Twee-Dimensionale Dynamische Eindige-Elementenmodellering ...

Universiteit GentFaculteit van de Toegepaste Wetenschappen

Vakgroep Elektrische EnergietechniekLaboratorium voor Elektrische Machines

en Vermogenselektronica (ELMAPE)

Twee-Dimensionale DynamischeEindige-Elementenmodelleringvan Statische en RoterendeElektromagnetische Energieomzetters

Johan Gyselinck

Proefschrift tot het bekomen van de graad vanDoctor in de Toegepaste Wetenschappen:

Werktuigkunde-ElektrotechniekAcademiejaar 1999-2000

Promotor: Prof. Dr. ir. Jan Melkebeek

Universiteit GentFaculteit Toegepaste Wetenschappen

Vakgroep Elektrische Energietechniek

Laboratorium voor Elektrische Machinesen Vermogenselektronica (ELMAPE)

Sint-Pietersnieuwstraat 41B-9000 Gent, Belgie

Dit werk kwam tot stand in het kader van de Inter-Universitaire-AttractiePolen (IUAP) nrs. P3-051 (1992-1996) ’ElektromagnetischeVelden’ en P4-20 (1997-2001) ’Gekoppelde problemen in Elektromag-netische Systemen’, gefinancierd door de Belgische Staat (FederaalBureau voor Wetenschappelijke, Technische en Culturele Aangele-genheden).

Overzicht

In dit werk wordt het oplossen van twee-dimensionale quasi-stationaire magneti-sche veldproblemen m.b.v. de eindige-elementenmethode behandeld, met het oogop de praktische simulatie van zowel statische als roterende elektromagnetischeenergieomzetters (bv. transformatoren en inductiemachines).

In Hoofdstuk 1 worden de vergelijkingen van Maxwell en i.h.b. die van het quasi-stationaire magnetische veldsysteem herhaald. De magnetische vectorpotentiaalen de elektrische scalaire potentiaal worden als hulpgrootheden ingevoerd.

In Hoofdstuk 2 worden twee-dimensionale magnetostatische veldproblemen be-studeerd. Hierbij wordt translatie- of axisymmetrie verondersteld. Deze twee ge-vallen kunnen op zeer analoge wijze behandeld worden, o.m. dankzij het invoerenvan een gemodifieerde vectorpotentiaal. De EE-methode leidt tot een stelsel alge-braısche vergelijkingen die een eenvoudige fysische betekenis hebben. Met bijko-mende (rand)voorwaarden wordt de uniciteit van de oplossing verzekerd en wordtde aanwezigheid van de ruimte buiten het eindige-elementendomein in rekeninggebracht. Het niet-lineaire stelsel vergelijkingen wordt iteratief opgelost met deNewton-Raphson-methode. Er wordt getoond hoe een eindige-elementenmodelen een magnetisch netwerk op een eenvoudige en natuurlijke wijze gekoppeldkunnen worden. Een dergelijk hybried model kan praktisch behandeld wordenalsof het een gewoon eindige-elementenmodel betreft.

De reversibele magnetische materiaalkarakterisering bij twee-dimensionale mag-netostatische veldberekeningen komt aan bod in Hoofdstuk 3. Zowel isotrope alsanisotrope materiaalmodellen worden beschouwd.

In Hoofdstuk 4 worden twee-dimensionale magnetodynamische veldproblemenbehandeld. Het eindige-elementmodel bevat hierbij een aantal massieve geleidersdie skin- en proximity-effect kunnen vertonen. Het oplossen van de differen-tiaalvergelijkingen in het frequentiedomein, voor zowel lineaire als niet-lineairesystemen, wordt kort besproken. Het oplossen van deze vergelijkingen in hettijdsdomein (time-stepping) met een eenvoudige tijdsdiscretisatiemethode komtuitgebreider aan bod. Ter validatie van de ontwikkelde software worden tweelineaire problemen met een analytische oplossing beschouwd.

In Hoofdstuk 5 worden wervelstromen in dunne homogene geleidende lamellenbestudeerd. De fluxverdringing en de niet-lineariteit van het materiaal wordenin rekening gebracht in een een-dimensionaal eindige-elementenmodel van eenlamel. In twee- en drie-dimensionale EE-modellen worden ook de randeffec-ten gemodelleerd. Indien de fluxverdringing en de randeffecten verwaarloosd

ii Overzicht

worden, kan een eenvoudig verband tussen het magnetische veld aan de rand,het gemiddelde magnetische veld en de gemiddelde inductie afgeleid worden,waar de gekende formule voor het klassieke wervelstroomverlies onmiddellijk uitvolgt. Dit verband kan ook in rekening gebracht worden in een twee-dimensionaaleindige-elementenmodel van een machine, waardoor de zgn. wervelstroommatrixgeıntroduceerd wordt in het stelsel differentiaalvergelijkingen

De modellering van hysteresis in elektroblik m.b.v. het Preisach-model wordtbestudeerd in Hoofdstuk 6. Een eenvoudige isotrope vectoruitbreiding van hetscalaire Preisach-model wordt geıncorporeerd in een 2D eindige-elementenmodel,waarbij het stelsel niet-lineaire vergelijkingen opgelost wordt m.b.v. de Newton-Raphson-methode. Hierbij wordt het vector-Preisach-model geınverteerd, wateveneens efficient kan m.b.v. de Newton-Raphson-methode.Als toepassing worden de nullaststromen en -verliezen van een driefazige trans-formator berekend. Bijzondere aandacht wordt besteed aan de modellering vande voegen in de transformatorkern.

De koppeling van een eindige-elementenmodel aan een elektrisch netwerk wordtbestudeerd in Hoofdstuk 7. Hierbij wordt een willekeurige elektrische verbindingtussen de geleiders in het eindige-elementenmodel en een aantal externe elek-trische componenten beschouwd. De elektrische en de magnetische vergelijkin-gen worden als een stelsel differentiaalvergelijkingen opgelost, met lusstromen ofknooppuntspotentialen als elektrische hulpgrootheden. Afhankelijk van de varia-belen die men in dit stelsel behoudt, heeft het stelsel algebraısche vergelijkingendat men na de tijdsdiscretisatie bekomt, bepaalde eigenschappen. Op basis vandeze eigenschappen worden drie verschillende oplossingsmethoden (of solvers)ontwikkeld.Als praktische toepassing wordt de simulatie van een driefazige transformator,die een twaalfpulsige gelijkrichter voedt, beschouwd. De eindspreiding van detransformator wordt in rekening gebracht d.m.v. bijkomende inductantiematricesin het elektrische netwerk.

In Hoofdstuk 8 wordt de modellering van roterende machines met een twee-dimensionaal eindige-elementenmodel en een magnetisch netwerk behandeld. Spe-cifieke aspecten zoals de luchtspleetmodellering, het berekenen van het elektro-magnetische koppel en het oplossen van een bijkomende kinematische vergelijkingkomen aan bod. Machines met schuingestelde gleuven worden gemodelleerd meteen zgn. meerschijvenmodel. De schuinstelling wordt hierbij op een discrete ma-nier in rekening gebracht door het beschouwen van een eindig aantal doorsnedenlangs de as van de machine.

In Hoofdstuk 9 worden verschillende werkingstoestanden (nullast, vollast, kort-sluiting, onbelaste aanloop) van een 3kW kooiankerinductiemotor gesimuleerd.Naast de commerciele rotor, die schuingestelde en gesloten gleuven heeft, zijn erdrie andere rotoren beschikbaar, waarvan de gleuven recht en/of open zijn. Heteffect van de schuinstelling en van het al of niet open zijn van de rotorgleuvenwordt bij de verschillende werkingstoestanden onderzocht.

In Hoofdstuk 10 worden enkele slotbeschouwingen geformuleerd.

Dankwoord

In de eerste plaats wil ik mijn promotor Prof. Dr. ir. J. Melkebeek bedanken,voor de steun gedurende de voorbije jaren en voor de vele kritische opmerkingenen suggesties bij het schrijven van deze tekst.

Mijn dank gaat ook uit naar alle medewerkers van ELMAPE die rechtstreeks ofonrechtstreeks hebben bijgedragen tot het tot stand komen van dit proefschrift.In het bijzonder ben ik Dr. ir. Lieven Vandevelde veel dank verschuldigd. Dankzijde vele leerrijke discussies met Lieven heb ik meer inzicht gekregen in de eindige-elementenmethode en in magnetische veldberekeningen. Zijn suggesties bij hetschrijven van de tekst en zijn bijna dagelijkse praktische hulp, o.m. bij het gebruikvan LATEX, Xgraph en Xfig, heb ik erg gewaardeerd. Collega’s ir. Marc de Wulfen ir. Dimitre Makaveev dank ik voor het uitvoeren van de metingen op detransformator in hun meetopstelling. Dimitre dank ik ook voor het nalezen vande tekst.

Het onderzoek werd uitgevoerd in het kader van de Inter-Universitaire-Attractie-Polen nrs. P3-051 (1992-1996) ’Elektromagnetische Velden’ en P4-20 (1997-2001)’Gekoppelde problemen in Elektromagnetische Systemen’, gefinancierd door deBelgische Staat (Federaal Bureau voor Wetenschappelijke, Technische en Cul-turele Aangelegenheden). Met de collegaonderzoekers van Service d’ElectriciteAppliquee (ELAP), Institut d’Electricite Montefiore, Universite de Liege, en vanhet Departement Elektrotechniek, Div. Elektrische Energietechniek (ELEN), Ka-tholieke Universiteit Leuven, heb ik vele nuttige contacten en discussies gehad.

Tenslotte wil ik mijn familie en vrienden van harte danken voor de morele on-dersteuning.

iv Overzicht

Inhoudsopgave

Overzicht i

Dankwoord iii

Inhoud x

Voorwoord xi

Symbolenlijst xiii

1 Het quasi-stationaire magnetische veldsysteem 1-11.1 De wetten van het elektromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2

1.1.1 De vergelijkingen van Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 1-21.1.2 De quasi-stationaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . 1-21.1.3 De constitutieve vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4

1.2 De magnetische en de elektrische potentiaal . . . . . . . . . . . . . 1-61.3 Magnetische energie en co-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-81.4 Magnetostatische randwaardeproblemen . . . . . . . . . . . . . . . 1-11

1.4.1 De co-energiefunctionaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-121.4.2 Uniciteit van de oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-15

1.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-16

2 Twee-dimensionale magnetostatische veldproblemen 2-12.1 Translatiesymmetrische veldproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . 2-22.2 Axisymmetrische veldproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-52.3 De twee-dimensionale eindige-elementenmethode . . . . . . . . . . 2-7

2.3.1 Discretisatie van de twee-dimensionale ruimte . . . . . . . . 2-72.3.2 De stijfheidsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-102.3.3 De equivalente knooppuntsstromen . . . . . . . . . . . . . . 2-132.3.4 De eindige-elementenvergelijkingen – fysische interpretatie . 2-14

2.4 Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-162.4.1 Lineaire randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-162.4.2 De Neumann-randvoorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-172.4.3 De Dirichlet-randvoorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-172.4.4 Periodiciteitsvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-182.4.5 Een vlottende potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-20

vi Inhoudsopgave

2.5 Het oplossen van open problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-202.5.1 De Kelvin-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-212.5.2 Toepassing: inductantie van een dubbellijn . . . . . . . . . 2-23

2.6 Het oplossen van de niet-lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . 2-262.6.1 De Newton-Raphson-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-262.6.2 De Jacobiaan van de stijfheidsmatrix . . . . . . . . . . . . 2-282.6.3 De ICCG-solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-30

2.7 Spoelen of gewikkelde geleiders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-312.7.1 Translatiesymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-312.7.2 Axisymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-332.7.3 Inductantiematrix van de ns spoelen . . . . . . . . . . . . . 2-332.7.4 Toepassing: inductantie van een luchtspoel . . . . . . . . . 2-34

2.8 De koppeling met een magnetisch netwerk . . . . . . . . . . . . . . 2-352.8.1 Magnetische netwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-362.8.2 Koppeling van een EE-model en een magnetisch netwerk . . 2-382.8.3 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-41

2.9 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-42

3 Reversibele materiaalkarakterisering 3-13.1 Isotrope materialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1

3.1.1 Analytische uitdrukkingen voor B(H) . . . . . . . . . . . . 3-23.1.2 Interpolatie van meetpunten (Hi, Bi) . . . . . . . . . . . . . 3-43.1.3 Gladmaken van de opgemeten BH-kromme . . . . . . . . . 3-53.1.4 Asymptotisch gedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-7

3.2 Permanente magneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-83.3 Anisotrope materialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11

3.3.1 Koordetensoren en differentiele tensoren . . . . . . . . . . . 3-113.3.2 Homogenisering van een gelamelleerde structuur . . . . . . 3-123.3.3 Anisotrope modellering van elektroblik . . . . . . . . . . . . 3-133.3.4 Magnetische metingen met een Epstein-opstelling . . . . . . 3-163.3.5 Magnetische metingen met een 2D opstelling . . . . . . . . 3-183.3.6 Toepassing: modellering van een transformatorkern . . . . . 3-19

3.4 Vulfactor van een blikpakket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-223.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23

4 Twee-dimensionale magnetodynamische veldproblemen 4-14.1 Translatiesymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-24.2 Axisymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-64.3 Gewikkelde geleiders of spoelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-94.4 De dynamische EE-vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11

4.4.1 De EE-vergelijkingen – dynamische uitbreiding . . . . . . . 4-114.4.2 Het behoud van vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-124.4.3 Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14

4.5 Oplossing in het frequentiedomein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-154.5.1 Lineaire systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-154.5.2 Niet-lineaire systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-18

Inhoudsopgave vii

4.6 Oplossing in het tijdsdomein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-194.6.1 De β-tijdsdiscretisatiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . 4-194.6.2 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-25

4.7 Toepassing 1: stroomverdringing in gleufgeleiders . . . . . . . . . . 4-294.7.1 De 1D benadering met een analytische oplossing . . . . . . 4-294.7.2 De EE-berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-31

4.8 Toepassing 2: fluxverdringing in een geleidende bol . . . . . . . . . 4-344.8.1 Analytische oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-344.8.2 EE-berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-35

4.9 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-37

5 Modellering van wervelstromen in elektroblik 5-15.1 Scheiding van het ijzerverlies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-25.2 1D modellering van een lamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3

5.2.1 Verwaarlozing van de fluxverdringing . . . . . . . . . . . . . 5-65.2.2 Het lineaire geval met een analytische oplossing . . . . . . . 5-95.2.3 1D EE-modellering van een lamel . . . . . . . . . . . . . . . 5-11

5.3 2D EE-modellering van een lamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-195.4 3D EE-modellering van een lamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-225.5 Incorporatie van wervelstromen in een 2D model van een machine . 5-24

5.5.1 Translatiesymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-245.5.2 Axisymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-275.5.3 Magnetische netwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-275.5.4 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-28

5.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-31

6 Modellering van hysteresis 6-16.1 Het klassieke Preisach-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2

6.1.1 De Preisach-distributiefunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-26.1.2 De geheugenwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-36.1.3 De differentiele permeabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-76.1.4 Hysteresisverlies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-86.1.5 De Everett-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-86.1.6 Een analytische distributiefunctie . . . . . . . . . . . . . . . 6-106.1.7 Praktische implementatieaspecten . . . . . . . . . . . . . . 6-136.1.8 Het snelheidsafhankelijk Preisach-model . . . . . . . . . . . 6-15

6.2 Een vector-Preisach-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-166.2.1 Uitbreiding van het scalaire Preisach-model . . . . . . . . . 6-166.2.2 Opsplitsing in reversibel en irreversibel deel . . . . . . . . . 6-186.2.3 Alternerende excitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-196.2.4 Rotationele excitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-206.2.5 Toepassing: karakterisering van twee elektroblikken . . . . 6-226.2.6 Praktische implementatieaspecten . . . . . . . . . . . . . . 6-27

6.3 Implementatie van hysteresis in een 2D EE-model . . . . . . . . . 6-326.4 Toepassing: nullastsimulatie van een transformator . . . . . . . . . 6-36

6.4.1 Modellering van de voegen in het blikpakket . . . . . . . . 6-36

viii Inhoudsopgave

6.4.2 Nullastsimulaties van de transformator . . . . . . . . . . . . 6-44

6.5 A posteriori ijzerverliesberekening in een 2D EE-model . . . . . . . 6-50

6.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-52

7 Koppeling van een EE-model en een elektrisch netwerk 7-1

7.1 Elektrische netwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2

7.1.1 Elektrische componenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2

7.1.2 Methode van de lusstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3

7.1.3 Methode van de knooppuntspotentialen . . . . . . . . . . . 7-8

7.1.4 Niet-lineaire elektrische componenten . . . . . . . . . . . . 7-12

7.2 Directe elektrische koppeling van een EE-model . . . . . . . . . . . 7-15

7.2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15

7.2.2 De EE-vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-16

7.2.3 Methode van de lusstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-18

7.2.4 Methode van de knooppuntspotentialen . . . . . . . . . . . 7-18

7.2.5 Vergelijkingen in termen van A, VM en Il . . . . . . . . . . 7-19

7.2.6 Vergelijkingen in termen van A en Il . . . . . . . . . . . . 7-23

7.2.7 Vergelijkingen in termen van A, Is en Vn . . . . . . . . . . 7-25

7.2.8 Vergelijkingen in termen van A en Vn . . . . . . . . . . . . 7-26

7.2.9 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-28

7.3 Toepassing: simulatie van een driefasige transformator . . . . . . 7-31

7.3.1 Meting en modellering van de eindeffecten . . . . . . . . . . 7-32

7.3.2 Belastingssimulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-37

7.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-41

8 Modellering van roterende machines 8-1

8.1 Modellering van de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2

8.1.1 Periodiciteit en anti-periodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . 8-3

8.1.2 Het analytische luchtspleetelement . . . . . . . . . . . . . . 8-5

8.1.3 Vermazing van de luchtspleet . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-6

8.1.4 De EE-vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7

8.2 Berekening van het elektromagnetische koppel . . . . . . . . . . . 8-8

8.2.1 Methode van de virtuele arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . 8-8

8.2.2 Spanningen van Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9

8.3 Mechanische koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11

8.4 Modellering van machines met schuingestelde gleuven . . . . . . . 8-13

8.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-13

8.4.2 Het meerschijvenmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-14

8.4.3 Het oplossen van de meerschijvenvergelijkingen . . . . . . . 8-20

8.5 Modellering met een magnetisch netwerk . . . . . . . . . . . . . . . 8-23

8.5.1 Magnetisch netwerk van een inductiemachine . . . . . . . . 8-23

8.5.2 Modellering van de gleufspreiding . . . . . . . . . . . . . . . 8-24

8.5.3 Modellering van de luchtspleet . . . . . . . . . . . . . . . . 8-26

8.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-30

Inhoudsopgave ix

9 Simulatie van een 3kW inductiemotor 9-19.1 Modellering van de motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1

9.1.1 Vier verschillende rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-19.1.2 De EE-vermazing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-39.1.3 Het elektrische netwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-49.1.4 Modellering van het elektroblik . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8

9.2 Nullastsimulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-89.2.1 Meetresultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-89.2.2 Simulaties met rotor-RO – fitting van de luchtspleet . . . . 9-99.2.3 Simulaties met rotor-RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-139.2.4 IJzerverliesberekening met rotor-RO en rotor-RG . . . . . . 9-139.2.5 Meerschijvensimulaties met rotor-SO en rotor-SG . . . . . . 9-249.2.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-26

9.3 Vollastsimulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-269.3.1 Simulaties met rotor-RO en rotor-RG . . . . . . . . . . . . 9-269.3.2 Simulaties met rotor-SO en rotor-SG . . . . . . . . . . . . . 9-309.3.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-34

9.4 Kortsluitsimulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-359.4.1 Meetresultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-359.4.2 Simulaties met rotor-RO – fitting van de eindspreiding . . . 9-379.4.3 Simulaties met rotor-SO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-399.4.4 Simulaties met rotor-RG en rotor-SG . . . . . . . . . . . . . 9-409.4.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-42

9.5 Simulaties met een magnetisch netwerk . . . . . . . . . . . . . . . 9-429.5.1 Modellering met een magnetisch netwerk . . . . . . . . . . 9-439.5.2 Simulaties met rotor-RO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-459.5.3 Simulaties met rotor-RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-489.5.4 Simulaties met het meerschijvenmodel . . . . . . . . . . . . 9-509.5.5 Hybriede modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-509.5.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-52

9.6 Simulaties van de onbelaste aanloop . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-529.6.1 Metingen van aanloop met rotor-RO . . . . . . . . . . . . . 9-529.6.2 Schatting van het traagheidsmoment Jrot . . . . . . . . . . 9-539.6.3 Schatting van het wrijvingskoppel en -vermogen . . . . . . 9-549.6.4 EE-simulaties van de aanloop met rotor-RO en rotor-SO . . 9-549.6.5 Aanloopsimulaties met een magnetisch netwerkmodel . . . 9-569.6.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-57

9.7 Modellering van de eindspreiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-589.7.1 Analytische berekening van de spoelkopspreiding . . . . . . 9-599.7.2 Modellering met twee 2D EE-modellen . . . . . . . . . . . . 9-649.7.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-69

9.8 Vergelijking van de solvers ST1, ST2 en ST3 . . . . . . . . . . . . 9-699.8.1 EE-Model van een pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-709.8.2 EE-Model van twee of vier polen . . . . . . . . . . . . . . . 9-749.8.3 Meerschijvensimulatie met ST1 . . . . . . . . . . . . . . . . 9-749.8.4 Met het vector-Preisach-model . . . . . . . . . . . . . . . . 9-74

x Inhoudsopgave

9.8.5 Magnetisch netwerkmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-749.8.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-76

10 Slotbeschouwingen 10-1

Referenties R-16

Voorwoord

De eindige-elementenmethode is een numerieke techniek die toelaat niet-lineairerandwaardeproblemen met een complexe geometrie benaderend op te lossen.Ze deed in de zeventiger jaren haar intrede in het domein van de magneti-sche veldberekeningen [Sil70, Sil73]. Parallel aan de explosieve groei van dehardwarecapaciteiten van de computers, zijn de mogelijkheden van de eindige-elementenprogramma’s sterk toegenomen: van twee- naar drie-dimensionale be-rekeningen, en van statische over tijdsharmonische naar transiente berekeningen[Prest83, Kon85, Tro88, Nak91, Tsu93b].Naast de uitbreiding en de verkenning van de ruimte- en de tijdsdimensies, was enis er nog steeds de groeiende tendens om eveneens gerelateerde vergelijkingen enveldproblemen te beschouwen. Zo kunnen de elektrische voeding en de elektrischeverbinding van de geleiders in het eindige-elementenmodel in rekening gebrachtworden m.b.v. bijkomende elektrische vergelijkingen [Lom93, Tsu93a]. De wis-selwerking met het thermische veldprobleem kan worden gesimuleerd [Hed96,Ham99b], en voor roterende machines kan een bijkomende kinematische verge-lijking beschouwd worden [Pal90, Bed93]. Ook op het vlak van de geavanceerdemagnetische materiaalmodellering is de laatste jaren een sterk groeiende onder-zoeksactiviteit waar te nemen [Ber91, Deli94b, Dup95, Bot98].

Dit werk beoogt een bijdrage te leveren tot de praktische toepassing van deeindige-elementenmethode bij de simulatie van elektromagnetische omzetters.Voor een beter begrip en een beter ontwerp van deze omzetters is een nauwkeu-rige modellering van de dynamische effecten meestal onontbeerlijk. De dynamicavan het systeem kan, samen met het niet-lineaire materiaalgedrag, nauwkeuriggesimuleerd worden wanneer de differentiaalvergelijkingen opgelost worden in hettijdsdomein d.m.v. time-stepping.

Aan de vooravond van het derde millenium is de rekencapaciteit van een modaalwerkstation nog niet van die aard dat een drie-dimensionale transiente simu-latie van een volledige (bv. roterende) machine vanzelfsprekend is. Een drie-dimensionale simulatie vraagt doorgaans ernstige toegevingen wat de ruimte-en/of de tijdsdiscretisatie betreft, of een flinke dosis geduld van de onderzoe-ker of de ontwerper. Een twee-dimensionale dynamische simulatie, die met debeschikbare hardware ook nog uren of dagen rekentijd kan vragen, leent zichvoorlopig meer als een praktisch hulpmiddel bij het elektromagnetische ontwerpvan bv. inductiemachines [Wil94].

In dit werk wordt – naar ingenieursnormen – ruime aandacht besteed aan de

xii Voorwoord

wiskunde en de algebra van de eindige-elementenmethode. De grote stelselsvan niet-lineaire algebraısche vergelijkingen die men bekomt na de ruimte- ende tijdsdiscretisatie van het dynamische veldprobleem, worden klassiek opgelostmet de Newton-Raphson-methode en efficiente lineaire solvers. Wanneer bijko-mende elektrische vergelijkingen beschouwd worden, dreigen de aantrekkelijkeeigenschappen van de systeemmatrices, met name hun ijlheid en hun positief de-finiet zijn, verloren te gaan. Dit hangt o.m. af van de keuze van de hulpvariabelenin het elektrische netwerk. In dit werk worden de veel gebruikte methode van delusstromen en de veel minder frequent gebruikte methode van de knooppuntspo-tentialen vergeleken, en worden drie algebraısche oplossingsmethoden ontwikkeld.

Een belangrijk deel van het doctoraatsonderzoek is gewijd aan het gebruik vangeavanceerde materiaalmodellen bij de eindige-elementensimulatie van de elek-tromagnetische energieomzetters. Het berekenen van het ijzerverlies in de mag-netische kern is hierbij een van de doelstellingen. Dit kan a posteriori, d.i. naeen simulatie met een eenvoudige reversibele materiaalmodellering. Een anderestrategie, die in dit werk gevolgd wordt, bestaat erin het irreversibele materi-aalgedrag direct in de systeemvergelijkingen in rekening te brengen. In dit werkwordt met name een eenvoudige vectoruitbreiding van het klassieke Preisach-hysteresismodel in de eindige-elementenvergelijkingen geımplementeerd, waar-bij het sterk niet-lineaire materiaalgedrag consequent behandeld wordt met deNewton-Raphson-methode. Verder wordt er een originele methode ontwikkeldom het wervelstroomverlies in een gelamelleerde magnetische kern op een een-voudige wijze in rekening te brengen.

Een twee-dimensionale modellering van een werkelijke drie-dimensionale machinehoudt uiteraard een benadering in, die afhankelijk van het type machine en dewerkingstoestand al of niet aanvaardbaar is. Zo kan bijvoorbeeld de eindsprei-ding van een roterende machine een belangrijke fractie van de totale spreidingzijn, die i.h.b. bij kortsluiting niet verwaarloosd kan worden. Bij roterende ma-chines met schuingestelde gleuven geeft een twee-dimensionaal model onrealis-tisch grote gleufharmonischen in bv. de stromen. Een realistische modelleringis mogelijk met een meerschijvenmodel dat verschillende doorsneden van de ma-chine omvat. Deze en andere drie-dimensionale aspecten komen ruimschoots aanbod bij de modellering van de twee belangrijke simulatieobjecten in dit werk.Het betreft enerzijds een transformator als voorbeeld van een statische elektro-magnetische energieomzetter, en anderzijds een inductiemotor als voorbeeld vaneen roterende energieomzetter. Voor beide omzetters worden systematisch ver-schillende werkingstoestanden gesimuleerd, waarbij de materiaalmodellering, dedrie-dimensionale effecten of beide belangrijk zijn.

Als concreet eindresultaat van het doctoraatsonderzoek is er, naast deze tekst ende meerdere internationale publicaties, een computerprogramma ontwikkeld. Indit programma, dat de naam Mag2D meekreeg, zijn de verschillende mogelijk-heden, o.m. qua materiaalmodellering en elektrische en mechanische koppeling,geıntegreerd.

Symbolen

Notatie van vectoren, tensoren en matrices

Vectoren worden voorgesteld door overstreepte symbolen, bv. B. De x-componentvan de vector B wordt Bx genoteerd. De eenheidsvector volgens de x-as is 1x.

Dubbeloverstreepte symbolen, bv. ¯µ, worden gebruikt voor tensoren. De eenheid-stensor is ¯1.

Vetgedrukte symbolen, bv. S, stellen matrices voor. De transponeerde en deinverse van S worden resp. ST en S−1 genoteerd. Het (i, j)-de element van S isSij . Het i-de element van een kolommatrix A is Ai. Eenheids- en nulmatricesworden resp. 1 en 0 genoteerd.

Afkortingen

1D een-dimensionaal2D twee-dimensionaal3D drie-dimensionaalAw Ampere-windingEE eindige-elementen-e.m.k. elektromotorische kracht [V]ICCG Incomplete Choleski Conjugate GradientMEC magnetisch equivalent circuitm.m.k. magnetomotorische kracht [A]NR Newton-RaphsonRWP randwaardeprobleemRD rolrichting van elektroblik (rolling direction)PDF Preisach-distributiefunctieSPD symmetrisch positief definietST1 oplossingsmethode 1 bij elektrische koppeling (stepper 1)ST2 oplossingsmethode 2 bij elektrische koppeling (stepper 2)ST3 oplossingsmethode 3 bij elektrische koppeling (stepper 3)TD transversale richting van elektroblik (transverse direction)

xiv Symbolen

Veelgebruikte symbolen

A [Wb/m] magnetische vectorpotentiaal (MVP)

A [Wb] kolommatrix met np knooppuntswaarden van A∗z of A∗φ

A∗z [Wb] gemodifieerde magnetische vectorpotentiaal, z-component

A∗φ [Wb] gemodifieerde magnetische vectorpotentiaal, φ-component

B [T] magnetische inductie

Bg [T] magnetische inductie uitgemiddeld over de dikte van een lamel

C [F] nC × nC capaciteitsmatrix

Cn [F] nn × nn knooppuntscapaciteitsmatrix

Crot [Nms/rad] visceuze wrijvingscoefficient

d [m] dikte van een lamel

D [C/m2] elektrische inductie

DXl [–] nX × nl lusconnectiematrix van de elektrische componenten vansoort X (X=C,I,L,M,R,S,V )

DXn [–] nX × nn knooppuntsconnectiematrix van de elektrische componen-ten van soort X (X=C,I,L,M,R,S,V )

D+ deel van Preisach-halfvlak met positief gemagnetiseerde dipolen

D− deel van Preisach-halfvlak met negatief gemagnetiseerde dipolen

E [V/m] elektrische veldsterkte

Ev [T] Everett-functie

f [Hz] frequentie

F [A] magnetomotorische kracht (m.m.k.)

F l [A] nl × 1 kolommatrix met lus-m.m.k.’s

Fsk [–] fluxverdringingsfactor

G [Ω−1] geleidbaarheid

Gn [Ω−1] nn × nn knooppuntsgeleidbaarheidsmatrix

H [A/m] magnetische veldsterkte

hc [A/m] coercitief veld van een elementaire Preisach-dipool

Hc [A/m] coercitieve veldsterkte

Hg [A/m] magnetische veldsterkte uitgemiddeld over de dikte van een lamel

hl [A/m] omklapveld van een elementaire Preisach-dipool (lower)

hm [A/m] gemiddeld omklapveld van een elementaire Preisach-dipool

Hr [A/m] magnetische veldsterkte aan de rand van een lamel

hu [A/m] omklapveld van een elementaire Preisach-dipool (upper)

I [A] stroom

Il [A] nl × 1 kolommatrix met lusstromen

Ip [A] np × 1 kolommatrix met equivalente knooppuntsstromen

Symbolen xv

IX [A] nX × 1 kolommatrix met stromen door elektrische componentenvan soort X (X=C,I,L,M,R,S,V )

j [–] imaginaire eenheid

J [A/m2] stroomdichtheid

Jrot [kgm2] traagheidsmoment

K [A/m] oppervlaktestroomdichtheid

KM [–] nM × np EE-connectiematrix van de massieve geleiders

KS [–] nS × np EE-connectiematrix van de gewikkelde geleiders

l [m] lengte

L [H] zelfinductie

L [H] nL × nL koorde-inductantiematrix

Lf [H] frequentieafhankelijk inductantiematrix

LS [H] nS × nS inductantiematrix van gewikkelde geleiders in EE-model

lz [m] lengte van het 2D EE-model volgens de derde dimensie (z-as)

L∂ [H] nL × nL differentiele inductantiematrix

m [–] aantal fazen

M [T] magnetisatie

Md [–] magnetisatie van een elementaire Preisach-dipool

N [r/min] toerental

nd [–] aantal schijven in een meerschijvenmodel

nl [–] aantal stroom- of fluxlussen in elektrisch of magnetisch netwerk

np [–] aantal knooppunten in een EE-vermazing

Np [–] aantal poolparen in een roterende elektrische machine

Nr [–] aantal rotortanden in een roterende elektrische machine

Ns [–] aantal statortanden in een roterende elektrische machine

nX [–] aantal elektrische componenten van soort X (X=C,I,L,M,R,S,V )

nθ [–] aantal discrete richtingen in het vector-Preisach-model

p [W/m3] ogenblikkelijk of gemiddeld energieverlies per volume-eenheid

p [–] ruimtelijke orde

P [–] periodiciteitsgetal van een model van een roterende machine

P [Tm2/A2] Preisach-distributiefunctie (PDF)

pcl [W/m3] ogenblikkelijk of gemiddeld wervelstroomverlies per volume-eenheid

pFe [W/m3] ogenblikkelijk of gemiddeld ijzerverlies per volume-eenheid

PJ [W] Joule-verlies

r [m] bolcoordinaat of straal

R [A/Wb] reluctantie

Rl [Ω] nl × nl lusweerstandsmatrix

Rl [A/Wb] nl × nl lusreluctantiematrix

xvi Symbolen

RM [Ω] nM × nM weerstandsmatrix van de massieve geleiders

RS [Ω] nS × nS weerstandsmatrix van de gewikkelde geleiders

S [A/Wb] np × np stijfheidsmatrix

S∂ [A/Wb] np × np Jacobiaan van de stijfheidsmatrix S

t [s] tijd

t [s] vorig tijdstip, voorafgaand aan t+

t+ [s] nieuw tijdstip, volgend op t

TEM [Nm] elektromagnetisch koppel

TL [Nm] lastkoppel

Tlam [Ω−1] np × np wervelstroommatrix

TM [Ω−1] np × np conductiviteitsmatrix van spanningsgevoede massieve ge-leiders

T ′M [Ω−1] np × np conductiviteitsmatrix van stroomgevoede massieve gelei-ders

TS [Ω−1] np × np conductiviteitsmatrix van spanningsgevoede gewikkeldegeleiders

u [A] magnetische scalaire potentiaal

U [V] elektrische scalaire potentiaal

Vmv het magnetische veldsysteem

Vn [A] nn × 1 kolommatrix met knooppuntspotentialen

VX [V] nX × 1 kolommatrix met spanningen over elektrische componentenvan soort X (X=C,I,L,M,R,S,V )

w [J/m3] magnetische energiedichtheid

W [J] magnetische energie

wcl [J/m3] klassiek wervelstroomverlies per cyclus en volume-eenheid

wco [J/m3] magnetische co-energiedichtheid

Wco [J] magnetische co-energie

wexc [J/m3] extra-dynamisch verlies per cyclus en volume-eenheid

wFe [J/m3] ijzerverlies per cyclus en volume-eenheid

x [m] cartesische coordinaat

y [m] cartesische coordinaat

Yn [Ω−1] nn × nn knooppuntsadmittantiematrix

z [m] cartesische coordinaat

Zl [Ω] nl × nl lusimpedantiematrix

α [–] np × 1 kolommatrix met interpolatiefuncties

αi [–] interpolatiefunctie horende bij het i-de knooppunt

β [–] parameter van de β-tijdsdiscretisatiemethode

β′ [–] = 1− βδ [m] indringdiepte of luchtspleet

Symbolen xvii

∆ [m2] oppervlakte van een driehoek

∆t [s] tijdstap

η gewicht of gewichtsfunctie

φ [rad] bolcoordinaat of fazehoek

λ [–] vulfactor van een blikpakket

Λ [H] permeantie

Λ [H] permeantiematrix

µ [H/m] permeabiliteit

µ∂ [H/m] differentiele permeabiliteit

µ0 [H/m] permeabiliteit van het vacuum (=4π 10−7 H/m)

ν [m/H] reluctiviteit

ν∂ [m/H] differentiele reluctiviteit

ΩEE 2D EE-domein

Ωhys gebied in het EE-domein met hysteretisch materiaalgedrag

Ωlam gebied van de blikpakketten in het EE-domein

Φ [Wb] fysische flux

Φl [Wb] nl × 1 kolommatrix met lusfluxen

Ψ [V/s] gekoppelde flux

Ψ [V/s] kolommatrix met gekoppelde fluxen

ρ [m] poolcoordinaat

ρ [kg/m3] massadichtheid

θ [rad] poolcoordinaat of hoek van vector-Preisach-model

θrot [rad] rotorhoek

θrot [rad/s] rotorhoeksnelheid

θsch [rad] schuinstellingstellingshoek

ω [rad/s] pulsatie of hoeksnelheid

∂ΩEE rand van het 2D EE-domein

0 [–] nulmatrix

1 [–] eenheidsmatrix

1 [–] eenheidsvector¯1 [–] eenheidstensor

xviii Symbolen

Subscripts

−C capaciteiten in elektrisch netwerk−cl klassiek wervelstroomverlies (classical losses)−co co-energie−e effectiefwaarde−1e effectiefwaarde van de directe fundamentele component

van een driefazig systeem−eq equivalent−exc extra-dynamische verlies (excess losses)−g uitgemiddeld over de dikte van een lamel−hys hysteresis−I stroombronnen in elektrisch netwerk−irr irreversibel−J Joule-verliezen−l stroom- of fluxlussen in elektrisch of magnetisch netwerk−L inductanties in elektrisch netwerk−lam gelammelleerde magnetische kern−M massieve geleiders−ma maagdelijke toestand−n knooppunten van een elektrisch netwerk−p knooppunten van een EE-vermazing−PM permanente-magneetmateriaal−r rotor−R weerstanden in elektrisch netwerk−rel relatief−rev reversibel−s stator−S gewikkelde geleiders (spoelen, stranded conductors)−sat verzadigings-−tp tandpaar in roterende machine−v (hysteretisch) verleden−V spanningsbronnen in elektrisch netwerk−σ spreidingsflux−(i) i-de (Newton-Raphson-)iteratie

Superscripts

−H getransponeerde van de complex toegevoegde van een matrix−T getransponeerde van een matrix−−1 inverse van een matrix−∂ differentieel−+ op het tijdstip t+ volgend op het vorige tijdstip t−− op het tijdstip t voorafgaand aan het tijdstip t+

−(i) i-de doorsnede van een meerschijvenmodel− amplitude of piekwaarde− meerschijvenmodel

Hoofdstuk 1

Het quasi-stationaire magnetischeveldsysteem

In dit werk wordt de eindige-elementenmethode voor twee-dimensionale quasi-stationaire magnetische veldproblemen behandeld. In dit inleidende hoofdstukworden de basisvergelijkingen van het elektromagnetisme herhaald en worden en-kele belangrijke grootheden ingevoerd. De eigenlijke eindige-elementenmethodewordt in de volgende hoofdstukken, i.h.b. in Hoofdstukken 2 en 4, behandeld.

In §1.1 worden de wetten van Maxwell herhaald. Bijzondere aandacht wordt be-steed aan de quasi-stationaire vergelijkingen van het magnetische veldsysteem.De bijhorende constitutieve vergelijkingen worden reeds kort toegelicht. De ka-rakterisering van magnetisch materiaal komt uitgebreider aan bod in Hoofdstuk-ken 3, 5 en 6.

Bij twee-dimensionale magnetische veldberekeningen m.b.v. de eindige-elemen-tenmethode wordt meestal de magnetische vectorpotentiaal als hulpgrootheidingevoerd. Voor dynamische veldproblemen komt daar nog de elektrische scalairepotentiaal bij. Deze twee potentialen worden in §1.2 ingevoerd en hun fysischebetekenis wordt toegelicht.

De belangrijke grootheden magnetische energie en magnetische co-energie wordenin §1.3 gedefinieerd, eerst voor een magnetisch systeem met een dunne stroomvoe-rende geleider, vervolgens voor een systeen met een willekeurige stroomverdeling.

In §1.4 wordt aangetoond dat ook voor een deelvolume van het magnetische veld-systeem de definitie van co-energie en co-energiedichtheid fysisch zinvol blijft alseen fictieve stroomlaag op de rand van het deelvolume beschouwd wordt. Dezestroomlaag wordt afgeleid van de tangentiale component van de lokale magneti-sche veldsterkte.

Bij een variationele benadering van een magnetostatisch randwaardeprobleem isde co-energie de te extremeren functionaal. De co-energie bereikt een maximalewaarde voor de oplossing van het randwaardeprobleem.

1-2 HOOFDSTUK 1

1.1 De wetten van het elektromagnetisme

1.1.1 De vergelijkingen van Maxwell

Het elektromagnetisme beschouwt de interactie tussen de elektrische en de mag-netische velden. In dit werk beschouwen we enkel de macroscopische velden. Debasisgrootheden zijn :

E [V/m] elektrische veldsterkte,

H [A/m] magnetische veldsterkte (magnetisch veld),

D [C/m2] elektrische inductie,

B [T] magnetische inductie,

J [A/m2] elektrische stroomdichtheid,

ρ [C/m3] elektrische ladingsdichtheid.

E, H, D, B, J en ρ varieren in de ruimte, met cartesische coordinaten x, y en z,en in de tijd t.

De vergelijkingen van Maxwell, in differentiaalvorm, luiden [Pau98, Sil90]:

∇× E = −∂B∂ t

, (1.1)

∇× H = J +∂D

∂ t, (1.2)

∇· D = ρ, (1.3)

∇· B = 0. (1.4)

Uit (1.2) en (1.3) volgt de vergelijking die het behoud van elektrische ladinguitdrukt:

∇· J = −∂ρ∂ t. (1.5)

In Hoofdstukken 1 t.e.m. 7 wordt verondersteld dat de materie niet beweegt. Be-wegende materie komt pas aan bod in Hoofdstuk 8, dat handelt over de simulatievan roterende machines.

1.1.2 De quasi-stationaire vergelijkingen

Het golfkarakter van de elektromagnetische velden wordt veroorzaakt door hetgelijktijdig aanwezig zijn van de termen ∂D

∂ t en ∂B∂ t in de vergelijkingen van Max-

well (1.1–1.4). De quasi-stationaire benadering van het elektromagnetisme be-staat erin de ruimte op te splitsen in twee complementaire delen: het elektrischeveldsysteem Vev waarin men ∂B

∂ t verwaarloost, en het magnetische veldsysteem

Vmv waarin men ∂D∂ t verwaarloost.

Het quasi-stationaire magnetische veldsysteem 1-3

1.1.2.1 Het elektrische veldsysteem

In het elektrische veldsysteem verwaarloost men ∂B∂ t , en is men niet geınteresseerd

in H. De relevante differentiaalvergelijkingen zijn:

∇× E = 0, (1.6)

∇· D = ρ, (1.7)

∇· J = −∂ρ∂ t. (1.8)

Het elektrische veldsysteem wordt verder niet in detail bestudeerd.

1.1.2.2 Het magnetische veldsysteem

In het magnetische veldsysteem verwaarloost men ∂D∂ t , maar is men wel geın-

teresseerd in het elektrische veld E wegens de aanwezigheid van stroomvoerendegeleiders. De relevante differentiaalvergelijkingen zijn:

∇× E = −∂B∂ t

, (1.9)

∇× H = J , (1.10)

∇· B = 0. (1.11)

De met (1.9–1.11) overeenstemmende integraalvergelijkingen zijn:∮∂S

E · d l = −∫S

∂B

∂ t· n ds, (1.12)

∮∂S

H · d l =

∫S

J · n ds, (1.13)

∮S

B · n ds = 0. (1.14)

In (1.12) en (1.13) is S een willekeurig oppervlak, opgespannen door een geslotencontour ∂S. De zin van de eenheidsvector n loodrecht op S volgt uit de con-tourintegratiezin en de regel van de rechterhand. In (1.14) is n de buitenwaartsgerichte eenheidsvector loodrecht op het gesloten oppervlak S.

Aan het scheidingsvlak tussen twee media kunnen E, H en B discontinuıteitenvertonen. Uit (1.12–1.14) leidt men af aan welke vergelijkingen deze discon-tinuıteiten voldoen [Pau98]:

(E1 − E2)× n = 0, (1.15)

(H1 − H2)× n = K, (1.16)

(B1 − B2) · n = 0, (1.17)

met n de eenheidsvector loodrecht op het scheidingsoppervlak en gericht vanmedium 1 naar medium 2, en met K [A/m] de oppervlaktestroomdichtheid, zieFiguur 1.1.

1-4 HOOFDSTUK 1E1 B2medium 1medium 2 K B1H1H2E2nFiguur 1.1: Discontinuıteiten van E, H en B op een randoppervlaki1 Vmvi2v3 JVev V Ji3 i4v1Figuur 1.2: Het elektrische en het magnetische deel van de ruimte

De opsplitsing van de volledige ruimte in het elektrische veldsysteem Vev en hetmagnetische veldsysteem Vmv wordt schematisch voorgesteld in Figuur 1.2. InVmv beschouwen we een aantal dunne stroomvoerende geleiders (kortgeslotenbinnen Vmv, of aangesloten op een spanningsbron of een elektrisch circuit in hetelektrische veldsysteem) en een aantal massieve stroomvoerende gebieden.

1.1.3 De constitutieve vergelijkingen

De constitutieve vergelijkingen beschrijven de macroscopische elektromagneti-sche eigenschappen van een materiaal of een medium. Voor het magnetischeveldsysteem luiden ze in hun eenvoudigste vorm:

J = σE, (1.18)

B = µH, (1.19)

met σ [S/m] de elektrische geleidbaarheid en µ [H/m] de magnetische permeabi-liteit.

Voor wat de elektrische geleidbaarheid betreft, wordt in deze tekst onderscheidgemaakt tussen geleidende materialen (σ 6= 0, bv. koper, aluminium, staal, . . . )en niet-geleidende materialen (σ = 0, bijna alle niet-metalen).


Voor geleidende materialen wordt verder een constante (d.i. van E onafhankelijke)geleidbaarheid verondersteld. De temperatuursafhankelijkheid kan meestal nietverwaarloosd worden, en wordt onder de volgende vorm weergegeven:

σ(T ) =σ0

1 + (T − T0)αT, (1.20)

met T de temperatuur, σ0 de geleidbaarheid bij de referentietemperatuur T0 enαT de temperatuurscoefficient. Typische waarden voor koper bij T0 = 20 Czijn: σ = 60 106 S/m, αT = 4.3 10−3 (C)−1; voor aluminium bij 20 C: σ =37 106 S/m, αT = 4.3 10−3 (C)−1.

Afhankelijk van het soort medium en de doelstelling van de magnetische veld-berekening, kan de magnetische karakterisering heel eenvoudig tot zeer complexzijn. Vooreerst kan men een onderscheid maken tussen niet-magnetische en mag-netische materialen. Voor niet-magnetische materialen wordt de permeabiliteitgelijk aan die van het vacuum verondersteld: µ = µ0 = 4π 10−7 H/m.

Voor magnetische materialen (vooral ijzer, nikkel, cobalt en hun legeringen) isde permeabiliteit enkele grootteordes groter dan µ0 en sterk afhankelijk van B.Vanaf een bepaalde grootte van B neemt de permeabiliteit sterk af. Deze niet-lineariteit (verzadiging) kan bij de meeste elektrotechnische toepassingen nietverwaarloosd worden.

Vele magnetische materialen gedragen zich in mindere of meerdere mate aniso-troop, d.w.z. de relatie tussen B en H is afhankelijk van hun ruimtelijke richting.Dit kan gemodelleerd worden d.m.v. een permeabiliteitstensor ¯µ:

B = ¯µ · H, (1.21)

of in matrixnotatie:Bx

By

Bz

=

µxx µxy µxz

µyx µyy µyz

µzx µzy µzz

Hx

Hy

Hz

. (1.22)

Als de anisotropie verwaarloosd kan worden, herleidt (1.21) zich tot:

B = µ(H)H, (1.23)

met µ een scalaire functie van de grootte van H.

Verder kan men een onderscheid maken tussen hysteretische en niet-hysteretischemedia. In niet-hysteretische media is ¯µ een eenwaardige functie van de ogenblik-kelijke waarde van H. In hysteretische materialen is het verband tussen B en Hook afhankelijk van het verleden van H (of B).

We komen uitgebreider op de magnetische eigenschappen van materialen terugin Hoofdstukken 3, 5 en 6.

1-6 HOOFDSTUK 1

1.2 De magnetische en de elektrische potentiaal

In het elektrische deel Vev van de ruimte is E rotatievrij, cfr. (1.6), en wordt deelektrische scalaire potentiaal U [V] als volgt gedefinieerd:

E = −∇U. (1.24)

U is slechts bepaald op een arbitraire constante na, nl. de waarde in een bepaaldpunt.

In het magnetische deel Vmv van de ruimte worden de elektrische scalaire po-tentiaal U [V] en de magnetische vectorpotentiaal (MVP) A [Wb/m] als volgtgedefinieerd:

B = ∇× A, (1.25)

E = −∇U − ∂A

∂ t. (1.26)

De velden B en E, berekend uit willekeurige (voldoende differentieerbare) A enU volgens (1.25) en (1.26), voldoen automatisch aan de vergelijkingen (1.11) en(1.9).

Rekening houdende met (1.11), (1.9) en (1.21) kunnen (1.10) en (1.18) herschre-ven worden in termen van A en U :

∇×(¯µ−1 ∇× A) = J , (1.27)

J = −σ∂A∂ t− σ∇U. (1.28)

A en U zijn niet uniek bepaald door (1.25) en (1.26). Immers, de potentialen A∗

en U∗,

A∗ = A+ ∇T, (1.29)

U∗ = U − ∂T

∂ t, (1.30)

met T een willekeurig, differentieerbaar scalair veld, voldoen eveneens aan (1.25)en (1.26).

Algemeen is een vectorveld A uniek bepaald in een volume V als de rotatie en dedivergentie van A gegeven zijn, en als de normale en de tangentiale componentvan A gegeven zijn op complementaire delen van het randoppervlak van V [Sil90].Met (1.25) is de rotatie van de MVP A gespecifieerd. Als bijkomende (maar nogsteeds onvoldoende) voorwaarde om de uniciteit te garanderen legt men aan Abv. de zgn. voorwaarde van Coulomb op:

∇· A = 0. (1.31)

De magnetische flux Φ [Wb] door een willekeurig oppervlak S is de lijnintegraalvan de MVP A over de rand ∂S van het oppervlak:

Φ =

∫S

B · n ds =

∮∂S

A · d l, (1.32)


waarbij de zin van de normaal n op S en de integratiezin langs ∂S verbondenzijn door de regel van de rechterhand. Vergelijking (1.32) volgt onmiddelijk uitde definitie van de MVP (1.25) en de stelling van Stokes.

Figuur 1.3 toont een dunne stroomvoerende geleider in Vmv, bepaald door eengesloten contour L, dwarsdoorsnede Ω en van nul verschillende geleidbaarheid σ.V + I L Vmv

Figuur 1.3: Dunne stroomvoerende geleider in Vmv . Referentiezinnen voor stroom Ien spanninng V volgens het verbruikersreferentiesysteem

De totale stroom I en de (uniforme) stroomdichtheid J in de stroomkring ver-houden zich als volgt:

J · d l =I dl

Ω. (1.33)

Integratie van ∇U langs de stroomkring L geeft, rekening houdende met (1.28,1.32, 1.33):

∆U =

∮L

∇U · d l, (1.34)

= −∮L

(1

σJ +

∂A

∂ t

)· d l, (1.35)

= −I∮L

1

σΩdl − d

dt

∮L

A · dl, (1.36)

= −RI − dΦ

dt, (1.37)

met R de weerstand van de stroomkring en Φ de magnetische flux gekoppeld metde stroomkring. De spanningsval V = −∆U bestaat uit een resistief deel en eeninductief deel:

V = RI +dΦ

dt. (1.38)

De spanning V is afkomstig van een bron of een elektrisch netwerk buiten Vmv,of is nul voor een stroomkring die op zichzelf is kortgesloten in Vmv.

1-8 HOOFDSTUK 1

1.3 Magnetische energie en co-energie

We beschouwen opnieuw een dunne stroomkring in het magnetische veldsysteem,zoals voorgesteld in Figuur 1.3. De spanning V , de stroom I, de weerstand Ren de magnetische flux Φ zijn verbonden door (1.38). De spoel is aangesloten opeen spanningsbron die een vermogen P = V I levert:

P = V I = RI2 + IdΦ

dt. (1.39)

De term RI2 is het Joule-verlies PJ in de stroomkring. De tweede term is hetvermogen dat deels op reversibele wijze en deels op irreversibele wijze wordtopgenomen door het medium in Vmv via de magnetische velden.

Als het medium in Vmv magnetisch reversibel is, dan is het verband tussen destroom I en de flux Φ eenduidig. In dit geval wordt de magnetische energie Wgegeven door:

W (Φ) =

Φ∫0

I(Φ′) dΦ′. (1.40)

De co-energie Wco van het reversibele systeem wordt als volgt gedefinieerd:

Wco = Φ I −W = Φ I −Φ∫

0

I dΦ′ =

I∫0

Φ dI ′. (1.41)

De energie en de co-energie van een magnetisch systeem met een dunne stroom-voerende geleider worden grafisch voorgesteld in Figuur 1.4.

Wco I (I)W

Figuur 1.4: Energie en co-energie van een reversibel magnetisch systeem met een dunnegeleider die een stroom I voert en waarmee een magnetische flux Φ gekoppeld is

We beschouwen nu een willekeurige stroomverdeling in Vmv. Het elektrischevermogen geleverd aan Vmv is:

P =

∮∂Vmv

−UJ · n ds. (1.42)


Inderdaad, −J · n in (1.42) is de stroomdichtheid die door ∂Vmv het magnetischeveldsysteem binnenkomt. Op deze rand, die ook behoort tot het elektrischeveldsysteem, is E = −∇U , en kan −UJ als volgt uitgewerkt worden:

− UJ = −U ∇× H, (1.43)

= ∇U × H − ∇×(UH), (1.44)

= −E × H − ∇×(UH). (1.45)

We wensen de divergentiestelling toe te passen op de oppervlakintegralen van detwee termen in het rechterlid van (1.45). De divergentie van de Poynting-vectorE × H wordt als volgt uitgewerkt:

∇·(E × H) = −E · (∇× H) + H · (∇× E), (1.46)

= −J · E − H · ∂B∂ t

, (1.47)

terwijl de divergentie van ∇×(UH) identiek nul is.Het elektrische vermogen P kan dan als volgt uitgewerkt worden:

P = −∮

∂Vmv

(E × H

)· n ds−

∮∂Vmv

∇×(UH) · n ds, (1.48)

=

∫Vmv

J · E dv +

∫Vmv

H · ∂B∂ t

dv. (1.49)

De eerste term in het rechterlid van (1.49) is het joule-verlies PJ [W]:

PJ =

∫Vmv

J · E dv =

∫Vmv

σE2 dv =

∫Vmv

1

σJ2 dv. (1.50)

De tweede term is het vermogen dat deels op reversibele wijze en deels op irre-versibele wijze wordt opgenomen door het magnetisch medium in Vmv.

In de bovenstaande afleiding (1.42–1.50) zijn geen veronderstellingen gemaaktover de magnetische aard van het medium in Vmv (d.i. het verband tussen B enH).

We veronderstellen nu een reversibel medium, of dus een eenduidig verband tus-sen B en H. In dit geval kan (1.49) geschreven worden als:

P = PJ +dW

dt, (1.51)

met W [J] de magnetische energie:

W =

∫Vmv

w dv, (1.52)

en w [J/m3] de magnetische energiedichtheid:

w(B) =

B∫0

H(B′) · dB′. (1.53)

1-10 HOOFDSTUK 1

Voor reversibele media zijn de differentiele permeabiliteitstensor ¯µ∂ = ∂B∂H

en

de differentiele reluctiviteitstensor ¯ν∂ = ∂H∂B

= (¯µ∂)−1 functies van (de ogen-

blikkelijke waarden van) H of B. De magnetische energiedichtheid w kan ookgeschreven worden als functie van H:

w(H) =

H∫0

H ′ · ¯µ∂(H ′) · dH ′. (1.54)

De bovenstaande integraal is onafhankelijk van het gevolgde traject tussen 0 enH in de H-ruimte. Daaruit volgt dat ¯µ∂ (en dus ook ¯ν∂) symmetrisch is [Vand97].Verder stelt men experimenteel vast dat ¯µ∂ positief definiet is [Haa92]. ¯µ∂ en ¯ν∂

zijn dus symmetrische positief definiete (SPD) tensoren1.

Indien we een rechtlijnig traject kH (k : 0→ 1) tussen 0 en H beschouwen, kande energiedichtheid (1.54) onmiddellijk als volgt geschreven worden:

w(H) = H ·

1∫0

k ¯µ∂(kH) dk

· H. (1.55)

De gemiddelde permeabiliteitstensor in (1.55) is evenals de ogenblikkelijke tensorSPD, waaruit volgt dat de energiedichtheid steeds positief is.

Voor een dunne stroomkring L in Vmv geldt:

Φ =

∮L

A · d l en I Φ =

∫Vmv

J · A dv, (1.56)

waaruit de uitdrukking voor de co-energie bij een willekeurige stroomverdeling Jvolgt:

Wco =

∫Vmv

J · A dv −W. (1.57)

We definieren de co-energiedichtheid wco [J/m3] als volgt:

wco = H · B − w, (1.58)

= H · B −B∫

0

H(B′) · dB′, (1.59)

=

H∫0

B(H ′) · dH ′. (1.60)

1Een vierkante matrix S wordt positief definiet genoemd als de kwadratische vorm xTS xstrikt positief is voor elke van nul verschillende kolommatrix x.


Deze definitie is zinvol vermits de totale co-energie gelijk is aan de volume-integraal van de co-energiedichtheid:

Wco −∫Vmv

wco dv =

∫Vmv

(J · A− H · B) dv, (1.61)

=

∫Vmv

(J · A− H · (∇× A)) dv, (1.62)

=

∮∂Vmv

(A× H) · n ds, (1.63)

= 0. (1.64)

De oppervlakintegraal in (1.63) is verwaarloosbaar klein door de keuze van Vmv,d.i. met ∂Vmv voldoende verwijderd van de stroomvoerende gebieden. H en Anemen immers af volgens resp. een r−2- en r−1-wet, met r de afstand tot destroomvoerende gebieden, terwijl de oppervlakte van ∂Vmv evenredig is met r2.

1.4 Magnetostatische randwaardeproblemen

We beschouwen een deelvolume V van het magnetische veldsysteem Vmv meteen gegeven stroom- en veldverdeling, zie Figuur 1.5a. Op de rand ∂V van Vvoeren we twee fictieve tegengestelde stroomlagen K en −K op infinitesimaleafstand van elkaar in. Dit verandert de elektromagnetische velden binnen V endaarbuiten niet.

Beschouw nu een willekeurig oppervlak tussen de stroomlagen met een (t.o.v. V )uitwendige eenheidsnormaal n, en stel K = Horig × n, met Horig het originelemagnetische veld op ∂V , d.i. voor het invoeren van de stroomlagen.

Men ziet gemakkelijk in dat op het oppervlak tussen de stroomlagen geldt: H ×n = 0 en J · n = 0, waarbij H en J de velden zijn na het invoeren van destroomlagen. Dit wordt voorgesteld in Figuur 1.5b.

Er is geen energieoverdracht door het oppervlak tussen de stroomlagen. Immers,de flux van de Poyntingvector is nul: (E × H) · n = E · (H × n) = 0.Door het invoeren van de fictieve stroomlaag K = Horig × n (die onderhoudenwordt door een fictieve spanningsbron) hebben we het volume V dus energetischlosgekoppeld van de rest van Vmv.

De elektromagnetische velden in V veranderen evenmin wanneer naast het in-voeren van de stroomlaag K = Horig × n op ∂V , de rest van de ruimte in Vmvperfect permeabel verondersteld wordt (d.i. µ = ∞, waaruit H = 0 en J = 0volgen), zie Figuur 1.5c.

We kunnen de energie W en de co-energie Wco van het deelvolume V als volgtdefinieren:

W =

∫V

w dv, (1.65)

1-12 HOOFDSTUK 1 KJ = 0H = 0Horig n =1@V KHorigJ c @V

V VV J KK JK KJnJ@Va b H n = 0Figuur 1.5: Het energetisch scheiden van V van de rest van het magnetische veldsysteem doorhet invoeren van een fictieve stroomlaag Horig × n

Wco =

∫V

J · A dv +

∮∂V

K · A ds−W, (1.66)

=

∫V

wco dv, (1.67)

met de energiedichtheid w en de co-energiedichtheid wco zoals gedefinieerd inresp. (1.53) en (1.58–1.60).De definitie van de co-energie is fysisch zinvol dankzij de fictieve stroomlaagK = Horig × n en de bijhorende term in (1.66).

De magnetostatica bestudeert de magnetische velden opgewekt door een gekendeen tijdsinvariante stroomverdeling. Een magnetostatisch randwaardeprobleem(RWP) kan zich als volgt stellen:

∇× H = J in V , (1.68)

∇· B = 0 in V , (1.69)

H × n = K op ∂V , (1.70)

B = B(H) of H = H(B) in V . (1.71)

De stroomdichtheid J is gegeven in een eindig volume V . De fictieve stroomlaagK op ∂V geeft de aanwezigheid van de rest van de magnetische ruimte weer,en is eveneens gegeven. Het verband tussen B en H is eenduidig en gegeven.Gevraagd zijn B en H.

1.4.1 De co-energiefunctionaal

De variationele benadering van het magnetostatische RWP (1.68–1.71) bestaaterin de co-energie Wco als een functionaal van voldoende differentieerbare, maar


verder willekeurige testfuncties A te beschouwen:

Wco(A) =

∫V

J · A dv +

∮∂V

K · A ds−W (A). (1.72)

De variatie ∆Wco van de co-energie bij een variatie δA op een testfunctie A is desom van de eerste variatie δWco , de tweede variatie δ2Wco en hogere orde termen:

∆Wco = Wco(A+ δA)−Wco(A), (1.73)

= δWco + δ2Wco + . . . . (1.74)

De eerste en de tweede variatie van de magnetische energiedichtheid w als gevolgvan de variatie δB = ∇× δA, volgen uit het toepassen van de trapeziumregel (zieFiguur 1.6):

∆w =

B+δB∫B

H · dB′, (1.75)

=1

2(H + H + δH) · δB + . . . , (1.76)

= H · δB +1

2δB · ¯ν∂ · δB + . . . , (1.77)

= δw + δ2w + . . . . (1.78)w B(H)BB + BH + HH

Figuur 1.6: Variatie ∆w van de magnetische energiedichtheid

De eerste variatie van de co-energie is nul als A de correcte oplossing van het RWP(1.68–1.71) geeft, d.i. als de magnetische veldsterkte H, met H = H(B) en B =∇× A, voldoet aan de wet van Ampere ∇× H = J , en aan de randvoorwaardeH × n = K. Inderdaad:

δWco =

∮∂V

K · δA ds+

∫V

(J · δA− δw

)dv, (1.79)

1-14 HOOFDSTUK 1

=

∮∂V

(K − H × n) · δA ds, (1.80)

= 0, (1.81)

met

J · δA− δw = J · δA− H · δB, (1.82)

= J · δA− H · (∇× δA), (1.83)

= J · δA− (∇× H) · δA− ∇·(δA× H), (1.84)

= −∇·(δA× H). (1.85)

De tweede variatie van de co-energie is negatief:

δ2Wco = −∫V

δ2w dv, (1.86)

= −1

2

∫V

δB · ¯ν∂ · δB dv, (1.87)

op voorwaarde dat ¯ν∂ (of ¯µ∂) SPD is.

De co-energie bereikt dus een maximum voor de exacte oplossing Aex:

Wco(Aex) ≥Wco(Aex + ∆A), (1.88)

met ∆A voldoende klein.

In bijna alle publicaties over magnetostatische RWP-en wordt de te extremerenfunctionaal F (A) als volgt gekozen:

F = W −∫V

J · A dv −∫∂VN

(H × n) · A ds, (1.89)

met ∂VN het deel van ∂V waar men de Neumann-randvoorwaarde, d.i. H×n = Kmet K gegeven, oplegt [Sil90]. Enkel testfuncties A die voldoen aan de Dirichlet-randvoorwaarde, d.i. A = AD met AD gegeven op het complementaire deel ∂VDvan ∂V , worden toegelaten tot de functionaal, die een minimum bereikt voor deexacte oplossing.

De functionaal F kan als volgt herschreven worden:

F =

∫∂VD

(H × n) · A ds−Wco . (1.90)

Hij is op het teken na gelijk aan de co-energie (zoals hoger gedefinieerd) als op devolledige rand de Neumann-randvoorwaarde geldt. In het andere geval heeft defunctionaal geen directe fysische betekenis, en kan hij zowel positief als negatiefzijn, naargelang de gegeven stroomverdeling en de randvoorwaarden.

Wij verkiezen de co-energie, die steeds positief is, als functionaal te beschouwen.Dirichlet- en andere randvoorwaarden worden later, na de discretisatie van devergelijkingen m.b.v. de eindige-elementenmethode, ingevoerd. Deze (theoreti-sche) werkwijze geeft meer fysisch inzicht.


1.4.2 Uniciteit van de oplossing

Als het RWP (1.68–1.71) een oplossing (B,H) heeft, dan is die oplossing uniek.Inderdaad, beschouw twee (verschillende) oplossingen (B1, H1) en (B2, H2) metresp. MVP-en A1 en A2. De verschilvelden

∆B = B2 − B1 , ∆H = H2 − H1 , ∆A = A2 − A1 , (1.91)

voldoen aan de volgende vergelijkingen:

∇×∆H = 0 en ∆B = ∇×∆A in V , (1.92)

∆H × n = 0 op ∂V . (1.93)

We berekenen de volume-integraal van ∆H ·∆B over V :∫V

∆H ·∆B dv =

∫V

∆H · (∇×∆A) dv, (1.94)

=

∫V

∇·(∆A×∆H) dv +

∫V

∆A · (∇×∆H)︸︷︷︸=0

dv, (1.95)

=

∮∂V

(∆A×∆H) · n ds, (1.96)

=

∮∂V

∆A · (∆H × n)︸︷︷︸=0

ds, (1.97)

= 0. (1.98)

Als men bv. een rechtlijnig traject tussen H1 en H2 beschouwt:

H = H1 + k∆H, (k : 0→ 1), (1.99)

kan onmiddellijk het volgende verband tussen ∆B en ∆H afgeleid worden:

∆B =

B2∫B1

dB =

H2∫H1

¯µ∂(H) · dH, (1.100)

=

1∫0

¯µ∂(H1 + k∆H) dk

·∆H. (1.101)

Indien de differentiele permeabiliteitstensor ¯µ∂ SPD is, is de gemiddelde tensorin (1.101) eveneens SPD. Het scalair product ∆H ·∆B is dan strikt positief vooreen van nul verschillende ∆H:

∆H ·∆B = ∆H ·

1∫0

¯µ∂(H1 + k∆H) dk

·∆H > 0 (∆H 6= 0). (1.102)

De volume-integraal van ∆H · ∆B kan bijgevolg maar nul zijn als ∆H en ∆Bidentiek nul zijn in het volledige volume V . Oplossingen 1 en 2 zijn dus identiek.

1-16 HOOFDSTUK 1

Uit de uniciteit van B en H volgt echter niet de uniciteit van de MVP A. A isimmers maar bepaald door B op de gradient van een willekeurige scalaire functiena, cfr. (1.29).

1.5 Besluit

In dit inleidende hoofdstuk werden de wetten van Maxwell en i.h.b. deze van hetquasi-stationaire magnetische veldsysteem herhaald.De magnetische vectorpotentiaal en de elektrische scalaire potentiaal, belang-rijke hulpgrootheden bij statische en dynamische twee-dimensionale magnetischeveldberekeningen m.b.v. de eindige-elementenmethode, werden ingevoerd.De grootheden magnetische energie en magnetische co-energie werden gedefini-eerd, eerst voor een magnetisch systeem met een dunne stroomvoerende geleider,vervolgens voor een willekeurige stroomverdeling.

Er werd aangetoond dat ook voor een deelvolume van het magnetische veldsys-teem de definitie van co-energie en co-energiedichtheid fysisch zinvol blijft alseen fictieve stroomlaag op de rand van het deelvolume beschouwd wordt. Dezestroomlaag wordt afgeleid van de tangentiale component van de lokale magneti-sche veldsterkte.Bij een variationele benadering van een magnetostatisch randwaardeprobleemis de co-energie de te extremeren functionaal. De co-energie bereikt een maxi-male waarde voor de (juiste) oplossing van het randwaardeprobleem. Indien hetrandwaardeprobleem een oplossing heeft en indien de differentiele permeabiliteit-stensor SPD is, is de oplossing uniek (in termen van H en B).

Hoofdstuk 2

Twee-dimensionalemagnetostatische veldproblemen

In dit hoofdstuk beschouwen we twee gevallen (benaderingen) waarbij een mag-netostatisch randwaardeprobleem herleid kan worden tot een twee-dimensionaal(2D) probleem, d.i. waarbij de vectorvelden B, H en J varieren volgens tweeruimtecoordinaten binnen een 2D domein ΩEE . Deze twee voor de praktijk be-langrijke gevallen zijn translatie- en axisymmetrie. Ze worden afzonderlijk inge-leid in resp. §2.1 en §2.2. Hierbij worden telkens de gemodifieerde magnetischevectorpotentiaal (MVP) en de gemodifieerde reluctiviteitstensor ingevoerd, waar-door de analogie tussen translatie- en axisymmetrie nog duidelijker wordt, even-als verder in §2.8 de analogie (of equivalentie) tussen de eindige-elementen(EE)-vergelijkingen en de magnetische netwerkvergelijkingen (geschreven in termenvan lusfluxen).

In §2.3 wordt de EE-methode ontwikkeld voor beide 2D gevallen. Dit vangt aanmet de discretisatie van het 2D domein en de keuze van de interpolatiefuncties.In deze tekst worden hoofdzakelijk eerste-orde-interpolatiefuncties beschouwd,maar hogere-orde-elementen komen ook kort aan bod. Voor het axisymmetrischegeval kunnen speciale interpolatiefuncties gebruikt worden.

De magnetische energie en co-energie worden geschreven als een functie van deknooppuntspotentialen, wat leidt tot de definitie van de stijfheidsmatrix en dekolommatrix met de knooppuntsstromen. De maximalisatie van de co-energieblijkt te resulteren in een stelsel niet-lineaire vergelijkingen met een positief semi-definiete matrix. De fysische betekenis van de EE-vergelijkingen wordt toegelicht.

Verschillende soorten randvoorwaarden worden besproken in §2.4. Naast deklassieke Neumann- en Dirichlet-randvoorwaarde worden ook (anti-)periodiciteit(met binaire en tertiaire voorwaarden) en vlottende potentialen behandeld.

Met de klassieke EE-methode worden de magnetische vergelijkingen benaderendopgelost in een eindig gebied ΩEE , waarbij de aanwezigheid van de rest van deruimte in rekening gebracht wordt d.m.v. de randvoorwaarden. Open problemen,waarbij een oneindige ruimte (of oppervlak in 2D) beschouwd wordt, komen aanbod in §2.5. We passen de zgn. Kelvin-methode toe bij de simulatie van een

2-2 HOOFDSTUK 2

dubbellijn.

Het gebruik van de Newton-Raphson-methode voor het oplossen van de niet-lineaire EE-vergelijkingen wordt behandeld in §2.6. We tonen aan dat de stijf-heidsmatrix en zijn Jacobiaan dezelfde specifieke eigenschappen hebben.

Het nut van een bondige matrixnotatie van de EE-vergelijkingen wordt verder inde tekst nog duidelijker wanneer de koppeling met magnetische netwerken (§2.8)en met elektrische netwerken (Hoofdstuk 7) besproken wordt. In §2.7 wordtdaarom het begrip spoel of gewikkelde geleider geıntroduceerd. Bij dynamischeEE-berekeningen (Hoofdstuk 4) wordt een tweede soort geleider, de zgn. massievegeleider, beschouwd.

In §2.8 wordt een eenvoudige koppeling van een EE-model en een magnetisch net-werk besproken. Een EE-model, een magnetisch netwerkmodel en een hybriedmodel kunnen op eenzelfde algebraısche manier (met o.m. identieke matrixver-gelijkingen) behandeld worden.

2.1 Translatiesymmetrische veldproblemen

We beschouwen een cartesisch xyz-assenstelsel en een gebied ΩEE in het xy-vlak(Figuur 2.1). H, B en J varieren enkel volgens de x- en de y-coordinaat. H enB hebben enkel een (van nul verschillende) x- en y-component, terwijl J enkeleen z-component heeft:

B = Bx(x, y) 1x +By(x, y) 1y, (2.1)

H = Hx(x, y) 1x +Hy(x, y) 1y, (2.2)

J = Jz(x, y) 1z, (2.3)

met 1x, 1y en 1z de eenheidsvectoren volgens resp. de x-, de y- en de z-as.

H = 0l = lz(Az)1 (Az)21 2 =1 H nJ = 0

nH(Az)1 (Az)2n Jz@EE

y xz EEFiguur 2.1: Translatiesymmetrisch ranwaardeprobleem met domein ΩEE in het xy-vlak

Het magnetostatische randwaardeprobleem (RWP) zoals gesteld in §1.4, bestaaterin dat voor een gekende stroomdichtheid Jz in ΩEE , een gekende equivalente

Twee-dimensionale magnetostatische veldproblemen 2-3

stroomlaag K = H × n op ∂ΩEE , en een gekend eenduidig verband tussen B enH, deze laatste twee gevraagd zijn.

We veronderstellen voorlopig de Neumann-randvoorwaarde (gekende K = H×n)op de volledige rand. Andere randvoorwaarden komen aan bod in §2.4.

De z-component van H × n is, op het teken na, gelijk aan de tangentiale compo-nent van H:

H × n = −Ht 1z = Kz 1z. (2.4)

Het teken van Ht wordt hierbij bepaald door de positieve omloopzin (tegenuur-wijzerzin) van ∂ΩEE , zie Figuur 2.1. Zoals aangetoond in Hoofdstuk 1, kan nahet invoeren van de fictieve stroomlaag Kz 1z op ∂ΩEE , de ruimte buiten ΩEE

perfect permeabel verondersteld worden (µ =∞, H = 0, Jz = 0).

De MVP A kan als volgt gekozen worden:

A = Az(x, y) 1z. (2.5)

Zo is voldaan aan de voorwaarde van Coulomb (1.31): ∇· A = 0.Uit de definitie van de MVP volgt:

B = ∇×Az 1z =∂Az∂y

1x −∂Az∂x

1y. (2.6)

In dit hoofdstuk onderstellen we steeds niet-hysteretisch materiaal:

H = ¯ν(B) · B, (2.7)

of in matrixnotatie: Hx

Hy

=

νxx νxy

νyx νyy

BxBy

, (2.8)

waarbij de reluctiviteitstensor ¯ν een eenwaardige functie van B is.

De wet van Ampere (1.10):

∇× H =

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)1z = Jz 1z, (2.9)

wordt, rekening houdende met (2.6, 2.8):

∂

∂x

(νyy

∂Az∂x

)+

∂

∂y

(νxx

∂Az∂y

)− ∂

∂x

(νyx

∂Az∂y

)− ∂

∂y

(νxy

∂Az∂x

)= −Jz. (2.10)

In het geval van isotrope media kan de reluctiviteitstensor herleid worden tot eenscalaire grootheid die functie is van de grootte van B:

¯ν = ν(B) ¯1, (2.11)

met ν = νxx = νyy en νxy = νyx = 0. Vergelijking (2.10) wordt dan:

∂

∂x

(ν∂Az∂x

)+

∂

∂y

(ν∂Az∂y

)= −Jz. (2.12)

2-4 HOOFDSTUK 2

De fysische interpretatie van Az is heel eenvoudig. Beschouw een willekeurigekromme tussen twee punten 1 en 2 in het xy-vlak, zie Figuur 2.1. De magneti-sche flux Φ [Wb/m] (per lengte-eenheid volgens de z-as) door de kromme wordtgegeven door het MVP-verschil tussen het begin- en het eindpunt:

Φ =

2∫1

B · n dl, (2.13)

= (Az)1 − (Az)2, [Wb/m]. (2.14)

De flux door een gesloten kromme is nul. Dit is in overeenstemming met ∇· B =∇· ∇× A = 0. De MVP Az is uniek bepaald als hij in een (referentie)punt gegevenis:

Az(x, y) = (Az)ref +

(x,y)∫(x,y)ref

B · n dl. (2.15)

Isolijnen van Az zijn flux- of B-lijnen: in elk punt raakt het B-veld aan de isolijnAz = cste door dit punt.

De gemodifieerde MVP A∗z [Wb] wordt gedefinieerd als:

A∗z = lzAz, (2.16)

met lz [m] een karakteristieke lengte van het EE-model volgens de z-as.

We definieren de gemodifieerde reluctiviteitstensor ¯ν∗ [A/Wb] als volgt:

[¯ν∗]

=1

lz

νyy −νyx−νxy νxx

, (2.17)

en herschrijven (2.10) in termen van A∗z en ¯ν∗:

∇·(¯ν∗ · ∇A∗z) = −Jz. (2.18)

In §1.3 werden de magnetische energie W en de co-energie Wco in een volumeV gedefinieerd. In het 2D translatiesymmetrische geval is V het volume bepaalddoor het domein ΩEE in het xy-vlak en de karakteristieke lengte lz volgens dez-as. We schrijven W (1.65) en Wco (1.66) in termen van A∗z en ¯ν∗:

W =

∫ΩEE

B∫0

H(B′) · dB′ lz dxdy, (2.19)

=

∫ΩEE

B∫0

B′ · ¯ν · dB′ lz dxdy, (2.20)

=

∫ΩEE

∇A∗z∫

0

(∇A∗z)′ · ¯ν∗ · d(∇A∗z)′

dxdy, (2.21)


Wco =

∫ΩEE

JzAz lz dxdy +

∫∂ΩEE

KzAz lz dl − W, (2.22)

=

∫ΩEE

JzA∗z dxdy +

∫∂ΩEE

KzA∗z dl − W. (2.23)

2.2 Axisymmetrische veldproblemen

We veronderstellen een rechtshandig cilindrisch coordinatenstelsel rzφ, met een-heidsvectoren 1r, 1z en 1φ, zie Figuur 2.2.De velden H, B en J varieren niet met de φ-coordinaat. H en B hebben enkeleen r- en een z-component, terwijl J enkel een φ-component heeft:

B = Br(r, z) 1r +Bz(r, z) 1z, (2.24)

H = Hr(r, z) 1r +Hz(r, z) 1z, (2.25)

J = Jφ(r, z) 1φ. (2.26)yzx r 1z1r 1

Figuur 2.2: Cilindrisch coordinatenstelselrzφ

EEl

=1J=0H = 0(A)2 H nH nn n (A)1 J = (A)1 (A)2

zr1 @EE

Figuur 2.3: Domein ΩEE in het rz-vlak

We beschouwen een domein ΩEE in het rz-vlak, met r ≥ 0, dat al dan niet eendeel van de z-as als rand heeft, zie Figuur 2.3.De stroomdichtheid Jφ in ΩEE en de fictieve stroomlaag H× n = Kφ1φ op ∂ΩEE

zijn gegeven.

De MVP A kan als volgt gekozen worden:

A = Aφ(r, z) 1φ. (2.27)

Zo is voldaan aan de voorwaarde van Coulomb (1.31):

∇· A =1

r

∂rAr∂r

+1

r

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

= 0. (2.28)

2-6 HOOFDSTUK 2

We definieren de gemodifieerde MVP1 A∗φ als volgt:

A∗φ(r, z) = 2πr Aφ(r, z), (2.29)

zodat de inductie B gegeven wordt door:

B =∂Aφ∂z

1r −1

r

∂(rAφ)

∂r1z =

1

2πr

(∂A∗φ∂z

1r −∂A∗φ∂r

1z

). (2.30)

De fysische interpretatie van A∗φ is heel eenvoudig. Beschouw een willekeurigekromme tussen twee punten 1 en 2 in het rz-vlak, en het omwentelingsoppervlakS bekomen door die kromme te wentelen rond de z-as, zie Figuur 2.3. De flux Φ[Wb] door het omwentelingsoppervlak wordt gegeven door:

Φ =

∫S

B · n ds =

(r2,z2)∫(r1,z1)

B · n 2πr dl, (2.31)

= (A∗φ)1 − (A∗φ)2, (2.32)

met ds = 2πr dl een elementair oppervlakte-element op S.De magnetische flux door een gesloten omwentelingsoppervlak (bepaald door eengesloten contour in het rz-vlak) is nul. Dit is in overeenstemming met ∇· B =∇· ∇× A = 0. Isolijnen van A∗φ zijn flux- of B-lijnen. Merk op dat isolijnen vande (gewone) MVP Aφ geen fluxlijnen zijn.De symmetrieas (r = 0) is om fysische redenen een fluxlijn. De overeenstemmendeDirichlet-randvoorwaarde A∗φ = cste moet expliciet opgedrongen worden.

Het materiaal in ΩEE wordt reversibel verondersteld. De reluctiviteitstensor ¯ν iseen eenwaardige functie van B:

H = ¯ν(B) · B, (2.33)

of in matrixnotatie: Hr

Hz

=

νrr νrz

νzr νzz

BrBz

. (2.34)

De wet van Ampere (1.10):

∇× H = (∂Hr

∂z− ∂Hz

∂r)1φ = Jφ1φ, (2.35)

wordt als volgt geschreven in termen van A∗φ en ¯ν:

∂

∂r

(νzz2πr

∂A∗φ∂r

)+

∂

∂z

(νrr2πr

∂A∗φ∂z

)− ∂

∂r

(νzr2πr

∂A∗φ∂z

)− ∂

∂z

(νrz2πr

∂A∗φ∂r

)= −Jφ. (2.36)

We definieren de gemodifieerde reluctiviteitstensor ¯ν∗ [A/Wb] als volgt:[¯ν∗]

=1

2πr

νzz −νzr−νrz νrr

, (2.37)

1Meestal wordt rAφ(r, z) als de gemodifieerde potentiaal gedefinieerd [Lom93].


waarna we (2.36) schrijven in termen van A∗φ en ¯ν∗:

∇·(¯ν∗ · ∇A∗φ

)= −Jφ, (2.38)

waarbij ∇ moet geınterpreteerd worden alsof r en z cartesische coordinaten zijn:

∇ =∂

∂r1r +

∂

∂z1z. (2.39)

We schrijven de magnetische energie W (1.65) en de co-energie Wco (1.66) in hetvolume V , dat men bekomt door het domein ΩEE in het rz-vlak te wentelen rondde z-as, in termen van A∗φ en en ¯ν∗:

W =

∫ΩEE

B∫0

H · dB′ 2πr drdz, (2.40)

=

∫ΩEE

∇A∗φ∫

0

(∇A∗φ)′ · ¯ν∗ · d(∇A∗φ)′

drdz, (2.41)

Wco =

∫ΩEE

JφAφ 2πr drdz +

∫∂ΩEE

KφAφ 2πr dl − W, (2.42)

=

∫ΩEE

JφA∗φ drdz +

∫∂ΩEE

KφA∗φ dl − W, (2.43)

met eveneens een ’cartesische interpretatie’ van ∇ in (2.41).

Bemerk de analogie tussen de vergelijkingen voor resp. translatie- en axisymme-trie. Een translatiesymmetrisch veldprobleem heeft een constante karakteristiekelengte lz over het domein ΩEE , terwijl in het axisymmetrische geval de corres-ponderende equivalente lengte 2πr evenredig met r varieert.Het axisymmetrische geval kan in de praktijk grotendeels behandeld worden alsofhet een translatiesymmetrisch geval betreft, cfr. de ’cartesische interpretatie’ van∇ in (2.38) en (2.41).

2.3 De twee-dimensionale eindige-elementenme-thode

2.3.1 Discretisatie van de twee-dimensionale ruimte

In §1.4.1 werd aangetoond dat de co-energiefunctionaal Wco(A) een maximumbereikt voor de exacte oplossing van het magnetostatische RWP. Als testfunctiesvoor het benaderen van de correcte oplossing van het translatie- of het axisymme-trische RWP beschouwen we nu lineaire combinaties van np interpolatiefuncties.Bijvoorbeeld voor het translatiesymmetrische geval:

A∗z(x, y) =

np∑i=1

αi(x, y)Ai, (2.44)

2-8 HOOFDSTUK 2

met αi(x, y) de i-de dimensieloze interpolatiefunctie en Ai [Wb] de geassocieerdecoefficient. In matrixnotatie wordt dit:

A∗z(x, y) = ATα(x, y) = αT(x, y)A, (2.45)

met α(x, y) de kolommatrix met de np interpolatiefuncties en A de kolommatrixmet de np gemodifieerde MVP-waarden:

α(x, y) =

α1(x, y)

α2(x, y)

. . .

αnp(x, y)

, A =

A1

A2

. . .

Anp

. (2.46)

De interpolatiefuncties worden bepaald door een discretisatie van het 2D domeinΩEE in een eindig aantal aaneensluitende en niet-overlappende elementen. Ditnoemt men de vermazing (mesh). Elk element heeft een aantal knooppunten,al of niet gemeenschappelijk met naburige elementen. Aan elk knooppunt vande vermazing wordt een interpolatiefunctie toegekend, die waarde 1 heeft in hetknooppunt zelf en 0 in alle andere knooppunten. Voor de i-de interpolatiefunctieαi(x, y), die hoort bij het i-de knooppunt met coordinaten (xi, yi), geldt dus:

αi(xj , yj) =

1, i = j,0, i 6= j.

(2.47)

De interpolatiefunctie αi(x, y) wordt verder zo gekozen dat ze enkel in de onmid-dellijke buurt van het i-de knooppunt verschillend is van nul, namelijk enkel inde elementen waartoe het i-de knooppunt behoort.

2.3.1.1 Eerste-orde-elementen

Het eenvoudigste 2D element is de eerste-orde-driehoek. De vermazing van ΩEE

bestaat dan uit aaneensluitende niet-overlappende driehoeken die enkel een vol-ledige zijde, een hoekpunt of niets gemeenschappelijk hebben. Gekromde delenvan ∂ΩEE worden benaderd als polylines. De knooppunten van een eerste-orde-element zijn de drie hoekpunten. Voorwaarde (2.47) bepaalt volledig een drie-hoeksgewijs lineaire interpolatiefunctie.

TranslatiesymmetrieBinnen driehoek ijk, met hoekpunten (xi, yi), (xj , yj) en (xk, yk), wordt de inter-polatiefunctie die hoort bij het i-de knooppunt gegeven door:

αi(x, y) =1

2∆ijk

((yj − yk)x+ (xk − xj) y + (xjyk − xkyj)

), (2.48)

met ∆ijk = 12 [(yj − yk)xi + (yk − yi)xj + (yi − yj)xk] de oppervlakte van de

driehoek. Verder is αi(x, y) identiek nul in elementen waartoe knooppunt i nietbehoort, zie Figuur 2.4.

Twee-dimensionale magnetostatische veldproblemen 2-91 i(x; y)y xiFiguur 2.4: Eerste-orde-interpolatiefunctie αi(x, y) geassocieerd met het i-de knooppunt

De inductie B is constant binnen een driehoek en wordt bepaald door de gemo-difieerde MVP in de drie hoekpunten:

Bx =1

2 lz ∆ijk

((xk − xj)Ai + (xi − xk)Aj + (xj − xi)Ak

), (2.49)

By =1

2 lz ∆ijk

((yk − yj)Ai + (yi − yk)Aj + (yj − yi)Ak

), (2.50)

waaruit volgt dat ¯ν, ¯ν∗ en H eveneens elementsgewijs constant zijn.

AxisymmetrieIn het axisymmetrische geval volgt B een 1/r-evenredigheid binnen een eerste-orde-element:

Br =1

4πr∆ijk

((rk − rj)Ai + (ri − rk)Aj + (rj − ri)Ak

), (2.51)

Bz =1

4πr∆ijk

((zk − zj)Ai + (zi − zk)Aj + (zj − zi)Ak

). (2.52)

Door de 1/r-evenredigheid vertonen B en i.h.b. Bz een uitgesproken zaagtand-profiel nabij de z-as, om oneindig groot te worden voor r → 0. Dit wordt verderin §2.7.4 geıllustreerd.

In [Meli90, Henr93] wordt voor een driehoekig element met drie knooppunten eenalternatieve interpolatiefunctie voorgesteld. Ze is lineair in z, maar kwadratischin r:

αi(r, z) =1

γ

((zj − zk) r2 + (r2

k − r2j ) z + (r2

j zk − r2kzj)

), (2.53)

met γ = (zj − zk)r2i + (zk − zi)r2

j + (zi − zj)r2k. (2.54)

Enkel de r-component van B vertoont nu een 1/r-evenredigheid, terwijl de z-component driehoeksgewijs constant is:

Br =1

2πr γ

((r2k − r2

j )Ai + (r2i − r2

k)Aj + (r2j − r2

i )Ak

), (2.55)

Bz =1

π γ

((zk − zj)Ai + (zi − zk)Aj + (zj − zi)Ak

). (2.56)

De 1/r-evenredigheid van Br is minder storend dan die van Bz, aangezien Brveel kleiner is dan Bz in de buurt van de z-as (en nul op de symmetrieas zelf).

2-10 HOOFDSTUK 2

2.3.1.2 Hogere-orde-elementen

Men kan ook hogere-orde-polynomen in x en y als interpolatiefuncties gebruiken.Driehoekige elementen van tweede en derde orde, bijvoorbeeld, hebben resp. zesen tien knooppunten, in overeenstemming met het aantal termen in een tweede-en derde-orde-polynoom. De hogere-orde-interpolatiefuncties kunnen op een een-voudige en systematische wijze afgeleid worden van de eerste-orde-interpolatie-functies [Sil90, Cha84]. In tweede-orde-elementen zijn ∇αi en B elementsgewijslineaire functies van x en y, in derde-orde-elementen elementsgewijs tweede-orde-polynomen.

2.3.2 De stijfheidsmatrix

De magnetische energie W is in (2.21) en (2.41) geschreven als een functionaalvan de gemodifieerde MVP voor resp. translatie- en axisymmetrie. Door de dis-cretisatie van het 2D domein ΩEE en de corresponderende benadering van degemodifieerde MVP als een lineaire combinatie van de np interpolatiefuncties(2.44), wordt de magnetische energie W een functie van de np knooppuntswaar-den van de gemodifieerde MVP:

W (A) =

A∫0

A′TS(A′) dA′, (2.57)

met S [A/Wb] een np × np matrix, die meestal de stijfheidsmatrix genoemdwordt.Voor reversibele media is ¯ν (of ¯ν∗) een eenwaardige functie van B. Daaruit volgtdat S en W eenwaardige functies van A zijn, of dat de integraal in (2.57) van 0naar A niet afhangt van de gevolgde weg in de np × 1 matrixruimte.

2.3.2.1 Translatiesymmetrie

In het translatiesymmetrische geval wordt S gegeven door:

S =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗ · ∇αT dxdy, (2.58)

Sij =

∫ΩEE

∇αi · ¯ν∗ · ∇αj dxdy, (2.59)

=

∫ΩEE

(νyylz

∂αi∂x

∂αj∂x

+νxxlz

∂αi∂y

∂αj∂y− νxy

lz(∂αi∂x

∂αj∂y

+∂αi∂y

∂αj∂x

)

)dxdy. (2.60)

Eerste-orde-elementenWe beschouwen nu de bijdrage van een eerste-orde-driehoek ijk tot de oppervlak-integraal in (2.58–2.60), om zo een aantal specifieke eigenschappen van S aan te


tonen. Aangezien in driehoek ijk enkel de interpolatiefuncties geassocieerd metknooppunten i, j en k verschillend van nul zijn, is de bijdrage tot S een np × npmatrix waarvan alle elementen, op negen na, nul zijn. Vermits ∇αi, ∇αj , ∇αk enB constant zijn binnen driehoek ijk, en bijgevolg ook ¯ν∗ en H, kan de integratieover de driehoek analytisch uitgewerkt worden. De bijdrage van driehoek ijkmet oppervlakte ∆ is de volgende 3× 3 submatrix:

Sijk(B) = ∆

∇αi∇αj∇αk

· ¯ν∗(B) ·

∇αi∇αj∇αk

T

. (2.61)

In het isotrope geval kan de bovenstaande uitdrukking vereenvoudigd worden tot:

Sijk =

i j k

i ∇αi · ∇αi ∇αi · ∇αj ∇αi · ∇αkj ∇αj · ∇αi ∇αj · ∇αj ∇αj · ∇αkk ∇αk · ∇αi ∇αk · ∇αj ∇αk · ∇αk

∆ ν(B)

lz. (2.62)

Sijk is symmetrisch, en bovendien positief semi-definiet2 (SPSD) als ¯ν∗ een SPDtensor is.Uit het feit dat B identiek nul is binnen driehoek ijk als en slechts als de drieknooppunten dezelfde potentiaal hebben, volgt dat de rang3 van Sijk gelijk is aan2. Dit kan ook als volgt ingezien worden. De som van de np interpolatiefunctiesis 1 in ΩEE en de som van de np respectievelijke gradienten is 0:

np∑i=1

αi = 1 =⇒np∑i=1

∇αi = 0 in ΩEE . (2.63)

In driehoek ijk wordt (2.63) vereenvoudigd tot:

αi + αj + αk = 1 =⇒ ∇αi + ∇αj + ∇αk = 0. (2.64)

Vergelijking (2.64) geeft de enige lineaire afhankelijkheid van de gradienten vande interpolatiefuncties weer, wat ook volgt uit de fysische interpretatie die verderaan de EE-vergelijkingen gegeven wordt.

De stijfheidsmatrix S is de som van de bijdragen van alle elementen in de verma-zing, en is bijgevolg ook SPSD, met rang(S) = np − 1. Immers, B is nul in hetvolledige domein ΩEE als en slechts als alle np knooppunten dezelfde potentiaalhebben.

S is daarenboven ijl (sparse). Het (i, j)-de element van S is maar verschillendvan nul als de knooppunten i en j ’buren’ zijn, d.i. tot eenzelfde element behoren.

2 Een symmetrische vierkante matrix S is positief semi-definiet (SPSD) als de kwadatrischevorm ATSA niet-negatief is voor elke willekeurige kolommatrix A. Elke SPD matrix is dusook SPSD, maar niet elke SPSD matrix is SPD.

3De rang van een matrix is het maximum aantal lineair onafhankelijke kolommen of rijen.Een vierkante n × n matrix is singulier als zijn rang kleiner is dan n, niet-singulier en inver-teerbaar als zijn rang gelijk is aan n.

2-12 HOOFDSTUK 2

In een vermazing met een groot aantal goed geproportioneerde (d.i. bijna gelijk-zijdige) elementen heeft elk knooppunt gemiddeld ongeveer zes buren. In elke rijen elke kolom zijn er, onafhankelijk van np, gemiddeld slechts zeven elementenverschillend van nul: het diagonaalelement (steeds verschillend van nul) en zesniet-diagonaalelementen.

Hogere-orde-elementenIn een hogere-orde-element zijn ∇αi en B niet constant. Analytische integratie isniet mogelijk, tenzij de reluctiviteit constant is (lineair materiaal). Een tweede-en derde-orde-element dragen resp. een 6× 6 en 10× 10 van nul verschillendematrix bij tot de stijfheidsmatrix. Uit een analoge redenering als voor eerste-orde-elementen volgt dat deze matrices resp. rang 5 en 9 hebben, en dat rang(S) =np − 1.

Algemeen kan de integraal van een functie f(x, y) over een driehoek (met opper-vlakte ∆) als volgt benaderd worden:∫

∆

f(x, y) dxdy ≈ ∆

n∑l=1

ηl f(xl, yl), (2.65)

met ηl de gewichtscoefficienten (met∑nl=1 ηl = 1) van de n integratiepunten

(xl, yl). De integratiepunten worden doorgaans gespecifieerd d.m.v. hun homo-gene (of barycentrische) coordinaten (ξ1l, ξ2l, ξ3l) (met ξ1l + ξ2l + ξ3l = 1): xl

yl

= ξ1l

xiyi

+ ξ2l

xjyj

+ ξ3l

xkyk

. (2.66)

Bij Gauss-integratie worden de integratiepunten en de gewichtscoefficienten zobepaald dat de sommatie (2.65) de exacte integraal geeft voor een polynoomin x en y van een bepaalde orde p; q en r positief geheel, en q + r ≤ p); deintegratieformule heeft dan orde van precisie p. Voor p = 1, . . . , 7 is n resp. 1, 3,4, 6, 7, 12 en 13. Zie bv. [Cow73] voor een tabel met homogene coordinaten engewichtscoefficienten.

Bij het numeriek berekenen van de bijdrage van een hogere-orde-element is hetintegrandum f = ∇α · ¯ν∗ · ∇αT een SPSD matrix. Numerieke integratie volgens(2.65) geeft zeker een SPSD matrix als alle gewichten positief zijn. Bij Gauss-integratie met p = 3 en p = 7 is dit niet het geval, zodat de numerieke integratieeventueel indefiniete matrices geeft!

2.3.2.2 Axisymmetrie

In het axisymmetrische geval vindt men volgende uitdrukkingen voor de stijf-heidsmatrix:

S =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗ · ∇αT drdz, (2.67)


Sij =

∫ΩEE

∇αi · ¯ν∗ · ∇αj drdz, (2.68)

=

∫ΩEE

(νzz2πr

∂αi∂r

∂αj∂r

+νrr2πr

∂αi∂z

∂αj∂z− νrz

2πr(∂αi∂r

∂αj∂z

+∂αi∂z

∂αj∂r

))drdz. (2.69)

In (2.51–2.56) werden voor het axisymmetrische geval twee soorten interpolatie-functies voorgesteld. In beide gevallen is B niet constant binnen een driehoek,en vertoont B daarenboven een singulariteit voor r = 0.Numerieke integratie is noodzakelijk. Numerieke problemen met de singulariteit(i.h.b. delen door 0) worden vermeden door een integratieschema te gebruikenzonder integratiepunten op de zijden van de driehoek. Van de hoger vermeldeGauss-schema’s wordt dan enkel dat met p = 2 en n = 4 (met de middelpuntenvan de drie zijden en het zwaartepunt als integratiepunten) uitgesloten.

2.3.3 De equivalente knooppuntsstromen


De bijdrage van de gegeven stroomdichtheid Jz in ΩEE en de gegeven opper-vlaktestroomdichtheid Kz op ∂ΩEE tot de co-energie Wco , cfr. (2.23), als hetproduct van een np × 1 kolommatrix Ip [A] en de np × 1 kolommatrix A metde knooppuntswaarden van de gemodifieerde MVP:

IT

p A =

∫ΩEE

JzA∗z dxdy +

∫∂ΩEE

KzA∗z dl, (2.70)

met

Ip =

∫ΩEE

Jz α dxdy +

∫∂ΩEE

Kz α dl. (2.71)

Een eerste-orde-driehoek ijk met oppervlakte ∆ en uniforme stroomdichtheid Jgeeft eenzelfde bijdrage J∆/3 tot (Ip)i, (Ip)j en (Ip)k.Een zijde ij op ∂ΩEE met lengte l en uniforme oppervlaktestroomdichtheid Kgeeft eenzelfde bijdrage Kl/2 tot (Ip)i en (Ip)j .

In het algemene geval (Jz en Kz niet stuksgewijs constant of polynominaal) kanIp enkel d.m.v. numerieke integratie berekend worden.

Aangezien de som van alle interpolatiefuncties identiek 1 is in ΩEE , zie (2.63),vinden we de totale stroom in ΩEE terug onder de vorm van de np equivalenteknooppuntsstromen:∫

ΩEE

Jz dxdy +

∫∂ΩEE

Kz dl =

np∑i=1

∫ΩEE

Jz αi dxdy +

∫∂ΩEE

Kz αi dl

, (2.72)

=

np∑i=1

(Ip)i. (2.73)

2-14 HOOFDSTUK 2


De afleiding voor het axisymmetrische geval is volledig analoog. Voor bv. Ipvindt men de volgende uitdrukking:

Ip =

∫ΩEE

Jφα drdz +

∫∂ΩEE

Kφα dl. (2.74)

2.3.4 De eindige-elementenvergelijkingen – fysische inter-pretatie

We schrijven de co-energie Wco van het translatie- of axisymmetrische randwaar-deprobleem als volgt in termen van de kolommatrix A met de knooppuntspoten-tialen, de stijfheidsmatrix S en de kolommatrix Ip met de knooppuntsstromen:

Wco(A) = IT

pA−A∫

0

A′TS(A′) dA′. (2.75)

Afleiding van Wco naar A geeft een stelsel van np algebraısche vergelijkingen:

SA = Ip . (2.76)

Hoger is aangetoond dat S singulier is, met rang np − 1. Het stelsel (2.76)heeft dus oneindig veel oplossingen of geen enkele oplossing. De MVP Az en Azijn inderdaad maar op een constante na bepaald (voor een gegeven B in ΩEE ).Het volstaat de potentiaal in een knooppunt vast te leggen om de uniciteit teverzekeren. Anderzijds heeft het stelsel geen enkele oplossing als de nettostroomof de som van de knooppuntsstromen verschillend is van nul.

De np vergelijkingen hebben een eenvoudige fysische betekenis [Han75, Phi92].De i-de vergelijking stemt overeen met de wet van Ampere:∮

Ci

H · d l = (Ip)i, (2.77)

met Ci een elementaire contour rond het i-de knooppunt.In het geval van translatiesymmetrie en eerste-orde-elementen is dit eenvoudigaan te tonen. Inderdaad, (SA)i kan dan als volgt uitgewerkt worden:

(SA)i =

∫ΩEE

∇αi · ¯ν∗ · ∇A∗z dxdy, (2.78)

=

∫ΩEE

∇αi · (−Hy 1x +Hx 1y) dxdy, (2.79)

=∑ijk

H ·(∂αi∂y

1x −∂αi∂x

1y

)∆ijk, (2.80)


waarbij de sommatie in (2.80) loopt over alle driehoeken ijk waartoe knooppunti behoort. H en ∇αi zijn constant binnen driehoek ijk (met oppervlakte ∆ijk).

Zoals voorgesteld in Figuur 2.5, overspant de vector(∂αi∂y 1x − ∂αi

∂x 1y

)∆ijk de

driehoek ijk, van het midden van zijde ij naar het midden van zijde ik (als meti→ j → k de omtrek van de driehoek in tegenuurwijzerzin doorlopen wordt).

j kiFiguur 2.5: Vector

(∂αi

∂y1x −

∂αi

∂x1y

)∆ijk binnen driehoek ijk

Daaruit volgt dat voor een knooppunt dat niet op de rand van ΩEE ligt, Ci deveelhoek is die gaat door het midden van elke zijde die uitkomt op knooppunt i,zoals voorgesteld in Figuur 2.6. Voor een knooppunt i dat op ∂ΩEE ligt, wordt Ciimpliciet gesloten d.m.v. een willekeurige kromme in het gebied buiten ΩEE , datperfect permeabel verondersteld kan worden (µ =∞ en H = 0), zie Figuur 2.7.

CiiFiguur 2.6: Contour Ci rond een knooppunti dat niet op de rand van ΩEE ligt

Ci i H = 0 =1@EEEEFiguur 2.7: Contour Ci rond een knooppunti dat op de rand van ΩEE ligt

Verschillende elementaire contouren kunnen samengesteld worden tot een con-tour die meerdere knooppunten omcirkelt, waarvoor de wet van Ampere eveneensgeldt. Door de samenstelling van de np elementaire contouren bekomt men eencontour die volledig buiten ΩEE ligt en het 2D domein omcirkelt. De contourin-tegraal van H is nul, waaruit volgt dat de som van de knooppuntsstromen nulmoet zijn. In het andere niet-fysische geval is er geen oplossing. Hieruit volgt

2-16 HOOFDSTUK 2

ook dat de np vergelijkingen geassocieerde contouren eenmaal lineair afhankelijkzijn, of rang(S) = np − 1.

2.4 Randvoorwaarden

Het stelsel algebraısche EE-vergelijkingen (2.76) heeft ∞1 oplossingen, die opeen constante na identiek zijn, tenminste als de som van de knooppuntsstromennul is. Tot nu toe werd de Neumann-randvoorwaarde (gekende Ht of equivalentestroomlaag Kz) op de volledige rand ∂ΩEE verondersteld. Hierna worden ookandere soorten randvoorwaarden besproken.

2.4.1 Lineaire randvoorwaarden

Alvorens enkele concrete types randvoorwaarden te bestuderen, beschouwen weeerst algemeen een stel van np − np1 lineaire voorwaarden waaraan de knoop-puntspotentialen moeten voldoen. Dit kan als volgt uitgedrukt worden:

A = CA1 +A2, (2.81)

met A1 een kolommatrix met np1 onafhankelijke (niet a priori gekende) knoop-puntspotentialen, C een gekende (dimensieloze) np × np1 matrix en A2 eennp × 1 kolommatrix met gekende (knooppunts)potentialen. Vergelijking (2.81)houdt np − np1 niet-strijdige voorwaarden in, met 1 ≤ np1 < np, als rang(C) =np1.

Substitutie van (2.81) in (2.76) en voorvermenigvuldiging van het linker- en hetrechterlid met CT geeft:

S1A1 = (Ip)1, (2.82)

met

S1 = CTS C, (2.83)

(Ip)1 = CTIp − CT S A2. (2.84)

S1 is een symmetrische np1 × np1 matrix die zeker positief semi-definiet is, eneventueel positief definiet. Uit rang(S) = np − 1 en 1 < rang(C) = np1 < npvolgt dat rang(S1) ≥ np1 − 1.

(Ip)1 is een gekend veronderstelde np1 × 1 kolommatrix. Niet alle knooppunts-stromen zijn dus vrij te kiezen. Vergelijking (2.84) legt np1 onafhankelijke voor-waarden op aan de np knooppuntsstromen in Ip.

In plaats van het stelsel (2.82) met np1 vergelijkingen expliciet samen te stellenen op te lossen, is het in de praktijk meestal gemakkelijker een gewijzigd stelselvergelijkingen, genoteerd:

S∗A = I∗p , (2.85)

op te lossen. Dit stelsel wordt bekomen door tijdens of na de elementsgewijzeopbouw van S en Ip, hun elementen zo te wijzigen dat voldaan is aan de voor-waarden (2.81), en dat S∗ (np × np ) SPD is. Meestal is het aantal voorwaarden


np − np1 relatief klein, zodat de aanwezigheid van de np − np1 dummy vergelij-kingen in (2.85) hoogstens een marginale meerkost met zich meebrengt.

2.4.2 De Neumann-randvoorwaarde

Als de natuurlijke Neumann-randvoorwaarde op de volledige rand geldt, en als denettostroom (bepaald door Jz en Kz, of door de knooppuntsstromen) nul is, is deEE-oplossing in termen van A op een constante na bepaald. Deze onbepaaldheidwordt geelimineerd door de potentiaal in een willekeurig referentieknooppunt, bv.het eerste knooppunt, nul te stellen. Hiermee wordt ook impliciet veronderstelddat de som van de knooppuntsstromen nul is. De matrix S∗ in (2.85) bekomtmen door in S alle elementen op de eerste rij en de eerste kolom, behalve hetdiagonaalelement, nul te stellen. Het rechterlid I∗p bekomt men door het eersteelement van Ip nul te stellen.

2.4.3 De Dirichlet-randvoorwaarde

De Dirichlet-randvoorwaarde is die waarbij de potentiaal in een aantal knoop-punten op de rand opgelegd wordt. Na een geschikte (her)nummering van deknooppunten kunnen S, A en Ip als volgt gepartitioneerd worden: S11 S12

S21 S22

A1

A2

=

(Ip)1

(Ip)2

, (2.86)

met A1 de kolommatrix met de np1 nog onbekende knooppuntspotentialen enA2 de kolommatrix met de np − np1 vooropgestelde knooppuntswaarden.

Het stelsel vergelijkingen (2.86) kan als volgt omgevormd worden tot een stelselmet een gekend rechterlid4 en een niet-symmetrische systeemmatrix: S11 0

S21 −1

A1

(Ip)2

=

(Ip)1 − S12A2

−S22A2

, (2.87)

waaruit volgt dat de stromen in de Dirichlet-knooppunten bepaald worden doorde Dirichlet-randvoorwaarde.

Het stelsel vergelijkingen (2.85) dat in de praktijk opgelost wordt, is: S11 0

0 1

A1

A2

=

(Ip)1 − S12A2

A2

, (2.88)

waarbij S11 en S∗ SPD zijn.

4 In het algemene niet-lineaire geval is S afhankelijk van A, en is het rechterlid afhankelijkvan A1 en dus niet a priori gekend.

2-18 HOOFDSTUK 2

2.4.4 Periodiciteitsvoorwaarden

Vele praktische (vooral translatiesymmetrische) veldproblemen vertonen ruimte-lijke periodiciteit of anti-periodiciteit: de exciterende stromen, de magnetischemateriaaleigenschappen en de randvoorwaarden zijn zo dat het veldpatroon (Hen B) zich een (eindig of oneindig) aantal maal herhaalt, met resp. hetzelfde ofeen alternerend voorteken.

We beschouwen bv. een veldprobleem waarbij A∗z voldoet aan:

A∗z(x, y) = ±A∗z(x+X, y), (2.89)

met een plus- of minteken voor resp. periodiciteit of anti-periodiciteit. Het veld-probleem kan opgelost worden m.b.v. een EE-model met lengte X volgens dex-as. In Figuur 2.8 wordt een aangepaste vermazing getoond: met elk knoop-punt op ∂X1 stemt een knooppunt op ∂X2 overeen. De periodiciteit kan wordenopgelegd d.m.v. een stel zgn. binaire voorwaarden:

Ai = ±Aj , (2.90)

waarbij knooppunten i en j overeenstemmende knooppunten zijn op resp. ∂X1

en ∂X2.

j@X2@X1

i XFiguur 2.8: Opleggen van periodiciteit meteen aangepaste vermazing

kj@X2@X1i X

Figuur 2.9: Opleggen van periodiciteit meteen niet-aangepaste vermazing

Bij een willekeurige vermazing, waarbij de knooppunten op ∂X1 en ∂X2 niet over-eenstemmen, zoals in Figuur 2.9, kan de (anti-)periodiciteit benaderend opgelegdworden d.m.v. een stel voorwaarden tussen telkens drie knooppuntspotentialen:

Ai = pAj + q Ak, (2.91)

met p+ q = ±1.Een voorwaarde zoals (2.91), die we nergens in de literatuur vermeld zagen,noemen we verder een tertiaire voorwaarde.

De binaire en tertiaire voorwaarden kunnen in rekening gebracht worden door lo-kale aanpassingen van S en Ip. De afhankelijke knooppuntenpotentialen (op ∂X1


en/of op ∂X2) worden behouden als onbekenden in een aantal dummy vergelij-kingen. Dit wordt geıllustreerd aan de hand van de volgende twee vereenvoudigdegevallen.

We beschouwen een binaire voorwaarde, bv. tussen knooppunten 1 en 2:

A1 = c A2, (2.92)

met c een gekend van nul verschillend getal.

S∗ en I∗p worden dan gegeven door:

S∗11 = 1,

S∗1i = S∗i1 = 0, (i ≥ 2)

S∗22 = S22 + 2cS12 + c2S11,

S∗i2 = S∗2i = Si2 + cSi1, (i > 2), (2.93)

S∗ij = Sij (i > 2, j > 2), (2.94)

(I∗p )1 = 0,

(I∗p )2 = (Ip)2 + c(Ip)1,

(I∗p )i = (Ip)i (i > 2).

Enkel als c 6= 1, heeft het stelsel (2.85) een unieke oplossing. In het andere geval(c = 1 en A1 = A2) is A nog steeds maar op een constante na bepaald, en moetenzeker bijkomende voorwaarden opgelegd worden.

Analoog beschouwen we een voorwaarde tussen drie knooppuntspotentialen:

A1 = pA2 + q A3. (2.95)

S∗ en I∗p worden gegeven door:

S∗11 = 1,

S∗1k = S∗k1 = 0, (k ≥ 2),

S∗22 = S22 + 2pS12 + p2S11,

S∗33 = S33 + 2qS13 + q2S11,

S∗23 = S∗32 = S23 + pqS11 + pS12 + qS13,

S∗k2 = S∗2k = Sk2 + pSk1, (k > 3), (2.96)

S∗k3 = S∗3k = Sk3 + qSk1, (k > 3),

S∗ij = Sij (i > 3, j > 3), (2.97)

(I∗p )1 = 0,

(I∗p )2 = (Ip)2 + p(Ip)1,

(I∗p )3 = (Ip)3 + q(Ip)1,

(I∗p )k = (Ip)k, (k > 3),

Een toepassing van binaire en tertiaire voorwaarden wordt verder in §2.5.2 be-sproken. Bij de modellering van een roterende machine doet men een grotebesparing door, indien mogelijk, een poolpaar of een pool te modelleren i.p.v. devolledige machine. Dit wordt behandeld in §8.1.1.

2-20 HOOFDSTUK 2

2.4.5 Een vlottende potentiaal

Figuur 2.10 toont een situatie waarbij een zgn. vlottende-potentiaalvoorwaardegebruikt kan worden. Het betreft een laagpermeabel ’gat’ (bv. µ = µ0) in eenhoogpermeabel materiaal (µ µ0).EE 0JzAz cste0Az = 0Figuur 2.10: Laagpermeabel gebied met vlot-tende potentiaal omringd door hoogpermea-bel materiaal

CIFiguur 2.11: Contour C rond laagpermea-bel gebied met constante potentiaal en totalestroom I

Bij benadering kunnen we stellen dat het laagpermeabele gebied fluxvrij is (B =0), of dat A∗z er constant is. Dit kan opgelegd worden d.m.v. een reeks binairevoorwaarden, na keuze van een referentieknooppunt in of op de rand van hetlaagpermeabele gebied. De equivalente stroom geassocieerd met de vlottendepotentiaal is de totale stroom in en op de rand van het gebied.

Het is echter niet nodig om het gebied met constante potentiaal te vermazen.Enkel de totale stroom in het gebied beınvloedt het fluxpatroon erbuiten, niet deverdeling ervan. In Figuur 2.11 is de contour C die overeenstemt met de totalestroom, cfr. (2.77), in stippellijn getekend.

De vlottende-potentiaalvoorwaarde wordt in §2.8 gebruikt om een magnetischnetwerk te koppelen aan een EE-model.

2.5 Het oplossen van open problemen

Met behulp van de EE-methode worden de magnetische velden berekend in eeneindig gebied ΩEE . Op de artificiele rand van het gebied legt men randvoorwaar-den op, die benaderend de aanwezigheid van de rest van de ruimte in rekeningbrengen. Als de (buiten)rand van ΩEE voldoende ver van de (relevante) bronnen(Jz en/of Kz) ligt, hebben de randvoorwaarden een verwaarloosbare invloed opde velden nabij de relevante bronnen.

In de literatuur worden verschillende methoden voorgesteld om open problemen,dit zijn veldproblemen zonder artificiele buitenrand, op te lossen [Bet88, Low89,Imh90, Che97]:

• ballooning : de ruimte buiten ΩEE wordt gemodelleerd m.b.v. een superele-


ment5. De stijfheidsmatrix van dit superelement wordt op een recursievewijze bekomen, door het beschouwen van lagen met exponentieel groeiendeafmetingen rond het eindige oppervlak ΩEE [Sil90].

• koppeling van de EE-methode met de grenselementenmethode6. De hybriedemodellering geeft een stelsel algebraısche vergelijkingen waarvan de systeem-matrix noch symmetrisch, noch positief definiet, noch ijl is [Nic93, Sal85].

• oneindige elementen met interpolatiefuncties van de vorm r−n (n > 0), metpotentiaal 0 op oneindig (r =∞).

• transformatiemethoden (mapping): een oneindig groot volume (oppervlak)wordt afgebeeld op een eindig volume (oppervlak).

Zoals hierna wordt aangetoond, vraagt de zgn. Kelvin-transformatiemethode[Low89] geen (of minieme) aanpassingen van een klassiek EE-programma.

2.5.1 De Kelvin-transformatie


Beschouw het gebied Ωin in het xy-vlak (met poolcoordinaten (ρ, θ)), begrensddoor de cirkel ρ = R, zie Figuur 2.12. In het gebied Ωex buiten de cirkel (ρ ≥ R)is de ruimte inert (ν = ν0 en J = 0) en voldoet A∗z aan de vergelijking vanLaplace:

∇· ν0∇A∗z = 0 =⇒ ∇2A∗z = 0. (2.98)

De magnetische energie Wex in Ωex wordt gegeven door:

Wex =ν0

2 lz

∫Ωex

(∇A∗z)2 dxdy. (2.99)

Beschouw nu de cirkel ρ′ = R′ in het x′y′-vlak met poolcoordinaten (ρ′, θ′). DeKelvin-transformatie beeldt Ωex (ρ ≥ R) af op het inwendige Ω′in van de cirkelin het x′y′-vlak (ρ′ ≤ R′):

R′

ρ′=

ρ

Ren θ′ = θ, (2.100)

5 Een superelement, in tegenstelling tot een eindig-element, bestrijkt een relatief groot ge-bied, en heeft enkel knooppunten op de rand. De stijfheidsmatrix wordt op analytische wijzeof d.m.v. de EE-methode bekomen. In het laatste geval worden de inwendige knooppuntenvan een EE-vermazing van het superelement geelimineerd (condensatie). De stijfheidsmatrixis meestal volledig gevuld (en dus niet ijl). Superelementen worden vooral gebruikt voor (line-aire) mechanische toepassingen, zelden voor (niet-lineaire) magnetische veldberekeningen, ziebv. [Wee92, Gys94, Kni98].

6 Bij de grenselementenmethode (boundary element method) wordt enkel de rand van het(2D of 3D) domein gediscretiseerd. De grenselementenmethode is vooral geschikt voor lineaire(al of niet open) problemen. De systeemmatrix van het stelsel algebraısche vergelijkingen isvolledig gevuld en niet positief definiet [Sal85].

2-22 HOOFDSTUK 2x0R0R0Rex 0inyR 00in y0xFiguur 2.12: Afbeelding van het uitwendige van de cirkel in het xy-vlak op het inwendigevan de cirkel in het x′y′-vlak

of

x′ =RR′

ρ2x en y′ =

RR′

ρ2y. (2.101)

De determinant van de Jacobiaan J van de transformatie wordt gegeven door:

det(J ) = det

∂x′

∂x∂y′

∂x

∂x′

∂y∂y′

∂y

=RR′

ρ4det

y2 − x2 −2xy

−2xy x2 − y2

, (2.102)

= −(RR′

ρ2)2. (2.103)

We schrijven nu Wex in termen van de getransformeerde grootheden. Uit:

dxdy =1

det(J )dx′dy′, (2.104)

(∇A∗z)2 = (RR′

ρ2)2(∇′A∗z)2, (2.105)

∇ =∂

∂x1x +

∂

∂y1y en ∇′ =

∂

∂x′1x′ +

∂

∂y′1y′ , (2.106)

volgt:

Wex =ν0

2 lz

∫Ω′in

(∇′A∗z)2 dx′dy′. (2.107)

Uit (2.107) volgt ook dat A∗z voldoet aan de vergelijking van Laplace in Ω′in :

∇′2A∗z = 0. (2.108)


Voor het oplossen van het open probleem m.b.v. de EE-methode worden de klas-sieke EE-vergelijkingen opgelost in het eindige gebied ΩEE = Ωin ∪ Ω′in . Hierbijwordt d.m.v. een stel binaire en/of tertiaire voorwaarden opgelegd dat de poten-tiaal A∗z identiek is op beide cirkels, d.i. A∗z(R, θ) = A∗z(R

′, θ). Dit wordt verdergeıllustreerd aan de hand van een praktische toepassing.


We beschouwen nu de gebieden Ωin (ρ ≤ R) en Ω′in (ρ′ ≤ R′) in resp. het rz-en het r′z′-vlak. De behandeling is volledig analoog aan die in het geval vantranslatiesymmetrie. De magnetische energie Wex wordt nu gegeven door:

Wex =ν0

2

∫Ωex

1

2πr(∇A∗z)2 drdz, (2.109)

=ν0

2

∫Ω′in

1

2πr′ρ′2

RR′(∇′A∗z)2 dr′dz′, (2.110)

met ’cartesische’ interpretatie van ∇ en ∇′.

Er is nu wel een bijkomende factorρ′2

RR′in de getransformeerde uitdrukking

(2.110) voor Wex , wat een kleine aanpassing van de software vraagt.

2.5.2 Toepassing: inductantie van een dubbellijn

We beschouwen twee oneindig lange, parallelle, niet-magnetische geleiders, meteen cirkelvormige sectie (diameter d), op afstand D van elkaar geplaatst in devrije ruimte (Figuur 2.13). De zelfinductie L [H/m] van de dubbellijn is bijbenadering (d D) [Will99b]:

L =µ0

π

(1

4+ ln

2D

d

), (2.111)

wat met d=1 mm en D=10 mm geeft: L=1.2983 10−6 H/m.

2.5.2.1 Zonder Kelvin-transformatie

We beschouwen eerst een klassiek 2D EE-model (d.i. zonder Kelvin-transformatie)van de dubbellijn, met lz=1 m. Aangezien zowel de x- als de y-as symmetrieassenzijn, nemen we voor ΩEE een kwart cirkelschijf (ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π/2), met depassende randvoorwaarden, zie Figuur 2.13. Op de cirkelboog ρ = R leggen we

de Dirchlet-randvoorwaarde A∗z = 0 of de Neumann-randvoorwaarde∂A∗z∂n = 0

op. De zelfinductie L [H/m] volgt onmiddellijk uit de berekende magnetischeenergie W [J/m] in het EE-model (een kwartcirkelschijf) en de opgelegde stroomI (in de halve geleider): L = 2W/I2.Figuur 2.14 toont het verloop van de zelfinductie L als functie van de straal Rmet de twee verschillende randvoorwaarden. Bij eenzelfde R geeft de Neumann-randvoorwaarde steeds een grotere zelfinductie dan de Dirichlet-randvoorwaarde.

2-24 HOOFDSTUK 2Iy @Az@n = 0Az = 0RI inAz = 0dD @Az@n = 0 R xofFiguur 2.13: EE-model van een dubbellijn

0 100 2001.11.21.31.41.5 DirichletNeumannL (106 H)R (mm)

Figuur 2.14: Zelfinductie L als functie vande straal R met resp. Dirichlet- en Neumann-randvoorwaarde

Bij toenemende R neemt het belang van de randvoorwaarde af. Bij R=200 mmis L resp. 1.2944 10−6 H/m en 1.2953 10−6 H/m, wat goed overeenstemt met debenaderende analytische waarde.Figuren 2.15 en 2.16 tonen het fluxpatroon (isolijnen van A∗z met constante ∆A∗z)met R=10 mm en met resp. de Dirichlet- en de Neumann-randvoorwaarde.

Figuur 2.15: Fluxpatroon met deDirchlet-randvoorwaarde en R=10 mm(L=1.093 10−6 H/m)

Figuur 2.16: Fluxpatroon met deNeumann-randvoorwaarde en R=10 mm(L=1.502 10−6 H/m)

2.5.2.2 Met Kelvin-transformatie

We gebruiken nu de Kelvin-transformatie waarbij Ω′in een kwart cirkelschijf (ρ′ ≤R′) is in het x′y′-vlak, met dezelfde straal als de kwart cirkelschijf in het xy-vlak(R′ = R =10 mm), en met dezelfde randvoorwaarden op de twee symmetrieassen.De Kelvin-methode wordt ook in [Low89] toegepast op dit model.Een eerste berekening wordt uitgevoerd met een aangepaste vermazing van Ωin enΩ′in : de twee cirkelbogen tellen elk 79 uniform verdeelde knooppunten. De voor-


waarde dat het verloop van A∗z gelijk moet zijn op de twee cirkelbogen, wordt op-gelegd d.m.v. 79 binaire voorwaarden. De berekende zelfinductie (L=1.297 10−6

H/m) komt goed overeen met de analytische waarde.

Figuur 2.19 toont het fluxpatroon in Ωin en Ω′in . In Ω′in zijn de fluxlijnen in zeergeringe mate gekromd en bijna equidistant. De vermazing van Ω′in mag dus veelminder fijn zijn.

Bij een tweede berekening telt de vermazing van Ω′in slechts 100 i.p.v. 500 knoop-punten, met slechts 25 uniform verdeelde knooppunten op de kwartcirkelboog.De vermazing van Ωin is dezelfde als bij de eerste berekening.

Een stel tertiaire voorwaarden is nu vereist om een min of meer gelijk verloopvan A∗z op de twee cirkelbogen7 te bekomen.

Omdat de densiteit van de knooppunten op de cirkelboog in het x′y′-vlak lager isdan die in het xy-vlak, worden de potentialen in het x′y′-vlak als onafhankelijkevariabelen gekozen. De potentiaal in een knooppunt op de cirkelboog in het xy-vlak hangt dus af van de potentiaal in twee knooppunten op de cirkelboog in hetx′y′-vlak. Dit wordt ook schematisch voorgesteld in Figuur 2.17.

Figuur 2.18 toont het verloop van A∗z op de cirkelbogen ρ= ρ′= 9.995 mm enhet te verwaarlozen verschil (100 maal vergroot). De berekende zelfinductie(L=1.297 10−6 H/m) komt zeer goed overeen met de waarde die bekomen werdmet de fijnere vermazing van Ω′in (en de 79 binaire randvoorwaarden).

Figuur 2.20 toont de vermazing en het fluxpatroon in Ωin en Ω′in .

0Az()Az(0)Az0 90

Figuur 2.17: Verloop van A∗z langs de tweecirkelbogen; keuze van onafhankelijke en af-hankelijke knooppunten

0 20 40 60 80012107 = 0 = 0:995 mmverschil 100=0 [ ]

Az [Wb]Figuur 2.18: Verloop van A∗z op cirkelbogenρ = ρ′ = 9.995 mm.

7Merk op dat in het EE-model de twee cirkelbogen benaderd worden als polylines, waarvanenkel de knooppunten precies op de cirkelbogen liggen.

2-26 HOOFDSTUK 2

Figuur 2.19: Fluxpatroon in Ωin en Ω′in metgelijke discretisatie van de twee cirkelbogen,met R=10 mm (L=1.297 10−6 H/m)

Figuur 2.20: Fluxpatroon in Ωin en Ω′in metongelijke discretisatie van de twee cirkelbo-gen, met R=10 mm (L=1.297 10−6 H/m)

2.6 Het oplossen van de niet-lineaire vergelijkin-gen

2.6.1 De Newton-Raphson-methode

Bij aanwezigheid van niet-lineaire media in het EE-model hangt de stijfheidsma-trix S af van de knooppuntspotentialen A, en is het stelsel EE-vergelijkingenniet-lineair:

S(A)A = Ip. (2.112)

Het stelsel moet noodzakelijkerwijs iteratief opgelost worden. Startend van eeninitiele benadering A(0) (bv. de nulkolommatrix) worden opeenvolgende (betere)benaderingen A(1), A(2), . . . van de correcte oplossing gezocht. Voor de correcteoplossing A is de residukolommatrix R(A) = S(A)A− Ip nul.Als na l iteraties voldoende convergentie is vastgesteld, wordt het iteratieprocesgestopt. Het convergentiecriterium is bv. gebaseerd op het residu R(A(l)) of ophet l-de increment ∆A(l) = A(l) −A(l−1). Bijvoorbeeld:

|∆A(l)||A(l)|

=

np∑i=1

|∆A(l)i|

np∑i=1

|A(l)i|< ε, (2.113)

met ε een klein dimensieloos getal (10−6 · · · 10−3).

Meestal wordt de Newton-Raphson-methode (NR-methode) gebruikt. Hierbijwordt een nieuwe benadering A(l) = A(l−1) + ∆A(l) bekomen door de residuko-lommatrix R(A) te lineariseren8 rond de vorige benadering A(l−1):

R(A(l−1) + ∆A(l)

)= 0, (2.114)

8De afgeleide van een n× 1 kolommatrix Y naar een m× 1 kolommatrix X is een n×mmatrix waarvan het (i, j)-de element gegeven wordt door:(

∂Y

∂X

)ij

=∂Yi

∂Xj.


R(A(l−1)) +

(∂R

∂A

)(l−1)

∆A(l) + hogere-orde-termen = 0. (2.115)

Door verwaarlozing van de hogere-orde-termen bekomen we een stelsel van line-aire algebraısche vergelijkingen in ∆A(l):(

∂R

∂A

)(l−1)

∆A(l) = −R(A(l−1)). (2.116)

Voor het stelsel (2.112), met gekend verondersteld rechterlid Ip, wordt dit:(∂(SA)

∂A

)(l−1)

∆A(l) = Ip − S(A(l−1)) A(l−1). (2.117)

De systeemmatrix in (2.117) is de Jacobiaan van de stijfheidsmatrix en wordtS∂ genoteerd. Er wordt verder in §2.6.2 aangetoond dat S∂ dezelfde specifiekeeigenschappen heeft als S.

Het stelsel (2.117) heeft een unieke oplossing na het opleggen van de nodige voor-waarden aan ∆A(l). In §2.4 werden de verschillende soorten randvoorwaardenvertaald in een stel voorwaarden die elk betrekking hebben op een, twee of drieknooppunten. Deze unitaire, binaire en tertiaire voorwaarden kunnen resp. alsvolgt genoteerd worden:

Ai = c, Ai = pAj , Ai = pAj + q Ak, (2.118)

met c, p en q gegeven constanten.

In het niet-lineaire geval zal de EE-oplossing A voldoen aan deze voorwaardendoor een gepaste initialisatie van A:

A(0)i = c, A(0)i = 0, A(0)i = 0, (2.119)

en door bij de l-de NR-iteratie de volgende resp. voorwaarden op te leggen aan∆A(l)i:

∆A(l)i = 0, ∆A(l)i = p∆A(l)j , ∆A(l)i = p∆A(l)j + q∆A(l)k. (2.120)

Elke NR-iteratie mag dan een unieke oplossing (increment) geven, de convergentievan de NR-methode is geenszins gegarandeerd. Bij sterke niet-lineariteit en/ofongunstige initialisatie is divergentie niet onwaarschijnlijk. Voldoende dicht bijde oplossing is de NR-methode convergent, en wel met kwadratische snelheid.

Teneinde convergentie te verzekeren of te versnellen kan men relaxatie toepassen:

A(l) = A(l−1) + γ(l) ∆A(l), (2.121)

met γ(l) de zgn. relaxatiefactor. Deze factor wordt hierbij oordeelkundig gekozen(meestal tussen 0 en 1) of wordt zo bepaald dat de convergentiesnelheid maximaalis [Deli94b, Odw95, Bas95].

2-28 HOOFDSTUK 2

2.6.2 De Jacobiaan van de stijfheidsmatrix

2.6.2.1 Anisotrope media

In het algemene anisotrope geval kan de Jacobiaan S∂ , gegeven door

S∂ =∂(SA)

∂A, (2.122)

als volgt uitgewerkt worden.We beschouwen eerst het translatiesymmetrische geval. Uit §2.3 en i.h.b. uit(2.78–2.79) volgt dat we de kolommatrix SA kunnen schrijven als een functievan het magnetische veld H:

SA =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗ · ∇A∗z dxdy, (2.123)

=

∫ΩEE

∇α · (−Hy 1x +Hx1y) dxdy. (2.124)

Door het toepassen van de kettingregel bij het afleiden van SA naar A, met

B =1

lz

(∂αT

∂y1x −

∂αT

∂x1y

)A, (2.125)

volgt:

S∂ =

∫ΩEE

∇α · ∂(−Hy 1x +Hx1y)

∂B· ∂B∂A

dxdy, (2.126)

=

∫ΩEE

∇α · ∂(−Hy 1x +Hx1y)

∂B· 1

lz

(∂αT

∂y1x −

∂αT

∂x1y

)dxdy, (2.127)

=

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗∂ · ∇αT dxdy. (2.128)

¯ν∂ (¯ν∗∂) is de (gemodifieerde) differentiele reluctiviteitstensor met de volgendematrixvoorstelling:[

¯ν∂]

=[∂H∂B

]=

∂Hx∂Bx

∂Hx∂By

∂Hy∂Bx

∂Hy∂By

en[

¯ν∗∂]

=1

lz

∂Hy∂By

−∂Hy∂Bx

−∂Hx∂By∂Hx∂Bx

.(2.129)

De overeenstemmende uitdrukkingen voor het axisymmetrische geval bekomtmen door in (2.123–2.129) x, y en lz te vervangen door resp. r, z en 2πr, endoor ∇ cartesisch te interpreteren.

Vergelijk uitdrukking (2.58) voor de stijfheidsmatrix met de uitdrukking (2.128)voor zijn Jacobiaan. De Jacobiaan bekomt men (formulegewijs of tijdens de ele-mentsgewijze opbouw) door de koorde-reluctiviteitstensor te vervangen door dedifferentiele reluctiviteitstensor. Bijgevolg hebben ze dezelfde ijle matrixstruc-tuur. Als ¯ν (¯ν∗) en ¯ν∂ (¯ν∗∂) SPD tensoren zijn, zijn S en S∂ daarenboven SPSD.


2.6.2.2 Isotrope media

Voor isotrope media vindt men in het translatiesymmetrische geval de volgendematrixuitdrukkingen voor ¯ν∂ = ∂H

∂B:

[∂H∂B

]= ν

[¯1]

+ 2dν

dB2

B2x BxBy

BxBy B2y

, (2.130)

=ν

B2

B2y −BxBy

−BxBy B2x

+ν∂

B2

B2x BxBy

BxBy B2y

, (2.131)

(6= ∂H

∂B

[¯1] ), (2.132)

met

ν∂ =∂H

∂B= ν + 2B2 dν

dB2. (2.133)

Merk op dat (zelfs) in het isotrope geval de differentiele reluctiviteitstensor nietkan worden herleid tot een scalaire grootheid. Het anisotrope differentiele ge-drag in een isotroop materiaal wordt geıllustreerd in Figuur 2.21: B en H zijnsteeds evenwijdig, terwijl hun differentialen dB en dH in het algemene geval nietevenwijdig zijn. d HH B B + d BH + d H d B

Figuur 2.21: Het anisotrope differentiele gedrag van isotroop materiaal

Rekening houdende met:

∇αT

i ·

B2y −BxBy

−BxBy B2x

· ∇αj = (∇Az · ∇αi)(∇Az · ∇αj), (2.134)

vindt men in het isotrope geval de volgende meer klassieke uitdrukkingen voorde Jacobiaan:

S∂ij =

∫ΩEE

ν

lz∇αi · ∇αj dxdy +

∫ΩEE

2

lz

dν

dB2(∇Az · ∇αi)(∇Az · ∇αj) dxdy, (2.135)

=

∫ΩEE

ν∗∇αi · ∇αj dxdy +

∫ΩEE

2

l2z

dν∗

dB2(∇A∗z · ∇αi)(∇A∗z · ∇αj) dxdy. (2.136)

2-30 HOOFDSTUK 2

De overeenstemmende uitdrukkingen voor het axisymmetrische geval bekomtmen door in de bovenstaande uitdrukkingen x, y en lz te vervangen door resp. r,z en 2πr, en door ∇ cartesisch te interpreteren.

Uit (2.131) volgt dat det(¯ν∂) = νν∂ . Als ν en ν∂ positief zijn, is ¯ν∂ SPD enheeft elke NR-iteratie een unieke oplossing. Als de NR-methode convergeertnaar een oplossing, dan is dit de unieke EE-oplossing van het magnetostatischerandwaardeprobleem (zie §1.4.2).

Het monotoon stijgend zijn van ν(B2) ( dνdB2 > 0) is (een voldoende maar) geen

nodige voorwaarde opdat de lineaire stelsels bekomen met de NR-methode eenunieke oplossing zouden hebben. Onder meer in [Rat86] wordt het tegengesteldebeweerd. In het Rayleigh-gebied (zie ook §3.1) bijvoorbeeld, is dν

dB2 negatief,terwijl ν∂ positief is.

2.6.3 De ICCG-solver

De lineaire stelsels vergelijkingen die met de Newton-Raphson-methode beko-men worden, hebben een ijle SPD systeemmatrix. Dit is ook het geval bij eentransiente EE-simulatie, zoals verder blijkt in §4.6. Ook wanneer de wervel-stromen in de gelamelleerde kernen in het EE-model gemodelleerd worden (zie§5.5), of het vector-Preisach-model gebruikt wordt voor de modellering van hetmagnetische materiaal (zie §6.3), bekomt men met de Newton-Raphson-methodestelsels met een SPD systeemmatrix. In §7.2 worden verschillende oplossingsme-thoden ontwikkeld voor de transiente simulatie van een EE-model dat gekoppeldis aan een elektrisch netwerk. De systeemmatrices zijn daarbij steeds SPD, maareventueel minder ijl.

In al deze gevallen wordt een ICCG-solver gebruikt om de lineaire stelsels vanalgebraısche vergelijkingen op te lossen. De Incomplete Choleski-Conjugate Gra-dient-methode bestaat erin de iteratieve CG-methode te preconditioneren opbasis van een onvolledige Choleski-factorisering van de systeemmatrix. Bij deimplementatie voorgesteld in [Aji84] (met een listing van de Fortran-code) wordtde (on)volledigheid van de factorisering bepaald door een parameter ψ, die tussen0 en 1 gekozen moet worden. Het ene extreme geval, ψ = 0, stemt overeen meteen volledige Choleski-factorisering, waarna – bij afwezigheid van afrondingsfou-ten – slechts een CG-iteratie nodig is om het stelsel vergelijkingen op te lossen; inhet andere extreme geval, ψ = 1, is er geen preconditionering van de CG-iteraties.

Enkel de van nul verschillende elementen (op en boven de diagonaal) in de sys-teemmatrix en de onvolledige Choleski-factor worden in het geheugen bewaard.Bij lage waarden van ψ, d.i. dicht bij 0, kunnen de geheugenvereisten zeer grootzijn als gevolg van de fill-in bij de Choleski-factorisering. De fill-in kan beperktworden door een (her)nummering van de knooppunten waarbij de systeemmatrixeen bandstructuur heeft (of krijgt). Het Reverse Cuthill-Mckee (RCM)-algoritmeis een van de bekendste hernummeringsmethoden [Sil73]. Naarmate ψ grotergekozen wordt, nemen de geheugenvereisten af en zijn ze minder afhankelijk vande nummering van de knooppunten.


In het ontwikkelde EE-programma Mag2D wordt bij het begin van de time-stepping (zie §4.6), die waarde van ψ gekozen waarbij de rekentijd voor eenNewton-Raphson-iteratie minimaal is. De gebruiker geeft hierbij de minimalewaarde, de maximale waarde en het increment van − log(ψ) op, waarna de opti-male discrete waarde van ψ automatisch bepaald wordt.

Voor een grondigere studie van de ICCG-methode en van andere methoden die bijmagnetische veldberekeningen m.b.v. de EE-methode gebruikt worden, verwijzenwe naar [Sil90, Henn90a, Tsu93b, Tsu93c, Vil96, Mer98].

2.7 Spoelen of gewikkelde geleiders

2.7.1 Translatiesymmetrie

We beschouwen een spoel met n windingen. In een translatiesymmetrisch EE-model kan de spoel voorgesteld worden door twee gebieden Ω+ en Ω−, met resp.n ingaande en n uitgaande draden, die elk een stroom ±I voeren. In de praktijkis het meestal aanvaardbaar de stroom uniform verdeeld te veronderstellen overde twee oppervlakken Ω+ en Ω−:

Jz(x, y) =

+nI/Ω+ in Ω+,−nI/Ω− in Ω−,

(2.137)

zoals ook voorgesteld wordt in Figuur 2.22.y Jz = nI+z x J+z = nI+Figuur 2.22: Modellering van een spoel met n ingaande en n uitgaande draden

De totale flux Ψ [Wb] gekoppeld met de spoel is n maal de gemiddelde fysischeflux:

Ψ =n

Ω+

∫Ω+

A∗z dxdy −n

Ω−

∫Ω−

A∗z dxdy. (2.138)

Het aantal spoelen in het EE-model wordt nS genoteerd9. De stromen in despoelen worden verzameld in de nS × 1 kolommatrix IS [A].

9Subscript S van spoel (gewikkelde geleider) of stranded conductor. In Hoofdstuk 4 wordtde zgn. massieve geleider (met subscript M) ingevoerd.

2-32 HOOFDSTUK 2

De bijdrage van de nS spoelen tot de knooppuntsstromen kan in matrixnotatiegeschreven worden m.b.v. een dimensieloze nS × np matrix KS:

(Ip)S = KT

S IS. (2.139)

Indien de i-de spoel in ΩEE twee spoelzijden met resp. sectie (oppervlakte) Ω+

en Ω− heeft, met elk n uniform verdeelde draden, dan volgt uit (2.137, 2.71) dathet (i, j)-de element van KS gegeven wordt door:

(KS)ij =n

Ω+

∫Ω+

αj(x, y) dxdy − n

Ω−

∫Ω−

αj(x, y) dxdy. (2.140)

Het (i, j)-de element van KS is verschillend van nul als en slechts als het j-deknooppunt in (of op de rand van) de i-de spoel ligt.

De nS × 1 kolommatrix ΨS [Wb] met de gekoppelde fluxen wordt volgens (2.138)gegeven door:

ΨS = KSA. (2.141)

Daar in (2.139) en (2.141) dezelfde KS-matrix voorkomt, wat ook als volgt uit-gedrukt kan worden:

ΨT

S IS = AT (Ip)S, (2.142)

is het mogelijk om bij een koppeling met een elektrisch netwerk (zie Hoofdstuk7) symmetrische systeemmatrices te bekomen.

Algemener definieren we een spoel als een gebied Ω in ΩEE waarin de stroom-dichtheid Jz(x, y) het product is van een stroom I en een gekende gewichtsfunctieη(x, y) [m−2]. Met nS spoelen, bepaald door de gebieden Ωi en de functies ηi(x, y)(i = 1, . . . , nS), worden Jz en KS gegeven door:

Jz = ηi(x, y) (IS)i in Ωi, (2.143)

(KS)ij =

∫Ωi

ηi(x, y) αj(x, y) dxdy. (2.144)

Als de i-de spoel geen nettostroom oplevert in ΩEE , d.i. als ηi gemiddeld nul isin Ωi, dan is de som van de elementen op de i-de rij van KS nul:∫

Ωi

ηi(x, y) dxdy = 0 =⇒np∑j=1

(KS)ij = 0, (2.145)

daar de som van de interpolatiefuncties identisch 1 is in ΩEE , en i.h.b. in Ωi, cfr.(2.63). Hieruit volgt dat de flux (ΨS)i = (KSA)i gekoppeld met de i-de geleiderbepaald wordt door het verloop van de magnetische inductie B in ΩEE , en nietafhangt van de keuze van de arbritraire constante die volgens (2.15) Az eenduidigbepaalt als functie van B.Voor een spoel die een nettostroom kan voeren in ΩEE , is de hoger gedefini-eerde ’gekoppelde flux’ wel functie van de arbitraire constante, die op haar beurtafhangt van de randvoorwaarden.


2.7.2 Axisymmetrie

De definitie van een spoel in een axisymmetrisch veldprobleem is analoog aan diein het translatiesymmetrische geval. Vergelijkingen (2.143–2.144) worden in hetaxisymmetrische geval:

Jφ = ηi(r, z) (IS)i in Ωi, (2.146)

(KS)ij =

∫Ωi

ηi(r, z) αj(r, z) drdz. (2.147)

Door de axisymmetrie is het terugpad van de stroom steeds impliciet aanwezig.De elementen van de kolommatrix ΨS kunnen zonder meer als gekoppelde fluxengeınterpreteerd worden als op de symmetrieas A∗φ = 0 opgelegd wordt.

2.7.3 Inductantiematrix van de ns spoelen

We beschouwen nS gewikkelde geleiders in een translatie- of axisymmetrisch EE-model. De equivalente knooppuntsstromen zijn deels afkomstig van deze geleidersen deels van de randvoorwaarden. Het stelsel algebraısche EE-vergelijkingen kandan als volgt geschreven worden:

SA = KT

S IS + (Ip)rand . (2.148)

Als de randvoorwaarden van het homogene Dirichlet-type zijn, d.i. A∗z of A∗φgelijk aan nul in een of meerdere knooppunten, of van het binaire of tertiairetype zoals in resp. (2.90) en (2.91), dan kan (2.148) herschreven worden als:

S∗A = K∗STIS, (2.149)

waarbij de randvoorwaarden vervat zijn in S∗ en K∗S , zie ook §2.4. De matrixS∗ is SPD en dus inverteerbaar. Wanneer de nS spoelen geen stroom voeren(IS = 0), is de inductie B identiek nul in het volledige EE-domein (A = 0). Despoelen zijn dus de enige werkelijke bronnen in het model.

De nS × nS inductantiematrix LS [H] voldoet aan de volgende vergelijking:

ΨS = K∗SA = LSIS, (2.150)

met ΨS [Wb] de kolomatrix met de nS gekoppelde fluxen en metA = (S∗)−1K∗STIS

de oplossing van (2.149) met gegeven IS.Uit (2.149, 2.150) volgt dat LS als volgt geschreven kan worden:

LS = K∗S (S∗)−1K∗S

T (2.151)

De inductantiematrix LS is SPD vermits (S∗)−1

SPD is en rang(K∗S ) = nS.

We beschouwen nu eerst het lineaire geval, waarbij S en S∗ constante matriceszijn. Een praktische werkwijze om LS te berekenen bestaat erin nS veldproblemente beschouwen waarbij telkens slechts een geleider stroom voert. De κ-de kolomvan LS (met κ = 1, · · · , nS), genoteerd (LS)∗k, wordt gegeven door:

(LS)∗k = K∗SAκ, (2.152)

2-34 HOOFDSTUK 2

waarbij Aκ de oplossing is van (2.149) wanneer de κ-de spoel een eenheidsstroomvoert.

In het niet-lineaire geval zijn S en S∗ functie van A, en is LS functie van IS.De differentiele inductantiematrix L∂S kan nu als volgt gedefinieerd en uitgewerktworden:

L∂S (IS) =∂ΨS

∂IS= K∗S

(S∗∂(A)

)−1

K∗ST. (2.153)

S∗∂ is de Jacobiaan van S∗. IS en A zijn verbonden door de niet-lineaire EE-vergelijking (2.149).

In de praktijk kan L∂S bij een gegeven IS als volgt berekend worden. Eerst wordthet niet-lineaire stelsel (2.149) opgelost (bv. d.m.v. de NR-methode), waaruit Aen de verzadigingstoestand in het EE-domein volgen.Het procede voor het lineaire geval wordt nu uitgevoerd, waarbij de stijfheidsma-trix S∗ vervangen wordt door zijn Jacobiaan S∗∂(A) bij de berekende verzadi-gingstoestand. (Merk trouwens op dat de Jacobiaan reeds beschikbaar is indienhet niet-lineaire stelsel met de NR-methode opgelost werd.)Het berekenen van L∂S vergt dus het oplossen van een niet-lineair veldprobleemen nS lineaire veldproblemen.

2.7.4 Toepassing: inductantie van een luchtspoel

We beschouwen een axisymmetrische luchtspoel met n=200 windingen, met eenrechthoekige sectie (breedte b=24.4 mm, hoogte h=34.5 mm),en met gemiddeldewindingsdiameter D=144.6 mm, zie Figuur 2.23.

rhbzD=2

Figuur 2.23: Axisymmetrische luchtspoelmet rechthoekige sectie

Figuur 2.24: Fluxpatroon (isolijnen van A∗φmet constante ∆A∗φ)

De benaderende formule van Welsby [Melk98] geeft voor de zelfinductie:

L =µ0 π n

2D2

4(h+ 0.45D + 0.64bhD + 0.84b

) = 6.668 10−3 H, (2.154)


wat goed overeenkomt met de gemeten zelfinductie (L=6.685 10−3 H).

Wegens de symmetrie t.o.v. z = 0 wordt slechts een halve doorsnede van de spoelgemodelleerd. Het EE-domein ΩEE is een rechthoek (0 ≤ r ≤ rmax , 0 ≤ z ≤zmax , met rmax=zmax =2 m).De EE-berekening wordt uitgevoerd met 1 A draadstroom en met de twee soorteninterpolatiefuncties die voorgesteld werden in §2.3: resp. lineair in r en z (2.51–2.52), en kwadratisch in r en lineair in z (2.55–2.56).De berekende zelfinductie is resp. 6.558 10−3 H en 6.571 10−3 H. Dit is resp. 1.9%en 1.5% minder dan de gemeten zelfinductie, en resp. 1.6% en 1.4% minder dande benaderende analytische waarde.Figuur 2.24 toont het fluxpatroon (isolijnen van A∗φ met constante ∆A∗φ) in denabijheid van de spoel.

0.0 0.1 0.201234105 linear in r en zverschil 100A [Wb]

r [m]Figuur 2.25: Verloop van A∗φ voor z = 0 en

0 ≤ r ≤ 0.2 m, met twee soorten interpolatie-functies

0.0 0.1 0.2-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5103 lineair in r en zlineair en kwadratischr [m]Bz [T]

Figuur 2.26: Verloop van Bz voor z = 0 en0 ≤ r ≤ 0.2 m, met twee soorten interpolatie-functies

In Figuren 2.25 en 2.26 wordt het verloop van resp. A∗φ en Bz langs de symme-trieas (z = 0 en 0 ≤ r ≤ 0.2 m) getoond. Het verschil in A∗φ is miniem, terwijl Bzduidelijk verschilt: resp. elementsgewijs evenredig met 1/r (met een uitgesprokenzaagtandprofiel nabij de z-as) en elementsgewijs constant.

2.8 De koppeling met een magnetisch netwerk

In de praktijk varieert het aantal knooppunten in een EE-vermazing van en-kele honderden voor een eenvoudig 2D model tot honderdduizenden voor een3D model. De rekentijd voor het oplossen van het stelsel algebraısche verge-lijkingen is navenant. Wanneer een groot aantal opeenvolgende berekeningenuitgevoerd moeten worden, wat bv. het geval is bij een optimalisatieprocedure[Ham94, Tro96, Pah98] en bij time-stepping (zie Hoofdstuk 4), staat de langerekentijd dikwijls het praktische gebruik van het EE-model in de weg.Een alternatief voor een EE-model is een magnetisch equivalent circuit (MEC),verder ook kortweg ’magnetisch netwerk’ genoemd. Het aantal vrijheidsgraden is

2-36 HOOFDSTUK 2

beperkt en de rekentijd is zeer klein in vergelijking met een EE-model. Het nadeelis de beperkte nauwkeurigheid. De simulatie van transformatoren m.b.v. eenMEC wordt o.m. in [Ell96] behandeld. In [Ham94] wordt een MEC gebruikt bijde optimalisatie van magnetische veldproblemen. De modellering van roterendemachines m.b.v. een MEC wordt besproken in §8.5.

2.8.1 Magnetische netwerken

Een magnetisch netwerk bestaat uit m.m.k.-bronnen en reluctanties, zie Fi-guur 2.27. + F FR() + Figuur 2.27: Symbolische voorstelling van een m.m.k.-bron (links) en een reluctantie (rechts)

Een reluctantie wordt gekarakteriseerd door een gekend (al of niet lineair en alof niet eenwaardig) verband tussen de m.m.k. F [A] en de flux Φ [Wb]:

F = R(Φ) Φ. (2.155)

Na een (min of meer arbitraire) keuze van een gemiddelde (of equivalente) mag-netische weglengte leq en een equivalente sectie Seq, bepaalt (2.155) een verbandtussen de gemiddelde inductie Beq en de gemiddelde magnetische veldsterkte Heq:

F = leqHeq, (2.156)

Φ = Seq Beq, (2.157)

Heq = νeq(Beq)Beq, (2.158)

R =νeq leqSeq

. (2.159)

In het geval van een reversibele reluctantie, zijn R [A/Wb] en νeq [m/H] een-waardige functies van resp. de flux Φ en de gemiddelde fluxdichtheid Beq. Demagnetische energie vervat in de reluctantie wordt dan gegeven door:

Φ∫0

F(Φ′) dΦ′ =

Φ∫0

R(Φ′) Φ′ dΦ′ = leq Seq

Beq∫0

Heq(B′eq) dB

′eq. (2.160)

De fluxen en de m.m.k.’s in het magnetische netwerk moeten voldoen aan de tweenetwerkvergelijkingen van Kirchhoff. Volgens de fluxwet van Kirchhoff moet dealgebraısche som van de fluxen in elk knooppunt nul zijn; dit stemt overeen met∇· B = 0. Volgens de m.m.k.-wet moet de m.m.k. over elke gesloten kring nulzijn; dit stemt overeen met

∮C∇× H − J = 0, waarbij de twee termen in het

linkerlid vervat zijn in resp. de reluctanties en de m.m.k.-bronnen.


Voor het oplossen van het magnetische netwerkprobleem kunnen o.m. de me-thode van de lusfluxen en de methode van de knooppuntspotentialen gebruiktworden. De methode van de lusfluxen is sterk verwant met het gebruik van degemodifieerde MVP A∗z bij de 2D EE-berekeningen en laat, zoals verder in §2.8.2blijkt, een eenvoudige koppeling van een magnetisch netwerk en een EE-modeltoe. Daarom wordt in deze tekst enkel de methode van de lusfluxen van naderbijbekeken. Het elektrische equivalent van beide methoden wordt wel in meer detailbesproken in Hoofdstuk 7.

Bij de methode van de lusfluxen wordt een stel onafhankelijke, georienteerdelussen in het magnetische netwerk gekozen. Het aantal onafhankelijke fluxlus-sen wordt nl genoteerd. De nl geassocieerde lusfluxen, verzameld in de nl × 1kolommatrix Φl, worden als onafhankelijke variabelen beschouwd. Door de tak-fluxen als een gepaste lineaire combinatie van de lusfluxen te schrijven, is steedsvoldaan aan de fluxwet van Kirchhoff. Dit wordt geıllustreerd aan de hand vanhet magnetische netwerk in Figuur 2.28. De zes takfluxen Φ1 t.e.m. Φ6 en dedrie lusfluxen Φl1 t.e.m. Φl3 in dit netwerk zijn als volgt verbonden:

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4

Φ5

Φ6

=

−1 0 0

1 0 −1

0 0 −1

0 1 0

0 −1 1

1 −1 0

Φl1

Φl2

Φl3

. (2.161)

R1 R2F1 1F2 4 35 R4F4R32 F3l1 l3l26Figuur 2.28: Voorbeeld van een magnetisch netwerk met vier reluctanties, vierm.m.k.-bronnen en drie fluxlussen

Door de m.m.k.-wet van Kirchhoff op te leggen aan de nl onafhankelijke fluxlussenbekomt men een stelsel van nl algebraısche vergelijkingen:

RlΦl = F l, (2.162)

met Rl de nl × nl lusreluctantiematrix en F l de nl × 1 kolommatrix met lus-m.m.k.’s.Het (i, j)-de element van Rl wordt gegeven door de algebraısche som van dereluctanties die gemeenschappelijk zijn aan de i-de en de j-de lus; het voorteken

2-38 HOOFDSTUK 2

van een reluctantie in deze som is positief als de i-de en de j-de lus dezelfdezin hebben in de reluctantie, negatief als ze een tegengestelde zin hebben. In depraktijk kan de lusreluctantiematrix reluctantiegewijs opgebouwd worden, zoalsde stijfheidsmatrix S van een EE-model elementsgewijs opgebouwd wordt. Debijdrage van een reluctantie tot Rl is een n× n submatrix, waarbij n het aantalfluxlussen is waarin de reluctantie voorkomt. De n× n submatrix is SPD als n =1, SPSD (met rang gelijk aan n−1) als n > 1. Bijgevolg is de lusreluctantiematrixRl SPSD, en eventueel SPD. Voor een planair netwerk waarbij de fluxlussen demazen van het netwerk zijn, zoals in Figuur 2.28, volstaat het dat er in elkefluxlus minstens een reluctantie voorkomt en dat er minstens een reluctantie isdie in slechts een fluxlus voorkomt, opdat Rl SPD zou zijn.

Het i-de element van de lus-m.m.k.-kolommatrix F l is de algebraısche som vande m.m.k.’s van de m.m.k.-bronnen in de i-de lus. Het voorteken in de som ispositief als de zin van de lus en de zin van de m.m.k.-bron overeenstemmen,negatief als de zinnen tegengesteld zijn.

Voor het voorbeeld in Figuur 2.28 bekomen we aldus het volgende stelsel verge-lijkingen:

R1 +R2 −R2 0

−R2 R2 +R4 −R4

0 −R4 R3 +R4

Φl1

Φl2

Φl3

=

−F1 + F2

F4

−F2 −F3

. (2.163)

De magnetische energie W en co-energie Wco in het magnetische netwerk wordengegeven door:

W =

Φl∫0

Φ′lT Rl dΦ′l en Wco = FT

l Φl −W. (2.164)

De afleiding van Wco naar Φl geeft het stelsel m.m.k.-vergelijkingen (2.162).

In het niet-lineaire geval kan het stelsel iteratief opgelost worden m.b.v. de NR-methode. Aldus komen we tot de differentiele lusreluctantiematrix R∂

l . Dedifferentiele reluctantie R∂ wordt gegeven door:

R∂ =d(RΦ)

dΦ=

νeq leqSeq

+ 2 Φ2 leqS3eq

dνeqdB2

eq

=ν∂eq leq

Seq, (2.165)

met ν∂eq de equivalente differentiele reluctiviteit:

ν∂eq =dHeq

dBeq= νeq + 2B2

eq

dνeqdB2

eq

. (2.166)

2.8.2 Koppeling van een EE-model en een magnetisch net-werk

Men kan een onderscheid maken tussen een indirecte en een directe koppelingvan een EE-model en een magnetisch netwerk. Bij een indirecte koppeling wordt


de EE-methode gebruikt om de reluctanties van de afzonderlijke netwerkelemen-ten te berekenen: voor niet-lineaire reluctanties als functie van de flux en voorluchtspleetelementen in een model van een roterende machine als functie van derotorpositie [Phi90b]. Deze reluctanties worden gebruikt bij het oplossen van demagnetische netwerkvergelijkingen.

In deze tekst beschouwen we enkel de directe koppeling, die erin bestaat de EE-vergelijkingen en de netwerkvergelijkingen simultaan op te lossen. Deze koppelingwordt ook beschreven in [Phi90a, Phi92, Gys98a, Gys98b].l3l1 l4Jz F1Az = 0 (Az)2EE R6 R4R3 R2R1 R7 F3 R5F2(Az)1 l2

Figuur 2.29: Koppeling van een EE-model en een magnetisch netwerk

We beschouwen een 2D domein ΩEE in het xy-vlak10 waarvan de rand bestaatuit alternerende zgn. fluxmuren en fluxpoorten, zoals voorgesteld in Figuur 2.29.

Een fluxmuur is per definitie ondoordringbaar voor de magnetische flux en heeftdus een constante gemodifieerde MVP A∗z. Met de fluxmuur en zijn potentiaalstemt een interpolatiefunctie αmuur (x, y) overeen, die men bekomt door de inter-polatiefuncties van de knooppunten op de fluxmuur op te tellen. Dit wordt inFiguur 2.30 geıllustreerd aan de hand van een fluxmuur die vier knooppuntentelt. xy muur

Figuur 2.30: De interpolatiefunctie αmuur geassocieerd met een fluxmuur

10In principe kan ook een axisymmetrisch EE-model beschouwd worden. De (ma-trix)vergelijkingen zijn identiek, maar de praktische toepassingen liggen minder voor de hand.

2-40 HOOFDSTUK 2

De interpolatiefuncties geassocieerd met de fluxmuren worden in de praktijk nietexpliciet opgesteld. De constante potentiaal op een fluxmuur wordt opgelegdd.m.v. een reeks binaire voorwaarden. De potentiaal in een knooppunt van defluxmuur is vrij (en volgt uit de magnetische vergelijkingen); de andere knoop-punten op de fluxmuur hebben dezelfde potentiaal als het referentieknooppunt.Om de uniciteit van de oplossing te garanderen, wordt op een van de fluxmu-ren potentiaal 0 opgelegd. Deze fluxmuur wordt verder de referentiefluxmuurgenoemd. De andere fluxmuren hebben een vlottende (niet a priori gekende)potentiaal.

Een fluxpoort is een deel van de rand waarlangs magnetische flux het EE-modelkan verlaten en eventueel een tak van het magnetische netwerk kan invloeien. Defluxcontinuıteit aan een fluxpoort die verbonden is aan een tak van het magneti-sche netwerk, is verzekerd als de takflux gelijk is aan het verschil van de vlottendepotentialen op de fluxmuren links en rechts van de poort, zoals voorgesteld wordtin Figuur 2.31. tak = (Az)2 (Az)1R@Az=@n = 0 (Az)1(Az)2EE

Figuur 2.31: Fluxcontinuıteit aan een fluxpoort

Op de fluxpoorten veronderstellen we de homogene Neumann-randvoorwaarde:∂A∗z∂n = 0 of Ht = 0. Voor isotrope materialen betekent dit dat de flux het

EE-model loodrecht op de fluxpoort verlaat.

Beschouw nu een stel onafhankelijke fluxlussen in het magnetische netwerk, zo-dat elke lus ofwel een ofwel geen fluxmuur (met vlottende potentiaal) omcirkelt.Deze twee soorten lussen zullen we verder resp. interface-fluxlussen en regulierefluxlussen noemen. In Figuur 2.29 zijn lussen 1 en 2 interface-fluxlussen, die resp.fluxmuren 1 en 2 (in positieve zin, d.i. tegenuurwijzerzin) omcirkelen, terwijl lus-sen 3 en 4 reguliere fluxlussen zijn.

De fluxcontinuıteit aan de interface tussen het EE-model en het magnetischenetwerk is verzekerd als de interface-lusfluxen gelijk zijn aan de potentialen vande omcirkelde fluxmuren. In het voorbeeld van Figuur 2.29 is dit: Φl1 = (A∗z)1

en Φl2 = (A∗z)2.

Als vrijheidsgraden om de wet van Ampere en de m.m.k.-wet van Kirchhoff be-naderend op te leggen, onderscheiden we drie soorten van gemodifieerde MVP-waarden (of lusfluxen). Deze zijn geassocieerd met:

1. knooppunten in het EE-model die niet op fluxmuren liggen, of fluxmu-ren (referentiemuur niet inbegrepen) die niet omcirkeld worden door een


interface-fluxlus,

2. fluxmuren die omcirkeld worden door een interface-fluxlus,

3. reguliere fluxlussen.

In overeenstemming hiermee bekomen we het volgende gepartitioneerde stelselvan onafhankelijke m.m.k.-vergelijkingen:

S11 S12 0

S21 S22 + (Rl)22 (Rl)23

0 (Rl)32 (Rl)33

A1

A2

A3

=

(Ip)1

(Ip)2 + (F l)2

(F l)3

. (2.167)

De systeemmatrix van het hybriede model is SPD. Door het opleggen van debinaire voorwaarden (of het impliciet gebruik van de interpolatiefuncties αmuur )is de stijfheidsmatrix minder ijl.Een hybried model kan dus behandeld worden als een gewoon EE-model. Dem.m.k.-bronnen kunnen worden beschouwd als gewone gewikkelde geleiders.

Het is niet altijd mogelijk om de fluxlussen zo te kiezen dat voldaan is aan de hogervermelde voorwaarden. Figuur 2.32 toont een geval waarbij de koppeling van hetEE-model en het magnetische netwerk eveneens een stel tertiaire voorwaarden(i.p.v. enkel binaire voorwaarden) vereist.Figuur 2.33 toont een geval waarbij binaire voorwaarden wel volstaan. De eer-ste fluxlus omcirkelt twee fluxmuren, die bijgevolg dezelfde vlottende potentiaalmoeten hebben.

Az = 0(Az)1 (Az)2Jz EEAz =(Az)1 (Az)2 (Az)1(Az)2 (Az)1Figuur 2.32: Een hybried model waarbij dekoppeling tertiaire voorwaarden vereist

Jz l1 l2Az = 0Az = 0Az = l1Az = l1 Az = l2EEFiguur 2.33: Een hybried model met tweefluxmuren die dezelfde vlottende potentiaalhebben

2.8.3 Toepassingen

Het grote voordeel van een magnetisch netwerkmodel is het geringe aantal vrij-heidsgraden en de zeer kleine rekentijd, terwijl een EE-modellering een nauw-keurige berekening van complexe fluxpatronen toelaat. Door het koppelen van

2-42 HOOFDSTUK 2

beide modellen zullen deze resp. voordelen meestal in beduidende mate afgezwaktworden en is het voordeel van de hybriede modellering dus eerder marginaal. Dekoppeling kan wel zeer nuttig en zelfs noodzakelijk zijn om parasitaire flux, bv.asflux in roterende machines, die niet in een 2D model opgenomen kan worden,benaderend in rekening te brengen.

De modellering van roterende machines m.b.v. een magnetisch netwerk wordt invrij algemene termen besproken in §8.5, en in §9.5 toegepast bij de simulatie vaneen inductiemotor. De modellering met twee hybriede modellen wordt daar ookkort besproken.

In §5.2.3, §5.5.4 en §6.4.2 komen EE-toepassingen met vlottende potentialen aanbod, waarbij m.m.k.’s opgedrongen worden m.b.v. triviale magnetische netwer-ken.

2.9 Besluit

In dit hoofdstuk werd de EE-methode voor 2D translatie- en axisymmetrischemagnetostatische veldproblemen behandeld. Dankzij het invoeren van de gemo-difieerde MVP als hulpgrootheid is de analogie tussen de twee soorten symme-trieen zeer duidelijk.

De EE-methode leidt tot een stelsel algebraısche vergelijkingen met een SPSDsysteemmatrix en met equivalente knooppuntsstromen in het rechterlid. De EE-vergelijkingen hebben een eenvoudige fysische betekenis.

Verschillende soorten randvoorwaarden werden beschouwd. Ze geven aanleidingtot een stel unitaire, binaire en/of tertiare voorwaarden. Door het opleggen vande gepaste randvoorwaarden wordt eveneens de uniciteit van de EE-oplossingverzekerd.Open problemen kunnen behandeld worden met de Kelvin-transformatie. Voortranslatiesymmetrische veldproblemen vergt deze transformatiemethode geen aan-passingen aan een klassiek EE-programma (waarmee normalerwijze enkel geslo-ten veldproblemen opgelost worden).

Het niet-lineaire stelsel EE-vergelijkingen kan iteratief opgelost worden m.b.v.de Newton-Raphson-methode. De stijfheidsmatrix en zijn Jacobiaan zijn beideSPSD en ijl.

Het begrip gewikkelde geleider werd ingevoerd. Een natuurlijke methode voor hetberekenen van de differentiele inductantiematrix van een stel gewikkelde geleidersin het EE-model werd uiteengezet.

Het oplossen van magnetische netwerkvergelijkingen m.b.v. de methode van delusfluxen werd bestudeerd. Deze methode is analoog aan het gebruik van de ge-modifieerde MVP bij 2D EE-berekeningen, wat een eenvoudige koppeling toelaattussen een magnetisch netwerk en een EE-model. Een magnetisch netwerkmodelen een hybried model kunnen op eenzelfde algebraısche manier (met identiekematrixvergelijkingen) behandeld worden als een EE-model.

Hoofdstuk 3

Reversibelemateriaalkarakterisering

In dit hoofdstuk wordt de reversibele materiaalkarakterisering bij 2D magneto-statische veldberekeningen m.b.v. de EE-methode besproken.

De karakterisering van isotrope materialen wordt behandeld in §3.1. Een prak-tisch aspect betreft het bekomen van een voldoend gladde BH-kromme d.m.v.van een analytische uitdrukking of d.m.v. directe interpolatie van de meetpunten.

In §3.2 wordt aangetoond dat permanentmagneetmateriaal kan gemodelleerdworden als gewoon reversibel materiaal met bijkomende equivalente knooppunts-stromen.

De anisotrope modellering van magnetisch materiaal en i.h.b van elektroblikkomt aan bod in §3.3. Twee meetopstellingen voor magnetische metingen bijresp. alternerende en rotationele excitatie worden kort besproken. Als prakti-sche toepassing van de anisotrope modellering van elektroblik wordt de statischeflux-stroom-karakteristiek van een transformator berekend.

3.1 Isotrope materialen

Niet-hysteretische isotrope materialen worden gekarakteriseerd door een eenwaar-dige BH-kromme die door de oorsprong van het BH-vlak gaat1. De BH-krommewordt gekenmerkt door het zgn. Rayleigh-gebied (relatief lage permeabiliteit bijlage H en B), een steile flank met ongeveer constante helling (het lineair ge-deelte), de verzadigingsknie en het gebied van grote verzadiging.

Voor voldoend hoge H-waarden (in theorie H → ∞) is het materiaal volledigverzadigd. De magnetisatie M [T] (met B = µ0H +M) is dan constant en gelijkaan de verzadigingsmagnetisatie Msat , en de differentiele permeabiliteit µ∂ is depermeabiliteit µ0 van het vacuum.

1 Permanente magneten kunnen in een beperkt werkingsgebied gemodelleerd worden d.m.v.een eenwaardige BH-kromme die niet door de oorsprong gaat, zie §3.2.

3-2 HOOFDSTUK 3

Bij een niet-lineaire EE-berekening moeten voor elke driehoek (of elk integratie-punt i.g.v. numerieke integratie) ν en d ν

d B2 berekend worden als functie van B(of B2), zie §2.6.2.2. Verder moet ook de magnetische energiedichtheid w(B) =∫ B

0H(B′)dB′ berekend kunnen worden.

De BH-kromme kan bv. opgemeten worden m.b.v. een Epstein-opstelling (zieook §3.3.4), waarbij het materiaal unidirectioneel geexciteerd wordt. De metingresulteert in een aantal meetpunten (Hi, Bi), i = 0, . . . ,m, met B0 = H0 = 0.

Figuur 3.1 toont de meetpunten van de twee materialen die verder als voorbeeldgebruikt worden: het materiaal gespecifieerd voor Probleem 13 van de TEAMWorkshops2 [Dul96, Nak90] en het materiaal3 VH600-65D. Het eerste mate-riaal, verder kortweg TEAM13 genoemd, wordt t.o.v. VH600-65D gekenmerktdoor een groter Rayleigh-gebied, een minder steile flank en een minder scherpeverzadigingsknie.

0 5000 10000012 TEAM13VH800-65D H [A/m]

B [T]Figuur 3.1: Meetpunten voor materialen TEAM13 en VH600-65D

Er zijn twee verschillende methoden om uitgaande van de meetpunten (Bi, Hi)de functies ν(B), d ν

d B2 en w(B) te bekomen: d.m.v. een benaderende analytischeuitdrukking of door interpolatie.

Welke functies expliciet gebruikt worden, d.i. ν, dνdB2 en w als expliciete functies

van B2, of H als expliciete functie van B, heeft weinig praktisch belang. Hetgebruik van H(B) geeft eventueel een kleine (marginale) meerkost (i.h.b. hettrekken van de vierkantswortel uit B2 = |∇Az|2).

3.1.1 Analytische uitdrukkingen voor B(H)

In de literatuur worden heel wat analytische uitdrukkingen voor H als functievan B (en omgekeerd) voorgesteld. In [Deli94b] wordt een overzicht gegeven.

2TEAM staat voor Testing Electromagnetic Analysis Methods.3Metingen ter beschikking gesteld door motorfabrikant Brook-Hansen, zie ook Hoofdstuk 9.

Reversibele materiaalkarakterisering 3-3

Een dergelijke analytische uitdrukking bevat een aantal parameters die zo gekozenworden dat de afwijking tussen de meetpunten en de analytische uitdrukkingminimaal is. Deze afwijking ε kan bv. als volgt gekwantificeerd worden:

ε =

√√√√( m∑i=1

ηi

)−1 m∑i=1

ηi

(H(Bi)−Hi

Hi

)2

, (3.1)

met ηi de gewichtsfactor van het i-de meetpunt.

Het voordeel van het gebruik van een analytische uitdrukking is de eenvoud vanimplementatie. Verder is de analytische uitdrukking meestal perfect glad, watvoordelig is voor de convergentie van het NR-procede.

Nadelig is de beperkte overeenkomst met de metingen. Met de meeste uitdrukkin-gen bekomt men een BH-kromme zonder Rayleigh-gebied en met een verkeerdasymptotisch gedrag. Een betere overeenkomst kan men natuurlijk verkrijgendoor een complexere uitdrukking met meer parameters voorop te stellen, watuiteraard het bepalen van de parameters niet vereenvoudigt.

Een veel gebruikte uitdrukking is die van Brauer [Brau75, Rat86]:

H =(k1e

k2B2

+ k3

)B, (3.2)

met drie positieve parameters k1, k2 en k3.

Tabel 3.1 geeft de parameterwaarden voor de materialen TEAM13 en VH800-65D. Om ook bij grote verzadiging een redelijke overeenkomst te hebben, werdbij de fitting aan de meetpunten met 1.5 T ≤ Bi ≤ 1.8 T gewicht 10 toegekend,aan de andere meetpunten gewicht 1.

k1 [m/H] k2 [T−2] k3 [m/H]

TEAM13 0.3774 2.970 388.33

VH800-65D 0.0596 3.504 122.87

Tabel 3.1: Parameters k1, k2 en k3 voor TEAM13 en VH800-65D.

Figuur 3.2 toont de meetpunten en de analytische BH-krommen voor beide ma-terialen. Het Rayleigh-gebied wordt volledig verwaarloosd, zoals duidelijker tezien is in Figuur 3.3. Verder is het asymptotische gedrag niet fysisch zinvol: ν∂

(µ∂) neemt onbeperkt toe (af) met toenemende B.

3-4 HOOFDSTUK 3

0 5000 10000012 metingen TEAM13Brauer TEAM13metingen VH800-65DBrauer VH800-65DH [A/m]B [T]Figuur 3.2: Meetpunten en analytischeBH-kromme voor materialen TEAM13 enVH800-65D

0 500 1000 15000.00.51.01.5 metingen TEAM13Brauer TEAM13metingen VH800-65DBrauer VH800-65DB [T]H [A/m]

Figuur 3.3: Meetpunten en analytischeBH-kromme voor materialen TEAM13 enVH800-65D in het Rayleigh-gebied

3.1.2 Interpolatie van meetpunten (Hi, Bi)

De functie H(B) kan men ook bekomen door interpolatie (en eventueel extra-polatie voor B > Bm) van de meetpunten. Lineaire interpolatie geeft een niet-continue, stukgewijs constante ν∂ , wat (enigszins) nadelig is voor de convergentievan het NR-procede. Veelal wordt daarom kubische spline-interpolatie gebruikt.H is dan stuksgewijs een derde-orde-polynoom in B:

H(B) = ai + biB + ciB2 + diB

3, Bi−1 ≤ B ≤ Bi, (i = 1, . . . ,m). (3.3)

De 4m coefficienten ai, bi, ci en di worden bv. bepaald door de volgende 4m voor-waarden: H(B) gaat door de meetpunten, en de eerste en de tweede afgeleide zijncontinu (met de tweede afgeleide gespecifieerd, meestal nul, in het begin- en heteindpunt). Dit geeft een eenvoudig op te lossen stelsel algebraısche vergelijkingenin m + 1 onbekenden met een tridiagonale matrix4. De m + 1 onbekenden zijnbv. de eerste afgeleiden in de m + 1 meetpunten [Sal95] of de tweede afgeleiden[Pres90].

Figuur 3.4 toont voor TEAM13 en VH800-65D de relatieve differentiele perme-abiliteit µ∂rel = µ∂/µ0 als functie van B, met lineaire en spline-interpolatie. Ingeval van spline-interpolatie is µ∂ continu.

Een groot nadeel van spline-interpolatie is de grote neiging tot oscillatie, getuigedaarvan de piek in µ∂rel(B) voor TEAM13, met B ≈ 0.15 T en H ≈ 200 A/m.Deze piek stemt overeen met de uitstulping van de BH-kromme in het Rayleigh-gebied, zie Figuur 3.5.

De meetgegevens van TEAM13 en VH800-65D zijn duidelijk (reeds) gefilterd.Spline-interpolatie van ruwe meetgegevens zal in vele gevallen veel grotere, totontoelaatbare oscillaties (met bv. negatieve ν∂) geven.

4 Een (vierkante) tridiagonale matrix is een matrix waarvan enkel de elementen op en juistonder en boven de diagonaal verschillend zijn van nul. De bandbreedte van de matrix is dusdrie.


0.0 0.5 1.0 1.5012104 TEAM13, lineaire interp.VH800-65D, lineaire interp.TEAM13, spline-interp.VH600-65D, spline-interpB [T]@relFiguur 3.4: µ∂rel (B) voor TEAM13en VH800-65D met lineaire en spline-interpolatie

0 100 2000.00.10.20.3 lineaire interpolatiespline interpolatie H [A/m]B [T]Figuur 3.5: Uitstulping van de BH-krommevan TEAM13 in het Rayleigh-gebied i.g.v.spline-interpolatie

3.1.3 Gladmaken van de opgemeten BH-kromme

In plaats van interpolerende splines kunnen ook benaderende B-splines gebruiktworden. De BH-kromme wordt hierbij bv. gegeven door de volgende parameter-vergelijking: B(ξ)

H(ξ)

=

m∑i=0

BiHi

γ(q)

i (ξ), (q ≤ ξ ≤ m+ 1), (3.4)

met γ(q)i (ξ) genormaliseerde B-spline-interpolatiefuncties van orde q (met 2 ≤

q ≤ m − 1), die gemakkelijk met het recursieve De Boor-algoritme5 berekendkunnen worden.De B-spline-interpolatiefuncties γ(q)

i (ξ) zijn stukgewijs polynomen van orde q;alle afgeleiden t.e.m. de (q − 1)-ste zijn continu. ξ = q en ξ = m + 1 stemmenovereen met resp. het begin- en het eindpunt van de B-spline, die samenvallenmet het eerste en het laatste meetpunt. Hoe groter de orde q, hoe gladder enminder oscillerend de kromme, maar hoe groter de afwijking met de meetpunten.Figuren 3.6 en 3.7 tonen de 11 interpolatiefuncties voor m = 10 met resp. q=2en q=7.

Met de parametervergelijking (3.4) is het niet mogelijk H als een expliciete func-tie van B te schrijven. In de praktijk kan men een aantal punten van de gladge-maakte BH-kromme (overeenstemmend met bv. equidistante ξ-waarden) lineairof met kubische splines (3.3) interpoleren.Figuren 3.8 en 3.9 tonen voor TEAM13 resp. de gladgemaakte BH-kromme enµ∂rel(B).

In [Pah98] wordt een optimalisatieprogramma gebruikt om de meetpunten lichtjeste verplaatsen en zo een voldoend gladde (’technically smooth’) BH-kromme tebekomen.

5Fortran77-subroutines voor het De Boor-algoritme [deB78] vindt men op URLhttp://www.esrf.fr/computing/expg/libraries/numeric/fortra77/kap12/deboor.htm

3-6 HOOFDSTUK 3

2 4 6 8 100.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10Figuur 3.6: B-spline-interpolatiefunctiesγ

(q)

i (ξ) (i = 0, . . . ,m) met m = 10 en q=2

7 8 9 10 110.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.010 2 3 4 5 6 7 8 910

Figuur 3.7: B-spline-interpolatiefunctiesγ

(q)

i (ξ) (i = 0, . . . ,m) met m = 10 en q=7

0 5000 10000012 lineaire interpolatiespline-interpolatieH [A/m]B [T]Figuur 3.8: BH-kromme van TEAM13:lineaire interpolatie van de oorspronkelijkemeetpunten en kubische spline-interpolatievan de gladgemaakte BH-kromme (q = 7)

0 1 202468103 lineaire interpolatiespline-interp. (q = 2)spline-interp. (q = 7)B [T]@relFiguur 3.9: µ∂rel (B)-kromme van TEAM13:lineaire interpolatie van de oorspronkelijkemeetpunten en kubische spline-interpolatievan de gladgemaakte BH-kromme (q = 2 enq = 7)


3.1.4 Asymptotisch gedrag

Bij het opmeten van de BH-kromme van een materiaal met bv. een Epstein-opstelling ligt het verzadigingspunt (M ≈ Msat , µ

∂ ≈ µ0) van het materi-aal meestal voorbij het meetbereik. Men kan dan bij een EE-simulatie hetjuiste asymptotische gedrag bekomen door het geınterpoleerd H(B)-verloop opanalytische wijze verder te zetten vanaf het laatste meetpunt (Hm, Bm). Ditkan bv. zoals voorgesteld voor het testprobleem 13 van de TEAM Workshops[Dul96, Nak90], zie Figuur 3.10:

B(H) =

µ0H + aH2 + bH + c, Bm ≤ B ≤ Bsat ,µ0H +Msat , Bsat ≤ B.

(3.5)m12 B [T]BsatBm 020000 40000 80000600000 Hm H [A/m]satHsatFiguur 3.10: Materiaal TEAM13: hetasymptotische gedrag van B(H) i.g.v. ana-lytische verlenging

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.30.00.20.40.60.81.0 B [T]@relFiguur 3.11: Materiaal TEAM13: hetasymptotische gedrag van ν∂rel (B) i.g.v. ana-lytische verlenging

De verzadigingsmagnetisatie Msat is gekend of wordt gekozen. De coefficientena, b en c, en Bsat = µ0Hsat +Msat volgen uit de voorwaarden dat B = B(H) ende eerste afgeleide continu moeten zijn:

a =µ2

0

(µ∂rel,m − 1

)2

4(Msat −Mm), (3.6)

b = µ0

(µ∂rel,m − 1

)+ 2aHm, (3.7)

c = Msat −b2

4a, (3.8)

Bsat = µ0b

2a+Msat , (3.9)

met µ∂rel,m de relatieve differentiele permeabiliteit in het laatste meetpunt enMm = Bm − µ0Hm.

Voor materiaal TEAM13 (met Msat=2.16 T, a=2.899 10−10 Tm2/A2, b=2.62210−5 Tm/A, c=1.566 T en Bs= 2.217 T) wordt het asymptotische gedrag vanB(H) en ν∂(B) getoond in de resp. Figuren 3.10 en 3.11.

3-8 HOOFDSTUK 3

3.2 Permanente magneten

Permanentmagneetmateriaal (ook hardmagnetisch materiaal genoemd) heeft invergelijking met zachtmagnetisch materiaal een zeer brede hysteresislus. In zijneigenlijke functie als permanente magneet (PM) wordt het werkingspunt van hetmateriaal bepaald door de demagnetiseringskarakteristiek, d.i. het deel van dedalende tak van de (limiet)hysteresislus dat in het tweede kwadrant van het BH-vlak ligt, zie Figuur 3.12. De snijpunten van de demagnetiseringskarakteristiekmet de B- en de H-as bepalen resp. de remanente inductie Brem en de coercitieveveldsterkte Hc (Hc > 0).

HdemagHcHc PM HBremBBdemag

Figuur 3.12: Demagnetiseringskarakteristiekvan een PM-materiaal

BremHc H

B 0Figuur 3.13: Hogere-orde-hysteresislussen(met gemiddelde helling ≈ µ0)

De belangrijkste soorten PM-materialen zijn [Melk98, Ham99a]:

• gegoten legeringen op basis van aluminium, ijzer en nikkel (bv. AlNiCo),

• keramische materialen of ferrieten (bv. bariumferriet, strontiumferriet),

• legeringen op basis van zeldzame aarden (bv. SmCo5),

• amorfe legeringen (bv. NdFeB).

Naargelang het soort PM-materiaal en afhankelijk van de temperatuur heeft eenmin of meer belangrijk deel van de demagnetiseringskarakteristiek een constantehelling µ

PM. Voor elk van de vier hoger vermelde soorten PM-materiaal worden

in Tabel 3.2 karakteristieke waarden voor Brem , Hc en µPM/µ0 bij 20 C gegeven

[Melk98].

Bij varierende werkingstoestand, gaande van de inbouw in een machine tot deeigenlijke werking bij varierende flux, beweegt het werkingspunt in het BH-vlakzich op de demagnetiseringskarakteristiek en op hogere-orde-hysteresislussen.Deze lussen zijn zeer plat in vergelijking met de brede hoofdhysteresislus, enhun gemiddelde helling is ongeveer µ0. Hogere-orde-lussen die vertrekken in het


AlNiCo Ferriet SmCo NFeB

Brem [T] 0.7 · · · 1.4 0.4 0.7 · · · 1.03 1.15 · · · 1.25

Hc [kA/m] 50 · · · 130 160 · · · 260 320 · · · 500 875 · · · 820

µPM /µ0 1.5 · · · 3.0 1.1 <1.1 <1.1

Tabel 3.2: Karakteristieken van verschillende PM-materialen bij 20 C

lineair gedeelte (met helling µPM

) vallen ongeveer samen met de demagnetise-ringskarakteristiek indien µ

PMongeveer gelijk is aan µ0, zie Figuur 3.13.

Bij een magnetostatische EE-modellering moet voor elk medium in ΩEE eeneenduidig verband tussen B en H vooropgesteld worden. Voor een PM-materiaalkan dit verband als volgt geschreven worden:

H = ¯νPMB − Hc, (3.10)

met Hc een constante vector (waarvan de grootte al dan niet gelijk is aan decoercitieve veldsterkte) en ¯νPM een tensor die eventueel functie is van B.

Met (3.10) kan de wet van Ampere ∇× H = J als volgt herschreven worden:

∇×(¯νPMB) = J + JPM , (3.11)

waarbij de fictieve stroomdichtheid JPM gegeven wordt door:

JPM = ∇× Hc. (3.12)

In het translatiesymmetrische geval kan de bijdrage van de fictieve stroomdicht-heid (Jz)PM tot de kolommatrix Ip met knooppuntsstromen als volgt berekendworden:

(Ip)PM =

∫ΩPM

(Jz)PM α dxdy, (3.13)

=

∫ΩPM

(∂Hcy

∂x− ∂Hcx

∂y

)α dxdy, (3.14)

=

∫ΩPM

(Hcx1y −Hcy 1x) · ∇α dxdy +

∮∂ΩPM

α Hc · d l, (3.15)

=

∫ΩPM

(Hcx

∂α

∂y−Hcy

∂α

∂x

)dxdy. (3.16)

Hierbij is ΩPM een oppervlak waarbinnen alle PM-en liggen, zodat op de rand∂ΩPM Hc nul is. Vergelijking (3.15) wordt uit (3.14) bekomen door partieleintegratie.

De equivalente knooppuntsstromen buiten het PM-materiaal (waar Hc = 0) zijnuiteraard nul. Bekijken we nu de knooppuntsstromen in en op de rand van het

3-10 HOOFDSTUK 3

PM-materiaal. We beschouwen het eenvoudige geval van een uniforme Hc eneerste-orde-elementen. Uit de beschouwing in §2.3.4 volgt dat de i-de knoop-puntsstroom gegeven wordt door:

(Ipi)PM = Hc ·∑ijk

(∂αi∂y

1x −∂αi∂x

1y

)∆ijk, (3.17)

waarbij de sommatie loopt over alle driehoeken ijk binnen de PM. Voor eenknooppunt dat niet op de rand van de PM ligt, geeft de sommatie in (3.17) denulvector (cfr. de gesloten polygoon in Figuur 2.6) en is de knooppuntsstroom(Ipi)PM nul. Op de rand van de PM zijn de knooppuntsstromen verschillendvan nul, cfr. de niet-gesloten polyline in Figuur 2.7. Het (al of niet uniforme)coercitieve veld Hc resulteert in een fictieve stroomlaag Kz = Hc cos θ, waarbij θde hoek is tussen Hc en de buitenwaarts gerichte normaal.

Een niet-uniforme Hc geeft ook inwendige equivalente knooppuntsstromen.

Bij een EE-berekening kan het PM-materiaal dus als gewoon reversibel materiaalmet een tensor ¯νPM beschouwd worden, mits bijkomende knooppuntsstromen inen op de rand van het PM-materiaal in rekening te brengen. Het stelsel EE-vergelijkingen wordt aldus:

SA = (Ip)S + (Ip)rand + (Ip)PM . (3.18)

Hierbij kan zonder (numerieke) problemen de niet-lineariteit van de demagneti-seringskarakteristiek beschouwd worden (¯νPM is dan functie van B en Hc is dewerkelijke coercitieve veldsterkte). Het is echter voordeliger de gelineariseerdekarakteristiek met de fictieve coercitieve veldsterkte H∗c te beschouwen (zie Fi-guur 3.12). Immers, bij een reversibele modellering van het PM-materiaal (meteen eenwaardige BH-kromme) stemt enkel het lineaire deel van de karakteristiekovereen met het werkelijke reversibele materiaalgedrag. Daarenboven is met eenconstante ¯νPM het PM-materiaal op zich zeker niet verantwoordelijk voor bijko-mende iteraties bij het oplossen van het stelsel niet-lineaire vergelijkingen (3.18)m.b.v. de Newton-Raphson-methode.

Met het eenduidige verband (3.10) tussen B en H (dat de werkelijkheid vrijgoed benadert zolang geen demagnetisering optreedt, d.i. B ≥ Bdemag, zie Fi-guur 3.12) gedraagt het PM-materiaal zich reversibel, en is de verandering vande magnetische energiedichtheid dw als functie van dB of dH ondubbelzinnigbepaald. De magnetische energiedichtheid w zelf is maar op een arbitraire con-stante na bepaald. Immers, de werking op de demagnetiseringskarakteristiek iser maar dankzij het (vroegere) irreversibele gedrag van het PM-materiaal.Uit (3.10) volgt dat de magnetische energiedichtheid w in het PM-materiaal wordtgegeven door:

w(B) = c− Hc · B +

B∫0

B′ · ¯νPM · dB′, (3.19)

waarbij c een arbitraire constante is.


In [Lov99] wordt voorgesteld om c zo te kiezen dat de energiedichtheid nul is voorB = Brem of voor H = Hc.

De totale magnetische energie WPM vervat in het PM-materiaal in het EE-modelwordt bekomen door integratie van de energiedichtheid w (3.19) over het PM-volume. De volume-integraal van de tweede term in het linkerlid van (3.19) kan,rekening houdend met (3.16), als volgt uitgewerkt worden:∫

ΩPM

Hc · B lz dxdy =

∫ΩPM

Hc ·(∂αT

∂y1x −

∂αT

∂x1y

)A dxdy, (3.20)

= AT (Ip)PM . (3.21)

De totale magnetische energie W PM wordt aldus gegeven door:

WPM = C − AT (Ip)PM +

A∫0

A′TSPM dA′, (3.22)

met C een arbitraire constante en SPM de bijdrage van het PM-materiaal tot deglobale stijfheidsmatrix S, berekend met de reluctiviteitstensor ¯νPM .

Voor de co-energie Wco van het EE-model, gegeven door

Wco = ATIp −W, (3.23)

kan men op twee verschillende manieren tot eenzelfde uitdrukking komen.Enerzijds kan men voor Ip enkel de bijdrage van de werkelijke geleiders (S) en vande rand beschouwen, en voor de magnetische energie WPM in het PM-materiaalde uitdrukking (3.22). Anderzijds kan het PM-materiaal als gewoon materiaalmet reluctiviteit ¯νPM beschouwd worden. De magnetische energie in het PM-materiaal wordt dan gegeven door de derde term in het rechterlid in (3.22),terwijl de tweede term in (3.22) meegerekend wordt in de ATIp-term in (3.23).In beide gevallen leidt het maximaliseren van de co-energie Wco met de MVP-knooppuntswaarden A als vrijheidsgraden tot hetzelfde stelsel vergelijkingen(3.18). De waarde van de arbitraire constante C in (3.22) is hierbij niet rele-vant.

De afleiding en de uitdrukkingen voor het axisymmetrische geval zijn vollediganaloog aan die voor het translatiesymmetrische geval. Het volstaat in (3.13–3.16, 3.17, 3.20) x, y en lz te vervangen door resp. r, z en 2πr.

3.3 Anisotrope materialen

3.3.1 Koordetensoren en differentiele tensoren

Lineaire anisotrope materialen kunnen gekarakteriseerd worden door een con-stante reluctiviteitstensor ¯ν: Hx

Hy

=

νxx νxy

νyx νyy

BxBy

. (3.24)

3-12 HOOFDSTUK 3

De magnetische energiedichtheid w = 12 B · ¯ν · B is een positieve toestandsfunctie

van B. Daaruit volgt dat ¯ν een SPD tensor is.

Voor niet-lineaire reversibele anisotrope materialen is de koordetensor ¯ν(B) nietuniek bepaald door (3.24). Immers, voor gekende (gemeten) H en B zijn ertwee algebraısche vergelijkingen in (3.24) en drie onbekenden, namelijk νxx, νyyen νxy = νyx. Deze onbepaaldheid kan ook als volgt uitgedrukt worden. Detensoren ¯ν(B) en ¯ν′(B) stellen hetzelfde materiaal voor als er een getal c(B)bestaat zodat:

¯ν′(B) = ¯ν(B) + c

B2y −BxBy

−BxBy B2x

. (3.25)

De uniek bepaalde differentiele tensoren ¯µ∂ en ¯ν∂ worden gegeven door:

[¯µ∂]

=[∂B∂H

]=

∂Bx∂Hx

∂Bx∂Hy

∂By∂Hx

∂By∂Hy

, [¯ν∂]

=[∂H∂B

]=

∂Hx∂Bx

∂Hx∂By

∂Hy∂Bx

∂Hy∂By

. (3.26)

Uit het feit dat de magnetische energiedichtheid een toestandsfunctie is van Bof H, volgt dat ¯µ∂ en ¯ν∂ symmetrische tensoren zijn. Volgens [Haa92] kan menexperimenteel vaststellen dat ¯µ∂ en ¯ν∂ steeds positief definiet zijn.

3.3.2 Homogenisering van een gelamelleerde structuur

Beschouw een gelamelleerde structuur, zoals in Figuur 3.14, die bestaat uit iso-trope lamellen (resp. dikte d1 en d2 en resp. reluctiviteit ν1 en ν2) met lengte-richting volgens de x′-as van een lokaal x′y′-assenstelsel.

21y0 d1d2y x0x Figuur 3.14: Homogenisering van een gelamelleerde structuur

De gelamelleerde structuur kan benaderd worden als een homogeen maar aniso-troop materiaal [Deli94b, Lab96]. De gehomogeniseerde velden B en H zijn hetgewogen gemiddelde van de resp. lokale velden:

B =d1

d1 + d2B1 +

d2

d1 + d2B2, (3.27)

H =d1

d1 + d2H1 +

d2

d1 + d2H2. (3.28)


Uit de continuıteit van de tangentiale component van H en de normale componentvan B:

(Hx′)1 = (Hx′)2 en (By′)1 = (By′)2, (3.29)

volgen de componenten van de reluctiviteitstensor ¯ν in het lokale x′y′-assenstelselals functie van d1, d2, ν1 = µ−1

1 en ν2 = µ−1

2 :

ν−1

x′x′ = µx′x′ =d1

d1 + d2µ1 +

d2

d1 + d2µ2, (3.30)

µ−1

y′y′ = νy′y′ =d1

d1 + d2ν1 +

d2

d1 + d2ν2, (3.31)

νx′y′ = νy′x′ = 0. (3.32)

Als materiaal 1 of materiaal 2 niet-lineair is, of beide, kan de B-afhankelijkheidvan ¯ν niet in expliciete vorm gebracht worden, en moet bij de EE-modelleringeen iteratief procede gebruikt worden.

We beschouwen nu een xy-assenstelsel dat over een hoek −θ verdraaid is t.o.v.het x′y′-assenstelsel, zie Figuur 3.14. De componenten van H en ¯ν in het xy-assenstelsel kan men als volgt berekenen: Hx

Hy

= CT

H ′xH ′y

, (3.33)

νxx νxy

νxy νyy

= CT

νx′x′ νx′y′νx′y′ νy′y′

C, (3.34)

waarbij de rotatiematrix C gegeven wordt door:

C =

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

en CT = C−1 =

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

. (3.35)

3.3.3 Anisotrope modellering van elektroblik

Transformatoren en roterende elektrische machines hebben meestal een magne-tische kern die opgebouwd is uit elektroblik. Men maakt een onderscheid tussengeorienteerd blik, dat uitgesproken anisotroop is, en niet-georienteerd blik, datin veel geringere mate anisotroop is.

Het verband tussen het magnetische veld H en de inductie B in (georienteerd)elektroblik wordt kwalitatief weergegeven in Figuren 3.15 en 3.16, zie bv. [Nak94,She87, Liu94, Sil91]. Hierbij zijn de x- en y-as gekozen volgens resp. de rolrichtingRD (rolling direction) en de transversale richting TD (tranverse direction). Dehoeken die B en H maken met RD worden resp. θB en θH genoteerd.Figuur 3.15 toont de B-locus bij constante grootte van H. De permeabiliteit ismaximaal volgens RD (de zgn. gemakkelijke richting) en minimaal volgens de

3-14 HOOFDSTUK 3

zgn. moeilijke richting. Experimenteel en ook op basis van het kristalrooster vanhet elektroblik vindt men dat de moeilijke richting overeenstemt met θH ≈ 55.Figuur 3.16 toont het verband tussen θB en θH bij constante H. B en H zijnenkel evenwijdig bij excitatie volgens RD, TD of de moeilijke richting.

Niet-georienteerd elektroblik is minder anisotroop dan georienteerd elektroblik,d.w.z. de B-locus bij constante H leunt dichter aan bij een kwart cirkelboog, ende kromme θB(θH) leunt dichter aan bij de bissectrice θB = θH .

BxB BTD

RDH=cstrichtingmoeilijkeByFiguur 3.15: B-locus bij constante H

B []0 30 600306090 90 H []HTD H B RDBy x H = B

Figuur 3.16: Verband tussen θH en θB bij con-stante H

Het nauwkeurig meten van de werkelijke materiaalkarakteristieken is niet zo van-zelfsprekend. De materiaalmodellering in een EE-simulatie is bijgevolg beperktdoor de beschikbaarheid van meetgegevens. In het beste geval beschikt men overvoldoende gegevens om een model zoals voorgesteld in Figuren 3.15 en 3.16 tequantificeren. De gegevens worden bv. opgemeten en weergegeven als B(H)- enθB(H)-krommen voor een aantal discrete hoeken θH .

In [Haa92] wordt een analytische uitdrukking voor een diagonale reluctiviteit-stensor met elementen νxx(Bx, By), νyy(Bx, By), νxy = 0, vooropgesteld. De

analytische functies worden zo gekozen dat ¯ν∂ steeds positief definiet is.

In [Sil91] wordt voorgesteld om met de BH-meetgegevens een energiedichtheids-oppervlak w = w(B) = w(Bx, By) te construeren (op een BxBy-grid). De sca-laire functie w(B) karakteriseert het materiaal volledig. H wordt bekomen doorafleiding van w naar B:

w =

B∫0

H · dB, (3.36)

H = ∇Bw =∂w

∂Bx1x +

∂w

∂By1y. (3.37)

Het oppervlak moet voldoende glad zijn opdat men met (3.37) de originele meet-gegevens (met even weinig of minder ruis) terugvindt.

In vele gevallen kunnen metingen uitgevoerd worden met een excitatie volgensverschillende richtingen, maar is de hoekinformatie niet volledig. Zo kan men


bv. met een Epstein-meetopstelling metingen doen met strips die geponst zijnvolgens een bepaalde hoek t.o.v. RD. We komen hierop terug in §3.3.4.

In wat we een semi-isotroop model kunnen noemen is de reluctiviteit een scalairegrootheid die functie is van de grootte en de richting van B [She87]:

H = ν(B, θB)B. (3.38)

H en B zijn dus steeds evenwijdig.

Als enkel de BH-krommen volgens RD en TD, resp. BRD(H) en BTD(H) geno-teerd, beschikbaar zijn, kan het zgn. elliptische model [She87, Nak94] gebruiktworden: Hx

Hy

=

νxx(H) 0

0 νyy(H)

BxBy

, (3.39)

waarbij νxx(H) = H/BRD(H) en νyy(H) = H/BTD(H) gegeven functies zijn.Het elliptische model geeft een elliptische B-locus bij constante H:

H2 = H2x +H2

y = ν2xxB

2x + ν2

yy B2y , (3.40)

B2x

B2RD(H)

+B2y

B2TD(H)

= 1. (3.41)

In (3.39) is ¯ν een impliciete functie van B. Bij het gebruik van dit materiaalmodelin een EE-berekening, met de MVP A als hulpgrootheid, moet dit functieverbandgeexpliciteerd worden. Dit kan als volgt. Voor elk punt van een BxBy-gridwordt de niet-lineaire vergelijking (3.40) in H iteratief opgelost. De getabelleerdeHx(Bx, By) en Hy(Bx, By) worden bij een EE-berekening geınterpoleerd. Met

de rotatieformules (3.34–3.35) kunnen de componenten van H en ¯ν∂ omgerekendworden naar het assenstelsel van het EE-model.

Het elliptische model wordt nu toegepast op het niet-georienteerd elektroblikV330-50A. De BH-krommen volgens RD en TD zijn opgemeten met een Epstein-opstelling. Het materiaal blijkt in beduidende mate anisotroop te zijn. Fi-guur 3.17 toont een aantal BH-krommen bij constante θB , bekomen met hetelliptische model. Voor θB gelijk aan 0 en 90 vinden we uiteraard de volgensresp. RD en TD opgemeten krommen terug. Figuur 3.18 toont de hoek θH − θBals functie van B bij constante θB . De maximale hoek tussen B en H bedraagtongeveer 14 bij θB gelijk aan 30 a 45.

3-16 HOOFDSTUK 3

0 500 10000.00.51.01.5 B = 0B = 30B = 45B = 60B = 90B [T]

H [A/m]Figuur 3.17: BH-krommen bij constante θB :opgemeten bij 0 (RD) en 90 (TD), bere-kend met het elliptische model bij 30, 45

en 60

0.0 0.5 1.0 1.50510B = 15B = 30B = 45B = 60B = 75B [T]

H B [ ]Figuur 3.18: Hoek θH − θB tussen H en Bals functie van B bij constante θB

3.3.4 Magnetische metingen met een Epstein-opstelling

Met een Epstein-opstelling, schematisch voorgesteld in Figuur 3.19, kunnen ge-normeerde (IEC404) magnetische metingen op elektroblik bij sinusoıdale (bv.50 Hz of 60 Hz) alternerende inductie uitgevoerd worden. Het meetobject is eenvierkant raam van strips (3 cm × 28 cm) die alternerend gestapeld zijn.

bekrachtigingswikkelingmeetwikkeling

Figuur 3.19: Schematische voorstelling van een Epstein-opstelling (links: horizontaledoorsnede van het Epstein-raam en de bekrachtigings- en meetwikkelingen; rechts:zijaanzicht van het Epstein-raam)

Rond elk been van het Epstein-raam bevinden zich een bekrachtigingswikkelingen een meetwikkeling. Het magnetische veld H kan onmiddellijk afgeleid wordenuit de stroom in de bekrachtigingswikkelingen, het totaal aantal bekrachtigings-windingen en de magnetische weglengte. Deze laatste is o.m. afhankelijk van


het materiaal en het inductieniveau, en varieert volgens [Die48] tussen 88 cm en106 cm. Volgens de hogervermelde norm moet men echter als weglengte 94 cmaannemen.De inductie B bekomt men door integratie van de geınduceerde spanning in demeetwikkelingen, en deling door het totaal aantal windingen en de ijzersectie.De dikte van de lamellen wordt berekend op basis van de totale massa van delamellen, de lengte en de breedte van de strips, en de massadichtheid. Voor dezelaatste neemt men doorgaans standaardwaarden.

Zoals aangegeven in Figuur 3.19 kan men met de Epstein-opstelling de BH-kromme volgens een willekeurige richting (tussen RD en TD) meten. De rolrich-ting maakt hierbij in elke zijde van het raam eenzelfde hoek θ met de langsrichtingvan de strips.

Wegens de stapeling van de strips heeft men in de vier hoeken van het raam eencomplex 3D veldpatroon, met o.m. een fluxcomponent loodrecht op de lamellen,en dus ook een bijkomend ijzerverlies. Als we dit 3D effect verwaarlozen, kan deEpstein-opstelling gemodelleerd worden m.b.v. het eenvoudige 2D EE-model inFiguur 3.20. Het EE-model bestrijkt een kwart van een horizontale doorsnede.De rest van het raam wordt in rekening gebracht d.m.v. periodiciteitsvoorwaardenop de twee diagonale zijden. Op de bovenzijde van het model wordt A∗z = 0opgelegd.

Figuur 3.20: Eenvoudig 2D EE-model van een Epstein-raam, en een fluxpatroon

Ter illustratie is een EE-berekening uitgevoerd met het elliptische model (zie§3.3.3) van het niet-georienteerd elektroblik V330-50A, met θ=45. Het fluxpa-troon wordt getoond in Figuur 3.20. Figuren 3.21 en 3.22 tonen het verloop vanresp. B en H langs de bovenzijde, in het midden en langs de onderzijde van destrip. Voldoende ver van de hoeken zijn B en H uniform. De inductie B is metzeer goede benadering gericht volgens de lengte-as (Bx=0.722 T, By≈0 T), terwijldit duidelijk niet het geval is voor H (Hx=76.32 A/m, Hy=−10.34 A/m).

3-18 HOOFDSTUK 3

0.0 0.1 0.2 0.3-0.50.00.51.0 bovenmiddenonderB [T]x [m]BxBy

Figuur 3.21: Het verloop van Bx en By bo-venaan, in het midden en onderaan de strip(θ=45)

0.0 0.1 0.2 0.3-50050100150 bovenmiddenonderH [A/m]x [m]HxHy

Figuur 3.22: Het verloop van Hx en Hy bo-venaan, in het midden en onderaan de strip(θ=45)

3.3.5 Magnetische metingen met een 2D opstelling

In vele elekrische machines en transformatoren zijn er gebieden in de magnetischekern waar de flux in belangrijke mate niet-unidirectioneel is. Dit is o.m. het gevalin de T-stukken van meerfasige transformatoren en rond de tand-juk-interface bijroterende machines. Met een Epstein-opstelling kunnen enkel metingen bij alter-nerende excitatie uitgevoerd worden. Er is (nog) geen standaard voor metingenen meetopstellingen voor rotationele excitatie. In [Sie96] worden verschillendedoor Europese onderzoeksgroepen ontwikkelde meetopstellingen vergeleken.

Sinds 1998 wordt eveneens op het Laboratorium voor Elektrische Machines enVermogenselektronica (ELMAPE) een 2D meetopstelling ontwikkeld [Mak99,Mak2000]. Figuur 3.23 toont een bovenaanzicht van het magnetische deel vandeze meetopstelling. Het vierkant sample meet 8 cm bij 8 cm. Het juk is voorzienvan een tweefasig bekrachtigingssysteem dat toelaat de flux onafhankelijk volgensresp. x- en y-richting te sturen.

Figuur 3.24 toont een zijaanzicht van het sample. Dankzij de relatief grote luchts-pleet en de twee afschermlamellen, onder en boven het sample, is de flux in eenvoldoend groot gebied van het sample vrij uniform [Mak99]. De gemiddelde in-ductie Bg in dit gebied wordt gemeten met twee B-spoeltjes (waarvan er een isafgebeeld in Figuur 3.24). Het magnetisch veld Hr aan de rand van de lamelwordt gemeten met twee H-spoeltjes die zich tussen het sample en de afscherm-lamellen bevinden. Hierbij wordt verondersteld dat het magnetische veld tussenhet sample en de afschermlamellen weinig varieert volgens de verticale richtingen gelijk is aan het magnetische veld op de rand van het sample.

De opstelling kan gemodelleerd worden m.b.v. twee 2D EE-modellen waarin eendoorsnede zoals in de resp. Figuren 3.23 en 3.24 beschouwd wordt [Mak99].

Figuur 3.25 toont berekende fluxpatronen in het vlak van het sample bij tweeverschillende hoeken van de gemiddelde inductie. De luchtspleet in dit modelis niet de werkelijke luchtspleet, maar houdt rekening met de fringing in een


juksampleFiguur 3.23: Bovenaanzicht van opstellingvoor 2D magnetische metingen

juk B-spoelH-spoelafschermlamelsample afschermlamelFiguur 3.24: Zijaanzicht van het sample, deafschermlamellen en een B- en H-spoel

Figuur 3.25: Fluxpatroon bij twee verschillende richtingen van de flux in het sample

verticaal vlak. De effectieve luchtspleet kan met het andere EE-model geschatworden [Mak99].

3.3.6 Toepassing: modellering van een transformatorkern

Figuur 3.26 toont de doorsnede van een driefasige transformator. Elke fase vande transformator heeft een primaire en twee secundaire wikkelingen. Bij dezetoepassing beschouwen we enkel de primaire wikkelingen (met elk 220 windingen).We berekenen meer bepaald de statische flux-stroom-karakteristiek met een vande drie primaire wikkelingen bekrachtigd. Wegens de symmetrie van het EE-model moeten hierbij slechts twee gevallen beschouwd worden: resp. fase A (offase C) bekrachtigd en fase B bekrachtigd. Voor deze twee gevallen wordt eenfluxpatroon getoond in de resp. Figuren 3.28 en 3.29.

De kern van de transformator is opgebouwd uit zgn. E- en I-lamellen van het elek-troblik V330-50A, dat reeds in §3.3.3 beschouwd werd. De E- en de I-lamellen

3-20 HOOFDSTUK 3sec 2primsec 1 faze A faze B faze CFiguur 3.26: Driefasige transformator Figuur 3.27: Stapeling van de E- en I-blikken

in de transformatorkern (met aanduiding vande rolrichting)

Figuur 3.28: Fluxpatroom met fase A be-krachtigd

Figuur 3.29: Fluxpatroon met fase B be-krachtigd

zijn alternerend gestapeld, zoals voorgesteld in Figuur 3.27, en worden samen-gehouden d.m.v. zes bouten. De benen van de E- en de I-lamellen zijn 50 mmbreed.

In het EE-model sluiten de E- en de I-lamel perfect op elkaar aan. We verwaar-lozen zo de lokale fluxconcentratie aan de voegen tussen de E- en de I-lamellen.We komen hierop terug in §6.4, waar voor dezelfde transformator de nullaststro-men en -verliezen worden berekend m.b.v. dynamische simulaties en irreversibelemateriaalmodellen.

De anisotropie van het elektroblik kan in rekening gebracht worden d.m.v. hetelliptische anisotropiemodel, zie §3.3.3 en Figuren 3.17 en 3.18. De rolrichting(RD) in het EE-model wordt hierbij volgens bv. het linkse EI-paar in Figuur 3.27gekozen.

Bij wijze van illustratie en ter controle van de EE-implementatie van het ellipti-sche model kan de kern ook stuksgewijs isotroop gemodelleerd worden. In de drieverticale benen loopt de flux bijna perfect volgens RD, terwijl in de horizontale


jukken de flux noch overwegend volgens RD noch volgens TD blijkt te lopen, zieFiguren 3.28 en 3.29. Daarom beschouwen we de drie eenvoudige gevallen die inFiguur 3.30 voorgesteld worden. We verwachten dat het tweede geval het dichtstaanleunt bij de anisotrope werkelijkheid. TDRDIIIIII

Figuur 3.30: Drie gevallen van stuksgewijs isotrope materiaalkarakterisering

Figuur 3.31 toont de berekende flux-stroom-krommen voor de volgende acht ge-vallen: fase A of B bekrachtigd, met telkens vier verschillende materiaalmodellenvoor de transformatorkern (drie stuksgewijs isotroop en een anisotroop met hetelliptische model).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.00.20.40.60.81.01.2 isotroop, geval Iisotroop, geval IIisotroop, geval IIIanisotroop I [A] [Wb]faze B faze AFiguur 3.31: Flux-stroom-karakteristiek in de acht gevallen

De twee flux-stroom-krommen berekend met enerzijds het geval II van de stuks-gewijs isotrope modellering en met anderzijds de anisotrope modellering komenzeer goed overeen.

Merk op dat het belang van de materiaalmodellering van de horizontale jukkenveel kleiner is bij de bekrachtiging van fase B dan bij de bekrachtiging van faseA. Immers, in het eerste geval wordt de reluctantie vooral bepaald door hetmiddelste verticale been (waar de inductie quasi-perfect volgens RD gericht is,en gemiddeld dubbel zo groot is als in de rest van de kern).

3-22 HOOFDSTUK 3

3.4 Vulfactor van een blikpakket

We beschouwen een 2D translatiesymmetrisch model waarin een magnetischekern voorkomt die bestaat uit lamellen (elektroblik) die evenwijdig met het xy-vlak gestapeld zijn. Dankzij de lamellering van de magnetische kern worden deparasitaire wervelstromen en het geassocieerde wervelstroomverlies sterk beperkt.Dit komt uitgebreid aan bod in Hoofdstuk 5.De netto-dikte van de lamellen (isolatie niet inbegrepen) is d. De afstand tussende lamellen is a, zie Figuur 3.32. De vulfactor λ van het blikpakket wordt alsvolgt gedefinieerd:

λ =d

d+ a. (3.42)

In de praktijk varieert de vulfactor tussen 90% en 98%.a x zylzBlam dBisolFiguur 3.32: Blikpakket met lamellenevenwijdig met het xy-vlak gestapeld

lz zyxFiguur 3.33: Blikpakket met een lucht-spleet δ

Het elektroblik is hoogpermeabel, terwijl de ruimte tussen de lamellen (isolatie,lucht, . . . ) niet-magnetisch is. De inductie Blam in de lamellen is meestal veelgroter is dan de inductie Bisol in de ruimte tussen de lamellen. Hierbij veronder-stellen we dat er eenzelfde m.m.k. over de lamellen (dikte d) en over de isolatie(dikte a) staat.

Indien er geen luchtspleten voorkomen in het fluxpad in de xy-doorsnede van hetEE-model, kan de vulfactor onmiddellijk in de actieve lengte lz van het EE-modelverrekend worden. Hierbij wordt de geringe flux in de ruimte tussen de lamellenverwaarloosd.

We beschouwen nu het geval waarbij een luchtspleet, met een lengte δ volgensbv. de x-as zoals in Figuur 3.33, voorkomt in het fluxpad. Bij roterende machinesmaakt de (specifieke) reluctantie ν0 δ/lz (per meter omtrek) van de luchtspleetmeestal een belangrijk deel uit van de totale reluctantie van het magnetische pad,en kan de vulfactor van het blikpakket niet zomaar verrekend worden in de actievelengte lz. Als de bruto-breedte van het blikpakket als actieve lengte lz genomenwordt, zoals aangeduid in Figuur 3.33, moet de werkelijke materiaalkarakteristiekvan het elektroblik (netto-dikte d) omgerekend worden naar de bruto-dikte d+a =


d/λ in het EE-model. De corresponderende inducties worden resp. Blam en BEE

genoteerd, de resp. reluctiviteiten ¯νlam en ¯νEE .De werkelijke inductie Blam in het elektroblik wordt als volgt berekend uit deMVP A∗z in het EE-model:

Blam =1

λBEE =

1

λ lz

(∂A∗z∂y

1x −∂A∗z∂x

1y

). (3.43)

¯νEE (¯ν∂EE ) en ¯νlam (¯ν∂lam) verhouden zich als volgt:

¯νEE (BEE ) =1

λ¯νlam(Blam), (3.44)

¯ν∂EE (BEE ) =1

λ¯ν∂lam(Blam). (3.45)

3.5 Besluit

In dit hoofdstuk werd de reversibele materiaalkarakterisering bij 2D magnetosta-tische veldberekeningen besproken.

Isotrope materialen worden gekarakteriseerd met een eenwaardige BH-kromme,die men bekomt door lineaire of spline-interpolatie van de meetpunten of doorfitting van een analytische uitdrukking. In beide gevallen kan deze BH-krommeanalytisch verdergezet worden om het juiste asymptotische gedrag te bekomen.

Permanentmagneetmateriaal wordt eveneens gemodelleerd met een eenwaardigeBH-kromme, maar met bijkomende knooppuntsstromen die geassocieerd zijnmet de coercitieve veldsterkte.

De anisotrope modellering van magnetisch materiaal en i.h.b van elektroblik werdkort besproken. Het elliptische model werd gebruikt bij de anisotrope modelleringvan een transformatorkern.

Hoofdstuk 4

Twee-dimensionale magneto-dynamische veldproblemen

In dit hoofdstuk beschouwen we 2D translatie- en axisymmetrische magnetodyna-mische veldproblemen1. Zoals in Hoofdstuk 2 worden translatie- en axisymmetrieeerst afzonderlijk behandeld, in resp. §4.1 en §4.2.Twee soorten geleiders worden beschouwd: enerzijds de massieve geleiders waarinde stroomdichtheid niet-uniform is bij varierende magnetische velden (skin- enproximity-effect), en anderzijds de gewikkelde geleiders of spoelen (reeds inge-voerd in §2.7 en verder beschouwd in §4.3) waarin de totale stroom maar niet destroomverdeling over de doorsnede afhangt van de tijdsvariatie van de magneti-sche velden.

In §4.4 wordt het stelsel dynamische EE-vergelijkingen opgesteld. Het is eenstelsel differentiaalvergelijkingen, waarbij de massieve en de gewikkelde geleidersstroom- of spanningsgevoed zijn. Er wordt aangetoond dat de EE-oplossing vol-doet aan de wet van behoud van vermogen.

Voor lineaire systemen kunnen de dynamische EE-vergelijkingen opgelost wordenin het frequentiedomein m.b.v. de complexe notatie, wat leidt tot de definitievan de complexe impedantiematrix. Ook in het niet-lineaire geval kunnen devergelijkingen opgelost worden in het frequentiedomein, zij het benaderend. Ditalles wordt kort besproken in §4.5

In §4.6 wordt het oplossen van de dynamische EE-vergelijkingen in het tijdsdo-mein, de zgn. time-stepping , bestudeerd. In dit werk beperken we ons tot eentijdsdiscretisatiemethode, de zgn. β-methode, waarbij β een parameter is tus-sen 0 en 1, die o.a. de Crank-Nicholson-methode (β = 0.5) en de achterwaartseEuler-methode (β = 1) geeft. Enkele aspecten van nauwkeurigheid en stabiliteitworden besproken en geıllustreerd aan de hand van een eenvoudige toepassing.

Ter validatie van de ontwikkelde software worden in §4.7 en §4.8 twee lineaire pro-blemen met een analytische oplossing behandeld. Het betreft resp. de stroomver-dringing in de gleufgeleiders van een inductiemotor en de fluxverdringing in eengeleidende bol die zich bevindt in een homogeen magnetisch veld dat sinusoıdaalin de tijd varieert.

1In de literatuur spreekt men ook van wervelstroomproblemen (eddy current problems)[Boui83, Kon85, Tsu93b].

4-2 HOOFDSTUK 4

4.1 Translatiesymmetrie

We beschouwen zoals in §2.1 een domein ΩEE in het xy-vlak en een constantekarakteristieke lengte lz volgens de z-as.

De velden B, H, J en A zijn nu ook functie van de tijd t:

B = Bx(x, y, t) 1x +By(x, y, t) 1y, (4.1)

H = Hx(x, y, t) 1x +Hy(x, y, t) 1y, (4.2)

J = Jz(x, y, t) 1z, (4.3)

A = Az(x, y, t) 1z. (4.4)

In dit hoofdstuk beschouwen we zoals in Hoofdstukken 2 en 3 enkel reversibelmateriaal, of dus een eenduidig verband tussen B en H.

De gemodifieerde MVP A∗z(x, y, t) = lzAz(x, y, t) is nu op een arbitraire functief(t) na bepaald door de magnetische inductie B(x, y, t).

Zoals in §1.2 voeren we naast de MVP A ook de scalaire elektrische potentiaal Uin:

E = −∂A∂ t− ∇U. (4.5)

In het quasi-stationaire magnetische veldsysteem zijn het elektrische veld E ende elektrische potentiaal U enkel relevant in stroomvoerende gebieden.Beschouw een stroomvoerende geleider met doorsnede ΩM in ΩEE , met geleid-baarheid σ 6= 0. In de geleider geldt:

E = Ez(x, y, t) 1z =1

σJz(x, y, t) 1z. (4.6)

Uit (4.4–4.6) volgt dat ∇U enkel een van nul verschillende z-component heeft.∇U en U kunnen als volgt geschreven worden:

∇U = C(t) 1z en U = C(t) z +D(t), (4.7)

met D(t) een willekeurige functie van de tijd.U is dus constant in een doorsnede (z = cste) van een geleider.

De potentiaalval VM [V] in de geleider over een lengte lz wordt gegeven door:

VM = −∇U · lz 1z. (4.8)

Uit (4.5–4.7) volgt:

Jz = −σ(∂Az∂ t− VM

lz

)=

σ

lz

(−∂A

∗z

∂ t+ VM

). (4.9)

De stroomdichtheid in ΩM hangt dus af van de tijdsvariatie van het magnetische

veld. Enkel in het statische geval, d.i.∂A∗z∂t = 0, is Jz uniform in ΩM (als σ

constant is). We noemen de geleider een massieve geleider .

Twee-dimensionale magnetodynamische veldproblemen 4-3

Integratie van Jz (4.9) over de sectie ΩM geeft de totale stroom IM in de massievegeleider:

IM =

∫ΩM

Jz dxdy = −∫

ΩM

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy + VM

∫ΩM

σ

lzdxdy. (4.10)

De gelijkstroomweerstand RM [Ω] van de geleider wordt gegeven door:

RM =

∫ΩM

σ

lzdxdy

−1

. (4.11)

Uit (4.10) en (4.11) volgt dan het belangrijke verband tussen VM , IM en A∗z inΩM :

VM = RM IM + RM

∫ΩM

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy. (4.12)

De tekens van VM en IM zijn in overeenstemming met het verbruikersreferentie-systeem (VRS) gekozen: IM is positief als er een nettostroom in de positievez-richting vloeit; VM is positief als de elektrische potentiaal U afneemt met toe-nemende z. Dit wordt ook geıllustreerd in Figuur 4.1.M lzy EEIM VMz x +

Figuur 4.1: Massieve geleider in ΩEE met referentiezinnen voor VM en IM

Figuur 4.2 toont een kring die bestaat uit twee massieve geleiders, met sectiesΩM1 en ΩM2 in ΩEE , die in serie verbonden zijn. De spanningsval V = VM1−VM2

over de kring die een stroom I = IM1 = −IM2 voert, wordt gegeven door:

V = (RM1 + RM2) I + RM1

∫ΩM 1

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy − RM2

∫ΩM 2

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy

+

(∂f

∂ t− ∂f

∂ t

), (4.13)

= RI + RM1

∫ΩM 1

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy − RM2

∫ΩM 2

σ

lz

∂A∗z∂ t

dxdy, (4.14)

4-4 HOOFDSTUK 4

waarbij f(t) de arbitraire functie is die bij de gemodifieerde MVP A∗z kan opgeteldworden zonder dat de eruit afgeleide inductie B verandert in ΩEE .

Voor de beschouwde kring hangt de spanning V niet af van de arbitraire functief(t), en is dus fysisch zinvol. Dit is niet het geval voor de spanningval over eenenkele massieve geleider, of voor de spanning over een kring die een verschillendaantal ingaande en uitgaande massieve geleiders doorloopt.

Desalniettemin wordt verder in de tekst VM kortweg de spanning over de massievegeleider genoemd. M1V +y VM1 + VM2M2 EE+ lzI = IM 2z xI = IM1

Figuur 4.2: Gesloten stroomkring die bestaat uit twee massieve geleiders

Beschouw nu een tijdsinvariante EE-discretisatie van ΩEE met np knooppunten:

A∗z(x, y, t) =

np∑i=1

αi(x, y) Ai(t) = αT(x, y) A(t), (4.15)

met α de kolommatrix van de dimensieloze interpolatiefuncties en A de kolom-matrix van de knooppuntswaarden van de gemodifieerde MVP A∗z [Wb].

Vergelijking (4.12) wordt:

VM = RM IM + RM

∫ΩM

σ

lzαT(x, y) dxdy

dA

dt. (4.16)

Beschouw nM massieve geleiders in ΩEE . De nM corresponderende vergelijkingen(4.16) worden samengebracht in de volgende matrixvorm:

VM(t) = RMIM(t) + KM

dA(t)

dt. (4.17)

VM en IM zijn de nM × 1 kolommatrices met resp. de spanningen over en destromen door de nM massieve geleiders. RM [Ω] is een nM × nM diagonaalmatrix,


waarvan het i-de diagonaalelement de gelijkstroomweerstand van de i-de massievegeleider is:

(RM)ii =

∫ΩMi

σ

lzdxdy

−1

. (4.18)

KM is een dimensieloze nM × np matrix, waarvan het (i, j)-de element gegevenwordt door:

(KM)ij = (RM)ii

∫ΩMi

σ

lzαj dxdy =

∫ΩMi

σαj dxdy

∫ΩMi

σ dxdy

. (4.19)

(KM)ij is verschillend van nul als en slechts als het j-de knooppunt in (of op derand van) de i-de massieve geleider ligt.

Als σ constant is in ΩM i, worden (RM)ii en (KM)ij ook gegeven door:

(RM)ii =lz

σΩM i

en (KM)ij =1

ΩM i

∫ΩMi

αj dxdy. (4.20)

De uitdrukking voor (KM)ij stemt overeen met die voor (KS)ij (2.144) wanneerde i-de massieve geleider zou gemodelleerd worden als de i-de gewikkelde geleiderdie bestaat uit een draad met sectie ΩM i.

Uit (4.9) en (4.15) volgt dat de stroomdichtheid Jz in ΩM i gegeven wordt door:

Jz(x, y, t) =σ

lz

(VM i(t)−αT(x, y)

dA(t)

dt

). (4.21)

Indien eerste-orde-elementen gebruikt worden en indien σ constant is in ΩM i, isJz driehoeksgewijs lineair in ΩM i.

De bijdrage (Ip)M van de nM massieve geleiders tot de kolommatrix Ip van deknooppuntsstromen wordt bekomen door integratie van (4.21) over de nM door-sneden:

(Ip)M =

nM∑i=1

∫ΩMi

Jz(x, y, t) α(x, y) dxdy, (4.22)

=

nM∑i=1

VM i ∫ΩMi

σ

lzα dxdy

− nM∑i=1

∫ΩMi

σ

lzααT dxdy

dA

dt, (4.23)

= KT

MR−1

M VM − TMdA

dt, (4.24)

4-6 HOOFDSTUK 4

met TM [Ω−1] een np × np matrix, meestal geleidbaarheidsmatrix genoemd, diegegeven wordt door:

TM =

nM∑i=1

∫ΩMi

σ

lzααT dxdy. (4.25)

De bijdrage van een massieve geleider (met σ > 0) tot TM is een SPD nk × nksubmatrix, waarbij nk het aantal knooppunten in of op de rand van de geleideris. TM is SPD als en slechts als elk knooppunt van de vermazing in of op de randvan een of meerdere massieve geleiders ligt. In het andere geval is TM SPSD, enheeft hij een aantal nulrijen en -kolommen.

De bijdrage tot TM van een eerste-orde-driehoek ijk met oppervlakte ∆ en con-stante geleidbaarheid σ is de volgende 3× 3 matrix:

∫Ωijk

σ

lzααT dxdy =

σ∆

12 lz

2 1 1

1 2 1

1 1 2

. (4.26)

Het Joule-verlies PJ,M [W] in de nM massieve geleiders wordt bekomen doorvolume-integratie van de verliesdichtheid J2

z /σ [W/m3]:

PJ,M =

nM∑i=1

∫ΩMi

J2z (x, y, t)

σlz dxdy, (4.27)

=

nM∑i=1

∫ΩMi

σ

l2z

(VM i −αT(x, y)

dA

dt

)2

lz dxdy, (4.28)

=

dAdt

VM

T TM −KTMR

−1M

−R−1M KM R−1

M

dAdt

VM

. (4.29)

Aangezien PJ,M ≥ 0 voor elke willekeurige dAdt en VM , is de symmetrische (np +

nM)×(np + nM) matrix in (4.29) positief semi-definiet.

4.2 Axisymmetrie

We beschouwen zoals in §2.2 een cilindrisch assenstelsel rzφ en een domein ΩEE

in het rz-vlak. B, H, J en A zijn functie van r, z en t:

B = Br(r, z, t) 1r +Bz(r, z, t) 1z, (4.30)

H = Hr(r, z, t) 1r +Hz(r, z, t) 1z, (4.31)

J = Jφ(r, z, t) 1φ, (4.32)

A = Aφ(r, z, t) 1φ. (4.33)

De gemodifieerde MVP A∗φ =1

2πrAφ is op een arbitraire functie f(t) na bepaald

door B.


De elektrische scalaire potentiaal U wordt opnieuw ingevoerd:

E = −∂A∂ t− ∇U, (4.34)

met

∇U =∂U

∂r1r +

1

r

∂U

∂φ1φ +

∂U

∂z1z. (4.35)

In een geleidend gebied ΩM in ΩEE met geleidbaarheid σ geldt:

E = Eφ(r, z, t) 1φ =1

σJφ(r, z, t) 1φ, (4.36)

Uit (4.33–4.36) volgt:

∇U =1

rC(t) 1φ en U = C(t)φ+D(t). (4.37)

De potentiaalval VM over een cirkelvormige contour L in de geleider, bepaalddoor een punt (r, z) in ΩM , wordt gegeven door:

VM = −∮L

∇U · d l = −2π∫0

1

rC(t) 1φ · r1φ dφ = −2π C(t), (4.38)

waaruit volgt:

Jφ = −σ(∂Aφ∂ t− VM

2πr

)=

σ

2πr

(−∂A∗φ∂ t

+ VM

). (4.39)

Integratie van (4.39) over de sectie ΩM van de massieve geleider geeft de totalestroom IM :

IM =

∫ΩM

Jφ drdz = −∫

ΩM

σ

2πr

∂A∗φ∂ t

drdz + VM

∫ΩM

σ

2πrdrdz, (4.40)

wat tot het volgende verband tussen VM , IM en A∗φ leidt:

VM = RM IM + RM

∫ΩM

σ

2πr

∂A∗φ∂ t

drdz, (4.41)

met RM de gelijkstroomweerstand van de massieve geleider:

RM =

∫ΩM

σ

2πrdrdz

−1

. (4.42)

De tekens van VM en IM zijn in overeenstemming met het VRS gekozen: IM ispositief als er een nettostroom vloeit volgens de positieve φ-richting; VM is positiefals de potentiaal afneemt met toenemende φ.

4-8 HOOFDSTUK 4

Als op de symmetrieas de Dirichlet-randvoorwaarde A∗φ = 0 opgelegd wordt, kanVM zonder meer als de spanning over de geleider geınterpreteerd worden.VM is nul voor een op zichzelf kortgesloten geleider, en verschillend van nul vooreen geleider die aangesloten is op een externe (spannings)bron of deel uitmaaktvan een elektrisch circuit2.

Een tijdsinvariante EE-discretisatie van ΩEE geeft:

A∗φ(r, z, t) =

np∑i=1

αi(r, z)Ai(t) = αT(r, z)A(t), (4.43)

VM = RM IM + RM

∫ΩM

σ

2πrαT drdz

dA

dt. (4.44)

De vergelijking (4.44) kan voor alle nM massieve geleiders in ΩEE in de volgendematrixvorm gebracht worden:


dA(t)

dt. (4.45)

VM en IM zijn de nM × 1 kolommatrices met resp. de spanningen over en destromen door de nM massieve geleiders. RM is een nM × nM diagonaalmatrix,waarvan het i-de diagonaalelement de gelijkstroomweerstand van de i-de massievegeleider is:

(RM)ii =

∫ΩMi

σ

2πrdrdz

−1

. (4.46)

KM is een dimensieloze nM × np matrix waarvan het (i, j)-de element gegevenwordt door:

(KM)ij = (RM)ii

∫ΩMi

σ

2πrαj drdz =

∫ΩMi

σ

2πrαj drdz

∫ΩMi

σ

2πrdrdz

. (4.47)

In het algemene geval (met al dan niet constante σ in de doorsnede van degeleiders) moeten RM en KM met numerieke integratie berekend worden.

De stroomdichtheid Jφ in de i-de massieve geleider wordt gegeven door:

Jφ(r, z, t) =σ

2πr

(VM i(t)−αT(r, z)

dA(t)

dt

). (4.48)

2 Enkel het eerste geval, d.i. een op zichzelf kortgesloten geleider, kan zuiver axisymmetrischvan aard zijn. De andere gevallen zijn door de onvermijdelijke ’toevoerdraden’ in feite in strijdmet de axisymmetrie, maar wiskundig stelt zich geen probleem.


Voor de bijdrage (Ip)M van de nM massieve geleiders tot de knooppuntsstromenvinden we de volgende uitdrukkingen:

(Ip)M =

nM∑i=1

∫ΩMi

Jφα drdz, (4.49)

=

nM∑i=1

VM i ∫ΩMi

σ

2πrα drdz

− nM∑i=1

∫ΩMi

σ

2πrααT drdz

dA

dt, (4.50)

= KT

MR−1

M VM − TMdA

dt, (4.51)

met TM [Ω] een SPSD np × np matrix:

TM =

nM∑i=1

∫ΩMi

σ

2πrααT drdz. (4.52)

Het Joule-verlies in de nM massieve geleiders wordt gegeven door:

PJ,M =

nM∑i=1

∫ΩMi

J2φ(r, z, t)

σ2πr drdz, (4.53)

=

nM∑i=1

∫ΩMi

σ

(2πr)2

(VM i −αT(r, z)

dA

dt

)2

2πr drdz, (4.54)

=

dAdt

VM

T TM −KTMR

−1M

−R−1M KM R−1

M

dAdt

VM

. (4.55)

Bemerk zoals in het statische geval, §2.1 en §2.2, de grote analogie met hettranslatiesymmetrische geval. De matrixvergelijkingen (4.45, 4.51, 4.55) bij axi-symmetrie zijn identiek aan resp. (4.17, 4.24, 4.29) bij translatiesymmetrie.

4.3 Gewikkelde geleiders of spoelen

De gewikkelde geleider, ingevoerd in §2.7, betreft een gebied ΩS in ΩEE waarinde stroomdichtheid Jz(x, y, t) (of Jφ(r, z, t)) bepaald wordt door de totale stroomI(t) en een a priori gekende ruimtelijke gewichtsfunctie η(x, y) (of η(r, z)).

Bij de simulatie van een machine stelt de gewikkelde geleider een werkelijke wik-keling met een aantal ’fijne’ windingen voor. De statische benadering bestaaterin de amperewindingen (al of niet uniform) te verdelen over de omhullendedoorsnede. In het dynamische geval zal de stroomdichtheid in elke draadsectieniet-uniform zijn. Het belang van de niet-uniformiteit bij een bepaalde frequentief kan ingeschat worden aan de hand van de karakteristieke ’diepte’ (diameter) dvan een afzonderlijke draad (of geleider) en de zgn. indringdiepte δ.

4-10 HOOFDSTUK 4

De indringdiepte δ [m] is een parameter die voorkomt in de analytische oplossin-gen van eenvoudige lineaire stroom- en fluxverdringingsproblemen, zie ook verder§4.7 en §4.8. Ze wordt gegeven door:

δ =

√2

ωσµ, (4.56)

met ω = 2πf de pulsatie van de sinusoıdaal varierende velden, en σ en µ resp. deelektrische geleidbaarheid en de magnetische permeabiliteit van de geleider. Destroomverdringing is maar beduidend als de indringdiepte δ voldoende kleiner isdan de karakteristieke afmeting d.Voor vele 50 Hz toepassingen kan de stroomverdringing in de afzonderlijke dradenvan een wikkeling in een machine zeker verwaarloosd worden. Immers, voor koper(σ=60 106 S/m, µ = µ0 = 4π 10−7 H/m) is de indringdiepte δ ongeveer 9 mm bij50 Hz; voor (zuiver) aluminium (σ=37 106 S/m, µ = µ0) ongeveer 12 mm.Indien de stroomverdringing niet verwaarloosbaar is, moet elke draad of geleiderals massieve geleider gemodelleerd worden. Een voorbeeld volgt in §4.7.

Voor de nS gewikkelde geleiders in ΩEE zijn de spanningen VS (nS × 1 ), de stro-men IS (nS × 1 ), de gekoppelde fluxen ΨS (nS × 1 ) en de knooppuntspotentialenA (np × 1 ) als volgt verbonden:

VS(t) = RSIS(t) +dΨS

dt, (4.57)

= RSIS(t) + KS

dA

dt, (4.58)

met RS [Ω] een nS × nS diagonaalmatrix waarvan het i-de diagonaalelement deweerstand van de i-de gewikkelde geleider is, en met KS de dimensieloze nS × npmatrix zoals gedefinieerd in §2.7

EES+ ISIS VSz xy lz+SFiguur 4.3: Gewikkelde geleider in ΩEE met twee spoelzijden

In Figuur 4.3 wordt een gewikkelde geleider met twee spoelzijden getoond. Deaangegeven referentiezinnen voor VS en IS zijn in overeenstemming met het ver-bruikersreferentiesysteem.Wat betreft de fysische interpretatie van de fluxen en de spanningen, verwijzenwe naar de opmerkingen daaromtrent in §2.7.


4.4 De dynamische EE-vergelijkingen

4.4.1 De EE-vergelijkingen – dynamische uitbreiding

In §2.3 werd voor het magnetostatische geval het volgende stelsel algebraıschevergelijkingen afgeleid:

SA = Ip, (4.59)

met S(A) de SPSD stijfheidsmatrix en Ip de kolommatrix van de knooppunts-stromen. De knooppuntsstromen zijn in het statische geval afkomstig van eengekende stroomdichtheid Jz (van gewikkelde geleiders), van het PM-materiaal inΩEE , en van de equivalente (deels gekende) stroomlaag op de rand van ΩEE .Er werd aangetoond dat met (4.59) de wet van Ampere ∇× H = J opgelegdwordt voor een elementaire contour rond elk knooppunt van de EE-vermazing.

In het dynamische geval beschouwen we naast gewikkelde geleiders ook massievegeleiders. De bijdrage (Ip)S = KSIS van de gewikkelde geleiders tot de knoop-puntsstromen werd in §2.7 afgeleid. De bijdrage (Ip)M van de massieve geleiderswordt in (4.24) en (4.51) gegeven voor resp. translatie- en axisymmetrie.

In het quasi-stationaire dynamische geval geldt de wet van Ampere onverminderd,en kan (4.59) als volgt uitgewerkt worden:

SA = (Ip)S + (Ip)M + (Ip)PM + (Ip)rand , (4.60)

= KSIS + KT

MR−1

M VM − TMdA

dt+ (Ip)PM + (Ip)rand . (4.61)

Door een herschikking van de termen bekomen we een stelsel gewone eerste-orde-differentiaalvergelijkingen3 in A:

S(A)A(t) + TMdA(t)

dt= KT

S IS(t) + KT

MR−1

M VM(t) + (Ip)PM + (Ip)rand . (4.62)

Indien het rechterlid een gekende functie is van de tijd (met dus stroom- enspanningsvoeding van resp. de gewikkelde en de massieve geleiders), en mits vol-doende begin- en randvoorwaarden op te leggen, volgt uit (4.62) het tijdsverloopvan A.Het oplossen van het stelsel differentiaalvergelijkingen (4.62) in het frequentiedo-mein en in het tijdsdomein wordt behandeld in resp. §4.5 en §4.6.

De spanningen VS over de gewikkelde geleiders en de stromen IM door de massievegeleiders volgen uit de volgende, hoger afgeleide vergelijkingen:

VS(t) = RSIS(t) + KS

dA

dt, (4.63)


dA

dt. (4.64)

3 Een aantal vergelijkingen in (4.62) is eventueel zuiver algebraısch, d.i. zonder tijdsafgeleide.Enkel als TM SPD is en dus geen nulrijen (en -kolommen) heeft, betreft het sensu stricto eenstelsel differentiaalvergelijkingen. We komen hierop terug in §4.6.1.2.

4-12 HOOFDSTUK 4

Door de vergelijkingen (4.63) en (4.64) al of niet te substitueren in (4.62) bekomtmen de volgende vier stelsels differentiaalvergelijkingen, waarbij de stroom doorof de spanning over de gewikkelde en de massieve geleiders opgelegd kan worden:

SA+ TMdA

dt= KT

S IS + KT

MR−1

M VM + (Ip)PM + (Ip)rand , (4.65)

SA+ T ′MdA

dt= KT

S IS + KT

MIM + (Ip)PM + (Ip)rand , (4.66)

SA+ (TM + TS)dA

dt= KT

SR−1

S VS + KT

MR−1

M VM + (Ip)PM + (Ip)rand , (4.67)

SA+ (T ′M + TS)dA

dt= KT

SR−1

S VS + KT

MIM + (Ip)PM + (Ip)rand , (4.68)

met

T ′M = TM −KT

MR−1

M KM , (4.69)

TS = KT

SR−1

S KS. (4.70)

TS [Ω] is een symmetrische np × np matrix. De bijdrage van een gewikkeldegeleider tot TS is een volledig gevulde nk × nk SPD submatrix, waarbij nk hetaantal knooppunten in of op de rand van de geleider is. TS is dus SPD als enslechts als ΩEE volledig bestaat uit een of meerdere gewikkelde geleiders. In datgeval is TS een volledig gevulde np × np SPD matrix. In het andere geval (d.i.waarbij een of meerdere knooppunten zich niet in (noch op de rand van) eengewikkelde geleider bevinden) is TS een SPSD matrix met een aantal nulrijen en-kolommen.

T ′M [Ω] is een symmetrische np × np matrix. De structuur van T ′M is analoogaan die van TS: niet enkel naburige knooppunten in een massieve geleider zijnverbonden, maar ook niet-naburige knooppunten. Uit de vermogenbeschouwingin §4.4.2 zal blijken dat T ′M SPSD is.

T ′M en TS zijn dus minder ijl dan S en TM . Alle knooppunten in eenzelfde resp.massieve of gewikkelde geleider zijn verbonden, niet enkel naburige knooppunten.Stroomvoeding van de gewikkelde geleiders en spanningsvoeding van de massievegeleiders zijn dus vanuit praktisch standpunt het voordeligst (minder rekentijden minder geheugenvereisten).

In de uitgebreide literatuur over de 2D EE-methode voor magnetodynamischeproblemen worden de conductiviteitsmatrices T ′M en TS zelden vermeld, bv. in[Meu88]. Spanningen over gewikkelde geleiders en stromen door massieve ge-leiders worden doorgaans opgelegd d.m.v. bijkomende elektrische vergelijkingen(zie ook Hoofdstuk 7).

4.4.2 Het behoud van vermogen

De elektrische vermogens Pel,S en Pel,M toegevoerd aan het EE-model via resp.de nS gewikkelde geleiders en de nM massieve geleiders worden, rekening houdendmet (4.63) en (4.64), gegeven door de volgende uitdrukkingen:

Pel,S = V T

S IS, (4.71)


= IT

SRSIS +dAT

dtKT

S IS, (4.72)

= V T

S R−1

S VS + V T

S R−1

S KT

S

dA

dt, (4.73)

Pel,M = V T

M IM , (4.74)

= IT

MRMIM +dAT

dtKT

MIM , (4.75)

= V T

MR−1

M VM + V T

MR−1

M KT

M

dA

dt. (4.76)

Het totale Joule-verlies PJ,S [W] in de nS spoelen volgt onmiddellijk uit de resp.weerstanden en stromen, maar kan m.b.v. (4.63) ook geschreven worden in functievan dA

dt en VS:

PJ,S = IT

SRSIS, (4.77)

=

dAdt

VS

T TS −KTSR

−1S

−R−1S KS R−1

S

dAdt

VS

. (4.78)

Vermits PJ,S ≥ 0 voor elke willekeurige dAdt en IS, is de (np + nS)× (np + nS)

matrix in (4.78) SPSD.

Het totale Joule-verlies PJ,M [W] in de nM massieve geleiders kan geschreven wor-den in termen van TM (zie (4.29) en (4.55) bij resp. translatie- en axisymmetrie)of, gebruikmakende van (4.64) en (4.69), in termen van T ′M :

PJ,M =

dAdt

VM

T TM −KTMR

−1M

−R−1M KM R−1

M

dAdt

VM

, (4.79)

= IT

MRMIM +dAT

dtT ′M

dA

dt. (4.80)

Vermits PJ,M ≥ 0 voor elke willekeurige IM en dAdt , is T ′M = TM − KT

MR−1M KM

SPSD.

De verandering per tijdseenheid van de magnetische energie W in het EE-model,PM-materiaal inbegrepen (zie §3.2), wordt gegeven door:

dW

dt=

d

dt

A∫0

A′TS(A′) dA′ −AT(Ip)PM + cste

, (4.81)

=dA

dtSAT − dAT

dt(Ip)PM . (4.82)

Het elektrische vermogen Prand geleverd door de fictieve bronnen die de stroom-laag op ∂ΩEE onderhouden is:

Prand =dAT

dt(Ip)rand . (4.83)

4-14 HOOFDSTUK 4

Het toegevoerde elektrische vermogen wordt deels ogenblikkelijk omgezet in Joule-warmte in de gewikkelde en de massieve geleiders en deels op reversibele wijzeopgestapeld in het magnetische medium:

Pel,S + Pel,M + Prand = PJ,S + PJ,M +dW

dt. (4.84)

De oplossing van de differentiaalvergelijkingen (4.65–4.68) voldoet aan de vermo-

genbalans. Inderdaad, door voorvermenigvuldiging van (4.65–4.68) met dAT

dt endoor gebruik te maken van (4.71–4.83) komt men tot (4.84).

4.4.3 Randvoorwaarden

De randvoorwaarden zijn nodig om de aanwezigheid de ruimte buiten ΩEE inrekening te brengen en om de uniciteit van de oplossing (in termen van A) tegaranderen. In §2.4 werden enkele voor de praktijk belangrijke soorten statischerandvoorwaarden beschouwd. In het dynamische geval komen dezelfde soortenrandvoorwaarden terug. Ze kunnen vertaald worden in een reeks unitaire, binaireen tertiaire vergelijkingen. Algemener kan, zoals in §2.4.1, een reeks lineairevoorwaarden beschouwd worden.

Het stelsel dynamische EE-vergelijkingen (4.65–4.68) kan algemeen als volgt ge-schreven worden:

SA+ TdA

dt= f , (4.85)

met T een SPSD matrix met een bijdrage van alle massieve (stroom- of span-ningsgevoede) geleiders en van de spanningsgevoede gewikkelde geleiders. f iseen functie van de opgelegde spanningen en stromen, van het coercitieve veld vanhet PM-materiaal en van de stroomlaag op ∂ΩEE .

Een stel np − np1 onafhankelijke lineaire voorwaarden tussen de np knooppunts-potentialen kan als volgt genoteerd worden:

A(t) = CA1(t) +A2(t), (4.86)

met A1 een kolommatrix met np1 onafhankelijke (knooppunts)potentialen, C eengekende en constante np × np1 matrix en A2 een np × 1 kolommatrix die eengekende functie is van de tijd.

Door substitutie van (4.86) in (4.85) en voorvermenigvuldiging met CT wordt eenstelsel differentiaalvergelijkingen in A1 bekomen:

S1A1 + T1dA1

dt= f1, (4.87)

met

S1 = CT S C, T1 = CT T C, (4.88)

f1 = CTf − CT SA2 − CT TdA2

dt. (4.89)


S1 is SPSD, en in bepaalde gevallen ook SPD en dus niet-singulier (zie §2.4). T1

is SPSD en constant. Het rechterlid f1 is in het lineaire geval een gekende functievan de tijd; in het niet-lineaire geval is f1 ook functie van A1 via S.

In plaats van de transformatie (4.88–4.89) expliciet uit te voeren, is het in depraktijk voordeliger de randvoorwaarden op te leggen m.b.v. lokale aanpassingenvan de oorspronkelijke matrices S, T en f , zoals voor de verschillende soortenrandvoorwaarden gedemonstreerd in §2.4.

4.5 Oplossing in het frequentiedomein

4.5.1 Lineaire systemen

We beschouwen een 2D lineair en tijdsinvariant (translatie- of axisymmetrisch)EE-model dat ng (gewikkelde of massieve) geleiders bevat. De magnetische per-meabiliteit µ en de elektrische geleidbaarheid σ zijn constant (d.i. tijdsinvarianten veldonafhankelijk) in ΩEE .

De knooppuntspotentialen, de spanningen over en de stromen door de ng geleiderszijn verbonden door de volgende vergelijkingen:

SA+ TdA

dt= KTI, (4.90)

V = R0 I +KdA

dt, (4.91)

met S een niet-singuliere SPD (stijfheids)matrix4, T een SPSD matrix met eenbijdrage van elke massieve geleider, en R0 de ng × ng diagonaalmatrix met degelijkstroomweerstanden. De matrices S, T , K en R0 zijn constant.

4.5.1.1 Complexe voorstelling

We bestuderen het sinusoıdale regime5 bij frequentie f m.b.v. de complexe voor-stellingen van A(t), I(t) en V (t). Deze worden resp. A, I en V genoteerd.A(t) en A, bijvoorbeeld, zijn als volgt gerelateerd:

A(t) = Re(A ejωt) = Re(A) cosωt − Im(A) sinωt, (4.92)

met ω = 2πf de pulsatie en j =√−1 de imaginaire eenheid.

De vergelijkingen (4.90) en (4.91) kunnen nu als volgt geschreven worden:

(S + jωT )A = KTI, (4.93)

V = R0 I + jωKA. (4.94)

4 Hierbij wordt impliciet verondersteld dat de nodige randvoorwaarden zijn opgelegd. Decorresponderende knooppuntsstromen (Ip)rand worden verder niet expliciet vermeld.PM-materiaal wordt niet beschouwd omdat de constante equivalente stroomdichtheid enstroomlaag (zie §3.2) niet verenigbaar zijn met het sinusregime.

5Men spreekt ook van een (tijds)harmonische simulatie.

4-16 HOOFDSTUK 4

Het stelsel (4.93) met np complexe vergelijkingen is equivalent met 2np reelevergelijkingen: S −ωT

ωT S

Re(A)

Im(A)

= KT

Re(I)

Im(I)

. (4.95)

De reele systeemmatrix is niet-symmetrisch, behalve in het triviale geval dat ergeen massieve geleiders zijn (T = 0), en (4.90) een stelsel algebraısche vergelij-kingen is.

Energiedissipatie in het magnetische materiaal (ijzerverlies) kan in rekening ge-bracht worden d.m.v. een complexe reluctiviteit en, daaruit volgend, een com-plexe stijfheidsmatrix S [Nie88, Deli94b, Hed96]. In dat geval is het verbandtussen de ogenblikkelijke inductie B en de ogenblikkelijke veldsterkte H niet een-waardig; de BH-locus is een ellips. De equivalente methode in het tijdsdomeinwordt behandeld in Hoofdstuk 5.

4.5.1.2 De weerstands- en de inductantiematrix

Uit (4.93–4.94) volgt:

A = (S + jωT )−1KT I, (4.96)

V =(R0 + jωK (S + jωT )

−1KT)I = ZfI, (4.97)

met Zf [Ω] de ng × ng complexe impedantiematrix. Deze matrix kan als volgtopgesplitst worden in een reeel en een imaginair deel:

Zf = Rf + jωLf , (4.98)

Rf = R0 + ω K Im(− (S + jωT )−1

)KT, (4.99)

Lf = K Re(

(S + jωT )−1

)KT, (4.100)

met Rf [Ω] en Lf [H] resp. de weerstands- en de inductantiematrix.

Het reele en het imaginaire deel van (S+jωT )−1 zijn symmetrisch en resp. positiefen negatief definiet. Ze worden ook gegeven door de volgende reele uitdrukkingen:

Re(

(S + jωT )−1

)=(S + ω2TS−1T

)−1, (4.101)

Im(

(S + jωT )−1

)= −S−1T

(S + ω2TS−1T

)−1. (4.102)

De SPD weerstandsmatrixRf is bij aanwezigheid van massieve geleiders verschil-lend van R0 en frequentieafhankelijk. Rf is symmetrisch, in overeenstemmingmet het reciprociteitsprincipe, en positief definiet, in overeenstemming met een(ogenblikkelijk en gemiddeld) positief Joule-verlies.

Analoog is de inductantiematrix Lf bij aanwezigheid van massieve geleiders ver-schillend van KS−1KT en frequentieafhankelijk. Lf is SPD, in overstemmingmet het reciprociteitsprincipe en met een (ogenblikkelijk en gemiddeld) positievemagnetische energie.


Bij een gegeven frequentie f kunnen Rf en Lf berekend worden aan de handvan ng veldproblemen. De κ-de kolom (met κ=1, 2, . . . , ng) van de complexeimpedantiematrix, notatie (Zf )∗κ, volgt onmiddellijk uit een complexe veldbe-rekening waarbij de κ-de geleider een eenheidsstroom voert, terwijl de anderegeleiders stroomloos zijn:

(Rf + jωLf )∗κ = (R0)∗κ + jωKAκ, (4.103)

waarbij Aκ gegeven wordt door:

(S + jωT )Aκ = (KT)∗κ. (4.104)

Dit is analoog aan het berekenen van de inductantiematrix in het statische lineairegeval dat behandeld werd in §2.7.3. Rf en Lf kunnen ook bekomen worden opbasis van het gemiddelde Joule-verlies en de gemiddelde magnetische energie,zoals hierna aangetoond wordt.

4.5.1.3 Joule-verlies en magnetische energie

Uit de vermogenbeschouwingen in §4.4.2 en i.h.b. (4.77, 4.80), volgt dat hetogenblikkelijke Joule-verlies PJ(t) gegeven wordt door:

PJ(t) = ITR0I +dAT

dtTdA

dt. (4.105)

PJ(t) is de som van de tijdsgemiddelde waarde PJ,gem en een sinusoıdale functiemet frequentie 2f , waarvan de amplitude kleiner dan of gelijk is aan PJ,gem(vermits PJ(t) ≥ 0). Het gemiddelde Joule-verlies PJ,gem wordt gegeven door:

PJ,gem =1

2IHR0I +

1

2ω2AHTA =

1

2IHRfI, (4.106)

=PJ,min + PJ,max

2, (4.107)

waarbij superscript H het complex toegevoegde van de getransponeerde aanduidt:IH = Re(IT) − j Im(IT). Het product IHI is steeds een positief reeel getal. Dedrie kwadratische vormen in (4.106) zijn eveneens reeel en positief vermits R0,T en Rf reele SP(S)D matrices zijn.

De ogenblikkelijke magnetische energie W (t), gegeven door:

W (t) =1

2ATSA, (4.108)

is de som van de gemiddelde waarde Wgem en een sinusoıdale functie met fre-quentie 2f , waarvan de amplitude kleiner dan of gelijk is aan Wgem (vermitsW (t) ≥ 0). De gemiddelde magnetische energie Wgem wordt gegeven door:

Wgem =1

4AHSA =

1

4IHLfI, (4.109)

=Wmin +Wmax

2. (4.110)

4-18 HOOFDSTUK 4

Bij een bepaalde frequentie f kunnen de ng×ng weerstands- en inductantiematrixberekend worden m.b.v. ng(ng + 1)/2 afzonderlijke veldproblemen, en wel alsvolgt.

Eerst worden de ng diagonaalelementen bekomen door telkens een geleider meteen eenheidsstroom te voeden, terwijl de andere stroomloos blijven. Bijvoorbeeldvoor het κ-de diagonaalelement, met enkel de κ-de geleider gevoed:

(Rf )κκ = 2 (PJ,gem)κ , (4.111)

(Lf )κκ = 4 (Wgem)κ . (4.112)

De ng(ng − 1)/2 niet-diagonaalelementen boven (of onder) de diagonaal vanZf = Rf+jωLf worden bekomen d.m.v. evenveel veldproblemen waarbij telkensslechts de twee overeenkomstige geleiders gevoed worden. Bijvoorbeeld voor het(κ, λ)-de element, met enkel de stromen Iκ en Iλ verschillend van nul:

(Rf )κλ =2 (PJ,gem)κλ − (Rf )κκ I

2κ − (Rf )λλ I

2λ

IH

κ Iλ + Iκ IH

λ

, (4.113)

(Lf )κλ =4 (Wgem)κλ − (Lf )κκ I

2κ − (Lf )λλ I

2λ

IH

κ Iλ + Iκ IH

λ

, (4.114)

met

IH

κIλ + IκIH

λ = 2(

Re(Iκ) Re(Iλ) + Im(Iκ) Im(Iλ))6= 0. (4.115)

In §4.7 wordt een lineair stroomverdringingsprobleem met een geleider beschouwd.De weerstand en de inductantie worden er berekend op basis van het gemiddeldeJoule-verlies en de gemiddelde magnetische energie.

4.5.2 Niet-lineaire systemen

Ook niet-lineaire veldproblemen (d.i. met verzadigbare materialen) kunnen opge-lost worden in het frequentiedomein, zij het benaderend. De kolommatrices A(t),I(t) en V (t) worden verondersteld sinusoıdaal te varieren in de tijd. Dit is inniet-lineaire media niet verenigbaar met een eenwaardig verband tussen het ogen-blikkelijke B- en H-veld. Er kan bv. wel een verband tussen de amplitudes B enH opgelegd worden. De equivalente BH-kromme kan op verschillende manierenworden afgeleid van de originele BH-kromme [Luo86, DuT84, Yah94, Vas89].Een basisveronderstelling is bv. dat B ofwel H sinusoıdaal varieert in de tijd,met resp. amplitudes B en H. De overeenstemmende H en B zijn dan bv. deamplitudes van de grondharmonischen van resp. H en B.

Men bekomt aldus een stelsel van np niet-lineaire complexe vergelijkingen, datequivalent is met een stelsel van 2np niet-lineaire reele vergelijkingen, cfr. (4.95).De systeemmatrix is niet SPD en minder ijl dan bij een statische EE-berekening(met 2np knooppunten). De rekentijd voor het oplossen van het complexe stelsel(lineaire) vergelijkingen zal bijgevolg groter zijn. Daarenboven stelt men in depraktijk vast dat de Newton-Raphson-methode doorgaans moeizaam convergeert.Sterke relaxatie is soms noodzakelijk [Ark87, Vas89, Hed96].


De niet-lineaire harmonische simulatie wordt veel toegepast op inductiemachines[Luo86, Ark87, Vas89, Hon91, Sal93a, Yah94, DeW95b, Mer99].

De EE-resultaten kunnen sterk afhangen van de gebruikte BH-kromme [Luo86,Ark87]. De nauwkeurigheid kan vergroot worden door verschillende frequenties tebeschouwen; dit is de zgn. (finite element) harmonic balance method (FE)HBM.Naast de voedingsfrequentie worden bv. (oneven) verzadigingsharmonischen be-schouwd, zoals bij de simulatie van transformatoren [Lu96, Yam89]. Bij de si-mulatie van roterende machines kunnen eveneens gleufharmonischen in rekeninggebracht worden [Vand94].Een nadeel van deze methode is dat een enorm stelsel vergelijkingen bekomenwordt, met een systeemmatrix die veel minder ijl is dan de gewone np × npstijfheidsmatrix. De convergentie van de gewijzigde (d.i. gerelaxeerde) Newton-Raphson-methode is allesbehalve evident. De rekentijd voor het oplossen van hetstelsel vergelijkingen is navenant.

Aangezien vele voor de praktijk belangrijke magnetische veldproblemen inherentniet-lineair zijn, is het nut van een harmonische solver eerder beperkt. Enerzijdsis er de onzekerheid door het gebruik van een equivalente BH-kromme, anderzijdszijn er de numerieke problemen.

Een harmonische simulatie kan wel gebruikt worden om een gunstige beginwaardete bekomen voor een regimeoplossing in het tijdsdomein (waarbij de verzadigingvan het magnetische materiaal en eventuele andere niet-lineariteiten probleemlooskunnen in rekening gebracht worden). We komen hier verder op terug.

4.6 Oplossing in het tijdsdomein

De dynamische EE-vergelijkingen worden als volgt genoteerd:

SA+ TdA

dt= f , (4.116)

met S(A) de SPSD stijfheidsmatrix, T de constante SPSD geleidbaarheidsmatrixen f een gekende functie van de tijd die afhangt van de opgelegde spanningen enstromen, van het PM-materiaal in ΩEE en van de stroomlaag op ∂ΩEE .

Bij een discrete oplossing in het tijdsdomein6, de zgn. time-stepping , worden op-eenvolgende discrete (al of niet equidistante) tijdstippen t0, t1, t2, . . . beschouwd.Op het eerste tijdstip t0 is A = A0 gekend; dit zijn de nodige en voldoende be-ginvoorwaarden.

4.6.1 De β-tijdsdiscretisatiemethode

In de literatuur worden verschillende tijdsdiscretisatiemethoden beschreven omhet stelsel differentiaalvergelijkingen (4.116) op te lossen in het tijdsdomein. Een

6Men spreekt ook van een transiente simulatie (naast statische en (tijds)harmonische simu-latie), alhoewel men bij de simulatie van een machine doorgaans vooral geınteresseerd is in hetregimegedrag.

4-20 HOOFDSTUK 4

overzicht en een bespreking vindt men o.m. in [Tsu93b, Deli94b]. In de prak-tijk wordt voor de 2D EE-simulatie van magnetodynamische problemen bijnauitsluitend de zgn. β-tijdsdiscretisatiemethode7 (of een van de speciale gevallen)gebruikt. Het is een eenstapsmethode: de oplossing A+ op een tijdstip t+ wordtbekomen op basis van de oplossing A− op het vorige tijdstip t− en de gekenderechterleden f− en f+ op tijdstippen t− en t+. De tijdstap is ∆t = t+ − t−.

4.6.1.1 Tijdsdiscretisatie

We beschouwen een lineaire interpolatie van SA, A en f tussen tijdstippen t−

en t+:

SA = (1− τ)S−A− + τ S+A+, (4.117)

A = (1− τ)A− + τ A+, (4.118)

f = (1− τ)f− + τ f+, (4.119)

met τ =t− t−

∆tde dimensieloze tijd.

De oplossing A+ op t+ bekomt men m.b.v. de methode van de gewogen residu’s(de methode van Galerkin) [Deli94b]:

1∫0

(SA+ T

dA

dt− f

)η(τ) dτ = 0, (4.120)

met η(τ) een nog te bepalen gewichtsfunctie. Rekening houdende met de lineaireinterpolatie (4.117–4.119) bekomt men de volgende algebraısche vergelijking:

βS+A+ + (1− β)S−A− +1

∆tTA+ − 1

∆tTA− − βf+ − (1− β)f− = 0, (4.121)

met β =

∫ 1

0

η(τ) τ dτ∫ 1

0

η(τ) dτ

.

Men bekomt (4.121) eveneens met de volgende eindige-differentiebenadering vandAdt :

β

(dA

dt

)+

+ (1− β)

(dA

dt

)−=A+ −A−

∆t. (4.122)

Inderdaad, substitutie van de bovenstaande vergelijking in

β

(SA+ T

dA

dt− f

)+

+ (1− β)

(SA+ T

dA

dt− f

)−= 0, (4.123)

leidt ook tot (4.121).

7 In de literatuur wordt soms het symbool θ gebruikt i.p.v. β, en spreekt men van de θ-methode [Tsu93a]. In [Boui83, Sal95, Dup95] wordt eveneens het symbool β gebruikt. In dezetekst wordt θ gereserveerd als poolcoordinaat.


De parameter β kiest men tussen 0 en 1. Men onderscheidt de volgende specialegevallen:

β = 0 de voorwaartse Euler-methode (voorwaartse differentie),

β = 1/2 de Cranck-Nicholson-methode (η(τ) = 1),

β = 2/3 de Galerkin-methode (η(τ) = τ),

β = 1 de achterwaartse Euler-methode (achterwaartse differentie).

De voorwaartse Euler-methode, β = 0, kan enkel gebruikt worden als T niet-singulier is, wat meestal niet het geval is.

Voor β 6= 0 bekomen we, na herschikking van de termen in (4.121) en deling doorβ, het volgende stelsel algebraısche vergelijkingen in A+

(S+ +

1

β∆tT

)A+ =

(−β′

βS− +

1

β∆tT

)A− + f+ +

β′

βf−, (4.124)

met β′ = 1− β.

Het is een niet-lineair stelsel vermits S+ afhangt van A+. Het iteratief oplossenmet de NR-methode en het in rekening brengen van de randvoorwaarden is vol-ledig analoog als in het statische geval (zie §2.6). Het is evident de oplossing ophet vorige tijdstip t− als initiele oplossing te nemen:

A+

(0) = A−, (4.125)

A+

(i) = A+

(i−1) + ∆A+

(i), (i = 1, 2, . . .), (4.126)

(S∂+

(i−1) +1

β∆tT

)∆A+

(i) =

(−β′

βS− +

1

β∆tT

)A− + f+ +

β′

βf−

−(S+

(i−1) +1

β∆tT

)A+

(i−1), (4.127)

met S∂ de Jacobiaan van de stijfheidsmatrix S.

Na het opleggen van voldoende randvoorwaarden is de systeemmatrix in (4.127)SPD, en kan de ICCG-solver beschreven in §2.6.3 gebruikt worden.

Als startwaarde op t0 neemt men doorgaans (noodgedwongen) de nultoestand:A0 = 0. Indien men enkel geınteresseerd is in het sinusoıdale regimegedrag,kan een harmonische (benaderende) oplossing een goede beginwaarde opleveren[Sal93a, Mer99]. Dit is enkel voordelig als het overgangsverschijnsel voldoendelang is, vermits een harmonische oplossing veel meer rekentijd vraagt dan eentijdstap van een transiente simulatie.

4-22 HOOFDSTUK 4

4.6.1.2 Algebraısche vergelijkingen

In het algemene geval is een aantal vergelijkingen in (4.116) zuiver algebraısch.Na een gepaste (her)nummering van de knooppunten kan (4.116) dan als volgtgepartitioneerd worden [Deli94b]: Sdd Sda

Sad Saa

Ad

Aa

+

Tdd 0

0 0

d

dt

Ad

Aa

=

fdfa

, (4.128)

met Sdd, Saa en Tdd SPD matrices. Subscript d stemt overeen met alle knooppun-ten die in een massieve geleider (rand inbegrepen) en/of in een spanningsgevoedegewikkelde geleider (rand inbegrepen) liggen.De algebraısche vergelijkingen in (4.128) kunnen expliciet geelimineerd worden:

SadAd + SaaAa = fa (4.129)

=⇒ Aa = S−1

aafa − S−1

aaSadAd, (4.130)

waarbij Saa een niet-singuliere matrix is.In de praktijk is het expliciet elimineren van Aa en het time-steppen van hetstelsel differentiaalvergelijkingen in Ad meestal niet voordelig(er). Immers, deresulterende SPD stijfheidsmatrix Sdd+SdaS

−1aaSad is minder ijl dan de originele

stijfheidsmatrix S, en in het algemene niet-lineaire geval moet SdaS−1aaSad voor

elke tijdstap opnieuw berekend worden, wat relatief veel rekentijd kan vragen.

Het toepassen van de β-methode op (4.128) geeft: S+

dd + 1β∆tTdd S

+

da

S+

ad S+aa

A+

1

A+a

=

−β′β S−dd + 1β∆tTdd −

β′

β S−da

−β′

β S−ad −β

′

β S−aa

A−dA−a

+

f+

d + β′

β f−d

f+a + β′

β f−a

. (4.131)

Als de beginoplossing A0,a op t = t0 voldoet aan de algebraısche vergelijkingen(4.129), dan zal Aa er op elk tijdstip aan voldoen: S+

dd + 1β∆tTdd S

+

da

S+

ad S+aa

A+

d

A+a

=

−β′β S−dd + 1β∆tTdd −

β′

β S−da

0 0

A−dA−a

+

f+

d + β′

β f−d

f+a

, (4.132)

en dit voor elke waarde van β. De algebraısche vergelijkingen vragen dus geenbijzondere behandeling.

Indien de beginoplossing niet voldoet aan (4.129), dan zal enkel de achterwaartseEuler-methode (β = 1) een oplossing Aa geven die op elk tijdstip (behalve heteerste) voldoet aan (4.129).


We beschouwen tenslotte een systeem zonder dynamica (T = 0):

SA = f . (4.133)

In dit geval is tijdsdiscretisatie uiteraard overbodig. Passen we toch de β-methodetoe, dan bekomen we:

S+A+ = −β′

βS−A− + f+ +

β′

βf−. (4.134)

Als de beginoplossing niet voldoet aan (4.133), bevat de oplossing gedempte

oscillaties als 0.5 < β < 1 (−1 < −β′

β < 0), divergerende oscillaties als β < 0.5

(−β′

β < −1), en ongedempte oscillaties als β = 0.5 (−β′

β = −1). Enkel met

β = 1 (β′

β = 0) volgt het statische systeem perfect de ingang f .

Door de aanwezigheid van de algebraısche vergelijkingen (T singulier) kunnen,zoals reeds hoger vermeld, de voorwaartse Euler-methode (β = 0) en andereexpliciete methoden niet gebruikt worden [Deli94b, Tsu93b].

4.6.1.3 Nauwkeurigheid en stabiliteit

De relatieve tijdsdiscretisatiefout ε t.g.v. een tijdstap ∆t kan als volgt gedefinieerdworden:

ε =||A+

ex −A+||∆t

=

1

np

np∑i=1

|A+

ex ,i −A+

i |

∆t, (4.135)

waarbij A+ex de exacte oplossing is op t = t+ (met als beginvoorwaarde A =

A− op t = t−). Een tijdsdiscretisatiemethode is van orde p als de relatievediscretisatiefout van orde p is:

lim∆t→0

ε

(∆t)p= cste. (4.136)

De globale fout εglob = ||Aeinde −A0|| bij integratie over een tijdsinterval van t0tot teinde is eveneens van orde p [Deli94b].

De Cranck-Nicholson-methode (β = 1/2) is van tweede orde. Voor alle anderewaarden van β is de β-methode van eerste orde.

Magnetodynamische problemen zijn meestal stijve problemen8, en bijgevolg zijnde stabiliteitseigenschappen van de tijdsdiscretisatiemethode van belang [Tsu93b].De stabiliteit van de β-methode (toegepast op een 2D EE-model dat gekoppeldis aan een elektrisch netwerk, zie ook Hoofdstuk7) wordt onderzocht in [Tsu95b].

8 De grootste en de kleinste eigenwaarden van een stijf systeem liggen ver (meerdere grootte-orden) uit elkaar.

4-24 HOOFDSTUK 4

De β-methode is onvoorwaardelijk stabiel als β > 0.5. De Cranck-Nicholson-methode (β = 0.5) is een bijzonder geval: er kunnen ongedempte oscillaties op-treden, zoals hoger aangetoond werd voor de algebraısche vergelijkingen en zoalsverder in §4.6.2 geıllustreerd wordt, maar ook divergente oscillaties [Tsu95b].

Voor 0 ≤ β < 0.5 is de β-methode enkel stabiel als de tijdstap voldoende klein is[Deli94b, Dup95, Ham99a]. De maximaal toelaatbare tijdstap (∆t)max hangt afvan de grootte h [m] van de elementen in de EE-vermazing en van de indringdiepteδ [m] bij frequentie f :

(∆t)max ∼1

f

(h

δ

)2

. (4.137)

De achterwaartse Euler-methode (β = 1) is dus zeer stabiel maar weinig nauwkeu-rig (eerste orde), terwijl de Cranck-Nicholson-methode (β = 0.5) nauwkeuriger is(tweede orde) maar dikwijls (ongedempte) oscillaties geeft. Als compromis tus-sen nauwkeurigheid en stabiliteit kan een waarde tussen 0.5 en 1 gekozen worden[Tsu95b]. In [Sal89] wordt 0.75 als beste waarde gepostuleerd. In [Bid97] wordtvoorgesteld om de Galerkin-methode (β = 2/3) te gebruiken.

In [Deli94b, Mer99] wordt voorgesteld om voor de eerste tijdstap(pen) de stabieleachterwaartse Euler-methode (β = 1) te gebruiken (om startoscillaties te vermij-den), en voor de volgende stappen de Cranck-Nicholson-methode (β = 0.5).

4.6.1.4 Variabele tijdstap en vermazing

De overgrote meerderheid van de in de literatuur beschreven transiente mag-netische EE-simulaties is uitgevoerd met een constante tijdstap. Simulatiepro-gramma’s die een automatische tijdstapverandering toelaten zijn eerder uitzon-deringen [Brau97]. Een adaptieve tijdstap vergt een on-line schatting van detijdsdiscretisatiefout. Uit de geschatte fout, de maximaal toelaatbare fout (devooropgestelde tolerantie) en de orde van de tijdsdiscretisatie volgt de aangepastetijdstap. De foutschatting kan gebaseerd zijn op twee verschillende oplossingenvoor eenzelfde tijdstap die bekomen werden met verschillende β’s [Ho97a].

Een andere eenvoudige methode bestaat erin de tijdstap ∆t over te doen mettwee halve tijdstappen ∆t/2 [Bid97]. Indien het verschil tussen de twee bekomenoplossingen te groot is, wordt de tijdstap gehalveerd; indien het verschil te kleinis, wordt de tijdstap verdubbeld.

Het automatisch genereren van een tijdsinvariante vermazing die op elk tijdstipvan een cylus aangepast is aan het dynamische veldprobleem (waarbij bv. re-kening gehouden wordt met de stroom- en de fluxverdringing), is veel minderevident dan de adaptieve verfijning in het statische geval.

Het aanpassen van de vermazing tijdens de time-stepping is natuurlijk moge-lijk [Mer99], maar dit is voorlopig een techniek die zelden toegepast wordt bijmagnetische veldberekeningen.


4.6.2 Voorbeeld

Figuur 4.4 toont de helft van een symmetrische configuratie die bestaat uit eenijzeren kern waarrond een spoel gewikkeld is. De ijzeren kern is voorzien van eenluchtspleet waarin zich een geleidende plaat bevindt, en is opgebouwd uit hetisotroop veronderstelde elektroblik VH800-65D. Voor de BH-kromme wordt deanalytische uitdrukking van Brauer gebruikt (zie §3.1). De lengte lz van de kernvolgens de z-as is 100 mm.

30 mm 3 mmplaatkernFiguur 4.4: Model met massieve geleidende plaat

De afmetingen van de geleidende plaat in de 10 mm hoge luchtspleet zijn: lengtelz=100 mm, breedte=42 mm en dikte=6 mm. De geleidbaarheid is 60 106 S/m.

Wegens de symmetrie volstaat het de helft van de configuratie te modelleren,met A∗z = 0 op de buitenrand en Ht = 0 op de symmetrieas. Figuur 4.5 toont devermazing van het EE-model.

Figuur 4.5: EE-vermazing met 896 eerste-orde-driehoeken en 485 knooppunten

De halve spoel in het EE-model bestaat uit twee spoelzijden met elk 150 draden.De spoel wordt gemodelleerd als een gewikkelde geleider, met weerstand 1 Ω.Figuur 4.6 toont het statische fluxpatroon (d.i. zonder geınduceerde stromen inde geleidende plaat) bij IS=20 A en 80 A. Bij 20 A is de kern nauwelijks verzadigd(0.8 a 1.2 T); bij 80 A is de kern sterk verzadigd (1.7 a 2.0 T). Figuur 4.7 toontde flux ΨS gekoppeld met de halve spoel als functie van de stroom IS.

De geleidende plaat wordt gemodelleerd als een massieve geleider. De netto-

4-26 HOOFDSTUK 4

stroom IM in de plaat is nul9. De nulstroom kan zonder bijkomende stroomver-gelijking opgelegd worden dankzij de conductiviteitsmatrix T ′M in (4.66, 4.68).

Figuur 4.6: Statisch fluxpatroon bij IS=20 A en 80 A, resp. links en rechts

0 20 40 60 800.00.20.40.60.81.0 S [Wb] IS [A]Figuur 4.7: Flux ΨS gekoppeld met halve spoel als functie van de stroom IS

We beschouwen nu twee gevallen: sinusoıdale stroomvoeding IS(t) = I sin(2πft)met f=50 Hz en I=80 A, en sinusoıdale spanningsvoeding VS(t) = V sin(2πft)met f=50 Hz en V=300 V. De spanning over de gewikkelde geleider kan wordenopgelegd zonder bijkomende spanningsvergelijking dankzij de conductiviteitsma-trix TS in (4.68).

We simuleren drie perioden vanaf t = 0 met een vaste tijdstap ∆t die 100 maalkleiner is dan de voedingsperiode en met β = 1.

Het tijdsverloop van VS en IS wordt getoond in Figuren 4.8 en 4.9 bij resp.spannings- en stroomvoeding. Twee gevallen worden telkens beschouwd: ener-zijds zonder en anderzijds met de geleidende plaat in de luchtspleet van de kern.

Met stroomvoeding (en geleidende plaat) is het systeem reeds na een periode(met goede benadering) in regime. Met spanningsvoeding zijn blijkbaar meerdan drie perioden nodig om het regime te bereiken.

De verschillende componenten van de vermogenbalans (het Joule-verlies in despoel en in de geleidende plaat, resp. PJ,S en PJ,M , de tijdsafgeleide van de mag-netische energie dW

dt en het ingaand elektrisch vermogen VSIS) worden als functievan de tijd voorgesteld in Figuren 4.10 en 4.11.

9De stroom in de geleidende plaat verandert van zin in een fictief oneindig goed geleidendmedium dat aan beide uiteinden van de plaat aanwezig is. De werkelijke randeffecten kunnenenkel in een 3D model (nauwkeurig) in rekening gebracht worden. Dit is trouwens eveneens hetgeval voor de magnetische randeffecten ter hoogte van de spoelkoppen van de wikkeling.


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-5000500 IS [0.2 A]VS [V], zonder plaatVS [V], met plaat t [s]Figuur 4.8: IS(t) en VS(t) bij sinusoıdalestroomvoeding, zonder en met geleidendeplaat

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-2000200400600 VS [V]IS [0.5 A], zonder plaatIS [0.5 A], met plaatt [s]Figuur 4.9: VS(t) en IS(t) bij sinusoıdalespanningsvoeding, zonder en met geleidendeplaat

Het vermogen geleverd via de rand(voorwaarden) is nul omdat op de rand ofwelde potentiaal constant is (en gelijk aan nul) ofwel de stroomlaag nul is (Ht = 0).Er werd vastgesteld dat de vermogenbalans wel degelijk sluitend is, op verwaar-loosbare afrondingsfouten na.

0.040 0.045 0.050 0.055 0.060-10123104 PJ;SPJ;MdW=dtVSIS t [s][W]Figuur 4.10: Vermogencomponenten bijstroomvoeding met geleidende plaat

0.040 0.045 0.050 0.055 0.060012104 PJ;SPJ;MdW=dtVSIS t [s][W]Figuur 4.11: Vermogencomponenten bijspanningsvoeding met geleidende plaat

Figuren 4.12 en 4.13 tonen het tijdsverloop van VS en IS gedurende de eerstetien tijdstappen bij resp. spannings- en stroomvoeding, telkens voor drie geval-len: β=0.5, 0.7 en 1. De Cranck-Nicholson-methode (β = 0.5) geeft ongedempteoscillaties in dA

dt (en in de afgeleide grootheden zoals VS en dWdt ) wanneer de af-

geleide van de opgelegde stroom discontinuıteiten vertoont (wat bij een inductiefsysteem overeenstemt met een discontinuıteit in de spanning). In het beschouwdevoorbeeld is dit het geval op t = 0, vermits alle grootheden (i.h.b. A en IS) enhun tijdsafgeleide nul zijn voor t ≤ 0.De achterwaartse Euler-methode (β = 1) is zeer stabiel. Ze geeft nooit oscillaties.Met 0.5 < β < 1 kunnen er gedempte oscillaties optreden.Bij spanningsvoeding (en β < 1) worden oscillaties veel minder gemakkelijkgeınduceerd. Ze kunnen wel optreden als bv. de aangelegde spanning op t = 0

4-28 HOOFDSTUK 4

verschilt van nul.

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.00200250500 =0.5=0.7=1.0VS [V] t [s]Figuur 4.12: Eerste tien tijdstappen metβ=0.5, 0.7 of 1; stroomvoeding met gelei-dende plaat

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020051015 =0.5=0.7=1.0 t [s]IS [A]Figuur 4.13: Eerste tien tijdstappen metβ=0.5, 0.7 of 1; spanningsvoeding met ge-leidende plaat

De β- en ∆t-afhankelijkheid van de tijdsdiscretisatiefout wordt nu onderzocht.Tabel 4.1 geeft de globale integratiefout op IS voor verschillende combinaties van∆t en β (bij spanningsvoeding met geleidende plaat). Als globale fout nemen wede effectiefwaarde van het verschil tussen de oplossing en de referentieoplossing.Deze laatste werd bekomen met (f∆t)−1=1600 en β=0.5.Voor β > 0.5 is de integratie inderdaad van eerste orde: een halvering van detijdstap ∆t geeft ongeveer een halvering van de globale fout. Voor β = 0.5 isde integratie van tweede orde: een halvering van de tijdstap ∆t resulteert in eenreductie van de fout met ongeveer een factor vier.

Het gemiddelde aantal NR-iteraties per tijdstap wordt getabelleerd in Tabel 4.2.Het aantal NR-iteraties is quasi onafhankelijk van β, maar vermindert met eenkleiner wordende tijdstap10.

globale integratiefout [A]

(f∆t)−1 β = 0.5 β = 0.7 β = 1

100 0.1025 0.81 1.97

200 0.0256 0.40 0.98

400 0.0063 0.20 0.49

800 0.0015 0.09 0.25

Tabel 4.1: De globale integratiefout op ISals functie van ∆t en β

gem. aantal NR-iteraties

(f∆t)−1 β = 0.5 β = 0.7 β = 1

100 3.10 3.12 3.10

200 2.70 2.70 2.71

400 2.58 2.57 2.57

800 2.23 2.12 2.13

Tabel 4.2: Het gemiddelde aantal NR-iteratiesper tijdstap als functie van ∆t en β

Een besparing op de rekentijd bekomt men door bij elke tijdstap slechts eenNR-iteratie uit te voeren. Dit veroorzaakt naast de tijdsdiscretisatiefout een

10 Het gebruikte convergentiecriterium is gebaseerd op het increment ∆A, zie (2.113) metε = 10−5, en niet op het residu, zodat steeds minstens twee Newton-Raphson-iteraties pertijdstap uitgevoerd worden.


bijkomende linearisatiefout. Het belang daarvan kan (voor deze toepassing) in-geschat worden aan de hand van de globale integratiefout die in Tabel 4.3 wordtgegeven. Voor β > 0.5 is het verlies aan nauwkeurigheid t.o.v. de time-steppingmet de quasi-volledig geconvergeerde NR-methode (Tabel 4.1) niet beduidend.Voor β = 0.5 is een beduidend verlies aan nauwkeurigheid merkbaar. Het wordtwel kleiner naarmate ∆t kleiner wordt.

globale integratiefout [A]

(f∆t)−1 β = 0.5 β = 0.7 β = 1

100 0.5196 0.77 1.93

200 0.4246 0.39 0.97

400 0.0093 0.19 0.49

800 0.0027 0.10 0.25

Tabel 4.3: De globale integratiefout op IS als functie van ∆t en β wanneerslechts een NR-iteratie per tijdstap uitgevoerd wordt

4.7 Toepassing 1: stroomverdringing in gleufge-leiders

Figuur 4.14 toont de doorsnede van een statorgleuf van een 150 kW kooiankerin-ductiemotor. In de gleuf (met breedte bg) bevinden zich op regelmatige afstandveertien koperen staven met rechthoekige sectie (breedte bs, hoogte hs).De zijwanden en de bodem van de gleuf worden gevormd door het blikpakket,dat perfect permeabel wordt verondersteld (µ =∞). De bovenkant van de gleufgrenst aan de luchtspleet.De veertien staven worden verondersteld tot eenzelfde statorfasewikkeling te be-horen11 en voeren elk eenzelfde stroom I. Als gevolg van de stroomverdringingin de staven zijn de weerstand Rf en de gleufspreidingsinductantie Lf van deveertien geleiders in serie frequentieafhankelijk.

4.7.1 De 1D benadering met een analytische oplossing

Rf en Lf kunnen benaderend op analytische wijze berekend worden [Melk98].Hierbij wordt het 2D probleem herleid tot het 1D probleem waarbij de gelei-ders even breed zijn als de gleuf (zie Figuur 4.14), zodat B = Bx(y, t) 1x,H = Hx(y, t) 1x, Jz(y, t) en A∗z(y, t) niet varieren volgens de x-as. In het 1Dmodel hebben de staven een gereduceerde geleidbaarheid σ′, die gegeven wordtdoor:

σ′ = σbsbg. (4.138)

11 De werkelijke 150 kW motor heeft een tweelaagswikkeling, zodat sommige statorgleuvenstaven van twee verschillende fasen bevatten.

4-30 HOOFDSTUK 4hc + hibg

0bsbg hs hshihi y xz

Figuur 4.14: Doorsnede van een statorgleuf (links) en de 1D benadering (rechts)

De gelijkstroomweerstand R0 en de gelijkstroomgleufspreidingsinductantie L0

worden, met m=14, lz=1 m, hs=1.8 mm, bs=5.3 mm, bg=8.0 mm, hi=1.0 mm,hc=3.8 mm, σ=48 106 S/m en σ′= 31.8 106 S/m, gegeven door:

R0 = mlz

σhsbs= m

lzσ′hsbg

= 3.0573 10−2 Ω, (4.139)

L0 = µ0 lz

(m3

3

hsbg

+m(m+ 1)(2m+ 1)

6

hibg

+m2hcbg

), (4.140)

= 5.3504 10−4 H. (4.141)

De frequentieafhankelijke Rf en Lf worden gegeven door [Melk98]:

Rf = R0

(GR(ζ) +

m2 − 1

3G′R(ζ)

), (4.142)

Lf = L0 + µ0 lz

[(GL(ζ) +

m2 − 1

3G′L(ζ)

)m

2ζ2

hsbg− m3

3

hsbg

], (4.143)

waarbij de functies GR, G′R, GL en G′L als volgt gedefinieerd zijn:

GR(ζ) = ζsinh 2ζ + sin 2ζ

cosh 2ζ − cos 2ζ, G′R(ζ) = 2ζ

sinh ζ − sin ζ

cosh ζ + cos ζ, (4.144)

GL(ζ) = ζsinh 2ζ − sin 2ζ

cosh 2ζ − cos 2ζ, G′L(ζ) = 2ζ

sinh ζ + sin ζ

cosh ζ + cos ζ, (4.145)

met ζ de relatieve hoogte van de staven, betrokken op de indringdiepte δ′:

ζ =hsδ′

en δ′ =

√1

πfµ0σ′. (4.146)


4.7.2 De EE-berekening

Op de zijwanden en de bodem van de gleuf wordt de homogene Neumann-

randvoorwaarde (Ht = 0 of∂A∗z∂n = 0) opgelegd. Op de bovenkant van de gleuf

wordt de homogene Dirichlet-randvoorwaarde A∗z = 0 opgelegd.

De EE-berekeningen worden uitgevoerd met vier verschillende frequenties: f=50,1000, 5000 en 10000 Hz. De indringdiepte δ′ (4.146) varieert hierbij van 12.6 mmtot 0.892 mm, wat 7 tot 0.5 maal de hoogte hs=1.8 mm van de staven is.

Figuur 4.15a toont een vermazing die overeenstemt met de 1D benadering van deanalytische oplossing. De vermazing bestaat uit 254 eerste-orde-elementen en telt256 knooppunten die uitsluitend op de zijwanden van de gleuf liggen. De hoogtevan de elementen in de veertien geleiders is hs/8=0.225 mm, wat bij 10000 Hz(δ′=0.892 mm) nog voldoende klein is om de stroomverdringing voldoende nauw-keurig te modelleren12. In de ruimte tussen de geleiders zijn H en B constant,zodat de vermazing daar niet verfijnd moet worden.

a. 1D vermazing b. 2D vermazing c. 1D flux patroon d. 2D flux patroon

Figuur 4.15: 1D en 2D vermazing, en resp. fluxpatronen

12Een vuistregel zou kunnen zijn dat de typische ’diepte’ van de elementen aan het ’oppervlak’van een massieve geleider minstens een factor drie a vier kleiner moet zijn dan de indringdiepte[Deli94b, Sal95].

4-32 HOOFDSTUK 4

In Figuur 4.15b wordt een uniforme vermazing met 15500 eerste-orde-elementenen 8000 knooppunten getoond. De karakteristieke afmeting van een element is0.213 mm, of ongeveer een negende van de hoogte van de geleiders.

Een sinusoıdale stroom I(t) = I sin(2πft) met frequentie f=50, 1000, 5000 of10000 Hz en amplitude I=1 A wordt door de veertien massieve geleiders opge-drongen13. Als tijdstap nemen we 1/500-ste van een periode. De Cranck-Nicholson-methode (β=0.5) wordt gebruikt. Na vier perioden is met zeer goedebenadering het sinusoıdaal regime bereikt. Figuren 4.15c en 4.15d tonen een 1Den een 2D fluxpatroon.

Figuur 4.16 toont het tijdsverloop van het Joule-verlies in de veertien afzon-derlijke staven bij 1000 Hz. Het Joule-verlies in de onderste staaf is ongeveermaximaal wanneer de stroom maximaal is. Het veld ter hoogte van de onderstestaaf wordt enkel opgewekt door de stroom in deze staaf zelf, en daarenboven isde stroomverdringing bij 1000 Hz verwaarloosbaar (ζ < 1). Het Joule-verlies inde bovenste staaf is veel groter dan in de onderste staaf, en maximaal wanneerde stroom ongeveer nul is (maximale dI

dt ). Het veld ter hoogte van de bovenstestaaf wordt opgewekt door de stroom in alle veertien staven, wat resulteert ineen groot Joule-verlies door het proximity-effect.4.0 4.5 5.00.000.010.020.03 PJ per staaf [W] bovenste staaf f tonderste staaf

Figuur 4.16: Joule-verlies per afzonderlijke staaf versus dimensie-loze tijd f t bij f=1000 Hz

Figuren 4.17 en 4.18 tonen resp. de magnetische energie W en het relatieve Joule-verlies PJ/PJ,gem , berekend met het 1D EE-model, versus de dimensieloze tijdf t, en telkens bij f=50, 1000, 5000 en 10000 Hz.Rf en Lf worden berekend op basis van resp. het gemiddelde Joule-verlies ende gemiddelde magnetische energie, zie ook §4.5. In Tabel 4.4 worden Rf en Lfbekomen met de analytische formules (4.142, 4.143) en met het 1D en het 2DEE-model getabelleerd. De overeenkomst tussen de analytische resultaten en dievan het 1D EE-model is zonder meer goed. De maximale relatieve afwijking isongeveer 0.15%.In Figuren 4.19 en 4.20 wordt de met het 1D EE-model berekende inductie Bxals functie van de hoogte y (y=0 op de gleufbodem; y=0.044 m aan de gleuftop)

13Een gelijkaardig stroomverdringingsprobleem wordt in [Sal93b] behandeld in het frequen-tiedomein. De stroom in de massieve geleiders wordt daarbij opgedrongen d.m.v. bijkomendestroomvergelijkingen, en dus niet m.b.v. de T ′M -matrix.


4.0 4.5 5.0012 50 Hz1000 Hz5000 Hz10000 HzW [104 J] f tFiguur 4.17: Magnetische energie W [J] ver-sus dimensieloze tijd f t, bij f=50, 1000, 5000en 10000 Hz

4.0 4.5 5.0012 f tPJ=PJ;gemFiguur 4.18: Relatief Joule-verliesPJ/PJ,gem versus dimensieloze tijd f t,bij f=50, 1000, 5000 en 10000 Hz (zelfdelegende als in Figuur 4.17

analytisch 1D EE-model 2D EE-model

f ζ Rf Lf Rf Lf Rf Lf

[Hz] [–] [Ω] [10−4 H] [Ω] [10−4 H] [Ω] [10−4 H]

50 0.1426 0.030848 5.3504 0.030850 5.3518 0.030859 5.3445

1000 0.6378 0.13989 5.3363 0.13978 5.3342 0.13967 5.3259

5000 1.4261 2.3888 5.0459 2.3836 5.0396 2.2597 5.0001

10000 2.0168 6.6475 4.5014 6.6522 4.4948 5.7942 4.4810

Tabel 4.4: Rf en Lf als functie van frequentie f , analytisch berekend, en met m.b.v. het 1Den het 2D EE-model

getoond, bij resp. f=50 Hz en 1000 Hz. Het reele deel (in fase met de stroom I(t))en het imaginaire deel (90 voorijlend op de stroom) van de oplossing stemmenhierbij overeen met resp. t=0.085 s en 0.080 s bij 50 Hz, en resp. t=0.00425 s en0.00400 s bij 1000 Hz.In Figuren 4.21 en 4.22 wordt de stroomdichtheid Jz als functie van de hoogte ybij resp. f=50 Hz en 1000 Hz getoond.

4-34 HOOFDSTUK 4

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5103 ReImBx [T] y [m]bodem topFiguur 4.19: Bx(y) bij f=50 Hz

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5103 ReImy [m]Bx [T] topbodemFiguur 4.20: Bx(y) bij f=1000 Hz

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04-20246104 ReIm y [m]Jz [A/m2]Figuur 4.21: Jz(y) bij f=50 Hz

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04-505105 ReImJz [A/m2] y [m]Figuur 4.22: Jz(y) bij f=1000 Hz

4.8 Toepassing 2: fluxverdringing in een gelei-dende bol

We beschouwen een geleidende bol (straal R, relatieve magnetische permeabiliteitµrel = µ/µ0, elektrische geleidbaarheid σ) geplaatst in een homogeen veld B(t) =B0 sin(2πft) 1z volgens de z-as, dat sinusoıdaal varieert in de tijd met frequentief en amplitude B0.

4.8.1 Analytische oplossing

In o.m. [Dul96, Rem97] vindt men de analytische uitdrukking voor de (complexevoorstelling van de) inductie B(ρ, θ) in het sinusoıdale regime. De betekenis vande bolcoordinaten ρ en θ wordt aangegeven in Figuur 4.23.

voor ρ < R: B(ρ, θ) =

2C1

ρj1(kρ)B0 sin θ 1ρ −

C1

2ρ

(j1(kρ) + kρ

(j0(kρ)− j2(kρ)

))B0 sin θ 1θ, (4.147)

voor ρ > R: B(ρ, θ) =(1 +

2C2

ρ3

)B0 cos θ 1ρ −

(1− C2

ρ3

)B0 sin θ 1θ, (4.148)


met de complexe getallen k, C1, C2 en D als volgt gedefinieerd:

k =1− jδ

, δ =

√2

ωµσ, (4.149)

D = j1(kR)

(1− 1

µrel

)+kR

µrelj0(kR), (4.150)

C1 =3R

2D, C2 =

R3

D

(j1(kR)

(1 +

1

2µrel

)− kR

2µrelj0(kR)

), (4.151)

en met j0, j1 en j2 sferische Besselse functies van orde 0, 1 en 2:

j0(c) =1

csin c, j1(c) =

1

c

(1

csin c− cos c

), (4.152)

j2(c) =1

c

((3

c2− 1

)sin c− 3

ccos c

). (4.153)A = 0 A =B0r2maxR00 0@A@n = 0

@A@n = 0 rzR zmax (; ) rmax

Figuur 4.23: EE-model van een geleidendesfeer in een sinusoıdaal varierend homogeenveld

Figuur 4.24: Vermazing van de geleidendebol

4.8.2 EE-berekening

Figuur 4.23 toont het axisymmetrische EE-model. Wegens de symmetrie t.o.v.z = 0 wordt slechts een halve bol gemodelleerd, wat overeenkomt met een kwartcirkelschijf in het rz-vlak. De halve bol is een op zichzelf kortgesloten massievegeleider (VM = 0).De buitenrand van het EE-gebied wordt bepaald door rmax en zmax , die beidevoldoende groter moeten zijn dan de straal van de bol. Op de verticale randenr = 0 en r = rmax worden resp. A∗φ = 0 en A∗φ = −πr2

maxB0 sin(2πft) opgelegd.

De berekeningen worden uitgevoerd metR=50 mm, rmax=zmax=500 mm, µrel=1,σ=60 106 S/m en B0 = 1 T. Er worden twee frequenties beschouwd, nl. 50 Hz en

4-36 HOOFDSTUK 4

1000 Hz. De indringdiepte δ is resp. 9.19 mm en 2.05 mm. Figuur 4.24 toont devermazing van de bol. De tijdstap is 1/500-ste van een periode. Twee periodenvolstaan om met goede benadering het sinusoıdale regime te bereiken. Het reeleen het imaginaire deel van de analytische oplossing, resp. in fase met en 90 voor-ijlend op het homogene veld, stemmen bij 50 Hz overeen met resp. t=0.060 s en0.055 s van de EE-oplossing; bij 1000 Hz met resp. t=0.00300 s en 0.00275 s.

In Figuur 4.25 wordt het reele deel van het fluxpatroon bij 50 Hz getoond. Fi-guren 4.27 t.e.m. 4.32 tonen het verloop van het reele en het imaginaire deelvan B langs lijnstukken 1, 2 en 3 (zie Figuur 4.26) berekend met de analytischeuitdrukkingen (4.147, 4.148) en bekomen met het EE-model. De relatief ruweEE-vermazing in acht nemend, is de overeenkomst tussen de analytische oplossingen de EE-oplossing bevredigend.

Figuur 4.25: Fluxpatroon bij 50 Hz (isolijnen

van Re(A∗φ

))

2R lijnstuk 3lijnstuk 1lijnstuk 2z

r2RR 45 RFiguur 4.26: Lijnstukken 1, 2 en 3 in het rz-vlak

0.00 0.05 0.10-0.50.00.51.01.5 EE-oplossinganalyt. opl.r [m]Bz [T] ReIm

Figuur 4.27: Bz(r) langs lijnstuk 1 bij 50 Hz

0.00 0.05 0.10-0.50.00.51.01.5 EE-oplossinganalyt. opl.Bz [T]r [m]

ReImFiguur 4.28: Bz(r) langs lijnstuk 1 bij1000 Hz


0.00 0.05 0.10-0.8-0.6-0.4-0.20.00.2 EE-opl.analyt. opl.ReIm [m]

Br [T]Figuur 4.29: Br(ρ) langs lijnstuk 2 bij1000 Hz

0.00 0.05 0.100.00.51.0 EE-opl.analyt. opl.ReIm [m]Bz [T]

Figuur 4.30: Bz(ρ) langs lijnstuk 2 bij1000 Hz

0.00 0.05 0.100.00.51.0 EE-oplossinganalyt. opl. z [m]Bz [T] ReIm

Figuur 4.31: Bz(z) langs lijnstuk 3 bij 50 Hz

0.00 0.05 0.100.00.51.0 EE-oplossinganalyt. opl. ReImBz [T]

z [m]Figuur 4.32: Bz(z) langs lijnstuk 3 bij1000 Hz

4.9 Besluit

In dit hoofdstuk werden 2D magnetodynamische veldproblemen beschouwd. Indergelijke veldproblemen komen een of meerdere massieve geleiders voor. Ditzijn geleiders die een niet-uniforme veldafhankelijke stroomverdeling vertonen alsgevolg van het skin- en het proximity-effect. Naast de massieve geleiders zijn erook de gewikkelde geleiders of spoelen, waarin de stroomverdeling a priori gekendis.

Zoals in het statische geval (Hoofdstuk 2) werden zowel translatiesymmetrischeals axisymmetrische problemen beschouwd. We bekomen (in matrixnotatie) eenidentiek stelsel differentiaalvergelijkingen. De gewikkelde en de massieve geleiderszijn spannings- of stroomgevoed.

Voor lineaire systemen (zonder verzadiging) kunnen de dynamische EE-vergelijk-ingen opgelost worden in het frequentiedomein m.b.v. de complexe notatie. Voor

4-38 HOOFDSTUK 4

niet-lineaire problemen kan dit ook, zij het benaderend.

De differentiaalvergelijkingen kunnen ook opgelost worden d.m.v. time-stepping.In dit werk beperken we ons tot een eenvoudige tijdsdiscretisatiemethode meteen parameter β (tussen 0.5 en 1), die o.a. de Crank-Nicholson-methode (β =0.5) en de achterwaartse Euler-methode (β = 1) geeft. Enkele aspecten vanstabiliteit en nauwkeurigheid werden onderzocht en geıllustreerd aan de handvan een eenvoudige toepassing.

De ontwikkelde software werd gevalideerd aan de hand van twee lineaire proble-men met een analytische oplossing: enerzijds een translatiesymmetrisch stroom-verdringingsprobleem, anderzijds een axisymmetrisch fluxverdringingsprobleem.

Hoofdstuk 5

Modellering van wervelstromen inelektroblik

Vele statische en roterende elektromagnetische energieomzetters hebben een mag-netische kern die opgebouwd is uit dunne geısoleerde lamellen (elektroblik), zodatde flux in de kern hoofdzakelijk evenwijdig met het vlak van de lamellen loopt. Bijeen varierende flux in de kern worden er parasitaire wervelstromen geınduceerd,die zich wegens de heterogene magnetische domeinstructuur van het elektrobliksitueren op verschillende ruimtelijke schalen. Op basis hiervan kan het verliesgeassocieerd met de wervelstromen, het ijzerverlies, opgesplitst worden in ver-schillende componenten. Dit wordt kort bestudeerd in §5.1.

Een van de verliescomponenten is het zgn. klassieke dynamische verlies, d.i. hetwervelstroomverlies dat zou optreden in een (ideaal) homogene lamel. De een-voudige formule waarmee men dit verlies meestal berekent en die ook in §5.1afgeleid wordt, impliceert dat de fluxverdringing en de randeffecten in de lamel-len verwaarloosd kunnen worden. Deze effecten worden bestudeerd aan de handvan 1D, 2D en 3D modellen van een lamel, in resp. §5.2, §5.3 en §5.4.

In een 2D translatiesymmetrisch model van een elektrische machine wordt door-gaans een doorsnede evenwijdig met de lamellen (het xy-vlak) beschouwd. Denuttige stroom (in de gewikkelde en de massieve geleiders) is hierbij gericht vol-gens de derde dimensie (de z-as). De parasitaire wervelstromen in de lamellen,die hoofdzakelijk evenwijdig met de lamellen lopen, kunnen in een dergelijk 2Dmodel zeker niet expliciet gemodelleerd worden. Het geassocieerde verlies kan weldirect in rekening gebracht worden met de originele methode die in §5.5 ontwik-keld wordt. Deze methode impliceert dat de fluxverdringing en de randeffectenin de lamellen verwaarloosd worden. Ze wordt geıllustreerd en gevalideerd aande hand van een voorbeeld.

Deze studie vindt men ook in gecondenseerde vorm terug in [Gys99a].

5-2 HOOFDSTUK 5

5.1 Scheiding van het ijzerverlies

Het ijzerverlies in elektroblik wordt klassiek opgesplitst in het quasi-statischehysteresisverlies en het dynamische verlies. Het dynamische verlies kan verderopgesplitst worden in het klassieke (dynamische) verlies (classical loss) en hetextra-dynamische verlies (excess loss), zie bv. [Ber98].

Bij een periodieke excitatie kunnen de verliezen per cyclus en per volume-eenheid,dimensie [J/m3], als volgt geschreven worden:

wFe = whys + wdyn , (5.1)

= whys + wcl + wexc . (5.2)

Bij een alternerende (d.i. unidirectionele) en sinusoıdale macroscopische inductie,met amplitude B en frequentie f , hebben de drie componenten in (5.2) elk eenspecifieke B- en f -afhankelijkheid.

Het quasi-statische hysteresisverlies whys [J/m3] is de oppervlakte omsloten door

de quasi-statische (f → 0) BH-lus met piekwaarde B. Het wordt ook als volgtbenaderd:

whys(B) ≈ Chys Ba, (5.3)

waarbij Chys en a materiaalafhankelijke parameters zijn.

Het klassieke dynamische verlies wcl is het wervelstroomverlies dat zou optredenin een (ideaal) homogene lamel (d.i. zonder magnetische domeinen):

wcl(B, f) =1

6σπ2d2 f B2, (5.4)

met d de dikte en σ de geleidbaarheid van de lamel.

Formule (5.4) veronderstelt dat de fluxverdringing en de randeffecten in de la-mellen verwaarloosd kunnen worden. Deze effecten worden verder in §5.2, §5.3en §5.4 bestudeerd aan de hand van resp. 1D, 2D en 3D modellen van een lamel.

Het extra-dynamische verlies is geassocieerd met de wervelstromen rond de be-wegende domeinmuren. Het kan als volgt geschreven worden:

wexc(B, f) = Cexc f0.5 B1.5, (5.5)

met Cexc een materiaalafhankelijke constante.

De frequentieafhankelijkheid van de verliescomponenten wordt ook voorgesteldin Figuur 5.1.

Het ijzerverlies bij rotationele flux (waarbij de macroscopische B-vector een con-stante grootte B en een constante hoeksnelheid in het BxBy-vlak heeft) kan opeenzelfde manier opgesplitst worden als bij alternerende flux (5.1–5.2). Ook kanmen uitdrukkingen vinden voor het ogenblikkelijke wervelstroom- en extradyna-mische verlies, bij zowel alternerende als rotationele flux. We komen hier o.m. in§6.5 op terug.

Modellering van wervelstromen in elektroblik 5-3wclwFe [J/m3] wexcwhys f [Hz]Figuur 5.1: Frequentieafhankelijkheid van de ijzerverliescomponentenbij sinusoıdale inductie met gegeven amplitude B

5.2 1D modellering van een lamel

We beschouwen een lamel met breedte b, lengte l en dikte d, volgens resp. de x-,de y- en de z-as, zie Figuur 5.2. Het midden van de lamel valt samen met hetvlak z = 0. We veronderstellen verder dat het materiaal homogeen is.xyz dbl

Figuur 5.2: Lamel met breedte b, lengte l en dikte d

Het wervelstroomprobleem in een lamel wordt beheerst door de volgende diffe-rentiaalvergelijkingen:

∇× E = −∂B∂ t

, (5.6)

∇× H = J , (5.7)

∇· B = 0, (5.8)

aangevuld met de volgende constitutieve vergelijkingen:

J = σE, (5.9)

B = ¯µ(H)H of H = ¯ν(B)B, (5.10)

en de nodige randen beginvoorwaarden.

Het vermogen P [W] geleverd aan de lamel (met volume V = bld) is gelijkaan de integraal van de Poynting-vector H × E over het oppervlak ∂V van de

5-4 HOOFDSTUK 5

lamel. Door het toepassen van de divergentiestelling en rekening houdend met∇·(H × E) = (∇× H) · E − (∇× E) · H, zie ook §1.3, kan P opgesplitst wordenin twee termen:

P =

∫∂V

(H × E) · n ds, (5.11)

=

∫V

J · E dv +

∫V

H · ∂B∂ t

dv. (5.12)

De eerste term in het rechterlid van (5.12) is het klassieke (macroscopische) wer-velstroomverlies. De tweede term kan in het geval van periodieke excitatie alsvolgt geınterpreteerd worden. In reversibele media (met een eenwaardig verbandtussen B en H) is er geen energiedissipatie, en is deze term uitgemiddeld overeen periode nul. In irreversibele media (met een meerwaardig verband tussende macroscopische inductie B en het macroscopische magnetische veld H), is erwel dissipatie en is de tweede term, na integratie over een periode, gelijk aan desom van het quasi-statische hysteresisverlies whys en het extra-dynamische verlieswexc .

We beschouwen nu een flux Φ(t) = Φx(t) 1x + Φy(t) 1y evenwijdig met het vlakvan de lamel (het xy-vlak). In het geval van een sinusoıdale tijdsvariatie, is deflux zuiver alternerend of zuiver rotationeel als Φx(t) en Φy(t) resp. in fase of inkwadratuur zijn.

Eindeffecten in de lamel kunnen verwaarloosd worden als de lengte l en de breedteb veel groter zijn dan de dikte d. In dat geval hebben E, J , B en H enkel van nulverschillende x- en y-componenten, die varieren met z en t. Daarenboven zijn Ben H symmetrisch t.o.v. z = 0, terwijl E en J anti-symmetrisch zijn t.o.v. z = 0,zoals voorgesteld in Figuur 5.3. By(z; t)Bx(z; t) z Jy(z; t)Jx(z; t) z Hy(z; t)Hx(z; t) zd

Figuur 5.3: Symmetrie en anti-symmetrie van B(z, t), J(z, t) en H(z, t) t.o.v. z = 0

Uit (5.6) volgt:

E(z, t) =

z∫0

(∂By(z′, t)

∂ t1x −

∂Bx(z′, t)

∂ t1y

)dz′. (5.13)

Uit (5.13) en de symmetrie van B en H volgt dat het vermogen P (5.11) geleverdaan de lamel als volgt geschreven kan worden:

P = bld Hr ·dBgdt

, (5.14)

Modellering van wervelstromen in elektroblik 5-5

met Hr(t) het magnetische veld aan de rand van de lamel en Bg(t) de over dedikte uitgemiddelde inductie:

Hr(t) = H(z =d

2, t) = H(z = −d

2, t), (5.15)

Bg(t) =1

d

d/2∫−d/2

B(z, t) dz. (5.16)

Bij een periodieke excitatie met frequentie f wordt het totale ijzerverlies wFe

[J/m3] per volume-eenheid en per cyclus gegeven door:

wFe =

t0+1/f∫t0

Hr ·dBgdt

dt. (5.17)

Bg en Hr zijn de grootheden die uitwendig waarneembaar zijn. Ter illustratiebeschouwen we een massieve ringkern van geleidend materiaal zoals voorgesteldin Figuur 5.4. De ringkern (met gemiddelde straal rgem en vierkante sectie metbreedte b en hoogte d) is voorzien van een gelijkmatig verdeelde wikkeling met nwindingen. De fluxlijnen in de ringkern zijn concentrische cirkels met gemiddeldeweglengte l = 2πrgem .

b drgem Czy x C0 stroombekrachtigings-C C0 wervelstromennI y xzFiguur 5.4: Geleidende ringkern met bekrachtigingswikkeling en parasitaire wervelstromen

Als de stroom I in de wikkeling varieert in de tijd, ontstaan wervelstromen inde kern, die zich in een dwarsdoorsnede sluiten zoals voorgesteld in Figuur 5.4(rechts). De zin van de wervelstromen is afhankelijk van het teken van dI

dt (dewet van Lenz).Fluxlijnen op de rand van de ringkern (zoals kring C in Figuur 5.4) zijn gekoppeldmet de nI(t) Ampere-windingen van de bekrachtigingswikkeling, terwijl fluxlijnenin het inwendige van de ringkern (zoals kring C ′) eveneens gekoppeld zijn meteen deel van de wervelstromen.Als 2πrgem b d (wat duidelijkheidshalve niet het geval is in Figuur 5.4),betreft het een 1D probleem met alternerende excitatie. Het magnetische veld

5-6 HOOFDSTUK 5

Hr(t) op de rand wordt eenduidig bepaald door de stroom I(t):

Hr(t) =nI(t)

l. (5.18)

Anderzijds bepaalt de gemiddeld inductie Bg in een dwarsdoorsnede van de ring-kern de flux Ψ die gekoppeld is met de nI Ampere-windingen:

Ψ(t) = nbdBg(t). (5.19)

Het vermogen P dat via de bekrachtigingswikkeling aan de ringkern wordt gele-verd is:

P = IdΨ

dt= bld Hr

dBgdt

, (5.20)

wat in overeenstemming is met (5.14).

Bij de verdere 1D studie van de wervelstromen in een lamel beschouwen wede volgende drie gevallen: het geval waarbij de fluxverdringing verwaarloosdwordt (d.i. B is constant doorheen de dikte van de lamel), het lineaire geval(µ en ν constant) met een analytische oplossing waarbij de fluxverdringing nietverwaarloosd wordt, en de 1D EE-modellering waarbij zowel de fluxverdringingals de niet-lineariteit van het materiaal in rekening gebracht worden.

5.2.1 Verwaarlozing van de fluxverdringing

We veronderstellen dat de magnetische inductie constant is doorheen de diktevan de lamel:

B(z, t) = Bg(t). (5.21)

Uit (5.6, 5.7, 5.9) volgen een lineair en een parabolisch verloop van resp. J en Hdoorheen de dikte (0 ≤ z ≤ d/2):

J(z, t) = σ z

(−dBgy

dt1x +

dBgxdt

1y

), (5.22)

H(z, t) = Hr(t)− σdBgdt

(d2

8− z2

2

). (5.23)

De gemiddelde veldsterkte Hg wordt gegeven door:

Hg(t) =1

d

d/2∫−d/2

H(z, t) dz = Hr(t)−σd2

12

dBgdt

, (5.24)

wat het volgende belangrijke verband tussen Hr, Hg endBgdt

geeft [Ber98]:

Hr(t) = Hg(t) +σd2

12

dBgdt

. (5.25)


Door vermenigvuldiging van Hr en Hg met een equivalente weglengte leq, Bg meteen equivalente sectie Seq, en 12/(σd2) met de specifieke permeantie Seq/leq, be-komen we het elektrische analogon van vergelijking (5.25) dat getoond wordt inFiguur 5.5. De twee parallelle takken in het elektrische circuit stemmen overeenmet de magnetiseringstak en de ijzerverliesweerstandstak in een klassiek vervan-gingsschema van een transformator of een inductiemachine. De ijzerverliesweer-stand geeft een verlies [W] dat bij een sinusoıdale Bg (of e.m.k.) evenredig is met

B2g en f2.

In [Car98] wordt voorgesteld om het circuit in Figuur 5.5 uit te breiden met paral-lelle RL- en RC-takken. Deze takken geven dan bijkomende verliescomponenten,met een andere dan kwadratische frequentieafhankelijkheid.leq Hr

leq Hg Seqleq 12d2+Seq d BgdtFiguur 5.5: Het elektrische analogon van vergelijking (5.25)

Het ogenblikkelijke wervelstroomverlies per volume-eenheid, pcl [W/m3], wordtbekomen door uitmiddeling van de verliesdichtheid J2/σ over de dikte d:

pcl =1

d

d2∫

− d2

1

σJ2 dz =

σ

d

(dBgdt

)2d2∫

− d2

z2 dz =σd2

12

(dBgdt

)2

. (5.26)

Merk op dat de bovenstaande uitdrukking niet afhangt van het verband tussenBg en Hg.

Bij een sinusoıdaal varierende flux volgens een vaste richting, bv. volgens de x-as,met amplitude Bg en frequentie f (pulsatie ω = 2πf):

Bg(t) = Bg cosωt 1x, (5.27)

is het verlies pcl [W/m3] uitgemiddeld over de dikte en de tijd:

pcl =1

6σπ2d2 f2 B2

g , (5.28)

wat overeenstemt met de uitdrukking (5.4) voor wcl .

Indien de flux geen vaste ruimtelijke richting heeft, maar (al of niet zuiver) rotati-oneel is, kunnen de verliezen geassocieerd met de fluxcomponenten volgens resp.de x- en de y-as eenvoudigweg opgeteld worden. Dit geldt voor zowel lineaire alsniet-lineaire materialen.

5-8 HOOFDSTUK 5

In het geval van een zuiver rotationele flux met amplitude Bg en hoeksnelheid ω[rad/s]:

Bg(t) = Bg(cosωt 1x ± sinωt 1y), (5.29)

is het wervelstroomverlies dubbel zo groot als in het zuiver alternerende geval.

Uit (5.14) en (5.25) volgt eveneens dat het ogenblikkelijke vermogen P gele-verd aan de lamel bestaat uit twee termen: het klassieke wervelstroomverlies(5.26) en (na eventuele integratie over een cyclus) het (quasi-statische en extra-dynamische) hysteresisverlies geassocieerd met het meerwaardige verband tussenBg en Hg.

In §5.5 wordt aangetoond dat de vergelijking (5.25) op eenvoudige wijze kangeımplementeerd worden in 2D EE-veldberekeningen waarbij een xy-doorsnedeevenwijdig met de lamellen beschouwd wordt.

We bekijken nu hoe de differentiaalvergelijking (5.25), voorlopig nog niet geımple-menteerd in een EE-model, opgelost kan worden d.m.v. time-stepping. Een ge-kend (al of niet eenwaardig) verband tussen Bg en Hg wordt verondersteld. Weonderscheiden twee gevallen: ofwel is Hr een gekende functie van de tijd en wor-den Hg(t) en Bg(t) berekend, ofwel is Bg(t) een gekende functie van de tijd enworden Hg(t) en Hr(t) berekend.

Berekening van Hg(t) en Bg(t) met gekende Hr(t)

Rekening houdend met:

dBgdt

=∂Bg∂Hg

dHg

dt= ¯µ∂

dHg

dt, (5.30)

wordt (5.25) als een niet-lineaire eerste-orde-differentiaalvergelijking in Hg(t) her-schreven:

σd2

12¯µ∂(Hg)

dHg

dt+ Hg = Hr. (5.31)

Voor een tijdstap ∆t van t− naar t+ = t− + ∆t wordt ¯µ∂dHg

dtop t+ als volgt

benaderd:(¯µ∂dH+

g

dt

)+

= ¯µ∂(H+

g )H+g − H−g

∆t, (5.32)

en wordt differentiaalvergelijking (5.31) herleid tot een algebraısche vectorverge-lijking:(

¯1 +σd2

12∆t¯µ∂+

)H+

g =σd2

12∆t¯µ∂+ H−g + H+

r , (5.33)

met een SPD tensor in het linkerlid. Vergelijking (5.33) is niet-lineair daar ¯µ∂+

functie is H+g .


Berekening van Hg(t) en Hr(t) met gekende Bg(t)

H+g volgt onmiddellijk1 uit de gekende B+

g . Uit een achterwaartse differentiebe-

nadering vandBgdt

volgt H+r :

H+

r = H+

g +σd2

12

B+g − B−g

∆t. (5.34)

Voorbeeld

Bij wijze van illustratie beschouwen we een lamel met dikte d=0.65 mm en ge-leidbaarheid σ=3 106 S/m. Het verband tussen Bg en Hg wordt gegeven doorde analytische uitdrukking van Brauer voor materiaal VH800-65D, zie §3.1. Fi-guren 5.6 en 5.7 tonen de berekende BgHr-loci bij unidirectionele excitatie met

resp. sinusoıdale Bg(t) (Bg=1.5 T) en sinusoıdale Hr(t) (Hr=420 A/m), bij 0 Hz,50 Hz en 200 Hz. Bij 0 Hz bekomen we de vooropgestelde eenwaardige BH-karakteristiek van het materiaal (die door het punt (420 A/m, 1.5 T) gaat).Bij sinusoıdale Bg neemt het klassieke wervelstroomverlies wcl [J/m3] evenredigtoe met de frequentie (234.5 J/m3 en 938.0 J/m3 bij resp. 50 Hz en 200 Hz). Bijsinusoıdale Hr neemt het verlies minder dan evenredig toe met de frequentie(470.3 J/m3 en 1270.9 J/m3 bij resp. 50 Hz en 200 Hz).

-400 -200 0 200 400-101 0 Hz50 Hz200 HzHr [A/m]Bg [T]

Figuur 5.6: BgHr-lussen bij sinusoıdaleBg(t) met f=0 Hz, 50 Hz en 200 Hz

-400 -200 0 200 400-101 0 Hz50 Hz200 HzHr [A/m]Bg [T]

Figuur 5.7: BgHr-lussen bij sinusoıdaleHr(t) met f=0 Hz, 50 Hz en 200 Hz

5.2.2 Het lineaire geval met een analytische oplossing

Als het materiaal lineair en isotroop is, d.i. µ en ν constant en scalair, kan meneen analytische uitdrukking voor de elektromagnetische velden en het wervel-

1Wanneer het verband tussen Hg en Bg gegeven wordt door het vector-Preisach-model,vereist dit het inverteren van het Preisach-model. Immers, de input van het (directe) Preisach-model is Hg , de output Bg . Het Preisach-model en het inverteren ervan worden besproken inHoofdstuk 6.

5-10 HOOFDSTUK 5

stroomverlies afleiden, waarbij de fluxverdringing niet verwaarloosd wordt, ziebv. [Lam66, Melk98].

Voor een sinusoıdale alternerende flux met amplitude Bg en frequentie f wordthet wervelstroomverlies pcl [W/m3], uitgemiddeld in de tijd en over de dikte,gegeven door de volgende analytische uitdrukking:

Pcl =1

6σπ2d2 f2 B2

g Fsk(λ). (5.35)

De fluxverdringing (skin effect) is vervat in de factor Fsk , die een functie is vande verhouding λ van de lameldikte d en de indringdiepte δ:

Fsk (λ) =3

λ

sinhλ− sinλ

coshλ− cosλ, λ =

d

δ, δ =

√1

πfσµ. (5.36)

Het verloop van de functie Fsk (λ) wordt voorgesteld in Figuur 5.8. Voor voldoendlage frequenties (bv. λ ≤ 1) is Fsk ongeveer 1 (0.998 ≤ Fsk ≤ 1). Bij voldoendhoge frequenties (bv. λ > 5) is Fsk omgekeerd evenredig met λ of omgekeerdevenredig met

√f . Het wervelstroomverlies in [W/m3] of [W/kg] heeft dan een

f1.5-afhankelijkheid.

0 5 100.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

FskFiguur 5.8: Fluxverdringingsfactor Fsk als functie van de relatieve lameldikte λ

De relatieve lameldikte λ wordt in Tabel 5.1 gegeven voor d=0.65 mm en σ=3106 S/m, met f=50 Hz, 200 Hz of 1000 Hz, en relatieve permeabiliteit µrel=5000,1000 of 200. De fluxverdringing is steeds verwaarloosbaar bij 50 Hz. Bij hogerefrequenties en hoge permeabiliteit kan de fluxverdringing wel beduidend zijn.

Vermits het medium lineair verondersteld wordt, kan superpositie toegepast wor-den bij de berekening de velden en het geassocieerde verlies, en dit zowel ruimte-lijk (ontbinding in de x- en de y-component) als voor de tijdsharmonischen vaneen periodiek in de tijd varierende excitatie. Beschouw bv. een periodieke fluxdie n frequentiecomponenten bevat met resp. frequenties fi en resp. amplitudesBgx,i en Bgy,i volgens resp. de x- en de y-as. Het wervelstroomverlies pcl [W/kg]wordt gegeven door:

pcl =1

6σπ2d2

n∑i=1

f2i

(B2gx,i + B2

gy,i

)Fsk(λi). (5.37)


µrel = 5000 µrel = 1000 µrel = 200

f = 50 Hz 1.118 0.500 0.224

f = 200 Hz 2.237 1.000 0.447

f = 1000 Hz 5.002 2.237 1.000

Tabel 5.1: Relatieve lameldikte λ bij verschillende waarden van µrel en f ,met d=0.65 mm en σ=3 106 S/m

5.2.3 1D EE-modellering van een lamel

De vergelijkingen (5.6–5.10) kunnen met de EE-methode opgelost worden, hetzijin termen van het magnetische veld H:

∇×(∇× H) = −σ∂(¯µH)

∂ t, (5.38)

hetzij in termen van de magnetische vectorpotentiaal A:

∇×(¯ν ∇× A) = −σ∂A∂ t

, (5.39)

met B = ∇× A en E = −∂A∂ t

.

In het 1D isotrope geval kunnen de H- en A-formulering (5.38–5.39) van hetwervelstroomprobleem elk tot twee onderling gekoppelde vergelijkingen herleidworden:

∂2Hx

∂z2= σ

∂(µHx)

∂ t,∂2Hy

∂z2= σ

∂(µHy)

∂ t, (5.40)

∂

∂z

(ν∂Ax∂z

)= σ

∂Ax∂ t

,∂

∂z

(ν∂Ay∂z

)= σ

∂Ay∂ t

, (5.41)

met, voor niet-lineaire media, µ een functie van H2 = H2x +H2

y en ν een functie

van B2 = B2x +B2

y =(− ∂Ay

∂z

)2

+(∂Ax∂z

)2

.

In het algemene, niet-lineaire geval kunnen de vergelijkingen (5.40) en (5.41)numeriek opgelost worden d.m.v. de EE-methode, waarbij de halve dikte van delamel (0 ≤ z ≤ d/2) gediscretiseerd wordt.De H-formulering (5.40) met opgedrongen alternerende flux en met een snelheids-afhankelijk Preisach-model wordt gebruikt in o.a. [Dup95, Rou96]. In [Dup98a]wordt een vector-Preisach-model gebruikt bij simulaties met rotationele excitatie.

In plaats van een afzonderlijk 1D EE-programma te ontwikkelen voor dit spe-cifieke (wervelstroom)probleem, kan het programma voor 2D EE-simulaties ge-bruikt worden. We maken daarbij een onderscheid tussen alternerende en rota-tionele excitatie. Het tweede geval vraagt een kleine aanpassing van de software.

5-12 HOOFDSTUK 5

5.2.3.1 Alternerende excitatie

We beschouwen een alternerende flux volgens bv. de x-as: B = Bx(z, t)1x.De wervelstromen hebben enkel een van nul verschillende y-component: J =Jy(z, t) 1y.

Vermits de stroomdichtheid maar een van nul verschillende component heeft,en de inductie er loodrecht op staat, kan het 1D wervelstroomprobleem opge-lost worden met het 2D EE-programma Mag2D. Daartoe wordt (impliciet) eencoordinatentransformatie x′y′z′ ↔ xyz doorgevoerd. Het xyz-assenstel, zoals inFiguur 5.2, is dat waarin het 1D (evenals verder het 2D en het 3D) wervelstroom-probleem in een lamel gesteld is. De 2D veldproblemen die opgelost worden metMag2D worden gesteld in het x′y′z′-assenstelsel, waarbij de stroomdichtheidslechts een van nul verschillende z′-component heeft: J = Jz′(x

′, y′, t) 1z′ .

In Figuur 5.9 wordt het rechthoekig gebiedje met hoogte d/2 en willekeurig tekiezen breedte c getoond, waarin de 1D variatie van Bx en Jy gemodelleerd kanworden m.b.v. Mag2D. zd=2 Bx(z; t) z0yx x0y0Jy(z; t)c

Figuur 5.9: Alternerende flux volgens de x-as, en rechthoekig gebiedje met hoogted/2 en willekeurig te kiezen breedte c voor een 2D simulatie met Mag2D

Figuur 5.10 toont het 2D EE-model in het x′y′z′-assenstelsel. Het bestaat uiteen massieve geleider met lengte d/2 en willekeurig te kiezen dikte c, waarin devariatie van de inductie Bx′ (met x′ ≡ x) en van de wervelstromen Jz′ (metz′ ≡ y) volgens de y′-as (met y′ ≡ z) gemodelleerd wordt.

Een vermazing met enkel knooppunten op de rand wordt gebruikt. Het aantalverdelingen van de halve lengte d/2 volgens de z-as is 64 (zie Figuur 5.10). Vol-gens de vuistregel aangehaald in §4.7 moet dit toelaten om fluxverdringing meteen indringdiepte δ die groter dan of gelijk is aan d/32 voldoende nauwkeurig temodelleren.

Teneinde een 1D variatie volgens de z-as te bekomen, en geen variatie volgensde x-as, wordt op de verticale zijden met lengte d/2 de homogene Neumann-

voorwaarde∂Ay∂n = 0 opgelegd. Op de onderste zijde met lengte c wordt de

Dirichlet-randvoorwaarde Ay(z = 0, t) = 0 opgelegd. De bovenste zijde heefteen al of niet vlottende potentiaal. De fluxlijnen zijn horizontale lijnstukjes metlengte c, zie Figuur 5.11.

Zoals in §5.2.1 kunnen twee gevallen beschouwd worden: enerzijds een opgelegdeflux of Bgx(t), anderzijds een opgelegde Hrx(t). De flux wordt opgelegd d.m.v.


y z0Jyd=2 x x0@Ay@n = 0Ay = d2Bgx z y0@Ay@n = 0 Bx = @Ay@zAy = 0 zcFiguur 5.10: 2D EE-model in het x′y′-vlakvan een halve lamel met opgelegde alterne-rende flux volgens de x-as

ccHrxAy = csteAy = 0 uxlijnFiguur 5.11: Het opdringen van Hrx(t)d.m.v. een m.m.k.-bron met m.m.k. cHrx(t)

de volgende Dirichlet-randvoorwaarde:

Ay(z =d

2, t) = −d

2Bgx(t). (5.42)

Zoals voorgesteld in Figuur 5.11 wordt Hrx(t) opgelegd d.m.v. een koppeling meteen magnetisch netwerk (zie §2.8). De twee verticale randen met lengte d/2 vanhet EE-model zijn fluxpoorten, terwijl de twee horizontale randen met lengte cfluxmuren zijn. De onderste muur is de referentiemuur met Ay = 0. De bovenstemuur heeft een vlottende potentiaal. Het triviale magnetische netwerk bevatenkel een m.m.k.-bron met m.m.k. cHrx(t).

Ter controle van het model wordt de fluxverdringingsfactor Fsk (verhouding vanhet wervelstroomverlies met en zonder fluxverdringing) berekend voor het lineairegeval (µrel=5000, σ=3 106 S/m, d=0.65 mm) bij sinusoıdale Bgx(t) met Bgx=1 T,en f=50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz. In Tabel 5.2 worden de EE-resultaten en dezebekomen met de analytische formule (5.36) voorgesteld. De overeenkomst isbevredigend.

analytisch EE-model

50 Hz 0.99753 0.99736

200 Hz 0.96262 0.96205

1000 Hz 0.60978 0.60918

Tabel 5.2: Fluxverdringingsfactor Fsk berekend met de analytische formule en met hetEE-model, bij 50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz (µrel=5000, d=0.65 mm, σ=3 106 S/m)

Figuren 5.12 en 5.13 tonen de variatie van resp. Bx en Jy doorheen de diktebij 50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz. Hierbij worden twee tijdstippen beschouwd: een

5-14 HOOFDSTUK 5

tijdstip waarop Bgx maximaal is (in fase) en een tijdstip waarop Bgx nul is (inkwadratuur).

0.0 0.1 0.2 0.3-2-1012 50 Hz200 Hz1000 Hzin faze met Bgin kwadratuur met BgBx [T]

z [mm]Figuur 5.12: Bx(z) bij 50, 200 en 1000 Hz(d=0.65 mm, σ=3 106 S/m, µrel=5000)

0.0 0.1 0.2 0.3-20246Jy=f [103 As/m2]

z [mm]Figuur 5.13: Jy doorheen de dikte bij 50, 200en 1000 Hz (zelfde legende als in Figuur 5.12)

Merk hierbij op dat de stroomdichtheid op de rand bepaald wordt door de afge-leide van de flux Φx(t) of van de gemiddelde inductie Bgx(t):

Jy(z =d

2, t) = 2

σ

2

dΦxdt

=σd

2

dBgxdt

, (5.43)

en niet door de magnetische eigenschappen van het materiaal.

We beschouwen het niet-lineaire isotrope materiaal VH800-65D, dat reeds in§5.2.1 werd gebruikt. Figuur 5.14 toont voor dit materiaal het verloop van dekoordepermeabiliteit µrel en van de differentiele permeabiliteit µ∂rel als functievan B.

0 1 20246103 rel@rel B [T]

Figuur 5.14: µrel (B) en µ∂rel (B) van elek-troblik VH800-65D

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.00.50.60.70.80.91.01.11.21.3 50 Hz200 Hz1000 HzBg [T]FskFiguur 5.15: Fsk bij alternerende excitatie inVH800-65D bij 50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz

Figuur 5.15 toont de berekende fluxverdringingsfactor Fsk als functie van Bg en

de frequentie (50 Hz, 200 Hz, 1000 Hz). Bij voldoend lage Bg (bv. < 0.2 T) en bij


de gegeven frequenties is er nergens in de lamel en op geen enkel tijdstip verza-diging, en vinden we de Fsk van het lineaire geval terug (µrel en µ∂rel ongeveer

6500) . Bij hogere Bg treedt er lokaal (aan de rand van de lamel) of globaal, entijdens een deel van de periode verzadiging op. Door verzadiging (lagere µ enµ∂ tijdens een deel van een periode) neemt de indringdiepte2 toe, evenals Fsk .Anderzijds ontstaan er ook tijdsharmonischen in de inductie en in de stroom-dichtheid, waardoor het totaal wervelstroomverlies en Fsk eveneens toenemen.Dit wordt geıllustreerd aan de hand van Figuren 5.16 en 5.17. Figuur 5.16 toonthet verloop van Bx(t) in het midden van de halve lamel (z = d/4) bij 1000 Hzen bij verschillende waarden van Bgx. Figuur 5.17 toont het verloop van Jy(t) inhet midden van de halve lamel (z = d/4) en op de rand van de lamel (z = d/2).

0.0 0.5 1.0-101 Bgx=0.5TBgx=1.0TBgx=2.0TBx=Bgxt [103 s]

Figuur 5.16: Bx(z = d/4, t)/Bgx in VH800-65D bij alternerende flux bij 1000 Hz, enBgx=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T

0.0 0.5 1.0-505 Bg=0.5 TBg=1.0 TBg=2.0 TJy=Bgx [A/mm2/T]

t [103 s]randz = d=2 z = d=4Figuur 5.17: J(z = d/4, t)/Bg en J(z =

d/2, t)/Bg in VH800-65D bij alternerende

flux bij 1000 Hz, en Bgx=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T

5.2.3.2 Rotationele excitatie

Het EE-model in Figuren 5.10 en 5.11 voor alternerende excitatie kan gemakkelijkuitgebreid worden naar rotationele excitatie. Figuur 5.18 toont het 2D EE-modeldat nu bestaat uit twee massieve geleiders met lengte d/2, waarin de flux volgensresp. de x- en de y-richting gesimuleerd wordt. Hierbij wordt impliciet gebruikgemaakt van twee verschillende coordinatentransformaties.Bg(t) of Hr(t) worden opgedrongen zoals in het geval van alternerende excitatie.Corresponderende elementen in de twee identiek vermaasde geleiders zijn ver-bonden via het (niet-lineaire) verband tussen B en H. Dit vraagt een kleinewijziging van de software, i.h.b. waar de materiaalkarakteristiek tussenkomt bijde generatie van de stijfheidsmatrix S en zijn Jacobiaan S∂ .Figuur 5.19 toont een fluxpatroon in het 2D model.

We beschouwen eerst het geval van een zuiver rotationele flux in elektroblikVH800-65D (d=0.65 mm, σ=3 106 S/m). Wegens de veronderstelde isotropie van

2De indringdiepte δ is strikt genomen enkel voor het lineaire geval gedefinieerd, cfr. (5.36).

5-16 HOOFDSTUK 5z cAx = 0@Ay@n = 0Ay = 0Ay = d2Bgx

Ax = d2BgyJx zBy = @Ax@zBx = @Ay@zJy d=2d=2 @Ax@n = 0Figuur 5.18: 2D EE-model van een lamel bijniet-unidirectionele flux

Figuur 5.19: Fluxpatroon

het materiaal varieren alle grootheden, d.i. de x- en y-component van B(z, t),H(z, t) en J(z, t), sinusoıdaal met dezelfde frequentie. Wegens de kwadratuurvan de resp. x- en y-componenten is de grootte van B(z, t), H(z, t) en J(z, t) opeen bepaalde plaats in de lamel constant in de tijd, en is i.h.b. de verzadigingtijdsinvariant.Figuur 5.20 toont de fluxverdringingsfactor Fsk als functie van Bg bij 50 Hz,

200 Hz en 1000 Hz. Bij lage Bg neemt Fsk toe met Bg doordat de permeabiliteitafneemt, en dus de indringdiepte en het verlies toenemen, zoals bij alternerendeexcitatie. Fsk blijft echter niet toenemen. Bij rotationele excitatie zijn er im-mers geen tijdsharmonischen. Bij zeer grote verzadiging, µ ≈ µ∂ → µ0, is defluxverdringing verwaarloosbaar en Fsk praktisch 1.

Vervolgens beschouwen we elliptische excitatie. Bgx(t) en Bgy(t) zijn sinusoıdaalen in kwadratuur. De B-locus is een ellips; de lengte van de assen is resp.2Bgx en 2Bgy. Figuur 5.21 toont Fsk bij 1000 Hz als functie van Bgy/Bgx, met

Bgx=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T. Het verloop van Fsk als functie van Bgy/Bgx kankwalitatief verklaard worden aan de hand van de volgende twee effecten. Bijtoenemende (in de tijd varierende) verzadiging neemt het verlies toe t.g.v. vande harmonischen. Hoe rotationeler de flux is (d.i. hoe groter Bgy/Bgx, met

Bgy ≤ Bgx), hoe minder de verzadiging fluctueert tijdens een periode, en hoelager het verlies door harmonischen.

Figuur 5.22 toont het verloop van Bx(z, t)/Bg (componenten resp. in fase en inkwadratuur met Bg) doorheen de dikte bij zuiver rotationele excitatie bij 1000 Hz

en bij Bg=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T. Idem voor Jy(z, t)/Bg in Figuur 5.23.

5.2.3.3 Met een vectorhysteresismodel

In §6.2.5 wordt o.m. voor materiaal VH800-65D een isotroop vectorhysteresis-model opgesteld. Figuur 5.24 toont een aantal quasi-statische BH-lussen bijalternerende excitatie. Figuur 5.25 toont een aantal BxHx-lussen bij rotationeleexcitatie. Door de isotropie van het materiaal zijn de resp. ByHy-lussen identiek.


0 1 20.50.60.70.80.91.01.11.2 50 Hz200 Hz1000 HzBg [T]FskFiguur 5.20: Fsk (Bg) bij rotationele excitatiebij 50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.50.60.70.80.91.01.11.21.3 Bgx=0.5 TBgx=1.0 TBgx=2.0 TBgy=BgxFsk

Figuur 5.21: Fsk (Bgx, Bgy/Bgx) bij ellipti-sche excitatie bij 1000 Hz

0.0 0.1 0.2 0.3-1012 z [mm]Bx=Bg

Figuur 5.22: Bx(z)/Bg bij rotationele excita-

tie, 1000 Hz, Bg=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T (zelfdelegende als in Figuur 5.23)

0.0 0.1 0.2 0.3-6-4-202 Bg=0.5 TBg=1.0 TBg=2.0 Tin faze met Bgxin kwadratuur met Bgx z [mm]Jy=Bg [A/mm2/T]

Figuur 5.23: Jy(z)/Bg bij rotationele excita-

tie, 1000 Hz, Bg=0.5 T, 1.0 T en 2.0 T

Dit hysteresismodel wordt nu gebruikt bij de 1D simulatie van alternerende enrotationele flux in de lamel m.b.v. Mag2D. De praktische implementatie van eenvectorhysteresismodel in een 2D EE-model wordt behandeld in §6.3.

Figuur 5.26 toont het verloop van Fsk als functie van Bg bij alternerende enrotationele excitatie, bij 50 Hz en 200 Hz. Het verloop is kwalitatief ongeveerzoals met de eenwaardige BH-karakteristiek van het materiaal (Figuren 5.15 en5.20). Met het hysteresismodel gedraagt het materiaal zich ook bij (zeer) lage Bgniet-lineair. De differentiele permeabiliteit bereikt immers een scherp maximumwanneer H in de buurt komt van de coercitieve veldsterkte (50 a 70 A/m), enneemt dan vlug af.

Figuur 5.27 toont BgHr-lussen bij alternerende excitatie met sinusoıdale Bg(t)

met Bg=1.5 T bij 0 Hz, 50 Hz en 200 Hz, enerzijds met fluxverdringing (berekendmet het EE-model), en anderzijds zonder fluxverdringing zoals in §5.2.1. De

5-18 HOOFDSTUK 5

-1000 0 1000-101 H [A/m]B [T]

Figuur 5.24: Quasi-statische BH-lussen bijalternerende excitatie (H=100, 150, 300, 500en 800 A/m)

-1000 0 1000-101 Hx [A/m]Bx [T]

Figuur 5.25: Quasi-statische BxHx-lussenbij rotationele excitatie (H=100, 150, 300,500 en 800 A/m)

fluxverdringingsfactor Fsk bedraagt 1.031 en 1.127 bij resp. 50 Hz en 200 Hz.

0 1 20.70.80.91.01.1 alt., 50 Hzalt., 200 Hzrot., 50 Hzrot., 200 HzBg [T]Fsk

Figuur 5.26: Fsk als functie van Bg bij alter-nerende en rotationele excitatie, bij 50 Hz en200 Hz

400-101 Hr [A/m]6000 200-200-400-600Bg [T]zonder uxverdr.met uxverdring.200 Hz50 Hz0 Hz

Figuur 5.27: BgHr-lussen bij alternerendeexcitatie bij 0 Hz, 50 Hz en 200 Hz, si-nusoıdale Bg(t) met Bg=1.5 T, met en zon-der fluxverdringing

Figuur 5.28 toont BgHr-lussen bij alternerende excitatie met sinusoıdale Hr(t)

met Hr=590.2 A/m en bij 0 Hz, 50 Hz en 200 Hz, met en zonder fluxverdringing.Fsk bedraagt 0.935 en 0.888 bij resp. 50 Hz en 200 Hz.

Figuur 5.29 toont BgxHrx-lussen bij rotationele excitatie bij 0 Hz, 50 Hz en

200 Hz, Bg=1.5 T, met en zonder fluxverdringing. De fluxverdringingsfactor Fsk

bedraagt 1.0012 en 1.011 bij resp. 50 Hz en 200 Hz.


-600 -400 -200 0 200 400 600-101 Hr [A/m]Bg [T]

Figuur 5.28: BgHr-lussen bij alternerendeexcitatie bij 0, 50 en 200 Hz, sinusoıdaleHr(t) met Hr=590.2 A/m, met en zonderfluxverdringing (zelfde legende als in Fi-guur 5.27)

-600 -400 -200 0 200 400 600-101 Hr [A/m]Bg [T]

Figuur 5.29: BgxHrx-lussen bij rotationele

excitatie Bg=1.5 T bij 0, 50 en 200 Hz, meten zonder fluxverdringing (zelfde legende alsin Figuur 5.27)

5.3 2D EE-modellering van een lamel

We beschouwen een rechthoekige doorsnede van de lamel (met dikte d en breedteb), die een alternerende flux Φy(t) volgens de y-as voert, zie Figuur 5.30 (links).

Met H = Hy(x, z, t) 1y wordt de H-formulering (5.38):

∂2Hy

∂x2+∂2Hy

∂z2= σ

∂µHy

∂ t. (5.44)

De stroomdichtheid J heeft van nul verschillende x- en z-componenten:

J = −∂Hy

∂z1x +

∂Hy

∂x1z. (5.45)

Bij een 2D EE-modellering kan de alternerende flux Φy(t) (of de gemiddeldeinductie Bgy(t) = Φy(t)/bd) opgelegd worden d.m.v. een vlottende potentiaalHy(x, z, t) = Hr(t) op de buitenrand van de lamel [Dul98, Phi96, VanK96].

De A-formulering (5.39) is minder voordelig aangezien A twee van nul verschil-lende componenten heeft.Het lineaire fluxverdringingsprobleem (met µ = ν−1 en σ constant) kan metMag2D opgelost worden. We beschouwen daarbij het duale stroomverdringings-probleem in een x′y′z′-assenstelsel, zie Figuur 5.30 (rechts). Een massieve geleidermet een rechthoekige sectie in het x′y′-vlak, actieve lengte lz′ , permeabiliteit µen elektrische geleidbaarheid σ voert een stroom I ′z′(t) volgens de z′-as. Over degeleider staat een spanning V ′(t).

De twee duale lineaire problemen worden beheerst door de volgende differenti-aalvergelijkingen:

ly

(∂2Hy

∂x2+∂2Hy

∂z2

)= σ µ ly

∂Hy

∂ t, (5.46)

5-20 HOOFDSTUK 5dxy(t)bz I 0z0(t)y0 x0bd

Figuur 5.30: Het fluxverdringingsprobleem met alternerende flux Φy(t) in het xyz-assenstelsel(links) en het duale stroomverdringingsprobleem met stroom I′

z′ (t) in het x′y′z′-assenstelsel(rechts)

ν

lz′

(∂2A∗

′

z′

∂x2+∂2A∗

′

z′

∂z2

)= −Jz′ = − σ

lz′

(−∂A

∗′z′

∂ t+ V ′

), (5.47)

waarbij ly de actieve lengte van het fluxverdringingsprobleem is, en A∗′

z′ [Wb] degemodifieerde MVP. Vergelijking (5.47) volgt uit (2.18) en (4.9). V ′ is constantover de doorsnede.

Hierna wordt de volgende equivalentie tussen Hy(x, z, t) en A∗z′(x′ ≡ x, y′ ≡ z, t)

aangenomen:

∂Hy

∂ t≡ − ν

σ lyJ ′z′ = − ν

ly lz′

(−∂A

∗′z′

∂ t+ V ′

). (5.48)

De opgedrongen flux Φy en de opgedrongen stroom I ′z′ verhouden zich als volgt:

dΦydt

=

∫S

µ∂Hy

∂ tdxdz ≡ −1

σ ly

∫S′

J ′z′ dx′dy′ =

−1

σ lyI ′z′ , (5.49)

waarbij S en S′ de rechthoekige secties zijn in resp. het xz-vlak en het x′y′-vlak.Uit (5.45) en (5.48) volgt dat de stroomdichtheid J(x, z, t) in het xyz-model ende inductie B′(x′, y′, t) in het x′y′z′-model zich als volgt verhouden:

J(x, z, t) ≡ − νlyB′(x′, y′, t). (5.50)

Het ogenblikkelijke wervelstroomverlies Pcl(t) [W] in het xyz-model en de ogen-blikkelijk magnetische energie W ′ [J] in het x′y′z′-model verhouden zich als volgt:

Pcl =lyσ

∫S

J2 dxdz ≡ ν2

σ ly

∫S′

B′2 dx′dy′ =2 ν

σ ly lz′W ′. (5.51)

Het lineaire stroomverdringingsprobleem kan opgelost worden m.b.v. de 2D dy-namische EE-methode zoals beschreven in Hoofdstuk 4. Het EE-model bestaatuit een massieve geleider met een opgedrongen stroom IM = I ′z′ . De vlot-tende spanning V ′ volgt uit de opgedrongen stroom. Samen met de Dirichlet-randvoorwaarde A∗

′

z′ = 0 op de buitenrand van S′ bekomen we zoals bij het


fluxverdringingsprobleem (met Hy(x, z, t) = Hr(t) op de buitenrand van S) eenvlottende potentiaal.

We beschouwen nu een sinusoıdale flux Φy(t) in het xyz-model met frequentie

f en amplitude bd Bgy. Hiermee stemt een sinusoıdale stroom I ′z′ in het x′y′z′-

model met amplitude 2πf σ ly bd Bgy overeen.

De berekeningen in het x′y′z′-assenstelsel worden uitgevoerd met d=0.65 mm,σ=3 106 S/m, µrel=5000, f=50 Hz, 200 Hz en 1000 Hz, en b/d=1, 3, 5, 10, 15 en20, en de volgende arbitraire waarden: Bgy=1 T, ly=lz′=1 m.

Figuur 5.31 toont isolijnen van Hy of A∗′

z′ op een tijdstip datdΦydt of I ′z′ maximaal

is, met f=50 Hz en 1000 Hz, en b/d=1. Idem in Figuur 5.32, maar met b/d=2.5.

50 Hz 1000 Hz

Figuur 5.31: Isolijnen van Hy of A∗′

z′ op een tijdstip datdΦydt

of I′z′ maximaal is (f=50 Hz of

1000 Hz; b/d=1)

50 Hz 1000 Hz

Figuur 5.32: Isolijnen van Hy of A∗′

z′ op een tijdstip datdΦydt

of I′z′ maximaal is (f=50 Hz of

1000 Hz, b/d=2.5)

Uit de tijdsgemiddelde waarde van de magnetische energie W ′(t) volgt met (5.51),na deling door b d ly, het overeenstemmende gemiddelde wervelstroomverlies pcl[W/m3].

De verhouding ζ van het wervelstroomverlies berekend met het 2D model en met

5-22 HOOFDSTUK 5

de analytische formule (5.35):

ζ =pcl,2D(Bgy, f, b/d)

16σπ

2d2 f2 B2gy Fsk(f)

, (5.52)

geeft het belang weer van de randeffecten. Deze verhouding wordt voor de 3× 6beschouwde gevallen gegeven in Tabel 5.3.

f=50 Hz f=200 Hz f=1000 Hz

b/d = 1 0.422 0.427 0.475

b/d = 3 0.788 0.772 0.739

b/d = 5 0.872 0.858 0.827

b/d = 10 0.936 0.927 0.906

b/d = 15 0.957 0.951 0.936

b/d = 20 0.968 0.963 0.951

Tabel 5.3: De verhouding ζ van het wervelstroomverlies berekend met het 2D EE-model en met de analytische formule (5.35), als functie van f en b/d

De verhouding ζ is kleiner dan 1 en neemt af naarmate de lamel smaller wordt.Het relatieve verschil met een oneindige brede lamel (b/d >> 1, ζ = 1) hangtrelatief weinig af van de frequentie (of indringdiepte) en is enkel belangrijk voorsmalle lamellen (bv. b/d < 10).

5.4 3D EE-modellering van een lamel

Als zowel de variatie van de velden in het vlak van de lamel (het xy-vlak), als devariatie volgens de dikterichting rigoreus in rekening gebracht moeten worden, iseen 3D EE-modellering onvermijdelijk. Ter illustratie wordt de 3D simulatie vande wervelstromen in een T-stuk van een driefasige transformator (zie Figuur 5.33)besproken. Een lamel (d=0.65 mm, µrel=350 en σ=3 106 S/m) wordt gemodel-leerd. De benen van de transformator zijn 10 mm breed. Sinusoıdale fluxen metamplitudes Φ1=11.01 10−6 Wb en Φ2=10.576 10−6 Wb, en met 62.8 faseverschilworden opgelegd. Deze fluxen werden bekomen d.m.v. een 2D driefasige nullast-simulatie van de volledige transformator.

De 3D EE-berekeningen in het frequentiedomein zijn uitgevoerd door Dr. ir. Pa-trick Dular (ELAP, Universite de Liege) in het kader van de IUAP P4-20 (zieook het Voorwoord). In [Dul98] worden de duale H- en A-formulering voor ditsoort wervelstroomproblemen met opgelegde fluxen in detail besproken.

In Figuur 5.34 worden B- en J-vectoren in twee doorsneden van het 3D model(met halve dikte d/2) getoond. Het totale wervelstroomverlies volgt onmiddel-lijk uit de berekende stroomdichtheid J . De fluxverdringing en de randeffectenworden nauwkeurig in rekening gebracht.

Modellering van wervelstromen in elektroblik 5-231(t)z y 2(t)1(t) + 2(t)xFiguur 5.33: T-stuk van een transformatormet opgedrongen fluxen (2D model en door-snede van 3D model)

Figuur 5.34: B- en J-vectoren in twee door-sneden van het 3D model

Met een 2D EE-model (Figuur 5.33) kan het wervelstroomverlies eventueel a pos-teriori berekend worden. Uit de 2D EE-berekening, waarbij de fluxen opgedron-gen worden met eenvoudige Dirichlet-randvoorwaarden, volgen de amplitudesBx en By in elk element van het EE-model. Met de formule (5.35) kan, rekeninghoudend met de fluxverdringing, in elk element de wervelstroomverliesdichtheid[W/m3] en het verlies [W] berekend worden. Sommatie van het verlies in elk ele-ment geeft het totale wervelstroomverlies. Op een analoge manier kan het totaleijzerverlies (wervelstroom- plus hysteresisverlies) a posteriori berekend worden.Dit wordt verder in §6.5 behandeld.

De 2D en 3D berekeningen zijn uitgevoerd bij 50 Hz en 5000 Hz. De indringdiepteδ (5.36) bedraagt bij deze frequenties resp. 2.22 mm en 0.22 mm, de relatievelameldikte λ resp. 0.296 en 2.96, en de fluxverdringingsfactor Fsk resp. 0.999988en 0.898.De 3D berekening geeft resp. 0.00362 W en 32.2 W wervelstroomverlies. De 2Da posteriori berekening geeft een verlies dat resp. 4.1% en 5.3% groter is. Dezeverschillen zijn in vrij goede overeenstemming met de resultaten bekomen in§5.3, waar het effect van de eindige lamelbreedte op het wervelstroomverlies werdonderzocht. Inderdaad, voor b/d=15.4 vinden we naargelang de frequentie eenverliesvermindering van 4 a 5%.Voor dit model kan dus ook op vrij eenvoudige en benaderende manier de eindigebreedte van de lamel in rekening gebracht worden. Dit is echter veel minder voorde hand liggend wanneer bv. een stator- of een rotorblikpakket van een roterendemachine beschouwd wordt.

De 3D modellering is zeer rekenintensief en enkel praktisch toepasbaar op eenklein deeltje van het blikpakket van een statische of een roterende elektromagne-tische energieomzetter. Bij opgedrongen fluxen geeft de a posteriori 2D verlies-berekening een relatief kleine fout. Bij opgedrongen stromen kan men zich echteraan een grotere fout verwachten. Immers, het verschil tussen de gemiddelde veld-sterkte en de veldsterkte aan de rand van de lamel, resp. Hg en Hr, wordt nietin rekening gebracht in een conventioneel 2D model, waardoor de flux overschatwordt.

In §5.5 wordt getoond hoe het wervelstroomverlies en het verschil tussen Hg en

5-24 HOOFDSTUK 5

Hr op een eenvoudige wijze in een 2D EE-model kunnen geıncorporeerd worden,zij het met verwaarlozing van de fluxverdringing en de randeffecten.

5.5 Incorporatie van wervelstromen in een 2Dmodel van een machine

5.5.1 Translatiesymmetrie

De EE-discretisatie van een 2D magnetisch (statisch of dynamisch) veldprobleemleidt tot een stelsel vergelijkingen:

S(A)A = Ip, (5.53)

met S de stijfheidsmatrix, A de kolommatrix met de knooppuntswaarden vande gemodifieerde MVP A∗z, en Ip de kolommatrix van de equivalente knoop-puntsstromen. De inductie B, de MVP A, de gemodifieerde MVP A∗z en dekolommatrix A zijn als volgt verbonden:

B = ∇× A =∂Az∂y

1x −∂Az∂x

1y, (5.54)

A∗z(x, y, t) = lzAz(x, y, t) = AT(t) α(x, y), (5.55)

met α(x, y) de kolommatrix van de interpolatiefuncties en lz de actieve lengtevan het EE-model volgens de z-as.

De SPSD np × np stijfheidsmatrix S wordt gegeven door:

S =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗ · ∇αT dxdy, (5.56)

waarbij de (gemodifieerde) reluctiviteitstensor ¯ν (¯ν∗) een eenwaardige functie isvan B:

H = ¯ν(B)B, (5.57)[¯ν]

=

νxx νxy

νxy νyy

, [¯ν∗]

=1

lz

νyy −νxy−νxy νxx

. (5.58)

De i-de vergelijking van (5.53) komt overeen met de wet van Ampere:

(SA)i =

∮Ci

H · d l ≡ (Ip)i, (5.59)

met Ci een elementaire contour rond het i-de knooppunt van de EE-vermazing(zie §2.3.4).


In het dynamische geval (zie §4.4), met bv. stroomgevoede gewikkelde gelei-ders (subscript S) en spanningsgevoede massieve geleiders (index M), wordende knooppuntsstromen gegeven door:

Ip = KT

S IS + KT

MR−1

M VM − TMdA(t)

dt+ (Ip)rand + (Ip)PM , (5.60)

met de SPSD np × np geleidbaarheidsmatrix TM [Ω−1] gegeven door:

TM =

nM∑i=1

∫ΩMi

σ

lzααT dxdy. (5.61)

Door het overbrengen van de term TMdA(t)dt in (5.60) naar het linkerlid in (5.53)

bekomen we een stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in A(t):

S(A)A+ TMdA(t)

dt= KT

S IS + KT

MR−1

M VM + (Ip)rand + (Ip)PM . (5.62)

We beschouwen in een 2D translatiesymmetrisch EE-model (met actieve lengtelz) een blikpakket dat bestaat uit lz/d (geısoleerde) lamellen met dikte d engeleidbaarheid σ, evenwijdig gestapeld met het vlak van de 2D doorsnede (hetxy-vlak). Zoals in dit hoofdstuk reeds uitvoerig besproken, vloeien de parasitairewervelstromen in de lamellen hoofdzakelijk evenwijdig met het xy-vlak. Bijgevolgkunnen ze niet expliciet opgenomen worden in het 2D model.

In §5.2.1 werd voor een lamel zonder fluxverdringing het volgende verband tussenhet magnetische veld aan de rand Hr, het gemiddelde magnetische veld Hg ende gemiddelde inductie Bg opgesteld:

Hr(t) = Hg(t) +σd2

12

dBgdt

, (5.63)

waarbij Hg en Bg verbonden zijn door de constitutieve vergelijking van het ma-teriaal.

De vergelijking (5.63) kan nu geıncorporeerd worden in de conventionele EE-vergelijkingen (5.53–5.62). Ter verduidelijking verwijzen we hierbij ook naar hetvoorbeeld in Figuur 5.4 en de uitleg daaromtrent.

De flux die gekoppeld is met een wikkeling in het EE-model en die vloeit inhet blikpakket is functie van de gemiddelde inductie Bg(x, y) in de lamellen.Anderzijds wordt de gekoppelde flux in het model bepaald op basis van de MVPA(x, y, t) en A(t), zie bv. §2.7. De MVP heeft dus in het blikpakket betrekkingop de gemiddelde inductie Bg.

Voor een knooppunt i dat in (de 2D doorsnede van) het blikpakket ligt, geldtvergelijking (5.59), met de nuttige knooppuntsstroom (Ip)i in het rechterlid, enkelvoor een kring Ci op de rand van een lamel, waar H = Hr. Rekening houdendmet (5.63) krijgen we aldus:∮

Ci

Hr · d l =

∮Ci

Hg · d l +

∮Ci

σd2

12

∂Bg∂ t· d l ≡ (Ip)i. (5.64)

5-26 HOOFDSTUK 5

De integraal van Hg in (5.64) geeft aanleiding tot de stijfheidsmatrix S (5.56),waarbij de reluctiviteit ¯ν het verband geeft tussen Hg en Bg: Hg = ¯ν(Bg)Bg.

De integraal vanσd2

12

∂Bg∂ t

kan als volgt geschreven worden:∮Ci

σd2

12

∂Bg∂ t· d l =

(Tlam

dA

dt

)i

, (5.65)

waarbij de np × np matrix Tlam [Ω−1], verder ook de wervelstroommatrix ge-noemd, gegeven wordt door:

Tlam =

∫Ωlam

σd2

12 lz∇α · ∇αT dxdy, (5.66)

met Ωlam de 2D doorsnede van het blikpakket.Met zowel eerste- als hogere-orde-interpolatiefuncties kan de oppervlakintegratiein (5.66) op analytische wijze uitgevoerd worden. De bijdrage van een eerste-orde-element in Ωlam tot Tlam is een positief semi-definiete 3× 3 matrix. Tlam isminstens even ijl als de stijfheidsmatrix S: enkel naburige knooppunten in Ωlam

zijn met elkaar verbonden.Tlam is symmetrisch en positief semi-definiet. De geassocieerde kwadratische vormis het ogenblikkelijke wervelstroomverlies Pcl [W] in het blikpakket:

Pcl =dAT

dtTlam

dA

dt. (5.67)

Enkel indien Ωlam gelijk is aan ΩEE , en na het opleggen van de nodige randvoor-waarden, is Tlam (zoals S) positief definiet.

Het stelsel EE-vergelijkingen (5.53) wordt dan:

SA+ Tlam

dA

dt= Ip, (5.68)

met de (nuttige) stroomdichtheid volgens de z-as vervat in Ip, en de parasitairewervelstromen in het blikpakket vervat in −Tlam

dAdt .

De wervelstromen, die hoofdzakelijk evenwijdig met de lamellen vloeien, wordenvoorgesteld door equivalente knooppuntsstromen loodrecht op de beschouwdedoorsnede. Ter illustratie wordt in Figuur 5.35 een doorsnede van een lamelgetoond die overspannen wordt door drie elementen. In elk element vloeien erwervelstromen die elkaar, naargelang de verdeling van de flux, in zekere matecompenseren aan de ’tussenschotten’. Bij een uniforme fluxverdeling, met de-zelfde inductie in de drie elementen, is er een volledige compensatie, en geeft desuperpositie van de drie stroomkringen een stroomkring.

Naast de conductiviteitsmatrix TM (of T ′M en eventueel TS, zie §4.4) is er nu eenextra matrix Tlam in het stelsel differentiaalvergelijkingen (5.62):

S(A)A+(TM + Tlam

)dA(t)

dt= KT

S IS + KT

MR−1

M VM + (Ip)rand + (Ip)PM . (5.69)

Modellering van wervelstromen in elektroblik 5-27xzy@By@ t@By@ t@By@ tFiguur 5.35: Doorsnede van een lamel met wervelstromen in drie eindige elementen

De praktische implementatie is heel eenvoudig. De stelsels van algebraısche ver-gelijkingen die men na de tijdsdiscretisatie bekomt zijn nog steeds SPD en evenijl. De ICCG-solver (zie §2.6.3) kan dus verder gebruikt worden. De extra re-kentijd blijkt gering te zijn. Het ogenblikkelijke wervelstroomverlies Pcl (5.67)kan tijdens de time-stepping expliciet berekend worden. Dit is het klassieke wer-velstroomverlies in het blikpakket, d.i. met verwaarlozing van de magnetischedomeinstructuur. Daarenboven worden de fluxverdringing en de randeffecten inde lamellen verwaarloosd. Deze originele methode werd voor het eerst voorgesteldin [Gys98a, Gys99a].

Een vulfactor λ (<1), zie ook §3.4, kan op eenvoudige wijze in rekening gebrachtworden. Het volstaat in de uitdrukking (5.66) voor Tlam , lz te vervangen door deeffectieve ijzerlengte λ lz. Bg is dan de gemiddelde inductie in de lamellen (isolatieniet inbegrepen), terwijl de flux in de ruimte tussen de lamellen verwaarloosdwordt.

Het wervelstroomverlies is voor een gegeven lengte lz en een gegeven totale fluxin het blikpakket (gegeven A(t)) omgekeerd evenredig met de vulfactor. Immers,het wervelstroomverlies is evenredig met B2

g en het nettoblikvolume, waarbij Bgen het nettoblikvolume resp. omgekeerd en recht evenredig met de vulfactor zijn.

5.5.2 Axisymmetrie

In het axisymmetrische geval bekomt men de uitdrukking voor de wervelstroom-matrix Tlam door in (5.66) x, y en lz te vervangen door resp. r, z en 2πr. Decorresponderende stapeling van het blikpakket treft men in de praktijk echterniet aan (constante dikte d van de lamellen t.o.v. varierende omtrek 2πr).

5.5.3 Magnetische netwerken

In §2.8 werd de koppeling van een 2D EE-model en een magnetisch netwerkbeschouwd. Het klassieke wervelstroomverlies kan eveneens op eenvoudige wijzein het netwerkgedeelte van een dergelijk hybried model geıncorporeerd worden.

Beschouw een reluctantie in het magnetische netwerk met equivalente lengte leqen equivalente doorsnede Seq , dat (een deel van) een pakket van lamellen metdikte d en geleidbaarheid σ voorstelt. Indien deze reluctantie voorkomt in bv.twee fluxlussen met geassocieerde knooppuntsnummers i en j, dan is de bijdragevan de reluctantie tot de wervelstroommatrix Tlam de volgende SPSD 2× 2 sub-

5-28 HOOFDSTUK 5

matrix:

( i j

i G ±Gj ±G G

), met G =

σd2

12

leqSeq

[Ω−1], (5.70)

met een plus- of een minteken als de twee fluxlussen de reluctantie in resp. dezelfdeof tegengestelde zin doorlopen.

5.5.4 Voorbeeld

In §5.4 werd het wervelstroomverlies berekend in een T-stuk van een transforma-tor d.m.v. een 3D model en een 2D model. In het 3D model werden de wervelstro-men expliciet gemodelleerd, terwijl met het 2D model het wervelstroomverlies aposteriori berekend werd.Met de methode ontwikkeld in §5.5.1 kan het wervelstroomverlies ook direct in een2D model van het T-stuk geıncorporeerd worden, zij het met verwaarlozing van defluxverdringing en de randeffecten. Ter illustratie en validatie van deze methodebeschouwen we opnieuw het 2D model (met lz=d=0.65 mm, σ=3 106 S/m) vanhet T-stuk van de transformator, zie Figuur 5.36. 2(t)1(t) Az = 1 Az = 0 Az = 21(t) + 2(t)

F0 = F1 F2 F2F1 EEpt 2pt 1 xyzFiguur 5.36: T-stuk van een transformator met opgedrongen fluxen of opgedrongen m.m.k.’s

Wat de excitatie betreft, maken we een onderscheid tussen opgedrongen fluxenen opgedrongen m.m.k.’s. De fluxen Φ1(t) en Φ2(t) worden opgedrongen metDirichlet-randvoorwaarden, zoals aangeven in Figuur 5.36. De m.m.k.’s F1(t) enF2(t) kunnen opgedrongen worden d.m.v. een koppeling van het EE-model meteen eenvoudig magnetisch netwerk dat twee fluxlussen en twee m.m.k.-bronnenomvat. De fluxen Φ1(t) en Φ2(t) zijn dan de vlottende potentialen op de tweeresp. fluxmuren (zie §2.8).

5.5.4.1 Het lineaire geval met opgedrongen fluxen

We beschouwen het lineaire geval (µrel=350) met, zoals in §5.4, de volgendeopgedrongen fluxen (in complexe notatie):


Φ1=11.01 10−6 Wb en Φ2=10.576 ej62.8 10−6 Wb.

Eerst wordt de wervelstroommatrix niet in rekening gebracht. In dit geval kan eenreeks statische oplossingen (of twee oplossingen en superpositie) gebruikt wordenom het wervelstroomverlies a posteriori te berekenen zoals in §5.4. Deze statischeoplossingen kunnen ook bekomen worden met Mag2D, waarbij een bepaaldefrequentie aangenomen wordt. De berekende fluxpatronen hangen uiteraard (opverwaarloosbare afrondingsfouten na) niet af van deze frequentie. De berekendem.m.k.’s zijn (in complexe notatie, met bv. f=50 Hz):

F0 = 92.276 e−j149.31A, F1 = 87.360 e−j24.90A, F2 = 83.883 ej90.04A. (5.71)

In het lineaire sinusoıdale geval waarbij de parasitaire wervelstromen in rekeninggebracht worden, kan vergelijking (5.63) herschreven worden in complexe notatie,waaruit een constante en complexe reluctiviteit volgt:

Hr = Hg + jωσd2

12Bg =

(ν + jω

σd2

12

)Bg. (5.72)

Bij 50 Hz en 5000 Hz wordt (5.72) respectievelijk:

Hr = (2273.64 + j 33.183) Bg, (5.73)

Hr = (2273.64 + j 3318.3) Bg, (5.74)

met Hr in [A/m] en Bg in [T].

De EE-simulatie met de wervelstroommatrix Tlam wordt uitgevoerd bij 50 Hz en5000 Hz. Bij 50 Hz bekomen we m.b.v. Fourrier-analyse van de oplossing in hettijdsdomein de volgende m.m.k.’s:

F0 = 92.288 e−j148.48A, F1 = 87.420 e−j24.05A, F2 = 83.888 ej90.79A, (5.75)

en bij 5000 Hz:

F0 = 162.735 e−j93.90A, F1 = 154.147 ej30.53A, F2 = 147.927 ej145.37A. (5.76)

Als gevolg van de wervelstromen zijn de m.m.k.’s bij 50 Hz in geringe mateveranderd (ongeveer dezelfde amplitude, maar een kleine faseverdraaiing). Bij5000 Hz is er een belangrijke vergroting en faseverdraaiing van de m.m.k.’s t.o.v.het geval zonder wervelstromen. Men gaat gemakkelijk na dat de m.m.k.’sin (5.71) en (5.75, 5.76) zich verhouden zoals de constante reele reluctiviteitν=ν0/350=2273.64 m/H en de complexe reluctiviteiten in (5.73, 5.74).

Het berekende gemiddelde wervelstroomverlies Pcl bedraagt resp. 3.791 10−3 Wen 37.91 W, terwijl de 2D a posteriori berekening in §5.4 resp. 3.768 10−3 W en32.2 W gaf.Bij 50 Hz verwachten we met de twee methoden, afgezien van het verwaarloosbarefluxverdringingseffect (Fsk=0.999988), precies hetzelfde verlies terug te vinden3.Het kleine verschil is (vooral) te wijten aan het feit dat twee verschillende ver-mazingen gebruikt zijn.

3Een veldprobleem met opgedrongen fluxen geeft dezelfde inductie B(x, y, t) als de relucti-viteit ν vervangen wordt door de reluctiviteit ν′ = c ν, met c een reele of complexe constante.Analoog kan bij een veldprobleem met opgedrongen m.m.k.’s de reluctiviteit vermenigvuldigdworden met een constante zonder dat H(x, y, t) verandert.

5-30 HOOFDSTUK 5

Bij 5000 Hz is er wel een belangrijk verschil, dat veroorzaakt wordt door debeduidende fluxverdringing (Fsk=0.898). Bij de a posteriori berekening is dezewel in rekening gebracht, bij de directe incorporatie van het wervelstroomverliesmet de wervelstroommatrix Tlam niet.

Figuur 5.37 toont het tijdsverloop van de vermogencomponenten bij 50 Hz (hetvermogen Prand geleverd door de rand (of de m.m.k.-bronnen), de veranderingvan de magnetische energie dW

dt , en het ogenblikkelijke wervelstroomverlies Pcl).De vermogenbalans is op verwaarloosbare afrondingsfouten na sluitend.

Figuur 5.38 toont de ellipsvormige BgxHrx-loci bij 50 Hz en 5000 Hz berekend inpunt 1 (aangeduid in Figuur 5.36).

0.020 0.025 0.030 0.035 0.040-0.015-0.010-0.0050.0000.0050.0100.0150.020 PranddWdtPclverschil t [s][W]Figuur 5.37: Tijdsverloop van de vermogen-componenten bij 50 Hz

-5000 0 5000-2-1012

Hrx [A/m]Bgx [T] 50 Hz5000 Hz

Figuur 5.38: BgxHrx-locus bij 50 en 5000 Hz

De extra rekentijd als gevolg van de matrix Tlam kan verwaarloosd worden. Vooreen simulatie ( 2× 400 tijdstappen, EE-vermazing met 1000 knooppunten) wasde rekentijd zonder Tlam 77.8 CPUs op een DEC Alpha-station 255-300; met Tlam

was dit 80.4 s.

5.5.4.2 Met verzadiging en opgedrongen m.m.k.’s

We veronderstellen het isotrope materiaal VH800-65D (zie §3.1 en §5.2.3). Devolgende sinusoıdale 50 Hz m.m.k.’s worden opgedrongen: F1 = 10 A en F2 =

10 ej120 A. De wervelstromen worden al of niet in rekening gebracht.

Figuur 5.39 toont het tijdsverloop van Bgx in punt 1 (aangeduid in Figuur 5.36),zonder en met wervelstromen. Figuur 5.40 toont de overeenkomstige BgxHrx-lussen.Figuren 5.41 en 5.42 tonen Bg-, Hg- en Hr-loci in punt 2 (aangeduid in Fi-guur 5.36), waar de flux in beduidende mate rotationeel is.


0.020 0.025 0.030 0.035 0.040-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 zonder wervelstr.met wervelstr. t [s]Bgx [T]

Figuur 5.39: Bgx(t) in punt 1, zonder en metwervelstromen

-1000 -500 0 500 1000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 zonder wervelstr.met wervelstr. Hrx [A/m]Bgx [T]

Figuur 5.40: BgxHrx-lussen in punt 1, zon-der en met wervelstromen

-1 0 1-101 zonder wervelstr.met wervelstr.Bgx [T]Bgy [T]

Figuur 5.41: Bg-locus in punt 2, zonder enmet wervelstromen

-200 -100 0 100 200-200-1000100200 Hg-locus zonder wervelstrHg-locus met wervelstr.Hr-locus met wervelstr.Hx [A/m]Hy [A/m]Figuur 5.42: Hg- en Hr-loci in punt 2, zonderen met wervelstromen

5.6 Besluit

In dit hoofdstuk werden de parasitaire wervelstromen in een dunne homogenegeleidende lamel bestudeerd. Eerst werden 1D, 2D en 3D modellen van een lamelbeschouwd, daarna een volledig blikpakket in een 2D model van een machine.

Indien de fluxverdringing en de randeffecten in een lamel verwaarloosd worden,kan een eenvoudig verband tussen het magnetische veld aan de rand, het ge-middelde magnetische veld en de gemiddelde inductie opgesteld worden. Uit ditverband volgt de klassieke formule voor het wervelstroomverlies.

Bij hogere frequentie kan de fluxverdringing niet meer verwaarloosd worden, enmoet de variatie van de inductie over de dikte in rekening gebracht worden. Inhet lineaire geval leidt dit tot een analytische uitdrukking voor de fluxverdrin-gingsfactor, die de verhouding is van het verlies met en zonder fluxverdringing.In het niet-lineaire, al of niet hysteretische geval kunnen de vergelijkingen op-gelost worden met een 1D EE-model van een halve lamel. Dit kan ook met hetprogramma Mag2D, eventueel na een kleine aanpassing van de software voor

5-32 HOOFDSTUK 5

rotationele excitatie.

Randeffecten in de lamel werden bestudeerd met 2D en 3D EE-modellen. Bij eensmalle lamelsectie (bv. breedte kleiner dan 10 maal de dikte) is er een beduidendevermindering van het wervelstroomverlies.De wervelstromen in een T-stuk van een transformator kunnen nauwkeurig ge-modelleerd worden m.b.v. een 3D EE-model. Met een 2D model van het T-stuk, waarin de variatie van de velden volgens de dikterichting van de lamelniet beschouwd wordt, kan het wervelstroomverlies a posteriori berekend wor-den. Hierbij kan rekening gehouden worden met de fluxverdringing, maar niet(op eenvoudige wijze) met de eindige breedte van de lamel.

In een 2D (translatiesymmetrisch) model van een elektrische machine kunnende wervelstromen niet expliciet gemodelleerd worden: de nuttige stroom staatloodrecht op de beschouwde doorsnede (het vlak van de lamellen), terwijl deparasitaire wervelstromen er hoofdzakelijk evenwijdig mee lopen.Indien de fluxverdringing en de randeffecten verwaarloosd worden, kunnen dewervelstromen en het geassocieerde verlies op eenvoudige wijze in een dergelijk2D model geıncorporeerd worden. Het volstaat het stelsel EE-vergelijkingen aante vullen met de SPSD wervelstroommatrix van de blikpakketten. De extrarekentijd is gering. Als illustratie en validatie werd het 2D model van het T-stukvan de transformator hernomen.

Hoofdstuk 6

Modellering van hysteresis

In hysteretische magnetische media hangt het verband tussen H en B van zowelhun huidige waarde als van hun verleden (symbolisch genoteerd als Hv en Bv)af:

B(t) = B(H(t), Hv(t)) of H(t) = H(B(t), Bv(t)). (6.1)

Men kan een onderscheid maken tussen enerzijds scalaire hysteresismodellen enanderzijds vectorhysteresismodellen. Scalaire hysteresismodellen kunnen enkelgebruikt worden voor materiaalmodellering bij zuiver alternerende excitatie (Hen B evenwijdig), terwijl vectormodellen toelaten dat de richtingen van H en Bverschillen en in de tijd varieren.

Verder maakt men een onderscheid tussen snelheidsonafhankelijke (of statische)en snelheidsafhankelijke (of dynamische) hysteresismodellen. In snelheidsonaf-hankelijke modellen is het verband tussen H en B niet afhankelijk van de snelheid(of frequentie) waarmee het verleden is geschied, terwijl dit in snelheidsafhanke-lijke hysteresismodellen wel het geval is. Met snelheidsonafhankelijke hysteresis-modellen kan dus enkel het quasi-statische hysteresisverlies gemodelleerd worden.Snelheidsafhankelijke modellen beschrijven ook het extra-dynamische hysteresis-verlies (zie ook §5.1).

In de literatuur worden vele hysteresismodellen voorgesteld, o.a. het Preisach-model [Prei35], het Stoner-Wohlfahrt-model [Sto91], het Jiles-Atherton-model[Jil92, Phi95]. Een uitgebreid overzicht van hysteresismodellen vindt men in[Deli94b].

In deze tekst bestuderen we enkel het Preisach-model. Het klassieke Preisach-model, dat scalair en snelheidsonafhankelijk is, wordt beschreven in §6.1. Vooreen uitgebreidere bespreking van het Preisach-model verwijzen we naar [May91,Dup95, Deli94b].

In de literatuur worden verschillende uitbreidingen van het klassieke Preisach-model voorgesteld. Zo kan het scalaire model snelheidsafhankelijk gemaakt wor-den [May91, Ber92a], en kan het uitgebreid worden tot een vectormodel [May91].Dit vectormodel wordt besproken in §6.2.

6-2 HOOFDSTUK 6

Het vector-Preisach-model wordt in §6.2.5 gebruikt voor de karakterisering vantwee elektroblikken, resp. V330-50A en VH800-65D. De zes parameters van deanalytische Preisach-distributiefunctie worden bepaald op basis van de maagde-lijke kromme en de hysteresisverlieskromme.

In §6.3 wordt beschreven hoe een vectorhysteresismodel op een eenvoudige wijzegeımplementeerd kan worden in een 2D EE-model.

Als toepassing wordt de nullastsimulatie van een driefasige transformator bespro-ken in §6.4. De aanwezigheid van de voegen in de transformatorkern wordt ge-modelleerd met zgn. voegzones, waarin een aangepaste materiaalkarakteriseringgebruikt wordt. De berekende nullaststromen en -verliezen worden vergelekenmet de gemeten stromen en verliezen.

De a posteriori ijzerverliesberekening in een 2D EE-simulatie wordt kort behan-deld in §6.5.

6.1 Het klassieke Preisach-model

6.1.1 De Preisach-distributiefunctie

Volgens het Preisach-model is het materiaal samengesteld uit elementaire dipolen.Een dergelijke dipool wordt gekenmerkt door een rechthoekige hysteresislus, zieFiguur 6.1, met omklapvelden hl [A/m] (lower) en hu [A/m] (upper), en metmagnetisatie Md [–] gelijk aan −1 of +1. Hhu1Md-1 hl 2hchm

Figuur 6.1: MdH-karakteristiek van een elementaire Preisach-dipool

Het gemiddelde omklapveld hm [A/m] en de coercitieve veldsterkte hc [A/m] vaneen elementaire dipool worden als volgt gedefinieerd:

hm =hu + hl

2en hc =

hu − hl2

. (6.2)

De magnetisatie Md van een irreversibele dipool (hl 6= hu) hangt af van dehuidige waarde van het magnetische veld H, maar ook van de extremale waardevan H, Hextr genoteerd, die nog aanwezig is in het geheugen van de dipool (met

Modellering van hysteresis 6-3

Hextr > hu of Hextr < hl):

Md =

+1, als H > hu,+1, als hl < H < hu en Hextr > hu,−1, als hl < H < hu en Hextr < hl,−1, als H < hl .

(6.3)

De energiedissipatie die gepaard gaat met het omklappen van een dipool vanMd = −1 naar +1 en terug naar −1, of omgekeerd, is gelijk aan 2(hu − hl).Alleen dipolen met hu ≥ hl zijn daarom fysisch zinvol. Reversibele dipolen(hu = hl) hebben een eenwaardige MdH-karakteristiek.

De omklapvelden hu en hl van de elementaire Preisach-dipolen zijn statistischverdeeld volgens de Preisach-distributiefunctie P(hu, hl) [Tm2/A2].

De Preisach-distributiefunctie (PDF) P(hu, hl) is positief en symmetrisch t.o.v.de tweede bissectrice (hu + hl = 0 of hm = 0) in het huhl-vlak: P(hu, hl) =P(−hl,−hu).

De macroscopische magnetisatie M [T] is de som van de magnetisatie van alleelementaire dipolen:

M =

∫D+

P(hu, hl) dhudhl −∫D−

P(hu, hl) dhudhl, (6.4)

met D+ en D− de delen van het Preisach-halfvlak (hu ≥ hl) met resp. positiefen negatief gemagnetiseerde dipolen.

De magnetische inductie B = µ0H +M wordt gegeven door:

B(t) = µ0H(t) +

+∞∫−∞

dhu

hu∫−∞

dhl Md(hu, hl, t) P(hu, hl), (6.5)

met Md(hu, hl, t) de magnetisatie van de elementaire Preisach-dipolen met om-klapvelden hu en hl. De term µ0H kan meestal, en i.h.b. bij niet al te hogeverzadiging, verwaarloosd worden t.o.v. de magnetisatie M .

Het materiaal is gedemagnetiseerd als alle dipolen met hm < 0 positief gemag-netiseerd zijn, en alle dipolen met hm > 0 negatief gemagnetiseerd zijn. Dezeverdeling van het Preisach-halfvlak in de gebieden D+ en D− wordt voorgesteldin Figuur 6.2. Wegens de symmetrie van de PDF is de resulterende magnetisatieM nul.

6.1.2 De geheugenwerking

De geheugenwerking van het Preisach-model wordt geıllustreerd aan de hand vaneen voorbeeld. Figuur 6.3 toont een vooropgesteld tijdsverloop van H, waarinmeerdere maxima en minima voorkomen1. Figuur 6.4 toont het tijdsverloop vanB dat met het Preisach-model (en een vooropgestelde distributiefunctie) bekomen

1Daar een snelheidsonafhankelijk hysteresismodel verondersteld wordt, is de tijdseenheidniet relevant.

6-4 HOOFDSTUK 6hlD+hc = 0 huhm = 0D

Figuur 6.2: Verdeling van het Preisach-halfvlak in positief en negatief gemagne-tiseerde dipolen, resp. gebieden D+ en D−, in de gedemagnetiseerde toestand

werd. Figuur 6.5 toont de bekomen BH-locus. Deze bestaat uit een deel vande maagdelijke kromme, een primaire lus en een secundaire lus. Het tijdsverloopvan de differentiele permeabiliteit µ∂ = ∂B

∂H wordt voorgesteld in Figuur 6.6.2H1H2H+1H+2 1 54 6H [A/m] t0 3

Figuur 6.3: Vooropgestelde H(t)

B+1 3 4 5 6B1B+2 tB2B [T]10 2

Figuur 6.4: Berekende B(t)

Startend van de gedemagnetiseerde toestand (H = 0, B = 0) op t = 0, zieook Figuur 6.2, kunnen bij het vooropgestelde verloop van H zes tijdsintervallenbeschouwd worden. Voor elk van deze tijdsintervallen wordt de verdeling van hetPreisach-halfvlak in de gebieden D+ en D− voorgesteld in Figuur 6.7.

a. 0 < t < 1: H neemt toe van 0 tot H+1.D+ breidt (ten koste van D−) uit in de +hu-richting: dipolen met Md = −1 enhu = H klappen om naar Md = +1. De maagdelijke kromme Bma(H) wordtdoorlopen. Op t = 1 bereikt H een maximum H+1.

b. 1 < t < 2: H neemt af van H+1 tot H−1.D− breidt uit in de −hl-richting: dipolen met Md = +1 en hl = H klappenom naar Md = −1. Op t = 2 bereikt H een minimum H−1.


H2 B [T]H+1H1 B2B+2 H [A/m]B+1H+2B1

Figuur 6.5: Berekende BH-locus

@ [H/m]6543210 t

Figuur 6.6: Berekende µ∂(t)

c. 2 < t < 3: H neemt opnieuw toe van H−1 tot H+2.D+ breidt uit in de +hu-richting. Op t = 3 bereikt H een maximum H+2.

d. 3 < t < 4: H neemt opnieuw af, van H+2 tot H−1.D− breidt uit in de +hl-richting. Op t = 4 wordt de hogere-orde-lus tussenH−1 en H+2 gesloten.

e. 4 < t < 5: H neemt verder af, van H−1 tot H−2.De situatie in het Preisach-halfvlak is nu alsof er nooit een hogere-orde-lusis doorlopen. De lokale extrema H−1 en H+2 zijn volledig uit het geheugengewist. Op t = 5 bereikt H een minimum H−2.

f. 5 < t < 6: H neemt toe van H−2 tot H+1.Door de symmetrie van de PDF is de hoofdlus tussen H+1 en H−2 = −H+1

perfect gesloten (d.i. het begin- en het eindpunt van de lus vallen samen) enpuntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong.

De geheugenwerking kan als volgt samengevat worden.

Het relevante verleden en de actuele toestand van het materiaal zijn vervat in descheidingslijn in het Preisach-halfvlak tussen negatief en positief gemagnetiseerdedipolen. Deze scheidingslijn bestaat uit een deel van de tweede bissectrice (hu =−hl) en een aantal verticale en horizontale lijnstukken.

Bij toenemende H beweegt het bovenste verticale lijnstuk van de scheidingslijnin de +hu-richting. Het bovenste punt (hu = H,hl = H) van dit lijnstuk ligtop de eerste bissectrice (hu = hl). Het onderste punt (hu = H,hl = −H) ligtop de tweede bissectrice indien de maagdelijke kromme wordt doorlopen; in hetandere geval wordt het onderste punt (hu = H,hl = Hmin) bepaald door hetlaatst voorgekomen minimum Hmin .

Bij afnemende H beweegt het bovenste horizontale lijnstuk van de scheidingslijnin de −hl-richting. Het linkerpunt (hu = H,hl = H) van dit lijnstuk ligt op deeerste bissectrice (hu = hl). Het rechterpunt van dit lijnstuk is (hu = H,hl =−H) indien de maagdelijke kromme wordt doorlopen, in het andere geval (hu =Hmax , hl = H) met Hmax het laatst voorgekomen maximum.

6-6 HOOFDSTUK 6

HH huhl hl

huhlhlH H+1

hu

huhuH H+1hl hu

H+1hl

H+2HH

H+1 H neemt toe van H2 tot H+1

D

fc

H+1H neemt toe van 0 tot H+1 H neemt af van H+1 tot H1H neemt toe van H1 tot H+2 H neemt af van H+2 tot H1

D+

H neemt af van H1 tot H2

d H+2H2

DH1H1

H1H2e

b

D+

a

D+D+D+ DD

DD H2 D+ H+15 < t < 63 < t < 42 < t < 3

4 < t < 5

1 < t < 20 < t < 1H1

Figuur 6.7: Gebieden D− en D+ in het Preisach-halfvlak op zes tussenliggende tijdstippen


Wanneer H(t) een extremale waarde bereikt, ontstaat er een nieuw verticaal ofhorizontaal lijnstuk (dat initieel een punt is).

Wanneer bij afnemende H, H kleiner wordt dan het laatst opgenomen mini-mum, of wanneer bij toenemende H, H groter wordt dan het laatst opgenomenmaximum, wordt een (hogere-orde-)hysteresislus gesloten. Hierbij verdwijnen ge-lijktijdig de bovenste twee lijnstukken (een verticaal en een horizontaal) van descheidingslijn.

6.1.3 De differentiele permeabiliteit

Men ziet gemakkelijk in dat de differentiele permeabiliteit µ∂ bepaald wordt doorde integraal van de PDF langs het bewegende lijnstuk (front) van de scheidingslijnin het Preisach-halfvlak:

µ∂ =∂B

∂H= µ0 + 2

∫front

P(hu, hl) dh. (6.6)

Vermits de PDF P(hu, hl) positief is, is µ∂ groter dan of gelijk aan µ0. Dekoordepermeabiliteit µ = B

H kan daarentegen elke waarde tussen −∞ en +∞aannemen.

Wanneer H(t) een extremale waarde bereikt of wanneer een lus gesloten wordt,ontstaat een nieuw bewegend front in het Preisach-halfvlak en vertoont µ∂(t) eendiscontinuıteit, zie bv. Figuur 6.6.

Vertrekkende vanuit de gedemagnetiseerde toestand wordt bij monotoon toe-nemende H de maagdelijke kromme Bma(H) doorlopen. De helling van dezekromme wordt gegeven door:

µ∂ma(H) =∂Bma

∂H= µ0 + 2

H∫−H

P(H,hl) dhl, (H ≥ 0). (6.7)

In een punt op een stijgende tak vanaf een laatste minimum Hmin , en in eenpunt op een dalende tak vanaf een laatste maximum Hmax , wordt de differentielepermeabiliteit gegeven door respectievelijk:

µ∂stijg(H,Hmin) = µ0 + 2

H∫Hmin

P(H,hl) dhl, (H ≥ Hmin), (6.8)

µ∂dal(H,Hmax ) = µ0 + 2

Hmax∫H

P(hu, H) dhu, (H ≤ Hmax ), (6.9)

= µ∂stijg(−H,−Hmax ). (6.10)

Uit (6.8, 6.9) en de symmetrie van P(hu, hl) volgt dat een (hogere-orde-)lus tussenHmin en Hmax perfect gesloten is (d.i. het begin- en het eindpunt van de lus vallensamen). Daarenboven is de vorm van een (hogere-orde-)lus tussen gegeven Hmin

en Hmax onafhankelijk van het inductieniveau (en dus de voorgeschiedenis); ditis de zgn. congruentie-eigenschap.

6-8 HOOFDSTUK 6

6.1.4 Hysteresisverlies

Wanneer een irreversibele dipool een volledige irreversibele cyclus doorloopt (d.i.Md gaat van −1 naar +1 en terug naar −1, of omgekeerd) is de energiedissipatie2(hu−hl). Indien men veronderstelt dat de energiedissipatie bij een omklapping(van −1 naar +1 of omgekeerd) de helft is [May91, Dup95], en dus gelijk aan hu−hl, kan men het ogenblikkelijke hysteresisverlies phys [W/m3] als volgt definieren:

phys =dH

dt

∫front

(hu − hl) P(hu, hl) dh, (6.11)

waarbij dHdt [A/ms] de horizontale of de verticale snelheid van het bewegende

front in het Preisach-vlak is.

Bij een periodieke excitatie wordt het hysteresisverlies per cyclus, whys [J/m3],gegeven door de volgende integralen:

whys =

∮periode

H dB =

∮periode

µ∂ H dH. (6.12)

We beschouwen nu een periodieke excitatie tussen −H en H, zonder hogere-orde-lussen in de BH-locus. Tijdens een periode doorlopen alle dipolen in de driehoekin het Preisach-halfvlak bepaald door hu = H en hl = −H precies een cyclus.Het hysteresisverlies per cyclus wordt gegeven door:

whys =

H∫−H

dhu

hu∫−H

2(hu − hl)P(hu, hl) dhl, (6.13)

wat wegens de symmetrie van de PDF P(hu, hl) ook als volgt geschreven kanworden:

whys = 4

H∫−H

dhu

hu∫−H

hu P(hu, hl) dhl = 4

H∫−H

dhu

hu∫−H

hl P(hu, hl) dhl. (6.14)

Men gaat gemakkelijk na dat (6.14) in overeenstemming is met (6.11).

6.1.5 De Everett-functie

De Everett-functie Ev(H1, H2) [T] wordt gedefinieerd als het absolute inductie-verschil |∆B| = |B2 −B1| bij een monotone toe- of afname van het magnetischeveld van H1 naar H2, waarbij het eerste punt een keerpunt in de BH-locus is(d.i. H1 is een (lokaal of globaal) minimum of maximum), zie Figuur 6.8. Uitde definitie volgt onmiddellijk dat de Everett-functie en de Preisach-functie alsvolgt verbonden zijn:

Ev(H1, H2) = µ0(H2 −H1) + 2

H2∫H1

dhu

hu∫H1

dhl P(hu, hl), (H1 ≤ H2). (6.15)


De integratie in het Preisach-vlak over de driehoek bepaald door H1 en H2, wordtook voorgesteld in Figuur 6.9.

0 HBB2B1 H1 H20B

Figuur 6.8: Definitie van de Everett-functieEv(H1, H2)

M=2hm = 0H2 huH1 H1hc = 0

hl H2Figuur 6.9: Driehoek in het Preisach-vlak be-paald door H1 en H2

Uit de symmetrie van de PDF volgt dat de Everett-functie symmetrisch is t.o.v.de bissectrices H1 = H2 en H1 = −H2 in het H1H2-vlak:

Ev(H1, H2) = Ev(H2, H1) = Ev(−H1,−H2) = Ev(−H2,−H1). (6.16)

Uit de definitie volgt ook dat de PDF wordt bekomen door de Everett-functietweemaal af te leiden:

P(hu = H2, hl = H1) = −1

2

∂2Ev(H1, H2)

∂H1∂H2. (6.17)

De Everett-functie kan rechtstreeks bekomen worden d.m.v. een reeks quasi-statische metingen op een ringkern of een Epstein-raam. Ter illustratie wordenin Figuren 6.10 en 6.11 isolijnen van een opgemeten Everett-functie en de eruitafgeleide PDF getoond [Dup95].

In [Dup95] wordt getoond dat het Preisach-model (met een PDF bekomen uit me-tingen op een ringkern volgens de bovenstaande Everett-theorie) BH-loci en ver-lieskrommen whys(B) geeft die goed overeenkomen met de quasi-statische meet-resultaten (op dezelfde ringkern). Een afwijking tussen de gemeten BH-lussenen die bekomen met het klassieke Preisach-model betreft de niet-congruentie ende accomodatie van de hogere-orde-lussen. Men stelt namelijk experimenteelvast dat de vorm van de hogere-orde-lussen tussen gegeven waarden van Hmin

en Hmax afhangt van het inductieniveau (niet-congruentie) en van het aantalmaal dat de lus doorlopen is (accomodatie). Zoals hoger aangetoond, geeft hetPreisach-model congruente hogere-orde-lussen (d.i. hun vorm is enkel afhankelijkvan de extremale waarden Hmin en Hmax , niet van het inductieniveau). Bij desimulatie van elektromagnetische energieomzetters zijn deze verschillen niet zobelangrijk. We zijn immers vooral geınteresseerd in een nauwkeurige berekeningvan het ijzerverlies.

6-10 HOOFDSTUK 6

Figuur 6.10: Isolijnen van een opgemetenEverett-functie Ev(H1, H2) [T]

Figuur 6.11: Isolijnen van de afgeleidePreisach-distributiefunctie P(hm, hc)

6.1.6 Een analytische distributiefunctie

In plaats van de PDF af te leiden uit de rechtstreeks opgemeten Everett-functie,kan men een analytische uitdrukking met een beperkt aantal parameters voor-opstellen. De parameters worden gefit op basis van gemeten grootheden zoalshysteresislussen en -verliezen.

6.1.6.1 Opsplitsing in reversibel en irreversibel deel

Dikwijls wordt een analytische uitdrukking vooropgesteld die uit twee delen be-staat, die overeenstemmen met resp. reversibel en irreversibel materiaalgedrag.P, M , B en µ∂ worden als volgt opgesplitst:

P(hu, hl) = Prev (hu, hl) + Pirr (hu, hl), (6.18)

M(H,Hv) = Mrev (H) +Mirr (H,Hv), (6.19)

B(H,Hv) = Brev (H) +Birr (H,Hv), (6.20)

µ∂(H,Hv) = µ∂rev (H) + µ∂irr (H,Hv), (6.21)

met

Brev = µ0H +Mrev , Birr = Mirr , (6.22)

µ∂rev =∂Brev

∂H, µ∂irr =

∂Birr

∂H. (6.23)

De reversibele PDF Prev is een Dirac-functie op de eerste bissectrice (hu = hl):

Prev (hu, hl) = δ(hu − hl) µ∂rev (hu). (6.24)

Het irreversibele gedrag wordt bepaald door de PDF Pirr (hu, hl) (die geen sin-gulariteiten bevat):

Birr (H,Hv) =

+∞∫−∞

dhu

hu∫−∞

dhl Md(hu, hl, t) Pirr (hu, hl). (6.25)


Enkel het irreversibele deel draagt bij tot het hysteresisverlies, zodat vergelijking(6.12) wordt:

whys =

∮periode

H dBirr =

∮periode

µ∂irr H dH. (6.26)

6.1.6.2 Het reversibele deel

In [Ber92b, Dup98b] wordt de volgende uitdrukking voor µ∂rev (H), met drie pa-rameters µ1,rel [–], bs [T] en h1 [A/m], voorgesteld:

µ∂rev (H) = µ0 µ1,rel +2bsπh1

1

1 +(Hh1

)2 . (6.27)

De inductie Brev (H) wordt gegeven door:

Brev (H) = µ0 µ1,rel H +2bsπ

atan(H

h1). (6.28)

bs [T] is de limietwaarde voor H → ∞ van de tweede term in het rechterlidvan (6.28). µ1,rel is de limietwaarde van de relatieve differentiele permeabiliteitµ∂rev ,rel = µ∂rev/µ0.

Figuren 6.12 en 6.13 tonen resp. Brev (H) en ν∂rev ,rel(H) met h1=100 A/m, bs=1 Ten µ1,rel=10.

0 1000 2000 3000 40000.00.20.40.60.81.0 Brev [T] H [A/m]Figuur 6.12: Brev (H) met h1=100 A/m,bs=1 T, µ1,rel=10

0 2000 4000 6000 80000.000.020.040.060.080.10 H [A/m]@rev;relFiguur 6.13: ν∂rev,rel (H) met h1=100 A/m,

bs=1 T, µ1,rel=10

6.1.6.3 Het irreversibele deel: de Lorentz-functie

In [Ber92b, Rou95, Dup98b] wordt een uitdrukking van de volgende gedaante,met drie parameters b1 [T], h2 [A/m] en h3 [A/m], voor de PDF Pirr (hu, hl)gebruikt:

Pirr (hu, hl) =1

2

b1 h22(

h22 + (hu − h3)2

)(h2

2 + (hl + h3)2) . (6.29)

6-12 HOOFDSTUK 6

Ze voldoet aan de symmetrievoorwaarde Pirr (hu, hl) = Pirr (−hl,−hu).

In (6.7–6.9) wordt voor drie gevallen de differentiele permeabiliteit als een lijnin-tegraal van de PDF geschreven. Deze lijnintegralen kunnen met de analytischeuitdrukking (6.29) als volgt uitgewerkt worden:

• maagdelijke kromme (H ≥ 0):

µ∂irr,ma(H) =b1h2

h22 + (H − h3)2

[atan

(H + h3

h2

)+ atan

(H − h3

h2

)], (6.30)

• stijgende tak vanaf minimum Hmin (H ≥ Hmin):

µ∂irr,stijg(H,Hmin) =b1h2

h22 + (H − h3)2

[atan

(H + h3

h2

)− atan

(Hmin + h3

h2

)], (6.31)

• dalende tak vanaf maximum Hmax (H ≤ Hmax ):

µ∂irr,dal(H,Hmax ) =b1h2

h22 + (H + h3)2

[atan

(Hmax − h3

h2

)− atan

(H − h3

h2

)]. (6.32)

De betekenis van de parameters b1, h2 en h3 kan als volgt ingezien worden.

De verzadigingsinductie Birr ,sat (d.i. de limietwaarde van Birr op bv. de maag-delijke kromme) kan m.b.v. (6.30) als volgt afgeschat worden:

Birr ,sat < π

+∞∫0

b1h2

h22 + (H − h3)2

dH = b1 π

(π

2+ atan(

h3

h2)

), (6.33)

of in eerste benadering:

Birr ,sat ≈ b∗1 = b1π

2

(π

2+ atan(

h3

h2)

). (6.34)

Pirr (hu, hl) is maximaal en gelijk aan b1/h22 voor hu = −hl = h3 (of hc = h3 en

hm = 0). De differentiele permeabiliteit µ∂irr is groot als enerzijds het bewegendelijnstuk in het Preisach-halfvlak door een gebied met grote Pirr trekt, en ander-zijds als het magnetische veld H in de buurt komt van de coercitieve veldsterkteHc. Daaruit volgt dat h3 ongeveer gelijk is aan de coercitieve veldsterkte.

Uit (6.31, 6.32) volgt dat de parameters b1 en h2, en in mindere mate h3, dehelling van de stijgende en dalende tak van de limietcyclus ter hoogte van decoercitieve punten bepalen:

µ∂irr ,stijg(h3,−∞) = µ∂irr ,dal(−h3,+∞) =b1h2

[π − atan

(h2

2h3

)]. (6.35)

Figuur 6.14 toont isolijnen van de PDF Pirr (hu, hl) met parameters h3=50 A/m,h2=10 A/m en b∗1=1 T. Figuur 6.15 toont BirrH-lussen (H=300 A/m) met de-zelfde waarden voor h3 en b∗1, en met h2=5 A/m, 10 A/m of 20 A/m. Het verlies isin geringe mate afhankelijk van h2 (resp. 205.3 J/m3, 207.3 J/m3 en 214.6 J/m3).


Figuur 6.14: Isolijnen van Pirr (hu, hl) methu [A/m] in abcis en hl [A/m] in ordinaat;∆ log(Pirr/Pirr,max )=0.5; h3=50 A/m,h2=10 A/m

-300 -200 -100 0 100 200 300-1.0-0.50.00.51.0 h2=5 A/mh2=10 A/mh2=20 A/mBirr [T]

H [A/m]Figuur 6.15: BirrH-lussen met h3=50 A/m,b∗1=1 T en h2=5 A/m, 10 A/m of 20 A/m

Merk op dat µ∂irr nul is in het begin van de maagdelijke kromme (H = 0), en netnadat H een extremale waarde bereikt heeft (dHdt = 0).

Zoals in Figuur 6.16 getoond wordt, neemt het hysteresisverlies whys onbeperkt

toe met H (terwijl Birr een eindige limietwaarde heeft). Dit is een gevolg van dekeuze van de analytische distributiefunctie (6.29), en komt niet overeen met dewerkelijkheid. Figuur 6.17 toont het hysteresisverlies whys als functie van Birr .

0 2 4 6 80100200300400 whys [J/m3] log(H)Figuur 6.16: Hysteresisverlies whys [J/m3]

als functie van H (logaritmische schaal!);h3=50 A/m, h2=10 A/m, b∗1=1 T

0.0 0.5 1.00100200 Birr [T]whys [J/m3 ]Figuur 6.17: Hysteresisverlies whys

[J/m3] als functie van Birr ; h3=50 A/m,h2=10 A/m, b∗1=1 T

6.1.7 Praktische implementatieaspecten

Hierna komen enkele praktische numerieke aspecten aan bod van de berekeningvan het inductieverloop B(t) bij een vooropgesteld verloop H(t). Het inverse

6-14 HOOFDSTUK 6

probleem, d.i. het berekenen van H(t) voor een gekende B(t), zoals eventueelnodig bij een EE-implementatie, wordt besproken in §6.2.6.2 voor het vector-Preisach-model. We spreken in dit verband ook van resp. het directe en hetinverse (vector-)Preisach-model.

De vooropgestelde functie H(t) wordt bemonsterd met een constante tijdstap ∆t.Twee opeenvolgene tijdstippen worden t− en t+ genoteerd; de corresponderendeH- en B-waarden worden H−, H+, B− en B+ genoteerd. Met een gekende H−,H−v , H+ en B−, wordt B+ gegeven door:

B+ = Brev(H+) +Birr(H

−, H−v ) +

H+∫H−

µ∂irr (H,Hv) dH. (6.36)

Het verleden van het materiaal, symbolisch Hv genoteerd, is vervat in een aantalminimale en maximale waarden van H. De differentiele permeabiliteit µ∂irr kandiscontinuıteiten vertonen in het beschouwde H-interval. Hv verandert hierbijeveneens (op discontinue wijze): een of meerdere extremale H-waarden wordenopgeslagen in of verwijderd uit het geheugen. Het actualiseren van het materi-aalgeheugen geeft H+

v .

Indien zich geen discontinuıteiten voordoen in het beschouwde interval, bv. depunten (H−, B−) en (H+, B+) bevinden zich beide op de maagdelijke kromme,kan de integraal in (6.36) benaderd worden d.m.v. een n-punts-Gauss-integratie:

H+∫H−

µ∂irr ,ma(H) dH ≈ (H+ −H−)

n∑i=1

ηi µ∂irr ,ma(Hi), (6.37)

met Hi = (H+ +H−)/2 + γi(H+ −H−)/2.

Bij Gauss-integratie zijn de 2n dimensieloze coefficienten ηi en γi zo bepaald datde integratie correct is voor een polynoom in H t.e.m. orde 2n− 1.De integratienauwkeurigheid is kritiek wanneer over een grote interval [H−, H+]geıntegreerd wordt (en i.h.b. wanneer de coercitieve veldsterkte ±Hc binnen ditinterval ligt) en wanneer het Preisach-model geınverteerd wordt (zie §6.2.6.2). InMag2D wordt het aantal integratiepunten n automatisch verhoogd (van 1 totmaximaal 48) tot voldoende convergentie vastgesteld wordt2.

In dit werk beschouwen we enkel eenstapstijdsdiscretisatiemethoden (met eenvaste tijdstap ∆t). Omwille van de geheugenvereisten en de eenvoud van imple-mentatie worden enkel de toestanden op de tijdstippen t− en t+ in het computer-geheugen bewaard. Als gevolg daarvan kan slechts een eerste-orde-interpolatievan H en B beschouwd worden, waarbij deze hun extremale waarden bereiken opde discrete tijdstippen zelf, en niet op tussenliggende tijdstippen. Als H bv. toe-neemt in de tijdstap voor t−, en H+ kleiner is dan H−, dan wordt veronderstelddat H− een maximale waarde is van H(t).

Het sluiten van (hogere-orde-)lussen kan wel precieser in rekening gebracht wor-den. Beschouw bv. een hogere-orde-lus tussen Hmin en Hmax2 in een dalende

2 Fortran routines voor 1D adaptieve Gauss-integratie vindt men in http://netlib.bell-labs.com/netlib/textbook/mathews/chap7.f.gz [Math92].


tak, zie Figuur 6.18, die in het interval [H−, H+] gesloten wordt. Het integratie-interval wordt nu opgesplitst in twee delen, die elk met Gauss-integratie benaderdworden:

H+∫H−

µ∂irr (H) dH =

Hmin∫H−

µ∂irr ,dal(H,Hmax2 ) dH +

H+∫Hmin

µ∂irr ,dal(H,Hmax1 ) dH. (6.38)Hmax2HH+ t+tHHmin tHmax1

Figuur 6.18: Het sluiten van een hogere-orde-lus in een tijdstap van t− naar t+

-50 0 50 1000.00.20.40.60.8 kleine tgrote tH [A/m]B [T]Figuur 6.19: Sluiten van drie genesteldehogere-orde-lussen in een tijdstap

Er moet – zeker bij een EE-implementatie – rekening gehouden worden met hetfeit dat meerdere genestelde lussen kunnen worden gesloten in een tijdstap. Ditwordt in Figuur 6.19 geıllustreerd aan de hand van een BH-locus met drie genes-telde lussen. Met de ruwe tijdsdiscretisatie worden deze drie lussen in eenzelfdetijdstap gesloten. Bij de numerieke integratie wordt het H-interval opgesplitst invier subintervallen.

Merk op dat een grote(re) tijdstap zonder meer kan worden gebruikt indien deextremale waarden van H(t) precies bemonsterd worden. Immers, dankzij deadaptieve Gauss-integratie is de numerieke integratiefout doorgaans verwaarloos-baar.

Het hysteresisverlies wordt eveneens bekomen door numerieke integratie. Opde maagdelijke kromme bv. wordt de bijdrage van het interval [H−, H+] tot dekringintegralen in (6.26) gegeven door:

B+irr∫

B−irr

HdBirr =

H+∫H−

Hµ∂irr (H) dH ≈ (H+ −H−)

n∑i=1

ηiHi µ∂irr ,ma(Hi). (6.39)

6.1.8 Het snelheidsafhankelijk Preisach-model

Het klassieke Preisach-model is snelheidsonafhankelijk. De BH-locus is enkelafhankelijk van de opeenvolgende extremale waarden van H (of B). Het hyste-resisverlies per cyclus, whys [J/m3], is onafhankelijk van de frequentie.

6-16 HOOFDSTUK 6

Men stelt experimenteel vast dat sommige materialen in het relevante frequen-tiegebied (bv. 50 Hz tot 300 Hz) een niet te verwaarlozen extra-dynamisch verliesvertonen. Dit verlies kan in rekening gebracht worden d.m.v. een snelheidsaf-hankelijk Preisach-model [Ber92a, Dup95]. In dit model klappen de elementairedipolen met een eindige snelheid om. De omklapsnelheid wordt bepaald door hetverschil tussen het aangelegde magnetische veld H en het omklapveld (hu of hl),en door een materiaalparameter kd. In het klassieke, statische Preisach-modelklappen de elementaire dipolen oneindig snel om (kd =∞).

De magnetisatie Md van een elementaire snelheidsafhankelijke Preisach-dipoolkan elke waarde aannemen tussen −1 en +1. In het Preisach-halfvlak is er eenscheidingszone (i.p.v. een scheidingslijn) tussen dipolen met Md = +1 en Md =−1. Het verleden van het materiaal kan bijgevolg niet meer samengevat worden ineen (beperkt) aantal extremale waarden van H. Bij een praktische implementatiewordt het Preisach-halfvlak gediscretiseerd (vermaasd) d.m.v. bv. rechthoekjesen driehoekjes, met op elk ogenblik een constante Md per element [Dup95]. Hetsnelheidsafhankelijk model vraagt bijgevolg een veel grotere datastructuur enveel meer rekentijd dan het klassieke snelheidsonafhankelijke model, waardooreen incorporatie in een 2D EE-model (voorlopig) ondoenbaar lijkt.

In [Dup95] wordt aangetoond dat een nauwkeurige dynamische modellering vanniet-georienteerd elektroblik mogelijk is met een 1D EE-model van een lamel(zoals beschreven in §5.2.3), in combinatie met het snelheidsafhankelijke Preisach-model. De PDF wordt hierbij bekomen d.m.v. quasi-statische metingen op eenringkern. De kd-factor wordt gefit op basis van opgemeten dynamische BH-lussen, en blijkt frequentieonafhankelijk te zijn. De berekende BH-loci en hetberekende ijzerverlies bij een dynamische excitatie komen goed overeen met dezegemeten op de ringkern.

6.2 Een vector-Preisach-model

In de literatuur worden verschillende vectorhysteresismodellen beschreven, ziebv. [Deli94b] voor een overzicht. Het Stoner-Wolfarth-model [Sto91] is inherenteen vectormodel, maar de numerieke implementatie is veel minder eenvoudig dandie van het vector-Preisach-model dat wordt voorgesteld in [May91]. Dit laatstemodel is een eenvoudige vectoruitbreiding van het scalaire Preisach-model enwordt hierna bestudeerd.

6.2.1 Uitbreiding van het scalaire Preisach-model

De projectie van het magnetische veld H op een richting die een hoek θ (0 ≤ θ ≤π) maakt met de x-as, zie Figuur 6.20, is de input van een scalair Preisach-modelmet PDF Pθ(θ, hu, hl):

Mθ(Hθ, Hθ,v) =

+∞∫−∞

dhu

hu∫−∞

dhl Md(θ, hu, hl, t) Pθ(θ, hu, hl), (6.40)


met

Hθ = H · 1θ = Hx cos θ +Hy sin θ. (6.41)xHy H 1Figuur 6.20: Projectie van H op de θ-richting

De resulterende magnetisatie M [T] en inductie B = µ0H+M bekomt men doorde uitmiddeling van Mθ1θ over het hoekinterval [0, π]:

B(H, Hv) = µ0H +1

π

π∫0

dθ Mθ(Hθ, Hθ,v) 1θ. (6.42)

Voor anisotrope materialen is de PDF Pθ(θ, hu, hl) afhankelijk van θ. We be-schouwen verder in deze tekst enkel isotrope materialen, d.i. de PDF Pθ(hu, hl)is identiek voor elke richting.

Uit (6.41) en (6.42) volgt dat de differentiele permeabiliteitstensor ¯µ∂ gegevenwordt door:

[¯µ∂]

=[∂B∂H

]=

∂Bx∂Hx

∂Bx∂Hy

∂By∂Hx

∂By∂Hy

, (6.43)

=[µ0

¯1]

+1

π

π∫0

∂Mθ

∂Hθ

cos2θ sin θ cos θ

sin θ cos θ sin2θ

dθ. (6.44)

In de praktijk moet men een eindig aantal discrete richtingen beschouwen. Ditwordt verder in §6.2.6.1 behandeld.

In [May91] wordt bewezen dat voor een isotroop materiaal en een alternerendeexcitatie volgens een vaste maar willekeurige richting, het vector-Preisach-modelequivalent is met een scalair Preisach-model. Merk wel op dat de PDF P(hu, hl)van het scalaire model en de PDF Pθ(hu, hl) van het vectormodel verschillend zijnvoor hetzelfde isotrope materiaal. In [May91, Dup96, Bot98] worden methodenvoorgesteld om P(hu, hl) om te rekenen naar Pθ(hu, hl).

6-18 HOOFDSTUK 6

6.2.2 Opsplitsing in reversibel en irreversibel deel

Het vectorhysteresisgedrag kan zoals in §6.1.6 opgesplitst worden in een reversibelen een irreversibel deel:

B(H, Hv) = Brev (H) + Birr (H, Hv), (6.45)

¯µ∂(H, Hv) = ¯µ∂rev (H) + ¯µ∂irr (H, Hv), (6.46)

met

Brev = µ0H + Mrev , Birr = Mirr , (6.47)

¯µ∂rev =∂Brev

∂H, ¯µ∂irr =

∂Birr

∂H. (6.48)

Dit stemt overeen met een analoge opsplitsing van het scalaire Preisach-modelvolgens de θ-richting:

Pθ(hu, hl) = Pθ,rev (hu, hl) + Pθ,irr (hu, hl), (6.49)

Mθ(Hθ, Hθ,v) = Mθ,rev (Hθ) +Mθ,irr (Hθ, Hθ,v), (6.50)

met

Brev (H) = µ0H +1

π

π∫0

dθ Mθ,rev (Hθ) 1θ, (6.51)

Birr (H, Hv) =1

π

π∫0

dθ Mθ,irr (Hθ, Hθ,v) 1θ, (6.52)

[¯µ∂rev (H)

]=[µ0

¯1]

+1

π

π∫0

µ∂θ,rev (Hθ)



dθ, (6.53)

[¯µ∂irr (H, Hv)

]=

1

π

π∫0

µ∂θ,irr (Hθ, Hθ,v)



dθ. (6.54)

6.2.2.1 Het reversibele deel

Voor het reversibele deel (en voor een isotroop materiaal) is de toepassing vanhet vectormechanisme (projectie van H op de θ-richtingen en uitmiddeling vanMθ,rev 1θ) in feite overbodig. Met de scalaire functies µ∂rev (H) en Brev (H) kanmen daarenboven onmiddellijk (en zonder hoekdiscretisatiefout) de differentiele

permeabiliteitstensor ¯µ∂rev (H) berekenen (zie ook §2.6.2.2):

[¯µ∂rev (H)

]=µ∂rev (H)

H2

[H2x HxHy

HxHy H2y

]+Brev (H)

H3

[H2y −HxHy

−HxHy H2x

]. (6.55)

We gebruiken verder de uitdrukkingen (6.27, 6.28) voor µ∂rev (H) en Brev (H), metde drie parameters µ1 ,rel [–], bs [T] en h1 [A/m].


6.2.2.2 Het irreversibele deel

Voor het irreversibele deel nemen we opnieuw de Lorentz-functie (6.29):

Pθ,irr (hu, hl) =1

2

b1(h2

2 + (hu − h3)2)(h2

2 + (hl + h3)2) , (6.56)

met drie parameters b1 [T], h2 [A/m] en h3 [A/m].

Enkel het irreversibele deel draagt bij tot het hysteresisverlies, zodat (6.12) alsvolgt geschreven kan worden:

whys =

∮periode

H · dBirr =

∮periode

H ·

1

π

π∫0

dMθ,irr 1θ dθ

, (6.57)

=1

π

π∫0

∮periode

Hθ ¯µ∂θ,irr dHθ

dθ. (6.58)

Het hysteresisverlies van het vectormodel is dus het hoekgemiddelde van hethysteresisverlies van het scalaire model.

6.2.3 Alternerende excitatie

Bij een sinusoıdale alternerende excitatie met frequentie f (pulsatie ω = 2πf) enamplitude H volgens bv. de x-as, ’ziet’ elke richting een sinusoıdaal magnetischveld:

H = H cos(ωt) 1x, (6.59)

Hθ = H cos θ cos(ωt). (6.60)

De inductieBθ,irr (t) is voor elke richting een periodieke functie met grondfrequen-tie f . Voor een isotroop materiaal geeft de vectoruitmiddeling op elk ogenblikeen vector Birr volgens de x-as.Bij verzadiging van het vectormodel (H → ∞), verzadigt eveneens het scalairemodel volgens elke richting (H cos θ →∞), behalve volgens de transversale rich-ting (θ = π/2). De verzadigingsinductie Birr ,sat van het vectormodel is bijgevolgπ/2 maal kleiner dan de verzadigingsinductie Bθ,irr ,sat van het scalaire model:

Birr ,sat =1

π

π∫0

Bθ,irr ,sat cos θ dθ =2

πBθ,irr ,sat . (6.61)

Indien we de parameter b∗1 [T], in (6.34) gegeven voor het scalaire model, voorhet vectormodel als volgt herdefinieren:

b∗1 = b1

(π2

)2(π

2+ atan(

h3

h2)

), (6.62)

≈ Birr ,sat , (6.63)

6-20 HOOFDSTUK 6

hebben, voor gegeven b∗1, h2 en h3, het scalaire model en het vectormodel ongeveerdezelfde verzadigingsinductie.

Figuur 6.21 toontBirrH-lussen (H=300 A/m) bekomen met het scalaire model enmet het vectormodel (h3=50 A/m, h2=10 A/m, b∗1=1 T). De verzadigingsinductieis (dankzij het invoeren van de factor π/2 in (6.62)) ongeveer gelijk: resp. 0.973 Ten 0.939 T. Het coercitieve veld verschilt in grotere mate (resp. 50.2 A/m en60.6 A/m), evenals het hysteresisverlies (resp. 207.3 J/m3 en 263.6 J/m3).

-300 -200 -100 0 100 200 300-101 scalairvectorH [A/m]Birr [T]

Figuur 6.21: BirrH-lussen met het scalaire model en met het vectormodel(h3=50 A/m, h2=10 A/m, b∗1=1 T)

6.2.4 Rotationele excitatie

We beschouwen een zuiver rotationele excitatie met hoeksnelheid ω (bv. in depositieve θ-richting) en amplitude H. Elke richting ’ziet’ een sinusoıdale Hθ metamplitude H en pulsatie ω:

H = H(

cos(ωt) 1x + sin(ωt) 1y), (6.64)

Hθ = H cos(ωt− θ). (6.65)

In een isotroop materiaal heeft de inductie Bθ,irr (t) voor elke θ-richting dezelfdegolfvorm en eenzelfde relatieve fasering als Hθ. Bijgevolg geeft de vectoruitmid-deling van Bθ,irr een zuiver rotationele Birr :

Birr = Birr

(cos(ωt− φ) 1x + sin(ωt− φ) 1y

). (6.66)

De Birr -vector ijlt over een constante ruimtehoek φ(H) na op de H-vector, zoalsvoorgesteld in Figuur 6.22.Het quasi-statische rotationele hysteresisverlies whys [J/m3] wordt gegeven door:

whys =

∮periode

H · dBirr = 2π sinφ HBirr . (6.67)

Figuur 6.23 toont het verloop van de hoek φ als functie van Birr , met h3=50 A/m,h2=10 A/m en b∗1=1 T.

Modellering van hysteresis 6-21H! xy BirrFiguur 6.22: Roterende H- en Birr -vector

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.001020304050 []

Birr [T]Figuur 6.23: Hoek φ tussen H- en Birr -vectorals functie van Birr

In Figuren 6.24 en 6.25 worden resp. de Birr H-kromme en de verlieskrommewhys(Birr ) getoond, telkens bij alternerende en rotationele excitatie, en meth3=50 A/m, h2=10 A/m en b∗1=1 T.

0 500 10000.00.20.40.60.81.0 alternerendrotationeel H [A/m]Birr [T]

Figuur 6.24: Birr H-kromme bij alternerendeen rotationele excitatie

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00100200300400 alternerendrotationeel Birr [T]whys [J/m3]

Figuur 6.25: Verlieskrommen whys(B) bij al-ternerende en rotationele excitatie

Experimenteel stelt men vast dat bij rotationele excitatie het hysteresisverlies alsfunctie van B eerst toeneemt, vervolgens afneemt, om bij volledige verzadigingnul te worden [App97, Hon95, Fin94]. Het vector-Preisach-model, met de voor-opgestelde analytische distributiefunctie of een gemeten distributiefunctie, geeftdaarentegen een monotoon stijgend verlies.

6-22 HOOFDSTUK 6

6.2.5 Toepassing: karakterisering van twee elektroblikken

6.2.5.1 Fitting van de parameters

De zes parameters h3, h2, b∗1, h1, µ1,rel en bs van het vector-Preisach-modelmoeten worden gefit op basis van gemeten grootheden. Er kunnen bv. quasi-statische metingen uitgevoerd worden op een ringkern of op een Epstein-raam.In het ideale geval kan men dan echter de PDF bekomen door de rechtstreeksopgemeten Everett-functie tweemaal af te leiden (zie §6.1.5), wat logischerwijseen nauwkeurigere modellering geeft dan met de analytische PDF met slechts zesparameters. Bij de praktische simulatie van een machine beschikt men echterdikwijls niet over een meetobject (bv. ringkern of strips voor een Epstein-raam)en/of over een meetopstelling.

De minimale informatie die nodig is voor een irreversibele karakterisering van eenmagnetisch materiaal bestaat bv. uit een BH-kromme (met B en H de piekwaar-den van resp. B en H bij sinusoıdale B) en een ijzerverlieskromme pFe(B), beidebij een bepaalde nominale frequentie (bv. 50 Hz). Deze informatie is meestal welbeschikbaar.Bij niet al te hoge frequentie kan het verschil tussen de BH-kromme en de maag-delijke kromme Bma(H) verwaarloosd worden.Indien een aantal veronderstellingen gemaakt wordt i.v.m. het extra-dynamischeverlies en het klassieke wervelstroomverlies, kan de ijzerverlieskromme pFe(B)omgerekend worden naar een quasi-statische hysteresisverlieskromme whys(B).Zo kan verondersteld worden dat het extra-dynamische verlies verwaarloosd kanworden (bij de nominale frequentie). Verder moeten de elektrische geleidbaarheidσ en de massadichtheid ρ gekend zijn of geschat worden.Deze pragmatische aanpak geeft het juiste ijzerverlies bij een sinusoıdale inductiebij nominale frequentie. Bij een andere frequentie en/of een andere golfvorm wijkthet berekende ijzerverlies af van het werkelijke verlies. Het verschil hangt af vande grootte van het extra-dynamische verlies en van het feit of de verondersteldegeleidbaarheid overeenstemt met de werkelijke geleidbaarheid.

Deze werkwijze wordt verder toegepast op de elektroblikken V330-50A en VH800-65D.

De globale relatieve afwijking K(h3, h2, b∗1, h1, µ1,rel , bs) tussen de ’gemeten’ en

de berekende maagdelijke kromme en tussen de ’gemeten’ en de berekende quasi-statische verlieskromme kan als volgt gedefinieerd worden:

K =

n∑i=1

ηB,i

∣∣∣B(gem.)ma (Hi)−B(ber.)

ma (Hi)

∣∣∣B

(gem.)ma (Hi)

+

n∑i=1

ηw,i

∣∣∣w(gem.)hys (Hi)− w(ber.)

hys (Hi)∣∣∣

w(gem.)hys (Hi)

. (6.68)

De gewichtscoefficienten ηB,i en ηw ,i worden gekozen met het oog op een goedeovereenkomst in een bepaald interval van H en B. De afwijking (of kost) Kwordt geminimaliseerd m.b.v. een optimalisatieprogramma3.

3Met dank aan ir. Xavier Laroy voor het ter beschikking stellen van een optimalisatie-programma dat een door de gebruiker vooropgestelde kostfunctie met een aantal parametersmaximaliseert of minimaliseert.


De praktijk leert dat de kostenfunctie (6.68) geen uitgesproken extremum heeftvoor een stel parameterwaarden, maar dat sterk uiteenlopende combinaties vanwaarden een vergelijkbare goede overeenkomst (d.i. K-waarde) geven. In datgeval kiezen we best een stel waarden dat numeriek, i.h.b. bij implementatie in eenEE-programma, voordelig is. Zo is het reversibele deel van de distributiefunctieliefst niet te klein. In het extreme geval dat er geen reversibel deel is (bs = 0en µ1,rel = 0), is de differentiele permeabiliteit µ∂ nul bij een start vanaf degedemagnetiseerde toestand (initiele helling van de maagdelijke kromme), entelkens nadat H een extremale waarde bereikt heeft. De reluctiviteit is danoneindig groot, wat numerieke complicaties veroorzaakt bij een EE-simulatie.

6.2.5.2 Transformatorblik V330-50A

We beschouwen opnieuw het niet-georienteerde elektroblik V330-50A van de drie-fasige transformator in §3.3.6. Het materiaal blijkt in beduidende mate aniso-troop te zijn. De zes parameters van het isotrope vector-Preisach-model wordengefit voor alternerende excitatie volgens resp. de rolrichting (RD) en de transver-sale richting (TD). De gefitte Preisach-modellen worden verder in §6.4 gebruiktvoor de nullastsimulatie van dezelfde transformator. Gezien het beperkte aan-deel van het rotationele hysteresisverlies in het totale hysteresisverlies van detransformator, is een fitting bij alternerende excitatie aanvaardbaar.

De geleidbaarheid van het blik is bepaald d.m.v. een gelijkstroommeting op tweestrips met de lengterichting volgens resp. RD en TD. Er werd geen significantverschil in geleidbaarheid vastgesteld. We veronderstellen verder σ=2.03 106 S/mvoor beide richtingen. De massadichtheid ρ van het blik is 7650 kg/m3. De dikted van de lamellen is 0.5 mm.

Metingen en fitting bij alternerende excitatie

Figuur 6.26 toont de met een Epstein-opstelling gemeten verlieskrommen pFe(B)[W/kg] bij alternerende 50 Hz excitatie volgens RD en TD.

Figuur 6.27 toont de frequentieafhankelijkheid van het ijzerverlies per cyclus[J/m3] bij alternerende excitatie (B=1.2 T) in het frequentiegebied van 5 Hz tot250 Hz. Het verloop is ongeveer lineair. Hieruit volgt dat in het beschouwde fre-quentiegebied het extra-dynamische verlies veel kleiner is dan het quasi-statischehysteresisverlies en het klassieke wervelstroomverlies (zie ook Figuur 5.1).

Als men het extra-dynamische verlies verwaarloost, kan men uit het ijzerverlies bijbv. 50 Hz en 100 Hz de volgende geleidbaarheden afleiden: σRD = 2.012 106 S/men σTD = 2.142 106 S/m. Dit is in goede overeenstemming met de rechtstreeksopgemeten geleidbaarheid (σ=2.03 106 S/m).

De zes parameters van het isotrope vector-Preisach-model volgens resp. RD enTD worden gefit op basis van de quasi-statische verlieskromme whys(B) en de

maagdelijke kromme Bma(H), zoals beschreven in §6.2.5.1. De parameterwaar-den worden gegeven in Tabel 6.1. Figuur 6.28 toont de goede overeenkomst tussende gemeten en de berekende maagdelijke krommen. De gemeten en de berekendequasi-statische verlieskrommen whys(B) worden voorgesteld in Figuur 6.29. Bij

6-24 HOOFDSTUK 6

0.0 0.5 1.0 1.501234

B [T]pFe [W/kg] RDTDFiguur 6.26: Gemeten verlieskrommenpFe(B) [W/kg] bij alternerende 50 Hz exci-tatie volgens RD en TD

0 50 100 150 200 2500250500 f [Hz]wFe [J/m3] TD RDFiguur 6.27: Frequentieafhankelijkheid vanhet ijzerverlies bij alternerende excitatie vol-gens RD en TD

lage inducties (B < 0.5 T) is het berekende verlies volgens RD groter dan volgensTD. Dit is te wijten aan het sterk verschillende reversibele deel. Ook bij hogereinducties (B > 1.4 T) is de overeenkomst tussen de gemeten en de berekendeverliezen minder goed.

h3 [A/m] h2 [A/m] b∗1 [T] h1 [A/m] µ1,rel [–] bs [T]

RD 39.54 7.158 1.277 20.00 75.77 0.1205

TD 68.36 27.54 0.881 138.0 12.94 0.6192

Tabel 6.1: Parameterwaarden voor het vector-Preisach-model volgens RD en TD

Figuren 6.30 en 6.31 tonen enkele gemeten en berekende quasi-statische hystere-sislussen (H=50 A/m, 100 A/m en 500 A/m) volgens resp. RD en TD.

Metingen en berekeningen bij rotationele excitatie

Met de meetopstelling beschreven in §3.3.5 werden 50 Hz metingen uitgevoerdbij alternerende excitatie (volgens resp. RD en TD) en bij rotationele excita-tie. Figuur 6.32 toont de gemeten ijzerverlieskrommen voor deze drie gevallen.De corresponderende quasi-statische hysteresisverlieskrommen worden getoond inFiguur 6.33. Ze werden berekend in de veronderstelling dat het extra-dynamischeverlies nul is. Merk hierbij op dat het klassieke wervelstroomverlies bij rotationeleexcitatie tweemaal groter is dan bij alternerende excitatie.

Het inductieniveau waarbij het rotationele hysteresisverlies kleiner wordt dan hetalternerende hysteresisverlies (en uiteindelijk nul wordt), ligt blijkbaar buiten hetbereik van de meetopstelling.

Figuur 6.34 toont het gemeten en het berekende rotationele quasi-statische hyste-resisverlies. Bij de berekening werd het isotrope vector-Preisach-model gebruikt,gefit bij alternerende excitatie volgens RD of volgens TD. Figuur 6.35 toont de


0 1000 20000.00.51.01.5 gemetenberekendRDTD H [A/m]

B [T]Figuur 6.28: Gemeten en berekende maagde-lijke krommen volgens RD en TD

0.0 0.5 1.0 1.50250500 gemetenberekend B [T]RDTDwhys [J/m3]Figuur 6.29: Gemeten en berekende quasi-statische hysteresisverlieskrommen volgensRD en TD

-500 0 500-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 gemetenberekendB [T]H [A/m]

Figuur 6.30: Gemeten en berekende quasi-statische hysteresislussen bij alternerende ex-citatie volgens RD

-500 0 500-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 gemetenberekend H [A/m]B [T]

Figuur 6.31: Gemeten en berekende quasi-statische hysteresislussen bij alternerende ex-citatie volgens TD

0.0 0.5 1.0 1.501234 alt., RDalt., TDrot. B [T]

pFe [W/kg]Figuur 6.32: Gemeten ijzerverlies bij alterne-rende 50 Hz excitatie (volgens RD en TD) enbij rotationele 50 Hz excitatie

0.5 1.0 1.50100200300400 alt., RDalt., TDrot.whys [J/m3 ] B [T]Figuur 6.33: Gemeten quasi-statische hyste-resisverlies bij alternerende excitatie (volgensRD en TD) en bij rotationele excitatie

6-26 HOOFDSTUK 6

0.5 1.0 1.50250500 gemetenberekend, RDberekend, TDwhys [J/m3] B [T]Figuur 6.34: Gemeten en berekende quasi-statische hysteresisverlieskromme bij rotati-onele excitatie

0.0 0.5 1.0 1.51.01.52.02.5 gemetenberekend, RDberekend, TDB [T]whys;rotwhys;altFiguur 6.35: Verhouding van het rotationeleen het alternerende quasi-statische hystere-sisverlies (gemeten en berekend volgens RDen TD)

verhouding van het rotationele en het alternerende hysteresisverlies, enerzijdsgemeten en anderzijds berekend (RD en TD). In overeenstemming met wat ver-meld is in §5.1 en §6.2.4, is deze verhouding voor de drie beschouwde gevalleneen monotoon dalende functie, die bij niet al te hoge inducties groter is dan 1.

6.2.5.3 Motorblik VH800-65D

Van het elektroblik VH800-65D, dat verder in Hoofdstuk 9 beschouwd wordt bijde simulatie van een 3kW inductiemotor, zijn enkel de BH-kromme (zie §3.1) ende ijzerverlieskromme pFe(B) bij 50 Hz gegeven.

De geleidbaarheid van het materiaal werd met een gelijkstroommeting op een deelvan een statorblik van de inductiemotor (na verwijdering van de tanden) bepaald.Deze (niet zeer nauwkeurige) meting gaf σ=6.2 106 S/m. De massadichtheid ρ is7850 kg/m3; de dikte d van de lamellen is 0.65 mm.

Op dezelfde manier als voor materiaal V330-50A werd het vector-Preisach-modelgefit. Dit gaf de volgende waarden: h3=53.51 A/m, h2=21.04 A/m, b∗1=1.557 T,h1=40.01 A/m, µ1,rel=19.27, bs=0.060 T.

Figuur 6.36 toont de gemeten en de berekende maagdelijke kromme. In Fi-guur 6.37 worden de gemeten en de berekende quasi-statische verlieskrommewhys(B) afgebeeld.

In Figuren 5.24 en 5.25 worden berekende quasi-statische hysteresislussen bijresp. alternerende en rotationele excitatie getoond.


0 2000 4000 6000 80000.00.51.01.5 gemetenberekendB [T]H [A/m]

Figuur 6.36: Gemeten en berekende maagde-lijke kromme

0.0 0.5 1.0 1.50200400600800 berekendgemetenwhys [J/m3]B [T]

Figuur 6.37: Gemeten en berekende quasi-statische hysteresisverlieskromme

6.2.6 Praktische implementatieaspecten

6.2.6.1 Het directe vector-Preisach-model

In de praktijk moet men voor het irreversibele deel van het vector-Preisach-modeleen eindig aantal richtingen θk (k = 1, . . . , nθ) beschouwen, bv. gegeven door:

θk =(k − 1)π

nθ. (6.69)

De inductie B wordt dan als volgt bekomen:

B(H, Hv) = µrev (H) H +1

nθ

nθ∑k=1

Bθk,irr (Hθk , Hθk,v) 1θ. (6.70)

Het hysteresisverlies (6.58) wordt gegeven door:

whys =1

nθ

nθ∑k=1

∮periode

Hθk µ∂θk,irr

dHθk

. (6.71)

De componenten van de differentiele permeabiliteitstensor kunnen als volgt ge-schreven worden:

µ∂xx =H2x

H2µ∂rev (H) +

H2y

H3Brev (H) +

1

nθ

nθ∑k=1

µ∂θk,irr cos2θk, (6.72)

µ∂yy =H2y

H2µ∂rev (H) +

H2x

H3Brev (H) +

1

nθ

nθ∑k=1

µ∂θk,irr sin2θk, (6.73)

µ∂xy =HxHy

H2µ∂rev (H)− HxHy

H3Brev (H) +

1

nθ

nθ∑k=1

µ∂θk,irr cos θk sin θk. (6.74)

6-28 HOOFDSTUK 6

Men toont gemakkelijk aan dat ¯µ∂irr steeds positief definiet is als de scalairepermeabiliteit µ∂θ,irr strikt positief is en als tenminste twee verschillende hoekenbeschouwd worden, d.i. nθ ≥ 2.

Figuur 6.38 toont het effect van de hoekdiscretisatie bij alternerende excitatievolgens de x-as (H=300 A/m, h3=50 A/m, h2=10 A/m en b∗1=1 T) met nθ=5, 10en 100. Het hysteresisverlies varieert sterk met nθ: resp. 293.1 J/m3, 271.9 J/m3

en 266.3 J/m3.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-101 n=5n=10n=100Birr [T] H [A/m]Figuur 6.38: BirrH-lussen bij alternerende excitatie met nθ=5, 10 en 100

Figuren 6.39 en 6.40 tonen resp. de Birr ,xHirr ,x -lussen en de Birr -loci bij rotati-

onele excitatie (H=300 A/m) met nθ=5, 10 en 100. Het hysteresisverlies is resp.299.91 J/m3, 299.94 J/m3 en 299.87 J/m3, en varieert dus nauwelijks met nθ.

Bij lagere nθ vertonen de BirrH- en B-loci een uitgesproken ondulatie. Telkenseen van de Hθk ’s in de buurt van het coercitieve veld komt, levert de correspon-derende richting een uitgesproken bijdrage aan ¯µ∂irr .

De keuze van nθ is een afwegen van enerzijds de kost (rekentijd en geheugenve-reisten, vooral belangrijk bij een EE-implementatie) en anderzijds de nauwkeu-righeid. Voor zowel het fitten van de zes parameters van de PDF als voor deeigenlijke berekeningen werd, tenzij anders vermeld, nθ = 20 genomen.

6.2.6.2 Het inverse vector-Preisach-model

Het directe vector-Preisach-model krijgt een gekend tijdsverloop van H als in-put, en geeft B(t) als output. Hierna wordt beschreven hoe het directe modelgeınverteerd kan worden.

We beschouwen een gekende toestand op t−, d.i. H−, H−v , B− zijn gekend. Vooreen gegeven B+, is de gevraagde H+ de (een) oplossing van de volgende niet-lineaire vergelijking:

B(H+, H−v ) = B+. (6.75)


-300 -200 -100 0 100 200 300-1.0-0.50.00.51.0 n=5n=10n=100Birr;x [T]Hx [A/m]

Figuur 6.39: Birr,xHirr,x -locus bij rotatio-nele excitatie met nθ=5, 10 en 100

-1 0 1-101 n=5n=10n=100Birr;y [T]

Birr;x [T]Figuur 6.40: Birr -locus bij rotationele exci-tatie met nθ=5, 10 en 100

Met de Newton-Raphson-methode worden opeenvolgende benaderingen H+(i) =

H+(i−1) + ∆H+

(i), (i = 1, 2, . . .), met als beginwaarde H+(0) = H−, bepaald:

B(H+

(i), H−v ) ≈ B(H+

(i−1), H−v ) + ¯µ∂(H+

(i−1), H−v ) ∆H+

(i), (6.76)

∆H+

(i) = ¯ν∂(H+

(i−1), H−v )(B+ − B(H+

(i−1), H−v )). (6.77)

De differentiele permeabiliteitstensor ¯µ∂ wordt voor een gegeven H+(i−1) en H−v

berekend zoals aangegeven in (6.72–6.74).B(H+

(i), H−v ) wordt zoals beschreven in §6.2.6.1 bekomen door numerieke inte-

gratie van µ∂θk,irr (Hθk , H−θk,v

) tussen H−θk en H+

θk(i), cfr. (6.70). Indien zich geen

discontinuıteiten in ¯µ∂ voordoen tussen H− en H+(i−1), noch tussen H− en H+

(i),kan ook numeriek geıntegreerd worden tussen H+

θk(i−1)en H+

θk(i).

Een nauwkeurige berekening van B(H+(i), H

−v ) is vereist voor de (snelle) conver-

gentie van de Newton-Raphson-methode.

De vergelijking (6.75) is sterk niet-lineair, en de convergentie van de NR-methodeis (bijgevolg) geenszins gegarandeerd. Indien onvoldoende of geen convergentiewordt vastgesteld na een redelijk aantal iteraties, wordt relaxatie toegepast.

De invertering van het vector-Preisach-model wordt ook beschreven in [Gys99d].Voor zover ons bekend is het gebruik van de Newton-Raphson-methode voorhet inverteren van het (vector-)Preisach-model nog niet eerder voorgesteld. Hetinverteren van het scalaire model is wel reeds beschreven, bv. in [Henr92] waareen regula-falsi-methode gebruikt wordt.

Ter illustratie wordt de inductie in de tip van een statortand van de 3kW in-ductiemotor (zie §9.2.4 en de modellering van het elektroblik VH800-65D in§6.2.5.3) beschouwd. Figuren 6.41 en 6.42 tonen de Bx- en de By-golfvorm en deB-locus. Naast de 50 Hz grondharmonische bevat de inductie verzadigingshar-monischen (150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, . . . ) en gleufharmonischen (k800 ± 50) Hz,

6-30 HOOFDSTUK 6

(k = 1, 2, 3, . . .). We beschouwen eveneens een sinusoıdale 50 Hz inductie metdezelfde piekwaarden en dezelfde fase als de grondgolf van de inductie in de tand-tip. De sinusoıdale inductie en de ermee bekomen berekeningsresultaten wordenin Figuren 6.41 t.e.m. 6.44 weergegeven in puntlijn.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 t [s]B [T] Bx ByFiguur 6.41: Bx- en By-golfvorm in de tipvan een statortand van een inductiemotor (inpuntlijn: sinusoıdale Bx en By)

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Bx [T]

By [T]Figuur 6.42: BxBy-locus in de tip van eenstatortand van een inductiemotor (in punt-lijn: sinusoıdale B)

De met het inverse vector-Preisach-model bekomen BxHx- en ByHy-lussen wor-den in Figuur 6.43 getoond (met een zoom rond de coercitieve veldsterkte). Degleufharmonischen resulteren in een groot aantal hogere-orde-lussen en een be-duidende toename van het hysteresisverlies (1385 J/m3 t.o.v. 803 J/m3).

Vooral door de aanwezigheid van de harmonischen (maar ook door de grote piek-waarden van H), moet de tijdstap voldoende klein genomen worden. Indienminder dan 2000 stappen per periode gebruikt worden, zijn de resultaten onzeker:de BH-loci zijn bv. zichtbaar niet-puntsymmetrisch. Deze asymmetrie wordtveroorzaakt door het onnauwkeurig bemonsteren van de extremale waarden vanB.Bij 2000, 3000, 5000 en 10000 stappen per periode bedraagt het hysteresisverliesresp. 1380.4 J/m3, 1383.0 J/m3, 1385.4 J/m3 en 1385.3 J/m3.

Met de sinusoıdale inductie volstaan 50 stappen per periode. Het hysteresisver-lies bedraagt 801.50 J/m3, 802.94 J/m3 en 802.95 J/m3 bij resp. 50, 200 en 500stappen per periode.

De gleufharmonischen resulteren eveneens in een toename van het klassieke wer-velstroomverlies. Indien de fluxverdringing in het elektroblik verwaarloosd wordt(wat enkel voor de eerste gleufharmonischen, k = 1, nog enigszins aanvaardbaarlijkt), kan het eenvoudige model in §5.2.1 gebruikt worden. Figuur 6.44 toontde berekende BgxHrx- en BgyHry-lussen. Het wervelstroomverlies met harmo-nischen (en verwaarlozing van de fluxverdringing) bedraagt 13343 J/m3, zonderharmonischen 754 J/m3.


-5000 0 5000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 Hx [A/m]Bx [T] -5000 0 5000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 By [T] Hy [A/m]-200 -100 0 100 200-101 Bx [T] Hx [A/m] -200 -100 0 100 200-101 By [T] Hy [A/m]

Figuur 6.43: BxHx- en ByHy-lussen, met een zoom rond de coercitieve veldsterkte (in puntlijn:sinusoıdale B)

-5000 0 5000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 Bgx [T] Hrx [A/m] -5000 0 5000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 Bgy [T] Hry [A/m]Figuur 6.44: BgxHrx- en BgyHry-lussen (in puntlijn: sinusoıdale B)

6-32 HOOFDSTUK 6

6.3 Implementatie van hysteresis in een 2D EE-model

Een 2D translatie- of axisymmetrisch EE-model met bv. stroomgevoede gewik-kelde geleiders (index S) en spanningsgevoede massieve geleiders (index M) wordtbeheerst door het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen:

S(A)A+ (TM + Tlam)dA(t)

dt= KT

S IS + KT

MR−1

M VM + (Ip)rand + (Ip)PM , (6.78)

met S de stijfheidsmatrix, A de kolommatrix met de knooppuntswaarden van degemodifieerde MVP A∗z of A∗φ, en (Ip)rand en (Ip)PM de kolommatrices met deknooppuntsstromen geassocieerd met resp. de randvoorwaarden en het perma-nentmagneetmateriaal. De parasitaire wervelstromen in de blikpakketten wordenbenaderend in rekening gebracht d.m.v. de matrix Tlam . In de doorsnede Ωlam

van de blikpakketten heeft de MVP betrekking op de gemiddelde inductie Bg ineen lamel, zie §5.5.

Tijdsdiscretisatie van (6.78) m.b.v. de β-methode leidt tot een stelsel algebraıschevergelijkingen dat opgelost moet worden om van een tijdstip t− naar het volgendetijdstip t+ = t− + ∆t te stappen:(

S(A+) +TM + Tlam

β∆t

)A+ = f , (0.5 ≤ β ≤ 1), (6.79)

waarbij het rechterlid f een functie is van de gekende grootheden A−, I−S , I+S ,

V −M , V +M , (Ip)

−rand , (Ip)

+

rand en (Ip)PM :

f =

(−β′

βS(A−) +

TM + Tlamβ∆t

)A− + I+

S +β′

βI−S + KT

MR−1M

(V +M +

β′

βV −M

)+ (Ip)

+

rand +β′

β(Ip)

−rand +

1

β(Ip)PM , (β′ = 1− β). (6.80)

In het niet-lineaire niet-hysteretische geval (met ¯ν en S eenwaardige functies vanresp. B en A) wordt het niet-lineaire stelsel vergelijkingen (6.79) in A+ iteratiefopgelost m.b.v. de Newton-Raphson-methode, met als startwaarde A+

(0) = A−.Het i-de increment ∆A+

(i) (i = 1, 2, . . .) en de i-de benadering A+(i) = A+

(i−1) +∆A+

(i) van de correcte oplossing A+ worden bekomen door het oplossen van hetvolgende lineaire stelsel algebraısche vergelijkingen:(S∂(A+

(i−1)) +TM + Tlam

β∆t

)∆A+

(i) = f −(S(A+

(i−1)) +TM + Tlam

β∆t

)A+

(i−1). (6.81)

In bv. het translatiesymmetrische geval worden de stijfheidsmatrix S en zijnJacobiaan S∂ gegeven door:

S =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∗ · ∇αT dxdy, (6.82)

S∂ =

∫ΩEE

∇α · ¯ν∂∗ · ∇αT dxdy. (6.83)


De (gemodifieerde) koorde- en differentiele reluctiviteitstensor, resp. ¯ν (¯ν∗) en ¯ν∂

(¯ν∂∗), worden gegeven door:

[¯ν]

=

νxx νxy

νxy νyy

, [¯ν∗]

=1

lz

νyy −νxy−νxy νxx

, (6.84)

[¯ν∂]

=[∂H∂B

]=

ν∂xx ν∂xy

ν∂xy ν∂yy

=[

¯µ∂]−1

, (6.85)

[¯ν∂∗

]=

1

lz

ν∂yy −ν∂xy−ν∂xy ν∂xx

=

[¯µ∂]

lz det[

¯µ∂] , (6.86)

met lz de lengte van het EE-model volgens de z-as.

We beschouwen nu in het 2D domein ΩEE een gebied Ωhys waarin het materiaalgemodelleerd wordt met het vector-Preisach-model, en dat al of niet gedeeltelijksamenvalt met Ωlam . In elk eerste-orde-element in Ωhys is het verband tussen Hen B (of tussen Hg en Bg in Ωhys∩Ωlam) ook afhankelijk van het verleden van hetmateriaal. Dit verleden, symbolisch Hv genoteerd, kan worden samengevat in eenreeks minima en maxima van Hθk voor elke discrete richting θk (k = 1, . . . , nθ)van het vector-Preisach-model.

De differentiele permeabiliteits- en reluctiviteitstensor, resp. ¯µ∂(H, Hv) en ¯ν∂ =(¯µ∂)−1, bekomen met het (directe) vector-Preisach-model, zijn steeds symme-trisch en positief definiet (zie §6.2.6.1). De SPSD bijdrage van een element inΩhys tot de Jacobiaan S∂ (6.83) in de NR-vergelijkingen (6.81) als functie vanH+

(i−1) en H−v kan onmiddellijk berekend worden.

De koordereluctiviteitstensor ¯ν, waarmee de bijdrage van een element in Ωhys

tot de stijfheidsmatrix S berekend kan worden, is daarentegen een onhandigegrootheid om mee te werken. Bij alternerende excitatie, bijvoorbeeld, kan de(eenduidig bepaalde) scalaire ν elke waarde tussen −∞ en +∞ aannemen. Bij-gevolg kan de bijdrage van een element tot S niet altijd berekend worden. Ditprobleem kan eenvoudig omzeild worden. Bij de Newton-Raphson-methode komtenkel het product SA, i.h.b. S(A−)A− in (6.80) en S(A+

(i−1))A+(i−1) in (6.81),

tussen. De bijdrage van een element in Ωhys tot deze kolommatrices kan, reke-ning houdend met (5.59), rechtstreeks (d.i. zonder expliciete tussenkomst van ¯νen A) berekend worden op basis van resp. H− en H+

(i−1).

Het oplossen van het stelsel (6.81) geeft de i-de benadering A+(i) van A+, waaruit

onmiddellijk B+(i) in elke element in Ωhys volgt. Het inverse Preisach-model (zie

§6.2.6.2) geeft H+(i), waarna een nieuwe NR-iteratie uitgevoerd kan worden.

Indien voldoende convergentie wordt vastgesteld, wordt het iteratief procede ge-stopt. Voor elk element in Ωhys kan nu het geheugen geactualiseerd worden, watresulteert in H+

v .

Het inverteren van het Preisach-model blijkt bij bepaalde – veeleisende – toepas-singen een kritiek onderdeel van de EE-implementatie te zijn. Dit is i.h.b. het

6-34 HOOFDSTUK 6

geval bij de simulatie van de 3kW inductiemotor beschreven in Hoofdstuk 9, zieook het voorbeeld in §6.2.6.2.

Indien de inversie niet geslaagd is voor een of meerdere elementen van Ωhys , wordteen noodoplossing gebruikt. Voor deze elementen wordt verder een eenwaardigeBH-kromme, meer bepaald de maagdelijke kromme van het vector-Preisach-model, gebruikt. Indien dit beperkt blijft tot een gering aantal elementen inΩhys , hoeft het effect op bv. de berekende stromen niet beduidend te zijn.

Het convergentieprobleem bij het inverteren van het Preisach-model verkleintuiteraard indien een kleinere tijdstap gebruikt wordt.

Indien men enkel geınteresseerd is in het regimegedrag van het model, kan derekentijd ook als volgt verkort worden. De simulatie wordt eerst uitgevoerd metde maagdelijke kromme van de hysteretische materialen, tot met goede benade-ring het regime bereikt is. De simulatie wordt dan verdergezet met het vector-Preisach-model, waarbij het materiaal zich initieel in de maagdelijke toestandbevindt. Dit wordt o.a. gedemonstreerd in §6.4.

Een ander voordeel van deze methode is dat het materiaalgeheugen niet node-loos (over)belast wordt door de transient. Inderdaad, tijdens de transient kanhet magnetische veld H (of, precieser, de projectie Hθ op de nθ discrete richtin-gen van het vector-Preisach-model), na een doorschot, een geleidelijk afnemendeamplitude hebben. Per ’cyclus’ van de transient vergroot zo het aantal extremain het geheugen.

De plotse overschakeling van de materiaaleigenschappen in Ωhys veroorzaakt na-tuurlijk een nieuwe (en hopelijk korte) transıent.

Verder in deze tekst worden verschillende toepassingen besproken. In §6.4 wordtde nullastsimulatie van een transformator besproken. De simulatie van dezelfdetransformator, gekoppeld aan een gelijkrichterbrug, wordt behandeld in §7.3. In§9.2.4 wordt het vector-Preisach-model gebruikt bij de nullastsimulatie van de3kW inductiemotor.

Alternatieve methoden

In vele publicaties, bv. [Sai98, Tak98, Nin96, Henr92, Deli94b, Deb98, Bot95,Chi95], wordt een scalair hysteresismodel geıncorporeerd in een 2D EE-model, enwordt een eenvoudige toepassing met quasi-unidirectionele inductie beschouwd.Meestal betreft het het klassieke, scalaire Preisach-model, in een enkel geval hetJiles-Atherton-model [Chi95].

Het is evident dat een scalair hysteresismodel het materiaalgedrag niet voldoendenauwkeurig kan beschrijven wanneer de inductie in belangrijke mate rotationeelis. Daarenboven is er de numerieke moeilijkheid van het afleiden van een scalaireB-waarde van de B-vector die men uit de MVP berekent (en die in niet-trivialegevallen nooit perfect unidirectioneel is). In [Deli94b] wordt voorgesteld om degrootte van B met het gepaste voorteken te nemen; er wordt een tekenveranderingverondersteld bij een tijdstap van t− naar t+ wanneer het scalair product B− · B+

negatief is.


In [Henr92, Deli94a, Deli94b, Rod95, Nin96] wordt voor het hysteretische ma-teriaal een constitutieve vergelijking vooropgesteld die analoog is aan deze voorpermanente magneten (§3.2):

H = νc(B)B + Hc. (6.87)

De grootte van Hc wordt bepaald door de coercitieve veldsterkte, meer precies hetsnijpunt van de actuele hysteresistak met de H-as, zie Figuur 6.45. De waardevan Hc volgt uit het inverse scalaire Preisach-model.Op de actuele hysteresistak is νc een eenwaardige en continue functie van B, endoor de specifieke keuze van Hc strikt positief. De vectoren H, B en Hc wor-den evenwijdig verondersteld. De vector Hc geeft aanleiding tot een bijkomendeequivalente stroomdichtheid −∇× Hc (zie ook §3.2).c@ B [T] H [A/m]Hc

Figuur 6.45: Definitie van Hc en νc, en werkelijke linearisatie van de BH-locus(met helling ν∂)

Analoog wordt in [Nak85, Alo94] van de volgende constitutieve vergelijking uit-gegaan:

B = µ0H + M of H = ν0B − ν0M. (6.88)

De term ν0B geeft een constante bijdrage tot de stijfheidsmatrix, terwijl de term−ν0M resulteert in een bijkomende, continu in de tijd varierende stroomdichtheidν0 ∇× M .

In [Sai98, Bot95, Bot98, Chi95] wordt de fixed point method gebruikt. Een con-stitutieve vergelijking zoals in (6.87), maar met een oordeelkundig gekozen con-stante en positieve ν, en met een varierende Hc, is hierbij het uitgangspunt.

In [Dup96, Dup98a, Bot98, Alo94, Sai99] wordt het isotrope (directe) vector-Preisach-model geımplementeerd in een 2D EE-model. In [Dup98a] is de EE-implementatie eveneens gebaseerd op de differentiele permeabiliteitstensor. Hier-bij wordt naast de conventionele MVP-formulering, ook de complementaire for-mulering, met de scalaire magnetische potentiaal u als hulpgrootheid (met H =−∇u), beschouwd voor het specifieke 2D probleem waarbij de stroomdichtheidJ nul is en de fluxen opgedrongen worden (zoals in het voorbeeld in §5.4).

6-36 HOOFDSTUK 6

In [Gys99b] wordt een methode voorgesteld om het vector-Preisach-model teimplementeren in 2D EE-simulaties, waarbij het Preisach-model evenwel nietgeınverteerd wordt. De methode werd ook toegepast op de transformator in §6.4en gaf bevredigende resultaten [Gys99b]. Bij de toepassing op de inductiemotorin Hoofdstuk 9 bleek deze methode onvoldoende nauwkeurig te zijn, zelfs meteen zeer kleine tijdstap. De hoger beschreven methode, met invertering van hetPreisach-model, geeft wel bevredigende resultaten.

6.4 Toepassing: nullastsimulatie van een trans-formator

Als praktische toepassing van de EE-implementatie van het vector-Preisach-model simuleren we de nullastwerking van de driefasige transformator. De vol-gende gevallen worden daarbij beschouwd: eenfasige nullast met de primaire vanfase A of fase B bekrachtigd, en driefasige nullast met de drie fasen in ster ge-schakeld, telkens bij sinusoıdale 50 Hz spanningsvoeding.

Het elektroblik V330-50A van de transformatorkern werd in §6.2.5.2 gekarakteri-seerd door twee isotrope vector-Preisach-modellen op basis van metingen bij al-ternerende excitatie volgens resp. RD en TD. In overeenstemming hiermee wordtde kern verdeeld in twee gebieden waarin het materiaal isotroop verondersteldwordt, zoals in §3.3.6.

Zoals beschreven in §3.3.6 bestaat de transformatorkern uit E– en I–lamellen. Terhoogte van de voegen tussen deze E– en I–lamellen is er een lokale verhoging vande inductie, die resulteert in een hogere nullaststroom en een groter ijzerverlies.Het veldpatroon rond de voegen wordt hierna in detail bestudeerd m.b.v. een2D EE-model, waarbij een doorsnede loodrecht op de lamellen beschouwd wordt.Aan de hand van dit model kan in het 2D EE-model van de transformator, meteen doorsnede evenwijdig met de lamellen, rekening gehouden worden met devoegen.

6.4.1 Modellering van de voegen in het blikpakket

De lamellen in de transformatorkern zijn per twee gestapeld, zoals (vereenvou-digd en periodiek) voorgesteld in Figuur 6.46. De lameldikte d is 0.5 mm. Devulfactor λ is volgens de transformatorfabrikant 94%. De isolatieafstand tussentwee lamellen is dan (1 − λ)d/λ=0.064 mm. De (gemiddelde) voeg tussen tweenaburige E– en I–lamellen, s genoteerd, kan niet zomaar gemeten worden. Erworden verder drie waarden beschouwd, nl. 0.025 mm, 0.050 mm en 0.100 mm.Het geval s = 0 stemt overeen met een (ideale) kern zonder voegen.In het 2D EE-model van de transformator, waarbij een doorsnede in het xy-vlak evenwijdig met de lamellen beschouwd wordt, kan de aanwezigheid van devoegen in de transformatorkern gemodelleerd worden m.b.v. zones (met breedtelvoeg) gecentreerd rond de eigenlijke voegen (met breedte s). In deze zones, verdervoegzones genoemd, wordt een aangepaste materiaalkarakterisering gebruikt. Ditwordt voorgesteld in Figuren 6.47 en 6.48.

Modellering van hysteresis 6-37sdd= zy xlxFiguur 6.46: Stapeling van de lamellen in de transformatorkernslvoeg lvoegslx z y x

Figuur 6.47: Voegzone met breedte lvoeg waarin een aangepaste materiaalkarakteri-sering gebruikt wordt ca b lvoeg50mm

Figuur 6.48: Voegzones met breedte lvoeg in het 2D transformatormodel

6-38 HOOFDSTUK 6

Het fluxpatroon rond de voegen in het blikpakket wordt in detail bestudeerdm.b.v. een 2D EE-model. Gebruikmakende van de periodiciteit en de symme-trie kan het model beperkt worden tot het met stippellijn omkaderde deel inFiguur 6.46. Het corresponderende EE-model wordt (met duidelijkheidshalveonrealistische verhoudingen) getoond in Figuur 6.49.

In [Chi83, Tim95] worden gelijkaardige 2D EE-modellen beschouwd.

Bij de keuze van de lengte lx van het EE-model houden we rekening met deafstand tussen twee opeenvolgende voegen in het transformatormodel in Fi-guur 6.48. Drie gevallen kunnen beschouwd worden. Een deel van een fluxlijnzoals de puntstreeplijn a in Figuur 6.48 is minimaal 50 mm lang, de puntstreeplijnb is precies 150 mm lang, terwijl de puntstreeplijn c maximaal 350 mm lang is. Deafstand tussen twee opeenvolgende voegen varieert dus tussen 50 mm en 350 mm.Om het aantal elementen in de EE-vermazing te beperken, wordt – tenzij andersvermeld – de kleinste afstand genomen, d.i. lx=50 mm.

De gemiddelde inductie Bg volgens de x-as wordt opgedrongen d.m.v. Dirichlet-randvoorwaarden op de onderste en bovenste zijde van het model. Op de linker-en de rechterzijde wordt de homogene Neumann-randvoorwaarde opgelegd. Merkop dat het model puntsymmetrie vertoont t.o.v. het punt c.

Met dit EE-model worden statische en dynamische simulaties uitgevoerd. In hetstatische geval wordt de m.m.k. F over de lengte lx berekend als functie van Bgen s. In het dynamische geval worden ook de parasitaire wervelstromen in delamellen beschouwd en wordt het bijkomende ijzerverlies als functie van Bg en sberekend.

Er worden EE-vermazingen met ongeveer 8000 knooppunten en 15000 eerste-orde-elementen (waarvan 9000 in de lamellen) gebruikt.+ @Ay@n = 0 Ay = 0

Ay = 2 dBglvoeg=2 d 1lx ddd 12

d 12lvoeg=2s=2 cBgBg

Fxy z

Figuur 6.49: 2D EE-model van twee halve overlappende lamellen en twee halve voegenmet lengte s/2


6.4.1.1 Statische modellering

Bij de statische berekeningen worden de lamellen gemodelleerd met de maagde-lijke kromme van V330-50A volgens de rolrichting (RD).Figuur 6.50 toont de fluxpatronen aan het linkeruiteinde van het EE-model metresp. Bg=0.5 T en 1.5 T, en met lx=50 mm en s=0.025 mm.

Figuur 6.50: Fluxpatroon aan het linkeruiteinde van het EE-model met Bg=0.5 T (boven)en Bg=1.5 T (onder); lx=50 mm, s=0.025 mm

Figuur 6.51 toont het verloop van Bx in het midden van de onderste lamel metBg=0.5, 1.0, 1.3 en 1.5 T, en met s=0.025, 0.050 en 0.100 mm. Figuur 6.52 toonthet verloop van Bz tussen de twee lamellen met Bg=0.5, 1.0, 1.3 en 1.5 T, en mets=0.025 mm.

0 10 20 30 40 50012 s=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mmx [mm]Bx [T] 0.5 T1.0 T 1.3T1.5 T

Figuur 6.51: Verloop van Bx in het middenvan de onderste lamel bij Bg=0.5, 1.0, 1.3 en1.5 T, en met s=0.025, 0.050 en 0.100 mm

0 10 20 30 40 500.00.10.20.3 Bg=0.5 TBg=1.0 TBg=1.3 TBg=1.5 T x [mm]Bz [T]

Figuur 6.52: Verloop van Bz tussen de tweelamellen bij Bg=0.5, 1.0, 1.3 en 1.5 T, en mets=0.025 mm

Uit Figuren 6.50, 6.51 en 6.52 kunnen de volgende kwalitatieve besluiten getrok-ken worden.Bij lage Bg (<1 T) is er over de volledige lengte lx ’fluxuitwisseling’ tussen tweeoverlappende lamellen. Een verwaarloosbare fractie van de flux steekt de voe-

6-40 HOOFDSTUK 6

gen over, zodat de inductie in een lamel ter hoogte van een voeg ongeveer 2Bgbedraagt.Bij voldoend hoge Bg (≥1.3 T) steekt een niet te verwaarlozen deel van de flux devoegen over. De rest van de flux ontwijkt de voegen via de overlappende lamel. Deovergangszones aan de voegen zijn duidelijk(er) afgetekend. We veronderstellen(min of meer arbitrair) dat deze 5 mm lang zijn, ook bij lage inducties. De totalevoegzone bestrijkt dan 10 mm, of lvoeg=10 mm.We merken hierbij op dat bij de nominale (nullast)werking van de transformatorde gemiddelde amplitude van de inductie in de kern 1.2 T a 1.3 T bedraagt, zoalsverder ook blijkt.

Uit de BH-kromme van het materiaal en de berekende m.m.k. F kan de equiva-lente BgHvoeg -kromme van de voegzone afgeleid worden:

F(Bg, s) = (lx − lvoeg)H0(Bg) + lvoeg Hvoeg(Bg, s), (6.89)

of

Hvoeg(Bg, s) =F(Bg, s)− (lx − lvoeg)H0(Bg)

lvoeg, (6.90)

met H0 = Hvoeg(Bg, 0) = F(Bg, 0)/lx de vooropgestelde materiaalkarakteristiekvan de lamellen.Figuur 6.53 toont F als functie van Bg en s (met lx=50 mm). De bekomenBgHvoeg -krommen, met lvoeg=10 mm, worden getoond in Figuur 6.54. Voor s =0 vinden we logischerwijze de BH-kromme van het materiaal zelf terug. Dekrommen met s 6= 0 vertonen een knik ter hoogte van Bg=0.75 T, die des temeer uitgesproken is naarmate s groter is. Deze knik stemt overeen met de sterkeverzadiging (vanaf ongeveer 1.5 T) van de lamellen ter hoogte van de voegen.

0.0 0.5 1.0 1.5050100 s=0.000 mms=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mm Bg [T]F [A]Figuur 6.53: F als functie van Bg en s

0 2500 50000.00.51.01.5 s=0.000 mms=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mmHvoeg [A/m]Bg [T]Figuur 6.54: BgHvoeg–krommen

6.4.1.2 Dynamische modellering

Bij de dynamische berekeningen worden de twee lamellen gemodelleerd als mas-sieve geleiders met nettostroom gelijk aan nul. Een sinusoıdale flux met frequentief=50 Hz en amplitude Bg wordt opgedrongen d.m.v. Dirichlet-randvoorwaarden.


Voor de twee lamellen wordt het vector-Preisach-model volgens RD gebruikt. Erworden twee perioden gesimuleerd met elk 400 tijdstappen. Het regime stelt zichquasi-onmiddellijk in.

De rekentijd is ongeveer 3.3 CPU uur op een DEC Alpha-station 255-300 (t.o.v.1 CPU uur indien een eenwaardige BH-kromme gebruikt wordt). Convergentie-problemen bij het inverteren van het vector-Preisach-model doen zich niet voor.

-100 0 100-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 F [A]Bg [T]Figuur 6.55: Dynamische BgF-lussen met Bg=0.5 T a 1.5 T en met s=0.025 mm;statische BgF-karakteristiek in puntlijn

Figuur 6.55 toont de berekende dynamische BgF-lussen met Bg=0.5 T a 1.5 Ten met s=0.025 mm. De statische BgF-karateristiek met s=0.025 mm wordt inpuntlijn getoond.

Figuur 6.56 toont het ogenblikkelijke wervelstroomverlies [W] met Bg=1.3 T, ens=0 en 0.025 mm. (De lengte ly van het EE-model volgens de derde dimensie(de y-as) is 1 m.) Figuur 6.57 toont het verloop van de stroomdichtheid langs debovenkant en in het midden van de onderste lamel, met Bg=1.3 T, en t=0.0261 s,op een tijdstip dat het wervelstroomverlies ongeveer maximaal is.

Het gemiddelde wervelstroomverlies PJ als functie van Bg, met s= 0.000 mm,0.025 mm, 0.050 mm en 0.100 mm, wordt voorgesteld in Figuur 6.58.Het bijkomende wervelstroomverlies t.o.v. het geval zonder voegen (s = 0) kanbegroot worden d.m.v. een geleidbaarheid σvoeg in de voegzones, die groter is dande geleidbaarheid σ=2.03 106 S/m van het materiaal:

PJ(Bg, s) = PJ(Bg, 0)

(lx − lvoeg

lx+lvoeglx

σvoeg(Bg, s)

σ

), (6.91)

of

σvoegσ

=lxlvoeg

PJ(Bg, s)

PJ(Bg, 0)− lx − lvoeg

lvoeg. (6.92)

6-42 HOOFDSTUK 6

0.020 0.025 0.030 0.035 0.0400.00.20.40.6 s=0.000 mms=0.025 mmt [s]PJ [W]Figuur 6.56: Ogenblikkelijk wervelstroom-verlies PJ met Bg=1.3 T en s=0 en 0.025 mm

0 10 20 30 40 50-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.6 s=0.000 mms=0.025 mms [mm]Jy [A/mm2] s [mm]Jy [A/mm2] bovenaanmiddenFiguur 6.57: Verloop van de stroomdichtheidlangs de bovenkant en in het midden van deonderste lamel, Bg=1.3 T, s=0.025 mm

0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.3 s=0.000 mms=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mm Bg [T]PJ [W]Figuur 6.58: Gemiddeld wervelstroomverliesPJ als functie van Bg en s

0.0 0.5 1.0 1.545678 s=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mm Bg [T]voeg=Figuur 6.59: Verhouding

σvoegσ

als functie van

Bg met s=0.025, 0.050 en 0.100 mm

In het geval zonder voegen (s = 0), en indien fluxverdringing verwaarloosd wordt(wat bij 50 Hz zeker toegelaten is), kan het wervelstroomverlies ook analytischberekend worden (zie §5.2.1):

PJ(Bg, 0) =1

6σ π2f2B2

g 2 lylxd. (6.93)

Figuur 6.59 toont de verhoudingσvoegσ als functie van Bg met s=0.025 mm,

0.050 mm en 0.100 mm. De verhouding varieert relatief weinig met s. De va-riatie met Bg is belangrijker.

De berekening met Bg=1.5 T en s=0.025 mm werd eveneens uitgevoerd metlx=150 mm i.p.v. 50 mm. De verhouding σvoeg/σ is dan 4.13 i.p.v. 4.07.

Figuur 6.60 toont het hysteresisverlies als functie van Bg, met s=0 en 0.025 mm.De fluxconcentratie (tot 2 T en meer) ter hoogte van de voegen resulteert ineen geringe toename van het hysteresisverlies voor Bg ≤1.3 T, en in een ge-ringe afname voor Bg ≥1.4 T. Deze resultaten zijn echter minder betrouwbaar


daar het hysteresisverlies bekomen met het gefitte vector-Preisach-model slechtstot Bg=1.4 T goed overeenkomt met het gemeten hysteresisverlies (zie ook Fi-guur 6.29). Boven 1.5 T zijn geen meetgegevens beschikbaar en vertoont de ver-lieskromme van het vector-Preisach-model een plotse en verdachte saturatie (zieook Figuur 6.60 met s = 0).

0 1 20.00.20.40.60.81.0 s=0.000 mms=0.025 mmPhys [W]

Bg [T]Figuur 6.60: Hysteresisverlies als functie vanBg , met s=0 mm en s=0.025 mm

0.020 0.025 0.030 0.035 0.0400.00.20.40.60.8 hysteresismaagdelijke krommePJ [W] t [s]Figuur 6.61: Het ogenblikkelijke wer-velstroomverlies met hysteresismodel enmet maagdelijke kromme; Bg=1.5 T ens=0.025 mm

Het wervelstroomverlies wordt ook berekend met de maagdelijke kromme i.p.v.met het vector-Preisach-model, met Bg=1.5 T en s=0.025 mm. Alhoewel hetogenblikkelijke wervelstroomverlies sterk verschilt, zie Figuur 6.61, is het gemid-delde verlies praktisch identiek (resp. 0.3155 W en 0.3200 W).

Merk hierbij op dat bij afwezigheid van fluxverdringing het wervelstroomverlieszelfs helemaal niet afhangt van de magnetische eigenschappen van de lamel (zieook §5.2.1).

Modellering van het ijzerverlies in de voegzones

Het ijzerverlies in een blikpakket (zonder voegen, s = 0) kan bij een bepaaldefrequentie f benaderend als klassiek wervelstroomverlies opgevat worden. Hierbijwordt een equivalente geleidbaarheid σeq (die groter is dan de werkelijke geleid-baarheid σ) gefit zodat bij de beschouwde frequentie en in een voldoend ruimgebied van Bg bij benadering geldt:

pFe(Bg) ≈ pcl(Bg, σeq) =1

6σeq π

2d2 f2 B2g [W/m3]. (6.94)

Dit wordt geıllustreerd in Figuur 6.62 voor het elektroblik V330-50A met f=50 Hz.De gefitte equivalente geleidbaarheden volgens RD en TD zijn resp. σeq,RD=9.63 106 S/m en σeq,TD= 11.30 106 S/m (t.o.v. σ=2.03 106 S/m).

In een 2D EE-model van een machine kan het ijzerverlies geıncorporeerd wordend.m.v. een vector-Preisach-model en de wervelstroommatrix Tlam(σ) (zie §5.5).Hetzelfde ijzerverlies kan nu ook benaderend geıncorporeerd worden met een

6-44 HOOFDSTUK 6

0.0 0.5 1.0 1.501234 gemeten pFepcl met eqpcl met TD RDBg [T][W/kg]Figuur 6.62: Het ijzerverlies pFe(Bg) bij alternerende flux volgens RD en TD bij 50 Hz, en het

klassieke wervelstroomverlies pcl (Bg) met de werkelijke geleidbaarheid σ of de equivalentegeleidbaarheden σeq,RD en σeq,TD

eenwaardige BH-kromme (bv. de maagdelijke kromme van het vector-Preisach-model) en de wervelstroommatrix Tlam(σeq).Het grote voordeel is de kleinere rekentijd. Het in rekening brengen van hetwervelstroomverlies (of het volledige ijzerverlies) d.m.v. de wervelstroommatrixTlam heeft een gering effect op de rekentijd, wat zeker niet kan gezegd worden vanhet vector-Preisach-model.Het nadeel is dat enkel bij de beschouwde frequentie het berekende ijzerver-lies correct is. Immers, het wervelstroomverlies [W/m3] heeft een kwadratischefrequentieafhankelijkheid, terwijl het quasi-statische hysteresisverlies lineair toe-neemt met de frequentie.

De voegzones kunnen gemodelleerd worden met een eenwaardige BgHvoeg -krom-me, zie Figuur 6.54, en een verhoogde geleidbaarheid σeq,voeg . Beschouwen webv. enkel het bijkomende wervelstroomverlies met σvoeg/σ=5, zie Figuur 6.59, eneen equivalente σeq=10 106 S/m (uitgemiddeld over RD en TD), dan is σeq,voeg ≈(10 + (5− 1)× 2.03) 106 ≈18 106 S/m.

In [Ell98] worden de voegen in een transformatorkern gemodelleerd als lucht-spleetelementen (met een fluxafhankelijke lengte) in een magnetisch netwerkmo-del. Hiermee wordt wel de m.m.k.-verhoging als gevolg van de fluxconcentratieaan de voegen in rekening gebracht, maar niet het extra ijzerverlies.

6.4.2 Nullastsimulaties van de transformator

Figuur 6.63 toont een 2D EE-model van de transformator. Enkele de primaire(middelste) wikkelingen op de drie benen worden bekrachtigd. Op de buitenrandvan het EE-model wordt de Dirichlet-randvoorwaarde A∗z = 0 opgelegd.

Bij nullast kan de spreidingsflux verwaarloosd worden t.o.v. de magnetiserings-flux4. Bijgevolg volstaat het bij een nullastsimulatie enkel de magnetische kern

4We komen hierop terug in §7.3, waar kortsluit- en lastsimulaties van de transformator wor-den uitgevoerd. Bij deze werkingstoestanden kan de spreidingsflux niet verwaarloosd worden.


te modelleren, zoals voorgesteld wordt in Figuur 6.64. De geleiders en de om-gevende lucht zijn niet opgenomen in het model. De buitenrand van de kernstaat op een constante potentiaal (bv. nul), terwijl de twee binnenranden elk eenvlottende potentiaal hebben. De drie primaire wikkelingen worden gemodelleerdals m.m.k.-bronnen.Zoals verder wordt aangetoond, geven beide EE-modellen praktisch dezelfde re-sultaten.

Figuur 6.63: 2D EE-model van de transfor-mator; vermazing met 1000 knooppunten en1950 eerste-orde-elementen

Figuur 6.64: 2D EE-model van de transfor-matorkern; vermazing met 467 knooppuntenen 788 eerste-orde-elementen

Het elektroblik wordt buiten de voegzones gemodelleerd met het vector-Preisach-model. De parasitaire wervelstromen worden in rekening gebracht met de wer-velstroommatrix Tlam(σ) met de gemeten geleidbaarheid σ=2.03 106 S/m.De voegzones met breedte lvoeg=10 mm worden gemodelleerd zoals hoger beschre-ven, d.i. met de maagdelijke kromme volgens RD en met de wervelstroommatrixTlam(σeq,voeg)

6.4.2.1 Eenfasige nullast met de primaire van fase A gevoed

De primaire wikkeling van fase A werd gevoed uit een regeltransformator. Destroom en de spanning werden opgenomen met een data-acquisitiesysteem bijeffectieve spanning Ve gelijk aan 100 V en 220 V.Bij Ve=220 V is de piekwaarde van de gemeten stroom 0.56 A en het totale geme-ten verlies 33.1 W. Het Joule-verlies in de wikkeling is daar een te verwaarlozenfractie van (<0.05 W).Simulaties bij Ve=220 V worden eerst uitgevoerd met een BgHvoeg -kromme mets=0 mm, 0.025 mm, 0.050 mm of 0.100 mm, en met σeq,voeg=10 106 S/m (d.i. zon-der bijkomend wervelstroomverlies). De piekwaarde van de berekende stroomis vooral functie van s, en in geringe mate van σeq,voeg . Ze bedraagt 0.41 A,0.54 A, 0.59 A en 0.64 A bij resp. s=0 mm, 0.025 mm, 0.050 mm en 0.100 mm.Figuur 6.65 toont de berekende stroomgolfvormen. Voegzones met s=0.025 mmgeven een iets kleinere piekwaarde dan gemeten, maar ongeveer dezelfde 50 Hzcomponent. We gebruiken verder deze waarde voor s.Het berekende ijzerverlies, resp. 28.69 W, 28.92 W, 29.17 W en 29.40 W, is 11% a13% kleiner dan het gemeten verlies.

6-46 HOOFDSTUK 6

Een simulatie met s=0.025 mm en σeq,voeg=18 106 S/m geeft 30.53 W verlies, watnog steeds 7.8 % kleiner is dan het gemeten verlies. Wanneer we σeq,voeg verho-gen tot (afgerond) 30 106 S/m bedraagt het berekende nullastverlies 32.9 W. Wegebruiken verder deze waarde voor σeq,voeg .

Figuur 6.66 toont de gemeten stroom en de stroom berekend met de gefitte voeg-zoneparameters (s=0.025 mm en σeq,voeg=18 106 S/m). De EE-berekeningen zijnuitgevoerd met de twee EE-modellen (resp. met en zonder spreiding, Figuren 6.63en 6.64). De twee berekende stromen zijn quasi-identiek, evenals de berekendeijzerverliezen (resp. 32.90 W en 32.86 W).

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.7 gemetens=0.000 mms=0.025 mms=0.050 mms=0.100 mm t [s]IS [A]

Figuur 6.65: Gemeten en berekende nullast-stromen bij 220 V

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.6 gemetenmet spreidingzonder spreidingt [s]IS [A]

t [s]IS [A]

Figuur 6.66: Gemeten en (met gefitte voegzo-neparameters) berekende nullaststromen bij220 V

Figuur 6.67 toont berekende BgyHgy- en BgyHry-lussen in de drie benen van detransformator, bij Ve=220 V.

De berekening werd eveneens uitgevoerd bij Ve=100 V. Figuur 6.68 toont degemeten en de berekende stroomvorm. De berekende stroom is duidelijk groterdan de gemeten stroom. De verliezen komen beter overeen: gemeten 8.09 W,berekend 8.12 W.

6.4.2.2 Eenfasige nullast met de primaire van fase B gevoed

De primaire wikkeling van fase B (op het middenbeen) werd gevoed uit eenregeltransformator. De stroom en de spanning werden opgenomen bij Ve=100 Ven 220 V.Figuren 6.69 en 6.70 tonen de gemeten en berekende stromen bij resp. Ve=100 Ven 220 V. De berekende verliezen, resp. 6.15 W en 24.4 W, zijn 3% groter dan degemeten verliezen (resp. 5.95 W en 23.6 W).


-100 0 100-101 HgyHry Hy [A/m]Bgy [T] ABC

Figuur 6.67: Berekende BgyHgy- enBgyHry-lussen in de drie benen van de trans-formator, bij 220 V

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.2-0.10.00.10.2 gemetenberekend t [s]IS [A]

Figuur 6.68: Gemeten en berekende nullast-stroom bij 100 V

6.4.2.3 Driefasige nullast

We beschouwen nu driefasige nullast met de drie primaire wikkelingen in stergeschakeld5 en aangesloten op een driefasig symmetrisch spanningssysteem. Demetingen en de berekeningen werden uitgevoerd bij een effectieve sterspanninggelijk aan 100 V en 230 V.

Indien we het driefasige spanningssysteem:

Vi = V cos(

2πft− (i− 1)2π

3

), (6.95)

met i = 1, 2, 3 voor resp. fase A, B en C, plots aanleggen op t = 0, vertonen deberekende stromen een groot doorschot. Figuur 6.71 toont de stroom in bv. faseA. Na 50 perioden is het regime nog verre van bereikt.

De transient kan verkort worden door de amplitude van de sinusoıdale spanningengeleidelijk te vergroten vanaf nul tot de nominale waarde. Dit kan bv. door despanningen in (6.95) te vermenigvuldigen met de volgende functie:

a(t) =1

2+

1

2sin

(π t

trelax− π

2

), 0 ≤ t ≤ trelax , (6.96)

die van t = 0 tot t = trelax op continue wijze toeneemt van 0 tot 1.

Het spanningsverloop met trelax=0.8 s wordt voorgesteld in Figuur 6.72. De be-rekende stroom in fase A wordt getoond in Figuur 6.73. Op t=1 s is het regimemet goede benadering bereikt.De berekening van t=0 tot 1 s werd uitgevoerd met de maagdelijke krommenvan het elektroblik (i.p.v. met het vector-Preisach-model) en met de verhoogdeequivalente geleidbaarheden σeq,RD en σeq,TD . De berekening werd op t=1 s

5Voor een dergelijke simulatie zijn bijkomende elektrische vergelijkingen nodig. De koppelingvan een EE-model en een elektrisch netwerk is het onderwerp van Hoofdstuk 7.

6-48 HOOFDSTUK 6

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.10.00.1 gemetenberekendt [s]

IS [A]Figuur 6.69: De gemeten en de berekendenullaststroom met fase B gevoed met 100 V

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.4 gemetenberekend t [s]IS [A]

Figuur 6.70: De gemeten en de berekendenullaststroom met fase B gevoed met 220 V

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-100-500 t [s]IS [A]Figuur 6.71: Berekende stroom in fase A bijhet plots aanleggen van de spanning

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-300-200-1000100200300 t [s]VS [V]Figuur 6.72: Spanning met geleidelijk toene-mende amplitude tot

√2 220 V

verdergezet met het hysteresismodel (wat een nieuwe – kleinere – transient ver-oorzaakt). Dit heeft een duidelijk effect op de golfvorm en de piekwaarden vande stromen, zoals men kan zien in Figuur 6.74.Figuren 6.75 en 6.76 tonen de gemeten en de berekende fasestromen bij resp.100 V en 230 V. Het gemeten nullastvermogen bedraagt resp. 15.1 W en 65.16 W,het berekende nullastvermogen 14.6 W en 64.6 W.

Figuur 6.78 toont de B-locus in een punt in het bovenste T-stuk van de transfor-mator (zie Figuur 6.77). De flux is daar uitgesproken rotationeel. Figuren 6.79en 6.80 tonen de berekende BgxHgx-, BgxHrx-, BgyHgy- en ByHry-locus.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.4-0.20.00.20.4 t [s]IS [A]Figuur 6.73: Berekende stroom in fase A metgeleidelijk toenemende spanning

0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04-0.4-0.20.00.20.4 t [s]IS [A]Figuur 6.74: Berekende stromen juist vooren na de overschakeling op het hysteretischmateriaal op t=1 s

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.10.00.1 gemetenberekendIS [A] t [s]Figuur 6.75: Gemeten en berekende fasestro-men bij 100 V effectieve sterspanning

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.4-0.20.00.20.4 gemetenberekend t [s]IS [A]

Figuur 6.76: Gemeten en berekende fasestro-men bij 230 V effectieve sterspanning

Figuur 6.77: Punt in het bovenste T-stuk vande transformator

-1 0 1-101 Bx [T]By [T]

Figuur 6.78: Berekende B-locus

6-50 HOOFDSTUK 6

-50 0 50-101 Bgx [T] Hx [A/m]rgFiguur 6.79: Berekende BgxHgx- enBgxHrx-locus

-200 -100 0 100 200-101 Bgy [T] Hy [A/m]rgFiguur 6.80: Berekende BgyHgy- enBgyHry-locus

6.5 A posteriori ijzerverliesberekening in een 2DEE-model

Wanneer bij een EE-simulatie enkel reversibele materiaalmodellen gebruikt wor-den, kan het ijzerverlies in de magnetische kernen in het EE-model eventueela posteriori berekend worden. Uit de EE-simulatie volgt voor elk element in demagnetische kernen de inductiegolfvorm B(t). Op basis van deze golfvorm en eenijzerverliesmodel kan de gemiddelde ijzerverliesdichtheid in elk element geschatworden. Vermenigvuldiging met de massa of het volume van het element en som-matie over alle elementen in de kern geven het totale verlies. In §5.4 werd op dezemanier het wervelstroomverlies in een T-stuk van een transformator berekend.

Het ijzerverliesmodel dat opgesteld en gebruikt kan worden, is afhankelijk vande beschikbare meetgegevens. In §5.1 werden reeds uitdrukkingen gegeven voorde drie klassieke verliescomponenten [J/m3] bij een alternerende en sinusoıdaleinductie (amplitude B, frequentie f):

whys,alt(B) ≈ Chys Ba. (6.97)

wcl,alt(B, f) =1

6σπ2d2 f B2, (6.98)

wexc,alt(B, f) = Cexc,alt f0.5 B1.5. (6.99)

Deze uitdrukkingen zijn enkel van toepassing als de fluxverdringing in het elek-troblik verwaarloosbaar is (zoals in §5.2.1).

Voor een rotationele inductie met amplitude B en frequentie f worden o.m. in[App97] de volgende uitdrukkingen voorgesteld:

whys,rot(B) = γhys(B)whys,alt(B), (6.100)

wcl,rot(B, f) = 2wcl,alt(B, f), (6.101)

wexc,rot(B, f) = γexc(B)wexc,alt(B, f), (6.102)

waarbij γhys(B) en γexc(B) monotoon dalende functies zijn, die nul worden bij


volledige verzadiging6. In [App97] worden ook formules gegeven voor de verlies-componenten bij elliptische excitatie (ellipsvormige B-locus).

De ogenblikkelijke dynamische verliezen, pcl [W/m3] en pexc [W/m3], zijn eenfunctie van de ogenblikkelijke waarde van dB

dt [Fio90]:

pcl,alt

(dB

dt

)=

1

12σd2

(dB

dt

)2

, (6.103)

pexc,alt

(dB

dt

)= C ′exc,alt

∣∣∣∣dBdt∣∣∣∣1.5 . (6.104)

Merk hierbij op dat het ogenblikkelijke hysteresisverlies niet (zomaar) gedefini-eerd kan worden7.

Indien de BH-lus geen hogere-orde-lussen bevat, is het quasi-statische hysteresis-verlies per cyclus whys [J/m3] enkel functie van de piekwaarde B van de inductie.Indien de BH-lus wel hogere-orde-lussen bevat, is het verlies ook afhankelijkvan de intermediaire minima en maxima van B. In o.m. [Lav78, Ata92, Jam92,McC96, DiG99] wordt een correctieterm gebruikt voor het extra verlies t.g.v. dehogere-orde-lussen:

whys ≈

(1 + 0.325

n∑i=1

∆Bi

B

)Chys B

a, (6.105)

waarbij de sommatie loopt over de n hogere-orde-lussen en ∆Bi het verschil isvan de maximale en de minimale inductie van de i-de hogere-orde-lus.

Formule (6.103) voor het klassieke wervelstroomverlies kan onmiddellijk uitge-breid worden naar niet-unidirectionele flux, wat volgens [Zhu98] eveneens kanvoor het extra-dynamische verlies:

pcl =1

12σd2

(dB

dt

)2

, (6.106)

pexc = C ′exc γexc(B)

∣∣∣∣dBdt∣∣∣∣1.5 . (6.107)

Dikwijls wordt voor het klassieke wervelstroomverlies en het extra-dynamischeverlies superpositie toegepast door de excitatie volgens twee loodrechte richtingente beschouwen [Ata92, McC96]. Na ontbinding volgens de twee richtingen kanook superpositie voor de harmonischen toegepast worden met (6.98–6.99), zoalsbv. in [Ber91]. Deze werkwijze houdt geen benadering in voor het klassiekewervelstroomverlies, wel voor het extra-dynamische verlies, dat ook functie isvan de fasering van de frequentiecomponenten [Smi95].

6 Bij rotationele flux en volledige verzadiging zijn er geen domeinmuren meer. Het quasi-statische hysteresisverlies en het extra-dynamische verlies zijn nul [App97]. Wat overblijft ishet klassieke wervelstroomverlies.

7 Tenzij bepaalde betwistbare veronderstellingen gemaakt worden, zoals voor het Preisach-model in §6.1.4.

6-52 HOOFDSTUK 6

6.6 Besluit

In dit hoofdstuk werd eerst het scalaire, snelheidsonafhankelijke Preisach-modelbestudeerd. Een analytische Preisach-ditributiefunctie met zes parameters werdvooropgesteld. Deze zes parameters kunnen gefit worden op basis van elementairemateriaalgegevens, zoals de maagdelijke kromme en een ijzerverlieskromme.

Het klassieke Preisach-model kan worden uitgebreid tot een isotroop vectormodel.Hierbij wordt de H-vector op een (in de praktijk eindig) aantal richtingen gepro-jecteerd. Voor elke richting wordt hetzelfde scalaire Preisach-model gebruikt.

Twee elektroblikken, transformatorblik V330-50A en motorblik VH800-65D, wer-den gemodelleerd met het isotrope vector-Preisach-model.

Het vector-Preisach-model (of een ander vectorhysteresismodel dat het magne-tische veld H als input vraagt) kan op een eenvoudige manier geıncorporeerdworden in een 2D dynamische EE-simulatie, o.m. dankzij het gebruik van dedifferentiele permeabiliteitstensor en het inverteren van het hysteresismodel.

Als toepassing werd de nullastsimulatie van een driefasige transformator behan-deld. Dankzij het invoeren van voegzones in het EE-model werd een redelijkeovereenkomst tussen metingen en berekeningsresultaten bereikt.

Tenslotte werden nog enkele uitdrukkingen gegeven voor de ijzerverliescompo-nenten die bij een a posteriori ijzerverliesberekening gebruikt kunnen worden.

Hoofdstuk 7

Koppeling van een EE-model eneen elektrisch netwerk

In dit hoofdstuk wordt de koppeling van een EE-model en een elektrisch netwerkbehandeld. De koppeling bestaat erin dat de gewikkelde en de massieve geleidersin het EE-model verbonden worden met een aantal externe (actieve en passieve)elektrische componenten.

In §7.1 wordt het oplossen van de elektrische netwerkvergelijkingen in het tijdsdo-mein m.b.v. de methode van de lusstromen en de methode van de knooppuntspo-tentialen besproken. De EE-geleiders en de EE-vergelijkingen worden voorlopigbuiten beschouwing gelaten. Naast passieve lineaire componenten (weerstanden,spoelen en condensatoren) worden ook niet-lineaire componenten zoals verzadig-bare spoelen en diodes beschouwd. De verschillende methoden worden gedemon-streerd aan de hand van enkele eenvoudige voorbeelden.

De directe koppeling van een EE-model en een elektrisch netwerk wordt behan-deld in §7.2. Hierbij worden de elektrische en de magnetische vergelijkingen alseen stelsel differentiaalvergelijkingen opgelost, met lusstromen of knooppunts-potentialen in het elektrische netwerk als hulpvariabelen. Afhankelijk van devariabelen die men in dit stelsel behoudt, heeft het stelsel algebraısche vergelij-kingen dat men na tijdsdiscretisatie bekomt bepaalde eigenschappen. Op basisvan deze eigenschappen zijn drie verschillende algebraısche solvers ontwikkelden geımplementeerd. Elk van deze solvers heeft zijn specifieke voordelen. Eeneenvoudige toepassing wordt besproken.

In §7.3 worden lastsimulaties van de driefasige transformator, die reeds aan bodkwam in §3.3.6 en §6.4, uitgevoerd. Hierbij zijn de zes secundaire wikkelingen vande transformator verbonden aan twee driefasige gelijkrichterbruggen, die in serieof in parallel geschakeld zijn en een resistieve last voeden. Bijzondere aandachtwordt besteed aan de meting en een benaderende 2D berekening van de eind-spreiding. Deze wordt bij de simulatie van de transformator in rekening gebrachtd.m.v. bijkomende inductantiematrices in het elektrische netwerk.

7-2 HOOFDSTUK 7

7.1 Elektrische netwerken

7.1.1 Elektrische componenten

We beschouwen een elektrisch netwerk dat bestaat uit een aantal spannings-bronnen, stroombronnen, weerstanden, (al of niet onderling gekoppelde) spoelenen condensatoren. Grootheden die betrekking hebben op deze vijf verschillendesoorten componenten krijgen de resp. subscripts V , I, R, L en C. Het aantalcomponenten van elke soort wordt resp. nV , nI , nR, nL en nC genoteerd.

Zoals voorgesteld in Figuur 7.1 worden de stroom- en de spanningsreferentie-zinnen voor de spannings- en de stroombronnen in overeenstemming met hetgeneratorreferentiesysteem gekozen, en voor de passieve componenten (R, L enC) in overeenstemming met het verbruikersreferentiesysteem.I(t)V I(t) LV (t) + V (t) +

CRI V (t) +V (t) +

V (t) + I(t)I(t)I(t)

Figuur 7.1: Symbolen en tekenconventie voor de verschillende soorten elektrische componenten

De kolommatrices met de stromen door de verschillende soorten componentenworden resp. IV , II , IR, IL en IC genoteerd; de kolommatrices met de spanningenworden resp. VV , VI , VR, VL en VC genoteerd.

VV (t) en II(t) zijn gegeven functies van de tijd, terwijl IV (t) en VI(t) volgen uitde netwerkvergelijkingen.

Voor de nR (lineaire) weerstanden, de nL lineaire spoelen en de nC (lineaire)condensatoren geldt respectievelijk:

VR = R IR, VL = LdILdt

, IC = CdVCdt

, (7.1)

met R [Ω] de diagonale nR × nR weerstandsmatrix, L [H] de SPD nL × nL in-ductantiematrix, en C [F] de nC × nC diagonale capaciteitsmatrix.

De geassocieerde niet-negatieve kwadratische vormen zijn resp. het Joule-verliesPJ,R = IT

R R IR [W], de opgestapelde magnetische energie WL = 12 I

TL L IL [J], en

de opgestapelde elektrostatische energie WC = 12V

TC CVC [J].

Niet-lineaire weerstanden (diodes) en spoelen komen aan bod in §7.1.4.

Koppeling van een EE-model en een elektrisch netwerk 7-3

De spanningen over de componenten moeten voldoen aan de spanningswet vanKirchhoff (de spanningsval over elke gesloten kring is nul), terwijl de stromen doorde componenten moeten voldoen aan de stroomwet van Kirchhoff (de nettostroomdoor elke snede is nul). In §7.1.2 en §7.1.3 worden twee duale methoden besprokenom het aantal variabelen te reduceren, resp. de methode van de lusstromen en demethode van de knooppuntspotentialen. Voor een algemenere uiteenzetting overnetwerktheorie verwijzen we naar [Will99a].

7.1.2 Methode van de lusstromen

7.1.2.1 Stroomlussen en lusstromen

Zoals reeds in §2.8 voor een magnetisch netwerk getoond, kan men een stel on-afhankelijke georienteerde stroomlussen in het elektrische netwerk kiezen. Hetaantal onafhankelijke lussen wordt nl genoteerd. De nl geassocieerde lusstromenworden verzameld in de nl × 1 lusstroomkolommatrix Il [A]. Het verband tussende lusstromen en de stromen door de componenten kan worden uitgedrukt d.m.v.dimensieloze en constante1 lusconnectiematrices. Het verband tussen bv. IV enIl wordt gegeven door:

IV (t) = DV l Il(t), (7.2)

waarbij DV l (nV × nl ) als volgt gedefinieerd is:

(DV l)ij =

1, als de i-de spanningsbron zich in de j-de stroomlusbevindt en de resp. stroomreferentiezinnen overeenstemmen,

−1, als de i-de spanningsbron zich in de j-de stroomlus bevindten de resp. stroomreferentiezinnen tegengesteld zijn,

0, als de i-de spanningsbron zich niet in de j-de stroomlusbevindt.

DIl (nI × nl ), DRl (nR × nl ), DLl (nL × nl ) en DCl (nC × nl ) worden op ana-loge wijze gedefinieerd.

Voor een stel willekeurige lusstromen voldoen de componentstromen, bekomenvolgens (7.2) en analoge vergelijkingen, aan de stroomwet van Kirchhoff.

7.1.2.2 Spanningsvergelijkingen

Door het opleggen van de spanningswet van Kirchhoff aan de nl onafhankelijkestroomlussen, bekomen we het volgende stelsel van eerste-orde-differentiaalverge-lijkingen en algebraısche vergelijkingen in termen van Il, VC en VI :

DTV lVV + DT

IlVI = RlIl + LldIldt

+ DTClVC , (7.3)

CdVCdt

= DClIl, (7.4)

1In dit werk beschouwen we enkel elektrische netwerken met een vaste topologie. Schakelaars(evenals bv. diodes, zie verder §7.1.4.2) worden gemodelleerd als niet-lineaire weerstanden.

7-4 HOOFDSTUK 7

II(t) = DIlIl, (7.5)

waarbij de SPSD nl × nl lusweerstandsmatrix Rl [Ω] en de SPSD nl × nl lus-inductantiematrix Ll [H] gegeven worden door:

Rl = DT

RlRDRl en Ll = DT

LlLDLl. (7.6)

Naar analogie met de lusreluctantiematrix Rl van een magnetisch netwerk (zie§2.8) kan de lusweerstandsmatrix Rl van een elektrisch netwerk opgebouwd wor-den door de bijdrage van de afzonderlijke weerstanden te beschouwen. De bij-drage van een weerstand tot Rl is een n× n submatrix, met n het aantal stroom-lussen waarin de weerstand voorkomt. De n× n submatrix is SPD als n = 1, enSPSD als n > 1. Een nodige (maar niet voldoende) voorwaarde opdat Rl SPDis, is dat er in elke stroomlus minstens een weerstand voorkomt. In het anderegeval heeft Rl namelijk een of meerdere nulrijen en -kolommen.Analoog, een nodige (maar niet voldoende) voorwaarde opdat Ll SPD is, is dater in elke stroomlus minstens een spoel voorkomt.

De vergelijkingen (7.3–7.5) kunnen als volgt in blokmatrixvorm geschreven wor-den:

PX +QdX

dt= f , (7.7)

X =[Il VC VI

]T, f =

[DTV lVV 0 −II

]T, (7.8)

P =

Rl DT

Cl −DTIl

DCl 0 0

−DIl 0 0

, Q =

Ll 0 0

0 −C 0

0 0 0

. (7.9)


Het stelsel vergelijkingen (7.7) kan zowel in het frequentiedomein als in het tijds-domein opgelost worden. In deze tekst wordt verder enkel de transiente simulatiebeschouwd. Het toepassen van de β-regel (zie §4.6) op (7.7) om van het tijdstipt− naar het volgende tijdstip t+ = t− + ∆t te stappen, geeft het volgende stelselalgebraısche vergelijkingen:

AX+ = BX− + C, (7.10)

A = P +1

β∆tQ =

Rl + 1

β∆tLl DT

Cl −DTIl

DCl − 1β∆t

C 0

−DIl 0 0

, (7.11)

B = −β′

βP +

1

β∆tQ =

−β′

βRl + 1

β∆tLl −β

′

βDTCl

β′

βDTIl

−β′

βDCl − 1

β∆tC 0

0 0 0

, (7.12)


C = f+ +β′

βf− =

DTV lV

+V

0

−I+I

+β′

β

DTV lV

−V

0

0

, (β′ = 1− β). (7.13)

In het algemene geval is de systeemmatrix A in (7.10) niet positief definiet. Decondensatorvergelijkingen, met het negatief definiete blok − 1

β∆tC op de diago-naal van A, kunnen op algebraısche wijze geelimineerd worden, zoals in §7.1.2.4aangetoond wordt. De nulmatrix op de diagonaal in A t.g.v. de stroombronnenkan vermeden worden door de stroombronnen als niet-ideale spanningsbronnente modelleren. Dit wordt verder in §7.1.2.5 behandeld.

7.1.2.4 Algebraısche eliminatie van V +C

Door de toepassing van de β-regel op (7.4) bekomt men:

V +

C = V −C + β∆tC−1DClI+

l + β′∆tC−1DClI−l . (7.14)

Substitutie van (7.14) in (7.10) geeft:

AX+ = BX− + C, (7.15)

X =

[Il

VI

], A =

[Zl −DT

Il

−DIl 0

], B =

[Z∗l

β′

βDTIl

0 0

], (7.16)

C = −

[1βDTClV

−C

0

]+

[DTV lV

+V

−I+I

]+β′

β

[DTV lV

−V

0

], (7.17)

met Zl en Z∗l symmetrische nl × nl lusimpedantiematrices [Ω]:

Zl = Rl +1

β∆tLl + β∆tDT

ClC−1DCl, (7.18)

Z∗l = −β′

βRl +

1

β∆tLl − β′∆tDT

ClC−1DCl. (7.19)

Een nodige voorwaarde opdat Zl SPD is, is dat er in elke stroomlus minstenseen weerstand, een spoel of een condensator voorkomt.

7.1.2.5 Substitutie van niet-ideale stroombronnen

Figuur 7.2 toont een niet-ideale spanningsbron met een inwendige weerstand R(in serie) en een gegeven openklemspanning V0(t), en een niet-ideale stroombronmet een inwendige weerstand R (in parallel) en een gegeven kortsluitstroom I0(t).De spanning V over de niet-ideale spanningsbron en de stroom I door de niet-ideale stroombron worden gegeven door respectievelijk:

V (t) = V0(t)−RI(t) en I(t) = I0(t)−R−1 V (t). (7.20)

De niet-ideale spannings- en stroombron zijn equivalent als:

V0(t) = RI0(t). (7.21)

7-6 HOOFDSTUK 7V0(t) = RI0(t) +V (t)I0(t) I(t) +R I(t)V (t) + RV0(t)Figuur 7.2: Equivalentie van een niet-ideale spanningsbron en een niet-ideale stroombron

Bij het gebruik van de methode van de lusstromen vermijdt men de nulmatrix opde diagonaal in A in (7.16) door het vervangen van elke (niet-ideale) stroombrondoor de equivalente niet-ideale spanningsbron.

De inwendige weerstand R van een niet-ideale stroombron kan hierbij de werke-lijke inwendige weerstand van de bron zijn (indien zuiver resistief). Eventueelkan een (andere) weerstand in het elektrische netwerk, die in parallel staat metde ideale stroombron, als inwendige weerstand beschouwd worden.

Als er geen weerstanden in parallel met de stroombron voor handen zijn, kan eenfictieve inwendige weerstand ingevoerd worden. Deze weerstand moet voldoendegroter zijn dan de weerstand (of impedantie) van de rest van het netwerk opdat hijde stromen en de spanningen in het elektrische netwerk slechts in verwaarloosbaremate zou beınvloeden. Hij mag anderzijds ook niet te groot zijn teneinde deafrondingsfouten te beperken.

We merken hierbij nog op dat de substitutie van spanningsbronnen door stroom-bronnen, of vice versa, zeker geen frequent gebruikte techniek is bij de EE-simulatie van 2D magnetodynamische veldproblemen die gekoppeld zijn aan eenelektrisch netwerk.

7.1.2.6 Voorbeeld

Figuur 7.3 toont een elektrisch netwerk met nV =1, nR=3, nL=3 en nC=1. Hetnetwerk stelt bv. een eenfasige transformator voor, waarvan de primaire wikkelingaangesloten is op een (ideale) spanningsbron en de secundaire op een RLC-last.transformator +R1 R3 RLC-last(Il)3 C1 + +++ L12L21L11 L22+ L3+VV+ (Il)2R2(Il)1

Figuur 7.3: Voorbeeld van een elektrisch netwerk met drie stroomlussen


De vierkante matrices R, L en C worden gegeven door:

R =

R1 0 0

0 R2 0

0 0 R3

, L =

L11 L12 0

L21 L22 0

0 0 L3

, C =[C1

]. (7.22)

De connectiematrices DV l, DCl, DRl en DLl worden gegeven door:

DV l =[

1 0 0

], DCl =

[0 0 −1

], (7.23)

DRl =

1 0 0

0 −1 0

0 −1 1

, DLl =

1 0 0

0 1 0

0 −1 1

. (7.24)

De lusweerstandsmatrix Rl en de lusinductantiematrix Ll zijn dan:

Rl =

R1 0 0

0 R2 +R3 −R3

0 −R3 R3

, Ll =

L11 L12 0

L21 L22 + L3 −L3

0 −L3 L3

. (7.25)

Het sinusoıdale regime van het lineaire netwerk kan berekend worden m.b.v. decomplexe notatie. De complexe impedantie Z van het netwerk dat verbonden isaan de spanningsbron wordt bij frequentie f (pulsatie ω = 2πf) gegeven door:

Z = R1 + jωL11 + ω2L212

(R2 + jωL22 + (R3 + jωL3) ‖ 1

jωC1

)−1

. (7.26)

Met de volgende waarden voor de transformator:

R1=1.24 Ω, R2=0.064 Ω, L11=11.91 H, L22=0.615 H, L12=L21=2.6929 H,

en voor de RLC-last:

R3=0.5 Ω, L3=0.003 H, C1=0.002 F,

bekomen we bij f=50 Hz:

Z=(38.3068 +j 54.0028) Ω

Er worden 50 perioden gesimuleerd met 50, 200 of 800 tijdstappen per periodeen β=0.5, 0.7 of 1. De aangelegde spanning is V=100 V. Figuur 7.4 toont deberekende stroom door de spanningsbron gedurende de eerste tien perioden.

De complexe voorstelling van de berekende stroom wordt bekomen d.m.v. Fourier-analyse van het tijdsverloop tijdens de laatste (d.i. vijftigste) periode. De resul-taten worden voorgesteld in Tabel 7.1. De overeenkomst met de analytischewaarde, I=(0.8738−j 1.2319) A, is des te beter naarmate de tijdstap kleiner is.De Cranck-Nicholson-methode (β=0.5) geeft de grootste nauwkeurigheid.

7-8 HOOFDSTUK 7

0.0 0.1 0.2-2-1012 I [A] t [s]Figuur 7.4: Berekende stroom door de spanningsbron gedurende de eerste tien perioden

stroom I [A]

(f∆t)−1 β = 0.5 β = 0.7 β = 1

50 0.8551−j 1.1965 0.9210−j 1.2092 1.0124−j 1.2535

200 0.8688−j 1.2240 0.8849−j 1.2272 0.9106−j 1.2371

800 0.8723−j 1.2302 0.8762−j 1.2310 0.8829−j 1.2333

Tabel 7.1: Complexe voorstelling van de berekende stroom als functie van ∆t en β

Met een stroombron i.p.v. een spanningsbron

We veronderstellen nu een niet-ideale stroombron i.p.v. een spanningsbron in hetelektrische netwerk in Figuur 7.3. Deze stroombron met inwendige weerstandRI en kortsluitstroom I0(t) wordt vervolgens vervangen door de equivalente niet-ideale spanningsbron met dezelfde inwendige weerstand en met openklemspan-ning V0(t) = RI I0(t).We nemen RI=104 Ω, wat ongeveer 150 maal groter is dan de impedantie van delast (|Z|=66.2 Ω). De berekening wordt uitgevoerd met een opgelegde eenheids-stroom (I0= 1 A, 20 perioden, 800 stappen per periode, β=0.5). De complexevoorstelling van de berekende spanning is (38.516 +j 53.665) V, wat goed overeen-komt met de analytisch berekende impedantie (Z ‖ RI = (38.449 +j 53.590) Ω).

7.1.3 Methode van de knooppuntspotentialen

7.1.3.1 Vrije knooppunten en knooppuntspotentialen

Elke component in het elektrische netwerk heeft een begin- en een eindknooppunt,die overeenstemmen met resp. de plus- en de minklem van de spanningsreferen-tiepijl, zie Figuur 7.1. Twee verschillende componenten hebben geen, een of beideknooppunten gemeenschappelijk.Als hulpgrootheid wordt nu de elektrische potentiaal gebruikt. Deze potenti-aal is maar op een constante na bepaald, zodat in het elektrische netwerk eenof meerdere referentieknooppunten met nulpotentiaal gekozen moeten worden.De andere knooppunten worden vrije knooppunten genoemd. Het aantal vrije


knooppunten wordt nn genoteerd. De nn vrije knooppuntspotentialen wordenverzameld in de nn × 1 kolommatrix Vn [V]. Het verband tussen de knoop-puntspotentialen en de componentspanningen kan worden uitgedrukt d.m.v. dedimensieloze knooppuntsconnectiematrices DVn (nV × nn ), DIn (nI × nn ), DRn

(nR × nn ), DLn (nL × nn ) en DCn (nC × nn ).

Het verband tussen bv. VV en Vn wordt gegeven door:

VV = DVnVn, (7.27)

met DVn als volgt gedefinieerd:

(DVn)ij =

1, als het j-de vrije knooppunt het beginknooppunt is vande i-de spanningsbron,

−1, als het j-de vrije knooppunt het eindknooppunt is vande i-de spanningsbron,

0, als het j-de vrije knooppunt het begin- nochhet eindknooppunt is van de i-de spanningsbron.

DIn, DRn, DLn en DCn worden op analoge wijze gedefinieerd.

Voor een stel willekeurige knooppuntspotentialen voldoen de componentspannin-gen, bekomen volgens (7.27) en analoge vergelijkingen, aan de spanningswet vanKirchhoff.

7.1.3.2 Stroomvergelijkingen

Door het opleggen van de stroomwet van Kirchhoff aan de nn vrije knooppunten,bekomen we het volgende stelsel van eerste-orde-differentiaalvergelijkingen enalgebraısche vergelijkingen in termen van Vn, IL en IV :

DTV nIV + DT

InII = GnVn + CndVndt

+ DTLnIL, (7.28)

DLnVn = LdILdt

, (7.29)

DV nVn = VV , (7.30)

waarbij de SPSD nn × nn knooppuntsgeleidbaarheidmatrix Gn [Ω−1] en de SPSDnn × nn knooppuntscapaciteitsmatrix Cn [F] gegeven worden door:

Gn = DT

RnR−1 DRn en Cn = DT

Cn C DCn. (7.31)

De bijdrage tot Gn van een weerstand R, met twee vrije knooppunten i en j, isde volgende SPSD 2× 2 submatrix:

( i j

i R−1 −R−1

j −R−1 R−1

). (7.32)

De vergelijkingen (7.28–7.30) kunnen als volgt in blokmatrixvorm gebracht wor-den:

PX +QdX

dt= f , (7.33)

7-10 HOOFDSTUK 7

X =[Vn IL IV

]T, f =

[DTInII 0 −VV

]T, (7.34)

P =

Gn DT

Ln −DTV n

DLn 0 0

−DV n 0 0

, Q =

Cn 0 0

0 −L 0

0 0 0

. (7.35)


De toepassing van de β-regel op (7.33) geeft het volgende stelsel algebraıschevergelijkingen:

AX+ = BX− + C, (7.36)

A = P +1

β∆tQ =

Gn + 1

β∆tCn DT

Ln −DTV n

DLn − 1β∆tL 0

−DV n 0 0

, (7.37)

B = −β′

βP +

1

β∆tQ =

−β′

βGn + 1

β∆tCn −β

′

βDTLn

β′

βDTV n

−β′

βDLn − 1

β∆tL 0

0 0 0

, (7.38)

C = f+ +β′

βf− =

DTInI

+I

0

−V +V

+β′

β

DTInI

−I

0

0

. (7.39)

7.1.3.4 Algebraısche eliminatie van I+L

Door toepassing van de β-regel op (7.29) bekomen we:

I+

L = I−L + ∆tL−1DLn(βV +

n + β′V −n ). (7.40)

Substitutie van (7.40) in (7.36) geeft:

AX+ = BX− + C, (7.41)

X =

[Vn

IV

], A =

[Yn −DT

V n

−DV n 0

], B =

[Y ∗n

β′

βDTV n

0 0

], (7.42)

C =

[− 1βDTLnI

−L

0

]+

[DTInI

+I

−V +V

]+β′

β

[DTInI

−I

0

], (7.43)

met Yn en Y ∗n symmetrische nn × nn knooppuntsadmittantiematrices [Ω−1]:

Yn = Gn +1

β∆tCn + β∆tDT

LnL−1 DLn, (7.44)

Y ∗n = −β′

βGn +

1

β∆tCn − β′∆tDT

LnL−1 DLn. (7.45)


7.1.3.5 Substitutie van niet-ideale spanningsbronnen

Niet-ideale spanningsbronnen kunnen vervangen worden door niet-ideale stroom-bronnen, zie §7.1.2.5 en Figuur 7.2.

7.1.3.6 Voorbeeld

Het voorbeeld in §7.1.2.6 wordt hernomen. Het netwerk bestaat uit twee galva-nisch gescheiden delen. In elk deel wordt een referentieknooppunt met elektrischepotentiaal nul gekozen. Daarnaast zijn er vijf vrije knooppunten (nn=5).32transformator 4 + R3 RLC-last C1+ L3 +1 L22R1+ L12L21L11 ++ +VV+ R2 5Figuur 7.5: Voorbeeld van een elektrisch netwerk; keuze van de referentie- en de vrije knoop-punten

De connectiematrices DVn, DCn, DRn en DLn worden gegeven door:

DV n =[

1 0 0 0 0

], DCn =

[0 0 0 1 0

], (7.46)

DRn =

1 −1 0 0 0

0 0 1 −1 0

0 0 0 1 −1

, DLn =

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

. (7.47)

De knooppuntsgeleidbaarheidsmatrix Gn en de knooppuntscapaciteitsmatrix Cnworden gegeven door:

Gn =

1R1

− 1R1

0 0 0

− 1R1

1R1

0 0 0

0 0 1R2

− 1R2

0

0 0 − 1R2

1R2

+ 1R3− 1R3

0 0 0 − 1R3

1R3

, Cn =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 C1 0

0 0 0 0 0

. (7.48)

Er wordt eerst een simulatie uitgevoerd met een ideale 50 Hz stroombron (II=1A, 20 perioden, 800 stappen per periode, β=0.5) i.p.v. met een spannings-

7-12 HOOFDSTUK 7

bron (zoals in Figuur 7.5). De complexe impedantie die volgt uit de time-stepping, (38.319 +j 53.964) Ω, komt goed overeen met de analytische waardeZ=(38.307 +j 54.003) Ω.

Vervolgens wordt spanningsvoeding beschouwd. Een fictieve inwendige weer-stand RV =10−1 Ω (1/660-ste van |Z|) wordt ingevoerd, wat toelaat de niet-idealespanningsbron te vervangen door de equivalente niet-ideale stroombron2.Een simulatie wordt uitgevoerd met openklemspanning V0=100 V (50 perioden,800 stappen per periode, β=0.5). De berekende stroom, IV =(0.8748−j 1.2296) A,komt goed overeen met de analytische waarde (0.8746−j 1.2297) A

7.1.4 Niet-lineaire elektrische componenten

7.1.4.1 Niet-lineaire spoelen

We beschouwen nL niet-lineaire (al of niet onderling gekoppelde) spoelen. DenL × 1 kolommatrix ΨL met de gekoppelde fluxen is een functie van de stromen,nL × 1 kolommatrix IL, en – in het hysteretische geval – ook van hun verleden,symbolisch genoteerd als IL,v.De nL × nL koorde-inductantiematrix L [H], die voldoet aan de volgende verge-lijking:

ΨL = L(IL, IL,v) IL, (7.49)

is, indien nL > 1, niet eenduidig bepaald: er zijn nL(nL+1)2 verschillende elementen

in de symmetrisch veronderstelde matrix en slechts nL algebraısche vergelijkingenin (7.49). Dit is analoog aan de onbepaaldheid van de koordereluctiviteitstensorin anisotrope materialen (zie §3.3).

De differentiele inductantiematrix L∂ wordt als volgt gedefinieerd:

L∂(IL, IL,v) =∂ΨL

∂IL, (7.50)

en is wel uniek bepaald, en daarenboven SPD voor fysisch zinvolle systemen3.Voor reversibele systemen is de opgestapelde magnetische energie WL [J] eentoestandsfunctie van IL:

WL(IL) =

∫ IL

0

I ′LL∂(I ′L) dI ′L, (7.51)

waaruit onmiddellijk de symmetrie van L∂ volgt.

De spanningen over de nL spoelen worden gegeven door:

VL(t) =dΨL

dt= L∂

dILdt

. (7.52)

2We kunnen ook de weerstand R1, of een deel ervan, als inwendige weerstand van de span-ningsbron beschouwen.

3De differentiele inductantiematrix L∂S van een stel gewikkelde geleiders in een 2D EE-model

is SPD als de differentiele reluctiviteitstensor ¯ν∂ SPD is, zie §2.7.


De stelsels algebraısche vergelijkingen (7.10, 7.15, 7.36, 7.41), die we door tijds-discretisatie en eventuele eliminatie van VC en IL bekomen, zijn in het algemenegeval niet-lineair:

A(X+)X+ = BX− + C, (7.53)

en kunnen met de Newton-Raphson-methode opgelost worden. Startend vande initiele schatting X+

(0) = X−, worden het i-de increment ∆X+(i) en de i-de

benadering X+(i) = X+

(i−1) + ∆X+(i) bekomen door het oplossen van het volgende

lineaire stelsel algebraısche vergelijkingen:

A∂,+(i−1) ∆X+

(i) = B−X− + C −A+

(i−1)X+

(i−1), (7.54)

waarbij A∂ = ∂(AX)∂X de Jacobiaan van A is.

De Jacobiaan A∂ bekomen we door in A de koorde-inductantiematrix L te ver-vangen door de differentiele inductantiematrix L∂ . Zo komen we tot de diffe-rentiele lusimpedantiematrix Z∂l en knooppuntsadmittantiematrix Y ∂

n :

Z∂l = Rl +1

β∆tDTLlL

∂ DLl + β∆tDTClC

−1DCl, (7.55)

Y ∂n = Gn + β∆tDT

Ln

(L∂)−1

DLn +1

β∆tCn. (7.56)

Een stel niet-lineaire gekoppelde spoelen kan ook gemodelleerd worden als eenstel m.m.k.-bronnen dat gekoppeld is via een verzadigbaar magnetisch netwerk.Zoals aangetoond in §2.8 kan een magnetisch netwerk (met een aantal m.m.k.-bronnen) behandeld worden als een 2D EE-model (met een aantal gewikkeldegeleiders). De directe koppeling van een elektrisch netwerk en een EE-model (ofeen magnetisch netwerk) wordt verder in §7.2 behandeld.

7.1.4.2 Diodes

Figuur 7.6 toont een eenvoudig diodemodel [Hec90]. De diode wordt gemodelleerdals een niet-lineaire weerstand: in geleiding (V en I positief) is de weerstand klein(Rmin), in gesperde toestand (V en I negatief) is de weerstand zeer groot (Rmax ).Dit model kan aangevuld worden met de drempelspanning Vth , zoals bv. in Fi-guur 7.7. De karakteristiek loopt nu wel deels door het vierde kwadrant (actievewerking), maar door de in de praktijk zeer grote Rmax is de vermogengeneratieverwaarloosbaar.Vermits een eenstapsmethode (met een constante tijdstap) gebruikt wordt, ge-beurt de overgang van de spertoestand naar de geleidende toestand, of omgekeerd,op de discrete tijdstippen zelf. Wanneer deze toestandsverandering plaatsvindtop het tijdstip t−, en dus waargenomen wordt tijdens de tijdstap van t− naar t+,wordt automatisch relaxatie van de Newton-Raphson-methode toegepast (wegensde waargenomen initiele divergentie van het Newton-Raphson-procede). Er zijndan meer iteraties nodig dan gemiddeld, in de verder beschouwde toepassingentypisch een tiental i.p.v. twee of drie.

Een algemener model voor vermogenselektronische componenten in een elektrischnetwerk dat gekoppeld is aan een EE-model, wordt voorgesteld in [Vaa96].

7-14 HOOFDSTUK 7V = RminII VIV = RmaxI + V[Rmin jRmax ]Figuur 7.6: Diodemodel met geleidingsweer-stand Rmin en sperweerstand Rmax

II VV = Vth + RminIVV = Vth + RmaxI + Vth[Rmin jRmax ] +

Figuur 7.7: Diodemodel aangevuld metdrempelspanning Vth

7.1.4.3 Voorbeeld

We beschouwen het netwerk in Figuur 7.8, dat bestaat uit een spanningsbron, eeneenfasige transformator, een gelijkrichterbrug met vier diodes, en een niet-lineairespoel (met weerstand R). Voor de transformatorinductanties nemen we dezelfdewaarden als in §7.1.2.6 en §7.1.3.6. De vier diodes worden met de volgendewaarden gemodelleerd: Rmin=0.016 Ω, Rmax=104 Ω, Vth=0.7 V.D11 4 D4D3 6D25 spoel + VV + +2 3transformatorR1 L21L12L11 L22+ + R2

Figuur 7.8: Netwerk met gelijkrichterbrug en verzadigbare spoel

De niet-lineaire spoel is de gewikkelde geleider in het EE-model dat in §4.6.2beschouwd werd. Wegens de symmetrie werd slechts de helft van de spoel ende verzadigbare ijzeren kern gemodelleerd. Uit de flux-stroom-kromme ΨS(IS) inFiguur 4.7 (voor de halve spoel) kan men onmiddellijk de koorde-inductantie Len de differentiele inductantie L∂ van de (volledige) spoel berekenen als functievan de stroom. Het lineaire gedrag van de spoel strekt zich uit van IS=0 totongeveer 26 A (L≈L∂≈0.029 H). Bij 40 A zijn L en L∂ reeds gedaald tot resp.0.022 H en 0.0046 H.

Twee simulaties (V=1500 V, 50 Hz, 7 perioden, 400 stappen per periode, β=0.7)


worden uitgevoerd, met resp. een lineaire spoel (L=0.029 H, weerstand R) en deverzadigbare spoel. Figuren 7.9 en 7.10 tonen het tijdsverloop van de stromendoor resp. de (lineaire of verzadigbare) spoel en de diode D1.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14010203040 lineairniet-lineair t [s]I [A]Figuur 7.9: Stroom door resp. de lineaire ende verzadigbare spoel

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14010203040 lineairniet-lineair t [s]I [A]Figuur 7.10: Stroom door diode D1 met resp.de lineaire en de verzadigbare spoel

7.2 Directe elektrische koppeling van een EE-model

7.2.1 Inleiding

Bij een magnetodynamische EE-simulatie, zoals beschreven in Hoofdstukken 4t.e.m. 6, zijn de stromen door de gewikkelde geleiders en de spanningen over demassieve geleiders een gekende functie van de tijd. Met behulp van de (minderijle) matrices TS en T ′M kunnen ook spanningsgevoede gewikkelde geleiders enstroomgevoede massieve geleiders beschouwd worden. In vele praktische gevallenvolstaan deze excitatiemogelijkheden niet, zoals bv. bij de nullastsimulatie van detransformator in §6.4 met de drie wikkelingen in ster geschakeld, en moeten bijko-mende elektrische vergelijkingen in rekening gebracht worden. Voor het oplossenvan de vergelijkingen van het gekoppelde systeem kunnen dan twee strategieengevolgd worden [Pir88, Bed93, Wil94, Vaa96]. Enerzijds kunnen alle vergelijkin-gen als een stelsel differentiaalvergelijkingen opgelost worden (directe elektrischekoppeling), anderzijds kunnen ze op twee verschillende niveaus opgelost worden(indirecte elektrische koppeling).

Een mogelijke implementatie van een indirecte koppeling bestaat erin dat de ge-wikkelde geleiders in het EE-model opgevat worden als een stel gekoppelde niet-lineaire spoelen in het elektrische netwerk. De elektrische netwerkvergelijkingenworden (op het hoogste niveau) opgelost in het tijdsdomein, waarbij regelmatig(eventueel bij elke tijdstap, en met opgegeven stromen) de (differentiele) induct-antiematrix of de gekoppelde fluxen van de gewikkelde geleiders berekend wordenm.b.v. statische EE-berekeningen [Henn90a, Wil90b, Jam92, Pir93, Xu95, Hei96].

7-16 HOOFDSTUK 7

Een indirecte koppeling van een elektrisch netwerk en een dynamisch EE-model,dat massieve geleiders kan bevatten, wordt voorgesteld in [Yua90, Bed93, Raj97].

Het grote voordeel van een indirecte koppeling is dat de voordelige eigenschappenvan de matrices van de twee deelsystemen behouden blijven. Het elektrische net-werk geeft – na tijdsdiscretisatie en algebraısche eliminatie van de condensator-of de inductantievergelijkingen, en na substitutie van de niet-ideale stroombron-nen door de equivalente niet-ideale spanningsbronnen, of omgekeerd – een stelselalgebraısche vergelijkingen met een SPD impedantie- of admittantiematrix. Dematrices S, TM en Tlam van het EE-model zijn SPSD en ijl. De matrices TS en T ′Mzijn ook SPSD, maar eventueel minder ijl. Bij een directe koppeling van beidesystemen is de systeemmatrix doorgaans indefiniet, zoals verder duidelijk wordt.

Een belangrijk nadeel van een indirecte t.o.v. een directe koppeling is de klei-nere nauwkeurigheid. De nauwkeurigheid kan vergroot worden door bijkomendeiteraties tussen beide systemen in te voeren, wat uiteraard meer rekentijd vraagt.

We beschouwen verder enkel de directe koppeling. In de literatuur wordt eengroot aantal implementaties voorgesteld, die soms onderling slechts in geringemate verschillen4. Meestal is de formulering niet algemeen. Ze is bv. beperkttot een specifieke toepassing of beschouwt bv. geen koppeling met massieve gelei-ders [She85, Ark87, Pir88, Hec90, Pal90, Nak91, Vas91a, Pir92, Nic93, Deli94a,Charp98, Ho98c].

Bij een algemene formulering wordt een elektrisch netwerk met een willekeu-rige topologie beschouwd, waarin zowel gewikkelde als massieve EE-geleidersvoorkomen. Hierbij wordt bijna steeds de methode van de lusstromen gebruikt[Pir92, Lom92, Lom93, Tsu93a, Tsu94, Vaa96, Bid97], terwijl de methode van deknooppuntspotentialen zelden gebruikt wordt [Cos97, Gys98a]. Een algemeneretopologische methode wordt voorgesteld in [DeG98, DeG99]. Op basis van detopologie van het elektrische netwerk worden de hulpvariabelen, lusstromen ensnedespanningen, gekozen. Een belangrijk voordeel van deze – eerder complexe –methode is dat ze toelaat de eigenschappen van de systeemmatrix aan te passenaan de algebraısche solver.

In deze tekst wordt een algemene formulering uitgewerkt, waarbij zowel de me-thode van de lusstromen als de duale methode van de knooppuntspanningen opsystematische wijze behandeld worden.

7.2.2 De EE-vergelijkingen

We beschouwen een translatie- of een axisymmetrisch EE-model met nS gewik-kelde en nM massieve geleiders. In Hoofdstuk 4 werd het verband tussen de span-ningen over de geleiders (kolommatrices VS en VM), de stromen door de geleiders(kolommatrices IS en IM) en de np knooppuntswaarden van de gemodifieerde

4 I. Tsukerman in [Tsu93a]: ’The large number of papers on the subject of coupled field-circuit problems makes it impossible to mention all the contributions. At the same time, mostof the formulations are similar to each other, and it is felt that lack of consensus on terminologyand notation hampers the understanding and studies of this class of problems’.


magnetische vectorpotentiaal (kolommatrix A [Wb]) afgeleid:

VS = RSIS + KS

dA

dt, (7.57)

VM = RM IM + KM

dA

dt, (7.58)

met RS en RM diagonale matrices met de (gelijkstroom)weerstanden van de ge-leiders, en KS (nS × np ) en KM (nM × np ) dimensieloze connectiematrices.

In de bovenstaande vergelijkingen zijn de referentiezinnen voor de stromen en despanningen in overeenstemming met het verbruikersreferentiestelsel, zoals voor-gesteld wordt in Figuur 7.11. Het EE-model neemt via de geleiders een elektrischvermogen op als het product van stroom en spanning positief is.

EE VMM + IMVSS + ISFiguur 7.11: Stroom- en spanningsreferentiezinnen voor de gewikkelde en de massieve gelei-ders in een EE-model

In §4.4 werden de volgende vier equivalente stelsels van differentiaalvergelijkingenafgeleid:

SA+ TMdA

dt= KT

S IS + KTMR

−1M VM , (7.59)

SA+ T ′MdA

dt= KT

S IS + KTM IM , (7.60)

SA+ (TM + TS)dA

dt= KT

SR−1S VS + KT

MR−1M VM , (7.61)

SA+ (T ′M + TS)dA

dt= KT

SR−1S VS + KT

M IM , (7.62)

waarbij TM , T ′M = TM −KTMR

−1M KM en TS = KT

SR−1S KS SPSD np × np conduc-

tiviteitsmatrices [Ω−1] zijn.In de bovenstaande vergelijkingen en verder in dit hoofdstuk worden de knoop-puntsstromen (Ip)rand t.g.v. de randvoorwaarden niet expliciet vermeld. We ver-onderstellen verder eenvoudigheidshalve dat de (stijfheids)matrix S SPD (i.p.v.SPSD) is. De constante bijdrage (Ip)PM van het PM-materiaal wordt evenminexpliciet vermeld, noch de wervelstroommatrix Tlam van de blikpakketten.

De geleiders in het EE-model die direct stroom- of spanningsgevoed worden,en dus geen deel uitmaken van het elektrische netwerk, worden niet explicietvermeld. Deze geleiders geven een (constante) bijdrage aan de matrices TM , T ′Men TS, en een gekende (in de tijd varierende) bijdrage aan het rechterlid van devergelijkingen (7.59–7.62).

7-18 HOOFDSTUK 7

Naast een EE-model kan ook een magnetisch netwerk of een hybried model be-schouwd worden. De m.m.k.-bronnen in het magnetische netwerk kunnen alsgewikkelde geleiders behandeld worden (zie §2.8).

7.2.3 Methode van de lusstromen

Ten einde de (matrix)vergelijkingen niet nodeloos te verzwaren, worden stroom-bronnen en condensatoren in het elektrische netwerk niet expliciet beschouwd. De(niet-ideale) stroombronnen kunnen worden vervangen door (niet-ideale) span-ningsbronnen, en de condensatorvergelijkingen kunnen worden geelimineerd nade tijdsdiscretisatie, zoals in resp. §7.1.2.4 en §7.1.2.5 aangetoond.

De stromen door de gewikkelde en de massieve geleiders in het EE-model, resp.IS en IM , en de lusstromen Il zijn verbonden door de dimensieloze lusconnectie-matrices DSl (nS × nl ) en DMl (nM × nl ):

IS = DSlIl en IM = DMlIl. (7.63)

De nl onafhankelijke spanningsvergelijkingen zijn:

DT

V lVV = RlIl + LldIldt

+ DT

SlVS + DT

MlVM . (7.64)

De vergelijkingen (7.63, 7.64) moeten worden gecombineerd met (7.57–7.58) enmet een van de vergelijkingen (7.59–7.62). VV (t) is hierbij een gegeven functievan de tijd, terwijl A, VS, IS, VM , IM en Il te berekenen zijn.

VS, IS en IM kunnen zonder meer voor de tijdsdiscretisatie geelimineerd worden.De orde van de differentiaalvergelijkingen blijft hierdoor onveranderd een, en erworden geen grote en dichte matrices geıntroduceerd. De eliminatie van VS laattoe om na de tijdsdiscretisatie een stelsel algebraısche vergelijkingen met eensymmetrische matrix te bekomen.

VM kan al of niet als variabele behouden worden. De eliminatie van VM geeft alsnadeel dat de eventueel dichte np × np matrix T ′M geıntroduceerd wordt.We bekomen aldus een stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termenvan:

X =[A VM Il

]Tof X =

[A Il

]T. (7.65)

Tijdsdiscretisatie met de β-methode geeft een stelsel algebraısche vergelijkingendat per tijdstap van t− naar t+ opgelost moet worden. Door voorvermenigvuldi-ging met een gepaste matrix kan de systeemmatrix steeds symmetrisch gemaaktworden. De twee gevallen in (7.65) worden in detail behandeld in resp. §7.2.5en §7.2.6. Uit het eerste geval volgen twee interessante oplossingsmethoden, dieverder ST1 en ST2 genoemd worden.

7.2.4 Methode van de knooppuntspotentialen

Spanningsbronnen en spoelen in het elektrische netwerk worden niet expliciet be-schouwd. De (niet-ideale) spanningsbronnen worden vervangen door de equiva-lente niet-ideale stroombronnen, en de spoelenvergelijkingen worden geelimineerdna de tijdsdiscretisatie, zie resp. §7.1.3.4 en §7.1.2.5.


De spanningen over de gewikkelde en de massieve geleiders, resp. VS en VM , ende knooppuntspotentialen Vn zijn verbonden door de dimensieloze knooppunts-connectiematrices DSn (nS × nn ) en DMn (nM × nn ):

VS = DSnVn en VM = DMnVn. (7.66)

De nn onafhankelijke stroomvergelijkingen zijn:

DT

InII = GnVn + CndVndt

+ DT

SnIS + DT

MnIM . (7.67)

De vergelijkingen (7.66, 7.67) moeten worden gecombineerd met (7.57–7.58) enmet een van de vergelijkingen (7.59–7.62). II(t) is hierbij een gegeven functie vande tijd, terwijl A, VS, IS, VM , IM en Vn te berekenen zijn.

VS, VM en IM kunnen zonder meer voor de tijdsdiscretisatie geelimineerd worden.IS wordt al of niet als variabele behouden. We bekomen een stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termen van:

X =[A IS Vn

]Tof X =

[A Vn

]T. (7.68)

De twee gevallen worden in meer detail behandeld in resp. §7.2.7 en §7.2.8. Uithet laatste geval volgt de interessante solver ST3.

7.2.5 Vergelijkingen in termen van A, VM en Il

De methode van de lusstromen (§7.2.3) geeft na eliminatie van VS, IS en IM hetvolgende stelsel van eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termen van A, VMen Il:

SA+ TMdA

dt= KT

MR−1M VM + KT

SDSlIl, (7.69)

VM = RMDMlIl + KM

dA

dt, (7.70)

DTV lVV = (Rl + RSl)Il + Ll

dIldt

+ DTSlKS

dA

dt+ DT

MlVM , (7.71)

met RSl = DT

SlRSDSl de nl × nl SPD lusweerstandsmatrix van de gewikkeldegeleiders.De vergelijkingen (7.69–7.71) kunnen als volgt in blokmatrixvorm geschrevenworden:

PX +QdX

dt= f , (7.72)

X =[A VM Il

]T, f =

[0 0 DT

V lVV

]T, (7.73)

P =

S −KT

MR−1M −KT

SDSl

0 1 −RMDMl

0 DTMl Rl + RSl

, Q =

TM 0 0

−KM 0 0

DTSlKS 0 Ll

. (7.74)

7-20 HOOFDSTUK 7


Na toepassing van de β-methode op (7.72) en voorvermenigvuldiging met dematrix diag(1, β∆tR−1

M ,−β∆t1) bekomt men het volgende stelsel algebraıschevergelijkingen:

AX+ = BX− + C, (7.75)

A =

S + 1

β∆tTM −KT

MR−1M −KT

SDSl

−R−1M KM β∆tR−1

M −β∆tDMl

−DTSlKS −β∆tDT

Ml −β∆tZl

, (7.76)

B =

−β′

βS + 1

β∆tTM

β′

βKTMR

−1M

β′

βKTSDSl

−R−1M KM β′∆tR−1

M −β′∆tDMl

−DTSlKS −β′∆tDT

Ml −β∆tZ∗l

, (7.77)

C =[

0 0 −∆tDTV l(βV

+V + β′V −V )

]T. (7.78)

Rekening houdend met de geelimineerde condensatorvergelijkingen (zie §7.1.2.4)worden de symmetrische lusimpedantiematrices Zl en Z∗l gegeven door:

Zl = Rl + RSl +1

β∆tLl + β∆tDCl C

−1 DTCl, (7.79)

Z∗l = −β′

β(Rl + RSl) +

1

β∆tLl − β′∆tDCl C

−1 DTCl. (7.80)

De systeemmatrix A is symmetrisch, maar niet positief definiet. De drie blokkenop de diagonaal zijn ofwel positief definiet ofwel negatief definiet. De volgende(np + nM)× (np + nM) matrix op de diagonaal: S + 1

β∆t TM −KTMR

−1M


M

, (7.81)

is de som van SPSD matrices en is bijgevolg ook SPSD:

. . . =

[S 0

0 0

]+

1

β∆t

[1 0

0 β∆t1

][TM −KT

MR−1M

−R−1M KM R−1

M

][1 0

0 β∆t1

]. (7.82)

De middelste matrix in de tweede term van (7.82) is SPSD, zie (4.79).

Twee methoden (solvers) om het stelsel vergelijkingen (7.75) op te lossen wordenhierna besproken.

7.2.5.2 Algebraısche solver ST1

Het stelsel algebraısche vergelijkingen (7.75) kan als volgt genoteerd worden:S + 1

β∆tTM −KT

MR−1M −KT

SDSl


M −β∆tDMl

−DTSlKS −β∆tDT

Ml −β∆tZl

A

VM

Il

=

D1

D2

D3

. (7.83)


Het kan opgelost worden door eliminatie van A. Hiervoor worden de matrices Υ1

(np × 1 ), Υ2 (np × nM ) en Υ3 (np × nl ) ingevoerd. Ze worden bepaald doorde volgende vergelijkingen:(

S +1

β∆tTM

)Υ1 = D1, (7.84)(

S +1

β∆tTM

)Υ2 = KT

MR−1M , (7.85)(

S +1

β∆tTM

)Υ3 = KT

SDSl. (7.86)

Uit (7.83–7.86) volgt:

A = Υ1 + Υ2VM + Υ3Il (7.87)

Substitutie van (7.87) in (7.83) geeft het volgende stelsel algebraısche vergelij-kingen met een symmetrische systeemmatrix:[

R−1M KMΥ2 − β∆tR−1

M β∆tDMl + R−1M KMΥ3

β∆tDTMl + DT

SlKSΥ2 β∆tZl + DTSlKSΥ3

][VM

Il

]= −

[D2 + R−1

M KMΥ1

D3 + DTSlKSΥ1

].

(7.88)

Voor de berekening van Υ1, Υ2 en Υ3 moet voor elke van nul verschillende ko-lom in de rechterleden van (7.84–7.86) een stelsel vergelijkingen met dezelfde sys-teemmatrix S + 1

β∆t TM opgelost worden. De nulkolommen in KTSDSl (np × nl )

stemmen overeen met stroomlussen waarin geen gewikkelde geleiders voorkomen.Het aantal te beschouwen rechterleden is dus 1+nM plus het aantal stroomlussenwaarin een of meerdere gewikkelde geleiders voorkomen.

De systeemmatrix S+ 1β∆t TM is SPD, zodat de ICCG-solver (zie §2.6.3) gebruikt

kan worden. De matrix wordt hierbij slechts eenmaal (onvolledig) gefactoriseerd,waarna de CG-iteraties voor elk rechtlid uitgevoerd worden. De rekentijd isbijgevolg minder dan evenredig met het aantal rechterleden. Daarenboven wordtbij de optimalisatie van de parameter ψ van de ICCG-solver automatisch rekeninggehouden met het aantal rechterleden, wat in een bijkomende reductie van derekentijd resulteert. Zo zal bij een toenemend aantal rechterleden, de factoriseringminder onvolledig zijn, en zullen de CG-iteraties per rechterlid minder rekentijdvragen.

Telkens een kolom van Υ1, Υ2 en Υ3 berekend is, kan de corresponderendebijdrage tot het gereduceerde stelsel (7.88) onmiddellijk vereffend worden.

Het relatief kleine stelsel5 kan bv. met Gauss-eliminatie opgelost worden, waaruitVM en Il volgen.

5Het aantal knooppunten in een 2D EE-model ligt typisch tussen 100 en 10000, het aantal(gewikkelde of massieve) geleiders tussen 1 en 100, en het aantal stroomlussen of knooppuntenin het elektrische netwerk eveneens tussen 1 en 100.

7-22 HOOFDSTUK 7

Indien de Υ-matrices nog beschikbaar zijn, volgt A onmiddellijk uit (7.87). Akan ook bekomen worden door het oplossen van het volgende stelsel algebraıschevergelijkingen:

(S +1

β∆tTM)A = KT

MR−1

M VM + KT

SDSlIl + D1. (7.89)

In het laatste geval moeten de kolommen van de Υ-matrices niet meer bewaardworden zodra hun bijdrage tot (7.88) vereffend is.

In het algemene niet-lineaire geval kan de methode zonder meer toegepast wordenop de lineare stelsels die bekomen worden met de NR-methode. De te beschouwenSPD systeemmatrix is dan S∂ + 1

β∆t TM .

Deze methode werd eerst voorgesteld in [Gys95]. Ze blijkt verwant te zijn metde gewijzigde Choleski-methode beschreven in [Lon89]. Indien de Υ-matricesberekend worden met de (directe, d.i. niet-iteratieve) Choleski-methode i.p.v. metde iteratieve ICCG-methode, dan zijn ST1 en de gewijzigde Choleski-methodepraktisch identiek.

ST1 is vooral voordelig bij een zgn. meerschijvenmodellering van een roterendemachine met schuingestelde gleuven, zie §8.4.

Een analoog procede bekomt men door de SPD (np + nM)× (np + nM) matrixin (7.81) te beschouwen i.p.v. S + 1

β∆t TM . De matrix in (7.81) is minder ijl

door de fill-in van KTMR

−1M (en zijn getransponeerde). Het aantal te beschouwen

rechterleden om de Υ-matrices te berekenen is dan een plus het aantal stroom-lussen waarin een of meerdere gewikkelde of massieve geleiders voorkomen. Dezemethode werd in [Gys96b] toegepast op een aantal praktische gevallen, en bleekminder voordelig te zijn dan ST1 (met S + 1

β∆t TM als systeemmatrix).


Vergelijking (7.83) kan ook als volgt gepartitioneerd worden:[A11 A12

AT12 −A22

] [X1

X2

]=

[D1

D2

], (7.90)

met A11 de SPD matrix in (7.81) en A22 = β∆tZl eveneens een SPD matrix6.

X1 =[AT V T

M

]Tis de oplossing van het volgende gereduceerde stelsel vergelij-

kingen:(A11 + A12A−1

22AT

12

)X1 = D1 + A12A−1

22D2, (7.91)

met een SPD systeemmatrix.

6Zl is o.m. singulier als in een of meerdere stroomlussen geen weerstanden, spoelen, conden-satoren of gewikkelde geleiders voorkomen. In een dergelijk geval kan Zl SPD en niet-singuliergemaakt worden door het toevoegen van bv. een aantal kleine weerstanden aan het elektrischenetwerk.


Vergelijking (7.91) kan als volgt uitgewerkt worden:[S + 1

β∆t(TM + TSl) −KT

MR−1M + KT

SDSlZ−1

l DTMl

−R−1M KM + DMlZ

−1

l DTSlKS β∆t(R−1

M + DMlZ−1

l DTMl)

][A

VM

]=

[D1 + 1

β∆tKTSDSlZ

−1

l D3

D2 + DMlZ−1

l D3

], (7.92)

met TSl [Ω−1] een np × np SPSD matrix:

TSl = KT

SDSlZ−1

l DT

SlKS. (7.93)

Il = X2 wordt gegeven door:

Il =1

β∆tZ−1

l D3 −1

β∆tZ−1

l DT

SlKSA− Z−1

l DT

MlVM . (7.94)

De systeemmatrix in (7.92) is SPD, zodat de ICCG-solver (zie §2.6.3) gebruiktkan worden.De ijlheid van TSl, en dus van de systeemmatrix in (7.92), hangt af van denetwerkinterconnectie van de verschillende gewikkelde geleiders in het EE-model(vervat in DSlZ

−1

l DT

Sl), en van het aantal knooppunten in de gewikkelde geleiders(vervat in KS). Twee willekeurige knooppunten in eenzelfde gewikkelde geleiderzijn zeker verbonden (wat trouwens ook het geval is voor TS). Verder is ereventueel nog fill-in door de matrix KT

SDSlZ−1

l DT

Ml (en zijn getransponeerde)indien gewikkelde en massieve geleiders in hetzelfde (samenhangende) netwerkvoorkomen7.In bepaalde gevallen is de fill-in beperkt, en blijkt ST2 een efficiente methode tezijn, zoals verder gedemonstreerd wordt. In andere praktische gevallen kan defill-in zeer groot zijn, met navenante geheugenvereisten en rekentijden als gevolg.

De efficientie van ST2 hangt ook af van de mate waarin de reductie van (7.90)tot (7.91) vooraf (d.i. voor de time-stepping) uitgewerkt kan worden. In het gevalvan een lineair elektrisch netwerk (d.i. zonder verzadigbare spoelen en diodes) isZl een constante matrix, en moeten de eveneens constante matrices Z−1

l , TSl,KTSDSlZ

−1

l DT

Ml en DMlZ−1

l DT

Ml slechts eenmaal berekend worden.

ST2 is equivalent met de methode (d) vermeld in [Tsu93a] indien er geen gewik-kelde geleiders voorkomen in het elektrische netwerk (nS = 0 en TSl = 0).

7.2.6 Vergelijkingen in termen van A en Il

De methode van de lusstromen (§7.2.3) geeft na eliminatie van VS, IS, IM en VMhet volgende stelsel van eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termen van Aen Il:

SA+ T ′MdA

dt= (KT

SDSl + KTMDMl)Il, (7.95)

7Praktische toepassingen waarbij gewikkelde en massieve geleiders in hetzelfde (samenhan-gende) netwerk voorkomen liggen niet voor de hand. Maar deze worden zeker niet uitgesloten,noch bij de theoretische afleidingen, noch bij de praktische implementatie.

7-24 HOOFDSTUK 7

DTV lVV = (Rl + RSl + RMl)Il + Ll

dIldt

+ (DTSlKS + DT

MlKM)dA

dt, (7.96)

met de nl × nl lusweerstandsmatrices RSl en RMl als volgt gedefinieerd:

RSl = DTSlRSDSl en RMl = DT

MlRMDMl. (7.97)

De vergelijkingen (7.95–7.96) kunnen als volgt in blokmatrixvorm geschrevenworden:

PX +QdX

dt= f , (7.98)

X =

[A

Il

], P =

[S −KT

SDSl −KTMDMl

0 Rl + RSl + RMl

], (7.99)

Q =

[T ′M 0

−DTSlKS −DT

MlKM Ll

], f =

[0

DTV lVV

]. (7.100)

Na toepassing van de β-methode op (7.98) en voorvermenigvuldiging met de ma-trix diag(1,−β∆t1) bekomt men het volgende stelsel algebraısche vergelijkingen:

AX+ = BX− + C, (7.101)

A =

[S + 1

β∆tT ′M −KT

SDSl −KTMDMl

−DTSlKS −DT

MlKM −β∆tZl

], (7.102)

B =

[−β′

βS + 1

β∆tT ′M −KT

SDSl −KTMDMl

−DTSlKS −DT

MlKM −β∆tZ∗l

], (7.103)

C =

[0

−∆tDTV l(βV

+V + β′V −V )

], (7.104)

met Zl en Z∗l symmetrische lusimpedantiematrices, gegeven door:

Zl = Rl + RSl + RMl +1

β∆tLl + β∆tDCl C

−1 DTCl, (7.105)

Z∗l = −β′

β(Rl + RSl + RMl) +

1

β∆tLl − β′∆tDCl C

−1 DTCl. (7.106)

Methoden zoals ST1 en ST2 kunnen hier ook toegepast worden. Hierbij wordtdan de SPD matrix S + 1

β∆t T′M beschouwd, die eventueel veel minder ijl is dan

S + 1β∆t TM . In [Gys96b] worden enkele toepassingen beschouwd waarvoor ST1

en ST2 telkens efficienter bleken te zijn.


7.2.7 Vergelijkingen in termen van A, Is en Vn

De methode van de knooppuntspanningen (§7.2.4) geeft na eliminatie van VS, VMen IM het volgende stelsel van eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termenvan A, IS en Vn:

SA+ TMdA

dt= KT

S IS + KTMR

−1M DMnVn, (7.107)

DSnVn = RSIS + KS

dA

dt, (7.108)

DTInII = (Gn + GMn)Vn + Cn

dVndt−DT

MnR−1M KM

dA

dt+ DT

SnIS, (7.109)

met de knooppuntsgeleidbaarheidsmatrix GMn [Ω−1] als volgt gedefinieerd:

GMn = DT

MnR−1

M DMn. (7.110)


PX +QdX

dt= f , (7.111)

X =[A IS Vn

]T, f =

[0 0 −DT

InII

]T, (7.112)

P =

S −KT

S −KTMR

−1M DMn

0 −RS DSn

0 DTSn Gn + GMn

, Q =

TM 0 0

−KS 0 0

−DTMnR

−1M KM 0 Cn

. (7.113)

Door toepassing van de β-methode op (7.111) en voorvermenigvuldiging metde matrix diag(1, β∆t1, β∆t1) bekomt men het volgende stelsel algebraıschevergelijkingen:

AX+ = BX− + C, (7.114)

A =

S + 1

β∆tTM −KT

S −KTMR

−1M DMn

−KS −β∆tRS β∆tDSn

−DTMnR

−1M KM β∆tDT

Sn β∆tYn

, (7.115)

B =

−β′

βS + 1

β∆tTM

β′

βKTS

β′

βKTMR

−1M DMn

−KS −β′∆tRS β′∆tDSn

−DTMnR

−1M KM β′∆tDT

Sn β∆tY ∗n

, (7.116)

C =[

0 0 −∆tDTIn(βI+

I + β′I−I )

]T. (7.117)

met Yn en Y ∗n symmetrische knooppuntsadmittantiematrices, gegeven door:

Yn = Gn + GMn + β∆tDTLn L

−1 DLn +1

β∆tCn, (7.118)

Y ∗n = −β′

β(Gn + GMn)− β′∆tDT

Ln L−1DLn +

1

β∆tCn. (7.119)

7-26 HOOFDSTUK 7

De systeemmatrix A is duidelijk niet SPD, o.m. wegens het negatief definieteblok −β∆tRS op de diagonaal. We kunnen IS elimineren, waardoor een stelselmet een SPD systeemmatrix bekomen wordt. Deze systeemmatrix omvat TS =KTSR

−1S KS. Het is echter eenvoudiger IS te elimineren voor de tijdsdiscretisatie,

zoals in §7.2.8 uitgewerkt wordt.

7.2.8 Vergelijkingen in termen van A en Vn

De methode van de knooppuntspanningen (§7.2.4) geeft na eliminatie van VS,VM , IM en IS het volgende stelsel van eerste-orde-differentiaalvergelijkingen intermen van A en Vn:

SA+ (TM + TS)dA

dt= KSMnVn, (7.120)

DTInII = (Gn + GSn + GMn)Vn + Cn

dVndt−KT

SMndA

dt, (7.121)

met KSMn (np × nn ) als volgt gedefinieerd:

KSMn = KTSR

−1S DSn + KT

MR−1M DMn, (7.122)

en de nn × nn knooppuntsgeleidbaarheidmatrices GSn en GMn als volgt gedefi-nieerd:

GSn = DTSnR

−1S DSn en GMn = DT

MnR−1M DMn. (7.123)


PX +QdX

dt= f , (7.124)

X =

[A

Vn

], P =

[S −KSMn

0 Gn + GSn + GMn

], (7.125)

Q =

[TM + TS 0

−KTSMn Cn

], f =

[0

−DTInII

]. (7.126)


Na toepassing van de β-methode op (7.124) en voorvermenigvuldiging met dematrix diag(1, β∆t1) bekomt men het volgende stelsel algebraısche vergelijkin-gen:

AX+ = BX− + C, (7.127)


A =

[S + 1

β∆t(TM + TS) −KSMn

−KTSMn β∆tYn

], (7.128)

B =

[−β′

βS + 1

β∆t(TM + TS) −KSMn

−KSMn β∆tY ∗n

], (7.129)

C =

[0

−∆tDTIn(βI+

I + β′I−I )

], (7.130)

waarbij, rekening houdend met de spoelen in het elektrische netwerk, de nn × nnknooppuntsadmittantiematrices Yn en Y ∗n gegeven worden door:

Yn = Gn + GSn + GMn + β∆tDTLn L

−1DLn +1

β∆tCn, (7.131)

Y ∗n = −β′

β(Gn + GSn + GMn)− β′∆tDT

Ln L−1DLn +

1

β∆tCn. (7.132)


De systeemmatrix A in (7.128) kan worden geschreven als de som van drieSP(S)D matrices A1, A2 en A3:

A1 =

[S 0

0 β∆tGn + (β∆t)2DTLnL

−1DLn + Cn

], (7.133)

A2 =1

β∆t

[1 0

0 β∆tDTSn

][TS −KT

SR−1S

−R−1S KS R−1

S

][1 0

0 β∆tDSn

], (7.134)

A3 =1

β∆t

[1 0

0 β∆tDTMn

][TM −KT

MR−1M

−R−1M KM R−1

M

][1 0

0 β∆tDMn

]. (7.135)

We veronderstellen hierbij dat op elk vrij knooppunt minstens een weerstand, eenspoel of een condensator uitkomt, zodat de admittantiematrix in A1 SPD is. In§4.4.2 werd aangetoond dat de middelste matrices in de rechterleden van (7.134,7.135) SPSD zijn, zie resp. (4.78) en (4.79).

A is SPD, maar minder ijl door de aanwezigheid van TS en de elektrische vergelij-kingen. Meestal is de fill-in door TS beperkt: enkel twee (willekeurige) knooppun-ten in eenzelfde gewikkelde geleider zijn verbonden. De fill-in is niet afhankelijkvan de netwerkinterconnectie van de gewikkelde geleiders (wat wel het geval isvoor TSl, zie §7.2.5.3).Vermits de systeemmatrix SPD is, kan de ICCG-solver (zie §2.6.3) gebruikt wor-den.

In het algemene niet-lineaire geval hebben de systeemmatrices van de lineairestelsels die m.b.v. de NR-methode bekomen worden, dezelfde eigenschappen. De

7-28 HOOFDSTUK 7

Jacobiaan van A, die men bekomt door de stijfheidsmatrix S en de knooppunts-admittantiematrix Yn te vervangen door hun resp. Jacobianen S∂ en Y ∂

n , iseveneens SPD en heeft dezelfde structuur (of fill-in).

7.2.9 Voorbeeld

We beschouwen opnieuw het EE-model dat in §4.6.2 besproken werd. Het om-vat een gewikkelde geleider, een massieve geleider (geleidende plaat met netto-stroom gelijk aan nul: IM = 0) en een verzadigbare kern. Zoals voorgesteldin Figuur 7.12, is de gewikkelde geleider in het EE-model aangesloten op desecundaire van een eenfasige transformator (dezelfde als in §7.1.2.6, §7.1.3.6 en§7.1.4.3). De primaire van de transformator is aangesloten op een spanningsbron. ++1 VV +5 +EE-model+ +2 3transformator 4R1 L12L21L11 L22+ + (Il)3R2(Il)2(Il)1 I = 0

Figuur 7.12: Directe koppeling van een EE-model en een elektrisch netwerk

Vermits het EE-model in §4.6.2 slechts de helft van de gewikkelde geleider omvaten de spanning VS bijgevolg de helft is van de werkelijke spanning, moeten deweerstanden, de inductantiematrix van de transformator en de spanning VV vande spanningsbron gehalveerd worden.

Zoals in §4.6.2 kunnen we twee gevallen beschouwen: met en zonder geleidendeplaat in de luchtspleet van de verzadigbare kern. Als de geleidende plaat nietgemodelleerd wordt, heeft het EE-model slechts een (gewikkelde) geleider en zijner drie manieren om het gekoppelde systeem te simuleren. De gewikkelde geleiderkan worden gemodelleerd als een niet-lineaire spoel in het elektrische netwerk (zie§7.1.4.3), of als een m.m.k.-bron in een triviaal magnetisch netwerk, of als eengewikkelde geleider in het EE-model. In het eerste geval zijn er geen bijkomendevergelijkingen. In het tweede geval is er een bijkomende vergelijking, geassocieerdmet de (lus)flux die gekoppeld is met de m.m.k.-bron. In het laatste geval zijner np bijkomende magnetische vergelijkingen, met np het aantal knooppunten inhet EE-model.

Zoals in Figuur 7.12 aangegeven, omvat het elektrische netwerk van de transfor-mator en de gewikkelde geleider twee stroomlussen en vier vrije knooppunten.Het opleggen van de nulstroom in de geleidende plaat – indien beschouwd –kan zoals in §4.6.2 met directe stroomvoeding (met de matrix T ′M i.p.v. TM), ofmet een bijkomende stroomvergelijking. In het laatste geval beschouwen we het


triviale elektrische netwerk in Figuur 7.12 (rechts) met een stroomlus en een vrijknooppunt.

De simulaties worden uitgevoerd met sinusoıdale 50 Hz spanningsvoeding van detransformator: VV (t)= 1500 V sin(2πft). Er worden vier perioden gesimuleerd,met elk 400 stappen, en met β=0.7.Eerst worden drie simulaties uitgevoerd zonder geleidende plaat, met achtereen-volgens ST1, ST2 en ST3 (zie resp. §7.2.5.2, §7.2.5.3 en §7.2.8.2) als solver. Deresultaten zijn op verwaarloosbare verschillen na identiek: de maximale ogenblik-kelijk afwijking in de stroom door de gewikkelde geleider is 0.0002 A, t.o.v. 144 Apiekwaarde.

Vervolgens worden zes simulaties uitgevoerd met geleidende plaat: met ST1,ST2 en ST3, en telkens met de nulstroom in de geleidende plaat opgelegd doordirecte stroomvoeding of d.m.v. het triviale elektrische netwerk. Wanneer demethode van de lusstromen (ST1 of ST2) gebruikt wordt, wordt de stroombronin het elektrische netwerk voorzien van een inwendige weerstand RI (bv. 106 Ω)die voldoende groter is dan de gelijkstroomweerstand van de (halve) geleidendeplaat (RM=0.1323 10−4 Ω). De geleidende plaat wordt dus ’kortgesloten’ over eengrote weerstand RI .

De stroom door en de spanning over de gewikkelde geleider als functie van de tijdworden getoond in de resp. Figuren 7.13 en 7.14, telkens met en zonder geleidendeplaat. In beide gevallen is het systeem duidelijk nog niet in regime na drieperioden. Bemerk ook de kwalitatieve verschillen met de stromen in Figuur 4.9,waarbij een sinusoıdale VS werd opgedrongen (d.i. zonder tussenschakeling vande transformator).

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-50050100150 zonder plaatmet plaat t [s]IS [A]

Figuur 7.13: Berekende IS(t), zonder en metgeleidende plaat

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-400-2000200400 zonder plaatmet plaat t [s]VS [V]

Figuur 7.14: Berekende VS(t), zonder en metgeleidende plaat

Matrixstructuur van de SPD systeemmatrices

In Figuren 7.15 en 7.16 wordt de structuur van de SPD systeemmatrices volgensST1, ST2 en ST3 getoond. Elke stip stelt een van nul verschillend element in dematrices voor.

7-30 HOOFDSTUK 7

In Figuur 7.15 wordt boven de diagonaal de structuur van S getoond (ST1, zonderplaat). De 485 knooppunten van het EE-model zijn hernummerd met het RCM-algoritme (zie ook §2.6.3), zodat S een bandstructuur (met halve bandbreedte53) heeft.

In Figuur 7.15 wordt onder de diagonaal de structuur van S + 1β∆t TSl getoond

(ST2, zonder plaat). De fill-in door TSl is duidelijk zichtbaar. De gewikkeldegeleider heeft twee spoelzijden (zie ook Figuur 4.5): de ene spoelzijde omvat 34knooppunten met een rangnummer tussen 301 en 379, de andere spoelzijde negenknooppunten met een rangnummer tussen 448 en 471.

Figuur 7.16 toont boven de diagonaal de structuur van systeemmatrix (7.128) vanST3 (zonder plaat). De fill-in door TS is duidelijk zichtbaar. TS en TSl hebbenbij deze toepassing blijkbaar dezelfde structuur. De fill-in door de vier vrijeknooppunten in het elektrische netwerk (kolommen 486 t.e.m. 489) is eveneenszichtbaar.

Figuur 7.16 toont onder de diagonaal de structuur van de systeemmatrix (7.128)van ST3, met stroomgevoede plaat. De fill-in door T ′M is duidelijk. De knoop-punten in de massieve geleider hebben een rangnummer tussen 1 en 280.

Figuur 7.15: Structuur van S (boven de dia-gonaal), en van S + 1

β∆tTSl (onder de diago-

naal)

Figuur 7.16: Structuur van matrix (7.128),zonder plaat (boven de diagonaal), en metstroomgevoede plaat (onder de diagonaal)

RekentijdenDe gemiddelde rekentijd per Newton-Raphson-iteratie op een DEC Alpha-station255-300 wordt voor de drie gevallen en de drie solvers gegeven in Tabel 7.2. ST2is telkens efficienter dan ST1 en ST3.Het direct opdringen van de nulstroom in de geleidende plaat m.b.v. de matrix T ′Mvraagt relatief veel extra rekentijd. Indien de nulstroom wordt opgelegd d.m.v.een elektrisch netwerk is geen extra (of zelfs minder) rekentijd nodig.Ter illustratie geven we ook nog de rekentijd bij een directe voeding van de spoel(zonder tussenschakeling van de transformator, zoals in §4.6.2), en zonder gelei-dende plaat: 42.5 10−3 en 51.0 10−3 CPUs bij resp. stroom- en spanningsvoeding.


rekentijd [10−3s]

ST1 ST2 ST3

zonder plaat 59.5 45.5 52.4

met stroomgevoede plaat 87.5 65.0 72.5

met plaat en stroombron 56.0 44.0 52.0

Tabel 7.2: Gemiddelde rekentijd per NR-iteratie [10−3 CPUs]

7.3 Toepassing: simulatie van een driefasige trans-formator

In §6.4 werden nullastsimulaties van een driefasige transformator uitgevoerd. Indit deel worden kortsluit- en belastingssimulaties van deze transformator behan-deld. Figuur 7.17 toont een verticale doorsnede van de transformator. Er zijnnegen wikkelingen: elke fase (of been) heeft een primaire wikkeling met 220 win-dingen en twee secundaire wikkelingen (verder sec1 en sec2 genoemd) met resp.41 en 71 windingen. sec 2primsec 1 faze A faze B faze C

Figuur 7.17: Verticale doorsnede van de driefasige transformator

Bij de eenfasige en driefasige nullastsimulaties in §6.4 kon, zoals aangetoond,de spreidingsflux verwaarloosd worden, wat ook expliciet gedaan werd door hetEE-model in Figuur 6.64 te gebruiken.Bij kortsluit- en lastwerking kan de spreiding zeker niet verwaarloosd worden. Despreidingsflux is deels vervat in een 2D EE-model, waarbij een doorsnede zoalsin Figuur 7.17 beschouwd wordt, en deels in de ’eindzones’ rond de ’spoelkop-pen’. Dit wordt verduidelijkt aan de hand van Figuur 7.18, die een horizontaledoorsnede van de transformator toont. Daar de actieve lengte lz van het 2Dmodel niet veel groter is dan de breedte van de transformatorbenen (en de be-namingen ’eindzone’ en ’spoelkop’ enigszins kunstmatig overkomen), kunnen weverwachten dat de eindspreiding een belangrijk deel van de totale spreiding zalvertegenwoordigen. Anderzijds is de bijdrage van de eindzones tot de magneti-seringsflux gering, gezien de zeer goede koppeling van de wikkelingen met hetblikpakket.

7-32 HOOFDSTUK 7lz=76 mmCBA50 mm2DeindzoneeindzoneFiguur 7.18: Horizontale doorsnede van de transformator

We beschouwen nu twee wikkelingen op eenzelfde been. Zij kunnen voorgesteldworden door het klassieke vervangingsschema in Figuur 7.19. De secundairegrootheden (subscript 2) zijn omgerekend naar de primaire grootheden (subscript1) op basis van het aantal windingen van de twee wikkelingen (220, 41 of 71).+ +R1V1 V2RmLmL13D I2 R2L2 L23DL22DL1L12DI1

Figuur 7.19: Equivalent schema van twee wikkelingen op hetzelfde been

Overeenkomstig de bovenstaande bespreking van de spreiding, worden de sprei-dingsinductanties L1σ en L2σ elk opgesplitst in een 2D en een 3D fractie.

De magnetiseringsreactantie Xm = jωLm en de ijzerverliesweerstand Rm zijnveel groter dan de weerstanden R1 en R2 en de spreidingsreactanties jωL1σ enjωL2σ. Bijgevolg kunnen de nullasten de kortsluitimpedantie, resp. Zn en Zkgenoteerd, als volgt benaderd worden:

Zn ≈ Rm ‖ jωLm, (7.136)

Zk ≈ R1 +R2 + jω(L1σ2D

+ L2σ2D+ L1σ3D

+ L2σ3D

). (7.137)

Uit de eenfasige nullastmetingen (50 Hz, Ve=220 V) in §6.4, met de primairewikkeling van fase A (of C) en B gevoed, volgen respectievelijk:Zn=(400 +j 645) Ω ⇒ Rm=1439 Ω, Xm=893 Ω, Lm=2.84 H,Zn=(703 +j 955) Ω ⇒ Rm=2000 Ω, Xm=1473 Ω, Lm=4.69 H.

7.3.1 Meting en modellering van de eindeffecten

7.3.1.1 Meting van de kortsluitreactanties

We beschouwen de negen combinaties van telkens twee wikkelingen op eenzelfdebeen. De gemeten kortsluitreactanties Xk [Ω] bij 50 Hz worden in Tabel 7.3


gegeven. De overeenstemmende kortsluitpermeanties Λk = Xk/(2π f n2) [H], met

n het aantal windingen van de gevoede wikkeling (220 of 41), worden voorgesteldin Tabel 7.4.

fase A fase B fase C

prim gevoed en sec1 kortgesloten 5.093 5.284 4.920prim gevoed en sec2 kortgesloten 4.676 5.266 4.860sec1 gevoed en sec2 kortgesloten 0.368 0.423 0.369

Tabel 7.3: Gemeten kortsluitreactanties Xk [Ω]


prim + sec1 0.3350 0.3475 0.3236prim + sec2 0.3075 0.3463 0.3196sec1 + sec2 0.6976 0.8004 0.6987

Tabel 7.4: Gemeten kortsluitpermeanties Λk [10−6H]

De kortsluitreactanties Xk, omgerekend naar de primaire (4.7 Ω a 12.2 Ω), zijn70 a 300 maal kleiner dan de nullastreactanties (893 Ω of 1473 Ω bij Ve=220 V).

Merk in Tabellen 7.3 en 7.4 de verschillen op tussen de kortsluitreactanties en-permeanties van fase A en C. Deze asymmetrie is niet aanwezig in het EE-modelvan de transformator.

7.3.1.2 Berekening van de 2D spreidingspermeanties

Volgens het vervangingsschema in Figuur 7.19 is er enkel spreidingsflux en geenmagnetiseringsflux als twee wikkelingen op eenzelfde been precies een tegenge-steld aantal Ampere-windingen voeren.

De 2D spreidingspermeanties Λ1σ2D+ Λ2σ2D

bekomt men onmiddellijk uit stati-sche 2D EE-simulaties. De permeabiliteit van het blikpakket kan hierbij eenvou-digheidshalve constant verondersteld worden (bv. µrel=1000).

In Figuur 7.20 worden elementaire spreidingsfluxpatronen getoond, met vermel-ding van de magnetische energie per meter volgens de derde dimensie. De vol-gende vier gevallen waarbij telkens twee wikkelingen op eenzelfde been een te-gengestelde eenheidsstroom (d.i. ±1 Aw) voeren, worden beschouwd:

a. de primaire en een secundaire wikkeling op een buitenbeen,

b. beide secundaire wikkelingen op een buitenbeen,

c. de primaire en een secundaire wikkeling op het middenbeen,

d. beide secundaire wikkelingen op het middenbeen.

Rekening houdend met de actieve lengte lz=0.076 m, bekomt men de negen sprei-dingspermeanties in Tabel 7.5. Tussen de haakjes wordt de verhouding van dezepermeanties t.o.v. de corresponderende gemeten kortsluitpermeanties in Tabel 7.4gegeven. De bijdrage van het 2D model tot de spreiding is 40% a 50%.

7-34 HOOFDSTUK 7

a. primA + sec2A, 0.886 10−6 J/m b. sec1A + sec2A, 1.970 10−6 J/m

c. primB + sec2B, 1.071 10−6 J/m d. sec1B + sec2B, 2.602 10−6 J/m

Figuur 7.20: Spreidingsfluxpatronen in het 2D model, met vermelding van de magnetischeenergie per meter volgens de z-as

7.3.1.3 Ruwe schatting van de 3D spreidingspermeanties

Het magnetische veldpatroon rond de spoelkoppen heeft een uitgesproken 3Dkarakter. Zeer benaderend kan een 2D model beschouwd worden, met een ver-ticale doorsnede door een van de drie benen en loodrecht op de doorsnede inFiguur 7.17. Wegens de symmetrie moet slechts de halve doorsnede gemodel-leerd worden. Deze bevat de rechthoekige sectie van de drie spoelkoppen op hetbeen en de rand van het blikpakket, dat oneindig permeabel verondersteld wordt.Figuur 7.21 toont enkele statische fluxpatronen waarbij een of twee wikkelin-gen (op eenzelfde been) bekrachtigd worden met ±1 Aw, met vermelding vande magnetische energie per lopende meter. De volgende vier gevallen worden


prim + sec1 0.1335 (40%) 0.1609 (46%) 0.1335 (41%)prim + sec2 0.1346 (44%) 0.1628 (47%) 0.1346 (42%)sec1 + sec2 0.2994 (43%) 0.3955 (49%) 0.2994 (43%)

Tabel 7.5: Berekende 2D spreidingspermeanties [10−6 H] (en verhouding t.o.v. decorresponderende gemeten kortsluitpermeanties in Tabel 7.4)


beschouwd:

a. de primaire wikkeling gevoed,

b. een secundaire wikkeling (i.h.b. sec2) gevoed,

c. de primaire en een secundaire wikkeling (i.h.b. sec2) gevoed,

d. beide secundaire wikkelingen gevoed.

a. 0.442 10−6 J/m b. 0.484 10−6 J/m c. 0.346 10−6 J/m d. 0.654 10−6 J/m

Figuur 7.21: Elementaire fluxpatronen in de eindzone (een of twee wikkelingen voeren ±1 Aw),met vermelding van de magnetische energie per meter volgens de derde dimensie

Uit de magnetische energie van de elementaire fluxpatronen berekent men devolgende 3× 3 permeantiematrix (per lopende meter):

Λ3D/m =

Λ11 Λ12 Λ13

Λ21 Λ22 Λ23

Λ31 Λ32 Λ33

, (7.138)

waarbij de subscripten 1, 2 en 3 betrekking hebben op resp. de primaire wikkeling,de sec1-wikkeling en de sec2-wikkeling op eenzelfde been. Een diagonaalelementvan de inductantiematrix volgt onmiddellijk uit de magnetische energie wanneerde corresponderende wikkeling bekrachtigd wordt. Een niet-diagonaalelementvolgt uit de magnetische energie wanneer de twee corresponderende wikkelin-gen een tegengestelde eenheidsstroom voeren, en uit de twee corresponderendediagonaalelementen.

Aldus bekomen we:

Λ3D/m =

0.884 0.580 0.580

0.580 0.968 0.314

0.580 0.314 0.968

10−6 H/m. (7.139)

Deze matrix moet met een oordeelkundig gekozen lengte vermenigvuldigd wor-den, die al of niet verschillend is voor de buitenste benen en het middenbeen.

7-36 HOOFDSTUK 7

Zeer benaderend kunnen we voor elke fase als ’spoelkoplengte’ de lengte van destreep-punt-lijn in Figuur 7.18 nemen, d.i. tweemaal de breedte van de benen eneen volledige cirkelomtrek met straal 12 mm, samen 175 mm. Rekening houdendmet het aantal windingen van de wikkelingen, bekomen we voor elke fase devolgende inductantiematrix:

L3D =

220 0 0

0 41 0

0 0 71

0.309 0.203 0.203

0.203 0.339 0.110

0.203 0.110 0.339

220 0 0

0 41 0

0 0 71

10−6 H. (7.140)

Bij een 2D EE-simulatie van de volledige transformator kan de koppeling vande drie spoelkoppen op eenzelfde been benaderend in rekening gebracht wordendoor de matrix (7.140) in elke fase van het elektrische netwerk in te brengen,zoals voorgesteld in Figuur 7.22. De koppeling tussen twee spoelkoppen op tweeverschillende benen wordt eenvoudigheidshalve verwaarloosd.

Bij het gebruik van de oplossingsmethoden ST2 en ST3, zie resp. §7.2.5.3 en§7.2.5.3, is het noodzakelijk dat de inductantiematrix L3D SPD is. Aan dezevoorwaarde is zonder meer voldaan aangezien L3D bekomen werd op basis vaneen EE-model (zie §2.7.3).

sec2primsec1 L3DEE

Figuur 7.22: Spoelkopinductantiematrix L3D van de drie wikkelingen op eenzelfde been

Ter controle vergelijken we de berekende totale spreidingspermeanties (2D+3D)en de gemeten kortsluitpermeanties. De bijdrage van de spoelkoppen tot de sprei-dingspermeanties is 0.1211 10−6 H (prim+sec1 of prim+sec2) en 0.2289 10−6 H(sec1+sec2). Deze worden opgeteld bij de 2D spreidingspermeanties in Tabel 7.5,wat de totale spreidingspermeanties in Tabel 7.6 geeft. De berekende 2D+3Dspreidingspermeanties zijn kleiner dan de gemeten kortsluitpermeanties. De ver-houding (76% a 83%) wordt in Tabel 7.6 tussen de haakjes vermeld.Het eenvoudige 2D model in Figuur 7.21 volstaat blijkbaar niet om de spoelkop-spreiding nauwkeurig te berekenen. Met een 3D EE-model kan ongetwijfeld eenbetere overeenkomst bekomen worden.

In plaats van de inductantiematrix L3D te bekomen m.b.v. een zeer benaderende2D EE-berekening van de eindspreiding, kan hij bepaald worden op basis van de



prim + sec1 0.2546 (76%) 0.2820 (81%) 0.2546 (89%)prim + sec2 0.2557 (83%) 0.2839 (82%) 0.2557 (80%)sec1 + sec2 0.5283 (76%) 0.6244 (78%) 0.5283 (76%)

Tabel 7.6: Berekende 2D+3D spreidingspermeanties [10−6 H] (en tussen de haakjesde verhouding met de gemeten kortsluitpermeanties)

gemeten spreiding en deze vervat in het 2D EE-model van de transformator. Ditwordt verder gedemonstreerd.

7.3.2 Belastingssimulaties

Het elektrische netwerk

De transformator wordt gebruikt in de meetopstelling voor rotationele magne-tische metingen op elektroblik beschreven in §3.3.5. Figuur 7.23 toont de elek-trische schakeling. De primaire wikkelingen van de transformator zijn in stergeschakeld en op het driefasige 50 Hz, 220-230 V net aangesloten. De drie sec1-wikkelingen en de drie sec2-wikkelingen, resp. in ster en in driehoek geschakeld,zijn aangesloten op twee driefasige gelijkrichterbruggen. Deze gelijkrichterbrug-gen staan in serie of in parallel (schakelaar S resp. gesloten of open) en voeden devermogenversterker van de meetopstelling. De condensator (C=2.2 10−3 F) zorgtvoor een uitfiltering van de hoogfrequente stroom (tot 200 kHz) die opgenomenwordt door de versterker.In deze tekst beschouwen we metingen en berekeningen met een zuiver resistievelast Rlast .

C RlastSprim sec1EE sec2

Figuur 7.23: Elektrisch netwerk van de transformator belast met een weerstand Rlast viatwee gelijkrichterbruggen die in serie of in parallel geschakeld zijn

7-38 HOOFDSTUK 7

fase A fase B fase C gemiddeld

prim 0.362 0.355 0.354 0.357sec1 0.0282 0.0271 0.0273 0.0275sec2 0.0672 0.0707 0.0684 0.0688

Tabel 7.7: Gemeten weerstanden [Ω] van de negen wikkelingen bij kamertemperatuur

De weerstanden van de negen wikkelingen bij kamertemperatuur, bepaald d.m.v.een gelijkstroommeting, worden in Tabel 7.7 gegeven. Bij de simulaties wordende gemiddelde waarden (bij kamertemperatuur) gebruikt.De 14 diodes (MUR6040) worden gemodelleerd zoals beschreven in §7.1.4.2, enmet dezelfde parameterwaarden als in §7.1.4.3: Vth=0.7 V, Rmin=0.016 Ω enRmax=104 Ω. De schakelaar S wordt gemodelleerd als een zeer kleine weerstand(10−5 Ω) of een zeer grote weerstand (105 Ω) bij resp. serie- en parallelschakeling.

EE-vermazing en eindeffecten

De EE-vermazing in Figuur 6.63 wordt voor de verdere berekeningen gebruikt.Ze is minder fijn dan de EE-vermazing waarmee de spreidingspermeanties inTabel 7.5 berekend werden. De spreidingspermeanties bekomen met de minderfijne vermazing zijn 1% a 4% kleiner, zie Tabel 7.8.



Tabel 7.8: 2D spreidingspermeanties [10−6 H] berekend met de minder fijne vermazing



Tabel 7.9: Het verschil tussen de gemeten kortsluitpermeanties en de berekende 2Dspreidingspermeanties [10−6 H]

Het verschil tussen de gemeten kortsluitpermeanties en de berekende 2D sprei-dingspermeanties wordt gegeven in Tabel 7.9. Het kan gecompenseerd wordenm.b.v. de drie bijkomende 3× 3 inductantiematrices L3D (die niet in Figuur 7.23zijn weergegeven). Voor elke fase van de transformator kan men op basis van depermeanties in Tabel 7.9 op oneindig veel wijzen de inductantiematrix afleiden.Als we echter de diagonaalelementen van L3D in (7.140) overnemen, is de aflei-ding wel uniek bepaald, en geeft ze gelukkig SPD matrices. De inductantiematrixvoor bv. fase A is:

L3D =

220 0 0

0 41 0

0 0 71

0.3090 0.2204 0.2347

0.2189 0.3390 0.1341

0.2347 0.1341 0.3390

220 0 0

0 41 0

0 0 71

10−6 H. (7.141)


Materiaalmodellering

Het elektroblik wordt zoals bij de nullastsimulatie in §6.4 gemodelleerd. De voe-gen worden gemodelleerd d.m.v. voegzones met een equivalente BHvoeg -krommeen een verhoogde equivalente geleidbaarheid. Buiten de voegen worden de maag-delijke krommen van V330-50A gebruikt voor de transient (met geleidelijk oplo-pende spanning), waarna op t=1 s overgeschakeld wordt op de vector-Preisach-modellen volgens resp. de rolrichting (RD) en de dwarsrichting (TD).

Metingen en berekeningen

De metingen en de berekeningen zijn uitgevoerd met 50 Hz, 230 V effectieve ster-spanning. De primaire spanningen en stromen, evenals de laststroom werdenopgenomen met een data-acquisitiesysteem. De gelijkspanning Vdc over en degelijkstroom Idc in de regelbare lastweerstand Rlast werden met een multimetergemeten. De lastweerstand (in de simulaties) is dan Vdc/Idc.Voor de volgende twee gevallen werden metingen en simulaties uitgevoerd:

• serieschakeling: Vdc=183.8 V, Idc=20.0 A, Rlast=9.19 Ω,

• parallelschakeling: Vdc=94.5 V, Idc=17.7 A, Rlast=5.34 Ω.

Figuren 7.24 en 7.25 tonen de gemeten en de berekende stromen in de primairewikkelingen van de transformator bij resp. de serie- en de parallelschakeling. Hetal of niet modelleren van de transformatorkern met het vector-Preisach-modelheeft blijkbaar een verwaarloosbare invloed op de berekende stromen.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510gemetenberekend, zonder hysteresisberekend, met hysteresist [s]I [A]

Figuur 7.24: Gemeten en berekende stromenin de primaire wikkelingen bij de seriescha-keling

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-4-2024 gemetenberekend, zonder hysteresisberekend, met hysteresist [s]I [A]Figuur 7.25: Gemeten en berekende stromenin de primaire wikkelingen bij de parallel-schakeling

De gemeten en de berekende primaire stromen komen vrij goed overeen. Voorde fundamentele 50 Hz component en voor de 550 Hz en 650 Hz componenten alsgevolg van de twaalfpulsige gelijkrichting vinden we de volgende amplitudes.

In de gemeten primaire stromen bij de serieschakeling:50 Hz: 8.00 a 8.54 A; 550 Hz: 0.342 a 0.457 A; 650 Hz: 0.242 a 0.364 A;

7-40 HOOFDSTUK 7

in de berekende primaire stromen:50 Hz: 8.11 a 8.70 A; 550 Hz: 0.374 a 0.464 A; 650 Hz: 0.279 a 0.360 A.

In de gemeten primaire stromen bij de parallelschakeling:50 Hz: 3.81 a 3.84 A; 550 Hz: 0.284 a 0.330 A; 650 Hz: 0.108 a 0.146 A;

in de berekende primaire stromen:50 Hz: 3.87 a 3.93 A; 550 Hz: 0.281 a 0.318 A; 650 Hz: 0.118 a 0.143 A.

Figuren 7.26 en 7.27 tonen het stroomverloop in de primaire en de twee secundairewikkelingen op het eerste been bij resp. de serie- en de parallelschakeling.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-20-1001020 primsec1sec2 t [s]I [A]Figuur 7.26: Berekende stromen in de pri-maire en de twee secundaire wikkelingen vanfase A bij de serieschakeling

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 primsec1sec2 t [s]I [A]Figuur 7.27: Berekende stromen in de pri-maire en de twee secundaire wikkelingen vanfase A bij de parallelschakeling

Figuren 7.28 en 7.29 tonen de gemeten en de berekende stromen in de lastweer-stand bij resp. de serie- en de parallelschakeling. Het geringe verschil tussende gemeten en de berekende gelijkstromen Idc kan worden verklaard door eenkleine opwarming van de wikkelingen bij de metingen. Bij de simulatie werdkamertemperatuur verondersteld.Bij de serieschakeling wordt de kleine 100 Hz component, die veroorzaakt wordtdoor de asymmetrie van de transformator, vrij nauwkeurig voorspeld (gemeten:0.132 A; berekend: 0.125 A). De 600 Hz component, afkomstig van de twaalfpul-sige gelijkrichting, is zowel in de gemeten als in de berekende stroom zeer klein(resp. 0.012 A en 0.009 A).Bij de parallelschakeling vinden we de kleine 300 Hz component in de gemetenstroom, afkomstig van de asymmetrie van de transformator, nauwelijks terugin de berekende stroom (resp. 0.068 A en 0.006 A). De EE-simulatie geeft eenonderschatting van de minieme 600 Hz component (0.033 A t.o.v. 0.048 A).

Om het belang van de modellering van de eindspreiding aan te tonen, wordenook simulaties uitgevoerd zonder de drie bijkomende inductantiematrices L3D inrekening te brengen. In Figuren 7.30 en 7.31 kan het effect daarvan op de bere-kende primaire stromen bij resp. de serie- en de parallelschakeling gezien worden.Het verwaarlozen van de eindspreiding resulteert in een geringe toename (1.1% a1.5%) van de fundamentele 50 Hz component van de primaire stromen, maar ineen beduidende toename (30% a 80%) van de 550 Hz en 650 Hz componenten.


0.000 0.005 0.010 0.015 0.02019.819.920.020.120.220.3 gemetenberekend t [s]I [A]Figuur 7.28: Gemeten en berekende stroomin de lastweerstand bij de serieschakeling

0.000 0.005 0.010 0.015 0.02017.517.617.717.817.9 gemetenberekend t [s]I [A]Figuur 7.29: Gemeten en berekende stroomin de lastweerstand bij de parallelschakeling

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 met eindspreidingzonder eindspreidingt [s]I [A]Figuur 7.30: Berekende primaire stromen bijde serieschakeling, met en zonder eindsprei-ding

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-4-2024 met eindspreidingzonder eindspreidingt [s]I [A]Figuur 7.31: Berekende primaire stromen bijde parallelschakeling, met en zonder eind-spreiding

7.4 Besluit

In dit hoofdstuk werd de elektrische koppeling van een 2D EE-model behandeld.Hierbij wordt een elektrisch netwerk met een willekeurige topologie beschouwd,dat bestaat uit spannings- en stroombronnen, al of niet lineaire passieve compo-nenten, en de gewikkelde en de massieve geleiders in het EE-model.

De methode van de lusstromen en de duale methode van de knooppuntspotenti-alen werden op systematische wijze uitgewerkt. Bij de methode van de lusstro-men worden de niet-ideale stroombronnen vervangen door equivalente niet-idealespanningsbronnen, en vice versa bij de methode van de knooppuntspotentialen.

Door de eliminatie van de condensatoren de spoelenvergelijkingen na de tijdsdis-cretisatie bij de methode van resp. de lusstromen en de knooppuntspotentialen,komen we tot resp. de SPD lusimpedantie- en de SPD knooppuntsadmittantie-matrix.

Het stelsel differentiaalvergelijkingen van het gekoppelde systeem werd geschre-ven in termen van [A VM Il]

T, [A Il]T, [A IS Vn]T of [A Vn]T. Na de tijdsdiscre-

7-42 HOOFDSTUK 7

tisatie met de β-methode en voorvermenigvuldiging met een gepaste matrix kansteeds een stelsel algebraısche vergelijkingen met een symmetrische systeemma-trix bekomen worden. Enkel in het laatste geval is de systeemmatrix bovendienpositief definiet.Het elimineren van de spanningen VM en de stromen IS voor de tijdsdiscretisatie,wat resp. het tweede en het vierde geval oplevert, gaat ten koste van het invoerenvan de matrices T ′M en TS. Deze zijn minder ijl dan de stijfheidsmatrix S en deconventionele geleidbaarheidsmatrix TM .

Drie oplossingsmethoden werden ontwikkeld. ST1 en ST2 vertrekken van deeerste formulering in termen van [A VM Il]

T, terwijl ST3 vertrekt van de laatsteformulering in termen van [A Vn]T.

Bij ST1 wordt A geelimineerd, wat een klein stelsel vergelijkingen in termenvan [VM Il]

T oplevert. Bij de eliminatie wordt een aantal stelsels vergelijkingenopgelost met dezelfde SPD en ijle systeemmatrix S + 1

β∆t TM .

Bij ST2 wordt Il geelimineerd, wat een groot stelsel vergelijkingen in termen van[A VM ]T oplevert. De systeemmatrix is SPD, maar eventueel veel minder ijl doorde aanwezigheid van de matrix TSl.

Bij ST3 wordt het stelsel vergelijkingen in termen van [A Vn]T, met een SPDsysteemmatrix, beschouwd.

In de drie gevallen worden per Newton-Raphson-iteratie een of meerdere stel-sels van algebraısche vergelijkingen opgelost met een SPD systeemmatrix. Dein §2.6.3 besproken ICCG-solver kan dus ook bij elektrische koppeling gebruiktworden. De parameter ψ van de ICCG-routine kan daarbij aangepast wordenaan de fill-in van de systeemmatrix, en bij het gebruik van ST1 eveneens aan hetaantal rechterleden.

De drie solvers hebben elk hun specifieke voordelen. ST1 is vooral voordeligbij een meerschijvenmodellering van een roterende machine met schuingesteldegleuven, zie §8.4. ST2 is een efficiente solver als het elektrische netwerk lineairis (en dus geen niet-lineaire spoelen en diodes bevat), en als de fill-in van TSlbeperkt is. ST3 is ook voordelig en eenvoudig te implementeren wanneer hetelektrische netwerk niet-lineair is. De fill-in van de systeemmatrix is over hetalgemeen kleiner dan wanneer ST2 gebruikt wordt.

Als toepassing werd een lastsimulatie van de driefasige transformator uitgevoerd.Hierbij werd een niet-triviaal elektrisch netwerk beschouwd, dat bestond uit o.m.de negen wikkelingen van de transformator, de drie 3× 3 spoelkopspreidings-inductantiematrices, twee driefasige gelijkrichterbruggen, een condensator en delastweerstand. De berekende primaire stromen en laststromen komen goed over-een met de gemeten stromen.

Hoofdstuk 8

Modellering van roterendemachines

In dit hoofdstuk wordt de 2D translatiesymmetrische EE-simulatie van roterendemachines behandeld. De meeste aspecten die in dit hoofdstuk aan bod komenzijn eveneens van toepassing op lineaire machines (met een lineaire i.p.v. eenroterende beweging), of kunnen gemakkelijk in die zin uitgebreid worden.

In §8.1 wordt de modellering van de rotatie beschreven. Het analytische lucht-spleetelement en de zgn. bewegende laag in de luchtspleet worden besproken.

De methode van de virtuele arbeid en de methode van de Maxwell-spanningenvoor het berekenen van het elektromagnetische koppel komen aan bod in §8.2.

Indien het toerental van de rotor niet vooropgesteld wordt, maar wel het last-koppel, moet een bijkomende kinematische vergelijking beschouwd worden. Dezemechanische koppeling wordt besproken in §8.3.

In §8.4 wordt de modellering van roterende machines met schuingestelde gleuvenbehandeld. De EE-vergelijkingen van een zgn. meerschijvenmodel, dat verschil-lende doorsneden van de machine omvat, worden opgesteld.

De modellering van roterende machines met een magnetisch netwerk (of een mag-netisch equivalent circuit MEC) komt aan bod in §8.5. Hierbij wordt o.m. aan-dacht besteed aan de modellering van de gleufspreiding en de luchtspleet.

In Hoofdstuk 9 worden deze verschillende aspecten gedemonstreerd aan de handvan de simulatie van een 3kW kooiankerinductiemotor. Deze motor heeft 36 stat-orgleuven en een rotorkooi met 32 staven. Er worden vier verschillende rotorenbeschouwd, naargelang de gleuven recht of schuingesteld zijn, en open of gesloten.

8-2 HOOFDSTUK 8

8.1 Modellering van de rotatie

Een 2D EE-model van een roterende machine kan algemeen als volgt opgevatworden. We beschouwen een star lichaam, verder rotor genoemd, dat rond eenvast punt o in het xy-vlak draait, zie Figuur 8.1, en waarvan de hoekpositiebepaald wordt door de hoek θrot . De rotor bevat eventueel een aantal gewikkeldeen massieve geleiders. Een x′y′-assenstelsel (met poolcoordinaten r′ en θ′) is vastverbonden aan de rotor.

Verder is er een star lichaam, de stator genoemd, dat vast staat t.o.v. het xy-assenstelsel (met poolcoordinaten r en θ), en dat meestal ook een aantal geleidersbevat. Tussen de stator en de rotor bevindt zich een niet-magnetisch (µ = µ0)en niet-stroomvoerend medium, verder de luchtspleet genoemd.

De rotorhoek θrot is een vooropgestelde functie van de tijd of volgt uit een bijko-mende kinematische vergelijking. In het laatste geval, verder besproken in §8.3,is het lastkoppel een gekende functie van de tijd, de rotorhoek, het toerental, ...

In deze tekst beschouwen we enkel het algemene geval waarbij de geometrie vanhet model verandert door de rotatie van de rotor (bv. een rotor met tanden).Het voor de praktijk minder belangrijke geval waarbij de geometrie niet veran-dert (bv. een motor met (cilindrische en concentrisch draaiende) massieve rotor[Duc95] of een (lineaire) Foucault-rem [Neh94, Lab96]) kan op een specifieke ma-nier behandeld worden [Dav85], maar ook alsof het een model met een variabelegeometrie betreft.

Jzstatorrotor rotluchtspleeto JzxyFiguur 8.1: Stator, rotor en luchtspleet in een2D EE-model van een roterende machine

Rex o Rin r irot0r;i s;jjFiguur 8.2: Het uniforme deel van de lucht-spleet

In de luchtspleet wordt een ringvormig deel met middelpunt o, binnenstraal Rin

en buitenstraal Rex beschouwd, zie Figuur 8.2. Deze ring wordt ook het uni-forme deel van de luchtspleet genoemd [Abd82]. De twee delen van het model,gescheiden door de ring, krijgen elk een vaste vermazing. De vermazing van hetinwendige deel draait mee met de rotor. De ring, met ns en nr knooppunten opresp. de buiten- en de binnenstraal (bepaald door de hoeken θs,i en θ′r,i t.o.v.resp. het xy- en het x′y′-assenstelsel), krijgt een hoekafhankelijke vermazing, ofwordt in de EE-vergelijkingen in rekening gebracht door het zgn. analytische

Modellering van roterende machines 8-3

luchtspleetelement. Deze twee methoden worden in resp. §8.1.2 en §8.1.3 behan-deld.

8.1.1 Periodiciteit en anti-periodiciteit

In vele gevallen vertonen de magnetische velden in de dwarsdoorsnede van eenelektrische machine ruimtelijke periodiciteit. Voor bv. de magnetische inductiekan dit als volgt uitgedrukt worden:

Br(r, θ) = sign(P ) Br

(r, θ +

2π

|P |

), (8.1)

Bθ(r, θ) = sign(P ) Bθ

(r, θ +

2π

|P |

), (8.2)

met P een van nul verschillend geheel getal (met sign(P ) = +1 of −1 als P resp.positief of negatief is), verder het periodiciteitsgetal genoemd.In dat geval volstaat het het |P |-de deel van de doorsnede te modelleren, wateen grote besparing in rekenkost mogelijk maakt. Dit is in het bijzonder hetgeval voor de vierpolige 3kW motor die in Hoofdstuk 9 in detail bestudeerdwordt. Zoals voorgesteld in Figuur 8.3 worden slechts een kwart van de stator(0 ≤ θ ≤ π/2) en een kwart van de rotor (0 ≤ θ′ ≤ π/2) gemodelleerd. De anti-periodiciteit (P = −4) van de MVP A∗z wordt opgelegd door een reeks binaireof tertiaire voorwaarden (zie §2.4.4) aan de knooppuntswaarden op de radialezijden van de stator (θ = 0 en θ = π/2) en de rotor (θ′ = 0 en θ′ = π/2).Bij de behandeling van de luchtspleet moeten eveneens bijkomende maatregelengetroffen worden om de anti-periodiciteit te garanderen.

A B-AC-B B-C A-A -BC-Crot

Figuur 8.3: Modellering van een pool van de vierpolige 3kW motor (P = −4)

De magnetische velden kunnen slechts P -periodiciteit vertonen indien de geo-metrie |P |-periodiciteit vertoont. Zo moeten bv. het aantal statorgleuven Nsen het aantal rotorgleuven Nr veelvouden van |P | zijn, en is rotorexcentriciteituitgesloten.

8-4 HOOFDSTUK 8

De magnetische materiaaleigenschappen (bv. de orientatie van de hoofdrichtingenvan anisotrope materialen) moeten eveneens |P |-periodiciteit vertonen.

De stroomdichtheid Jz moet P -periodiciteit vertonen. Bij een elektrische kop-peling van het EE-model moeten bijkomende (anti-)periodiciteitsvoorwaardenopgelegd worden aan de spanningen en de stromen in het elektrische netwerk.

Bij de 3kW motor is de P -periodiciteit van de stromen in de stator verzekerddoor de heelgroefwikkeling (zie de fasezones in Figuur 8.3), waarbij de spoelenin de twee poolparen in serie geschakeld zijn. De verbinding van de drie fasen(bv. in ster of in driehoek) doet niet terzake. In Figuur 8.4 worden elektrischenetwerken voor een ster- en een driehoekverbinding van de drie fasen met (alof niet symmetrische) spanningsvoeding voorgesteld. Bij de driehoekschakelingwordt verondersteld dat de impedantie van de toevoerdraden verwaarloosd kanworden, zodat het elektrische netwerk gesplitst kan worden in drie disjuncte delen.

De statoreindspreiding wordt benaderend in rekening gebracht d.m.v. de induct-antie Lsσ3D

(of het |P |-de deel ervan) in elke fase. De weerstand van de spoel-koppen is vervat in de faseweerstand RS/|P |.VA(t)=jP jC ALs3D=jP jLs3D=jP j Ls3D=jP j VC(t)=jP j VB(t)=jP jB

a. sterschakeling

Ls3D=jP jA VB(t)=jP jVA(t)=jP jLs3D=jP jLs3D=jP jVC(t)=jP j BC

b. driehoekschakeling

Figuur 8.4: Ster- en driehoekschakeling van de statorwikkelingen

Figuur 8.5 toont het elektrische netwerk van de volledige rotorkooi met nM =Nr = 32 massieve geleiders. De weerstand van de eindringen wordt in rekeninggebracht d.m.v. de 2Nr eindringsegmentweerstanden Re. De eindringspreidingwordt benaderend gemodelleerd met de 2Nr eindringsegmentinductanties Le.

Een analoog netwerk kan worden gebruikt om een poolpaar (P = 2) te modelle-ren, met 16 i.p.v. 32 rotorstaven.

Indien een pool van de motor gemodelleerd wordt, moet de anti-periodiciteitvan de stromen en spanningen in de rotorkooi expliciet opgelegd worden. Inplaats van een reeks binaire voorwaarden op te leggen [Tsu94], kan een aangepastelektrisch netwerk gebruikt worden. De anti-periodiciteit wordt geımpliceerddoor de anti-parallelle verbinding van de eerste en de laatste rotorstaaf in depool, zoals voorgesteld voor de 3kW motor in Figuur 8.6.


eindringLe Nr of Nr=jP j21 Re eindring2D EE-model

Figuur 8.5: Het planaire elektrische netwerk van de volledige kooi (P = 1) of van eenpoolpaar van de kooi (P = 2) LeRe eindring

eindring2D EE-modelFiguur 8.6: Het elektrische netwerk van een pool van de kooi (P = −4)

8.1.2 Het analytische luchtspleetelement

In de luchtspleet, en i.h.b. in het uniforme deel ervan, moet de MVP A∗z vol-doen aan de vergelijking van Laplace ∇2A∗z = 0. Voor de ring met ns en nr(al of niet equidistante) knooppunten op de twee concentrische cirkels met resp.stralen Rex en Rin , zie Figuur 8.2, kan men een analytische uitdrukking vindenvoor de interpolatiefuncties (met waarde 1 in het knooppunt waartoe ze behoren,waarde 0 in alle andere knooppunten op de twee cirkels, en een lineair verloopals functie van θ op de cirkelboogjes tussen de knooppunten) die voldoen aan devergelijking van Laplace [Abd82]. Deze analytische uitdrukking is een oneindige(en traag convergerende) som van Fourier-termen. Men kan eveneens een ana-lytische uitdrukking voor de elementen van de SPSD stijfheidsmatrix opstellen.De (ns + nr)× (ns + nr) stijfheidsmatrix van het luchtspleetelement is vollediggevuld (d.i. alle elementen zijn verschillend van nul), waardoor de ijlheid van destijfheidsmatrix S van het EE-model verloren gaat. Het berekenen van de stijf-heidsmatrix vraagt daarenboven zeer veel rekentijd [Pir92]. Periodiciteit [Abd82]en anti-periodiciteit [Fla94] kunnen worden opgelegd. De symmetrie op tandni-veau kan eventueel uitgebuit worden bij de berekening van de stijfheidsmatrix

8-6 HOOFDSTUK 8

[Gys94]. Wegens de vermelde nadelen wordt het analytische luchtspleetelementniet gebruikt in Mag2D.

Enigszins verwant met de bovenstaande methode is het gebruik van de grens-elementenmethode in de (al of niet ringvormige) luchtspleet, gekoppeld aan eenEE-vermazing in de rest van het (verzadigbare) model [Ome97]. Bij een dergelijkehybriede modellering moet het inwendige van de luchtspleet evenmin vermaasdworden1. Zoals reeds vermeld in §2.5 heeft de koppeling enkele belangrijke na-delen [Sal85]. De grenselementenmethode levert o.m. een volledig gevulde enindefiniete bijdrage tot de systeemmatrix van het stelsel vergelijkingen.

8.1.3 Vermazing van de luchtspleet

We beschouwen eerst een smalle strook met twee evenwijdige randen a en b, zoalsvoorgesteld in Figuur 8.7. Men bekomt een vermazing van driehoeken door elkknooppunt op rand a (of b) te verbinden met twee of meer knooppunten op rand b(of a). Met de volgende methode, die ook in [Fou81] kort uitgelegd wordt, bekomtmen goedgevormde driehoeken, tenminste indien de positie van de knooppuntenop de twee randen dit toelaat. Beschouw de knooppunten i en j op de resp.randen a en b, en de twee lijnstukjes bepaald door hun buurknooppunten (zieFiguur 8.7). Knooppunten i en j worden verbonden d.m.v. een zijde als de tweelijnstukjes elkaar overlappen. Wanneer de randen a en b t.o.v. elkaar bewegen,wordt de verbinding tussen de knooppunten i en j verbroken zodra de tweelijnstukjes elkaar niet meer overlappen.ab i j

Figuur 8.7: Vermazing van een dunne strook; de zijde tussen knooppunten i en jwordt vervangen door de zijde in stippellijn na een kleine verplaatsing naar rechtsvan de onderste rand

Deze methode kan ook toegepast worden op de ring tussen de stator en de rotor,op voorwaarde dat de afstand tussen twee naburige knooppunten op de cirkels niette groot is t.o.v. Rex −Rin . Deze laag met variabele vermazing in een roterendemachine wordt verder de bewegende laag (moving band [Dav85]) genoemd.

Periodiciteit en anti-periodiciteit kunnen gemakkelijk in rekening gebracht wor-den. Rotorexcentriciteit (met P = 1), waarbij de rotor(vermazing) en de bin-nencirkel van de bewegende laag over (xexc , yexc) verschoven zijn t.o.v. het mid-

1Dit is vooral een voordeel bij de modellering van een lineaire machine, waar de implemen-tatie van een variabele vermazing minder eenvoudig is dan bij een roterende machine [Henr94].


delpunt (0,0) van de stator, kan eveneens zonder problemen beschouwd worden,tenminste als de verschuiving (voldoende) kleiner is dan Rex −Rin .Voor een bewegende laag met ns knooppunten op de buitencirkelboog (0 ≤ θs,i <2π/|P |) en nr knooppunten op de binnencirkelboog (0 ≤ θ′r,i < 2π/|P |), zijn erbij elke rotorpositie θrot precies ns + nr driehoeken in de vermazing.

In Mag2D wordt de stijfheidsmatrix Sring van de bewegende laag berekend (alsfunctie van θrot , Rex , Rin , θs,i(1 . . . ns) ,θ′r,i(1 . . . nr), P , xexc en yexc) zonder datde vermazing van de ring opgenomen wordt in de datastructuur van de stator- ende rotorvermazing. De rotorvermazing wordt evenmin (expliciet) verdraaid. Derekentijd voor het opstellen van de stijfheidsmatrix van de ring is miniem, en kanzeker verwaarloosd worden t.o.v. de rekentijd voor het uitvoeren van een Newton-Raphson-iteratie bij het oplossen van het niet-lineaire stelsel EE-vergelijkingen.

Bij het draaien van de rotor vervormen de elementen in de bewegende laag opcontinue wijze tot een rotorpositie bereikt wordt waarbij een of meerdere zijdenverspringen en de topologie van de vermazing verandert. De vervorming van deelementen kan numerieke ruis in de simulatieresultaten (en i.h.b. in het berekendekoppel) veroorzaken [Tsu95a, Sad92, Bur95]. Dit is o.m. het geval indien dehoekstap ∆θrot kleiner is dan de hoek tussen twee naburige knooppunten op deranden van de bewegende laag, zoals verder in §9.3 gedemonstreerd wordt. In[Dem96] wordt een methode voorgesteld om van Sring een continue functie vanθrot te maken.

Indien de knooppunten op beide cirkels (of cirkelbogen) van de bewegende laagequidistant zijn (met een constante hoek ∆θ = ∆θs = ∆θ′r) en indien de hoek-stap ∆θrot van de rotor een veelvoud van ∆θ is, vervormen de driehoeken in debewegende laag niet (terwijl de topologie wel verandert). In dat geval is de be-wegende laag equivalent met de zgn. methode van het ’glijoppervlak’ (slip line,sliding surface), waarbij de stator- en de rotorvermazing elkaar raken langs eencirkel [Tsu95a, Prest88].Indien de knooppunten op resp. de binnenrand van de stator en de buitenrandvan de rotor niet samenvallen (wanneer bv. ∆θrot geen veelvoud van ∆θ is),kan de gemiddelde continuıteit van de vectorpotentiaal opgelegd worden d.m.v.Lagrange-multiplicatoren [Rod90, Mar92]. Een origineel alternatief zou erin be-staan tertiare voorwaarden te gebruiken (zie §2.4.4 en het voorbeeld in §2.5.2).

8.1.4 De EE-vergelijkingen

De vergelijkingen (1.9–1.11) van Maxwell voor het magnetische veldsysteem blij-ven geldig indien ze geschreven worden in termen van de velden zoals waarge-nomen door een waarnemer die meebeweegt met de materie [Pau98]. Door hetgebruik van de twee vaste vermazingen voor resp. de stator en de rotor wordtimpliciet gebruik gemaakt van twee referentieassenstelsels [Dav85]. Het in Hoofd-stuk 4 afgeleide verband tussen de spanningen over de gewikkelde en de massievegeleiders, VS en VM , de stromen IS en IM , en de afgeleide naar de tijd van deknooppuntswaarden van de gemodifieerde MVP:

VS = RSIS + KS

dA

dt, (8.3)

8-8 HOOFDSTUK 8

VM = RMIM + KM

dA

dt, (8.4)

blijft geldig, ongeacht of deze geleiders zich in de stator of in de rotor bevinden.

De andere vergelijkingen die in Hoofdstukken 4 t.e.m. 7 afgeleid zijn, blijveneveneens geldig voor roterende machines. De stijfheidsmatrix S kan in drie delenopgesplitst worden:

S(A, θrot) = Sstat(A) + Srot(A) + Sring(θrot), (8.5)

waarbij Sring een continue of een discontinue functie van θrot is, naargelang resp.het luchtspleetelement of de bewegende laag gebruikt wordt.

8.2 Berekening van het elektromagnetische kop-pel

8.2.1 Methode van de virtuele arbeid

De magnetische energie W [J] vervat in een 2D EE-model van een roterende ma-chine dat enkel reversibele magnetische materialen bevat, is een toestandsfunctievan de MVP A en de rotorpositie θrot :

W (A, θrot) =

A∫0

A′TS(A′, θrot) dA

′, (8.6)

=1

2ATSring(θrot)A+

A∫0

A′T(Sstat(A

′) + Srot(A′))dA′. (8.7)

De toegevoerde elektrische energie wordt (op de Joule-verliezen na) deels omgezetin magnetische energie en deels in mechanische arbeid verricht op de rotor doorde magnetische velden:

IT

p dA = dW + TEM dθrot , (8.8)

waarbij TEM [Nm] het elektromagnetische koppel is, dat door de magnetischevelden uitgeoefend wordt op de rotor.Uit (8.7) en (8.8) volgt onmiddellijk:

TEM = − ∂W

∂θrot A=cste

= −1

2AT

dSring

dθrotA. (8.9)

De afgeleide van Sring naar θrot kan analytisch (d.i. niet benaderend d.m.v. eeneindige differentie) berekend worden voor zowel het analytische luchtspleetele-ment [Abd81] als voor de bewegende laag.In Mag2D wordt de stijfheidsmatrix van de bewegende laag, samen met zijnafgeleide naar θrot , berekend als functie van de in §8.1.3 vermelde parameters.

Meer algemeen kunnen de elektromagnetische kracht en het elektromagnetischekoppel op een lichaam berekend worden door een virtuele verplaatsing van het


lichaam te beschouwen. Bij een EE-implementatie wordt de topologie van deEE-vermazing behouden, terwijl de coordinaten van de knooppunten in de ver-mazing (i.h.b. in en rond het beschouwde lichaam) als een analytische functievan de bewegingscoordinaat geschreven worden [Cou83, Cou84]. Voor een be-paalde krachtberekening kunnen oneindig veel virtuele vervormingen beschouwdworden. Als gevolg van de ruimtediscretisatie is de bekomen kracht afhankelijkvan de beschouwde virtuele vervorming van de EE-vermazing.

Bij magnetostatische berekeningen wordt het koppel dikwijls berekend op basisvan de co-energie Wco = IT

pA−W (die de te extremeren functionaal is, zie §1.4).Vergelijking (8.8) wordt als volgt herschreven:

−A dIT

p = −dWco + TEM dθrot , (8.10)

waaruit onmiddellijk volgt:

TEM =∂Wco

∂θrot Ip=cste

. (8.11)

De afgeleide van de co-energie kan worden benaderd als een eindige differentie:

TEM (Ip, θrot) ≈Wco(Ip, θrot + ∆θrot

2 )−Wco(Ip, θrot − ∆θrot2 )

∆θrot, (8.12)

waarbij de afrondingsfout (door het gebruik van een EE-model) moet afgewogenworden t.o.v. de differentiefout (t.g.v. de eindige ∆θrot). Deze fouten nemen resp.toe en af naarmate ∆θrot kleiner wordt [Hee95].

8.2.2 Spanningen van Maxwell

De spanningstensor van Maxwell ¯TMaxw [N/m2] en zijn matrixvoorstelling [ ¯TMaxw ]worden gegeven door [Vand97, Pau98]:

¯TMaxw =1

µ0BB − 1

2µ0B2 ¯1, (8.13)

[¯TMaxw

]=

1

2µ0

B2x −B2

y 2BxBy

2BxBy B2y −B2

x

. (8.14)

De totale elektromagnetische kracht FEM [N] en het totale elektromagnetischemoment TEM [Nm] uitgeoefend op een lichaam, in casu de rotor, worden gegevendoor:

FEM = lz

∮C

¯TMaxw · n dl, (8.15)

TEM = lz

∮C

r × (n · ¯TMaxw) dl, (8.16)

waarbij C een contour is in een inert (d.i. stroomloos en niet-magnetisch) gebiedin het xy-vlak, in casu de luchtspleet, die het lichaam omcirkelt, zie Figuur 8.8,en waarbij lz de lengte is volgens de z-as.

8-10 HOOFDSTUK 8dlC FEMr nTEMFiguur 8.8: Integratie van de Maxwell-spanningen langs een contour C rond het li-chaam

TEM dlBrBC RFiguur 8.9: Integratie van de Maxwell-spanningen langs een cirkelvormige contour

Voor een cirkelvormige contour met straal R, zie Figuur 8.9, wordt (8.16):

TEM =lz R

2

µ0

2π∫0

BrBθ dθ. (8.17)

FEM en TEM zijn onafhankelijk van de keuze van de contour C, indien de inductieB voldoet aan ∇· B = 0 en ∇× B/µ0 = 0. Aangezien een EE-oplossing slechtsop gemiddelde wijze voldoet aan de tweede vergelijking (zie §2.3.4), zijn krachten koppel afhankelijk van de keuze van de contour [McF87, Miz88, Henn91].

Deze afhankelijkheid komt overeen met de afhankelijkheid van de virtuele ver-vorming van de vermazing bij de methode van de virtuele arbeid. Men bewijsttrouwens dat bij een overeenstemmende keuze van de contour en de virtuele ver-vorming, de twee methoden equivalent zijn [Hee95, Vand97].

Om de contourafhankelijkheid te reduceren, kan uitgemiddeld worden over allecirkels binnen een ring met binnenstraal Rin en buitenstraal Rex . Aldus komenwe tot een oppervlakintegraal, die (voor een voldoend dunne ring) benaderd kanworden als een som over de elementen in de ring:

TEM =lz

µ0(Rex −Rin)

∫ring

r BrBθ ds, (8.18)

=lz

µ0(Rex −Rin)

∑ring

riBr,iBθ,i ∆i, (8.19)

met ri en ∆i resp. de straal van het zwaartepunt en de oppervlakte van het i-deelement in de ring [Ark87, Ark90].

Een andere methode om de koppelberekening robuuster te maken is gebaseerdop een lokale analytische oplossing van de Laplace-vergelijking in de luchtspleet[Pah96, Ham98, Mer99].


8.3 Mechanische koppeling

We beschouwen de rotatie van de rotor als een star lichaam. De rotorhoek θrot(t)[rad] wordt beheerst door de volgende kinematische vergelijking:

Jrotd2θrotdt2

+ Crotdθrotdt

= TEM − TL, (8.20)

met Jrot [kg m2] het traagheidsmoment van de draaiende delen (rotor plus even-tuele last), Crot [Nms/rad] de visceuze wrijvingscoefficient, TEM [Nm] het elek-tromagnetische koppel en TL [Nm] het lastkoppel (visceuze wrijving niet inbe-grepen). Het lastkoppel TL kan afhangen van o.m. de tijd t, de rotorpositie θrot(bv. zuigercompressor [Mer99]) en de hoeksnelheid dθrot

dt .

De hoeksnelheid wordt verder θrot genoteerd:

θrot(t) =dθrotdt

. (8.21)

Tijdsdiscretisatie van (8.20) en (8.21) van tijdstip t− naar tijdstip t+ = t− + ∆td.m.v. de β-methode geeft respectievelijk:

Jrotθ+

rot − θ−rot∆t

+ Crot

(βθ+

rot + β′θ−rot

)= β(T+

EM − T+

L ) + β′(T−EM − T−L ), (8.22)

θ+

rot − θ−rot∆t

= βθ+

rot + β′θ−rot , (β′ = 1− β). (8.23)

Hieruit volgen θ+

rot en θ+

rot :

θ+rot = ζ′ θ−rot +

ζβ∆t

Jrot(T+

EM − T+L ) +

ζβ′∆t

Jrot(T−EM − T−L ), (8.24)

θ+rot = θ−rot + β∆tθ+

rot + β′∆tθ−rot , (8.25)

= θ−rot + ζ∆t θ−rot +ζ(β∆t)2

Jrot(T+

EM − T+L ) +

ζββ′(∆t)2

Jrot(T−EM − T−L ), (8.26)

met

ζ =Jrot

Jrot + β∆tCroten ζ ′ =

Jrot − β′∆tCrot

Jrot + β∆tCrot. (8.27)

Voor het oplossen van de gekoppelde elektromagnetische en kinematische verge-lijkingen kunnen twee strategieen gevolgd worden. Bij een zgn. directe koppelingworden alle vergelijkingen simultaan als een stelsel differentiaalvergelijkingen op-gelost. Na tijdsdiscretisatie bekomen we een stelsel niet-lineaire algebraıschevergelijkingen, bv. de elektromagnetische vergelijkingen (7.75) of (7.127) in gevalvan resp. de methode van de lusstromen of de methode van de knooppuntspo-tentialen, gecombineerd met (8.26), dat iteratief opgelost wordt met de Newton-Raphson-methode [Pal90, Ren94, Dem96, Sal95]. In de systeemmatrix van degelineariseerde stelsels komt de afgeleide van de stijfheidsmatrix Sring naar de

8-12 HOOFDSTUK 8

rotorhoek θrot voor (zie ook (8.9)). De systeemmatrix is indefiniet, maar kan welsymmetrisch gemaakt worden2.

Bij een zgn. indirecte koppeling worden de vergelijkingen opgelost m.b.v. eeniteratief procede met twee niveaus. Op het laagste niveau worden de elektro-magnetische vergelijkingen opgelost voor een gegeven rotorpositie, waaruit eennieuwe waarde voor het elektromagnetische koppel volgt. Op het hoogste ni-veau wordt de kinematische vergelijking opgelost, wat een nieuwe waarde voorde rotorpositie oplevert.

In Mag2D wordt een indirecte koppeling gebruikt. Bij een tijdstap van t naart+ krijgen A+, θ+

rot , θ+

rot , T+EM en T+

L de volgende resp. beginwaarden (subscript(0)): A−, θ−rot +∆tθ−rot , θ

−rot , T

−EM en TL(t+, θ+

rot,(0), θ+

rot,(0), . . .). Achtereenvolgende

benaderingen (i = 1, 2, . . .) van A+, θ+

rot , θ+

rot , T+EM en T+

L worden als volgt beko-men.

Uit (8.24) volgt met gekende T+EM ,(i−1) en T+

L,(i−1) een nieuwe benadering θ+

rot,(i).

θ+

rot,(i) volgt uit (8.25). Uit θ+

rot,(i) en θ+

rot,(i) volgt T+L,(i).

De niet-lineaire elektromagnetische vergelijkingen worden bij rotorpositie θ+

rot,(i)

opgelost met de Newton-Raphson-methode, met A+(i−1) als startoplossing. Uit

de nieuwe oplossing A+(i) volgt T+

EM ,(i), waarna een nieuwe iteratie gestart kanworden.

De iteraties worden gestopt als voldaan is aan de volgende twee voorwaarden:

|θ+

(i) − θ+

(i−1)| < εθ, (8.28)

|T+EM ,(i) − T+

EM ,(i−1)||T+

EM ,(i) + T+EM ,(i−1)|

< εT , (8.29)

met εθ [rad] een vooropgestelde rotorhoekfout en εT de maximale relatieve foutop het elektromagnetische koppel.

Vergelijkbare procedes worden beschreven in [Vas91b, Bed93, Raj97, Mer99].

In vele praktische toepassingen is de mechanische tijdsconstante veel groter dande elektromagnetische tijdsconstanten. De maximaal toelaatbare tijdstap wordtdan vooral bepaald door de elektromagnetische vergelijkingen. De kinematischeiteraties (op het hoogste niveau) convergeren meestal probleemloos.

In §9.6 wordt de aanloop van de 3kW inductiemotor bij het plots inschakelen vande netvoeding gesimuleerd.

2De methode die in [Sal95], pp. 191–193, beschreven wordt om de diagonaalblokken in desysteemmatrix positief definiet te maken, verhelpt het indefiniet zijn van de volledige systeem-matrix niet, in tegenstelling tot wat de auteur beweert.


8.4 Modellering van machines met schuingesteldegleuven

8.4.1 Inleiding

Vele elektrische machines hebben schuingestelde gleuven langs stator- en/of ro-torzijde. Figuur 8.10 stelt een rotorkooi (van bv. een kooiankerinductiemotor)met schuingestelde rotorstaven voor. De schuinstellingshoek (skew angle) wordtθsch genoteerd (in mechanische graden of radialen).sch

Figuur 8.10: Rotorkooi met schuingestelde staven (schuinstellingshoek θsch )

Als gevolg van de schuinstelling worden de hogere (gleuf)harmonischen in stro-men, koppel, spanning, ... in beduidende mate gereduceerd. Indien men eendergelijke machine modelleert met een 2D model, bekomt men grootheden metonrealistisch grote harmonischen.

In een 3D EE-model kan de schuinstelling zonder meer in rekening gebracht wor-den. Een 3D modellering van een volledige machine is echter zeer rekenintensief.Bij vele dynamische 3D berekeningen beschreven in de literatuur is de ruimte-en/of tijdsdiscretisatie eerder ruw, zeker in vergelijking met een 2D simulatie[Boua98, Ho98a].

De stromen die via het blikpakket (en niet via de eindringen) tussen de (niet-geısoleerde) rotorstaven lopen, kunnen zonder meer in een 3D model in rekeninggebracht worden [Ho98a]. Deze stromen (interbar currents) worden met namedoor de schuinstelling versterkt [deJ94]. We komen hier in §9.4 op terug.

Een eerste hypothese die toelaat de rekenkost van het model te verkleinen, is datin elke dwarsdoorsnede van de motor het magnetische veld geen axiale componentheeft, en opgewekt wordt door de axiale component van de stroomdichtheid inde beschouwde doorsnede.

In de klassieke draaiveldtheorie voor bv. inductiemachines kan de schuinstellingop zeer eenvoudige wijze in rekening gebracht worden. Inderdaad, volgens dedraaiveldtheorie wordt het luchtspleetveld ontbonden in een reeks draaivelden(elk bepaald door een draaizin, een amplitude B, een frequentie f en een ruim-telijke orde p), die elk het product zijn van een stator- of een rotordraai-m.m.k.

8-14 HOOFDSTUK 8

en een permeantiedraaigolf. Deze laaste is afkomstig van de stator- of de ro-torvertanding, de verzadiging van de magnetische kern of de rotorexcentriciteit[Vand94, Vand97, Melk98].

Voor een machine met schuingestelde rotorgleuven, moet de spanning die geındu-ceerd wordt in een statorwikkeling door een draaiveld dat afkomstig is van eenrotor-m.m.k.-component of van de rotorvertanding, onderworpen worden aan eenschuinstellingsfactor Fsch . Deze is afhankelijk van de orde p van het draaiveld ende schuinstellingshoek. Op elk ogenblik ’ziet’ de statorwikkeling immers het overde schuinstellingshoek θsch uitgemiddelde draaiveld:

1

θsch

θsch/2∫−θsch/2

B cos(p θ + p θ′sch) dθ′sch = B

sin

(p θsch

2

)p θsch

2︸︷︷︸Fsch

cos(p θ). (8.30)

Analoog, een spanningscomponent in de rotor ondergaat een schuinstellingscor-rectie als het inducerende draaiveld afkomstig is van een stator-m.m.k.-componentof van de statorvertanding.

Bij het gebruik van een 2D EE-model in het tijdsdomein is het toepassen vanschuinstellingsfactoren quasi-onmogelijk3. De spanning geınduceerd in de EE-geleiders is afkomstig van het volledige veld, dat niet zomaar opgesplitst kanworden in verschillende componenten (met verschillende ordes en van verschil-lende oorsprong), waarop al of niet een schuinstellingscorrectie zou moeten wor-den uitgevoerd. In [Wil95] wordt geıllustreerd hoe schuinstellingsfactoren foutieftoegepast kunnen worden op draaivelden waarvan (wegens aliasing) de oorsprongniet eenduidig bepaald kan worden.

Naast een reductie van de harmonischen kan de schuinstelling ook resulterenin een belangrijke axiale variatie van het verzadigingsniveau in het blikpakket[Bin71, McC96]. Bij het toepassen van schuinstellingsfactoren wordt deze axialevariatie verwaarloosd.

8.4.2 Het meerschijvenmodel

Een roterende machine met schuingestelde gleuven kan worden gemodelleerd meteen zgn. meerschijvenmodel (multi-slice model [Wil95]). Zo’n model bestaat uiteen aantal doorsneden die op verschillende axiale posities van de machine ge-nomen worden. Indien voldoende doorsneden beschouwd worden, worden hetfilteren van de harmonischen en de axiale variatie van de verzadiging nauwkeuriggemodelleerd, en dit met een rekentijd die veel kleiner is dan een 3D model zouvragen.

3Bij een analyse in het frequentiedomein is dit eventueel wel mogelijk. In [Vand97] bv.wordt een MEC van een inductiemotor gebruikt voor een trillings- en een geluidsanalyse. Demagnetische en de elektrische vergelijkingen worden in het frequentiedomein opgelost. Hettoepassen van schuinstellingsfactoren stelt daarbij geen problemen.


In de literatuur vindt men vele toepassingen van het meerschijvenmodel, vooralop inductiemachines [Wil95, Gys95, Gys96a, Ho97b, McC98, Mats97, Boua98,Mer99], maar ook op permanentmagneetmachines [Pir90]. In [Cro98] wordt eenmeerschijvensimulatie van een hybriede motor beschreven. Het betreft een per-manentmagneetmotor gecombineerd met een kooiankerinductiemotor met schuin-gestelde rotorstaven. De twee delen van de motor hebben in serie geschakeldewikkelingen.

8.4.2.1 Discretisatie van de schuinstelling

Het eindige aantal doorsneden in het meerschijvenmodel wordt nd genoteerd. Het’gewicht’ l(i)z [m] van en de rotorhoek θ(i)

rot in de i-de doorsnede worden gegevendoor:

l(i)z = η(i) lz en θ(i)

rot = θrot + γ(i)θsch

2, (8.31)

met lz de totale axiale (blikpakket)lengte van de motor, θrot de gemiddelde ro-torhoek, θsch de schuinstellingshoek, en γ(i) en η(i) dimensieloze coefficienten. Desom van de nd gewichten η(i) is 1.

Voor zover ons bekend, en zeker in de hoger vermelde publicaties, wordt steedseen uniforme verdeling van de doorsneden over de lengte lz gekozen:

γ(i) =2i− nd − 1

nden η(i) =

1

nd. (8.32)

Een uniforme discretisatie met drie schijven wordt voorgesteld in Figuur 8.11.1 schijf 3schijf 2schijf 12 3Figuur 8.11: Machine met schuingestelde rotorstaven, en een uniforme discretisatie metdrie schijven

Een origineel alternatief bestaat er in de coefficienten γ(i) en η(i) te kiezen volgenseen nd-punts-Gauss-integratie, zie ook §6.1.7. De uniforme verdeling en de Gauss-verdeling met nd = 5 worden voorgesteld in Figuur 8.12. Het gewicht van eendoorsnede (of integratiepunt) wordt voorgesteld door een lijnstukje gecentreerdrond het integratiepunt.

8-16 HOOFDSTUK 8uniforme discretisatieGauss-discretisatie lzFiguur 8.12: Uniforme discretisatie en Gauss-discretisatie van de schuinstelling

Het discreet modelleren van de schuinstelling komt erop neer dat de integraal in(8.30) benaderd wordt als een som van nd termen. De corresponderende discreteschuinstellingsfactor Fsch,nd wordt gegeven door:

Fsch,nd =

nd∑i=1

η(i) cos

(p γ(i)

θsch2

). (8.33)

Ter illustratie beschouwen we in Figuur 8.13 de radiale inductie in de lucht-spleet van de vierpolige 3kW inductiemotor, met en zonder schuinstelling vande rotorgleuven. Het ogenblikkelijke inductieverloop zonder schuinstelling werdbekomen met een 2D model van de motor (zie §9.3.1). Het verloop met schuin-stelling (θsch=12.4) werd bekomen door de uitmiddeling van de eerste golfvormvolgens (8.30).Figuur 8.14 toont het ruimtelijke spectrum van de twee golfvormen. Naast devierpolige grondgolf (orde p=2), zijn de ordes 30, 34 en 38 duidelijk aanwezig in deeerste golfvorm. Deze ordes zijn afkomstig van de stator- en de rotorvertanding4.Figuur 8.15 toont de schuinstellingsfactor Fsch als functie van de hoek θsch voorde vier hoger vermelde ordes. Merk op dat voor de hogere ordes een kleine variatiein θsch resulteert in een relatief grote variatie van Fsch .Figuur 8.16 toont de relatieve discretisatiefout (Fsch − Fsch,nd)/Fsch als functievan nd met een uniforme verdeling en met een Gauss-verdeling. Voor de vierpoligegrondgolf is de schuinstellingsfactor praktisch 1 (0.9921) en is de discretisatiefoutverwaarloosbaar. Voor de gleufharmonischen met p=30, 34 en 38 is Fsch resp.

4 We beschouwen een 2Np-polige kooiankerinductiemotor met een driefasige heelgroefwik-keling met 60 fasebreedte, sinusoıdale spanningsvoeding met frequentie f0, en slip s.

De frequentie f en de orde p van een draaiveldcomponent in de luchtspleet t.o.v. een stil-staande waarnemer kunnen als volgt geschreven worden:

f =

(1 + 2v + lNr

1− sNp

)f0, (8.34)

p = (1 + 6g + 2v)Np + lNr, (8.35)

waarbij v, g, l gehele getallen zijn die resp. verzadiging, statorvertanding en -m.m.k., en rotor-vertanding en -m.m.k. weergeven [Vand97].

In de 3kW motor (Np = 2, Nr = 32) is het vierpolige draaiveld (p = 2) de grondgolf. Dedraaivelden van orde 30 = |2− 32|, 34 = 2 + 32 = |2(1− 6× 3)| en 38 = 2(1 + 6× 3)| wordenveroorzaakt door de stator- en de rotorvertanding (en -m.m.k.).


0 90 180 270 360-101 zonder schuinstellingmet schuinstelling []Br [T]Figuur 8.13: Radiale inductie in de lucht-spleet van de 3kW motor, zonder en metschuinstelling

0 10 20 30 40 50 60 700.00.20.40.60.8 zonder schuinstellingmet schuinstellingBr [T]orde

Figuur 8.14: Ruimtelijk spectrum van de ra-diale inductiegolfvormen in Figuur 8.13

0 10 20-0.20.00.20.40.60.81.0 p = 2p = 30p = 34p = 38sch []Fsch 12.4Figuur 8.15: Schuinstellingsfactor Fsch alsfunctie van de hoek θsch voor ordes 2, 30,34 en 38

2 4 6 8 10-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4 uniformGaussp = 2p = 30p = 34p = 38 ndnd(Fsch Fsch;nd )=Fsch ndndFiguur 8.16: Relatieve schuinstellingsdiscre-tisatiefout voor ordes 2, 30, 34 en 38 als func-tie van nd met uniforme verdeling en Gauss-verdeling

−0.034, −0.142 en −0.202. Voor nd ≤ 3 geeft de Gauss-verdeling een grote on-derschatting van de schuinstellingsfactor, terwijl deze met de uniforme verdelingmonotoon afneemt met stijgende nd. Vanaf nd ≥ 4 is de Gauss-verdeling veelnauwkeuriger dan de uniforme verdeling.

In Hoofdstuk 9 worden verschillende meerschijvensimulaties van de 3kW motoruitgevoerd. Hierbij wordt het effect van het aantal doorsneden en van het soortverdeling onderzocht. We komen telkens tot kwalitatief dezelfde besluiten alshierboven.

In [Wil95, McC96] worden vijf of zeven doorsneden beschouwd; in [Pir90, Boua94,Boua98] steeds negen; in [Mats97] slechts twee. In [Ho98c] wordt gesteld dat drieof meer doorsneden (en een uniforme verdeling) ’zeer nauwkeurige resultaten’geven. We merken hierbij op dat in bepaalde gevallen (bv. werkingstoestanden,zie Hoofdstuk 9) zeker meer dan drie doorsneden beschouwd moeten wordenom een voldoend kleine schuinstellingsdiscretisatiefout te verkrijgen, en dat eenkleine(re) discretisatiefout geenszins een goede (of betere) overeenkomst met de

8-18 HOOFDSTUK 8

metingen garandeert.

8.4.2.2 De EE-vergelijkingen

In elke doorsnede beschouwen we eenzelfde EE-vermazing (behalve in het ring-vormig deel van de luchtspleet) met elk np knooppunten, nS gewikkelde geleidersen nM massieve geleiders. Overeenkomstige geleiders in de nd doorsneden voerendezelfde totale stroom. Dit kan als volgt genoteerd worden:

IS = I(i)

S en IM = I(i)

M , (i = 1, . . . , nd), (8.36)

met IS en IM resp. nS × 1 en nM × 1 kolommatrices.

De magnetische inductie in de i-de doorsnede wordt bepaald door de np × 1kolommatrixA(i) [Wb] met de np knooppuntswaarden van de gemodifieerde MVPA∗z = lzAz, waarbij bv. de totale actieve lengte lz (i.p.v. l(i)z ) als lengtereferentiegebruikt wordt.

De spanningen over de nS gewikkelde en de nM massieve geleiders in de i-de schijfmet lengte l(i)z = η(i) lz worden gegeven door:

V (i)

S (t) = η(i)

(RSIS(t) + KS

dA(i)

dt

), (8.37)

V (i)

M (t) = η(i)

(RMIM(t) + KM

dA(i)

dt

), (8.38)

waarbij de matrices RS, KS, RM en KM identiek zijn aan die van het eenschijfs-model (nd = 1).De spanningen over de volledige geleiders met lengte lz worden gegeven door:

VS =

nd∑i=1

V (i)

S (t) = RSIS + KS

d

dt

(nd∑i=1

η(i)A(i)

), (8.39)

VM =

nd∑i=1

V (i)

M (t) = RMIM + KM

d

dt

(nd∑i=1

η(i)A(i)

). (8.40)

De EE-vergelijkingen voor de i-de doorsnede zijn:

S(θ(i)

rot ,A(i))A(i) + (TM + Tlam)

dA(i)

dt= KSIS +

1

η(i)KT

MR−1

M V (i)

M , (8.41)

waarbij de matrices S(θrot ,A), TM en Tlam identiek zijn aan die van het een-schijfsmodel. De knooppuntsstromen van de permanente magneten en van derandvoorwaarden worden niet expliciet vermeld.

Voor het oplossen van de elektrische vergelijkingen kunnen opnieuw de methodevan de lusstromen en de methode van de knooppuntspotentialen aangewend wor-den. Het aantal vrije knooppunten in het elektrische netwerk is bij benaderingevenredig met nd (indien nd voldoende groot is), terwijl het aantal stroomlussennl onafhankelijk is van nd.


schijf 2schijf 1eindringeindringschijf 3

Figuur 8.17: Het elektrische netwerk van een pool van de kooi in een meerschijven-model (nd = 3)

Als voorbeeld wordt in Figuur 8.17 het elektrische netwerk van een pool van derotorkooi van de 3kW motor getoond. Een meerschijvenmodel met drie doorsne-den wordt verondersteld. Het aantal massieve geleiders is 8×3=24.

De methode van de lusstromen laat bijgevolg een eenvoudige wiskundige beschrij-ving van het meerschijvenmodel toe, en, zoals verder blijkt, het gebruik van eenefficiente solver. De methode van de knooppuntspotentialen wordt verder nietbeschouwd.

De netwerkverbinding van de geleiders in het meerschijvenmodel wordt gegevendoor de lusconnectiematrices DSl en DMl:

IS(t) = DSlIl(t) en IM(t) = DMlIl(t) , (8.42)

die dezelfde zijn als van het eenschijfsmodel.

De nl onafhankelijke spanningsvergelijkingen kunnen als volgt geschreven wor-den:

DT

Sl

nd∑i=1

V (i)

S (t) + DT

Ml

nd∑i=1

V (i)

M (t) + RlIl(t) + LldIldt

= DT

V lVV (t). (8.43)

Het meerschijvenmodel wordt dus beheerst door de vergelijkingen (8.37, 8.38,8.41) voor elke doorsnede, en de elektrische netwerkvergelijking (8.43). Teneindeal deze vergelijkingen als een stelsel te kunnen noteren, worden de kolommatricesA(t) (np × 1), VS(t) (nS × 1), en VM(t) (nM × 1) ingevoerd:

A(t) =

A(1)(t)

A(2)(t)

. . .

A(nd)(t)

, VS(t) =

V (1)

S (t)

V (2)

S (t)

. . .

V(nd)

S (t)

, VM(t) =

V (1)

M (t)

V (2)

M (t)

. . .

V(nd)

M (t)

, (8.44)

met np = nd np, nS = nd nS en nM = nd nM .

8-20 HOOFDSTUK 8

Naar analogie met bv. de vergelijkingen (7.72–7.74) voor het eenschijfsmodel,kunnen de vergelijkingen van het meerschijvenmodel geschreven worden als eenstelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen in termen van A, VM en Il:

P X + QdX

dt= f , (8.45)

X =

A

VM

Il

, P =

S −KT

M R−1M −KT

S DSl

0 1 −RM DMl

0 DTMl Rl + RSl

, (8.46)

Q =

T 0 0

−KM 0 0

DTSlKS 0 Ll

, f =

0

0

DTV lVV

, (8.47)

waarbij de matrices S, T = TM + Tlam , RS, RM , KS, KM , DSl en DMl vervangenzijn door de overeenstemmende matrices S, T = TM + Tlam , RS, RM , KS, KM ,DSl en DMl, die als volgt definieerd zijn.S en T zijn np × np matrices met de np × np eenschijfsmatrices op hun diago-naal:

S =

η(1)S(1) 0 . . . 0

0 η(2)S(2) . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . η(nd)S(nd)

, T =

η(1)T 0 . . . 0

0 η(2)T . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . η(nd)T

. (8.48)

De matrices KS ( np × nS ), RS ( nS × nS ) en DSl ( nS × nl ) kunnen als volgtgepartitioneerd worden:

KS =

η(1)KS 0 . . . 0

0 η(2)KS . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . η(nd)KS

, RS =

η(1)RS 0 . . . 0

0 η(2)RS . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . η(nd)RS

, (8.49)

DSl =

[DSl DSl ... DSl

]T. (8.50)

De matrices KM ( np × nM ), RM ( nM × nM ) en DMl ( nM × nl ) zijn vollediganaloog gedefinieerd.

8.4.3 Het oplossen van de meerschijvenvergelijkingen

Het stelsel differentiaalvergelijkingen (8.45) kan opgelost worden alsof het eeneenschijfsmodel betrof, d.i. dezelfde algebraısche solvers kunnen na tijdsdiscreti-satie gebruikt worden [Pir90, Ho97b, Mats97, Boua98, Mer99].


De oplossingsmethoden ST1 en ST2, beschreven in resp. §7.2.5.2 en §7.2.5.3,kunnen zonder meer voor het meerschijvenmodel gebruikt worden. De meer-schijfsmatrices hebben immers dezelfde eigenschappen als de eenschijfsmatrices.Zo zijn S en T eveneens SPSD. Het feit dat de magnetische vergelijkingen vande verschillende doorsneden niet gekoppeld zijn, kan voordelig uitgebuit wordenmet ST1, zoals hierna aangetoond wordt. De elektrische koppeling van de nddoorsneden zorgt ervoor dat het gebruik van ST2 niet voordelig is.

8.4.3.1 Algebraısche solver ST1 voor het meerschijvenmodel

Overeenkomstig (7.83) voor het gewone 2D model, kan het stelsel algebraıschevergelijkingen, dat men door tijdsdiscretisatie van (8.45) bekomt, als volgt geno-teerd worden:

S + 1β∆t T −KT

M R−1M −KT

S DSl


M −β∆tDMl

−DT

SlKS −β∆tDT

Ml −β∆tZl

A

VM

Il

=

B1

B2

B3

. (8.51)

De hulpmatrices Υ1 ( np × 1 ), Υ2 ( np × nM ) en Υ3 ( np × nl ) worden bepaalddoor:

(S +1

β∆tT ) Υ1 = B1, (8.52)

(S +1

β∆tT ) Υ2 = KT

M R−1

M , (8.53)

(S +1

β∆tT ) Υ3 = KT

S DSl, (8.54)

zodat A gegeven wordt door:

A = Υ1 + Υ2VM + Υ3Il. (8.55)

Eliminatie van A in (8.51) geeft het volgende relatief kleine stelsel vergelijkingen:[R−1M KMΥ2 − β∆tR−1

M β∆tDMl + R−1M KMΥ3

β∆tDTMl + DT

SlKSΥ2 β∆tZl + DTSlKSΥ3

][VM

Il

]= −

[B2 + R−1

M KMΥ1

B3 + DTSlKSΥ1

].(8.56)

Door het oplossen van het bovenstaande stelsel bekomt men VM en Il, waarnaA onmiddellijk volgt uit (8.55), of uit het oplossen van het volgende stelsel ver-gelijkingen:

(S +1

β∆tT )A = KT

M R−1

M VM + KT

S DSlIl + B1. (8.57)

Tot dusver is nog geen gebruik gemaakt van de blokdiagonale structuur van dematrices S, T , RS, RM , KS en KM . Dit kan nu als volgt. De hulpmatrices Υ1,

8-22 HOOFDSTUK 8

Υ2 en Υ3 kunnen als volgt gepartitioneerd worden:

Υ1 =

Υ(1)

1

Υ(2)

1

...

Υ(nd)

1

, Υ2 =

Υ(1)

2 0 . . . 0

0 Υ(2)

2 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . Υ(nd)

2

, Υ3 =

Υ(1)

3

Υ(2)

3

...

Υ(nd)

3

. (8.58)

De ontkoppelde vergelijkingen voor de i-de schijf, overeenstemmend met (8.52–8.55, 8.57), zijn:

η(i)(S(i) +1

β∆tT ) Υ(i)

1 = B(i)

1 , (8.59)

η(i)(S(i) +1

β∆tT ) Υ(i)

2 = KT

MR−1

M , (8.60)

η(i)(S(i) +1

β∆tT ) Υ(i)

3 = η(i)KT

SDSl, (8.61)

A(i) = Υ(i)

1 + Υ(i)

2 V(i)

M + Υ(i)

3 Il, (8.62)

η(i)(S(i) +1

β∆tT )A(i) = KT

MR−1

M V (i)

M + η(i)KT

SDSlIl + B(i)

1 . (8.63)

Voor elke doorsnede (i = 1, . . . , nd) worden de van nul verschillende kolommenin de matrices Υ(i)

1 , Υ(i)

2 en Υ(i)

3 berekend door het oplossen van de stelselsvergelijkingen (8.59–8.61) met S(i) + 1

β∆tT als SPD systeemmatrix. Telkens eenstelsel vergelijkingen is opgelost, wordt de corresponderende bijdrage aan hetgereduceerde stelsel (8.56) vereffend.

Nadat dit voor elke doorsnede is uitgevoerd, kan het stelsel (8.56) opgelost wor-den, wat VM en Il geeft. A(i) volgt uit (8.62) indien de van nul verschillendekolommen van alle matrices Υ(i)

1 , Υ(i)

2 en Υ(i)

3 nog beschikbaar zijn, of wordtbekomen door het oplossen van een stelsel vergelijkingen (8.63).

In het algemene niet-lineaire geval wordt dit procede toegepast op de lineairestelsels die volgen uit de Newton-Raphson-methode5.De rekentijd is met goede benadering evenredig met nd. Het oplossen van hetstelsel (8.56) kan bij grote nd, afhankelijk van de gebruikte solver, resulteren ineen kleine doch merkbare afwijking van de evenredigheid.De bijkomende geheugenvereisten t.o.v. het eenschijfsmodel zijn relatief klein.Er moeten geen grote stelsels vergelijkingen met bv. np × np matrices opgesteldnoch opgelost worden. De vermazing van slechts een doorsnede wordt in hetgeheugen bewaard.

Een indirecte elektrische koppeling bij het meerschijvenmodel [Wil95] resulteerteveneens in een rekentijd die evenredig is met nd, en geheugenvereisten die onaf-hankelijk zijn van nd. In [Gys96a] wordt de analogie (o.m. wat de rekenkost en

5In [Ho97b] wordt gesteld dat de ontkoppelingsmethode, o.m. beschreven in [Gys95], eennadelig effect heeft op de convergentiesnelheid van de NR-methode. Dit is duidelijk niet hetgeval.


de geheugenvereisten betreft) tussen de indirecte koppeling en het gebruik vanST1 bij de directe koppeling in meer detail beschreven.

Voor eenschijfsmodellen zijn ST2 en ST3 bijna steeds sneller dan ST1. Voormeerschijfsmodellen en bij voldoend grote nd (en gegeven np) zal ST1 sneller zijndan ST2 en ST3, aangezien de rekentijd van ST1 lineair toeneemt met nd, terwijlde rekentijd van ST2 en ST3 meer dan lineair toeneemt met np = ndnp.


Bij een eenschijfsmodel wordt de efficientie van ST2 bepaald door de fill-in vande np × np matrix TSl = KT

SDSlZ−1

l DT

SlKS, die o.m. afhankelijk is van de net-werkverbinding van de gewikkelde geleiders in het EE-model. Door de elek-trische verbinding van de geleiders in de verschillende doorsneden is dit a for-tiori zo bij een meerschijvenmodel. De globale np × np conductiviteitsmatrix

TSl = KTS DSlZ

−1

l DT

SlKS kan als volgt gepartitioneerd worden:

TSl =

η(1)η(1)TSl η(1)η(2)TSl . . . η(1)η(nd)TSl

η(2)η(1)TSl η(2)η(2)TSl . . . η(2)η(nd)TSl

. . . . . . . . . . . .

η(nd)η(1)TSl η(nd)η(2)TSl . . . η(nd)η(nd)TSl

. (8.64)

De fill-in als gevolg van TSl neemt kwadratisch toe met nd! Deze methode is danook niet geımplementeerd in Mag2D.

8.5 Modellering met een magnetisch netwerk

In §2.8 werd de modellering met een magnetisch netwerk (MEC) en met een hy-bried model (een EE-model gekoppeld aan een magnetisch netwerk) behandeld.Een magnetisch netwerkmodel van een roterende machine verschilt enkel van eenEE-model wat betreft de ruimtediscretisatie van de beschouwde dwarsdoorsnede.De elektrische en de mechanische koppeling, en het gebruik van het meerschijven-model zijn namelijk volledig analoog. Met het oog op de toepassing op de 3kWinductiemotor worden in dit hoofdstuk enkele vrij algemene aspecten behandeld.

Een uitgebreide beschrijving van de modellering van verschillende types roterendemachines vindt men in [Ost89]. In [Delf95, Vand97, Vand98, Gys98a, Gys98b]wordt een MEC gebruikt voor de simulatie van een inductiemachine, in [Phi90b,Dup94] voor de simulatie van een geschakelde reluctantiemotor, in [Phi90a, Sle90,Ras96, Roi96] voor de simulatie van een permanentmagneetmachine, in [Wan97]voor de simulatie van een gelijkstroommachine.

8.5.1 Magnetisch netwerk van een inductiemachine

Figuur 8.18 stelt een deel van een elementair magnetisch netwerk van een induc-tiemachine voor (vlakke voorstelling). Het netwerk bestaat uit de niet-lineairestator- en rotortandreluctanties Rst en Rrt, de niet-lineaire stator- en rotorjuk-segmentreluctanties Rsj en Rrj , de stator- en de rotorgleufspreidingsreluctanties

8-24 HOOFDSTUK 8

Rsσ en Rrσ, de rotorpositieafhankelijke tandpaarreluctanties Rtp, en de stator-en de rotor-m.m.k.-bronnen Fs en Fr.

rotor RrRst Rs FsRsjRtp Rrtluchtspleet Rrj Frstator

Figuur 8.18: Magnetisch netwerk van een inductiemachine

Zoals in §2.8 uiteengezet, kunnen de reluctanties gekarakteriseerd worden dooreen equivalente sectie Seq, een equivalente lengte leq en een equivalent (al ofniet eenwaardig) verband tussen de equivalente inductie Beq en het equivalentemagnetische veld Heq. De sectie Seq is het product van een equivalente breedtebeq in de beschouwde doorsnede en de lengte lz volgens de derde dimensie.

De equivalente parameters van de niet-lineaire tanden juksegmentreluctantieskunnen worden bekomen met een eenvoudige 1D benadering van het fluxpatroonin de reluctantie [Ost89], of m.b.v. een 2D EE-model [Delf95]. Voor de simulatievan de 3kW motor in §9.5 worden de equivalente lengte en breedte eenvoudig-heidshalve geschat op basis van de geometrie, en wordt het BH-verband van hetmateriaal behouden.De modellering van de gleufspreiding en van de luchtspleet wordt hierna in resp.§8.5.2 en §8.5.3 behandeld.

8.5.2 Modellering van de gleufspreiding

We beschouwen een eenlaagswikkeling met nI Aw in een gleuf. De gleufspreidingwordt in het magnetische netwerk gemodelleerd door de gleufspreidingsreluctan-tie Rσ (of -permeantie Λσ), zoals voorgesteld in Figuur 8.19.De fysische gleufspreidingsflux Φσ (die de gleuf oversteekt) en de gleufspreidings-flux Ψσ gekoppeld met de n draden worden gegeven door resp. Λσ nI en Λσ n

2I.In werkelijkheid zijn de n draden verdeeld over de gleuf en is de verhoudingΨσ/Φσ kleiner dan n.Bij de eenvoudige implementatie van magnetische netwerken (gekoppeld aan eenelektrisch netwerk en eventueel aan een EE-model) in Mag2D wordt veronder-steld dat deze verhouding toch n is. Dit laat toe om na tijdsdiscretisatie eenstelsel algebraısche vergelijkingen met een symmetrische systeemmatrix te be-komen. Deze symmetrie is noodzakelijk om de solvers ST2 en ST3 te kunnen

Modellering van roterende machines 8-25RnI Figuur 8.19: Gleufspreidingsreluctantie Rσ en fysische gleufspreidingsflux Φσ

gebruiken (zie §7.2.5.3 en §7.2.8.2).

We beschouwen nu een gleuf met hoogte h1 + h2 en een breedte b die varieertmet de hoogte x, zie Figuur 8.20. In het onderste gedeelte van de gleuf, methoogte h1, zijn er n draden uniform verdeeld, die elk een stroom I voeren. Inhet bovenste gedeelte, met hoogte h2, zijn er geen draden.h1 + h2

h1h2

h1h2

b(x)0

x x B(x)Figuur 8.20: Links: statorgleuf van de 3kW motor en 1D benadering van de gleufspreiding-flux; rechts: open rotorgleuf van de 3kW motor

De te bepalen gleufspreidingspermeantie Λσ = R−1σ kan als volgt geschreven

worden:

Λσ =µ0 lz(h1 + h2)

beq, (8.65)

met beq de equivalente breedte van de gleuf.

Indien eenvoudigheidshalve verondersteld wordt dat de fluxlijnen in de gleuf ho-rizontale lijnstukjes met lengte b(x) zijn [Ost89], dan wordt de inductie B(x)

8-26 HOOFDSTUK 8

gegeven door:

B(x) =nI µ0

b(x)S1

min(x,h1)∫0

b(x′) dx′, (8.66)

met S1 de oppervlakte van het onderste gedeelte.De fysische flux Φσ en de gekoppelde flux Ψσ worden gegeven door:

Φσ =

h1+h2∫0

lz B(x) dx, (8.67)

Ψσ =

h1∫0

n lz b(x)

S1

x∫0

B(x′)dx′

dx. (8.68)

De corresponderende permeanties ΛσΦ en ΛσΨ (of equivalente breedtes beqΦ enbeqΨ) zijn slechts gelijk indien h1 = 0, d.i. een oneindig dunne stroomlaag op degleufbodem.

Zoals hoger uiteengezet kan in Mag2D slechts een waarde voor Λσ (of beq) aan-genomen worden. Bij de simulatie van de 3kW motor in §9.5 wordt nagegaanwat het effect is van de keuze (beqΦ, beqΨ of een tussenliggende waarde).

De bovenstaande afleiding geldt ook voor een gleuf die gevuld is met een massievegeleider (n = 1), indien de stroomverdringing in de geleider verwaarloosd kanworden. De stroomverdringing en de gleufspreiding kunnen (nauwkeuriger) inrekening gebracht worden door de gleuf en de geleider in meerdere delen op tesplitsen [Ost89, Sle90].

Voor de statorgleuf van de 3kW motor (zie Figuur 8.20 links, met h1=13.7 mmen h2=2.3 mm) bekomen we de volgende equivalente breedtes: beqΦ=8.2 mmen beqΨ=10.2 mm. Voor de open rotorgleuf (Figuur 8.20 rechts, h1=14.2 mm,h2=0.4 mm) bekomen we resp. 7.1 mm en 10.5 mm. Deze equivalente breedteskunnen worden vergeleken met de gemiddelde fysische breedte van de stator- ende rotorgleuf, die resp. 5.2 mm en 3.1 mm bedraagt.

Bij gesloten gleuven wordt de gleufspreiding vooral bepaald door het verzadigbarebrugje boven de gleuf. Het lineaire deel van de gleufspreiding, zoals hierbovenbesproken, kan in eerste instantie verwaarloosd worden. We komen hierop terugin §9.5.

8.5.3 Modellering van de luchtspleet

De relatieve positie van een statortand t.o.v. een willekeurige rotortand wordtaangegeven met de lineaire coordinaat x [m] (met x = cste + Rδθrot , en Rδ degemiddelde straal van de luchtspleet), zoals voorgesteld in Figuur 8.21. De tweetanden zijn gealigneerd als x = 0. We stellen per definitie dat de twee tandenelkaar overlappen als |x| ≤ τg, met τg = (τs + τr)/2 de gemiddelde tandsteek.


x wsrwr sFiguur 8.21: Positie x van een overlappendestator- en rotortand

Figuur 8.22: Tandpaarreluctanties in deluchtspleet van de 3kW motor met Ns = 36en Nr = 32

Enkel overlappende tanden in de luchtspleet worden verbonden door een tand-paarreluctantie Rtp(x). Dit is equivalent met de methode beschreven in §8.1.3voor het vermazen van de bewegende laag. De knooppunten op de binnen- en debuitencirkel van de bewegende laag stemmen overeen met de middelpunten vanresp. de stator- en de rotortanden. Bij elke rotorpositie zijn er precies Ns + Nrreluctanties en evenveel fluxlussen in de luchtspleet. Figuur 8.22 toont de 36+32tandpaarreluctanties in de luchtspleet van de 3kW motor.

De permeantie Λtp van een overlappend tandenpaar kan bij een gegeven overlap-ping x berekend worden met het eenvoudige 2D EE-model in Figuur 8.23. In ditmodel wordt het luchtspleetveld tussen drie stator- en drie rotortanden berekend.De tanden worden oneindig permeabel verondersteld. Lokale tandtipverzadigingwordt dus verwaarloosd. Door het gebruik van de drie vlottende potentialen A1,A2 en A3 moeten de stator- en de rotorgleuven niet volledig gemodelleerd worden.De permeantie Λtp is gelijk aan de flux Φ die vloeit van de middelste stator-tand naar de middelste rotortand als gevolg van de opgelegde 1 Aw m.m.k.. Demaximale fluxbuis wordt in Figuur 8.23 in stippellijn aangegeven. Dankzij deaanwezigheid van de buitenste stator- en rotortanden in het EE-model is dezeflux nul indien de middelste tanden niet overlappen.@Az@n = 0 Az = A1 Az = A2Az = 0Az = A3 @Az@n = 0@Az@n = 0 @Az@n = 0x1A 1A

Figuur 8.23: Eenvoudig 2D EE-model om de tandpaarpermeantie Λtp(x) te berekenen

Figuur 8.24 toont een fluxpatroon voor het geval van open rotorgleuven (2 mm

8-28 HOOFDSTUK 8

gleufopening) met x=3 mm; Figuur 8.25 toont een fluxpatroon voor het geval vangesloten rotorgleuven met x=5 mm. Het gesloten zijn van de gleuven wordt bena-derd door een zeer kleine gleufopening (0.1 mm). De verzadiging van het brugjeboven de gleuf (of van de rotortandtippen in het EE-model) wordt verwaarloosd.

Figuur 8.24: Fluxpatroon met open rotorgleuven en x=3 mm (τs=8.03 mm, τr=8.96 mm,ws=5.53 mm, wr = τr − 2 mm=7.96 mm)

Figuur 8.25: Fluxpatroon met gesloten gleuven en x=5 mm (wr = τr−0.1 mm=8.86 mm)

De magnetische energie Wδ [J] in de luchtspleet wordt gegeven door:

Wδ =1

2

∑i

Rtp,i Φ2i =

1

2

∑i

Λtp,i F2i , (8.69)

waarbij de sommatie loopt over alle reluctanties Rtp,i = Λ−1

tp,i in de luchtspleetmet flux Φi en m.m.k. Fi = Rtp,iΦi.In overeenstemming met (8.9) wordt het elektromagnetische koppel TEM [Nm]gegeven door:

TEM = − ∂Wδ

∂θrot Φi=cste

= −1

2

∑i

dRtp,idθrot

Φ2i =

1

2

∑i

dΛtp,idθrot

F2i . (8.70)

De relatieve positie x∗ en de relatieve tandpaarpermeantie Λ∗tp worden als volgtgedefinieerd:

x∗ =x

τgen Λ∗tp =

Λtp

µ0 lz τgδ

. (8.71)

Het koppel (8.70) kan als volgt geschreven worden:

TEM =1

2

Rδ µ0 lzδ

∑i

dΛ∗tp,idx∗i

F2i . (8.72)

De functie Λ∗tp(x∗) kan benaderd worden door een analytische uitdrukking metvier dimensieloze parameters d1, d2, d3 en d4 (met d1 + d2 + d3 + d4 ≤ 1), zoalsvoorgesteld in Figuur 8.26. De breedte van het plateau van Λtp (met maximum


waarde Λ∗tp,max = 12 (d2 + d4) + d3) komt bij benadering overeen met het verschil

van de tandsteken: 2d1 ≈ |τs−τr|/τg. De flanken met relatieve helling ±1 hebbenelk een breedte d3. De continuıteit van de afgeleide wordt verzekerd door de pa-rabolische tussenstukken met breedtes d2 en d4. De over het overlappingsinterval(−1 ≤ x∗ ≤ 1) uitgemiddelde permeantie wordt gegeven door:

Λ∗tp,gem = d1d3 + d2d3 +1

2(d1d2 + d1d4 + d2d4 + d3d4 + d2

3) +1

3d2

2 +1

6d2

4. (8.73)

1 0-1-1

tp1 110-1 dtpdx xx2d1 d3 d4d2Figuur 8.26: Analytische uitdrukking voorΛ∗tp(x∗) met vier parameters

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.8 EE-model, 0.1 mmEE-model, 2 mmanalyt., 0.1 mmanalyt., 2 mm xtpFiguur 8.27: Analytische benadering Λ∗tp(x∗)en EE-resultaten voor open en gesloten ro-torgleuven

De parameters van de analytische functie kunnen gemakkelijk gefit worden, bv. opbasis van de resultaten van het EE-model in Figuur 8.23. Dit wordt in Figuur 8.27gedemonstreerd voor de twee gevallen beschouwd in de resp. Figuren 8.24 en8.25. Voor het geval met 2 mm rotorgleufopening bekomen we: d1=0.06, d2=0.06,d3=0.64, d4=0.20, Λ∗tp,gem=0.3673; voor het geval met 0.1 mm rotorgleufopening:d1=0.05, d2=0.17, d3=0.64, d4=0.20, Λ∗tp,gem=0.4095.

In Mag2D wordt de bijdrage van de luchtspleet tot de lusreluctantiematrix Rl be-rekend als functie van het aantal stator- en rotortanden Ns en Nr, de luchtspleetδ, de gemiddelde luchtspleetstraal Rδ, de rotorhoek θrot , het periodiciteitsgetalP , en de parameters d1, d2, d3 en d4.

In [Ost89] wordt een analytische uitdrukking met drie parameters vooropgesteld.De Λtp(x)-curve heeft eveneens een centraal plateau, maar de afgeleide langs destijgende en de dalende flank is een halve sinus (resp. van 0 tot 180 en 180 tot360) i.p.v. een trapezium zoals in Figuur 8.26 (onderaan). Uit Figuur 8.27 blijktdat de flanken van het werkelijke permeantieverloop eerder een constante hellinghebben, zoals met de door ons voorgestelde analytische uitdrukking verondersteldwordt.

In [Ost89], evenals in [Delf95, Roi96], wordt de methode van de knooppunts-m.m.k.’s gebruikt i.p.v. de methode van de lusfluxen. Tandpaarpermeanties dieelkaar kruisen in de luchtspleet kunnen hierbij zonder problemen beschouwd wor-den, en in het algemene geval geeft de luchtspleet een volledig gevulde (Ns +

8-30 HOOFDSTUK 8

Nr)×(Ns +Nr) knooppuntspermeantiematrix. Bij de door ons voorgestelde ver-binding van de tanden komen gekruiste permeanties niet voor, wat overeenkomtmet het divergentievrij zijn van de inductie.Indien de schuinstelling van de gleuven gemodelleerd wordt m.b.v. een aange-paste (uitgemiddelde) tandpaarpermeantiecurve, zoals in [Ost89], zijn gekruistepermeanties in de luchtspleet wel fysisch zinvol. Een doorsnede (van de verzadig-bare kern) wordt hierbij beschouwd, zodat de in §8.4.1 vermelde axiale variatievan de verzadiging niet in rekening gebracht kan worden.

8.6 Besluit

In dit hoofdstuk werd de 2D simulatie van roterende machines behandeld. De EE-vergelijkingen die in Hoofdstukken 2, 4 en 7 afgeleid werden, blijven geldig indiende vermazing van de roterende machine bestaat uit twee vaste deelvermazingendie verbonden zijn aan resp. de stator en de rotor. De twee vermazingen wordenverbonden door de bewegende laag.

Het elektromagnetische koppel kan berekend worden met de methode van devirtuele arbeid of met de spanningen van Maxwell. Indien het toerental vande roterende machine niet opgelegd wordt, moet een bijkomende kinematischevergelijking beschouwd worden. Deze wordt samen met de elektromagnetischevergelijkingen opgelost d.m.v. een eenvoudig iteratief procede.

De schuinstelling van de rotoren/of de statorgleuven kan gemodelleerd wordendoor meerdere doorsneden van de machine te beschouwen. Het aantal onbeken-den van het meerschijvenmodel is evenredig met het aantal beschouwde doorsne-den. Het gebruik van de solver ST1 laat een ontkoppeling van de vergelijkingenper schijf toe, zodat de rekentijd evenredig is met het aantal doorsneden, en degeheugenvereisten niet veel groter zijn dan die van een gewoon 2D model.

Een roterende machine kan eveneens met een magnetisch netwerk gemodelleerdworden. Specifieke aspecten, zoals de modellering van de gleufspreiding en vande luchtspleet, werden behandeld. Voor de tandpaarpermeantie wordt een ana-lytische functie met vier parameters vooropgesteld.

Hoofdstuk 9

Simulatie van een 3kWinductiemotor

In Hoofdstuk 8 werden enkele algemene aspecten van de modellering van rote-rende machines met de 2D EE-methode besproken. Hierbij werd een 3kW kooi-ankerinductiemotor als voorbeeld gebruikt. In dit hoofdstuk wordt de simulatievan verschillende werkingstoestanden van deze motor beschouwd. In §9.1 wordteerst de modellering verder behandeld. De eigenlijke simulatieresultaten wordenbesproken in §9.2 t.e.m. §9.7. De resultaten worden vergeleken met meetresulta-ten, indien deze laatste beschikbaar zijn.

In §9.2, §9.3 en §9.4 worden EE-simulaties bij resp. nullast, vollast en kortsluiting(geblokkeerde rotor) besproken. De simulatie met een magnetisch netwerk komtaan bod in §9.5. In §9.6 wordt de onbelaste aanloop gesimuleerd. De modelleringvan de eindspreiding wordt in meer detail besproken in §9.7.

In §9.8 tenslotte wordt het gebruik van de solvers ST1, ST2 en ST3 bij de simu-latie van de 3kW motor bestudeerd.

9.1 Modellering van de motor

9.1.1 Vier verschillende rotoren

Enkele (nominale) gegevens van de driefasige vierpolige 3kW kooiankerinductie-motor1 worden voorgesteld in Tabel 9.1. Figuur 8.3 in Hoofdstuk 8 toont eendwarsdoorsnede van de motor.

De 32 gesloten rotorstaven van de (commerciele) rotor zijn nominaal over eenrotortandsteek schuingesteld. Uit een nauwkeurige meting blijkt dat de schuin-stellingshoek θsch 12.4 bedraagt i.p.v. 360/32 = 11.25.

Bij een tweede (identieke) commerciele rotor werden de schuingestelde gleuvenopengefreesd (met gleufopening 2 mm, zoals voorgesteld in Figuur 9.1).

1Deze motor werd, samen met bijkomende rotoren en de nodige gegevens voor de simulatie,geleverd door Brook-Hansen (Huddersfield, U.K.), waarvoor onze dank.

9-2 HOOFDSTUK 9

mechanisch vermogen 3 kW

askoppel 20.2 Nm

gekoppelde spanning 220 V ∆ / 380 V Y

frequentie 50 Hz

lijnstroom 12.3 A ∆ / 6.7 A Y

toerental 1420 r/min

aantal poolparen Np 2

aantal statortanden Ns 36

aantal rotortanden Nr 32

luchtspleet δ 0.39 mm

lengte blikpakket lz 127 mm

traagheidsmoment Jrot 5.63 10−3 kgm2

Tabel 9.1: Enkele (nominale) motorgegevens

rotorstaafofbrugje 2 mm luchtspleetstatorgleufgleufopeningFiguur 9.1: Gesloten of open rotorgleuven, met resp. een ’brugje’ of een gleuf-opening boven de rotorstaven

De fabrikant heeft twee bijkomende rotoren met rechte (d.i. niet-schuingestelde)gleuven geleverd. De gleuven van een van deze rotoren werden opengefreesd(eveneens met gleufopening 2 mm). Aldus zijn er vier verschillende rotoren die indezelfde stator gemonteerd kunnen worden. Tabel 9.2 geeft hun onderscheidendekenmerken. Deze vier rotoren worden verder resp. rotor-SG, rotor-SO, rotor-RGen rotor-RO genoemd.

Rechte of Schuingestelde gleuven Open of Gesloten gleuven

rotor-SG schuingestelde gesloten

rotor-SO schuingestelde open

rotor-RG rechte gesloten

rotor-RO rechte open

Tabel 9.2: Kenmerken van de vier verschillende rotoren

EE-simulaties van de motor met rotor-RO of rotor-RG gemonteerd, worden uitge-voerd met dezelfde vermazing, maar met een verschillende materiaalmodelleringvoor de elementen in de rotorgleufbrugjes. Simulaties met rotor-SO en rotor-SGworden uitgevoerd met een meerschijvenmodel (zie §8.4.2).

Simulatie van een 3kW inductiemotor 9-3

9.1.2 De EE-vermazing

Voor de simulatie van de motor worden twee verschillende vermazingen gebruikt.Deze worden verder resp. ’de minder fijne vermazing’ (np=3003) en ’de fijne ver-mazing’ (np=6311) genoemd. De minder fijne vermazing wordt o.m. gebruiktindien het blikpakket gemodelleerd wordt met het vector-Preisach-model, en in-dien het meerschijvenmodel gebruikt wordt.

De vermazingen van een pool, een poolpaar of de volledige doorsnede van demotor worden bekomen door het spiegelen en periodiek verderzetten van de ver-mazing van een halve stator- en een halve rotortandsteek. De elementaire verma-zingen voor de minder fijne en de fijne vermazing worden in de resp. Figuren 9.2en 9.3 getoond.

Figuur 9.2: Vermazing van een halve stator-en een halve rotortandsteek voor de minderfijne vermazing

Figuur 9.3: Vermazing van een halve stator-en een halve rotortandsteek voor de fijne ver-mazing

Zoals reeds in §8.1.1 vermeld, kan voor de 3kW motor een model van een poolgebruikt worden (zie ook Figuur 8.3). De minder fijne en de fijne vermazing vaneen pool worden in de resp. Figuren 9.4 en 9.5 getoond (met vermelding van hetaantal elementen nele in de vermazing, bewegende laag inbegrepen, en met eenzoom van de luchtspleet).De vermazing van de luchtspleet bestaat uit drie lagen elementen: een laag vastaan de rotor, een laag vast aan de stator en de bewegende laag. Bij de min-der fijne vermazing zijn er 325 en 321 knooppunten op de kwartcirkelbogen aanresp. de stator- en de rotorzijde. Bij de fijne vermazing zijn er 577 equidistanteknooppunten op beide kwartcirkelbogen.Het elektromagnetische koppel TEM wordt berekend door integratie van de Max-well-spanningen en uitmiddeling volgens (8.19) over de twee vaste lagen, en metde methode van de virtuele arbeid toegepast op de bewegende laag (zie §8.2).Aldus zijn er op ieder tijdstip van een simulatie drie schattingen voor het koppel.Het verschil tussen deze waarden geeft een idee van de ruimtediscretisatiefout inde luchtspleet.Op de buitenrand van het statorblik (of de binnenrand van het aluminium frame),evenals op de binnenrand van het rotorblik (of de buitenrand van de as) wordtde Dirichlet-randvoorwaarde A∗z = 0 opgelegd.

9-4 HOOFDSTUK 9

Figuur 9.4: De minder fijne vermazing(np=3003, nele=5278+324+320=5922)

Figuur 9.5: De fijne vermazing (np=6311,nele=11314+576+576=12466)

9.1.3 Het elektrische netwerk

9.1.3.1 Het vervangingsschema en opsplitsing in 2D en 3D fracties

In Figuur 9.6 wordt het klassieke vervangingsschema van een inductiemachine,betrokken op een statorwikkeling, getoond. We onderscheiden de volgende ele-menten: de statorweerstand Rs, de rotorweerstand Rr, de magnetiseringsreac-tantie Xm, de ijzerverliesweerstand Rm, de statorspreidingsreactantie Xsσ en derotorspreidingsreactantie Xrσ.De slip s wordt gegeven door:

s =Nsy −NNsy

, Nsy =60 f

Np, (9.1)

met f [Hz] de voedingsfrequentie, Np het aantal poolparen (van de statorwikke-ling), Nsy [r/min] het synchrone toerental, en N [r/min] het toerental.Met het vervangingsschema in Figuur 9.6 beschouwen we enkel het grondharmo-nische gedrag van de motor. De (omgerekende) stator-, rotoren magnetiserings-stroom (Is, Ir en Im = Is+Ir) varieren sinusoıdaal in de tijd met frequentie f , ende geassocieerde grondharmonische draaistroomlagen zijn vierpolig (ruimtelijkeorde p = Np = 2).

In deze tekst worden enkel simulaties met sinusoıdale 50 Hz spanningsvoedingbeschouwd (f =50 Hz, Nsy=1500 r/min).

Simulatie van een 3kW inductiemotor 9-5XmImRs Rr2DsXs XrXs3D Rr3DsRm+Vs IrIs Xr3DXr2DXs2D RrsFiguur 9.6: Klassiek vervangingsschema van een inductiemachine, met opsplitsing van deelementen in 2D en 3D fracties

De weerstand Rs van een statorwikkeling is deels vervat in de draden in destatorgleuven (met lengte lz), en deels in de spoelkoppen. De volledige weerstandkan zonder problemen toegekend worden aan de gewikkelde geleiders in het 2DEE-model. De weerstand van de drie statorwikkelingen bij kamertemperatuur isresp. 2.26 Ω, 2.17 Ω en 2.16 Ω. Bij de berekeningen wordt de gemiddelde waardeRs=2.2 Ω gebruikt.

De rotorweerstand Rr, omgerekend naar een statorwikkeling, kan opgesplitstworden in twee delen Rr2D en Rr3D , die overeenstemmen met het Joule-verlies inresp. de rotorstaven en de eindringen. Het Joule-verlies in de rotorstaven wordtnauwkeurig gemodelleerd in het 2D model (rekening houdend met de stroom-verdringing), terwijl het Joule-verlies in de eindringen benaderend in rekeninggebracht wordt d.m.v. de eindringsegmentweerstanden Re in het elektrische net-werk (zie bv. Figuur 8.5 in Hoofdstuk 8). Verder in §9.1.3.4 wordt een schattinggemaakt van Re.

De spreidingsreactanties Xsσ en Xrσ kunnen elk opgesplitst worden in twee delen:

Xsσ = Xsσ2D+Xsσ3D

, (9.2)

Xrσ = Xrσ2D+Xrσ3D

, (9.3)

die overeenkomen met resp. de spreiding in het 2D model en de spreiding inde eindzones. De eindspreiding wordt benaderend in rekening gebracht met destatoreindspreidingsinductanties Lsσ3D

(zie Figuur 8.4) en met de eindringseg-mentinductanties Le (zie bv. Figuur 8.5).

In §9.4.2 wordt de eindspreiding (Xsσ3D +Xrσ3D ) geschat op basis van een kort-sluitmeting (met rotor-RO) en een overeenkomstige simulatie waarbij de eind-spreiding niet in rekening is gebracht. De zo bekomen inductanties Lsσ3D

en Leworden bij alle andere simulaties in dit hoofdstuk gebruikt.In §9.7 wordt het spreidingsveld in de eindzones op zowel analytische wijze alsm.b.v. 2D EE-modellen berekend. De berekende eindspreiding wordt vergelekenmet de gemeten eindspreiding.

De bijdrage van de eindzones tot de magnetiseringstakken (Xm en Rm) kan ineerste instantie verwaarloosd worden.

9-6 HOOFDSTUK 9

9.1.3.2 Omrekening tussen de statorwikkelingen, de rotorstaven ende eindringsegmenten

In overeenstemming met het grondharmonische vervangingsschema in Figuur 9.6kunnen grootheden (stromen, spanningen en impedanties) die betrekking hebbenop een statorwikkeling eenvoudig omgerekend worden naar de corresponderenderotorstaafgrootheden, of omgekeerd [Melk98]. Voor een statorwikkeling met mfasen, w windingen per fase en distributiefactor ξ, en een kooi met Nr staven,worden de omrekenfactoren voor de spanning, de stroom en de impedantie gege-ven door respectievelijk:

(γV )staaf→stator =w ξ12 1

= 391.6, (9.4)

(γI)stator→staaf =m w ξ

Nr12 1

= 36.71, (9.5)

(γZ)staaf→stator = (γV )staaf→stator × (γI)stator→staaf = 14276.5, (9.6)

met m = 3, w = 204, ξ = 0.96 en Nr = 32.De distributiefactor ξ van de eenlaagsstatorwikkeling met drie gleuven per fase-zone (van 60 elektrische graden) wordt gegeven door:

ξ =sin(

3 20

2

)3 sin

(20

2

) = 0.9598 . (9.7)

De amplitude van de grondharmonische stromen in de eindringsegmenten ver-houdt zich tot de amplitude van de grondharmonische stromen in de rotorstavenals de volgende factor:

(γI)staaf→segm. =1

sin(πNpNr

)= 2.5629 . (9.8)

Rekening houdend met het feit dat er dubbel zoveel eindringsegmenten zijn alsrotorstaven, wordt de omrekenfactor voor de impedantie gegeven door:

(γZ)segm.→staaf =1

2 sin2(πNpNr

)= 13.137 . (9.9)

9.1.3.3 Stroomverdringing in de rotorstaven

De rotorstaven zijn 127 mm lang en hebben een sectie van 44.23 mm2. Volgensde constructeur is de geleidbaarheid van de Al Si-legering bij kamertemperatuur26.7 106 S/m. De gelijkstroomweerstand van een rotorstaaf is dan 10.7 10−5 Ω.Omgerekend naar een statorfase met de factor (9.6) is dit Rr2D=1.546 Ω.

De staven zijn 14 mm hoog. Dit is iets groter dan de indringdiepte van de Al Si-legering bij 50 Hz, die 13.8 mm bedraagt. Het belang van de stroomverdringingkan worden ingeschat aan de hand van de analytische formules in §4.7. Volgensdeze formules (met ζ = 14/13.8=1.014), die enkel gelden voor staven met een


rechthoekige doorsnede, nemen de staafweerstand en de rotorgleufspreidingsin-ductantie (bij 50 Hz slipfrequentie) resp. toe en af met 9% en 2.5%. De rotor-staven hebben geen rechthoekige sectie, maar zijn breder naar de luchtspleettoe. Met de bovenstaande berekening wordt het stroomverdringingseffect dusoverschat.Bij kortsluiting (geblokkeerde rotor, s = 1) of bij aanloop is er dus nauwelijksstroomverdringing. Dit is a fortiori zo voor de grondharmonische rotorstromenbij nominale werking (N=1420 r/min, s=0.0533, slipfrequentie sf=2.66 Hz).Voor de harmonischen in de rotorstaafstromen als gevolg van de statorvertan-ding (grootte-orde 1 kHz) is er wel een beduidend stroomverdringingseffect. Deindringdiepte is ongeveer 3 mm (ζ=4.5). De weerstand neemt toe met (hoogstens)een factor 4.5, terwijl de rotorgleufspreidingsinductantie afneemt met (hoogstens)66%.

9.1.3.4 Schatting van de eindringsegmentweerstand Re

De weerstand Re van een eindringsegment kan worden geschat op basis van degeometrie van de eindringen. De twee eindringen van de rotorkooi hebben eenrechthoekige sectie met radiale hoogte 18 mm en axiale breedte 12.7 mm. De ge-middelde straal is 26 mm. De gelijkstroomweerstand van een ring is dus ongeveer26.7 10−6 Ω. De weerstand van een eindringsegment is 1/32-ste van de ringweer-stand, of Re=0.836 10−6 Ω. Omrekening naar een rotorstaaf met factor (9.9)geeft 9.7 10−6 Ω, of 9% van de weerstand van een rotorstaaf. Verdere omrekeningnaar een statorfase met factor (9.6) geeft Rr3D=0.156 Ω. De totale rotorweer-stand omgerekend naar een statorfase is dan bij benadering Rr = Rr2D +Rr3D =1.546 + 0.156 = 1.702 Ω.

Gezien het beperkte aandeel van de eindringen in de rotorweerstand en de onze-kerheid over de geleidbaarheid (o.m. de temperatuursafhankelijkheid die hiernabesproken wordt), volstaat deze zeer eenvoudige berekening van de eindringweer-stand.In de literatuur worden verschillende minder triviale berekeningsmethoden voor-gesteld. In [Wil86] wordt de axiale injectie van de stroom in de eindringen be-studeerd m.b.v. een 2D EE-model. In [Wil93] wordt rekening gehouden met destroomverdringing in de eindringen, zowel bij een analytische afleiding als in een2D axisymmetrisch EE-model. In [DeW95b, Mer99] wordt de eindringweerstandberekend m.b.v. een 3D EE-model.

9.1.3.5 Temperatuursafhankelijkheid van de weerstanden

Volgens een semi-empirisch thermisch netwerkmodel van de motor, opgesteld engetuned door de fabrikant, bedraagt de temperatuursstijging (t.o.v. de omgeving)bij de nominale werking van de motor 70 a 80C in de statorwikkelingen, enongeveer 100C in de rotorkooi. Dit stemt overeen met een weerstandstoenamevan 32% voor de statorwikkelingen en 39% voor de kooi (temperatuurscoefficientvan Cu en de Al Si-legering is resp. 4.3 10−3 (C)−1 en 3.9 10−3 (C)−1).Bij alle simulaties wordt eenvoudigheidshalve verondersteld dat de statorwikke-lingen en de rotorkooi op kamertemperatuur zijn.

9-8 HOOFDSTUK 9

9.1.4 Modellering van het elektroblik

De stator- en de rotorkern zijn opgebouwd uit lamellen van het elektroblik VH800-65D. De vulfactor is 96%. In §6.2.5.3 werd het vector-Preisach-model gefit op ba-sis van de door de fabrikant geleverde maagdelijke kromme en ijzerverlieskrommebij 50 Hz.De wervelstromen en het geassocieerde verlies in het stator- en het rotorblikpak-ket kunnen in rekening gebracht worden m.b.v. de wervelstroommatrix Tlam (zie§5.5.1). De geleidbaarheid σ van het blik is 6.2 106 S/m. Het gebruik van Tlam

impliceert dat de fluxverdringing in het elektroblik verwaarloosd wordt. Voor dehogere harmonischen in de flux t.g.v. de stator- en de rotorvertanding (1 kHz enmeer) is er in werkelijkheid wel een beduidend fluxverdringingseffect.

Zoals bij de nullasten de belastingssimulatie van de transformator in resp. §6.4 en§7.3, kan het volledige ijzerverlies in het elektroblik in rekening gebracht wordend.m.v. een wervelstroommatrix Tlam met een verhoogde equivalente geleidbaarheidσeq , in combinatie met de maagdelijke kromme van het elektroblik. Bij 50 Hz is degefitte equivalente geleidbaarheid σeq 12.6 106 S/m. Figuur 9.7 toont de gemetenen de twee benaderende ijzerverliescurves bij 50 Hz.

0.0 0.5 1.0 1.50510 gemetenPreisach-model + Tlam ()Tlam (eq )pFe [W/kg] B [T]B [T]B [T]B [T]Figuur 9.7: Gemeten en benaderende ijzerverliescurves bij 50 Hz

9.2 Nullastsimulaties

9.2.1 Meetresultaten

Met elk van de vier rotoren werd een reeks nullastmetingen met een verschil-lende gekoppelde spanning aan de motorklemmen (effectiefwaarde Ve van 60 Vtot 240 V) uitgevoerd. De drie statorfasen, in driehoek geschakeld, werden gevoeduit een driefasige regeltransformator die aangesloten was op het 50 Hz net.De motor draaide onbelast (zonder last en met de eigen ventilator gedemonteerd).De slip, gemeten d.m.v. een stroboscoop, was maximaal 0.0006 bij Ve=60 V,en kleiner bij hogere spanning. De drie statorstromen en de drie gekoppeldespanningen werden telkens tijdens een netperiode opgenomen met een data-acquisitiesysteem.


Voor de vier reeksen metingen wordt de nullastrectantie Xn [Ω] van de motor,berekend op basis van de directe 50 Hz component van resp. de drie spanningenen de drie stromen, uitgezet als functie van de effectieve spanning Ve en als functievan de effectieve stroom I1e (effectiefwaarde van de directe 50 Hz component vande stromen) in de resp. Figuren 9.8 en 9.9.

50 100 150 200 250506070 rotor-SGrotor-SOrotor-RGrotor-ROXn [] Ve [V]Figuur 9.8: Gemeten nullastreactantie metde vier rotoren als functie van de effectievespanning Ve

0 1 2 3 4 5506070 rotor-SGrotor-SOrotor-RGrotor-ROXn [] I1e [A]Figuur 9.9: Gemeten nullastreactantie metde vier rotoren als functie van de effectievedirecte statorstroom I1e

De twee rotoren met gesloten gleuven (RG en SG) geven bij eenzelfde spanningof stroom ongeveer dezelfde nullastreactantie, evenals de twee rotoren met opengleuven (RO en SO). De maximum reactantie (bij Ve=100 V a 140 V, I1e=1.5 A a2 A) is ongeveer 75 Ω met gesloten rotorgleuven, en 69 Ω met open rotorgleuven.

9.2.2 Simulaties met rotor-RO – fitting van de luchtspleet

Voor elke nullastsimulatie (met rotor-RO of een van de andere rotoren) wordenacht perioden (met elk 500 tijdstappen en met β = 0.6) gesimuleerd teneinde hetregime bij benadering te bereiken. De rotor draait synchroon (1500 r/min). Hetelektrische netwerk in Figuur 8.4b, met verwaarlozing van de impedantie van detoevoerlijnen, wordt gebruikt. Figuur 9.10 toont de drie gekoppelde spanningendie opgelegd worden aan een pool van de motor (een kwart van de spanning,met Ve=220 V). Er wordt een ’spanningsrelaxatie’ van twee perioden toegepast.Figuur 9.11 toont de berekende statorstromen. In de achtste periode is met goedebenadering het regime bereikt. Figuur 9.12 toont een fluxpatroon bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RO.Nullastsimulaties met rotor-RO worden uitgevoerd met verschillende spanningen(Ve=60 V a 240 V). Hierbij wordt een vermazing met de nominale luchtspleetδ=0.39 mm gebruikt. In Figuur 9.13 worden de gemeten en de berekende nullast-reactantie uitgezet als functie van Ve. Over het volledige spanningsbereik geefthet EE-model een beduidende overschatting van de nullastreactantie. Bij lagespanningen (Ve ≤ 140 V), waarbij de reluctantie van het stator- en het rotorblik-pakket verwaarloosd kan worden, wordt de nullastreactantie met ongeveer 12%overschat (bv. 75 Ω i.p.v. 67 Ω). In verzadigde toestand, bv. bij 220 V, is hetverschil eveneens ongeveer 12% (63.6 Ω i.p.v. 56.5 Ω).

9-10 HOOFDSTUK 9

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16-100-50050100 t [s]V [V]Figuur 9.10: Opgelegde spanningen(Ve=220 V) met relaxatie gedurende deeerste twee perioden

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16-30-20-100102030 t [s]I [A]Figuur 9.11: Berekende statorstromen bij eennullastsimulatie (Ve=220 V) met rotor-RO

Figuur 9.12: Fluxpatroon bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RO

50 100 150 200 250506070 =0.39 mm=0.45 mm=0.47 mmgemetenXn []Ve [V]

Figuur 9.13: Gemeten en berekende nullast-reactantie met rotor-RO als functie van Ve

Het grote verschil tussen de gemeten en de berekende nullastreactantie bij onver-zadigde toestand is vooral te wijten aan het onderschatten van de luchtspleet in dewerkelijke motor. Rotor-RO en de drie andere rotoren hebben een glad buitenop-pervlak (nauwkeurig afgedraaid op de nominale diameter), terwijl het inwendigestatoroppervlak niet glad is. Het ponsen (van de statorblikken) is immers eenniet zo nauwkeurige bewerking. De luchtspleet varieert dus van statorlamel totstatorlamel. Verder wordt bij een (mechanische) meting van de luchtspleet eerderde minimale luchtspleet gemeten, dan de gemiddelde magnetische luchtspleet.

De luchtspleet in het EE-model wordt nu vergroot, zodat er een redelijke over-eenkomst is tussen de gemeten en de berekende nullastreactantie. In Figuur 9.13wordt de berekende nullastreactantie eveneens uitgezet voor δ gelijk aan 0.45 mmen 0.47 mm. Bij lage spanning (60 V tot 140 V) geeft δ=0.45 mm een zeer goedeovereenkomst. Bij hogere spanning (180 V tot 220 V) geeft 0.47 mm een betereovereenkomst dan 0.45 mm.

De minder goede overeenkomst tussen de gemeten nullastreactantie en de met


δ=0.45 mm berekende nullastreactantie bij verzadiging (Ve > 140 V), kan ver-klaard worden door een onnauwkeurige magnetische modellering van het stator-en het rotorblikpakket. Bij de simulaties wordt de BH-kromme van de fabrikantgebruikt, die eventueel, en al of niet plaatselijk, in beduidende mate afwijkt vanhet werkelijke materiaalgedrag in de motor. Zo kunnen de mechanische bewerkin-gen bij de constructie van de motor (ponsen, draaien, persen, . . . ) een belangrijkeffect hebben op de magnetische eigenschappen van het elektroblik. We komenhier verder in §9.2.4.4 op terug.

Een andere, veel minder belangrijke bron van onzekerheid betreft de stalen as,die niet in het EE-model is opgenomen. Deze voert namelijk in werkelijkheideen deel van de rotorjukflux, waardoor de rotorjukverzadiging in het EE-modeloverschat wordt. Het aandeel van de rotorjukflux in de as is o.m. afhankelijk vande (slip)frequentie. De geınduceerde wervelstromen in de as werken de fluxpe-netratie immers tegen. Zoals in [Ark87] kan de as als een bijkomende massievegeleider gemodelleerd worden.

Bij de volgende simulaties, met rotor-RO of een van de andere rotoren, en/ofvoor andere werkingstoestanden, wordt – tenzij expliciet vermeld – de vermazingmet δ=0.47 mm gebruikt2.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.14: Gemeten statorstromen bij nul-last (Ve=220 V) met rotor-RO (Xn=58.0 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.15: Berekende statorstromenbij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO(Xn=56.8 Ω)

Figuren 9.14 en 9.15 tonen resp. de gemeten en de berekende statorstromen bijVe=220 V. De 50 Hz grondharmonischen komen goed overeen (dankzij de gefitteluchtspleet), evenals de verzadigingsharmonischen (150 Hz, 250 Hz, . . . ), en degleufharmonischen (750 Hz, 850 Hz, . . . ).

De voorgaande berekeningen werden uitgevoerd met de fijne vermazing. De min-der fijne vermazing geeft een iets kleinere nullastreactantie (bij Ve=220 V: 56.2 Ωi.p.v. 56.8 Ω, of 1% kleiner).

2Ook in [Ber91] wordt, voor de berekening van de nullastverliezen van een 5.7 kW inductie-motor, de luchtspleet in het 2D EE-model gefit. De gefitte luchtspleet is eveneens 20% groterdan de nominale luchtspleet.

9-12 HOOFDSTUK 9

Invloed van de rotorstromen

Figuur 9.16 toont het berekende stroomverloop in de eerste rotorstaaf van rotor-RO bij nullast (Ve=220 V). De harmonischen in de stroom zijn veelvouden van300 Hz, met 900 Hz als belangrijkste. Figuur 9.17 toont de berekende stroom-dichtheid in drie punten in de eerste rotorstaaf (bovenaan, op 1/4 van de top, enop de bodem van de rotorstaaf). De stroomverdringing is duidelijk zichtbaar.

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010-150-100-50050100 t [s]I [A]Figuur 9.16: Berekende stroom in de eersterotorstaaf bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010-20-1001020 top van staafop 1/4 van topbodem van staaft [s]Jz [A/mm2] t [s]Jz [A/mm2] t [s]Jz [A/mm2]Figuur 9.17: Berekende stroomdichtheid inde eerste rotorstaaf bij nullast (Ve=220 V)met rotor-RO

De gleufharmonischen in de statorstromen (750 Hz, 850 Hz, . . . ) worden veroor-zaakt door de rotorvertanding en door de rotor-m.m.k.-harmonischen. Teneindehet belang van deze twee oorzaken in te schatten, worden twee bijkomende nul-lastsimulaties (Ve=220 V) met rotor-RO uitgevoerd.Bij de eerste simulatie wordt het elektrische netwerk van de rotorkooi niet inrekening gebracht (’kooiloze rotor-RO’). In Figuur 9.18 worden de berekendestatorstromen getoond. De 50 Hz en de 150 Hz componenten zijn ongeveer evengroot als in het geval met kooi, maar de gleufharmonischen (750 Hz en 850 Hz)zijn beduidend kleiner.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.18: Berekende statorstromen metsynchrone kooiloze rotor-RO (Ve=220 V)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.19: Berekende statorstromen metstilstaande kooiloze rotor-RO (Ve=220 V)

Bij de tweede simulatie staat de kooiloze rotor-RO stil. Figuur 9.19 toont de


berekende statorstromen. De stromen bevatten geen hogere (gleuf)harmonischen.Ze vertonen wel een duidelijke asymmetrie (die afhankelijk is van de rotorpositie).

Bij nullast met kooi (Figuren 9.14 en 9.15) worden de gleufharmonischen in destatorstromen dus vooral veroorzaakt door de m.m.k.-harmonischen in de kooi,en in mindere mate door de rotorvertanding.

9.2.3 Simulaties met rotor-RG

Figuren 9.20 en 9.21 tonen resp. de gemeten en de berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-RG. De gemeten en de berekende stromen komenvrij goed overeen. Het EE-model geeft een onderschatting van de gleufharmoni-schen.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.20: Gemeten statorstromen bij nul-last (Ve=220 V) met rotor-RG (Xn=63.7 Ω)

0.180 0.185 0.190 0.195 0.200-505 t [s]I [A]Figuur 9.21: Berekende statorstromenbij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG(Xn=64.2 Ω)

Tegenover de nullaststromen met rotor-RO (Figuren 9.14 en 9.15) merken weeen grote reductie van de gleufharmonischen. Deze reductie kan verklaard wor-den door de hogere rotorspreiding. De rotorgleufbrugjes vormen immers eenhoogpermeabel spreidingspad dat de harmonischen in de rotorstaafstromen on-derdrukt (zie Figuur 9.22). Bij nullast zijn de rotorstromen relatief klein, enverzadigen de brugjes nauwelijks of niet.De harmonischen in de statorstromen zijn kleiner dan die in het geval met eensynchrone kooiloze rotor-RO (Figuur 9.18). Rotor-RG heeft immers een gladbuitenoppervlak.

Figuur 9.23 toont de berekende inductie in de eerste statortand (Bx in punt 3,zie verder in Figuur 9.26) bij nullast met rotor-RO en rotor-RG. De gleufharmo-nischen met rotor-RG zijn duidelijk kleiner.

9.2.4 IJzerverliesberekening met rotor-RO en rotor-RG

9.2.4.1 Simulatie met het vector-Preisach-model

Nullastsimulaties (Ve=220 V) met rotor-RO en rotor-RG worden uitgevoerd methet vector-Preisach-model (met 20 discrete richtingen) voor zowel het stator- als

9-14 HOOFDSTUK 9

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010-1000100 rotor-ROrotor-RG t [s]I [A]Figuur 9.22: Berekende stroom in de eersterotorstaaf bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO en rotor-RG

0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014012 rotor-ROrotor-RG t [s]B [T]Figuur 9.23: Berekende inductie in de eerstestatortand bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO en rotor-RG (halve periode)

het rotorblikpakket (brugjes van rotor-RG inbegrepen). Het wervelstroomverlieswordt in rekening gebracht d.m.v. de wervelstroommatrix Tlam(σ). De minder fijnevermazing wordt gebruikt. Zij telt in totaal 2566 (+288) hysteretische elementenin het stator- en het rotorblik.

In §6.2.6.2 en §6.3 werd reeds gewezen op de hoge eisen die de simulatie van dezemotor stelt aan de EE-implementatie van het vector-Preisach-model, met namedoor de zeer hoge lokale verzadiging en het zeer hoge gehalte aan harmonischen.Als voorbeeld werd in §6.2.6.2 de inductiegolfvorm bij nullast in een statortandtipvan de 3kW motor beschouwd.In §6.3 werd eveneens melding gemaakt van de noodprocedure die toegepastwordt wanneer tijdens een Newton-Raphson-iteratie de invertering van het vector-Preisach-model niet slaagt voor een of meerdere hysteretische elementen. Voordeze elementen en vanaf die NR-iteratie wordt de maagdelijke kromme van hetmateriaal gebruikt.

Vertrekkende van de regime-oplossing, bekomen met de maagdelijke kromme enTlam(σeq), worden vanaf t=0.1 s twee perioden (met elk 4000 tijdstappen) gesi-muleerd met het vector-Preisach-model. Dankzij de zeer kleine tijdstap tredener nauwelijks fatale convergentieproblemen op bij het inverteren van het vector-Preisach-model. Bij de nullastsimulatie met bv. rotor-RO (met 8000 tijdstappenen 2566 hysteretische elementen) ’sneuvelen’ slechts drie elementen (nabij deluchtspleet).Figuren 9.24 en 9.25 tonen de statorstromen bij nullast met resp. rotor-RO enrotor-RG, enerzijds berekend met de maagdelijke kromme en Tlam(σeq), en an-derzijds met het vector-Preisach-model en Tlam(σ). De twee materiaalmodellengeven blijkbaar statorstromen die in zeer geringe mate van elkaar verschillen.

De resultaten van de nullastsimulaties met rotor-RO en rotor-RG worden in meerdetail besproken aan de hand van de lokale magnetische velden in tien puntenin het stator- en het rotorblikpakket. De positie van deze tien punten wordtgepreciseerd in Figuur 9.26. Punten 1 t.e.m. 5 liggen in het statorblikpakket,punten 6 t.e.m. 10 in het rotorblikpakket. Punt 8 ligt in de eerste gleufopening


0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 maagdelijke krommePreisach-model t [s]I [A]Figuur 9.24: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-RO, met maag-delijke kromme en met Preisach-model

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 maagdelijke krommePreisach-model t [s]I [A]Figuur 9.25: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-RG, met maag-delijke kromme en met Preisach-model

van rotor-RO, of in het eerste brugje van rotor-RG. 110 24 Ix VI V IV III II39 876 5yFiguur 9.26: Positie van tien punten in het stator- en het rotorblik, en opsplitsing in zeszones

Het stator- en het rotorblikpakket worden eveneens volgens Figuur 9.26 opge-splitst in zes zones: het statorjuk (zone I), de interface tussen het statorjuk en destatortanden (zone II), de statortanden (zone III), het deel van de statortandennabij de luchtspleet (zone IV), het deel van de rotortanden nabij de luchtspleet(zone V), en de rest van het rotorblikpakket (zone VI).

De totale ijzermassa in het statorblikpakket (massadichtheid 7850 kg/m3, vul-factor 96%, vier polen) bedraagt volgens het EE-model 7.732 kg. De totale massavan het rotorblikpakket met open rotorgleuven is 4.120 kg. De 32 brugjes hebbensamen een massa van 0.028 kg. De totale blikmassa is dus 11.852 (+0.028) kg

9.2.4.2 IJzerverliesverdeling bij nullast met rotor-RO

Figuren 9.27 en 9.28 tonen de berekende B-locus in resp. de punten 1 t.e.m. 4 ende punten 6 t.e.m. 8.Figuren 9.29 t.e.m. 9.34 tonen berekendeBgxHgx-, BgyHgy-, BgxHrx- enBgyHry-loci in de resp. punten 1, 2, 3, 4, 6 en 9. De B-locus en de BH-loci in punt 5(statortandtip) werden reeds in §6.2.6.2 getoond (Figuren 6.41 t.e.m. 6.44).

9-16 HOOFDSTUK 9

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 Bx [T]By [T] 1 2 34Figuur 9.27: Berekende B-locus in punten1 t.e.m. 4 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

-1.2 -0.8 -0.4-1.2-0.8-0.40.0Bx [T]

By [T] 6 87Figuur 9.28: Berekende B-locus in punten6 t.e.m. 8 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.4-0.20.00.20.4 Bx [T] Hx [A/m] -400 -200 0 200 400-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 Hy [A/m]By [T]Figuur 9.29: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 1 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

In Tabel 9.3 wordt het ijzerverlies (klassiek wervelstroomverlies Pcl , hysteresis-verlies Phys en de som Ptot) en de corresponderende verliesdichtheden (pcl , phys ,ptot) gegeven, voor de zes zones afzonderlijk en voor de volledige motor.

De resultaten worden nu besproken per zone:

• zone I, punt 1, Figuren 9.27 en 9.29

In het statorjuk is de inductie in beperkte mate rotationeel. De harmonischedistortie is beperkt.

• zone II, punt 2, Figuren 9.27 en 9.30

In het statorjuk nabij de statortanden is de inductie in beduidende materotationeel. De harmonische distortie is groter dan in het juk.

• zone III, punt 3, Figuren 9.27 en 9.31

In de statortanden is de inductie praktisch zuiver alternerend. De verlies-dichtheid is groter dan in het juk wegens de hogere piekwaarde en de grotereharmonische distortie.


-200 -100 0 100 200-1.0-0.50.00.51.0 Hx [A/m]Bx [T]-200 -100 0 100 200-1.0-0.50.00.51.0 Hy [A/m]By [T]

Figuur 9.30: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 2 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

-10000 -5000 0 5000 10000-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 Bx [T] Hx [A/m] -50 0 50-0.03-0.02-0.010.000.010.020.03 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.31: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 3 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

• zone IV, punten 4 en 5, Figuren 9.27, 9.32 en 6.41–6.44

De inductie in de stator nabij de luchtspleet is in zeer sterke mate vervormd(vooral 750 Hz en 850 Hz). De wervelstroomverliesdichtheid is zeer groot.Het hysteresisverlies is er groot door de hogere-orde-lussen in de BH-loci.Ondanks het geringe massa-aandeel (1.43%), is het verliesaandeel (14%) zekerniet verwaarloosbaar.

• zone V, punten 6, 7 en 8, Figuren 9.28 en 9.33

De inductie in de rotor nabij de luchtspleet is in zeer sterke mate vervormd(vooral 900 Hz). De wervelstroomverliesdichtheid is zeer groot. Ondanks hetgeringe massa-aandeel (1.77%), is het verliesaandeel (22%) beduidend.

• zone VI, punten 9 en 10, Figuur 9.34

In de rotortanden en in het rotorjuk is de inductie praktisch constant. Degemiddelde verliesdichtheid is klein.

Figuren 9.35 en 9.36 tonen resp. de 750 Hz fluxcomponent in de stator en de900 Hz fluxcomponent in de rotor bij nullast met rotor-RO. Deze fluxpatronenwerden bekomen door Fourier-analyse van het tijdsverloop van de MVP A(t)tijdens een periode. De figuren tonen het reele deel.

9-18 HOOFDSTUK 9

-2000 -1000 0 1000 2000-1.0-0.50.00.51.0 Hx [A/m]Bx [T]-2000 -1000 0 1000 2000-0.50.00.5 Hy [A/m]By [T]

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.0-0.50.00.51.0 Bgx [T] Hgx [A/m] -150 -100 -50 0 50 100 150-1.0-0.50.00.51.0 Bgy [T] Hgy [A/m]Figuur 9.32: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn, boven en onder) en BgxHrx- enBgyHry-locus (puntlijn, boven) in punt 4 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

De hoogfrequente flux in de blikpakketten is geconcentreerd aan de luchtspleet(zones IV en V) en geeft daar een zeer groot ijzerverlies (vooral klassiek wervel-stroomverlies). De flux kan de rotor slechts gedeeltelijk indringen.

Vergelijking van het berekende en het ’gemeten’ ijzerverlies bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RO

Het gemeten elektrische vermogen (berekend op basis van de gemeten stator-stromen en gekoppelde spanningen) bedraagt 261 W. Het gemeten stator-Joule-verlies (berekend op basis van de gemeten statorstromen en de gemeten weerstan-den van de statorwikkelingen) is 112 W. Het mechanische verlies wordt geschat

-1000 0 1000-1.0-0.8-0.6-0.4 Bx [T] Hx [A/m] -500 0 500-0.6-0.4-0.20.00.2 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.33: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 6 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO


-2000 -1800 -1600-1.645-1.640-1.635 Bx [T] Hx [A/m] -40 -20 0 20-0.010-0.008-0.006-0.004-0.002 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.34: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 9 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

gebied I II III IV V VI totaal

massa [%] 41.0 6.52 16.2 1.43 1.77 32.9 100

Pcl [W] 17.6 3.56 12.9 12.9 20.9 2.44 70.3

Phys [W] 16.2 2.31 9.11 1.36 1.44 0.42 30.8

Ptot [W] 33.8 5.87 22.0 14.2 22.4 2.86 101.

pcl [W/kg] 3.63 4.60 6.72 75.9 99.8 0.62 5.93

phys [W/kg] 3.33 2.99 4.75 8.03 6.86 0.11 2.60

ptot [W/kg] 6.96 7.59 11.5 83.9 107. 0.73 8.54

Tabel 9.3: IJzerverliesverdeling bij nullast met rotor-RO

op 8.6 W (zie §9.6.3). Het met het EE-model berekende rotor-Joule-verlies is30.35 W (29.7 W in de rotorstaven + 0.65 W in de eindringen). Hieruit volgthet ’gemeten’ ijzerverlies: 110.4 W. Het berekende totale ijzerverlies (101 W) is8.5% kleiner dan het ’gemeten’ verlies. Een kwalitatieve bespreking van de mo-gelijke oorzaken van dit verschil volgt verder in §9.2.4.4, na de voorstelling vande nullastsimulatieresultaten met rotor-RG.

9-20 HOOFDSTUK 9

Figuur 9.35: Berekende 750 Hz fluxcompo-nent (reeel gedeelte) in de stator bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RO

Figuur 9.36: Berekende 900 Hz fluxcompo-nent (reeel gedeelte) in de rotor bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RO

9.2.4.3 IJzerverliesverdeling bij nullast met rotor-RG

In Figuren 9.37 en 9.38 wordt de B-locus in punten 1 t.e.m. 8 bij nullast metrotor-RG getoond.

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Bx [T]

By [T] 1 2 34 5Figuur 9.37: Berekende B-locus in punten 1,2, 3, 4 en 5 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

-1.0 -0.5 0.0-2.0-1.5-1.0-0.50.0Bx [T]

By [T] 876Figuur 9.38: Berekende B-locus in punten 6,7 en 8 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

Figuren 9.39 t.e.m. 9.41 tonen de berekende BgxHgx-, BgyHgy-, BgxHrx- enBgyHry-locus in de resp. punten 4, 5 en 8.In Tabel 9.4 worden voor de zes zones en voor de volledige motor het ijzerverlies(klassiek wervelstroomverlies, hysteresisverlies en de som) en de ijzerverliesdicht-heden gegeven. Het verlies in de rotorgleufbrugjes (die deel uitmaken van zone V)wordt ook afzonderlijk vermeld.In de statortanden (zone III, punt 3, Figuur 9.37) is er t.o.v. nullast met rotor-ROeen kleiner ijzerverlies (-20%), dankzij het lager gehalte aan harmonischen (zie


-200 -100 0 100 200-101 Bx [T] Hx [A/m] -100 0 100-0.2-0.10.00.10.2 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.39: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-loci (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-loci (punt-lijn) in punt 4 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

-4000 -2000 0 2000 4000-101 Bx [T] Hx [A/m] -2000 -1000 0 1000 2000-101 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.40: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 5 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

ook Figuur 9.23).In zone IV (punten 4 en 5, Figuren 9.37, 9.39 en 9.40) is er een grote reductie vanharmonischen. Het ijzerverlies is er tien maal kleiner (1.35 W t.o.v. 14.2 W). Inzone V in de rotor is er een toename van het ijzerverlies. 30% van het ijzerverliesin deze zone is gelokaliseerd in de rotorbrugjes, waar de inductie een zeer grotetangentiale 900 Hz component heeft (punt 8, Figuren 9.38 en 9.41, piekwaardetot 2.4 T).

Vergelijking van het berekende en het ’gemeten’ ijzerverlies bij nullast(Ve=220 V) met rotor-RG

Het gemeten elektrische vermogen bedraagt 192.4 W. Het gemeten stator-Joule-verlies is 81.5 W. Het mechanische verlies wordt geschat op 8.6 W. Het berekenderotor-Joule-verlies is 2.05 W (2.027 W in de rotorstaven + 0.0256 W in de eindrin-gen). Hieruit volgt het ’gemeten’ ijzerverlies: 99.9 W. Het berekende ijzerverlies(86 W) is 14% kleiner.

9.2.4.4 Kwalitatieve bespreking

Het verschil tussen het gemeten en het berekende ijzerverlies, zowel bij nullastmet rotor-RO (8.5% onderschatting) als met rotor-RG (14% onderschatting),

9-22 HOOFDSTUK 9

-6000 -4000 -2000 0 2000-0.50-0.250.00 Hx [A/m]Bx [T] -30000 -20000 -10000 0-2-10 By [T] Hy [A/m]Figuur 9.41: Berekende BgxHgx- en BgyHgy-locus (volle lijn) en BgxHrx- en BgyHry-locus(puntlijn) in punt 8 bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

gebied I II III IV V VI brugjes totaal

massa [%] 41.0 6.52 16.2 1.43 1.77 32.9 0.236 100

Pcl [W] 17.1 3.08 9.17 0.76 25.0 1.28 7.64 56.4

Phys [W] 16.1 2.24 8.54 0.60 1.72 0.27 0.40 29.5

Ptot [W] 33.2 5.32 17.7 1.35 26.7 1.55 8.04 85.9

pcl [W/kg] 3.53 3.99 4.79 4.49 119 0.33 274 4.77

phys [W/kg] 3.32 2.91 4.46 3.55 8.22 0.07 14.3 2.49

ptot [W/kg] 6.85 6.90 9.24 7.98 127 0.40 288 7.26

Tabel 9.4: IJzerverliesverdeling bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

wordt nu kwalitatief besproken.

De ’meting’ van het ijzerverlies is niet al te nauwkeurig. Het rotor-Joule-verlieswordt berekend met het 2D EE-model. Vooral bij nullast met rotor-RO is ditverlies groot (ongeveer 27% van het gemeten ijzerverlies). Bij nullast met rotor-RG is het veel kleiner (slechts 2% van het gemeten ijzerverlies), en wordt hetwaarschijnlijk onderschat (cfr. de onderschatting van de gleufharmonischen in destatorstromen, Figuren 9.20 en 9.21).

Voor wat de berekening van het ijzerverlies betreft kan het volgende opgemerktworden. De inductiegolfvorm B(x, y, t) bekomen met het 2D EE-model hangtrelatief weinig af van het gebruikte (reversibele of irreversibele) materiaalmodel(cfr. de Figuren 9.24 en 9.25 van de berekende statorstromen). Het berekendeijzerverlies hangt dus vooral af van het hysteresismodel (hysteresisverlies ver-sus inductie bij alternerende flux, extra-verlies als gevolg van hogere-orde-lussen,effect van rotationele flux, frequentieafhankelijkheid, . . . ) en van het wervel-stroomverliesmodel (al of niet rekening houdend met de stroomverdringing, . . . ),die direct geımplementeerd worden in de EE-simulatie of a posteriori toegepastworden op de bekomen B-golfvormen. Bijgevolg geeft een a posteriori ijzerverlies-berekening (zie §6.5) niet per se een minder goede overeenkomst met het gemetenijzerverlies.


Zoals reeds in §9.2.2 bij de fitting van de luchtspleet vermeld, kan het materi-aalgedrag in belangrijke mate afwijken van de gegevens (maagdelijke kromme enijzerverlieskromme bij 50 Hz) waarmee het vector-Preisach-model van het elek-troblik is gefit. Daarenboven zijn er geen meetgegevens beschikbaar boven 1.8 T,terwijl de inductie lokaal (vooral rond de luchtspleet en i.h.b. in de rotorgleuf-brugjes) veel groter is.

De mechanische bewerkingen (ponsen, draaien, persen, . . . ) tijdens de construc-tie van de motor kunnen een belangrijk effect hebben op de magnetische eigen-schappen van het elektroblik. Volgens [Nak92] is het effect van het ponsen op deBH-karakteristiek duidelijk merkbaar tot zeker 5 mm van de ponsrand. (We mer-ken hierbij op dat de stator- en de rotortanden ongeveer 4 mm breed zijn, terwijlde rotorgleufbrugjes slechts 0.4 mm breed zijn.) In [Smi95] wordt het effect vanhet ponsen op het ijzerverlies nagegaan d.m.v. een Epstein-meting (zie §3.3.4)met strips die smaller zijn dan de standaard voorschrijft. In [Dup98c] wordt deinvloed van lasersnijden, ponsen en vonkerosie op de magnetische eigenschappenbestudeerd.

Bij de berekening van het wervelstroomverlies wordt de fluxverdringing in hetelektroblik verwaarloosd. Deze hypothese is zeker aanvaardbaar voor de 50 Hzflux in de stator, maar betwistbaar voor de gleufharmonischen (750 Hz en meer).Het zijn precies deze gleufharmonischen die in zones IV en V een grote bijdrageleveren tot het wervelstroomverlies (ongeveer 30 W met rotor-RO, en 25 W metrotor-RG). De verwaarlozing van de fluxverdringing geeft (zeker bij alternerendeflux) een overschatting van het wervelstroomverlies (zie §5.2.3).

Anderzijds werd bij gebrek aan meetgegevens, de extra-dynamische ijzerverlies-component verwaarloosd bij de fitting van het vector-Preisach-model in §6.2.5.3.

Deze component [W/kg] heeft een f3/2-afhankelijkheid terwijl het quasi-statischehysteresis evenredig met de frequentie f toeneemt. Het in rekening brengen vanhet extra-dynamische verlies zou het berekende ijzerverlies in de motor doentoenemen.

Indien het volledige ijzerverlies wordt opgevat als wervelstroomverlies, met eenf2-afhankelijkheid, zal het ijzerverlies in de motor eerder overschat worden. Bijde nullastijzerverliesberekening m.b.v. de wervelstroommatrix Tlam(σeq) en met devier verschillende rotoren, wordt het ijzerverlies 7% tot 24% overschat [Gys99c].

Meestal wordt het (nullast)ijzerverlies in bv. een inductiemachine, berekend m.b.v.een 2D EE-simulatie, onderschat, zowel bij een a posteriori ijzerverliesberekening[Ber91, Ata92, Zhu98], als bij een directe implementatie van een hysteresismodel[Sai99, Gys99b, Gys99d].

In [Ber91] wordt het nullastijzerverlies in een kooiankerdinductiemotor met min-stens 20% onderschat. Een a posteriori-ijzerverliesberekening in een permanent-magneetmotor [Ata92, Zhu98] geeft een 10% a 20% onderschatting.

In [Sai99] wordt het ijzerverlies in een inductiemotor berekend door een directe in-corporatie van een vector-Preisach-model voor de statorkern, gecombineerd meteen a posteriori hysteresisverliesberekening in de rotor en een a posteriori be-rekening van het wervelstroomverlies in de stator en de rotor. Het berekendeijzerverlies is 10% a 20% kleiner dan het gemeten verlies.

9-24 HOOFDSTUK 9

9.2.5 Meerschijvensimulaties met rotor-SO en rotor-SG

Nullastsimulaties (Ve=220 V) met rotor-SO en rotor-SG werden uitgevoerd methet meerschijvenmodel met vijf uniforme schijven. Figuren 9.42 t.e.m. 9.45 tonende berekende statorstromen en de corresponderende gemeten stromen. In beidegevallen is er een goede overeenkomst tussen de gemeten en de berekende stromenwat de 50 Hz component en de verzadigingsharmonischen betreft. Het EE-modelgeeft iets kleinere gleufharmonischen.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 I [A] t [s]Figuur 9.42: Gemeten statorstromen bij nul-last (Ve=220 V) met rotor-SO (Xn=56.9 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.43: Berekende statorstromenbij nullast (Ve=220 V) met rotor-SO(Xn=56.6 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.44: Gemeten statorstromen bij nul-last (Ve=220 V) met rotor-SG (Xn=63.3 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 t [s]I [A]Figuur 9.45: Berekende statorstromenbij nullast (Ve=220 V) met rotor-SG(Xn=64.7 Ω)

Figuur 9.46 toont de berekende inductie in de eerste statortand van rotor-ROen de berekende inductie in de eerste statortand in de middelste schijf (van devijf uniforme schijven) van rotor-SO. De tweede inductiegolfvorm heeft een hogergehalte aan gleufharmonischen.

Figuur 9.47 toont de berekende inductie bij nullast in de eerste statortand inde vijf schijven van rotor-SO (zoom van 1.5 T tot 1.85 T). Er is praktisch geenaxiale variatie in de verzadiging. De gemiddelde inductie, eveneens afgebeeld inFiguur 9.47, heeft een zeer klein gehalte aan gleufharmonischen.


0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.0140.00.51.01.52.0 rotor-ROrotor-SO t [s]Bx [T]

Figuur 9.46: Berekende inductie in de eerstestatortand bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO en rotor-SO (een halve periode)

0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.0111.51.61.71.8 schijf 1schijf 2schijf 3schijf 4schijf 5gemiddeld t [s]Bx [T]Figuur 9.47: Berekende inductie bij nullast(Ve=220 V) in de eerste statortand in de vijfschijven van rotor-SO, en de gemiddelde in-ductie (een kwartperiode)

Schuinstellingsdiscretisatiefout

Nullastsimulaties met rotor-SO worden uitgevoerd met twee t.e.m. tien doorsne-den, en met een uniforme verdeling en een Gauss-verdeling van de doorsneden.In Figuur 9.48 wordt de amplitude van de 750 Hz en 850 Hz component in deberekende statorstromen als functie van het aantal doorsneden voorgesteld.

2 3 4 5 6 7 8 9 100.000.250.50 uniforme verdelingGauss-verdelingndI [A] 850 Hz750 HzFiguur 9.48: De 750 Hz en 850 Hz gleufharmonischen in de statorstromen bij nullast(Ve=220 V) met rotor-SO als functie van het aantal doorsneden nd, met een uniformeverdeling en met een Gauss-verdeling

Bij een uniforme verdeling van de doorsneden is er een monotone (maar relatieftrage) afname van de gleufharmonischen, van resp. 0.87 A en 1.72 A bij nd =1 (rotor-RO) tot ongeveer resp. 0.0752 A en 0.1315 A (voor nd → ∞). Metde Gauss-verdeling is er een veel snellere convergentie (met een doorschot voornd=3). De harmonischen in de gemeten stromen met rotor-RO bedragen ongeveerresp. 0.82 A en 1.63 A, met rotor-SO resp. 0.098 A en 0.195 A.

9-26 HOOFDSTUK 9

9.2.6 Besluit

Dankzij het vergroten van de luchtspleet van de nominale 0.39 mm tot 0.47 mmwerd een goede overeenkomst bereikt tussen de gemeten en de berekende nul-lastreactantie, en dit met de vier rotoren en over het volledige beschouwde span-ningsbereik. De verzadigings- en gleufharmonischen in de statorstromen werdeneveneens redelijk nauwkeurig berekend.Het nullastverlies werd berekend met rotor-RO en rotor-RG. Het quasi-statischehysteresisverlies en het klassieke wervelstroomverlies werden hierbij tijdens detime-stepping in rekening gebracht d.m.v. het vector-Preisach-model en de wer-velstroommatrix Tlam(σ). Het berekende ijzerverlies is resp. 8.5% en 14% kleinerdan het ’gemeten’ verlies. Een onderschatting van het ijzerverlies bij een EE-simulatie (waarbij geen empirische correctiefactoren gebruikt worden) is o.m. tewijten aan het effect van de mechanische bewerkingen op de magnetische eigen-schappen van het elektroblik.

9.3 Vollastsimulaties

Met elk van de vier rotoren werd een meting bij ongeveer de nominale motor-werking (1420 r/min) uitgevoerd. De inductiemotor werd hierbij bij 220 V, 50 Hzvoeding belast met een gelijkstroommachine. Het askoppel, gemeten met een kop-pelmeetas, werd op 20 Nm ingesteld. De slip (gemeten m.b.v. een stroboscoop)bedroeg hierbij 0.0460, 0.0476, 0.0466 en 0.0485 met resp. rotor-SG, rotor-SO,rotor-RG en rotor-RO gemonteerd. Dit stemt overeen met resp. 1431.0, 1428.6,1430.2 en 1427.3 r/min. Het toerentalverschil is deels te wijten aan de specifiekekenmerken van de vier rotoren, maar vooral aan de eerder onnauwkeurige meting(en dus instelling) van het askoppel, en eventueel aan een klein temperatuursver-schil in de vier rotorkooien. De metingen werden vrij snel uitgevoerd, zodat deregimetemperatuur in de motor zich zeker niet kon instellen.

De simulaties met de vier verschillende rotoren worden uitgevoerd bij hetzelfdetoerental, nl. 1430 r/min (s=0.0467), teneinde de berekeningsresultaten (’bij vol-last’) onderling te kunnen vergelijken. De statorwikkelingen en de kooi wordenverondersteld omgevingstemperatuur te hebben. Tien perioden (met 600 stap-pen per periode) worden gesimuleerd, waarbij de spanning tijdens de eerste tweeperioden opgebouwd wordt (zoals in Figuur 9.10). Figuren 9.49 en 9.50 tonenresp. de berekende statorstromen en het berekende koppel bij een vollastsimulatiemet rotor-RO. Na negen perioden heeft het regime zich met goede benaderingingesteld.

9.3.1 Simulaties met rotor-RO en rotor-RG

Figuren 9.51 t.e.m. 9.54 tonen de gemeten en de berekende statorstromen bijvollast met rotor-RO en rotor-RG. Het al of niet gesloten zijn van de rotorgleuvenheeft bij vollast een geringer effect op de gleufharmonischen in de statorstromendan bij nullast (zie Figuren 9.14, 9.15, 9.20 en 9.21). Dit wordt verder verklaardaan de hand van de simulatieresultaten.


0.0 0.1 0.2-30-20-100102030 t [s]I [A]Figuur 9.49: Berekende statorstromen bij eenvollastsimulatie (Ve=220 V, 1430 r/min) metrotor-RO

0.0 0.1 0.2-40-30-20-100102030 t [s]TEM [Nm]Figuur 9.50: Berekend koppel bij een vollast-simulatie (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RO

De 50 Hz component en de verzadigingsharmonischen worden vrij nauwkeurigvoorspeld. De eerste gleufharmonischen (712.66 Hz en 812.66 Hz) t.g.v. de rotor-vertandingFiguur 9.55 toont de berekende stroom in de vierde staaf van rotor-RO. Naeen transient van ongeveer 0.8 s stelt zich blijkbaar de regimestroom in. Dezebestaat uit de grondgolf met slipfrequentie 2.333 Hz en gleufharmonischen, vooral(858± 2.333) Hz, t.g.v. van de statorvertanding.

De berekende stromen in de staven van rotor-RO en rotor-RG zijn ongeveer evengroot wat de 2.333 Hz grondgolf betreft. De gleufharmonischen in rotor-RG zijniets kleiner. Een merkwaardig verschil in de staafstromen doet zich voor bij denuldoorgang, zoals geıllustreerd wordt in Figuur 9.56. Bij rotor-RG komt bijeen kleine stroom in een rotorstaaf, het brugje boven de staaf uit verzadiging,waardoor de spreiding voor die staaf heel groot wordt, wat de stroom in die staafonderdrukt.

Koppelberekening

Figuren 9.57 en 9.58 tonen het berekende koppel bij vollast met resp. rotor-ROen rotor-RG, bekomen met de minder fijne vermazing. Er worden telkens driekoppelwaarden getoond (zie §9.1.2). Het verschil tussen de drie koppels in 9.58is miniem en nauwelijks zichtbaar.De gemiddelde waarde van het koppel bij vollast met rotor-RO is resp. 19.68,20.10 en 20.15 Nm. Dit is een maximaal onderling verschil van 2.3%. Het verschilkan worden gereduceerd door de vermazing te verfijnen. Het gemiddelde koppelberekend met de fijne vermazing is resp. 20.19, 20.34 en 20.32 Nm (maximaalverschil 0.75%).De minder fijne vermazing geeft bij vollast met rotor-RG de volgende gemid-delde koppels: 19.884, 19.928 en 19.876 Nm (maximaal verschil 0.3%); de fijnevermazing: 19.956, 19.977 en 19.954 Nm (maximaal verschil 0.1%).

De ruimtediscretisatiefout op het koppel is blijkbaar kleiner bij vollast met rotor-RG dan met rotor-RO. Dit wordt hierna kwalitatief verklaard aan de hand vanhet verloop van de inductie in de luchtspleet.

9-28 HOOFDSTUK 9

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 t [s]I [A]Figuur 9.51: Gemeten statorstromen bij vol-last (Ve=220 V, 1427.3 r/min) met rotor-RO(I1e=6.74 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 I [A] t [s]Figuur 9.52: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RO(I1e=6.70 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 t [s]I [A]Figuur 9.53: Gemeten statorstromen bij vol-last (Ve=220 V, 1430.3 r/min) met rotor-RG(I1e=6.80 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 t [s]I [A]Figuur 9.54: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RG (I1e=6.70 A)

0.0 0.1 0.2-400-2000200400 t [s]I [A]Figuur 9.55: Berekende stroom in devierde rotorstaaf bij vollast met rotor-RO(transient)

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20-200-1000100200 rotor-ROrotor-RGt [s]I [A]Figuur 9.56: Berekende stroom in de vierderotorstaaf bij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min)met rotor-RO en rotor-RG (zoom van de nul-doorgang)


0.000 0.005 0.010152025 laag aan rotorlaag aan statorbewegende laag t [s]TEM [Nm]Figuur 9.57: Berekend koppel bij vollast metrotor-RO (minder fijne vermazing, klein ver-schil tussen de drie koppelwaarden)

0.000 0.005 0.010152025 laag aan rotorlaag aan statorbewegende laag t [s]TEM [Nm]Figuur 9.58: Berekend koppel bij vollast metrotor-RG (minder fijne vermazing, miniemverschil tussen de drie koppelwaarden)

Figuren 9.59 en 9.60 tonen het fluxpatroon op een bepaald tijdstip (met θrot=6.0)rotor-RO en rotor-RG.

Figuur 9.59: Fluxpatroon bij vollast metrotor-RO (θrot=6.0)

Figuur 9.60: Fluxpatroon bij vollast metrotor-RG (θrot=6.0)

Figuren 9.61 t.e.m. 9.64 tonen het verloop van de radiale en de tangentiale com-ponent van de inductie in de luchtspleet (laag aan stator en laag aan rotor)met rotor-RO en rotor-RG, overeenstemmend met de fluxpatronen in de resp.Figuren 9.59 en 9.60.Het koppel wordt berekend door integratie van het product van de radiale ende tangentiale component van de inductie, cfr. (8.19). Vooral de tangentialecomponent vertoont piekjes ter hoogte van de stator- en de rotortandtippen. Bijrotor-RG zijn deze piekjes, i.h.b. in de laag aan de rotor, kleiner. Een nauwkeurigekoppelberekening vereist dus een fijne vermazing van de luchtspleet, en dit vooralrond de tandtippen (van open gleuven).

In §8.1.3 werd vermeld dat het berekende koppel, bekomen door toepassing van

9-30 HOOFDSTUK 9

0 30 60 90-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 laag aan statorlaag aan rotor [ ]Br [T]Figuur 9.61: Berekende radiale inductie inde luchtspleet (0 ≤ θ ≤ π/2) bij vollast metrotor-RO

0 30 60 90-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 laag aan statorlaag aan rotorBr [T] [ ]Figuur 9.62: Berekende radiale inductie inde luchtspleet (0 ≤ θ ≤ π/2) bij vollast metrotor-RG

0 30 60 90-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6 laag aan statorlaag aan rotor [ ]B [T]Figuur 9.63: Berekende tangentiale inductiein de luchtspleet (0 ≤ θ ≤ π/2) bij vollastmet rotor-RO

0 30 60 90-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6 laag aan statorlaag aan rotor [ ]B [T]Figuur 9.64: Berekende tangentiale inductiein de luchtspleet (0 ≤ θ ≤ π/2) bij vollastmet rotor-RG

bv. de methode van de virtuele arbeid op de bewegende laag, ruis kan vertonenbij een ongunstige keuze van de tijdstap (of de hoekstap). Ter illustratie wordteen vollastsimulatie met rotor-RO met 4000 tijdstappen per periode en met deminder fijne vermazing uitgevoerd. De hoekstap ∆θrot=0.043 is veel kleinerdan de hoek tussen twee naburige knooppunten op de binnen- of de buitencirkelvan de bewegende laag (θs ≈ θ′r ≈ 0.28). Figuur 9.65 toont de drie berekendekoppels. Het koppel van de bewegende laag vertoont ruis, terwijl de twee anderekoppels, evenals bv. de berekende stromen, geen ruis vertonen.

9.3.2 Simulaties met rotor-SO en rotor-SG

De gemeten statorstromen bij vollast met rotor-SO en rotor-SG worden getoondin de resp. Figuren 9.66 en 9.68. De berekende statorstromen, bekomen met eenmeerschijvenmodel met vijf uniforme schijven, worden getoond in de resp. Figu-ren 9.67 en 9.69. De gemeten en de berekende stromen komen goed overeen watde fundamentele en de verzadigingsharmonischen betreft. De gleufharmonischenworden opnieuw onderschat.In vergelijking met de vollaststromen met rotor-RO en rotor-RG (Figuren 9.51t.e.m. 9.54) merken we een sterke reductie van de gleufharmonischen op.


0.2006 0.2007 0.2008 0.2009 0.2010 0.2011232425 laag aan rotorlaag aan statorbewegende laagTEM [Nm] t [s]Figuur 9.65: Berekend koppel bij vollast met rotor-RO met een kleine tijden hoek-stap

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 t [s]I [A]Figuur 9.66: Gemeten statorstromen bij vol-last (Ve=220 V, 1428.6 r/min) met rotor-SO(I1e=6.83 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 t [s]I [A]Figuur 9.67: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-SO(I1e=6.75 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 t [s]I [A]Figuur 9.68: Gemeten statorstromen bij vol-last (Ve=220 V, 1431.0 r/min) met rotor-SG(I1e=7.03 A)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 t [s]I [A]Figuur 9.69: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-SG(I1e=6.72 A)

9-32 HOOFDSTUK 9

Figuren 9.70 en 9.71 tonen de berekende stromen in de acht rotorstaven bij vollastmet resp. rotor-SO en rotor-SG. In vergelijking met de Figuren 9.55 en 9.56 stellenwe hier ook een beduidende reductie van de gleufharmonischen vast.

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20-300-200-1000100200300 t [s]I [A]Figuur 9.70: Berekende rotorstaafstromenbij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-SO

0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20-300-200-1000100200300 t [s]I [A]Figuur 9.71: Berekende rotorstaafstromenbij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-SG

Axiale variatie van de verzadiging en de koppelbijdrage

Figuur 9.72 toont de inductie in de eerste statortand in rotor-RO, en in de eerstestatortand in de middelste schijf van rotor-SO (vijf uniforme schijven). De fun-damentele 50 Hz component is ongeveer gelijk, terwijl de inductie in de tandenvan rotor-SO een beduidend hoger gehalte aan gleufharmonischen bevat.

Figuur 9.73 toont de inductie in de eerste statortand in de vijf uniforme schijvenvan rotor-SO. De gemiddelde inductie heeft een zeer klein gehalte aan gleufhar-monischen.

0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.0140.00.51.01.52.0 rotor-ROrotor-SO t [s]B [T]Figuur 9.72: Berekende inductie in de eerstestatortand bij vollast, in rotor-RO en in demiddelste schijf van rotor-SO (halve periode)

0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014012 schijf 1schijf 2schijf 3schijf 4schijf 5gemiddeld t [s]B [T]Figuur 9.73: Berekende inductie in de eerstestatortand in de vijf uniforme schijven vanrotor-SO bij vollast (halve periode)

Figuur 9.74 toont het berekende koppel bij vollast met rotor-RO en rotor-SO. Deschuinstelling van de rotorgleuven resulteert in een grote reductie van de gleuf-harmonischen in het koppel. De berekende gemiddelde waarde van het koppel


met rotor-RO en rotor-SO is resp. 19.70 Nm en 19.25 Nm. Figuur 9.75 toont debijdrage van de vijf uniforme schijven van rotor-SO tot het vollastkoppel.

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010152025 rotor-ROrotor-SO t [s]TEM [Nm]Figuur 9.74: Berekend koppel bij vollast metrotor-RO en rotor-SO

0.0000 0.0025 0.005023456 t [s]TEM [Nm]Figuur 9.75: Berekende bijdrage van de vijfuniforme schijven tot het koppel bij vol-last met rotor-SO (zelfde legende als in Fi-guur 9.73)

De verzadiging en de koppelbijdrage nemen duidelijk toe van schijf 1 (die t.o.v. dedraaizin achterloopt op de gemiddelde (derde) schijf) naar schijf 5 (die voorloopt).Dit wordt verder geıllustreerd in Figuren 9.76 en 9.77, die de axiale variatie vanresp. het inductieniveau (amplitude van de 50 Hz component van de inductie in deeerste statortand) en van de koppelbijdrage bij vollast met rotor-SO en rotor-SG(met tien uniforme schijven) tonen.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.61.71.81.92.0 rotor-ROrotor-RGrotor-SOrotor-SG schijfB [T]Figuur 9.76: Berekend inductieniveau in destatortanden in de tien uniforme schijven vanrotor-SO en rotor-SG bij vollast (Ve=220 V,1430 r/min)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.41.61.82.02.2 rotor-ROrotor-RGrotor-SOrotor-SG schijfTEM [Nm]Figuur 9.77: Berekende bijdrage van de tienuniforme schijven van rotor-SO en rotor-SG tot het koppel bij vollast (Ve=220 V,1430 r/min)

De axiale variatie van de inductie en van de koppelbijdrage als gevolg van deschuinstelling kan eenvoudig verklaard worden aan de hand van Figuur 9.78, diede 2Np-polige stator-, rotoren magnetiseringsstroomlagen voorstelt d.m.v. ruim-tevectoren in een statorreferentieassenstelsel (in elektrische graden). De vectorendraaien in tegenuurwijzerzin aan de synchrone snelheid (50 Hz).

De hoek van de rotorstroomlaag varieert naargelang de axiale positie over±Np θsch2

9-34 HOOFDSTUK 94 Is5125Np sch 13Im VsIr 3

Figuur 9.78: Statorstroom Is, rotorstroom Ir en magnetiseringsstroom Im bij schuinstelling

t.o.v. de gemiddelde rotorstroomlaag. De magnetiseringsstroomlaag is de somvan de stator- en de rotorstroomlaag. De richting maar vooral de grootte van demagnetiseringsstroom varieert langs de as. In Figuur 9.78 zijn de rotorstroomvec-toren bij een schuinstellingsdiscretisatie met vijf uniforme schijven weergegeven.In de eerste schijf, die achterloopt op de middelste schijf, is de magnetiserings-stroom (en dus de verzadiging) het kleinst. In de vijfde en laatste schijf is demagnetiseringsstroom het grootst.


Meerschijvensimulaties van de vollast met rotor-SO worden uitgevoerd met nd=3,4, 5, 7 en 10, en met een uniforme verdeling van de doorsneden en een Gauss-verdeling. Figuren 9.79 en 9.80 tonen de amplitude van resp. de 712 Hz en 812 Hzcomponent in de statorstromen als functie van nd. Zoals bij de nullastsimulatie(Figuur 9.48) geeft een Gauss-verdeling een snellere convergentie (nd ≥ 5) daneen uniforme verdeling.

De 712 Hz en 812 Hz component in de statorstromen convergeren van resp. 1.27 Aen 1.90 A (nd = 1) naar resp. 0.0495 A en 0.180 A (nd → ∞). De overeenstem-mende gemeten amplitudes zijn resp. 1.35 A en 1.98 A met rotor-RO, en 0.053 Aen 0.196 A met rotor-SO.

9.3.3 Besluit

Lastsimulaties werden uitgevoerd bij 1430 r/min. De berekende statorstromenkomen redelijk goed overeen met de gemeten stromen, zowel wat de 50 Hz grond-golf als de verzadigings- en de gleufharmonischen betreft.

Het koppel wordt nauwkeurig berekend indien de luchtspleet voldoende fijn ver-maasd is. Bij rotoren met gesloten gleuven is de discretisatiefout kleiner.

Bij een meerschijvenmodellering van de schuinstelling wordt de axiale variatievan de verzadiging en van de koppelbijdrage nauwkeurig in rekening gebracht.


3 4 5 6 7 8 9 100.0440.0460.0480.050 uniforme verdelingGauss-verdeling ndI [A]Figuur 9.79: Amplitude van de 712 Hz com-ponent in de berekende statorstromen bij vol-last met rotor-SO als functie van nd

3 4 5 6 7 8 9 100.160.170.180.190.20 uniforme verdelingGauss-verdelingndI [A]Figuur 9.80: Amplitude van de 812 Hz com-ponent in de berekende statorstromen bij vol-last met rotor-SO als functie van nd

9.4 Kortsluitsimulaties

9.4.1 Meetresultaten

Met elk van de vier rotoren werd een reeks kortsluitmetingen (d.i. met geblok-keerde rotor) met symmetrische 50 Hz spanningsvoeding en variabele effectievespanning Ve uigevoerd, waarbij de nominale waarde van de statorstroom nietoverschreden werd.Vooral bij de rotoren met rechte gleuven (RO en RG) vertonen de statorstromeneen duidelijk zichtbare asymmetrie, die afhankelijk is van de rotorpositie θrot(modulo 360/32=11.25). Figuur 9.81 toont bv. de gemeten statorstromen metrotor-RO geblokkeerd in drie posities (Ve=10 V, ∆θrot = 3).

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-3-2-10123 rot = crot = c + 3rot = c + 6I [A] t [s]Figuur 9.81: Gemeten statorstromen met rotor-RO geblokkeerd in drie posities(Ve=10 V, ∆θrot = 3)

De kortsluitimpedantie Zk, berekend op basis van de directe 50 Hz component vanresp. de drie gekoppelde spanningen en de drie statorstromen, is in geringe mateafhankelijk van de rotorpositie. Voor de drie metingen getoond in Figuur 9.81is Zk resp. (3.968 +j 4.029) Ω, (3.943 +j 4.014) Ω en (3.922 +j 4.041) Ω. De kort-sluitreactantie Xk varieert maximaal met 0.6%. De kleine weerstandvariatie is tewijten aan een (geringe) hoekafhankelijkheid van de spreidingsreactantie, maarvooral aan een verschillende gemiddelde temperatuur van de statorwikkelingen

9-36 HOOFDSTUK 9

en de rotorkooi. De kortsluitmetingen werden snel uitgevoerd, met relatief kleinestatorstromen, zodat de opwarming van de statorwikkelingen en de rotorkooigering was.

0 2 4 6 80102030 rotor-SGrotor-SOrotor-RGrotor-ROXk [] I1e [A]Figuur 9.82: Gemeten kortsluitreactantiesXk als functie van I1e met de vier verschil-lende rotoren

1 2 3 4 5 601234 rotor-SOrotor-ROrotor-SG - rotor-RGrotor-SO - rotor-RO I1e [A]Xk []Figuur 9.83: Gemeten kortsluitreactantiesXk met rotor-SO en rotor-RO, en gemetenschuinstellingskortsluitreactantie ∆Xk,sch

als functie van I1e

Figuur 9.82 toont de gemeten kortsluitreactanties met de vier verschillende ro-toren als functie van de effectieve statorstroom I1e. Met open rotorgleuven (ROen SO) is de kortsluitreactantie praktisch onafhankelijk van de stroom (zie ookFiguur 9.83). Met gesloten rotorgleuven (RG en SG) is de kortsluitreactantiegroter dan met open gleuven, en in sterke mate afhankelijk van de stroom. Derotorgleufbrugjes vormen immers een hoogpermeabel en verzadigbaar pad voorde spreidingsflux.

Schuinstellingsspreiding

Indien verondersteld wordt dat de rotorstaven geısoleerd zijn, wordt de toenamevan de spreiding (of de kortsluitreactantie) als gevolg van de schuinstelling metgoede benadering gegeven door [Melk98, deJ94]:

∆Xk ,sch = (1− k2)Xm = 1.072 Ω a 1.165 Ω, (9.10)

k = Fsch(p = 2) = 0.9922, (9.11)

Xm = 69 Ω a 75 Ω, (9.12)

met k de schuinstellingfactor (8.30) voor de vierpolige grondgolf, en Xm de (on-verzadigde) magnetiseringsreactantie met resp. rotor-RO (of rotor-SO) en rotor-RG (of rotor-SG).

Bij kortsluiting met rotor-SO is de gemeten toename van de spreiding 0.36 Ω a0.41 Ω, zoals ook voorgesteld in Figuur 9.83, en is dus veel kleiner dan voorspeldmet (9.10). Deze discrepantie kan verklaard worden door het feit dat bij de af-leiding van (9.10) geen rekening gehouden wordt met de zgn. interbar currents.Zoals reeds vermeld in §8.4.1 zijn dit stromen die via de lamellen van het blik-pakket (en dus niet via de eindringen) tussen de niet-geısoleerde staven lopen.


Als gevolg van deze interbar currents, die zich i.h.b. in een rotor met schuinge-stelde staven manifesteren, neemt de schuinstellingsspreiding ∆Xk ,sch af. Eennauwkeurige kwantitatieve voorspelling van dit effect is quasi-onmogelijk. Degrootte van de interbar currents wordt (bij een gegeven werkingstoestand) im-mers bepaald door de contactweerstand tussen de staven en het blikpakket, dieo.m. afhangt van de constructiewijze van de motor en die voor twee ogenschijn-lijk identieke rotoren sterk kan verschillen [deJ94]. De schuinstellingsspreiding∆Xk ,sch zoals gegeven door (9.10) kan als gevolg van de interbar currents geheelof gedeeltelijk afwezig zijn bij stilstand (kortsluiting), en is bij kleine slip eerdervolledig aanwezig [deJ94].

Bij kortsluiting met rotor-SG is de gemeten schuinstellingsspreiding ∆Xk ,sch

0.9 Ω a 1.1 Ω, zie ook Figuur 9.83, wat wel vrij goed overeenkomt met de waardein (9.10).

9.4.2 Simulaties met rotor-RO – fitting van de eindsprei-ding

Bij alle kortsluitsimulaties worden tien perioden (met elk 600 tijdstappen enβ = 0.6) gesimuleerd. De symmetrische driefasige spanning met effectiefwaardeVe wordt opgebouwd in twee netperioden, zoals bij de nullasten de vollastsi-mulaties. Figuren 9.84 en 9.85 tonen resp. de berekende statorstromen en deberekende rotorstaafstromen bij een kortsluitingsimulatie (Ve=10 V) met rotor-RO.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20-3-2-10123 t [s]I [A]Figuur 9.84: Berekende statorstromen bij eenkortsluitsimulatie (Ve=10 V) met rotor-RO

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20-100-50050100 I [A] t [s]Figuur 9.85: Berekende rotorstaafstromenbij een kortsluitsimulatie (Ve=10 V) metrotor-RO

In Figuur 9.86 wordt het berekende koppel getoond. In de tiende en laatste peri-ode van de simulatie is met goede benadering het regime bereikt. In Figuur 9.87wordt de berekende B-locus in de punten 4 t.e.m. 9 (zie Figuur 9.26) afgebeeld.

Fitting van de eindspreidingsinductanties

Zoals reeds vermeld in §9.1.3 is het nauwkeurig berekenen van de eindspreidings-parameters Lsσ3D

en Le niet evident. Daarom wordt voorgesteld deze parameters

9-38 HOOFDSTUK 9

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20-0.2-0.10.00.10.20.3 t [s]TEM [Nm]

Figuur 9.86: Berekend koppel bij een kort-sluitsimulatie (Ve=10 V) met rotor-RO

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10-0.10-0.050.000.050.10Bx [T]

By [T] 9 5487 6Figuur 9.87: Berekende B-locus in punten 4t.e.m. 9 bij kortsluiting (Ve=10 V) met rotor-RO

zo te bepalen dat het model de juiste totale spreiding geeft. De spreiding vervat inhet 2D EE-model, Xσ2D

= Xsσ2D+Xrσ2D

, wordt berekend d.m.v. een kortsluit-simulatie waarbij de eindspreidingsparameters gelijk aan nul gesteld worden. Uitde berekende statorstromen kortsluitreactantie Xk,2D bekomen, die met goedebenadering gelijk is aan Xσ2D

.

Figuren 9.88 en 9.89 tonen de berekende statorstromen en het berekende koppelbij kortsluiting (Ve=10 V) met rotor-RO in drie verschillende posities, en metverwaarlozing van de eindspreiding. De bekomen kortsluitreactantie Xk,2D isslechts in zeer geringe mate hoekafhankelijk: resp. 3.251 Ω, 3.253 Ω en 3.257 Ω.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-3-2-10123 rot = 0rot = 3rot = 6 t [s]I [A]Figuur 9.88: Berekende statorstromen bijkortsluiting (Ve=10 V) met rotor-RO, in drieposities, zonder eindspreiding

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.2-0.10.00.10.20.30.4 rot = 0rot = 3rot = 6 t [s]TEM [Nm]Figuur 9.89: Berekend koppel bij kortslui-ting (Ve=10 V) met rotor-RO, in drie posi-ties, zonder eindspreiding

Deze drie berekeningen werden uitgevoerd met de fijne vermazing en met degefitte luchtspleet (0.47 mm i.p.v. de nominale 0.39 mm, zie §9.2.2). De kortsluit-reactantie is 3.5% en 0.8% groter indien een luchtspleet van resp. 0.39 mm en0.45 mm verondersteld wordt. De minder fijne vermazing (en δ=0.47 mm) geeft


een kortsluitreactantie die 1.4% kleiner is.

Het verschil tussen de gemeten kortsluitreactantie (4.03 Ω) en de berekende kort-sluitreactantie zonder eindspreiding (3.25 Ω) is 0.78 Ω, en stemt bij benaderingovereen met de totale eindspreidingsreactantie Xσ3D

= Xsσ3D+ Xrσ3D

, die bv.gelijkmatig over de stator en de rotor verdeeld kan worden. De statoreindsprei-dingsinductantie is dan: Lsσ3D

=0.78/(2 · 2π50)=1.24 10−3 H. Rekening houdendmet de omrekenfactoren (9.6, 9.9), bekomen we voor de eindringsegmentinduct-antie Le=1.24 10−3/(14276.5 · 13.137)= 6.62 10−9 H.Indien de minder fijne vermazing gebruikt wordt, moet worden gecompenseerdvoor 0.83 Ω i.p.v. 0.78 Ω. De resp. inductanties zijn 1.32 10−3 H en 7.04 10−9 H.

Deze eindspreidingsparameters zijn bij de voorgaande nullasten vollastsimula-ties gebruikt, en worden bij alle verdere simulaties gebruikt.Ter controle wordt een kortsluitsimulatie uitgevoerd met deze parameters. Deberekende kortsluitreactantie is 3.998 Ω en 4.001 Ω met resp. de fijne en de minderfijne vermazing, in plaats van de beoogde 4.03 Ω. De compensatie is niet perfectomdat het verschil tussen de kortsluitreactantie Xk en de spreidingsreactantieXσ = Xsσ+Xrσ verwaarloosd werd (d.i. verwaarlozing van de magnetiseringstakin het vervangingsschema).

Figuur 9.90 toont een fluxpatroon bij kortsluiting met rotor-RO.

Figuur 9.90: Fluxpatroon bij kortsluiting met rotor-RO (Ve=10 V), met een zoomvan de luchtspleet- en de gleufspreidingflux

9.4.3 Simulaties met rotor-SO

Een kortsluitsimulatie (Ve=10 V) met rotor-SO wordt uitgevoerd met het meer-schijvenmodel met vijf uniforme schijven. De berekende statorstromen wordengetoond in Figuur 9.92. De corresponderende gemeten stromen (Ve=10.38 V)worden getoond in Figuur 9.91.De berekende schuinstellingskortsluitreactantie ∆Xk,sch bedraagt 1.01 Ω, watgoed overeenkomt met de waarde (9.10). Dit is niet verwonderlijk vermits in hetmeerschijvenmodel evenmin rekening gehouden wordt met de interbar currents.

9-40 HOOFDSTUK 9

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-3-2-10123 t [s]I [A]Figuur 9.91: Gemeten statorstromen bijkortsluiting (Ve=10.38 V) met rotor-SO(I1e=1.75 A, Xk=4.42 Ω)

-3-2-10123 t [s]I [A]Figuur 9.92: Berekende statorstromenbij kortsluiting (Ve=10 V) met rotor-SO(I1e=1.57 A, Xk=5.01 Ω)

Zoals reeds hoger vermeld en besproken, wijkt de gemeten schuinstellingskort-sluitreactantie (0.36 Ω a 0.4 Ω) wel sterk af van deze waarde.


Kortsluitsimulaties (Ve=10 V) met rotor-SO worden uitgevoerd met nd = 2, 3,5, 7, 10 en 20, en met zowel een uniforme verdeling als een Gauss-verdeling.Figuur 9.93 toont de berekende kortsluitreactantie als functie van het aantaldoorsneden nd. Met de Gauss-verdeling convergeert de kortsluitreactantie veelsneller naar de limietwaarde.

0 5 10 15 204.04.24.44.64.85.0 uniforme verdelingGauss-verdeling ndXk []Figuur 9.93: Berekende kortsluitreactantie (Ve=10 V) met rotor-SO als functie vannd, met een uniforme verdeling en met een Gauss-verdeling

9.4.4 Simulaties met rotor-RG en rotor-SG

Kortsluitsimulaties met rotor-RG en rotor-SG (vijf uniforme schijven) wordenuitgevoerd met verschillende waarden voor Ve (van 10 V tot 45 V). Figuur 9.94toont de gemeten en de berekende kortsluitreactantie als functie van de effectieve


statorstroom I1e. Voor beide rotoren is er een goede overeenkomst tussen degemeten en de berekende kortsluitreactantie.

0 2 4 60102030 gemeten, rotor-SGgemeten, rotor-RGberekend, rotor-SGberekend, rotor-RGI1e[A]Xk []Figuur 9.94: Berekende en gemeten kortsluitreactanties met rotor-RG en rotor-SGals functie van de effectieve statorstroom I1e

Figuren 9.95 en 9.96 tonen de gemeten statorstromen met rotor-RG met resp.Ve≈ 15 V en Ve≈ 40 V. De corresponderende berekende statorstromen wordenafgebeeld in Figuur 9.97.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-2-1012 t [s]I [A]Figuur 9.95: Gemeten statorstromen bijkortsluiting (Ve=15.3 V) met rotor-RG(I1e=1.06 A, Xk=13.72 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 t [s]I [A]Figuur 9.96: Gemeten statorstromen bijkortsluiting (Ve=39.1 V) met rotor-RG(I1e=5.14 A, Xk=6.45 Ω)

De berekende stroom in de eerste twee rotorstaven wordt voor de twee spanningengetoond in Figuur 9.98. Deze twee rotorstaven zijn min of meer gealigneerdmet statorfase A. Bij de nuldoorgang vertonen de statorstromen en a fortiori derotorstaafstromen een kleine helling dI

dt . Dit stemt overeen met het uit verzadigingkomen van de rotorgleufbrugjes.

In Figuren 9.99 en 9.100 worden fluxpatronen bij kortsluiting met rotor-RG enmet resp. Ve=15 V en Ve=40 V getoond. Bij Ve=40 V zijn de rotorgleufbrugjesmeer verzadigd, en kan meer flux de rotor indringen.

De berekende statorstromen bij kortsluiting (Ve=15 V) met rotor-SG (met vijfuniforme schijven) worden getoond in Figuur 9.102. De gemeten kortsluitstromenbij Ve= 15.46 V worden getoond in Figuur 9.101.

9-42 HOOFDSTUK 9

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 Ve=15VVe=40Vt [s]I [A] A B CA B CFiguur 9.97: Berekende statorstromen bijkortsluiting (Ve=15 V en 40 V) met rotor-RG (I1e=0.959 A en 5.224 A, Xk=15.06 Ω en6.52 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-400-2000200400 Ve=15VVe=40V t [s]I [A] 1 2 1 2Figuur 9.98: Berekende stroom in de eerstetwee rotorstaven bij kortsluiting (Ve=15 V en40 V) met rotor-RG

9.4.5 Besluit

De eindspreidingsparameters werden afgeleid uit de gemeten kortsluitreactantiemet rotor-RO en uit de berekende kortsluitreactantie waarbij de eindspreidingverwaarloosd werd.De schuinstellingsspreiding berekend met het meerschijvenmodel komt goed over-een met de analytische waarde die men bekomt door de interbar currents te ver-waarlozen. Uit de metingen kan men besluiten dat deze parasitaire stromen bijkortsluiting niet verwaarloosbaar zijn in rotor-SO, maar wel in rotor-SG.Bij rotoren met gesloten gleuven is de kortsluitreactantie sterk afhankelijk vande spanning. Deze afhankelijkheid wordt vrij nauwkeurig berekend met het EE-model.

9.5 Simulaties met een magnetisch netwerk

In §8.5 werd de modellering van elektrische machines en i.h.b. van inductiemachi-nes m.b.v. een magnetisch netwerk (MEC) behandeld. Hierna worden verschil-lende werkingstoestanden (nullast, vollast en kortsluiting) van de 3kW motormet de vier verschillende rotoren gesimuleerd m.b.v. een elementair magnetischnetwerk.De resultaten van het MEC worden vergeleken met de overeenstemmende resul-taten bekomen met het EE-model (minder fijne vermazing). De verschillen zijnenkel te wijten aan de verschillende ruimtediscretisatie van de twee modellen,vermits de rest van het model (elektrisch netwerk, materiaalmodellering, aantaldoorsneden in een meerschijvenmodel, . . . ) en de simulatieparameters (spanning,toerental, tijdstap, . . . ) identiek zijn. Een vergelijking van de MEC-resultatenmet meetresultaten – indien beschikbaar – geeft een minder objectief idee van denauwkeurigheid van het magnetische netwerkmodel. Immers, indien het magne-tische netwerkmodel een betere overeenkomst met de metingen zou geven dan hetEE-model, zou dit eerder te wijten zijn aan het toeval dan aan de ’fijnheid’ (ofnauwkeurigheid) van de resp. modellen (i.h.b. wat de ruimtediscretisatie betreft).


Figuur 9.99: Fluxpatroon (en zoom) bij kort-sluiting (Ve=15 V) met rotor-RG

Figuur 9.100: Fluxpatroon (en zoom) bijkortsluiting (Ve=40 V) met rotor-RG

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-2-1012 t [s]I [A]Figuur 9.101: Gemeten statorstromen bijkortsluiting (Ve=15.46 V) met rotor-SG(I1e=0.9566 A, Xk=15.42 Ω)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-2-1012 t [s]I [A]Figuur 9.102: Berekende statorstromenbij kortsluiting (Ve=15 V) met rotor-SG(I1e=0.829 A, Xk=17.58 Ω)

9.5.1 Modellering met een magnetisch netwerk

Het elementaire magnetische netwerk in Figuur 8.18 wordt gebruikt voor de mo-dellering van een pool van de 3kW motor (Ns = 36, Nr = 32). Het model omvat34 fluxlussen: 9 in de stator, 9+8=17 in de luchtspleet en 8 in de rotor. Hetopleggen van de anti-periodiciteit aan de lusfluxen en m.m.k.’s geschiedt d.m.v.

9-44 HOOFDSTUK 9

anti-parallelle verbindingen, naar analogie met de anti-parallelle verbindingenvoor het opleggen van de anti-periodiciteit aan de stromen en de spanningen ineen pool van de rotorkooi (zie Figuur 8.17).

Zoals voorgesteld in Figuur 9.103 kunnen de equivalente lengte en breedte vande tanden de juksegmentreluctanties geschat worden op basis van de geometrie.wrjlst lrtlsj wst lrjwrtwsjFiguur 9.103: Eenvoudige bepaling van de equivalente lengte en breedte van de tand-en de juksegmentreluctanties (lsj =11.9 mm, wsj =13.2 mm, lrj =4.6 mm, wrj =15.2 mm,lst=16.0 mm, wst=3.94 mm, lrt=14.6 mm, wrt=4.18 mm)

In §8.5.3 werd de analytische tandpaarpermeantiefunctie Λtp(x) gefit m.b.v. een2D EE-model van een overlappende stator- en rotortand, waarbij de rotorgleuf-opening 2 mm of 0.1 mm was. De parameters d1, d2, d3 en d4 van het eerste gevalworden gebruikt bij de simulatie met rotor-RO en rotor-SO, terwijl de parametersvan het tweede geval gebruikt worden bij de simulatie met rotor-RG en rotor-SG.

Voor de stator- en de rotorgleufspreidingsreluctantie (of de equivalente stator- enrotorgleufbreedte) werden in §8.5.2 telkens twee waarden bekomen, naargelangde berekening gebaseerd was op de fysische flux of de gekoppelde flux. Dit geeftresp. een boven- en een ondergrens voor de gleufspreidingreluctanties (of eenonder- en een bovengrens voor de equivalente gleufbreedtes). Bij de simulatiewordt – tenzij anders vermeld – de gemiddelde reluctantie gebruikt. Het belangvan deze keuze wordt verder nagegaan.

Het elektrische netwerk is hetzelfde als bij een EE-simulatie, behalve dan dat derotorstaven als m.m.k.-bronnen of gewikkelde geleiders (met als weerstand de ge-lijkstroomweerstand van een staaf) gemodelleerd worden. De stroomverdringingin de staven wordt dus volledig verwaarloosd.

De materiaalmodellering is eveneens zoals in het EE-model. Tenzij anders ver-meld wordt de maagdelijke kromme gebruikt, gecombineerd met de wervelstroom-matrix Tlam(σeq). Het veel rekenintensievere alternatief is het gebruik van hetvector-Preisach-model, gecombineerd met de wervelstroommatrix Tlam(σ).


9.5.2 Simulaties met rotor-RO

9.5.2.1 Nullastsimulaties met rotor-RO

Controle van de luchtspleetmodellering

Teneinde de luchtspleetmodellering van het MEC te controleren, worden eersteen EE- en een MEC-nullastsimulatie uitgevoerd bij Ve=100 V. Immers, bij dielage spanning is de reluctantie van het blik verwaarloosbaar, en wordt de nul-lastreactantie bijna uitsluitend bepaald door de luchtspleetmodellering.Figuur 9.104 toont de berekende statorstromen. De nullastreluctantie bedraagt65.3 Ω en 64.9 Ω met resp. het EE-model en het MEC. Het kleine verschil (0.6%)kan eventueel weggewerkt worden door de parameters van de tandpaarperme-antie Λtp(x) in het MEC lichtjes aan te passen. De (gleuf)harmonischen in destatorstromen komen ook redelijk goed overeen.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-3-2-10123 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.104: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=100 V) met rotor-RO

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.105: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-RO

Controle van de verzadiging

Een tweede stel nullastsimulaties wordt uitgevoerd bij Ve=220 V. De reluctantievan de stator- en de rotorkern is nu niet meer verwaarloosbaar. De nullastreac-tantie is 56.1 Ω en 54.7 Ω met resp. het EE-model en het MEC. Het verschil(2.5%) is vooral te wijten aan een te hoge (gemiddelde of lokale) verzadiging inhet MEC. Indien we de breedte wst van de statortandreluctanties verhogen van3.94 mm naar 4.05 mm (+2.8%), en zo rekening houden met de grotere sectievan de statortanden nabij de luchtspleet en het juk, neemt de nullastreactantievan het MEC bij Ve=220 V toe van 54.7 Ω tot 55.9 Ω. Figuur 9.105 toont destatorstromen bekomen met het EE-model en met het MEC (met aangepastestatortandbreedte).

Figuur 9.106 toont de berekende stroom in de eerste rotorstaaf. Figuur 9.107toont de berekende inductie in de punten 1 en 3 in het EE-model (zie Figuur 9.26),en, overeenkomstig daarmee, de inductie in de eerste statorjuksegmentreluctantieen de eerste statortandreluctantie van het MEC. Het verschil tussen de tweejukinducties, i.h.b. wat de fase en de piekwaarde betreft, zijn deels te verklarendoor het feit dat het enerzijds een lokale inductie betreft (in punt 1), en anderzijds

9-46 HOOFDSTUK 9

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010-150-100-50050100 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.106: Berekende stroom in de eersterotorstaaf bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-2-1012 EEMEC t [s]B [T]juk tandpunt 3punt 1Figuur 9.107: Berekende inductie in het sta-torjuk (punt 1) en in de eerste statortand(punt 3) bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RO

de gemiddelde inductie in het statorjuksegment. In de statortand (punt 3) is deinductie quasi-uniform.

Berekening met het vector-Preisach-model

Bij de EE-simulatie met het vector-Preisach-model (zie §9.2.4) werd een zeerkleine tijdstap gebruikt (4000 stappen per periode) om de convergentieproblemenbij het inverteren van het vector-Preisach-model te beperken. Bij de overeenkom-stige MEC-simulatie kan een grotere tijdstap genomen worden, bv. 1000 stappenper periode, daar die hoge lokale verzadiging niet aanwezig is in het magnetischenetwerkmodel.

Figuren 9.108 en 9.109 tonen de berekende BgHg- en BgHr-lussen in resp. heteerste statorjuksegment en de eerste statortand van het MEC.

-600 -400 -200 0 200 400 600-2-1012 BgHgBgHrH [A/m]B [T]Figuur 9.108: Berekende BgHg- en BgHr-lusin het statorjuk bij nullast (Ve=220 V) metrotor-RO

-4000 -2000 0 2000 4000-2-1012 BgHgBgHrB [T] H [A/m]Figuur 9.109: Berekende BgHg- en BgHr-lusin de eerste statortand bij nullast (Ve=220 V)met rotor-RO

De MEC-simulatie met het Preisach-model geeft 29.46 W hysteresisverlies en37.66 W wervelstroomverlies. Het ijzerverlies in de rotor is verwaarloosbaar(0.03 W). Het rotor-Joule-verlies is 11.0 W (10.3 W in de rotorstaven + 0.68 W inde eindringen).


De verliezen bekomen met het EE-model vinden we terug in §9.2.4 en i.h.b.in Tabel 9.3. Het EE-model geeft ongeveer hetzelfde hysteresisverlies (30.8 W,waarvan 1.86 W in de rotor). Het wervelstroomverlies is bijna dubbel zo groot(70.3 W, waarvan 23.34 W in de rotor). Het rotor-Joule-verlies is 30.35 W (29.7 Win de rotorstaven + 0.65 W in de eindringen).

De verschillen tussen de verliezen bekomen met enerzijds het MEC en met an-derzijds het EE-model kunnen deels als volgt verklaard worden.

In het MEC wordt de stroomverdringing in de rotorstaven verwaarloosd, waar-door het rotor-Joule-verlies in grote mate onderschat wordt. Noch in het EE-model, noch in het MEC wordt stroomverdringing in de eindringen beschouwd.Het Joule-verlies in de eindringen verschilt dan ook in geringe mate.

De hoogfrequente (spreidings)flux aan de luchtspleet (zie bv. Figuren 9.35 en9.36) en het geassocieerde ijzerverlies (in de rotor) kunnen met het eenvoudigeMEC niet (nauwkeurig) gemodelleerd worden.

9.5.2.2 Vollastsimulaties met rotor-RO

Figuur 9.110 toont de berekende statorstromen bij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min)met rotor-RO. Figuur 9.111 toont het koppel, berekend met het MEC en methet EE-model (laag aan de stator in de minder fijne vermazing). De gemiddeldekoppels komen vrij goed overeen: 20.38 Nm met het MEC t.o.v. 19.68 a 20.15 Nmmet de minder fijne EE-vermazing en 20.19 a 20.34 Nm met de fijne vermazing.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.110: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RO

0.000 0.005 0.0101015202530 EEMEC t [s]TEM [Nm]Figuur 9.111: Berekende koppel bij vollast(Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RO

De bovenstaande MEC-resultaten zijn bekomen met de gemiddelde gleufsprei-ding (zie §9.5.1). Er worden ook simulaties uitgevoerd met de maximale en deminimale gleufspreiding. De maximale gleufspreiding geeft ongeveer 9% kleinere750 Hz en 850 Hz componenten in de stroom, een 1.7% groter 862.5 Hz compo-nent in het koppel, en een verwaarloosbaar effect op de 50 Hz component in destatorstromen en op het gemiddelde koppel. De minimale gleufspreiding geeftongeveer de omgekeerde effecten.

9-48 HOOFDSTUK 9

9.5.2.3 Kortsluitsimulaties met rotor-RO

Er worden MEC-kortsluitsimulaties uitgevoerd met Ve=10 V, en bij verschillenderotorposities. Indien we de gemiddelde gleufspreiding aannemen, is de berekendekortsluitreactantie 4.37 Ω a 4.39 Ω. Met de maximale en de minimale gleufsprei-ding bekomen we resp. 4.78 Ω en 4.09 Ω. De laatste waarde komt goed overeenmet de EE-referentiewaarde (4.03 Ω). We veronderstellen dus verder de minimalegleufspreiding.

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-3-2-10123 EEMECI [A] t [s]Figuur 9.112: Berekend statorstromen bijkortsluiting (Ve=10 V) met rotor-RO (mini-male gleufspreiding)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-0.20.00.20.4 EEMEC t [s]TEM [Nm]Figuur 9.113: Berekend koppel bij kort-sluiting (Ve=10 V) met rotor-RO (minimalegleufspreiding)

Figuur 9.112 toont de berekende statorstromen. Het berekende koppel wordtafgebeeld in Figuur 9.113. Het MEC geeft een gemiddeld koppel dat 21% teklein is (0.077 Nm t.o.v. 0.093 Nm).

9.5.3 Simulaties met rotor-RG

Een bijkomende moeilijkheid bij de MEC-simulaties met rotor-RG is de model-lering van de rotorgleufbrugjes. Zoals voorgesteld in Figuur 9.1 zijn de brugjes2 mm lang, minimaal 0.4 mm breed (in het midden) en maximaal 0.6 mm breed(aan de uiteinden). De lineaire rotorgleufspreidingsreluctanties worden eenvou-digweg vervangen door verzadigbare reluctanties met equivalente lengte lrb=2 mmen equivalente breedte wrb. De invloed van wrb op de kortsluitreactantie wordthierna bestudeerd.

9.5.3.1 Kortsluitsimulaties met rotor-RG

Figuur 9.114 toont de kortsluitreactantie als functie van de effectieve statorstroomI1e, berekend met het EE-model en met het MEC (wrb gelijk aan 0.4 mm, 0.5 mmof 0.6 mm). wrb=0.4 mm geeft de beste overeenkomst met het EE-model.

Figuur 9.115 toont de berekende statorstromen bij kortsluiting (Ve=15 V) metrotor-RG (MEC: wrb=0.4 mm).


0 2 4 60102030 EEMEC, 0.4 mmMEC, 0.5 mmMEC, 0.6 mmXk []

I1e [A]Figuur 9.114: Kortsluitreactantie met rotor-RG als functie van I1e (MEC: wrb=0.4 mm,0.5 mm of 0.6 mm)

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-2-1012 EEMECI [A] t [s]Figuur 9.115: Berekende statorstromen bijkortsluiting (Ve=15 V) met rotor-RG (MEC:wrb=0.4 mm)

9.5.3.2 Nullast- en vollastsimulaties met rotor-RG

Figuur 9.116 toont de berekende statorstromen bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG. De berekende stroom in eerste rotorstaaf wordt afgebeeld in Figuur 9.117.

De overeenkomst tussen de EE- en de MEC-resultaten is duidelijk minder goeddan bij de corresponderende nullastsimulatie met rotor-RO (Figuren 9.105 en9.106).

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.116: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-RG

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010-60-40-20020 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.117: Berekende stroom in de eersterotorstaaf bij nullast (Ve=220 V) met rotor-RG

Figuur 9.118 toont de berekende statorstromen bij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min).De gleufharmonischen worden overschat en zijn verschoven t.o.v. die bekomenmet het EE-model. Hetzelfde geldt voor de gleufharmonische in het koppel inFiguur 9.119.

Figuur 9.120 toont de berekende stroom in de vierde rotorstaaf bij vollast metrotor-RG. De inductie in de brugreluctanties wordt afgebeeld in Figuur 9.121.

9-50 HOOFDSTUK 9

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-15-10-5051015 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.118: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RG

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010102030 EEMEC t [s]TEM [Nm]Figuur 9.119: Berekend koppel bij vollast(Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-RG

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20-200-1000100 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.120: Berekende stroom in de vierderotorstaaf bij vollast (Ve=220 V, 1430 r/min)met rotor-RG

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20-3-2-10123 43 5t [s]B [T]Figuur 9.121: Berekende inductie in deacht rotorgleufbrugjes bij vollast (Ve=220 V,1430 r/min) met rotor-RG

9.5.4 Simulaties met het meerschijvenmodel

Er werden ook MEC-simulaties uitgevoerd met het meerschijvenmodel (vijf uni-forme schijven). De berekende statorstromen bij nullast met rotor-SO en bijvollast met rotor-SG worden vergeleken met de stromen bekomen met het EE-model in de resp. Figuren 9.122 en 9.123.

9.5.5 Hybriede modellering

In Figuren 9.124 en 9.125 worden twee hybriede modellen van een pool van demotor getoond. In het eerste model worden de rotor, de luchtspleet en het deelvan de stator nabij de luchtspleet gemodelleerd met eindige elementen. Hetstatorjuk en een deel van de statortanden en -gleufspreiding worden gemodelleerdmet reluctanties. De negen m.m.k.-bronnen in de stator zijn niet weergegevenin Figuur 9.124. In het tweede hybriede model wordt enkel een ring rond deluchtspleet gemodelleerd met eindige elementen.De nauwkeurigheid van de twee hybriede modellen wordt in [Gys98a] vergeleken


0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-505 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.122: Berekende statorstromen bijnullast (Ve=220 V) met rotor-SO

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020-10-50510 EEMEC t [s]I [A]Figuur 9.123: Berekende statorstromen bijvollast (Ve=220 V, 1430 r/min) met rotor-SG

Figuur 9.124: Hybried model 1 Figuur 9.125: Hybried model 2

met die van een EE-model en van een magnetisch netwerkmodel. Bij nullasten lage slip geven de vier modellen ongeveer dezelfde resultaten (stromen enkoppel). Naarmate de slip toeneemt, wordt het verschil tussen de resultaten, eni.h.b. tussen de koppels, groter. De hybriede modellen zijn duidelijk nauwkeurigerdan het magnetische netwerkmodel, maar vooral het tweede hybriede model isminder nauwkeurig dan het EE-model.

De snelheidswinst bij een hybriede modellering is beperkt. Ze bedraagt maximaal40% t.o.v. een EE-modellering, terwijl het magnetische netwerkmodel minstens200 maal zo snel is. De relatief kleine snelheidswinst kan verklaard worden doorhet (relatief) zeer hoge aantal knooppunten in de ring rond de luchtspleet vanzowel het EE-model als van de twee hybriede modellen. In en op de rand van dering zijn er in de drie gevallen 4692 knooppunten, terwijl het EE-model in totaalslechts 6311 knooppunten telt. Met deze vermazingen is een eerlijke vergelijkingmogelijk. Immers, vooral in en rond de luchtspleet is een fijne EE-discretisatie

9-52 HOOFDSTUK 9

verrechtvaardigd.

Bij deze specifieke toepassing is het voordeel van een hybriede modellering duseerder marginaal. Een snelheidswinst kan men eveneens bekomen met een EE-model met een minder fijne vermazing, met eventueel een kleiner verlies aannauwkeurigheid.

9.5.6 Besluit

Na een kleine aanpassing van de modelparameters, i.h.b. de breedte van de sta-tortanden en de equivalente breedte van de stator- en de rotorgleuven, geeft hetmagnetische netwerkmodel vrij nauwkeurige resultaten, zeker gezien het geringeaantal vrijheidsgraden. Hierbij werden de corresponderende berekeningsresulta-ten bekomen met het EE-model als referentie gebruikt.

De nauwkeurigheid van het magnetische netwerkmodel is beduidend kleiner alsde rotorgleuven gesloten zijn.

Het voordeel van een hybriede modellering is eerder marginaal.

9.6 Simulaties van de onbelaste aanloop

Als illustratie van de kinematische koppeling van een EE-model (zie §8.3) wordtde onbelaste aanloop van de motor vanuit stilstand bij het plots inschakelen vande netvoeding gesimuleerd. Het belang van de initiele rotorpositie, het inschakel-ogenblik en de schuinstelling (rotor-SO i.p.v. rotor-RO) wordt nagegaan. Zowelhet EE-model als het magnetische netwerkmodel worden gebruikt.

9.6.1 Metingen van aanloop met rotor-RO

Twee metingen werden uitgevoerd van de onbelaste aanloop met rotor-RO (geenlast, eigen ventilator gedemonteerd, wel voorzien van een stroboscoopschijf). De230 V, 50 Hz netvoeding werd hierbij plots ingeschakeld. De fasespanningen, destatorstromen en het toerental werden opgenomen met een data-acquisitiesysteem.Figuur 9.126 toont het opgenomen tijdsverloop van het toerental N . De tijdsasis zo gekozen dat t = 0 op het inschakelogenblik.

Bij meting 1 (Figuur 9.127) is het toerental gedurende ongeveer 0.014 s na hetinschakelen negatief. De rotor draait over maximum 3.5 in de tegengestelde zin,alvorens in de goede richting aan te lopen.

Figuur 9.128 toont de gemeten fasespanningen (meting 1). De spanning zakt ingeringe mate door gedurende ongeveer twee perioden na het inschakelen: de pie-kwaarden zijn minimaal 316 V t.o.v. 325 a 329 V voor het inschakelen en voldoendlange tijd na het inschakelen.

Figuur 9.129 toont de gemeten statorstromen (meting 1). De maximale ogenblik-kelijke stroom is 65 A. Dit is ongeveer vijf maal hoger dan bij nominale werking.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4050010001500 meting 1meting 2N [r/min] t [s]Figuur 9.126: Gemeten toerental bij aanloopmet rotor-RO (metingen 1 en 2)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10050010001500 t [s]N [r/min]Figuur 9.127: Gemeten toerental bij aanloopmet rotor-RO (meting 1)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-400-2000200400 t [s]V [V]Figuur 9.128: Gemeten spanningen bij aan-loop met rotor-RO (meting 1)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-60-40-200204060 I [A] t [s]Figuur 9.129: Gemeten statorstromen bijaanloop met rotor-RO (meting 1)

9.6.2 Schatting van het traagheidsmoment Jrot

Het traagheidsmoment van de rotor (stroboscoopschijf inbegrepen) kan geschatworden op basis van de geometrie en de massadichtheden. Het deel van het traag-heidsmoment vervat in het 2D EE-model (met lengte lz) kan worden berekenddoor een eenvoudige sommatie over alle elementen (elektroblik en koper) in derotor [Mer99]:

Jrot,2D = lz∑i

ρi∆iλir2i = 5.09 10−3 kgm2, (9.13)

met ∆i de oppervlakte van het i-de element, ρi de massadichtheid, λi de vulfactor(van het elektroblik), en ri de straal van het zwaartepunt.

Het traagheidsmoment van de twee aluminium eindringen (afmetingen zie §9.1.3)is samen 0.3 10−3 kgm2. Het traagheidsmoment van de stalen as (gemiddeldediameter 0.03 m, lengte 0.381 m) is ongeveer 0.236 10−3 kgm2. De aluminiumstroboscoopschijf (massa 0.3 kg, diameter 0.264 m) heeft een niet te verwaarlozentraagheidsmoment, namelijk 2.7 10−3 kgm2. Het totale traagheidsmoment Jrotbedraagt aldus 8.33 10−3 kgm2.

9-54 HOOFDSTUK 9

9.6.3 Schatting van het wrijvingskoppel en -vermogen

Figuur 9.130 toont het gemeten toerental van de motor als functie van de tijd bijhet onbelaste uitlopen met rotor-RO (zonder ventilator, met stroboscoopschijf)vanaf 2700 r/min (na het uitschakelen van de 90 Hz invertorvoeding).

0 25 5005001000150020002500 t [s]N [r/min]Figuur 9.130: Gemeten toerental bij het on-belaste uitlopen vanaf 2700 r/min

0 1000 20000.000.020.040.06 N [r/min]Tw [Nm]Figuur 9.131: Wrijvingskoppel Tw als functievan het toerental

Uit de helling van de kromme in Figuur 9.130 en het geschatte traagheidsmomentvolgt het wrijvingskoppel, dat in Figuur 9.131 is uitgezet als functie van hettoerental. Het wrijvingskoppel Tw en het wrijvingsvermogen Pw bij 1500 r/minbedragen resp. 0.055 Nm en 8.6 W.Het wrijvingskoppel is zeer klein t.o.v. het nominale motorkoppel (20 Nm), enzeker t.o.v. het startkoppel, dat verschillende malen groter is dan het nominalekoppel.

9.6.4 EE-simulaties van de aanloop met rotor-RO en rotor-SO

Bij de EE-simulaties wordt een oneindig sterk spanningsnet (Ve=230 V) veron-dersteld. Het wrijvingskoppel wordt verwaarloosd. Twintig perioden (met elk500 tijdstappen) worden gesimuleerd met de minder fijne vermazing.Het tijdsverloop van het toerental, het koppel en de stromen hangt af van debeginpositie θrot,0 van de rotor en van de fase van de spanningen (of de groottevan de drie spanningen op t = 0). De fase van de spanningen wordt aangegevenmet de fase φ van de eerste spanning.Een eerste aanloopsimulatie wordt uitgevoerd met rotor-RO, en met θrot,0 = 0

en φ = 90. Figuren 9.132 en 9.133 tonen resp. het berekende toerental enhet berekende koppel. Zoals bij meting 1 is er initieel een verdraaiing in detegengestelde richting. De berekende maximale verdraaiing is 8.6.In Figuren 9.134 en 9.135 worden de berekende B-loci in de resp. punten 4 en 5 inde eerste statortand nabij de luchtspleet (zie Figuur 9.26) getoond. De maximalegrootte van B is resp. 2.2 T en 2.9 T. De B-loci kunnen vergeleken worden met decorresponderende B-loci bij kortsluiting (Ve=10 V) in Figuur 9.87, en bij nullast(Ve=220 V) in Figuren 9.27 en 6.42 voor de resp. punten 4 en 5.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4-500050010001500 t [s]N [r/min]Figuur 9.132: Berekend toerental bij aanloopmet rotor-RO (θrot,0 = 0, φ = 90)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4-1000100200 t [s]TEM [Nm]Figuur 9.133: Berekend koppel bij aanloopmet rotor-RO (θrot,0 = 0, φ = 90)

-2 -1 0 1 2-2-1012

Bx [T]By [T]

Figuur 9.134: Berekende B-locus in punt 4bij aanloop met rotor-RO (θrot,0 = 0, φ =90)

-2 -1 0 1 2-2-1012

Bx [T]By [T]

Figuur 9.135: Berekende B-locus in punt 5bij aanloop met rotor-RO (θrot,0 = 0, φ =90)

Invloed van de beginrotorpositie en het inschakelogenblik

De invloed van de beginrotorpositie θrot,0 en het inschakelogenblik wordt nunagegaan door aanloopsimulaties uit te voeren met verschillende combinatiesvan θrot,0 en φ.Figuur 9.136 toont het berekende toerental met φ = 90 en θrot,0 =0.0, 2.8,5.6 en 8.4 (telkens een kwart rotortandsteek verdraaid). Figuur 9.137 toonthet berekende toerental met θrot,0 = 0 en φ=90, 75, 60 en 45.Zowel de beginpositie als het inschakelogenblik hebben een grote invloed op hetaanloopgedrag. Zij bepalen o.m. de (initiele) amplitude van de oscillatie van hettoerental rond het synchrone toerental.

Effect van de schuinstelling

Aanloopsimulaties met rotor-SO worden uitgevoerd met het meerschijvenmodel(vijf doorsneden met Gauss-verdeling). Figuren 9.138 en 9.139 tonen het bere-

9-56 HOOFDSTUK 9

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-5000500100015002000 rot;0 = 0:0rot;0 = 2:8rot;0 = 5:6rot;0 = 8:4N [r/min] t [s]Figuur 9.136: Berekend toerental bij aanloopmet rotor-RO met θrot,0 =0.0, 2.8, 5.6 en8.4, en φ = 90

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-500050010001500 = 90 = 75 = 60 = 45 t [s]N [r/min]Figuur 9.137: Berekend toerental bij aanloopmet rotor-RO met θrot,0 = 0 en φ=90,75, 60 en 45

kende toerentalverloop voor dezelfde combinaties van θrot,0 en φ als in de resp.Figuren 9.136 en 9.137.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100500100015002000 rot;0 = 0:0rot;0 = 2:8rot;0 = 5:6rot;0 = 8:4 t [s]N [r/min]Figuur 9.138: Berekend toerental bij aanloopmet rotor-SO met θrot,0 =0.0, 2.8, 5.6 en8.4, en φ = 90

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100500100015002000 = 90 = 75 = 60 = 45 t [s]N [r/min]Figuur 9.139: Berekend toerental bij aanloopmet rotor-SO met θrot,0 = 0 en φ=90, 75,60 en 45

Als gevolg van de schuinstelling is de invloed van de beginpositie en het inscha-kelogenblik duidelijk kleiner.

Figuren 9.140 en 9.141 tonen resp. de berekende statorstromen en het berekendekoppel (met θrot,0 = 0 en φ = 90), met zowel rotor-RO als rotor-SO.

De maximale berekende stroom bij aanloop van rotor-RO (en rotor-SO) is 70 A,wat iets groter is dan de maximale gemeten waarde (65 A).

9.6.5 Aanloopsimulaties met een magnetisch netwerkmo-del

Tenslotte worden nog enkele aanloopsimulaties met een magnetisch netwerkmodeluitgevoerd. Het berekende toerentalverloop bij aanloop (θrot,0 = 0, φ = 90)met rotor-RO en rotor-SO (vijf doorsneden, Gauss-verdeling) wordt vergelekenmet de EE-resultaten in Figuur 9.142.


0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-60-40-200204060 rotor-ROrotor-SO t [s]I [A]Figuur 9.140: Berekende statorstromen bijaanloop met rotor-RO en rotor-SO metθrot,0 = 0 en φ = 90

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-1000100200 rotor-ROrotor-SOTEM [Nm]Figuur 9.141: Berekend koppel bij aanloopmet rotor-RO en rotor-SO met θrot,0 = 0

en φ = 90

Het magnetische netwerkmodel geeft onnauwkeurige resultaten (in vergelijkingmet het EE-model). Dit is niet verwonderlijk gezien de onnauwkeurige koppelbe-rekening bij kortsluiting (zie §9.5.2.3). Volgens de MEC-simulatie loopt rotor-ROzelfs niet aan. De aanloop van rotor-SO berekend met MEC komt beter overeenmet de EE-resultaten.Figuur 9.143 toont het koppel bij aanloop met rotor-RO en rotor-SO, berekendmet het MEC. De berekende statorstromen worden afgebeeld in Figuur 9.144.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-5000500100015002000 EE, rotor-ROEE, rotor-SOMEC, rotor-ROMEC, rotor-SO t [s]N [r/min]Figuur 9.142: Toerental bij aanloop metrotor-RO en rotor-SO, berekend met EE-model en MEC, met θrot,0 = 0 en φ = 90

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-1000100200 MEC, rotor-ROMEC, rotor-SOt [s]TEM [Nm]Figuur 9.143: Koppel bij aanloop met rotor-RO en rotor-SO, berekend met MEC, metθrot,0 = 0 en φ = 90

In Figuur 9.145 worden de gesimuleerde aanlopen getoond met een andere begin-positie, namelijk θrot=2.8 i.p.v. 0. Volgens de MEC-simulatie loopt rotor-ROnu wel aan, zij het met een grote vertraging.

9.6.6 Besluit

De onbelaste aanloop van de motor vanuit stilstand bij het plots inschakelenvan de netvoeding werd gesimuleerd met een EE-model en met een magnetischnetwerkmodel. Zoals ook experimenteel vastgesteld, loopt de motor aan in enkele

9-58 HOOFDSTUK 9

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-60-40-200204060 rotor-ROrotor-SO t [s]I [A]Figuur 9.144: Berekende stromen met rotor-RO en rotor-SO met MEC, met θrot,0 = 0

en φ = 90

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10-5000500100015002000 EE, rotor-ROEE, rotor-SOMEC, rotor-ROMEC, rotor-SOt [s]N [r/min]Figuur 9.145: Toerental bij aanloop metrotor-RO en rotor-SO, berekend met EE-model en MEC, met θrot,0 = 2.8 en φ = 90

netperioden, waarna het toerental oscilleert rond het synchrone toerental. Deinitiele rotorpositie en het inschakelogenblik blijken een belangrijke invloed tehebben op het toerentalverloop tijdens de eerste perioden.

Als gevolg van de onnauwkeurige koppelberekening bij stilstand geeft een MEC-simulatie onbetrouwbare resultaten.

9.7 Modellering van de eindspreiding

Het magnetische veld in de eindzones van bv. kooiankerinductiemachines is com-plex en uitgesproken 3D. In de literatuur vindt men een aantal benaderende ana-lytische uitdrukkingen voor de spoelkop- en de eindringspreiding [Alg70, Melk98].Volgens [Wil90a] kunnen dergelijke analytische formules voor eenzelfde motorwaarden opleveren die een grootte-orde uit elkaar liggen.

De eindspreiding kan ook berekend worden m.b.v. een 3D EE-berekening [Brah93,Duc94, DeW95a, DeW95b, Kaw97, Mer99]. Mede door de complexe geometrievan de eindzone is een dergelijke 3D modellering zeer arbeids- en rekenintensief.In [DeW95a, DeW95b, Bed89, Wil93, Mer99] wordt een 2D axisymmetrisch EE-model gebruikt.

In §9.7.1 wordt eerst een analytische formule voor de spoelkopspreiding afgeleid,waarbij in de eindzone een axiale en een tangentiale stroomcomponent beschouwdworden [Alg70]. De formule wordt in §9.7.1.4 toegepast op de 3kW motor, engeeft een behoorlijke overeenkomst met de ’gemeten’ eindspreidingsreactantiedie in §9.4 werd bekomen. Vervolgens worden twee 2D EE-modellen van deeindzone van de 3kW motor gebruikt om de eindspreiding te berekenen. Dewerkwijze is gelijklopend met de analytische benadering, maar vraagt mindergrove vereenvoudigingen.


9.7.1 Analytische berekening van de spoelkopspreiding

We beschouwen een symmetrische m-fasige eenlaagswikkeling die bestaat uit ge-lijke spoelen (met gelijke spoelkoppen). Zoals in Figuur 9.146 voorgesteld, heb-ben de spoelkoppen (bij benadering) een axiaal gedeelte (−l2 ≤ z ≤ 0) en eengedeelte dat een hoek ±(π2 − αsp) maakt met de z-as (0 ≤ z ≤ l1). De z- en deθ-as worden resp. volgens de as van de machine (axiaal) en volgens de omtrek(tangentiaal) gekozen.

Figuur 9.147 toont de sterk vereenvoudigde geometrie van de eindzone in eenlangsdoorsnede. De gemiddelde diameter van de luchtspleet, de spoelkoppen ende eindring wordt resp.D, Ds enDr genoteerd. De overeenstemmende poolstekenzijn resp. τp = πD/2Np, τp,s = πDs/2Np en τp,r = πDr/2Np, met Np het aantalpoolparen. De spoelkoppen en de eindring hebben bij (grove) benadering eencirkelvormige doorsnede met resp. stralen rs en rr, die resp. over een gemiddeldeafstand Zs en Zr uit het blikpakket steekt, zoals voorgesteld in Figuur 9.147.

blikpakket l1l2p sp0l2 l1 zFiguur 9.146: Vorm van de identieke spoel-koppen

rs D=2Ds=2ZrZs Dr=2rr

Figuur 9.147: Vereenvoudigde geometrie vande eindzone in een langsdoorsnede

Teneinde een analytische uitdrukking voor de eindspreiding te kunnen afleiden,wordt een continu model van de eindzone gebruikt [Alg70]. Dit houdt o.m. indat we enkel de 2Np-polige grondgolf van de stator- en de rotorstroomlaag be-schouwen.In het actieve gedeelte van de machine resulteert het m-fasige stroomsysteemin de statorwikkelingen (met amplitude I, frequentie f en pulsatie ω = 2πf) ineen 2Np-polige draaistroomlaag Kz(z, θ) [A/m] en een 2Np-polige draai-m.m.k.Fz(z, θ) [A] op (ongeveer) diameter Ds:

Kz(θ) = K0 cos(Npθ − ωt), (9.14)

Fz(θ) = F0 sin(Npθ − ωt), (9.15)

met

K0 =mwξ

Npτp,sI , (9.16)

9-60 HOOFDSTUK 9

F0 =τp,sπK0 =

mwξ

πNpI , (9.17)

met w het totale aantal windingen in serie van een statorfase en ξ de distributie-factor van de 2Np-polige stator-m.m.k..

9.7.1.1 De axiale component van de stroomlaag

In het axiale deel van de spoelkoppen (−l2 ≤ z ≤ 0) worden de draaistroomlaagen -m.m.k. eveneens door (9.14–9.17) gegeven.

We beschouwen nu het deel van de eindzone waar de spoelkoppen een hoek ±(π2−αsp) maken met de z-as, d.i. 0 ≤ z ≤ l1. In ieder punt van de omtrek van hetcontinue model snijden twee spoelkoppen elkaar, een met helling π

2 − αsp eneen met helling −(π2 − αsp). Het faseverschil tussen de twee corresponderendestroomlagen is functie van de z-coordinaat van het snijpunt. Voor z = 0 is ergeen faseverschil; voor z = l1 is er 180 elektrische graden faseverschil, en heffende axiale componenten van de stroomlagen elkaar op. Dit wordt verduidelijktaan de hand van Figuur 9.148.

=2 0l1=2 0 l2K0 K0=(2 tansp)K0=2 NpzK0=(2 sinsp) sp

Figuur 9.148: De axiale en de tangentiale component van de statorstroomlaag in de eindzone

De axiale component van de draaistroomlaag en van de draai-m.m.k. wordt aldusgegeven door:

Kz(z, θ) =K0

2

(cos

(Npθ −

πz

2l1− ωt

)+ cos

(Npθ +

πz

2l1− ωt

)), (9.18)

= K0 cos

(πz

2l1

)cos(Npθ − ωt), (9.19)

Fz(z, θ) = F0 cos

(πz

2l1

)sin(Npθ − ωt). (9.20)

De draai-m.m.k. Fz(z, θ) met amplitude Fz(z) geeft een draaiveld met amplitudeB(z). De amplitude van de fysische poolflux per meter volgens de z-as, Φz(z)


[Wb/m], kan geschreven worden als het product van Fz(z), µ0 en een (nog tebepalen) dimensieloos getal λz (dat onafhankelijk is van z):

Φz = µ0λzFz. (9.21)

De totale poolflux Φz,t [Wb] in een eindzone (−l2 ≤ z ≤ l1) wordt gegeven door:

Φz,t =

0∫−l2

Φz dz +

l1∫0

Φz(z) cos(πz

2l1) dz, (9.22)

= Φz(z = 0)

l2 +

l1∫0

cos2(πz

2l1) dz

, (9.23)

= µ0F0 λz

(l2 +

l12

), (9.24)

= µ0mwξ

πNpI λz

(l2 +

l12

). (9.25)

De amplitude van de spanning die door de axiale component van de draaistroom-laag in beide eindzones geınduceerd wordt in een statorwikkeling, Ez [V], wordtgegeven door:

Ez = 2 · 2πf wξ Φz,t, (9.26)

waaruit de corresponderende inductantie L(z)sσ3D [H] volgt:

Ez = X(z)sσ3D

I = 2πf L(z)sσ3D

I , (9.27)

L(z)sσ3D

=2mµ0w

2ξ2

πNpλz

(l2 +

l12

). (9.28)

Analytische berekening van λz

In [Alg70] wordt aangetoond dat voor een draaistroomlaag geplaatst in een on-eindig uitgestrekt niet-magnetisch medium (µ = µ0) geldt: λz=1.

Bij aanwezigheid van een tegengestelde draaistroomlaag op een diameter Dr (<Ds), in casu in de eindringen, wordt dit:

λz = 1−(Dr

Ds

)Np, (9.29)

waarbij Φz de flux is die gekoppeld is met de draaistroomlaag op diameter Ds.

Meestal steken de spoelkoppen verder uit het blikpakket dan de rotorstaven ende eindringen, zoals in Figuur 9.147 met Zs > Zr. Dit kan volgens Alger bena-derend in rekening gebracht worden d.m.v. een (min of meer arbitrair gekozen)correctiefactor 0.8:

λz = 1−(

0.8Dr

Ds

)Np. (9.30)

9-62 HOOFDSTUK 9

Bij aanwezigheid van (perfect) magnetisch materiaal op diameter Ds,o (> Ds)neemt λz toe met de volgende factor:

1 +

(Ds,o

Ds

)2Np

. (9.31)

9.7.1.2 De tangentiale component van de stroomlaag

In het deel van de eindzone waar de spoelkoppen een hoek ±(π2 − αsp) makenmet de z-as, d.i. 0 ≤ z ≤ l1, wordt de tangentiale component van de stroomlaaggegeven door:

Kθ(z, θ) =K0

2 tanαsp

(cos

(Npθ −

πz

2l1− ωt

)− cos

(Npθ +

πz

2l1− ωt

)), (9.32)

=K0τp,s

2l1sin

(πz

2l1

)sin(Npθ − ωt), (9.33)

met tanαsp =2l1τp,s

.

We verwijzen hierbij opnieuw naar Figuur 9.148.

De amplitude van de totale draaistroom, Iθ [A], bekomen we door integratie over0 ≤ z ≤ l1:

Iθ =

∫ l1

0

Kθ(z) dz =K0τp,s

2l1

∫ l1

0

sin

(πz

2l1

)dz =

τp,sπK0. (9.34)

= F0. (9.35)

Het zwaartepunt z = zc van de draaistroom wordt gegeven door:

zc =

∫ l10z sin( πz2l1

) dz∫ l10

sin( πz2l1) dz

=2

πl1. (9.36)

Identificatie van de magnetische energie t.g.v. enerzijds de tangentiale draai-stroom met amplitude Iθ in beide eindzones en anderzijds het m-fasige draai-stroomsysteem met fasestroomamplitude I geeft:

21

2

1

2Lring I

2θ =

1

2

m

2L(θ)sσ3D

I2. (9.37)

Hierbij is Lring [H] de (spreidings)inductantie van een cirkelvormige geleider opdiameter Ds (met een equivalente cirkelvormige sectie met straal rs op afstandZs = zc + l2 van het blikpakket), in aanwezigheid van een coaxiale cirkelvormigegeleider met een tegengestelde stroom op diameterDr (met een equivalente cirkel-vormige sectie met straal rr en op afstand Zr van het blikpakket). In Lring wordtgeen rekening gehouden met een ogenblikkelijk sinusoıdale ruimtelijke verdelingvan de stroom langs de omtrek van de twee co-axiale cirkelvormige geleiders;vandaar de bijkomende factor 1

2 in het linkerlid van (9.37).Uit (9.37, 9.35, 9.17) volgt:

L(θ)sσ3D

=2mw2ξ2

π2N2p

Lring . (9.38)


Analytische berekening van Lring

In [Alg70] worden verschillende benaderende formules voor Lring gegeven, diefunctie zijn van een beperkt aantal geometrische parameters. Hierbij wordt steedsverondersteld dat de spoelkoppen en de eindringen zich in de vrije (d.i. niet-magnetische) ruimte bevinden. Een eenvoudige variant op de uitdrukkingen in[Alg70] bekomt men op basis van de (benaderende) formule voor de zelfinductieper strekkende meter, Ldub [H/m], van een dubbellijn van twee geleiders meteen cirkelvormige sectie (resp. stralen rs en rr), op een afstand ∆ van elkaargeplaatst:

Ldub =µ0

π

[1

4+

1

2ln

(∆2

rsrr

)]. (9.39)

Vermenigvuldiging van Ldub met de gemiddelde omtrek πD van de luchtspleet,en deling door 2 (enkel statorspreiding), geeft:

Lring =µ0D

2

[1

4+

1

2ln

(∆2

rsrr

)], (9.40)

met ∆ de schuine afstand tussen de twee coaxiale geleiders (zie Figuur 9.147):

∆ =√

(Zs − Zr)2 + (Ds −Dr)2/4. (9.41)

9.7.1.3 Totale statoreindspreidingsinductantie

Sommatie van de axiale en de tangentiale bijdrage, resp. (9.28) en (9.38), geeft:

Lsσ3D= L(z)

sσ3D+ L(θ)

sσ3D, (9.42)

=2mµ0w

2ξ2

πNp

[λz

(l2 +

l12

)+

Lring

µ0πNp

]. (9.43)

Alger geeft ook de volgende eenvoudige uitdrukking, met slechts een geometrischeparameter (nl. de luchtspleetdiameter D), voor de totale spreiding:

Lσ3D= 0.63

mµ0w2D

N2p

, (9.44)

die volgens hem gelijkmatig verdeeld kan worden over de stator- en de rotortakvan het vervangingsschema.

In de literatuur vindt men andere, gelijkaardige uitdrukkingen. In [Melk98] wor-den bv. de volgende twee uitdrukkingen gegeven:

Lsσ3D=

2mµ0w2ξ2

πNp

(l2 +

l12

)· 1.25, (Novotny) [Nov82], (9.45)

Lsσ3D=

2mµ0w2ξ2

πNp(l2 + l1) · 3

π√

2, (de Jong) [deJ76]. (9.46)

Beide uitdrukkingen zijn verwant met die van Alger (9.43). De gewichtsfactor 12

van l1 t.o.v. l2 vinden we terug in (9.45), maar niet in (9.46). De factor 1.25 in(9.45) is wellicht van (semi-)empirische aard. De oorsprong van de corresponde-rende (analytische) factor in (9.46) is onduidelijk.

9-64 HOOFDSTUK 9

9.7.1.4 Toepassing op de 3kW kooiankerinductiemotor

De spoelen (en de spoelkoppen) van een statorwikkeling van de 3kW inductiemo-tor zijn concentrisch, en dus niet gelijk. Desalniettemin gebruiken we de hogerafgeleide formules (die identieke spoelen veronderstellen). De specifieke uitvoe-ring van de spoelkoppen (bv. gelijke of concentrische spoelkoppen) bepaalt in debijdrage van de axiale stroomcomponent (9.28) het gewicht van de l1-fractie t.o.v.de l2-fractie, en bepaalt in de bijdrage van de tangentiale stroomcomponent defactor in (9.37) die functie is van de ogenblikkelijke ruimtelijke variatie van detangentiale stroom (factor=1/2 i.g.v. een geıdealiseerde sinusoıdale verdeling).De vorm van de spoelkoppen van de 3kW motor is trouwens slechts bij benaderingzoals in Figuur 9.146. De keuze van l1 en l2 is dus binnen zekere grenzen arbitrair.

De volgende afmetingen (in mm) worden verder gebruikt:D=92, Ds=116, Dr=70, rs=rr=8, l1=16, l2=16, Zs=30, Zr=6.3, ∆=33.

De hoger vermelde analytische formules (9.43–9.46) voor de statoreindspreidingLsσ3D

of de totale eindspreiding Lσ3Dworden nu toepast op de 3kW motor. Als

referentiewaarde nemen we de ’gemeten’ totale eindspreiding Lσ3D=2.48 10−3 H

die in §9.4.2 werd bekomen. Indien we eenvoudigheidshalve veronderstellen dat destatorspreiding de helft is van de totale eindspreiding, bekomen we als bijkomendereferentiewaarde Lsσ3D

=1.24 10−3 H.

Formule (9.43) geeft de volgende waarden:

L(z)sσ3D

= 0.85 10−3 H (60%), (9.47)

L(θ)sσ3D

= 0.56 10−3 H (40%), (9.48)

Lsσ3D= 1.41 10−3 H (100%), (9.49)

met λz=0.77 en Lring=0.96 10−7 H, berekend volgens resp. (9.30) en (9.40).De berekende Lsσ3D

(9.49) is 14% groter dan de referentiewaarde.

De eenvoudigde formule (9.44) geeft Lσ3D= 2.28 10−3 H, wat 8% kleiner is dan

de referentiewaarde.

Met (9.45) en (9.46) bekomen we voor Lsσ3Dresp. 1.37 10−3 H en 0.99 10−3 H, of

resp. 10% meer en 20% minder dan de referentiewaarde.

9.7.2 Modellering met twee 2D EE-modellen

De eindspreidingsinductantie kan ook benaderend berekend worden m.b.v. twee2D EE-modellen van de eindzone. Hierbij wordt zoals bij de analytische afleidingeen onderscheid gemaakt tussen de axiale en de tangentiale stroomcomponent.

9.7.2.1 De axiale stroomcomponent in een dwarsdoorsnede

We beschouwen een dwarsdoorsnede van de eindzone zoals in Figuren 9.149 en9.150. In de eindzones zijn de statorwikkeling, de rotorkooi en de as omgevendoor lucht. De contouren van het stator- en het rotorblikpakket worden enkel terverduidelijking weergegeven.


De effectieve axiale lengte lz van dit 2D model (beide eindzones) is 2 (l2 +l1/2)=0.048 m.

We leggen een driefasig draaistroomsysteem met Iz=1 A op aan de drie stator-wikkelingen. In de rotorstaven worden stromen opgelegd die een tegengesteldedraaistroomlaag geven. De amplitude van deze rotorstromen volgt onmiddellijkuit de omrekenfactor (9.5). De rotorpositie is gemakshalve zo gekozen dat de eer-ste rotorstaaf gealigneerd is met de middelste gleuf van de eerste fasezone van destator (θrot=10, zie Figuren 9.149 en 9.150). De stroom in de eerste rotorstaafen stroom in de eerste statorwikkeling zijn bijgevolg in tegenfase.De stator- en de rotorspreidingsinductanties volgen uit de berekende reactievespanningen. De spanningsval over de rotorstaven moet omgerekend worden naarde statorwikkeling met de factor (9.4).

Bij de simulaties worden de volgende twee gevallen beschouwd:

• Enkel de statorwikkelingen voeren stroom (Figuur 9.149)

L(z)sσ3D=0.96 10−3 H; L

(z)rσ3D=0; L

(z)σ3D=0.96 10−3 H;

• Statorwikkelingen en rotorstaven voeren stroom (Figuur 9.150)

L(z)sσ3D=0.37 10−3 H; L

(z)rσ3D=0.41 10−3 H; L

(z)σ3D=0.78 10−3 H.

Figuur 9.149: Enkel de statorwikkelingen voeren stroom

Het werkelijke fluxpatroon in de eindzone als gevolg van de axiale stroomcompo-nent, kan worden benaderd als een superpositie van de twee beschouwde gevallen.Op basis van Zs en Zr schatten we hun gewicht op resp. 80% en 20%. Dit geeft:

L(z)sσ3D=0.84 10−3 H; L

(z)rσ3D=0.08 10−3 H; L

(z)σ3D=0.92 10−3 H.

9-66 HOOFDSTUK 9

Figuur 9.150: De statorwikkelingen en de rotorstaven voeren een tegengestelde stroom

L(z)σ3D ligt tussen 0.78 10−3 H en 0.96 10−3 H, wat 2.2 tot 1.8 maal kleiner is dan de

waarde in (9.47) vermenigvuldigd met 2 (totale spreiding). Het grote verschil kanverklaard worden door de grote radiale hoogte van de geleiders. De analytischeformule veronderstelt immers (oneindig dunne) stroomlagen.

9.7.2.2 De tangentiale stroomcomponent in een axisymmetrisch mo-del

Figuur 9.151 toont een sterk vereenvoudigd axisymmetrisch model van de eind-zone. In de spoelkop en de eindring wordt een tegengestelde 50 Hz stroom metIθ=1 A opgedrongen. Uit de berekende geınduceerde spanningen bekomt men despreidingsinductanties Lring,s en Lring,r . Deze kunnen volgens (9.38) omgerekendworden naar de statorwikkeling.

De volgende drie gevallen worden beschouwd:

• Geleiders in lucht (Figuur 9.152)

In het EE-model worden het stator- en het rotorblikpakket, de stalen as enhet lager als niet-magnetisch (µ = µ0) gemodelleerd. Dit stemt overeenmet de veronderstelling die gemaakt wordt bij het gebruik van de analyti-sche formule (9.40), die de volgende waarde geeft voor de totale spreiding:2Lring=1.92 10−7 H.

De met het EE-model berekende ringinductanties zijn:Lring,s=1.15 10−7 H; Lring,r=0.41 10−7 H; Lring,s+r 1.56 10−7 H. Dit is 20%minder dan bekomen met (9.40).


ring kopeind- blikpakketstator-rotor-blikpakketstalenas al. framelagerstalen spoel-Figuur 9.151: Eenvoudig axisymmetrischmodel van de eindzone

Figuur 9.152: Fluxpatroon in afwezigheidvan magnetische materialen

Figuur 9.153: Fluxpatroon in aanwezigheidvan magnetische materialen (maar zonderwervelstromen)

Figuur 9.154: Fluxpatroon in aanwezigheidvan magnetische en geleidende materialen

9-68 HOOFDSTUK 9

De corresponderende eindspreidingsinductanties zijn:

L(θ)sσ3D=0.67 10−3 H; L

(θ)rσ3D=0.241 10−3 H; L

(θ)σ3D=0.91 10−3 H.

• Zonder wervelstromen in blikpakketten, as, lager en behuizing(Figuur 9.153)

Het stator- en het rotorblikpakket, de stalen as en het lager worden als magne-tische gebieden gemodelleerd. De relatieve permeabiliteiten zijn min of meerarbitrair gekozen (blikpakketten: µrel=4000; stalen as en lager: µrel=2000).De wervelstromen in het stator- en het rotorblikpakket, de stalen as, het lageren de aluminium behuizing worden niet gemodelleerd.

De ringinductanties zijn:Lring,s=0.277 10−7 H; Lring,r=2.28 10−7 H; Lring,s+r=2.56 10−7 H.

De corresponderende eindspreidingsinductanties zijn:

L(θ)sσ3D=0.162 10−3 H; L

(θ)rσ3D=1.34 10−3 H; L

(θ)σ3D= 1.50 10−3 H.

Ten opzichte van het eerste geval is de statorspreiding vier maal kleiner ende rotorspreiding 5.6 maal groter. De totale spreiding is 1.65 maal groter.De verschuiving van meer stator- naar meer rotorspreiding is te verklarendoordat de eindring zich veel dichter bij de magnetische delen bevindt dan despoelkop.

• Met wervelstromen in blikpakketten, as, lager en behuizing(Figuur 9.154)

Idem als het vorige geval, maar met modellering van de wervelstromen in deblikpakketten, de stalen as en het lager (σ=6 106 S/m), en in de aluminiumbehuizing (σ=29 106 S/m).

De ringinductanties zijn:Lring,s=0.363 10−7 H; Lring,r=2.05 10−7 H; Lring,s+r=2.41 10−7 H.

De eindspreidingsinductanties zijn:

L(θ)sσ3D=0.21 10−3 H; L

(θ)rσ3D=1.20 10−3 H; L

(θ)σ3D= 1.41 10−3 H.

Als gevolg van de wervelstromen neemt de statorspreiding toe, terwijl derotorspreiding in grotere mate afneemt. De afname van de totale spreidingbedraagt 6%.

9.7.2.3 De som van de axiale en de tangentiale bijdrage

Sommatie van de axiale spreidingsinductanties (superpositie van de twee geval-len) en van de tangentiale spreidingsinductanties (het derde geval) geeft de vol-gende resultaten:

Lsσ3D= (0.84 + 0.21) 10−3 H = 1.05 10−3 H (45%), (9.50)

Lrσ3D= (0.08 + 1.20) 10−3 H = 1.28 10−3 H (55%), (9.51)

Lσ3D= (0.92 + 1.41) 10−3 H = 2.33 10−3 H (100%). (9.52)

De totale spreiding is 6% kleiner dan de referentiewaarde (2.48 10−3 H).


De verdeling van de eindspreiding over de axiale en de tangentiale component is45% en 55%. Met de analytische formules (9.47–9.49) is dit 60% en 40%.

De stator- en de rotoreindspreiding zijn dus in eerste benadering gelijk. Hetgelijkmatige verdelen van de totale eindspreiding over de stator en de rotor, zoalsvoorgesteld door Alger, is dus aanvaardbaar voor de 3kW motor.

9.7.3 Besluit

Een analytische uitdrukking voor de eindspreiding werd afgeleid. Hierbij werdeneen axiale en een tangentiale draaistroomlaag in de eindzone beschouwd, zoals in[Alg70]. Deze uitdrukking en aanverwante uitdrukkingen met (semi-)empirischefactoren voor de (totale of de stator-)eindspreiding geven voor de 3kW induc-tiemotor een redelijke tot goede overeenkomst met de ’gemeten’ waarde. Deminimale afwijking is 8%, de maximale 20%.

De stator- en de rotoreindspreiding werden ook berekend m.b.v. van twee 2DEE-modellen van de eindzone. De axiale en de tangentiale draaistroomlaag inde eindzone werden beschouwd in resp. een translatiesymmetrisch model van eendwarsdoorsnede en een axisymmetrisch model. De EE-modellering laat toe deaanwezigheid van magnetische materialen in de eindzone (blikpakket, as, behui-zing, . . . ) in rekening te brengen, evenals de erin geınduceerde wervelstromen.De EE-berekening geeft 6% afwijking t.o.v. de gemeten eindspreiding.

9.8 Vergelijking van de solvers ST1, ST2 en ST3

De solvers ST1, ST2 en ST3 voor het oplossen van de stelsels algebraısche vergelij-kingen die men bekomt na tijdsdiscretisatie, beschreven in resp. §7.2.5.2, §7.2.5.3en §7.2.8.2 worden toegepast voor de simulatie van de 3kW inductiemotor.

Verschillende gevallen kunnen worden beschouwd, naargelang de vermazing (deminder fijne of de fijne vermazing; een, twee of vier polen), het aantal beschouwdedoorsneden (een eenschijfs- of een meerschijvenmodel), het elektrische netwerk(de ster- of de driehoekverbinding van de statorfasen, het al of niet in rekeningbrengen van de rotorkooi, de eventuele verwaarlozing van de stroomverdringingin de rotorstaven, . . . ) en de materiaalmodellering (de maagdelijke kromme ofhet vector-Preisach-model, al of niet gecombineerd met de wervelstroommatrix).

Hierna worden de drie solvers toegepast op de verschillende modellen. De reken-tijden (in CPUs op een DEC Alpha-station 255-300) voor een Newton-Raphson-iteratie worden vergeleken.

Als referentie wordt het model genomen dat voor de meerderheid van de hogervermelde eenschijfssimulaties gebruikt werd. Het betreft het eenschijfsmodel vaneen pool met de minder fijne vermazing, de statorwikkelingen in driehoek ge-schakeld (zie Figuur 8.4b), een kwartrotorkooi met acht massieve geleiders, ende maagdelijke kromme met de wervelstroommatrix Tlam(σeq) voor het stator- enhet rotorblikpakket.

9-70 HOOFDSTUK 9

9.8.1 EE-Model van een pool

Referentiemodel

Een bijkomende vrijheidsgraad bij de modellering betreft de statorwikkelingen.Een statorwikkeling (met drie gleuven per fasezone) kan namelijk gemodelleerdworden als een gewikkelde EE-geleider met 3×34 draden verdeeld over drie gleu-ven, of als drie in serie geschakelde gewikkelde EE-geleiders, met elk 34 draden.Het laatste geval (met nS = 3×3 = 9 voor een pool), blijkt voor ST3 voordeligerte zijn, en wordt bij default gebruikt.

De structuur van de stijfheidsmatrix S van het model (en dus ook van de systeem-matrix S+ 1

β∆t (TM + Tlam) van ST1) wordt in Figuur 9.155 (boven de diagonaal)getoond. De nummering van de 3003 knooppunten in de minder fijne vermazinghangt samen met de methode waarop de vermazing is gegenereerd (zie §9.1.2). Deknooppunten in de rotor zijn genummerd per tandsector, van 1 t.e.m. 1389. Deknooppunten in de stator zijn eveneens genummerd per tandsector, en van 1390t.e.m. 3003. De fill-in door de bewegende laag in de luchtspleet is afhankelijkvan de rotorhoek θrot . In Figuur 9.155 is θrot = 45.De structuur van de systeemmatrix van ST2 wordt getoond in Figuur 9.155 (on-der de diagonaal). De fill-in door de matrix TSl is duidelijk zichtbaar. Dezematrix verbindt twee willekeurige knooppunten in gewikkelde geleiders die beho-ren tot dezelfde fase.Figuur 9.156 (boven de diagonaal) toont de structuur van de SPD systeemmatrixvan ST3. Door vergelijking met Figuur 9.155 (boven de diagonaal) zien we de fill-in door de matrix TS, die twee willekeurige knooppunten in eenzelfde gewikkeldegeleider verbindt.De rekentijd voor het uitvoeren van een Newton-Raphson-iteratie m.b.v. ST1,ST2 en ST3 is resp. 1.96, 0.62 en 0.95 CPUs. ST1 is duidelijk veel minder ef-ficient dan ST2 en ST3. De systeemmatrix van ST1 is ijler dan die van ST2en ST3, maar er moeten 1+3+8=12 rechterleden (i.p.v. een bij ST2 en ST3) be-schouwd worden. ST2 is vlugger dan ST3, ondanks de minder ijle systeemmatrix.

Een gewikkelde geleider per statorwikkeling

Indien elke statorwikkeling gemodelleerd wordt als een gewikkelde geleider (metnS = 3 voor een pool), is de rekentijd resp. 1.99, 0.62 en 1.11 CPUs. Zoals ver-wacht is het effect op ST1 verwaarloosbaar: de systeemmatrix van ST1 is dezelfdeals voorheen en het aantal te beschouwen rechterleden is nog steeds 12. Het effectop ST2 is eveneens onbeduidend: de matrix TSl behoudt dezelfde structuur. Heteffect op ST3 is wel beduidend (+16%), en stemt overeen met de grotere fill-indoor TS (zie Figuur 9.156 onder de diagonaal). De meerkost is beperkt, ondanksde veel grotere fill-in.

Met de fijne vermazing

Indien de fijne vermazing (met 6311 i.p.v. 3003 knooppunten) gebruikt wordt, isde rekentijd resp. 7.87, 1.99 en 3.31 CPUs, wat resp. 4.0, 3.2 en 3.5 maal meer isdan met de minder fijne vermazing.


Figuur 9.155: Structuur van S (boven de diagonaal), en van de systeemmatrix van ST2(onder de diagonaal)

Zonder de wervelstroommatrix Tlam

Indien de wervelstroommatrix Tlam niet in rekening gebracht wordt, is de rekentijdresp. 1.70, 0.61, 0.83 CPUs. De meerkost als gevolg van Tlam is het grootst indienST1 gebruikt wordt (+15%). De wervelstroommatrix heeft blijkbaar een nadeligeffect op het goed geconditioneerd zijn van de systeemmatrix S+ 1

β∆t (TM + Tlam)van ST1. Bij het gebruik van ST2 is er blijkbaar geen effect op de rekentijd.

Invloed van de inwendige weerstand RV bij ST3

Bij het gebruik van ST3 moeten de drie spanningsbronnen in het elektrischenetwerk van de statorwikkelingen voorzien worden van een (kleine) inwendigeweerstand RV (zie Figuur 7.2). De referentiewaarde die we daarvoor gekozenhebben is 10−3 Ω, wat zeker voldoende kleiner is dan de motorimpedantie (dieminimaal ongeveer 6 Ω bedraagt bij kortsluiting, en ongeveer 60 Ω bij nullasten nominale spanning). De rekentijd met RV =100, 10−1, 10−2, 10−3, 10−4 en10−5 Ω is resp. 0.83, 0.83, 0.89, 0.97, 0.99 en 1.00 CPUs. De rekentijd neemt afmet toenemende RV .

9-72 HOOFDSTUK 9

Figuur 9.156: Structuur van de systeemmatrix van ST3 met drie gewikkelde geleiders perstatorfase en per pool (boven de diagonaal), en met een gewikkelde geleider per statorfaseen per pool (onder de diagonaal)

Sterschakeling van de statorwikkelingen

In plaats van de driehoekschakeling beschouwen we nu de sterschakeling van destatorwikkelingen (Figuur 8.4a). De rekentijd is resp. 1.86, 0.75 en 0.95 CPUs.ST1 vraagt iets minder rekentijd (−5%, twee i.p.v. drie stroomlussen voor de sta-torwikkelingen). De toename van de rekentijd voor ST2 (+21%) wordt verklaarddoor de grotere fill-in door TSl (zie Figuur 9.157 boven de diagonaal). De driestatorwikkelingen (of de negen gewikkelde geleiders) zijn nu immers elektrischgekoppeld door de twee stroomlussen. Er is geen beduidend effect op ST3.

Rotorkooi met gewikkelde geleiders

Indien de acht rotorstaven van de kwartkooi gemodelleerd worden als gewikkeldegeleiders (met elk een draad en met als weerstand de gelijkstroomweerstand vande massieve geleiders), is de rekentijd resp. 4.32, 1.16 en 1.17 CPUs.Bij het gebruik van ST1 is de rekentijd meer dan dubbel zo groot als in hetreferentiegeval. Het aantal rechterleden van ST1 is nog steeds 12, maar de sys-teemmatrix is S + 1

β∆t Tlam i.p.v. S + 1β∆t (TM + Tlam). De conductiviteitsmatrix

TM heeft blijkbaar een gunstige invloed op het goed geconditioneerd zijn van desysteemmatrix.


Figuur 9.157: Structuur van de SPD systeemmatrix van ST2 i.g.v. sterschakeling van destatorfasen (boven de diagonaal), en i.g.v. kooi met gewikkelde (i.p.v. massieve) geleiders(onder de diagonaal)

Bij het gebruik van ST2 is er eveneens een grote toename van de rekentijd(+87%). Deze wordt veroorzaakt door de grote fill-in door TSl, die duidelijkzichtbaar is in Figuur 9.157 (onder de diagonaal). De meerkost met ST3 is rela-tief klein (+23%).

Zonder rotorkooi

Indien het elektrische netwerk van de rotorkooi buiten beschouwing gelaten wordt(nM = 0), is de rekentijd resp. 1.81, 0.78 en 0.95 CPUs.

Ondanks het feit dat er bij het gebruik van ST1 slechts 1+3=4 (i.p.v. 12) ver-schillende rechterleden beschouwd worden, is de rekentijd niet veel kleiner (−7%).Enerzijds ontbreekt de gunstige invloed van de matrix TM (zie ook het vorige ge-val), en anderzijds neemt de rekentijd minder dan evenredig toe met het aantalrechterleden.

Met ST2 is de rekentijd ook groter (+26%), wat ook verklaard moet worden doorhet ontbreken van de matrix TM . De rekentijd met ST3 is gelijk.

9-74 HOOFDSTUK 9

9.8.2 EE-Model van twee of vier polen

De rekentijd voor het EE-model van een poolpaar (nS = 18, nM = 16, np =5981) is resp. 5.79, 1.63 en 2.60 CPUs, of resp. 2.95, 2.63 en 2.74 maal meer danwanneer een pool gemodelleerd wordt.

De rekentijd voor het EE-model van een volledige doorsnede (nS = 36, nM = 32,np = 11912) is resp. 19.26, 4.67 en 6.52 CPUs, of resp. 9.83, 7.5 en 6.86 maalmeer dan wanneer een pool gemodelleerd wordt.

9.8.3 Meerschijvensimulatie met ST1

Voor het meerschijvenmodel is enkel ST1 geımplementeerd (zie §8.4.3.1).

Bij een meerschijvensimulatie van een pool met nd =1, 5, 10 en 20, is de rekentijdresp. 1.99, 9.88, 19.55 en 46.69 CPUs, en dus met goede benadering evenredigmet nd.

9.8.4 Met het vector-Preisach-model

Bij een simulatie waarbij het vector-Preisach-model gebruikt wordt voor hetstator- en het rotorblikpakket (zie §9.2.4.1), gaat een niet te verwaarlozen deel vande CPU-tijd naar het aanroepen van het directe en inverse vector-Preisach-modelbij elke Newton-Raphson-iteratie en voor elk van de 2566 (+288) hysteretischeelementen in de minder fijne vermazing.

De rekentijd per NR-iteratie bij het gebruik van ST3 is minstens 1.7 CPUs,of 1.9 maal meer dan wanneer de blikpakketten gemodelleerd worden met demaagdelijke kromme. Indien slechts 10 i.p.v. 20 discrete richtingen beschouwdworden in het vector-Preisach-model, is de rekentijd 1.4 CPUs. De rekentijdkan gemakkelijk oplopen tot twee- of driemaal zoveel, indien voor een relatiefkleine fractie van de hysteretische elementen het inverteren van het Preisach-model moeizaam verloopt (en relaxatie noodzakelijk is), wat i.h.b. in de zones IVen V nabij de luchtspleet (zie Figuur 9.26) het geval is.

9.8.5 Magnetisch netwerkmodel

We beschouwen het magnetische netwerkmodel van een pool dat overeenkomtmet het referentie-EE-model. Het magnetische netwerk omvat 34 fluxlussen:negen in het statorjuk, negen in de luchtspleet aan de statorzijde, acht in deluchtspleet aan de rotorzijde, en acht in het rotorjuk. Figuur 9.158 toont destructuur van de lusreluctantiematrix Rl (of van de stijfheidsmatrix S, of van deSPD systeemmatrix van ST1) met θrot = 45. De nummering van de fluxlussenstemt overeen met de bovenstaande opsomming.

De rotorstaven worden gemodelleerd als m.m.k.-bronnen of gewikkelde geleiders.Het totale aantal gewikkelde geleiders in een pool is dus 9+8=17.

Figuur 9.159 en 9.160 tonen de structuur van de SPD systeemmatrices van resp.ST2 en ST3.


Figuur 9.158: Structuur van de lusreluctan-tiematrix (of van de SPD systeemmatrix vanST1)

Figuur 9.159: Structuur van de SPD sys-teemmatrix van ST2

Figuur 9.160: Structuur van SPD systeemmatrix van ST3

9-76 HOOFDSTUK 9

De CPU-tijd voor een Newton-Raphson-iteratie met ST1, ST2 en ST3 bedraagtresp. 0.0070, 0.0043 en 0.0057 CPUs, wat resp. 280, 140 en 170 maal minder isdan bij een EE-simulatie met de minder fijne vermazing (np=3003).

9.8.6 Besluit

Het effect van de verschillende modelparameters (het aantal knooppunten, hetaantal gewikkelde en massieve geleiders, hun verbinding in het elektrische net-werk, de aanwezigheid van de conductiviteitsmatrix TM en de wervelstroommatrixTlam , een eenwaardige BH-kromme of het vector-Preisach-model) op de rekentijdvoor een Newton-Raphson-iteratie werd nagegaan.In de gevallen waarbij de drie solvers ST1, ST2 en ST3 gebruikt konden worden,was ST2 steeds de meest efficiente, ondanks de soms grote fill-in.

Hoofdstuk 10

Slotbeschouwingen

In dit laatste hoofdstuk worden de belangrijkste resultaten van dit proefschriftop een rijtje gezet, en worden de originele aspecten benadrukt. We maken daar-bij enkele kritische kanttekeningen, en formuleren enkele suggesties voor verderonderzoek.

De studie van magnetostatische randwaardeproblemen vangt in Hoofdstuk 1 aanmet een ongewone keuze van de te extremeren functionaal. De randvoorwaardenworden niet in de functionaal ingeschreven, maar worden na de ruimtediscretisatieingevoerd. Dit laat een striktere wiskundige (i.h.b. algebraısche) behandeling toe,en stemt overeen met de praktische implementatie.In Hoofdstuk 2 voeren we voor zowel translatie- als axisymmetrische veldpro-blemen een gemodifieerde vectorpotentiaal (met de dimensie van flux) in, watresulteert in zeer analoge (matrix)vergelijkingen. We wijzen daarbij op de een-voudige fysische betekenis van de EE-vergelijkingen. De SPSD stijfheidsmatrix(met de dimensie van reluctantie) en de kolommatrix van de knooppuntsstromenvormen een rode draad doorheen de tekst. Naast de conventionele binaire rand-voorwaarden stellen we ook zgn. tertiaire randvoorwaarden voor. Bij de afleidingvan de EE-vergelijkingen wordt algemeen uitgegaan van niet-lineaire anisotropemagnetische materialen.

In Hoofdstuk 3 wordt de reversibele materiaalmodellering bij magnetostatischeveldberekeningen besproken. We beschouwen daarbij zowel isotrope als aniso-trope materialen. Het oplossen van de niet-lineaire EE-vergelijkingen met deNewton-Raphson-methode leidt tot het gebruik van differentiele grootheden, dieconsequent met de superscript ∂ genoteerd worden, en dit zowel op materiaal-als op matrixniveau.

Bij de studie van 2D magnetodynamische EE-berekeningen in Hoofdstuk 4 be-schouwen we ook spanningsvoeding van gewikkelde geleiders en stroomvoedingvan massieve geleiders. Naast de conventionele stijfheids- en conductiviteitsma-trix worden zo twee veel minder gekende conductiviteitsmatrices ingevoerd. Dezematrices zijn eventueel veel minder ijl.

In Hoofdstuk 5 bestuderen we op systematische wijze de parasitaire wervelstro-

10-2 HOOFDSTUK 10

men in dunne homogene geleidende lamellen, gaande van een 1D tot een 3D mo-dellering van een lamel. Bij de 1D modellering worden drie gevallen bechouwd,naargelang de fluxverdringing en/of de niet-lineariteit van het materiaal verwaar-loosd worden. Het meest algemene 1D geval, d.i. met fluxverdringing, niet-lineair(al of niet reversibel) materiaalgedrag en rotationele flux, wordt bestudeerd methet ontwikkelde 2D EE-programma Mag2D.Wanneer de fluxverdringing verwaarloosd wordt, is er een eenvoudig en gekendverband tussen het magnetische veld aan de rand, het gemiddelde magnetischeveld en de gemiddelde inductie in de lamel. Dit verband en het geassocieerdeklassieke wervelstroomverlies kunnen op een zeer eenvoudige wijze in een 2DEE-model van een machine geımplementeerd worden, wat resulteert in de zgn.wervelstroommatrix. Gezien het grote praktische nut en de originaliteit van dezemethode, is zij een van de belangrijkste resultaten van het doctoraatsonderzoek.Door de fitting van een equivalente elektrische geleidbaarheid kan ook het vol-ledige ijzerverlies gemodelleerd worden m.b.v. de wervelstroommatrix, weliswaarmet een foutieve f2-afhankelijkheid.

In Hoofdstuk 6 stellen we een natuurlijke en originele methode voor om hetvector-Preisach-model direct te implementeren in de EE-vergelijkingen. Hierbijwordt de Newton-Raphson-methode gebruikt voor zowel het oplossen van deniet-lineaire EE-vergelijkingen, als voor het inverteren van het vector-Preisach-model. De implementatie is vrij robuust en laat de simulatie van een volledigeinductiemotor toe. Op het numerieke vlak is dit ongetwijfeld een belangrijkresultaat.Het praktische belang van een directe implementatie van het vector-Preisach-model mag voorlopig niet overschat worden. Immers, zoals bij een a posterioriijzerverliesberekening, die veel eenvoudiger te implementeren is en omzeggensgeen extra rekentijd vraagt, resulteert een directe implementatie van een hyste-resismodel doorgaans in een beduidende onderschatting van het werkelijke ijzer-verlies. Deze onderschatting is in belangrijke mate te wijten aan het effect van demechanische bewerkingen op de magnetische eigenschappen van het elektroblik.Naarmate dit effect nauwkeuriger gemeten en ook kwantitatief in rekening ge-bracht kan worden in een hysteresismodel, zal het praktische nut van een directeimplementatie toenemen.

In Hoofdstuk 7 bestuderen we de elektrische koppeling van een EE-model. Wevergelijken de veel gebruikte methode van de lusstromen en de veel minder fre-quent gebruikte duale methode van de knooppuntspotentialen op systematischewijze. De bondige matrixnotatie die we in deze tekst hanteren, draagt hier on-getwijfeld bij tot een beter begrip.We ontwikkelen drie methoden voor het oplossen van de stelsels algebraısche ver-gelijkingen die bekomen worden na de tijdsdiscretisatie. ST1 en ST2 vertrekkenvan de methode van de lusstromen, en zijn min of meer equivalent met metho-den die reeds vroeger voorgesteld zijn. ST3 is een originele oplossingsmethodedie uitgaat van de methode van de knooppuntspotentialen.

In Hoofdstuk 8 bespreken we de modellering van roterende machines. De schuin-stelling van de stator- en/of de rotorgleuven wordt gemodelleerd m.b.v. een meer-

Slotbeschouwingen 10-3

schijvenmodel. Originele aspecten hierbij betreffen de Gauss-verdeling van dedoorsneden en de ontkoppeling van de vergelijkingen per doorsnede bij het ge-bruik van ST1. De ontkoppeling resulteert eventueel in een snelheidswinst, enzeker in geringere geheugenvereisten. De schuinstellingsdiscretisatiefout wordtop een systematische wijze onderzocht.

In dit werk beschouwen we eveneens een reeds vroeger voorgestelde (statische)koppeling van een EE-model en een magnetisch netwerk. De praktische imple-mentatie van deze koppeling is zeer eenvoudig, en sluit onmiddellijk aan bij hetgebruik van vlottende potentialen op de rand van het EE-domein. De koppelingis op vrij ’naadloze’ wijze uitgewerkt. Zo kunnen de (vector-)Preisach- en dewervelstroommodellering ook gebruikt worden voor de reluctanties in het mag-netische netwerk. Voor de luchtspleetmodellering van roterende machines stellenwe een analytische tandpaarpermeantiefunctie voorop. Het meerschijvenmodelkan zonder meer gebruikt worden, evenals de kinematische koppeling.

Een hybriede modellering van bv. een roterende machine is doorgaans mindervoordelig dan een EE-modellering of een modellering met een magnetisch net-werkmodel. Immers, de voordelen van beide systemen (een groot aantal vrijheids-graden en dus een hoge nauwkeurigheid t.o.v. een gering aantal vrijheidsgradenen dus een zeer kleine rekentijd) worden in sterke mate gereduceerd, terwijl denadelen (grote rekentijd t.o.v. een beperkte nauwkeurigheid en betrouwbaarheid)eerder behouden blijven. Een magnetisch netwerk kan ongetwijfeld wel nuttig ge-bruikt worden bij een EE-modellering van een machine, bv. om een of meerdereniet-lineaire spoelen (van bv. de voedingstransformator) te modelleren, waarbijbeide modellen slechts elektrisch (en niet magnetisch) gekoppeld zijn.

Bij de praktische toepassingen beschouwen we twee belangrijke simulatieobjecten,nl. de driefazige transformator en de 3kW kooiankerinductiemotor. Voor beideomzetters simuleren we op systematische wijze de werking bij nullast, vollast enkortsluiting. Bij de nullast is een nauwkeurige materiaalmodellering vereist, bijde kortsluiting moet de eindspreiding nauwkeurig in rekening gebracht worden,terwijl bij vollast beide belangrijk zijn.

Bij de simulatie van de transformator besteden we in Hoofdstuk 6 bijzondere aan-dacht aan de modellering van de voegen in de transformatorkern. De toenamevan de nullaststromen en het nullastverlies als gevolg van de voegen brengenwe op een originele wijze in rekening m.b.v. voegzones. In deze zones wordeneen aangepaste BH-kromme en een verhoogde elektrische geleidbaarheid veron-dersteld. In Hoofdstuk 7 bestuderen we de eindspreiding van de transformatoren voeren we lastsimulaties uit, waarbij de transformator een twaalfpulsige ge-lijkrichter voedt. De eindspreiding wordt daarbij in rekening gebracht d.m.v.bijkomende inductantiematrices in het elektrische netwerk.

Hoofdstuk 9 is volledig gewijd aan de simulatie van de inductiemotor. We be-schouwen daarbij vier verschillende rotoren, waarvan de gleuven recht of schuin-gesteld zijn, en open of gesloten, en we onderzoeken het effect daarvan bij deverschillende werkingstoestanden. De eindspreiding van de motor wordt op een

10-4 HOOFDSTUK 10

analytische wijze benaderend berekend, en op een analoge wijze – maar met min-der grove benaderingen – m.b.v. twee 2D EE-modellen. De simulaties met hetmagnetische netwerkmodel geven vrij goede resultaten, zeker in het licht van hetgeringe aantal vrijheidsgraden en de zeer kleine rekentijd.

Alle in deze tekst beschreven transiente 2D EE-simulaties zijn uitgevoerd met hetontwikkelde programma Mag2D. De praktische implementatie van de verschil-lende mogelijkheden (de koppeling met een elektrisch en een magnetisch netwerk,de materiaalmodellering, de meerschijvenmodellering, de kinematische koppeling,de modellering van de luchtspleet, . . . ) sluit nauw aan bij de beschrijving in detekst. De input en de output gebeuren via bestanden. De gebruiksvriendelijkheidvan Mag2D kan in de toekomst vergroot worden door de ontwikkeling van eengrafische interface.

Uiteraard is er in het domein van de 2D dynamische EE-modellering van elek-tromagnetische energieomzetters nog voldoende stof voor verder onderzoek. Wedenken bv. aan de materiaalmodellering, en i.h.b. aan het in rekening brengen vanhet extra-dynamische verlies (met een f3/2-afhankelijkheid). Zoals uiteengezet inHoofdstuk 6 lijkt een implementatie van een snelheidsafhankelijk Preisach-modelin een 2D EE-model (voorlopig) ondoenbaar. Een eenvoudige methode zoals voorhet klassieke wervelstroomverlies (met de wervelstroommatrix) ligt evenmin voorde hand.

Een ander belangrijk onderwerp dat in het doctoraatsonderzoek niet aan bodgekomen is, betreft de studie van de algebraısche solvers. In dit specifieke domeinwordt de laatste jaren veel onderzoek verricht.In dit werk wordt enkel een ICCG-solver gebruikt voor het oplossen van de stelselsalgebraısche vergelijkingen met een SPD maar eventueel minder ijle systeemma-trix. Het is best mogelijk dat een (gewone) formulering met een indefiniete maarijle systeemmatrix, gecombineerd met een geschikte solver , efficienter is.

Dan is er natuurlijk nog de 3D EE-modellering van elektromagnetische omzetters.Zoals we reeds meerdere malen vermeldden in deze tekst, is de 3D modellering– voorlopig nog – zeer arbeids- en rekenintensief. Met de rekencapaciteit van dehuidige computers, vraagt een 3D simulatie van een volledige machine doorgaansernstige toegevingen wat de ruimte- en de tijdsdiscretisatie betreft.

Bibliografie

Afkortingen

Compumag’97 XIth Conference on the Computation of Electromagnetic Fields,Rio de Janeiro, Brazil, November 2–6, 1997

Compumag’99 XIIth Conference on the Computation of Electromagnetic Fields,Sapporo, Japan, October 25–28, 1999

ICEM’86 International Conference on Electrical Machines,Munchen, Germany, September 8–10, 1986

ICEM’88 International Conference on Electrical Machines,Pisa, Italy, September 12–14, 1988

ICEM’90 International Conference on Electrical Machines,Cambridge, Massachusetts, U.S.A, August 13–15, 1990

ICEM’94 International Conference on Electrical Machines,Paris, France, September 5–8, 1994

ICEM’96 International Conference on Electrical Machines,Vigo, Spain, September 10–12, 1996,

ICEM’98 International Conference on Electrical Machines,Istanbul, Turkey, September 2–4, 1998

EMF’96 Fourth International Workshop on Electric and MagneticFields, Liege, Belgium, May 6–9, 1996

EMF’98 Thirthd International Workshop on Electric and MagneticFields, Marseille, France, May 12-15, 1998

[Abd81] A. Abdel-Razek, J.L. Coulomb, M. Feliashi, J.C. Sabonnadiere, ’The calcula-tion of electromagnetic torque in saturated electric machines within combinednumerical and analytical solutions of the field equations’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 17, No. 6, pp. 3250–3252, November 1981. 8-8

[Abd82] A. Abdel-Razek, J.L. Coulomb, M. Feliashi, J.C. Sabonnadiere, ’Conceptionof an air-gap element for the dynamic analysis of the electromagnetic field inelectric machines’, IEEE Trans.Magn., Vol. 18, No. 2, pp. 655–659, March1982. 8-2, 8-5

[Aji84] M. Ajiz, A. Jennings, ’A robust incomplete Choleski conjugate gradient algo-rithm’, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20,pp. 949-966, 1984. 2-30

[Alg70] P. Alger, ’Induction machines – Their behaviour and uses’, Second edition,Gordon and Breach Science Publishers, New York/London/Paris, 1970. 9-58, 9-59, 9-61, 9-63, 9-69

R-2 Bibliografie

[Alo94] P. Alotto, P. Girdinio, P. Molfino, ’A 2D finite element procedure formagnetic analysis involving non-linear and hysteretic materials’, IEEETrans.Magn., Vol. 30, pp. 3379–3382, September 1994. 6-35

[Ark87] A. Arkkio, ’Analysis of induction motors based on the numerical solution ofthe field and circuit equations’, Helsinki 1987, Acta Polytechnica Scandina-vica, Electrical Engineering Series, No. 59. 4-18, 4-19, 7-16, 8-10, 9-11

[Ark90] A. Arkkio, ’Finite element analysis of cage induction motors fed by staticfrequency converters’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2, pp. 551–554, March1990. 8-10

[App97] C. Appino, F. Fiorillo, A. Rietto, ’The energy loss components under alter-nating, elliptical and circular flux in non-oriented alloys’, Proc. of the ThirdInternational Workshop on the Magnetic Properties of Electrical Steel Sheetsunder Two-Dimensional Excitation, pp. 55–61, 1997. 6-21, 6-50, 6-51

[Ata92] K. Atallah, Z. Zhu, D. Howe, ’An improved method for predicting iron los-ses in brushless permanent magnet DC drives’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28,No. 5, pp. 2997–2999, September 1992. 6-51, 9-23

[Bas95] J. Bastos, N. Ida, R. Mesquita, ’A variable local relaxation technique innon-linear problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1733–1736,May 1995. 2-27

[Bed89] G. Bedrosian, M. Chari, A. deBlois, M. Palmo, M. Shah, G. Theodos-siou, ’Axiperiodic finite element analysis of generator end regions’, IEEETrans.Magn., Vol. 25, No. 4, pp. 3070–3072, July 1989. 9-58

[Bed93] G. Bedrosian, ’A new method for coupling finite element field solutionswith external circuits and kinematics’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29, No. 2,pp. 1664–1668, March 1993. xi, 7-15, 7-16, 8-12

[Ber91] G. Bertotti, A. Boglietti, M. Chiampi, D. Chiarabaglio, F. Fiorillo, M. Laz-zari, ’An improved estimation of iron losses in rotating electrical machines’,IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 6, pp. 5007–5009, November 1991. xi, 6-51,9-11, 9-23

[Ber92a] G. Bertotti, ’Dynamic generalisation of the scalar Preisach model of hyste-resis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 5, pp. 2599–2601, March 1992. 6-1,6-16

[Ber92b] G. Bertotti, M. Pasquale, ’Physical interpretation of induction and frequencydependence of power losses in soft magnetic materials’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 28, No. 5, pp. 2787–2789, September 1992. 6-11

[Ber98] G. Bertotti, ’Hysteresis in magnetism’, Academic Press, USA/UK, 1998.5-2, 5-6

[Bet88] P. Bettess, ’Finite element modelling of exterior electromagnetic problems’,IEEE Trans.Magn., Vol. 24, No. 1, pp. 238–243, January 1988. 2-20

[Bid97] C. Biddlecombe, A. Jay, S. Paul, J. Sykulski, ’Transient electromagnetic ana-lysis coupled to electric circuits and motion’, Compumag’97, Vol. 1, pp. 361–362. 4-24, 7-16

[Bin71] K. Binns, R. Hindmarsh, B. Short, ’Effect of skewing slots on flux distri-bution in induction machines’, IEE Electric Power Applications, Vol. 118,No. 3/4, pp. 543–549, March/April 1971. 8-14

[Bot95] O. Bottauscio, D. Chiarabaglio, M. Chiampi, M. Repetto, ’A hysteretic peri-odic magnetic field solution using Preisach model and fixed point technique’,

Bibliografie R-3

IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 6, pp. 3548–3550, November 1995. 6-34,6-35

[Bot98] O. Bottauscio, D. Chiarabaglio, C. Ragusa, M. Chiampi, M. Repetto,’Analysis of isotropic materials with vector hysteresis’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 34, No. 4, pp. 1258–1260, July 1998. xi, 6-17, 6-35

[Boua94] B. Boualem, F. Piriou, ’Modelling of induction motor accounting for skewedslots effects’, ICEM’94, Vol. 2, pp. 699–704. 8-17

[Boua98] B. Boualem, F. Piriou, ’Numerical models for rotor cage induction machinesusing finite element method’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 5, pp. 3202–3205, September 1998. 8-13, 8-15, 8-17, 8-20

[Boui83] F. Bouillault, A. Razek, ’Dynamic model for eddy current calculation insaturated electric machines’, IEEE Trans.Magn., Vol. 19, No. 6, pp. 2639–1442, November 1983. 4-1, 4-20

[Brah93] A. Brahimi, A. Foggia, G. Meunier, ’End winding reactance computationusing a 3D finite element program’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29, No. 2,pp. 1411–1414, March 1993. 9-58

[Brau75] J. Brauer, ’Simple equations for the magnetization and reluctivity curves ofsteel’, IEEE Trans.Magn., Vol. 11, No. 1, pp. 81, January 1975. 3-3

[Brau97] J. Brauer, S. Lee, Q. Chen, ’Adaptive time-stepping in nonlinear transientelectromagnetic finite element analysis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 33, No. 2,pp. 1784–1787, March 1997. 4-24

[Bur95] D. Burow, S. Salon, C. Slavik, M. DeBortoli, ’Dependence of torque calcu-lation on mesh in induction machines’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 6,pp. 3593–3595, November 1995. 8-7

[Car98] K. Carpenter, ’Simple models for dynamic hysteresis which add frequency-dependent losses to static models’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 3,pp. 619–622, May 1998. 5-7

[Cha84] M. Chari, P. Silvester, ’Finite elements in electrical and magnetic field pro-blems’, John Wiley & sons, 1984. 2-10

[Charp98] J.F. Charpentier, Y. Lefevre, H. Piquet, ’An original and natural method ofcoupling electromagnetic field equations with circuit equations put in a stateform’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 5, pp. 2489–2492, September 1998.7-16

[Che97] Q. Chen, A. Konrad, ’A review of finite element open boundary tech-niques for static and quasi-static electromagnetic field problems’, IEEETrans.Magn., Vol. 33, No. 1, pp. 663–676, January 1997. 2-20

[Chi83] M. Chiampi, A. Negro, M. Tartaglia, ’Alternating electromagnetic field com-putation in laminated cores’, IEEE Trans.Magn., Vol. 19, No. 4, pp. 1530–1536, July 1983. 6-38

[Chi95] M. Chiampi, D. Chiarabaglio, M. Repetto, ’A Jiles-Atherton and fixed-pointcombined technique for time periodic magnetic field problems with hysteresis’,IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 6, pp. 4306–4311, November 1995. 6-34,6-35

[Cos97] M. Costa, S. Nabeta, N. Abe, J. Cardoso, ’A nodal analysis approach appliedto electric circuits coupling in magnetodynamic 2D FEM’, Compumag’97,Vol. 2, pp. 753–754. 7-16

[Cou83] J.L. Coulomb, ’A methodology for the determination of global electrome-

R-4 Bibliografie

chanical quantities from a finite element analysis and its application to theevaluation of magnetic forces, torques and stiffness’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 19, No. 6, pp. 2514–2519, November 1983. 8-9

[Cou84] J.L. Coulomb, G. Meunier, ’Finite element implementation of virtual workprinciple for magnetic or electric force and torque computation’, IEEETrans.Magn., Vol. 20, No. 5, pp. 1894–1896, September 1984. 8-9

[Cow73] G. Cowper, ’Gaussian quadrature formulas for triangles’, International Jour-nal for Numerical Methods in Engineering, 7, 405-8, 1973. 2-12

[Cro98] J. Cros, P. Viarouge, ’Modelling of the coupling of several electromagneticstructures using the 2D field calculation’, Compumag’97, Vol. 1, pp. 359–360.8-15

[Dav85] B. Davat, Z. Ren, M. Lajoie-Mazenc, ’The movement in field modeling’,IEEE Trans.Magn., Vol. 21, No. 6, pp. 2296–2298, November 1985. 8-2, 8-6,8-7

[Deb98] O. Deblecker, J. Lobry, C. Broche, ’New solution method for magnetodyna-mic problems in hysteretic media using transmission-line modelling (TLM)and Preisach theory’, EMF’98, pp. 201–206. 6-34

[deB78] C. de Boor, ’A practical guide to splines’, Springer-Verlag, 1978. 3-5

[DeG98] H. De Gersem, R. Mertens, U. Pahner, R. Belmans, K. Hameyer, ’A topo-logical method for field-circuit coupling’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 5,pp. 3190–3193, September 1998. 7-16

[DeG99] H. De Gersem, R. Mertens, D. Lahaye, S. Vandewalle, K. Hameyer, ’Solutionstrategies for transient, field-circuit coupled systems’, Compumag’99, Vol. 1,pp. 240–241, submitted for IEEE Trans.Magn.. 7-16

[deJ76] H. De Jong, ’AC motor design with conventional and converter supplies’,Clarendon Press, Oxford, 1976. 9-63

[deJ94] H. De Jong, ’Skew leakage in induction machines’, ETEP Vol. 4, No. 1,January/February 1994. 8-13, 9-36, 9-37

[Delf95] C. Delforge, B. Lemaire-Semail, ’Induction machine modeling using finiteelement and permeance network methods’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3,pp. 2092–2095, May 1995. 8-23, 8-24, 8-29

[Deli94a] F. Delince, A. Nicolet, F. Henrotte, A. Genon, W. Legros, ’Influence ofhysteresis on the behaviour of coupled finite element - electric circuit models’,IEEE Trans.Magn., Vol. 30, No. 5, pp. 3383–3386, September 1994. 6-35,7-16

[Deli94b] F. Delince, ’Modelisation des regimes transitoires dens les systemes com-portant des materiaux magnetiques non lineaires et hysteretiques’, These dedoctorat, Universite de Liege, 1994. xi, 2-27, 3-2, 3-12, 4-16, 4-20, 4-22,4-23, 4-24, 4-31, 6-1, 6-16, 6-34, 6-35

[Dem96] A. Demenko, ’Movement simulation in finite element analysis of electricmachine dynamics’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 1553–1556, May1996. 8-7, 8-11

[DeW95a] R. De Weerdt, R. Belmans, ’Squirrel cage induction motor end effects using2D and 3D finite elements’, Proceedings EMD ’95, pp. 62–66. 9-58

[DeW95b] R. De Weerdt, ’Eindige elementenmodellering van kooiankerinductiemoto-ren’, doctoraatsthesis, Katholieke Universiteit Leuven, 1995. 4-19, 9-7, 9-58

[Die48] D. Dieterly, Symposium on magnetic testing, ASTM special Technical Pu-

Bibliografie R-5

blication no. 85, 1948. 3-17

[DiG99] A. Di Gerlando, R. Perini, ’Evaluation of the effects of the voltage harmonicson the extra iron losses in the inverter fed electromagnetic devices’, IEEETrans.Magn., Vol. 14, No. 1, pp. 57–65, March 1999. 6-51

[Duc94] J.-P. Ducreux, ’Computation of asynchronous machine end winding leakagereactance with 3D field calculation around the end region’, ICEM’94, Vol. 2,pp. 333–336. 9-58

[Duc95] J.-P. Ducreux, G. Nicolas, ’Finite length effects study in massive iron rotorsusing 3D electromagnetic field computation’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31,No. 3, pp. 2096–2099, May 1995. 8-2

[Dul96] P. Dular, ’Modelisation du champ magnetiques et des courants induits dansles systemes tridimensionnels non lineaires’, These de doctorat, Universitede Liege, 1996. 3-2, 3-7, 4-34

[Dul98] P. Dular, J. Gyselinck, F. Henrotte, W. Legros, J. Melkebeek, ’Modellingof eddy currents in steel laminations using complementary 3D finite elementformulations with enforced magnetic fluxes’, EMF’98, pp. 423–428. 5-19,5-22

[Dup94] L. Dupre, R. Van Keer, J. Melkebeek, ’A coupled magnetic network-finiteelement model for the calculation of losses in steel laminations used in elec-tric machinery’, Proceedings of the 1st IMACS Symposium on MathematicalModelling, Technical University Vienna, Austria, Vol. 4, pp. 715-722. 8-23

[Dup95] L. Dupre, ’Electromagnetische karakterisatie van niet-georienteerd elek-troblik’, Doctoraatsthesis, Universiteit Gent, 1995. xi, 4-20, 4-24, 5-11, 6-1,6-8, 6-9, 6-16

[Dup96] L. Dupre, R. Van Keer, J. Melkebeek, ’Magneto-dynamic field computationsusing a vector Preisach model’, Numerical Methods in Engineering, pp. 312–317, 1996. 6-17, 6-35

[Dup98a] L. Dupre, J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’Complementary finite element me-thods in 2D magnetics taking into account a vector Preisach model’, IEEETrans.Magn., Vol. 34, No. 5, pp. 3048–3051, September 1998. 5-11, 6-35

[Dup98b] L. Dupre, G. Bertotti, J. Melkebeek, ’Dynamic Preisach model and energydissipation in soft magnetic materials’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 4,pp. 1168–1170, July 1998. 6-11

[Dup98c] L. Dupre, R. Van Keer, J. Melkebeek, ’A study of the influence of lasercutting and punching on the electromagnetic behaviour of the electrical steelsheets using a combined finite element-dynamic Preisach model’, EMF’98,pp.195-200. 9-23

[DuT84] Y. Du Terrail, J.C. Sabonnadiere, P. Masse, J.L. Coulomb, ’Nonlinear com-plex finite elements analysis of electromagnetic field in steady-state AC de-vices’, IEEE Trans.Magn., Vol. 20, No.4, pp. 549–552, 1984. 4-18

[Ell96] M. Elleuch, M. Poloujadoff, ’A contribution to the modeling of three phasetransformers using reluctances’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32, No. 2, pp. 335–343, March 1996. 2-36

[Ell98] M. Elleuch, M. Poloujadoff, ’New transformer model including joint air gapsand lamination anisotropy’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 5, pp. 3701–3711, September 1998. 6-44

[Fla94] T. Flack, R. Knight, ’Computational aspects of time stepping finite-element

R-6 Bibliografie

analysis using an air-gap element’, ICEM’94, Vol. 3, pp. 158–163. 8-5

[Fin94] R. Findlay, N. Stranges, D. MacKay, ’Losses due to rotational flux in threephase induction motors’, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 9,No. 3, pp. 543–549, September 1994. 6-21

[Fio90] F. Fiorillo, A. Novikov, ’An improved approach to power losses in magneticlaminations under nonsinusoidal induction waveform’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 26, No. 5, pp. 2904–2910, September 1990. 6-51

[Fou81] F. Fouad, T. Nehl, N. Demerdash, ’Magnetic field modeling of permanentmagnet type electronically oriented synchronous machines using finite ele-ments’, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 100,No. 9, September 1981. 8-6

[Gys94] J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’A new discretisation method for the two di-mensional dynamic analysis of rotating electric machines’, ICEM’94, Vol. 3,pp. 128–133. 2-21, 8-6

[Gys95] J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’Modelling of electric machines with skewed slotsusing the two dimensional finite element method: an efficient solving tech-nique’, Proc. IMACS-SAS Conference, Berlin, Germany, June 26–30, 1995,pp. 559–562. 7-22, 8-15, 8-22

[Gys96a] J. Gyselinck, L. Vandevelde, J. Melkebeek, ’Modelling of electrical ma-chines with skewed slots using the two-dimensional finite element method’,ICEM’96, Vol. 1, pp. 125–130. 8-15, 8-22

[Gys96b] J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’Numerical methods for time stepping coupledfield-circuit systems’, Proc. ELECTRIMACS’96, Saint-Nazaire, France, Sep-tember 17–19, 1996, Vol. 1, pp. 227–234. 7-22, 7-24

[Gys98a] J. Gyselinck, L. Vandevelde, J. Melkebeek, ’Coupling Finite Elements andMagnetic Networks in Magnetodynamics’, ICEM’98, Vol. 2, pp. 1431–1436.2-39, 5-27, 7-16, 8-23, 9-50

[Gys98b] J. Gyselinck, L. Vandevelde and J. Melkebeek, ’Comparison of 2D FE modelsand lumped network models for the dynamic analysis of induction machines’,EMF’98, pp. 469–474. 2-39, 8-23

[Gys99a] J. Gyselinck, L. Vandevelde, J. Melkebeek, P. Dular, F. Henrotte, W. Leg-ros, ’Calculation of eddy currents and associated losses in electrical steellaminations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 35, No. 3, pp. 1191–1194, May 1999.5-1, 5-27

[Gys99b] J. Gyselinck, M. De Wulf, L. Vandevelde, J. Melkebeek, ’Incorporation ofvector hysteresis and eddy current losses in 2D FE magnetodynamics’, Proc.of ELECTRIMACS’99, Lisbon, Portugal, September 14–16, 1999, Vol. 3,pp. 37-44. 6-36, 9-23

[Gys99c] J. Gyselinck, L. Vandevelde, D. Makaveev, J. Melkebeek, ’Calculation ofnoload losses in a cage induction motor using a simplified iron loss model’,Compumag’99, Vol. 1, pp. 362–363. 9-23

[Gys99d] J. Gyselinck, L. Vandevelde, D. Makaveev, J. Melkebeek, ’Calculation ofnoload losses in an induction motor using an inverse vector Preisach modeland an eddy current loss model’, presented at Compumag’99, accepted forIEEE Trans.Magn., July 2000. 6-29, 9-23

[Haa92] H. Haas, F. Schmoellebeck, ’Approximation of nonlinear anisotropic magne-tization characteristics’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 2, pp. 1255–1258,

Bibliografie R-7

March 1992. 1-10, 3-12, 3-14

[Ham94] K. Hameyer, R. Hanitsch, ’Numerical optimization of the electromagneticfield by stochastic search and MEC model’, IEEE Transactions on IndustrialElectronics, Vol. 30, No. 5, pp. 3431–3434, September 1994. 2-35, 2-36

[Ham98] K. Hameyer, R. Mertens, U. Pahner, R. Belmans, ’New technique to enhancethe accuracy of the 2-D/3-D field quantities and forces obtained by standardfinite-element solutions’, IEE Proc.-Sci. Meas. Technol., Vol. 145, No. 2,March 1998, pp. 67-75. 8-10

[Ham99a] K. Hameyer, R. Belmans, ’Numerical modelling and design of electrical ma-chines and devices’, WIT Press, Southampton, 1999. 3-8, 4-24

[Ham99b] K. Hameyer, J. Driesen, H. De Gersem, R. Belmans, ’The classification ofcoupled problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 35, No. 3, pp. 1618–1621, May1999. xi

[Han75] A. Hanalla, D. Macdonald, ’A nodal method for the numerical solution oftransient field problems in electrical machinery’, IEEE Trans.Magn., Vol. 11,No. 5, pp. 1544–1546, September 1996. 2-14

[Hec90] F. Hecht, A. Marrocco, ’A finite element simulation of an alternator con-nected to a non linear external circuit’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2,pp. 964–967, March 1990. 7-13, 7-16

[Hed96] H. Hedia, ’Modelisation non lineaire des effets thermiques dans les systemesmagnetodynamiques’, These de doctorat, Universite de Liege, 1996. xi, 4-16,4-18

[Hei96] P. Heidrich, R. Hanitsch, ’Indirectly coupling time-stepping techniques forelectro-magnetic systems using quasi Newton-Raphson solvers and on-linefield calculations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 1090–1093, May1996. 7-15

[Hee95] K. Heemers, ’Berekenen van elektromagnetische krachten met behulp van deeindige-elementenmethode’, afstudeerwerk, Universiteit Gent, Faculteit vande Toegepaste Wetenschappen, 1995. 8-9, 8-10

[Henn90a] G. Henneberger, J.C. Sabonnadiere, Ph. Sattler, D. Shen, ’An accelera-ted Newton-Raphson method associated with the ICCG algorithm’, IEEETrans.Magn., Vol. 26, No. 2, pp. 709–711, March 1990. 2-31, 7-15

[Henn90b] G. Henneberger, G. Asche, D. Rodder, ’Computer modelling of an universalmotor by numerical field analysis and dynamic simulation’, ICEM’90, Vol. 1,pp. 94–99.

[Henn91] G. Henneberger, Ph. Sattler, D. Shen, ’Force calculation with analyticalaccuracy in the finite element based computational magnetostatics’, IEEETrans.Magn., Vol. 27, No. 5, pp. 4254–4257, September 1991. 8-10

[Henr92] F. Henrotte, A. Nicolet, F. Delince, A. Genon, W. Legros, ’Modelling of fer-romagnetic materials in 2D finite element problems using Preisach’s model’,IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 5, pp. 2614–2616, September 1992. 6-29,6-34, 6-35

[Henr93] F. Henrotte, H. Hedia, N. Bamps, A. Genon, A. Nicolet, W. Legros,’A new method for axisymmetrical linear and nonlinear problems’, IEEETrans.Magn., Vol. 29, No. 2, pp. 1352–1355, 1993. 2-9

[Henr94] F. Henrotte, A. Nicolet, H. Hedia, A, Genon, W. Legros, ’Modelling ofelectromechanical relays taking into account movement and electric circuits’,

R-8 Bibliografie

IEEE Trans.Magn., Vol. 30, No. 5, pp. 3236–3239, September 1994. 8-6

[Ho97a] S. Ho, W. Fu, ’Application of automatic choice of step size for time steppingfinite element method to induction motors’, IEEE Trans.Magn., Vol. 33,No. 2, pp. 1370–1373, March 1997. 4-24

[Ho97b] S. Ho, W. Fu, ’A comprehensive approach to the solution of the directly-coupled multislice model of skewed rotor induction motors using time-stepping eddy-current finite element method’, IEEE Trans.Magn., Vol. 33,No. 2, pp. 2265–2273, May 1997. 8-15, 8-20, 8-22

[Ho98a] S. Ho, W. Fu, H. Wong, ’Estimation of stray losses of skewed rotor inductionmotors using coupled 2D and 3D time stepping finite element methods’, IEEETrans.Magn., Vol. 34, No. 5, pp. 3102–3105, September 1998. 8-13

[Ho98c] S. Ho, W. Fu, ’Review and future application of finite element methods ininduction motors’, Electric Machines and Power Systems, 26:111–125, 19987-16, 8-17

[Hon91] C. Hong, G. Hwang, ’Nonlinear complex finite-element analysis of squir-rel cage induction motor performance’, IEE Proceedings, Vol. 138, No. 5,pp. 277–284, September 1991. 4-19

[Hon95] S. Hong, S. Lee, J. Won, ’Properties of the vector hysteresis model for uno-riented magnetic materials’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1833–1836, May 1995. 6-21

[Imh90] J.F. Imhoff, G. Meunier, J.C. Sabonnadiere, ’Finite element modeling ofopen boundary problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2, pp. 588–591,March 1990. 2-20

[Jam92] M. Jamil, P. Baldassari, N. Demerdash, ’No-load induction motor core los-ses using a combined finite element state space model’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 28, No. 5, pp. 2820–2822, September 1992. 6-51, 7-15

[Jil92] D. Jiles, J. Thoelke, M. Devine, ’Numerical determination of hysteresis pa-rameters for the modeling of magnetic properties using the theory of ferro-magnetic hysteresis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 1, pp. 27–35, January1992. 6-1

[Kaw97] Y. Kawase, Y. Hayashi, T. Yamaguchi, ’3D finite element analysis of mo-tors excited from voltage source taking into account end-coil effects’, IEEETrans.Magn., Vol. 33, No. 2, pp. 1686–1689, March 1997. 9-58

[Kni98] R. Knight, T. Flack, ’Exploitation of symmetry in two-dimensional finite-element, time-domain modelling of induction motors’, ICEM’98, Vol. 2,pp. 1413–1418. 2-21

[Kon85] A. Konrad, ’Eddy currents and modelling’, IEEE Trans.Magn., Vol. 21,No. 5, pp. 1805–1810, September 1985. xi, 4-1

[Lab96] N. Labbe, Y. Marechal, G. Meunier, H. Ben Harara, ’2D nonlinear finiteelement modelling of electromagnetic retarders using time-stepping algo-rithms, and the Petrov-Galerkin method with homogenization techniques’,IEEE Trans.Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 772–775, May 1996. 3-12, 8-2

[Lam66] J. Lammeraner, M. Stafl, ’Eddy currents’, ILIFFE Books Ltd., London,1966. 5-10

[Lav78] J. Lavers, P. Biringer, H. Hollitscher, ’A simple method of estimating theminor loop hysteresis loss in thin laminations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 14,No. 5, pp. 386-388, September 1978. 6-51

Bibliografie R-9

[Liu94] J. Liu, A. Basak, A. Moses, G. Shirkoohi, ’A method of anisotropic steelmodelling using finite element method with confirmation by experimental re-sults’, IEEE Trans.Magn., Vol. 30, No. 5, pp. 3391–3394, March 1994. 3-13

[Lu96] J. Lu, S. Yamada, B. Harrison, ’Application of harmonic balance-finite ele-ment method (HBFEM) in the design of switching power supplies’, IEEETransactions on Power Electronics, Vol. 11, No. 2, pp. 347–355, March 1996.4-19

[Lom92] P. Lombard, G. Meunier, ’A general method for electric and magnetic com-bined problems in 2D and magnetodynamic domain’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 28, No. 2, pp. 1291–1294, March 1992. 7-16

[Lom93] P. Lombard, G. Meunier, ’A general purpose method for electric and magne-tic combined problems for 2D, axisymmetric and transient systems’, IEEETrans.Magn., Vol. 29, No. 2, pp. 1737–1740, March 1993. xi, 2-6, 7-16

[Lon89] W. Long, F. Piriou, A. Razek, ’An adapted Cholesky decomposition me-thod for solution of coupled magnetic-electric equations’, COMPEL, 8(4),pp. 203–208, 1989. 7-22

[Lov99] H. Lovatt, P. Watterson, ’Energy stored in permanent magnets’, IEEETrans.Magn., Vol. 35, No. 1, pp. 505–507, January 1999. 3-11

[Low89] D. Lowther, E. Freeman, B. Forghani, ’A sparse matrix open boundarymethod for finite element analysis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 25, No. 4,pp. 2810–2812, July 1989. 2-20, 2-21, 2-24

[Luo86] J. Luomi, A. Niemenmaa, A. Arkkio, ’On the use of effective reluctivitiesin magnetic field analysis of induction motors fed from sinusoidal voltagesource’, ICEM’86, pp. 706–709. 4-18, 4-19

[Mak99] D. Makaveev, M. De Wulf, J. Melkebeek, ’Field homogeneity in a two-phaserotational single sheet tester with square samples’, Journal of Magnetism andMagnetic Materials 196-197 (1999), pp. 937–939. 3-18, 3-19

[Mak2000] D. Makaveev, M. von Rauch, M. De Wulf, J. Melkebeek, ’Accurate fieldstrength measurement in rotational single sheet testers’, Journal of Magne-tism and Magnetic Materials (2000), accepted. 3-18

[Mar92] Y. Marechal, G. Meunier, J.L. Coulomb, H. Magnin, ’A general purpose toolfor restoring inter-element continuity’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 2,pp. 1728–1731, March 1992. 8-7

[Math92] J. Mathews, ’Numerical methods for mathematics, science and engineering’,2nd Edition, 1992, Prentice Hall, New Jersey, U.S.A. 6-14

[Mats97] T. Matsubara, Y. Ishihara, S. Kitamura, Y. Inoue, N. Takahashi, ’Magne-tic field analysis in condenser motor considering skewed slot effects’, IEEETrans.Magn., Vol. 33, No. 2, pp. 1698–1701, March 1997. 8-15, 8-17, 8-20

[May91] I. Mayergoyz, ’Mathematical models of hysteresis’, Springer-Verlag, NewYork, 1991. 6-1, 6-8, 6-16, 6-17

[McC96] C. McClay, S. Williamson, M. Mueller, ’Calculation of high-frequency losseson closed-slot induction motor rotors’, ICEM’96, Vol. 1, pp. 411–416. 6-51,8-14, 8-17

[McC98] C. McClay, S. Williamson, ’Influence of rotor skew on cage motor losses’,IEE Proc.-Electr. Power Appl., Vol. 145, No. 5, pp. 414–422, September1998 8-15

[McF87] S. McFee, D. Lowther, ’Towards accurate and consistent force calculation

R-10 Bibliografie

in finite element based computational magnetostatics’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 23, No. 5, pp. 3771–3773, September 1987. 8-10

[Meli90] J. Melissen, J. Simkin, ’A new coordinate transform for the finite elementsolution of axisymmetrical problems in magnetostatics’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 26, No. 2, pp. 391–394, March 1990. 2-9

[Melk98] J. Melkebeek, ’Bouw en berekening van elektrische machines’, cursus gedo-ceerd aan de Universiteit Gent, 1998. 2-34, 3-8, 4-29, 4-30, 5-10, 8-14, 9-6,9-36, 9-58, 9-63

[Mer98] R. Mertens, H. De Gersem, R. Belmans, K. Hameyer, ’An algebraic multigridmethod for solving very large electromagnetic systems’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 33, No. 2, pp. 1216–1218, March 1997. 2-31

[Mer99] R. Mertens, ’Dynamische eindige elementen simulatie van een inductiemotorin een aandrijfsysteem’, Doctoraatsthesis, Katholieke Universiteit Leuven,1999. 4-19, 4-21, 4-24, 8-10, 8-11, 8-12, 8-15, 8-20, 9-7, 9-53, 9-58

[Meu88] G. Meunier, D. Shen, J.-L. Coulomb, ’Modelisation of 2D and axisymmetricmagnetodynamic domain by the finite elements method’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 24, No. 1, pp. 166–169, January 1988. 4-12

[Miz88] J. Mizia, K. Adamiak, A. Eastham, G. Dawson, ’Finite element force cal-culation: comparison of methods for electric machines’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 24, No. 1, pp. 447–450, January 1988. 8-10

[Nak85] T. Nakata, N. Takahashi, K. Fujiwara, ’Finite element analysis of magne-tic fields taking into account hysteresis characteristics’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 21, No. 5, pp. 1856–1858, September 1985. 6-35

[Nak90] T. Nakata, N. Takahashi, K. Fujiwara, ’Investigation of a model to ve-rify softwares for 3D nonlinear eddy current analysis’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 26, No. 2, pp. 501–504, March 1990. 3-2, 3-7

[Nak91] T. Nakata, K. Fujiwara, ’Recent progress in numerical analysis for elec-tromagnetic devices’, IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 5, pp. 4221–4226,September 1991. xi, 7-16

[Nak92] T. Nakata, M. Nakano, K. Kawahara, ’Effects of stress to cutting on magne-tic characteristics of silicon steel’, IEEE Translation Journal on Magneticsin Japan, Vol. 7, No. 6, pp. 453–457, June 1992. 9-23

[Nak94] T. Nakata, K. Fujiwara, N. Takahashi, M. Nakano, N. Okamoto, ’An impro-ved numerical analysis of flux distributions in anisotropic materials’, IEEETrans.Magn., Vol. 30, No. 5, pp. 3395–3398, September 1994. 3-13, 3-15

[Neh94] T. Nehl, B. Lequesne, V. Gangla, S. Gutkowski, M. Robinson, T. Sebas-tian, ’Nonlinear two-dimensional finite element modeling of permanent mag-net eddy current couplings and brakes’, IEEE Trans.Magn., Vol. 30, No. 5,pp. 3000–3003, September 1994. 8-2

[Nic93] A. Nicolet, F. Delince, N. Bamps, A. Genon, W. Legros, ’A coupling betweenelectric circuits and 2D magnetic field modeling’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29,No. 2, pp. 1697–1699, March 1993. 2-21, 7-16

[Nie88] A. Niemenmaa, ’Complex reluctivity modelling of iron losses in inductionmachines’, ICEM’88, pp. 633-636. 4-16

[Nin96] O. Ninet, M.A. Peccolo, H. Fraisse, J.P. Masson, ’2D field calculations withhysteresis for the characterisation of magnetic circuits’, Proc. ELECTRI-MACS’96, pp. 667–671. 6-34, 6-35

Bibliografie R-11

[Nov82] D. Novotny, Madison University Summer Course, 1982. 9-63

[Odw95] J. O’dwyer, T. O’Donnell, ’Choosing the relaxation parameter for the solu-tion of nonlinear magnetic field problems by the Newton-Raphson method’,IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 31, pp. 1484–1487, May 1995. 2-27

[Ome97] A. Omekanda, C. Broche, M. Renglet, ’Calculation of the electromagneticparameters of a switched reluctance motor using an improved FEM-BIEM –Application to different models for torque calculation’, IEEE Transaction onIndustry Applications, Vol. 33, No. 4, July/August 1997. 8-6

[Ost89] V. Ostovic, ’Dynamics of saturated electric machines’, New York: Springer-Verlag, 1989. 8-23, 8-24, 8-25, 8-26, 8-29, 8-30

[Pah96] U. Pahner, R. Mertens, K. Hameyer, R. Belmans, ’Comparisaon of two post-processing techniques in 2D FEM based on local solutions of the Laplaceequation’, ICEM’96, Vol. 1, pp. 131-136. 8-10

[Pah98] U. Pahner, ’A general design tool for the numerical optimisation of elec-tromagnetic energy transducers’, Doctoraatsthesis, Katholieke UniversiteitLeuven, 1998. 2-35, 3-5

[Pal90] R. Palma, S. Salon, M. DeBortoli, ’Dynamic electromechanical analysis ofinduction motors’, ICEM’90, Vol. 3, pp. 952–958. xi, 7-16, 8-11

[Pau98] H. Pauwels, ’Velden, energie en krachten’, cursus gedoceerd aan de Uni-versiteit Gent, Faculteit van de Toegepaste Wetenschappen. 1-2, 1-3, 8-7,8-9

[Phi90a] D. Philips, L. Dupre, R. Van Keer, ’Computation of magnetic fields in elec-tric machinery using a coupled finite element-network element model’, Pro-ceedings ECMI Conference, Lahti, Finland, June 1990. 2-39, 8-23

[Phi90b] D. Philips, ’A hybrid network-finite element model for switched reluctancemotors’, Journal of Engineering Design, Vol. 1, No. 1, 1990. 2-39, 8-23

[Phi92] D. Philips, ’Coupling finite elements and magnetic networks in magnetosta-tics’, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 35,No. 10, pp. 1993–2002, 1992. 2-14, 2-39

[Phi95] D. Philips, L. Dupre, J. Melkebeek, ’Comparison of Jiles and Preisach hys-teresis models in magnetodynamics’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 6,pp. 3551–3553, 1995. 6-1

[Phi96] D. Philips, L. Dupre, ’Macroscopic fields in ferromagnetic laminations takinginto account hysteresis and eddy current effects’, Journal of Magnetism andMagnetic Materials, Vol. 160, pp. 5–10, 1996 5-19

[Pir83] F. Piriou, A. Razek, ’Calculation of saturated inductances for numericalsimulation of synchronous machines’, IEEE Trans.Magn., Vol. 19, No. 6,pp. 2628–2631, November 1983.

[Pir88] F. Piriou, A. Razek, ’Coupling of saturated electromagnetic systems to non-linear power electronic devices’, IEEE Trans.Magn., Vol. 24, No. 1, pp. 274–277, January 1988. 7-15, 7-16

[Pir90] F. Piriou, A. Razek, ’A model for coupled magnetic-electric circuits inelectric machines with skewed slots’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2,pp. 1096–1100, March 1990. 8-15, 8-17, 8-20

[Pir92] F. Piriou, Y. Lefevre, B. Davat, ’Couplage magnetique-electrique pour lamodlisation des machines electriques et de leur alimentation’, RGE, No. 2,pp. 8–16, Fevrier 1992. 7-16, 8-5

R-12 Bibliografie

[Pir93] F. Piriou, A. Razek, ’Finite element analysis in electromagnetic systemsaccounting for electric circuits’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29, No. 2, pp. 1669–1675, March 1993. 7-15

[Prei35] F. Preisach, ’Uber die magnetische nachwirkung’, Zeitschrift fur Physik,Vol. 94, pp. 277–302, 1935. 6-1

[Pres90] W. Press, B. Flannery, S. Teukolsky, W. Vetterling, ’Numerical recipes –The art of scientific computing’, Cambridge University Press, Cambridge,1990 3-4

[Prest83] T. Preston, A. Reece, ’The contribution of the finite-element method to thedesign of electrical machines: an industrial viewpoint’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 19, No. 6, pp. 2375–2380, November 1983. xi

[Prest88] T. Preston, A. Reece, P. Sangha, ’Induction motor analysis by time-steppingtechniques’, IEEE Trans.Magn., Vol. 24, No. 1, pp. 471–474, January 1988.8-7

[Raj97] C. Rajanathan, Z. Shi, D. Thompson, ’Electromechanical transients ina three-phase induction motor during phase failure and plugging’, IEEETrans.Magn., Vol. 33, No. 2, pp. 1219–1222, March 1997. 7-16, 8-12

[Ras96] C. Rasmussen, E. Ritchie, ’Magnetic equivalent circuit method for designingpermanent magnet motors’, ICEM’96, Vol. 3, pp. 103–108. 8-23

[Rat86] S. Ratnajeevan, N. Ratnasuneeran, ’Reluctivity characteristics in nonlinearfinite element analysis of magnetostatic fields’, IEEE Trans.Magn., Vol. 22,No. 5, pp. 1352–1353, September 1986. 2-30, 3-3

[Ren94] Z. Ren, A. Razek, ’A strong coupled model for analysing dynamic behavioursof non-linear electromechanical systems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 30, No. 5,pp. 3252–3255, September 1994. 8-11

[Rem97] J.-F. Remacle, ’Estimation d’erreur dans la modelisation par elements finisdes champs electromagnetiques: application a l’optimisation de maillages’,These de doctorat, Universite de Liege, 1997. 4-34

[Rod90] P. Rodger, H. Lai, P. Leonard, ’Coupled elements for problems involvingmovement’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2, pp. 548–550, March 1990.8-7

[Rod95] P. Rodger, T. Karagular, P. Coles, ’Finite element modelling of magnetichysteresis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1801–1804, May 1995.6-35

[Roi96] H. Roisse, P. Brochet, ’Dynamic simulation of a synchronous permanentmagnet machine using a coupled permeance network’, ICEM’96, Vol. 2,pp. 39–44. 8-23, 8-29

[Rou95] L-L. Rouve, T. Waeckerle, A. Kedous-Lebouc, ’Application of Preisach mo-del to grain oriented steels: comparison of different characterisations for thePreisach function p(α, β)’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 6, pp. 3557–3559, November 1995. 6-11

[Rou96] L-L. Rouve, F. Ossart, T. Waeckerle, A. Kedous-Lebouc, ’Magnetic flux andlosses computation in electrical laminations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32,No. 5, pp. 4219–4221, September 1996. 5-11

[Sad92] N. Sadowski, Y. Lefevre, M. Lajoie-Mazenc, J. Cros, ’Finite element torquecalculation in electrical machines while considering the movement’, IEEETrans.Magn., Vol. 28, No. 2, pp. 1410–1413, March 1992. 8-7

Bibliografie R-13

[Sai98] J. Saitz, A. Szucs, ’Combination of fixed-point technique and Newton-Raphson method for magnetic field problems with hysteresis’, EMF’98,pp. 213–218. 6-34, 6-35

[Sai99] J. Saitz, ’Computation of the core loss in an induction motor using the vectorPreisach hysteresis model incorporated in finite element analysis’, Compu-mag’99, Vol. 1, pp. 132–133, submitted for IEEE Trans.Magn.. 6-35, 9-23

[Sal85] S. Salon, ’The hybrid finite element-boundary element method in electromag-netics’, IEEE Trans.Magn., Vol. 21, No. 5, pp. 1829–1834, September 1985.2-21, 8-6

[Sal89] S. Salon, R. Palma, C. Hwang, ’Dynamic modeling of an induction motorconnected to an adjustable speed drive’, IEEE Trans.Magn., Vol. 25, No. 4,pp. 3061–3063, July 1989. 4-24

[Sal93a] S. Salon, D. Burow, R. Ashley, L. Ovacik, M. DeBortoli, ’Finite elementanalysis of induction machines in the frequency domain’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 29, No. 2, pp. 1438–1441, March 1993. 4-19, 4-21

[Sal93b] S. Salon, L. Ovacik, J. Balley, ’Finite element calculation of harmonic lossesin AC machine windings’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29, No. 2, pp. 1442–1445,March 1993. 4-32

[Sal95] S. Salon, ’Finite Element analysis of electrical machines’, Kluwer AcademicPublishers, Boston, 1995. 3-4, 4-20, 4-31, 8-11, 8-12

[She85] D. Shen, G. Meunier, J.L. Coulomb, J. Sabonnadiere, ’Solution of magneticfields and electrical circuits combined problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 21,No. 6, pp. 2288–2291, November 1985. 7-16

[She87] D. Shen, J. Sabonnadiere, G. Meunier, J.L. Coulomb, M. Sacotte, ’3D aniso-tropic magnetic field calculation in transformer joints’, IEEE Trans.Magn.,Vol. 23, No. 5, pp. 3783–3785, September 1987. 3-13, 3-15

[Sie96] J. Sievert, H. Ahlers, M. Birkfeld, B. Cornut, F. Fiorillo, K. Hempel,T. Kochmann, A. Kedous-Lebouc, T. Meydan, A. Moses, A. Rietto, ’Eu-ropean intercomparison of measurements of rotational power loss in electri-cal sheet steel’, Journal of Magnetism and Magnetic Materials 160 (1996),pp. 115-118 3-18

[Sil70] P. Silvester, M. Chari, ’Finite-element solution of saturable magnetic fieldproblems’, IEEE Transactions of Power Applications and Systems, Vol. PAS-89, pp. 1642–1651, 1970. xi

[Sil73] P. Silvester, H. Cabayan, B. Browne, ’Efficient techniques for finite elementanalysis of electric machines’, IEEE Transactions of Power Applications andSystems, Vol. PAS-92, pp. 1274–1281, 1973. xi, 2-30

[Sil90] P. Silvester, R. Ferrari, ’Finite elements for electrical engineers’, CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1990. 1-2, 1-6, 1-14, 2-10, 2-21, 2-31

[Sil91] P. Silvester, R. Gupta, ’Effective computational models for anisotropic softB-H curves’, IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 5, pp. 3804–3807, September1991. 3-13, 3-14

[Sle90] G. Slemon, ’An equivalent circuit approach to analysis of synchronous machi-nes with saliency and saturation’, IEEE Transactions on Energy Conversion,Vol.! 5, No. 3, pp. 538–545. September 1990 8-23, 8-26

[Smi95] A. Smith, K. Edey, ’Influence of manufacturing processes on iron losses’, 7thInternational Conference on Electrical Machines and Drives-EE, Durham,

R-14 Bibliografie

U.K., September 11–13, 1995, pp. 77–81. 6-51, 9-23

[Sto91] E. Stoner, E. Wolhlfarth, ’A mechanism of magnetic hysteresis in heteroge-neous aloys’, IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 4, pp. 3475–3518, 1991. 6-1,6-16

[Tak98] N. Takahashi, S. Miyabara, K. Fujiwara, ’Investigation on finite elementanalysis using Preisach hysteresis model’, EMF’98, pp. 183–188. 6-34

[Tim95] M. Timothy, T. Preston, ’Finite element modelling of laminated structuresin electrical machines’, 7th International Conference on Electrical Machinesand Drives-EE, Durham, U.K., September 11–13, 1995, pp. 121–125. 6-38

[Tro88] C. Trowbridge, ’Electromagnetic computing: the way ahead’, IEEETrans.Magn., Vol. 24, No. 1, pp. 13–18, January 1988. xi

[Tro96] C. Trowbridge, ’The role of optimisation techniques used for magnet design’,EMF’96, pp. 15–23. 2-35

[Tsu93a] I. Tsukerman, A. Konrad, G. Meunier, J. Sabonnadiere, ’Coupled field-circuit problems: trends and accomplishments’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29,No. 2, pp. 1701–1704, March 1993. xi, 4-20, 7-16, 7-23

[Tsu93b] I. Tsukerman, A. Konrad, G. Bedrosian, M. Chari, ’A survey of numericalmethods for transient eddy current problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29,No. 2, pp. 1711–1716, March 1993. xi, 2-31, 4-1, 4-20, 4-23

[Tsu93c] I. Tsukerman, ’Fast finite element solvers for problems with magnetic mate-rials’, IEEE Trans.Magn., Vol. 29, No. 6, pp. 2365–2367, September 1993.2-31

[Tsu94] I. Tsukerman, J. Lavers, A. Konrad, K. Weeber, H. Karmaker, ’Finite ele-ment analysis of static and time-dependent fields and forces in a synchronousmotor’, ICEM’94, Vol. 2, pp. 27–32. 7-16, 8-4

[Tsu95a] I. Tsukerman, ’Accurate computation of ’ripple solutions’ on moving finiteelement meshes’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1472–1475, May1995. 8-7

[Tsu95b] I. Tsukerman, ’A stability paradox for time-stepping schemes in coupled field-circuit problems’, IEEE Trans.Magn., Vol. 31, No. 3, pp. 1857–1860, May1995. 4-23, 4-24

[Vaa96] J. Vaananen, ’Circuit theoretical approach to couple two-dimensional finiteelement models with external circuit equations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32,No. 2, pp. 400–410, March 1996. 7-13, 7-15, 7-16

[Vand94] L. Vandevelde, J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’Steady-state finite element ana-lysis in the frequency domain of squirrel-cage induction motors’, Proceedingsof the Symposium on Power Electronics, Electrical Drives, Advanced Elec-trical Motors (SPEEDAM’94), Taormina, Italy, June 1994, pp. 29-34 4-19,8-14

[Vand97] L. Vandevelde, ’Magnetische krachtwerking met toepassing op geluid en tril-lingen in inductiemachines’, Doctoraatsthesis, Universiteit Gent, 1997. 1-10,8-9, 8-10, 8-14, 8-16, 8-23

[Vand98] L. Vandevelde, J. Gyselinck, J. Melkebeek, ’Local magnetic forces and de-formation in switched reluctance motors’, EMF’98, pp. 343-348 8-23

[VanK96] R. Van Keer, L. Dupre, J. Melkebeek, ’On a numerical method for 2D mag-netic field computations in a lamination with enforced total flux’, Journal ofComputational and Applied Mathematics 72 (1996), pp. 179–191. 5-19

Bibliografie R-15

[Vas89] E. Vassent, G. Meunier, J.C. Sabonnadiere, ’Simulation of induction ma-chine operation using complex magnetodynamic finite elements’, IEEETrans.Magn., Vol. 25, No. 4, pp. 3064–3066, July 1989. 4-18, 4-19

[Vas91a] E. Vassent, G. Meunier, A. Foggia, ’Simulation of induction machines usingcomplex magnetodynamic finite element method coupled with the circuitequations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 5, pp. 4246–4249, March 1991.7-16

[Vas91b] E. Vassent, G. Meunier, A. Foggia, G. Reyne, ’Simulation of inductionmachine operation using a step by step finite element method coupled withthe circuits and mechanical equations’, IEEE Trans.Magn., Vol. 27, No. 6,pp. 5232–5234, November 1991. 8-12

[Vil96] D. Villeneuve, J. Webb, ’Accuracy versus cost for three efficient finite-element solvers’, IEEE Trans.Magn., Vol. 32, No. 3, pp. 1385–1388, May1996. 2-31

[Wan97] J. Wang, D. Lieu, W. Lorimer, A. Hartman, ’Comparison of lumped para-meter and finite element magnetic modeling in a brushless motor’, IEEETrans.Magn., Vol. 33, No. 5, pp. 4092–4094, September 1997. 8-23

[Wee92] K. Weeber, S. Hoole, ’The subregion method in magnetic field analysis anddesign optimisation’, IEEE Trans.Magn., Vol. 28, No. 2, pp. 1561–1564,March 1992. 2-21

[Will99a] J. Willems, ’Dynamica van elektrische systemen’, cursus gedoceerd aan deUniversiteit Gent, Faculteit van de Toegepaste Wetenschappen. 7-3

[Will99b] J. Willems, ’Dynamica van elektrische netten’, cursus gedoceerd aan de Uni-versiteit Gent, Faculteit van de Toegepaste Wetenschappen. 2-23

[Wil86] S. Williamson, M. Begg, ’Calculation of the resistance of induction motorend rings’, IEE Proceedings-B, Vol. 133, No. 2, March 1986. 9-7

[Wil90a] S. Williamson, M. Mueller, ’Induction motor endwinding leakage reactancecalculation using the Biot-Savart method, taking rotor currents into account’,ICEM’90, pp. 480–484. 9-58

[Wil90b] S. Williamson, L. Lim, A. Smith, ’Transient analysis of cage-induction mo-tors using finite-elements’, IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 2, pp. 941–944,March 1990. 7-15

[Wil93] S. Williamson, M. Mueller, ’Calculation of the impedance of rotor cage endrings’, IEE Proceedings-B, Vol. 140, No. 1, January 1993. 9-7, 9-58

[Wil94] S. Williamson, ’Induction motor modelling using finite elements’, ICEM’94,pp. 1–8. xi, 7-15

[Wil95] S. Williamson, T. Flack, A. Volschenk, ’Representation of skew in time-stepped two-dimensional finite element models of electrical machines’, IEEETransactions on Industry Applications, Vol. 31, No. 5, pp. 1009–1015, Sep-tember/October 1995. 8-14, 8-15, 8-17, 8-22

[Xu95] L. Xu, E. Ruckstadler, ’Direct modeling of switched reluctance machineby coupled field-circuit method’, IEEE Transactions on Energy Conversion,Vol. 10, No. 3, September 1995. 7-15

[Yah94] A. Yahiaoui, B. Boualem, F. Bouillault, F. Piriou, ’Induction motor ana-lysis by finite element method using complex and time stepping techniques’,ICEM’94, pp. 311–315. 4-18, 4-19

[Yam89] S. Yamada, K. Bessho, J. Lu, ’Harmonic balance finite element method ap-

R-16 Bibliografie

plied to nonlinear AC magnetic analysis’, IEEE Trans.Magn., Vol. 25, No. 4,pp. 2971–2973, July 1989. 4-19

[Yua90] K. Yuan, S. Chen, ’A new algorithm for coupled solutions of electric, mag-netic, and mechanical systems in dynamic simulation of solenoid actuators’,IEEE Trans.Magn., Vol. 26, No. 3, pp. 1189–1197, May 1990. 7-16

[Zhu98] J. Zhu, V. Ramsden, ’Improved formulations for rotational core losses inrotating electrical machines’, IEEE Trans.Magn., Vol. 34, No. 4, pp. 2234–2242, July 1998. 6-51, 9-23

Twee-Dimensionale Dynamische Eindige-Elementenmodellering ...

Documents

Transcript of Twee-Dimensionale Dynamische Eindige-Elementenmodellering ...