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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Cinemática InversaFECHA: Enero de 2013Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando

ó í ó á

UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEMADRIDE.U.I.T.Industrial

Titulación:Grado enIngenieríaElectrónicayAutomática

Área:IngenieríadeSistemasyAutomáticaDepartamento deElectrónicaAutomáticaeInformáticaIndustrial

l d í é d lEscuelaUniversitariade IngenieríaTécnicaIndustrial

RobóticaRobóticaTema 5. Cinemática Inversa

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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 5-Cinemática InversaFECHA: Enero de 2013Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando

Obj iObjetivos

1. Dada una localización en el espacio para el extremo operativo, encontrar una formulación matemática cerrada para cada una de las coordenadas generalizadas del robot a partir de la misma

2. Establecer la base que permite el control de trayectorias de la herramienta del robot, al formular el problema de localización referido a un sistema de referencia externo.

2


idContenido5.1 Introducción al problema5.2 Métodos Geométricos5.3 Resolución por medio de las Matrices de Transformación Homogénea.5.4 Desacoplo cinemático.5 esacop o c e át co5.5 Consideraciones finales.5.6 Ejemplos y problemas

Bibliografía recomendada:Fundamentos de Robótica. (2ª Edición)Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw‐Hill 1997. ISBN: 84‐267‐1313‐0Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw Hill 1997. ISBN: 84 267 1313 0

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5.1 Introducción al problema

Justificación


Ci á i I


• Objetivo: encontrar los valores que deben

Cinemática Inversa

• Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente

ú d i d l li ió i lsegún una determinada localización espacial• La resolución no es sistemática• Depende de la config ración del robot• Depende de la configuración del robot

(soluciones múltiples)• No siempre existe solución en forma cerrada.No siempre existe solución en forma cerrada.

o Condiciones suficientes para que exista: Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto

(robot PUMA y robot Stanford)(robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí

(robot Elbow)


Al i


Alternativas

Procedimiento genérico a partir de los parámetros D‐HMétodo iterativoMétodo iterativoProblemas de velocidad y convergencia

Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,,,); k = 1,…,nPosibilidad de resolución en tiempo realPosibilidad de selección de la solución más adecuadaPosibilidad de simplificacionesPosibilidad de simplificacionesNo siempre es posible


Mé d


Métodos

Métodos geométricosSe suele utilizar para las primeras variables articularesUso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución deUso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de

triángulos)Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea

D j l i bl f ió d l t d lDespejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.

Desacoplamiento cinemáticoEn robots de 6 GDLSeparación de orientación y posicionamiento

Otros: álgebra de tornillo cuaterniones duales métodos iterativosOtros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales,métodos iterativos...

Robotica Industrial-Ci áti d l b t

7


Mé d G é i

5.2 Métodos geométricos

qp

1

arctg y

Método GeométricoEjemplo(I)

2 2r pCoseno del complementarioq

p1

arctg

x

r x2

y2

2 2 2

2

2

p p

zr p complementario

r l l l l cos

cosl l

l l

z2

22

32

2 3 3

3x2

y2

z2

22

32

2 3

2 2

2

p

p p p

q

ql l2 32

sen cos2q q3 31

q

qq3

231

arctg

coscos 3

2 2 2 2 2

qp p p

2

con cos

l ll l3

x2

y2

z2

22

32

2 3

d lTeorema del cosenoDado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:


Mé d G é i

5.2 Métodos geométricos

Método GeométricoEjemplo(II)

q2

zz arct pgparctg

33

2y

2x

cosll sen l

arctr

qqarctg

ppgarctg

332 cosll q

332

332y

2x

z2 c ll

q sen lqos

arctgpp

parctgq y


5.3 Basado en Matrices Homogéneas

Concepto

Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea• Se resuelve la cinemática directa y se obtienen las matrices A.• Para evitar la aparición de ecuaciones trascendentes, se vaPara evitar la aparición de ecuaciones trascendentes, se va

premultiplicando por las matrices inversas.• Se intenta obtener de esta forma una ecuación que aísle en uno

de los lados una de las variables articularesde los lados una de las variables articulares• La elección de los elementos ha de realizarse con sumo cuidado• Por su complejidad a menudo este método se deshecha.



Ejemplo

A r t i c . d a 1 l 0 9 0 º1 q 1 l 1 0 9 0 º2 q 2 0 0 - 9 0 º3 0 q 3 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 C S C S

01

1 1

1 1

1

12

2 2

2 2 23

3

0 00 0

0 1 00 0 0 1

0 00 0

0 1 0 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1

A A A

C SS C

l

C SS C

q

02

1 2 1 1 2

1 2 1 1 2

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

00

0A

CC S CSSC C SSS C l

T A03

1 2 1 1 2 3 1 2

1 2 1 1 2 3 1 2

0

CC S CS qCSSC C SS qSSS C qC l2 2 10

0 0 0 1

S C l

2 2 3 2 100 0 0 1S C qC l



Ejemplo

l é d d d á l d l d h d dEl término izquierdo dependerá solo de q1 mientras que el derecho depende de q2 y q3. Busco un elemento fácil, que relacione q1 con constantes:


Ej l


EjemploDado que q1 está obtenido, para q2, buscare relaciones entre q1 y q2 con un

elemento constante en el lado derecho:elemento constante en el lado derecho:


C

5.4 Desacoplo Cinemático

Concepto

Resolución mediante el desacoplo cinemático• Habitualmente los tres último ejes del robot se cortan en un

punto.p• La finalidad de estos es lograr la orientación de la herramienta,

aunque como consecuencia de su movimiento tengan un efecto ligero sobre la posicióng p

• Con la primera condición se puede simplificar enormemente el problema cinemático para 6 gdl, dado que la obtención de este punto de intersección es una operación sencilla.punto de intersección es una operación sencilla.

• Este punto dependerá sólo de los 3 primeros gdl, por lo que su obtención es asequible.


Ej l


Ejemplo

Punto de desacoplol

Prof. Cecilia García

64alpp rm


Ej l


EjemploMediante alguno de los métodos anteriores se obtienen los valores

de q1 q2 y q3 ¿Qué hacemos con el resto?de q1,q2 y q3. ¿Qué hacemos con el resto?Nos centramos exclusivamente en la orientación por simplicidad, y

aplicamos un método análogo al basado en las matrices homogéneas:homogéneas:


A i l

5.5 Consideraciones Finales

•Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema

Aspectos computacionales

•Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problemacinemático a gran velocidad (30 veces/seg o más).

S f ibl l l i d lí i ( i i ) l•Son preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existen) a lasiterativas.

•Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamentecalculadas (look‐up tables)

•El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el decalcular una única solución.

•Computacionalmente es más robusta la arcotangente por lo que es preferible buscar siempre este tipo de relación.

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C id i di i l


Consideraciones adicionales

Deben atenderse las múltiples soluciones: Elección que minimice los movimientos desde la posición actual Concepto de solución más cercana Mover los eslabones de menor peso Considerar obstáculos (evitar colisiones).Considerar obstáculos (evitar colisiones).

Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de Teóricamente es resoluble todo sistema R y P con 6 grados de libertad.

Métodos numéricos iterativos: lentitud. S fi i líti ( l i d )Se prefieren expresiones analíticas (soluciones cerradas):

Métodos algebraicos Métodos geométricos .

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R b R d d


Se desea: Posicionar el elemento terminal en un punto del

Robots Redundantes

pplano

o Si Nº DoF del manipulador Nº DoF que requiere la tareao Si N DoF del manipulador N DoF que requiere la tarea • Dos soluciones

o Si Nº DoF del manipulador > Nº de DoF que requiere la tareao Si Nº DoF del manipulador > Nº de DoF que requiere la tarea• Infinitas soluciones

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