SECUNDAIR ONDERWIJS - pro.g-o.bepro.g-o.be/blog/documents/2005-071.pdf · TSO/KSO – 3e graad –...

SECUNDAIR ONDERWIJS

Onderwijsvorm: KSO en TSO

Graad: derde graad

Jaar: eerste en tweede leerjaar

Basisvorming en specifiek gedeelte

Architecturale vorming Industriële wetenschappen

Vak(ken): AV Wiskunde 6/6 lt/w

Vakkencode: WW-a

Leerplannummer: 2005/071 (vervangt 2004/086)

Nummer inspectie: 2004 / 86 // 1 / G / BS / 2H / III / /D (vervangt 2004 / 86 // 1 / G / BS / 1 / III / / V/06)

TSO/KSO – 3e graad – Geïntegreerd leerplan AV Wiskunde (1e leerjaar: 6 lt/week, 2e leerjaar: 6 lt/week) 1

INHOUD

INHOUD.........................................................................................................................................................1

BEGINSITUATIE...........................................................................................................................................3

VISIE..............................................................................................................................................................4

ALGEMENE DOELSTELLINGEN ................................................................................................................6 1 Vakgebonden...................................................................................................................................6

2 Vakoverschrijdend ..........................................................................................................................9

LEERINHOUDEN........................................................................................................................................12 1 Algebra ...........................................................................................................................................12 1.1 Matrices...........................................................................................................................................12 1.2 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen................................................................................................13 1.3 Complexe getallen ..........................................................................................................................13

2 Goniometrie ...................................................................................................................................15 2.1 Goniometrie.....................................................................................................................................15 2.2 Formules .........................................................................................................................................15

3 Analyse...........................................................................................................................................17 3.1 Over reële getallen..........................................................................................................................17 3.2 Reële functies..................................................................................................................................18 3.3 Veeltermfuncties..............................................................................................................................18 3.4 Rationale functies............................................................................................................................19 3.5 Continuïteit en limieten....................................................................................................................20 3.6 Asymptoten .....................................................................................................................................20 3.7 Afgeleiden .......................................................................................................................................21 3.8 Verloop van functies........................................................................................................................22 3.9 Irrationale functies...........................................................................................................................22 3.10 Exponentiële functies ......................................................................................................................23 3.11 Logaritmische functies ....................................................................................................................23 3.12 Goniometrische functies..................................................................................................................25 3.13 Integralen ........................................................................................................................................25 3.14 Integratiemethoden .........................................................................................................................26 3.15 Toepassingen van bepaalde integralen ..........................................................................................26

4 Meetkunde......................................................................................................................................27 4.1 Analytische ruimtemeetkunde van de eerste graad........................................................................27 4.2 Keuzeonderwerp: Analytische vlakke meetkunde van de tweede graad........................................29

5 Stochastiek ....................................................................................................................................31 5.1 Discrete wiskunde ...........................................................................................................................31 5.2 Elementaire kansrekening...............................................................................................................32 5.3 Beschrijvende statistiek...................................................................................................................32 5.4 Kansverdelingen .............................................................................................................................33 5.5 Keuzeonderwerp: Statistiek in twee veranderlijken ........................................................................34

6 Keuzeonderwerp: Wiskunde en kunst ........................................................................................35 6.1 Twee-dimensionale weergave van een drie-dimensionale realiteit ................................................35


6.2 Verhoudingen..................................................................................................................................36 6.3 Veelvlakken.....................................................................................................................................36 6.4 Inrichting van de ruimte...................................................................................................................37 6.5 Veelhoeken en het ritme van het vlak.............................................................................................37 6.6 Flirten met het oneindige.................................................................................................................38

VERDELING VAN DE BESCHIKBARE LESTIJDEN ................................................................................39

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN...............................................................................................40 1 Algebra ...........................................................................................................................................41

2 Goniometrie ...................................................................................................................................41

3 Analyse...........................................................................................................................................42

4 Meetkunde......................................................................................................................................44

5 Stochastiek ....................................................................................................................................45

6 Wiskunde en kunst (keuzeonderwerp) .......................................................................................46

7 Algemene wenken.........................................................................................................................49 7.1 Begeleid zelfgestuurd leren.............................................................................................................49 7.2 Informatie- en communicatietechnologieën (ICT) ...........................................................................50 7.3 Vakoverschrijdende eindtermen (VOET) ........................................................................................51

MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN .......................................................................................................52

EVALUATIE ................................................................................................................................................53

BIBLIOGRAFIE...........................................................................................................................................57


BEGINSITUATIE

WETTELIJKE TOELATINGSVOORWAARDEN TOT HET EERSTE LEERJAAR VAN DE DERDE GRAAD TSO en/of KSO

Kunnen als regelmatige leerlingen worden toegelaten:

1° de regelmatige leerlingen die het tweede leerjaar van de tweede graad van het algemeen, het tech-nisch of het kunstsecundair onderwijs met vrucht hebben beëindigd;

2° de regelmatige leerlingen die het tweede leerjaar van de derde graad van het beroepssecundair on-derwijs met vrucht hebben beëindigd;

3° de houders van het getuigschrift van de tweede graad van het secundair onderwijs, uitgereikt in het algemeen, het technisch of het kunstsecundair onderwijs door de examencommissie van de Vlaamse Gemeenschap, onder volgende voorwaarde: • gunstig advies van de toelatingsklassenraad over de keuze van de studierichting; in de praktijk zal een

dergelijk advies slechts opportuun zijn bij verandering van studierichting;

4° de regelmatige leerlingen van het buitengewoon secundair onderwijs, onder de volgende voorwaar-den: • gunstig èn gemotiveerd advies van de toelatingsklassenraad; • de minister van onderwijs of zijn gemachtigde als dusdanig beslist op aanvraag (modelformulier)

van de directeur van de betrokken instelling voor voltijds gewoon secundair onderwijs.

Bij de beginsituatie zal dus moeten rekening gehouden worden met een mogelijke divergentie in de bereikte voorkennis van de leerlingen.

Van de leerlingen wordt verwacht dat zij de leerplandoelstellingen van de tweede graad voor het vakge-bied wiskunde zo goed mogelijk bereikt hebben.

Het is noodzakelijk dat de leraar wiskunde van de derde graad secundair onderwijs enerzijds kennis neemt van de leerplannen van de tweede graad en anderzijds de concrete leervaksituatie van de leer-lingen vaststelt.


VISIE

TSO

Wiskundeonderwijs gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen, maar besteedt ook aandacht aan abstrahering en structurering. Het wiskundeonderwijs is dan ook een proces van gelei-delijke, systematisch voortschrijdende en steeds herhalende opbouw, ook wel spiraalopbouw genoemd. Dit betekent dat niet elk aangevat onderdeel van de wiskunde meteen wordt afgewerkt. Het is dan ook belangrijk dat de leerkracht zich van de beginsituatie van zijn leerlingen vergewist.

Voor leerlingen die in de derde graad kiezen voor een minimaal aantal uren wiskunde is het vooral be-langrijk dat ze zoveel mogelijk plezier beleven aan concreet toepasbare wiskunde in functie van hun stu-dierichting. Door in te spelen op actuele problemen (milieu, financiële wereld,...) ervaren de leerlingen dat bepaalde gegevens in een probleemstelling toegankelijker worden door ze doelmatig weer te geven in een geschikte wiskundige representatie of model. Door deze confrontatie met de wetenschappelijke as-pecten van het vak ontstaat bij de leerlingen een waardering voor het vak wiskunde en wordt het ook als een dynamisch vak ervaren.

Ook voor deze leerlingen zal aandacht geschonken worden aan de noodzakelijke abstrahering van de wiskunde. De overstap naar abstrahering zal hierbij zoveel mogelijk steunen op concrete voorbeelden. Dat concrete houvast kan bijdragen tot het vergroten van zelfvertrouwen en het stimuleren van de motiva-tie. Immers een goede inkleding van de problemen en de aanpassing hiervan aan hun bevattingsvermo-gen zal de motivatie van de leerlingen verhogen; het zal hen stimuleren om nieuwe en meer complexe opgaven op te lossen. Behoedzaam de stap zetten naar abstrahering zal in een latere fase tijdwinst bete-kenen en de overdraagbaarheid van de leerinhouden vergroten. De leerlingen zullen bij de confrontatie met een probleemsituatie op die manier vlugger de structuur van het probleem herkennen en ze kunnen dan vlugger teruggrijpen naar de aangeleerde technieken.

De leerlingen moeten zinvol en functioneel gebruik maken van het rekentoestel, meer algemeen van ICT (Informatie en Communicatie Technologie).

Wat het algemeen gebruik van ICT betreft, zal de leraar steeds onderzoeken wat de didactische meer-waarde t.o.v. andere middelen is. Het feit dat de maatschappij ons overstelpt met informatie dwingt de leraar ertoe om, enerzijds de leerling kritisch te leren omgaan met dit aanbod, anderzijds de leerling func-tioneel te leren gebruik maken van dit aanbod.

Wat het gebruik van het rekentoestel betreft, zullen de leerlingen, telkens de gelegenheid zich voordoet, met het rekentoestel oefenen in het uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen, alsook van de machtsver-heffingen en worteltrekkingen, inclusief bewerkingen met haken, en in het gebruik van de geheugentoet-sen, breukentoets en van de goniometrische toetsen.

Uiteraard speelt de controle op de betrouwbaarheid van het afgelezen resultaat een belangrijke rol. Daarom zal een grondig inzicht in de basistechnieken noodzakelijk blijven, wil men op een nuttige en efficiënte manier gebruik maken van het rekentoestel.

Een communicatieve interactie tussen leraar en leerlingen en tussen leerlingen onderling bevordert het inzicht, expliciteert en verfijnt de denkprocessen en noopt de leerling tot reflectie over zijn denkproces. Daardoor leert de leerling zijn handelen kritisch te analyseren, wordt hij minder afhankelijk van anderen en wordt zijn denken planmatiger en flexibeler. De leerling ontwikkelt zelfregulatie in het samen verken-nen van de probleemstelling, in het in schema brengen van oplossingswegen en in het bijsturen van de gevolgde methodes.

Enige aandacht voor het wiskundeverleden, zoals dit vak zich ontwikkeld heeft doorheen de verschillende culturen, laat de leerling eveneens wiskunde ervaren als een dynamisch vak. Bovendien zal elke gele-genheid aangegrepen worden om aan te tonen dat basiskennis wiskunde noodzakelijk is in onze maat-schappij. Onze snel evoluerende samenleving noopt bovendien tot soepelheid om snel en efficiënt pro-blemen op te lossen. In de verdere opleiding en de beroepsloopbaan zijn daarom vakoverschrijdende vaardigheden vereist. In het bijzonder blijft probleemoplossend denken dan ook een noodzaak. Op deze vaardigheden wordt in de beschrijving van de algemene doelstellingen verder concreet ingegaan.

Het gaat hier om een ideale visie die zo optimaal mogelijk moet gerealiseerd worden.


KSO

Het kunstsecundair onderwijs (KSO) benadert jongeren vanuit een artistieke invalshoek en bereid hen vooral voor op doorstroming naar het hoger onderwijs met een artistieke component. Het KSO heeft een drievoudige doelstelling te benaderen vanuit die artistieke invalshoek. Het vormings-proces in het KSO is fundamenteel gebaseerd op de integratie van de algemene vorming, de artistieke vorming en de persoonlijkheidsvorming. De derde graad KSO vervult een finaliserende taak van de klemtoon op de kunstvakken die in de tweede graad werd ingezet.

Het Gemeenschapsonderwijs wil via de vakken van de basisvorming zowel de individuele ontwikkeling van de leerling als zijn maatschappelijk functioneren en als zijn voorbereiding op verdere studiën verder-zetten.

Door alle leervakken heen blijft er aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling, d.w.z. dat niet alleen kennisgericht wordt gewerkt, maar dat er vooral wordt gestreefd naar een harmonische ontwikke-ling van cognitieve, dynamisch-affectieve, sociale en motorische componenten van de persoonlijkheid.

De KSO-leerling blijft in grote mate zelf verantwoordelijk voor zijn vormingsproces. Ontplooiing van zelf-standigheid en discipline blijven voor hem enorm belangrijk. Zoals de kunstenaar zal hij nooit definitief tevreden zijn van het vormingskunstwerk dat hij bij zichzelf afwerkt.

Het vormingsproces wordt ook gedragen door een evenwicht tussen opleiding en vorming. Het pedago-gisch project van het Gemeenschapsonderwijs blijft de school een referentiekader bieden om dit te reali-seren.

Het creatief vormingsproces blijft gebaseerd op het verder ontwikkelen van het creatief denken van de leerling, waarvoor in de tweede graad ook al aandacht bestond. Dit is alleen mogelijk wanneer aan de leerling de nodige individuele ruimte wordt gegeven. Niet alleen de artistieke vakken bieden mogelijkhe-den tot individuele begeleiding, maar ook de algemene vakken kunnen leiden tot het ontwikkelen van een specifieke band tussen leraar en leerling. De artistieke prestaties van de leerling voegen een extra di-mensie toe aan het beeld dat elke leraar “algemenen vakken” zich vormt van de leerling.

Het secundair onderwijs heeft als opdracht om jongeren een volwaardige vorming aan te bieden, reke-ning houdend met de verschillen tussen die jongeren. Ondanks die onderlinge verschillen hebben alle jongeren recht op gelijkwaardige toekomstperspectieven en een volwaardige integratie in de samenleving en het beroepsleven. Daarom heeft het Gemeenschapsonderwijs ook gekozen voor een emancipatorisch onderwijs gericht op een dynamisch mensbeeld. Dit betekent dat ons onderwijs stimuleert tot een zo groot mogelijke autonomie en verantwoordelijkheidszin. Daarnaast wordt veel belang gehecht aan de ontwikkeling van de culturele en interculturele vaardigheden van de leerlingen. Het onderwijs heeft im-mers ook de fundamentele taak om leerlingen voor te bereiden op het inschatten van de artistieke aspira-ties van de moderne samenleving. In het kader van o.m. artistieke projecten wordt het individuele karak-ter van de opleiding gekoppeld aan samenwerking. Hier maken normen-, gedrags- en waardepatronen een wezenlijk deel uit van de cultuur.

Vanuit deze optiek stimuleren wij bij de leerlingen de ontwikkeling van een realistisch zelfconcept dat hen toelaat om geleidelijk een toekomstperspectief te verwerven en voor zichzelf keuzes te maken waaronder een passende vervolmaking van hun artistieke studie- en beroepskeuze.


ALGEMENE DOELSTELLINGEN

1 Vakgebonden Elk leerplan in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doel-stellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun con-cretisering per graad.

Enkele algemene doelstellingen kunnen als volgt verwoord worden (zie eindtermen 1 tot en met 9): • de leerlingen analyseren, schematiseren en structureren wiskundige informatie; • de leerlingen maken gebruik van wiskundige technieken zoals figuren maken en tabellen opstellen; • de leerlingen maken functioneel gebruik van ICT bij het oplossen van problemen; • de leerlingen zullen bij het oplossen van een vraagstuk:

- relevante gegevens scheiden van niet relevante; - gegevens met elkaar en met de probleemstelling in verband brengen; - gegevens en gevraagde weergeven in een geschikt wiskundig model; - het vraagstuk planmatig uitwerken;

• de leerlingen hanteren wiskundige regels en conventies en passen ze correct toe; • de leerlingen verantwoorden keuzes m.b.t. representatie en gevolgde werkwijze; • de leerlingen geven voorbeelden van het gebruik van wiskunde in andere vakgebieden en in de

maatschappij; • de leerlingen zijn kritisch tegenover het gevonden resultaat; • de leerlingen zijn bereid hun leerproces bij te sturen op basis van reflectie over de wijze waarop ze

wiskundige problemen oplossen en wiskundige informatie verwerven en verwerken. Elk van deze doelstellingen wordt hierna, in het omschreven vaardigheidsprofiel, uitvoerig toegelicht.

ET 1: De leerlingen analyseren, schematiseren en structureren wiskundige informatie

Onze snel evoluerende samenleving noopt tot soepelheid om snel en efficiënt problemen op te lossen. Geïnspireerd door het probleemoplossend denken en door zelfvertrouwen kweekt de leerling vorsings-drang om complexe problemen op te lossen. Problemen bevatten een reeks gegevens (informatie) en monden uit in een vraag tot oplossing. Teneinde deze oplossing te kunnen bereiken of alleszins na te streven, moeten de leerlingen de complexiteit van gegevens kunnen ontwarren (ontleden, analyseren), vanuit deze analyse de gegevens in schema brengen en dit schema inpassen in een passende en ver-antwoorde structuur.

ET 2: De leerlingen maken gebruik van wiskundige technieken zoals figuren maken en tabellen opstellen

Het analyseren, schematiseren en structureren van gegevens houdt ook in dat deze gegevens desgeval-lend beter gevisualiseerd worden via een figuur of een ordening in tabellen. De ontwikkeling van het ab-straheringsvermogen via de wiskunde van de derde graad mag geen aanleiding zijn om problemen een mystiek beeld te geven. Om deze reden is het nodig en noodzakelijk dat bij de leerlingen een natuurlijke reflex wordt aangekweekt om, zo mogelijk, wiskundige informatie te visualiseren bv via figuren of tabellen teneinde een beter inzicht te krijgen in oplossingsmogelijkheden. Feitelijk is dit een wiskundige techniek om gegevens anders voor te stellen.

ET 3: De leerlingen maken functioneel gebruik van ICT bij het oplossen van problemen

In de eerste graad is het rekentoestel een niet meer weg te denken didactisch hulpmiddel binnen de wis-kundeles. In de tweede graad is dit nog uitdrukkelijker het geval, alvast in die situaties waar al te tijdro-vende bewerkingen een harmonische ontwikkeling van de theorie in de weg staan. Naast het aangepast rekentoestel wordt hier ook gebruik gemaakt van de computer en passende software.

In de derde graad zal het functioneel gebruik van ICT-hulpmiddelen een logisch verlengstuk zijn van de aanwending hiervan, aangeleerd in de tweede graad. De leerlingen zijn intussen gewoon deze media te hanteren als hulpmiddel en nooit als doel op zich.


Uiteraard moet ook hier de bediening van de toetsen gelijke tred houden met de introductie van eventuele nieuwe begrippen en de daaraan gekoppelde nieuwe operaties.

De aandacht van die leerlingen moet blijvend worden getrokken op het stelsel van grootheden waarin wordt gewerkt.

ET 4: De leerlingen zullen bij het oplossen van een vraagstuk:

- relevante gegevens scheiden van niet relevante - gegevens met elkaar en met de probleemstelling in verband brengen - gegevens en gevraagde weergeven in een geschikt wiskundig model - het vraagstuk planmatig uitwerken

Bij de oplossing van een vraagstuk wordt de leerling vooreerst geconfronteerd met een arsenaal aan gegevens. Omdat niet alle gegevens bruikbaar zijn en sommige zelfs misleidend, moet de leerling de relevantie van elk gegeven kunnen inschatten om aldus de bruikbare van de niet bruikbare te scheiden. Deze relevantie wordt hetzij gedefinieerd hetzij nog versterkt door na te gaan in hoeverre er relaties be-staan tussen gegevens onderling – waardoor sommige relevante gegevens overbodig kunnen worden – en in hoeverre gegevens verband houden met het gestelde probleem. Teneinde de oplossing van een vraagstuk enerzijds te vergemakkelijken en anderzijds ook duidelijk te maken voor anderen worden de leerlingen ook als het ware gedrild in het schikken van gegevens en ge-vraagde. Er zijn voldoende en zelfs eenvoudige wiskundige modellen ter beschikking om deze ordening op te maken. Als bij het bepalen van de relevante gegevens en het gevraagde orde een vereiste is, is het logisch dat hetzelfde kenmerk ook wordt weerspiegeld in de uitwerking van de oplossing. Concreet zal de leerling hierbij planmatig tewerk gaan. Dit laat hem ook toe om bij het bereiken van het resultaat na te gaan of er geen redeneerfouten en/of rekenfouten zijn gemaakt. Desgevallend kunnen deze fouten dan ook gemak-kelijk en vlot worden opgespoord en verbeterd. Oplossingen in de ruime zin betekenen echter zoveel meer; ze zijn in wezen het antwoord op elk gesteld probleem. Dus beperkt de controle vanwege de leerling zich allerminst tot het hanteren van rekentech-nieken. Bij het leveren van een oplossing is de wettiging van elke tussenstap vereist; bij een vraag naar een ge-bruikte eigenschap dient het antwoord gekozen binnen een passende cluster; bij het uitkiezen van een formule moet het zinvolle ervan worden nagetrokken.

ET 5: De leerlingen hanteren wiskundige regels en conventies en passen ze correct toe

Het behoort tot de taak van de leerkracht, en dit bij vele gelegenheden, de diverse oplossingsmethodes door de leerlingen aangereikt (en tegelijk voor- en nadelen ervan) tegen elkaar af te wegen.

Dit uit zich alvast op het eenvoudigste echelon waar, reeds bij elementaire oefeningen, bestaande reken-regels toelaten om naast de geijkte volgorde van de bewerkingen, en dit met goed gevolg, alternatieve wegen te kiezen.

Men vindt dit tweespoor ook terug bij het uitrekenen van een veranderlijke in een formule, waar nu eens het omvormen van de formule en het berekenen van de overeenstemmende getalwaarde, dan weer het aanvankelijk invullen van de gegeven waarden en het oplossen van de betrokken vergelijking, uitsluitsel geven. Functies worden al eens op gelijkaardige wijze behandeld.

Dit is ook waar voor de terminologie, vooral gesitueerd in de theorie over de bewerkingen en de rekenre-gels, die reeds volop in de eerste graad werd bijgebracht en in de tweede graad nog maar eens uitvoerig werden herhaald of uitgebreid. In de derde graad blijft dit ook gelden voor de "nieuwe" terminologie, vooral gecentreerd rond de theorie der functies en de statistiek.

De facto blijven de leerlingen trouw aan de aangeleerde wiskundige regels en conventies.

ET 6: De leerlingen verantwoorden keuzes m.b.t. representatie en gevolgde werkwijze

Waar in de tweede graad het bij de hand leiden - via de leerkracht dan - doorheen het geschakeerde aanbod van representatie- en oplossingstechnieken, geleidelijk de plaats ruimt voor - via de leerling dan - weloverwogen individuele initiatieven, zal deze leerling in de derde graad zijn keuze m.b.t. representatie en gevolgde werkwijze zelfstandig maken en deze keuze ook verantwoorden.


De leerling zal nu langs het pad van door hem gevonden invalswegen en het tegen elkaar afwegen van voor- en nadelen ervan een niet langer opgelegde, maar naar eigen smaak en interesse uitgestippelde zelfstandige keuze maken en deze ook motiveren.

ET 7: De leerlingen geven voorbeelden van het gebruik van wiskunde in andere vakgebieden en in de maatschappij

Het is precies de toepasbaarheid van de wiskunde in andere vakgebieden en in de maatschappij die hoofdzakelijk de grootste rechtvaardiging van dit vak in het onderwijs uitmaakt. Zeker om deze reden moeten er in het onderwijs schikkingen getroffen worden om de toepassingen inderdaad tot hun volle recht te laten komen. Om een beter beeld te krijgen van deze bruikbaarheid is het noodzakelijk dat het gebruik van wiskundig materiaal in andere vakgebieden conform geschiedt aan de wijze waarop dit mate-riaal bij de leerlingen wordt aangebracht. Daarom ook is het volkomen zinloos dat de wiskunde in andere leervakken gevulgariseerd wordt tot enkele techniekjes. De conformiteit en de waardige behandeling van wiskunde in andere leervakken zal zeker ook door de leerlingen worden bewaakt. Zij kunnen getuigenis afleggen van het utilitaire karakter van de wiskunde en zij kunnen hiervan ook vlot voorbeelden geven.

Enerzijds omwille van hun leeftijd en anderzijds omwille van de betrokkenheid door de gevolgde studie-richting integreren deze leerlingen uit de derde graad zich langzaamaan in het maatschappelijk gebeuren. Zij krijgen daardoor ook gelegenheid te over o.a. tijdens een eventuele stage om het utilitair karakter van de wiskunde in de maatschappij te ervaren en hiervan ook voorbeelden te geven.

ET 8: De leerlingen zijn kritisch tegenover het gevonden resultaat

Het is vanzelfsprekend dat in de huidige visie op het wiskundeonderwijs het oplossen van reële toepas-singen en problemen bij elke mogelijke gelegenheid aan bod komt. Hierbij dient er zeker de nodige aan-dacht besteed te worden aan het interpreteren van het gevonden resultaat, waarbij een kritische blik ze-ker niet achterwege mag worden gelaten.

Statistiek is een voor de hand liggend deelprofiel om dit te realiseren, waarbij een veelvoud aan voor-beelden (met statistische gegevens uit de realiteit) dient te worden behandeld. Hier verdient het zeker de nodige aandacht het gebruik van statistiek in de media kritisch te bekijken, waarbij bijvoorbeeld het ver-vormen van grafische voorstellingen aan bod kan komen.

ET 9: De leerlingen zijn bereid hun leerproces bij te sturen op basis van reflectie over de wijze waarop ze wiskundige problemen oplossen en wiskundige informatie verwerven en verwer-ken

Het is logisch dat leerlingen bij het ervaren van moeilijkheden bij het oplossen van wiskundige problemen en het verwerven en verwerken van wiskundige informatie, deze moeilijkheden trachten te overwinnen. Dit vraagt in de meeste gevallen een bijsturing van het leerproces, waarbij de rol van de leerkracht zeker niet mag worden onderschat. Deze bijsturing van het leerproces is een belangrijke attitude voor de toe-komst van de leerlingen, hetzij bij verdere studies, hetzij in het beroepsleven. Daarom verdient deze doelstelling zeker de nodige aandacht.


2 Vakoverschrijdend Voorbeschouwingen Het is naïef een of andere vakoverschrijdende eindterm te willen vastpinnen op een of meer vakinhoudelijke doelstellingen. Het is de totaliteit van de vakinhoudelijke doelstellingen die tot een bepaalde vakoverschrijdende eindterm bijdraagt.

Het is even naïef een bepaalde vakoverschrijdende eindterm mordicus via één of meer vakinhoudelijke doelstellingen gestalte te willen geven. Het zou niet enkel volslagen kunstmatig overkomen, maar tevens een nulrendement opleveren.

Vanuit dit standpunt benaderd, zijn de vakoverschrijdende eindtermen geen doelstellingen van neven- of ondergeschikt belang, maar zijn ze veeleer "lichtbakens" die de vakinhoudelijke doelstellingen helpen oriënteren.

In het verlengde daarvan is het dan wel zo dat iedere afzonderlijke vakinhoudelijke doelstelling een dub-bele functie heeft. Enerzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de wiskunde, anderzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de betrokken vakoverschrij-dende eindterm.

Dergelijke tweesporige benadering, “wiskunde om de wiskunde” langs de ene kant, “wiskunde als vakoverschrijdende hefboom” langs de andere kant, verleent hoe dan ook een meerwaarde aan de interpretatie en aan de draagwijdte, kortom aan de verwerking van het leerplan.

A LEREN LEREN

1 Opvattingen over leren Elk leerplan moet, al was het maar vanuit het oogpunt van zijn coherentie, de aaneenschakeling zijn van het opslaan, het ordenen, het (her)structureren en het extrapoleren van een, voor een goed vervolg, on-ontbeerlijke parate kennis. De diverse leerplannen wiskunde spelen hier stellig op in, niet enkel extern bekeken over de leerjaren heen (verticale dimensie), maar ook intern gefocust op één leerjaar (horizontale dimensie). Die evolutie, niet enkel in aanpak maar ook in moeilijkheidsgraad, die achtereenvolgens geheugen, in-zicht, abstractievermogen en oplossingsvaardigheid stimuleert, gaat uiteraard gepaard met een parallelle evolutie en soepelheid in leeropvattingen en leermotieven, kortom in leerstijl, bij de leerlingen.

2 Informatie verwerven en verwerken Informatie op een efficiënte manier verwerven impliceert vooreerst een inzichtelijke kennis van alle beschikbare informatiebronnen, niet te vergeten, en allicht in eerste instantie van het eigen geheugen.

Informatiebronnen op een kritische manier kiezen heeft veeleer uitstaans met het positioneren van het betrokken probleem binnen de juiste context van de leerstof.

Informatie op een efficiënte manier verwerken stoelt in hoofdzaak op de vaardigheid om vlot, en dit naargelang van het betrokken probleem, van formele naar informele taal of andersom te kunnen overstappen. Het steunt kortom op de taal-, respectievelijk mathematiseringsvaardigheid van de leerling.

Informatie kritisch verwerken doet dan weer beroep op het analytisch, respectievelijk het synthetisch vermogen waardoor een functionele toepassing in verschillende situaties vanzelfsprekend wordt.

Hoe dan ook is het efficiënt en kritisch verwerven en verwerken van informatie geslaagd in de mate dat ze bijdragen tot het probleemoplossend denken bij de leerling en tot een verantwoorde evaluatie van de gevonden oplossingen.

Van alle hoger geciteerde aspecten rond verwerken en verwerven van informatie zijn de leerplannen wiskunde doordrongen.

3 Regulering van het leerproces (Zelf)regulering is een groeiproces dat, zoals elke attitude, vele watertjes moet doorzwemmen alvorens te worden bereikt.


Een realistische werken tijdsplanning vergt, naast grondig inzicht in de taak waarvoor men geplaatst staat, vooral een wikken en wegen van eigen sterke en zwakke punten.

Het leerproces beoordelen op doelgerichtheid vergt een open oog voor het onderscheid tussen essentie en details, het kennen van het bestaan van diverse oplossingsmethodes en het maken van de meest efficiënte keuze hieruit.

Het trekken van toekomstgerichte constructieve conclusies uit leerervaringen is uiteraard pas mogelijk en zinvol na het lukken, maar eerder nog na het mislukken van vergelijkbare opdrachten.

Tenslotte is het indijken van het gevoel, dat mislukken veelal aan subjectieve oorzaken is toe te schrijven, enkel te bereiken via een in toenemende moeilijkheidsgraad goed gedoseerde oefeningencyclus die de leerling herhaaldelijk succeservaringen heeft opgeleverd.

Uit al wat voorafgaat moet blijken dat de rode draad op de weg naar (zelf)regulering in eerste instantie neerkomt op het aanbod van uitvoerig oefenmateriaal, bij voorkeur homogeen gespreid zowel in tijd als in moeilijkheidsgraad.

Het ligt in de aard van het vak zelf dat wiskundeleerplannen daar alle ruimte en gelegenheid toe bieden.

4 Keuzebekwaamheid De wiskunde in het leerplan van de derde graad wordt opgedeeld in onder meer: reële functieleer, alge-bra en statistiek . Dwars door die tussenschotten heen worden accenten afwisselend gelegd op:

• de rekenen tekenvaardigheid, • het inzichts- en abstraheringsvermogen, • de taal- en de mathematiseringsvaardigheid, • het analytische en het synthetische vermogen, • de theoretische en de praktische aspecten. Dit alles laat de leerling op ieder moment toe zich t.o.v. elk van die fragmentaire deelaspecten te positio-neren, eigen interesses en capaciteiten te taxeren, kortom een zelfbeeld te vormen op basis van be-trouwbare gegevens.

Levert bovenstaande een antwoord op de vraag naar zelfconceptverheldering, dan dient diezelfde opsomming van fragmentaire deelaspecten als leidraad voor horizonverruiming, in die zin dat een al dan niet positieve invulling ervan de leerling het besef bijbrengt van zijn studie- en beroepsmogelijkheden.

Uiteindelijk brengt die onbevooroordeelde houding ten aanzien van studieloopbanen en beroepen de leerling bij dat een keuzestrategie neerkomt op het opmaken van een balans waarbij diverse deelaspecten tegen elkaar worden afgewogen en waarin de leerling zich moet kunnen positioneren.

B SOCIALE VAARDIGHEDEN

1 Interactief competenter worden Wiskunde is één van die vakken die het op elk moment mogelijk maakt om de leerling interactief bij het leerproces te betrekken.

Dit gebeurt dan via opdrachten die, qua moeilijkheidsgraad, variëren van "routinevragen" die omzeggens louter het geheugen aftasten, over "verstandsvragen" die naar inzicht en abstraheringsvermogen peilen, tot "uitdagingen" die het analytisch en synthetisch vermogen op de proef stellen.

Omdat leerlingen in de derde graad nog meer zelfstandig en actiever in samenwerkingsverband moeten leren werken, leren zij daardoor voor- en nadelen van relatievormen kennen, leren zij eigen emoties beheer-sen en die van anderen herkennen en kunnen zij daardoor ook bewuste keuzes maken m.b.t. relatievormen.

2 Streven naar duidelijke communicatie Enkel datgene wat men degelijk beheerst, kan men klaar en duidelijk uitleggen. Dit is alleszins een motto waartoe de wiskunde meer dan haar steentje bijdraagt.

Wordt tijdens de fase van het opslaan van parate kennis nog vrede genomen met een tekstueel nazeggen van definities en eigenschappen, dan wordt tijdens de opeenvolgende fasen van het ordenen en het (her)structureren van diezelfde parate kennis van de leerling verwacht dat hij zich met eigen woorden en even correct van alle verworven terminologie kan bedienen, om uiteindelijk, tijdens de fase van het


extrapoleren, de gekozen oplossingsmethodes en de daaraan voorafgaande redeneringen voldoende vlot te kunnen verwoorden.

Kennis van het zelfbeeld en respect voor de anderen laten toe om situaties van daaruit te benaderen.

3 Constructief participeren aan de werking van sociale groepen Niet alleen vanuit al dan niet in de les opgedragen samenwerkingsvormen met andere leerlingen, maar ook vanuit de ervaring van het groepsleven waarin de leerling door het schoolsysteem wordt gedompeld, leert elke leerling de doelstellingen van de groeperingsvormen formuleren en realiseren. Zij leren daardoor ook optimaal rendement halen uit de belangen en de risico’s van deze samenlevings- en samenwerkingsvormen, maar ervaren ook de noodzaak aan evenwicht tussen individueel en groepsbelang. Inherent hieraan worden zij dan ook uitgedaagd om in respect voor gezag en beperkingen hun eigen verantwoordelijkheid op te nemen.

4 Conflicthantering en overleg In het verlengde van het “zorg dragen voor relaties” kunnen, ditmaal op microniveau, groepsopdrachten, gecentreerd rond ietwat complexere wiskundeopgaven, die "link" met bovenvermelde relatieaspecten nog verder verstevigen. In overleg gemaakte afspraken en gelijkwaardige taakverdelingen zijn hier alvast volop aan de orde. Conflicten zijn hierbij niet uitgesloten. De leerlingen leren hiervan de rol en de benadering kennen. Zij leren tevens deze conflicten te hanteren in een evenwicht van eigenbelang en respect voor de anderen en passen hiervoor de aangewezen strategieën toe.

C OVERIGE VAKOVERSCHRIJDENDE RUBRIEKEN Het uitgebreid focussen op de vakoverschrijdende eindtermen rond LEREN LEREN enerzijds, SOCIALE VAARDIGHEDEN anderzijds, wil geenszins zeggen dat wiskunde zich van de overige vakoverschrijdende rubrieken compleet distantieert.

Het betekent wel dat haar aanpak op die andere terreinen eerder onrechtstreeks gebeurt en alleszins veeleer op occasionele leest is geschoeid.

Uiteraard zullen zij vanuit hun groeiende volwassenheid zowel op school als daarbuiten meer betrokken worden bij milieu-initiatieven en leren zij dit milieu nog beter identificeren en respecteren. Hun zorg voor milieu en natuur en hun verantwoord omgaan met verkeer en mobiliteit vanuit een ruimtelijk beleidsinzicht draagt bij tot hun versterking in MILIEUEDUCATIE.

Zo kan niet worden ontkend dat de zorg besteed aan het in groep probleemoplossend samenwerken nauwelijks anders kan dan positief inwerken op het inoefenen van inspraak en participatie, het onderscheiden van meerderheids- en minderheidsstandpunten, het erkennen van rechten en plichten, het respecteren van de argumenten van anderen, kortom het opwaarderen van een serie aspecten uit OPVOEDEN TOT BURGERZIN.

Het gewicht van wiskunde binnen het curriculum - niet enkel het aantal wekelijkse lesuren, maar vooral het decisieve karakter bij de keuze van verdere studierichtingen spelen hier een hoofdrol - brengt met zich mee dat de leerkracht wiskunde, zij het dan wel latent en ten dele onbewust, voortdurend de leerling leert omgaan met taakbelasting en examenstress, alleszins één van de belangrijkste aspecten uit het uitgebreide gamma van de GEZONDHEIDSEDUCATIE.

Wiskunde, al was het maar omwille van de logica in haar opbouw en de variatie in de oplossingsmethodes op zich reeds een oase van creativiteit, kan, via passend gekozen oefenmateriaal en de inbreng van illustra-tieve ICT-middelen, aan de abstracte dimensie van die creativiteit een concretere invulling bezorgen en aldus bijdragen tot de MUZISCH-CREATIEVE VORMING, meer i.h.b. gesitueerd in de schilder-, beeldhouw- en bouwkunst.

TSO

/KS

O – 3e graad – G

eïntegreerd leerplan A

V W

iskunde (1e leerjaar: 6 lt/week, 2e leerjaar: 6 lt/w

eek) 12

LEERINHOUDEN

1 Algebra

Het profiel “Algebra”, bekeken als globaal curriculum voor het geheel van het SO, situeert zich in hoofdzaak binnen de tweede graad. De deelprofielen die naar de derde graad zijn doorgeschoven, kan daarom slechts een aanvullende en/of dienende rol worden toegemeten.

Het deelprofiel “Vergelijkingen en ongelijkheden” is van die dubbele functie een treffend voorbeeld, in die zin dat reeds bestudeerde soorten vergelijkingen met nieuwe types worden uitgebreid (aanvullende rol), terwijl, via vergelijkingen van rechten en vlakken enerzijds en het berekenen van de nulwaarden van gegeven functies anderzijds, respectievelijk tot de analytische meetkunde en de analyse een markante bijdrage wordt geleverd (dienende rol).

Het deelprofiel “Matrices” nestelt zich veeleer in een dienende rol via het aanreiken van modellen op de weg naar markante structuren in de wiskunde (groe-pen, vectorruimten), maar vooral als ondersteuning bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen van de eerste graad.

Het deelprofiel “Complexe getallen”, als sluitstuk van de gestage uitbreiding van het getalbegrip, met zijn opheffen van de uitzonderingen bij tot zover onuit-voerbare bewerkingen, met zijn veralgemening van het aantal oplossingen bij gegeven veeltermvergelijkingen en met zijn, via het vlak van Gauss, nieuwe invulling van het geijkte vlak, hoort veeleer thuis in het domein der aanvullingen.

In die logische lijn van “aanvullen en dienen” ligt het voor de hand dat het profiel “Algebra” eerder vooraan in de afwerking van het leerplan postvat, met niet-temin de bedenking dat met het oplossen van de nieuwe types vergelijkingen het best kan worden gewacht tot op het moment dat de overeenstemmende functies in de analyse aan bod komen. Precies daarom werd “Vergelijkingen en ongelijkheden” vanuit het profiel “Algebra” in een voor de hand liggende ge-spreide volgorde naar het profiel “Analyse” overgeheveld.

1.1 Matrices

ET Leerinhouden Leerplandoelstellingen

1.1.1 Definitie, terminologie, notaties De leerlingen: • kennen de definitie van een matrix; • kennen de gepaste terminologie en notaties en kunnen deze gebruiken.

1.1.2 Bijzondere matrices De leerlingen kennen een rijmatrix, een kolommatrix, een vierkante matrix, een drie-hoeksmatrix, een diagonaalmatrix, de eenheidsmatrix, de nulmatrix.

1.1.3 Optellen van matrices De leerlingen: • kunnen matrices optellen; • kennen de eigenschappen die van de verzameling van de matrices met de optel-

ling een commutatieve groep maken.

TSO

/KS



V W


eek) 13


1.1.4 Vermenigvuldigen van matrices met een scalair De leerlingen: • kunnen matrices vermenigvuldigen met een reëel getal; • kennen de eigenschappen die van de verzameling van de matrices voorzien van

de optelling een vectorruimte maken. 1.1.5 Vermenigvuldigen van matrices De leerlingen kunnen matrices vermenigvuldigen.

1.1.6 Transponeren van matrices De leerlingen kunnen matrices transponeren.

1.1.7 Toepassingen op bewerkingen met matrices De leerlingen: • kunnen met behulp van ICT vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een

migratiematrix of een Lesliematrix; • kunnen met behulp van ICT een evenwichtstoestand bepalen.

1.2 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen


1.2.1 Coëfficiëntenmatrix, verhoogde matrix De leerlingen kunnen voor een gegeven stelsel vergelijkingen van de eerste graad de bijhorende coëfficiëntenmatrix en verhoogde matrix bepalen.

1.2.2 Gelijkwaardige stelsels en elementaire rijoperaties De leerlingen kunnen elementaire rijoperaties toepassen die de gelijkwaardigheid van de overeenstemmende stelsels vergelijkingen van de eerste graad bewaren.

1.2.3 Stelsel vergelijkingen van de eerste graad De leerlingen kunnen de oplossingsmethode van Gauss-Jordan toepassen.

1.2.4 Toepassingen De leerlingen kunnen vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een stelsel ver-gelijkingen van de eerste graad, eventueel met behulp van ICT.

1.3 Complexe getallen


1.3.1 Definitie, terminologie, notaties De leerlingen: • kennen het begrip complex getal; • kennen de gepaste terminologie en notaties en kunnen deze gebruiken.

1.3.2 Optelling De leerlingen: • kunnen de som berekenen van complexe getallen; • kennen de eigenschappen die van de verzameling van de complexe getallen voor-

zien van de optelling een commutatieve groep maken.

TSO

/KS



V W


eek) 14


1.3.3 Vermenigvuldiging De leerlingen: • kunnen het product berekenen van complexe getallen; • kennen de eigenschappen die van de verzameling van de complexe getallen voor-

zien van de vermenigvuldiging een commutatieve groep maken. 1.3.4 Machtsverheffing De leerlingen kunnen de k-de macht van een complex getal berekenen.

1.3.5 Vierkantsworteltrekking De leerlingen kunnen algebraïsch vierkantswortels uit een complex getal berekenen.

1.3.6 Vergelijkingen van de tweede graad De leerlingen kunnen vergelijkingen van de tweede graad oplossen in .

1.3.7 Goniometrische gedaante De leerlingen: • kunnen complexe getallen voorstellen in het vlak van Gauss; • kennen de begrippen modulus en argument en kunnen ze berekenen; • kennen de goniometrische gedaante van een complex getal.

1.3.8 Vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing in goniometrische gedaante

De leerlingen: • kunnen product, quotiënt en macht berekenen van complexe getallen in goniome-

trische gedaante; • kennen de formule van de Moivre.

1.3.9 Worteltrekking De leerlingen kunnen goniometrisch de n-de wortels berekenen uit een complex getal.

1.3.10 Binomiaalvergelijkingen De leerlingen: • kennen het begrip binomiaalvergelijking; • kunnen binomiaalvergelijkingen oplossen.

TSO

/KS



V W


eek) 15

2 Goniometrie

Goniometrie in de tweede graad volgde een tweespoor met aan de ene kant de introductie van de goniometrische getallen via de goniometrische cirkel aan-gevuld met enkele basisformules (goniometrie) en aan de andere kant het berekenen van ontbrekende elementen in meetkundige figuren (driehoeken, re-gelmatige veelhoeken) waarvan voldoende numerieke gegevens zijn verstrekt (driehoeksmeting).

Voortzetting in de derde graad van dit eerste spoor leidt tot een fundamentele uitbreiding van het in de tweede graad opgestarte formularium.

Het tweede spoor, dat uitmondde op een infiltratie van de goniometrie in de meetkunde, wordt in de derde graad naar andere profielen verlegd. De studie van de goniometrische functies gekoppeld aan het oplossen van goniometrische vergelijkingen, de goniometrische substituties bij het berekenen van integra-len en de goniometrische gedaante van complexe getallen zijn evenveel ervaringen van het feit dat goniometrie eveneens voeling houdt met zowel analyse als met algebra.

Zo bekeken groeit de goniometrie van de derde graad uit tot een krachtig werkinstrument dat, vaak vanuit een totaal andere invalshoek, een constante bij-drage tot problem solving waarborgt.

Lijkt het aangewezen om de uitbreiding van het goniometrische formularium vooraan in de verwerking van de leerstof te situeren, dan kan met bovenvermel-de overige infiltraties best gewacht worden tot de betrokken items (studie van goniometrische functies en integraalrekening in de analyse, complexe getallen in de algebra) aan de orde zijn.

2.1 Goniometrie


2.1.1 Radiaal De leerlingen: • kennen het begrip radiaal; • kunnen de grootte van een hoek uitdrukken in radialen; • kunnen radialen omzetten in graden en omgekeerd.

2.1.2 Sinus, cosinus, tangens en cotangens van een reëel getal

De leerlingen kunnen de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een reëel getal berekenen.

2.1.3 Goniometrische getallen van verwante hoeken De leerlingen: • kunnen de goniometrische getallen van verwante hoeken berekenen; • kunnen een hoek herleiden naar het eerste kwadrant op de goniometrische cirkel.

2.2 Formules


TSO

/KS



V W


eek) 16


2.2.1 Optellingsformules De leerlingen: • kennen de optellingsformules voor sinus, cosinus en tangens; • kunnen deze formules bewijzen en toepassen.

2.2.2 Verdubbelingsformules De leerlingen: • kennen de verdubbelingsformules voor sinus, cosinus en tangens; • kunnen deze formules bewijzen en toepassen.

2.2.3 Halveringsformules (formules van Carnot) De leerlingen: • kennen de halveringsformules voor sinus en cosinus; • kunnen deze formules bewijzen en toepassen.

2.2.4 Formules van Simpson De leerlingen: • kennen de formules van Simpson die een som van cosinussen of sinussen omzet-

ten in een product; • kennen de formules van Simpson die een product van cosinussen en sinussen

omzetten in een som; • kunnen deze formules bewijzen en toepassen.

TSO

/KS



V W


eek) 17

3 Analyse

Het profiel “Analyse” onderscheidt zich van de overige profielen, in die zin dat het, in afwijking van algebra, goniometrie en meetkunde, niet of nauwelijks op verworven resultaten uit vorige leerjaren kan terugvallen. Dit aspect is ervoor verantwoordelijk dat bij de start van de analyse als het ware van een blanco blad dient uitgegaan.

Het leerplan analyse behelst in hoofdzaak de studie van de reële functies in het algemeen en van een aantal frequent voorkomende types in het bijzonder.

Die studie vergt dan wel de steun van een serie van hulpmiddelen die, afgezien van ICT-middelen die in hoofdzaak bij het tekenen van grafieken en de be-rekening van ingewikkelde uitdrukkingen steun verlenen, deels tot de analyse zelf, deels tot andere profielen kunnen worden gerekend.

Bij de “hulpmiddelen uit de analyse zelf” denken we aan begrippen zoals continuïteit, limiet, asymptoot, afgeleide en integraal. Bij de “andere hulpmiddelen” horen, naast de oplossingstechnieken bij de diverse soorten vergelijkingen, het stichten van de begrippen macht met reële exponent en n-de wortel als aan-loop tot de exponentiële functie evenals een voortgezette studie van de goniometrische cirkel en het werken met radialen als voorbereiding op de goniome-trische functie.

Aldus opgevat lopen doorheen het leerplan analyse twee rode draden met aan de ene zijde de studie van de zes soorten functies zoals in de inhoudsopgave geëxpliciteerd en aan de andere zijde de studie van de hulpmiddelen zoals in vorige alinea opgesomd.

Bindweefsel van beide rode draden wordt dan gevormd door de vaak numeriek getinte en vakoverschrijdende toepassingen met uitschieters zoals extre-mumvraagstukken binnen de afgeleiden, groeivraagstukken binnen de exponentiële functie en berekeningen omtrent oppervlakte, inhoud en booglengte binnen de integraalrekening.

Een “gezonde” mix van dit alles, anders gezegd een aanpak die het bijbrengen en het inoefenen van de theoretische fundamenten via het principe van spiral learning in de tijd spreidt, zou hierin kunnen bestaan alvast de eerste vier pijlers van de hulpmiddelen uit de analyse (continuïteit, limiet, asymptoot, afgelei-de) initieel louter aan de hand van de veeltermfuncties en rationale functies aan te brengen om ze gaandeweg bij de resterende soorten functies uit te die-pen.

Zo opgedeeld biedt de analyse zich aan als een dermate consistent en coherent geheel dat, eenmaal opgestart, vereist dat het, zij het partieel over de week gespreid, ononderbroken dient afgewerkt.

3.1 Over reële getallen


3.1.1 Absolute waarde van een reëel getal De leerlingen: • kennen het begrip absolute waarde; • kunnen eenvoudige functies met absolute waarden, grafisch voorstellen.

3.1.2 De verzameling { },= ∪ − ∞ +∞ De leerlingen kennen: • de uitgebreide reële rechte;

TSO

/KS



V W


eek) 18


• de rekenregels in ;

• de onbepaalde gevallen bij het rekenen in . 3.1.3 Intervallen in De leerlingen kunnen werken met intervallen (open, gesloten, halfopen) in .

3.2 Reële functies


10 Reële functie De leerlingen: • kennen de definitie van een reële functie; • kennen de drie aspecten van een reële functie, namelijk functievoorschrift, tabel en

grafiek.

10 Domein, bereik De leerlingen: • kennen de begrippen domein en bereik; • kunnen domein en bereik aflezen op een grafiek.

10 Nulwaarden, tekenverloop De leerlingen: • kennen de begrippen nulwaarde en tekenverloop; • kunnen nulwaarde en tekenverloop aflezen op een grafiek.

10 Stijgen/dalen/constant zijn, extrema De leerlingen: • kennen de begrippen stijgen/dalen/constant zijn en extremum; • kunnen stijgen/dalen/constant zijn en extremum aflezen van een grafiek.

10 Symmetrie De leerlingen kunnen symmetrieën aflezen op een grafiek

3.3 Veeltermfuncties


3.3.1 Veeltermvergelijkingen De leerlingen kunnen vergelijkingen van hoogstens graad 3 in 1 onbekende oplossen, zonodig door middel van afsplitsen van een oplossing.

10

11

3.3.2 Veeltermfunctie De leerlingen kunnen: • aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, het bereik, de nul-

waarden en het tekenverloop bepalen van veeltermfuncties van de derde graad; • aan de hand van de grafiek het stijgen/dalen en de extrema van veeltermfuncties

van de derde graad bepalen;

TSO

/KS



V W


eek) 19


• met behulp van ICT de grafiek lezen van veeltermfuncties van graad hoger dan drie.

3.3.3 Veeltermongelijkheden De leerlingen kunnen ongelijkheden van hoogstens graad 3 in 1 onbekende oplossen.

U 3.3.4 Even en oneven functies De leerlingen: • kunnen aan de hand van het voorschrift bepalen of een functie even of oneven is; • kennen de grafische kenmerken van even en oneven functies.

3.3.5 Meervoudig functievoorschrift De leerlingen kunnen een grafische voorstelling maken van functies met meervoudig voorschrift, opgebouwd uit veeltermfuncties.

13 3.3.6 Toepassingen De leerlingen kunnen: • een vraagstuk of probleem, dat aanleiding geeft tot een veeltermfunctie of veel-

termongelijkheid, wiskundig formuleren; • de bekomen vergelijking of ongelijkheid oplossen, eventueel met behulp van ICT; • de gevonden oplossing vertalen naar het antwoord van het oorspronkelijke vraag-

stuk of probleem.

3.4 Rationale functies


3.4.1 Rationale vergelijkingen De leerlingen kunnen rationale vergelijkingen oplossen, waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee.

10

11

3.4.2 Rationale functie De leerlingen kunnen aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, het bereik, de nulwaarden en het tekenverloop bepalen van rationale functies waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee.

3.4.3 Rationale ongelijkheden De leerlingen kunnen rationale ongelijkheden oplossen, waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee.

13 3.4.4 Toepassingen De leerlingen kunnen: • een vraagstuk of probleem, dat aanleiding geeft tot een rationale vergelijking of

ongelijkheid waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee, wiskundig formuleren;

• de bekomen vergelijking of ongelijkheid oplossen, eventueel met behulp van ICT; • de gevonden oplossing terug vertalen naar de oplossing van het oorspronkelijke

vraagstuk of probleem.

TSO

/KS



V W


eek) 20

3.5 Continuïteit en limieten


3.5.1 Continuïteit in een reëel getal De leerlingen kennen: • de grafische betekenis van het continu of niet continu zijn van een reële functie in

een reëel getal; • de (ε,δ)-definitie van continuïteit van een reële functie in een reëel getal.

3.5.2 Continuïteit in een interval De leerlingen kennen het begrip continuïteit in een interval.

U 3.5.3 Stelling van Bolzano De leerlingen kennen: • de stelling van Bolzano en de grafische betekenis ervan (zonder bewijs); • de tussenwaardestelling en de grafische betekenis ervan (zonder bewijs).

U 3.5.4 Benaderingsmethodes voor nulwaarden De leerlingen kunnen, met behulp van ICT, nulwaarden van een functie bepalen door middel van: • de methode van Bolzano of de methode van het midden; • de regula falsi.

10 3.5.5 Het begrip limiet De leerlingen kennen: • de grafische betekenis van het begrip limiet, zowel voor eigenlijke als oneigenlijke

limieten; • de (ε-δ)-definitie van limiet van een reële functie in een reëel getal.

3.5.6 Berekenen van limieten De leerlingen kunnen eigenlijke en oneigenlijke limieten berekenen van veeltermfunc-ties en rationale functies.

3.5.7 Het getal e De leerlingen kennen het getal e als een bijzondere limiet.

3.6 Asymptoten


10 3.6.1 Asymptotisch gedrag De leerlingen kennen de grafische betekenis van het asymptotisch gedrag van een reële functie.

3.6.2 Bepalen van asymptoten De leerlingen kunnen horizontale, verticale en schuine asymptoten van rationale func-ties bepalen, eventueel met behulp van ICT.

TSO

/KS



V W


eek) 21

3.7 Afgeleiden


12 3.7.1 Afgeleid getal De leerlingen: • kennen de definitie van afgeleid getal; • kunnen bij functies met behulp van het begrip limiet het verband leggen tussen:

- het begrip afgeleide, - het begrip differentiequotiënt, - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek, - de maat voor de ogenblikkelijke verandering.

3.7.2 Afgeleide functie De leerlingen kennen de definitie van afgeleide functie en kunnen dit op een gepaste wijze noteren.

3.7.3 Rekenregels De leerlingen: • kunnen de afgeleide functie berekenen van ( ) ( )= ∈f x c c en ( ) nf x x= (met

0∈n );

• kennen de rekenregels voor het afleiden van een som, een product en een quoti-ent van functies;

• kennen de kettingregel voor het afleiden van samengestelde functies; • kunnen deze rekenregels toepassen.

12 3.7.4 Betekenis eerste afgeleide De leerlingen: • kennen het verband tussen stijgen/dalen van een functie en het teken van de eer-

ste afgeleide; • kunnen met behulp van de eerste afgeleide eventuele extrema van een functie

bepalen.

U 3.7.5 Benaderingsmethode voor nulwaarden De leerlingen kunnen, met behulp van ICT, nulwaarden van een functie bepalen door middel van de methode van Newton-Raphson.

3.7.6 Regel van de l’Hospital De leerlingen kunnen de regel van de l’Hospital voor het berekenen van limieten toe-passen.

3.7.7 Betekenis tweede afgeleide De leerlingen: • kennen het verband tussen hol/bol zijn van de grafiek van een functie en het teken

van de tweede afgeleide; • kunnen met behulp van de tweede afgeleide eventuele buigpunten van een functie

bepalen.

TSO

/KS



V W


eek) 22


13 3.7.8 Extremumvraagstukken De leerlingen kunnen extremumvraagstukken, die aanleiding geven tot veeltermfunc-ties en rationale functies, oplossen, eventueel met behulp van ICT (ook problemen van buiten de wiskunde).

3.8 Verloop van functies


3.8.1 Algemene werkwijze De leerlingen kennen aan de hand van een stappenplan de algemene werkwijze om het verloop van een functie te onderzoeken.

11 3.8.2 Verloop van een veeltermfunctie De leerlingen kunnen het verloop van een veeltermfunctie uitleggen.

11 3.8.3 Verloop van een rationale functie De leerlingen kunnen het verloop van een rationale functie uitleggen.

3.9 Irrationale functies


3.9.1 n-de wortels in De leerlingen kunnen n-de wortels berekenen in .

3.9.2 Machten met rationale exponenten De leerlingen: • kennen de definitie van een macht met

- een negatieve exponent, - een rationale exponent;

• kunnen de elementaire rekenregels toepassen bij machten met negatieve en ratio-nale exponenten.

3.9.3 Inverse functie De leerlingen kunnen voor geschikte domeinen een verband leggen tussen nx en n x

(in het bijzonder voor n=2 en n=3) en conclusies trekken in verband met hun grafieken.

3.9.4 Irrationale vergelijkingen De leerlingen kunnen eenvoudige irrationale vergelijkingen oplossen.

10

11

3.9.5 Irrationale functie De leerlingen kunnen aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, het bereik, de nulwaarden en het tekenverloop bepalen van irrationale functies.

U 3.9.6 Limieten De leerlingen kunnen limieten berekenen van irrationale functies, eventueel met behulp van ICT.

U 3.9.7 Asymptoten De leerlingen kunnen asymptoten bepalen van irrationale functies met behulp van ICT.

TSO

/KS



V W


eek) 23


3.9.8 Afgeleiden De leerlingen kennen de rekenregels voor het afleiden van irrationale functies en kun-nen deze toepassen.

13 3.9.9 Toepassingen De leerlingen kunnen: • een vraagstuk of probleem, dat aanleiding geeft tot een irrationale vergelijking,

wiskundig formuleren; • de bekomen vergelijking oplossen, eventueel met behulp van ICT; • de gevonden oplossing vertalen naar het antwoord van het oorspronkelijke vraag-

stuk of probleem; • extremumvraagstukken oplossen die aanleiding geven tot irrationale functies,

eventueel met behulp van ICT.

U 3.9.10 Verloop van een irrationale functie De leerlingen kunnen het verloop van een irrationale functie onderzoeken.

3.10 Exponentiële functies


3.10.1 Machten met reële exponenten De leerlingen kennen het begrip macht met een reële exponent.

10

11

3.10.2 Exponentiële functie De leerlingen kunnen aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, het bereik, enkele bijzondere waarden en het tekenverloop bepalen van exponentiële func-ties.

3.10.3 Limieten De leerlingen kunnen limieten berekenen van exponentiële functies.

3.10.4 Asymptoten De leerlingen kunnen asymptoten bepalen van exponentiële functies.

3.10.5 Afgeleiden De leerlingen kennen de rekenregels voor het afleiden van exponentiële functies en kunnen deze toepassen.

3.10.6 Exponentiële vergelijkingen De leerlingen kunnen eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen, zonder het gebruik van logaritmen.

U 3.10.7 Verloop van exponentiële functies De leerlingen kunnen het verloop van eenvoudige exponentiële functies onderzoeken.

3.11 Logaritmische functies


3.11.1 Logaritmen De leerlingen:

TSO

/KS



V W


eek) 24


• kennen de definitie van een logaritme met een willekeurig grondtal; • kunnen de onderstaande rekenregels toepassen:

- logaritme van een product, - logaritme van een quotiënt, - logaritme van een macht, - verandering van grondtal.

10

11

3.11.2 Logaritmische functie De leerlingen: • kennen de logaritmische functie als inverse van de exponentiële functie; • kunnen aan de hand van het functievoorschrift een tabel, het domein, het bereik,

enkele bijzondere waarden, het stijgen of dalen en het tekenverloop bepalen van logaritmische functies.

U 3.11.3 Logaritmische schaal De leerlingen: • kennen het begrip logaritmische schaal; • kunnen het verschil uitleggen tussen het gebruik van lineair papier, enkel logarit-

misch papier en dubbel logaritmisch papier, en kunnen op elk van deze types een grafische voorstelling tekenen.

3.11.4 Limieten De leerlingen kunnen limieten berekenen van logaritmische functies.

3.11.5 Asymptoten De leerlingen kunnen asymptoten bepalen van logaritmische functies.

3.11.6 Afgeleiden De leerlingen kennen de rekenregels voor het afleiden van logaritmische functies en kunnen deze toepassen.

3.11.7 Exponentiële vergelijkingen De leerlingen kunnen eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen.

10

13

3.11.8 (Groei)toepassingen De leerlingen: • kennen het onderscheid tussen een lineair en een exponentieel groeiproces; • kunnen vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot exponentiële vergelijkin-

gen; • kunnen de oplossingen van deze vraagstukken grafisch interpreteren; • kennen de begrippen beginwaarde, groeifactor, groeipercentage, halveringstijd en

verdubbelingstijd.

U 3.11.9 Verloop van logaritmische functies De leerlingen kunnen het verloop van eenvoudige logaritmische functies onderzoeken.

TSO

/KS



V W


eek) 25

3.12 Goniometrische functies


10 3.12.1 Periodieke functie De leerlingen kennen: • het begrip periodieke functie; • het grafisch karakter van een periodieke functie.

11 3.12.2 Elementaire goniometrische functies De leerlingen kunnen de functies f(x) sinx= , f(x) cos x= , f(x) tanx= en f(x) cot x= grafisch voorstellen.

10

11

3.12.3 Uitgebreide goniometrische functies De leerlingen kunnen de grafiek bepalen van f(x) asin(bx c) d= + + en f(x) acos(bx c) d= + + , het verband leggen tussen beide functievoorschriften en de parameters interpreteren.

3.12.4 Goniometrische vergelijkingen De leerlingen kunnen goniometrische vergelijkingen van de vorm asin x bcos x c+ = oplossen.

3.12.5 Bijzondere limiet De leerlingen kennen

x 0

sinxlimx→

.

U 3.12.6 Asymptoten De leerlingen kunnen het asymptotisch gedrag van tangens en cotangens beschrijven.

3.12.7 Afgeleiden De leerlingen kennen de rekenregels voor het afleiden van goniometrische functies en kunnen deze toepassen.

3.13 Integralen


3.13.1 Differentiaal De leerlingen kennen: • de definitie van de differentiaal; • de meetkundige betekenis van de differentiaal.

3.13.2 Bepaalde integraal De leerlingen: • kunnen de definitie van de bepaalde integraal afleiden met behulp van bovensom

en ondersom; • kennen de definitie van de bepaalde integraal.

3.13.3 Eigenschappen De leerlingen kennen: • de stelling in verband met de optelbaarheid van de bepaalde integraal; • de middelwaardestelling;

TSO

/KS



V W


eek) 26


• de hoofdstelling van de integraalrekening; • de stelling in verband met de lineariteit van de bepaalde integraal; • de stelling in verband met de bepaalde integraal en ongelijkheden.

3.13.4 Primitieve functie en onbepaalde integraal De leerlingen kennen: • de definitie van de primitieve functie en de onbepaalde integraal; • elementaire eigenschappen in verband met de primitieve functie en de onbepaalde

integraal (lineariteit); • de stelling om de bepaalde integraal te kunnen berekenen door middel van de

primitieve functie.

3.13.5 Basisformules De leerlingen kennen de basisformules van de integraalrekening.

3.14 Integratiemethoden


3.14.1 Substitutie De leerlingen kunnen integreren met behulp van de substitutiemethode.

3.14.2 Partiële integratie De leerlingen kunnen integreren met behulp van partiële integratie.

U 3.14.3 Numerieke integratie De leerlingen: • kennen het begrip numerieke integratie; • kunnen met behulp van ICT bepaalde integralen numeriek berekenen.

3.15 Toepassingen van bepaalde integralen


13 3.15.1 Oppervlakte van een vlak gebied De leerlingen kunnen de oppervlakte van een vlak gebied berekenen.

U 3.15.2 Inhoud van een omwentelingslichaam De leerlingen kunnen de inhoud van een omwentelingslichaam berekenen.

U 3.15.3 Booglengte van een vlakke kromme De leerlingen kunnen de booglengte van een vlakke kromme berekenen.

13 3.15.4 Andere toepassingen De leerlingen kunnen met behulp van ICT toepassingen van buiten de wiskunde oplos-sen.

TSO

/KS



V W


eek) 27

4 Meetkunde

Meetkunde, en dit geldt zowel voor de vlakke meetkunde als de ruimtemeetkunde, is al vanaf de eerste graad prominent in de leerplannen wiskunde aanwe-zig. Qua inhoud kan er daarom over de eerste en tweede graad heen van een logische continuïteit worden gewaagd.

Qua aanpak is er echter tussen beide graden wel een grondig verschil.

De eerste graad is het terrein bij uitstek waar én vlakke meetkunde én ruimtemeetkunde in essentie beschrijvend, maar dan wel in hoofdzaak intuïtief, wor-den bijgebracht.

De tweede graad voegt, althans wat betreft de vlakke meetkunde, aan die beschrijving een strikt wiskundige onderbouw toe (synthetische benadering) en koppelt hieraan, althans wat betreft de eerstegraadskrommen (rechten), een analytische vertolking.

De derde graad speelt op die stelselmatige uitbreiding en verdieping van zowel vlakke meetkunde als ruimtemeetkunde verder in.

Wat betreft de vlakke meetkunde focust men nu uitsluitend op de analytische vertolking van de tweedegraadskrommen (kegelsneden), om, uitgaande van een drietal meetkundige definities, uiteindelijk te komen tot de gereduceerde vergelijkingen van en meegaande de classificatie in parabolen, ellipsen (met de cirkel als bijzonder geval) en hyperbolen.

Wat betreft de ruimtemeetkunde volt men, volkomen in analogie met de tweede graad, een dubbel spoor met, langs de ene kant, een synthetische benade-ring in eerste instantie gefocust op de onderlinge stand van rechten en vlakken en, langs de andere kant, een analytische benadering die leidt tot het opstel-len van de vergelijkingen van rechten en vlakken.

Beide sporen zijn overigens derwijze complementair en wederzijds bevruchtend – het eerste draagt bij tot het tekenen en dus zicht in de ruimte, het tweede tot de analytische vertolking en dus het rekenen – dat een parallelle behandeling zich opdringt.

Zo opgevat valt het profiel meetkunde van de derde graad in twee deelprofielen (vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde) uit elkaar die als afzonderlijke pak-ketten kunnen worden aangeboden. Beide hebben wel met elkaar gemeen dat ze de logische opvullingen zijn van lancunes die in de tweede graad werden opengelaten en als zodanig stevige bindingen hebben met hun onmiddellijke voorgangers.

Dit is waar voor de analytische ruimtemeetkunde van de eerste graad waar, ten overstaan van de analytische vlakke meetkunde van de eerste graad, het aantal coördinaatgetallen van een punt met één toeneemt, terwijl de graad van de vergelijking van een vlak (dat in de ruimte de rol overneemt van de rechte) stabiel blijft.

Dit is eveneens waar voor de analytische vlakke meetkunde van de tweede graad waar, ten overstaan van de analytische vlakke meetkunde van de eerste graad, het aantal coördinaatgetallen van een punt stabiel blijft, terwijl de graad van de vergelijking van een kegelsnede met één toeneemt.

4.1 Analytische ruimtemeetkunde van de eerste graad

4.1.1 De euclidische ruimte ET Leerinhouden Leerplandoelstellingen

4.1.1.1 Coördinaat van een punt in een orthonormaal assen- De leerlingen:

TSO

/KS



V W


eek) 28


stelsel • kennen het begrip coördinaat (of plaatsvector) van een punt in de ruimte en de betekenis van de verschillende coördinaatgetallen;

• kunnen de coördinaat van een gegeven punt bepalen en omgekeerd een punt tekenen met gegeven coördinaat;

• kunnen een kubus tekenen waarvan de ribben evenwijdig zijn met de assen en kunnen de coördinaten van de hoekpunten bepalen;

• kunnen coördinaten van punten optellen en vermenigvuldigen met een scalair; • kunnen het zwaartepunt van twee, drie of vier onafhankelijke punten berekenen.

4.1.1.2 Richtingsvector van een rechte De leerlingen: • kennen het begrip richtingsvector van een rechte als verschil van de coördinaten

van twee willekeurige punten op de rechte; • kunnen uitleggen dat een andere keuze van punten op een rechte gelijkwaardig is

met het vermenigvuldigen van de richtingsvector met een scalair.

4.1.2 Vergelijkingen van rechten en vlakken ET Leerinhouden Leerplandoelstellingen

4.1.2.1 Vergelijkingen van een rechte De leerlingen kunnen: • de parametervergelijkingen en de cartesische vergelijkingen van een rechte op-

stellen; • de begrippen snijdende en kruisende rechten analytisch vertolken.

4.1.2.2 Vergelijking(en) van een vlak De leerlingen kunnen: • de parametervergelijkingen en de cartesische vergelijking van een vlak opstellen. • de begrippen snijdende vlakken en evenwijdige vlakken analytisch vertolken.

4.1.2.3 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak De leerlingen kunnen de begrippen • rechte gelegen in een vlak; • rechte die een vlak in een punt snijdt; analytisch vertolken.

4.1.3 Loodrechte stand en afstanden ET Leerinhouden Leerplandoelstellingen

4.1.3.1 Inproduct en uitproduct van richtingsvectoren De leerlingen kennen de definitie van het inproduct (of scalair product) en van uitpro-duct (of vectorieel product) van twee (richtings)vectoren en aan de hand hiervan de

TSO

/KS



V W


eek) 29


volgende begrippen: • norm van een vector; • orthogonaliteit van richtingsvectoren; • normaalvector van een vlak.

4.1.3.2 Loodrechte stand De leerlingen kunnen de volgende begrippen analytisch vertolken: • twee loodrecht snijdende rechten; • twee loodrecht kruisende rechten; • rechte loodrecht op een vlak; • twee loodrecht snijdende vlakken.

U 4.1.3.3 Hoeken De leerlingen kunnen: • de hoeken tussen twee rechten berekenen; • de hoeken tussen een rechte en een vlak berekenen; • de hoeken tussen twee vlakken berekenen.

4.1.3.4 Afstanden De leerlingen kunnen: • de afstand tussen twee punten berekenen; • de afstand van een punt tot een rechte berekenen; • de afstand van een punt tot een vlak berekenen; • de afstand tussen twee kruisende rechten berekenen; • de afstand van een rechte tot een vlak evenwijdig met de rechte berekenen; • de afstand tussen twee evenwijdige vlakken berekenen.

4.2 Keuzeonderwerp: Analytische vlakke meetkunde van de tweede graad


4.2.1 De parabool De leerlingen: • kennen de meetkundige definitie van een parabool; • kunnen de cartesische vergelijking 2 2y px= van een parabool opstellen;

• kunnen de cartesische vergelijking van de raaklijn in een punt van de parabool opstellen en deze raaklijn construeren;

• kunnen eenvoudige toepassingen in verband met parabolen oplossen.

4.2.2 De ellips De leerlingen:

TSO

/KS



V W


eek) 30


• kennen de meetkundige definitie van een ellips;

• kunnen de cartesische vergelijking 2 2

2 2 1x ya b

+ = van een ellips opstellen;

• kunnen de cartesische vergelijking van de raaklijn in een punt van de ellips opstel-len en deze raaklijn construeren;

• kunnen eenvoudige toepassingen in verband met ellipsen oplossen; • kennen de cirkel als bijzondere ellips..

4.2.3 De hyperbool De leerlingen: • kennen de meetkundige definitie van een hyperbool;

• kunnen de cartesische vergelijking 2 2

2 2 1x ya b

− = van een hyperbool opstellen;

• kunnen de cartesische vergelijking van de raaklijn in een punt van de hyperbool opstellen;

• kunnen eenvoudige toepassingen in verband met hyperbolen oplossen.

TSO

/KS



V W


eek) 31

5 Stochastiek

Statistiek in het leerplan van de tweede graad beperkte zich tot het stichten van enkele basisbegrippen, met in het verlengde daarvan het beheersen van een specifieke woordenschat en het kunnen omspringen met grafische voorstellingen als visuele ondersteuning.

Stochastiek in het leerplan van de derde graad voegt daar, abstractie gemaakt van het deelprofiel “Statistiek in twee veranderlijken”, niets wezenlijks aan toe, tenzij dat via het vierluik discrete wiskunde (in hoofdzaak combinatieleer), kansrekening, beschrijvende statistiek en kansverdelingen, het toepassings-gebied, en meegaande de mogelijkheden tot problem solving, enorm verruimen.

Spil hierbij is het deelprofiel “Kansrekening” dat enerzijds zijn inspiratie voor het oefenmateriaal haalt uit de discrete wiskunde (het begrip kans wordt immers gedefinieerd als het quotiënt van twee telresultaten) en anderzijds de weg effent naar de kansverdelingen (deelprofiel dat het sterkst met de statistiek is geli-eerd).

Zo bekeken manifesteert stochastiek in de derde graad zich in twee gedaanten, enerzijds als resultante van vermeld vierluik, anderzijds, daarbij geholpen door statistiek in twee veranderlijken, als subtiele link met de statistiek, wat meteen aan de veeleer intuïtieve aanpak van de statistiek een wetenschappelij-ker onderbouw verleent.

Een en ander sluit niet uit dat sommige deelprofielen, meer in het bijzonder de discrete wiskunde en de kansrekening, ook als afzonderlijke entiteiten kunnen gedijen. Zo zijn de kansverdelingen slechts één mogelijke uitloper van de kansrekening, terwijl de discrete wiskunde een doel kan zijn op zich zoals uit be-schouwingen rond binomiaalcoëfficiënten en het binomium van Newton mag blijken.

Wat de spreiding van de stochastiek over de derde graad betreft zijn er, alvast wat de deelprofielen uit het vierluik aangaat, voldoende overvloeiende items voorhanden om te pleiten voor continuïteit bij de presentatie van de betrokken leerstof.

5.1 Discrete wiskunde


5.1.1 Algemene telregels De leerlingen kunnen de somregel, de in- en uitsluitingsregel, de productregel en de quotiëntregel toepassen.

De leerlingen kunnen telproblemen oplossen waarbij (bij een keuze uit een verzameling met n elementen):

5.1.2 Variaties • de volgorde van de k gekozen elementen van een groepering belangrijk is en her-haling van deze elementen niet mogelijk is (hierbij zijn permutaties een bijzonder geval als k=n);

5.1.3 Herhalingsvariaties • de volgorde van de k gekozen elementen van een groepering belangrijk is en her-haling van deze elementen mogelijk is;

5.1.4 Combinaties • de volgorde van de k gekozen elementen van een groepering niet belangrijk is en herhaling van deze elementen niet mogelijk is;

TSO

/KS



V W


eek) 32


5.1.5 Herhalingscombinaties • de volgorde van de k gekozen elementen van een groepering niet belangrijk is en herhaling van deze elementen mogelijk is;

5.1.6 Anagrammen • de herhaling van de elementen van een groepering vastligt en de volgorde van de verschillende elementen belangrijk is.

5.1.7 Binomium van Newton De leerlingen kunnen: • de driehoek van Pascal opstellen; • het binomium van Newton afleiden en toepassen.

5.2 Elementaire kansrekening


5.2.1 Kansexperimenten De leerlingen: • kunnen de begrippen kansexperiment, uitkomst en gebeurtenis in de context van

een toepassing onderscheiden; • kunnen de regel van Laplace, de somregel en de complementregel bij het oplos-

sen van oefeningen toepassen.

5.2.2 Voorwaardelijke kans en statistische onafhankelijkheid

De leerlingen kunnen: • het onderscheid maken tussen een gewone kans en een voorwaardelijke kans; • een voorwaardelijke kans bepalen; • bepalen of twee gebeurtenissen al dan niet statistisch afhankelijk zijn; • besluiten trekken in verband met statistische afhankelijkheid bij trekkingen met en

zonder terugleggen.

U 5.2.3 Regel van Bayes De leerlingen: • kennen de wet van de totale kans en de regel van Bayes; • kunnen toepassingen oplossen met behulp van de regel van Bayes.

5.3 Beschrijvende statistiek


14

15

17

5.3.1 Inleidende begrippen 5.3.2 Centrummaten 5.3.3 Spreidingsmaten 5.3.4 Grafische voorstellingen

De leerlingen kunnen: • het onderscheid maken tussen een steekproef en de populatie; • met behulp van ICT het gemiddelde en de mediaan berekenen van statistische

gegevens;

TSO

/KS



V W


eek) 33


• met behulp van ICT de interkwartielafstand en de standaardafwijking berekenen van statistische gegevens;

• met behulp van ICT grafische voorstellingen (waaronder alleszins het histogram) maken van statistische gegevens;

• aan de hand van voorbeelden het belang uitleggen van de representativiteit van een steekproef voor het formuleren van statistische besluiten over de populatie, hierbij functioneel gebruik makend van centrummaten, spreidingsmaten en grafi-sche voorstellingen;

• kritisch omgaan met het gebruik van statistiek in de media.

5.4 Kansverdelingen


5.4.1 Discrete kansvariabele De leerlingen kunnen: • aan de hand van een toepassing de kansfunctie en de verdelingsfunctie van een

discrete kansvariabele opstellen en grafisch voorstellen; • de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van een discrete kansvariabele

bepalen (bij voorkeur met ICT) en de betekenis ervan interpreteren.

5.4.2 Binomiale verdeling De leerlingen: • kunnen bij opgaven bepalen of de kansverdeling binomiaal is of niet; • kunnen bij een binomiale verdeling de kansfunctie en verdelingsfunctie bepalen; • kunnen bij een binomiale verdeling de verwachtingswaarde en de standaardafwij-

king bepalen.

16 5.4.3 Normale verdeling De leerlingen: • kunnen in betekenisvolle situaties gebruik maken van een normale verdeling als

continu model bij data met een klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en de standaardafwijking van de gegeven data gebruiken als schatting voor het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling;

• kunnen het gemiddelde en de standaardafwijking van een normale verdeling gra-fisch interpreteren;

• kunnen grafisch het verband leggen tussen een normale verdeling en de stan-daardnormale verdeling;

• kunnen bij een normale verdeling de relatieve frequentie interpreteren van een verzameling gegevens met waarden tussen twee gegeven grenzen, met waarden

TSO

/KS



V W


eek) 34


groter dan een gegeven grens of met waarden kleiner dan een gegeven grens als de oppervlakte van een gepast gebied;

• kunnen de normale verdeling bij gepaste gevallen gebruiken als benadering voor de binomiale verdeling.

5.5 Keuzeonderwerp: Statistiek in twee veranderlijken


5.5.1 Tweedimensionale waarnemingsgegevens De leerlingen: • kennen steekproeven bestaande uit koppels waarnemingsgetallen; • kunnen deze gegevens samenvatten in een tabel; • kunnen deze gegevens grafisch voorstellen door middel van een puntenwolk.

5.5.2 Lineaire correlatiecoëfficiënt De leerlingen: • kennen de betekenis van de lineaire correlatiecoëfficiënt; • kunnen met behulp van ICT de lineaire correlatiecoëfficiënt berekenen.

5.5.3 Lineaire regressie De leerlingen: • kennen het begrip lineaire regressie; • kunnen met behulp van ICT de regressiecoëfficiënten bepalen; • kunnen bepalen of de gevonden regressierechte geschikt is of niet.

TSO

/KS



V W


eek) 35

6 Keuzeonderwerp: Wiskunde en kunst Algemene doelstellingen

De leerlingen:

• kunnen voorbeelden geven van kunstwerken waarin wiskundige thema’s (verhoudingen en meetkundige vormen) aan bod komen; • kunnen voorbeelden geven van de wederzijdse beïnvloeding van de filosofie en de wiskunde; • kennen een constructietechniek, gebaseerd op wiskundige principes, in de beeldende kunsten; • kunnen berekeningen eigen aan een constructiemethode, gebaseerd op wiskundige principes, uitvoeren; • kunnen een constructietechniek, gebaseerd op een wiskundig principe, in de beeldende kunsten toepassen.

Deze doelstellingen kunnen worden gerealiseerd aan de hand van een adequate keuze uit de hieronder staande leerinhouden met bijhorende doelstellingen. Het is dus geenszins de bedoeling al de hieronder weergegeven inhouden en doelstellingen te realiseren, maar wel er gebruik van te maken om de boven-staande doelstellingen te bereiken.

6.1 Twee-dimensionale weergave van een drie-dimensionale realiteit


• Aanzichten, plattegronden en parallelprojectie • Lineair perspectief en centraalprojectie:

- Gezichtspunt - Distantiepunt - Vluchtpunten: 1, 2, 3 - Kromlijnig perspectief - Perspectivische vertekening en anamorfosen

• Kunst m.b.t. licht en schaduw • Verkenningen van andere dimensies:

- Flatland - 4e dimensie

De leerlingen: • kennen het principe dat er steeds informatie verloren gaat bij de voorstelling van

een drie-dimensionale realiteit op een vlak; • kennen het onderscheid tussen een parallelprojectie en een centraalprojectie; • kunnen precies omschrijven wat een perspectivische tekening weergeeft; • kunnen de ontwikkeling van het lineair perspectief historisch schetsen; • kennen de begrippen : gezichtspunt, distantiepunt en vluchtpunt; • kunnen m.b.v. stellingen uit de ruimtemeetkunde het principe van een vluchtpunt

aantonen; • kunnen bij een tekening of schilderij het gezichtspunt, distantiepunt en de kijkhoek

grafisch bepalen en berekenen; • kunnen een perspectivische tekening van een kubus met 1,2 of 3 vluchtpunten en

gegeven distantiepunt maken; • kennen het principe van perspectivische vertekening en anamorfose.

TSO

/KS



V W


eek) 36


• kunnen een verband leggen tussen schaduwen, perspectief en een centraalprojec-tie;

• kunnen een aantal voorbeelden van gebruik van de schaduw in de wetenschap-pen, in de filosofie en in de kunst geven;

• kunnen schilderijen uit de kubistische stroming bekijken als een poging verschei-dene aanzichten terzelfdertijd weer te geven;

• kunnen de analogie overgang 2de-3de dimensie (zoals in de roman Flatland) en overgang 3de-4de dimensie maken;

• kunnen een 4de dimensie wiskundig invoeren door een vierde coördinaatgetal toe te voegen;

• kennen de ontvouwing van een hyperkubus en kunnen ze herkennen in het werk van bv. Salvador Dali.

6.2 Verhoudingen


• Lengte van snaren en muzikale intervallen • Wiskundige verhoudingen als criterium voor schoonheid:

Plato, Vitruvius, Da Vinci, Le Corbusier e.a. • Gulden snede:

- definitie - de gulden rechthoek en het pentagram - toepassingen in architectuur en schilderkunst - toepassingen in de natuur - verband met de rij van Fibonnacci

• Wiskundige verhoudingen in de muziek

De leerlingen: • kennen het verband tussen de verhouding van de snaren en de toonintervallen; • kennen een aantal voorbeelden van ‘esthetische proporties’; • kunnen uit de definitie van de gulden snede de waarde voor φ afleiden; • kunnen een lijnstuk verdelen volgens de gulden snede; • kunnen berekeningen ivm lengten en hoeken uitvoeren in een gulden driehoek, in

een gulden rechthoek, in een gulden spiraal en een pentagram; • kennen een aantal toepassingen van de gulden snede in de bouwkunst en de

beeldende kunsten; • kennen het verband tussen de gulden snede en de rij van Fibonacci.

6.3 Veelvlakken


• Platonische lichamen • Formule van Euler

De leerlingen: • kennen de vijf regelmatige veelvlakken (Platonische lichamen); • kunnen enkele eenvoudige uitslagen/ontvouwingen van het viervlak, de kubus en

TSO

/KS



V W


eek) 37


• Andere ruimtelichamen het achtvlak tekenen en zo het veelvlak construeren; • kennen de formule van Euler en kunnen deze toepassen bij andere veelvlakken; • kennen de dualteitseigenschap; • kennen voorbeelden van gebruik van veelvlakken in de filosofie en de beeldende

kunst; • kennen voorbeelden van niet-Platonische veelvlakken.

6.4 Inrichting van de ruimte


• Boogstructuren in gebouwen en bruggen • Kegelsneden • Minimaaloppervlakken • Möbiusbanden

De leerlingen: • kunnen verschillende soorten boogstructuren benoemen en herkennen; • kennen de optische eigenschappen van de kegelsneden; • kunnen een aantal voorbeelden geven van ruimtelijke structuren waar gebruik

wordt gemaakt van de optische eigenschappen van de kegelsneden, daarnaast kunnen ze ook voorbeelden aanhalen van kegelsneden die gebruikt worden om louter esthetische redenen;

• kennen het principe van een minimaaloppervlak en een aantal toepassingen; • kennen de eigenschappen van een Möbiusband.

6.5 Veelhoeken en het ritme van het vlak


• Symmetrie • Regelmatige veelhoeken • Regelmatige vlakvullingen • Archimedische of half-regelmatige vlakvullingen • Behangselpapierpatronen • Vlakvullingen in het werk van MC Escher • Niet-periodieke valkvullingen

De leerlingen: • kunnen voorbeelden geven van symmetrische geometrische patronen in kunswer-

ken van een aantal culturen (bv. indische mandala’s of Griekse friespatronen); • kennen de algemene formule om de hoeken van regelmatige veelhoeken te bere-

kenen; • kunnen een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, achthoek en

twaalfhoek construeren; • kunnen aantonen dat er slechts drie manieren zijn om het vlak met regelmatige

veelhoeken te vullen als alle veelhoeken elkaar hoek aan hoek moeten raken; • kunnen aantonen dat er slechts acht Archimedische vlakvullingen zijn;

TSO

/KS



V W


eek) 38


• kunnen verschillende soorten behangselpapierpatronen onderscheiden a.h.v. de verschillende transformaties die op het patroon kan worden toegepast waardoor het op zichzelf wordt afgebeeld nl. verschuivingen, spiegelingen, glijspiegelingen en draaiingen;

• kunnen de vlakvullingen in het werk van Escher aanwijzen; • kunnen zelf een aantal behangselpapierpatronen construeren; • kennen het principe van een Penrose-betegeling.

6.6 Flirten met het oneindige


• Convergente en divergente rijen • Rij van partiele sommen • Convergente en divergente reeksen • Droste-effect • Fractalen • Paradoxen van Zeno • Actueel en potentiële oneindigheden in de filosofie • Oneindige lussen en onmogelijke figuren • Transfiniete getallen

De leerlingen: • kennen de definitie van een convergente en divergente rij; • kunnen de convergentie van een meetkundige rij opsporen; • kennen de definitie van een convergente en een divergente reeks; • kunnen de reekssom van een convergente meetkundige reeks berekenen; • kunnen het Droste-effect wiskundig vertalen als een convergente meetkundige rij; • kennen de eigenschappen van een meetkundige fractaal; • kunnen de benadering van een aantal fractalen construeren, ze kunnen eveneens

de omtrek en de oppervlakte ervan berekenen; • kunnen de paradoxen van Zeno wiskundig vertalen als convergente meetkundige

reeksen; • kunnen de discussies over het al dan niet bestaan van oneindige verzamelingen

kaderen in een filosofische context; • kennen het principe van een oneindige lus en de uitwerking ervan zowel in taalpa-

radoxen als in kunstwerken van bv. MC Escher; • kennen een aantal voorbeelden van onmogelijke figuren en kunnen er zelf teke-

nen; • kennen de opbouw van de transfiniete getallen.


VERDELING VAN DE BESCHIKBARE LESTIJDEN

Op jaarbasis wordt uitgegaan van 25 weken les.

Dit geeft per leerjaar van de derde graad 6 lt x 25 = 150 lestijden, wat op graadbasis 300 lt oplevert.

Mogelijk aantal lestijden per profiel:

Algebra 40 lt

Goniometrie 20 lt

Analyse 130 lt

Meetkunde 45 lt

Stochastiek 45 lt

Keuzeonderwerp 20 lt

Totaal 300 lt

Een mogelijke ruwe jaarindeling is hieronder weergegeven.

Eerste leerjaar:

Periode 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd

sep – okt Goniometrie

nov – dec Algebra

jan – maa Meetkunde Analyse

apr – jun Meetkunde Analyse

Tweede leerjaar:

Periode 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd

sep – dec Analyse Stochastiek

jan – maa Stochastiek

apr – jun Analyse

Keuzeonderwerp


PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN

ICT in het wiskundeonderwijs ICT mag dan binnen het leerplan wiskunde geen doel op zich zijn; het blijft niettemin het profieloverstij-gend pedagogisch-didactisch hulpmiddel bij uitstek met precies binnen de wiskunde een impact afkom-stig vanuit de meest diverse invalshoeken. Deze stelling is duidelijk in overeenkomst met wat reeds werd gezegd in de visietekst en in de vakgebonden algemene doelstellingen. Zo mag vanwege de leerkrach-ten, maar ook vanwege de leerlingen worden verwacht dat zij zich van de beschikbare ICT-middelen bedienen om aldus volgende effecten te bekomen:

- tijdsbesparend, wanneer de complexiteit van reken- of tekenwerk dit opdringt;

- efficiënt, wanneer bij opdrachten het rekenen/of tekenwerk ondergeschikt is aan de te volgen stra-tegie of redenering;

- anticiperend, wanneer geformuleerde prognoses aan hun comptabiliteit moeten worden getoetst;

- retrospectief, wanneer verworven resultaten op hun betrouwbaarheid moeten worden gecontroleerd;

- ondersteunend, wanneer het bijbrengen van sommige theoretische concepten gebaat is met een visuele presentatie;

- motiverend, wanneer bij de start van een nieuw hoofdstuk een adequaat modelprobleem (bij voor-keur vakoverschrijdend) als instap wordt besproken en opgelost.

De studie van grafieken die beantwoorden aan ingewikkelde functievoorschriften, de oplossing van vraagstukken die uitmonden op stelsels van vergelijkingen, het natrekken van de correctheid van een manueel uitgevoerd product van twee matrices, het onderzoek van de invloed van parameters in een formule of functievoorschrift, de keuze van een adequate toepassing bij het opstarten van extremumonderzoek, …:

ziehier slechts een losse en ver van limitatieve greep uit het arsenaal van mogelijkheden uit de verschil-lende leerplannen wiskunde van de 3e graad SO, die door ICT kunnen worden aangepakt en die door-gaans niet aan één, maar aan verschillende gesignaleerde invalshoeken tegemoetkomen.

Zo bekeken vormt ICT een rode draad doorheen alle per profiel specifiek opgesomde pedagogisch-didactische wenken en mag worden verwacht dat een succesvolle impact op het geheel van het curricu-lum in sterke correlatie zal staan met de creativiteit vanwege alle betrokkenen, leerkrachten zowel als leerlingen.

Uitbreidingsleerstof Een aantal onderwerpen binnen dit leerplan is aangeduid als uitbreidingsleerstof (met een U in de kolom ET) en de bijhorende inhouden en doelstellingen zijn cursief weergegeven. Dit betekent dat deze onder-werpen niet moeten worden behandeld; het is geen verplichte leerstof. Het betreft telkens losse items (bijvoorbeeld benaderingsmethode voor het berekenen van nulwaarden) die probleemloos kunnen wor-den ingepast.

Dit wil allerminst zeggen dat deze onderwerpen geen reden tot bestaan zouden hebben, maar er dient over de haalbaarheid van het leerplan te worden gewaakt. Er moet vermeden worden dat sommige delen in een versneld tempo dienen te worden behandeld, teneinde het leerplan te realiseren.


Keuzeonderwerpen

Twee deelprofielen zijn in dit leerplan aangeduid als keuzeonderwerp, namelijk “Analytische vlakke meet-kunde van de tweede graad” (als deelprofiel van het profiel “Meetkunde”) en “Statistiek in twee verander-lijken” (als deelprofiel van het profiel “Stochastiek”). Bovendien is ook het profiel “Wiskunde en kunst” als mogelijk keuzeonderwerp toegevoegd. Een van deze drie profielen moet worden behandeld, hiertoe is ongeveer 20 lestijden voorzien.

In combinatie met de hierboven vermelde uitbreidingsleerstof bieden deze keuzeonderwerpen een zekere vrijheid aan de leerkracht.

1 Algebra

Matrices en stelsels • Een matrix kan eenvoudigweg gedefinieerd worden als een rechthoekige tabel reële getallen. Moti-

verende voorbeelden hiervoor zijn te vinden in talloze praktische toepassingen, waaronder de mi-gratie- en Lesliematrices. Ook de verschillende bewerkingen worden ingevoerd aan de hand van motiverende voorbeelden. Dit is zeker aangewezen bij de invoering van het vermenigvuldigen van matrices, wat voor de leerlingen in eerste instantie vele vragen oproept.

• Een bijkomende motivatie voor het invoeren van matrices vormen de stelsels eerstegraadsvergelij-kingen, waar geopteerd wordt voor de oplossingsmethode van Gauss-Jordan die gebruik maakt van de matrixvoorstelling van het stelsel.

• Zowel bij matrices als stelsels spelen de toepassingen een belangrijke rol: hierbij hoeft het vele rekenwerk niet manueel te worden uitgevoerd, zoals bijvoorbeeld bij het bepalen van een even-wichtstoestand bij migratiematrices. Hier is een functionele rol weggelegd voor ICT.

Complexe getallen • Het is wenselijk het invoeren van de complexe getallen te motiveren met het zoeken naar oplos-

singen van vergelijkingen zoals x² = -1. Een meer meetkundige of axiomatische invoering (via een speciale bewerking in ²) behoort ook tot de mogelijkheden.

• In elk geval worden de veldstructuur en de vectorruimte-eigenschappen van belicht, alsook het isomorfisme met het vlak van Gauss. Het is hierbij echter niet de bedoeling deze structuren op zich te benoemen en er verdere theoretische beschouwingen aan te wijden.

• Bij de oplossingsmethodes van veeltermvergelijkingen in kan men zich beperken tot: - de discriminantmethode bij vierkantsvergelijkingen, - het gebruik van de goniometrische gedaante bij binomiaalvergelijkingen, - de regel van Horner bij hogeregraadsvergelijkingen. Een doorgedreven studie van de hoofdstelling van de algebra en haar gevolgen is hier niet aange-wezen.

2 Goniometrie • Een herhalende instap op het niveau van de georiënteerde hoek, van de goniometrische cirkel en

van graden ligt voor de hand. De leerlingen kennen ook de begrippen sinus, cosinus, tangens en cotangens uit de tweede graad. Hier is het belangrijk dat de leerlingen inzien dat deze goniometri-sche getallen ook van reële getallen kunnen worden berekend. Samen met een studie van de ver-wante hoeken staat dit in functie van het tekenen van de grafieken van de goniometrische functies bij de analyse.

• Analytische oefeningen ("identiteit"-bewijsoefeningen) op de formules kunnen ongetwijfeld bijdra-gen tot het verhogen van de rekenen vooral de redeneervaardigheden bij bewijstechnieken. Men mag hierin echter niet overdrijven; er wordt hieraan slechts een beperkte tijd besteed. Hoofddoel is het inoefenen van de formules en het manipuleren ervan.


3 Analyse Lectuur van de kadertekst die de opsomming van de lijst der leerinhouden en leerplandoelstellingen voorafgaat, laat uitschijnen dat, ter ondersteuning van de ‘hoofdkrachtlijnen’ (de studie van functies), ver-scheidene ‘hulpkrachtlijnen’ binnen het leerplan analyse zijn opgenomen. Deze laten toe, mits een geza-menlijk focussen op de hoofdkrachtlijnen, het hoofddoel (het ontdekken van de belangrijkste karakteris-tieken van de zes soorten te bestuderen functies) als een vorm van synthese te bereiken.

Zo bekeken kunnen de pedagogisch-didactische wenken zich centreren rond de hulpkrachtlijnen, meer i.h.b. rond de wijze en het moment waarop die hulpkrachtlijnen dienen aangepakt en rond de graad van diepgang die hierbij wordt beoogd.

Vergelijkingen en ongelijkheden • De zes soorten vergelijkingen - evenveel als de soorten te bestuderen functies - worden het best

parallel met de betrokken functie behandeld.

• Enkel de veeltermvergelijkingen, waarvan de graad overigens tot hoogstens 3 beperkt mag blijven, zijn in de vorige leerjaren behandeld geweest. Een korte herhaling van de oplossingstechnieken bij veeltermvergelijkingen van de 1e of 2e graad dringt zich dus op. Hier kunnen eventueel ook verge-lijkingen met een absolute waarde aan bod komen.

• Rationale, irrationale en goniometrische vergelijkingen mogen zich tot eenvoudige gevallen (cf. modellen in de doelstellingenlijst) beperken.

• Bij het oplossen van irrationale vergelijkingen volstaat het bij wijze van proef de vermeende oplos-sing aan de gegeven vergelijking te toetsen. Bestaans- en kwadrateringsvoorwaarden zijn niet ver-eist.

• Ten behoeve van gelijkwaardigheid en analogie, maar ook om aan sommige toepassingen in het kader van problem solving het hoofd te kunnen bieden, wordt verwacht dat enkele eenvoudige ex-ponentiële en logaritmische vergelijkingen opgelost worden.

• Het oplossen van ongelijkheden mag zich beperken tot veeltermongelijkheden van hoogstens graad 2 of rationale ongelijkheden waarvan teller en noemer van graad 1 zijn.

• Met het oog op het bereiken van het hoofddoel dienen alle vermelde soorten vergelijkingen en ongelijkheden respectievelijk te kaderen in het berekenen van de nulwaarden en het tekenverloop van functies; hier is het de bedoeling bij het tekenen van de grafiek aanvullende hulpmiddelen aan te reiken.

Continuïteit, limieten en afgeleiden • Voor het aanbrengen van het begrip continuïteit kan men gebruik maken van een aantal grafieken

van willekeurige functies. De nadruk bij continuïteit moet duidelijk op de grafische betekenis liggen. Er kan hier ook gebruik worden gemaakt van een meervoudig functievoorschrift.

• Voor het invoeren van het begrip limiet kan het best worden gewacht tot bij de studie van de ratio-nale functie, waar het asymptotische gedrag van de functie het louter punt voor punt tekenen van de grafiek quasi onmogelijk maakt.

• Het invoeren van het begrip limiet en de adequate notaties mogen informeel en vrij intuïtief gebeu-ren, maar moeten nadien onderbouwd worden door een (ε,δ)-definitie. Deze definitie kan echter gedeeltelijk in woorden worden geformuleerd om overdadig gebruik van kwantoren te vermijden.

• Berekenen van limieten moet de leerling doen inzien dat de limietwaarde vaak met de functiewaar-de samenvalt, maar dat het de onbepaalde en oneigenlijke limieten zijn die, in samenhang met het opsporen van asymptoten, het ruimst bijdragen tot het tekenen van de grafiek van de betrokken functie.

• Eenmaal het begrip limiet gesticht, is er niets dat belet de begrippen afgeleid getal en afgeleide functie in te voeren, alsook de afleidingsregels op te stellen (al dan niet met bewijs) van veelterm-functies en rationale functies. Nadien worden ook de afleidingsregels voor de andere types van functies opgesteld.

• Met het oog op het bereiken van het hoofddoel zijn het de meetkundige betekenis van het afgeleid getal enerzijds, het tekenverloop van de afgeleide functie anderzijds, die een krachtige bijdrage le-veren bij het tekenen van de grafiek van de gegeven functie.


Machten met reële exponenten, inverse functie, goniometrische cirkel • Wat de drie disparate items uit de titel in de context van de studie van functies bindt, is dat het

hulpmiddelen betreft die, in tegenstelling tot de rubrieken vergelijkingen of limieten en afgeleiden, de weg slechts effenen tot zeer specifieke functies.

• De invoering van de machten met reële exponenten als uitbreiding van de machten met gehele exponenten (een korte herhaling is dus op haar plaats) vormt de noodzakelijke introductie tot de studie van de exponentiële functie.

• Het begrip inverse functie legt de brug tussen rationale en irrationale functie en verderop tussen exponentiële en logaritmische functie, waarbij bepaalde symmetrieën in de grafieken van functie en inverse functie enige aandacht verdienen.

• De goniometrische cirkel (door leerlingen uit de 5u-cursus van de 2e graad al gezien) en het wer-ken met radialen in de plaats van graden vormen de ideale aanloop tot de reële goniometrische functies.

Integralen • Bij de behandeling van het laatste gedeelte van de analyse voor het secundair onderwijs, namelijk

integralen, start men best vanuit het begrip oppervlakte en bepaalde integraal. Dit zorgt naar de leerlingen toe voor een grotere motivatie om dit nieuwe begrip aan te leren. Een andere mogelijk-heid is om te starten met de onbepaalde integraal en deze te zien als een soort inverse bewerking van afleiden.

• Na de behandeling van de nodige eigenschappen en stellingen om de begrippen primitieve functie en onbepaalde integraal te onderbouwen, stelt men de basisformules van de integraalrekening op. Hierbij dient men natuurlijk rekening te houden met het gegeven dat zowel de integrand als het be-komen resultaat binnen het kader van de bestudeerde functies moet vallen.

• Bij de integratiemethodes ligt de nadruk op het begrijpen en kunnen toepassen van de verschillen-de methodes. Bij substitutie is het zeker niet de bedoeling om bijvoorbeeld alle mogelijke goniome-trische substituties aan bod te laten komen. Integratiemethodes mogen niet tot onnodig en overbo-dig rekenwerk leiden. Vandaar ook dat bij de integratie van rationale functies het splitsen in parti-eelbreuken niet aan bod hoeft te komen. Indien men een dergelijke functie zou moeten integreren (bij een toepassing) kan men gebruik maken van ICT. Men kan ICT ook inschakelen om de beko-men resultaten te verifiëren.

• De verplicht te behandelen toepassingen zijn tweeledig: enerzijds toepassingen binnen de wiskun-de via het berekenen van oppervlaktes van een vlak gebied, anderzijds toepassingen van buiten de wiskunde. In beide gevallen ligt de nadruk op het vertalen van het gestelde probleem naar wis-kundige gedaante, eerder dan op het rekenwerk. Dit laatste kan zeker bij toepassingen door ICT worden overgenomen.

Toepassingen / vraagstukken • Onder toepassingen verstaan we de doorgaans numeriek getinte opgaven die onmiddellijk of na

verloop van tijd rechtstreeks bij de theorie aansluiten (oplossen van een vergelijking, berekenen van een limiet, opsporen van de asymptoten van een gegeven functie, opstellen van de vergelijking van de raaklijn in een gegeven punt van de grafiek van een functie, extrema bepalen van een ge-geven functie, …). Van die soort mag worden verwacht dat ze vrijwel elke les van analyse aan haar trekken komt.

• Onder vraagstukken verstaan we de opgaven waar het numerieke gedeelte van de oplossing slechts in gang schiet nadat de opgave (doorgaans een tekst) vooraf werd gemathematiseerd. Van dit soort oefeningen mag worden verwacht dat, bij wijze van introductie en motivatie, elk hoofdstuk met één voorbeeld ervan wordt opgestart en met minstens twee voorbeelden wordt afgerond.

• Ideaal zou wel zijn dat van die vraagstukken een half dozijn wordt overgehouden om aan de leer-lingen voor te leggen in het kader van problem solving en dit na de voltooiing van de volledige cur-sus.

Herhalingsleerstof


• Op één uitzondering na werd de herhalingsleerstof nergens expliciet in de lijst van leerinhouden opgenomen. Toch is herhaling vaak onvermijdelijk, al is het maar om aan het licht getreden lacu-nes bij te sturen, of, in het geval van uitbreiding, indien de al verworven materie bij wijze van intro-ductie wordt gepresenteerd.

• Toch dient beseft dat opfrissing van een brok leerstof ten dele aan haar doel voorbijschiet wanneer ze zich louter beperkt tot het (her)verankeren van datgene wat vorige leerjaren werd bijge-bracht.Efficiënte herhaling met perspectieven naar de toekomst dient immers te beogen dat de be-trokken leerstof:

- stapsgewijze in een groter geheel wordt geïntegreerd; - bij de leerlingen de behoefte schept aan nieuwe leerstofitems die de voorgenomen integratie in

de hand werken; - naast de behoefte aan nieuwe leerstofitems ook voeling houdt met aanverwante leerstofitems uit

het verleden; - derwijze wordt gesynthetiseerd dat ze, aldus ingebed tussen verleden en toekomst, van een ge-

isoleerd onderdeel kan uitgroeien tot een radertje van een ruimer geheel.

• Zo bekeken dient efficiënte herhaling van een brok leerstof dus het samenspel te zijn van “(her)verankering”, “inzicht”, “voeling houden met” en “behoefte aan”.

• Toegepast op de rubriek “veeltermfuncties” houdt dat in:

- de (her)verankering van de rekenen tekentechnieken bij de veeltermfuncties van de 1ste en 2de

graad; - het inzicht dat bij toename van de graad het punt voor punt tekenen van de grafiek via hulpmid-

delen dient ondersteund; - het voeling houden met hulpmiddelen uit het verleden zoals het oplossen van vergelijkingen

van de 1ste of 2de graad en het ontbinden in factoren; - de behoefte aan andere en vérstrekkendere hulpmiddelen (limieten, afgeleiden) die verderop

via de analyse dienen aangereikt.

Algemene notities omtrent reële functies • Met uitzondering van het hoofdstuk “algemene noties omtrent reële functies”, reeds aangekaart in

het 2de leerjaar van de 2de graad, werd dus alle herhalingsleerstof expliciet uit de opsomming van de leerinhouden geweerd. En de reden van die uitzondering ligt in het feit dat de zes te bestuderen reële functies de hoofdkrachtlijn uitmaken binnen het leerplan analyse.

• Van de leerling mag dus worden verwacht dat hij de basisbegrippen met de daarbij horende no-menclatuur en symboliek beheerst binnen het kader waarin de studie van de reële functies zich af-speelt.

• Meer in het bijzonder moet het begrip functie door de leerling spontaan geassocieerd worden met:

- het drieluik: domein – voorschrift – bereik; - een verzameling van koppels; - de grafiek als beeldverzameling van die koppels in een geijkt assenstelsel; - de vergelijking van die grafiek in expliciete (y=f(x)) of impliciete (f(x,y)=0) vorm; - de nulwaarden, zijnde de oplossingen van de overeenstemmende vergelijkingen f(x)=0 of

f(x,0)=0; - de eventuele karakteristieken zoals symmetrieën, het stijgen, dalen of constant zijn en het berei-

ken van extrema.

Aldus opgevat kan een brok herhalingsleerstof uitgroeien tot een lichtbaken waarnaar, met uit de algebra, goniometrie en analyse aangereikte hulpmiddelen, elk van de zes te bestuderen functies zich kan richten.

4 Meetkunde • Bij het profiel meetkunde is geopteerd om enkel de ruimtemeetkunde als verplicht onderdeel te

bewaren. Dit betekent niet dat de behandeling van de analytische vlakke meetkunde van de twee-de graad waardeloos zou zijn. Maar hier wordt de vrijheid aan de leerkracht overgelaten over het al dan niet behandelen van dit gedeelte, teneinde de haalbaarheid van het volledige leerplan niet in het gedrang te brengen.

• Bij de ruimtemeetkunde wordt onmiddellijk in de euclidische ruimte gewerkt, dit wil zeggen dat alles wordt beschreven in een orthonormaal assenstelsel. Ondanks de aanwezigheid van de begrippen


plaatsvector en richtingsvector bij de doelstellingen dient hier geen overdadige aandacht aan te worden besteed. Het is aangewezen dat men het begrip vector hier eenduidig associeert met het begrip coördinaat. Men moet natuurlijk wel rekening houden met het feit dat leerlingen die in de tweede graad een studierichting met 4 lestijden wiskunde per week hebben gevolgd (en in de der-de graad toch opteren voor de pool wetenschappen) geen notie hebben van vectorrekening.

• Het opstellen van de vergelijkingen van rechten en vlakken blijft een belangrijke hoeksteen binnen de ruimtemeetkunde. Men dient bij de behandeling van vlakken wel rekening te houden met het feit dat het begrip determinant niet gekend is. Dit heeft tot gevolg dat men bij voorkeur de parameters uit de parametervergelijkingen van een vlak elimineert (met behulp van ICT) om tot de cartesische vergelijking van een vlak te komen.

• Nadat men vergelijkingen van rechten en vlakken kan opstellen, kan men overgaan tot een studie van loodrechte stand en afstanden. Indien de tijdsbesteding het toelaat kan men hieraan ook nog het berekenen van hoeken toevoegen.

• Het is aangewezen om bij de studie van de ruimtemeetkunde de synthetische meetkunde als rode draad te laten lopen. Men kan hierbij gebruik maken van beschrijvingen aan de hand van kubus en viervlak.

5 Stochastiek Lectuur van de kadertekst laat uitschijnen dat in het leerplan verscheidene hulpkrachtlijnen zijn opgeno-men die, mits het gezamenlijk focussen op het verruimen van het terrein van problem solving, toelaten de hoofdkrachtlijn stochastiek en zijn subtiele link met de statistiek als een vorm van synthese te bereiken.

Zo bekeken kunnen de pedagogisch-didactische wenken zich concentreren rond de hulpkrachtlijnen, meer in het bijzonder rond de wijze en het moment waarop die hulpkrachtlijnen dienen aangepakt en rond de graad van diepgang die hierbij wordt beoogd.

Combinatieleer • Het systematisch tellen van mogelijkheden staat voorop. Aan de hand van eenvoudige voorbeel-

den, waarbij het opsommen van alle mogelijkheden overzichtelijk blijft, wordt stapsgewijze de al-gemene formule bijgebracht. Hierbij wordt natuurlijk gebruikt gemaakt van de algemene telregels.

• Hierbij zal grote aandacht besteed worden aan de verschillen in de formules naargelang bij het tellen de volgorde enerzijds, de herhaling anderzijds al dan niet een rol spelen.

• Het is aan te raden om de verschillende formules in tabelvorm naast elkaar te plaatsen, zodat een duidelijke profilering merkbaar is.

• Hoe dan ook dient de leerling bijgebracht dat de moeilijkheidsgraad niet zozeer schuilt in het op-stellen van de formules, dan wel in het inhoudelijk begrijpen van de vraagstukken wat leidt tot de keuze van de gepaste formule.

• Hoewel in de praktijk de combinatieleer eerder als een voorbereiding op de kansrekening zal wor-den gezien, is het toch aan te raden om de tellingen ook los te zien van het begrip kans.

• Zo kan bij de combinaties aandacht besteed worden aan de eigenschappen van de binomiaalcoëf-ficiënten, die dan aanleiding geven tot het opstellen van de driehoek van Pascal.

• Zo kan eveneens worden stilgestaan bij het binomium van Newton, zij het dan wel voor kleine waarden van de exponent. De algemene formule wordt slechts bijgebracht indien het begripsni-veau van de leerlingen en de beschikbare lestijd dit toelaten.

Kansrekening • Uitgaande van een gepaste toepassing worden de begrippen kansexperiment, uit-

komst(enverzameling) en gebeurtenis ingevoerd.

• Het begrip kans en dus ook de regel van Laplace worden op een intuïtieve manier bijgebracht als een idealisering van de relatieve frequentie bij het herhaald uitvoeren van een experiment (principe van statistische stabiliteit).

• De som- en complementregel dienen niet formeel onderwezen te worden, maar er wordt wel van de leerlingen verwacht dat ze die regels kennen, deze bij het oplossen van oefeningen gebruiken en zo inzien hoe ze in sommige gevallen de oplossing aanzienlijk vereenvoudigen.


• Ook het begrip voorwaardelijke kans dient aangebracht te worden aan de hand van een geschikt voorbeeld en mag zeker niet herleid worden tot het van buiten leren van een formule. Het gebruik van kansbomen speelt hierbij een zeer belangrijke rol, net als bij het eventueel behandelen van problemen die aanleiding geven tot het gebruik van de regel van Bayes.

Beschrijvende statistiek • Reeds in de tweede werd een aanvang genomen met de studie van de beschrijvende statistiek.

Deze studie wordt hier verder uitgediept.

• Het gebruik van reële gegevens (databanken, web, eigen opmetingen,…) werkt stimulerend naar de leerlingen toe. Daarbij mag niet vergeten worden deze gegevens in hun juiste context te plaat-sen (waarbij deze context altijd buiten de statistiek valt).

• Het loont zeker de moeite de leerlingen zelf een steekproef te laten trekken (bijvoorbeeld via een enquête). Hierbij is het natuurlijk belangrijk je als leerkracht af te vragen hoe je omgaat met het ge-geven dat elke leerling een ander resultaat verkrijgt.

• Het is geenszins de bedoeling hierbij een theoretische benadering van de begrippen op te bouwen. Leerlingen hoeven bovendien de kengetallen ook niet manueel te kunnen berekenen. Dit betekent dat bij de behandeling van statistiek ICT een onmisbaar instrument is.

• Het is aangewezen de leerlingen een veelheid aan realistische voorbeelden voor te schotelen, waarbij ze kritisch leren omgaan met figuren en uitspraken in de media, in de literatuur, op het web, …

Kansverdelingen • De begrippen kansfunctie en verdelingsfunctie kunnen in verband worden gebracht met overeen-

komstige begrippen uit de beschrijvende statistiek.

• Bij de behandeling van een toepassing kan trouwens gebruik gemaakt worden van een gelijkaardi-ge tabel als de frequentietabel, zodat verbanden met de statistiek voor de leerlingen duidelijk wor-den.

• De specifiek te behandelen verdelingsfuncties zullen elk voor zich worden ingeleid door gepaste praktische toepassingen. De nadruk mag hierbij zeker niet liggen op het rekenwerk, noch op het consulteren van tabellen, wel op het gebruik van ICT-middelen.

• De normale verdeling kan ingevoerd worden via een toepassing uit de beschrijvende statistiek, waar bij een groot aantal gegevens het histogram naar de klokcurve van Gauss overhelt.

• Het gebruik van de normale verdeling als benadering voor de binomiale verdeling kan bijvoorbeeld voortkomen uit de beperkingen van de aangewende ICT-middelen, waarbij de binomiale verdeling soms beperkingen heeft wat het aantal herhalingen van het experiment betreft.

Toepassingen / vraagstukken • Onder toepassingen verstaan we de doorgaans numeriek getinte opgaven die onmiddellijk of na

verloop van tijd rechtstreeks bij de theorie aansluiten. Door de aard van de leerstof zullen ze zich vooral ophopen in de combinatieleer en bij de start van de kansrekening. Er mag worden verwacht dat deze soort vrijwel in elk van de betrokken lessen aan bod komt.

• Onder vraagstukken verstaan we die opgaven waar het numerieke gedeelte van de oplossing slechts in gang schiet nadat de opgave (doorgaans een tekst) vooraf werd gemathematiseerd. Er mag worden verwacht dat elk hoofdstuk bij wijze van introductie en motivatie met één voorbeeld van deze soort wordt opgestart en met minstens twee voorbeelden ervan wordt afgerond.

• Ideaal zou wel zijn dat van die vraagstukken een aantal wordt overgehouden om aan de leerlingen voor te leggen in het kader van problem solving en dit na de voltooiing van de volledige cursus.

6 Wiskunde en kunst (keuzeonderwerp)

Twee-dimensionale weergave van een drie-dimensionale realiteit • Het lineair perspectief als realistische weergave van de werkelijkheid kan het best geïntroduceerd

worden a.h.v. een aantal kunstwerken uit verschillende tijdsperioden (pre-renaissance en renais-


sance). Opvallend is het gebruik van de tegelvloer bij streng perspectivische tekeningen of schil-derijen ; bij het bepalen van gezichtspunt en distantiepunt kan men dan ook het best vertrekken van een dergelijke tegelvloer. Het verdient aanbeveling om te steunen op eigenschappen uit de ruimtemeetkunde, wanneer men wil aantonen dat onderling evenwijdig rechten (niet evenwijdig aan het tafereel) afgebeeld worden als rechten die door één welbepaald punt gaan (vluchtpunt). Het kromlijnig perspectief is met name toegepast in een aantal etsen van Escher. Voor de per-spectivische vertekening kan men eventueel een verband met het onderwerp rijen overwegen : de opeenvolgende lengtes van de tegels in een tegelvloer leveren een niet-vanzelfsprekende conver-gente rij op. De opeenvolgende afstanden kan men d.m.v. elementaire vlakke analytische meet-kunde berekenen.

• Binnen de stromingen van het kubisme, het futurisme en het surrealisme zijn een aantal kunste-naars op zoek gegaan naar het zichtbaar maken van hogere dimensies.

• Het feit dat het voor een wiskundige haast vanzelfsprekend is de dimensie van een ruimte op te drijven door telkens coördinaatgetallen toe te voegen, maakt van de 4de dimensie een geschikt onderwerp om de plaats van de wiskunde binnen de wetenschappen te specifiëren nl. de wiskunde als studie van wat mogelijk is, eerder dan van wat is.

Verhoudingen Het geloof dat een esthetische gewaarwording kan teruggevoerd worden op de juiste verhouding van getallen vindt zijn oorsprong in de snarentheorie van Pythagoras. De invloed van Pythagoras op Plato zorgt er dan weer voor dat met de herontdekking van de Klassieken in de renaissance, het idee van es-thetische verhoudingen weer opduikt. Het idee van een objectieve esthetische maat (de mathematiseer-baarheid van de kunst) kan trouwens gezien worden als een ‘rode draad’ door de onderwerpen die in het onderdeel ‘wiskunde en kunst’ aan bod komen. De leerlingen moeten m.b.t de informatie i.v.m. de gul-den snede voldoende kritische zin aan de dag leggen en het verdient aanbeveling om te wijzen op een aantal gevallen van niet-bewezen verbanden tussen de gulden snede en bv. de anatomie van de mens (‘hineininterpreterung’).

Veelvlakken

• Als instap voor de studie van de Platonische lichamen kan gedacht worden aan :

- lezing en/of bespreking van de ‘Timaios’ (dialoog van Plato), waar de lichamen beschreven wor-den,

- kristallografie, - tekening of schilderij uit de renaissance (Pacioli, Dürer, Da Vinci) of een ets van MC Escher.

• De leerlingen zien in dat er slechts vijf regelmatige veelvlakken te construeren zijn. Bij het tellen van ribben en hoeken kan gesteund worden op de telregels die behandeld zijn in de combinatieleer (o.a. het dubbel tellen). Er moet zeker verwezen worden naar de dodecaëders uit de oudheid, de rol van de veelvlakken in het werk van Plato, Kepler en Escher.

• Interessante voorbeelden van niet-Platonische lichamen zijn niet-convexe regelmatige veelvlakken en half-regelmatige of Archimedische veelvlakken i.h.b. een afgeknotte icosaëder.

Inrichting van de ruimte Naar aanleiding van de optische eigenschappen van de kegelsneden kunnen parabolische spiegels en antennes aan bod komen, evenals de fluistereigenschap van de ellips (fluisterkamer in Saint-Paul Cathe-dral, Londen). In het werk van de architect Antonio Gaudi zijn paraboolbogen dominant aanwezig. Er is ook weer hier een link te leggen met het werk van Escher nl. een aantal etsen van Möbiusbanden.

Veelhoeken en het ritme van het vlak • De studie van de regelmatige veelhoeken biedt de mogelijkheid om een aantal technieken uit de

vlakke meetkunde op te frissen en toe te passen zoals daar zijn : constructie van de veelhoeken, berekening van de grootte van hoeken in regelmatige n-hoeken, berekening van zijden van een driehoek m.b.v. Pythagoras of goniometrische getallen.

• Eventueel kan hier ook gedacht worden aan het knopen van papieren stroken : het is mogelijk uit één of twee stroken alle regelmatige veelhoeken te ‘knopen’.


• Door een aantal concrete behangselpapierpatronen te vergelijken (bv. motieven uit het Alhambra) moeten de leerlingen inzien dat er vele mogelijkheden zijn om zo’n patroon op te bouwen, ze her-kennen een aantal van die patronen in etsen van MC. Escher. De ontdekking van een niet-periodieke betegeling m.b.v. twee soorten tegels door R. Penrose (die tegels hebben trouwens een verband met de gulden snede) kan aangewend worden om aan te geven dat er nog vele wiskundi-ge problemen liggen te wachten om opgelost te worden : het levende en dynamische karakter van de wiskunde kan zo eens benadrukt worden.

Flirten met het oneindige • Het limietbegrip dat in de analyse werd ingevoerd, kan hier dus toegepast worden op rijen en rijen

van partiële sommen. Bij de fractalen kan worden gedacht aan de sneeuwvlok van Koch, de zeef en het tapijt van Sierpinski, de boom van Pythagoras, e.a. … Het verdient aanbeveling om een aantal fractalen manueel en een aantal fractalen met ICT te construeren. Daarnaast kan er ook aandacht besteed worden aan de Julia- en Mandelbrötverzamelingen. Er kan een link gelegd wor-den tussen de fractaalmeetkunde en de chaostheorie.

• Zowel de paradoxen van Zeno als de discussie over actueel en potentieel oneindig vragen een korte behandeling van de standpunten van de filosofen Parmenides, Plato en Aristoteles. Eventu-eel kan in dit verband ook gedacht worden aan het grondslagenonderzoek begin 20ste eeuw, aan de wiskundige stromingen : platonisme, formalisme, intuïtionisme en aan de stelling van Gödel.

• Het principe van zelfreferentie (dat de sleutel vormt tot het bewijs van de stelling van Gödel) kan als verklarend principe worden aangewend bij de oneindige lussen, die zowel in de taal (de uit-spraak =’ik lieg’), als in de wiskunde (paradox van Russell), als in de kunst (‘Tekenen’ van MC Es-cher) tot uiting kunnen komen. Het verband tussen een oneindige lus en onmogelijke figuren kan aan de hand van etsen van MC. Escher duidelijk gemaakt worden.

• Voor de transfiniete getallen volstaat het dat de leerlingen het begrip ‘bijectie’ als basisbegrip voor het tellen ervaren en dat ze inzien dat er verschillende soorten oneindigheden zijn.


7 Algemene wenken 7.1 Begeleid zelfgestuurd leren

Wat?

Met begeleid zelfgestuurd leren bedoelen we het geleidelijk opbouwen van een competentie naar het einde van het secundair onderwijs, waarbij leerlingen meer en meer het leerproces zelf in handen gaan nemen. Zij zullen meer en meer zelfstandig beslissingen leren nemen in verband met leerdoelen, leerac-tiviteiten en zelfbeoordeling.

Dit houdt onder meer in dat: − de opdrachten meer open worden; − er verschillende antwoorden of oplossingen mogelijk zijn; − de leerlingen zelf keuzes leren maken en die verantwoorden; − de leerlingen zelf leren plannen; − er feedback is op proces en product; − er gereflecteerd wordt op leerproces en leerproduct. De leraar is ook coach, begeleider.

De impact van de leerlingen op de inhoud, de volgorde, de tijd en de aanpak wordt groter.

Waarom?

Begeleid zelfgestuurd leren sluit aan bij enkele pijlers van ons PPGO, o.m. − leerlingen zelfstandig leren denken over hun handelen en hierbij verantwoorde keuzes leren ma-

ken; − leerlingen voorbereiden op levenslang leren; − het aanleren van onderzoeksmethodes en van technieken om de verworven kennis adequaat te

kunnen toepassen. Vanaf het kleuteronderwijs worden werkvormen gebruikt die de zelfstandigheid van kinderen stimuleren, zoals het gedifferentieerd werken in groepen en het contractwerk.

Ook in het voortgezet onderwijs wordt meer en meer de nadruk gelegd op de zelfsturing van het leerpro-ces in welke vorm dan ook.

Binnen de vakoverschrijdende eindtermen, meer bepaald “Leren leren”, vinden we aanknopingspunten als: − keuzebekwaamheid; − regulering van het leerproces; − attitudes, leerhoudingen, opvattingen over leren. In onze (informatie)maatschappij wint het opzoeken en beheren van kennis voortdurend aan belang.

Hoe te realiseren?

Het is belangrijk dat bij het werken aan de competentie de verschillende actoren hun rol opnemen: − de leraar als coach, begeleider; − de leerling gemotiveerd en aangesproken op zijn “leer”kracht; − de school als stimulator van uitdagende en creatieve onderwijsleersituaties. De eerste stappen in begeleid zelfgestuurd leren zullen afhangen van de doelgroep en van het moment in de leerlijn “Leren leren”, maar eerder dan begeleid zelfgestuurd leren op schoolniveau op te starten is “klein beginnen” aan te raden. Vanaf het ogenblik dat de leraar zijn leerlingen op min of meer zelfstandige manier laat − doelen voorop stellen; − strategieën kiezen en ontwikkelen; − oplossingen voorstellen en uitwerken; − stappenplannen of tijdsplannen uitzetten; − resultaten bespreken en beoordelen; − reflecteren over contexten, over proces en product, over houdingen en handelingen; − verantwoorde conclusies trekken; − keuzes maken en die verantwoorden; is hij al met een of ander aspect van begeleid zelfgestuurd leren bezig.


7.2 Informatie- en communicatietechnologieën (ICT)

Wat?

Onder ICT verstaan we het geheel van computers, netwerken, internetverbindingen, software, simulato-ren, etc. Telefoon, video, televisie en overhead worden in deze context niet expliciet meegenomen.

Waarom?

De recente toevloed van informatie maakt levenslang leren een noodzaak voor iedereen die bij wil blijven. Maatschappelijke en onderwijskundige ontwikkelingen wijzen op het belang van het verwerven van ICT. Enerzijds speelt het in op de vertrouwdheid met de beeldcultuur en de leefwereld van jongeren. Ander-zijds moeten jongeren niet alleen in staat zijn om nieuwe media efficiënt te gebruiken, maar is ICT ook een hulpmiddel bij uitstek om de nieuwe onderwijsdoelen te realiseren. Het nastreven van die competen-tie veronderstelt onderwijsvernieuwing en aangepaste onderwijsleersituaties. Er wordt immers meer en meer belang gehecht aan probleemoplossend denken, het zelfstandig of in groep leren werken, het kun-nen omgaan met enorme hoeveelheden aan informatie, ...

In bepaalde gevallen maakt ICT deel uit van de vakinhoud en is ze gericht op actieve beheersing van bijvoorbeeld een softwarepakket binnen de lessen informatica. In de meeste andere vakken of bij het nastreven van vakoverschrijdende eindtermen vervult ICT een ondersteunende rol. Door de integratie van ICT kunnen leerlingen immers: − het leerproces zelf in eigen handen nemen; − zelfstandig en actief leren omgaan met les- en informatiemateriaal; − op eigen tempo werken en een eigen parcours kiezen (differentiatie en individualisatie). Hoe te realiseren?

In de eerste graad van het SO kunnen leerlingen adequaat of onder begeleiding elektronische informatie-bronnen raadplegen. In de tweede en nog meer in de derde graad kunnen de leerlingen “spontaan” ge-gevens opzoeken, ordenen, selecteren en raadplegen uit diverse informatiebronnen en –kanalen met het oog op de te bereiken doelen.

Er bestaan verschillende mogelijkheden om ICT te integreren in het leerproces.

Bepaalde programma’s kunnen het inzicht verhogen d.m.v. visualisatie, grafische voorstellingen, simula-tie, het opbouwen van schema’s, stilstaande en bewegende beelden, demo, ...

Sommige cd-roms en internetapplicaties bieden allerlei informatie interactief aan, echter niet op een line-aire manier. De leerling komt via bepaalde zoekopdrachten en verwerkingstaken zo tot zijn eigen “ge-structureerde leerstof”.

Databanken en het internet kunnen worden gebruikt om informatie op te zoeken. Wegens het grote aan-bod aan informatie is het belangrijk dat de leerlingen op een efficiënte en een kritische wijze leren om-gaan met deze informatie. Extra begeleiding in de vorm van studiewijzers of instructiekaarten is een must. Om tot een kwaliteitsvol eindresultaat te komen, kunnen leerlingen de auteur (persoon, organisatie, ...), de context, andere bronnen die de inhoud bevestigen en de onderzoeksmethode toevoegen. Dit zal het voor de leraar gemakkelijker maken om het resultaat en het leerproces te beoordelen.

De resultaten van individuele of groepsopdrachten kunnen worden gekoppeld aan een mondelinge pre-sentatie. Presentatiesoftware kan hier ondersteunend werken.

Men kan resultaten en/of informatie uitwisselen via e-mail, elektronische leeromgevingen, chatten, nieuwsgroepen, discussiefora, ... ICT maakt immers allerlei nieuwe vormen van directe en indirecte communicatie mogelijk. Dit is zeker een meerwaarde omdat ICT zo de mogelijkheid biedt om niet alleen interscolaire projecten op te zetten, maar ook om de communicatie tussen leraar en leerling (uitwisselen van cursusmateriaal, planningsdocumenten, toetsen examenvragen, ...) en leraren onderling (uitwisse-ling lesmateriaal) te bevorderen.

Sommige programma’s laten toe op graduele niveaus te werken. Ze geven de leerling de nodige feed-back en remediëring gedurende het leerproces (= zelfreflectie en -evaluatie).


7.3 Vakoverschrijdende eindtermen (VOET)

Wat?

Vakoverschrijdende eindtermen (VOET) zijn minimumdoelstellingen, die -in tegenstelling tot de vakge-bonden eindtermen - niet gekoppeld zijn aan een specifiek vak, maar door meer vakken of onderwijspro-jecten worden nagestreefd. De VOET worden volgens een aantal vakoverschrijdende thema's geordend: leren leren, sociale vaardig-heden, opvoeden tot burgerzin, gezondheidseducatie, milieueducatie, muzisch-creatieve vorming en technisch-technologische vorming (alleen voor ASO).

De school heeft de maatschappelijke opdracht om de VOET volgens een eigen visie en stappenplan bij de leerlingen na te streven (inspanningsverplichting).

Waarom?

Het nastreven van VOET vertrekt vanuit een bredere opvatting van leren op school en beoogt een ac-centverschuiving van een eerder vakgerichte ordening naar meer totaliteitsonderwijs. Door het aanbieden van realistische, levensnabije en concreet toepasbare aanknopingspunten, worden leerlingen sterker gemotiveerd en wordt een betere basis voor permanent leren gelegd.

VOET vervullen een belangrijke rol bij het bereiken van een voldoende brede en harmonische vorming en behandelen waardevolle leerinhouden, die niet of onvoldoende in de vakken aan bod komen. Een be-langrijk aspect is het realiseren van meer samenhang en evenwicht in het onderwijsaanbod. In dit opzicht stimuleren VOET scholen om als een organisatie samen te werken.

De VOET verstevigen de band tussen onderwijs en samenleving, omdat ze tegemoetkomen aan belang-rijk geachte maatschappelijke verwachtingen en een antwoord proberen te formuleren op actuele maat-schappelijke vragen.

Hoe te realiseren?

Het nastreven van VOET is een opdracht voor de hele school, maar individuele leraren kunnen op ver-schillende wijzen een bijdrage leveren om de VOET te realiseren. Enerzijds door binnen hun eigen vak-ken verbanden te leggen tussen de vakgebonden doelstellingen en de VOET, anderzijds door thematisch onderwijs (teamgericht benaderen van vakoverschrijdende thema's), door projectmatig werken (klas- of schoolprojecten, intra- en extra-muros), door bijdragen van externen (voordrachten, uitstappen).

Het is een opdracht van de school om via een planmatige en gediversifieerde aanpak de VOET na te streven. Ondersteuning kan worden gevonden in pedagogische studiedagen en nascholingsinititiatieven, in de vakgroepwerking, via voorbeelden van goede school- en klaspraktijk en binnen het aanbod van organisaties en educatieve instellingen.


MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN

Vaklokaal

De leerkracht wiskunde van de derde graad moet in de klas beschikken over een minimum aan tekenma-terieel: (kleur)krijt, geodriehoek en passer. Het gebruik van een overheadprojector moet eveneens mogelijk zijn.

Integratie van ICT Het is wenselijk dat het vakgebied wiskunde over minstens één lokaal (eventueel in samenspraak met andere vakgebieden) kan beschikken dat voor ICT is uitgerust en dat door de leerkrachten en de leerlin-gen voor de lessen wiskunde kan worden gebruikt. Een alternatief is dat de leerlingen tijdens de wiskun-deles kunnen beschikken over een grafisch (of symbolisch) rekentoestel, dat al dan niet hun persoonlijke eigendom is.

De school zorgt er alleszins voor dat elke wiskundeleraar gebruik kan maken van minstens één computer met degelijk projectiesysteem of van een grafisch rekentoestel dat symbolisch rekenen toelaat en dat op een didactische manier kan worden ingeschakeld in de les. Aangezien dit leerplan voorziet dat de leer-kracht op een didactische manier ICT integreert in de les moet de aanwezige apparatuur van die aard zijn dat dit op een flexibele manier kan gebeuren. Het streefdoel is dat het gebruik van ICT voor ongeveer 20 % van het beschikbare lestijdenpakket wiskunde geen uitzondering is, waarbij dit percentage dient verstaan te worden als de combinatie van demonstratie door de leerkracht en door de leerlingen zelf be-stede tijd.

Didactische wiskundesoftware moet beschikbaar zijn voor: • meetkunde: interactief en dynamisch; • algebra en analyse: symbolisch rekenwerk, grafieken; • statistiek: grafieken en diagrammen, berekeningen.

Selectie van materiële uitrusting De leerlingen bezitten een geodriehoek en passer. Ze beschikken allen tevens over een, bij voorkeur, zelfde rekentoestel dat geschikt is voor de gekozen studierichting.

De vakgroep wiskunde zal zich onder andere regelmatig beraden over: • de keuze en het gebruik van handboeken; • het type rekentoestel waarover de leerlingen in een bepaalde studierichting moeten beschikken; • de keuze voor de software; • de invoering van ICT in de wiskundeles; • de abonnementen op vaktijdschriften wiskunde; • de eenvormigheid in informatie op muurkrantjes.

Veiligheidsvoorschriften

Inzake veiligheid is de volgende wetgeving van toepassing: • Codex ; • ARAB ; • AREI ; • Vlarem. Deze wetgeving bevat de technische voorschriften die in acht moeten genomen worden m.b.t.: de uitrusting en inrichting van de lokalen; de aankoop en het gebruik van toestellen, materiaal en materieel. Zij schrijven voor dat: • duidelijke nederlandstalige handleidingen en een technisch dossier aanwezig moeten zijn; • alle gebruikers de werkinstructies en onderhoudsvoorschriften dienen te kennen en correct kunnen

toepassen; • de collectieve veiligheidsvoorschriften nooit mogen worden gemanipuleerd; • de persoonlijke beschermingsmiddelen aanwezig moeten zijn en gedragen worden, daar waar de

wetgeving het vereist.


EVALUATIE

1 Doelstelling

Evaluatie kan beschouwd worden als de waardering van het werk waarmee leraar en leerlingen samen bezig zijn. Steeds zal zowel de leerling er wat uit leren (ken ik mijn leerstof?), als de leraar (volg ik een goede methode?), maar daarenboven moet het een uiting zijn van wederzijdse betrokkenheid waarbij kwaliteitszorg wordt nagestreefd.

Bij elke evaluatie wil men dan ook informatie verzamelen waarop men kan steunen om beslissingen te nemen. Dit kunnen beslissingen zijn die tot doel hebben de efficiëntie van het leerproces te vergroten, de doelmatigheid van de studiemethode te verhogen of tot sanctionering te komen.

De leraar moet eruit kunnen afleiden in welke mate hij met de gevolgde methode de vooropgezette doel-stellingen heeft bereikt. De ontleding van de behaalde resultaten zal de nodige aanwijzingen geven voor eventuele bijsturing van de didactische aanpak.

De leerling en zijn ouders moeten in de evaluatie (score, commentaar, remediëring) bruikbare informatie vinden over de doelmatigheid van de gevolgde studiemethode.

Omdat evaluatie naar de leerlingen toe enige eenvormigheid moet vertonen over de vakken en de leerja-ren heen - wiskunde heeft hierin ook zijn plaats -, is het logisch dat én de school hierover haar visie ont-wikkelt via het schoolwerkplan én de betrokken leerkrachten deze visie concretiseren voor hun vak, in casu wiskunde, via de vakgroepwerking.

2 Evaluatievormen Houd regelmatig overhoringen zoals in de vakgroep overeengekomen. Laat dat niet langer duren dan nodig en spreek op voorhand af over hoeveel tijd de leerlingen kunnen beschikken. Dit kan slechts indien op voorhand de vragen oordeelkundig werden uitgekozen en de duur voor het oplossen werd ingeschat.

Ook attitudes moeten geëvalueerd worden. Volgende aspecten kunnen vrij gemakkelijk in de wiskunde-lessen beoordeeld worden:

• belangstelling en inzet Werkt de leerling mee in de klas? Hoe wendt hij zijn studietijd aan?

• kritische geest Wat is de persoonlijke inbreng van de leerling? Wat is zijn ontledingszin van een probleem?

• intellectuele nieuwsgierigheid Neemt de leerling initiatieven in en buiten de les? Zoekt hij naar niet opgegeven oefeningen? Leest hij wel eens over bepaalde problemen? Grijpt hij naar ICT?

• groepswerk Helpt de leerling anderen? Heeft zijn inbreng een stimulerende of remmende werking?

2.1 Dagelijks werk

De evaluatie “dagelijks werk” heeft tot doel de leerling en zijn ouders tussentijds in te lichten over zijn kennis en zijn attitudes. De quotering voor “dagelijks werk” steunt op permanente evaluatie. Hierbij wordt niet alleen het bereiken van doelstellingen m.b.t. begripsvorming (definities, eigenschappen,…) en procedures (rekentechnieken, algoritmen,…) beoogd, maar ook deze m.b.t. vaardigheden (rekenvaardigheid, taalvaardigheid, teken-vaardigheid, redeneervaardigheid, abstraheervermogen) en samenhang.

De leerkracht beschikt daarvoor over de volgende middelen:

• observatie in de klas; • mondelinge overhoringen; • korte beurten; • herhalingsbeurten (deeltoetsen); • (huis)taken.

De terminologie, die desbetreffend in de scholen gehanteerd wordt, kan misschien verschillen. Alleszins wordt hier met “korte beurt” een schriftelijke lesoverhoring van leerstof uit de vorige les bedoeld die kort


wordt gehouden. Herhalingsbeurten (deeltoetsen) beogen de evaluatie van grotere leerstofonderdelen en worden op voorhand aangekondigd.

Zijn ideeën overzichtelijk en met voldoende zorg neerschrijven is een doelstelling die wegens tijdgebrek al te vaak wordt verwaarloosd. Daarom is het ten zeerste verantwoord dat de vakgroep zich uitspreekt over de vorm en de regelmaat van (huis)taken. Deze bieden een uitgelezen kans om vaardigheden en attitudes zoals zorg, precisie, inzet, zelfstandigheid of samenwerkingsbereidheid bij de leerling te meten.

2.2 Examens

Examens beogen de evaluatie van de nagestreefde leerstofdoelstellingen tijdens een trimester/semester. Uiteraard zullen de examenvragen een verantwoord evenwicht vertonen tussen reproduceervragen (theo-rie en herkenbare oefeningen) en differentieervragen (redeneer- en inzichtvragen). Bij het vastleggen van dit evenwicht is men zeker de slaagkansen van de middelmatig begaafde, hard werkende leerling indach-tig.

De totale duur van de examens is hoogstens gelijk aan het aantal wekelijkse lestijden.

Bij de eventuele beperking van de leerstof moet men bedenken dat het vanzelfsprekend is dat de exa-menvragen handelen over essentiële (d.w.z. met het oog op het vervolg van de leerstof) onderdelen van het leerplan. De vraagstelling is erop gericht te peilen naar de verworven inzichten en vaardigheden van de leerling.

Men kan eventueel aanvaarden dat voor het examen die leerstofonderdelen worden weggelaten die voor het volgend leerjaar niet rechtstreeks nodig zijn of die in het volgend leerjaar grondiger behandeld wor-den, maar dan dienen deze onderdelen expliciet aan bod te komen in een herhalingsbeurt.

De ervaring leert dat het zinvol is - om latere discussies en betwistingen te vermijden - ervoor te zorgen dat de leerlingen kunnen beschikken over:

• een schriftelijk overzicht van de te kennen leerstof; • een geschreven mededeling waarin staat over welk materieel de leerling mag beschikken op het

examen (passer, tekendriehoek, rekentoestel,...). 2.3 Aantal beurten

In de bijgevoegde tabel leest u hoeveel schriftelijke beurten u voor de onderwijsvormen TSO en KSO per schooljaar minimaal zult houden. Deze beurten worden gelijkmatig over de evaluatieperiodes gespreid.

Cursus met

korte beurten

Herhalingsbeurten

max. 1 lestijd 6 lestijden/week

4 lestijden/week

2 lestijden/week

16

12

6

4

3

2

2.4 Bewaren van documenten

De kopijen van de herhalingsbeurten en van de examens worden overeenkomstig de wettelijke voor-schriften bewaard. Vermits de korte schriftelijke beurten ook invloed hebben op de algemene beoordeling van de leerling, worden deze eveneens bewaard tot minstens na de definitieve eindbeslissing. Hierbij wordt rekening gehouden met de termijnen van mogelijke beroepsprocedures.

Bewaar bij de kopijen (van de examens en de herhalingsbeurten):

• een overzicht van de gestelde vragen met puntenverdeling; • een correctiemodel.


3 ICT-hulpmiddelen De leerlingen moeten gebruik kunnen maken van informatie- en communicatietechnologie (ICT) om wis-kundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken.

Deze eindterm moet dus ook worden geëvalueerd. In de lessen wiskunde zal dan ook door de leerling systematisch en verantwoord een (grafisch) rekentoestel of een computer worden gebruikt. De leerstofi-tems, waarbij tijdens de instructie voor ontwikkeling of voor verwerking gebruik werd gemaakt van deze technologische instrumenten, zullen met de ondersteuning van dezelfde hulpmiddelen moeten worden geëvalueerd.

Dit vergt enerzijds aandacht en aanpassing van de leerkracht bij het opstellen van de vragen, de tijdin-vestering en de evaluatie. De werkwijze met het toestel kan een te meten doel zijn.

Anderzijds zal de school een inspanning moeten leveren om de leerlingen, die thuis niet over de vereiste hulpmiddelen beschikken, ook op school de mogelijkheid te bieden om zich te bekwamen in het gebruik van ICT-middelen.

Hoe dan ook moet de leerling duidelijk weten wat er van hem verwacht wordt en welke invloed het ge-bruik van ICT heeft op zijn evaluatie.

Uiteraard is de vakgroep het meest aangewezen orgaan om over deze geëvolueerde evaluatiesituatie te overleggen.

4 Jaarplan Een jaarplan geeft aan welke leerinhouden voor de vakonderdelen per aangeduide periode (maximaal per maand) beoogd worden.

Het jaarplan:

• helpt de leerkracht gedurende het hele schooljaar een verantwoorde tijdsindeling te respecteren; • heeft een richtinggevende en ondersteunende functie bij vervanging van de titularis; • laat de niet-wiskundig-gevormde directeur toe om de betrokken leerkracht te verwijzen naar deze

planning.

Een jaarplan dat ook gebruikt wordt voor de aanduiding van de behandelde leerstof veroorzaakt geen supplementair werk.

Een jaarplan mag gedurende het jaar worden bijgestuurd en wordt elk jaar op zijn haalbaarheid getoetst en zo nodig aangepast.

Een goed jaarplan kan verschillende jaren met succes gebruikt worden.

Het is niet de bedoeling een bepaald model van jaarplan op te leggen. Behalve de identificatiegegevens (zie model) geeft het jaarplan aan volgens welke timing de leerstof wordt behandeld. Liefst wordt er per leerstofitem aangeduid hoeveel lestijden hieraan zullen worden besteed. Het is aangewezen ruimte te voorzien om gegevens te noteren die de reële tijdbesteding hebben beïnvloed (ziekte, uitstap, studie-dag,...). Deze notities laten toe om de betrouwbaarheid van de timing te evalueren en zo nodig deze ti-ming aan te passen.

Hierna volgt een voorbeeld van een mogelijke schikking.

SCHOOL: .............................................................................. SCHOOLJAAR: ........................................

LEERKRACHT: .......................................................................

ONDERWIJSVORM: ...................................... STUDIERICHTING: ................................... LEERPLANNUMMER: ...............................

GRAAD: ...................................................... LEERJAAR: ............................................ UREN/WEEK: ......................................... VAK: WISKUNDE

Voorziene leerstof Gerealiseerde leer-stof

1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd 1 lestijd

SE

PTE

MB

ER

ALGEBRA Noteer hier welke onderwerpen van algebra u in deze maand denkt te behandelen.

GONIOMETRIE

Noteer hier welke onderwerpen van goniometrie u in deze maand denkt te behandelen.

Opmerking noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...)

OK

TOB

ER

noteer het vervolg van de leerstof algebra

noteer het vervolg van de leerstof goniometrie

15 oktober

Opmerking noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...) . . .

XX

XX

ALGEBRA noteer het vervolg van de leerstof algebra

ANALYSE Noteer hier welke onderwerpen van analyse u in deze maand denkt te behandelen.

15 XXX

Opmerking noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...


BIBLIOGRAFIE

Tijdschriften Euclides, p.a. Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraars, De Schalm 19, NL 8251 LB Dronten

Mathématique et pédagogie, Société belge des Professeurs de mathématique, p.a. SBPM, rue de Trazegnies 87, 6320 Pont-à-Celles

Pythagoras, Drukkerij Giethoorn Ten Brink, Postbus 41 NL-7490 AA Meppel; www.science.uva.nl/misc/pythagoras

Uitwiskeling, p.a. Celestijnenlaan 200B, 3001 Leuven

Wiskunde & Onderwijs, p.a. Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars, C. Huysmanslaan 60-bus 4, 2020 Antwerpen

Leerboeken ARGUMENT DAEMS, J. P. en JENNEKENS, E., De Boeck, Antwerpen

INTEGRAAL APERS, G. en anderen, Novum, Mechelen

Naslagwerken AARSSEN, C. en anderen, Netwerk (reeks), Wolters-Noordhoff, Groningen

ANTON, H., Calcules (A new Horizon), Drexel university, ISBN 0-471-15307-9

ATKINSON, K. E., An introduction to numerical analysis, ISBN 0-471-02985-8

BERS, L., Calculus, Holt-Rinehart and Winston Inc., ISBN 03-065240-5

BERWAERTS, V. J. en STANDAERD, K., Welkom bij SI-VEC - SI-eenhedenstelsel, Standaard Educatie-ve Uitgeverij, Antwerpen

BERRESFORD, G. C., Calculus, with applications to the management, social, behavorial, and biomedical sciences, Prentice-Hall Inc, ISBN 0-13-110628-7

BONNEFROID, G. en DAVIAUD, D. en REVRANCHE, B., Mathématiques Pythagore (reeks), Didier Ha-tier, Paris

BRUALDI, R.A., Introductory combinatorics, ISBN 0-7204-8610-6

BRUM, J. V., Experiencing geometry, Wadworth Publishing Company, Belmont (California), ISBN 0-534-00422-9

BURTON, D. M., The history of mathematics, London, Allyn and Bacon, ISBN 0205080952

CANGELOSI, J. S., Teaching Mathematics in Secondary and Middle School: An Interactive Approach, Prentice Hall, ISBN 0134392337

CLARKE, G. M. en COOKE, D., A basic course in statistics, London, Arnold, ISBN 0-7131-2672-8

DEMANA, F., WAITS, B.K., CLEMENS, S.R. en GREENE, M., Intermediate algebra: a graphing ap-proach, Addison-Wesley Publicing Company, ISBN 0-201-65001-0

DOXIADIS, A., Oom Petros en het vermoeden van Goldbach, De Bezige Bij DUREN, W. L., Jr, Calculus and analytic geometry, Xerox College Publishing, Toronto, ISBN 0-536-00869-8

ENZENSBERGER, H.M., De telduivel, De Bezige Bij, ISBN 90-234-8149-6

FINNEY, R.L., THOMAS, G.B., DEMANA, F. en WAITS, B.K., Calculus: grafical, numerical, algebraic, Addison-Wesley Publicing Company,ISBN 0-201-56901-9


FREUDENTHAL, H., Mathematics as an educational task, Reidel Publishing Company, Dordrecht, ISBN 90-277-0322-1

GARDNER, M., Het mathematische carnaval, uitgeverij Contact, ISBN 90-254-6695-8

GARNIER, R. en TAYLOR, J., 100 % Mathematical proof, ISBN 0-471-96198-1

GONICK, L. en SMITH, W., Het stripverhaal van de statistiek, Epsilon-uitgaven, ISBN 90-504-1037-5

GRIMALDI, R. P., Discrete and combinatorial mathematics (fourth edition), uitg. ADDISON-WESLEY A'dam, ISBN 0-201-19912-2

GROSJEAN, C. C., VANHELLEPUTTE, C. V. en VANMASSENHOVE, F. R., Reinaert Systematische Encyclopedie, Wiskunde (deel 14 (wiskunde 1A), deel 15 (wiskunde 1B), deel 20 (wiskunde 2)), Reinaert uitgaven, Brussel

GUEDJ, D., De stelling van de papegaai, Ambo, ISBN 90-263-1604-6

HERWEYERS, G. en STULENS, K., Statistiek met een grafisch rekentoestel, ACCO, Leuven, ISBN 90-334-4597-2

HEUGL, H. en KUTZLER, B. en anderen, DERIVE in education, opportunities and strategies (Proceed-ings of the 2nd Krems Conference on Mathematics Education), Chartwell-Bratt Ltd, ISBN 0-86238-351-X

HOFSTADTER, D. R., Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band, Contact HUFF, D., How to lie with statistics, Penguin Books, ISBN 0-14-021300-7

JACOBS, R. J., Geometry, W. H. Freeman, San Francisco, ISBN 0-7167-0456-0

JACOBS, H. R., Mathematics a human endeavor: a book for those who think they don’t like the subject, San Francisco, Freeman, ISBN 0-7167-0439-0

JORGENSEN, D., De rekenmeester, Bzztôh, ‘s Gravenhage, ISBN 90-5501-722-1

KAMMINGA-VAN HULSEN, M. en GONDRIE, P. en VAN ALST, G., Toegepaste wiskunde met compu-teralgebra, Academic Service, Schoonhoven, ISBN 90 6233 956 5 MANKIEWICZ, R., Het verhaal van de wiskunde, Uniepers, ISBN 90-682-5259-3

MASON, J., Thinking mathematically, Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-10238-2

MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Theorieboek, Academic Service, Den Haag, ISBN 90 395 1420 8

MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Opgavenboek, Academic Service, Den Haag, ISBN 90 395 1421 6

PAULOS, J.A., Er was eens een getal, Bert Bakker, ISBN 90-351-2059-0

PAULOS, J.A., Ongecijferdheid, Bert Bakker, ISBN 90-351-0789-6

PAULOS, J.A., De gecijferde mens, Bert Bakker, ISBN 90-351-1119-2

PETSINIS, T., De Franse wiskundige, Cargo, ISBN 90-234-5374-3

POLYA, G., How to solve it, Penguin Books, ISBN 0-14-012499-3

POSAMENTIER, A.S. en SALKIND, C.T., Challenging problems in geometry, Dale Seymour Publications, ISBN 0-86651-428-7

PROTTER, H. P. en MORREY Ch. B., Jr, Calculus with analytic geometry; a first course, Addison-Wesley, London.

RADE, L. en WESTERGEN, B., BETA / Mathematics Handbook, ISBN 0-86238-140-1

SCHUH, F., The master book of mathematical recreations, Dover Books, ISBN 0-486-22134-2

SINGH, S., Het laatste raadsel van Fermat, De Arbeiderspers, ISBN 90-295-3728-0

SPIEGEL, M. R., College algebra, Schaum’s outline series, ISBN 07-060226-3

STEEN, L. A., Mathematics tomorrow, Springer Verlag, Berlin, ISBN 0-387-90564-2

STEWART, I., Flatterland. Like Flatland, only more so, McMillan, Londen, ISBN 0-333-78312-3

STEWART,I., Magisch labyrint, NIEUWEZIJDS, ISBN 90-571-2036-4


STEWART,I., Over sneeuwkristallen en zebrastrepen, Davidsfonds, Leuven, ISBN 90-5826-159-X

STEWART, I., Waar zijn de getallen?, Contact, ISBN 90-254-1021-9

STICHTING CENTRUM VOOR WISKUNDE EN INFORMATICA , Vakantiecursus 2001 - Experimentele wiskunde, Amsterdam, ISBN 90-6196-505-5

STRUIK, D. J. , Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, ISBN 90-274-2210-9

SWANN, H. en JOHNSON, J., Prof. E. Mc Squared’s Calculus Primer, ISBN 0-939765-12-8

TELLER, O., Vademecum van de wiskunde, Prisma, ISBN 90-274-4119-7

THAELS, K., EGGERMONT, H. en JANSSENS D., Van ruimtelijk inzicht naar ruimtemeetkunde, Cahiers voor didactiek, Wolters Plantyn, ISBN 90-301-7185-5

THOMAS, G.B. jr en FINNEY R. L., Calculus and analytic geometry, ISBN 0-201-53174-7

VAN DORMOLEN, J., Didactiek van de wiskunde, Utrecht, Bohn-Scheltema-Holkema, ISBN 9031300675

WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige kwesties, Bert Bakker, ISBN 90-351-2154-6

WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige puzzels, Bert Bakker, ISBN 90-351-1403-5

WELLS, D., Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen, Bert Bakker, ISBN 90-351-0527-3

WERKGROEP WISKUNDE, Vademecum wiskunde, Plantijn, ISBN 90-301-5867-0

WOOTON, W., BECKENBACH, E. F. en FLEMING F. J., Modern analytic geometry, Houghton Mifflin Company, Boston, ISBN 0-295-03743-3

ZEBRA-reeks, Epsilon Uitgaven, Utrecht

Internet Verwijzingen naar URL-adressen op het gebied van wiskunde zijn te vinden op http://www.rago.be/wiskunde

SECUNDAIR ONDERWIJS - pro.g-o.bepro.g-o.be/blog/documents/2005-071.pdf · TSO/KSO – 3e graad –...

Documents

Transcript of SECUNDAIR ONDERWIJS - pro.g-o.bepro.g-o.be/blog/documents/2005-071.pdf · TSO/KSO – 3e graad –...