HOOFDSTUK 1. WERKINGSPRINCIPES1. DEFINITIE VAN EEN TURBOMACHINE Een turbomachine is een machine waarin energie gewisseld wordt tussen de continue stroming van een fludum en een schoepensysteem dat in continue rotatieve beweging is, en waarbij de energieoverdracht steunt op krachten die door de stroming opgewekt worden. De energiewisseling kan gaan van de stroming naar de machine of omgekeerd. In het eerste geval dient de energie die uit de stroming afgevoerd wordt voor de aandrijving van een rotor (trommel met schoepen of wielen met schoepen), die zelf een nuttige last aandrijft. De machine is dan aandrijvend. Men noemt ze altijd een turbine, ongeacht het fludum. Typische fluda zijn: - water: waterturbine of hydraulische turbine - stoom (damp): stoomturbine - lucht in de natuurlijke wind: windturbine - gas gevormd door verbranding van een brandstof in lucht onder druk: gasturbine - ander fludum zoals koelmiddel in een koelcyclus: expansieturbine. Indien energie onttrokken wordt aan de rotor en toegevoerd aan de stroming, gebruikt men verschillende benamingen naargelang het fludum en de component van de stromingsenergie die hoofdzakelijk verhoogd wordt. De machine is een aangedreven machine. De energie die door een rotor aan een fludum door stromingskrachten kan toegevoerd worden (of onttrokken) is in de ruime zin 'mechanische energie' (we verduidelijken dit verder). In de machine zelf kan mechanische energie essentieel maar twee vormen aannemen: energie geassocieerd aan snelheid (kinetische energie) en energie geassocieerd aan druk. Voorbeelden van aangedreven machines: - onsamendrukbaar fludum (water, olie), dominant een drukverhoging (snelheid kan ook enigszins verhogen): pomp - samendrukbaar fludum (lucht, gas, damp) vooral drukverhoging: compressor vooral snelheidsverhoging (inzonderheid lucht): ventilator (zet lucht in beweging). Er zijn nog meer gespecialiseerde termen. In propulsie-aanwendingen (zie hoofdstuk 12) spreken we ook nog van schroef en fan. Dit zijn machines die snelheidsverhoging teweegbrengen voor propulsie.

1

2. VOORBEELDEN VAN AXIALE TURBOMACHINES We beschouwen twee voorbeelden met water: een hydraulische turbine en een pomp.

1

2

leirad looprad

zuigbuis

1 ( )v1 w1

L

v2

uw1

D

w2

u

v0

v1

2 ( )w2

1

rotor leirad

Fig. 1. Axiale hydraulische turbine; cilinderdoorsnede van leirad en looprad

2

Fig. 2. Axiale pomp; uit catalogus van een fabrikant

3

2.1. Axiale hydraulische turbine Figuur 1 toont schematisch de doorsnede van een kleine hydraulische turbine. In de zin van de stroming bestaat de machine uit drie onderdelen: een statordeel omvattend de inlaat en een leirad, een rotordeel (looprad) en een statordeel bestaande uit een divergerende buis. Het leirad en het looprad hebben schoepen. Figuur 1 toont een cilinderdoorsnede van de machine met aanduiding van de snelheidscomponenten in het absolute (v) en relatieve stelsel (w). De index 1 duidt de inlaat van de rotor aan, de index 2 de uitlaat van de rotor. De onderdelen hebben de volgende functie. Inlaat en leirad: - fludum leiden naar de rotor en het erover verdelen (distributor)2 - genereren van kinetische energie v1 / 2 .

De kinetische energie komt uit een drukval waarbij de druk vr de machine is opgebouwd door gebruik van potentile energie van het fludum (we analyseren dit verder). Bij hydraulische turbines zoals hier beschouwd, is de versnelling nooit groot: leiden van het fludum is de belangrijkste functie. We gebruiken hier de termen leirad en leischoepen (guide vanes). Bij stoom- en gasturbines is de versnelling integendeel zeer belangrijk. Dan zegt men eerder dat de stator is samengesteld uit straalpijpen (nozzles, nozzle vanes). Looprad: wisselen van de mechanische energie.2 In het relatieve stelsel is w 2 / 2 > w 1 / 2 . Er is dus opnieuw generatie van kinetische 2 energie. Deze correspondeert met drukval (we analyseren dit verder). In het absolute 2 stelsel is er vermindering van kinetische energie: v 2 / 2 < v1 / 2 . Deze correspondeert met 2 de energieoverdracht vanuit de stroming naar de rotor (we analyseren dit verder).

Het principe van de arbeidsoverdracht kunnen we nu reeds begrijpen. Door de profielvorm van de loopschoepen, gelijkend op een vleugelprofiel zoals aangegeven op figuur 1, is duidelijk dat door ombuiging van de relatieve snelheid bij inlaat van de rotor w1 naar de relatieve snelheid bij uitlaat van de rotor w2 een liftkracht ontstaat (L). Deze staat benaderd loodrecht op de gemiddelde relatieve snelheid en heeft de zin zoals aangeduid op de figuur. De tangentiale component van deze liftkracht ligt in de zin van de loopsnelheid u. Dit betekent dus dat de loopschoep aangedreven wordt, hetgeen correspondeert met arbeid die de stroming op de rotor uitoefent. We zien ook dat de weerstandskracht D een tangentiale component heeft die de beweging tegenwerkt. Het statororgaan na de rotor heeft verschillende functies en naargelang de functie die men wil benadrukken kan men een verschillende naam geven: - water na de rotor verzamelen, d.w.z. collecteren (m.a.w. invers aan de distributor): collector - gedeelte van de kinetische energie bij uitlaat van de rotor omzetten naar energie geassocieerd aan druk. Hierbij daalt de druk na de rotor, zodat de drukval over de machine vergroot: diffusor - de afwaartse hoogte benutten, d.i. het water leiden naar het afwaartse niveau. Hierbij ontstaat onderdruk na de machine door gebruik van de potentile energie: aspirator of zuigbuis. 4

Energetisch gezien is deze laatste functie meestal de belangrijkste. Voorbeeld: - v2 = 5 m/s (typisch): v 2 / 2 = 12.5 J/kg 2 - 2.5 m hoogte: potentile energie gz 25 J/kg. Het recupereren van de afwaartse hoogte is zonder moeilijkheden realiseerbaar. Het omzetten van de kinetische energie is een proces dat met veel verliezen gepaard gaat. We gebruiken aldus normaal het woord zuigbuis (draft tube). De hier behandelde machine wordt axiaal genoemd, omdat de stroomlijnen principieel op cilinders liggen met as samenvallend met de as van de machine (een lichte coniciteit treedt veelal op in echte machines). De snelheidsvectoren hebben vooral axiale en tangentiale componenten (radiale componenten zijn zeer klein). Er zijn ook machines waarbij de stroming principieel gebeurt in vlakken loodrecht op de as, m.a.w. de snelheidsvectoren hebben vooral radiale en tangentiale componenten (de axiale componenten zijn zeer klein). Deze machines noemt men radiaal. Hun werkingsprincipe is ingewikkelder. We bespreken deze machines verder. Er bestaan nog tussenvormen, met name diagonale machines en er zijn nog andere vormen zoals tangentiale en diametrale machines. Turbomachines kunnen zeer veel verschillende vormen aannemen. We zullen al deze vormen later leren kennen. Voorlopig beperken we de fundamentele bespreking tot axiale machines, omdat de studie van hun werkingsprincipe het eenvoudigst is.

2.2. Axiale pomp Figuur 2 toont een beeld van een pomp van het axiale type. De werkingswijze is analoog aan deze van de axiale turbine, maar de zin van de arbeidsoverdracht is omgekeerd. Figuur 3 toont een cilinderdoorsnede van de machine. We onderscheiden de volgende onderdelen. Inlaat: deze leidt het fludum naar de rotor en versnelt het fludum net zoals bij de turbine. De richting van de stroming blijft hierbij axiaal. Theoretisch zouden geen leischoepen nodig zijn. Omdat door de rotatie van de rotor het binnenkomende fludum de neiging krijgt om mee te roteren (prerotatie), worden enige schoepen voorzien (hier 4) om de stroming in de axiale richting te houden. Rotor of looprad: deze heeft tot doel arbeid over te dragen van de machine naar het fludum. Door de omzwenking van de relatieve snelheid bij inlaat van de rotor w1 naar een meer axiale richting bij uitlaat w2 ontstaat een liftkracht in de aangeduide zin. De liftkracht heeft een tangentiale component die tegengesteld is aan de looprichting van de rotor. Hiermee correspondeert dus arbeid die aan de rotor uitwendig moet toegevoerd worden. Er is dus energieoverdracht van de rotor naar het fludum. Deze energieoverdracht is voor een gedeelte merkbaar in de toename van kinetische energie in het absolute stelsel 2 ( v 2 / 2 > v1 / 2 ). Verder is een gedeelte ervan merkbaar in de vermindering van de 22 kinetische energie in het relatieve stelsel ( w 2 / 2 < w 1 / 2 ). Hiermee correspondeert een 2 drukstijging (zie verder).

5

Difussor: na de rotor bevindt zich een stationair leirad waarin de binnenkomende snelheid v2 omgezwenkt wordt naar de axiale richting met behoud van de axiale snelheidscomponent. Hierdoor vermindert de kinetische energie in de stroming ( v 2 / 2 < v 2 / 2 ), waardoor de druk stijgt. De kinetische energie wordt verder gereduceerd 3 2 in een nageschakelde conische divergent. Het volledig statordeel na de rotor heeft dus bij de pomp als functie het omzetten van kinetische energie naar druk. Daarom hebben we meteen dit deel aangeduid met de naam diffusor.v1 u w1 u v3

v2 L rotor w2

u

diffusor

Fig. 3. Cilinderdoorsnede van een axiale pomp

3. QUASI-EENDIMENSIONALE STROMINGSANALYSE 3.1. Principe Bij de fundamentele analyse van turbomachines wordt gebruik gemaakt van de gemiddelde stroming. Voor een machine met azimutale periodiciteit (axiaal, radiaal, diagonaal) is dit de stroming die volgt uit middelen van de stromingsgrootheden over de azimutale richting voor gegeven axiale en een radiale cordinaat te. De echte stroming door een turbomachine is door aanwezigheid van de draaiende rotor steeds niet-stationair. Bij een constante draaisnelheid iss door de azimutale periodiciteit van de rotor- en de statorbeblading de gemiddelde stroming stationair. Verder wordt aangenomen dat de gemiddelde stroming beschreven wordt door stationaire stromingsvergelijkingen. Streng gesproken kan dit niet voldaan zijn. In de stromingswetten komen immers producten voor van stromingsgrootheden. De gemiddelde waarde van een product is niet gelijk aan het product van de gemiddelde waarden. Er ontstaan afwijkingstermen die men in de stromingsmechanica aanduidt met de naam Reynoldstermen. De termen die men hier bekomt zijn analoog aan de termen die ontstaan bij het in de tijd uitmiddelen van een turbulente stroming. Bij de fundamentele analyse verwaarlozen we de Reynoldstermen. De benadering die hierbij ontstaat is goed, zolang de azimutale variaties in de stroming niet zeer belangrijk zijn. Dit is in de regel het geval bij werking van de machine in het ontwerppunt. Zodra de azimutale periodiciteit van de stroming verbroken wordt, is de benadering minder goed. Optreden van belangrijke azimutale variaties kan voorkomen bij werking buiten ontwerp. Enige oplettendheid is dus principieel geboden bij het gebruik van verbanden die uit een analyse op de gemiddelde stroming zijn bekomen. In het algemeen levert de gemiddelde stroming nauwkeurige verbanden. Volgend voorbeeld verduidelijkt dit.

6

u = u 0 + u a sin t

u = u0 2 u2 = u0 + 1 2 2 ua

2 2 u 2 = u 0 + 2u 0 u a sin t + u a sin 2 t

u2 = 1+ u

1

2(

ua 2 ) u0

ua = 0.1: u0

u 2 = 1.0025 u ;

ua = 0.3: u0

u 2 = 1.0223 u

Bij de vereenvoudigende analyse van een turbomachine worden nog verdere benaderingen aangenomen. Bij een axiale machine neemt men aan dat de stroomlijnen van de gemiddelde stroming op cilinders liggen, m.a.w. dat er geen radiale snelheidscomponent is. Verder neemt men aan dat er geen variaties van de stromingsgrootheden in de radiale zin zijn. Het stromingsbeeld wordt hierdoor ndimensionaal in de zin dat alleen axiale variatie van de stromingsgrootheden beschouwd wordt. De stroming blijft meerdimensionaal in de zin dat de snelheid twee componenten heeft, namelijk een axiale en een tangentiale. De bekomen stromingsanalyse wordt veelal aangeduid met de benaming ndimensionale analyse. Om niet de indruk te wekken dat de stroming ook nog unidirectioneel zou zijn, gebruiken we verder de benaming quasi-ndimensionale analyse (qed-analyse). Bij andere machinetypes worden gelijkaardige benaderingen ingevoerd om tot een quasi-ndimensionale stroming te komen. Algemeen bij een machine met azimutale periodiciteit neemt men aan dat de stroomlijnen liggen op een omwentelingsoppervlak, zodat er dus geen snelheidscomponent is loodrecht op dit oppervlak. Bij een quasi-ndimensionale analyse beschrijven we de stroming op een gemiddeld omwentelingsstroomoppervlak met aanname dat er geen variatie is van de stromingsgrootheden loodrecht op dit oppervlak. We leiden nu vooreerst de hoofdwetten van de quasi-ndimensionale stromingen af.

3.2. Hoofdwetten voor stilstaande leidingdelen We leiden vooreerst enige hoofdwetten af voor een elementair deel van een leiding, stilstaand in een absoluut stelsel. De geometrische situatie is hierbij eenvoudiger dan in een turbomachine. Gaandeweg bespreken we bij verdere afleidingen hoe deze hoofdwetten op een machine kunnen toegepast worden. Figuur 4 toont een elementair leidingdeel.z x

f z = g 1zv 2 dt A2 A1 v1dt

Fig. 4. Elementair leidingdeel 7

De as van het leidingelement is voorgesteld door x. De begindoorsnede A1 en de einddoorsnede A2 staan loodrecht op deze as. Volgens de qed-voorstelling is de stromingstoestand uniform in de secties A1 en A2 en is er alleen variatie van de stromingsgrootheden in de x-richting. Densiteit stellen we voor door en druk door p. 3.2.1. Massawet Bij een stationaire stroming geldt dat de massa die gedurende een tijdsinterval dt het leidingelement binnenkomt, dit ook weer verlaat: 2 A 2 v 2 dt = 1 A1 v1 dt

of 3.2.2. Impulswet

m = v A = constant (massadebiet)

(1)

Volgens de tweede wet van Newton geldt dat de verandering van impuls per tijdseenheid van een systeem met constante massa gelijk is aan de som van de krachten die inwerken. We beschouwen het systeem met constante massa dat op het ogenblik t zich in het beschouwde leidingelement bevindt. Op het ogenblik t+dt heeft dit systeem zich verplaatst zoals aangegeven op de figuur. De verandering van impuls gedurende het tijdsinterval dt is 2 v 2 A 2 dt v 2 1 v1 A1 dt v1

en is gelijk aan de som van de krachten vermenigvuldigd met dt. Dus: of via (1): 2 v 2 A 2 v 2 1 v1 A1 v1 = F m( v 2 v1 ) = F (2)

Door integratie zijn de wetten (1) en (2) geldig over een willekeurig deel van een stroombuis. De stroombuis hoeft niet begrensd te zijn door wanden en kan bijvoorbeeld een deel van een straal zijn. Met de wetten (1) en (2) in hun algemene vorm kan reeds voor veel eenvoudige stromingsproblemen een oplossing bekomen worden. We beschouwen nu verder het geval van een leidingdeel (stilstaande wanden) waarbij we voorlopig als inwendige krachten alleen de drukkracht en de zwaartekracht rekenen. De zwaartekracht per eenheid van massa (N/kg) is f z = g1z , waarbij de z-as verticaal naar boven gericht is en g de zwaarteversnelling is.

Voor een elementair deel met lengte dx geeft de impulswet geprojecteerd in de x-richting:m( v + dv v) = pA (p + dp)(A + dA) + (p +1 2 dp)dA Adx g1z . 1x

Met dx1x . 1z = dz en gdz = dU (potentile energie) volgt

v A dv = A dp A dU8

(3)

Na vermenigvuldiging met de snelheid en deling door het massadebiet volgt d 12 v 2 + 1 dp + dU = 0 (4)

De vergelijking (4) is een arbeidsvergelijking en wordt de vergelijking van Bernoulli genoemd. Voor een onsamendrukbaar fludum ( = constant) kan de vergelijking gentegreerd worden over de stroomlijn tot 1 v 2 + p + U = constant 2 Verder houden we nu rekening met wrijvingskrachten en actieve krachten. De wrijvingskracht uitgeoefend op de stroming per eenheid van oppervlakte (= spanning) in de richting van de snelheid maar tegengesteld in zin noteren we met . Onder een actieve kracht verstaan we een kracht die arbeid wisselt tussen de omgeving en de stroming. De component in de stromingsrichting, positief gerekend in de zin van de stroming, duiden we aan met dF (figuur 5). Aan de impulsvergelijking (3) moet nu in het rechterlid toegevoegd worden: O dx + dF waarbij O de omtrek is. Na vermenigvuldiging met snelheid en deling door massadebiet wordt dit O dx v dF v + Av Av Q x dF f Fig. 5. Elementair leidingdeel met actieve kracht, wrijving en warmtetoevoer

z

De eerste term kan opgevat worden als de arbeid per tijdseenheid die de wrijvingskracht op het bewegende fludum uitoefent per eenheid van massadebiet, of de arbeid per eenheid van massa. De tweede term is analoog de arbeid van de actieve kracht per eenheid van massa. We noteren de bijkomende termen als dq irr + dW (J/kg)

9

We houden er in de notatie al rekening mee dat de arbeid van de wrijvingskracht op het bewegende fludum bij wrijving op een stilstaande wand in waarde gelijk is aan de warmte die door de wrijving geproduceerd wordt, dit is de energiedissipatie (zie par. 3.2.5 en zie hoofdstuk 2, par. 2.2 en oef. 6.1 en 6.2). De arbeid van de actieve kracht is positief als arbeid naar het fludum overgedragen wordt. De Bernoulli-vergelijking (arbeidsvergelijking) wordt d 12 v 2 +3.2.3. Energiewet

1 dp + dU + dq irr = dW

(5)

De eerste hoofdwet van de thermodynamica zegt dat bij een systeem met vaste massa de toename van energie gelijk is aan de som van de toegevoerde warmte en de toegevoerde arbeid. We stellen door Q de warmte voor die aan het elementair leidingdeel per eenheid van tijd toegevoerd wordt (J/s = W). Analoog stellen we door W de arbeid voor die per tijdseenheid toegevoerd wordt door de actieve kracht: W = dF v = dW m De energiewet geeft: m(E + dE E) = pAv (p + dp)(A + dA)( v + dv) Adxg1z. 1x v + W + Q We merken op dat er geen arbeid verricht wordt door de drukkracht en de wrijvingskracht op de mantel. Het symbool E stelt de totale mechanische energie voor, d.w.z. de som van inwendige energie en kinetische energie (E = e + v2). Er volgt m dE = m p p + dp m dU + W + Q m + d (6)

Na deling door het massadebiet: p + U) = dW + dq waarbij de toegevoerde warmte per eenheid van massa voorgesteld wordt door dq. d(e + 1 2 v 2 +

We gebruiken verder het begrip enthalpie h = e + p/ en totale enthalpie H = h + v2, zodat d ( H + U) = dW + dq3.2.4. Arbeid en energie

De energiewet (6) drukt uit dat overdracht van arbeid en warmte leidt tot de verandering van een aantal energiecomponenten in een stroming, zoals interne energie, kinetische energie, potentile energie en de term p/. De eerste drie componenten zijn echte vormen van energie in thermodynamische zin. In een mechanisch systeem bestaat er principieel maar n vorm van energie: de kinetische energie. Bij de macroscopische beschrijving van een stroming gebruiken we de macroscopische snelheid als de gemiddelde snelheid van de microscopische bouwstenen van het fludum (atomen of moleculen), uitgemiddeld over een klein volume. 10

De kinetische energie van de elementaire bouwstenen splitsen we aldus in een macroscopische kinetische energie (v2/2) en de kinetische energie van de beweging relatief tegenover de macroscopisch gemiddelde. Die laatste term noemen we interne energie (e). De term potentile energie (U) duidt de reversibele arbeid aan die tegen een conservatieve kracht geleverd wordt (hier de zwaartekracht). Een kracht is conservatief als de kracht per eenheid massa kan geschreven worden als de gradint van een scalair die alleen plaatsafhankelijk is. Voor de zwaartekracht is dit g = g1z = (gz) De verplaatsingsarbeid van deze kracht is, voor een elementaire verplaatsing dx1x :g1z.dx1x = gdz = dU

De verplaatsingsarbeid die tegen de zwaartekracht geleverd wordt, is dus altijd de totale differentiaal van de term U. De arbeid voor een verplaatsing tussen twee punten wordt aldus onafhankelijk van de gevolgde weg. Hieruit volgt meteen de reversibiliteit van de arbeid: voor een verplaatsing met samenvallend begin- en eindpunt is geen arbeid vereist. In het fludum opgeslagen arbeid, die tegen een conservatieve kracht is geleverd, is volledig recupereerbaar en kan dus als energie beschouwd worden. De arbeid geassocieerd aan de druk heeft niet hetzelfde karakter. Op een fludumdeel is de resultante van de druk gegeven door p1n dSS

waarbij dS een elementair oppervlaktedeel voorstelt en 1n de bijhorende uitwendige normale. Volgens de gradintstelling is de resulterende drukkracht p dVV

Per eenheid van volume is de resulterende drukkracht p . Per eenheid van massa is de drukkracht 1 p De verplaatsingsarbeid van de drukkracht is aldus 1 1 p.dx1x = dp waarbij dp de drukverandering is over de afgelegde infinitesimale weg. De differentialen zijn in deze zin gebruikt in de uitdrukkingen (5) en (6). De verplaatsingsarbeid van de drukkracht vormt alleen een totale differentiaal als de densiteit enkel functie is van de druk: = (p). Principieel voldoet geen enkel fludum hieraan. De densiteit is immers ook steeds functie van de temperatuur.

11

Voor een vloeistof is de densiteit slechts zwak afhankelijk van druk en temperatuur. Technisch neemt men daarom dikwijls een constante densiteit. Men zegt dan veelal dat het fludum onsamendrukbaar is. Letterlijk betekent dit dat de densiteit onafhankelijk is van de 1 druk. Meestal wordt dan constante densiteit bedoeld. Voor constante densiteit vormt dp een totale differentiaal. De term p/ kan dan, voor een stationaire stroming, als drukenergie beschouwd worden. Voor variabele densiteit kan de term p/ strikt niet als drukenergie omschreven worden. Omwille van de vorm van de energiewet (6) bestaat de neiging om dit toch te doen. Strikt vormt de term p/ de van teken veranderde totale arbeid van de druk. Dit is duidelijk uit de afleiding van de energiewet leidend tot (6). Strikt zouden we aldus de term d(p/) in het rechterlid van (6) dienen te laten staan. Op dezelfde wijze zouden we ook de term (1/)dp in het rechterlid van (5) dienen te laten. We plaatsen de termen niettemin in het linkerlid, omdat we een uitspraak wensen te maken over wat gebeurt met de arbeid en de warmte die gewisseld wordt tussen de omgeving en de stroming. De term p/ wordt drukarbeid of stromingsarbeid (flow work) genoemd. De van teken veranderde drukarbeid wordt bijgeteld bij de inwendige energie, waarbij de som enthalpie genoemd wordt. We vatten p/ in de energievergelijking (6) aldus op als een energieterm, in de zin van recupereerbare arbeid tegen de druk gepresteerd. Dat deze arbeid niet automatisch reversibel is, komt tot uiting doordat de corresponderende term in de arbeidsvergelijking (5) niet exact dezelfde is en in het algemeen geen totale differentiaal vormt. De drukarbeid bestaat uit twee delen: p 1 1 d( ) = dp pd( ) Het eerste deel is de verplaatsingsarbeid. Het tweede deel is de volumeveranderingsarbeid. Meer algemeen is dit tweede deel de vervormingsarbeid, de som van volumeveranderingsarbeid en vormveranderingsarbeid. De vormveranderingsarbeid van de druk is evenwel nul (zie mechanica van continua).

3.2.5. Energiedissipatie

De term dqirr in de arbeidsvergelijking (5) hebben we omschreven als de arbeid van de wrijvingskracht op het bewegende fludum. Volgens de terminologie van de vorige paragraaf, is dit de verplaatsingsarbeid. Merk op dat we tot nu toe de hoofdwetten toepassen op een elementair leidingdeel dat stilstaat t.o.v. het assenstelsel waarin we de stromingsgrootheden bepalen. De krachten op de mantel van de elementaire stroombuis staan stil. Er is geen arbeid aan geassocieerd voor een controlevolume dat met de mantel op de leiding ligt. Op deze manier hebben we, bij het opstellen van de energiebalans, de arbeid van de drukkracht en de schuifkracht op de mantel van de stroombuis als nul gerekend. Er is ook geen arbeid van de schuifkracht op de inlaat- en uitlaatsecties van de stroombuis (snelheid loodrecht op deze secties). De totale arbeid van de schuifkracht is dus nul. De totale arbeid bestaat uit verplaatsingsarbeid en vervormingsarbeid. Deze laatste is de som van volumeveranderingsarbeid en vormveranderingsarbeid. De volumeveranderingsarbeid van de schuifkracht is evenwel nul (zie mechanica van continua). Bij het stilstaande leidingdeel is dus de verplaatsingsarbeid van de schuifkracht in waarde gelijk aan de vormveranderingsarbeid. Deze laatste is de bron van de wrijvingswarmte (zie mechanica van continua). 12

Omzetting van arbeid naar warmte noemen we energiedissipatie. Equivalent hiermee is omzetting van hoogwaardige energie zoals kinetische energie, potentile energie en drukenergie, dit zijn energievormen die opgeslagen een recupereerbare arbeid vormen, naar interne energie. Het omzetmechanisme bij de wrijvingskracht zullen we verder bestuderen in hoofdstuk 2, par. 2.4. De aanwezigheid van dissipatie kunnen we nu al inzien door het verschil te nemen van de energievergelijking en de arbeidsvergelijking: 1 dh dp dq irr = dq of 1 Tds = dh dp = dq irr + dq (7)

We bekomen aldus de uitdrukking van de tweede hoofdwet van de thermodynamica voor een infinitesimaal stukje leidingdeel. De uitdrukking (7) geeft er dus reeds vertrouwen in dat de term dqirr energiedissipatie voorstelt. Voor een onsamendrukbaar fludum vereenvoudigt (7) totTds = de = dq irr + dq

Warmtetoevoer en wrijving vertalen zich voor een onsamendrukbaar fludum in opwarming. Voor een samendrukbaar fludum kan (7) geschreven worden als 1 de = dq irr + dq pd( ) De bijkomende term is de opwarming door compressie (volumeveranderingsarbeid van de druk). We hebben bij het toepassen van de energiestelling de mantel van het controlevolume op de leidingwand gelegd. Gezien de keuze van een controlevolume arbitrair is, kunnen we er ook voor kiezen de rand van het controlevolume net in het fludum te leggen. Die rand heeft dan de snelheid v en -dqirr stelt dan de totale arbeid van de wrijvingskracht op het controlevolume voor. Deze nieuwe keuze wijzigt de formulering van de impulsvergelijking niet, wel deze van de energievergelijking. Binnen de qed-voorstelling is de snelheid uniform over een doorsnede. Dit betekent dat we de ganse afremming van het fludum moeten zien als geconcentreerd tussen de rand van het controlevolume en de leidingwand. In deze zone gebeurt dan de dissipatie door de wrijvingskracht. Stellen we dan door dq de warmte voor die door de leidingmantel naar het fludum wordt overgedragen, dan is de warmte die naar het controlevolume wordt overgedragen dqirr + dq. De energiewet heeft dan als rechterlid dW - dqirr + dqirr + dq, waarbij de tweede term de arbeid van de wrijvingskrachten voorstelt en de derde term de warmte ontstaan door dissipatie. De resulterende energievergelijking is dezelfde als bij de eerste keuze van het controlevolume. De redenering wordt moeilijker als we een algemeen stroombuisdeel beschouwen gelegen in het fludum zonder dat de mantel van het controlevolume geometrisch samenvalt met een stilstaande materile rand. Het product van de wrijvingsspanning en de stromingssnelheid correspondeert dan niet meer met de arbeid die gedissipeerd wordt in warmte. Met andere woorden, deze arbeid kan een actief deel bevatten. 13

In hoofdstuk 2 wordt aangetoond dat de arbeidsvergelijking onder de vorm (5) en de energievergelijking onder de vorm (6) geldig blijven voor een willekeurig infinitesimaal stukje stroomlijn in een stationaire stroming. De algemene geldigheid van de energievergelijking (6) is, op grond van de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vanzelfsprekend als men maar aanneemt dat een gedeelte van de arbeid dW aan schuifkrachten te wijten kan zijn. Er kan hierbij een probleem zijn te kwantificeren wat die arbeid is en wat de warmte dq is die overgedragen wordt aan de fludumdelen op de stroomlijn en die afkomstig is van de dissipatie op nabijgelegen stroomlijnen. Op dezelfde wijze is de algemene geldigheid van de arbeidsvergelijking (5), op grond van de tweede hoofdwet van de thermodynamica, vanzelfsprekend, maar kan er een moeilijkheid zijn om te kwantificeren wat het actieve deel en het dissipatieve deel van een bepaalde arbeidsoverdracht is. We bespreken dit verder in hoofdstuk 2.

3.3. Hoofdwetten voor roterende leidingdelen 3.3.1. Arbeids- en energievergelijking in een roterend stelsel met constante rotatiesnelheid

In een relatief stelsel dat roteert met constante hoeksnelheid t.o.v. een absoluut stelsel moeten twee fictieve krachten ingevoerd worden: de centrifugaalkracht en de Corioliskracht. Deze volgen uit het verband tussen absolute en relatieve snelheid volgens (fig. 6)

v = r +w

(8)

Hierbij is de rotatievector, r de cordinaatvector van het beschouwde punt P t.o.v. een oorsprong die op de rotatievector ligt, en w de relatieve snelheid.

r'

u

w v

Pr

OFig. 6. Relatieve en absolute snelheid

Het verband tussen een absolute verplaatsing dr en een relatieve verplaatsing r is immers dr = r dt + r of

dr r = r + dt dt

(9)

De formule (9) geeft meteen het verband tussen een tijdsafleiding in het relatieve stelsel en een tijdsafleiding in het absolute stelsel (iedere vector kan immers als proportioneel met het verschil van twee cordinaatvectoren gezien worden).

14

De afleidingsregel toegepast op het snelheidsverband (8) geeft: a= dv r w = ( r ) + w + + = ( r ) + 2 w + a rel dt dt dt

Hierbij stellen a en a rel de absolute en relatieve versnellingen voor. De hoofdwetten kunnen dus in het relatieve stelsel toegepast worden mits invoeren van de fictieve krachten (per eenheid van massa): centrifugaalkracht Corioliskracht cf = ( r) = ( r ' ) = 2 r 'c o = 2 w

Hierbij stelt r' de radiale afstandsvector voor van het punt P t.o.v. de rotatievector . In het vervolg zullen we de radiale vector noteren met r . In de impulsvergelijking komt er een bijkomende term in het rechterlidAdx 2 r . 1x = A 2 rdr = A 2 d r2 u2 = Ad 2 2

waarbij u (= r) de sleepsnelheid voorstelt. De Corioliskracht levert geen bijdrage in de arbeidsvergelijking op de stroomlijn. Na vermenigvuldiging met snelheid en deling door massadebiet volgt dat de bijkomende term in het rechterlid van de arbeidsvergelijking d u2/2 is, zodat er volgt d 12 w 2 + 1 dp + dU + dq irr = dW + d 1 2 u 2 (10)

Er is m.a.w. een centrifugale bijdrage in de arbeid op de stroomlijn. Dezelfde bijdrage moet in de energievergelijking toegevoegd worden. Op een rotor is dW = 0. De krachten die op de rotor aangrijpen verrichten immers in het stelsel dat meedraait met de rotor geen arbeid. Veranderingen van potentile energie kunnen we in de rotor verwaarlozen, zodat er volgt arbeid: energie: d 12 w 2 + 1 dp + dq irr = d 1 2 u 2 (11) (12)

dh + d 1 2 w 2 = d 1 2 u 2 + dq

Om de energievergelijking uit te drukken voert men een soms nieuw begrip in: I = H r 1 2 u 2 , waarbij Hr = h + w2 de totale enthalpie in het roterende stelsel is. I noemt men de rothalpie (roterende totale enthalpie).

15

De energievergelijking wordt dan

dI = dq

Voor een axiale machine is u = constant en vereenvoudigt de energievergelijking tot dHr = dq. In het vervolg gebruiken we ook het begrip stagnatie-enthalpie. Dit is de enthalpie die een fludumdeel aanneemt als lokaal de stroming op adiabate wijze tot stilstand zou worden gebracht. In het absolute stelsel is deze enthalpie h o = h + 12 v 2 In het relatieve stelsel is deze h or = h +1 2w 2

Het begrip verschilt dus niet van het begrip totale enthalpie. Het subscript o duidt op de stilstand (stagnatie). We zullen vanaf nu de term totale enthalpie steeds gebruiken maar noteren met ho. Dit doen we omdat we het symbool H verder willen gebruiken voor aanduiding van een hoogte. Het begrip rothalpie zullen we in het vervolg niet gebruiken. We schrijven de arbeidsterm geassocieerd aan de centrifugaalkracht dus steeds expliciet op zoals in (11) en (12).

3.3.2. Impulsmoment in het absolute stelsel: vergelijking van arbeidsoverdracht

Figuur 7 toont schematisch de meridiaandoorsnede van een stroombuis die de volledige bladhoogte van een turbomachinerotor omspant. Met een meridiaandoorsnede bedoelen we een doorsnede met een vlak dat de as bevat. We duiden door vm de meridionale component van de absolute snelheid aan. De snelheidscomponent in de azimutale richting duiden we aan door vu. Volgens de quasi-ndimensionale stromingsvoorstelling is er geen snelheidscomponent loodrecht op het gemiddelde stroomoppervlak doorheen de stroombuis. De meridionale component van de snelheid kan ontbonden worden in een axiale component va en een radiale component vr.

M rw 2

Mo

2

1

M rw

1

M rw

Fig. 7. Meridiaandoorsnede van een stroombuis: gesloten en open rotoruitvoeringen bij diagonale pompen

16

Figuur 7 toont twee mogelijke uitvoeringsvormen. De linkse rotor heeft een dekschijf. Deze bouwvorm wordt gesloten genoemd. Bij de rechtse rotor ontbreekt de dekschijf. De rotorschoepen sluiten aan bij de omhulling van de machine. Er is een speling tussen de tippen van de rotorschoepen en de omhulling. Deze bouwvorm wordt open genoemd. De naaf van de machine wordt veelal aangeduid met de naam draagschijf. De stroming wordt enerzijds geleid door de schoepoppervlakken. Bij de gesloten bouwvorm wordt de stroming ook geleid door de draagschijf en de dekschijf. Deze twee schijven vormen de eindwanden. Bij de gesloten bouwvorm staan alle geleidingsoppervlakken in het relatieve stelsel. Bij de open bouwvorm staat de eindwand aan de zijde van de naaf in het relatieve stelsel en staat de eindwand aan de zijde van de omhulling in het absolute stelsel.Gesloten rotor

We analyseren eerst de gesloten bouwvorm. Aan de buitenzijden van de dekschijf en de draagschijf worden wrijvingskrachten uitgeoefend door het omgevende fludum. Het moment van deze wrijvingskrachten om de as noemen we het radwrijvingsmoment Mrw. We duiden door Mrw het moment aan dat het omringende fludum op de materile delen van de rotor uitoefent. Dit moment is altijd afremmend: de zin van dit moment is tegengesteld aan de rotatiezin. De krachten die zich op de schoepoppervlakken en de eindwanden bevinden (drukkrachten en wrijvingskrachten) vormen een moment om de naaf. Het moment van deze krachten gerekend als uitgeoefend op de stroming duiden we aan met M. Er is een gelijk en tegengesteld moment uitgeoefend op de materile oppervlakken van de rotor. We rekenen de aangegeven momenten M en Mrw positief in de draaizin van de rotor. Mrw is gericht tegen de draaizin van de rotor en is negatief. Het stromingsmoment M is positief bij een aangedreven machine en is negatief bij een aandrijvende machine. De som van het reactiemoment van het stromingsmoment (-M) en het radwrijvingsmoment Mrw dient in evenwicht gehouden te worden door een moment op de as van de machine. Met Mas duiden we het moment aan dat op de as wordt uitgeoefend. We rekenen dit moment ook positief in de draaizin van de rotor. Mas is dus positief bij een aangedreven machine en negatief bij een aandrijvende machine. Het momentevenwicht op de materile delen van de rotor vereist dus M as M + M rw = 0 Bij een aangedreven machine schrijven we M as = M M rw (13)

Het moment Mas uitgeoefend op de as door de aandrijvende motor is dan positief. M en -Mrw zijn dan beide positief. Het moment Mas wordt gesplitst in twee delen: het gedeelte M bereikt de stroming en het gedeelte -Mrw wordt afgenomen door radwrijving. Bij een aandrijvende machine schrijven we M = M as M rw (14)

Het stromingsmoment M is negatief, d.w.z. de stroming oefent een positief moment -M uit op de rotor. Het asmoment is ook negatief, d.w.z. de stromingsmachine oefent een positief moment -Mas uit op de aangekoppelde machine. Het moment M wordt gesplitst in twee delen: het gedeelte Mas bereikt de as, het gedeelte Mrw wordt afgenomen door radwrijving. 17

We beschouwen een controlevolume zoals aangegeven op de figuur gevormd door de mantel van de stroombuis die doorheen de rotor gaat, een oppervlak bij intrede van de rotor en een oppervlak bij uittrede van de rotor. Zoals gebruikelijk duiden we de stromingstoestand bij intrede aan met de index 1 en die bij uittrede met de index 2. Door het moment te nemen omheen de rotatie-as van de impulswet van Newton volgt dat de toename van impulsmoment per tijdseenheid in de stroming gelijk is aan het moment van de krachten uitgeoefend op het controlevolume: m(r2 v 2u r1v1u ) = M (15)

We rekenen hierbij M, zoals reeds vermeld, positief in de rotatiezin. Het moment M bevat zowel bijdragen van drukkrachten als van schuifkrachten op materile randoppervlakken. Bij opstellen van voorgaande uitdrukking is aangenomen dat de schuifkrachten op de intredeen uittredeoppervlakken geen moment vormen om de rotatie-as. Deze aanname is consistent met de qed-voorstelling, waarbij door de uniformiteit van de stroming schuifkrachten afwezig zijn. De aanname vormt een zeer goede benadering bij een werkelijke stroming. Door vermenigvuldiging van (15) met de rotatiesnelheid volgt m(u 2 v 2u u1 v1u ) = P P is het vermogen dat vanuit de rotor door het stromingsmoment M naar de stroming overgedragen wordt. Door deling met het massadebiet verkrijgen we een vergelijking van arbeidsoverdracht u 2 v 2u u1v1u = W (16) Hierbij stelt W de arbeid voor die door het stromingsmoment M naar de stroming wordt overgedragen. Door vermenigvuldiging met van de uitdrukking (13) verkrijgen we Pas = P Prw Voor een aangedreven machine is Pas het vermogen dat de aandrijvende motor aan de as toevoert. De term -Prw stelt het vermogen voor geassocieerd aan de dissipatie door de radwrijvingskrachten. Na deling door het massadebiet schrijven weo Was = W + qirr

(17)

o De term q irr stelt het gedeelte voor van de arbeid die aan de as toegeleverd wordt, dat gedissipeerd wordt door de radwrijvingskrachten. Deze term is in (17) met een positief teken voorgesteld, omdat hij onder deze vorm steeds rekenkundig positief is.

Analoog geldt voor een aandrijvende machine, uitgaand van uitdrukking (14):o W = Was + qirr

(18)

18

Hierbij is -W de arbeid die uit de stroming onttrokken wordt en -Was de fractie hiervan die o aan de uitgaande as toegeleverd wordt. De term q irr is het gedeelte van de arbeid -W dat gedissipeerd wordt door de radwrijvingskrachten. Zowel bij de aangedreven machine (17) als bij de aandrijvende machine (18) is W de arbeid die gewisseld wordt tussen de stroming en de materile oppervlakken van de machine. Ook bij de aandrijvende machine is de gewisselde arbeid gegeven door de uitdrukking (16), die we dan schrijven als W = u1v1u u 2 v2u (19) De arbeid W die bij de aangedreven machine aan de stroming wordt overgedragen, wordt in de stroming voor een gedeelte door wrijvingskrachten gedissipeerd, zoals aangegeven door de Bernoulli-vergelijking (5). Analoog is er ook interne dissipatie bij een aandrijvende machine. o Het effect van de dissipatie tijdens de arbeidsoverdracht ( q irr ) en van de interne dissipatie ( qirr ) bestuderen we verder.Open rotor

De voorgaande afleidingen wijzigen principieel niet bij analyse van de open rotor. Het verschil is dat de wrijvingskracht op de omhulling rechtstreeks bijdraagt tot het moment uitgeoefend op de stroming. Noemen we opnieuw M het resulterende moment uitgeoefend op de stroming door de krachten op de schoepoppervlakken en de eindvlakken, inbegrepen dus de omhulling, dan blijft uitdrukking (15) geldig. Formeel kan de uitdrukking (16) hier uit afgeleid worden. Alleen is nu de betekenis van W als een overgedragen arbeid niet meteen duidelijk. We kunnen het stromingsmoment opsplitsen in twee delen M = Mb + Mo Hierbij is Mb het gedeelte afkomstig van de bladoppervlakken en de naaf, m.a.w. de materile oppervlakken van de rotor, en is Mo het aandeel van de omhulling. Zoals reeds gezegd, worden beide momenten gerekend als uitgeoefend op de stroming. Voor een aangedreven machine is Mb positief en is Mo negatief. Voor een aandrijvende machine zijn Mb en Mo beide negatief. Mo is, zoals Mrw, altijd negatief. Het momentevenwicht op de materile delen van de rotor is M as M b + M rw = 0 Hierbij stelt Mrw het radwrijvingsmoment voor te wijten aan de naaf. Er volgt dus M as = M b M rw = M M o M rw (20)

Na vermenigvuldiging met volgt Pas = M M o M rw De term Mo is steeds positief en heeft dus hetzelfde karakter als de term Mrw. 19 (21)

Na deling door het massadebiet bekomen we uit (21) een betrekking die we schrijven also Was = W + q irr

Hierbij is

M = mW

en is

o M o M rw = mqirr

Het resultaat voor Was is dan hetzelfde als (17). De interpretatie van de momentbalans (20) is eenvoudig. De momentbalans betekent voor een aangedreven machine dat van het moment op de as M as , door radwrijving aan de naaf het gedeelte M rw afgenomen wordt volgens M as = M b M rw , waarbij M b het moment is dat de roterende delen van de machine aan de stromingszijde bereikt. Hiervan wordt dan het gedeelte M o door wrijving aan de omhulling afgenomen volgens M b = M M o , waarbij het moment M de stroming bereikt. Voor de interpretatie van de vermogenbalans (21) merken we op dat het moment Mo gelijk is aan de integraal van het scalair product van de schuifkracht dS uitgeoefend op de stroming en een eenheidsvector volgens de loopsnelheid u , vermenigvuldigd met de straal. De term Mo volgt dan, analoog, door scalair product van de schuifkracht dS met de loopsnelheid u . Mits het verband tussen absolute snelheid en relatieve snelheid, v = u + w , is dusM o = .u dS = .v dS .w dS

of

M o = .v dS .w dS

De term met integrand .v stelt de volledige dissipatie door de wrijvingskracht op de omhulling voor. De term met integrand .w is fysisch fictief, maar kan opgevat worden als de dissipatie die zou ontstaan als de schuifkracht zou inwerken in het relatieve stelsel. Het verschil tussen de twee termen kan dus opgevat worden als de radwrijvingsdissipatie geassocieerd aan de schuifkracht op de omhulling. De term met integrand .w vatten we dan op als de interne dissipatie in de stroming. De interpretatie van de vermogenbalans (21) voor een aangedreven machine is dan dat het vermogen Mb, wat het vermogen is dat door de materile oppervlakken van de rotor naar de stroming wordt overgedragen, de stroming niet volledig bereikt en dat gedurende de overdracht het gedeelte Mo gedissipeerd wordt aan de omhulling. Wat de stroming bereikt, is M b (M o) = M = mW We schrijven dus, zowel voor gesloten als open rotor, als vergelijking van overdracht van arbeid: W = u 2 v 2u u 1 v1u (22) Deze vergelijking wordt de vergelijking van Euler genoemd. Ze wordt beschouwd als de belangrijkste hoofdvergelijking in de theorie van de turbomachines.

20

De vergelijking is hier opgesteld voor arbeidsoverdracht van de rotor naar de stroming (aangedreven machine). Ze is uiteraard ook geldig voor arbeidsoverdracht in de andere zin (aandrijvende machine). Het gebruik van de hoofdvergelijkingen in de beide gevallen detailleren we verder.

3.3.3. Impulsmoment in het relatieve stelsel: rol van de arbeidsoverdragende krachten

Geometrisch volgt uit een snelheidsdriehoek (figuur 8): v = u + w ofu w v

vu = u + wu

Fig. 8. Snelheidsdriehoek

Op figuur 8 is moedwillig een snelheidsdriehoek getekend waarbij wu negatief is. Er volgt dus uv u = u 2 + uw u Dus is2 W = u 2 u1 + u 2 w 2u u1w 1u 2

(23)

De schrijfwijze (23) volgt ook uit de impulsmomentstelling toegepast in het relatieve stelsel. De fictieve krachten die moeten ingevoerd worden zijn: c o = 2 w ,cf = 2 r

De relatieve snelheid w heeft een axiale component, een radiale component en een tangentiale component. De axiale component komt niet tussen bij de Corioliskracht. Een tangentiale eenheidsvector in de zin van de loopsnelheid kan geschreven worden als1u = 1 1r

zodat

c o = 2 ( w r 1r + w u 1 1r ) = 2w r 1u + 2w u 1r

Volgens figuur 7 is wr = wm sin, zodat de componenten van de Corioliskracht zijnc o, r = 2w u en c o,u = 2w m sin

De centrifugaalkracht draagt niet bij in het impulsmoment, evenmin als de radiale component van de Corioliskracht. De impulsmomentstelling in het relatieve stelsel geeft m(r2 w 2u r1w 1u ) = M + M co waarbijM co = 2 w m sin dA dm r

(24)

21

Hierbij is dA de doorsnede van een elementaire axisymmetrische gemiddelde stroomoppervlak in figuur 7. De elementaire lengte in aangeduid met dm. De term wm dA stelt dus het massadebiet stroombuis voor. Binnen de qed-voorstelling achten we het resultaat stroomoppervlak representatief voor de ganse stroming. We schrijven dus Met sin dm = dr volgt2 2 M co = m 2 r dr = m (r2 r1 )

stroombuis rond het het meridiaanvlak is door de elementaire voor het gemiddelde

M co = m 2 sin r dm

Na vermenigvuldiging met en deling door m leidt dus de impulsmomentvergelijking in het relatieve stelsel tot de uitdrukking (23). De uitdrukking (24) kan geschreven worden als M = M co M M is hierbij de momentterm die geassocieerd is met de omzwenking van de relatieve stroming (verandering van rwu), m.a.w. de lift. De uitdrukking toont dat het moment dat nodig is om de rotor aan te drijven het moment van twee krachten moet in evenwicht houden, namelijk de Corioliskracht en de liftkracht. In de uitdrukking (23) betekent dit dat de term 2 u 2 u 1 de arbeid voorstelt die tegen de Corioliskracht moet geleverd worden en 2 u 2 w 2 u u 1 w 1u de arbeid die tegen de liftkracht moet geleverd worden. De voorgaande interpretatie is geldig bij arbeidsoverdracht naar het fludum. De interpretatie bij de aandrijvende machine is analoog, maar waarbij dan moet gesproken worden van arbeid geleverd door de Corioliskracht en geleverd door de lift. Uit voorgaande analyse volgt dat twee krachten tussenkomen bij de arbeidsoverdracht. De rol van de liftkracht is hierbij het eenvoudigst te begrijpen. Bij de axiale pomp en de axiale hydraulische turbine, die we eerder hebben geanalyseerd (Figuren 1 en 3), is duidelijk dat door omzwenking van de stroming in de rotor liftkracht op de schoepen ontstaat. Fysisch is deze liftkracht het gevolg van drukverschil tussen de zuigzijde en de drukzijde van de schoep, opgewekt door ombuiging van de stroming. We analyseren het ontstaan van dit drukverschil in hoofdstuk 2. Dat de liftkracht in de arbeidsoverdracht tussenkomt, is duidelijk in de figuren 1 en 3. Bij de axiale voorbeelden in de figuren 1 en 3 is u1 = u2. Ondertussen begrijpen we dat bij arbeidsoverdracht het moment van de krachten tussenkomt en dat straalverandering een weerslag heeft op het resulterende moment. De rol van de Corioliskracht in de arbeidsoverdracht volgt uit voorgaande analyse enkel op abstracte wijze. Het is momenteel duidelijk dat in het fludum door de rotatie krachten genduceerd worden, namelijk de Corioliskracht en de centrifugaalkracht. Alleen de Corioliskracht heeft een component in de tangentiale richting. Deze component komt tussen in het impulsmoment. De concrete wijze waarop de krachten genduceerd door de rotatie tussenkomen, is dat deze krachten drukverschillen veroorzaken op de schoepen. Geassocieerd aan de tangentiale component van de Corioliskracht is er een drukverschil op de rotorschoepen waarbij de resulterende schoepkracht een moment heeft om de rotatie-as. We analyseren dit concreter in paragraaf 5 voor radiale machines.

22

Momenteel ontstaat wellicht ook verwarring omtrent de vaststelling dat in de arbeids- en energievergelijking op een stroomlijn in een roterend stelsel, met name de uitdrukkingen (11) en (12), er een arbeidsbijdrage van de centrifugaalkracht is. Uit voorgaande analyse is duidelijk dat de centrifugaalkracht niet tussenkomt in de arbeidsoverdracht tussen de rotor en het fludum. De centrifugaalkracht heeft immers geen moment om de rotatie-as. In de uitdrukkingen (11) en (12) zien we dat de centrifugaalkracht tussenkomt bij de verandering van de kinetische energie en de verandering van de druk (de energie geassocieerd aan de druk) in de stroming. De centrifugaalkracht benvloedt dus de verdeling van de energievormen in de stroming in de rotor. Verdeling van energie, intern in de stroming, moet onderscheiden worden van arbeidsoverdracht (of energieoverdracht) tussen de stroming en de materile roterende delen van de machine. De rol van de centrifugaalkracht in de verdeling van de energie bestuderen we in de volgende paragraaf.

3.3.4. Energetische decompositie van de overgedragen arbeid: gevolgen van de arbeidsoverdracht

Uit de cosinusregel (figuur 8) volgt w 2 = u 2 + v 2 2uv u of dus uv u =W =1 2u 2

+

1

2v

2

12 w 2 (25)

2 2 2 u 2 u 1 v 2 v1 w 1 w 2 2 2 + 2 + 2 2 2

De betekenis van de vergelijking van arbeidsoverdracht onder de vorm (25) wordt duidelijk door combinatie met de energievergelijking. Verandering van potentile energie over de rotor verwaarlozend, geeft de energievergelijking in het absolute stelsel (6), in afwezigheid van warmteoverdracht:

W = H = h + 1 2 v 2 In combinatie met (25) volgt dush =2 2 2 u 2 u1 w1 w 2 2 + 2 2

(26)

(27)

De uitdrukkingen (26) en (27) tonen dat de overgedragen arbeid onder twee vormen zichtbaar wordt. Er is verhoging van de kinetische energie en verhoging van de statische enthalpie. De verhoging van de kinetische energie noemen we het actiedeel van de overgedragen arbeid, m.a.w. het rechtstreeks zichtbare gevolg. De verhoging van de statische enthalpie het reactiedeel. De verhoging van de statische enthalpie kan in verhoging van kinetische energie omgezet worden door het naschakelen van een straalpijp waarin kinetische energie gegenereerd wordt (vandaar de naam reactie). Het gebruik van de terminologie actie en reactie doet enigszins vreemd aan bij aangedreven turbomachines. De oorsprong van de termen ligt bij turbines, zoals we verduidelijken in n van de volgende paragrafen. De begrippen worden wel bij alle turbomachines toegepast.23

De betekenis van de verhoging van de statische enthalpie wordt duidelijk uit de arbeidsvergelijking en de energievergelijking in het relatieve stelsel. In dit stelsel staan alle krachten die op de rotor aangrijpen stil en verrichten geen arbeid. We schrijven dus, infinitesimaal, volgens (11): 1 d 1 2 u 2 = d 1 2 w 2 + dp + dqirr (11bis) De energievergelijking volgens (12), in afwezigheid van warmteoverdracht, is d 1 2 u 2 = d 1 2 w 2 + dh (12bis)

De energievergelijking is identisch aan de uitdrukking (27). Door combinatie met de arbeidsvergelijking volgt 1 dh = dp + dqirr Deze laatste vergelijking toont dat het verliesvrije deel van de enthalpiestijging volgend uit arbeidsoverdracht correspondeert met drukstijging.2 De term (u 2 u 1 ) / 2 is de enthalpiestijging corresponderend met de drukstijging door de 2 centrifugaalkracht. Dat de centrifugaalkracht deze term veroorzaakt is duidelijk door de arbeid van de centrifugaalkracht d 1 2 u 2 in de arbeidsvergelijking (11bis).

2 Uit dezelfde vergelijking volgt dat de term (w1 w 2 ) / 2 , infinitesimaal dus d 1 2 w 2 , de 2

enthalpiestijging is corresponderend met de drukstijging door vertraging van de stroming. Opbouw van druk door vertraging van een stroming noemen we diffusie. Voor verder goed begrip beredeneren we rechtstreeks de drukkracht geassocieerd aan de centrifugaalkracht volgens (gelijk en tegengesteld) 1 p = 2 r zodat of 1 dp = 2 r dr

1 r2 u2 dp = 2 rdr = 2 d = d 2 2

De enthalpiestijging corresponderend met de drukstijging door centrifugaalkracht vormt een totale differentiaal en kan dus gentegreerd worden van ingang van de rotor tot uitgang van de rotor, volgens een willekeurige weg. De drukstijging door centrifugaalkracht is onafhankelijk van de stroming en is dus niet met verliezen belast. Het drukveld geassocieerd aan de centrifugaalkracht is aldus, in veralgemeende zin, eigenlijk statisch. De verliesterm in de arbeidsvergelijking (11bis) is dus geassocieerd aan de omzetting van kinetische energie naar enthalpie, bij vertraging van de stroming. Omzetting van kinetische energie naar enthalpie, hetgeen diffusie genoemd wordt, is dus een proces dat aan verliezen onderhevig is.

24

3.3.5. Arbeidsoverdracht in de qed-voorstelling van de stroming

In vorige paragraaf hebben we aangenomen dat de uitdrukking voor de arbeidsoverdracht (22), die bekomen is uit de impulsstelling, direct mag gebruikt worden in de arbeids- en energievergelijking voor een gemiddelde stroomlijn doorheen de rotor. We nemen dus aan dat de actieve krachten die door de materile delen van de machine op de stroming worden uitgeoefend, gemiddeld tussenkomen zoals voorgesteld in figuur 5. Dit betekent dat de overgedragen arbeid per tijdseenheid kan gezien worden als het scalair product van de gemiddelde kracht en de gemiddelde stromingssnelheid. Dit volgt niet uit de redenering met de impulsmomentvergelijking. Door het gebruik van het controlevolume hoeven we immers geen uitspraak te verrichten over het detail van de interne krachten. We hebben spontaan geen objecties tegen het gebruik van de arbeidsoverdracht omwille van het algemene karakter van de arbeidsvergelijking (5) en de energievergelijking (6) op grond van de hoofdwetten van de thermodynamica. In hoofdstuk 2 zullen we verifiren dat voor een axiale machine het beeld van de arbeidsoverdracht van figuur 5 voldaan is. Voor een meer algemene machine is deze verificatie niet gemakkelijk uitvoerbaar.

3.4. Mechanisch rendement

De arbeidsvergelijking (5) toegepast op de rotor wordtW = (d 1 2 v 2 +1 2

1 dp + dU + dq irr )

(28)

Hierbij is dqirr infinitesimaal de arbeid die inwendig in de stroming gedissipeerd wordt. Met (17) volgt ookWas = (d 1 2 v 2 +1 2

1 o dp + dU ) + q irr + q irr

(29)

Hierbij wordt de som van de gedissipeerde arbeid door radwrijvingskrachten en door inwendige wrijvingskrachten zichtbaar. Bij toepassen van de energievergelijking (6) ontstaat de moeilijkheid, zoals reeds eerder vermeld, om te kwantificeren welke de fractie is van de gedissipeerde arbeid door radwrijvingskrachten die als warmte aan de stroming toegevoerd wordt. Indien aangenomen wordt dat de machine volmaakt gesoleerd is, volgtWo + q irr

= d (e +1

2

1

2v

2

+

p + U)

of

o W + q irr = (e +

1

2v

2

+

p + U)

o Bij volmaakte isolatie bereikt de warmte q irr volledig de stroming. Indien warmteo overdracht naar de omgeving mogelijk is, dient eventueel slechts een gedeelte van q irr in de energievergelijking ingevuld te worden. Immers, een gedeelte van de warmte gegenereerd door inwendige dissipatie kan dan afgevoerd worden. De correcte houding is dan dat een warmteoverdrachtsterm in de energievergelijking wordt toegevoegd.

25

Bij vereenvoudigde analyses in turbomachines wordt de warmtetoevoer naar de stroming afkomstig van de radwrijvingsverliezen verwaarloosd, m.a.w. er wordt aangenomen dat deze warmte naar de omgeving wordt afgevoerd. Het verwaarlozen van de warmtetoevoer betekent dat met adiabate formules voor energieoverdracht kan gerekend wordt. M.a.w. de stroming, en niet de machine, wordt adiabaat beschouwd. We zullen in het vervolg steeds deze vereenvoudiging aannemen. We schrijven de energievergelijking dan als W = (e +1 2v 2

+

p + U)

(30)

o Mits de vereenvoudiging tot adiabate stroming vatten we q irr op als een mechanisch verlies. Gezien we de bijhorende warmte als naar de omgeving afgevoerd beschouwen, heeft deze dissipatie geen opwarming van de stroming tot gevolg. Een verliesmechanisme waarbij de bijhorende dissipatie als warmte naar de stroming wordt gevoerd noemen we een thermodynamisch verlies.

Het mechanisch rendement van de arbeidsoverdracht naar de rotor definiren we voor een aangedreven machine als W m = Was Voor een aandrijvende machine is ditm = Was W

Merk op dat andere verliezen waarvan de dissipatiewarmte naar de omgeving wordt afgevoerd ook in het mechanisch rendement opgenomen worden. Dit geldt voor lagerverliezen.

3.5. Inwendig rendement

We beperken hier de discussie tot onsamendrukbare fluda. In verdere hoofdstukken, bijvoorbeeld hoofdstuk 6 over stoomturbines, zullen we bediscussiren hoe inwendig rendement voor een samendrukbaar fludum kan gedefinieerd worden. De arbeids- en energievergelijking zijn, voor adiabate stroming 1 dW = d 1 2 v 2 + dU + dp + dq irr dW = d 1 2 v 2 + dU + dh Voor constante : 1 dp , zodat dqirr = de. Zoals vroeger opgemerkt, is de opwarming van een onsamendrukbaar fludum bij adiabate stroming uitsluitend te wijten aan irreversibiliteit. Voor = constant kan de term p 1 v2 + U + als nuttige energie beschouwd worden. 2 dh = de + 26

We duiden deze term vanaf nu aan met de benaming mechanische energie Em, waarbij we hier de term energie gebruiken in de zin van arbeidsvermogen van het fludumdeel. De onderdelen zijn: kinetische energie v2, potentile energie U, 'drukenergie' p/. We merken op dat de interpretatie dat arbeid overgedragen naar een onsamendrukbaar fludum gelijk is aan de som van de toename van nuttige energie en de warmte gegenereerd door dissipatie geldig blijft bij warmteoverdracht. Warmteoverdracht resulteert in een extra verandering van de inwendige energie, maar deze laatste kan niet omgezet worden in arbeid. In het begrip mechanische energie als arbeidsvermogen beschouwen we dus de recupereerbare arbeid tegen conservatieve krachten (potentile energie) en tegen drukkrachten (drukenergie) als een mechanische vorm van energie. We herinneren eraan dat intrinsiek de term mechanische energie iets geheel anders aanduidt, namelijk e + v2, zijnde de kinetische energie van de macroscopisch gemiddelde stroming ( v2) plus de kinetische energie van de microscopische (= moleculaire of atomaire) stroming omheen de gemiddelde stroming (e). We merken verder op dat de energie die aan de drukkracht geassocieerd is, voor een onsamendrukbaar fludum in stationaire stroming als potentile energie kan beschouwd 1 worden. Immers de drukkracht per eenheid van massa f d = p . Zodoende is p/ de geassocieerde potentile energie (alleen plaatsafhankelijk). Men kan dus de term p/ + U veelal als een eenheid beschouwen. Voor een aangedreven machine (pomp) hebben we aldusW = E m + q irr

en

i =

E m W

Het inwendig rendement duidt dus de efficintie aan van de omzetting van de arbeid die aan het fludum wordt overgedragen naar 'nuttige' mechanische energie. Men gebruikt ook de term hydraulisch of hydrodynamisch rendement. Voor een aandrijvende machine (turbine) geldt dezelfde vergelijking die we nu schrijven als W = E m q irr of E m = W + q irr

zodat

i =

W W = E m E m

Het inwendig rendement is hier de verhouding van de arbeid die vanuit de stroming aan de rotor wordt overgedragen tot de mechanische energie die ervoor in de stroming verbruikt is.

27

4. ENERGETISCHE ANALYSE VAN TURBOMACHINES 4.1. Turbine

v1

0

v0w1

u

v2

uw2

z 1 2 3

Fig. 9. Axiale turbine

Inlaat: 0 1 Absolute stelsel (geen arbeid): 0 = d 12 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

2 p pa v1 0+ 1 + gz1 gz 0 + q irr 01 = 0 2 2 v1 p1 p a + + q irr 01 2

of

g ( z 0 z1 ) =

De verbruikte potentile energie is omgezet in kinetische energie en drukenergie, mits verliezen. De inlaat stelt de gegenereerde kinetische energie en drukenergie ter beschikking van de rotor.

28

Rotor: 1 2 In het absolute stelsel schrijven we dW = d 1 2 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

W =

2 v 2 v1 p 2 p1 2 + q irr12 + 2

of

2 v1 v 2 p1 p 2 2 = W + q irr12 + 2

In de rotor wordt kinetische energie en drukenergie (= mechanische energie) verbruikt in de stroming voor generatie van mechanische energie op de rotor (-W), mits verliezen. Dat kinetische energie verbruikt wordt, is duidelijk uit de snelheidsdriehoeken (v1 > v2). Dat drukenergie verbruikt wordt, zien we uit de arbeidsvergelijking in het relatieve stelsel: 0 = d 12 w 2 + 1 dp + dq irr

Dus

2 w 2 w 1 p 2 p1 2 + q irr12 = 0 + 2 2 p1 p 2 w 2 w 1 = 2 + q irr12 2

of

De relatieve stroming versnelt (w2 > w1). De generatie van kinetische energie in de relatieve stroming correspondeert met een verbruik van drukenergie. We vinden uiteraard ook2 2 v1 v 2 w 2 w 1 2 2 W = + 2 2

De arbeid die uit verbruik van kinetische energie in het absolute stelsel voorkomt, noemen we het actiedeel. De arbeid die uit de versnelling van de relatieve stroming voortkomt, noemen we het reactiedeel. Het reactiedeel correspondeert met de afname van statische enthalpie: h1 - h2 (hor = constant, bij adiabate stroming). De arbeid aan de rotor overgedragen is gelijk aan de afname van totale enthalpie in de stroming: h01 - h02 (bij adiabate stroming). De reactiegraad definiren we alsR=2 w 2 w1 2 h1 h 2 = 2

h1 h 2 h 01 h 022 2 v1 v 2 w 2 w1 2 + 2 h 01 h 02 = 2 2

(31)

met

en

29

De oorsprong van de benaming actie en reactie komt voort van de vaststelling dat met een stroming principieel op twee manieren kracht op een voorwerp kan uitgeoefend worden teneinde het in beweging te brengen: omzwenking van de stroming met constante snelheid (actie) en versnellen van de stroming (reactie) volgens de afbeeldingen a en b in figuur 10. Het beeld b dat de voortstuwing van een raket suggereert, veronderstelt uiteraard dat de snelheid w uit een energiebron gegenereerd kan worden. De snelheidsdriehoeken en schoepvormen bij zuivere actie (R = 0) en bij reactiegraad 50 % (R = 0.5) zijn in figuur 11 geschetst, zoals die voorkomen bij stoomturbines.

Fig. 10. Actie (w1 = w2) en reactie (w > 0)

F F v1 v1 u

u

v2 w2 u vo

w1 v2 u

w1

vo

w2

Fig. 11. Snelheidsdriehoeken bij R = 0 (w1 = w2) en R = 0.5 (w2 = v1; v2 = w1) bij stoomturbines

30

Hierbij is duidelijk dat de waarde van de reactiegraad een zeer sterke invloed heeft op de vorm van de snelheidsdriehoeken en de vorm van de rotorbladen. M.a.w. reactiegraad is een kinematische parameter. We zullen verder bij verschillende gelegenheden de invloed van de keuze van de reactiegraad bespreken. Zuigbuis: 2 3 Absolute stelsel (geen arbeid): 0 = d 12 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

0

v2 pa p2 2 + g (z 3 z 2 ) + q irr 23 = 0 + 2 p p2 v2 2 + q irr 23 + g(z 2 z 3 ) = a 2

of

De aanwezige kinetische energie bij uitlaat van de rotor en de beschikbare afwaartse potentile energie worden gebruikt om onderdruk te genereren na de rotor en zo de drukval over de rotor te verhogen. De drie arbeidsvergelijkingen samen zijn

g ( z 0 z1 ) =

2 v1 p1 p a + + q irr 01 2

2 v1 v 2 p1 p 2 2 + = W + q irr12 2

p p2 v2 2 + g(z 2 z 3 ) = a + q irr 23 2 De som geeftg (z 0 z 3 ) = W + q irr 03

Het inwendig rendement van de ganse installatie is i = W g(z 0 z 3 )

Per onderdeel kan men ook een inwendig rendement definiren evenals het inwendig rendement van de machine. De zuigbuis beschouwt men altijd als onderdeel van de machine, maar de toevoerleiding naar de machine meestal niet. In het bijzonder als de toevoerleiding erg lang is, is het niet wenselijk de verliezen in de toevoerleiding ten laste van de machine te rekenen. Het begrip manometrische valhoogte wordt hiertoe gebruikt. Op een manometer aan de inlaat van de machine (zie figuur 9) bepaalt men de druk.31

Men beschouwt als mechanische energie ter beschikking van de machine: v2 pm pa m + + g(z m z 3 ) 2 waarbij vm de snelheid ter plaatse van de manometer is, pm de gemeten druk en zm de geometrische hoogte van de manometer. De manometrische valhoogte Hm is dan gH m v2 pm pa = m + + g(z m z 3 ) 2

De manometrische valhoogte Hm is kleiner dan de geometrische valhoogte z0 - z3 door de verliezen in de toevoerleiding. Immers v2 pm pa m + + q irr 0m = g(z 0 z m ) 2

4.2. Pomp

3 v1 u w1 w2 0 v2 u

1

2

Fig. 12. Axiale pomp

32

Inlaat: 0 1 0 = d 12 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

2 p pa v1 0+ 1 + g(z1 z 0 ) + q irr 01 = 0 2

of

2 v1 p1 pa g(z0 z1 ) = + + qirr01 2

Analoog als bij de turbine wordt de verbruikte potentile energie omgezet in kinetische energie en drukenergie, mits verliezen. Figuur 12 toont een pomp die onder het aanzuigniveau opgesteld staat. Indien de pomp boven het aanzuigniveau staat, met een zuigleiding, is g(z0 z1) negatief. Dan kan voorgaande uitdrukking beter geschreven worden als pa p1 v2 = g(z1 z0 ) + 1 + qirr01 2 De interpretatie is dan dat door de onderdruk aan de zuigzijde van de pomp de aanzuighoogte overwonnen wordt en kinetische energie gegenereerd wordt, mits verliezen. Rotor: 1 2 In het absolute stelsel: dW = d 1 2 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

W =

2 v 2 v1 p 2 p1 2 + + q irr12 2

De arbeid die overgedragen wordt aan het fludum wordt omgezet in een toename van mechanische energie, mits verliezen. In het relatieve stelsel:2 w 2 w 1 p 2 p1 2 + + q irr12 = 0 2

De toename van de kinetische energie in het absolute stelsel is duidelijk uit de snelheidsdriehoeken. De verhoging van de druk volgt uit de afname van de kinetische energie in het relatieve stelsel. Er volgt ookW =2 2 v 2 v1 w 1 w 2 2 2 + 2 2

Het eerste deel in de uitdrukking van de arbeid noemen we het actiedeel, het tweede deel het reactiedeel. De arbeid is gelijk aan de toename van de totale enthalpie (bij adiabate stroming). Het reactiedeel van de arbeid is gelijk aan de toename van de statische enthalpie (bij adiabate stroming). 33

De reactiegraad is gedefinieerd alsR= h 2 h1 h 02 h 01

Leirad en persleiding: 2 3 In het absolute stelsel: 0 = d 12 v 2 + 1 dp + dU + dq irr

Dus

0 = 0

v2 pa p2 2 + + g(z 3 z 2 ) + q irr 23 2

of

v2 p2 pa 2 + = g(z 3 z 2 ) + q irr 23 2

De kinetische energie en de drukenergie beschikbaar na de rotor worden omgezet, mits verliezen, in een verhoging van potentile energie. Bij optelling van de drie betrekkingen vinden we W + g(z 0 z1 ) = g (z 3 z 2 ) + q irr 03 of W = g (z 3 z 0 ) + q irr 03

Het inwendig rendement van de installatie isi =g(z 3 z 0 ) W

Het is veelal niet wenselijk de verliezen in de zuigleiding en de persleiding ten laste van de machine te rekenen. Bij het hier beschouwde voorbeeld (figuur 12) rekent men normaal de inlaat wel bij de machine. Voor het bepalen van het inwendig rendement van de machine plaatst men in het algemeen een manometer aan de zuigkant en aan de perskant van de machine en bepaalt men de manometrische opvoerhoogte Hm alsgH m = v2 v2 p z 2 + pp pz + g(z p z z )

waarbij de subscripten p en z naar perskant en zuigkant verwijzen. Het inwendig rendement van de pomp is dan gedefinieerd doori =gH m W

34

5. VOORBEELDEN VAN RADIALE TURBOMACHINES

Om inzicht te krijgen in het werkingsprincipe van radiale machines, bestuderen we twee voorbeelden, vooreerst een centrifugale pomp. Figuur 13 toont de meridiaandoorsnede van een pomp waarbij de rotor in uitkraging gemonteerd is op de as. Bij deze uitvoeringswijze is n zijde van de rotor vrij, zodat de aanvoer van het water axiaal kan gebeuren. In de rotor (1) wordt de stroming afgebogen naar de radiale richting. Na de rotor bevindt zich een diffusororgaan (2) en een collector (3). De figuur toont ook een beeld van de rotor en een schets van de doorsnede met het gemiddeld omwentelingsstroomoppervlak. Figuur 14 toont de snelheidsdriehoeken bij inlaat en uitlaat van de rotor. Bij inlaat van de rotorschoepen heeft de absolute snelheid v1 door ombuiging in het aanzuigoog van de rotor een component in radiale richting verkregen. Er is theoretisch geen component in tangentiale richting, omdat nog geen schoepenrooster is doorlopen. In de praktijk wordt de stroming door wrijving enigszins meegenomen in het aanzuigoog, zodat er bij inlaat een kleine tangentiale component aanwezig is. We spreken van een spontane prerotatie. Bij uitlaat van de rotor is geen axiale snelheidscomponent meer aanwezig. In het getekende voorbeeld zijn de schoepen bij uitlaat van de rotor vrij sterk achteruitgeheld t.o.v. de looprichting van de rotor en met een hoek die nagenoeg dezelfde is als bij inlaat. De schoepen hebben dus nagenoeg geen buiging in het gemiddelde stroomoppervlak. In het radiale deel van de rotor zijn de schoepen recht in axiale richting. In het inlaatdeel is er omwille van de diagonale stroomrichting wel een zekere buiging in de richting loodrecht op de stroomvlakken. Dit bestuderen we later. Bij de qedanalyse komt buiging van de bladen loodrecht op het gemiddelde stroomoppervlak niet tussen.2 3 3

5 1 4

5

6

1

2

3

Fig. 13. Centrifugale pomp

35

v2

u2 v 2r

-u 1 v1

-

-

Co + + + + + +

w2

w1

+

v1 1

Fig. 14. Radiale rotor, achteruitgehelde schoepen, pomp (getekend is w1 = w2)

De Corioliskracht is c 0 = 2 w . In waarde is de kracht dus 2 w sin . De zin is zoals aangegeven op de figuur. Bij de Corioliskracht correspondeert een drukverschil, zoals aangegeven. Hierdoor ontstaat een bladbelasting met een kracht waarvan de tangentiale component tegen de looprichting is gericht, zodat arbeid van de rotor naar de stroming overgedragen wordt.2 In de schrijfwijze (23) is de overgedragen arbeid W = u 2 u1 + u 2 w 2u u1w 1u . Het 22 gedeelte u 2 u 1 is afkomstig van de Corioliskracht en is altijd positief voor een centrifugaal 2 doorstroomde rotor (u2 > u1). Het gedeelte u 2 w 2u u 1 w 1u is afkomstig van afbuiging, dus van lift en kan positief of negatief zijn naargelang de buiging van de schoepen. In het getekende voorbeeld is de liftterm negatief (u2w2u is meer negatief dan u1w1u). Principieel is de liftkracht dus tegenwerkend gezien de geassocieerde arbeidsoverdracht in turbinezin ligt. Om de liftterm minder negatief te maken, zouden de bladen bij uitlaat van de rotor minder achteruitgeheld moeten zijn. Bij ongeveer gelijkblijvende meridiaancomponent van de snelheid, zoals getekend, betekent dit dat diffusie dan ingebouwd wordt (w2 < w1). Het is evenwel niet mogelijk een snelheidsverhouding te bekomen die belangrijk lager is dan 1. We hebben reeds opgemerkt dat diffusie een zeer moeilijk realiseerbaar proces is. Zoals we in hoofdstuk 2 zullen zien, kan men in optimale stilstaande diffusoren met beperkte lengte ongeveer een snelheidsverhouding 0.7 bereiken, d.w.z. dat ongeveer de helft van de kinetische energie bij inlaat in drukenergie kan omgezet worden. Gezien de ongunstige kanaalvormen in rotoren, met kromming, sterke verandering van de vorm van de doorstroomsectie en rotatie-effecten kan de snelheidsverhouding w2/w1 niet lager zijn dan ongeveer 0.9. Het gevolg is dus dat de liftkracht niet in pompzin kan tussenkomen.

De werking van de machine steunt dus essentieel op Corioliskracht. De rotor moet dus opgevat worden als bestaande uit roterende kanalen. De schoepen hebben niet de functie van liftende voorwerpen.

36

De overgebrachte arbeid kan ook geschreven worden alsW =2 2 2 u 2 u 1 v 2 v1 w 1 w 2 2 2 + 2 + 2 2 2

De term in de relatieve kinetische energien is duidelijk niet significant in het geheel. De centrifugale term correspondeert met een drukverhoging. Daar het bij een pomp vooral de bedoeling is druk te verhogen, moet dus de kinetische energie na de rotor v 2 / 2 nog omgezet 22 worden tot ongeveer het niveau van de kinetische energie bij inlaat v1 / 2 . Dit kan gebeuren door een diffusor onmiddellijk na de rotor te plaatsen. Hier is dit een ringvormige schoependiffusor waarin de snelheid v2 meer naar de radiale richting gedwongen wordt (tangentiale component vermindert), terwijl de ring ook verbreedt door straaltoename en hier ook door breedtetoename (radiale component vermindert). Na de diffusor volgt een collector onder de vorm van een slakkenhuis. Na de collector volgt nog een conische diffusor. De diffusiewerking van de statororganen na de rotor is enigszins complexer dan hier beschreven. We analyseren deze organen met meer detail in het hoofdstuk over pompen (hoofdstuk 8).

Er bestaat een middel om ondanks de beperking op de snelheidsverhouding in de rotor (w2/w1 > 0.9) de liftkracht positief in de zin van de arbeidsoverdracht te laten tussenkomen, namelijk de schoepen zeer sterk naar voor te buigen bij uitlaat van de rotor zoals aangegeven op figuur 15. De term u2w2u - u1w1u wordt dan sterk positief. Bij dergelijke schoepvorm wordt veel arbeid omgezet. Bij achteruitgehelde schoepen is de arbeid W = u 2 v 2u 1 2 u 2 (figuur 2 14), terwijl bij de vooruitgekromde schoepen de arbeid W = u 2 v 2 u 2u 2 ( u 2 u 1 ) . 2 u2 w2 v2 v23 2 2 u 2 (u 2

2u1 ) tot

v1 u1 v1 w1

Fig. 15. Radiale rotor, vooruitgebogen schoepen, ventilator (getekend is w1 = w2)

37

Het gevolg van het vooruitkrommen van de schoepen is dat de kinetische energie bij uitlaat van de schoepen zeer groot wordt. Het is onmogelijk om zonder grote energiedissipatie de snelheid v2 te reduceren tot het niveau van de snelheid v1. De machine kan dus enkel zin hebben als ze bedoeld is om snelheid op te wekken, m.a.w. als ventilator. We bespreken dit type ventilator later (hoofdstuk 3: ventilatoren). Een ventilator kan ook gebouwd worden zoals een centrifugale pomp, d.w.z. met achteruithellende schoepen. In dit geval levert de machine vooral druktoename en minder toename van kinetische energie. Voor voeden van uitgebreide leidingsystemen, waar dus belangrijke verliezen in voorkomen, is een dergelijke ventilator nodig. Er bestaan ook nog vormen tussen deze getoond op de figuren 14 en 15. We bespreken deze types in het hoofdstuk over ventilatoren (hoofdstuk 3).

6. KARAKTERISTIEKEN

Onder een karakteristiek van een turbomachine verstaat men een verband tussen twee werkingsgrootheden van de machine, zoals debiet, manometrische opvoerhoogte, vermogen, enz., bij constant houden van de andere grootheden. Principieel kan men veel dergelijke verbanden definiren. In de praktijk zijn er evenwel maar een zeer beperkt aantal die betekenis hebben. Bij een hydraulische turbine is normaal de valhoogte constant. Dit is ook het geval voor het toerental. De machine drijft namelijk een generator aan op vast toerental. Bij constante geometrie zijn er aldus in deze machine geen grootheden die variabel zijn. Bij gegeven valhoogte en toerental is het debiet en dus het vermogen bepaald. Alleen door veranderen van de instelhoek van de rotorschoepen bij een axiale turbine (zie fig. 1) kunnen debiet en vermogen gevarieerd worden. Een karakteristiek kan aldus zijn: het vermogen in functie van de stelhoek van de rotorschoepen bij constant toerental en constante valhoogte.

balg

reservoir

Fig. 16. Pomp met reservoir onder variabele druk

38

Bij een pomp is normaal ook het toerental vast en opgelegd door de aandrijvende motor. De benuttiging is typisch een leidingsysteem dat een reservoir onder druk vult (zie fig. 16). De druk in het reservoir is variabel door de aanwezigheid van een samendrukbare balg gevuld met lucht. Bij zogenaamde hydrofoorgroepen (installaties van het type van figuur 16) voor huishoudelijk gebruik is het normaal dat men de druk in het reservoir laat variren tussen 1.5 bar en 3 bar. Een pressostaat zet de pomp in werking als de druk lager wordt dan de ingestelde ondergrens (1.5 bar) en zet de pomp af als de druk hoger wordt dan de bovengrens (3 bar). De pomp werkt dus bij een variabele manometrische hoogte. De verandering van de manometrische hoogte benvloedt het debiet. Door de karakteristiek van een pomp verstaat men aldus normaal het verband tussen manometrische opvoerhoogte en debiet bij constant toerental. De vorm van dit verband kan relatief eenvoudig uit theoretische overwegingen afgeleid worden. We nemen als voorbeeld de centrifugale pomp van figuur 14. Stel dat de getekende snelheidsdriehoeken overeenkomen met de ontwerpsituatie. Dit wil zeggen dat w1 rakend is aan de inlaatzijde van de rotorschoepen en dat v2 rakend is aan de inlaatzijde van de diffusorschoepen. Men zegt dan dat er geen stoot bij inlaat is van de rotor- en statororganen. Bij verminderen van het debiet door de pomp, bijvoorbeeld door het aanbrengen van een insnoering op de persleiding, veranderen de snelheidsdriehoeken zoals getekend in figuur 17.u1 v1* v1

u2 w1* w1

v* 2

v2 w* 2

w2

2 ( )

Fig. 17. Verandering van de snelheidsdriehoeken bij verminderen van het debiet bij een centrifugaalpomp. Volle lijn: ontwerp (*). Streeplijn: verminderd debiet

De overgedragen arbeid is bij het verminderde debiet nog steeds gegeven door u2v2u. Verder is v2u = u2 + w2u (w2u is negatief) en tg2 = w2u/v2r (2 is negatief). Het debiet is evenredig met v2r. Het verband tussen arbeid en debiet is dus van de vormW = u 2 + k tg 2 Q 2

(32)

Hierbij is k een positieve constante. Het verband is dus een dalende rechte. De toename van de mechanische energie in het fludum is kleiner dan de overgedragen arbeid door wrijvingsverliezen (approximatief evenredig met Q2) en door stootverliezen. Bij een debiet verschillend van het ontwerpdebiet Q* zijn namelijk de relatieve inlaatsnelheid van de rotor (w1) en de absolute inlaatsnelheid van de diffusor (v2) niet meer rakend aan de schoepen. Dit veroorzaakt een verlies dat evenredig is met (Q - Q*)2 (zie hoofdstuk 3). De manometrische opvoerhoogte kan dus afgeleid worden uit de overgedragen arbeid, principieel zoals getoond op figuur 18. De karakteristiek is dus een curve die benaderd de vorm van een parabool heeft.

39

W, gH m (J / kg )

gH m

Wwrijving stoot

Q ( m 3 / s) Fig. 18. Karakteristiek van een centrifugaalpomp (achteruitgehelde rotorschoepen); n = cte

Het correct bepalen van de karakteristiek is enigszins ingewikkelder dan getoond op figuur 18. De reden is dat de stroming bij uitlaat van de rotor de schoepen niet exact volgt. Er treedt zogenaamd slip op. Het verband tussen overgedragen arbeid en debiet is hierdoor enigszins afwijkend van het zuiver geometrisch bepaalde verband (32). Het slipverschijnsel bespreken we grondig in hoofdstuk 3. De benaderde beredenering hierboven weze voorlopig voldoende om in te zien dat er een functioneel verband bestaat tussen opvoerhoogte en debiet. Het is gebruikelijk het debiet als onafhankelijke grootheid te beschouwen en de opvoerhoogte als afhankelijke grootheid (het zou ook omgekeerd kunnen). De reden van deze keuze heeft te maken met de gebruikelijke wijze van het proefondervindelijk bepalen van de karakteristiek (fig. 19). De pomp verplaatst fludum van een zuigreservoir naar een persreservoir. In de persleiding is een snoerkraan aangebracht. Aan zuig- en aan perskant van de pomp staan manometers. Bij insnoeren van de kraan heeft men als eerste indruk dat men hiermee debiet bepaalt. De aflezingen op de manometers veranderen hierbij uiteraard ook. Uit deze aflezingen bepaalt men de manometrische opvoerhoogte. Voor het bepalen van het debiet kan in de leiding nog een debietmeter geplaatst worden. Een meer klassieke manier is het bepalen van het debiet door de stijging van het niveau in het persreservoir bij afgesloten terugvoerleiding.

persreservoir

zuigreservoir

Fig. 19. Bepalen van de karakteristiek van een pomp

40

Het is zeer typisch dat bij een aangedreven machine het functieverband tussen de toename van mechanische energie en het debiet bij constant toerental een dalende curve is. Op figuur 12 (axiale pomp) zien we dat bij verminderen van het debiet v2u toeneemt. De karakteristiek van de axiale pomp is dus gelijkaardig aan deze van de centrifugaalpomp met achteruit gehelde rotorschoepen. Het is verder didactisch interessant (niet zozeer praktisch) te beredeneren wat de gelijkaardige karakteristieke valhoogte i.f.v. debiet is bij een hydraulische turbine. Figuur 20 toont de snelheidsdriehoeken in ontwerp en bij vergroten van het debiet (door vergroten van de valhoogte) bij een axiale hydraulische turbine zoals getoond op figuur 9. We zien op figuur 20 (* duidt de ontwerptoestand aan)* v1u = v1u (

Q ) ; v1u > 0 Q*

w 2u = w* ( 2u De arbeid is

Q ) ; w 2u < 0 ; w* = u ; v 2u = u + w 2u 2u Q* Q Q Q * ) u + u ( )]u = ( v1u + u )u ( ) u 2 Q* Q* Q*

* W = ( v1u v 2u )u = [ v1u (

Figuur 20 toont de overgedragen arbeid en de valhoogte. De arbeid is in functie van het debiet lineair stijgend. Door aanwezigheid van wrijvingsverliezen en stootverliezen is de valhoogte groter dan de overgedragen arbeid. De vaststelling is dat valhoogte in functie van debiet stijgend is.

W, gH m (J / kg )w2 v2 v* 2* v1

gH m

Wu Q (m 3 / s) u2

u w* 2

v1

* w1

w1

Fig. 20. Verandering van de snelheidsdriehoeken bij verhogen van het debiet bij een axiale hydraulische turbine. Volle lijn: ontwerp (*). Streeplijn: verhoogd debiet. Karakteristiek van een turbine: valhoogte i.f.v. debiet bij constant toerental en constante geometrie

41

7. TOEPASSINGEN

1. De figuur toont een vloeistofstraal die loodrecht op een plaat stoot in een open ruimte. Bepaal met een impulsbalans de kracht op de plaat in de richting van de aankomende stroming. Neem hierbij aan dat de stroming na afbuiging de plaat volledig volgt. Neem stationaire toestand aan en verwaarloos wrijving. Beschouw het geval waarbij de zwaartekracht loodrecht staat op de straal, zoals aangegeven. Bepaal met een impulsbalans de kracht op de plaat in verticale richting. Merk op dat de kracht benaderd nul is. Verifieer dat het resultaat onafhankelijk is van de uitgestrektheid van het gekozen controlevolume. Beredeneer dat in afwezigheid van wrijving de kracht in verticale richting exact nul is.

A: Fx = mU, Fy = gAL, met L d h 2. De figuur toont een vloeistofstraal die stoot op de schoep van een Peltonturbine (tangentiale hydraulische turbine, zie hoofdstuk 9). De schoep heeft de vorm van een dubbele lepel. De straal buigt af met de aangeduide hoek . Bepaal de kracht die op de schoep in de richting van de straal wordt uitgeoefend bij stilstand van de schoep en bij aanname dat de zwaartekracht loodrecht staat op de tekening, dus niet zoals aangegeven op de tekening. Bepaal de kracht die op de schoep in horizontale en verticale richting wordt uitgeoefend in de veronderstelling dat de zwaartekracht in de verticale richting inwerkt, zoals aangegeven in de tekening. Verifieer dat het resultaat onafhankelijk is van de uitgestrektheid van het gekozen controlevolume. Merk op dat de kracht in verticale richting zeer gering is. Kan hier besloten worden dat de kracht exact nul is?

A: Fx = m(1 + cos ), Fx m(1 + cos ), Fy = gAL, met L d +

h 3 h sin 2sin 2

42

3. De figuur toont een vleugelboot. De vaarsnelheid is 20 m/s. De massa van de boot is 100 ton. De draagvleugels die de boot boven water houden hebben als lift/weerstand verhouding L/D = 20. Water wordt aangezogen door een pomp en via een straalpijp uitgestoten aan 45 m/s t.o.v. de boot. Bepaal het massadebiet dat de pomp dient te verwerken. Verwaarloos hierbij luchtwrijving op de boot. Welk vermogen dient theoretisch aan de pomp toegevoerd te worden (d.w.z. vermogen zonder verliezen)? Wat is het nuttig vermogen die de straalaandrijving aan de boot levert (propulsievermogen)? Merk op dat dit vermogen verschilt van het pompvermogen. Verklaar het verschil door de kinetische energie die afwaarts van de boot gedissipeerd wordt. Redeneer vooreerst met een controlevolume gehecht aan de boot, d.w.z. in het relatief stelsel. Dit is het eenvoudigst. Verifieer dat het resultaat hetzelfde is voor een controlevolume in het absolute stelsel.

A: Ppomp = 1594 kW, Ppropulsie = 981 kW, Presidueel = 613 kW 4. De figuur toont een wagentje met waterreservoir. Het wagentje rijdt aan 3 m/s. De aandrijving gebeurt door een pomp die water aanzuigt uit het reservoir en uitstoot met snelheid 10 m/s t.o.v. het geheel van wagen, reservoir en pomp. Het debiet is 2 m3/s. Bepaal de wrijvingskracht die uitgeoefend wordt door rolweerstand en luchtweerstand op het wagentje. Verifieer ook voor deze toepassing dat hetzelfde resultaat bekomen wordt met een controlevolume in het relatieve stelsel en in het absolute stelsel.

A: Fw = 20 kN 5. De figuur toont schematisch de doorstroming doorheen de schroef van een vliegtuig. Neem aan dat de vliegsnelheid 75 m/s is en dat de schroef de lucht versnelt tot 120 m/s t.o.v. de schroef. Bepaal de stuwkracht die opgewekt wordt per m2 frontaal schroefoppervlak, bij aanname van uniforme doorstroming doorheen de schroef. Beredeneer, zoals in toepassing 3, het vermogen dat theoretisch aan de schroef dient toegevoerd te worden, het nuttig vermogen en het verschil tussen deze vermogens. Verwaarloos hierbij de postrotatie die in werkelijkheid opgewekt wordt door de arbeidsoverdracht van de schroef op de lucht. Is er een wezenlijk verschil in de vaststellingen met de straalaandrijving van de vleugelboot in toepassing 3? (Een verwant vraagstuk wordt behandeld in hoofdstuk 10, paragraaf 3.1) 43

w0

w1

w2

w3

A: Paandrijving = 513 kW, Ppropulsie = 395 kW, Presidueel = 118 kW 6. Beschouw opnieuw de aandrijving van de Peltonturbine, zoals beschreven in toepassing 2. Bepaal de kracht die in de straalrichting op de schoep uitgeoefend wordt indien de schoep loopt met snelheid U/2 en snelheid U t.o.v. de straal. Leid hieruit het verloop af van de uitgeoefende kracht in functie van loopsnelheid. Bepaal het overgedragen vermogen. Bij welke loopsnelheid wordt het overgedragen vermogen maximaal? Verklaar waarom het overgedragen vermogen niet gelijk is aan de energieflux van de waterstraal. A: Fx is lineair dalend met de loopsnelheid gaande van kracht bij stilstand tot nul voor loopsnelheid van nul tot straalsnelheid. Het vermogen is maximaal bij loopsnelheid gelijk aan de helft van de straalsnelheid. Het verschil tussen de energieflux in de straal en het afgenomen vermogen is het vermogen geassocieerd aan de kinetische energie die in de atmosfeer gedissipeerd wordt. 7. De figuur toont een gazonsproeier. De straal van de beschreven cirkel is 150 mm. De diameter van de armen is 4 mm. De omgebogen lengte van de armen is 30 mm. Het water spuit met een hoek van 30 naar boven t.o.v. het horizontaal vlak. Het waterdebiet is 7.5 l/min. Het toerental is 30 tr/min. Bepaal het wrijvingskoppel dat uitgeoefend wordt op de as van de gazonsproeier. Redeneer eerst in het absoluut stelsel. Verifieer dan het resultaat in het relatief stelsel. Hiervoor moet het moment van de Corioliskracht op de stroming door de armen in rekening gebracht worden. Wat wordt het toerental als het wrijvingskoppel zou gehalveerd worden?

A: M wrijving = 71.6 Nmm, n nieuw = 146.8 tr / min

44

8. De figuur toont een afzuigventilator met zuiver radiale schoepen. Door een statorschoepenkrans wordt prerotatie aan de aangezogen stroming gegeven, zodat de stroming de rotor binnenkomt perfect rakend aan de schoepen. Inlaatbreedte en uitlaatbreedte zijn zodanig dat de relatieve snelheid in de rotor constant is en gelijk is aan de snelheid in het eerste deel van de aanzuigbuis. Bepaal de formule die de arbeidsoverdracht weergeeft. Wat is het aandeel hierin van toename van kinetische energie en toename van enthalpie? Wat is de reactiegraad van de machine? Het doel van de ventilator is een bepaald massadebiet af te voeren doorheen de zuigleiding. Door de snelheid in de buis ontstaat dus onderdruk. Schets het drukverloop doorheen de zuigleiding en de ventilator. Bepaal hieruit de nodige druktoename over de ventilator. Verwaarloos wrijvingsverliezen. Analyseer dat er twee essentile verliesmechanismen zijn bij de beschouwde toepassing: n bij inlaat en n bij uitlaat van de rotor. Leidt hieruit af hoe de vormgeving van de rotor efficinter kan gemaakt worden. Beredeneer een rotor met constante meridiaansnelheid en constante relatieve snelheid (geen interne diffusie).w2

w1

vo

A: De figuur toont de snelheidsdriehoeken bij inlaat en uitlaat.

2 2 W = u 2 v 2u u1v1u = u 2 u1 2 2 2 v 2 v1 u 2 u1 2 E k = = 2 2 2 2 2 2 2 u 2 u1 w1 w 2 u 2 u1 2 2 2 E p = + = 2 2 2 2 2 2

Dus

E p = E k

en R = 0.5

Drukbalans: Er is een eerste drukafname in de leiding door de opwekking van de 2 leidingssnelheid v0. De bijhorende drukdaling is v0 / 2 . In de prerotatieschoepen is er een acceleratie die een verdere drukdaling veroorzaakt2 2 v1 / 2 v0 / 2

45

De drukverhoging in de ventilator is2 u 2 / 2 u1 / 2 2

De ventilator dient de druk terug te brengen tot op de atmosfeerdruk. De drukbalans is dus E p =2 2 2 2 u 2 u1 v0 v1 v0 2 = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v0 v1 v0 v 2 v1 + + 2 2 2 2

Dus

W = E p + E k =

(1)

De overgedragen arbeid bestaat uit drie termen in kinetische energie met som v 2 / 2 . De 2 eerste term is de nuttige term. Dit is de arbeidstoename die nodig is om de onderdruk als gevolg van de snelheidsopwekking in de leiding te compenseren. De tweede term is de toename van de kinetische energie in de prerotatiering. Deze toename veroorzaakt een grotere onderdruk die door de ventilator gecompenseerd moet worden. De tweede term is dus onnuttig. De derde term is de verhoging van de kinetische energie in de rotor. Deze is onnuttig omdat de ventilator alleen een druktoename dient