Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de...

52
Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden constraints van staafconstructies Citation for published version (APA): Borst, R. J. P. (1993). Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden constraints van staafconstructies. (DCT rapporten; Vol. 1993.126). Technische Universiteit Eindhoven. Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1993 Document Version: Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: • A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. • The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. • The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal. If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement: www.tue.nl/taverne Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us at: [email protected] providing details and we will investigate your claim. Download date: 26. Aug. 2021

Transcript of Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de...

Page 1: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaardenconstraints van staafconstructiesCitation for published version (APA):Borst, R. J. P. (1993). Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden constraints vanstaafconstructies. (DCT rapporten; Vol. 1993.126). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1993

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:[email protected] details and we will investigate your claim.

Download date: 26. Aug. 2021

Page 2: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Semi-analyt ische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden const raint s van staafconstruct ies.

R.J.P. BORST

St ageverslag WFW Rapportnr. : 93 ~ 126

Begeleiders : Dr. Ir. A.J.G. Schoofs Ir. L.F.P. Etman

September 1993 Vakgroep Fundementele Werktuigkunde Faculteit Werktuigbouwkunde. Technische Universiteit Eindhoven.

Page 3: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Samenvatting

Dit verslag handelt over de implementatie van de semi-analytische werkwijze om afgeleiden van constraints te berekenen bij het optimaliseren van staafconstructies. Er wordt hierbij ge- bruik gemaakt van een eindige elementen methode pakket in MATLAB wat geschreven is door Piet Schreurs. Het verslag begint met een inleiding in hoofdstuk 1. Daarna wordt de theorie van de eindige elementen methode met het samenstellen van de stijfheids- en massamatrix be- handeld in hoofdstuk 2. Hoofdstuk 3 handelt over de theorie van de gevoeligheidsanalyse (het bepalen van de afgeleiden van de massamatrix, stijfheidsmatrix en de verplaatsingen naar de vrijheidsgraden.) en vergelijkt de semi-analytische werkwijze met de eindige differentie methode. In hoofdstuk 4 wordt een stukje theorie behandeld van herhaald benaderend opti- maliseren en wordt een optimalisatie van een '10 barr truss) systeem uitgevoerd. Hoofdstuk 5 bevat de conclusies en aanbevelingen.

Page 4: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Inhoudsopgave

1 INLEIDING 5

2 THEORIE EINDIGE ELEMENTEN METHODE 7 2.1 Samenstellen stijfheidsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Lokale . en globale basis en de transformatiematrix 2 . . . . . . . . . 8 2.1.2 De elementstijfheidsmatrix in locale coördinaten . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Element stijfheidsmatrix in globale coördinaten . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4 De totale stijfheidsmatrix in globale coördinaten . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Samenstellen massamatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Element massamatrix in locale coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Element massamatrix in globale coördinaten . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 De totale massamatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 THEORIE GEVOELIGHEIDSANALYSE 3.1 Eindige differentie methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Semi-analytische werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1

3.2.1

3.2.2 3.2.3

Vergelijken Eindige differentie afgeleiden met de exact bepaalde waarde

De semi analytische afgeleiden van de verplaatsingen en daaruit vol-

Vergelijking Semi analytische afgeleiden met de exact berekende waarde Semi analytisch bepaling van Eigenwaarden en afgeleiden daarvan

gende eindige differentie afgeleiden van de spanningen . . . . . . . . .

. . 3.3 Vergelijken eindige differentie en semi-analytische methode . . . . . . . . . . .

13 13 14 16

16 16 18 19

4 INVLOED VAN EIGENWAARDE CONSTRAINTS BIJ OPTIMALISE- RING 20 4.1 Benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Movelimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Nauwkeurigheidsmaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.5 Evalueren optimalisatieprogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

23

5 CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN 28

A CONVERGENTIEVERLOOP 30

B GRAFIEKEN BIJ DE 10 BAR TRUSS 32

2

Page 5: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C PROGRAMMA’S 34 C.1 DK-DX.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 C.2 DMDX.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 C.3 DUDX.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 C.4 MAAKALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 C.5 XSTL2.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 C.6 INVûYG6.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 c.7 0BJLOBÂR.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 C.8 CONlOBR2.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 C.9 TENBAR6.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

Page 6: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Lijst van figuren

3.1

3.2

De procentuele afwijking van de eindige differentie afgeleiden ten opzichte van

De procentuele afwijking van de semi-analytische afgeleiden ten opzichte van de exacte waarde bij een 3 bar truss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

de exacte waarde bij een 3 bar truss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Vergelijken rekentijd systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 De Pre-1974 situatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 De Post-1974 situatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 De doelfunctiewaarde per cyclus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 De maximale normwaarde per cyclus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

B. l De eindige differentie afgeleide van verplaatsingen bij een 10 bar truss . . . . 32 B.2 De semi-analytische afgeleide van de verplaatsingen bij een 10 bar truss . . . 33

4

Page 7: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

INLEIDING

Bij het ontwerp van werktuigbouwkundige constructies wordt in toenemende mate gebruik gemaakt van eindige elementen analyse pakketten. Meestal wil men niet alleen de constructie doorrekenen maar ook tot een verbetering van het ontwerp komen. Hiertoe dient het EEM- pakket gekoppeld te worden aan een optimaliseringsalgoritme. In de praktijk lijkt een directe koppeling niet goed te voldoen en wordt vaak een geschikt benaderingsconcept geïntroduceerd dat als interface dient tussen het EEM-programma er, het optlmaliseringsalgoritme.

Het principe berust op het berekenen van een of meerdere eindige elementen analyses. Uit de berekende waarden worden benaderingensmodellen gegenereerd voor de doelfunctie en constraints in een bepaald gedeelte van de ontwerpruimte. Vervolgens wordt binnen dit deelgebied het optimale ontwerppunt voor de benaderde probleemformulering bepaald. Indien nodig kan dit proces enkele keren worden herhaald.

Er zijn drie groepen benaderingsconcepten te onderscheiden te weten

o globale benadering,

o mid-range benadering,

o lokale benadering,

welke hier onder behandeld zullen worden. De globale benadering van doelfunctie en constraints is geldig in (bijna) heel het ontwerp-

gebied. Om van globale benaderingsmodellen gebruik te maken, wordt vaak gebruik gemaakt van response-surface technieken[6] , welke oorspronkelijk ontwikkeld zijn voor het modelleren en ñtten van fysische experimenten. Om deze methode te gebruiken moet een aantal stappen worden doorlopen. Ten eerste wordt een keuze gemaakt voor het benaderingsmodelfunctie, bijvoorbeeld een tweede orde polynoom. Vervolgens wordt een proefopzet' opgesteld waarin staat aangegeven waar de experimenteerpunten2 voor de ontwerpvariabelen in de ontwerp- ruimte moeten worden uitgevoerd. Vele standaard 'designs' zijn beschikbaar in de vorm van bijvoorbeeld een volledig of gedeeltelijk factorïële proefopzet. Nadat de proefopzet is vastge- legd en de experimenten zijn uitgevoerd, dienen de parameters in het gekozen model geschat te worden uit de gevonden meetresultaten. Veelal wordt hierbij de regressie theorie gebruikt. Een belangrijk nadeel van deze methode is dat het aantal eindige elementen analyses bijna

~

'Engels: Experimental Design me t experimenten worden hier computerexp eriment en bedoeld

Page 8: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

exponentieel toeneemt voor een toenemend aantal ontwerpvariabelen. Met behulp van deze benadering wordt een optimum gezocht.

De lokale benadering van doelfunctie en constraints is gebaseerd op de functiewaarde en de partiële afgeleiden naar de ontwerpvariabelen in één punt in de ontwerpruimte. Om- dat deze benaderingen slechts geldig zijn in de buurt van dat punt zijn extra constraints noodzakelijk. Deze constraints worden movelimits genoemd. Binnen het geldigheidsgebied, aangegeven door de moveiimit, wordt gezocht naar een optimum voor het benaderende ûp- t~maLiser~ngsprob~ee~~ Rondom het gevonden optimale ontwerppiint wûïdt -veïvo!gem een nieuw benaderend probleem geformuleerd. Dit proces van benaderen en optimaliseren wordt gedurende een aantal cycli herhaald totdat convergentie optreedt. Het wordt dan ook wel aangeduid met herhaald benaderend optimaliseren3. De meest eenvoudige lokale benadering is de lineaire Taylor reeks benadering. De lineaire benadering van een functie g(x) rondom een punt xo wordt gegeven door

Soms worden ook kwadratische termen in de Taylorreeks meegenomen maar die zijn normaal gesproken te duur om te berekenen.

De mid-range benadering is een uitgebreid lokale benadering. Dit komt er op neer dat er voor meerdere punten een eindige elementensom gemaakt wordt en dat die worden ge- combineerd in een benadering. Hiermee wordt geoptimaliseerd, en indien nodig, opnieuw de benadering bepaald en weer geoptimaliseerd.

In dit verslag wordt uitgegaan van een lokaal benaderingsconcept. Dit omdat er op die manier een goede en goedkope benadering verkregen kan worden, op basis van de functie- waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2 methoden, te weten de eindige differentie methode en de semi analytische methode. De eindige differentie methode heeft voor iedere op timalisatiecy- clus n+l eindige elementensommen nodig om alle afgeleiden te bepalen. De semi analytische werkwijze heeft daarentegen maar 1 eindige elementensom en wat extra rekenwerk nodig. Dit maakt dat, zeker voor toenemende n, de rekentijden onaanvaardbaar groot worden. In dit verslag wordt dan ook uitgegaan van de semi analytische werkwijze.

Piet Schreurs heeft een eindige elementen methode programma geschreven in MATLAB . In eerste instantie wordt daarbij uitgegaan van staafelementen die samen een vakwerkcon- structie vormen. Deze constructies worden ook relatief veel gebruikt als testproblemen voor benaderingsconcept en.

In deze stage is het eindige elementen programma van Piet Scheurs uitgebreid, zodanig dat de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen op de semi-analytische manier bepaald kunnen worden. Tevens is er de massamatrix geïntroduceerd voor een staafelement, zodanig dat ook eigenfrequenties van staafconstructies berekend kunnen worden.

3Engels: sequential approximate optimization [8]

6

Page 9: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Hoofdstuk 2

THEORIE EINDIGE ELEMENTEN METHQDE

De eindige elementen methode is een manier om een moeilijk te berekenen groot systeem te benaderen door een eindig aantal'

Deze 'simpele' elementen worden eindige elementen genoemd. Ze worden beschreven door knooppunten, waarbij geldt hoe meer knooppunten, hoe geavanceerder het element , hoe meer rekentijd er voor nodig is. Een goed eindig element kenmerkt zich door het convergent zijn. Dit wil zeggen dat als het element kleiner gekozen wordt hij ook steeds meer naar de echte oplossing toegaat en er niet doorheen schiet. In dit verslag worden de, te berekenen, systemen als lineair benaderd, ofwel er wordt gebruik gemaakt van de volgende relaties:

simpel te berekenen, elementen.

F; = A; =

met I- 0; =

I u =

kolom met krachten

stijfheidsmatrix kolom met verplaat singen (2.1)

krachten op de staaf j

oppervlakte van staaf i spanning in staaf i [i. .aant al staven]

S tijfheidsmatrix Massamatrix eigenwaar de kolom met de richting van de eigentrilling

De werkwijze voor deze systemen staat beschreven in de syllabus bij het vak 'Discrete Mechanische Systemen'[3] en houd in dat volgende stappen uitgevoerd worden :

1. Evenwichtsvergelijkingen voor alle knooppunten opstellen.

2. constitutieve vergelijkingen voor alle elementen bepalen.

3. totale stijfheidsmatrix samenstellen.

'Het eindige elementen systeem is te vergelijken met het benaderen van een cirkel door kleine blokjes, hoe kleiner de blokjes , hoe nauwkeuriger de cirkel benaderd wordt.

7

Page 10: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

4. stijf'heidsmatrix uitschrijven in knooppuntskrachten en -verplaatsingen.

5. kinetische en dynamische randvoorwaarden verwerken.

6. systeem oplossen.

2,1 Sam-enstellen stijfheidsmatrix K 2.1.1 Lokale - en globale basis en de transforïìîatiemâtrix T. Voor het samenstellen van de systeemmatrices is het nodig dat er eerst enkele afspraken gemaakt worden. We definiëren als eerste een lokale basis, deze is gekoppeld aan het element.

Verder definiëren we de globale basis als volgt v2

1

We kunnen de lokale coördinaten als volgt uitdrukken in de globale coördinaten:

u = u'cosa+vosina (2-4) v = u' cos a - u' sin a

In matrixvorm: cosa sina ] ( ;: ) ( ;) = [ -s ina cosa

Voor een element met twee knooppunten wordt dit :

Het is nu mogelijk om een systeem dat in lokale coördinaten staat in globale coördinaten uit te drukken door middel van een vermenigvuldiging met een transformatiematrix. Om van de globale coördinaten naar de lokale coördinaten te komen vermenigvuldigen we met de inverse van de transformatiematrix 2. De inverse van de matrix T. blijkt gelijk te zijn aan z'n get ransponeer de, oft ewe1

8

Page 11: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

2.1.2

We stellen de staven voor als veren. De stijfheid van een veer is als volg gedefinieerd:

De elementstijfheidsmatrix in locale coördinaten

Waarbij F de kracht is die op de veer werkt en u de verplaatsing is die door de kracht veroorzaakt word. We nemen aan dat er een lineair verband bestaat tussen de kracht en de uitrekking en wel : F = Icu. Waarbij de k afhankelijk is van de elasticiteits-modulus', het oppervlak en de lengte van de staaf. Hierbij hebben de E-modulus en het oppervlak een lineaire invloed terwijl de lengte een reciproque invloed heeft. De factor Ic kunnen we schrijven als : Ic = y. Als we nu niet een kant van de staaf inklemmen, maar ook een verplaatsing opleggen dan krijgen we het volgende systeem :

Hiervoor geldt :

Bij het systeem maken we de volgende tekenafspraken. v; 7%

Het verband tussen de krachten en de verplaatsingen wordt dan :To = E u e o . Uitgeschreven :

2.1.3

We weten het volgende :

Element stijfheidsmatrix in globale coördinaten

F e = Et': (2.10)

'ook wel Young's modulus genaamd

9

Page 12: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

(2.11)

(2.12)

Als we nu gebruik maken van (2.10) en (2.11) om (2.12) levert :

E, = T K S T ~ U , (2.13)

Oftewel Ke = TKBTT De uit geschreven elements t ij fheidsmat rix wordt dan :

cos2 Q sin a cos a - cos2 a - sin a cos (I!

sin - a cos2 cos Q Q - sin a sin2 cos a a - sin a cos2 cos a a sin a -sina cos (I! J [ u ) ( 2 . 1 4 )

- sin Q cos Q - sin (Y sin Q cos a sin2 (I!

2.1.4

Aangezien de meeste constructies bestaan uit meerdere elementen, is de element stijfheids- matrix niet voldoende om het hele systeem door te rekenen, ook de elementsverplaatsingen voldoen niet meer. We drukken hiertoe de elementverplaatsingeii uit in de knocppuntsver- plaatsingen re = A e ~ met r de knooppuntsverplaatsingen en re de elementverplaatsingen in globale coördinaten. De totale stijfheidsmatrix stellen we nu samen door :

De totale stijfheidsrnatrix in globale coördinaten

nel

- K = A:K,A, e=l

(2.15)

10

Page 13: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

2.2 Samenstellen massamatrix M Voor het samenstellen van M kan er gekozen worden voor de gelumpte3 benadering of voor het benaderen door middel van een vormfunctie. De gelumpte benadering betekent dat er in ieder knooppunt de helft van de staafmassa ligt. De benadering met gelumpte massamatrix is bruikbaar als er sprake is van een systeem van lichte massa’s die enkele grote geconcentreerde massa’s ondersteunen.

2.2.1 Element massamatrix in locale coördinaten

Er wordt hier gekozen voor de benadering met behulp van een vormfunctie, en wel voor een lineaire interpolatiefunctie. Met de volgende tekenafspraken.

Uit het principe van virtuele arbeid (zie ook [5] blz. 227-231) volgt:

.Mo = p NTNdV (2.17)

Als we dit omschrijven naar in de dimensieloze coördinaat E en de grenzen invullen dan krijgen

- s V

We: 1 2 0 1 0

= pAJ, NTNd( = - (2.18)

Dit is de element massamatrix in locale coördinaten

2.2.2 Element massamatrix in globale coördinaten

Om de massamatrix van lokale in globale coördinaten te krijgen hebben we, de eerder be- paalde, transformatiematrix nodig. De massamatrix in globale coördinaten verkrijgen we door

(2.19)

31umping=brokkelen, klonteren

11

Page 14: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

2.2.3 De totale massamatrix

De totale massamatrix wordt op een zelfde manier als de totale stijfheidsmatrix samengesteld, zie paragraaf 2.1.4. Gebruik wordt gemaakt van de transformatiematrix A Hiermee wordt de massamatrix, die in element coördinaten uitgedrukt is, omgezet naar een matrix welke uitgedrukt is in knooppuntscoördinaten. Die totale massamatrix stellen we nu samen door :

nel (2.20)

12

Page 15: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Hoofdstuk 3

THEORIE GEVOELIGHEIDSANALYSE

Om te kunnen optimaliseren is het nodig te weten hoe de doelfunctie verandert als één van de ontwerpvariabelen verandert. Hiervoor moeten de afgeleiden van de doelfunctie naar de ontwerpvariabelen bekend zijn. Als er sprake is van constraints, dan zullen ook de afgeleiden van de constraints naar de ontwerpvariabelen nodig zijn. Voorbeelden van constraints zijr, :

o spanningen, welke onder een zekere kritische waarde moeten blijven

o verplaatsingen, moeten in bepaalde knooppunten binnen zekere grenzen blijven

o eigenwaarden, deze mogen niet in een bepaald frequentiegebied liggen

De afgeleiden van de constraints zijn meestal niet analytisch te bepalen, maar moeten numeriek benaderd worden. Die benadering kunnen we op verschillende manieren verkrijgen, te weten via de :

o eindige differentie methode,

o semi- analy tische werkwijze,

welke hieronder behandeld zullen worden.

3.1 Eindige differentie methode

Bij de eindige differentie methode wordt eerst voor de huidige constructie een eindige ele- mentensom gemaakt. Dan wordt er een ontwerpvariabele gevariëerd en wordt er opnieuw een eindige elementensom gemaakt. Dit wordt gedaan voor elke ontwerpvariabele, terwijl de rest van de ontwerpvariabelen de waarde heeft van de oorspronkelijke constructie. Uit de waarden die verkregen zijn met de eindige elementensom van de oorspronkelijke constructie en de waarden verkregen na het berekenen van de gevariëerde constructie wordt het verschil bepaald en dat wordt gedeeld door de stap die gemaakt is in de ontwerpvariabele. Op die manier worden de afgeleiden van de constraints en doelfunctie verkregen.

Als de doelfunctie analytisch bekend is, dan is de afgeleide daarvan meestal eenvoudig te bepalen. Voorbeeld voor zo'n doelfunctie is het gewicht bij een staafconstructie.

13

Page 16: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Als differentie schema wordt gebruik gemaakt van het zogenaamde voorwaartse differentie schema $ N

Om de afgeleiden van de constraints naar de vrijheidsgraden te bepalen, wordt een van de vrijheidsgraden, ceterus paribus2, gevarieerd. Opnieuw worden door een eindige elemen- tensom de constraints bepaald. De afgeleiden van de constraints verkrijg je door het verschil te nemen van de waarden van de constraints die verkregen zijn door het variëren van een van de vrijheidsgraden en daar de oorspronkelijke constraintwaarden van af ie trekken, en dat te delen door de stap die genomen is in die vrijheidsgraad.

Als we de spanningen in de staven kiezen als constraints en daar de afgeleide van willen bepalen, krijgen we :

a a(b+Sb -a b ( dit omdat dit verreweg het goedkoopste' differentieschema is.

Bij de eindige differentie methode moet nu voor elke vrijheidsgraad die gevarieerd moet worden een eindige elementen methode som gemaakt worden om de afgeleiden van de spanning naar de ontwerpvariabelen te berekenen. Het berekenen van de afgeleiden van de eigenwaarden gaat volgens dezelfde systematiek.

3.1.1

Als voorbeeld kiezen we voor de 3 bar truss. Bij de 3 bar truss zijn de oppervlakken zo gekozen dat het analytische rekenwerk simpeler werd. Er is een kracht aangebracht op het onderste knooppunt van 100 N naar beneden en 50 Newton naar rechts.

Vergelijken Eindige differentie afgeleiden met de exact bepaalde waarde

( 11 = 13 = iûû1/Smm 12 = 100mm

El Al = 2mm2

A3 = 4mm2

= E2 =2.1*10 5 N mm2

F1 = 100N I F2 = 50N

De figuur 3.1 geeft het procentuele verschil weer tussen de, via de eindige differentie methode bepaalde, afgeleiden van de verplaatsingen en de analytisch bepaalde waarde.

Duidelijk is te zien dat er sprake is van het zogenaamde 'badkuipmodel'([S], blz 256). Het badkuipmodel wordt gekenmerkt door een grote afwijking bij een kleine stapgrootte3, een kleine afwijking in het middengebied, en een grote afwijking bij een grote stapgrootte4. De afwijking in het gebied met de kleine stap komt door ~ijferverlies~. De afwijking bij grote stappen wordt veroorzaakt doordat het oppervlak met een bepaalde factor vergroot is, en de door de kracht opgelegde verplaatsing klein is. Als we nu delen door de factor

het centrale differentieschema heeft bijvoorbeeld twee keer zoveel analyses nodig om de afgeleiden te bepalen

2ceterus paribus=één verandering terwijl de rest gelijk wordt gehouden 300k wel 'condition error' genaamd 4 ~ 0 k wel 'truncation error' genaamd 5Cijferverlies ontstaat als je twee getallen die ongeveer even groot zijn van elkaar aftrekt. Als je dit ontstane

getal nu deelt door een klein getal ( < 1 ),bijvoorbeeld de stap die je maakt in de ontwerpvariabelen, dan kun je afwijkingen krijgen van meer dan i00 %

14

Page 17: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Afwijiang van analytisch bepaalde afgeleiden

12

Variatie in oppervlakte

Figuur 3.1: De procentuele afwijking van de eindige differentie afgeleiden ten opzichte van de exacte waarde bij een 3 bar truss

vermenigvuldigd met het oorspronkelijke oppervlak6 dan wordt er dus gedeeld door een groot getal. De veranderingen worden dus naar nul toegedrukt. Dit is een zuiver numeriek probleem. Dit is te zien in de grafiek, doordat de grafiek voor grote variaties naar -1 toegaat. De invloed van de gevariëerde is vrijwel nul, dus als er dan van de gevariëerde waarde de oorspronkelijke waarde afgetrokken wordt en er vervolgens gedeeld wordt door de oorspronkelijke waarde, dan wordt de waarde -1 verkregen. Dit komt overeen met een afwijking van 100 %

Het gevolg daarvan is dat de lineaire benadering maar in een klein gebied geldig is. Gevolg van deze effecten is dat, als er van de eindige differentie methode gebruik gemaakt wordt, er op gelet moet worden dat de variatiestapgrootte niet in een van die twee gebieden valt, maar in het middengebied. De berekening van de afgeleide van de verplaatsingen kost 2427 flops.

15

Page 18: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

3.2 Semi-analytische werkwijze

Een andere methode is de semi-analytische. Deze methode maakt gebruik van de kennis die er van het systeem is. Dit zit in de benadering die er gekozen wordt. Gevolg is dat er op een lager niveau benaderd kan gaan worden. Gekozen wordt hier voor spanningen in de staven als constraints.

3.2-1 De semi analytische a€g)eieiden van de verplaatsinger; en daaruit vol- gende eindige differentie afgeleiden van de spanningen

Deze methode gaat uit van de vergelijkingen[8] :

6' - - a - A;

met i = l...aantal knooppunten

en

jj' = vector met knooppuntskrachten g = vector met verplaatsingen i - K = stijfheidsmatrix

jj'=Kg

Differentikn van (3.3) Izaar de ontwerpvariabele 2; levert :

Er wordt van uitgegaan dat de krachten niet afhankelijk zijn van de ontwerpvariabelen, dus

d X i A- aF - g. Formule (3.4) wordt dan:

d U 1 d K 2; xi dK

2;

= -K- a-9 waarbij K-1 reeds bepaald is bij oplossen van (3.3) (3.5)

Waarbij a- berekend wordt op de eindige differentie manier, dus :

Dit kan exact voor staafconstructies omdat de stijfheidsmatrix lineair afhankelijk is van de oppervlakken van de staven. Met (3.5) kunnen de nieuwe verplaatsingen berekend worden en wel door :

Gebruik makend van (3.3) en (3.2) kunnen we de gevariëerde spanningen berekenen. De afgeleiden van de spanningen berekenen we weer op de eindige differentie manier.

3.2.2

Figuur 3.2 laat cijferverlies zien bij kleine waarden van de variatiestap. Bij waarden groter dan 10-l' wordt de afgeleide, bij staafconstructies, vrijwel exact bepaald. De berekende waarde is dan essentieel groter dan de afrondfout die er gemaakt wordt.

Vergelijking Semi analytische afgeleiden met de exact berekende waarde

De berekening van de semi-analytische afgeleiden kostte 1410 Flops.

16

Page 19: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

2

Variatie in oppervlakte

Figuur 3.2: De procentuele afwijking van de semi-analytische afgeleiden exacte waarde bij een 3 bar truss

ten opzichte van de

17

Page 20: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

3.2.3 Semi analytisch bepaling van Eigenwaarden en afgeleiden daarvan

Om de eigenwaarden en de afgeleiden te bepalen zijn de massamatrix en z'n afgeleiden nodig. Het eigenwaardenprobleem is van de vorm

We normeren de eigenwaarde ~p de MassCrnat& e: wel uadmig dat

u T g u = 1 (3.9)

Als we deze beide vergelijkingen differentiëren naar x dan krijgen we :

au ap ( K - p M ) L ax - -Mu ax-- = - (2 - +) 9 (3.10)

(3.11)

Als we nu (3.10) voorvermenigvuldigen met gT en gebruik maken van (3.8)' k rijgen ' - we :

(3.12)

De afgeleiden van de Massamatrix worden bepaald via de eindige differentie methode. Omdat de massamatrix lineair afhankelijk is van de oppervlakken kunnen we deze, voor staafconstructies, exact bepalen.

18

Page 21: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

3.3 Vergelijken eindige differentie en semi-analytische me- thode

Als vergelijkingssysteem wordt er gebruik gemaakt het volgende 10 bar truss systeem. De 10 bar truss wordt belast met twee krachten die op de onderste twee vrije knooppunten werken. Die kracht heeft de richting van de negatieve y-as en is 100 N groot. Getekend zie het er als volgt uit :

100 mm 100 mm

= 2.1 * 105& A; = 2mm2

2

F1 = 100N F2 = 100N

100 mm

j = 1, ..6 i = 1,3, .., 6

t t

De 10 bar truss is niet analytisch uitgerekend. De uitkomsten van beide berekenwijzen zijn met elkaar vergeleken. In bijlage B zijn de figuren van deze rekenwijzen te zien Bij dit systeem waren de karakteristieke vormen van de rekenwijzen duidelijk herkenbaar in de figuren. Ook kwamen, in de band, de waarden met elkaar overeen. De benodigde hoeveelheid flops waren voor de eindige differentie en de semi analytische werkwijze respectievelijk 31550 en 20920. Dit staat ook weergegeven in figuur 3.3.

Benodigde rekentijd x duizend flops

7 ................................ 35

30

25

20

15

10

5

...............................

..........................

.........................

.........................

.........................

OSemi-analytisch 1 indige differentie HE. .

/ /

2 bar 111166 3 bar tNSS 10 bartruss

Constructie

Figuur 3.3: Vergelijken rekentijd systemen

De besparing in rekentijd is zo’n 30 a 40 % als er van de semi-analytische werkwijze gebruik gemaakt wordt. Dit is niet in overeenstemming met de theorie die aangeeft dat de besparing zo’n 70 a 80% moet zijn.

19

Page 22: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Hoofdstuk 4

I

INVLOED VAN EIGENWAARDE CONSTRAINTS BIJ OPTIMALISERING

Er wordt gebruik gemaakt van het concept van herhaald benaderend optimaliseren. Dit komt er kort op neer dat er voor de constraints en de doelfunctie een benadering genereerd wordt waarmee geoptimaliseerd kan worden. Deze manier van werken bestaan pas sinds 1974 [9] en is geïntroduceerd door Smith en Farshi [i]. Voordien werd er geoptimaliseerd door middel van een directe koppeling tussen het optimalisatie- en het eindige elementen programma.

Optimalisatie programma

Eindige Element enmethode programma

Figuur 4.1: De Pre-1974 situatie

Dit is niet erg handig omdat de optimaliseringroutine de doelfunctie- en de constraintwaar- den nogal vaak kan berekenen. En om dan iedere keer een eindige elementensom te moeten maken kost veel tijd. Daarvoor zijn de benaderingsconcepten ontwikkeld. De benaderingscon- cepten proberen een snelle functiewaarde-evaluatie te kombineren met een kwalitatief goede benadering. Met deze benadering wordt geoptimaliseerd. Als het optimum van de benadering bepaald is, dan wordt er een eindige elementensom gemaakt met de nieuwe 'optimale' ont-

20

Page 23: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

werpvariabelen. Hierna wordt een gevoeligheidsanalysel uitgevoerd. Met uitkomsten van de gevoeligheidsanalyse en de eindige elementen som word een nieuwe benaderingsmodel bepaald. Deze kan weer door het optimaliseringsprogramma geoptimaliseerd worden. Deze cyclus kan zich net zolang herhalen totdat er sprake is van convergentie of dat er een (maximaal) aantal stappen genomen is. Hierbij moet in gedachten genomen worden dat een verbetering meestal al voldoende is, het absolute optimum hoeft niet bereikt te worden en is meestal ook te duur qua rekentijd of kan zeHts niet bereikt worden zonder extra inspmning.

1 Eindige Elementen methode programma

7 I -

Gevoeiigheidsanalyse

I I I A

Benaderingsmodellen n I I I I

Figuur 4.2: De Post-1974 situatie

4.1 Benadering

Er zijn, in de literatuur, zeer veel benaderingsconcepten gepubliceerd. Voordat we daar aan toe komen moeten we eerst een aantal zaken definiëren. Als eerste wordt de doelfunctie gedefiniëerd als :

Fobj(x) ( 4 4

Deze functie kan bijvoorbeeld het gewicht van de constructie zijn. Als dit zo is dan zullen we meestal proberen om die doelfunctie (4.1) te minimaliseren. Het tweede wat we definiëren zijn de constraints.

gj(x) I 0 met j = i ,. . . , aantal constraints (4.2)

Deze geven aan met welke beperkingen rekening gehouden moet worden. Dit kunnen bij- voorbeeld de spanningen in de staven zijn, die niet een bepaalde kritische waarde mogen

'Het berekenen van de afgeleide van de constraints, en doelfunctiewaarde naar de ontwerpvariabelen

21

Page 24: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

overschrijden, of een verplaatsing die niet groter mag zijn dan een bepaalde waarde. Als laatste definiëren we de zogenaamde 'Side Constraints'.

x p 5 xi 5 x;p met i=17. . . ,aant al ontwerpvariabelen (4.3)

Deze zorgen er voor dat de ontwerpvariabelen xi gevariëerd worden in een gebied waarin de benadering geldig is, en niet erbuiten. Deze 'Side Constraints'worden ook de 'move limits' genoemd. Deze zullen in paragraaf 4.3 behandeld worden.

De lineaire, recipoke en conservatieve zullen lier behâ,rideld worden. worden. De m-eest eenvoudige benadering is de lineaire Taylor benadering.

Dit houdt in dat we in het gebied om de functiewaarde heen, met behulp van de afgeleide de functie, extrapoleren. De lineaire benadering werkt het beste als de functie die benaderd wordt een vlak verloop heeft en een niet al te wild gedrag vertoont.

Een benadering van een hogere orde is meestal, gerelateerd aan de berekening met iedere keer een nieuwe elementensom, te duur en dus niet interessant om te gebruiken. Een goedko- pere manier om een betere benadering te krijgen is om, met behulp van een tussenvariabele, een betere benaderende functie te vinden. De wens is om de te benaderende functie meer line- air t e krijgen. Dit omdat lineaire functies makkelijk te optimaliseren zijn. De hulpvariabelen kunnen we definiëren als :

Yi = Y;@:> i=17.. .,m (4.5)

De lineaire benadering kan dan geschreven worden als

De benadering wordt dan

Voor constructies die bestaan uit vlakspannings- of balkelementen en waarvan de ontwerpva- riabelen gelijk zijn aan respectievelijk de doorsnede van de balkelementen en de dikte van de van de vlakspanningselementen kan een meer lineair gedrag verkregen door de reciproke van de ontwerpvariabelen te gebruiken als hulpvariabelen. Dus met

i = 1, ...' n 1 yi = - xi

Kan de reciproke benadering geschreven worden als :

(4-8)

22

Page 25: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

De conservatieve benadering is een andere manier van benaderen. Deze manier is een combinatie van de lineaire en de reciproke benadering die wordt gegeven door

A l s xoi (g) 2 O dan is G; gelijk aan 1 en wordt de functie lineair benaderd. Als

ZO; (g) 5 O dan wordt de functie reciprook benaderd. Gevolg hiervan is dat de benadering die genomen wordt conservatiever is dan de lineaire of reciproke benadering. Steeds wordt die G; gekozen waarvoor de meest positieve bijdrage aan de benadering wordt verkregen. Omdat de constraints zijn geformuleerd als g(z) 5 O, leidt een meer positieve benadering tot een conservatievere benadering. In dit verslag is gebruik gemaak van een lineaire benadering.

4.2 Constraints

Constraints helpen het optimalisatieprogramma bij het vinden van een optimale oplossing. Ze geven namelijk aan wat de grenzen zijn van het gebied waarbinnen het optimalisatiepro- gramma moet zoeken. Die grenzen kunnen zowel slaan op het hele systeem als op een enkel onderdeel van het hele systeem. Eigenwaardenconstraints zijn een voorbeeld van constraints die slaan op het hele systeem. De spanningsconstraints slaan op de afzonderlijke onderde- len in het systeem, in ons geval de staven. Ze geven aan onder welke kritische waarde de spanning moet blijven. Er wordt dan, voor de sterkte, uitgegaan van de normaalspannings- hypothese (zie [7]). Dit komt dan neer op de volgende voorwaarde2 :

0 I flo (4.11)

Het optimaliseringsprogramma heeft echter een constraint nodig van de vorm :

Sj - < O (4.12)

Daartoe schrijven we (4.11) in de vorm van (4.12). Dit doen we op de volgende manier :

1 5 0 C --

C O

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Er wordt in dit verslag aangenomen dat de kritische spanning voor trek en druk absoluut gezien gelijk is.

De verplaatsingsconstraints gaan op dezelfde manier als de spanningsconstraints, ook hier

Bij eigenwaardenconstraints zijn er de volgende mogelijkheden : wordt er opgegeven wat de kritische waarde is die niet overschreden mag worden.

Er wordt hier voor het gemak uitgegaan van positieve spanningswaarden. Voor negatieve spanningswaar- den is een zelfde afleiding mogelijk.

23

Page 26: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

o p 5 po : de grootste eigenfrequentie moet onder een bepaalde waarde liggen.

o p 2 po : de kleinste eigenfrequentie moet boven een bepaalde waarde liggen

e p- 5 p 5 p+ : De eigenfrequentie moet in een bepaalde band liggen

o p- 2 p 2 p+ : De eigenfrequentie moet buiten een bepaalde band liggen

In tegenstekg t u t de eerste 3 e~ge l ; f r ec ; i i e r i t i p~e~s~~a~~~s levert de 4" constraintsoort wel problemen op tijdens het optimaliseren. Het gebied is namelijk discontinu geworden en daar valt niet mee te optimaliseren. Dit is gemakkelijk in te zien als er bedacht wordt dat het gebied in tweeën gespleten word. Stel dat het optimaliseringsprogramma, aan de hand van de benadering, bij de rand aankomt en berekend dat achter de grens het optimum ligt. Er zijn dan twee mogelijkheden. 1) er wordt naar het andere gebied overgegaan. 2) er wordt niet naar het andere gebied overgegaan. Bij 1 is het niet zeker of die situatie wel een verbetering is en bij situatie 2 bestaat er de kans dat er een veel beter optimum niet gevonden wordt. Een oplossing voor dit probleem is om eerst te optimaliseren zonder de eigenwaardenconstraints. Met het optimum wat dan gevonden is moeten er dan nog een aantal optimalisatieslagen gedaan worden om voor het werkelijke systeem een optimum te vinden. Dat dit niet in 100 % van de gevallen een oplossing geeft is duidelijk.

Een speciale soort constraint , de movelimit, wordt hierna besproken.

4.3 Movelimit

Zoals al eerder opgemerkt dienen de 'move limits' om er voor te zorgen dat de benadering in z'n geldigheidsgebied blijft. Dit kan op verschillende manieren bewerkstelligd worden.

absolute : a; -mvlim < x; < x;+mvlim symmetrisch releatief : x; - mvlim * z; < x; < z; + mvlim * z; asymetrisch releatief : y < xi < x;*f

Bij de beide relatieve movelimits wordt er bepaald met hoeveel procent de ontwerpvariabe- len gevariëerd mogen worden. Nadeel van die relative movelimit is dat de stap die er genomen wordt afhankelijk is van de grootte van de ontwerpvariabele. Dus als een ontwerpvariabele een kleine waarde heeft, dan doet de variabele er langer over om dezelfde stap af te leggen dan een ontwerpvariabele die groter is. De ontwerpvariabelen gaan dan ook maar langzaam naar de nul toe. Dit kan een groot nadeel zijn voor het gebruik in optimalisatieprogramma's de geometrie van de constructie aanpassen3.

4.4 Nauwkeurigheidsmaat

Zoals al eerder opgemerkt dienen de movelimits om er voor te zorgen dat het gebied waarin naar het optimum gezocht wordt alleen dat gebied is waar de benadering geldig is4. Dit kan achteraf gecontroleerd worden. Een manier om te kijken of de benadering wel klopt, is om de

3De ontwerpvariabelen gaan maar langzaam naar nul, dus het duurt lang voordat een ontwerpvariabele op

4Geldige benadering wil zeggen dat de benadering niet verder dan een bepaalde maat van de werkelijke de onderste kritische waarde is en verwijdert kan worden.

waarde zit

24

Page 27: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

volgende nauwkeurigheidsmaat in te voeren. De basisvorm van de constraints wordt gegeven door :

gj I cj

In genormeerde vorm wordt dit :

(4.16)

(4.17)

Met de constraints g; wordt hier gewerkt. Als maat voor de nauwkeurigheid van een bena- derde constraintwaarde g . ten opzichte van de werkelijke constraintwaarde gj wordt gedefini- eerd :

-3

gj -9j nauwkeurigheidsmaat = ~

(4.18)

Als we dit in genormeerde vorm uitdrukken, dan krijgen we :

(4.19)

Deze maat geeft aan hoeveel procent de benadering van de constraint en de werkelijke cons- traintwaarde van elkaar afwijken. Als deze maat teveel afwijkt dan is de movelimit te groot gekozen.

* * nauwkeurigheidsmaat genormeerd = g j - gj

4.5 Evalueren optimalisat ieprogramma

Voor de evaluatie van het optimalisatieprogramma hebben we gebruik gemaakt van het vol- gende 10 bar truss systeem :

100 mm 100 mm 2-4: FI = F 2 = 5Okips (N 222kN) F3 = F4 = 150kips (N 667kN) E = 104ksi (N 68.9MPa) p = 0.101b/in.3 (N 2800kg/m3)

4 l 2

De belastingssituatie is die met een 150 kips belasting op de twee onderste vrije knooppun- ten werken, en een 50 kips belasting op de twee bovenste knooppunten, waarbij de richtingen van de krachten respectievelijk de negatieve en de positieve y-richting zijn. Er is sprake van de volgende constraints :

spanning : 1g1 5 25 ksi (N 172MPa) displacement : 1.1 _< 2in. (N 50mm)

minimale staafdikte : A,, 2 0.1 in.2 (N 65pm) 2 22.0 Hz eigenwaarde : P

25

Page 28: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Er is gebruik gemaakt van een lineair benaderingsconcept en een relatieve movelimit. Alleen de laagste eigenfrequentie wordt meegenomen als constraints. Er is geen gebruik gemaakt van schaling, hetgeen te merken is aan het convergentieverloop (zie Bijlage A). Dit systeem wordt vergeleken met de waarden die verkregen zijn in [2]. Met het optimaliseren is doorgegaan totdat de approximation norm kleiner is dan 1% (zie 4.4).

Staaf nummer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

berekende waarden (mi

0.0152 0.0001 0.0160 0.0094 0.0001 0.0013 0.0080 0.0082 0.0132 0.0001

waarden Xaüg (m)

0.0159 0.0007 0.0158 0.0083 0.0001 0.0013 0.0088 0.0106 0.0115 0.0001

Pïocmtüee! v€r§chil -4.40 % -85.70 % 1.27 % 13.25 % 55.04 % 2.36 % -9.09 % -22.64 % 14.78 % 55.04 %

Tabel 4.1: Staafoppervlakken vergeleken met Haug

In tabel 4.1 is duidelijk te zien dat de grootste afwijking optreed bij de staven die dicht tegen de ondergrens aan zitten. Dit komt waarschijnlijk door het al eerder genoemde effect van de asymmetrische movelimit. De afwijking is niet echt interessant omdat de massabij- drage van de staven erg klein is. De afwijking van zo’n 15 à 25 % van de grote staven zijn wel van belang en kunnen waarschijnlijk verklaard worden door het feit dat er niet zoiets bestaat als één optimum, maar er kunnen verschillende lokale optima zijn. Uit het feit dat het door Haug opgegeven optimum bereikt wordt (zie 4.3), kan geconcludeerd worden dat de routines werken. Figuur (4.3) en (4.4) geven respectievelijk de doelfunctiewaarde en de maximale constraintnormoverschrijding tegen de optimalisatiecyclus weer. Opvallend is dat de doelfunctiewaarde sterk naar de door Haug gerapporteerde optimale doelfunctiewaarde toegaat. Verder is in de grafiek van de maximale constraintnormoverschrijding tegen de op- timalisatiecyclusnummer duidelijk t e zien wanneer er een andere movelimitfactor gekozen is. De grafiek vertoont dan namelijk een sprong.

26

Page 29: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Doelfunctiewaarde uitgezet tegen cyclusnummer

O3 3

O 5 10 15 20 25 0.05 I

Cyclusnummer

Figuur 4.3: De doelfunctiewaarde per cyclus

Maximale Coastraintoverschrijding uitgezet tegen cyclusnummer

Cyclusnummer

Figuur 4.4: De maximale normwaarde per cyclus

27

Page 30: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Hoofdstuk 5

CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

Het doel is om standaardproblemen, zoals de 10 bar truss en de 25 bar truss te gaan oplossen in MATLAB in zo’n kort mogelijke tijd. Hiertoe is gebruik gemaakt van de semi-analytische werkwijze. De reductie in rekentijd die op zou moeten treden, semi-ana1ytisch:eindige diffe- rentie=2:ll, is niet gehaald. Dit komt onder andere omdat het progïamma van Piet Schreur niet ontworpen is om mee te optimaliseren en de constraintafgeleiden niet helemaal semi- analytisch berekend worden.

o Spanningconstraints semi-analytisch uitrekenen

o Eigenwaardebrekening op timaliseren

o Programmatuur Piet Schreurs opschonen

o Automatische schaling

o Automatische Constraint verwijdering

o Mogelijkheid om stap terug te nemen

o Balken in plaats van staven modelleren

o plaat element en modelleren

28

Page 31: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Bibliografe

L.A. Schmit and B. Farschi,Some approximation concepts for e f ic iën t structural synthesis. AIAA,12(5):692-699,1974

E.J. Haug and J.S. Arora,Applied Optimal Design, John Wiley & Sons, 1979.

J.D. Janssen, Dicrete Mechanische Systemen. syllabus DMS , Eindhoven Univer- sity of Technology, 1983.

G. N. Vanderplaats, Numerical Optimization Techniques For Engineering Design. McGraw-HillJ984.

C.T.F. ROSS, Finite Element Methods in Structural Mechanics. Ellis Horwood lirnited,1985.

A. J.G. Schoofs. Experimental design and structural optimization. PhD thesis, Eindhoven University of Technology, 1987.

J.H. Zaat. Materiaalkunde. syllabus Materiaalkunde,Eindhoven University of Technology, 1983.

R.T. Haftka, Elements of structural Optimization. Kluwer Academic Publishers, 3'd edition, 1992.

G. N. Vanderplaats, Thirty years of modern structural optimization, Advances in Engineering Software 16,1993.

29

Page 32: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Bijlage A

CONVERGENTIEVERLOOP

=-= Alle cons t r a in t s aan. =-= Herhaald benaderend optimaliseren van een t e n ba r t r u s s op b a s i s van een l i n e a i r benaderingsconcept.

Ctartontwerp x0 : C.0226 0.0226 0.0226 0,0226 0.0226 0.0226 0.0226 0.0226 0.0226 0.0226

o 0 1 1.5 2 1.8 3 1.5 4 1.5 5 1.5 6 1.5 7 1.5 8 1.5 9 1.5 10 1.5 11 1.5 12 1.2 13 1.2 14 1.2 15 1.125 16 1.125 17 1.125 18 1.125 19 1.125 20 1.063 21 1.063

O 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

21 21 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

O O O. 2459 O. 1764 O. 1447 O. 1639 O. 1774 O. 1792 O. 1918 O. 1413 O. 1359 O. 1363 O. 03248 O. 0253 O. 02809 0.01163 O. 01089 O. 01031 0.01081 O. 0103 O. 002807 O. 002815

O 23 27 23 27 23 23 23 23 16 23 27 23 27 23 27 27 23 27 23 27 27

O O. 09558 O. 2459 O. 1764 O. 1447 O. 1639 O. 1774 O. 1792 O. 1918 O. 1501 O. 1359 O. 1363 O. 03248 O. 0253 O. 02809 O. 01163 O. 01089 O. 01031 O .O1081 O. 0103 O. 002807 O. 002815

O. 2632 O. 1755 O. 1126 O. 1026 O. 1013 O. 09494 O. 09132 O. 08772 0.08523<- Binnen 2.5 X O . 08103 O. 08314 O. 07834 0.08331 O. 08461 O. 08296 O. 08406 O. 08375 O. 08379 O. 08343 O. 0835 O. 0837 O. 08379

30

Page 33: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

O. 002801 27 O. 002801 O. 08368 22 1.063 1 27

Geef de move l i m i t factor, x i / f < x i < xi*f ( f < l = stoppen) :

ten bar truss ontwerp laats te cyclus : 0.0152 0.0001 0.0160 U.0094 o o 8813 0. 0080 o. Li082 û . ûi32

Doelfunctiewaarde laa t s te cyclus : O. 0837

Constraintwaardes laa t s te cyclus : -0.7386 -1.3044 -1.3952 -1.2755 -1.2368 -0.7199 -0.5691 -1.2614 -1,9998 -2.0000 -1.6690 -0.7632 -1.5527 -2.0028 -1.3309 -1.7809 -0.2191

o. ûûû: o. o001

-0.0002 0.0000 -0.3310 -0.6956 -0.6048 -0.7245 -1.2801 -1.4309 0 -0.4473 0.0028 -0.6691

31

Page 34: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Bijlage B

GRAFIEKEN BIJ DE 10 BAR TRUSS

Figuur B.l: De eindige differentie afgeleide van verplaatsingen bij een 10 bar truss

32

Page 35: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

I l i I

................ > ................ : .................................. .. ...............

_. .............. .;. ..............

..............-

. . . .

......

......

......

.......

......

E3

o\ E3

W

I I I I I O 5 cc, P4

8 8 8 o

.....

......

~~

..............

Figuur B.2: De semi-analytische afgeleide van de verplaatsingen bij een 10 bar truss

33

Page 36: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

Bijlage C

PROGRAMMA’S

De hier gegeven programma’s zijn de aanvullingen op de programmatuur van Piet Schreurs.

C.1 BKI9X.M X Programma : D K D X . M X Doel x een ontwerpvariabele X auteur : Robert Borst function [dkdx]=dk-dx(ate1 ,e,stap ,elda,lokvgp ,atkpvg,atelkp,atvg,sm) ; sma=zeros (atvg) ; em= Cl ; for n=í:atel

X

X

: het bepalen van de afgeleide van de stijfheidsmatix nôar

if n==e,

X Gevarieerde elementstijfheidsmatrix bepalen

em=memlld( [elda(n, [2 31) ,elda(n, [8])*(l+stap)]) ; X SO CO deltastif else

x

X X Niet gevarieerde elementstijfheidsmatrix bepalen

em=memlld(elda(n,[2 3 81)); SO CO stif end ;

X X Voeg samen tot een alternatieve stijfheidsmatrix X

sma=assmat(sma,em,lokvgp,atkpvg*atelkp,n); end;

x x delen door oorspronkelijke oppervlak x dkdx= (sma-sm) . / (elda( e, 5) *stap) ;

34

Page 37: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.2 DM-DX.M

x 2 Programma : DMDX.M X Doel x vri jheidsgraad. X Auteur : Robert Borst function [rimäx] =cim-cix (at ei, e , stâp , e lda , Iukvgp, atkpvg, at, elk=, ztvg 9m rho) ; ma=zeros (atvg) ; me= [I ;

: Deze func t i e bepaalt de afgeleide van de massamatrix naar de

x

dummy=atkpvg*atelkp ; for n=l:aitei

mm=rho(n)*elda(n,5)*elda(n,4)/6; if n==e,

x

x x Bepalen gevar i e erde e l ementrnas s amat r i x

me= (2 *eye (dummy) +diag (ones (dummy- 2 , l ) ,2) + diag (ones (dummy- 2 , l ) , -2) ) . *mm* ( 1 +stap: else

x x 1 Bepalen n i e t gevarieerde elementmassamatrix

me= (2*eye (dummy) +diag (ones ( dummy-2,l) ,2 ) +diag (ones ( dummy-2,l) , -2 ) 1 . *mm ; end ;

x

x end;

x Voeg samen t o t een a l t e rna t i eve Massamatrix

ma=assmat (ma,me, lokvgp, atkpvg*atelkp ,n> ;

x 1 Verschil bepalen tussen oorspronkelijke massamatrix en de gevarieerde x en delen door de s t a p

dmdx=(ma-m) . / (e lda(e ,5) *stap) ; x

35

Page 38: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.3 DU-DX.M

x x Programma : DUDX.M Y, Doel x vrijheidsgraad X Auteur : Robert Borst h function [dudx]=du~dx(atel,e,stap,elda,lokvgp,atkpvg,atelkp,sm,. . . smi,ke,vw,atonvg,atvovg,atvg,rlvv) ;

x

: Bepalen van de afgeleide van de verplaatsing naar een

Y I

X Deze functie bepaalt de afgeleide van de positie naar de vrijheidsgraad. X Met : ate1 = aantal elementen x e = afgeleide naar element #e x stap = variatiestap x elda = array met element data x atkpvg = aantal knooppuntsvrijheidsgraden x atelkp = aantal elementsknooppunten x sm = Systeem stijfheidsmatrix x smi = Inverse van deel stijfheidsmatrix x ke = nodig voor gpart x vw = nodig voor gpart x atonvg = aatal onderdrukte vri jheidsgraden x atvg = totaal aantal vrijheidsgraden x rlvv = rechterlidoplossing x Eerst de alternatieve stijfheidsmatrix bepalen x dkdx=dk-dx(ate1 , e ,stap, elda,lokvgp , atkpvg, atelkp, atvg,sm) ;

x Interessante deel van de matrix bepalen [llma,rlva] = gpart(dkdx,ke,vw,atonvg,atvovg,l);

x berekenen = -K-' * * u

dudx=-smi*llma*rlvv;

x x

x

x da

36

Page 39: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.4 MAAK-M.M

X Programma : MAAK3.M X Doel : samenstellen van de massamatrix voor gebruik binnen x X Auteur : Robert Borst

EEM programma van Piet Schreurs

r-- kuadion - E#: = m a a ? ; ; ; ; ( ~ t e l , e l U z , ~ ~ ~ ~ ~ g 9 a + , e l ~ ~ , l e k v g p , r h o ' a t v g ) ;

M=zeros (atvg) ; dummy= at kpvg* at elkp ;

for e=i : ate1 2

end ;

37

Page 40: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

c.5 XSTL2.M

% Programma : XSTL2.M % Doel 7, Auteur : Piet Schreurs % Aangepast : Robert Borst X Aanpassing:

: Het berekenen van de spanningen, verplaatsingen en krachten

Inverse van de stijfheidsmatrix ~ ~ ~ r á i t cqgesiagen.

sm = zeros(atvg); ki = zeros(atvg,l); crd = crd0;

perm = mperm(odvg,vovg,atvg,atodvg,atvovg,atonvg); lokvgp = mlokvgp(lok,perm,atelkp,atkpvg,atel) ; elda = dstl(elda,crd0,lok,elgr~elgeg,atel,0);

for e=l:atel em = memlld(elda(e,[l 3 81)); x SO CO stif sm = assmat(sm,em,lokvgp,atkpvg*atelkp,e);

end ;

vw = gexv(vov,vovw,atvg,atvovg,atkpvg,perm,l); ke = gexv(vok,vokw,atvg,atvokr,atkpvg,perm,l); x element krachten [llm, rlv] = gpart (sm, ke ,vw , atonvg , atvovg , 1) ; lmi=inv(llm); % inverse van K rlvv = lmi * rlv; vw(1:atonvg) = rlvv; v = gkpk(vw,perm,atvg) ; kv = gkpm(v,atkp,atkpvg) ; crd = crd0 + kv; kp = sm * vw; k = gkpk(kp,perm,atvg); kk = gkpm(k,atkp,atkpvg);

elda = dstl (elda, crd ,lok, elgr, elgeg , at el, 1) ;

et;st=sprintf(’end analysis ’1 ;time=[time; [st tmll ; var=[var; ’time calculation times ’1 ; var= [var; kv nodal point displacements ’ 1 ; var=[var;’kk nodal point forces ’1; var=[var;’elda(e,l) opp0 ’1 ;

........................................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Page 41: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.6 INVOPG6.M

x Programma : INVOPG6.M x Doel : systeem initialiseren, benaderingsconcept kiezen. x Auteur : Robert Borst x cleai. ; hold air; Cl& ; c!c ;

x x Het benaderingsconcept

conceptno=l; x l=lineair, 2=reciprook, 3=conservatief, 4 hybride constructie=’ten bar truss’; X Dimensie van het probleem

n=lO; x Subroutinenaam waar de doelfunctiewaarde berekend kan worden

objfun=’obJ lobar ’ ; x Subroutinenaam waar de constraintwaarde en de afgeleiden berekend x kunnen worden

confun=’conlObr2’; 1 Side-constraints (definitie ontwerpruimte)

inch=2.54e-2; ïowbound=[O.l 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 O.ll*inch*inch; upbound=[l 1 1 1 1 1 1 1 1 1]*100; x Startontwerpen 1 x0=35*ones (lowbound) *inch*inch; ~x0=5*ones(lowbound)*inch*inch;

x

x

x

x

x if conceptno==l

conapp= y approxl ; methode=’lineair’;

elseif conceptno==2 conapp= ’ approx2 ’ ; methode=’reciprook’;

conapp= y approx3 ’ ; methode=’conservatief’;

conapp= ’ approx4’ ; methode=’hybride ’;

elseif conceptno==3

else

end

39

Page 42: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

X Op het scherm weergeven van de invoer x CIC

disp ( [>Herhaald benaderend optimaliseren van een disp ( [>met behulp van een y ,methode, y benaderingsconcept . ’ 1 disp(>De ontwerpruimte wordt gegeven door : disp(’ disp ( Ondergrens : i i disp(> ’1 disp (lowbound) disp(> Bovengrens : ’1 disp(> ’) disp (upbound) disp ( y Startontwerp : y 1 disp(’ ’)

disp(’Druk op een t o e t s ’ ) pause

,constructiel

’>

disp ( W O )

40

Page 43: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.7 OBJ1OBAR.M

X Programma : OBJ1OBAR.M X Doel : Berekenen van de doelfunctiewaarden en afgeleiden % Auteur : Pascal Etman X Aangepast : Robert Borst

€urneiion YdY=obj 10bar(x,deri.r) ; X Berekening van de doelfunctiewaarden en de afgeleiden (indien deriv=f) voor de constructie bestaande uit de 10 staafelementen

X

YdY (1 , l)= (x( l)+x(2)+x(3) +x(4) +x(5) +x(6) ) + (x (7) +x(8) +x(9) +x(lO) ) *sqrt (2) ; if deriv==l

YdY (1,2)=1; YdY (1,3)=1; YdY (1,4)=1; YdY (i, 514; YdY (1,6)=1; YdY(l,7)=1; YdY( 1,8)=sqrt (2) ; YdY (1,9)=sqrt (2) ; YdY (l,lO)=sqrt (2) ; YdY ( f,lf) =sqrt (2) ;

end

41

Page 44: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.8 CONlOBR2.M

Ì! Programma : CON10BR2.M Ì! Doel : Berekenen van de constraintwaarden en hun afgeleiden X Auteur : Robert Borst

fUrrctian GdG=canLObr2 ( X I ; x Ì! Ì! Ì! Ì! Ì! Ì!

Ì! Ì! Ì! Ì! Ì!

Berekeilhg van de csnstraintwaardes en de bijbehorende afgeleiden voor de vakwerkconstructie bestaande uit 18 staven. De maximale trek- en drukspanning is 25 [ksil voor alle staven De maximale displacement mag niet meer zijn dan 2 inches De maximale eigenfrequentie moet onder de 22 Hz liggen x dient een kolom te zijn

Omrekenfactoren en else maten naar SI ksi : ksi naar -

m2 inch : inch naar m

fi

ksi=6.89476*le6; inch=2.54e-2;

Ì! Ì! Instelvariabelen. Ì! numcontr : aantal constraints Ì! at-ew : het aantal eigenwaarden wat berekend moet worden Ì! numconstr=21; at -ew=l;

Ì! Ì! Schakelvariabelen, l=aan O=uit Ì! displ : Ì! eigen : Ì! eigen=l ; displ=l ;

displacements meenemen (worden altijd berekend) eigenwaarden meenemen (ook wel/niet berekenen)

Ì! Ì! De constraintwaarden

N Ì! sO,s9 : Maximale trek- en drukspanningen in 7 m Ì! ewO : minimale eigenfrequentie in radialen Ì! dis0 : maximale knooppuntsverplaatsing

s0=25*ksi; s9=25*ksi;

x

42

Page 45: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

ewe= (22*2*pi) ; dis0=2*inch;

x x % Berekende functie

if (numconstr>O) Berekening van de ontwerpvariabelen

en afgeleide functiewaarden van de constraints voor x

spanningen en de afgeleiden van de spanningen naar de

disp(> '1 disp(> EEM en design sensitivity analyse . . . dispc' '1

'1

Elke rij van de matrix stresses bevat de spanning en de bijbehorende afgeleiden naar de ontwerpvariabelen voor een van de staafelementen Ditzelfde geldt voor de matrices ew en displace, waarbij opgemerkt moet worden dat in de matrix ew alleen maar de hoeveelheid eigenwaarden staan die je opgeeft

[stresses,ew,displace]=tenbar6(x,eigen);

trekspanning constraints

GdG(l:8,l)=(stresses(1:8,1) / SO) - ones(8,l); GdG(9,1)=(stresses(9,1) / s9) - 1; GdG(lO,l)=(stresses(lO,l) / SO) - 1;

afgeleiden trekspanning constraints

GdG(1:8,2:11)=(stresses(1:8,2:11) / SO); GdG(9,2: ll)=(stresses(9,2: 11) / s9) ; GdG( 10,2 : ll)=(stresses (10,2: 11) / SO) ;

drukspanning constraints

GdG( 11 : 18, l)=-(stresses(1:8,1) / SO) - ones(8,l) ; GdG(l9,l)=-(stresses(9,1) / s9) - 1; GdG(20,l)=-(stresses(lO,l) / SO) - 1;

afgeleiden drukspanning constraints

GdG( 11 : 18,2 : li)=- (stresses (1 : 8,2 : 11) / SO) ; GdG( 19,2 : li)=- (stresses (9,2: 11) / s9) ; GdG(20,2:ll)=-(stresses(lO,2: 11) / SO) ;

43

Page 46: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

i! testen of eigenwaarden wel en displacements niet meegenomen moeten worden i!

if ((eigen==l) & (displ==O) ) , x X Eigenwaarden sorteren op grootte i!

x [~ws, i]=ssï% (@w( : , ij j ;

% rest van de matrix weer zo ordenen dat de afgeleiden weer bij de i! goede eigenwaarden zitten.

ewa=ew(i, :) ;

i! de eigenwaarde constraint. x

i!

i!

i!

GdG(2l,l)=-(ews(l,l)/ewO)+l;

i! afgeleide eigenwaarden constraint

GdG(21,2 : 11) =- (ewa( 1,2 : 11) /ewO) ; end

i!

i!

i!

i! if eigen==i,

i! X displacements constraints x

i!

i!

i!

i!

x

x

Testen of displacements meegenomen moeten worden

if displ==l ,

i! Testen of eigenwaarden meegenomen zijn

GdG(22 : 25 , 1)= (displace (2 : 2: 8,l) /dis01 -1 ;

i! afgeleide displacements constraints

GdG(22:25,2:ll)=(displace(2:2:8,2:ll)/disO);

i! displacements constraints

GdG(26:29,l)=(-displace(2:2:8,l)/disO)-l;

i! afgeleide displacements constraints

GdG(26:29,2:ll)=(-displace(2:2:8,2:ll)/disO~; else

44

Page 47: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

x x

x

x x x Displacements constraints x

x x

X displacements constraints

GdG(21:24,1)=(displace(2:2:8,l)/dis0)-1;

x afgeleide displacements constraints

GdG(2i :24,2: ii)=(displace(2:2: 8,2: Il)/OisO) ;

GdG(25:28,1)=(-displace(2:2:8,l)/dis0)-1;

1 afgeleide displacements constraints

GdG(25 :28,2: li)= (-displace(2 :2:8,2: 11) /dis01 ; end

end

else

end GdG= [I ;

45

Page 48: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

C.9 TENBAR6.M

% Programma : TENBAR6.M % Doel : % Auteur : Pascal Etman X Aangepast : Robert Borst

Optimaliseren met behulp van de eigenwaarde en displace constraints

f’inction [stresses ~e-w,disql.ace!=tenbar6(xite‘ew) ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % % maakt gebruik van keyword atew welke aangeeft hoeveel van de laagste % eigenwaarden meegenomen moeten worden. % format compact atew = 1; 1 alleen de laagste eigenwaarde is van belang. atelip = O; atkpvg = 2; % aantal knooppuntsvrijheidsgraden

X Enkele Constanten

inch=25.4e-3; % (m) Kips=4448.22; % (N) ksi=6.89476 ; X (N/mm2)

%

%

L = 360*inch; % (m) E = 68.9e9; % (N/m2) %E = 2.lell; % (N/m2) nu = 0.3; % (-) P = 50*Kips; X (N) rho0=2800; % (kg/m3)

if exist(’stap’)==û, stap=le-7; end

% Ten Bar Truss (als in Haftka) lok = [

1 crd0= [ odv = [ vok = [ vokw= [

% vok = [ % vokw= [

5 3 1 ; 3 1 2 ; 6 4 3 ; 4 2 4 ; 3 4 5 2 6 ; 5 4 7 ; 3 6 8 ; 3 2 9 ; 1 4 lo]; 2*L L; 2*L o; L L; L o; 6 i; 6 2; 5 1; 5 2 1; 4 2; 2 2;l 2;3 27;

4 2; 2 21; % voor belastingsituatie 1

o L; o o 1;

-3*P; -3*P; P; P 3; -2*P; -2*P];

elgeg = [ xite(1) E 0.3 1 xite(2) E 0.3 1 xite(3) E 0.3 1

46

Page 49: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

xi te (4) E 0 .3 1 x i t e (5 ) E 0 .3 1 x i t e (6 ) E 0.3 1 x i t e (7 ) E 0.3 1 x i t e (8 ) E 0.3 1 x i t e (9 ) E 0.3 1 xi te( l0)E 0.3 1 ] ;

rho=rhoO*ones (x i t e ) ; %end ; X Algemeen vov = [ 1 ; vovw = [ 1; vod = [ 1 ; vodw = [ 1; cr=sets t r ( í3) ; lf=setstr(lO) ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . % % ini.m

atvg = atkpvg*atkp; atonvg = atvg-atodvg-atvovg;

if atkpvg==l for i=l:atodvg , odv(i ,2)=l ; end; for i=l:atvovg , vov(i ,2)=l ; end; for i=l :a tvokr , vok(i,2)=1; end; for i=l :a tvodr , vod(i ,2)=l ; end;

end :

for i=l : atodvg , odvg ( i ) =atkpvg* (odv( i, 1) - 1) +odv ( i , 2) ; end ; for i=l : atvovg , vovg( i ) =atkpvg* (vov(i , 1) -1) +vov(i ,2) ; end ; 8 atodvg==O , odvg=zeros ( 1) ; end ; if atvovg==O , vov=zeros ( 1) ; vovg=zeros (1) ; vovw=zeros (1) ; end ; if atvokr==O , vok=zeros (1) ; vokw=zeros (1) ; end ;

47

Page 50: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

if atvodr==O , vod=zeros ( 1) ; vodw=zeros ( 1) ; end ; for i=l:atel , elgr(i)=lok(i,atelkp+l); end; var=[ ] ;

........................................................................... x X xstl aangepast voor optimaïiseringsdoeieinden X berekend de semi anaiytische afgeieiben

sm = zeros(atvg); ki = zeros(atvg,l); crd = crd0;

perm = mperm(odvg,vovg,atvg,atodvg,atvovg,atonvg); lokvgp = mlokvgp (lok , perm, at elkp , atkpvg , at el) ; elda = dstl(elda,crdO,lok,elgr,elgeg,atel,O);

for e=l:atel em = memlld(elda(e,[l 3 81)); Ì! SO CO stif sm = assmat(sm,em,lokvgp,atkpvg*atelkp,e);

end ;

vw = gexv(vov ,vovw, atvg , atvovg, atkpvg,perm, 1) ; ke = gexv(vok,vokw,atvg,atvokr,atkpvg,perm,l) ; Ì! element krachten [ llm , rlv] = gpart (sm, ke , vw , atonvg , atvovg ,i> ; lmi=inv(llm); Ì! inverse van K rïvv = ïmi * rïv; vw(1:atonvg) = rlvv;

v = gkpk(vw,perm,atvg) ; kv = gkpm(v,atkp,atkpvg) ; crd = crd0 + kv; kp = sm * vw; Xk = gkpk(kp,perm,atvg); kk = gkpm(k,atkp,atkpvg); Ì! De spanningen uitgerekend. elda = dstl(elda,crd,lok,elgr,dgeg,ate1,1);

stresses=elda( : ,171 ; displace=v; ...........................................................................

if ew==l, Ì! X Massa-Matrix bepalen Ì! Mt=maakmi(atel, elda,atkpvg,atelkp,lokvgp,rho ,atvg) ;

48

Page 51: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

x interessante gedeelte van de M-matrix pakken. [M,rlV] = gpart(Mt ,ke,vw,atonvg,atvovg,l); 1 bepalen eigenwaarden 1 ue=eigenvector, Mmu=matrix met eigenwaarden op de diagonaal X mu is vector met eigenwaarden 1 e s = een dummy vector. mu=[ ] ; Lev ,i"imu]=eig (inv 0% *iimj ; e-w=diag (Mmu) ; x 1 Eigenwaarden en eigenvectoren sorteren op grootte x [ e-w ,mi]=sort (e-w) ; mu=ew(l:atew) ; ev=ev( : ,mi) ;

dkdxt=[]; for el=l:atel

end ,

fpsintf([ . ' cr]) ; duda=du_dx(atel,el,stap,elda,lokvgp,atkpvg,atelkp,sm,lmi,ke,

dummyp= [ duda ; O ; O ; O ; O] ; displace=[ displace , dummyp] ; fprintf([' . . ' dummyl=gkpm([duda*xite(el) ;zeros(atvg-atonvg, 1) ],atkp, atvg) ; dummy=crd+dummy2;

vw , atonvg , atvovg , atvg , rlvv) ;

cr]) ;

fprintf([ .. . y cr]); elda=dstl(elda,dummy,lok,elgr,elgeg,atel, 1) ; stresses ( : , el+l) = (elda ( : , 17) -stresses ( : , 1) ) /elda (el, 5) ; if ew==i,

fprintf([ ' .. . . ' cr]); dkdx=dk...dx(atel,el,stap,elda,lokvgp ,atkpvg, atelkp,atvg,sm) ; [dkdxa,rlva] = gpart(dkdx,ke,vw,atonvg,atvovg, 1) ;

fprintf([ ' .. . . . ' cr]); dmdx=dm~dx(atel,el,stap,elda,lokvgp,atkpvg,atelkp,atvgyMt,rho)J ; [ dmdxi , dummyl] = gpart (dmdx , ke ,vw, atonvg, atvovg , 1) ; dummyew=[ ] ; fprintf([ J.. . . ' cr]); for i=l:atew

dummyew=[dummyew,.. (eV( : ,i) '*(dkdxa-mu(i)*dmdxi)*ev(: ,i)) /(eV( : , i) '*M*ev( : , i)) 3;

end ; fprintf([ . . . cr]); mu=[mu dummyew'];

49

Page 52: Semi-analytische afgeleiden van spannings- en eigenwaarden ...waarden, van de afgeleiden naar de ontwerpvariabelen. Om de afgeleide te berekenen kan er gebruik gemaakt worden van 2

fprintf([’ . . ¶ cr]); end

end

50