Thermique Notions fondamentales · 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec...

ThermiqueNotions fondamentales

Jean-Martial Cohard

[email protected]

Thermique :Introduction

climatisationEau chaude

chauffage

Pourquoi étudier la thermique en génie civil ?

Le confort est il la seule raison ? …


Quelle facture pour notre petit confort ?

Consommation énergétiquePar secteur en Mtep

(million de tonnes équivalent pétrole) = 41,868 PJ

Facture énergétique par énergie

en Milliard de francs courants

Source :www.industrie.gouv.fr/energie


L’évolution de la consommation pour le secteur résidentiel tertiaire

pourcentage de la consommation d'énergie pour le secteur résidentiel

33.13%31.28%

29.53%26.73% 25.65% 25.20% 25.72% 25.27%

0%

20%

40%

1970 1973 1979 1985 1990 1995 2000 2004

consomation par énergie pour le secteur résidentiel tertiaire

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

1973 1979 1985 1990 1995 1998 1999 2000 2002 2003 2004

boisélectricité (tep)charbon (tep)pétrole (tep)gaz (tep)


Les réactions pour alléger les charges :Mise en place de réglementation

1974

Naissance du coefficient G

(G comme "déperditions Globales")

1976

1ère réglementation pour

le secteur non résidentiel,

Apparition du coefficient G1

1980

Lancement du 1er label :

le Label Haute Isolation

1982

Arrivée du coefficient B

(B comme "Besoins de chauffage"). Les niveaux

d’isolation du Label Haute Isolation deviennent

obligatoires pour tous les logements. Fait nouveau : les apports solaires sont déduits des déperditions pour calculer les besoins

de chauffage

1983

Lancement des labels Haute Performance

Energétique (HPE) et Solaire

1988

Introduction du coefficient C (C comme

"Consommations") ;1er

renforcement de la réglementation pour le

secteur non résidentiel ;

progression des labels HPE et Solaire

L’exigence réglementaire porte désormais sur la

consommation C,Economies cumulées depuis 1986Par secteur en Mtep

Source :www.industrie.gouv.fr/energie


Lutter contre l’effet de serre

Les prévisions pour 2010 sont de l’ordre de 122 Mt pour le bâtiment

Le protocole de Kyoto préconise un retour au niveau de 1990 pour le total

Pour le secteur bâtiment L’effort d’économie représente 16,6% du total des émissions

émission de CO2 en Million de tonnes

78 92 142 167 142 138 133 114 131 128 126 115 117 127 117 123 120 115 119 111 119 121

368440

541624

555 574479 475 505 492 467 460 470 483 474 498 485 483 477 492 501 498

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1960

1965

1970

1973

1975

1980

1985

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

(e)

2002

2003

2004

secteur batiment total France


Les enjeux d’aujourd’hui :La RT 2000 … 2005 … 2012

1 Un enjeu planétaire

Lutter contre l’effet de serre

2 Un enjeu social

Maîtriser les loyers et les chargesPour que chacun puisse trouver un logement

correspondant à ses capacités financières, Les préoccupations actuelles d’économie d’énergie

intègrent elles aussi cet aspect.

3 Un enjeu de compétitivité

Etre présent sur le marché européen et à l’international

4 Un enjeu de simplification

Favoriser l’application de la réglementation et l’innovation.


Principes de la RT2000

• Des exigences à satisfaire :

• Des outils de calcul pour les coefficients Ubat (W/K.m2), C, …

• Des solutions technologiques agréées pour satisfaire la réglementation

• Deux démarches possibles

-Consommation C < Cref

-Température Tic <Ticref

-Performance des matériaux et des installations

mettre en place les solutions proposées

Utiliser les logiciels de calcul pour optimiser les installations


Objectifs du cours

comprendre les processus d’échange thermique entre différents milieux pour :

• décoder les coefficients proposés par la réglementation,

• Choisir des matériaux isolants,

• Concevoir des éléments de structure pour casser les ponts thermiques,

• Estimer le séchage d’un ouvrage en béton,


Plan du cours

I- INTRODUCTION

II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE1- Les grandeurs thermiques2- Les modes de transmission de la chaleur

III- CONDUCTION THERMIQUE1- Régime permanent2- Régime transitoire3- Analogie avec l’électricité

IV- CONVECTION THERMIQUE1- Introduction2- Convection naturelle3- Convection forcée

V- TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT1- Généralité2- Quelques définitions3- Interaction rayonnement-matière4- Rayonnement électromagnétique et température5- Lois fondamentales du rayonnement6- Transfert par rayonnement entre surfaces

Q

T1T2

T1> T2

TS

T∞ < TS

Mouvement de fluide forcé ou induit par ∆T Q

T1 T2

Q

La grande Ennéade d’Héliopolis nous renseigne sur le sujet :

• Rê-Atoum - le dieu solaire créateur de l’univers

• Sekhmet - une déesse qui évoque la toute puissance des radiations solaires. Elle incarne l’œil flamboyant de l’astre solaire

• Tefnout - la chaleur, le souffle humide, une incarnation de Sekhmet


Qu’est-ce que la chaleur?


Qu’est-ce que la chaleur?

– Joseph Black (1728 - 1799) est plus éloquent• La théorie calorique: un fluide invisible,

indestructible et sans masse qui migre d’un corps chaud vers un corps plus froid.

– Antoine Lavoisier (1743 – 1794) nous renseigne• «un fluide très subtil, très élastique, qui environne

de toutes parts la planète que nous habitons, qui pénètre avec plus ou moins de facilité les corps qui la composent, et qui tend lorsqu'il est libre, à se mettre en équilibre dans tous ».


Qu’est-ce que la chaleur?Benjamin Thompson (1753 – 1814)

« It is hardly necessary to add, that anything which any insulated body [...] can continue to furnish without limitation, cannot be a material substance; and it appears to me to be extremely difficult, if not quite impossible, to form any distinct idea of anything capable of being excited and communicated in the manner the heat was excited and communicated in these experiments, except it be motion. »

James P. Joule (1818 – 1889)

Illustration du premier principe de la thermodynamique :∆U = W + Q

http://scienceworld.wolfram.com/biography/photo-credits.html

http://scienceworld.wolfram.com/biography/photo-credits.html


Qu’est-ce que la Température?

T1

La température caractérise l’état d’énergie de la matière :

l’agitation des molécules pour un fluide,Les vibrations des atomes pour les solides


Les modes de transmission de la chaleur

Q

T1T2

T1> T2

Conduction thermique

échange de chaleur entre deux points d'un solide ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et

opaque. L’énergie de vibration (ou d’agitation) se transmet d’atome à atome (de molécule à molécule).

C’est un transfert lent.

TS

T∞ < TS


Conduction thermique

transfert de chaleur dans la matière avec mouvement macroscopique de

la matière. Ce type de transfert n’intervient que pour les liquides et

les gaz (C’est le fluide en mouvement qui transporte de la

chaleur).

T1 T2

Q

Rayonnement

échange de chaleur entre deux parois séparées par un milieu transparent ou semi-transparent. Les matériaux ont la propriété d’absorber ou d’émettre des photons qui emporte l’énergie. L’énergie emportée ou absorbée fait varier la

température du matériaux. Il s’agit d’un transfert à distance quasi-instantané sans nécessité de

support matériel.


Chaleur latente, chaleur sensible

T1

T2

Tf

Tf

Q1→2 = m.cp.(T1 – T2) cp : chaleur spécifique

T0 = 0° = cste

T0 = 0° = cste

Q = m.L L : coef de chaleur

latente m : masse des glaçons


Plan du cours

I- INTRODUCTION





Q

T1T2

T1> T2

TS

T∞ < TS


T1 T2

Q

Conductionthermique

Qu’est ce que la conduction

Q

T1 T2

T1> T2

Dans les liquides :Agitation moléculaire

(mouvement brownien)

Dans les solides : Vibration des molécules

Q

T1 T2

T1> T2

Conductionthermique

Notre appréciation de la conduction

La céramique nous paraît chaude lorsqu’elle est vide à température

ambiante. Elle conduit mal la chaleur de notre main. De même lorsqu’elle est pleine de café chaud, on ne se

brûle pas (trop) les doigts …

La cuillère en argent nous paraît fraîche lorsqu’elle est à température

ambiante. Elle conduit bien la chaleur de notre main, et l’emporte

facilement pour augmenter sa température. De même lorsqu’elle est

dans le café chaud, elle s’échauffe rapidement …

Conductionthermique

Régime permanent, régime transitoireRégime permanent :

T1, T(x), T2, sont constant . La température ne varie pas au court du temps.

T1 T2

P1→2

dS

T(x)

xy

z

x

T(x)

T1

T2

Régime transitoire :Exemple : une barre à la température T2

dont une extrémité est plongée subitement à la température T1. La

température T(x) dans la barre varie en fonction du temps.

T1 T2

P1→2

dS

T(x)

x

z

x

T(x)

T1

T2t1

t3 t2

t4

Conductionthermique

Régime permanent : Joseph FOURIER

Rien ne prédestinait Joseph Fourier à connaître une telle célébrité. Né en 1768 dans une famille modeste, il se révèle très tôt doué pour les lettres et les sciences. Mais c 'est l'étude des mathématiques qui provoque chez lui enthousiasme et passion. En 1789, il viendra à Paris, devant l'Académie, lire son premier mémoire sur les équations algébriques. Joseph Fourier va ensuite enseigner à Auxerre puis deviendra élève de la promotion de l'Ecole Normale de l'an 3, enseignera les mathématiques à l'EcolePolytechnique. Il participera ensuite à l'expédition d'Egypte et sera chargé à son retour en France, d'écrire la préface historique de l'ouvrage qui regroupe l'ensemble des observations faites au cours de l'expédition. C'est en 1802, que Joseph Fourier est nommé Préfet de l’Isère. Grâce à sapuissance de travail, il réalisera au cours de son mandat de grands travaux : assèchement des marais de Bourgoin, tracé de la route de Grenoble à Turin. Il prêtera aussi une grande attention à tous les niveaux de l'enseignement mis en place dans les lycées (1804) et la faculté des Sciences (1811) qui porte aujourd'hui son nom. De retour à Paris, il entrera à l'Académie en 1816, tout en continuant ses travaux de recherche concernant la propagation de la chaleur, les températures du globe terrestre et des espaces planétaires, constituant son œuvre sous le titre " Théorie analytique de la chaleur ". En 1826, il entre à l'Académie Française et, malgré sa maladie, travaillera inlassablement jusqu'à la fin de savie. Il meurt le 17 Mai 1830.

Conductionthermique

Régime permanent : Loi de FOURIER

Pint→ext

Text

Tint > Text

Pint→ext = dQint→ext /dt = - λ.S/L . (T ext - Tint)

Pint→ext est le flux de chaleur à travers la surface S

S

Mur

L

Intérieur Extérieur

Conductionthermique

Loi de FOURIER : commentaire

Text

Tint > Text

S

Mur

L

x

T

Q

• La conductivité thermique est définie par la loi de Fourier : – flux de chaleur qui traverse une surface unitaire (1 m2) en présence

d'un gradient de température unitaire (1° K).

• Le signe négatif provient de la pente du gradient

• Le flux de chaleur est une quantité vectorielle :

dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .∇ (T)

• La direction du flux de chaleur sera toujours normale à une surface isotherme

n

Isotherme T=cste

Q

Conductionthermique

La conductivité thermique

10-3 10-2 10-1 1 101 102 103

gazmatériaux amorphes isolants

liquides organiquessolutions aqueusespoudres

mat. réfractairescristal

métaux liquidesmétaux

λ (W.m-1.K -1)

La conductivité thermique est la faculté d'un matériau à transporter (transférer) de la chaleur par un processus de diffusion appelé conduction thermique. Elle dépend :

- des matériaux

- de la température

Exemple : variation de la conductivité du béton

Conductionthermique

La conductivité thermique

La conductivité thermique dépend : - de l’humidité

Exemple : variation de la conductivité des matériaux minéraux (brique, béton) en fonction de l’humidité relative

- de la densité du matériaux, de son passé, …

Conductionthermique

Matériaux isotropes, orthotropes, …

Pour un matériaux isotropes (dont les propriétés sont identiques dans toutes les directions) la loi de Fourier s’exprime donc :

dP/dS = - λ .grad(T) = - λ .(dT/dx i + dT/dy j + dT/dz k)

lorsque l'orientation des fibres devient importante (bois, aggloméré, laminé), la loi de Fourier devient plus compliquée :

dP/dS = - grad(λ . T) = - (λx . dT/dx i + λy . dT/dy j + λz . dT/dz k)

lorsque le milieu est complètement anisotropique, comme dans les cristaux, la loi de Fourier devient :

dP/dS = - (λxx . dT/dx + λxy . dT/dy + λxz . dT/dz) i + …

Conductionthermique

Généralisation: Loi de Poisson

Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube par la face ABCD, de normale entrante n (1, 0, 0) :

Exprimons le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube par la face A’B’C’D’, de normale entrante n’ (-1, 0, 0) :

le flux qui pénètre (au sens algébrique) dans le cube dans la direction x est donc :

De même dans toutes les directions … :

Soit un volume élémentaire dV, cube élémentaire de côtés dx, dy, dz, le milieu étant au repos..

dPx = - λ.grad(T(x)).S.n = - λ . ∂T/∂x . dy.dz

dPx+dx = - λ.grad(T(x+dx)).S . n’ = λ . (∂T/ ∂x + (∂2T/ ∂x2).dx). dy.dz

dP = dPx + dPx+dx = λ . (∂2T/ ∂x2) . dx.dy.dz

dP/dV = λ .∇ 2T

yz

x

A’

B’

C’

D’

A

B

C

D

dPx dPx+dx

dx

dydz

Conductionthermique

Généralisation: Loi de Laplace

Pour dV à l’équilibre : Pas d’accumulation de chaleur

0 = λ .∇2T

équation de Laplace valable pour : milieu homogène et isotrope, sans sources de chaleur internes, régime permanent.

En présence de source interne de chaleur volumique q [W/m3] (exemple béton qui fait prise q = 350 W/m3) le raisonnement sur l’équilibre du volume dV conduit :

0 = λ .∇2T + q

(milieu homogène et isotrope, régime permanent)

Conductionthermique

- Transfert unidimensionnel (gradient supposé dans une seule direction), pensez-vous à des exemples?

- État permanent (lorsque T est indépendant de t)

Exemple : cas de la géométrie plane

Q

Text

Tint > Text

S

Mur

L


x

T

Conductionthermique


0 = ∇2T

Équation de diffusion générale sans source de chaleur interne :

Comment obtenir une expression générale pour la distribution de température?

–Analyse par séparation des variables et intégration double sur la variable indépendante (ici x)

∂T/∂x = C1

∂T = C1. ∂x

T = C1.x + C2

Conductionthermique


Q

Text

Tint > Text

S

Mur

L


x

T

Avec T(0) = Tint et T(L) = Text on obtient :

T = (Text – Tint)/L .x + Tint

Conductionthermique

cas de la géométrie plane : flux

Donc si λ=cte et qu’il n’y a pas de source de chaleur (q=0), le taux de transfert de chaleur est :

P = - λ . ∂T/∂x . S = - λ . S . ∆T / L= - λ . S . (Text – Tint) / L

Il existe une façon simple d'analyser les problèmes de transfert unidimensionnels :

On définit une résistance au passage de la chaleur RTH analogue à celle qui régit le passage du courant électrique.

Conductionthermique

Analogie avec l’électricité: Résistance thermique

RTH = L / λ . S

Thermique électricité

Loi de Fourier ∆T = - (L/λS).P ∆V = R.I Loi d’Ohm

conductivité thermique λ(T) σ(T) conductivité électrique

température T V potentiel électrique

puissance thermique P I intensité de courant

Résistance thermique L/λS R Résistance électrique

On a alors les correspondances suivantes

Conductionthermique

Analogie avec l’électricité: Résistance thermique

Résistance thermique

Capacité thermique

Masse thermique (Tamb)

On utilise les mêmes symboles

les mêmes lois sont applicables

En série

En parallèle

R1

R1

R2

R2

R = R1+R2

1/R = 1/R1 + 1/R2

Q

Text

Tint > Text

S

Mur

LIntérieur Extérieur

x

T

Conductionthermique

Analogie avec l’électricité: exemple

Platreλ= 0,5 W.m-1.K –1

e = 2 cm

Polystyrèneλ= 0,04 W.m-1.K –1

e = 6 cm

airλ= 0,023 W.m-1.K –1

e = 2 cm

bétonλ= 1,75 W.m-1.K –1

e = 20 cm

RTH = ?

Coefficient global de transfert de chaleur.

– Avec des composites, on parle le plus souvent pour caractériser une structure de coefficient global de transfert de chaleur, U, ce qui donne pour l'expression du flux de chaleur total

P = U . S . ∆T– Donc,

U = 1 / (RTH .S) [W.K –1]– Ce coefficient est largement employé en industrie (même en génie civil avec Ubat)

Conductionthermique

Résistance thermique et coefficient global

Conductionthermique

Résistance de contact

• Que se passe-t-il si l'interface entre deux matériaux n'est pas parfaite?

– chute de température à l'interface de deux matériaux– variation de température imputable à ce qui est défini comme une résistance de

contact: Rth,c = ∆T / P

• Savez-vous ce dont il s’agit?

• Effet dû au fini de surface des matériaux en contact– contact non-continu;– surfaces irrégulières;– petites bulles d'air emprisonnées.

Conductionthermique

Résistance de contact

Que se passe-t-il physiquement?– Transfert effectif par conduction aux points de contact et par la conduction à travers les bulles de fluide qui emplissent les interstices à la surface de contact. La convection est négligeable.

– Équivalent de deux résistances thermiques en parallèle.

– Contribution majeure par les interstices car il y a en fait peu de points de contact solide-solide, spécialement si deux surfaces sont très rugueuses. Donc effet isolant.

– Echange de chaleur par rayonnement (voir suite du cours)

Pour augmenter la résistance Rth,c est-il préférable de mettre un fluide ayant une large conductivité thermique ou non?

–Graisses thermiques, plomb, indium, étain.

Conductionthermique

Résistance de contact fluide/solide

Q

Text

Tint > Text

S1

Mur

LIntérieur Extérieur

x

T

De même on défini une résistance thermique d’interface entre un environnement fluide et un solide

–Rr = (Text – TS2) / PS2→ext = (TS1 - Tint) / Pint→S1 = 1 / (hrS)

Rr1 RMur R = Rr1 + RMur+ Rr2Rr2

=

S2

Conductionthermique

Régime transitoire : Equation de la chaleur

yz

x

A’

B’

C’

D’

A

B

C

D

dPx dPx+dx

dx

dydz

La différence de flux pendant le temps dt sert au réchauffement (ou refroidissement) de l’élément de Volume

pendant le temps dt le volume reçoit donc une énergie :

P.dt = m.Cp.(T(t+dt)-T(t))

= ρ.V.Cp.dT

On en déduit :

P/V = ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T

ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T Équation de la chaleur :

Conductionthermique

Régime transitoire : Diffusivité thermique

ρ.Cp.dT/dt = λ .∇ 2T

On définit alors la diffusivité thermique D :

D = λ / ρ.Cp

dT/dt = D .∇ 2T

D caractérise la capacité d’un matériaux à diffuser la chaleur.

TextText

S

Mur

L

T

Tmur(t)

Évolution réelle

Conductionthermique

Réponse impulsionnelle : méthode du gradient nul

Soit un mur initialement à la température T0 installé subitement dans un milieu à la température Text

TextText

S

Mur

L

T

Tmur(t)

Évolution simplifiée : Tmur = T(x,t) = T(t)

Conductionthermique


L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces extérieure du mur

L’énergie cédée pendant le temps dt par le mur est égale au flux à travers les surfaces extérieure du mur

T(t) = Text + (T0 - Text ) exp(-t/τ)Avec

τ = ρ.V.Cp.Rth,c /2

- ρ.V.Cp.dT/dt = - 2/ Rth,c .(Text - T(t))

En intégrant ….

Analogie thermique/électrique

Conductionthermique


Rth.C

Cth

Text (Masse thermique)

T0

Rth.C

Rth.C : résistance thermique d’échange entre l’air et le mur

Cth = ρ.Cp.V : Capacité thermique du mur

Conductionthermique


Limitation de la méthode :

Lorsque le processus de transfert de chaleur vers le fluide est plus rapide que le processus de conduction à l’intérieure du matériaux, l’hypothèse de gradient nul n’est plus valable :

Si on considère pendant un court instant le régime comme permanent alors pour 2 surface S1 et S2 distante de Lc,

λS/Lc (TS1 - TS2) = 1/ Rth.C(TS,2 - T∞)

On défini le nombre dit de Biot, Bi, tel que:

Bi = Lc / (Rth.C .S.λ) ;

Bi = Rc / Rth.C ;

Bi = ( TS,1 - TS,2 ) / ( TS,2 - T∞ ).

Conductionthermique


Limitation de la méthode :• Nous obtenons un critère de validité

– un faible Bi indique une faible baisse de température dans le solide– un large Bi indique un grand gradient de température dans le solide– la méthode du gradient nul est donc valide pour de faibles Bi

Conductionthermique


Limitation de la méthode :• Première étape d'une analyse

– calcul du nombre de Biot basé sur Lc: Bi*= L / Rth.C .S.λ < 0.1– où Lc est une longueur caractéristique du système considéré:

Lc = V/A– cette définition de Lc aide lorsque le solide possède une forme complexe.

* Cette définition de Bi basée sur Lc n’est valide que lors de calculs avec la méthode du gradient nul !!!

• Longueur caractéristique Lc

– Pour une plaque plane immergée: L/2

– Pour une plaque isolée d'un côté: L

– Pour un cylindre: r/2

– Pour une sphère: r/3

Conductionthermique

Les nombres adimensionnels

Le nombre de Biot Bi caractérise le rapports des transferts thermique à la surface sur les transferts à l’intérieur du solide

Bi = L / Rth.C .S.λ

Il existe un autre nombre sans dimension très important en conduction transitoire, le nombre de Fourier équivalent à un temps adimensionnel qui caractérise la diffusion dans le matériaux

Fo DtL

≡2

tρVCpRth

λLt Bi DtL

Bi Fo= = ⋅ = ⋅2RthSλ.ρL2Cp

Le problème se réduit donc à l’équation suivante :

(T(t) - Text)/(T0 - Text ) = exp(-Bi.Fo)

Conductionthermique

lorsque le gradient de température dans le solide ne peut être supposé négligeable, que Bi est supérieur à 0.1, Il faut recourir à une solution analytique

Réponse impulsionnelle : méthode analytique

[ ]∞=

=

−=−

==

TtLThrTλ

rTTrT

Lr

ri

),(

;0;)0,(0

∂∂

∂∂Au centreInitiale

Surface exposée

FoL

ttLrr

TTTtrT

i

=≡≡−

−≡Θ∞

∞2

*** ;;),( αDistanceTempérature Temps

Conductionthermique

Réponse impulsionnelle : méthode analytique

FoBirr

rrr

Θ−=Θ=Θ=Θ==

),1(;0;1)0,( *

1*

*

0*

***

** ∂∂

∂∂

Bi = L / Rth.C .S.λ

Expression de l’équation et des conditions aux limites de manière Adimensionelle

ForΘ=Θ *

2*

*2

∂∂∂

∂

Conductionthermique

pourquoi les nombres adimensionnels

Θ Θ* * *( , , )= r Bi Fo

• Nombre de variables indépendantes pour la solutionsans dimensions

T = T(r, t, Ti, T∞, L, λ, ρ, Cp, Rth)

• Nombre de variables indépendantes pour la solutionavec dimensions

Conductionthermique

la solution pour le mur plan immergé

– Solution exacte: développement en série de Fourier

( ) 2;tan;2sin2

sin4Lt

FoBiC nnnn

nn

Dζζζζ

ζ ==+

=

)cos()exp( *2

1

* rFoCTTTT

nnn

nii

ζζθθθ −=

−−=≡ ∑

∞

=∞

∞

)cos()exp( *1

211 rFoC

TTTT

i

ζζ−=−−

∞

∞

– Solution approximative (le premier terme si Fo>0.2):

Conductionthermique

signification de cette solution

)cos()exp( *1

211 rFoC

TTTT

i

ζζ−=−−

∞

∞

)exp( 211 FoC ζ−La variation dans le temps

La température au centre d’une plaque immergéeou sur une paroi isolée

)cos( *1rζLa variation dans l’espace

La température varie en s’approchant de la paroien contact avec le fluide

Note: Lors du calcul du nombre de Biot, L est la demi-épaisseur d’une plaque immergée et r0 sera le rayon d’un cylindre ou d’une sphère.

Cette définition du nombre de Biot est différente de celle employée pour valider la méthode du gradient nul.

Il est possible d'utiliser les mêmes solutions :

• lorsque l'une des faces de la plaque est isolée car lors de l'immersion complète d’une plaque, la surface à r=0 (milieu) est une surface adiabatique.

• lorsqu'une température est imposée sur une surface. C'est l'équivalent de poser un nombre de Biot infini

Conductionthermique

extension de cette solution

pour le calcul de Bi, lorsqu’un solide est recouvert d’une mince couche protectrice, le calcul de cette quantité devient:

où U est le coefficient d’échange global comportant toutes les résistances en jeu, par exemple:

λULBi =

SRU.S

tc /RTH

1'',+

=

Note: en géométrie cartésienne, S peut être éliminéede l’expression précédente.

",tcR

h

Conductionthermique

Remarque supplémentaire

S/

Conductionthermique

Cas du solide semi infini

- si un tel solide existait physiquement, une modification d'une condition à l'une des frontières (par exemple la face 1 du solide) ne serait jamais perçue à l'autre bout (face 2) situé à l'infini;

- si après un temps t donné pour un problème impliquant un solide fini, la face 2 initialement à Ti reste à cette même température malgré un changement à la face 1, on considère le solide comme étant semi-infini au sens thermique (cas des isolants).

Face 2T(∞,t) = Ti

Face 1T(x,0) = Ti

-kdT/dx|x=0 =q0’’

Cas 1: Température desurface imposée

Cas 2: Flux dechaleur imposé

Cas3: Convectionthermique pariétale

Conductionthermique


• Solutions analytiques disponibles:– Cas no1: Température de surface constante

– Cas no.2: Flux thermique constant

– Cas no.3: Convection surfacique

+⋅

+−

=

−−

∞ λth

trerfc

λth

λhx

trerfc

TTTT

i

i αα

αα 2

exp2 2

2

−−=−

trerfc

λxqtx

λtqTT s α

απα2

)4/exp()/(2 ''02

2/1''0

tTTλtq

trerf

TTTT is

ssi

s

παα)()(;

2'' −=

=

−−

Conductionthermique


• Note sur le solide semi-inifini– lorsque h est supposé infini (cas no.3) Ts = T∞ et la solution de ce cas se simplifie à

celle du cas no.1.– si deux solides semi-infinis sont en contact l'un avec l'autre, chaque surface en

contact aura la même température Ts et le flux provenant du solide chaud sera égal à celui qui entrera dans le solide froid.

Conductionthermique



Plan du cours

I- INTRODUCTION





Q

T1T2

T1> T2

TS

T∞ < TS


T1 T2

Q

Convection Thermique

Introduction

Q

Tenv

TS > TenvS

Mur

x

T

V

Couche de fluide à vitesse faible :conduction prépondérante Couche de fluide en mouvement :

transport prépondérant

Mouvement du fluide


Introduction

Le transfert de chaleur par convection est un problème qui fait intervenir :

- La conduction thermique- La mécanique des fluides

problème trop complexe pour être abordé analytiquement : Utilisation d’une loi empirique de type Fourier ….


Loir de Fourier Modifier

Pparoi→fluide = -hr(Tfluide - Tparoi) [W/m2]

Où hr est le coefficient d’échange thermique par convection ou « coefficient de convection » exprimé en [W/(m2K)]

Que vaut h ?

Conduction : Comme λ, h dépend des propriétés du fluide (T, ρ, Hr, …)Mécanique des fluides : h dépend de l’écoulement (laminaire, turbulent, naturel, forcé, interne, externe, …)


Ordre de grandeur de h

10 1021 103 104 105

forcéenaturelle

turbulentebouillante

air

eau

h (W.m-2.K -1)

vapeurMélange air/vapeur


Convection forcée– convection naturelle

vent Q

QQ

intérieur extérieur

Convection Naturelle

Analyse dimensionnelle

. . . . . . . .a b c d e f j k lCp D T g h Pρ µ λ β ∆ =[ ] [ ]3 3 3

² 1. . . . . . . . 0² ²

a b c d e k lf jkg m kg kg m m kgm K

m s K m s s K K s s K× = × × × ×

Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utiliséesD’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction de 9-4 = 5 variables sans dimension de la forme :

Variables du problème :

ρ: masse volumique [kg/m3],Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K],µ: viscosité dynamique du fluide [kg/m.s],λ: conductivité thermique du fluide [W/m.K],β: coefficient de dilatation du fluide [K-1],D: dimension caractéristique de la surface d'échange [m],∆T: différence de température entre le mur et le fluide [K],g: accélération de la pesanteur [m/s2],h: coefficient d’échange [W/m².K].


Analyse dimensionnelle

- Les groupements ainsi formés on obtient 4 équations à 9 inconnues a,b,c, …

- En choisissant les valeurs de 5 coefficients on obtient les 5 variables adimensionnelles qui définissent le problème. On retrouve ainsi les nombres de Reynolds Re, le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Grashof Gr et le nombre de Stanton St.


Nombre de REYNOLDS

µρ D V Re ××=

Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement :Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante

ρ : masse volumique du fluide [kg/m3],v : vitesse moyenne du fluide [m/s],D : plus petite dimension géométrique du problème [m],µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].

Zone laminaireRe < 2000

Zone de transition

Zone turbulenteRe > 40000

Couche limite

x

xc

Tp > Tair

Tair


Nombre de Nusselt

λD h ×=Nu

Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection à la quantité de chaleur échangée par conduction :Nu petit : conduction prépondéranteNu grand : convection prépondérante (T = cte par mélange)

h : coefficient d'échange convectif en [W/m².K],λ : conductivité thermique du fluide en [W/m.K].D : plus petite dimension géométrique du problème [m],

Convection laminaire prépondérante1 < Nu < 10

Couche limite thermique Conduction prépondéranteNu <1

T

Tp > Tair

Tair

Convection turbulenteprépondérante10 < Nu < 104


Nombre de Prandtl

λµ Cp Pr ×=

Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la distribution des températures, c’est une caractéristique du fluide :Pr eau : 6,8Pr air à 20°C : 0,71

Cp : capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K],λ : conductivité thermique du fluide en [W/m.K],µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].


Nombre de Grashof, nombre de Rayleigh

Rapport des forces de flotabilité et des forces de viscosité :

β: dilatabilité du fluide en [K-1] ,∆T : différence de température entre fluide et paroi : T = Tparoi – Tfluide ρ : masse volumique du fluide [kg/m3],D : plus petite dimension géométrique du problème [m],µ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].α = λ/ (ρ x Cp) : diffusivité thermique [m²/s] ,ν = µ/ρ : viscosité cinématique du fluide [m²/s].

²T ² g

3

µρβ ∆××××= DGr

υαβ

×∆×××== T gPr.Gr a

3DR

Le nombre de Rayleigh remplace le nombre de Reynoldspour caractériser les écoulements en convection naturelle


Cas particuliers : paroi verticale

Zone laminaire

Zone de transition

Zone turbulente

Couche limite

x

xcRaxc = 109

Tp > Tair

Tair

Dans la partie laminaire (Rax < 109), le nombre de Nusselt intégré entre 0 et x vaut :

4/1xNu xRaA ×=

avec A fonction du nombre de Prandtl

Dans la zone turbulente (Rax > 109), le nombre de Nusselt est donné par :

5/23/2

15/15/2

x

)()()(

Pr494,01

Pr0248,0Nu

×+

××= xRa


Cas particuliers : plaques horizontales

TS

Convection au dessus d’une plaque chaude

Ex : plancher chauffant

T∞ < TS

Convection en dessous d’une plaque froide

Ex : sous le toit.

T∞ > TS

TS

Nu = 0,54 Ra1/4 2.104 < Ra < 8.106

Nu = 0,15 Ra1/3

8.106 < Ra < 1011

Convection en dessous d’une plaque chaude

T∞ < TS

TS

Convection au dessus d’une plaque froide

T∞ > TS

TS

Nu = 0,27 Ra1/4 3.105 < Ra < 3.1010

Nu = 0,07 Ra1/4 3.1010 < Ra < 1.1013


Convection en espace limité

T1

T2

Ra < 2.103 Conduction pure

T1

T2

T1

T2

Convection libreConvection en espace limité (L < H)

Ra > 2.103

H

L

Nu = 0,18 * (Ra)1/4

Convection Forcée

Analyse dimensionnelle Variables du problème :

ρ : masse volumique[kg/m3],Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K],µ : viscosité dynamique du fluide [kg/m.s],λ : conductivité thermique du fluide [W/m.K],D : dimension permettant de calculer la surface

d'échange[m],h : coefficient d’échange [W/m².K],V : vitesse moyenne du fluide [m /s].

Les grandeurs fondamentales masse, temps longueur, et température sont utiliséesD’après le théorème de Vaschy buckingham le problème peut s’exprimer en fonction de 7-4 = 3 variables sans dimension

On retrouve alors les nombres de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re

Convection Forcée

Ecoulement interne

Régime laminaire

TS

V

65,3Nu=

1Re Pr

hh D

xAD

= × ×

3/1077,1Nu −×= AxPour A petit :

Pour A grand :

Convection Forcée

Régime turbulent

TS

V

Pour des liquide, L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000

4,08,0 PrRe023,0Nu ××=Pour des gaz 10 4 < Re < 5.10 6 et 0,6 < Pr < 2500

43.0

paroi

fluide0.430.8

Pr Pr Pr Re 0.021 Nu

×××=

Pour L / D < 60 ( tube court )

( )

+×

×××=7,043.0

paroi

fluide0.430.8 1Pr Pr Pr Re 0.021 Nu L

D

Ecoulement interne

Convection Forcée

Ecoulement externe autour d’un tube

Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 ) :

Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 ) :

Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 ) :

Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)a

( )25,0

38,05,0

PrPr

PrRe5,043,0Nu

×××+=

paroi

fluide

25,0

38,06,0

PrPr

PrRe25,0Nu

×××=

paroi

fluide

Convection

Calcul du flux de chaleur ?

Caractériser le régime de convection : forcée – naturelleCaractériser la géométrie du problème : dimension caractéristique Caractériser l’écoulement : interne - externe, laminaire – turbulent

Calculer les valeurs de Pr, Ra ou Re Calculer Nu

Le flux de chaleur s’écrit alors :

Pparoi→fluide = -λ.Nu/D (Tfluide - Tparoi) [W/m2]

= - h (Tfluide - Tparoi) = - (Tfluide - Tparoi) /Rthc

• Par exemple,

T∞ = 20oCh∞ = 10 W/m2K

Te = 90oChe = 100 W/m2K

λ = 400 W/mK

Di=2cm, Do = 2,1cm, L=1m

Convectionthermique

Comment accroître les échanges par convection

• Analyse de l'écoulement interne– q = ∆T/RT

– ∆T = Te-T∞ = 70K

– R∞ = 1/h∞ A∞ = 1/(10.2π. 1,05e-2 .1) = 1,515 K/W

– Rc = ln(2,1/2)/(2π .k.L) = 1,94e-5K/W = 0

– Re = 1/heAe = 1/(100.2.π.1e-2 1) = 0,159 K/W– RT = 1,674 K/W– q = 41,8 W

• Que faire pour augmenter le transfert de chaleur, comme dans un radiateur par exemple?

Convectionthermique

T∞ h A∞

Comment accroître les échange par convection

Convectionthermique

Comment accroître les échange par convection

• Qu'est-ce qu'une ailette?– Un ajout de surface sur l'un des côtés d'une surface d'échange thermique.

Convectionthermique

Les ailettes

• Comment construit-on ces surfaces étendues?– Usinage à même un bloc de métal ($$$$$$)– Pression, collage ou soudage d'une ailette d'un matériau conducteur de façon à

minimiser la résistance thermique de contact. Si les ailettes ne sont pas usinées à même les faces; La résistance devra être de beaucoup inférieure à celle de l'ailette elle même.

• Exemples industriels?– Radiateurs, micro-processeurs, frigos, climatiseurs, etc.

Convectionthermique

Les ailettes

Convectionthermique

Les ailettes• Sur des plaques (écoulements externes)

Convectionthermique

Les ailettes

• Dans des tubes (écoulements internes)

Convectionthermique

Les ailettes• Dans des échangeurs (écoulements externes)

Convectionthermique

Les ailettes• Comment quantifier l'effet des ailettes

– Analyse différentielle et bilan d'énergie

Par conservation de l’énergie, et d’après la loi de Fourier

qx = qx+dx +dq conv= - λ.Ac(x).dT/dxet puisque,

qx+dx = qx + (dqx/dx).dx + …alors

qx+dx = - λ. Ac(x).dT/dx – λ.[d(Ac(x)..dT/dx)/dx] . dx +…

et le terme convectif s’exprime tel que :

dq conv= h.dAS.(T - T∞)

Convectionthermique

Les ailettes : Équation générale

• Équation générale de l’ailette

En combinant toutes ces équations,

[d(Ac(x).dT/dx)/dx] – h/λ.dAS/dx.(T - T∞) = 0Ou encore

d2T/dx2 + (1/Ac.dAc/dx). dT/dx - (1/Ac.h/λ.dAS/dx).(T - T∞) = 0

Convectionthermique

Les ailettes

– Oui, l'ailette à section constante• Plus facile à construire• Plus facile à analyser

Convectionthermique

Y-a-t-il un type d'ailette plus souvent utilisé?

( ) 02

2

=−

−+ ∞TT

λAhP

dxTd

c

Équation simplifiée

∞−≡Θ TxTx )()(En définissant un excès de température tel que

ddx

m2

22 0

Θ Θ− =

Une équation générale simple est obtenue pour la distribution de température dans l’ailette

Convectionthermique

Cas de la section constante (Ac=cte, As=Px)

Solution générale de l'équation précédente

Où le paramètre m est défini tel que: (eq.3.65)

Pour obtenir une solution particulière, il faut considérer les différentes conditions aux frontières possibles

Θ( ) exp( ) exp( )x C mx C mx= + −1 2

mhPλAc

2 ≡

Convectionthermique


Convectionthermique


• Conditions aux frontières– à la base, Tb, Θb = Tb-T∞

– au bout de l'ailette,• convection hΘ (L) = -λ dΘ/dx(L)• flux négligeable dΘ/dx(x=L)=0• température prescrite Θ (L) = ΘL • ailette infiniment longue Θ (L) = 0

Schéma, cas de la convection au bout de l'ailette

Convectionthermique


– Solution, cas de la convection au bout de l'ailette

– Solution, cas du flux négligeable au bout de l'ailette

ΘΘ b

m L x h mk m L xmL h mk mL

= − + −+

cosh ( ) ( / )sinh ( )cosh ( / )sinh

ΘΘb

m L xmL

= −cosh ( )cosh

Convectionthermique


Convectionthermique


– Solution, cas de la température prescrite au bout de l'ailette

– Solution, cas de la longue ailette

ΘΘ

Θ Θ

b

L b mx m L xmL

= + −( / ) sinh sinh ( )sinh

ΘΘ b

mx= −exp( )

– L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert?– Il faut comparer le taux de transfert avec et sans l’ailette.– L’efficacité (effectiveness) est définie telle que:

– Cas de l'ailette longue• εail = ∫ h.θ(x)dAs / hAbθb = (λP/hAc)0,5

• grand λ • grand rapport P/Ac, ailettes minces• petit h, gaz tel l'air

2≥Θ

==bb

ail

ailsans

ailail hA

qq

qε

Convectionthermique

Performance de l'ailette

Convectionthermique

Performance de l'ailette

L'ailette augmentera-t-elle vraiment le transfert?

– Il faut aussi évaluer ce que l’ailette transfère par rapport au transfert qui se produirait si toute l’ailette était à la température de la base.

– Le rendement (efficiency) est défini tel que:

1≤Θ

==bail

ail

ailidéal

ailail hA

qq

qη


Plan du cours

I- INTRODUCTION





Q

T1T2

T1> T2

TS

T∞ < TS


T1 T2

Q

Transfert Thermique :Rayonnement

Principe physique

T2

Qi, λi

atome

Échelle microscopique Échelle macroscopique

L’énergie émise par un photon s’écrit :

Qi = h.νi = (h.c)/λi

h est la constante de Planckν est la fréquence de la radiation λ est la longueur d'onde de la radiationc est la vitesse de propagation de la radiation


Principe physique

– Spectrale: l'émission dépend de la longueur d'onde

– Directionnelle: l'émission dépend de la direction de propagation


Les ondes émises

0

2 1013

0

Eλ

5.0 10-7 longueur d'onde (m)

4 1013

6 1013

8 1013

1 1014

1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6


Notion de spectre

Eλi = ni Qi (λi)

φ = ∫Eλi dλ

Φ est le flux d’énergie rayonné dans tout l’espace


Les différentes longueurs d’onde


Notion d’angle solide– rapport entre la surface élémentaire, dAn, sur une sphère de rayon r par le rayon de

cette sphère au carré.– région qui contient tous les rayons issus d’un point situé au centre d’une sphère qui

interceptent une surface dAn

nΩ

dA

dAn= r2 sinθ dθ dφ

dφ

r dθ

rr sinθ

r sinθ dφ

ϕθθω ddr

dAd n sin2

=≡


angle solide dAn au point dA


Intensité de rayonnement

L’intensité de rayonnement I, est le flux énergétique dΦ émis dans une direction (portion) donnée de l’espace dω. I est directionnelle

I = dΦ / dω [W/sr]


Indicatrice de l’intensité

C'est la figure décrite par l’extrémité d’un vecteur dont l’origine est l’élément de surface et dont le module est proportionnel à l’intensité dans la direction de la surface

θ

Ion

O

Iox

n

xθ

Ion

OIox

n

x


Luminance d’une source

La luminance L de dA selon l’axe Ox, est le flux rayonné par (dA) dans cette direction par unité d’angle solide et par unité de surface apparente (surface projetée sur le plan normal à la direction). L est directionnelle.

L = dΦ / (dω.dA.cosθ) [W/m2.sr] dΦ = L.dA.cosθ.dω


Emittance d’une sourceL’émittance E (ou radiance ou pouvoir émissif total) est le flux d’énergie par unité de surface émis par un corps dans toutes les directions d’un demi-espace (2π [sr]). L’émittance est une grandeur hémisphérique :

E = dΦ / dA [W/m2] E = ∫2π L.cosθ.dω


Loi de LambertUn corps suit la loi de Lambert si sa luminance est indépendante de la direction. On dit qu’un tel corps a une émission parfaitement diffuse ou isotrope. L’indicatrice de l’intensité d’un corps qui suit la loi de Lambert est un cercle. Pour un corps suivant la loi de Lambert :

E = π x L


Irradiation totale ou éclairementC’est le flux d’oém provenant de tout le demi-espace libre vers un élément de surface réceptrice (dA) :

G = dΦ / dA [W/m2]

dΦ


Les grandeurs monochromatiquesLes grandeurs du rayonnement qui concernent une longueur d’onde

déterminée sont appelées grandeurs monochromatiques.

Iλ = dΦλ / (dω.dλ) [W/sr.µm] Lλ = dΦλ / (dω.dA.cosθ.dλ) [W/m2.sr.µm] Eλ = dΦλ / (dA.dλ) [W/m2.µm]

Les relations entre les grandeurs monochromatique et les grandeurs spectrales s’écrivent aussi :

I = ∫ Iλ .dλL = ∫ Lλ .dλ E = ∫ Eλ .dλ

ΙλiΙλr

Ιλt

n

θi

Iλa

Eλi

θr


Interaction rayonnement matière

On définit alors les coefficients suivant :le coefficient de réflexion ρ(λ) = Iλr / I,le coefficient de transmission τ(λ) = Iλt / I,le coefficient d'absorption α(λ) = Iλa / I.

On a alors : ρ + τ + α = 1

I : est l’énergie incidenteIλr : est l’énergie réfléchieIλt : est l’énergie transmise par le matériauxIλa : est l’énergie absobée par le matériauxEλi : est l’énergie émise par le matériaux


Interaction rayonnement matière : exemple

Verre ordinairee=3 mm

1 2 3 4 5

Verre spécialcatathermique

τ(λ) = incidence normale

0,25

0,5

0,75

λ (µm)

les rayonnements réfléchis et transmis peuvent varier en fonction de la direction. La direction θr = θi est appelé direction spéculaire


Les corps noirs

– Propriétés:• Absorbe toute radiation de toutes fréquences et de toutes directions;Soit : α = 1 et ρ = τ = 0

• Pour une température et longueur d'onde données aucun corps ne peut émettre plus d'énergie qu'un corps noir;

• Le corps noir émet de façon diffuse. Il suit la loi de Lambert : E = π L

relation de l’émissivité spectrale en fonction de la température

• h: constante de Planck 6.6x10-34 Js • k: constante de Boltzmann 1.4x10-23 J/K• c0: vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

( )[ ]1/exp2π),(

05

20

, −=

kThchcTE b λλ

λλ


Loi de planck

0

2 1013

0

Eλ

5.0 10-7 longueur d'onde (m)

4 1013

6 1013

8 1013

1 1014

1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6


Courbe Eλ à T constant


Loi de Wien (1864-1928)

– Découverte expérimentale

– Dérivée de la loi de Planck pour λ égale zéro

– Maximum du pouvoir émissif

λmax T = constante = 2897.8 µm K

– Cas du soleil à λmax=0.5 µm

– Objet à 1000 K seule une petite portion visible dans le rouge, λmax = 2.9 µm

– Objet à 300 K λmax = 9.7 µm rayonnement infra rouge


Loi de Stephan (1835 – 1893) Boltzmann (1844-1906)

–Découverte expérimentale attendue depuis près d'un demi-siècle

–Intégrale de la loi de Planck sur tout λ

–Pouvoir émissif total

Eb = σ T4 W/m2

ou la constante σ = 5.67x10-8 W/m2 K4.

–Cette constante est connue sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann


Emission par bande : Fraction d’énergie

– la fraction d'énergie (F) émise pour une longueur λ est le rapport entre l’énergie émise jusqu’à la longueur d'onde l et l’énergie totale émise par le corps noir à la même température

– Mathématiquement:

( )

)(0

5,

40

,

0,

0,

0

TdT

E

T

dE

dE

dEF

Tb

b

b

b

∫

∫

∫

∫

=

== ∞→

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λσ

σ

λ

λ

λ


Emission par bande : Fraction d’énergie

F0-λT

λ.T (µm.K).10-4

F(λ.T) est une fonction du produit λ.T seulement. La fonction F(λ.T) est représentée sur la figure ci-dessous

– Pour connaître l'émission entre λ1et λ2 : ( ) ( ) ( )1221 00 λλλλ →→→ −= FFF


Emission par bande


Les corps réels– Peu de surfaces réelles émettent comme des corps noirs;– Puisque le corps noir présente un maximum et que les relations énergie-

température qui le caractérise sont simples, il est utile de l'employer comme référence;

– Les propriétés d'une surface réelle sont donc toujours comparées à celle du corps noir dans la même situation;

– Malheureusement, la distribution spectrale de Planck peut ne pas être valide pour des corps non-noirs de même pour la distribution directionnelle (non-diffuse).

Distribution spectrale Distribution directionnelle


Les corps réels : Emissivité– émissivité spectrale directionnelle :

– émissivité totale directionnelle :

– émissivité spectrale hémisphérique :

– émissivité totale hémisphérique :

),(),,(

),,(,

,, TL

TLT

b

e

λλ

λελ

λλ

Ω=ΩΩ

)(),(),(

TLTLT

b

e Ω=ΩΩ

ε

),(),(),(

, TETET

b λλλε

λ

λλ =

)()()(

TETET

b

=ε


Les corps réels

– L'émissivité de surfaces métalliques est généralement petite: jusqu'à 0.02 pour les surfaces d'or polies.

– L'émissivité des non-conducteurs est grande comparée à celle des métaux, généralement plus de 0.6

– ε eau est autour de 0.97


Les corps réels : Loi de Kirshoff

Iλi = Gλi

Ιλr + Ιλt

n

θi

Gλi,a = αλi Gλi

Lλi = ελi Lλi,bLλi,b

αλi = ελi

Attention : α ≠ ε


Les corps réels : extension de la Loi de Kirshoff-La loi de Kirchhoff ne s’applique qu’à des grandeurs directionnelles et monochromatiques. - l’absorptivité totale d’un corps dépend non seulement du corps lui-même, mais aussi du spectre du rayonnement incident, -l’émissivité totale est une propriété intrinsèque du corps.

On peut toutefois généraliser la loi de Kirchhoff dans les cas particuliers suivants :

Rayonnement incident gris ou Surface émissive grise :

=

Rayonnement incident isotrope Surface à émission isotrope :

=

pour toute surface dans une enceinte à l’équilibre thermique :

,Tα δ→

,Tε δ

→

( )Tλα( )Tλε

α = ε


Les corps réels : Facteurs de forme

• Jusqu’à présent, l'attention a été limitée à une seule surface. Dans cette section les échanges entre plusieurs surfaces sont considérés.

• L'échange entre surfaces dépend de la disposition des surfaces les unes par rapport aux autres.

• Nous supposerons que le milieu qui sépare les surfaces est d'abord transparent.• Il nous faut d'abord considérer la notion de facteur d'angle qui physiquement

représente comment une surface en voit une autre.

• Le facteur de forme (ou facteur d’angle) Fij est défini comme la fraction de la radiation quittant une surface i qui est interceptée par une surface j.


Les corps réels : Facteurs de forme• Géométrie

– Considérons deux éléments différentiels de surface dAi et dAj arbitrairement orientés l'un par rapport à l'autre. Ces éléments peuvent être liés l'un à l'autre par une droite R qui forme les angles θi et θj par rapport aux normales ni et nj

d

• Description mathématique de F12 – En employant la définition de l'intensité de radiation

– Supposant que la surface i émet et réfléchit de façon diffuse, le taux de transfert

total quittant une surface Ai et reçu par une surface Aj est

– Introduisant la définition du facteur d'angle

– et similairement pour F21



0 0 1 212 1 1 1 12 1 1 2

cos coscos²

d L dS d L dS dSd

θ θθ ×Φ = Ω =

1 2 1 2

0 01 2 1 212 1 1 2 1 1 2

cos cos cos cos² ²S S S S

L dS dS L dS dSd d

θ θ θ θ× ×Φ = =∫ ∫ ∫ ∫

1 2

1 212 1 2

1

1 cos cos²S S

F dS dSS d

θ θπ

×=×∫ ∫

• Relation de réciprocité

• Relation de sommation

• Conséquence– Pour une enceinte constituée de N surfaces, nous avons N 2 facteurs d'angle dont

N peuvent être obtenus par la relation de sommation et N (N -1)/2 par celle de réciprocité.

jijiji FAFA =

11

=∑=

N

jijF




Les corps réels : Facteurs de forme• Exercice - Les sphères concentriques

– Quels sont les facteurs d'angle de deux sphères concentriques suivantes?

• Solution :– Analyse: N =2, N 2 = 4 (F11, F12, F21, F22). N(N -1)/2

facteurs existent pour déterminer les autres donc 1.• Puisque 1 ne se voit pas: F11 = 0• Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée

par 2: F12 = 1 d'ailleurs F11 + F12 = 1• Par réciprocité, F21 = A1/A2

• Par sommation, F22 = 1 - A1/A2

• Exercice - Les trois surfaces identiques– Quels sont les facteurs d'angle de trois surfaces identiques disposées en triangle

équilatéral?– Schéma:



– Analyse: N =3, N 2 = 9, N(N -1)/2 = 3 facteurs requis pour déterminer les 6 autres.

•Puisque 1, 2 et 3 ne se voient pas elles-mêmes: F11 = 0, F22 = 0, F33 = 0

•Puisque toute la radiosité de 1 est interceptée également par 2 et 3 : F12 = F13 = 0.5 et réciproquement pour les autres surfaces

ThermiqueNotions fondamentales

Jean-Martial Cohard

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Thermique Notions fondamentales · 1- Régime permanent 2- Régime transitoire 3- Analogie avec...

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