Toegepaste wiskunde deel 2 5e druk - Managementboek.nl€¦ · hbo-propedeuse. Bij technische...

H O G E R O N D E R W I J S

Toegepaste Wiskunde VOOR HET HOGER ONDERWIJS

Jan Blankespoor

Kees de Joode

Aad Sluijter

Toe

gep

aste W

isku

nd

e vo

or h

et h

oge

r on

de

rwijs | D

ee

l 2

W I S K U N D E & S T A T I S T I E K

W I S K U N D E

T O E G E P A S T E W I S K U N D E V O O R H E T H O G E R O N D E R W I J S | D E E L 2

DEEL 2

5edrukDe herziene serie toegepaste wiskunde

voor het hoger onderwijs is geschikt

voor alle opleidingen waar wiskundige

vaardigheden een belangrijke plaats

innemen, met name in de sector

Techniek, zowel in het hbo als in de

technische universiteiten. De nadruk

ligt op het trainen van wiskundige

vaardigheden. De student past de

wiskundige vaardigheden ook toe in

praktische situaties.

De serie is tot stand gekomen op basis

van de volgende indeling:

Deel Inleiding: behandelt het

basisniveau wiskunde; tevens

geschikt voor het wegwerken van een

wiskundedeficiëntie.

Deel 1: behandelt (vrijwel) de gehele

propedeusewiskunde van het technisch

hbo.

Deel 2: is vooral bedoeld voor

het wiskundeonderwijs ná de

hbo-propedeuse. Bij technische

universiteiten zal deze stof nog wel tot

de propedeuse behoren.

Dit deel 2 bevat de hoofdstukken

Vectoren, Complexe getallen, Matrices

en determinanten, Functies van twee

of meer variabelen, Meervoudige

integralen, bol- en cilindercoördinaten,

Differentiaalvergelijkingen, De

Laplacetransformatie en Rijen en

reeksen. Ook dit deel bevat veel

voorbeelden, waarmee de student

de theorie leert toe te passen vanuit

beschreven contexten (meestal

afkomstig uit de techniek), met veel

opgaven en leeropdrachten.

Elk hoofdstuk bevat een aantal

Maple-voorbeelden en vraagstukken,

die overigens ook met een ander

computeralgebrasysteem te maken

zijn. De toepassing van Maple is zoveel

mogelijk geïntegreerd met de theorie en

de voorbeelden.

De auteurs gaan ervan uit dat de student

voor de onderwerpen in dit boek vaker

de computer zal gebruiken dan in deel 1

van de serie. Er is voldoende aandacht

besteed aan de theoretische concepten,

opdat de student de computer (of de

grafische rekenmachine) niet als black-

box hoeft te gebruiken, maar weet wat

hij/zij doet.

Op de website www.thiememeulenhoff.

nl/wiskunde zijn de uitwerkingen van de

vraagstukken uit de herhalingsopgaven

te vinden.

Deel 2 is een onmisbaar hulpmiddel

voor iedere student in de sector

Techniek, die de technische wiskunde

wil leren begrijpen en toepassen.

9 789006 310856

9006310856_omslag.indd 1 5/04/18 15:15

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 2 30/03/18 09:48

Toegepaste wiskunde Deel 2


Toegepaste Wiskundevoor het hoger onderwijs

Deel 2

drs. J.H. Blankespoordrs. C. de Joodeir. A. Sluijter

Vijfde, herziene druk


Over ThiemeMeulenhoffThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leer-oplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt.

Samen leren vernieuwen.

www.thiememeulenhoff.nl

ISBN 978 90 06 310856Vijfde druk, eerste oplage 2018

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2018

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden ver-veelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek-tronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uit-gever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

COLOFON

Auteursdrs. J.H. Blankespoordrs. C. de Joodeir. A. Sluijter

Opmaak binnenwerkCrius Group

Opmaak omslagCrius Group

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.

Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.


INHOUD

Inhoud

Voorwoord 11

1 Vectoren 13

1.1 Inleiding 13 1.2 Plaatsvectoren 14 1.2.1 Plaatsvectoren in het platte vlak 14 1.2.2 Plaatsvectoren in de ruimte 15 1.2.3 Plaatsvectoren in ℝ

n 16

1.2.4 Optellen en scalair vermenigvuldigen 17 1.2.5 Eenheidsvectoren en nulvectoren 19 1.3 Het inwendig product van twee vectoren 20 1.3.1 Definitie van het inwendig product 20 1.3.2 Eigenschappen van het inwendig product 21 1.3.3 Meetkundige betekenis van het inwendig product 21 1.3.4 Projectie 23 1.4 Het uitwendig product van twee vectoren 25 1.4.1 Definitie van het uitwendig product 25 1.4.2 Eigenschappen van het uitwendig product 26 1.4.3 Het berekenen van het uitwendig product 26 1.4.4 Enkele toepassingen van het uitwendig product 28 1.5 Vectorrekening met Maple 34 1.6 Herhalingsopgaven 35 1.7 Samenvatting van hoofdstuk 1 36


6INHOUD

2 Complexe getallen 39

2.1 Inleiding 39 2.2 De verzameling ℂ 39 2.3 Het rekenen met complexe getallen 41 2.4 Het complexe vlak 43 2.5 Complexe getallen in goniometrische vorm 44 2.6 Het rekenen met complexe getallen in de goniometrische vorm 49 2.7 De formule van Euler 52 2.8 Het oplossen van vergelijkingen 54 2.8.1 Het oplossen van az

2 + bz + c = 0 waarbij a, b, c ∈ ℝ en a ≠ 0 54

2.8.2 Het oplossen van z n = c , waarbij n ∈ ℕ , n ≥ 2 en c ∈ ℂ 55

2.8.3 Het oplossen van az 2 + bz + c = 0 , waarbij a, b, c ∈ ℂ en a ≠ 0 57

2.9 Wisselsignalen en complexe getallen 59 2.9.1 Wisselsignalen en complexe wisselsignalen 59 2.9.2 Het optellen van wisselsignalen 61 2.9.3 Het differentiëren van wisselsignalen 61 2.10 Complexe getallen met Maple 63 2.11 Herhalingsopgaven 66 2.12 Samenvatting van hoofdstuk 2 67

3 Matrices en determinanten 71

3.1 Matrices 71 3.1.1 Basisbegrippen 71 3.1.2 De som van matrices en scalaire vermenigvuldiging van een matrix 73 3.1.3 Het product van matrices 74 3.1.4 Matrixrekening met Maple 78 3.2 Stelsels lineaire vergelijkingen 83 3.3 Determinanten 93 3.3.1 Determinant van een 2 × 2− matrix 94 3.3.2 Determinant van een 3 × 3− matrix 94 3.3.3 Determinant van een n × n− matrix 99 3.3.4 Determinanten berekenen met Maple 100 3.4 De inverse matrix 100 3.4.1 Het bepalen van de inverse matrix 101 3.4.2 Orthogonale matrices 104 3.4.3 Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van de inverse 104 3.4.4 Berekenen van de inverse matrix met Maple 105 3.5 De regel van Cramer 107 3.6 Lineaire (on)afhankelijkheid, basis en coördinatentransformatie 112 3.6.1 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid 112 3.6.2 Basis 113 3.6.3 Coördinatentransformatie 115 3.7 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonalisering 118 3.7.1 Het berekenen van eigenwaarden en eigenvectoren 118 3.7.2 Diagonalisering van vierkante matrices 122 3.7.3 Eigenwaarden en eigenvectoren met Maple 126 3.8 Herhalingsopgaven 128 3.9 Samenvatting van hoofdstuk 3 130


7

4 Functies van twee of meer variabelen 135

4.1 Inleiding 135 4.2 Oppervlakken in de ruimte 138 4.2.1 Platte vlakken 138 4.2.2 Tweedegraadsoppervlakken 139 4.2.3 Oppervlakken tekenen met behulp van Maple 143 4.3 Functies van twee of meer variabelen 145 4.4 Partiële afgeleiden van de eerste orde 148 4.5 Meetkundige betekenis van de partiële afgeleiden van een functie van twee

variabelen 152 4.6 De totale differentiaal 155 4.7 Toepassingen in de foutenleer 158 4.8 De afgeleide van een samengestelde functie, de totale afgeleide 163 4.9 Impliciet differentiëren 165 4.10 Partiële afgeleiden van hogere orde 169 4.11 Extreme waarden van een functie van twee variabelen 172 4.12 De kleinste kwadratenmethode 179 4.13 Herhalingsopgaven 186 4.14 Samenvatting van hoofdstuk 4 187

5 Meervoudige integralen, bol- en cilinder coördinaten 191

5.1 Definitie van de herhaalde integraal 191 5.2 Gebiedsbeschrijvingen 192 5.2.1 Gebiedsbeschrijving door middel van rechthoekscoördinaten 192 5.2.2 Gebiedsbeschrijving door middel van poolcoördinaten 197 5.3 De herhaalde integraal in rechthoekscoördinaten 202 5.4 De herhaalde integraal in poolcoördinaten 209 5.5 Toepassingen van herhaalde integralen 212 5.5.1 Inhoud en oppervlakte 212 5.5.2 Toepassingen uit de mechanica 214 5.6 Coördinatenstelsels in de ruimte 220 5.6.1 Cilindercoördinaten 221 5.6.2 Bolcoördinaten 223 5.7 Herhalingsopgaven 226 5.8 Samenvatting van hoofdstuk 5 227

6 Differentiaal vergelijkingen 231

6.1 Inleiding 231 6.2 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 235 6.2.1 Inleiding 235 6.2.2 Meetkundige betekenis van een differentiaalvergelijking 237 6.2.3 Differentiaalvergelijkingen met te scheiden variabelen 240 6.2.4 Singuliere oplossingen 243 6.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 245 6.3.1 Inleiding 245 6.3.2 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met

constante coëfficiënten 249 6.3.3 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

met constante coëfficiënten 251

INHOUD


8 INHOUD

6.4 Praktische toepassingen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 260 6.4.1 De afkoelingswet van Newton 260 6.4.2 De absorptiewet van Lambert 261 6.4.3 Elektrische RL-netwerken 261 6.4.4 Elektrische RC-netwerken 264 6.5 Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 268 6.5.1 Inleiding 268 6.5.2 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 271 6.6 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante

coëfficiënten 273 6.6.1 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde

met constante coëfficiënten 273 6.6.2 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde

met constante coëfficiënten 279 6.7 Praktische toepassingen differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 289 6.7.1 Harmonische trillingen 289 6.7.2 Massa-veersystemen 290 6.7.3 Elektrische netwerken 293 6.8 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde met constante

coëfficiënten 296 6.8.1 Homogene lineaire hogere orde differentiaalvergelijkingen met

constante coëfficiënten 297 6.8.2 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante

coëfficiënten 298 6.9 Stelsels differentiaalvergelijkingen en eigenwaarden 299 6.10 Het numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen 303 6.10.1 De methode van Euler 304 6.10.2 De methode van Euler-Heun 307 6.10.3 Numerieke oplossingen van hogere orde differentiaalvergelijkingen 310 6.11 Herhalingsopgaven 311 6.12 Samenvatting van hoofdstuk 6 312

7 De Laplace transformatie 315

7.1 Definitie van de Laplacetransformatie 315 7.2 Eigenschappen en standaardgetransformeerden 317 7.3 De inverse Laplacetransformatie 322 7.3.1 Definitie en eenvoudige voorbeelden 322 7.3.2 Inverse transformatie van verschoven functies 323 7.3.3 Inverse transformatie via breuksplitsen 326 7.4 Differentiatie- en integratiestellingen 330 7.5 Oplossen van differentiaalvergelijkingen 334 7.5.1 Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen 334 7.5.2 Oplossen van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen 336 7.6 Bijzondere functies; verschuiven in het tijddomein 338 7.6.1 De functie van Heaviside 339 7.6.2 Verschuiving in het t-domein 342 7.6.3 De deltafunctie van Dirac 349 7.6.4 De inverse Laplacegetransformeerde van vormen met e-machten 352 7.7 Toepassingen van de Laplacetransformatie in elektrische netwerken 355 7.7.1 Inleiding 355 7.7.2 Eenmazige netwerken 357 7.7.3 Meermazige netwerken 359


9

7.8 Periodieke functies 363 7.9 De Laplacetransformatie en Maple 367 7.10 Herhalingsopgaven 374 7.11 Samenvatting van hoofdstuk 7 375

8 Rijen en reeksen 379

8.1 Inleiding 379 8.1.1 Getalrijen 379 8.1.2 Reeksen 381 8.1.3 Het gebruik van Maple bij reeksen 384 8.2 Enkele soorten rijen en reeksen 385 8.2.1 Rekenkundige rijen en reeksen 385 8.2.2 Meetkundige rijen en reeksen 387 8.3 Reeksontwikkeling en machtreeksen 393 8.4 Taylorreeksen 394 8.4.1 Taylorreeksen in x = 0 395 8.4.2 Taylorreeksen in een willekeurig punt x = a 400 8.4.3 Taylorreeksen met Maple bepalen 402 8.5 Linearisering 403 8.6 Toepassingen van Taylorreeksen 405 8.7 Herhalingsopgaven 407 8.8 Samenvatting van hoofdstuk 8 408

Antwoorden 411

Register 450


VOORWOORD

Deel 2 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is de voortzetting van deel 2 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs. Dit boek bevat onderwerpen die in de meeste hbo-opleidingen in de sector techniek na de propedeuse behandeld worden, terwijl ze bij de opleidingen aan technische universi-teiten meestal nog wel in de propedeuse thuishoren. Ten opzichte van de genoemde vorige (vierde) druk van deel 2 is er een nieuw hoofd-stuk over Laplacetransformaties toegevoegd. Verder zijn de hoofdstukken enigszins herschikt in de meest logische volgorde. De hoofdstukken over vectoren, complexe getallen, matrices en determinanten, functies van meer dan één variabele, integratie van functies van twee variabelen, differentiaalvergelijkingen en rijen en reeksen zijn opnieuw herzien en waar nodig bewerkt.Net als deel 1 bevat elk hoofdstuk een aantal voorbeelden en vraagstukken in Maple, maar deze zijn uiteraard ook te maken ook met een ander computeralgebrasysteem. De auteurs zijn van mening dat computeralgebra vrijwel onmisbaar is, maar dat de student zich sowieso eerst de achterliggende wiskundige concepten eigen zal moeten maken. Om dit doel te bereiken is dit boek zo opgebouwd dat eerst de theoretische concepten bestudeerd zullen moeten worden; vooral bij de wat moeilijkere vraagstuk-ken kan vervolgens de computer worden ingezet. Van Maple is in dit boek de zoge-naamde classic versie gebruikt. Deze versie kan ook op de jongste versies van Maple (17) gevonden worden door deze via Tools/Options/Display/Input Display: Maple Notation te activeren.Op de website www.thiememeulenhoff.nl/wiskunde is aanvullend studiemateriaal te vinden, onder andere een Maple-cursus.

Delft, september 2017Jan BlankespoorKees de JoodeAad Sluijter

Voorwoord


12

Bij hoofdstuk 1

Dit hoofdstuk gaat over vectoren. Een vector is een wiskundige grootheid, met een of meer kentallen (ook wel componenten genoemd), meestal reële getallen.Een vector kan in een plat vlak (de tweedimensionale ruimte) of de ruimte (ook wel: driedimensionale ruimte) worden voorgesteld als een lijnstuk met een richting. De lengte van het lijnstuk stelt de grootte van de vector voor. De richting kan worden uitgedrukt in de hoek(en) die de vector met de coördinaatassen maakt.Met een aantal speciaal gedefinieerde regels kan met vectoren worden gerekend. Deze regels vormen met elkaar een aantal gereedschappen dat in veel toepassingen van nut kan zijn. In de twee- of driedimensionale ruimte kunnen deze regels ook meetkundig worden geïllustreerd. Vectoren zijn in de mechanica onmisbaar voor het analyseren van constructies en bewegingen. In de elektrotechniek kunnen netwerken met behulp van vectorrekening worden doorgerekend. Bovendien vormen vectoren een belang-rijke opstap naar de matrixrekening, zie hiervoor hoofdstuk 3 van dit boek. Ook in hoofdstuk 2 (Complexe getallen) zien we overeenkomsten met de vectorrekening.

Hoofdstuk 1 bevat de volgende onderwerpen.• plaatsvectoren in platte vlak en ruimte• plaatsvectoren in de n-dimensionale ruimte• optellen en aftrekken van vectoren• scalairen en vectoren• eenheidsvectoren en nulvectoren• inwendig product van twee vectoren• toepassingen van het inwendig product• projecties• uitwendig product• toepassingen van het uitwendig product

HOOFDSTUK 1Vectoren


HOOFDSTUK 1

Vectoren1

1.1 Inleiding

Veel natuurkundige grootheden zijn al volledig bepaald als de grootte ervan met de eenheid gegeven is. Dergelijke grootheden worden scalaire grootheden of kortweg scalairen genoemd. Voorbeelden van zulke grootheden zijn lengte, oppervlakte, tem-peratuur, tijd en druk.Andere grootheden, zoals kracht, snelheid, impuls, moment van een kracht en mag-netische fluxdichtheid hebben zowel een grootte als een richting. Deze grootheden kunnen worden voorgesteld door vectoren.Onder een vector wordt verstaan een gericht lijnstuk met een bepaalde lengte, gete-kend als een pijl. Een vector wordt bepaald door het beginpunt en het eindpunt van het gerichte lijnstuk. In figuur 1.1 is P het beginpunt en Q het eindpunt van de vector. Deze vector wordt aangegeven met

⟶ PQ .

Figuur 1.1 Q

P

Vectoren kunnen worden onderscheiden in drie categorieën:1 Vectoren met een vast beginpunt; dit zijn de plaatsvectoren.2 Vectoren die verplaatst mogen worden langs de lijn waarop de vector ligt (deze lijn

heet de drager van de vector).3 Vectoren zonder een vast beginpunt en een vaste drager; dit zijn de vrije vectoren.

Voorbeelden van vectoren die langs de drager verplaatst mogen worden, zijn de krach-ten die op een voorwerp werken, zoals in staticaberekeningen. Zo maakt het voor het externe effect van de kracht op het voorwerp in figuur 1.2 niet uit of de kracht

→ F in

punt B of in punt A aangrijpt. Voor de interne effecten van de kracht op het voorwerp,


14 VectorenHOOFDSTUK 1

zoals de door de kracht veroorzaakte spanningen in het materiaal, maakt het echter wel uit waar de kracht aangrijpt.We zullen in dit hoofdstuk ook nog voorbeelden geven van vrije vectoren.De vectortheorie wordt in dit hoofdstuk behandeld voor plaatsvectoren. Deze theorie geldt echter ook voor vectoren in de andere twee categorieën.

Figuur 1.2 A B

FF

1.2 Plaatsvectoren

1.2.1 Plaatsvectoren in het platte vlak

In het platte vlak gaan we uit van het bekende xy-assenstelsel. In figuur 1.3 wordt

de vector ⟶

OA bepaald door beginpunt O en zijn eindpunt A = ( a 1 , a

2 ) . In het vervolg

wordt ⟶

OA aangeduid met a → (dezelfde letter als het eindpunt A). De lijn door O en A heet de drager van a → . De vector kan op twee manieren worden genoteerd:

a → = ( a

1

a 2 ) : a → als kolomvector

a → = ( a 1 , a

2 ) : a → als rijvector

Figuur 1.3

O

y-as

x-as

a

A(a1, a2)

a1

a2

�

De getallen a 1 en a

2 heten de coördinaten, componenten of kentallen van de vector.

In dit boek wordt de voorkeur gegeven aan de notatie van vectoren als kolomvectoren; de berekeningen nemen dan wel meer ruimte in beslag maar zijn overzichtelijker.

De verzameling van alle vectoren ( a

1

a 2 ) , met a

1 , a

2 ∈ ℝ noemen we de tweedimensi-

onale vectorruimte ℝ 2 .Er geldt dus:

ℝ 2 = { ( a

1

a 2 ) , met a

1 , a

2 ∈ ℝ} (1.1)

De lengte van a → , notatie | a → | , is de lengte van het lijnstuk OA.Deze lengte is als volgt te berekenen (met de stelling van Pythagoras):

| a → | = √ _____

a 1 2 + a

2 2 (1.2)

De hoek φ die de vector maakt met de positieve x-as geeft de richting van de vector

aan. Er geldt tan φ = a

2 __ a

1 . Voor een vector in het eerste en vierde kwadrant geldt dan

φ = arctan ( a

2 __ a

1 ) . Voor een vector in het tweede of derde kwadrant kunnen we de hoek


15VectorenHOOFDSTUK 1

niet direct via de ‘arctan’ berekenen, omdat de arctangens altijd een hoek tussen − 1 __ 2 π

en 1 __ 2 π radialen levert.

OpdrachtBereken de lengte van de vector a → = ( − 3

4 ) en de hoek die a → maakt met de

positieve x-as.

1.2.2 Plaatsvectoren in de ruimte

Een vector in de ruimte kan worden vastgelegd met behulp van drie onderling lood-rechte assen. Dit zijn de x-as, de y-as en de z-as, die elkaar in de oorsprong O snijden (zie figuur 1.4a). Dit is een voorbeeld van een rechtsdraaiend assenstelsel. Dit houdt in dat als we de vingers van de rechterhand draaien van de positieve x-as naar de posi-tieve y-as, de duim in de richting van de positieve z-as wijst.We hebben nu, zie figuur 1.4b:

a → =

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ , waarbij a

1 , a

2 en a

3 de kentallen zijn van de vector a → .

Figuur 1.4a

x-as

O

z-as

y-as

Figuur 1.4b

O

a

A(a1, a2, a3)

B

�z�y

�x

a1

a2

a3

y-as

z-as

x-as

De drie-dimensionale vectorruimte ℝ 3 wordt gedefinieerd door

ℝ 3 =

⎧

⎪ ⎨

⎪

⎩

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ , met a

1 , a

2 , a

3 ∈ ℝ

⎫

⎪ ⎬

⎪

⎭ (1.3)



De lengte van a → wordt berekend door tweemaal de stelling van Pythagoras toe te passen.

Eerst wordt OB berekend: OB = √ _____

a 1 2 + a

2 2 , vervolgens OA volgens O A 2 = O B 2 + a

3 2 ,

zodat voor de lengte van a → geldt:

| a → | = √ _

a 1 2 + a

2 2 + a

3 2 (1.4)

De richting van de vector in figuur 1.4b wordt bepaald door de hoeken φ x , φ

y en φ

z , die

de vector maakt met respectievelijk de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as. Er geldt:

cos φ x =

a 1 ___

| a → | , cos φ

y =

a 2 ___

| a → | en cos φ

z =

a 3 ___

| a → |

Hieruit zijn de hoeken φ x , φ

y en φ

z te berekenen.

Opdracht

Gegeven de vector b →

= (

4 − 1

− 3 )

. Bereken de lengte van →

b en de hoeken die →

b

maakt met de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as.

1.2.3 Plaatsvectoren in ℝ n

De n-dimensionale vectorruimte ℝ n wordt als volgt gedefinieerd:

ℝ n =

⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩

⎛

⎜

⎝

a 1

a

2

⋮

a n

⎞

⎟

⎠

, met a i ∈ ℝ, voor i = 1,2,…, n

⎫

⎪

⎬ ⎪

⎭

(1.5)

Deze ℝ n kunnen we voor n ≥ 4 niet meer meetkundig voorstellen. Een vector in ℝ n kan worden gebruikt om een aantal variabelen tegelijk aan te duiden.Zo wordt met de vector

x → =

⎛

⎜

⎝

x 1

x

2

⋮

x 10

⎞

⎟

⎠

de verzameling variabelen x 1 , x

2 , …, x

10 aangegeven. Hier komen we uitgebreid op

terug bij het oplossen van stelsels vergelijkingen (paragraaf 3.2).Voor de lengte van de n-dimensionale vector a → geldt

| a → | = √ ___________

a 1 2 + a

2 2 + … + a

n 2 (1.6)

Twee vectoren zijn gelijk, notatie a → = b →

, als ze hetzelfde aantal kentallen hebben en alle overeenkomstige kentallen gelijk zijn.



1.2.4 Optellen en scalair vermenigvuldigen

De optelling van twee vectoren in ℝ 2 wordt gedefinieerd door

a → + b →

= ( a

1

a 2 ) + (

b 1

b 2 ) = (

a 1 + b

1

a 2 + b

2 ) (1.7)

De optelling wordt dus coördinaatsgewijs uitgevoerd.In ℝ 3 wordt de optelling op overeenkomstige wijze gedefinieerd door

a → + b →

=

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ +

⎛ ⎜

⎝

b 1

b 2

b 3

⎞ ⎟

⎠ =

⎛ ⎜

⎝

a 1 + b

1

a 2 + b

2

a 3 + b

3

⎞ ⎟

⎠ (1.8)

De optelling kan grafisch in het platte vlak en in de ruimte worden bepaald met behulp van de zogenoemde parallellogramconstructie. In figuur 1.5a is dit uitgevoerd in het platte vlak. De optelling kan ook bepaald worden met de ‘kop-aan-staart-methode’ (figuur 1.5b). Hierbij wordt het beginpunt (de staart) van de evenwijdig verschoven vector b

→ verbonden met het eindpunt (de kop) van a → . Het resultaat is in beide gevallen

dezelfde somvector.

Figuur 1.5aParallellogram-

constructie

O

a +b

a

y-as

x-as

b

Figuur 1.5bKop-aan-staart-

methode

O

a +b

a

b

y-as

x-as

In ℝ 2 wordt scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door

λ a → = λ ( a

1

a 2 ) = (

λ a 1 λ a

2 ) , met λ ∈ ℝ (1.9)

Het getal λ heet een scalar of scalair.Voor λ ≠ 0 hebben de vectoren a → en λ a → dezelfde drager.In ℝ 3 is de scalaire vermenigvuldiging op dezelfde manier gedefinieerd als in ℝ 2 :

λ a → = λ

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ =

⎛ ⎜

⎝

λ a 1

λ a 2

λ a 3

⎞ ⎟

⎠ , met λ ∈ ℝ (1.10)



In ℝ n is de optelling van twee vectoren op overeenkomstige wijze gedefinieerd als in ℝ 2 en ℝ 3 .

a → + b →

=

⎛

⎜

⎝

a 1

a

2

⋮

a n

⎞

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

b 1

b

2

⋮

b n

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

a 1 + b

1

a

2 + b

2

⋮

a n + b

n

⎞

⎟

⎠

(1.11)

De scalaire vermenigvuldiging in ℝ n is ook op overeenkomstige wijze gedefinieerd als in ℝ 2 en ℝ 3 .

λ a → = λ

⎛

⎜

⎝

a 1

a

2

⋮

a n

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

λ a 1

λ a

2

⋮

λ a n

⎞

⎟

⎠

, met λ ∈ ℝ (1.12)

Voorbeeld 1 Als a → = ( a

1

a 2 ) , dan is 2 a → = (

2 a 1

2 a 2 ) en − a → = (

− a 1

− a 2 ) , zie figuur 1.6.

Deze drie vectoren liggen op dezelfde drager.

Figuur 1.6

O

a

2a

–a

y-as

x-as

■

Voor het verschil van twee vectoren a → en →

b , notatie a → − →

b , geldt a → − →

b = a → + (− →

b ) . Ook het verschil kan in het platte vlak en in de ruimte grafisch bepaald worden met behulp van de parallellogramconstructie. In figuur 1.7a is deze constructie uitgevoerd in het platte vlak.

Figuur 1.7aParallellogram-

constructie van het verschil

a

–b

O

y-as

x-as

a – b

b



In figuur 1.7b is de verschilvector met de ‘kop-aan-staart-methode’ bepaald.

Figuur 1.7bKop-aan-staart-

methode van het verschil

–b

O

a

y-as

x-as

b

a – b

OpdrachtBereken en construeer a → +

→ b , a → −

→ b en

→ b − a → als a → = ( − 1

3 ) en

→ b = ( 2

− 4 ) .

1.2.5 Eenheidsvectoren en nulvectoren

Onder een eenheidsvector verstaan we een vector met lengte 1.

In ℝ 2 zijn e → 1 = ( 1

0 ) en e →

2 = ( 0

1 ) de eenheidsvectoren, die respectievelijk langs de x-as

en y-as liggen. Dit zijn niet de enige eenheidsvectoren in ℝ 2 . Ook bijvoorbeeld (

3 __ 5

4 __ 5 )

heeft lengte 1.

We kunnen elke vector a → = ( a

1

a 2 ) uitdrukken in één eenheidsvector. Deze eenheidsvec-

tor berekenen we door de lengte van a → te berekenen ( | a → | = √ _____

a 1 2 + a

2 2 ) en vervolgens

de factor 1 ___ | a → |

ervoor te zetten. We noemen dit proces normeren. De genormeerde

a → e van a → = (

a 1

a 2 ) is dus a →

e = 1 ___

| a → | a → . Dit is een eenheidsvector, want de lengte is 1. We

kunnen ook schrijven: a → = | a → | ⋅ a → e . Hiermee is a → uitgedrukt in de eenheidsvector die

dezelfde richting heeft als a → .

Iedere vector a → = ( a

1

a 2 ) is ook te schrijven als een zogeheten lineaire combinatie van

de eenheidsvectoren e → 1 = ( 1

0 ) en e →

2 = ( 0

1 ) :

a → = ( a

1

a 2 ) = (

a 1

0 ) + (

0 a

2 ) = a

1 ( 1

0 ) + a

2 ( 0

1 ) = a

1 e →

1 + a

2 e →

2

Zo kunnen we bijvoorbeeld voor a → = ( 5 2 ) ook schrijven:

a → = ( 5 2 ) = ( 5

0 ) + ( 0

2 ) = 5 ( 1

0 ) + 2 ( 0

1 ) = 5 e →

1 + 2 e →

2

Analoog zijn in ℝ 3 de vectoren e → 1 =

( 1 0

0 )

, e → 2 =

( 0 1

0 )

en e → 3 =

( 0 0

1 )

de eenheidsvecto-

ren, die respectievelijk langs de x-as, de y-as en de z-as liggen.

Iedere vector a → =

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ kan geschreven worden als a → = a

1 e →

1 + a

2 e →

2 + a

3 e →

3 .

Ook hier geldt: de genormeerde a → e van a → =

⎛ ⎜

⎝

a 1

a 2

a 3

⎞ ⎟

⎠ is de eenheidsvector a →

e = 1 ___

| a → | a → en

geldt a → = | a → | ⋅ a → e .



In ℝ n zijn de vectoren e → 1 =

⎛ ⎜

⎝

1

0 ⋮

0

⎞ ⎟

⎠ , e →

2 =

⎛ ⎜

⎝

0

1 0

0

⎞ ⎟

⎠ , …, e →

n =

⎛ ⎜

⎝

0

0 ⋮

1

⎞ ⎟

⎠ eenheidsvectoren.

Als a → =

⎛

⎜

⎝

a 1

a

2

⋮

a n

⎞

⎟

⎠

, dan is a → te schrijven als a → = a 1 e →

1 + a

2 e →

2 + … + a

n e →

n (1.13)

De vector →

0 = ( 0 0 ) heet de nulvector in ℝ 2 . In ℝ n is de nulvector

→ 0 =

⎛ ⎜

⎝

0

0 ⋮

0

⎞ ⎟

⎠ .

Opgaven bij 1.2

1 Gegeven de vectoren a → = (

1 2

− 1 )

, →

b = (

0 1

4 )

en c → = (

1 − 5

0 )

.

Bereken:

a a → + →

b en →

b + a → d ( a → + →

b ) + c → en a → + ( →

b + c → )

b | a → + →

b | en | a → | + | → b | e | a → − →

b | en | a → | − | → b | c 3 a → −

→ b + 2 c → f a → + 2

→ b − 4 c →

2 Gegeven de vectoren → a = ( 2 1

) , →

b = ( 1 − 2

) en c → = ( 0 − 1

) .

a Construeer (grafisch) de vectoren a → + →

b − 2 → c en − a → − →

b + 2 c → .

b Controleer via berekeningen het resultaat van vraag 2a.

3 Gegeven zijn de vectoren ( a 6 ) en ( 2

a ) . Voor welke waarde(n) van a hebben deze

vectoren dezelfde drager?


1 − 3

4 )

en →

b = (

2 − 2

− 5 )

.

a Bereken de hoeken die a → maakt met de positieve x-, y- en z-as.

b Bereken de hoeken die →

b maakt met de positieve x-, y- en z-as.

c Bepaal de genormeerde van a → en van →

b .

1.3 Het inwendig product van twee vectoren

1.3.1 Definitie van het inwendig product

Het inwendig product van de vectoren a → en →

b in ℝ n , notatie a → · b →

(een dikke punt, niet te verwarren met het vermenigvuldigingsteken voor reële getallen, de gewone punt), wordt als volgt gedefinieerd:

a → · b →

= a 1 b

1 + a

2 b

2 + … + a

n b

n = ∑

i=1

n

a i b

i (1.14)

Het inwendig product van twee vectoren is dus een getal (scalar)! Het inwendig pro-duct wordt daarom ook wel scalair product genoemd.

Kiezen we →

b = a → , dan gaat formule (1.14) over in a → · a → = a 1 a

1 + a

2 a

2 + … + a

n a

n = ∑

i=1

n

a i 2 ,

zodat de lengte van a → ook met behulp van een inwendig product kan worden bepaald:

| a → | = √ _____

a → · a →



Voorbeeld 2 Bepaal het inwendig product van a → = (

2 5

− 1 )

en →

b = (

1 0

− 6 )

.

Oplossing a → · b

→ = 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 + ( − 1) ⋅ ( − 6) = 8 ■

OpdrachtBepaal het inwendig product van p → =

( 2 1

− 4 )

en q → = (

− 1

3 − 5

)

.

1.3.2 Eigenschappen van het inwendig product

Het inwendig product bezit een aantal eigenschappen dat overeenkomt met de eigen-schappen van het product van getallen.

Voor de vectoren a → , →

b en c → in ℝ n en scalar k ∈ ℝ geldt

a → · b →

= →

b · a → (commutatieve eigenschap) (1.15)

( a → + →

b ) · c → = a → · c → + →

b · c → (distributieve eigenschap) (1.16)

(k a → ) · b →

= a → · (k →

b ) = k ( a → · →

b ) (1.17)

a → · a → ≥ 0 en a → · a → = 0 ⇔ a → = →

0 (1.18)

OpdrachtToon formule (1.16) en formule (1.17) aan voor vectoren in ℝ 2 .

Voorbeeld 3 Gegeven zijn de vectoren a → = ( 1 2 ) ,

→ b = ( 2

3 ) en c → = ( 3

4 ) .

Bereken ( a → + →

b ) · c → .

OplossingWe kunnen deze berekening op twee manieren uitvoeren:

1 Eerst a → + →

b = ( 3 5 ) en vervolgens ( a → +

→ b ) · c → = 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 = 29 .

2 ( a → + →

b ) · c → = a → · c → + →

b · c → = (1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ) + (2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ) = 29 . ■

1.3.3 Meetkundige betekenis van het inwendig product

In figuur 1.8 is φ , waarbij φ ∈ [0,π] , de hoek tussen a → en →

b in ℝ 2 . We zullen zien dat we met behulp van een inwendig product de hoek φ kunnen bepalen.

Figuur 1.8

a

b

O

y-as

x-as

��

�

a1

a2

b2

b1

1

2



Er geldt: cos φ = cos ( φ 2 − φ

1 )

= cos φ 1 cos φ

2 + sin φ

1 sin φ

2

= a

1 ___

| a → | ⋅

b 1 ___

| → b | +

a 2 ___

| a → | ⋅

b 2 ___

| → b |

= a

1 b

1 + a

2 b

2 ________

| a → | | b →

|

Hieruit volgt:

cos φ = a → · →

b _____ | a → | | → b |

zodat we voor de hoek φ vinden:

φ = arccos ( a → · →

b _____ | a → | | → b |

) (1.19)

Uit cos φ = a → · →

b _____ | a → | | → b |

volgt ook

a → · →

b = | a → | | → b | cos φ (1.20)

Dit is een tweede manier om een inwendig product te berekenen. De ingesloten hoek tussen de vectoren a → en

→ b moet dan wel bekend zijn.

In ℝ n , waarbij n ≥ 4 , is de hoek tussen twee vectoren niet meer voor te stellen. We kunnen het begrip hoek wel uitbreiden voor ℝ n , waarbij n ≥ 4 , door formule (1.19) als definitie te nemen. We gaan hier niet verder op in.

Voorbeeld 4 Bepaal de hoek tussen a → = (

1 2

0 )

en →

b = (

3 − 2

1 )

.

Oplossing

a → · →

b = − 1 , | a → | = √ _____

a → · a → = √ __

5 , | → b | = √ _____

→

b · →

b = √ ___

14

Er volgt voor de hoek φ :

φ = arccos ( a → · →

b _____ | a → | | → b |

) = arccos ( − 0, 11952 ) = 1, 691 rad ≈ 96, 86° . ■

OpdrachtBepaal de hoek tussen de vectoren u → =

( 2 1

− 3 )

en v → = (

1 − 2

1 )

.

In het platte vlak en in de ruimte staan twee vectoren a → en →

b , beide niet de nulvector,

loodrecht op elkaar, notatie a → ⊥ →

b , als voor de hoek φ tussen a → en →

b geldt dat φ = 1 __ 2 π

ofwel φ = 90° . Dan is cos φ = 0 , zodat a → · →

b = | a → | | → b | cos φ = 0 .

Is omgekeerd a → · →

b = 0 , terwijl a → ≠ →

0 en →

b ≠ →

0 , dan volgt uit → a · →

b = | a → | | → b | cos φ dat

cos φ = 0 , dus φ = 1 __ 2 π ofwel φ = 90° ; dit betekent dat a → ⊥ →

b .

In ℝ 2 en ℝ 3 geldt dus voor → a en →

b , waarbij a → ≠ →

0 en →

b ≠ →

0 :

a → ⊥ →

b ⇔ a → · →

b = 0 (1.21)



Als twee vectoren a → en →

b loodrecht op elkaar staan, dan heten a → en →

b orthogonaal.

OpdrachtOnderzoek of de vectoren a → =

( − 1

2 5 )

en →

b = (

2 − 4

3 )

loodrecht op elkaar staan.

Toepassingen van het inwendig product vinden we vooral in de natuurkunde. Zo is in figuur 1.9 de arbeid W, die een constante kracht

→ F verricht op een deeltje, waarvan de

verplaatsing gegeven wordt door de vector → s gelijk aan:

W = →

F · → s

Figuur 1.9

s

F

1.3.4 Projectie

Onder de projectie van →

b op a → , beide niet de nulvector, verstaan we de vector die ont-

staat door het eindpunt van →

b op de drager van a → te projecteren. De projectie is alleen in het platte vlak en in de ruimte voor te stellen, zodat we dit niet definiëren voor vectoren in ℝ n , waarbij n ≥ 4 .We leiden de formule voor de projectie af voor twee vectoren in het platte vlak.Het verkregen resultaat geldt ook voor twee vectoren in de ruimte.

Voor φ , een scherpe hoek tussen twee vectoren in het platte vlak, zoals in figuur 1.10,

is | → b | cos φ de lengte van de projectie van →

b op a → . Is φ een stompe hoek tussen twee vectoren in het platte vlak, zoals in figuur 1.11, dan is de lengte van de projectie gelijk

aan | → b | cos (π − φ) = − | → b | cos (φ) .

Figuur 1.10

�

�

a

b

b| | cos

Figuur 1.11

�

a

b

�b– | | cos

Voor het bepalen van de projectie p → van →

b op a → , hebben we de eenheidsvector in de richting van a → nodig.



Zoals aangetoond in paragraaf 1.2 is deze eenheidsvector de vector a → e = 1 ___

| a → | a →

(de genormeerde van de vector a → ).Als de hoek φ tussen beide vectoren scherp is, dan vinden we voor de projectie p → van

→ b op a → (zie figuur 1.10):

p → = ( | → b | cos φ) a → e = | → b | a → ·

→ b _____

| a → | | → b | a →

e = a → ·

→ b _____

| a → | a →

e = ( 1 ___

| a → | a → ·

→ b ) a →

e

= ( a → e ·

→ b ) a →

e

Als de hoek φ stomp is, dan vinden we (zie figuur 1.11):

→ p = ( | → b | cos (π − φ )) (− a → e ) = − | → b | cos (φ ) (− a →

e ) = ( | → b | cos (φ )) a →

e .

Er volgt, zie hiervoor bij de afleiding als de hoek φ scherp is:

p → = ( | → b | cos φ) a → e = ( a →

e ·

→ b ) a →

e .

We concluderen dat voor de projectie p → van →

b op a → zowel voor scherpe als stompe hoek φ geldt:

p → = ( a → · →

b ) a → e (1.22)

Op overeenkomstige wijze kan worden afgeleid dat voor de projectie p → van a → op →

b geldt:

p → = ( a → · b →

e ) b

→ e , waarbij b

→ e = 1 ___

| → b | →

b (1.23)

Opmerking

Uit a → · →

b = | a → | | → b | cos φ (formule (1.20)) volgt dat voor een scherpe hoek

φ , a → · →

b gelijk is aan de lengte van a → vermenigvuldigd met de lengte van de

projectie van →

b op a → . Eveneens geldt natuurlijk dat, voor een scherpe hoek

φ , a → · →

b gelijk is aan de lengte van →

b vermenigvuldigd met de lengte van de

projectie van a → op →

b .

Voorbeeld 5 Gegeven a → = (

1 2

0 )

en →

b = (

2 − 6

2 )

. Bepaal de projectie van →

b op a → .

Oplossing

Er geldt: a → e = 1 ___

| a → | a → = 1 __

√ __

5 (

1 2

0 )

zodat a → e ·

→ b = 1 __

√ __

5 (2 − 12 + 0 ) = − 10 ___

√ __

5 . Voor de projectie p → van a → op

→ b geldt nu

p → = ( a → e ·

→ b ) a →

e = − 10 ___

√ __

5 ⋅ 1 __

√ __

5 (

1 2

0 )

= (

− 2

− 4 0 )

.

Een tekening van de situatie is te zien in figuur 1.12. We zien dat moet gelden

( →

b − p → ) ⊥ a → . Dit is inderdaad het geval:

( →

b − p → ) · a → = (

4 − 2

2 )

· ( 1

2 0

)

= 4 − 4 + 0 = 0 .



Figuur 1.12

ap

b b – p

■

Opgaven bij 1.3

1 Bereken ( a → · →

b ) c → en a → ( →

b · c → ) met a → = (

1 2

− 3 )

, →

b = (

− 1

3 0 )

en c → = (

1 1

− 1 )

.


2 − 4

1 )

en →

b = (

3 5

1 )

. Bepaal de hoek tussen a → en →

b .

3 Geef twee vectoren in ℝ 4 , waarvan geen enkel kental nul is en waarvoor geldt → a · →

b = 0 .

4 Voor welke waarde(n) van t staan de vectoren → a = (

t 2

1 )

en →

b = (

4 t

4 )

loodrecht op elkaar?


4

2 2

)

en →

b = (

− 1

1 − 1

)

.

a Bepaal de hoek tussen a → en →

b .

b Bepaal de projectie van a → op →

b en van →

b op a → .

6 Een constante kracht van 10 N maakt een hoek van 1 __ 6 π rad met de positieve x-as.

Onder invloed van deze kracht beweegt een voorwerp in een rechte lijn van het punt (1, − 2) naar het punt (4,7) in het xy-vlak.

De eenheid van lengte is meter. Bereken de door de kracht verrichte arbeid.

1.4 Het uitwendig product van twee vectoren

1.4.1 Definitie van het uitwendig product

Uitsluitend in ℝ 3 is naast het inwendig product nog een ander product van twee vec-toren a → en

→ b gedefinieerd: het uitwendig product, ook wel uitproduct of vectorproduct

genoemd. Het uitwendig product wordt genoteerd als a → × →

b . In tegenstelling tot het

inwendig product is het uitwendig product een vector. Het uitwendig product a → × →

b is als volgt gedefinieerd:

1 De lengte van a → × →

b is gelijk aan

| a → × →

b | = | a → | | → b | sin φ (1.24)

waarbij φ de hoek is tussen a → en →

b .

2 De vector a → × →

b staat loodrecht op a → en →

b . De richting van a → × →

b is volgens de rech-terhandregel: wanneer de vingers van de rechterhand over de kleinste hoek draaien

van a → naar →

b , dan geeft de duim de richting aan van a → × →

b , zie figuur 1.13.


H O G E R O N D E R W I J S

Toegepaste Wiskunde VOOR HET HOGER ONDERWIJS

Jan Blankespoor

Kees de Joode

Aad Sluijter

Toe

gep

aste W

isku

nd

e vo

or h

et h

oge

r on

de

rwijs | D

ee

l 2

W I S K U N D E & S T A T I S T I E K

W I S K U N D E

T O E G E P A S T E W I S K U N D E V O O R H E T H O G E R O N D E R W I J S | D E E L 2

DEEL 2

5edrukDe herziene serie toegepaste wiskunde

voor het hoger onderwijs is geschikt

voor alle opleidingen waar wiskundige

vaardigheden een belangrijke plaats

innemen, met name in de sector

Techniek, zowel in het hbo als in de

technische universiteiten. De nadruk

ligt op het trainen van wiskundige

vaardigheden. De student past de

wiskundige vaardigheden ook toe in

praktische situaties.

De serie is tot stand gekomen op basis

van de volgende indeling:

Deel Inleiding: behandelt het

basisniveau wiskunde; tevens

geschikt voor het wegwerken van een

wiskundedeficiëntie.

Deel 1: behandelt (vrijwel) de gehele

propedeusewiskunde van het technisch

hbo.

Deel 2: is vooral bedoeld voor

het wiskundeonderwijs ná de

hbo-propedeuse. Bij technische

universiteiten zal deze stof nog wel tot

de propedeuse behoren.

Dit deel 2 bevat de hoofdstukken

Vectoren, Complexe getallen, Matrices

en determinanten, Functies van twee

of meer variabelen, Meervoudige

integralen, bol- en cilindercoördinaten,

Differentiaalvergelijkingen, De

Laplacetransformatie en Rijen en

reeksen. Ook dit deel bevat veel

voorbeelden, waarmee de student

de theorie leert toe te passen vanuit

beschreven contexten (meestal

afkomstig uit de techniek), met veel

opgaven en leeropdrachten.

Elk hoofdstuk bevat een aantal

Maple-voorbeelden en vraagstukken,

die overigens ook met een ander

computeralgebrasysteem te maken

zijn. De toepassing van Maple is zoveel

mogelijk geïntegreerd met de theorie en

de voorbeelden.

De auteurs gaan ervan uit dat de student

voor de onderwerpen in dit boek vaker

de computer zal gebruiken dan in deel 1

van de serie. Er is voldoende aandacht

besteed aan de theoretische concepten,

opdat de student de computer (of de

grafische rekenmachine) niet als black-

box hoeft te gebruiken, maar weet wat

hij/zij doet.

Op de website www.thiememeulenhoff.

nl/wiskunde zijn de uitwerkingen van de

vraagstukken uit de herhalingsopgaven

te vinden.

Deel 2 is een onmisbaar hulpmiddel

voor iedere student in de sector

Techniek, die de technische wiskunde

wil leren begrijpen en toepassen.

9 789006 310856

9006310856_omslag.indd 1 5/04/18 15:15

Toegepaste wiskunde deel 2 5e druk - Managementboek.nl€¦ · hbo-propedeuse. Bij technische...

Documents

Transcript of Toegepaste wiskunde deel 2 5e druk - Managementboek.nl€¦ · hbo-propedeuse. Bij technische...