Statistiek 2
description
Transcript of Statistiek 2
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 2
STATISTIEK 2
2
• Onderzoek begint met een onderzoeksvraag. Daaruit wordt afgeleid wat de populatie is (verzameling waarover we een uitspraak willen doen) en wat de onderzoekseenheden zijn (de elementen van die verzameling).
• Bedoeling van statistiek is om op basis van verzamelde data een onderbouwde beslissing te nemen over verband/verschil. We gebruiken hiervoor steekproeven omdat de hele populatie onderzoeken te omslachtig is.
• Daarom zijn we nooit 100% zeker over onze beslissing. Dat is niet erg, zo lang we maar de mate van onzekerheid kennen.
• Om die mate van onzekerheid te bepalen, hebben we kansberekeningen nodig. We willen vooral te weten komen hoe (on)waarschijnlijk het is om de verzamelde data te observeren.
• Op basis daarvan kunnen we beslissen of een verband/verschil significant is.
• Statistiek is geen wetenschap op zich. Statistische conclusies zijn pas waardevol als ook aan de randvoorwaarden voldaan is en statistiek niet misbruikt wordt.
PREVIOUSLY ON STATISTIEK 2
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
Kansverdelingen en kansberekening
Om antwoorden te geven op vragen als“Als ik straks op straat een willekeurige jongeling aan de haak sla, hoe groot is dan
de kans dat hij groter is dan 1m75 maar kleiner dan 1m95?”
VANDAAG
4
Kans = waarschijnlijkheid om een bepaalde gebeurtenis te observeren, uitgedrukt met een getal tussen 0 en 1
Hoe waarschijnlijk is het om een “3” te gooien met 1 worp van een dobbelsteen?
-> P(3) = 1/6 (of 0.1666)
of nog:
Hoe waarschijnlijk is het om bij aselecte trekking van “een docent statistiek” de gebeurtenis “niet saai” te observeren?-> P(“niet saai”) = ???
KANSEN
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
5
Waarom kansen nodig in statistiek?
Belangrijk doel in statistiek: op basis van steekproefgegevens conclusies trekken over populatie
Soorten vragen:
1. Interval-estimatie2. Hypothesetoetsing
WAAROM KANSEN?
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
6
1. Interval-estimatie
• Vraag: Wat is het gemiddelde IQ van alle kinderen in het 1e jaar secundair onderwijs die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het basisonderwijs?
• Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “Het gemiddelde IQ van alle kinderen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren blijven zitten zijn in het BaO ligt tussen X1 en X2 met 95% zekerheid.”
• Betekenis: Indien je steeds deze bewering aanhoudt, dan weet je dat je in 5% van de gevallen fout zal zijn OF de kans op een fout is 0.05 -> zegt iets over nauwkeurigheid van de schatting van de populatieparameter op basis van de steekproefgegevens
• Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte steekproef) + Kansverdeling
WAAROM KANSEN?
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
7
2. Hypothesetoetsing
• Hypothese: Het IQ van leerlingen in het 1e jaar SO die 1 of meerdere jaren in het BaO zijn blijven zitten (populatie 1) is gelijk aan het IQ van leerlingen 1e jaar SO die niet zijn blijven zitten (populatie 2).
• Antwoord op basis van gegevens uit steekproef: “We verwerpen deze hypothese” of “We kunnen deze hypothese niet verwerpen”.
• Nodig: Steekproefstatistieken (gemiddelde, standaardafwijking, grootte steekproef) + Kansverdeling
• Waarom kansverdeling nodig? Stel dat we vinden dat IQ in steekproef 1 = 105 en IQ in steekproef 2 = 115 .
• Hoe groot is de kans om dit verschil te vinden als er in werkelijkheid geen verschil is tussen de twee populatiegemiddelden?
-> grote kans: hypothese niet verwerpen-> kleine kans: hypothese verwerpen
WAAROM KANSEN?
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
8
Relevante begrippen
Uitkomst = 1 enkelvoudig resultaat− “een 3” bij het gooien met een dobbelsteen− “Chad Smith” bij het trekken van een bandlid van RHCP
Uitkomstenruimte = verzameling van alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten − bij dobbelsteen {1,2,3,4,5,6}− bij trekking bandlid {Chad Smith, Anthony Kiedis, Flea,
Josh Klinghoffer}
KANSEN
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
9
Kansverdeling = combinatie van uitkomstenruimte met respectievelijke kansen - overzicht van mogelijke waarden van een variabele en bijhorende kansen− bij dobbelsteen:
KANSVERDELING
uitkomst kans1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6
0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00
1 2 3 4 5 6
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
10
variabele = aantal ogen bij werpen van 2 dobbelstenen
KANSVERDELING
2,78
5,56
8,33
11,11
13,89
16,67
13,89
11,11
8,33
5,56
2,78
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
procent
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
11
Kansverdeling is analoog aan de frequentieverdeling (zie Statistiek 1)
verschil: frequentieverdeling bij geobserveerde waardenkansverdeling bij theoretische waarden
gemiddelde en standaardafwijking bij kansverdeling niet echt mogelijk wegens geen observaties, maar wél op basis van kansberekening
KANSVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
gemiddelde van de kansverdeling : verwachte waarde
bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:
KANSVERDELING
12Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
Variantie van een kansverdeling:
bv bij het gooien van 1 dobbelsteen:
KANSVERDELING
13Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
14
Een bijzondere kansverdeling: de steekproevenverdeling van het gemiddelde
Stel:• We trekken uit een populatie een oneindig aantal steekproeven.• Elke steekproef wordt gekenmerkt door een aantal
steekproefstatistieken zoals het gemiddelde. We krijgen dus een oneindig aantal steekproefgemiddelden waarvan we een verdeling kunnen opstellen.
• Steekproevenverdeling van gemiddelde = alle mogelijke waarden van steekproefgemiddelden samen met de kansen op die steekproefgemiddelden
• Daarna kunnen we dus de kans bepalen op het vinden van een bepaald steekproefgemiddelde.
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
15
populatie
steekproef
steekproeven-verdeling
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
16
We trekken een steekproef van n = 2 uit de populatie van getallen 2, 4, 6
DE STEEKPROEVENVERDELING
Waarden steekproef
Gemiddelde van steekproef
Kans
2 2 2 1/92 4 3 1/92 6 4 1/94 2 3 1/94 4 4 1/94 6 5 1/96 2 4 1/96 4 5 1/96 6 6 1/9
X P(X)
2 1/93 2/94 3/95 2/96 1/9
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
17
Verwachte waarde van steekproevenverdeling =populatiegemiddelde
(2 + 4 + 6)/3 = 4(1/9 x 2) + (2/9 x 3) + (3/9 x 4) + (2/9 x 5) + (1/9 x 6) = 4
-> gemiddelde van de steekproef is een ‘zuivere schatter’ van het gemiddelde van de populatie
Schatter: we schatten met behulp van het steekproefgemiddelde het populatiegemiddelde
Zuiver: er zullen geen systematische afwijkingen zijn wanneer men kijkt naar het gemiddelde van alle mogelijke steekproeven om de populatiegrootheid te schatten
DE STEEKPROEVENVERDELING
XXE )(
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
18
Standaardafwijking van steekproevenverdeling = standaardfout van gemiddelde
standaardafwijking van populatie
steekproefgrootte standaardafwijking van het gemiddeldeStandard Error of standaardfout van het gemiddelde
standaardafwijking van de steekproef
DE STEEKPROEVENVERDELING
NSE XX
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
Ns
indien niet
gekend
19
Hoe groter de steekproef, hoe kleiner de standaardfout
Gemiddelde lengte van alle 20-jarige mannen = 180cm met een standaardafwijking van 10cm.
Bij een steekproef van n = 300
Bij een steekproef van n = 700
DE STEEKPROEVENVERDELING
cmSE
cmSE
X
X
38.070010
58.030010
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
20
Vorm van de steekproevenverdeling
gemiddelde en standaarddeviatie van deze verdeling zijn bekenddus: als de verdeling normaal verdeeld is, kennen we het volledige
verloop
maar: is de verdeling normaal verdeeld?
Centrale Limiet Theorema (A. De Moivre, 17E)
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
21
Hoe groter de steekproef, hoe meer de normale verdeling benaderd wordt:
(vb: gooien van 1 dobbelsteen)
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
22
Vorm van de steekproevenverdeling
• Als de populatie waaruit men steekproeven trekt normaal verdeeld is, dan is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ook normaal verdeeld met een verwachte waarde μ en een standaardafwijking .
• Als de populatie waaruit men een steekproeven trekt niet normaal verdeeld is, maar de steekproeven zijn groot genoeg (N > 30), dan zal de steekproevenverdeling bij benadering normaal verdeeld zijn met een verwachte waarde μ en een standaardafwijking . (wat als N < 30? zie later)
• Als σ niet gekend is, mag men σ vervangen door de standaardafwijking van de steekproef als N > 100.
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
N/
N/
23
Wat is er nu zo cool aan de steekproevenverdeling van het gemiddelde?
Aangezien:− we het gemiddelde van deze verdeling kennen (µ)− we de standaardafwijking van de verdeling kennen (
of indien σ niet gekend is en N>100 : )
− we weten dat ze normaal verdeeld is (als populatie normaal verdeeld is of als N > 30)
kunnen we z-scores berekenen en kansenuit de standaardnormaalverdeling halen!
DE STEEKPROEVENVERDELING
N
Ns
X
X
xz
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
24
Waarom is die vorm zo belangrijk?• kennis over de verdeling van kansen van een bepaalde
variabele maakt intervalestimatie en hypothesetoetsing mogelijk.
• kansvariabelen die passen in theoretische verdeling (model) bieden meer mogelijkheden voor verwerking.
• veelgebruikt model: normale verdeling (= vaak voorkomende verdeling van kansen in gedragswetenschappen)
NORMALE VERDELING
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Prob
abilit
y De
nsity
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
25
• normale verdelingen verschillen enkel in gemiddelde en standaarddeviatie. De curve is altijd klokvormig en symmetrisch.
• kans om een waarde te observeren tussen 2 grenzen is gelijk aan de oppervlakte onder de curve
• totale oppervlakte onder de curve is dus 1
NORMALE VERDELING
6,43%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Prob
abilit
y De
nsity
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
26
Formule:
f (X) = hoogte in curveπ = 3.14e = 2.72μ = mu = verwachte waarde, gemiddelde van de normale verdeling
-> bepaalt de plaats van het midden van de verdelingσ = sigma = standaardafwijking van de verdeling, spreiding van scores
-> bepaalt hoe breed of smal de verdeling is (kleine sigma geeft smalle en hoge curve; grote sigma geeft brede en lage curve)
Dus:μ en σ bepalen de normaalverdelinger zijn vele soorten normaalverdelingen (naargelang μ en σ )
NORMALE VERDELING
22
21
X
eXf
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
27
Verschillende μ , gelijke σ
Gelijke μ , verschillende σ
NORMALE VERDELING
-4 -2 0 2 4 6 8
X
Y
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
Y
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
28
• Totale oppervlakte onder curve = 1
NORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
29
• Kans op een waarde in bepaald gebied = oppervlakte onder curve
NORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
30
NORMALE VERDELING
μ -3σ μ -2σ μ -σ μ μ +σ μ +2σ μ +3σ
.3413 .3413
.1359.0228
.1359.0228
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
31
NORMALE VERDELING
μ -3σ μ -2σ μ -σ μ μ +σ μ +2σ μ +3σ
.3413 .3413
.1359.0228
.1359.0228
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15ongeveer 68% heeft IQ tussen 85 en 115ongeveer 95% heeft IQ tussen 70 en 130ongeveer 2.3% heeft een IQ lager dan 70; ongeveer 2.3% heeft een IQ hoger dan 130
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
32
Standaardnormale verdeling− Eén bepaald type normale verdeling− Namelijk met μ = 0 en σ = 1
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
33
Waarom die speciale verdeling?
− bij normaal verdeelde gegevens -> kans afleiden uit oppervlakte onder de curve
− oppervlakte berekenen = heel omslachtig -> beter aflezen uit tabel
− onmogelijk om van elke normale verdeling een tabel op te stellen (oneindige verzameling)
=> slechts 1 tabel opstellen en elke normale verdeling transformeren naar de verdeling waarvoor de tabel is gemaakt, nl. de standaardnormale verdeling
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
34
Hoe gaat dat in zijn werk?
Transformatie van normale verdeling: vorm blijft behouden, maar µ en σ worden resp. 0 en 1.
Transformatie = “standaardiseren” = Z-waarden berekenen:
De verdeling is dan standaardnormaal en de kansen kunnen afgelezen worden uit de tabel voor de standaardnormale verdeling.
STANDAARDNORMALE VERDELING
X
X
xz
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
35
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112? Stap 1:
dus:
STANDAARDNORMALE VERDELING
X
X
xz
112 100( 112) 0.815Z IQ
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
36
Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel
STANDAARDNORMALE VERDELING
Z = 0.80P(z < 0.80) = 0.7881
P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881Pr(0.80) = 0.2119
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
37
Andere soorten oefeningen ivm kansberekening: analoog aan berekening van percentages in statistiek 1 (hoofdstuk 6).
Voor herhaling: zie slides achteraan.
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
38
We kunnen nu dus raadsels als deze oplossen:
− We hebben een normaal verdeelde populatie met μ = 100 en σ = 15. Uit deze populatie trekken we een steekproef van n = 40. Het gemiddelde van de steekpoef is 102 en de standaardafwijking is 14. Hoe groot is de kans op een steekproefgemiddelde van 102 of hoger?
− Wat is gevraagd? P(X ≥ 102)
− Is de steekproevenverdeling normaal verdeeld? Ja, want de populatie is normaal verdeeld
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
39
Dus: Stap1: z-score berekenen
Stap 2: kans van z-score bepalen via standaardnormale verdeling
DE STEEKPROEVENVERDELING
NX
N
XXzx
x
843.04015
100102
xz
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
40
DE STEEKPROEVENVERDELING
Z = 0.84
P(z ≥ 0.84) = 1 - P(z ≤ 0.84)
= 1 - 0.7995 = 0.2005
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
41
Dus:
P(z ≥ 0.84) = 0.2005
Conclusie: De kans op een gemiddelde van 102 of groter is 0.20
We kunnen dus de kans berekenen op het voorkomen van een bepaald gemiddelde van een steekproef. M.a.w.: we kunnen nagaan of ons steekproefgemiddelde uitzonderlijk is of juist heel acceptabel.
En dat is net wat we nodig hebben om hypotheses te toetsen!!
DE STEEKPROEVENVERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
42
Kansen zijn van groot belang in onderzoek omdat ze ons in staat stellen om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon.
Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele.
In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.
Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.
Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde, waarmee we kunnen uitrekenen hoe groot de kans is om een bepaald gemiddelde te observeren.
SAMENGEVAT
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
Herhalingsoefeningen: kansen berekenen in de normale verdeling.
(zelfstudie – zie statistiek 1)
44
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 112? Stap 1:
dus:
STANDAARDNORMALE VERDELING
X
X
xz
112 100( 112) 0.815Z IQ
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
scenario 1
45
Stap2: kans van waarde 0.8 opzoeken in tabel
STANDAARDNORMALE VERDELING
Z = 0.80P(z < 0.80) = 0.7881
P(z ≥ 0.80) = 1 – 0.7881Pr(0.80) = 0.2119
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
46
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ groter of gelijk aan 87? Stap 1:
Stap 2: P(z ≥ -0.867)=?
STANDAARDNORMALE VERDELING
87 100( 87) 0.86715Z IQ
-0.867
?
scenario 2
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
47
Stap2: kans van waarde -0.867 opzoeken in tabel
Probleem: tabel bevat enkel kansen voor positievez-waarden!
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
48
Gelukkig is de standaardnormale verdeling symmetrisch!
Dus: P ( z ≤ -0.867) = P ( z ≥ 0.867)En ook: P (z ≥ -0.867) = P ( z ≤ 0.867)
STANDAARDNORMALE VERDELING
P (z ≤ -0.867) P (z ≥ 0.867)
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
49
En uit de tabel lezen we af:
P ( z ≤ 0.867) = 0.8078= P (z ≥ -0.867)
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
50
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 114?
Stap 1:
Stap 2: P(z ≤ 0.93)=?
Lees rechtstreeks af uit de tabel:P(z ≥ 0.93) = 0.8238
STANDAARDNORMALE VERDELING
scenario 3
0.9315
100114Z(IQ114)
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
51
IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87?
Stap 1:
Stap 2: P(z ≤ -0.867)=?
Niet af te lezen uit tabel! Maar we weten dat:P(z ≤ -0.867) = P(z ≥ 0.867)
Dus:P(z ≤ 0.867) = 0.8078En P(z ≥ 0.867) = 1 - 0.8078 = 0.1922
STANDAARDNORMALE VERDELING
87 100( 87) 0.86715Z IQ
scenario 4
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
52
Meer varianten op hetzelfde thema!IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ kleiner of gelijk aan 87 OF groter of
gelijk aan 113?
Stap 1:
STANDAARDNORMALE VERDELING
87 100( 87) 0.86715113 100( 113) 0.86715
Z IQ
Z IQ
OFHoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
53
Stap 2: P(z ≥ 0.867) OF P(z ≤ -0.867)=P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867)
P(z ≥ 0.867) + P(z ≤ -0.867) = 0.192 + 0.192= 0.384
=> kans op IQ kleiner dan of gelijk aan 87 OF groter dan of gelijk aan 113 is 0.384
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
54
Meer varianten op hetzelfde thema!IQ is normaal verdeeld met μ = 100 en σ = 15. Wat is kans op een IQ tussen 87 en 113?
Stap 1:
STANDAARDNORMALE VERDELING
87 100( 87) 0.86715113 100( 113) 0.86715
Z IQ
Z IQ
?
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
55
Stap 2: P( -0.867 ≤ z ≤ 0.867) =P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867)
P(z ≤ 0.867) = 0.8078enP(z ≤ -0.867) = 1 - P(z ≤ 0.867) = 0.1922
Dus:P(z ≤ 0.867) - P(z ≤ -0.867) = 0.8078 – 0.1922
= 0.616
=> kans op IQ tussen 87 en 113 is 0.616
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
56
Algemene werkwijze bij gelijkaardige oefeningen:
• Bereken de z-scores• Noteer in P(z ≥ x)-vorm wat je zoekt• Haal uit de tabel wat rechtstreeks kan afgelezen worden• Gebruik optelling of aftrekking om kansen af te leiden die niet
in de tabel staan => makkelijker als je even de tekening maakt!
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
57
Verdere toepassing van dezelfde techniek:
Een normaal verdeelde test heeft een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. Welke score moet men hebben om bij de 5% best scorende mensen te behoren?
Wat is gevraagd? Een score x waarvoor P (z ≥ x) = 0.05
Dus: omgekeerde richting: een score zoeken op basis van een kans ipv een kans op basis van een score
STANDAARDNORMALE VERDELING
0.05
?
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
58
In de tabel zien we dat de Z-score die een P van 0.95 heeft gelijk is aan 1.65
Dus: we zoeken een score x waarvan de Z score gelijk is aan 1.65
Remember:
x – 100 = 1.65 15
x = (1.65 x 15) + 100 x = 124.7 ~ 125
Antwoord: men moet een score van 125 hebben om bij de 5% best scorende mensen te horen
STANDAARDNORMALE VERDELING
0.05
?
X
X
xz
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening
59
Een variabele is normaal verdeeld met een gemiddelde van 70 en een standaardafwijking van 12. Hoeveel % van de mensen scoort hoger dan 58?
Wat is gevraagd?P (x ≥ 58) = ?
Stap 1: score van 58 omzetten in Z score58 – 70 = -1 12
Stap 2: P (z ≥ -1) = ?[scenario 2]=> 0.8413 of 84%
STANDAARDNORMALE VERDELING
Hoofdstuk 2: Kansverdelingen en kansberekening