Twee soorten groei

11.1

opgave 6

a N = 9,8 · 1,045t

b invullen t = 6 N = 9,8 · 1,0456 ≈ 12,8 miljoen.

c Los op : 9,8 · 1,045t = 16voer in y1 = 9,8 · 1,045x

en y2 = 16

intersect x ≈ 11,1.Dus in 2004 + 11 = 2015 is het aantal inwoners voor heteerst meer dan 16 miljoen.

d Los op : 9,8 · 1,045t = 2 · 9,8voer in y3 = 2 · 9,8

intersect met y1 en y3 geeft x ≈ 15,7.

Dus in 2004 + 15 = 2019 zal het aantal verdubbeld zijn.

Groeifactor en groeipercentageneemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken

v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe 100% + 4,5% = 104,5% : 100 × 1,045dan is de groeifactor 1,045formule : B = 250 × 1,045t

dus bij een groeifactor van 0,956is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%we zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is

bij een verandering van p% per tijdseenheid hoortexponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100

bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een verandering van p = ( g – 1 ) × 100%

11.1

opgave 12

a De groeifactor per jaar is 1 + = 0,979.P = 94,2 · 0,979t

b Los op : 94,2 · 0,979t = 55voer in y1 = 94,2 · 0,979x

en y2 = 55

intersect x ≈ 25,4Dus in 1986 + 26 = 2012 is de productie voor het eerst minder dan 55 miljard kg.

c 2005 : t = 19 N ≈ 62,939 miljard kg.2000 : t = 14 N ≈ 69,986 miljard kg.

De procentuele verandering =Dus een afname van 10,1%.

2,1

100

62,939 69,986100% 10,1%

69,986

d Bij de plannen van de milieuorganisatie hoort de formuleP = 94,2 – 1,4t met t in jaren na 1986 en P in miljarden kg.Voer in y3 = 94,2 – 1,4x

intersect x ≈ 35,8Vanaf het jaar 1986 + 36 = 2022 leiden de plannen van demilieuorganisatie tot een lagere mestproductie.

O t

P

y1

y3

94,2

35,8

44,0

Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid.

Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn.

Bij een groeifactor van 1,5 per uurhoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dagen een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier.1,11 111% toename per kwartier is 11%.

Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren.

11.2

opgave 36

t 4 10

N 1000 2500

g4 dagen =

gdag =

N = b · gt

g ≈ 1,165

voor t = 4 N = 1000

Dus N = 543 · 1,165t.

25002,5

1000

1

62,5 1,165

N = b · 1,165t

1000 = b · 1,1654

b ≈ 543

4

1000

1,165b

x 2,5

+ 6

11.2

Logaritme en exponent

2x = 8x = 3 want 23 = 82x = 8 ⇔ 2log(8)23 = 8 ⇔ 2log(8) = 32log(32) = 5 want 25 = 32

algemeen:glog(x) = y betekent gy = xx > 0 , g > 0 en g ≠ 1

11.3

Rekenregels voor logaritmen

Uit gy = x en glog(x) = y volgt gglog(x) = x.

glog(a) + glog(b) = glog(ab)

glog(a) – glog(b) = glog( )

n · glog(a) = glog(an)

glog(a) =

a

b

log( )

log( )

a

g

11.3

De standaardgrafiek y = glog(x)

Ox

y0 < g < 1

1 Ox

yg > 1

1

dalend stijgend

domein < 0, >bereik ℝ

de y-as (x = 0) is asymptoot11.3

De standaardgrafiek y = glog(x)

Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars

spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies

Ox

y

Ox

yg > 1 0 < g < 1

11

y = x

y = 2x

1y = 2log(x)

y = x

y = (½)x

y = ½log(x)

1

10.5

opgave 49

a f (x) = g (x)2log(6x) = 1 + 2log(x + 3)2log(6x) = 2log(2) + 2log(x + 3)2log(6x) = 2log(2(x + 3)2log(6x) = 2log(2x + 6)6x = 2x + 64x = 6x = 1½voldoetsnijpunt (1½, 2log(9))

b

Ox

y

1½

f

g

x = -3

f (x) ≤ g (x)

0 < x < 1½

Opgave 56a3282,025000 tN

32)82,0()25000()( tLogLogNLog

)82,0()32()5,2(3)( LogtLogNLog

)32(086186.03979,3)( tNLog

tNLog 0172.06564,3)(

)82,025000()( 32 tLogNLog