Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in...

52
samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(t+ met bij demping: F=-kx-bv geldt x(t) = Ae -t cos t m k de energie van een trillend deeltje: E vib = 1/2mv 2 +1/2 kx 2 = 1/2kA 2 Energie in een molecuul: E tot = E trans + E rot +E vib + E elec

Transcript of Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in...

Page 1: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

samenvatting hoofdstuk 14

een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx

dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(t+

met

bij demping: F=-kx-bv geldt x(t) = Ae-tcos t

m

k

de energie van een trillend deeltje:

Evib = 1/2mv2 +1/2 kx2 = 1/2kA2

Energie in een molecuul: Etot= Etrans + Erot +Evib + Eelec

Page 2: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

Hoofdstuk 15 Golven

Page 3: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

In dit hoofstuk:

wiskundige beschrijving en eigenschappen

welke soorten golven zijn er?

•water

•touwtje/ veer

•geluid

•licht

•Schrödingervergelijking (quantum mechanica)

Page 4: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

ieder punt in een golf trilt om vast evenwichtspunt

golven in zee verplaatsen geen water, het water gaat alleen maar op en neer.

eigenschappen van golven

Page 5: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

De golf verplaatst zich wel door het medium met de golfsnelheid

Golven verplaatsen geen materiaal, wel energie!

eigenschappen van golven

Page 6: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

eigenschappen van golven

een golf ontstaat doordat er ergens een kracht op het medium wordt uitgeoefend

Page 7: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

als de kracht harmonisch is (een trilling) dan ontstaat er een sinusvormige golf met een snelheid v=f

eigenschappen van golven

Page 8: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

Er zij transversale en longitudinale golven

Page 9: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

geluid is een longitudinale golf

Page 10: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

luchtdichtheid heeft een sinusverloop

Page 11: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

wat is de snelheid van een transversale golf.

we bekijken een touw met spankracht Ft en drijvende kracht Fy

golf is aangekomen bij punt A in tijd t beweegt golf vt naar rechts en touw v’t omhoog

Fy/Ft=v’t/vt=v’/v

voor kleine t: p=Fyt

mv’=Ftv’/v t

Page 12: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

wat is de snelheid van een transversale golf.

mv’=Ftv’/v t

m=vt met lineaire massadichtheid

vt =Ft/v t

tFv

m

k

vergelijk met

Page 13: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld: een golf met golflengte 30 cm beweegt door een kabel met lengte 300 m en totale massa 15 kg. De spankracht in de kabel is 1000N. Bereken golfsnelheid en frequentie van de golf.

tFv

kg/m

=(1000/0.05)1/2 =140 m/s

v=f dus frequentie f= 140/0.3=470 Hz

Page 14: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

andere golventFv transversale golf in touw

longitudinale golf

inertie

krachtelastischev

vgeluid =340 m/s

Page 15: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

water golven

Page 16: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

hoeveel energie transporteert een golf?

trillende deeltjes geven energie aan elkaar door

trillingsenergie=1/2 k D2max

met Dmax maximale uitwijking displacement

m

kf 2

mfk 224

2222 mDfEvib

Page 17: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

hoeveel energie transporteert een golf?

2222 mDfEvib

voor een 3-D golf: m=V =l =vt

2222 AvtDfEgolf evenredig met D2

Page 18: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

hoeveel energie transporteert een golf?

2222 AvtDfEgolf 2222/vermogen AvDftEPgolf 2222/t intensitei vDfAPI golf

Page 19: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

intensiteit van een sferische golf

24// rPAPI brongolf

voorbeeld r2=2r1

wat is de verhouding I2/I1

I2/I1 = (P/4r22) / (P/4r2

1)

= (r1/ r2)2

Page 20: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

intensiteit van een sferische golf 2/1 rI golf 2DI golf

amplitude sferische golf

rDgolf /1

Page 21: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

wiskundige beschrijving lineaire golf

stel op t=0: D(x)= Dmaxsin(2x)

golf naar rechts met snelheid v na tijd t is de golf dus vt opgeschoven

dus D(xi,0)=D(xi+vt,t)

D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))

Page 22: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))

vormen van de golfvergelijking

D(x,t)=Dmaxsin(2(x/– t/T))

D(x,t)=Dmaxsin(kx-t)

golfgetal k=2

hoekfrequentie =2

Page 23: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

D(x,t)=Dmaxsin(2x+vt))

beschrijf deze golf

D(x,t)=Dmaxsin(kx-t

fase van de golf is alles na de (co)sinus

fase snelheid v= k)/(k

D(x,t)=Dmaxcos(kx-t)

Page 24: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld: een lopende golf

f=250Hz; D=2.6cm; Fspan=140N, kg/m

op t=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.

bepaal de golflengte

tFv sm /34

12.0

140

mfv 14.0250/34/

Page 25: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld: een lopende golf

f=250Hz; Dmax=2.6cm; Fspan=140N, kg/m

op t=0,x=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.

Geef een vergelijking die de golf beschrijft

cm14

)t(kx-DD(x,t) sinmaxk=2m-1

=2f=1570s-1

)(sin6.26.1

rad66.0360

)tx-(D(x,t) 66.0157045sin026.0

Page 26: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

De golfvergelijking

afleiding voor lineaire golf maar resultaat algemeen geldig

bekijk stukje touw dxaannames:

dx beweegt vertikaal

spankracht is overal en op alle tijden even groot

Page 27: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

De golfvergelijking

Newton: yy maF 2

2

1sinsint

DxFF TT

partieel want D = D(x,t)

x

D

tansin

121sinsinx

D

x

D

rcx

D

2

2

t

D

x

rcFT

2

2

22

2 1

t

D

vx

D

Page 28: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

De golfvergelijking

2

2

22

2 1

t

D

vx

D

2

2

22 1

t

D

vD

eendimensionaal

meerdimensionaal

superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

Page 29: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

Page 30: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

niet sinus golven kun je opgebouwd denken uit allerlei sinusen (Fourier theorie)

bv blokgolf bestaat uit een som van sinussen

Page 31: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

Reflectie en transmissie

vast uiteinde:

fase sprong

open uiteinde:

fase sprong

Page 32: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

Reflectie en transmissie

Page 33: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

golffront en voortplantingsrichting van de golf

sferische golfvlakke golf

Page 34: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

Wet voor reflectie (spiegeling):

hoek van inval=hoek van reflectie

Page 35: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

interferentievanwege superpositiebeginsel kunnen we golven bij elkaar optellen

golven kunnen ongestoord door elkaar heen lopen

Page 36: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.
Page 37: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.
Page 38: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

positieve of constructieve interferentie: faseverschil 0, 2

negatieve of destructieve interferentie: faseverschil

Page 39: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

in het algemeen partiele interferentie

Page 40: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

staande golf

een staande golf is opgebouwd uit interfererende heen en teruggaande golven die resulteren in een “stilstaande” golf

maximale uitwijking: buikpunt

minimale uitwijking = 0 knooppunt

bij vaste uiteinden:

L/n

Page 41: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

staande golftFv en v=f

dus in een systeem met F=const. v= const. hoort bij iedere golflengte een eigen frequentie

de frequenties waarbij een staande golf ontstaat zijn de resonantie frequenties.

a fundamentele of eerste harmonische frequentie

b eerste boventoon of tweede harmonische frequentie

c tweede tweede boventoon of derde harmonische frequentie

f1

f2=2f1

f3=3f1

Page 42: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

algemeen: fn=nf1

Een staande golf “staat stil. Ook vanuit energetisch standpunt:

een staande golf transporteert geen energie

Page 43: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld:

pianosnaar, lengte1.1 m, massa 9 gram

a wat is de spankracht als de fundamentele frequentie 131 Hz is.

b wat zijn de eerste drie harmonische frequenties

a fund. =2L v=f=2.2 131= 288 m/s

tFv F=µv2=0.009/1.1 2882 = 679 N

b f1=131 Hz f2=2f1=262Hz f3=3f1=393Hz

Page 44: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

wiskundige vorm van staande golf

staande golf is som van twee lopende golven:

D1(x,t)=Dmsin(kx-t)

D2(x,t)=Dmsin(kx+t)

D(x,t)=D1+D2=Dm(sin(kx-t)+sin(kx+t))

pag A3: sinA+sinB=2sin(1/2(A+B))cos(1/2(A-B))

D(x,t)=2Dmsin(kx)cos(t))

voor vast uiteinde D(L,t)=2Dmsin(kL)cos(t))=0

kL=0, k= L/n zoals eerder gezien

Page 45: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

a bepaal de vorm van de resulterende staande golf

oplossing

lopende golven zijn van vorm Asin (kx+/-t)

dus A=0.2, k=2 en

staande golf D=2Asin kx cos t = 0.4 sin2x cos 4t

Page 46: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

b bepaal de maximale amplitude voor x = 0.45

oplossing

substitueer x=0.45

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

D(0.45,t) = 0.4 sin(2 0.45) cos 4t = 0.31 cos 4t

dus maximale uitwijking bij 0.45 m is 31 cm

Page 47: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

c waar bevinden zich knooppunten voor x>0

oplossing

voor knooppunt D(x,t)=0 voor alle t

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

dus sin 2x = 0

dus voor een stabiele staande golf met vaste uiteinden zijn dit de mogelijke lengtes van het touw

x = 0, 0, 1.57,3.14, …n 1.57 m

Page 48: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

voorbeeld

twee lopende golven interfereren:

D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)

D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)

c waar bevinden zich buikpunten voor x>0 en wat is de maximale uitwijkingoplossing

buikpunten zitten halverwege de knoop punten

staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t

of sin 2x = +/-1

de maximale uitwijking is de amplitude van de golf 0.4 m

x = n/

Page 49: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

breking van golven (refraction)

voor licht:

wet van Snel

nisin nrsin r

algemeen:

1/vi sin vr sin r

Page 50: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

buiging van golven (diffraction)

golven buigen om een object heen

als object kleiner is dan golflengte is er nauwelijks schaduw

hoe groter object hoe meer shaduw

Page 51: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

buiging van golven (diffraction)

een ruwe schatting voor de buiging is

L

L geen buiging perfecte schaduw

Page 52: Samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(  t+  met bij.

samenvatting

trillingen zijn bron van golven met v=f

harmonische golf is oplossing van

een naar rechts lopende golf is bv

D(x,t)= A sin (kx-t)

met golfgetal k = en hoekfrequentie f

vanwege superpositiebeginsel kunnen golven interfereren en ontstaan staande golven

bij een verandering van medium kunnen golven reflecteren, en breken (refraction).

Aan een rand (of als een golf door een gat gaat) onstaat buiging

2

2

22 1

t

D

vD