RC-KRING - users.skynet.beusers.skynet.be/kennyvh/ftw/RCK-nr4-03-03-2005.pdf · Het doel van dit...

2de Kandidatuur Burgerlijk Ingenieur

Vakoverschrijdend Practicum

Prof. dr. Gaston Van Den Berge

RC-KRING Practicumopstelling nr. 4

donderdag 03 maart 2005 Koen Verdegem 152 Werktuigkunde-Elektrotechniek Kenny Van Heuverswijn 151 Werktuigkunde-Elektrotechniek Practicumbegleidster: Nathalie De Geyter

Vakoverschrijdend practicum: RC-Kring (RCK-nr4-03-03-2005)

Koen Verdegem en Kenny Van Heuverswijn - 2e kandidatuur Burg.-Ir. Werktuigkunde-Elektrotechniek e

1

Inhoudsopgave

1. Doel ................................................................................................................... 2 2. Inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop .......................... 2 2.1 Weerstanden ..................................................................................................................... 2 2.2 Condensatoren .................................................................................................................. 3 2.3 Oscilloscoop ..................................................................................................................... 3

3. Theoretische beschouwingen bij de RC-kring .................................................. 4 3.1 Opladen van een condensator........................................................................................... 4 3.2 Ontladen van de condensator ........................................................................................... 6 3.3 RC-kring met een kanteelspanningsbron ......................................................................... 7 3.4 RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron .................................................................. 8

3. Studie van een RC-kring met kanteelspanning ............................................... 10 3.1 Meetopstelling................................................................................................................ 10 3.2 Metingen en berekeningen ............................................................................................. 11

4. Studie van een RC-kring met sinusspanning .................................................. 12 4.1 Methode 1: faseverschil bepalen vanuit tijd tussen nuldoorgangen............................... 12

4.1.1 Meetmethode........................................................................................................... 12 4.1.2 Metingen.................................................................................................................. 13 4.1.3 Berekeningen........................................................................................................... 14

4.2 Methode 2: faseverschil bepalen met Lissajousfiguren ................................................. 15 4.2.1 Meetmethode........................................................................................................... 15 4.2.2 Metingen.................................................................................................................. 16 4.2.3 Berekeningen........................................................................................................... 16

4.3 Algemeen besluit............................................................................................................ 17 5. Referenties....................................................................................................... 17



2

1. Doel Het doel van dit practicum is de spanning te bepalen voor verschillende aangelegde frequenties in een elektrische netwerk met een weerstand en condensator in serie, een RC-kring genaamd, en dit zowel met een kanteel- als sinusoïdale spanningsbron. Bovendien wordt de tijdsconstante experimenteel bepaald. Eerst geven we een inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop. Daarna volgen voor beide spanningsbronnen (eerst kanteelspanning en daarna sinusoïdale spanning) een beschrijving van het bestudeerde netwerk en een aantal elementaire berekeningen van formules en verbanden. Daarna volgen de meetopstellingen, de meetresultaten en berekeningen voor beide spanningsbronnen. Tot slot formuleren we een besluit.

2. Inleiding op weerstanden, condensatoren en de oscilloscoop

2.1 Weerstanden

Aangezien weerstanden haast genoeg bekend zijn bij elke wetenschapper kunnen we hier kort over zijn en slechts karakteristieken aanhalen die we gebruiken in dit practicum. Als we een weerstand in een netwerk schakelen, zorgt deze ervoor dat de klem waar de stroom uit de weerstand vloeit op een lagere potentiaal komt te staan als de klem waar de stroom in de weerstand vloeit. We kunnen de weerstand definiëren als de verhouding van het potentiaalverschil tussen de klemmen tot de stroom in door de weerstand:

VR

I

∆=

Uit deze vergelijking kan ook de afname in potentiaal worden afgeleid. Weerstanden kan men in elke vorm maken uit een heleboel materialen. In de industrie komen gestandaardiseerde weerstanden voor (zoals in de figuur hier rechtsboven weergegeven). Op deze weerstanden is een kleurcode aangegeven en zo kan men aan de hand van onderstaande determineertabel de weerstandswaarde bepalen. De eenheid van weerstand is Ohm 1 1V 1AΩ = .

Figuur 2: Determineertabel

weerstanden

Figuur 1: Industriële

gestandaardiseerde

weerstanden



3

2.2 Condensatoren

Het is niet ons bedoeling condensatoren uitgebreid te bespreken maar slechts enkele eigenschappen van condensatoren aanhalen die we bij dit practicum hebben gebruikt. Condensatoren worden gebruikt om elektrische lading op te slaan. De capaciteit van een condensator wordt gedefinieerd als de verhouding van de hoeveelheid opgeslagen lading tot het potentiaalverschil aangelegd tussen de klemmen van de condensator:

QC

V=∆

De eenheid van capaciteit is de farrad F (1 1F C V= ). Typische capaciteiten die heel vaak voorkomen gaan van microfarads tot nanofarads. Op figuur 3 zijn enkele typische condensatoren afgebeeld.

2.3 Oscilloscoop

Een oscilloscoop (hier rechts in figuur 4 weergegeven) is een in de elektrotechniek veelgebruikt instrument en wordt gebruikt om elektrische signalen zichtbaar te maken. Deze elektrische signalen kunnen op zich afkomstig zijn van transducers die ondermeer trillingen, druk en kracht in een elektrisch signaal kunnen omzetten. Een oscilloscoop is bijzonder veelzijdig, krachtig en universeel werkinstrument. De klassieke uitvoering zoals deze jaren gebruikelijk was bestaat voor de beeldvorming uit een kathodestraalbuis en een luminescerend scherm. De uiteindelijke opwekking van het beeld gebeurd doordat de elektronenstraal horizontaal en verticaal kan worden afgebogen. De werking is hieronder in figuur 5 verder geïllustreerd. De informatie die een oscilloscoop verzameld wordt vaak rechtreeks overgebracht naar computers voor verdere verwerking. Met een oscilloscoop kan onder meer spanning, frequentie en tijdsafstand worden gemeten. De invoer kan gebeuren op meestal twee kanalen.

Figuur 5: Werking oscilloscoop

Figuur 3: Enkele typische

condensatoren

Figuur 4: Oscilloscoop



4

Karl Ferdinand Braunn (1850-1918) was de uitvinder van de eerste oscilloscoop met principe zoals hierboven vermeld. In 1909 kreeg hij samen met Marconi de Nobelprijs voor de fysica voor zijn inbreng in de ontwikkeling van de radio.

3. Theoretische beschouwingen bij de RC-kring

3.1 Opladen van een condensator

We beschouwen eerst een vereenvoudiging en nemen een constante spanningsbron V zodat het potentiaalverschil tussen de twee klemmen van de spanningsbron constant blijft. Uiteraard kunnen we achteraf de afleidingen die hier gemaakt werden toepassen op de RC-kring met kanteelspanning. Over een beperkte tijd blijft de aangelegde spanning immers constant. De schakeling is hieronder in figuur 1 weergegeven. De constante spanningsbron kan zowel in als uit dit netwerk worden geschakeld. Als men de spanningsbron in het netwerk wil schakelen, plaatst men schakelaar S in positie b. Als men de spanningsbron uit het netwerk wil schakelen, plaatst men schakelaar S in positie a. In strikte zin kan een elektrische stroom niet door een condensator stromen. Toch zal een tijdelijke stroom in de kring optreden totdat de platen van de condensator volledig geladen zijn.

Figuur 7: RC-kring met constante spanningsbron V

We trachten aan de hand van spannings-, stroom en I-V-wetten de RC-kring met constante spanningsbron V op te lossen naar de spanning over de condensator (vC) en de weerstand (vR). De eerste wet van Kirchoff stelt dat in een knooppunt de som van de aankomende stromen gelijk is aan de som van de stromen die vertrekken vanuit het knooppunt. Uiteraard dient vooraf een stroomzin te worden gekozen. We kiezen de omloopzin van de stroom in wijzerzin. Aangezien alle elementen in serie staan is de stroom in de RC-kring overal gelijk. Als we de schakelaar in positie b plaatsen, volgt uit de spanningswet van Kirchoff dat:

0C RV v v− + + =

Dit is op zich gelijk aan q

V R iC

= ⋅ + , aangezien Rv R i= ⋅ en C

qv

C= .

Figuur 6: K.F.

Braun



5

V (in Volt) staat voor de bronspanning, vC (eveneens in Volt) voor de spanning over de condensator, vR (ook in Volt) voor de spanning over de weerstand, R (in Ohm) voor de numerieke waarde van de weerstand, i (in Ampère) voor de stroom in de keten, q (in Coulomb) voor de lading op de condensorplaten en C (in Farad) voor de capaciteit van de condensator. Merk op dat we kleine letters gebruiken voor waarden die veranderen in de tijd.

Om de uitdrukking voor V nu verder op te lossen stellen we dq

idt

= (q staat voor de lading op

de platen van de condensator) en bekomen: dq q

V Rdt C

= +

Uiteindelijk bekomen we als oplossing van deze differentiaalvergelijking (met beginvoorwaarde q(0) = 0 want de condensator is initieel ongeladen):

( ) 1t

RCq t CV e−

= −

Daaruit kunnen we de stroom door de kring afleiden:

( )t

RCdq V

i t edt R

−

= =

En uiteindelijk kunnen we uit deze uitdrukking voor de stroom in de kring vC en vR vinden:

( ) ( )t t

RC RCR

Vv t i t R e R Ve

R

− − = = =

( ) ( )1

1

t

RC

t

RCC

CV eq t

v t V eC C

−

−

−

= = = −

Uit deze uitdrukkingen kunnen we het gedrag van de kring afleiden voor t = 0 en voor t gaande naar oneindig. Voor t = 0 merken we dat vR = V en vC = 0. We hebben dus een spanning over de weerstand alsof de condensator niet in het netwerk aanwezig was. De lading op de condensator is bij aanvang gelijk aan nul. Voor t gaande naar oneindig merken we dat vR = 0 en vC =V. Er staat geen spanning meer over de weerstand en er is geen stroom meer in de kring. De lading op de condensatorplaten is gelijk aan het product van capaciteit C en het potentiaalverschil V dat tussen de klemmen van de constante spanningsbron heerst. Figuur 8 toont het verloop van vR en vC als functie van de tijd.

Figuur 8: Verloop van spanning over weerstand en condensator in functie van de tijd bij opladen

Aangezien er na verloop van tijd een steeds grotere lading op de condensatorplaten ontstaat, is het gepermitteerd over ‘opladen’ van een condensator te spreken. Dit is ook meteen de verantwoording van de titel van deze paragraaf.



6

Het product van weerstand C en capaciteit R heeft een tijdsdimensie en wordt de tijdsconstante τ van de RC-keten genoemd. We trachten nu na te gaan wat het gedrag is van de RC-kring op het tijdstip τ. We substitueren t = τ in de uitdrukking voor de spanning over de condensator.

( ) ( )11 1 1 0,6321RC

RC RCCv V e V e V e V

τ

τ− −

− = − = − = − ≈

τ is blijkbaar de tijd nodig om een condensator tot 63,21 % van zijn totale ladingscapaciteit (bij een bepaalde spanning) op te laden. Op het tijdstip τ is de spanning vC over de condensator C toegenomen tot ongeveer 63 % van zijn eindwaarde V. In figuur 8 hebben we aangeduid dat het snijpunt van de raaklijn aan de vR-curve met de tijdsas t gelijk is aan de tijdsconstante τ. Een formeel bewijs volgt hieronder. We bepalen eerst de vergelijking voor de raaklijn. Uit de uitdrukking voor vR kunnen we gemakkelijk een punt van de raaklijn en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepalen.

( )0Rv V=

( )( ) 0t

RCR RdV V dV Vt e

dt RC dt RC

− = − ⇒ = −

(0,V) is een punt van de raaklijn en de richtingscoëfficiënt is –V/RC. De vergelijking van de raaklijn in punt (0,V) is dan:

( ) VV t t V

RC= − +

We lossen nu de vergelijking op naar t voor V(t) = 0:

0V

t V t RCRC

τ− + = ⇔ = =

Uit figuur 8 blijkt dat de spanning over de condensator asymptotisch naar V streeft. Houden we de schakelaar in stand b voor een tijd t die veel groter is dan de tijdsconstante RC, dan wordt de condensator volledig opgeladen.

3.2 Ontladen van de condensator

Als we na een volledige oplading van de condensator (dit wil zeggen dat de schakelaar S lange tijd in positie b heeft gestaan) de schakelaar S in positie a plaatsen, zal de condensator zich ontladen over de weerstand en zal geen stroom meer door de spanningsbron vloeien. De ontlaadstroom loopt nu in tegengestelde zin aan de oplaadstroom omdat de plaat van de condensator die met de positieve pool van de spanningsbron verbonden was bij het opladen negatief geladen is en de plaat van de condensator die met de negatieve pool van de spanningsbron verbonden was bij het opladen van de plaat positief geladen is. Met de wetten van Kirchoff kunnen we opnieuw de RC-kring oplossen naar de spanning vr over de weerstand en de spanning vc over de condensator. We vinden voor de kring met schakelaar in positie a:

0

0

R Cv v

dq qRdt C

+ =

+ =



7

q (in Coulomb) staat hier voor de lading op de condensatorplaten, R (in Ohm) voor de weerstand, C (in Farad) voor de capaciteit van de condensator, vR (in Volt) voor de spanning over de weerstand en vC (eveens in Volt) voor de spanning over de condensator. Als we t = 0 het omschakeltijdstip stellen, dan luidt de oplossing van deze differentiaalvergelijking (met beginvoorwaarde q(0)=q0=CV de beginlading van de condensator):

0( )t

RCq t q e

−

= Uiteindelijk vinden we op analoge manier als bij het opladen van de condensator uitdrukking voor de spanning over de weerstand R en de condensator C in functie van de tijd t:

( )t

RC

Rv t V e

− = − ⋅

( )t

RC

Cv t V e

− = ⋅

We kunnen opnieuw nagaan wat de spanning over de condensator is na verloop van tijd gelijk aan de tijdsconstante τ:

( ) 1 0,3678Cv V e Vτ −= ⋅ ≈

We zien dat na verloop van tijd τ de spanning over de condensator gedaald is tot ongeveer 37 % van zijn uitgangsspanning V.

In onderstaande figuur (figuur 9) wordt het verloop van vR en vC grafisch weergegeven.

Figuur 9: Verloop van spanning over weerstand en condensator in functie van de tijd bij ontladen

3.3 RC-kring met een kanteelspanningsbron

Uiteraard zijn we in alle vorige beschouwing over opladen en ontladen van de condensator uitgegaan van een constante spanningsbron. Het is echter de studie van een aangelegde kanteelspanning die ons in bijzonder interesseert. De overstap van constante spanningsbron V naar kanteelspanningsbron is gemakkelijk te maken en dit door de schakelaar S afwisselend in de standen a en b te schakelen gedurende een aantal keer de tijdsconstante τ. De condensator wordt nu afwisselend opgeladen en ontladen. Het kan zijn dat de condensator niet voldoende tijd heeft om volledige op te laden of te ontladen. In figuur 10 kan U het verband zien tussen de aangelegde kanteelspanning V en de spanning vR over de weerstand. De hierboven afgeleide formules kunnen praktisch volledig worden overgenomen voor het laden en ontladen van de condensator. Uiteraard dient rekening te worden gehouden met de kanteelspanning. Als de periode van de kanteelspanning groter is dan de tijdsconstante τ krijgen we onderstaande figuur.



8

Figuur 10: Verloop van spanning over de weerstand R bij aanleg van kanteelspanning

Als we de generatorfrequentie instellen op 0

1

9,2f

τ= , dan is de kleinste waarde die vR bereikt

vooraleer een spanningssprong optreedt gelijk aan 1 % van de amplitude V van de kanteelspanning (bewijs hieronder weergegeven). De periode van deze generatorfrequentie is dan 0 9,2T τ= . De condensator heeft de helft van deze tijd om te ontladen. We bepalen de

spanning over de condensator op tijdstip 9,2 / 2t τ= : 9,229,2

0,012Rv V e Vτ

− = ⋅ ≈

Het vooropgestelde blijkt te kloppen.

3.4 RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron

We wensen ook een RC-kring met een sinusoïdale spanningsbron te bestuderen aangezien de meeste elektrische toestellen werken op netstroom. Deze netstroom kan gezien worden als een grote sinusoïdale spanningsbron met een amplitude van 230V en een frequentie van 50 Hertz in de meeste Europese landen. In ondermeer de Verenigde Staten en Canada bedraagt de frequentie 60 Hertz. Als met een sinusoïdale spanning ( ) ( )cosmv t V tω= ⋅ aanlegt over de

RC-keten, dan loopt de stroom ( ) ( )cosm ii t I tω ϕ= ⋅ + in faze voor op de aangelegde

spanning. iϕ is dus groter dan nul. Voor een fasorvoorstelling verwijzen we naar onderstaande figuur (figuur 11).



9

Figuur 11: Fasorvoorstelling aangelegde spanning en resulterende spanningen over weerstand en

condensator

Voor de exacte analyse en bewijzen betreffende stroom en spanning in een RC-kring kunnen we verwijzen naar hoofdstuk 33 in het boek Physics for Scientists and Engineers1 van Serway. We zullen hier niet alles overnemen, enkel de theorie die van toepassing is op de RC-kring.

De impedantie Z van de RC-kring is gelijk aan 2

2 1Z R

Cω = +

. De maximale spanning is

Vm (= de amplitude van de aangelegde sinusoïdale spanning). Dan is de maximale stroom Imax in de kring gelijk aan:

max 22 1

m mV VI

ZR

Cω

= = +

Hieruit kunnen we de grootte van de vectoren RV en CV (de maximumspanningen over weerstand en condensator) bepalen:

( )max 2 2 2

2 1 111

m m mR

V R V RC VV I R

RCR

C RC

ω

ωω ω

⋅ ⋅∆ = ⋅ = = =

+ + +

( )max 2 2

2

1

1 1

m mC

V VV I

C RCR C

C

ω ωω

ω

∆ = ⋅ = =+ + ⋅

We definiëren φ als het faseverschil tussen stroom en spanning: V iϕ ϕ ϕ= − . We nemen hier φV gelijk aan nul. De fasehoek φ tussen stroom en spanning vinden we dan als volgt:

1arctan

RCϕ

ω− =

We nemen een paar bijzondere frequenties f ( 2 fω π= ) en werken onderstaande limieten uit (met een symbolisch rekenprogramma zoals Maple of met de hand):

1 Serway, A. Raymond (2004). Physics for Scientists and Engineers. Belmont (USA): Brooks/Cole-Thomson Learning.



10

- voor lage frequenties (dit wil zeggen voor 1

ωτ

):

( )0

lim 0RVω→∆ =

0

1lim arctan 90

RCω ω→

− = − °

- voor de frequentie f gelijk aan 1

2πτ (dit wil dus zeggen voor 1ω τ= ):

( )1

lim 0,7072m

R m

RC

VV V

ω→∆ =

1

1lim arctan 45

RCRCω ω→

− = − °

- voor hoge frequenties (dit wil zeggen voor 1

ωτ

):

( )lim R mV Vω→∞

∆ = 1

lim arctan 0RCω ω→∞

− = °

3. Studie van een RC-kring met kanteelspanning

3.1 Meetopstelling

We maken de opstelling zoals hieronder in figuur 12 weergegeven. We maken gebruik van een functiegenerator die de benodigde kanteelspanning zal genereren. Op deze functiegenerator kunnen we kiezen voor verschillende soorten spanning: kanteelspanning, sinusoïdale spanning, etc. Tevens kunnen we de frequentie (en dus onrechtstreeks de periode en hoekfrequentie) instellen. Om de aangelegde spanning en de spanning over de weerstand weer te geven, maken we gebruik van een oscilloscoop. Een spanning meten we door de oscilloscoop in parallel te schakelen met de tak van de kring waarover we de spanning wensen te berekenen. De zwarte ingang van het eerste kanaal van de oscilloscoop is de aarding. De meting van de geleverde spanning door de functiegenerator plaatsen we op kanaal 1 van de oscilloscoop. De meting van de spanning over de weerstand R schakelen we aan het tweede kanaal van de oscilloscoop (zie ‘CH1’ en ‘CH2’ op figuur 6 – ‘CH’ staat voor ‘channel’, Engels voor ‘kanaal’). We hoeven slechts één draad van de aangegeven positie (figuur 12 links) met het tweede kanaal van de oscilloscoop te verbinden.

Figuur 12: Vereenvoudigde meetopstelling links, rechts foto van actuele schakeling in practicum



11

3.2 Metingen en berekeningen

We stellen de generator in op kanteelspanning en we stellen de oscilloscoop in zoals beschreven op de figuren in bijlage 1 van dit verslag (figuur a,b,c en d). Vooraleer te beginnen met metingen dienen we eerst nog de weerstand en capaciteit van de condensator te bepalen. De capaciteit van de condensator rechtstreeks af te lezen op de condensator:

60,1 10% 0,1 10 10%C F Fµ −= ± = × ± . Voor de bepaling van de weerstand maken we gebruik van de kleurcode op de weerstand (dit werd reeds uitgelegd in paragraaf 2.1). Uiteindelijk bekomen we voor de weerstand: 310 5% 10 10 5%R k= Ω± = × Ω± . Uiteindelijk bekomen we een tijdsconstante 0,001 1 1000R C s ms sτ µ= ⋅ = = = . We stellen de generatorfrequentie in op f0 zoals hieronder weergeven:

0

1108,7

9, 2f s

τ= ≈

De amplitude van de kanteelspanning bedraagt Vm = 22,2V. De maximale spanning over de weerstand bedraagt 20,2V. Normaalgezien zou de maximale spanning over de weerstand moeten gelijk zijn aan de amplitude van de kanteelspanning. Toch zien we in de praktijk dat dit niet zo is. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat de geleiders die dienen als verbinding tussen de verschillende elementen in de kring niet perfect geleidend zijn en ook optreden als weerstand in de kring. Een bijkomende verklaring is dat de condensator niet volledig ontlaadt maar dat er een lading aanwezig blijft op de condensatorplaten. Hieronder is een oscillogram (figuur 13) weergegeven met generatorfrequentie f0.

Om experimenteel de tijdsconstante τ te bepalen gaan we als volgt te werk. We plaatsen de oscilloscoop in de stand om de spanning te meten. We plaatsen cursor 1 op de basislijn van het signaal en plaatsen cursor 2 op de 1/ e -waarde van de piekspanning. Dus op spanning 8,16V. We verplaatsen het signaal tot de dalende exponentiële (afkomstig van de gemeten spanning over de weerstand) de cursor in het schermmidden snijdt. We plaatsen nu de oscilloscoop in de meetstand ‘time’ en we meten het tijdsinterval tussen de piek en 1/ e -waarde (de afleiding van deze techniek werd reeds in paragraaf 3.1 gegeven). De gemeten tijdsconstante bedraagt 900,0 sµ . We zien dat deze experimenteel gemeten tijdsconstante de theoretische zeer sterk benaderd. Er is slechts een verschil van 100,0 sµ . Twee mogelijke verklaringen hiervoor zijn:

- de weerstand en condensator hebben niet exact de aangeduide waarde

Figuur 13: Oscillogram met f0 = 108,7 Hz Figuur 14: Oscillogram met f0 = 1085 Hz



12

- kleine afleesfout bij het experimenteel aflezen op de oscilloscoop We vergroten nu langzaam de generatorfrequentie tot een frequentie van 010 f× . Hierboven is

een oscillogram weergegeven (figuur 14) waarbij de frequentie 010 1,1f kHz× ≈ bedraagt. We kunnen deze figuur vergelijkingen met de vorige figuur. We stellen vast dat de spanningssprong die optreedt bij de weerstand verre van gelijk is aan de amplitude van de kanteelspanning. Aangezien de som van de spanningen over condensator en weerstand gelijk moet zijn aan de maximale spanning van de spanningsbron kunnen we afleiden dat de condensator niet meer volledig ontlaadt. Er blijft een constante lading op de condensatorplaten aanwezig. De permanente lading is tevens hoger dan de constante lading die bij een generatorfrequentie f0 blijkbaar op de platen aanwezig was. In het concrete geval van de onderstaande figuur kunnen we nu de permanente lading op de condensator gaan bepalen. Aan de hand van de spanning spanningssprongen van de exponentiële functie kunnen we de minimale spanning over de weerstand bepalen. Deze bedraagt: 12Rv V≈ . Vm bedraagt ongeveer 22V. We werken met benaderende waarden omdat deze aflezingen tot stand zijn gekomen door het tellen vakjes. De meetfout bedraagt dus 1V. De permanente lading op de condensator bedraagt: 61 1 10permanentq C Cµ −= = × . De berekening volgt hieronder:

622 12 10 10 10 1 1 10m R C C C

qV v v V V v V v V q V C q C C

Cµ −= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = = ×

4. Studie van een RC-kring met sinusspanning Het doel van dit deel van het practicum is het experimenteel onderzoeken van het gedrag van de RC-kring bij sinusoïdale spanning. In het bijzonder gaan we het faseverschil op twee manieren zoeken.

4.1 Methode 1: faseverschil bepalen vanuit tijd tussen nuldoorgangen

4.1.1 Meetmethode

Voor deze proef maken we eveneens gebruik van een functiegenerator voor het opwekken van het nodige spanningsverschil en om het spanningsverloop over de weerstand weer te geven maken we gebruik van een oscilloscoop. We beginnen de proef met het maken van de schakeling weergegeven in figuur 12, volledig analoog aan de schakeling gebruikt bij de studie van de RC-kring met kanteelspanning. Nu stellen we de generator in op sinusoïdale spanning en we beginnen met een frequentie van 5 Hz. Voor het bepalen van de spanningsverhouding vR/Vm (dit is de verhouding van de maximale spanning (de topwaarde) over de weerstand op de maximale spanning opgewekt door de generator) gebruiken we oscilloscoop in de meetstand om spanning te meten. We lezen met behulp van de cursor de topwaarden van de generatorspanning v en van de spanning over de weerstand vR af. Om een zo nauwkeurig mogelijke waarde te bekomen, stellen we de oscilloscoop in zodat we een zo groot mogelijke uitwijking in de Y-richting verkrijgen. We noteren verder nog de frequentie en de bijhorende periode die we eveneens met de oscilloscoop kunnen bepalen. Vervolgens zetten we de oscilloscoop in stand ‘Time’ en meten we met de cursor het tijdsverschil tussen de nuldoorgangen van de grafieken v en vR . Ook hier proberen we een zo groot mogelijke nauwkeurigheid na te streven en gaan we dus de oscilloscoop zo instellen dat we een zo duidelijk mogelijk beeld hebben van de



13

nuldoorgangen. We zoomen in op twee nuldoorgangen. Zeker voor verdere metingen (bij hogere frequenties) blijkt dit heel nuttig omdat de beide curven, die van v en die van vR, heel dicht tot elkaar naderen bij hoge frequenties. Met de waarde van de tijdsverschillen tussen de nuldoorgangen kunnen we het faseverschil bepalen. Na de notatie van al deze meetwaarden bij een frequentie van 5 Hz verhogen we de frequentie van de generator tot 8 Hz en doen we dezelfde metingen opnieuw. We herhalen deze metingen opnieuw voor hogere frequenties zodat we ongeveer 20 waarden hebben gelijk verdeeld (volgens een logaritmische schaal) over een interval van 5 Hz tot 10000 Hz (voor de specifieke waarden: zie de tabel met resultaten verder). We voeren een extra meting uit voor een de frequentie 1 2f πτ= en we vergelijken voor deze meting vR/v en φ met de theoretische waarden (zie berekeningen). Voor elk van deze frequenties meten we dus Vm, vR en het tijdsverschil tussen de nuldoorgangen. Uit dit tijdsverschil kunnen we de faseverschillen bepalen. Deze metingen zijn terug te vinden in de volgende paragraaf. Daar staat ook een grafiek van de verhoudingen VR/Vm als functie van de frequentie. Bovendien staat in de volgende paragraaf het faseverschil in functie van de frequentie.

4.1.2 Metingen

frequentie [1/s] Vm [V] VR [V] VR/Vm ∆t nuldoorgang [s] faseverschil φ [rad] periode [s]

5 10,6 3,40E-01 3,21E-02 5,0E-02 -1,6E+00 2,00E-01

8 10,6 5,36E-01 5,06E-02 2,8E-02 -1,4E+00 1,25E-01

10 10,6 6,72E-01 6,34E-02 2,4E-02 -1,5E+00 1,00E-01

15 10,6 1,00 9,43E-02 1,6E-02 -1,5E+00 6,67E-02

20 10,6 1,36 1,28E-01 1,2E-02 -1,5E+00 5,00E-02

30 10,6 1,96 1,85E-01 7,5E-03 -1,4E+00 3,33E-02

40 10,6 2,64 2,49E-01 5,4E-03 -1,4E+00 2,50E-02

60 10,6 3,80 3,58E-01 3,3E-03 -1,2E+00 1,67E-02

80 10,6 4,80 4,53E-01 2,2E-03 -1,1E+00 1,25E-02

100 10,6 5,76 5,43E-01 1,6E-03 -9,8E-01 1,00E-02

125 10,6 6,64 6,26E-01 1,1E-03 -8,6E-01 8,00E-03

150 10,6 7,36 6,94E-01 8,8E-04 -8,3E-01 6,67E-03

159 10,6 7,40 6,98E-01 7,8E-04 -7,8E-01 6,29E-03

200 10,6 8,20 7,74E-01 5,0E-04 -6,3E-01 5,00E-03

400 10,6 9,60 9,06E-01 1,5E-04 -3,8E-01 2,50E-03

600 10,6 10,0 9,43E-01 6,8E-05 -2,6E-01 1,67E-03

800 10,6 10,2 9,62E-01 3,4E-05 -1,7E-01 1,25E-03

1000 10,6 10,2 9,62E-01 2,4E-05 -1,5E-01 1,00E-03

2000 10,6 10,4 9,81E-01 8,0E-06 -1,0E-01 5,00E-04

6000 10,6 10,4 9,81E-01 8,0E-07 -3,0E-02 1,67E-04

10000 10,6 10,4 9,81E-01 4,0E-07 -2,5E-02 1,00E-04

159 10,6 7,40 6,98E-01 7,8E-04 -7,8E-01 6,29E-03

voor specifieke waarde f = (1/(2*Pi*R*C))



14

VR/Vm in functie van de frequentie

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

1 10 100 1000 10000

frequentie [1/s]

VR/Vm

faseverschil in functie van de frequentie

-1,8E+00

-1,6E+00

-1,4E+00

-1,2E+00

-1,0E+00

-8,0E-01

-6,0E-01

-4,0E-01

-2,0E-01

0,0E+00

1 10 100 1000 10000

frequentie [1/s]

faseverschil [rad]

4.1.3 Berekeningen

Het faseverschil φ in functie van de frequentie f en de tijd tussen de nuldoorgangen ∆t werd gevonden door toepassing van de formule:

( ), 2f t f tϕ π∆ = ⋅ ⋅∆

Er is bij de metingen een extra meting gedaan voor de frequentie 1 2f πτ= . In theorie zou bij deze frequentie het faseverschil φ gelijk moeten zijn aan -45° of –π/4 rad (≈-0,7854 rad). De verhouding Vm/VR zou gelijk moeten zijn aan 1/√2 of 0,71 (zie paragraaf 3.4). Als we in de



15

tabel met meetwaarden hierboven kijken naar de experimenteel gevonden waarden voor het faseverschil, zijnde -0,78 rad en voor Vm/VR, zijnde 0,698

, komen deze vrij goed overeen met de theoretische waarden. Exact hebben we de theoretische waarde niet benaderd met experimentele waarden maar dit komt vooral door meetfouten en bijkomende weerstand van de kabels. De ideale theoretische toestand is uiteraard niet te realiseren in de praktijk.

4.2 Methode 2: faseverschil bepalen met Lissajousfiguren

4.2.1 Meetmethode

Een andere methode om het faseverschil te bepalen is door gebruik te maken van Lissajousfiguren. Hiervoor zet men de oscilloscoop in X,Y-stand. De X-ingang van de oscilloscoop wordt verbonden met de sinusspanning v. Op het scherm van de oscilloscoop verkrijgt men dan, in tegenstelling tot de sinusfuncties in de vorige methode, een elliptisch beeld. Dit is een Lissjousfiguur (zie figuur 15, de klassiek oscilloscoopvoorstelling van beide spanningen is ter vergelijking in figuur 16 weergegeven). We proberen de ellips in het midden van het scherm te centreren zodat de nullijn van de X- en Y-versterker samenvallen met respectievelijk de centrale x- en y-as op het scherm. Om nu het faseverschil te vinden bepalen we voor een aantal frequentiewaarden (die bij voorkeur nog niet in vorige metingen zijn gebruikt) de afstand CD en de afstand AB meten. De afstand CD is de afstand tussen de twee snijpunten (C en D)van de Lissajousfiguur met de y-as en de afstand AB is de afstand tussen het hoogste en het laagste punt van de Lissajousfiguur, dit is het stuk op de y-as als we het X-signaal onderbreken(zie figuur 15). De gemeten waarden voor een tiental goedgekozen frequenties zijn te vinden in de tabel in de volgende paragraaf met de metingen. Na deze metingen doen we alweer een extra meting voor f = 1 2f πτ= en we vergelijken opnieuw met de theoretische verwachtingen. In de volgende paragraaf staat ook de vorige grafiek van de φ-waarden in functie van de aangelegde frequenties, maar nu aangevuld met de gevonden waarden via deze methode zodat je goed visueel de beide methodes kan vergelijken.

Figuur 15: Lissajousfiguur Figuur 16: Normale voorstelling



16

4.2.2 Metingen

frequentie [1/s] CD [V] AB [V] CD/AB (=sin(-φ)) φ [rad]

6 4,00E-01 4,00E-01 1,00E+00 -1,57E+00

12 1,60E-03 1,70E-03 9,41E-01 -1,23E+00

25 3,20 3,60 8,89E-01 -1,09E+00

70 8,00 8,80 9,09E-01 -1,14E+00

159 7,80 12,00 6,50E-01 -7,08E-01

300 7,00 18,0 3,89E-01 -3,99E-01

500 6,00 20,0 3,00E-01 -3,05E-01

700 4,00 21,0 1,90E-01 -1,92E-01

1500 2,00 21,0 9,52E-02 -9,54E-02

3000 1,40 22,0 6,36E-02 -6,37E-02

4000 1,20 22,0 5,45E-02 -5,46E-02

faseverschil in functie van de frequentie

-1,8E+00

-1,6E+00

-1,4E+00

-1,2E+00

-1,0E+00

-8,0E-01

-6,0E-01

-4,0E-01

-2,0E-01

0,0E+00

1 10 100 1000 10000

frequentie [1/s]

faseverschil [rad]

methode 1

methode 2

4.2.3 Berekeningen

De snijpunten C en D met de y-as worden bekomen voor de hoek ωt1 = 0° en voor de hoek ωt2 = -90°. Met de hoek 0° corresponderen x1=0 en y1=Ysinφ1 en met 90° komen x2=0 en y2=-Ysinφ1 overeen. Als we de beide van elkaar aftrekken krijgen we de bewerking:

1 2 12 sin( )y y Y ϕ− = wat overeenkomt met (zie figuur):

sin( )CD AB ϕ= − Hieruit kunnen we dus het faseverschil φ berekenen uit de experimenteel bekomen waarden voor AB en CD. De resultaten zijn opgenomen in de tabel hierboven. Ook hier kunnen we de experimenteel gevonden waarde van φ bij de specifieke frequentie van 159 Hz vergelijken met de theoretische waarde. Als we dat doen zien we dat onze experimentele waarde (-0,707 rad) minder goed overeenkomt met de theoretische waarde



17

(-0,785 rad) als bij de vorige methode. Dit komt door een mindere nauwkeurigheid van de tweede methode tegenover de eerste methode (zie ook verder in algemeen besluit).

4.3 Algemeen besluit

Als we kijken naar de twee methodes die we gebruikt hebben om het faseverschil experimenteel te bepalen kunnen we opmerken dat de tweede methode (Lissajousfiguren) meer schommelingen of afwijkingen geeft voor lage frequenties en dat, wat de hoge frequenties betreft, de twee methodes redelijk goed overeenkomen. De reden voor een grotere onnauwkeurigheid bij de tweede methode ligt in de gebreken van het oog om de afstanden CD en AB correct in te schatten (de oscilloscoop heeft geen mechanisme om automatisch afstanden te meten als we met Lissajousfiguren werken), maar ook in de fout waar de oscilloscoop zelf voor zorgt. De lijnen zijn tamelijk dik en dus niet echt nauwkeurig. Als we op ons experiment afgaan, lijkt de eerste methode voor lagere frequenties veel geschikter dan de tweede methode. Voor hoge frequenties doet het er niet zo veel toe. Een laatste opmerking is over de toepassing van onze gebruikte schakeling. De verhouding VR/Vm verkleint naarmate de frequentie lager wordt en dus als logisch gevolg wordt het groter bij hoge frequenties (dit is goed te zien in de grafiek). Deze keten filtert als het ware de lage frequenties uit een bepaald signaal en wordt ook een hoog-doorlaatfilter genoemd. Een hoog- of laag-doorlaatfilter wordt bijvoorbeeld gebruikt om bastonen van hoge tonen te scheiden in een geluidssignaal om ze dan naar verschillende soorten specifieke luidsprekers voor hoge of lage tonen te sturen.

5. Referenties Cursussen/naslagwerken: Serway, A. Raymond (2004). Physics for Scientists and Engineers. Belmont (USA): Brooks/Cole-Thomson Learning. (Algemene theorie over weerstand, condensator, netwerken met sinusspanning, etc.) Wieme-Lenaerts, J.; Sanctorum, C.; Iserentant, C. (2003). Cursus Algemene Natuurkunde: Mechanica Trillingen en Golven. Universiteit Gent/Faculteit Toegepaste Wetenschappen. (Lissajousfiguren) Webbronnen: http://www.elexp.com/t_resist.htm (determineertabel weerstanden) http://www.prestige.com.tw/pics/8b.jpg (figuur condensatoren) http://www.muzique.com/schem/filter.htm (filters) http://nl.wikipedia.org/wiki/Oscilloscoop (werking van de oscilloscoop) http://www.qsl.net/wd1v/scopefaq/history.html (geschiedenis van de oscilloscoop) http://www.cripe.ugent.be/Studenten/practicumproeven/RC-kring/rc-kring.htm (foto opstelling)

+ practicumnota’s



18

BIJLAGE 1: Instelling van de oscilloschoop

RC-KRING - users.skynet.beusers.skynet.be/kennyvh/ftw/RCK-nr4-03-03-2005.pdf · Het doel van dit...

Documents

Transcript of RC-KRING - users.skynet.beusers.skynet.be/kennyvh/ftw/RCK-nr4-03-03-2005.pdf · Het doel van dit...