Statistiek II

68
Hoofdstuk 3: Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 3 STATISTIEK II 1

description

Statistiek II. Hoofdstuk 3: Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 3. Previously on Statistiek II. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Statistiek II

Page 1: Statistiek II

Hoofdstuk 3: Betrouwbaarheidsintervallen en

hypothesetoetsing

Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 3

STATISTIEK II

1

Page 2: Statistiek II

• In wetenschappelijk onderzoek vertrekken we vanuit een onderzoeksvraag waaruit wordt afgeleid wat de populatie is en wat de onderzoekseenheden zijn. Om die vraag te beantwoorden verzamelen we data in de vorm van steekproeven omdat de hele populatie vaak moeilijk te onderzoeken is. Die steekproeven worden volgens bepaalde regels getrokken.

• Om via de verzamelde data de onderzoeksvraag te beantwoorden hebben we kansberekeningen nodig: kansen stellen ons in staat om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon.

• Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele. In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.

• Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.

• Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde, waarmee we kunnen uitrekenen hoe groot de kans is om een bepaald gemiddelde te observeren.

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

2

Page 3: Statistiek II

Betrouwbaarheidsintervallen enhypothesetoetsing zoals in:

“Antwerpse studentes kruipen vaker ladderzat op publieke standbeelden dan Gentse studentes?” – klopt dit of niet?

VANDAAG

3

Page 4: Statistiek II

Belangrijk doel in de statistiek: op basis van steekproefgegevens conclusies trekken over populatie waaruit steekproef afkomstig is

Soorten vragen:1. Intervalestimatie“Hoe hard fuiven psychologiestudenten gemiddeld?”

>> betrouwbaarheidsinterval nodig

2. Hypothesetoetsing“Psychologiestudenten fuiven harder dan de gemiddelde student”

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

4

Page 5: Statistiek II

>> schatting van een populatieparameter op basis van steekproefgrootheid: betrouwbaarheidsinterval

Twee mogelijkheden:

1. We gebruiken het gemiddelde berekend in de steekproef als een schatting voor het gemiddelde in de populatie

= PUNTSCHATTING (nadeel: onzekerheid over juistheid)

2. We bakenen een gebied (= interval) af waarvan we met een bepaalde zekerheid (bv. 95%) weten dat het populatiegemiddelde daarbinnen ligt

= INTERVALSCHATTING

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

5

Page 6: Statistiek II

Hoe bakenen we dat interval af (vb. 95%)?

Met Z-transformatie van steekproevenverdeling van gemiddelde!

Uit kenmerken van standaardnormale verdeling weten we dat 95% van de z scores ligt tussen -1.96 en +1.96

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

6

N

µXzx

95%

-1.96 1.96

Page 7: Statistiek II

We weten dus met 95% zekerheid dat

ligt tussen -1.96 en +1.96

of we weten met 95% zekerheid dat

Beetje herwerken, en voilà:

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

7

96.196.1

N

µX

N

µX

NXµ

NX 96.196.1 = 95% betrouwbaarheidsinterval

Page 8: Statistiek II

Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. Wat is het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde (BI)?

opm. N > 30 dus steekproevenverdeling is normaal verdeeld

N > 100 dus we mogen s gebruiken als we σ niet kennen

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

8

NXµ

NX 96.196.1

1211496.1101

1211496.1101 µ

49.10351.98 µ

Page 9: Statistiek II

Zelfde oefening, maar nu het 99% betrouwbaarheidsinterval.Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de

standaarddeviatie = 14. Uit kenmerken van standaardnormale verdeling weten we dat 99%

van de z scores ligt tussen -2.58 en +2.58

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

9

NXµ

NX 58.258.2

1211458.2101

1211458.2101 µ

28.10472.97 µ

Page 10: Statistiek II

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

10

NXµ

NX 58.258.2

28.10472.97 µ

NXµ

NX 96.196.1

49.10351.98 µ

95% 99%

95% betrouwbaarheidsinterval 99% betrouwbaarheidsinterval

Page 11: Statistiek II

Algemene formule (1-α)%-betrouwbaarheidsinterval

Z = positieve z waarde waarvoor geldt dat Pd (z) = α• Voor α = 0.01 zijn de z waarden -2.58 en +2.58

(1-0.01)% = 99% BI• Voor α = 0.05 zijn de z waarden -1.96 en +1.96

(1-0.05)% = 95% BIdus bij een kleinere α is het interval groter >> meer zekerheid,

maar minder accuratesse.

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

11

NzXµ

NzX ..

Page 12: Statistiek II

Ander gevolg van de algemene formule: Hoe groter de steekproef, hoe kleiner het betrouwbaarheidsinterval.

Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. Wat is het 95% BI?

Maar wat is het 95% BI bij n = 529?

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

12

1211496.1101

1211496.1101 µ 49.10351.98 µ

5291496.1101

5291496.1101 µ 19.10281.99 µ

NzXµ

NzX ..

Page 13: Statistiek II

13

Accuraatheid van betrouwbaarheidsintervallen

betrouwbaarheidsinterval • is berekend op basis van steekproefgemiddelde• verschilt dus van steekproef tot steekproef• kan soms ver afwijken van populatiegemiddelde

Een fout is dus mogelijk!

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Page 14: Statistiek II

14

In 5% van de gevallen zal ons betrouwbaarheidsinterval niet het populatiegemiddelde bevatten!

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Page 15: Statistiek II

Tweede soort vragen in inductieve statistiek: hypothesetoetsing

HYPOTHESETOETSING

15

• Theorie•Drummers zijn dommer dan gemiddelde personen

• Hypothese H1•Drummers scoren lager op IQ test dan gemiddelde personen

• Nulhypothese H0•Drummers scoren even hoog op IQ-test als anderen

• Dataverzameling• IQ test•Gemiddelden

• Toetsing•Hypothese verwerpen•Hypothese niet verwerpen

Page 16: Statistiek II

Analogie met rechtspraak

HYPOTHESETOETSING

16

• Theorie•Een verdachte heeft een moord gepleegd

• Hypothese H1•De verdachte is schuldig

• Nulhypothese H0•De verdachte is onschuldig

• Bewijsmateriaal•Geen alibi•Motief•DNA•…

• Verdict•Onschuld verwerpen•Onschuld staande houden

Page 17: Statistiek II

17

• Dus: nulhypothese (onschuld) wordt verworpen als de kans klein is dat het bewijsmateriaal aanwezig is terwijl de nulhypothese klopt.

In statistiek:• Nulhypothese wordt verworpen als de kans klein is om

een bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de nulhypothese klopt.

• Nulhypothese wordt behouden als de kans groot is om een bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de nulhypothese klopt.

HYPOTHESETOETSING

Page 18: Statistiek II

We toetsen de onderzoekshypothese (of alternatieve hypothese) niet direct, maar zetten de onderzoekshypothese af tegen de nulhypothese (H0).

bv: drummers zijn dommer dan gemiddelde personen (IQ = 100)H1: μ1 < 100 (1 = drummers)H0: μ1 ≥ 100

Je gelooft dat H0 waar is tenzij je bewijzen (dwz. gegevens) hebt die suggereren dat dit niet zo is. In dat geval verwerp je H0 ten gunste van H1. De bewijslast voor het verwerpen van H0 ligt bij de onderzoeker.

NULHYPOTHESE

18

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 19: Statistiek II

Zoek bij de onderstaande onderzoeksvragen of onderzoekshypothesen de statistische hypothesen H0 en H1

1. Voetballers zijn extraverter dan schakers.

H1: μ voetballers > μ schakers

H0: μ voetballers ≤ μ schakers

2. Na een faalangsttraining voelen kinderen zich minder angstig voor een toets dan voor de training

H1: μ angst voor > μ angst na

H0: μ angst voor ≤ μ angst na

NULHYPOTHESE

19

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 20: Statistiek II

3. Jongens en meisjes besteden niet even veel tijd aan hun huiswerk

H1: μ tijd jongens ≠ μ tijd meisjes

H0: μ tijd jongens = μ tijd meisjes

4. De gemiddelde score op uiterlijke beoordeling bij psychologiestudenten is hoger dan 50

H1: µ uiterlijk > 50H0: μ uiterlijk ≤ 50

NULHYPOTHESE

20

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 21: Statistiek II

Een onderzoeker wil de drummer-theorie toetsen en laat 36 drummers een IQ-test afleggen. Hij vindt een gemiddelde van 96 en standaarddeviatie 13.

Dus: N = 36 ; X = 96 ; SX = 13

Ter herinnering:H1: μ1 < 100 (1 = drummers)H0: μ1 ≥ 100

Kan de nulhypothese verworpen worden?Scoren de drummers lager dan het gemiddelde?

HYPOTHESETOETSING

21

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 22: Statistiek II

Neen! de steekproef kan toevallig een paar minder intelligente mensen bevatten, waardoor het gemiddelde daalt.

Hoe beslissen of dit toeval is of niet?>> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of hoger bij

een µ = 100 en = 15(toevallig exact wat we in H2 zagen!)

Is die kans groot, dan is het toeval.Is die kans klein, dan nemen we aan dat het geen toeval is:

drummers halen dan écht een lager IQ dan de gemiddelde persoon.

HYPOTHESETOETSING

22

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 23: Statistiek II

Kansen zijn dus noodzakelijk om inductieve beslissingen te kunnen nemen

=> kansverdeling van steekproefgemiddelden=> om te beslissen of onze steekproef uitzonderlijk is of niet

We trokken een steekproef van drummers en vonden een gemiddeld IQ van 96. We weten dat het gemiddelde IQ 100 is.

Hoe groot is nu de kans om een gemiddelde van 96 te vinden terwijl de populatie drummers toch niet afwijkt van de algemene populatie?

Kunnen we afleiden uit de verdeling van de steekproefgemiddelden:

HYPOTHESETOETSING

23

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

90 93 96 99 102 105 108.00

.05

.10

.15

.20

.25

punten statistiekka

ns

Page 24: Statistiek II

zodus: steekproef: N = 36 ; X = 96 ; SX = 13populatie: µ = 100 en = 15

>> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of hoger bij een µ = 100 en = 15

Stap1:

Stap 2: P(z < -1.6) = 0.0548

Maar is dit nu een kleine of een grote kans? Waar ligt de grens?

HYPOTHESETOETSING

24

6.1

361510096)96(

z

• Theorie

• Hypothes

e

• Nulhypothese

• Dataverzameling

• Toetsing

Page 25: Statistiek II

Wat is een kleine en een grote kans bij hypothesetoetsing?

Moeten we gelukkig niet zelf beslissen:

Klassiek wordt in gedragswetenschappen5% of 0.05 als grenswaarde gebruikt.(iets strenger is 0.01)

Dit is de overschrijdingskans of α (alfa)

DUS: als de gevonden kans om het geobserveerde gemiddelde te vindenkleiner is dan 0.05, dan verwerpen we H0.

HYPOTHESETOETSING

25

Sir Ronald Fisher, ernstig nadenkend over hoe groot een grote kans is.

Page 26: Statistiek II

terug naar het voorbeeld:

>> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of lager bij een µ = 100 en = 15

We vonden: P(z < -1.6) = 0.0548

H0 verwerpen of niet?>> 0.0548 is groter dan 0.05, dus H0 wordt niet verworpen!>> de drummers scoren niet significant lager dan

gemiddelde personen.(oftewel: drummers zijn niet dom!)

HYPOTHESETOETSING

26

Page 27: Statistiek II

We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 70 en σ = 12. In steekproef (N = 49) vinden we een gemiddelde van 76 met standaarddeviatie 10.

Wijkt de steekproef significant af van de populatie? Hoe groot is de kans op het vinden van een gemiddelde

van 76 of groter in een steekproef uit een populatie met gemiddelde van 70?

H1: µ > 70H0: µ ≤ 70

Stap 1. Stap 2. P (z ≤ 3.5) = 0.9998 P (z > 3.5) =

0.0002

HYPOTHESETOETSING

27

5.3

49127076)76(

z

Page 28: Statistiek II

De kans op het vinden van een score van 76 of meer is 0.0002

Deze kans is ‘klein’ (nl. ≤ 0.05), dwz. het is erg onwaarschijnlijk dat je uit een populatie met een gemiddelde van 70 en σ = 12 een steekproef trekt met een gemiddelde van 76. Dus: het verschil tussen een steekproefgemiddelde van 76 en een populatiegemiddelde van 70 is groot genoeg om te besluiten dat beide gemiddelden significant van elkaar verschillen. De gegevens (M = 76) zijn te veel in strijd met H0.

Dus: we verwerpen H0 “µ ≤ 70” >> de specifieke populatie waaruit de steekproef is getrokken verschilt significant van de algemene populatie

HYPOTHESETOETSING

28

Page 29: Statistiek II

De variabele “hoogtevrees” is bij kinderen normaal verdeeld in de populatie met µ = 30, op een schaal van 0 – 60. We vermoeden dat kinderen van klimmers minder hoogtevrees vertonen dan andere kinderen.

In steekproef (N = 130) vinden we een gemiddelde van 28 met standaarddeviatie 14.

Wijkt de steekproef significant af van de populatie?

H1: µ < 30H0: µ ≥ 30

Stap 1. Stap 2. P (z ≤ 1.57) = 0.9418 P (z ≤ -1.57) = 0.06

HYPOTHESETOETSING

29

57.1

111143028)28(

z

σ is onbekend maar aangezien N > 100

mogen we s gebruiken om σ te schatten

Page 30: Statistiek II

Een onderzoeker onderzoekt 25 blinde kinderen die les kregen samen met kinderen zonder gezichtsbeperking. De onderzoeker is benieuwd of hun gevoel van eigenwaarde kleiner is dan dat van de kinderen in het algemeen. Alle kinderen beantwoorden een aantal vragen die hun gevoel van eigenwaarde meten. De blinde kinderen krijgen een gemiddelde score van 67 op de meting van eigenwaarde. In de populatie is het gemiddelde 69 met een standaarddeviatie van 6.12. De bestudeerde variabele is normaal verdeeld in de populatie.

− Welke hypotheses moet de onderzoeker formuleren?− Kan de onderzoeker besluiten dat de eigenwaarde van de

kinderen met gezichtsbeperking kleiner is dan die van kinderen in het algemeen?

HUISWERK

30

Page 31: Statistiek II

• Welke hypotheses moet de onderzoeker formuleren?

H1: µblind < µ0H0: μblind ≥ µ0

of

H1: µblind < 69H0: μblind ≥ 69

HUISWERK

31

Page 32: Statistiek II

• Kan de onderzoeker besluiten dat de eigenwaarde van de kinderen met gezichtsbeperking gelijk is aan die van kinderen in het algemeen?

Stap1:

Stap 2: P(z ≤ -1,63) = 0.0516

Conclusie: Resultaat is net niet significant. De eigenwaarde van blinde kinderen wijkt niet significant af van de eigenwaarde van kinderen in het algemeen.

HUISWERK

32

63.1

2512.66967)67(

z

Page 33: Statistiek II

33

• Om te onderzoeken of een onderzoekshypothese waar is, trekken we een steekproef, die een bepaald gemiddelde en standaarddeviatie heeft.

• In theorie zijn er veel verschillende steekproeven mogelijk, vandaar de steekproevenverdeling, die alle mogelijke gemiddelden weergeeft, met hun kans op voorkomen.

• Aan de hand van deze verdeling kunnen we besluiten of onze steekproef uitzonderlijk is (H1) of net niet (H0).

• Als de kans om onze steekproefgegevens te observeren kleiner is dan (.05) - volgens de verdeling die bij H0 past - menen we dat dit uitzonderlijk is en verwerpen we H0.

SAMENGEVAT

Page 34: Statistiek II

34

• In wetenschappelijk onderzoek vertrekken we vanuit een onderzoeksvraag waaruit wordt afgeleid wat de populatie is en wat de onderzoekseenheden zijn. Om die vraag te beantwoorden verzamelen we data in de vorm van steekproeven omdat de hele populatie vaak moeilijk te onderzoeken is. Die steekproeven worden volgens bepaalde regels getrokken.

• Om via de verzamelde data de onderzoeksvraag te beantwoorden hebben we kansberekeningen nodig: kansen stellen ons in staat om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon.

• Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele. In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.

• Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.

• Bij hypothesetoetsing gebruiken we de steekproevenverdeling van het gemiddelde als kansverdeling. Ook hier zetten we waarden (gemiddelden!) om naar z-scores. We kunnen dan beslissen of ons geobserveerde gemiddelde uitzonderlijk is of niet. Als het uitzonderlijk is – volgens de verdeling die bij H0 hoort – dan verwerpen we H0.

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

Page 35: Statistiek II

•35

Hypothesetoetsing

Mogelijke fouten, kritieke waarden, één- of tweezijdig toetsen

VERVOLG

Page 36: Statistiek II

Tot nu toe getoetst:

H0: µ ≥ 50 (rechtseenzijdig)H0: µ ≤ 50 (linkseenzijdig)

m.a.w. toetsen of een steekproefgemiddelde groter of kleiner is dan het populatiegemiddelde, met een specifieke richting voor ogen.

Maar je kan ook toetsen of een steekproefgemiddelde al dan niet gelijk is aan het populatiegemiddelde, ongeacht de richting:

>> tweezijdig toetsen (= standaard situatie)

HYPOTHESETOETSING

36

Page 37: Statistiek II

éénzijdig toetsen

− Maar blijft steeds 0.05, en die wordt bij tweezijdig toetsen verdeeld over de twee richtingen; dus 0.025 langs elke kant.− Dus het steekproefgemiddelde zal extremer moeten zijn om de nulhypothese te verwerpen!

HYPOTHESETOETSING

37

bv: H1: µ > 100 bv: H1: µ 100bv: H1: µ < 100

0.05 0.05

0.025 0.025

tweezijdig toetsen

Page 38: Statistiek II

38

Alternatief gedemonstreerd:

HYPOTHESETOETSING

Page 39: Statistiek II

Tweezijdig toetsen

H0: µ = 100 geen richting dwz. ligt het gemiddeldeH1: µ ≠ 100 duidelijk boven of duidelijk onder 100?

We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 100 en σ = 20. In steekproef (n = 49) vinden we een gemiddelde van 106 met standaarddeviatie 18.

-> Hoe groot is de kans op het vinden van een gemiddelde dat even ver of verder afwijkt van het populatiegemiddelde 100 dan het steekproefgemiddelde 106?

H0 wordt verworpen als het steekproefgemiddelde té groot of té klein is in vergelijking met 100

HYPOTHESETOETSING

39

Page 40: Statistiek II

H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100

X = 106

Stap 1.

Stap 2. P (z ≥ 2.1) = 0.0179Let op: bij tweezijdig toetsen -> 0.0179 vergelijken met 0.025Maar: om = 0.05 te behouden in rapportering doen we 0.0179*2 =

0.0358 en we vergelijken met 0.05.

HYPOTHESETOETSING

40

1.2

4920100106)106(

z

Page 41: Statistiek II

Algemene beslisregels bij hypothesetoetsing:

notatie: PR(ZX) = rechteroverschrijdingskans of P(Z ≥ ZX)PL(ZX) = linkeroverschrijdingskans of P(Z ≤ ZX)

H1: steekproefgemiddelde is groter dan µ H0 verwerpen als PR(ZX) <

H1: steekproefgemiddelde is kleiner dan µ H0 verwerpen als PL(ZX) <

H1: steekproefgemiddelde is niet gelijk aan µ als X < µ wordt H0 verworpen als 2PL(ZX) < als X > µ wordt H0 verworpen als 2PR(ZX) <

HYPOTHESETOETSING

41

Page 42: Statistiek II

Eén- of tweezijdig toetsen?

Keuze voor éénzijdig of tweezijdig toetsen maak je altijd vooraf: enkel bij een uitgesproken richting in de hypothese en voldoende theoretische/empirische gronden mag je éénzijdig toetsen.

Dus standaard altijd tweezijdig toetsen!

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

42

Page 43: Statistiek II

De keuze voor één- of tweezijdig toetsen kan soms bepalend zijn voor het antwoord op de vraag of de resultaten significant zijn!

Populariteit van docenten statistiek is in populatie normaal verdeeld met µ = 100 en σ = 15.

Onderzoekshypothese:1. door doorgedreven training en complete restyling kan de

populariteitsscore stijgen (= eenzijdig).of:2. door doorgedreven training en complete restyling kan de

populariteitsscore veranderen (= tweezijdig).

25 docenten worden getraind. Populariteitsscore na training in deze steekproef = 105.

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

43

Page 44: Statistiek II

1. Rechtseenzijdig toetsen:H0: µ ≤ 100H1: µ > 100

Pr (1.67) = 0.0475 = 0.048

Is 0.048 ≤ 0.05?-> ja, dus verwerp H0 µ ≤ 100

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

44

67.12515100105

2515100105

xz

Page 45: Statistiek II

2. Tweezijdig toetsen:H0: µ = 100H1: µ ≠ 100

Pd (1.67)= Pl (-1.67) + Pr (1.67) = 0.0475 + 0.0475 = 0.095

Is 0.095 ≤ 0.05?-> neen, dus verwerp H0 µ = 100 niet

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

45

67.12515100105

2515100105

xz

Page 46: Statistiek II

In SPSS meestal tweezijdige overschrijdingskans!

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

46

Independent Samples Test

,109 ,741 -2,342 697 ,019 -,0929 ,03968 -,17082 -,01502

-2,350 687,853 ,019 -,0929 ,03954 -,17056 -,01528

Equal variancesassumedEqual variancesnot assumed

infoF Sig.

Levene's Test forEquality of Variances

t df Sig. (2-tailed)Mean

DifferenceStd. ErrorDifference Lower Upper

95% ConfidenceInterval of the

Difference

t-test for Equality of Means

Page 47: Statistiek II

Stel: jij wil rechtseenzijdig toetsen maar SPSS geeft de tweezijdige overschrijdingskans.

Dus: SPSS geeft jou Pd (1.67) = 0.095 (“sign. 2-tailed”)

maar je wil eigenlijk Pr (1.67)

Pd (z) = 2 x Pr (+z)dus: Pr (+z) = Pd (z) / 2

in casu: Pr (1.67) = 0.095 / 2 = 0.0475

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

47

Page 48: Statistiek II

Vuistregel:

SPSS geeft 2-zijdige overschrijdingskans-> als je éénzijdige overschrijdingskans nodig hebt (omdat je

links- of rechtszijdig wil toetsen): overschrijdingskans uit SPSS delen door 2 en kijken of dat getal ≤ α (bv. 0.05)

-> als je tweezijdige overschrijdingskans nodig hebt (omdat je tweezijdig wil toetsen): overschrijdingskans uit SPSS gebruiken en kijken of dat getal ≤ α (bv. 0.05)

EÉN- OF TWEEZIJDIG?

48

Page 49: Statistiek II

Kritieke waarden en verwerpingsgebied

• Tot nu toe: toetsen door de Z-waarde te berekenen en de bijhorende kans uit de tabel af te lezen. Als de kans kleiner is dan .05, verwerpen we de nulhypothese = toetsen via overschrijdingskansen

• Ook mogelijk: toetsen door eerst de Z-waarde behorende bij .05 te zoeken (=kritieke waarde) en daarna de berekende Z-waarde hiermee te vergelijken = toetsen via kritieke waarde

KRITIEKE WAARDEN

49

Page 50: Statistiek II

Toetsen met kritieke waarden

H0: µ = 100H1: µ ≠ 100

We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 100 en σ = 20. In steekproef (n = 49) vinden we een gemiddelde van 106 met standaarddeviatie 18.

H0 verwerpen of niet?H0 wordt verworpen als het steekproefgemiddelde té groot of té

klein is in vergelijking met 100. Kunnen we beslissen door z-waarde van het

steekproefgemiddelde te vergelijken met de kritieke z-waarden bij α = .05.

KRITIEKE WAARDEN

50

Page 51: Statistiek II

Dus: welke kritieke z-waarden horen bij = 0.05 ? zie tabel: -1.64 en +1.64 (bij éénzijdig toetsen)

-1.96 en +1.96 (bij tweezijdig toetsen)

Vervolgens: X omrekenen naar z-waarde:

En: ZX vergelijken met Zkritiek: 1.96 < 2.1

Dus de z-waarde van het steekproefgemiddelde overschrijdt de kritieke waarde – nulhypothese kan verworpen worden.

KRITIEKE WAARDEN

51

1.2

4920100106)106(

z

Page 52: Statistiek II

52

Rechtseenzijdig toetsenVb. H0: µ ≤ 100 H1: µ > 100-> is het steekproefgemiddelde voldoende groter dan 100?-> is P r (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet

= toetsen via overschrijdingskansen

-> is z x ≥ 1.64?ja: verwerp H0neen: verwerp H0 niet

= toetsen via kritieke waarden

KRITIEKE WAARDEN

Pr = .05

Z = 1.64

Page 53: Statistiek II

Linkseenzijdig toetsenVb. H0: µ ≥ 100 H1: µ < 100-> is het steekproefgemiddelde voldoende kleiner dan 100?-> is P l (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet= toetsen via overschrijdingskansen

-> is z x ≤ -1.64?ja: verwerp H0neen: verwerp H0 niet = toetsen via kritieke waarden

KRITIEKE WAARDEN

53

Pr = .05

Z = -1.64

Page 54: Statistiek II

Tweezijdig toetsenVb. H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100-> is het steekproefgemiddelde voldoende kleiner of groter dan 100?-> is P d (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet= toetsen via overschrijdingskansen

-> is z x ≤ -1.96 of z x ≥ 1.96?ja: verwerp H0neen: verwerp H0 niet= toetsen via kritieke waarden

KRITIEKE WAARDEN

54

Pr = .025

Z = -1.96

Pr = .025

Z = 1.96

Page 55: Statistiek II

Overschrijdingskansen of kritieke waarden zijn dus twee methodes om hetzelfde te doen!

Het “verwerpingsgebied” bestaat dan uit alle waarden die groter zijn dan bv. 1.64 (bij rechtseenzijdig toetsen) of alle waarden die kleiner zijn dan -1.64 (linkseenzijdig toetsen). Bij tweezijdig toetsen bestaat het verwerpingsgebied uit alle waarden die kleiner zijn dan -1.96 of groter dan 1.96.

(telkens bij α = 0.05 !)

KRITIEKE WAARDEN

55

Page 56: Statistiek II

Zijn we daar nu helemaal zeker van?

>> Neen! Het blijft een kansberekening en er zijn fouten mogelijk:

ONZEKERHEDEN

56

Beslissing

H0 verwerpen H0 niet verwerpen

Realiteit

H0 is waar Type I-fout= α

Correct aanvaarden= 1 - α

H0 is niet waar Correcte verwerping= 1 - β

Type II-fout= β

Page 57: Statistiek II

Een onderzoeker zal NOOIT weten of de nulhypothese die hij formuleert in werkelijkheid (in populatie) waar is of niet. Daarom zal hij bij het al of niet verwerpen van H0 altijd het volgende in zijn achterhoofd moeten houden:

Als hij H0 verwerpt dan houdt hij er rekening mee dat de kans dat deze beslissing fout is = α

Als hij H0 niet verwerpt dan houdt hij er rekening mee dat de kans dat deze beslissing fout is = β

α wordt door de onderzoeker vooraf vastgelegd (meestal 0.05)β bepalen is moeilijker; β wordt mee bepaald door oa. - α (hoe kleiner α, hoe groter β) - steekproefgrootte (hoe kleiner steekproef, hoe groter β)

ONZEKERHEDEN

57

Page 58: Statistiek II

ONZEKERHEDEN

58

nX

n

XXzx

x

H0 niet waar

H0 waar

“verwerp H0” “verwerp H0”“aanvaard H0”

= .05

.025.025

Page 59: Statistiek II

ONZEKERHEDEN

59

nX

n

XXzx

x

H0 niet waar

H0 waar

“verwerp H0” “verwerp H0”“aanvaard H0”

= .016

.008.008

Page 60: Statistiek II

Het heeft geen zin om α zo klein mogelijk te nemen, want dan wordt β groter.

Bij een gegeven α kan men proberen een zo groot mogelijke steekproef te trekken, want dan wordt β kleiner.

ONZEKERHEDEN

60

Page 61: Statistiek II

Relatie tussen hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen.

H0: µ = 98H1: µ ≠ 98In een steekproef (n = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie

= 14. We toetsen H0 met α = 0.05

Stap 1.

Stap 2. P d (2.36) = 2 x P r(2.36) = 2 x 0.0091 = 0.018

Stap 3. Is 0.018 ≤ 0.05? Ja, dus we verwerpen H0

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

61

36.21211498101)101(

z

Page 62: Statistiek II

Zelfde voorbeeld, maar nu is H0: µ = 99

H0: µ = 99H1: µ ≠ 99In een steekproef (n = 121) is het gemiddelde = 101 en de

standaarddeviatie = 14. We toetsen H0 met α = 0.05

Stap 1.

Stap 2. P d (1.57) = 2 x P r(1.57) = 2 x 0.0582 = 0.1164

Stap 3. Is 0.1164 ≤ 0.05? Neen, dus we verwerpen H0 niet

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

62

57.11211499101)101(

z

Page 63: Statistiek II

Zelfde voorbeeld, 95% BI:

Betekenis van 95% BI: alle tweezijdige H0 die in het BI liggen worden niet verworpen bij α = 0.05

In casu zagen we: H0: µ = 98 wordt verworpen (98 ligt niet in 95% BI)H0: µ = 99 wordt niet verworpen (99 ligt wel in 95% BI)

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

63

1211496.1101

1211496.1101 µ

49.10351.98 µ

Page 64: Statistiek II

Stel: onderzoek toont aan dat mannelijke fruitvliegjes meer alcohol drinken als hun seksuele avances genegeerd worden door vrouwtjes.

Significantie: p = .035 of p = .00003

Welke p-waarde suggereert het sterkste verband? In welke situatie wordt het alcoholgebruik het sterkst bepaald door de seksuele deprivatie?

>> p-waarde geeft geen indicatie van belangrijkheid van het effect. >> effectgrootte nodig

EFFECTGROOTTE

64

Page 65: Statistiek II

• Effectgrootte = indicatie van de mate waarin de onafhankelijke variabele de variatie in de afhankelijke variabele kan verklaren.

• Kan uitgedrukt worden in uiteenlopende grootheden (r, d, …) maar vaak wordt r gebruikt.

• Interpretatie:− .10 < r < .30 : klein effect− .30 < r < .50 : matig effect− r > .50 : sterk effect

• Dus:− Significantie: “Is er een effect van seksuele deprivatie op

alcoholgebruik?”− Effectgrootte: “Hoe sterk bepaalt seksuele deprivatie het

alcoholgebruik?”

EFFECTGROOTTE

65

Page 66: Statistiek II

Volgende hoofdstukken: hypothesetoetsing met behulp van verschillende toetsen die elk hun nut hebben in specifieke omstandigheden. Twee grote groepen hierin: parametrische en non-parametrische toetsen:

1. Parametrische toetsen:gebaseerd op normaalverdeling, voorwaarden:

− variabelen normaal verdeeld in populatie− (afhankelijke) variabelen gemeten op intervalniveau − steekproeven hebben gelijke varianties *

*als er meerdere steekproeven zijn

PARAMETRISCH VS. NON-PARAMETRISCH

66

Page 67: Statistiek II

2. Non-parametrische toetsen:− geen normale verdeling vereist− voordeel: breder inzetbaar wegens minder voorwaarden,

ook bij nominale- en ordinale variabelen− nadeel: minder snel significante resultaten

Dus: voorkeur voor parametrisch toetsen, maar enkel als aan de voorwaarden voldaan is!

PARAMETRISCH VS. NON-PARAMETRISCH

67

Page 68: Statistiek II

We zijn nooit helemaal zeker van de juistheid van onze conclusie na hypothesetoetsing: fouten zijn mogelijk, en belangrijk is dat we weten hoe groot de kans is op een fout.

Bij hypothesetoetsing kan je overschrijdingskansen gebruiken, maar net zo goed kan je de kritieke waarden berekenen die bij de overschrijdingskansen horen.

Hypotheses kunnen éénzijdig of tweezijdig getoetst worden. Eénzijdig toetsen geeft meer kans op significante resultaten, maar mag enkel toegepast worden als er een duidelijk verantwoorde richting in de hypothese zit.

SAMENVATTING

68