PORTFOLIO 13

DEEL II HOOFDSTUK 3 GONIOMETRISCHE VERGELIJKINGEN ENONGELIJKHEDEN

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .

3 Goniometrische vergelijkingen enongelijkheden

Basis Verdieping Uitbreiding

? ?? ? ?? ? ??

3.1 Basisvergelijkingen 123

123

13

3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen 45

456

45

4578

459

10 11 12

3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden 13 13 1314

1315

13

Oefeningen bij §3.1Oefening 1. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) cosx = −√

3

2B? (e) cot(2x) = −

√3

3

B (b) tanx = 1 B? (f) tan

(π

3− 1

4x

)= −√

3

B (c) sin (5x) = −3 B?? (g) sinx = cosx

B (d) cos(3x) = 0 B?? (h) sin

(2x+

2π

9

)= − cos

(2x− 7π

18

)

Oefening 2. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) sin(3x) = 0, 4321 B (c) 8− 15 tan(4x) = 0

B (b) 4 sinx+ 3 = 0 B? (d) sec(−x

5

)= −3

Oefening 3. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Controleer ook telkens je oplossingen.

B (a) 5 cosx− 3 = 3 cosx− 4 B?? (d) tan(2x) cot(x+

π

3

)= 1

B? (b) 2 cos

(1

3x− 5π

12

)+√

2 = 0 B?? (e) tan(3x) + tanx = 0

B?? (c) cos(2x) + cos(3x) = 0

Po-63

Oefeningen bij §3.2Oefening 4. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Stel de oplossingen telkens voor op degoniometrische cirkel.

B (a) cos3 x+ 4 cos2 x+ 3 cosx = 0 B?? (f)√

3 cos(2x)− sin(2x) = 2

B (b) 2 sin2 x− 4 sinx cosx− cos2 x = 0 V (g) 4 sin4 x− 5 cos2 x+ 1 = 0

B? (c) sin(2x)− cos2 x = 0 V (h) 2 tan2 x+ 6 =5

cos2 x

B? (d) sin(2x)−√

3 cosx = 0 V? (i) 2 cosx cos(3x) = −1

B? (e)√

3 cosx+ 3 sinx = 5 V? (j) sin3 x+ cos3 x = sinx cosx (sinx+ cosx)

Oefening 5. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) sinx+ cosx = −1 B? (f) tanx tan(4x) + tan2 x = 0

B (b) sec(x

2

)− cos

(x2

)=

√2

2B?? (g) sin3 x− sin2 x− 1

4sinx+

1

4= 0

B? (c) 2 cos3 x+ 2 sin2 x cosx− 5 sinx cos2 x = 0 V (h) 3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2

B? (d) cos(2x) + sin2 x =1

2V? (i) cosx+ cos(3x)− 1− cos(2x) = 0

B? (e) 3 sin(4x) = 2 sin(2x) V? (j) sin2(2x) + sin(4x) = 2

B?? Oefening 6 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende vergelijking op

sinx+ sin(3x) + sin(9x) = sin(5x)

V Oefening 7 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).Los de volgende goniometrische vergelijking op

2 sin2(3x) + sin2(6x) = 2

V Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Los de vergelijking

sin(3x) = −√

2

2op en teken de oplossingen op de goniometrische cirkel. Geef alle oplossingen gelegen tussen 1080◦ en 1440◦.

V? Oefening 9. Bewijs dat een vergelijking van de vorm

a sinx+ b cosx = c met a, b, c ∈ R0

oplossingen heeft als en slechts als c2 ≤ a2 + b2

V?? Oefening 10 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1987).Bepaal de oplossingen in R van de vergelijking

sin(4 sinx) = cos(5 cosx)

U Oefening 11 (gebruik van de t-formules). Weerspannige goniometrische vergelijkingen kunnen aangepakt wordenmet behulp van de t-formules (zie §??).

Los algebraısch de volgende vergelijking op met behulp van de t-formules

tan(2x) tanx = 1

U? Oefening 12 (vergelijkingen symmetrisch in sinx en cosx). De vergelijking

2A3 + 2B3 − 3AB + 6A3B3 −√

17 = 0

noemt men symmetrisch in A en B omdat, als men A vervangt door B en vice versa, de vergelijking dezelfde blijft.Een vergelijking die symmetrisch is in sinx en cosx lost men op door de substitutie

t = sinx+ cosx

(a) Als t = sinx+ cosx, toon dan aan dat sinx cosx =t2 − 1

2

(b) Los algebraısch de volgende vergelijking op

sinx+ cosx− sinx cosx = −1

Po-64

Oefeningen bij §3.3Oefening 13. Los de volgende goniometrische ongelijkheden op.

B (a) 2 sinx+√

3 ≥ 0 B? (e)√

3 sin(x+ 2)− 3 > 0

B (b) tan(2x) <1

3B?? (f) 4 cos

(3(x+

π

5

))+ 2 > 4

B? (c) 2 sin(

2x− π

3

)+ 1 < 0 V (g) tan

(2x+

π

6

)<√

3

B? (d) cos(x

2+π

4

)<

√2

2V? (h) 2 cos2(2x) + (

√3 + 2) cos(2x) +

√3 < 0

B?? Oefening 14 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los op

sinx

2 sinx− 1>

1− sinx

4 sin2 x− 1

V Oefening 15 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984).Zij α in het tweede kwadrant, bepaal de oplossingenverzameling van de ongelijkheid

1

2≤ sinα ≤

√2

2

Po-65

ReflectieVul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je

• leerproces,

• efficientie van werken,

• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.

Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

vb.

datum

oefeningafgew

erkt

oefeningnummer

oefeningverbeterd?(kruisje)

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

• voldoende tijd besteed?

• opgave goed gelezen?

• nauwkeurig gewerkt?

• modelvoorbeelden bekeken?

• opgave begrepen?

• leerstof voldoende begrepen?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• notatiefout (NF)

• eenheden (EF)

• grafisch rekenmachine (GF)

• rekenfout (RF)

• interpretatie van de opgave (IF)

• denkfout (DF)

verder

oefenen

nodig?(kruisje)

31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF