THE SE · 2021. 4. 7. · Dragon, Damien Halm, Alain Curnier, Jean-Louis Chaboche, Jean-Jacques...

Université des Sciences et Technologies de Lille

Laboratoire de Mécanique de Lille (UMR CNRS 8107)

THE SE

pour l'obtention du titre de

DOCTEUR

de

L'UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE

Discipline: Génie Civil

présentée par

Hélène WELEMANE

Une modélisation des matériaux microfissurés

Application aux roches et aux bétons

Z. MROZ

Y. BERTHAUD

A. DRAGON

J. L. CHABOCHE

A. CURNIER

F. CORMERY

J.F. SHAO

soutenue le 18 décembre 2002

devant le jury composé de

Professeur, IPPT, Varsovie Président

Professeur, Université de Paris VI Rapporteur

Directeur de Recherche CNRS, ENSMA, Poitiers Rapporteur

Directeur de Recherche, ONERA, Châtillon

Professeur, EPFL, Lausanne

Maître de Conférences, USTL, Lille

Professeur, USTL, Lille Directeur de thèse

1

Comme disait Jean-Louis Aubert: voilà, c'est fini ... Après la retranscription écrite

de ces quelques années de labeur, la coutume veut que l'on aborde maintenant la page des

remerciements ... une page ... Une seule page peut-elle rendre compte de toute la patience et

de tout le courage dont ont fait preuve mes différents collaborateurs? Non, sans doute ...

En premier lieu, je pense bien sûr à Fabrice Cormery à qui cette thèse doit beaucoup.

A l'origine du sujet ainsi que de nombreuses idées et orientations liées à ce travail, il m'a

avant tout communiqué le goût pour la recherche par son encadrement plein d'enthousiasme

et de passion. Après ce sacré bout de chemin passé ensemble, Fabrice, je te souhaite une

pleine réussite dans tes prochaines voies de recherche et d'escalade!

Ensuite, c'est mon collègue (mais néanmoins ami!) Vincent Pensée qui me vient à

l'esprit. Vincent, qui m'a soutenue et supportée (le mot n'est pas vain) pendant toutes

ces années d'études passées ensemble: l'EUDIL, le DEA, la thèse. Ta gentillesse et ta

simplicité naturelles, ta disponibilité permanente mais surtout ton humour façon Sarcicourt

ont compté énormément pour moi.

Je tiens également à citer un certain nombre de chercheurs qui, par leurs écrits ou leurs

discours, m'ont aidée dans bien des domaines. Je salue entre autres Djimédo Kondo, André

Dragon, Damien Halm, Alain Curnier, Jean-Louis Chaboche, Jean-Jacques Marigo ... J'en

profite aussi pour remercier tous les membres de mon jury pour leur disponibilité, leur

écoute et le temps qu'ils ont consacré à l'examen de mes travaux.

Enfin, je rends hommage à tout un environnement idéal lié à des conditions de travail

remarquables, grâce notamment à mon directeur de thèse Jian-Fu Shao qui m'a accueillie

dans son équipe, au CNRS et à la région Nord-Pas-de-Calais. Je pense aussi à tous mes

collègues du LML dont la compagnie et la bonne humeur ont égayé cet épisode de ma vie :

Cosmin, Marjorie, Annabelle, Stéphane et les autres. Je n'oublie pas bien sûr mes proches

qui m'ont grandement encouragée et soutenue: merci à vous tous!

Je me souviens pour finir de tous ces petits événements, personnels ou plus généraux,

qui m'ont permis de tenir la distance: les buts de Lilian Thuram contre la Croatie en

1998 et ceux de Zizou à l'Euro 2000; les intrigues amoureuses d'Ally McBeal dans son

cabinet d'avocat, les aventures de Jarod le caméléon et de Sydney dans Alias; la rencontre

avec Jackie mon maître yogi; les chansons de Linda Lemay; l'arrivée d'Azzo (né en mai

2000), quadrupède velu pas spécialement futé mais ronronnant à souhait!

Aimé Jacquet a bien résumé la chose: «L'important, c'est le collectif! »

3

Table des matières

Notations 9

Introduction 13

1 Bétons et roches : comportement mécanique et modélisations 17

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Microfissuration et comportement mécanique . 18

1.2.1 Comportement en compression hydrostatique 18

1.2.2 Comportement en compression uniaxiale 20

1.2.3 Comportement en traction uniaxiale 24

1.3 Modélisations . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Présentation des modèles . 28

1.3.2 Analyse critique . 30

1.3.3 Commentaire . . 34

2 Un modèle de comportement pour les milieux microfissurés 37

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Description de la microfissuration 38

2.3 Potentiel thermodynamique et comportement élastique 42

2.3.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.2 Energie élémentaire et effet unilatéral .

2.3.3 Expression définitive du potentiel

2.3.4 Lois d'état . . . . . . . . . . . . .

44

53

59

2.4 Potentiel de dissipation et loi d'évolution de l'endommagement 61

2.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.2 Lois d'évolution des variables internes . 62

2.5 Intégration locale de la loi de comportement 68

5

Table des matières

3 Etude des capacités prédictives du modèle

3.1 Introduction ................. .

3.2 Comportement élastique et propriétés effectives

3.2.1 Détermination des paramètres d'énergie.

3.2.2 Etude du comportement élastique

3.3 Comportement dissipatif ........ .

3.3.1 Détermination des paramètres de dissipation

3.3.2 Réponse à quelques sollicitations classiques .

Conclusion

Annexe A: Calculs

Annexe B : Conditions de continuité

Annexe C : Récapitulatif des équations du modèle

Bibliographie

6

73

73

74

74

80

94

94

99

111

113

117

125

131

Notations

L'ensemble des tenseurs utilisés au cours de cette étude sont définis sur l'espace

vectoriel euclidien JR3 dont le triplet de vecteurs ( e 1 , e2 , e3) constitue une base ortho

normée. Précisément, Tk désigne l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre k (k étant

un entier).

Nous utilisons les notations intrinsèques usuelles. A titre indicatif sont rappelées

ci-dessous les définitions de quelques uns des opérateurs principaux.

+ Produits contractés

Soient (Ti1 i 2 .. ik)i1 .i2, .. ikE[l,3Jk les composantes d'un tenseur T d'ordre k dans la base

( e 11 e2, e3 ) de JR3. Les produits contractés sont alors définis de la façon suivante :

n ·rn= ni mi, V (n, rn) E (JR3) 2

(a· b)ik = aij bjk, V (a, b) E (T2)

2

a: b = aij bij, V (a, b) E (T2)

2

(a: C)kz = aii Cijkz, V (a, C) E T 2 x T 4

C :: D = njkl Dijkl, V (C, D) E (T4)

2

E • F = Ei1 i2 .. ik Fi1i 2 .. ik, V (E, F) E (Tk) 2 avec k 2: 6

Notons enfin que la trace d'un tenseur du second ordre est définie par:

9

Notations

+ Produits tensoriels

Les produits tensoriels sont définis de la façon suivante:

(n®k)i1i2 .. ik - ni1 ni2 ·· nik, 'V nE JR3

(a0b)ijkl - aij bkt, '1;/ (a, b) E (T2)2

(a 0 b)ijkl - aik bjt, 'V (a, b) E (T2)2

(a 0 b)ijkt ail bjk, '1;/ (a, b) E (T2)2

(a0b) - (a0b+a0b)/2, '1;/ (a, b) E (T2)2

+Divers

On notera également 1 le tenseur unité de T 2 et Ok le tenseur nul de Tk dont les

composantes respectives dans toute base orthonormée de JR3 sont telles que:

l;; = { 1, s~ ~ = J 2 , '1;/ (i,j) E (1,3] 0, si i =f j

et

Enfin, on désignera par LA J la partie irréductible d'un tenseur A. On rappelle

qu'un tenseur T d'ordre k est irréductible s'il est symétrique et à trace nulle, i.e.

que ses composantes (7i1i2 .. ik )i1.i2, .. ikE[l,3Jk dans toute base de 1R3 sont telles que

et 3

L Tilili3··ik = (Ok-2)i3··ik il=l

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Introduction

Dans leur état naturel, c'est-à-dire avant tout chargement, les bétons et de

nombreuses roches sont microfissurés de façon plus ou moins importante. Sous solli

citation mécanique, cette microfissuration est le plus souvent amenée à évoluer soit

par propagation des microfissures existantes, soit par création de nouveaux défauts.

De nombreux auteurs s'accordent à penser que c'est avant tout l'état de la micro

fissuration, ainsi que son évolution sous chargement, qui jouent un rôle prépondérant

dans le comportement mécanique de ces matériaux et qui permettent d'apporter une

explication physique à divers aspects de celui-ci.

La prise en compte de la microfissuration sur le plan des modèles de compor

tement est un problème difficile et encore ouvert à l'heure actuelle. Le caractère

en général anisotrope de la propagation des microfissures et le fait qu'elles peuvent

s'ouvrir ou se fermer selon le chargement appliqué rendent notamment cette tâche

fort délicate.

Le travail exposé dans ce mémoire tente d'apporter quelques éléments de solu

tion à ce problème. A cet effet, une nouvelle modélisation, écrite à l'échelle macro

scopique, est proposée pour rendre compte de quelques spécificités essentielles du

comportement des matériaux microfissurés tels que les bétons et les roches.

13

Introduction

P~ur mener cette étude, .nous nous sommes placés dans un cadre relativement

simple, mais qui conserve néanmoins quelques unes des càractéristiques majeures du

problème en question. Ainsi, l'éventail des matériaux abordés se limite principale

ment à ceux qui présentent un comportement initial isotrope. Un seul mécanisme

dissipatif est par ailleurs envisagé, à savoir la création et la croissance de micro

fissures, la question du frottement n'étant pas considérée ici. Le cadre général est

enfin celui des petites perturbations quasi statiques et isothermes.

La rédaction de ce mémoire s'organise autour de trois parties.

Le premier chapitre est consacré dans un premier temps à la présentation, l'ana

lyse bibliographique et l'interprétation des principaux résultats expérimentaux sur

le comportement mécanique des bétons et des roches. Dans une seconde partie, on

s'intéressera aux modélisations macroscopiques existant dans la littérature, et l'on

évoquera en particulier les difficultés rencontrées par celles-ci pour rendre compte

des aspects précités.

La présentation du modèle proprement dit fait l'objet du second chapitre. L'en

dommagement y est caractérisé par un jeu de variables internes tensorielles définis

sant la distribution en orientation des densités de microfissures au sein du milieu. On

construit ensuite le potentiel thermodynamique (en l'occurrence la fonction énergie

libre) du milieu microfissuré en s'appuyant sur la physique du phénomène considéré

et sur quelques considérations d'ordre micromécanique. Enfin, la question de l'évo

lution est traitée dans le cadre d'un schéma standard à partir d'hypothèses sur la

dissipation. Cette partie s'achève sur l'explicitation de l'algorithme d'intégration

numérique locale du modèle proposé.

Dans le dernier chapitre, diverses simulations sont menées afin d'évaluer laper

tinence de la formulation proposée. Cette analyse sera décomposée en deux parties,

la première consacrée à la réponse élastique du modèle, la seconde s'intéressant à la

question de l'évolution des dommages.

14

Chapitre 1

Bétons et roches : comportement

mécanique et modélisations

1.1 Introduction

Afin de fixer les idées et de prendre concience du rôle crucial joué par la micro

fissuration, on se propose dans la première partie de ce chapitre d'analyser la réponse

mécanique de bétons et de roches au travers de quelques essais couramment utilisés

en génie civil.

Ces données expérimentales permettront de rappeler les principaux effets suscités

par la microfissuration, tant ceux liés à la présence de microfissures que ceux induits

par la propagation ou la création de nouvelles microfissures.

A l'issue de cette partie, on fera ensuite une synthèse des tentatives de modélisa

tion macroscopique du comportement de ces matériaux, et plus spécifiquement celles

visant à rendre compte des effets liés à l'ouverture- fermeture des microfissures.

17

Chapitre 1

1.2 Microfissuration et comportement mécanique

Malgré de grandes différences de composition, les bétons et les roches ont un

comportement mécanique assez similaire. On étudie ici la réponse d'une éprouvette

de ces matériaux soumise à des sollicitations relativement simples mais qui permet

tent de mettre en évidence les manifestations essentielles de la microfissuration : la

compression hydrostatique, la compression et la traction uniaxiales. On pourra se

référer par exemple aux synthèses de Mazars [43], Burlion [8] dans le cas des bétons

et Paterson [49], Gatelier [19] dans le cas des roches pour une description plus dé

taillée du comportement de ces matériaux, notamment sous chargement multiaxial.

1.2.1 Comportement en compression hydrostatique

Une éprouvette de volume V est placée dans une enceinte de confinement et

sollicitée par l'intermédiaire d'un fluide dont on contrôle la pression Pc. Dans le cas

d'un matériau initialement isotrope, les déformations qui en découlent sont alors

identiques dans toutes les directions de l'espace. La figure 1.1 présente la varia

tion relative de volume d'un échantillon de grès de Fontainebleau durant cet essai

(Sibaï [54]).

Lorsque le confinement est appliqué, les microfissures présentes dans le matériau

et ayant une ouverture non nulle à l'état naturel se ferment progressivement (on

parle de phase de serrage). A l'échelle macroscopique, cette fermeture se traduit

par une rigidification progressive du matériau, conduisant à la non linéarité de la

courbe ( -Ll V /V, Pc) avec augmentation du module de compressibilité K du matériau

(i.e. la pente de cette courbe). Pour la valeur P1 appelée pression de fermeture (ici

de l'ordre de 10 MPa), la quasi-totalité des microfissures sont fermées. La courbe

( -Ll V jV, Pc) devient alors linéaire et le module de compressibilité atteint une valeur

asymptotique K0 considérée comme celle du matériau sain.

La restitution progressive du module de compressibilité au cours de cet essai

illustre la dépendance des propriétés élastiques du matériau suivant l'état d'ouver

ture - fermeture des microfissures et, en particulier, la restauration induite par la

18

Bétons et roches: comportement mécanique et modélisations

fermeture de celles-ci: c'est ce que l'on appelle couramment l'effet unilatéral de

l'endommagement.

L'essai de compression hydrostatique permet également de déterminer la porosité

de fissure d'un matériau (cf. Panet [48]). L'intersection de la partie linéaire de la

courbe (-.6. V /V, Pc) avec l'axe des abscisses donne en effet la valeur du volume

relatif 'T/~ = VJ jV des microfissures initiales (ici environ 1.5 w-3). On notera que

dans les bétons et certaines roches très poreuses, la phase de serrage est quasiment

inexistante, indiquant soit que les microfissures du matériau sont essentiellement

fermées, soit que le matériau est pratiquement vierge de microfissures (Burlion [8],

Romand et Duffaut [26]).

60

Figure 1.1: Réponse d'un grès de Fontainebleau à un essai de compression hydrosta

tique: courbe pression de confinement (Pc)- variation relative de volume (.6.V/V).

19

Chapitre 1

1.2.2 Comportement en compression uniaxiale

C'est l'essai le plus couramment réalisé en mécanique des roches et des bétons. La

réponse schématique de ces matériaux à une sollicitation de compression uniaxiale

d'axe e3 (u = a3 er2 avec a3 < 0) est présentée à la figure 1.2. On distingue

généralement quatre phases jusqu'à la rupture:

• Phase 1 : Serrage des fissures

Comme en compression hydrostatique, l'application du chargement conduit en

premier lieu à une fermeture progressive des microfissures initiales. Cette phase de

serrage induit une non linéarité dans la réponse contrainte - déformation du maté

riau, qui est d'autant plus marquée que celui-ci est fortement microfissuré initiale

ment.

• Phase II: Domaine linéaire

Dans cette seconde phase, la réponse du matériau est élastique linéaire. Le com

portement est en effet quasi réversible (courbes de charge et de décharge sont prati

quement confondues) et relativement peu d'évènements acoustiques sont enregistrés

(voir par exemple Lockner et Byerlee [36]): le matériau ne subit donc à ce stade

aucune nouvelle altération.

• Phase III : Propagation stable de la microfissuration

Les courbes contrainte- déformations du matériau cessent d'être linéaires. L'émis

sion acoustique s'intensifie, ce qui révèle une propagation de la microfissuration.

Cette propagation est stable (l'arrêt de montée en charge s'accompagne d'un arrêt

de l'émission acoustique, qui ne reprend que lors d'un nouvel accroissement de la

contrainte appliquée) et s'effectue de façon anisotrope : les surfaces des microfissures

s'orientent en effet de préférence dans une direction parallèle à l'axe de chargement

(voir par exemple Nemati [45] pour des bétons et Romand et al. [27] pour une roche,

cf. figure 1.3). On notera que cette anisotropie du comportement est confirmée par

la mesure des célérités d'ondes ultrasonores (Marigo [40], Berthaud [5], Romand et

al. [27]).

20


----,. -/

/ / IV

Figure 1.2: Réponse schématique à un essai de compression uniaxiale d'axe e 3 :

courbes contrainte (o-3)- déformations axiale (E3) et latérale (E1 = E2).

Si l'on réalise des cycles de charge - décharge durant cette phase (cf. figure

1.4), on constate par ailleurs la présence de boucles d'hystérésis indiquant que le

matériau reste le siège de processus dissipatifs même à état d'endommagement figé.

La plupart des microfissures étant ici fermées, cette dissipation est généralement

attribuée au frottement des lèvres de ces défauts. On notera enfin que, si l'existence

de ces boucles ne permet certes plus d'accéder aux modules élastiques du matériau,

on peut néanmoins entrevoir lorsque celles-ci sont de faible amplitude (comme dans

les roches par exemple) la dégradation progressive des propriétés mécaniques induite

par l'endommagement.

21

Chapitre 1

2 n

-2

- -+ - · : état initial, - ._- : 60% du pic, • 80% du pic

Figure 1.3: Observations microscopiques directes d'une section de granite de la

Vienne sollicité en compression uniaxiale d'axe e3 : paramètre PL (nombre d'in

tersections entre le réseau de microfissures et une grille de lignes parallèles réguliè

rement espacées, par unité de longueur) en fonction de l'orientation de la grille et

du niveau de chargement.

22

-1


-a3 (MPa)

30

0 1

grès des Vosges (Karami {31})

a3 (MPa) a3 (MPa)

béton (Ramtani {51})

2

Figure 1.4: Réponses à un essai de compression uniaxiale d'axe e3 avec cycles de

charge - décharge: courbes contrainte (a3 ) - déformations axiale (é3 ) et latérale

(él = é2)·

23

Chapitre 1

• Phase IV: Propagation instable de la microfissuration et ruine de l'éprouvette

A partir d'un certain seuil, l'émission acoustique s'intensifie de façon importante.

Les microfissures se propagent rapidement et de façon instable, puis commencent à

se rejoindre (coalescence).

La réponse de l'éprouvette n'est plus à ce stade représentative du comportement

local du matériau mais de celui d'une structure, les champs de déformation au sein

de l'éprouvette cessant en effet d'être homogènes.

Notons pour finir que le fait d'appliquer une pression latérale constante durant

l'essai de compression (dans ce cas triaxial) modifie quelque peu le comportement

qui vient d'être décrit (sensibilité à la pression moyenne). Le confinement augmente

notamment le seuil de fissuration (et donc la phase II), stabilise la propagation des

défauts et rend la rupture plus progressive.

1.2.3 Comportement en traction uniaxiale

L'essai de traction uniaxiale est relativement difficile à mettre en oeuvre. Le re

cours à des presses très rigides, un pilotage en déplacement et l'utilisation d'éprou

vettes de formes particulières sont le plus souvent indispensables à sa réalisation

(voir par exemple Terrien [57], Van Mier et Van Vliet [60]).

La figure 1.5 présente les courbes contrainte- déformation axiale obtenues pour

un grès de Fontainebleau et un béton lors d'une traction uniaxiale u = a 3 er2

(e13 > 0). En début de chargement, le comportement de ces matériaux est élastique

linéaire. Puis, l'on constate une légère déviation par rapport à cette linéarité, liée

à une progression de la microfissuration (comme l'indique l'activité acoustique, cf.

Terrien [57]). Cette propagation des microfissures est anisotrope, la majorité des

défauts se développant dans la direction perpendiculaire à l'axe de chargement, et

se révèle rapidement instable.

24

grès de

Fontainebleau

(Sayehi {52])

béton

(Terrien {57})


2

2

2

Figure 1.5: Réponses à un essai de traction uniaxiale d'axe e3 : courbes contrainte

(a3)- déformation axiale (c3).

Sur les essais présentés, le champ de déformations dans l'échantillon cesse d'être

homogène à partir du pic de la courbe contrainte- déformation axiale. La réponse

obtenue n'est alors plus représentative du comportement du matériau mais du com

portement de la structure que constitue l'éprouvette (cf. Mazars [43], Van Mier [59]).

Pour accéder à la phase adoucissante du comportement, on peut par exemple recou

rir à la procédure PIED (Pour Identifier l'Endommagement Diffus), dans laquelle

l'effort est exercé par l'intermédiaire de barettes en aluminium collées sur la surface

latérale de l'éprouvette (voir Ramtani [51]).

25

Chapitre 1

Si l'on examine ainsi la réponse post-pic d'un béton à un essai PIED de traction

uniaxiale d'axe e; (cf. figure 1.6), on observe une dégradation progressive de ses

propriétés mécaniques : la pente des décharges (élastiques linéaires), i.e. le module

d'Young axial E( e3) du matériau, décroît en effet au fur et à mesure que l'on pro

gresse dans l'essai. On constate également la présence de déformations résiduelles

irréversibles après décharge, qui peuvent s'expliquer par une refermeture imparfaite

des microfissures (voir par exemple Acker [1]).

Notons que, si à l'issue d'une décharge complète de l'éprouvette, on poursuit cet

essai par une compression uniaxiale suivant le même axe de chargement, on peut

une nouvelle fois mettre en évidence l'effet unilatéral de l'endommagement (Ramtani

[51]). Le chargement compressif provoque en effet la fermeture des microfissures

préalablement générées lors de la traction et conduit ainsi à la restitution quasi

totale du module d'Young axial à sa valeur initiale (cf. figure 1.6).

2

;•. ... • •• 4 • .. ........ . .... _,- .. • • • •

0

•• -2

• •• • ' .

•• •

-300 -150 0 lSO 300

Figure 1.6: Réponse d'un béton à un essai PIED uniaxial (d'axe e3 ) de traction

avec cycles de charge - décharge suivie de compression: courbe contrainte (o-3) -

déformation axiale (ê3).

26


1.3 Modélisations

L'analyse des résultats expérimentaux qui vient d'être faite a permis de mettre

en relief le rôle crucial joué par la microfissuration dans le comportement mécanique

des bétons et de nombreuses roches. Au travers des quelques essais présentés, on

a ainsi pu observer les principaux phénomènes liés à la présence et à l'évolution

de ces défauts (dégradation des propriétés mécaniques, anisotropie induite, effet

unilatéral, .. ).

Il est aujourd'hui établi que la mécanique de l'endommagement constitue le cadre

le plus approprié pour la modélisation macroscopique du comportement non linéaire

de ces matériaux. Nous ne ferons pas ici l'historique de celle-ci, nous nous limiterons

à en rappeler quelques points essentiels.

Depuis trois décennies, de nombreuses théories, utilisant une ou plusieurs va

riables d'endommagement- d'abord scalaires puis tensorielles afin de rendre compte

du caractère orienté des défauts - ont été développées pour rendre compte des effets

liés à la microfissuration (on pourra trouver quelques éléments de synthèse à ce sujet

notamment dans Lemaitre et Cha boche [35] et Krajcinovic [33]). En dépit de ces

multiples tentatives, aucune formulation actuelle ne permet de rendre compte de

façon acceptable de l'intégralité des aspects décrits précédemment. En particulier,

la question de l'effet unilatéral n'a toujours pas trouvé de réponse entièrement satis

faisante, même dans le cadre simplifié où les microfissures sont supposées glisser sans

frottement.

Dans une analyse critique, Chaboche [10] (voir aussi Maire et Lesne [39]) démon

tre en effet l'existence d'anomalies mathématiques graves dans les formulations vi

sant à rendre compte de ce phénomène (discontinuité de la réponse contrainte -

déformation, dissymétrie de l'opérateur des rigidités, .. ). On se propose ici de com

pléter ce propos en examinant deux approches plus récentes qui ont tenté de remédier

à ces problèmes: celle de Chaboche [11] et celle de Halm et Dragon [21].

27

.Chapitre 1

1.3.1 Présentation des· modèles

En l'absence d'endommagement, les matériaux modélisés sont supposés élastiques

linéaires et isotropes, de coefficients de Lamé Ào et l-lo (Co = Ào 1@ 1 + 2~-t0 1@ 1

le tenseur des rigidités élastiques correspondant). On désignera par e le tenseur de

déformation et par d la (ou les) variable(s) d'endommagement considérée(s). Dans

la mesure où seule la réponse élastique sera examinée, on ne présentera ici que le

potentiel thermodynamique postulé dans chacune des formulations étudiées.

• Formulation de Chaboche [ 11 j

La formulation proposée par cet auteur constitue un cadre général au sein duquel

toute modélisation macroscopique de l'endommagement peut s'inscrire. Dans le cas

d'une formulation en déformation, elle repose sur une écriture générale du potentiel

thermodynamique W (énergie libre par unité de volume) sous la forme :

1 W(e, d) = - e : C: e

2 (1.1)

où le tenseur des rigidités élastiques C, dépendant de l'état ( e, d), est défini par :

3

C = C + TJ L H (-vi· e ·vi) v?4: (Co- C) : v?4 (1.2)

i=l

C désigne la valeur de C lorsque tous les dommages sont actifs ( microfissures toutes

ouvertes), TJ est un paramètre du matériau (compris entre 0 et 1) permettant de

caractériser l'intensité de la restitution des modules élastiques et H représente la

fonction d'Heaviside.

Cette formulation permet donc de restituer lorsque 'fJ = 1 la rigidité initiale du

matériau dans la direction définie par le vecteur vi, i.e. le module d'élongation L(vi),

lorsque la déformation normale associée vi· e ·vi devient négative.

Thois choix sont proposés par Cha boche pour les directions orthogonales vi où

s'applique la condition unilatérale. Deux d'entre eux sont examinés en détail dans la

28


s-qite, le dernier étant commenté ultérieurement : dans un premier temps, le triplet

de vecteurs unitaires (vb v2, v3) est une base principale de l'endommagement, d

désignant un unique tenseur du second ordre ; dans un second temps, ce triplet

correspond à une base principale du tenseur de déformation e, d représentant dans

ce cas une ou plusieurs variables tensorielles d'endommagement.

• Formulation de Halm et Dragon {21}

Cette formulation constitue une extension du modèle d'endommagement aniso

trope proposé par Dragon et al. [17] qui permet de rendre compte du phénomène

d'activation- désactivation de l'endommagement. Le mécanisme dissipatif considéré

est décrit par une unique variable interne d'endommagement d, tensorielle du second

ordre, rendant compte de l'étendue et de l'orientation des dommages:

(1.3)

nk représente la normale unitaire au ke système de microfissures parallèles et dk une

mesure scalaire de leur densité. La décomposition spectrale permet d'écrire d dans

ses axes principaux : 3

d =.2: div~2 (1.4) i=l

où di et vi représentent les valeurs propres et vecteurs propres de d. Toute confi

guration d'endommagement est donc équivalente à trois systèmes orthogonaux de

microfissures parallèles.

Le potentiel thermodynamique W proposé par Halm et Dragon [21] est défini

par:

Ào W(e, d) = gtr (e · d) + 2 (tre) 2 + f-lo tr (e · e) + atre tr (e · d)

+2(3tr(e·e·d)-(a+2(3)e: [t H(-vi·e·vi)div~4l :e (1.5)

où g est une constante caractérisant des effets résiduels dus aux dommages, et a et

(3 deux coefficients constants liés à la dégradation des propriétés élastiques.

29

Chapitre 1

Dans la formulation (1.5), l'opérateur tensoriel d'ordre quatre di v~4 permet

d'annuler la contribution du système équivalent de microfissures de normale vi à la

dégradation de la rigidité du matériau dans cette direction lorsque vi · e ·vi ::::; O.

Le modèle proposé par Halm et Dragon [21] s'appuie donc sur la décomposition

spectrale de d pour rendre compte de l'effet unilatéral de l'endommagement.

1.3.2 Analyse critique (Cormery et Welemane [13])

Les formulations qui viennent d'être présentées comportent certaines déficiences

mathématiques. On se propose de les mettre en évidence ici sur deux exemples

simples. Examinons dans un premier temps la formulation (1.1) proposée par Cha

boche [11] lorsque le triplet de vecteurs unitaires (v1, v2 , v 3 ) est identifié à une base

principale de d.

Considérons un état (e, d) où la déformation est uniaxiale e = t: 1 e?2 avec t:1 < 0

et l'endommagement d est un tenseur du second ordre isotrope, i.e. tel que d = d0 1.

Le milieu étant supposé isotrope lorsque tous les dommages sont actifs, le tenseur

des rigidités C est donc isotrope de la forme :

C = ( Ào + a) 1°2 + 2 (J.to + b) 1 0 1 (1.6)

où a et b sont deux fonctions scalaires de d. Munis du résultat (1.6), nous sommes

en mesure de calculer W ( e, d). L'endommagement étant décrit par un tenseur sphé

rique, le triplet de vecteurs (v1 , v 2 , v3) peut être identifié à une infinité de bases

principales de d. Si l'on assimile le triplet (vil v 2 , v3) à la base (e1 , e2 , e3), on établit

alors que:

W(e, d) = ~ [>.o + 2tt0 - TJ (a+ 2b)] €~ (1.7)

Vérifions l'unicité de ce résultat. Pour cela identifions maintenant (v1, v2 , v3 ) à une

seconde base principale de d, soit (t1 , t 2 , t 3 ) définie par:

(1.8)

30

Bétons et roèhes: comportement mécanique et modélisations

on obtient alors, d'après (1.1) et (1.2):

1 "' W(e, d) = 2 [>.o + 2J.Lo- 2 (a+ 2b)] c~ (1.9)

Ce simple changement de base principale de d montre que l'unicité de la réponse

W(e, d) n'est pas assurée. A un état (e, d) peuvent ainsi être associés plusieurs

résultats différents par W (une infinité dans l'exemple considéré), qui par conséquent

n'est pas un potentiel thermodynamique.

La formulation proposée par Halm et Dragon [21] présente la même anomalie

mathématique. En effet, on peut remarquer aisément que la relation (1.5) peut

se mettre sous la forme (les effets résiduels dus aux dommages étant supposés ici

négligeables, soit g = 0):

W(e, d) = ~ e: [ C + tH (-vi· e ·vi) v~4 : (Co- C): v~4l : e

t=l

(1.10)

avec

C = C 0 + a (1 0 d + d 0 1) + 2(3 (1 0 d + d 0 1) (1.11)

et s'inscrit donc dans le cadre formel proposé par Chaboche qui vient d'être étudié.

Au vu des résultats précédents, on peut donc en déduire que l'introduction de la

condition unilatérale du dommage au sein de la formulation de base proposée par

Dragon et al. [17] fait perdre à W son statut de potentiel thermodynamique. On

notera que la prise en compte des effets résiduels ne modifie pas ces conclusions.

Lorsque le triplet de vecteurs unitaires (v1 , v2 , v 3 ) correspond à une base prin

cipale de e, la formulation (1.1) proposée par Chaboche [11] permet d'associer à

tout état (e, d) une et une seule énergie libre W(e, d). Cependant, ce second choix

de vecteurs unitaires (v11 v 2 , v3) ne permet pas d'associer à tout état (e, d) un ten

seur des rigidités élastiques C = C(e, d) unique, ce que nous nous proposons de

démontrer maintenant.

Considérons un état (e, d) où la déformation est uniforme e = co 1 avec co < 0

et l'endommagement d tel que le tenseur C soit isotrope, i.e. de la forme (1.6).

31

Chapitre 1

Dans. cet exemple,. le triplet.de vecteurs unitaires (v1, v2, va) peut être identifié à

une infinité de bases principales de e (la déformation étant définie par un tenseur

sphérique). Déterminons l'expression du tenseur C associé à l'état (e: = co 1, d)

considéré lorsque ce triplet est identifié d'une part à la base (eb e 2 , ea), et d'autre

part à la base (t1, t 2 , ta) définie en (1.8). On obtient alors d'après (1.2) et (1.6):

(1.12)

et

C = C- 'f} (a+ 2b) (tf4 + t~4 + tf4) lorsque vi =ti (i = 1, 2, 3) (1.13)

Or,

(1.14)

ce qui prouve qu'à un état (e:, d) peuvent être associés plusieurs tenseurs C différents.

La figure 1.7 illustre les conséquences d'une telle anomalie sur le module d'Young

E (v) dans une direction de vecteur unitaire v, défini par :

(1.15)

lorsque la variable d est un tenseur du second ordre (d = 0.1 1), le tenseur C retenu

est celui proposé en (l.ll) et 'f} = 1 (restitution maximale). La comparaison des deux

états ( e: = co 1, d = d0 1) définis respectivement par co > 0 et co < 0 montre, lorsque

co < 0, une restitution partielle de E(v) par rapport à sa valeur E0 pour le matériau

sain dans certaines directions v qui dépendent du choix de la base principale de e,

ce qui n'est pas acceptable.

Remarque 1.1 Les anomalies mises en évidence précédemment sur une distribu

tion isotrope de dommages peuvent être révélées dans le cadre d'une anisotropie

induite isotrope transverse. On montre par exemple aisément que la formulation

proposée par Halm et Dragon [21] ne permet pas d'assurer l'unicité de la réponse

W(e:, d) pour un état de déformation e: = c1 ef2 avec c1 < 0 et de dommages

d = do ( ef2 + er2)' puisque les directions de désactivation du dommage, définies à

partir de la décomposition de d, ne peuvent être déterminées de façon unique.

32

vi= ei (i = 1,2,3)

vi = ti ( i = 1' 2' 3)

e2

t2

e3 = t3


tl

el

1

1 1

1

-':1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

-':1 1 1 1 1 1 1

/ 1

1

1 1

\

1

\ 1

/

\

/

\

/

\

/ /

' \

' /

' \

' ' '

' ' '

e2

---l:-

E (v)/Eo

E (v)/Eo

cercle unité

' ... ' '

/

' '

/

' '

' ' \

1 1

/ /

1

lorsque

lorsque

\

1

v

1 1 1 1 1 1

1 el 1 1

1 1

1

v

1

1 1

1 el

1 1

1 1

1

éo > 0,

éo < 0,

Figure 1.7: Modules d'Young d'un grès des Vosges affaibli par une distribution

isotrope de microfissures (e = éo 1, d = 0.11 ; >.0 = 3250 MPa, J-lo = 4875 MPa,

a = 9925 MPa, {3 = -11180 MPa). 33

Chapitre i

Remarque 1.2 Le dernier choix proposé par Chaboche {11} pour le triplet (v17 v 2 , v3 )

est le suivant: le< vecteur v 1 définit la direction pour laquelle le module d'Young est

minimal dans un essai de traction uniaxiale, et les vecteurs v 2 et v 3 sont choisis de

telle sorte que le triplet considéré forme une base orthonormée. Cette proposition ne

permet pas non plus à W défini en {1.1) d'accéder au statut de potentiel thermody

namique. En effet, lorsque le milieu endommagé tous dommages actifs est isotrope

ou isotrope transverse, l'unicité du triplet (v17 v2 , v 3 ) ne peut être assurée.

1.3.3 Commentaire

Ainsi que l'on vient de le voir, les formulations actuelles comportent encore

un certain nombre d'anomalies mathématiques. La modélisation macroscopique du

comportement mécanique des bétons et des roches apparaît donc comme une pro

blématique encore très ouverte.

En ce qui concerne précisément les déficiences rencontrées ici au niveau de la

prise en compte de l'effet unilatéral, elles découlent d'une utilisation inadéquate

de décompositions spectrales des variables d'état dans les potentiels proposés. Une

analyse critique de Carol et Willam [9] sur d'autres modélisations souligne certains

autres effets néfastes engendrés par l'emploi de telles décompositions.

Notons que les nouvelles approches proposées récemment, notamment par l'école

française (Badel [4], Desmorat [16], Chaboche [12]), restent construites sur ce prin

cipe et tentent de remédier aux problèmes évoqués. Nous avons choisi quant à nous

de suivre une voie différente, i.e. de nous extraire de toute décomposition tant pour

la formulation du potentiel thermodynamique (et donc pour la prise en compte de

l'effet unilatéral) que pour celle de la loi d'évolution du processus dissipatif étudié.

C'est précisément cette démarche et la modélisation qui en découle que nous allons

vous présenter au chapitre suivant.

34

Chapitre 2

Un modèle de comportement pour

les milieux microfissurés

2.1 Introduction

Ce chapitre a pour but de décrire la nouvelle modélisation de l'endommagement

par microfissuration proposée dans le mémoire. Cette formulation s'inscrit dans le

cadre de la thermodynamique des processus irréversibles avec variables internes. La

présentation du modèle se déclinera par conséquent en trois volets :

• en premier lieu, la sélection des variables internes, qui permettent de re

présenter le phénomène dissipatif étudié, i.e. la création et la croissance de

microfissures,

• dans un second temps, la construction du potentiel thermodynamique,

définissant l'énergie élastique du milieu, et de laquelle dérivent les lois d'état,

• enfin, le choix du potentiel de dissipation, qui fournit la loi d'évolution du

processus irréversible.

Dans une dernière partie, nous présenterons la traduction algorithmique locale des

équations constitutives proposées.

37

Chapitre 2

2.2 Description de la microfissuration

On se propose ici de préciser la définition des grandeurs mécaniques macro

scopiques retenues pour caractériser l'endommagement. Considérons pour cela un

volume élémentaire représentatif V d'un milieu comportant un ensemble de micro

fissures planes et de morphologies plus ou moins complexes (lenticulaires, elliptiques

ou autres).

L'état de microfissuration de ce volume est alors défini par la disposition spatiale,

l'orientation et la géométrie des dommages. L'ensemble de ces informations étant

d'une complexité telle, leur prise en compte exhaustive sur le plan d'un modèle de

comportement ne peut être envisagée. On se limite par conséquent dans cette étude

à décrire ce que nous considérons être la signature essentielle de l'endommagement

du milieu, à savoir la densité de microfissures associée à chacune des directions de

l'espace.

La densité Pn dans la direction de vecteur unitaire n est précisément la grandeur

scalaire et adimensionnelle définie par (cf. Budiansky et O'Connell [7]):

P = __2_ L s~~ n 1fV l Pnl

(2.1)

où Sn1 et Pn1 désignent respectivement la surface et le périmètre de la ze microfissure

de normale unitaire n. La donnée des densités de microfissures associées à chaque

direction permet alors de définir la fonction d'orientation scalaire p telle que (cf.

Kanatani [30]) :

p S -+IR

n f-4 p(n) = Pn (2.2)

où S = { n E IR3 , n · n = 1 } désigne la sphère unité de JR3 .

On note que la valeur de Pn est indépendante du sens choisi pour le vecteur n,

la fonction p est donc radialement symétrique, i.e. telle que

p(n) = p(-n), V nES (2.3)

38

Un modèle de comportement pour les milieux microfissurés

et on la supposera par la suite de carré intégrable1 sur S. On peut alors la déveiopper

en une série de Fourier convergente qui, compte tenu de (2.3), ne comporte que des

termes d'ordres zéro et pairs en n (cf. He et Curnier [25], Jones [28], Kanatani [30],

Zheng et Collins [64]), soit:

(2.4)

Les tenseurs irréductibles (1, Ln1812J, Ln1814J, .. ), dont les expressions sont données à

l'annexe A, forment une base orthogonale complète de l'espace vectoriel des fonctions

de carré intégrable sur S. Les coefficients tensoriels correspondants ( d0 , d2 , d4 , .. ) ,

appelés tenseurs de structure (fabric tensors en anglais), et définis par

(1 + 2k)! J l 18ikJ dk = 2k+2 (k!) 27r p(n) n ds v k = 0,2,4, .. (2.5)

s

avec ds l'élément infinitésimal de surface sur S, caractérisent ainsi entièrement la

fonction de densité de microfissures p. En particulier, le coefficient tensoriel d'ordre

zéro

do (2.6)

représente la densité totale des défauts.

Pour des raisons de commodité, on choisit ici de décrire la microfissuration du

milieu au moyen de la fonction d'orientation p obtenue par troncature du développe

ment (2.4):

où pest un entier pair. L'ensemble des tenseurs irréductibles (d0 , d2 , d4 , .. , dp), que

l'on écrira de façon générique d, définit alors complètement la fonction pet constitue

par conséquent un jeu de variables internes adéquat pour caractériser l'endomma

gement par microfissuration.

1 i.e. telle que J lp(n)l 2 ds < +oo.

s

39

Chapitre 2

S'.il est évident. qu'une augmentation de l'ordre p permet d'affiner la description

de la distribution de densités de microfissures (voir les analyses de Lubarda et Kraj

cinovic [38], Tikhomirov et al. [58] et l'exemple de la figure 2.1), rien ne permet pour

l'instant de déterminer la valeur de p la plus pertinente pour la représentation du

comportement du milieu microfissuré. Seule une étude a posteriori pour différentes

valeurs de p fournira le moyen de répondre à cette question.

Signalons pour finir que puisque la valeur de la densité de microfissures dans une

direction de vecteur n dépend des variables d, on la notera par la suite p(n, d).

Remarque 2.1 Une description de la microfissuration par une fonction d'orienta

tion a déjà été proposée par Onat {46]. Notons néanmoins qu'elle se différencie de

la nôtre au niveau de la définition de la densité retenue.

Remarque 2.2 Certains auteurs privilégient une représentation de l'endommage

ment liée aux propriétés effectives du matériau. Cette stratégie, certes avantageuse

du point de vue de l'identification du modèle, ne permet toutefois pas de caractéri

ser la microfissuration du milieu (orientation des défauts, densités, . .). La démarche

adoptée ici répond en revanche à cette attente - au travers de la relation (2. 7) -, tout

en préservant une formulation macroscopique du modèle. Ceci permettra notam

ment une validation enrichie du modèle, tant à l 'échelle macroscopique qu'à l'échelle

microscopique. De surcroît, une description géométrique de la microfissuration nous

semble être une démarche pertinente pour la prise en compte de l'effet unilatéral ou

encore pour le couplage avec d 'autres phénomènes dissipatifs tels que le frottement.

40


distribution exacte distributions approchées

e,

{ 0 ' p(n) = p(<P) = cos (2</Y) '

si <P E [j, 3:J U [5;,

7:J sinon

cercle zéro : --

Figure 2.1: Influence de l'ordre d'approximation p.

41

Chapitre 2

2.3 Potentiel thermodynamique et comportement

élastique

Les variables internes décrivant l'état d'endommagement du matériau étant

posées, on se propose à présent de construire la fonction d'énergie définissant pour

tout état d'endommagement d le comportement élastique macroscopique du maté

riau microfissuré. Le choix a été fait ici de retenir une formulation en déformation ( e

variable observable) qui présente l'avantage de permettre une intégration numérique

plus aisée.

2.3.1 Hypothèses

On admet l'existence d'un potentiel thermodynamique pour le matériau micro

fissuré, en l'occurrence l'énergie libre par unité de volume W, dépendant des variables

( e, d) et vérifiant les propriétés suivantes :

+ West un invariant isotrope par rapport à l'ensemble de ses arguments, soit:

W(T(e,d)) = W(e,d) (2.8)

quelle que soit la transformation orthogonale T (voir par exemple Boehler [6]).

+ la fonction W est de classe C 1. Sont donc assurées la continuité du potentiel,

ainsi que l'existence et la continuité de la contrainte:

aw U=--

8e (2.9)

et des forces thermodynamiques associées à 1 'endommagement :

(2.10)

où

(2.11)

42


+ W est enfin positivement" homogène de degré deux par rapport à la variable e,

i.e. telle que :

\:1 d, W(À e, d) = À2 W(e, d), \:1 À 2: 0 (2.12)

Cette propriété implique que la contrainte définie en (2.9) est elle-même positivement

homogène de degré un par rapport à e :

\:1 d, u(À e, d) =À u(e, d), \:1 À 2: 0 (2.13)

La relation contrainte - déformation du matériau lors d'un chargement réversible

proportionnel e = t e0 sera ainsi linéaire, avec possibilité d'une dissymétrie de com

portement lors d'un changement de e0 en -e0 (cf. Marigo [42]).

L'écriture proposée pour l'énergie libre du matériau microfissuré est la suivante:

W(e, d) = Wo(e) + Wd(e,d) (2.14)

où W0 (e) désigne l'énergie libre du matériau sain (sans microfissures) supposé élas

tique linéaire et isotrope (de coefficients de Lamé Ào et J-to):

Ào 2 Wo(e) = 2 (tre) + J-to tr (e · e) (2.15)

et Wd(e, d) représente la modification d'énergie due à l'endommagement. Pour un

état (e, d) quelconque, cette dernière est définie comme la somme sur la sphère unité

S des contributions élémentaires, soit :

Wd(e,d) - 4~ J w(,ô(n,d),n,e)ds s

(2.16)

où la fonction w caractérise la modification d'énergie induite par chaque ensemble de

microfissures parallèles. On notera que la forme ainsi proposée suppose implicitement

une certaine non interaction entre les microfissures (cf. Kachanov [29), Nemat-Nasser

et Hori [44]).

Pour obtenir l'expression définitive du potentiel W, il reste donc maintenant à

construire la fonction énergie élémentaire w. Celle-ci devra notamment être isotrope

43

Chapitre 2

par rapport à l'ensemble de ses arguments, radialement symétrique par rapport à

la variable n (i.e: telle que w(., n, .) = w(.,-n, .) , V n), positivement homogène de

degré deux par rapport à e et de classe C1, de façon à ce que W satisfasse aux

propriétés précitées.

2.3.2 Energie élémentaire et effet unilatéral

Ainsi que nous l'avons vu au chapitre 1, la réponse élastique d'un milieu micro

fissuré varie suivant l'ouverture ou la fermeture des dommages qui l'affectent. L'éner

gie élémentaire w(,ô( n, d), n, e) relative aux microfissures de normale n prend alors

une valeur différente selon que celles-ci sont ouvertes ou bien fermées.

Il est ici supposé que l'état d'ouverture - fermeture d'un ensemble de micro

fissures parallèles ne dépend pas de leur densité mais seulement de leur orientation

et de l'état de déformation. On postule ainsi l'existence d'une fonction scalaire g des

variables ( n, e), radialement symétrique par rapport à n, de classe C1 et définissant,

pour chaque vecteur unitaire n fixé, un hyperplan dans l'espace des déformations E.

(l'application partielle g(n, .) est une forme linéaire). Cet hyperplan, d'équation

g(n,e) = 0 (2.17)

divise l'espace E. en deux sous-domaines correspondant aux états ouvert et fermé

des microfissures de normale n. Sans restreindre la généralité, on considèrera ainsi

que pour l'état de déformation e, les microfissures de normale n sont ouvertes si

g(n,e) > 0 et fermées si g(n,e):::; 0, l'équation de l'hyperplan (2.17) définissant le

critère d'ouverture- fermeture de ces défauts.

L'énergie élémentaire w(,ô(n, d), n, e) relative aux microfissures de normale n

prend alors la forme suivante:

( ~( ) ) _ { w1(,ô(n,d),n,e), w p n,d ,n,e -w2(,ô(n,d),n,e),

82 g ( n, e) > 0 (état ouvert)

82 g(n, e) :::; 0 (état fermé)

Ceci étant posé, il reste donc maintenant à préciser l'expression de w.

44

(2.18)


On fait ici l'hypothèse que la fonction w est linéaire par rapport à la variable

,ô(n, d), ce qui revient à considérer de faibles densités de microfissures (cf. Kraj

cinovic [32), Pensée et Kondo [50]). Etant donnée la définition (2.18), les fonctions

w1 et w2 sont donc elles-mêmes linéaires par rapport à cette variable, d'où:

wi(,ô(n,d),n,e) = ,ô(n,d) hi(n,e), 'Vi= 1,2 (2.19)

Compte tenu des conditions imposées à w et des propriétés de la fonction ,ô, les

fonctions scalaires h1 et h2 introduites en (2.19) doivent être isotropes par rapport à

leurs arguments (n, e) et, dans le même temps, radialement symétriques par rapport

à n. Elles constituent alors des fonctions isotropes des variables (n°2, e) (Spencer

[55]) et s'expriment en fonction:

• des invariants de n°2 : tr (n°2) = 1, tr (n°2 · n°2) = 1, tr (n°2. n°2. n®2) = 1,

• des invariants de e: tr e, tr (e · e), tr (e · e · e),

• et des invariants mixtes: tr (e·n°2), tr (e·e·n°2), tr (e·n®2·n®2) = tr (e·n°2),

tr (e · e · n°2 · n°2) = tr (e · e · n®2).

Les fonctions h1 et h2 devant enfin être positivement homogènes de degré deux par

rapport à e, elles s'écrivent alors:

hi ( n, e) = ai tr ( e · e) + {3 i ( tr e )2 + Xi tr e tr ( e · n°2)

+'Pi tr (e · e · n°2) + '1/Ji tr2 (e · n®2

) , 'Vi= 1,2

où les coefficients scalaires (ai, {Ji, Xi, <pi, 'lj;i)i=l,2 sont ici supposés constants.

(2.20)

Au vu des relations (2.18), (2.19) et (2.20), l'expression de l'énergie élémentaire

relative aux microfissures de normale n fait donc apparaître deux ensembles de

cinq paramètres: (a1, {31, x1, r.p1, 'lj;1) et (a2, {32, x2, r.p2, 'lj;2) caractérisant cette énergie

à microfissures respectivement ouvertes et fermées. Ces deux jeux de paramètres

ne peuvent toutefois pas être quelconques puisqu'ils doivent permettre d'assurer la

dernière condition mathématique imposée à la fonction w, i.e. être de classe C1 . On

se propose donc ci-dessous de déterminer les conditions imposées aux coefficients

par cette exigence.

45

Chapitre 2

(a) w continûment différentiable

D'après (2.18) et (2.19), la fonction énergie élémentaire west définie de la façon

suivante:

A( ) { w1(p(n,d),n,e)=p(n,d)h1 (n,e), si g(n,e)>O w(pn,d),n,e =

wz(p(n,d),n,e) = p(n,d)hz(n,e), si g(n,e)::; 0 (2.21)

Compte tenu des propriétés de p, le fait d'imposer que cette fonction soit de classe

C 1 revient à s'assurer que la fonction h définie par:

( ) {

h1 (n, e) , h n,e =

hz(n, e),

sz g(n, e) > 0

sz g(n,e)::;o (2.22)

est elle-même de classe C1 . Cette propriété est satisfaite si et seulement si (voir

démonstration en annexe B) en tout point (n, e) tel que g(n, e) = 0,

az[hl -hz] ( ) ag ag anz n,e - s(n, ê) an (n, ê) 0 an (n, ê)

az[hl - hz] ( ) aean n,ê

ag ag s(n, e) ae (n, ê) 0 an (n, ê)

(2.23)

az[hl -hz] ( ) ag ag anae n,e - s(n, ê) an (n, ê) 0 ae (n, e)

avec s une fonction scalaire continue (les relations (B.25) de l'_annexe B étant tri

vialement vérifiées en tous points ( n, Oz)).

D'après leurs propriétés d'homogénéité, les fonctions h1, hz et g sont telles que:

(2.24)

ag a ê ( n, ê) : ê = g( n, ê)

46


Les propriétés (2.24) impliquent alors que les trois premières conditions de. (2.23)

seront satisfaites si la quatrième est vérifiée. On en déduit donc que la fonction h

est de classe C1 si et seulement si pour tout couple (n, e) tel que g(n, e) = 0,

âg âg 8 âe(n,e)0 âe(n,e) (2.25)

, . . L d' d â2[hl - h2] ( ) d . . . At 8 etant ICI constante. e tenseur or re quatre â e 2 n, e mt ainsi e re

â2h· singulier et en particulier de rang un. D'après (2.20), le tenseur â e; (n, e) s'écrit

dans toute base orthonormée (n, t, k) de JR3 (notation de Voigt):

2( ai+t3i+Xi+'t'ï+,Pi) 2;3i+Xi 2;3i+Xi 0 0 0

2;3i+Xi 2(ai+;3i) 2;3i 0 0 0

2;3i+Xi 2;3i 2(ai+;3i) 0 0 0

0 0 0 a+ 'Pi 0 0 (2.26)

~ 2

0 0 0 0 Œi 0

0 0 0 0 0 'P·

Œi+-f

quel que soit i = 1, 2. Il résulte donc que la fonction west de classe C 1 si et seulement

si:

(2.27)

Ainsi, compte tenu de cette condition, au maximum sept des dix coefficients

intervenant dans l'expression de départ de l'énergie élémentaire sont indépendants.

En toute rigueur, la détermination définitive de w (,ô( n, d), n, e) nécessiterait alors

l'identification de ces paramètres au travers d'essais mécaniques, qui en l'occurrence

devront être réalisés pour des états ouverts et des états fermés de défauts. Une

alternative à ceci consiste à faire une hypothèse sur la restitution des propriétés

élastiques induite par la fermeture des dommages, i.e. de caractériser la fonction

w2 . Cette démarche permet de restreindre le nombre de paramètres indépendants

et de limiter l'identification à des configurations de dommages tous ouverts. C'est

précisément cette voie que nous avons choisi de suivre ici.

47

Chapitre 2

(b) Condition de restitution

A l'instar de Chaboche [11] et de Halm et Dragon [21], on suppose qu'un ensemble

de microfissures fermées de normale unitaire m ne contribue pas à la dégradation du

module d'élongation L(m) du matériau dans leur direction normale. On postule de

plus ici que ces microfissures ne contribuent pas non plus aux modules en contrainte

volumique l'i:(v) du matériau dans toute direction de vecteur unitaire v.

Si seule une confrontation avec l'expérience permettra de valider ces postulats,

notons toutefois qu'ils concordent avec les résultats obtenus en micromécanique sous

les hypothèses de non interaction et de faibles densités de microfissures (cf. Pensée

et Kondo [50]).

Les modules d'élongation L(v) et en contrainte volumique l'i:(v) dans une direc

tion de vecteur unitaire v sont définis par (He et Curnier [25]) :

L(v) = v. u. v V·ê·V

l'l:(v) =tru tre

(2.28)

où u est le tenseur des contraintes correspondant à un essai d'élongation uniaxiale

e = €v1812 • Etant données les relations (2.14) à (2.16), ces modules s'écrivent ici:

L(v) = L0 + ~ J v· aaw (p(n, d), n, €v1812 ) ·v ds 47rc e

8

(2.29)

l'i:(v) =l'i:o+~ jtr[aaw (p(n,d),n,€v1812)]ds 47rc e

8

où Lo = ,\0 + 2J-Lo et l'i:o = 3,\0 + 2J-Lo désignent respectivement les modules d'élonga

tion et en contrainte volumique du matériau sain. La contribution élémentaire d'un

ensemble de microfissures fermées de normale unitaire m s'écrit alors pour L(v):

1 a W2 ( A ( ) ®2) =-v . -a p m, d 'm, € v . v c ê

1 A ( ) a h2 ( ®2) - =- p m, d v . -a m, € v . v c ê

(2.30)

et pour l'i:(v):

1 [aw2 (A( ) _ 02)] ::-tr -a p m,d ,m,sv -c ê

1 A a h2 ®2 ::-p(m,d)tr[-a (m,€v )] c ê

(2.31)

48


La condition de restitution postulée ci-dessus est alors satisfaite si et seulement si:

8h2 2 rn· oe (rn,ern®) ·rn= 0

(2.32)

ce qui, compte tenu de l'expression (2.20), conduit aux relations suivantes entre les

coefficients définissant l'énergie à état fermé des microfissures:

{

a2 + /32 + X2 + 'P2 + 'l/J2 = 0

2 a2 + 6 /32 + X2 = 0

3 x2 + 2 cp2 + 2 'lj;2 = 0

(2.33)

Les conditions imposées par la restitution étant ainsi établies, regroupons-les à

présent avec les conditions (2.27) permettant d'assurer que w est de classe C 1. On

obtient en tout six relations à satisfaire par les dix coefficients (ai, {3i, Xi, 'Pi, 'I/JJi=l,2:

a2 + /32 + X2 + 'P2 + 'l/J2 = 0

2 a2 + 6 /32 + x2 = 0

3 x2 + 2 cp2 + 2 'lj;2 = 0

'Pl = 'P2

4 (!31- /32) ('1/Jl- 'l/J2)- (xl- x2)2 = o

(2.34)

Ainsi au maximum, quatre de ces coefficients sont indépendants et déterminent l'ex

pression de tous les autres. Précisément, nous avons privilégié ici comme choix de

coefficients indépendants les paramètres a1, {31 , x 1 et cp1 (qui permettent de caracté

riser l'énergie élémentaire à défauts ouverts) de façon à pouvoir réécrire les équations

(2.34) sous la forme d'un système linéaire, soit:

X2 = a1

'P2 ='Pl 3al

'l/J2 = --2-- 'Pl

2(al +2/31)'l/J1 = Ll

49

(2.35)

Chapitre 2

avec b.= (x1 - ai)2- (3a1 + 2 cp1) (a1 + 2{31). On se propose donc maintenant .de

définir les expressions des coefficients restants a 2 , /32 , x2 , cp2 , 'ljJ2 et 'I/J1 en fonction

de ces quatre paramètres. Pour cela, il convient de distinguer plusieurs cas :

(i) Les paramètres a1, /31, x1 et cp1 sont tels que a1 + 2 {31 =1 0; le système (2.35)

est alors déterminé, i.e. de rang six. On en déduit que l'unique solution cherchée

est:

a2 = a1 a1

{32 = -2 X2 = a1

(2.36)

La valeur des quatre coefficients ab /31, x1 et cp1 fixe donc ici celle de tous les

paramètres introduits.

(ii) Les paramètres a 1, /31, x1 et cp1 sont liés par les relations a 1 + 2 {31 = 0 et

b. = 0 (ou de manière équivalente {31 = -ai/2 et x1 = a 1); le système (2.35)

est alors indéterminé à un paramètre, i.e. de rang cinq. En prenant pour inconnues

principales les paramètres a 2 , {32 , x2 , cp2 et 'I/J2 , celui-ci admet donc une solution

umque:

Œ2 =al

al {32 = -2 X2 = a1 (2.37)

quel que soit 'I/J1. Dans ce cas, seule la connaissance de a 1, cp1 et 'I/J1 sera alors

nécessaire pour la détermination de tous les coefficients du modèle.

(iii) Si enfin les paramètres ab {31, x1 et cp1 sont tels que a 1 + 2/31 = 0 et b. =1= 0,

le système (2.35) n'admet pas de solution.

50


A ce stade, nous sommes' donc en mesure de préciser l'expression de la fonction

g définissant le critère d'ouverture- fermeture des microfissures et ainsi de finaliser

l'écriture de l'énergie élémentaire. Compte tenu des relations (2.36) et (2.37), la

discontinuité de la dérivée partielle seconde de h par rapport à e peut se mettre

sous la forme :

(2.38)

où les valeurs des, 81 et 82 sont données au tableau 2.1. En identifiant cette expres

sion à (2.25), on obtient alors:

ag ( ) ®2 ag n, g = 81 n + 82 1 (2.39)

Utilisant la propriété de linéarité de g par rapport à e, il résulte que:

ag g(n,e) = ae(n,e) :e=81n·e·n + 82tre (2.40)

Le critère d'ouverture- fermeture des microfissures de normale n s'écrit alors:

81 n · e · n + 82 tr e = 0 (2.41)

ce qui nous permet de déterminer l'expression définitive de l'énergie élémentaire

w(,ô(n, d), n, e) associée aux microfissures de normale unitaire n, soit:

w1(,ô(n,d),n,e), S'l 81 n · e · n + 82tre > 0

(état ouvert)

w(,ô(n,d),n,e) = (2.42)

w2(,ô(n, d), n, e), S'l 81 n · e · n + 82 tr e ::; 0

(état fermé)

avec

[

a 1tr(e·e)+f31(tre) 2 ]

w1(,ô(n, d), n, e) = ,ô(n, d) + x1 tre tr (e · n°2) + cp1 tr (e · e · n°2 )

+'1/;1 tr2 (e · n°2

)

(2.43)

51

Chapitre 2

et

(2.44)

s 81,82

J 81 = X1- a1 l (i) (al,fJl,Xl,cpl)

1 l 82 = a1 + 2jJ1 ,

tels que a1 + 2jJ1

ou

f ) a 1 + 2jJ1 =1= 0 81 = a1- x1

l 82 = -al - 2jJ1

(ii) (al,fJl,Xl,cpl) { 81 = 1 '82 = 0}

tels que 3 a 1 + 2 cp1 + 2 'I/J1 ou

a 1 + 2jJ1 = 0 {81 = -1,82 = 0}

et~= 0

(iii) (al,fJl,Xl,cpl)

tels que

a 1 + 2jJ1 = 0 pas de solution

et~ =J 0

Tableau 2.1: Coefficients s, 81 et 82•

52


2.3.3 Expression définitive du potentiel

Maintenant que l'énergie élémentaire est définie, il reste enfin à donner l'expres

sion définitive du potentiel thermodynamique W.

Pour cela, notons S 1(e) et S 2(ë) les ensembles de vecteurs unitaires de l'espace

correspondant, pour l'état de déformation ë, aux normales des microfissures respec

tivement ouvertes et fermées :

d'où

{ S1(e)={nES, g(n,e)=81 n·e·n + 82tre>O}

S2(e)={nES, g(n,ë)=81 n·ë·n + 82tre::;O}

'V ê'

(2.45)

(2.46)

Etant données la définition (2.16) de la contribution Wd(ë, d) de l'endommagement

à l'énergie et les relations (2.18) et (2.45), on en déduit que:

Wd(e,d) = ;7r J w1 (,ô(n,d),n,e)ds + 4~ J w2(,ô(n,d),n,e)ds (2.47)

S1(e) S2(e)

soit encore de façon équivalente :

En utilisant l'expression de l'énergie élémentaire (2.42) à (2.44) obtenue au para

graphe précédent et les propriétés de l'intégration sur la sphère unitéS (cf. annexe

A), on peut établir la forme définitive du potentiel thermodynamique, soit en utili

sant les relations définies au tableau 2.2 :

W(e, d) = W0 (e) + atr (ë · e) d0 + {3 (tre) 2 d0

- ~ s ë : 4~ J ,ô(n, d) [ 81 n1812 + 82 1] 1812 ds : ë S2(e)

53

(2.49)

Chapitre 2

p=O p=2 p>4

1 2 a al + 3 <pl + 15 '1/Jl

(3 1 1

(31 + 3 X1 + 15 'I/J1

2 x 0 105 (7xl + 2'1/Jl)

2 <p 0 105 (7 <pl + 4 '1/Jl)

1/J 0 0 8

315 '1/Jl

Tableau 2.2: Coefficients a, (3, x, <pet 1/J selon l'ordre d'approximation p.

où les valeurs des coefficients (s, 81 , 82) sont données en fonction des paramètres

a, (3, x, <p et 1/J aux tableaux 2.3, 2.4 et 2.5. Les deux premières lignes de (2.49)

définissent l'énergie libre du milieu microfissuré lorsque toutes les microfissures sont

ouvertes, tandis que le dernier terme rend compte de la modification d'énergie due

à la fermeture éventuelle de certaines d'entre elles.

On peut noter que la détermination de l'énergie libre d'un milieu microfissuré

passe par l'identification des deux coefficients de Lamé du matériau (>.0 et Jlo) et,

dans le cas le plus général où p ~ 4, de quatre paramètres caractérisant la contribu

tion énergétique des microfissures.

Lorsque p = 0, i.e. où d =(do), on a en effet

x=<p=1/J=O (2.50)

54


Les coefficient~ (a, (3) doivent en outre vérifier la dernière relation du système (2.35),

i.e. être tels que

Llo = a (a + 3 (3) = 0 (2.51)

Compte tenu de cette relation, l'énergie libre à p = 0 ne fait donc apparaître au

plus qu'un seul paramètre lié à la dégradation des propriétés élastiques.

s 81,82

(i) (a,(3) { 81 = -a , 82 = a + 2(3}

tels que 1 a+ 2(3

ou a+ 2(3 =rf 0

(Llo= 0) { 81 = a, 82 = -a - 2{3}

(ii) (a,(3) { 81 = 1 ' 82 = 0}

tels que 3a ou

a+ 2(3 = 0 { 81 = -1 ' 82 = 0}

et Llo= 0

(iii) (a,(3)

tels que pas de solution

a+ 2(3 = 0

et Llo# 0

avec ~o =a (a+ 3(3)

Tableau 2.3: Coefficients s, 81 et 82 (p = 0).

55

Chapitre 2

Lorsque p = 2, i.e. où d ~(do, d2), on a alors seulement

?/;=0 (2.52)

et les coefficients (a, /3, x, r.p) doivent dans ce cas être liés par la relation

~2 = 4 (a+ 3/3) (2a + 5r.p)- 25 (3x + 2r.p) 2 = 0 (2.53)

Pour cet ordre d'approximation, la contribution énergétique des microfissures n'est

donc caractérisée que par trois paramètres au maximum.

(i) (a,/3,x,cp)

tels que

a + 2/3 - 5x - ~<p ~ 0

(L12 = 0)

(ii) (a,/3,x,cp)

tels que

a + 2/3 - 5x - ~<p = 0

et L12 = 0

(iii) (a,/3,x,cp)

tels que

a + 2/3 - 5x - ~<p = 0

et ~2 ~ 0

s

1 a+2,8-5x-~rp

3a + ~r.p

t 81 =-a+ 125x+ ~r.p 1 82 = a + 2/3 - 5x - 2r.p J \ 2

ou

( ~ - 15 5 l VI - a - 2X - 2'P

l 82 = -a - 2/3 + 5x + ~r.p 1

ou

pas de solution

avec ~2 = 4 (a+ 3 /3) (2 a+ 5 cp) - 25 (3 x+ 2 r.p) 2

Tableau 2.4: Coefficients s, 81 et 82 (p = 2).

56


Enfin, dans le cas d'une approximation d'ordre quatre et plus, pour laquelle

d = ( d0 , d2 , d4·, .. , dp), les cinq coefficients (a, {3, x, cp, '1/J) doivent être liés par

~4 = 4 (a+ 3 ,8) (2 a+ 5 cp+ 27 '1/J)- 25 (3 x+ 2 cp) 2 = 0 (2.54)

La formulation la plus générale du modèle ne fait par conséquent intervenir que

quatre paramètres au plus pour décrire la modification d'énergie induite par l'en

dommagement.

s 81,82

(i) (a,,B,x,cp,'l/J) f 8 15 5 27 '1/J 1 = -a + 2X + 2cp - 2

tels que l 82 = a + 2,8 - 5x - ~cp + ~'1/J ,

a+ 2,8- 5x 1 o:+2.8-5x-!cp+~1/J ou

-~cp+ ~'1/J # 0 f

8 15 5 27 '1/J ' 1 = a - 2X - 2cp + 2

(~4 = 0) 82 =-a- 2,8 + 5x +~cp- ~'1/J

(ii) (a,,B,x,cp,'l/J)

tels que { 81 = 1' 82 = 0}

a+ 2,8- 5x 3a + 1;cp + 821'1/J ou

-~cp+ ~'1/J = 0 {81=-1, 82=0}

et ~4 = 0

(iii) (a,,B,x,cp,'l/J)

tels que

a+ 2,8- 5x pas de solution

5 9'1/J- 0 -2cp+2 -

et ~4 # 0

avec ~4 = 4 (a + 3 ,8) ( 2 a + 5 cp + 27 '1/J) - 25 ( 3 x + 2 cp) 2

Tableau 2.5: Coefficients s, 81 et 82 (p 2:: 4).

57

Chapitre 2

Notons enfin qu'une indétermination subsiste quant au choix des coefficients 81 et

82 intervenant dans l'expression du critère d'ouverture- fermeture des microfissures.

On retiendra pour l'identification de ceux-ci le choix conduisant à l'interprétation la

plus physique (imposant par exemple que les microfissures soient fermées lors d'une

compression hydrostatique).

Il est enfin intéressant de remarquer que dans le cas où les microfissures sont

toutes ouvertes (i.e. si S2 (e:) = 0), l'expression (2.49) se réduit à:

W(e:,d) = Wo(e:) + atr(e: · e:) do + (3(tre:) 2 do

+ X tr e: tr ( e: · d2) + <p tr ( e: · e: · d2) + '1/J e: : d4 : e: (2.55)

Respectivement, si les microfissures sont toutes fermées (i.e. si S2(e:) = S), il vient:

avec

W(e:,d) = Wo(e:) + a'tr(e: · e:) do + (3' (tre:)2 d0

+x'tre:tr(e:·d2) + cp'tr(e:·e·d2) + 'ljJ'e::d4:e:

a'= 1~ (Sa- 5<p- 27'1/J)

/3' = 3~ ( -8 a+ 5 <p + 271/J)

x' = 1 ~5 ( 4 a - 25 <p + 541/J)

cp' = - 315 ( 4 a - 25 <p + 541/J)

'1/J' = - 165 ( 4 a + 10 <p - 511/J)

(2.56)

(2.57)

On constate ainsi que, dans ces deux cas de figure, seuls les tenseurs d0 , d2 et d4

contribuent à l'énergie libre du milieu, de façon similaire à ce que l'on observe en

micromécanique (cf. Kachanov [29]). Lorsque le milieu contient des microfissures

ouvertes et des microfissures fermées, i.e. que S2 (e) =/:- {0,S}, l'expression de l'éner

gie fait en revanche intervenir l'ensemble des tenseurs (d0 , d2 , d4, .. , dp) au travers du

dernier terme de (2.49).

58


2.3.4 Lois d'état

Les lois d'état, définissant la relation contrainte- déformation et les forces ther

modynamiques associées à l'endommagement, sont obtenues par dérivation du po

tentiel (2.49). Ainsi précisément pour la contrainte, on obtient:

aw u(e, d) = âe (e, d)

=Ào(tre)I + 2p,0 e + 2adoe + 2f3do(tre)I

(2.58)

Les forces thermodynamiques Fd - ( pdo , Fd2 , Fd4 , •• , pdp) sont quant à elles

définies par :

d aw( F k(e,d) = - âdk e,d), V k E [0,2,4, .. ,p] (2.59)

soit en utilisant l'expression de la fonction énergie élémentaire

pdk(e, d) = - 4~ J :~ (p(n, d), n, e:) ds

s (2.60)

1 J Ôp = - 41!" âdk (n,d)h(n,e:) ds s

Sachant que

(2.61)

on obtient alors :

atr (e · e)- j3 (tre) 2

(2.62)

59

Chapitre 2

x tr e le J - cp le · e J

et pour tout k 2:: 6 :

pdk(e,d) = + 8: j (81 n·e·n+82 tre)2 ln®kj ds

S2(e)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

Les forces Fd = ( pdo , Fd2 , Fd4 , •• , pdp) permettent de définir la variation d' é

nergie élastique du matériau lorsque la distribution des densités de microfissures

progresse. Ce sont les forces thermodynamiques associées aux vitesses d'endomma

gement d =(do, d2, d4, .. , dp)·

Notons pour finir que, puisque ces forces ne dépendent que de l'état de déforma

tion e, on ne fera apparaître par la suite que cette seule dépendance :

(2.66)

60


2.4 Potentiel ·de dissipation et .loi .d'évolution de

1 'endommagement

On s'est intéressé jusqu'à présent à modéliser la réponse élastique d'un matériau

microfissuré. Pour compléter cette description, il reste maintenant à définir l'évo

lution des paramètres caractérisant l'endommagement, i.e. à déterminer quand et

comment va évoluer la distribution des densités de microfissures au sein du matériau.

2.4.1 Hypothèses

La création et la croissance de microfissures sous chargement mécanique étant un

processus dissipatif complexe, nous avons fait ici un choix relativement pragmatique

pour caractériser celui-ci en nous plaçant dans le cadre du schéma standard (on

pourra trouver quelques éléments de synthèse à ce sujet dans Germain [20], Halphen

et Nguyen [22], Marigo [41], Suquet [56]).

On fait précisément ici les hypothèses suivantes:

(Hl) il existe un potentiel de dissipation scalaire V dépendant de la vitesse

d'endommagement d =(d0 , d2 , d4 , .• , dp) et de l'état actuel d'endommagement d, vé

rifiant les propriétés suivantes pour tout d fixé: semi-continu inférieur, convexe,

positivement homogène de degré un, non négatif et minimal en 0 = (0, 02 , 04 , .. , Op)·

(H2) le mécanisme dissipatif est normal.

On postule donc d'après ces hypothèses que l'on a dans toute évolution réelle

(cf. Lorentz [37]) :

V( d, d) = ci> (2.67)

avec ci> la dissipation intrinsèque volumique induite ici par la création et la propa

gation des microfissures :

ci> - (Fd(e), d)

pdo (e) do + Fd2 (e): d2 + Fd4 (e) :: d4 + .. + FdP(e) • dP (2.68)

61

.Chapitre 2

où(.,.) désigne le produit scalaire sur l'espace vectoriel E = lR x T 2 x T4 x .. x TP.

Cela revient à considérer que l'on peut mesurer la dissipation due à la création

de surfaces de décohésion par une fonction dépendant des variables d décrivant

la distribution de densités de microfissures et de leurs vitesses d. Le fait que le

potentiel de dissipation V est homogène de degré un en d assure l'indépendance de

la progression de l'endommagement vis-à-vis du temps physique, les solutions du

problème d'évolution étant en effet dans ce cas définies à un changement d'échelle

en temps près (voir Lorentz [37]).

L'hypothèse (H2) s'interprète quant à elle comme un principe de taux de resti

tution de l'énergie maximal analogue au principe de Hill en plasticité. La variable

d décrivant l'état actuel d'endommagement figure en outre parmi les arguments du

potentiel V, et joue par conséquent un rôle analogue à celui d'une variable d'écrouis

sage.

Notons pour finir qu'en toute généralité les hypothèses précédentes autorisent

a priori une diminution de la densité totale de microfissures, i.e. conduisant à une

"restauration" du matériau. En effet, on peut avoir des vitesses d admissibles, i.e.

vérifiant l'inégalité fondamentale <I> > 0, telles que d0 < O. Cette éventualité sera

exclue par la suite au travers de conditions supplémentaires imposées aux coefficients

du modèle.

2.4.2 Lois d'évolution des variables internes

(a) Potentiel de dissipation

L'écriture proposée pour le potentiel de dissipation est la suivante:

v(d., cl)= k(d) Il d. Il (2.69)

où k est une fonction scalaire strictement positive et le symbole 11-11 désigne la norme

euclidienne sur E :

{ k(d) = ko(l + 7]do) ,

avec k0 > 0 et 7] > 0 lldll =J(d,d) (2. 70)

62


On suppose ici, au travers de la fonction k, que la dissipation est d'autant plus

importante que le matériau est fortement microfissuré, ce qui revient implicitement à

tenir compte de la résistance du milieu hétérogène à la progression des microfissures.

On note en particulier que la dissipation est dans le cas d'une évolution isotrope

de l'endommagement proportionnelle au taux de variation de la densité totale de

microfissures dans le milieu :

V(d, d) = k(d) 1 dol (2.71)

la quantité k(d) peut alors s'interpréter directement comme l'énergie de surface de

la mécanique de la rupture.

Il reste maintenant à préciser les lois d'évolution, i.e. l'expression des vitesses d.

(b) Calcul de la direction d'écoulement et de la frontière du domaine de

réversibilité

L'hypothèse de normalité (H2) revient à dire, qu'à d fixé, la vitesse d est un

sous-gradient en Fd de la transformée de Legendre-Fenchel partielle (par rapport à

d) de V:

(2.72)

avec

V*(Fd,d) =s~p {(Fd,d) -V(d,d)} d

(2.73)

En opérant séparément pour le module et la direction, on trouve que ce supremum

est égal à

V*(Fd, d) = sup t;::::o

= sup {t [Il Fd Il- k(d)]} t;::::o

- { 0 +oo '

63

S'l Il Fd Il :::; k(d)

si Il Fd Il > k(d)

(2.74)

Chapitre 2

A d fixé, la fonction V* est ainsi la fonction indicatrice du convexe fermé non vide

JCd de l'espace des forces défini par la fonction seuil f:

et le sous-différentiel de V* en Fd est tel que :

S't f (Fd' d) > 0

S't f (Fd' d) ~ 0

avec C /Cd (Fd) le cône normal extérieur à K,d en Fd :

{ 0} si f (Fd, d) < 0

(2.75)

(2.76)

c}(d (Fd) = (2.77)

{ d, V Fd E Kd, (Fd - Fd, d) ~ 0} , si j (Fd, d) = 0

On peut alors préciser l'expression de d:

. aj d d =A aFd (F ,d)

(2.78)

avec

aj aj aj aj aj a Fd = ( â Fdo ' a Fd2 ' â Fd4 ' .. ' â pdp )

(2. 79)

Lorsque les forces thermodynamiques Fd appartiennent à l'intérieur du domaine

de réversibilité JCd, le comportement est non dissipatif et les variables internes n'évo

luent pas. En revanche, elles peuvent évoluer lorsque Fd appartient à la frontière de

JCd, i.e. lorsque la norme de Fd atteint un certain seuil dépendant de l'endommage

ment actuel ( k ( d) représentant la "dimension" de ce seuil).

a j d pdo pd2 pd4 pdp Fd

a Fd (F 'd) = (Il Fd Il' Il Fd Il' Il Fd Il' .. , Il Fd Il)= Il Fd Il (2.80)

64


ce qui permet de réécrire (2. 78) sous la forme:

(2.81)

Cette expression nous montre que la croissance de la densité totale de microfissures

d0 est assurée si et seulement si pdo ( e) = - J h ( n, e) ds > 0, V e. Afin de vérifier s

cette condition, on fait ici l'hypothèse supplémentaire que les fonctions h1 et h2 sont

négatives, i.e. que

Vi= 1,2, hi(n,e):::; 0, V(n,e)

ce qui impose les conditions suivantes aux coefficients caractérisant l'énergie:

{ a-~<p+~1P::;O, a+2,B-5x-~<p+~1P::;O a + ~ <p - 91P :::; 0 , a+ ,B + 5 (x+ cp) + 9 '1/1 :::; 0

(2.82)

(2.83)

L'ensemble des vitesses d'endommagement admissibles est alors défini comme celui

conduisant à un assouplissement du matériau, i.e. tel que d0 2: O.

( c) Condition de cohérence et calcul du multiplicateur

Le paragraphe précédent a permis de déterminer la direction de la vitesse d'endom

magement d. Il reste donc maintenant à en préciser l'amplitude, i.e. à définir la

valeur du multiplicateur A.

La loi d'évolution décrite en (2. 78) n'est possible que si le sous-différentiel de 'D*

en Fd n'est pas vide, i.e. si les forces Fd appartiennent au domaine de réversibilité

JCd pour tout état d'endommagement d. Cette condition, dite de cohérence, revient

alors à assurer la validité de la seconde équation de (2.78) à tout instant, soit:

(2.84)

ce qm1mpose que

(2.85)

65

Chapitre 2

On ep. déduit donç que

A { = 0 , si f (Fd, d) < 0 ou

> 0, si f (Fd, d) = 0 et

f (Fd, d) = 0 et j (Fd, d) < 0

j (Fd,d) = 0

Par ailleurs, sachant que

8 f ( d ) odo F ,d = -k0 ry 8 f d [ ] et odk (F ,d) =Ok! V k E 2,4, .. ,p

on a

(2.86)

(2.87)

(2.88)

La valeur du multiplicateur A dans le cas non nul, i.e. pour lequel j (Fd, d) = 0, est

alors la suivante

(2.89)

Remarquons toutefois que pour les points situés sur le seuil f (Fd, d) = 0, on a

1' équivalence

. ( d ) ( 8 f d ) . d) f F , d < 0 {::} 0

Fd (F , d , F < 0 (2.90)

En effet,

(2.85) :::::::::} A=O

(2.88) :::::::::}

of d ·d · d (0

Fd (F ,d),F) = f(F ,d) < 0 (2.91)

Réciproquement,

( 8 f d . d) 0 Fd (F , d), F < 0

pdo

puisque ko 'TJ A Il Fd Il 2: O. Il résulte alors que:

66

S't f (Fd' d) < 0

S't f(Fd,d)=O

(2.92)

(2.93)


où x+= sup {0, x}, soit encore compte tenu de (2.80),

0

[(Fd,Fd)]+. ko 'T] pdo

(2.94)

En résumé donc, la loi d'évolution des variables internes d est la suivante:

0

(2.95)

ce qui définit bien le quand et le comment de la propagation de l'endommagement.

L'ensemble des équations constitutives du modèle proposé sont récapitulées à

l'annexe C.

67

Chapitre 2

2.5 Intégration locale de la loi de comportement

Pour conclure cette présentation du modèle, on s'intéresse ici au schéma d'inté

gration numérique locale (homogène, en un point) des équations constitutives qui

viennent d'être établies. Connaissant la déformation er et les variables internes dr à

la fin du pas de temps r, le problème consiste à déterminer, à partir de l'incrément

de déformation .6.e, les valeurs gr+l et dr+l de ces variables ainsi que celle du tenseur

des contraintes ur+l à la fin du pas de temps r + 1, i.e.:

1 gr+l = gr + .6.e

dr+l =dr+ .6.d

ur+l = u(er+l' dr+l)

(2.96)

Pour assurer une bonne stabilité à l'algorithme de résolution, nous adoptons ici un

schéma d'intégration purement implicite dont nous présentons ci-après les différentes

étapes.

(a) Prédiction élastique

On suppose dans un premier temps que le nouvel état mécanique est situé à

l'intérieur du convexe de réversibilité, i.e. que l'évolution entre les pas r et r + 1 est

purement élastique :

.6.d=O (2.97)

On vérifie alors si l'état mécanique (er+l, dr) satisfait la condition

(2.98)

Si tel est le cas, la prédiction élastique coïncide avec la solution du problème :

{

gr+l = êr + Ô.ê

dr+l =dr (2.99)

La procédure locale se termine alors par le calcul de ur+l conformément à (2.96).

68


Dans le cas contraire, i.e. si f (Fd(er+l),dr) > 0, une correction est néces

saire. C'est précisément l'objet de la procédure développée ci-dessous où l'on cal

cule l'accroissement d'endommagement ~ d =/= 0 permettant de satisfaire au critère

f (Fd(er+l),dr+l) =O.

(b) Phase de correction

La loi d'évolution de l'endommagement peut s'écrire sous la forme:

. Fd d = A Il Fd Il , si f (Fd, d) = 0 (2.100)

Ce problème en vitesse est discrétisé ici sous une forme incrémentale par la règle du

point milieu généralisée :

(2.101)

avec

(2.102)

Précisément, on retient ici la valeur ( = 1, ce qui correspond à un schéma purement

implicite. Un tel choix est notamment motivé par les travaux d'Ortiz et Popov [47]

sur les modèles d'élasto-plasticité qui montrent dans ce cas la stabilité incondition

nelle de l'algorithme, quelle que soit la taille de l'incrément de chargement et même

pour des comportements fortement non linéaires. On obtient alors la relation

(2.103)

dans laquelle il reste à calculer l'accroissement l:l.A du multiplicateur d'endomma

gement. Ce dernier est obtenu en vérifiant le critère d'endommagement

(2.104)

En injectant (2.103) dans cette relation, on obtient une équation scalaire linéaire en

~A, de laquelle on tire

69

Chapitre 2

!:,. A . Il Fd(gr+l) Il [Il Fd(gr+l) Il - ko (1 + 77 d())] ko 17 pdo ( gr+l)

(2.105)

Connaissant ô. A, l'incrément ô. d est ensuite calculé à partir de la relation (2.103)

et l'état mécanique au pas r + 1 est enfin déterminé par

! gr+l = êr + Ô.ê

dr+l = dr + Ô. d

ur+l = u(êr+l,dr+l)

Le tableau 2.6 récapitule l'algorithme qui vient d'être décrit.

(2.106)

Remarque 2.3 On note que l'inconvénient souvent évoqué pour les schémas im

plicites en élasto-plasticité, i.e. la nécessité d'un processus itératif pour déterminer

le multiplicateur plastique, disparaît naturellement dans le modèle, le calcul du mul

tiplicateur d'endommagement se réduisant en effet à la résolution d'une équation

linéaire.

70


Données d'entrée: état de déformation et d'endommagement

au pas r (er, dr), incrément de déformation ile

( 1) calcul de la déformation au pas r + 1 : er+l = er + ile

Prédiction élastique

(2) calcul de la valeur de la fonction seuil pour l'état (er+l, dr): f(Fd(er+l ), dr)

(2.1) si f (Fd(er+l ), dr) :::; 0, alors dr+l =dr et aller en (6)

(2.1) si f (Fd(er+l ), dr) > 0, aller en (3)

Phase de correction

(3) 1 ul d lt. 1· t A A _ Il Fd(er+l) Il (Il Fd(er+l) 11-ko (l+TJ d0))

cac umu 1p1caeuru - koTJFdo(er+l)

(4) 1 ul d 1,. , d' d A d AA Fd(er+l) ca c e mcrement en ommagement u = u 11

Fd ( er+l) 11 (5) correction de la valeur de l'endommagement dr+l =dr+ il d et aller en (6)

(6) calcul de la contrainte au pas r + 1: ur+l = u( er+l, dr+l)

Données de sortie: état mécanique au pas r + 1 ( er+l, dr+l, ur+l)

Tableau 2.6: Algorithme d'intégration numérique locale du modèle.

71

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Chapitre 3

Etude des capacités prédictives du

modèle

3.1 Introduction

On se propose à présent d'évaluer les capacités prédictives du modèle d'endom

magement par microfissuration présenté au chapitre précédent.

Dans un premier temps, nous étudierons les aptitudes du modèle à décrire le

comportement d'un matériau microfissuré dont la distribution de dommages est

supposée figée. Nous nous intéresserons ensuite aux aspects dissipatifs et à l'évolution

de cette dernière sous différents chargements mécaniques.

73

Chapitre 3

3.2 Comportement élastique et propriétés effec

tives

Dans cette partie, les distributions de microfissures considérées sont supposées

figées (pas d'évolution de l'endommagement). On se propose dans un premier temps

de préciser la méthode à employer pour déterminer les coefficients caractérisant l'é

nergie élastique du matériau. Dans une seconde étape, nous évaluerons les aptitudes

du modèle au travers de la simulation de quelques problèmes simples.

3.2.1 Détermination des paramètres d'énergie

La détermination définitive de l'énergie libre nécessite, nous l'avons dit, l'iden

tification des deux coefficients de Lamé (>.0 et J.Lo) et d'un certain nombre de pa

ramètres caractérisant la modification d'énergie due à l'endommagement (cf. cha

pitre 2, § 2.3.3). Si l'obtention des coefficients de Lamé peut se faire très classi

quement à partir d'essais simples comme la traction ou la compression uniaxiales,

l'identification des autres paramètres nécessite quant à elle une stratégie propre dont

nous allons maintenant vous présenter les grandes lignes dans le cas le plus général

où p ~ 4.

Précisément, la détermination de ces coefficients nécessite la connaissance, pour

une distribution axisymétrique d'endommagement du matériau, de deux informa

tions:

• celle de la distribution des densités de microfissures au sein du matériau,

• et celle du tenseur des rigidités effectif lorsque toutes ces microfissures sont

ouvertes.

C'est pourquoi, on se propose dans une première étape de pré-endommager une

éprouvette de matériau de façon axisymétrique (d'axe m), par exemple en la soumet

tant à une compression ou une traction uniaxiales. Après décharge de l'éprouvette,

74

Etude des capacités prédictives du modèle

on réalise erisuite N mesures (p1 , p2, .. , p N) de la densité de microfissures respecti

vement dans ies directions de vecteurs n~, n 2 , .• , nN définis par les angles sphériques

Bi et <Pi = ~ i dans la base orthonormée (e1, e2, e3 = rn) de ~3 (cf. figure 3.1). A

partir de ces données, on peut alors déterminer la meilleure approximation p de cette

distribution, i.e. les tenseurs d0 , d2 et d4 (puisque seuls ces trois tenseurs apparais

sent dans l'expression du tenseur des rigidités à défauts tous ouverts, cf. chapitre 2,

§ 2.3.3), en minimisant l'expression suivante:

N

A= L [Pi- p(ni, d)f (3.1) i=l

avec

(3.2)

Compte tenu de la symétrie considérée, les tenseurs irréductibles d2 et d4 se mettent

ici sous la forme :

(3.3)

avec a et b deux réels non nuls. La résolution du système formé par les équations

suivantes:

(3.4)

conduit alors finalement aux expressions des variables d0 , d2 et d4 .

Ayant la distribution de défauts, il reste dans une seconde étape à comparer les

tenseurs de rigidités C à défauts tous ouverts obtenus sur le plan expérimental et

sur le plan de la modélisation adoptée.

Pour cela, on soumet l'éprouvette de matériau à un ensemble de sollicitations

(non endommageantes) telles que les microfissures soient toutes ouvertes et permet

tant d'avoir accès aux différentes composantes de C (par exemple des tractions

uniaxiales, cf. François [18], ou des élongations uniaxiales, cf. Hayes [23]). On note

cexp le tenseur ainsi mesuré.

75

Chapitre 3

Figure 3.1: Directions de mesures de la densité de microfissures.

Dans le cas du modèle, le tenseur des rigidités à défauts tous ouverts s'écrit sous

la forme suivante :

C = 2 (J.to + a do) 1 0 1 + ( Ào + 2 ,B d0 ) 1 0 1

+x ( d2 0 1 + 1 0 d2) + cp ( d2 ® 1 + 1 0 d2) + 2 '1/J d4 (3.5)

qui fait apparaître au maximum quatre paramètres indépendants (cf. chapitre 2,

§ 2.3.3). L'identification des coefficients du modèle repose alors sur la minimisation

de l'expression scalaire suivante:

(3.6)

où li Til désigne la norme du tenseur d'ordre quatre T définie par:

IITII2 = T :: T (3.7)

Si l'on fait l'hypothèse que l'on se trouve dans le cas (i) (cf. chapitre 2, tableau

2.5), i.e. que 5 9

a + 2,8- 5x - 2cp + 2'1/J # 0 (avec .6.4 = 0) (3.8)

76


la détermination des coefficients indépendants a, x, r..p et '1/J est obtenue par résolution

du système formé par les quatre équations suivantes :

âB âB âB âB=O âa=O, âx=O, âr..p=O, â'ljJ (3.9)

Ceci fait, il reste ensuite à calculer la valeur du coefficient {3 à l'aide de la relation

6.4 = 0 et à vérifier que l'hypothèse (3.8) est bien respectée. Si tel n'est pas le cas,

il faut alors se tourner vers la solution (ii) pour laquelle

5 9 a + 2/3 - 5x - 2r..p + 21/J = 0 et ~4 = 0 (3.10)

Dans cette éventualité, seuls les trois paramètres a, x et r..p sont indépendants et les

trois équations :

(3.11)

suffisent à leur détermination. Notons enfin que dans l'un ou l'autre cas, il conviendra

de vérifier dans une dernière étape que les coefficients obtenus satisfont bien à la

condition (2.83).

En conclusion, le jeu complet de paramètres peut donc être déterminé de façon

formelle à partir d'une seule éprouvette de matériau, dans son état initial pour les

coefficients de Lamé et dans un état endommagé pour les coefficients restants. Tou

tefois, vu la dispersion habituelle des résultats expérimentaux, il sera préférable pour

obtenir une estimation représentative de la réalité, de multiplier ces mesures avec

différentes éprouvettes, voire même différentes distributions de défauts, et de déter

miner les valeurs finales des coefficients précités à l'issue d'un procédé de moyennage.

Différents résultats expérimentaux concernant la mesure sur des roches et des

bétons de distributions de densités de microfissures (voir par exemple Nemati [45],

Romand et al. [27]) et de tenseur de rigidités (voir notamment François [18]) ont pu

être recensées dans la littérature. Ces études n'ayant cependant jamais été menées

conjointement pour le même matériau, on ne dispose pas encore à l'heure actuelle

de l'ensemble des données expérimentales nécessaires à la procédure qui vient d'être

décrite.

Face à cette difficulté, une solution alternative consiste à s'appuyer sur les résul

tats fournis par l'analyse micromécanique, comme cela a déjà été proposé par Sayers

77

Chapitre 3

et Kachanov [53] et Zheng [63], ce qui permet d'obtenir un jeu de paramètres cohé

rents vis-à-vis du.problème considéré.

Considérons ainsi un volume élémentaire représentatif V constitué d'une matrice

homogène élastique linéaire et isotrope affaiblie par un ensemble de microfissures

planes, parallèles et lenticulaires (de normale unitaire le vecteur rn et de densité

totale d0 = ~(2::: ar), ai désignant leurs rayons). On adopte par ailleurs les hypo-i

thèses de non interaction entre les défauts, de faibles densités de microfissures et de

glissement non dissipatif des lèvres de celles-ci.

On peut montrer par un calcul direct que dans ce cas les variables d'endomma

gement d2 et d4 s'expriment (cf. Lubarda et Krajcinovic [38]):

d - 15 d l ®2J d - 315 d l ®4J 2-2 o rn , 4-8 o rn (3.12)

quelle que soit la densité totale d0 des microfissures. La résolution du problème de

changement d'échelle (dont les étapes détaillées peuvent notamment être trouvées

dans Krajcinovic [32], Marigo [40], Welemane [61], Pensée et Kondo [50]) conduit

quant à elle à l'expression suivante pour le tenseur des rigidités lorsque les micro

fissures sont ouvertes :

· [ 2 (30 1 ® 1 + Xo (1 ® m 02 + rn®2

® 1) ] cmtcro = Co - Ao do + (1 ® m 02 + rn®2 ® 1) + 2 'lj;0 rn®4

(3.13)

les valeurs des coefficients A0, (30 , Xo et '1/Jo étant indiquées au tableau 3.1.

Ao f3o Xo '1/Jo

32 fl-o ( Ào + 2 ll-o) À~ (3 Ào + 4 ll-o) Ào (3 Ào + 4 ll-o) Ào

3 ( 3 Ào + 4 ll-o) 16 fl-Ô ( Ào + ll-o) 4 ll-o (Ào + ll-o) 4 (Ào +ll-o)

Tableau 3.1: Coefficients Ao, /30 , Xo et 'l/J0 .

On note que le tenseur obtenu en (3.13) possède seulement quatre composantes

indépendantes sur les cinq théoriquement imposées par la symétrie considérée, i.e.

78


l'isotropie transverse d'a:Xe rn (cf. Kachanov [29]). Dans le cas (i), i.e. où les relations

(3.8) sont vérifiées, le modèle ne fait apparaître également que quatre paramètres

indépendants (a, x, cp et '1/J). On peut alors déterminer l'expression de ces inconnues

par une méthode directe, c'est-à-dire en résolvant le système linéaire suivant:

C C - cmicro cmicro 1111 -- 1133 - 1111 -- 1133

C C - cmicro cmicro 3333 -- 1133 - 3333 -- 1133

C - cmicro 1313 - 1313

(3.14)

G - cmicro 2323 - 2323

OÙ l'on note ( Cijkl)(i,j,k,l)E[1,3]4 les COmposantes du tenseur C dans toutee base ortho

normée (rn, t, k) de IR3 .

En introduisant les expressions (3.5), (3.12) et (3.13), le système (3.14) s'exprime

alors:

2 a+ 125

x+ lOrp+ 27'1/J =--8 ~~~::::r

5 9 a---r.p+-'1/J=O

2 4

dont la solution unique est :

16 J.Lo (>..o + 2 J.Lo) (9 >..o + 10 J.Lo) a=-----=--7-------'-~..;._ __ _..c.....::..;_

45 (>..o + J.Lo) (3 Ào + 4 J.Lo)

16 >..o ( >..o + 2 J-Lo) (21 >..o + 26 J-Lo) x=--

315 (>..o + J-Lo) (3 Ào + 4 J.Lo)

64 J.Lo ( >..o + 2 J-Lo) ( 6 >..o + 7 J.Lo) r.p=-----=--:-:---~....;_-----:,;;.;_

315 (>..o + J.Lo) (3 >..o + 4 J.Lo)

'1/J = 64 >..o J.Lo ( >..o + 2 J.Lo) 945 (>..o + J.Lo) (3 >..o + 4 J.Lo)

79

(3.15)

(3.16)

Chapitre 3

On en déduit ensuite par la condition ~4 = 0 l'expression du dernier coefficient {3,

soit

{3 = _ 2 Ào (>.o + 2 J-Lo) ( 45 À~+ 120 Ào J-Lo + 76 llÔ) 45 Mo (>.o +llo) (3 Ào + 4 llo)

(3.17)

Les paramètres (a, {3, x, <p, '1/J) sont bien tels que la condition (3.8) est vérifiée et

permettent également de satisfaire les conditions (2.83). Le tableau 3.2 rassemble

les valeurs de ces coefficients pour un grès des Vosges et un béton, dont les coefficients

de Lamé ont été identifiés respectivement par Karami [31] et Ramtani [51]. Ce sont

ces valeurs que nous utiliserons par la suite pour réaliser les simulations.

grès des Vosges béton

Ào 5300 8965

llo 6220 13445

a -9180 -20395

{3 -11670 -18700

x -2775 -4855

t.p -3595 -8010

'1/J 85 160

Tableau 3.2: Paramètres constitutifs pour un grès des Vosges et un béton (les valeurs

indiquées sont en MPa).

3.2.2 Etude du comportement élastique

Les paramètres caractérisant l'énergie élastique étant ainsi déterminés, nous pou

vons à présent aborder l'analyse des capacités du potentiel thermodynamique pro

posé, i.e. examiner les effets de l'endommagement sur les propriétés effectives du

matériau pour différentes configurations de microfissures et pour différents états

d'ouverture- fermeture de celles-ci.

80


(a) Propriétés effectives

Etudions tout d'abord le cas d'un milieu affaibli par des configurations de micro

fissures soit toutes ouvertes (S2 (e) = 0) soit toutes fermées (S2 (e) = S). L'expression

générale du tenseur des rigidités effectif du matériau est alors la suivante :

• à défauts ouverts :

C=2(J.t0 +ado)l®l + (.Xo+2,8do)l®l

+ x ( d2 ® 1 + 1 ® d2) + cp ( d2 ® 1 + 1 ® d2) + 2 '1/J d4 (3.18)

• à défauts fermés :

C = 2 (J.to + a' do) 1 ® 1 + ( Ào + 2 ,8' do) 1 ® 1

+ x' ( d2 ® 1 + 1 ® d2) + cp' ( d2 ® 1 + 1 ® d2) + 2 '1/J' d4 (3.19)

les expressions de (a'' /3'' x'' cp'' '1/J') étant données en (2.57).

Le type d'anisotropie induite pouvant être décrite par le modèle varie suivant

l'ordre d'approximation p choisi. De façon générale, l'ordre p = 0 (avec d = (do))

est restreint à la représentation des distributions isotropes de microfissures, tandis

que les ordres p 2:: 2 permettent de rendre compte d'aspects directionnels.

Précisément, dans le cas où p = 2 (d = (d0 , d2 )), l'anisotropie obtenue à défauts

tous ouverts ou tous fermés est une orthotropie dont les axes coïncident avec les axes

principaux du tenseur d2• Soulignons néanmoins que, compte tenu de la linéarité du

potentiel thermodynamique en d, cette orthotropie présente un caractère simplifié

puisqu'elle est définie par moins de neuf coefficients indépendants. Si l'on assimile

la base (e1, e2, e3) à la base principale du tenseur d2 et si l'on note (Cijkt)(i,j,k,l)E[l,3]4

les composantes du tenseur C dans cette base, on montre en effet que

Cuu + C2222 + C3333 = Cu22 + Cu33 + C2233 + 2 ( C1212 + C1313 + C2323) (3.20)

Notons que cette particularité peut également être mise en évidence sur des modèles

utilisant une seule variable d'endommagement tensorielle du second ordre et symé

trique (cf. Cowin [14]).

81

Chapitre 3

Lorsque l'on considère un ordre p supérieur ou égal à quatre, l'émergence du

terme en d4 provoque une déviation par rapport à cette orthotropie et conduit à une

anisotropie de comportement plus générale. On rappelle toutefois ici que lorsque les

défauts sont tous ouverts ou tous fermés, une description plus précise de la distri

bution de densités à l'aide d'un ordre p 2: 6 ne modifie en rien le type d'anisotropie

obtenue (l'ordre p = 4 est dans ces cas suffisant).

Si l'on examine par exemple le grès et le béton qui viennent d'être identifiés,

on note que l'influence du tenseur d'ordre quatre à microfissures ouvertes est sensi

blement négligeable. Cette particularité peut notamment être mise en évidence par

le calcul du rapport ç des normes euclidiennes des contributions C(l) et C(2) des

termes respectifs ( d0 , d2) et d4 au tenseur des rigidités C du matériau:

(3.21)

A titre illustratif sur le cas d'un seul système de microfissures, on obtient pour ces

matériaux

Ç rv 0.02 (3.22)

Lorsque les microfissures sont fermées, la contribution de d4 ne peut plus en revanche

être négligée. Pour cette même distribution de microfissures, on obtient en effet cette

fois:

Ç rv 0.92 (3.23)

L' orthotropie décrite à p = 2 est alors ici violée de manière significative par le choix

d'un ordre d'approximation p supérieur. Ces résultats, qui corroborent certaines

constatations d'ordre micromécanique (cf. Kachanov [29]), démontrent l'influence

du terme tensoriel d'ordre quatre d4 dans la description des propriétés effectives

d'un milieu affecté par des défauts fermés.

Examinons à présent les propriétés effectives obtenues pour ce modèle dans le

cas de distributions relativement simples de défauts.

82


• Distribution isotrope de microfissures

Le tenseur des rigidités du matériau se réduit dans ce cas à:

C = { 2 (J.to +a do) 1 0 1 + (Ao + 2,8 d0 ) 1 01

2 (J.to +a' do) 1 0 1 + (Ao + 2 ,8' do) 1 0 1

avec d0 la densité totale de microfissures.

défauts ouverts

défauts fermés (3.24)

Examinons tout d'abord le module de compressibilité K du matériau micro

fissuré, défini par : K = tru

3tre (3.25)

où e est le tenseur des déformations correspondant à un essai hydrostatique u = pl,

soit encore ici

K = [1 : c-1 : It1 (3.26)

c-1 désignant le tenseur des souplesses effectif du matériau. En utilisant la méthode

d'inversion proposée par Kunin [34] pour le calcul de ce tenseur, et en nous plaçant

sous l'hypothèse de faible densité de microfissuration (do << 1), on obtient alors

l'expression suivante pour le module K:

K = { Ko +~(a+ 3,8) do

Ko

défauts ouverts

défauts fermés (3.27)

où K 0 = (3 Ào + 2 J.lo)/3 désigne le module de compressibilité du matériau sain.

Pour les matériaux identifiés, le coefficient a + 3 f3 est négatif. La densité totale de

microfissures d0 étant positive, le module de compressibilité de ces matériaux est

alors dégradé lorsque les microfissures sont ouvertes. Si les défauts sont en revanche

fermés, les conditions de restitution imposées au modèle impliquent alors la restau

ration totale du module K à sa initiale K0 quel que soit le matériau, conformément

aux observations expérimentales (cf. chapitre 1, § 1.2.1).

Etudions maintenant le module d'Young E(v) dans une direction de vecteur

unitaire v et le coefficient de Poisson v( v, t) relatif aux directions orthogonales de

vecteur unitaire v et t, définis par (Hayes [24]) :

83

Chapitre 3

E(v) V·O' · V

V·ê·V

t·e·t v( v, t) = - --

v·e·v

V(v,t), v·t=O (3.28)

où e est le tenseur des déformations correspondant à un essai uniaxial u = a v®2.

Ils s'expriment alors ici :

v(v,t) t ®2 : c-1 : v®2

v®2 : c -1 : v®2

V (v, t), v· t = 0 (3.29)

A titre illustratif, on obtient pour le grès des Vosges identifié (E0 = 15300 MPa,

v0 = 0.23) et pour une densité totale de microfissures d0 = 0.1:

--= <1 E(v) { 0.85 : défauts ouverts

Eo 0.93 : défauts fermés - ' V v (3.30)

On remarque ainsi que le module d'Young reste dégradé par rapport à sa valeur

initiale E0 (correspondant au matériau sain) pour les deux états de défauts, la valeur

à microfissures fermées étant toutefois la moins affectée. Sur le même exemple, le

coefficient de Poisson s'exprime quant à lui:

v(v, t) = { 0.84 : défauts ouverts

Vo 1.09 : défauts fermés V(v,t), v·t=O (3.31)

Si l'on observe de nouveau une dégradation à microfissures ouvertes, le coefficient de

Poisson prend en revanche une valeur supérieure à sa valeur initiale v0 lorsque les dé

fauts sont fermés. Ces restitutions partielles du module d'Young et du coefficient de

Poisson peuvent s'expliquer au travers d'une analyse micromécanique (cf. Welemane

et Cormery [62]). On montre en effet qu'une microfissure fermée ne contribue pas

aux modules d'Young ni aux coefficients de Poisson associés à sa direction normale

mais demeure active dans les autres directions de l'espace. Puisque l'on a ici une

distribution isotrope de dommages, chaque microfissure contribue à la dégradation

des propriétés effectives du matériau dans toutes les directions de l'espace hormis

celle associée à sa normale, d'où le résultat.

84


Remarque 3.1 Cet exemplè d'une configuration isotrope de dommages permet de

montrer que, même dans sa formulation la plus simple avec une seule variable sca

laire d = (d0 ), le modèle proposé permet une description plus riche des effets de

l'endommagement par rapport aux approches du type

W(e, d) = (1- d) W0 (e) (3.32)

On prévoit en effet ici non seulement une altération du module d'Young mais égale

ment une modification du coefficient de Poisson.

• Un système de microfissures parallèles

Considérons à présent un milieu affecté par un ensemble de microfissures paral

lèles de normale unitaire m. En introduisant les expressions des tenseurs d2 et d4

données dans ce cas par (3.12) dans les relations (3.18) et (3.19), et en calculant le

tenseur des souplesses c-1 correspondant, on peut en déduire les expressions des

modules d'Young E(v) et des coefficients de Poisson v(v, t) effectifs du matériau.

Celles-ci étant relativement complexes et ne présentant pas forcément d'intérêt, on

ne les illustrera ici qu'au travers des figures 3.2 et 3.3 obtenues pour le grès des

Vosges respectivement aux ordres d'approximation p = 2 et p 2: 4 (les vecteurs rn,

v et tétant supposés coplanaires).

Dans le cas tout d'abord où les défauts sont ouverts, ces figures montrent que les

modules E(v) et v(v, t) du matériau considéré sont plus ou moins dégradés selon

la direction de l'espace, avec une dégradation maximale dans la direction normale

aux microfissures. Conformément à la remarque précédente, on note en outre que

les descriptions de ces propriétés fournies respectivement à p = 2 et à p 2: 4 sont

dans ce cas relativement similaires.

85

Chapitre 3

E(v) Eo

v(v, t) vo

el

---:r

e3 =rn

v

état ouvert

état fermé

cercle unité e

Figure 3.2: Modules d'Young et coefficients de Poisson d'un grès des Vosges affaibli

par un ensemble de microfissures parallèles de normale unitaire rn ( d0 = 0.1, p = 2).

86

E(v) Eo

v(v,t) vo

e3 = m

el 9


v

état ouvert e2 état fermé

cercle unité

Figure 3.3: Modules d'Young et coefficients de Poisson d'un grès des Vosges affaibli

par un ensemble de microfissures parallèles de normale unitaire m (do= 0.1, p 2 4).

87

Chapitre 3

Lorsque les défauts sont fermés, les valeurs de ces modules sont en revanche très

sensibles au choix de p. En particulier, le module d'Young E(m) et le coefficient de

Poisson v(m, t) dans la direction normale aux défauts récupèrent lorsque p ~ 4leurs

valeurs initiales E0 et v0 , ce qui va dans le sens des observations faites sur le plan

expérimental (cf. Ramtani [51] pour le module d'Young2) et micromécanique (cf.

Welemane et Cormery [62]). Concernant la comparaison à p = 2, on voit en revanche

que la restitution de E(m) et v(m, t) n'est dans ce cas que partielle. On peut noter

enfin que, quel que soit l'ordre p retenu, les microfissures fermées demeurent actives

au niveau des propriétés élastiques du matériau, les modules E(v) et v(v, t) restant

en effet dégradés dans des directions de vecteur unitaire v =J m.

Il est enfin intéressant de remarquer qu'avec un ordre p ~ 4, la valeur du module

de cisaillement J.L(m, t) dans la direction normale aux microfissures est bien insen

sible à l'état d'ouverture - fermeture des défauts, conformément à l'hypothèse de

glissement non dissipatif retenue dans cette étude (cf. figure 3.4). On rappelle que le

module de cisaillement du matériau associé aux directions orthogonales de vecteurs

unitaires v et t est défini par (Hayes [24]):

( ) (v®t+t®v):u

f..L v t - --'--------'--' -2(v®t+t0v):ê

(3.33)

où ê est le tenseur des déformations correspondant à un essai u = a (v @ t + t 0 v).

2 Une restitution de coefficients de Poisson à leur valeur initiale a pu néanmoins être observée

sur des composites initialement anisotropes lors d'un essai de traction - compression uniaxiales

(voir par exemple Allix et al. [2]).

88


1 1

1 1 f 1 f 1

1

p=2 f

-~ t f f

1 1 1

---1- ---

e3 = m

~ ~ v

~

/ /

/ 1

1

1 0.5

1 1 1

1 1 f 1 f 1 f

p2:4 1

-'1 -0.5 0.5 t 1 1 1 1 1

1 1

\ 1 \ -0.5 1

' 1

' 1

' /

' /

' /

' / /

---r

e3 =rn

v

état ouvert ez état fermé

cercle unité el 9

Figure 3.4: Modules de cisaillement normalisés f.L( v, t) / f.Lo d'un grès des Vosges af

faibli par un ensemble de microfissures parallèles de normale unitaire rn (do= 0.1).

89

Chapitre 3

• Cas d'un matériau· contenant des défauts ouverts et des défauts

fermés

Si lorsque les défauts sont tous ouverts et tous fermés, la description à l'ordre

p = 4 de la distribution de densités fournit des résultats assez satisfaisants, notons

néanmoins qu'il resterait à étudier le cas où le matériau est à la fois affecté par

des microfissures ouvertes et par des microfissures fermées. Ainsi que nous l'avons

souligné au chapitre 2 (§ 2.3.3), la représentation des propriétés effectives fournie par

le modèle dépend dans ce cas de l'ordre d'approximation p ~ 4 considéré puisque

l'ensemble des tenseurs (do, d2 , d4 , .. , dp) interviennent dans le terme de restitution

de l'équation (2.49).

Afin d'illustrer cette influence, on se propose ici d'examiner le cas d'un grès

des Vosges affaibli par la distribution de microfissures présentée à la figure 2.1 du

chapitre 2 et soumis à un état de déformation e tel que s2 ( e) =/:- { 0' s} (cf. figure

3.5). Nous avons calculé pour ce matériau le module d'élongation L(e3 ) dans la

direction de l'axe e3 de symétrie de cette distribution pour différents ordres p:

0.488 si p = 0

L(e3) 0.55 sip = 2 (3.34) --=

Lo 0.454 si p = 4

0.449 sip = 6

On constate ainsi que la valeur de ce module à p = 4 diffère de celle obtenue

pour p = 6. Dans le cas d'états d'ouverture- fermeture mixtes, l'anisotropie décrite

à l'ordre d'approximation p = 4 est donc bien affinée par le choix d'un ordre p

supérieur.

Si les quelques exemples précédents ont permis de mettre en évidence les avan

tages du tenseur d'ordre quatre d4 , notons que seule une étude complémentaire et

une confrontation à l'expérience permettra de quantifier plus précisément et de va

lider l'importance des tenseurs dk d'ordre supérieur.

90


Figure 3.5: Influence de l'ordre d'approximation p pour des états d'ouverture -

fermeture mixtes de défauts.

(b) Conditions d'ouverture- fermeture des microfissures

Après avoir examiné au paragraphe précédent les conséquences liées à la présence

de microfissures ouvertes et fermées sur les propriétés élastiques du matériau, on se

propose dans cette partie d'étudier plus en détailles modalités de changement d'état

des défauts, i.e. de préciser quand intervient la transition entre état ouvert et état

fermé.

On rappelle que le critère d'ouverture- fermeture des microfissures associé à la

normale unitaire n est le suivant :

(3.35)

où les constantes 81 et 82 identifiées pour les deux matériaux étudiés sont définies

au tableau 3.3. Ce critère ne dépend pas de la densité des défauts considérés mais

seulement de leur orientation et de l'état de déformation e du milieu.

91

Chapitre 3


81 12440 26890

82 5300 8965

Tableau 3.3: Paramètres du critère d'ouverture - fermeture des microfissures pour

un grès des Vosges et un béton (les valeurs indiquées sont en MPa).

On peut noter que l'expression (3.35) a une forme plus générale que le critère

habituel n · e · n = 0, postulé ou obtenu dans les formulations macroscopiques (voir

par exemple Chaboche [11], Halm et Dragon [21]), puisqu'elle introduit un terme

supplémentaire dépendant de la trace de la déformation. On remarque par ailleurs

que ce critère fait intervenir les coefficients du modèle (au travers de 81 et 82) et

dépend par conséquent du matériau considéré.

Afin d'illustrer ces différences, considérons le cas du grès des Vosges affaibli par

une distribution isotrope de microfissures (cf. figure 3.6). Si l'on se place tout d'abord

dans l'espace réduit des déformations axisymétriques d'axe e3 (.s1 = .s2, .s3 ), on note

en effet que les domaines correspondant aux microfissures toutes ouvertes (en blanc)

et toutes fermées (en gris foncé) ne sont pas restreints respectivement aux cadrans

des déformations positives et négatives.

L'examen de la transcription de ces domaines dans l'espace réduit des contraintes

axisymétriques (a1 = a 2 , a3) est également riche d'enseignements. D'une façon géné

rale, on constate que ceux-ci sont relativement semblables aux domaines définis par

le critère classique n · u · n = O. Si l'on soumet le matériau à une traction hydro

statique u = O"o 1 avec O"o > 0 ou à une traction uniaxiale u = 0"3 er2 avec 0"3 > 0,

les microfissures sont ainsi toutes ouvertes. Lors d'une compression hydrostatique

u = ao 1 avec a0 < 0, elles sont en revanche toutes fermées. Néanmoins, on peut

noter que lors d'une compression uniaxiale u = 0"3 er2 avec 0"3 < 0, certaines mi

crofissures (situées parallèlement à l'axe de chargement) seront considérées dans le

modèle comme étant ouvertes.

92


, , 'ouvert

espace réduit des déformations axisymétriques

mixte , , ' ouvert

mixte

espace réduit des contraintes axisymétriques

axe hydrostatique : - - -

Figure 3.6: Critère d'ouverture - fermeture des défauts: cas d'un grès des Vosges

affaibli par une distribution isotrope de rnicrofissures (do= 0.1).

93

Chapitre 3

3.3 Comportement dissipatif

Le paragraphe précédent a permis d'évaluer les aptitudes du modèle au niveau

de la représentation du comportement élastique de milieux microfissurés (à endom

magement figé). Pour compléter cette analyse, on se propose à présent d'examiner

la réponse fournie par celui-ci lorsque l'endommagement évolue. En premier lieu, il

convient comme précédemment d'apporter quelques précisions quant aux paramètres

introduits dans le modèle pour caractériser cet aspect.

3.3.1 Détermination des paramètres de dissipation

(a) Influence des paramètres

On se propose dans la première partie de ce paragraphe d'étudier l'influence de

chacun des coefficients strictement positifs k0 et TJ entrant dans l'expression de la

dissipation (2.69). Pour cela, on se place dans le cadre d'une sollicitation uniaxiale

en déformation ê = é3 er2 où é'3 > 0, qui permet des développements analytiques

simples.

En supposant le matériau initialement vierge de microfissures, exprimons tout

d'abord la valeur de la déformation c3 au seuil de premier endommagement. On note

que dans le cas des matériaux identifiés, le domaine s2 ( ê) demeure vide tout au long

du chargement. En effet,

puisque les coefficients 81 + 3 82 sont ici positifs. Les forces thermodynamiques asso

ciées aux variables internes d = ( d0 , d2, d4 , •• , dp) s'écrivent alors:

pdo(s) =-(a+ ,B) E5 pd2 ( ê) = -(X + cp) E5 l er2 J pd4(g) = -'1/J c5 l er4J

94

(3.37)


les forces _Fdk(e) pour k 2: 6 étant nulles puisque S2(e) = 0_ (cf. chapitre 2, § 2.3.4).

Sachant que la fonction seuil d'endommagement est définie par:

(3.38)

où la norme de Fd ( e) se réduit ici à

on obtient alors la valeur suivante pour la déformation axiale €3 au point de premier

endommagement (do = 0) :

(3.40)

avec

(3.41)

Le paramètre k0 permet donc de caractériser le seuil d'apparition des premières

microfissures, les valeurs des coefficients a, (3, x, cp et 'ljJ étant fixées par les propriétés

effectives du matériau. Notons que ce seuil est infini lorsque Ç tend vers zéro.

Pour les états de déformation tels que E:3 2: €3 , le seuil d'endommagement est

défini de la façon suivante :

ko(l + 'fJdo) _ J(l d) ç = ê3 + 'fJ 0 (3.42)

on peut alors en déduire l'expression de la densité totale de microfissures d0 du

milieu en fonction de la déformation axiale appliquée :

(3.43)

D'après la loi d'évolution proposée, les vitesses d'endommagement d2 et d4 sont telles

que:

(3.44)

95

.Chapitre 3

ce qui conduit après intégration à:

Connaissant les valeurs des variables d0 , d2 et d4 , et sachant qu'ici S2(e) = 0, la

contrainte axiale du matériau s'exprime alors:

2 ~:, é3 é3 c2 [( ) 2 l

0"3 = (>.o + 2~-to) é3 +(a+ {3) 'TJ ë3 - 1 (3.46)

La pente de la courbe (c3 , a 3 ) au point de premier endommagement est donc donnée

par:

(3.47)

On note que celle-ci ne dépend que de la valeur de ry, les autres coefficients ayant été

préalablement définis. Le coefficient 'TJ joue alors le rôle de paramètre d'écrouissage

dans la modélisation proposée.

Pour les matériaux identifiés, les coefficients a + {3 sont négatifs. La pente de la

courbe contrainte axiale- déformation est alors d'autant plus forte que 'TJ est élevé.

Plus précisément, si l'on pose 'TJc la valeur:

'TJc = 4ç_2ë3

(3.48)

la pente de la courbe est négative pour 'TJ < 'TJc· Mécaniquement, ceci se manifeste

par le fait que pour les valeurs de 'TJ inférieures à 'TJc, la contrainte axiale diminue dès

que le matériau commence à s'endommager. On parlera dans ce cas d'écrouissage

négatif en contrainte. Au contraire lorsque 'TJ > 'TJc, il s'agit d'un écrouissage positif

en contrainte.

L'influence du paramètre d'écrouissage 'TJ est illustrée de façon qualitative sur la

figure 3.7. La valeur 'TJ = +oo correspond à un matériau ne s'endommageant pas,

alors que le matériau ne peut subir de déformation supplémentaire lorsque 'TJ tend

vers zéro (les valeurs négatives de 'TJ ont été exclues au chapitre précédent).

96


. Soulignons. pour finir que, quel que soit l'écrouissage (négatif ou positif), on

obtient pour un endommagement suffisant un comportement avec adoucissement.

En effet, la pente 88

a3 (e3) s'annule lorsque e3 atteint la valeur l 3 donnée par: ê3

' si 'TJ ::; 'Tic

~(1+2"') 3 'Tic

, si 'TJ 2: 'TJc (3.49)

La contrainte a3 correspondant à cette déformation est alors la contrainte axiale

maximale que peut supporter le matériau au cours du chargement considéré.

1

T]=Ü

1

T]=+OO 1

1

T] >'Ile

Figure 3.7: Influence du paramètre 'TJ sur la réponse en élongation uniaxiale (d'axe

e3): courbe contrainte axiale (a3) - déformation (e3).

97

Chapitre 3

(b) Détermination de k0 ·et "1

L'étude qui vient d'être faite a permis de montrer l'influence des deux paramètres

entrant dans l'expression de la dissipation. Il reste maintenant à les identifier pour le

grès des Vosges et le béton étudiés. A cette fin, on considère un essai de compression

uniaxiale u = 0"3 er2 avec 0"3 < o.

En supposant un endommagement initial nul, le paramètre k0 est identifié à par

tir de la contrainte 0'3 au point de premier endommagement. Le comportement du

matériau sain étant par ailleurs élastique linéaire et isotrope, on peut montrer facile

ment que la déformation e induite par ce chargement est ici telle que S2(e) =S. Un

calcul analogue à celui réalisé précédemment permet alors d'en déduire l'expression

du paramètre k0 :

(3.50)

avec

1

[

[(1 + 2v5) a'+ (1 - 2vo)2 ,8'] 2 ]

2

~= 2 8 +3 (1 + vo) 2 [(1- 2vo) x'+ (1- v) cp'] 2 +

35 (1 + v0 )

4 ('l/;')2 (3.51)

Les essais réalisés par Karami [31] pour le grès des Vosges et Ramtani [51] pour le

béton donnent alors les valeurs indiquées au tableau 3.4 pour ce paramètre.

La valeur du coefficient d'écrouissage "1 est quant à elle déterminée à partir de

la courbe déformation latérale- déformation axiale. Un calage assez grossier de la

réponse fournie par le modèle avec les résultats expérimentaux fournit la valeur de

ce paramètre (cf. tableau 3.4). On présente à la figure 3.8 l'accord obtenu dans le

cas du béton.

98



ko (MPa) 0.0006 0.001

"' 90 200

Tableau 3.4: Paramètres constitutifs ko et rJ pour un grès des Vosges et un béton .

• 0.001

•

0.0005

o. 002

expérience (Ramtani [51]) . ' modèle

Figure 3.8: Réponse d'un béton à un essai de compression uniax:iale d'axe e3 : courbe

déformation latérale (c1 = c2)- déformation axiale (c3 ).

3.3.2 Réponse à quelques sollicitations classiques

Pour achever cette analyse des capacités prédictives du modèle, on s'intéresse

ici à la réponse du modèle sur quelques essais mécaniques simples. Les simulations

présentées ici ont été réalisées pour l'ordre d'approximation p = 4.

99

Chapitre 3

(a) Comporte~ent en traction uniaxiale

La figure 3.9 présente la réponse du béton identifié précédemment (et supposé

initialement non endommagé) à un essai de traction uniaxiale d'axe e3 (a= 0"3 ef2

avec u3 > 0). Notons que les calculs ont été réalisés jusqu'à la valeur maximale

atteinte par la contrainte, l'unicité de la réponse n'étant pas assurée au delà.

La réponse du matériau est dans un premier temps élastique linéaire. A partir

d'un certain seuil (point A), on constate une déviation par rapport à ce comporte

ment liée à une propagation des microfissures. Ceci se traduit notamment par une

non linéarité de la courbe contrainte - déformation axiale et par une dégradation pro

gressive du module d'Young E(e3) et du coefficient de Poisson v(e3, el) (= v(e3, e2))

du matériau (cf. figure 3.9).

En ce qui concerne précisément l'endommagement, on note que les surfaces des

microfissures se développent préférentiellement dans la direction perpendiculaire à

l'axe de chargement, la densité de microfissures p(n, d) étant en effet maximale pour

n = e3 (cf. figure 3.9). Comme on le voit sur cet exemple, et bien qu'elle ne fasse

appel à aucune décomposition, la loi d'évolution postulée permet donc de rendre

compte d'une propagation anisotrope de la microfissuration.

A titre indicatif, nous avons également représenté dans l'espace des déforma

tions axisymétriques (ë1 = ë 2 , ë 3 ) le trajet de chargement considéré ici ainsi que les

domaines d'ouverture- fermeture des défauts (cf. figure 3.10). On peut alors obser

ver que les microfissures demeurent dans une configuration ouverte tout au long de

l'essai.

100

0.5

A: do= 0


a3 (MPa)

20

10 B

A

0.0005 0.001

courbe contrainte (a3) - déformation axiale (e3 )

0.5

0.0005 0. 001

modules élastiques

0.05

' ' '

.. ,

' ' '

t 0.05

'

B: d0 = 0.02

n

0.0005

C: do= 0.06

distribution p des densités de microfissures

0.001

n

Figure 3.9: Réponse d'un béton à un essai de traction uniaxiale d'axe e 3 .

101

Chapitre 3

Si les résultats obtenus sont donc relativement satisfaisants d'un point de vlie

qualitatif, on note toutefois que la valeur de la contrainte au pic est ici surestimée

par rapport à la réalité. Ceci s'explique en partie par le fait que le seuil initial de

non linéarité k0 a été identifié au paragraphe précédent à partir d'une compression

uniaxiale. L'utilisation par exemple d'une valeur moyenne entre les seuils en traction

et en compression pour k0 permettrait d'obtenir une valeur plus raisonnable pour

celle-ci.

ouvert

mixte

Figure 3.10: Réponse d'un béton à un essai de traction uniaxiale d'axe e3 : trajet

de chargement et domaines d'ouverture - fermeture des microfissures dans l'espace

des déformations axisymétriques.

102


(b) Comportement en coin pressions uniaxiale et triaxiales

Examinons à présent le cas d'une compression uniaxiale u = 0"3 er2 (0"3 < 0).

On présente à la figure 3.11 la réponse obtenue dans ce cas pour le béton considéré.

Comme précédemment, la première phase du comportement est élastique linéaire

(jusqu'au point A). On note toutefois une dissymétrie entre les seuils de non linéarité

obtenus pour la compression et la traction. Si l'on calcule le rapport des contraintes

en ce point pour ces deux sollicitations, on obtient effectivement :

(3.52)

Ce rapport est relativement faible par rapport à un béton courant pour lequel ro

varie entre 5 et 7. Une modification de l'expression de la dissipation, par exemple au

travers d'une forme différente de la fonction k( d), permettrait néanmoins d'accentuer

cette dissymétrie.

Au delà de ce seuil, les courbes contrainte- déformations cessent ensuite d'être

linéaires du fait de la propagation des dommages. On note sur la figure 3.11 que la

distribution des défauts obtenue est quasiment isotrope, ce qui n'est pas en corréla

tion avec les observations expérimentales. Notons toutefois que, contrairement à la

traction, la plupart des microfissures sont ici fermées et donc supposées glisser (cf.

figure 3.12). L'hypothèse simplificatrice de parfaite lubrification de leurs lèvres nous

semble alors être l'une des causes essentielles de ce résultat, la dissipation induite par

le frottement des lèvres des microfissures fermées conditionnant effectivement dans

la réalité la croissance de la densité de microfissures (voir par exemple Andrieux [3]).

La réalisation de décharges au cours de l'essai permet quant à elle d'examiner

l'évolution des propriétés élastiques du matériau. Malgré les distributions de den

sités obtenues, on constate ainsi que les résultats à ce niveau vont dans le sens des

observations expérimentales (voir par exemple Ramtani [51]): le module d'Young

axial E( e3 ) est bien progressivement dégradé, tandis que le coefficient de Poisson

v(ea, e 1 ) (= v(ea, e2)) augmente avec l'endommagement (cf. figure 3.11).

103

Chapitre 3

-o-3 (MPa)

50

B

A

0.0005 0.001 0.0015 0.002

courbes contrainte (a3) - déformations axiale (.::3) et latérale (.::1 = .::2)

0. 5

0. 0005

A: do= 0

0. 001

1.5

11--------

0.5

0.0015 0.002

modules élastiques

' ' ' '

0.1

o. os

1 0.05

,'

B: d0 = 0.03

D

0.1

0. 0005 0. 001 0. 0015 0.002

.,..,....-- -- .................. / 0.1 ......_ n

// ' 1 1 1 1

1 1 \

1 1

\ \ '\

'

\

0.05 \ \ \ 1

0.05 0.1

' '-.._ ----C: do= 0.1

/

1 /

/

1 1 1

1

distribution p des densités de microfissures

Figure 3.11: Réponse d'un béton à un essai de compression uniaxiale d'axe e3 .

104


Pour ce quiest enfin des essais de compressions triaxiales avec pression de confi

nement, la réponse du matériau ne diffère que très· peu de celle qui vient d'être

présentée pour une compression uniaxiale. Si l'on examine le seuil d'endommage

ment initial dans l'espace des contraintes (cf. figure 3.13), on observe en effet que

celui-ci tend dans le domaine de compression vers un cylindre de révolution centré

sur l'axe hydrostatique, soit en d'autres termes qu'il ne dépend pas de la contrainte

moyenne appliquée. On notera néanmoins que la description du glissement dissipatif

sur les lèvres des microfissures fermées devrait permettre également de modifier ce

résultat, comme on peut le voir sur les modélisations micro-macro (voir par exemple

Andrieux [3]).

mixte ouvert

mixte

Figure 3.12: Réponse d'un béton à un essai de compression uniaxiale d'axe e3 : trajet

de chargement et domaines d'ouverture- fermeture des microfissures dans l'espace

des déformations axisymétriques.

105

Chapitre 3

20

axe hydrostatique : - - -

Figure 3.13: Seuil initial d'endommagement d'un béton dans l'espace des contraintes

axisyrnétriques.

( c) Comportement en traction - compression uniaxiales

Pour conclure cette analyse du modèle, on s'intéresse ici à un essai mettant en

jeu une transition pour certains défauts entre état ouvert et état fermé. Le matériau

est en effet soumis à une traction uniaxiale endommageante u = ag ef2 avec ag > 0

(phase 1), puis déchargé totalement (phase 2) et enfin soumis à une compression

réversible selon le même axe u = ag ef2 avec ag < 0 (phase 3). La figure 3.14

présente la réponse du béton étudié à cette sollicitation.

On observe tout d'abord que la configuration de défauts induite par la traction

(en phase 1) passe d'un état ouvert lors de la décharge (phase 2) à un état mixte

lors de la compression (phase 3). En particulier, les microfissures qui se ferment sont

celles situées plus ou moins perpendiculairement par rapport à l'axe de chargement.

106


a3 (MPa)

30

-0.001 -0.0005 0.0005 0.001

(3) -20

-30

courbes contrainte (a3) - déformations axiale (é3) et latérale (El = E2)

trajet de chargement et domaines d'ouverture -fermeture des microfissures

1.5

lr-----

0.5

0.5

(1) (2) (3) (1) (2) (3)

modules élastiques

Figure 3.14: Réponse d'un béton à un essai de traction - compression uniaxiales

107

Chapitre 3

A~ niveau de l~ réponse contrainte - déformation du matériau, cette transition

s'effectue de façon continue, conformément à nos hypothèses. Les propriétés élas

tiques sont quant à elles bien modifiées par la fermeture des défauts. Ainsi par

exemple,

E(e3) = { Eo

et

0.81

0.92

(phase 2)

(phase 3)

(phase 2)

(phase 3)

(3.53)

(3.54)

Si l'on assiste à une certaine restitution de ces propriétés en phase 3, on note toute

fois qu'elles ne récupèrent pas complètement leurs valeurs initiales, ce qui s'explique

en partie par le fait que toutes les microfissures ne sont pas refermées par la corn

pression.

Si les quelques essais qui viennent d'être présentés ont permis d'évaluer de façon

globale les aptitudes du modèle, on notera que ce travail de validation devra dans

l'avenir être complété et approfondi pour différents matériaux et pour des trajets de

chargement plus complexes (en particulier les essais hors axes).

108

Conclusion

Le modèle macroscopique d'endommagement par microfissuration présenté dans

ces travaux semble apte à décrire quelques uns des phénomènes essentiels liés au

comportement non linéaire des bétons et des roches. Cette approche permet en

particulier de rendre compte d'une dégradation anisotrope des propriétés élastiques

de ces matériaux et de la dépendance de celles-ci vis-à-vis de l'état d'ouverture -

fermeture des microfissures.

Il apparaît néanmoins, au vu des remarques et simulations présentées dans le

dernier chapitre, que des améliorations et enrichissements devront être apportés à

cette version de base. Une vérification sur le plan expérimental des hypothèses rete

nues pour sa construction ainsi qu'une validation plus complète seront notamment

à envisager. La possibilité ici d'un aller - retour entre le niveau global et le niveau

local (au travers de la distribution de densités) constituera pour cela un avantage

majeur permettant une interprétation physique des équations proposées.

Il conviendra également dans le futur d'ouvrir le cadre trop restrictif de l'étude

à la prise en compte d'autres phénomènes dissipatifs, et en premier lieu à celle

du frottement. On notera à ce titre que le cadre formel de la modélisation y est

très favorable, dans la mesure où l'on peut déterminer ici les directions de l'espace

correspondant aux microfissures fermées et donc concernées par ce mécanisme.

Enfin, il est sans doute intéressant d'envisager le couplage avec d'autres phé

nomènes physiques. Grâce au caractère ouvert du modèle, on pourra notamment

étendre celui-ci au cas des milieux poreux, la présence de fluide se révélant en effet

primordiale dans le comportement des roches.

111

Annexe A : Calculs

(a) Expression de la partie irréductible de n 181m

Soit (T) la somme de toutes les permutations différentes d'un tenseur T. Par

exemple,

(A.1)

La partie irréductible L n 181m J du tenseur n 181m d'ordre pair m s'exprime alors (cf.

Zheng et Collins [64]):

m/2 l n181m J = L ( -1t,Br(m) (1181r 0 n181m-2r)

r=O

avec, dans le cas tridimensionnel considéré ici,

,B ( ) ,B ( ) ,Br-1 ( m) o m = 1' r m = 2 (! + m- r)

Ainsi par exemple,

L1J - 1 n 1812 - ~1

3

- n 1814 - ~ [ n 1812 0 1 + 1 0 n 1812 + 2 ( n 1812 0 1 + 1 0 n 1812

) J

+ 315 (1 0 1 + 2 1 0 1)

113

(A.2)

(A.3)

(A.4)

Annexe A

(b) Intégration sur la sphère· unité S

L'intégration sur la sphère unitéS= {nE 1R3 , n · n = 1} des produits tensoriels

d'un vecteur unitaire n exprimés dans la base orthonormée (el! e 2 , e 3) de 1R3 conduit

aux résultats suivants (cf. Kanatani [30], He et Curnier [25]):

1 1 1 1 1 - J ds = 1 - J n·n · ds = - J. · - J n·n ·nknl ds = - J. ·kl 47r s ' 47r s 1 J 3 1J ' 47r s 1 J 5 1J '

(A.5)

avec

Jijklmn (A.6)

Jijklmnpq -

On a par ailleurs les deux propriétés suivantes (cf. He et Curnier [25], Zheng et

Collins [64]):

• quels que soient les entiers pairs i et j tels que i =J j,

J ln®iJ ® ln®jJ ds = oi+j

s

• quel que soit le tenseur irréductible xi d'ordre pair i,

xi. J n®(i+j)ds = Oj

s

114

v j = 0, 2, 4, .. , i- 2

(A.7)

(A.8)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Annexe B: Conditions de

continuité

Cette annexe étend une proposition initialement faite par Curnier et al. [15].

Précisons que la démonstration présentée ici se veut générale, l'application dont

nous avons spécifiquement besoin dans le mémoire étant détaillée à la fin de cette

annexe.

Position du problème

Soient F un espace vectoriel euclidien normé et A un domaine de celui-ci sé

paré en deux domaines A1 et A2 par une interface <P caractérisée par une fonction

p:A-dR:

A1 ={xE A, p(x) > 0} , A2 ={xE A, p(x) < 0} ,

</J ={xE A, p(x) = 0} (B.l)

A = A1 u A2 u <P, A1 n A2 = 0

On suppose que la fonction p présente toutes les propriétés nécessaires pour que A

soit séparé en deux moitiés comparables (les domaines A1 et A2 devront notamment

être simplement connectés, cf. Curnier et al. [15]).

Les symboles D et D 2 placés devant le nom d'une fonction désignent respecti

vement ici (lorsqu'elles existent) les différentielles première et seconde au sens de

Fréchet de celle-ci.

117

Annexe B

Proposition : Soit la fonction f : A ~ 1R définie par:

VxEA, f(x) = { II(x), h(x),

sz p(x) > 0

sz p(x) ~ 0 (B.2)

où II : A ~ 1R et h : A ~ 1R sont deux fonctions de classe C 2 sur A et p : A ~ 1R

une fonction de classe C1 sur A.

La fonction f est alors de classe C1 sur A si et seulement si il existe un point

xo de <P tel que

{ II(xo) = h(xo)

D II(xo) = D h(xo) (B.3)

et qu'en tout point x de </;,

D2 [II- f2](x)(x') = s(x) D p(x)(x') D p(x), V x' E F (BA)

où s : F ~ 1R est une fonction continue.

Démonstration: Compte tenu des propriétés de continuité de II et /2, l'ap

plication f est de façon évidente de classe C1 sur les domaines A1 et A2 de A.

La difficulté se situe par conséquent au niveau de </;. La démonstration proposée

s'articule autour de deux lemmes.

Lemme 1 : L'application f définie en (B. 2) est continue sur <P si et seulement si

il existe un point x0 de <P tel que

h(xo) = h(xo) (B.5)

et qu'en tout point x de </;,

D [h- h](x) = u(x) Dp(x) (B.6)

où u : F ~ 1R est une fonction continue sur F.

Démonstration: Supposons l'application f continue sur </;, alors la relation

(B.5) est trivialement vérifiée. Quels que soient deux points proches x et x' de</;, on

en déduit également :

II(x) = h(x)

p(x) = 0

118

/I(x') = h(x')

p(x') = 0 (B.7)

Conditions de continuité

Les applications fi et h étant de classe C2 et p de classe C1 sur A, on peut écrire

le développement limité suivant ( 11-11 désigne une norme sur F) :

{

JI(x') = fi(x) + D JI(x)(x'- x)+ o(llx'- xli)

h(x') = h(x) + D h(x)(x'- x)+ o (llx'- xli)

p(x') = p(x) + Dp(x)(x'- x) + o(llx'- xli)

(B.8)

En soustrayant la première relation (B.8) de la seconde et en utilisant les propriétés

de continuité (B. 7), on obtient :

{

D [fi- !2](x)(x'- x) = o (llx'- xli)

D p(x)(x'- x) = o (llx'- xli) (B.9)

Si l'on divise ces expressions par llx'- xli et l'on fait tendre x' vers x, le vecteur

unitaire 11 ~;=~ 11 de F tend vers le vecteur Tx et, par linéarité de la différentielle, on

en déduit que

{ D [fi- h](x)(Tx) = 0

Dp(x)(Tx) = 0 (B. lü)

quel que soit le point x de cl> et quel que soit le vecteur unitaire Tx de F, ce qui

implique la relation (B.6) avec u : F ~ 1R une fonction continue surF.

Réciproquement, supposons qu'il existe un point x0 de cl> où f soit continue et

qu'en tout point x de cl> la relation (B.6) soit vérifiée. L'application u étant continue

et p de classe C1 sur A, on peut intégrer cette relation entre le point x0 et un point

x' de cl> le long de </J :

x' x'

J D [fi- h](x)(dx) = J u(x) Dp(x)(dx) (B. 11)

pour tous points x' et x appartenant à cj>. Comme Dp(x)(dx) = 0 sur c/>, que fi et

h sont de classe C2 sur A, on a alors :

JI(x')- h(x')- [!I(xo)- h(xo)] = 0, 'ï/ x' E <P (B.l2)

Compte tenu de (B.5), on en déduit par conséquent que

JI(x') = h(x'), 'ï/ x' E c/> (B.l3)

i.e. que la fonction f est continue sur cj>.

119

Annexe B

Lemme 2: L'application f définie en (B.2) est de classe C1 sur cp si et seulement

si il existe un po{nt x 0 de cp tel que

D II(xo) = D h(xo) (B.l4)

et qu'en tout point x de cp,

D2 [II - f2](x)(x') = s(x) D p(x)(x') D p(x), 'il x' E F (B.15)

où s : F -+ IR est une fonction continue sur F.

Démonstration : Supposons que la fonction f soit de classe C 1 sur cp, alors

la relation (B.l4) est trivialement vérifiée. De plus, en adoptant un raisonnement

identique à celui du lemme précédent, on montre que ( 0 : F -+ IR la fonction nulle) :

{ D2 [II - h](x)(Tx) = 0

Dp(x)(Tx) = 0 (B.16)

quel que soit le point x de cp, et quel que soit le vecteur unitaire Tx de F. Introdui

sons l'hyperplan Hx ={x' E F, Dp(x)(x') = 0} de F. D'après l'algèbre linéaire, le

système (B.16) précédent admet deux solutions:

• soit D2 II(x) = D2 h(x);

• soit D2 JI(x) =/:- D 2 h(x); dans ce cas Ker D2 [h- f2](x) = Hx et Rang

D 2[h- fz](x) = dim F- dim Ker D2 [h- f2](x) = dim F- dim Hx = 1.

La première solution correspond au cas trivial où la différentielle seconde de f est

continue ; la seconde en revanche autorise une discontinuité de celle-ci si l'application

linéaire D2 [h - h] (x) est de rang un. Par conséquent

D 2 [h- h](x)(x') = s(x) Dp(x)(x') M(x) (B.l7)

où s : F -+ IR est une fonction continue sur F et M (x) : F -+ IR une application

linéaire non nulle. Les applications f 1 et h étant de classe C 2 , on a en outre la

symétrie suivante :

D 2 [h- h](x)(x')(x") = D 2 [h- f2](x)(x")(x') (B.18)

ce qui conduit à l'expression (B.l5).

120

Conditions de continuité

Réciproquement, supposons qu'il existe un point x0 de</> où la différentielle pre

mière de f soit continue et qu'en tout point x de 4J la relation (B.15) soit vérifiée.

L'application s étant continue et g de classe C1 sur A, on peut intégrer cette relation

entre le point x0 et un point x' de 4J le long de 4J :

x' x' J D 2 [ii- h](x)(dx) = J s(x) Dp(x)(dx) Dp(x) (B.l9)

xo XQ

pour tous points x' et x appartenant à 4J. Comme D p( x)( dx) = 0 sur </>, que ii et

h sont de classe 0 2 sur A, on a par conséquent :

D ii(x')- D h(x')- [D ii(xo)- D h(xo)] = 0, V x' E 4J (B.20)

Compte tenu de (B.14), on en déduit alors que

D ii(x') = D h(x'), V x' E </> (B.21)

i.e. que la différentielle D f de la fonction f est continue sur 4J, et donc que f est de

classe C 1 sur 4J.

Application: Cas de la fonction h définie en (2.22)

L'espace vectoriel considéré est ici F = JR3 x T2 et A= S x T 28 (T28 désignant

l'ensemble des tenseurs du second ordre symétriques). On rappelle que dans ce cas,

si une fonction f : A--+ IR est différentiable en un point (n, e) de A, sa différentielle

première en ce point est définie par :

Df(n,e)(n',e') = ~~(n,e)·n' + ~;(n,e):e' (B.22)

où~~ (n,e) et~; (n,e) désignent les dérivées partielles premières de fen (n,e).

Si cette fonction est par ailleurs deux fois différentiable au point (n, e) de A, sa

différentielle seconde en ce point est telle que :

fJ2 f 82 f D2 f(n,e)(n',e')(n",e") = n"· Bn2(n,e)·n' + n"· anae(n,e) :e'

82 f 82 ! + e": ae an (n,e). n' + ê11

: 8e2 (n,ë): e' (B.23)

121

Annexe B

' a2 f a2 f a2 f â2 f . , ou an2 (n, e), anae (n, e), ae an (n, e) et ae2 (n, e) représentent les dénvees par-

tielles secondes de f en ( n, e). La proposition démontrée ci-avant revient dans ce

cas à:

Proposition: Soit la fonction h : A ---+ lR définie par:

V (n,e) E A, si g(n, e) > 0

si g(n,e) ~ 0 (B.24)

où h1 : A ---+ R et h2 : A ---+ R sont deux fonctions de classe C 2 sur A et g : A ---+ R

une fonction de classe C1 sur A.

La fonction h est alors de classe C1 sur A si et seulement si il existe un point

(no, e0 ) tel que g(n0 , eo) = 0 et

(B.25)

et qu'en tout point (n,e) tel que g(n,e) = 0,

âg ag s(n,e) an(n,e)0 an(n,e)

ag ag s(n,e) ae(n,e)0 an(n,e)

(B.26) ag ag

s(n, e) an (n, e) 0 ae (n, e)

où s : F ---+ R est une fonction continue.

122

Annexe C : Récapitulatif des

équations du modèle

+Variables d'état

Variable observable : tenseur de déformation e

Variables internes d'endommagement (p un entier pair): d = (d0 , d2 , d4 , •• , dp)

+ Potentiel thermodynamique (énergie libre)

W(e, d) = Wo(e) + atr (e · e) do + j3 (tre) 2 do

avec

(C.2)

125

Annexe C

p=O

(i) (a,[j)

tels que

a+ 2fj # 0

(~o 0)

(ii) (a,[j)

tels que

a+ 2fj = 0

et ~o 0

(iii) (a,fj)

tels que

a+ 2fj = 0

et ~o # 0

p=2

(i) (a, fj, x, cp)

tels que

a + 2fj - 5x - ~cp # 0

(~2 = 0)

(ii) (a,(3,x,cp)

tels que

a + 2fj - 5x - ~cp = 0

et ~2 0

(iii) (a,(3,x,cp)

tels que

a + 2fj - 5x - ~cp = 0

et ~2 # 0

s 8!,82

1 { 81 = -a, 82 = a + 2[j}

a+ 2fj ou

{ 81 = a , 82 = -a - 2[j}

{ 81 = 1' 82 = 0}

3a ou

{ 81 = -1 ' 82 = 0}

pas de solution

avec ~o =a (a+ 3[j)

s

1 5

3a + 1;<p

15 + 5 1 81 a+ 2 X 2<p 1

82 = a + 2fj - 5x - ~cp 1 ~ J

ou

~ 15 5 1 81 = a - 2X - 2<p 1

5 1 l 82 = -a - 2fj + 5x + 2cp 1

ou

pas de solution

avec ~2 = 4 (a+ 3 [j) (2 a+ 5 cp)- 25 (3 X+ 2 cp)2

126

p~4

(i) (a,{3,x,cp,1/J)

tels que

a+ 2{3- 5x

-~cp+ ~1/J # 0

(~4 = 0)

(ii) (a,{3,x,cp,1/J)

tels que

a+ 2{3- 5x

-~cp+ ~1/J = 0

et ~4 = 0

(iii) (a, {3, x, cp, 1/1)

tels que

a+ 2{3- 5x

-~cp+ ~1/J = 0

et Ll4 # 0

s

Récapitulatif des équations du modèle

ou

( 81 = a - 1; X - ~cp + 2i 1/J 1

l 82 = -a - 2{3 + 5x + ~cp - ~1/J J

ou

pas de solution

avec L14 = 4 (a + 3 {3) (2 a + 5 cp+ 271/J) - 25 (3 X + 2 cp )2

+ Lois d'état

Contrainte u

o-(e,d) = Ào(tre)I + 2jJ-0 e + 2ad0 e + 2{3d0 (tre)I

127

Annexe C

Forces thermodynamiques Fd = ( pdo, pd2 , pd4, ... , pdp)

pdo(e) - - atr (e · e)- (3 (tre) 2

pd2(e) - - x tr e Le J - <p Le · e J

+~ J 871" (81n·e·n+82 tre)2 Ln®2j ds

~(e)

pd4(e) - -~'1/J le0e+2e0ej

+~ J 871" (81 n · e · n + 82 tre)2 ln®4 j ds

~(e)

Fdk(e)- + 8: j (81n·e·n+82 tre) 2 ln®kJ ds, Vk=6,8, .. ,p

S2(e)

+Loi d'évolution de l'endommagement

0

128

(C.4)

(C.5)

(C.6)

(C.7)

(C.8)

Bibliographie

[1] Acker P., "Comportement mécanique du béton: apports de l'approche

physico-chimique", thèse de doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées,

1987.

[2] Allix O., Cluzel C., Gasser A., Ladevèze P., "Modélisation des composites

céramique- céramique à différentes échelles", Rev. Comp. Mater. Avanc., vol. 3,

pp. 277-297, 1993.

[3] Andrieux S., "Un modèle de matériau microfissuré: Applications aux roches

et aux bétons", thèse de doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées,

1983.

[4] Badel P., "Contributions à la simulation numérique de structures en béton

armé", thèse de doctorat, Université de Paris VI, 2001.

[5] Berthaud Y., "Mesure de l'endommagement du béton par une méthode ultra

sonore", thèse de doctorat, Université de Paris VI, 1988.

[6] Boehler J. P., Applications of tensor functions in solid mechanics, Springer

Verlag, Wien, 1987.

[7] Budiansky B., O'Connell R. J., "Elastic moduli of a cracked solid", Int. J.

Solids Structures, vol. 12, pp. 81-97, 1976.

[8] Burlion N., "Technique d'essais et caractérisation expérimentale", [dans]

Comportement mécanique du béton, Ed. Pijaudier-Cabot G. et Reynouard J.M.,

Hermès, Paris, 2002 (à paraître).

[9] Carol 1., Willam K., "Spurious energy dissipation/generation in stiffness

recovery models for elastic degradation and damage", Int. J. Solids Structures,

vol. 33, n° 20-22, pp. 2939-2957, 1996.

131

Bibliographie

(10] Chaboche J. L., "Damage induced anisotropy : on the difficulties associated

with the active/passive unilateral condition", Int. J. Damage Mech., vol. 1,

pp. 148-171, 1992.

(11] Chaboche J. L., "Development of continuum damage mechanics for elastic

solids sustaining anisotropie and unilateral damage", Int. J. Damage Mech. ,

vol. 2, pp. 311-329, 1993.

(12] Chaboche J. L., Maire J. F., "A new micromechanics based CDM madel

and its application to CMC's", Aero. Sei. Tech., vol. 6, pp. 131-145, 2002.

(13] Cormery F., Welemane H. , "A critical review of sorne damage models with

unilateral effect", Mech. Res. Comm. , vol. 29, pp. 391-395, 2002.

[14] Cowin S. , "The relationship between the elasticity tensor and the fabric ten

sor", Mech. Mater., vol. 4, pp. 137-147, 1985.

(15] Curnier A., He Q. C., Zysset P., "Conewise linear elastic materials", J .

Elasticity, vol. 37, pp. 1-38, 1995.

[16] Desmorat R., "Dissymétrie de comportement élastique anisotrope couplé ou

non à l'endommagement", C. R. Acad. Sei. Paris, t. 328, Série lib, pp. 445-450,

2000.

[17] Dragon A., Cormery F., Desoyer T., Halm D., "Localized failure analysis

using damage models", [dans] Localization and bifurcation theory for soils and

rocks, Ed. Chambon R. et al., Balkema, Rotterdam, pp. 127-140, 1994.

[18]' François M., "Identification des symétries matérielles de matériaux aniso

tropes", thèse de doctorat, Université de Paris VI, 1995.

(19] Gatelier N., "Etude expérimentale et théorique de l'endommagement des

roches anisotropes", thèse de doctorat, Université de Grenoble I, 2001.

[20] Germain P., Cours de mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1973.

[21] Halm D., Dragon A., "A model of anisotropie damage by mesocrack growth;

unilateral effect", Int. J. Damage Mech., vol. 5, pp. 384-402, 1996.

132

Bibliographie

[22] Halphen B., Nguyen Q. S., "Sur les matériaux standards génératisés",

J. Méca., vol. 14, n° 1, pp. 39-63, 1975.

[23] Hayes M., "A simple statical approach to the measurement of the elastic

constants in anisotropie media", J. Mater. Sei., vol. 4, pp. 10-14, 1969.

[24] Hayes M., "Connexions between the moduli for anisotropie elastic materials",

J. Elasticity, vol. 2, n° 2, 1972.

[25] He Q. C., Curnier A., "A more fundamental approach to damaged elastic

stress-strain relations", Int. J. Solids Structures, vol. 32, pp. 1433-1457, 1995.

[26] Homand F., Duffaut P. [coordonnateurs], Manuel de mécanique des roches

Tome 1 : fondements, Ecole des mines de Paris, 1999.

[27] Homand F., Hoxha D., Belem T., Pons M. N., Hoteit N., "Geometrie

analysis of damaged microcracking in granites", Mech. Mater., vol. 32, pp. 361-

376, 2000.

[28] Jones M. N., Spherical harmonies and tensors in classical field theory, Wiley

& Sons, New York, 1985.

[29] Kachanov M., "Elastic solids with many cracks and related problems", [dans]

Advances in applied mechanics, vol. 30, Ed. Hutchinson J. et Wu T., Academie

Press, New York, pp. 259-445, 1993.

[30] Kanatani K. I., "Distribution of directional data and fabric tensors", Int. J.

Engng Sei., vol. 22, no 2, pp. 149-164, 1984.

[31] Karami M. H., "Etude expérimentale du comportement poromécanique d'une

roche endommageable", thèse de doctorat, Université des Sciences et Techno

logies de Lille, 1998.

[32] Krajcinovic D., "Micromechanical basis of phenomenological models", [dans]

Continuum damage mechanics - Theory and applications, Ed. Krajcinovic D.

et Lemaitre J., Springer Verlag, Wien, pp. 195-206, 1987.

[33] Krajcinovic D., "Damage Mechanics", [dans] Applied mathematics and me

chanics, vol. 41, Ed. Achenbach J. D. et al., Elsevier Science B. V., Amsterdam,

1996.

133

Bibliographie

[34] Kunin 1. A., "An algebra oftensor operators and its application to elasticity", . . .

Int. J. Engng Sei., vol. 19, no 12, pp. 1551-1561, 1981.

[35] Lemaitre J., Chaboche J. L., Mécanique des matériaux solides, Dunod,

Paris, 1988.

[36] Lockner D.A., Byerlee J. D., "Fault growth and acoustic emissions in confi

ned granite", ASME Appl. Mech. Rev., vol. 45, n° 3, part 2, pp. 165-173, 1992.

[37] Lorentz E., "Lois de comportement à gradients de variables internes: con

struction, formulation variationnelle et mise en oeuvre numérique", thèse de

doctorat, Université de Paris VI, 1999.

[38] Lubarda V. A., Krajcinovic D., "Damage tensors and the crack density

distribution", Int. J. Solids Structures, vol. 30, n°20, pp. 2859-2877, 1993.

[39] Maire J.F., Lesne P. M., "A damage model for ceramic matrix composites",

Aero. Sei. Tech., vol. 4, pp. 259-266, 1997.

[40] Marigo J. J., "Propagation des ondes ultrasonores et microfissuration du bé

ton", thèse de doctorat, Université de Paris VI, 1980.

[41] Marigo J. J ., "Formulation d'une loi d'endommagement d'un matériau élas

tique", C. R. Acad. Sei. Paris, Série II, t. 292, no 19, pp. 33-36, 1981.

[42] Marigo J. J ., "Constitutive relations in plasticity, damage and fracture me

charries based on a work property", Nuclear Eng. Design, vol. 114, pp. 249-272,

1989.

[43] Mazars J., "Application de la mécanique de l'endommagement au compor

tement non linéaire et à la rupture du béton de structure" , thèse de doctorat

d'état, Université de Paris VI, 1984.

[44] Nemat-Nasser S., Hori M., "Micromechanics: overall properties of hete

rogenous materials", [dans] Applied mathematics and mechanics, vol. 37, Ed.

Achenbach J. D. et al., Elsevier Science B. V., Amsterdam, 1993.

[45] Nemati K. M., "Generation and interaction of compressive stress-induced

microcracks in concrete", Ph-D thesis, University of California, Berkeley, 1994.

134

Bibliographie

[46] Onat E. T., "Effective properties of elastic materials that contain penny

shaped voids", Int. J. Engng Sei., vol. 22, pp. 1013-1021, 1984.

[47] Ortiz M., Popov E. P., "Accuracy and stability of integration algorithms for

elastoplastic consitutive relations", Int. J. Nurn. Meth. Engng, vol. 21, pp. 1561-

1576, 1985.

(48] Panet M., "Propriétés mécaniques des roches", [dans] La mécanique des roches

appliquée aux ouvrages de génie civil, Ed. Panet M. et al., Ecole Nationale des

Ponts et Chaussées, 1976.

(49] Paterson M. S., Experimental rock deformation- The brittle field, Ed. Wyllie

P. J. et al., Springer-Verlag, Berlin, 1978.

[50] Pensée V., Kondo D., "Une analyse micromécanique 3-D de l'endommage

ment par microfissuration", C. R. Acad. Sei. Paris, t. 329, série lib, pp. 271-276,

2001.

[51] Ramtani S., "Contribution à la modélisation du comportement multiaxial du

béton endommagé avec description du caractère unilatéral", thèse de doctorat,

Université de Paris VI, 1990.

(52] Sayehi M., "Etude expérimentale de l'endommagement du grès de Fontai

nebleau", thèse de doctorat, Université des Sciences et Technologies de Lille,

1992.

[53] Sayers C. M., Kachanov M., "A simple technique for finding effective elastic

constants of cracked solids for arbitrary crack orientation statistics", Int. J.

Solids Structures, vol. 27, n° 6, pp. 671-680, 1991.

(54] Si baï M., Communication privée.

[55] Spencer A. J. M., "Constitutive theory for strongly anisotropie solids", [dans]

Continuum theory of the mechanics of fibre-reinforced composites, Ed. Spencer

A. J. M., Springer- CISM, no 282, pp. 1-32, 1984.

[56] Suquet P., "Plasticité et homogénéisation", thèse de doctorat, Université de

Paris VI, 1982.

135

Bibliographie

[57] Terrien M., "Emission acoustique et comportement mécanique post-critique

d'un béton sollicité en traction", Bull. Liaison Laboratoire des Ponts et

Chaussées, no 105, ref. 2398, 1980.

[58] Tikhomirov D., Niekamp R., Stein E., "On three-dimensional microcrack

density distribution", Z. Angew. Math. Mech., vol. 81, no 1, pp. 3-16, 2001.

[59] Van Mier J. G. M., "Strain softening of concrete under multiaxialloading

conditions", doctoral dissertation, Eindhoven University of technology, The Ne

therlands, 1984.

[60] Van Mier J. G. M., Van Vliet M. R. A., "Uniaxial tension test for the

determination of fracture parameters of concrete: state of the art", Eng. Frac.

Mech., vol. 69, pp. 235-247, 2002.

[61] Welemane H., "Un modèle d'endommagement par mésofissuration", D.E.A.

de Génie Civil, Université des Sciences et Technologies de Lille, 1998.

[62] Welemane H., Cormery F., "Sorne remarks on the damage unilateral effect

modelling for microcracked materials", lnt. J. Damage Mech., vol. 11, pp. 65-86,

2002.

[63] Zheng Q. S., "A unified invariant description of micromechanically-based ef

fective elastic properties for two-dimensional damaged solids", Mech. Mater.,

vol. 25, pp. 273-289, 1997.

[64] Zheng Q. S., Collins 1. F., "The relationship between damage variables and

their evolution laws and microstructural and physical properties", Proc. R. Soc.

Lond. A, vol. 454, pp. 1469-1498, 1998.

136

THE SE · 2021. 4. 7. · Dragon, Damien Halm, Alain Curnier, Jean-Louis Chaboche, Jean-Jacques...

Documents

Transcript of THE SE · 2021. 4. 7. · Dragon, Damien Halm, Alain Curnier, Jean-Louis Chaboche, Jean-Jacques...