Telproblemen overzichtelijk weergeven

44
Telproblemen overzichtelijk weergeven boomdiagram wegendiagram rooster maken alle mogelijkheden systematisch uit schrijven 1.1

description

Telproblemen overzichtelijk weergeven. boomdiagram wegendiagram rooster maken alle mogelijkheden systematisch uit schrijven. 1.1. Boomdiagram. Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´ experiment ´. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Telproblemen overzichtelijk weergeven

Page 1: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Telproblemen overzichtelijk weergevenboomdiagramwegendiagramrooster makenalle mogelijkheden systematisch uit schrijven

1.1

Page 2: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Boomdiagram

Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´.

We voeren het volgende experiment uit:

Het bestellen van een menu.

Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 desserts.

Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen?

Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.

Page 3: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Het boomdiagram

Wat kies je eerst?

Welke keuzes heb je?

Wat kies je vervolgens?

Wat kies je nu?

Welke keuzes heb je nu?

In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen.

Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen te vermenigvuldigen

Vb. aan de hand van het menu

Uit 3 voorgerechten

Uit 5 hoofdgerechten

Uit 3 nagerechten

Page 4: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Hoe maak je een boomdiagram ?1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken

uit het beginpunt2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken3 zet de volgorde achter de laatste takken

1.1

Tip :

Als je weet hoeveel takken er na de laatste keuze zijn zet dan dat aantal stippen eerst op papier en teken vervolgens terug. Dit i.v.m. de netheid.

Page 5: Telproblemen overzichtelijk weergeven

voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets1e set 2e set 3e set

N wint

N wint

N wint

N wint

N wintG wint

G wint

G wint

G wint

G wint

N-N

N-G-N

N-G-G

G-N-N

G-N-G

G-G

N-G-G

G-N-G

geef aan hoe G in 3 sets wint

1.1

Page 6: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Wegendiagram

Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan kun je beter gebruik maken van een wegendiagram.

We kijken weer naar het restaurant.

Dit kunnen we ook als volgt weer geven:

Eerste keus Tweede keus Derde keus

3

Aantal keuzes Aantal keuzes Aantal keuzes

5 3 x x = 45

Page 7: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Wegendiagram

∙ ∙ ∙ ∙soep

cocktail

kip

ham

schnitzel

pizza

ijs

meloen

2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden

vermenigvuldigingsregel

2 x 4 x 2 = 16

1.1

Page 8: Telproblemen overzichtelijk weergeven

De vermenigvuldigingsregeleen gecombineerde handeling die bestaat uit1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerdkan op p x q x r manieren worden uitgevoerd

1.1

Page 9: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Rooster maken

121110987611109876510987654987654387654327654321654321som

je gooit met een rode en een groene dobbelsteentel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster

1.1

Page 10: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Systematisch de mogelijkheden noterenEr zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.

1112

1121

1211

2111

1.1

Page 11: Telproblemen overzichtelijk weergeven

halve competitieje speelt maar 1x tegen elkaarbv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden

hele competitieje speelt 2x tegen elkaarbv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams4 x 3 = 12 wedstrijden

XXXXD

C-DXXXC

B-DB-CXXB

A-DA-CA-BXADCBA

XD-CD-BD-AD

C-DXC-BC-AC

B-DB-CXB-AB

A-DA-CA-BXADCBA

6 wedstrijden 12 wedstrijden

je speelt niet tegen jezelf

1.1

Page 12: Telproblemen overzichtelijk weergeven

De vermenigvuldigingsregel of de somregelkan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,dan kan :1 handeling I EN handeling II op p x q manieren2 handeling I OF handeling II op p + q manieren

1.1

Page 13: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Herhalinghet is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaanzonder herhalingbijvoorbeeld bij een bestuur kiezenmet herhalinghet aantal mogelijke nummerborden

1.2

Page 14: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Zonder herhalingUit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris.Het aantal manieren is

aantal = 5 × 4 = 20

eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen

dan de secretaris: keuze uit 4 personen

1.2

Page 15: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Met herhalingIn Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.Het aantal mogelijke nummerborden is

aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100

10 cijfers voor de eerste plaats

10 cijfers voor de tweede

plaats

26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats

26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats

enz.

1.2

Page 16: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Tellen met en zonder terugleggen

Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10 cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met terug legging )

Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een cijferslot die uit drie ringen bestaat?

Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas?

Dat zijn er maar 10 x 10 x 10 = 103 = 1000

Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ? ! ?

Page 17: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 24

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

a

aantal = 225 = 33.554.432 b aantal velletjes = 225 : 100 ≈ 335.544

1 velletje = 0,1 mm.100 velletjes = 1 cm.dus stapel ≈ 335.544 : 100 ≈ 3355 cm. ≈ 34 m.

c aantal = 29 = 512

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Page 18: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 2515 meisjes en 12 jongens 27 leerlingen3 leerlingen 1 (muziek) + 1 (drank) + 1 (hapjes)a één meisje voor de muziek 15

verder komt het er niet op aan 26 x 25aantal = 15 x 26 x 25 = 9750

b één meisje voor de muziek 152 jongens voor de drank+hapjes 12 x 11aantal = 15 x 12 x 11 = 1980

c m m j - m j m - j m j - j j m15x14x12 + 15x12x14 + 12x15x11 + 12x11x15aantal = 9000

Page 19: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 26

3j + 4m 3(psy) + 2(eco) + 1(wis) + 1(fra) totaal = 7 studentena eerst de 4 meisjes dan de 3 jongens

meisjes 4 × 3 × 2 × 1jongens 3 × 2 × 1aantal = 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144

b jongens en meisjes om en om het gesprekm j m j m j m 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 aantal = 144

c eerst de student Frans 1de rest maakt niet uit 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1aantal = 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

d de 2 studenten economie het laatst zijn 2 × 1de rest maakt niet uit 5 × 4 × 3 × 2 × 1aantal = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 240

e eerste en laatste student psychologie 3 × 1 OFeerste en laatste student economie 2 × 1aantal = 3 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 960

Page 20: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 29

een code bestaat uit een rijtje van 5 vierkantjes die gevuld zijn met één van de tekens of of a 5 vierkantjes en ieder vierkantje kan 3 symbolen hebben

aantal = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243b aantal = 1 x 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81c aantal = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48d voor het andere vierkantje zijn nog 2 mogelijkheden

dit andere vierkantje kan op 5 plaatsen voorkomenaantal = 5 x 2 = 10

1.2

Page 21: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Permutaties en faculteiteneen ander woord voor rangschikking is permutatiebij een permutatie mogen geen herhalingen optredenhet aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingenvan drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 x 7 x 6

het aantal permutaties van 4 uit 9 is9 x 8 x 7 x 6

het aantal permutaties van 9 uit 9 is9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

de notatie voor dit product is 9!spreek uit : 9 faculteitkortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!

het aantal permutaties van n dingen, dus het aantalrangschikkingen van n dingen is n!n ! = n x (n -1) x (n -2) x (n -3) x …… x 4 x 3 x 2 x 1

1.3

Page 22: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 33

Elke van de 5 personen die de kamer met acht stoelen binnen komt neemt ergens plaats.

Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Vraag je niet af hoeveel personen er plaats kunnen nemen op de eerste stoel

Maar vraag je af welk stoelnummer kan je aan de eerste persoon koppelen?

8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

Page 23: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 36

een volleybalteam bestaat uit 9 spelers

a de fotograaf zet de spelers op een rij, hoeveel rijen zijn er?aantal = 9! = 362 880

b er wordt een aanvoerder en een reserve-aanvoerder gekozenaantal = 9 × 8 = 72

c shirts met de rugnummers 1 tot en met 6aantal =9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 9 nPr 6 = 60 480

9 – MATH – PRB – nPr - ENTER – 6

of

9 – MATH – PRB – 2 – 6

Page 24: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 38

a 6! op hoeveel manieren zijn de letters te rangschikken zonder herhaling van letters?.

b 6 × 5 × 4 Hoeveel codes zijn er te maken met drie verschillende letters?

c 64 hoeveel codes zijn er te maken met 4 letters?

d 63 hoeveel codes zijn er te maken met 3 letters?

Een bedrijf gebruikt codes met de letters a,b,c,d,e en f.

Bedenk een vraag waarop het antwoord luidt:

Page 25: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijnhet aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn

(en de rest verschillend is) is

zo kun je de letters van het woord ADRIANA op = 840manieren rangschikken

n!p!

7!3!

1.3

Nogmaals opgave 33

Vijf personen op acht stoelen is ook te lezen als acht naamplaatjes op acht stoelen waarvan drie naamplaatjes niet beschreven zijn .

8!3! = 6720

n!p! = n nPr (n-p)

Page 26: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Permutaties en CombinatiesUit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter, penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er samengesteld worden?

Stel jezelf weer de volgende vraag:

Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter?

Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en hoeveel als secretaris ?

Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210 verschillende permutaties.

Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat.

7

6

5

Page 27: Telproblemen overzichtelijk weergeven

CombinatiesBij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties.

Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6 manieren.

Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van dezelfde 3 mensen.

Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld worden.Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties

Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk

ABC BAC CABACB BCA CBA

Page 28: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Combinatiesis bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7

het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

spreek uit : 7 boven 4

het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is

7 4

7 4

1.3

7 – MATH – PRB – nCr - ENTER – 4

of

7 – MATH – PRB – 3 – 4

Page 29: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Aantallen combinaties optellen en vermenigvuldigen

1.3

Page 30: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Schema

op hoeveel manieren kun je 5 dingen

kiezen uit 8 dingenvolgorde van belang ?

nee

aantal = ‘8 boven 5’

jaherhaling toegestaan ?

nee jaaantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8

1.3

Combinaties

Permutaties

Mogelijkheden

Page 31: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Wat is de naam van dit voorwerp ?

1.3

? ! ?

Page 32: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Herhaling of toch anders ?!?Handig tellen en de rekenformules van de combinatoriek is belangrijk voor volgende hoofdstukken. Het volgende schema kan hier handig bij zijn

Herhaling toegestaan

Herhaling niet toegestaan

Volgorde niet van belang

Volgorde wel van belang nPr

nCr

kn)!(

!kn

n

)!(!!

knkn

kn

k

kn 1

Page 33: Telproblemen overzichtelijk weergeven

•Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.•Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.•Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.•Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

Page 34: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Voorbeelden

•Pin code•Afspelen van 9 nummers van een CD•Toto voor een competitie met 13 wedstrijden•Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden•Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28•Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken•Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen•Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6•Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen •Verdeling van de kaarten bij klaverjassen•4 rings’combinatieslot ‘ ?!?

4

15

7

13

4

10!8!8!8!8

!324

410

64

109

363

3143283Pr28

3

!910

uitslag

nCr

nCrn

Page 35: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 50

a 3 groottes en 4 bodems en 2 vleessoorten en 3 groentesoorten

aantal = 3 x 4 x x = 2520

b medium en 4 bodems en (2vleessoort of 3vleessoort of 4vleessoort)

aantal = 1 x 4 x + + = 44

c 3 groottes en 4 bodems en (4groent of 5groent of 6groent of 7groent)

aantal = 3 x 4 x + + + = 768

vlees vis groente kaas/zuivel fruit

hamsalamispek

gehakt

tonijngarnalenmosselen

zalmansjovis

champignonsartisjokken

uienkappertjes

pepersknoflookpaprika

mozarellagorgonzolaparmezaans

ananaspeer

perzik

4 2

7 3

4 2

4 3

4 4

7 4

7 5

7 6

7 7

Page 36: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 51

per uur 60 artikelen van de lopende bandbij de eindcontrole een steekproef van 4 exemplarena hoeveel steekproeven zijn er elke keer mogelijk?

aantal = = 487.635

b 6 defecte dus 54 geen defecte exemplaren

aantal = = 316.251

c 2 defecte en 2 geen defecte of 3 defecte en 1 geen defect of 4 defecte exemplaren

aantal = x + x + = 22.560

60 4

54 4

6 2

54 2

6 3

54 1

6 4

Page 37: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Het aantal rijtjes bestaande uit A’s en B’s

dus er zijn = = 330 manieren

er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoorttotaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren

het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211

B A B A A B B B A B B

het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :

114

117

1.4

Page 38: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 56

verlichting met 19 lampjes die onafhankelijk van elkaar voortdurend aan en uit gaan

v.b.

a aantal = 219 = 524.288 b 5 van de 19 lampjes branden

aantal = = 11.628

c minder dan 3 lampjes 0 of 1 of 2 lampjes branden

aantal = + + = 191

d in ieder geval het 1e , middelste en het laatste lampje brandtvoor de 16 overige lampjes zijn er steeds 2 mogelijkheden : aan of uitaantal = 216 = 65.536

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

195

19 0

191

192

Page 39: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 57

een bedrijf voorziet zijn artikelen van een code door in een rijtje van 6 vierkantjes er 2 zwart te maken

v.b.

a 2 van de 6 vierkantjes zijn zwart

aantal = = 15

b eerste en het laatste vierkantje zwartaantal = 1

c de code verander niet bij

of

of

dus bij 3 rijtjes

6 2

Page 40: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Routes in een rooster

Oost

Noor

d

A

B

C

hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B

van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s

dat zijn = 3 mogelijkheden

van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s

dat zijn = 5 mogelijkheden

het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus

x = 3 x 5 = 15

3 1

5 2

3 1

5 2

van A naar BENvan B naar Cdusvermenigvuldigen

1.4

Page 41: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Algemeenhet aantal routes zonder omwegen van A naar B in het

rooster hiernaast

is

afspraakin deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij

A

B

8 3

1.4

Page 42: Telproblemen overzichtelijk weergeven

opgave 63

a bij een voetbalwedstrijd is de eindstand 2 – 4geef het scoreverloop in een rooster aan

b aantal = = 15

c aantal = = 56

d ruststand 3 – 1 eindstand 5 - 4 0 1

1

2

2

3

4

∙∙∙ ∙

∙∙

6 2

8 3

(0,0)

(3,1)

(5,4)

∙∙

aantal = x = 4 x 10 = 404 1

5 3

Page 43: Telproblemen overzichtelijk weergeven

Onvolledige roosters.

0

1

1

2 3 4

1 1

4 4 4 4

4 8

8

8 28

12 16 20

20 36 56

64

64

120

184

Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het aantal mogelijkheden om er te komen.

Je kunt het niet berekenen met n r

Page 44: Telproblemen overzichtelijk weergeven

De driehoek van Pascal• in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen

die er schuin boven staan• elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die

plaats te komen• in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen

• de som van de getallen in de vierde rij is 24

4 0

4 1

4 2

4 3

4 4

, , , en

1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

3 3

4 6 4

rij 0

rij 1

rij 2

rij 3

rij 4

1 = 20

2 = 21

4 = 22

8 = 23

16 = 24

1.4