Paulus Gerdes Geometria Sona de Angola

2

Copyright © 2014 Paulus Gerdes www.lulu.com http://stores.lulu.com/pgerdes http://www.lulu.com/spotlight/pgerdes

3

Paulus Gerdes

Geometria Sona de Angola

Volume 3: Estudos Comparativos

ISTEG Belo Horizonte

Boane Moçambique

2014

4

Ficha técnica

Título: Geometria Sona de Angola Volume 3: Estudos comparativos Edição original em Português (1994): Geometria Sona – Reflexões sobre uma tradição de desenho em povos da África ao sul do Equador Volume 2: Estudos comparativos (Universidade Pedagógica, Maputo, 1993) Autor: Paulus Gerdes Centro de Investigação Etnomatemática & ISTEG, Boane, Moçambique ([email protected]) Revisão linguística: Ana Maria Branquinho [Faculdade de Línguas,

Universidade Pedagógica]

Edição em Francês: Une tradition géométrique en Afrique – Les dessins sur le sable Volume 3: Analyse comparative (L’Harmattan, Paris, 1995)

Edição em Alemão: Ethnomathematik dargestellt am beispiel der Sona Geometrie Terceira parte: Vergleichende Studien (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin / Oxford, 1997) Edição em Inglês: Sona Geometry from Angola Volume 3: Comparative Studies (ISTEG, Boane, Moçambique, em preparação)

5

Edição: Instituto Superior de Tecnologias e Gestão (ISTEG) Av. de Namaacha 188, Belo Horizonte, Boane, Moçambique Distribuição internacional: Lulu, Morrisville NC, EUA http://www.lulu.com/spotlight/pgerdes

© 1994, 2014 Paulus Gerdes

7

Índice do Volume 3: Estudos comparativos

Página

Introdução ao terceiro volume de Geometria Sona 11 Capítulo 1: SOBRE ALGUNS ALGORITMOS GEOMÉTRICOS NO EGIPTO ANTIGO

Escarabeus 13 Ziguezagues com laços 14 Serpentes pintadas em túmulos 15 Três classes de padrões relacionados 18 Primeira classe: um laço maior 18 Segunda classe: dois laços maiores 20 Terceira classe: três laços maiores 25 Aves nos seus ninhos 28 Um padrão-de-fita-trançada 31 Vários outros padrões em escarabeus 32 Um vaso ornamentado 35 Considerações finais 38 Bibliografia 39

Capítulo 2: SOBRE PADRÕES-DE-FITA-TRANÇADA E OUTROS MOTIVOS MONOLINEARES NA MESOPOTÂMIA ANTIGA

Cobras em selos na Mesopotâmia Antiga 41

8

Fitas trançadas ou padrões desenhados ? 45 Bibliografia 49

Capítulo 3: SOBRE ALGUNS ALGORITMOS GEOMÉTRICOS NA ÍNDIA

3.1 Reconstrução e extensão de simetrias perdidas: exemplos dos Tamil do Sul da Índia

51

Introdução: desenhos de soleira Tamil 51 Análise e reconstrução de um desenho “pavitram” 54 Um segundo exemplo 56 Regras de transformação 58 Reconstrução dos padrões denominados

“pulverizador de água” e “mesa giratória” 58

O padrão “pavitram” revisitado 65 Extensões 66 Extensões do padrão “pavitram” reconstruído 72 Exame do nó de Brahma 75 Fonte de inspiração 80 Observações finais 86 3.2 Desenhos kolam 87 Padrões com simetria 88 Séries de padrões monolineares 92 Confirmação de hipóteses 96 Padrão “pavitram” 96 Nó de Brahma 100 Mais um exemplo de reconstrução 104 Simetria e monolinearidade: possível conflito de

valores 105

Degradação ou coexistência 107 Bibliografia 108

9

Capítulo 4: BREVE EXCURSÃO PARA OUTROS CONTINENTES

4.1 Padrões-de-nó dos Celtas 109 4.2 Desenhos na areia nas Ilhas Vanuatu 114 4.3 Sobre padrões monolineares no seio de índios norte-

americanos 117

Bibliografia 121 Capítulo 5: REGRESSO A ÁFRICA

123 Bibliografia 130

Agradecimentos 133 Índice do Volume 1: Matemática duma tradição africana 137 Índice do Volume 2: Explorações educacionais e matemáticas

de desenhos africanos na areia 141

O autor 145 Livros de Paulus Gerdes em Português 147


11

Introdução ao terceiro volume de Geometria Sona

Quando os Cokwe do Nordeste de Angola se reúnem no centro das suas aldeias ou nos acampamentos de caça, costumam sentar-se à volta de uma fogueira ou à sombra de árvores frondosas, e passar o seu tempo em conversas ilustradas no chão por desenhos, chamados sona (sing. lusona). A maior parte destes desenhos pertencem a uma longa tradição; referem-se a provérbios, fábulas, jogos, adivinhas, animais, etc. e desempenham um papel importante na transmissão do conhecimento e da sabedoria de uma geração a outra. Os desenhos devem ser feitos lisa e continuamente, porque qualquer hesitação ou interrupção por parte do desenhador é interpretada pelo público como imperfeição ou falta de conhecimento. Para facilitar a memorização dos seus pictogramas ou ideogramas padronizados, os akwa kuta sona – especialistas em desenho – inventaram um recurso mnemónico interessante: após limpar e alisar o chão, começam por marcar com as pontas dos dedos uma rede ortogonal de pontos equidistantes; o número de linhas e colunas depende do motivo a ser representado.

No primeiro volume de Geometria Sona de Angola foram analisados e reconstruídos conhecimentos matemáticos inerentes à tradição dos sona: padrões de linhas obedecendo a algoritmos geométricos, abraçando pontos duma grelha referencial. Partindo de valores culturais salientes na tradição dos sona, como seja a simetria e a preferência por padrões compostos de uma única linha (monolineares), estudaram-se as particularidades de diversas classes de sona e as regras do seu encadeamento, preservando determinadas características.

Um dos objectivos da investigação etnomatemática consiste na procura de possibilidades de enquadrar melhor o ensino da Matemática no contexto cultural dos estudantes e professores. Pretende-se uma Educação Matemática que consiga valorizar as raízes científicas inerentes às culturas africanas, utilizando-as como alicerces para

Paulus Gerdes: Geometria Sona de Angola

12

ascender melhor e mais rapidamente ao património científico de toda a Humanidade. É neste sentido que se apresentam no segundo volume algumas sugestões para uma exploração educacional e matemática dos sona.

O estudo e a análise dos sona estimulou-me a encontrar e reflectir sobre outras tradições que se assemelham, em certa medida e dum ponto de vista técnica, à tradição dos sona. No terceiro volume apresento algumas dessas tradições doutras épocas e doutras zonas de África e do Mundo.

No Capítulo 1 analisam-se alguns algoritmos geométricos desenvolvidos no Egipto Antigo. Motivos monolineares e padrões-de-fita-trançada que aparecem em selos carimbados e em outros artefactos da Mesopotâmia Antiga são apresentados no Capítulo 2. O Capítulo 3 dedica-se à análise de desenhos kolam da Índia, em particular, no que diz respeito à simetria e monolinearidade. Uma breve excursão para outros continentes tem lugar no Capítulo 4. Analisam-se, sucessivamente, alguns aspectos de padrões-de-nó dos Celtas (Ilhas Britânicas), de desenhos na areia nas Ilhas Vanuatu (Oceânia), e de padrões utilizados pelos índios Navaho e por outros povos da América de Norte. No último capítulo voltamos a África, apresentando alguns padrões que aparecem bordados ou carimbados em roupa, pintados em paredes, esculpidos em madeira, etc.

Ao apresentar essas tradições doutras épocas e doutras zonas de África e do Mundo, não estou a sugerir uma origem comum ou ligação histórica entre a tradição dos sona e elas. Através da sua apresentação e à luz dos primeiros dois volumes da Geometria Sona pretendo incentivar a uma investigação mais aprofundada dessas tradições e a uma exploração educacional e matemática das mesmas.

Tal como no caso dos dois primeiros volumes da Geometria Sona, aconselho o leitor a desenhar as figuras apresentadas para poder entender e apreciar o terceiro volume.

Paulus Gerdes

3 de Abril de 1994


13

Capítulo 1 SOBRE ALGUNS ALGORITMOS GEOMÉTRICOS NO

EGIPTO ANTIGO

Neste capítulo apresentaremos alguns algoritmos geométricos usados na construção de padrões que aparecem gravados em escarabeus e pintados em paredes e vasos do Egipto Antigo. Selecionámos aqueles algoritmos que levam a padrões compostos por uma ou mais linhas contínuas.

visto de baixo

a visto de cima

b visto de lado

c [Ward, 1978, Folha XV: nº 370]

exemplo dum escarabeu Figura 1.1

Escarabeus

O escarabeu é o selo egípcio típico na forma de um escaravelho do género de “Scarabaeus sacer”. A Figura 1.1 dá um exemplo. Os escarabeus eram feitos de pedra (em particular esteatite), de faiança e até, às vezes, de prata ou de pedras semipreciosas. Já eram utilizados como amuleto no Império Antigo (c. 2686-2181 a.C.). A face plana dos escarabeus começou a ser ornamentada a partir do Primeiro Período Intermediário (c. 2181-2040 a.C.), gravando-se neles hieróglifos e diversos desenhos, em particular, espirais. Já na XII dinastia (1991-1782 a.C.) começam a aparecer ornamentações


14

geométricas que se tornam amplamente difundidas no período dos Hicsos (c. 1663-1555 a.C.). Durante o Novo Império (c. 1570-1070 a.C.) produziram-se massivamente escarabeus com os nomes dos reis (cf. Bianchi, 1984). A principal ideia expressa pelas ornamentações geométricas e, em particular, pela espiral, era, segundo Petrie (1925, p.12), a de nefer, ou seja, excelência física ou mental, ou beleza. Os escarabeus geométricos foram mais utilizados durante a XII dinastia do que durante qualquer outro período.

Dos milhares de escarabeus que tivemos a oportunidade de ver em livros e no Museu Egípcio do Cairo, algumas dezenas apresentam figuras geométricas compostas por uma ou mais linhas contínuas que, de certa forma, se assemelham ao tipo de padrão dos sona da África ao Sul do Equador. Ziguezagues com laços

A Figura 1.2 mostra um escarabeu (largura: 9 mm) em que aparece gravado um ziguezague vertical com laços aplicados nos vértices.

[Petrie, 1925, Folha VIII: nº 171] Figura 1.2

Dois desses ziguezagues abertos podem-se juntar para obter um

padrão monolinear fechado, como mostra a Figura 1.3a. É nesta forma que se encontra em vários escarabeus uma ornamentação em redor dos hieróglifos gravados no centro (vide o exemplo na Figura 1.3b) (cf. Fraser, 1900, p. 15: nº 112; Newberry, 1906, Folha XVII: nº 13; Steindorff, 1936, Folha V: nº 160). O número de laços é variável: 6 (Fraser; Martin, 1971, Folha 16: nº 31), 7 e 6 (Newberry), 11 e 9 (Steindorff).


15

a

[Fraser, 1900, p. 15: nº 112] b

Figura 1.3

Figura 1.4


16

Uma variante consiste num ziguezague contínuo em redor das

inscrições, como ilustra esquematicamente a Figura 1.4. Nesta forma a decoração é encontrada num escarabeu do período da XIII à XVII dinastias (vide Newberry, 1907a, Folha V: nº 79 e reproduzido em Martin, 1971, p. 96 e Folha 16: nº 32). Serpentes pintadas em túmulos

Em paredes de túmulos dos faraós da XIX dinastia (c. 1293-1185 a.C.) e da XX dinastia (c. 1185-1070 a.C.) aparecem diversas representações pintadas de serpentes. Na Figura 1.5 mostram-se, esquematicamente, cinco dessas serpentes construídas de acordo com o mesmo algoritmo geométrico. A variação consiste no número de colunas de laços em ziguezague e no número de pares de laços em cada coluna:

número de

colunas número de

pares de laços por coluna

cf. fotografias ou desenhos publicados, entre outros

livros, em a 2 3 Magi, 1992, p. 62 b 2 6, 4 Magi, 1992, p. 62 c 1 8 Bessy, 1964, nº 249 d 4 3 Diop, 1981, p. 417 e 4 6 -

As Figuras 1.6 e 1.7 ilustram outros algoritmos utilizados na

representação de serpentes, a saber no túmulo de Séti II (1199-1193) e no de Ramsés IX (1126-1108), respectivamente.


17

Túmulo de Ramsés I

(1293-1291 a.C.) a

Túmulo de Ramsés I b

Túmulo de Séti I (1291-1278 a.C.)

c

Túmulo de Séti I d

Túmulo de Ramsés III (1182-1151 a.C.) e

Figura 1.5


18

Túmulo de Séti II [Simpkins, 1992a, p. 14]

Figura 1.6

Túmulo de Ramsés IX

[Magi, 1992, p. 48] Figura 1.7

Três classes de padrões relacionados Primeira classe: um laço maior

O sinal egípcio (Figura 1.8a), snt (senth), significando “plano” ou “fundação” (Rowe, 1936, p.10), é muito parecido com o lusona que representa um morcego com asas recolhidas (vide a Figura 1.8b; cf. Vol. 1, Fig. 76): O desenho Cokwe aparece invertido, quer dizer, rodado sobre um ângulo raso, e para a sua execução utilizou-se uma grelha de seis pontos de referência. O hieróglifo é um padrão monolinear, sendo composto por três laços pequenos – do lado inferior dois laços paralelos e um terceiro verticalmente oposto entre os dois primeiros – e um laço maior do lado superior, exterior relativamente ao laço pequeno no meio. Invertido, o sinal constitui o menor elemento duma classe de padrões monolineares.

Hieróglifo egípcio a

Lusona cokwe

b Figura 1.8


19

A1 A2 A3

A4 A5 Figura 1.9

A Figura 1.9 apresenta os primeiros cinco elementos desta

classe. Do terceiro elemento encontrámos três exemplares em escarabeus, tendo dois sido datados, por Petrie (1889, Folha XVIII; 1895, p. 28) (vide a Figura 1.10) e Matouk (1971, p. 185), na XVIII dinastia, reinado de Tutmósis III (c. 1504-1450 a.C.).

[Petrie, 1895, p. 27] Figura 1.10

[Petrie, 1934, Folha IX: nº 290] Figura 1.11


20

O quarto elemento aparece num escarabeu mais antigo, provavelmente da XIII dinastia (c. 1782-1650 a.C.) segundo Rowe (1936, p. 10). Achamos dois exemplos de escarabeus em que se gravou o quinto elemento. O primeiro é ilustrado na Figura 1.11. O segundo exemplo foi fabricado entre a XII e XVIII dinastia (Newberry, 1906, Folha XX). O segundo elemento da classe foi encontrado apenas numa forma incompleta (vide a Figura 1.12a) e numa variante (vide a Figura 1.12b). A versão incompleta data do Império Médio (c. 2040-1782 a.C.) segundo J. Ward (1902, Folha X).

[J. Ward, 1902, Folha X: nº 107]

a

[W. Ward, 1978, Folha XIII: nº 340]

b Figura 1.12

Segunda classe: dois laços maiores

Sobrepondo o primeiro (A1) e o segundo elemento (A2) da classe analisada na secção anterior, de tal modo que se prolonguem ligeiramente os segmentos rectos que ligam os laços menores, obtém-se o padrão 2-linear apresentado na Figura 1.13. Do lado superior tem 5 laços menores, enquanto que no meio tem 3 laços menores. Do lado inferior há dois laços maiores. Este motivo aparece em toda uma série de escarabeus. A Figura 1.14 ilustra o escarabeu na colecção do autor, 1 proveniente do período da XV à XVI dinastia (c. 1650-1540 a.C.). A sua parte superior contém o símbolo para a “união dos dois países”, quer dizer, do Baixo e do Alto Egipto. A informação relativa à datação dos outros cinco exemplares que encontrámos é apenas que provêm do extenso período entre a XII e XVIII dinastias (c. 1991-1293 a.C.). Um 1 Adquirido por Maurice Bazin (Exploratorium, San Francisco,

EUA) na Galeria Nefer de Arte Antiga (Zurique, Suíça) e oferecido ao autor em Paris, Julho de 1993.


21

exemplar apresentado por Newberry (1907b, p.103) é da XVII dinastia (c. 1663-1570 a.C.). A Figura 1.15 ilustra o escarabeu apresentado por Newberry (1906), contendo o mesmo padrão acompanhado por espirais.

Figura 1.13

[Colecção do autor] Figura 1.14


22

[Newberry, 1906, Folha XX, nº 32] Figura 1.15

B5 Figura 1.16


23

Quando se sobrepõem, de modo análogo, o segundo (A2) e o terceiro (A3) elementos da classe analisada na secção anterior, obtém-se de novo um padrão 2-linear (vide a Figura 1.16). Este padrão aparece por duas vezes, em posições simetricamente opostas, num escarabeu exposto no Museu Egípcio do Cairo (vide a Figura 1.17), padrão executado com alta precisão num vidrado azul de dimensões reduzidas (comprimento: 18 mm; largura: 12 mm). Provém do início da XVIII dinastia (c. 1500 a.C.).

[Museu Egípcio: nº 36370; Newberry, 1907b, Folha XIII, nº 36370] Figura 1.17

Comparando os padrões 2-lineares das Figuras 1.13 e 1.16,

observamos que do lado superior têm 5 e 7 laços, e, no meio, 3 e 5 laços, respectivamente. Variando o número de laços do lado superior e do meio de tal modo que o primeiro número seja igual a 2 mais o segundo número, podemos considerar os padrões das Figuras 1.13 e


24

1.16 como o terceiro (B3) e o quinto (B5) elemento de uma classe de padrões, sendo o primeiro (B1) e o segundo (B2) elementos apresentados na Figura 1.18 e o quarto elemento (B4) na Figura 1.19. O primeiro elemento é também 2-linear, mas o segundo e o quarto são monolineares. No B1 aparece uma nova Figura que podemos considerar A0 (vide a Figura 1.20). O quarto elemento aparece gravado num escarabeu proveniente da XVI dinastia (c. 1600 a.C.; cf. Rowe, 1936, p. 62).

B1 B2

Figura 1.18

B4 Figura 1.19

A0 Figura 1.20

Abrindo os laços maiores do primeiro elemento como ilustrado

na Figura 1.21a e, em seguida, duplicando-o, obtém-se o desenho 2-linear da Figura 1.21b, que aparece num selo cilíndrico egípcio.


25

[Petrie, 1917, Folha VI, nº 143] a b

Figura 1.21

Figura 1.22

Terceira classe: três laços maiores

Sobrepondo o segundo elemento da segunda classe (B2) (Figura 1.18b) e o primeiro elemento da primeira classe (A1), ou seja, o sinal snt invertido (Figura 1.8), alongando os segmentos rectos dos mesmos, obtemos o padrão 2-linear ilustrado na Figura 1.22: do lado superior tem 6 laços pequenos; no meio três laços pequenos e do lado inferior tem três laços maiores, respectivamente. Na Figura 1.23 mostram-se


26

três escarabeus em que aparece o padrão sob consideração. O terceiro data da XVIII dinastia (c. 1570-1293 a.C.; Newberry, 1907a, p. 50).

De igual modo podemos sobrepor outros elementos das duas classes, levando-nos à suposição de que uma terceira classe era conhecida no Egipto Antigo. Na Figura 1.24 mostram-se os primeiros dois elementos dessa classe. São também bilineares. O padrão da Figura 1.22 constitui o terceiro elemento (C3).

[Petrie, 1895, p. 27] a

Figura 1.23


27

b: [Newberry, 1906, Folha XX: nº 33]

c: [Newberry, 1907a, Folha XVII: nº 9]

Figura 1.23


28

C1 C2

Figura 1.24 Aves nos seus ninhos

A Figura 1.25a representa o lusona que ilustra duas aves nos seus ninhos (cf. Vol.1, Figura 72a). Sem os pontos de referência (vide a Figura 1.25b) encontra-se este motivo como padrão de base para todo um conjunto de representações gravadas em escarabeus no Egipto Antigo (vide as fotografias e desenhos em: Newberry, 1907a, Folha XVIII: nº 12, 14, 15; Petrie, 1925, Folha VIII: nº 147, 148, 149, 150, 257; Petrie, 1934, Folha VII: nº 202, 241, 269, Folha IX: nº 378; Rowe, 1936, Folha II: nº 84, Folha X: nº 404, Folha XXVI: nº S6; Downes, 1974, p. 61: nº 153h).

Rowe (1936, p. 23, 99) informa que se trata de escarabeus produzidos durante a XII e XIII dinastias. A Figura 1.26 dá um exemplo. A Figura 1.25b constitui o segundo elemento duma série da qual encontrámos também o quinto e o sexto elementos representados em escarabeus (vide a Figura 1.27).

Lusona cokwe

a b

Figura 1.25


29

[Wilson, 1986, p. 96]

Figura 1.26

[Newberry, 1907b, Folha XIII: nº 36400]

a

[Newberry, 1907b, Folha XIII: nº 36653]

Figura 1.27

O lusona das aves nos seus ninhos está relacionado com o lusona que representa as patas dum antílope (vide a Figura 1.28a, cf. Vol. 1, Fig. 73). É interessante notar que no Egipto Antigo a mesma variante também aparece, obviamente sem serem visíveis pontos de referência (vide a Figura 1.28b). Os três escarabeus com este desenho foram, de acordo com Petrie (1925, p. 14), fabricados durante a XIII dinastia ou um pouco mais tarde. Ele nota que a forma deste padrão é similar à que se encontra nos trabalhos com fios soldados na XII dinastia, onde, provavelmente, ainda segundo Petrie, se deva procurar a origem deste estilo. Infelizmente até este momento não nos foi possível encontrar exemplos destes trabalhos de soldadura de fios.


30

Lusona cokwe Padrão egípcio

Figura 1.28

Uma variante com mais dois laços, um do lado superior e outro do lado inferior, encontra-se gravada num escarabeu apresentado por Wilson (vide a Figura 1.29a). A Figura 1.29b ilustra uma versão em que o centro é substituído por uma circunferência.

[Wilson, 1986, p. 96; cf.

Petrie, 1925, Folha VIII: nº 126] a

[Ward, 1978, Folha XV: nº 377] b

Figura 1.29

Substituindo os laços do padrão da Figura 1.29a por um conjunto de três laços, obtém-se um motivo, igualmente monolinear (vide a Figura 1.30), que aparece também em escarabeus (cf. Petrie, 1925, Folha VI: nº 126a; Ward, 1978, Folha XV: nº 376).


31

Figura 1.30

[Museu Egípcio, Cairo:

nº J51026] a

b

Figura 1.31 Um padrão-de-fita-trançada

No Museu Egípcio do Cairo encontrámos exposto um escarabeu achado num cemitério em Saqqara, em que aparece gravado um padrão-de-fita-trançada de dimensões de 4 por 3. A trança contém


32

alguns erros: em alguns cruzamentos onde uma parte da trança devia passar por cima da outra, acontece o contrário (vide a Figura 1.31a e compare com a Figura 1.31b em que se indica como devia ter sido).

[Newberry, 1906, Folha XX: nº 14; Newberry, 1907b, Folha XIII: nº 36718; Museu Egípcio: nº 36718]

Figura 1.32 Vários outros padrões em escarabeus

A Figura 1.32 mostra um escarabeu em que se encontram cadeias de 6 e 7 “olhos” respectivamente. Noutros aparecem cadeias de 4 (vide Ward, 1902, Folha XII: nº 377; Rowe, 1936, Folha VI: nº 218, Folha X: nº 418; Museu Egípcio, nº J 45669) e de 3 “olhos” (vide Newberry, 1907a, Folha XVII: nº 16; Rowe, 1936, Folha I: nº 32).

A Figura 1.33a ilustra um padrão que aparece numa série de escarabeus (cf. Petrie, 1891, Folha VIII: nº 84; Newberry, 1907a, Folha XVIII, nº 6; Petrie, 1925, Folha VI: nº 151); a Figura 1.33b apresenta a versão presente no Museu Britânico em Londres. Uma variante em que o cruzamento no centro desapareceu encontra-se noutros escarabeus (vide a Figura 1.34).


33

[Petrie, 1891, Folha VIII: nº 84;

Newberry, 1907a, Folha XVIII: nº 6; Petrie, 1925, Folha VI: nº 151]

a

[Wilson, 1986, p. 96] b

Figura 1.33

[Petrie, 1925, Folha VI: nº 152, 153] Figura 1.34

Três padrões bilineares apresentam-se na Figura 1.35. Em cada

caso sobrepuseram-se motivos monolineares congruentes, obtendo figuras com dois eixos de simetria perpendiculares entre si.

A Figura 1.36 mostra quatro padrões monolineares com a mesma simetria dupla. A Figura 1.37 mostra um outro exemplar bilinear.

Um padrão monolinear bastante complicado, apenas com simetria rotacional de 180o e que igualmente aparece num escarabeu do Egipto Antigo, é apresentado na Figura 1.38.


34

[Petrie, 1925, Folha XVIII: nº 1354]

a

[Newberry, 1907a, Folha XVIII: nº 9]

b

[Ward, 1978, Folha XV: nº 375]

c Figura 1.35

[Petrie, 1925, Folha VI: nº 141]

a

[Petrie, 1934, Folha IX: nº 178]

b

[Petrie, 1934, Folha VII: nº 220]

c [Ward, 1978, Folha XII: nº 302]

d Figura 1.36


35

[Petrie, 1934, Folha IX: nº 1748] Figura 1.37

[Downes, 1974, p. 63: nº 245, 7] Figura 1.38

[Petrie, 1930, Folha XLI] Figura 1.39

Figura 1.40

Um vaso ornamentado

A Figura 1.39 apresenta um padrão monolinear desenhado (ou gravado) num vaso. Infelizmente a fonte não data o objecto; apenas informa que provém do Egipto Antigo (Petrie, 1930, XLI).


36

abcd

AB

CD

a1b1c1d1

A1B1C1D1

Figura 1.41 Na Figura 1.40 reproduz-se o mesmo padrão, tendo sido

carregados alguns segmentos. Estes constituem uma rede quadrática (vide a Figura 1.41), de extremidades A, B, C, D, a, b, c, d, A1, B1, C1, D1, a1, b1, c1, e d1. Comparando o padrão egípcio com os sona monolineares triangulares de Angola (vide o Vol. 1, Cap. 5), somos levados a supor que o motivo egípcio pode ter sido construído, de forma sistemática, a partir da rede quadrática, percorrendo-a, a partir do ponto P, na sequência

Pa1aAA1b1bBB1c1cCC1d1dDD1P,

juntando, do lado superior, quatro laços que ligam simetricamente as extremidades a com A, b com B, c com C e d com D, e, do lado inferior, três laços que ligam, desta vez “saltando de fase”, as extremidades A1 com b1, B1 com c1 e C1 com d1. Sem a assimetria dos saltos, o padrão final não teria sido monolinear.

O algoritmo da construção suposta do padrão egípcio sob consideração pode ser generalizado. Na Figura 1.42 apresentam-se o primeiro, o segundo e o quarto elemento, respectivamente, da série da qual o desenho egípcio constitui o terceiro elemento. Foram construídos a partir de redes quadráticas de dimensões 1×1, 2×2, e 4×4, respectivamente (vide a Figura 1.43). É provável que para além do terceiro elemento da série, o primeiro e o segundo tenham sido conhecidos no Egipto Antigo e talvez também o próprio algoritmo de construção geométrica tenha sido compreendido na sua generalidade.


37

Figura 1.42


38

Figura 1.43

Considerações finais

Como dissemos na introdução, relativamente poucos escarabeus do Egipto Antigo apresentam figuras geométricas compostas por uma ou mais linhas contínuas que, de certa forma se assemelham ao tipo do padrão dos sona da África ao Sul do Equador. Por um lado, esta frequência baixa e, no entanto, por outro lado, o seu aparecimento durante centenas de anos em escarabeus de reduzidas dimensões (em geral com a largura inferior a 1,5 cm e o comprimento inferior a 2 cm), fazem-nos supor que havia uma tradição fora do contexto da fabricação e ornamentação de escarabeus em que se desenvolveram os respectivos algoritmos geométricos. O facto de que não é fácil gravar estas Figuras nos escarabeus sem ter a figura presente noutro material, reforça a nossa hipótese.

Vimos que a tradição dos desenhos na areia da África central-austral era muito mais variada e rica do que as imagens noutros materiais como têxteis e madeira nos levam a crer à primeira vista. Talvez se tenha verificado um processo semelhante no Egipto Antigo. O aparecimento de algumas figuras compostas por uma linha contínua e construídas conforme o mesmo algoritmo, pintadas em túmulos de faraós e o único padrão monolinear desenhado num vaso que encontrámos reforçam também, por sua vez, a nossa suposição. Talvez uma tal tradição de desenho tenha tido a sua origem e inspiração no entrelaçamento de esteiras e de assentos de cadeiras, ou, possivelmente, como Petrie sugeriu, na soldadura de fios metálicos. Encontram-se aqui pistas para novas pesquisas.

Além da geometria dos papiros ainda existentes, como o Papiro Rhind (Papiro de Ahmes) e o Papiro Moscovo, e da geometria “escondida” nas construções das pirâmides e outros edifícios, pode ter


39

havido no Egipto Antigo uma tradição de desenho em certa medida similar à tradição dos sona da África ao Sul do Equador. Bibliografia Bessy, Maurice (1964): A pictorial history of magic and the

supernatural, Spring Books, Londres. Bianchi, Robert S. (1984): Skarabäus, in: W.Helck & E.Otto (coord.),

Lexikon der Ägyptologie, Otto Harrassowitz, Wiesbaden, Vol. 39, 968-982.

Diop, Cheikh Anta (1981): Civilisation ou barbarie: anthropologie sans complaisance, Présence Africaine, Paris.

Downes, Dorothy (1974): The excavations at Esna (1905-1906), Aris & Philips, Warminster.

Fraser, George (1900): Catalogue of the scarabs belonging to George Fraser, Bernard Quaritch, Londres.

Hope, Colin (1987): Egyptian pottery, Shire Egyptology, Bucks. Hornung, Erik & Stähelin, Elisabeth (1976): Skarabäen und andere

Siegelamulette aus Basler Sammlungen, Philip von Zabern, Mainz.

Magi, Giovanna (1992): Luxor: Valley of Kings - Queens - Nobles - Artisans, Bonechi, Firenze.

Martin, Geoffrey T. (1971): Egyptian administrative and private-name seals principally of the Middle Kingdom and second intermediate period, Griffith Institute, Oxford.

Matouk, Fouad (1971): Corpus du scarabée égyptien, Vol. 1, Les scarabées royaux, Académie Libannaise, Beyrouth.

Newberry, Percy (1906): Egyptian antiquities: scarabs, Archibald Constable & Co., Londres.

Newberry, Percy (1907a): The Timins collection of ancient Egyptian scarabs and cylinder seals, Archibald Constable & Co., Londres.

Newberry, Percy (1907b): Catalogue général des antiquités Égyptiennes du Musée du Caire: Scarab-shaped seals, Archibald Constable & Co., Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1889): Historical scarabs, D. Nutt, Londres.


40

Petrie, W.M. Flinders (1891): Illahun, Kahun and Gurob, D. Nutt, Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1895): Egyptian decorative art, Methuen, Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1917): Scarabs and cylinders with names, British School of Archaeology in Egypt, Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1925): Buttons and design scarabs, British School of Archaeology in Egypt, Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1930): Decorative patterns of the ancient world, University College, Londres.

Petrie, W.M. Flinders (1934): Ancient Gaza, Vol. 4, Tell El Ajjul, British School of Archaeology in Egypt, London

Petrie, W.M. Flinders (1940): Wisdom of the Egyptians, British School of Archaeology in Egypt, Londres.

Rowe, Alan (1936): A catalogue of Egyptian scarabs, scaraboids, seals and amulets in the Palestine Archaeological Museum, Imprimerie de l’Institut Français d’Archéologie Orientale, Cairo.

Simpkins, Mark (1992a): Valley of the Kings, Simpkins, Salt Lake City.

Simpkins, Mark (1992b): Valley of the Queens, Tombs and of the Nobles, Simpkins, Salt Lake City.

Steindorff, G. (1936): Skarabäen mit Namen von Privatpersonen der Zeit des Mittleren und Neuen Reichs aus der Sammlung S.M. des Königs Fuâd I, in: Annales du Service des Antiquités de l’Egypte, Cairo, Vol. XXXVI, 161-186.

[Vienne] (1824). Scarabées égyptiens figurés du Musée des Antiqués de Sa majesté l’Empereur, Imprimerie d’Antoine Strauss, Viena.

Ward, John (1902): The sacred beetle: a popular treatise on Egyptian scarabs in art and history, John Murray, Londres.

Ward, W. (1978): Studies on scarab seals, Vol. 1, Pre-12th dynasty scarab amulets, Aris & Phillips, Warminster.

Wilson, Eva (1986). Ancient Egyptian designs, British Museum, Londres.


41

Capítulo 2 SOBRE PADRÕES-DE-FITA-TRANÇADA E OUTROS

MOTIVOS MONOLINEARES NA MESOPOTÂMIA ANTIGA Cobras em selos na Mesopotâmia Antiga

Já no 6º milénio a.C. se utilizavam, na Ásia ocidental, selos carimbados. Desde o início do 3º milénio a.C. empregam-se também selos em forma de um cilindro, em cujo exterior se gravavam as representações desejadas. Ao desenrolar o cilindro em barro húmido aparece uma banda ilustrada (compare Herrmann, Vol. 1, p. 313; Wooley, p. 48, 51). A cobra é um dos animais usado como motivo nestes selos. Em comparação com outros animais, a serpente desempenha um papel relativamente subordinado (vide Amiet, 1961, p. 134). Contudo, o que atraiu a nossa atenção não é tanto a frequência do seu aparecimento nos selos, mas a forma com que é representada nos selos cilíndricos: a forma de uma fita trançada (Vide Vol. 1).

[Amiet, 1961, Folha 95: nº 1253]

a Figura 2.1


42

[Douglas van Buuren, 1935, p. 57: nº 12]

b Figura 2.1

As fitas trançadas apresentadas na Figura 2.1, pertencem à classe

A. Têm por dimensões 2×3 e 3×4. 1 A cobra, ilustrada na Figura 2.2, num selo da cidade de Ur (2300/2200 a.C.) pertence igualmente à classe A. Ela apresenta, no entanto, erros de entrelaçamento na zona da 6ª e 8ª colunas primárias. Devia verificar-se: f1 = 5, f2 =4, c1 = 9 e c2 = 8.

[Amiet, 1961, Folha 95: nº 1247b] 2

Figura 2.2 1 Cf. as figuras ilustradas em Douglas van Buren (1935, p. 57, nº

11) e em Hogarth (sem ano, T. a, nº 13). 2 Cf. Legrain, 1951, Fotografia nº 63.


43

[Amiet, 1980, p. 199 e Figura 42g]

Figura 2.3

[Amiet, 1961, Folha 95: nº 1247A]

Figura 2.4

A Figura 2.3 mostra duas cobras esculpidas em pedra que são representadas por um padrão-de-fita-trançada da classe A, de dimensões 2×4.

A cobra ilustrada na Figura 2.4 pertence à classe B. 3 Numa fotografia em Douglas van Buren (p. 57, Fotografia nº 9)

apresenta-se uma serpente na forma duma fita trançada da classe C (vide a representação esquemática na Figura 2.5).

A opção do artesão para uma ou outra classe depende de ele pretender que a cabeça e a “cauda” do animal fiquem juntas ou afastadas. Além disso, o artesão tem de escolher as dimensões da rede 3 Um outro exemplo encontra-se em Amiet (1961, T. 95, nº 1251).


44

com cuidado. Recordemos, por exemplo, que um padrão-de-fita-trançada da classe A é monolinear se, e somente se, os números f1 e c1 são primos entre si.

Figura 2.5

[Amiet, 1961, Folha 95: nº 1248]

Figura 2.6

O artesão que fabricou o selo da Figura 2.6 enganou-se visivelmente. A sua cobra consiste em duas linhas em vez de apenas uma. Aparentemente ele parece ter trocado dois padrões-de-fita-trançada das classes A e B, ou copiado mal um outro selo. A Figura 2.7 apresenta três padrões-de-fita-trançada bastante parecidos com o da Figura 2.6. Talvez um deles lhe servisse de exemplo. Pode também ter acontecido que o artesão se tivesse enganado na contagem.

Se o desenho na Figura 2.8 corresponde de facto ao selo original, parcialmente reconstruído a partir de alguns pedaços de barro, então o artesão enganou-se na escolha das dimensões. Sendo f1 =3 e c1 = 6 (classe A), precisa-se de três linhas; o resultado não é apenas uma única curva como o desenho nos sugere.


45

Figura 2.7

[Amiet, 1972, Folha 63: nº 6]

Figura 2.8 Fitas trançadas ou padrões desenhados?

Não é fácil trançar uma fita composta por apenas uma única tira: por exemplo, onde se deve dobrar a tira pela primeira vez?

A Figura 2.1b mostra que o seu produtor não trançou de modo nenhum. As partes de tira numa direcção ficam sempre de baixo das outras na direcção perpendicular à primeira, em vez de, alternadamente, passarem “por cima – por baixo”. Outros artesãos tiveram dificuldades em imitar e gravar cobras trançadas (vide o exemplo na Figura 2.4).


46

As fitas realmente trançadas constituíam o exemplo a ser imitado? Os esteireiros eram os investigadores das propriedades das fitas trançadas das classes A, B, C e D?

Algumas representações de cobras não são fitas trançadas. A Figura 2.9a mostra uma serpente num selo da 1ª dinastia de Ur (2600/2400 a.C.) e a Figura 2.9b mostra uma parte da representação de uma cobra proveniente de Kish. Na Figura 2.10 vê-se a impressão dum selo cilíndrico encontrado num túmulo real em Ur. Estas imagens de cobras correspondem a outros algoritmos geométricos.

[Amiet, 1961, Folha 81: nº 1079]

a

b Figura 2.9

Na localidade actual de Shahr-i Sokhta (Irão) foi encontrado um

jogo de tabuleiro cujas vinte casas são abraçadas por uma serpente (vide a Figura 2.11). O tabuleiro data de 2300 / 2200 a.C. (cf. Giacardi, p. 145, 146). Pode-se dizer que ele é composto por duas fitas trançadas. Contudo, na realidade, já não se trata de um entrelaçamento:


47

onde as duas fitas trançadas se unem, as partes de cobra não são entrelaçadas, mas giram em espiral, uma em torno da outra. Na criação desta cobra de tabuleiro houve considerações que ultrapassam o contexto do trançar. O criador teve consciência duma regra de encadeamento de padrões-de-fita-trançada monolineares (compare Vol. 1, Cap. 6)? Um padrão monolinear gravado num cilindro (c. 2800 a.C.) proveniente da cidade suméria de Lagash (vide a Figura 2.12a) reforça a ideia de que as regras de encadeamento eram conhecidas. No padrão uniram-se quatro exemplares do mesmo motivo de base (vide a Figura 2.12b), garantindo tanto quatro eixos de simetria como uma simetria rotacional de 90o (cf. a construção de um lusona com simetria rotacional de 90o analisada no Vol. 1, Cap. 9).

[Amiet, 1961, Folha 80: nº 1068]

Figura 2.10

[Giacardi, 1979, p. 147] Figura 2.11


48

[Petrie, 1930, Folha XLI] a

b

Figura 2.12

Figura 2.13


49

Numa tábua de barro de Schuruppak, c. 2500 a.C., encontra-se um desenho riscado 4 cuja versão reduzida e topologicamente equivalente se apresenta na Figura 2.13. Trata-se (sem contar com as “cabeças”) de um padrão-de-fita-trançada da classe A, composta por duas linhas horizontalmente simétricas.

A possibilidade de compor serpentes trançando fitas pressupõe o conhecimento das propriedades dessas fitas. Em particular, o produtor de selos devia saber quais são as fitas trançadas das classes A, B, C e D que são constituídas por apenas uma única fita: que valores de f1, f2, c1, c2 são possíveis? Para poder adquirir este saber, é muito mais fácil desenhar as fitas do que trançá-las!

O desenho gravado representado na Figura 2.13 reforça a nossa suposição de que existia, na Mesopotâmia Antiga, uma tradição de desenho, que não só se inspirou, pelo menos parcialmente, na imitação das fitas trançadas, mas também a superou, como vimos no caso da tradição dos Cokwe. Desenhar em barro ou na areia é uma actividade muito mais “livre” que trançar: podem ser pesquisadas formas difíceis de se trançar; assim como podem ser elaboradas figuras “intrançáveis”, estimulando a reflexão matemática. Bibliografia Amiet, Pierre (1961): La Glyptique mésopotamienne archaïque, Paris. Amiet, Pierre (1972): Glyptique Susienne des Origines à l’Époque des

Perses Achéménides, Librairie Orientaliste Paul Geuthner, Paris. Amiet, Pierre (1980): La Glyptique mésopotamienne archaïque

(edição revista e corrigida), Centre National de la Recherche Scientifique, Paris.

Douglas van Buren, E. (1935): Entwined serpents, in: Afo, 53-65. Giarcardi, L.; Roero, S. & Viola, T. (1979): Ipotesi sull’ esistenza di

una mathematica magico-sacrale presso gli antiche Sumeri, in: Arithmos-Arrythmos, Skizzen aus der Wissenschaftsgeschichte, München, 143-160.

Herrmann, Joachim (1984): Lexikon früher Kulturen, Leipzig. 4 Vide a fotografia em Herrmann, 1984, Vol. 2, p. 245.


50

Hogarth, D. C. (sem ano): Hittite seals, Londres. Legrain, L. (1951): Ur excavations, Vol.10, Seal cylinders, Nova

Iorque. Petrie, W. M. Flinders (1930): Decorative patterns of the ancient

world, University College, Londres.


51

Capítulo 3 SOBRE ALGUNS ALGORITMOS GEOMÉTRICOS NA ÍNDIA

Neste capítulo analisaremos alguns desenhos de soleira

tradicionais e desenhos chamados kolam da Índia. O capítulo é composto por duas partes. Na primeira parte reproduz-se um artigo publicado em 1989, 1 em que se investigarão desenhos de soleira Tamil relatados por Layard (1937) que não satisfazem o tradicional ideal cultural da monolinearidade. Apresentar-se-á a hipótese de que estes padrões são versões “degradadas” de padrões originalmente monolineares. As possíveis versões originais são reconstruídas e o seu potencial matemático é explorado. Na segunda parte analisar-se-ão desenhos kolam e comparar-se-ão os resultados com as hipóteses formuladas na primeira parte. 3.1 Reconstrução e extensão de simetrias perdidas: exemplos dos

Tamil do Sul da Índia Introdução: desenhos de soleira Tamil

Durante o mês das colheitas de Margali (de meados de Dezembro a meados de Janeiro), as mulheres Tamil no sul da Índia costumavam fazer desenhos na frente das soleiras das suas casas, todas as manhãs. Margali é o mês no qual é suposto ocorrerem toda uma

1 A secção 3.1 foi originalmente escrita em Inglês e publicada na

revista internacional Computers & Mathematics with Applications” (Vol. 17, p. 791-813, Oxford / Nova Iorque, 1989), traduzida por Joaquina Silva, docente do Departamento de Matemática na Delegação do Instituto Superior Pedagógico na Cidade da Beira, Moçambique


52

espécie de epidemias. Os desenhos têm o propósito de apaziguar o deus Siva que preside aos destinos durante o mês de Margali.

a b

c d [Layard, 1937, p. 137]

Figura 3.1

Para preparar os seus desenhos as mulheres varrem um pequeno espaço com cerca de uma jarda quadrada e borrifam-no com água ou untam-no com estrume de vaca. Sobre a superfície limpa, humedecida, colocam uma rede rectangular de referência com pontos equidistantes. Então a(s) curva(s) que forma(m) o desenho é (são) feita(s) segurando


53

farinha de arroz entre os dedos e, com um leve movimento destes, deixam-na cair numa linha fechada, suave, à medida que a mão é movida nas direcções desejadas. As curvas são desenhadas de tal maneira que rodeiam os pontos sem os tocar. “O desenho ideal é composto por uma única linha contínua” (Layard, p. 123). Por outras palavras, monolinearidade constituía o ideal.

a b

c d [Layard, 1937, p. 132]

Figura 3.2

A Figura 3.1 mostra exemplos de desenhos que exibem uma (a), duas (b, c) ou quatro (d) simetrias bilaterais. Contudo existem outros desenhos tradicionais de soleiras que não se conformam com as normas Tamil, sendo compostos por dois, três ou mais caminhos fechados sobrepostos. A Figura 3.2a mostra um exemplo, feito com


54

três linhas fechadas separadas (Figura 3.2b, c, d). De acordo com Layard, estes desenhos “representam de uma maneira clara um espírito de desenvolvimento artístico, ... mas são tecnologicamente degradados” (Layard, 1937, p. 149). São “imitações”; podem apenas dar a impressão de terem sido compostos por uma única curva “que nunca termina”. Residirá a “degradação” realmente no fracasso de criar padrões monolineares mais intrincados?

Nesta secção (3.1) será apresentada uma hipótese alternativa: muitos dos padrões formados por uma “pluralidade de linhas que nunca terminam”, analisados por Layard, podem ser versões degradadas de figuras que originalmente eram compostas por uma única linha fechada. Análise e reconstrução de um desenho “pavitram”

Os nomes dados a desenhos formados por uma única linha “que nunca termina” são normalmente pavitram, que significa anel e Brahma-mudi ou nó de Brahma. “O objectivo dos pavitram é afugentar gigantes, espíritos do mal ou demónios” (Layard, p. 138). Não é estranho que o desenho na Figura 3.2a, embora composto de três caminhos fechados sobrepostos, mesmo assim seja chamado pavitram? Será possível construir um desenho semelhante ao da Figura 3.2a mas feito de uma única linha?

a b Figura 3.3


55

Por um lado, a parte exterior do desenho exibe uma simetria rotacional de 90o (vide a Figura 3.3a), mas, por outro lado, a parte interior exibe só uma simetria rotacional de 180o (vide a Figura 3.3b). Como podemos remover esta inconsistência entre as partes interna e externa?

a b

c Figura 3.4

Verticalmente, passam à volta do centro dois segmentos de curva

“sinusoidais” (compare Figura 3.4a). Se acontece o mesmo horizontalmente (vide a Figura 3.4b), então parece ser possível completar um desenho (Figura 3.4c) que não só exiba uma simetria rotacional de 90o (olhando da direita ou da esquerda, de baixo ou de cima, a Figura fica sempre a mesma) mas seja também semelhante ao pavitram (Figura 3.2a). Além disso, o padrão resultante (Figura 3.4c) é monolinear!


56

Os dois desenhos, o primeiro referido por Layard (Figura 3.2a) e o outro reconstruído por nós (Figura 3.4c), diferem só em dois detalhes, como está ilustrado na Figura 3.5. Quando na Figura 3.4c os segmentos de curva chegam tão próximos em P e Q que quase se tocam, podem criar a falsa impressão de que P e Q constituem pontos de intersecção, como na Figura 3.5a.

P

Q

P

Q

Figura 3.5

O padrão monolinear da Figura 3.4c é provavelmente o desenho original. O padrão polilinear referido (Figura 3.2a) é uma degradação da Figura 3.4c, uma consequência de deficiente transmissão de uma geração para a outra, causada, por exemplo, por um desenhar não claro ou memorização imprecisa, uma vez que “nenhuma tentativa é feita para preservar os padrões. Eles são pisados quase imediatamente depois de terem sido feitos e são logo destruídos” (Layard, p. 123); a transmissão torna-se facilmente deficiente. Um segundo exemplo

O desenho de soleira anónimo, que se mostra na Figura 3.6a, composto de cinco curvas fechadas (Figura 3.6b, c, d), exibe uma simetria rotacional de 90o. Pode-se supor que o original deste padrão foi formado por uma única linha fechada e exibia a mesma simetria rotacional. Eliminando em cada lado uma junção “falsa”, como no exemplo anterior (junções P e Q), quatro desenhos resultam ser o possível padrão original (vide a Figura 3.7).


57

a b

c d [Layard, 1937, p. 141]

Figura 3.6

Figura 3.7


58

Regras de transformação

Antes de avançar com a reconstrução de outros desenhos de soleira tradicionais dos Tamil, parece apropriado analisar o que acontece, sob determinadas condições (cf. Vol. 2, Capítulo 5), com o número de linhas fechadas, quando se introduz ou elimina uma junção passando de um padrão para outro.

Quando se introduz uma junção juntando duas curvas distintas, o número de linhas diminui de uma [regra 1]. Quando se elimina uma junção formada de duas curvas distintas que se cruzam, então o número de linhas decresce em uma [regra 2]. A seguinte tabela sumariza as regras de transformação:

regra natureza

da transformação

situação antes da

transformação

situação depois da

transformação

número de linhas depois

da transformação

1 introdução

duma junção

-1

2 eliminação

duma junção

-1

No exemplo de reconstrução do desenho pavitram, aplicámos a

segunda regra duas vezes. A mesma regra foi usada quatro vezes no segundo exemplo, diminuindo o número total de linhas de cinco para uma. Reconstrução dos padrões denominados “pulverizador de água” e “mesa giratória”

Damos agora duas aplicações da primeira regra de transformação. O padrão do “pulverizador de água de rosas” (vide a Figura 3.8a) é composto de quatro curvas fechadas (Figura 3.8b, c, d, e). Introduzindo junções em P, Q e R no eixo vertical, obtém-se um desenho muito semelhante (vide a Figura 3.9), composto por um único caminho fechado.


59

[Layard, 1937, p. 147] a

Figura 3.8


60

P

Q

R

b

Figura 3.8


61

R

Q

P

c, d, e Figura 3.8


62

Figura 3.9


63

O desenho de soleira chamada “mesa giratória”, ilustrado na Figura 3.10 é formado por três linhas “que nunca terminam” sobrepostas. Quando se criam junções em S e T no eixo horizontal de simetria, aparece o provável padrão original feito com uma única linha (vide a Figura 3.11). Uma outra possibilidade é apresentada na Figura 3.12.

S T

[Layard, 1937, p. 145] Figura 3.10


64

Figura 3.11

Figura 3.12


65

P

Q

RS

a b

Transformação pela introdução de junções em P, Q, R e S Figura 3.13

O padrão pavitram revisitado

Transformámos os desenhos de soleira anónimos, apresentados na Figura 3.6a, em padrões monolineares, eliminando quatro junções por aplicação da regra 2. O processo “inverso” é também realizável: quatro novas junções podem ser introduzidas com a regra 1. Como ilustram as Figuras 3.13 e 3.14, há duas possibilidades para fazer isso de tal modo que o desenho final exiba a mesma simetria rotacional de 90o, como na Figura 3.6a, e seja formado por uma única linha “que nunca termina”.

UV

WZ

a b Transformação pela introdução de junções em U, V, W e Z

Figura 3.14


66

O caminho fechado na Figura 3.14b constitui um outro original

possível para este desenho de soleira anónimo (vide a Figura 3.6a), pois ambos os padrões são ainda bastante semelhantes. Surpreendentemente, a Figura 3.13b é idêntica à nossa reconstrução (Figura 3.4c) do desenho pavitram (Figura 3.2a), mas sem a ornamentação do rebordo. Nesta forma o padrão pode ser facilmente estendido, como será mostrado depois de uma breve referência à noção de extensão inerente à tradição de desenho Tamil.

a b [Layard, 1937, p. 137]

Figura 3.15

Extensões

Os desenhos de soleira Tamil que se apresentam na Figura 3.15, feitos com uma única curva fechada, são bastante semelhantes na sua estrutura. Podem ambos ser considerados como padrões “rectangulares” (vide a Figura 3.16) com ornamentação “circular” nos pontos exteriores que não são vértices do rectângulo. Neste sentido, a Figura 3.15b pode ser chamada uma extensão ou generalização possível da Figura 3.15a. A Figura 3.17 constitui o passo seguinte.

Figura 3.16


67

Figura 3.17

A Figura 3.18a é outra extensão possível do padrão Tamil que se mostra na Figura 3.15a. Por sua vez, este padrão foi usado como um elemento na construção do desenho de soleira “berço”, visto na Figura 3.18b. O padrão elaborado da “mesa giratória” que analisámos antes (Figuras 3.10-3.12) pode ser considerado como uma justaposição e sobreposição parcial – e portanto uma extensão – dos elementos monolineares mostrados na Figura 3.19.

O original do nó de Brahma da Figura 3.20, formado por quatro curvas suaves fechadas, pode ser facilmente reconstruído. Como está ilustrado na Figura 3.21, basta alongar os segmentos de curvas próximos do centro. A nossa hipótese torna-se ainda mais credível se compararmos este nó de Brahma reconstruído com o desenho de soleira tradicional Tamil na Figura 3.22. Ambos “obedecem” ao mesmo algoritmo geométrico. A Figura 3.23b mostra uma extensão posterior destes padrões, neste caso com oito pontos de cada lado do quadrado. Estas curvas fechadas são construídas com quatro “ramos”, de tal modo que dois ramos consecutivos são simétricos em relação aos eixos horizontal ou vertical.


68

a

[Layard, 1937, p. 140] b

Figura 3.18


69

Figura 3.19

[Layard, 1937, p. 147] Figura 3.20


70

Figura 3.21

[Layard, 1937, p. 137] Figura 3.22


71

a

b Figura 3.23


72

a

Figura 3.24

Extensões do padrão pavitram reconstruído

O padrão do pavitram reconstruído, reduzido (Figura 3.13b) pode ser facilmente estendido, como está ilustrado na Figura 3.24 para os casos p=9 e p=17, onde p designa o número de pontos do lado da rede de referência quadrada. O desenho do primeiro quarto do padrão no caso de p=13, como está ilustrado na Figura 3.25, mostra muito claramente que um algoritmo geométrico relativamente simples assenta na base de um desenho bastante intricado à primeira vista. Depois de completar cada quarto, roda-se à volta do canto e repete-se o desenho. Isto explica a simetria rotacional de 90o que os padrões finais (Figura 3.13b e 3.24a, b) exibem. Não são só possíveis extensões de padrões quadrados: a Figura 3.26 mostra uma extensão não-quadrada de 17×9, onde 17 designa o número de pontos na primeira fila e 9 o número de pontos da primeira coluna. Geralmente, o padrão pode ser estendido para todas as redes de referência rectangulares (4m+1) × (4n+1), onde m e n representam números naturais arbitrários. Todas as versões estendidas podem ser consideradas como construídas com “células” parcialmente sobrepostas. As células são os desenhos pavitram reconstruídos sem a decoração exterior (Figura 3.13b); parcialmente sobrepostos no sentido de que duas células vizinhas têm uma fila (ou coluna) de pontos,


73

exterior, comum. A Figura 3.27 mostra a extensão 9×9 do padrão pavitram reconstruído, completado com uma ornamentação exterior. Todas as extensões consideradas são monolineares.

b

Figura 3.24


74

Figura 3.25

Figura 3.26


75

Figura 3.27

Exame do nó de Brahma

“Nó de Brahma” é geralmente um nome dado só a certos padrões monolineares. O nó de Brahma na Figura 3.28 é, contudo, formado por cinco curvas fechadas sobrepostas (vide a Figura 3.29). Como, além disso, duas destas cinco passam sobre os pontos P e Q em vez de os contornarem, torna-se altamente provável que não se trata aqui do padrão original. A chave para a redescoberta do padrão Tamil original parece assentar na curva fechada periférica (Figura 3.29a). É possível modificar esta curva de modo a “preencher” também o interior da grade quadrada de pontos?


76

[Layard, 1937, p. 144] Figura 3.28

Em cada “lado” da linha periférica, a mesma “aselha” (vide a

Figura 3.30) repete-se três vezes. Que acontecerá se houver só uma ou duas destas aselhas em cada “lado”? No primeiro caso (Figura 3.31), uma única curva “que nunca termina” “preenche” todo o quadrado de referência. Embora isto não aconteça no segundo caso (Figura 3.32a), a grade quadrada pode ser “preenchida” (Figura 3.32b) introduzindo quatro vezes um elemento bastante semelhante à aselha e que já encontrámos na Figura 3.6c, d. Agora, se aplicamos a primeira regra de transformação em S, T, U e V, obtemos o padrão monolinear com eixos de simetria horizontal e vertical que se mostra na Figura 3.32d.


77

P Q

a

(duas vezes) a

(duas vezes) b

Figura 3.29


78

Figura 3.30

Figura 3.31

a


79

S TUV

b c

d

Figura 3.32


80

e

Figura 3.32

Os ramos (Figura 3.32e) que foram introduzidos por estas junções não são estranhos à tradição Tamil, pois encontrámo-los antes no modelo do “pulverizador de água de rosas” (Figura 3.8) e aparecem também no padrão pavitram reconstruído e estendido (ver, em particular, Figura 3.25). Usando o mesmo algoritmo geométrico no caso de três aselhas em cada lado, obtém-se o padrão com simetria dupla, ilustrado na Figura 3.33, que é provavelmente o nó de Brahma original. Fonte de inspiração

A curva fechada periférica da Figura 3.29a tem eixos de simetria horizontal e vertical. É possível modificar a orientação das aselhas nos dois lados opostos de tal modo que uma nova linha periférica apareça (Figura 3.34). Esta exibe uma simetria rotacional de 90o. 1 A Figura 1 Num kolam apresentado por Durai (1929, Folha E) aparece uma

linha periférica desta natureza com duas aselhas em cada lado.


81

3.35 mostra o que acontece no caso de uma aselha em cada lado. As Figuras 3.36 e 3.37 ilustram as extensões que podem ser obtidas quando se “preenche” o interior, nos casos de duas ou três aselhas em cada lado. Todos estes padrões são monolineares.

Figura 3.33


82

Figura 3.34

Figura 3.35


83

Figura 3.36

Figura 3.37


84

A -A a b

Figura 3.38

Regressemos à Figura 3.14b e designemos este padrão por A. Por uma reflexão deste padrão à volta do eixo vertical de simetria obtém-se o modelo da Figura 3.38b (representação - A). Se se juntar agora dois elementos A e dois -A de acordo com o esquema

-A A A -A

de tal modo que duas “células” vizinhas tenham uma fila (ou coluna) de pontos exteriores comum, descobre-se o interessante padrão monolinear da Figura 3.39 com eixos horizontal e vertical de simetria . Se se “isolar” o seu centro 5×5, obtém-se um outro padrão monolinear (Figura 3.40a). Designe-se por B este padrão. Por uma reflexão de B à volta de uma das suas diagonais, obtém-se a Figura 3.40b (representação BT). Construindo analogamente um modelo de acordo com o esquema

BT B

B BT inventa-se o padrão monolinear da Figura 3.41. O isolamento do centro 5×5 conduz-nos de novo ao padrão A.

Muitas outras variações são possíveis.


85

Figura 3.39

B BT a b

Figura 3.40


86

Figura 3.41

Observações finais

A maioria dos desenhos de soleira nos quais o estudo de Layard se baseia foram publicados em Madras em 1923. Nesse tempo a tradição Tamil para desenhar padrões na frente das soleiras das suas casas durante o mês de Margali estava em declínio. Os desenhos polilineares que analisámos parecem versões “degradadas” de padrões originalmente monolineares. Estes padrões não “caíram do céu”, não foram ocasionalmente descobertos; pelo contrário, uma análise sistemática conduziu à sua invenção. Regras de transformação, assim como algoritmos geométricos, têm sido descobertos. Consolidaram-se noções de simetria bilateral e rotacional. Os seus inventores desenvolveram (ou dispuseram de) ideias claras de extensão e generalização. Construíram padrões que tiveram que satisfazer certos critérios escolhidos como monolinearidade, continuidade, suavidade e simetria.

A nossa análise revela o alto potencial matemático da tradição que conduziu aos modelos de soleiras Tamil. Investigação futura sobre a sua origem e possível influência no (talvez antigo) desenvolvimento matemático (e artístico) na Índia (ou em qualquer outra zona do mundo) parece necessária. Exigem também estudos futuros os factores sociais, educacionais e técnicos que contribuíram para a já mencionada “degradação”, i.e., para o desenvolvimento de desenhos que não


87

obedecem à norma cultural da monolinearidade. Em alguns casos (e.g. Figura 3.6a), a “degradação” talvez tenha facilitado a memorização.

Pode ser sugerido o uso dos desenhos de soleira Tamil nas aulas de Matemática (cf. Gerdes, 1988a, b).

[Trivedi, 1990, p. 378] Figura 3.42

3.2 Desenhos kolam

Num artigo sobre simetria na filosofia hindu, Trivedi apresenta um padrão alpana (vide a Figura 3.42), informando que

“existem vários tipos de padrões puramente abstractos duma natureza simbólica... que são desenhados por mulheres no chão e nas paredes das casas com farinha de arroz ou com cores em pó, durante festivais e cerimónias religiosas. Estes padrões são conhecidos sob vários nomes, como alpana, rangoli ou kolam, e são encontrados por toda a Índia” (1990, p. 378, 379). Enviámos ao autor, para além do artigo reproduzido na primeira

parte do Capítulo 3, algumas publicações sobre sona, o que o levou a


88

mandar-nos seis brochuras populares sobre os kolam (vide na bibliografia: [KA], [K2], [K3], [K6], [K8] e [K9]). Cada uma das brochuras contém 24 páginas e o único texto que acompanha os desenhos são os nomes de alguns deles. Na maioria dos kolam nelas apresentados, as linhas passam pelos pontos de referência (vide o exemplo na Figura 3.43). Na minoria dos casos, as linhas abraçam os pontos tal como no caso dos padrões analisados na primeira parte deste capítulo: dos 893 motivos apresentados nas brochuras, 222 são do tipo em que as linhas abraçam os pontos do sistema referencial; destes, apenas 29 são monolineares, ou seja, 3% do total.

[K3, p. 6] Figura 3.43

Padrões com simetria

Alguns kolam monolineares encontrados nesta colecção de seis brochuras são (quase) iguais a alguns padrões apresentados por Layard e reproduzidos no nosso primeiro estudo. A Figura 3.1d aparece rodada sobre um ângulo de 45o em [KA, p. 18], [K2, p. 9] e [K8, p. 8]; a Figura 3.1c ligeiramente arredondada em [K3, p. 23] e a Figura 3.15a em [K2, p. 9]. A existência do suposto kolam da Figura 3.18a é confirmada em [K8, p. 8]. Da Figura 3.18b (monolinear) aparece uma


89

variante (vide a Figura 3.44) que não só é polilinear, como também perdeu a dupla simetria, tendo ficado apenas com uma simetria rotacional de 90o. Aparentemente, para o(s) autor(es) / desenhador(es) da referida colecção de brochuras, a monolinearidade constitui um valor a ser transmitido menos importante que no passado (cf. Layard, 1937).

[K2, p. 2; K8, p. 4] Figura 3.44

Na Figura 3.45 apresentam-se três kolam monolineares com simetria axial, e na Figura 3.46 três kolam monolineares com uma simetria rotacional de 90o. Um kolam, igualmente monolinear, mas com apenas uma simetria rotacional de 180o, é apresentado na Figura 3.47.


90

[K2, p. 9; K2, p. 9; K2, p. 19] Figura 3.45


91

[K9, p. 18] Figura 3.46

[K2, p. 9; K9, p8] Figura 3.47

[KA, p. 12; K2, p. 9; K9, p. 8] Figura 3.48

O kolam 3-linear apresentado na Figura 3.48 é muito parecido

com o lusona que ilustra uma capoeira para o transporte de galinhas (cf. Vol. 1, Fig. 159): o quadrado no centro é curvilíneo em vez de rectilíneo e as figuras são verticalmente reflectidas.


92

[KA, p. 17] Figura 3.49

Séries de padrões monolineares

Na Figura 3.49 apresenta-se um kolam monolinear com uma simetria rotacional de 90o; o desenho é executado quadrante por quadrante. Este padrão constitui o sexto elemento duma série. Os dois primeiros elementos ilustram-se na Figura 3.50.

Na Figura 3.51 apresentamos dois kolam monolineares que constituem o segundo e o terceiro elemento duma série, da qual o conhecido lusona denominado tshingelyengelye é o primeiro elemento (vide a Figura 3.52; cf. Vol. 1, Fig. 70). O quarto elemento é ilustrado na Figura 3.53. Considerando, no entanto, os dois kolam apresentados


93

como primeiro e segundo elemento, então o kolam mostrado na Figura 3.54 – diferente da Figura 3.53 – pode constituir o elemento seguinte dessa nova série.

Figura 3.50


94

[Durai, 1929, p. 77; KA, p. 18; Layard, 1937, p. 164] a

[K3, p. 18] b

Figura 3.51


95

Figura 3.52

Figura 3.53


96

[K2, p. 6] Figura 3.54

Confirmação de hipóteses Padrão pavitram

A existência na tradição dos kolam do algoritmo por nós reconstruído para obter um padrão pavitram monolinear (vide a Figura 3.4) e aplicado para produzir toda uma série de motivos monolineares (vide as Figuras 3.24, 3.25, 3.26, 3.27, 3.35, 3.36 e 3.37), é confirmado pelo kolam monolinear reproduzido na Figura 3.55. É quase igual a um dos desenhos que incluímos no livro Lusona: Recreações geométricas de África (Gerdes, 1991, p. 69): ao último desenho faltam,


97

relativamente ao kolam da Figura 3.55, os quatro laços pequenos nas extremidades esquerda, superior, direita e inferior. O kolam constitui o terceiro elemento duma série. Na Figura 3.56 apresentam-se o primeiro e o segundo elemento.

[K2, p. 9] Figura 3.55

O mesmo algoritmo pode levar também a uma variante

monolinear (vide a Figura 3.57) do kolam 9-linear apresentado na Figura 3.58. Talvez as duas variantes tenham coexistido: a versão polilinear mais simples, a ser executada por principiantes – ou num contexto em que o número de linhas é pouco importante – , e a versão monolinear apenas por desenhadores preparados e experientes. Ambas as variantes apresentam uma simetria rotacional de ordem 4; apenas a versão polilinear goza de simetrias axiais (quatro eixos).


98

Figura 3.56


99

Figura 3.57

[K2, p. 10; K9, p. 10] Figura 3.58


100

Figura 3.59

Nó de Brahma

O algoritmo por nós reconstruído na Figura 3.32 (vide o esquema na Figura 3.59) aparece de facto nos kolam, como mostra a Figura 3.60. Este desenho tem as mesmas dimensões que o nó de Brahma, reconstruído na Figura 3.33: quinze pontos numa diagonal. Apenas no rebordo os dois desenhos são diferentes.

Na Figura 3.61 mostram-se as versões com 7 e 11 pontos em cada diagonal, respectivamente. São igualmente monolineares. Quando se pretende aplicar o algoritmo no caso de 5, 9, 13, etc. pontos na diagonal, surgem desenhos polilineares. A Figura 3.62 ilustra o caso de 9 pontos na diagonal. Trata-se de um kolam composto por 7 linhas.

A Figura 3.63 mostra dois kolam parecidos, compostos por cinco linhas fechadas. Introduzindo quatro novos cruzamentos (cf. Figura 13), de tal modo que se mantenha a simetria dupla, obtém-se o padrão da Figura 3.64, em que de facto se aplica o mesmo algoritmo que é representado esquematicamente na Figura 3.59. Rodando a Figura 3.64 sobre um ângulo de 90o, observa-se que se trata do mesmo algoritmo que o do “estômago do leão” dos Cokwe (cf. vol. 1, Figuras 123 e 124; versão curvilínea). Na Figura 3.65 apresenta-se um kolam 17-linear


101

que de maneira análoga pode ser transformado num padrão monolinear.

[K2, p. 9; K9, p. 18] Figura 3.60


102

Figura 3.61


103

[K6, p. 22] Figura 3.62

[KA, p. 17; K9, p. 18] Figura 3.63

Figura 3.64


104

[K2, p. 16] Figura 3.65

[K3, p. 23] Figura 3.66

Mais um exemplo duma reconstrução

A Figura 3.66 mostra um kolam monolinear ao qual falta uma simetria rotacional global de 90o; apenas no centro apresenta uma simetria rotacional local de 90o. Não nos parece o kolam original. Reconstituindo a simetria global, obtemos dois possíveis originais (vide a Figura 3.67). Surpreendentemente, o segundo é igual à Figura 3.35.


105

Figura 3.67

[K8, p. 22] Figura 3.68

Simetria e monolinearidade: possível conflito de valores

Como vimos no estudo dos sona, os valores de simetria e monolinearidade nem sempre são compatíveis. O kolam na Figura 3.68 apresenta uma simetria dupla, mas é polilinear: composto por onze


106

linhas. Em ambas as diagonais tem 13 pontos. Se numa das suas diagonais tivesse, em contrapartida, 14 pontos, o padrão tornar-se-ia monolinear, perdendo, no entanto, um eixo de simetria (vide a Figura 3.69). Alterando ligeiramente o algoritmo podemos, neste caso, recuperar a simetria dupla, sem perder a monolinearidade, como mostra a Figura 3.70.

Figura 3.69

Grande parte dos desenhos kolam apresentados nas seis brochuras consideradas é simétrica e polilinear: polilinear porque as simetrias desejadas ou as dimensões não facilitem monolinearidade, ou porque se prefere um algoritmo simples, em que se repete por diversas vezes um elemento de base.


107

Figura 3.70

Degradação ou coexistência

Na primeira parte deste capítulo apresentámos a tese de que grande parte dos desenhos polilineares relatados por Layard eram versões degradadas de desenhos originalmente monolineares. É, de facto, possível. Uma outra hipótese sugerida ao analisar as seis brochuras com desenhos kolam, reside na suposição da coexistência de várias tradições e vários níveis de conhecimento, por exemplo, desenhos polilineares com algoritmos relativamente simples, conhecidos por mais pessoas, e desenhos monolineares mais complicados, conhecidos por especialistas, tal como no caso dos “akwa kuta sona”. Esta “degradação ou coexistência” pode variar de zona e de período, e merece um estudo mais aprofundado.


108

Bibliografia Anónimo (sem ano): Kolam, Gollapudi Veeraswamy Son Publishers,

Fort Gate - Rajahmundry-1, 24 p. [KA] Gerdes, Paulus (1988a): Descobrir as Figuras que faltam. Série de

exercícios inspirados em desenhos tradicionais dos Quiocos do Nordeste de Angola e dos Tamil do Sul da Índia, TLANU-minibrochura 1988-1, Maputo, 10 p.

Gerdes, P. (1988b): Find the missing figures. A series of geometric problems inspired by traditional Cokwe sand drawings (Angola) and Tamil threshold designs (India), Mathematics Teaching, Derby (GB), Vol. 124, 18-19, capa e contra-capa.

Gerdes, P. (1989): Reconstruction and extension of lost symmetries: examples from the Tamil of South India, Computers and Mathematics with Applications, Nova Iorque, Vol. 17, nº 4-6, 791-813, e in: Hargittai, I. (coord.), Symmetry, Unifying human understanding, Pergamon Press, Nova Iorque, Vol. 2, 791-813.

Gerdes, P. (1991): Lusona: Recreações geométricas de África, Instituto Superior Pedagógico, Maputo.

Kumar, K.Prasanna (sem ano): Kolam, Gollapudi Veeraswamy Son Publishers, Fort Gate - Rajahmundry-1, Vol. 2, 24 p. [K2]





Layard, J. (1937): Labyrinth ritual in South India: threshold and tattoo design, Folk-Lore, Londres, Vol. 48, 115-182.

Trivedo, Kirti (1990): Symmetry in Hindu philosophy, Symmetry, culture and science, Budapest, Vol. 1, nº 4, 369-386.


109

Capítulo 4 BREVE EXCURSÃO PARA OUTROS CONTINENTES

[G. Bain, 1951, p. 45]

Figura 4.1

4.1 Padrões-de-nó dos Celtas

Artesãos no seio dos Celtas (Ilhas Britânicas), em particular os da escola Píctica, costumavam ornamentar pedras, joalharia e os rebordos das páginas de livros com padrões compostos de diversos nós. A Figura 4.1 apresenta um exemplo. George Bain (1951) reconstruiu os métodos de construção de vários tipos destes padrões-de-nó. 1 Muitos têm a sua origem em fitas trançadas que são transformadas, eliminando alguns pontos de intersecção (cf. Vol. 2). A Figura 4.2 apresenta um exemplo duma tal transformação. 1 Cf. I. Bain, 1986.


110

[G. Bain, 1951, p. 45] Figura 4.2


111

O padrão monolinear final (VI) com dois eixos de simetria perpendiculares é o resultado duma transformação dum fita trançada da classe A de dimensões 5x6, em que se eliminaram quatro pontos de intersecção. Se a tentativa de reconstrução por George Bain fosse correcta, como supomos, então poderíamos conjecturar que os artesões célticos desenhavam os padrões-de-nó primeiramente como linhas normais que se intersectam, e só depois representavam os padrões como nós, entrelaçando-os “por cima – por baixo”. Neste processo, determinadas regras de transformação podem ter sido descobertas.

[G. Bain, 1951, p. 27]

a b

Figura 4.3

Nem todos os padrões-de-nó célticos podem ser construídos imediatamente a partir de fitas trançadas pelo referido método de Bain. Em alguns casos parece-nos que os padrões-de-nó foram gerados por um encadeamento sistemático de elementos monolineares. A Figura 4.3 apresenta esquematicamente um exemplo onde o padrão-de-nó é composto por elementos de fita trançada da classe B. Do mesmo modo, a Figura 4.4 fornece dois exemplos em que se juntaram elementos de fita trançada das classes A e D, respectivamente. Isto leva-nos a crer que os inventores célticos tenham conhecido determinadas regras de encadeamento de padrões monolineares, tal como os “akwa kuta sona” (cf. Vol. 1, Cap. 6).

O padrão na Figura 4.5a não corresponde a uma fita trançada. Tal como vimos no caso de sona comparáveis (cf. Vol. 1, Cap. 5), supomos que também aqui se juntou somente no fim a “ornamentação” dos catetos do “triângulo” (vide a Figura 4.5b), escolhendo os laços de tal modo que se gerasse um padrão monolinear.


112

[Jones, 1856, Folha LXIV, nº 1 e 2] Figura 4.4

[Jones, 1856, Folha LXIV, nº 9] Figura 4.5

Noutros casos quer-nos parecer que os padrões-de-nó constituem

extensões, conscientemente construídas, de padrões monolineares já inventados. No caso do padrão na Figura 4.6, trata-se do quinto elemento (A5) duma série de padrões que satisfazem o mesmo algoritmo geométrico. A Figura 4.7 mostra A1, A2 e A3, respectivamente.

No caso do padrão com simetria dupla, apresentado na Figura 4.8, estamos perante o quarto elemento (B4) duma série de padrões. Nota-se que nesta série o segundo elemento é trilinear e não monolinear (vide a Figura 4.9).


113


A1 A2

A3 Figura 4.7

Seria interessante continuar a investigar a tradição de

ornamentação dos Celtas no que diz respeito a conhecimentos aritméticos, geométricos e gráficos nela ocultos. 2

2 Cromwell (1993) avançou com um estudo sobre simetria nos

padrões-de-nó célticos, em particular, do ponto de vista da teoria de padrões-de-fita.


114


B1 B2

Figura 4.9

4.2 Desenhos na areia nas Ilhas Vanuatu

No Volume 1 apresentámos um desenho na areia (Figura 288), proveniente da Ilha de Malekula em Vanuatu (anteriormente Novas Hébridas) na Oceânia, cujo algoritmo era o mesmo que o dum lusona. Nos anos 1926 e 1927, Deacon (1934) recolheu 118 desenhos. Tal como no caso dos sona, os mais difíceis eram executados por homens, especialistas em desenho, que os utilizavam como ilustrações. Eles transmitiam o seu conhecimento a um ou mais filhos. Em geral, gozavam de preferência desenhos duma linha contínua e suave e/ou simétricos. A execução tinha de ser rápida e qualquer paragem no meio era considerada uma imperfeição. Para facilitar a sua execução, os mestres de desenho costumavam marcar primeiramente um


115

referencial composto por uma rede de quadrados ou por uma rede de pontos. A maioria dos desenhos constituem representações de plantas, pássaros, peixes e outros animais. Recentemente Ascher (1988, 1991) e Nissen (1988) analisaram aspectos da matemática dos desenhos tradicionais das Ilhas Vanuatu. 3 A título comparativo apresentaremos aqui apenas alguns exemplos desta rica tradição de desenho.

Nota-se a presença de padrões-de-fita-trançada monolineares, tanto na forma de Figuras completas como na forma de partes de Figuras mais complicadas. Da classe A observámos padrões de dimensões de 6×5 (Deacon, Fig. 89) e de 5×3 (Nissen, Fig. 1).

[Deacon, 1934, Figura 63] a

b

Figura 4.10

Na base do desenho ilustrado na Figura 4.10a, encontra-se uma união de três padrões-de-fita-trançada de classe A de dimensões 2×9, 3×3 e 3×3 (vide a Figura 4.10b). Será que o seu inventor sabia que “colando” padrões-de-fita-trançada da classe A de dimensões n×n (neste caso 3×3) a um padrão-de-fita-trançada monolinear da mesma classe, se mantinha a monolinearidade? (Compare a quinta regra de encadeamento analisada no Vol. 1, Cap. 7)

Na base do desenho ilustrado na Figura 4.11a encontra-se um padrão-de-fita-trançada da classe B: f1=f2=5, c1=6, c2=5 (vide a Figura 4.11b).

3 Struik (1948) foi provavelmente o primeiro historiador da

Matemática a chamar atenção para a Geometria dos desenhos das Ilhas Vanuatu.


116

[Deacon, 1934, Figura 81] a

b

Figura 4.11

No desenho apresentado na Figura 4.12 encadearam-se dois padrões-de-fita-trançada da classe D: f1=1, f2=2, c1=3, c2=2 (cf. o lusona ilustrado no Vol. 1, Fig. 238).

Na Figura 4.13 dá um exemplo dum desenho Figurativo monolinear, representando o coração.

[Deacon, 1934, Figura 52] Figura 4.12


117

[Deacon, 1934, Figura 44] Figura 4.13

4.3 Sobre padrões monolineares no seio de índios norte-

americanos

No seio dos índios Navaho (ou Navajo) no Arizona e Nova México existe uma tradição bem conhecida de desenho e pintura na areia. Os desenhos produzidos no século 20 que vimos nas publicações de Foster, Reishard e Newcomb, e Nailor (1975, p. 208-216) são abstracto-Figurativos. No entanto, alguns motivos que aparecem em produtos de artesanato mais antigo, deixam-nos supor que, no passado, pode ter havido uma tradição de desenhos (na areia) abstracto-geométricos. A Figura 4.14 mostra um pequeno tapete Navaho, fabricado por volta de 1930. No centro observa-se um padrão-de-fita-trançada monolinear da classe A de dimensões 3×7. A distinção entre as duas cores presente neste padrão torna bem visível o algoritmo geométrico envolvido. A sua aparência num tapete pressupõe que o


118

artesão já sabia, duma maneira ou doutra, que com estas dimensões se obtém, de facto, um padrão monolinear. A ornamentação do rebordo é igualmente constituído por um motivo monolinear com simetria dupla.

[Wilson, 1984, Folha 33]

Figura 4.14

Wilson, 1984, Folha 30]

Figura 4.15


119

Wilson, 1984, Folha 41]

Figura 4.16

Figura 4.17

Uma cobertura Navaho no estilo clássico do século 19 apresenta-se na Figura 4.15. O padrão central pertence à classe B dos padrões-de-fita-trançada. As dimensões (f1=4, f2=3, c1=c2=5) tinham sido escolhidas de tal modo que o padrão seja monolinear. Mais uma vez isto pressupõe um conhecimento de, e uma experimentação com tais padrões. E esta experimentação é mais fácil se se desenhar as linhas do que quando se trançar a fita.


120

Na Figura 4.16 apresenta-se um padrão de uma cinta de índios da região dos Grandes Lagos. Data do século 18 ou 19. No rebordo, tanto à esquerda como à direita, vê-se um padrão monolinear simples e fechado. A parte central é composta por uma única linha aberta, cujo algoritmo de construção se ilustra na Figura 4.17. Pode ser que o algoritmo tenha a sua origem numa técnica de fabrico de redes de pesca. Quando se continua a execução do algoritmo no sentido contrário (cf. o exemplo do algoritmo do lusona “estômago de leão”, Vol. 1, Fig. 124), obtém-se um motivo fechado (vide a Figura 4.18), constituindo um padrão-de-espelho regular (cf. Vol. 2, Cap. 5).

Figura 4.18

Parece-nos interessante procurar mais possíveis vestígios de pensamento algorítmico e da presença de valores como o da monolinearidade na tradição de desenhos (na areia) e de artefactos dos índios das Américas. 4

4 Num pequeno artigo recente Morales sugere a existência de

padrões-de-fita-trançada em mosaicos dos Maya (1993).


121

Bibliografia Ascher, Marcia (1988): Graphs in culture: a study in ethnomathematics

I, Historia Mathematica, Nova Iorque, Vol. 15, 201-227. Ascher, Marcia (1991): Ethnomathematics, a multicultural view of

mathematical ideas, Brooks & Cole Publ. Company, Pacific Grove Ca.

Bain, George ([1951] 1990): Celtic art: The methods of construction, Constable, Londres, 164 p.

Bain, Iain ([1986] 1991): Celtic knotwork, Constable, Londres, 115 p. Cromwell, Peter (1993): Celtic knotwork: Mathematical Art, The

Mathematical Intelligencer, Vol. 15, nº 1, 36-47. Deacon, A.Bernard (1934): Geometrical drawings from malekula and

other islands of the new Hebrides, Journal of the Royal Anthropological Institute, Londres, Vol. 64, 129-175

Foster Kenneth (sem ano), Navajo sandpaintings, Window Rock. Jones, Owen ([1856] 1986): The grammar of ornament, Omega Books,

Hertfordshire. Morales, Leonel (1993): Mayan geometry, Newsletter of the

International Study Group on Ethnomathematics, Albuquerque, Vol. 9, nº 1, 1-4.

Nailor, Maria (1975): Authentic Indian designs, Dover, Nova Iorque. Nissen, Philip (1988): Sand drawings of Vanuatu, Mathematics in

School, 10-11. Reishard, Gladys & Newcomb, Frank (1937): Shooting chant:

sandpaintings of the Navajo, Nova Iorque. Struik, Dirk (1948): Stone Age Mathematics, Scientific American,

Vol. 179, 44-49. Wilson, Eva (1984): North American Indian Designs, British Museum,

Londres.


122


123

Capítulo 5 REGRESSO A ÁFRICA

a b c d

e

f

g

[Baumann, 1929, p. 61] Figura 5.1


124

Segundo Baumann (1929, p. 61), os padrões ilustrados na Figura 5.1 são “tipicamente africanos”, e podem ser encontrados em diversas partes do continente. Já encontrámos os padrões relacionados 5.1a e 5.1b entre os Cokwe e os (Ba)Kuba (cf. Vol. 1, Figuras 59, 70 e 317). A Figura 5.2 apresenta duas variações em que estes motivos se repetem. Nesta forma aparecem em roupa da etnia Haussa (Nigéria). A Figura 1c constitui um padrão-de-fita-trançada da classe A. Aparece, por exemplo, bordada numa túnica do Benin (cf. Prussin, p. 91).

a b [Baumann, 1929, p. 135]

Figura 5.2

Encontrámo-la também na forma ilustrada na Figura 5.3 como um dos carimbos adinkra com os quais se decoram têxteis no Gana: representa o “nó dum sábio”.

[Prussin, 1986, p. 241] Figura 5.3

A Figura 5.1d é um padrão-de-fita-trançada da classe A de

dimensões 2×3. Encontrámo-la elaborada de diversas maneiras nos


125

sona ilustrados na Figura 37 do Vol. 1. Da mesma classe são diversos padrões bordados em túnicas do Mali (dimensões 7×3, 6×3, 6×2; cf. as figuras em Prussin, p. 92), esculpidos em portas e vários outros objectos de madeira e de outros materiais entre os Yoruba na Nigéria (2×5, 4×5, 2×11 [Baumann, p. 127]; 4×5, 4×4, 2×7, 4×6, 6×7, 2×3, 2×17 [Denyer, p. 89]; 2x2, bronze [Millon, p. 245]), esculpidos numa campaínha de marfim do século XVI do reino do Benin (2×2, 2×3 [Millon, p.269]), feitos de missangas aplicadas em roupa (Yoruba, 4×9 [Millon, p. 238]), em tecidos de algodão no Burkina Fasso (3×8; vide a Figura 5.4), bordado como “quadrado mágico” em roupa de mulheres em Tombouctou no Mali (3×3; vide a Figura 5.5), aplicado num pente ornamentado com missangas dos Yao no Malawi (3×4, 3×3 [Carey, 1986, p. 29]).

[Etienne-Nugue, 1982, p. 169] Figura 5.4



126


A Figura 5.6 mostra a ornamentação da fachada duma casa em

Zinder no Niger, onde se nota a utilização dum padrão-de-fita-trançada de 3×3 (classe A). Padrões-de-fita-trançada encontram-se também, segundo Baumann (1929) nas regiões do Lago Tchad, dos rios Congo e Zambezi e na Somália. Segundo informação oral de N. Langdon (1988), crianças no Gana costumam desenhar padrões-de-fita-trançada na areia como passatempo. Na ornamentação das paredes observam-se também padrões-de-fita-trançada na Tanzania (3×3) e entre os Venda na África do Sul (2×n, cf. Denyer, p. 121). A Figura 5.7 mostra um padrão-de-fita-trançada não-rectangular feito de missangas numa cadeira dos Yoruba.


127

[Carey, 1991, p. 28] Figura 5.7

A Figura 5.1e tem semelhança com os sona ilustrados nas

Figuras 66 e 69 (Vol. 1) Aparece esculpida em portas de madeira e em facas cerimoniais de marfim dos Yoruba (dimensões 5×3, 6×3 e 3×4; cf. Denyer, p. 89; 2×3, 3×3, cf. Figura 56 em Fagg & Pemberton). A Figura 5.8 mostra a variante 3×3 numa túnica dum guerreiro Fulbe (Senegal). Um outro padrão monolinear mais elaborado na mesma túnica apresenta-se na Figura 5.9.


A Figura 5.1f pode ser vista esculpida em bronze num vaso do

século XVI ou XVII e numa galinha dos meados do século XVI, ambos do Reino de Benin (Millon, p. 257, 265).

A Figura 5.10 ilustra uma parte dum padrão monolinear bordado num vestido da Serra Leoa. A Figura 5.1b reaparece na Figura 5.11. Trata-se de dois padrões sobrepostos (vide a Figura 5.12) que decoram túnicas provenientes da Etiópia.


128



Além de padrões-de-fita-trançada, encadeados de diversas

maneiras, encontrámos padrões como os dois ilustrados na Figura 5.13, bordados em panos de Sokodé no Togo.

Pode-se constatar que, espalhadas por toda a África, se encontram tradições de utilização de padrões-de-fita-trançada e de outros motivos compostos por uma ou mais linhas construídas conforme determinados algoritmos geométricos – e neste sentido possivelmente mostrando certas semelhanças com os sona. Parece-me que estas tradições merecem ser estudadas e valorizadas artística,


129

educacional e cientificamente. Que a trilogia Geometria Sona possa constituir um estímulo para tais estudos!

[Leib, 1993, p. 32] Figura 5.11

Figura 5.12


130

[Etienne-Nugue, 1992, p. 183] Figura 5.13

Bibliografia Baumann, Hermann (1929): Afrikanische Kunstgewerbe, in: H.

Bossert (dir.), Geschichte des Kunstgewerbes aller Zeiten und Völker, Berlim, Vol. 2, 51-148.

Carey, Margret (1986): Beads and Beadwork of East and South Africa, Shire, Buckinghamshire.

Carey, Margret (1991): Beads and Beadwork of West and Central Africa, Shire, Buckinghamshire.

Denyer, Susan (1978): African traditional architecture, Heinemann, Londres.

Etienne-Nugue, Jocelyne (1982): Artisanats traditionnels en Afrique Noire: Haute-Volta, InstitutCulturel Africain, Dakar.

Etienne-Nugue, Jocelyne (1992): Artisanats traditionnels en Afrique Noire: Togo, Institut Culturel Africain, Dakar.

Fagg, William & Pemberton, John (1984): Yoruba: sculpture of West Africa, Collins, Londres.


131

Leib, Marianne (1993): International Film Festival in Berlin, Afrika, Review of African-German Relations, Pfaffenhofen, Vol. XXXIV, nº 5-6, p. 32.

Millon, Werner (1984): A short history of African art, Penguin, Londres.

Prussin, Labelle (1986): Hatumere: Islamic design in West Africa, University of California Press, Berkeley.


132


133

Agradecimentos

Chegado ao fim do terceiro e, por enquanto, último volume da Geometria Sona, gostaria de agradecer a todos os colegas e amigos – muitos mais do que será possível mencionar aqui – que estimularam o desenvolvimento desta linha de investigação em que me envolvi desde os princípios de 1986.

Agradeço aos colegas e estudantes do Instituto Superior Pedagógico (ISP) [desde 1995 Universidade Pedagógica] que participaram com tanto entusiasmo nos “círculos de interesse” sobre a Geometria Sona. Agradeço igualmente aos colegas da equipa de pesquisa do Projecto de Investigação Etnomatemática o ambiente de debate frutífero.

Diversos tópicos da Geometria Sona constituíram temas de palestras proferidas e de seminários orientados em diversas partes do Mundo: Maseru (Lesotho, 1986), Rio Claro, Campinas, São Paulo, Rio de Janeiro, Nova Friburgo (Brasil, 1988), Arusha (Tanzânia, 1989), Cidade de Cabo (África do Sul, 1989), Sevilha (Espanha, 1990), Kouba-Alger (Argélia, 1990), Nairobi (Quénia, 1991), Florianópolis, Blumenau (Brasil, 1992), Kwaluseni (Suazilândia, 1992), Yamoussoukro (Costa de Marfim, 1993), New York, Newark, Ithaca, Newton, Boston, Waltham, San Francisco, Berkeley (Estados Unidos da América, 1993), Zaragoza (Espanha, 1993), Mbabane (Suazilândia, 1993), Gaborone (Botswana, 1993). Agradeço aos organizadores destes eventos a amabilidade de me terem convidado para falar sobre a Geometria Sona, e o ambiente e debates estimulantes que me proporcionaram.

Alguns capítulos e secções da Geometria Sona foram publicados em revistas, outros apareceram em “pre-prints”. Em revistas internacionais como Educational Studies in Mathematics (1988), Computers and Mathematics with Applications (1989), For the Learning of Mathematics (1990), e Symmetry: Culture and Science (1990), revistas continentais como Discovery and Innovation (1991) e Afrika Mathematika (1991), revistas regionais e nacionais como


134

Abacus (Nigéria, 1988), Namnaren (Suécia, 1988), Mathematics Teaching (Grã Bretanha, 1988), Boletim de Educação Matemática (Brasil, 1989), Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática (1991), Plot (França, 1991), e Radical Teacher (Estados Unidos da América, 1993). Agradeço aos directores destas revistas os convites que me formularam para colaborar, e as suas sugestões e comentários valiosos. Agradeço igualmente * às minhas irmãs Miriam [1955-2014] e Caroline e a vários

amigos e colegas as fotocópias que me enviaram de fontes importantes;

* a Gerhard Kubik (Universidade de Viena, Austria), Marcia Ascher [1935-2013] (Ithaca College, EUA) e Claudia Zaslavsky [1917-2006] (New York, EUA) pelo envio de artigos seus e pelo encorajamento;

* a Eduardo Medeiros (Departamento de Antropologia, ISP) pela leitura do manuscrito do primeiro volume e pelos comentários etnológicos;

* a Arthur Powell (Universidade Rutgers, Newark, EUA e, em 1993, professor visitante no ISP) pelos diálogos estimulantes sobre a tradição e exploração dos sona;

* a Gert Schubring (Universidade de Bielefeld, Alemanha e, em 1992, professor visitante no ISP) pelas fotocópias enviadas e pelas conversas encorajadoras;

* a Robert Lange (Universidade Brandeis, Waltham, EUA) pelo seu entusiasmo, pela invenção dos mosaicos-sona e pela sugestão do problema 2 na secção 5.3 do segundo volume;

* a Maurice Bazin [1934-2009] (Espaço Ciência Viva, Rio de Janeiro, Brasil e, actualmente, Exploratorium, San Francisco, EUA) pelas fotocópias e fotografias, pelos diálogos estimulantes e pela oferta dum escarabeu egípcio (vide Vol. 3, Cap. 1);

* aos responsáveis da Biblioteca do Museu Egípcio no Cairo pela ajuda na procura de documentação sobre desenhos no Egipto Antigo, e ao colega Daniel Soares [1961-2011] (Departamento de Matemática, ISP, Beira) pelo acompanhamento e apoio no trabalho de investigação realizado no Egipto (vide Vol. 3, Cap. 1);


135

* a Peter Damerow [1939-2011] (Instituto Max Planck, Berlim, Alemanha) e Robert Englund (Universidade Livre, Berlim, Alemanha) [Universidade de California em Los Angeles, EUA] pelo apoio na procura de fontes sobre a Mesopotâmia Antiga (vide Vol. 3, Cap. 2);

* a Kirti Trivedi (Instituto Indiano de Tecnologia, Bombay) pelo envio de brochuras populares sobre os kolam (vide Vol. 3, Cap. 3);

* a Ana Maria Branquinho (Faculdade de Línguas, ISP, Maputo) pela revisão linguística; Agradeço o apoio financeiro dado pela Agência Sueca para a

Cooperação com os Países em Vias de Desenvolvimento no Âmbito da Investigação Científica (SAREC) à realização das actividades do Projecto de Investigação Etnomatemática em geral, e à investigação da Geometria Sona em particular.

Agradeço à minha filha Lesira o interesse permanente nos “desenhos do papá”, como lhes chama desde que começou a falar.

Agradeço aos “akwa kuta sona” que inventaram e desenvolveram a tradição dos sona, e aos antropólogos e missionários que a relataram, pelo prazer imenso e intenso que me proporcionaram e pela possibilidade que me deram de poder contribuir para a reanimação e valorização matemática e educacional desta rica tradição geométrica africana.

Maputo, aos 3 de Abril de 1994

Paulus Gerdes


136


137

Índice do Volume 1: Matemática duma tradição africana

página Prefácio (Arthur B. Powell) 9 Introdução 13 Agradecimentos 17 Fontes das ilustrações 18 1 Os Cokwe e outros povos bantu do grupo

Cokwe-Lunda 19

2 A tradição de desenho 23 3 Simetria e monolinearidade como valores

culturais 31

3.1 Simetria como valor cultural 31 3.2 Monolinearidade como valor cultural 32 3.3 Simetria e monolinearidade: valores

complementares 33

3.4 Simetria ou monolinearidade: conflito de valores 41 Amuleto de caça 41 Mata da doninha 45 Ilhota 46 3.5 Simetria e assimetria 47 Vista doente 47 Mina de sal-gema 49 4 Classes e algoritmos 53 4.1 Padrões-de-esteira-entrecruzada 53 Classe A 54


138

Classe B 60 Classes C e D 65 Excursão: Padrões-de-esteira-entrecruzada

no seio dos Bushongo (Bakuba) 66

4.2 Outras classes 69 Casal deitado 69 Porco-espinho 72 Galinha em fuga 76 Fogo 80 Árvores de culto ancestrais 83 Cabeça de elefante 87 4.3 Reconstrução de classes provavelmente perdidas.

Possíveis extensões 89

Vara de transporte 90 Luta entre chefes rivais 91 Povoação protegida 91 Armadilha de pesca 94 Morto 95 Aves em voo 95 Lenha do visitante 97 Saco de transporte 99 Estômago de um leão 99 Cobertor de casca 101 Armadilha para formigas 102 O circuito 103 Sol e Lua 104 Palmeira 106 Ave e leopardo 107 Saiote para dança 110 Aranha na teia 112 Aranhão 113


139

Teia de aranhão 114 Capoeira e ninho 115 5 Construção sistemática de padrões

triangulares monolineares com laços 119

6 Regras de encadeamento 129 6.1 Primeira regra de encadeamento 129 Aves na floresta 130 6.2 Segunda regra de encadeamento 133 6.3 Terceira regra de encadeamento 136 Mahamba-templo 138 Autofundição? 146 6.4 Quarta regra de encadeamento 148 6.5 Regra de eliminação 156 7 Polilinear ou monolinear 159 Uma armadilha de pesca 159 Uma ave e um cesto 161 Cinco morcegos 165 Figura humana 168 Encontro 168 Casal 169 Cabeça de elefante 170 Enfermaria 171 Uma leoa com dois filhos 173 Quinta regra de encadeamento 175 Dançarino 176 Outro estômago de leão 178 Cemitério 180 Sarna 184 Erro ou outra regra de encadeamento 187 8 Classes com olhos 189 Um olho 189


140

Dois olhos 194 Quatro olhos 196 9 Construção de um lusona com simetria

rotacional de 90º 205

Epílogo 211 Bibliografia 215 Apêndice:

Investigação matemática inspirada pela tradição sona: O exemplo de curvas-de-espelho, Lunda-designs e matrizes cíclicas

221

Matemática e matemáticos de África 221 Investigação matemática inspirada pela

tradição dos sona 222

Curvas-de-espelho 223 Lunda-designs e matrizes 225 Liki-designs 227 Matrizes cíclicas 231 Comentário final 233 Referências 235 O autor 239 Livros do mesmo autor 240


141

Índice do Volume 2: Explorações educacionais e matemáticas de desenhos

africanos na areia

Página

Prefácio

Mohamed El Tom 11

Introdução ao segundo volume 13 Capítulo 1: ALGUMAS SUGESTÕES PARA A UTILIZAÇÃO DOS SONA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

1.1 Introdução 19 1.2 Relações aritméticas

Primeiro exemplo Progressões aritméticas Um trio pitagórico

20 20 21 27

1.3 Ideias geométricas 28 Simetria axial

Simetria axial dupla e simetria central Simetria rotacional Semelhança Determinação geométrica do máximo divisor

comum de dois números naturais Rumo ao algoritmo euclidiano Grafos de Euler

28 29 29 30 34

37 37

1.4 Observações 42 1.5 Bibliografia 43

Capítulo 2: RECREAÇÕES GEOMÉTRICAS

2.1 Introdução 47


142

2.2 Recreações do tipo “Encontre os padrões que faltam” 50 2.3 Bibliografia 50

Capítulo 3: EXPLORAÇÃO DO POTENCIAL MATEMÁTICO DOS SONA: UM EXEMPLO PARA ESTIMULAR A CONSCIÊNCIA CULTURAL DURANTE A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

3.1 Introdução: necessidade de uma educação orientada pela cultura

63

3.2 Investigação etnomatemática e a formação de professores

64

3.3 Exemplos da exploração do potencial matemático dos sona na formação de professores

65

Regras de composição Construção sistemática de desenhos

monolineares Quantas linhas são necessárias? Padrões preto-brancos subjacentes

65 67

73 81

3.4 Observações finais 86 3.5 Bibliografia 92

Capítulo 4: SOBRE O NÚMERO DE LINHAS DO TIPO “GALO-EM-FUGA”

4.1 Introdução 93 4.2 Experimentação 94 4.3 Extrapolação 96 4.4 Formulação de uma hipótese 97 4.5 Demonstração 99 Descrição do algoritmo para a construção de

linhas do tipo “galo-em-fuga” 99

Demonstração do Teorema 1 104 Demonstração do Teorema 2 107 Demonstração do Teorema 3 111 Demonstração do Teorema 4 117 Demonstração do Teorema 5 122


143

Capítulo 5: SONA E A GERAÇÃO E A ANÁLISE DE PADRÕES-DE-ESPELHO

5.1 A caminho de uma descoberta 127 5.2 Alguns teoremas sobre padrões-de-espelho lisos e

monolineares 137

Introdução 137 Definições 137 Teorema 1 143 Teorema 2 145 Teorema 3 147 Teorema 4 148 5.3 Implicações e questões para reflexão 150 Padrões-de-fita-trançada da classe A

Generalização do conceito de padrão-de-espelho 150 153

Contagem módulo 2 154 Capítulo 6: GERAÇÃO E CONTAGEM DE PADRÕES-DE-ESPELHO REGULARES, MONOLINEARES E UNIFORMES

6.1 Geração e contagem de padrões-de-espelho regulares e monolineares

161

Problemas e questões 163 6.2 Padrões-de-espelho uniformes 166 Problemas e questões 168

Capítulo 7: ALGUNS EXEMPLOS DE PADRÕES-DE-ESPELHO REGULARES, MONOLINEARES E UNIFORMES E DOS RESPECTIVOS ALGORITMOS GEOMÉTRICOS

173 O autor

187

Livros de Paulus Gerdes em Português 188


144


145

O autor

O professor catedrático Paulus Gerdes tem leccionado nas Universidades Eduardo Mondlane e Pedagógica (Moçambique). Desempenhou os cargos de Director da Faculdade de Educação (1983-1987) e da Faculdade de Matemática (1987-1989) da Universidade Eduardo Mondlane e de Reitor da Universidade Pedagógica (1989-1996). De 2000 a 2005 foi conselheiro do Ministro da Educação. Em 2006/7, foi o Presidente da Comissão Instaladora da Universidade Lúrio, a terceira universidade pública de Moçambique, com sede em Nampula. Actualmente desempenha as funções de conselheiro para pesquisa no Instituto Superior de Tecnologia e Gestão (ISTEG) em Boane.

Entre as suas funções ao nível internacional constam as de Presidente da Comissão da União Matemática Africana para a História da Matemática em África (1986-2013) e de Presidente da Associação Internacional para Ciência e Diversidade Cultural (2000-2004). Desde 2000, desempenha as funções de Presidente do Grupo Internacional de Estudo da Etnomatemática.

Foi eleito, em 2001, membro da Academia Africana de Ciências (sede em Nairobi) e, em 2005, membro da Academia Internacional para a História da Ciência (sede em Paris). De 2005 a 2014 foi Vice-Presidente da Academia Africana de Ciências, responsável para a região da África Austral. Em 2014 foi Secretário Geral Interino da mesma Academia.

O professor Paulus Gerdes escreveu diversos livros sobre geometria, cultura e história da matemática, tendo recebido vários prémios.

Na comemoração dos 50 anos de ensino superior em Moçambique (1962-2012), foi outorgado ao professor Paulus Gerdes o Prémio Excelência no Ensino Superior (Docência e Investigação) pelo “excepcional contributo dado ao desenvolvimento do Ensino Superior em Moçambique”.


146


147

Livros de Paulus Gerdes em Português # Geometria Sona de Angola. Volume 1: Matemática duma

Tradição Africana, ISTEG, Boane, 2012, 244 p. (Edição a cores) * (Prefácio: Arthur B. Powell, Rutgers University, Newark NJ, EUA)

[Edição atualizada a preto e branco: Lulu, 2008, 244 p. *; Primeira edição: Geometria Sona, Projecto de Investigação Etnomatemática (PIE), Universidade Pedagógica (UP), Maputo, 1993]

# Geometria Sona de Angola. Volume 2: Explorações educacionais e matemáticas de desenhos africanos na areia, ISTEG, Boane, 2014, 192 p. * [Primeira edição: PIE-UP, 1993]

# Geometria Sona de Angola. Volume 3: Estudos Comparativos, ISTEG, Boane, 2014, 152 p. * [Primeira edição: PIE-UP, 1994]

# Viver a matemática: Desenhos de Angola, Edições Húmus, Ribeirão, Portugal, 2013, 64 p. (Colorido) (Livro infantil)

(Prefácio: Joana Latas, Associação de Professores de Matemática, Lisboa, Portugal) [Edições anteriores: Desenhos de Angola: Viver a matemática, Editorial Diáspora, São Paulo, Brasil, 2010; Desenhos da África, Scipione, São Paulo, Brasil, 1990 (Prémio Alba Mahan, 1990, menção honrosa]

# Lusona: Recreações Geométricas de África: Problemas e Soluções, Lulu, 2012, 216 p. (Colorido) * (Prefácios: Dirk Huylebrouck, Colégio Sint-Lucas, Bruxelas, Bélgica; Jaime Carvalho e Silva, Universidade de Coimbra, Portugal)

* Distribuição pela editora Lulu, Morrisville NC:

http://www.lulu.com/spotlight/pgerdes


148

[Edições anteriores a preto e branco sem soluções: Moçambique Editora, Maputo & Texto Editora, Lisboa, 2002, 128 p.; PIE-UP, Maputo, 1991]

# Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas, Editora Autêntica, Belo Horizonte, Brasil, 2010, 182 p.

(Prefácio: Marcelo Borba, Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, Brasil; Posfácio: Ubiratan D’Ambrosio, Universidade de São Paulo, Brasil)

# Tinhlèlo, Entrecruzando Arte e Matemática: Peneiras Coloridas do Sul de Moçambique, Alcance Editores, Maputo, 2012, 132 p. (Colorido) (Prefácio: Aires Ali, Primeiro Ministro de Moçambique) [Primeira edição: Lulu, 2010, 132 p.] *

# Otthava: Fazer Cestos e Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique, ISTEG, Boane, 2012, 292 p. (Colorido) *

(Prefácio: Abdulcarimo Ismael, Universidade Lúrio, Nampula, Moçambique; Posfácio: Mateus Katupha, antigo Ministro da Cultura de Moçambique) [Primeira edição a preto e branco: Universidade Lúrio, Nampula, 2007] *

# Geometria e Cestaria dos Bora na Amazónia Peruana, Centro Moçambicano de Pesquisa Etnomatemática (CMPE), Maputo, Moçambique, 2013, 176 p. (Colorido) * (Prefácio: Dubner Tuesta, Instituto Superior Pedagógico de Loreto, Iquitos, Peru) [Edições anteriores a preto e branco: Geometria dos Trançados Bora na Amazônia Peruana, Livraria da Física, São Paulo, Brasil, 2011; CMPE, Maputo, 2007]

# Etnogeometria: Cultura e o Despertar do Pensamento Geométrico, ISTEG, Boane, 2012, 230 p. *

(Prefácios: Ubiratan D’Ambrosio, Universidade de Campinas, Brasil; Dirk Struik, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA, EUA) [Edições anteriores: Sobre o despertar do pensamento geométrico, Universidade Federal de Paraná, Curitiba, Brasil, 1992; Cultura e o


149

Despertar do Pensamento Geométrico, PIE-UP, Maputo, 1992; Universidade Eduardo Mondlane (UEM), Maputo, 1986]

# Etnomatemática: Cultura, Matemática, Educação, ISTEG, Boane, 2012, 172 p. *

(Prefácio: Ubiratan D’Ambrosio, Universidade de Campinas) [Edição anterior: PIE-UP, Maputo, 1992, 115 p.]

# Mundial de Futebol e de Trançados, Lulu, 2011, 76 p. (Colorido)* (Prefácio: Maria do Carmo Domite, Rodrigo Abreu, Eliane dos Santos, Universidade de São Paulo, Brasil) (Livro infantil)

# Mulheres, Cultura e Geometria na África Austral, Centro Moçambicano de Pesquisa Etnomatemática, Maputo, 2011, 200 p. *

# Pitágoras Africano: Um estudo em Cultura e Educação Matemática, CMPE, Maputo, 2011, 118 p. (Colorido) *

[Primeira edição a preto e branco: PIE-UP, Maputo, 1992] # Aventuras no Mundo dos Triângulos, Alcance Editores, Maputo,

2013, 104 p. (Prefácio: Marcos Cherinda, UP, Maputo, Moçambique)

[Edições anteriores: Lulu, 2008 *; Ministério da Educação e Cultura, Maputo, 2005]

# Aventuras no Mundo das Matrizes, Lulu, 2011, 258 p. (Prefácio: Sarifa Magide Fagilde, UP, Maputo)

# Exemplos de aplicações da matemática na agricultura e na veterinária, Lulu, 2008, 72 p. * [Primeira edição: UEM, Maputo, 1982]

# Os manuscritos filosófico-matemáticos de Karl Marx sobre o cálculo diferencial. Uma introdução, Lulu, 2008, 108 p. * [Primeira edição: Karl Marx: Arrancar o véu misterioso à matemática, UEM, Maputo, 1983]

# Etnomatemática: Reflexões sobre Matemática e Diversidade Cultural, Edições Húmus, Ribeirão, Portugal, 2007, 281 p.

(Prefácio: Jaime Carvalho e Silva, Universidade de Coimbra, Portugal)

# Sipatsi: Cestaria e Geometria na Cultura Tonga de Inhambane, Moçambique Editora, Maputo & Texto Editora, Lisboa, 2003, 176 p. (Cap. 1: Gildo Bulafo) (Edição actualizada)


150

(Prefácio: Alcido Nguenha, Ministro da Educação de Moçambique) [Primeira edição: Sipatsi: Tecnologia, Arte e Geometria em Inhambane, PIE-UP, Maputo, 1994, 102 p.]

# A ciência matemática, ISTEG, Boane, 2014, 60 p. * [Primeiras edições: Ministério da Educação e Cultura (MEC), Maputo, 1980; Instituto Nacional para o Desenvolvimento da Educação (INDE), Maputo, 64 p.]

# Teoremas famosos da Geometria (coautor Marcos Cherinda), UP, Maputo, 1992, 120 p.

# Trigonometria, Manual da 11ª classe, MEC, Maputo, 1981, 105 p. # Trigonometria, Manual da 10ª classe, MEC, Maputo, 1980, 188 p. # Teses de Doutoramento de Moçambicanos ou sobre Moçambique,

Academia de Ciências de Moçambique (ACM), Maputo, 2011, 177 p. (Segunda edição)

(Prefácio: Orlando Quilambo, Presidente da ACM) [Primeira edição: Ministério da Ciência e Tecnologia, Maputo, 2006, 115 p. (Prefácio: Venâncio Massingue, Ministro da Ciência e Tecnologia de Moçambique)]

Livros de puzzles: # Aprende brincando: Puzzles de bisos e biLLies, Alcance Editores,

Maputo, 2014, 208 p. # Mais divertimento com puzzles de biLLies, Lulu, 2010, 76 p. * # Divertimento com puzzles de biLLies, Lulu, 2010, 76 p. * # Divirta-se com puzzles de biLLies, Lulu, 2010, 250 p. * # Jogo dos bisos. Puzzles e divertimentos, Lulu, 2008, 68 p. * # Puzzles e jogos de bitrapézios, Lulu, 2008, 99 p. * # Jogos e puzzles de meioquadrados, Lulu, 2008, 92 p. * # Jogo de bissemis. Mais que cem puzzles, Lulu, 2008, 87 p. * # Puzzles de tetrisos e outras aventuras no mundo dos poliisos,

Lulu, 2008, 188 p. *

Livros organizados: # A numeração em Moçambique: Contribuição para uma reflexão

sobre cultura, língua e educação matemática, Centro


151

Moçambicano de Pesquisa Etnomatemática (CEMPE), Maputo, 2008, 186 p. * [Primeira edição: PIE-UP, Maputo, 1993, 159 p.]

# Matemática? Claro!, Manual Experimental da 8ª Classe, Instituto Nacional para o Desenvolvimento da Educação (INDE), Maputo, 1990, 96 p.


152

Paulus Gerdes Geometria Sona de Angola

Documents

Transcript of Paulus Gerdes Geometria Sona de Angola