TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVENFaculteit Wiskunde en Informatica

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd en overzichtelijkopgeschreven te worden. Bij ieder onderdeel van een open vraag dient U uw antwoord dusgoed te beargumenteren.

De kort-antwoord vragen staan op een apart vel. Hierop moeten alleen de antwoorden in hetaangegeven kader worden ingevuld. Bij een kort-antwoord vraag is een nadere uitwerkingdus niet nodig. Het vel met kort-antwoord vragen dient U aan het einde van het tentamenin het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert uw naam,identiteitsnummer en studierichting.

Bij dit tentamen mag U alleen gebruik maken van schrijf- en tekengerei, alsmede van eeneenvoudige niet-grafische en niet-programmeerbare rekenmachine. Het gebruik van enig an-der hulpmiddel is niet toegestaan.

Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:

Opgave 1a: 2 punten Opgave 4a: 2 punten Opgave 6: 2 puntenOpgave 1b: 2 punten Opgave 4b: 1 puntOpgave 1c: 2 punten Opgave 4c: 3 punten Opgave 7a: 2 puntenOpgave 1d: 3 punten Opgave 4d: 3 punten Opgave 7b: 2 punten

Opgave 2a: 2 punten Opgave 5a: 2 punten Opgave 8a: 2 puntenOpgave 2b: 2 punten Opgave 5b: 2 punten Opgave 8b: 2 puntenOpgave 2c: 2 punten Opgave 5c: 1 puntOpgave 2d: 2 punten Opgave 5d: 2 punten Opgave 9a: 2 punten

Opgave 5e: 4 punten Opgave 9b: 2 puntenOpgave 3a: 2 puntenOpgave 3b: 3 puntenOpgave 3c: 2 puntenOpgave 3d: 2 punten

Uw tentamenresultaat wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door zes te delen,en af te ronden naar het dichtstbijzijnde gehele getal.

1

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

Open vragen

1. Beschouw in IR3 de punten P = (2, 1, 3)T , Q = (1, 0, 1)T en R = (−1, 2, 2)T . Zij V hetvlak in IR3 door de punten P , Q en R.

(a) Bepaal een parametervoorstelling van het vlak V .

(b) Laat zien dat de vector n = (3, 5,−4)T een normaalvector is van het vlak V .

Zij S = (3, 8, 0)T , en zij ℓ de lijn door het punt S, loodrecht op het vlak V . Zij W hetvlak in IR3, dat zowel de lijn ℓ als het punt P bevat.

(c) Bepaal een parametervoorstelling van het vlak W .

(d) Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken V en W .

2. Gegeven zijn de volgende matrix A en vector b:

A =

1 3 7 −2 6 20 2 6 1 −6 1

−1 2 8 −1 1 −31 1 1 0 0 2

, b =

106

−1812

.

We zijn geınteresseerd in de oplossing van het stelsel Ax = b, en daarom voeren we dematrix A en de vector b in Matlab in, en geven vervolgens het commando rref([A,b]).Dit levert het volgende resultaat

>> rref([A,b])

ans =

1 0 -2 0 1 0 2

0 1 3 0 -1 0 0

0 0 0 1 -4 0 1

0 0 0 0 0 1 5

(a) Geef een basis voor de kolommenruimte van de matrix A.

(b) Geef een basis van N (A), de nulruimte van A.

(c) Bepaal de algemene oplossing van de vergelijking Ax = b.

(d) Is voor iedere vector c ∈ IR6 de vergelijking AT y = c oplosbaar? Motiveer uwantwoord.

zie volgende pagina

2

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

3. In de vectorruimte IR3 zijn de volgende vectoren gegeven:

v1 =

1α

α − 2

, v2 =

0α + 1

α

, v3 =

1α

1

,

met α een reeel getal.

(a) Voor welke waarde(n) van α vormen v1, v2, v3 een basis van IR3? Motiveer uwantwoord.

Zij S de basis van IR3 bestaande uit de vectoren v1, v2, v3 bij de waarde α = 0. Zij T debasis van IR3 bestaande uit de vectoren v1, v2, v3 bij de waarde α = 1. Zij E = {e1, e2, e3}de standaardbasis van IR3, d.w.z.

e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

.

(b) Bepaal de overgangsmatrix PS←E .

(c) Bepaal de overgangsmatrix PS←T .

Van de vector u ∈ IR3 zijn de coordinaten t.o.v. basis T gegeven door [u]T =

123

.

(d) Bepaal de vector u, d.w.z. bepaal de coordinaten van u ten opzichte van de stan-daardbasis.

4. Beschouw in IR4 de verzameling S gegeven door

S = {(x1, x2, x3, x4)T ∈ IR4 | x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0}.

(a) Laat zien dat S een lineaire deelruimte is van IR4.

(b) Bepaal een basis van S.

(c) Bepaal een orthonormale basis van S.

(d) Bepaal de loodrechte projectie van het punt P = (6,−2,−3,−2)T op de deelruimteS.

z.o.z.

3

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

5. Gegeven is de matrix A =

(

−1 −32 −6

)

.

(a) Bepaal alle eigenwaarden van A.

(b) Bepaal bij iedere eigenwaarde van A de bijbehorende eigenvectoren.

(c) Geef de eigenwaarde-decompositie van A, d.w.z. bepaal een diagonaalmatrix Λ eneen inverteerbare matrix P zo dat A = PΛP−1.

(d) Bepaal eAt.

(e) Bepaal de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking

x(t) = Ax(t) + e−t

(

31

)

.

zie volgende pagina

4

DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

Naam en voorletters: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Identiteitsnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Studierichting: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kort-antwoord vragen

6. Gegeven is de matrix A =

2 1 0 03 2 1 00 3 2 10 0 3 2

. Bereken det(A).

Antwoord:

7. Beschouw de 3 × 3 matrix

A =

3 α 3α 2 α

3 α 3

, met α ∈ IR.

(a) Voor welke waarde(n) van α geldt rang(A) = 1?

Antwoord:

(b) Voor welke waarde(n) van α geldt rang(A) = 2?

Antwoord:

8. Zij A1 een reele 5×5 matrix met det(A1) = 4, en zij A2 een 5×3 matrix met rang(A2) =2. Definieer de 5 × 8 matrix A door A = (A1 | A2).

(a) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A.

Antwoord:

(b) Bepaal de rang van AT .

Antwoord:

z.o.z.

5

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 24 april 2009, 9.00 –12.00 uur.

9. Zij A een reele 3 × 3 matrix met eigenwaarden −3, 1, en 4. De matrix B is gedefinieerddoor B = A2 + 2A − 5I.

(a) Geef alle eigenwaarden van B en hun geometrische multipliciteit.

Antwoord:

(b) Bepaal det(B + I).

Antwoord:

6