Uitwerkingen Rekenen met cijfers en...
Transcript of Uitwerkingen Rekenen met cijfers en...
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Maerlant College Brielle1
5 oktober 2009
1 c©Swier Garst - RGO Middelharnis
2
Inhoudsopgave
1 Rekenen met gehele getallen 71.1 De gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Optellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Delen op nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.12 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Delen door nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.14 Nul gedeeld door nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.15 Machtsverheffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.16 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.17 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.18 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.19 Delen van machten met hetzelfde grondtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.20 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.21 Machten van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.22 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.23 Combinaties van bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.24 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Breuken 232.1 De breuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Optellen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Vermenigvuldigen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
4 INHOUDSOPGAVE
2.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Delen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.11 Een deel van een deel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.12 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.13 Decimale schrijfwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.14 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.15 Procenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.16 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Korter schrijven 453.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Optellen met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Meer letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Rekenen met letters 514.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Aftrekken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Het tegengestelde van x+y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.6 Vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8 Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.10 Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.11 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.12 Delen van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.13 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.14 Machten van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.15 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.16 Vereenvoudigen van breuken met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.17 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.18 Optellen en aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.19 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.20 Vermenigvuldigen van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.21 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.22 Haakjes wegwerken I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.23 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.24 Haakjes wegwerken II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.25 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.26 (a + b)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.27 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.28 (a + b)(a− b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
INHOUDSOPGAVE 5
4.29 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.30 Haakjesvaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Ontbinden in factoren 895.1 Ontbinden in factoren I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 Ontbinden in factoren II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5 Ontbinden allerlei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Breuken 996.1 Vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Optellen en aftrekken van breuken met letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Rekenen met gehele getallen
1.1 De gehele getallen
De getallen 0, 1, 2, 3, 4, ... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool NDe natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn.Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleennatuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken.Zo kun je 5− 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 3− 5 niet.De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden:De getallen ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, .... heten de gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z
De getallen 1, 2, 3, .. heten de positieve gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z+
De getallen ...,−4,−3,−2,−1 heten de negatieve gehele getallen.Ze worden aangegeven met het symbool Z−
Twee getallen, zoals 3 en -3 of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegenge-stelde.
1.2 Optellen
Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen eenvoortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:
4 + 3 = 74 + 2 = 64 + 1 = 5
7
8 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
4 + 0 = 44 +−1 = 34 +−2 = 24 +−3 = 14 +−4 = 04 +−5 = −14 +−6 = −24 +−7 = −3
De getallen 3 en 4 in 3 + 4 = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan 3 en 4.We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengestelde.
De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4+6 de volgorde van determen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdatde gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellenvan gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen.Bijvoorbeeld: 4 +−6 = −6 + 4
1.3 Opgaven
Som 1
Schrijf het tegengestelde op van:
a. Het tegengestelde van −3 is 3
b. Het tegengestelde van4 is −4
c. Het tegengestelde van−5 is 5
d. Het tegengestelde van6 is −6
e. Het tegengestelde van12 is −12
f. Het tegengestelde van−32 is 32
g. Het tegengestelde van32 is −32
h. Het tegengestelde van−34 is 34
Som 2
Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
a. 2 + 3 = 5
b. −2 + 3 = 1
c. −4 + 8 = 4
d. 8 +−3 = 5
e. 5 +−2 = 3
f. 6 +−3 = 3
g. −3 +−5 = −8
h. −1 +−5 = −6
Som 3
Schrijf de opgave over en bereken:
1.3. OPGAVEN 9
a. 6 +−4 = 2
b. −8 + 5 = −3
c. −4 +−5 = −9
d. −12 + 11 = −1
e. −7 + 9 = 2
f. −4 +−6 = −10
g. 12 +−8 = 4
h. 4 +−7 = −3
Som 4
Schrijf de opgave over en bereken:
a. −5 +−8 = −13
b. 19 +−11 = 8
c. −17 + 38 = 21
d. −9 +−25 = −34
e. −4 + 7 = 3
f. 4 +−7 = −3
g. 4 +−7 = −3
h. 4 + 7 = 11
Som 5
Schrijf de opgave over en bereken:
a. −3 + 8 = 5
b. 6 +−7 = −1
c. −5 +−4 = −9
d. −9 + 6 = −3
e. 16 +−15 = 1
f. 23 +−24 = −1
g. −1 +−5 = −6
h. 1 +−7 = −6
Som 6
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 13 +−6 = 7
b. −4 +−4 = −8
c. 2 +−2 = 0
d. 7 +−1 = 6
e. −11 +−7 = −18
f. 5 +−5 = 0
g. −8 + 9 = 1
h. −10 +−10 = −20
Som 7
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 6 +−5 +−4 = −3
b. −3 + 7 +−4 = 0
c. 8 +−10 + 7 = 5
d. 4 +−4 + 4 = 4
10 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
e. 9 +−4 + 7 = 12
f. 9 + 7 +−4 = 12
g. 7 + 9 +−4 = 12
h. −4 + 9 + 7 = 12
Som 8
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 7 +−3 +−4 = 0
b. −3 +−4 +−5 = −12
c. 3 +−3 + 0 = 0
d. 4 +−5 + 6 = 5
e. −1 +−2 +−3 = −6
f. −3 + 4 +−5 = −4
g. −2 +−2 +−2 = −6
h. −5 +−5 +−5 = −15
Som 9
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 17 + 24 +−11 + 1 = 31
b. 6 +−4 +−9 + 2 = −5
c. −14 + 7 + 11 + 2 = 6
d. −3 + 9 +−7 + 5 = 4
e. 3 + 28 +−7 +−4 = 20
f. 12 +−10 +−6 + 4 = 0
g. 19 + 38 +−64 + 25 =
h. −18 +−75 + 12 +−21
Som 10
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 9 +−5 +−3 = 1
b. −6 + 9 + 5 = 8
c. −6 + 19 + 5 = 18
d. 4 +−11 + 8 = 1
e. 15 +−3 + 11 = 23
f. 10 + 5− 4 = 11
g. 7 + 12 +−6 = 13
h. 4 + 19 +−11 = 12
1.4 Aftrekken
Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen eenvoortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:4− 3 = 14− 2 = 24− 1 = 34− 0 = 44−−1 = 54−−2 = 6
1.5. OPGAVEN 11
4−−3 = 74−−4 = 8Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengestelde.
1.5 Opgaven
Som 11
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 2− 3 = −1
b. −2− 3 = −5
c. −4− 8 = −12
d. 8−−3 = 11
e. 5−−3 = 8
f. −3−−5 = 2
g. −1−−5 = 4
h. −8−−2 = −6
Som 12
Schrijf de opgave over en bereken
a. 17− 4 = 13
b. 18− 19 = −1
c. 14− 20 = −6
d. 13− 6 = 7
e. 6− 13 = −7
f. 11− 28 = −17
g. 17− 15 = 2
h. 30− 45 = −15
Som 13
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 0− 7 = −7
b. −1− 12 = −13
c. −5− 14 = −19
d. −15− 8 = −23
e. −11− 25 = −36
f. 17− 38 = −21
g. −17− 38 = −55
h. −24− 1 = −25
Som 14
Schrijf de opgaven over en bereken:
a. 12−−43 = 55
b. 34−−54 = 88
c. −12−−67 = 55
d. −45− 23 = −68
12 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
e. −455−−123
f. −867− 435
g. −294− 857
h. 645−−746
Som 15
Schrijf de opgave over en bereken:
a. −38− 43−−83
b. 73− 27− 68
c. −1− 2− 3− 4 = −10
d. 0−−2 = 2
e. 0−−3 = 3
f. 1−−2−−3−−4 = 10
g. −12−−12− 12 = −12
h. 12− 12− 12 = −12
1.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken
Som 16
Schrijf de som over en bereken
a. 4 +−8 = −4
b. 18− 11 = 7
c. −13− 9 = −22
d. −10 +−15 = −25
e. 11− 19 = −8
f. −24 + 16 = −8
g. 35−−9 = 44
h. 12− 24 = −12
Som 17
Schrijf de som over en bereken
a. −7−−7 = 0
b. 16− 14 = 2
c. 29 +−19 = 10
d. 23−−11 = 34
e. −14− 14 = −28
f. −20 +−10 = −30
g. 16−−1 = 17
h. 0−−8 = 8
Som 18
Schrijf de som over en bereken
a. 12− 13 = −1
b. −12− 13 = −25
c. 13−−12 = 25
d. −12− 13 = −25
1.6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 13
e. −12−−13 = 1
f. −12 + 13 = 1
g. 12 +−13 = −1
h. −13 +−12 = −25
Som 19
Schrijf de som over en bereken
a. 4−−3 +−5
b. −9− 16− 11
c. −13−−11− 24
d. 15 +−8− 7
e. 25− 17−−18
f. −14−−11− 13
g. 7− 38− 15
h. 11 + 19−−10
Som 20
Schrijf de som over en bereken:
a. 14− 18 + 12
b. 7 +−9− 13
c. 24−−11− 15
d. 19 + 25− 12
e. −33−−14− 1
f. −16 + 38−−10
g. 14− 19−−21
h. −12 +−15− 15
Som 21
Schrijf de som over en bereken:
a. 28− 45 + 17
b. −12− 15−−8
c. 6−−2− 2
d. −14 + 17−−5
e. 37− 19−−11
f. 25−−13 + 9
g. −8− 8−−8
h. 7−−13− 17
Som 22
Schrijf de som over en bereken
a. 22 +−18−−14
b. −15 + 16− 17
c. 41− 25− 28
d. −17 + 8− 12
e. 38 + 17− 20
f. 45− 10− 29
g. 18 +−23− 12
h. −14− 14− 14
14 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
Som 23
Schrijf de som over en bereken
a. −3−−5 + 11
b. 8− 6− 8
c. 14 +−17− 17
d. −9 + 9− 9
e. 27−−11− 15
f. 16 +−14−−3
g. −38− 37− 36
h. 10 +−27 + 9
Som 24
Schrijf de som over en bereken
a. −1−−1− 1
b. 7 + 4−−8
c. −5 +−5 +−5
d. 6 +−8− 12
e. 11− 7− 15
f. −10− 20 + 25
g. −13 + 26− 13
h. −5 + 47−−8
Som 25
Schrijf de som over en bereken
a. 19 +−15− 7−−2
b. 31− 18−−5 + 12
c. −26− 14− 19 + 7
d. 17 + 11−−10− 3
e. −5− 5−−5 + 5
f. 7 +−12− 9 + 4
g. 16− 8− 24 + 14
h. −7− 13− 19− 25
1.7 Vermenigvuldigen
Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel:
4× 3 = 124× 2 = 84× 1 = 44× 0 = 04×−1 = −44×−2 = −84×−3 = −124×−4 = −164×−5 = −20
1.8. OPGAVEN 15
Zoals 4× 3 = 3× 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehelegetallen:4×−2 = −2× 4
Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken:−4× 3 = −12−4× 2 = −8−4× 1 = −4−4× 0 = 0−4×−1 = 4−4×−2 = 8−4×−3 = 12−4×−4 = 16−4×−5 = 20
We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt:
positief getal × positief getal = positief getalpositief getal × negatief getal = negatief getalnegatief getal × positief getal = negatief getalnegatief getal × negatief getal = positief getal
1.8 Opgaven
Som 26
Schrijf de sommen over en bereken
a. 4× 7 = 28
b. −4× 7 = −28
c. 15×−8 = −120
d. 7×−9 = −63
e. −6×−12 = 72
f. 9×−11 = −99
g. 8× 6 = 48
h. 7×−5 = −35
Som 27
Schrijf de som over en bereken
a. 14×−5 = −70
b. 9×−12 = −108
c. −6×−13 = 78
d. 11× 11 = 121
e. −4×−8 = 32
f. 3×−12 = −36
g. −7× 7 = −49
h. −15× 5 = −75
16 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
Som 28
Schrijf de som over en bereken
a. 6×−18 = −108
b. −5× 5 = −25
c. 12×−3 = −36
d. −9×−9 = 81
e. −7×−14 = 98
f. 12×−12 = −144
g. 13×−7 = −91
h. −5×−10 = 50
Som 29
Schrijf de som over en bereken:
a. 16× 4 = 64
b. −15×−6 = 90
c. 18×−5 = −90
d. −17× 4 = −68
e. 3×−19 = −57
f. 11× 13 = 143
g. −14×−8 = 112
h. 15×−4 = −60
Som 30
Schrijf de som over en bereken
a. 6× 8×−3 = −144
b. 7×−5×−2 = 70
c. −9× 10× 3 = −270
d. 7×−8×−4 = 226
e. −5×−2×−8 = −80
f. −3× 7×−5 = 105
g. 4×−4×−4 = 64
h. −10×−11× 3 = 330
Som 31
Schrijf de som over en bereken
a. 7× 7×−2 = −98
b. 9×−5×−4 = 180
c. −6× 6×−6 = 216
d. 4×−5× 6 = −120
e. 7× 8×−1 = −56
f. −3×−6× 9 = 162
g. −5×−8×−6 = −240
h. −2×−3× 0 = 0
1.9. DELEN 17
1.9 Delen124 = 3, omdat 3× 4 = 12Daarom is 12
−4 = −3: Immers −3×−4 = 12Zo is:−12−4 = 3 omdat 3×−4 = −12−124 = −3 omdat −3× 4 = −12
1.10 Opgaven
Som 32
Schrijf de opgave over en reken uit:
a. −155 = −3
b. 14−7 = −2
c. −248 = −3
d. 366 = 6
e. −4816 = −3
f. −648 = −8
g. 45−5 = −9
h. −45−9 = 9
Som 33
Schrijf de opgave over en reken uit:
a. 144−16 = −9
b. −16218 = 9
c. −222653
d. −222653
e. 6450−75
f. −645075
g. 520862
h. −520862
1.11 Delen op nul03 = 0, want 0 = 3× 0.Net zo is 0
4 = 0 en 0127 = 0
1.12 Opgaven
Som 34
Schrijf over en bereken
18 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
a. 06 = 0
b. 0−3 = 0
c. 0−1000 = 0
d. 0−200 = 0
1.13 Delen door nul30 =?Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan?Als je op de plaats van ? een getal denkt, dan moet 0×? = 2.Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden.Dus: Delen door nul kan niet.
1.14 Nul gedeeld door nul00 =?Wel getal kan er op de plaats van ??.Voor zo’n getal moet gelden: 0×? = 0. Maar dan kan op de plaats van ? ieder getal staan. Daaromzeggen we 0
0 kan niet.
1.15 Machtsverheffen
54 is de korte schrijfwijze van 5× 5× 5× 5Een uitdrukking als 54 heet een macht.De 5 heet het grondtalDe 4 heet de exponent
Voorbeelden:
1. 43 = 4× 4× 4 = 64
2. (−3)4 = −3×−3×−3×−3 = 81
3. Pas op: −34 = −3× 3× 3× 3
1.16 Opgaven
Som 35
Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.
a. 22 = 4
b. 23 = 8
c. 24 = 16
d. 25 = 32
e. 26 = 64
f. (−2)2 = 4
1.17. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL 19
g. (−2)3 = −8 h. (−2)4 = 16
Som 36
Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.
a. (−2)3 = −8
b. (−2)4 = 16
c. (−2)5 = −32
d. (−2)6 = 64
e. −22 = −4
f. −23 = −8
g. −24 = −16
h. −25 = −32
Som 37
Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.
a. 32 = 9
b. 33 = 27
c. 34 = 81
d. 35 = 243
e. 36 = 729
f. (−3)2 = 9
g. (−3)3 = −27
h. (−3)4 = 81
Som 38
Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.
a. (−3)3 = −27
b. (−3)4 = 81
c. (−3)5 = −243
d. (−3)6 = 729
e. −32 = −9
f. −33 = −27
g. −34 = −81
h. −35 = −243
1.17 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal
Omdat 74 = 7× 7× 7× 7 en 75 = 7× 7× 7× 7× 7is74 × 75 = 7× 7× 7× 7︸ ︷︷ ︸
4 factoren 7
× 7× 7× 7× 7× 7︸ ︷︷ ︸5 factoren 7
= 79
Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de expo-nenten van die machten bij elkaar optellen.
1.18 Opgaven
Som 39
Schrijf als een macht
20 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
a. 34 × 36 = 310
b. 105 × 106 = 1011
c. 42 × 43 = 47
d. 77 × 77 = 714
e. 134 × 138 = 1312
f. 1203 × 1204 = 1207
g. 1224 × 1212 × 1210 = 1246
h. 5× 52 × 53 . . .× 59 × 510 = 524
1.19 Delen van machten met hetzelfde grondtal
712
74 = 78 omdat 712 = 78 × 74
Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van diemachten van elkaar aftrekken.
1.20 Opgaven
Som 40
Schrijf als een macht:
a. 39
33 = 36
b. 512
53 = 59
c. 47
4 = 46
d. 1212
1211 = 12
e. 106
102 = 104
f. 1245
1234 = 1211
g. 155
153 = 152
h. 2222
2221 = 22
1.21 Machten van machten
754 heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van 75
754 = 75 × 75 × 75 × 75
︸ ︷︷ ︸4 factoren 75
= 720
Als je een macht van een macht wilt schrijven als een macht, dan moet je de exponenten van debeide machten met elkaar vermenigvuldigen.
1.22 Opgaven
Som 41
Schrijf de machten als macht van een grondtal:
a. 745 = 720
b. 222 = 24
c. 234 = 212
d. (−2)34 = (−2)12
1.23. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN 21
e. −234 = 212
f. (−4)53 = (−4)15
g. 3456= 3120
h. (−3)456= (−3)120
1.23 Combinaties van bewerkingen
Gevraagd: Bereken 4 + 5× 6.Omdat 5× 6 betekent 6 + 6 + 6 + 6 + 6 moet je bij 4 + 5× 6 eerst 5× 6 uitrekenen en dan pas bijde uitkomst 4 optellen.Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen.4 + 5× 6 =4 + 30 = 34
Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken:(4 + 5)× 6 =9× 6 = 54
1.24 Opgaven
Som 42
Bereken:
a. 4× 5 + 6 = 20 + 6 = 26
b. 4 + 5× 6 = 4 + 30 = 34
c. 4 + 5× 6 + 7 = 4 + 30 + 7 = 41
d. 4 + 5 + 6× 7 = 4 + 5 + 42 = 51
e. 4× 5 + 6× 7 = 20 + 42 = 62
f. (4 + 5)× 6 + 7 = 9× 6 + 7 = 54 + 7 = 61
g. 4 + 5× (6 + 7) = 4 + 5× 13 = 4 + 65 = 69
h. (4 + 5)× (6 + 7) = 9× 13 = 117
Som 43
Bereken:
a. (4− 5)× (6 + 7) = −1× 13 = −13
b. 4− 5× 6 + 7 = 4− 30 + 7 = −19
c. 4− 5× 6 = 4− 30 = −26
d. −4− 5×−6 = −4 + 30 = 26
e. (4− 5)×−6 = −1×−6 = 6
f. (−4− 5)×−6 = −9×−6 = 54
g. 4− 5 + 6×−7 = 4− 5− 42 = −43
h. 4− 5 +−6×−7 = 4− 5 + 42 = 41
Som 44
Bereken
22 HOOFDSTUK 1. REKENEN MET GEHELE GETALLEN
a. −4 + 5− 6× 7 = −4 + 5− 42 = −41
b. −4 + 5×−6 + 7 = −4− 30 + 7 = −27
c. −4− 5×−6− 7 = −4 + 30− 7 = 19
d. (5− 7)×−2 = −2×−2 = 4
e. (5− 9)× (5− 11) = −4×−6 = 24
f. 5× 9− 5× 11 = 45− 55 = −10
g. (5−8)×3−10 = −3×3−10 = −9−10 =−19
h. (4−6)×−2+3 = −2×−2+3 = 4+3 = 7
Som 45
Bereken
a. 12+8−5 = 20
−5 = −4
b. −48+18−4−1 = −30
−5 = 6
c. 24− 123
6−8 = 24−4−2 = −10
d. 4×3+1−1+2×7 = 12+1
−1+14 = 1
e. 5×8+9×51+2×8 = 40+45
1+16 = 8517 = 5
f. 5×(9+8)×540−16−1 = 5×17×5
23 =
g. 4 + 12+85 − −3−3
12−5 = 4 + 205 − −6
7 = 8 + 67 = 8 6
7
h. 5×−6×7(3−2−1)×3 = −210
0 = kanniet
Hoofdstuk 2
Breuken
2.1 De breuk
Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 63 je kunt voorstellen.
Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeeld. Ieder deel heeftde lengte 2 en het eerste deel loopt van 0 tot en met 2, precies het getal 2 = 6
3 .Zoals 6
3 kun je ook van de deling 13 een voorstelling maken:
De uitkomst van de deling 13 noemen we de breuk 1
3 . Het getal 1 in de breuk heet de teller.Het getal 3 in de breuk heet de noemer.Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken.Dat 1
3 = 26 kun je in het volgende plaatje zien:
23
24 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
Gevolg:Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waardevan die breuk gelijk.Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijftde waarde van die breuk gelijk.
Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen.
Met de uitdrukking 3 34 bedoelen we 3 + 3
4Voor 3 3
4 kunnen we ook 154 schrijven.
2.2 Opgaven
Som 46
Laat met een getallenlijn zien:
a. 105 = 2
b. 102 = 5
c. −84 = −2
d. −13 = − 1
3
e. 3 34 = 15
4
Som 47
Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk:
a. 420 = 1
5
b. 530 = 1
6
c. 1518 = 5
6
d. −912 = − 3
4
e. −812 = − 2
3
f. 4864 = 3
4
g. 4060 = 2
3
h. −3045 = − 2
3
2.2. OPGAVEN 25
Som 48
Vereenvoudig
a. 1221 = 4
7
b. 1624 = 2
3
c. 77 = 1
d. 1133 = 1
3
e. 4015 = 8
3
f. 834 = 4
17
g. 4613 = is niet te vereenvoudigen
h. 4816 = 3
Som 49
Vereenvoudig
a. 6016 = 15
4
b. 4416 = 11
4
c. 446 = 22
3
d. 14412 = 12
e. 14424 = 6
f. 303202 = 3
2
g. 46184 =
h. 25172 =
Som 50
Vul het ontbrekende getal in:
a. 413 = 28
91
b. 16 = 11
66
c. 710 = 49
70
d. 723 = 14
46
e. 723 = 21
69
f. 234 = 24
32
g. 456 = 80
96
h. 79 = 63
81
26 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
2.3 Optellen van breuken
Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 23 + 5
3 = 73
Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breukenbij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk.
VoorbeeldOm 2
4 + 34 uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden:
23 = 8
1234 = 9
12
Dus:
24 + 3
4=812 + 9
12 = 1712
Voorbeeld:Bereken 1 2
3 + 3 35
Uitwerking:
1 23 = 5
33 3
5 = 185
Dus:53 + 18
5 = 2515 + 54
15 = 7915 = 5 4
15
2.4 Opgaven
Som 51
Leg uit hoe je 45 + 5
8 uitrekent.
Som 52
Bereken
a. 23 + 2
5 = 1015 + 6
15 = 1615
b. 14 + 1
2 = 14 + 2
4 = 34
2.4. OPGAVEN 27
c. 1 14 + 1
2 = 1 14 + 2
4 = 1 34
d. 18 + 1
2 = 18 + 4
8 = 58
e. 23 + 1
8 = 1624 + 3
24 = 1924
f. 23 + 5
8 = 1624 + 15
24 = 3124
g. 1 23 + 1
6 = 1 46 + 1
6 = 1 56
h. 1 23 + 2 1
6 = 1 46 + 2 1
6 = 3 56
Som 53
Bereken
a. 1 56 + 1
4 = 1 1012 + 3
12 = 1 1312 = 2 1
12
b. 1 14 + 5
6 = 2 112Gaat over dezelfde getallen als a.
c. 1 19 + 5
6 = 1 436 + 30
36 = 1 3436 = 1 17
18
d. 2 19 + 3
4 = 2 436 + 27
36 = 2 3136
e. 2 34 + 2 7
9 = 2 2736 + 2 28
36 = 4 5536 = 5 19
36
f. 1 14 + 2 4
5 = 1 520 + 2 16
20 = 3 2120 = 4 1
20
g. 56 + 1 1
7 = 3542 + 1 6
42 = 1 4142
h. 17 + 1
8 = 856 + 7
56 = 1556
Som 54
Bereken
a. 6 13 + 1 4
21 = 6 721 + 1 4
21 = 7 1121
b. 8 23 + 1
30 = 8 2030 + 1
30 = 8 2130 = 8 7
10
c. 4 16 + 1
30 = 4 530 + 1
30 = 4 630 = 4 1
5
d. 125 + 1
100 = 4100 + 1
100 = 5100 = 1
20
e. 2 12 + 1
100 = 2 50100 + 1
100 = 2 51100
f. 1 56 + 7
30 = 1 2530 + 7
30 = 1 3230 = 2 1
15
g. 6 17 + 7 1
6 = 6 642 + 7 7
42 = 13 1342
h. 5 811 + 1 4
55 = 5 4055 + 1 4
55 = 6 4455 = 6 4
5
Som 55
Bereken
28 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
a. 14 + 1
2 = 14 + 2
4 = 34
b. 1 14 + 1
2 = 1 34
c. 18 + 1
2 = 18 + 4
8 = 58
d. 18 + 1
4 = 18 + 2
8 = 38
e. 23 + 1
8 = 1624 + 3
24 = 1924
f. 23 + 5
8 = 1624 + 15
24 = 3124 = 1 7
24
g. 1 23 + 1
6 = 1 46 + 1
6 = 1 56
h. 1 23 + 5
6 = 1 46 + 5
6 = 1 96 = 2 1
2
Som 56
Bereken
a. 215 + 3
5 = 215 + 9
15 = 1115
b. 215 + 5
6 = 430 + 25
30 = 2930
c. 215 + 7
10 = 430 + 21
30 = 2530 = 5
6
d. 2 15 + 5
9 = 2 945 + 25
45 = 2 3445
e. 1 + 713 = 1 7
13
f. 38 + 1 1
2 = 38 + 1 4
8 = 1 78
g. 1 524 + 2 7
12 = 1 524 + 2 14
24 = 3 1924
h. 1 913 + 2 4
39 = 1 2739 + 2 4
39 = 3 3139
Som 57
Bereken
a. 6 13 + 1 4
21 = 6 721 + 1 4
21 = 7 1121
b. 8 23 + 1
30 = 8 2030 + 1
30 = 8 2130 = 8 7
10
c. 4 16 + 1
30 = 4 530 + 1
30 = 4 630 = 4 1
5
d. 125 + 1
100 = 4100 + 1
100 = 5100 = 1
20
e. 725 + 1
10 = 1450 + 5
50 = 1950
f. 2 12 + 7
100 = 50100 + 7
100 = 57100
g. 160 + 7
30 = 160 + 14
60 = 1560 = 1
4
h. 25 + 7
30 = 1230 + 7
30 = 1930
2.5. AFTREKKEN VAN BREUKEN 29
2.5 Aftrekken van breuken
Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 73 − 5
3 = 23 .
Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van diebreuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk.
2.6 Opgaven
Som 58
Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat 23 − 7
3 = − 53 .
Som 59
Bereken
a. 16 − 5
6 = − 46 = − 2
3
b. 67 − 2
7 = 47
c. 27 − 6
7 = − 47
d. 715 − 13
15 = − 615 = − 2
5
e. 1419 − 5
19 = 919
f. 519 − 1 14
19 = −1 919
g. 1 37 − 5
7 = 107 − 5
7 = 57
h. 2 37 − 1 6
7 = 1 107 − 16
7 = 1 47
Som 60
Bereken
a. 13 − 1
6 = 26 − 1
6 = 16
30 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
b. 16 − 1
3 = 16 − 2
6 = − 16
c. 1 13 − 1
5 = 1 515 − 3
15 = 1 215
d. 1 15 − 1
3 = 1 315 − 5
15 = 1815 − 5
15 = 1315
e. 13 − 1 1
5 = 515 − 18
15 = − 1315
f. 15 − 1 1
3 = 315 − 20
15 = − 1715 = −1 2
15
g. 15 − 1
3 − 1 = 315 − 5
15 − 1515 = −1 2
15
h. 1− 13 − 1
5 = 1515 − 5
15 − 315 = 7
15
Som 61
Bereken
a. 17 − 1
14 = 214 − 1
14 = 114
b. 1 114 − 1
7 = 1514 − 2
14 = 1314
c. 2 314 − 1
7 = 2 314 − 2
14 = 2 114
d. 4 56 − 7
8 = 4 2024 − 21
24 = 3 4424 − 21
24 = 3 2324
e. 1112 − 11
24 = 2224 − 11
24 = 1124
f. 2 1124 − 11
12 = 2 1124 − 22
24 = 1 3524 − 22
24 = 1 1324
g. 1 38 − 5
12 = 1 924 − 10
24 = 3324 − 10
24 = 2324
h. 38 − 5
12 = 924 − 10
24 = − 124
Som 62
Bereken
a. 14 − 1
2 = 14 − 2
4 = −frac14
b. 1 14 − 1
2 = 1 14 − 2
4 = 54 − 2
4 = 34
c. 18 − 1
2 = 18 − 4
8 = − 38
d. 18 − 1
4 = 18 − 2
8 = − 18
e. 23 − 1
8 = 1624 − 3
24 = 1324
f. 23 − 5
8 = 1624 − 15
24 = 124
g. 1 23 − 1
6 = 1 812 − 2
12 = 1 612 = 1 1
2
h. 1 23 − 5
6 = 1 812 − 10
12 = 2012 − 10
12 = 1012 = 5
6
Som 63
2.6. OPGAVEN 31
Bereken
a. 215 − 3
5 = 215 − 9
15 = − 715
b. 215 − 5
6 = 430 − 25
30 = − 2130
c. 215 − 7
10 = 430 − 21
30 = − 1730
d. 2 15 − 5
9 = 945 − 25
45 = − 1645
e. 1− 713 = 13
13 − 713 = 6
13
f. 38 − 1 1
2 = 38 − 12
8 = − 98 = −1 1
8
g. 1 524 − 2 7
12 = 1 524 − 214
24 = 2924 − 62
24 = − 3324 = −1 7
24
h. 1 913 − 2 4
39 = 1 2739 − 2 4
39 = 1 + 2739 − 2− 4
39 = −1 + 2339 = − 16
39
Som 64
Bereken
a. 6 13 − 1 4
21 = 6 721 − 1 4
21 = 5 321 = 5 1
7
b. 8 23 − 1
30 = 8 2030 − 1
30 = 8 1930
c. 4 16 − 1
30 = 4 530 − 1
30 = 4 430 = 4 2
15
d. 125 − 1
100 = 4100 − 1
100 = 3100
e. 725 − 1
10 = 1450 − 5
50 = 950
f. 2 12 − 7
100 = 2 50100 − 7
100 = 2 43100
g. 160 − 7
30 = 160 − 14
60 = − 1360
h. 25 − 7
30 = 1230 − 7
30 = 530 = 1
6
32 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
2.7 Vermenigvuldigen van breuken
Voor de vermenigvuldiging van de breuken 25 en 3
7 maken we de volgende afspraak:
25× 3
7=
635
Twee breuken vermenigvuldig je door: teller × teller en noemer × noemer.
Zo is:
223× 3
15
=
83× 16
5=
12815
=
8815
Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien: 41 .
Dan is 4× 15 = 4
5
2.8 Opgaven
Som 65
Bereken en vereenvoudig het antwoord
a. 23 × 1
5 = 215
b. 23 × 4
9 = 827
c. 263 × 63
7 = 27
d. 638 × 2
63 = 14
e. 569 × 69
25 = 15
f. 12 × 1
2 = 14
g. 7611 × 611
25 = 725
h. 711 × 13
23 = 91253
Som 66
Bereken en vereenvoudig het antwoord
a. 16 × 1
6 = 136
2.8. OPGAVEN 33
b. 16 × 5
6 = 536
c. 166 × 66
5 = 15
d. 6566 × 66
65 = 1
e. 03 × 4
7 = 0
f. 38 × 9
16 = 27128
g. 38 × 16
9 = 631
681 × 6162
693 = 23
h. 1 12 × 1 1
2 = 32 × 3
2 = 94 = 2 1
4
Som 67
Bereken en vereenvoudig het antwoord
a. 1 23 × 2 1
5 = 53 × 11
5 = 113 = 3 2
3
b. 2 23 × 1 1
5 = 83 × 6
5 = 4815 = 3 1
5
c. 3 14 × 1 1
13 = 134 × 14
13 = 18254 = 3 20
54 = 3 1027
d. 1 713 × 3 1
4 = 2013 × 13
4 = 5
e. 2 16 × 2 1
6 = 136 × 13
6 = 16936 = 4 25
36
f. 1 13 × 2 5
8 = 641
631 × 6217
682 = 72 = 3 1
2
g. 67 × 1 5
9 = 67 × 14
9 = 43 = 1 1
3
h. 1 14 × 1 1
2 = 54 × 3
2 = 158 = 1 7
8
34 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
2.9 Delen van breuken
1218
= 4
Want4× 1
8=
12
Als we de uitdrukking1218
ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogenvermeningvuldigen:
1218
=12 × 818 × 8
=12 × 8
1=
41
= 4
Belangrijk is het stukje:1218
=12× 8
Daarom zeggen we:Delen door een breuk (hier 1
8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerdevan die breuk ( 8
1 = 8) Zo is dus:12
3=
12× 1
3=
16
2.10 Opgaven
Som 68
Bereken
a.123 = 1
2 × 13 = 1
6
b.133 = 1
3 × 13 = 1
9
c.373 = 3
7 × 13 = 1
7
d.253 = 2
5 × 13 = 2
15
e.473 = 4
7 × 13 = 4
21
f. 1 123 = 3
2 × 13 = 1
2
g. 2 253 = 12
5 × 13 = 4
5
h. −2 25
3 = − 125 × 1
3 = − 45
2.10. OPGAVEN 35
Som 69
Bereken
a. 62 1
2= 6
52
= 61 × 2
5 = 125 = 2 2
5
b. 62 4
7= 6
187
= × =
c. 31 1
5= 3
65
= 31 × 5
6 = 156 = 2 1
2
d. 24 1
6= 2
256
= 21 × 6
25 = 1225
e. 54 1
6= 5
256
= 51 × 6
25 = 65 = 1 1
5
f. 814
= 81 × 4
1 = 32
g. 834
= 81 × 4
3 = 323 = 10 2
3
h. 845
= 81 × 5
4 = 10
36 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
2.11 Een deel van een deel
Hieronder is 13 deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd:
Hieronder is van het 13 deel nu het 2
5 deel gearceerd:
Het gearceerde deel is het 215 deel van de oorspronkelijke rechthoek.
Dus het 13 deel van het 2
5 deel is het 13 × 2
5 = 215 deel van het geheel.
2.12 Opgaven
Som 70
Bereken wel deel van het geheel is:
a. 13 deel van het 1
4 deel is 13 × 1
4 = 112
b. 35 deel van het 1
3 deel is 35 × 1
3 = 15
c. 27 deel van de helft is 2
7 × 12 = 1
7
d. 15 deel van het 1
5 deel is 15 × 1
5 = 125
e. 25 deel van het 2
5 deel is 25 × 2
5 = 425
2.13. DECIMALE SCHRIJFWIJZE 37
2.13 Decimale schrijfwijze
In het getal 235 staatde 2 voor 200de 3 voor 30de 5 voor 5
Zo kunnen we 210 schrijven als 0,2. 2
100 als 0,02, 21000 als 0,002.
En zo verder.Willen we 1
4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten,duizenden,..., er in 1
4 gaan.Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 1
4 gaan, delen we 14 door 1
10 :
14110
= 14 × 10 = 2 1
2
Er gaan dus 210 in 1
4 en je houdt nog:
14− 2
10=
25100
− 20100
=5
100
Dus14
=210
+5
100Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven:
2.14 Opgaven
Som 71
Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze
a. 38 = 0, 375
b. 1116 = 0, 6875
38 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
c. 716 = 0, 4375
d. 12 = 0, 5
e. 2332 = 0, 71875
f. 441 = 0, 097560
g. 37 = 0, 428571
h. 543 = 0, 116279069767441860465116279069767441860465
Som 72
Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze
a. 58 = 0, 625
b. 1316 = 0, 8125
c. 723 = .3043478260869565217391Deze decimale schrijfwijze heeft periode 22. De decimalen zijnonder andere te vinden door een staartdeling te maken.
d. 17 = 0, 142587
e. 2312 = 1.916
f. 453 = .0754716981132
g. 37 = 428571
h. 557 = .0877192982456140350
Som 73
Schrijf de volgende getallen als een breuk
a. 0, 45 = 45100 = 9
50
b. 0, 54 = 54100 = 27
50
c. 0, 30 = 30100 = 3
10
d. 0, 75 = 75100 = 3
4
e. 0, 72 = 72100 = 18
25
f. 0, 65 = 65100 = 13
20
g. 0, 3030 = 303010000 =
h. 0,1875
2.15. PROCENTEN 39
2.15 Procenten
De oorsprong van het woord pro-cent is per honderdAls je leest: 1
4 is 1 per 4, dan is 1 per 4gelijk aan 25 per 100. Het aantal per 100 is het percentage
Dus 14 = 25%
Om een breuk, zoals hier 14 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan:
• schrijf de breuk (hier 14 )in decimale vorm: 0,25
• dit betekent 25100
• en dus is 14 = 25%
Zo is 35% van 83 is dus35100
× 83 = 0, 35× 83 = 29, 05
2.16 Opgaven
Som 74
Schrijf de volgende breuken als procenten
a. 12 = 1
2 × 100% = 50%
b. 18 = 1
8 × 100% = 12, 5%
c. 13 = 1
3 × 100% = 33, 3%
d. 27 = 2
7 × 100% = 28, 6%
e. 34 = 3
4 × 100% = 75%
f. 516 = 5
16 × 100% = 31, 25%
g. 410 = 4
10 × 100% = 40%
h. 49 = 4
9 × 100% = 44, 4%
Som 75
Schrijf de volgende breuken als procenten
a. 25 = 2
5 × 100% = 40%
b. 512 = 5
12 × 100% = 41, 7%
c. 23 = 2
3 × 100% = 66, 7%
d. 57 = 5
7 × 100% = 71, 4%
e. 32 = 3
2 × 100% = 150%
40 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
f. 716 = 7
16 × 100% = 43, 75%
g. 810 = 8
10 × 100% = 80%
h. 29 = 2
9 × 100% = 22, 2%
Som 76
Schrijf de volgende percentages als breuk
a. 10% = 10100 = 1
10
b. 15% = 15100 = 3
20
c. 25% = 25100 = 1
4
d. 40% = 40100 = 2
5
e. 45% = 45100 = 9
20
f. 12, 5% = 12,5100 = 1
8
g. 65% = 65100 = 13
20
h. 83% = 83100
Som 77
Bereken
a. 5% van 27 is 5100 × 27 = 1, 35
b. 8% van 120 is 8100 × 120 = 9, 6
c. 14% van 746 is 14100 × 746 = 104, 4
d. 36 % van 847 is 36100 × 847 = 304, 92
e. 83% van 839 is 83100 × 839 = 696, 37
f. 124% van 748 is 124100 × 748 = 927, 52
g. 210 % van 3748 is 210100 × 3748 = 7870, 8
h. 0,12 % van 0,25 is 0,12100 × 0, 25 = 0, 0003
Som 78
Hoeveel procent is:
a. 2 van 3 is 23 × 100 = 66, 7%
b. 3 van 2 is 32 × 100 = 150%
c. 20 van 50 is 2050 × 100 = 40%
d. 20 van 500 is 20500 × 100 = 4%
2.16. OPGAVEN 41
e. 78 van 183 is 78183 × 100 = 42, 6%
f. 183 van 78 is 18378 × 100 = 234, 6%
g. 0,34 van 8 is 0,348 × 100 = 4, 25%
h. 9,2 van 8,73 is 9,28,73 × 100 = 105, 4%
Som 79
De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.Bereken de nieuwe prijs:
a. De prijs is 23 euro. De korting is 12%De korting is 23× 0, 12 = 2, 76De nieuwe prijs is 20,24 euro.
b. De prijs is 123 euro. De korting is 15%De korting is 123× 0, 15 = 18, 45De nieuwe prijs is 104,55 euro.
c. De prijs is 343 euro. De korting is 38%De korting is 343× 0, 38 = 130, 34De nieuwe prijs is 212,66 euro.
d. De prijs is 533 euro. De korting is 63%De korting is 533× 0, 63 = 335, 79De nieuwe prijs is 197,21 euro.
e. De prijs is 2 euro. De korting is 11,2%De korting is 2× 0, 112 = 0, 224De nieuwe prijs is 1,776 euro.
f. De prijs is 23,34 euro. De korting is 12,4%De korting is 23, 34× 0, 124 = 2, 89De nieuwe prijs is 20,45 euro.
g. De prijs is 2304 euro. De korting is 62,5%De korting is 2304× 0, 625 = 1440De nieuwe prijs is 864 euro.
h. De prijs is 5423 euro. De korting is 17,1%De korting is 5423× 0, 171 = 927, 33De nieuwe prijs is 4495,67 euro.
Een uitwerking die korter is:
a. 23× 100−12100 = 23× 0, 88
b. 123× 100−15100 = 123× 0, 85
c. 343× 100−38100 = 343× 0, 62
d. 533× 100−63100 = 533× 0, 37
e. 2× 100−11,2100 = 2× 0, 88, 8
42 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
f. 23, 34× 100−12,4100 = 23, 34× 0, 876
g. 2304× 100−62,5100 = 2304× 0, 375
h. 5423× 100−17,1100 = 5423× 0, 829
Som 80
De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs:
a. De prijs is 23 euro. De verhoging is 12%De verhoging is 23× 0, 12 = 2, 76De nieuwe prijs is 25,76 euro
b. De prijs is 123 euro. De verhoging is 15%De verhoging is 123× 0, 15 = 18, 45De nieuwe prijs is 141,45 euro.
c. De prijs is 343 euro. De verhoging is 38%De verhoging is 343× 0, 38 = 130, 34De nieuwe prijs is 473,34 euro.
d. De prijs is 533 euro. De verhoging is 63%De verhoging is 533× 0, 63 = 335, 79De nieuwe prijs is 868,79 euro.
e. De prijs is 2 euro. De verhoging is 11,2%De verhoging is 2× 0, 112 = 0, 224De nieuwe prijs is 2,224 euro.
f. De prijs is 23,34 euro. De verhoging is 12,4%De verhoging is 23, 34× 0, 124 = 2, 89De nieuwe prijs is 26,23 euro.
g. De prijs is 2304 euro. De verhoging is 62,5%De verhoging is 2304× 0, 625 = 1440De nieuwe prijs is 3744 euro.
h. De prijs is 5423 euro. De verhoging is 17,1%De verhoging is 5423× 0, 171 = 927, 33De nieuwe prijs is 6350,33 euro.
Een uitwerking die korter is:
a. 23× 100+12100 = 23× 1, 12
b. 123× 100+15100 = 123× 1, 15
c. 343× 100+38100 = 343× 1, 38
d. 533× 100+63100 = 533× 1, 63
2.16. OPGAVEN 43
e. 2× 100+11,2100 = 2× 1, 112
f. 23, 34× 100+12,4100 = 23, 34× 1, 124
g. 2304× 100+62,5100 = 2304× 1, 625
h. 5423× 100+17,1100 = 5423× 1, 171
Som 81
De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs:
a. De nieuwe prijs is 23 euro. De verhoging was 12%De nieuwe prijs = 1,12 x de oude prijs.De oude prijs was 23
1,12 = 20, 54 euro.
b. De nieuwe prijs is 123 euro. De verhoging was 15%De nieuwe prijs = 1,15 x de oude prijs.De oude prijs was 123
1,15 = 106, 96 euro.
c. De nieuwe prijs is 343 euro. De verhoging was 38%De nieuwe prijs = 1,38 x de oude prijs.De oude prijs was 343
1,38 = 248, 55 euro.
d. De nieuwe prijs is 533 euro. De verhoging was 63%De nieuwe prijs = 1,63 x de oude prijs.De oude prijs was 533
1,63 = 326, 99 euro.
e. De nieuwe prijs is 2 euro. De verhoging was 11,2%De nieuwe prijs = 1,112 x de oude prijs.De oude prijs was 2
1,112 = 1, 798 euro.
f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De verhoging was 12,4%De nieuwe prijs = 1,124 x de oude prijs.De oude prijs was 23,34
1,124 = 20, 77 euro.
g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De verhoging was 62,5%De nieuwe prijs = 1,625 x de oude prijs.De oude prijs was 2304
1,625 = 1417, 85
h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De verhoging was 17,1%De nieuwe prijs = 1,171 x de oude prijs.De oude prijs was 5423
1,171 = 4631, 09 euro.
Som 82
De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs:
a. De nieuwe prijs is 23 euro. De korting was 12%De nieuwe prijs = 0,88 x de oude prijs.De oude prijs is 23
0,88 = 26, 14
44 HOOFDSTUK 2. BREUKEN
b. De nieuwe prijs is 123 euro. De korting was 15%De nieuwe prijs = 0,85 x de oude prijs.De oude prijs is 123
0,85 = 144, 71
c. De nieuwe prijs is 343 euro. De korting was 38%De nieuwe prijs = 0,62 x de oude prijs.De oude prijs is 343
0,62 = 553, 23
d. De nieuwe prijs is 533 euro. De korting was 63%De nieuwe prijs = 0,37 x de oude prijs.De oude prijs is 533
0,37 = 1440, 54
e. De nieuwe prijs is 2 euro. De korting was 11,2%De nieuwe prijs = 0,888 x de oude prijs.De oude prijs is 2
0,888 = 2, 25
f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De korting was 12,4%De nieuwe prijs = 0,876 x de oude prijs.De oude prijs is 23,34
0,876 = 26, 64
g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De korting was 62,5%De nieuwe prijs = 0,375 x de oude prijs.De oude prijs is 2304
0,375 = 6144
h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De korting was 17,1%De nieuwe prijs = 0,829 x de oude prijs.De oude prijs is 5423
0,829 = 6541, 62
Hoofdstuk 3
Korter schrijven
7 + 7 + 7 + 7 = 4× 78 + 8 + 8 + 8 = 4× 8−9 +−9 +−9 +−9 = 4×−9Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun jeieder getal kiezen. Ook 123:123 + 123 + 123 + 123 = 4× 23
Merk op:Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt 7 + 7 + 7 + 7 korter geschreven.Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven:a + a + a + a = 4× a Zo’n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of123 is, altijd is a + a + a + a = 4× a.
Notatie:In plaats van het × -teken wordt ook wel eens een · gebruikt. Maar meestal schrijft men bij eenvermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter.Dus: a + a + a + a = 4× a = 4 · a = 4a
3.1 Opgaven
Som 83
Schrijf korter:
a. 6 + 6 = 2× 6
b. 6 + 6 + 6 = 3× 6
c. 6 + 6 + 6 + 6 = 4× 6
d. 12 + 12 + 12 = 3× 12
e. 15 + 15 + 15 + ... + 15︸ ︷︷ ︸12keer
= 12× 15
f. 12 + 12 + 12 + ... + 12︸ ︷︷ ︸15keer
= 15× 12
g. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6× 4
h. 7 + 7 + 7 + 7 = 4× 7
45
46 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN
Som 84
Schrijf korter:
a. a + a + a = 3× a = 3a
b. a + a + a + a = 4× a = 4a
c. a + a = 2× a = 2a
d. a + a + a + a + a = 5× a = 5a
e. b + b + b + b = 4× b = 4b
f. p + p + p = 3× p = 3p
g. x + x + x + x + x = 5× x = 5x
h. y + y + .. + y︸ ︷︷ ︸100keer
= 100× y = 100y
Som 85
Bereken voor a = 4 :
a. a + a + a = 3a = 3× 4 = 12
b. a + a = 2a = 2× 4 = 8
c. a + a + a + a = 4a = 4× 4 = 16
d. a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸30keer
= 30a = 30× 4 = 120
e. 4a = 4× 4 = 16
f. 5a = 5× 4 = 20
g. 12a = 12× 4 = 48
h. 130a = 130× 4 = 520
Som 86
Bereken:
a. 4a voor a = 5 is 4× 5 = 20
b. 3a voor a = −2 is 3×−2 = −6
c. 2a voor a = −5 is 2×−5 = −10
d. 5a voor a = −8 is 5×−8 = −40
e. 6a voor a = 8 is 6× 8 = 48
f. 8a voor a = 2 12 is 8× 21
2 = 20
g. 4a voor a = −2 12 is 4×−21
2 = −10
h. 10a voor a = −3 12 is 10×−31
2 = −35
3.2. OPTELLEN MET LETTERS 47
3.2 Optellen met letters
4a betekent a + a + a + a5a betekent a + a + a + a + aDus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9aNet zo is:20a + 30a = a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸
20keer
+ a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸30keer
= a + a + .. + a︸ ︷︷ ︸50keer
= 50a
3.3 Opgaven
Som 87
Bereken (schrijf korter):
a. 5a + 7a = 12a
b. 5a + 12a = 17a
c. 8a + a = 9a
d. 12a + 17a = 29a
e. 4x + 8x = 12a
f. x + 18x = 19a
g. 38x + 57x = 95a
h. 14x + 7 = 14x + 7
Som 88
Bereken:
a. 5p + 10p = 15p
b. 21p + 21p = 42p
c. 3p + 5p = 8p
d. 2p + p = 3p
e. 7q + 15q = 22p
f. 3q + 8q = 11q
g. 12q + 48q = 60q
h. 9q + 16q = 25q
Som 89
Bereken:
a. 7a + 6a + 4a = 17a
b. 8a + a + 10a = 19a
c. 9x + 19x + 29x = 57x
d. 6p + 23p + 14p = 43p
e. 14q + 36q + 11q = 61q
f. 9q + 9q + 18q = 36q
g. 5m + 16m + 25m = 46m
h. 2z + z + z = 4z
Som 90
Bereken:
48 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN
a. 4x + 12x + 15x + 8x = 39x
b. 15b + 14b + 13b + 12b = 54b
c. 18y + 24y + 30y + 36y = 108y
d. p + 2p + 3p + 4p = 10p
e. 12a + 12a + a + 5a = 30a
f. 6z + 16z + 26z + 36z = 84z
g. 8p + 6p + 4p + 2p = 20p
h. 16m + 33m + 9m + 15m = 73m
Som 91
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 7a +−3a +−4a = 0a = 0
b. −3b +−4b +−5b = −12b
c. 3c +−3c + 0c = 0
d. 4d +−5d + 6d = 5d
e. −p +−2p +−3p = −6p
f. −3q + 4q +−5q = −4q
g. −2x +−2x +−2x = −6x
h. −5y +−5y +−5y = −15y
Som 92
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 17a + 24a +−11a + 1a = 31a
b. 6b +−4b +−9b + 2b = −5b
c. −14c + 7c + 11c + 2c = 6c
d. −3d + 9d +−7d + 5d = 4d
e. 3p + 28p +−7p +−4p = 20p
f. 12q +−10q +−6q + 4q = 0
g. 19x + 38x +−64x + 25x = 18x
h. −18y +−75y + 12y − 21y = −102y
Som 93
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 9a +−5a +−3a = a
b. −6b + 9b + 5b = 8b
c. −6c + 19c + 5c = 18c
d. 4d +−11d + 8d = d
e. 15p +−3p + 11p = 23p
f. 10q + 5q − 4q = 11q
g. 7x + 12x +−6x = 13x
h. 4y + 19y +−11y = 12y
3.4 Meer letters
De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven.a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen aen b zijn.De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven:a + a + a + b + b + a + b = 4a + 3b.Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = 12a + 15b.
3.5. OPGAVEN 49
3.5 Opgaven
Som 94
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 7a +−3b +−4a = 3a− 3b
b. −3a +−4a +−5b = −7a− 5b
c. 3a +−3a + 0b = 0
d. 4a +−5b + 6a = 10a− 5b
e. −1a +−2b +−3b = −a− 5b
f. −3x + 4x +−5y = x− 5y
g. −2x +−2y +−2y = −2x− 4y
h. −5x +−5y +−5x = −10x− 5y
Som 95
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 17a + 24a +−11b + b = 41a− 10b
b. 6a +−4b +−9a + 2b = −3a− 2b
c. −14a + 7 + 11a + 2 = −3a + 9
d. −3a + 9b +−7b + 5a = 2a + 2b
e. 3a + 28 +−7a +−4b = −4a− 4b + 28
f. 12a +−10b +−6a + 4b = 6a− 6b
g. 19a + 38a +−64a + 25b = −7a + 25b
h. −18a +−75b + 12b +−21b = −18a− 84b
Som 96
Schrijf de opgave over en bereken:
a. 9x +−5y +−3y = 9x− 8y
b. −6x + 9x + 5y = 3x + 5y
c. −6x + 19y + 5y = −6x + 24y
d. 4x +−11x + 8y = −7x + 8y
e. 15y +−3y + 11x = 11x + 12y
f. 10x + 5x− 4 = 15x− 4
g. 7x + 12 +−6x = x + 12
h. 4y + 19y +−11 = 23y − 11
Som 97
Bereken (schrijf korter):
a. 3a + 7a + 5b + 8b = 10a + 13b
b. 12x + 8y + 2y + 4x = 16x + 10y
c. 7p + 5q + 15p + 17q = 22p + 22q
d. 13n + 5 + 8 + 2n = 15n + 13
e. 14p + p + 8q + 11q = 15p + 19q
f. 7 + y + 8 + y = 2y + 15
g. 43a + 16b + 27b + 8a = 51a + 43b
h. 17c + 30c + 8d + 17d = 47c + 25d
Som 98
Bereken (schrijf korter):
50 HOOFDSTUK 3. KORTER SCHRIJVEN
a. 4x + 3x + 6y + 5x + y = 12x + 7y
b. 9a + 3a + 5b + 6a + 12a = 30a + 5b
c. 17m+12m+15m+11n+10n = 44m+21n
d. 28q + 17 + 3q + 15q + 23 = 46q + 50
e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a = 63a + 23
f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p = 23p + 4q
g. p + 10q + p + 10q + p = 3p + 20q
h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x = 31x + 8y
Som 99
Bereken:
a. 4a + 3b als a = 2 en b = 3 is 4× 2 + 3× 3 = 8 + 9 = 17
b. 2a + 5b als a = 3 en b = −2 is 2× 3 + 5×−2 = 6 +−10 = −4
c. 3a + 4b als a = −2 en b = −3 is 3×−2 + 4×−3 = −6− 12 = −18
d. 5a + 8b als a = −1 en b = 0 is 5×−1 + 8× 0 = −5 + 0 = −5
e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a als a = 2 is 63a + 23 = 63× 2 + 23 = 149
f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p als p = −2 en q = 3 is 23p + 13q = 23×−2 + 13× 3 = −46 + 39 = −7
g. p + 10q + p + 10q + p als p = −1 en q = 1 is 3p + 20q = 3×−1 + 20× 1 = −3 + 20 = 17
h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x als x = −1 en y = 0 is 31x + 8y = 31×−1 + 8× 0 = −31
Hoofdstuk 4
Rekenen met letters
Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is.De getallen 7 en −7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + (−7) = 0Zo zijn de getallen a en −a ook elkaars tegengestelde:a + (−a) = 0Zo zijn ook 3a en 3(−a) elkaars tegengestelde want:3a = a + a + a en 3(−a) = −a +−a +−a en a + a + a +−a +−a +−a = 0Omdat 3(−a) = −3a geldt: 3a +−3a = 0. Dus het tegengestelde van 3a is −3aVoorbeelden:−3a + 8a = 5a8a +−3a = 5a
4.1 Opgaven
Som 100
Bereken:
a. −3a + 8a = 5a
b. 6a +−7a = −a
c. −5p +−4p = −9p
d. −9p + 6p = −3p
e. 16x +−15x = x
f. 23x +−24x = −x
g. −x +−5x = −6x
h. x +−7x = −6x
Som 101
Los op:
a. 13m +−6m = 7m
b. −4p +−4p = −8p
c. 2x +−2x = 0
d. 7a +−a = 6a
51
52 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
e. −11b +−7b = −18b
f. 5k +−5k = 0
g. −8k + 9k = k
h. −10z +−10z = −20z
Som 102
Bereken:
a. 6a +−5a +−4a = −3a
b. −3a + 7a +−4a = 0
c. 8p +−10p + 7p = 5p
d. 9x + 4x +−7x = 6x
e. 4q +−4q + 4q = 4q
f. 7a +−3a +−5a = −a
g. −6x +−6x +−6x = −18x
h. −4p +−4p + 8p = 0
Som 103
Bereken:
a. 17x + 24x +−11x + x = 31x
b. 6b +−4b +−9b + 2b = −5b
c. −14a + 7a + 11a + 2a = 6a
d. −3 + 9 +−7 + 5 = 4
e. 3p + 28p +−7p +−4p = 20p
f. 12q +−10q +−6q + 4q = 0
g. 19 + 38 +−64 + 25 = 18
h. −18x +−75x + 12x +−21x = −102
Som 104
Bereken:
a. 7p +−4p + 3q = 3p + 3q
b. −8x + 12x + 5y = 4x + 5y
c. 13a + 5b +−5a = 8a + 5b
d. −4p + 12p + 5 = 8p + 5
e. 8x + 15 +−7 = 8x + 8
f. 9a +−5a + 4b = 4a + 4b
g. 16p + 11q +−8p = 8p + 11q
h. 14p + 17 +−8 = 14p + 9
4.2. AFTREKKEN 53
4.2 Aftrekken
Zoals 7a + 3a = 10a is 10a− 7a = 3a Omdat 10a +−3a = 7a zeggen weaftrekken is optellen met het tegengestelde.
4.3 Opgaven
Som 105
Bereken:
a. 8a− 3a = 5a
b. 6a− 7a = a
c. −5p− 4p = −9p
d. −9p + 6p = −3p
e. 16x− 15x = x
f. 23x− 24x = −x
g. −x− 5x = −6x
h. x− 7x = −6x
Som 106
Bereken:
a. 4q − 5q = −q
b. 6p− 12p = −6q
c. −4x− 8x = −12x
d. −6a− 3a = −9a
e. −4y + 12y = 8y
f. −9p− 9p = −18p
g. 5x− 5x = 0
h. −7z + 4z = −3z
Som 107
Bereken:
a. 3q −−5q = 3q + 5q = 8q
b. 5p− 11p = −6p
c. 5p−−11p = 5p + 11p = 16p
d. −5p− 11p = −16p
e. 11p− 5p = 6p
f. −11p− 5p− 16p
g. −11p−−5p = −11p + 5p = −6p
h. −5p−−11p = −5p + 11p = 6p
Som 108
Bereken:
54 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
a. 11q −−10q = 11q + 10q = 21q
b. 17c +−12c = 17c− 12c = 5c
c. 28z −−15z = 28z + 15z = 43z
d. −19a +−15a = −34a
e. 14b− 17b = −3b
f. −12q +−6q = −18q
g. p +−5p = −4p
h. 4a−−5a = 4a + 5a = 9a
Som 109
Bereken:
a. 16c− 11c = 5c
b. −23x− 16x = −39x
c. −18z −−z = −17z
d. −a +−4a = −5a
e. 15p +−14p = p
f. −q − q = −2q
g. 6a−−5a = 11a
h. −17z −−17z = 0
Som 110
Bereken:
a. 13a− 15a + 6a = 4a
b. 4x−−3x− 2x = 5x
c. −6p + 3p− 5p = −8p
d. 12q − 10q − 9q = −7q
e. 6d− 8d +−5d = −7d
f. −10y − 7y − 4y = −21y
g. −2b +−14b− 8b = −24b
h. 7a− 8a−−a = 0
Som 111
Bereken:
a. 5q −−4q + 3q = 12q
b. −6a− 8a−−10a = −4a
c. 22x +−18x− 16x = −12x
d. 12p− 8p + 7p = 11p
e. 16b−−11b− 14b = 41b
f. 9y + 13y − 12y = 10y
g. −4x− 16x + 7x = −13x
h. 6a−−9a +−4a = 11a
Som 112
Bereken:
a. 14a + 8b− 6a− 3b = 8a + 5b
b. 11p− 5q − 8p + 2q = 3p− 3q
c. −3x + 5y − 4x− 7y = −7x− 2y
d. 8m− 16n− 14n + 4n = 8m− 26n
4.3. OPGAVEN 55
e. 7c− 9d + 6c + 8d = 13c− d
f. 14x− 17x− 6y + 11y = −3x + 5y
g. 8a− 14b− 9b− a = 7a− 23b
h. −6p− 7q − 8q − 9p = −15p− 15q
Som 113
Bereken:
a. 9c− 4d−−3c + 11d = 12c + 7d
b. 6a− 5− 19− 6a = −24
c. −7x +−7y − 5x−−5y = −12x− 2y
d. 12p− 12q − 17p + 17q = −5p + 5q
e. 6y −−7x− 3x− 2y = 4x + 4y
f. 14p + 18q −−q +−4p = 10p + 19q
g. −2b− 8c− 4b + 2c = −6b− 6c
h. 4x− 9x−−y − y = −5x
Som 114
Bereken:
a. 14p− 8q −−6p + 5p− 3q = 25p− 11q
b. 5 + 5z − 7−−4− 13 = 5z − 11
c. 4x−−4x +−7y − 5y − x = 7x− 7y
d. 11b− 16a−−3a + 2a− 4b = −11a + 7b
e. 3q − 11−−q − 5q +−2q = −3q − 11
f. 16m− 14m− 11m− 7n + 13n = −9m + 6n
g. 8y − 6z −−4y − 6z + y = 13y − 12z
h. a− 4b− 9a−−4b + 8a = 0
Som 115
Schrijf de som over en bereken
a. 4a +−8a = −4a
b. 18b− 11b = 7b
c. −13c− 9c = −22c
d. −10d +−15d = −25d
e. 11p− 19p = −8p
f. −24q + 16q = −8q
g. 35x−−9x = 44x
h. 12y − 24y = −12y
Som 116
Schrijf de som over en bereken
a. −7a−−7a = 0
b. 16b− 14b = 2b
c. 29c +−19c = 10c
d. 23d−−11d = 34d
e. −14p− 14p = −28p
f. −20q +−10q = −30q
g. 16x−−1x = 17x
h. 0y −−8y = 8y
56 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
Som 117
Schrijf de som over en bereken
a. 12a− 13a = −a
b. −12b− 13b = −25b
c. 13c−−12c = 25c
d. −12d− 13d = −25d
e. −12p−−13p = p
f. −12q + 13q = q
g. 12x +−13x = −x
h. −13y +−12y = −25y
Som 118
Schrijf de som over en bereken
a. 4a−−3a +−5a = 2a
b. −9b− 16b− 11b = −36b
c. −13c−−11c− 24c = −26c
d. 15d +−8d− 7d = 0
e. 25p− 17p−−18p = 26p
f. −14q −−11q − 13q = −16q
g. 7x− 38x− 15x = −46x
h. 11y + 19y −−10y = 40y
Som 119
Schrijf de som over en bereken:
a. 14a− 18a + 12a = 8a
b. 7b +−9b− 13b = −15b
c. 24c−−11c− 15c = 20c
d. 19d + 25d− 12d = 32d
e. −33p−−14p− 1p = −20p
f. −16q + 38q −−10q = 32q
g. 14x− 19x−−21x = 16x
h. −12y +−15y − 15y = −42y
Som 120
Schrijf de som over en bereken:
a. 28a− 45a + 17a = 0
b. −12b− 15b−−8b = −19b
c. 6c−−2c− 2c = 6c
d. −14d + 17d−−5d = 8d
e. 37p− 19p−−11p = 29p
f. 25q −−13q + 9q = 47q
g. −8x− 8x−−8x = −8x
h. 7y −−13y − 17y = 3y
Som 121
Bereken:
4.3. OPGAVEN 57
a. 13a− 15a + 6a als a = 2 is 4a = 4× 2 = 8
b. 4x−−3x− 2x als x = −1 is 5x = 5×−1 = −5
c. −6p + 3p− 5p als p = −3 is −8p = −8×−3 = 24
d. 12q − 10q − 9q als q = 1 is −7q = −7× 1 = −7
e. 6d− 8d +−5d als d = 0 is −3d = −3× 0 = 0
f. −10y − 7y − 4y als y = 12 is −21y = −21× 1
2 = −1012
g. −2b +−14b− 8b als b = 5 is −24b = −24× 5 = −120
h. 7a− 8a−−a als a = 12 is 0a = 0
Som 122
Bereken:
a. 13a− 15a + 6b− 5b als a = 2 en b = 1 is −2a + b = −2× 2 + 1 = −3
b. 4x−−3y − 2x + 3y als x = −1 en y = 2 is 2x + 6y = 2×−1 + 6× 2 = 10
c. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −1 is −5p− 2q = −5×−3− 2×−1 = 17
d. 12q − 10q − 9p−−p als p = 0 en q = 1 is −8p + 2q = 8× 0 + 2× 1 = 2
e. 13a− 15a + 6b− 5b als a = 3 en b = −1 is −2a + b = −2× 3 +−1 = −7
f. 4x−−3y − 2x + 3y als x = −1 en y = −2 is 2x + 6y = 2×−1 + 6×−2 = −14
g. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −4 is −5p− 10q = −5×−3− 10×−4 = 55
h. 12q − 10q − 9p−−p als p = 0 en q = −1 is −8p + 2q = −8× 0 + 2×−1 = −2
58 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
4.4 Het tegengestelde van x+y
Het tegengestelde van x + y is −(x + y) want (x + y) +−(x + y) = 0Maar: x + y +−x +−y = 0. Dus −(x + y) = −x +−y of −(x + y) = −x− y.Zo is ook:−(2x + 3y) = −2x− 3y−(2x− 3y) = −2x + 3y−(−2x− 3y) = 2x + 3y5x +−(3x− 4y) = 5x− 3x + 4y = 2x + 4y
4.5 Opgaven
Som 123
Schrijf zonder haakjes:
a. −(a + 2b) = −a− 2b
b. −(a− 2b) = −a + 2b
c. (a− 2b) = a− 2b
d. (a + 2b) = a + 2b
e. −(−3a− 3b) = 3a + 3b
f. −(−2a + 3b) = 2a− 3b
g. −(4a− 2b) = −4a + 2b
h. −(−4a− 2b) = 4a + 2b
Som 124
Schrijf zonder haakjes:
a. −(2x + 3y) = −2x− 3y
b. −(x− 2y) = −x + 2y
c. (x− 3y) = x− 3y
d. (x + 3y) = x + 3y
e. −(−4x− 5y) = 4x + 5y
f. −(−3x + 4y) = 3x− 4y
g. −(5x− 3y) = −5x + 3y
h. −(−5x− 3y) = 5x + 3y
Som 125
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 4a− (2a + 2b) = 4a− 2a− 2b = 2a− 2b
b. 5b− (a− 2b) = 5b− a + 2b = −a + 7b
c. 2a + (a− 2b) = 2a + a− 2b = 3a− 2b
d. 6a + (a + 2b) = 6a + a + 2b = 7a + 2b
e. 8b− (−3a− 3b) = 8b + 3a + 3b = 3a + 11b
4.5. OPGAVEN 59
f. 2a− (−2a + 3b) = 2a + 2a− 3b = 4a− 3b
g. 4a− (4a− 2b) = 4a− 4a + 2b = 2b
h. −2b− (−4a− 2b) = −2b + 4a + 2b = 4a
Som 126
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 3a− (a + 2b)− 4b = 3a− a− 2b− 4b = 2a− 6b
b. 2a− (a− 2b) + 3a = 2a− a + 2b + 3a = 4a + 2b
c. a + (a− 2b)− 4b = a + a− 2b− 4b = 2a− 6b
d. 4b + (a + 2b)− 2a = 4b + a + 2b− 2a = −a + 6b
e. −3a− (−3a− 3b)− 3b = −3a + 3a + 3b− 3b = 0
f. −2a + 3b− (−2a + 3b) = −2a + 3b + 2a− 3b = 0
g. b− (4a− 2b)− a = b− 4a + 2b− a = −5a + 3b
h. a− (−4a− 2b)− b = a + 4a + 2b− b = 5a + b
Som 127
Schrijf zo kort mogelijk:
a. −(4x + 3y)− (−x + 2y) = −4x− 3y + x− 2y = −3x− 5y
b. 3p +−5q − (2p + q) = 3p− 5q − 2p− q = p− 6q
c. 6a− 5b− (2a− 4b) = 6a− 5b− 2a + 4b = 4a− b
d. 18− (4c + 7)− (−14− c) = 18− 4c− 7 + 14 + c = −3c + 25
e. 7q + 12p− (3p− 5q)− 4q = 7q + 12p− 3p + 5q = 9p + 12q
f. 5x− (4y − 6x) +−4x− 3y = 5x− 4y + 6x− 4x− 3y = 7x− 7y
g. −4a− (4b−−4a) = −4a− 4b− 4a = −8a− 4b
h. −(5k − 11)− (−12 + 7k)− 3k = −5k + 11 + 12− 7k = −12k + 23
Som 128
Schrijf zo kort mogelijk:
a. −(5x + 4y)− (−x + 3y) = −5x− 4y + x− 3y = −4x− 7y
b. 4p +−6q − (3p + q) = 4p− 6q − 3p− q = −5p− q
c. 7a− 6b− (3a− 5b) = 7a− 6b− 3a + 5b = 4a− b
60 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
d. 19− (5c + 8)− (−15− c) = 19− 5c− 8 + 15 + c = −4c + 26
e. 8q + 13p− (4p− 6q)− 5q = 8q + 13p− 4p + 6q − 5q = 9p + 9q
f. 6x− (5y − 7x) +−5x− 4y = 6x− 5y + 7x− 5x− 4y = 8x− 9y
g. −5a− (5b−−5a) = −5a− 5b− 5a = −10a− 5b
h. −(6k − 12)− (−13 + 8k)− 4k = −6k + 12 + 13− 8k − 4k = −18k + 25
4.6. VERMENIGVULDIGEN 61
4.6 Vermenigvuldigen
3a = a + a + a4 · 3a = a + a + a︸ ︷︷ ︸
3
+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3
+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3
+ a + a + a︸ ︷︷ ︸3
= 12a
Anders:3a = 3 · a, dus 4 · 3 · a = (4 · 3) · a = 12 · a = 12aDaarom is 3a · 4b = 3 · a · 4 · b = 3 · 4 · a · b = 12ab
4.7 Opgaven
Som 129
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 12a.3 = 36a
b. 4x.7y = 28xy
c. 6p.5 = 30p
d. 8c.4d = 32cd
e. 3x.6y = 18xy
f. 2p.q = 2pq
g. a.8b = 8ab
h. 4m.20 = 80m
Som 130
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 14a.3b = 42ab
b. 8q.2p = 16pq
c. 17.3x = 51x
d. 5y.7z = 35yz
e. 5k.7 = 35k
f. 7p.3q = 21pq
g. 11y.z = 11yz
h. 6a.4b = 24ab
Som 131
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 5b.− 3c = −15bc
b. −2p.7q = −14pq
c. −4x.− 6y = 24xy
d. 8m.8n = 64mn
e. 3a.− 3b = −9ab
f. −15x.6y = −90xy
g. 12p.− 10q = −120pq
h. 9m.− 4 = −36m
Som 132
Schrijf zo kort mogelijk:
62 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
a. 14.3k = −42k
b. −11p.− 6q = 66pq
c. 10a.8b = 80ab
d. −5x.9y = −45xy
e. −2y.3x = −6xy
f. −6k.− 3m = 18mk
g. 5z.− 7 = −35z
h. 3b.− 2 = −6b
Som 133
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 5a.− 2b.− 6c = 60abc
b. 10x.5y.− 7z = −350xyz
c. −4p.q.− 3r = 12pqr
d. 7m.− 8n.− 5 = 280nm
e. −7x.− 5y.− 2z = −70xyz
f. 3p.8q.− 4 = −96pq
g. −2a.− 9.4b = 72ab
h. 17.− 2c.− 2d = 68cd
4.8. DELEN 63
4.8 Delen6a2 = 3a want 2.3a = 6a
6a2a = 3 want 2a.3 = 6a
Zo geldt ook:
aba = b
6ab2b = 3a
6ab2ab = 3
−12a3 = −4a
4.9 Opgaven
Som 134
a. 4a2 = 2a
b. 9b3 = 3b
c. 5cc = 5
d. 4p2p = 2
e. 12xx = 12
f. 18q6q = 3
g. 10m4 = 2 1
2m
h. 27a3a = 9
Som 135
a. 16bc4b = 4c
b. 24pq3q = 8p
c. 12mn4 = 3mn
d. 60ab10ab = 6
e. 48pq16q = 3p
f. 25cd5c = 5d
g. 18ap3 = 6ap
h. 18ap3a = 6p
Som 136
a. 2x5x = 2
5
b. 4yxy = 4
x
c. 3pq3q = p
d. 5a10ab = 1
2b
e. 7pm7qm = p
q
f. 16ab4ab = 4
g. 8a6b = 4a
3b
h. 15qr30q = r
2
64 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
Som 137
a. 22pq33p = 2q
3
b. −17ad51d = −a
3
c. 14m−21m = − 2
3
d. −4a7b = − 4a
7b
e. 40cd10c = 4d
f. −25a−75a = 1
3
g. 3p−6q = − p
2q
h. −15x30x = − 1
2
Som 138
a. 16b−32ab = − 1
2a
b. −10x40x = − 1
4
c. −6pq24pq = − 1
4
d. 9a3b = 3a
b
e. −568xy = − 7
xy
f. −28p−14qr = 2p
qr
g. −7ab−7ac = b
c
h. 12x−24 = −x
2
Som 139
a. 4x.6y12y = 2x
b.18xy6c
3y = 18xy6c.3y = x
c
c. 9ab3a.5b = 9ab
15ab = 35
d. 6a10ab5b
= 6a. 5b10ab = 30ab
10ab = 3
e.30q5q
2pq = 30q5q . 1
2pq = 150pq2pq = 75
f. 16pq4p2p
= 16pq2 = 8pq
g.54p6p
3q = 93q = 3
q
h. 18mn3.3n = 2m
4.10. MACHTEN 65
4.10 Machten
34 = 3.3.3.3. Net zo is a4 = a.a.a.aa heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a3.a4 = a.a.a︸ ︷︷ ︸
3
. a.a.a.a︸ ︷︷ ︸4
= a7.
Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponentenvan die machten bij elkaar op te tellen.Dus: x4x5 = x9
En 5x36x4 = 30x7
4.11 Opgaven
Som 140
Schrijf zo kort mogelijk:
a. x5.x2 = x7
b. x4.x6 = x10
c. p2.p3 = p6
d. a7.a = a8
e. q7.q5 = q12
f. z8.z2 = z10
g. c4.c4 = c8
h. b.b9 = b10
Som 141
Schrijf zo kort mogelijk:
a. m10.m8 = m18
b. p.p4 = p5
c. a12.a17 = a29
d. q8.q = q9
e. d5.d5 = d10
f. y2.y8 = y10
g. a.a6 = a7
h. q10.q4 = q14
Som 142
Schrijf zo kort mogelijk:
a. k2.k6 = k8
b. z7.z8 = z15
c. p5.p15 = p20
d. x.x14 = x15
e. n5.n8 = n13
f. a7.a = a8
g. c10.c20 = c30
h. y9.y6 = y15
Som 143
Schrijf zo kort mogelijk:
66 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
a. a5.a6.a7 = a18
b. p3.p.p6 = p10
c. z4.z4.z4 = z12
d. q.q2.q3 = q6
e. x10.x5.x = x16
f. b3b5.b8 = b16
g. d2.d5.d = d8
h. k6.k8.k10 = k24
Som 144
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 6a4.3a5 = 18a9
b. 7p2.11p4 = 77p6
c. 8x5.4x5 = 32x10
d. 5q.8q10 = 40q11
e. 9c2.− 9c4 = −81c6
f. −15x.− 7x3 = 105x4
g. −10m4.5m6 = −50m10
h. 12p3.− 3p12 = −36p15
Som 145
Schrijf zo kort mogelijk:
a. −2c.4c4.− 4c8 = 32c13
b. m5.3m5.m5 = 3m15
c. q7.− 2q17.5q27 = −10q51
d. 3y3.y.y = 3y5
e. 4k4.4k4.6k6 = 96k14
f. n.− 6n6.− 11n11 = 66n17
g. a2.2a10.10a2 = 20a14
h. b.b12.− 3b = −3b14
4.12 Delen van machten
x6
x4 = x.x.x.x.x.xx.x.x.x = x2
Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar af-getrokken.Zo is:
x9
x3 = x6
6x5
3x3 = 2x2
4.13 Opgaven
Som 146
4.13. OPGAVEN 67
Schrijf zo kort mogelijk:
a. x6
x2 = x4
b. a7
a2 = a5
c. b5
b3 = b2
d. p12
p5 = p7
e. q7
q6 = q
f. y2
y = y
g. c6
c4 = c2
h. z5
z = z4
Som 147
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 7a4
7a4 = 1
b. 15m2
3m2 = 5
c. 18y7
3y6 = 6y
d. 24c6
8c = 3c5
e. 8x5
4x2 = 4x3
f. 25z4
5z3 = 5z
g. 35p5p = 7
h. 16q5
4 = 4q5
Som 148
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 14a2b5
2ab3 = 7ab2
b. −18x7y7
3x4y6 = −6x3y
c. 30p4q5
10q = 3p4q4
d. −15c6d8
3c3d = −5c3d7
e. 28m5n3
−14mn3 = −2m4
f. 24p2y5
8p2y5 = 3
g. −10b4c−5b3 = 2bc
h. −48a5b6
12ab5 = −4a4b
68 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
4.14 Machten van machten
(a3)4 = a3.a3.a3.a3︸ ︷︷ ︸4keer
= a.a.a · a.a.a · a.a.a · a.a.a = a12
(a3b2)4 = a3b2 · a3b2 · a3b2 · a3b2 = a12b8
Zo is:(x3)3 = x9
(x5)6 = x30
(−a3)2 = −a3 · −a3 = a6
−(a3)2 = −a6
4.15 Opgaven
Som 149
Schrijf zo kort mogelijk:
a. (a2)5 = a10
b. (x4)3 = x12
c. (p5)3 = p15
d. (b2)7 = b14
e. (−p5)3 = −p15
f. −(x2)6 = x12
g. (−y2)5 = −y10
h. (b6)3 = b18
Som 150
Schrijf zo kort mogelijk:
a. (a3b2)4 = a12b8
b. (c5d3)2 = c10d6
c. (−x2y5) = (−x2y5)
d. (c5q2)2 = c10q4
e. −(c5q2)2 = −c10q4
f. −(−a5p3)5 = −− a25p15
g. −(b3x)4 = −b12
h. (−y3z3)3 = −y9z9
Som 151
Schrijf zo kort mogelijk:
a. (a4b2)3 · (a2b5)2 = a12b6 · a4b10 = a16b16
b. (−x5y2)4 · (x3y)3 = x20y8 · x9y3 = x29y11
c. (−c2d5)2 · (−cd3)2 = c4d10 · c2d6 = c6d16
d. (p5x3)4 · (−p2x4)3 = p20x12 · −p6x12 = −p26x18
e. (−q5r5)5 · (−q2r3)3 = −q25r25 · −q6r9 = q31r34
4.15. OPGAVEN 69
f. −(a4y3)4 · (−a2y)4 = −a16y12 · a8y4 = −a24y16
g. (b4p6)4 · (−b2p)4 = b16p24 · b8p4 = b24p28
h. −(m5n2)4 · (−mn3)2 = −m20n8 ·m2n6 = −m22n14
70 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
4.16 Vereenvoudigen van breuken met letters
4.17 Opgaven
Som 152
Vereenvoudig
a. 5a5 = a
b. 18b3 = 6b
c. 20x4 = 5x
d. 16y8 = 2y
e. 6pp = 6
f. 24q6q = 4
g. 28z7z = 4
h. 14m2 = 7m
Som 153
Vereenvoudig
a. 8n2n = 4
b. 30dd = 30
c. 25c5c = 5
d. 3k3k = 1
e. 8n16n = 1
2
f. 60c10 = 6c
g. 10c60 = c
6
h. 10c60c = 1
6
Som 154
Vereenvoudig
a. 15x−3x = −5
b. −18p6 = −3p
c. −36q9q = −4
d. 14z−2 = −7z
e. −3x2
3x = −x
f. 24a2
6a = 4a
g. 60ab−10b = −6a
h. 10x2
20x = x2
Som 155
Vereenvoudig
a. 7x4
x3 = 7x
b. 24k2
12k = 2k
c. 35d5
7d3 = 5d2
d. 8a4
16a2 = a2
2
e. −27c2
−3c = 9c
f. 20pq−4pq = −5
4.18. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN 71
g. 33k2
−3k = −11k h. −15m5n = − 3m
n
Som 156
Vereenvoudig
a. 16a2b8ab2 = 2a
b
b. −54pq−6p = 9q
c. 48x2
−12xy = − 4xy
d. 40m10mn = 4
n
e. −12a24ab = − 1
2b
f. 18x2
54xy = x3y
g. −4km20m2 = − k
5m
h. −16cd64cd = − 1
4
Som 157
Vereenvoudig
a. 15a2
20ax = 3a4x
b. −8p2q12pq = − 2p
3
c. −30b2
18ab = − 5b3a
d. 7y2z2
−28yz = −yz4
e. 21x3
−3x5 = − 7x2
f. −28z5
7z3 = −4z2
g. −12a2b3
15a3b = − 4b2
5a
h. 10p4y30p3 = py
3
Som 158
Vereenvoudig
a. −15m5n4
−20m2n6 = 5m3
n2
b. 50b2q4
−20b3q5 = − 52bq
c. 17ap3
51a2p3 = 13a
d. 35y3z2
−5y4z = − 7zy
e. 52p5q4
13p2q3 = 4p3q
f. 9a3b−27a5b4 = − 1
3a2b3
g. −10k2m7
−45k2m5 = 2m2
9
h. 3xy4
−4xy4 = − 34
4.18 Optellen en aftrekken van breuken
Zoals 27 + 3
7 = 57 is ook 4p
7 + 5p7 = 9p
7
Dus:4a + 6
a = 10a
Ena
2+
a
3︸ ︷︷ ︸nietgelijknamigebreuken
=3a
6+
2a
6︸ ︷︷ ︸gelijknamigmaken
= 5a6
72 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
4.19 Opgaven
Som 159
Schrijf zo kort mogelijk:
a. p3 + p
3 = 2p3
b. p3 − p
3 = 0
c. 2p4 + 3p
4 = 5p4
d. 5p4 + 3p
4 = 8p4 = 2p
e. 5p4 − 3p
4 = 2p4 = −fracp2
f. 6xy7 + xy
7 = 7xy7 = xy
g. 4k2
5 − 2k2
5 = 2k2
5
h. 9xy2
10 − 4xy2
10 = 5xy2
10 = xy2
2
Som 160
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 4x − 3
x = 1x
b. 4x + 3a
x = 4+3ax
c. a4 + b
4 = a+b4
d. ax + b
x = a+bx
e. 2a2
5b + 2b2
5b = 2a2+2b2
5b
f. 2c2
5b + 3c2
5b = 5c2
5b = c2
b
g. 13ap + 2
3ap = 33ap = 1
ap
h. 13ap + 2q
3ap = 1+2q3ap
Som 161
Schrijf zo kort mogelijk:
a. a2 + a
3 = 3a6 + 2a
6 = 5a6
b. a2 − a
3 = 3a6 − 2a
6 = a6
c. a3 − a
2 = 2a6 − 3a
6 = −a6
d. b4 + c
2 = b4 + 2c
4 = b+2c4
e. 2a2 + 5a
3 = 6a6 + 10a
6 = 16a6 = 8a
3
f. 2a2 − 5a
3 = 6a6 − 10a
6 = − 4a6 = − 2a
3
g. ab6 + ab
5 = 5ab30 + 6ab
30 = 11ab30
h. a2
3a + 2a2
5a = a3 + 2a
5 = 5a15 + 6a
15 = 11a15
Som 162
Schrijf zo kort mogelijk:
a. a3 + 5
a = a2
3a + 153a = a2+15
3a
4.20. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN 73
b. pq + 3
p = p2
pq + 3qpq = p2+3q
pq
c. 5x3y + x
3 = 5x3y + xy
3y = 5x+xy3y
d. 4k5 + 2m
5 = 4k+2m5
e. b4 + a
b = b2
4b + 4a4b = b2+4a
4b
f. ba + a
b = b2
ab + a2
ab = b2+a2
ab
g. 2bc + 3c
2b = 4b2
2bc + 3c2
2bc = 4b2+3c2
2bc
h. d5e + 3e
d = d2
5de + 15e2
5de = d2+15e2
5de
4.20 Vermenigvuldigen van breuken
Zoals 23 · 4
5 = 815 zo is:
ab · c
d = acbd en
ab · −c
d = −acbd
4.21 Opgaven
Som 163
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 23 · a
3 = 2a9
b. ab · 4
5 = 4a5b
c. 45 · a
b = 4a5b
d. 45 · 3
b = 125b
e. 45 · a
3 = 4a15
f. 3a · −4
b = − 12ab
g. −3a · −b
4 = 3b4a
h. −ab · −1
3 = a3b
Som 164
Schrijf zo kort mogelijk:
a. ab · c
d = acbd
b. ab · −c
d = −acbd
c. ab · c
−d = −acbd
d. 2ab · 3c
5d = 6ac5bd
e. 2p3q · 4x
y = 8px3qy
f. −3q2x · 3
−y = 9q2xy
g. 4tx3y · 4
5z = 16tx15yz
h. −abc · 3d
pq = − 3abdcpq
74 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
Som 165
Schrijf zo kort mogelijk:
a. 5a · −1
5 = 65a · −1
65 = − 1a
b. 3a4b · b
3 = 63a4 6b · 6b63 = a
4
c. 6ab10 · 15
bc = 6a 6b10 · 15
6bc = 9ac
d. 3pq6p · −2
3q = 63 6p 6q6 6p · −2
63 6q = −1
e. 5ab7cd · ce
10ab = 5 6a 6b7 6cd · 6ce
10 6a 6b = 5e70d = e
14d
f. 100p30q · 9q
5p = 100 6p30 6q · 9 6q
5 6p = 6
g. abc3pq · 4p
bcd = a 6bc3 6pq · 4 6p
6bcd = 4a3dq
h. −pt6q · 4qy
4yt = − 16
Som 166
Los op:
a. 3a2
4 · 82a = 3a
b. 8p2
2a · 3a2
4p = 3ap
c. ab2
3p · p2
a2b2 = p3a
d. 3ab2
4q · 2q2
b2 = 3aq2
e. 6x2y2x · 3x
9y = x2
f. 12x4
6p2 · 3p3
4x5 = 3p2x
g. 12x4
6p3 · 3p3
4x4 = 1 12
h. 9xz3
2z · 4p3pz = 6xz
4.22. HAAKJES WEGWERKEN I 75
4.22 Haakjes wegwerken I
Zoals 3a = a + a + a is3(a + b) = a + b + a + b + a + b = 3a + 3bDus:3(2a + 3b) = 6a + 9b3(2a− 3b) = 6a− 9b−3(2a + 3b) = −6a− 9b−3(2a− 3b) = −6a + 9ba(2a + 3b) = 2a2 + 3ab2a(3a + 4b) = 6a2 + 8ab
4.23 Opgaven
Som 167
Werk de haakjes weg:
a. 3(a + b) = 3a + 3b
b. 3(a− b) = 3a− 3b
c. 3(a + 2b) = 3a + 6b
d. 3(a− 2b) = 3a− 6b
e. 3(−2a + 2b) = −6a + 6b
f. 3(2a− 2b) = 6a− 6b
g. 3(a + 2) = 3a + 6
h. 3(−a− 2) = −3a− 6
Som 168
Werk de haakjes weg:
a. 3(−a + 1) = −3a + 3
b. 3(1− a) = 3− 3a
c. 3(−1− 3a) = −3− 9a
d. 3(a− b) = 3a− 3b
e. 3(−a + 2) = −3a + 6
f. 3(2a− 3b) = 6a− 9b
g. 3(3a + 1) = 9a + 3
h. 3(−3a− 1) = −9a− 3
Som 169
Werk de haakjes weg:
a. −5(3 + 2a) = −15− 10a
b. −2(a− 2b) = −2a + 4b
c. −3(a + 4b) = −3a− 12b
d. 3(−a + 12b) = −3a + 1 1
2b
e. −412 (2a− 4b) = −9a + 18b
f. 6(−2a + 3) = −12a + 18
g. 5(5− 3a) = 25− 15a
h. −3(1 + 5a) = −3− 15a
76 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
Som 170
Werk de haakjes weg:
a. 4(a2 + 3) = 4a2 + 12
b. −4(3a2 − 2) = −12a2 + 8
c. 3(a− 6b2) = 3a− 18b2
d. −1(a + b) = −a− b
e. −2(a− b) = −2a + 2b
f. 3(a2 + 2b2 = 3a2 + 6b2
g. −4(−a + 2b) = 4a− 8b
h. −4(a− 2b) = −4a + 8b
Som 171
Werk de haakjes weg:
a. −3(a− 2b) = −3a + 6b
b. (a− 2b) · −3 = −3a + 6b
c. −2(a− 5b) = −2a + 5b
d. (a− 5b) · −2 = −2a + 10b
e. 6(a− 2q) = 6a− 12q
f. −3(p− 2q) = −3p + 6q
g. (b + 2c) · 3 = 3b + 6c
h. (ab + 2c) · 3 = 3ab + 6c
Som 172
Werk de haakjes weg:
a. a(p + q) = ap + aq
b. a(p− q) = ap− aq
c. a(2p + q) = 2ap + aq
d. a(2p− q) = 2ap− aq
e. a(2p + 3q) = 2ap + 3aq
f. a(−2p + 3q) = −2ap + 3aq
g. a(2 + 3c) = 2a + 3ac
h. (2c− 3)a = 2ac− 3a
Som 173
Werk de haakjes weg:
a. a(a + b) = a2 + ab
b. b(a + b) = ab + b2
c. b(2a + b) = 2ab + b2
d. b(2a− 2b) = 2ab− 2b2
e. 2b(a + 2b) = 2ab + 4b2
f. 2b(2a− b) = 4ab− 2b2
g. a(3a− 1) = 3a2− a
h. a(−3a− b) = −3a2 − ab
Som 174
Werk de haakjes weg:
4.23. OPGAVEN 77
a. −3a(a− 3ab) = −3a2 + 9a2b
b. 3a(ab− a) = 3a2b− 3a2
c. −2a(3ab− b) = −6a2b + 2ab
d. 2a(2a + 2ab) = 4a2 + 4a2b
e. −a(−3a− 4ac) = 3a2 + 4a2c
f. 3a(5− a) = 15a− 3a2
g. −a(5a− 3) = −5a2 + 3a
h. −4a(3a− 2ac) = −12a2 + 8a2c
Som 175
Werk de haakjes weg:
a. a2(3a + 5) = 3a3 + 5a2
b. a(3a2 − 5) = 3a3 − 5a
c. a2(3a2 − 5) = 3a4 − 5a2
d. −a2(3a2 − 5a) = −3a4 + 5a3
e. −a2(3a2 − 5ab) = −3a4 + 5a3b
f. a2(3ab− 5a2b) = 3a3b− 5a4b
g. 3a(a3 − 2ab) = 3a4 − 6a2b
h. −3a2(a2 − 2b) = −3a4 + 6a2b
Som 176
Werk de haakjes weg:
a. −3pq(p2 − 3p2q) = −3p3q + 3p3q2
b. 3p2(p2 − pq) = 3p4 − 3p3q
c. −3p2(p2 − 3p2q) = −3p4 + 9p4q
d. 4c(c2 + 3c) = 4c3 + 3c2
e. −4ac(ac + 4z) = −4a2c2 − 16acz
f. −4ac(a2c + 4z) = −4a3c2 − 16acz
g. p(p2 − p) = p3 − p2
h. 2p(p2 − p) = 2p3 − 2p2
Som 177
Werk de haakjes weg:
a. −3pq(p2 − p) = −3p3q + 3p2q
b. −3pq(p2 − q) = −3p3q + 3pq2
c. −3q2(p2 − 2q) = −3p2q2 + 6q3
d. 2xy(x2 − x) = 2x3y − 2x2y
e. 2x2(x2 − x) = 2x4 − 2x3
f. 3x2(x3 − 2y) = 3x5 − 6x2y
g. 3xy(xy − y2) = 3x2y2 − 3xy3
h. 2x2(xy2 − 2x2) = 2x3y2 − 4x4
Som 178
Werk de haakjes weg
a. (−p2 − 2p− 3)(−2p3) = 2p5 + 4p4 + 6p3
b. (x4 + 2x1 + 1) · 4x4 = 4x8 + 8x5 + 4x4
c. (−3a2b + ab2)(−ab2) = 3a3b3 − a2b4
d. x2(xn−2 + 1) = xn + x2
78 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
e. 2an(a2n − 2an) = 2a3n − 2a2n
f. −an−1(−a + an+1) = an − a2n
g. pn−2(pn+2 + 4p2) = p2n + 4pn
h. an−1b(an+1bn−1 + ab3) = a2nbn + anb4
4.24 Haakjes wegwerken II
Zoals we zagen geldt:p(a + b) = ap + bpDus ook geldt: (a + b)p = ap + bp(a + b) (c + d)︸ ︷︷ ︸
p
= a p︸︷︷︸(c+d)
+b p︸︷︷︸(c+d)
= a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd
Zo is(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b)(c− d) = ac− ad + bc− bd(a− b)(c− d) = ac− ad− bc + bd(a + 2)(a + 3) = a2 + 3a + 2a + 6 = a2 + 5a + 6(2a + 3b)(4a + 5b) = 8a2 + 10ab + 12ab + 15b2 = 8a2 + 22ab + 15b2
4.25 Opgaven
Som 179
Werk de haakjes weg:
a. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
b. (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq
c. (c + d)(e + f) = ce + cf + de + df
d. (a + b)(c + 3) = ac + 3a + bc + 3b
e. (a + 3)(b + c) = ab + ac + 3b + 3c
f. (a + b)(3 + d) = 3a + ad + 3b + bd
g. (2a + b)(c + d) = 2ac + 2ad + bc + bd
h. (2a + b)(2c + d) = 4ac + 2ad + 2bc + bd
Som 180
Werk de haakjes weg:
a. (2p + q)(3t + 2v) = 6pt + 4pv + 3qt + 2qv
b. (2p + q)(3t + 2) = 6pt + 4p + 3qt + 2q
c. (5a + 4)(2b + 3) = 20ab + 15a + 8b + 12
4.25. OPGAVEN 79
d. (4x + y)(a + 2b) = 4ax + 8bx + ay + 2by
e. (4x + 4)(y + z) = 4xy + 4xz + 4y + 4z
f. (3 + 4a)(2 + 3b) = 6 + 9b + 8a + 12ab
g. (1 + 3a)(2b + 1) = 2b + 1 + 6ab + 3a
h. (p + 3q)(4 + 2t) = 4p + 2pt + 12q + 6qt
Som 181
Werk de haakjes weg:
a. (a + b)(c− d) = ac− ad + bc− bd
b. (a + b)(p− q) = ap− aq + bp− bq
c. (c− d)(e + f) = ce + cf − de− df
d. (c− d)(e− f) = ce− cf − de + df
e. (a + 3)(b− c) = ab− ac + 3b− 3c
f. (a + 3)(b− 4) = ab− 4a + 3b− 12
g. (a− 3)(b− 4) = ab− 4a− 3b + 12
h. (2a + 3)(b− 4) = 2ab− 8a + 3b− 12
Som 182
Werk de haakjes weg:
a. (2a− b)(c− d) = 2ac− 2ad− bc + bd
b. (5a + 1)(3b− 2) = 15ab− 10a + 3b− 2
c. (2x− 3y)(a + b) = 2ax + 2bx− 3ay − 3by
d. (−a + b)(c− d) = −ac + ad + bc− bd
e. (−a− b)(c− d) = −ac + ad− bc + bd
f. (−2a + 3b)(c− 4) = −2ac + 8a + 3bc− 12b
g. (6p− 2)(2− 3q) = 12p− 18pq − 4 + 6q
h. (a− 4)(−b + 4) = −ab + 4a + 4b− 16
Som 183
Werk de haakjes weg:
a. (x + 3)(x + 4) = x2 + 3x + 4x + 12 = x2 + 7x + 12
80 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
b. (x + 1)(x + 5) = x2 + 5x + x + 5 = x2 + 6x + 5
c. (x + 6)(x + 1) = x2 + x + 6x + 6 = x2 + 7x + 6
d. (p + 2)(p + 3) = p2 + 3p + 2p + 6 = p2 + 5p + 6
e. (p + 1)(p + 2) = p2 + 2p + p + 2 = p2 + 3p + 2
f. (y + 3)(y + 7) = y2 + 7y + 3y + 21 = y2 + 10y + 21
g. (y + 8)(y + 2) = y2 + 2y + 8y + 16 = y2 + 10y + 16
h. (k + 1)(k + 5) = k2 + 5k + k + 5 = k2 + 6k + 5
Som 184
Werk de haakjes weg:
a. (z + 4)(z + 3) = z2 + 3z + 4z + 12 = z2 + 7z + 12
b. (z + 2)(z + 8) = z2 + 8z + 2z + 16 = z2 + 10z + 16
c. (c + 2)(c + 7) = c2 + 7c + 2c + 14 = c2 + 9c + 14
d. (c + 1)(c + 6) = c2 + 6c + c + 6 = c2 + 7c + 6
e. (a + 3)(a + 9) = a2 + 9a + 3a + 27 = a2 + 12a + 27
f. (a + 10)(a + 11) = a2 + 10a + 11a + 110 = a2 + 21a + 110
g. (b + 1)(b + 3) = b2 + 3b + b + 3 = b2 + 4b + 3
h. (b + 4)(b + 10) = b2 + 10b + 4b + 40
Som 185
Werk de haakjes weg:
a. (a− 2)(a− 3) = a2 − 3a− 2a + 6 = a2 − 5a + 6
b. (a− 5)(a− 7) = a2 − 7a− 5a + 35 = a2 − 12a + 35
c. (a− 4)(a− 1) = a2 − a− 4a + 4 = a2 − 5a + 4
d. (x− 1)(x− 3) = a2 − 3a− a + 3 = a2 − 4a + 3
e. (x + 1)(x− 2) = x2 − 2x + x− 2 = x2 − x− 2
f. (y + 6)(y − 3) = y2 − 3y + 6y − 18 = y2 + 3y − 18
g. (t− 6)(t− 2) = t2 − 2t− 6t + 12 = t2 − 8t + 12
h. (x− 4)(x− 1) = x2 − x− 4x + 4 = x2 − 5x + 4
Som 186
4.25. OPGAVEN 81
Werk de haakjes weg:
a. (2x + 3)(x− 5) = 2x2 − 10x + 3x− 15 = 2x2 − 7x− 15
b. (2x− 3)(x− 5) = 2x2 − 10x− 3x + 15 = 2x2 − 13x + 15
c. (2x− 3)(x + 5) = 2x2 + 10x− 3x− 15 = 2x2 + 7x− 15
d. (2x + 3)(x + 5) = 2x2 + 10x + 3x + 15 = 2x2 + 13x + 15
e. (a− 5)(2a− 5) = 2a2 − 5a− 10a + 25 = 2a2 − 15a + 25
f. (y − 3)(3y − 1) = 3y2 − y − 9y + 3 = 3y2 − 10y + 3
g. (2x− 4)(x− 4) = 2x2 − 8x− 4x + 16 = 2x2 − 12x + 16
h. (6y + 2)(y + 2) = 6y2 + 12y + 2y + 4 = 6y2 + 14y + 4
Som 187
Ontbind in factoren
a. (x+2)(x+4)−(x+1)(x+5) = x2+4x+2x+8−(x2+5x+x+5) = x2+4x+2x+8−x2−5x−x−5 =3
b. (a + 2b)(a − b) − (a + b)(a − 2b) = a2 − ab + 2ab − 2b2 − (a2 − 2ab + ab − 2b2) = a2 − ab +2ab− 2b2 − a2 + 2ab− ab + 2b2 = 2ab
c. 3(p + 1)(p + 3)− 2(p + 2)(p + 4) = 3(p2 + 3p + p + 3)− 2(p2 + 4p + 2p + 8) = 3p2 + 9p + 3p +9− 2p2 − 8p− 4p− 16 = p2 − 7
d. 4y2−3y(y+1)−(y−1)(y−2) = 4y2−3y2−3y−(y2−2y−y+2) = y2−3y−y2+2y+y−2 = −2
e. 5a2 − 2a(a− 3b)− 3(a− b)(a + 3b) = 5a2 − 2a2 + 6ab− 3(a2 + 3ab− ab− 3b2) = 3a2 + 6ab−3a2 − 9ab + 3ab + 9b2 = 9b2
f. (x− 1)(x− 2)− x(x− 3) = x2 − 2x− x + 2− x2 + 3x = 2
g. a(a+1)(a+2)−a2(a+3) = a(a2 +2a+a+2)−a3−3a2 = a3 +2a2 +a2 +2a−a3−3a2 = 2a
h. (x−a)(b−c)+(x−b)(c−a)+(x−c)(a−b) = x2−cx−ab+ac+x2−ax−bc+ab+x2−bx−ac+bc =3x2 − ax− bx− cx
82 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
4.26 (a + b)2
Zoals a2 = a · a, zo is (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Dus:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Met woorden erbij:(a + b)2 = a2︸︷︷︸
deeersteinhetkwadraat
+ 2ab︸︷︷︸hetdubbeleprodukt
+ b2︸︷︷︸delaatsteinhetkwadraat
Net zo is:(a + 3)2 = a2 + 6a + 9(a− 4)2 = a2 − 8a + 16(2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2
4.27 Opgaven
Som 188
Werk de haakjes weg:
a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. (a + 3b)2 = a2 + 6ab + 9b2
c. (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2
d. (2a− 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2
e. (−2a + 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2
f. (3a + 3b)2 = 9a2 + 18ab + 9b2
g. (5a− 3b)2 = 25a2 − 30ab + 9b2
h. ( 12a + 3b)2 = 1
4a2 + 3ab + 9b2
Som 189
Werk de haakjes weg:
a. (a + 1)2 = a2 + 2a + 1
b. (a + 3)2 = a2 + 6a + 9
c. (2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9
d. (2a− 3)2 = 4a2 − 12a + 9
e. (−2a + 3)2 = 4a2 − 12a + 9
f. (3a + 3)2 = 9a2 + 18a + 9
g. (5− 3b)2 = 25− 30b + 9b2
4.28. (A + B)(A−B) 83
h. ( 12 + 3b)2 = 1
4 + 3b + 9b2
Som 190
Werk de haakjes weg:
a. (12a + 10b)2 = 144a2 + 240ab + 100b2
b. (7a + 8b)2 = 49a2 + 112ab + 64b2
c. (15a + 23b)2 = 225a2 + 690ab + 529b2
d. (32a− 13b)2 = 1024a2 − 832ab + 169b2
e. (−25a + 35b)2 = 625a2 − 1750ab + 1225b2
f. (31a + 32b)2 = 961a2 + 1984ab + 1024b2
g. (25a− 13b)2 = 625a2 − 650ab + 169b2
h. ( 12a + 23b)2 = 1
4a2 + 23ab + 529b2
4.28 (a + b)(a− b)
Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a + b)(a− b) levert het volgende resultaat:(a + b)(a− b) = a2 − ab + ab− b2 = a2 − b2
Dus(a + b)(a− b) = a2 − b2
we zeggen:(a + b)(a− b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van b.(a + b)(a− b) = a2 − b2
︸ ︷︷ ︸hetverschilvantweekwadraten
Zo is:(2a + 3b)(2a− 3b) = 4a2 − 9b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a− 3)(a + 3) = a2 − 9(2a + 5)(2a− 5) = 4a2 − 25
4.29 Opgaven
Som 1
Som 191
Werk de haakjes weg:
a. (a + 2b)(a− 2b) = a2 − 4b2
b. (a + 3b)(a− 3b) = a2 − 9b2
c. (2a + 3b)(2a− 3b) = 4a2 − 9b2
84 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
d. (2a− 3b)(2a + 3b) = 4a2 − 9b2
e. (−2a + 3b)(2a + 3b) = −4a2 + 9b2
f. (3a + 3b)(3a− 3b) = 9a2 − 9b2
g. (5a− 3b)(5a + 3b) = 25a2 − 9b2
h. (a + 5)(a− 5) = a2 − 25
Som 192
Werk de haakjes weg:
a. (a + 2)(a− 2) = a2 − 4
b. (a + 7)(a− 7) = a2 − 49
c. (2a + 3)(2a− 3)− 4a2 − 9
d. (2a− 13)(2a + 13) = 4a2 − 169
e. (−12a + 13b)(12a + 13b) = −144a + 169b2
f. (31a + 31b)(31a− 31b) = 961a2 − 961b2
g. (15a− 13b)(15a + 13b) = 225a2 − 169b2
h. (10a + 5)(10a− 5) = 100a2 − 25
Som 193
Werk de haakjes weg:
a. (x + y)(x− y) = x2 − y2
b. (a + 7)(a− 7) = a2 − 49
c. (a− 12 )(a + 1
2 ) = a2 − 14
d. (−a + 3)(a + 3) = −a2 + 9
e. (−b + 5)(b + 5) = −b2 + 25
f. (t− 8)(t + 8) = t2 − 64
g. (c− d)(c + d) = c2 − d2
h. (k + 10)(k − 10) = k2 − 100
Som 194
Werk de haakjes weg:
a. (2a− 3)(2a + 3) = 4a2 − 9
b. (2a + 4)(2a− 4) = 4a2 − 16
c. (2a + 1)(2a− 1) = 4a2 − 1
d. (3a + 2)(3a− 2) = 9a2 − 4
e. (5a + 7)(5a− 7) = 25a2 − 49
4.29. OPGAVEN 85
f. (9 + 5a)(9− 5a) = 81− 25a2
g. (3a + b)(3a− b) = 9a2 − b2
h. (5x− y)(5x + y) = 25x2 − y2
Som 195
Werk de haakjes weg:
a. (a + 2b)(a− 2b) = a2 − 4b2
b. (3 + 2b)(3− 2b) = 9− 4b2
c. (1− 2b)(1 + 2b) = 1− 4b2
d. (6a + 5)(6a− 5) = 36a2 − 25
e. (1 + 7y)(1− 7y) = 1− 49y2
f. (6a− 5y)(6a + 5y) = 36a2 − 25b2
g. (ab− 4)(ab + 4) = a2b2 − 16
h. (xy − 7)(xy + 7) = x2y2 − 49
Som 196
Werk de haakjes weg:
a. (2x− 3y)(2x + 3y) = 4x2 − 9y2
b. (4z + 2t)(4z − 2t) = 16z2 − 4t2
c. (8x + 3y)(8x− 3y) = 64x2 − 9y2
d. (5a− 3b)(5a + 3b) = 25a2 − 9b2
e. (x2 + 4)(x2 − 4) = x4 − 16
f. (x2 − 1)(x2 + 1) = x4 − 1
g. (x2 + y)(x2 − y) = x4 − y2
h. (x2 + 2y)(x2 − 2y) = x4 − 4y2
Som 197
Werk de haakjes weg:
a. (1− xy)(1 + xy) = 1− x2y2
b. (3t + y2)(3t− y2) = 9t2 − y4
c. (8 + x2)(8− x2) = 64− x4
86 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
d. (−x2 + 3)(−x2 − 3) = x4 − 9
e. (−x2 + 3)(x2 + 3) = −x4 + 9
f. (ab + cd)(ab− cd) = a2b2 − c2d2
g. (2a + cd)(2a− cd) = 4a2 − c2d2
h. (x3 + y)(x3 − y) = x6 − y2
Som 198
Werk de haakjes weg:
a. (12a + 21b)(12a− 21b) = 144a2 − 441b2
b. (11a + 34b)(11a− 34b) = 121a2 − 1156b2
c. (2a + 37b)(2a− 37b) = 4a2 − 1369b2
d. (22a− 23b)(22a + 23b) = 484a2 − 529b2
e. (−52a + 3b)(52a + 3b) = −2704a2 + 9b2
f. (33a + 33b)(33a− 33b) = 1089a2 − 1089b2
g. (15a− 32b)(15a + 32b) = 225a2 − 1024b2
h. (7a + 5)(7a− 5) = 49a2 − 25
Som 199
Gebruik merkwaardige producten
a. (p2 + p + 2)(p2 + p− 2) = (p2 + p)2 − 4 = p4 + 2p3 + p2 − 4
b. (x2 − 3x− 1)(x2 − 3x + 1) = (x2 − 3x)2 − 1 = x4 − 6x3 + 9x2 − 1
c. (a2 − a + 3)(a2 − a− 3) = (a2 − a)2 − 9 = a4 − 2a3 + a2 − 9
d. (t2 + t− 4)(t2 − t− 4) = (t2 − 4)2 − t2 = t4 − 8t2 + 16− t2 = t4 − 9t2 + 16
e. (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x2 + 1)2 − 4x2 = x4 + 2x2 + 1− 4x2 = x4 − 2x2 + 1(x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x + 1)2(x− 1)2 = ((x + 1)(x− 1))2 = (x2 − 1)2
f. (a2 − 4a + 8)(a2 + 4a + 8) = (a2 + 8)2 − 16a2 = a4 − 18a2 + 64− 16a2 = a4 − 34a2 + 64
g. (m2 + m + 1)(m2 −m− 1) = m4 − (m + 1)2 = m4 −m2 − 2m− 1
h. (c2 + c + 2)(c2 − c− 2) = c4 − (c + 2)2 = c4 − c2 − 4c− 4
4.30. HAAKJESVARIA 87
4.30 Haakjesvaria
Som 200
Werk de haakjes weg
a. (xy + ab)2 = x2y2 + 2abxy + a2b2
b. (3xy − 4xz)2 = 9x2y2 − 24x2yz + 16x2z2
c. (3xy − 4xy)2 = (−xy)2 = x2y2
d. (4x + 14xy)2 = 16x2 + 2x2y + 1
16x2y2
e. (3x2 − 13 )2 = 9x4 − 2x2 + 1
9
f. (a3 − ab)2 = a6 − 2a4b + a2b2
g. (x3 − y3)2 = x6 − 2x3y3 + y6
h. (2x4 + 12x2)2 = 4x8 + 2x6 + 1
4x4
Som 201
Werk de haakjes weg
a. ( 12a2 + 1
2ab)2
b. x(x + 1x )2
c. (x− 1x )2
d. x2(x + 1x )2
e. 1x (1− x)2
f. ( 1x + 1
y )2
g. ( 2x − 3
x )2
h. (ab + b
a )2
Som 202
Werk de haakjes weg
a. (x2 − y)(x2 + y)
b. ( 13 − y3)(− 1
3 − y3)
c. ( 1y + 1)( 1
y − 1)
d. (2 12x− 31
2 )(2 12x + 3 1
2 )
e. (x2 − 12x)(x2 + 1
2x)
f. 13 ( 3
a + 3)( 3a − 3)
g. (1 + 1x )(1− 1
x )
h. (−x + 1x )(x + 1
x )
Som 203
Werk de haakjes weg
88 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS
a. (x− 3)2(x + 3)2
b. (x− 1)(x + 1)(x2 + 1)
c. (x− 1)(x + 1)(x2 − 1)
d. (2x− 4)(2x + 4)(4x2 + 16)
e. (3x− 1)(3x + 1)(9x2 − 1)
f. (2x− 7)(2x + 7)(2x− 7)(2x + 7)
g. ( 13 − x)( 1
3 + x)( 19 + x2)
h. (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x− 1)
Som 204
Werk de haakjes weg
a. ( 12x− 1
3 )( 14x− 1)
b. ( 12x− 1
3 )( 13x− 1
2 )
c. ( 12x + 7)( 2
3x− 12 )
d. (− 13a2 + a)( 1
2a− 13 )
e. ( 12 − 1
5a )( 2a + 3
10 )
f. (x3 − 2x)( 12x + 1)
g. (ab− 3ad)(a + d)
h. ( 12x2 − 2
3 )( 13x− 1
2 )
Som 205
Werk de haakjes weg
a. ( 23x2 + 1
3xy)( 13y + 2
3x)
b. ( 12 − x)( 1
3 − y)
c. (y + 1y )(2y − 3
y
)
d. (3p2 + 1p )( 1
3p + 1p
2)
e. (3x2 − 5x)(3x + 5x2)
f. ( 23 − 1
2x)( 14 − 2
3x)
g. 12p(p2 + p + 1)− 1
3p2(p + 1)
h. ( 12x2 − 2
3 )(a + d)
Hoofdstuk 5
Ontbinden in factoren
5.1 Ontbinden in factoren I
We weten: a(b + c) = ab + bcOmgekeerd: ab + bc = a(b + c)We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + cZo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden:3x + 6 = 3(x + 2)3x + 12 = 3(x + 4)a2 + ab = a(a + b)3a + 3 = 3(a + 1)a2 + a = a(a + 1)
5.2 Opgaven
Som 206
Ontbind in factoren
a. 3x + 9 = 3(x + 3)
b. 3x + 18 = 3(x + 6)
c. 5x + 5 = 5(x + 1)
d. 6a + 9b = 3(2a + 3b)
e. 16a− 20b = 4(4a− 5b)
f. 16a− 20 = 4(4a− 5)
g. 16a− 16 = 16(a− 1)
h. 24− 8a = 8(3− a)
Som 207
Ontbind in factoren
89
90 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN
a. 35x + 7y = 7(5x + y)
b. 35x + 70y = 35(x + 2y)
c. −40x + 32y = −8(5x− 4y)
d. −40 + 32y = −8(5− 4y)
e. 16 + 16x = 16(1 + x)
f. 11x− 88y = 11(x− 8y)
g. 4a + 8b + 16c = 4(a + 2b + 4c)
h. 10x + 25y + 30z = 5(2x + 5y + 6z)
Som 208
Ontbind in factoren
a. 4ab + 6a = 2a(2b + 3)
b. 18b− 16bc = 2b(9− 8c)
c. 7xy + 7yz = 7y(x + z)
d. 7xy − 7pq = 7(xy − pq)
e. 8xz − 4z = 4z(2x− 1)
f. 16y + 8yz = 8y(2 + z)
g. 24xy + 32x = 8x(3y + 4)
h. 100a− 30ab = 10a(10− 3b)
Som 209
Ontbind in factoren
a. 25cx− 25xy = 25x(c− y)
b. 25cy − 25xy = 25y(c− x)
c. 18pq − 13px = p(18q − 13x)
d. 100xy − 20x = 20x(5y − 1)
e. 100x− 20y = 20(5x− y)
f. 18pq + 32py = 2p(9q + 16y)
g. 3xyz − 6xy = 3xy(z − 2)
h. 3xy − 6xyz = 3xy(1− 2z)
Som 210
Ontbind in factoren
a. x2 + 3x = x(x + 3)
b. x2 − 6x = x(x− 6)
c. 3x2 − 6x = 3x(x− 2)
d. 3x− 6x2 = 3x(1− 2x)
e. 8xz − 4z = 4z(2x− 1)
f. 6x2 − 3 = 3(2x2 − 1)
g. 4x3 + 2x2 = 2x2(2x + 1)
h. 5x2 − 10x = 5x(x− 2)
Som 211
Ontbind in factoren
a. 35x2 + 16x = x(35x + 16)
b. 36x2 − 54x3 = 18x2(2− 3x)
c. 15x7 − 3x6 = 3x6(5x− 1)
d. 80x5 − 32x3 = 16x3(5x2 − 2)
5.3. ONTBINDEN IN FACTOREN II 91
e. 15x2 − 12y2 = 3(5x2 − 4y2)
f. 16x3y + 4x2 = 4x2(4x + 1)
g. 16x3y + 4xy = 4xy(4x2 + 1)
h. 7x2y2 − 8xy = xy(7xy − 8)
5.3 Ontbinden in factoren II
(x + 2)(x + 3) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6Kijken we,omgekeerd, naar x2+ 5︸︷︷︸
2+3
x+ 6︸︷︷︸2×3
dan kunnen we die uitdrukking in factoren ontbinden:x2+
5x + 6 = (x + 2)(x + 3)Ontbinden we x2 +6x+8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallenbij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt:Met proberen vind je: 2 + 4 = 6 en 2× 4 = 8Dus x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) of x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)Zo is:x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6) want 2 + 6 = 8 en 2× 6 = 12x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) want 3 + 5 = 8 en 3× 5 = 15x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3)x2 + 3x− 10 = (x + 5)(x− 2)
5.4 Opgaven
Som 212
Ontbind in factoren
a. a2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)
b. x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
c. x2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)
d. x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
e. x2 + 9x + 8 = (x + 1)(x + 8)
f. x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)
g. x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
h. x2 + 13x + 12 = (x + 1)(x + 12)
Som 213
a. a2 + 10a + 24 = (a + 4)(a + 6)
b. x2 + 10x + 24 = (x + 4)(x + 6)
c. x2 + 14x + 24 = (x + 2)(x + 12)
d. x2 + 12x + 32 = (x + 4)(x + 8)
e. x2 + 18x + 32 = (x + 2)(x + 16)
f. x2 + 16x + 48 = (x + 4)(x + 12)
g. x2 + 14x + 48 = (x + 6)(x + 8)
h. x2 + 26x + 48 = (x + 2)(x + 24)
Som 214
Ontbind in factoren
92 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN
a. x2 + 12x + 20 = (x + 2)(x + 10)
b. x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
c. x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
d. x2 + 37x + 36 = (x + 1)(x + 36)
e. x2 + 20x + 36 = (x + 2)(x + 18)
f. x2 + 15x + 36 = (x + 3)(x + 12)
g. x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
h. x2 + 70x + 69 = (x + 1)(x + 69)
Som 215
Ontbind in factoren
a. x2 + 24x + 80 = (x + 4)(x + 20)
b. x2 + 18x + 80 = (x + 8)(x + 10)
c. x2 + 24x + 144 = (x + 12)2
d. x2 + 74x + 144 = (x + 2)(x + 72)
e. x2 + 40x + 144 = (x + 4)(x + 36)
f. x2 + 30x + 144 = (x + 6)(x + 24)
g. x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
h. x2 + 140x + 276 = (x + 2)(x + 138)
Som 216
Ontbind in factoren
a. x2 − 5x + 6 = (x− 2)(x− 3)
b. x2 − 7x + 6 = (x− 1)(x− 6)
c. x2 − 10x + 9 = (x− 1)(x− 9)
d. x2 − 6x + 9 = (x− 3)2
e. a2 − 6a + 5 = (a− 1)(a− 5)
f. a2 − 5a + 6 = (a− 2)(a− 3)
g. x2 − 7x + 10 = (x− 2)(x− 5)
h. x2 − 11x + 10 = (x− 1)(x− 10)
Som 217
Ontbind in factoren
a. x2 − 10x + 24 = (x− 4)(x− 6)
b. x2 − 14x + 24 = (x− 2)(x− 12)
c. x2 − 20x + 36 = (x− 2)(x− 18)
d. x2 − 12x + 36 = (x− 6)2
e. a2 − 12a + 20 = (a− 2)(a− 10)
f. a2 − 10a + 24 = (a− 4)(a− 6)
g. x2 − 14x + 40 = (x− 4)(x− 10)
h. x2 − 22x + 40 = (x− 2)(x− 20)
Som 218
Ontbind in factoren
a. x2 − 9x + 14 = (x− 2)(x− 7)
b. x2 − 15x + 14 = (x− 1)(x− 14)
c. x2 − 2x + 1 = (x− 1)2
d. a2 − 8a + 15 = (a− 3)(a− 5)
5.4. OPGAVEN 93
e. a2 − 16a + 15 = (a− 1)(a− 15)
f. a2 − 19a + 18 = (a− 1)(a− 18)
g. x2 − 11x + 18 = (x− 2)(x− 9)
h. x2 − 9x + 18 = (x− 3)(x− 6)
Som 219
Ontbind in factoren
a. x2 − 7x− 30 = (x− 10)(x + 3)
b. x2 + 7x− 30 = (x + 10)(x− 3)
c. x2 − 13x− 30 = (x− 15)(x + 2)
d. x2 − x− 30 = (x− 6)(x + 5)
e. x2 − 29x− 30 = (x− 30)(x + 1)
f. x2 + 29x− 30 = (x + 30)(x− 1)
g. x2 − 6x− 16 = (x− 8)(x + 2)
h. x2 + 2x− 15 = (x + 5)(x− 3)
Som 220
Ontbind in factoren
a. x2 − 14x− 120 = (x− 20)(x + 6)
b. x2 + 14x− 120 = (x + 20)(x− 6)
c. x2 − 26x− 120 = (x− 30)(x + 4)
d. x2 − 2x− 120 = (x− 12)(x + 10)
e. x2 − 58x− 120 = (x− 60)(x + 2)
f. x2 + 58x− 120 = (x + 60)(x− 2)
g. x2 − 12x− 64 = (x− 16)(x + 4)
h. x2 + 4x− 60 = (x + 10)(x− 6)
Som 221
Ontbind in factoren
a. x2 − 4x− 12 = (x− 6)(x + 2)
b. x2 − 5x− 24 = (x− 8)(x + 3)
c. x2 + x− 56 = (x + 8)(x− 7)
d. x2 − 4x− 5 = (x− 5)(x + 1)
e. x2 − 2x− 15 = (x− 5)(x + 3)
f. x2 − 8x− 20 = (x− 10)(x + 2)
g. x2 + 2x− 48 = (x− 6)(x + 8)
h. x2 − 6x− 27 = (x− 9)(x + 3)
Som 222
Ontbind in factoren
a. x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5)
b. x2 + 10x− 25 = kan niet
c. x2 − 8x + 15 = (x− 3)(x− 5)
d. x2 + 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)
e. x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
f. x2 − 3x + 54 = kan niet
g. x2 + 16x + 60 = (x + 6)(x + 10)
h. x2 − 2x− 48 = (x− 8)(x + 6)
94 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN
5.5 Ontbinden allerlei
Som 223
Ontbind in factoren
a. 3x2 − 6x = 3x(x− 2)
b. 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) = 3(x− 1)(x + 1)
c. p2 − 7pq + 10q2 = (p− 2q)(p− 5q)
d. 4a2 − 16b2 = 4(a2 − 4b2) = 4(a− 2b)(a + 2b)
e. 9x2 − 6x + 1 = (3x− 1)2
f. c2 − 5c− 50 = (c− 10)(c + 5)
g. 7x2 + 49 = 7(x2 + 7)
h. 4x2 − 36 = 4(x2 − 9) = 4(x− 2)(x + 2)
Som 224
Ontbind in factoren
a. 6x2 + 12x + 6 = 6(x2 + 2x + 1) = 6(x + 1)2
b. 3y2 − 12z2 = 3(y2 − 4z2) = 3(y − 2z)(y + 2z)
c. −y2 − 4y − 3 = −(y2 + 4y + 3) = −(y + 1)(y + 3)
d. k2 − 3kt + 2t2 = (k − 2t)(k − t)
e. ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x− y)(x + y)
f. a2 − 3a− 108 = (a− 12)(a + 9)
g. 2a2 − 4a− 30 = 2(a2 − 2a− 15) = 2(a + 3)(a− 5)
h. 2a2 − 4a = 2a(a− 2)
Som 225
Ontbind in factoren
a. x3 − x = x(x2 − 1) = x(x− 1)(x + 1)
b. x3 − x2 = x2(x− 1)
c. x3 − x2 − 2x = x(x2 − x− 2) = x(x− 2)(x + 1)
d. y2 + 4xy + 4x2 = (y + 2x)2
e. y2x2 − 4y2 = y2(x2 − 4) = y2(x− 2)(x + 2)
5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 95
f. 3a2 + 12a− 15 = 3(a2 + 4a− 5) = 3(a− 1)(a + 5)
g. xy2 − xy2 = 0
h. t2 − 6t− 40 = (t− 10)(t + 8)
Som 226
Ontbind in factoren
a. 2a2 − 8 = 2(a2 − 4) = 2(a− 2)(a + 2)
b. x2 + 15x + 56 = (x + 7)(x + 8)
c. 2x2 − 4y + 2 = 2(x2 − 2y + 1)
d. 6− 6p2 = 6(1− p2) = 6(1− p)(1 + p)
e. p2 + 5p− 6 = (p + 6)(p− 1)
f. 4a2 − 12ab + 9b2 = (2a− 3b)2
g. t2 − 14 = (t− 1
2 )(t + 12 )
h. x2 − 33x− 34 = (x− 34)(x + 1)
Som 227
Ontbind in factoren
a. 3x2y − 9x3y2 = 3xy(x− 3x2y)
b. 8− 2z2 = 2(4− z2) = 2(2− z)(2 + z)
c. 3x2 + 9x + 6 = 3(x2 + 3x + 2) = 3(x + 2)(x + 1)
d. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
e. x2 + 6x− 55 = (x + 11)(x− 5)
f. 6a− 6ab = 6a(1− b)
g. 6a− 6ab2 = 6a(1− b2) = 6a(1− b)(1 + b)
h. 3x2 − 6x + 3 = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x− 1)2
Som 228
Ontbind in factoren
a. k2 + 5k − 36 = (k + 9)(k − 4)
b. x2 + 23x + 42 = (x + 21)(x + 2)
c. 6−5y +y2 = (2−y)(3−y) = (y−3)(y−2)(als je eerst y2−5y +6 van de uitdrukking maakt.
96 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN
d. 3x2 − 6p = 3(x2 − 2p)
e. x2 − 23x + 42 = (x− 21)(x− 2)
f. 2x2 − 8x− 24 = 2(x2 − 4x− 12) = 2(x− 6)(x + 2)
g. 2x2 − 8x− 16 = 2(x2 − 4x− 8)
h. 3x2 + 3y2 = 3(x2 + y2)
Som 229
Ontbind in factoren
a. x2 + 31x + 210 = (x + 10)(x + 21)
b. x2 − 54x− 360 = (x− 60)(x + 6)
c. x2 + 37x− 360 = (x + 45)(x− 8)
d. x2 − 49x + 360 = (x− 9)(x− 49)
e. −x2 − 37x + 164 = −(x2 + 37x− 164) = −(x + 41)(x− 4)
f. −x2 + 11x + 900 = −(x2 − 11x− 900) = −((x + 25)(x− 36)
g. z4 + 8z2 − 209 = (z2 + 19)(z2 − 11)
h. z2 − 50z + 625 = (z − 25)2
Som 230
Ontbind in factoren
a. 1y
2 + 2y + 1 = ( 1
y + 1)2
b. 1x
2 − 9x − 70 = ( 1
x − 14)( 1x + 5)
c. 2(x + y) + 3x(x + y) = (x + y)(2 + 3x)
d. 3y(x + y) + 3x(x + y) = (x + y)(3y + 3x) = 3(x + y)2
e. 3(a + c) + b(a + c) = (a + c)(3 + b)
f. a(a + c) + c(a + c) = (a + c)(a + c) = (a + c)2
g. (2 + t)4− (2 + t)t2 = (2 + t)(4− t2) = (2 + t)(2 + t)(2− t) = (2 + t)2(2− t)
h. a(a + b)2 + b(a + b)2 = (a + b)2(a + b) = (a + b)3
Som 231
Ontbind in factoren
a. x2y2 + 16xyz + 64z2 = (xy + 8z)2
5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 97
b. 12x2 − xy + 1
2y2 = 12 (x2 − 2xy + y2) = 1
2 (x− y)2
c. 14x2 − 2xz + 4z2 = 1
4 (x2 − 8xz + 16z2) = 14 (x− 4z)2
d. x4 − 10x2 + 9 = (x2 − 1)(x2 − 9) = (x− 1)(x + 1)(x− 3)(x + 3)
e. a5 + a3 = a3(a2 + 1)
f. a5 − a3 = a3(a2 − 1) = a3(a− 1)(a + 1)
g. 3x3 − 6x2 + 3x = 3x(x2 − 2x + 1) = 3x(x− 1)2
h. p2(t2 − 4)− q2(t2 − 4) = (t2 − 4)(p2 − q2) = (t− 2)(t + 2)(p− q)(p + q)
Som 232
Ontbind in factoren
a. 5a2b2 − 25abc− 70c2 = 5(a2b2 − 5abc− 14c2) = 5(ab− 7c)(ab + 2c)
b. 3x3 − 6x2 − 144x = 3x(x2 − 2x− 48) = 3x(x− 8)(x + 6)
c. 7 12x2 + 15x + 7 1
2 = 7 12 (x2 + 2x + 1) = 7 1
2 (x + 1)2
d. x4 − 4x2 + 4 = (x2 − 2)2
e. x4 − 8x2 + 16 = (x2 − 4)2 = (x− 2)2(x + 2)2
f. x4 − 6x2 + 9 = (x2 − 3)2
g. (x2 − 8x− 9)2 = (x− 9)2(x + 1)2
h. (x2 − 9)2 = (x− 3)2(x + 3)2
Som 233
Ontbind in factoren
a. a(x− 1)− b(x− 1) = (x− 1)(a− b)
b. (x + y)2 − z(x + y) = (x + y)(x + y − z)
c. (a + b)2 + 2(a + b) = (a + b)(a + b + 2)
d. (x− y)2 − (x− y) = (x− y)(x− y − 1)
e. (a + b)3 − a(a + b)2 = (a + b)2(a + b− a) = b(a + b)2
f. 2x(x + y)− (x + y)2 = (x + y)(2x− (x + y)) = (x + y)(2x− x− y) = (x + y)(x− y)
g. 3x(x− y)− (x− y)2 = (x− y)(3x− (x− y)) = (x− y)(2x− y)
h. (x + y)2 − x(x + y) = (x + y)(x + y − x) = y(x + y)
Som 234
98 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN
Ontbind in factoren
a. ab + ac + bp + cp = a(b + c) + p(b + c) = (b + c)(a + p)
b. ab− ac + bp− cp = a(b− c) + p(b− c) = (b− c)(a + p)
c. a2 − ab + ac− bc = a(a− b) + c(a− b) = (a− b)(a + c)
d. ab + cd + ac + bd = ab + ac + cd + bd = a(b + c) + p(b + c) = (b + c)(a + p)
e. a2 − ab− ac + bc = a(a− b)− c(a− b) = (a− b)(a− c)
f. x2y2 + x2 + y2 + 1 = x2(y2 + 1) + 1(y2 + 1) = (y2 + 1)(x2 + 1)
g. a3 − 2a2 + 4a− 8 = a2(a− 2) + 4(a− 2) = (a− 2)(a2 + 4)
h. x3 − x2 − 3x + 3 = x2(x− 1)− 3(x− 1) = (x− 1)(x2 − 3)
Som 235
Ontbind in factoren
a. x2 + 2xy + y2 − z2 = (x + y)2 − z2 = (x + y − z)(x + y + z)
b. 4x2 + 4xy + y2 − 25 = (2x + y)2 − 25 = (2x + y − 5)(2x + y + 5)
c. 9x2 + 24xy + 16y2 − 1 = (3x + 4y)2 − 1 = (3x + 4y − 1)(3x + 4y + 1)
d. x2 − 4xy + 4y2 − z2 = (x− 2y)2 − z2 = (x− 2y − z)(x− 2y + z)
e. 4x2 − 4xy + y2 − z2 = (2x− y)2 − z2 = (2x− y − z)(2x− y + z)
f. 1− 6x + 9x2 − 9y2 = (1− 3x)2 − 9y2 = (1− 3x− 3y)(1− 3x + 3y)
g. −a2 + b2 − 6ac− 9c2 = −(a2 + 6ac + 9c2) + b2 = −(a + 3c)2 + b2 = (a + 3c + b)(−a− 3c + b)
h. −4x2 + 12x + y2 − 9 = −4x2 + 12x − 9 + y2 = −(4x2 − 12x + 9) + y2 = −(2x − 3)2 + y2 =(2x− 3 + y)(−2x + 3 + y)
Hoofdstuk 6
Breuken
6.1 Vereenvoudigen
Som 236
Vereenvoudig de volgende breuken
a. xy2zx2y = yz
x
b. 5x4y5z2
10x3y4z4 = xy2z
c. 15ax2
20a2x = 3x4a
d. (x+y)2
x(x+y)x+y
x
e. (a+b)2(a−b)(a−b)2(a+b) = a+b
a−b
f. x−yy−x = x−y
−(x−y) = −1
g. −a2(a−b)a(b−a) = −a2(a−b)
−a(a−b) = a
h. (a−b)3
(b−a)2 = (a−b)3
(a−b)2 = a− b
Som 237
Vereenvoudig
a. a2−b2
a2+ab = (a−b)(a+b)a(a+b) = a−b)
a
b. x2−xyx2+xy = x(x−y)
x(x+y) = x−yx+y
c. a2−b2
(a+b)2 = (a−b)(a+b)(a+b)2 = a−b
a+b
99
100 HOOFDSTUK 6. BREUKEN
d. ab−a2
ab−b2 = a(b−a)b(a−b) = −a
b
e. x2−1x−x2 = (x−1)(x+1)
x(1−x) = −x+1x
f. a−a3
a4−1 = a(1−a2)a4−1) = a(1−a2)
(a2−1)(a2+1) = −fracaa2 + 1
g. p2n−1pn−1 = ((pn)2−1
pn−1 = (pn−1)(pn+1)pn−1 = pn + 1
h. x2−xy+xzxy−y2+yz = x(x−y+z)
y(x−y+z) = xy
Som 238
Vereenvoudig
a. a2−4a+4a2−4 = (a−2)2
(a−2)(a+2) = a−2a+2
b. x2−2xy+y2
3x−3y = (x−y)2
3(x−y) = x−y3
c. x2+5x+4x2+7x+12 = (x+1)(x+4)
(x+3)(x+4) = x+1x+4
d. x2−5x+6x2−4 = (x−2)(x−3)
(x−2)(x+2) = x−3x+2
e. x2−4x+3x2−2x+1 = (x−1)(x−3)
(x−1)2 = x−3x−1
f. x2−10x+21x2−6x+9 = (x−3)(x−7
(x−3)2 = x−7x−3
g. 1−x2
4x2−4x = (1−x)(1+x)4x(x−1) = −x+1
4x
h. xy−xz−y2+yzxy+xz−y2−yz = x(y−z)−y(y−z)
x(y+z)−y(y+z) = (y−z)(x−y)(y+z)(x−y) = y−z
y+z
Som 239
De volgende breuken zijn te vereenvoudigen. Bereken telkens a.
a. x−ax−5 = 1 als a = 5
b. 2xx−a = 2 als a = 0
c. x−2ax2−4 = x−2a
x(x−1) = 1x−1 als a = 0
x−2ax2−4 = x−2a
x(x−1) = 1x als a = 1
2
d. x−ax2−x = x−a
x(x−1) = 1x−1 als a = 0
x−ax2−x = x−a
x(x−1) = 1x als a = 1
e. x2−a2
2x−4 = (x−a)(x+a)2(x−2) = x+2
2 als a = 2 of a = −2
6.1. VEREENVOUDIGEN 101
f. x2−a2
x2−5x+4 = (x−a)(x+a)(x−1)(x−4) = x+1
x−4 als a = 1 of a = −1x2−a2
x2−5x+4 = (x−a)(x+a)(x−1)(x−4) = x+4
x−1 als a = 4 of a = −4
g. x2−a2
x2−13x+36 = (x−a)(x+a)(x−4)(x−9) = x+9
x−4 als a = 9 of a = −9x2−a2
x2−13x+36 = (x−a)(x+a)(x−4)(x−9) = x+4
x−9 als a = 4 of a = −4
h. x2−a2
x2−20x+64(x−a)(x+a)(x−4)(x−16) = x+4
x−16 als a = 4 of a = −4x2−a2
x2−20x+64(x−a)(x+a)(x−4)(x−16) = x+16
x−4 als a = 16 of a = −16
102 HOOFDSTUK 6. BREUKEN
6.2 Optellen en aftrekken van breuken met letters
Zoals we bij het optellen van breuken met getallen gezien hebben:
27
+37
=57
Net zo tel je twee breuken met letters op:
Voorbeelden:
1. 5a + 7
a = 12a
2. 4x2 + 8
x2 = 12x2
3. aa+b + b
a+b = a+ba+b = 1
4. ax − a−b
x + bx = a−(a−b)+b
x = 2bx
En als de breuken nog niet gelijknamig zijn:
1. 14 + 2
5 = 520 + 8
20 = 1320
2. 1a + 1
b = bab + a
ab = b+aab
3. xx+1 − x
x+2 = x(x+2)−x(x+1)(x+1)(x+2) = x
(x+1)(x+2)
6.3 Opgaven
Som 240
Herleid tot de eenvoudigste vorm
a. x−yx + y
x = xx = 1
b. xp + 2x
p − 3xp = x+2x−3x
p = 0
c. a2
b − a2−abb = a2−(a2−ab)
b = a2−a2+abb = ab
b = a
d. aa−b + b
b−a = aa−b − b
a−b = a−ba−b = 1
e. x2
x−3 − 3xx−3 = x2−3x
x−3 = x(x−3)x−3 = x
f. 3xx−y − 3y
x−y = 3x−3yx−y = 3(x−y)
x−y = 3
g. 2pp−q − 2q
p−q = 2p−2qp−q = 2(p−q)
p−q = 2
h. x2
x−3 − 3xx−3 = x(x−3)
x−3 = x
Som 241
6.3. OPGAVEN 103
Herleid tot de eenvoudigste vorm
a. p2
p−1 + 11−p = p2−1
p−1 = (p−1)(p+1)p−1 = p + 1
b. 1x + 1
y = yxy + x
xy = y+xxy
c. xy − y
z = xzyz − y2
yz = xz−y2
yz
d. mn + n
m = m2
mn + n2
mn = m2+n2
mn
e. 1p2 − 1
pq = qp2q − p
p2q
f. 1bc + 1
ac = aabc + b
abc = a+babc
g. xyz − y
xz = x2
xyz − y2
xyz = x2−y2
xyz
h. 1a − 1
a2 = aa2 − 1
a2 = a−1a2
Som 242
Herleid tot de eenvoudigste vorm
a. a+cc2 − 1
c = a+cc2 − c
c2 = ac2
b. 1− 1a = a
a − 1a = a−1
a
c. a + 1a = a2
a + 1a = a2+1
a
d. aa+b + a
a−b = a(a−b)(a+b)(a−b) + a(a+b)
(a+b)(a−b) = 2a2
a2−b2
e. 1x−y + 1
x+y = x+y(x−y)(x+y) + x−y
(x−y)(x+y)
f. a− a2
a+b = a(a+b)a+b − a2
a+b = aba+b
g. x− xx+1 = x(x+1)
x+1) − xx+1 = x2
x+1
h. aa+b − 1 = a
a+b − a+ba+b = −b
a+b
Som 243
Herleid tot de eenvoudigste vorm
a. xx−y − 1 = x
x−y − x−yx−y = y
x−y
b. aa+b + a
a−b − 1 = a(a−b)(a+b)(a−b) + a(a+b)
(a+b)(a−b) − a2−b2
a2−b2 = a2−ab+a2+ab−a2+b2
a2−b2 = a2+b2
a2−b2
c. 1p−2 − 4
p2−4 = p+2(p+2)(p−2) − 4
(p+2)(p−2) = p−2(p+2)(p−2) = 1
p+2
d. 1x2−x − 1
x2−1 = 1x(x−1) − 1
(x−1)(x+1) = x+1x(x−1)(x+1) − x
x(x−1)(x+1) = 1x(x−1)(x+1)
104 HOOFDSTUK 6. BREUKEN
e. mmn−n2 − m
mn+n2 = mn(m−n) − m
n(m+n) = m(m+n)n(m−n)(m+n) − m(m−n)
n(m−n)(m+n) = m2+mn−m2+mnn(m−n)(m+n) =
mnn(m−n)(m+n) = m
m2−n2
f. 1a−ab + 1
b2−ab = 1a(a−b) + 1
b(b−a) = bab(a−b) − a
ab(a−b) = b−aab(a−b) = − 1
ab
g. aa−b + ab
(b−a)2 = a(a−b)(a−b)2 + ab
(a−b)2 = a2
(a−b)2
h. 11−x − 1
1−x2 = 1+x1−x2 − 1
1−x2 = x1−x2
6.4. BREUKEN MET LETTERS VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 105
6.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen
Zoals23× 4
5=
815
Zo is:a
b× p
q=
ap
bq
En net zoals:2345
=23× 5
4=
1012
=56
Zo is:abcd
=a
b× d
c=
ad
bc
Voorbeelden:
1.abac
= ab × c
a = cb
2. x× yx+y = xy
x+y
3. x−1x+1 × x2−1
x2 = x−1x+1 × (x−1)(x+1)
x2 = (x−1)2
x2
6.5 Opgaven
Som 244
Herleid tot de eenvoudigste vorm:
a. xy × y
z × zx = 1
b. a2
bc × b2
ac × c2
ab = 1
c. a2 × ba = ab
d. (x2 − 4)× 1x−2 = (x−2)(x+2)
(x−2) = x + 2
e. 4a2 × (a−b2a )2 = (a− b)2
f. 4x3 × ( y−2x )2 = 4x3×y2
4x2 = xy2
g. (a + b)× a−ba2+ab = (a + b)× a−b
a(a+b) = a−ba
h. (x− 1)× 11−x = −1
Som 245
Herleid tot de eenvoudigste vorm:
106 HOOFDSTUK 6. BREUKEN
a. (a− b)2 × 1a2−b2 = (a− b)2 × 1
(a−b)(a+b) = a−ba+b
b. x−1x−2 : x−1
x−3 = x−1x−2 × x−3
x−1 = x−3x−2
c. (x+1x+2 )2 : x+1
(x+2)2 = (x+1)2
(x+2)2 × (x+2)2
x+1 = x + 1
d. x2−1x2+1 : (x− 1) = (x−1)(x+1)
x2+1 × 1x−1 = x+1
x2+1
e. (a− b) : a2−aba+b = (a− b)× a+b
a(a−b) = a+ba
f. (2x− 1) : 1−2x1−x = (2x− 1)×− 1−x
2x−1 = x− 1
g. (ab + b
a )× ab = a2 + b2
h. (3− 2x+1 )× (x + 1) = 3(x + 1)− 2 = 3x− 1