Recapitulare Bac m2 Algebra Ixx

5/25/2018 Recapitulare Bac m2 Algebra Ixx

1/7

Calcule cu numere reale. Expresia de gradul II. Progresii. Elemente de combinatoric

Puteri i radicali: = , . = ; = ; = ; = ; = = ; = ; () = ; ( ) = ;

= ; = ;

=

: = Logaritmi: a , b > 0 , a 1 . = = . n concluzie: = Pentru A, B, a, b>0 a, b 1avem: + = ( ) = = = l o g A; log A = logA = l o gA; Schimbarea bazei: logA = loglogA = l o gA; = ; = , e 2 , 7 1 8 Q ; = = Expresia de gradul II: + + , 0 , R . = . Rdcinilex1ix2sunt date de formulele:

> 0 , = . = 0 = = . 0: , . = 0: , . 0 respectiv a 0

parabola taie axa Oxn punctele de abscise

;

Pentru = 0parabola este tangent axei Oxn punctul de abscis ; Pentru < 0parabola nu intersecteaz axa Ox.Intersecia cu OyesteB(0,c). Axa de simetrieeste dreapta de ecuaie: (): = Vrful parabolei: ; + + = + +

> = = . < = = .

Relaiile lui Viete: + = = = = + = + = 3

+ = Progresii aritmetice: = + ( ); = ; = + ; , , = + Progresii geometrice: = ; = , ; , , = Elemente de combinatoric: ! = ; ! = ; =!; = !()! ; = !!()! ; = ; Pentru M={1,2,3,4,,n}:Numrulsubmulimilor lui M este2n;Numrul submulimilor cu kelemente este

;

Numrul submulimilor ordonate cu kelemente din Meste: ;Numrulde numere formate din kcifre distincte din Meste: ;Dac cifrele nu sunt distincte, numrul de numere este .

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.


2/7

1. S se calculeze ,22 ba tiind c numerele ai bau suma egal cu 7 i produsul egal cu 13.2. S se determine a 2011-a zecimal a numrului 0,(285714).3. Se consider numrul .3log2a S se arate c .1218log2 a 4. S se calculeze .9log

2

13log 22

5. S se calculeze 31 .27

8

2

3

6. S se calculeze .2

3log3log 22

7. S se verifice egalitatea .110

9lg...

3

2lg

2

1lg

8. S se calculeze .10log6log5log 333 9. S se compare numerele 22 i .32log2 10. S arate c numrul 8log3 2)2( este natural.11. S se calculeze .9log25log 35 12. S arate c .369log4log 32 13. S se calculeze .5log10log3log 666 14. S arate c numrul 3212273 este natural.15. S se calculeze .

89

log...23

log12

log 333

16. S se calculeze .25log2

15

3

17. S se arate c .130log12log5log 222 18. S se verifice c .2

3log

2log18log

5

55

19. S se arate c .084

1log 32

20. S se determine valorile naturale ale lui npentru care expresia nnE 310)( este bine definit.21. S se demonstreze c numrul

!7!2

!9

!5!3

!8

este natural.


39

3

3

23. S se arate c .7log6log3log14log 2222 24. S se ordoneze cresctor numerele 2a i .

23

1

b

25. S se determine numrul elementelor mulimii A={1; 4; 7;...;400}.26. S se demonstreze c 22 )21()21( este un numr natural.27. S se arate c 1324log3 a , unde 2log3a .28. S se calculeze .323 PC 29. S se calculeze .4545 AC 30. S se rezolve ecuaia 28

2

nC , .Nn 31. S se determine numrul tuturor submulimilor de 2 elemente ce se pot forma cu elemente din mulimea

}.5,4,3,2,1{ 32. Se consider 10 puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin cel puin 2 puncte din cele 10.



3/7

33. S se calculeze numrul submulimilor mulimii }.4,3,2,1{ care au un numr par nenul de elemente.34. S se determine numrul natural ntiind c 1011 nn CA .35. S se determine numrul natural ntiind c 6

)!5(

)!3(

n

n.

36. S se determine cte numere de cte trei cifre distincte se pot forma cu elemntele mulimii }.4,3,2,1{ 37. S se determine cte numere de dou cifre se pot forma cu elemntele mulimii }.4,3,2,1{ 38. S se rezolve ecuaia 212 nnC , .Nn 39. S se calculeze 4434241404 CCCCC .40. S se calculeze .62425 AC 41. S se calculeze .325 PA 42. S se rezolve ecuaia 212 xC , .Nx 43. Se consider mulimea }.6,5,4,3,2,1{A S se determine cte numere formate din 4 cifre distincte se potforma cu elemente ale mulimiiA.

44. Se consider mulimea }.5,4,3,2,1{A S se determine cte numere formate din 3 cifre distincte se pot formacu elemente ale mulimiiA.

45. S se calculeze numrul submulimilor cu 5 elemente ale unei mulimi cu 9 elemente.46. S se rezolve ecuaia 122 nA , .Nn 47. S se calculeze numrul submulimilor ordonate cu 3 elemente ale unei mulimi cu 5 elemente.48. S se verifice egalitatea ,01 11 nnn CC pentru orice .Nn 49. S se rezolve ecuaia ,212 nn CC .Nn 50. S se rezolve ecuaia ,56

!)!2(

n

n.Nn

51. S se determine n cte moduri pot fi alese dou persoane dintr-un grup de 9 persoane.52. S se determine n cte moduri se poate alctui un cuvnt format din trei litere distincte ale unui alfabet de 8litere.

53. S se rezolve ecuaia 62 nC , .Nn 54. S se determine numrul tuturor segmentelor orientate nenule care se pot forma cu elementele unei mulimi de7 puncte din plan.

55. S se determine cte numere de patru cifre distincte se pot forma cu elementele mulimii {1, 2, 3, 4}.56. Cte submulimi cu dou elemente are mulimea A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}?57. S se determine cte numere de cinci cifre se pot scrie folosind doar elemente din mulimea {1; 2}.58. S se determine cte numere de trei cifre se pot scrie folosind doar elemente din mulimea {1; 2; 3; 4}.59. S se rezolve ecuaia ,)!2(

12

! n

n.Nn

60. S se determine numrul natural nenul nastfel nct numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi cunelemente s fie egal cu 21.61. S se calculeze .465657 CCC 62. S se calculeze .2009201122011 CC 63. S se calculeze .998100021000 CC 64. S se calculeze .120102201022011 CCC 65. S se calculeze !.3!2!1!0 66. S se arate c !.3115 C 67. S se calculeze .4626 CC 68. S se calculeze .3424 CC 69. S se verifice c 4553515 2 CCC 70. S se calculeze .3858 CC



4/7


142

A

CP

72. S se calculeze .!3!218C

73. S se calculeze .2 2313 AC 74. S se calculeze .3424 CC 75. S se determine valorile naturale ale numrului nastfel nct 810 nn CC .76. S se calculeze .243 CP 77. S se calculeze .89910 CC 78. S se calculeze ,11

21 xx tiind c 1x i 2x sunt soluiei ecuaiei .013

2 xx

79. S se calculeze 2121 xxxx tiind c 1x i 2x sunt soluiei ecuaiei .02122 xx 80. S se determine Rm , tiind c }1{01)2(| 2 mxmxRx .81. S se demonstreze c dac 1x este soluie a ecuaiei 0120112 xx , atunci .20111

11 xx

82. S se demonstreze c, dac *Ra , atunci ecuaia 01)12(2 axaax are dou soluii reale distincte.83. S se determine o ecuaie de gradul al IIlea ale crei soluii 1x i 2x verific simultan relaiile 121 xx i

.221 xx

84. S se demonstreze c pentru orice a real, ecuaia de gradul al doilea 0cos1)sin2()cos1( 2 axaxa admite soluii reale egale.

85. S se demonstreze o ecuaie de gradul al II lea ale crei soluii 1x i 2x verific simultan relaiile 221 xx i .321 xx

86.

S se demonstreze c ecuaia 012

22

axx nu admite soluii reale, oricare ar fi

*

Ra .87. S se determine Rm , tiind c soluiile 1x , 2x ale ecuaiei 03)12(2 mxmx verific relaia112121 xxxx .

88. Se consider ecuaia 0532 xx cu soluiile 1x i 2x . S se calculeze 2221 xx .89. Se consider ecuaia 022 mxx cu soluiile 1x i 2x . S se determine valorile reale ale lui mpentru care

52)( 212

21 xxxx .

90. S se formeze o ecuaie de gradul al doilea, tiind c aceasta are soluiile 21x i 32 x .91. Se consider ecuaia 02 mxx cu soluiile 1x i 2x . S se determine numrul m pentru care

.

4

3

1

1

1

1

21

xx

92. S se determine valorile reale ale numrului mpentru carex=5 este soluie a ecuaiei .23)1(2 mxxm 93. S se determine Rm astfel nct ,03)3(2 mxmx pentru oricex real.94. S se determine valorile reale ale parametrului mtiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 03)1(2 xmxverific egalitatea .3 21 xx

95. S se calculeze valoarea expresiei 14)( 2 xxxE pentru .52x 96. S se determine valorile reale ale m tiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 03)3( 22 xmx verificegalitatea .72121 xxxx

97. S se determine valorile reale ale parametrului mastfel nct ecuaia 092 mxx s admit dou soluiiegale.

98. S se arate c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 012 xx verific relaia .2212221 xxxx



5/7

99. S se determine valorile reale ale numrului m tiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 022 mmxx verific egalitatea .2 2121 xxxx

100.tiind c 1x i 2x sunt soluiile ecuaiei ,0201120112 xx s se calculeze .1121 xx

101.S se determine valorile reale ale numrului m tiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 062 mmxx verific relaia .0)(4 2121 xxxx

102.S se determine valorile reale ale numrului m tiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 01622 mxx verific egalitatea .2121 xxxx

103.S se demonstreze c pentru orice Rm ecuaia 0122 mmxx are dou soluii reale distincte.104.S se arate c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 01)32(2 mxmx verific egalitatea ,12 2121 xxxx

.Rm 105.S se arate c mulimea 0)12(| 22 mmxmxRx are dou elemente, oricare ar fi Rm .106.S se determine valoarea parametrului real m, tiind c soluiile 1x i 2x ale ecuaiei 0)1(2 mxmxverific realia )4(2 2121 xxxx .

107.Ecuaia ,02 ppxx cu ,Rp are soluiile 1x i 2x . S se verifice dac expresia 2121 xxxx esteconstant.

108.Se consider ecuaia de gradul al II lea 02 mxx . S se determine Rm astfel nct ecuaia s admitsoluii de semne contrare.

109.S se arate c produsul soluiilor ecuaiei 020112 mxmx este constant, *Rm .110.S se determine numrul real mastfel nct soluiile ecuaiei 012 mxx s fie numere reale opuse.111.S se determine parametrul real mastfel nct soluiile ecuaiei 032 mxx s fie inverse una alteia.112.S se determine *Rm astfel nct soluiile ecuaiei 032 mxx s aib semne opuse.113.S se determine valorile reale pozitive ale numrului x, tiind c xlg ,

2

3 i xlg sunt trei termeni

consecutivi ai unei progresii aritmetice.114.S se determine al zecelea termen al irului 1, 37, 73, 109, ... .115.S se calculeze suma primilor 50 termeni ai unei progresii aritmetice ,)( 1nna tiind c 11a i .32 a 116.S se demonstreze c pentru orice Rx numerele 13,13 xx i 135 x sunt termeni consecutivi ntr-oprogresie aritmetic.117.S se calculeze suma 1+5+9+13+...+125.118.S se determine al noulea termen al unei progresii geometrice, tiind c raia este egal cu

3

1 i primul

termen este 729.

119.S se calculeze suma .3

1

3

1

3

1

3

1

1 432 120.S se determine numrul real x, tiind c 12 x , x4 i 32 1 x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresiiaritmetice.

121.S se determine numrul real x, tiind c 3x , 4, 3x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresiiaritmetice.

122.S se calculeze suma 1+3+5+...+121.123.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 53 a i 116 a . S se calculeze 18a .124.S se calculeze suma .2..2221 732 125.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 11a i 135 a . S se calculeze 2011a .126.S se determine raia unei progresii aritmetice 1)( nna , tiind c 16210 aa .127.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 21a i 42 a . S se calculeze suma primilor 10 termeni aiprogresiei.



6/7

128.Se consider progresia geometic 1)( nnb n care 21 b i 62 b . S se calculeze .5b 129.S se determine numrul realx, tiind c irul 3 ,...63,59,12,1 x este progresie aritmetic.130.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 61a i 52 a . S se calculeze 15a .131.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 52 a i 3r . S se calculeze 23a .132.Se consider progresia geometric 1)( nnb n care 11 b i 32 b . S se calculeze .8b 133.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 71a i 372 a . S se calculeze suma primilor 50 termeniai progresiei.

134.Se consider progresia aritmetic 1)( nna n care 31a i 73 a . S se calculeze suma primilor 100 termeniai progresiei.

135.S se calculeze suma 1 + 11 + 21 + 31 +...+ 1111.136.S se determine numrul real x tiind c numerele x+1, 2x 3 i x 3 sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.137.S se determine numrul real pozitivxtiind c irul 1,x,x+2, 8, ... este progresie geometric.138.S se determine suma primilor 16 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna , n care 21a i .52 a 139.S se determine numrul real x tiind c numerele 5 x, x+7 i 3x+11 sunt termenii consecutivi ai uneiprogresii geometrice.140.S se arate c numerele ,2log2 13C i 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.141.S se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, tiind c suma primilor doi termeni aiprogresiei este egal cu 8, iar diferena dintre al doilea termen i primul termen este egal cu 4.142.S se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice tiind c primul termen al progresiei este 7 i aldoilea termen este 9.

143.S se determine raia progresiei geometrice 1)( nnb tiind c 31b i .312 bb 144.S se demonstreze c irul cu termenul general ,32 nan verific relaia ,21 nn aa pentru orice *Nn .145.S se arate c numerele 1, 9log3 i 3 64 sunt termeni consecutivi dintr-o progresie geometric.146.

S se determine numrul real a, tiind c numerele ,2

a

14

a

i2

2 a

sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.147.S se determine numrul real x, tiind c numerele x 1, x+1 i 2x 1 sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.148.Se consider funcia ,: RRf .32)( xxf S se arate c numerele f(1), f(0) i f(3) sunt termeniconsecutivi ai unei progresii geometrice.

149.S se calculeze suma 2+5+8+ ... +26.150.Se consider funcia ,);0(: Rf .log)( 2xxf S se arate c numerele f(1), f(2) i f(4) sunt termeniconsecutivi ai unei progresii aritmetice.

151.S se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice n care primul termen este egal cu 16, iar raiaeste .2

1

152.S se determine termenul al zecelea al unei progresii aritmetice tiind c primul termen este 2 i raia este 3.153.S se calculeze suma 2 + 12 + 22 + ... +192.154.S se calculeze suma .2..2221 632 155.S se calculeze suma S =1 + 5 + 9 + ...+ 85.156.S se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, care are primul termen 2 i raiaegal cu .2

157.S se determine numrul real x, tiind c numerele x 1, 2x 2 i x+ 3 sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.158.S se determine numrul real x, tiind c numerele x 1, x+1 i 2x + 5 sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii geometrice.159.S se determine produsul primilor cinci termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 1)( nnb tiind cprimul termen este egal cu 1 i raia este q= 2.



7/7


Recapitulare Bac m2 Algebra Ixx

Documents

Transcript of Recapitulare Bac m2 Algebra Ixx