TU/e - Mechanical Engineeringlsakf Vergelijking van steady-state responsies voor systemen met...

lsakf

Vergelijking van steady-state responsiesvoor systemen met stuksgewijs lineair enHertz contactAuteur: M. van Laarhoven (0612880)

Documentnummer: DCT 2009.074

TU/e - Mechanical EngineeringSectie, Dynamics and controlEindhoven, 9 augustus 2009Supervisie, dr. ir. Rob Fey

Inhoudsopgave

1 Inleiding 31.1 Achtergrondinformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Indeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Modelvorming 42.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Korte uitleg gehele model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Limiet situatie een: piecewise lineair systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Limiet situatie twee: Hertz contact systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Serieschakeling lineaire veer met Hertze contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Steady-state responsie van het lineaire systeem 93.1 Analytische oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Steady-state verificatie van numerieke analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Steady-state responsie van systemen met contact 114.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 Amplitude-frequentie plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.2 Time-history, faseplot en Poincare sectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.3 Achtergrond informatie steady-state gedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Piecewise lineair systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.1 Bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Steady-state responsie met ξ = 0.1 en α = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.3 Steady state responsie met ξ = 0.1 en α = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.4 Steady state responsie met ξ = 0.01 en α = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Hertz contact systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.1 Bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.2 Steady state responsie met ξ = 0.1 en β = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.3 Steady state responsie met ξ = 0.1 en β = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.4 Steady state responsie met ξ = 0.01 en β = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Vergelijking van het steady-state gedrag van twee contactmodellen in geval dat geldtξ = 0.1, α = 10, β = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5 Serieschakeling van de twee contactveren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5.1 Bewegingsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5.2 Steady state responsie met ξ = 0.1 en α = 10 en β = 10 . . . . . . . . . . . 29

4.6 Aanvullende informatie in geval van serieschakeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Conclusies en aanbevelingen 335.1 conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Aanbevelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

Bibliografie 35

BIJLAGEN 36

A Afleidingen dimensiloze bewegingsvergelijkingen 36A.1 Afleiding van de dimensieloze bewegingsvergelijking in geval dat geldt kh =∞ . . 36A.2 Afleiding van de dimensieloze bewegingsvergelijking in geval dat geldt kc =∞ . . 38A.3 Afleiding van de analytische oplossing in het lineaire geval . . . . . . . . . . . . . 39

B Matlab-files 41B.1 Matlab-file bij figuur 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.2 Matlab-file bij figuren voor uitwijking ten opzichte van kracht 2.6 . . . . . . . . 42B.3 Matlab-file benodigde basisprogramma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B.3.1 Matlab-file parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.3.2 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model een . . . . . . . . . . . . . . 44B.3.3 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model twee . . . . . . . . . . . . . 45B.3.4 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model geheel . . . . . . . . . . . . 45B.3.5 Matlab-file extra nodig voor model geheel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B.4 Matlab-file waarmee analytische oplossing vergeleken wordt met numerieke oplossing 46B.5 Matlab-file waarmee frequentie-responsie plots zijn gemaakt . . . . . . . . . . . . 48B.6 Matlab-file waarmee time-history plots zijn gemaakt . . . . . . . . . . . . . . . . 51B.7 Matlab-file waarmee vergelijkende plots voor kc en kh zijn gemaakt . . . . . . . . 53

2

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Achtergrondinformatie

Dynamische systemen met contact komen veel voor in de ingenieurspraktijk. Voorbeelden zijn:tandwieloverbrengingen met speling, een hangbrug waarbij de kabels slap kunnen gaan hangenbij opwaartse beweging van het wegdek, pijpsystemen met elastische stops, en speling van kogelsin kogellagers. Vaak worden deze systemen geexiteerd door een harmonische kracht of door eenharmonische beweging van de grond. De door deze excitatie veroorzaakte responsie wordt desteady-state responsie genoemd.

In dit verslag wordt het steady state-state gedrag van drie niet-lineaire dynamische contact-modellen beschreven.

1.2 Doelstelling

In dit verslag wordt het steady-state responsiegedrag van dynamische systemen met drie verschil-lende typen van contact:

• Contact via een eenzijdige lineaire veer

• Hertz contact. Het Hertz contact model kan worden gebruikt bij contact tussen twee(half)bolvormige lichamen

• Een serieschakeling van de twee bovenstaande contactmodellen

Het doel van dit onderzoek is tevens het beschrijven van de verschillen tussen het steady-stateresponsiegedrag van deze systemen.

1.3 Indeling

Ten eerste zal in hoofdstuk 2 naar de modelvorming van de genoemde systemen worden gekeken.In hoofdstuk 3 wordt de responsie van het lineaire systeem beschreven. Eerst zal de analytischeoplossing van dit systeem aan de orde komen en vervolgens zal de numerieke oplossing hieraanworden getoetst. Daarna wordt in hoofdstuk 4 het steady-state gedrag van de systemen metniet-lineair contact geanalyseerd. Begonnen wordt met een uitleg over de gebruikte numeriekemethoden. Achtereenvolgens zal dan het piecewise lineaire systeem aan de orde komen, vervolgenshet Hertz contact systeem. Daarna zullen deze twee systemen met elkaar worden vergeleken.Als laatste wordt een parallelschakeling van de twee contactmodellen besproken. In het laatstehoofdstuk zullen conclusies getrokken worden en aanbevelingen worden gedaan.

3

Hoofdstuk 2

Modelvorming

2.1 Inleiding

In dit hoofdstuk worden de systemen met verschillende contactmodellen beschreven. In eersteinstantie wordt het systeem waarbij de eenzijdige lineaire veer en het Hertze contact in seriestaan kort geıntroduceerd. Vervolgens zullen de bewegingsvergelijkingen in verschillende (limiet)situaties worden besproken. Tenslotte zal de bewegingsvergelijking van het totale model wordengepresenteerd.

2.2 Korte uitleg gehele model

Het model bevat een massa m welke aan een ondergrond is bevestigd met behulp van enkele verenen een demper zoals is te zien in figuur 2.1. Variabelen x, y en z staan respectievelijk voor deabsolute verplaatsing van de massa, het contactpunt tussen de Hertze contactveer met stijfheidkh en de lineaire veer met veerconstante kc en de ondergrond.

De eerste veer (k) en de demper (b) zijn lineair en werken te allen tijde mee in het systeem.De veer rechtsboven (kh) representeert een Hertz contactpunt welke inveert met een stijfheid khwanneer deze op druk wordt belast (dus als geldt dat x < z in de tekening). Notabene, deze veeris niet-lineair. Als laatste bevat het model nog een lineaire veer met een stijfheid kc. De veren metstijfheden kh en kc staan in serie wat betekent dat beide veren enkel een bijdrage in het systeemleveren wanneer geldt dat x < z < y.

y

x

k kcb

zkh

m

Figuur 2.1: Totale massa-demper-veer systeem met contact

2.3 Limiet situatie een: piecewise lineair systeem

In het eerste geval is er sprake van een model zoals weergegeven in figuur 2.2. In deze situatiewordt gesteld dat de Hertze contact veer oneindig stijf is. Er geldt dus kh = ∞ waardoor deze

4

veer te verwaarlozen is in dit model. De veer met een stijfheid kc levert enkel een bijdrage aanhet systeem in het geval dat de massa m in de negatieve richting beweegt ten opzichte van deondergrond (m.a.w. als x− y < 0).

m

y

x

k kcb

Figuur 2.2: Massa-demper-veer systeem,met eenzijdige lineaire veer

m

k(y-x) kc(y-x)b(y-x)

Figuur 2.3: Free-body diagram, massa-demper-veer systeem, met eenzijdige lineaireveer

Volgend uit het free-body diagram in figuur 2.3 geldt voor deze situatie de volgende krachtbalansvoor de massa m:

mx+ bx+ kx+ σkcx = by + ky + σkcy (2.1)

Hierin is de massa m in [kg], de dempingsconstante b = [Nsm ], en k en kc zijn de veerstijfheden in[Nm ] van de lineaire veren (zie figuur 2.2). Tenslotte stellen x en y de verplaatsing van respectievelijkde massa en de grond in [m] voor. Verder geldt dat de constante σ = 1 voor x < y en σ = 0 voorx ≥ y omdat de veer met stijfheid kc als eenzijdige veer wordt beschouwd. Aangenomen wordtdat de grond harmonisch trilt: y = Y cos (2πft) = Y cos (ωt). Verder wordt de dimensieloze tijd

τ = 12π t

√km →

ddt = 1

2π

√km

ddτ . De volgende dimensieloze verplaatsingen worden gedefinieerd:

x = xY en y = y

Y . Dit levert de volgende vergelijking:

x′′ + 2πb√km

x′ + 4π2x+ σ4π2 kckx = 2π

b√km

y′ + 4π2y + σ4π2 kcky (2.2)

Waarbij een ′ differentieren naar τ betekent. Door als laatste de dimensieloze dempingsfactorξ = b

2√km

en de constante α = kc

k in te voegen wordt de uiteindelijke dimensieloze bewegingsver-gelijking voor dit eerste limiet geval verkregen:

x′′ + 4πξx′ + 4π2x+ 4π2σαx = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σαy (2.3)

De volledige afleiding van deze vergelijking is te vinden in bijlage A.1.

2.4 Limiet situatie twee: Hertz contact systeem

In het tweede limiet geval is er sprake van een model zoals weergegeven in figuur 2.4. In dezesituatie wordt gesteld dat de lineaire veer welke in serie staat met het Hertze contact oneindigstijf is. Er geldt dus kc =∞ waardoor deze veer te verwaarlozen is in dit model. Enkel de Hertzecontactveer met een stijfheid kh = [Nm ] levert nu een bijdrage aan het systeem in het geval dat demassa m in de negatieve richting beweegt ten opzichte van de ondergrond (als x < y).

5

m

y

x

k b kh

Figuur 2.4: Massa-demper-veer systeem,met Hertz contact

m

k(y-x) kh(y-x)3/2b(y-x)

Figuur 2.5: Free-body diagram, massa-demper-veer systeem, met Hertz contact

Volgend uit het free-body diagram geschetst in figuur 2.5 geldt voor deze situatie de vol-gende krachtbalans voor de massa m:

mx+ bx+ kx = by + ky + σkh(y − x)32 (2.4)

Door op dezelfde manier te schalen als gedaan is voor limiet geval een wordt de volgende vergelij-king voor model twee verkregen.

x′′ + 2πb√km

x′ + 4π2x = 2πb√km

y′ + 4π2y + σ4π2 khk

(y − x)32 (2.5)

Door als laatste de dimensieloze dempingsfactor ξ = b2√km

en de constante β = kh

√Y

k in te voegenwordt de uiteindelijke dimensieloze bewegingsvergelijking voor dit tweede limiet geval verkregen(merk op dat parameter β in tegenstelling tot parameter α wel afhangt van de amplitude Y vande grond):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σβ(y − x)32 (2.6)

De volledige afleiding van deze vergelijking is te vinden in bijlage A.2.

In geval dat de halve bollen uit hetzelfde materiaal bestaan en een gelijke straal hebbengeldt voor de stijfheid kh (zie Goldsmith (1960)):

kh =2E√R

3(1− ν2)(2.7)

Waarin E = [N/m2] en ν = [−] respectievelijk de elasticiteitsmodulus en de Poissonratio zijn vanhet materiaal, en R = [m] de straal van de bollen voor. In figuur 2.6 wordt kh geplot voor eenviertal materialen (zie Callister (2001)).

Figuur 2.6 is geplot met behulp van de Matlab-file welke is te vinden in bijlage B.1.

2.5 Serieschakeling lineaire veer met Hertze contact

De twee modellen welke al zijn toegelicht zijn twee versimpelde weergaven van het uiteindelijkemodel. Voor het model dat in sectie 2.2 al kort is toegelicht geldt de krachtbalansvergelijking:

mx+ bx+ kx+ σFeq = by + ky (2.8)

Deze vergelijking is gebaseerd op figuur 2.7 en figuur 2.8.

6

10−3 10−2 10−1 100107

108

109

1010

1011

1012

r [m]

k h [N

/m3/2 ]

StaalAluminiumPVCNylon

Figuur 2.6: Fysische verklaring voor kh

y

x

k kcb

zkh

m

Figuur 2.7: Massa-demper-veer systeem,met contact

m

k(y-x) Feqb(y-x)

Figuur 2.8: Free-body diagram, massa-demper-veer systeem, met contact

zkh(z-x)

3/2

kh(y-z)

m2

Figuur 2.9: Free-body dia-gram, puntmassa

Aangenomen dat de puntmassa m2 (figuur 2.9) te verwaarlozen is,geldt:

m2z ≈ 0 = kc(y − z)− kh(z − x)32 (2.9)

Uit het feit dat de z-vrijheidsgraad massaloos wordt beschouwd volgtdat moet gelden x < z < y. Merk op dat voor Feq uit vergelijking (2.8)geldt:

Feq = kc(y − z) = kh(z − x)32 (2.10)

Door formule (2.8) te combineren met formule (2.9) volgt de uitein-delijke bewegingsvergelijking. Vergelijking (2.11) geeft de dimensielozebewegingsvergelijking weer (deze vergelijking is op dezelfde manier ge-schaald als de voorgaande modellen):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σβ(z − x)32 (2.11)

Notabene; er geldt dat (2.11) gelijk is aan (2.12) (dit volgt uit (2.9)).

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σα(y − z) (2.12)

7

Hoofdstuk 3

Steady-state responsie van hetlineaire systeem

3.1 Analytische oplossing

Voor het model zonder contact worden de analytische oplossingen van het steady-state gedrag indit hoofdstuk besproken. Dit is mogelijk omdat het systeem zonder contact een standaard lineairmassa-demper-veer systeem is. De bewegingsvergelijking voor dit lineaire systeem is:

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y (3.1)

Als responsie van de massa wordt de volgende uitdrukking gekozen:

x(τ) = X sin (Ωτ + χ) = Xsin sin(Ωτ) + Xcos cos(Ωτ) (3.2)= Xsin sin(2πφτ) + Xcos cos(2πφτ)

Hierin is φ de dimensieloze excitatiefrequentie en χ een constante. De excitatie van de grond wordtals volgt beschreven:

y(τ) =y

Y=Y cos (ωt)

Y= cos (ωt) = cos (

ω

ωsτ) = cos (Ωτ) (3.3)

= cos (2πφτ)

Te bepalen zijn Xsin en Xcos. Verder geldt voor de trillingsamplitude van de massa:

X(φ) =√X2sin(φ) + X2

cos(φ) (3.4)

Vergelijkingen (3.2 en 3.4) worden ingevuld in de lineaire bewegingsvergelijking (3.1). Hieruit volgtvoor Xsin en Xcos:

Xsin(φ) =2φ3ξ

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2(3.5)

Xcos(φ) =1− φ2 + 4φ2ξ2

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2(3.6)

Zo levert vergelijking (3.4) in combinatie met (3.5) en (3.6) met waarden van φ = 1 met ξ = 0.01:

X(φ = 1) =√X2sin(φ = 1) + X2

cos(φ = 1) =√

50 + 1 = 50.01 (3.7)

De volledige afleiding van deze analytische oplossing is te vinden in bijlage A.3.

9

3.2 Steady-state verificatie van numerieke analyse

De gevonden analytische steady-state oplossing voor bepaalde waarden (ξ = 0.01 en φ = 1) kanworden gebruikt om numerieke methoden te verifieren. Deze verificatie is te zien in figuur 3.1. DeMatlab-file waarmee deze figuur is gerealiseerd is te vinden in bijlage B.4.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60NumeriekAnalytisch =50.01

x

[-]

φ [-]

x

Figuur 3.1: Analytische oplossing vs. numerieke oplossing voor ξ = 0.01 en φ = 1

De numerieke analyse die gebruikt is in figuur 3.1, een zogenaamde frequentie sweep ana-lyse. Deze wordt uitgelegd in sectie 4.1.1.

10

Hoofdstuk 4

Steady-state responsie vansystemen met contact

4.1 Inleiding

De steady-state responsies welke beschreven worden door de bewegingsvergelijkingen uit hoofdstuk2 kunnen worden geanalyseerd met behulp van een amplitude-frequentie plots en zogenaamdetime-history plots. In deze sectie worden deze twee manieren om de bewegingen te beschrijvenuitgelegd.

4.1.1 Amplitude-frequentie plot

In een amplitude-frequentie plot wordt een maat voor de verplaatsing of snelheid uitgezet tenopzichte van de excitatie frequentie. De maat kan bijvoorbeeld de maximale, de minimale, of depeak-to-peak waarde van de responsiegrootheid zijn. Met behulp van de Matlab-file in bijlageB.5 zijn deze plots voor dit hoofdstuk gemaakt. Om echter een goede amplitude-frequentie plot temaken zijn er een aantal zaken van belang om te bespreken. De responsie wordt namelijk berekendmet behulp van een numerieke methode genaamd ’stepped frequency sweep’. Voor het lineairesysteem, zoals beschreven is in hoofdstuk 3, zijn exacte steady-state oplossingen te bepalen. Inde niet-lineaire gevallen zullen enkel numerieke oplosmethoden tot goede benaderingen leiden.In deze sectie zal met behulp van bewegingsvergelijking van (2.3))) worden toegelicht hoe deplots in dit gehele hoofdstuk zijn gemaakt. Dit model wordt overigens in detail geanalyseerd insectie 4.2. Zoals al eerder is aangegeven worden de benaderingen verkregen met behulp van eenstepped frequency sweep. Zowel de ’sweep-up’ als de ’sweep-down’ plots worden gemaakt. Hierbijwordt de excitatiefrequentie stapsgewijs verhoogd respectievelijk verlaagd startend vanaf eenbeginfrequentie (in dit geval φ = 0[−]) respectievelijk een eindfrequentie (in dit geval φ = 5[−]).Deze oplosmethode is gebaseerd op standaard numerieke integratie (ODE45 solver van Matlab)(oplossen van een beginwaarde probleem) en beschouwt enkel de stabiele steady-state oplossingen.

Om tot een goede benadering van het steady-state gedrag te komen (wat hier van belangis) is het van belang om de zogenaamde transient niet te beschouwen in de uiteindelijke plot. Inhet gebruikte Matlab rekenprogramma spelen een aantal parameters een grote rol. Parameter’NTI’ is het aantal excitatieperioden waarin de transient (het inschakelverschijnsel) wordtverondersteld uitgedempt te zijn bij de allereerste frequentie in de sweep. Parameter ’NT’ heeftdezelfde betekenis voor elke volgende stap in de frequentiesweep. Om de invloed van deze transientin de gehele beweging uit te beperken moeten relatief grote waarde voor ’NTI’ en’NT’ gekozenworden. De verschillen in responsie t.g.v. in ’NTI’ en ’NT’ zijn te zien in de volgende plots (figuur4.1, 4.2 en 4.3). In figuur 4.1 is de transient niet uitgedempt (resonantiefrequenties liggen nietover elkaar). In figuur 4.2 is de situatie al iets beter. Uiteindelijk is in figuur 4.3 de transient bijna

11

geheel uitgedempt.Verder is het ook van belang om goede waarden voor ’NS’ en ’NB’ te kiezen in deze Matlab-

file. ’NS’ stelt hierin het aantal excitatieperioden voor. Tevens stelt ’NS’ een maximum aan de ordevan een subharmonische oplossing. Ten hoogste een 1

NS

e subharmonische oplossing kan wordenontdekt. ’NB’ bepaalt het aantal excitatiefrequenties op de horizontale as en dus ook de stapgroottetussen de frequenties. De verschillen zijn duidelijk te zien in de volgende figuren.

In figuur 4.4 geeft de keuze ’NS’=1 problemen bij het plotten van de 1/2- en 1/3-subharmonische resonanties. De keuze is gemaakt om in de rest van dit verslag in het geval vanfrequentie-responsie diagrammen de ’sweep-up’ en de ’sweep-down’ te plotten met acceptabel grotewaarden van ’NT’ en ’NTI’ (respectievelijk 100 en 100). Verder worden in de rest van dit verslagrelatief grote waarden voor ’NS’ (6) en ’NB’ (250) gebruikt voor het plotten van deze figuren, watin het voorgaande is toegelicht.

4.1.2 Time-history, faseplot en Poincare sectie

In een time-history plot wordt weergegeven de verplaatsing en snelheid als functie van de tijd. Inhet fasevlak wordt de verplaatsing tegen de snelheid uitgezet. De Poincare sectie wordt bepaalddoor na iedere excitatie periode de positie en de snelheid van de oplossing in het fasevlak tebepalen en al deze punten af te beelden. Punten van de Poincare sectie zullen dus altijd deeluitmaken van de responsie in het fasevlak. Deze plots worden gemaakt met behulp van deMatlab-file uit bijlage B.6.

Ook bij het bepalen van deze plots moeten ’NT’ en ’NS’ (dezelfde parameters als beschre-ven in sectie 4.1.1) ingesteld worden. ’NT’ moet in dit geval dus weer voldoende groot gekozenworden om het inschakelverschijnsel uit te laten dempen. Verder zal ’NS’ in dit geval vaak varierenom het karakter van de mogelijke steady-state oplossingen te bekijken. Immers zal voor eenharmonische oplossing een ’NS’ van 1 eigenlijk al voldoende zijn terwijl voor een subharmonischequasi-periodieke of chaotische oplossing ’NS’ ordes van grootte hoger zou moeten zijn (de uitlegvolgt in sectie 4.1.3). De gekozen waarden voor ’NT’ en ’NS’ in het geval van time-history plotszal dus varieren en telkenmale weer worden gegeven bij de plots.

4.1.3 Achtergrond informatie steady-state gedrag

Kijkend naar een amplitude-frequentie plot zijn er een aantal interessante dingen te zien. Metbehulp van figuur 4.7 worden een aantal zaken in deze sectie kort uitgelegd. Deze figuur is echterwel op een andere manier verkregen (door oplossing van een twee-puntrandwaarde probleem, zieook Fey (1992) en Assinck (1993)) dan de overige figuren in dit hoofdstuk. In deze figuur wordennamelijk wel instabiele (’u’) oplossingen afgebeeld wat in de rest van de figuren niet het gevalis. In figuur 4.7 zijn drie grote pieken te zien welke van links naar rechts de harmonische, de1/2-subharmonische en de 1/3-subharmonische (dus 1/n-subharmonische) resonanties voorstellen.De periodetijd van een 1/n-subharmonische oplossing is gelijk aan n maal de periodetijd vande excitatie. Naast deze grote resonantiepieken zijn er nog enkele kleine piekjes te zien welkesuperharmonische resonanties voorstellen. Bifurcaties treden op in het overgangsgebied tussenverschillende (sub-)harmonische oplossingen. Bijvoorbeeld op fe ≈ 20Hz; daar gaat de stabieleharmonische oplossing over in de stabiele 1/2-subharmonische oplossing wat (continue) perio-deverdubbelingsbifurcatie wordt genoemd. Wanneer de frequentie vanaf de 1/3-subharmonischeoplossing verlaagd wordt tot ongeveer fe ≈ 35Hz dan treedt zogenaamde (discontinue) cyclic foldbifurcatie op.

Wanneer een steady-state responsie bekeken wordt bij een constante excitatiefrequentie zaleen harmonische oplossing dus een punt in de Poincare sectie opleveren, omdat de positieen snelheid na iedere excitatieperiode immers hetzelfde zullen zijn. Een 1/n-subharmonischeoplossing geeft n verschillende punten in de Poincare sectie. De fase plot zal gewoon een geslotenkromme opleveren voor een (sub-)harmonische oplossing.

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25

30Sweep−up; maximale verplaatsingSweep−up, minimale verplaatsingSweep−down; maximale verplaatsingSweep−down, minimale verplaatsing

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200

250Sweep−up; maximale snelheidSweep−up, minimale snelheidSweep−down; maximale snelheidSweep−down, minimale snelheid

φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.1: Amplitude-frequentie plot voor NTI=1, NT=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


13

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.4: Amplitude-frequentie plot voor NS=1, NB=250

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


14

Verder levert de Poincare sectie van een quasi-periodieke oplossing een aaneengesloten krommeop (de punten zullen nooit samenvallen omdat het een niet-periodieke oplossing betreft). Indiende oplossing chaotisch is, uit zich dit door middel van een wolk van punten in de Poincare sectie.In dit verslag zal niet verder worden ingegaan op de achtergrond van de quasi-periodieke enchaotische oplossingen. Indien een quasi-periodieke of een chaotische oplossing wordt geplot ineen faseplot ontstaat i.h.a. een onduidelijk beeld van trajectories die elkaar veelvuldig snijden.In een fase plot zijn deze oplossingen dan ook niet van elkaar te onderscheiden; in een Poincaresectie wel.

Figuur 4.7: Frequentie-amplitude karakteristiek

15

4.2 Piecewise lineair systeem

4.2.1 Bewegingsvergelijking

De bewegingsvergelijking voor het systeem met de eenzijdige lineaire veer ziet er als volgt uit(afgeleid in hoofdstuk 2.3, formule (2.3)):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x+ 4π2σαx = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σαy (4.1)

Hierin geldt dus dat de enige parameter waarden ξ en α zijn. De grondexcitatie y = cos(2πφτ) isvoorgeschreven.

In dit geval geldt fysisch dat als y − x < 0 een veerkracht Fc = k(y − x). Als y − x > 0 geldtechter een veerkracht van Fc = (kc+k)(y−x) (zie figuur 2.2 en 2.3). Dit is geplot in de figuren 4.8(verkregen met behulp van de Matlab-file te vinden in bijlage B.2). Merk op dat voor y − x = 0een plotselinge omschakeling in richtingscoefficient te zien is omdat de stijfheid voor y − x > 0ineens veel groter is dan wanneer y − x < 0.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−5

0

5

10

15

20

25

30

y−x [-]

Fc [

-]

Fc

Figuur 4.8: Veerkracht ten opzichte van de uitwijking y − x

4.2.2 Steady-state responsie met ξ = 0.1 en α = 10

Gekozen is om een dempingsfactor van ξ = 0.1 te beschouwen en een waarde α = 10. Dezewaarden ingevuld in de bewegingsvergelijking (4.1) levert de amplitude-frequentie plot te zien infiguur 4.9. Deze figuur is gegenereerd met behulp van de Matlab-file welke is te vinden in bijlageB.5.Een aantal punten valt op wanneer deze responsie bekeken wordt, namelijk:

• Er zijn 3 resonanties te zien, wat betekent dat de responsie subharmonisch is.Bij φ = 1.55 treedt de harmonische resonantie op, bij de dubbele frequentie, namelijk bijφ = 3.10 een 1/2-subharmonische resonantie en bij een drie keer zo hoge frequentie, namelijkbij φ = 4.65 treedt een 1/3-subharmonische resonantie. Merk op dat door toevoegen van decontactstijfheid de harmonische resonantiepiek naar een hogere frequentie verschoven is tenopzichte van het lineaire systeem (zie ook figuur 3.1).

16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.9: Amplitude-frequentie voor ξ = 0.1 en α = 10

• De toppen in negatieve richting (in geval van de verplaatsing en de snelheid) zijn veel kleinerdan de toppen in positieve richting.Dit is het geval omdat in de veer met stijfheid kc enkel als x − y < 0 mee werkt en dusstijfheid toevoegt. Dit zorgt ervoor dat de maximale uitwijking en snelheid in de negatieverichting lager is dan in positieve richting.

• min(x) komt af en toe boven x = 0. Merk op dat |y| ≤ 1 en dat min(x) natuurlijk groterdan nul kan zijn terwijl y − x > 0.

• Rond fφ = 0.70 (ongeveer de helft van de harmonische resonantiefrequentie) is een zeerkleine piek te zien in de responsie.Hier treedt een 2e superharmonische resonantie op.

• Op φ = 2.30 (ongeveer anderhalf keer de harmonische resonantiefrequentie) treedt een peri-odeverdubbelingsbifurcatie op.De harmonische oplossing gaat hier over in de 1/2-subharmonische oplossing.

• Tussen φ = 4.00 en φ = 4.50 lopen de grafieken van de ’sweep-up’ en ’sweep-down’ niet overelkaar.Hier is sprake van frequentie hysterese. Minimaal zijn in dit gebied dus twee coexisterende,stabiele steady-state oplossingen te vinden.

Bij een aantal frequenties in figuur 4.9 is de steady-state responsie nader bekeken door middelvan time-history plots, fasevlak plots en Poincare secties welke zijn gemaakt met behulp van deMatlab-file in bijlage B.6. Om te beginnen is het interessant om de frequenties waar zich deresonanties bevinden nader te bekijken. Respectievelijk op de dimensieloze frequenties: φ = 1.55,φ = 3.05 en φ = 4.55.

17

0 1 2 3 4 5 6 7−5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7−100

−50

0

50

100

−5 0 5 10 15−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80Fase en Poincare sectie

FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.10: Responsie bij frequentie f = 1.55Hz voorNT=100, NS=10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−100

−50

0

50

100

−5 0 5 10 15−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.11: Responsie bij frequentie φ = 3.05 voorNT=100, NS=10

0 0.5 1 1.5 2 2.5−5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5−100

−50

0

50

100

−5 0 5 10 15−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


0 2 4 6 8 10 12 14−2

−1

0

1

2

0 2 4 6 8 10 12 14−20

−10

0

10

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.13: Responsie bij frequentie φ = 1.552

voorNT=100, NS=10

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2−10

−5

0

5

10


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.14: Responsie bij frequentie φ = 1.55 · 32

voorNT=100, NS=10

0 1 2 3 4 50

1

2

3

0 1 2 3 4 5−20

−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5−15

−10

−5

0

5

10

15


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.15: Responsie bij frequentie φ = 1.55· 32+0.05

voor NT=100, NS=10

Met behulp van de uitleg uit sectie 4.1.2 is op te maken uit deze drie figuren dat er indeze drie gevallen sprake is van een (sub-)harmonische responsie. In figuren 4.10 t/m 4.12respectievelijk de harmonische resonantie (een punt in de Poincare sectie), de 1/2-subharmonischeresonantie (n = 2 punten in de Poincare sectie) en als laatste de 1/3-subharmonische resonantie(n = 3 punten in de Poincare sectie) te zien.

Bij φ = 0.77, rond 12 keer de harmonische resonantiefrequentie is een kleine 2e superhar-

monische resonantie. Dit is te zien aan de inham in de faseplot. De 2e harmonische component inde oplossing is bij deze frequentie wat groter dan bij naburige frequenties.

Tussen φ = 2.30 en φ = 2.80 treedt een periodeverdubbelingsbifurcatie op, die toegelichtwordt met de figuur 4.14 en figuur 4.15. In de eerste plot is namelijk te zien dat de Poincaresectie uit een punt bestaat. Een hele kleine stap in de frequentie verder (figuur 4.15) zijn dittwee punten. Dit is dus de overgang van de harmonische oplossing naar de 1/2-subharmonischeoplossing.

Als laatste wordt gekeken naar de frequenties tussen φ = 4.00 en φ = 4.50. Bij frequentieslager dan ongeveer φ = 4.27 is de responsie gewoon 1/2-subharmonisch (figuur 4.16). Daarna zietde responsie eruit als weergegeven in figuur 4.17. De steady-state responsie lijkt a-periodiek te

18

zijn, dat wil zeggen quasi-periodiek of chaotisch. Heel hoge waarden voor ’NT’ en ’NS’ (figuur4.18) leiden tot een Poincare sectie die een puntenwolk laat zien (dus geen gesloten kromme) duslijkt hier sprake van een chaotische responsie.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−20

−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2−15

−10

−5

0

5

10


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]

Figuur 4.16: Responsie bij frequentie φ = 1.55 · 52

voorNT=100, NS=10

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10 12−20

−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2−15

−10

−5

0

5

10


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


voor NT=100, NS=50

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

0.5

1

1.5

2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000−20

−10

0

10

20

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

6


Poincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


voor NT=10000, NS=50000

19

4.2.3 Steady state responsie met ξ = 0.1 en α = 20

In deze sectie worden de verschillen besproken tussen de amplitude-frequentie plots waarbij geldtdat ’ξ = 0.1 en α = 10’ en ’ξ = 0.1 en α = 20’, met ander woorden: de stijfheid van de eenzijdigeveer is verdubbeld. De amplitude-frequentie plot van het laatste geval staat geplot in figuur 4.19.De amplitude-frequentie plot van de steady-state responsie met ’ξ = 0.1 en α = 10’ is figuur 4.9.De opvallendste verschillen zijn:

• De resonantiepieken zijn verschoven naar hogere frequenties als α is verdubbeld.Wanneer α groter wordt moet kc toenemen bij gelijk blijvende k. Dit zorgt voor hogereresonantiefrequenties.

• De maximale positieve en negatieve uitwijkingen en snelheden zijn iets groter als α isverdubbeld.

• Tussen φ = 4.2 en φ = 4.5 vallen de ’sweep-up’ en ’sweep-down’ wel over elkaar als α isverdubbeld.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

10

20

30

40 Sweep−up; maximale verplaatsingSweep−up, minimale verplaatsingSweep−down; maximale verplaatsingSweep−down, minimale verplaatsing

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

0

100

200

300 Sweep−up; maximale snelheidSweep−up, minimale snelheidSweep−down; maximale snelheidSweep−down, minimale snelheid

φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


4.2.4 Steady state responsie met ξ = 0.01 en α = 10

In deze sectie worden de verschillen besproken tussen de amplitude-frequentie plots waarbij geldtdat ’ξ = 0.1 en α = 10’ en ’ξ = 0.01 en α = 10’, met ander woorden: de demping wordt eenorde verlaagd. De amplitude-frequentie plot van het laatste geval staat geplot in figuur 4.20. Deamplitude-frequentie plot van de steady-state responsie met ’ξ = 0.1 en α = 10’ is figuur 4.9. Deopvallendste verschillen zijn:

• Met name bij de resonanties zijn de maximale positieve en negatieve uitwijkingen en snel-heden zijn vele malen groter.

20

Dit is het geval omdat de demping met een veel lagere dempingsconstante ξ (factor 10 klei-ner) minder de beweging zal dempen. De uitwijkingen en snelheden zijn dus veel groter zijnbij een lagere dempingsconstante.

• De resonantiepieken zijn verschoven naar hogere frequenties.Een lagere dempingsconstante zorgt ervoor dat de resonantiefrequenties hoger worden.

• De resonantiepieken zijn veel smaller; het omschakelpunt is veel spitser.Voor heel lage frequenties (ver voor de harmonische resonantie) zijn elastische krachten do-minant, voor heel hoge frequenties massakrachten dominant. De invloed van de veranderingvan demping is vooral te zien is aan een veranderde vorm en hoogte van de resonanties.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

50

100

150

200

250

300


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1000

0

1000

2000


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]


21

4.3 Hertz contact systeem


De dimensieloze bewegingsvergelijking voor het systeem met de Hertze contactveer ziet er als volgtuit (afgeleid in hoofdstuk 2.4, formule (2.6)):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σβ(y − x)32 (4.2)

Hierin geldt dus dat de enige te kiezen parameter waarden ξ en β zijn. De grondexcitatieis wederom voorgeschreven: y = cos 2πφτ . In dit geval geldt als y − x < 0 een veerkrachtFh = k(y − x). Voor y − x > 0 geldt echter een veerkracht van Fh = kh(y − x)

32 + k(y − x) (zie

figuur 2.4 en 2.5). Dit is geplot in de figuren 4.21 (verkregen met behulp van de Matlab-file tevinden in bijlage B.2). Het valt op dat in dit tweede geval er geen discontinue verandering is inrichtingscoefficient omdat rond y − x = 0 de waarde van kh(y − x)

32 dan ook ongeveer gelijk is

aan 0. Deze waarde loopt geleidelijk op in tegenstelling tot de plotselinge omschakeling welke tezien was in het piecewise lineair systeem van sectie 4.2.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Fh

y−x [-]

Fh

[-]

Figuur 4.21: Veerkracht ten opzichte van de uitwijking y − x

4.3.2 Steady state responsie met ξ = 0.1 en β = 10

Gekozen is om een dempingsfactor van ξ = 0.1 te beschouwen en een waarde β = 10. Dezewaarden ingevuld in de bewegingsvergelijking (4.2) levert het amplitude-frequentie plot te zien infiguur 4.22. Deze figuur is tevens gegenereerd met behulp van de Matlab-file welke is te vindenin bijlage B.5.Een aantal punten valt op wanneer deze responsie bekeken wordt, namelijk:

• Er zijn 2 resonanties te zien, een harmonische resonantie bij φ = 1.6 en een 1/2-subharmonische resonantie bij de dubbele frequentie φ = 3.2.

• De uitwijkingen naar beneden (in geval van de verplaatsing en de snelheid) zijn in absolutezin weer veel kleiner dan de uitwijkingen naar boven.Dit is het geval omdat in de veer met stijfheid kh enkel in de negatieve richting mee werkt en

22

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

0

5

10

15

20

25


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

−50

0

50

100

150

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.22: Frequentie-responsie voor ξ = 0.1 en β = 10

dus stijfheid toevoegt (het doet er niet toe dat deze veer niet-lineair is). Dit zorgt ervoor datde maximale uitwijking en snelheid in de negatieve richting lager is dan in positieve richting.

• min(x) komt af en toe boven x = 0. Merk weer op dat |y| ≤ 1 en dat min(x) natuurlijkgroter dan nul kan zijn terwijl y − x > 0.

• Rond φ = 0.70 (ongeveer de helft van de harmonische resonantiefrequentie) is een zeer kleinepiek te zien in de responsie.Hier treedt een 2e superharmonische resonantie op.

• Op φ = 2.30 (ongeveer anderhalf keer de harmonische resonantiefrequentie) treedt een peri-odeverdubbelingsbifurcatie op.De harmonische oplossing gaat hier over in de 1/2-subharmonische oplossing.

Om een aantal steady-state responsies nader te bekijken zijn time-history plots, fase plots enPoincare secties gemaakt met behulp van de Matlab-file in bijlage B.6 (dezelfde Matlab-fileals gebruikt voor de vorige sectie). Om te beginnen is het weer interessant om de frequentieswaar zich de resonanties bevinden nader te bekijken, zie figuren 4.23 en 4.24, respectievelijk opde frequenties: φ = 1.60 en φ = 3.20.

23

0 1 2 3 4 5 6 7−5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7−100

−50

0

50

100

−5 0 5 10 15−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−100

0

100

200

−5 0 5 10 15 20−100

−50

0

50

100


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


Uit deze twee figuren is af te leiden dat er sprake is van harmonische resonantie (een puntvoor de Poincare sectie) en een 1/2-subharmonische resonantie (twee punten voor de Poincaresectie).

Bij de frequentie van φ = 0.70, op ongeveer de helft van de harmonische resonantiefre-quentie treedt weer een 2e superharmonische resonantie op resulterend in een extra minimum enmaximum bij de snelheid als functie van de tijd. De oplossing zelf is nog steeds harmonisch.

0 5 10 15−2

−1

0

1

2

0 5 10 15−10

−5

0

5

10

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2−10

−5

0

5

10


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


0 1 2 3 4 50

1

2

3

0 1 2 3 4 5−20

−10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5−15

−10

−5

0

5

10

15


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


Vervolgens worden de frequenties φ = 2.30 en φ = 2.35 bekeken. Hier is weer sprake vaneen periodeverdubbelingsbifurcatie wat toegelicht wordt met figuur 4.26 en figuur 4.27. In deeerste plot is namelijk te zien dat de Poincare sectie uit een punt bestaat. Een hele kleine stap inde frequentie verder (figuur 4.27) zijn dit twee punten geworden. Dit geeft de overgang van deharmonische oplossing naar de 1/2-subharmonische oplossing weer.

24


In deze sectie worden de verschillen besproken tussen de amplitude-frequentie plot voor de para-meterwaarden ’ξ = 0.1 en β = 10’ en ’ξ = 0.1 en β = 20’. De amplitude-frequentie plot van hetlaatste geval staat geplot in figuur 4.28. De amplitude-frequentie plot van de steady-state responsiemet ’ξ = 0.1 en β = 10’ is figuur 4.22. De opvallendste verschillen zijn:

• De resonantiepieken zijn verschoven naar rechts bij een grotere waarde van β.Wanneer α groter wordt moet k afnemen bij gelijk blijvende kc. Wanneer k kleiner wordt,neemt de totale stijfheid van het systeem ook af. Dit zorgt voor hogere resonantiefrequenties.

• De maximale positieve en negatieve uitwijkingen en snelheden zijn iets groter bij een groterewaarde van β.

• Tussen φ = 4.2 en φ = 4.5 vallen de ’sweep-up’ en ’sweep-down’ nu wel over elkaar.

• Er wordt een 1/3-subharmonische oplossing gevonden bij β = 20, echter niet bij β = 10.

• Er treedt een periodeverdubbelingsbifurcatie op rond φ = 2.40De harmonische oplossing gaat hier over in de 1/2-subharmonische oplossing.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−10

0

10

20

30

40


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−100

0

100

200


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]



In deze sectie worden de verschillen besproken tussen de amplitude-frequentie plots waarbij geldtdat ’ξ = 0.1 en β = 10’ en ’ξ = 0.01 en β = 10’. De amplitude-frequentie plot van het laatstegeval staat geplot in figuur 4.29. De amplitude-frequentie plot van de steady-state responsie met’ξ = 0.1 en β = 10’ is figuur 4.22. De opvallendste verschillen zijn:

25

• De maximale positieve en negatieve uitwijkingen en snelheden zijn vele malen groter bijξ = 0.01. Ook zijn de pieken smaller.Zeker bij de resonanties zal een veel lagere dempingsconstante ξ (factor 10 kleiner) de bewe-ging minder dempen. De uitwijkingen en snelheden zullen dus veel groter zijn bij een lageredempingsconstante.

• Bij ξ = 0.01 zijn de resonantiepieken verschoven naar rechts voor de sweep-up.Bij ξ = 0.01 is er sprake van frequentie hysterese, zowel bij de harmonische als bij de 1/2-subharmonische resonantiepiek. Bij de 1/2-subharmonische resonantie is deze het duidelijkstte zien. Bij de sweep-up wordt bij φ = 3.5 een maximale responsie gevonden. Bij de sweep-down is dit het geval bij φ = 3.3; het gevonden maximum is hier veel lager. Het verstijvendekarakter van het Hertze contact wordt hier goed zichtbaar.

• Bij ξ = 0.01 wordt het begin van een 1/3-subharmonische resonantiepiek waargenomennabij φ = 5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

100

200

300

400


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1000

0

1000

2000


x

[-]

x

’ [-]

φ [-]

φ [-]


26

4.4 Vergelijking van het steady-state gedrag van twee con-tactmodellen in geval dat geldt ξ = 0.1, α = 10, β = 10

In deze sectie worden de verschillen tussen model een voor α = 10 en model twee voor β = 10besproken. Ten eerste valt op dat voor het tweede model geen 1/3-subharmonische resonantiegevonden wordt, dit in tegenstelling tot het eerste model.

Verder wordt wel in beide gevallen de harmonische en 1/2-subharmonische resonantie gevondenbij vrijwel gelijke frequenties. In beide gevallen wordt op φ = 0.70 een 2e superharmonischeresonantie en bij φ = 2.30 een periodeverdubbelingsbifurcatie gevonden. Enkel zijn de positieveen negatieve maximale uitwijkingen en snelheden in het tweede model een klein beetje groter.Ook zijn de (sub-)harmonische resonantiefrequenties iets naar rechts opgeschoven.

In het eerste model respondeert het systeem bij bepaalde frequenties in de vorm van cha-os, wat in het tweede model in deze frequentierange niet optreedt. Een mogelijke verklaring isdat model een bij relatief lage responsies nog steeds sterk niet-lineair is terwijl model twee danduidelijk minder niet-lineair is.

Zoals al in het voorgaande hoofdstuk is aangehaald met de figuren waarin Fc en Fh geplotzijn ten opzichte van de uitwijking y − x verandert in model een de stijfheid op y − x = 0discontinu in tegenstelling tot model twee waar geen plotselinge verandering in stijfheid is te zien.Dit wordt nog eens duidelijk weergegeven in de figuren 4.30 t/m 4.32. Dit duidelijke verschil iswaarschijnlijk de verklaring voor het feit dat het eerste model op een bepaalde frequentie chaoslaat zien, dit in tegenstelling tot het tweede model.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

FcFh

y−x [-]

F [-

]

Figuur 4.30: Kracht ten opzichte van de uitwijking y−x

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3−3

−2

−1

0

1

2

3

FcFh

y−x [-]

F [-

]

Figuur 4.31: Kracht ten opzichte van de uitwijking y−x, rond y − x = 0

27

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

dFc/d( )

dFh/d( )

Stij

fhei

d [-]

y−x [-]

y−x [-]y−x [-]

Figuur 4.32: Stijfheid ten opzichte van de uitwijking y − x

28

4.5 Serieschakeling van de twee contactveren


De bewegingsvergelijking voor het systeem met de in serie geschakelde piecewise lineaire veer ende Hertze contactveer ziet er als volgt uit (afgeleid in hoofdstuk 2.5, formule (2.11)):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σβ(z − x)32 (4.3)

Hierin geldt dat de enige te kiezen parameterwaarden ξ, α en β zijn. Merk op dat geldt β(z−x)32 =

α(y − z)

4.5.2 Steady state responsie met ξ = 0.1 en α = 10 en β = 10

Gekozen is om een dempingsfactor van ξ = 0.1 te beschouwen en α = β = 10 te nemen. Dezewaarden ingevuld in de bewegingsvergelijking (4.3) levert de amplitude-frequentie plot te zien infiguur 4.33. Deze figuur is tevens gegenereerd met behulp van de Matlab-file welke is te vindenin bijlage B.5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6

−4

−2

0

2

4

6 Sweep−up; maximale verplaatsingSweep−up, minimale verplaatsingSweep−down; maximale verplaatsingSweep−down, minimale verplaatsing

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−20

0

20


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.33: Frequentie-responsie voor ξ = 0.1 en α = 10 en β = 10

29

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6−0.5

0

0.5

1

1.5 Sweep−up; maximale verplaatsingSweep−up, minimale verplaatsingSweep−down; maximale verplaatsingSweep−down, minimale verplaatsing

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−20

0

20


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.34: Frequentie-responsie voor ξ = 0.1 enα = 10 en β = 10, ingezoomd rond verplaatsinggroter dan nul

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

6

6.2

6.4


0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

38

39

40

41


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.35: Frequentie-responsie voor ξ = 0.1 enα = 10 en β = 10, ingezoomd

Een aantal punten valt op wanneer deze responsie bekeken wordt, namelijk:

• Er is alleen een harmonische resonantie te zien bij φ = 1.1In de top bevindt zich de harmonische resonantie frequentie. Blijkbaar zijn er geen sub-harmonische oplossingen; de amplitude blijft na de harmonische resonantie naar nul conver-geren.

• De toppen in negatieve richting (in geval van de verplaatsing en de snelheid) zijn weerkleiner dan de toppen in positieve richting, maar het verschil is minder groot dan eerderhet geval was.

• De minimale verplaatsing komt boven x = 0 voor φ > 3.6 (zie figuur 4.34).Dit komt omdat de verplaatsing van x altijd positief is echter wordt de verplaatsing x − ywel negatief.

In het algemeen kan worden gesteld dat door het in serie schakelen van de twee contactveren, deeffectieve stijfheid van het totale contactelement lager wordt dan in secties 4.2.2 en 4.3.2. De kansop niet-lineaire verschijnselen zoals subharmonische oplossingen, superharmonische resonantiesen chaotische oplossingen is hier dus kleiner.Sommige steady-state responsies zijn nader te bekijken (met behulp van de Matlab-file in bijlageB.6). Om te beginnen is het interessant om de frequentie waar zich de harmonische resonantiebevindt nader te bekijken. Dit is op de frequentie φ = 1.10 (zie figuur 4.35).

De Poincare sectie bestaat uit een enkel punt (figuur 4.36).

0 2 4 6 8 10−10

−5

0

5

10

0 2 4 6 8 10−40

−20

0

20

40

−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


0 5 10 15 20−2

−1

0

1

2

0 5 10 15 20−10

−5

0

5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3


FasePoincare sectie

x

[-]

x

’ [-]

x

’ [-]

x’ [-] τ [-]

τ [-]


30

Wanneer figuur 4.33 nader wordt bekeken waarbij ingezoomd wordt is er nog een interes-sante frequentie namelijk φ = 0.55 (zie figuur 4.38), dit is ongeveer de helft van de harmonischeresonantie frequentie. Hier is sprake van een 2e superharmonische resonantie. Omdat de mate vanniet-lineariteit bij serieschakeling lager is, is ook het effect van deze superharmonische resonantiehier lager dan eerder het geval was (zie figuur 4.37).

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

1

1.2

1.4

1.6


0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

−5

0


φ [-]

φ [-]

x

[-]

x

’ [-]

Figuur 4.38: Frequentie-responsie voor ξ = 0.1 en α = 10 en β = 10, ingezoomd rond φ = 0.55

31

4.6 Aanvullende informatie in geval van serieschakeling

In geval van serieschakeling zullen bij verschillende waarden voor kc en kh de bijdrage van detwee in serie gestelde veren aan de flexibiliteit van het contactelement uiteraard verschillend zijn.Om hier beter inzicht in te krijgen is de verplaatsing y van de grond gelijk gesteld aan nul.Statische verplaatsing in x en z voor combinaties van kc en kh staan geplot in onderstaandefiguren bij toenemende statische drukbelasting.

−500 −450 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

x

z

Plot van statische geval voor verschillende combinaties van kh en kc. y wordt gelijk gesteld aan 0

kc=10 en kh=10

kc=1 en kh=10

kc=10 en kh=1

kc=0.01 en kh=10

kc=10 en kh=0.01

kc=1 en kh=1

kc=0.01 en kh=0.01

kc=0.01 en kh=100

Figuur 4.39: Verschillende combinaties van kc en kh

geplot (x [m] ten opzichte van z [m]

−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

x

z

Plot van statische geval voor verschillende combinaties van kh en kc. y wordt gelijk gesteld aan 0.

kc=10 en kh=10

kc=1 en kh=10

kc=10 en kh=1

kc=0.01 en kh=10

kc=1 en kh=1

kc=0.01 en kh=0.01

kc=0.01 en kh=100



−15 −10 −5 0−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

x

z

Plot van statische geval voor verschillende combinaties van kh en kc. y wordt gelijk gesteld aan 0.

kc=10 en kh=10

kc=1 en kh=10

kc=0.01 en kh=10

kc=1 en kh=1

kc=0.01 en kh=0.01

kc=0.01 en kh=100



De Matlab-file waarmee deze figuren zijn gemaakt staat weergegeven in B.7.

32

Hoofdstuk 5

Conclusies en aanbevelingen

5.1 conclusies

Het doel van dit onderzoek was het beschrijven en vergelijken van het steady-state gedrag vanverschillende dynamische systemen. Een drietal typen contactelementen zijn bekeken:

• Eenzijdig lineair contact

• Hertz contact

• Serieschakeling van een eenzijdige lineaire veer en een Hertze contactveer

Het steady-state gedrag van de modellen is geanalyseerd met behulp van numerieke methoden.Zogenaamde amplitude-frequentie plots zijn berekend voor zowel frequentie sweep-up als frequen-tie sweep-down. Op deze manier kunnen alleen stabiele steady-state oplossingen worden verkregenen kan een experiment worden gesimuleerd. Om in meer detail naar de steady-state responsies tekijken zijn voor bepaalde (interessante) frequenties tevens de modellen geanalyseerd met behulpvan time-history plots, fase plots en Poincare secties.

Het steady-state gedrag van de modellen is geanalyseerd en vergeleken met de parameter-waarden ξ = 0.1, α = 10 en β = 10. Nadat deze gevallen uitgebreid zijn besproken zijn enigeparameter variaties uitgevoerd en vergelijkingen tussen optredend steady-state gedrag gemaakt.

De belangrijkste overeenkomsten tussen model een (eenzijdig lineair contact met ξ = 0.1en α = 10) en model twee (Hertz contact met ξ = 0.1 en β = 10):

• Harmonische resonantie bij φ ≈ 1.55

• 1/2-subharmonische resonantie bij φ ≈ 3.10

• 2e superharmonische resonantie op φ ≈ 0.70

• Periodeverdubbelingsbifurcatie is waarneembaar op φ ≈ 2.30

33

De belangrijkste verschillen tussen model een (ξ = 0.1 en α = 10) en model twee (ξ = 0.1 enβ = 10):

Verschil Mogelijke oorzaakModel een toont een 1/3-subharmonische reso-nantie in tegenstelling tot model twee

De amplituden van de uitwijkingen en snelhedenvoor de 1/2-subharmonische oplossing zijn voorhet tweede model groter

Model een reageert voor sommige frequenties bijrelatief lage resonantieamplituden chaotisch, integenstelling tot het tweede model

De stijfheid in het eerste model neemt stapsgewijstoe wanneer x − y < 0 wordt. De stijfheid vanmodel twee wordt geleidelijk groter. Dit is eenmogelijke verklaring.

Model een laat frequentie hysterese zien in eenklein frequentie interval in tegenstelling tot modeltwee

Vervolgens kan worden geconcludeerd dat door de eenzijdige lineaire contactveer en deHertze contactveer in serie te schakelen de effectieve stijfheid van de totale contactveer vermin-derd wordt. Hierdoor wordt ook de mate van niet-lineariteit verlaagd en worden niet-lineairedynamische verschijnselen zoals subharmonische resonanties, chaotische oplossingen e.d. niet meerwaargenomen.

5.2 Aanbevelingen

In deze sectie worden de mogelijkheden voor vervolgonderzoek gegeven.

• De steady-state responsie van deze systemen beoordelen voor meer waarden voor ξ, α en β,met andere woorden: verdere parameterstudie.Door meer waarden voor ξ en α in te vullen komen er misschien nieuwe overeenkomsten ofverschillen aan het licht tussen de twee modellen. Anderzijds is het mogelijk dat er op dezemanier beter oorzaken benoemd kunnen worden.

• Oplossen van steady-state oplossingen (periodieke oplossingen) via een zogenaamd ’2-puntrandwaarde probleem’ (uit het pakket AUTO).Met behulp van deze methode worden ook instabiele oplossingen weergegeven wat er onderandere voor zorgt dat het optreden van frequentie hysterese inzichtelijker gemaakt wordt.

• Experimenten doenOm te begrijpen wat de bijdrage van deze systemen in de praktijk kan zijn is het natuur-lijk zeer interessant om daadwerkelijk experimenten te doen om berekende responsies teverifieren.

• Meer onderzoek naar het gehele systeem met behulp van onderzoek naar kc en khHet is belangrijk voor het gehele systeem om ervoor te zorgen dat beide veren (met stijfhedenkc en kh) een bijdrage leveren aan het systeem. Echter is dit moeilijk te bereiken daar eenveer niet-lineair is. Er zal dan ook onderzoek naar gedaan moeten worden wat de optimaleindelingen zijn.

34

Bibliografie

[Assinck] F.H. Assinck, Experimentele verificatie van het steady-state gedrag van een opgelegdebalk met een lokale niet-lineaire ondersteuning, Technische Universiteit Eindhoven, WFW-rapportnummer 93.093, Eindhoven, 1993.

[Callister] William D. Callister, Jr., Fundamentals of Materials Science and Engineering / AnInteractive, Sixth edition, University of Utah, Utah, 2001.

[Fey] R.H.B. Fey, Steady-state behaviour of reduced dynamic systems with local nonlinearities,Technische Universiteit Eindhoven, proefschrift, Eindhoven, 1992.

[Goldsmith] W. Goldsmith, IMPACT; The theory and physical behaviour of colliding solids, Uni-versity of California, Berkely, 1960.

35

Bijlage A

Afleidingen dimensilozebewegingsvergelijkingen

A.1 Afleiding van de dimensieloze bewegingsvergelijking ingeval dat geldt kh =∞

mx+ bx+ kx+ σkcx = by + ky + σkcy; x =x

Y, y =

y

Y(A.1)

x+b

mx+

k

mx+ σ

kcmx =

b

my +

k

my + σ

kcmy (A.2)

¨x+b

m˙x+

k

mx+ σ

kcmx =

b

m˙y +

k

my + σ

kcmy (A.3)

met

x =dx

dtx′ =

dx

dτ(A.4)

waarbij geldt voor de dimensiloze tijd:

τ = 12π t

√km →

ddt = 1

2π

√km

ddτ

geeft:

14π2

k

mx′′ +

12π

√k

m

b

mx′ +

k

mx+ σ

kcmx =

12π

√k

m

b

my′ +

k

my + σ

kcmy (A.5)

omschrijven geeft:

x′′ + 2π

√k

m

b

kx′ + 4π2x+ σ4π2 kc

kx = 2π

√k

m

b

ky′ + 4π2y + σ4π2 kc

ky (A.6)

omschrijven geeft:

x′′ + 2πb√km

x′ + 4π2x+ σ4π2 kckx = 2π

b√km

y′ + 4π2y + σ4π2 kcky (A.7)

met de dimensiloze dempingfactor ζ en de constante α:

36

ξ = b2√km

α = kc

k

geeft:x′′ + 4πξx′ + 4π2x+ 4π2σαx = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σαy;

Vervolgens de exitatie van de grond invoeren met de constante Ω:Ω = ω

ωs

Waarin geldt: ωs =√

km

Geeft:y = y

Y = Y cos (ωt)Y = cos (ωt) = cos ( ωωs

τ) = cos (Ωτ)

En: y′ = −Ω sin (Ωτ)

Samenvoegen geeft de oplossing:

x′′ + 4πξx′ + 4π2x+ 4π2σαx = 4πξ(−Ω sin (Ωτ)) + 4π2 cos (Ωτ) + 4π2σα(cos (Ωτ)); (A.8)

37

A.2 Afleiding van de dimensieloze bewegingsvergelijking ingeval dat geldt kc =∞

mx+ bx+ kx = by + ky + σkhy32 + σkh(y − x)

32 (A.9)

x+b

mx+

k

mx =

b

my +

k

my + σ

khm

(y − x)32 (A.10)

Stel hierin: x = xY en y = y

Y

¨x+b

m˙x+

k

mx =

b

m˙y +

k

my + σ

khm

(y − x)32 (A.11)

x =dx

dt, y =

dy

dt(A.12)

Voer de dimensiloze tijd in: τ = 12π t

√km →

ddt = 1

2π

√km

ddτ

wat geeft: x′ = dxdτ en y′ = dy

dτ . Samen geeft dit:

14π2

k

mx′′ +

12π

√k

m

b

mx′ +

k

mx =

12π

√k

m

b

my′ +

k

my + σ

khm

(y − x)32 (A.13)

omschrijven geeft:

x′′ + 2π

√k

m

b

kx′ + 4π2x = 2π

√k

m

b

ky′ + 4π2y + σ4π2 kh

k(y − x)

32 (A.14)

omschrijven geeft:

x′′ + 2πb√km

x′ + 4π2x = 2πb√km

y′ + 4π2y + σ4π2 khk

(y − x)32 (A.15)

met de dimensiloze dempingfactor ζ en de constante β:ξ = b

2√km

β = khY12

k

geeft:

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + σ4π2β(y − x)32 (A.16)

Vervolgens de exitatie van de grond invoeren met de constante Ω = ωωs

Waarin geldt: ωs =√

km

Geeft:y = y

Y = Y cos (ωt)Y = cos (ωt) = cos ( ωωs

τ) = cos (Ωτ)

En: y′ = −Ω sin (Ωτ)

Samenvoegen geeft de oplossing:

x′′ + 4πξx′ + 4π2x = 4πξy′ + 4π2y + 4π2σβ(y − x)32 (A.17)

38

A.3 Afleiding van de analytische oplossing in het lineairegeval

De amplitude X als functie van Ω moet geplot worden. Uit lineaire vergelijking kan een oplossingvoor x gevonden worden. Deze formules hebben de vorm van:

x(τ) = X sin (Ωτ + χ); χ = constantehoekverdraaiing (A.18)x′(τ) = wX cos (Ωτ + χ); w = constante (A.19)x′′(τ) = −zX sin (Ωτ + χ); z = constante (A.20)

x(τ) = X sin (Ωτ + χ) = Xsin sin(Ωτ) + Xcos cos(Ωτ) (A.21)x′(τ) = ΩXsin cos(Ωτ) +−ΩXcos sin(Ωτ) (A.22)x′′(τ) = −Ω2Xsin sin(Ωτ) +−Ω2Xcos cos(Ωτ) (A.23)

Hierin geldt:

X(Ω) =√

ˆX2sin(Ω) + ˆX2

cos(Ω) (A.24)

Deze exitatie (A.21, A.22, A.23) in de lineaire vergelijking (A.25) invullen levert (A.26):

x′′ + 4πξx′ + 4π2x+ 4π2σαx = 4πξ(−Ω sin (Ωτ)) + 4π2 cos (Ωτ) + 4π2σα(cos (Ωτ)); (A.25)

(−Ω2Xsin sin (Ωτ) +−Ω2Xcos cos(Ωτ)) +4πξ(ΩXsin cos(Ωτ) +−ΩXcos sin (Ωτ)) +

4π2(Xsin sin(Ωτ) + Xcos cos(Ωτ)) +4π2σα(Xsin sin(Ωτ) + Xcos cos(Ωτ)) =

4πξ(−Ω sin (Ωτ)) + 4π2 cos (Ωτ) + 4π2σα(cos (Ωτ)) (A.26)

Hierin geldt dat kc = 0 dus α = 0, wat geeft:

cos(Ωτ) · (−Ω2Xcos + 4πξΩXsin + 4π2Xcos) +sin(Ωτ) · (−Ω2Xsin − 4πξΩXcos + (4π2Xsin) =

−4πξΩsin(Ωτ) + 4π2cos(Ωτ) (A.27)

Vervang hierin Ω vervangen door (2πφ). Zodat de de frequentie volledig dimensieloos is (en dusniet van radialen afhangt).Voor sin(2πφτ) geldt:

−4π2φ2Xsin − 8π2φξXcos + 4π2Xsin = −8π2φξ (A.28)−φ2Xsin − 2φξXcos + Xsin = −2φξ (A.29)

Voor cos(2πφτ) geldt:

−4π2φ2Xcos + 8π2φξXsin + 4π2Xcos = 4π2 (A.30)−φ2Xcos + 2φξXsin + Xcos = 1 (A.31)

39

Uit (A.31) volgt dat voor Xcos geldt:

(1− φ2)Xcos = 1− 2φξXsin (A.32)

Xcos =1− 2φξXsin

1− φ2(A.33)

(A.29) en (A.33) samenvoegen geeft:

−φ2Xsin − 2φξ1− 2φξXsin

1− φ2+ Xsin = −2φξ (A.34)

Xsin(1− φ2 +4φ2ξ2

1− φ2) = 2φξ(

11− φ2

− 1) (A.35)

Xsin(φ) =2φξ( 1

1−φ2 − 1)

(1− φ2 + 4φ2ξ2

1−φ2 )(A.36)

Xsin(φ) =( 2φξ−2φξ(1−φ2)

1−φ2 )

( (1−φ2)2+4φ2ξ2

1−φ2 )(A.37)

Xsin(φ) =2φ3ξ

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2(A.38)

Uit (A.29) en (A.38) volgt dat voor Xcos geldt:

Xsin(φ) =−2φξ(Xcos − 1)

1− φ2=

2φ3ξ

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2(A.39)

Xcos(φ) =(2φ3ξ)(1− φ2)

((1− φ2)2 + 4φ2ξ2)(2φξ)+ 1 (A.40)

Xcos(φ) =φ2(1− φ2)

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2+ 1 (A.41)

Xcos(φ) =φ2(1− φ2) + (1− φ2)2 + 4φ2ξ2

((1− φ2)2 + 4φ2ξ2)(A.42)

Xcos(φ) =(−φ4 + φ2) + (φ4 − 2φ2 + 1) + 4φ2ξ2

((1− φ2)2 + 4φ2ξ2)(A.43)

Xcos(φ) =1− φ2 + 4φ2ξ2

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2(A.44)

Uiteindelijk kunnen deze uitdrukkingen ((A.44) en (A.38)) dus in de formule voor de amplitudeingevuld worden als volgt:

X(φ) =√X2sin(φ) + X2

cos(φ) (A.45)

Om te controleren of dit alles klopt wordt de frequentie φ = 1 geplot. Kies hierbij bijvoorbeeldeen waarde voor ξ = 0.01. De top van de resonantiepiek ligt dan op 50.01 (dit wordt aangetoondin met behulp van de volgende drie vergelijkingen.

Xsin(φ = 1) =2φ3ξ

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2=

2 · 0.014 · 0.012

= 50 (A.46)

Xcos(φ = 1) =1− φ2 + 4φ2ξ2

(1− φ2)2 + 4φ2ξ2=

4 · 0.012

4 · 0.012= 1 (A.47)

X(φ = 1) =√X2sin(φ = 1) + X2

cos(φ = 1) =√

50 + 1 = 50.01 (A.48)

40

Bijlage B

Matlab-files

B.1 Matlab-file bij figuur 2.6

close allclear allcommandwindow

E_st=207e9;v_st=0.30;

E_al=69e9;v_al=0.33;

E_pvc=4.14e9;v_pvc=0.38;

E_nylon=1.59e9;v_nylon=0.39;

R=[0.001:0.001:1000];

ks_st = (2*E_st*sqrt(R)) / (3*(1-v_st^2));ks_al = (2*E_al*sqrt(R)) / (3*(1-v_al^2));ks_pvc = (2*E_pvc*sqrt(R)) / (3*(1-v_pvc^2));ks_nylon = (2*E_nylon*sqrt(R)) / (3*(1-v_nylon^2));

loglog(R,ks_st, ’-.k’,...R,ks_al, ’--k’,...R,ks_pvc, ’:k’,...R,ks_nylon, ’-k’,’MarkerSize’,3);

legend(’Staal’,...’Aluminium’,...’PVC’,...’Nylon’)

ylabel(’ks different materials’)xlabel(’R (radius) [m]’)

41

B.2 Matlab-file bij figuren voor uitwijking ten opzichte vankracht 2.6

clear allclose allcommandwindow

x=[0:0.1:2.5];x2=[-2.5:0.1:0];kc=10;kh=10;k=1;

F=k.*x;Fc=(kc+k).*x2;Fh=-kh.*(-x2).^(3/2) + k.*x2;

dF=diff(F)dFc=diff(Fc)dFh=diff(Fh)%%figure(1)

plot(x,F,’-k’,x,F,’:kx’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,Fc,’-k’,x2,Fh,’:kx’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’F_c’,’F_h’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Kracht F [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)%%figure(2)

plot(x,F,’-k’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,Fc,’-k’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’F_c’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Kracht F [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)%%figure(3)

plot(x,F,’:kx’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,Fh,’:kx’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’F_h’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Kracht F [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)

%%%%figure(1)

42

plot(x,dF,’-k’,x,dF,’:kx’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,dFc,’-k’,x2,dFh,’:kx’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’dF_c’,’dF_h’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Stijfheid dF [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)%%figure(2)

plot(x,dF,’-k’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,dFc,’-k’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’dF_c’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Stijfheid dF [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)%%figure(3)

plot(x,dF,’:kx’,’MarkerSize’,8)hold onplot(x2,dFh,’:kx’,’MarkerSize’,8)grid on

legend(’dF_h’,’Location’,’SouthEast’)ylabel(’Stijfheid dF [N]’)xlabel(’Uitwijking (y-x) [m]’)

43

B.3 Matlab-file benodigde basisprogramma’s

B.3.1 Matlab-file parameters

function [T] = parameters

set(0,’DefaultLineLineWidth’,1.5)set(0,’DefaultLineMarkerSize’,4)

global ksi alpha f beta kc kh x1 y1 k

% initialisation

ksi=0;f=0;

% f: quotient of excitation frequency [Hz] of base excitation and natural% frequency [Hz] of system% ksi: dimensionless damping coefficient, b/(2*sqrt(m*k)% alpha: quotient of stiffness piecewise linear spring and linear spring

% Piecewise linear system with Hertz contact

ksi=0.1;alpha=20;beta=20;f=1;k=1;

T=1/f;

B.3.2 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model een

function xdot=pwlhz(t,x)%forced piecewise linear systemglobal ksi alpha f

x1=x(1); %displacement massx2=x(2); %velocity mass

y1=cos(2*pi*f*t); %prescribed ground displacementy2=-2*pi*f*sin(2*pi*f*t); %prescribed ground velocity

if (x1 >= y1)xdot=[x2

4*pi*pi*(y1-x1)+4*pi*ksi*(y2-x2)];elsexdot=[x2

4*pi*pi*(1+alpha)*(y1-x1)+4*pi*ksi*(y2-x2)];end

44

B.3.3 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model twee

function xdot=pwlhz(t,x)%forced piecewise linear systemglobal ksi beta f




4*pi*pi*(y1-x1)+4*pi*ksi*(y2-x2)];elsexdot=[x2

4*pi*pi*(y1-x1)+4*pi*pi*beta*(y1-x1)^(3/2)+4*pi*ksi*(y2-x2)];end

B.3.4 Matlab-file bewegingsvergelijking voor model geheel

function xdot=pwlhz(t,x)%Hertzian contactglobal ksi alpha f beta kc kh x1 y1 k




4*pi*pi*(y1-x1)+4*pi*ksi*(y2-x2)];else% z= via f solve

z0 = [(x1+y1)/2]; % Make a starting guess at the solutionif z0-x1 < 0

z0=x1;end

%options=optimset(’Display’,’iter’); % Option to display output%[z,fval] = fsolve(@myfun,z0,options) % Call optimizer

options=optimset(’Display’,’off’);z = fsolve(@myfun,z0, options); % Call optimizer

%xdot berekenenxdot=[x2

4*pi*pi*(y1-x1)+4*pi*pi*(z-x1)^(3/2)+4*pi*ksi*(y2-x2)];end

B.3.5 Matlab-file extra nodig voor model geheel

function fnonl = myfun(z)

45

global ksi alpha beta kc kh x1 y1 k

fnonl = [alpha*(y1-z)-beta*(z-x1)^(3/2)];

B.4 Matlab-file waarmee analytische oplossing vergelekenwordt met numerieke oplossing

Deze file kan alleen maar werken in samenwerking met de file uit bijlage B.3.1 en bijlage B.3.2.

% Om de analytische waarde te controleren: zet in parameters.m de waarden:% ksi=0.01, f=1, alpha=0% dan vallen de analytisch berekende waarde en de numerieke waarden gelijk.

clear allclose allclccommandwindow

global ksi alpha f

[T]=parameters;

x0=[1,0]; %initial conditions

NTI=100; %number of transient periods to let initial% transient damp out; once

NT=40; %number of transient periods to let transient% damp out; for each bifurcation parameter value

NS=6; %number of excitation steady-state periodsNB=500; %number of bifurcation parameter values (for

%frequency-sweep: number of discrete frequency points)

fs=0.02; %start frequencyfe=5.0; %end frequencydf=(fe-fs)/(NB-1);

f=fs; %frequency defined in parameter.m is overruledT=1/f;

TTI=NTI*(1/fs);

[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TTI],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear ttx0=x(end,:);clear x

%sweep-up

for i=1:NB

46

f=fs+(i-1)*dfT=1/f;

TT=NT*T;TS=NS*T;

clear x[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TT],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear ttx0=x(end,:);

clear x[ts,x]=ode45(@pwlhz,[0,TS],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));x0=x(end,:);

paru(i)=f;

dumax(i)=max(x(:,1));dumin(i)=min(x(:,1));dupp(i)=dumax(i)-dumin(i);

vumax(i)=max(x(:,2));vumin(i)=min(x(:,2));vupp(i)=vumax(i)-vumin(i);

end

% sweep diagrams

figure(1)plot(paru,dumax,’-k’,f,Xhat,’--kx’,’Markersize’,10);

xlabel(’Frequentie [Hz]’)ylabel(’Maximale verplaatsing [m]’)gridlegend(’Numeriek voor f=1, Alpha=0, Ksi=0.01’,’Analytisch voor f=1,...Alpha=0, ksi=0.01’)

Xhatmax=max(Xhat(:))XhatfIS1=Xhat(1)

47

B.5 Matlab-file waarmee frequentie-responsie plots zijn ge-maakt

Deze file kan alleen maar werken in samenwerking met de file uit bijlage B.3.1 en bijlage B.3.2 ofB.3.3 of (B.3.4 en B.3.5).


global ksi beta f

[T]=parameters;


NTI=100; %number of transient periods to let initial% transient damp out; once

NT=100; %number of transient periods to let transient% damp out; for each bifurcation parameter value

NS=6; %number of excitation steady-state periodsNB=250; %number of bifurcation parameter values (for

%frequency-sweep: number of discrete frequency points)

fs=0.02; %start frequencyfe=5.0; %end frequencydf=(fe-fs)/(NB-1);

f=fs; %frequency defined in parameter.m is overruledT=1/f;

TTI=NTI*(1/fs);

[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TTI],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear ttx0=x(end,:);clear x

%sweep-up

for i=1:NB

f=fs+(i-1)*dfT=1/f;

TT=NT*T;TS=NS*T;

clear x[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TT],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear tt

48

x0=x(end,:);


paru(i)=f;

dumax(i)=max(x(:,1));dumin(i)=min(x(:,1));dupp(i)=dumax(i)-dumin(i);

vumax(i)=max(x(:,2));vumin(i)=min(x(:,2));vupp(i)=vumax(i)-vumin(i);

end

%sweep-down

for i=1:NB

f=fe-(i-1)*dfT=1/f;

TT=NT*T;TS=NS*T;

clear x[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TT],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear ttx0=x(end,:);


pard(i)=f;

ddmax(i)=max(x(:,1));ddmin(i)=min(x(:,1));ddpp(i)=ddmax(i)-ddmin(i);

vdmax(i)=max(x(:,2));vdmin(i)=min(x(:,2));vdpp(i)=vdmax(i)-vdmin(i);

end

hold onfiguresubplot(2,1,1);plot(paru,dumax,’:k’,paru,dumin,’-k’,’MarkerSize’,6);

xlabel(’Frequentie [Hz]’)

49

ylabel(’Verplaatsing [m]’)gridlegend(’Sweep-up; maximale verplaatsing’,’Sweep-up, minimale verplaatsing’,...

’Location’,’NorthEast’)axis([0 5 -6 7]); % Kies hier steeds passende waarden bij elke figuur

subplot(2,1,2);plot(paru,vumax,’:k’,paru,vumin,’-k’,’MarkerSize’,6);

xlabel(’Frequentie [Hz]’)ylabel(’Snelheid [m/s]’)gridlegend(’Sweep-up; maximale snelheid’,’Sweep-up, minimale snelheid’,...

’Location’,’NorthEast’)axis([0 5 -45 45]); % Kies hier steeds passende waarden bij elke figuur

50

B.6 Matlab-file waarmee time-history plots zijn gemaakt

Deze file kan alleen maar werken in samenwerking met de file uit bijlage B.3.1 en bijlage B.3.2 ofB.3.3 of (B.3.4 en B.3.5).


global ksi alpha f

[T]=parameters;

NT=100; %number of transient periods to let transient damp outNS=10; %number of excitation steady-state periods

ksi=0.1;beta=10;alpha=10;

%%for i=0.55

f=i

T=1/f


TS=NS*T;

if NT > 0TT=NT*T;[tt,x]=ode45(@pwlhz,[0,TT],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));clear ttx0=x(end,:);clear x

end

[ts,x]=ode45(@pwlhz,[0,TS],x0,odeset(’RelTol’,1e-6,’AbsTol’,1e-6));

% determining max and min displacement and velocity

xmax=max(x(:,1));xmin=min(x(:,1));ymax=max(x(:,2));ymin=min(x(:,2));

% interpolation between calculated (non equidistant) time points for% determining Poincare points

nt=length(ts);

51

tp(1)=ts(1); %=0x1p(1)=x(1,1);x2p(1)=x(1,2);TP=T;k=2;for j=1:nt;

if ts(j) > TP;dt=ts(j)-ts(j-1);x1p(k)=((ts(j)-TP)*x(j-1,1)+(TP-ts(j-1))*x(j,1))/dt;x2p(k)=((ts(j)-TP)*x(j-1,2)+(TP-ts(j-1))*x(j,2))/dt;tp(k)=TP;TP=TP+T;k=k+1;

endend

hold onfiguresubplot(2,1,1);plot(paru,dumax,’:k’,paru,dumin,’-k’,pard,ddmax,’-.k’,pard,ddmin,’--k’,’MarkerSize’,6);

xlabel(’Frequentie [Hz]’)ylabel(’Verplaatsing [m]’)gridlegend(’Sweep-up; maximale verplaatsing’,’Sweep-up, minimale verplaatsing’,...

’Sweep-down; maximale verplaatsing’,’Sweep-down, minimale verplaatsing’,...’Location’,’NorthEast’)axis([0 5 -6 7]);

subplot(2,1,2);plot(paru,vumax,’:k’,paru,vumin,’-k’,pard,vdmax,’-.k’,pard,vdmin,’--k’,’MarkerSize’,6);

xlabel(’Frequentie [Hz]’)ylabel(’Snelheid [m/s]’)gridlegend(’Sweep-up; maximale snelheid’,’Sweep-up, minimale snelheid’,...

’Sweep-down; maximale snelheid’,’Sweep-down, minimale snelheid’,...’Location’,’NorthEast’)

axis([0 5 -45 45]);end

52

B.7 Matlab-file waarmee vergelijkende plots voor kc en khzijn gemaakt

clear allclose allcommandwindow

z=[0:-.3:-10]

kc10=10;kh10=10;kc1=1;kh1=1;kc001=0.01;kh001=0.01;kc100=100;kh100=100;x10_10=-((kc10/kh10.*-z).^(2/3)-z);

x1_10=-((kc1/kh10.*-z).^(2/3)-z);

x10_1=-((kc10/kh1.*-z).^(2/3)-z);

x001_10=-((kc001/kh10.*-z).^(2/3)-z);

x10_001=-((kc10/kh001.*-z).^(2/3)-z);

x1_1=-((kc1/kh1.*-z).^(2/3)-z);

x001_001=-((kc001/kh001.*-z).^(2/3)-z);

x001_100=-((kc001/kh100.*-z).^(2/3)-z);

figure(1)plot(x10_10,z,’*k’,...

x1_10,z,’-k’,...x10_1,z,’--kx’,...x001_10,z,’--k’,...x10_001,z,’-ko’,...x1_1,z,’:k’,...x001_001,z,’-.k’,...x001_100,z,’-kd’)

legend(’k_c=10 en k_h=10’,...’k_c=1 en k_h=10’,...’k_c=10 en k_h=1’,...’k_c=0.01 en k_h=10’,...’k_c=10 en k_h=0.01’,...’k_c=1 en k_h=1’,...’k_c=0.01 en k_h=0.01’,...’k_c=0.01 en k_h=100’,’Position’,2)


53

x1_10,z,’-k’,...x10_1,z,’--kx’,...x001_10,z,’-k<’,...x1_1,z,’:k’,...x001_001,z,’-.k’,...x001_100,z,’-k>’)

legend(’k_c=10 en k_h=10’,...’k_c=1 en k_h=10’,...’k_c=10 en k_h=1’,...’k_c=0.01 en k_h=10’,...’k_c=1 en k_h=1’,...’k_c=0.01 en k_h=0.01’,...’k_c=0.01 en k_h=100’,’Position’,2)


x1_10,z,’-k’,...x001_10,z,’-k<’,...x1_1,z,’:k’,...x001_001,z,’-.k’,...x001_100,z,’-k>’)

legend(’k_c=10 en k_h=10’,...’k_c=1 en k_h=10’,...’k_c=0.01 en k_h=10’,...’k_c=1 en k_h=1’,...’k_c=0.01 en k_h=0.01’,...’k_c=0.01 en k_h=100’,’Position’,2)

figure(1)title(’Plot van statische geval voor verschillende combinaties...van k_h en k_c. y wordt gelijk gesteld aan 0’)ylabel(’z’)xlabel(’x’)

figure(2)title(’Plot van statische geval voor verschillende combinaties...van k_h en k_c. y wordt gelijk gesteld aan 0.’)ylabel(’z’)xlabel(’x’)

figure(3)title(’Plot van statische geval voor verschillende combinaties...van k_h en k_c. y wordt gelijk gesteld aan 0.’)ylabel(’z’)xlabel(’x’)

54

TU/e - Mechanical Engineeringlsakf Vergelijking van steady-state responsies voor systemen met...

Documents

Transcript of TU/e - Mechanical Engineeringlsakf Vergelijking van steady-state responsies voor systemen met...