Rapport MDF

8/6/2019 Rapport MDF

1/33

Rapport du Mini-Projet delAanalyse Numrique II.

Rsolution de

lEquation de la

Chaleur par laMthode des

Diffrences Finies.

Encadr par :Prof. Hamid ElouardiPrpar par :Bourras IsmailElboutaybiSara

Anne Universitaire:1431/14322010/2011

Gnie Informatique.


2/33

2

Table des matires

Remerciement ................................ ................................ ................................ ................ 3

I. Introduction................................ ................................ ................................ .................... 4II. Mthode des diffrences finies................................ ................................ ...................... 4

a. Approximation des drives par la formule de Taylor ................................ .......................... 5

b.Maillage ................................ ................................ ................................ ................................ .........4

c.Schma Numrique :................................ ................................ ................................ ....................... 6

d.Condition aux limites et conditions initiales : ................................ ................................ .............. 5

III. Application................................ ................................ ................................ ..................... 7a.Etude Numrique ................................ ................................ ................................ ...................

b.SchmaExplicite ................................ ................................ ................................ ................................

c.Schma Implicite................................ ................................ ................................ ...........................

d.Schma de CranckNicolson................................ ................................ ................................ ............

IV. Programmation................................ ................................ ................................ .............10a.Script pour le SchmaExplicite ................................ ................................ ...............................

b.Script pour le Schma Implicite ................................ ................................ ...............................

c.Script pour le Schma de CranckNicolson ................................ ................................ ................

V. CasdeCalcul................................ ................................ ................................ ..................20a.Solution exacte ................................ ................................ ................................ ..............

b.Solution approche par le schma explicite................................ ................................ ....

c.Solution approche par le schma implicite................................ ................................ ....

d.Solution approche par le schma de CranckNicolson................................ ....................

e.Conclusion sur la stabilit et la convergence de ces mthodes ................................ .......

VI. Conclusion ................................ ................................ ................................ ....................32VII. Rfrences................................ ................................ ................................ ..................... 33

Remarque : Nous avons choisi loutil matlab pour la programmation et la visualisation des

solutions.


3/33

3

Remerciements

Avant dentamer ce rapport, nous profitons de

loccasion pour remercier chaleureusement notre

cher professeur M.El Ouardi pour avoir crecette occasion (le mini-projet) et nous permettre

ainsi de voir nos acquis purement thoriques

rencontrer le monde rel par le biais de la

programmation.

Ce travail est le fruit de vos efforts et de votre

gnrosit qui nous a surveills partout et

presque chaque semaine via ladresse

lectronique.


4/33

4

I. Introduction :Lanalyse num

ue est une discipline des mat matiques. lle sint

esse tant aux

fondementst oriques qulamiseen pratique desmt odes permettant de rsoudre, par

descalculs purementnumriques, des problmes danalysemat matique.

Plus formellement, lanalyse numrique est ltude des algorithmes permettant de rsoudre les problmes de mathmatiques continues (distingues des mathmatiques discrtes). Celasignifie quelle soccupe principalement de rpondre numriquement des questions variable relle ou complexe comme lalgbre linaire numrique sur les champs rels oucomplexes, la recherche de solution numrique dquations diffrentielles et dautres

problmes lis survenant dans les sciences physiques et lingnierie.

Dans le domaine de l'analyse numrique, on peut tre amen rechercher la solution d'unequation aux drives partielles. Parmi les mthodes de rsolutions couramment pratiques, lamthode des diffrences finies est la plus facile d'accs, puisqu'elle repose sur deux notions :la discrtisation des oprateurs de drivation/diffrentiation (assez intuitive) d'une part, et laconvergence du schma numrique ainsi obtenu d'autre part.

En mathmatiques et enphysique thorique, l'quation de la chaleur est une quation auxdrives partielles parabolique, introduite initialement en 1811 parFourier pour dcrire le

phnomne physique de conduction thermique.

II. Mthode des differences finies :Parmi les mthodes de rsolution, la mthode des diffrences finies, qui repose sur deux

notions : la discrtisation des oprateurs de drivation/diffrentiation par diffrences finies

d'une part, et la convergence du schma numrique ainsi obtenu d'autre part.

En effet Un problme aux drives partielles ncessite la donne de :

Dun domaine Dune quation aux drives partielles De conditions aux limites De conditions initiales

a. Approximation des drives par la formule de Taylor :Grce aux formules de Taylor, on dfinit la discrtisation des oprateurs diffrentiels

(drives premires, secondes, etc. partielles ou non).

La formulation de Taylor-Young est prfrable dans son utilisation simple, la formulation de

Taylor avec reste intgral de Laplace permet de mesurer les erreurs


5/33

5

Et:

Ou t ut l appli ati convergent vers 0 avec h. Alors :

Et en sommantles dveloppements pour x-h et x+h l on obtient:

On obtient respectivement des approximations de 1er ordre et 2nd ordre enh.

Alors on a :

.

On peut aussi montrer de la mme faon que :

Et

.

b. Maillage :Un maillage est un ensemble de points du domaine de dfinition surlequel on va appliquer

la mthode des diffrences finies. Pour une application dfinie sur un segment de , on

ajoutera en gnral les deux extrmits du segment; pour un maillage en dimension

suprieure, on sera amen choisir, ventuellement, des points des contours du domaine de

dfinition.

On appelle le pas du maillage la distance entre deux points successifs du maillage voisins.

En dimension 1, cela se simplifie en diffrence des abscisses.Cepas n'est pas ncessairement


6/33

6

constant, il peut mme tre judicieux de ne pas le fixer comme tel. Le pas (global) de

l'approximation peut tre dfini comme le plus grand pas du maillage. Ainsi, si ce pas global

tend vers 0, cela veut dire que la rpartition des points du maillage dans l'intervalle choisi tend

se faire sur tout le domaine d'tude par densit.

Exemple :

Un intervalle de validit [0,1] on utilisera (N + 1) points, par exemple {0, h, 2h,...,

N*h=1} pour un pas constante

c. sch nu iqu :crire un schma numrique de rsolution de l'quation diffrentielle initiale signifie :

y substituer les formulations des drives/diffrentielles obtenues par approximationaux oprateurseux-mmessur tousles points dumaillage.

y rorganiser lesquations pour faireapparatreunsc maexplicite (ex : lesvaleursla date t+1 donnes en fonction des valeurs des dates 0 t) ou implicite (une

quationlielesvaleurs passes, prsenteset futuressans qu'onarriveexprimer ces

derniresseules).

Dans un cadre de modlisation classi ue d'oprateurs linaires dans des quationsdiffrentielles linaires, on aboutit un systme d'quations linaires de dimension gale au

nombre de nuds du maillage (en fait un peu moins, du fait des donnes initiales, parexemple).

Rsoudre le schma numrique signifie simplement trouver les valeurs discrtes de lafonction en chaque nud.

Un systme i ssu d'une quation linaire peutsouventtre algbriquementsimple rsoudre.

Pour simplifier, on peutdire que les schmas explicites engendrentdes systmes d'quation matrice triangulaire ou trigonalisables, ce qui n'estpas le cas des schmas implicites.

d. Condition aux limites et conditions initiales :Un problme aux limites est une quation aux drives partielles munie de conditions auxlimites sur la totalit de la frontire du domaine.

Un problme de Cauchy est une quation aux drives partielles ou, pour la variable detemps, les conditions au bord sont des conditions initiales (et pas finales).

On dit que le problme A(u) = f est bien pos si pour toute donne f ; il admet une solutionunique u, et si cette solution u dpend continument de la donne f conditions ncessaire pourfaire du calcul numrique.


7/33


8/33

8

On note :

.

Avec

; et Maintenant on passe tablir schma par schma.

a. SchmaExplicite :

Discrtisation du domaine de

la dfinition delquation.

onditions initiales

xpression delasolution par

c aquesc ma des DF.

Valorisation delerreur.

Itration ax ?

Fin


9/33

9

En se basant sur ce qui precde, exprimons les 2 drives prsentes dans (E ) aupoint (ih, (j-1) k) :

b. Schma Implicite : En se basant sur ce qui precde, exprimons la premire drive (i h, j k) et la

deuxime (i h, (j+1) k) :

c. SchmadeCrank Nicolson :Le schma de crank Nicolson est un cas spcifique de la -Mthode o . Eneffet pour ce schma =

.

En se basantsur ce qui precde, exprimons la premire drive (i h, j k) ;Pourla deuxime cela diffre :

(approximation (i h, j k)) + (1-) (approximation (i h, (j+1) k)).

Aprs le calcul:

Avec :

et 1


10/33

10

IV. programmationEtav l s pro ra suiva to resoudle probleme numeriquement :

1.1Programme du schma Explicite :


11/33

11


12/33

12

1.2Programme du schma Implicite :On a

Donc

En

Posant On a alors


13/33

13


14/33

14

En posant :

(1 2 )

(1 2 )

0

0

a a

a a

a a

O

(1 2 )

(1 2 )

0

0

a a

a a

a a

O

B =

1 0

0 0

0 1

0

0

O

2 1

1 1

1 2

0

0

O

= -I + aT

On utilise alors la mthode indirecte de rsolution des systmes linaire: JACOBI! GAUSS SEIDEL,

RELAXATION " Ax=b

Schma implicite l aide de Jacobi


15/33

15


16/33

16

1.3Programmedu Ona

Et


17/33

17


18/33

18

(1 )2

2 2

(1 )2

0

0

aa

a a

aa

O

(12

2 2

(12

0

0

aa

a a

aa

O


19/33

19

(12

2 2

(12

0

0

aa

a a

aa

O

(1 )2

2 2

(1 )2

0

0

aa

a a

aa

O

On utilise alors la mthode indirecte de rsolution des syst mes linaire : JACOBI, AUSS

SEIDEL, RELAXATION) .


20/33

20

V. Cas de calcul :

a. Solution Exacte :Notre quation : (E)

Avec maintenant pour application :


21/33

21

Pour ce faire, on utilise le cour des quations aux drives partielles de 1re anne :

Faire de sorte de simplifier lexpression de la forme solution en lexprimantcomme tant le produit de deux fonctions indpendantes :

Nous posons : u(x, t) v(x).w(x), nous obtenons alors

(E)v.w= v .w

= k k une constante.

Ceci car les expressions dans chaque membre de droite et de gauche ne peuvent tre en touttemps gales que si elles sont gales un constante.

Do :

Dterminer une solution v(x) qui satisfasse les conditions aux frontires.Lquation (1) a pour solution :

Ou bien v(x)=ax+b, si k=0.

v(x)=C1 . + C2.si k>0.

v(x)=A.cos()+B.. k


22/33

22

Pour ne pas tomber sur une solution triviale on prend le cas A=0 et .Ceci dit : =n.Do v n(x)= , n=1,2,3

Dterminer la forme solution w(t) en consquence des imposes sur v(x).Avec la contrainte k=-(

), et avec lquation (2), on trouve :

Wn(t)= Cn

n=1,2,3,4

# xprimer la solution u(x, t) sous forme de srie de Fourrier pour quellesatisfasse prsent la condition initiale sur t.

On a alors la famille des solutions :

n=1,2,3 ..

La solution gnrale ug(x, t) est la combinaison linaire de toutes ces un(x, t) :

Fixons les coefficients Cn : u(x,0)= Avec :

Formules dEuler pour les fonctions p=24 priodique : => avec w* est la fonction de prolongement impair fictif entre -4< x


23/33

23

Aprs un calcul avec des formules trigonomtriques et vrification des conditions, on arrive la solution exacte :

***********************************

Pour des raisons de facilit dutilisation, on a regroup toutes les scripts des mthodesnumriques dj cites dans un seul programme, permettant lutilisateur de choisir lamthode quil veut.

Voicile M-file utilis :programmefinale.m

On prend : ,pour visualiserla solution du cas de calcul propos.On trouve :N =19 et a= 0,4053.

Dontle code est:


24/33

24


25/33

25


26/33

26

b. Solution approche parle schma explicite :Choix : 1 dans le programme prog.m

Analyse des figures ci-dessous :

Nous pouvons constater que la solution approche suit en gros lallure de lasolution exacte mais reste, en dtails, un peu loin de lasolution exacte ; la

courbe derreur nouspermet de voir cela : en effetlerreur est nulle sur despoints en particuliers ce quipermet lacourbe de lasolution approche desuivre celui dela solution exacte.


27/33

27

Fig. courbe solution exacte et approche etErreur.

A laide du mesh :

c. Solution approche parle schma implicite :Choix : 2 dans le programme prog.m


La meme chose que la solution approche par le schma explicite, la solution

approche parle schma implicite suitlallure de la solution exacte.


28/33

28

Comme avant avec mesh :

Fig. Courbe de la solution approche et exacte etCourbe dErreur.

Fig. Courbe de la solution approche schma implicite par la mthode de Jacobi .


29/33

29

Lutilisation de Jacobi montre une courbe derreur plus importante, la courbe

scarte de la courbe de la solution exacte. Alors la double boucle se montre

simple et efficace :

d. Solution approche parla mthode de CrankNicolson :Choix : 3 dans le programme prog.m


A lencontre du schma implicite et explicite, la mthode de CrankNicolson se dvie

clairement de la solution exacte.

En appliquantCrankNicolson par la mthode de Jacobi, la solution malgr quelle soit

loin de la solution exacte, elle reste meilleure que CrankNicolson seul.

A laide de mesh :

Fig. Courbe de la solution approche et exacte etCourbe dErreur.


30/33

30

Fig. Courbe de la solution approche Crank Nicolson par la mthode de Jacobi.

e. Conclusion surla convergence etla stabilit de ces mthodes: Convergence :

Elerreur de convergence sexprime comme suivant: .Pour le schma explicite :

lerreur prsente un maximum aprs tend vers 0 dune faon remarquable.

Pour le schma implicite :


31/33

31

lerreur prsente un maximum aprs tend vers 0 dune faon remarquable maislente par rapport au schma explicite.

Pourle schma de CrankNicolson :

Lerreur est nulle jusqu un certain rang,aprs il augmente dune faon

importante.

Stabilit :L on puise directement du cours de notre cher prof.

Ltude de la stabilit se rsume dans lvaluation du facteur tel que: .=d. .Pourle schma explicite :

Il faut avoir:


32/33

32

On a:

.

Schma stable donc.

Pour le schma implicite :

Il faut avoir : et on a :

. Schma stable donc.

Pour le schma de CrankNicolson :

On a , la mthode est inconditionnellement stable.

Synthse :Le schma explicite se montre fort avec la rapidit de convergence de lerreur vers 0.Tandis que le schma de CrankNicolson semble clairement diverger de la solutionexacte. Le schma implicite reste acceptable par rapport au schma de Crank.

VI. Conclusion :Ce projet illustre bien limportance des mthodes numriques pour larsolution des problmes mathmatique, leur varits, et permet de constaterle peu de diffrences concernant les solutions proposes par chaque mthode,do leur efficacit.Dautre part, il nous a t trs utile de travailler sur ce projet, sachant quedune part on a pu mieux concevoir lide de devoir rsoudre un tel problmemathmatique, et dun autre ct se familiariser davantage avec un outilimportant pour un lve ingnieur quest le Matlab, et ainsi reconnaitre sonutilit.


33/33

VII. Rfrence :$ WIKIPEDIA

% ENCARTA

& GOOGLE

Rapport MDF

Documents

Transcript of Rapport MDF