Series Tempo Rel Les Holt Winters Box Jenkins

5/13/2018 Series Tempo Rel Les Holt Winters Box Jenkins - slidepdf.com

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Séries Temporelles

Dossier

Sylvain LE BARILLEC

Master 1 Economie Fondamentale et AppliquéeUniversité de Caen Basse-Normandie

Année Universitaire 2005 - 2006

Taux d’occupation des places de litdans l’hôtellerie en Italie



Table des matières

Table des matières……………………………………………………2

Introduction et présentation……..…………………………………3

Décomposition saisonnière………………………………………...4

Lissage par moyenne mobiles.....................................................4

Prévisions par MMC(12)....………………......................................5

Tableaux de Buys-Ballot....………...……......................................6

Calcul des coefficients saisonniers..….......................................7

Prévisions et intervalle de confiance..........................................9

Graphiques...................................................................................11

Lissage exponentiel…………………………………………………13

Lissage exponentiel de Holt-Winters..…...................................13

Prévisions et intervalle de confiance...….............................….15

Graphiques...........................……………………….......................16

Méthode de Box et Jenkins………………………………………..17

Corrélogrammes de la série…...................................................17

Modélisations de la série…...........................…..........................18

Corrélogramme des résidus et test de normalité...............…..19Prévisions sur la période août 2003 à juillet 2005....................20

Prévisions sur la période août 2005 à juillet 2007....................21

Comparaison et conclusion……………...………………………..22

T A B L E D

E S M A T I È R E S



Présentation de la série

INTRODUCTION

L’Italie compte 40 biens inscrits sur la

Liste du patrimoine mondial de

l’UNESCO. Pays riche en Histoire,

l’Italie compte 57 millions d’habitants et

fait partie de l’UE. Les activités touris-

tiques se développent autours des sites

archéologiques, des musées, des lacs,

des thermes, des mers et des montagnes.

Les fêtes traditionnelles ayant un carac-

tère historique se déroulent sur tout le

territoire; on peut à ce titre citer les ré-

gates de Venise, la Joute du Sarrazin à

Arezzo, le Palio de Sienne…Les itinéraires proposés aux touristes

peuvent donc être multiples: les itinérai-

res oenologiques et gastronomiques, le

tourisme vert (agriturismo) ou d’autres

thématiques. Les villes d’art et d’his-

toire des provinces italiennes, comme

par exemple Naples, attirent également

un nombre important de touristes.

Selon l’OMT1, l’Italie est le quatrième pays le plus visité au monde après la France, les Etats Unis

et l’Espagne. Même si cette position est enviable, l’Italie n’a fait que régresser au palmarès des destina-

tions choisies depuis 1970. En effet, en 1970 l’Italie était le premier pays visité au Monde. A l’horizon

2020, la Péninsule sera sixième. Cependant, le nombre de touristes sera important: de 14,19 millions

par an en 1970 à 52,9 millions en 2020.

PRÉSENTATION

La série que nous allons étudier, s’intitule “Taux d’occupation des places de lit dans l’hôtellerie en

Italie”. Elle provient de la base statistique Eurostat2 de l’Union Européenne. Cette base recueille les

données pour l’ensemble des pays membres, sur un grand nombre de thématiques. Nous tenterons doncd’analyser cette série par une modélisation saisonnière, un lissage exponentiel et la méthode de Box &

Jenkins. Les donnés relatives à cette série sont contenues dans les fichiers Excel 2004 et Eviews 5, c’est

pourquoi nous avons décidé de ne pas imprimer la totalité des données, mais plutôt d’expliquer par des

exemples les diverses méthodes que nous avons utilisé. La série présente une saisonnalité forte. En

effet, les mois d’août et de juillet présentent un fort taux d’occupation des établissements hôteliers. Ceci

est notamment dû au fait que les hôtels sont fréquentés par les vacanciers pendant les vacances estiva-

les.

3

1 Organisation Mondiale du Tourisme

2 http://europa.eu.int/comm/eurostat/

P R É S E N T A T I O N

D E L A

S É R I E

http://europa.eu.int/comm/eurostat/%06





Décomposition saisonnièreLissage par moyennes mobilesPRINCIPE

Les moyennes mobiles constituent la base des

méthodes de décomposition saisonnière. Elles sont

notamment utilisées afin de produire des donnéesCVS (corrigées des variations saisonnières) et ser-

vent également d’outils de prévision.

Le lissage par moyenne mobile consiste à se

placer en une date t afin de produire une moyenne

mobile d’ordre k. Ainsi, si les données disponibles

sont y1,y2,...,yt, on construira une moyenne mo-

bile en utilisant la formule:

MMt(k)=

[yt-p+0,5+yt-p+1,5+...+yt-0,5+yt+p-1,5]/k

pour k pair

k=2p et si t entier + 1/2

C’est cette formule que nous utiliserons dans

le présent document. En effet, la série que nous

traitons est mensuelle, et nous allons effectuer un

lissage par moyennes mobiles d’ordre 12.

APPLICATION

Date Valeur MM(12) MMC(12) Med(12)

jan-90 15,6 fév-90 19,5

mars-90 21,5 avr-90 27,1 mai-90 26,2

juin-90 38,4 juil-90 52,3 30,650 30,671 25,900

aoû-90 67,5 30,692 30,671 25,900

sep-90 43,8 30,650 30,733 25,900

oct-90 25,6 30,817 30,700 25,900

nov-90 15 30,583 30,629 24,950

déc-90 15,3 30,675 30,721 24,950

Plaçons nous en 6,5 La moyenne mobile

d’ordre 12 sera calculée de la façon suivante:

MM6,5(12)=[15,6+19,5+21,5+27,1+26,2+38

,4+52,3+67,5+43,8+25,6+15+15,3]/12

MM6,5(12)=Z6,5/12

Z6,5=367,8

MM6,5(12)=30,65

Les moyennes mobiles suivantes se calculeront

par récurrence:

MM7,5(12)=[Z6,5+16,1-15,6]/12=368,3/12

MM7,5(12)=30,692

MM8,5(12)=[Z7,5+19-19,5]/12=367,8/12

MM8,5(12)=30,65

La méthode de calcul sera identiques pour

toutes les moyennes mobiles suivantes. Il est à no-

ter qu’une perte d’informations survient. Pour 187

données, nous ne disposons que de 176 moyennes

mobiles d’ordre 12. En effet la perte d’information

est égale à k-1 valeurs. Ici, 12-1=11.

Les dates d’affectation des moyennes mobilesd’ordre 12 seront intermédiaires. Par convention,

elles seront placées en t+0,5. C’est pourquoi la

MM6,5(12 ) est placée sur la ligne de juillet 1990.

PRINCIPE

Nous calculerons la moyenne mobile centrée

d’ordre 12 (forme particulière des moyennes mobi-

les pondérées) pour pallier aux problèmes des da-

tes d’affectation.

La MMCt(k) se définie comme la moyenne de

deux moyennes mobiles consécutives. Ainsi

MMCt(k)=[MMt-0,5(k)+MMt+0,5(k)]/2

APPLICATION

MMC7(12)=[MM6,5(12)+MM7,5(12)]/2

MMC7(12)=[30,65+30,692]/2

MMC7(12)=30,671

MMC8(12)=[30,692+30,65]=30,671

MMC9(12)=[30,65+30,817]=30,733

La première date d’affectation sera donc en

juillet 1990. La méthode de calcul sera identique

pour toutes les moyennes mobiles centrées suivan-

tes. Il est à noter que nous perdons une informa-

tion supplémentaire par rapport aux moyennes

mobiles d’ordre 12, portant à 12 le nombre de

valeurs perdues.

La médiane d’ordre 12 sera elle aussi calculée, car

elle a la propriété d’être insensible aux valeurs

aberrantes. Cependant, elle forme des plateaux.

Médiane(12)=Med{yt-p,yt-p+1,...,yt+p}

4

D É C O M P O S I T I O N

S A I S O N N I È R E



Prévision par MMC(12)

La prévision par moyenne mobile centrée d’ordre

12 s’avère relativement simple. Les données

n’étant plus disponibles à partir d’août 2005, les

moyennes mobiles centrées d’ordre 12 ne sont plus

calculables à partir de janvier 2005. Il suffit de

remplacer la donnée manquante par la dernière

moyenne mobile centrée calculée.

Pour février 2005, la moyenne mobile centrée

d’ordre 12 sera égale à:

Ŷ182=[62,8+2*42+2*26,4+2*26,4+2*15,6

+2*15,8+2*20,5+2*22,8+2*26,9+2*26,2+2*32,5

+2*46,1+2*57,1+MMC12(181)] /24

avec MMC181(12)=32,80

Ŷ182=31,642

Au fur et à mesure, on remplace les données

inexistantes par les moyennes mobiles centrées

estimées.

Ŷ183=

[42+2*26,4+2*26,4+2*15,6+2*15,8+2*20,5+2*2

2,8+2*26,9+2*26,2+2*32,5+2*46,1+2*57,1+2*MMC12(181)+MMC12(182)] /24

avec MMC183(12)=31,642

Ŷ183=29,960

Il est à noter que l’on ne peut utiliser cette

méthode que sur une période relativement courte.

En effet, si on produit des moyennes mobiles cen-

trées d’ordre 12 à un horizon infini, on va tendre

vers 33,50.

Date Valeur MMC 12

sep-04 42 32,588

oct-04 26,4 32,638nov-04 15,6 32,575

déc-04 15,8 32,650

jan-05 20,5 32,800

fév-05 22,8 31,642

mars-05 26,9 29,960

avr-05 26,2 29,677

mai-05 32,5 30,412

uin-05 46,1 31,607

juil-05 57,1 32,679

aoû-05 33,553sep-05 34,242

oct-05 34,854

nov-05 35,287

déc-05 34,935

jan-06 33,561

fév-06 32,669

mars-06 32,743

avr-06 32,902

mai-06 33,153

juin-06 33,401

juil-06 33,590

aoû-06 33,703

sep-06 33,747

oct-06 33,733

nov-06 33,665

déc-06 33,551

5





Tableaux de Buys-Ballot

Tableau 1Moyennes et écarts-types

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Moyenne ET

1990 15,6 19,5 21,5 27,1 26,2 38,4 52,3 67,5 43,8 25,6 15,0 15,3 30,650 16,604

1991 16,1 19,0 23,5 24,3 27,3 39,5 55,8 70,4 44,2 25,1 15,1 15,2 31,292 17,661

1992 17,0 21,0 22,0 26,0 28,0 40,0 54,0 67,0 42,0 23,0 13,0 15,0 30,667 16,735

1993 17,0 20,0 20,0 25,0 26,0 38,0 54,0 66,0 41,0 23,0 13,0 14,0 29,750 16,679

1994 18,0 21,0 22,0 26,0 29,0 41,0 58,0 70,0 45,0 25,0 14,0 14,0 31,917 17,911

1995 18,5 20,8 21,6 28,7 28,8 44,0 58,4 69,9 45,3 26,2 14,8 15,5 32,708 17,804

1996 18,6 21,8 24,2 28,2 30,5 43,8 57,9 66,8 43,2 25,9 15,2 14,8 32,575 16,839

1997 17,9 22,0 26,0 25,2 31,5 41,3 55,5 66,9 42,9 25,5 14,2 15,2 32,008 16,509

1998 18,6 22,2 22,1 27,7 31,2 44,2 56,8 68,7 43,1 26,9 14,5 16,0 32,667 17,082

1999 19,2 22,3 22,9 27,7 32,7 44,7 57,4 67,8 45,3 26,5 15,1 14,7 33,025 17,129

2000 20,8 22,8 24,8 30,8 32,0 48,9 60,0 69,8 48,1 28,3 17,5 19,1 35,242 17,282

2001 21,2 24,7 24,9 31,9 34,0 50,9 61,5 71,8 47,9 27,9 17,3 17,5 35,958 17,949

2002 17,6 22,7 25,7 27,0 32,9 45,7 56,8 66,1 43,7 27,1 16,3 16,2 33,150 16,4212003 20,4 24,8 25,3 31,1 33,7 51,9 61,1 70,6 46,3 29,5 17,3 20,2 36,017 17,426

2004 19,4 23,6 23,8 28,1 32,1 44,7 54,9 62,8 42,0 26,4 15,6 15,8 32,433 15,394

2005 20,5 22,8 26,9 26,2 32,5 46,1 57,1 33,157 13,517

Moyenne 18,52521,938 23,575 27,56330,525 43,944 56,969 68,140 44,253 26,127 15,193 15,9 Moyenne Générale 32,689

ET 1,665 1,678 1,944 2,220 2,630 4,181 2,559 2,339 2,080 1,765 1,422 1,764 ET Général 16,329

Tableau 2

Classement par valeur décroissante

1990 août juillet septembre juin avril mai octobre mars février janvier décembre novembre

1991 août juillet septembre juin mai octobre avril mars février janvier décembre novembre

1992 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier décembre novembre

1993 août juillet septembre juin mai avril octobre février mars janvier décembre novembre

1994 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier novembre décembre

1995 août uillet se tembre uin mai avril octobre mars février anvier décembre novembre

1996 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier novembre décembre

1997 août juillet septembre juin mai mars octobre avril février janvier décembre novembre

1998 août juillet juin septembre mai avril octobre février mars janvier décembre novembre

1999 août juillet septembre juin mai avril octobre mars février janvier novembre décembre

2000 août uillet uin se tembre mai avril octobre mars février anvier décembre novembre

2001 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier décembre novembre

2002 août uillet uin se tembre mai octobre avril mars février anvier novembre décembre

2003 août uillet uin se tembre mai avril octobre mars février anvier décembre novembre

2004 août juillet juin septembre mai avril octobre mars février janvier décembre novembre

2005 juillet juin mai mars avril février janvier

Comme nous le voyons, il existe une saisonnalité dans la série: le mois d’août arrive systématiquement premier et le mois de juillet, second. (pour les années complètes) . Il n’y a donc pas de rupture. Le classement de l’année 2005 ne peut être pris enconsidération, car les données disponibles ne couvrent pas la totalité de l’année.

6





Calcul des coefficients saisonniers

PRINCIPE

Il existe trois types de modèles. Le modèle additif,

le modèle multiplicatif, le modèle mixte. Ces mo-

dèles permettent la juxtaposition de plusieurscomposantes: la tendance, le cycle conjoncturel,

les variations saisonnières et les variations acciden-

telles ou erreurs.

La tendance (T) donne l’allure générale de la

série, c’est à dire les variations de long terme.

Le cycle conjoncturel (C) regroupe les varia-

tions autours de la tendance avec des alternances

de phases d’expansion, de contraction et de réces-

sion.

Les variations saisonnières (S) sont liées au

rythme imposé par les saisons météorologiques,

ainsi qu’aux phénomènes périodiques.Enfin, les erreurs (E) résultent de multiples

causes. Elles sont aléatoires et de courte durée.

Le modèle additif a pour équation de base:

y=T+C+S+E

Le modèle multiplicatif est lui défini par

l’équation:

y=T*C*S*E

Le choix entre les deux modèles s’effectue par

analyse graphique de l’évolution de la série. Notre

modèle est de type additif.

Nous allons décomposer la série. Il nous faut

donc utiliser un des quatre cas de suppositions

relatives à la tendance-cycle. (noté fij, i étant l’in-

dice de la période et j l’indice de la saison)

Nous utiliserons le cas général, c’est à dire la

cas dans lequel les fij ne sont pas spécifiés. T et C

existent de façon arbitraires. On comparera donc

les données de la série aux moyennes mobiles cen-trées d’ordre 12.

Ainsi, fij=MMCij(12)

Il conviendra ensuite de calculer les coeffi-

cients saisonniers (Sj):

Sij=yij-fij=yij-MMCij(12)

Dans le cas du modèle additif, la somme des

coefficients saisonniers doit être égale à 0. Sinon,

une correction doit être effectuée.

Si tel n’est pas le cas, les coefficients saison-

niers corrigés s’obtiendront ainsi:

APPLICATION

Ici, le modèle que nous cherchons à modéliser

est de type additif. En effet, à partir du graphique,

on ne constate pas d’amplification des variations.

Il faut tout d’abord calculer les Sij. La pre-

mière donnée sera donc S1990,7.En effet, la pre-

mière MMCt(12) est disponible en juillet 1990.

Ainsi

S1990,7=52,3-30,671=21,629

S1990,8=67,5-30,671=36,829

S1990,9=43,8-30,733=13,067

Il en sera de même pour les Sij suivants.

Une fois ces Sij calculés, il convient de calculer

les coefficients saisonniers Sj

Calculons celui de janvier:

S1=[1/15] *

[-14,812-14,575-13-12,883-14,479-14,308-13,637

-13,783-14,729-16,829-14,229-15,067-12,3]

S1=-14,112

Nota bene: il n’existe pas de S1990,1, c’est

pourquoi nous commençons la sommation à partir

de 1991. En effet, il n’existe que 175 Sij, s’étalant

de juillet 1990 à janvier 2005

Une fois les Sj calculés, nous les sommons.

7





S°=-14,112-10,778-9,323-5,113-2,117+11,37

2+24,276+35,433+11,522-6,617-17,565-16,898

S°=0,079

Donc S°≠0

Il faut corriger les données.

Alors:

Il faudra corriger les onze autres coefficients

saisonniers.

Enfin, le calcul des données CVS dans le casdu modèle additif se présentera sous la forme:

...

On obtiendra 187 données CVS.

Le graphique des données CVS figure à la fin

de cette section sous le numéro 2.

CALCUL DE LA DROITE DE REGRES-

SION, DE LA TENDANCE ET DU CY-

CLE

Nous calculons la droite de régression à l’aide

d’Excel. La régression linéaire porte sur les 15

années complètes: de 1990 à 2004.

Variable Endogène Trend

30,650 1

31,292 2

30,667 3

29,750 4

31,917 5

32,708 6

32,575 7

32,008 8

32,667 933,025 10

35,242 11

35,958 12

33,150 13

36,017 14

32,433 15

On obtient les paramètres suivantes:

A 0,317 30,134 B

σ A 0,075 0,681 σ B

r2 0,580 1,253 F-stat 17,919 13,000 Degrés de lib.

28,152 20,423 Somme résidus 2

Une transformation est nécessaire, car ces para-mètres sont annuels. Ainsi:

Nous pouvons maintenant calculer la tendance etle cycle, ce qui nous permettra par la suite deréaliser des prévisions.

Le calcul de la tendance se fait en appliquant laformule:

T=b+t*a

La première donnée sera donc:

T1=30,279+1*0,0264=30,306T2=30,279+2*0,0264=30,332…On peut calculer 187 données.

Le cycle se définit comme la différence entre lamoyenne mobile centrée d’ordre 12 et la ten-

dance.

Le premier cycle ne s’obtiendra qu’à partir de juillet 1990, c’est à dire la première moyennemobile centrée que nous avons pu produire.

C7=30,671-30,664=0,207C8=30,671-30,491=0,180

On obtiendra donc 175 données.La moyenne du cycle est de 0,013La dernière donnée disponible donne un cycle de-2,262. (janvier 2005)

8





Prévision et intervalle de confiance

PRINCIPE

Selon le principe de décomposition, on prévoit

chaque composante et on combine les prévisions.

Pour la tendance, on utilise la courbe de crois-

sance appropriée, que l’on va calculer dans le fu-tur.

Pour le cycle conjoncturel, on se réfère à la

situation conjoncturelle. C’est la composante la

plus difficile à prévoir. Dans la pratique, on a éven-

tuellement recourt à une expertise extérieure. (en-

quêtes de conjoncture auprès des ménages, enquê-

tes de prévision réalisées auprès d’un panel d’ex-

perts, publications économiques d’organisations

nationales et internationales...)

Pour la composante saisonnière, on utilisera

les coefficients saisonniers estimés que nous avons

calculés.

APPLICATION

Nous connaissons aussi les coefficients saison-

niers:

S*1 -14,119

S*2 -10,785

S*3 -9,330

S*4 -5,120

S*5 -2,124

S*6 11,366

S*7 24,269

S*8 35,426

S*9 11,516

S*10 -6,624

S*11 -17,572

S*12 -16,904

Pour le cycle, nous retiendrons la moyenne,

c’est à dire 0,013. Nous effectueront également

une prévision pour un cycle de -2,262 (hypothèse

basse).

Effectuons le calcul de la prévision pour août

2005.

Nous obtiendrons la prévision suivante pour

un cycle de 0,013:

Ŷ188=T+C+S

Ŷ188=[0,0264*188+30,279]+0,013+35,426

Ŷ188=70,686

Pour un cycle de -2,262, la prévision sera cal-

culée de la façon suivante:

Ŷ188=[0,0264*188+30,279]-2,262+35,426

Ŷ188=78,411

Pour calculer l’intervalle de confiance à 80%,

nous avons classé les erreurs par ordre croissant.

D’autre part, nous avons pris deux valeurs extrê-

mes. Nous avons donc choisi -5,5 et 5. Nous avonsaussi calculé les probabilités associées aux erreurs.

(le pas étant de 1/187). La borne inférieure est

donc la prévision effectuée à laquelle on addi-

tionne -1,62 tandis que la borne supérieure est

égale à la prévision à laquelle on ajoute 1,52. En

effet, il y aura 10% d’erreurs inférieures à -1,62 et

10% d’erreurs supérieures à 1,52.

9





Pour un cycle de 0,013, on obtiendra les pré-

visions et bornes suivantes:

Date Borne Inf. Prévision Borne Su .

fév-05 22,696 24,316 25,836

mars-05 24,178 25,798 27,318

avr-05 28,414 30,034 31,554

mai-05 31,436 33,056 34,576

juin-05 44,952 46,572 48,092

uil-05 57,882 59,502 61,022

aoû-05 69,066 70,686 72,206

se -05 45,182 46,802 48,322

oct-05 27,069 28,689 30,209

nov-05 16,147 17,767 19,287

déc-05 16,841 18,461 19,981

jan-06 19,653 21,273 22,793

fév-06 23,013 24,633 26,153

mars-06 24,495 26,115 27,635

avr-06 28,731 30,351 31,871

mai-06 31,753 33,373 34,893

juin-06 45,269 46,889 48,409

juil-06 58,199 59,819 61,339

aoû-06 69,383 71,003 72,523

sep-06 45,499 47,119 48,639

oct-06 27,386 29,006 30,526

nov-06 16,464 18,084 19,604

déc-06 17,158 18,778 20,298

jan-07 19,970 21,590 23,110

fév-07 23,330 24,950 26,470

mars-07 24,812 26,432 27,952

avr-07 29,048 30,668 32,188

mai-07 32,071 33,691 35,211

juin-07 45,587 47,207 48,727

uil-07 58,516 60,136 61,656

aoû-07 69,700 71,320 72,840

se -07 45,816 47,436 48,956

oct-07 27,703 29,323 30,843

nov-07 16,781 18,401 19,921

déc-07 17,475 19,095 20,615

Pour un cycle de -2,262, on obtiendra les

prévisions et bornes suivantes:

Date Borne Inf. Prévision Borne Sup.

fév-05 20,422 22,042 23,562

mars-05 21,903 23,523 25,043

avr-05 26,140 27,760 29,280

mai-05 29,162 30,782 32,302

juin-05 42,678 44,298 45,818

juil-05 55,608 57,228 58,748

aoû-05 66,791 68,411 69,931

sep-05 42,907 44,527 46,047

oct-05 24,794 26,414 27,934

nov-05 13,872 15,492 17,012

déc-05 14,567 16,187 17,707

an-06 17,378 18,998 20,518

fév-06 20,739 22,359 23,879

mars-06 22,220 23,840 25,360

avr-06 26,457 28,077 29,597

mai-06 29,479 31,099 32,619

juin-06 42,995 44,615 46,135

uil-06 55,925 57,545 59,065

aoû-06 67,108 68,728 70,248

se -06 43,224 44,844 46,364

oct-06 25,111 26,731 28,251

nov-06 14,189 15,809 17,329

déc-06 14,884 16,504 18,024

an-07 17,695 19,315 20,835

fév-07 21,056 22,676 24,196mars-07 22,537 24,157 25,677

avr-07 26,774 28,394 29,914

mai-07 29,796 31,416 32,936

juin-07 43,312 44,932 46,452

juil-07 56,242 57,862 59,382

aoû-07 67,426 69,046 70,566

sep-07 43,541 45,161 46,681

oct-07 25,428 27,048 28,568

nov-07 14,506 16,126 17,646

déc-07 15,201 16,821 18,341

Les graphiques correspondants figurent à la

fin de cette section sous les numéros 3 et 4.

10





Graphique 1MM(12), MMC(12) et Med(12)

10

20

30

40

50

60

70

80

jan-90

jan-91

jan-92

jan-93

jan-94

jan-95

jan-96

jan-97

jan-98

jan-99

jan-00

jan-01

jan-02

jan-03

jan-04

jan-05

Série MM(12) MMC(12) Med(12)

Comme nous le voyons sur le graphique, la médiane d’ordre 12 est inférieure aux moyennes mobiles et moyennes mobi-

les centrées. Il existe donc dans la série de fortes amplitudes. La médiane a éliminé les aspérités, mais pas autant que les

MM(12) et MMC(12).

Graphique 2Données CVS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

j a n - 9 0

j u i l - 9 0

j a n - 9 1

j u i l - 9 1

j a n - 9 2

j u i l - 9 2

j a n - 9 3

j u i l - 9 3

j a n - 9 4

j u i l - 9 4

j a n - 9 5

j u i l - 9 5

j a n - 9 6

j u i l - 9 6

j a n - 9 7

j u i l - 9 7

j a n - 9 8

j u i l - 9 8

j a n - 9 9

j u i l - 9 9

j a n - 0 0

j u i l - 0 0

j a n - 0 1

j u i l - 0 1

j a n - 0 2

j u i l - 0 2

j a n - 0 3

j u i l - 0 3

j a n - 0 4

j u i l - 0 4

j a n - 0 5

j u i l - 0 5

Série CVS Série Initiale

11





Graphique 3Prévision et intervalle de confiance (cycle de 0,013)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

f é v - 0 5

a v r - 0 5

j u i n

- 0 5

a o û -

0 5

o c t -

0 5

d é c - 0 5

f é v - 0 6

a v r - 0 6

j u i n

- 0 6

a o û -

0 6

o c t -

0 6

d é c - 0 6

f é v - 0 7

a v r - 0 7

j u i n

- 0 7

a o û -

0 7

o c t -

0 7

d é c - 0 7

Prévision Borne Inf. Borne Sup.

Graphique 4Prévision et intervalle de confiance (cycle de -2,262)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

f é v - 0 5

a v r - 0 5

j u i n

- 0 5

a o û -

0 5

o c t -

0 5

d é c - 0 5

f é v - 0 6

a v r - 0 6

j u i n

- 0 6

a o û -

0 6

o c t -

0 6

d é c - 0 6

f é v - 0 7

a v r - 0 7

j u i n

- 0 7

a o û -

0 7

o c t -

0 7

d é c - 0 7

Prévision Borne Inf. Borne Sup.

12





Lissage exponentielLissage exponentiel de Holt WintersPRINCIPE

Les méthodes de lissage exponentiel permet-

tent un calcul rapide pour un grand nombre de

séries. Ces méthodes de prévision sont avéréesfournir une prévision de qualité.

Il existe trois méthodes, suivant que la série

présente ou non une tendance, et une saisonnalité.

Le lissage exponentiel simple est employé dans le

cas d’une série ne présentant pas de tendance li-

néaire, ni de saisonnalité. Le lissage exponentiel

double et la méthode de Holt ne conviennent que

lorsqu’une tendance est présente, et qu’il n’existe

pas de saisonnalité. La méthode de Holt est une

généralisation de la méthode de lissage exponen-

tiel double. Enfin, la méthode de Holt Winters

(additive ou multiplicative) est utilisée dans la casd’une série présentant à la fois une tendance et

une saisonnalité.

Avant d’introduire le modèle de Holt Winters

additif, que nous allons utiliser ici pour modéliser

la série, il est nécessaire d’expliquer les principes

du modèle de Holt.

La série traitée dans ce dossier présente une

saisonnalité. il conviendra donc d’utiliser la mé-

thode de Holt Winters additive.

La méthode de Holt Winters est une générali-

sation de la méthode de Holt. Elle est conçue de

telle sorte qu’une composante saisonnière soit in-

troduite dans la méthode de prévision localement

linéaire. Nous noterons It la composante saison-

nière de la série. Cette composante sera supposée

périodique, de période s.

Ainsi: It=It-s

La fonction de prévision localement linéaire se

présentera donc sous la forme suivante dans le cas

d’un modèle Holt Winters additif:ŷt(h)=St+hTt+It+h

Avec It+h ={

Une troisième équation est ajoutée au modèle,

avec le même principe que les deux premières. Il

s’agit en effet de combiner la variation saisonnièreet la dernière estimation du coefficient saisonnier

de la saison considérée.

It+h-s si 0≤h≤s

It+h-2s si s<h≤2s

...

Le modèle se présentera sous la forme sui-

vante:

St=α(yt-It-s)+(1-α )(St-1+Tt-1)Tt= γ(St-St-1)+(1- γ )Tt-1

It=δ(yt-St)+(1-δ )It-s

ŷt(1)=St+Tt+It+1

Nous utiliserons la méthode de mise à jour par

l’erreur.

Ainsi,

St=St-1+Tt-1+α(et)

Tt=Tt-1+ γα(et)

It=It-s+δ(1-α )et

ŷt(h)=St+hTt+It+h

APPLICATION

Période Valeur St Tt It

jan-90 15,6 30,650 -15,050

fév-90 19,5 30,650 -11,150

mars-90 21,5 30,650 -9,150

avr-90 27,1 30,650 -3,550

mai-90 26,2 30,650 -4,450

uin-90 38,4 30,650 7,750

juil-90 52,3 30,650 21,650

aoû-90 67,5 30,650 36,850

sep-90 43,8 30,650 13,150

oct-90 25,6 30,650 -5,050

nov-90 15 30,650 -15,650

déc-90 15,3 30,650 0,000 -15,350

jan-91 16,1 30,828 0,000 -14,851

fév-91 19 30,587 0,000 -11,419

mars-91 23,5 31,322 0,000 -8,330

avr-91 24,3 30,085 0,000 -4,929

Il faut préalablement définir St sur la période al-lant de janvier 1990 à décembre 1990. On prendradonc la moyenne annuelle de la série pour St.

Pour Tt, on se place en décembre 1990, et on yinscrit la valeur 0. En effet, ce n’est qu’à partir de1991 que nous utiliserons la formule de calcul.

It, pour les douze premiers mois de la série se dé-finira comme la différence entre les valeurs de lasérie et St, c’est à dire la moyenne de l’année1990.A partir de janvier 1991, on peut utiliser les for-mules définies plus haut.

13

L I S S A G E E X P O N E N T I E L



Prenons un exemple:

On calcule d’abord la prévision, ce qui nous per-mettra par la suite de calculer l’erreur qui est in-dispensables aux calculs suivants.

Ainsi, ŷ12(1)=S12+1*T12+I1= 30,65+1*0+(-15,05)ŷ12(1)=15,6L’erreur de prévision est la différence entre la va-

leur qui s’est réalisée en janvier 1991 et la prévi-sion que nous avons effectué en décembre 1990avec un horizon de un mois.Ici, nous avons une erreur de 0,5, c’est à dire 16,1-15,6.

Maintenant que nous possédons l’erreur, et la pré-vision, nous pouvons calculer St, Tt et It

Pour S13, en suivant les formules, nous obtenons:

S13=30,65+0+0,356*0,5S13=30,828

Pour Tt:T13=0+0,356*0*0,5T13=0

Pour It enfin, nous obtenons:

I13=-15,05+0,617*(1-0,356)*0,5I13=-14,851

Les données calculées figurent en annexe X.

LE CHOIX DE α,δ,γ

Les valeurs de α,δ,γ, s’obtiennent avec le solveur d’Excel. Le critère choisi est celui du RMSE.

Ici, on simplifiera la formule par:

L’application calculera toutes les combinaisons possibles de α,δ,γ afin d’obtenir le minimum del’erreur quadratique moyenne. La formule pour obtenir ce critère sur Excel réside en une combi-naisons de fonctions:On calculera dans un premier temps le SCR par le produit matriciel des erreurs (175,1) avec la ma-trice transposée (1,175). Nous obtiendrons uneseule valeur (175,1)*(1,175).Puis, on divise par 175 et on fait la racine carré.

Cette minimisation s’obtient une fois que toutesles formules ont été rentrées dans les cellules.

L’avantage de ce critère est d’être exprimé dans lamême unité que la valeur d’origine.

C’est ainsi que nous avons retenu les valeurs sui-vantes pour α,δ,γ.

α=0,356

δ=0,617

γ=0

14




Prévision et intervalle de confiancePREVISION

La dernière donnée disponible est celle de juillet

2005. On se place donc à cette date et on effectuedes prévisions selon l’horizon choisi.

Ainsi, pour août 2005, on procédera de la façon

suivante:

S187=33,103

T187=0

I176=33,255 (août 2004)

ŷ187(1)=S187+1*T187+I176

ŷ187(1)=33,103+1*0+33,255

Pour septembre 2005:

Il faut ici prendre I177 (septembre 2004)

ŷ187(2)=S187+2*T187+I177

ŷ187(2)=33,103+2*0+11,346

Les prévisions ont été calculées pour un hori-

zon de 24 mois. (juillet 2007) Etant donné que

γ=0, nous obtiendront des valeurs identiques dansle futur. Ainsi, la prévision pour août 2005 sera

égale à celle d’août 2006. Celle de septembre

2005 sera égale à celle de septembre 2006...la

tendance est nulle.

INTERVALLE DE CONFIANCE

Pour calculer l’intervalle de confiance à 80%,

nous avons classé les 175 erreurs par ordre crois-

sant. D’autre part, nous avons pris deux valeurs

extrêmes. Nous avons donc choisi -4,3 et 4,5. Nousavons aussi calculé les probabilités associées aux

erreurs. (le pas étant de 1/175). La borne infé-

rieure est donc la prévision effectuée à laquelle on

additionne -1,8 tandis que la borne supérieure est

égale à la prévision à laquelle on ajoute 2,12. En

effet, il y aura 10% d’erreurs inférieures à - 1,8 et

10% d’erreurs supérieures à 2,12.

Date Borne Inf. Prévision Borne Sup.

aoû-05 64,558 66,358 68,478

sep-05 42,649 44,449 46,569

oct-05 25,879 27,679 29,799

nov-05 14,303 16,103 18,223

déc-05 14,910 16,710 18,830

jan-06 17,469 19,269 21,389

fév-06 20,603 22,403 24,523

mars-06 22,827 24,627 26,747

avr-06 25,021 26,821 28,941

mai-06 30,346 32,146 34,266

juin-06 44,506 46,306 48,426

juil-06 55,303 57,103 59,223

aoû-06 64,558 66,358 68,478

sep-06 42,649 44,449 46,569

oct-06 25,879 27,679 29,799

nov-06 14,303 16,103 18,223

déc-06 14,910 16,710 18,830

an-07 17,469 19,269 21,389

fév-07 20,603 22,403 24,523

mars-07 22,827 24,627 26,747

avr-07 25,021 26,821 28,941

mai-07 30,346 32,146 34,266

juin-07 44,506 46,306 48,426

uil-07 55,303 57,103 59,223

Le graphique des prévisions et de l’intervalle

de confiance figure sous le numéro 6.

15




Graphique 5La prévision

0

10

20

30

40

50

60

70

80

j a n - 9 0

j u i l -

9 0

j a n - 9 1

j u i l -

9 1

j a n - 9 2

j u i l -

9 2

j a n - 9 3

j u i l -

9 3

j a n - 9 4

j u i l -

9 4

j a n - 9 5

j u i l -

9 5

j a n - 9 6

j u i l -

9 6

j a n - 9 7

j u i l -

9 7

j a n - 9 8

j u i l -

9 8

j a n - 9 9

j u i l -

9 9

j a n - 0 0

j u i l -

0 0

j a n - 0 1

j u i l -

0 1

j a n - 0 2

j u i l -

0 2

j a n - 0 3

j u i l -

0 3

j a n - 0 4

j u i l -

0 4

j a n - 0 5

j u i l -

0 5

Série Initiale Prévision

Graphique 6Prévision et intervalle de confiance

0

10

20

30

40

50

60

70

80

a o û

- 0 5

s e p

- 0 5

o c t - 0 5

n o v - 0 5

d é c - 0 5

j a n

- 0 6

f é v - 0 6

m a r s - 0 6

a v r - 0 6

m a i - 0

6

j u i n

- 0 6

j u i l -

0 6

a o û

- 0 6

s e p

- 0 6

o c t - 0 6

n o v - 0 6

d é c - 0 6

j a n

- 0 7

f é v - 0 7

m a r s - 0 7

a v r - 0 7

m a i - 0

7

j u i n

- 0 7

j u i l -

0 7

Borne Inf. Prévision Borne Sup.

16




Méthode de Box et Jenkins

PRINCIPE

La méthode de Box et Jenkins, contrairement aux modè-

les saisonniers et le lissage exponentiel, ne suppose aucun

modèle théorique fixé a priori. A partir des corrélogrammesgénérés par Eviews 5, nous utiliserons des modèles stochasti-

ques AR et MA pour effectuer une modélisation. Nous utili-

serons un modèle SARIMA, présentant donc une partie sai-

sonnière et une partie non saisonnière.

APPLICATION

Corrélogramme 1Corrélogramme de la série ITAL

Comme nous le voyons, la série initiale (ITAL) n’est pas sta-

tionnaire. En effet, il existe une saisonnalité, et il convient dela stationnariser. Nous allons donc générer une série ITAL12

(1-B12 )ITALt=ITALt-ITALt-12

Corrélogramme 2Corrélogramme de la série ITAL12

Comme nous le voyons, les coefficients tendent rapide-

ment vers 0. Il ne convient donc pas de différencier cette sé-

rie à l’ordre 1 ou à l’ordre 2. Nous remarquons la présence

de valeurs significatives dans le corrélogramme partiel en 1 et

2. Dans le corrélogramme nous constatons que les coeffi-

cients sont significatifs jusqu’en 6 et que la deuxième valeur

est supérieure à la première. La partie saisonnière sera for-

cément une structure en 12, car le douzième coefficient d’au-

tocorrélation partiel est significatif. On remarque cependant

qu’il existe quelques perturbation, car la série n’est pas un cas

parfait. Nous tentons donc de modéliser la série par un pre-

mier modèle AR(2) et SMA(12).

17

M É T H O D E D E B O X & J E N K I N S



Modélisation 1 AR(2) SMA(12) avec constante

Modélisation 2

AR(2) SMA(12) sans constante

La constante n’est pas significative, c’est

pourquoi nous l’enlevons de la modélisa-

tion.

On constate que les coefficients associés à

AR(1), AR(2) et SMA(12) sont significatifs,

car la probabilité associée au T-Stat est in-

férieure à 5%. Le coefficient de détermina-

tion (0,595) et le coefficient de détermina-

tion corrigé (0,590) semblent satisfaisants. Il

convient également de regarder les critères

d’Akaike et de Schwarz afin de le minimi-

ser. Cependant, dans notre cas, nous

n’avons qu’un seul modèle pertinent. On

peut juste remarquer que le fait d’enlever la

constante a réduit les deux critères.

Notre modèle s’écrira donc:

SARIMA(2,0,0).(0,1,1)12

Donc:

Avec Xt la série initiale. (ITAL)

Il faut maintenant vérifier que les erreurs ne

sont pas autocorrélées. (hypothèse d’ho-moscédasticité)

18




Corrélogramme 3Corrélogramme des résidus de l’estimation

Les perturbations doivent former un bruit

blanc. Les résidus de la série ne semblent pas

autocorrélés. C’est la meilleure estimation que

nous aillons obtenu. En effet, nous avons tenté

de faire disparaître certaines valeurs qui sem-

blaient à la limite du seuil de significativité,

mais sans succès. D’autre part, un modèle plus

“compliqué” génère plus de valeur significative

dans le corrélogramme des résidus qu’il n’en

élimine. Le seuil de significativité est ici fixé à

±0,149 pour une erreur de 5 %. (aucune valeur

n’est significative pour le corrélogramme, tan-

dis que pour le corrélogramme partiel, on re-

marque qu’en 16 et 22, les coefficients sortent

légèrement de l’intervalle) Nous décidons, mal-

gré ces deux valeurs posant problème de vali-

der le modèle. On notera aussi que les probabi-

lités associées au Q-Stat sont supérieures à0,05, et ce dès le quatrième coefficient d’auto-

corrélation. Q-Stat<Q-Théorique pour accep-

ter le risque. L’hypothèse jointe est que les n

coefficients d’autocorrélation consécutifs sont

égaux à 0.

TestTest de Normalité

La probabilité associée

au test de Jarque-Bera

est supérieure à 5%. Les

résidus suivent donc une

distribution normale. Il

n’y a pas de valeur abé-

rante. D’autre part, on

peut remarquer que le

Skewness est proche de

0, et le Kurtosis proche

de 3, c’est à dire les va-

leurs obtenues pour une

loi normale.

19




Graphique 7Graphe de l’estimation sur la période août 2003 à juillet 2005

Nous avons “enlevé” deux ans à

la série et avons effectué l’esti-

mation sur les deux années

manquantes. Ainsi, nous avons

considéré que la série s’arrêtait

en juillet 2003 et effectué les

prévisions jusqu’en juillet 2005

Tableau 1Comparaison de la série initiale et de l’estimation obtenue

La prévision semble relativement peu éloignée de la réalité. Nous déci-

dons de réintégrer les deux années que nous avons omis pour obtenir les

présents résultats afin d’obtenir des prévisions jusqu’en juillet 2007.

Les prévisions de la série ITAL, comprises dans ITALF commencent à

partir d’août 2003; Les valeurs précédentes (janvier 1990 à juillet 2003)

correspondent aux observations réelles.

20




Prévision par AR(2) et SMA(12)

Tableau 2Prévision pour la période août 2005 - juillet 2007

Nous obtenons les résultats suivant pour la période allant d’août 2005 à

juillet 2007. Les prévisions de la série ITAL, comprises dans ITALF2commencent à partir d’août 2005; Les valeurs précédentes (janvier 1990 à

juillet 2005) correspondent aux observations réelles.

Nous verrons ultérieurement que ces résultats semblent relativement pro-

ches des valeurs obtenues précédemment par la modélisation Holt-Win-

ters additive et le modèle saisonnier pessimiste.

Graphique 9Prévision pour la période août 2005 - juillet 2007

Nous obtenons le graphique suivant pour

une prévision s’étalant d’août 2005 à juillet

2007.

Nous remarquons que l’intervalle de con-

fiance ne croît pas beaucoup au cours dutemps. Nous allons comparer dans la partie

suivante les données obtenues avec les mo-

dèles Holt-Winters, Box-Jenkins et saison-

niers.

21




Comparaison des prévisionsGraphique 10Graphique des prévisions obtenues avec les quatre modèles

Nous avons donc créé un graphe avec les différentes méthodes de prévision.

Comparaison des méthodes

0

10

20

30

40

50

60

70

80

a o û - 0 5

s e p - 0 5

o c t - 0

5

n o v - 0 5

d é c - 0 5

j a n - 0 6

f é v - 0 6

m a r s - 0 6

a v r - 0

6

m a i

- 0 6

j u i n

- 0 6

j u i l -

0 6

a o û - 0 6

s e p - 0 6

o c t - 0

6

n o v - 0 6

d é c - 0 6

j a n - 0 7

f é v - 0 7

m a r s - 0 7

a v r - 0

7

m a i

- 0 7

j u i n

- 0 7

j u i l -

0 7

Saisonnier (cycle=0,013) Saisonnier (cycle=-2,262) Holt-Winters Box-Jenkins

Date

Saisonnier (cy-

cle=0,013)

Saisonnier (cy-

cle=-2,262) Holt-Winters Box-Jenkins

aoû-05 70,686 68,411 66,358 66,246

sep-05 46,802 44,527 44,449 43,886

oct-05 28,689 26,414 27,679 26,995

nov-05 17,767 15,492 16,103 15,909

déc-05 18,461 16,187 16,71 16,848

an-06 21,273 18,998 19,269 19,622

fév-06 24,633 22,359 22,403 23,108

mars-06 26,115 23,84 24,627 25,19

avr-06 30,351 28,077 26,821 27,884

mai-06 33,373 31,099 32,146 32,479

juin-06 46,889 44,615 46,306 46,706

juil-06 59,819 57,545 57,103 57,436

aoû-06 71,003 68,728 66,358 66,607

sep-06 47,119 44,844 44,449 44,149

oct-06 29,006 26,731 27,679 27,232

nov-06 18,084 15,809 16,103 16,099

déc-06 18,778 16,504 16,71 17,011

an-07 21,59 19,315 19,269 19,756

fév-07 24,95 22,676 22,403 23,221

mars-07 26,432 24,157 24,627 25,284

avr-07 30,668 28,394 26,821 27,963

mai-07 33,691 31,416 32,146 32,544

juin-07 47,207 44,932 46,306 46,76

juil-07 60,136 57,862 57,103 57,481

22

C O M P A R A I S O N

D E S

P R E V I S I O N S



Au final, il semble que le modèle saisonnier avec

un cycle de 0,013, c’est à dire la moyenne du cy-

cle, surestime le taux d’occupation. Il en est de

même pour le modèle calculé à partir d’un cycle

de -2,262, c’est à dire, le dernier cycle disponible,

même s’il semble plus proche des modélisation de

Holt-Winters et de Box & Jenkins. Le modèle

Holt-Winters semble relativement proche du mo-

dèle Box & Jenkins. Cependant, on peut noter une

légère surestimation de la part du modèle Box &

Jenkins par rapport au modèle Holt-Winters. Le

modèle Box & Jenkins étant un modèle théori-

quement plus élaboré, nous le retiendrons.

Les prévisions semble donc croître (faible-

ment), ce qui est normal étant donné l’attractivité

du pays. Cette hausse limitée est notamment dueà la concurrence toujours plus intense des destina-

tions touristiques extra-communautaires, facilitée

par les compagnies d’aviation low-cost.

23

C O M P A R A I S O N

D E S

P R E V I S I O N S

Series Tempo Rel Les Holt Winters Box Jenkins

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Transcript of Series Tempo Rel Les Holt Winters Box Jenkins