Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde(2DB80)

cursus 2010/2011

Waarschuwing

Deze waarschuwing is bedoeld voor alle ouderejaars studenten die Calculus 1nog moeten doen. De leerstof is niet gewijzigd ten opzichte van vorig jaar,maar in verband met de invoering van de ingangstoets is de tentaminering welgewijzigd. Zie “Wiskundige vaardigheden” en “Tentaminering”.

Inleiding

In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boekCalculus, Early Transcendental FunctionsRobert T. Smith, Roland B. Minton, third edition, Mc Graw Hill, 2006.

In deze studiewijzer is per week een overzicht gegeven van achtereenvolgens:

* de stof uit het boek die op college wordt behandeld

* belangrijke begrippen hieruit

* de opgaven voor de instructies.

De colleges Calculus 1 voor de eerstejaars studenten worden gegeven door:Dr. A.G. van Asch (tel. 2810, e-mail a.g.v.asch@tue.nl) onder de code 2DB80.

De colleges worden op dinsdag gegeven, en de instructies vinden op donderdag plaats.Het is de bedoeling dat de leerstof voorafgaand aan de instructies bestudeerd wordt. Ookis het raadzaam alvast naar de instructie-opgaven te kijken, en daar eventueel vooraf almee te oefenen. De nadruk in met name het eerste deel van het vak Calculus 1 zal liggenop het verwerven van kennis en vaardigheden met betrekking tot een aantal elementairewiskundige zaken. Zeker in het begin kan daardoor de indruk gewekt worden dat on-derwerpen uit het VWO programma herhaald worden. Inhoudelijk is dat op een aantalpunten ook zo, maar de werkwijze is wel verschillend. Er zal dieper worden ingegaan optal van onderwerpen uit de school-wiskunde, en op verschillende plaatsen zullen er nieuweaspecten aan worden toegevoegd.

1

Wiskundige vaardigheden

Op het college en de instructies wordt uitgegaan van bepaalde rekenvaardigheden enhet paraat hebben van formules. Dit wordt apart schriftelijk getoetst in de Ingangs-toets wiskundige vaardigheden (2DA70) in de eerst collegeweek. Bij de vaststelling vanhet eindcijfer voor het vak Calculus 1 zal het resultaat van deze Ingangstoets voor 10%meetellen. Er is een herkansing in week 5 en in week 8.

Hieronder volgen wat suggesties voor het eventueel bijspijkeren van wiskundige basisvaar-digheden.

• Op de website van WISTU/e:

http://www.wistue.nl/

kan geoefend worden met de soort opgaven die ook tijdens de Ingangstoets gevraagdworden.

• Indien er een achterstand of deficiëntie is, kan het dictaat “Rekenvaardigheden”aanschaft worden bij de dictaten verkoop. Hierin staan veel relevante formules enopgaven.

• Verder is het boek: “Basisboek Wiskunde” (tweede editie) van Jan van de Craats enRob Bosch (ISBN 978-90-430-1673-5) aan te bevelen. In het verlengde hiervan is ookhet boek “Vervolgboek Wiskunde” van Jan van de Craats (ISBN 978-90-430-1619-3)zeer goed bruikbaar.

• Tenslotte is het ook mogelijk om mee te doen aan het project Wortel Tu/e op dewebsite:

http://dam02.win.tue.nl/moodle

Klik aan de linkerkant in het tweede blok: Cursuscategorieën op: ”Alle cursussen”.Vervolgens bij TU/e, Colleges: ”Calculus voor Bouwkunde” aanklikken.

Om aan de cursus te kunnen deelnemen, moet men zich wel eerst aanmelden (Ac-count maken). Per email komt er dan een bevestiging, zodat men verder kan.

2

Tentaminering

Het semester bestaat uit twee kwartielen. Na het eerste kwartiel vindt er een deeltenta-men van 1.5 uur plaats over het eerste deel van de leerstof. Dit deeltentamen gaat overde volgende paragrafen (voor zover behandeld):

Chapter 0: 0.1, 0.3, 0.4, 0.5Chapter 1: 1.2 t/m 1.5Chapter 2: 2.1 t/m 2.7

Na het tweede kwartiel is er een tentamen van 3 uur over de gehele stof. Dit tentamenbestaat uit een duidelijk onderscheiden A-deel over de stof van het deeltentamen (in feitete beschouwen als herkansing van dit deeltentamen), en een B-deel over de resterende stof.Voor elk van de twee delen wordt een cijfer gegeven. Studenten kunnen op grond van eengoed resultaat bij het deeltentamen er voor kiezen deel A niet te maken, en al hun tijdaan deel B te besteden. Voor deel A wordt dan het cijfer van het deeltentamen ingevuld.Als iemand zowel het deeltentamen als deel A van het afsluitende tentamen doet wordthet hoogste resultaat gebruikt bij het vaststellen van het eindcijfer. Na het eerste kwartielvan het tweede semester vindt er een herkansing van Calculus 1 plaats. Deze herkansingis een ongedeeld tentamen over de gehele stof. Het resultaat van het deeltentamen teltdan niet meer mee, het resultaat van de Ingangstoets wel. Het eindcijfer na afloop vanhet semester wordt als volgt vastgesteld:0.1×resultaat Ingangstoets + 0.4×resultaat 2XB80 (of deel A) + 0.5×resultaat deel B,afgerond op een geheel getal.Bij de herkansing speelt het resultaat van de ingangstoets opnieuw mee, en wordt heteindcijfer als volgt bepaald:0.1×resultaat Ingangstoets + 0.9×resultaat 2DB80,afgerond op een geheel getal.

Schema tentaminering voor het vak Calculus 1 voor B, cursus 2010/2011:

In kwartiel 1: Ingangstoets wiskundige vaardigheden in week 1, code 2DA70, tijdsduur 1uur (herkansingen in week 5 en week 8)

Na kwartiel 1: deeltentamen Calculus 1 voor B, code 2XB80, tijdsduur 1.5 uur.

Na kwartiel 2: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur.

Na kwartiel 3: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur.

Tijdens de (deel)tentamens zal het gebruik van een rekenmachine, laptop offormulekaart niet toegestaan zijn.Geef je tijdig op voor (deel)tentamens! Als je je niet hebt opgegeven wordteventueel werk dat je inlevert niet nagekeken.

3

Tijdschema

Kwartiel 1, week 1

Leerstof:

§ 0.1 (tot Example 1.20)

Onderwerpen:

• Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden.

• Vergelijkingen van rechte lijnen, definitie functie, polynoomfuncties, rationale func-ties, grafiek van een functie.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 0.1 : 1, 2, 6, 12, 17, 18, 19, 25, 44, 45

Extra opgaven:Los de volgende ongelijkheden op.

1. 4− 3x < 6

2. −2 < 2− 2x < 3

3. x2 − x− 6 < 0

4. |3− x| < 1

5.x+ 2

x− 2> 0

6.−8x

(x+ 1)3< 0

4

Kwartiel 1, week 2

Leerstof:

§ 0.1 (vanaf Example 1.20)

§ 0.4 (tot The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van de functies sec, csc,cot)

Onderwerpen:

• Nulpunten van een kwadratische vergelijking, nulpunten van een derdegraadsverge-lijking indien een factor uitgedeeld kan worden.

• De functies sinus, cosinus en tangens, periodiciteit, verband tussen sinx en cosx,sin2 x+ cos2 x = 1, somformules, herschrijven van sommen van sinussen en cosinus-sen.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 0.1 : 67, 68, 70, 72, 74

§ 0.4 : 33, 34, 47, 48, 53, 55

Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op:

1. cos2 x+ cosx = 0

2. sin2 x+ cosx− 1 = 0

3. 2 cos2 x+ 3 sinx− 3 = 0

Antwoorden

1. x = 12π + kπ, x = π + 2kπ

2. x = 12π + kπ, x = 2kπ

3. x = 16π + 2kπ, x = 5

6π + 2kπ, x = 1

2π + 2kπ

5

Kwartiel 1, week 3

Leerstof:

§ 0.5 (met uitzondering van Examples 5.11 en 5.14)

Extra: Oplossen van vergelijkingen met hyperbolische functies.

Onderwerpen:

• Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e, grafieken vane-machten, de logaritmische functie, de natuurlijke logaritme, vergelijkingen metlogaritmen, grafiek van logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen.

• De hyperbolische functies.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 0.5 : 31, 37, 39, 42, 48, 49, 53, 54, 72

Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op.

1. sinhx = 2

2. sinhx = y

3. tanhx =1

2

4. 5 coshx− 3 sinhx = 5

5. coshx− 2 tanhx = 0

Antwoorden

1. x = ln(2 +√

5)

6

2. x = ln(y +

√y2 + 1

)3. x = 1

2ln 3

4. x = 0, x = ln 4

5. x = ln(1 +√

2)

7

Kwartiel 1, week 4

Leerstof:

§ 0.3

§ 0.4 (vanaf The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van sec−1)

Onderwerpen:

• De inverse van een functie.

• De inverse van de sin, cos en tan, vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin,arccos en arctan.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 0.3 : 5, 9, 11, 13, 18

§ 0.4 : 37, 38, 39, 40, 42, 57, 58, 61

8

Kwartiel 1, week 5

Leerstof:

§ 1.2

§ 1.3

§ 1.4 (tot The Method of Bisections, niet Examples 4.2, 4.3 en 4.8)

§ 1.5

Onderwerpen:

• Het begrip limiet, eenzijdige limiet, limx→0

sinx

x= 1.

• Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling.

• Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van som-men, producten en quotienten van continue functies, de tussenwaardestelling.

• Oneindige limieten en limieten in oneindig, limieten van rationale functies, verticaleen horizontale asymptoten.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 1.3 : 4, 7, 8, 9, 11, 16, 27, 35, 37, 43, 44

§ 1.4 : 5, 11, 25, 30, 32

§ 1.5 : 1c, 5, 9, 17, 19, 28

Extra opgaven:

1. Bepaal de limiet: limx→∞

(x3 + 5x2 + 1

x2 + x+ 1− x− 2

).

2. Bepaal de limiet: limx→∞

x(√

x2 + 3− x)

Antwoorden

1. 2

2. 32

9

Kwartiel 1, week 6

Leerstof:

§ 2.1 Zelf doen! Herhaling VWO-stof.

§ 2.2 (tot "Numerical Differentiation")

§ 2.3 (met uitzondering van het bewijs van Theorem 3.1 (Power rule) op blz. 171/172)

§ 2.4

Onderwerpen:

• Herhaling differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt.

• De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies, differentieer-baarheid impliceert continuïteit.

• Berekenen van afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en product met een con-stante.

• Productregel, quotiëntregel.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 2.2 : 6, 8, 9

§ 2.3 : 16, 19, 20, 33

§ 2.4 : 3, 6, 7, 17, 19

10

Kwartiel 1, week 7

Leerstof:

§ 2.5

§ 2.6 (niet de functies sec, csc en cot, dus alles uitdrukken in sin, cos en tan)

§ 2.7

Onderwerpen:

• De kettingregel.

• Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos, de afgeleide van sin, cos en tan,de afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies waaringoniometrische functies voorkomen.

• Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 2.5 : 1, 5, 13, 35

§ 2.6 : 7, 8, 11, 15, 17

§ 2.7 : 2, 3, 7, 14, 16, 17, 18

11

Kwartiel 2, week 1

Leerstof:

§ 3.6

§ 2.8 (niet de afgeleiden van de functies arcsec, arccsc, arccot)

Onderwerpen:

• Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies.

• Impliciet differentiëren, differentiëren van vergelijkingen voor het verkrijgen vanrelaties tussen afgeleiden.

• De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan.

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 3.6 : 3, 6, 13, 33

§ 2.8 : 3, 5, 8, 11, 13, 29, 30, 31

12

Kwartiel 2, week 2

Leerstof:

Appendix

Onderwerpen:

• Parametervoorstelling van een kromme

• Kromming, kromtestraal

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof.

Instructie-opgaven:

§ 5 Appendix: opgaven 1, 2, 3, 4, 5

13

Kwartiel 2, week 3

Leerstof:

§ 9.6

Onderwerpen:

• kegelsneden: parabolen, ellipsen en hyperbolen

• richtlijn van een kegelsnede

• brandpunt van een kegelsnede

• asymptoten van een hyperbool

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven:

§ 9.6 : 1, 5, 9

Instructie-opgaven:

§ 9.6 : 14, 15, 17, 20, 24, 25, 27, 30, 33, 35

14

Kwartiel 2, week 4

Leerstof:

§ 4.1

§ 4.3

§ 4.4

Onderwerpen:

• primitieve

• Riemann som

• bepaalde integraal

• gemiddelde waarde van een functie

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven:

§ 4.1 : 5, 6, 7

§ 4.3 : 1, 3

§ 4.4 : 11, 12, 21, 22

Instructie-opgaven:

§ 4.1 : 9, 11, 17, 20, 21, 25

§ 4.4 : 17, 23, 36, 37

15

Kwartiel 2, week 5

Leerstof:

§ 4.5

§ 4.6

Onderwerpen:

• hoofdstelling van de integraalrekening

• substitutiemethode

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven:

§ 4.5 : 3, 5, 12, 27

§ 4.6 : 1, 4, 31

Instructie-opgaven:

§ 4.5 : 16, 19, 29, 31

§ 4.6 : 9, 13, 15, 27, 34, 36

16

Kwartiel 2, week 6

Leerstof:

§ 6.1

§ 6.2 (niet Example 2.6 op blz. 518)

Onderwerpen:

• partiële integratie

Zelfstudie.Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven:

§ 6.1 : 5, 15, 19

§ 6.2 : 1, 3, 5

Instructie-opgaven:

§ 6.1 : 21, 23, 26, 35

§ 6.2 : 15, 19, 27, 30

17

Kwartiel 2, week 7

Leerstof:

§ 6.3 (niet examples 3.6 t/m 3.10)

§ 6.4

Onderwerpen:

• goniometrische substituties

• integralen van rationale functies

ZelfstudieBestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven:

§ 6.3 : 1, 5, 8

§ 6.4 : 1, 3, 5

Instructie-opgaven:

§ 6.3 : 2, 13, 15, 19

§ 6.4 : 7, 12, 13, 15, 27

De opgaven over goniometrische substituties uit § 6.3 zijn niet erg geschikt; daarom enkeleextra opgaven over dit onderwerp:

1. Bepaal∫ √3

1

√1 + x2

x4dx

2. Bepaal∫ 1

2

√3

12

√2

2 + x2

√1− x2

dx

3. Bepaal∫

x2

√1− 4x2

dx

Antwoorden:1. 2

3

√2− 8

27

√3

2. 524π − 1

8

√3 + 1

4

3. −18x√

1− 4x2 + 116

arcsin(2x) + C

18

Appendix: Kromming

1 Inleiding

De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofd-stuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behan-deld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eersteen formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling isgegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de grafieky = f(x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij hetbeschrijven van de doorbuiging van balken.

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in hetvlak

Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling{x = x (t)y = y (t)

In een punt P = (x (t) , y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, enin het punt Q = (x (t+ ∆t) , y (t+ ∆t)) is dit ϕ + ∆ϕ. De lengte van de kromme tussenP en Q noemen we ∆s. (zie figuur 1)

DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is

κ =

∣∣∣∣ lim∆t→0

∆ϕ

∆s

∣∣∣∣ .We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de coördinaat-functiesx (t) en y (t) .

Uit tan (ϕ) =dy

dx=y′ (t)

x′ (t)volgt ϕ = arctan

(y′ (t)

x′ (t)

), waarbij we aannemen dat x′ (t) 6= 0.

Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan

dϕ

dt=

1

1 +

(y′ (t)

x′ (t)

)2

x′ (t) y′′ (t)− x′′ (t) y′ (t)x′ (t)2 =

x′ (t) y′′ (t)− x′′ (t) y′ (t)x′ (t)2 + y′ (t)2

19

x

y

f f + D f

D fD sP

Q

Figuur 1: Berekening van de kromming

Voor ∆s geldt ∆s ≈√

(∆x)2 + (∆y)2, dus∆s

∆t≈

√(∆x

∆t

)2

+

(∆y

∆t

)2

. Hieruit volgt dat

ds

dt=√x′ (t)2 + y′ (t)2. We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier:

κ =

∣∣∣∣ lim∆t→0

∆ϕ

∆s

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣ lim∆t→0

∆ϕ

∆t

1∆s

∆t

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣dϕdt(ds

dt

)−1∣∣∣∣∣ .

Hieruit volgt dus dat

κ =|x′ (t) y′′ (t)− x′′ (t) y′ (t)|(

x′ (t)2 + y′ (t)2) 32

.

Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegevendoor de vergelijking x2 + y2 = R2. Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoor-stelling{

x = R cos ty = R sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π .

De kromming is gelijk aan κ =1

R. De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk.

Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijkingx2

a2+y2

b2= 1, (a 6= b) kunnen we parametriseren

als {x = a cos ty = b sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π .

20

Figuur 2: Kromtestraal ρ.

De kromming is gelijk aan κ(t) =ab

(a2 sin2(t) + b2 cos2(t))32

.

Nu is κ′(t) = 0 als 2(a2 − b2) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dusals t = 0, 1

2π, π, 3

2π. Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt

aangenomen als t = 0, π, d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt hetmaximum aangenomen als t = 1

2π, 3

2π, d.w.z in de punten (0,±b) van de ellips.

3 Kromtestraal

Zoals we in voorbeeld 2.1 hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde krommingen deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (ziefiguur 2)

DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkeldoor punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de krommingin punt P .

De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ =1

κ.

4 Kromming van de grafiek van een functie

Als we de grafiek van een functiey = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder gevalvan het voorgaande.

21

In dit geval kunnen we als parametrisering nemen{x = xy = f (x)

De formule voor de kromming wordt nu

κ =|f ′′ (x)|(

1 + f ′ (x)2) 32

Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax+ b heeft als grafiek een rechte lijn. De krommingis zoals te verwachten gelijk aan 0.

Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x2 wordt de kromming gegeven door κ =2

(1 + 4x2)32

.

De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaalals 1 + 4x2 zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0.

5 Opgaven

1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aange-geven punten

(a) y = x3 in het punt (2, 8) .

(b) y = coshx in het punt (0, 1) .

(c) y = sinx in het punt (π, 0) en in het punt(

12π, 1).

(d){x = t− 1y = t2 + 2t+ 3

in het punt (1, 11) .

2. Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen dekromming maximaal is.

(a) y = sinx

(b) y = x2 + x.

(c){x = 5 cos ty = 3 sin t

3. Gegeven is de kromme y = A (x3 − 1) + B (x− 1) + x. Bepaal de waarden van Aen B zó dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in ditpunt gelijk is aan 12.

4. Bepaal de kromming van de kromme x3 + y3 + 2x2− 4y+ 3x = 0 in het punt (0, 0) .

5. Bepaal de kromming van de kromme x2 cos y + ye−x = 1 in het punt (0, 1) .

22

Antwoorden

1. (a)12

145√

145

(b) 1

(c) 0 en 1

(d)2

37√

37

2. (a) x = 12π + kπ

(b) x = −12

(c) t = 0 of t = π, dus de punten (x, y) = (5, 0) en (x, y) = (−5, 0)

3. A = 2, B = −7 of A = −2, B = 5

4.64

125

5.2 cos 1− 1

2√

2

23