

7 × 100% = 71, 4%

e. 32 = 3

2 × 100% = 150%

Page 40: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

40 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

f. 716 = 7

16 × 100% = 43, 75%

g. 810 = 8

10 × 100% = 80%

h. 29 = 2

9 × 100% = 22, 2%

Som 76

Schrijf de volgende percentages als breuk

a. 10% = 10100 = 1

10

b. 15% = 15100 = 3

20

c. 25% = 25100 = 1

4

d. 40% = 40100 = 2

5

e. 45% = 45100 = 9

20

f. 12, 5% = 12,5100 = 1

8

g. 65% = 65100 = 13

20

h. 83% = 83100

Som 77

Bereken

a. 5% van 27 is 5100 × 27 = 1, 35

b. 8% van 120 is 8100 × 120 = 9, 6

c. 14% van 746 is 14100 × 746 = 104, 4

d. 36 % van 847 is 36100 × 847 = 304, 92

e. 83% van 839 is 83100 × 839 = 696, 37

f. 124% van 748 is 124100 × 748 = 927, 52

g. 210 % van 3748 is 210100 × 3748 = 7870, 8

h. 0,12 % van 0,25 is 0,12100 × 0, 25 = 0, 0003

Som 78

Hoeveel procent is:

a. 2 van 3 is 23 × 100 = 66, 7%

b. 3 van 2 is 32 × 100 = 150%

c. 20 van 50 is 2050 × 100 = 40%

d. 20 van 500 is 20500 × 100 = 4%

Page 41: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.16. OPGAVEN 41

e. 78 van 183 is 78183 × 100 = 42, 6%

f. 183 van 78 is 18378 × 100 = 234, 6%

g. 0,34 van 8 is 0,348 × 100 = 4, 25%

h. 9,2 van 8,73 is 9,28,73 × 100 = 105, 4%

Som 79

De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.Bereken de nieuwe prijs:

a. De prijs is 23 euro. De korting is 12%De korting is 23× 0, 12 = 2, 76De nieuwe prijs is 20,24 euro.

b. De prijs is 123 euro. De korting is 15%De korting is 123× 0, 15 = 18, 45De nieuwe prijs is 104,55 euro.

c. De prijs is 343 euro. De korting is 38%De korting is 343× 0, 38 = 130, 34De nieuwe prijs is 212,66 euro.

d. De prijs is 533 euro. De korting is 63%De korting is 533× 0, 63 = 335, 79De nieuwe prijs is 197,21 euro.

e. De prijs is 2 euro. De korting is 11,2%De korting is 2× 0, 112 = 0, 224De nieuwe prijs is 1,776 euro.

f. De prijs is 23,34 euro. De korting is 12,4%De korting is 23, 34× 0, 124 = 2, 89De nieuwe prijs is 20,45 euro.

g. De prijs is 2304 euro. De korting is 62,5%De korting is 2304× 0, 625 = 1440De nieuwe prijs is 864 euro.

h. De prijs is 5423 euro. De korting is 17,1%De korting is 5423× 0, 171 = 927, 33De nieuwe prijs is 4495,67 euro.

Een uitwerking die korter is:

a. 23× 100−12100 = 23× 0, 88

b. 123× 100−15100 = 123× 0, 85

c. 343× 100−38100 = 343× 0, 62

d. 533× 100−63100 = 533× 0, 37

e. 2× 100−11,2100 = 2× 0, 88, 8

Page 42: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

42 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

f. 23, 34× 100−12,4100 = 23, 34× 0, 876

g. 2304× 100−62,5100 = 2304× 0, 375

h. 5423× 100−17,1100 = 5423× 0, 829

Som 80

De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs:

a. De prijs is 23 euro. De verhoging is 12%De verhoging is 23× 0, 12 = 2, 76De nieuwe prijs is 25,76 euro

b. De prijs is 123 euro. De verhoging is 15%De verhoging is 123× 0, 15 = 18, 45De nieuwe prijs is 141,45 euro.

c. De prijs is 343 euro. De verhoging is 38%De verhoging is 343× 0, 38 = 130, 34De nieuwe prijs is 473,34 euro.

d. De prijs is 533 euro. De verhoging is 63%De verhoging is 533× 0, 63 = 335, 79De nieuwe prijs is 868,79 euro.

e. De prijs is 2 euro. De verhoging is 11,2%De verhoging is 2× 0, 112 = 0, 224De nieuwe prijs is 2,224 euro.

f. De prijs is 23,34 euro. De verhoging is 12,4%De verhoging is 23, 34× 0, 124 = 2, 89De nieuwe prijs is 26,23 euro.

g. De prijs is 2304 euro. De verhoging is 62,5%De verhoging is 2304× 0, 625 = 1440De nieuwe prijs is 3744 euro.

h. De prijs is 5423 euro. De verhoging is 17,1%De verhoging is 5423× 0, 171 = 927, 33De nieuwe prijs is 6350,33 euro.

Een uitwerking die korter is:

a. 23× 100+12100 = 23× 1, 12

b. 123× 100+15100 = 123× 1, 15

c. 343× 100+38100 = 343× 1, 38

d. 533× 100+63100 = 533× 1, 63

Page 43: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

2.16. OPGAVEN 43

e. 2× 100+11,2100 = 2× 1, 112

f. 23, 34× 100+12,4100 = 23, 34× 1, 124

g. 2304× 100+62,5100 = 2304× 1, 625

h. 5423× 100+17,1100 = 5423× 1, 171

Som 81

De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs:

a. De nieuwe prijs is 23 euro. De verhoging was 12%De nieuwe prijs = 1,12 x de oude prijs.De oude prijs was 23

1,12 = 20, 54 euro.

b. De nieuwe prijs is 123 euro. De verhoging was 15%De nieuwe prijs = 1,15 x de oude prijs.De oude prijs was 123

1,15 = 106, 96 euro.

c. De nieuwe prijs is 343 euro. De verhoging was 38%De nieuwe prijs = 1,38 x de oude prijs.De oude prijs was 343

1,38 = 248, 55 euro.

d. De nieuwe prijs is 533 euro. De verhoging was 63%De nieuwe prijs = 1,63 x de oude prijs.De oude prijs was 533

1,63 = 326, 99 euro.

e. De nieuwe prijs is 2 euro. De verhoging was 11,2%De nieuwe prijs = 1,112 x de oude prijs.De oude prijs was 2

1,112 = 1, 798 euro.

f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De verhoging was 12,4%De nieuwe prijs = 1,124 x de oude prijs.De oude prijs was 23,34

1,124 = 20, 77 euro.

g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De verhoging was 62,5%De nieuwe prijs = 1,625 x de oude prijs.De oude prijs was 2304

1,625 = 1417, 85

h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De verhoging was 17,1%De nieuwe prijs = 1,171 x de oude prijs.De oude prijs was 5423

1,171 = 4631, 09 euro.

Som 82

De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs:

a. De nieuwe prijs is 23 euro. De korting was 12%De nieuwe prijs = 0,88 x de oude prijs.De oude prijs is 23

0,88 = 26, 14

Page 44: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

44 HOOFDSTUK 2. BREUKEN

b. De nieuwe prijs is 123 euro. De korting was 15%De nieuwe prijs = 0,85 x de oude prijs.De oude prijs is 123

0,85 = 144, 71

c. De nieuwe prijs is 343 euro. De korting was 38%De nieuwe prijs = 0,62 x de oude prijs.De oude prijs is 343

0,62 = 553, 23

d. De nieuwe prijs is 533 euro. De korting was 63%De nieuwe prijs = 0,37 x de oude prijs.De oude prijs is 533

0,37 = 1440, 54

e. De nieuwe prijs is 2 euro. De korting was 11,2%De nieuwe prijs = 0,888 x de oude prijs.De oude prijs is 2

0,888 = 2, 25

f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De korting was 12,4%De nieuwe prijs = 0,876 x de oude prijs.De oude prijs is 23,34

0,876 = 26, 64

g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De korting was 62,5%De nieuwe prijs = 0,375 x de oude prijs.De oude prijs is 2304

0,375 = 6144

h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De korting was 17,1%De nieuwe prijs = 0,829 x de oude prijs.De oude prijs is 5423

0,829 = 6541, 62

Page 45: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 3

Korter schrijven

7 + 7 + 7 + 7 = 4× 78 + 8 + 8 + 8 = 4× 8−9 +−9 +−9 +−9 = 4×−9Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun jeieder getal kiezen. Ook 123:123 + 123 + 123 + 123 = 4× 23

Merk op:Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt 7 + 7 + 7 + 7 korter geschreven.Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven:a + a + a + a = 4× a Zo’n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of123 is, altijd is a + a + a + a = 4× a.

Notatie:In plaats van het × -teken wordt ook wel eens een · gebruikt. Maar meestal schrijft men bij eenvermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter.Dus: a + a + a + a = 4× a = 4 · a = 4a

3.1 Opgaven

Som 83

Schrijf korter:

a. 6 + 6 = 2× 6

b. 6 + 6 + 6 = 3× 6

c. 6 + 6 + 6 + 6 = 4× 6

d. 12 + 12 + 12 = 3× 12

e. 15 + 15 + 15 + ... + 15︸ ︷︷ ︸12keer

= 12× 15

f. 12 + 12 + 12 + ... + 12︸ ︷︷ ︸15keer

= 15× 12

g. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6× 4

h. 7 + 7 + 7 + 7 = 4× 7

45

Page 46: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

46 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN

Som 84

Schrijf korter:

a. a + a + a = 3× a = 3a

b. a + a + a + a = 4× a = 4a

c. a + a = 2× a = 2a

d. a + a + a + a + a = 5× a = 5a

e. b + b + b + b = 4× b = 4b

f. p + p + p = 3× p = 3p

g. x + x + x + x + x = 5× x = 5x

h. y + y + .. + y︸ ︷︷ ︸100keer

= 100× y = 100y

Som 85

Bereken voor a = 4 :

a. a + a + a = 3a = 3× 4 = 12

b. a + a = 2a = 2× 4 = 8

c. a + a + a + a = 4a = 4× 4 = 16

d. a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸30keer

= 30a = 30× 4 = 120

e. 4a = 4× 4 = 16

f. 5a = 5× 4 = 20

g. 12a = 12× 4 = 48

h. 130a = 130× 4 = 520

Som 86

Bereken:

a. 4a voor a = 5 is 4× 5 = 20

b. 3a voor a = −2 is 3×−2 = −6

c. 2a voor a = −5 is 2×−5 = −10

d. 5a voor a = −8 is 5×−8 = −40

e. 6a voor a = 8 is 6× 8 = 48

f. 8a voor a = 2 12 is 8× 21

2 = 20

g. 4a voor a = −2 12 is 4×−21

2 = −10

h. 10a voor a = −3 12 is 10×−31

2 = −35

Page 47: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

3.2. OPTELLEN MET LETTERS 47

3.2 Optellen met letters

4a betekent a + a + a + a5a betekent a + a + a + a + aDus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9aNet zo is:20a + 30a = a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸

20keer

+ a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸30keer

= a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸50keer

= 50a

3.3 Opgaven

Som 87

Bereken (schrijf korter):

a. 5a + 7a = 12a

b. 5a + 12a = 17a

c. 8a + a = 9a

d. 12a + 17a = 29a

e. 4x + 8x = 12a

f. x + 18x = 19a

g. 38x + 57x = 95a

h. 14x + 7 = 14x + 7

Som 88

Bereken:

a. 5p + 10p = 15p

b. 21p + 21p = 42p

c. 3p + 5p = 8p

d. 2p + p = 3p

e. 7q + 15q = 22p

f. 3q + 8q = 11q

g. 12q + 48q = 60q

h. 9q + 16q = 25q

Som 89

Bereken:

a. 7a + 6a + 4a = 17a

b. 8a + a + 10a = 19a

c. 9x + 19x + 29x = 57x

d. 6p + 23p + 14p = 43p

e. 14q + 36q + 11q = 61q

f. 9q + 9q + 18q = 36q

g. 5m + 16m + 25m = 46m

h. 2z + z + z = 4z

Som 90

Bereken:

Page 48: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

48 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN

a. 4x + 12x + 15x + 8x = 39x

b. 15b + 14b + 13b + 12b = 54b

c. 18y + 24y + 30y + 36y = 108y

d. p + 2p + 3p + 4p = 10p

e. 12a + 12a + a + 5a = 30a

f. 6z + 16z + 26z + 36z = 84z

g. 8p + 6p + 4p + 2p = 20p

h. 16m + 33m + 9m + 15m = 73m

Som 91

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 7a +−3a +−4a = 0a = 0

b. −3b +−4b +−5b = −12b

c. 3c +−3c + 0c = 0

d. 4d +−5d + 6d = 5d

e. −p +−2p +−3p = −6p

f. −3q + 4q +−5q = −4q

g. −2x +−2x +−2x = −6x

h. −5y +−5y +−5y = −15y

Som 92

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 17a + 24a +−11a + 1a = 31a

b. 6b +−4b +−9b + 2b = −5b

c. −14c + 7c + 11c + 2c = 6c

d. −3d + 9d +−7d + 5d = 4d

e. 3p + 28p +−7p +−4p = 20p

f. 12q +−10q +−6q + 4q = 0

g. 19x + 38x +−64x + 25x = 18x

h. −18y +−75y + 12y − 21y = −102y

Som 93

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 9a +−5a +−3a = a

b. −6b + 9b + 5b = 8b

c. −6c + 19c + 5c = 18c

d. 4d +−11d + 8d = d

e. 15p +−3p + 11p = 23p

f. 10q + 5q − 4q = 11q

g. 7x + 12x +−6x = 13x

h. 4y + 19y +−11y = 12y

3.4 Meer letters

De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven.a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen aen b zijn.De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven:a + a + a + b + b + a + b = 4a + 3b.Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = 12a + 15b.

Page 49: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

3.5. OPGAVEN 49

3.5 Opgaven

Som 94

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 7a +−3b +−4a = 3a− 3b

b. −3a +−4a +−5b = −7a− 5b

c. 3a +−3a + 0b = 0

d. 4a +−5b + 6a = 10a− 5b

e. −1a +−2b +−3b = −a− 5b

f. −3x + 4x +−5y = x− 5y

g. −2x +−2y +−2y = −2x− 4y

h. −5x +−5y +−5x = −10x− 5y

Som 95

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 17a + 24a +−11b + b = 41a− 10b

b. 6a +−4b +−9a + 2b = −3a− 2b

c. −14a + 7 + 11a + 2 = −3a + 9

d. −3a + 9b +−7b + 5a = 2a + 2b

e. 3a + 28 +−7a +−4b = −4a− 4b + 28

f. 12a +−10b +−6a + 4b = 6a− 6b

g. 19a + 38a +−64a + 25b = −7a + 25b

h. −18a +−75b + 12b +−21b = −18a− 84b

Som 96

Schrijf de opgave over en bereken:

a. 9x +−5y +−3y = 9x− 8y

b. −6x + 9x + 5y = 3x + 5y

c. −6x + 19y + 5y = −6x + 24y

d. 4x +−11x + 8y = −7x + 8y

e. 15y +−3y + 11x = 11x + 12y

f. 10x + 5x− 4 = 15x− 4

g. 7x + 12 +−6x = x + 12

h. 4y + 19y +−11 = 23y − 11

Som 97

Bereken (schrijf korter):

a. 3a + 7a + 5b + 8b = 10a + 13b

b. 12x + 8y + 2y + 4x = 16x + 10y

c. 7p + 5q + 15p + 17q = 22p + 22q

d. 13n + 5 + 8 + 2n = 15n + 13

e. 14p + p + 8q + 11q = 15p + 19q

f. 7 + y + 8 + y = 2y + 15

g. 43a + 16b + 27b + 8a = 51a + 43b

h. 17c + 30c + 8d + 17d = 47c + 25d

Som 98

Bereken (schrijf korter):

Page 50: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

50 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN

a. 4x + 3x + 6y + 5x + y = 12x + 7y

b. 9a + 3a + 5b + 6a + 12a = 30a + 5b

c. 17m+12m+15m+11n+10n = 44m+21n

d. 28q + 17 + 3q + 15q + 23 = 46q + 50

e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a = 63a + 23

f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p = 23p + 4q

g. p + 10q + p + 10q + p = 3p + 20q

h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x = 31x + 8y

Som 99

Bereken:

a. 4a + 3b als a = 2 en b = 3 is 4× 2 + 3× 3 = 8 + 9 = 17

b. 2a + 5b als a = 3 en b = −2 is 2× 3 + 5×−2 = 6 +−10 = −4

c. 3a + 4b als a = −2 en b = −3 is 3×−2 + 4×−3 = −6− 12 = −18

d. 5a + 8b als a = −1 en b = 0 is 5×−1 + 8× 0 = −5 + 0 = −5

e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a als a = 2 is 63a + 23 = 63× 2 + 23 = 149

f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p als p = −2 en q = 3 is 23p + 13q = 23×−2 + 13× 3 = −46 + 39 = −7

g. p + 10q + p + 10q + p als p = −1 en q = 1 is 3p + 20q = 3×−1 + 20× 1 = −3 + 20 = 17

h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x als x = −1 en y = 0 is 31x + 8y = 31×−1 + 8× 0 = −31

Page 51: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 4

Rekenen met letters

Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is.De getallen 7 en −7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + (−7) = 0Zo zijn de getallen a en −a ook elkaars tegengestelde:a + (−a) = 0Zo zijn ook 3a en 3(−a) elkaars tegengestelde want:3a = a + a + a en 3(−a) = −a +−a +−a en a + a + a +−a +−a +−a = 0Omdat 3(−a) = −3a geldt: 3a +−3a = 0. Dus het tegengestelde van 3a is −3aVoorbeelden:−3a + 8a = 5a8a +−3a = 5a

4.1 Opgaven

Som 100

Bereken:

a. −3a + 8a = 5a

b. 6a +−7a = −a

c. −5p +−4p = −9p

d. −9p + 6p = −3p

e. 16x +−15x = x

f. 23x +−24x = −x

g. −x +−5x = −6x

h. x +−7x = −6x

Som 101

Los op:

a. 13m +−6m = 7m

b. −4p +−4p = −8p

c. 2x +−2x = 0

d. 7a +−a = 6a

51

Page 52: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

52 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

e. −11b +−7b = −18b

f. 5k +−5k = 0

g. −8k + 9k = k

h. −10z +−10z = −20z

Som 102

Bereken:

a. 6a +−5a +−4a = −3a

b. −3a + 7a +−4a = 0

c. 8p +−10p + 7p = 5p

d. 9x + 4x +−7x = 6x

e. 4q +−4q + 4q = 4q

f. 7a +−3a +−5a = −a

g. −6x +−6x +−6x = −18x

h. −4p +−4p + 8p = 0

Som 103

Bereken:

a. 17x + 24x +−11x + x = 31x

b. 6b +−4b +−9b + 2b = −5b

c. −14a + 7a + 11a + 2a = 6a

d. −3 + 9 +−7 + 5 = 4

e. 3p + 28p +−7p +−4p = 20p

f. 12q +−10q +−6q + 4q = 0

g. 19 + 38 +−64 + 25 = 18

h. −18x +−75x + 12x +−21x = −102

Som 104

Bereken:

a. 7p +−4p + 3q = 3p + 3q

b. −8x + 12x + 5y = 4x + 5y

c. 13a + 5b +−5a = 8a + 5b

d. −4p + 12p + 5 = 8p + 5

e. 8x + 15 +−7 = 8x + 8

f. 9a +−5a + 4b = 4a + 4b

g. 16p + 11q +−8p = 8p + 11q

h. 14p + 17 +−8 = 14p + 9

Page 53: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.2. AFTREKKEN 53

4.2 Aftrekken

Zoals 7a + 3a = 10a is 10a− 7a = 3a Omdat 10a +−3a = 7a zeggen weaftrekken is optellen met het tegengestelde.

4.3 Opgaven

Som 105

Bereken:

a. 8a− 3a = 5a

b. 6a− 7a = a

c. −5p− 4p = −9p

d. −9p + 6p = −3p

e. 16x− 15x = x

f. 23x− 24x = −x

g. −x− 5x = −6x

h. x− 7x = −6x

Som 106

Bereken:

a. 4q − 5q = −q

b. 6p− 12p = −6q

c. −4x− 8x = −12x

d. −6a− 3a = −9a

e. −4y + 12y = 8y

f. −9p− 9p = −18p

g. 5x− 5x = 0

h. −7z + 4z = −3z

Som 107

Bereken:

a. 3q −−5q = 3q + 5q = 8q

b. 5p− 11p = −6p

c. 5p−−11p = 5p + 11p = 16p

d. −5p− 11p = −16p

e. 11p− 5p = 6p

f. −11p− 5p− 16p

g. −11p−−5p = −11p + 5p = −6p

h. −5p−−11p = −5p + 11p = 6p

Som 108

Bereken:

Page 54: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

54 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

a. 11q −−10q = 11q + 10q = 21q

b. 17c +−12c = 17c− 12c = 5c

c. 28z −−15z = 28z + 15z = 43z

d. −19a +−15a = −34a

e. 14b− 17b = −3b

f. −12q +−6q = −18q

g. p +−5p = −4p

h. 4a−−5a = 4a + 5a = 9a

Som 109

Bereken:

a. 16c− 11c = 5c

b. −23x− 16x = −39x

c. −18z −−z = −17z

d. −a +−4a = −5a

e. 15p +−14p = p

f. −q − q = −2q

g. 6a−−5a = 11a

h. −17z −−17z = 0

Som 110

Bereken:

a. 13a− 15a + 6a = 4a

b. 4x−−3x− 2x = 5x

c. −6p + 3p− 5p = −8p

d. 12q − 10q − 9q = −7q

e. 6d− 8d +−5d = −7d

f. −10y − 7y − 4y = −21y

g. −2b +−14b− 8b = −24b

h. 7a− 8a−−a = 0

Som 111

Bereken:

a. 5q −−4q + 3q = 12q

b. −6a− 8a−−10a = −4a

c. 22x +−18x− 16x = −12x

d. 12p− 8p + 7p = 11p

e. 16b−−11b− 14b = 41b

f. 9y + 13y − 12y = 10y

g. −4x− 16x + 7x = −13x

h. 6a−−9a +−4a = 11a

Som 112

Bereken:

a. 14a + 8b− 6a− 3b = 8a + 5b

b. 11p− 5q − 8p + 2q = 3p− 3q

c. −3x + 5y − 4x− 7y = −7x− 2y

d. 8m− 16n− 14n + 4n = 8m− 26n

Page 55: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.3. OPGAVEN 55

e. 7c− 9d + 6c + 8d = 13c− d

f. 14x− 17x− 6y + 11y = −3x + 5y

g. 8a− 14b− 9b− a = 7a− 23b

h. −6p− 7q − 8q − 9p = −15p− 15q

Som 113

Bereken:

a. 9c− 4d−−3c + 11d = 12c + 7d

b. 6a− 5− 19− 6a = −24

c. −7x +−7y − 5x−−5y = −12x− 2y

d. 12p− 12q − 17p + 17q = −5p + 5q

e. 6y −−7x− 3x− 2y = 4x + 4y

f. 14p + 18q −−q +−4p = 10p + 19q

g. −2b− 8c− 4b + 2c = −6b− 6c

h. 4x− 9x−−y − y = −5x

Som 114

Bereken:

a. 14p− 8q −−6p + 5p− 3q = 25p− 11q

b. 5 + 5z − 7−−4− 13 = 5z − 11

c. 4x−−4x +−7y − 5y − x = 7x− 7y

d. 11b− 16a−−3a + 2a− 4b = −11a + 7b

e. 3q − 11−−q − 5q +−2q = −3q − 11

f. 16m− 14m− 11m− 7n + 13n = −9m + 6n

g. 8y − 6z −−4y − 6z + y = 13y − 12z

h. a− 4b− 9a−−4b + 8a = 0

Som 115

Schrijf de som over en bereken

a. 4a +−8a = −4a

b. 18b− 11b = 7b

c. −13c− 9c = −22c

d. −10d +−15d = −25d

e. 11p− 19p = −8p

f. −24q + 16q = −8q

g. 35x−−9x = 44x

h. 12y − 24y = −12y

Som 116

Schrijf de som over en bereken

a. −7a−−7a = 0

b. 16b− 14b = 2b

c. 29c +−19c = 10c

d. 23d−−11d = 34d

e. −14p− 14p = −28p

f. −20q +−10q = −30q

g. 16x−−1x = 17x

h. 0y −−8y = 8y

Page 56: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

56 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

Som 117

Schrijf de som over en bereken

a. 12a− 13a = −a

b. −12b− 13b = −25b

c. 13c−−12c = 25c

d. −12d− 13d = −25d

e. −12p−−13p = p

f. −12q + 13q = q

g. 12x +−13x = −x

h. −13y +−12y = −25y

Som 118

Schrijf de som over en bereken

a. 4a−−3a +−5a = 2a

b. −9b− 16b− 11b = −36b

c. −13c−−11c− 24c = −26c

d. 15d +−8d− 7d = 0

e. 25p− 17p−−18p = 26p

f. −14q −−11q − 13q = −16q

g. 7x− 38x− 15x = −46x

h. 11y + 19y −−10y = 40y

Som 119

Schrijf de som over en bereken:

a. 14a− 18a + 12a = 8a

b. 7b +−9b− 13b = −15b

c. 24c−−11c− 15c = 20c

d. 19d + 25d− 12d = 32d

e. −33p−−14p− 1p = −20p

f. −16q + 38q −−10q = 32q

g. 14x− 19x−−21x = 16x

h. −12y +−15y − 15y = −42y

Som 120

Schrijf de som over en bereken:

a. 28a− 45a + 17a = 0

b. −12b− 15b−−8b = −19b

c. 6c−−2c− 2c = 6c

d. −14d + 17d−−5d = 8d

e. 37p− 19p−−11p = 29p

f. 25q −−13q + 9q = 47q

g. −8x− 8x−−8x = −8x

h. 7y −−13y − 17y = 3y

Som 121

Bereken:

Page 57: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.3. OPGAVEN 57

a. 13a− 15a + 6a als a = 2 is 4a = 4× 2 = 8

b. 4x−−3x− 2x als x = −1 is 5x = 5×−1 = −5

c. −6p + 3p− 5p als p = −3 is −8p = −8×−3 = 24

d. 12q − 10q − 9q als q = 1 is −7q = −7× 1 = −7

e. 6d− 8d +−5d als d = 0 is −3d = −3× 0 = 0

f. −10y − 7y − 4y als y = 12 is −21y = −21× 1

2 = −1012

g. −2b +−14b− 8b als b = 5 is −24b = −24× 5 = −120

h. 7a− 8a−−a als a = 12 is 0a = 0

Som 122

Bereken:

a. 13a− 15a + 6b− 5b als a = 2 en b = 1 is −2a + b = −2× 2 + 1 = −3

b. 4x−−3y − 2x + 3y als x = −1 en y = 2 is 2x + 6y = 2×−1 + 6× 2 = 10

c. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −1 is −5p− 2q = −5×−3− 2×−1 = 17

d. 12q − 10q − 9p−−p als p = 0 en q = 1 is −8p + 2q = 8× 0 + 2× 1 = 2

e. 13a− 15a + 6b− 5b als a = 3 en b = −1 is −2a + b = −2× 3 +−1 = −7

f. 4x−−3y − 2x + 3y als x = −1 en y = −2 is 2x + 6y = 2×−1 + 6×−2 = −14

g. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −4 is −5p− 10q = −5×−3− 10×−4 = 55

h. 12q − 10q − 9p−−p als p = 0 en q = −1 is −8p + 2q = −8× 0 + 2×−1 = −2

Page 58: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

58 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

4.4 Het tegengestelde van x+y

Het tegengestelde van x + y is −(x + y) want (x + y) +−(x + y) = 0Maar: x + y +−x +−y = 0. Dus −(x + y) = −x +−y of −(x + y) = −x− y.Zo is ook:−(2x + 3y) = −2x− 3y−(2x− 3y) = −2x + 3y−(−2x− 3y) = 2x + 3y5x +−(3x− 4y) = 5x− 3x + 4y = 2x + 4y

4.5 Opgaven

Som 123

Schrijf zonder haakjes:

a. −(a + 2b) = −a− 2b

b. −(a− 2b) = −a + 2b

c. (a− 2b) = a− 2b

d. (a + 2b) = a + 2b

e. −(−3a− 3b) = 3a + 3b

f. −(−2a + 3b) = 2a− 3b

g. −(4a− 2b) = −4a + 2b

h. −(−4a− 2b) = 4a + 2b

Som 124

Schrijf zonder haakjes:

a. −(2x + 3y) = −2x− 3y

b. −(x− 2y) = −x + 2y

c. (x− 3y) = x− 3y

d. (x + 3y) = x + 3y

e. −(−4x− 5y) = 4x + 5y

f. −(−3x + 4y) = 3x− 4y

g. −(5x− 3y) = −5x + 3y

h. −(−5x− 3y) = 5x + 3y

Som 125

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 4a− (2a + 2b) = 4a− 2a− 2b = 2a− 2b

b. 5b− (a− 2b) = 5b− a + 2b = −a + 7b

c. 2a + (a− 2b) = 2a + a− 2b = 3a− 2b

d. 6a + (a + 2b) = 6a + a + 2b = 7a + 2b

e. 8b− (−3a− 3b) = 8b + 3a + 3b = 3a + 11b

Page 59: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.5. OPGAVEN 59

f. 2a− (−2a + 3b) = 2a + 2a− 3b = 4a− 3b

g. 4a− (4a− 2b) = 4a− 4a + 2b = 2b

h. −2b− (−4a− 2b) = −2b + 4a + 2b = 4a

Som 126

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 3a− (a + 2b)− 4b = 3a− a− 2b− 4b = 2a− 6b

b. 2a− (a− 2b) + 3a = 2a− a + 2b + 3a = 4a + 2b

c. a + (a− 2b)− 4b = a + a− 2b− 4b = 2a− 6b

d. 4b + (a + 2b)− 2a = 4b + a + 2b− 2a = −a + 6b

e. −3a− (−3a− 3b)− 3b = −3a + 3a + 3b− 3b = 0

f. −2a + 3b− (−2a + 3b) = −2a + 3b + 2a− 3b = 0

g. b− (4a− 2b)− a = b− 4a + 2b− a = −5a + 3b

h. a− (−4a− 2b)− b = a + 4a + 2b− b = 5a + b

Som 127

Schrijf zo kort mogelijk:

a. −(4x + 3y)− (−x + 2y) = −4x− 3y + x− 2y = −3x− 5y

b. 3p +−5q − (2p + q) = 3p− 5q − 2p− q = p− 6q

c. 6a− 5b− (2a− 4b) = 6a− 5b− 2a + 4b = 4a− b

d. 18− (4c + 7)− (−14− c) = 18− 4c− 7 + 14 + c = −3c + 25

e. 7q + 12p− (3p− 5q)− 4q = 7q + 12p− 3p + 5q = 9p + 12q

f. 5x− (4y − 6x) +−4x− 3y = 5x− 4y + 6x− 4x− 3y = 7x− 7y

g. −4a− (4b−−4a) = −4a− 4b− 4a = −8a− 4b

h. −(5k − 11)− (−12 + 7k)− 3k = −5k + 11 + 12− 7k = −12k + 23

Som 128

Schrijf zo kort mogelijk:

a. −(5x + 4y)− (−x + 3y) = −5x− 4y + x− 3y = −4x− 7y

b. 4p +−6q − (3p + q) = 4p− 6q − 3p− q = −5p− q

c. 7a− 6b− (3a− 5b) = 7a− 6b− 3a + 5b = 4a− b

Page 60: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

60 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

d. 19− (5c + 8)− (−15− c) = 19− 5c− 8 + 15 + c = −4c + 26

e. 8q + 13p− (4p− 6q)− 5q = 8q + 13p− 4p + 6q − 5q = 9p + 9q

f. 6x− (5y − 7x) +−5x− 4y = 6x− 5y + 7x− 5x− 4y = 8x− 9y

g. −5a− (5b−−5a) = −5a− 5b− 5a = −10a− 5b

h. −(6k − 12)− (−13 + 8k)− 4k = −6k + 12 + 13− 8k − 4k = −18k + 25

Page 61: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.6. VERMENIGVULDIGEN 61

4.6 Vermenigvuldigen

3a = a + a + a4 · 3a = a + a + a︸ ︷︷ ︸

3

+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3

+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3

+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3

= 12a

Anders:3a = 3 · a, dus 4 · 3 · a = (4 · 3) · a = 12 · a = 12aDaarom is 3a · 4b = 3 · a · 4 · b = 3 · 4 · a · b = 12ab

4.7 Opgaven

Som 129

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 12a.3 = 36a

b. 4x.7y = 28xy

c. 6p.5 = 30p

d. 8c.4d = 32cd

e. 3x.6y = 18xy

f. 2p.q = 2pq

g. a.8b = 8ab

h. 4m.20 = 80m

Som 130

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 14a.3b = 42ab

b. 8q.2p = 16pq

c. 17.3x = 51x

d. 5y.7z = 35yz

e. 5k.7 = 35k

f. 7p.3q = 21pq

g. 11y.z = 11yz

h. 6a.4b = 24ab

Som 131

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 5b.− 3c = −15bc

b. −2p.7q = −14pq

c. −4x.− 6y = 24xy

d. 8m.8n = 64mn

e. 3a.− 3b = −9ab

f. −15x.6y = −90xy

g. 12p.− 10q = −120pq

h. 9m.− 4 = −36m

Som 132

Schrijf zo kort mogelijk:

Page 62: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

62 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

a. 14.3k = −42k

b. −11p.− 6q = 66pq

c. 10a.8b = 80ab

d. −5x.9y = −45xy

e. −2y.3x = −6xy

f. −6k.− 3m = 18mk

g. 5z.− 7 = −35z

h. 3b.− 2 = −6b

Som 133

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 5a.− 2b.− 6c = 60abc

b. 10x.5y.− 7z = −350xyz

c. −4p.q.− 3r = 12pqr

d. 7m.− 8n.− 5 = 280nm

e. −7x.− 5y.− 2z = −70xyz

f. 3p.8q.− 4 = −96pq

g. −2a.− 9.4b = 72ab

h. 17.− 2c.− 2d = 68cd

Page 63: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.8. DELEN 63

4.8 Delen6a2 = 3a want 2.3a = 6a

6a2a = 3 want 2a.3 = 6a

Zo geldt ook:

aba = b

6ab2b = 3a

6ab2ab = 3

−12a3 = −4a

4.9 Opgaven

Som 134

a. 4a2 = 2a

b. 9b3 = 3b

c. 5cc = 5

d. 4p2p = 2

e. 12xx = 12

f. 18q6q = 3

g. 10m4 = 2 1

2m

h. 27a3a = 9

Som 135

a. 16bc4b = 4c

b. 24pq3q = 8p

c. 12mn4 = 3mn

d. 60ab10ab = 6

e. 48pq16q = 3p

f. 25cd5c = 5d

g. 18ap3 = 6ap

h. 18ap3a = 6p

Som 136

a. 2x5x = 2

5

b. 4yxy = 4

x

c. 3pq3q = p

d. 5a10ab = 1

2b

e. 7pm7qm = p

q

f. 16ab4ab = 4

g. 8a6b = 4a

3b

h. 15qr30q = r

2

Page 64: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

64 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

Som 137

a. 22pq33p = 2q

3

b. −17ad51d = −a

3

c. 14m−21m = − 2

3

d. −4a7b = − 4a

7b

e. 40cd10c = 4d

f. −25a−75a = 1

3

g. 3p−6q = − p

2q

h. −15x30x = − 1

2

Som 138

a. 16b−32ab = − 1

2a

b. −10x40x = − 1

4

c. −6pq24pq = − 1

4

d. 9a3b = 3a

b

e. −568xy = − 7

xy

f. −28p−14qr = 2p

qr

g. −7ab−7ac = b

c

h. 12x−24 = −x

2

Som 139

a. 4x.6y12y = 2x

b.18xy6c

3y = 18xy6c.3y = x

c

c. 9ab3a.5b = 9ab

15ab = 35

d. 6a10ab5b

= 6a. 5b10ab = 30ab

10ab = 3

e.30q5q

2pq = 30q5q . 1

2pq = 150pq2pq = 75

f. 16pq4p2p

= 16pq2 = 8pq

g.54p6p

3q = 93q = 3

q

h. 18mn3.3n = 2m

Page 65: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.10. MACHTEN 65

4.10 Machten

34 = 3.3.3.3. Net zo is a4 = a.a.a.aa heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a3.a4 = a.a.a︸ ︷︷ ︸

3

. a.a.a.a︸ ︷︷ ︸4

= a7.

Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponentenvan die machten bij elkaar op te tellen.Dus: x4x5 = x9

En 5x36x4 = 30x7

4.11 Opgaven

Som 140

Schrijf zo kort mogelijk:

a. x5.x2 = x7

b. x4.x6 = x10

c. p2.p3 = p6

d. a7.a = a8

e. q7.q5 = q12

f. z8.z2 = z10

g. c4.c4 = c8

h. b.b9 = b10

Som 141

Schrijf zo kort mogelijk:

a. m10.m8 = m18

b. p.p4 = p5

c. a12.a17 = a29

d. q8.q = q9

e. d5.d5 = d10

f. y2.y8 = y10

g. a.a6 = a7

h. q10.q4 = q14

Som 142

Schrijf zo kort mogelijk:

a. k2.k6 = k8

b. z7.z8 = z15

c. p5.p15 = p20

d. x.x14 = x15

e. n5.n8 = n13

f. a7.a = a8

g. c10.c20 = c30

h. y9.y6 = y15

Som 143

Schrijf zo kort mogelijk:

Page 66: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

66 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

a. a5.a6.a7 = a18

b. p3.p.p6 = p10

c. z4.z4.z4 = z12

d. q.q2.q3 = q6

e. x10.x5.x = x16

f. b3b5.b8 = b16

g. d2.d5.d = d8

h. k6.k8.k10 = k24

Som 144

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 6a4.3a5 = 18a9

b. 7p2.11p4 = 77p6

c. 8x5.4x5 = 32x10

d. 5q.8q10 = 40q11

e. 9c2.− 9c4 = −81c6

f. −15x.− 7x3 = 105x4

g. −10m4.5m6 = −50m10

h. 12p3.− 3p12 = −36p15

Som 145

Schrijf zo kort mogelijk:

a. −2c.4c4.− 4c8 = 32c13

b. m5.3m5.m5 = 3m15

c. q7.− 2q17.5q27 = −10q51

d. 3y3.y.y = 3y5

e. 4k4.4k4.6k6 = 96k14

f. n.− 6n6.− 11n11 = 66n17

g. a2.2a10.10a2 = 20a14

h. b.b12.− 3b = −3b14

4.12 Delen van machten

x6

x4 = x.x.x.x.x.xx.x.x.x = x2

Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar af-getrokken.Zo is:

x9

x3 = x6

6x5

3x3 = 2x2

4.13 Opgaven

Som 146

Page 67: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.13. OPGAVEN 67

Schrijf zo kort mogelijk:

a. x6

x2 = x4

b. a7

a2 = a5

c. b5

b3 = b2

d. p12

p5 = p7

e. q7

q6 = q

f. y2

y = y

g. c6

c4 = c2

h. z5

z = z4

Som 147

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 7a4

7a4 = 1

b. 15m2

3m2 = 5

c. 18y7

3y6 = 6y

d. 24c6

8c = 3c5

e. 8x5

4x2 = 4x3

f. 25z4

5z3 = 5z

g. 35p5p = 7

h. 16q5

4 = 4q5

Som 148

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 14a2b5

2ab3 = 7ab2

b. −18x7y7

3x4y6 = −6x3y

c. 30p4q5

10q = 3p4q4

d. −15c6d8

3c3d = −5c3d7

e. 28m5n3

−14mn3 = −2m4

f. 24p2y5

8p2y5 = 3

g. −10b4c−5b3 = 2bc

h. −48a5b6

12ab5 = −4a4b

Page 68: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

68 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

4.14 Machten van machten

(a3)4 = a3.a3.a3.a3︸ ︷︷ ︸4keer

= a.a.a · a.a.a · a.a.a · a.a.a = a12

(a3b2)4 = a3b2 · a3b2 · a3b2 · a3b2 = a12b8

Zo is:(x3)3 = x9

(x5)6 = x30

(−a3)2 = −a3 · −a3 = a6

−(a3)2 = −a6

4.15 Opgaven

Som 149

Schrijf zo kort mogelijk:

a. (a2)5 = a10

b. (x4)3 = x12

c. (p5)3 = p15

d. (b2)7 = b14

e. (−p5)3 = −p15

f. −(x2)6 = x12

g. (−y2)5 = −y10

h. (b6)3 = b18

Som 150

Schrijf zo kort mogelijk:

a. (a3b2)4 = a12b8

b. (c5d3)2 = c10d6

c. (−x2y5) = (−x2y5)

d. (c5q2)2 = c10q4

e. −(c5q2)2 = −c10q4

f. −(−a5p3)5 = −− a25p15

g. −(b3x)4 = −b12

h. (−y3z3)3 = −y9z9

Som 151

Schrijf zo kort mogelijk:

a. (a4b2)3 · (a2b5)2 = a12b6 · a4b10 = a16b16

b. (−x5y2)4 · (x3y)3 = x20y8 · x9y3 = x29y11

c. (−c2d5)2 · (−cd3)2 = c4d10 · c2d6 = c6d16

d. (p5x3)4 · (−p2x4)3 = p20x12 · −p6x12 = −p26x18

e. (−q5r5)5 · (−q2r3)3 = −q25r25 · −q6r9 = q31r34

Page 69: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.15. OPGAVEN 69

f. −(a4y3)4 · (−a2y)4 = −a16y12 · a8y4 = −a24y16

g. (b4p6)4 · (−b2p)4 = b16p24 · b8p4 = b24p28

h. −(m5n2)4 · (−mn3)2 = −m20n8 ·m2n6 = −m22n14

Page 70: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

70 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

4.16 Vereenvoudigen van breuken met letters

4.17 Opgaven

Som 152

Vereenvoudig

a. 5a5 = a

b. 18b3 = 6b

c. 20x4 = 5x

d. 16y8 = 2y

e. 6pp = 6

f. 24q6q = 4

g. 28z7z = 4

h. 14m2 = 7m

Som 153

Vereenvoudig

a. 8n2n = 4

b. 30dd = 30

c. 25c5c = 5

d. 3k3k = 1

e. 8n16n = 1

2

f. 60c10 = 6c

g. 10c60 = c

6

h. 10c60c = 1

6

Som 154

Vereenvoudig

a. 15x−3x = −5

b. −18p6 = −3p

c. −36q9q = −4

d. 14z−2 = −7z

e. −3x2

3x = −x

f. 24a2

6a = 4a

g. 60ab−10b = −6a

h. 10x2

20x = x2

Som 155

Vereenvoudig

a. 7x4

x3 = 7x

b. 24k2

12k = 2k

c. 35d5

7d3 = 5d2

d. 8a4

16a2 = a2

2

e. −27c2

−3c = 9c

f. 20pq−4pq = −5

Page 71: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.18. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN 71

g. 33k2

−3k = −11k h. −15m5n = − 3m

n

Som 156

Vereenvoudig

a. 16a2b8ab2 = 2a

b

b. −54pq−6p = 9q

c. 48x2

−12xy = − 4xy

d. 40m10mn = 4

n

e. −12a24ab = − 1

2b

f. 18x2

54xy = x3y

g. −4km20m2 = − k

5m

h. −16cd64cd = − 1

4

Som 157

Vereenvoudig

a. 15a2

20ax = 3a4x

b. −8p2q12pq = − 2p

3

c. −30b2

18ab = − 5b3a

d. 7y2z2

−28yz = −yz4

e. 21x3

−3x5 = − 7x2

f. −28z5

7z3 = −4z2

g. −12a2b3

15a3b = − 4b2

5a

h. 10p4y30p3 = py

3

Som 158

Vereenvoudig

a. −15m5n4

−20m2n6 = 5m3

n2

b. 50b2q4

−20b3q5 = − 52bq

c. 17ap3

51a2p3 = 13a

d. 35y3z2

−5y4z = − 7zy

e. 52p5q4

13p2q3 = 4p3q

f. 9a3b−27a5b4 = − 1

3a2b3

g. −10k2m7

−45k2m5 = 2m2

9

h. 3xy4

−4xy4 = − 34

4.18 Optellen en aftrekken van breuken

Zoals 27 + 3

7 = 57 is ook 4p

7 + 5p7 = 9p

7

Dus:4a + 6

a = 10a

Ena

2+

a

3︸ ︷︷ ︸nietgelijknamigebreuken

=3a

6+

2a

6︸ ︷︷ ︸gelijknamigmaken

= 5a6

Page 72: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

72 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

4.19 Opgaven

Som 159

Schrijf zo kort mogelijk:

a. p3 + p

3 = 2p3

b. p3 − p

3 = 0

c. 2p4 + 3p

4 = 5p4

d. 5p4 + 3p

4 = 8p4 = 2p

e. 5p4 − 3p

4 = 2p4 = −fracp2

f. 6xy7 + xy

7 = 7xy7 = xy

g. 4k2

5 − 2k2

5 = 2k2

5

h. 9xy2

10 − 4xy2

10 = 5xy2

10 = xy2

2

Som 160

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 4x − 3

x = 1x

b. 4x + 3a

x = 4+3ax

c. a4 + b

4 = a+b4

d. ax + b

x = a+bx

e. 2a2

5b + 2b2

5b = 2a2+2b2

5b

f. 2c2

5b + 3c2

5b = 5c2

5b = c2

b

g. 13ap + 2

3ap = 33ap = 1

ap

h. 13ap + 2q

3ap = 1+2q3ap

Som 161

Schrijf zo kort mogelijk:

a. a2 + a

3 = 3a6 + 2a

6 = 5a6

b. a2 − a

3 = 3a6 − 2a

6 = a6

c. a3 − a

2 = 2a6 − 3a

6 = −a6

d. b4 + c

2 = b4 + 2c

4 = b+2c4

e. 2a2 + 5a

3 = 6a6 + 10a

6 = 16a6 = 8a

3

f. 2a2 − 5a

3 = 6a6 − 10a

6 = − 4a6 = − 2a

3

g. ab6 + ab

5 = 5ab30 + 6ab

30 = 11ab30

h. a2

3a + 2a2

5a = a3 + 2a

5 = 5a15 + 6a

15 = 11a15

Som 162

Schrijf zo kort mogelijk:

a. a3 + 5

a = a2

3a + 153a = a2+15

3a

Page 73: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.20. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN 73

b. pq + 3

p = p2

pq + 3qpq = p2+3q

pq

c. 5x3y + x

3 = 5x3y + xy

3y = 5x+xy3y

d. 4k5 + 2m

5 = 4k+2m5

e. b4 + a

b = b2

4b + 4a4b = b2+4a

4b

f. ba + a

b = b2

ab + a2

ab = b2+a2

ab

g. 2bc + 3c

2b = 4b2

2bc + 3c2

2bc = 4b2+3c2

2bc

h. d5e + 3e

d = d2

5de + 15e2

5de = d2+15e2

5de

4.20 Vermenigvuldigen van breuken

Zoals 23 · 4

5 = 815 zo is:

ab · c

d = acbd en

ab · −c

d = −acbd

4.21 Opgaven

Som 163

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 23 · a

3 = 2a9

b. ab · 4

5 = 4a5b

c. 45 · a

b = 4a5b

d. 45 · 3

b = 125b

e. 45 · a

3 = 4a15

f. 3a · −4

b = − 12ab

g. −3a · −b

4 = 3b4a

h. −ab · −1

3 = a3b

Som 164

Schrijf zo kort mogelijk:

a. ab · c

d = acbd

b. ab · −c

d = −acbd

c. ab · c

−d = −acbd

d. 2ab · 3c

5d = 6ac5bd

e. 2p3q · 4x

y = 8px3qy

f. −3q2x · 3

−y = 9q2xy

g. 4tx3y · 4

5z = 16tx15yz

h. −abc · 3d

pq = − 3abdcpq

Page 74: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

74 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

Som 165

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 5a · −1

5 = 65a · −1

65 = − 1a

b. 3a4b · b

3 = 63a4 6b · 6b63 = a

4

c. 6ab10 · 15

bc = 6a 6b10 · 15

6bc = 9ac

d. 3pq6p · −2

3q = 63 6p 6q6 6p · −2

63 6q = −1

e. 5ab7cd · ce

10ab = 5 6a 6b7 6cd · 6ce

10 6a 6b = 5e70d = e

14d

f. 100p30q · 9q

5p = 100 6p30 6q · 9 6q

5 6p = 6

g. abc3pq · 4p

bcd = a 6bc3 6pq · 4 6p

6bcd = 4a3dq

h. −pt6q · 4qy

4yt = − 16

Som 166

Los op:

a. 3a2

4 · 82a = 3a

b. 8p2

2a · 3a2

4p = 3ap

c. ab2

3p · p2

a2b2 = p3a

d. 3ab2

4q · 2q2

b2 = 3aq2

e. 6x2y2x · 3x

9y = x2

f. 12x4

6p2 · 3p3

4x5 = 3p2x

g. 12x4

6p3 · 3p3

4x4 = 1 12

h. 9xz3

2z · 4p3pz = 6xz

Page 75: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.22. HAAKJES WEGWERKEN I 75

4.22 Haakjes wegwerken I

Zoals 3a = a + a + a is3(a + b) = a + b + a + b + a + b = 3a + 3bDus:3(2a + 3b) = 6a + 9b3(2a− 3b) = 6a− 9b−3(2a + 3b) = −6a− 9b−3(2a− 3b) = −6a + 9ba(2a + 3b) = 2a2 + 3ab2a(3a + 4b) = 6a2 + 8ab

4.23 Opgaven

Som 167

Werk de haakjes weg:

a. 3(a + b) = 3a + 3b

b. 3(a− b) = 3a− 3b

c. 3(a + 2b) = 3a + 6b

d. 3(a− 2b) = 3a− 6b

e. 3(−2a + 2b) = −6a + 6b

f. 3(2a− 2b) = 6a− 6b

g. 3(a + 2) = 3a + 6

h. 3(−a− 2) = −3a− 6

Som 168

Werk de haakjes weg:

a. 3(−a + 1) = −3a + 3

b. 3(1− a) = 3− 3a

c. 3(−1− 3a) = −3− 9a

d. 3(a− b) = 3a− 3b

e. 3(−a + 2) = −3a + 6

f. 3(2a− 3b) = 6a− 9b

g. 3(3a + 1) = 9a + 3

h. 3(−3a− 1) = −9a− 3

Som 169

Werk de haakjes weg:

a. −5(3 + 2a) = −15− 10a

b. −2(a− 2b) = −2a + 4b

c. −3(a + 4b) = −3a− 12b

d. 3(−a + 12b) = −3a + 1 1

2b

e. −412 (2a− 4b) = −9a + 18b

f. 6(−2a + 3) = −12a + 18

g. 5(5− 3a) = 25− 15a

h. −3(1 + 5a) = −3− 15a

Page 76: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

76 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

Som 170

Werk de haakjes weg:

a. 4(a2 + 3) = 4a2 + 12

b. −4(3a2 − 2) = −12a2 + 8

c. 3(a− 6b2) = 3a− 18b2

d. −1(a + b) = −a− b

e. −2(a− b) = −2a + 2b

f. 3(a2 + 2b2 = 3a2 + 6b2

g. −4(−a + 2b) = 4a− 8b

h. −4(a− 2b) = −4a + 8b

Som 171

Werk de haakjes weg:

a. −3(a− 2b) = −3a + 6b

b. (a− 2b) · −3 = −3a + 6b

c. −2(a− 5b) = −2a + 5b

d. (a− 5b) · −2 = −2a + 10b

e. 6(a− 2q) = 6a− 12q

f. −3(p− 2q) = −3p + 6q

g. (b + 2c) · 3 = 3b + 6c

h. (ab + 2c) · 3 = 3ab + 6c

Som 172

Werk de haakjes weg:

a. a(p + q) = ap + aq

b. a(p− q) = ap− aq

c. a(2p + q) = 2ap + aq

d. a(2p− q) = 2ap− aq

e. a(2p + 3q) = 2ap + 3aq

f. a(−2p + 3q) = −2ap + 3aq

g. a(2 + 3c) = 2a + 3ac

h. (2c− 3)a = 2ac− 3a

Som 173

Werk de haakjes weg:

a. a(a + b) = a2 + ab

b. b(a + b) = ab + b2

c. b(2a + b) = 2ab + b2

d. b(2a− 2b) = 2ab− 2b2

e. 2b(a + 2b) = 2ab + 4b2

f. 2b(2a− b) = 4ab− 2b2

g. a(3a− 1) = 3a2− a

h. a(−3a− b) = −3a2 − ab

Som 174

Werk de haakjes weg:

Page 77: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.23. OPGAVEN 77

a. −3a(a− 3ab) = −3a2 + 9a2b

b. 3a(ab− a) = 3a2b− 3a2

c. −2a(3ab− b) = −6a2b + 2ab

d. 2a(2a + 2ab) = 4a2 + 4a2b

e. −a(−3a− 4ac) = 3a2 + 4a2c

f. 3a(5− a) = 15a− 3a2

g. −a(5a− 3) = −5a2 + 3a

h. −4a(3a− 2ac) = −12a2 + 8a2c

Som 175

Werk de haakjes weg:

a. a2(3a + 5) = 3a3 + 5a2

b. a(3a2 − 5) = 3a3 − 5a

c. a2(3a2 − 5) = 3a4 − 5a2

d. −a2(3a2 − 5a) = −3a4 + 5a3

e. −a2(3a2 − 5ab) = −3a4 + 5a3b

f. a2(3ab− 5a2b) = 3a3b− 5a4b

g. 3a(a3 − 2ab) = 3a4 − 6a2b

h. −3a2(a2 − 2b) = −3a4 + 6a2b

Som 176

Werk de haakjes weg:

a. −3pq(p2 − 3p2q) = −3p3q + 3p3q2

b. 3p2(p2 − pq) = 3p4 − 3p3q

c. −3p2(p2 − 3p2q) = −3p4 + 9p4q

d. 4c(c2 + 3c) = 4c3 + 3c2

e. −4ac(ac + 4z) = −4a2c2 − 16acz

f. −4ac(a2c + 4z) = −4a3c2 − 16acz

g. p(p2 − p) = p3 − p2

h. 2p(p2 − p) = 2p3 − 2p2

Som 177

Werk de haakjes weg:

a. −3pq(p2 − p) = −3p3q + 3p2q

b. −3pq(p2 − q) = −3p3q + 3pq2

c. −3q2(p2 − 2q) = −3p2q2 + 6q3

d. 2xy(x2 − x) = 2x3y − 2x2y

e. 2x2(x2 − x) = 2x4 − 2x3

f. 3x2(x3 − 2y) = 3x5 − 6x2y

g. 3xy(xy − y2) = 3x2y2 − 3xy3

h. 2x2(xy2 − 2x2) = 2x3y2 − 4x4

Som 178

Werk de haakjes weg

a. (−p2 − 2p− 3)(−2p3) = 2p5 + 4p4 + 6p3

b. (x4 + 2x1 + 1) · 4x4 = 4x8 + 8x5 + 4x4

c. (−3a2b + ab2)(−ab2) = 3a3b3 − a2b4

d. x2(xn−2 + 1) = xn + x2

Page 78: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

78 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

e. 2an(a2n − 2an) = 2a3n − 2a2n

f. −an−1(−a + an+1) = an − a2n

g. pn−2(pn+2 + 4p2) = p2n + 4pn

h. an−1b(an+1bn−1 + ab3) = a2nbn + anb4

4.24 Haakjes wegwerken II

Zoals we zagen geldt:p(a + b) = ap + bpDus ook geldt: (a + b)p = ap + bp(a + b) (c + d)︸ ︷︷ ︸

p

= a p︸︷︷︸(c+d)

+b p︸︷︷︸(c+d)

= a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Zo is(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b)(c− d) = ac− ad + bc− bd(a− b)(c− d) = ac− ad− bc + bd(a + 2)(a + 3) = a2 + 3a + 2a + 6 = a2 + 5a + 6(2a + 3b)(4a + 5b) = 8a2 + 10ab + 12ab + 15b2 = 8a2 + 22ab + 15b2

4.25 Opgaven

Som 179

Werk de haakjes weg:

a. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

b. (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq

c. (c + d)(e + f) = ce + cf + de + df

d. (a + b)(c + 3) = ac + 3a + bc + 3b

e. (a + 3)(b + c) = ab + ac + 3b + 3c

f. (a + b)(3 + d) = 3a + ad + 3b + bd

g. (2a + b)(c + d) = 2ac + 2ad + bc + bd

h. (2a + b)(2c + d) = 4ac + 2ad + 2bc + bd

Som 180

Werk de haakjes weg:

a. (2p + q)(3t + 2v) = 6pt + 4pv + 3qt + 2qv

b. (2p + q)(3t + 2) = 6pt + 4p + 3qt + 2q

c. (5a + 4)(2b + 3) = 20ab + 15a + 8b + 12

Page 79: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.25. OPGAVEN 79

d. (4x + y)(a + 2b) = 4ax + 8bx + ay + 2by

e. (4x + 4)(y + z) = 4xy + 4xz + 4y + 4z

f. (3 + 4a)(2 + 3b) = 6 + 9b + 8a + 12ab

g. (1 + 3a)(2b + 1) = 2b + 1 + 6ab + 3a

h. (p + 3q)(4 + 2t) = 4p + 2pt + 12q + 6qt

Som 181

Werk de haakjes weg:

a. (a + b)(c− d) = ac− ad + bc− bd

b. (a + b)(p− q) = ap− aq + bp− bq

c. (c− d)(e + f) = ce + cf − de− df

d. (c− d)(e− f) = ce− cf − de + df

e. (a + 3)(b− c) = ab− ac + 3b− 3c

f. (a + 3)(b− 4) = ab− 4a + 3b− 12

g. (a− 3)(b− 4) = ab− 4a− 3b + 12

h. (2a + 3)(b− 4) = 2ab− 8a + 3b− 12

Som 182

Werk de haakjes weg:

a. (2a− b)(c− d) = 2ac− 2ad− bc + bd

b. (5a + 1)(3b− 2) = 15ab− 10a + 3b− 2

c. (2x− 3y)(a + b) = 2ax + 2bx− 3ay − 3by

d. (−a + b)(c− d) = −ac + ad + bc− bd

e. (−a− b)(c− d) = −ac + ad− bc + bd

f. (−2a + 3b)(c− 4) = −2ac + 8a + 3bc− 12b

g. (6p− 2)(2− 3q) = 12p− 18pq − 4 + 6q

h. (a− 4)(−b + 4) = −ab + 4a + 4b− 16

Som 183

Werk de haakjes weg:

a. (x + 3)(x + 4) = x2 + 3x + 4x + 12 = x2 + 7x + 12

Page 80: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

80 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

b. (x + 1)(x + 5) = x2 + 5x + x + 5 = x2 + 6x + 5

c. (x + 6)(x + 1) = x2 + x + 6x + 6 = x2 + 7x + 6

d. (p + 2)(p + 3) = p2 + 3p + 2p + 6 = p2 + 5p + 6

e. (p + 1)(p + 2) = p2 + 2p + p + 2 = p2 + 3p + 2

f. (y + 3)(y + 7) = y2 + 7y + 3y + 21 = y2 + 10y + 21

g. (y + 8)(y + 2) = y2 + 2y + 8y + 16 = y2 + 10y + 16

h. (k + 1)(k + 5) = k2 + 5k + k + 5 = k2 + 6k + 5

Som 184

Werk de haakjes weg:

a. (z + 4)(z + 3) = z2 + 3z + 4z + 12 = z2 + 7z + 12

b. (z + 2)(z + 8) = z2 + 8z + 2z + 16 = z2 + 10z + 16

c. (c + 2)(c + 7) = c2 + 7c + 2c + 14 = c2 + 9c + 14

d. (c + 1)(c + 6) = c2 + 6c + c + 6 = c2 + 7c + 6

e. (a + 3)(a + 9) = a2 + 9a + 3a + 27 = a2 + 12a + 27

f. (a + 10)(a + 11) = a2 + 10a + 11a + 110 = a2 + 21a + 110

g. (b + 1)(b + 3) = b2 + 3b + b + 3 = b2 + 4b + 3

h. (b + 4)(b + 10) = b2 + 10b + 4b + 40

Som 185

Werk de haakjes weg:

a. (a− 2)(a− 3) = a2 − 3a− 2a + 6 = a2 − 5a + 6

b. (a− 5)(a− 7) = a2 − 7a− 5a + 35 = a2 − 12a + 35

c. (a− 4)(a− 1) = a2 − a− 4a + 4 = a2 − 5a + 4

d. (x− 1)(x− 3) = a2 − 3a− a + 3 = a2 − 4a + 3

e. (x + 1)(x− 2) = x2 − 2x + x− 2 = x2 − x− 2

f. (y + 6)(y − 3) = y2 − 3y + 6y − 18 = y2 + 3y − 18

g. (t− 6)(t− 2) = t2 − 2t− 6t + 12 = t2 − 8t + 12

h. (x− 4)(x− 1) = x2 − x− 4x + 4 = x2 − 5x + 4

Som 186

Page 81: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.25. OPGAVEN 81

Werk de haakjes weg:

a. (2x + 3)(x− 5) = 2x2 − 10x + 3x− 15 = 2x2 − 7x− 15

b. (2x− 3)(x− 5) = 2x2 − 10x− 3x + 15 = 2x2 − 13x + 15

c. (2x− 3)(x + 5) = 2x2 + 10x− 3x− 15 = 2x2 + 7x− 15

d. (2x + 3)(x + 5) = 2x2 + 10x + 3x + 15 = 2x2 + 13x + 15

e. (a− 5)(2a− 5) = 2a2 − 5a− 10a + 25 = 2a2 − 15a + 25

f. (y − 3)(3y − 1) = 3y2 − y − 9y + 3 = 3y2 − 10y + 3

g. (2x− 4)(x− 4) = 2x2 − 8x− 4x + 16 = 2x2 − 12x + 16

h. (6y + 2)(y + 2) = 6y2 + 12y + 2y + 4 = 6y2 + 14y + 4

Som 187

Ontbind in factoren

a. (x+2)(x+4)−(x+1)(x+5) = x2+4x+2x+8−(x2+5x+x+5) = x2+4x+2x+8−x2−5x−x−5 =3

b. (a + 2b)(a − b) − (a + b)(a − 2b) = a2 − ab + 2ab − 2b2 − (a2 − 2ab + ab − 2b2) = a2 − ab +2ab− 2b2 − a2 + 2ab− ab + 2b2 = 2ab

c. 3(p + 1)(p + 3)− 2(p + 2)(p + 4) = 3(p2 + 3p + p + 3)− 2(p2 + 4p + 2p + 8) = 3p2 + 9p + 3p +9− 2p2 − 8p− 4p− 16 = p2 − 7

d. 4y2−3y(y+1)−(y−1)(y−2) = 4y2−3y2−3y−(y2−2y−y+2) = y2−3y−y2+2y+y−2 = −2

e. 5a2 − 2a(a− 3b)− 3(a− b)(a + 3b) = 5a2 − 2a2 + 6ab− 3(a2 + 3ab− ab− 3b2) = 3a2 + 6ab−3a2 − 9ab + 3ab + 9b2 = 9b2

f. (x− 1)(x− 2)− x(x− 3) = x2 − 2x− x + 2− x2 + 3x = 2

g. a(a+1)(a+2)−a2(a+3) = a(a2 +2a+a+2)−a3−3a2 = a3 +2a2 +a2 +2a−a3−3a2 = 2a

h. (x−a)(b−c)+(x−b)(c−a)+(x−c)(a−b) = x2−cx−ab+ac+x2−ax−bc+ab+x2−bx−ac+bc =3x2 − ax− bx− cx

Page 82: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

82 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

4.26 (a + b)2

Zoals a2 = a · a, zo is (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

Dus:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Met woorden erbij:(a + b)2 = a2︸︷︷︸

deeersteinhetkwadraat

+ 2ab︸︷︷︸hetdubbeleprodukt

+ b2︸︷︷︸delaatsteinhetkwadraat

Net zo is:(a + 3)2 = a2 + 6a + 9(a− 4)2 = a2 − 8a + 16(2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

4.27 Opgaven

Som 188

Werk de haakjes weg:

a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b. (a + 3b)2 = a2 + 6ab + 9b2

c. (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

d. (2a− 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2

e. (−2a + 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2

f. (3a + 3b)2 = 9a2 + 18ab + 9b2

g. (5a− 3b)2 = 25a2 − 30ab + 9b2

h. ( 12a + 3b)2 = 1

4a2 + 3ab + 9b2

Som 189

Werk de haakjes weg:

a. (a + 1)2 = a2 + 2a + 1

b. (a + 3)2 = a2 + 6a + 9

c. (2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9

d. (2a− 3)2 = 4a2 − 12a + 9

e. (−2a + 3)2 = 4a2 − 12a + 9

f. (3a + 3)2 = 9a2 + 18a + 9

g. (5− 3b)2 = 25− 30b + 9b2

Page 83: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.28. (A + B)(A−B) 83

h. ( 12 + 3b)2 = 1

4 + 3b + 9b2

Som 190

Werk de haakjes weg:

a. (12a + 10b)2 = 144a2 + 240ab + 100b2

b. (7a + 8b)2 = 49a2 + 112ab + 64b2

c. (15a + 23b)2 = 225a2 + 690ab + 529b2

d. (32a− 13b)2 = 1024a2 − 832ab + 169b2

e. (−25a + 35b)2 = 625a2 − 1750ab + 1225b2

f. (31a + 32b)2 = 961a2 + 1984ab + 1024b2

g. (25a− 13b)2 = 625a2 − 650ab + 169b2

h. ( 12a + 23b)2 = 1

4a2 + 23ab + 529b2

4.28 (a + b)(a− b)

Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a + b)(a− b) levert het volgende resultaat:(a + b)(a− b) = a2 − ab + ab− b2 = a2 − b2

Dus(a + b)(a− b) = a2 − b2

we zeggen:(a + b)(a− b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van b.(a + b)(a− b) = a2 − b2

︸ ︷︷ ︸hetverschilvantweekwadraten

Zo is:(2a + 3b)(2a− 3b) = 4a2 − 9b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a− 3)(a + 3) = a2 − 9(2a + 5)(2a− 5) = 4a2 − 25

4.29 Opgaven

Som 1

Som 191

Werk de haakjes weg:

a. (a + 2b)(a− 2b) = a2 − 4b2

b. (a + 3b)(a− 3b) = a2 − 9b2

c. (2a + 3b)(2a− 3b) = 4a2 − 9b2

Page 84: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

84 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

d. (2a− 3b)(2a + 3b) = 4a2 − 9b2

e. (−2a + 3b)(2a + 3b) = −4a2 + 9b2

f. (3a + 3b)(3a− 3b) = 9a2 − 9b2

g. (5a− 3b)(5a + 3b) = 25a2 − 9b2

h. (a + 5)(a− 5) = a2 − 25

Som 192

Werk de haakjes weg:

a. (a + 2)(a− 2) = a2 − 4

b. (a + 7)(a− 7) = a2 − 49

c. (2a + 3)(2a− 3)− 4a2 − 9

d. (2a− 13)(2a + 13) = 4a2 − 169

e. (−12a + 13b)(12a + 13b) = −144a + 169b2

f. (31a + 31b)(31a− 31b) = 961a2 − 961b2

g. (15a− 13b)(15a + 13b) = 225a2 − 169b2

h. (10a + 5)(10a− 5) = 100a2 − 25

Som 193

Werk de haakjes weg:

a. (x + y)(x− y) = x2 − y2

b. (a + 7)(a− 7) = a2 − 49

c. (a− 12 )(a + 1

2 ) = a2 − 14

d. (−a + 3)(a + 3) = −a2 + 9

e. (−b + 5)(b + 5) = −b2 + 25

f. (t− 8)(t + 8) = t2 − 64

g. (c− d)(c + d) = c2 − d2

h. (k + 10)(k − 10) = k2 − 100

Som 194

Werk de haakjes weg:

a. (2a− 3)(2a + 3) = 4a2 − 9

b. (2a + 4)(2a− 4) = 4a2 − 16

c. (2a + 1)(2a− 1) = 4a2 − 1

d. (3a + 2)(3a− 2) = 9a2 − 4

e. (5a + 7)(5a− 7) = 25a2 − 49

Page 85: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.29. OPGAVEN 85

f. (9 + 5a)(9− 5a) = 81− 25a2

g. (3a + b)(3a− b) = 9a2 − b2

h. (5x− y)(5x + y) = 25x2 − y2

Som 195

Werk de haakjes weg:

a. (a + 2b)(a− 2b) = a2 − 4b2

b. (3 + 2b)(3− 2b) = 9− 4b2

c. (1− 2b)(1 + 2b) = 1− 4b2

d. (6a + 5)(6a− 5) = 36a2 − 25

e. (1 + 7y)(1− 7y) = 1− 49y2

f. (6a− 5y)(6a + 5y) = 36a2 − 25b2

g. (ab− 4)(ab + 4) = a2b2 − 16

h. (xy − 7)(xy + 7) = x2y2 − 49

Som 196

Werk de haakjes weg:

a. (2x− 3y)(2x + 3y) = 4x2 − 9y2

b. (4z + 2t)(4z − 2t) = 16z2 − 4t2

c. (8x + 3y)(8x− 3y) = 64x2 − 9y2

d. (5a− 3b)(5a + 3b) = 25a2 − 9b2

e. (x2 + 4)(x2 − 4) = x4 − 16

f. (x2 − 1)(x2 + 1) = x4 − 1

g. (x2 + y)(x2 − y) = x4 − y2

h. (x2 + 2y)(x2 − 2y) = x4 − 4y2

Som 197

Werk de haakjes weg:

a. (1− xy)(1 + xy) = 1− x2y2

b. (3t + y2)(3t− y2) = 9t2 − y4

c. (8 + x2)(8− x2) = 64− x4

Page 86: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

86 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

d. (−x2 + 3)(−x2 − 3) = x4 − 9

e. (−x2 + 3)(x2 + 3) = −x4 + 9

f. (ab + cd)(ab− cd) = a2b2 − c2d2

g. (2a + cd)(2a− cd) = 4a2 − c2d2

h. (x3 + y)(x3 − y) = x6 − y2

Som 198

Werk de haakjes weg:

a. (12a + 21b)(12a− 21b) = 144a2 − 441b2

b. (11a + 34b)(11a− 34b) = 121a2 − 1156b2

c. (2a + 37b)(2a− 37b) = 4a2 − 1369b2

d. (22a− 23b)(22a + 23b) = 484a2 − 529b2

e. (−52a + 3b)(52a + 3b) = −2704a2 + 9b2

f. (33a + 33b)(33a− 33b) = 1089a2 − 1089b2

g. (15a− 32b)(15a + 32b) = 225a2 − 1024b2

h. (7a + 5)(7a− 5) = 49a2 − 25

Som 199

Gebruik merkwaardige producten

a. (p2 + p + 2)(p2 + p− 2) = (p2 + p)2 − 4 = p4 + 2p3 + p2 − 4

b. (x2 − 3x− 1)(x2 − 3x + 1) = (x2 − 3x)2 − 1 = x4 − 6x3 + 9x2 − 1

c. (a2 − a + 3)(a2 − a− 3) = (a2 − a)2 − 9 = a4 − 2a3 + a2 − 9

d. (t2 + t− 4)(t2 − t− 4) = (t2 − 4)2 − t2 = t4 − 8t2 + 16− t2 = t4 − 9t2 + 16

e. (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x2 + 1)2 − 4x2 = x4 + 2x2 + 1− 4x2 = x4 − 2x2 + 1(x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x + 1)2(x− 1)2 = ((x + 1)(x− 1))2 = (x2 − 1)2

f. (a2 − 4a + 8)(a2 + 4a + 8) = (a2 + 8)2 − 16a2 = a4 − 18a2 + 64− 16a2 = a4 − 34a2 + 64

g. (m2 + m + 1)(m2 −m− 1) = m4 − (m + 1)2 = m4 −m2 − 2m− 1

h. (c2 + c + 2)(c2 − c− 2) = c4 − (c + 2)2 = c4 − c2 − 4c− 4

Page 87: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

4.30. HAAKJESVARIA 87

4.30 Haakjesvaria

Som 200

Werk de haakjes weg

a. (xy + ab)2 = x2y2 + 2abxy + a2b2

b. (3xy − 4xz)2 = 9x2y2 − 24x2yz + 16x2z2

c. (3xy − 4xy)2 = (−xy)2 = x2y2

d. (4x + 14xy)2 = 16x2 + 2x2y + 1

16x2y2

e. (3x2 − 13 )2 = 9x4 − 2x2 + 1

9

f. (a3 − ab)2 = a6 − 2a4b + a2b2

g. (x3 − y3)2 = x6 − 2x3y3 + y6

h. (2x4 + 12x2)2 = 4x8 + 2x6 + 1

4x4

Som 201

Werk de haakjes weg

a. ( 12a2 + 1

2ab)2

b. x(x + 1x )2

c. (x− 1x )2

d. x2(x + 1x )2

e. 1x (1− x)2

f. ( 1x + 1

y )2

g. ( 2x − 3

x )2

h. (ab + b

a )2

Som 202

Werk de haakjes weg

a. (x2 − y)(x2 + y)

b. ( 13 − y3)(− 1

3 − y3)

c. ( 1y + 1)( 1

y − 1)

d. (2 12x− 31

2 )(2 12x + 3 1

2 )

e. (x2 − 12x)(x2 + 1

2x)

f. 13 ( 3

a + 3)( 3a − 3)

g. (1 + 1x )(1− 1

x )

h. (−x + 1x )(x + 1

x )

Som 203

Werk de haakjes weg

Page 88: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

88 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS

a. (x− 3)2(x + 3)2

b. (x− 1)(x + 1)(x2 + 1)

c. (x− 1)(x + 1)(x2 − 1)

d. (2x− 4)(2x + 4)(4x2 + 16)

e. (3x− 1)(3x + 1)(9x2 − 1)

f. (2x− 7)(2x + 7)(2x− 7)(2x + 7)

g. ( 13 − x)( 1

3 + x)( 19 + x2)

h. (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x− 1)

Som 204

Werk de haakjes weg

a. ( 12x− 1

3 )( 14x− 1)

b. ( 12x− 1

3 )( 13x− 1

2 )

c. ( 12x + 7)( 2

3x− 12 )

d. (− 13a2 + a)( 1

2a− 13 )

e. ( 12 − 1

5a )( 2a + 3

10 )

f. (x3 − 2x)( 12x + 1)

g. (ab− 3ad)(a + d)

h. ( 12x2 − 2

3 )( 13x− 1

2 )

Som 205

Werk de haakjes weg

a. ( 23x2 + 1

3xy)( 13y + 2

3x)

b. ( 12 − x)( 1

3 − y)

c. (y + 1y )(2y − 3

y

)

d. (3p2 + 1p )( 1

3p + 1p

2)

e. (3x2 − 5x)(3x + 5x2)

f. ( 23 − 1

2x)( 14 − 2

3x)

g. 12p(p2 + p + 1)− 1

3p2(p + 1)

h. ( 12x2 − 2

3 )(a + d)

Page 89: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 5

Ontbinden in factoren

5.1 Ontbinden in factoren I

We weten: a(b + c) = ab + bcOmgekeerd: ab + bc = a(b + c)We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + cZo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden:3x + 6 = 3(x + 2)3x + 12 = 3(x + 4)a2 + ab = a(a + b)3a + 3 = 3(a + 1)a2 + a = a(a + 1)

5.2 Opgaven

Som 206

Ontbind in factoren

a. 3x + 9 = 3(x + 3)

b. 3x + 18 = 3(x + 6)

c. 5x + 5 = 5(x + 1)

d. 6a + 9b = 3(2a + 3b)

e. 16a− 20b = 4(4a− 5b)

f. 16a− 20 = 4(4a− 5)

g. 16a− 16 = 16(a− 1)

h. 24− 8a = 8(3− a)

Som 207

Ontbind in factoren

89

Page 90: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

90 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN

a. 35x + 7y = 7(5x + y)

b. 35x + 70y = 35(x + 2y)

c. −40x + 32y = −8(5x− 4y)

d. −40 + 32y = −8(5− 4y)

e. 16 + 16x = 16(1 + x)

f. 11x− 88y = 11(x− 8y)

g. 4a + 8b + 16c = 4(a + 2b + 4c)

h. 10x + 25y + 30z = 5(2x + 5y + 6z)

Som 208

Ontbind in factoren

a. 4ab + 6a = 2a(2b + 3)

b. 18b− 16bc = 2b(9− 8c)

c. 7xy + 7yz = 7y(x + z)

d. 7xy − 7pq = 7(xy − pq)

e. 8xz − 4z = 4z(2x− 1)

f. 16y + 8yz = 8y(2 + z)

g. 24xy + 32x = 8x(3y + 4)

h. 100a− 30ab = 10a(10− 3b)

Som 209

Ontbind in factoren

a. 25cx− 25xy = 25x(c− y)

b. 25cy − 25xy = 25y(c− x)

c. 18pq − 13px = p(18q − 13x)

d. 100xy − 20x = 20x(5y − 1)

e. 100x− 20y = 20(5x− y)

f. 18pq + 32py = 2p(9q + 16y)

g. 3xyz − 6xy = 3xy(z − 2)

h. 3xy − 6xyz = 3xy(1− 2z)

Som 210

Ontbind in factoren

a. x2 + 3x = x(x + 3)

b. x2 − 6x = x(x− 6)

c. 3x2 − 6x = 3x(x− 2)

d. 3x− 6x2 = 3x(1− 2x)

e. 8xz − 4z = 4z(2x− 1)

f. 6x2 − 3 = 3(2x2 − 1)

g. 4x3 + 2x2 = 2x2(2x + 1)

h. 5x2 − 10x = 5x(x− 2)

Som 211

Ontbind in factoren

a. 35x2 + 16x = x(35x + 16)

b. 36x2 − 54x3 = 18x2(2− 3x)

c. 15x7 − 3x6 = 3x6(5x− 1)

d. 80x5 − 32x3 = 16x3(5x2 − 2)

Page 91: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

5.3. ONTBINDEN IN FACTOREN II 91

e. 15x2 − 12y2 = 3(5x2 − 4y2)

f. 16x3y + 4x2 = 4x2(4x + 1)

g. 16x3y + 4xy = 4xy(4x2 + 1)

h. 7x2y2 − 8xy = xy(7xy − 8)

5.3 Ontbinden in factoren II

(x + 2)(x + 3) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6Kijken we,omgekeerd, naar x2+ 5︸︷︷︸

2+3

x+ 6︸︷︷︸2×3

dan kunnen we die uitdrukking in factoren ontbinden:x2+

5x + 6 = (x + 2)(x + 3)Ontbinden we x2 +6x+8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallenbij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt:Met proberen vind je: 2 + 4 = 6 en 2× 4 = 8Dus x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) of x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)Zo is:x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6) want 2 + 6 = 8 en 2× 6 = 12x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) want 3 + 5 = 8 en 3× 5 = 15x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3)x2 + 3x− 10 = (x + 5)(x− 2)

5.4 Opgaven

Som 212

Ontbind in factoren

a. a2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)

b. x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

c. x2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)

d. x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

e. x2 + 9x + 8 = (x + 1)(x + 8)

f. x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)

g. x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

h. x2 + 13x + 12 = (x + 1)(x + 12)

Som 213

a. a2 + 10a + 24 = (a + 4)(a + 6)

b. x2 + 10x + 24 = (x + 4)(x + 6)

c. x2 + 14x + 24 = (x + 2)(x + 12)

d. x2 + 12x + 32 = (x + 4)(x + 8)

e. x2 + 18x + 32 = (x + 2)(x + 16)

f. x2 + 16x + 48 = (x + 4)(x + 12)

g. x2 + 14x + 48 = (x + 6)(x + 8)

h. x2 + 26x + 48 = (x + 2)(x + 24)

Som 214

Ontbind in factoren

Page 92: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

92 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN

a. x2 + 12x + 20 = (x + 2)(x + 10)

b. x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

c. x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

d. x2 + 37x + 36 = (x + 1)(x + 36)

e. x2 + 20x + 36 = (x + 2)(x + 18)

f. x2 + 15x + 36 = (x + 3)(x + 12)

g. x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

h. x2 + 70x + 69 = (x + 1)(x + 69)

Som 215

Ontbind in factoren

a. x2 + 24x + 80 = (x + 4)(x + 20)

b. x2 + 18x + 80 = (x + 8)(x + 10)

c. x2 + 24x + 144 = (x + 12)2

d. x2 + 74x + 144 = (x + 2)(x + 72)

e. x2 + 40x + 144 = (x + 4)(x + 36)

f. x2 + 30x + 144 = (x + 6)(x + 24)

g. x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

h. x2 + 140x + 276 = (x + 2)(x + 138)

Som 216

Ontbind in factoren

a. x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3)

b. x2 − 7x + 6 = (x− 1)(x− 6)

c. x2 − 10x + 9 = (x− 1)(x− 9)

d. x2 − 6x + 9 = (x− 3)2

e. a2 − 6a + 5 = (a− 1)(a− 5)

f. a2 − 5a + 6 = (a− 2)(a− 3)

g. x2 − 7x + 10 = (x− 2)(x− 5)

h. x2 − 11x + 10 = (x− 1)(x− 10)

Som 217

Ontbind in factoren

a. x2 − 10x + 24 = (x− 4)(x− 6)

b. x2 − 14x + 24 = (x− 2)(x− 12)

c. x2 − 20x + 36 = (x− 2)(x− 18)

d. x2 − 12x + 36 = (x− 6)2

e. a2 − 12a + 20 = (a− 2)(a− 10)

f. a2 − 10a + 24 = (a− 4)(a− 6)

g. x2 − 14x + 40 = (x− 4)(x− 10)

h. x2 − 22x + 40 = (x− 2)(x− 20)

Som 218

Ontbind in factoren

a. x2 − 9x + 14 = (x− 2)(x− 7)

b. x2 − 15x + 14 = (x− 1)(x− 14)

c. x2 − 2x + 1 = (x− 1)2

d. a2 − 8a + 15 = (a− 3)(a− 5)

Page 93: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

5.4. OPGAVEN 93

e. a2 − 16a + 15 = (a− 1)(a− 15)

f. a2 − 19a + 18 = (a− 1)(a− 18)

g. x2 − 11x + 18 = (x− 2)(x− 9)

h. x2 − 9x + 18 = (x− 3)(x− 6)

Som 219

Ontbind in factoren

a. x2 − 7x− 30 = (x− 10)(x + 3)

b. x2 + 7x− 30 = (x + 10)(x− 3)

c. x2 − 13x− 30 = (x− 15)(x + 2)

d. x2 − x− 30 = (x− 6)(x + 5)

e. x2 − 29x− 30 = (x− 30)(x + 1)

f. x2 + 29x− 30 = (x + 30)(x− 1)

g. x2 − 6x− 16 = (x− 8)(x + 2)

h. x2 + 2x− 15 = (x + 5)(x− 3)

Som 220

Ontbind in factoren

a. x2 − 14x− 120 = (x− 20)(x + 6)

b. x2 + 14x− 120 = (x + 20)(x− 6)

c. x2 − 26x− 120 = (x− 30)(x + 4)

d. x2 − 2x− 120 = (x− 12)(x + 10)

e. x2 − 58x− 120 = (x− 60)(x + 2)

f. x2 + 58x− 120 = (x + 60)(x− 2)

g. x2 − 12x− 64 = (x− 16)(x + 4)

h. x2 + 4x− 60 = (x + 10)(x− 6)

Som 221

Ontbind in factoren

a. x2 − 4x− 12 = (x− 6)(x + 2)

b. x2 − 5x− 24 = (x− 8)(x + 3)

c. x2 + x− 56 = (x + 8)(x− 7)

d. x2 − 4x− 5 = (x− 5)(x + 1)

e. x2 − 2x− 15 = (x− 5)(x + 3)

f. x2 − 8x− 20 = (x− 10)(x + 2)

g. x2 + 2x− 48 = (x− 6)(x + 8)

h. x2 − 6x− 27 = (x− 9)(x + 3)

Som 222

Ontbind in factoren

a. x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5)

b. x2 + 10x− 25 = kan niet

c. x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5)

d. x2 + 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)

e. x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

f. x2 − 3x + 54 = kan niet

g. x2 + 16x + 60 = (x + 6)(x + 10)

h. x2 − 2x− 48 = (x− 8)(x + 6)

Page 94: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

94 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN

5.5 Ontbinden allerlei

Som 223

Ontbind in factoren

a. 3x2 − 6x = 3x(x− 2)

b. 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) = 3(x− 1)(x + 1)

c. p2 − 7pq + 10q2 = (p− 2q)(p− 5q)

d. 4a2 − 16b2 = 4(a2 − 4b2) = 4(a− 2b)(a + 2b)

e. 9x2 − 6x + 1 = (3x− 1)2

f. c2 − 5c− 50 = (c− 10)(c + 5)

g. 7x2 + 49 = 7(x2 + 7)

h. 4x2 − 36 = 4(x2 − 9) = 4(x− 2)(x + 2)

Som 224

Ontbind in factoren

a. 6x2 + 12x + 6 = 6(x2 + 2x + 1) = 6(x + 1)2

b. 3y2 − 12z2 = 3(y2 − 4z2) = 3(y − 2z)(y + 2z)

c. −y2 − 4y − 3 = −(y2 + 4y + 3) = −(y + 1)(y + 3)

d. k2 − 3kt + 2t2 = (k − 2t)(k − t)

e. ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x− y)(x + y)

f. a2 − 3a− 108 = (a− 12)(a + 9)

g. 2a2 − 4a− 30 = 2(a2 − 2a− 15) = 2(a + 3)(a− 5)

h. 2a2 − 4a = 2a(a− 2)

Som 225

Ontbind in factoren

a. x3 − x = x(x2 − 1) = x(x− 1)(x + 1)

b. x3 − x2 = x2(x− 1)

c. x3 − x2 − 2x = x(x2 − x− 2) = x(x− 2)(x + 1)

d. y2 + 4xy + 4x2 = (y + 2x)2

e. y2x2 − 4y2 = y2(x2 − 4) = y2(x− 2)(x + 2)

Page 95: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 95

f. 3a2 + 12a− 15 = 3(a2 + 4a− 5) = 3(a− 1)(a + 5)

g. xy2 − xy2 = 0

h. t2 − 6t− 40 = (t− 10)(t + 8)

Som 226

Ontbind in factoren

a. 2a2 − 8 = 2(a2 − 4) = 2(a− 2)(a + 2)

b. x2 + 15x + 56 = (x + 7)(x + 8)

c. 2x2 − 4y + 2 = 2(x2 − 2y + 1)

d. 6− 6p2 = 6(1− p2) = 6(1− p)(1 + p)

e. p2 + 5p− 6 = (p + 6)(p− 1)

f. 4a2 − 12ab + 9b2 = (2a− 3b)2

g. t2 − 14 = (t− 1

2 )(t + 12 )

h. x2 − 33x− 34 = (x− 34)(x + 1)

Som 227

Ontbind in factoren

a. 3x2y − 9x3y2 = 3xy(x− 3x2y)

b. 8− 2z2 = 2(4− z2) = 2(2− z)(2 + z)

c. 3x2 + 9x + 6 = 3(x2 + 3x + 2) = 3(x + 2)(x + 1)

d. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

e. x2 + 6x− 55 = (x + 11)(x− 5)

f. 6a− 6ab = 6a(1− b)

g. 6a− 6ab2 = 6a(1− b2) = 6a(1− b)(1 + b)

h. 3x2 − 6x + 3 = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x− 1)2

Som 228

Ontbind in factoren

a. k2 + 5k − 36 = (k + 9)(k − 4)

b. x2 + 23x + 42 = (x + 21)(x + 2)

c. 6−5y +y2 = (2−y)(3−y) = (y−3)(y−2)(als je eerst y2−5y +6 van de uitdrukking maakt.

Page 96: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

96 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN

d. 3x2 − 6p = 3(x2 − 2p)

e. x2 − 23x + 42 = (x− 21)(x− 2)

f. 2x2 − 8x− 24 = 2(x2 − 4x− 12) = 2(x− 6)(x + 2)

g. 2x2 − 8x− 16 = 2(x2 − 4x− 8)

h. 3x2 + 3y2 = 3(x2 + y2)

Som 229

Ontbind in factoren

a. x2 + 31x + 210 = (x + 10)(x + 21)

b. x2 − 54x− 360 = (x− 60)(x + 6)

c. x2 + 37x− 360 = (x + 45)(x− 8)

d. x2 − 49x + 360 = (x− 9)(x− 49)

e. −x2 − 37x + 164 = −(x2 + 37x− 164) = −(x + 41)(x− 4)

f. −x2 + 11x + 900 = −(x2 − 11x− 900) = −((x + 25)(x− 36)

g. z4 + 8z2 − 209 = (z2 + 19)(z2 − 11)

h. z2 − 50z + 625 = (z − 25)2

Som 230

Ontbind in factoren

a. 1y

2 + 2y + 1 = ( 1

y + 1)2

b. 1x

2 − 9x − 70 = ( 1

x − 14)( 1x + 5)

c. 2(x + y) + 3x(x + y) = (x + y)(2 + 3x)

d. 3y(x + y) + 3x(x + y) = (x + y)(3y + 3x) = 3(x + y)2

e. 3(a + c) + b(a + c) = (a + c)(3 + b)

f. a(a + c) + c(a + c) = (a + c)(a + c) = (a + c)2

g. (2 + t)4− (2 + t)t2 = (2 + t)(4− t2) = (2 + t)(2 + t)(2− t) = (2 + t)2(2− t)

h. a(a + b)2 + b(a + b)2 = (a + b)2(a + b) = (a + b)3

Som 231

Ontbind in factoren

a. x2y2 + 16xyz + 64z2 = (xy + 8z)2

Page 97: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 97

b. 12x2 − xy + 1

2y2 = 12 (x2 − 2xy + y2) = 1

2 (x− y)2

c. 14x2 − 2xz + 4z2 = 1

4 (x2 − 8xz + 16z2) = 14 (x− 4z)2

d. x4 − 10x2 + 9 = (x2 − 1)(x2 − 9) = (x− 1)(x + 1)(x− 3)(x + 3)

e. a5 + a3 = a3(a2 + 1)

f. a5 − a3 = a3(a2 − 1) = a3(a− 1)(a + 1)

g. 3x3 − 6x2 + 3x = 3x(x2 − 2x + 1) = 3x(x− 1)2

h. p2(t2 − 4)− q2(t2 − 4) = (t2 − 4)(p2 − q2) = (t− 2)(t + 2)(p− q)(p + q)

Som 232

Ontbind in factoren

a. 5a2b2 − 25abc− 70c2 = 5(a2b2 − 5abc− 14c2) = 5(ab− 7c)(ab + 2c)

b. 3x3 − 6x2 − 144x = 3x(x2 − 2x− 48) = 3x(x− 8)(x + 6)

c. 7 12x2 + 15x + 7 1

2 = 7 12 (x2 + 2x + 1) = 7 1

2 (x + 1)2

d. x4 − 4x2 + 4 = (x2 − 2)2

e. x4 − 8x2 + 16 = (x2 − 4)2 = (x− 2)2(x + 2)2

f. x4 − 6x2 + 9 = (x2 − 3)2

g. (x2 − 8x− 9)2 = (x− 9)2(x + 1)2

h. (x2 − 9)2 = (x− 3)2(x + 3)2

Som 233

Ontbind in factoren

a. a(x− 1)− b(x− 1) = (x− 1)(a− b)

b. (x + y)2 − z(x + y) = (x + y)(x + y − z)

c. (a + b)2 + 2(a + b) = (a + b)(a + b + 2)

d. (x− y)2 − (x− y) = (x− y)(x− y − 1)

e. (a + b)3 − a(a + b)2 = (a + b)2(a + b− a) = b(a + b)2

f. 2x(x + y)− (x + y)2 = (x + y)(2x− (x + y)) = (x + y)(2x− x− y) = (x + y)(x− y)

g. 3x(x− y)− (x− y)2 = (x− y)(3x− (x− y)) = (x− y)(2x− y)

h. (x + y)2 − x(x + y) = (x + y)(x + y − x) = y(x + y)

Som 234

Page 98: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

98 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN

Ontbind in factoren

a. ab + ac + bp + cp = a(b + c) + p(b + c) = (b + c)(a + p)

b. ab− ac + bp− cp = a(b− c) + p(b− c) = (b− c)(a + p)

c. a2 − ab + ac− bc = a(a− b) + c(a− b) = (a− b)(a + c)

d. ab + cd + ac + bd = ab + ac + cd + bd = a(b + c) + p(b + c) = (b + c)(a + p)

e. a2 − ab− ac + bc = a(a− b)− c(a− b) = (a− b)(a− c)

f. x2y2 + x2 + y2 + 1 = x2(y2 + 1) + 1(y2 + 1) = (y2 + 1)(x2 + 1)

g. a3 − 2a2 + 4a− 8 = a2(a− 2) + 4(a− 2) = (a− 2)(a2 + 4)

h. x3 − x2 − 3x + 3 = x2(x− 1)− 3(x− 1) = (x− 1)(x2 − 3)

Som 235

Ontbind in factoren

a. x2 + 2xy + y2 − z2 = (x + y)2 − z2 = (x + y − z)(x + y + z)

b. 4x2 + 4xy + y2 − 25 = (2x + y)2 − 25 = (2x + y − 5)(2x + y + 5)

c. 9x2 + 24xy + 16y2 − 1 = (3x + 4y)2 − 1 = (3x + 4y − 1)(3x + 4y + 1)

d. x2 − 4xy + 4y2 − z2 = (x− 2y)2 − z2 = (x− 2y − z)(x− 2y + z)

e. 4x2 − 4xy + y2 − z2 = (2x− y)2 − z2 = (2x− y − z)(2x− y + z)

f. 1− 6x + 9x2 − 9y2 = (1− 3x)2 − 9y2 = (1− 3x− 3y)(1− 3x + 3y)

g. −a2 + b2 − 6ac− 9c2 = −(a2 + 6ac + 9c2) + b2 = −(a + 3c)2 + b2 = (a + 3c + b)(−a− 3c + b)

h. −4x2 + 12x + y2 − 9 = −4x2 + 12x − 9 + y2 = −(4x2 − 12x + 9) + y2 = −(2x − 3)2 + y2 =(2x− 3 + y)(−2x + 3 + y)

Page 99: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

Hoofdstuk 6

Breuken

6.1 Vereenvoudigen

Som 236

Vereenvoudig de volgende breuken

a. xy2zx2y = yz

x

b. 5x4y5z2

10x3y4z4 = xy2z

c. 15ax2

20a2x = 3x4a

d. (x+y)2

x(x+y)x+y

x

e. (a+b)2(a−b)(a−b)2(a+b) = a+b

a−b

f. x−yy−x = x−y

−(x−y) = −1

g. −a2(a−b)a(b−a) = −a2(a−b)

−a(a−b) = a

h. (a−b)3

(b−a)2 = (a−b)3

(a−b)2 = a− b

Som 237

Vereenvoudig

a. a2−b2

a2+ab = (a−b)(a+b)a(a+b) = a−b)

a

b. x2−xyx2+xy = x(x−y)

x(x+y) = x−yx+y

c. a2−b2

(a+b)2 = (a−b)(a+b)(a+b)2 = a−b

a+b

99

Page 100: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

100 HOOFDSTUK 6. BREUKEN

d. ab−a2

ab−b2 = a(b−a)b(a−b) = −a

b

e. x2−1x−x2 = (x−1)(x+1)

x(1−x) = −x+1x

f. a−a3

a4−1 = a(1−a2)a4−1) = a(1−a2)

(a2−1)(a2+1) = −fracaa2 + 1

g. p2n−1pn−1 = ((pn)2−1

pn−1 = (pn−1)(pn+1)pn−1 = pn + 1

h. x2−xy+xzxy−y2+yz = x(x−y+z)

y(x−y+z) = xy

Som 238

Vereenvoudig

a. a2−4a+4a2−4 = (a−2)2

(a−2)(a+2) = a−2a+2

b. x2−2xy+y2

3x−3y = (x−y)2

3(x−y) = x−y3

c. x2+5x+4x2+7x+12 = (x+1)(x+4)

(x+3)(x+4) = x+1x+4

d. x2−5x+6x2−4 = (x−2)(x−3)

(x−2)(x+2) = x−3x+2

e. x2−4x+3x2−2x+1 = (x−1)(x−3)

(x−1)2 = x−3x−1

f. x2−10x+21x2−6x+9 = (x−3)(x−7

(x−3)2 = x−7x−3

g. 1−x2

4x2−4x = (1−x)(1+x)4x(x−1) = −x+1

4x

h. xy−xz−y2+yzxy+xz−y2−yz = x(y−z)−y(y−z)

x(y+z)−y(y+z) = (y−z)(x−y)(y+z)(x−y) = y−z

y+z

Som 239

De volgende breuken zijn te vereenvoudigen. Bereken telkens a.

a. x−ax−5 = 1 als a = 5

b. 2xx−a = 2 als a = 0

c. x−2ax2−4 = x−2a

x(x−1) = 1x−1 als a = 0

x−2ax2−4 = x−2a

x(x−1) = 1x als a = 1

2

d. x−ax2−x = x−a

x(x−1) = 1x−1 als a = 0

x−ax2−x = x−a

x(x−1) = 1x als a = 1

e. x2−a2

2x−4 = (x−a)(x+a)2(x−2) = x+2

2 als a = 2 of a = −2

Page 101: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

6.1. VEREENVOUDIGEN 101

f. x2−a2

x2−5x+4 = (x−a)(x+a)(x−1)(x−4) = x+1

x−4 als a = 1 of a = −1x2−a2

x2−5x+4 = (x−a)(x+a)(x−1)(x−4) = x+4

x−1 als a = 4 of a = −4

g. x2−a2

x2−13x+36 = (x−a)(x+a)(x−4)(x−9) = x+9

x−4 als a = 9 of a = −9x2−a2

x2−13x+36 = (x−a)(x+a)(x−4)(x−9) = x+4

x−9 als a = 4 of a = −4

h. x2−a2

x2−20x+64(x−a)(x+a)(x−4)(x−16) = x+4

x−16 als a = 4 of a = −4x2−a2

x2−20x+64(x−a)(x+a)(x−4)(x−16) = x+16

x−4 als a = 16 of a = −16

Page 102: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

102 HOOFDSTUK 6. BREUKEN

6.2 Optellen en aftrekken van breuken met letters

Zoals we bij het optellen van breuken met getallen gezien hebben:

27

+37

=57

Net zo tel je twee breuken met letters op:

Voorbeelden:

1. 5a + 7

a = 12a

2. 4x2 + 8

x2 = 12x2

3. aa+b + b

a+b = a+ba+b = 1

4. ax − a−b

x + bx = a−(a−b)+b

x = 2bx

En als de breuken nog niet gelijknamig zijn:

1. 14 + 2

5 = 520 + 8

20 = 1320

2. 1a + 1

b = bab + a

ab = b+aab

3. xx+1 − x

x+2 = x(x+2)−x(x+1)(x+1)(x+2) = x

(x+1)(x+2)

6.3 Opgaven

Som 240

Herleid tot de eenvoudigste vorm

a. x−yx + y

x = xx = 1

b. xp + 2x

p − 3xp = x+2x−3x

p = 0

c. a2

b − a2−abb = a2−(a2−ab)

b = a2−a2+abb = ab

b = a

d. aa−b + b

b−a = aa−b − b

a−b = a−ba−b = 1

e. x2

x−3 − 3xx−3 = x2−3x

x−3 = x(x−3)x−3 = x

f. 3xx−y − 3y

x−y = 3x−3yx−y = 3(x−y)

x−y = 3

g. 2pp−q − 2q

p−q = 2p−2qp−q = 2(p−q)

p−q = 2

h. x2

x−3 − 3xx−3 = x(x−3)

x−3 = x

Som 241

Page 103: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

6.3. OPGAVEN 103

Herleid tot de eenvoudigste vorm

a. p2

p−1 + 11−p = p2−1

p−1 = (p−1)(p+1)p−1 = p + 1

b. 1x + 1

y = yxy + x

xy = y+xxy

c. xy − y

z = xzyz − y2

yz = xz−y2

yz

d. mn + n

m = m2

mn + n2

mn = m2+n2

mn

e. 1p2 − 1

pq = qp2q − p

p2q

f. 1bc + 1

ac = aabc + b

abc = a+babc

g. xyz − y

xz = x2

xyz − y2

xyz = x2−y2

xyz

h. 1a − 1

a2 = aa2 − 1

a2 = a−1a2

Som 242

Herleid tot de eenvoudigste vorm

a. a+cc2 − 1

c = a+cc2 − c

c2 = ac2

b. 1− 1a = a

a − 1a = a−1

a

c. a + 1a = a2

a + 1a = a2+1

a

d. aa+b + a

a−b = a(a−b)(a+b)(a−b) + a(a+b)

(a+b)(a−b) = 2a2

a2−b2

e. 1x−y + 1

x+y = x+y(x−y)(x+y) + x−y

(x−y)(x+y)

f. a− a2

a+b = a(a+b)a+b − a2

a+b = aba+b

g. x− xx+1 = x(x+1)

x+1) − xx+1 = x2

x+1

h. aa+b − 1 = a

a+b − a+ba+b = −b

a+b

Som 243

Herleid tot de eenvoudigste vorm

a. xx−y − 1 = x

x−y − x−yx−y = y

x−y

b. aa+b + a

a−b − 1 = a(a−b)(a+b)(a−b) + a(a+b)

(a+b)(a−b) − a2−b2

a2−b2 = a2−ab+a2+ab−a2+b2

a2−b2 = a2+b2

a2−b2

c. 1p−2 − 4

p2−4 = p+2(p+2)(p−2) − 4

(p+2)(p−2) = p−2(p+2)(p−2) = 1

p+2

d. 1x2−x − 1

x2−1 = 1x(x−1) − 1

(x−1)(x+1) = x+1x(x−1)(x+1) − x

x(x−1)(x+1) = 1x(x−1)(x+1)

Page 104: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

104 HOOFDSTUK 6. BREUKEN

e. mmn−n2 − m

mn+n2 = mn(m−n) − m

n(m+n) = m(m+n)n(m−n)(m+n) − m(m−n)

n(m−n)(m+n) = m2+mn−m2+mnn(m−n)(m+n) =

mnn(m−n)(m+n) = m

m2−n2

f. 1a−ab + 1

b2−ab = 1a(a−b) + 1

b(b−a) = bab(a−b) − a

ab(a−b) = b−aab(a−b) = − 1

ab

g. aa−b + ab

(b−a)2 = a(a−b)(a−b)2 + ab

(a−b)2 = a2

(a−b)2

h. 11−x − 1

1−x2 = 1+x1−x2 − 1

1−x2 = x1−x2

Page 105: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

6.4. BREUKEN MET LETTERS VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 105

6.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen

Zoals23× 4

5=

815

Zo is:a

b× p

q=

ap

bq

En net zoals:2345

=23× 5

4=

1012

=56

Zo is:abcd

=a

b× d

c=

ad

bc

Voorbeelden:

1.abac

= ab × c

a = cb

2. x× yx+y = xy

x+y

3. x−1x+1 × x2−1

x2 = x−1x+1 × (x−1)(x+1)

x2 = (x−1)2

x2

6.5 Opgaven

Som 244

Herleid tot de eenvoudigste vorm:

a. xy × y

z × zx = 1

b. a2

bc × b2

ac × c2

ab = 1

c. a2 × ba = ab

d. (x2 − 4)× 1x−2 = (x−2)(x+2)

(x−2) = x + 2

e. 4a2 × (a−b2a )2 = (a− b)2

f. 4x3 × ( y−2x )2 = 4x3×y2

4x2 = xy2

g. (a + b)× a−ba2+ab = (a + b)× a−b

a(a+b) = a−ba

h. (x− 1)× 11−x = −1

Som 245

Herleid tot de eenvoudigste vorm:

Page 106: Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letterswebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/uitRekenen... · 2010. 5. 31. · 8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4+0 = 4 4+¡1

106 HOOFDSTUK 6. BREUKEN

a. (a− b)2 × 1a2−b2 = (a− b)2 × 1

(a−b)(a+b) = a−ba+b

b. x−1x−2 : x−1

x−3 = x−1x−2 × x−3

x−1 = x−3x−2

c. (x+1x+2 )2 : x+1

(x+2)2 = (x+1)2

(x+2)2 × (x+2)2

x+1 = x + 1

d. x2−1x2+1 : (x− 1) = (x−1)(x+1)

x2+1 × 1x−1 = x+1

x2+1

e. (a− b) : a2−aba+b = (a− b)× a+b

a(a−b) = a+ba

f. (2x− 1) : 1−2x1−x = (2x− 1)×− 1−x

2x−1 = x− 1

g. (ab + b

a )× ab = a2 + b2

h. (3− 2x+1 )× (x + 1) = 3(x + 1)− 2 = 3x− 1