STAtOR - core.ac.uk · Namens de Biometrische Sectie (BMS): prof. dr. A.H. Zwinderman Namens de...

STAtORpe

riodi

ek v

an d

e VV

S ja

arga

ng 11

num

mer

2, j

uni 2

010 Leeftijd, periode, cohort en... de toekomst

Overlap van error-bars

Goed meten met online-vragenlijstenJa het kan!

Rendez-vous op een interval

Bloedstollende Operations Research

Toeval in de Bulgaarse Lotto

2 STAtOR juni 2010|2

STAtORJaargang 11, nummer 2, juni 2010

STAtOR is een uitgave van de Vereniging voor Statistiek en Operationele Research (VVS). STAtOR wil leden, bedrijven en overige geïnteresseerden op de hoogte houden van ontwikkelingen en nieuws over toepassingen van statis-tiek en operationele research. Verschijnt 4 keer per jaar.

Redactie Goos Kant (hoofdredacteur), Ana Isabel Barros, Johan van Leeuwaarden, Mirjam Moerbeek, Gerrit Stemerdink (eind-redacteur), Hilde Tobi, Marnix Zoutenbier. Vaste medewer-ker: Fred Steutel

Kopij en reacties richten aanProf. dr. G. Kant (hoofdredacteur), Faculteit der Economische Wetenschappen van de Universiteit van Tilburg, Postbus 90153, 5000 LE Tilburg, telefoon 013 - 4668234, mobiel 06-11045089, <[email protected]>.

Bestuur van de VVSVoorzitter: prof. dr. R. Gill <[email protected]> Secretaris: dr. C.G.H. Diks <[email protected]>Penningmeester: prof. dr. ir. C.A.G.M. van Montfort <[email protected]>Statistische dag: prof. dr. J.J. Meulman <[email protected]> Namens de Bedrijfssectie (BDS): prof. dr. R.J.M.M. Does <[email protected]>Namens de Biometrische Sectie (BMS):prof. dr. A.H. Zwinderman <[email protected]>Namens de Economische Sectie (ECS): dr. P.H.F.M. van Casteren <[email protected]>Namens het Ned. Genootschap voor Besliskunde (NGB): prof. dr. ir. C.P.M. van Hoesel <[email protected]>Namens de Sectie Mathematische Statistiek (SMS): dr. P.J.C. Spreij <spreij@science. uva.nl>Namens de Sociaal Wetenschappelijke Sectie (SWS): prof. dr. J.K. Vermunt <[email protected]>

Leden- en abonnementenadministratie van de VVSVVS, Postbus 244, 6700 AE Wageningen, telefoon 0317 - 419572, fax 0317 - 421364, <[email protected]>. Raadpleeg onze website over hoe u lid kunt worden van de VVS of een abonnement kunt nemen op STAtOR of op een van de andere periodieken.

VVS-websitewww.vvs-or.nl

AdvertentieacquisitieMarieke Klein, p/a Vrije Universiteit, afdeling Econometrie & Operationele Research, De Boelelaan 1105, 1085 HV Amsterdam, <[email protected]>. STAtOR ver-schijnt in maart, juni, september en december.

Ontwerp en opmaakPharos | M. van Hootegem, NijmegenDrukThieme MediaCenter RotterdamUitgever© Vereniging voor Statistiek en Operationele ResearchISSN 1567-3383

3 Redactioneel

4 Leeftijd,periode,cohorten...detoekomst DirkSikkel

8 Overlapvanerror-bars WiebeR.Pestman

12 Goedmetenmetonline-vragenlijsten Jahetkan! EdithD.deLeeuw

16 Waardelozekansen–column FredSteutel

17 Rendez-vousopeeninterval RobbertFokkink&MarcoTimmer

23 BloedstollendeOperationsResearch RenéHaijema,NikkyKortbeek,Janvan

derWal&NicoM.vanDijk

28 EverythingisBiggerinTexas–column JohanvanLeeuwaarden

29 ToevalindeBulgaarseLotto HenkTijms

31 IMJovanNunen

Inhoud


Op het moment van schrijven van dit redactio-neelzijndeuitslagenvandeverkiezingenvoordeTweedeKamerneteenpaardagenbekendenzietUriRosenthalzichgesteldvooreenlastigepuzzel:deverkenningendieinhethuidigeversplinterdepolitieke landschap lastiger zouden zijn dan dievan1935.Wellichtzitzijntaakerbijhetuitbren-gen van deze aflevering van STAtOR er al op enhoeven wij niet al te lang op een nieuw kabinettewachten.

HetoplossenvanlastigepuzzelshoudtvooronsstatisticienOR-onderzoekersechternietop.Debij-dragenindezeSTAtORgeveneenoverzichtvandepuzzelswaarwijonszoalmeebezighouden.

Meten naar de meningen van respondenten,over bijvoorbeeld politieke voorkeur, kan op ver-schillendemanieren.Eenmethodediede laatstetijdsteedspopulairder isgeworden ishetmetenvia internet. Deze methode is snel en goedkoop,maar kent uiteraard ook een aantal valkuilen.Denk maar eens aan de bevinding dat iedereeneeninternetaansluitingheeft,gevondenopbasisvaneeninternetsurvey.InhaaroratiegaatEdithdeLeeuwverderinophethoeenwatvanmetenviaonlinevragenlijsten.

Voor het meten van ontwikkelingen in deloopvandetijdwordtvaakgebruikgemaaktvancohorten.Eencohortisechteraltijdlineairafhan-kelijkvanleeftijdenperiodeendezedriefactorenkunnen dus nooit simultaan als predictoren ineen tijdreeks opgenomen worden Een inhoude-lijketheorieisdaaromnodigommetdezeafhan-kelijkheid om te gaan, zoals in de bijdrage vanDirkSikkeltelezenis.

Lastige puzzels worden ook nog eens bloed-stollendwanneerhetomhetvoorraadbeheervanbloedproducten gaat. In West-Europese landenwordt zo’n 10-20% van de bloedplaatjes-concen-

tratenongebruiktweggegooidenditisnatuurlijkethischeneconomischonaanvaardbaar.Doorhetgebruik van nieuwe toepassingen uit de OR kanditpercentageaanzienlijkteruggebrachtwordenzoals blijkt uit de bijdrage van René Haijema encoauteurs.

Eenevenbloedstollendepuzzeliseenoptimalezoekstrategievooreenmoederdieineendrukkewinkelstraat haar kind is kwijtgeraakt. RobbertFokkinkenMarcoTimmerbeschrijvenalgoritmesvoor het rendez-vous probleem. Voor de bijbeho-rendemasterscriptieontvingdetweedeauteurin2009deVVSscriptieprijs.

Hetmagnietvreemdzijndatveelvandepuz-zels waar statistici zich mee bezig houden overkansen gaan. Een trekking van dezelfde set vanzes getallen in twee opeenvolgende trekkingenvan de lotto lijkt zeer onwaarschijnlijk, maar ishet toch niet zoals Henk Tijms in zijn bijdragelaatzien.WiebePestmanvraagtzichafhoegrootdekansisdattweeerrorbarselkaaroverlappen.Hij laatzienhoehetgebruikvanerrorbarsvoorhetdetecterenvanverschillentussentweesteek-proefgemiddelden een alternatief kan zijn voort-toetsen.

Zoalsaltijdzijnookinditnummerbijdragentevinden van onze vaste columnisten Fred Steutelen Johan van Leeuwaarden. Tenslotte staan wemet een In Memoriam stil bij het overlijden vanJovanNunen.

Wijwensenallelezersveelsuccesbijhetoplossenvandepuzzelsinheteigenwerk.Voordezomer-vakantievolstaatwellichteenSudokuofLogiquiz.

Eenprettigezomer,

De redactie

Een lastige puzzel


In1240voorChristus,bijhetbeginvanbelegvanTroje, ontstond er een knetterende ruzie tussenkoning Agamemnon en Achilles. Zoals meestalbij dit soort haantjes ging het om vrouwen, eeren macht. Homerus beschrijft in de Ilias hoe deherenindekrijgsraadelkaarenigetijdvoorrottevisuitmaaktenenvervolgensNestorhetwoordnam:

‘… Luistert naar rede; beiden zijt ge jongerdanik.Ikhebinvroegerdagenonderman-

nen verkeerd die zelfs u overtroffen; nooitdachten zij min over mij, helden zoals iknimmermeerhebgezienennimmermeerzien zal: Perithoös en Dryas, de machtigekoningKaineusenExadios,Polyphemoszosterkalsdegoden.Sterkermensenleefdennergens op aarde; zij waren het sterkst enbestreden de sterksten, het ruwe bergvolkderCentaurendiezijmeedogenlooshebbenvernietigd. Aan hun strijd nam ik deel…’(Schwartz,2002,blz.17).

Dirk Sikkel

Nestor en zijn zonen offeren aan Poseidon, afgebeeld op een oud-Grieks vat, 400-380 v.Chr. Collectie: Nationaal Archeologisch Museum van Spanje, Madrid

LEEFTIJD, PERIODE, COHORT EN... DE TOEKOMST


Deze tekst bevat een aantal kenmerken die cor-responderenmetverschillendeschalen.Indeeer-steplaatsmaaktNestor,nunogsteedsonssym-boolvoordeouderdom,zijnstatusalsoudman-netje op een herkenbare manier waar. Hij waseen gewaardeerde raadgever, maar hij kon ookeindeloosdoordrammenoverhetverleden,waar-bijhijzijneigenheldenrolmeestalnietoversloeg.Kortom,zijnleeftijdkomtduidelijktotuiting.Detweede schaal is de periode, de tijd waarin ditfragment speelt. Fysieke kracht, oorlogsgewelden het vernietigen van een onwelgevallig volkis ietswatinonzetijdtenminsteindewestersecultuurnooitzo’npositieveaandachtzoukrijgen.De derde schaal is die van de generatie. Nestorrefereert aan helden van vroeger, het niet meerbestaandevolkderCentauren,diedejongeherenvan nu niet meer kennen. Op dezelfde manierverwijzen wij, baby boomers, naar de sixties enonze ouders naar de Tweede Wereldoorlog. Datheeft iets irritants, want de jongeren kunnen erook niets aan doen dat zij die tijd niet hebbenmeegemaakt, maar aan de andere kant zou hetookzondezijnomdelessenuitdieperiodegeheelin de wind te slaan. Ook classici komen niet uitditdilemma:wasNestoreenwijzeoudemandieallelessenvanzijngeneratieeloquentwistuittedragen (cohort), of was het een seniele kletsma-joor,diehetcontactmetdewerkelijkheidaanhetverliezenwas(leeftijd)?

Instatistischezinisersprakevaneenonoplosbaarprobleem. Leeftijd, periode en cohort zijn lineairafhankelijk.Weet jedat iemand59jaar isendathet nu 2010 is, dan leert een simpele rekensomdathijbehoorttothetcohortvan1951.Wekunnendus nooit leeftijd, periode en cohort simultaanalspredictorenvaneentijdreeksopnemen.Datisvervelend, zeker voor het duiden van het gedragvan het marktsegment van de vijftigplussers.

Vanaf 2015 zullen zij een grotere groep vormendan de traditionele reclame- en marketingdoel-groeptussen20en49jaar.Vanaf2020zijnereenmiljoenmeervijftigplussers,endatzaldan,vooraldankzijhetgedaaldegeboortecijfer,velejarenzoblijven. Het is dan ook geen wonder dat, vooralin de Verenigde Staten, er reeds een aantal mar-ketingboekenopdemarkt isverschenenomonsopdezerevolutionairetoekomstvoortebereiden.MetsappigetitelsalsThe Boomer Century,Marke-ting to Leading Edge Baby Boomers,Advertising to Baby Boomers en Boomer Consumer proberen deauteursdemarketingwereldwakkerteschuddenenuiteraardzichzelfenhunbedrijfteprofileren.Inkleurrijkebewoordingenschetsenzehoeindejaren zestig de wereld opzijn kop werd gezet enhoe de studentenbewegingen, het hippiedom enniet tevergetenWoodstocktothetontstaanvande Nieuwe Consument leidde, ervaren in sex endrugsenrockenroll,idealistischenassertief,meteensterkecultureleidentiteit.Enuiteraardwetendeauteursprecieshoejeaandezegeneratiepin-dakaasmoetverkopen!

Om met de lineaire afhankelijkheid van leeftijd,periode en cohort om te gaan heb je een inhou-delijke theorie nodig. De populaire marketing-schrijvers kiezen graag voor dominantie van hetcohorteffect omdat het lekker bekt en omdat er,inderdaad,eenaantalaansprekendevoorbeeldenzijn waarbij het klopt. Zo geldt het voor muziek.Velen vinden de muziek uit hun adolescentie-periode het mooist. De Stones, Crosby, Stills andNash, James Taylor en Boudewijn de Groot zijnveelgevraagd. Baby boomers komen massaal afopdansavondenmetmuziekuitdejarenzestigenzeventig.Maarhetlevenisnietalleenmaarpop-muziek. Twee voorbeelden waarin een interes-sant partieel cohort-effect werd gevonden staaninfiguur1aen1b.


Figuur1alaatdeuitkomstzienvaneenonderzoekwaarinderespondentenvanverschillendeleeftij-denwerdgevraagdnaardewaarderingvanafge-beeldeautomodellen.Bijmannenwasgemiddeldde hoogste waardering voor de modellen die opdemarktkwamentoenze25 jaaroudwaren;bijvrouwenwaserinhetgeheelgeenverbandmetcohort.

Figuur1bgeeftdewaarderingweervanfoto’svanmodellen,diegevarieerdwarennaarstijluit

een bepaalde periode. Hier was er een cohort-effect voor mannen die vrouwen beoordeelden:destijluithunadolescentieperiodewerdgeprefe-reerd.Voordeoverigesituaties(mannenbeoorde-lenmannen,vrouwenbeoordelenmannen,vrou-wen beoordelen vrouwen) leek er eerder sprakevaneenperiode-effect.Hiergaanmenseninhunsmaak gewoon met de tijd mee. En zo is, zelfsbinnenéénproductgroep,dewerkelijkheidrijkergeschakeerddanvelemarketeersliefis.

Figuur 1a. Waardering automodellen naar leeftijd bij introductie; gebaseerd op Schindler en Holbrook (2003)

Figuur 1b. Waardering van stijl uiterlijk naar leeftijd toen deze in de mode was; gebaseerd op Holbrook en Schindler (1993)

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

z-sc

ore

waa

rder

ing

leeftijd bij introductie model

mannenvrouwen

-40 -20 0 20 40 60

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

z-sc

ore

waa

rder

ing

man beoordeelt vrouwen

anders

leeftijd toen stijl in de mode was

-40 -20 0 20 40 60


Enleeftijd-effecten,dievoorelkegeneratieconsu-mentenidentiekzijn?Diezijneruiteraardvolop.Ineenobservatieonderzoekindiversesupermark-ten hebben mijn studenten onlangs geconsta-teerd dat oudere consumenten veel sterker danjongeren geneigd zijn om alleen producten opooghoogtetekopen.Opeenbepaaldeleeftijdhebje geen zin meer om te bukken. De cognitievevermogens, bijvoorbeeld om complexe nieuweinformatieoptenemenineenrommeligeomge-vingalseensupermarkt,gaanachteruit.Ditheeftconsequentiesvoorheteffectvanvoedingslabels.

Figuur 2 is het resultaat van een experimentwaarin de proefpersonen een voedingslabel vaneengezondenvaneenongezondproductvoorge-legdkregen.Zoweljongalsoudprefereerdenhetgezondeproduct,maarhetverschilwasbijjonge-renveelgroteromdatzehetvoedingslabelbeterkonden duiden. Dit voorbeeld kan echter alleenals zuiver leeftijdeffect worden beschouwd wan-neeropleidingconstantisgehouden.Detoenamevan het opleidingsniveau vanaf de jaren zestigis wel degelijk een cohort-effect. Bij elk menslopen de cognitieve vermogens terug (al zijn ergrote individuele verschillen), maar wie hoog isopgeleid krijgt daardoor een voordeel dat hij derestvanzijnlevenvasthoudt,decognitive reserve

(Tucker-Drobe.a.,2009).Ditserieuzecohort-effectzie je overigens in de marketingliteratuur maarweinigterug.

Binnen de gerontologie bestaat naast leeftijd,periode en cohort nog een vierde dimensie, dieook lineair afhankelijk is van de anderen. Datis de tijd die men nog te leven heeft, de toe-komst dus. De Socioemotional Selectivity Theory(Fung en Carstensen, 2003) beschrijft een aantalpsychische eigenschappen die mensen krijgenop het moment dat het besef van een eindige

Figuur 2. Koopintentie als reactie op voedingsinformatie op verpakking van een gezond en een ongezond product, naar leeftijd; bron: Burton en Andrews (1996)

14

13

12

11

10

9

8

7

6

gezondongezond

jong oud

Figuur 3. Gemiddeld rapportcijfer aantrekkelijkheid twee toekomstbeelden naar leeftijd. Bron: Sixtat.

een gezellige dag uit met de kleinkindereneen avontuurlijke reis naar een exotisch land

20 30 40 50 60 70

10

8

6

4

2

0

leeftijd

gem

idde

ld ra

ppor

tcijf

er


levensduur inzinkt. Niet alleen ouderen krijgendeze eigenschappen, maar ook jongeren die eenterminaleziektehebben.DetheorieisondermeergevalideerdmetHIV-geïnfecteerdenindetijddatdat nog een doodvonnis op termijn betekende.De theorie voorspelt dat mensen die een over-zienbare levensduur hebben hun emoties beterreguleren, meer positieve emoties opzoeken, eenbeter geheugen hebben voor emoties dan voorfeiteneninhunaspiratiesmeerophethedenenminder op de toekomst gericht zijn. De theorieheeft inmiddels vele tests doorstaan. De marke-tingconsequenties zijn groot, met name op hetgebiedvancommunicatie.Zoalsblijktuitfiguur3ishetZwitserlevengevoelnietsvoorouderen.Hetkleine,dichtbijeishetbeelddatdeoudereconsu-mentaanspreektendatisvanalletijden.

LiteratuurBurton, S. en J.C. Andrews, 1996, Age, Product Nutrition

and Label Format Effects on Consumer Perceptions and Product Evaluations. Journal of Consumer Affairs 30, 68-89

Fung, H.H. en L.L. Carstensen, 2003, Sending Memorable Messages to the Old: Age Differences in Preferences and Memory for Advertisements. Journal of Personality and Social Psychology 85, 163-177

Holbrook, M.B. en R.M. Schindler, 1993, Critical Periods in the Development of Men’s and Women’s Tastes in Personal Appearance. Psychology and Marketing 10, 549-564

Schindler, R.M. en M.B. Holbrook, 2003, Nostalgia for Early Experience as a Determinant of Consumer Preferences. Psychology and Marketing 20, 275-302

Schwartz, M.A., 2002, Homerus, Ilias & Odyssee. Amsterdam, Atheneum-Polak & Van Gennep

Tucker-Drob, E. A., K.E.Johnson, R.N.Jones, 2009, The Cognitive Reserve Hypothesis: A Longitudinal Examination of Age-Associated Declines in Reasoning and Processing Speed. Developmental Psychology 45, 431-446.

Dr D. Sikkel is directeur van marktonderzoeksbu-reau Sixtat en bijzonder hoogleraar Ouderen, com-municatie en consumentengedrag, aan de Faculteit der Maatschappij- en Gedragswetenschappen van de Universiteit van Amsterdam.E-mail <[email protected]>

Wiebe R. Pestman

Als je op grond van twee identieke (maar onaf-

hankelijke) meetprocessen twee error-bars bepaalt,

wat is dan de kans dat deze elkaar overlappen?

Wanneer metingen aan een bepaalde groot-heid worden uitgevoerd krijgt men doorgaanste maken met onnauwkeurigheden die daarbijoptreden.Dezeonnauwkeurigheden,ofwelmeet-fouten,kunnentalvanoorzakenhebben.Omaantegevendaterrekeningmoetwordengehoudenmet meetfouten wordt een meetrapport vaakgepresenteerdindevolgendevorm:

meting±foutenmarge

Doormiddelvanhetbovenstaandegeeftmenaandat de werkelijke waarde van de grootheid aan-nemelijkerwijsopeenafstandvanminderdandefoutenmarge van de gemeten waarde zal liggen.Grafischkanzo’nfoutenmargewordenweergege-ven door middel van zogenoemde error-bars. Ditzijnplaatjesvandevorm

meting

marge

marge

Figuur 1.

OVERLAP VAN ERROR-BARS


PlaatjeszoalsFiguur1geveneenruweindrukhoepreciesdemetingis.

Hoe worden de foutenmarges bepaald? Somskun je deze rechtstreeks halen uit een handlei-ding die bij het gebruikte meetinstrument gele-verd werd. Als dit niet het geval is dan kun jeproberen je metingen een aantal malen te her-halen (onder exact dezelfde omstandigheden)endanhetgemiddeldealseindschattingvoordewerkelijkewaardevandegrootheidtehanteren.Vervolgens kun je dan de foutenmarge van ditgemiddelde relateren aan de fluctuaties in degedane metingen. Een gebruikelijke basis-karak-teristiek in dezen is de welbekende standaard-deviatie. De zogenoemde standaardfout voor het gemiddelde, op zijn Engels standard error of the meanendaaromvaakafgekortalssem,kanwor-denberekenddoordestandaarddeviatietedelendoordeworteluithetaantalwaarnemingen.Dus

sem= standaarddeviatie√n

waarin n het aantal metingen. Als foutenmargeneemtmenweldezesem,maarookweleensveel-voudenhiervan.Indevolgendesectieskijkenweeens naar de effecten als er een beetje met dezeveelvoudenwordtgespeeld.

Overdekkingspercentages

Dematevanaannemelijkheidwaarmeeerror-barsdewerkelijkewaardeoverdekkenwordtvaakuit-gedruktineenzogenoemdoverdekkingspercenta-ge.Ditpercentagegeeftaanmetwelke(relatieve)frequentieeenerror-bardewerkelijkewaardezou

overdekkenwanneerhetexperiment(hetuitvoe-renvannmetingen)eindeloosherhaaldzouwor-den.Hetoverdekkingspercentagevanerror-barsisnatuurlijk afhankelijk van het gekozen veelvoudvandesem:hoegroterditveelvoud,hoelangerdeerror-barsendushoegroterhetoverdekkingsper-centage.Daarnaastishetoverdekkingspercentageooknogeensafhankelijkvanhetaantalmetingenn.Devolgendetabelgeeftdezepercentagesvoordeveelvouden1en2incombinatiemeteenaantalmetingenvan5,10,20,50,500:

n 5 10 20 50 500

1 62,6 65,7 67,0 67,8 68,2

2 88,3 92,3 94,0 94,9 95,4

Alsmenvooreenvastveelvoudkiest,danhangtdushetoverdekkingspercentageafvann.Omge-keerdzoumenookeenbepaaldoverdekkingsper-centagekunneneisen,bijvoorbeeld95%.Hetveel-voudmoetdanpernaanditpercentagewordenaangepast. In de tabel hieronder worden voor n=5,10,20,50,500deveelvoudengegevenomeenoverdekkingspercentage van 95% te bewerkstel-ligen:

n 5 10 20 50 500

veelvoud 2,78 2,26 2,09 2,01 1,96

Bijgebruikvanveelvoudendieaanditspecifiekepercentagezijnaangepastspreektmenvaakvan

OVERLAP VAN ERROR-BARS


95%-betrouwbaarheidsintervallen in plaats vanerror-bars.

Deberekeningenvoordebovenstaandetabel-len leunen op een aantal aannames. Een eersteaannameisdatdemetingenbeschouwdmogenworden,althanstheoretisch,alseenwillekeurigetrekking(metteruglegging)vannmetingenuiteenveelgroteraantalmetingen,dezogenoemdepopulatie van alle metingen aan de grootheid.Hetgemiddeldevandezepopulatiewordtveron-dersteld precies gelijk te zijn aan de werkelijkewaardevandegrootheid.Verderwordterveron-dersteld dat histogrammen van deze populatieeenklokvormtonen.Meeracademisch,erwordtveronderstelddatdepopulatienormaalverdeeldis. Verder, als men de scenario’s in de toekom-stige tijd beschrijft, dan kan men de overdek-kingspercentagesbeschouwenalsoverdekkings-kansen.Opdezewijzewordtheteenenanderineen probabilistische context geplaatst en is hetmogelijk om met elementaire kansrekening deoverdekkingspercentages daadwerkelijk uit terekenen.

Overlapvantweeerror-bars

Steldattweeonderzoekers,zegJanenPiet,beiden metingen gaan doen aan dezelfde grootheidonder exact dezelfde omstandigheden. Beidezijnvanplanommethunnmetingeneenerror-barindevormvaneen95%-betrouwbaarheids-interval te gaan uitrekenen. Jan en Piet zijnnieuwsgierig of hun error-bars elkaar zullengaanoverlappen:zieFiguur2.

Hoe groot is de kans op een overlap? Hoeweldeonderliggendewiskundeniethelemaaltriviaalis,isdezekanstochredelijkgemakkelijktebepa-len (zie [2]). Eigenlijk, zo blijkt, moeten we hierniet van een kans maar van kansen spreken. Deoverlappingskans blijkt namelijk van het aantalmetingen n af te hangen. In de tabel hieronder

wordt (in procenten) de kans op non-overlap,afgekort als kno, gegeven voor een paar waar-den van n. In de tabel is ook opgenomen welkeveelvoudenvandesemgebruiktmoetenwordenenwatdeoverdekkingskans(ok)vanzulkeerror-barsis.

n 5 10 20 50 500

veelvoud 2,78 2,26 2,09 2,01 1.96

ok in % 95 95 95 95 95

kno in % 0,53 0,55 0,56 0,56 0,56

De kansen op non-overlap in het geschetste sce-nario zijn dus erg klein. Bij toenemende n con-vergeert de kans op non-overlap zeer snel naar0,55746%.

Natuurlijkzoumenookdeerror-barszodanigkunnen aanpassen dat de kans op overlap 95%endusdekansopnon-overlap5%wordt.Voordefoutenmargesindeerror-barsmoetendan,voorn=3,5,10,50,500,devolgendeveelvoudenvandesemwordengekozen:

overlap non−overlap

Figuur 2.


n 5 10 20 50 500

veelvoud 2,09 1,69 1,51 1,41 1,39

ok in % 82,9 83,3 83,4 83,4 83,4

kno in % 5 5 5 5 5

Bijtoenemendenconvergeerthetveelvoudnaar1,38590endeokzeersnelnaar83,42315%.

Overlapalsbeslissingscriteriuminhypo-thesetoetsen

In de context van statistische hypothesetoetsenkan het experiment van Jan en Piet in de vorigesectiealsvolgtwordengeformuleerd:JanenPiettrekken,onafhankelijkvanelkaar,eensteekproefvandegroottenuiteenzelfdenormaalverdeeldepopulatie. Beiden berekenen een 95%-betrouw-baarheidsinterval.Indevorigesectieisuitgelegddatdekansdatdeintervallendisjunctzullenzijndanbijzonderkleinis.Asymptotisch,datwilzeg-genvoorzeergroten,isdezekansslechts0,56%.

StelnudatJanenPieternietzekervanzijndathun metingen uit dezelfde populatie komen. Hetgegeven van gelijke populaties is hiermee gede-gradeerdtoteenhypothese.Zijwillen,watbetreftdeze hypothese, tot een besluit komen. Het vol-gende wordt afgesproken: Als hun 95%-betrouw-baarheidsintervallenelkaaroverlappen,danzullenze de hypothese van gelijke populaties handha-ven, zo niet dan wordt deze hypothese verwor-pen.Zijhebbenbijdezeneenbeslissingsprocedureomtrent twee statistische hypothesen, ofwel eenstatistischehypothesetoets,inganggezet.Hetsig-nificantieniveau van deze hypothesetoets is voorgrotenongeveer0,56%.Haddenzij, inplaatsvan95%-betrouwbaarheidsintervallen, de error-barsgebruikt die beschreven staan in de laatste tabelvan de vorige sectie, dan was het significantie-niveau op 5% uitgekomen. Een natuurlijke vraag

is nu hoe zich deze procedure verhoudt tot een2-steekproefst-toetsmeteenzelfdesignificantieni-veau.Hetligtvoordehandomdebeideproceduresdaneenstevergelijkenwatbetrefthunonderschei-dendvermogen.VolgensdeNeyman-Pearsonthe-orie (zie bijvoorbeeld [3]) kan de overlapmethodeonmogelijk een groter onderscheidend vermogenhebbendaneen2-steekproefst-toetsmethetzelf-designificantieniveau.Berekeningentonenechteraandathetverschilinonderscheidendvermogeninallegevallenminderisdan0,5%.Nihildus!

Conclusies

De 2-steekproefs t-toets is en blijft de optimalemethode om significante verschillen tussen tweesteekproefgemiddeldentedetecteren.Uithetvoor-gaande blijkt echter dat (voor gelijke steekproef-groottes) de overlapmethode het helemaal nietzoveel slechter doet dan een t-toets. Om in dezemanier van toetsen een significantieniveau van5%tekrijgenmoet jedanwel,althansvoorgroten, voor de error-bars 83,4%-betrouwbaarheidsin-tervallen kiezen. Het verschil in onderscheidendvermogen met een 2-steekproefs t-toets (op eensignificantieniveau van 5%) is dan nihil. In grafi-schepresentatiesheeftdeoverlap-methodeduide-lijkvoordelentenopzichtevaneent-toets(zie[1]).

Literatuur[1] Goldstein, H. & Healy, M.J.R. (1995), The Graphical

Presentation of a Collection of Means, Journal of the Royal Statistical Association, series A, 158, Part 1, 175-177.

[2] Pestman, W. R., Two elementary statistical coverage problems, Elemente der Mathematik (to appear in 2011)

[3] Pestman, W. R. (2009), Mathematical Statistics (second edition), Walter de Gruyter Verlag, Berlin.

[4] Schenker, N. & Gentleman, J.F. (2001), On judging the significance of differences by examining the overlap between confidence intervals, Am. Statistician 55, 182-186.

Dr W.R. Pestman is wiskundige en werkzaam als biosta-tisticus bij het Julius Center van het UMC Utrecht. E-mail <[email protected]>.


In1784reedinGrootBrittanniëdeeersteofficiëlepostkoets. Op kerstavond 1990 schreef Tim Ber-ners-Lee de eerste web-browser en noemde dezeWorldWideWeb. Twee ogenschijnlijk historischetrivia,diedemethodenvanvragenlijstonderzoeken van de survey statistiek voor altijd verander-den.

Dankzij het bestaan van een betrouwbaarpostsysteemkonSirJohnSinclairin1788deeerstegedocumenteerde postenquête implementeren.Sinclair, een Schots landbouwhervormer, was ervan overtuigd dat de vooruitgang gebaat wasmet goede statistieken, maar kon niet genoeg

fondsenbijelkaarkrijgenvoorhetoprichtenvaneen Schots statistisch bureau en het uitvoerenvan een volkstelling. Bij gebrek aan geld voerdehij een postenquête uit onder dominees van deSchotsekerkenvroegheninformatieoverdeheleparochie; de resulterende Statistical Accounts of Scotland werdengepubliceerdin1799.

Postenquêtesgebruikenwenogsteeds,alstu-ren we de vragenlijst niet meer per postkoetsmaarviadecomputer:‘online’.Datditmogelijkis,danken we aan Tim Berners-Lee en zijn collega’sbij CERN, die de oorspronkelijke www-softwareverderontwikkeldenenalsopensourcesoftware

Edith D. de Leeuw

GOED METEN MET ONLINE-VRAGENLIJSTEN: JA HET KAN!

Illus

trat

ie: P

etra

van

Kal

ker


beschikbaarstelden.Hetinternetzoalswehetnukennen was geboren, en nu, in 2010, hebben weeen snel en betrouwbaar online vervoermiddelvooronzeenquêtes,netalsdepostkoetsin1788.

Maar doen we het wel zo goed als Sinclairhet deed? Online vragenlijsten hebben niet zo’ngoede naam; ze worden geassocieerd met snellepeilingen,amusementsprogramma’sopdetv,endevraagvandedag.Tochkanhet:betrouwbareenvalidemetingenviahetinternet.Maaromgoedtekunnen meten met vragenlijsten is meer nodigdanalleeneensnelleenbetrouwbaremanieromde vragenlijsten ter plekke te krijgen. Zo warenerindetijdvanSinclairalgoededrukpersenomdevragenlijstentevermenigvuldigen,enkondenzijnrespondenten,domineesvandeSchotsekerk,goedlezenenschrijvenenbeschiktenzeoverdegevraagdeinformatie.

Survey Kwaliteit

Aan welke criteria dient een goede enquête tevoldoen? Eurostat, het Europees overkoepelendestatistische bureau, noemt allereerst accuraat-heid, maar ook snelheid, toegankelijkheid, enrelevantie.Informatiemoetsnelbeschikbaarzijn,want al zijn de gegevens nog zo accuraat, wan-neerzepasnalangeretijdbeschikbaarzijn,ishetmosterdnademaaltijd.Daarnaastmoetengege-vens goed beschreven en gedocumenteerd zijn(de toegankelijkheid), en de resultaten moetenookeenantwoordgevenopdeonderzoeksvraag:weten we nu wat we ook echt wilden weten (derelevantie).

Het grote voordeel van internetenquêtes isnatuurlijk de snelheid. Toegankelijkheid en rele-vantie hangen sterk af van de kwaliteit van deonderzoeker en van de onderzoeksopzet, en nietzozeer van de gebruikte dataverzamelingsme-thode.Hierinverschilt internetdanooknietvaninterviewsofpapierenvragenlijsten!

Accuraatheid

Survey-methodologen en statistici letten vooralopaccuraatheidalscriteriumvoorkwaliteit.Hier-aan zijn vier belangrijke aspecten te onderschei-den,dehoekstenenvoorgoedonderzoek:datzijneen hoge dekkingsgraad, een goede steekproef-trekking,eenhogeresponse,eneengoedemeting(zieFiguur1).

Dekking

Bij online-vragenlijsten is de dekkingsfout heelbelangrijk:nietiedereenheeftinternet.InNeder-land is de internetpenetratie hoog (85%), maartochislangnietiedereenonlinetebereiken.Erisnogsteedssprakevaneendigitalekloof;erisnogsteeds verschil tussen mensen mèt en mensenzonderinternet.Zozijnouderen,lageropgeleiden,en allochtonen ondervertegenwoordigd op hetweb.

Ofersprakeisvaneendekkingsfouthangtafvandeteonderzoekenpopulatie.Eenstudenten-populatie is natuurlijk heel geschikt voor web-surveys. Alle studenten hebben toegang tot hetwebenmoetenvoorhunstudievaakhetinternetraadplegen;ookzijnhune-mailadressenbekend:erisgeendekkingsprobleem.Wanneermenech-

Figuur 1. Hoekstenen goed survey-onderzoek

ACCURAATHEID

dekking steekproef trekking

respons meting

�


ter de Nederlandse bevolking wil onderzoekendan is er wel degelijk een probleem, en kan deondervertegenwoordiging van bepaalde groepenleiden tot vertekeningen. Bijvoorbeeld, als menvia internetcomputerbezit in kaart wil brengen,danblijktdat100%vanderespondenteneencom-puter heeft. Dit is een oud grapje, maar ook eengoedewaarschuwing.Dezelfdeproblemenspelenwanneermenantwoordwilgevenopbeleidsrele-vantevraagstukkenmetbetrekkingtottechnolo-gie:bijvoorbeeldacceptatievannieuwemedischeontwikkelingen als stamcelonderzoek. Wanneerhetbelangrijkisdatereengedetailleerdoverzichtgegevenwordtvanonzesamenleving,dankandedigitalekloofproblemengeven.

Een goede oplossing voor dekkingsproble-men is mixed-mode onderzoek, als onderzoekergebruik je dan verschillende dataverzamelings-methoden binnen één onderzoek. Bij longitudi-naal onderzoek is er een tweede mogelijkheidwanneerrespondententoewillentredentoteenpanel, dan kan men diegenen zonder computereen eenvoudige pc en internetverbinding geven,enzoinstaatstellenmeetedoen.Dezeoplossing,ooitbedachtenuitgetestdoorWillemSaris,wordtnu succesvol toegepast bij Centerdata in Tilburg,enbijKnowledgeNetworksindeUSA.

Steekproef

De tweede hoeksteen van goed onderzoek is hetvakkundigtrekkenvaneensteekproef.Alleenalsereenkanssteekproefgetrokkenwordt,kanmetbehulp van de statistiek gegeneraliseerd wordennaar de hele populatie, en hebben betrouwbaar-heidsintervallen en statistische toetsen zin. Datgeldtookvooronlineonderzoek.Eenprobleembijinternetenquêtesisdatdezevaaknietgebaseerdzijn op kanssteekproeven; niet de onderzoekersbepalen dan via toevalskansen of iemand wordtuitgenodigdomdeeltenemen,maarresponden-

tenmeldenzichzelfaan,viawebsitesofbanners.Er is dan sprake van zelfselectie met alle proble-menvandien.

Nonrespons

De derde hoeksteen is de respons. Niet iedereendoet mee aan onderzoek, en nonrespons is eenprobleem bij elk onderzoek. Wanneer de respon-denten dan ook nog verschillen van de nonres-pondentenoppreciesdiekenmerkendiecentraalstaaninhetonderzoek,danontstaannonrespons-fouten. Bijvoorbeeld als bij een onderzoek naargeluidsoverlast meer klagers meedoen, omdatze eindelijk hun ei kwijt kunnen, dan zorgt denonresponsfout ervoor dat het aantal klagers enklachtenoverschatwordt.

Online vragenlijsten zijn op zich geen oplos-sing voor het nonrespons probleem. Wanneerinternetenquêtesvergelekenwordenmetanderemethoden, zoals interviews en postenquêtes,dan hebben ze in het algemeen zo’n 10 % lage-re respons, zoals uit een aantal meta-analysesblijkt. Toch worden er voor online onderzoekvaak hoge responscijfers geciteerd. Dat komtomdathetmeesteonlineonderzoekplaatsvindtbijonderzoekspanels,endegrootstenonresponszit dan in het begin, bij het opzetten van hetpanel. De onwilligen zeggen al nee bij het eer-ste verzoek, daarna zijn alleen de bereidwilligepanelledenoverenisderesponsbijdevolgendeverzoeken hoog. Voor een eerlijke vergelijkingzou bij panels ook de initiële respons vermeldmoetenworden.

Meten online

Zoals aan elke dataverzamelingsmethode kleveneraanonlineenquêtesbezwaren,maarmetinter-netenquêteskanmenuitstekendonderzoekdoen.


Zozijninternetenquêtesheelsnelenzijnderesul-taten vlug bekend en actueel. Er hoeven geenvragenlijstengedruktenverstuurdteworden,eninterviewers hoeven niet lang te reizen, of heelvaak te bellen, voordat een respondent eindelijkthuisgetroffenwordt.Omdezeredenenisonlineonderzoek ook veel goedkoper dan de meer tra-ditionele methoden, en dat is in de huidige tijdeengrootvoordeel.Maarsnelheidenlagekostenis niet het enige voordeel van online onderzoek,juist het meetproces zelf is het sterke punt vanonlineonderzoek!

Hetgrotevoordeelvaninternetenquêtesisdatderespondentenzelfinallerustkunnenbepalenwaar en wanneer ze de vragenlijst invullen, enniet door een interviewer onder druk wordengezetomsnelteantwoorden.Hetontbrekenvaneen interviewer zorgt ook dat er minder soci-aalwenselijke antwoorden worden gegeven. Uituitgebreid vergelijkend onderzoek in binnen- enbuitenland blijkt bijvoorbeeld, dat in een inter-netvragenlijst vaker negatief gesproken wordtover immigranten, vaker wordt toegegeven datmeneenwetsovertredingheeftbegaan,vakertoe-gegevenwordtdaterexamenfraudegepleegd is.Enookdatmenmeerongezondgedragvertoont,zoalsveeldrinken.

Ookbijdepostenquêteswashetontbrekenvaneeninterviewereenvoordeelbijgevoeligevragen.Maar, juistbijpapierenvragenlijstenwreekthetontbrekenvaneeninterviewerzich.Wanneerdevragenlijstergcomplexismetveeldoorverwijzin-gen en sprongen door de vragenlijst, dan maakteenrespondentfoutenenslaatvragenover;watdan weer missing data-problemen geeft bij deanalyse. Een internetenquête verenigt het goedevaninterviewenenquête.Hetcomputerprogram-maneemtdenavigatierolvandeintervieweroveren voorkomt veel fouten, en tegelijkertijd is hetvraag-antwoordprocesheelprivéenkunnenres-pondenten alle tijd nemen voor het beantwoor-denvandevragen.

Nu is een computerscherm met een toet-senbord natuurlijk een heel ander medium danpapier en pen. Ook dit is uitgebreid onderzocht,vooral binnen de psychologische testtheorie, enoverkoepelende meta-analyses concluderen daternauwelijkseffectisvanhetgebruiktemedium.

Samengevat, wanneer men verschillendemethoden empirisch vergelijkt, dan is de uit-komst dat er of geen verschil is, of dat Internetbeteris.Erisgeeneffectvanhetmediumbijpsy-chologische testen: er wordt even betrouwbaarenvalidegemetenviahetschermalsoppapier.Bij complexe vragenlijsten met veel sprongenen doorverwijzingen is internet in het voordeel:er worden door de respondenten minder foutengemaakt, en er zijn daardoor minder missing data. En bij gevoelige onderwerpen antwoordenrespondenteneerlijkerenopenerviahetInternet.

Goedmetenonlinekan.Internetenquêteszijnniet alleen snel en relatief goedkoop. Ze zijnmeettechnisch gezien veelbelovend en het webbiedt vele mogelijkheden om hier ons voordeelmee te doen. Wanneer we deze goed gebruiken,kunnen we beter meten dan met traditionelemethoden!

LiteratuurVoor een meer uitgebreide beschouwing over de kwali-teit van Internet surveys met vele literatuurverwijzin-gen, zie Edith de Leeuw (2010), Passen en Meten Online: De Kwaliteit van Internet Enquêtes. In A.E. Bronner et al (red). Ontwikkelingen in het Marktonderzoek: Jaarboek MarktonderzoekAssociatie, dl. 35, 2010. Haarlem: SpaarenHout. Ook beschikbaar via http://tinyurl.com/metenonline

Edith Desiree de Leeuw is bijzonder hoogleraar Kwaliteit van Survey Onderzoek bij het departement Methodenleer en Statistiek van de Faculteit Sociale Wetenschappen, Universiteit Utrecht. Op 2 december 2009 hield zij haar oratie, getiteld ‘Passen en Meten Online: De Kwaliteit van Internet Enquêtes’. Deze oratie is vanzelfsprekend online beschikbaar, onder andere via http://tinyurl.com/oratie.E-mail <[email protected]>


Watiseenkanswaard?Indekansrekeningwordtal sinds de zeventiende eeuw gepraat over engerekend aan de waarde van kansen. Het ziet ernaaruitdatdezebeschouwingen,destijdsgehou-dendoordobbelendeherenvanstand,nuinhan-den van de commercie een tamelijk platvloersvervolgkrijgen.Watisuwkanswaard?

‘Hoemaaktukansopdezefantastischeprijs?Hetenigewatuhoefttedoenishetinvullenvande Kookenquête. Meer niet! Het invullen van deenquêteduurtslechtsenkeleminuten,isgratisenkanuooknogeenszeer interessanteaanbiedin-genopleveren.’

Dit tekstje van V&D vond ik onlangs tus-sen mijn e-mail. De mogelijke prijs bestaat uit500 Euro aan keukenspullen. Je ziet steeds meervan dit soort aanbiedingen: er wordt geen prijsaangeboden, maar een kans, en niemand heeftenig idee hoe groot (klein) de aangeboden kanszou kunnen zijn. Bovendien, de kansen zijn niethelemaalgratis;ermoetietsvoorgedaanworden:een proefabonnement genomen of een enquêteingevuld. De zoekterm ‘maakt kans’ levert hetonwaarschijnlijke aantal van 81.400 Google hitsop, voor twee derde voorafgegaan door ‘je’, vooreenderdedoor‘u’.Erisvanallesindeaanbieding:eengeheelverzorgdereis,eenmeubelcheque,eenhoogrendementenzelfs‘eenurgentieverklaring’vooreenmedischeingreep.Anderekansengevenzichtopeenmooiegravure,eenballonvaart,eengratis scan of een‘gratis waardebon’. De toevoe-ging ‘gratis’ komt regelmatig voor, en doet den-ken aan de slagzin: ‘Klein bedrag? Pinnen mag!’.Hierbij wordt een verzoek aangekleed als een

gunst: de winkelier wil graag dat u pint, zodathij minder contant geld hoeft te bewaken, maarhij kleedt zijn wens in als een weldaad. Het lijktwel politiek! Ook daar mag u gratis formuliereninvullen.

Onlangs is Richard Gill benoemd totDistinguished Lorentz Fellow, met name in ver-band met toepassingen van de statistiek in derechtspraak — u kent allemaal Gill’s bemoeie-nis met de rechtszaak tegen Lucia de B. Het zouinteressant zijn om, omgekeerd, de rechtspraakte horen over de wonderlijke kansaanbiedingenvan hierboven. Zou niet op zijn minst duidelijkmoeten zijn hoe groot ongeveer jouw kans is opde aangeboden prijs? Bij de staatsloterij is dat,lijkthet,redelijkgoedgeregeld.Eenbepaaldsoortlouchebelkansspelletjesopdetelevisieisaleensdoorderechterverboden.

Soms zijn de winstkansen getrapt. Zo is er‘kansopspermavanShottle’–eengerenommeer-defokstieropzijnretour.Ookalsjezo’nprijswint,is succes niet verzekerd – het hier gaat om eenextrabiologischekans.Erzijnnogmeergetraptekansen: Google geeft 187.000 hits voor ‘kans opeen staatslot’: 187.000 kansen dus voor een kansopeenkans.

Misschien vallen al deze onduidelijke kansenonder fuzzy probability. Google geeft hiervoorbijnadriemiljoenhits.

De kansen in de kansrekening, de statistiekendeORmogeninveelsituatieswaardevolzijn,demeestevandehierbovenaangebodenkansenlijkenvolstrektwaardeloos.

Fred Steutel is emeritus hoogleraar kansrekening aan de TU Eindhoven. E-mail <[email protected]>

WAARDELOZE KANSEN

Fred Steutel

c o l u m n


SamenvattingWij geven een beschrijving van algoritmes voorhetrendez-vousprobleemvanSteveAlpern.DezealgoritmeskomenuitdeMScscriptieRendez-vous on an interval and a search game on a star,waar-voor Marco Timmer in 2009 de VVS scriptieprijsheeft ontvangen. Het rendez-vous probleem hadjarenlang de status van een ‘bierprobleem’, eenpuzzeltjevoorindekroeg,totdatEddieAndersonenRichardWeberereenserieusartikeloverschre-ven [2]. Rendez-vous strategieën zijn ondermeer

succesvolgeblekeninbesturingsproblemeninderobotica[4].

Een moeder is haar dochter kwijtgeraakt in eenwinkelstraat,hetkindkanallekantenopgelopenzijn.Watisdebestezoekstrategievoordemoeder?Watmoetdedochterdoen?Zo’nzoekprobleemiswiskundig geformaliseerd door Steve Alpern, zie[1],enhetstaatbekendalshetrendez-vouszoek-probleem. De inspiratiebron is een gedachten-experiment uit het boek The strategy of conflict

Rendez-vous op een intervalRobbert Fokkink & Marco Timmer


van de econoom Thomas Schelling. Twee para-chutisten zijn geland in vijandig gebied. Het iseen geaccidenteerd terrein met wegen, rivieren,gebouweneneenbrug.Hoekunnendeparachu-tisten elkaar vinden? Volgens Schelling moetende parachutisten op zoek naar een focal point,eenuniekkenmerkvanhetterrein.InSchellingsvoorbeeld is dat de brug. De vraag is nu wat detwee parachutisten zouden moeten doen in eenwinkelstraat,eenhomogeneruimtewaaringeenenkel focal point te bekennen valt. Het rendez-vouszoekprobleembetreftjuistditsoortruimten.

Formulering van het probleem

HetoorspronkelijkeprobleemvanAlpernbetreftrendez-vous op een lijn, het is dus eerder eenwinkelstraat dan een terrein met parachutisten,waarbijdepersonenzichbewegenmetbegrensdesnelheid. Bovendien is de lijn begrensd, de zoek-ruimte is een interval. De personen willen deverwachte ontmoetingstijd minimaliseren. Ditis een continu probleem, dat kan worden gedis-cretiseerd. De twee personen bevinden zich danin een discreet interval met een oneven aantalpunten,genummerdvan0totenmet2n-2zoalsinFiguur1.

In elke tijdstap kunnen de spelers zich ver-plaatsennaareenbuurpunt,sterkernog,zemoe-

tendatook.Optijd0bevindendepersonenzichopeenevengenummerdpunt.Optijd1verplaat-senzezichnaareenonevenpuntenoptijd2zijnzeweerterugopeenevenpunt,etc.Opdiemanierkrijgenweeendiscretisatievanhetcontinuepro-bleem,waarbijervoorisgezorgddatbeideperso-nennietoverelkaarheenkunnenspringen.DezediscretisatieisafkomstigvanJohnHoward[3],dieheeftaangetoonddatditeencorrectebenaderinggeeft van het van het continue rendez-vous pro-bleemalsnnaaroneindiggaat.

Er zijn twee vormen van het rendezvous-pro-bleem: asymmetrisch en symmetrisch. In hetasymmetrischegevalmogendepersonenelkeeneigen strategie volgen. De moeder in de winkel-straat kan bijvoorbeeld gaan zoeken terwijl dedochterophaarplaatsblijft.Inhetsymmetrischegevalkrijgendepersonenderestrictiedatzeeenidentieke strategie moeten volgen. De parachu-tisten van Schelling gedragen zich symmetrisch,wantzegaanallebeiopzoeknaardebrug.Merkop dat een wachtend kind in onze discretisatienoodgedwongen heen en weer moet springentussentweepunten.Dezewait-for-mummystrate-giekaneffectiefzijninhetasymmetrischegeval.In het symmetrische geval zou het leiden tottweespelersdieopelkaarblijvenwachten.Hetisgebruikelijkomtesprekenvan‘spelers’,inplaatsvanpersonen.Hetrendez-vousprobleemkomtuitdespeltheorie.

Figuur 1.


Een rendez-vous zoekstrategie kan wordenweergegevenineenruimte-tijddiagram,zoalsinFiguur2voorn=4

Afhankelijk van de beginpositie kiest de spe-lervolgenshetdiagram éénenkelpad. Menkanzelfs bewijzen dat dit altijd het geval is binneneenoptimalestrategie.Startdespeleroppunt2,danvolgthijvolgensditruimte-tijddiagramhetpad2-3-4-3.Mochtenbeidespelersdezestrategievolgen, dan is hun verwachte ontmoetingstijdeenvoudig uit te rekenen, afhankelijk van dekansverdelingvoorhunbeginposities.Tochishetvindenvaneenoptimalestrategieeenniet-trivi-aal probleem. Zowel het asymmetrische als hetsymmetrische rendez-vous probleem zijn onop-gelost.Hetasymmetrischerendez-vousprobleemis zelfs alleen opgelost voor hele speciale kans-verdelingen,zoalseenuniformebeginpositie,zie

[3].Hetsymmetrischeprobleemisvoorheteerstefficiëntberekenbaargemaaktin[5].

Algoritme voor het symmetrische rendez-vous probleem

Inhetruimte-tijddiagraminonsvoorbeeld,gaateen speler zo snel mogelijk naar het midden alshijmoetstartenopeeneindpunt.Dezeafgelegdewegheetindeterminologievan[3]eensweeper.De paden van de twee sweepers vormen eendriehoek in het ruimte-tijd diagram. De padendiestartenuit2en4blijvenbinnendiedriehoeken het kan worden bewezen dat een optimalestrategie altijd van deze vorm is. Dit reduceerthetaantalkandidatenvooroptimalestrategieënbehoorlijk.

Figuur 2.

Figuur 3.


Men zou kunnen zeggen dat een speler diestartoppunt2ofpunt4gaatmeelopenmeteensweeper.Ditmeelopenblijktookoptegaanvoorandere paden. Neem bijvoorbeeld het volgenderuimte-tijddiagram(Figuur3).

We hebben de strategie voor startpunt 4 ver-anderd van 4-5-4-3 naar 4-3-2-3. De paden diebeginnenvanuitpunt2enpunt4kruisenelkaarnu. Men kan bewijzen dat dit niet het geval kanzijn voor een optimale strategie. Evenmin kanhet optimaal zijn, dat een speler zich onderwegbedenkt en een andere kant op gaat, zoals inFiguur4.

Doorditsoortstrategieënuittesluiten,wordt

het optimaliseringsprobleem efficiënt bereken-baar: een strategie correspondeert precies meteenbinaireboom.Deverwachteontmoetingstijdis, gecombineerd met de kansverdeling van debeginpositie,inéénkeeraftelezenuitdebinaireboomzodradeknopenvandeboomzijnvoorzienvaneenlabelmetdaarindeontmoetingstijd(zieFiguur5).

Het optimaliseringsprobleem leent zich bijuitstek voor dynamisch programmeren: binnen-de eerste vertakking van de boom moeten weimmersopzoeknaarbinairebomendiehetren-dez-vous probleem op een deelinterval optima-liseren.Ditalgoritmeisverderuitgewerktin[5].

Figuur 4.

Figuur 5.


Optimale strategie voor het asymmetrische probleem

Het blijkt dat de bovenstaande beschouwingenvoor het symmetrische probleem voor een grootdeel ook opgaan voor het asymmetrische pro-bleem.Hetpadvaneenspelerkannamelijkalleenvan richting veranderen bij de ontmoeting vanhet pad van de andere speler. Beschouw bijvoor-beelddestrategieëninFiguur6.

Op tijdstap 1 heeft speler I die vanuit 4 startde paden ontmoet voor speler II vanuit 4 en6. Hetzelfde geldt als speler I start vanuit 6.Aangezien startpunt 4 en startpunt 6 leiden totdezelfde ontmoetingen, kan men bewijzen datze vanaf tijdstap 1 op dezelfde manier verderlopen.Ditintegenstellingtothetgearceerdepadvan speler I vanuit startpunt 6. Een soortgelijkeredenatiegeldtvoorstartpunt6voorspelerII.Op

tijdstap2heeftspelerIIvanuitstartpunt2of4of6dezelfdeontmoetingengehadmetspelerI.Vanafdat moment moeten deze paden op dezelfdemanier verder lopen. Dit in tegenstelling tot hetgearceerdepadvanspelerIIvanuitstartpunt6.

Viadezeredenatieishetaantalstrategieëntereduceren,hoeweldereductieminderdrastischisdaninhetsymmetrischegeval.Indeonderstaan-de tabel (Tabel 1) wordt het aantal kandidaat-strategieën voor beide rendez-vous problemenmetelkaarvergeleken,waarbijaandelinkerkantdeCatalangetallenverschijnenvanwegehetaan-talbinairebomen.Berekeningenvoorn=7blijkennietmeermogelijkmetdebovenstaandereductietechniek.

Het aantal te beschouwen strategieën is dusgroter voor het asymmetrische probleem. EentweedecomplicatieisdatermeerdereNasheven-wichtenmogelijkzijn.Eenalgoritmezalstoppen

Figuur 6.

Tabel 1.

n SYMMETRISCH PROBLEEM ASYMMETRISCH PROBLEEM

2 1 2

3 2 4

4 5 37

5 14 908

6 42 66314


bij een Nash evenwicht, waardoor er een volle-dige zoekopdracht nodig is om alle evenwichtente inventariseren. De berekening van het asym-metrische probleem is daarom een uitdagendeopgave.

Decomplexiteitvansymmetrischrendez-vousis lager dan dat van asymmetrisch rendez-vous.Het ligt daarom voor de hand om een oplossingvan symmetrisch rendez-vous te gebruiken voorasymmetrischrendez-vous.Alsbeidespelerseenidentiekekansverdelinghebbenvoordebeginpo-sitie, is de optimale oplossing dan toevallig eensymmetrischestrategie?Uitdeberekeningentotn=6blijktdatditheelvaakhetgevalis,maarnietaltijd. Het blijkt moeilijk, maar niet onmogelijk,omeenvoorbeeldtemaken,waarineeneensym-metrische strategie niet optimaal is. Zo’n voor-beeldwordtgegevenin[5]endemargewaarmeedeasymmetrischestrategiedesymmetrischever-betertisminderdanééntienduizendste.

Het symmetrische rendez-vous probleem ophet interval is goed berekenbaar, het asymme-trischeprobleemismindereenvoudig.Dereken-resultaten geven aanleiding tot verschillendevermoedens over het karakter van de optimalestrategie.Zoalshetvolgendevermoeden:steldatdekansverdelingvoordebeginpositieunimodaalis,symmetrischtenopzichtevanhetmiddenenidentiekvoorbeidespelers.Isdeoptimalestrate-giesymmetrisch?

Literatuur[1] S. Alpern (1995), The rendezvous search problem,

SIAM J. Control Optim. 33 (1995), 673-683.[2] E.J. Anderson, R.R. Weber (1990), The rendezvous prob-

lem on discrete locations, J. Appl. Prob. 28, 839-851. [3] J.V. Howard (1999), Rendezvous Search on the

Interval and the Circle, Oper. Res. 47, no 4, 550-558. [4] N. Roy and G. Dudek (2001), Collaborative

Exploration and Rendezvous: Algorithms, Performance Bounds and Observations, Autonomous Robots, 11(2), 117-136.

[5] M. Timmer (2008), Rendezvous on an interval and a search game on a star, MSc thesis, TU Delft, reposi-tory.tudelft.nl.

Robbert Fokkink studeerde wiskunde aan de UvA en promoveerde in 1991 in Delft op een onderwerp uit dynamische systemen. Hij werkte daarna bij WL|Delft Hydraulics en is sinds 1999 weer verbonden aan de TU Delft. Hij was één van de begeleiders van Marco Timmer, samen met Steve Alpern en Geert-Jan Olsder.E-mail <[email protected]>

Marco Timmer studeerde wiskunde aan de TU Delft. Hij kreeg in 2004 de Jong Talent Aanmoedigingsprijs Wiskunde en in 2009 de VVS scriptieprijs. Hij werkt als statisticus bij GLI Europe in Hillegom.E-mail <[email protected]>

Dit artikel is gebaseerd op de Master scriptievan Marco Timmer, waarvoor hij de VVS Srip-tieprijs 2009 mocht ontvangen. De jury oor-deeldealsvolgt:

Deauteuranalyseerttweesoortenrendezvousgames tussen twee personen op discrete setsvanpunten,eenwaarbijdepersonenelkaarzosnelmogelijkwillenontmoeteneneenwaarbijeenverstopperzolangmogelijkeenzoekerwilvermijden. In beide problemen wordt de opti-male strategie bepaald voor de verwachte tijdtot ontmoeting bij gegeven startverdelingenvandetweepersonen.Het afstudeerwerk bevat veel nieuwe resulta-ten,waarondereencorrespondentiemetbinarytrees en een reccurente betrekking waarmeehetsymmetrischerendezvousprobleemnume-riek kan worden opgelost, een algorithme omde optimale strategie te benaderen in asym-metrischerendezvousproblemen,alsmedeeenoplossing voor een eenvoudig verstopper-zoe-kerprobleemeneennumeriekeoplossingvooreencomplexerevariant.Dejurywaszeeronderdeindrukvandeorigi-naliteitenhogekwaliteitvanhetwerkalsmedede heldere presentatie van geheel, en is vanmening dat dit het gebrek aan aandacht voortoepassingenruimschootscompenseert.


Bloedisvooreeniedereenonmisbaarendaarmeeuiterst kostbaar goed. Een behoefte aan bloed-producten ontstaat zowel als gevolg van onge-lukken en reguliere operaties (traumatologie enchirurgie)als,inzekerzo’nbelangrijkemate,voortherapeutische doeleinden (oncologie en hema-tologie). Hierbij wordt een beroep gedaan op dehumaniteit en bereidwilligheid van donoren.Bloedbankenenziekenhuizenhoudenvoortrans-fusiedoeleinden voorraden bloedproducten aan.Daartoe worden volbloeddonaties gescheiden inconcentraten van rode bloedcellen, bloedplasmaenbloedplaatjes.

In ons onderzoek hebben we ons op hetproductie-voorraadbeheer van bloedplaat-

jesconcentraten (BPCs) gericht daar BPCs hetkortst houdbare en meest kostbare bloedpro-ductzijn,waardoorhetvoorraadbeheerkritischis. Uit internationale cijfers van Westerse lan-den,waaronderNederland,blijktdatgemiddeldzo’n 10-20% van de bloedplaatjesconcentraten(BPCs)ongebruiktweggegooidworden(zieo.m.Veiholaetal(2006)).Ditiszowelethischalseco-nomischzeeronwenselijk.Doornieuwetoepas-sing van Operations Research technieken toontons onderzoek aan dat dit verval in Nederlandkanwordenteruggebrachttothooguit1-2%.DitblijktuittweedoordeauteursuitgevoerdecasestudiesbijtweevandevierNederlandsebloed-banken.

René Haijema, Nikky Kortbeek, Jan van der Wal & Nico M. van Dijk

BLOEDSTOLLENDE OPERATIONS RESEARCH


Bloedplaatjes concentraten (BPCs)

EenBPCiseentransfusiezakmetdaarindebloed-plaatjesvan5verschillendedonorenvandezelfdebloedgroep.Bloedplaatjeszijnnodigvoorderepa-ratie van beschadigde bloedvaten. In de bloeds-omloopwordendebloedplaatjeszo’n10dagennaproductieinhetbeenmergafgebrokenalszehunstollendvermogenverliezen.Sommigepatiëntenhebben (tijdelijkdanwelgedurendeeen langeretijd)eentekortaanbloedplaatjesendienendaar-om een transfusie te krijgen van bloedplaatjesvanmaximaal4,5of6dagenoud(afhankelijkvanklinischetestenenwetgeving).

Naast de korte houdbaarheid van de produc-tenkenmerkthetprobleemzichdooreenaantalandere complicaties. Allereerst, is de behoeftenaarBPCssterkwisselendenslechtsgedeeltelijkvoorspelbaar. Daarbij dient in zekere mate debloedgroep van de donor overeen te komen metdievandeontvangendepatiënt.Omzoveelmoge-lijkteallentijdeaandevraagtekunnenvoldoenworden bloedproducten op voorraad gelegd. TentweedeishetmakenvanBPCsvanuitvolbloeddo-natieseentijdrovendeenkostbareklusgebondenaanstrengeveiligheidseisen.Bijvoorbeeldhetfil-teren,testenensamenvoegenvandebloedplaat-jesvan5donorentoteenBPCduurteenheledagenkostzo’n150euroaanvariabeleproductiekos-ten.Eendreigendvoorraadtekortisdusnietzon-dermeersneloptelossen.Tenslotteiseenderdecomplicerende factor de productieonderbrekingtijdensweekends.

Optimalisatievraagstuk

Decombinatievandeonzekerevraag,deproduc-tielevertijdvan1dag,dekortehoudbaarheidendeproductieonderbreking leidt tot een spannings-veldbijhetbepalenvaneen juistevoorraadstra-tegie. Enerzijds wil men een ruime beschikbaar-heid om ‘tekorten’ te beperken tot bij voorkeurminder dan 1 procent van de vraag. Anderzijdswillen bloedbankmanagers het verval van gedo-neerdeenreedstotBPCsverwerktebloedplaatjesterugbrengen. Niet in de eerste plaats vanwe-ge de daarmee gepaard gaande verspilling vangemaaktekosten,maarprimairvanwegedeethi-schewaardevandonaties.

Voor Sanquin Bloedbank Noord-Oost was eeneerste uitdaging het terugbrengen van het ver-val, en was de leeftijd van secundair belang. BijSanquin Bloedbank Zuid-Oost speelde de leeftijdvan de uitgegeven pools een belangrijkere rol.Jonge BPCs bevatten over het algemeen meeractievebloedplaatjesenzijnmetnamebetervoorhematologieenoncologiepatiënten.

Een nieuwe aanpak

Omtoteengepast,zegoptimaal,voorraadbeheerte komen hebben we zowel het uitgiftebeleidgeoptimaliseerd als de productievolumes. Hetwetenschappelijk gezien meest interessant is decombinatievanstochastischdynamischprogram-meren(SDP)ensimulatie(SIM)omeenoptimaleproductiestrategie te bepalen en daaruit prakti-scheregelsafteleiden.

Productiestrategieën door SDP-SIM aanpakIn voorraadbeheer, en zo ook in dat van bloed-producten, is het gebruik van eenvoudig te han-terenaanvulregelsbekend.Echter isnietbekendhoe ver van optimaal een aanvulregel is als deleeftijden van de producten op voorraad bui-


ten beschouwing gelaten worden. In de praktijkworden de aanvulniveaus op basis van ervaringvastgesteld,maarwordtdeaanvulregelnietstriktgevolgd.Erblijktbehoeftetezijnaaneenformeleprocedure om goede, zo niet optimale, aanvulni-veaus te bepalen alsmede om het gebruik ervanterechtvaardigen.

Omtoteengoedeproductiestrategietekomenis in Haijema et al (2007) een zogenaamde SDP-SIM aanpak ontwikkeld, die uit vijf stappenbestaatdiehieronderkortuitgelegdworden:1. MBP:Markovbeslisprobleemformuleren2.SDP:schalenenoplossenvanMBP3. SIM:(simpele)regelsaflezenuitoptimalestra-

tegie(viaSimulatie)4.SIM/SDP: vergelijken van regels en optimale

strategie(viaSIMofwaardeiteratie)5. SIM: terugschalen en valideren van regels in

meergedetailleerdsimulatiemodel.

STAP 1 Gegeveneenvasteuitgiftestrategiekaneenopti-maleproductiestrategiebepaaldwordendoorhetprobleem te formuleren als Markov beslispro-bleem(MBP).HetaantalteproducerenBPCswordtbepaald aan het begin van de dag op basis vandetoestand(d,x1,…,x5),bestaandeuitdedagvande week d en de vector x met elementen xi hetaantalproductenopvoorraadvaniedereleeftijds-categorie i. Hierbij worden bloedgroepen buitenbeschouwinggelaten.Gedurendeeendagkunnentekortenoptredenofkunnenproductenvervallen.Tersturingwordenhieraankosten(strafwaarden)toegekend.Deverwachtekostenperweekc(d,x,a)oplangetermijndienengeminimaliseerdtewor-den. Door het toepassen van Bellmans optimali-teitsvergelijking kunnen we gebruik maken vanstochastisch dynamisch programmering (SDP)technieken.

ComplexiteitEr treden echter twee complicaties op bij het

berekenen van een optimale strategie. Allereerstzijn er veel mogelijke toestand (d, x) waarvooreen optimaal besluit a bepaald moet worden.Zelfsalswedeverschillendebloedgroepenbuitenbeschouwing laten zijn er voor de praktijkcasesalvelemiljoenenzonietmiljardenverschillendetoestandendiegeëvalueerdmoetenworden.DezetoestandenzijnonderlingmetelkaarvervlochtenviaovergangskansenP (a)

d,x,y.

STAP 2Daaromishetnodighetprobleemteschalen(ver-kleinen) met behoud van de mate van onzeker-heidindevraag.DoormiddelvanwaardeiteratiekanhetgeschaaldeMBPopgelostworden:

Vn(d,x)= min³ c(d,x,a)+

X P (a)

d,x,y Vn-1 (d+1,y)´

0≤a<U(d)

Eentweedecomplicatieisdatdealdusverkregenoptimale productiestrategie te complex is om indehuidigepraktijktoetepassen,daardieafhan-kelijk is van de leeftijden van de producten opvoorraad.

STAP 3-5Doorsimulatie(SIM)kunnenwedestructuurvande optimale strategie bestuderen en leiden weeenvoudigerproductieregelsaf,zoalseenaanvul-regel. Deze regels worden vervolgens vergelekenmetdeoptimalestrategieendetoepassingervanin de praktijk wordt gevalideerd middels eengedetailleerdesimulatiestudie.

UitgiftestrategieënIndepraktijksteltmenaltijdhetoudsteproducteerstuittegeven(FIFO:First InFirstOut)omdatdithetvervalbeperkt.DaardekwaliteitvaneenBPC afneemt in de tijd, hebben we ook optimaleproductievolumes afgeleid onder LIFO (oudsteeerst).Tevenshebbenweeennieuweuitgiftestra-tegiegenaamdFIFOR(r)bestudeerdwaarbijeerstBPCs van leeftijd r of jonger worden uitgegeven


(volgensFIFO)enderesterendevraagwordtvoor-zienvolgensLIFO.

Daarnaasthebbenweooksamengesteldeuit-gifte strategieën beschouwd: een deel van depatiënten krijgt BPCs op basis van FIFO en eenanderegroep(hematologieenoncologie)opbasisvanLIFOofFIFOR(r).

Resultatentweepraktijkcases

Sanquin Noord-Oost NederlandVoor de praktijkdata van Sanquin bloedbankNoord-Oostblijktdateeneenvoudigeaanvulregelmet vaste aanvulniveaus voor iedere werkdagvrijwel optimaal is. Wat geavanceerdere aanvul-regels,blijkenslechtsietsbetertescoren.

Tabel 1 vat de meest relevante resultatensamen,voorhetgevalmendehelftvandevraagvolgensFIFOR(3)wordtbediend(geefeerstjongeBPCs van hooguit 3 dagen oud uit). Wat opvaltis de enorme reductie in het verval die behaaldkanworden:van17%naarzo’n2%,zonderdatdekans op tekorten toeneemt. Mocht men kiezenom consequent het oudste product uit te gevendan kan het verval nog verder teruggebrachtworden tot minder dan 1%. In Haijema (2008)zijn alle details en gevoeligheidsanalyses terugte vinden. De techniek is ook uitgebreid voorperiodenwaarindevraagenproductienietstati-

onairisbijvoorbeeldrondomvakantiedagen,zieHaijema(2009).

Sanquin Zuid-Oost NederlandHet onderscheid in twee soorten vraag (jong vs.BPCs van willekeurige leeftijd) bleek vooral vanbelang bij de tweede case studie uitgevoerd bijbloedbank Zuid-Oost in 2007/2008. De BPCs vandeze bloedbank zijn langer houdbaar (6 dagen);medehierdoorwashetvervalslechts4%.Nadeelvan de langere houdbaarheid is echter dat menrelatiefmeeroudereproductenopvoorraadheeft.Sanquin Bloedbank Zuid-Oost heeft zich daaromten doel gesteld de uitgifteleeftijd van BPCs teverlagen.

Simpelweg de jongste producten uitgeven(LIFO) bleek geen oplossing, omdat dat tot hogevervalpercentageszalleiden.Echterzoumenwelaaneenkleinegroeppatiënten,voorwiejongereproductenzeergewenstzijn,dejongsteBPCskun-nenuitgevenopdatzijaanzienlijkbetergeholpenkunnen worden. Door een combinatie van deSDP-SIM aanpak en een geringe aanpassing indeproductiecapaciteitkondegemiddeldeleeftijdvan de uitgegeven BPCs teruggebracht wordenvanzo’n3,5totzo’n2,7dagen,zieTabel2alsmedeKortbeeketal(2010).

Het verval is daarmee ook teruggebracht van4%naarminderdaneenhalveprocententekor-tenblijvenvrijweluit.

Tabel 1. Resultaten Noord-Oost 2004/2005 Tabel 2. Resultaten Zuid-Oost 2007/2008

HOUDBAARHEIDBPCIS5DAGEN

PRAKTIJK SDP-SIM

Verval 17,oo% 1,90%

Tekorten ≈ 1,00% 0,26%

Leeftijd bij uitgifte ≈ 4 dagen 2,1 dagen

HOUDBAARHEIDBPCIS6DAGEN

PRAKTIJK SDP-SIM*

Verval 4,0% 0,4%

Tekorten 1,0% 0,4%

Leeftijd bij uitgifte 3,5 dagen 2,7 dagen


Implementatie Software

Mede door dit fraaie resultaat heeft SanquinZuid-Oostgevraagddeontwikkeldeonderzoeks-softwarevanprototypedoorteontwikkelentoteen meer gebruikersvriendelijk tool teneindehetopdewerkvloertekunnengebruiken.Sindsseptember 2008 wordt de software genaamdTIMO (voor Thrombocytes Inventory Manage-ment Optimizer) gebruikt naar volle tevreden-heidvandebloedbankSanquinZuid-Oost.

Conclusie

Hetvoorraadbeheervanbloedproductenkanaan-zienlijk verbeterd worden: het verval van BPCskan teruggebracht worden van meer dan 15%tot minder dan 1%. Daarnaast kan de kwaliteitzoals weerspiegeld in de resterende houdbaar-heidvanBPCssignificantverhoogdworden.Hier-toezijneenMBPmodel,SDPoplostechniekenensimulatiemodellen ontwikkeld en geïntegreerdin gebruikersvriendelijke software. Twee casesalsmede de implementatie van software in depraktijk tonen de kracht van de methode aan.Een belangrijke bijdrage van het onderzoek isdaarnaastdebrugdiegeslagenistussendeOpe-rations Research enerzijds en de praktijk van debloedtransfusie anderzijds. Dit laatste blijkt ookuitdepublicatievanhetonderzoekinhetgeres-pecteerdemedischtijdschriftTransfusion,zieVanDijketal(2010).

LiteratuurDijk, N.M. van, R. Haijema, J. van der Wal, en C. Smit

Sibinga. (2009). Blood Platelets production : A novel approach for practical optimization. Transfusion, 49: 411-420, doi: 10.1111/j.1537-2995.2008.01996.x.

Haijema, R., J. van der Wal, en N.M. van Dijk (2007). Blood Platelet Production: Optimization by Dynamic Programming and Simulation. Computers and Operations Research, 34, 760-779.

Haijema, R. (2008) Solving large structured Markov Decision Problems with applications to perishable inventory management and traffic control. PhD thesis, University of Amsterdam. TI series 444. 370 pages. ISBN

Haijema, R., N.M. van Dijk, J. van der Wal, en C. Smit Sibinga (2009). Blood Platelet Production with Breaks: Optimization by SDP and Simulation. International Journal on Production Economics, 121: 464-473. doi:10.1016/j.ijpe.2006.11.026.

Kortbeek, N., J. van der Wal, N.M. van Dijk, R. Haijema, en W. de Kort (2010). Blood bank production and issu-ing Optimization: Strategies for younger platelets. Resubmitted at International Journal on Production Economics.

DankwoordHet succes van dit onderzoek en de implementatie ervan is voor een belangrijk deel te danken aan de inte-resse en steun van een groot aantal medewerkers van Sanquin, in het bijzonder Cees Smit Sibinga, Wim de Kort en Naud Jansen. Voor het hier beschreven onderzoek hebben de eer-ste twee auteurs de ORTEC Excellence in Advanced Planning Award 2010 in ontvangst mogen nemen. Zij bedanken het NGB en ORTEC voor deze stimulans aan promovendi om wetenschappelijk OR onderzoek in de praktijk te brengen.Het onderzoek waarover in dit artikel wordt gerappor-teerd is uitgevoerd aan de Universiteit van Amsterdam als onderdeel van het PhD project van de eerste auteur en het MSc thesisproject van de tweede auteur. Het project is geïnitieerd en begeleid door de derde en vierde auteur.

René Haijema is sinds 2007 werkzaam als UD aan de Operations Research en Logistiek groep (ORL) van de Wageningen Universiteit. E-mail <[email protected]>

Nikky Kortbeek is sinds 2008 promovendus aan de Universiteit van Twente, afdeling Stochastic Operations Research, en het Academisch Medisch Centrum, afdeling Kwaliteit & Procesinnovatie. E-mail <[email protected]>.

Jan van der Wal en Nico M. van Dijk zijn beide hoog-leraar Operations Research aan de Universiteit van Amsterdam (UvA), afdeling Kwantitatieve Economie.E-mail <[email protected]> en <[email protected]>


Amerikakamptmeteenimagoprobleem.Decen-nialang schaarde Europa, en zeker Nederland,zich onvoorwaardelijk achter de grote broer. WelekendeAmerikaanseleefstijlmoeiteloosovertenemen.Datligtnuanders.Nietdehemel,maardeozonlaaglijktdelimiettezijn.DeCadillacenBigMac zijn in onmin geraakt. Groter is niet langerbeter.

OperationsResearchisdeCoupedeVilleonderdewetenschappelijkedisciplines,grootenonlos-makelijk met het Amerikaanse landschap ver-bonden. Niet vreemd dus dat het kloppend hartvan OR, de vakorganisatie INFORMS, in de VSzit. Turning Math into Cash is een boude leusop de INFORMS website. Succesverhalen overmiljardenbesparingen door OR. Ook de jaarlijkseINFORMS-bijeenkomstisgroot.Ruimvierduizenddeelnemers, verspreid over vier dagen en zestigparallelle sessies. Zelfs de zondag wordt volle-dig volgeboekt. Het evenement balanceert op degrens van wetenschap en commercie. Een helerits hoofdsprekers, een waslijst van prijzen enwinnaars,lanceringenvanhot areas eneenenor-mejobmarketvoorpromovendiopzoeknaareenbaan. De Europeaan houdt van kleinschaligheidenmaatwerk,maarzalzichongetwijfeldverma-keninditkolossalepretpark.

De Nederlandse inbreng in INFORMS wordtieder jaar groter. Bij de annual meeting inWashington 2008 konden we meerdere taxibus-

jes vullen, en wie een meeting bezoekt, wordtautomatisch lid van de gemeenschap. We zittenincommissies,winnenhierendaareenprijs,enzijnonservanbewustdatINFORMStijdschriftenals Operations Research en Management Scienceechtecitatietrekkerszijn.Ietswatdeniet-puristenonderonsnietonberoerdlaat.

De volgende INFORMS meeting wordtgehouden in Austin, Texas (7-10 november2010). Everything is Bigger in Texas, dat weet u.Amerikanen zijn meesters in het verzinnen vanslogans. Zo ook INFORMS. Na Doing Good with OR en INFORMING the Globe is ditmaal gekozenvoorEnergizing the Future,dusookaanhetimagowordthardgewerkt.Voorwiehetspektakeleenswil meemaken – Just Do It! – tot besluit watreistips. Laat thuis: getailleerde blouses, profiel-lozezolen,enalleverdereEuropeseongemakken.Neem mee: een oversized T-shirt, joggingschoe-nen (hard nodig in het hotel), visitekaartjes, eneenfiksedosispositieveenergie.Laatuinspirerenenbedenk:heelsomsisgrotertochbeter.Ohja,enmochtheteensucceszijn,komdannietaanmetdatinAmerikaallesbeteris.Datkan,netalsdieCadillacenBigMactrouwens,echtnietmeer.

Johan van Leeuwaarden is werkzaam in de groep Stochastische Besliskunde bij de faculteit Wiskunde en Informatica van de Technische Universiteit Eindhoven. Tevens is hij research fellow bij EURANDOM. E-mail <[email protected]>

Johan van Leeuwaarden

EVERYTHING IS BIGGER IN TEXAS

c o l u m n


Een uiterst onwaarschijnlijke gebeurtenis in deBulgaarselottoisbijnaderinzienminderonwaar-schijnlijkdanhetlijkt.

Op de twee opeenvolgende trekkingen van 6september 2009 en 10 september 2009 werdenindeBulgaarselotto6/42dezelfdezesgetallen4,15, 23, 24, 35 en 42 getrokken. Dit gebeuren kreegveel aandacht op internet-blogs, vooral omdatsprake was van twee direct opeenvolgende trek-kingenwaardoordegebeurtenis indeBulgaarselotto nog uitzonderlijker is dan de gebeurtenisindeDuitse6/49lottometdezelfdezesgetallen15, 25, 27, 30, 42 en 48 op de trekkingen van 20december 1986 en 21 juni 1995. Sommige blogstwijfeldenaandeeerlijkheidvandetrekkingenindeBulgaarselottoopgrondvanhetargumentdatde kans op dezelfde zes getallen in twee opeen-volgendetrekkingenonvoorstelbaarkleinis,dezekansisongeveer2x10-7.Ditisechternietdejuistewijze om tegen de opmerkelijke gebeurtenis indeBulgaarselottoaantekijken.Gebeurtenissen,hoe onwaarschijnlijk ook, zullen altijd een keeroptredenalszemaarvoldoendegelegenheidkrij-genzichteontvouwen.Ditkanwordentoegelichtmetenkelebenaderendeberekeningen.Latenwevoor het gemak aannemen dat 2000 trekkin-gen hebben plaatsgevonden sinds de instelling

van de Bulgaarse lotto waarin bij elke trekkingzes verschillende getallen uit de getallen 1,2,...,42worden getrokken. Relevant is de kans dat in dekomende2000trekkingenvandeBulgaarse6/42lottoergenstweeopeenvolgendetrekkingenmetdezelfde zes getallen zullen zijn. Wij zullen zolaten zien dat deze kans bij goede benaderinggelijkisaan0,000373.Nogsteedseenheelkleinekans, maar niet een onvoorstelbaar kleine kans.Tweeopeenvolgendetrekkingenmetdezelfdezesgetallen wordt nog plausibeler als men bedenktdateropdewereldvelelotto’szijn.Gajeuitvanhonderd 6/42 lotto’s, dan is de kans bij goedebenaderinggelijkaan1-(1-0,000373)100=0,037datineenofanderelottoergensindekomende2000trekkingen er twee opeenvolgende trekkingenmetdezelfdezesgetallenzijn.Eenkansvanbijna4%isbijdelottotochbepaaldgeenkleinekans.

De lotto en het verjaardagsprobleem

Eerst beschouwen wij het lottoprobleem waaringevraagdwordtnaardekansdatindekomende2000 trekkingen van de lotto 6/42 ergens tweetrekkingen zullen zijn met dezelfde zes getallen,waarbijdetrekkingennietopeenvolgendhoeven

Henk Tijms

TOEVAL IN DE BULGAARSE LOTTO


te zijn. Dit lottoprobleem is een variant van hetklassieke verjaardagsprobleem waarin gevraagdwordtnaardekansdatineentoevalligsamenge-steldegroepvanpersonentweeofmeerpersonenopeenzelfdedagjarigzijn.Inde6/42lottozijner¡42

6¢

=5245786mogelijkeuitkomstenvoordezesverschillende getallen in een gegeven trekking.Dekansdatin2000trekkingenvande6/42lottotwee of meer trekkingen dezelfde zes getallengeven, is niets anders dan de kans dat op eenplaneet met d=5 245 786 dagen binnen een wil-lekeurigsamengesteldegroepvanm=2000alienstwee of meer aliens op eenzelfde dag jarig zijn.Dezekanswordtbijdezegrotewaardenvanmendgegevendoor

1–e– b-cm(m-1)/d=0,3169

zoals welbekend is uit de kansrekening, zie bij-voorbeeldhetboekTijms(2007)waarinookande-recoïncidentiesindelottowordenbesproken.Dekans dat in een groep van m = 2000 aliens drieofmeeraliensopeenzelfdedag jarigzijnbijd=5245786mogelijkeverjaardagenis

1–e– b-6m(m-1)(m-2)/d2=0,00005.

Opgrondhiervankunnenwestellendatbinnende komende 2000 trekkingen van de Bulgaarse6/42 lotto het aantal trekkingen met dezelfdezes getallen precies gelijk aan twee is met kansvrijwelgelijkaan0.3169enmeerdantweeismeteenkansdieverwaarloosbaaristenopzichtevandewaarde0,3169.Erisechternogeensubtiliteit.De kans 0,3169 geeft de kans dat het tenminsteéénkeervoorkomtdatonderde2000trekkingener precies twee trekkingen zijn met dezelfde zesgetallen.Zonderverdereuitleggevenwedatmetkans 0,2605 het precies één keer voorkomt datonder de 2000 trekkingen er precies twee trek-kingenzijnmetdezelfdezesgetallenenhettweekeer voorkomt met een kans die bij goede bena-

dering gelijk is aan 0,3169 – 0,2605 = 0,0564. Detrekkingen hoeven tot nu toe niet opeenvolgendtezijn.Hetisvervolgenssimpeltekomentoteenbenaderingvandegezochtekansoptweeopeen-volgendetrekkingenmetdezelfdezesgetalleninde komende 2000 trekkingen van de Bulgaarse6/42 lotto. Gegeven dat tussen 2000 trekkingenertweetrekkingenzijnmetdezelfdezesgetallen,danzijndezetweetrekkingenopeenvolgendmetkans1/1000 enhiermeevolgtdatbijgoedebena-deringdegezochtekansgelijkisaan0,0002605+2x0,0000564=0,000373.

Populaire getallen

Bijdetrekkingvan10september2009indeBul-gaarse lotto waren er 18 winnaars met zes goed,terwijl bij de trekking van 6 september 2009 ergeenwinnaarswarenmetzesgoed.Deverklaringvan zoveel winnaars op 10 september ligt in hetfeit dat veel mensen hun getallen niet randomkiezen.Bijhetkiezenvanhungetallengebruikenmensen geboortedata, geluksgetallen, rekenkun-digerijen,etc,maarookdewinnendegetallenvaneen vorige trekking (uit gegevens van de Neder-landse lotto blijkt dat 1, 2, 3, 4, 5 en 6 het meestingevulderijtjeis).Hetisbeteromnietpopulairegetallen te gebruiken. Uiteraard heeft elk rijtjevanzesgetallendezelfdekansombijeentrekkingtevallen,maardejackpotmoetmetveleanderengedeeldwordeninhetgevaldatdezeopeenrijtjevanzespopulairegetallenzouvallen.

NootDe auteur realiseerde zich achteraf dat de exacte waar-de van de gezochte kans in de Bulgaarse lotto simpel-weg is 1 – (1 – 1/5 245 786)1999 = 0,000380.

LiteratuurHenk Tijms, Understanding Probability, 2nd edition,

Cambridge University Press, 2007.

Henk Tijms is emeritus hoogleraar Besliskunde.


OpHemelvaartsdag2010veroorzaaktehetberichtover het volkomen onverwachte overlijden vanprof.dr.ir.JoA.E.E.vanNuneneenschokgolfdoorde logistieke wereld. Jo was op dat moment inVancouver, in verband met het jaarlijkse POMScongres.

Hijwaseenbijzondermens,eenlevenskunste-naar: hij ging met visie, doortastendheid, onuit-puttelijkeenergieenonnavolgbarehumorachterzijnidealenaan.Hijdachtdaarbijaltijdeerderaananderen dan aan zichzelf. Door zijn unieke per-soonlijkheid bouwde hij een gigantisch netwerkop:JokendeiedereeneniedereenkendeJo.

In 1976 promoveerde hij aan de TechnischeUniversiteit Eindhoven bij Jaap Wessels ophet onderwerp Markov Beslissingsprocessen.Sinds 1984 was hij hoogleraar Logistiek enInformatiesystemen aan de Rotterdam Schoolof Management van de Erasmus UniversiteitRotterdam. Daar heeft hij meer dan 25 jaar lei-ding gegeven aan de vakgroep Beslissings- enInformatiewetenschappen. Onderwijs en onder-zoekkwamendaarbijtotgrotehoogten.

Jolietzichvooralinspirerendooruitdagingenindepraktijk.Daardoorrealiseerdehijzichdestemeer dat kwantitatieve logistieke modellen pasecht betekenis krijgen als ze gecombineerd wor-denmetgroterekenkrachtenalszegevoedwor-denmetdejuistedata.HijheeftdanookaltijddelinktussendeLogistiekendeInformatiesystemengekoesterd.

Aan zijn eerste specialiteiten personeelsplan-ningendistributienetwerkenvoegdeJolatereenbreed scala aan andere onderwerpen toe, wanthijhadeengoedeneusvoorrelevanteontwikke-lingen:ElectronicDataInterchange,SupplyChainManagement, Reverse Logistics, SustainableMobility en vele andere. Hij werkte samen mettalvanbedrijveninbinnen-enbuitenland,inhetbijzonderindeRotterdamsehaven.

Zijn afscheid van de Erasmus UniversiteitRotterdam stond gepland voor 3 september a.s.Hij was al tijden druk met de voorbereidingen.Het moest alleen geen afscheid worden, maareendoorstart:nietterugkijken,maareenblikopdetoekomst.Hijwasdaaromookalbezigmettalvannieuweactiviteiten:deVLM(VerenigingvoorLogistiek Management, ofwel de Vereniging vanLeukeMensen,zoalshijdiezelfnoemde),Dinalog,SmartPort,FreshCorridorenveleandere.

Helaas heeft Jo’s grote hart hem nu veel tevroeg in de steek gelaten. Het is slechts eenschraletroosttewetendathetindehemelnuveelgezelligerisdanvoorheen.

LorikeHagdorn-VanderMeijdenenLeoKroon

In MemoriamJo van Nunen (1945-2010)

* De favoriete mop van Jo: Er zijn drie soorten wiskun-digen: namelijk, wiskundigen die kunnen tellen, en wiskundigen die niet kunnen tellen.

ER WAREN 3 SOORTEN WISKUNDIGEN…*

You’re there. You’re here, you’re there, you’re in places you’ve never been, discovering things you never expected. With JMP® software, you don’t just explore your data. You experience it. You understand it. And then you communicate it. JMP statistical discovery software is dynamic data exploration and compelling data presentation for everyone, including the solar, semiconductor, electronics, pharmaceutical and chemical industries. It’s data visualization from SAS. Go to www.cosinus.nl and click on JMP.

For information about demos, purchases or training courses, please contact:

Cosinus Computing BV, Groenewoud 27, 5151 RM Drunen, NLE-mail: [email protected] Tel: +31 (0)416 378 125 URL: www.cosinus.nl

SAS, JMP, and all other SAS Institute Inc. product or service names are registered trademarks or trademarks of SAS Institute Inc. in the USA and other countries. ® indicates USA registration. Other brand and product names are trademarks of their respective companies. Copyright © 2010, all rights reserved. S54174US_0310

STAtOR - core.ac.uk · Namens de Biometrische Sectie (BMS): prof. dr. A.H. Zwinderman Namens de...

Documents

Transcript of STAtOR - core.ac.uk · Namens de Biometrische Sectie (BMS): prof. dr. A.H. Zwinderman Namens de...