Statistiek 2

59
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 2 STATISTIEK 2

description

Statistiek 2. Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 2. Previously on Statistiek 2. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Statistiek 2

Page 1: Statistiek 2

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 2

STATISTIEK 2

Page 2: Statistiek 2

2

• Onderzoek begint met een onderzoeksvraag. Daaruit wordt afgeleid wat de populatie is (verzameling waarover we een uitspraak willen doen) en wat de onderzoekseenheden zijn (de elementen van die verzameling).

• Bedoeling van statistiek is om op basis van verzamelde data een onderbouwde beslissing te nemen over verband/verschil. We gebruiken hiervoor steekproeven omdat de hele populatie onderzoeken te omslachtig is.

• Daarom zijn we nooit 100% zeker over onze beslissing. Dat is niet erg, zo lang we maar de mate van onzekerheid kennen.

• Om die mate van onzekerheid te bepalen, hebben we kansberekeningen nodig. We willen vooral te weten komen hoe (on)waarschijnlijk het is om de verzamelde data te observeren.

• Op basis daarvan kunnen we beslissen of een verband/verschil significant is.

• Statistiek is geen wetenschap op zich. Statistische conclusies zijn pas waardevol als ook aan de randvoorwaarden voldaan is en statistiek niet misbruikt wordt.

PREVIOUSLY ON STATISTIEK 2

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 3: Statistiek 2

Kansverdelingen en kansberekening

Om antwoorden te geven op vragen als“Als ik straks op straat een willekeurige jongeling aan de haak sla, hoe groot is dan

de kans dat hij groter is dan 1m75 maar kleiner dan 1m95?”

VANDAAG

Page 4: Statistiek 2

4

Kans = waarschijnlijkheid om een bepaalde gebeurtenis te observeren, uitgedrukt met een getal tussen 0 en 1

Hoe waarschijnlijk is het om een “3” te gooien met 1 worp van een dobbelsteen?

-> P(3) = 1/6 (of 0.1666)

of nog:

Hoe waarschijnlijk is het om bij aselecte trekking van “een docent statistiek” de gebeurtenis “niet saai” te observeren?-> P(“niet saai”) = ???

KANSEN

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 5: Statistiek 2

5

Waarom kansen nodig in statistiek?

Belangrijk doel in statistiek: op basis van steekproefgegevens conclusies trekken over populatie

Soorten vragen:

1. Interval-estimatie2. Hypothesetoetsing

WAAROM KANSEN?

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 6: Statistiek 2

6

1. Interval-estimatie

• Vraag: Wat is het gemiddelde IQ van alle kinderen in het 1e jaar secundair onderwijs die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het basisonderwijs?

• Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “Het gemiddelde IQ van alle kinderen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het BaO ligt tussen X1 en X2 met 95% zekerheid.”

• Betekenis: Indien je steeds deze bewering aanhoudt, dan weet je dat je in 5% van de gevallen fout zal zijn OF de kans op een fout is 0.05 -> zegt iets over nauwkeurigheid van de schatting van de populatieparameter op basis van de steekproefgegevens

• Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte steekproef) + Kansverdeling

WAAROM KANSEN?

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 7: Statistiek 2

7

2. Hypothesetoetsing

• Hypothese: Het IQ van leerlingen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren in het BaO zijn blijven zitten (populatie 1) is gelijk aan het IQ van leerlingen 1e jaar SO die niet zijn blijven zitten (populatie 2).

• Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “We verwerpen deze hypothese” of “We kunnen deze hypothese niet verwerpen”.

• Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte steekproef) + Kansverdeling

• Waarom kansverdeling nodig? Stel dat we vinden dat IQ in steekproef 1 = 105 en IQ in steekproef 2 = 115 .

• Hoe groot is de kans om dit verschil te vinden als er in werkelijkheid geen verschil is tussen de twee populatiegemiddelden?

-> grote kans: hypothese niet verwerpen-> kleine kans: hypothese verwerpen

WAAROM KANSEN?

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 8: Statistiek 2

8

Relevante begrippen

Uitkomst = 1 enkelvoudig resultaat− “een 3” bij het gooien met een dobbelsteen− “Chad Smith” bij het trekken van een bandlid van RHCP

Uitkomstenruimte = verzameling van alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten − bij dobbelsteen {1,2,3,4,5,6}− bij trekking bandlid {Chad Smith, Anthony Kiedis, Flea,

Josh Klinghoffer}

KANSEN

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 9: Statistiek 2

9

Kansverdeling = combinatie van uitkomstenruimte met respectievelijke kansen - overzicht van mogelijke waarden van een variabele en bijhorende kansen− bij dobbelsteen:

KANSVERDELING

uitkomst kans1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

1 2 3 4 5 6

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 10: Statistiek 2

10

variabele = aantal ogen bij werpen van 2 dobbelstenen

KANSVERDELING

2,78

5,56

8,33

11,11

13,89

16,67

13,89

11,11

8,33

5,56

2,78

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

procent

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 11: Statistiek 2

11

Kansverdeling is analoog aan de frequentieverdeling (zie Statistiek 1)

verschil: frequentieverdeling bij geobserveerde waardenkansverdeling bij theoretische waarden

gemiddelde en standaardafwijking bij kansverdeling niet echt mogelijk wegens geen observaties, maar wél op basis van kansberekening

KANSVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 12: Statistiek 2

gemiddelde van de kansverdeling : verwachte waarde

bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:

KANSVERDELING

12Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 13: Statistiek 2

Variantie van een kansverdeling:

bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:

KANSVERDELING

13Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 14: Statistiek 2

14

Een bijzondere kansverdeling: de steekproevenverdeling van het gemiddelde

Stel:• We trekken uit een populatie een oneindig aantal steekproeven.• Elke steekproef wordt gekenmerkt door een aantal

steekproefstatistieken zoals het gemiddelde. We krijgen dus een oneindig aantal steekproefgemiddelden waarvan we een verdeling kunnen opstellen.

• Steekproevenverdeling van gemiddelde = alle mogelijke waarden van steekproefgemiddelden samen met de kansen op die steekproefgemiddelden

• Daarna kunnen we dus de kans bepalen op het vinden van een bepaald steekproefgemiddelde.

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 15: Statistiek 2

15

populatie

steekproef

steekproeven-verdeling

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 16: Statistiek 2

16

We trekken een steekproef van n = 2 uit de populatie van getallen 2, 4, 6

DE STEEKPROEVENVERDELING

Waarden steekproef

Gemiddelde van steekproef

Kans

2 2 2 1/92 4 3 1/92 6 4 1/94 2 3 1/94 4 4 1/94 6 5 1/96 2 4 1/96 4 5 1/96 6 6 1/9

X P(X)

2 1/93 2/94 3/95 2/96 1/9

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 17: Statistiek 2

17

Verwachte waarde van steekproevenverdeling =populatiegemiddelde

(2 + 4 + 6)/3 = 4(1/9 x 2) + (2/9 x 3) + (3/9 x 4) + (2/9 x 5) + (1/9 x 6) = 4

-> gemiddelde van de steekproef is een ‘zuivere schatter’ van het gemiddelde van de populatie

Schatter: we schatten met behulp van het steekproefgemiddelde het populatiegemiddelde

Zuiver: er zullen geen systematische afwijkingen zijn wanneer men kijkt naar het gemiddelde van alle mogelijke steekproeven om de populatiegrootheid te schatten

DE STEEKPROEVENVERDELING

XXE )(

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 18: Statistiek 2

18

Standaardafwijking van steekproevenverdeling = standaardfout van gemiddelde

standaardafwijking van populatie

steekproefgrootte standaardafwijking van het gemiddeldeStandard Error of standaardfout van het gemiddelde

standaardafwijking van de steekproef

DE STEEKPROEVENVERDELING

NSE XX

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Ns

indien niet

gekend

Page 19: Statistiek 2

19

Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de standaardfout

Gemiddelde lengte van alle 20-jarige mannen = 180cm met een standaardafwijking van 10cm.

Bij een steekproef van n = 300

Bij een steekproef van n = 700

DE STEEKPROEVENVERDELING

cmSE

cmSE

X

X

38.070010

58.030010

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 20: Statistiek 2

20

Vorm van de steekproevenverdeling

gemiddelde en standaarddeviatie van deze verdeling zijn bekenddus: als de verdeling normaal verdeeld is, kennen we het volledige

verloop

maar: is de verdeling normaal verdeeld?

Centrale Limiet Theorema (A. De Moivre, 17E)

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 21: Statistiek 2

21

Hoe groter de steekproef, hoe meer de normale verdeling benaderd wordt:

(vb: gooien van 1 dobbelsteen)

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 22: Statistiek 2

22

Vorm van de steekproevenverdeling

• Als de populatie waaruit men steekproeven trekt normaal verdeeld is, dan is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld met een verwachte waarde μ en een standaardafwijking .

• Als de populatie waaruit men een steekproeven trekt niet normaal verdeeld is, maar de steekproeven zijn groot genoeg (N > 30), dan zal de steekproevenverdeling bij benadering normaal verdeeld zijn met een verwachte waarde μ en een standaardafwijking . (wat als N < 30? zie later)

• Als σ niet gekend is, mag men σ vervangen door de standaardafwijking van de steekproef als N > 100.

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

N/

N/

Page 23: Statistiek 2

23

Wat is er nu zo cool aan de steekproevenverdeling van het gemiddelde?

Aangezien:− we het gemiddelde van deze verdeling kennen (µ)− we de standaardafwijking van de verdeling kennen (

of indien σ niet gekend is en N>100 : )

− we weten dat ze normaal verdeeld is (als populatie normaal verdeeld is of als N > 30)

kunnen we z-scores berekenen en kansenuit de standaardnormaalverdeling halen!

DE STEEKPROEVENVERDELING

N

Ns

X

X

xz

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 24: Statistiek 2

24

Waarom is die vorm zo belangrijk?• kennis over de verdeling van kansen van een bepaalde

variabele maakt intervalestimatie en hypothesetoetsing mogelijk.

• kansvariabelen die passen in theoretische verdeling (model) bieden meer mogelijkheden voor verwerking.

• veelgebruikt model: normale verdeling (= vaak voorkomende verdeling van kansen in gedragswetenschappen)

NORMALE VERDELING

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Prob

abilit

y De

nsity

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 25: Statistiek 2

25

• normale verdelingen verschillen enkel in gemiddelde en standaarddeviatie. De curve is altijd klokvormig en symmetrisch.

• kans om een waarde te observeren tussen 2 grenzen is gelijk aan de oppervlakte onder de curve

• totale oppervlakte onder de curve is dus 1

NORMALE VERDELING

6,43%

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Prob

abilit

y De

nsity

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 26: Statistiek 2

26

Formule:

f (X) = hoogte in curveπ = 3.14e = 2.72μ = mu = verwachte waarde, gemiddelde van de normale verdeling

-> bepaalt de plaats van het midden van de verdelingσ = sigma = standaardafwijking van de verdeling, spreiding van scores

-> bepaalt hoe breed of smal de verdeling is (kleine sigma geeft smalle en hoge curve; grote sigma geeft brede en lage curve)

Dus:μ en σ bepalen de normaalverdelinger zijn vele soorten normaalverdelingen (naargelang μ en σ )

NORMALE VERDELING

22

21

X

eXf

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 27: Statistiek 2

27

Verschillende μ , gelijke σ

Gelijke μ , verschillende σ

NORMALE VERDELING

-4 -2 0 2 4 6 8

X

Y

-15 -10 -5 0 5 10 15

X

Y

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 28: Statistiek 2

28

• Totale oppervlakte onder curve = 1

NORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 29: Statistiek 2

29

• Kans op een waarde in bepaald gebied = oppervlakte onder curve

NORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 30: Statistiek 2

30

NORMALE VERDELING

μ -3σ μ -2σ μ -σ μ μ +σ μ +2σ μ +3σ

.3413 .3413

.1359.0228

.1359.0228

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 31: Statistiek 2

31

NORMALE VERDELING

μ -3σ μ -2σ μ -σ μ μ +σ μ +2σ μ +3σ

.3413 .3413

.1359.0228

.1359.0228

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15ongeveer 68% heeft IQ tussen 85 en 115ongeveer 95% heeft IQ tussen 70 en 130ongeveer 2.3% heeft een IQ lager dan 70; ongeveer 2.3% heeft een IQ hoger dan 130

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 32: Statistiek 2

32

Standaardnormale verdeling− Eén bepaald type normale verdeling− Namelijk met μ = 0 en σ = 1

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 33: Statistiek 2

33

Waarom die speciale verdeling?

− bij normaal verdeelde gegevens -> kans afleiden uit oppervlakte onder de curve

− oppervlakte berekenen = heel omslachtig -> beter aflezen uit tabel

− onmogelijk om van elke normale verdeling een tabel op te stellen (oneindige verzameling)

=> slechts 1 tabel opstellen en elke normale verdeling transformeren naar de verdeling waarvoor de tabel is gemaakt, nl. de standaardnormale verdeling

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 34: Statistiek 2

34

Hoe gaat dat in zijn werk?

Transformatie van normale verdeling: vorm blijft behouden, maar µ en σ worden resp. 0 en 1.

Transformatie = “standaardiseren” = Z-waarden berekenen:

De verdeling is dan standaardnormaal en de kansen kunnen afgelezen worden uit de tabel voor de standaardnormale verdeling.

STANDAARDNORMALE VERDELING

X

X

xz

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 35: Statistiek 2

35

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112? Stap 1:

dus:

STANDAARDNORMALE VERDELING

X

X

xz

112 100( 112) 0.815Z IQ

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 36: Statistiek 2

36

Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel

STANDAARDNORMALE VERDELING

Z = 0.80P(z < 0.80) = 0.7881

P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881Pr(0.80) = 0.2119

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 37: Statistiek 2

37

Andere soorten oefeningen ivm kansberekening: analoog aan berekening van percentages in statistiek 1 (hoofdstuk 6).

Voor herhaling: zie slides achteraan.

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 38: Statistiek 2

38

We kunnen nu dus raadsels als deze oplossen:

− We hebben een normaal verdeelde populatie met μ = 100 en σ = 15. Uit deze populatie trekken we een steekproef van n = 40. Het gemiddelde van de steekpoef is 102 en de standaardafwijking is 14. Hoe groot is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger?

− Wat is gevraagd? P(X ≥ 102)

− Is de steekproevenverdeling normaal verdeeld? Ja, want de populatie is normaal verdeeld

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 39: Statistiek 2

39

Dus: Stap1: z-score berekenen

Stap 2: kans van z-score bepalen via standaardnormale verdeling

DE STEEKPROEVENVERDELING

NX

N

XXzx

x

843.04015

100102

xz

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 40: Statistiek 2

40

DE STEEKPROEVENVERDELING

Z = 0.84

P(z ≥ 0.84) = 1 - P(z ≤ 0.84)

= 1 - 0.7995 = 0.2005

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 41: Statistiek 2

41

Dus:

P(z ≥ 0.84) = 0.2005

Conclusie: De kans op een gemiddelde van 102 of groter is 0.20

We kunnen dus de kans berekenen op het voorkomen van een bepaald gemiddelde van een steekproef. M.a.w.: we kunnen nagaan of ons steekproefgemiddelde uitzonderlijk is of juist heel acceptabel.

En dat is net wat we nodig hebben om hypotheses te toetsen!!

DE STEEKPROEVENVERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 42: Statistiek 2

42

Kansen zijn van groot belang in onderzoek omdat ze ons in staat stellen om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon.

Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele.

In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.

Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.

Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde, waarmee we kunnen uitrekenen hoe groot de kans is om een bepaald gemiddelde te observeren.

SAMENGEVAT

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 43: Statistiek 2

Herhalingsoefeningen: kansen berekenen in de normale verdeling.

(zelfstudie – zie statistiek 1)

Page 44: Statistiek 2

44

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112? Stap 1:

dus:

STANDAARDNORMALE VERDELING

X

X

xz

112 100( 112) 0.815Z IQ

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

scenario 1

Page 45: Statistiek 2

45

Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel

STANDAARDNORMALE VERDELING

Z = 0.80P(z < 0.80) = 0.7881

P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881Pr(0.80) = 0.2119

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 46: Statistiek 2

46

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 87? Stap 1:

Stap 2: P(z ≥ -0.867)=?

STANDAARDNORMALE VERDELING

87 100( 87) 0.86715Z IQ

-0.867

?

scenario 2

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 47: Statistiek 2

47

Stap2: kans van waarde -0.867 opzoeken in tabel

Probleem: tabel bevat enkel kansen voor positievez-waarden!

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 48: Statistiek 2

48

Gelukkig is de standaardnormale verdeling symmetrisch!

Dus: P ( z ≤ -0.867) = P ( z ≥ 0.867)En ook: P (z ≥ -0.867) = P ( z ≤ 0.867)

STANDAARDNORMALE VERDELING

P (z ≤ -0.867) P (z ≥ 0.867)

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 49: Statistiek 2

49

En uit de tabel lezen we af:

P ( z ≤ 0.867) = 0.8078= P (z ≥ -0.867)

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 50: Statistiek 2

50

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 114?

Stap 1:

Stap 2: P(z ≤ 0.93)=?

Lees rechtstreeks af uit de tabel:P(z ≥ 0.93) = 0.8238

STANDAARDNORMALE VERDELING

scenario 3

0.9315

100114Z(IQ114)

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 51: Statistiek 2

51

IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87?

Stap 1:

Stap 2: P(z ≤ -0.867)=?

Niet af te lezen uit tabel! Maar we weten dat:P(z ≤ -0.867) = P(z ≥ 0.867)

Dus:P(z ≤ 0.867) = 0.8078En P(z ≥ 0.867) = 1 - 0.8078 = 0.1922

STANDAARDNORMALE VERDELING

87 100( 87) 0.86715Z IQ

scenario 4

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 52: Statistiek 2

52

Meer varianten op hetzelfde thema!IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87 OF groter of

gelijk aan 113?

Stap 1:

STANDAARDNORMALE VERDELING

87 100( 87) 0.86715113 100( 113) 0.86715

Z IQ

Z IQ

OFHoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 53: Statistiek 2

53

Stap 2: P(z ≥ 0.867) OF P(z ≤ -0.867)=P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867)

P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867) = 0.192 + 0.192= 0.384

=> kans op IQ kleiner dan of gelijk aan 87 OF groter dan of gelijk aan 113 is 0.384

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 54: Statistiek 2

54

Meer varianten op hetzelfde thema!IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ tussen 87 en 113?

Stap 1:

STANDAARDNORMALE VERDELING

87 100( 87) 0.86715113 100( 113) 0.86715

Z IQ

Z IQ

?

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 55: Statistiek 2

55

Stap 2: P( -0.867 ≤ z ≤ 0.867) =P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867)

P(z ≤ 0.867) = 0.8078enP(z ≤ -0.867) = 1 - P(z ≤ 0.867) = 0.1922

Dus:P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867) = 0.8078 – 0.1922

= 0.616

=> kans op IQ tussen 87 en 113 is 0.616

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 56: Statistiek 2

56

Algemene werkwijze bij gelijkaardige oefeningen:

• Bereken de z-scores• Noteer in P(z ≥ x)-vorm wat je zoekt• Haal uit de tabel wat rechtstreeks kan afgelezen worden• Gebruik optelling of aftrekking om kansen af te leiden die niet

in de tabel staan => makkelijker als je even de tekening maakt!

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 57: Statistiek 2

57

Verdere toepassing van dezelfde techniek:

Een normaal verdeelde test heeft een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. Welke score moet men hebben om bij de 5% best scorende mensen te behoren?

Wat is gevraagd? Een score x waarvoor P (z ≥ x) = 0.05

Dus: omgekeerde richting: een score zoeken op basis van een kans ipv een kans op basis van een score

STANDAARDNORMALE VERDELING

0.05

?

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 58: Statistiek 2

58

In de tabel zien we dat de Z-score die een P van 0.95 heeft gelijk is aan 1.65

Dus: we zoeken een score x waarvan de Z score gelijk is aan 1.65

Remember:

x – 100 = 1.65 15

x = (1.65 x 15) + 100 x = 124.7 ~ 125

Antwoord: men moet een score van 125 hebben om bij de 5% best scorende mensen te horen

STANDAARDNORMALE VERDELING

0.05

?

X

X

xz

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening

Page 59: Statistiek 2

59

Een variabele is normaal verdeeld met een gemiddelde van 70 en een standaardafwijking van 12. Hoeveel % van de mensen scoort hoger dan 58?

Wat is gevraagd?P (x ≥ 58) = ?

Stap 1: score van 58 omzetten in Z score58 – 70 = -1 12

Stap 2: P (z ≥ -1) = ?[scenario 2]=> 0.8413 of 84%

STANDAARDNORMALE VERDELING

Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening