Tekst (docx)

58
Van calculus naar analyse van Newton naar Weierstrass Historical Aspects of Classroom Mathematics Juni 2014 Begeleider: Steven Wepster Door: Carla Molenaar, Margot van Es, Marloes Kloosterboer Aangepast tot lesbrief september 2014 door Marloes Kloosterboer

Transcript of Tekst (docx)

Page 1: Tekst (docx)

Van calculus naar analyse

van Newton naar Weierstrass

Historical Aspects of Classroom MathematicsJuni 2014Begeleider: Steven Wepster Door: Carla Molenaar, Margot van Es, Marloes KloosterboerAangepast tot lesbrief september 2014 door Marloes Kloosterboer

Page 2: Tekst (docx)

Hoofdstuk 1 Newton en Leibniz

Deze lessenserie bestaat uit drie hoofdstukken waarin wordt gekeken naar de achtergronden van het differentiëren en integreren vanuit de geschiedenis. In dit eerste hoofdstuk kijken we naar de ontdekking van de differentiaal- en integraalrekening door Newton en Leibniz in de 17e eeuw.

Een duik in de geschiedenis1

Het grote vraagstuk in de 17e eeuw was hoe de oppervlakte onder een grafiek kon worden bepaald. Het probleem stond in die tijd bekend als ‘de kwadratuur van de cirkel’.

Opdracht 1. Kun je een vierkant construeren dat precies dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven cirkel met straal 1? Let op, je mag alleen maar natuurlijke, of rationale getallen gebruiken want reëele getallen ken je nog niet..

Ze wisten niet alleen de oppervlakte van een cirkel niet exact te bepalen maar ook de oppervlakte onder een curve. We doen dat nu met integreren, maar hoe zijn we daarachter gekomen? Newton en Leibniz zijn degene die enorm veel hebben veel bijgedragen aan onze huidige differentiaal- en integraalrekening. Op de middelbare school worden deze onderdelen behandeld bij de algebra. Op de universiteit ga je hier dieper op in bij het vak analyse; in het Engels wordt dit ‘calculus’ genoemd.

NewtonNewton is in 1643 in Engeland geboren. Rond zijn 21e jaar had hij zichzelf alles geleerd over de bestaande theorieën op het gebied van differentiëren en integreren. Dit werd zo toen nog niet genoemd: het ging over het bepalen van raaklijnen aan en oppervlaktes onder curves (wat wij nu grafieken noemen). Een van de wiskundigen vóór Newton die hier ver mee is gekomen is René Descartes. De Nederlander Frans van Schooten vertaalde in 1649 Descartes’ boek La Géometrie naar het Latijn2. Newton heeft zelf dit boek bestudeerd voor hij ging studeren in Cambridge.

In de jaren 1664-1666 woonde Newton in Lincolnshire, uit angst voor de ziekte de Pest. Hij werkte naast zijn bekende natuurkundige theorieën ook aan wiskunde: onder andere aan oneindige rijen en de inverse relatie tussen differentiëren en integreren. Zijn resultaten schreef hij alleen in een soort manuscriptvorm op, zoals in De Analysi waar in deze les naar wordt gekeken. De leden van de Royal Society in Londen konden dit lezen. Deze werken werden pas gepubliceerd na 1700.

LeibnizLeibniz is in 1646 geboren in Leipzig, Duitsland. Leibniz heeft hier rechten gestudeerd. Daarna heeft hij als diplomaat in Parijs gewerkt, waar hij veel tijd over had om zich te verdiepen in een van zijn hobby’s: wiskunde. Hij is twee keer op bezoek geweest bij de Royal Society in Londen, de eerste keer in 1672. De manuscripten van Newton waren er toen al.

1 Zoals beschreven in Bos (1980).2 Zie http://www.fransvanschooten.nl/fvs_overbeeke.htm

2

Page 3: Tekst (docx)

Er is veel ruzie geweest tussen Engelse en Duitse wiskundigen over wie er eerst was, en over of Leibniz de manuscripten van Newton heeft bekeken en zijn wiskunde hierop heeft gebaseerd. Na nauwkeurig onderzoek is pas in de 20e eeuw vastgesteld dat Leibniz zijn methode later, maar wel onafhankelijk van Newton, heeft opgesteld. In 1672 had Leibniz nog niet genoeg kennis om te begrijpen waar Newton het over had.

Leibniz heeft zijn resultaten wel eerder gepubliceerd dan Newton, tussen 1684 en 1686. Dit deed hij in het eerste wetenschappelijk tijdschrift Acta eruditorum (“handelingen van het leren”), waar hij medeoprichter van was. Vanaf 1676 woonde Leibniz in Hannover. Deze plaats is erg trots op de beroemde oud-inwoner; de universiteit is naar hem vernoemd en de Leibniz-keks komen hier vandaan.

Alleen in Groot-Brittannië is verder gewerkt aan het werk van Newton. De wiskundigen daar wilden trouw aan Newton blijven, dus ze bleven vasthouden aan zijn notatie (ook al was die niet handig) en ze gebruikten niets van Leibniz’ methode. In de rest van Europa werd verder gewerkt door vele wiskundigen aan het werk van Leibniz, o.a. door de gebroeders Bernoulli, l’Hôpital en Euler.

1. Newtons calculusEen van Newtons stellingen in zijn boek De Analysi gaat over het verband tussen de curve (grafiek) en de oppervlakte onder de curve. Wij kennen dit verband nu als de integraal, maar in die tijd bestond dat begrip nog niet. Newton geeft ons de situatie zoals in figuur 1. Hierbij is z de gele oppervlakte onder de grafiek van punt A naar punt B. Verder geldt dat de rode oppervlakte (onder de grafiek) gelijk is aan ov (oppervlakte rechthoek BGHC). Belangrijk: er moet gelden dat de twee driehoek-achtige stukjes (DGF en EHF) even groot zijn!

De vergelijking waaraan de kromme voldoet is onbekend, we weten alleen hoe groot de oppervlakte z is, en dat deze oppervlakte afhankelijk is van x. Newton zocht de

formule f (x) voor de kromme, als gegeven is dat : z (x)=23x3 /2 .

Figuur 1 – Schets van oppervlakteprobleem van Newton (vrij naar figuur 2.2.1. Bos (1980), p. 56)

3

Page 4: Tekst (docx)

Opdracht 2. Geef een uitdrukking voor z2.

We gaan nu, met behulp van onze uitdrukking voor z2, een uitdrukking zoeken voor ( z+ov )2. We vervangen dus eigenlijk z (gele oppervlakte) door z+ov. Dit is de gele en rode oppervlakte samen (want de driehoek-achtige stukjes zijn gelijk), dus dit is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van 0 tot x+o. Omdat Newton z als een functie van x ziet, kunnen we z+ov ook als een functie van een lengte op x-as zien.

( z+ov )2=49

( x+o )3

Opdracht 3. Kijk of je Newton kan volgen, en werk bovenstaande uitdrukking uit tot 2 zy=43x2.

Motiveer je stappen!

Substitueer z=¿ 23x3/2 in de formule van opdracht 3 en je krijgt

43x3/2 y= 4

3x2 en dus

y=x1 /2.

Opdracht 4. Laat de stappen zien hoe je van 2 zy=43x2 komt tot y=x1 /2

Newton zocht precies deze vergelijking y=f (x) voor de kromme. In figuur 1 is te zien dat y namelijk de hoogte van de curve is op het punt x. Newton zag de oppervlakte

dus als een functie van x; z (x )=23x3 /2. Wij schrijven dit tegenwoordig als z=∫

0

x

f (x )dx.

Het resultaat van Newton is dus ∫0

x

x1 /2dx=23x3/2.

Opdracht 5. Wat zou een kritiekpunt op de aanpak van Newton kunnen zijn? Leg uit.

2. Leibniz’ calculusLeibniz was vanaf het begin af aan op zoek naar een “characteristica generalis”, een algemeen geldende symbooltaal (wiskundetaal). De symbolen moesten voldoen aan bepaalde regels en daardoor zouden uitdrukkingen altijd juist zijn (Bos, 1980). Dit is van invloed geweest op de wijze waarop hij zijn bevindingen noteerde, en steeds verder aanscherpte. Omdat zijn notatie beter bruikbaar was dan die van Newton (en er meer wiskundigen verder gingen met zijn werk), heeft zijn notatie uiteindelijk ‘gewonnen’ van die van Newton.

De ontdekkingen van Leibniz begonnen bij rijen en de bijbehorende verschilrij. Het viel hem op dat als hij van de rij a1 , a2 , a2 ,… de verschilrij b1=a1−a2 ,b2=a2−a3 , b3=a3−a4 ,… bekeek, hij de termen van de verschilrij gemakkelijk kon optellen.

Opdracht 6. Geef de uitkomst van b1+b2+b3+…+bn uitgedrukt in a?

4

Page 5: Tekst (docx)

Het ging Leibniz niet om deze rekensom, maar om het feit dat verschilrijen dus gemakkelijk kunnen worden opgeteld. Hij kon hiermee een probleem oplossen dat de Nederlander Christiaan Huygens aan hem had gegeven namelijk: het optellen van de

rij 11+ 13+ 16+ 110

+ 115

+… .

De noemers in de breuken zijn driehoeksgetallen. Het rde driehoeksgetal is r (r+1)2

.

Intermezzo driehoeksgetallen en de somformule.De formule voor de driehoeksgetallen: Het rde driehoeksgetal de som is van de eerste r getallen. Bijvoorbeeld 10 is het 4e driehoeksgetal en 10 = 1+2+3+4. Ieder driehoeksgetal is de som van een rekenkundige rij (zie de figuur hieronder waarom het driehoeksgetallen worden genoemd).

De somformule van Gauss stelt dat 1+2+3+4+…+r=r (r+1) /2. Deze formule heet zo omdat Gauss op de basisschool voor straf de getallen 1 t/m 100 moest optellen van zijn leraar. Gauss deed dit zeer slim. Hij bedacht dat als hij twee keer de reeks 1 t/m 100 op telde, dit overeen kwam met het optellen van 100 keer 101 = 10100. Dus 1+2+3+…+100=5050.

1 +¿ 2 +¿ 3 +¿ … +¿ 98 +¿ 99 +¿ 100 ¿ ?100 +¿ 99 +¿ 98 +¿ … +¿ 3 +¿ 2 +¿ 1 ¿ ? +101 +¿ 101 +¿ 101 +¿ … +¿ 101 +¿ 101 +¿ 101 ¿ 100 ∙101

Omdat in de som ( 11+ 13 +16+ 110

+ 115

+…) de noemers de driehoeksgetallen zijn, en de

teller steeds 1 zijn, kan iedere breuk worden geschreven als 2

r (r+1), en dit kan

worden geschreven als een verschil.

Opdracht 7. Laat zien hoe je de breuk 2

r (r+1) kunt herschrijven tot het verschil van twee breuken,

namelijk 2r− 2r+1 .

Met deze informatie kon Leibniz de som van de eerste n breuken uit de rij van

Huygens berekenen. De som noteer je als volgt: ∑r=1

n 2r (r+1)

. Hier staat bereken de

som van alle breuken 2

r (r+1)van r=1 tot r=n.

5

Page 6: Tekst (docx)

Opdracht 8. Toon aan dat het volgende geldt (hint: denk aan opgave 6):

∑r=1

n 2r (r+1)

=21− 2n+1

=2− 2n+1

Voor de oneindige som geldt dus dat deze gelijk is aan 2. Door een reeks als een verschil te schrijven kun je nieuwe inzichten krijgen in de sommatie

Leibniz rekende verder aan breuken en sommaties. Hij realiseerde zich steeds meer dat het vormen van verschilrijen en somrijen zoals in opgave 6 en 8 inverse operaties zijn (Bos, 1980). Het idee van twee tegengestelde operaties werd heel belangrijk toen hij het toepaste op meetkundige problemen..

Bij de grafiek in figuur 2 is een rij ordinaten3 (lijnstukken y1, y2, …) getekend. Ze staan even ver van elkaar. Als de afstand tussen de ordinates 1 is, dan is de oppervlakte van één staafje 1 y. Dus is de som van alle y’s ongeveer de oppervlakte onder de grafiek (denk aan Riemann som staafjes4). Het verschil tussen twee opeenvolgende ordinaten levert ongeveer de helling van de raaklijn van de grafiek. Hoe kleiner de afstand tussen de ordinaten wordt gekozen, hoe beter de benadering van de helling. Leibniz concludeerde dat als hij de afstand oneindig klein kon maken, de benadering exact was. De oppervlakte was dan de som van alle ordinaten en de helling van de raaklijn was gelijk aan het verschil. Omdat sommeren en het verschil nemen inverse operaties zijn, concludeerde Leibniz nu dat het bepalen van de oppervlakte en het bepalen van de raaklijn dan ook inverse operaties waren.

Figuur 2 – Bepalen van de oppervlakte volgens Leibniz (vrij naar figuur 2.3.2. Bos (1980), p. 62)

In figuur 2 zie je in rood een driehoek. Deze driehoek is in figuur 3 driehoek cdc’. Uit het werk van Blaise Pascal had Leibniz opgemerkt dat het gebruik van een ‘karakteristieke driehoek’ belangrijk was omdat je dan gebruik kon maken van gelijkvormigheid. De driehoek cdc ' blijkt gelijkvormig met een aantal andere 3 Zie http://luigigobbi.com/EarliestKnownUsesOfSomeOfTheWordsOfMathematics/N-O.htm 4 Moderne Wiskunde vwo B deel 2 (5 vwo) in paragraaf 4.1; Getal en Ruimte deel 3 in paragraaf 10.1.

6

Page 7: Tekst (docx)

driehoeken in figuur 3. Door gebruik te maken van deze gelijkvormigheid stelde Leibniz zijn “transmutation” regel op. Transmutation betekent “vormverandering”. Hij splitst de oppervlakte onder de grafiek op in twee reeds bekende oppervlaktes.

7

Page 8: Tekst (docx)

Leibniz wilde de (gele) oppervlakte onder de curve bepalen in figuur 3. Hij gaf er twee uitdrukkingen voor. Deze oppervlakte Z is enerzijds gelijk aan de som van de strookjes bcc ' b ' (waarbij het strookje verschuift langs de x-as, vergelijk met figuur 2 hierboven). Een deel van deze oppervlakte is makkelijk te berekenen, namelijk de oppervlakte van de rechthoekige driehoek OBC. Je kunt de oppervlakte Z nu uitdrukken in de oppervlakte van driehoek OBC + de som van de oppervlaktes van de (rode) driehoeken Occ ' . Dus Z=∑ (bc c 'd )=¿∆OBC+∑ (∆Oc c ' )¿.

Figuur 3 – Oppervlakte onder de curve bepalen (vrij naar figuur 2.3.4. Bos (1980), p. 63)

Leibniz neemt nu de lijn door de punten p , s , c , c ' . Deze lijn gaat alleen punt c ' gaat als de afstand bb ' ‘oneindig klein’ is, Leibniz benoemt dit niet expliciet (wij noemen dit nu de raaklijn aan punt c).

8

Page 9: Tekst (docx)

Met de lijn door de punten p , s , c , c ' kun je de oppervlakte van ∆Oc c ' verder uitwerken en kun je dus de nog onbekende oppervlakte ∑ (∆Occ ') verder specificeren. We krijgen een andere uitdrukking door ∆Occ '=∆Opc '−∆Opc (zie figuur 4).

Figuur 4 – De driehoek Opc ' nader bekeken (vrij naar figuur 2.3.4. Bos (1980), p. 63)

Opdracht 9. Geef een uitdrukking voor ∆Oc c ' te geven. Doe dit op twee manieren. Bij de ene manier geef je uitdrukkingen voor de oppervlaktes van ∆Opc ' en van ∆Opc en gebruik je deze om een

uitdrukking voor ∆Oc c ' te definieren. Bij de andere manier gebruik je oppervlakte=12∙ b ∙ h.

We hebben dus ∆Oc c '=12Op∙cc '. Dus Z=∆OBC+∑( 12 Op∙cc ' ). De volgende stap is

het gebruik van een karakteristieke driehoek. Voor ieder punt c op de kromme kan een q worden gevonden: bepaal het snijpunt s van de raaklijn met de y-as, trek vervolgens een lijn door s loodrecht op de y-as, q is het snijpunt van deze lijn en de lijn bc.

Opdracht 10. Toon aan dat ∆ cdc ' ∆Ops en geef de verhoudingstabel.

Opdracht 11. Druk nu oppervlakte ∆Oc c '=12Op∙cc ' uit in Os en cd .

Dit geeft dus Z=∆OBC+∑( 12 Os∙cd ). Leibniz maakt nu de stap dat Os ∙cd=bqq ' b '

(vierhoek). Ons valt op dat cd=bb'≠qq ' . Maar als bb ' oneindig klein is, dan bb '=qq '.

Dus vervangen we ∑ (12Os∙cd ) door ∑ ( 12 bqq ' b '). Dus Z=∆OBC+∑( 12 bqq ' b ' ) .

9

Page 10: Tekst (docx)

Voor ieder punt c op de kromme kun je q en q’ vinden. Zo wordt een nieuwe kromme getekend, de kromme Oqq 'Q. De som van de vierhoeken onder de curve Oqq 'Q is gelijk aan de oppervlakte onder Oqq 'Q. Dus de “transmutation” regel geeft ons

Z=∆OBC+ 12(oppervlakteonder Oq q'Q).

Leibniz heeft nu de oppervlakte onder de oorspronkelijke grafiek uitgedrukt in een aan de oorspronkelijke grafiek gerelateerde nieuwe grafiek en een driehoek. De regel is handig als de oppervlakte onder de nieuwe grafiek al bekend is. In die tijd waren de oppervlaktes onder de grafieken van standaard parabolen en hyperbolen al bekend. Natuurlijk kan je de regel ook nog een keer gebruiken op de nieuwe curve, en nog een keer, en nog een keer, net zolang je bij een bekende curve bent.

3. Conclusie

Newton en Leibniz hebben met hun berekeningen aan raaklijnen en oppervlaktes de basis gelegd voor het huidige differentieren en integreren gaat. Newton maakte daarbij gebruik van figuren en algebra, Leibniz maakte gebruik van reeksen en meetkunde. De characteristica generalis die Leibniz gebruikte zijn wel te herkennen; bijvoorbeeld de notatie d voor differentieren en het som teken ∫ voor sommaties. Zowel Newton als Leibniz gaven duidelijk aan dat het bepalen van raaklijnen en oppervlaktes inverse relaties waren. Leibniz heeft dat ook laten zien in zijn som- en verschil reeksen.

Zowel Newton als Leibniz hebben in hun berekening een stap met ‘oneindig klein’. Dit was in die tijd nog een van de elementen dat nog niet uitgekristalliseerd was.

10

Page 11: Tekst (docx)

Eindopdracht H1 Newton en Leibniz

Deel A. NewtonDe aanpak van Newton werkt voor alle machtsfuncties z (x). Het algemene resultaat is “Regula I.” (regel 1) in het in het Latijn geschreven boek De Analysi. Zie de figuur 5 hieronder.

Fig 5. Tekst van Newton

1. Vertaal deze eerste bladzijde en geef aan wat a ,m ,n zijn in het voorbeeld dat in les 1 was uitgewerkt.

2. Schrijf “Regel 1” in onze moderne wiskundetaal (dus met ∫ -teken) en ga na dat deze klopt volgens de regels voor integreren zoals we die nu kennen.

3. Werk de methode van Newton uit paragraaf 1 uit voor de oppervlakte

z (x)=25x5 /2. Gebruik dat =¿. Welke functie hoort bij deze oppervlakte?

11

Page 12: Tekst (docx)

Deel B. LeibnizIn hoofdstuk 1 is de “transmutation” regel van Leibniz behandeld. Hierbij was Z de

oppervlakte onder de curve OC. Z=∆OBC+ 12(oppervlakteonder Oq q'Q). In deze

opdracht ga je de stap maken naar onze huidige notatie. Gebruik figuur 4 (hieronder nogmaals weergegeven).

4. Laat zien dat je de formule voor de rechte lijn door de punten p en c ' kunt

opschrijven als y=dydx

x+z. Gebruik dat Ob=x, cq=y en bq=z. Herschrijf de

formule tot een uitdrukking voor z.5. Neem OB=x0 en BC= y 0 en herschrijf de “transmutation” regel

Z=∆OBC+ 12(oppervlakteonde rOq q 'Q) tot een regel in onze moderne

notatie (met integraalteken). Begin bij 12∫0

x0

y dx=12xo yo−

12∫0

x0

zdx . Maak

gebruik van de uitdrukking voor z uit vraag 4. Waar bij wiskunde B herken je je eindantwoord van?

12

Page 13: Tekst (docx)

Hoofdstuk 2 De kettinglijn

IntroductieIn het vorige hoofdstuk hebben jullie kennis gemaakt met het werk van Newton en Leibniz. In dit hoofdstuk gaan we aan de hand van een experiment en met behulp van differentiëren en integreren de formule berekenen van de kettinglijn.

1. Achtergrond van de kettinglijnEen kettinglijn is de vorm van een in evenwicht hangende, dunne, homogene draad of ketting, vastgehouden in 2 punten. De draad is volkomen buigzaam en onuitrekbaar. Er treden alleen trekkrachten op. Voorbeelden van een kettinglijn zijn hoogspanningsdraden of een lege waslijn.

Rond 1600 dacht Galileo Galilei dat de vorm van de kettinglijn een parabool moest zijn. Christiaan Huygens toonde in 1646 op een meetkundige manier aan dat het geen parabool kon zijn. Huygens gaf de kromme de naam ‘catena’ wat in het Latijn ‘ketting’ betekent. Het Engelse woord voor kettinglijn is hiervan afgeleid, een catanary. In 1691 tot 1693 vonden Leibniz en Bernoulli een vergelijking voor de kettinglijn. Voor het ontwikkelen van deze vergelijking maakten ze gebruik van de nieuwe rekenmethoden; het integreren en differentiëren waarvan de basis in die tijd gelegd is. In deze les gaan we proberen de gedachtegang van deze wiskundigen te volgen.

2. 3 gewichtenGalilei stelde zich het koord of de ketting voor als een serie gewichten aan een gewichtsloos koord. Hiermee krijg je niet een kromme zoals de ketting, maar nu krijg je wel een benadering van deze kromme waar je aan kan gaan rekenen. We gaan dit benaderen door een koord dat aan de muur is opgehangen met 5 paperclips.

Benodigdheden Practicumopstelling: - dun, stevig touw, 75 cm (of kettinkjes); - 2 bevestigingspunten aan de muur of bord op dezelfde hoogte, 60 cm van

elkaar; - 5 haakjes; - paperclips die aan de haakjes gehangen kunnen worden.

Leg knoopjes (x) in het touw op de volgende afstanden (in cm):

_│_______x______x_____x_____x______x_______│_ 14,1 11,7 10,2 10,2 11,7 14,1

Bevestig haakjes in de knoopjes. Bevestig het touw op de bevestigingspunten (│). Hang 5 paperclips aan de haakjes aan het touw. Teken de vorm van het koord achter het touw op het bord of op een vel papier op de muur.

Opdracht 1. Wat denken jullie dat er gebeurt met de vorm van het koord als we bij elke paperclip nog een paperclip hangen?

13

Page 14: Tekst (docx)

In figuur 6 is een tekening te zien van de situatie. De gewichten zijn nu geen paperclips maar lampen die op een gelijke horizontale afstand a opgehangen zijn. De gewichten zijn even zwaar. We stellen de kracht van één lamp gelijk aan 2G, die factor 2 is nodig om later in de berekening breuken te vermijden.

Figuur 6. Drie lampjes aan een touw.

Hoek α is de hoek tussen het tweede en eerste ophangpunt (in dit geval AB) en de horizontaal en y is de afstand van het eerste ophangpunt (in dit geval A) tot de horizontaal. De kracht in punt B stellen we gelijk aan S. Deze kracht heeft een horizontale component S ∙cosα en een verticale component S ∙sin α. α is nu dus de hoek tussen de horizontaal en de lijn BS. De verticale component moet gelijk aan 3G zijn; dit is de halve kracht van de 3 gewichten. Bij evenwicht geldt dat de som van de momenten van alle krachten werkend om een willekeurig punt nul moet zijn. We passen deze stelling toe op het draadstuk OAB.

Er is geen draaiing om punt O als er evenwicht is in punt O. Het verticale moment is dan gelijk aan het horizontale moment (moment = kracht x arm). Er geldt dan:(S ∙cosα ) ∙ p=3G∙2a– 2G∙a=4G∙a

Uit figuur 6 kun je afleiden dat S=3G /sin α en tan∝= ya . Hiermee wordt bovenstaande

vergelijking (3G ∙ cosαsinα ) ∙ p=4G ∙a en met

cosαsin α

¿ 1tan α

= ay krijg je dan

3G∙ ay∙ p=4G∙a dus

py=43 . En dus geldt AA’ : BB’ = 1 : 4 (ga dit na!)

Opvallend is dat zowel G als a uit de berekening wegvallen. Dit geeft aan dat de

verhouding py onafhankelijk is van het gewicht van de lampen en ook van de

breedtes van de secties.

14

Page 15: Tekst (docx)

3. 5 gewichten

Figuur 7. Touw met 5 lampjes

Opdracht 2. Wat is in de situatie van figuur 7 de verhouding AA’: BB’: CC’.Optioneel opdracht 2b. Bereken ook de verhouding bij 7 gewichten.

Het is opvallend dat hier de rij der kwadraten verschijnt. Dit betekent dat de ophangpunten waarschijnlijk op een parabool liggen. Bovendien valt het op dat de verhouding onafhankelijk is van het gewicht van de lampen. En dat zagen we al aan het koord met de paperclips.

4. ParaboolStel een assenstelsel voor zoals in figuur 8. We kiezen de oorsprong als het ophangpunt van het middelste gewicht. We stellen de x-coördinaat van punt A gelijk aan a en de y-coördinaat van punt A gelijk aan b. De ophangpunten hebben dan de coördinaten O(0,0); A(a,b); B(2a,4b); C(3a,9b); ...; X(na,n2b).

Figuur 8. Een parabool

15

Page 16: Tekst (docx)

Nu kunnen we de vergelijking van een parabool afleiden. We weten al dat de oorsprong O de top van onze parabool is, en dat de algemene formule voor een parabool y ¿P x2+Qx+R is.

Opdracht 3. Bereken P, Q en R. Je mag hierbij gebruik maken van je huidige wiskunde technieken. Druk P, Q en R uit in a en b.

Opdracht 4. Bereken de hellingen tussen de verschillende ophangpunten.

Wat valt op? De hellingen van de draadsegmenten rechts van het laagste punt hebben dus een vaste verhouding volgens de reeks 1 : 3 : 5 : 7 : .... , als we uitgaan van het gegeven dat we met een parabool te maken hebben.

5. Differentiaal- en integraalrekeningHelaas ligt het allemaal wat gecompliceerder. De conclusie dat we met een parabool te maken hebben geldt alleen voor de situatie waarin de gewichten op gelijke horizontale afstand van elkaar hangen. In werkelijkheid heeft een kettinglijn een homogene massaverdeling, en als je dat wilt benaderen en moet je de onderlinge afstanden tussen de gewichten gelijk nemen (en dus niet de horizontale afstand). Huygens stelde zich het koord of de ketting voor als een serie gewichten aan een gewichtsloos koord, maar hij veranderde de opstelling zodanig dat de afstand langs de draad steeds hetzelfde is (zie figuur 9). Nu is het opstellen van een vergelijking opeens een stuk moeilijker. De benadering wordt beter naarmate er meer gewichten op kortere onderlinge afstand zijn. In het limietgeval komt deze benadering overeen met de exacte oplossing van het oorspronkelijke

probleem.

Dit probleem is precies het soort limietprobleem dat wordt behandeld in de differentiaal- en integraalrekening. Deze theorie werd ontwikkeld door Newton en Leibniz. Huygens heeft deze nieuwe methoden op het eind van zijn leven leren kennen. Hij kon er echter nooit goed mee overweg, ook omdat hij intussen zijn eigen meetkundige methoden ontwikkeld had. Die waren ingewikkelder dan degenen van Newton en Leibniz, maar dankzij zijn wiskundig inzicht kwam hij er bijna even ver mee.

16

Figuur 9 Een homogene massaverdeling

Page 17: Tekst (docx)

Het is dus geen parabool. Wat is het dan wel? We noemen dit een kettinglijn. De formule van deze kettinglijn gaan we nu afleiden. Dit doen we met de huidige notatie maar met de stappen zoals Huygens ze voorstelde. Hiermee krijg je dus inzicht in hoe ingewikkeld zulke berekeningen worden zonder differentiëren en integreren.

In figuur 10 zie je een rechthoekige driehoek ADB. Stel de afstand tussen 2 gewichten is gelijk aan ds, de horizontale afstand gelijk aan dx en de verticale afstand gelijk aan dy. Pythagoras geeft dan:

d x2+d y2=d s2

ds=√dx2+dy2 ¿dx √1+( dydx

)2

Nu gaan we werken met een limietsituatie. Op dit begrip komen we in hoofdstuk 3 nog uitgebreid terug, maar voor nu hebben we het nodig om tot de juiste formule te komen. Let wel dat Huygens dat in zijn tijd, net als Newton en Leibniz daarvoor, nog niet goed gedefinieerd had.

Voor de limietsituatie dx→0 en dy→0 weten we (nu) dat dydx de afgeleide is van de

functie y, dus:

ds=dx √1+ y ' 2

Dit geeft dsdx ¿ √1+ y ' 2

De afgeleide van de functie y in een punt is tevens de helling h van de raaklijn in dat punt. Dus er geldt h= y '. Bij een ketting, die met het eigen gewicht belast wordt, is de hellingtoename dh constant per eenheid van kettinglengte (ds). Hieruit volgt:

dhds ¿ constant (c)

dhds ¿

dy 'ds ¿

dy 'dx ∙

dxds ¿ y ' '∙

dxds ¿ c dus er geldt y ' '=c ∙ ds

dx ¿c ∙√1+ y '2

Dit is een differentiaalvergelijking die door primitiveren is op te lossen. Je komt dan

tot de volgende vergelijking: y= ecx+e−cx

2c

17

dsdy

dx

B

A DFiguur 10 Een rechthoekige driehoek ADB

Page 18: Tekst (docx)

Opdracht 5. Ga na dat y= ecx+e−cx

2c inderdaad een mogelijke primitieve is van y ' '=c ∙√1+ y ' 2 .

Gebruik bij een van de laatste tussenstappen van de berekening dat e2cx+e−2cx+2=ecx ecx+2ecx e−cx+e−cx e−cx=(ecx+e−cx )2.

6. Afsluiting hoofdstukOm de formule van de kettinglijn te vinden zijn we eerst uitgegaan van een lijn met daaraan op, horizontaal gezien, gelijke afstanden flesjes te hangen en te kijken welke formule deze lijn benadert. Als je de flesjes dicht bij elkaar hangt, maar je houdt de horizontale afstand gelijk, dan krijg je de vorm van een parabool. Echter om een kettinglijn te benaderen heb je een homogene massaverdeling nodig met gewichtjes op gelijke afstand langs de draad, hoe meer gewichtjes hoe beter de benadering. Huygens bepaalde hiervoor de formule voor de kettinglijn zoals hierboven aangegeven. De manier waarop Newton, Leibniz en Huygens hun werk hebben uitgevoerd is zeer ingenieus. Huygens gebruikte ingewikkelde meetkundige methoden, maar kwam wel tot de goede oplossing. Leibniz gebruikte "nieuwere" methoden, met integralen en afgeleiden (met dx en dy), en vond de oplossing op een eenvoudiger manier.

18

Page 19: Tekst (docx)

Les 3 Analyse

1. Terugblik vorige lessen en introductieIn les 1 hebben we kennis gemaakt met het werk van Newton en Leibniz. In les 2 hebben we gezien hoe de formule van de kettinglijn wordt gevonden. In beide lessen ‘oneindig kleine stapjes’ in de berekening een rol te spelen. Maar wat is dat nu, oneindig klein?

De ontwikkelingen op het gebied van functies en limieten lopen synchroon met de tijdgeest van die tijd; de 18de eeuw was de tijd van grootse ontdekkingen en een vrije ontwikkeling van allerlei ideeën. Het was een soort tijd waarin ‘the sky the limit’ was. Aan het eind van de 18de eeuw dachten de wiskundigen eigenlijk dat ze klaar waren, en er ontstond een soort depressiviteit: wat moeten we nu gaan doen? Maar al snel was het duidelijk dat ook het fundament moest worden opgebouwd, en de 19de eeuw werd een periode van voorzichtig opgebouwde definities en strenge bewijzen. En daarbij werd ook gewerkt aan een goede onderbouwing van ‘oneindig klein’, en dus het limietbegrip.

2. George BerkeleyGeorge Berkeley’s (1685-1753) was een bisschop in Cloyne, Zuid Ierland. Hij was het niet eens met het werk van Newton, en hij viel zijn werk aan in ‘The Analyst’. Deze bisschop beaamde wel dat het werk van Newton handig was, en dat het tot veel nieuwe resultaten leidde. Maar hij dacht dat het klopte doordat er allemaal fouten waren die elkaar dan ophieven (Struik, 1965). Ook gaf hij aan dat de wiskundigen geen geldige argumenten gebruikten voor de procedures die ze gebruikten (Katz, 2009). Berkeley vroeg zich af hoe je een ‘heel klein deel niet gelijk aan nul’ kunt nemen, daarmee ‘calculus’ gaat doen (dus differentiëren en integreren), en dan tegen het einde dat ‘hele kleine stukje’ gelijk gaat stellen aan nul. Dit hebben we in de eerste les gezien bij de methode van Newton. Hij trok zelfs een vergelijking met het geloof: als je een tweede of derde orde flux (wat je nu een afgeleide zou noemen) kunt hanteren, dan moet je ook geloven in goddelijkheid (Katz, 2009, p.629).Met de kritiek van Berkeley werden de wiskundigen verplicht hun ideeën aan te scherpen! Met name hun ideeën over een maat voor ‘oneindig klein’.Heden ten dage wordt de kritiek van Berkeley trouwens weer in twijfel getrokken. Er wordt bijvoorbeeld nu gezegd dat niet door Berkeley maar door Leibniz zelf de ontwikkeling van de nauwkeurigheid zich heeft voltrokken. Berkeley zou daar door zijn beperkte kennis verkeerde opmerkingen hebben gemaakt die juist net vertragend hebben gewerkt (Katz, 2012).

Opdracht 1. Zie de foto’s op werkblad 1. Lees tot en met punt 4 (IV) van het boek The Analyst en beantwoord de volgende vragen:

a. Kun je uit de tekst opmaken of Berkeley kennis van zaken had? Motiveer je antwoordb. Waar trekt hij voor het eerst het werk van de wiskundigen in twijfel? Geef de passage aan en

leg uit wat hij zegtc. Blijkt er uit zijn tekst ook waarom hij de ‘nieuwe leer’ in twijfel trekt? Wat is zijn grootste

bezwaar?d. Kun jij je vinden in zijn argumenten of kun je ze tegenspreken?

19

Page 20: Tekst (docx)

3. Limieten van Berkeley tot d’AlembertIn antwoord op het werk van Berkeley kwamen er theorieën van een heleboel wiskundigen. Een van de meeste bekende daarbij is Leonhard Euler (1707-1783), een grote wiskundige uit Zwitserland die werkte in St Petersburg en Berlijn. Hij werkte met het idee dat je kon werken met de ratio 0 :0. Hij zei dat oneindig kleine hoeveelheden in feite gelijk waren aan nul. Hij kwam zo aan voor ons nu vreemde redeneringen als 0 :0=2:1. Zo kon je eigenlijk zeggen dat de ratio 0 :0 gelijk is aan iedere eindige ratio.

Het was Jean d’Alembert (1717-1783) die als eerste echt gebruik maakte van het begrip limiet. Hij definieerde het als volgt: ‘Een grootheid is de limiet van een andere grootheid als de tweede de eerste nadert binnen iedere gegeven grootte, hoe klein ook, maar de tweede grootheid mag nooit meer worden dan de grootheid van de eerste (vertaald naar het engels: One magnitude is said to be the limit of another magnitude when the second may approach the first within any given magnitude, however small, though the second magnitude may never exceed the magnitude it approaches.’ (Katz, 2009).

Opdracht 2. d’Alembert schreef het volgende op: De ratio a :(2 y+z ), met z>0, is altijd kleiner dan a :2 y. Maar hoe kleiner z is, hoe groter de ratio zal zijn, en omdat je z zo klein mag kiezen als je wilt kan de ratio a :(2 y+z )heel dicht naar de ratio a :2 y gebracht worden. Dus is a :2 y de limiet van de ratio a :2 y+z. Schrijf deze bewering op in een moderne notatie.

Het idee van d’Alembert was meer meetkundig dan rekenkundig van aard en werd door de wiskundigen na hem niet verder opgepakt. Deze latere wiskundigen gingen verder met infinitesimalen, fluxen (Newton) en de ratio’s van nullen (Euler).

4. Limieten in je eigen boekenLimieten ben je zelf ook al tegengekomen, met name bij het differentiëren en integreren, en bij het bepalen van de asymptoten.

Opdracht 3. Schets een grafiek van de volgende functies en bereken de limieten.

a) limx→1

f (x )❑

met f ( x )= x2+x−2x−2

b) limx→2

f (x )met f ( x )= x−2x2−4

Opdracht 4. Leg in je eigen woorden uit hoe de functies zich gedragen bij x=1 (3a) en x=2 (3b)..

Opdracht 5. Hebben de volgende functies een asymptoot, een beginpunt of is het domein R? Geef de coordinaten van het beginpunt, of de formules van eventuele asymptoten.

f (x)=√6 x−9 g ( x )=8x+95 x+2 h(x )=ex i(x)=log x

20

Page 21: Tekst (docx)

Opdracht 6. Je kent de definitie van de afgeleide namelijk f ' (x)=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

, mits de limiet

bestaat. Leg in je eigen woorden uit wat dit volgens jou inhoudt, maak er een tekening bij. Bepaal de afgeleide van f ( x )=2x2+4 x met behulp van de limiet.

5. Een maat geven aan de limietZoals functies, limieten, afgeleiden en primitieven nu op school worden onderwezen is iets dat door de eeuwen heen langzaam gevormd is. Op de middelbare school gebruik je de moderne notatie maar eigenlijk kun je nog geen wiskundig antwoord geven op de vraag van Berkeley: hoe klein is klein, hoe dichtbij moet je komen, etc. De eerste definitie van d’Alembert was in ieder geval niet duidelijk genoeg. Wat bedoelde hij met ‘binnen iedere gegeven grootte’ (‘within any given magnitude’). De termen die gebruikt werden waren nog te vaag.

Lagrange (1736-1813), een wiskundige uit Italië, van Franse afkomst en werkzaam in Berlijn en Parijs, probeerde het met rijen en reeksen. Hij zei dat iedere functie als een rij te schrijven is en daarmee kon hij makkelijker integralen berekenen en bewijzen dat ze kloppen. Helaas waren zijn berekeningen zo lang dat niet iedereen het prettig vond om er mee te werken. En toen Cauchy aantoonde dat niet alle functies als een rij of reeks te definiëren zijn, moest er een nieuwe definitie komen. Op de universiteit wordt er veel gewerkt met rijen en reeksen (Van der Blij & Van Tiel, 1975), op de middelbare school wordt er weinig aan gedaan.

Van exact naar experimenteren.. en weer naar exactRond de eeuwwisseling leek het alsof de eeuw van het experimenteren met de wiskunde, de 18de eeuw, werd afgesloten en de eeuw van de echte exactheid, de 19de eeuw, begon. Een van de eersten die met deze exactheid werkte was Augustin Louis Cauchy. De vergelijking kan worden getrokken: dat wat Eudoxus was begonnen na de val van de Atheense democratie voltooiden Cauchy en een aantal van zijn tijdgenoten in de periode waarin de industrialisatie snel toenam (Struik, 1965). De strenge formuleringen van Eudoxus bepaalden de richting van de hele Griekse wiskunde. Het was helaas zo dat de strenge formulering en de bewijzen die altijd nodig waren tijden lang remmend werkte in de ontwikkeling van de wiskunde. Bijvoorbeeld pas toen Kepler de strenge bewijsvoering losliet kwam hij tot nieuwe inzichten zoals zijn boeken over elliptische planetenbewegingen en inhoudsberekeningen. Maar na het experimenteren was het weer tijd voor exactheid.

Opdracht 7: Ben jij zelf iemand die meer met exactheid kennis tot je neemt, of meer met experimenteren?

Cauchy (1789-1857) was een wiskundige die zijn opleiding genoot aan de Ecole Polytechnique, één van de eerste echt hogere opleidingen van wiskunde. Hij gaf een nieuwe definitie van een limiet: ‘als de opeenvolgende waarden die aan dezelfde variabele worden toegekend heel dicht een vaste waarde naderen, zodat zij hiervan zo weinig afwijken als je zelf kan bepalen, dan is dit laatste de limiet van al de anderen (“if the successive values attributed to the same variable approach indefinitely a fixed value, such that they differ from it by as little as one wishes, this latter is called the limit of all the others” (Katz, 2009)). In zijn bewijs ging hij als eerste zover om een maat te geven aan ‘zo klein als men wenst’(‘as little as one

21

Page 22: Tekst (docx)

wishes’). Hij maakte hierbij gebruik van de Griekse letters δ (delta) en ε (epsilon). Waarschijnlijk gebruikte hij de δ voor difference en de ε voor erreur (fout in het Frans). Cauchy gebruikte de twee verschillende foutmarges als volgt; de δ voor de foutmarge bij de x; en de ε voor de foutmarge bij de f (x). Wat hij nog niet gebruikte was een relatie tussen δ en ε . Dat duurde weer 50 jaar.

Een functie?Met de aangescherpte definities voor limieten werden ook de definities van functies, afgeleiden en integralen steeds verder aangescherpt. De eerste definitie van een functie (van Johann Bernoulli, 1718): “Ik noem een functie van een variabele grootte een hoeveelheid die is opgebouwd uit deze variabele grootte en constanten (I call a function of a variable magnitude a quantity composed in any manner whatsoever from this variable magnitude and from constants” verschilt duidelijk van de laatste (en huidige) definitie van Dedekind (1888): “Een functie f op een set S is een wet volgens welke er bij ieder element s uit S een waarde hoort, deze waarde noemen we het beeld van s en noteren we met f(s’’ (a function f on a set S is a law according to which every determinate element s of S there belongs a determinate thing which is called the transform of s and denoted by f (s )”.

Opdracht 8: Leg in je eigen woorden uit wat jij verstaat onder een functie. Hoe rijmt dit met de definities van Bernoulli en Dedekind?

Bij het bestuderen van functies is de limiet zo belangrijk omdat je daarmee afgeleiden (en dus raaklijnen en maxima en minima) kunt berekenen, primitieven (en dus oppervlakte, zwaartepunten), en het gedrag van functies naar bepaalde punten en naar oneindig. Ook kun je met behulp van de definitie van limieten iets zeggen over het gedrag van functies, bijvoorbeeld of ze continu zijn (kun je een functie tekenen zonder je pen van het papier te halen? Dat is zo bij polynomen).

We gaan nu weer terug naar het begrip van ‘as little as one wishes’, naar de twee verschillende foutmarges, de δ voor de foutmarge bij de x; en de ε voor de foutmarge bij de f (x), en naar de relatie tussen δ en ε .

6. Het begin van de echte nauwkeurigheid; analyseHet was de Duitse wiskundige Karl Weierstrass (1815-1897) die met het δε bewijs (delta epsilon bewijs) kwam zoals dat nu op de universiteit wordt onderwezen bij het vak ‘analyse’. De theorieën van Weierstrass zijn naar buiten gebracht onder andere door Sofia Kovalevskaya (1850-1891). Het was bijzonder dat een vrouw als wiskundige werkte. In de tijd dat zij wilde studeren mochten er nog geen vrouwen naar de (Russische) universiteit. Gelukkig kreeg ze van haar vader eerst een tutor, een leraar aan huis. En toen ze oud genoeg was trouwde ze met een wetenschapper met wie ze rond kon reizen langs universiteiten zodat ze wiskunde kon studeren. Omdat ook de universiteit van Berlijn haar niet wilde aannemen nam Weierstrass haar persoonlijk in dienst. Zo kon ze wel studeren en schreef ze artikelen, en kreeg ze in 1874 zelfs een doctoraat van de Universiteit van Göttingen. Na de dood van haar man kreeg ze een positie als professor aan de Universiteit van Stockholm, de eerste vrouwelijke professor. Helaas kon ze niet lang meer werken, ze kreeg een longontsteking en stierf op 41-jarige leeftijd (Katz, 2009).

22

Page 23: Tekst (docx)

De theorieën van Weierstrass, naar buiten gebracht door Kovalevskaya, vormen de basis van de huidige analyse.

7. Een δε bewijsHoe werkt dat nu een δε bewijs? Bij een δε bewijs ga je op zoek naar een maat voor ‘heel dichtbij’. Hieronder gaan we dat doen bij twee soorten functies; bij een lineaire functie en bij een kwadratische functie. Bij deze paragraaf heb je de hele tijd pen en papier nodig. Probeer de stappen te volgen en als je alles snapt lees je het nog een keer en dan probeer je steeds meer zelf te doen totdat je de opgaven kunt maken.

7.1 Het bewijs bij een lineaire functie Stel je hebt de functie f (x)=5x−3. De vraag die je gesteld wordt is:Bewijs dat het volgende geldt: lim

x→3f (x )=12

Als je je een voorstelling hierbij maakt is het natuurlijk waar, je weet dat f (3) gelijk is aan 12, dus als x steeds dichter naar 3 toegaat zal f (x) ook wel steeds dichter naar 12 toegaan (zie figuur 12).

Figuur 12. Een δε bewijs

Maar kun je een waarde geven aan ‘heel dichtbij’? De vraag die je je stelt is de volgende: ‘Hoe dicht bij 3 moet x zijn zodat f (x) heel dicht bij 12 is?’

In wiskunde taal ziet deze vraag er als volgt uit: Voor welke δ geldt dat als |x−3|<δ dan |f (x)−12|<ε?

In woorden staat hier ‘Als de afstand van x tot 3 kleiner is dan delta, dan is de afstand van f (x) tot 12 kleiner dan epsilon’. In deze notatie zitten al wat dingen die je op de middelbare school ook krijgt, maar niet zo uitgebreid. Bijvoorbeeld bij

23

Page 24: Tekst (docx)

meetkunde heb je het over de afstand van een punt tot een lijn, maar daar geef je dan geen maat aan. Met de absolute waarde van x−3 wordt bedoeld de afstand van x tot 3. Op papier kun je dit vergelijken met de afstand tussen twee punten op een getallenlijn.

We beginnen in dit bewijs achteraan, we geven een waarde aan epsilon en kijken dan of we een delta kunnen vinden waarvoor het klopt. We beginnen met ε=0,1. Dan moeten we daarbij een delta vinden zodat Als |x−3|<δ dan geldt |f (x)−12|<0,1, met f (x)=5x−3. Een afstand kan nooit kleiner zijn dan 0 dus eigenlijk staat er 0<|x−3|<δ. We gaan kijken wat het betekent dat ε kleiner moet zijn dan 0,1. Dan geldt |f (x)−12|=|5 x−3−12|=|5 x−15|=5|x−3|<0,1

Opdracht 9. Probeer voorgaande berekeningen zelf uit en controleer of je het er mee eens bent!

Als je begint met |f (x)−12|<0,1dan krijg je na wat stappen algebra dus 5|x−3|<0,1.

Opdracht 10. Wat herken je in die laatste vergelijking?

We zijn op zoek naar een δ zodat je kunt zeggen: ‘Als |x−3|<δ dan geldt |f (x)−12|<0,1’. Oftewel als |x−3|<δ dan geldt 5|x−3|<0,1. Nu maak je nog een

laatste stap; als |x−3|<δ dan geldt|x−3|< 0,15 =0,02 . Dus als je kiest voor δ=0,02 dan

krijg je als |x−3|<δ=0,02 dan geldt 5|x−3|<ε=0,1. Namelijk door |f (x)−12|=|5 x−3−12|=|5 x−15|=5|x−3|<5 ∙0,02=0,1. En dat is precies wat we willen hebben. Dus nu heb een verband gevonden tussen δ en ε .

Dus wat hebben we nu gedaan: we hebben een maat gegeven aan de epsilon en daar hebben we een delta bij gezocht zodat als x δ-dichtbij een waarde is, dan is f (x) ε-dichtbij de bijbehorende waarde. Je merkt al wel dat het in woorden niet makkelijk uit te leggen is. Dit was iets waar Leibniz vanaf het begin van zijn carrière al aan werkte; aan het duidelijk opschrijven van de wiskunde in een wiskunde taal.

Opdracht 11: Welke δ moet je kiezen voor ε = 0,05? Kun je al een soort verband zien tussen δ en ε?

Nu maken we nog een nieuwe stap; wat we willen is dat als we het over een limiet hebben dat we dan niet een minimale waarde voor δ en ε moeten geven maar we zouden willen dat voor iedere ε die we kiezen dat we daarbij een δ kunnen vinden zodat als x δ-dichtbij 3 komt, dat f (x) dan ε-dichtbij 12 komt. Dus in plaats van nu een getal te geven voor ε , gebruiken we gewoon de letter ε en kijken we of we een verband tussen δ en ε kunnen vinden zodat het altijd geldt.

Lees nog eens bovenstaande redenering met ε=0,1 door. Wat je nu eigenlijk moet doen is iedere 0,1 vervangen door ε . Dan krijg je:

Als |x−3|<δ dan geldt |f (x)−12|<ε. Een afstand kan nooit kleiner zijn dan 0 dus eigenlijk staat er 0<|x−3|<δ. We gaan kijken wat het betekent dat epsilon kleiner moet zijn dan ε . Dan geldt |f (x)−12|=|5 x−3−12|=|5 x−15|=5|x−3|<ε. Als je begint met |f (x)−12|<ε dan krijg je. We zijn op zoek naar een δ zodat je kunt zeggen: ‘Als |x−3|<δ dan geldt |f (x)−12|<ε. Oftewel als |x−3|<δ dan geldt 5|x−3|<ε. Je kunt nog

24

Page 25: Tekst (docx)

een stap verder gaan: als |x−3|<δ dan geldt|x−3|< ε5=0,2 ε. Dus kies δ=0,2 ε. Dan

krijg je |f (x)−12|=|5 x−3−12|=|5 x−15|=5|x−3|<5 ∙ δ=5∙0,2 ε=ε.

Opdracht 12. Bewijs de volgende twee beweringen met behulp van een δε bewijs.Volg daarbij de stappen zoals hierboven.

limx→−2

(3 x+5)=−1 limx→−3

(1−4 x )= 13

In figuur 13 ziet het er als volgt uit waarbij δ en εdus maten zijn voor ‘heel dicht bij’.

Figuur 13.Een δε bewijs

Bovenaan in de tekening zie je ook de wiskunde taal. Er staat hier: De limiet voor x gaat naar a voor f (x) is gelijk aan L als voor iedere ε groter dan nul er een δ is groter dan nul zodanig dat als de absolute waarde van x−a ligt tussen 0 en δ , dat dan de absolute waarde van f (x)−L kleiner is dan ε .

De definitie van een limiet wordt dan (Stewart, 2012): ‘Laat f een functie zijn die gedefinieerd is op een open interval met a, waarbij a ook aan de rand kan liggen. Dan zeggen we dat de limiet van f(x) als x a nadert gelijk is aan L, en we schrijven limx→a

f ( x )=L. Als voor elke ε>0 een getal δ>0 is zodat als 0<|x−a|<δ dan |f (x)−L|<ε.’

25

Page 26: Tekst (docx)

(Let f be a function defined on some open interval that contains the number a except possibly at a itself. Then we say that the limit of f (x) as x approaches a is L and we

write limx→a

f ( x )=L. If for every number ε>0 there is a number δ>0 such that

If 0<|x−a|<δ then |f (x)−L|<ε. )

7.2 Het bewijs bij een kwadratische functie Nu gaan we bewijzen dat lim

x→ 4(x2)=16. Het lijkt natuurlijk duidelijk dat dit klopt, want

hoe dichter x naar 4 gaat, hoe dichter 42 naar 16 gaat. Maar hoe kun je dit precies maken? We gebruiken deze eenvoudige functie omdat we dan een idee krijgen wat we aan het doen zijn. Bij moeilijkere functies lukt het ook, maar dat is dan iets voor de universiteit.

Ook dit gaan we bewijzen met een δε bewijs, en we doen het nu zonder de tussenstap dat je voor ε een vaste waarde geeft.

Dus dan moeten we weer op zoek naar een delta zodat Als |x−4|<δ dan geldt |f (x)−16|<ε. Voor iedere ε .

Dan gaan we eerst weer kijken wat er gebeurt bij het rechterdeel:

Dan geldt |f (x)−16|=|x2−16|<ε

Nu moeten we gaan proberen om |x−4| in deze vergelijking te krijgen want daar kunnen we een maat aangeven (die wordt namelijk ¿δ , en je moet dus toe naar een presentatie waarbij datgene dat kleiner is dan δ terugkomt in de formule).

Opdracht 13. Hoe kun je in de vergelijking (x¿¿2−16)¿ de term (x−4) krijgen?

Je kunt |x2−16|<ε uitdrukken in |(x−4 )(x+4)|<ε. Dit kun je omschrijven tot |(x−4 )||(x+4 )|<ε.

Als we de stappen zoals hierboven direct zouden toepassen dan zou je het volgende krijgen:

We zijn op zoek naar een δ zodat je kunt zeggen ‘Als |x−4|<δ dan geldt |f (x)−16|<ε. Oftewel als |x−4|<δ dan geldt |(x−4 )||(x+4 )|<ε.

Je kunt nog een stap verder gaan: als|x−4|<δ dan geldt |(x−4 )|<ε

|(x+4 )|.

Dan zou je dus voor je δ moeten kiezen ε

|(x+4)|.

Met |x−4|<δ krijg je dan

|f (x)−16|=|x2−16|=|( x−4)||(x+4)|<|(x+4 )|δ=|(x+4)|∙ ε|(x+4)|

=ε.

26

Page 27: Tekst (docx)

Maar het probleem is nu dat δ opeens ook met x verbonden is en dan wordt het allemaal veel te ingewikkeld. Dus we moeten nog eens even kijken of we iets kunnen met |(x+4)|, hoe zouden we dat nog verder af kunnen schatten?

We moeten hiervoor nog een stap maken.Stel nu dat je zegt dat δ niet groter mag zijn dan 1.Dan weet je dat |x−4|<1.Dus dan geldt (als je de absolute waarde wegwerkt): −1<x−4<1.Dit kan je nu met algebra verder omschrijven tot je weer de vorm x+4 krijgt:7<x+4<9. Dus |x+4|<9.Als we dit nu eens in onze vergelijking stoppen waar we mee bezig waren.

We zijn op zoek naar een δ zodat je kunt zeggen ‘Als |x−4|<δ dan geldt |f (x)−16|<ε.Oftewel als|x−4|<δ dan geldt |(x−4 )||(x+4 )|<ε.

En nu zeggen we dat δ kleiner moet zijn dan 1, dan weet je dat |x+4|<9.Dus als |x−4|<δ en als δ<1 dan geldt |(x−4 )||(x+4 )|<9δ en dit moet kleiner zijn dan

ε . Dit geeft 9δ<ε, dus nu weet je hoe je δ moet kiezen; namelijk δ< ε9.

Alles hierboven is eigenlijk meer een kladblaadje voor het officiële bewijs, je weet nu in ieder geval hoe je de δ moet kiezen zodat “Voor iedere ε is er een δ zodat als |x−4|<δ dan geldt |f (x)−16|<ε.”

Laat δ<1 en ¿ε9 (een korte notatie hiervoor is δ=min {1 , ε9 .} Als |x−4|<δ dan is

|x−4|<1 en −1<x−4<1 en dus 7<x+4<9 en dus |x+4|<9. We hebben ook dat

|x−4|< ε9 dus |x2−16|=|(x−4 )||(x+4 )|< ε9 ∙9=ε.

Hiermee heb je nu aangetoond dat limx→ 4

(x2 )=16.

Opdracht 14. Bewijs de volgende twee beweringen met behulp van een δε bewijs.Volg daarbij de stappen zoals hierboven.

limx→2

(x2 )=4. limx→2

(x3 )=8.

8. AfsluitingWe hebben nu gezien dat we een maat hebben gevonden voor ‘heel dichtbij’. We hebben aangetoond (zoals in het voorbeeld bij lim

x→ 4(x2 )=16 bijvoorbeeld) dat je voor

iedere afstand ε van de functie tot 16 een afstand δ kan vinden van x tot 4 waarvoor geldt dat als x−4 kleiner is dan die afstand δ , dan is x2−16 kleiner dan die andere

27

Page 28: Tekst (docx)

afstand ε . Als je namelijk kiest dat δ<1 en δ< ε9 dan krijg je dat f (x) altijd kleiner is

dan ε .

Hiermee bewijzen we dus dat er voor iedere εeen δ te vinden is zodat als x heel dicht bij 4 komt dan komt f (x) heel dicht bij 16. Als je bijvoorbeeld ε=0,08 kiest, dan wordt

δ 0,089 en dan kun je het bewijs verder volgen.

Laat δ< 0,089 (dan is δ dus automatisch ook kleiner dan 1). Als |x−4|< 0,089 dan is

|x−4| in ieder geval ¿1 en −1<x−4<1 en dus 7<x+4<9 en dus |x+4|<9. We hebben

ook dat |x−4|< 0,089 dus |x2−16|=|(x−4 )||(x+4 )|<9 ∙ 0,089 =0,08.

We zijn dus nu aangekomen bij de basis van waar Newton en Leibniz mee begonnen zijn. Zij gaven ons berekeningen waarmee op een relatief eenvoudige manier raaklijnen, oppervlaktes, inhouden, snelheden, etc. te berekenen waren. Vanaf het moment dat ze met hun uitkomsten kwamen werd er intensief gebruik gemaakt van hun methodes, maar al snel kwamen er vragen bij, zoals Berkeley die aan het begin van deze lessenserie stelde; hoe kan het dat het klopt? Is het niet toeval? Is het niet zo dat er twee fouten worden gemaakt die elkaar opheffen? Zal er niet op een dag iemand komen die toch zegt dat het allemaal niet waar is, ook al zijn er opeens een heleboel onderwerpen te verklaren (bijvoorbeeld de baan van de planeten om de zon, de navigatie op zee, etc.).

Eigenlijk is het pas sinds het strenge bewijs van Weierstrass, zoals jullie hierboven zelf hebben gedaan, dat we met zekerheid kunnen zeggen dat Newton en Leibniz echt gelijk hadden, en dat de basis waarop zij bouwden ook stevig staat.

28

Page 29: Tekst (docx)

A. Werkblad bij Les 3 opdracht 1

29

Page 30: Tekst (docx)

30

Page 31: Tekst (docx)

31

Page 32: Tekst (docx)

32

Page 33: Tekst (docx)

Uitwerkingen Hoofdstuk 1

Opdracht 1. Cirkelkwadratuur: We weten nu dat het vierkant dan een lengte en breedte moet hebben met de waarde de wortel van π.

Opdracht 2. Vraag de leerlingen een uitdrukking voor z2 te geven.

Antwoord: z2=( 23 x32 )2

= 49x3

Opdracht 3. Laat de leerlingen bovenstaande uitdrukking verder uitwerken. Het doel is te bespreken hoe ver we kunnen gaan. Probeer te achterhalen wat verschillende leerlingen hebben bereikt.

Antwoord: Door haakjes uitwerken verkrijgen we:

z2+2 zov+o2 v2=49

(x3+3x2o+3 x o2+o3 )

Omdat z2=49x3 mogen we dit aan beide kanten wegstrepen. Dit geeft ons:

2 zov+o2 v2=49

(3 x2o+3 x o2+o3 )

We kunnen ook nog beide kanten door o delen:

2 zv+ov2=49

(3x2+3 xo+o2 )Newton neemt nu de afstand BC ‘oneindig klein’. Er geldt nu y=v (figuur 1) en de termen met o er in verdwijnen. Dit geeft ons:

2 zy=43x2

Dit is de stap waar leerlingen (hopelijk) vragen bij hebben. Hoe kon er net gedeeld worden door o en wordt er nu gelijk gesteld aan 0?

Opdracht 4.

Opdracht 5. Bedenk een kritiekpunt op de aanpak van Newton.

Antwoorden kunnen zijn:- Newton deelt eerst door o en vervolgens neemt hij o zo goed als gelijk

aan nul. Dan had hij ook niet mogen delen.- Hoe kiest Newton precies het punt F zodat de oppervlaktes van de

driehoek-achtige oppervlaktes gelijk zijn? (Dit punt F moet theoretisch natuurlijk wel bestaan.)

Page 34: Tekst (docx)

Opdracht 6. Wat is b1+b2+b3+…+bn?

.

Opdracht 7. Probeer de breuk 2

r (r+1) te schrijven als het verschil van twee breuken.

Antwoord:2

r (r+1)=2 r+2−2r

r (r+1)=2 (r+1 )−2 r

r (r+1)=2(r+1)r (r+1)

− 2 rr (r+1 )

=2r− 2r+1

Opdracht 8. Omschrijven van sommatie tot een verschil..

Opdracht 9. Geef uitdrukkingen voor de oppervlaktes van ∆Op c ' en van ∆Opc en gebruik deze om een uitdrukking voor ∆Occ ' te geven, doe dit op twee manieren.

Antwoord:

∆Op c '=12Op∙ pc ' en ∆Opc=12

Op∙ pc

Dus∆Occ '=∆Opc '−∆Opc=12Op∙ pc'−1

2Op ∙ pc=1

2Op( pc '−pc)=1

2Op∙cc '

Of ∆Oc c '=12x basis x hoogte=1

2Op∙cc '

Opdracht 10. Toon aan dat ∆ cdc ' ∆Ops.

Antwoord:We weten ∠cd c '=90 ° en ∠Ops=90°.Verder geldt:∠c ' cd=∠csq (F−hoeken)∠cqs=∠d c ' c(90° )Dus is ∆ c' cd ∞∆csq

∠csq=∠rsp (overstaande hoeken).∠rsp+∠ pso=90° (hoekensom driehoek)∠csq+∠scq=90 ° (hoekensom driehoek)Dus ∠ psO=∠ scq , endus geldt∠ pOs=∠csq.

Hieruit volgt ∆ psO∞∆dc ' c

34

Het antwoord is a1−an+1

Page 35: Tekst (docx)

Opdracht 11. Gebruik de verhouding c c'

Os= cdOp

om ∆Oc c '=12Op∙cc ' uit te drukken in

Os en cd .

Antwoord:c c'

Os= cdOp

dus Op∙c c '=Os∙cd . Dus ∆Oc c '=12Os ∙cd.

35

Uitwerking eindopdracht Hoofdstuk 1Deel A. Newton

1. Regel 1. Als a ∙ xmn= y, dan zal an

m+nxm+nn de oppervlakte van ABD zijn, a=1 ,m=1, n=2

2. Als y=a ∙ xm /n, dan geldt dat

∫ a∙ xm /ndx=a ∙( 1

(mn +nn )) ∙ x

(mn + nn )=a ∙( 1

(m+nn )) ∙ x

(m+nn )

=a ∙( nm+n ) ∙ x(m+n

n )=

nam+n ∙ x

(m+nn )

3. z=25x5 /2

z2= 425

x5

( z+ov )2= 425

( x+o )5

z2+2 zov+o2 v2= 425

(x5+5 x4o+10 x3o2+10 x2o3+5 x o4+o5)

Wegstrepen van z2= 425

x5 en delen door o

2 zv+ov2= 425

(5 x4+10 x3o+10x2o2+5 x o3+o4)

Termen met o er in verdwijnen, en y=v:

2 zy=45x4 Vervang z=25

x5 /2:

45x5/2 y= 4

5x4 De functie y=x3 /2 hoort bij de gegeven oppervlakte z (x)=25

x5 /2.

Deel B. Leibniz4. De vergelijking voor de lijn door punten p en c ' is van de vorm y=ax+b. De lijn snijdt de y-as in punt s,

en omdat Os=z volgt b=z. De helling a= c ' dcd . Zie de lijnstukjes c ' d en cd nu als toename in

Page 36: Tekst (docx)

Uitwerkingen hoofdstuk 2 De kettinglijn

Opdracht 1. Wat denken jullie dat er gebeurt met de vorm van het koord als we bij elk flesje nog een flesje hangen?

Hang de flesjes erbij en te zien zal zijn dat de vorm gelijk blijft.

Opdracht 2. Wat is in de situatie van figuur 8 de verhouding AA’: BB’: CC’.

Antwoord:(S ∙cos β) ∙ p=5G ∙3a−2G ∙2a – 2G ∙a=9G ∙a

Met S=5G /sin β wordt dit (5G ∙ cosαsinα ) ∙ p=9G∙a

cosαsinα

¿ 1tan α

=a/w dus 5G∙aw∙ p=9G∙a dus

pw

=95

En dus AA’ : BB’ : CC’ = 1 : 4 : 9

Optioneel opdracht 2b. Bereken ook de verhouding bij 7 gewichten.

Achtereenvolgens vind je dat AA’ : BB’ : CC’ : DD’ : EE’ : . . . = 1 : 4 : 9 : 16 : 25 : . . .

Opdracht 3. Bereken P, Q en R. Je mag hierbij gebruik maken van je huidige wiskunde technieken.

Antwoord: f (0 )=0 , dus R=0f ' (x)=2Px+Q en f ' (0 )=0 , dus Q=0f (a )=Pa2=b ⇔ P=b/a2

Dus f ( x )=¿x=2a, x=3a, x=na geven de verwachte y-coördinaten van B, C en X.

Opdracht 4. Bereken de hellingen tussen de verschillende ophangpunten.

Antwoord:

Helling a is ba

Helling b is 3ba

Helling c is 5ba

36

Uitwerking eindopdracht Hoofdstuk 1Deel A. Newton

1. Regel 1. Als a ∙ xmn= y, dan zal an

m+nxm+nn de oppervlakte van ABD zijn, a=1 ,m=1, n=2

2. Als y=a ∙ xm /n, dan geldt dat

∫ a∙ xm /ndx=a ∙( 1

(mn +nn )) ∙ x

(mn + nn )=a ∙( 1

(m+nn )) ∙ x

(m+nn )

=a ∙( nm+n ) ∙ x(m+n

n )=

nam+n ∙ x

(m+nn )

3. z=25x5 /2

z2= 425

x5

( z+ov )2= 425

( x+o )5

z2+2 zov+o2 v2= 425

(x5+5 x4o+10 x3o2+10 x2o3+5 x o4+o5)

Wegstrepen van z2= 425

x5 en delen door o

2 zv+ov2= 425

(5 x4+10 x3o+10x2o2+5 x o3+o4)

Termen met o er in verdwijnen, en y=v:

2 zy=45x4 Vervang z=25

x5 /2:

45x5/2 y= 4

5x4 De functie y=x3 /2 hoort bij de gegeven oppervlakte z (x)=25

x5 /2.

Deel B. Leibniz4. De vergelijking voor de lijn door punten p en c ' is van de vorm y=ax+b. De lijn snijdt de y-as in punt s,

en omdat Os=z volgt b=z. De helling a= c ' dcd

. Zie de lijnstukjes c ' d en cd nu als toename in

Page 37: Tekst (docx)

Opdracht 5. Ga na dat y=1ccosh cx=¿ e

cx+e−cx

2c¿ inderdaad een mogelijke primitieve

is van is van y ' '=c ∙ dsdx ¿c ∙√1+ y '2. (Bereken y ', bereken y ' ', toon aan dat

y ' '=c ∙√1+ y ' 2)

Antwoord opgave 5

1. y= ecx+e−cx

2c= 12 c

(ecx+e−cx)

Dus y '= 12c

(c ∙ ecx−c ∙ e−cx )= ecx−e−cx

2

2. y '= ecx−e−cx

2

Dus y ' '=12

(c ∙ ecx+c ∙ e−cx )=12∙ c ∙(ecx+e−cx)

3. y '= ecx−e−cx

2

Dus y ' 2=( ecx−e−cx

2 )2

=(ecx−e−cx )2

4= ecx ecx−2ecx e−cx+e−cx e−cx

4= e2cx−2+e−2cx

4

Dus y ' 2+1= e2cx−2+e−2cx

4+ 44= e2 cx+e−2cx+2

4

Dus √1+ y '2=√ e2cx+e−2cx+24

=√e2cx+e−2cx+2√4

=12 √e2cx+e−2cx+2

Er geldt e2cx+e−2cx+2=ecx ecx+2ecx e−cx+e−cx e−cx=(ecx+e−cx )2

Dus √1+ y '2=12 √(ecx+e−cx )2=12

(ecx+e−cx )

Dus c ∙√1+ y '2=12 ∙ c ∙ (ecx+e−cx )= y ' '

37

Uitwerking eindopdracht Hoofdstuk 1Deel A. Newton

1. Regel 1. Als a ∙ xmn= y, dan zal an

m+nxm+nn de oppervlakte van ABD zijn, a=1 ,m=1, n=2

2. Als y=a ∙ xm /n, dan geldt dat

∫ a∙ xm /ndx=a ∙( 1

(mn +nn )) ∙ x

(mn + nn )=a ∙( 1

(m+nn )) ∙ x

(m+nn )

=a ∙( nm+n ) ∙ x(m+n

n )=

nam+n ∙ x

(m+nn )

3. z=25x5 /2

z2= 425

x5

( z+ov )2= 425

( x+o )5

z2+2 zov+o2 v2= 425

(x5+5 x4o+10 x3o2+10 x2o3+5 x o4+o5)

Wegstrepen van z2= 425

x5 en delen door o

2 zv+ov2= 425

(5 x4+10 x3o+10x2o2+5 x o3+o4)

Termen met o er in verdwijnen, en y=v:

2 zy=45x4 Vervang z=25

x5 /2:

45x5/2 y= 4

5x4 De functie y=x3 /2 hoort bij de gegeven oppervlakte z (x)=25

x5 /2.

Deel B. Leibniz4. De vergelijking voor de lijn door punten p en c ' is van de vorm y=ax+b. De lijn snijdt de y-as in punt s,

en omdat Os=z volgt b=z. De helling a= c ' dcd

. Zie de lijnstukjes c ' d en cd nu als toename in

Page 38: Tekst (docx)

Uitwerkingen hoofdstuk 3. AnalyseOpdracht 1

a. Uit de tekst kun je opmaken dat Berkeley zeker kennis had van zaken, bijvoorbeeld hoe hij zijn toelichting geeft over de geometrie en hoe hij uitleg geeft over de theorie van fluxen en increments.

b. Zodra hij gaat praten over die hele kleine stapjes, zie passage III: ‘Now as our Sense is strained and puzzled with the perception of Objects extremely minute, even so the Imagination, which Faculty derives from Sense, is very much strained and puzzled to frame clear Ideas of the least Particles of time, or the least Increments generated therein’. Hij wil graag duidelijke ideeën bij dat begrip ‘klein’.

c. Hij vindt dat wetenschappers met zoveel intelligentie nu eigenlijk overstappen naar vertrouwen, vertrouwen dat iets wel zal bestaan, zie bijvoorbeeld deel IV: ‘But to conceive a Part of such infinitely small Quantity, that shall be still infinitely less than it, and consequently though multiply’d infinitely shall never equal the minutest finite Quantity, is, I suspect, an infinite Difficulty to any Man whatsoever; and will be allowed such by those who candidly say what they think; provided they really think and reflect, and do not take things upon trust.’

d. …

Opdracht 2

limz→ 0 ( a

2 y+z )= a2 y voor z>0 Of lim

z+→ 0 ( a2 y+z )= a

2 y .

Opdracht 3 + 4limx→1

f (x ) met f ( x )= x2+ x−2x−2

geeft 1+1−2

−1= 0

−1=0.

Bij x=1 wordt de teller 0. Dat geeft als eindantwoord altijd 0. Dus blijkbaar gaat de grafiek naar 0 als x naar 1 gaat. Als x gelijk is aan 1 is y=0. Het is dus niet zo dat de limiet hier een asymptoot is. Zie de afbeelding hiernaast.

limx→2

f (x ) met f ( x )= x−2x2−4

geeft 00 en dat kan niet, dus hier

moeten we wel iets anders doen namelijk x−2

(x+2)(x−2)= 1x+2

voor x≠2 geeft limx→2 ( 1

x+2 )=14

Let op! Je GR laat bij graph niet duidelijk zijn dat de functie voor x=2 niet bestaat, maar bij table kun je het

wel zien.

Opdracht 5

38

Page 39: Tekst (docx)

f (x)=√6 x−9 heeft beginpunt (1,5 ;0). Domein is x≥112 .Voor x=1

12 krijg je

f ( x )=√0=0 en dat bestaat. Geen asymptoot.

g ( x )=8x+95 x+2 heeft twee asymptoten. De verticale asymptoot vind je door 5 x+2=0 op

te lossen, dus x=−25 . (check 8x+9 ≠0 als x= -

25 De horizontale asymptoot vind je

door x heel groot te maken. Dan worden de termen +9 en +2 verwaarloosbaar klein,

dus y=85 . Domein is x≠−2

5 .

h(x )=ex heeft een horizontale asymptoot, namelijk y=0. Domein is R.

i(x)=log x heeft een verticale asymptoot, namelijk x=0. Domein is x>0.

Opdracht 6

f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f ( x )h

hiermee bereken je de afgeleide. Dit doe je door de helling te

berekenen in een punt, met ∆ y∆x (zie ook Leibniz, H1) waarbij ∆ y=f ( x+h )−f ( x ) en

∆ x=x+h−x=h. Vervolgens laat je h heel klein worden (limh→0❑). h mag niet gelijk

worden aan 0 want anders deel je door 0 en dat mag niet.

Opdracht 7Eigen mening van de leerling.

Opdracht 8Eigen definitie van de leerling. De invariabele is de waarde bij de x-as, hier kun je een willekeurige waarde voor kiezen in het domein van de functie. De variabele is dan het getal wat je krijgt door f (x)= y, dit ligt in het bereik van de functie.

Opdracht 9Eigen werk.

Opdracht 10Je herkent hierin |x−3| waarvan je weet dat dit kleiner is dan δ .

Opdracht 11Je moet δ=

0,055

=0,01 kiezen. We zien het verband δ=ε5 .

Opdracht 12a. lim

x→−2(3 x+5)=−1

39

Page 40: Tekst (docx)

Let op dat je het nauwkeurig opschrijft, eerst ga je op een kladblaadje bedenken wat δ kan zijn. Je moet voor iedere ε>0 een δ>0 zoeken zodat als |x−−2|<δ dan geldt |f (x )−−1|<ε . We zijn op zoek naar een δ zodat je kunt zeggen: ‘Als |x+2|<δ dan geldt |f (x )+1|<ε. Als je begint met |f (x )−−1|<ε dan geeft dat |3 x+5−−1|=|3 x+6|=3∨x+2∨¿ en dit moet kleiner zijn dan ε . Oftewel als |x+2|<δ

dan geldt 3|x+2|<ε oftewel als |x+2|<δ dan geldt |x+2|< ε3=13ε .

Dus kies δ=13 ε. Dan krijg je |f (x )−−1|=|3 x+5−−1|=|3x+6|=3|x+2|<3 ∙ δ=3 ∙ 13ε=ε.

Officieel is het vetgedrukte gedeelte het officiële antwoord, als je dat geeft is het goed. Maar je ziet dat het voorwerk erbij hoort om te bepalen wat je voor δ moet kiezen, dus dat moet je bij deze opgaven ook steeds laten zien.

b. limx→−3

(1−4 x )= 13

Je moet voor iedere ε>0 een δ>0 zoeken zodat als |x−−3|<δ dan geldt |f (x )−13|<ε. Als je begint met |f (x )−13|<ε dat geeft |1−4 x−13|=|−4 x−12|=|4 x+12|=4∨x+3∨¿ en dit moet kleiner zijn dan ε . Je werkt met als |x+3|<δ dan 4∨x+3∨¿ϵ , dus kies

δ= ε4=0,25 ε.

Nu het officiële bewijs: Kies δ=0,25 ε. Dan krijg je |f (x )−13|=|1−4 x−13|=|−4 x−12|=|4 x+12|=4|x+3|<4 ∙ δ=4 ∙0,25 ε=ε.

Opdracht 13Gebruik het merkwaardig product, ( x−4 ) ( x+4 )=x2+4 x−4 x−16=x2−16.

Opdracht 14a. lim

x→2(x2 )=4.

Voor iedere ε>0 is er een δ>0 zodat geldt als |x−2|<δ dan is |x2−4|<ε. Schrijf |x2−4|=¿ ( x−2 ) ( x+2 )∨¿ en je weet |x−2|<δ.

Neem dat δ niet groter mag zijn dan 1. Dan weet je dat |x−2|<1. Dus dan geldt (als je de absolute waarde wegwerkt): −1<x−2<1. Dit geeft 3<x+2<5. Dus |x+2|<5.

Dus als |x−2|<δ en als δ<1 dan geldt |(x−2)||(x+2)|<5δ en dit moet kleiner zijn dan ε

. Dit geeft 5δ<ε, dus nu weet je hoe je δ moet kiezen; namelijk δ< ε5.

Alles hierboven is eigenlijk meer een kladblaadje voor we het officiële bewijs geven; namelijk:“Voor iedere ε is er een δ zodat als |x−2|<δ dan geldt |f (x)−4|<ε.”

40

Page 41: Tekst (docx)

Laat δ<1 en ¿ε5 (een korte notatie hiervoor is δ=min {1 , ε5 .}of min(1 , ε5 ). Als |x−2|<δ

dan is |x−2|<1 en −1<x−2<1 en dus 3<x+2<5 en dus |x+2|<5. We hebben ook dat

|x−2|< ε5 dus |x2−4|=¿.

Hiermee heb je nu aangetoond dat limx→2

(x2 )=4.

b. limx→2

(x3 )=8.Voor iedere ε>0 is er een δ>0 zodat geldt als |x−2|<δ dan is |x3−8|<ε.Schrijf |x3−8|=¿ ( x−2 ) (x2+2x+4 )∨¿ door middel van een staartdeling, zie de afbeelding hiernaast.

Nu weet je |x−2|<δ, maar hoe kun je de rest nu afschatten? Neem weer dat δ niet groter mag zijn dan 1. Dan weet je dat |x−2|<1.Dus dan geldt (als je de absolute waarde wegwerkt): −1<x−2<1.Dus dan weet je dat 1<x<3, dus x<3. Vul dit nu in in de formule en dan weet je wat het rechtergedeelte maximaal kan zijn: |(x2+2 x+4)|<|x2|+|2x|+4<19 (hierbij maak je ook gebruik van de driehoeksongelijkheid maar dat reikt nu te ver om te behandelen).

Dus als |x−2|<δ en als δ<1 dan geldt |( x−2 ) (x2+2x+4 )|<19δ en dit moet kleiner zijn

dan ε . Dit geeft 19δ<ε, dus nu weet je hoe je δ moet kiezen; namelijk δ< ε19

.

Laat δ<1 en ¿ε19 (of δ=min (1 , ε19 )). Als |x−2|<δ dan is |x−2|<1 en −1<x−2<1 en

dus 1<x<3 en dus ¿ x2+2x+4∨¿19. We hebben ook dat |x−2|< ε19 dus |x3−8|=¿.

Hiermee heb je nu aangetoond dat limx→2

(x3 )=8.

41

Page 42: Tekst (docx)

Literatuurlijst

Ban, E. van den (2011). Inleiding Analyse: Dictaat. Utrecht: Mathematisch Instituut. Online beschikbaar via: http://www.staff.science.uu.nl/~ban00101/lecnotes/inlan2011.pdf

Blij, F. van der, & Tiel, J. van (1975). Infinitesimaalrekening. Utrecht/Antwerpen: Het Spectrum.

Bos, H. J. M. (1980). Newton, Leibniz and the Leibnizian tradition. In I. Grattan-Guinness (Eds.), From the calculus to set theory, 1630-1910 (49-93). London: Gerald Duckwordt & Co. Ltd.

Heck, A. (2007). Modelleren van bruggen en bogen. Nieuwe Wiskrant, 27(1), 42-52. Online beschikbaar via: http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/271/271september_heck.pdf

Katz, M. G., & Sherry, D. (2013). Leibniz’s infinitesimals: Their fictionality, their modern implementations, and their foes from Berkeley to Russell and beyond. Erkenntnis, 78(3), 571-625. Online beschikbaar via: http://arxiv.org/pdf/1205.0174v1.pdf

Katz, V. J. (2009). A history of mathematics: An introduction (3rd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley.

Mulder, H.M. (1974). Van parabool tot kettinglijn. Pythagoras. Wiskunde tijdschrift voor jongeren, 13(5), 103-109. Online beschikbaar via: http://www.pyth.eu/pdf/artikel_49992_PYTHAGORAS_JG13_No5.pdf

Stewart, J. (2012). Calculus early transcendentals (7th ed.). Toronto: Brooks/Cole.

Struik, D.J. (1965). Geschiedenis van de wiskunde. Utrecht/Antwerpen: Het Spectrum.

Tzanakis, C., & Arcavi, A. (2000). Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey. In J. Fauvel & J. van Maanen (Eds.), History in Mathematics Education: the ICMI study (201-204). Dordrecht: Kluwer.

Fotokopieën uit historisch materiaalBerkeley, G. (1734). The analyst or a discourse addressed to an infidel mathematician: wherein it is

examined whether the object, principles, and inferences of the modern analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduced than religious mysteries and points of faith / by the author of The minute philosopher [George Berkeley]. London: Tonson.

Leibniz, G. G. (1684). Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus. Acta eruditorum, 2(3), 467-473.

Newton, I. (1723). Philosophiae naturalis principia mathematica (Ed ult. / cui accedit Analysis per quantitatum series, fluxiones ac differentias cum enumeratione linearum tertii ordinis). Amstaelodami: sumptibus Societatis.

42