Tema 2 met depl

LUCRAREA NR.2

S se efectueze un calcul de interaciune teren-structur, lund n studiu

cadrul din figur.

1,5a

2a a

P

q

q

2a

Fig.1. Cadru static nedeterminat

Analiza presupune:

1. Predimensionarea cadrului,

2. Determinarea strii de eforturi din structur, sub aciunea ncrrilor, inclusiv

aflarea reaciunilor din reazeme;

3. Determinarea tasrii terenului de fundare sub aciunea reaciunilor, tasrile

devin cedri de reazeme, pentru cadru;

4. Calculul strii de eforturi din structur sub aciunea cedrilor de reazeme din

etapa anterioar, inclusiv aflarea reaciunilor din reazeme;

5. Continuarea calcului pn cnd dou stri consecutive se ncadreaz n

limitele erorilor relative admisibile (r%

a. b.

Fig. 2. Contururi nchise

ii. Un contur distinct are cel puin o bar care nu a fost cuprins n alte

contururi ale structurii, fig.3.(de exemplu - conturul 3).

1 2 3

Fig.3. Contururi distincte

iii. O articulai presupune o legtur lips, n raport cu continuitatea total, fig.4.

iv. O legtur simpl presupune dou legturi lips, n raport cu continuitatea

total, fig.4.

v. O ntrerupere presupune trei legturi lips, fig.4.

Articulaie, o legtur lips

Legtur simpl, lipsesc dou

legturi

ntrerupere, lipsesc

trei legturi

Continuitate

total

a. b.

c. d.

Fig.4. Legturi ntre elementele unei structuri

Aplicaie structura luat n studiu, fig.5.

Structura are dou contururi, notate pe figur, 1 i 2, deci:

K 2 Conturul numrul 1 are o articulaie n i i deci, o legtur lips. Conturul

numrul 2 are o articulaie n j i deci, o legtur lips. Prin urmare:

s 2 .

Aplicnd relaia de calcul a gradului de nedeterminare static (1) rezult:

GNS 3K s

3 2 2 4

21

i

j

Fig.5. Contururi i legturi lipsa

Prin cel de al doilea mod de calcul se folosete relaia

GNS (l r) 3C , (2)

unde: C reprezint numrul de corpuri (bare, elemente),

3 numrul de ecuaii de echilibru static care se pot scrie pentru un corp,

l numrul de legturi simple interioare (ntre corpurile structurii),

r numrul de legturi simple exterioare (ntre corpuri i reazeme, n

reazeme)

Observaii:

i. O legtur ncastrat ntre dou corpuri presupune trei legturi simple

interioare, fig.6.

I

II

i

Fig.6. Legtur ncastrat ntre dou corpuri (I i II),

notat i, presupune trei legturi simple

ii. O legtur ncastrat ntre mai mult de dou corpuri (bare, elemente),

presupune determinarea numrului de legturi ncastrate, egal cu numrul

barelor ce concur n nod minus o bar, care reprezint reperul fix. Dac

notm cu numrul de ncastrri i cu b numrul de bare (corpuri, elemente)

ce concur n nod, atunci:

b 1 (3)

i, deci numrul de legturi simple este dat de relaia:

l 3 (4)

Exemplu fig.7.

Fig.7. Nod cu patru bare ncastrate

b 4,

4 1 3

l 3 3 9

iii. O legtur articulat ntre mai mult de dou corpuri (bare, elemente),

presupune determinarea numrului de legturi articulate, egal cu numrul

barelor ce concur n nod minus o bar, care reprezint reperul fix. Dac

notm cu a numrul de ncastrri i cu b numrul de bare (corpuri, elemente)

ce concur n nod, atunci:

a b 1 (5)

i, deci numrul de legturi simple este dat de relaia:

l 2 a (6)

Exemplu fig.8.

Fig.8. Nod cu bare articulate

b 4,

a 4 1 3

l 2 3 6

iv. Referitor la legturile exterioare: o ncastrare presupune trei legturi simple,

o articulaie include dou legturi simple, iar un reazem simplu se identific

cu o legtur simpl, fig.9

Reazem

simplu, r=1

Reazem

ncastrat, r=3Reazem

articulat, r=2

Fig.9. Legturi exterioare, cu terenul

2.2. Calculul gradului de nedeterminare cinematico-elastic a structurii,

notat GNCE

Relaia de calcul are forma:

GNCE N GL (7)

Unde: N reprezint numarul de noduri rigide ale structurii,

GL gradul de libertate a structurii, care se determin cu formula:

GL 3 C (l r) (8)

Observaii:

i. Relaia (8) pentru aflarea gradelor de libertate, se aplic pe o structur

obinut din cadrul luat n studio, la care s-a introdus n toate

nodurile rigide i reazemele ncastrate de articulaii, prin suprimare

unor legturi simple;

ii. Notaiile: C, l i r sunt identice cu cele definite la punctual 2.1.

Aplicaie structura luat n studiu, fig.5.

2

1

4 5

6 7

3

Fig.10. Numerotarea nodurilor structurii

Analiznd structura se determin numrul de noduri rigide (nodurile 1, 3, 4 i 5). Deci:

N 4 Structura cu articulaii n nodurile rigide i n reazemul ncastrat este artat

n fig. 11.

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig.11. Structura la care n nodurile rigide i n reazemul ncastrat

sau introdus articulaii

Din studiul fig.11 rezult:

- numrul corpurilor,

- numrul legturilor simple,

- gradele de libertate, relaia (8.9),

C 7,

l 2 6 2 2 18,

GL 3 7 18 3.

n final, pentru determinarea gradului de nedeterminare cinematic-elastic, se

utilizeaz relaia (7.), rezult:

GNCE 4 3 7

2.3. Alegerea metodei de calcul

Rezolvarea structurilor static nedeterminate se poate face prin dou metode

de calcul: metoda forelor i metoda deplasrilor.

2.4. Aplicarea metodei deplasrilor pentru aciuni

i. Numrul i semnificaia necunoscutelor

Numrul necunoscutelor este egal cu gradul de nedeterminare cinematic-

elastic a structurii.

n cazul structurii considerate, numrul necunoscutelor este egal cu 7.

Sistemul de baz, n metoda deplasrilor, fig. 11, se obine prin blocarea

deplasrilor nodurilor: opt deplasri unghiulare i deplasri liniare (mpiedicarea

celor patru noduri s se roteasc i s se produc deplasri liniare n cele trei grade

de libertate). Blocajul de nod este semnificat printr-un ptrat, iar blocajul

corespunztor unui grad de libertate, printr-un reazem simplu. n cadrul sistemului

de baz, barele structurii devin grinzi dublu ncastrate i/sau grinzi ncastrate-simplu

rezemate.

Semnificaia necunoscutelor: rotiri ale nodurilor i deplasri liniare ale

nodurilor, corespunztoare gradelor de libertate, notate - iz

ii. Ecuaii de echilibru

Ecuaiile exprim echilibrul static al nodurilor i al lanurilor cinematice.

Forma general a sistemului de ecuaii de echilibru este urmtoarea:

ij j ipr z R 0 , (9)

n care: ijr este matricea coeficienilor,

jz - vectorul necunoscutelor,

ipR - vectorul termenilor liberi.

Sistem de

baz

1z 2z

3z 4z5z

6z

7z

Fig.11. Sistem de baz i necunoscute - deplasri distincte

n cazul structurii luate n studiu, sistemul de ecuaii are forma:

11 12 13 14 15 16 17 1

21 22 23 24 25 26 27 1

31 32 33 34 25 36 37 1

41 42 43 44 45 46 47 4

51 41 53 54 55 56 57 5

61 62 63 64 65 66 67 1

71 72 73 74 75 76 77 7

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

1p

2p

3p

4p

5p

6p

7p

R0

R0

R 0

R 0

0R

0R

0R ,

unde: 11 47r r reprezint reaciunile moment din blocajele de nod, determinate pe

sistemul de baz, corespunztor metodei deplasrilor, pentru rotiri de noduri, 1 4z z

fig.11;

51 77r r - reaciunile din blocajele grade de libertate, pentru deplasri liniare

corespunztoare, 5 7z -z . iii. Calculul coeficienilor

Deformatele sistemului de baz, desenate pentru deplasri unghiulare (rotiri),

egale cu unitatea, ale nodurilor, sunt prezentate n fig. 12, 29, 29, 33. Pe fiecare

deformat, n extremitile barelor sunt figurate momentele ncovoietoare produse de

rotirile nodurilor, iz . Echilibrul static, al fiecrui nod, se exprim ntre momentele

din extremitile barelor ce concur n noduri i reaciunea - moment, care apare prin

suprimarea blocajului de nod.

Deformata sistemului

de baza pentru

1z 1

21r11r

16 16t k

211

34

6 7

5

15k

13k

13 13t k

31r 41r

51r

61r

71r16k

Fig.12. Deformata sistemului de baz pentru rotirea 1z 1

Se determin coeficienii: 11 41r r .

Exprimm echilibrul celor patru noduri, notate - 1, 2, 3 i 4, conform fig. 12:

11 111

r r

( i ) reprezint rigiditatea la rotire a barei dublu ncastrate,

se determin cu relaia - =4EI/L,

13 15 16

ij 13 16

ij

ij

M 0; k k k 0 ;

unde : k k k

k

k ( ) reprezint rigiditatea la rotire a barei ncastrate - simplu rezemat,


EI - reprezint modului de rigiditate al seciunii transversa

15

ij

k

k

le la solicitarea

de ncovoiere,

L - lungimea barei.

21

2

rM 0; 0;

31 313

r r

reprezint factorul de transmitere a momentului ncovoietor din captul j

al barei ctre captul i (la bara cu momentul de inerie, I = consta

13 13

ij

M 0; t k 0;

unde : t

nt, este egal cu 0,5).

41

4

rM 0; 0;

n continuare, se determin coeficienii: 51 61 71r , r i r .

n cazul deplasrilor liniare, produse pe direcia gradelor de libertate, este

necesar s se efectueze, initial, analize cinematice pentru determinare centrelor

instantanee i relative de rotaie i s se traseze digrame de deplasri, pentru a se

msura rotirile barelor structurii.

Pentru calculul coeficientului 51r , se consider structura din fig. 11 la care

s-au blocat deplasrile liniare pe direcia gradelor de libertate, notate 6 i 7, rmne

liber deplasarea liniar dup direcia orizontal.

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig.13. Model pentru calculul coeficientului 51r

Pentru trasarea diagramele de deplasare, corespunztoare modelului din fig.

13, n raport cu dou linii de referint, se efectueaz, mai nti, o analiza cinematic.

Analiza cinematic const n determinarea centrelor instantanee de rotire i a

centrelor relative de rotire. Pentru aceasta, se folosesc teoremele coliniaritii i

unele informaii principiale. Analiza cinematic i diagramele de deplasare sunt

prezentate n fig.14.

Obs.:

1. Sistemele cu grade de libertate sunt alctuite din mai multe corpuri (bare)

rigide.

2. Deplasarea infinit mic a unui corp, n plan, poate fi considerate ca o

rotire n jurul unui anumit punct din plan, numit centru instantaneu.

3. Deplasrile diferitelor punct sunt normale pe razele duse de la centrul

instantaneu la punctual respective.

4. Poziia unui centru instantaneu se poate gsi cunoscnd direciile

deplasrilor pentru dou puncte ale corpului rigid; el se gsete la

intersecia normalelor duse pe direciile acestor deplasri, n punctele

respective.

5. Considernd dou corpuri rigide din sistem, deplasarea lor relative se

produce n jurul unui centru relativ de rotire.

6. Teoremele coliniaritii:

a. Pentru dou corpuri rigide ale sistemului, centrele instantanee de

rotire i centru lor relative de rotire, sunt coliniare,

b. Pentru trei corpuri rigide ale sistemului, considerate dou cte

dou, central lor relative de rotire sunt coliniare.

V, VII

VI

VII

I

7T

6T

7T

15,6

5T

6,7

5

V5

VII

6,7

5,6

II III

IV

V

DD2211

3 4

67

Fig. 14. Sistem pentru calculul centrelor de rotire

i trasarea diagramei de deplasare

Analiza cinematic a sistemului desenat n fig.14: corpurile I, II, III i IV

constituie un sistem fix n plan, se deplaseaz numai corpurile V, VI i VII. Centrele

instantanee de rotire ale barelor rigide V i VII sunt n articulaiile 1 i 2, notate 5T

i 7T, centrele relative de rotire se gsesc n articulaiile comune dintre bare

(punctele 3 i 4), notate 5,6 i 6,7. Centrul instantaneu de rotire al corpului VI se

gsete la interseciile direciilor formate prin unirea centrelor: 5T i 5,6 i respectiv:

7T i 6,7. Rezult c centrul se gsete la infinit pe direcie vertical, corpul se

deplaseaz, prin urmare, pe direcie orizontal.

n continuare, se consider o linie de referin vertical. n raport cu aceast

linie, se traseaz diagrama de deplasare. Centrele instantanee de rotire se gsesc pe

linia pe referint, prin coborrea de perpendiculare, din centrele instantanee de

rotire, pe linia de referin. Pe direcia gradului de libertate (orizontal), din nodul 4

se produce o deplasare egal cu unitatea, corpurile V i VII se rotesc n jurul

centrelor instantanee de rotire, cu rotirile - 5V i 5

VII . Diagrama de deplasare este

trasat n raport cu linia de referin considerat i este notat DD2.

Deplasata sistemului pentru gradul de libertate considerat este desenat n

fig. 15.

1

2

11

3 4

67

5

5

V

VI

VIIV

I

II III

IV

5

VII

Fig.15. Deplasata sistemului pentru primul grad de libertate (notat 5)

Reaciunea din blocajul grad de libertate pentru rotirea nodului 1,

reprezentnd coeficientul r51, se determin aplicnd principiul lucrului mecanic

virtual. Se ncarc deplasata sistemului, trasat pentru gradul de libertate, notat 5, cu

momentele din extremitile barelor, conform deformatei prezentate n fig.12.

Situaia de ncrcare este prezentat n fig. 16.

Momentele spre bar i reaciunea r51, parcurgnd deplasrile virtuale conduc

la un lucru mecanic egal cu zero, deoarece deformata sistemului, pentru rotirea z1=0,

se gsea n echilibru, prin urmare:

55 13 13 13 V 51 51LMV 0; (k t k ) r 1 0 r Pentru calculul coeficientul r61 este necesar s eliberm blocajul grad de

libertate, notat 6 i pe sistemul cu barele rigide, din fig. 17, s efectum o analiz

cinematic i s trasm diagramele de deplasari.

1Deplasata sistemului

acionat de momentele spre bar

din deformata

5z 1

51r

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

13 13t k

13k

Fig.16. Deplasata sistemului pentru calculul coeficientului r51

VII

VI VIII

II III

I IV


Centrele instananee i relative de rotire i diagramele de deplasri sunt

prezentate n fig.18.

Se determin centrele instantanee ale corpurilor I i IV. Acestea se gsesc n

articulaii 1 i 7., i centrele relative de rotire, care se afl n articulaiile dintre

corpuri. Centrul 3T se gsete la intersecia liniei care unete centreler 4T i 3,4

(comun este punctual 4) i direcia reazemului simplu din nodul 5. Centrul 7T se

afl la intersecia liniei care unete centrele 3,7 i 3T i direcia reazemului simplu

din nodul 4.

Diagrama de deplasare, n raport cu o linie de referin vertical se traseaz

prima, deoarece se produce pe direcia blocajului grad de libertate suprimat (notat

6) o deplasare egal cu unitatea, iar rotirile corpurile corpurilor I i IV se determin

direct: 6 6

I IV I1/h ,

unde h1 reprezint lungimea corpului I.

V, VII

DD2

4,7

1,5

I, IVI

II III

VI

VIIV

90 o

6T 7T

1

3T6T 4T

VIIII

IV

6

VI

6

III

6

IV1

2

4T

1

1/2

IV

6

V

6

VII

6

I

6

IV

1T

4T

1,2

1,5

2,5

3,4

3,7

4,7

5,6 6,7

3T

5,T7,T

6,T

DD1

5,T

2

11

34

6 7

5

3,4


i trasarea diagramelor de deplasari

Pe corpurile I i IV, rotite n diagrama de deplasare se gsesc i centrele

relative de rotire 1,5 i 4.7. Cum centrele instantanee de rotire 5T i 7T se gsesc

pe linia de referin, prin unire cu centrele relative 1,5 i 4,7 se traseaz barele

(corpurile) V i VII, rotite n diagrama de deplasare.

Diagrama de deplasare trasat n raport cu linia de referin orizontal se

obine prin trasarea corpului IV, pentru care se cunoate centrul instantaneu de

rotire, 4T, care este proiectat pe linia de referin i, deasemene este perpendiculat

pe coepul IV desenat n diagrama de deplasare trasat n raport cu lina de referi

vertical. Analiza continua lund n considerare centrele instantanee i relatve de

rotire.

Din considerente geometrice se determin deplasrile liniare i rotirile

corpurilor. Acestea sunt nominalizate pe diagrame.

Deplasata sistemului pentru cel de al doilea grad de libertate (notat 6) este

prezenzat n fig.19.

11

I

II

III

VI

VIIV

IV

6

IV1

1/23

2

4

67

5

6

III

6

VI

6

VII

6

I

6

V

Fig.19. Deplasata sistemului pentru cel de al doilea grad de libertate (notat 6)

Reaciunea din blocajul grad de libertate pentru rotirea nodului 1,

reprezentnd coeficientul r61, se determin aplicnd principiul lucrului mecanic

virtual. Se ncarc deplasata sistemului, trasat pentru gradul de libertate, notat 6, cu

momentele din extremitile barelor, conform deformatei prezentate n fig.12.

Situaia de ncrcare este prezentat n fig. 20.

11

I

II

III

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

67

561r

16 16t k

13k

13 13t k

16k

6

V

6

I6

IV

6

III





6 66 13 13 13 I 16 16 16 I 61 61LMV 0; (k t k ) (k t k ) r 1 0 r Conform procedurii expuse anterior se calculeaz i coeficientul r71.

VII

VI VIII

II III

I IV


II III

2T

3T

7

II

1

2T 3T

2,3

DD1

I

V

VI

VI

I

IV

7

III Fig. 22. Sistem pentru calculul centrelor de rotire


II III

7

II

7

III

2

11

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

15

Fig.23. Deplasata sistemului pentru cel de al trilea grad de libertate (notat 7)

II III

2

11

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

71r

15k7

III7

II





77 15 II 71 71LMV 0; k r 1 0 r Se determin coeficienii: 12 42r r

.


121

rM 0; 0;

22 222

r r

( ) reprezint rigiditatea la rotire a barei dublu ncastrate,


(

25 27 24

ij 24

ij

ij 25

M 0; k k k 0 ;

unde : k k

k

k k i ) reprezint rigiditatea la rotire a barei ncastrate - simplu

rezemat, se determin cu relaia - =3EI/L,

EI - reprezint modului de rigiditate al seciunii transvers

27

ij

k

k

ale la solicitarea

de ncovoiere,

L - lungimea barei.

32

3

r M 0; 0;

42 424

r r

reprezint factorul de transmitere a momentului ncovoietor din captul j

al barei ctre captul i (la bara cu momentul de inerie, I = consta

24 24

ij

M 0; t k 0;

unde : t

nt, este egal cu 0,5).


de baza pentru

2z 1

22r

12r

211

34

6 7

5 52k24k

24 24t k

32r 42r52r

62r

72r27k

Fig.25. Deformata sistemului de baz pentru rotirea

2z 1 n continuare, se determin coeficienii: 52 62 72r , r i r .

Deplasatele din fig. 15, 19 i 23 se ncarc succesiv cu momentele spre bare

din deformata sistemului de baz pentru z2 = 1 i prin utilizarea lucrului mecanic

virtual se obin coeficienii 52 62 72r , r i r .

1

Deplasata sistemului


din deformata

2z 1

52r

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

24 24t k

24k


55 24 24 24 VII 52 52LMV 0; (k t k ) r 1 0 r

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

67

562r

6

V

6

I6

IV

6

III

52k

24k

24 24t k

27k

Fig.27. Deplasata sistemului pentru calculul

coeficientului r62 - 6 66 24 24 24 VII 27 IV 62 62LMV 0; (k t k ) (k ) r 1 0 r

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

72r

7

III7

II

52k


- 77 25 III 72 72LMV 0; k r 1 0 r Se determin coeficienii: 13 43r r

.



de baza pentru

3z 1

23r13r

13 31t k

211

3

4

6 7

5

31k

33r43r

53r

63r

73r

34k34 34t k

Fig.29. Deformata sistemului de baz pentru rotirea

3z 1

13 131

r r13 31M 0; t k 0;

232

r M 0; 0

33 33

3

r r34 31M 0; k k 0;

43 434

r r34 34M 0; t k 0;

n continuare, se determin coeficienii: 53 63 73r , r i r .


din deformata sistemului de baz pentru z3 = 1 i prin exprimarea echilibrului prin

lucrului mecanic virtual se obin coeficienii 53 63 73r , r i r .

1



din deformata

5z 1

53r

2

11

3

4

67

513 31t k

31k

5

VII

5

V


55 31 13 31 V 53 53LMV 0; (k t k ) r 1 0 r

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

6

VI

6

III

6

IV6

I

6

VII

1

1/23

2

4

67

5

31k

63r

34k

6

V

34 34t k

13 31t k


- 6 66 31 13 31 V 34 34 34 IV 63 63LMV 0; (k t k ) (k t k ) r 1 0 r

II III

7

II

2

11

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

73r

7

III


7 73LMV 0; r 0




de baza pentru

4z 1

24r14r 24 42

t k

211

3 4

6 7

5

42k

34r44r

54r

64r

74r

43k34 43t k


141

r M 0; 0;

34 342

r r34 43M 0; t k 0

34 34

3

r r43 42M 0; k k 0;

24 244

r r24 24M 0; t k 0;



virtual se obin coeficienii 54 64 74r , r i r .

1Deplasata sistemului


din deformata

5z 1

54r

2

11

3

4

67

5 24 42t k

42k

5

VII

5

V


55 42 24 42 V 54 54LMV 0; (k t k ) r 1 0 r

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

6

VI

6

III

6

IV

6

I

6

VII

1

1/23

2

4

67

5

24 42t k

42k

64r

43k34 43t k

6

V


- 6 66 43 34 43 VI 42 24 42 VII 64 64LMV 0; (k t k ) (k t k ) r 1 0 r

II III

7

II

2

11

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

74r

7

III


7 74LMV 0; r 0


Conform reprezentrii grafice din fig.15, semnificnd deplasata sistemului cu

nodurile articulate, reazemul ncastrat articulat i primul grad de libertate (notat 5)

eliberat, s-a trasat deformata sistemului de baz, desenat n fig. 37.

1


de baza pentru

deplasare

5z 1

25r15r

13k

35r 45r55r

65r

13k

2

11

3

4

67

5

24k

24k

75r



15 151

2

r r

( ) reprezint rigiditatea la deplasare a barei dublu ncastrate,

se determin cu relaia: =6EI/L ,

EI - reprezint

13

13ij

ij

M 0; k 0 ;

unde : k k

k

modului de rigiditate al seciunii transversale la solicitarea

de ncovoiere,

L - lungimea barei.

25 252

2

r r

( ) reprezint rigiditatea la deplasare a barei dublu ncastrate,

se determin cu relaia: =6EI/L ,

EI - reprezint

24

24ij

ij

M 0; k 0 ;

unde : k k

k

modului de rigiditate al seciunii transversale la solicitarea

de ncovoiere,

L - lungimea barei.

35 353

r r13M 0; k 0 ;

45 454

r r24M 0; k 0 ;

n continuare, se determin urmtorii coeficienii: 55 65 75r , r i r .



virtual se obin coeficienii 55 65 75r , r i r . Rezult sistemele din fig. 38, 39 i 40.

- 5 513 13 24 245 V VII 55 55LMV 0; (k k ) (k k ) r 1 0 r

6 613 13 24 246 V VII 65 65LMV 0; (k k ) (k k ) r 1 0 r

7 75LMV 0; r 0

155r

2

11

3

4

67

5

5

VII

5

V

13k

13k

24k

24k


11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

6

VI

6

III

6

IV

6

I

6

VII

1

1/23

2

4

67

5 65r

6

V

13k

13k

24k

24k


II III

7

II

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

75r

7

III




nodurile articulate, reazemul ncastrat articulat i cel de al doilea grad de libertate

(notat 6) eliberat, s-a trasat deformata sistemului de baz, desenat n fig. 41.

1

1/2


de baza pentru

6z 1

26r16r

27k

13k

36r 51r

66r

76r

16k

13k

211

3 4

67

5

25k

24k

24k

34k34k

16k

46r

Fig.41. Deformata sistemului de baz pentru deplasarea liniar

6z 1


16 161

r r13 16M 0; k k 0 ;

26 262

r r24 27 25M 0; k k k 0 ;

36 363

r r34 13M 0; k k 0 ;

46 464

r r34 24M 0; k k 0 ;





156r

2

11

3

4

67

5

5

VII

5

V

13k

13k

24k

24k


11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

6

VI

6

III

6

IV

6

I

6

VII

1

1/23

2

4

67

5 66r

6

V

27k

13k

16k

13k 25k

24k

24k

34k34k

16k


11II III

7

II

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III 25k

76r


- 5 513 13 24 245 V VII 56 56LMV 0; (k k ) (k k ) r 1 0 r

6 6 6 634 34 13 13 24 24 256 VI V VII III

6 616 16 27VI IV 66 66

LMV 0; (k k ) (k k ) (k k ) k

(k k ) k r 1 0 r

7257 III 76 76LMV 0; k r 0 r



nodurile articulate, reazemul ncastrat articulat i cel de al treilea grad de libertate

(notat 7) eliberat, s-a trasat deformata sistemului de baz, desenat n fig. 45.

1

27r17r

2

11

34

5

15k

37r 47r

57r

67r

77r

25k


de baza pentru

7z 1

Fig.44. Deformata sistemului de baz pentru deplasarea

7z 1 Exprimm echilibrul celor patru noduri, notate - 1, 2, 3 i 4, conform fig. 44:

17 171

r r15M 0; k 0 ;

27 272

r r25M 0; k 0 ;

373

r M 0; 0 ;

474

r M 0; 0 ;





157r

2

11

3

4

67

5

5

VII

5

V


11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

6

VI

6

III

6

IV

6

I

6

VII

1

1/23

2

4

67

5 67r

6

V

25k


II III

7

II

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

77r

7

III15k 25k


5 57LMV 0; r 0

6256 III 67 67LMV 0; k r 1 0 r

7 715 257 II III 77 77LMV 0; k k r 1 0 r

iv. Calculul termenilor liberi: 1pR

, 2pR

, 3pR

, 4pR

Pentru calculul termenilor liberi: 1pR , 2pR , 3pR , 4pR se ncarc sistemul de baz

cu aciunile exterioare i funcie de defprmata sistemului, fig.49, se figureaz

momentele de ncrcare perfecta. Prin exprimarea echilibrului static al nodurilor se

determin termenii liberi.

1p 1p1

R R p15M 0; M 0 ;

2p 2p2

R R p25M 0; M 0 ;

3p 3p3

R R p34M 0; M 0 ;

4p 4p4

R R p43M 0; M 0 ;

2pR1pR

3pR4pR

5pR

6pR

2

11

3

6 7

5

7pR

pM15

4


de baza

q

q

pM25

pM34

pM43

produs de aciuni

P

Fig.49. Deformata sistemului de baz sub ncrcri

Calculul termenilor liberi: 5pR , 6pR , 7pR


din deformata sistemului de baz pentru z7 = 1. Rezult sistemele din fig. 50, 51 i

51 i prin utilizarea lucrului mecanic virtual se obin termenii liberi 5pR , 6pR , 7pR .

1

211

3

4

67

5

5

V5

VII

5pR

P



din deformata

produs de aciuni

Fig.50. Deplasata sistemului pentru calculul termenului liber 5pR

611

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

III

6pR



din deformata

produs de aciuni

pM25

pM34

pM43

P

2aq1/4

aq

1/4


11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

1

7

III

7

II

7pR

pM15

pM25

Paq

1/2 1/2



din deformata

produs de aciuni


R 5 5pLMV 0; 0

p p p

34 43 25 (M M M 6 66 VI III 6P 6P

1 1LMV 0; ) 2aq aq P 1 R 1 0 R

4 4

p p

15 25 -M M 7 76 II III 7P 7P

1 1LMV 0; aq aq R 1 0 R

2 2

unde: a=L/2,

L reprezint jumtate di lungimea barei 3,4 sau lungimea barei 1,5 sau

a barei 2,5.

v. Calculul necunoscutelor

jz

Dup ce s-au calculate coeficienii i termenii liberi ai ecuaiei matriceale

(9), se rezolvnd sistemul de ecuaii de echilibrul static i se afl valorile

necunoscutelor jz . Cu aceste necunoscute se traseaz diagrama final de momente

novoietoare.

Pentru aceasta, se nmulesc diagramele de momente din fig. 12, 25, 29, 33,

37, 41 i 45, cu necunoscutele jz i prin sumare ntre ele i cu diagrama din fig. 49

se obine diagram final de moment.

Un moment novoietor dintr-o seciune, n diagrama final, se determin cu

relaia:

=

f 1 2 3 4 5

ij ij 1 ij 2 ij 3 ij 4 ij 5

6 7 p

ij 6 ij 7 ij p

M M z M z M z M z M z

M z M z M z

Unde: e

ijM reprezint momentul dintr-o seciune a barei ij msurat n diagrama

produs de aciunea ze asupra sistemului de baz,

p

ijM reprezint momentul dintr-o seciune a barei ij msurat n diagrama

produs de aciunile exterioare asupra sistemului de baz.

vi. Calculul reaciunilor

Dup trasarea diagramelor final de momente ncovoietor se determin

reaciunile din cele dou reazeme, notate 6 i 7.

Reaciunea moment din reazemul ncastrat, notat 6, este egal cu momentul

ncovoietor din extremitatea 6, a barei 16.

Reaciunile fore din reazemele 6 i 7, notate V6 i H6, respectiv V7 i H7, se

determin folosind principiul lucrului mecanic virtual.

Pentru aceasta, se consider cadrul cu nodurile rigide i reazemul ncastrat

articulate, iar n reazemul n care dorim s calculm reaciunea, se suprim legtura

corespunztoare, care este nlocuit cu reaciunea specific. Sistemul astfel obinut

se ncarc cu momentele din extremirile barelor, corespunztoare diagramei finale.

Sistemului i se aplic o deplasare virtual compatibil cu legturile, iar echilibrul

staic se exprim printr-o ecuaie de lucru mechanic virtual, n care necunoscuta este

reaciunea pe care o determin. Prin rezolvarea ecuaiei, se afl valoarea reaciunii.

n fig. 53, 54, 55 i 56 sunt desenate sistemele pentru calculul reaciunilor, n fig. 57,

58, 59 i 60 sunt efectuate analizele cinamatice i trasate diagramele de deplasri

necesare construirii deplasatelor sistemelor, iar n fig. 61, 62, 63 i 64 sunt

prezentate deplasatele celor patru sisteme, care vor fi acionate de momentele

ncovoietoare din diagramele finale, pentru determinarea reaciunilor: V6 i H6,

respectiv V7 i H7.

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig. 53. Sistem pentru calculul reaciunii V6

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig. 54. Sistem pentru calculul reaciunii H6

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig. 55. Sistem pentru calculul reaciunii V7

VII

VI VIII

II III

I IV

Fig. 56. Sistem pentru calculul reaciunii H7

DD1

I

II

VI

V

1,5

5,6

2,5

1,2

VI

6T

II

VI

2T

2T 6T

1T

5T

1

1

II



u6

I

I

1T

DD2

I

1T

1



2,5

IIIIV

6TVI

1T

VI III3T

1

I

II III

IV

VI

VIIV

2,3 3,7

4,7

1,5

5,65T

1,2

3,4

6,7

3T

6T

4T

2,5



7T

III

IV

VI

VII

3,7

4,7

3,4

6,7

3T

6T

4T

1

IV

IV

1

IIIIV

1/2

6TVI

VI III3T IV

Fig. 60. Sistem pentru calculul centrelor de rotire i trasarea diagramelor de deplasari

I

II

VI

V

1

1

1

VI

II

Fig.61. Deplasata sistemului pentru calculul reaciunii V6

I

1

I

Fig.62. Deplasata sistemului pentru calculul reaciunii H6

I

II

III

IV

VI

VIIV

VI

III

1

1

1

Fig.63. Deplasata sistemului pentru calculul reaciunii V7

III

IV

VI

1

I

II

V

VI

III

IV

1/2

1/2

Fig.64. Deplasata sistemului pentru calculul reaciunii H7

vii. Calculul cedrilor de reazeme

Terenul de fundare sub aciunea reaciunilor se va deforma punnd n

eviden cedri de reazeme. Terenul de fundare se va modela prin intermediul

coeficienilor elastici. Coeficienii elastici ai terenului de fundare sunt:

Cz coeficient elastic pentru translaie vertical,

Cx - coeficient elastic pentru translaie orizontal,

C

- coeficient elastic pentru rotaie n jurul unei axe orizontale.

ntre aceti coeficieni s-au determinat urmtoarele relaii de legtur:

x z

z

C 0.7C

C 2C (10)

Coeficienii de rigiditate ai terenului de fundare se determin cu relaiile:

z z f

x x f

y

K C A

K C A

K C I (11)

unde: Af reprezint aria suprafeei fundaiei,

If - momentul de inerie al suprafeei fundaiei n raport cu o ax

orizontal de rotaie.

S-au stabilit, ntre reaciuni i coeficienii de rigiditi, urmtoarele expresii

de calcul:

z

x

V K v

H K u

M K

,

(12)

unde: v reprezint tasarea terenului de fundare pe direcia axei OZ(vertical),

u deplasarea fundaiei (terenului) pe direcia orizontal.

- rotirea fundaiei sub aciunea reaciunii din reazem.

Pentru calculul interaciunii dintre structur i terenul de findare urmtoarele

valori numerice pentru coeficienii elastici ai terenului, incluse n tabelul urmtor.

Categoria

terenului Felul terenului

Cz

daN/cm3

I Terenuri slabe (argil n stare plastic, pmnt nisipos)

pn la 3

II Terenuri de rezisten mijlocie (argil la limita de plasticitate, nisipuri)

pn la 6

III Terenui rezistente (argil tare, nisip cu pietri, loess, argil cu loess)

pn la 10

IV Terenuri stncoase peste la 10

Cunoscnd coeficienii de rigiditate i reaciunile, cu ajutorul relaiilor (12)

se calculeaz cedrile de reazem:

u

u

6 6 66 6 6

z x

7 77 7

z x

V H Mv , ,

K K K

V Hv , ,

K K (13)

2.5.Aplicarea metodei deplasrilor pentru cedri de reazeme

i. Ecuaii de echilibru

Ecuaiile exprim echilibrul static al nodurilor i al lanurilor cinematice.

Forma general a sistemului de ecuaii de echilibru este urmtoarea:

ij j icr z R 0 , (9)

n care: ijr este matricea coeficienilor,

jz - vectorul necunoscutelor,

icR - vectorul termenilor liberi.

Sistem de

baz

1z 2z

3z 4z5z

6z

7z

Fig.65. Sistem de baz i necunoscute - deplasri distincte

n cazul structurii luate n studiu, sistemul de ecuaii are forma:

11 12 13 14 15 16 17 1

21 22 23 24 25 26 27 1

31 32 33 34 25 36 37 1

41 42 43 44 45 46 47 4

51 41 53 54 55 56 57 5

61 62 63 64 65 66 67 1

71 72 73 74 75 76 77 7

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

r r r r r r r z

1c

2c

3c

4c

5c

6c

7c

R 0

R 0

R 0

R 0

R 0

R 0

R 0,

unde: 11 47r r reprezint reaciunile moment din blocajele de nod, determinate pe

sistemul de baz, corespunztor metodei deplasrilor, pentru rotiri de noduri, 1 4z z

fig.11; 51 77r r - reaciunile din blocajele grade de libertate, pentru deplasri liniare

corespunztoare, 5 7z -z . ii. Calculul coeficienilor

Coeficienii sunt identici cu cei calculai n cazul aciunilor. iii. Calculul termenilor liberi

Pentru calculul termenilor liberi, se acioneaz sistemul de baz cu cedarea

de reazem, care se produce ntr-un reazem, se deseneaz deformata i se calculeaz

momentele ncovoietoare rezultante. n unele cazuri momentele de ncastrare

perfecta pot fi determinate direct, ca n situaia cedrii de reazem 6 , fig. 66.


de baza pentru

cedarea pe vertical a reazemului 6,

2

11

6 7

5

cM61

6

5cR3

cM16

6

1cR

6

4cR

6

6cR

6

2cR

6

3cR

6

7cR

6

6

Fig.66. Deformata sistemului de baz

Momentelec

M61 ic

M61 se calculeaz cu relaiile:

i c c61 6 16 64EI 2EI

M ML L


din deformata sistemului de baz pentru cedarea de reazem 6 . Rezult sistemele

din fig. 67, 68 i 69 i prin utilizarea lucrului mecanic virtual se obin termenii

liberi: 6

5cR , 6

6cR , 6

7cR . Ceilali termini liberi se determin prin exprimarea echilibrului

static al nodurilor.

1



din deformata

produs de

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

6

5cR

6

Fig.67

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

IIIcM16

cM61



din deformata

produs de

6

6cR

6

FIG.68

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III7

II

52k



din deformata

produs de

6

7cR

6

Fig.69

Pentru celelalte cedri de reazem se folosesc sistemele din fig. 53, 54, 55, i

56, cu analizele cinematice pretentate n fig. 57, 58, 59 i 60. Deplasatele sistemelor,

conform deplasrilor msurate n deplasrile de deplasri, sunt prezentate n fig. 61,

62, 63 i 64.

n cazul cedrii de reazem v6, deformata sistemului de baz este desenat n

fig. 70.

Momentelec

M34 ic

M43 i c

M15 se calculeaz cu relaiele:

i c c c34 43 6 15 62 26EI 3EI

M M v M vL (L / 2)


din deformata sistemului de baz pentru cedarea de reazem

v6 . Rezult sistemele

din fig. 71, 72 i 73 i prin utilizarea lucrului mecanic virtual se obin termenii

liberi: 6

5cR , 6

6cR , 6

7cR .

Ceilali termini liberi 6 6 6 6

4c1c 2c 3cR , R ,R ,R se determin prin exprimarea

echilibrului static al nodurilor.

v6


de baza pentru

cedarea pe vertical a reazemului 6, v6

2

11

67

5

15c

M

6v

5cR3

34c

M43c

M

6v

1cR

6v

4cR

6v

6cR

6v

2cR

6v

3cR

6v

7cR

v6

v6

Fig. 70

1



din deformata

produs de

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

6

5cR

6

Fig. 71

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

IIIcM16

cM61



din deformata

produs de

6

6cR

6

Fig. 71

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III7

II

52k



din deformata

produs de

6

7cR

6

Fig. 72

n cazul cedrii de reazem u6, deformata sistemului de baz este desenat n

fig. 73.

Momentelec

M61 ic

M61 se calculeaz cu relaia:

c c61 16 626EI

M M uL



v6 . Rezult

sistemele din fig. 74, 75 i 76 i prin utilizarea lucrului mecanic virtual se obin

termenii liberi: 6

u5cR ,

6u6cR ,

6u7cR . Ceilali termini liberi

6 6 6 6u u u u

4c1c 2c 3cR , R ,R ,R se determin

prin exprimarea echilibrului static al nodurilor.


de baza pentru

cedarea pe orizontal a reazemului 6, u6

2cR

6u

5cR

2

11

3

4

67

5

cM61

cM16

u6

6u

7cR

6u

6cR

6u

1cR

6u

3cR6u

4cR

Fig.73

1



din deformata

produs de u6

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

6u

5cR

Fig.74

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

IIIcM16

cM61



din deformata

produs de u6

6u

6cR

Fig.75

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III7

II

52k



din deformata

produs de u6

6u

7cR

Fig.76

n cazul cedrii de reazem v7, deformata sistemului de baz este desenat n

fig. 77.

Momentelec

M34 ,c

M43 i c

M25 se calculeaz cu relaia:

i c c c34 43 7 25 72 26EI 3EI

M M v M vL (L / 2)



v6 . Rezult


termenii liberi: 7

v5cR ,

7v6cR ,

7v7cR . Ceilali termini liberi

7 7 7 7v v v v




de baza pentru

cedarea reazemului

7 pe vertical,

7v

6cR

2

11

3

4

67

5

7cR

34c

M43c

M

25c

M

v7

v7

v7

v7

7v

6cR

7v

4cR7v

3cR

7v

1cR7v

2cR

Fig.77.

1



din deformata

produs de

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

7v

5cR

v7

Fig.78.

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

III



din deformata

produs de

7v

6cR

34c

M 43c

M

25c

M

v7

Fig.79.

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III7

II



din deformata

produs de

25c

M

7v

7cR

v7

n cazul cedrii de reazem u7, deformata sistemului de baz este desenat n

fig. 81.

Momentelec

M34 ,c

M43 , c

M25 i

cM57

se calculeaz cu relaia:

, i c c c c7 734 43 25 57 72 2 257

u u6EI 3EI 3EIM M M M u

2 2L (L / 2) L



u7. Rezult


termenii liberi: 7

u5cR ,

7u6cR ,

7u7cR . Ceilali termini liberi

7 7 7 7u u u u




de baza pentru

cedarea pe vertical a reazemului 7, u

6u

3cR

2

11

3

4

67

5

34c

M43c

M

25c

M

u7/2

cM57

6u

4cR

6u

5cR

6u

6cR6u

7cR

6u

1cR6u

2cR

u7/2

u7

Fig.81.

1



din deformata

produs de

2

11

3

4

67

5

5

V5

VII

7u

5cR

u7

Fig.82.

11

I

IIIII

VI

VIIV

IV

VI

6

VII

1

1/23

2

4

7

5

6

VII

6

I6

IV

6

III



din deformata

produs de

7u

6cR

34c

M 43c

M

25c

M

cM57

u7

Fig.83.

11

II III

2

3 4

V

VI

VII

IIV

6 7

17

III7

II



din deformata

produs de

25c

M

7u

7cR

u7

Fig.84.

iv. Calculul necunoscutelor

jz

Dup ce s-au calculate coeficienii i termenii liberi ai ecuaiei matriceale

(10), se rezolvnd sistemul de ecuaii de echilibrul static i se afl valorile

necunoscutelor jz . Cu aceste necunoscute se traseaz diagrama final de momente

novoietoare.

v. Calculul reaciunilor

Dup trasarea diagramelor final de momente ncovoietor se determin

reaciunile din cele dou reazeme, notate 6 i 7.

vi. Calculul cedrilor de reazeme

Terenul de fundare sub aciunea reaciunilor se va deforma punnd n

eviden cedri de reazeme. Terenul de fundare se va modela prin intermediul

coeficienilor elastici.

Obs.:

1. Calculul la cedri de reareme continu pn cnd dou cedri

succesive sunt n limita erorii admisibile.

2. Diagrama final de moment ncovoietor se obine prin sumarea

diagramei din aciuni i a diagramelor din cedri de reazeme.

Tema 2 met depl

Documents

Transcript of Tema 2 met depl