SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES · 2006. 8. 26. · - Métal-Isolant-Semiconducteur C: Techniques de...

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SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUESEmmanuel Rosencher

A: Masse effective- Relation de dispersion et vitesse de groupe- Dynamique des porteurs en structures de bandes- Le trou

B: Comment compter les électrons dans la matière condensée?- Statistique de Boltzmann- Statistique de Fermi-Dirac- Métal-Isolant-Semiconducteur

C: Techniques de pseudo-quantificationD: Densité d’état dans la matière condenséeE: Densité de porteurs et niveau de Fermi dans un semiconducteur 3DF: Régime intrinsèqueG: Hamiltonien de masse effectiveH: Puits quantiques et approximation de la fonction enveloppeI: Courbure de bande, accumulation, désertion

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( )kEcv

kr

Bande pleine Bande incomplète

Wolfgang Pauli

Remplissage des bandes: principe de Pauli

Question 1: Propriété des électrons suivant leur position dans la bande ?Question 2: Combien d’électrons dans les bandes à T non nulle ?

3/43

Qu’est ce qu’une relation de dispersion ?

En théorie ondulatoire, relation qui lit la fréquence ω et le vecteur d’onde k

Ex: la lumière dans un matériau ( )ωω nck=

dkd

gv ω=vitesse de groupe

vitesse de phase ( )ωω

ϕ nc

kv ==

En physique quantique, relation qui lit l’énergie E et le vecteur d’onde k

( ) ( ) ( ) ( )ext1t

ext2ext kkMkkEkkE2

−−+== −hrh

rω

Près d’un extremum, concept de masse effective:

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Vitesse de groupe électronique

( ) ( ) ( ) ( )( ) dkerukatr tkrkikn

ωψ −∫= ,,

Chaque états propres de l ’Hamitonien d’énergie à une dépendance temporelle: ( )rkn,ψ ( )kEn

( ) ( )( )tirki

knkn

knEeerutr h

−= ,, ,ψ

Un paquet d’ondes électroniques d’une bande n se déplaçant dans le cristal s’écrit

Près de k0: ( ) ( )0dkd

0 kkk −+= ωωω

0k

0ωh

( )ka

( ) ( ) ( ) ( )( )dkerukatr

tkktrkikn

0dkd

0 −−−∫=

ωωψ ,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dkerukaetr

trkikn

tki dkd

00dkd ωω ω

ψ−−

∫= ,,

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Vitesse de groupe électronique

( ) ( ) ( ) ( )dkerukatr

trkikn dk

dωψ

−∫= ,,Seule la norme nous intéresse:

En ne prenant des photos que tous les t tels que atdkd =ω

( ) ( ) ( ) dkerukatr rkikn

', ', ∫=ψ

Le paquet d’onde électronique se déplace sans se déformer avec une vitesse de groupe: dkd

gv ω=

Ev k1

gr

hr ∇=Généralisation:

0k

0ωhEv k

1g

rh

r ∇=

trr dkdω−='Référentiel en mouvement:

( ) ( ) ( ) dketrukatr rkidkd

kn'

, ', ωψ +∫=

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Ev k1

gr

hr ∇=

εr

a/πa/π−

Dynamique des électrons dans les bandes: oscillations de Bloch

dtvFdE grr

−=Dans le cristal:

Énergie prise au champ électrique:

Dans la bande kdvkdEdE gk

rrhr

r −=∇−=

kF dtd r

hr

=

( ) tktk q0 εh−=En absence de collisions:

Oscillations de Bloch hπε

2aq

Blochf =

mV10m10a 69 /; ≈≈ − ε

Hz10f 13chocs ≈<<Hz10f 11

Bloch ≈

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Dynamique des électrons dans les bandes: masse effective

Dynamique du paquet d’ondes électronique dans le cristal:

( ) [ ] kEE dtd

kk1

k1

dtd

dtgvd r

rrh

rh

r∇∇=∇=

kF dtd r

hr

=

Le paquet d’électron possède une dynamique Newtonienne avec un tenseur de masse effective

[ ]EM kk112

rrh

∇∇=−

[ ]FEkk1

dtvd

2g rrr

h

r∇∇=

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kr

+kr

−

kr

+kr

−maxk

( ) 0EE2kvq2J0k

k0k

kq

kg =

∑ ∇+∑ ∇=∑−=>

−>

rr

rr

hrrrr

Dégénérescence de Krammers

( ) 0E2kvq2Jkk

kq

kg ≠

∑ ∇=∑−=

>−

maxr

rhr

rrr

Une bande pleine ne conduit pas

Une bande incomplète conduit

Conductivité et structure de bande

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ek

manquantélectronavecbande

k EEE −=∑ r

Notion de trou

0kbande

=∑r

ekr

tkr

e

manquantélectronavecbande

kkrr

−=∑

EEbande

k =∑

10/43

Énergie des électrons

Électron manquant en ke Trou en kt = - ke

εedt

dke −=h εedtdkt +=h

Énergie des trous

( )kEe

Charge -e Charge + e

( )kEt−

( )eek1e

g kEv e∇=h

( ) egttk

1tg vkEv t =∇=

h

εevM egdt

de −= εevM t

gdtd

t +=

0Me < 0MM et >−=

∑ −−=occupék

ge

veJ ∑ +−=occupék

gt

veJ

Notion de trou

11/43

Notion de trou

-

-

-

Énergie des électrons

Électron manquant en ke Trou en kt = - ke

εedt

dke −=h εedtdkt +=h

( )kEe

Charge -e Charge + e

( )kEt−

( )eek1e

g kEv e∇=h

( ) egttk

1tg vkEv t =∇=

h

εevM egdt

de −= εevM t

gdtd

t +=

0Me < 0MM et >−=

∑ −−=occupék

ge

veJ ∑ +−=occupék

gt

veJ Énergie des trous

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électrons

trous

εr

e+

e−

gv

gv

eJ

tJ

tetotal JJJ +=

Électrons et trous

13/43

SEMICONDUCTEURS INTRINSEQUES




14/43

Comment compter les électrons dans des systèmes discernables?

TkE

12 e

NN

∆−=

TkE

e1

1tot1 NN ∆−

+

=TkE

e1

1tot2 NN ∆+

+

=

Ntot : nombre de centres introduits dans le volume

Que dire dans un système condensée de particules indiscernables ?L. Boltzmann

1890

1

2E∆

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Comment compter les électrons dans des systèmes indiscernables?

0T ≠

FE 0T =

( )EfF

FE

E

21

( )kT

FEEe1

1F Ef −

+

=

E. Fermi P.Dirac

Question: Combien d’états accessibles aux électrons entre E et E + dE

16/43





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Techniques de pseudo-quantification

Boite de potentiel infini

( ) ( ) ( ) ( )zksinyksinxksinz,y,x zyx∝Ψ

Potentiel infiniLa fonction d’onde s’annule

avec

Lx

maxmax,...,m0mavecmmk iiamiiLii === ππ

Condition aux limites périodique(Born-von Karman)

maxmaxiLii m,...,0,1...,,mmavecm2ki

−−== π

Lx

( ) ( )rLr rrr ΨΨ =+

=

z

y

x

LLL

Lavec

d’où

iimax a/Lm = où ia est la distance inter-atomique

18/43

( )kEcv

( )kEvv

kr

Structure de bande (rappels)

( )kEcv

( )kEvv

krL

2m π

Born-von Karman

Pseudo-quantificationde l’énergie

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Question 1: combien d’états peut-on mettre entre kdketkrrr

+

xk

xL2π

xdk

z2L

z

y2L

y

x2L

x

dkdN

dkdN

dkdN

z

y

x

π

π

π

=

=

=

338

Vzyx

3 kddNdNdNNdr

π==

( ) 38V

3kdN3dk

πρ === v

r

( )3

3

4V

kdNd2k

πρ =×== v

r

Dégénérescence de spinxL

2πyL

2π

Pour chaque , 2 spins kr

21/43

dk

xk

yk

Question 2: combien d’états peut-on mettre entre dkketk +

( ) dkk4kNddN 2

dkketkentre

3 πρr

=∫∫∫==+

dkkdkk4dN 2V24V

23 πππ ==

( ) dkdNk ==ρOr, par définition

( ) 2V kk2π

ρ =

22/43

Question 3: combien d’états peut-on mettre entre dEEetE +

On suppose la relation de dispersion ( )i

22

m2k

ii EkE h=−mi est la masse effective

valencedebandelapourvi

conductiondebandelapourci

=

=

( ) ( )dkkdEEdN ρρ ==Par définition de la densité d’états en énergie ( ) ( )dEdkkE ρρ =

( ) ( )im2V EEk2i

2−=

hπρ

i2i

EE1m2

21

dEdk

−=

h

( ) i2/3m2

2V EEE

2i

2−

=

hπρ

Reliquat de la pseudo-quantification

23/43

Densité d’états 3D par unité de volume dans GaAs

( ) c2/3m2

21

c EEE2c

2−

=

hπρ

( ) EEE v23m2

21

v 2v

2 −

=

/

hπρ

0c m067.0m =

0v m64.0m =

31 cmeVen −−

E E

E

k

ρ

ρ

31eV

20 cmeVE10141 −−.

31eV

21 cmeVE10363 −−.

24/43





25/43

Question 4: Quelle relation entre le niveau de Fermi et la densité de porteurs dans chaque bande?

Particules à l’équilibre en interaction entre elles existence d’un niveau de Fermi

( ) ( )dEEEfn F ρ∫=

Probabilité d’occupation

Nombre d’états accessibles

( ) kTFEE

kTFEE

eEf

e1

1F

−

−−

+

≈= kTEE Fc >>−si

( ) dEeEEn kTFEE

2c

c2

2/1c

2/3m2

E 21

−−∞−

∫=hπ

semiconducteur non dégénéré

E

FE

cE

( )EfF

ρ

26/43

2/π

kTFEcE

eNn c

−−

=

( ) 2/32/3m2

41

c kTN2c

=

hπ

cNcE

FE

Tout se passe comme si:

Nc : densité effective d’états dans la bande de conduction

( )( ) ( )

∫ −

=

∞ − −+−

0

2/1c

2/3m2

21 dEeEEn kT

FEcEcEE

2c

2 hπ

( ) ∫

=

∞ −− −

0

u2/12/32/3m2

21 dueuekTn kT

FEcE

2c

2 hπ

27/43

Dans la bande de valence…

E

FE

vE

( )Ef1 F−

probabilité de non occupationpar un électron-> occupation par un trou

Nombre d’états accessibles

( )( ) ( ) dEEEf1p vE

Fv

ρ∫ −=∞−

( ) kTFEE

kTFEE

kTFEE

e1Ef1

e1

1

e1

1F

−

−−−≈=−=−

++

( ) dEeEEp kTFEE

2cv

22/1

v2/3m2E

21

−−

∫=∞− hπ

kTFEvE

eNp v

−

=

( ) 2/32/3m2

41

v kTN2

v

=

hπ

Nv : densité effective d’états dans la bande de valence

semiconducteur non dégénéré

28/43

E

kv

cE

vE

FE

vN

cN

E

FE

( )EfF

E

( )EfF

( )Ef1 F−

29/43

Interprétation chimique

Cette équation est toujours vraie dès qu’il y a existence d’un niveau de Fermi c’est àdire tant qu’il y a équilibre thermique !!!

pnRGdt

pddt

nd ×−==Recombinaison 2 à 2Génération thermiquethermiquement activé

kT/ERG actepn −∝=

kTgE

eG−

∝

kT/Evc

geNNpn−

= vcg EEE −=avec le gap du matériau

kTFEcE

eNn c

−−= kT

FEvE

eNp v

−

=

R

cE

vE

30/43





31/43

kT2/Evci

geNNnpn−

===

Régime intrinsèque

Niveau de Fermi donné par : kTFEvE

kTFEcE

eNeN vc

−−

=−

c

vvc

N

N2

kT2

EEFi lnE += +

E

k

Le niveau de Fermi intrinsèque est quasiment au mi-gap !

cE

vE

FiE

Si pas d’impuretés: inpn ≡=

32/43

1.1 1018

4.0 1017

3.1 1019

2.5 1018

ρc

Electr.

Densité effective d’états(cm -3)

≈ 10-8

2.1 106

1.1 1010

6.1 1012

ni

Concentration intrinsèque (cm -3)

300 K

4. 1019

9.3 1018

1.7 1019

1.8 1018

ρv

trou

3 1061.40.131.30.190.133.2GaN

2.4 10130.530.0670.490.0740.0671.42GaAs

3. 10150.811.180.490.160.190.981.12Si

3.4 10160.180.220.280.0440.0821.640.67Ge

nimdtmdemhhmlhm transm longEg

trouElectr.trous mtelectron me

Concentration intrinsèque (cm -3)

600 K

masses effectives de

densité d'états

masses effectives de conduction

Gap (eV)

PARAMETRES DE QUELQUES SEMICONDUCTEURS

Ge pur conduit à 300 K GaN pur isolant à 600 K

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34/43

HAMILTONIEN DE MASSE EFFECTIVE (1)

Énergies des états propres de l’équation de Schrödinger du semiconducteur:

( )rVH atm2p

00

2ˆˆ ˆ rr

+=

Hamiltonien décrivant l’interaction entre le cristal et l’éléctron:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rkErrVrH knnknat0m2

2pkn0

rrrrr rrr

r,,

ˆ,

ˆˆ Ψ=Ψ

+=Ψ

pour la bande de conduction

pour la bande de valence (mv <0)

( )c

22

m2k

cEkE h+=

( )vm22k2

vEkE h+=

35/43

HAMILTONIEN DE MASSE EFFECTIVE (2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rkErrVrH knnknat0m2

2pkn0

rrrrr rrr

r,,

ˆ,

ˆˆ Ψ=Ψ

+=Ψ

( ) ( ) ( )rErrH knnm22k2

nknnm2

2pkn0

rrr rhrr

r,,

ˆ,

~~~~ Ψ

+=Ψ

=Ψ

L’Hamiltonien de masse effective consiste à approximer dans chaque bandel’Hamitonien du cristal par l’Hamiltonien de l’électron libre avec la masseeffective correspondante:

n

2

m2p

0Hˆ~ r

=cmm=

vmm=

pour la bande de conduction

pour la bande de valence

Toute l’interaction entre l’électron et le cristal est résumé dans mn

( ) rkikn er

rrr ∝Ψ ,

~

Fonction enveloppe

( ) ( ) ( )rrur knknknrrr rrr

,,,~Ψ=Ψ

36/43





39/43

AlGaAs AlGaAsGaAs

Niveau du vide

Affinité chimique de AlGaAsAffinité chimique de GaAs( )zVc

( )zVv

40/43

HAMILTONIENS DE MASSE EFFECTIVE

( ) ( ) r.kik,ck,c eruk,cr

rrrr rrr ==Ψ( )

c

22

m2k

cc EkE h=−

Bande de conductionc

2

m2p

cH ˆ~ =

( ) ( ) r.kik,hhk,hh eruk,hhr

rrrr rrr ==Ψ( )

hh

22

m2k

hhv kEE h=−

Bande de trous lourdshh

2

m2p

hhH ˆ~ = ( )0mhh <

( ) ( ) r.kik,lhk,lh eruk,lhr

rrrr rrr ==Ψ( )

lh

22

m2k

lhv kEE h=−

Bande de trous légerslh

2

m2p

lhH ˆ~ = ( )0mlh <

k

cE

cm

hhm

lhm

41/43

Mouvement parallèleMouvement perpendiculaire

HETEROSTRUCTURE

( ) ( )zVrV'H cristm2p

0

2++= r

On superpose un potentiel chimique V(z) à la structure de bande:

( ) ( ) ( ) ( )rErrzV rcm22

c2dz

2dcm2

2Ψ=Ψ∇−Ψ

+− ~~~

//hh

( ) ( ) ( ) ( )rErrzV rmhh22

v2dz

2dhhm22

Ψ=Ψ∇−Ψ

+− ~~~

//hh

( ) ( ) ( ) //.//,,,

rkinkcknc ezerur

rrrr rr =Ψ

( ) ( ) ( ) //.//,,,

rkinkhhknhh ezhhrur

rrrr rr =Ψ

( ) ( ) ( )zeezezV nnnc2dz

2dcm2

2=

+− havec

Fonctions enveloppes

( ) ( ) ( )zhhhhzhhzV nnnv2dz

2dhhm22

=

+− h

avec

Fonctions enveloppes

( )zVHeff

2

m2p

eff += ˆ'ˆ

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FONCTION ENVELOPPE ET SOUS-BANDES

( ) ( ) ( ) //// r.kink,ck,n,c ezerur

rrrr rr =Ψ

Potentielcristallin

Potentielconfinant

Mouvement libreparallèle

( )c

2//

2

m2k

ncn eEkEhv

++=

( ) ( ) ( ) //// r.kink,hhk,n,hh ezhhrur

rrrr rr =Ψ

Potentielcristallin

Potentielconfinant

Mouvement libreparallèle

( )hh

2//

2

m2k

nvn hhEkHHhv

+−=

//// rike

( )zen

//k

2e

1e

sousbandes

43/43

E

k

1e2e

3e

1hh

2hh

E

E

ρ

ρ

2c /m hπ

2hh /m hπ

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