1

HOOFDSTUK 1. WERKINGSPRINCIPES

1. DEFINITIE VAN EEN TURBOMACHINE

Een turbomachine is een machine waarin energie gewisseld wordt tussen de continue

stroming van een fluïdum en een schoepensysteem dat in continue rotatieve beweging is, en

waarbij de energieoverdracht steunt op krachten die door de stroming opgewekt worden.

De energiewisseling kan gaan van de stroming naar de machine of omgekeerd.

In het eerste geval dient de energie die uit de stroming afgevoerd wordt voor de aandrijving

van een rotor (trommel met schoepen of wielen met schoepen), die zelf een nuttige last

aandrijft. De machine is dan aandrijvend. Men noemt ze altijd een turbine, ongeacht het

fluïdum.

Typische fluïda zijn:

- water: waterturbine of hydraulische turbine

- stoom (damp): stoomturbine

- lucht in de natuurlijke wind: windturbine

- gas gevormd door verbranding van een brandstof in lucht onder druk: gasturbine

- ander fluïdum zoals koelmiddel in een koelcyclus: expansieturbine.

Indien energie onttrokken wordt aan de rotor en toegevoerd aan de stroming, gebruikt men

verschillende benamingen naargelang het fluïdum en de component van de stromingsenergie

die hoofdzakelijk verhoogd wordt. De machine is een aangedreven machine.

De energie die door een rotor aan een fluïdum door stromingskrachten kan toegevoerd

worden (of onttrokken) is in de ruime zin 'mechanische energie' (we verduidelijken dit

verder). In de machine zelf kan mechanische energie essentieel maar twee vormen aannemen:

energie geassocieerd aan snelheid (kinetische energie) en energie geassocieerd aan druk.

Voorbeelden van aangedreven machines:

- onsamendrukbaar fluïdum (water, olie), dominant een drukverhoging (snelheid kan ook

enigszins verhogen): pomp

- samendrukbaar fluïdum (lucht, gas, damp)

vooral drukverhoging: compressor

vooral snelheidsverhoging (inzonderheid lucht): ventilator (zet lucht in beweging).

Er zijn nog meer gespecialiseerde termen. In propulsie-aanwendingen (zie hoofdstuk 12)

spreken we ook nog van schroef en fan. Dit zijn machines die snelheidsverhoging

teweegbrengen voor propulsie.

2

2. VOORBEELDEN VAN AXIALE TURBOMACHINES

We beschouwen twee voorbeelden met water: een hydraulische turbine en een pomp.

Fig. 1. Axiale hydraulische turbine; cilinderdoorsnede van leirad en looprad

1 2

leirad

looprad

zuigbuis

leirad

rotor

L

Du u

2v

2w

1v

1w

1v

2w

1w

1

)(1

)(2

0v

3

Fig. 2. Axiale pomp; uit catalogus van een fabrikant

4

2.1. Axiale hydraulische turbine

Figuur 1 toont schematisch de doorsnede van een kleine hydraulische turbine.

In de zin van de stroming bestaat de machine uit drie onderdelen: een statordeel omvattend de

inlaat en een leirad, een rotordeel (looprad) en een statordeel bestaande uit een divergerende

buis. Het leirad en het looprad hebben schoepen. Figuur 1 toont een cilinderdoorsnede van de

machine met aanduiding van de snelheidscomponenten in het absolute (v) en relatieve stelsel

(w). De index 1 duidt de inlaat van de rotor aan, de index 2 de uitlaat van de rotor.

De onderdelen hebben de volgende functie.

Inlaat en leirad: - fluïdum leiden naar de rotor en het erover verdelen (distributor)

- genereren van kinetische energie 2/v21 .

De kinetische energie komt uit een drukval waarbij de druk vóór de machine is opgebouwd

door gebruik van potentiële energie van het fluïdum (we analyseren dit verder).

Bij hydraulische turbines zoals hier beschouwd, is de versnelling nooit groot: leiden van

het fluïdum is de belangrijkste functie. We gebruiken hier de termen leirad en leischoepen

(guide vanes). Bij stoom- en gasturbines is de versnelling integendeel zeer belangrijk. Dan

zegt men eerder dat de stator is samengesteld uit straalpijpen (nozzles, nozzle vanes).

Looprad: wisselen van de mechanische energie.

In het relatieve stelsel is 2/w2/w 21

22 . Er is dus opnieuw generatie van kinetische

energie. Deze correspondeert met drukval (we analyseren dit verder). In het absolute

stelsel is er vermindering van kinetische energie: 2/v2/v 21

22 . Deze correspondeert met

de energieoverdracht vanuit de stroming naar de rotor (we analyseren dit verder).

Het principe van de arbeidsoverdracht kunnen we nu reeds begrijpen. Door de profielvorm

van de loopschoepen, gelijkend op een vleugelprofiel zoals aangegeven op figuur 1, is

duidelijk dat door ombuiging van de relatieve snelheid bij inlaat van de rotor w1 naar de

relatieve snelheid bij uitlaat van de rotor w2 een liftkracht ontstaat (L). Deze staat benaderd

loodrecht op de gemiddelde relatieve snelheid en heeft de zin zoals aangeduid op de

figuur. De tangentiale component van deze liftkracht ligt in de zin van de loopsnelheid u.

Dit betekent dus dat de loopschoep aangedreven wordt, hetgeen correspondeert met arbeid

die de stroming op de rotor uitoefent. We zien ook dat de weerstandskracht D een

tangentiale component heeft die de beweging tegenwerkt.

Het statororgaan na de rotor heeft verschillende functies en naargelang de functie die men

wil benadrukken kan men een verschillende naam geven:

- water na de rotor verzamelen, d.w.z. collecteren (m.a.w. invers aan de distributor):

collector

- gedeelte van de kinetische energie bij uitlaat van de rotor omzetten naar energie

geassocieerd aan druk. Hierbij daalt de druk na de rotor, zodat de drukval over de

machine vergroot: diffusor

- de afwaartse hoogte benutten, d.i. het water leiden naar het afwaartse niveau. Hierbij

ontstaat onderdruk na de machine door gebruik van de potentiële energie: aspirator of

zuigbuis.

5

Energetisch gezien is deze laatste functie meestal de belangrijkste.

Voorbeeld: - v2 = 5 m/s (typisch): 5.122/v22 J/kg

- 2.5 m hoogte: potentiële energie gz 25 J/kg.

Het recupereren van de afwaartse hoogte is zonder moeilijkheden realiseerbaar. Het

omzetten van de kinetische energie is een proces dat met veel verliezen gepaard gaat. We

gebruiken aldus normaal het woord zuigbuis (draft tube).

De hier behandelde machine wordt axiaal genoemd, omdat de stroomlijnen principieel op

cilinders liggen met as samenvallend met de as van de machine (een lichte coniciteit treedt

veelal op in echte machines). De snelheidsvectoren hebben vooral axiale en tangentiale

componenten (radiale componenten zijn zeer klein).

Er zijn ook machines waarbij de stroming principieel gebeurt in vlakken loodrecht op de as,

m.a.w. de snelheidsvectoren hebben vooral radiale en tangentiale componenten (de axiale

componenten zijn zeer klein). Deze machines noemt men radiaal. Hun werkingsprincipe is

ingewikkelder. We bespreken deze machines verder. Er bestaan nog tussenvormen, met name

diagonale machines en er zijn nog andere vormen zoals tangentiale en diametrale machines.

Turbomachines kunnen zeer veel verschillende vormen aannemen. We zullen al deze vormen

later leren kennen. Voorlopig beperken we de fundamentele bespreking tot axiale machines,

omdat de studie van hun werkingsprincipe het eenvoudigst is.

2.2. Axiale pomp

Figuur 2 toont een beeld van een pomp van het axiale type. De werkingswijze is analoog aan

deze van de axiale turbine, maar de zin van de arbeidsoverdracht is omgekeerd. Figuur 3 toont

een cilinderdoorsnede van de machine. We onderscheiden de volgende onderdelen.

Inlaat: deze leidt het fluïdum naar de rotor en versnelt het fluïdum net zoals bij de turbine.

De richting van de stroming blijft hierbij axiaal. Theoretisch zouden geen leischoepen

nodig zijn. Omdat door de rotatie van de rotor het binnenkomende fluïdum de neiging

krijgt om mee te roteren (prerotatie), worden enige schoepen voorzien (hier 4) om de

stroming in de axiale richting te houden.

Rotor of looprad: deze heeft tot doel arbeid over te dragen van de machine naar het

fluïdum. Door de omzwenking van de relatieve snelheid bij inlaat van de rotor w1 naar een

meer axiale richting bij uitlaat w2 ontstaat een liftkracht in de aangeduide zin. De liftkracht

heeft een tangentiale component die tegengesteld is aan de looprichting van de rotor.

Hiermee correspondeert dus arbeid die aan de rotor uitwendig moet toegevoerd worden. Er

is dus energieoverdracht van de rotor naar het fluïdum. Deze energieoverdracht is voor

een gedeelte merkbaar in de toename van kinetische energie in het absolute stelsel

( 2/v2/v 21

22 ). Verder is een gedeelte ervan merkbaar in de vermindering van de

kinetische energie in het relatieve stelsel ( 2/w2/w 21

22 ). Hiermee correspondeert een

drukstijging (zie verder).

6

Difussor: na de rotor bevindt zich een stationair leirad waarin de binnenkomende snelheid

v2 omgezwenkt wordt naar de axiale richting met behoud van de axiale

snelheidscomponent. Hierdoor vermindert de kinetische energie in de stroming

( v v3

2

2

22 2/ / ), waardoor de druk stijgt. De kinetische energie wordt verder gereduceerd

in een nageschakelde conische divergent. Het volledig statordeel na de rotor heeft dus bij

de pomp als functie het omzetten van kinetische energie naar druk. Daarom hebben we

meteen dit deel aangeduid met de naam diffusor.

L

u

u

u

1v

2v

3v

2wrotor diffusor

1w

Fig. 3. Cilinderdoorsnede van een axiale pomp

3. QUASI-EENDIMENSIONALE STROMINGSANALYSE

3.1. Principe

Bij de fundamentele analyse van turbomachines wordt gebruik gemaakt van de gemiddelde

stroming. Voor een machine met azimutale periodiciteit (axiaal, radiaal, diagonaal) is dit de

stroming die volgt uit middelen van de stromingsgrootheden over de azimutale richting voor

gegeven axiale en een radiale coördinaat te. De echte stroming door een turbomachine is door

aanwezigheid van de draaiende rotor steeds niet-stationair. Bij een constante draaisnelheid is

door de azimutale periodiciteit van de rotor- en de statorbeblading de gemiddelde stroming

stationair. Verder wordt aangenomen dat de gemiddelde stroming beschreven wordt door

stationaire stromingsvergelijkingen. Streng gesproken kan dit niet voldaan zijn. In de

stromingswetten komen immers producten voor van stromingsgrootheden. De gemiddelde

waarde van een product is niet gelijk aan het product van de gemiddelde waarden. Er ontstaan

afwijkingstermen die men in de stromingsmechanica aanduidt met de naam Reynoldstermen.

De termen die men hier bekomt zijn analoog aan de termen die ontstaan bij het in de tijd

uitmiddelen van een turbulente stroming. Bij de fundamentele analyse verwaarlozen we de

Reynoldstermen. De benadering die hierbij ontstaat is goed, zolang de azimutale variaties in

de stroming niet zeer belangrijk zijn. Dit is in de regel het geval bij werking van de machine

in het ontwerppunt. Zodra de azimutale periodiciteit van de stroming verbroken wordt, is de

benadering minder goed. Optreden van belangrijke azimutale variaties kan voorkomen bij

werking buiten ontwerp. Enige oplettendheid is dus principieel geboden bij het gebruik van

verbanden die uit een analyse op de gemiddelde stroming zijn bekomen. In het algemeen

levert de gemiddelde stroming nauwkeurige verbanden. Volgend voorbeeld verduidelijkt dit.

7

tsinuuu a0 0uu

tsinutsinuu2uu 22aa0

20

2 2a2

120

2 uuu

2

0

a2

12

)u

u(1

u

u 2a

0

u0.1: u 1.0025 u

u ; 2a

0

u0.3: u 1.0223 u

u

Bij de vereenvoudigende analyse van een turbomachine worden nog verdere benaderingen

aangenomen. Bij een axiale machine neemt men aan dat de stroomlijnen van de gemiddelde

stroming op cilinders liggen, m.a.w. dat er geen radiale snelheidscomponent is. Verder neemt

men aan dat er geen variaties van de stromingsgrootheden in de radiale zin zijn. Het

stromingsbeeld wordt hierdoor ééndimensionaal in de zin dat alleen axiale variatie van de

stromingsgrootheden beschouwd wordt. De stroming blijft meerdimensionaal in de zin dat de

snelheid twee componenten heeft, namelijk een axiale en een tangentiale. De bekomen

stromingsanalyse wordt veelal aangeduid met de benaming ééndimensionale analyse. Om niet

de indruk te wekken dat de stroming ook nog unidirectioneel zou zijn, gebruiken we verder de

benaming quasi-ééndimensionale analyse (qed-analyse). Bij andere machinetypes worden

gelijkaardige benaderingen ingevoerd om tot een quasi-ééndimensionale stroming te komen.

Algemeen bij een machine met azimutale periodiciteit neemt men aan dat de stroomlijnen

liggen op een omwentelingsoppervlak, zodat er dus geen snelheidscomponent is loodrecht op

dit oppervlak. Bij een quasi-ééndimensionale analyse beschrijven we de stroming op een

gemiddeld omwentelingsstroomoppervlak met aanname dat er geen variatie is van de

stromingsgrootheden loodrecht op dit oppervlak.

We leiden nu vooreerst de hoofdwetten van de quasi-ééndimensionale stromingen af.

3.2. Hoofdwetten voor stilstaande leidingdelen

We leiden vooreerst enige hoofdwetten af voor een elementair deel van een leiding, stilstaand

in een absoluut stelsel. De geometrische situatie is hierbij eenvoudiger dan in een

turbomachine. Gaandeweg bespreken we bij verdere afleidingen hoe deze hoofdwetten op een

machine kunnen toegepast worden. Figuur 4 toont een elementair leidingdeel.

x

z

dtv11A

2A

dtv2

zz 1gf

Fig. 4. Elementair leidingdeel

8

De as van het leidingelement is voorgesteld door x. De begindoorsnede A1 en de

einddoorsnede A2 staan loodrecht op deze as. Volgens de qed-voorstelling is de

stromingstoestand uniform in de secties A1 en A2 en is er alleen variatie van de

stromingsgrootheden in de x-richting. Densiteit stellen we voor door en druk door p.

3.2.1. Massawet

Bij een stationaire stroming geldt dat de massa die gedurende een tijdsinterval dt het

leidingelement binnenkomt, dit ook weer verlaat:

dtvAdtvA 111222

of m v A constant (massadebiet) (1)

3.2.2. Impulswet

Volgens de tweede wet van Newton geldt dat de verandering van impuls per tijdseenheid van

een systeem met constante massa gelijk is aan de som van de krachten die inwerken. We

beschouwen het systeem met constante massa dat op het ogenblik t zich in het beschouwde

leidingelement bevindt. Op het ogenblik t+dt heeft dit systeem zich verplaatst zoals

aangegeven op de figuur. De verandering van impuls gedurende het tijdsinterval dt is

11112222 vdtAvvdtAv

en is gelijk aan de som van de krachten vermenigvuldigd met dt.

Dus: FvAvvAv 11112222

of via (1): F)vv(m 12

(2)

Door integratie zijn de wetten (1) en (2) geldig over een willekeurig deel van een stroombuis.

De stroombuis hoeft niet begrensd te zijn door wanden en kan bijvoorbeeld een deel van een

straal zijn. Met de wetten (1) en (2) in hun algemene vorm kan reeds voor veel eenvoudige

stromingsproblemen een oplossing bekomen worden.

We beschouwen nu verder het geval van een leidingdeel (stilstaande wanden) waarbij we

voorlopig als inwendige krachten alleen de drukkracht en de zwaartekracht rekenen.

De zwaartekracht per eenheid van massa (N/kg) is zz 1gf

, waarbij de z-as verticaal naar

boven gericht is en g de zwaarteversnelling is.

Voor een elementair deel met lengte dx geeft de impulswet geprojecteerd in de x-richting:

xz21 1.1gdxAdA)dpp()dAA)(dpp(pA)vdvv(m

Met dz1.1dx zx

en gdz = dU (potentiële energie) volgt

v A dv A dp A dU (3)

9

Na vermenigvuldiging met de snelheid en deling door het massadebiet volgt

0dUdp1

vd 22

1

(4)

De vergelijking (4) is een arbeidsvergelijking en wordt de vergelijking van Bernoulli

genoemd. Voor een onsamendrukbaar fluïdum ( = constant) kan de vergelijking geïntegreerd

worden over de stroomlijn tot

212

pv U

constant

Verder houden we nu rekening met wrijvingskrachten en actieve krachten. De

wrijvingskracht uitgeoefend op de stroming per eenheid van oppervlakte (= spanning) in de

richting van de snelheid maar tegengesteld in zin noteren we met . Onder een actieve kracht

verstaan we een kracht die arbeid wisselt tussen de omgeving en de stroming. De component

in de stromingsrichting, positief gerekend in de zin van de stroming, duiden we aan met dF

(figuur 5).

Aan de impulsvergelijking (3) moet nu in het rechterlid toegevoegd worden:

O dx dF

waarbij O de omtrek is.

Na vermenigvuldiging met snelheid en deling door massadebiet wordt dit

O dx v

Av

dF v

Av

Fig. 5. Elementair leidingdeel met actieve kracht, wrijving en warmtetoevoer

De eerste term kan opgevat worden als de arbeid per tijdseenheid die de wrijvingskracht op

het bewegende fluïdum uitoefent per eenheid van massadebiet, of de arbeid per eenheid van

massa. De tweede term is analoog de arbeid van de actieve kracht per eenheid van massa. We

noteren de bijkomende termen als

dWdqirr (J/kg)

x z

Q

F d

f

10

We houden er in de notatie al rekening mee dat de arbeid van de wrijvingskracht op het

bewegende fluïdum bij wrijving op een stilstaande wand in waarde gelijk is aan de warmte

die door de wrijving geproduceerd wordt, dit is de energiedissipatie (zie par. 3.2.5 en zie

hoofdstuk 2, par. 2.2 en oef. 6.1 en 6.2). De arbeid van de actieve kracht is positief als arbeid

naar het fluïdum overgedragen wordt.

De Bernoulli-vergelijking (arbeidsvergelijking) wordt

dWdqdUdp1

vd irr2

21

(5)

3.2.3. Energiewet

De eerste hoofdwet van de thermodynamica zegt dat bij een systeem met vaste massa de

toename van energie gelijk is aan de som van de toegevoerde warmte en de toegevoerde

arbeid. We stellen door Q de warmte voor die aan het elementair leidingdeel per eenheid

van tijd toegevoerd wordt (J/s = W).

Analoog stellen we door W de arbeid voor die per tijdseenheid toegevoerd wordt door de

actieve kracht:

W dF v dW m

De energiewet geeft:

QWv1.1gdxA)dvv)(dAA)(dpp(pAv)EdEE(m xz

We merken op dat er geen arbeid verricht wordt door de drukkracht en de wrijvingskracht op

de mantel. Het symbool E stelt de totale mechanische energie voor, d.w.z. de som van

inwendige energie en kinetische energie (E = e + ½ v2).

Er volgt m dE mp

mp dp

dm dU W Q

Na deling door het massadebiet:

212

pd(e v U) dW dq

(6)

waarbij de toegevoerde warmte per eenheid van massa voorgesteld wordt door dq.

We gebruiken verder het begrip enthalpie h = e + p/ en totale enthalpie H = h + ½ v2, zodat

d H U dW dq( )

3.2.4. Arbeid en energie

De energiewet (6) drukt uit dat overdracht van arbeid en warmte leidt tot de verandering van

een aantal energiecomponenten in een stroming, zoals interne energie, kinetische energie,

potentiële energie en de term p/ρ. De eerste drie componenten zijn echte vormen van energie

in thermodynamische zin. In een mechanisch systeem bestaat er principieel maar één vorm

van energie: de kinetische energie. Bij de macroscopische beschrijving van een stroming

gebruiken we de macroscopische snelheid als de gemiddelde snelheid van de microscopische

bouwstenen van het fluïdum (atomen of moleculen), uitgemiddeld over een klein volume.

11

De kinetische energie van de elementaire bouwstenen splitsen we aldus in een

macroscopische kinetische energie (v2/2) en de kinetische energie van de beweging relatief

tegenover de macroscopisch gemiddelde. Die laatste term noemen we interne energie (e). De

term potentiële energie (U) duidt de reversibele arbeid aan die tegen een conservatieve kracht

geleverd wordt (hier de zwaartekracht). Een kracht is conservatief als de kracht per eenheid

massa kan geschreven worden als de gradiënt van een scalair die alleen plaatsafhankelijk is.

Voor de zwaartekracht is dit

zg g1 (gz)

De verplaatsingsarbeid van deze kracht is, voor een elementaire verplaatsing xdx1 :

z xg1 .dx1 gdz dU

De verplaatsingsarbeid die tegen de zwaartekracht geleverd wordt, is dus altijd de totale

differentiaal van de term U. De arbeid voor een verplaatsing tussen twee punten wordt aldus

onafhankelijk van de gevolgde weg. Hieruit volgt meteen de reversibiliteit van de arbeid:

voor een verplaatsing met samenvallend begin- en eindpunt is geen arbeid vereist. In het

fluïdum opgeslagen arbeid, die tegen een conservatieve kracht is geleverd, is volledig

recupereerbaar en kan dus als energie beschouwd worden.

De arbeid geassocieerd aan de druk heeft niet hetzelfde karakter. Op een fluïdumdeel is de

resultante van de druk gegeven door

n

S

p1 dS

waarbij dS een elementair oppervlaktedeel voorstelt en n1 de bijhorende uitwendige normale.

Volgens de gradiëntstelling is de resulterende drukkracht

V

pdV

Per eenheid van volume is de resulterende drukkracht p . Per eenheid van massa is de

drukkracht

1

p

De verplaatsingsarbeid van de drukkracht is aldus

x1 1

p.dx1 dp

waarbij dp de drukverandering is over de afgelegde infinitesimale weg. De differentialen zijn

in deze zin gebruikt in de uitdrukkingen (5) en (6).

De verplaatsingsarbeid van de drukkracht vormt alleen een totale differentiaal als de densiteit

enkel functie is van de druk: ρ = ρ(p). Principieel voldoet geen enkel fluïdum hieraan. De

densiteit is immers ook steeds functie van de temperatuur.

12

Voor een vloeistof is de densiteit slechts zwak afhankelijk van druk en temperatuur.

Technisch neemt men daarom dikwijls een constante densiteit. Men zegt dan veelal dat het

fluïdum onsamendrukbaar is. Letterlijk betekent dit dat de densiteit onafhankelijk is van de

druk. Meestal wordt dan constante densiteit bedoeld. Voor constante densiteit vormt 1 dp

een totale differentiaal. De term p/ρ kan dan, voor een stationaire stroming, als drukenergie

beschouwd worden.

Voor variabele densiteit kan de term p/ρ strikt niet als drukenergie omschreven worden.

Omwille van de vorm van de energiewet (6) ontstaat de wens om dit toch te doen. Strikt

vormt de term p/ρ de van teken veranderde totale arbeid van de druk. Dit is duidelijk uit de

afleiding van de energiewet leidend tot (6). Strikt zouden we aldus de term –d(p/ρ) in het

rechterlid van (6) dienen te laten staan. Op dezelfde wijze zouden we ook de term –(1/ρ)dp in

het rechterlid van (5) dienen te laten. We plaatsen de termen niettemin in het linkerlid, omdat

we een uitspraak wensen te maken over wat gebeurt met de arbeid en de warmte die

gewisseld wordt tussen de omgeving en de stroming. De term –p/ρ wordt drukarbeid of

stromingsarbeid (flow work) genoemd. De van teken veranderde drukarbeid wordt bijgeteld

bij de inwendige energie, waarbij de som enthalpie genoemd wordt. We vatten p/ρ in de

energievergelijking (6) aldus op als een energieterm, in de zin van recupereerbare arbeid

tegen de druk gepresteerd. Dat deze arbeid niet automatisch reversibel is, komt tot uiting

doordat de corresponderende term in de arbeidsvergelijking (5) niet exact dezelfde is en in het

algemeen geen totale differentiaal vormt.

De drukarbeid bestaat uit twee delen:

p 1 1

d( ) dp pd( )

Het eerste deel is de verplaatsingsarbeid. Het tweede deel is de volumeveranderingsarbeid.

Meer algemeen is dit tweede deel de vervormingsarbeid, de som van volumeveranderings-

arbeid en vormveranderingsarbeid. Een oppervlaktekracht draagt bij tot de verplaatsings-

arbeid van een volume-element, dit is de arbeid bij de gemiddelde beweging alsof het

volume-element star zou zijn, en de vervormingsarbeid, dit is de arbeid bij de beweging rond

de gemiddelde verplaatsing. Bij druk is er alleen volumeveranderingsarbeid. De vorm-

veranderingsarbeid van de druk is nul, omdat druk loodrecht op het oppervlak van het

volume-element staat (zie mechanica van continua).

3.2.5. Energiedissipatie

De term –dqirr in de arbeidsvergelijking (5) hebben we omschreven als de arbeid van de

wrijvingskracht op het bewegende fluïdum. Volgens de terminologie van de vorige paragraaf,

is dit de verplaatsingsarbeid. Merk op dat we tot nu toe de hoofdwetten toepassen op een

elementair leidingdeel dat stilstaat t.o.v. het assenstelsel waarin we de stromingsgrootheden

bepalen. De krachten op de mantel van de elementaire stroombuis staan stil. Er is geen arbeid

aan geassocieerd voor een controlevolume dat met de mantel op de leiding ligt. Op deze

manier hebben we, bij het opstellen van de energiebalans, de arbeid van de drukkracht en de

schuifkracht op de mantel van de stroombuis als nul gerekend. Er is ook geen arbeid van de

schuifkracht op de inlaat- en uitlaatsecties van de stroombuis (snelheid loodrecht op deze

secties). De totale arbeid van de schuifkracht is dus nul. De totale arbeid bestaat uit

verplaatsingsarbeid en vervormingsarbeid. Deze laatste is de som van volumeveranderings-

arbeid en vormveranderingsarbeid. De volumeveranderingsarbeid van de schuifkracht is nul

(zie stromingsmechanica). Bij het stilstaande leidingdeel is dus de verplaatsingsarbeid van de

13

schuifkracht in waarde gelijk aan de vormveranderingsarbeid. Deze laatste is de bron van de

wrijvingswarmte (zie stromingsmechanica).

Omzetting van arbeid naar warmte noemen we energiedissipatie. Equivalent hiermee is

omzetting van hoogwaardige energie zoals kinetische energie, potentiële energie en

drukenergie, dit zijn energievormen die opgeslagen een recupereerbare arbeid vormen, naar

interne energie. Het omzetmechanisme bij de wrijvingskracht zullen we verder bestuderen in

hoofdstuk 2, par. 2.4. De aanwezigheid van dissipatie kunnen we nu al inzien door het

verschil te nemen van de energievergelijking en de arbeidsvergelijking:

dqdqdp1

dh irr

of dqdqdp1

dhdsT irr

(7)

We bekomen aldus de uitdrukking van de tweede hoofdwet van de thermodynamica voor een

infinitesimaal stukje leidingdeel. De uitdrukking (7) geeft er dus al vertrouwen in dat de term

dqirr energiedissipatie voorstelt.

Voor een onsamendrukbaar fluïdum vereenvoudigt (7) tot

dqdqdedsT irr

Warmtetoevoer en wrijving vertalen zich voor een onsamendrukbaar fluïdum in opwarming.

Voor een samendrukbaar fluïdum kan (7) geschreven worden als

)1

(dpdqdqde irr

De bijkomende term is de opwarming door compressie (volumeveranderingsarbeid van de

druk).

We hebben bij het toepassen van de energiestelling de mantel van het controlevolume op de

leidingwand gelegd. Gezien de keuze van een controlevolume arbitrair is, kunnen we er ook

voor kiezen de rand van het controlevolume net in het fluïdum te leggen. Die rand heeft dan

de snelheid v en -dqirr stelt dan de totale arbeid van de wrijvingskracht op het controlevolume

voor. Deze nieuwe keuze wijzigt de formulering van de impulsvergelijking niet, wel deze van

de energievergelijking. Binnen de qed-voorstelling is de snelheid uniform over een

doorsnede. Dit betekent dat we de ganse afremming van het fluïdum moeten zien als

geconcentreerd tussen de rand van het controlevolume en de leidingwand. In deze zone

gebeurt dan de dissipatie door de wrijvingskracht. Stellen we dan door dq de warmte voor die

door de leidingmantel naar het fluïdum wordt overgedragen, dan is de warmte die naar het

controlevolume wordt overgedragen dqirr + dq.

De energiewet heeft dan als rechterlid dW - dqirr + dqirr + dq, waarbij de tweede term de

arbeid van de wrijvingskrachten voorstelt en de derde term de warmte ontstaan door

dissipatie. De resulterende energievergelijking is dezelfde als bij de eerste keuze van het

controlevolume.

De redenering wordt moeilijker als we een algemeen stroombuisdeel beschouwen gelegen in

het fluïdum zonder dat de mantel van het controlevolume geometrisch samenvalt met een

stilstaande materiële rand. Het product van de wrijvingsspanning en de stromingssnelheid

correspondeert dan niet meer met de arbeid die gedissipeerd wordt in warmte. Met andere

woorden, deze arbeid kan een actief deel bevatten.

14

In hoofdstuk 2 wordt aangetoond dat de arbeidsvergelijking onder de vorm (5) en de

energievergelijking onder de vorm (6) geldig blijven voor een willekeurig infinitesimaal

stukje stroomlijn in een stationaire stroming. De algemene geldigheid van de energie-

vergelijking (6) is, op grond van de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vanzelfsprekend

als men maar aanneemt dat een gedeelte van de arbeid dW aan schuifkrachten te wijten kan

zijn. Er kan hierbij een probleem zijn te kwantificeren wat die arbeid is en wat de warmte dq

is die overgedragen wordt aan de fluïdumdelen op de stroomlijn en die afkomstig is van de

dissipatie op nabijgelegen stroomlijnen. Op dezelfde wijze is de algemene geldigheid van de

arbeidsvergelijking (5), op grond van de tweede hoofdwet van de thermodynamica,

vanzelfsprekend, maar kan er een moeilijkheid zijn om te kwantificeren wat het actieve deel

en het dissipatieve deel van een bepaalde arbeidsoverdracht is. We bespreken dit verder in

hoofdstuk 2.

3.3. Hoofdwetten voor roterende leidingdelen

3.3.1. Arbeids- en energievergelijking in een roterend stelsel met constante rotatiesnelheid

In een relatief stelsel dat roteert met constante hoeksnelheid t.o.v. een absoluut stelsel moeten

twee fictieve krachten ingevoerd worden: de centrifugaalkracht en de Corioliskracht. Deze

volgen uit het verband tussen absolute en relatieve snelheid volgens (fig. 6)

v r w (8)

Hierbij is de rotatievector,

r de coördinaatvector van het beschouwde punt P t.o.v. een

oorsprong die op de rotatievector ligt, en w de relatieve snelheid.

P

O

u w

v

r

'r

Fig. 6. Relatieve en absolute snelheid

Het verband tussen een absolute verplaatsing dr

en een relatieve verplaatsing r is immers

dr r dt r of

dr

dtr

r

dt

(9)

De formule (9) geeft meteen het verband tussen een tijdsafleiding in het relatieve stelsel en

een tijdsafleiding in het absolute stelsel (iedere vector kan immers als proportioneel met het

verschil van twee coördinaatvectoren gezien worden).

15

De afleidingsregel toegepast op het snelheidsverband (8) geeft:

relaw2)r(dt

w

dt

rw)r(

dt

vda

Hierbij stellen a en a rel de absolute en relatieve versnellingen voor.

De hoofdwetten kunnen dus in het relatieve stelsel toegepast worden mits invoeren van de

fictieve krachten (per eenheid van massa):

centrifugaalkracht 2fc ( r) ( r ' ) r '

Corioliskracht w2co

Hierbij stelt r ' de radiale afstandsvector voor van het punt P t.o.v. de rotatievector

.

In het vervolg zullen we de radiale vector noteren met r .

In de impulsvergelijking komt er een bijkomende term in het rechterlid

2

uAd

2

rdArdrA1.rAdx

2222

x2

waarbij u (= r) de sleepsnelheid voorstelt. De Corioliskracht levert geen bijdrage in de

arbeidsvergelijking op de stroomlijn.

Na vermenigvuldiging met snelheid en deling door massadebiet volgt dat de bijkomende term

in het rechterlid van de arbeidsvergelijking d u2/2 is, zodat er volgt

22

1irr

22

1 uddWdqdUdp1

wd

(10)

Er is m.a.w. een centrifugale bijdrage in de arbeid op de stroomlijn. Dezelfde bijdrage moet in

de energievergelijking toegevoegd worden.

Op een rotor is dW = 0. De krachten die op de rotor aangrijpen verrichten immers in het

stelsel dat meedraait met de rotor geen arbeid. Veranderingen van potentiële energie kunnen

we in de rotor verwaarlozen, zodat er volgt

arbeid: 22

1irr

22

1 uddqdp1

wd

(11)

energie: dqudwddh 22

122

1 (12)

Om de energievergelijking uit te drukken voert men soms een nieuw begrip in: 2

21

r uHI , waarbij Hr = h + ½ w2 de totale enthalpie in het roterende stelsel is.

I noemt men de rothalpie (roterende totale enthalpie).

16

De energievergelijking wordt dan dI = dq

Voor een axiale machine is u = constant en vereenvoudigt de energievergelijking tot dHr = dq.

In het vervolg gebruiken we ook het begrip stagnatie-enthalpie. Dit is de enthalpie die een

fluïdumdeel aanneemt als lokaal de stroming op adiabate wijze tot stilstand zou worden

gebracht. In het absolute stelsel is deze enthalpie

22

1o vhh

In het relatieve stelsel is deze 22

1or whh

Het begrip verschilt dus niet van het begrip totale enthalpie. Het subscript o duidt op de

stilstand (stagnatie). We zullen vanaf nu de term totale enthalpie steeds gebruiken maar

noteren met ho. Dit doen we omdat we het symbool H verder willen gebruiken voor

aanduiding van een hoogte. Het begrip rothalpie zullen we in het vervolg maar uitzonderlijk

gebruiken. We schrijven de arbeidsterm geassocieerd aan de centrifugaalkracht dus meestal

steeds expliciet op zoals in (11) en (12).

3.3.2. Impulsmoment in het absolute stelsel: vergelijking van arbeidsoverdracht

Figuur 7 toont schematisch de meridiaandoorsnede van een stroombuis die de volledige

bladhoogte van een turbomachinerotor omspant. Met een meridiaandoorsnede bedoelen we

een doorsnede met een vlak dat de as bevat. We duiden door vm de meridionale component

van de absolute snelheid aan. De snelheidscomponent in de azimutale richting duiden we aan

door vu. Volgens de quasi-ééndimensionale stromingsvoorstelling is er geen

snelheidscomponent loodrecht op het gemiddelde stroomoppervlak doorheen de stroombuis.

De meridionale component van de snelheid kan ontbonden worden in een axiale component

va en een radiale component vr.

rwMrwM

rwM

22

1 1

oM

Fig. 7. Meridiaandoorsnede van een stroombuis: gesloten en open rotoruitvoeringen bij

diagonale pompen

17

Figuur 7 toont twee mogelijke uitvoeringsvormen. De linkse rotor heeft een dekschijf. Deze

bouwvorm wordt gesloten genoemd. Bij de rechtse rotor ontbreekt de dekschijf. De

rotorschoepen sluiten aan bij de omhulling van de machine. Er is een speling tussen de tippen

van de rotorschoepen en de omhulling. Deze bouwvorm wordt open genoemd. De naaf van de

machine wordt veelal aangeduid met de naam draagschijf. De stroming wordt enerzijds geleid

door de schoepoppervlakken. Bij de gesloten bouwvorm wordt de stroming ook geleid door

de draagschijf en de dekschijf. Deze twee schijven vormen de eindwanden. Bij de gesloten

bouwvorm staan alle geleidingsoppervlakken in het relatieve stelsel. Bij de open bouwvorm

staat de eindwand aan de zijde van de naaf in het relatieve stelsel en staat de eindwand aan de

zijde van de omhulling in het absolute stelsel.

Gesloten rotor

We analyseren eerst de gesloten bouwvorm. Aan de buitenzijden van de dekschijf en de

draagschijf worden wrijvingskrachten uitgeoefend door het omgevende fluïdum. Het moment

van deze wrijvingskrachten om de as noemen we het radwrijvingsmoment Mrw. We duiden

door Mrw het moment aan dat het omringende fluïdum op de materiële delen van de rotor

uitoefent. Dit moment is altijd afremmend: de zin van dit moment is tegengesteld aan de

rotatiezin. De krachten die zich op de schoepoppervlakken en de eindwanden bevinden

(drukkrachten en wrijvingskrachten) vormen een moment om de naaf. Het moment van deze

krachten gerekend als uitgeoefend op de stroming duiden we aan met M. Er is een gelijk en

tegengesteld moment uitgeoefend op de materiële oppervlakken van de rotor. We rekenen de

aangegeven momenten M en Mrw positief in de draaizin van de rotor. Mrw is gericht tegen de

draaizin van de rotor en is negatief. Het stromingsmoment M is positief bij een aangedreven

machine en is negatief bij een aandrijvende machine. De som van het reactiemoment van het

stromingsmoment (-M) en het radwrijvingsmoment Mrw dient in evenwicht gehouden te

worden door een moment op de as van de machine. Met Mas duiden we het moment aan dat

op de as wordt uitgeoefend. We rekenen dit moment ook positief in de draaizin van de rotor.

Mas is dus positief bij een aangedreven machine en negatief bij een aandrijvende machine.

Het momentevenwicht op de materiële delen van de rotor vereist dus

0MMM rwas

Bij een aangedreven machine schrijven we

rwas MMM (13)

Het moment Mas uitgeoefend op de as door de aandrijvende motor is dan positief. M en -Mrw

zijn dan beide positief. Het moment Mas wordt gesplitst in twee delen: het gedeelte M bereikt

de stroming en het gedeelte -Mrw wordt afgenomen door radwrijving.

Bij een aandrijvende machine schrijven we

as rwM M M (14)

Het stromingsmoment M is negatief, d.w.z. de stroming oefent een positief moment -M uit op

de rotor. Het asmoment is ook negatief, d.w.z. de stromingsmachine oefent een positief

moment -Mas uit op de aangekoppelde machine. Het moment –M wordt gesplitst in twee

delen: het gedeelte –Mas bereikt de as, het gedeelte –Mrw wordt afgenomen door radwrijving.

18

We beschouwen een controlevolume zoals aangegeven op de figuur gevormd door de mantel

van de stroombuis die doorheen de rotor gaat, een oppervlak bij intrede van de rotor en een

oppervlak bij uittrede van de rotor. Zoals gebruikelijk duiden we de stromingstoestand bij

intrede aan met de index 1 en die bij uittrede met de index 2.

Door het moment te nemen omheen de rotatie-as van de impulswet van Newton volgt dat de

toename van impulsmoment per tijdseenheid in de stroming gelijk is aan het moment van de

krachten uitgeoefend op het controlevolume:

M)vrvr(m u11u22 (15)

We rekenen hierbij M, zoals reeds vermeld, positief in de rotatiezin. Het moment M bevat

zowel bijdragen van drukkrachten als van schuifkrachten op materiële randoppervlakken.

Bij opstellen van voorgaande uitdrukking is aangenomen dat de schuifkrachten op de intrede-

en uittredeoppervlakken geen moment vormen om de rotatie-as. Deze aanname is consistent

met de qed-voorstelling, waarbij door de uniformiteit van de stroming schuifkrachten afwezig

zijn. De aanname vormt een zeer goede benadering bij een werkelijke stroming.

Door vermenigvuldiging van (15) met de rotatiesnelheid volgt

P)vuvu(m u11u22

P is het vermogen dat vanuit de rotor door het stromingsmoment M naar de stroming

overgedragen wordt. Door deling met het massadebiet verkrijgen we een vergelijking van

arbeidsoverdracht

Wvuvu u11u22 (16)

Hierbij stelt W de arbeid voor die door het stromingsmoment M naar de stroming wordt

overgedragen.

Door vermenigvuldiging met van de uitdrukking (13) verkrijgen we

as rwP P P

Voor een aangedreven machine is Pas het vermogen dat de aandrijvende motor aan de as

toevoert. De term -Prw stelt het vermogen voor geassocieerd aan de dissipatie door de

radwrijvingskrachten. Na deling door het massadebiet schrijven we

oas irrW W q (17)

De term oirrq stelt het gedeelte voor van de arbeid die aan de as toegeleverd wordt, dat

gedissipeerd wordt door de radwrijvingskrachten. Deze term is in (17) met een positief teken

voorgesteld, omdat hij onder deze vorm steeds rekenkundig positief is.

Analoog geldt voor een aandrijvende machine, uitgaand van uitdrukking (14):

oas irrW W q (18)

19

Hierbij is -W de arbeid die uit de stroming onttrokken wordt en -Was de fractie hiervan die

aan de uitgaande as toegeleverd wordt. De term oirrq is het gedeelte van de arbeid -W dat

gedissipeerd wordt door de radwrijvingskrachten.

Zowel bij de aangedreven machine (17) als bij de aandrijvende machine (18) is W de arbeid

die gewisseld wordt tussen de stroming en de materiële oppervlakken van de machine. Ook

bij de aandrijvende machine is de gewisselde arbeid gegeven door de uitdrukking (16), die we

dan schrijven als

1 1u 2 2uW u v u v (19)

De arbeid W die bij de aangedreven machine aan de stroming wordt overgedragen, wordt in

de stroming voor een gedeelte door wrijvingskrachten gedissipeerd, zoals aangegeven door de

Bernoulli-vergelijking (5). Analoog is er ook interne dissipatie bij een aandrijvende machine.

Het effect van de dissipatie tijdens de arbeidsoverdracht ( oirrq ) en van de interne dissipatie

( irrq ) bestuderen we verder.

Open rotor

De voorgaande afleidingen wijzigen principieel niet bij analyse van de open rotor. Het

verschil is dat de wrijvingskracht op de omhulling rechtstreeks bijdraagt tot het moment

uitgeoefend op de stroming. Noemen we opnieuw M het resulterende moment uitgeoefend op

de stroming door de krachten op de schoepoppervlakken en de eindvlakken, inbegrepen dus

de omhulling, dan blijft uitdrukking (15) geldig.

Formeel kan de uitdrukking (16) hier uit afgeleid worden. Alleen is nu de betekenis van W

als een overgedragen arbeid niet meteen duidelijk.

We kunnen het stromingsmoment opsplitsen in twee delen

ob MMM

Hierbij is Mb het gedeelte afkomstig van de bladoppervlakken en de naaf, m.a.w. de materiële

oppervlakken van de rotor, en is Mo het aandeel van de omhulling. Zoals reeds gezegd,

worden beide momenten gerekend als uitgeoefend op de stroming. Voor een aangedreven

machine is Mb positief en is Mo negatief. Voor een aandrijvende machine zijn Mb en Mo beide

negatief. Mo is, zoals Mrw, altijd negatief. Het momentevenwicht op de materiële delen van de

rotor is

0MMM rwbas

Hierbij stelt Mrw het radwrijvingsmoment voor te wijten aan de naaf.

Er volgt dus rworwbas MMMMMM (20)

Na vermenigvuldiging met volgt

rwoas MMMP (21)

De term –Mo is steeds positief en heeft dus hetzelfde karakter als de term –Mrw.

20

Na deling door het massadebiet bekomen we uit (21) een betrekking die we schrijven als

oirras qWW

Hierbij is M m W en is oo rw irr

M M m q

Het resultaat voor Was is dan hetzelfde als (17).

De interpretatie van de momentbalans (20) is eenvoudig. De momentbalans betekent voor een

aangedreven machine dat van het moment op de as asM , door radwrijving aan de naaf het

gedeelte rwM afgenomen wordt volgens as b rwM M M , waarbij bM het moment is dat

de roterende delen van de machine aan de stromingszijde bereikt. Hiervan wordt dan het

gedeelte oM door wrijving aan de omhulling afgenomen volgens b oM M M , waarbij

het moment M de stroming bereikt.

Voor de interpretatie van de vermogenbalans (21) merken we op dat het moment Mo gelijk is

aan de integraal van het scalair product van de schuifkracht

dS uitgeoefend op de stroming

en een eenheidsvector volgens de loopsnelheid u

, vermenigvuldigd met de straal. De term

MoΩ volgt dan, analoog, door scalair product van de schuifkracht

dS met de loopsnelheid u

.

Mits het verband tussen absolute snelheid en relatieve snelheid, v u w , is dus

oM .u dS .vdS .w dS

of oM .v dS .w dS

De term met integrand v.

stelt de volledige dissipatie door de wrijvingskracht op de

omhulling voor. De term met integrand w.

is fysisch fictief, maar kan opgevat worden als

de dissipatie die zou ontstaan als de schuifkracht zou inwerken in het relatieve stelsel.

Het verschil tussen de twee termen kan dus opgevat worden als de radwrijvingsdissipatie

geassocieerd aan de schuifkracht op de omhulling. De term met integrand w.

vatten we

dan op als de interne dissipatie in de stroming.

De interpretatie van de vermogenbalans (21) voor een aangedreven machine is dan dat het

vermogen Mb, wat het vermogen is dat door de materiële oppervlakken van de rotor naar de

stroming wordt overgedragen, de stroming niet volledig bereikt en dat gedurende de

overdracht het gedeelte –Mo gedissipeerd wordt aan de omhulling. Wat de stroming bereikt,

is

b oM ( M ) M m W

We schrijven dus, zowel voor gesloten als open rotor, als vergelijking van overdracht van

arbeid:

u11u22 vuvuW (22)

Deze vergelijking wordt de vergelijking van Euler genoemd. Ze wordt beschouwd als de

belangrijkste hoofdvergelijking in de theorie van de turbomachines.

21

De vergelijking is hier opgesteld voor arbeidsoverdracht van de rotor naar de stroming

(aangedreven machine). Ze is uiteraard ook geldig voor arbeidsoverdracht in de andere zin

(aandrijvende machine). Het gebruik van de hoofdvergelijkingen in de beide gevallen

detailleren we verder.

3.3.3. Impulsmoment in het relatieve stelsel: rol van de arbeidsoverdragende krachten

Geometrisch volgt uit een snelheidsdriehoek (figuur 8): v u w of v u wu u

u

vw

Fig. 8. Snelheidsdriehoek

Op figuur 8 is moedwillig een snelheidsdriehoek getekend waarbij wu negatief is. Er volgt dus

u2

u uwuuv

Dus is u11u2221

22 wuwuuuW (23)

De schrijfwijze (23) volgt ook uit de impulsmomentstelling toegepast in het relatieve stelsel.

De fictieve krachten die moeten ingevoerd worden zijn: w2co

, rc 2

f

De relatieve snelheid w heeft een axiale component, een radiale component en een

tangentiale component. De axiale component komt niet tussen bij de Corioliskracht.

Een tangentiale eenheidsvector in de zin van de loopsnelheid kan geschreven worden als

ru 111

zodat ruurrurro 1w21w2)11w1w(2c

Volgens figuur 7 is wr = wm sin, zodat de componenten van de Corioliskracht zijn

ur,o w2c en sinw2c mu,o

De centrifugaalkracht draagt niet bij in het impulsmoment, evenmin als de radiale component

van de Corioliskracht. De impulsmomentstelling in het relatieve stelsel geeft

cou11u22 MM)wrwr(m (24)

waarbij co mM 2 w sin dA dm r

22

Hierbij is dA de doorsnede van een elementaire axisymmetrische stroombuis rond het

gemiddelde stroomoppervlak in figuur 7. De elementaire lengte in het meridiaanvlak is

aangeduid met dm. De term wm dA stelt dus het massadebiet door de elementaire

stroombuis voor. Binnen de qed-voorstelling achten we het resultaat voor het gemiddelde

stroomoppervlak representatief voor de ganse stroming.

We schrijven dus coM m 2 sin r dm

Met sin dm = dr volgt

2 2

co 2 1M m 2 r dr m (r r )

Na vermenigvuldiging met en deling door m leidt dus de impulsmomentvergelijking in het

relatieve stelsel tot de uitdrukking (23).

De uitdrukking (24) kan geschreven worden als

MMM co

M is hierbij de momentterm die geassocieerd is met de omzwenking van de relatieve

stroming (verandering van rwu), m.a.w. de lift. De uitdrukking toont dat het moment dat nodig

is om de rotor aan te drijven het moment van twee krachten moet in evenwicht houden,

namelijk de Corioliskracht en de liftkracht. In de uitdrukking (23) betekent dit dat de term

u u2

2

1

2 de arbeid voorstelt die tegen de Corioliskracht moet geleverd worden en

u w u wu u2 2 1 1 de arbeid die tegen de liftkracht moet geleverd worden. De voorgaande

interpretatie is geldig bij arbeidsoverdracht naar het fluïdum. De interpretatie bij de

aandrijvende machine is analoog, maar waarbij dan moet gesproken worden van arbeid

geleverd door de Corioliskracht en geleverd door de liftkracht.

Uit voorgaande analyse volgt dat twee krachten tussenkomen bij de arbeidsoverdracht. De rol

van de liftkracht is hierbij het eenvoudigst te begrijpen. Bij de axiale pomp en de axiale

hydraulische turbine, die we eerder hebben geanalyseerd (Figuren 1 en 3), is duidelijk dat

door omzwenking van de stroming in de rotor liftkracht op de schoepen ontstaat. Fysisch is

deze liftkracht het gevolg van drukverschil tussen de zuigzijde en de drukzijde van de schoep,

opgewekt door ombuiging van de stroming. We analyseren het ontstaan van dit drukverschil

in hoofdstuk 2. Dat de liftkracht in de arbeidsoverdracht tussenkomt, is duidelijk in de figuren

1 en 3. Bij de axiale voorbeelden in de figuren 1 en 3 is u1 = u2. Ondertussen begrijpen we dat

bij arbeidsoverdracht het moment van de krachten tussenkomt en dat straalverandering een

weerslag heeft op het resulterende moment.

De rol van de Corioliskracht in de arbeidsoverdracht volgt uit voorgaande analyse enkel op

abstracte wijze. Het is momenteel duidelijk dat in het fluïdum door de rotatie krachten

geïnduceerd worden, namelijk de Corioliskracht en de centrifugaalkracht. Alleen de

Corioliskracht heeft een component in de tangentiale richting. Deze component komt tussen

in het impulsmoment. De concrete wijze waarop de krachten geïnduceerd door de rotatie

tussenkomen, is dat deze krachten drukverschillen veroorzaken op de schoepen. Geassocieerd

aan de tangentiale component van de Corioliskracht is er een drukverschil op de

rotorschoepen waarbij de resulterende schoepkracht een moment heeft om de rotatie-as. We

analyseren dit concreter in paragraaf 5 voor radiale machines.

23

Momenteel ontstaat wellicht ook verwarring omtrent de vaststelling dat in de arbeids- en

energievergelijking op een stroomlijn in een roterend stelsel, met name de uitdrukkingen (11)

en (12), er een arbeidsbijdrage van de centrifugaalkracht is. Uit voorgaande analyse is

duidelijk dat de centrifugaalkracht niet tussenkomt in de arbeidsoverdracht tussen de rotor en

het fluïdum. De centrifugaalkracht heeft immers geen moment om de rotatie-as.

In de uitdrukkingen (11) en (12) zien we dat de centrifugaalkracht tussenkomt bij de

verandering van de kinetische energie en de verandering van de druk (de energie geassocieerd

aan de druk) in de stroming. De centrifugaalkracht beïnvloedt dus de verdeling van de

energievormen in de stroming in de rotor. Verdeling van energie, intern in de stroming, moet

onderscheiden worden van arbeidsoverdracht (of energieoverdracht) tussen de stroming en de

materiële roterende delen van de machine. De rol van de centrifugaalkracht in de verdeling

van de energie bestuderen we in de volgende paragraaf.

3.3.4. Energetische decompositie van de overgedragen arbeid: gevolgen van de

arbeidsoverdracht

Uit de cosinusregel (figuur 8) volgt

u222 uv2vuw

of 22

122

122

1u wvuuv

dus 2

ww

2

vv

2

uuW

22

21

21

22

21

22

(25)

De betekenis van de vergelijking van arbeidsoverdracht onder de vorm (25) wordt duidelijk

door combinatie met de energievergelijking. Verandering van potentiële energie over de rotor

verwaarlozend (of opnemend in de enthalpie) geeft de energievergelijking in het absolute

stelsel (6), in afwezigheid van warmteoverdracht:

212W H h v (26)

In combinatie met (25) volgt dus

2 2 2 22 1 1 2u u w w

h2 2

(27)

De uitdrukkingen (26) en (27) tonen dat de overgedragen arbeid onder twee vormen zichtbaar

wordt. Er is verhoging van de kinetische energie en verhoging van de statische enthalpie. De

verhoging van de kinetische energie noemen we het actiedeel van de overgedragen arbeid,

m.a.w. het rechtstreeks zichtbare gevolg. De verhoging van de statische enthalpie het

reactiedeel. De verhoging van de statische enthalpie kan in verhoging van kinetische energie

omgezet worden door het naschakelen van een straalpijp waarin kinetische energie

gegenereerd wordt (vandaar de naam reactie). Het gebruik van de terminologie actie en

reactie doet enigszins vreemd aan bij aangedreven turbomachines. De oorsprong van de

termen ligt bij turbines, zoals we verduidelijken in één van de volgende paragrafen. De

begrippen worden wel bij alle turbomachines toegepast.

24

De betekenis van de verhoging van de statische enthalpie wordt duidelijk uit de

arbeidsvergelijking en de energievergelijking in het relatieve stelsel. In dit stelsel staan alle

krachten die op de rotor aangrijpen stil en verrichten geen arbeid. We schrijven dus,

infinitesimaal, volgens (11):

2 21 1irr2 2

1d u d w dp dq

(11bis)

De energievergelijking volgens (12), in afwezigheid van warmteoverdracht, is

2 21 12 2d u d w dh (12bis)

De energievergelijking is identisch aan de uitdrukking (27). Door combinatie met de arbeids-

vergelijking volgt

irr1

dh dp dq

Deze laatste vergelijking toont dat het verliesvrije deel van de enthalpiestijging volgend uit

arbeidsoverdracht correspondeert met drukstijging.

De term 2/)uu( 21

22 is de enthalpiestijging corresponderend met de drukstijging door de

centrifugaalkracht. Dat de centrifugaalkracht deze term veroorzaakt is duidelijk door de

arbeid van de centrifugaalkracht 212d u in de arbeidsvergelijking (11bis).

Uit dezelfde vergelijking volgt dat de term 2 21 2(w w ) / 2 , infinitesimaal dus 21

2d w , de

enthalpiestijging is corresponderend met de drukstijging door vertraging van de stroming.

Opbouw van druk door vertraging van een stroming noemen we diffusie.

Voor verder goed begrip beredeneren we rechtstreeks de drukkracht geassocieerd aan de

centrifugaalkracht volgens (gelijk en tegengesteld)

rp1 2

of rdr

dp1 2

zodat 2

ud

2

rddrrdp

1 2222

De enthalpiestijging corresponderend met de drukstijging door centrifugaalkracht vormt een

totale differentiaal en kan dus geïntegreerd worden van ingang van de rotor tot uitgang van de

rotor, volgens een willekeurige weg. De drukstijging door centrifugaalkracht is onafhankelijk

van de stroming en is dus niet met verliezen belast. Het drukveld geassocieerd aan de

centrifugaalkracht is aldus, voor een waarnemer op de rotor, eigenlijk statisch.

De verliesterm in de arbeidsvergelijking (11bis) is dus geassocieerd aan de omzetting van

kinetische energie naar enthalpie, bij vertraging van de stroming. Omzetting van kinetische

energie naar enthalpie, hetgeen diffusie genoemd wordt, is dus een proces dat aan verliezen

onderhevig is.

25

3.3.5. Arbeidsoverdracht in de qed-voorstelling van de stroming

In vorige paragraaf hebben we aangenomen dat de uitdrukking voor de arbeidsoverdracht

(22), die bekomen is uit de impulsstelling, direct mag gebruikt worden in de arbeids- en

energievergelijking voor een gemiddelde stroomlijn doorheen de rotor. We nemen dus aan dat

de actieve krachten die door de materiële delen van de machine op de stroming worden

uitgeoefend, gemiddeld tussenkomen zoals voorgesteld in figuur 5. Dit betekent dat de

overgedragen arbeid per tijdseenheid kan gezien worden als het scalair product van de

gemiddelde kracht en de gemiddelde stromingssnelheid. Dit volgt niet uit de redenering met

de impulsmomentvergelijking. Door het gebruik van het controlevolume hoeven we immers

geen uitspraak te verrichten over het detail van de interne krachten. We hebben spontaan geen

objecties tegen het gebruik van de arbeidsoverdracht omwille van het algemene karakter van

de arbeidsvergelijking (5) en de energievergelijking (6) op grond van de hoofdwetten van de

thermodynamica. In hoofdstuk 2 zullen we verifiëren dat voor een axiale machine het beeld

van de arbeidsoverdracht van figuur 5 voldaan is. Voor een meer algemene machine is deze

verificatie niet gemakkelijk uitvoerbaar.

3.4. Mechanisch rendement

De arbeidsvergelijking (5) toegepast op de rotor wordt

)dqdUdp1

vd(W irr2

21

2

1

(28)

Hierbij is dqirr infinitesimaal de arbeid die inwendig in de stroming gedissipeerd wordt. Met

(17) volgt ook

oirrirr

22

1

2

1

as qq)dUdp1

vd(W

(29)

Hierbij wordt de som van de gedissipeerde arbeid door radwrijvingskrachten en door

inwendige wrijvingskrachten zichtbaar.

Bij toepassen van de energievergelijking (6) ontstaat de moeilijkheid, zoals reeds eerder

vermeld, om te kwantificeren welke de fractie is van de gedissipeerde arbeid door

radwrijvingskrachten die als warmte aan de stroming toegevoerd wordt. Indien aangenomen

wordt dat de machine volmaakt geïsoleerd is, volgt

)Up

ve(dqW 22

1

2

1

oirr

of )Up

ve(qW 22

1oirr

Bij volmaakte isolatie bereikt de warmte oirrq volledig de stroming. Indien warmte-

overdracht naar de omgeving mogelijk is, dient eventueel slechts een gedeelte van oirrq in de

energievergelijking ingevuld te worden. Immers, een gedeelte van de warmte gegenereerd

door inwendige dissipatie kan dan afgevoerd worden. De correcte houding is dan dat een

warmteoverdrachtsterm in de energievergelijking wordt toegevoegd.

26

Bij vereenvoudigde analyses in turbomachines wordt de warmtetoevoer naar de stroming

afkomstig van de radwrijvingsverliezen verwaarloosd, m.a.w. er wordt aangenomen dat deze

warmte naar de omgeving wordt afgevoerd. Het verwaarlozen van de warmtetoevoer betekent

dat met adiabate formules voor energieoverdracht kan gerekend wordt. M.a.w. de stroming,

en niet de machine, wordt adiabaat beschouwd. We zullen in het vervolg steeds deze

vereenvoudiging aannemen. We schrijven de energievergelijking dan als

)Up

ve(W 22

1

(30)

Mits de vereenvoudiging tot adiabate stroming vatten we oirrq op als een mechanisch verlies.

Gezien we de bijhorende warmte als naar de omgeving afgevoerd beschouwen, heeft deze

dissipatie geen opwarming van de stroming tot gevolg. Een verliesmechanisme waarbij de

bijhorende dissipatie als warmte naar de stroming wordt gevoerd noemen we een

thermodynamisch verlies.

Het mechanisch rendement van de arbeidsoverdracht naar de rotor definiëren we voor een

aangedreven machine als

as

mW

W

Voor een aandrijvende machine is dit

W

Wasm

Merk op dat andere verliezen waarvan de dissipatiewarmte naar de omgeving wordt

afgevoerd ook in het mechanisch rendement opgenomen worden. Dit geldt voor

lagerverliezen.

3.5. Inwendig rendement

We beperken hier de discussie tot onsamendrukbare fluïda. In verdere hoofdstukken,

bijvoorbeeld hoofdstuk 6 over stoomturbines, zullen we bediscussiëren hoe inwendig

rendement voor een samendrukbaar fluïdum kan gedefinieerd worden.

De arbeids- en energievergelijking zijn, voor adiabate stroming

irr2

21 dqdp

1dUvddW

dhdUvddW 22

1

Voor constante : dh de dp 1

, zodat dqirr = de.

Zoals vroeger opgemerkt, is de opwarming van een onsamendrukbaar fluïdum bij adiabate

stroming uitsluitend te wijten aan irreversibiliteit. Voor = constant kan de term

pUv2

21 als nuttige energie beschouwd worden.

27

We duiden deze term vanaf nu aan met de benaming mechanische energie Em, waarbij we hier

de term energie gebruiken in de zin van arbeidsvermogen van het fluïdumdeel.

De onderdelen zijn: kinetische energie ½ v2, potentiële energie U, 'drukenergie' p/.

We merken op dat de interpretatie dat arbeid overgedragen naar een onsamendrukbaar

fluïdum gelijk is aan de som van de toename van nuttige energie en de warmte gegenereerd

door dissipatie geldig blijft bij warmteoverdracht. Warmteoverdracht resulteert in een extra

verandering van de inwendige energie, maar deze laatste kan niet omgezet worden in arbeid.

In de term mechanische energie, als arbeidsvermogen, beschouwen we dus de recupereerbare

arbeid tegen conservatieve krachten (potentiële energie) en tegen drukkrachten (drukenergie)

als een mechanische vorm van energie. We herinneren eraan dat intrinsiek de term

mechanische energie iets geheel anders aanduidt, namelijk e + ½ v2, zijnde de kinetische

energie van de macroscopisch gemiddelde stroming (½ v2) plus de kinetische energie van de

microscopische (= moleculaire of atomaire) stroming omheen de gemiddelde stroming (e).

We merken verder op dat de energie die aan de drukkracht geassocieerd is, voor constante

densiteit, in stationaire stroming als potentiële energie kan beschouwd worden. Immers de

drukkracht per eenheid van massa p1

fd

. Zodoende is p/ de geassocieerde potentiële

energie (alleen plaatsafhankelijk). Men kan dus de term p/ + U veelal als een eenheid

beschouwen. Praktisch voert men deze samentrekking in door druk te rekenen tegenover de

hydrostatische druk, dit is de druk veroorzaakt door de zwaartekracht (-ρU).

Voor een aangedreven machine (pomp) hebben we aldus

irrm qEW

en W

Emi

Het inwendig rendement duidt dus de efficiëntie aan van de omzetting van de arbeid die aan

het fluïdum wordt overgedragen naar 'nuttige' mechanische energie. Men gebruikt ook de

term hydraulisch of hydrodynamisch rendement.

Voor een aandrijvende machine (turbine) geldt dezelfde vergelijking die we nu schrijven als

irrmirrm qWEofqEW

zodat mm

iE

W

E

W

Het inwendig rendement is hier de verhouding van de arbeid die vanuit de stroming aan de

rotor wordt overgedragen tot de mechanische energie die ervoor in de stroming verbruikt is.

28

4. ENERGETISCHE ANALYSE VAN TURBOMACHINES

4.1. Turbine

0

1 2 3

z

uu

0v

1v 2v

1w 2w

Fig. 9. Axiale turbine

Inlaat: 0 1

Absolute stelsel (geen arbeid):

irr2

21 dqdUdp

1vd0

Dus 0qgzgzpp

02

v01irr01

a121

of 01irra1

21

10 qpp

2

v)zz(g

De verbruikte potentiële energie is omgezet in kinetische energie en drukenergie, mits

verliezen. De inlaat stelt de gegenereerde kinetische energie en drukenergie ter beschikking

van de rotor.

29

Rotor: 1 2

In het absolute stelsel schrijven we

irr2

21 dqdUdp

1vddW

Dus 12irr12

21

22 q

pp

2

vvW

of 12irr21

22

21 qW

pp

2

vv

In de rotor wordt kinetische energie en drukenergie (= mechanische energie) verbruikt in de

stroming voor generatie van mechanische energie op de rotor (-W), mits verliezen. Dat

kinetische energie verbruikt wordt, is duidelijk uit de snelheidsdriehoeken (v1 > v2). Dat

drukenergie verbruikt wordt, zien we uit de arbeidsvergelijking in het relatieve stelsel:

irr2

21 dqdp

1wd0

Dus 0qpp

2

ww12irr

1221

22

of 12irr

21

2221 q

2

wwpp

De relatieve stroming versnelt (w2 > w1). De generatie van kinetische energie in de relatieve

stroming correspondeert met een verbruik van drukenergie.

We vinden uiteraard ook

2

ww

2

vvW

21

22

22

21

De arbeid die uit verbruik van kinetische energie in het absolute stelsel voorkomt, noemen we

het actiedeel. De arbeid die uit de versnelling van de relatieve stroming voortkomt, noemen

we het reactiedeel. Het reactiedeel correspondeert met de afname van statische enthalpie:

h1 - h2 (hor = constant, bij adiabate stroming). De arbeid aan de rotor overgedragen is gelijk

aan de afname van totale enthalpie in de stroming: h01 - h02 (bij adiabate stroming).

De reactiegraad definiëren we als

0201

21

hh

hhR

(31)

met 2 22 1

1 2w w

h h2

en

2 2 2 21 2 2 1

01 02v v w w

h h2 2

30

De oorsprong van de benaming actie en reactie komt voort van de vaststelling dat met een

stroming principieel op twee manieren kracht op een voorwerp kan uitgeoefend worden

teneinde het in beweging te brengen: omzwenking van de stroming met constante snelheid

(actie) en versnellen van de stroming (reactie) volgens de afbeeldingen a en b in figuur 10.

Het beeld b dat de voortstuwing van een raket suggereert, veronderstelt uiteraard dat de

snelheid w uit een energiebron gegenereerd kan worden. De snelheidsdriehoeken en

schoepvormen bij zuivere actie (R = 0) en bij reactiegraad 50 % (R = 0.5) zijn in figuur 11

geschetst, zoals die voorkomen bij stoomturbines.

Fig. 10. Actie (w1 = w2) en reactie (w > 0)

F

u

u

F

u

u

ov

1v

1w

2v

2wov

1w

1v

2v

2w

Fig. 11. Snelheidsdriehoeken bij R = 0 (w1 = w2) en R = 0.5 (w2 = v1; v2 = w1) bij

stoomturbines

31

Hierbij is duidelijk dat de waarde van de reactiegraad een zeer sterke invloed heeft op de

vorm van de snelheidsdriehoeken en dus de vorm van de rotorbladen. M.a.w. reactiegraad is

een kinematische parameter. We zullen verder bij verschillende gelegenheden de invloed van

de keuze van de reactiegraad bespreken.

Zuigbuis: 2 3

Absolute stelsel (geen arbeid):

irr2

21 dqdUdp

1vd0

Dus 0q)zz(gpp

2

v0 23irr23

2a22

of 23irr2a

32

22 q

pp)zz(g

2

v

De aanwezige kinetische energie bij uitlaat van de rotor en de beschikbare afwaartse

potentiële energie worden gebruikt om onderdruk te genereren na de rotor en zo de drukval

over de rotor te verhogen.

De drie arbeidsvergelijkingen samen zijn

01irra1

21

10 qpp

2

v)zz(g

12irr21

22

21 qW

pp

2

vv

23irr2a

32

22 q

pp)zz(g

2

v

De som geeft 03irr30 qW)zz(g

Het inwendig rendement van de ganse installatie is

)zz(g

W

30i

Per onderdeel kan men ook een inwendig rendement definiëren evenals het inwendig

rendement van de machine. De zuigbuis beschouwt men altijd als onderdeel van de machine,

maar de toevoerleiding naar de machine meestal niet. In het bijzonder als de toevoerleiding

erg lang is, is het niet wenselijk de verliezen in de toevoerleiding ten laste van de machine te

rekenen. Het begrip manometrische valhoogte wordt hiertoe gebruikt. Op een manometer aan

de inlaat van de machine (zie figuur 9) bepaalt men de druk.

32

Men beschouwt als mechanische energie ter beschikking van de machine:

)zz(gpp

2

v3m

am2m

waarbij vm de snelheid ter plaatse van de manometer is, pm de gemeten druk en zm de

geometrische hoogte van de manometer. De manometrische valhoogte Hm is dan

)zz(gpp

2

vgH 3m

am2m

m

De manometrische valhoogte Hm is kleiner dan de geometrische valhoogte z0 - z3 door de

verliezen in de toevoerleiding. Immers

)zz(gqpp

2

vm0m0irr

am2m

4.2. Pomp

12

0

3

uu

1v

2v

1w

2w

Fig. 12. Axiale pomp

33

Inlaat: 0 1

irr2

21 dqdUdp

1vd0

Dus 0q)zz(gpp

02

v01irr01

a121

of 2

1 a10 1 irr01

p pvg(z z ) q

2

Analoog als bij de turbine wordt de verbruikte potentiële energie omgezet in kinetische

energie en drukenergie, mits verliezen. Figuur 12 toont een pomp die onder het aanzuigniveau

opgesteld staat. Indien de pomp boven het aanzuigniveau staat, met een zuigleiding, is

g(z0 – z1) negatief. Dan kan voorgaande uitdrukking beter geschreven worden als

2

a 1 11 0 irr01

p p vg(z z ) q

2

De interpretatie is dan dat door de onderdruk aan de zuigzijde van de pomp de aanzuighoogte

overwonnen wordt en kinetische energie gegenereerd wordt, mits verliezen.

Rotor: 1 2

In het absolute stelsel: irr2

21 dqdUdp

1vddW

Dus 12irr12

21

22 q

pp

2

vvW

De arbeid die overgedragen wordt aan het fluïdum wordt omgezet in een toename van

mechanische energie, mits verliezen.

In het relatieve stelsel: 0qpp

2

ww12irr

1221

22

De toename van de kinetische energie in het absolute stelsel is duidelijk uit de

snelheidsdriehoeken. De verhoging van de druk volgt uit de afname van de kinetische energie

in het relatieve stelsel.

Er volgt ook 2

ww

2

vvW

22

21

21

22

Het eerste deel in de uitdrukking van de arbeid noemen we het actiedeel, het tweede deel het

reactiedeel. De arbeid is gelijk aan de toename van de totale enthalpie (bij adiabate stroming).

Het reactiedeel van de arbeid is gelijk aan de toename van de statische enthalpie (bij adiabate

stroming).

34

De reactiegraad is gedefinieerd als

0102

12

hh

hhR

Leirad en persleiding: 2 3

In het absolute stelsel:

irr2

21 dqdUdp

1vd0

Dus 23irr232a

22 q)zz(g

pp

2

v00

of 23irr23a2

22 q)zz(g

pp

2

v

De kinetische energie en de drukenergie beschikbaar na de rotor worden omgezet, mits

verliezen, in een verhoging van potentiële energie.

Bij optelling van de drie betrekkingen vinden we

03irr2310 q)zz(g)zz(gW

of 03irr03 q)zz(gW

Het inwendig rendement van de installatie is

W

)zz(g 03i

Het is veelal niet wenselijk de verliezen in de zuigleiding en de persleiding ten laste van de

machine te rekenen. Bij het hier beschouwde voorbeeld (figuur 12) rekent men normaal de

inlaat wel bij de machine. Voor het bepalen van het inwendig rendement van de machine

plaatst men in het algemeen een manometer aan de zuigkant en aan de perskant van de

machine en bepaalt men de manometrische opvoerhoogte Hm als

2 2p z p z

m p z

v v p pgH g(z z )

2

waarbij de subscripten p en z naar perskant en zuigkant verwijzen.

Het inwendig rendement van de pomp is dan gedefinieerd door

W

gH mi

35

5. VOORBEELDEN VAN RADIALE TURBOMACHINES

Om inzicht te krijgen in het werkingsprincipe van radiale machines, bestuderen we twee

voorbeelden, vooreerst een centrifugale pomp. Figuur 13 toont de meridiaandoorsnede van

een pomp waarbij de rotor in uitkraging gemonteerd is op de as. Bij deze uitvoeringswijze is

één zijde van de rotor vrij, zodat de aanvoer van het water axiaal kan gebeuren. In de rotor (1)

wordt de stroming afgebogen naar de radiale richting. Na de rotor bevindt zich een

diffusororgaan (2) en een collector (3). De figuur toont ook een beeld van de rotor en een

schets van de doorsnede met het gemiddeld omwentelingsstroomoppervlak. Figuur 14 toont

de snelheidsdriehoeken bij inlaat en uitlaat van de rotor. Bij inlaat van de rotorschoepen heeft

de absolute snelheid v1 door ombuiging in het aanzuigoog van de rotor een component in

radiale richting verkregen. Er is theoretisch geen component in tangentiale richting, omdat

nog geen schoepenrooster is doorlopen. In de praktijk wordt de stroming door wrijving

enigszins meegenomen in het aanzuigoog, zodat er bij inlaat een kleine tangentiale

component aanwezig is. We spreken van een spontane prerotatie. Bij uitlaat van de rotor is

geen axiale snelheidscomponent meer aanwezig. In het getekende voorbeeld zijn de schoepen

bij uitlaat van de rotor vrij sterk achteruitgeheld t.o.v. de looprichting van de rotor en met een

hoek die nagenoeg dezelfde is als bij inlaat. De schoepen hebben dus nagenoeg geen buiging

in het gemiddelde stroomoppervlak. In het radiale deel van de rotor zijn de schoepen recht in

axiale richting. In het inlaatdeel is er omwille van de diagonale stroomrichting wel een zekere

buiging in de richting loodrecht op de stroomvlakken. Dit bestuderen we later. Bij de qed-

analyse komt buiging van de bladen loodrecht op het gemiddelde stroomoppervlak niet

tussen.

1

2

3

5 56

4

3

1

2

3

Fig. 13. Centrifugale pomp

36

2u

2w

2v

r2v

1v

1

-

+

1w

oC

1u

1v

++

++

+

++

---

--

-

Fig. 14. Radiale rotor, achteruitgehelde schoepen, pomp (getekend is w1 = w2)

De Corioliskracht is w2c0

. In waarde is de kracht dus 2 w sin . De zin is zoals

aangegeven op de figuur. Bij de Corioliskracht correspondeert een drukverschil, zoals

aangegeven. Hierdoor ontstaat een bladbelasting met een kracht waarvan de tangentiale

component tegen de looprichting is gericht, zodat arbeid van de rotor naar de stroming

overgedragen wordt.

In de schrijfwijze (23) is de overgedragen arbeid u11u2221

22 wuwuuuW . Het

gedeelte 21

22 uu is afkomstig van de Corioliskracht en is altijd positief voor een centrifugaal

doorstroomde rotor (u2 > u1). Het gedeelte u11u22 wuwu is afkomstig van afbuiging, dus

van lift en kan positief of negatief zijn naargelang de buiging van de schoepen. In het

getekende voorbeeld is de liftterm negatief (u2w2u is meer negatief dan u1w1u). Principieel is

de liftkracht dus tegenwerkend gezien de geassocieerde arbeidsoverdracht in turbinezin ligt.

Om de liftterm minder negatief te maken, zouden de bladen bij uitlaat van de rotor minder

achteruitgeheld moeten zijn. Bij ongeveer gelijkblijvende meridiaancomponent van de

snelheid, zoals getekend, betekent dit dat diffusie dan ingebouwd wordt (w2 < w1). Het is

evenwel niet mogelijk een snelheidsverhouding te bekomen die belangrijk lager is dan 1. We

hebben reeds opgemerkt dat diffusie een zeer moeilijk realiseerbaar proces is. Zoals we in

hoofdstuk 2 zullen zien, kan men in optimale stilstaande diffusoren met beperkte lengte

ongeveer een snelheidsverhouding 0.7 bereiken, d.w.z. dat ongeveer de helft van de

kinetische energie bij inlaat in drukenergie kan omgezet worden. Door de ongunstige

kanaalvormen in rotoren, met kromming, sterke verandering van de vorm van de

doorstroomsectie en rotatie-effecten kan de snelheidsverhouding w2/w1 bij pompen (ook bij

ventilatoren; zie hoofdstuk 3) niet lager zijn dan ongeveer 0.9. Het gevolg is dat de liftkracht

niet in pompzin kan tussenkomen.

De werking van de machine steunt dus essentieel op Corioliskracht. De rotor moet dus

opgevat worden als bestaande uit roterende kanalen. De schoepen hebben niet de functie van

liftende voorwerpen.

37

De overgebrachte arbeid kan ook geschreven worden als

2

ww

2

vv

2

uuW

22

21

21

22

21

22

De term in de relatieve kinetische energieën is duidelijk niet significant in het geheel. De

centrifugale term correspondeert met een drukverhoging. Daar het bij een pomp vooral de

bedoeling is druk te verhogen, moet dus de kinetische energie na de rotor 2/v22 nog omgezet

worden tot ongeveer het niveau van de kinetische energie bij inlaat 2/v21 . Dit kan gebeuren

door een diffusor onmiddellijk na de rotor te plaatsen. Hier is dit een ringvormige

schoependiffusor waarin de snelheid v2 meer naar de radiale richting gedwongen wordt

(tangentiale component vermindert), terwijl de ring ook verbreedt door straaltoename en hier

ook door breedtetoename (radiale component vermindert). Na de diffusor volgt een collector

onder de vorm van een slakkenhuis. Na de collector volgt nog een conische diffusor. De

diffusiewerking van de statororganen na de rotor is enigszins complexer dan hier beschreven.

We analyseren deze organen met meer detail in het hoofdstuk over pompen (hoofdstuk 8).

Er bestaat een middel om ondanks de beperking op de snelheidsverhouding in de rotor

(w2/w1 > 0.9) de liftkracht positief in de zin van de arbeidsoverdracht te laten tussenkomen,

namelijk de schoepen zeer sterk naar voor te buigen bij uitlaat van de rotor zoals aangegeven

op figuur 15. De term u2w2u - u1w1u wordt dan sterk positief. Bij dergelijke schoepvorm wordt

veel arbeid omgezet. Bij achteruitgehelde schoepen is de arbeid 222

1u22 uvuW (figuur

14), terwijl bij de vooruitgekromde schoepen de arbeid )u2u(uvuW 12222

3u22 tot

)uu(u2 1222 .

2u

2w

2v

2v

1v

1v

1u

1w

Fig. 15. Radiale rotor, vooruitgebogen schoepen, ventilator (getekend is w1 = w2)

38

Het gevolg van het vooruitkrommen van de schoepen is dat de kinetische energie bij uitlaat

van de schoepen zeer groot wordt. Het is onmogelijk om zonder grote energiedissipatie de

snelheid v2 te reduceren tot het niveau van de snelheid v1. De machine kan dus enkel efficiënt

zijn als ze bedoeld is om snelheid op te wekken, m.a.w. als ventilator. We bespreken dit type

ventilator later (hoofdstuk 3: ventilatoren).

Een ventilator kan ook gebouwd worden zoals een centrifugale pomp, d.w.z. met

achteruithellende schoepen. In dit geval levert de machine vooral druktoename en minder

toename van kinetische energie. Voor voeden van uitgebreide leidingsystemen, waar dus

belangrijke verliezen in voorkomen, is een dergelijke ventilator nodig. Er bestaan ook nog

vormen tussen deze getoond op de figuren 14 en 15. We bespreken deze types in het

hoofdstuk over ventilatoren (hoofdstuk 3).

6. KARAKTERISTIEKEN

Onder een karakteristiek van een turbomachine verstaat men een verband tussen twee

werkingsgrootheden van de machine, zoals debiet, manometrische opvoerhoogte, vermogen,

enz., bij constant houden van de andere grootheden. Principieel kan men veel dergelijke

verbanden definiëren. In de praktijk zijn er evenwel maar een zeer beperkt aantal die

betekenis hebben.

Bij een hydraulische turbine is normaal de valhoogte constant. Dit is ook het geval voor het

toerental. De machine drijft namelijk een generator aan op vast toerental. Bij constante

geometrie zijn er aldus in deze machine geen grootheden die variabel zijn. Bij gegeven

valhoogte en toerental is het debiet en dus het vermogen bepaald. Alleen door veranderen van

de instelhoek van de rotorschoepen bij een axiale turbine (zie fig. 1) kunnen debiet en

vermogen gevarieerd worden. Een karakteristiek kan aldus zijn: het vermogen in functie van

de stelhoek van de rotorschoepen bij constant toerental en constante valhoogte.

balg

reservoir

Fig. 16. Pomp met reservoir onder variabele druk

39

Bij een pomp is normaal ook het toerental vast en opgelegd door de aandrijvende motor. De

benuttiging is typisch een leidingsysteem dat een reservoir onder druk vult (zie fig. 16). De

druk in het reservoir is variabel door de aanwezigheid van een samendrukbare balg gevuld

met lucht. Bij zogenaamde hydrofoorgroepen (installaties van het type van figuur 16) voor

huishoudelijk gebruik is het normaal dat men de druk in het reservoir laat variëren tussen 1.5

bar en 3 bar. Een pressostaat zet de pomp in werking als de druk lager wordt dan de

ingestelde ondergrens (1.5 bar) en zet de pomp af als de druk hoger wordt dan de bovengrens

(3 bar). De pomp werkt dus bij variabele manometrische hoogte. De verandering van de

manometrische hoogte beïnvloedt het debiet. Door de karakteristiek van een pomp verstaat

men aldus normaal het verband tussen manometrische opvoerhoogte en debiet bij constant

toerental.

De vorm van dit verband kan relatief eenvoudig uit theoretische overwegingen afgeleid

worden. We nemen als voorbeeld de centrifugale pomp van figuur 14. Stel dat de getekende

snelheidsdriehoeken overeenkomen met de ontwerpsituatie. Dit wil zeggen dat w1 rakend is

aan de inlaatzijde van de rotorschoepen en dat v2 rakend is aan de inlaatzijde van de

diffusorschoepen. Men zegt dan dat er geen stoot bij inlaat is van de rotor- en statororganen.

Bij verminderen van het debiet door de pomp, bijvoorbeeld door het aanbrengen van een

insnoering op de persleiding, veranderen de snelheidsdriehoeken zoals getekend in figuur 17.

1u

1v

*1v

1w

*1w

2u

*2v

2v2w

*2w

)(2

Fig. 17. Verandering van de snelheidsdriehoeken bij verminderen van het debiet bij een

centrifugaalpomp. Volle lijn: ontwerp (*). Streeplijn: verminderd debiet

De overgedragen arbeid is bij het verminderde debiet nog steeds gegeven door u2v2u.

Verder is v2u = u2 + w2u (w2u is negatief) en tg2 = w2u/v2r (2 is negatief).

Het debiet is evenredig met v2r. Het verband tussen arbeid en debiet is dus van de vorm

QtgkuW 222 (32)

Hierbij is k een positieve constante. Het verband is dus een dalende rechte. De toename van

de mechanische energie in het fluïdum is kleiner dan de overgedragen arbeid door

wrijvingsverliezen (approximatief evenredig met Q2) en door stootverliezen. Bij een debiet

verschillend van het ontwerpdebiet Q* zijn namelijk de relatieve inlaatsnelheid van de rotor

(w1) en de absolute inlaatsnelheid van de diffusor (v2) niet meer rakend aan de schoepen. Dit

veroorzaakt een verlies dat evenredig is met (Q - Q*)2 (zie hoofdstuk 3). De manometrische

opvoerhoogte kan dus afgeleid worden uit de overgedragen arbeid, principieel zoals getoond

op figuur 18. De karakteristiek is dus een curve die benaderd de vorm van een parabool heeft.

40

mgH W

wrijving

stoot

)kg/J(gH,W m

)s/m(Q 3

Fig. 18. Karakteristiek van een centrifugaalpomp (achteruitgehelde rotorschoepen); n = cte

Het correct bepalen van de karakteristiek is enigszins ingewikkelder dan getoond op figuur

18. De reden is dat de stroming bij uitlaat van de rotor de schoepen niet exact volgt. Er treedt

zogenaamd slip op. Het verband tussen overgedragen arbeid en debiet is hierdoor enigszins

afwijkend van het zuiver geometrisch bepaalde verband (32). Het slipverschijnsel bespreken

we grondig in hoofdstuk 3. De benaderde beredenering hierboven weze voorlopig voldoende

om in te zien dat er een functioneel verband bestaat tussen opvoerhoogte en debiet. Het is

gebruikelijk het debiet als onafhankelijke grootheid te beschouwen en de opvoerhoogte als

afhankelijke grootheid (het zou ook omgekeerd kunnen).

De reden van deze keuze heeft te maken met de gebruikelijke wijze van het

proefondervindelijk bepalen van de karakteristiek (fig. 19). De pomp verplaatst fluïdum van

een zuigreservoir naar een persreservoir. In de persleiding is een snoerkraan aangebracht. Aan

zuig- en aan perskant van de pomp staan manometers. Bij insnoeren van de kraan heeft men

als eerste indruk dat men hiermee debiet bepaalt. De aflezingen op de manometers veranderen

hierbij uiteraard ook. Uit deze aflezingen bepaalt men de manometrische opvoerhoogte. Voor

het bepalen van het debiet kan in de leiding nog een debietmeter geplaatst worden. Een meer

klassieke manier is het bepalen van het debiet door de stijging van het niveau in het

persreservoir bij afgesloten terugvoerleiding.

zuigreservoir

persreservoir

Fig. 19. Bepalen van de karakteristiek van een pomp

41

Het is zeer typisch dat bij een aangedreven machine het functieverband tussen de toename

van mechanische energie en het debiet bij constant toerental een dalende curve is. Op figuur

12 (axiale pomp) zien we dat bij verminderen van het debiet v2u toeneemt. De karakteristiek

van de axiale pomp is dus gelijkaardig aan deze van de centrifugaalpomp met achteruit

gehelde rotorschoepen.

Het is verder didactisch interessant (niet zozeer praktisch) te beredeneren wat de gelijkaardige

karakteristieke valhoogte i.f.v. debiet is bij een hydraulische turbine. Figuur 20 toont de

snelheidsdriehoeken in ontwerp en bij vergroten van het debiet (door vergroten van de

valhoogte) bij een axiale hydraulische turbine zoals getoond op figuur 9.

We zien op figuur 20 (* duidt de ontwerptoestand aan)

*

1u 1u 1u*

Qv v ( ) ; v 0

Q

* *

2u 2u 2u 2u 2u 2u*

Qw w ( ) ; w 0 ; w u ; v u w

Q

De arbeid is

2

*

*u1

**

*u1u2u1 u)

Q

Q(u)uv(u)]

Q

Q(uu)

Q

Q(v[u)vv(W

Figuur 20 toont de overgedragen arbeid en de valhoogte. De arbeid is in functie van het debiet

lineair stijgend. Door aanwezigheid van wrijvingsverliezen en stootverliezen is de valhoogte

groter dan de overgedragen arbeid. De vaststelling is dat valhoogte in functie van debiet

stijgend is.

u u*1v

1v

1w

*1w

2w

*2w

2v

*2v

)kg/J(gH,W m

mgH

W

)s/m(Q 3

2u

Fig. 20. Verandering van de snelheidsdriehoeken bij verhogen van het debiet bij een axiale

hydraulische turbine. Volle lijn: ontwerp (*). Streeplijn: verhoogd debiet.

Karakteristiek van een turbine: valhoogte i.f.v. debiet bij constant toerental en

constante geometrie

42

7. TOEPASSINGEN

1. De figuur toont een vloeistofstraal die loodrecht op een plaat stoot in een open ruimte.

Bepaal met een impulsbalans de kracht op de plaat in de richting van de aankomende

stroming. Neem hierbij aan dat de stroming na afbuiging de plaat volledig volgt. Neem

stationaire toestand aan en verwaarloos wrijving. Beschouw het geval waarbij de

zwaartekracht loodrecht staat op de straal, zoals aangegeven. Bepaal met een impulsbalans

de kracht op de plaat in verticale richting. Merk op dat de kracht benaderd nul is. Verifieer

dat het resultaat onafhankelijk is van de uitgestrektheid van het gekozen controlevolume.

Beredeneer dat in afwezigheid van wrijving de kracht in verticale richting exact nul is.

A: x yF mU, F gAL, met L d h

2. De figuur toont een vloeistofstraal die stoot op de schoep van een Peltonturbine

(tangentiale hydraulische turbine, zie hoofdstuk 9). De schoep heeft de vorm van een

dubbele lepel. De straal buigt af met de aangeduide hoek . Bepaal de kracht die op de

schoep in de richting van de straal wordt uitgeoefend bij stilstand van de schoep en bij

aanname dat de zwaartekracht loodrecht staat op de tekening, dus niet zoals aangegeven op

de tekening. Bepaal de kracht die op de schoep in horizontale en verticale richting wordt

uitgeoefend in de veronderstelling dat de zwaartekracht in de verticale richting inwerkt,

zoals aangegeven in de tekening. Verifieer dat het resultaat onafhankelijk is van de

uitgestrektheid van het gekozen controlevolume. Merk op dat de kracht in verticale

richting zeer gering is. Kan hier besloten worden dat de kracht exact nul is?

A: x x y

hF m(1 cos ), F m(1 cos ), F gAL, met L d 2hsin

2sin

43

3. De figuur toont een vleugelboot. De vaarsnelheid is 20 m/s. De massa van de boot is 100

ton. De draagvleugels die de boot boven water houden hebben als lift/weerstand

verhouding L/D = 20. Water wordt aangezogen door een pomp en via een straalpijp

uitgestoten aan 45 m/s t.o.v. de boot. Bepaal het massadebiet dat de pomp dient te

verwerken. Verwaarloos hierbij luchtwrijving op de boot. Welk vermogen dient

theoretisch aan de pomp toegevoerd te worden (d.w.z. vermogen zonder verliezen)? Wat is

het nuttig vermogen die de straalaandrijving aan de boot levert (propulsievermogen)?

Merk op dat dit vermogen verschilt van het pompvermogen. Verklaar het verschil door de

kinetische energie die afwaarts van de boot gedissipeerd wordt. Redeneer vooreerst met

een controlevolume gehecht aan de boot, d.w.z. in het relatief stelsel. Dit is het

eenvoudigst. Verifieer dat het resultaat hetzelfde is voor een controlevolume in het

absolute stelsel.

A: pomp propulsie residueelP 1594 kW, P 981 kW, P 613 kW

4. De figuur toont een wagentje met waterreservoir. Het wagentje rijdt aan 3 m/s. De

aandrijving gebeurt door een pomp die water aanzuigt uit het reservoir en uitstoot met

snelheid 10 m/s t.o.v. het geheel van wagen, reservoir en pomp. Het debiet is 2 m3/s.

Bepaal de wrijvingskracht die uitgeoefend wordt door rolweerstand en luchtweerstand op

het wagentje. Verifieer ook voor deze toepassing dat hetzelfde resultaat bekomen wordt

met een controlevolume in het relatieve stelsel en in het absolute stelsel.

A: wF 20 kN

5. De figuur toont schematisch de doorstroming doorheen de schroef van een vliegtuig. Neem

aan dat de vliegsnelheid 75 m/s is en dat de schroef de lucht versnelt tot 120 m/s t.o.v. de

schroef. Bepaal de stuwkracht die opgewekt wordt per m2 frontaal schroefoppervlak, bij

aanname van uniforme doorstroming doorheen de schroef. Beredeneer, zoals in toepassing

3, het vermogen dat theoretisch aan de schroef dient toegevoerd te worden, het nuttig

vermogen en het verschil tussen deze vermogens. Verwaarloos hierbij de postrotatie die in

werkelijkheid opgewekt wordt door de arbeidsoverdracht van de schroef op de lucht. Is er

een wezenlijk verschil in de vaststellingen met de straalaandrijving van de vleugelboot in

toepassing 3? (Een verwant vraagstuk wordt behandeld in hoofdstuk 10, paragraaf 3.1)

44

0w 1w 2w 3w

A: aandrijving propulsie residueelP 513 kW, P 395 kW, P 118 kW

6. Beschouw opnieuw de aandrijving van de Peltonturbine, zoals beschreven in toepassing 2.

Bepaal de kracht die in de straalrichting op de schoep uitgeoefend wordt indien de schoep

loopt met snelheid U/2 en snelheid U t.o.v. de straal. Leid hieruit het verloop af van de

uitgeoefende kracht in functie van loopsnelheid. Bepaal het overgedragen vermogen. Bij

welke loopsnelheid wordt het overgedragen vermogen maximaal? Verklaar waarom het

overgedragen vermogen niet gelijk is aan de energieflux van de waterstraal.

A: Fx is lineair dalend met de loopsnelheid gaande van kracht bij stilstand tot nul voor

loopsnelheid van nul tot straalsnelheid. Het vermogen is maximaal bij loopsnelheid

gelijk aan de helft van de straalsnelheid. Het verschil tussen de energieflux in de straal

en het afgenomen vermogen is het vermogen geassocieerd aan de kinetische energie die

in de atmosfeer gedissipeerd wordt.

7. De figuur toont een gazonsproeier. De straal van de beschreven cirkel is 75 mm. De

diameter van de armen is 4 mm. De omgebogen lengte van de armen is 30 mm. Het water

spuit met een hoek van 30 naar boven t.o.v. het horizontaal vlak. Het waterdebiet is 7.5

l/min. Het toerental is 30 tr/min. Bepaal het wrijvingskoppel dat uitgeoefend wordt op de

as van de gazonsproeier. Redeneer eerst in het absoluut stelsel. Verifieer dan het resultaat

in het relatief stelsel. Hiervoor moet het moment van de Corioliskracht op de stroming

door de armen in rekening gebracht worden. Wat wordt het toerental als het

wrijvingskoppel zou gehalveerd worden?

A: wrijving nieuwM 71.9 Nmm, n 152.2 tr / min

45

8. De figuur toont een afzuigventilator met zuiver radiale schoepen. Door een stator-

schoepenkrans wordt prerotatie aan de aangezogen stroming gegeven, zodat de stroming

de rotor binnenkomt perfect rakend aan de schoepen. Inlaatbreedte en uitlaatbreedte zijn

zodanig dat de relatieve snelheid in de rotor constant is en gelijk is aan de snelheid in het

eerste deel van de aanzuigbuis. Bepaal de formule die de arbeidsoverdracht weergeeft. Wat

is het aandeel hierin van toename van kinetische energie en toename van enthalpie? Wat is

de reactiegraad van de machine? Het doel van de ventilator is een bepaald massadebiet af

te voeren doorheen de zuigleiding. Door de snelheid in de buis ontstaat dus onderdruk.

Schets het drukverloop doorheen de zuigleiding en de ventilator. Bepaal hieruit de nodige

druktoename over de ventilator. Verwaarloos wrijvingsverliezen. Analyseer dat er twee

essentiële verliesmechanismen zijn bij de beschouwde toepassing: één bij inlaat en één bij

uitlaat van de rotor. Leidt hieruit af hoe de vormgeving van de rotor efficiënter kan

gemaakt worden. Beredeneer een rotor met constante meridiaansnelheid en constante

relatieve snelheid (geen interne diffusie).

2w

1wov

A: De figuur toont de snelheidsdriehoeken bij inlaat en uitlaat.

2 22 2u 1 1u 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1

k p

W u v u v u u

v v u u u u w w u uE E

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Dus p kE E en R 0.5

Drukbalans: Er is een eerste drukafname in de leiding door de opwekking van de

leidingssnelheid v0. De bijhorende drukdaling is 20v / 2 .

In de prerotatieschoepen is er een acceleratie die een verdere drukdaling veroorzaakt

2 21 0v / 2 v / 2

46

De drukverhoging in de ventilator is

2 22 1u / 2 u / 2

De ventilator dient de druk terug te brengen tot op de atmosfeerdruk.

De drukbalans is dus 2 22 2 20 02 1 1

p

v vu u vE

2 2 2 2 2

Dus 2 2 2 2 20 1 0 2 1

p k

v v v v vW E E

2 2 2

(1)

De overgedragen arbeid bestaat uit drie termen in kinetische energie met som 22v / 2 . De

eerste term is de nuttige term. Dit is de arbeidstoename die nodig is om de onderdruk

als gevolg van de snelheidsopwekking in de leiding te compenseren. De tweede term is

de toename van de kinetische energie in de prerotatiering. Deze toename veroorzaakt

een grotere onderdruk die door de ventilator gecompenseerd moet worden. De tweede

term is dus onnuttig. De derde term is de verhoging van de kinetische energie in de

rotor. Deze is onnuttig omdat de ventilator alleen een druktoename dient te leveren.

Alle verhoging van kinetische energie in de rotor geeft aanleiding tot grotere kinetische

energie die afwaarts van de rotor in de atmosfeer gedissipeerd wordt. De onnuttige

termen in (1) kunnen weggenomen of verminderd worden door aanpassen van de inlaat

en de uitlaat van de rotor, zoals hierna geschetst. Bij inlaat wordt de schoep

achteruitgeheld, zodat de prerotatiering niet meer nodig is. Bij uitlaat wordt de schoep

achteruitgeheld om de uitlaatsnelheid in het absolute stelsel te verminderen. We nemen

constante meridiaansnelheid en constante relatieve snelheid (geen diffusie).

Nu is

2 2u 1 1u 2 2u 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1

k p

W u v u v u v u (u u )

v v (u u ) u u w w u uE E

2 2 2 2 2 2

De drukbalans is nu 22 202 1

p

vu uE

2 2

dus 2 20 2 1

p k

v (u u )W E E

2 2

(2)

In (2) is de eerste term opnieuw de nuttige term. De tweede term is de toename van

kinetische energie in de rotor. Deze term is niet nuttig maar kan, met de opgelegde

voorwaarden van constante meridiaansnelheid en relatieve snelheid, niet nul gemaakt

worden. De uitdrukking (2) is duidelijk veel gunstiger dan de uitdrukking (1).

47

De arbeidsconsumptie kan nog verminderd worden door diffusie in de rotor in te

bouwen (w2 < w1) en door de kinetische energie afwaarts van de rotor te recupereren in

een difussor. Diffusie in de rotor inbouwen is gemakkelijk en wordt best uitgevoerd.

Het plaatsen van een nageschakelde diffusor is omslachtig en wordt niet altijd

uitgevoerd.

9. We beschouwen hetzelfde vraagstuk als bij vorige opgave, waarbij we een axiale ventilator

inzetten, zoals getoond op de figuur. Beredeneer het benodigd vermogen voor de

toepassing. Vergelijk met het resultaat van vorige opgave.

A: De figuur toont de snelheidsdriehoeken bij inlaat en uitlaat. We bemerken dat bij

constante meridiaansnelheid er noodzakelijk diffusie in de rotor optreedt.

2u

22 22u2 1

k

2 22 2 22u 2u1 2

p 2u

W uv

vv vE

2 2 2

(u v ) vw w uE uv

2 2 2 2

De drukbalans is

2 22u 1

2u

v vuv

2 2

De energiebesteding volgt uit

222u1

2u p k

vvW uv E E

2 2 (3)

De eerste term in (3) is nuttig. De tweede term in (3) is de toename van kinetische

energie in de rotor. Deze is onnuttig maar kan niet vermeden worden.

We merken op dat de verhoudingen bij de axiale ventilator niet fundamenteel

verschillen van deze bij de aangepaste radiale ventilator van vorige opgave. Bij de

radiale ventilator is u2 – u1 = v2u. De uitdrukkingen voor Ek en W zijn dus voor

beide machines principieel dezelfde.

48

10. De figuur toont een pompopstelling met water. De gegevens zijn:

zuigdruk p1 = -0.15 mWK (onderdruk), persdruk p2 = 35 mWK (overdruk),

hoogteverschil tussen de manometers h = 75 cm.

Leidingdiameter D = cte.

Elektrisch vermogen Pel = 5360 W; el = 0.95; m = 0.98.

De opwarming van het water wordt gemeten: T2 – T1 = 40 mK; cw = 4186 J /kgK.

De verliezen in de stukjes leiding zijn verwaarloosbaar t.o.v. verliezen in de pomp.

Bepaal het inwendig rendement i. Als v = 1, wat is dan het massadebiet? Beoordeel de

geschiktheid van de gesuggereerde thermometrische methode voor het bepalen van het

inwendig rendement (deze methode wordt in praktijk toegepast).

A: i 0.678, m 9.907 kg / s

De delicaatheid van de methode ligt erin dat zeer nauwkeurige bepaling van de

temperatuurtoename nodig is. Voor het bepalen van het inwendig rendement volstaat

de meting van de temperatuurtoename. Indien massadebiet en ingaand elektrisch

vermogen kunnen gemeten worden, kan inwendig rendement ook bepaald worden uit

de vermogenmeting mits globaal rendement van de elektrische motor, mechanisch en

volumetrisch rendement van de pomp bekend zijn. Normaal zijn deze grootheden

niet precies gekend, maar kan een waarde toch geschat worden. Dit helpt in het

beoordelen van een mogelijke fout in de meting van de temperatuurtoename in het

water.

Referenties bij hoofdstuk 1

- C. Pleiderer and H. Petermann. Strömungsmaschinen. SpringerVerlag, 1991,

ISBN 3-540-53037-1.

- W. Fister. Fluidenergiemaschinen, Band 1 + Band 2. Springer Verlag,

ISBN 3-540-12864-6 (1984) + 3-540-15478-7 (1986).