PAR AGRAAF 1.1 : LINEAIRE FUNCTIES(EN MODULUS )β¬Β¦Β Β· OPLOSSING 1 a. Volg het stappenplan : (1)...
Transcript of PAR AGRAAF 1.1 : LINEAIRE FUNCTIES(EN MODULUS )β¬Β¦Β Β· OPLOSSING 1 a. Volg het stappenplan : (1)...
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 12
PARAGRAAF 1.1 : LINEAIRE FUNCTIES (EN MODULUS)
DEFINITIE LIJN
Algemene formule van een lijn : π¦π¦ = ππππ + ππ
a = hellingsgetal = richtingscoΓ«fficiΓ«nt = rc
b = startgetal
STAPPENPLAN LIJN DOOR TWEE PUNTEN A EN B
(1) Lijn heeft altijd vergelijking π¦π¦ = ππππ + ππ
(2) Bepaal de a door ππ = ππππ = Ξπ¦π¦Ξπ₯π₯
= π¦π¦ππβπ¦π¦πππ₯π₯ππβπ₯π₯ππ
(3) Bereken b door punt A in te vullen in π¦π¦ = ππππ + ππ
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 2 van 12
VOORBEELD 1
Lijn m gaat door π΄π΄ = (3 , 5) en π΅π΅ = (8 ,β10 )
a. Bepaal de vergelijking van lijn m.
Lijn l is evenwijdig aan m en gaat door ππ = (12,7).
b. Bepaal de vergelijking van lijn l.
OPLOSSING 1
a. Volg het stappenplan :
(1) Lijn heeft altijd vergelijking π¦π¦ = ππππ + ππ
(2) Bepaal de a door ππ = ππππ = Ξπ¦π¦Ξπ₯π₯
= β10β58β3
= β155
= β3
(3) Vul punt π΄π΄ = (3 , 5) in in π¦π¦ = β3ππ + ππ 5 = β3 β 3 + ππ ππ = 14
Dus lijn m : π¦π¦ = β3ππ + 14
b. l // m rc gelijk dus a = -3 Je weet ook punt (12,7) 7 = β3 β 12 + ππ ππ = 43 Dus lijn ππ βΆ π¦π¦ = β2ππ + 43
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 3 van 12
PARAGRAAF 1.2 : TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN
LES 1 VERGELIJKING AX2 + BX + C = 0 OPLOSSEN.
Er zijn drie soorten :
1. C=0 (GEEN LOSSE)
Oplossen door x buiten haakjes te halen ππ2 + 3ππ = 0
ππ(ππ + 3) = 0
ππ = 0 ππππ ππ = β3
2. B=0 (GEEN X-EN)
Oplossen door worteltrekken ππ2 β 7 = 0
ππ2 = 7
ππ = β7 ππππ ππ = ββ7
3. DRIETERM Oplossen d.m.v.
(1) ontbinden (lukt soms maar is sneller) (2) abc-formule (lukt altijd maar duurt langer) (3) kwadraat afsplitsen (lukt altijd maar duurt langer)
ππ2 + 4ππ β 12 = 0
(ππ β 2)(ππ + 6) = 0
ππ β 2 = 0 π£π£ ππ + 6 = 0
ππ = 2 ππππ ππ = β6
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 4 van 12
OPMERKINGEN
β’ (ππ + 5) β ππ2 + 25 MAAR (ππ + 5)(ππ + 5) = ππ2 + 5ππ + 5ππ + 25 = ππ2 + 10ππ + 25
β’ abc-formule : ππ = βππΒ±βππ2β4ππππ2ππ
β’ Vergelijkingen van de vorm (ππ + 4)2 = 36 kun je oplossen met p(ency) methode.
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 5 van 12
LES 2 : REKENEN MET P
AANTAL OPLOSSINGEN BIJ DE DISCRIMINANT
De vergelijking ππππ2 + ππππ + ππ = 0 heeft
(1) geen oplossing als D < 0 (Waarom ???)
(2) één oplossing als D = 0
(3) twee oplossingen als D > 0
VOORBEELD 1
Bereken voor welke waarde(n) van p geldt dat
a. ππππ2 + 3ππ + 8 = 0 één oplossing heeft.
b. ππ2 + 2ππππ + 26 = 10 twee oplossingen heeft.
OPLOSSING 1
a. π·π· = 32 β 4 β ππ β 8 = 0 (één oplossing dus D=0)
9 β 32ππ = 0 β ππ =9
32
b. ππ2 + 2ππππ + 26 = 10 ππ2 + 2ππππ + 16 = 0 { ππ = 1 ππ = 2ππ ππ = 16 } π·π· = (2ππ)2 β 4ππ1ππ16 = 4ππ2 β 64 > 0 (twee oplossingen dus D > 0)
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 6 van 12
Omdat de Discriminant p2 bevat moet je de 3 stappen van de ongelijkheid uitvoeren :
(1) 4ππ2 β 64 = 0 4ππ2 = 64
ππ2 = 16 ππ = 4 π£π£ ππ = β4
(2) Schets
(3) D > 0 als ππ < β4 π£π£ ππ > 4
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 7 van 12
PARAGRAAF 1.3 : EXTREMEN EN DOMEIN / BEREIK
THEORIE DOMEIN EN BEREIK β’ In de top van de grafiek geldt dat πππ‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β ππ
2ππ
β’ De extreme waarde(n) is de y-coΓΆrdinaat !!!!
β’ Domein = { welke waarde van x kun je invullen} = Df
β’ Bereik = { welke waarden van y kunnen uitkomsten zijn} = Bf
OM HET BEREIK TE BEPALEN OP EEN BEPERKT DOMEIN :
(1) Schets de grafiek met de GR. Neem Xmin = linkergrens en Xmax = rechtergrens.
(2) Bereken de toppen en de randpunten.
(3) Bepaal de grootste en kleinste waarde. Dat is het bereik.
VOORBEELD 1
Bepaal het bereik van ππ(ππ) = 3ππ2 β 6ππ + 2 als
a. π·π·ππ = [β2,3]
b. π·π·ππ = alles
OPLOSSING 1
a. (1) Schets de grafiek met Xmin = -2 en Xmax = 3.
(2) πππ‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β β62β3
= 1 β π¦π¦π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β1
Links : π¦π¦ = ππ(β2) = 26 Rechts : π¦π¦ = ππ(3) = 11
(3) π΅π΅ππ = = [β1 , 26]
b. Omdat de linkergrens en rechtergrens er niet zijn (gaan beide naar oneindig) is het bereik nu π΅π΅ππ = [β1,β>
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 8 van 12
PARAGRAAF 1.4 : TWEEDEGRAADSFUNCTIES MET P
OM DE EIGENSCHAPPEN VAN EEN TOP TE BEPALEN VAN Y=AX2 + BX + C MET ONBEKENDE PARAMETER P, HEB JE EEN AANTAL HULPMIDDELEN :
(1) Schets van de grafiek (met de GR)
(2) Bereken de top met : πππ‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β ππ2ππ
(3) De discriminant voor het aantal oplossingen (0 / 1 / 2)
(4) Toppenformule = { de ytop uitgedrukt in x }
VOORBEELD 1
Gegeven is πππ‘π‘(ππ) = 2ππ2 + 8ππ + ππ.
a. Bereken algebraΓ―sch de coΓΆrdinaten van de top uitgedrukt in p.
b. Bereken voor welke p het maximum 5 is.
c. Bereken algebraΓ―sch voor welke p de top op de x-as ligt.
Gegeven is πππ‘π‘(ππ) = ππππ2 + 8ππ + 9.
d. Bereken algebraΓ―sch voor welke p er een negatieve maximum is.
e. Druk de coΓΆrdinaten van de top uit in x. (dit heet ook wel de toppenformule)
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 9 van 12
OPLOSSING 1
a. πππ‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β 82β2
= β2 β π¦π¦π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β8 + ππ dus Top=(2 , 8 β ππ)
b. π¦π¦ = 5 β 8 β ππ = 5 β ππ = 13
c. (1) Maak een schets Omdat 2 > 0 is het een dalparabool. Een schets geeft :
Dat betekent dat D = 0.
(2) π·π· = 82 β 4 β β2 β ππ = 0 64 β 8ππ = 0 ππ = 8
d. (1) Maak een schets Omdat er een maximum is moet p < 0 zijn (bergparabool). Een schets geeft : Dat betekent dat D < 0.
(2) π·π· = 82 β 4 β ππ β 9 < 0 π·π· = 64β 36ππ < 0
ππ <6436
Omdat p < 0 (bergparabool) is het antwoord p < 0
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 10 van 12
e. πππ‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β 82βπ‘π‘
= β 4π‘π‘
ππ = β 4π₯π₯
βΌβΌ
π¦π¦π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = β4ππβ ππ2 + 8ππ + 9 = β4ππ + 8ππ + 9
π¦π¦π‘π‘π‘π‘π‘π‘ = 4ππ + 9 D.w.z. dat alle toppen van al deze parabolen op de lijn y = 4x + 9 liggen !!! ππππππ = (ππ , 4ππ + 9)
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 11 van 12
PARAGRAAF 1.5 : GRAFISCH NUMERIEK OPLOSSEN
DEFINITIES BEREKEN β¦ β’ Bereken algebraΓ―sch = { Oplossen ZONDER de GR. Je mag (soms) afronden } β’ Bereken exact = { Oplossen ZONDER de GR. Je mag NOOIT afronden } β’ Bereken = { Je mag de GR (Intersect / Zero) gebruiken }
THEORIE ONGELIJKHEDEN
β’ Een ongelijkheid heeft als teken > ; β₯ ; < ; β€ β’ Een ongelijkheid heeft miljoenen oplossingen (bijv. ππ > 4) β’ Daarom is er ALTIJD een schets nodig om een ongelijkheid oplossen. β’ Er is één uitzondering voor de schets en dat is bij een lineaire ongelijkheid
(bijv. 3ππ β 4 > β2ππ + 8)
STAPPENPLAN ONGELIJKHEID OPLOSSEN : (1) Herleid op 0 (2) Los de vergelijking op (algebraΓ―sch of met intersect) (I) (3) Maak een schets van de situatie. (S) (4) Lees de oplossing af uit de schets van de grafiek (met de GR) (A)
Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 12 van 12
VOORBEELD 1
Los algebraΓ―sch op ππ2 + 3ππ > 10
OPLOSSING 1
(1) ππ2 + 3ππ > 10 ππ2 + 3ππ β 10 > 0
(2) ππ2 + 3ππ β 10 = 0
(ππ β 2)(ππ + 5) = 0
ππ = 2 π£π£ ππ = β5
(3) Schets ππ1 = ππ2 + 3ππ β 10
(4) ππ2 + 3ππ β 10 > 0 ππππππ ππ < β5 ππππ ππ > 2
OPMERKING
Als er alleen los op staat, mag je stap (2) oplossen met intersect.
ππ1 = ππ2 + 3ππ β 10 ππππ ππ2 = 0 Intersect β¦