Speciale Relativiteitstheorie

Taco D. Visser

http://www.nat.vu.nl/~tvisser

Einstein’s gedachtenexperiment

Als je je met precies de lichtsnelheid van de klokkentoren

af beweegt, dan zie je de klok stilstaan. Maar staat de tijd dan ook stil?

lichtstraal

lichtsnelheid

Relativiteitstheorie

• Deze theorie gaat over ruimte en tijd.• Zijn tijd en ruimte absolute grootheden?

Nee! Zijn tijdsduur en lengte voor alle

waarnemers hetzelfde? Nee!• Zijn tijd en ruimte oneindig uitgestrekt of

zijn ze begrensd?

Wat is tijd?

Als niemand het mij vraagt, dan weet ik het.

Als ik het moet uitleggen, dan weet ik het niet…

Augustinus

Tijd is …….

Beweging

Onomkeerbaar…

Verandering

Relatief

Want de drager van causaliteit, de verbinding tussen oorzaak en gevolg.

Tijd heeft een richting (“de pijl van de tijd”),Want ‘wanorde’ neemt spontaan toe.

Soorten tijd en tijdsduur• Psychologische tijd ~ 1 s tot 100 jaar; is subjectief

• Culturele tijd ~ 1 dag tot 5000 jaar; minder subjectief, documentatie

• Fysische tijd ~ 10-20 s tot 1010 jaar; is meetbaar met klokken en daarom objectief

• Operationele definitie van tijd: ‘de tijdsduur van een proces is het verschil van twee tijdstippen die

een waarnemer met zijn eigen klok bepaalt.’ Omdat iedere waarnemer zijn eigen klok heeft, opent deze definitie de weg naar verschillende metingen van de tijdsduur van een proces door verschillende waarnemers.

Soorten ruimte en afstanden

• ‘Psychologische’ afstanden: 10-3 m tot 100 km

• Fysische afstanden: 10-16 m tot 1010 lichtjaar. Een lichtjaar is de afstand die licht in 1 jaar tijd aflegt. 1 lichtjaar ~ 9,4 1012 km

• Met onze zintuigen ‘zien’ we maar een heel klein stukje van de werkelijkheid. Onze huis-, tuin- en keukenlogica (`intuïtie’) hoeft dus helemaal niet juist te zijn voor de rest van de werkelijkheid. Relativiteitstheorie geeft daarvan verschillende voorbeelden.

• I.t.t. alle andere wetenschappen laat Natuurkunde ons het hele kleine en snelle, en het hele grote en langzame van de werkelijkheid zien.

Hoe bepaal je posities?

• Een fysische meting betreft altijd een

visuele waarneming. • Licht speelt dus altijd een rol. • Maar hoe snel gaat het licht?• Het experiment van Foucault

De lichtsnelheid is eindig…Alhoewel c = 300000 km/s heel snel is, is het wel eindig.Dat betekent dat je altijd naar iets uit het verleden kijkt. Dit speelt vooral op astronomische schaal: het licht van sterren datons nu bereikt is miljoenen jaren geleden uitgezonden – je kijkt in het verleden. Bijv: het licht van een ster op 1000 lichtjaren afstand doet er 1000 jaar over om ons te bereiken.De ster die je nu ziet, bestaat die nog wel?

Supernova

Definities van tijd en ruimte

• Tijd is een coördinaat waarmee je verandering vastlegt.

• Tijd is 1 van de 4 coördinaten van een gebeurtenis. Zoals lengte, breedte en hoogte de ruimtelijke positie van een gebeurtenis vastleggen, geeft een tijdstip aan waar een gebeurtenis zich op de tijdsas bevindt.

• Vandaar dat men spreekt over de vier-dimensionale ruimte-tijd. Een gebeurtenis is dus een punt met coördinaten (t,x,y,z) in de ruimtetijd.

tijd

lengte

gebeurtenis

Definitie seconde

Het element Cesium heeft een overgang waarvoor f = 9 192 631 770 s-1

= 9.192….. GHz, een microgolf frequentie.

1 sec = 9 192 631 770 periodenvan deze overgang.

Dit aantal perioden kan je makkelijk tellen met behulp van electronica, en definieert tijdsduren.

Ruimtelijke afstanden• Engeland ~1400: 1 yard is de omvang van de taille van de koning

• Académie Française (1791) : 1 meter = 1/10 000 000-ste deel van een vierde van de omtrek van de Aarde.

• 1889: 1 meter is de lengte van een metalen staaf die in Sèvres wordt bewaard.

• Het meten van de lichtsnelheid is nu zo precies [299792458 m/s]; dat c gewoon is vastgelegd (‘gedefinieerd’), omdat de seconde ook vastligt, is de meter secondair is geworden.

c is dus niet meer te meten, de meter weer wel!

• Sinds 1983: 1 meter is gedefinieerd als het 1/ 299792458-ste deel van de afstand die licht (in vacuüm) in 1 seconde aflegt.

Vragen• Stel dat twee waarnemers t.o.v. elkaar bewegen (bijv. een

astronaut die naar Mars reist, en iemand die op Aarde acherblijft), en ze bepalen beiden met hun eigen klok de tijdsduur tussen twee lichtflitsen van een quasar.

Meten ze dezelfde tijdsduur?

• Stel dat er een komeet langs vliegt. Meten beide waarnemers dan ook dezelfde lengte van de komeetstaart?

Reference frames

• Reference frame = waarnemer, iemand met een klok

en een lengtemaat

• Intertial reference frame = waarnemer waarvoor de

1ste wet van Newton geldt

• De aarde is slechts bij benadering een ‘intertial frame’: de sterren die ver weg staan bewegen voor ons niet rechtlijnig…

De ether

• Een watergolf laat het water trillen• Een geluidsgolf veroorzaakt een trilling in

de lucht• Ergo: er moet wel een oneindig verdund

medium zijn waardoor het licht reist. Dit alomtegenwoordige, gewichtsloze, wrijvingsloze en transparante medium noemde men ‘de ether.’

• Maar als er een ether bestaat, dan kan de lichtsnelheid niet absoluut zijn!

• Twee roeiers bewegen met 5 m/s t.o.v. het water. Nummer 1 gaat van A naar B en terug; nummer 2 gaat van A naar C en terug. Beiden leggen in totaal 180 m af. Hoelang zijn ze onderweg?

• Roeier 1 moet z’n boot in de richting AP sturen om in B te komen.• Pythagoras: (AQ)2+42= 52; dus (AQ )2

= 9; -> AQ = 3 meter.• Roeier 1 gaat dus met 3 m/s van A naar B.• De afstand AB is 90 meter, de heenreis duurt dus 90:3 = 30 s.• De terugreis duurt ook 30 s; roeier 1 is dus in totaal 30+30 = 60 s onderweg.

Roeien in de rivier (1)

Stroomsnelheid 4 m/s

A

B

C

90 m

90 m

P Q

1

2

4

5

• Roeier 1 gaat van A naar B en terug. Zijn reis duurt 60 s.

• Roeier 2 gaat eerst met de stroom mee van A naar C.• Z’n snelheid is 4+5 = 9 m/s; • De heenreis van A naar C duurt dus 90:9 = 10 s.• De terugreis van C naar A is tegen de stroom in en gaat met 5-4 = 1 m/s. De terugreis duurt dus 90:1 = 90 s.• De totale reisduur voor roeier 2 is dus 10+90 = 100 s.

Roeien in de rivier (2)

4 m/s

A

B

C

90 m

90 m

P Q

1

2

4

5

Is de lichtsnelheid absoluut?

• Licht reist door de ether met 300 000 km/s. • Net als in het voorbeeld van de twee roeiers

in de rivier maakt het voor de lichtsnelheid die je meet uit of het licht met de ether meebeweegt of juist niet.

• M.a.w. c moet wel relatief zijn en niet absoluut!

•

Maar is dat ook zo?

Michelson-Morley ~1881

Michelson en Morley splitsten een lichtbundel in twee delen, en laten het ene deel loodrecht op het andere deel reizen. Als de ene helft met de ether mee zou bewegen, moest de andere helft wel dwars op de ether bewegen. Net als bij de roeiers in de rivier, verwacht je dat de ene lichtbundel sneller dan reist dan de andere. Maar dat bleek niet zo te zijn…

Dit alleen betekent nog niet dat er geen ether bestaat: het kan zijn dat de Aarde stilstaat ten opzichte van de ether.

Michelson-Morley (2)

Maar als het geval is, beweegt de Zon wel t.o.v. de ether, want de Zon beweegt immers t.o.v. de Aarde. Als je nu het Michelson en Morley experiment een paar maanden laat duren, beweeg je bijv. eerst van de zon af, en enkele maanden later naar de zon toe:

ZonPositie Aarde 4 maanden geleden

Je kunt nu in plaats van een lichtbron op Aarde, het licht van de Zonzelf gebruiken om c te bepalen.

Positie Aarde nu

Michelson-Morley (3)

Blijkbaar is er niet zoiets als ‘beweging ten opzichte van de ether’. Daarmee is het hele bestaan van de ether niet meer nodig! Licht kan ‘gewoon’ door vacuüm reizen.

ZonBeweging met zonlicht mee

Beweging tegen zonlicht in

De snelheid van zonlicht blijkt hetzelfde te zijn in verschillende jaargetijden. Het blijkt datc onafhankelijk is van de snelheid van de bron t.o.v. waarnemer!

Einstein’s postulaten

1. Absolute, rechtlijnige beweging kan niet worden vastgesteld. [Galilei’s boot!]

2. De lichtsnelheid is onafhankelijk van de snelheid van de bron: alle waarnemers in verschillende inertiaalstelsels meten dezelfde waarde voor c.

Galileï TransformatieHoe ‘vertaal’ je een ruimte-tijd meting van waarnemer

Snaar die van een tweede waarnemer S’ ?

S meet (t, x, y, z) en S’ meet (t’, x’, y’, z’).Hun onderlinge snelheid is v m/s, langs de x-as, en op t = 0 vallen hun coördinaat-oorsprongen samen. (zie Fig. 39-2, p. 1270). We proberen dus als

transformatie (als `vertaling’ van de meting van S naar die van S’):

t = t’, x = x’ + v t , y = y’, z = z’,

Snelheid van een voorwerp volgens S’ is dx’/dt’ = ux’ ,

Snelheid volgens S is ux = dx/dt = dx’/dt + v = ux’+ v.

Galileï Transformatie (2)

Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’,

Snelheid volgens S: ux = ux’+ v

Versnelling volgens S’ is ax’ = dux’/dt’ = dux’/dt

Versnelling volgens S is ax = dux’/dt

Conclusie: S en S’ meten verschillende snelheden van

een voorwerp; maar wel dezelfde versnelling!

Lorentz Transformatie

Snelheid volgens S’: dx’/dt’ = ux’,

Snelheid volgens S: ux = ux’+ v.

Alhoewel dit in overeenstemming is met onze alledaagse

metingen, is het strijdig met Einstein’s postulaten:

S meet c voor de lichtsnelheid, net als S’; en niet c + v !

Blijkbaar is de Galileï-transformatie niet algemeengeldig…

Lorentz Transformatie (2)We proberen een andere ‘vertaling’, nl. x = (x’ + vt’ ) met als inverse x’ = (x vt)

De factor moet nu bepaald worden. Beschouw eenlichtpuls langs de x-as vanuit de oorsprong van S op t = 0. [Op t = t’ = 0 vallen de beide coördinaat-oorsprongen samen.] Dus: S’ ziet een lichtpuls in zijn oorsprong op t’ = 0. Beiden meten iets later de positievan het licht: S meet: x = ct dus: ct = (ct’ + vt’) = (c + v) t’ S’ meet: x’ = ct’ en ct’ = (ct vt) = (c v) t

Lorentz Transformatie voor x

ct = (c + v) t’ ct’ = (c - v) t

Elimineer ct/ t’ om te bepalen:

22 /1

)''(

cv

vtxx

Nu weten we het transformatiegedrag van x:

[Ga na]22 /1

1

cv

Lorentz Transformatie voor t

])'''

)'

)''(

vtvtxx

vtxx

vtxx

Los de laatste uitdrukking op voor t in termen van x’ en t’.

)/''( 2cvxtt [Ga na!]

Transformatie van Ruimte en Tijd

)/''(

'

'

)''(

2cvxtt

zz

yy

vtxx

22 /1

1

cv

• De coördinaat x hangt af van x’ en t’. Hetzelfde geldt voor het tijdstip t. Ruimte en tijd zijn nu gekoppeld (ruimtetijd ).

• Tijdstippen en posities zijn niet meer absoluut, maar relatief.

De Inverse Transformatie

)/''(

'

'

)''(

2cvxtt

zz

yy

vtxx

• De inverse transformatie (die van S naar S’) volgt door het teken van v om te draaien:

)/('

'

'

)('

2cvxtt

zz

yy

vtxx

Alternatief: druk x’ en t’ ieder uitin x en t mbv. de voorwaartse transformatie. [Ga na.]

‘Voorwaartse’ Lorentz transformatie,

van S’ naar S.

Tijdsduren en Lengtes

)/''(

)/''(2

111

2222

cvxtt

cvxtt

De operationele definitie van de tijdsduur van een proces zegt dat je dat bij aanvang van het proces een tijdsmeting doet (t1 voor S, t1’ voor S’), en een tweede meting bij afloop van het proces (t2 voor S, t2’ voor S’). Ook doen beiden een positiemeting van de twee ‘events’ [event 1 = aanvang proces, event 2 = afloop proces]. De tijdsduur t = t2t1. Hoe transformeert deze tijdsduur?

)/''(

]/)''(''[2

2121212

cvxtt

cvxxtttt

Conclusie: het transformatiegedrag van een tijdsduur is hetzelfde als dat van een tijdstip. Hetzelfde geldt ook voor afstanden [Ga na].