UMwebs.um.es/apall/archivos/mnedo/MetNumEcDifOrd(prelimina).pdf · 3 M´etodo de colocacio´n y...

Metodos Numericospara las

Ecuaciones DiferencialesApuntes de clase. Curso 2011-2012

Departamento de Matematicas,

Facultad de Matematicas, Universidad de Murcia

30 de agosto de 2011

Programa de la asignatura

Bloque I: Teorıa

Tema 0: Introduccion

Esquemas numericos.

Conceptos de consistencia, estabilidad y convergencia.

Convergencia metodo de las poligonales de Euler

Tema 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Introduccion y motivacion.

Ejemplos de IVP y BVP.

Existencia y unicidad de la solucion del IVP.

Regularidad de la solucion del IVP.

Sobre la estabilidad de un problema

Estabilidad de la solucion del IVP.

Tema 2: Metodos de un paso

Metodo de Euler y variantes: !-metodos. Analisis de error.

0-estabilidad, estabilidad absoluta y rigidez.

Estudio general de los metodos de un paso explıcitos.

consistencia, cero-estabilidad y convergencia. Errores de redondeo.

Comportamiento asintotico del error y extrapolacion.

Estudio de los metodos de un paso implıcitos. Prediccion-Correccion

Metodos de Taylor.

Tema 3: Metodos de Runge-Kutta

Metodos de Runge-Kutta. Introduccion y ejemplos clasicos. Metodos devarios niveles.

2

3

Metodo de colocacion y Metodos de Runge-Kutta Impıcitos.

Consistencia y estabilidad absoluta.

Metodos adaptativos, Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg.

Tema 4: Metodos multipaso: Metodos de Adams

Metodos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton. Prediccion-Correccion.

Consistencia, estabilidad y convergencia. Barreras de Dahlquist.

Metodos BDF

Estabilidad absoluta.

Tema 5: Ecuaciones Rıgidas

Motivacion y ejemplos. Sistemas lineales de Ecuaciones Diferenciales Or-dinarias. Estudio de los autovalores.

Estabilidad.

Algunos metodos eficientes para ecuaciones rıgidas. Metodo BDF, Meto-do de Gear.

Bloque II: Realizacion de practicas

Practicas con ordenador

Calendario lectivo: Inicio general de clases el Miercoles 14 de Septiembre de2011 y fin del primer cuatrimestre el Viernes 23 de Diciembre de 2011.Primer dia de clase el 15 de Septiembre de 2011. Tenemos un total de 15 semanasy un total de 58 horas lectivas al tener un festivo (dıa 8 de Diciembre).

De estas sesiones, dedicamos 52 (104 horas) a sesiones de pizarra, incluyendoexamenes y 6 (12 horas) a practicas de laboratorio. Un calendario posible es elsiguiente:

Septiembre 2011

Semana Jueves (10:00-12:00) Viernes (10:00-12:00)

del 12 al 16 dıa 15: Teorıa dıa 16: Teorıa

del 19 al 23 dıa 22: Laboratorio dıa 23: Teorıa


3 Dpto. Matematicas, Universidad de Murcia

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Octubre 2011






Noviembre 2011


del 31/10 al 4 dıa 3: Teorıa dıa 4: Teorıa




Diciembre 2011


del 28/11 al 2 dıa 1: Teorıa dıa 2: Teorıa

del 5 al 9 dıa 8: FESTIVO dıa 9: Teorıa



Bibliografıa

1. U.M. Ascher, L.R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Di!erentialEquations and Di!erential-Algebraic Equations. SIAM, 1998

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3. W. Cheney, D. Kinkaid Numerical Mathematics and Computing, PacificGrove, California : Brooks-Cole , 2008

4. James F. Epperson An Introduction to Numerical Methods and Analysis,Wiley-Interscience, John Wiley and Sons, 2008.

5. David F. Griffiths · Desmond J. Higham Numerical Methods for Ordi-nary Di!erential Equations. Initial Value Problems, Springer, London, 2010.

Dpto. Matematicas, Universidad de Murcia 4

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6. E. Hairer, S. P. Norsett, and G. Wanner Solving Ordinary Di!erentialEquations I: Nonsti! Problems. Springer, New York, 1993.

7. E. Hairer and G. Wanner Solving Ordinary Di!erential Equations II:Sti! and Di!erential-Algebraic Problems, Springer, New York, 1996.

8. M.T. Heath Scientific Computing: An Introductory Survey, McGraw-Hill,New York, 2002.

9. M.H. Holmes Introduction to Numerical Methods in Di!erential Equations,Text in Applied Mathematics, 52, Springer 2007.

10. A. Iserles A First Course in the Numerical Analysis of Di!erential Equa-tions, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996.

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14. E. Suli, F. Mayers Introduction to Numerical Analysis. Cambridge Uni-versity Press, 2003.

15. A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams, Utiles basicos de Calculo Numeri-co, Labor, Barcelona, 1993.

16. R.L. Burden, J.D. Faires, Analisis Numerico, Grupo Editorial Iberoameri-ca 1985.

17. M. Crouzeix, A.L. Mignot, Analyse Numerique des Equations Di!eren-tielles, Masson, Paris, 1989.

18. P. Henrici, Elementos de analisis numerico, Trillas, Mexico, 1972.

19. E. Isaacson, H.B. Keller, Analysis of numerical methods, John Wiley,New York, 1966.

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21. A. Ralston, Introduccion al Analisis Numerico, Limusa-Wiley, Mexico 1970Publishing, Pacific Grove, California, 1989.


6

22. J. Rappaz, M. Picasso, Introduccion a le analyse numerique, Presses poly-techniques et universitaires romandes, Enseignements des Mathematiques,Laussane, ISBN 2-88074-363-X, 2004.

Datos basicos y especıficos de la asignatura

Objetivos generales

La asignatura Metodos Numericos de las Ecuaciones Diferenciales forma partede la materia Metodos Numericos. Esta materia esta dedicada al desarrollo y funda-mento teorico y practico de algoritmos numericos para la resolucion en un entornocomputacional de problemas provenientes de aplicaciones cientıficas. Por lo tanto,se refiere a un gran numero de cuestiones desde la aproximacion de funciones eintegrales a la aproximacion de soluciones de ecuaciones algebraicas, transcenden-tales, diferenciales e integrales, con un enfasis particular en la estabilidad, precision,eficiencia y robustez de los algoritmos disenados.

Por consiguiente, tiene una singular relevancia dentro de la titulacion, al seruna de las principales garantes de que los alumnos adquieran tres de las once com-petencias generales del grado (CGM6, CGM7 y CGM9), competencias de especialutilidad con vistas a la insercion laboral de un graduado en Matematicas. Tambienayudara a adquirir las competencias generales CGM1, CGM3, CGM8 y CGM11.

Objetivos especıficos

La mayorıa de los modelos matematicos para estudiar fenomenos fısicos estudianla evolucion en tiempo y en espacio de alguna cantidad de interes. Como consecuen-cia, y generalmente, tienen en cuenta a una funcion que representa esta cantidady a sus derivadas en las variables espaciales y temporal. Esto nos lleva a ecuacio-nes que se denominan Ecuaciones en Derivadas Parciales; estas a su vez puedenser de evolucion o estacionarias dependiendo de si incluyen la variacion temporal ono. Cuando los modelos tienen en cuenta exclusivamente la variable temporal lasllamamos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Como una primera aproximacion a las dificultades que este estudio plantea,nos vamos a centrar en aquellos modelos que se pueden describir principalmentemediante una evolucion temporal usando ecuaciones diferenciales ordinarias. En laasignatura optativa del cuarto curso del Grado Metodos Numericos y Variaciona-les de las Ecuaciones en Derivadas Parciales se tienen en cuenta las variacionesespaciales.

De forma mas concreta, en esta asignatura se trataran los siguientes metodosde resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias: metodo de Euler; Taylor; meto-dos de un paso; desarrollo asintotico del error; extrapolacion; Runge-Kutta, meto-


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dos multipaso; convergencia, consistencia y estabilidad; metodos de paso variable;predictor-corrector.

Conocimientos y destrezas previos

Recomendaciones

Para el mejor aprovechamiento se recomienda que el alumno haya adquirido lascompetencias y conocer los contenidos de las asignaturas y materias de Ecuacio-nes diferenciales ordinarias, Calculo numerico en una variable, Analisis numericomatricial, Introduccion al software cientıfico y a la programacion, Algebra Lineal,Ampliacion de Algebra Lineal, Funciones de varias variables I y II.

Evaluacion

Profesores de la asignatura


Eliseo Chacon Vera

Antonio J. Pallarés

Introduccion

Problemas continuos

Desde el punto de vista matematico se intentan formalizar muchos problemasque provienen de las propias matematicas y de muchas otras areas. La mayorıa sepueden reescribir en los siguiente terminos:

Dados X e Y dos espacios normados y una aplicacion A : X ! Y se plantea

problema continuo: Pc Dado v " Y encontrar u " X tal que Au = v

o bien

problema continuo: Pc Siendo Y = R y dado u " X calcular Au " R.

Por ejemplo, si X es un espacio de funciones e Y = R y se pretende calcular un cerode una funcion o una integral, etc... o bien si X e Y son espacios de funciones y Aes un operador que transforma una funcion en otra. Este sera el caso de estudio eneste curso. En cursos previos se han visto los ejemplos mencionados antes y otros.

Se debe de tener en cuenta la posibilidad de que sea difıcil, imposible o, inclusocuando es posible, de poco uso practico el conocer la solucion a estos problemascontinuos.

Desde el analisis numerico se intentan generar alternativas a estos problemas quepermitan obtener un calculo aproximado a estas soluciones de una forma practica yrazonable. La creciente capacidad de calculo de los computadores es la herramientafundamental que potencia este estudio. Veamos como se podrıan dar alternativasde calculo en general al primer problema continuo que hemos planteado:

Problemas discretos

Supongamos que tenemos familias de espacios {Xp}p e {Yp}p (dependientes deun parametro p) y un operador Ap : Xp ! Yp que nos permite plantear problemasque sı que se pueden resolver a mano o con el computador. Planteamos entonces el

problema discreto: Pp Dado vp " Yp encontrar up " Xp tal que Ap up = vp

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nuestro objetivo es que up aproxime a u cuando p cambia de forma conveniente.

Observacion 1 Puede ocurrir que en este problema discreto cambiemos solo algunode los ingredientes, por ejemplo, podemos dejar Xp = X e Yp = Y y solo cambiarAp.

Ejemplo 1 Si queremos resolver la ecuacion A(x) = b cuando A : Rm ! Rn es unafuncion nolineal y se reemplaza por una aproximacion Ap dejando Xp = X = Rm

e Yp = Y = Rn. Si n = m = 1 este es el caso, por ejemplo, en el que Ap es uninterpolante de la funcion A. En el caso en el que A es una aplicacion lineal y m = nnos podemos encontrar con lo que se conoce como metodos iterativos de resoluciondel sistema lineal Ax = b.

Observacion 2 Si p indica la dimension del espacio Xp usamos p = n = dim(Xn)y si dim(X) = +# entonces queremos realizar un proceso de aproximacion o con-vergencia cuando n ! +#. Si p indica una medida de discretizacion espacial,tamano de un parametro, normalmente usamos p = h > 0 siendo h inversamenteproporcional a la dimension del espacio vectorial Xh o Yh y queremos realizar unproceso de aproximacion o convergencia cuando h ! 0.

Ejemplo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias: Problema de valor inicialEl problema de Cauchy, o problema de valor inicial, consiste en encontrar

la solucion de una edo (ecuacion diferencial ordinaria) para una condicion inicial.Dado un intervalo real I $ R se busca una funcion u : I %! Rd, u(t) " C1(I) (uvectorial si d & 1) tal que

(Pc)

!u!(t) = f(t, u(t)), t " I,u(t0) = ", t0 " I

donde f(t, u) : I ' Rd %! Rd es una funcion que vamos a suponer continua enambas variables. A la variable t se la denomina tiempo puesto que la mayorıa deaplicaciones practicas son aquellas en las que la edo describe un proceso temporal.

Tomamos entonces X = C1(I;Rd) e Y = C0(I;Rd) ' Rd siendo A : X ! Ydada por Au = (u1, u2) donde

u1 = u!(t)( f(t, u(t)) " C0(I;Rd), u2 = " " Rd.

Entonces, el problema se escribe como Au = v para v = (0, ").Es claro aquı que dim(X) = dim(Y ) = +# y que un posible esquema discreto se

puede construir a partir de subespacios de dimension finita de Xn $ X e Ym $ Y .Estos espacios se pueden generar, por ejemplo, usando polinomios en la variableespacial, polinomios trigonometricos, etc... Tambien nos podemos apoyar en par-ticiones del intervalo I de tamano h. Ası podemos ver como ambas posibilidadesdescriptivas, p = n o p = h, pueden aparecer.


u(to)

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El esquema discreto mas simple es el metodo de Euler. Se obtiene reempla-zando la derivada por el cociente incremental y aproximando la funicion incognitapor una funcion lineal a trozos, esto es, una poligonal:

Tomamos I = [t0, t0 + T ] y una particion t0 < t1 < .. < tN = T para la queconstruimos el vector asociado

h = (h0, h1, .., hN"1)T , |h| = max

i=0,...,N"1{hi = ti+1 ( ti}.

Entonces podemos reemplazar la solucion buscada en cada subintervalo por su apro-ximacion mediante el desarrollo de Taylor de primer orden

u1 = u0 + (t1 ( t0)f0,

u2 = u1 + (t2 ( t1)f1,...

uk+1 = uk + (tk+1 ( tk)fk,...

uN = uN"1 + (tN ( tN"1)fN"1,

donde fk = f(tk, uk) y reemplazar la funcion buscada por la funcion continua lineala trozos conseguida conectando estos puntos

uh(t) = uk + (t( tk)f(tk, uk), )t " [tk, tk+1], k = 0, 1, ..., N ( 1.

Veremos el analisis de convergencia de este ejemplo, Hairer, Norsett, Wanner, pp.35.

Alternativamente, podemos fijarnos en los valores puntuales {u(ti)}i=0,1,..,N yplantear un esquema discreto que consista en calcular los valores

u0 = "! * "uk+1 ( uk

tk+1 ( tk= f(tk, uk), k = 0, 1, .., N ( 1.

o bien

u0 = "! * "

uk+1 = uk + (tk+1 ( tk)f(tk, uk), k = 0, 1, .., N ( 1.

entonces nuestro objetivo puede ser estimar el error cometido

maxi=0,1,...,N

|ui ( u(ti)|

y ver su comportamiento cuando crece N . Tambien veremos el analisis de conver-gencia de este ejemplo que es ya mas estandard.


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Ejemplo 3 Ecuaciones en derivadas parciales: leyes de conservacionLa mayorıa de las ecuaciones fundamentales que aparecen en la naturaleza y en

las ciencias provienen de una ley de conservacion: principio por el cual la razon decambio de una cantidad en una region dada debe ser igual a la razon de flujo deesta cantidad que entra y sale a traves de la frontera de esta region mas la razon decreacion y/o destruccin de la propia cantidad dentro de esta region.

Ejemplos evidentes de leyes de conservacion se encuentran en todos los modelosde poblacion, en el estudio de fluidos, reacciones quımicas, etc...

Matematicamente las leyes de conservacion se traducen a ecuaciones diferen-ciales que son las que gobiernan el proceso en tiempo. Vamos a formular la ley deconservacion en 1D. Supongamos que tenemos una cantidad u = u(t, x) que depen-de de la variable espacial x " R y temporal t > 0. Suponemos que esta cantidadesta confinada en un tubo de area seccion A y que en cada seccion etiquetada con laabcisa x = x! la cantidad se mantiene uniforme. Entonces tenemos un movimientolineal en una direccion aunque el fenomeno pueda ser multidimensional; entoncesen la seccion que va desde x = a a x = b con a < b podemos estudiar la razon decambio. Primero sabemos que la cantidad que tenemos en esta seccion es

" b

a

u(x, t)Adx = A

" b

a

u(x, t)dx

ya que el elemento de volumen es Adx. Si denotamos "(x, t) el flujo de la cantidadu en la seccion x, por unidad de volumen y de tiempo, esta funcion vendra dadapor la fısica del proceso, entonces tendremos que el flujo total en [a, b] vendra dadopor la expresion

A"(a, t)( A"(b, t)

y si la razon de creacion o destruccion de u viene dada por una funcion f(x, t)entonces la razon de cambio en la seccion [a, b] es

" b

a

f(x, t)Adx = A

" b

a

f(x, t)dx.

La ley de conservacion nos dice entonces que

d

dt

" b

a

u(x, t)Adx = A"(a, t)( A"(b, t) +

" b

a

f(x, t)Adx

o biend

dt

" b

a

u(x, t)dx = "(a, t)( "(b, t) +

" b

a

f(x, t)dx.

Si las funciones que intervienen son regulares tendremos" b

a

"x(x, t)dx = "(b, t)( "(a, t),d

dt

" b

a

u(x, t)dx =

" b

a

ut(x, t)dx


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de donde " b

a

{ut(x, t) + "x(x, t)( f(x, t)}dx = 0.

Entonces tendremos la ecuacion diferencial en derivadas parciales

ut(x, t) + "x(x, t) = f(x, t), )x " I, )t > 0

donde se puede identificar el termino de flujo y la fuente.

Por ejemplo, si el flujo sigue una ley de difusion estandard, Ley de Fick ode Fourier, entonces

"(x, t) = (kux(x, t)

y tendremos

ut(x, t)( kuxx(x, t) = f(x, t), )x " I, )t > 0.

Esto equivale a decir que la materia se mueve de donde hay mas a donde haymenos, que es la ley mas comun en la mayorıa de los fenomenos.

Si el flujo es proporcional a la materia,

"(x, t) = cu(x, t)

entonces hay un transporte o conveccion y tenemos la ecuacion de transporte

ut(x, t) + cux(x, t) = f(x, t), )x " I, )t > 0.

Si al mismo tiempo que tenemos un transporte hay una difusion entronces elflujo es

"(x, t) = cu( kux

y tenemos la ecuacion de conveccion difusion

ut + cux ( kuxx = f(x, t), )x " I, )t > 0.

Un caso muy importante es cuando el transporte de u es una funcion no lineal deu y entonces

"(x, t) = #(u)( kux.

Esto genera el modelo

ut + #!(u)ux ( kuxx = f(x, t), )x " I, )t > 0

y en el caso #!(u) = u tenemos la version 1D de las ecuaciones de Navier-Stokesde los fluidos, mas conocida como ecuacion de Burgers. Modelo fundamental de ladinamica de fluidos que muestra el acoplamiento entre conveccion y difusion.


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La extension de esta idea al caso multidimensional se obtiene usando el Teore-ma de la Divergencia y llegamos a Entonces tendremos la ecuacion diferencial enderivadas parciales

ut(x, t) + divx("(x, t)) = f(x, t), )x " D $ Rd, )t > 0

donde se puede identificar el termino de flujo y la fuente. Por ejemplo, el uso de laLey de Fick en este caso implica

"(x, t) = (k+u(x, t)

de dondeut(x, t)( k#u(x, t) = f(x, t), )x " D $ Rd, )t > 0

Ejemplo 4 Podemos fijarnos en la ecuacion de difusion estacionaria, ut = 0 ytenemos entonces

(uxx = f(x), )x " I.

que es facilemente integrable si ası lo es f pero puede que esto no sea ası. Si tomamosI = [0, 1] y completamos la ecuacion con los datos de contorno

u(0) = u(1) = 0

sabemos que existe solucion unica. Si tomamos entonces X = C2((0, 1);R),C0([0, 1];R)e Y = C0([0, 1];R)' R' R siendo A : X ! Y dada por Au = (u1, u2, u3) donde

u1 = (uxx " C0(I;R), u2 = u3 = 0 " R2

entonces, el problema se escribe como Au = v para v = (f, 0, 0).Podemos plantear un esquema de resolucion numerico aproximando la derivada

como hicimos antes. Tomamos xi = ih con i = 0, 1, 2, ..., N + 1 y h = 1/(N + 1), yuh = (u1, ..., uN)t " RN , sabemos que u0 = u(0) = uN+1 = u(1) = 0, y aproximamos

u!!(x) * u(x+ h)( 2u(x) + u(x( h)

h2

de donde tomando fi * f(xi) podemos escribir el sistema de ecuaciones lineales

(ui+1 ( 2ui + ui"1

h2= fi, i = 1, 2, ..., N

con u0 = uN+1 = 0. De donde llegamos a un sistema lineal Au = f que posee buenascondiciones y se puede ver la convergencia de la solucion a los valores discretos.

Observacion 3 Las propiedades de las procesos de discretizacion de las ecuacionesen derivadas parciales se estudiaran con detalle en la asignatura optativa de cuartoMetodos Numericos y Variacionales de las Ecuaciones en Derivadas Par-ciales


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Aproximacion general

Volviendo al problema continuo, conocido nuestro dato v " Y , el estudio de esteproblema se suele hacer en varias etapas (para fijar ideas tomamos p = h):

Etapa 1: Estudio teorico del problema continuo

1. Existencia y unicidad de la solucion.

2. Propiedades de la solucion.

3. Caracterizacion de la solucion.

Etapa 2: Construccion de los espacios discretos Xh * X, Yh * Y , deloperador discreto Ah * A de la aproximacion al dato vh * v (recordemos quealgunas de estas aproximaciones puede no ser necesaria) y de los problemasdiscretos {Ph}h.

Etapa 3: Estudio teorico del problema discreto.

1. Existencia y unicidad de la solucion discreta uh.

2. Propiedades de la solucion discreta uh.

3. Caracterizacion de la solucion discreta uh.

4. Analisis de la convergencia de la solucion discreta uh a la solucion con-tinua buscada u.

Etapa 4: Calculo efectivo y visualizacion de la solucion del problema discre-to... Gracias, San Computador!

Definicion 5 La familia de problemas discretos {Ph}h>0 se denomina esquemanumerico de resolucion para el problema continuo Pc.

Podemos suponer queXh $ X y que Yh $ Y o bien que existen ciertos operadores deinclusion iXh,X : Xh ! X y iYh,Y : Yh ! Y que nos permiten hacer la comparacionentre entre elementos continuos y discretos

Definicion 6 El esquema {Ph}h>0 se dice convergente para el problema continuoPc si para cualquier v " Y y cualquier vh " Yh tal que -v ( vh-Y ! 0 entonces-u( uh-X ! 0. (o bien, -v ( iYh,Y (vh)-Y ! 0 entonces -u( iXh,X(uh)-X ! 0).

Observacion 4 A no ser que lo necesitemos explıcitamente, supondremos Xh $ Xy que Yh $ Y con lo que iXh,X e iYh,Y son identidades.


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Definicion 7 El esquema {Ph}h>0 se dice que esta bien planteado con respecto a hsi existe una constante Ch > 0 tal que si uh, uh " Xh son soluciones de

Ahuh = vh, Ahuh = vh + gh

entonces-uh ( uh-X . Ch -gh-Y

para cualquiera que sea gh " Yh. Al valor gh se le llama la perturbacion al problemadiscreto original.

Definicion 8 El esquema {Ph}h>0 se dice que es estable si existe una constanteC > 0 independiente de h tal que

Ch . C < +#, )h > 0.

Vamos a considerar tambien las proyecciones de los espacios continuos en los dis-cretos

rh : X ! Xh, sh : Y ! Yh

tales que-x( rh(x)-X ! 0, -y ( sh(y)-Y ! 0, h ! 0.

Esto quiere decir que los espacios Xh e Yh terminan llenando en norma a X e Y .

Definicion 9 El esquema {Ph}h>0 se dice que es consistente con Pc con respecto a hsi para cualesquiera u " X y v " Y tal que Au = v entonces $h(u) = Ah(rhu)(shv "Yh cumple

-$h(u)-Y ! 0, h ! 0.

$h(u) se denomina error de consistencia del esquema {Ph}h>0 en u y ...

mide cuanto verifica la solucion del problema continuo Pc el problema discreto Ph

Convergencia del Metodo de Euler

Nuestro objetivo en este curso va a ser estudiar esquemas numericos para laresolucion del problema de Cauchy y observar como estos esquemas encajan en lasdefiniciones generales que acabamos de dar.

Para concluir esta introduccion vamos a seguir las ideas de Cauchy y ver comoa partir del esquema discreto del metodo de Euler se puede conseguir demostrarla existencia y unicidad de solucion del problema continuo. Para ello veremos laconvergencia del metodo de las poligonales de Euler hacia la unica solucion delproblema de Cauchy (tomado de Hairer, Norsett, Wanner, pp. 35).


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Este es un ejemplo de la potencia que puede tener un esquema numericocombinado con las ideas del analisis matematico para proveer de resul-tados a nivel continuo.

Repetimos el esquema de construccion de las poligonales de Euler que hemosplanteado antes; se busca una funcion u : [t0, t0 + T ] %! R, u " C1((t0, t0 + T )) talque !

u!(t) = f(t, u(t)), t " (t0, t0 + T ),u(t0) = u0,

donde f(t, u) : [t0, t0 + T ]' R %! R. Tomamos una particion t0 < t1 < .. < tN = Tpara la que construimos el vector asociado

h = (h0, h1, .., hN"1)T , |h| = max

i=0,...,N"1{hi = ti+1 ( ti}.

Entonces construimos las aproximaciones ui * u(ti) dadas por

u1 = u0 + (t1 ( t0)f0,

u2 = u1 + (t2 ( t1)f1,...

uk+1 = uk + (tk+1 ( tk)fk,...

uN = uN"1 + (tN ( tN"1)fN"1,

donde fi = f(ti, ui) y construimos la poligonal uh(t) dada para t " [tk, tk+1] yk = 0, 1, ..., N ( 1 por

uh(t) = uk + (t( tk)fk.

Vamos a tomarD = {(t, u); t0 . t . T, |u( u0| . b}

como la region en la que vamos a buscar la curva solucion (t, u(t)). Observemosprimero como se van alejando los valores ui de u0.

u1 ( u0 = (t1 ( t0)f0 / |u1 ( u0| . (t1 ( t0)|f0|

u2 ( u0 = u1 + (t2 ( t1)f1 ( u0 = u1 ( u0 + (t2 ( t1)f1= (t1 ( t0)f0 + (t2 ( t1)f1

de donde|u2 ( u0| . (t1 ( t0)|f0|+ (t2 ( t1)|f1|.


to+T

to*T

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Por lo tanto, tendremos

uk ( u0 = (t1 ( t0)f0 + (t2 ( t1)f1 + ...+ (tk ( tk"1)fk"1

de donde

|uk ( u0| . (t1 ( t0)|f0|+ (t2 ( t1)|f1|+ ...+ (tk ( tk"1)|fk"1|

de donde si |f | . A en D tendremos

|uk ( u0| . TA, k = 0, ..., N.

Por lo tanto, si T . b/A entonces (tk, uk) " D para k = 0, ..., N.Ademas, si T . b/A la poligonal uh(t) esta contenida en D cumple

uh(t)( u0 = uk + (t( tk)fk ( u0 = uk ( u0 + (t( tk)fk

si t " [tk, tk+1], de donde

|uh(t)( u0| . (t1 ( t0)|f0|+ (t2 ( t1)|f1|+ ...+ (tk ( tk"1)|fk"1|+ (t( tk)|fk|. A(t( t0).

Por otro lado, es interesante estimar la desviacion entre la poligonal uh(t) y laprimera aproximacion que se considera, esto es u0 + (t( t0)f0. Tenemos

uh(t)( (u0 + (t( t0)f0) = uk ( u0 + (t( tk)fk ( (t( t0)f0

si t " [tk, tk+1]. Entonces

uh(t)( (u0 + (t( t0)f0) = (t1 ( t0)f0 + (t2 ( t1)f1 + ...+ (tk ( tk"1)fk"1

+ (t( tk)fk ( (t( t0)f0.

Escribiendo t( t0 = t( tk + tk ( t0 tenemos

uh(t)( (u0 + (t( t0)f0) = (t1 ( t0)f0 + (t2 ( t1)f1 + ...+ (tk ( tk"1)fk"1

+ (t( tk)(fk ( f0)( (tk ( t0)f0.

hacemos ahora tk ( t0 = tk ( tk"1 + tk"1 ( t0 y podemos repetir obteniendo ladiferencia fk"1 ( f0. Esto es, si desde el principio sumamos y restamos todos,

t( t0 = t± tk ± tk"1 . . .± t1 + t0

obtenemos

uh(t)( (u0 + (t( t0)f0) = (t2 ( t1)(f1 ( f0) + ...+ (tk ( tk"1)(fk"1 ( f0)

+ (t( tk)(fk ( f0).


18

Si controlamos|f(t, u)( f(t0, u0)| . K, )(t, u) " D

entonces

|uh(t)( (u0 + (t( t0)f0)| . (t( t1)K . (t( t0)K, t " [tk, tk+1]

Estos resultados se pueden escribir como un lema previo:

Lema 1 Si |f | . A en D y T . b/A entonces (tk, uk) " D, la poligonal uh(t)esta contenida en D y ademas

|uh(t)( u0| . A(t( t0) (1)

|uh(t)( (u0 + (t( t0)f0)| . (t( t0)K, (2)

si se tiene |f(t, u)( f(t0, u0)| . K, )(t, u) " D.

Vamos a ver ahora como cambia la poligonal cuando cambiamos el dato inicial.Para eso, supongamos que empezamos con u0 una poligonal y con v0 otra, entoncestendremos para t " [tk, tk+1] que

uh(t) = uk + (t( tk)f(tk, uk)

vh(t) = vk + (t( tk)f(tk, vk).

de donde la diferencia entre ambas poligonales viene dada por

uh(t)( vh(t) = uk ( vk + (t( tk){f(tk, uk)( f(tk, vk)}.

Esto nos demuestra la necesidad de una condicion de tipo Lipschitz sobre la segundavariable de f

|f(t, u)( f(t, v)| . L|u( v|

Observacion 5 aunque se puede relajar a una condicion de difusion,

< f(t, u)( f(t, v), u( v >. z(t)|u( v|2

como ya se vera mas adelante.

Entonces tenemos

|uh(t)( vh(t)| . (1 + (t( tk)L)|uk ( vk|, )t " [tk, tk+1]

en particular

|uk+1 ( vk+1| . (1 + (tk+1 ( tk)L)|uk ( vk|


19

de donde

|uk+1 ( vk+1| . (1 + (tk+1 ( tk)L)(1 + (tk ( tk"1)L)|uk"1 ( vk"1|

y por induccion tenemos que

|uk+1 ( vk+1| . |u0 ( v0|k#

j=0

(1 + (tj+1 ( tj)L)

Como 1 + x . ex, esto nos permite sumar (por ejemplo, (1 + x)(1 + y) . ex+y)entonces

|uk+1 ( vk+1| . |u0 ( v0| e(tk+1"t0)L . |u0 ( v0| eTL.

Por lo tanto, para t " [tk, tk+1] tenemos

|uh(t)( vh(t)| . (1 + (t( tk)L)|uk ( vk| . |u0 ( v0| e(tk"t0)Le(t"tk)L

. |u0 ( v0| e(t"t0)L . |u0 ( v0| eTL.

Finalmente, nos vamos a preguntar que ocurre cuando refinamos la particion,esto es, hacemos

|h| = maxi

(ti + 1( ti) ! 0

Esperamos que las poligonales converjan a una funcion y que esta sea la soluciondel problema de Cauchy. De hecho ası ocurre

Teorema 10 Bajo las hipotesis planteadas, si T . b/A entonces

1. Si |h| ! 0 las poligonales de Euler uh(t) convergen uniformemente a unafuncion continua #(t).

2. #(t) es derivable y es solucion del problema de Cauchy en [t0, t0 + T ].

3. #(t) es la unica solucion del problema de Cauchy en [t0, t0 + T ].

Dem: Dado $ > 0 como f es uniformemente continua en el compacto D existe unvalor % > 0 tal que

|t1 ( t2| . %, |u1 ( u2| . %A / |f(t1, u1)( f(t2, u2)| . $.

Supongamos entonces que |h| . %, esto es tk ( tk"1 . % y veamos que ocurrecuando se incluye un nuevo punto en la particion del intervalo. Dada la particion hdefinimos h(1) como la particion resultante de h cuando se incluye el punto medio enel primer subintervalo (t0, t1). Definimos entonces uh(t) y uh(1)(t) las dos poligonalesasociadas. De acuerdo a (2) y usando K = $ en el primer intervalo se cumple

|uh(t1)( uh(1)(t1)| . $(t1 ( t0)


acotar los productos

t_{i+1}

un punto intermedio

20

A partir del punto t1 las dos particiones son la misma y lo que cambia es el puntoinicial de la poligonal. Podemos entonces aplicar el resultado de estabilidad quehemos obtenido antes y para t & t1 se tiene

|uh(t)( uh(1)(t)| . |uh(t1)( uh(1)(t1)| e(t"t1)L . $(t1 ( t0)e(t"t1)L.

Supongamos ahora que anadimos un nuevo punto en el intervalo (t1, t2) para laparticion h(1) generando una particion nueva h(2), entonces como tenemos de antes,

|uh(1)(t2)( uh(2)(t2)| . $(t2 ( t1)

y entonces para t & t2 se tiene

|uh(2)(t)( uh(1)(t)| . $(t2 ( t1)e(t"t2)L.

Sucesivamente se puede ir refinando la particion inicial hasta llegar a h la particionfinal. Aquı nos encontramos para t " [ti, ti+1] con

|uh(t)( uh(t)| . $$(t1 ( t0)e

(t"t1)L + (t2 ( t1)e(t"t2)L + ...+ (ti ( ti"1)e

(t"ti)L%

+ $(t( ti) . $

" t

t0

e(t"s)Lds =$

L(e(t"t0)L ( 1).

Por consiguiente, si tenemos dos particiones distintas h y h ambas con |h| . % y|h| . %, introducimos un refinamiento de ambas h y aplicamos el resultado obtenidodos veces para llegar a

|uh(t)( uh(t)| . 2$

L(e(t"t0)L ( 1).

pero para & > 0 esto se puede hacer pequeno. Entonces hemos demostrado la con-vergencia en norma uniforme de las poligonales uh hacia una funcion #(t).

Veamos ahora que #(t) es la funcion que buscamos. Primero tomamos el modulode continuidad de f dado por

w(%) = sup{|f(t1, u1)( f(t2, u2)|; |t1 ( t2| . %, |u1 ( u2| . %A}

entonces|uh(t+ %)( uh(t)( %f(t, uh(t))| . w(%)%

y tomando |h| ! 0 llegamos a

|#(t)(t+ %)( #(t)(t)( %f(t,#(t)(t))| . w(%)%

pero como w(%) ! 0 si % ! 0 tenemos entonces que # es derivable y que #!(t) =f(t,#(t)(t)).


21

Veamos por ultimo la unicidad. Si '(t) es una segunda solucion tomamos uh(t)la poligonal asociada al valor inicial (ti,'(ti)). Entonces como

'(t) = '(ti) +

" t

ti

f(s,'(s))ds

y tambien tenemos|'(t)( uh(t)| . $|t( ti|

volvemos a deducir que

|'(t)( uh(t)| . $

L(e(t"t0)L ( 1).

y si |h|, $ ! 0 obtenemos |'(t)( #(t)| . 0, probando la unicidad. !Es interesante ver como hemos obtenido tambien una estimacion de error puesto

que dejando una particion fija se obtiene

|#(t)( uh(t)| . $

L(e(t"t0)L ( 1).

y si f es diferenciable podemos afinar la estimacion para escribir

|f(t1, u1)( f(t2, u2)| . (|(xf |+ |(yf |A)|h|

si |t1(t2| . |h| y tambien |u1(u2| . A|h|. Tomando entonces $ = (|(xf |+|(yf |A)|h|obtenemos

|#(t)( uh(t)| . |(xf |+ |(yf |AL

(e(t"t0)L ( 1)|h| = C(T, f)|h|

lo que nos dice que el error es proporcional a |h|. Entonces un error de 3 decimalesrequerira un valor de h del orden de una milesima. Teoricamente es util aunquedesde el punto de vista practico no es muy preciso. se desarrollaran metodos de masalto orden mas adelante.

Observacion 6 La extension a sistemas de edos es rutinaria con ayuda de la con-veniente notacion vectorial.

Bibliografıa

Notas extraidas del curso de Analisis Numerico II, Curso 91-92, U. de Sevilla(Prof. Frco. Ortegon), libro de Hairer, Norsett, Wanner.


Capıtulo 1

Ecuaciones diferenciales ordinarias

En este tema vamos a presentar algunos ejemplos de ecuaciones diferencialesordinarias, formas de extraer informacion cualitativa de las mismas sin conocer lasolucion ası como la necesidad de acudir a los calculos aproximados. Revisaremoslos resultados teoricos basicos sobre las soluciones relativos a

existencia y unicidad,

regularidad,

estabilidad.

1.1. Introduccion y motivacion

La mayorıa de los modelos matematicos en cualquier campo cientıfico, tecnico,sociologico, etc... estudian la evolucion temporal y/o espacial de alguna cantidadde interes. Como consecuencia, generalmente se incluyen derivadas en las variablesespaciales y en la variable temporal.

El desarrollo de los ordenadores desde mediados del siglo XX ha hecho que uningente esfuerzo se haya invertido en el diseno, analisis y aplicacion de tecnicascomputacionales para las ecuaciones diferenciales. Los avances forman ya partefundamental de cualquier aspecto de la vida moderna cotidiana en sus aspectosmas dispares: dinamica de fluidos computacional, aeronautica, medicina, mediosaudiovisuales, etc...

En este curso nos vamos a centrar en el estudio de las tecnicas numericas paraaquellos modelos que se pueden describir principalmente mediante una evoluciontemporal. Nos encontramos entonces con lo que se conoce como ecuaciones diferen-ciales ordinarias, en contraposicion con las ecuaciones en derivadas parciales, quecontienen derivadas en las variables espaciales.

Matematicamente y computacionalmente hablando una primera aproximaciona la clasificacion de las edos se hace con respecto a las condiciones adicionales que

22

1.2. Ejemplos de IVP 23

se le asocian. Por ejemplo, la ecuacion

u!!(t) + u(t) = 0, 0 . t . b

tiene como solucion general

u(t) = ) sin(t+ *)

por lo que tiene dos parametros, de acuerdo al orden. Por lo tanto se pueden imponerdos condiciones

Problema de valor inicial (IVP): si damos los valores u(0) y u!(0) podemosfijar los parametros de forma unica y tenemos solucion tambien de formaunica.

Problema de contorno (BVP): si damos los valores u(0) y u(b) no podemosgarantizar la unicidad de la solucion. Podemos tener solucion unica, infinitaso ninguna.

Podemos observar entonces que con los IVP empezamos con la informacion inicialy marchamos con ella en tiempo, por lo que tenemos un proceso local en tiempo.En cambio para un BVP la solucion entera se debe de calcular de forma global y esnatural que existan muchas mas dificultades para obtener la solucion.

1.2. Ejemplos de IVP

La mayorıa de los modelos matematicos de interes que se plantean, y que llevana una ecuacion diferencial ordinaria, no se pueden resolver por las tecnicas basicasanalıticas que dan una solucion explıcita. Incluso cuando podemos, a veces resul-tan demasiado complicadas para ser de utilidad. Por lo tanto, debemos de deducirinformacion sobre el comportamiento cualitativo de las soluciones desde la propiaecuacion y se debe recurrir a procesos computacionales que generen aproximacionesa la solucion exacta. Es importante saber que estas tecnicas se pueden aplicar conel solo requisito de tener garantizada la existencia y unicidad de la solucion. Vamosa introducir algunos ejemplos que nos sirvan para motivar esta necesidad:

Ejemplo 11 Ecuacion logıstica: Consideramos el problema de valor inicial&'

(

d

dtA(t) = $A(t)( +A(t)2, t > 0,

A(0) = A0 & 0,(1.1)

donde $, + > 0 son numeros positivos dados. El problema (1.1) surge, por ejemplo,en ecologıa cuando se hace el analisis del desarrollo de una sola especie que tieneacceso a recursos limitados.


24 Capıtulo 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Supongamos que A(t) es el tamano de una poblacion en el instante t. En elmodelo mas sencillo de crecimiento de una poblacion se supone un crecimientoproporcional al tamano de la poblacion,

d

dtA(t) = $A(t)

donde la constante $ > 0 es la tasa de crecimiento y es la variacion neta de pobla-cion por unidad de tiempo dividida por la poblacion total en ese mismo instante detiempo. La solucion de esta ecuacion viene dada por

A(t) = A0e" t.

Esto da una poblacion que crece de forma exponencial e ilimitada. Sin embargo, elcrecimiento de la poblacion debe de estar limitado por los recursos del medio, locual, a su vez, implica que la rapidez de crecimiento debe de ser una funcion de lapoblacion, es decir, la tasa de crecimiento debe depender de A:

1

A(t)

d

dtA(t) = F (A(t)).

Cuando la poblacion es pequena, habra suficientes recursos, de modo que la rapidezde crecimiento sera independiente de los recursos y por tanto, podremos decir que,aproximadamente, la tasa de crecimiento sera constante, es decir, F (A) * $. Sinembargo, conforme la poblacion crece, los recursos van desapareciendo y se produceun efecto inhibidor sobre el crecimiento de la poblacion. Entonces, la tasa de cre-cimiento F (A) debe decrecer conforme A crece, de modo que, eventualmente, seaF (A) < 0. La funcion mas sencilla que satisface estas condiciones es

F (A) = $( + A (1.2)

donde + > 0. Esto explica el modelo (1.1), que se conoce en ecologıa como ecuacionlogıstica.

Como hemos notado, si el termino no lineal +A2 no se toma en cuenta enla ecuacion (1.1), entonces la poblacion crece exponencialmente con el tiempo. Lasituacion es completamente diferente si se conserva el termino no lineal. Noteseque si A = 0 o si A = $/+ el segundo miembro de (1.1) se anula y tenemos dossoluciones constantes

A = '1(t) 0 0, A = '1(t) 0 $/+.

Estas dos soluciones poseen una importancia particular y se denominan puntoscrıticos o, como A

!(t) 0 0, puntos de equilibrio. Siempre y cuando A 1= 0



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

! = 10

" = 8

A(t)=" / ! = 0.8

A(t) = 0

t

A

Figura 1.1: A!(t) = $A(t) ( +A(t)2, $ > 0, + > 0. Varias soluciones tıpicas paradistintos valores de A0 ası como las soluciones constantes A1(t) 0 0 y A2(t) 0 $/+.

o A 1= $/+ podemos resolver la ecuacion diferencial del problema (1.1) de formaexplıcita usando tecnicas de separacion de variables y encontramos la expresion

A(t) =$A0

+A0 + ($( +A0) e"" t

que sı que es valida para todo A0 > 0. Podemos observar de la figura que paracualquier A0 > 0, independientemente de lo pequeno que sea, al final se tiendesiempre a la solucion constante A = '1(t) 0 $/+ cuando t ! +#. En este ejemplo,podemos denominar a la razon $/+ el nivel de saturacion; una poblacion que seinicia por debajo de este nivel no podra sobrepasarlo nunca y si hay sobrepoblacionlleva a la eliminacion de individuos hasta alcanzar el nivel de saturacion.

Si examinamos la solucion A(t) 0 0 resulta que si A0 = 0 es la entrada, datoinicial, de nuestro modelo, tendremos que A(t) 0 0 es la solucion en todo tiempo,pero si cometemos un pequeno error y la entrada es A0 > 0, aunque pequena, resultaque la solucion A(t) se aleja asintoticamente en tiempo hacia $/+. Se dice entonces,y de forma natural, que la solucion A(t) 0 0 es una solucion inestable de (1.1),o que A = 0 es un punto crıtico (de equilibrio) inestable.

Si consideramos ahora el caso de la solucion A(t) 0 $/+, si la entrada, datoinicial, es A0 = $/+, entonces la salida, la solucion, sera siempre A(t) = $/+.Si se comete un error en la entrada, la salida se aproximara asintoticamente a$/+ cuando t ! +#. Por lo tanto, decimos que la solucion A(t) 0 $/+ es unasolucion asintoticamente estable de (1.1), o que A = $/+ es un punto crıtico(de equilibrio) estable.

Podemos dar a esto una interpretacion biologica:

Si queremos realizar un experimento libre de bacterias, en un medio en



el que el desarrollo de las bacterias viene dado por (1.1). Entonces, a no serque eliminemos completamente la poblacion de bacterias, no conseguiremosrealizar el experimento manteniendo la poblacion de bacterias por debajo deunos mınimos menores que el valor $/+. El experimento no resultara seguro.

Si por otro lado estamos tratando de realizar un experimento mantenien-do un nivel de bacterias del orden de $/+ podemos estar tranquilos deque, aunque de vez en cuando se eliminen bacterias por algun contaminante,la poblacion no desaparecera y tendera en tiempo a aproximar el valor $/+.

Este comportamiento cualitativo es de gran interes aplicado y demuestradesde el punto de vista matematico que, en general, el valor asintotico de lasolucion no depende de forma continua de los datos iniciales.

La informacion presentada se ha conseguido resolviendo la ecuacion, pero paraproblemas mas complicados, para expresiones mas elaboradas de (1.2), es significa-tivo que el comportamiento asintotico, es decir, en relacion con el comportamientocuando t ! +#, a menudo puede determinarse sin un conocimiento previo de la so-lucion. Pero debemos de recurrir a un metodo numerico para el calculo aproximadode la solucion.

Ejemplo 12 Planos de fases: Cuando tenemos un sistema dinamico que rigedos cantidades distintas pero relacionadas entre sı, y de forma ademas autonoma,es decir, independiente del tiempo, nos encontramos con un sistema de la forma

d

dtx(t) = f(x(t), y(t))

d

dty(t) = g(x(t), y(t))

siendo x(0) = x0 e y(0) = y0. Un ejemplo lo pueden constituir los modelos depredador-presa, uno de los mas simples puede ser el modelo de Lotka-Volterra dado por

d

dtP (t) = aP (t)( b P (t)D(t)

d

dtD(t) = (cD(t) + d (b P (t)D(t))

donde D(t) es la poblacion de depredadores, P (t) es la poblacion de presas en elinstante de tiempo t y los valores a, b, c, d son parametros del modelo. Por ejemplo,puede regir la evolucion de una poblacion de insectos con respecto a la de pajaros.

Si crece la poblacion de presas los depredadores aumentan porque tienencomida hasta que empieza a decrecer la poblacion de presas y entonceslos depredadores van desapareciendo, porque no tienen comida, con loque aumentan las presas y ası volvemos a empezar el ciclo.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2Plano de Fases

PresaDepredador

Figura 1.2: Solucion tıpica del modelo de Lotka-Volterra ası como algunas de lascurvas dentro de su plano de fases

Por consiguiente, lo que se obtiene es una evolucion oscilatoria e interconectadapara cada especie. Una herramienta de gran utilidad a la hora de estudiar siste-mas dinamicos es lo que se conoce como plano de fases. El comportamiento delas curvas parametricas (x(t), y(t)) nos da informacion relevante sobre puntos deequilibrio estables e inestables ası como de orbitas periodicas y trayecto-rias no cerradas.

Ejemplo 13 La ecuacion

x!(t) = sin(t)( x(t) (1.3)

posee como solucion general

x(t) = Ae"t +1

2sin(t)( 1

2cos(t) (1.4)

donde A es una constante. Por otro lado, para la ecuacion

x!(t) = sin(t)( 0.1x3(t) (1.5)

no se conoce una expresion explıcita para la solucion exacta, aunque ambas son muysimilares cuando se computan.

En general, ecuaciones similares a (1.3) se pueden resolver explıcitamente. Cual-quier problema de la forma

x!(t) = ,(t) x(t) + f(t) (1.6)



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−5

0

5Solucion conocida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−5

0

5Solucion no conocida

Figura 1.3: Soluciones para (1.3) y (1.5).

es lineal y tiene como solucion

x(t) = Ag(t) + g(t)

" t

0

f(s)

g(s)ds, g(t) = exp(

" t

0

,(s) ds). (1.7)

Esta formula puede ser de utilidad teorica pero, a veces, su utilidad practica se vereducida por la necesidad de computar explıcitamente una integral. Por ejemplo,

x!(t) = ( 2

1 + t2x(t) + sin(t) (1.8)

tiene como factor de integracion

g(t) =$ t2 exp(2 atan(1 +

22 t)) +

22 t+ 1

t2 exp(2 atan(1(22 t))(

22 t+ 1

%1/(2#2).

A partir de aquı, usando (1.7), se puede deducir que la solucion de (1.8) existe paratodo tiempo pero resulta imposible de calcular explıcitamente.

Ejemplo 14 Reacciones quımicas: La cinetica quımica estudia la evolucion de laconcentracion de sustancias quımicas sometidas a diversas reacciones. Por ejemplo,el ciclo de Chapman para la dinamica del ozono en la estratosfera se plantea comoel sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

x!(t) = 2k1y ( k2xy + k3z ( k4xz

y!(t) = (k1y ( k2xy + k3z + 2k4xz

z!(t) = k2xy ( k3z ( k4xz


1.3. Ejemplos de BVP 29

siendo x = [O], y = [O2], z = [O3] las concentraciones y k1 = 3e ( 12, k2 = 1e (15, k3 = 5e(14, k4 = 7e(16 las velocidades de reaccion. Otro ejemplo bien conocidoy similar es el Brusselator, Hairer, Norsett, Wanner, pag 115.

Ejemplo 15 Vibraciones forzadas: La reaccion de un oscilador armonico cuan-do es sometido a una fuerza sinusoidal es de aplicacion para estudiar las vibracionesestructurales de edificios y puentes ante fuertes vientos periodicos, para sintonizarla emisora de una radio, la conduccion de un vehıculo sobre carreteras pedregosas,el movimiento de un simple muelle elastico, etc... Este fenomeno lo gobierna laecuacion de segundo orden

&))'

))(

d2

dt2x(t) + 2 b

d

dtx(t) + x(t) = cos(w t), t > 0,

x(0) = 0,d

dtx(0) = 0.

Esta ecuacion se puede reescribir en terminos de un sistema de primer orden usandolas incognitas u(t) = x(t) y v(t) = x!(t) y queda como

u!(t) = v(t), t > 0,

v!(t) = (2 b v(t)( u(t) + cos(w t), t > 0,

con (u(0), v(0)) = (0, 0). Por ejemplo, en el caso w = 1 observa la grafica de x(t)para valores decrecientes de b: b = 0.2, b = 0.15, b = 0.1, b = 0.05, b = 0.01.El fenomeno que puedes observar se conoce como resonancia: un sistema debil-mente estimulado puede exhibir una gran amplificacion si la frecuencia de su esti-mulacion coincide con su frecuencia natural.

1.3. Ejemplos de BVP

A partir de la derivacion de una ley de conservacion escalar 1D, como ya vimosen la introduccion.

1.4. Existencia y unicidad

El Problema de Cauchy, o problema de valor inicial, consiste en encontrarla solucion de una edo (ecuacion diferencial ordinaria) para una condicion inicialdada: Dado un intervalo real I $ R de alguna de las formas

I = [t0, t0 + T ], I = [t0, t0 + T ), I = [t0,+#)

se busca una funcion y : I %! Rm, y(t) " C1(I) (y(t) vectorial si m > 1) tal que

(PC)

!y!(t) = f(t, y(t)), t " I,y(t0) = y0, t0 " I



0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

b=1 b=0.5 b=0.1 b=0.05

b=0.001 b=0.0001 b=0.00001

Figura 1.4: Vibracion forzadas para distintos valores de b.

donde f(t, y) : I ' Rm %! Rm es una funcion que vamos a suponer continua enambas variables. A la variable t se la denomina tiempo puesto que la mayorıa deaplicaciones practicas son aquellas en las que la edo describe un proceso temporal.En el caso en el que f(t, y) = f(y), es decir, f no depende de la variable temporal,entonces hablamos de una ecuacion autonoma.

Bajo buenas condiciones de integrabilidad tambien podemos escribir

(PCI) y(t) = y(t0) +

" t

t0

f(s, y(s)) ds

que es la version integral del problema de Cauchy.Vamos a repasar algunos resultados teoricos relativos a edos. resultado de

existencia de solucion local

Teorema 16 Teorema de PicardSi f(t, y) es localmente Lipschitz continua en el punto (t0, y0) con respecto a lavariable y. Es decir, existen dos entornos J = (t0 ( rJ , t0 + rJ) $ I de t0, $ =(y0 ( r!, y0 + r!) de y0 y una constante L > 0 tal que

|f(t, y1)( f(t, y2)| . L |y1 ( y2|, )t " J, )y1, y2 " $. (1.9)

Entonces el problema de Cauchy (PC) posee una unica solucion en un intervalo(t0 ( r0, t0 + r0) con r0 < mın{rJ , r!/M, 1/L} donde M = maxJ$!{|f(t, y)|}. Estasolucion se denota solucion local.


1.4. Existencia y unicidad 31

La propiedad (1.9) se llama condicion de Lipschitz y a L se denota la constantede Lipschitz para f .

Observacion 7 Si f posee derivadas continuas con respecto a la variable y entoncespodemos tomar L como el maximo de |(yf(t, y)| en J ' $

Ejemplo 17 Observemos que el problema de valor inicial o de Cauchy!

y!(t) = y(t)2/3, t " I,y(0) = 0,

posee dos soluciones, y(t) 0 0 e y(t) = t3/27. Por lo tanto la condicion de Lipschitz(1.9) no se puede relajar a una condicion de Holder del tipo

|f(t, y1)( f(t, y2)| . L |y1 ( y2|#, )t " J, )y1, y2 " $. (1.10)

con 0 < ) < 1.

Ejemplo 18 El problema de valor inicial!

y!(t) = y(t)3, t > 0,y(0) = 1,

posee la solucion y(t) = 1/21( 2t. Por lo tanto solo esta definida para t < 1/2.

La esencia de la demostracion del Teorema de Picard se basa en considerar lasecuencia de funciones {yn}n definida recursivamente por

y0(t) = y0

yn(t) = y0 +

" t

t0

f(s, yn"1(s)) ds, n = 1, 2, 3, ...

y comprobando la convergencia uniforme a una funcion y(t) que cumple

y(t) = y0 +

" t

t0

f(s, y(s)) ds, n = 1, 2, 3, ...

Ejemplo 19 En nuestro ejemplo (1.1) la funcion f(t, y) toma la forma, tomandoy 0 A,

f(t, y) = f(t, A) = f(A) = $A( +A2

entonces tenemos existencia de solucion local siempre en cualquier region finita, alser f !(A) = $( 2+A acotada localmente, y esto tambien permite obtener existenciay unicidad local de solucion.

Observacion 8 Nosotros vamos a suponer la existencia y unicidad de so-lucion para los problemas que consideremos en los intervalos que nos interesen.

La prueba historica de Euler que demuestra la convergencia de las funciones li-neales a trozos construidas con su esquema hacia una funcion solucion de la edosera revisitada, esta en Hairer, Norsett, Wanner pag 35.



1.5. Regularidad

Para poder simplificar los calculos de las derivadas de la funcion solucion y(t)vamos a hacer la siguiente convencion

Definicion 20 Para k = 1, 2, 3, ... entero definimos f (0)(t, y) = f(t, y) y tomamos

f (k)(t, y) = (tf(k"1)(t, y) + f(t, y)(yf

(k"1)(t, y), k = 1, 2, 3, ...p+ 1.(1.11)

Entonces, formalmente se cumple

y(k+1(t) = f (k)(t, y(t)), k = 1, 2, 3, ..., p. (1.12)

Ejemplo 21 Pongamos f(t, y) = y3 ( t3. Entonces

f (0)(t, y) = y3 ( t3,

f (1)(t, y) = (3t2 + (y3 ( t3)3y2

f (2)(t, y) = (6t( 9t2y2 + (y3 ( t3)(15y4 ( 6yt3)

Teorema 22 Teorema de regularidadSea y " C1(I;Rm) solucion del problema de Cauchy y supongamos que f(t, y) esp veces diferenciable con continuidad en un punto (t!, y(t!)). Entonces y es p + 1veces diferenciable en t! con continuidad y ademas se cumple que

y(k+1(t!) = f (k)(t!, y(t!)), k = 1, 2, 3, ..., p. (1.13)

1.6. Sobre la estabilidad de un problema

El termino estabilidad se usa para un gran numero de conceptos pero basica-mente indica que el resultado de un proceso debe estar perturbado ligeramente silos datos de partida ası lo son. La aplicacion de este termino al campo de las odesy de los metodos numericos ha llevado a multitud de definiciones. Uno tiene quellevar cuidado y distinguir cuando se habla de la estabilidad de un problema o laestabilidad de un metodo numerico. Tambien hay que distinguir cuando se hablade la estabilidad de un ivp o de un bvp, etc...

Vamos a ver con detalle la estabilidad de un ivp sin trabajar ningun meto-do numerico en particular y dando unas definiciones generales. Para eso vamos anecesitar el concepto de autovalor de una matriz.

Consideremos el problema test

!y!(t) = ,y(t), t & 0,y(0) = y0,


1.6. Sobre la estabilidad de un problema 33

donde , " C es constante. Permitimos que tome valores complejos puesto querepresentara el autovalor de una matriz. La solucion es

y(t) = e$ty(0).

Si y(t) es la solucion correspondiente al dato inicial y(0) entonces su diferencia entodo tiempo t & 0 depende de su diferencia inicial:

|y(t)( y(t)| = |(y(0)( y(0))e$t| = |y(0)( y(0)|eRe($)t.

Para fijar ideas y(t) es la exacta e y(t) es la perturbada. Entonces, si Re(,) . 0la diferencia permanece acotada en todo tiempo y ademas si Re(,) < 0 decae entiempo. En el caso que sea Re(,) > 0 la diferencia crece en tiempo sin limite. Nosencontramos entonces en tres situaciones

estable si Re(,) . 0

asintoticamente estable si Re(,) < 0

inestable si Re(,) > 0

Ejemplo 23 Estamos considerando la perturbacion desde el instante inicial. Peropodrıa ocurrir que nos la encontrasemos mas adelante. Supongamos que integramosexactamente el ivp pero en el instante t0 = h se perturba la trayectoria por unacantidad % = %(h) y a partir de ahı volvemos a integrar exactamente. Si repetimosesta situacion varias veces, que ocurre?? Pues para nuestro problema test se puedecalcular todo y tenemos lo siguiente: Si y(t0) = c entonces y(t) = ce$(t"t0) parat & t0. Entonces, si y(0) = 1 la trayectoria exacta es y(t) = y1(t) = e$t. Entonces,la trayectoria perturbada que empieza en t0 = h a partir del valor y1(h) + % es

y2(t) = (e$h + %)e$(t"h) = e$t + % e$(t"h), t & h

Igualmente, si y3(t) es la solucion perturbada en t = 2h por la misma cantidad, estoes, el valor inicial ahora es y2(2h) = e$2h+ % e$h y se perturba como e$2h+ % e$h+ %,entonces

y3(t) = (e$2h + % e$h + %)e$(t"2h) = e$t + % e$(t"h) + %e$(t"2h), t & 2h.

En general, se puede ver que el error por la perturbacion j es

ej(t) = %e$(t"jh), t & jh

por lo tanto, despues de n pasos la diferencia entre la original y la ultima trayectoriaviene dada por

e(t) =n*

j=1

ej(t), t & nh

y se puede estudiar su efecto.



La extension a sistemas!

y!(t) = Ay(t), t > 0,y(0) = y0 " Rm

cuando A es una matriz cuadrada real m 'm se hace de manera similar. Aquı lasolucion para t & 0 es

y(t) = eAty(0)

donde eAt es la matriz exponencial. En el caso en el que A es diagonalizable, tendre-mos % = V "1AV con % = diag{,1, ...,,m}. Entonces usando z = V "1y llegaremosal problema desacoplado

!z!(t) = % z(t), t > 0 3 z!j(t) = ,j zj(t), j = 1, 2, ..,mz(0) = V "1 y0 " Rm.

Por lo tanto, la estabilidad se obtendra si Re(,i) . 0.

Ejemplo 24 Tomemos

!y!(t) = ,y(t), t " ((T, T ),y(0) = y0,

y la perturbacion !z!(t) = ,z(t) + &, t " ((T, T ),z(0) = y0 + &

Las soluciones a estos problemas son

y(t) = y0e$t

z(t) = (y0 + &+ &

" t

0

e"$sds)e$t

de donde

z(t)( y(t) = &$e$t(1 + 1/,)( 1/,

%.

Entonces, si , > 0 y ,T es grande, el problema esta mal condicionado puesto que laconstante de estabildad es muy grande, por pequeno que sea &. En cambio, si , < 0la diferencia obtenida es mucho mas pequena que la prediccion teorica y el problemaesta mejor condicionado. Si T grande, la estimacion de la diferencia es de la forma

|z(t)( y(t)| . &$e$T (1 + 1/,)( 1/,

%. (&/,, (, < 0).


1.7. Estabilidad 35

Ejemplo 25 Si los aj son coeficientes constantes y consideramos la edo

aky(t) + ak"1y!(t) + ...+ a1y

(k"1(t) + y(k(t) = 0

entonces sabemos que se puede convertir en un sistema de edos con matriz la matrizacompanante. Sabemos que sus autovalores son las raices del polinomio

p(z) = zk + a1zk"1 + ...+ ak"1z + ak

por lo que el problema sera

estable sı y solo sı todas las raices de este polinomio tienen parte real negativa yaquellas con parte real cero son simples.

asintoticamente estable sı y solo sı todas las raices tiene parte real negativa

1.7. Estabilidad

Es imprescindible hablar de la estabilidad del problema de Cauchy puesto quela solucion depende del dato inicial y tambien de la funcion que se usa f . Ambosse pueden ver modificados por los procesos de calculo que vamos a emplear.

Ejemplo 26 Inestabilidad debida al dato inicial: La ecuacion&'

(

d

dty(t) = 3 y ( 3 t, t > 0,

y(0) = ),

tiene por solucion y(t) = () ( 1/3)e3t + t + 1/3. Si queremos usar ) = 1/3 comodato inicial, cualquier error en la representacion de 1/3 se puede ver amplificadode manera inadmisible por el factor e3t con el tiempo. Esto es inevitable.

La situacion cambia totalmente si el problema usa f(t, y) = (3y ( 3t en vez def(t, y) = 3y ( 3t.

Vamos a necesitar el siguiente resultado tecnico

Lema 2 Lema de GronwallEn el intervalo (t0, t0 + T ) consideremos p(t) una funcion integrable no negativa yg(t) y #(t) dos funciones continuas siendo g(t) no decreciente. Si #(t) satisface ladesigualdad

#(t) . g(t) +

" t

t0

p(s)#(s) ds, )t " [t0, t0 + T ]

entonces

#(t) . g(t) exp$" t

t0

p(s)ds%, )t " [t0, t0 + T ]



Consideremos ahora el problema perturbado

(PCp)

!z!(t) = f(t, z(t)) + -(t), t " I,z(t0) = y0 + %0, t0 " I

donde %0 " R y -(t) es una funcion continua.

Definicion 27 Estabilidad para el problema de CauchyTomando I un intervalo acotado, decimos que (PC) es estable en el sentidode Liapunov, o simplemente estable, en I si para cada pertubacion %0 y -(t) talque

|%0| < &, |-(t)| < &, t " I

con & > 0 lo suficientemente pequeno para garantizar la existencia de solucion delproblema perturbado (PCp) entonces existe C > 0 independiente de & > 0 tal que

|y(t)( z(t)| < C &, ) t " I.

Cuando I no es acotado se dice que el problema es asintoticamente estable sies Liapunov estable en cada subintervalo acotado y ademas, en el intervalo noacotado

|y(t)( z(t)| ! 0, )t ! +#

El hecho de que f sea uniformemente Lipschitz con respecto a la variable y garantizala estabilidad de (PC). Pongamos w(t) = z(t)( y(t) entonces

w!(t) = f(t, z(t))( f(t, y(t)) + -(t)

de donde

w(t) = %0 +

" t

t0

{f(s, z(s))( f(s, y(s))}ds+" t

t0

-(s)ds )t " I.

Por consiguiente,

|w(t)| . (1 + |t( t0|)&+ L

" t

t0

|w(s)|ds )t " I.

Aplicando el Lema de Gronwall obtenemos

|w(t)| . (1 + |t( t0|)& exp$L|t( t0|

%= C & )t " I

para C = (1 +KI)eLKI siendo KI = maxt%I{|t ( t0|}. Por consiguiente se alcanzala estabilidad.


1.7. Estabilidad 37

Observacion 9 Las constantes que aparecen en la relacion de estabilidad no ofre-cen mucha informacion puesto que tienen un crecimiento exponencial en tiempo. Sitenemos en cuenta que la mayorıa de fenomenos fısicos presentan un decaimientoo disipacion monotono se puede relajar la condicion de Lipschtz y suponer undecaimiento uniforme de f(t, y) con respecto a y, esto es, suponer por ejemplo que

(M . (yf(t, y) . (m < 0, )y.

Entonces se pueden mejorar las estimaciones de estabilidad y obtener algo parecidoa

|y(t)( z(t)| . e"m(t"t0)|y0 ( z0|

por lo que el decaimiento se exhibe tambien en la constante de estabilidad, ver Ep-person, pag 328, y se puede ver como el error inicial no se amplifica con el tiempo,lo cual es razonable si tenemos un proceso difusivo. Por lo tanto, la condicion deLipschitz aquı pierde informacion. Observar que este decaimiento ya implica la con-dicion de Lipschitz.

Hay que observar que en el caso de intervalos no acotados este resultado no semantiene cierto. Por ejemplo, la solucion trivial y(t) 0 0 de la ecuacion diferencialy!(t) = , y(t) con y(t0) = y0 es inestable en (t0,+#).

Bibliografıa

Notas extraidas del libro Crouzeix-Mignon, de las notas de Suli, libros de Rappaz-Picasso, Ascher-Petzold y de las notas de clase de Profs. Frco. Arandiga y Pep Muletde la Universidad de Valencia.


Capıtulo 2

Metodos de un paso

Varios de los ejemplos vistos en el tema anterior indican la necesidad de calcularlas aproximaciones a las soluciones de estos problemas. Podemos distingir variasfamilias de metodos numericos para resolver los problemas de valor inicial, o deCauchy,

Metodos de un paso explıcitos o implıcitos, aquı encontramos los metodos deEuler y Runge-Kutta entre otros

Metodos de multipaso lineales, aquı nos encontramos especialmente con losmetodos de Admas, a saber, Adams-Bashforth y Adams-Moulton y con losmetodos BDF.

Combinaciones de metodos distintos originan los metodos de prediccion ycorreccion.

Estas familias se pueden considerar como generalizaciones del metodo mas simplede todos: el Metodo de Euler. Por lo tanto, vamos a trabajar este metodo enparticular antes de ver los demas.

2.1. Metodo de Euler

Fijado el intervalo de integracion I = [t0, t0 + T ] tomamos h = T/N un nume-ro pequeno, que denotaremos paso, para poner a continuacion tn = t0 + nh sin = 0, 1, 2, ..., N . Denotaremos por yn a una aproximacion a la solucion y(tn) :yn * y(tn) y similarmente denotaremos por fn a una aproximacion a f(tn, y(tn))en general de la forma: fn * f(tn, yn). No vamos a buscar una aproximacion a lacurva y(t) sino una una secuencia de valores yn como aproximacion a los verdaderosvalores y(tn).

38

2.1. Metodo de Euler 39

Supongamos que conocemos el valor de yn para 0 . n . N ( 1, entonces elmetodo de Euler consiste en tomar

yn+1 = yn + h fn, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1 (2.1)

Existen varias maneras de derivar e interpretar esta formula.

Por ejemplo se puede remplazar y!(t) por el cociente incremental:

y!(tn) *yn+1 ( yn

h

y luego aproximar f(t, y(t)) por fn.

Tambien se puede partir de la expresion integral del problema de Cauchy(PCI)

y(tn+1) = y(tn) +

" tn+1

tn

f(s, y(s)) ds, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1 (2.2)

y reemplazar la integral en [tn, tn+1] por la aproximacion del punto izquierdo.


x!(t) = (1( 2 t) x(t), t " (0, 1), (2.3)

x(0) = 1 (2.4)

posee como solucion

x(t) = exp$14( (

1

2( t)2

%(2.5)

Como sabemos que para t = 0 es x(0) = 1 y la tangente es x!(0) = 1 podemostomar la recta tangente y evaluarla en t = h, en general, con esta idea se tiene larecurrencia

xn = xn"1 + hx!n, (2.6)

siendox!n = (1( 2tn)xn.

Se puede ver graficamente como se aproximan las soluciones discretas a la exactaconforme h disminuye. La diferencia

en = x(tn)( xn

se denota error global y de acuerdo a los resultados numericos se puede observarque

en * h

por lo que si se quiere mantener , por ejemplo, en < 0,0005, necesitamos h * 1/2000,o bien N * 2000, para llegar a t = 1.


40 Capıtulo 2 Metodos de un paso

De forma analoga, podemos generalizar a lo que se conoce como !-metodos queconsisten simplemente en promediar entre los valores fn y fn+1 para obtener

yn+1 = yn + h+(1( !) fn + ! fn+1

,, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1 (2.7)

siendo ! " [0, 1]. Para ! = 0 tenemos el metodo de Euler, tambien conocido pormetodo de Euler explıcito, mientras que si ! = 1 tenemos el metodo de Eulerimplıcito

yn+1 = yn + h fn+1, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1. (2.8)

En el caso ! = 12 se obtiene el metodo del Trapecio

yn+1 = yn +h

2

+fn + fn+1

,, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1. (2.9)

Para cualquier valor de ! 1= 0 el metodo resultante es implıcito, es decir, el valor quequeremos calcular en cada paso, yn+1, aparece en ambos miembros de la ecuacion ycomo segundo argumento de la funcion f(t, y); en general, una expresion no lineal.

Ejemplo 29 En el caso particular ! = 1 se tiene que resolver el esquema

yn+1 = yn + h f(tn+1, yn+1), n = 0, 1, 2, ..., N ( 1.

lo que nos lleva a la ecuacion

yn+1 ( h f(tn, yn+1) = yn, n = 0, 1, 2, ..., N ( 1.

Si definimos la funcion

g(x) = x( hf(tn+1, x)( yn

debemos entonces de encontrar un cero de g. Para ello podemos usar, por ejemplo,el metodo de Newton empezado por x0 = yn. Entonces organizamos el esquema decalculo

x0 = yn,

xm+1 = xm ( g(xm)/g!(xm) m = 0, 1, 2, ....

Comog!(x) = 1( h(xf(tn+1, x)

tenemos que

x0 = yn,

xm+1 = xm ( xm ( hf(tn+1, xm)( yn1( h(xf(tn+1, xm)

m = 0, 1, 2, ....

y tendremos convergencia bajo las condiciones de la iteracion de Newton.


2.2. Analisis del error para el !-metodo 41

Ejemplo 30 Repetir este resultado para el metodo del trapecio, ! = 1/2.

En el siguiente ejemplo podemos ver una consecuencia positiva de usar el metodoimplıcito

Ejemplo 31 Para * > 0 la ecuacion&'

(

d

dty(t) = (* y, t > 0,

y(0) = 1,(2.10)

tiene por solucion por y(t) = e"%t que decae en tiempo. Si usamos el metodo deEuler explıcito obtenemos en una particion uniforme los valores

yn+1 = (1( *h)yn, n = 0, 1, 2, ...

de dondeyn = (1( *h)n, n = 0, 1, 2, ...

Por lo tanto, el comportamiento cualitativo solo se puede reproducir si

0 < 1( *h < 1 / *h < 1 / h <1

*.

Esta condicion es muy restrictiva si * >> 1.Por otro lado, si usamos Euler implıcito, obtenemos la recurrencia

(1 + *h)yn+1 = yn, n = 0, 1, 2, ...

de dondeyn+1 = (1 + *h)"n, n = 0, 1, 2, ...

y por lo tanto, el comportamiento cualitativo se puede reproducir para cualquiervalor de h > 0.

2.2. Analisis del error para el !-metodo

Primero debemos de observar que se pretende comparar una funcion continua, lasolucion, con unos valores discretos. Para esto podemos extender los valores discretosa una funcion continua o restringir nuestra funcion solucion incognita a los mismospuntos donde estan calculados los valores discretos. Esta segunda alternativa esmenos arbitraria y es la que vamos a seguir.

Definimos el error global e = maxn |en| siendo

en = y(tn)( yn, n = 0, 1, 2, .., N



y vamos a ver como decae cuando reducimos el valor de h, o lo que es lo mismo,aumentamos N . Vamos a hacer el estudio del error para ! = 0 y dejamos el casogeneral ! " [0, 1] como ejercicio.

Se podra observar como el metodo es de primer orden si ! = 0 y de segundoorden con ! = 1/2. En este ultimo caso, la dificultad de ser un metodo implıcitose puede resolver en algunos casos sencillos usando una iteracion de punto fijo o elMetodo de Newton.

Ejemplo 32 Resolver

y!(t) = t( y(t)2, t " (0, 0.4), (2.11)

x(0) = 0 (2.12)

usando h = 0.1 y el !-metodo en los casos ! = 0, 1/2, 1 usando una iteracion depunto fijo para resolver las ecuaciones implıcitas. Calcular los valores aproximadosen los tiempos t = 0.1,0.2,0.3,0.4 y construir una tabla para compararlos.

Veamos que ocurre con elmetodo de Euler. Fijamos el intervalo de integracionI = [t0, t0 + T ] y fijamos h = T/N para poner a continuacion tn = t0 + nh paran = 0, 1, 2, ..., N . Denotaremos por yn a una aproximacion a la solucion y(tn) :yn * y(tn) y similarmente denotaremos por fn a una aproximacion a f(tn, y(tn)) engeneral de la forma: fn * f(tn, yn).

Entonces, el Metodo de Euler progresivo (Forward Euler) consiste enconstruir

dado y0 (2.13)

yn+1 = yn + h fn, n = 0, 1, ..., N ( 1. (2.14)

Siendo este el esquema numerico a usar, a la cantidad

.! =y(t! + h)( y(t!)

h( f(t!, y(t!)), (2.15)

obtenida insertando la solucion continua dentro de nuestro esquema numerico lavamos a llamar error de truncatura en t!. Mide el grado en el que la solucionexacta cumple con el esquema numerico usado en un punto determinado t!. Usandoel desarrollo de Taylor de la solucion exacta existe /! " (t!, t! + h) tal que

.! =1

2h y!!(/!). (2.16)

Por lo tanto, usando

0 =yn+1 ( yn

h( fn, n = 0, 1, ..., N ( 1.



como fn = f(tn, yn) substrayendo las dos ecuaciones obtenemos para t! = tn que

.n =en+1 ( en

h( [f(tn, y(tn))( f(tn, yn)], n = 0, 1, ..., N ( 1.

de donde

en+1 = en + h[f(tn, y(tn))( f(tn, yn)] + h.n, n = 0, 1, ..., N ( 1.

con

.n =1

2h y!!(/n), /n " (tn, tn + h).

esto es, para n = 0, 1, ..., N ( 1 existe /n " (tn, tn + h) tal que

en+1 = en + h[f(tn, y(tn))( f(tn, yn)] +1

2h2 y!!(/n). (2.17)

Observacion 10 Suponiendo que tenemos una condicion de Lipschitz disponiblepara f observa que si no hubiesemos puesto la solucion exacta para comparar sinootra aproximacion discreta no tendriamos .n . Obtenemos entonces una estimacionde estabilidad como ya se ha visto antes

|en+1| . |1 + hL|en, n = 0, 1, ..., N ( 1

de donde

|en| . eTLe0, n = 0, 1, ..., N ( 1.

Por lo tanto el metodo de Euler es estable.

Suponiendo que tenemos una condicion de Lipschitz disponible para f y tomando

. =1

2h -y!!-& & |.n|, n = 0, 1, 2, ..., N

llegamos a

|en+1| . (1 + hL)|en|+ h., n = 0, 1, ..., N ( 1.

Observacion 11 Se dice que el metodo es consistente cuando . ! 0 si h ! 0.En particular el metodo de Euler es consistente.

Por induccion y usando que(1 + hL) . eTL



llegamos para n = 0, 1, ..., N ( 1 a

|en| . .

L[(1 + hL)n ( 1] + (1 + hL)n|e0|

. .

L[eTL ( 1] + eTL|e0|.

Tambien lo podemos expresar como

|en| . M2h

L[eTL ( 1] + eTL|e0|

donde M2 =12-y

!!-&.

Ejemplo 33 La ecuacion y!(t) = (100y(t), y(0) = 1 posee como solucion y(t) =e"100 t; f(t, y) = (100y tiene constante de Lipschitz L = 100 y ademas y!!(t) =1002e"100 t por lo que M2 = 1002. Entonces, si aplicamos el metodo de Euler cone0 = 0 y T = 1 obtenemos la acotacion de error

|en| . 50h[e100 ( 1]

pero es facil calcular la solucion discreta como yn = (1 ( 100h)n (aquı es mejortomar h < 0.01 = 1/100 para poder garantizar que yn se comporta como y(nh)) dedonde el error discreto es exactamente

|en| = |yn ( y(nh)| = |(1( 100h)n ( e"100nh|

que es mucho menor que la estimacion de error que da el resultado de convergenciavisto.

Observacion 12 Por lo tanto, el resultado teorico no se debe de usar para estima-ciones practicas del error sin pensar si es conveniente o no.

Observacion 13 Epperson, pag 335 ofrece el resultado cuando suponemos que(yf(t, y) es negativa, esto es, f(t, y) decreciente en y. Se obtiene entonces unamejor constante para el termino de consistencia y un decaimiento para la constantedelante del error inicial

|en| . M2

mh+ C0 |e0|

donde M2 = 12-y

!!-&, C0 ! 0 cuando n crece y (M . (yf(t, y) . (m < 0.Vemos tambien que el decaimiento se exhibe tambien en la constante de estabilidad,ver Epperson, pag 328, y el error inicial no se amplifica con el tiempo, lo cual esrazonable si tenemos un proceso difusivo. Por lo tanto, la condicion de Lipschitzaquı pierde informacion. Observar que este decaimiento ya implica la condicion deLipschitz.



El error (2.17) es dificilmente mejorable, pero bajo regularidad se puede hacer losiguiente: para n = 0, 1, ..., N ( 1 existe /n " (tn, tn + h) tal que

en+1 = en + h[f(tn, y(tn))( f(tn, yn)] +1

2h2 y!!(/n). (2.18)

entonces

f(tn, y(tn))( f(tn, yn) = en(yf(y(tn), tn) +1

2e2n(

2y2f('n, tn)

y tambien

.n =1

2h2 y!!(tn) +

1

6h3 y!!('n)

para valores intermedios 'n y 'n. Entonces si usamos %n = en/h tenemos dividiendopor h (2.18) que

%n+1 = %n + h%n(yf(y(tn), tn) +1

2e2n(

2y2f('n, tn) +

1

2h y!!(tn) +

1

6h2 y!!('n)

de donde, como |en| . Kh tenemos

%n+1 ( %nh

= %n(yf(y(tn), tn) +1

2y!!(tn) +

1

2K2h(2

y2f('n, tn) +1

6h y!!('n)

= %n(yf(y(tn), tn) +1

2y!!(tn) +O(h).

Por lo tanto, %n es la solucion por el metodo de Euler de la ecuacion diferencialordinaria

%!(t) = %(t)g(t) +1

2y!!(t) + hc(t)

para funciones g(t) y c(t) . Por lo tanto, hemos visto que el error en el metodo deEuler tiene la forma

en = h-(tn) +O(h2)

siendo - la solucion de la ecuacion

-!(t) = g(t)-(t) +1

2y!!(t), -(0) = e0/h

lo que nos va a ser muy util a la hora de plantear extrapolacion.



2.2.1. Caso general para el !-metodo

Finalmente, en el caso general para el !-metodo tenemos

|en| . |e0| exp$ T L

1( !Lh

%+

h

L

$|12( !|M2 +

h

3M3

%+exp

$ T L

1( !Lh

%( 1

,

donde M3 = -y!!!-&.En el caso en el que el error inicial se supone cero, |e0| = 0, vemos que |en| =

O(h2) para ! = 1/2 y que |en| = O(h) para cualquier otro ! 1= 1/2. Por lo tanto, si! = 1/2 cada vez que se divide por 2 el paso h el error se divide por 4, el cuadradodel divisor 2, se dice que tenemos un metodo de orden 2, mientras que si ! 1= 1/2solo se divide por 2, el mismo divisor 2, se dice entonces que tenemos un metodode orden 1. Es evidente que la ventaja en el orden va pareja con la desventaja deque el metodo es implıcito.

Ejemplo 34 La ecuacion y!(t) = (y(t) + 2e"t cos(2 t), y(0) = 0 posee comosolucion y(t) = e" t sin(2 t). Para valores de h = 1/2, 1/10, 1/50 calcula la solucioncon el metodo de Euler explıcito y con el metodo de los trapecios. Realiza una graficaen la que se pueda ver el logaritmo natural del error, esto es, log(|yn ( y(nh)|) enel eje OY mientras que en el OX se tenga el intervalo temporal [0, 10].

Observacion 14 Si el metodo es convergente de orden p > 0, el error es de laforma E(h) * c hp. Por lo tanto, se puede obtener que

log(E(h)) * log(c) + p log(h)

lo que nos permite combinar valores distintos de h y estimar los parametros delerror c y p. Por ejemplo, debe ser E(h/2) * c (h/2)p y entonces

E(h)

E(h/2)* 2p / p * log(

E(h)

E(h/2))/ log(2)

Un esfuerzo por equilibrar consiste en obtener una aproximacion al valor yn+1 usan-do Euler explıcito y luego usarlo en la formula de los trapecios, esto es

dado y0yn+1 = yn + hf(tn, yn),

yn+1 = yn +h

2

$f(tn, yn) + f(tn+1, yn+1)

%, n = 0, 1, ..., N ( 1,

este metodo se conoce como metodo de Euler mejorado.

Observacion 15 El estudio en general de la familia de los !-metodos tiene interesa pesar de que aparentemente solo sean utiles los casos ! = 1 y ! = 1/2. La razonreside en varios aspectos:



La familia de los !-metodos es un ejemplo de un desarrollo general de meto-dos numericos usando intuicion geometrica. Esta intuicion se traduce conargumentos formales como desarrollo de Taylor y el teorema de la funcionimplıcita, en resultados matematicos rigurosos.

El concepto de orden se basa en h ! 0, pero en el computador esto no ocurrenunca. Por lo tanto, en especiales circunstancias nos podrıa interesar eliminarterminos de alto orden. Por ejemplo, se puede comprobar que la eleccion ! =2/3 elimina el termino O(h3) pero deja el termino O(h2).

El orden de convergencia no es lo unico que importa. Esta tambien el conceptode estabilidad que debe ser tenido en cuenta. Puede ser necesario bajar elorden a cambio de obtener una estabilidad mas conveniente. Por ejemplo, laeleccion ! = 1 genera el metodo de Euler implıcito que es de gran utilidaden los problemas rigidos o mal condicionados (la mayoria de los problemaspracticos), ver ecuacion (2.10), donde el metodo de Euler explıcito necesitarıavalores de h muy pequenos, en general, por razones de estabilidad.

2.2.2. Estabilidad Absoluta

En el resultado de convergencia anterior hemos visto que, aunque funciona enteorıa, cuando h ! 0, tenemos que pensar que desde el punto de vista practicolos calculos se hacen para h > 0 fijo. Es por esto que esta estabilidad se llamacero-estable, por que refleja el hecho de que funciona para h ! 0.

La razon basica en muchos casos es que mientras fy << 0, lo que implica quela solucion decae, la constante de estabilidad usa |fy| >> 0, por lo que refleja uncrecimiento exponencial que es falso.

Tenemos entonces que preguntarnos como conseguimos aproximarnos al compor-tamiento correcto de la ecuacion para tiempos largos donde, sin remedio, tenemosque usar pasos grandes.

Si nos fijamos en el problema test con y0 = 1 podemos ver la estabilidad abso-luta del Metodo de Euler progresivo. Aquı tenemos que yn+1 = yn + h,yn yrecursivamente en n obtenemos que

yn = (1 + h,)n, n & 0.

Entonces un decaimiento en la solucion computada se cumple sı y solo sı |1+h,| < 1y esto equivale a tener que h, esta dentro del cırculo de radio 1 y centro ((1, 0).Equivalentemente

,h " A = {h, " C" y 0 < h < (2Re(,)

|,|2 }

dondeC" = {z " C; Re(z) < 0}.



0 1 2 3 4 5 6 7 8−50

0

50 Método de Euler progresivo: estabilidad absoluta

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.5

0

0.5

1

h=0.444

h=0.4

h=0.363

h=0.267

Figura 2.1: Estabilidad absoluta condicionada para el metodo de Euler progresivo.

Definicion 35 A la region A se le llama region de estabilidad absoluta y esla region del z-plano complejo en donde la aplicacion del metodo numerico en usoal problema test con z = ,h da una solucion que cumple

|yn| < |yn"1|, n = 0, 1, 2, ...

En el caso , real tendrıamos h, " ((2, 0) Esto es ası ya que tiene que ser

|1 + h,|2 = (1 + h,)(1 + h,) = 1 + h2|,|2 + 2Re(,)h < 1

de donde h|,|2 + 2Re(,) < 0 que fuerza 0 < h < (2Re(,)/|,|2 = 2/|,|.

Ejemplo 36 Para la ecuacion y!(t) = (5 y(t) para t > 0 y con y(0) = 1 resultaque la estabilidad absoluta se encuentra para 0 < h < 2/5 = 0.4 ya que

|1( h 5| < 1 3 (1 < 1( h 5 < 1 / h < 2/5.

Cuando h esta fuera de este rango la solucion presenta oscilaciones que crecen,o se mantienen en el caso lımite h = 2/5, con tiempo. Dentro de este rango, lasoscilaciones, si estan presentes, decrecen con el tiempo.

Diremos que un metodo es A-estable si C" $ A, o lo que es lo mismo, si A ,C" = C". Esto es, si para Re(,) < 0 se cumple la condicion (3.1) para (PT)independientemente del valor de h.

Los metodos explıcitos son condicionalmente estables, es decir, no sonA-estables. A-estabilidad se suele tener en los metodos implıcitos. Pero aquı nosencontramos con la desventaja de tener que resolver problemas no lineales en cada



paso debido al caracter implıcito de la ecuacion en cada iteracion. ¡No hay ningunaventaja gratis!.

Es importante entender que la restriccion de estabilidad absoluta no es unarestriccion sobre la precision del metodo. Por ejemplo, en el problema test conRe(,) < 0 podemos tomar y0 = 10"15 y la solucion exacta estara muy bien apro-ximada por y(t) 0 0. Pero la solucion discreta formada por el metodo de Eulerexplota si h no esta en la region de estabilidad absoluta.

2.2.3. Rigidez: Metodo de Euler regresivo

Idealmente, la eleccion del paso debe estar regida por precision pero ya hemosvisto que con el metodo de Euler y con muchos otros, el paso se debe de escoger parasatisfacer una condicion adicional de estabilidad absoluta. En estos casos se puededecir que el problema es rıgido cuando las restriccion de absoluta estabilidad esmucho mas fuerte que la restriccion de precision. En este caso son preferibles otrosmetodos.


&'

(

d

dty(t) = (100(y(t)( sin(t)) t > 0,

y(0) = 1,(2.19)

posee una solucion que cambia muy rapidamente al principio y luego lo hace de unaforma regular, tal que y(t) * sin(t). El pequeno intervalo inicial en donde cambiabruscamente, llamado capa inicial, necesitamos usar pasos muy pequenos, tal que100h . 1 por ejemplo, que esta dentro de la region de absoluta estabilidad para elmetodo de Euler, pero cuando y(t) * sin(t), que pasa para t & 0,03 aproximada-mente, podemos escoger un paso mas grande, como 100h >> 2.

Se suele describir el concepto de rigidez en terminos de multiples escalas detiempo. Si un problema tiene un gran rango de escalas temporales y los fenomenos(modos de la solucion) que cambian en las grandes escalas son estables, entonces elproblema es rıgido porque van a ser los fenomenos (modos de la solucion) en lasescalas rapidas los que van a restringir el paso de tiempo.

La rigidez tambien depende de cuales son los

1. criterio de precision

2. la longitud del intervalo de integracion

3. region de estabilidad absoluta del metodo.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Solucion de y’=−100(y−sin(t))

Figura 2.2: Solucion problema (2.19).

Por ejemplo, si pedimos una gran precision podemos dejar de tener un problemarıgido porque la rtetriccion de precision sea igual de fuerte que la de estabilidadabsoluta.

Para el problema test, podemos decir que es rıgido en el intervalo [0, T ] si ocurreque

T Re(,) << 1.

Veamos como se comporta en este problema test el metodo de Euler regresivo En elsiguiente ejemplo podemos ver una consecuencia positiva de usar el metodo implıcito

Ejemplo 38 Para Re(,) < 0 la ecuacion&'

(

d

dty(t) = , y, t > 0,

y(0) = 1,(2.20)

tiene por solucion por y(t) = e$t que decae en tiempo. Si usamos el metodo de Eulerexplıcito obtenemos en una particion uniforme los valores

yn+1 = (1 + ,h)yn, n = 0, 1, 2, ...

de dondeyn = (1 + ,h)n, n = 0, 1, 2, ...

Por lo tanto, el comportamiento cualitativo solo se puede reproducir bajo una severarestriccion en h.

Por otro lado, si usamos Euler implıcito, obtenemos la recurrencia

(1( ,h)yn+1 = yn, n = 0, 1, 2, ...


2.3. Metodos de un paso generales 51

de dondeyn+1 = (1( ,h)"n, n = 0, 1, 2, ...

y por lo tanto, el comportamiento cualitativo se puede reproducir para cualquiervalor de h > 0 y Re(,) < 0 y podemos entonces ver que la restriccion de estabilidadabsoluta no existe.

En este ejemplo es facil resolver la ecuacion planteada por el metodo de Eulerregresivo, pero en general hay que resolver una ecuacion de no lineal para yn. Apesar de ello puede ser mas eficiente que un metodo explıcito.

2.3. Metodos de un paso generales

Fijamos el intervalo de integracion I = [t0, t0+T ] y fijamos h = T/N para ponera continuacion tn = t0 + nh para n = 0, 1, 2, ..., N . Tambien se puede consideraruna particion no uniforme,

hn = tn+1 ( tn, n = 0, 1, 2...

necesitaremos entonces una regularidad en la particion y tener para un h > 0 fijo

h c1 < hn < h c2, c1, c2 > 0

pero supondremos que es hn = h para simplificar la presentacion.Denotaremos por yn a una aproximacion a la solucion y(tn) : yn * y(tn) y

similarmente denotaremos por fn a una aproximacion a f(tn, y(tn)) en general dela forma: fn * f(tn, yn). Nuestros objetivos son conseguir y1, y2, ..., yN tales que

Para cada t! " [0, T ] fijo, con t! = tn = t0 + n 4 h, entonces queremos que ynaproxime a y(tn) cuando h ! 0, o lo que es lo mismo, cuando n ! +# talque t0 + n 4 h se mantiene constante con t! = tn = t0 + n 4 h.

Esto lo conseguiremos si construimos un esquema tal que

yn depende de manera continua de pequenas perturbaciones. Es decir, pe-quenos errores producen pequenas variaciones, esto es la estabilidad delesquema numerico.

el error que se comete cuando la solucion exacta que buscamos se introduceen el esquema numerico tiende a cero cuando el parametro de discretizacionlo hace, esto es la consistencia del esquema numerico.

Veremos que un esquema estable y consistente es convergente; el recıprocode este resultado tambien cierto y de demostracion inmediata; esto se conoce comoel Teorema de Lax-Richtmyer .



Definicion 39 Metodos de un pasoUn metodo numerico para el problema de Cauchy (PC) se llama metodo de un pasosi yn+1 depende solo de yn para todo n & 1.

Algunos ejemplos de metodos numericos de un paso son

1. Metodo de Euler progresivo (Forward Euler)

yn+1 = yn + h fn

2. Metodo de Euler regresivo (Backward Euler)

yn+1 = yn + h fn+1

3. Metodo trapezoidal o de Crank-Nicolson

yn+1 = yn +h

2{fn + fn+1}

4. Metodo de Heun

yn+1 = yn +h

2{fn + f(tn+1, yn + h fn)}.

Motivacion de las formulas

Se pueden observar varias maneras de derivar estas formulas.

Por ejemplo se puede remplazar y!(t) por el cociente incremental:

y!(tn) *yn+1 ( yn

h

y luego aproximar f(t, y(t)) por fn o fn+1.

Tambien se puede partir de la expresion integral del problema de Cauchy(PCI) y reemplazar la integral en [tn, tn+1] por distintas aproximaciones comola del punto izquierdo, Euler progresivo, la del punto derecho, Euler regresivo,o la del trapecio, metodo trapezoidal o de Crank-Nicolson. En el metodo deHeun se realiza una variacion sobre el metodo de los trapecios y se sustituyefn+1 * f(tn+1, yn+1) por fn+1 * f(tn+1, yn+h fn). En este ultimo caso se puedeobservar como se ha reemplazado un problema implıcito por un explıcito.

Definicion 40 Un metodo se dice explıcito si yn+1 se puede calcular directamenteen terminos del valor previo yn. Es implıcito si depende de yn+1, normalmentemediante f .


2.3. Metodos de un paso generales 53

Los metodos de Euler progresivo y de Heun son explıcitos mientras que los de Eulerregresivo y de Crank-Nicolson son implıcitos.

Una familia completa de ejemplos de metodos de un paso explıcitos son losmetodos de Runge-Kutta. En todo caso, se debe notar que de acuerdo a comose definan estos metodos de Runge-Kutta, pueden dar lugar a la resolucion deproblemas implıcitos.

Estos metodos se pueden interpretar como una extension del metodo de Eulerprogresivo en la que se pretende ajustar mediante un promedio la mejor pendientepor la que avanzar en el calculo. Se mantiene la estructura de metodo de un pasopero, normalmente, se pierde la linealidad. Algunos ejemplos son

1. Metodo de Heun

yn+1 = yn +h

2{fn + f(tn+1, yn + h fn)}

donde se puede apreciar que se ha tomado

yn+1 ( ynh

=1

2{f(tn, yn) + f(tn+1, yn + h f(tn, yn))}

es decir, se toma una pendiente primera f(tn, yn), luego se calcula un posibleavance de la solucion a tn+1 via yn + h f(tn, yn) y se vuelve a tomar unasegunda pendiente en este nuevo punto, f(tn+1, yn+h fn). Finalmente se tomala pendiente promedio para hacer el calculo definitivo.

Similarmente se pueden explicar e interpretar graficamente

2. Metodo de Euler modificado

yn+1 = yn + hf(tn +h

2, yn +

h

2fn)

3. Metodo de Runge-Kutta explıcito de orden 4

yn+1 = yn +h

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +h

2, yn +

h

2k1)

k3 = f(tn +h

2, yn +

h

2k2)

k4 = f(tn+1, yn + h k3)



Vamos a describir de manera general los metodos numericos de un paso explıcitospara resolver el problema de Cauchy en la forma

(PCDE)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h"(tn, yn;h), 0 . n . N ( 1

(PCDE quiere decir Problema de Cauchy Discreto Explıcito) y los metodos numeri-cos de un paso implıcitos como

(PCDI)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h"(tn, yn, yn+1;h), 0 . n . N ( 1

(PCDI quiere decir Problema de Cauchy Discreto Implıcito).A la funcion " se le denomina funcion de incremento o funcion de pen-

diente. Es una funcion continua que depende de sus argumentos a traves de lafuncion f(t, y) y vamos a suponer que mantiene la regularidad de f , esto es,

f " Cp / " " Cp.

Como ya hemos visto, algunos ejemplos son

1. Metodo de Euler progresivo (Forward Euler)

"(tn, yn;h) = f(tn, yn)

2. Metodo de Heun

"(tn, yn;h) =1

2{fn + f(tn + h, yn + h fn)}

Vamos a estudiar detalladamente los metodos explıcitos en donde " = "(tn, yn;h)y extenderemos los resultados al caso implıcito, donde la mayor dificultad es garan-tizar la resolubilidad del problema no lineal.

Observacion 16 Es evidente que las definiciones dadas de (PCD) y (PCDI) segeneralizan de la forma siguiente:Dados y0, y1, ..., yk"1 calcular

-yn+k =

.k"1j=0 ajyn+j + h"(tn, yn, yn+1, ..., yn+k;h), n & 0.

a lo que se puede definir en general como metodos multipaso. Las definiciones quevienen a continuacion tambien pueden ser extendidas a esta expresion general sinningun tipo de esfuerzo.


2.4. Analisis de los metodos de un paso explıcitos 55

2.4. Analisis de los metodos de un paso explıcitos

Definicion 41 Error de consistenciaPara cada valor de h el error de consistencia en un punto t! fijo es el error que secomete cuando se fuerza que la solucion exacta cumpla el esquema numerico. Si lodenotamos por &(t!, h), entonces

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h"(t!, y(t!);h).

Se puede observar que es el error de un unico paso cuando partimos de la solucionexacta, esto es, consideramos

!y!(t) = f(t, y(t)), t " (t!, t! + h),y(t!) = y(t!), t0 " I

y la aplicacion de nuestro metodo de un paso da el valor

y = y(t!) + h"(t!, y(t!);h)

como aproximacion a y(t! + h), por lo tanto el error cometido por el metodo es

error = y(t! + h)( y = y(t! + h)( y(t!)( h"(t!, y(t!);h) = &(t!, h).

Por lo tanto, de manera intuitiva, cuanto menor sea el error de consistencia encada punto t! mejor es el metodo. Otro aspecto distinto es la propagacion deeste error a lo largo de los distintos pasos que tengamos que hacer, esto sera laestabilidad del metodo.

Observacion 17 Si queremos estudiar el error de consistencia en un punto fijo t!conforme variamos h, debemos de recordar que cada valor de h origina una particiondel intervalo [t0, t0+T ] distinta. Por lo tanto, t! viene descrito por puntos distintosde estas particiones de acuerdo a cada h.

t! = tn(h1) = tn(h2), n(h1) 1= n(h2), si h1 1= h2.

Ejemplo 42 En el caso del metodo de Euler progresivo tenemos que nuestro es-quema es

yn+1 = yn + h f(tn, yn)

si ponemos la solucion exacta en el esquema obtenemos

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h f(t!, y(t!))

y como y!(t!) = f(t!, y(t!)) nos encontramos, via expansion de Taylor, con que

&(t!, h) =h2

2y!!(/!), /! " (t!, t! + h)

es el error de consistencia en el punto t!.



Esto nos sugiere lo siguiente: Suponemos que f " Cp entonces y " Cp+1 y ademas" " Cp como hipotesis de trabajo. Por lo tanto, podemos hacer un desarrollo teoricoy plantear un desarrollo de Taylor del error de consistencia. Tomemos

&(h) = "(t!, y(t!);h)

entonces

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h"(t!, y(t!);h) = y(t! + h)( y(t!)( h&(h)

= {hy!(t!) +h2

2!y!!(t!) +

h3

3!y!!!(t!) + ...+

hp+1

(p+ 1)!y(p+1)(!!)}

( h{&(0) + h&!(0) +h2

2!&!!(0) + ...

hp

p!&(p)(/)}

donde !! " (t!, t! + h) y / " (0, h). Entonces podemos agrupar terminos y tener

&(t!, h) = h{y!(t!)(&(0)}+ h2{12y!!(t!)(&!(0)}+ h3

2!{13y!!!(t!)(&!!(0)}+ ...

+ +hp

(p( 1)!{1py(p)(t!)(&(p"1)(0)}+ hp+1

p!{ 1

(p+ 1)y(p+1)(!!)(&(p)(/)}

entonces las potencias de h que se anulen en este desarrollo nos daran una carac-terıstica del metodo que denominaremos el orden del metodo.

Definicion 43 Diremos que el metodo es de orden p si todas las potencias menoreso iguales a p se cancelan, esto es, para j = 1, 2, 3, .., p y todo t " I

1

jy(j)(t) = &(p"1)(0) =

(j

(hj"(t, y(t); 0)

en y(t) solucion de y!(t) = f(t, y(t)).

Otra magnitud del error que tambien se usa frecuentemente es

Definicion 44 Error de Truncatura localPara cada valor de h pongamos

.(t!, h) =1

h&(t!, h)

la cantidad .(t!, h) se llama el error de truncatura local en el punto t!.

Tambien podemos ver entonces que

.(t!, h) = {y!(t!)(&(0)}+ h{12y!!(t!)(&!(0)}+ h2

2!{13y!!!(t!)(&!!(0)}+ ...

+ +hp"1

(p( 1)!{1py(p)(t!)(&(p"1)(0)}+ hp

p!{ 1

(p+ 1)y(p+1)(!!)(&(p)(/)}



Como

.(t!, h) =y(t! + h)( y(t!)

h( "(t!, y(t!);h),

entonces .(t!, h) es el error que se comete al truncar la edo usando el esquemanumerico.

Definicion 45 Error de Truncatura globalSe define el error de truncatura global .(h) como

.(h) = maxt!%[t0,t0+T ]

{|.(t!, h)|}.

Hay que observar que estos errores depende de la solucion exacta y(t).

Ejemplo 46 En el caso del metodo de Euler progresivo

&(t!, h) = hh

2y!!(/!) = h.(t!, h), /! " (t!, t! + h)

por lo que nos encontramos que

.(t!, h) =h

2y!!(/!) .

h

2-y!!-&,I = O(h), h ! 0.

Definicion 47 Consistencia de un metodo de un pasoDiremos que el metodo es consistente cuando

lımh'0

.(h) = 0.

Entonces su error de truncatura local es infinitesimo con respecto a h.

Observacion 18 Como consecuencia de lo visto, si el metodo es consistente en-tonces

y!(t) = f(t, y(t) = "(t, y(t); 0).

Solo pidiendo continuidad en " ya podemos concluir que el reciproco es cierto:

Lema 3 El metodo es consistente sı y solo si se cumple "(t, y(t); 0) = f(t, y(t)).

Dem: Para cada par t! y h existe c! " (t!, t!+h) tal que el error de consistencia es

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h"(t!, y(t!);h)

= y!(c!)( h"(t!, y(t!);h))

= h(f(c!, y(c!))( "(t!, y(t!);h))

= h(f(c!, y(c!))( "(c!, y(c!); 0) + "(c!, y(c!); 0)( "(t!, y(t!);h))



Entonces, como .(t!, h) = h"1&(t!, h), encontramos que

.(t!, h) = (f(c!, y(c!))( "(c!, y(c!); 0)) + ("(c!, y(c!); 0)( "(t!, y(t!);h)).

Si el metodo es consistente, entonces .(t!, h) ! 0 si h ! 0. Por continuidad de "y puesto que c! ! t!, entonces se tiene que f(t!, y(t!)) = "(t!, y(t!); 0). Por otrolado, si f(c!, y(c!)) = "(c!, y(c!); 0) entonces el error de truncatura es

.(t!, h) = "(c!, y(c!); 0)( "(t!, y(t!);h).

Entonces,

.(h) = maxt!%[t0,t0+T ]

{|.(t!, h)|} = maxt!%[t0,t0+T ]

{|"(c!, y(c!); 0)( "(t!, y(t!);h)|}.

La continuidad de " garantiza la continuidad uniforme con respecto a h y por lotanto, cuando h ! 0 se cumple

.(h) = maxt!%[t0,t0+T ]

{|"(c!, y(c!); 0)( "(t!, y(t!);h)|} ! 0.

!

Definicion 48 Orden de un metodo de un pasoDiremos que el metodo tiene orden p si para cualquier solucion y(t) del problemade Cauchy (PC) se tiene

.(h) = O(hp), h ! 0.

Ejemplo 49 En el caso del metodo de Euler progresivo

.(h) . h

2-y!!-& = O(h), h ! 0

por lo que es un metodo consistente de primer orden.

Todos los ejemplos vistos hasta ahora de metodos de un paso explıcitos son meto-dos consistentes. Evidentemente, la definicion dada aneriormente en terminos delas derivadas sigue siendo valida

Definicion 50 El metodo es de orden p sı y solo sı

1

jy(j)(t) =

(j"1

(hj"1"(t, y(t); 0), j = 1, 2, 3, .., p, )t " I.


Podemos afirmar que el metodo de Euler progresivo tiene orden 1 mientras que elde Heun posee orden 2:



Ejemplo 51 Estudiemos en detalle el metodo de Heun

yn+1 = yn +h

2{fn + f(tn+1, yn + h fn)}.

Sabemos que aquı es

"(tn, yn;h) =1

2{fn + f(tn + h, yn + h fn)}

y el error de consistencia viene dado por

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)(h

2f(t!, y(t!))(

h

2f(t! + h, y(t!) + h f(t!, y(t!)).

Calculamos las derivadas y comprobamos la caracterizacion del orden....

Equivale a... y como y!(t!) = f(t!, y(t!)) tenemos que

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)(h

2y!(t!)(

h

2f(t! + h, y(t!) + h f(t!, y(t!)).

Vamos a necesitar ahora la expansion de Taylor para una funcion de dos variables:Para las variables genericas x e y y los incrementos h y k tenemos (poniendof = f(x, y) y fs = (sf(x, y) para s = x, y)

f(x+ h, y + k) = f + h fx + k fy +h2

2fxx + h k fxy +

k2

2fyy + ...

Entonces, usando x 0 t!, h 0 h,y 0 y(t!) y k = h f(t!, y(t!)) = hy!(t!) obtenemos

f(t! + h, y(t!) + h f(t!, y(t!)) = f + hft + hy!(t!) fy

+h2

2ftt + hh y!(t!) fty +

h2y!(t!)2

2fyy + ...

Usando otra vez que f = f(t!, y(t!)) = y!(t!) tenemos que

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h y!(t!)(h2

2ft (

h2

2y!(t!) fy

( h3

4ftt (

h3

2y!(t!) fty (

h3y!(t!)2

4fyy + ...

Pero y!(t) = f(t, y(t)) implica que y!!(t) = ft(t, y(t)) + y!(t)fy(t, y(t)) por lo que

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h y!(t!)(h2

2y!!(t!)

( h3

4ftt (

h3

2y!(t!) fty (

h3y!(t!)2

4fyy + ...

=h3

3!y!!!(t!) + ...( h3

4ftt (

h3

2y!(tn) fty (

h3y!(tn)2

4fyy + ...

= h3{ 13!y!!!(/!)(

1

4ftt (

1

2y!(t!) fty +

y!(t!)2

4fyy}+O(h4)



para algun /! " (t!, t! + h). Entonces si tenemos acotaciones uniformes para lasderivadas de la solucion exacta y de f ocurre

&(t!, h) = O(h3), .(t!, h) = O(h2), .(h) = O(h2)

por lo que podremos afirmar que el metodo es consistente y tiene orden 2.

2.4.1. Cero-estabilidad

Vamos a formular un requerimiento analogo al concepto de estabilidad de Lia-punov para el esquema numerico. Consideramos los problemas

(PCDEp)

/z(h)n+1 = z(h)n + h{"(tn, z(h)n ;h) + -(h)

n+1},z0 = y(h)0 + %(h)0 ,

(PCDE)

/y(h)n+1 = y(h)n + h "(tn, y

(h)n ;h),

y0 = y(h)0

siendo 0 . n . N (h) ( 1 y bajo las hipotesis de que |%(h)0 |, |-(h)k | . & para 0 . k .

N (h).

Observacion 19 Observemos que N (h) = T/h por lo que N depende de h, de ahila notacion N (h).

Observacion 20 Observemos que h -(h)n+1 es el error en el incremento mientras que

%(h)0 lo es en la funcion. Entonces, el error en incremento cumple

|h -(h)n+1| . h&

mientras que el error en la funcion cumple

|%(h)0 | . &.

Por lo tanto, lo que estamos controlando es la razon del error en el incrementodividado por h, esto es, estamos pidiendo

000error en incremento

h

000 . &

Definicion 52 El esquema numerico (PCDE) para aproximar (PC) se dice que escero-estable si existe un h0 > 0 y una constante C > 0 independiente de h tal quepara todo h " (0, h0)

|z(h)n ( y(h)n | . C &, 0 . n . N (h)

donde z(h)n e y(h)n son las soluciones de los problemas de Cauchy discretos perturbado(PCDEp) y sin perturbar (PCDE) respectivamente.



Entonces tenemos que la cero-estabilidad esta pidiendo que en un intervalo acotadoel esquema numerico (PCDE) no amplifique los pequenos errores que se puedanintroducir en cada paso. Esto es fundamental a la hora de implementar el metodoen un ordenador. Si el metodo no es cero-estable los errores de redondeo hacen queel calculo de la solucion sea absolutamente inservible.

Observacion 21 Cero-estabilidad trata con el comportamiento para h ! 0 en unintervalo acotado; este es el origen del nombre de cero-estabilidad. Tenemos queobservar que esto es una propiedad del metodo numerico en sı mismo y no delproblema de Cauchy (PC).

Teorema 53 Cero-estabilidadConsideremos el esquema numerico (PCDE) para aproximar (PC). Supongamos quela funcion de incremento " es Lipschitz con respecto al segundo argumento con unaconstante % independiente de h y de los nodos tn, entonces (PCDE) es cero-estable.

Detalladamente, supongamos que existe un h0 > 0 tal que para todo h " (0, h0)

|"(t, z;h)( "(t, y;h)| . % |z ( y|.

Entonces se cumple la desigualdad

|z(h)n ( y(h)n | . eT"|%(h)0 |+maxk

|-(h)k |e

T" ( 1

%, n = 0, 1, 2, ...N (h)

de donde existe una constante C = eT" + (eT" ( 1)%"1 tal que

|z(h)n ( y(h)n | . C &, n = 0, 1, 2, ...N ( 1

siendo & el parametro que acota a las perturbaciones. Como consecuencia (PCDE)es cero-estable.

Dem: Ponemos w(h)n = z(h)n ( y(h)n para n = 0, 1, ..., N (h). Entonces

w(h)n+1 = w(h)

n + h{"(tn, z(h)n ;h)( "(tn, y(h)n ;h)}+ h -(h)

n+1

de donde

|w(h)n+1| . |w(h)

n |+ h%|w(h)n |+ h & = (1 + h%)|w(h)

n |+ h &, n & 0.

Una sencilla recursion nos da

|w(h)n+1| . (1 + h%)|w(h)

n |+ h & . (1 + h%)2|w(h)n"1|+ (1 + h%)h &+ h &

. (1 + h%)3|w(h)n"2|+ (1 + h%)2h &+ (1 + h%)h &+ h &

. ... . (1 + h%)n+1|w(h)0 |+ h &

n*

i=0

(1 + h%)i



Usando ahora que 1 + h% . eh" y la expresion para una suma geometrica de razon1 + h% obtenemos que

|w(h)n+1| . eh(n+1)"|w(h)

0 |+ h &(1 + h%)n+1 ( 1

1 + h%( 1

. eT"|w(h)0 |+ &

eT" ( 1

%. C &, n = 0, 1, 2, ...N ( 1

para C = eT"+(eT"(1)%"1 y siendo & el parametro que acota a las perturbaciones.!

Observacion 22 La constante que garantiza la estabilidad depende de T y de % demanera exponencial. Por lo que puede empeorar de manera muy importante.

Ejemplo 54 La cero estabilidad para el Metodo de Euler progresivo

"(tn, yn;h) = f(tn, yn)

se obtiene de la condicion de Lipschitz para f con respecto a la segunda variable.

Ejemplo 55 Para el metodo de Heun se sigue igual: veamos

"(tn, yn;h) =1

2{fn + f(tn + h, yn + h fn)}

entonces, si |f(t, y)( f(t, z)| . L |y ( z|

|"(t, y;h)( "(t, z;h)| . 1

2|f(t, y)( f(t, z)|

+1

2|f(t+ h, y + hf(t, y))( f(t+ h, z + hf(t, z))|

. L

2|y ( z|+ L

2|y + hf(t, y)( z ( hf(t, z)|

. L |y ( z|+ hL2

2|y ( z| = (L+

hL2

2)|y ( z|.

Podemos fijar como constante de Lipschitz la mayor de las posibles que sera validaentonces para cualquier h . h0. Tomamos entonces % = L + h0 L2/2 & %(h) =L+ hL2/2 y tendremos para cualquier valor de h . h0

|"(t, y;h)( "(t, z;h)| . (L+hL2

2)|y ( z| . % |y ( z|.

Ejemplo 56 Si consideramos el problema y!(t) = atan(y(t)), y(0) = y0 y lo apro-ximamos mediante el metodo de Euler explıcito, podemos estimar y!!(t) derivando laecuacion que y satisface y obtenemos -y!!-& . 0/2 siendo la constante de Lipschitz



L = 1. Por lo tanto, aplicando la estimacion de error obtenemos en un intervalo detiempo [0, T ] la estimacion de error

|en| . eT |e0|+0

4(eT ( 1)h.

Si queremos limitar el error a un valor & > 0 tendremos que tomar h y el errorinicial |e0| tales que

eT |e0|+0

4(eT ( 1)h . &.

2.4.2. Analisis de convergencia

Definicion 57 El el esquema numerico (PCDE) para aproximar (PC) se dice con-vergente si

max0(n(N(h)

|y(h)n ( y(tn)| ! 0, h ! 0.

Cuando max0(n(N(h) |y(h)n ( y(tn)| = O(hp) se dice que tiene un orden p de conver-gencia.

Teorema 58 Convergencia: Teorema de Lax-RichtmyerConsideremos el esquema numerico (PCD) para aproximar (PC). Supongamos quela funcion de incremento " es Lipschitz continua con respecto al segundoargumento con una constante % independiente de h y de los nodos tn; es decir,como en el Teorema 71. Entonces

|y(h)n ( y(tn)| . eT "|y(h)0 ( y(t0)|+ .(h)eT" ( 1

%, n = 1, 2, ..., N (h).

Por lo tanto, si el metodo es consistente y ademas lımh'0 |y(h)0 ( y(t0)| = 0

entonces el metodo es convergente. Ademas, si |y(h)0 ( y(t0)| = O(hp) y si elmetodo es de orden p entonces tambien la convergencia tiene orden p.

Dem: Ponemos otra vez w(h)n = y(tn) ( y(h)n y sustraemos para 0 . n . N (h) ( 1

las ecuaciones

y(h)n+1 = y(h)n + h"(tn, y(h)n ;h),

y(tn+1) = y(tn) + h"(tn, y(tn);h) + &(tn, h)

= y(tn) + h{"(tn, y(tn);h) + .(tn, h)}

y ahora repetimos el mismo argumento que en el Teorema 71; Tenemos que

w(h)n+1 = w(h)

n + h{"(tn, y(h)n ;h)( "(tn, y(tn);h)}+ h .(tn, h)



de donde usando la definicion .(h) = maxt%[t0,t0+T ]{|.(t, h)|}

|w(h)n+1| . |w(h)

n |+ h%|w(h)n |+ h .(h) = (1 + h%)|w(h)

n |+ h .(h), n & 0.

Repitiendo la recursion de antes

|w(h)n+1| . (1 + h%)n+1|w(h)

0 |+ h .(h)n*

i=0

(1 + h%)i

. eT"|w(h)0 |+ .(h)

eT" ( 1

%, j = 0, 1, 2, ...N (h) ( 1.

!Una reescritura inmediata es

Teorema 59 Si " es globalmente lipschitziana y f(t, y) = "(t, y; 0), entonces elmetodo de un paso es convergente.

La demostracion de este resultado ya la hemos visto

Teorema 60 Si f " Cp y las funciones

(j"1

(hj"1"(t, y(t); 0) j = 1, 2, 3, .., p,

existen y son continuas, entonces el metodo es de orden p sı y solo sı

((kh "(t, y; 0) =

1

k + 1f (k)(t, y), k = 0, 1, 2, .., p( 1

o bien, en terminos de y(t) solucion de y!(t) = f(t, y(t))

(j"1

(hj"1"(t, y(t); 0) =

1

jy(j)(t), j = 1, 2, 3, .., p, )t " I.

Dem: Pongamos

&k =1

(k + 1)!f (k)(t, y)( 1

k!((kh "(t, y; 0).

El desarrollo de Taylor de &n con respecto a h da

&n =p"1*

k=0

hk+1&k(tn, y(tn)) +hp+1

(p+ 1)!y(p+1)(cn)(

hp+1

p!((ph "(tn, y(tn);,n).

donde ,n " (0, hmax) y cn " (tn, tn+1). Entonces es claro que si &k = 0 parak = 0, .., p( 1 entonces el metodo es de orden p. Supongamos por otro lado que esde orden p y que existe un k . p( 1 tal que &l = 0 para l = 0, .., k siendo &k 1= 0.Entonces

&n = hk+1&k(tn, y(tn)) +O(hk+2).

y si el metodo es de orden p tiene que ser &k 0 0. !



Observacion 23 Podemos ver entonces que la convergencia solo se obtiene cuandotenemos consistencia y, por lo tanto, la funcion de incremento es una aproximacionde f(t, y) para h pequeno, lo que es razonable.

Ejemplo 61 Rigidez en los datos: Los datos del problema pueden hacer que hsea muy pequno: Tomemos el ejemplo

&'

(

d

dty(t) = 10 y + 11 t( 5 t2 ( 1, 0 < t . 3,

y(0) = 0,

que tiene por solucion y(t) = t2/2( t como se comprueba facilmente. Aquı tenemosque f(t, y) = 10 y + 11 t( 5 t2 ( 1 por lo que la constante de Lipschitz para f(t, y)con respecto a la segunda variable es L = 10. Si aplicamos aquı el metodo de Eulerprogresivo entonces la funcion de incremento es

"(t, y;h) = f(t, y)

por lo que la constante de Lipschitz % = L = 10. Por otro, como y(t) = t2/2 ( tresulta que y!!(t) = 1 y tenemos que el error de consistencia viene dado por

.(h) =h

2.

Por ultimo, si tomamos y(h)0 = 0 finalmente tenemos la estimacion de error

|y(tn)( y(h)n | . h

2

e30 ( 1

10, j = 1, 2, ...N (h)

donde recordemos que hN (h) = T = 3 y tn = nh para n = 1, 2, ..., N (h).Entonces si queremos que sea, por ejemplo,

|y(tn)( y(h)n | . 0.01, j = 1, 2, ...N (h)

estamos forzados a plantear

h

2

e30 ( 1

10. 0.01 / h <

1

5 (e30 ( 1)* 1.87...10"14.

Esto plantea una restriccion inabordable ya que practicamente pide h * 0. Porotro lado, si trabajamos con un intervalo mas pequeno de tiempo, por ejemplo T = 1,tenemos entonces

h

2

e10 ( 1

10. 0.01 / h <

1

5 (e10 ( 1)* 9.08...10"6.



Ahora resulta que esto plantea una restriccion h * 10"5. Entonces tenemos quetomar entorno a 105 = 100.000 puntos en la particion. Ahora la dificultad provieneen el excesivo uso de memoria que necesitamos hacer. Practicamente quedagarantizado el bloqueo de un ordenador normal. Este tipo de situaciones aparecenen las ecuaciones que se denominan como ecuaciones rıgidas, o ecuaciones malcondicionadas.

Debido a este tipo de situaciones puede ser necesario trabajar con metodos demayor orden en donde el error de consistencia sera menor, por ejemplo, con unRunge-Kutta de cuarto orden podremos tener en este ultimo caso de T = 1 y con.(h) = h4C que

h4 Ce" ( 1

%. 0.01 / h <

$ %

100C (e" ( 1)

%1/4

y dependiendo de los valores % y C podremos tener un valor de h mas razonablegracias a la raiz cuarta.

Ejemplo 62 Rigidez debida al dato inicial: Pequenas variaciones en el da-to inicial pueden ser tambien muy importantes en el calculo. Tomemos otra vez elmismo ejemplo de antes y supongamos que aplicamos el metodo de Euler progre-sivo pero ahora hemos tomado y(h)0 = & > 0 para & pequeno, quizas por accidente.Entonces tenemos la estimacion de error

|y(tn)( y(h)n | . e30&+h

2

e30 ( 1

10, j = 1, 2, ...N (h)

donde recordemos que hN (h) = T = 3 y tn = nh para n = 1, 2, ..., N (h). Ahoratrabaja en nuestra contra tambien el termino

e30& * 1013&.

Entonces, hacer pequeno este termino solo sera posible para una eleccion de & practi-camente igual al cero de la maquina

1013& . 0.01 3 & . 10"15.

Aquı trabajar con metodos de mayor orden en donde el error de consistencia seamenor no resuelve el problema.

2.4.3. Existencia de errores de redondeo

Cuando tenemos en cuenta los errores de redondeo, siempre existentes por otrolado, podemos combinar ambos resultados, la cero estabilidad y la convergencia.Consideramos los problemas

(PCDEp)

/z(h)n+1 = z(h)n + h"(tn, z

(h)n ;h) + /n+1,

z0 = y(h)0 + %0,



(PCDE)

/y(h)n+1 = y(h)n + h "(tn, y

(h)n ;h),

y0 = y(h)0

siendo 0 . n . N (h)(1 y vamos a suponer que las perturbaciones %0 y /j provienende los errores de redondeo inherentes a la maquina con la que se realiza elcalculo. Estas perturbaciones no van a desaparecer, es decir, existe un valor positivo&min tal que j = 1, 2, ..., N (h)

|%0|, |/j| & &min > 0.

En el caso mas simple, si suponemos que la perturbacion en cada paso fuese lamınima, positiva y constante, es decir, |%0| = |/j| = &min, tendrıamos

|z(h)n ( y(h)n | . eT"&min +&min

h

eT" ( 1

%, n = 1, 2, ...N (h).

Cuando hacemos la estimacion de error debemos tener en cuenta que la solucionque calculamos es z(h)n en vez de y(h)n por lo que la cantidad a medir realmentees |y(tn)( z(h)n | que se estima como

|y(tn)( z(h)n | . |y(tn)( y(h)n |+ |y(h)n ( z(h)n |.

Entonces, tenemos para n = 1, 2, ...N (h)

|y(tn)( z(h)n | . eT"|y(h)0 ( y(t0)|+ .(h)eT" ( 1

%+ eT"&min +

&min

h

eT" ( 1

%

= eT"{|y(h)0 ( y(t0)|+ &min}+eT" ( 1

%{.(h) + &min

h}.

Por lo tanto, la presencia de errores de redondeo no permite deducirconvergencia cuando h ! 0. De hecho, existe un valor optimo de h, hopt > 0 parael cual el error se minimiza. Por debajo de este valor de h, es decir, si h < hopt loserrores de redondeo se acumulan y dominan todo el calculo haciendo que el errorglobal crezca.

Este aspecto era realmente importante con ordenadores mas antiguos. Hoy endıa se puede suponer que &min * 10"17 y es extrano que el error de redondeo seacumule de manera incontrolada, aunque puede ocurrir.

2.4.4. Comportamiento asintotico del error

El comportamiento asintotico del error nos permite usar el proceso de extra-polacion de Richardson para mejorar el orden de convergencia de un metodo.



Definicion 63 Si el metodo es de orden p, a la diferencia

1

(p+ 1)!f (p)(t, y)( 1

p!((ph "(t, y; 0).

se le llama error principal.

Teorema 64 Supongamos que el metodo es estable de orden p & 1 y que f "Cp+1(I'Rm) siendo " " Cp+1(I'Rm' [0, h!];Rm) y ademas el error entre valoresiniciales de orden p, i.e., |" ( "h| = O(hp). Entonces

y(tn)( yn = hpz1(tn) + (" ( "h)z0(tn) +O(hp+1) (2.21)

donde z0(t) y z1(t) satisfacen los problemas&'

(

d

dtz!0(t) = (yf(t, y(t))z0(t),

z0(0) = 1,

&'

(

d

dtz!1(t) = (yf(t, y(t))z1(t) +&p(t, y(t))!(t)p,

z1(0) = 0,

donde la funcion !(t) garantiza la regularidad de la particion.

De hecho, cuando el paso se toma uniforme se tiene el siguiente resultado

Teorema 65 Supongamos que el metodo es estable de orden p & 1 y que f "Cp+r+1(I'Rm) siendo " " Cp+r+1(I'Rm' [0, h!];Rm) y ademas " = "h. Entoncesexisten funciones zp, zp+1, ..., zp+r tales que

y(tn)( yn = hpzp(tn) + hp+1zp+1(tn) + ...+ hp+rzp+r(tn) +O(hp+r+1) (2.22)

2.4.5. Extrapolacion y estimacion practica del error

Cuando tenemos una estimacion del error en nuestras manos existen varias lıneasde trabajo que nos permiten extraer informacion. Por ejemplo, el metodo es con-vergente de orden p > 0, el error es de la forma E(h) * c hp. Por lo tanto, se puedeobtener que

log(E(h)) * log(c) + p log(h)

lo que nos permite combinar valores distintos de h y estimar los parametros delerror c y p. Por ejemplo, debe ser E(h/2) * c (h/2)p y entonces

E(h)

E(h/2)* 2p / p * log(

E(h)

E(h/2))/ log(2).



Ejemplo 66 El orden de un metodo numerico para un problema en el que no seconoce la solcuion exacta se puede realizar usando tres particiones distintas. Sisuponemos que

y(tn) = yn + hpC +O(hp+1) (2.23)

el uso de h,h/2 y h/4 origina tres valores que sirven para eliminar y(tn), a saber,si tn = t! fijo, entonces

y(t!) = yn + hpC +O(hp+1) (2.24)

y(t!) = y2n + (h/2)pC +O((h/2)p+1) (2.25)

y(t!) = y4n + (h/4)pC +O((h/4)p+1) (2.26)

entonces

yn ( y2n * (hp ( (h/2)p)C (2.27)

y2n ( y4n * ((h/2)p ( (h/4)p)C (2.28)

de donde

yn ( y2ny2n ( y4n

* 2p. (2.29)

Por otro lado, tambien podemos usar las expresiones anteriores para desarrollar unmetodo de orden mas alto. Tomamos una particion de talla h y tenemos en t! = tn

y(t!)( yn = hpzp(t!) + hp+1zp+1(t!) + ...

si ahora usamos una de talla h/2, en t! = t2n obtenemos

y(t!)( y2n = (h/2)pzp(t!) + (h/2)p+1zp+1(t!) + ...

entonces

2py2n ( yn = (2p ( 1)y(t!) + hp+1zp+1(t!)/2 + ...

o bien

2py2n ( yn2p ( 1

= y(t!) + hp+1 zp+1(t!)

2(2p ( 1)+ ...

por lo tanto, con una combinacion lineal de dos estimaciones del mismo ordenconseguimos una de orden superior.



2.5. Metodos de un paso implıcitos. Esquemas dePrediccion-Correccion

Vamos a adaptar lo visto al caso implıcito. Esto se hace sin dificultad siendolo mas complicado el garantizar que el problema implıcito es resoluble en cadaiteracion.

Los esquemas implicitos tienen grandes ventajas, como ya hemos visto en algunosejemplos en donde la constante de Lipschitz es grande. Siendo la desventaja elcalculo implıcito, este se puede resolver mediante un metodo de punto fijo, o unmetodo de Newton. Aquı sabemos que lo importante es encontrar un punto departida cercano a la solucion buscada. Esto se hace con un metodo explıcito. Porlo tanto, los esquemas Prediccion-Correccion funcionan como sigue:

1. Prediccion: usando un esquema explıcito se da un valor inicial.

2. Correccion: usando un esquema implıcito se corrige este valor inicial.

ver ejemplo 6.10, 6.11, 6.12 en Epperton.Suponemos ahora que trabajamos con metodos numericos de un paso implıcitos

en la forma general

(PCDI)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h"(tn, yn, yn+1;h), 0 . n . N ( 1

(PCDI quiere decir Problema de Cauchy Discreto Implıcito).

Ejemplo 67 La !-familia asociada al Metodo de Euler cuando ! 1= 0 son ejemplode estos metodos.

"(tn, yn, yn+1;h) = (1( !)f(tn, yn) + !f(tn+1, yn+1), (tn+1 = tn + h)

La ecuacion de punto fijo que se genera en cada problema es

y = yn + h"(tn, yn, y;h) = G(y)

entonces siG es contractiva tendremos punto fijo. Para eso solo hace falta -G!-& < 1o lo que es lo mismo

h <1

M, M = -(y"(·, ·, y; ·)-&.

Para poder iniciar entonces un proceso de punto fijo podemos obtener un valorinicial usando un metodo explıcito.


2.5. Metodos de un paso implıcitos. Esquemas de Prediccion-Correccion 71

Definicion 68 Error de consistenciaPara cada valor de h el error de consistencia en un punto t! fijo es el error que secomete cuando se fuerza que la solucion exacta cumpla el esquema numerico. Si lodenotamos por &(t!, h), entonces

&(t!, h) = y(t! + h)( y(t!)( h"(t!, y(t!), y(t! + h);h).

Suponemos que f " Cp entonces y " Cp+1 y ademas " " Cp como hipotesis detrabajo y tomamos

&(h) = "(t!, y(t!), y(t! + h);h)

entonces de manera analoga al caso explıcito

&(t!, h) = h{y!(t!)(&(0)}+ h2{12y!!(t!)(&!(0)}+ h3

2!{13y!!!(t!)(&!!(0)}+ ...

+ +hp

(p( 1)!{1py(p)(t!)(&(p"1)(0)}+ hp+1

p!{ 1

(p+ 1)y(p+1)(!!)(&(p)(/)}

donde !! " (t!, t!+h) y / " (0, h). Entonces las potencias de h que se anulen en estedesarrollo nos daran una caracterıstica del metodo que denominaremos el orden delmetodo. La unica diferencia es que la diferenciacion de & con respecto a h es mascomplicada que en el caso explıcito.

Definicion 69 Diremos que el metodo es de orden p si todas las potencias menoreso iguales a p se cancelan, esto es

1

jy(j)(t) = &(p"1)(0), j = 1, 2, 3, .., p, )t " I.

esto es

1

jy(j)(t) =

(j

(hj"(t, y(t), y(t); 0), j = 1, 2, 3, .., p, )t " I.


Las definiciones de consistencia, orden del metodo y convergencia siguen como enel caso explıcito. Por ejemplo, se tiene que

Lema 4 El metodo es consistente sı y solo si se cumple "(t, y(t), y(t); 0) = f(t, y(t)).

Ejemplo 70 Se puede ver facilmente que Euler implıcito es de orden 1.

En cuanto al concepto de cero-estabilidad aquı simplemente necesitaremos unacondicion de Lipschitz para las dos variables que aparecen en los esquemas

(PCDIp)

/z(h)n+1 = z(h)n + h{"(tn, z(h)n , z(h)n+1;h) + -(h)

n+1},z0 = y(h)0 + %(h)0 ,



(PCDE)

/y(h)n+1 = y(h)n + h "(tn, y

(h)n , y(h)n+1;h),

y0 = y(h)0

siendo 0 . n . N (h) ( 1 tal que |%(h)0 |, |-(h)k | . & para 0 . k . N (h).

Teorema 71 Cero-estabilidadConsideremos el esquema numerico (PCDI) para aproximar (PC). Supongamos quela funcion de incremento " es Lipschitz con respecto al segundo y tercer argumentocon una constante % independiente de h y de los nodos tn, entonces (PCDE) escero-estable.

Detalladamente, supongamos que existe un h0 > 0 tal que para todo h " (0, h0)

|"(t, z, z;h)( "(t, y, y;h)| . % {|z ( y|+ |z ( y|}.

Entonces se cumple la desigualdad

|z(h)n ( y(h)n | . eT"|%(h)0 |+maxk

|-(h)k |e

T" ( 1

%, n = 0, 1, 2, ...N (h)

de donde existe una constante C = eT" + (eT" ( 1)%"1 tal que

|z(h)n ( y(h)n | . C &, n = 0, 1, 2, ...N ( 1

siendo & el parametro que acota a las perturbaciones. Como consecuencia (PCDE)es cero-estable.

Dem: Ponemos w(h)n = z(h)n ( y(h)n para n = 0, 1, ..., N (h). Entonces

w(h)n+1 = w(h)

n + h{"(tn, z(h)n , z(h)n+1;h)( "(tn, y(h)n , y(h)n+1;h)}+ h -(h)

n+1

de donde, suponiendo que % tambien garantiza la resolubilidad unica de cada pro-blema implıcito,

(1( h%)|w(h)n+1| . |w(h)

n |+ h%|w(h)n |+ h &, n & 0.

Por lo tanto,

|w(h)n+1| .

1 + h%

1( h%|w(h)

n |+ 1

1( h%h &, n & 0.

Recursion nos da

|w(h)n+1| .

$1 + h%

1( h%

%n+1|w(h)

0 |+ h &(1( h%)"1n*

i=0

(1 + h%)i

(1( h%)i

usando1 + h%

1( h%= 1 + h

2%

1( h%,



que 1 + hx . ehx y la expresion para una suma geometrica de razon 1 + h%obtenemos que

|w(h)n+1| . e2h(n+1)"/(1"h")|w(h)

0 |+ h &(1+h"1"h")

n+1 ( 1

1 + h 2"1"h" ( 1

(1( h%)"1

. eT"/(1"h")|w(h)0 |+ &

eT"/(1"h") ( 1

2%. C &, n = 0, 1, 2, ...N ( 1

para C = eT"/(1"h") + (eT"/(1"h") ( 1)(2%)"1 y siendo & el parametro que acota alas perturbaciones. !

Observacion 24 Como en los metodo explıcitos, la constante que garantiza la es-tabilidad depende de T y de % de manera exponencial. Por lo que puede empeorarde manera muy importante.

Ejemplo 72 La cero estabilidad para el Metodo de Euler regresivo

"(tn, yn, yn+1;h) = f(tn + h, yn+1)

se obtiene de la condicion de Lipschitz para f con respecto a la segunda variable.

El analisis de convergencia se hace ahora de forma analoga a los metodos explıci-tos, por ejemplo,

Teorema 73 Si " es globalmente lipschitziana y f(t, y) = "(t, y, y; 0), entonces elmetodo de un paso implıcito es convergente.

Ejemplo 74 El metodo del trapecio tenemos

"(t, yn, yn + 1;h) =1

2{f(tn, yn) + f(tn+1, yn + 1)}

y sabemos que es de segundo orden. Ademas, al aplicarlo al problema lineal y! = ,yobtenemos el esquema

yn+1 =2 + h,

2( h,yn

Ejemplo 75 Rigidez en los datos: Sabemos que con un metod explıcito los datosdel problema pueden hacer que h sea muy pequno: Recordemos el ejemplo

&'

(

d

dty(t) = 10 y + 11 t( 5 t2 ( 1, 0 < t . 3,

y(0) = 0,



con solucion y(t) = t2/2 ( t y f(t, y) = 10 y + 11 t ( 5 t2 ( 1. Aplicando el metodo

de Euler progresivo con y(h)0 = 0 tenemos la estimacion de error

|y(tn)( y(h)n | . h

2

e30 ( 1

10, j = 1, 2, ...N (h)

donde recordemos que hN (h) = T = 3 y tn = nh para n = 1, 2, ..., N (h). Ya hemosvisto que esto es muy restrictivo sobre h. Si queremos que sea, por ejemplo,

|y(tn)( y(h)n | . 0.01, j = 1, 2, ...N (h)

estamos forzados a plantear

h

2

e30 ( 1

10. 0.01 / h <

1

5 (e30 ( 1)* 1.87...10"14.

Esto plantea una restriccion inabordable ya que practicamente pide h * 0. Porotro lado, si trabajamos con un intervalo mas pequeno de tiempo, por ejemplo T = 1,tenemos entonces

h

2

e10 ( 1

10. 0.01 / h <

1

5 (e10 ( 1)* 9.08...10"6.

Ahora resulta que esto plantea una restriccion h * 10"5. Entonces tenemos quetomar entorno a 105 = 100.000 puntos en la particion. Ahora la dificultad provieneen el excesivo uso de memoria que necesitamos hacer. Practicamente quedagarantizado el bloqueo de un ordenador normal. Este tipo de situaciones aparecenen las ecuaciones que se denominan como ecuaciones rıgidas, o ecuaciones malcondicionadas.

Debido a este tipo de situaciones puede ser necesario trabajar con metodos demayor orden en donde el error de consistencia sera menor, por ejemplo, con unRunge-Kutta de cuarto orden podremos tener en este ultimo caso de T = 1 y con.(h) = h4C que

h4 Ce" ( 1

%. 0.01 / h <

$ %

100C (e" ( 1)

%1/4

y dependiendo de los valores % y C podremos tener un valor de h mas razonablegracias a la raiz cuarta.

Otra posibilidad se abre ahora con el uso de un metodo implıcito como el deEuler regresivo,

yn+1 = yn + h fn+1.

Entoncesyn+1 = yn + h (10 yn+1 + 11 tn+1 ( 5 t2n+1 ( 1)

de dondeyn+1 = (yn + h (11 tn+1 ( 5 t2n+1 ( 1))/(1( h 10)

.....a terminar el ejemplo



Ejemplo 76 Rigidez debida al dato inicial: Pequenas variaciones en el da-to inicial pueden ser tambien muy importantes en el calculo. Tomemos otra vez elmismo ejemplo de antes y supongamos que aplicamos el metodo de Euler progre-sivo pero ahora hemos tomado y(h)0 = & > 0 para & pequeno, quizas por accidente.Entonces tenemos la estimacion de error

|y(tn)( y(h)n | . e30&+h

2

e30 ( 1

10, j = 1, 2, ...N (h)

donde recordemos que hN (h) = T = 3 y tn = nh para n = 1, 2, ..., N (h). Ahoratrabaja en nuestra contra tambien el termino

e30& * 1013&.

Entonces, hacer pequeno este termino solo sera posible para una eleccion de & practi-camente igual al cero de la maquina

1013& . 0.01 3 & . 10"15.

Aquı trabajar con metodos de mayor orden en donde el error de consistencia seamenor no resuelve el problema.

.....a terminar el ejemplo.....

2.5.1. Metodos de Taylor

Una idea atractiva a la hora de generar metodos para resolver un Problema deCauchy la representa el considerar el desarrollo de Taylor asintotico de la solucion,cuando este existe (observa que y(t) = e"1/t2 no lo tiene en t = 0 a pesar de serdiferenciable). Podemos construir un metodo de orden p tomando como funcion "la siguiente

"(t, y, h) = f(t, y) +h

2f (1)(t, y) +

h2

3!f (2)(t, y) + ...+

hp"1

p!f (p)(t, y).

Es claro que si p = 1 tenemos el metodo de Euler y que si las funciones f (k)(t, y)satisfacen una condicion de Lipschitz con constante Lk entonces " es Lipschitz conconstante

% = L0 +h

2L1 +

h2

3!L2 + ...+

hp"1

p!Lp.

Estos metodos se conocen como metodos de Taylor pero presentan el inconvenientede tratar con derivadas. Tambien se pueden describir a partir del desarrollo deTaylor de la solucion

y(t+ h) = y(t) + hy!(t) +h2

2!y!!(t) + ...+

hm

m!y(m(t) + ...



(de hecho, hemos definido y(m(t) = f (m)(t, y(t))) y quedarnos con solo unos cuantosterminos, por ejemplo

y(t+ h) * y(t) + hy!(t) +h2

2!y!!(t) + ...+

hm

m!y(m(t)

lo que genera el esquema de Taylor de orden m

yn+1 = yn + hy!n +h2

2!y!!n + ...+

hm

m!y(mn

con error de la formahm+1

(m+ 1)!y(m+1(t) + ...

Ejemplo 77 El caso m = 1 coincide con el metodo de Euler progresivo.

Ejemplo 78

y!(t) = 1 + y(t)2 + t3

y(1) = (4

entonces tenemos que

y!!(t) = 2y(t) y!(t) + 3 t2, y(3(t) = 2y(t) y!!(t) + 2y!(t) y!(t) + 6 t, ...

entonce el metodo de orden dos sera

yn+1 = yn + h y!n +h2

2!y(2n

y0 = (4

o lo que es lo mismo

yn+1 = yn + h f(tn, yn) +h2

2!{2 yn f(tn, yn) + 3t2n}

y0 = (4.

Ejemplo 79 Para el sistema

y!(t) = 10 y(t) + 11 t( 5 t2 ( 1

y(0) = 0

la solucion es y(t) = t2/2( t y por lo tanto y!!(t) = 1. Entonces el esquema

yn+1 = yn + h f(tn, yn) +h2

2y0 = 0.

reproduce exactamente la solucion. Lo poco usual aquı es conocer el dato y!!(t) = 1.



La desventaja que estos metodos plantean es que para ordenes mayores se debende calcular las derivadas de la funcion f(t, y) que no siempre sera posible o facil.Una alternativa la constituyen los metodos de Runge-Kutta, aquı la funcion deincremento se construye a partir de la funcion f y no de sus derivadas; estudiamosestos metodos en el siguiente tema.

Ejemplo 80 Que ocurre si f no es regular? Para el sistema

y!(t) = 1 + |y ( 1|y(0) = 0

se tiene que f es Lipschitz continua pero no hay regularidad. Que ocurre con losmetodos de Euler y del trapecio??

Bibliografıa

Notas de Endre Suli, Wilkinson, libros de Iserles, Rappaz-Picasso, Crouzeix-Mignont, Epperson, Quarteroni-Valli y de las notas de clase de Frco. Arandiga yPep Mulet de la Universidad de Valencia.


Capıtulo 3

Metodos de Runge-Kutta

Vamos a estudiar estos metodos con un poco mas de detalle. Ya vimos al prin-cipio que se pueden interpretar como una extension del metodo de Euler progresivoen la que se pretende ajustar mediante un promedio la mejor pendiente por la queavanzar en el calculo. Recordemos por ejemplo el metodo de Heun que es

yn+1 = yn + h1

2{f(tn, yn) + f(tn + h, yn + h fn)}

donde se puede observar la toma de dos muestras de pendientes distintas antes deavanzar. Entonces se mantiene la estructura de metodo de un paso pero se pierdela linealidad.

Los metodos de Runge-Kutta son una familia de los metodos de un paso. Laforma mas general de un metodo de RK es

(RK)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h"(tn, yn;h), 0 . n . N ( 1

y la funcion incremento "(tn, yn;h) es nuestro promedio de pendientes: se definepara coeficientes b1, b2, ..., bS, tales que

.Si=1 bi = 1 con lo que se promedian las

pendientes, como

"(tn, yn;h) =S*

i=1

bi ki,

ki = f(tn + ci h, yn + hS*

j=1

ai,j kj), i = 1, 2, .., S

donde a S es el numero de etapas del metodo.

Observacion 25 Si el metodo es consistente, esto es, "(t, y; 0) = f(t, y), en-tonces

S*

i=1

bi = 1.

78

79

En el caso en el que ai,j = 0 para j & i todo es calculable de forma explıcita y sepueden interpretar las coordenadas tn+ ci h, yn+h

.i"1j=1 ai,j kj como direcciones de

sondeo en las que se toman muestras de la pendiente para ası promediar antes derealizar el calculo definitvo. Por lo tanto, el numero de etapas se puede interpretartambien como el numero de sondeos o muestras que se toman.

La generalizacion al caso implıcito se puede plantear y ver bajo que condicionesproduce un metodo computable ası como que ventajas aporta. Esto lo vemos masadelante.

Los coeficientes {ai,j}, {ci}, {bi} determinan completamente el metodo de RKy normalmente se recolectan en lo que se conoce como matriz de Butcher

c1 a1,1 a1,2 . . . a1,Sc2 a2,1 a2,2 . . . a2,S...

.... . .

...cS aS,1 aS,2 . . . aS,S

b1 b2 . . . bS

Observacion 26 Aquı se asume como condicion de escalamiento de los coeficientesque

ci =s*

j=1

ai,j, i = 1, 2, .., S

y gracias a.S

i=1 bi = 1 los metodos de Runge-Kutta son consistentes.

Esta claro que cuando los coeficientes ai,j son cero para j & i el metodo esexplıcito puesto que cada ki se puede obtener en terminos de k1, k2, ..., ki"1 quehan sido ya calculados. La matriz en este caso es de la forma

0 0 0 . . . 0 0c2 a2,1 0 . . . 0 0...

.... . . . . .

......

.... . . . . .

...cS aS,1 aS,2 . . . aS,S"1 0

b1 b2 . . . bs"1 bS

Para los metodos implıcitos hay entradas no cero a partir de la diagonal.El metodo de RK es de orden p si .(h) = O(hp) cuando h ! 0 y si un

metodo de RK es consistente con orden p entonces converge con orden p.Un ejemplo clasico de metodo de Runge-Kutta explıcito de orden 4 con 4 etapas

es

yn+1 = yn +h

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)


80 Capıtulo 3 Metodos de Runge-Kutta

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +h

2, yn +

h

2k1)

k3 = f(tn +h

2, yn +

h

2k2)

k4 = f(tn + h, yn + h k3)

la matriz de Butcher en este caso es

0 0 0 0 01/2 1/2 0 0 01/2 0 1/2 0 01 0 0 1 0

1/6 2/6 2/6 1/6

La tecnica estandard para derivar estos metodos consiste en forzar un orden deconsistencia prefijado. Esto equivale a que el numero mas alto de terminos enel desarrollo de Taylor de y(t + h) en torno a t coincidan con los de la solucionaproximada yn+1 suponiendo que se toma un paso del metodo de RK empezandopor la solucion exacta y(t). Veamos algunos ejemplos:

Metodos de Runge Kutta explıcitos de una etapa

En el caso S = 1 obtenemos el metodo de Euler explıcito.

Metodos de Runge Kutta explıcitos de dos etapas

Vamos a considerar el caso S = 2. Tenemos entonces la matriz de Butcher

c1 0 0c2 a2,1 0

b1 b2

con c1 = 0, c2 = a2,1 y b1 + b2 = 1. El metodo resulta ser

&(t;h) = y(t+ h)( y(t)( h"(t, y(t);h) = y(t+ h)( y(t)( h {b1 k1 + b2 k2}

siendo

k1 = f(t, y(t)), k2 = f(t+ h c2, y(t) + h a21 f(t, y(t))).

Sabemos que el desarrollo de Taylor para y(t+ h) respecto a t es

y(t+ h) = y(t) + h y!(t) +h2

2y!!(t) +O(h3)


81

donde paramos en el termino de errorO(h3) ya que sabemos que el orden del metodono puede ser mayor que S = 2 por lo que el error de consistencia &(t;h) lo vamos abuscar en la forma &(t;h) = O(h3). Entonces tenemos que

&(t;h) = h y!(t) +h2

2y!!(t) +O(h3)( h {b1 k1 + b2 k2}.

siendo

k1 = f(t, y(t)) = y!(t), k2 = f(t+ h c2, y(t) + h a21 y!(t)).

Recordemos que desarrollo de Taylor de una funcion de dos variables se puededescribir de forma simbolica como

f(x+ h, y + k) =*

n)1

1

n!{h(x + k(y}n f(x, y).

Entonces, el desarrollo de Taylor de k2 en un entorno de t y truncando la expansional segundo orden nos da

k2 = f(t, y(t)) + hc2{(tf(t, y(t)) + y!(t)(yf(t, y(t))}+O(h2)

= y!(t) + hc2 y!!(t) +O(h2)

usando que y!!(t) = (tf(t, y(t)) + f(t, y(t))(yf(t, y(t)). Por lo tanto, tenemos

&(t;h) = h y!(t) +h2

2y!!(t) +O(h3)( b1h y

!(t)( h b2 y!(t)( h2 a21 c2 y

!!(t) +O(h3).

usando que b1 + b2 = 1 el termino h y!(t) se anula y si forzamos c2a21 = 1/2obtendremos un orden de consistencia p = 2, ya que entonces tenemos

&(t;h) = O(h3) h ! 0.

Nos encontramos entonces con una completa familia de metodos explıcitos de Runge-Kutta, de entre los cuales el metodo de Heun y el metodo de Euler modificado sondos de ellos:

1. Metodo de Heun o Euler mejorado caso b1 = b2 = 1/2 y c2 = 1

yn+1 = yn +h

2{fn + f(tn+1, yn + h fn)}

2. Metodo de Euler modificado caso b1 = 0, b2 = 1 y c2 = 1/2


2, un +

h

2fn)



Metodos de Runge Kutta explıcitos de tres etapas

Se puede ver que ocurre en el caso S = 3 siguiendo las mismas ideas. Ejemplostıpicos son el metodo de Heun

yn+1 = yn +h

4(k1 + 3 k3)

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +h

3, yn +

h

3k1)

k3 = f(tn +2h

3, yn +

2h

3k2)

y el metodo estandard de tercer orden

yn+1 = yn +h

6(k1 + 4 k2 + k3)

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +h

2, yn +

h

2k1)

k3 = f(tn + h, yn ( h k1 + 2h k2)

la matriz de Butcher en este caso es

0 0 0 01/2 1/2 0 01 (1 2 0

1/6 4/6 1/6

Un ultimo ejemplo lo constituye el metodo de Nystrom, cuya matriz de Butcheren este caso es

0 0 0 02/3 2/3 0 02/3 0 2/3 0

1/4 3/8 3/8

Metodos de Runge Kutta explıcitos de cuatro etapas

El ejemplo mas popular es

yn+1 = yn +h

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +h

2, yn +

h

2k1)

k3 = f(tn +h

2, yn +

h

2k2)

k4 = f(tn + h, yn + h k3)


83

Hemos construido metodos de S etapas con orden S para S = 1, 2, 3, 4. Esnatural preguntarse si esta pauta se mantiene para S & 5. La respuesta a estapregunta se debe a John Butcher y es negativa. El siguiente resultado presenta unarelacion entre el orden de un metodo y las etapas:

Teorema 81 El orden de un metodo de Runge-Kutta explıcito de S etapas no puedeser mayor que S. Tampoco existe un metodo de Runge-Kutta explıcito de S etapasque tenga orden S para S & 5.

En particular, para ordenes entre 1 y 10 el mınimo numero Smin de etapasrequeridas para obtener un metodo con ese mismo orden se muestra en la siguientetabla

orden 1 2 3 4 5 6 7 8Smin 1 2 3 4 6 7 9 11

entonces se puede observar que 4 es el numero maximo para el que el ordencoincide con las etapas. Para mas de 4 etapas ya el orden es mas pequeno queel numero de etapas. Por lo tanto, es como decir que el esfuerzo en la construcciondel metodo se ve recompensado si S . 4 pero ya no para S & 5.

Obtencion alternativa de los metodos de Runge-Kutta

Sabemos que el problema de Cauchy se puede escribir como

(PCI) y(t) = y(t0) +

" t

t0

f(s, y(s)) ds.

Puesto que sabemos como aplicar formulas de cuadratura a las integrales definidasaproximar esta integral por una de ellas. Ponemos entonces

y(tn+1) = y(tn) +

" tn

tn+1

f(s, y(s)) ds = y(t0) +

" 1

0

f(tn + h s, y(tn + h s)) ds

y usamos una quadratura para aproximar la integral. Entonces

y(tn+1) = y(t0) +S*

j=1

bjf(tn + h cj, y(tn + h cj)).

Evidentemente, la dificultad esta en que no conocemos los valores /j = y(tn + h cj).Una forma facil de obtener un metodo de calculo es usar primero c1 = 0 y tomar/1 = yn. Entonces se construye un metodo explıcito si vamos definiendo los /j enterminos de combinaciones lineales de los anteriores como sigue:

/1 = yn



/2 = yn + ha2,1f(tn, /1)

/3 = yn + ha3,1f(tn, /1) + ha3,2f(tn + c2h, /2)...

/S = yn +S"1*

j=1

haS,jf(tn + cjh, /j)

y finalmente

yn+1 = yn + hS*

j=1

bjf(tn + cjh, /j)

de donde obtenemos los metodos de Runge-Kutta explıcitos.

Si ahora permitimos a los valores /1, ..., /S depender unos de los otros entoncesnos encontramos con la alternativa

/i = yn + hS*

j=1

ai,jf(tn + cjh, /j)

y entonces

yn+1 = yn + hS*

j=1

bjf(tn + cjh, /j)

Ejemplo 82 El siguiente metodo implıcito de Runge-Kutta de dos etapas, S = 2,tiene orden 3

/1 = yn +1

4h[f(tn, /1)( f(tn +

2

3h, /2)]

/2 = yn +1

12h[3f(tn, /1) + 5f(tn +

2

3h, /2)]

yn+1 = yn +1

4h[3f(tn, /1) + 3f(tn +

2

3h, /2)]

que tiene un tablero

0 1/4 1/42/3 1/4 5/12

1/4 3/4


85

Colocacion y metodos RK implicitos (RKI)

Supongamos que hemos realizado el calculo hasta (tn, yn) y queremos avanzarahora hasta (tn+1, yn+1). Escojemos S parametros de colocacion cj " [0, 1] y busca-mos un polinomio p de grado S tal que

p(tn) = ynp!(tn + cjh) = f(tn + cjh, p(tn + cjh)), j = 1, 2, ..., S.

Esto es, p cumple la condicion inicial y satisface la ecuacion diferencial de maneraexacta en S puntos. Entonces el metodo de colocacion consiste en encontrar p yentonces poner

yn+1 = p(tn+1).

Este metodo tambien origina exactamente los metodos de Runge-Kutta, aunque notodo metodo de RK proviene de colocacion, ver Iserles, pag 43. La ventaja de estaaproximacion reside en su posible uso teorico.

Siendo las formulas de quadraturas de Gauss las mas eficientes, resulta que losmetodos de colocacion que usan como parametros de colocacion cj " [0, 1] los cerosde los polinomios ortognales tienen orden 2S. Estos metodos se llaman de Gauss-Legendre (Runge-Kutta) metodos.

Lema 5 Ponemos

p(t) =S#

j=1

(t( cj), pj(t) =p(t)

t( cj, j = 1, 2, ..., S

y definimos

ai,j =

" cj

0

pi(s)

pi(ci)ds, bi =

" cj

0

pj(s)

pi(ci)ds, i, j = 1, 2, ..., S

entonces el metodo de colocacion con los puntos cj coincide con el metodo de RKIde tablero

c AbT

Dem: Iserles, pag 43 !

Ejemplo 83 El metodo del punto medio es uno de ellos. Aquı es S = 1 y elpolinomio ortogonal viene dado por p1(t) = t( 1/2. Por lo tanto, el metodo es

/1 = yn +h

2f(tn +

h

2, /1)


2, /1)



con tablero1/2 1/2

1

Podemos observar que

2/1 = 2yn + hf(tn +h

2, /1) = yn + yn+1 / /1 =

1

2(yn + yn+1)

Entonces se escribe en la forma mas conocida como


2,yn + yn+1

2).

Ejemplo 84 En el caso S = 2 y el polinomio ortogonal viene dado por p2(t) =t2 ( t+ 1/6 y las raices son

c1 =3(

23

6, c1 =

3 +23

6

Por lo tanto, el tablero es

3"#3

6 1/4 1/4(#36

3+#3

6 1/4 +#36 1/4

1/2 1/2

3.1. Metodos Runge-Kutta implıcitos

Los coeficientes {ai,j}, {ci}, {bi} determinan completamente el metodo de RKy se recolectan en la matriz de Butcher

c1 a1,1 a1,2 . . . a1,Sc2 a2,1 a2,2 . . . a2,S...

.... . .

...cS aS,1 aS,2 . . . aS,S

b1 b2 . . . bS

siendo la forma mas general de un metodo de RK de S etapas

(RK)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h

.Si=1 bi ki, 0 . n . N ( 1

donde


j=1

ai,j kj), i = 1, 2, .., S


3.1. Metodos Runge-Kutta implıcitos 87

para coeficientes b1, b2, ..., bS tales que.S

i=1 bi = 1. Ya vemos aquı el problema nolineal en terminos de los coeficientes ki para i = 1, 2, ..., S que aparece.

Vamos a simplificar un poco mas el problema no lineal a resolver tomando comoincognita en vez de las pendientes ki a usar, los valores yn,i donde se va a evaluarla pendiente ki, esto es escribimos

ki = f(tn + ci h, yn,i)

siendo

yn,i = yn + hS*

r=1

ai,j f(tn + cr h, yn,r), i = 1, 2, .., S.

Entonces, en vez de plantear los problemas (no lineales)


j=1

ai,j kj), i = 1, 2, .., S

nos ahorramos una evaluacion de la funcion f y planteamos los problemas (nolineales)

yn,i = yn + hS*

r=1

ai,r f(tn + cr h, yn,r), i = 1, 2, .., S.

para despues obtener ki = f(tn + ci h, yn,i).Esta claro que cuando los coeficientes ai,j son cero para j & i el metodo es

explıcito puesto que cada ki se puede obtener en terminos de k1, k2, ..., ki"1 quehan sido ya calculados. La matriz en este caso es de la forma

0 0 0 . . . 0 0c2 a2,1 0 . . . 0 0...

.... . . . . .

......

.... . . . . .

...cS aS,1 aS,2 . . . aS,S"1 0

b1 b2 . . . bs"1 bS

Para los metodos implıcitos hay entradas no cero a partir de la diagonal. Pero esinteresante destacar los metodos semi-implıcitos en donde se permite que hayaentradas no nulas en la diagonal pero no por encima de la misma. Entonces, paracada yn,i la ecuacion que se plantea es

yn,i = yn + hai,if(t+ cih,yn,i) + hi"1*

j=1

ai,j kj, i = 1, 2, .., S.



Por lo tanto se tiene que resolver una ecuacion para una incognita de forma des-acoplada del resto, por lo que se plantea una resolucion numerica mas facil que enel caso general implıcito en el que cada ecuacion involucra S incognitas.

Tomamos

A =

1

2223

a1,1 a1,2 . . . a1,Sa2,1 a2,2 . . . a2,S...

.... . .

...aS,1 aS,2 . . . aS,S

4

5556

Vamos a definir la matriz valor absoluto de A como |A| " RS ' RS dada por|A| = (|aij|)i,j y consideramos 1(|A|) el radio espectral de |A|.

Lema 6 Si - · - es una norma matricial, esto es -A · B- . -A--B-, entonces

lımk'+&

-Ak-1/k = 1(A).

Teorema 85 Si hL1(A) < 1 entonces el esquema de Runge-Kutta admite unaunica solucion, esto es, cada iteracion posee solucion unica. Ademas, para h "(0, h!) el esquema es estable.

Dem: Recordemos que la forma mas general de un metodo de RK de S etapas es

(RK)

!y0 = y(t0)yn+1 = yn + h

.Si=1 bi ki, 0 . n . N ( 1

donde


j=1

ai,j kj), i = 1, 2, .., S

para coeficientes b1, b2, ..., bS tales que.S

i=1 bi = 1.Tenemos que ver que el conjuntode ecuaciones, no lineales en general,


j=1

ai,j kj), i = 1, 2, .., S

es resoluble con solucion unica en cada paso. De forma mas sencilla, ver que lasecuaciones

yn,i = yn + hS*

r=1

ai,r f(tn + cr h, yn,r), i = 1, 2, .., S.

son resolubles para despues obtener ki = f(tn + ci h, yn,i). Si usamos el vectorY = (yn,1, yn,2, ..., yn,S)t nos encontramos con una ecuacion no lineal de la forma

Y = '(Y )


3.1. Metodos Runge-Kutta implıcitos 89

siendo ' : RS ! RS dada por

'i(Y ) = yn + hS*

j=1

ai,j f(tn + cjh, yn,j).

Para garantizar la unicidad de solucion tiene que ser ' contractiva. Entonces, dadosvectores Y, Z " RS tenemos

'i(Y )('i(Z) = yn + hS*

j=1

ai,j f(tn + cjh, yn,j)( (yn + hS*

j=1

ai,j f(tn + cjh, zn,j))

(observad que aquı los valores yn estan fijos) de donde aplicando la propiedad deLipschitz de f , tenemos

|'i(Y )('i(Z)| . hL |S*

j=1

ai,j yn,j (S*

j=1

ai,j zn,j| = hL |S*

j=1

ai,j(yn,j ( zn,j)|

= hL |(A(Y ( Z))i| . hLS*

j=1

|ai,j||yn,j ( zn,j|

= hL (|A||Y ( Z|)i

siendo |A||Y (Z| el producto de la matriz |A| por el vector |Y (Z| = (|yn,j(zn,j|)t.Por lo tanto,

maxi

{|'i(Y )('i(Z)|} = hL maxi

{(|A||Y ( Z|)i}.

Si consideramos la norma del maximo en RS , -Y -& = maxi{|Yi|} entonces hemosllegado a que

-'(Y )('(Z)|-& = hL -|A|-&-Y ( Z-& . hL -A-&-Y ( Z-&.

Por lo tanto, ' es contractiva con constante de contractividad ) = hL -A-&. En-tonces, si ) < 1 hemos terminado y si no tenemos ) < 1 pero tenemos hL1(A) < 1para algun valor de h < h! entonces podemos garantizar que existe una potenciade ' contractiva (al ser lımk'+& -Ak-1/k& = 1(A)) y a partir de ahı extraer quetambien ' lo es.

En cuanto a la estabilidad del esquema, solo tenemos que comprobar que lafuncion de incremento " cumple la condicion de Lipschitz. Como hicimos antes,tenemos que

"(tn, yn;h) =*

i

biki



siendo

ki = f(tn + ci h, yn,i), yn,i = yn + hS*

j=1

ai,j f(tn + ci h, yn,j),

y"(tn, zn;h) =

*

i

biwi

siendo

wi = f(tn + ci h, zn,i), zn,i = zn + hS*

j=1

ai,j f(tn + ci h, zn,j)

Por lo tanto,

|"(tn, yn;h)( "(tn, zn;h)| .*

i

|bi|L |yni ( zn,i|

pero

|yn,j ( zn,j| . |yn ( zn|+ hS*

r=1

|aj,r||kr ( wr|

. |yn ( zn|+ hLS*

r=1

|aj,r||yn,r ( zn,r|.

Si entendemos la desigualdad entre vectores como a desigualdad de cada una de suscomponentes, hemos obtenido que

|Y ( Z| . |yn ( zn|1+ hL|A||Y ( Z|

donde |A||Y ( Z| es el producto de la matriz |A| por el vector |Y ( Z| y 1 =(1, 1, .., 1)t. Por recurrencia en la desigualdad se obtiene que para cualquier m & 1

|Y ( Z| . |yn ( zn|$I + hL|A|+ ...+ hmLm|A|m

%1+ hm+1Lm+1|A|m+1|Y ( Z|

por lo que haciendo m ! +# llegamos a

|Y ( Z| . |yn ( zn|$I ( hL|A|

%"11

Por lo tanto,

|"(tn, yn;h)( "(tn, zn;h)| . L(*

i

|bi|)-$I ( hL|A|

%"1-&|yn ( zn|

y la constante de Lipschitz de la funcion incremento es

% = L(*

i

|bi|)-$I ( hL|A|

%"1-&.

!


3.2. Estabilidad absoluta 91

Observacion 27 Si el metodo de Runge-Kutta es explıcito tenemos que 1(|A|) = 0y por lo tanto siempre es estable.

Lema 7 Supongamos que hL1(|A|) < 1, entonces

1. El metodo es de orden 1 sı y solo sı es consistente, esto es "(t, y; 0) = f(t, y).Y esto ocurre sı y solo sı se tiene

.Si=1 bi = 1.

2. El metodo es de orden 2 sı y solo sı

bt1 =S*

i=1

bi = 1, btC1 = btA1 = 1/2.

3. Si A1 = C1, el metodo es de orden 3 sı y solo sı

bt1 = 1, btC1 = 1/2, btAC = 1/6, btC21 = 1/3.

4. Si A1 = C1, el metodo es de orden 4 sı y solo sı se cumplen las igualdadesanteriores y ademas

btC31 = 1/4, btAC21 = 1/2, btA2C1 = 1/24, btCAC1 = 1/8.

3.2. Estabilidad absoluta

El concepto de estabilidad absoluta es, de alguna manera, simetrico al de cero-estabilidad:

Existen situaciones en las que el problema de cauchy debe ser integrado sobreintervalos de tiempo muy grandes. Por lo tanto, estamos interesados tambien enmetodos que sean capaces de aproximar la solucion para intervalos de tiempo arbi-trariamente largos. Diremos que un metodo es absolutamente estable si para h fijoel valor de yn permanece acotado para tn ! +#. Esta propiedad se refiere entoncesal comportamiento asintotico de yn mientras que en el caso de la cero-estabilidadsolo requerimos que sea, para un intervalo fijo, acotado cuando h ! 0.

Para una definicion precisa consideramos el problema test

(PT )

!y!(t) = , y(t), t > 0,y(0) = 1,

donde , " C y cuya solucion es y(t) = e$ t. Entonces sabemos que

Re(,) < 0 / lımt'+&

|y(t)| = 0.



Observacion 28 Nos interesa trabajar con valores complejos de , puesto que elorigen de este , puede ser la raiz de un polinomio de coeficientes reales. Esto apa-recera al estudiar el problema lineal

!y!(t) = Ay(t), t > 0,y(0) = y0 " Rm

cuando A es una matriz cuadrada real m'm. Aquı la forma de proceder sera dia-gonalizar la matriz y trabajar con los autovalores de A, que pueden ser complejos:Pondremos % = V "1AV con % = diag{,1, ...,,m}. Entonces usando z = V "1yllegaremos al problema desacoplado

!z!(t) = % z(t), t > 0 3 z!j(t) = ,j zj(t), j = 1, 2, ..,mz(0) = V "1 y0 " Rm.

Definicion 86 Estabilidad absolutaUn metodo numerico para aproximar (PT) es absolutamente estable si

lımtn'+&

|yn| = 0. (3.1)

Sea h el paso de la discretizacion. Entonces la solucion numerica yn de (PT) dependede h y de ,. La region de estabilidad absoluta del metodo numerico se define comoel conjunto del plano complejo

A = {z = h, " C; tal que para (PT) se cumple (3.1)}.

Entonces A es el conjunto de productos h, " C para los que el metodo numericoconstruye aproximaciones para (PT) que decaen a cero cuando tn tiende a infinito.

Por ejemplo veamos la estabilidad absoluta de algunos de los metodos introdu-cidos:

1. Metodo de Euler progresivoAquı tenemos que yn+1 = yn + h,yn con y0 = 1. Entonces recursivamente enn obtenemos que

yn = (1 + h,)n, n & 0.

Entonces (3.1) se cumple sı y solo sı |1 + h,| < 1 y esto equivale a tener queh, esta dentro del cırculo de radio 1 y centro ((1, 0). Equivalentemente

h, " C" y 0 < h < (2Re(,)

|,|2

dondeC" = {z " C; Re(z) < 0},

en el caso , real tendrıamos h, " ((2, 0) Esto es ası ya que tiene que ser

|1 + h,|2 = (1 + h,)(1 + h,) = 1 + h2|,|2 + 2Re(,)h < 1

de donde h|,|2 + 2Re(,) < 0 que fuerza 0 < h < (2Re(,)/|,|2.


3.2. Estabilidad absoluta 93

0 1 2 3 4 5 6 7 8−50

0

50 Método de Euler progresivo: estabilidad absoluta

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.5

0

0.5

1

h=0.444

h=0.4

h=0.363

h=0.267

Figura 3.1: Estabilidad absoluta condicionada para el metodo de Euler progresivo.

Ejemplo 87 Para la ecuacion y!(t) = (5 y(t) para t > 0 y con y(0) = 1resulta que la estabilidad absoluta se encuentra para 0 < h < 2/5 = 0.4 yaque

|1( h 5| < 1 3 (1 < 1( h 5 < 1 / h < 2/5.

Cuando h esta fuera de este rango la solucion presenta oscilaciones que crecen,o se mantienen en el caso lımite h = 2/5, con tiempo. Dentro de este rango,las oscilaciones, si estan presentes, decrecen con el tiempo.

2. Metodo de HeunComo antes, tenemos que

yn = {(1 + h,+(h,)2

2)}n n & 0.

La region de estabilidad absoluta aquı es un poco mas complicada que en elcaso del metodo de Euler, pero su restriccion al eje real es la misma.

Diremos que un metodo es A-estable si C" $ A, o lo que es lo mismo, si A ,C" = C". Esto es, si para Re(,) < 0 se cumple la condicion (3.1) para (PT)independientemente del valor de h.

Los metodos explıcitos son condicionalmente estables, es decir, no sonA-estables. A-estabilidad se suele tener en los metodos implıcitos. Pero aquı nosencontramos con la desventaja de tener que resolver problemas no lineales en cadapaso debido al caracter implıcito de la ecuacion en cada iteracion. ¡No hay ningunaventaja gratis!.



3.3. Control del paso: Resolutores adaptativos ymetodos embebidos

Ver Epperson, seccion 6.9

Bibliografıa

Notas de Endre Suli, libros de Iserles, Rappaz-Picasso, Epperson, Crouzeix-Mignot, Quarteroni-Valli y de las notas de clase de Frco. Arandiga y Pep Mulet dela Universidad de Valencia.


Capıtulo 4

Metodos lineales multipaso

Los metodos de Runge-Kutta presentan una mejora sobre el metodo de Euler enterminos de precision a cambio de realizar un mayor esfuerzo computacional, esto es,evaluaciones de la funcion f . De hecho, a veces parece mas esfuerzo del que se podrianecesitar. Por ejemplo, el metodo de cuarto orden requiere cuatro evaluaciones porpaso. Por otro lado, si tomamos tres puntos consecutivos, tn"1, tn, tn+1 y aplicamosla integracion numerica de Simpson, obtenemos

y(tn+1) = y(tn"1) +

" tn+1

tn"1

f(s, y(s)) ds *

* y(tn"1) +1

3

+f(tn"1, y(tn"1)) + 4 f(tn, y(tn)) + f(tn+1, y(tn+1))

,

y esto nos puede llevar al metodo

yn+1 = yn"1 +1

3

+fn"1 + 4 fn + fn+1

,.

Este metodo no usa un solo paso, es multipaso, pero se puede ver que si que cumplecon el mismo orden de error que el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden, conuna evaluacion menos.

4.1. Metodos de Adams

Esta claro que inicialmente se tiene el problema

y!(t) = f(t, y(t)), t & t0, y(t0) = y0

y que la solucion esta unicamente determinada, si f es Lipschitz, por la condiconinicial, por lo que ir mas alla parece que no tenga sentido. De todas formas, unavez que la computacion comienza no hay razon por la que no se pueda aprovecharla informacion que hemos ido obteniendo.

95

96 Capıtulo 4 Metodos lineales multipaso

Por lo tanto, supongamos que yn es la solucion numerica en tn = t0 + nh ysupongamos que hemos obtenido los valores previos y0, y1, ..., yn+s"1 con un ordende error

ym = y(tm) +O(hs+1).

Vamos a avanzar ahora de tn+s"1 a tn+s, para ello usamos

y(tn+s) = y(tn+s"1) +

" n+s

n+s"1

y!(.) d. = y(tn+s"1) +

" n+s

n+s"1

f(., y(.)) d..

Observacion 29 Puede ser mas facil usar la notacion

y(tn+1) = y(tn) +

" n+1

n

y!(.) d. = y(tn) +

" n+1

n

f(., y(.)) d.

y usar los puntos (tn"m, f(tn"m, yn"m) para m = 0, 1, 2, ..., s para un metodo explıci-to y tomar m = (1, 0, 1, 2, ..., s ( 1 si lo queremos implıcito. Ambos con el mismonumero de pasos, ver Epperson pag 361.

La idea del Metodo de Adams es tomar los valores pasados para aproximar y! enel intervalo de integracion. Para ello tomamos el polinomio de interpolacion de losvalores f(tm, ym) para m = n, n + 1, n + 2, ..., n + s ( 1. Explıcitamente, tomamosel polinomio de grado s ( 1 que interpola los s valores (tn+m, f(tn+m, yn+m) param = 0, 1, 2, ..., s( 1

p(t) =s"1*

m=0

pm(t)f(tn+m, yn+m) " Ps"1(t)

donde las funciones pm(t) " Ps"1(t) son los polinomios de Lagrange de interpolacionen los puntos tn+m para m = 0, 1, 2, ..., s( 1, esto es

pm(t) " Ps"1(t), pm(tn+m) = 1, pm(tn+j) = 0, j,m = 0, 1, ..., s( 1 (j 1= m).

Entonces se cumple que

p(tn+m) = f(tn+m, yn+m) = y!(tn+m) +O(hs).

Usando la teorıa de interpolacion podemos poner siempre que y sea lo suficien-temente regular que

p(t) = y!(t) +O(hs), )t " [tn+s"1, tn+s].

Obtenemos entonces un metodo de orden p = s si sustituimos en la integral yreemplazamos y(tn+s"1) por yn+s"1. Esto es,

yn+s = yn+s"1 + hs"1*

m=0

bmf(tn+m, yn+m) (4.1)


4.2. Orden y convergencia de metodos multipaso 97

siendo

bm =1

h

" n+s

n+s"1

pm(.)d. =1

h

" h

0

pm(tn+s"1 + .)d., m = 0, 1, ..., s( 1. (4.2)

Observacion 30 Tenemos s coeficientes b0, b1, ..., bs"1 y un orden de consistenciap = s. Ademas, son independientes de n y de h; por lo que se pueden usar paraavanzar la iteracion de tn+s a tn+s+1 y ası sucesivamente.

Definicion 88 El esquema (4.1)-(4.2) se denomina metodo de Adams-Bashforthde s pasos.

Algunos ejemplos se pueden obtener facilmente para valores moderados de s:

el metodo de Adams-Bashforth explıcito de dos paso, s = 2

yn+2 = yn+1 + h{32fn+1 (

1

2fn}

el metodo de Adams-Bashforth explıcito de dos paso, s = 3

yn+3 = yn+2 + h{2312

fn+2 (4

3fn+1 +

5

12fn}

Los metodos de Adams-Bashforth son un ejemplo de metodos multipaso. Diferentesmetodos funcionan mejor en diferentes situaciones. Vamosa mirar primero la teorıageneral de orden y convergencia de estos metodos.

4.2. Orden y convergencia de metodos multipaso

Definicion 89 Dados los puntos tn con paso constante h, por simplicidad en lanotacion, consideramos la expresion general de un metodo lineal de k pasos

k*

j=0

)jyn+j = hk*

j=0

*jf(tn+j, yn+j) (4.3)

donde )j y *j son constantes y, para evitar casos degenerados o simplificaciones,suponemos que )k 1= 0 ()k = 1 por convenio) y que )0, *0 no son simultaneamentecero, esto es, )2

0 + *20 1= 0.

Observacion 31 Un metodo de k pasos involucra los k+1 valores yn, yn+1, ..., yn+k

y los 2 k + 1 coeficientes (suponemos )k = 1) )0,)1, ...,)k"1, *0, *1, ..., *k"1, *k.



En el caso en el que se tenga *k = 0 entonces yn+k se obtiene de forma expıcita delos valores yn+j para j = 0, 1, 2, .., k ( 1 y por lo tanto el metodo lineal de k pasos(4.3) es explıcito. Si *k 1= 0 entonces es implıcito. Este metodo se dice linealporque la expresion que aparece es lineal en los valores fj, cosa que no ocurre conlos metodos de Runge-Kutta. Algunos ejemplos ya vistos son

Metodos de Euler explıcito e implıcito

Metodo del trapecio

y algunos ejemplos bien conocidos en este area son

el metodo de Adams-Bashforth explıcito de cuatro pasos

yn+4 = yn+3 +1

24h{55 fn+3 ( 59fn+2 + 37fn+1 ( 9fn}

el metodo de Adams-Moulton implıcito de cuatro pasos

yn+4 = yn+3 +1

24h{9 fn+4 + 19 fn+3 ( 5fn+2 ( 9fn+1}

Definicion 90 Diremos que el metodo lineal de k pasos (4.3) tiene orden p & 1sı y solo sı

&(t, y) :=k*

j=0

)jy(tn+j)( hk*

j=0

*jf(tn+j, y(tn+j)) = O(hp+1), h ! 0, (4.4)

para toda funcion y(t) lo suficientemente regular y que existe al menos una funcionpara la que no se puede mejorar este orden.

El metodo de k pasos (4.3) se puede caracterizar en terminos de dos polinomios:

1(z) =k*

j=0

)jzj (4.5)

+(z) =k*

j=0

*jzj (4.6)

donde seguimos asumiendo )k = 1, )20 + *2

0 1= 0. Al polinomio (4.5) se le llamaprimer polinomio caracterıstico y a (4.6) se le llama segundo polinomiocaracterıstico.

Teorema 91 El metodo de k pasos (4.3) es de orden p & 1 sı y solo sı existe c 1= 0tal que

1(z)( +(z) log(z) = c (z ( 1)p+1 +O(|z ( 1|p+2), z ! 1. (4.7)


4.3. Cero-estabilidad 99

Dem: Iserles pag. 22. !Alternativamente, podemos observar que&(t, y) es lineal en y por lo que&(t, y) =

O(hp+1) sı y solo sı &(t, q) = 0 para cualquier polinomio de grado p. Entonces, pi-diendo

&(t, zk) = 0, k = 0, 1, 2, ..., p

obtenemos las condiciones sobre los coeficientes que genera el resultado previo.

Ejemplo 92 Se puede verificar facilmente el orden de los metodos de Adams-Bashforth expuestos como ejemplo (para ello es mejor trabajar con la variablez = w ( 1).

No hace falta decir que un metodo que no pueda integrar la mas simple edo no sedebe de usar.

Observacion 32 No se puede calificar un metodo exclusivamente por el orden. Porejemplo,

yn+2 ( 3yn+1 + 2yn = h[13

12fn+2 (

5

3fn+1 (

5

12fn]

es un metodo de orden 2. Pero si lo usamos para resolver y!(t) = 0 con y(0) = 1nos encontramos con que un simple paso tiene la forma yn+2 ( 3yn+1 + 2yn = 0 yesto es una relacion de recurrencia con solucion

yn = c1 + c22n, n = 0, 1, 2, ...

aquı necesitamos los valores y1 e y2 para lanzar la recurrencia y se puede ver facil-mente que si c2 1= 0 implica y1 1= y2. En este caso se verifica facilmente que elmetodo no es convergente. Tomamos t > 0 y hacemos h ! 0 tal que nh ! t.Evidentemente n ! +# y entonces |yn| ! +#, luego no hay convergencia.

Se debe observar que c2 1= 0 emergera tarde o temprano puesto que los errores deredondeo siempre estan presentes. Entonces si computamos durante bastante tiempose generara un valor c2 1= 0 y aparecera la inestabilidad.

Observacion 33 Por ejemplo, tomemos el metodo de dos pasos y segundo ordendado por

1(z) = z2 ( 2,01 z + 1,01, +(z) = 0,995 z ( 1,005

para resolver y!(t) = (y(t) con y(0) = 1....page 24 Iserles

4.3. Cero-estabilidad

Para comenzar a usar nuestro metodo multipaso necesitamos k valores previosque se habran conseguido de alguna forma, por ejemplo usando un metodo deRunge-Kutta. Es importante saber como puede afectar a los calculos los posibleserrores que se hayan cometido. Esto es, nos interesa estudiar la estabilidad delmetodo con respecto a a pequenas perturbaciones en los datos iniciales.



Definicion 93 Un metodo linear de k pasos se dice que es cero–estable si existeuna constante M tal que

|yn ( yn| . M maxj=0,1,..,k

{|yj ( yj|} (4.8)

para todo n & k + 1 y h tendiendo a cero.

Entonces tenemos que la cero-estabilidad esta pidiendo que en un intervalo acota-do el esquema numerico no amplifique los pequenos errores que se puedan haberintroducido en los valores iniciales. Esto es fundamental a la hora de implementarel metodo en un ordenador. Si el metodo no es cero-estable los errores de redondeohacen que el calculo de la solucion sea absolutamente inservible.

Cero-estabilidad trata con el comportamiento para h ! 0 y es de donde vieneel nombre de cero-estabilidad. Tenemos que observar que esto es una propiedad delmetodo numerico en sı mismo y no del problema de Cauchy (PC).

Vamos a desarrollar un criterio que permite verificar esta propiedad.

Teorema 94 Cero-estabilidad metodos lineales multipasoEl metodo es cero-estable sı y solo sı se cumple la condicion sobre las raices deque todas las raices del primer polinomio caracterıstico se encuentran en el cırculounidad y aquellas de modulo uno son simples.

Dem: Necesidad: Consideramos el metodo aplicado a la simple ecuacion y! = 0.

)kyn+k + )k"1yn+k"1 + ....+ )1yn+1 + )0yn = 0. (4.9)

Esta es una ecuacion en difefencias cuya solucion general tiene la forma

yn =*

i

pi(n)zni

donde zi son las raices del primer polinomio caracterıstico y pi es un polinomio degrado uno menos que la multiplicidad del cero zi. Claramente, si |zi| > 1 enton-ces nos encontramos con valores iniciales para los que la solucion crece como |zi|ny en el caso de que |zi| = 1 entonces nos encontramos con un crecimiento de laformanmi"1 donde mi es la multiplicidad de zi. En cualquiera de los dos casos nosencontramos con soluciones que crecen sin lımite cuando n ! +#, esto es, cuandoh ! 0 con nh fijo. Considerando entonces valores iniciales y0, ..., yk"1 que den lugara esta solucion no acotada y valores iniciales y0 = y1 = ... = yk"1 = 0 que dan lugara la solucion exacta yj = 0 para todo j podemos observar que la condicion de ceroestabilidad (4.8) no se puede cumplir.

Suficiencia: La demostracion de que teniendo la condicion sobre las raices seobtiene la cero estabilidad es larga y tecnica y sera omitida. Ver por ejemplo, K.W.Morton, Numerical Solution of Ordinary Di!erential Equations, Oxford Universityo bien P. Henrici, Variable Methods in ODEs, Wiley, New York, 1962. !


4.4. Consistencia 101

Ejemplo 95 Se pueden ver en los ejemplos pag 26 Suli

Ejemplo 96 Ejemplo 6.15 Epperson y seccion 6.4.4. donde se habla de los modosparasitos de los metodos multipaso con el ejemplo de la regla del punto medio.

4.4. Consistencia

Como en el caso de los metodos de un paso, introducimos el error de truncatura.Suponemos que +(1) 1= 0. Entonces,

Tn =

.kj=0

+)j y(xn+j)( h*jy!(xn+j)

,

h.k

j=0 *j

. (4.10)

Tambien se interpreta como el residuo resultante de introducir la solucion exactaen el metodo numerico y reescalarlo de manera apropiada de tal forma que

Tn * y!(t)( f(t, y(t)). (4.11)

Definicion 97 El esquema numerico (4.3) se dice consistente con la ecuacion di-ferencial si para el error de truncatura (4.10) se cumple

|T | ! 0

Si suponemos que la solucion es lo suficientemente regular se puede proceder aldesarrollo en serie de Taylor de y(xn+j) y de y!(xn+j) en torno a xn de tal formaque

Tn =1

h+(1)

+C0 y(xn) + C1h y

!(xn) + C2h2 y

!!(xn) + ...

,. (4.12)

donde

C0 =k*

j=0

)j = 1(1),

C1 =k*

j=1

j)j (k*

j=0

*j = 1!(1)( +(1),

C2 = ...

Entonces, para consistencia necesitamos C0 = C1 = 0 y esto en terminos de lospolinomios se puede decir como

1(1) = 0, 1!(1) = +(1) 1= 0.

Tenemos por lo tanto un cero de modulo uno pero simple. Por lo tanto la condicionsobre las raices se cumple.



Definicion 98 El metodo lineal de k pasos (4.3) se dice que tiene orden de precisionp si

|Tn| = O(hp), h ! 0.

Deducimos entonces que el metodo tiene orden p si y solo sı se cumple

C0 = C1 = .... = Cp = 0, Cp+1 1= 0.

Al valor Cp+1 se le denomina constante de error del metodo y en este caso se tiene

Tn =Cp+1

+(1)hp+ y

!!(xn) +O(hp+1).

4.5. Convergencia

El metodo de k pasos (4.3) posee 2k + 1 parametros. Se podrıan usar paraobtener el metodo con el mayor orden posible. Esto origina los metodos implıcitosde orden 2k, pero se puede ver que no son convergentes para k & 3.

Definicion 99 El esquema numerico (4.3) se dice convergente si...

Teorema 100 (Teorema de equivalencia de Dahlquist) Si el error en losvalores iniciales y0, y1, ..., yk"1 tiende a cero cuando h ! 0, entonces el metodo dek pasos (4.3) converge sı y solo sı el metodo es cero-estable y consistente.

Dem: Ver notas de Suli !En general, se puede probar tambien que

Teorema 101 (Primera Barrera de Dahlquist) El orden maximo de un metodoconvergente de k pasos implıcito es k + 1 si k es impar o k + 2 si k par y solo kpara los metodos convergentes de k pasos explıcitos.

Dem: Ver notas de Suli !Normalmente se usan ordenes k + 1 en metodos implıcitos y k en explıcitos, lomaximo posible. Una forma de construir los esquemas es la siguiente. Se toma unpolinomio 1(z) de grado k que cumpla la condicion de las raices y tal que 1(1) = 0.Entonces tomamos

+(z) =1(z)

log(z)+O(|z ( 1|p).

Supongamos que p = k + 1 y no hacemos restricciones sobre +. Hacemos entoncesel desarrollo de Taylor en torno a z = 1 y tomamos + el polinomio de grado k quecoincide con la serie hasta el termino O(|z(1|k+1). Entonces obtenemos un metodoconvergente de k pasos y con orden k+1. Ver Iserles pag. 26 Suponiendo que hemosescogido )j para j = 0, 1, 2, .., k. La pregunta es como escoger los coeficientes *j.


4.6. Formulas de Diferenciacion Regresivas (BDF metodos) 103

Lema 8 Tiene orden p sı y solo sı

"(z) =1(z)

log(z)( +(z)

tiene un cero de multiplicidad p en z = 1.

Se puede entonces usar el lema previo para dar una cota inferior sobre el ordenmaximo dado 1(z).

Teorema 102 No hay cero estable metodo de k pasos que tenga orden k + 1 si kes impar o k + 2 si k es par.

Dem: Ver notas de Suli !

Ejemplo 103 Los metodos de Adams-Bashforth cumplen la condicion de las raicesy son consistentes, por lo tanto son convergentes.

4.6. Formulas de Diferenciacion Regresivas (BDFmetodos)

Entre las muchas familias de metodos multipaso destacan los metodos de dife-renciacion regresiva, o bien backward di!erentiation formulae (BDFs) en ingles, porsu buen rendimiento en los problemas rıgidos.

Definicion 104 Un metodo de s etapas y con orden s se denomina BDF si +(z) =*zs para algun * " R \ {0}.

Una forma evidente de construir metodos BDF reside en tomar * = 1 y plantearla obtencion de hfn+k = f(tn+k, yn+k) mediante desarrollos de Taylor en los valoresyn, yn+1, yn+2, ...., yn+k. Por ejemplo, tenemos

y(tn)( y(tn"1) * hf(tn, yn) (4.13)3

2y(tn)( 2y(tn"1) +

1

2y(tn"2) * hf(tn, yn) (4.14)

11

6y(tn)( 3y(tn"1) +

3

2y(tn"2)(

1

3y(tn"3) * hf(tn, yn) (4.15)

y ası sucesivamente. O bien,

y(tn+1)( y(tn) * hf(tn, yn) (4.16)1

2y(tn+1)(

1

2y(tn"1) * hf(tn, yn) (4.17)

1

3y(tn+1) +

1

2y(tn)( y(tn"1) +

1

6y(tn"2) * hf(tn, yn) (4.18)



Lema 9 Para un metodo BDF se cumple

* = (s*

m=1

1

m

%"1, 1(z) = *

s*

m=1

1

mzs"m(z ( 1)m (4.19)

Dem: Iserles pag 27 !El metodo BDF mas simple es el metodo de Euler regresivo. Los siguiente dos son

s = 2 yn+2 (4

3yn+1 +

1

3yn =

2

3h fn+2 (4.20)

s = 3 yn+3 (18

11yn+2 +

9

11yn+2 (

2

11yn =

6

11h fn+3 (4.21)

En los metodos BDF la condicion sobre las raices falla si s > 6, pero el rango1 . s . 6 es mas que suficiente para las aplicaciones de estos metodos.

Teorema 105 El primer polinomio caracterıstico asociado al metodo BDF satisfa-ce la condicion de las raices y el metodo es convergente sı y solo sı 1 . s . 6.

Ejemplo 106 Primer ejemplo de ecuacion rıgida. Consideremos el sistema linealde edos dado por

y!(t) = Ay(t), y(0) = (1, 1, ...., 1)T

donde A es la matriz tridiagonal

A =

1

2222223

(20 10 0 . . . 0

10 (20. . . . . .

...

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . (20 100 . . . 0 10 (20

4

5555556

y hacer ejemplo en Iserles 28. Se podra ver como el BDF converge y los Adams-Bashforth no lo hacen.

4.7. Estabilidad absoluta

Nos preocupamos ahora de lo que ocurre para h fijo. Esto es nos interesa saber sise reproduce un comportamiento cualitativo de la solucion. Queremos asegurarnosde que si la solucion continua decae a cero cuando t crece tambien lo hace la discreta.

Para esto se considera el problema canonico

y!(t) = ,y(t), t > 0 (4.22)

y(0) = y0 ( 1= 0) (4.23)


4.8. Construccion de metodos multipaso lineales 105

y suponemos que , = Re(,) + iIm(,) " C. Entonces la solucion viene dada por

y!(t) = y0eiIm($)teRe($)t

de donde|y!(t)| = |y0|eRe($)t

y por lo tanto si Re(,) < 0 la solucion tiende a cero cuando t crece.Si consideramos el modelo de k pasos aplicado a esta ecuacion obtenemos la

ecuacionk*

j=0

()j ( h*j,)yn+j = 0 (4.24)

y sabemos que la solucion de esta ecuacion se puede expresar en terminos de lasraices del polinomio caracterıstico asociado

0(z; h) = 1(z)( h+(z), (h = ,h). (4.25)

Por lo tanto, yn tiende a cero sı y solo sı todas las raices de 0(z; h) tienen modulomenor que 1. Este polinomio (4.25) se denomina polinomio de estabilidad del meto-do lineal de k pasos que tiene como polinomios caracterısticos 1(z) y +(z). Estomotiva la siguiente definicion,

Definicion 107 Elmetodo lineal de k pasos con polinomio de estabilidad 0(z; h)se dice que es absolutamente estable para h si todas sus raices ri = ri(h) cumplen|ri| < 1 para i = 1, 2, ..., k. Si no ocurre ası el metodo se dice que es absolutamenteinestable. Una region A del plano complejo se dice que es una region de absolutaestabilidad del metodo si para cualquier h " A se tiene que el metodo es absoluta-mente estable. Se dice que el metodo no tiene ninguna region de estabilidad absolutacuando A es vacio.

Puesto que la solucion exhibe un crecimiento exponencial para Re(,) > 0 es ra-zonable pensar que un meetodo cero estable (convergente por lo tanto) tenga uncomportamiento similar para h > 0 suficientemente pequeno. Por lo tanto, sera ab-solutamente inestable para todo h > 0. Demo en Suli pag 44.

Si decimos que un metodo optimo de k pasos es un metodo cero estable deorden k + 2, sabemos que todas las raices de su primer polinomio caracterısticose encuentran en el cırculo unidad. Por lo tanto, esto nos lleva a concluir que unmetodo multipaso lineal optimo no tiene intervalo de estabilidad absoluta y que unmetodo consistente cero estable hara crecer el error si (yf > 0.

4.8. Construccion de metodos multipaso lineales

Existen muchas formas de derivar los metodos multipaso. Normalmente se hacea traves de formulas de interpolacion como hemos hecho aqui. Tambien se puederequerir exactitud en polinomios y derivar los sistemas lineales correspondientes.


Capıtulo 5

Ecuaciones rıgidas

5.1. Motivacion y ejemplos

Ejemplo 108 Seccion 6.8.2. Epperton y otros

Vamos a considerar el caso de un sistema linear de m edos en la forma!

y!(t) = Ay(t) + by0 = y(t0)

donde A es una matriz real constante m ' m y b un vector constante m ' 1.Supongamos que le aplicamos un metodo lineal de k pasos

k*

j=0

)jyn+j = hk*

j=0

*jf(tn+j, yn+j) (5.1)

com hemos visto en el tema anterior. Entonces nos encontramos con

k*

j=0

()jIm ( h*jA)yn+j = h+(1)b (5.2)

donde +(1) =.k

j=0 *j( 1= 0) e Im es la matriz identidad m'm. Supongamos ahoraque la matriz A tiene m autovalores distintos ,i para i = 1, ...,m. Entonces existeuna matriz no singular H tal que

HAH"1 = % =

1

2223

,1 0 . . . 0

0 ,2 . . ....

.... . . . . . 0

0 . . . 0 ,m

4

5556.

106

5.1. Motivacion y ejemplos 107

Poniendo z = Hy y c = h+(1)Hb tenemsos

k*

j=0

()jIm ( h*j%)zn+j = c (5.3)

de donde en forma de componentes tenemos las ecuaciones desacopladas

k*

j=0

()jIm ( h*j%)zn+j,i = ci. (5.4)

Estamos en el caso de la aplicacion de un metodo lineal multipaso a una ecuacion,pero con la diferencia de que puede ser que algunos de los autovalores ,i seannumeros complejos. Entonces el parametro h = h, donde , es cualquiera de losautovalores resulta ser un numero complejo en general.

Nos preocupamos ahora de lo que ocurre para h fijo. Esto es nos interesa saber sise reproduce un comportamiento cualitativo de la solucion. Queremos asegurarnosde que si la solucion continua decae a cero cuando t crece tambien lo hace la discreta.Para esto se considera el problema canonico

y!(t) = ,y(t), t > 0 (5.5)

y(0) = y0 ( 1= 0) (5.6)

y suponemos que , = Re(,) + iIm(,) " C. Entonces la solucion viene dada por

y!(t) = y0eiIm($)teRe($)t

de donde|y!(t)| = |y0|eRe($)t

y por lo tanto si Re(,) < 0 la solucion tiende a cero cuando t crece.Recordemos la definicion de region de estabilidad absoluta

Definicion 109 Elmetodo lineal de k pasos con polinomio de estabilidad 0(z; h)se dice que es absolutamente estable para h si todas sus raices ri = ri(h) cumplen|ri| < 1 para i = 1, 2, ..., k. Si no ocurre ası el metodo se dice que es absolutamenteinestable. Una region A del plano complejo se dice que es una region de absolutaestabilidad del metodo si para cualquier h " A se tiene que el metodo es absoluta-mente estable. Se dice que el metodo no tiene ninguna region de estabilidad absolutacuando A es vacio.

Ejemplo 110 Resolver el siguiente ejercicio

Encontrar la region de estabilidad absoluta del metodo de Euler explıcito cuan-do se aplica a y! = ,y con y(0) = y0.


108 Capıtulo 5 Ecuaciones rıgidas

Aplicalo a la ecuacion

y!! + (,+ 1)y! + ,y = 0, y(0) = 1, y!(0) = ,( 2

escrita en forma de edo de primer orden. Supongamos que , >> 1. Queeleccion de h garantiza estabilidad absoluta?

En este ejemplo se pueden ver como y!(t) = (2e"t + ,e"$t y por lo tanto exhibedos escalas de tiempo bastante diferentes. La escala rapida, entre t = 0 y t =1/, tiene poco efecto en la solucion y por lo tanto, su solucion precisa no parecetener importancia para obtener una solucion globalmente precisa. Sin embargo, laestabilidad del metodo fuerza a valores de h muy pequenos, h < 2/,, mucho maspequenos que lo que una solucion precisa para t >> 1/, podrıa necesitar. Engeneral, sistemas que manifiestan este comportamiento se denominan rıgidos.

5.2. Estabilidad

Si aplicacion del metodo de Euler implıcito para el problema de valor inicial y! =,y con y(0) = y0 y , " C tenemos el polinomio de estabilidad 0(z, h) = 1(z)(h+(z)con 1(z) = z( 1 y +(z) = z. Puesto que la unica raiz es z = (1( h)"1 tenemos quela region de estabilidad absoluta es

A = {h; |1( h| > 1}

por lo que A contiene el semi plano de parte real negativa C". La siguiente definicionse debe a Dahlquist (1963)

Definicion 111 Un metodo multipaso lineal se dice A estable si su region de abso-luta estabilidad RA contiene el semi plano de parte real negativa C".

Esta definicion es demasiado exigente y el siguiente resultado tambien de Dahlquist(1963) lo muestra:

Teorema 112 Se cumple lo siguiente:

1. No existe ningun metodo explıcito lineal que sea A estable

2. El orden de un metodo A estable implıcito no puede exceder 2

3. El metodo de segundo orden A estable con menor constante de error esla regladel trapecio.

La siguiente definicion de Widlund (1967) es mas ajustada


5.2. Estabilidad 109

Definicion 113 Para ) " (0, 0/2), un metodo multipaso lineal se dice A()) establesi su region de absoluta estabilidad RA contiene la region angular W# dada por

W# = {h; 0 ( ) < arg(h) < 0 + )}.

Se dice que el metodo es A(0)-stable si es A()) estable para algun ) " (0, 0/2) y sedice que es A0 estable si su region de estabilidad incluye el semieje real negativo.

Se tiene que observar que si , tiene parte real negativa, entonces h = h, esta enW# o fuera de W# para todo valor de h > 0. Por lo tanto, si todos los autovalores deuna matriz caen sobre el sector angular W# entonces podemos usar un metodo A())estable sin restriccion en el valor de h. En particular, cuando todos los autovaloresson reales negativos, un metodo A(0) se puede usar.

Teorema 114 Se cumple lo siguiente:

1. No existe ningun metodo explıcito lineal que sea A(0) estable

2. El unico A(0) estable de k pasos cuyo orden excede k es la regla del trapecio.

3. Para cada ) " [0, 0/2) existe un A()) estable metodo de k pasos de orden ppara el que k = p = 3 y k = p = 4.

Existen varias maneras de debilitar el concepto de A estabilidad. Uno de ellos fuepropuesto por Gear (1969). La motivacion proviene del hecho de que en la mayorıade los problemas rıgidos los autovalores de la matriz que producen los regımenesrapidos se encuentran dentro del plano complejo a la izquierda de Re(h) = (a paraalgun a > 0 mientras que los autovalores responsables por los movimientos lentosse encuentran agrupados en torno a cero.

Definicion 115 Un metodo multipaso lineal se dice rıgidamente estable si existennumeros positivos a y c tales que su region de absoluta estabilidad RA contiene lasregiones

R1 = {h; Re(h) = (a}, R2 = {h; (a < Re(h) < 0, (c < Im(h) < +c}.

Claramente, si es rıgidamente estable es A()) estable para ) = atan(c/a) y se tienela cadena

A(stable / rıgidamente estable / A())(estable / A(0)(estable / A0(estable.

En las siguientes secciones vamos a ver algunos metodos que se prestan bien aresolver problemas rıgidos



5.3. Formulas de Diferenciacion Regresivas (BDFmetodos)

Si tenemos un metodo con polinomio de estabilidad 0(z; h) = 1(z)(h+(z) que esA()) estable o rıgidamente estable, entonces las raices r(h) de 0(z; h) se encuentranen disco unidad para todo valor de h. Entonces

0 = lımh'"&

1(r(h))

h= lım

h'"&+(r(h)) = +( lım

h'"&r(h))

puesto que |r(h)| < 1 y, por lo tanto, |1(r(h))| esta acotado.Por lo tanto, las raices de 0(z; h) aproximan a las de +(z), por lo que es natural

escoger + con raices en el disco unidad. La eleccion ma simple la genera la eleccion+(z) = *zs para algun * " R \ {0} que constituyen los metodos de diferenciacionregresiva, o bien backward di!erentiation formulae (BDFs) en ingles

Definicion 116 Un metodo de s etapas y con orden s se denomina BDF si +(z) =*zs para algun * " R \ {0}.

y tienen la forma generalk*

j=0

)jyk+j = h*kfn+k

Lema 10 Para un metodo BDF se cumple

* = (s*

m=1

1

m

%"1, 1(z) = *

s*

m=1

1

mzs"m(z ( 1)m (5.7)

Dem: Iserles pag 27 y tabla pag 57 notas de Suli !El metodo BDF mas simple es el metodo de Euler regresivo. Los siguiente dos son

s = 2 yn+2 (4

3yn+1 +

1

3yn =

2

3h fn+2 (5.8)

s = 3 yn+3 (18

11yn+2 +

9

11yn+2 (

2

11yn =

6

11h fn+3 (5.9)

En los metodos BDF la condicion sobre las raices falla si s > 6, pero el rango1 . s . 6 es mas que suficiente para las aplicaciones de estos metodos.

Teorema 117 El primer polinomio caracterıstico asociado al metodo BDF satisfa-ce la condicion de las raices y el metodo es convergente sı y solo sı 1 . s . 6.


5.4. Metodo de Gear 111

Ejemplo 118 Podemos recordar el primer ejemplo de ecuacion rıgida y hacer algunotro mas. Consideremos el sistema lineal de edos dado por

y!(t) = Ay(t), y(0) = (1, 1, ...., 1)T

donde A es la matriz tridiagonal

A =

1

2222223

(20 10 0 . . . 0

10 (20. . . . . .

...

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . (20 100 . . . 0 10 (20

4

5555556

y hacer ejemplo en Iserles 28. Se podra ver como el BDF converge y los Adams-Bashforth no lo hacen.

5.4. Metodo de Gear

Puesto que los metodos BDF son implıcitos se debe de usar en conjuncion conun predictor. En vez de iterar el corrector hasta conveerger via un metodo de puntofijo podemos usar el metodo de Newton para acelerar la convergencia del corrector.El metodo de Gear es el resultado de considerar este par de metodos multipaso deprediccion correccion como un metodo de un paso. Esto permite modificar el ordendel metodo y el incremento localmente. Veamoslo con detalle:

Las condiciones de estabilidad planteadas en los dos teoremas previos implican eluso de metodos implıcitos. De hecho, si un metodo prediccion-correccion se usa conun BDF como corrector se tiene que resolver un sistema de ecuaciones no linealesde la forma

yn+k ( h*kf(tn+k, yn+k) = gn+k

donde

gn+k = (k"1*

j=0

)jyn+j

es conocido. Si se plantea la resolucion de esta ecuacion usando un metodo de puntofijo necesitamos la restriccion

Lh|*k| < 1

para asegurar la convergencia de la iteracion. Aquı L es la constante de Lipschitzde f y para un sistema rıgido, normalmente L es muy grande. Por lo que la res-triccion para la iteracion de punto fijo es muy fuerte. De hecho lo es tanto como lacondicion que se encuentra cuando se se usa un metod explıcito con una region deestabilidad absoluta acotada. Para superar este inconveneinte, Gear propuso el uso



del metodo de Newton. En este caso el la convergencia se puede obtener simple-mente comenzando lo suficientemente cerca sin necesidad de restringir fuertementeel paso.

Por otro lado, el uso del metodo de Newton conlleva la evaluacion del Jacobiano(f/(y y la inversion de la matriz I ( h*k(f/(y en cada paso y en cada tiempo.

La idea entonces es congelar la matriz I(h*k(f/(y y calcularla solo cada ciertonumero de pasos. La inversion se puede hacer con un metodo LU.

Otro aspecto del metodo de Gear es la estrategia para variar el orden del BDF yel paso de acuerdo a los resultados intermedios en la computacion. Para mas detallesvamos al Capitulo III.6 de Hairer,Norsett y Wanner.


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