Optica Hecht 3ed ESP

Optica

Eugene HechtAlfred Zajac

Capıtulos seleccionados del libro original por

Juan Manuel Enrique Munido

26 de abril de 2002

Formateado con LATEX2εen Debian GNU/Linux 3.0

Version Preliminar

2 Juan Manuel Enrique Munido

Indice general

1. Movimiento Ondulatorio 51.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Ondas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Representacion Compleja de las Ondas Unidimensionales 121.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional . . . . . . . . . . . 171.6. Ondas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Ondas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Teorıa Electromagnetica, Fotones y Luz 252.1. Leyes Basicas de la Teorıa Electromagnetica . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1. Ley de Induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2. Ley de Gauss Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Ley de Gauss Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Ondas Electromagneticas en Medios No Conductores . . . . . . . 35

2.3.1. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2. Propagacion de la Luz a traves de un Medio Dielectrico . 41

2.4. Energıa de las Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Tratamiento Electromganetico de la Propagacion de la Luz 473.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1. Deduccion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . . 503.1.2. Interpretacion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . 53

4. Superposicion de Ondas 594.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1. El Metodo Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2. El Metodo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 68

3

INDICE GENERAL

4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Interferencias 735.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3. Interferometros de Division de Frente de Onda . . . . . . . . . . 795.4. Pelıculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces . . . . . . . . . 83

5.4.1. Franjas de Igual Inclinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6. Difraccion 896.1. Difraccion de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . . 90


CAPITULO 1

Movimiento Ondulatorio

Indice General

1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Ondas Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Representacion Compleja de las Ondas Unidimen-sionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional . . . 17

1.6. Ondas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. Ondas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 23

5

CAPITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

SECCION 1.1

Ondas Unidimensionales

Sea una perturbacion ψ que viaja en la direccion positiva de x con unavelocidad constante v. La naturaleza especıfica de la perturbacion no es porel momento importante. Podrıa ser el desplazamiento vertical de una cuerda,o de la magnitud de un campo electrico o magnetico asociado con una ondaelectromagnetica, o aun la amplitud de la probabilidad cuantica de una onda demateria.

Como la perturbacion esta en movimiento, debe ser una funcion tanto de laposicion como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como:

ψ = f(x, t) (1.1)

La forma de la perturbacion en cualquier instante se puede encontrar man-teniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplo t = 0. Eneste caso:

ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) (1.2)

la funcion ψ(x, t) representa la forma o perfil de la onda en un momento dado.El proceso es analogo a tomar una “fotografıa” del pulso que va viajando. Porel momento el estudio se limitara a una onda que no cambia su forma mientrasavanza a traves del espacio. Tras un tiempo t desde la produccion del pulsode la onda, este recorre una distancia vt a lo largo del eje x de un sistemade coordenadas S, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahorase introduce un sistema de coordenadas S′ que viaja junto con el pulso a lavelocidad v, en este sistema ψ ya no es una funcion del tiempo, y puesto que semueve junto con S′ se ve un perfil constante estacionario con la misma formafuncional de la ecuacion (1.2). Aquı, el eje coordenado es x′ en lugar de x, detal forma que:

ψ = f(x′) (1.3)

La perturbacion se ve igual para cualquier valor de t en S′ como lo era en Spara t = 0 cuando S y S′ tenıan un origen comun. Se deduce que:

x′ = x− vt (1.4)

de tal forma que ψ se puede escribir en terminos de las variables asociadas conel sistema S como:

ψ(x) = f(x− vt) (1.5)

Entonces esto representa la forma mas general de la funcion de onda unidimen-sional. De un modo especıfico, solamente se tiene que escoger la forma (1.2) yentonces sustituir x − vt por x en f(x). La expresion resultante describe unaonda movil que tiene el perfil deseado. Si se verifica la forma de la ecuacion


1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES

(1.5) examinando ψ despues de un incremento ∆t de tiempo y un aumentocorrespondiente en x de v∆t, se encuentra:

f [(x+ v∆t)− v(t+ ∆t)] = f(x− vt)

y el perfil esta inalterado.Similarmente, si la onda estuviese viajando en la direccion negativa de x, es

decir, hacia la izquierda, la ecuacion (1.5) quedarıa:

ψ = f(x+ vt), con v > 0 (1.6)

Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de laperturbacion, las variables x y t deben aparecer en la funcion como una unidad;es decir, como una variable simple de la forma x ∓ vt. La ecuacion (1.5) seexpresa a menudo equivalentemente como una funcion de t− x/v ya que:

f(x− vt) = F

(−x− vt

v

)= F (t− x/v) (1.7)

Se desea usar la informacion deducida hasta aquı para desarrollar la formageneral de la ecuacion diferencial de onda unidimensional. Con ese proposito, setoma la derivada parcial de ψ(x, t) con respecto a x manteniendo t constante.Usando x′ = x∓ vt se tiene:

∂ψ

∂x=

∂f

∂x′∂x′

∂x=

∂f

∂x′ya que

∂x′

∂x= 1 (1.8)

Si se mantiene x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es:

∂ψ

∂t=

∂f

∂x′∂x′

∂t= ∓v ∂f

∂x′(1.9)

Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene:

∂ψ

∂t= ∓v ∂ψ

∂x(1.10)

Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con t y con x es igual, excepto poruna constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitaran dosconstantes para especificar una onda, se puede anticipar una ecuacion de ondade segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones(1.8) y (1.9), se obtiene:

∂2ψ

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x′

)=

∂

∂x′

(∂f

∂x′

)∂x′

∂x=

∂2f

∂x′2

y∂2ψ

∂t2=

∂

∂t

(∓v ∂f

∂x′

)=

∂

∂x′

(∓v ∂f

∂x′

)∂x′

∂t= ∓v2 ∂

2f

∂x′2

Combinando estas ecuaciones se obtiene:

∂2ψ

∂x2=

1v2

∂2ψ

∂t2(1.11)

Juan Manuel Enrique Munido 7


que es la ecuacion diferencial de onda en una dimension. Es claro de la forma dela ecuacion (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes ψ1 y ψ2 son cada unasoluciones diferentes, entonces (ψ1 +ψ2) es tambien una solucion. 1 De acuerdocon esto, la ecuacion de onda se satisface de manera mas general por una funcionde onda que tiene la forma:

ψ = C1f(x− vt) + C2g(x+ vt) (1.12)

donde C1 y C2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Estoes claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lolargo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil.El principio de superposicion es inherente en esta ecuacion.

SECCION 1.2

Ondas Armonicas

Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional explıcita a la funcionde onda ψ(x, t), es decir, no se ha especificado su forma. La forma de ondamas simple tiene como perfil una curva seno o coseno. Estas se conocen varia-damente como ondas senoidales, ondas armonicas simples, o mas sucintamentecomo ondas armonicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por unasuperposicion de ondas armonicas y por consiguiente ellas toman un significadoespecial.

Se escoge para el perfil la funcion simple:

ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) = A sin kx = ψ(x) (1.13)

donde k es una constante positiva conocida como el numero de propagacion ykx esta expresado en radianes. El seno varıa de +1 a −1 de manera que elmaximo valor de ψ(x) es A. Este maximo de la perturbacion se conoce comola amplitud de la onda. A fin de transformar la ecuacion (1.13) en una ondaprogresiva que viaja con velocidad v en la direccion positiva de x, se necesitasimplemente reemplazar x por x− vt, en cuyo caso:

ψ(x, t) = f(x− vt) = A sin k(x− vt) (1.14)

Esto es claramente una solucion de la ecuacion diferencial de onda (1.11). Man-teniendo fijas bien sea x o t resulta una perturbacion senoidal de tal forma quela onda es periodica tanto en el espacio como en el tiempo. El perıodo espa-cial se conoce como la longitud de la onda y se denota por λ. Un aumento odisminucion en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterado, es decir:

ψ(x, t) = ψ(x± λ, t) (1.15)

1Ya que ψ1 y ψ2 son soluciones:

∂2ψ1

∂x2=

1

v2∂2ψ1

∂t2y∂2ψ2

∂x2=

1

v2∂2ψ2

∂t2

Sumando estas, se obtiene:

∂2ψ1

∂x2+∂2ψ2

∂x2=

1

v2

[∂2ψ1

∂t2+∂2ψ2

∂t2

]⇒

∂

∂x2(ψ1 + ψ2) =

1

v2∂2

∂t2(ψ1 + ψ2),

de manera que (ψ1 + ψ2) es tambien una solucion de la ecuacion (1.11)


1.2. ONDAS ARMONICAS

En el caso de una onda armonica, esto es equivalente a alterar el argumento dela funcion seno en ±2π. Por consiguiente:

sin k(x− vt) = sin k[(x± λ)− vt] = sin[k(x− vt)± 2π]

y ası|kλ| = 2π

o, ya que k y λ son numeros positivos

k = 2π/λ (1.16)

En forma completamente analoga, se puede examinar el perıodo temporal, τ . Estaes la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observadorestacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en eltiempo el que es de interes, de manera que:

ψ(x, t) = ψ(x, t± τ) (1.17)

ysin k(x− vt) = sin k[x− v(t± τ)] = sin[k(x− vt)± 2π]

Por consiguiente:|kvτ | = 2π

Pero todas estas son cantidades positivas y ası

kvτ = 2π (1.18)

o2πλvτ = 2π

de lo cual se sigue que

τ =λ

v(1.19)

El perıodo es el numero de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual esla frecuencia ν o el numero de ondas por unidad de tiempo. Entonces:

ν ≡ 1τ

(ciclos/s o Hertz)

y la ecuacion (1.19) queda:

v = νλ (m/s) (1.20)

Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimientoondulatorio que son la frecuencia angular :

ω ≡ 2πτ

(radianes/s) (1.21)

y el numero de onda:

κ ≡ 1λ

(m−1) (1.22)



La longitud de onda, perıodo, frecuencia, frecuencia angular, numero de onday numero de propagacion describen aspectos de la naturaleza repetitiva de unaonda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien aondas que no son armonicas siempre que cada perfil de onda este formado porun patron regularmente repetitivo. Hasta ahora se han definido un numero decantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, segunlo cual existe un numero equivalente de formulaciones de una onda armonicaprogresiva. Algunas de las mas comunes de estas son:

ψ = A sin k(x∓ vt)

ψ = A sin 2π(x

λ∓ t

τ

)(1.23)

ψ = A sin 2π(κx∓ vt) (1.24)ψ = A sin(kx∓ ωt) (1.25)

ψ = A sin 2πν(xv∓ t)

(1.26)

Debe notarse que todas estas ondas son de extension infinita, es decir para cual-quier valor fijo de t, x varıa de −∞ a +∞. Cada onda tiene solo una frecuenciaconstante y por consiguiente se dice que es monocromatica.

SECCION 1.3

Fase y Velocidad de Fase

Sea la funcion de onda armonica de la forma:

ψ(x, t) = A sin(kx− ωt)

El argumento completo de la funcion seno se conoce como la fase ϕ de la onda,de manera que:

ϕ = (kx− ωt) (1.27)

Para x = 0 y t = 0 se verifica:

ψ(x, t)x=0t=0

= ψ(0, 0) = 0

el cual es ciertamente un caso especial. Mas generalmente se puede escribir.

ψ(x, t) = A sin(kx− ωt+ ε) (1.28)

donde ε es la fase inicial o edad del angulo. Un sentido fısico del significadode ε se puede obtener imaginando que se desea producir una onda armonicaprogresiva en una cuerda tensa. A fin de generar ondas armonicas, la manoque sostiene la cuerda tendrıa que moverse de tal forma que su desplazamientovertical y fuese proporcional al negativo de su aceleracion, es decir, el movimientoes armonico simple. Pero en x = 0 y t = 0 la mano ciertamente no necesita estaren el eje x cuando esta a punto de moverse hacia abajo. Podrıa, por supuesto,comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso ε = π. Eneste ultimo caso:

ψ(x, t) = y(x, t) = A sin(kx− ωt+ π)


1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

el cual es equivalente a:

ψ(x, t) = A sin(ωt− kx)

oψ(x, t) = A cos

(ωt− kx− π

2

)La edad del angulo es entonces justamente la contribucion constante a la faseque se origina en el generador y es independiente de que tan distante en elespacio y que tan lejos en el tiempo ha viajado la onda.

La fase de una perturbacion como ψ(x, t) dada por la ecuacion (1.28) es:

ϕ(x, t) = kx− ωt+ ε (1.29)

y es obviamente una funcion de x y t. En efecto, la derivada parcial de ϕ conrespecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de la fase con eltiempo: ∣∣∣∣(∂ϕ∂t

)x

∣∣∣∣ = ω (1.30)

Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo tconstante, es: ∣∣∣∣(∂ϕ∂x

)t

∣∣∣∣ = k (1.31)

Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuacion de la teorıa dederivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodinamica, o sea:(

∂x

∂t

)ϕ

=−(∂ϕ/∂t)x

(∂ϕ/∂x)t(1.32)

El termino de la izquierda representa la velocidad de propagacion de un puntode fase constante. Escogiendo cualquier punto del perfil de la onda, al moversela onda en el espacio, el desplazamiento y del punto permanece constante. Yaque la unica variable en la funcion de la onda armonica es la fase, ella tambiendebe ser constante. Esto es, la fase esta fija en un valor tal que y permanececonstante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto conel perfil con la velocidad v y ası tambien lo hace la condicion de fase constante.

Tomando la derivada parcial de ϕ apropiada como se da por el ejemplo enla ecuacion (1.29) y sustituyendola en la ecuacion (1.32) se obtiene:(

∂x

∂t

)ϕ

= ±ωk

= ±v (1.33)

Esta es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce comunmente comola velocidad de fase. La velocidad de fase lleva un signo positivo cuando la ondase mueve en la direccion en que aumenta x y negativo en la direccion en que



disminuye x. Esto concuerda con el desarrollo de v como la magnitud de lavelocidad de la onda.

Considerese la idea de la propagacion de fase constante y como se relacionacon cualquiera de las ecuaciones de onda armonica, dıgase:

ψ = A sin k(x∓ vt)

conϕ = k(x− vt) = constante;

cuando t aumenta, x debe aumentar. Aun si x < 0 tal que ϕ < 0, x debeaumentar, es decir, se hace menos negativa. Aquı, entonces, la condicion de faseconstante se mueve en la direccion en que aumenta x. Para:

ϕ = k(x− vt) = constante

cuando t aumenta, x puede ser positiva y decreciente o negativa y haciendosemas negativa. En cualquier caso, la condicion de fase constante se mueve en ladireccion en que disminuye x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1Representacion

Complejade lasOndas

Unidimen-sionales

Al desarrollar el analisis de los fenomenos ondulatorios se hara claro que lasfunciones seno y coseno que describen las ondas armonicas son poco adecuadaspara la mayorıa de los propositos. Al hacerse mas complicadas las expresionesque se estan formulando, las manipulaciones trigonometricas que se requierenpara enfrentarse con ellas se hacen aun menos atractivas. La representacion deondas con numeros complejos ofrece una descripcion alternativa que es mate-maticamente mas simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial complejade la ecuacion de onda se usa ampliamente en mecanica clasica y cuantica, ytambien en optica.

El numero complejo z tiene la forma:

z = x+ iy (1.34)

donde i =√−1. Las partes real e imaginaria de z son respectivamente x e y

donde ambas, x e y, son numeros reales. En terminos de las coordenadas polares(r, θ), se tiene: {

x = r cos θy = r sin θ

La formula de Euler : 2

eiθ = cos θ + i sin θ

permite escribir:z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,

donde r es la magnitud de z, y θ es el angulo de fase de z, en radianes. Lamagnitud a menudo se denota por |z| y se conoce como el modulo o valorabsoluto del numero complejo. El complejo conjugado, indicado por un asterısco,se encuentra reemplazando i donde quiera que aparezca, por −i, tal que:

z∗ = (x+ iy)∗ = x− iy

z∗ = r(cos θ − i sin θ)z∗ = re−iθ

2Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial de z = cos θ +i sin θ donde r = 1. Esto da dz = izdθ, y una integracion da z = eiθ.


1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

Las operaciones de adicion y sustraccion son inmediatas:

z1 ± z2 = (x1 + iy1)± (x2 + iy2)

y por consiguiente:z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2)

Observese que este proceso es muy similar a la adicion de vectores por compo-nentes.

La multiplicacion y la division se expresan de manera mas simple en formapolar:

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)

yz1z2

=r1r2ei(θ1θ2)

Vale la pena en este punto mencionar un numero de hechos utiles, que seran devalor en los calculos futuros. Se deduce facilmente de las formulas de adiciontrigonometricas ordinarias que:

ez1+z2 = ez1ez2

donde, por lo tanto, si z1 = x y z2 = iy,

ez = ex+iy = exeiy.

El modulo de una cantidad compleja esta dado por:

|z| ≡√zz∗

tal que:|ez| = ex.

En vista de que cos 2π = 1 y sin 2π = 0,

ei2π = 1;

similarmente:eiπ = e−iπ = −1 y ei π

2 = i

La funcion ez es periodica, es decir, se repite a sı misma cada i2π:

ez+i2π = ezei2π = ez.

Cualquier numero complejo se puede representar como la suma de una partereal Re(z) y una parte imaginaria Im(z):

z = Re(z) + iIm(z)

tal que:

Re(z) =12(z + z∗) y Im(z) =

12i

(z − z∗).

De la forma polar donde:

Re(z) = r cos θ y Im(z) = r sin θ,



es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda armoni-ca. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una ondaarmonica se escribe como:

ψ(x, t) = Re[Aei(ωt−kx+ε)

], (1.35)

la cual es, por supuesto, equivalente a:

ψ(x, t) = A cos(ωt− kx+ ε).

De aquı en adelante, siempre que sea conveniente se escribira la funcion de ondacomo:

ψ(x, t) = Aei(ωt−kx+ε) = Aeiϕ, (1.36)

y se utilizara esta forma compleja en los calculos requeridos. Esto se hace afin de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas.Solo despues de llegar a un resultado final, y solamente si se desea representarla onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se hahecho muy comun escribir ψ(x, t), como la ecuacion (1.36), donde se entiendeque la onda real es la parte real.

SECCION 1.4

Ondas Planas

La onda plana es quiza el ejemplo mas simple de una onda tridimensional.Existe en un instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales unaperturbacion tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno ge-neralmente perpendicular a la direccion de propagacion. Hay razones practicaspara estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sis-temas opticos se pueden producir facilmente luz semejante a ondas planas.

La expresion matematica para un plano perpendicular a un vector dado ~ky que pasa a traves de algun punto (x0, y0, z0) es bastante facil de deducir. Elvector de posicion, en terminos de sus componentes en coordenadas cartesianas,es:

~r ≡ (x, y, z).

Comienza en algun origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) el cualpuede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo:

(~r − ~r0) · ~k = 0 (1.37)

se fuerza al vector (~r − ~r0) a barrer un plano perpendicular a ~k, cuando su puntoextremo (x, y, z) toma todos los valores permitidos. Con:

~k ≡ (kx, ky, kz). (1.38)

la ecuacion (1.37) se puede expresar en la forma:

kx (x− x0) + ky (y − y0) + kz (z − z0) = 0 (1.39)


1.4. ONDAS PLANAS

o como:

kxx+ kyy + kzz = a (1.40)

donde:

a = kxx0 + kyy0 + kzz0 = constante. (1.41)

La forma mas concisa de la ecuacion de un plano perpendicular a ~k es entonces:

~k · ~r = a = constante (1.42)

El plano es el lugar geometrico de todos los puntos cuya proyeccion en la direc-cion ~k es una constante.

Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ(~r) varıasenoidalmente, es decir:

ψ (~r) = A sin(~k · ~r

)(1.43)

ψ (~r) = A cos(~k · ~r

)(1.44)

o

ψ (~r) = Aei~k·~r (1.45)

Para cada una de estas expresiones ψ (~r) es constante sobre cada plano definidopor ~k ·~r = constante. Como se manejan funciones armonicas, se deben repetir ası mismas en el espacio de un desplazamiento de λ en la direccion de ~k. Si no seponen lımites a ~r, los planos son de extension infinita y la perturbacion ocupaclaramente todo el espacio.

La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresarpor:

ψ (~r) = ψ

(~r +

λ~k

k

)(1.46)

donde k es la mangitud de ~k y ~k/k es un vector unitario paralelo a el. En laforma exponencial, equivale a:

Aei~k·~r = Aei~k·(~r+λ~k/k) = Aei~k·~reiλ~k.

Para que sea cierto, se debe tener:

eiλ~k = 1 = ei2π;

por consiguiente:λk = 2π



y

k =2πλ.

El vector ~k, cuya magnitud es el numero de propagacion k (ya introducido), sellama el vector propagacion.

En cualquier punto fijo en el espacio donde ~k · ~r es constante, la fase esconstante y tambien lo es ψ (~r); en resumen, los planos estan inmoviles. Parahacer que las cosas se muevan, ψ (~r) debe hacerse variar en el tiempo, algo quese puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma analogaa la de una onda unidimensional. Aquı entonces:

ψ (~r, t) = Aei(~k·~r+ωt) (1.47)

con A, ω y k constantes. A medida que esta perturbacion viaja a lo largo dela direccion ~k se le puede asignar una fase correspondiente en cada punto enel espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las superficies que unen todoslos puntos de igual fase se conocen como frentes de onda o superficies de onda.Observese que la funcion de onda tendra un valor constante sobre el frente deonda solamente si la amplitud A tiene un valor fijo en el frente. En general, Aes una funcion de ~r y puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquierasobre un frente de onda. En el ultimo caso, se dice que la onda es inhomogenea;pero a efectos practicos no interesa este tipo de perturbacion, a menos que seconsideren haces de luz laser y reflexion total interna.

La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuacion (1.47) es equiva-lente a la velocidad de propagacion del frente de onda. La componente escalar de~r en la direccion de ~k es rk. La perturbacion en un frente de onda es constante,de manera que despues de un tiempo dt, si el frente se mueve a lo largo de ~kuna distancia drk, se debe tener:

ψ (~r, t) = ψ (rk + drk, t+ dt) = ψ (rk, t) . (1.48)

En forma exponencial, o sea:

Aei(~k·~r∓ωt) = Aei(krk+kdrk∓ωt∓ωdt) = Aei(krk∓ωt);

por consiguiente:kdrk = ±ωdt

y la magnitud de la velocidad de la onda drk/dt es:

drkdt

= ±ωk

= ±v (1.49)

Se podrıa haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de talforma que ~k fuese paralelo al eje x. Para esa orientacion:

ψ (~r, t) = Aei(kx∓ωt)

ya que ~k · ~r = krk = kx. La onda habıa sido ası reducida efectivamente a unaperturbacion unidimensional ya discutida anteriormente.


1.5. ECUACION DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL

La onda armonica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianascomo:

ψ(x, y, z, t) = Aei(kxx+kyy+kzz∓ωt) (1.50)

o

ψ(x, y, z, t) = Aei[~k(αx+βy+γz∓ωt)] (1.51)

donde α, β y γ son los cosenos directores de ~k. En terminos de sus componentes,la magnitud del vector de propagacion esta dado por:

∣∣∣~k∣∣∣ = k =√(

k2x + k2

y + k2z

)(1.52)

y por supuesto:

α2 + β2 + γ2 = 1. (1.53)

Se ha examinado ondas planas dando enfasis particular a las ondas armo-nicas. El significado especial de estas ondas es doble: primero, fısicamente, lasondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando al-guna forma de oscilador armonico; segundo, cualquier onda tridimensional sepuede expresar como una combinacion de ondas planas, cada una con distintaamplitud y direccion de propagacion.

Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellasdonde la perturbacion varıa en alguna forma que no es armonica. Las ondasarmonicas planas son, en efecto, un caso especial de una solucion mas generalde ondas planas.

SECCION 1.5

Ecuacion Diferencial de Onda Tridimensional

De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (armonica ono) se mueve a traves del espacio con un perfil que no cambia. Entonces es claroque la idea segun la cual una onda es la de propagacion de una perturbacioncuyo perfil no se altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencerdefiniendo una onda como cualquier solucion de la ecuacion diferencial de onda.Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuacion de onda tridimensional.Esta deberıa ser bastante facil de obtener, ya que se puede adivinar su formageneralizando la expresion unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas,las variables de posicion x, y y z deben ciertamente aparecer simetricamente 3

en la ecuacion tridimensional, un hecho que se debe recordar. La funcion de ondaψ(x, y, z, t) dada por la ecuacion (1.51) es una solucion particular de la ecuacion

3No hay distincion caracterıstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Sedebe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos, x a z, y a x y z a y (manteniendoel sistema derecho sin alterar la ecuacion diferencial de onda.



diferencial que se esta buscando. En analogıa con la deduccion de la ecuacion(1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuacion (1.51):

∂2ψ

∂x2= −α2k2ψ (1.54)

∂2ψ

∂y2= −β2k2ψ (1.55)

∂2ψ

∂z2= −γ2k2ψ (1.56)

y

∂2ψ

∂t2= −ω2ψ (1.57)

Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que α2+β2+γ2 =1 se obtiene:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2= −k2ψ (1.58)

Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando quev = ω/k, se llega a:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2=

1v2

∂2ψ

∂t2(1.59)

la ecuacion diferencial de onda tridimensional. Observese que x, y, y z aparecensimetricamente y la forma es precisamente la que se esperarıa de la generaliza-cion de la ecuacion (1.11).

La ecuacion (1.59) se describe generalmente en una forma mas concisa in-troduciendo el operador Laplaciano:

∇2 ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(1.60)

de donde queda simplemente:

∇2ψ =1v2

∂2ψ

∂t2(1.61)

Ahora que se tiene esta ecuacion, que es la mas importante, observese de nuevola onda plana y se vea como se adecua al esquema de cosas. Una funcion de laforma:

ψ(x, y, z, t) = Aeik(αx+βy+γz∓vt) (1.62)

es equivalente a la ecuacion (1.51) y como tal, es una solucion de la ecuacion(1.61). Se puede demostrar tambien que:

ψ(x, y, z, t) = f(αx+ βy + γz − vt) (1.63)


1.6. ONDAS ESFERICAS

y

ψ(x, y, z, t) = g(αx+ βy + γz + vt) (1.64)

son soluciones de ondas planas de la ecuacion diferencial de onda. Las funciones fy g, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitanser armonicas. Una combinacion lineal de estas es tambien una solucion y sepuede escribir esto de una manera ligeramente diferente como:

ψ (~r, t) = C1f(~r · ~k/k − vt

)+ C2g

(~r · ~k/k + vt

)(1.65)

donde C1 y C2 son constantes.Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir

ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones fısicas, se puedefrecuentemente hacer mejor uso de las simetrıas existentes por medio de otrasrepresentaciones coordenadas.

SECCION 1.6

Ondas Esfericas

Imagınese una pequena esfera pulsatil rodeada por un fluido. Al contraersey expandirse la fuente, genera variaciones en la presion que se propagan haciaafuera como ondas esfericas.

Considerese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiacion que emanade ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Sedice que la fuente es isotropica y los frentes de onda resultantes son de nuevoesferas concentricas con diametro creciente cuando se expanden en el espacio quelas rodea. La simetrıa obvia de los frentes de onda sugiere que podrıa ser masconveniente describirlos matematicamente, en terminos de coordenadas polaresesfericas. En esta representacion el operador Laplaciano es:

∇2 ≡ 1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂

∂φ(1.66)

donde r, θ y φ se definen por:

x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ.

Recordando que se esta buscando una descripcion de las ondas esfericas, deondas que son esfericamente simetricas, es decir, aquellas caracterizadas por elhecho de que no dependen de θ ni de φ de modo que:

ψ (~r) = ψ(r, θ, φ) = ψ(r). (1.67)

Entonces el Laplaciano de ψ(r) es simplemente:

∇2ψ(r) =1r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)(1.68)



Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuacion (1.66).Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre lafuncion de onda ψ(r) simetricamente esferica y se convierte cada termino acoordenadas polares. Examinando solamente la dependencia de x, se tiene:

∂ψ

∂x=∂ψ

∂r

∂r

∂x

y∂2ψ

∂x2=∂2ψ

∂r2

(∂r

∂x

)2

+∂ψ

∂r

∂r2

∂x2

ya que:ψ (~r) = ψ(r).

Usando:x2 + y2 + z2 = r2

se tiene:

∂r

∂x=x

r,

∂2r

∂x2=

1r

∂

∂x(x) + x

∂

∂x

(1r

)=

1r

(1− x2

r2

)y

∂2ψ

∂x2=x2

r2∂2ψ

∂r2+

1r

(1− x2

r2

)∂ψ

∂r

Ahora, teniendo ∂2ψ/∂x2, se forma ∂2ψ/∂y2 y ∂2ψ/∂z2, y sumando se obtiene:

∇2ψ(r) =∂2ψ

∂r2+

2r

∂ψ

∂r,

la cual es equivalente a la ecuacion (1.68). Este resultado se puede expresar enforma ligeramente diferente:

∇2ψ =1r

∂2

∂r2(rψ) (1.69)

La ecuacion diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como:

1r

∂2

∂r2(rψ) =

1v2

∂2ψ

∂t2(1.70)

Multiplicando ambos lados por r, se obtiene:

∂2

∂r2(rψ) =

1v2

∂2

∂t2(rψ) (1.71)

Observese que esta expresion es precisamente la ecuacion diferencial de ondaunidimensional (1.11), donde la variable espacial es r y la funcion de onda es elproducto (rψ). La solucion de la ecuacion (1.71) es entonces simplemente:

rψ(r, t) = f(r − vt)

o

ψ(r, t) =f(r − vt)

r(1.72)


1.6. ONDAS ESFERICAS

Esto representa una onda esferica que progresa radialmente hacia afuera desde elorigen, con una velocidad constante v, y que tiene una forma funcional arbitrariaf . Otra solucion esta dada por:

ψ(r, t) =g(r + vt)

r

y en este caso la onda esta convergiendo hacia el origen. 4 El hecho de que estaexpresion falla en r = 0 es de poca importancia practica.

Un caso especial de la solucion general:

ψ(r, t) = C1f(r − vt)

r+ C2

g(r + vt)r

. (1.73)

es la onda esferica armonica

ψ(r, t) =(A

r

)cos k(r ∓ vt) (1.74)

o

ψ(r, t) =(A

r

)eik(r∓vt) (1.75)

donde la constante A se llama la intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijodel tiempo, esto representa una agrupacion de esferas concentricas que llenantodo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante esta dadopor:

kr = constante

Observese que la amplitud de cualquier onda esferica es una funcion de r,donde el termino r−1 sirve como un factor de atenuacion. Al contrario que unaonda plana, una onda esferica disminuye en amplitud, con lo cual cambia superfil, cuando se expande y se aleja del origen. 5 Un pulso de onda esferica tienela misma extension en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radior, es decir, el ancho del pulso a lo largo del eje r es una constante. Se podrıahaber considerado una onda armonica, en lugar de un pulso. En este caso, laperturbacion senoidal estarıa acotada por las curvas:

ψ =A

ry ψ = −A

r

La onda esferica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual,y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamenteidealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esfericas comotambien solo se aproxima a ondas planas.

Cuando un frente de onda esferica se propaga hacia afuera, su radio aumen-ta. Suficientemente lejos de la fuente, una pequena area del frente de onda seacercara mucho a una porcion de una onda plana.

4Otras soluciones mas complicadas existen cuando la onda no es esfericamente simetrica.5El factor de la atenuacion es una consecuencia directa de la conservacion de energıa.



SECCION 1.7

Ondas Cilındricas

Ahora se examinara brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindrocircular infinito. Desafortunadamente un tratamiento matematico preciso es de-masido complicado para hacerlo aquı. Sin embargo se bosquejara el el procedi-miento, de tal forma que la funcion de onda resultante no evoque misticismo.El Laplaciano de ψ en coordenadas cilındricas es:

∇2ψ =1r

∂

∂r

(r∂ψ

∂r

)+

1r2∂2ψ

∂θ2+∂2ψ

∂z2(1.76)

donde:x = r cos θ, y = r sin θ, y z = z.

El caso sencillo de simetrıa cilındrica requiere que:

ψ (~r) = ψ(r, θ, z) = ψ(r)

La independencia de θ significa que un plano perpendicular al eje z intersectarael frente de onda en un cırculo, el cual puede variar en r, para diferentes valoresde z. Ademas, la independencia de z restringe el frente de onda a un cilindrocircular centrado en el eje z y que tiene longitud infinita. La ecuacion diferencialde onda es entonces:

1r

∂

∂r

(r∂ψ

∂r

)=

1v2

∂2ψ

∂t2(1.77)

Se esta buscando una expresion para ψ(r), una solucion de esta ecuacion. Des-pues de un poco de manipulacion en la cual la dependencia del tiempo se separa,la ecuacion (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuacion de Bessel. Lassoluciones de la ecuacion de Bessel para grandes valores de r se aproximan asin-toticamente a formas trigonometricas simples. Finalmente, entonces cuando res suficientemente grande, se puede escribir:

ψ(r) ≈ A√reik(r∓vt)

ψ(r) ≈ A√r

cos k(r ∓ vt). (1.78)

Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo elespacio y que viajan hacia una fuente lineal infinita o se alejan de ella. No sepueden ahora encontrar soluciones en terminos de funciones arbitrarias comolas habıa tanto para las ondas esfericas (1.73) como para las planas (1.65).

Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca planay que contiene una rendija delgada y larga, producira una emision, por esarendija, de una perturbacion parecida a una onda cilındrica. Se ha hecho un usoextensivo de esta tecnica para generar ondas luminosas. Recuerdese que la ondareal, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representacionmatematica idealizada.


1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES

SECCION 1.8

Ondas Escalares y Vectoriales

Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. Ladistincion entre las dos proviene de una diferencia entre la direccion a lo largode la cual ocurre la perturbacion y la direccion ~k/k, en la cual se propaga laperturbacion. Esto es mas facil de visualizar cuando se trata de un medio ma-terial deformable elastico. Una onda longitudinal ocurre cuando las partıculasdel medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una direccion paralelaa ~k/k. Se origina una onda transversal cuando la perturbacion, en este caso eldesplazamiento del medio, es perpendicular a la direccion de propagacion. Enel caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio esta confinado aun plano fijo en el espacio llamado plano de vibracion y por lo tanto se diceque la onda es linealmente polarizada o polarizada plana. A fin de determinarpor completo la onda, se debe ahora especificar la orientacion del plano de vi-bracion, y tambien la direccion de propagacion. Esto es equivalente a resolverla perturbacion en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendicu-lares ambos normales a la direccion de propagacion. El angulo en el cual estainclinado el plano de vibracion es constante, de modo que en cualquier tiempolas componentes difieren de ψ por una constante multiplicativa y ambas son porlo tanto soluciones de la ecuacion diferencial de onda. Se presenta un hecho muysignificativo: la funcion de onda, de una onda transversal, se comporta en formaparecida a una cantidad vectorial. Con la onda moviendose a lo largo del eje zse puede escribir:

~ψ(z, t) = ψx(z, t)~i+ ψy(z, t)~j, (1.79)

donde, por supuesto, ~i,~j y ~k son vectores base unitarios en coordenadas carte-sianas.

Una onda, plana armonica escalar esta dada por la expresion:

~ψ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt).

Una onda plana armonica polarizada linealmente esta dada por el vector deonda:

~ψ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt). (1.80)

o en coordenadas cartesianas por:

~ψ(x, y, z, t) =(Ax~i+Ay

~j +Az~k)ei(kxx+kyy+kzz∓ωt) (1.81)

Para este caso donde el plano de vibracion esta fijo en el espacio, tambien lo esla orientacion de ~A. Recuerdese que ~ψ y ~A difieren solamente por un escalar y,como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a ~k/k.

La luz es una onda transversal y es una apreciacion de su naturaleza vecto-rial de gran importancia. Los fenomenos de polarizacion optica se pueden tratarfacilmente en terminos de este tipo de visualizacion ondulatoria vectorial. Paraluz no polarizada, donde el vector de onda cambia de direccion al azar y rapi-damente, las aproximaciones escalares se hacen utiles, como en las teorıas de lainterferencia y la difraccion.


CAPITULO 2

Teorıa Electromagnetica,Fotones y Luz

Indice General

2.1. Leyes Basicas de la Teorıa Electromagnetica . . . . 26

2.1.1. Ley de Induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2. Ley de Gauss Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3. Ley de Gauss Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Ondas Electromagneticas en Medios No Conduc-tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2. Propagacion de la Luz a traves de un Medio Dielectrico 41

2.4. Energıa de las Ondas Electromagneticas . . . . . . . 43

2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

25

CAPITULO 2. TEORIA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

SECCION 2.1

Leyes Basicas de la Teorıa Electromagnetica

El objetivo de esta seccion es el de revisar y desarrollar, aunque sea bre-vemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondaselectromagneticas.

Se sabe por experimentos que las cargas, aunque esten separadas en el espa-cio, experimenta una interaccion mutua. Como una posible explicacion se podrıaespecular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de partıculas indetectables(fotones virtuales). El flujo de estas partıculas entre las cargas se puede conside-rar como una forma de interaccion. Alternativamente, se puede tomar el puntode vista clasico e imaginar que cada carga esta rodeada de algo llamado un cam-po electrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interaccionadirectamente con el campo electrico en el que esta sumergido. Entonces, si unacarga q experimenta una fuerza ~FE , el campo electrico ~E en la posicion de lacarga esta definido por ~FE = q ~E. Ademas se observa que una carga movil puedeexperimentar otra fuerza ~FM la cual es proporcional a su velocidad ~v. Entoncesse tiene que definir aun otro campo, a saber la induccion magnetica ~B, tal que~FM = q~v × ~B. Si ambas fuerzas ~FE y ~FM ocurren simultaneamente se dice quela carga se mueve a traves de una region ocupada tanto por campos electricoscomo magneticos donde ~F = q ~E + q~v × ~B.

Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en terminos de estoscampos y al hacerlo ası se puede obtener una mejor idea de las propiedadesfısicas que se deben atribuir a ~E y a ~B. Como se vera, los campos electricosson generados tanto por cargas electricas como por campos magneticos variablescon el tiempo. Similarmente, los campos magneticos son generados por corrienteselectricas y por campos electricos variables en el tiempo. Esta interdependenciade ~E y de ~B es el punto clave en la descripcion de la luz y su elaboracion es lamotivacion para mucho de lo que sigue.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Leyde

Induccionde Faraday

Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teorıaelectromagnetica. Una de las mas significativas fue su descubrimiento de que unflujo magnetico variable en el tiempo, pasando a traves de un circuito conduc-tor cerrado, da como resultado la generacion de una corriente alrededor de esecircuito. El flujo de la induccion magnetica (o densidad de flujo magnetico ~B)a traves de un area abierta A, limitada por el circuito conductor esta dado por:

ΦB =x

A

~B · ~dS. (2.1)

La fuerza electromotriz inducida o f.e.m. producida alrededor del circuito esentonces:

f.e.m. = −dΦB

dt. (2.2)


2.1. LEYES BASICAS DE LA TEORIA ELECTROMAGNETICA

Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres,corriente y f.e.m. El interes presente son los campos electricos y magneticosmismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presenciade un campo electrico dado por:

f.e.m. =∮

C

~E · ~dL, (2.3)

tomada alrededor de la curva cerrada C, que corresponde al circuito. Igualandolas ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuacion (2.1) se obtiene:

∮C

~E · ~dI = − d

dt

x

A

~B · ~dS. (2.4)

Se comenzo esta discusion examinando un circuito conductor y se ha llegado a laecuacion (2.4); esta expresion, excepto por la trayectoria C, no tiene referenciaal circuito fısico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamentey no necesita estar dentro, o cerca de ningun conductor. El campo electrico enla ecuacion (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas electricassino del campo magnetico variable con el tiempo. Sin cargas que actuen comofuentes o sumideros, las lıneas de campo se cierran, formando circuitos. Para elcaso en el cual la trayectoria esta fija en el espacio y sin cambiar de forma, laley de induccion (2.4) se puede reescribir como:

∮C

~E · ~dI = −x

A

∂ ~B

∂t· dS. (2.5)

Esta, es en sı misma una expresion bastante fascinante ya que indica que elcampo magnetico variable en el tiempo tendra un campo electrico asociado conel.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Leyde GaussElectrica

Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre delmatematico aleman Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el flujo dela intensidad de campo electrico a traves de una superficie cerrada A:

ΦE ={

A

~E · ~dS (2.6)

con la carga total encerrada. La integral doble lleva un cırculo como recordatoriode que la superficie esta cerrada. El vector ~dS esta en la direccion de una normalhacia afuera. Si el volumen encerrado por A es V , y si dentro de ella hay unadistribucion continua de carga ρ, la ley de Gauss es entonces:

{

A

~E · ~dS =1ε

y

V

ρdV (2.7)



La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de flujo hacia adentroy hacia afuera de cualquier superficie cerrada A. Si hay una diferencia, seradebida a la presencia de fuentes o sumideros del campo electrico dentro de A.Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada.La constante ε se conoce como la permitividad electrica del medio. Para el casoespecial del vacıo, la permitividad del espacio libre esta dada por ε0 = 8,8542×10−12C2 N−1m−2. La permitividad de un material se puede expresar en terminosde ε0 como:

~ε = ~Keε0, (2.8)

donde ~Ke, la constante dielectrica (o permitividad relativa), es una cantidad sindimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El interes en~Ke anticipa el hecho de que la permitividad esta relacionada con la velocidadde la luz en materiales dielectricos, como vidrio, cuarzo, etc.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Leyde Gauss

Magnetica

No se conoce una contraparte magnetica de la carga electrica, es decir, nun-ca se han encontrado de manera aislada polos magneticos, aunque se hayanobservado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia delcampo electrico, la induccion magnetica ~B no diverge o converge hacia algu-na clase de carga magnetica (una fuerza monopolar o una caıda). Los camposde induccion magnetica se pueden describir en funcion de distribucion de co-rrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuerauna pequena corriente circular donde las lıneas de ~B son continuas y cerradas.Cualquier superficie cerrada en una region de campo magnetico podrıa tenerentonces un numero igual de lıneas de ~B entrando y saliendo de esta. Esta si-tuacion se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el flujode induccion magnetica ΦB a traves de dicha superficie es cero; se tiene entoncesel equivalente magnetico de la ley de Gauss:

ΦB ={

A

~B · ~dS = 0 (2.9)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.4 LeyCircuital de

Ampere

Otra ecuacion que sera de gran interes se debe a Andre Marie Ampere (1775-1836). Se conoce como la ley circuital y relaciona una lınea integral de ~B tan-gente a una curva cerrada C, con la corriente total i que pasa dentro de losconfines de C: ∮

C

~B · ~dI = µx

A

~J · ~dS = µi (2.10)

La superficie abierta A esta limitada por C, y J es la corriente por unidadde area. La cantidad µ se llama la permeabilidad del medio particular. Parael vacıo µ = µ0 (la permeabilidad del espacio libre), que se define como 4π ×10−7N s2C−2.

Como en la ecuacion (2.8):

µ = Kmµ0 (2.11)


2.1. LEYES BASICAS DE LA TEORIA ELECTROMAGNETICA

donde Km es la permeabilidad relativa sin dimensiones.La ecuacion (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad com-

pleta. Las cargas moviles no son la unica fuente del campo magnetico. Esto seevidencia por el hecho de que mientras se esta cargando o descargando un con-densador, se puede medir un campo ~B en la region entre sus placas. Este campoes indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente enrealidad atraviesa el condensador. Observese, sin embargo, que si A es el areade cada placa y Q la carga en ella:

E =Q

εA

Cuando la carga varıa, el campo electrico cambia y:

ε∂E

∂t=

i

A

es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la exis-tencia de tal mecanismo, al que llamo densidad de corriente de desplazamiento,definida por:

~JD = ε∂ ~E

∂t. (2.12)

La reformulacion de la ley de Ampere, como:

∮C

~B · ~dI = µx

A

(~J + ε

∂ ~E

∂t

)· ~dS (2.13)

fue una de las contribuciones mas grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando~J = 0, un campo ~E variable en el tiempo estara acompanado por un campo ~B.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5Ecuacionesde Maxwell

El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7),(2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recuer-dese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formula-cion muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento delos campos electricos y magneticos en el espacio libre donde ε = ε0, µ = µ0 yambas ρ y ~J son cero. En este caso:∮

C

~E · ~dI = −x

A

∂ ~B

∂t· ~dS, (2.14)

∮C

~B · ~dI = µ0ε0x

A

∂ ~E

∂t· ~dS, (2.15)

{

A

~B · ~dS = 0, (2.16)

{

A

~E · ~dS = 0. (2.17)

Observese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos electricos ymagneticos aparecen en las ecuaciones con una simetrıa notable. Sin embargo



si ~E afecta a ~B, ~B a su vez afectara a ~E. La simetrıa matematica supone unagran simetrıa fısica.

Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que serabastante mas util para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromag-netico. Esta transicion se puede lograr facilmente haciendo uso de dos teoremasdel calculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss:

{

A

~F · dS =y

V

∇ · ~FdV

y el teorema de Stokes: ∮C

~F · ~dI =x

A

∇× ~F · ~dS

Aquı la cantidad ~F no es un vector fijo, sino una funcion que depende de lasvariables de posicion. Es una regla que asocia a un vector unico, por ejemplo encoordenadas cartesianas, ~F (x, y, z) con cada punto (x, y, z) en el espacio. Lasfunciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como ~E y ~B se conocen comocampos vectoriales.

Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo electrico se tiene:∮~E · ~dI =

x∇× ~E · ~dS

Al comparar esto con la ecuacion (2.5) se deduce que:

x∇× ~E · ~dS = −

x ∂ ~E

∂t· ~dS

Este resultado debe ser cierto para todas las superficies limitadas por la trayec-toria C. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir,si:

∇× ~E = −∂~B

∂t

Una aplicacion similar a ~B del teorema de Stokes, usando la ecuacion (2.13) dacomo resultado:

∇× ~E = µ

(~J + ε

∂ ~E

∂t

).

El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo elec-trico da: {

~E · ~dS =y

∇ · ~EdV.

Si se hace uso de la ecuacion (2.7) esto queda:y

V

∇ · ~EdV =1ε

y

V

ρdV,

y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerradoarbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquierpunto (x, y, z, t) en el espacio-tiempo.

∇ · ~E = ρ/ε


2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo By combinado con la ecuacion (2.9) da:

∇ · ~B = 0

Las ecuaciones correspondientes para el espacio libre, en coordenadas carte-sianas, son como sigue:

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z= −∂Bx

∂t,

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x= −∂By

∂t,

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= −∂Bz

∂t,

(2.18)

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z= µ0ε0

∂Bx

∂t,

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x= µ0ε0

∂By

∂t,

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= µ0ε0

∂Bz

∂t,

(2.19)

∂ ~Bx

∂x+∂ ~By

∂y+∂ ~Bz

∂z= 0, (2.20)

∂ ~Ex

∂x+∂ ~Ey

∂y+∂ ~Ez

∂z= 0. (2.21)

La transicion se ha hecho entonces de la formulacion de las ecuaciones de Max-well en terminos de integrales sobre regiones finitas, a una reformulacion enterminos de las derivadas en puntos en el espacio.

Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magnıficopor el cual los campos electricos y magneticos acoplados de modo no separado,y sosteniendose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidadsimple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin eter.

SECCION 2.2

Ondas Electromagneticas

Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cuali-tativo, son facilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general delos campos, la simetrıa de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependenciade ~E y ~B en esas ecuaciones.

Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho deque hay un numero de relaciones que se describen por productos vectoriales, o silo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipoproduce una respuesta afın perpendicularmente dirigida. De interes inmediatoes el hecho de que un campo ~E, variable en el tiempo, genera un campo ~Bque es en todas partes perpendicular a la direccion en la que ~E cambia. En la



misma forma, un campo ~B variable con el tiempo genera un campo ~E que esperpendicular en todas partes a la direccion en la que ~B cambia. Se podrıa, porlo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos ~E y ~B en unaperturbacion electromagnetica.

Ahora, se considerara una carga que de alguna manera se acelera desde elreposo. Cuando la carga esta sin movimiento, tiene asociada a ella un campoelectrico uniforme radial que se extiende hasta el infinito. En el instante en quela carga comienza a moverse, el campo ~E se acelera en la vecindad de la cargay esta alteracion se propaga hacia el espacio con velocidad finita. El campoelectrico variable con el tiempo induce un campo magnetico por medio de laecuacion (2.15) o (2.19). Pero la carga esta acelerandose, ∂ ~E/∂t en sı misma noes constante y ası el campo ~B variable con el tiempo genera un campo ~E, (2.14)o (2.18), y el proceso continua con ~E y ~B acoplados uno a otro en la formade un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que seextiende un poco mas alla, y ası el punto se mueve de un punto al siguiente atraves del espacio.

Se puede trazar una analogıa muy mecanicista, pero muy descriptiva, si seimaginan las lıneas del campo electrico como una densa distribucion radial decuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsio-na para formar un pliegue que viaja alejandose de la fuente. Todos se combinanen cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandiendose.

Los campos ~E y ~B pueden, mas apropiadamente, considerarse como dosaspectos de un solo fenomeno fısico, el campo electromagnetico, cuya fuente esuna carga en movimiento. La perturbacion, una vez que ha sido generada en elcampo electromagnetico, es una onda sin atadura que se mueve mas alla de sufuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad,los campos magneticos y electricos variables en el tiempo se regeneran uno aotro en un ciclo sin fin. Las ondas electromagneticas que llegan a la tierra delrelativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treintamil anos.

No se ha considerado aun la direccion de propagacion de la onda con respectoa los campos que la constituyen. Observese, sin embargo, que el alto gradode simetrıa en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que laperturbacion se propagara en una direccion que es simetrica tanto a ~E comoa ~B. Eso implicarıa que una onda electromagnetica no podrıa ser puramentelongitudinal (ya que ~E y ~B no son paralelos).

Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar endos expresiones vectoriales extremadamente concisas:

∇2 ~E = ε0µ0∂2 ~E

∂t2

y

∇2 ~B = ε0µ0∂2 ~B

∂t2

El Laplaciano ∇2, opera sobre cada componente de ~E y ~B de manera que lasdos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuacionesescalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son:

∂2Ex

∂x2+∂2Ex

∂y2+∂2Ex

∂z2= ε0µ0

∂2Ex

∂t2(2.22)


2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

y

∂2Ey

∂x2+∂2Ey

∂y2+∂2Ey

∂z2= ε0µ0

∂2Ex

∂t2(2.23)

precisamente con la misma forma para Ez, Bx, By y Bz. Ecuaciones de este tipo,que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad fısica, seestudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fenomenode onda. Cada componente del campo electromagnetico (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz)obedece, por lo tanto, a la ecuacion diferencial escalar de onda:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2=

1v2

∂2ψ

∂t2

a condicion que:

v =1

√ε0µ0

. (2.24)

A fin de evaluar v Maxwell hizo uso de los resultados de los experimentos elec-tricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y RudolphKohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a µ0 se le asigno un valorde 4π × 10−17 m kg/C2 (en MKS) uno puede determinar ε0 directamente demedidas simples de capacidad. En cualquier caso:

ε0µ0 ≈ (8,85× 10−12 s2C2/m3kg)(4π × 10−17m kg/C2)

oε0µ0 ≈ 11,12× 10−18 s2/m2.

Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha detodas las ondas electromagneticas serıa:

v =1

√ε0µ0

≈ 3× 108 m/s.

Este valor teorico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente me-dida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de losexperimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rota-toria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que:

Esta velocidad [es decir, su prediccion teorica] esta tan cerca de la luz que pareceque tenemos una fuerte razon para concluir que la luz en sı misma (incluyendocalor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbacion electromag-netica en la forma de ondas propagadas a traves del campo electromagnetico deacuerdo con las leyes electromagneticas.

Este brillante analisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos lostiempos.

Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vacıo por elsımobolo c, cuyo valor por ahora aceptado es:

c = 2,997924562× 108 m/s± 1,1m/s

El caracter transversal de la luz, verificado experimentalmente, se debe ahoraexplicar dentro del contexto de la teorıa electromagnetica. Con ese fin, se consi-derara el caso bastante simple de una onda plana propagandose en la direccion



positiva de x. La intensidad de campo electrico es una solucion de la ecuaciondiferencial

∇2 ~E = ε0µ0∂2 ~E

∂t2

donde ~E es constante sobre cada uno de un conjunto infinito de planos perpen-diculares al eje x. Es, por consiguiente, una funcion solamente de x y t, es decir~E = ~E(x, t). Volviendo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuacion(2.21) (la cual generalmente se lee como la divergencia de ~E es igual a cero).Ya que ~E no es una funcion ni de y ni de z, la ecuacion se reduce a:

∂Ex

∂x= 0 (2.25)

La componente del campo electrico en la direccion de x, es decir, en la direc-cion de propagacion, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesasolamente la onda electromagnetica, y no ningun campo no variable que puederesidir en la misma region del espacio. El campo ~E, asociado con la onda planaes entonces exlusivamente transversal. Sin perdida de generalidad, se trabajaracon ondas linealmente polarizadas u ondas planas, donde la direccion de vibra-cion del vector ~E es fija. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de talforma que el campo electrico sea paralelo al eje y, donde:

~E = Ey(x, t)~j (2.26)

Volviendo a la ecuacion (2.18), se deduce que:

∂Ey

∂x=∂Bz

∂t(2.27)

y que Bx y By son constantes, y por consiguiente sin interes por el momento. Elcampo ~B dependiente del tiempo solamente puede tener una componente en ladireccion de z. Es claro entonces que en el espacio libre, la onda electromagneticaplana es, en efecto, transversal.

No se ha especificado la forma de la perturbacion y solamente se ha dichoque era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales,aplicandose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dichoque las funciones armonicas son de particular interes porque cualquier formade onda se puede expresar en terminos de ondas senoidales usando las tecnicasde Fourier. Por consiguiente, se limitara la discusion a ondas armonicas y seescribira Ey(x, t) como:

Ey(x, t) = E0y cos[ω(t− x/c) + ε], (2.28)

siendo c la rapidez de propagacion. La densidad de flujo magnetico asociado sepuede encontrar por integracion directa de la ecuacion (2.27), o sea:

Bz = −∫∂Ey

∂xdt.


2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

Usando la ecuacion (2.28) se obtiene:

Bz = −E0yω

c

∫sin[ω(t− x/c) + ε]dt

o

Bz =1cE0y cos[ω(t− x/c) + ε] (2.29)

Se ha omitido la constante de integracion, que representa un campo indepen-diente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuacion (2.28), es evidenteque:

Ey = cBz. (2.30)

Ya que Ey y Bz difieren solamente por un escalar, tienen ası la misma dependen-cia del tiempo, ~E y ~B estan en fase en todos los puntos en el espacio. Ademas,~E = Ey(x, t)~j y ~BBz(x, t)~k son mutuamente perpendiculares y su productovectorial ~E × ~B, apunta en la direccion de propagacion ~i.

Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las unicas so-luciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuacion diferencial de onda permitemuchas soluciones, entre las cuales estan las ondas esfericas y cilındricas.

SECCION 2.3

Ondas Electromagneticas en Medios NoConductores

La respuesta de los materiales dielectricos o no conductores a los camposelectromagneticos es de especial interes en la optica. Se manejaran dielectricostransparentes en la forma de lentes, prismas, laminas, pelıculas, etc. Sin men-cionar el oceano de aire que las rodea.

El efecto neto de introducir un dielectrico isotropico homogeneo en una re-gion del espacio libre es cambiar ε0 a ε y µ0 a µ en las ecuaciones de Maxwell.La velocidad de fase en el medio se hace ahora:

v =1√εµ. (2.31)

La razon entre las velocidades de una onda electromagnetica en el vacıo y en lamateria se conoce como ındice de refraccion absoluto n y esta dado por:

n =c

v=√

εµ

ε0µ0. (2.32)

En terminos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio,n queda:

n =√KeKm. (2.33)



La gran mayorıa de las substancias, con la excepcion de los materiales ferromag-neticos, son solo muy debilmente magneticas; ninguna es realmente no magneti-ca. Aun ası, Km generalmente no se desvıa de uno en mas de unas pocas partesen 104 (por ejemplo para el diamanteKm = 1−2,2×10−5). PoniendoKm = 1 enla formula para n resulta una expresion conocida como la relacion de Maxwell,o sea:

n =√Ke, (2.34)

aquı se supone que Ke es la constante dielectrica estatica. Como se indica

Gases a 0o C y 1 atm

Substancia√Ke n

Aire 1.000294 1.000293Helio 1.000034 1.000036Hidrogeno 1.000131 1.000132Dioxido de carbono 1.00049 1.00045

Lıquidos a 20o C

Substancia√Ke n

Benceno 1.51 1.501Agua 8.96 1.333Alcohol etılico (etanol 5.08 1.361Tetracloruro de carbono 4.63 1.461Bisulfuro de carbono 5.04 1.628

Solidos a temperatura ambiente

Substancia√Ke n

Diamante 4.06 2.419Ambar 1.6 1.55Sılice fundida 1.94 1.458Cloruro de sodio 2.37 1.50

Cuadro 2.1: Relacion de Maxwell.Los valores de Ke corresponden a las frecuencias mas bajas posibles, en algunos casos tan

bajas como 60 Hz, mientras que n esta medida a alrededor de 0,5× 1015Hz. Se uso luz D del

sodio (λ = 589,29 nm).

en la tabla 2.1, esta relacion parece ser efectiva solamente para algunos gasessimples. La dificultad aparece porque Ke, y por consiguiente n, son en realidaddependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (ocolor) de la luz es un efecto muy conocido llamado dispersion. En efecto, Sir IsaacNewton uso prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivoshace mas de 300 anos y el fenomeno era bien conocido aunque no se entendieraentonces.

Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto:(1) ¿Cual es la base fısica para la dependencia de n con la frecuencia? y (2)¿Cual es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se haceefectivamente diferente de c? Las respuestas para ambas preguntas se puedenencontrar examinando la interaccion de una onda electromagnetica incidentecon el arreglo de atomos que constituyen un material dielectrico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1Dispersion

Cuando un dielectrico se somete a un campo electrico aplicado, la distribu-cion interna de carga se distorsiona bajo su influencia. Esto corrresponde a lageneracion de momentos electricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyenal campo interno total. De una manera mas clara, el campo electrico separa las



cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo)y estas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momentodipolar resultante por unidad de volumen se denomina la polarizacion electrica~P . Para la mayor parte de los materiales ~P y ~E son proporcionales y se puedenrelacionar satisfactoriamente por:

(ε− ε0) ~E = ~P . (2.35)

La redistribucion de carga y la consecuente polarizacion pueden ocurrir pormedio de los siguientes mecanismos. Hay moleculas que tienen un momento di-polar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electronesde valencia. Estas se conocen como moleculas polares, de las cuales la moleculano lineal de agua es un ejemplo bastante tıpico. Cada enlace hidrogeno-oxıgenoes covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. Laagitacion termica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con laintroduccion de un campo electrico, los dipolos se alinean a sı mismos y el die-lectrico toma una polarizacion orientacional. En el caso de moleculas y atomosno polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplazando-la relativamente al nucleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar.Ademas de esta polarizacion electronica, hay otro proceso que es especıficamenteaplicable a moleculas, como por ejemplo el cristal ionico NaCL. En la presenciade un campo electrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamientouno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultan-do en lo que se llama polarizacion ionica o atomica.

Si el dielectrico se somete a una onda electromagnetica armonica incidente,la estructura de las cargas electricas internas experimentara fuerzas y/o tor-ques variables con el tiempo. Estas seran proporcionales a la componente delcampo electrico de la onda. 1 Para dielectricos polares las moleculas en rea-lidad sufren rotaciones rapidas, alineandose ellas mismas con el campo ~E(t).Pero estas moleculas son relativamente grandes y tienen momentos de inerciaapreciables. A altas frecuencias impulsoras ω, las moleculas polares seran inca-paces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a ~P disminuirany Ke caera marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constantedesde aproximadamente 80, hasta cerca de 1010 Hz, despues de lo cual cae muyrapidamente.

En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendoel campo que contribuye a Ke(ω) aun a frecuencias opticas (de alrededor de5 × 1014 Hz). Entonces la dependencia de n en ω esta gobernada por el juegointerno de los varios mecanismos de polarizacion que contribuyen a la frecuenciaparticular.

Es posible deducir una expresion analıtica para n(ω) en funcion de lo quepasa dentro del medio a nivel atomico. Aun cuando esto es en realidad el dominiode la mecanica cuantica, el tratamiento clasico lleva a resultados muy similaresy al hacerlo ası se provee de un modelo conceptual sumamente util. En efecto esemodelo sera usado una y otra vez mientras se examine la reflexion, refraccion,difraccion y muchos otros fenomenos. Imagınese que los electrones exteriores ode valencia estan ligados a sus atomos o moleculas respectivas por una fuerza

1Las fuerzas que surgen de la componente magnetica del campo tienen la forma ~FM =q~v× ~B en comparacion con ~FE = q ~E para la componente electrica; pero v � c y ası se deducede la ecuacion (2.30) que ~FM es generalmente despreciable.



elastica restauradora (−meω20x) que es proporcional al desplazamiento x de los

electrones del punto de equilibrio. El atomo entonces se parece a un osciladorforzado clasico que esta siendo impulsado por el campo alterno ~E(t) el cual sesupone que se aplica a lo largo de la direccion x. La fuerza (FE) ejercida sobreun electron de carga qe por el campo E(t) de una onda armonica de frecuenciaω es de la forma:

FE = qeE(t) = qeE0 cosωt.

Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuacion del movimiento, esdecir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleracion:

qeE0 cosωt−meω20x = me

d2x

dt2

La constante ω0 es la frecuencia natural del oscilador y es igual a la raız cuadradade la razon entre la constante elastica y la masa. Es la frecuencia oscilatoriadel sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresion x tendra que ser unafuncion cuya segunda derivada no sea muy diferente de x misma. Ademas sepuede anticipar que el electron oscilara con la misma frecuencia que E(t) y asıse pude “conjeturar” la solucion:

x(t) = x0 cosωt

y sustituirla en la ecuacion para evaluar la amplitud de x0. En esta forma seencuentra que:

x(t) =qe/me

(ω20 − ω2)

E0 cosωt

o

x(t) =qe/me

(ω20 − ω2)

E(t).

Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electron oscilante vibrara consu frecuencia de resonancia o natural ω0, E(t) y x(t) tienen el mismo signo, loque significa que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que esta enfase con ella. Sin embargo, cuando ω > ω0, el desplazamiento x(t) esta en ladireccion opuesta a la de la fuerza instantanea qeE(t) y por consiguiente 180o

fuera de fase con ella. Hay que recordar que se esta hablando acerca de dipolososcilantes donde para ω0 > ω el movimiento relativo de la carga positiva esuna vibracion en la direccion del campo. Por encima de la resonancia la cargapositiva esta a 180o fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo estaretrasado π rad.

El momento dipolar es igual a la carga qe multiplicada por su desplazamientoy si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarizacionelectrica, o densidad de momentos dipolares, es:

P = qexN

Por consiguiente:

P =q2eNE/me

(ω20 − ω2)

y de la ecuacion (2.35)

ε = ε0 +P (t)E(t)

= ε0 +q2eNE/me

(ω20 − ω2)

.



Usando el hecho de que n2 = Ke = ε/ε0 se puede llegar a una expresion para ncomo funcion de ω que se conoce como ecuacion de dispersion:

n2(ω) = 1 +Nq2eε0me

(1

ω20 − ω2

).

Hasta ahora se ha supuesto la existencia de solo una frecuencia natural ω0. Paraexplicar la observacion de un comportamiento mas complicado, se generalizaranlas cosas suponiendo que hay N moleculas por unidad de volumen cada una confj osciladores que tienen frecuencias naturales ω0j donde j = 1, 2, 3... En estecaso:


∑j

(fj

ω20j − ω2

)(2.36)

Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cuantico,con la excepcion de que algunos de los terminos deber ser reinterpretados. Enefecto, las cantidades ω0j serıan entonces las frecuencias caracterısticas a lascuales un atomo puede abosorber o emitir energıa radiante. Los terminos fj

que satisfacen el requisito de que∑

j fj = 1, son los factores de peso conocidoscomo la intensidad de los osciladores. Ellos reflejan el enfasis que se debe dar acada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia deuna transicion atomica dada, las fj se conocen tambien como probabilidades detransicion.

Una reinterpretacion similar de los terminos fj se requiere aun clasicamenteya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que launidad. Esto es obviamente contrario a la definicion de fj que llevo a la ecuacion(2.36). Se supone entonces que una molecula tiene muchos modos de oscilacionpero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien definidas.

Observese que cuando ω es igual a cualquiera de las frecuencias caracterısti-cas, n es discontinua, contrariamente a la observacion real. Esto es simplementeel resultado de haber despreciado el termino de amortiguamiento que deberıade haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amorti-guamiento, en parte, es atribuible a la perdida de energıa cuando los oscilado-res forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energıaelectromagnetica. En solidos, lıquidos y gases a alta presion (≈ 103 atm), lasdistancias interatomicas son aproximadamente 10 veces menores que las de ungas a TPN. 2 Atomos y moleculas en esta proximidad relativamente cercanaexperimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza “friccional”. Elefecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipacion de su ener-gıa dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Esteultimo proceso se llama absorcion.

Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la veloci-dad (de la forma γdx/dt) en la ecuacion de movimiento, la ecuacion de dispersion(2.36) hubiese quedado:


∑j

fj

ω20j − ω2 + iγjω

. (2.37)

2TPN: Temperatura y presion normal = STP Standard Temperature and Pressure.



Mientras que esta expresion esta bien para medios enrarecidos tales como gases,hay aun otra complicacion con la que se debe encontrar si se ha de aplicar asubstancias densas. Cada atomo interacciona con el campo electrico local en elque esta sumergido. A diferencia de los atomos aislados considerados antes, losque estan en un material denso experimentan tambien el campo inducido porsus companeros. Consecuentemente un atomo “ve” ademas del campo aplicadoE(t) otro campo, a saber P (t)/3ε0. Sin entrar en detalles aquı se puede demostarque:

n2 − 1n2 + 2

=Nq2e

3ε0me

∑j

fj

ω20j − ω2 + iγjω

. (2.38)

Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electronicos exclusivamente,pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitiosatomicos fijos. En ese casome serıa reemplazado por las masas ionicas considera-blemente mayores. Entonces, mientras la polarizacion electronica es importantesobre el espectro optico completo, las contribuciones de la polarizacion ionicaafectan n significativamente solo en regiones de resonancia (ω0j = ω).

Por el momento se limita la discusion, en su mayor parte, a situaciones dondela absorcion es despreciable (es decir, ω2

0j − ω2 � γjω) y n es real, tal que:

n2 − 1n2 + 2

=Nq2e

3ε0me

∑j

fj

ω20j − ω2

. (2.39)

Los gases transparentes, lıquidos y solidos sin color tienen sus frecuenciascaracterısticas fuera de la region visible del espectro (lo cual es la razon por laque ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidriostiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta,donde se hacen opacos. En los casos en los cuales ω2

0j � ω2 por comparacion ω2

puede ser despreciada en la ecuacion (2.39) dando un ındice de refraccion esen-cialmente constante sobre esa region. Por ejemplo, las frecuencias caracterısticasimportantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, deahı, ω2

0j � ω2. Observese que cuando ω aumenta hacia ω0j , (ω20j−ω2) disminuye

y n aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llama dispersion normal.En la region ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, lososciladores comenzaran a resonar. Sus amplitudes aumentaran marcadamentey esto sera acompanado por amortiguamiento y una fuerte absorcion de ener-gıa de la onda incidente. Cuando ω0j = ω en la ecuacion (2.38) el termino deamortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a ω0j

son llamadas bandas de absorcion. Ahı dn/dω es negativa y se dice que el proce-so es dispersion anomala (es decir, anormal). Si pasa luz blanca a traves de unprisma de vidrio, el azul que la constituye dendrıa un ındice mayor que el rojoy por consiguiente sera desviado en un angulo mayor. En contraste, si se usa unprisma celda que contiene una solucion colorante con una banda de absorcion enel visible, el espectro sera marcadamente alterado. Todas las substancias poseenbandas de absorcion en alguna region del espectro electromagnetico de frecuen-cia de manera que el termino dispersion anomala, habiendo sido acarreado desdefinales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto.



Como se ha visto, los atomos dentro de una molecula tambien pueden vibraralrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los nucleos son masivos y ası lasfrecuencias oscilatorias naturales seran bajas, en el infrarrojo. Moleculas comoH2O y CO2 tendran resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta.Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricacion,estos osciladores moleculares estarıan a disposicion y existirıa una banda de ab-sorcion infrarroja. La presencia de oxidos tambien resultara en una absorcioninfrarroja. A las frecuencias aun mas bajas de las ondas de radio, el vidrio serade nuevo transparente. En comparacion, una pieza de vidrio coloreado eviden-temente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular defrecuencia transmitiendo el color complementario.

Como punto final, observese que se la frecuencia impulsora es mayor quecualquiera de los terminos ω0j , entonces n2 < 1 y n < 1. Tal situacion puedeocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resul-tado intrigante ya que lleva a v > c en aparente contradiccion con la relatividadespecial.

Haciendo un resumen parcial entonces, en la region visible del espectro, lapolarizacion electronica es el mecanismo operativo que determina n(ω). Clasi-camente se imagina a los osciladores electronicos vibrando a la frecuencia de laonda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente deuna frecuencia caracterıstica o natural, las oscilaciones son pequenas y hay pocaabsorcion. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentany el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energıa elec-tromagnetica removida de la onda y convertida en energıa mecanica se disipaentonces termicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda deabsorcion. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias,es muy opaco a la radiacion incidente en sus frecuencias caracterısticas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2Propagacionde la Luz a

traves deun Medio

Dielectrico

El proceso mediante el cual la luz se propaga a traves de un medio con unavelocidad diferente de c es bastante complicado y esta seccion esta dedicadaa hacerlo al menos fısicamente razonable, dentro del contexto del modelo deosciladores simples.

Considerese una onda electromagnetica incidente o primaria (en el vacıo) in-cidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizara el medio y llevaraa los osciladores electronicos a vibracion forzada. Ellas a su vez, reirradiaran oesparciran energıa en la forma de pequenas ondas electromagneticas de la mismafrecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos atomos o moleculasestan dispuestos con algun grado de regularidad, estas ondas tenderan a inter-ferirse mutuamente. Esto es, se superpondran en ciertas regiones donde ellas sereforzaran o reduciran unas a otras en grados variables. Como ejemplo examı-nese la configuracion muy simplificada de una onda refractada en un arregloordenado de atomos. Ahı una onda plana incidente en dicho arreglo se esparceen un patron complicado de pequenas ondas. Estas a su vez se superponen pa-ra formar frentes de ondas planas a los que se denomina onda secundaria. Porrazones empıricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residualy la onda secundaria se combinaran para dar la unica perturbacion observadadentro del medio, es decir la onda refractada.

Tanto la onda electromagnetica primaria como la secundaria se propagana traves de los espacios interatomicos con la velocidad c. Y aun ası el mediociertamente puede poseer un ındice de refraccion diferente de uno. Puede suceder



que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o aun mayorque c. La clave de esta aparente contradiccion reside en la relacion de fase entrelas ondas secundaria y primaria.

El modelo clasico predice que los osciladores electronicos seran capaces de vi-brar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbacionprimaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia delcampo electromagnetico aumenta, los osciladores se retrasaran, su fase estararetrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un analisis detallado lle-va al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegara a 90o, aumentandodespues a casi 180o, o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores alvalor caracterıstico particular.

Ademas de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuandolas ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante esta retrasadaella misma con respecto a los osciladores en 90o.

El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuenciasinferiores a la de la resonancia, la onda secundaria esta retrasada con respecto ala primaria en una cantidad entre 90o y 180o aproximadamente, mientras que afrecuencias superiores a la de la resonancia el retraso esta entre 180o y 270o. Peroun retraso de fase de δ >180o es equivalente a un retraso de 360o−δ [ejemplo,cos(θ − 270o) = cos(θ + 90o)].

Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atras de laprimaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultanteo refractada acordemente estara adelante o detras de la onda incidente (espaciolibre) en una cierta cantidad ε. El proceso es progresivo y a medida que la luzatraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada.

Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambioen la velocidad de fase. En el espacio libre la perturbacion en algun punto P sepuede escribir como:

Ep(t) = E0 cosωt

Si P esta rodeada por un dielectrico, habra un desplazamiento acumulativo dela fase εP el cual fue formado mientras la onda se movıa a traves del medio haciaP . El numero de crestas de onda que llegan al dielectrico por segundo debe serel mismo que el numero por segundo que se propaga en el. Esto es, la frecuenciadebe ser la misma en el vacıo que en el dielectrico, aun cuando la longitud deonda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez mas, pero esta vez en el medio,la perturbacion en P es:

EP (t) = E0 cos(ωt− εP )

Un observador en P tendrıa que esperar un tiempo mayor para que una crestadada llegue cuando el esta en el medio que lo hubiera tenido que esperar enel vacıo. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la mismafrecuencia, una en el vacıo y una en un medio material, la onda en el vacıopasara P un tiempo εP /ω antes que la otra onda. Entonces es claro que unretraso de fase de εP corresponde a una reduccion en la rapidez, v < c y n > 1.Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez, v > cy n < 1. El proceso de esparcimiento es continuo y ası los desplazamientosacumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Esdecir, ε es una funcion de la longitud del dielectrico atravesado; como debe sersi v es constante.


2.4. ENERGIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Una solucion rigurosa del problema de la propagacion se conoce como elteorema de extincion de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matematico, queinvolucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarloaquı, los resultados son ciertamente de interes. Se encuentra que los osciladoreselectronicos generan una onda electromagnetica que tiene esencialmente dosterminos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio.El otro, que es la unica perturbacion que permanece, se propaga a traves deldielectrico con una velocidad v = c/n como la onda refractada.

SECCION 2.4

Energıa de las Ondas Electromagneticas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1Irradiancia

Una de las propiedades mas significativas de la onda electromagnetica esque transporta energıa. La luz de la estrella mas cercana viaja a 25 millones demillones de millas para llegar a la Tierra y aun ası lleva suficiente energıa parahacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagneticoexiste dentro de alguna region del espacio y es por consiguiente muy naturalconsiderar la energıa radiante por unidad de volumen, es decir la densidad deenergıa u. Para un campo electrico solo, se puede calcular la densidad de energıa(por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener:

uE =ε02E2. (2.40)

Similarmente, la densidad de energıa del campo B solo (como se podrıa calculardentro de un toroide) es:

uB =1

2µ0B2. (2.41)

Recuerdese que se dedujo la relacion E = cB especıficamente para una ondaplana (2.30), no obstante sera muy general en su simplicidad. Se deduce entoncesque:

uE = uB (2.42)

El flujo de energıa a traves del espacio en la forma de una onda electromagneticaes compartido por los campos constitutivos, electricos y magneticos. Ya que:

u = uE + uB ,

claramente:

u = ε0E2 (2.43)

o equivalentemente:

u =1µ0B2. (2.44)



Para representar el flujo de energıa electromagnetica, se simbolizara con S eltransporte de energıa por unidad de tiempo (la potencia) a traves de un areaunitaria. En el sistema MKS tendrıa entonces las unidades de W/m2. Sea unaonda electromagnetica que viaja con una velocidad c a traves de un area A.Durante un intervalo de tiempo ∆tmuy pequeno, solamente la energıa contenidaen el volumen cilındrico, u(c∆tA), cruzara A. Entonces:

S =uc∆tA∆tA

= uc (2.45)

o, usando la ecuacion (2.43):

S =1µ0EB. (2.46)

Ahora se hace la suposicion razonable (para medios isotropicos) de que la energıafluye en la direccion de la propagacion de la onda. El vector ~S correspondientees entonces:

~S =1µ0

~E × ~B (2.47)

o

~S = c2ε0 ~E × ~B. (2.48)

La magnitud de ~S es la potencia por unidad de area que cruza una superficiecuya normal es paralela a ~S. Se le conoce como el vector de Poynting, en honorde John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones alcaso de una onda plana armonica, polarizada linealmente, viajando a traves delespacio libre en la direccion de ~k:

~E = ~E0 cos(~k · ~r − ωt

)(2.49)

~B = ~B0 cos(~k · ~r − ωt

). (2.50)

Usando la ecuacion (2.4)

~S = c2ε0 ~E0 × ~B0 cos2(~k · ~r − ωt

).

Debe ser evidente aquı que ~E × ~B oscila entre maximos y mınimos. A frecuen-cias opticas, ~S es una funcion variable del tiempo extremadamente rapida yası su valor instantaneo es una cantidad impractica de medir. Esto mas biensugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energıa radian-te durante un intervalo finito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda,una pelıcula fotografica o la retina del ojo humano. El valor promediado en eltiempo del vector de Poynting, simbolizado por 〈S〉, es una medida de la can-tidad muy significativa conocida como la irradiancia, I. En este caso ya que⟨cos2

(~k · ~r − ωt

)⟩= 1

2 ,

〈S〉 =c2ε02

∣∣∣ ~E0 × ~B∣∣∣ (2.51)


2.4. ENERGIA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

o

I ≡ 〈S〉 =cε02E2

0 . (2.52)

La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud delcampo electrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa sonsimplemente:

I =c

µ0

⟨B2⟩

(2.53)

y

I = ε0c⟨E2⟩. (2.54)

Dentro de un dielectrico isotropico, homogeneo y lineal, la expresion para lairradiancia queda:

I = εv⟨E2⟩. (2.55)

Ya que, como se ha visto, ~E es considerablemente mas afectiva al ejercer fuer-zas sobre las cargas ~B, ~E sera referido como el campo optico y se usara casiexclusivamente la ecuacion (2.54).

La rapidez de flujo de la energıa radiante es la potencia o flujo radiante,generalmente expresado en vatios. Si se divide el flujo radiante que incide osale de una superficie, por el area de la superficie, se tiene la densidad de flujoradiante (W/m2). En el primer caso, se habla de la irradiancia, y en el ultimode la existencia; y en cualquier caso de la densidad de flujo.

Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven como contadores defotones. Cada cuanto del campo electromagnetico, que tiene una frecuencia ν,representa una energıa hν (constante de Planck, h = 6,625 × 10−34 J s). Si setiene un haz monocromatico de frecuencia ν, la cantidad I/hν es el numeropromedio de fotones que cruzan un area unitaria (normal al haz) por unidadde tiempo, es decir la densidad de flujo de foton. Si tal haz incidiera sobre uncontador con area A, entonces AI/hν serıa el flujo de fotones incidentes, esdecir, el numero promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo.

Se vio antes que la solucion de onda esferica de la ecuacion diferencial deonda tiene una amplitud que varıa inversamente con r. Se examinara ahora lomismo dentro del contexto de la conversacion de energıa. Considerando unafuente puntual isotropica en el espacio libre, emitiendo energıa igualmente entodas direcciones, es decir emitiendo ondas esfericas. Se rodea la fuente condos superficies esfericas imaginarias de radios r1 y r2. Sean E0(r1) y E0(r2) lasamplitudes de las ondas sobre la primera y segunda superficies, respectivamente.Si se ha de conservar la energıa, la cantidad total de energıa que pasa a travesde cada superficie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes osumideros presentes. Multiplicando I por el area de la superficie y tomando laraız cuadrada, se obtiene:

r1E0(r1) = r2E0(r2).

Puesto que r1 y r2 son arbitrarias, se deduce que:

rE0(r) = constante



y la amplitud debe caer inversamente con r. La irradiancia de una fuente puntuales proporcional a 1/r2. Esta es la bien conocida ley del inverso del cuadrado,la cual se verifica facilmente usando una fuente puntual y un exposımetro fo-tografico. Observese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmentealejandose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.


CAPITULO 3

TratamientoElectromganetico de laPropagacion de la Luz

Indice General

3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1. Deduccion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . 50

3.1.2. Interpretacion de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . 53

47

CAPITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION DELA LUZ

Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reflexion y refraccion usandotres puntos de vista diferentes: el principio de Huygens, el teorema de Malus yDupin y el principio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vistavalioso y distinto en sı mismo. Otro punto de vista aun mas poderoso se obtienede la teorıa electromagnetica de la luz. Al contrario de las tecnicas anterioresque no dicen nada sobre las densidades de flujo radiante, incidente, reflejado ytransmitido (es decir Ii, Ir, It respectivamente), la teorıa electromagnetica trataestas dentro del marco de una descripcion bastante mas completa.

El cuerpo de informacion que forma el tema de la optica se ha acumulado alo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universofısico se hace mas extenso, las descripciones teoricas concominantes deben seraun mas completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Yası, en lugar de usar la formidable maquinaria matematica de la teorıa cuanticade la luz, muy frecuentemente se aprovechara los puntos de vista mas simplesde tiempos mas simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.).Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripcion mas extensa de la refle-xion y la refraccion, ciertamente no se pondra de lado esos metodos anteriores.En efecto, a traves de este estudio se usara la tecnica mas simple que se puedadar resultados suficientemente precisos para los propositos particulares.

SECCION 3.1

Ondas en una Interfase

Supongase que la onda de luz monocromatica incidente es plana y que portanto tiene la forma:

~Ei = ~E0iei(~ki·~r−ωit) (3.1)

o mas simplemente:

~Ei = ~E0i cos(~ki · ~r − ωit

)(3.2)

Suponiendo que ~E0i es constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmentepolarizada o polarizada en un plano. Se vera que cualquier forma de luz se puederepresentar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma queesto realmente no representa una restriccion. Es preciso notar que ası comoel origen del tiempo, t = 0, es arbitrario, ası tambien lo es el origen O en elespacio, donde ~r = 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones,frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondasreflejadas y transmitida como:

~Er = ~E0r cos(~kr · ωrtεr

)(3.3)

y

~Et = ~E0t cos(~kt · ωttεt

)(3.4)


3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

Aquı εr y εt son constantes de fase relativas a ~Ei, que se introducen debido aque la posicion del origen no es unica.

Las leyes de la teorıa electromagnetica llevan a ciertos requisitos que debensatisfacer los campos y se referira a ellos como las condiciones de frontera. Es-pecıficamente, uno de estos requisitos es que la componente de la intensidad delcampo electrico ~E, que es tangente a la interfase, debe ser contınua a traves deella (lo mismo es cierto para ~H). En otras palabras, la componente tangencialtotal de ~E en un lado de la superficie debe ser igual a la del otro lado. Entoncesya que ~un es el vector unitario normal a la interfase:

~un × ~Ei + ~un × ~Er = ~un × ~Et (3.5)

o

~un × ~E0i cos(~ki · ~r − ωit

)+ ~un × ~E0r cos

(~kr · ~r − ωrt+ εr

)= ~un × ~E0t cos

(~kt · ~r − ωtt+ εt

) (3.6)

Esta relacion se debe mantener en cualquier instante de tiempo y en todo puntode la interfase (y = b). Consecuentemente, ~Ei, ~Er y ~Et deben tener precisamentela misma dependencia funcional de las variables t y r, lo cual quiere decir que:(

~ki · ~r − ωit)

y=b=(~kr · ~r − ωrt+ εr

)y=b

=(~kt · ~r − ωtt+ εt

)y=b

.(3.7)

Con esto, los cosenos en la ecuacion (3.6) se anularıan dejando una expresionindependiente de t y r, como en efecto debe ser. Como esto debe ser cierto paratodos los valores del tiempo, los coeficientes de t deben ser iguales, obteniendose:

ωi = ωr = ωt. (3.8)

Hay que recordar que los electrones dentro del medio estan sujetos a vibracionesforzadas (lineales) a la frecuencia de la onda incidente. Claramente, cualquierluz que sea esparcida tiene la misma frecuencia. Ademas.(

~ki · ~r)

y=b=(~kr · ~r + εr

)y=b

=(~kt · ~r + εt

)y=b

,(3.9)

donde ~r termina en la interfase. Los valores de εr t εt corresponden a unaposicion dada de O y entonces ellos permiten que la relacion sea valida indepen-dientemente de esa ubicacion. Por ejemplo, el origen se podrıa escoger de modoque ~r fuese perpendicular a ~ki pero no a ~kr o ~kt. De los primeros dos terminosse obtiene: [(

~ki − ~kr

)· ~r]

y=b= εr. (3.10)



Recordando la ecuacion (1.42), esta expresion simplemente dice que el puntoextremo de ~r barre un plano (que es por supuesto la interfase) perpendicularal vector

(~ki − ~kr

). Diciendolo de manera ligeramente diferente,

(~ki − ~kr

)es

paralelo a ~un. Observese, sin embargo, que ya que las ondas reflejada e inci-dente estan en el mismo medio ki = kr. Del hecho de que

(~ki − ~kr

)no tiene

componente en el plano de la interfase, es decir ~un×(~ki − ~kr

)= 0, se concluye

que:ki sin θi = kr sin θr

y por consiguiente se tiene la ley de la reflexion, es decir:

θi = θr

Ademas, ya que(~ki − ~kr

)es paralelo a ~un, los tres vectores ~ki, ~kr y ~un estan

en el mismo plano, que es el plano de incidencia. De nuevo, de la ecuacion (3.9)se obtiene: [(

~ki − ~kt

)· ~r]

y=b= εt (3.11)

y por consiguiente(~ki − ~kt

)es tambien normal a la interfase. Entonces, ~ki, ~kr,

~kt y ~un son todos coplanares. Como antes, las componentes tangenciales de ~ki

y ~kt deben ser iguales y consecuentemente:

ki sin θi = kt sin θt. (3.12)

pero como ωi = ωt, se puede multiplicar ambos lados por c/ωi para obener:

ni sin θi = nt sin θt

lo que, por supuesto, es la ley de Snell. Finalmente, se observa que si se hubieseescogido el origen O en la interfase es evidente por las ecuaciones (3.10) y (3.11)que εr y εt hubieran sido ambas nulas. Tal disposicion, aunque no tan instructiva,es ciertamente mas simple y consecuentemente se usara de aquı en adelante.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1Deduccion

de lasEcuacionesde Fresnel

Se acaba de encontrar la relacion que existe entre las fases de ~Ei(r, t), ~Er(r, t)y ~Et(r, t) en la frontera. Hay aun una interdependencia compartida por lasamplitudes ~E0i, ~E0r y ~E0t que ahora se pueden evaluar. Con ese fin se suponeque una onda monocromatica plana incide en una superficie plana que separa dosmedios isotropicos. Cualquiera que sea la polarizacion de la onda, se resolveransus campos ~E y ~B en componentes paralelas y perpendiculares al plano deincidencia y se trataran estas componentes separadamente.

Caso 1. ~E perpendicular al plano de incidencia. Supongase ahora que ~E esperpendicular al plano de incidencia y que ~B es paralelo a el. Como E = vB setiene que:

~k × ~E = v ~B (3.13)

ypor supuesto

~k · ~E = 0. (3.14)



es decir ~E, ~B y el vector de propagacion ~k forman un sistema derecho. Haciendouso de nuevo de la continuidad de las componentes tangenciales del campoelectrico ~E, se tiene que en la frontera en cualquier tiempo y en cualquier punto:

~E0i + ~E0r = ~E0t (3.15)

donde los cosenos se anulan. Se debe mencionar entre parentesis que los vectoresde campo mostrados realmente deberıan ser visualizados en y = 0 (es decir, enla superficie) de donde han sido desplazados a fin de hacer las cosas mas claras.Observese que mientras que ~Er y ~Et deben ser normales al plano de incidenciapor simetrıa, se esta adivinando que ellos deben apuntar fuera de la interfasecuando ~Ei lo hace. Las direcciones de los campos ~B se derivan entonces de laecuacion (3.13).

Se necesita invocar otra de las condiciones en la frontera a fin de obteneruna ecuacion mas. La presencia de substancias materiales que son polarizadaselectricamente por la onda tiene un efecto definido en la configuracion del cam-po. Entonces, mientras que la componente tangencial de ~E es continua, al pasarla frontera, su componente normal no lo es. En su lugar la componente normaldel producto ε ~E es la misma en cualquier lado de la interfase. Similarmente, lacomponente normal de ~B es continua como lo es la componente tangencial deµ−1 ~B. Aparece aquı el efecto de los dos medios a traves de sus permeabilidadesµi y µt. Esta ultima condicion en la frontera sera la mas facil de usar, particu-larmente aplicada a la reflexion en la superficie de un conductor. Entonces lacontinuidad de la componente tangencial de ~B

µ requiere que:

−~Bi

µicos θi +

~Br

µrcos θr = −

~Bt

µtcos θt, (3.16)

donde los lados izquierdo y derecho son las magnitudes totales de ~Bµ paralelas a

la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La direccionpositiva es aquella en la que aumenta x de tal forma que las componentes de ~Bi

y ~Bt aparecen con signos menos. De la ecuacion (3.13) se tiene:

Bi =Ei

vi(3.17)

Br =Er

vr(3.18)

Bt =Et

vt(3.19)

Entonces, ya que vi = vr y θi = θr, la ecuacion (3.16) se puede escribir como:

1µivi

(Ei − Er) cos θi =1µivi

Et cos θt. (3.20)

Haciendo uso de las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) y recordando que los cosenosque aparecen ahı son iguales a uno en y = 0, se obtiene:

ni

µi(E0i − E0r) cos θi =

nt

µtEt cos θt. (3.21)



Combinado esto con la ecuacion (3.15) se obtiene:(E0r

E0i

)⊥

= −ni

µicos θi − nt

µtcos θt

ni

µicos θi + nt

µtcos θt

(3.22)

y (E0t

E0i

)⊥

= −2ni

µicos θi

ni

µicos θi + nt

µtcos θt

(3.23)

El subındice ⊥ sirve como un recordatorio de que se esta tratando el caso en elque ~E es perpendicular al plano de incidencia. Estas dos expresiones, que sonafirmaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio homo-geneo, isotropico y lineal, son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel. Muy amenudo se trata con dielectricos para los cuales µi ≈ µt ≈ µ0; en consecuenciala forma mas comun de estas ecuaciones es simplemente:

r⊥ ≡(E0r

E0i

)⊥≡ ni cos θi − nt cos θt

ni cos θi + nt cos θt(3.24)

y

t⊥ ≡(E0t

E0i

)⊥≡ 2ni cos θi

ni cos θi + nt cos θt(3.25)

Aquı r⊥ denota la amplitud del coeficiente de reflexion mientras que t⊥ es laamplitud del coeficiente de transmision.

Caso 2. ~E paralelo al plano de incidencia. Se puede deducir un par similarde ecuaciones cuando el campo incidente ~E, esta en el plano de incidencia. Lacontinuidad de las componentes tangenciales de ~E en ambos lados de la fronteralleva a:

E0i cos θi − E0r cos θr = E0t cos θt. (3.26)

En forma muy parecida a la anterior, la continuidad de las componentes tan-genciales ~B

µ da:

1µivi

E0i +1

µrvrE0r =

1µtvt

E0t (3.27)

Usando el hecho de que µi = µr = y θi = θr estas formulas su pueden combinarpara dar dos mas de las ecuaciones de Fresnel :

t‖ ≡(E0r

E0i

)‖

=nt

µtcos θi − ni

µicos θt

ni

µicos θt + nt

µtcos θi

(3.28)

y

t‖ ≡(E0t

E0i

)‖

=2ni

µicos θi

ni

µicos θt + nt

µtcos θi

. (3.29)



Cuando los dos medios que forman la interfase son dielectricos, los coeficientesde amplitud vienen a ser:

r‖ =nt cos θi − ni cos θt

ni cos θt + nt cos θi(3.30)

y

t‖ =2ni cos θi

ni cos θt + nt cos θi(3.31)

Usando la ley de Snell se puede hacer una simplificacion adicional de la notacion,por medio de la cual las ecuaciones de Fresnel para medios dielectricos devienenen:

r⊥ = − sin(θi − θt)sin(θi + θt)

(3.32)

r‖ =tan(θi − θt)tan(θi + θt)

(3.33)

t⊥ =2 sin θt cos θi

sin(θi + θt)(3.34)

t‖ =2 sin θt cos θi

sin(θi + θt) cos(θi − θt)(3.35)

Se debe introducir una nota de advertencia antes de que se proceda a exami-nar el considerable significado de los calculos anteriores. Tengase en mente quelas direcciones (o mas precisamente las fases) de los campos fueron selecciona-das muy arbitrariamente. Por ejemplo, ciertamente se podrıa haber supuestoque ~Er apuntaba hacia adentro, por lo que ~Br hubiese tenido que ser inverti-do tambien. Si se hubiese hecho eso, el signo de r⊥ habrıa resultado positivo,mientras que los otros coeficientes de amplitud no habrıan cambiado. Los sig-nos que aparecen en las ecuaciones (3.32) hasta (3.35), en este caso +, exceptoel primero, corresponden al conjunto particular de direcciones de campo selec-cionadas. El signo menos, como se vera, solamente significa que no se adivinacorrectamente la direccion de Er. No obstante hay que tener presente que laliteratura no es uniforme y que se puede encontrar cualquier posible signo bajoel tıtulo de ecuaciones de Fresnel. Para evitar confusion, tales ecuaciones debenestar relacionadas con las direcciones especıficas de los campos de las que fuerondeducidas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2Interpretacion

de lasEcuacionesde Fresnel

Esta seccion esta dedicada a un examen de las implicaciones fısicas de lasecuaciones de Fresnel. En particular se esta interesado en determinar las am-plitudes fraccionarias y densidades de flujo que se reflejan y refractan. Ademasinteresa cualquier posible corrimiento de fase que pueda aparecer en el proceso.

1. Coeficientes de amplitud. Se examinara ahora brevemente la forma delos coeficientes de amplitud sobre el rango completo de valores de θi. Aincidencia casi normal (θi ≈ 0) las tangentes en la ecuacion (3.33) sonesencialmente iguales a los senos, en cuyo caso:[

r‖]θi=0

= [−r⊥]θi=0 =[sin(θi − θt)sin(θi + θt)

]θi=0



Se volvera despues al significado del signo menos. Despues de desarrollarlos senos y usar la ley de Snell esta expresion queda:[

r‖]θi=0

= [−r⊥]θi=0 =[nt cos θi − ni cos θt

nt cos θi + ni cos θt

]θi=0

(3.36)

la cual se deriva tambien de las ecuaciones (3.24) y (3.30). En el lımite,cuando θi va a 0, cos θi y cos θt se acercan ambos a la unidad y, conse-cuentemente,

[r‖]θi=0

= [−r⊥]θi=0 =[nt − ni

nt + ni

]θi=0

(3.37)

Entonces, por ejemplo, en una interfase aire (ni = 1) vidrio (nt = 1,5)cerca de una incidencia normal, los coeficientes de reflexion son iguales a±0,2. Cuando nt > ni se deduce de la ley de Snell que θi > θt y ası r⊥ esnegativo para todos los valores de θi. Por el contrario, r‖ comienza siendopositivo en θi = 0 y decrece gradualmente hasta que se anula cuandoθi + θt = 90o ya que tanπ/2 es infinita. El valor particular del angulo deincidencia para el cual esto ocurre se denota por θp y se conoce como elangulo de polarizacion. 1 Cuando θi aumenta mas alla de θp, r‖ se haceaun mas negativa hasta llegar a -1.0 a los 90o.

A incidencia normal las ecuaciones (3.25) y (3.31) llevan directamente, a:[t‖]θi=0

= [t⊥]θi=0 =2ni

ni + nt. (3.38)

Asumiendo que:

t⊥ + (−r⊥) = 1 (3.39)

es valida para todo valor de θi mientras que:

t‖ + r‖ = 1 (3.40)

es valida solamente a incidencia normal.

La discusion anterior, en su mayor parte, estaba restringida al caso dereflexion externa es decir nt > ni. La situacion opuesta de reflexion internaen la cual el medio incidente es mas denso (ni > nt), es ciertamentetambien de interes. En ese caso θt > θi y r⊥, como se describe en laecuacion (3.11), sera simplemente positiva. r⊥ aumenta desde su valorinicial (3.37) en θi = 0 llegando a mas de uno en lo que se llama angulocrıtico, θc. Especıficamente θc es el valor especial del angulo de incidenciapara el cual θt = π/2. En la misma forma, r‖ comienza negativamente(3.37) en θi = 0 y despues aumenta hasta llegar a mas de uno en θi = θc,como es evidente segun la ecuacion de Fresnel (3.30). Como antes r‖ pasapor cero en el angulo de polarizacion θ′p. Los angulos de polarizacion θ′py θp para la reflexion interna y externa en la interfase entre los mismosdos medios son simplemente complemento el uno del otro. Posteriormentese regresara a la reflexion interna, donde se demostrara que r⊥ y r‖ soncantidades complejas para θi > θc.

1Este angulo se conoce tambien como angulo de Brewster



2. Corrimientos de fase.

Debe ser evidente segun la ecuacion (3.32) que r⊥ es negativo indepen-dientemente de θi cuando nt > ni. Ademas se vio anteriormente que sise hubiese escogido

[~Er

]⊥

en la direccion opuesta, la primera ecuacion de

Fresnel (3.32), hubiese cambiado de signo haciendo que r⊥ se tornara po-sitivo. Entonces el signo de r⊥ esta asociado con las direcciones relativasde[~E0i

]⊥

y[~E0r

]⊥

. Recuerdese que una inversion de[~E0r

]⊥

es equiva-

lente a introducir un corrimiento de fase, ∆ϕ⊥, de π radianes en[~Er

]⊥

.

Por consiguiente en la frontera[~Ei

]⊥

y[~Er

]⊥

seran antiparalelos y porlo tanto fuera de fase en π uno respecto del otro, como lo indica el valornegativo de r⊥. Cuando se consideran las componentes normales al planode incidencia no hay confusion sobre si los dos campos estan en fase oπ radianes fuera de fase; si son paralelos estan en fase; si son antiparale-los estan π fuera de fase. Resumiendo entonces, la componente del campoelectrico normal al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase deπ radianes bajo reflexion cuando el medio incidentte tiene un ındice masbajo que el medio transmisor. Similarmente t⊥ y t‖ son siempre positivasy ∆ϕ = 0. Ademas, cuando ni > nt no resulta corrimiento de fase en lacomponente normal al reflejarse, es decir ∆ϕ⊥ = 0 siempre que θi < θc.

Las cosas son menos obvias cuando se consideran[~Ei

]‖,[~Er

]‖

y[~Et

]‖.

Es necesario ahora definir mas explıcitamente lo que se quiere decir por enfase ya que los vectores de fase son coplanares pero generalmente no coli-neales. Las direcciones del campo se escogieron de tal forma que mirandocualquiera de los vectores de propagacion en la direccion en que viene laluz ~E, ~B y ~k se ven con la misma orientacion relativa sea cual sea el rayoincidente, reflejado o transmitido. Se puede usar esto como la condicionrequerida a fin de que los dos campos ~E esten en fase. Equivalentementepero mas simplemente, dos campos en el plano incidente estan en fase sisus componentes son paralelas y fuera de fase si son antiparalelas. Hayque notar que cuando un par de campos ~E estan fuera de fase, tambien loestan sus campos asociados ~B y viceversa. Con esta definicion se necesitasolamente ver los vectores normales al plano de incidencia, sean ellos ~Eo ~B, para determinar la fase relativa de los campos acompanantes en elplano incidente. Entonces, ~Ei y ~Et estan en fase como lo estan ~Bi y ~Bt

mientras que ~Ei y ~Er estan fuera de fase junto con ~Bi y ~Br. Similarmente~Ei, ~Er y ~Et estan en fase como lo estan ~Bi, ~Br y ~Bt.

Ahora, el coeficiente de amplitud de reflexion para la componente paralelaesta dado por:

r‖ =nt cos θi − ni cos θt

nt cos θi + ni cos θt

el cual es positivo (∆ϕ‖ = 0) siempre que:

nt cos θi − ni cos θt > 0

es decir, si:sin θi cos θi − cos θt sin θt > 0.



o equivalentemente:

sin(θi − θt) cos(θi + θt) > 0. (3.41)

Este sera el caso para el que ni < nt si

(θi + θt) <π

2(3.42)

y para ni > nt cuando

(θi + θt) >π

2(3.43)

Y ası, cuando ni < nt,[~E0r

]‖

y[~E0i

]‖

estaran en fase (∆ϕ‖ = 0) hasta

que θi = θp y fuera de fase en π radianes de ahı en adelante. La transicion

no es en realidad discontinua ya que[~E0r

]‖

va a cero en θp. Por el con-

trario, para reflexion interna r‖ es negativa hasta θ′p lo cual quiere decirque ∆ϕ‖ = π. Desde θ′p a θc, r‖ es positiva y ∆ϕ‖ = 0. Mas alla de θc, r‖se hace compleja. y ∆ϕ‖ aumenta gradualmente hasta π para θi = 90o.

La forma funcional real de ∆ϕ‖ y ∆ϕ⊥ para reflexion interna en la regiondonde θi > θc se puede encontrar en la literatura.

3. Reflectancia y transmitancia.

Hay que recordar que la potencia por unidad de area que cruza una super-ficie en el vacıo cuya normal es paralela a ~S, el vector de Poynting, estadado por:

~S = c2ε0 ~E × ~B.

Ademas, la densidad de flujo radiante (W/m2) o irradiancia es entonces:

I = 〈S〉 =cε02E2

0 .

Esta es la energıa promedio por unidad de tiempo que cruza un areaunitaria normal a ~S (en medios isotropicos ~S es paralela a ~k). En el casoque se considera sean Ii, Ir y It las densidades de flujo incidente, reflejadoy transmitido respectivamente. Luego, la porcion de energıa incidiendonormalmente en un area unitaria de la frontera por segundo es Ii cos θi.Similarmente, Ir cos θr y It cos θt son las energıas por segundo que salen deun area unitaria de la frontera normalmente en cada lado. La reflectanciaR es la razon del flujo (o potencia) reflejado al incidente, es decir:

R ≡ Ir cos θr

Ii cos θi=IrIi, (3.44)

mientras que la transmitancia T es la razon del flujo transmitido al inci-dente y esta dada por:

T ≡ It cos θt

Ii cos θi. (3.45)



El cociente Ir/Ii es igual a (vrεrE20r/2)(viεiE0i/2) y ya que las ondas

reflejadas e incidente estan en el mismo medio vr = vi, εr = εi, y

R =(E0r

E0i

)2

= r2. (3.46)

En la misma forma (suponiendo µi = µt = µ0):

T =nt cos θt

ni cos θi

(E0t

E0i

)2

=(nt cos θt

ni cos θi

)t2, (3.47)

donde se uso el hecho de que µ0εt = 1/v2t y µ0vtεt = nt/c. La energıa total

que llega al area A por unidad de tiempo debe igualar a la energıa quefluye fuera de ella por unidad de tiempo;

IiA cos θi = IrA cos θr + ItA cos θt, (3.48)

Es evidente aquı que el area transversal del haz transmitido, A cos θt esmas grande que la de los haces incidente o reflejado (que son iguales).Multiplicando ambos lados por c esta expresion queda:

niE20i cos θi = niE

20r cos θi + ntE

20t cos θt

o

1 =(E0r

E0i

)2

+(nt cos θt

ni cos θi

)(E0t

E0i

)2

. (3.49)

Pero esto es simplemente

R+ T = 1 (3.50)

donde no hay absorcion. Es conveniente usar las formas componentes, esdecir:

R⊥ = r2⊥ (3.51)

R‖ = r2‖ (3.52)

T⊥ =(nt cos θt

ni cos θi

)t2‖ (3.53)

y

T‖ =(nt cos θt

ni cos θi

)t2‖ (3.54)

Se puede demostrar que:

R‖ + T‖ = 1 (3.55)

y

R⊥ + T⊥ = 1 (3.56)



Una caracterıstica interesante de estas curvas se verfica facilmente, al me-nos cualitativamente, y ella es que ambas R‖ y R⊥ se acercan a uno cuandoθi → 90o. Esto significa que casi cualquier interfase dielectrica muy lisa secomportara como un espejo para la incidencia rasante. Intentese observaruna fuente luminosa usando esta pagina como una superficie de fronte-ra donde θi ≈ 90o. Se podra ver una imagen bastante clara de la fuentereflejada en el papel.

Cuando θi = 0 el plano incidente queda indefinido y cualquier distincionentre las componentes paralela y perpendicualr de R y T desaparece. Eneste caso las ecuaciones (3.51) hasta (3.54) junto con (3.37) y (3.38) llevana:

R = R‖ = R⊥ =(nt − ni

nt + ni

)2

(3.57)

y

T = T‖ = T⊥ =4ntni

(nt + ni)2. (3.58)

Entonces el 4 % de la luz incidente normalmente en una interfase aire-vidrio sera reflejada tanto internamente, ni > nt, como externamente,ni < nt. Esto obviamente sera de gran interes para cualquiera que estetrabajando con un sistema complicado de lentes con diez o veinte de talesfronteras aire-vidrio. En efecto, si se mira perpendicularmente una pila dealrededor de 50 portaobjetos de microscopio (los cubreobjetos son muchomas delgados y mas faciles de manejar en grandes cantidades) la mayorparte de la luz se reflejara. La pila se comportara como si fuese un espejo.


CAPITULO 4

Superposicion de Ondas

Indice General

4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . 61

4.1.1. El Metodo Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.2. El Metodo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . 68

4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

59

CAPITULO 4. SUPERPOSICION DE ONDAS

En los capıtulos siguientes se estudiaran los fenomenos de polarizacion, in-terferencia y difraccion. Todos ellos comparten una base conceptual comun yaque en su mayor parte tienen relacion con varios aspectos del mismo proceso.Afirmando esto en los terminos mas simples, se dira que interesa saber que suce-de cuando dos o mas ondas de luz se superponen en la misma region del espacio.Las circunstancias precisas que gobiernan esta superposicion, por supuesto, de-terminan la perturbacion optica final. Entre otras cosas, se esta interesado encomprender como las propiedades especıficas de cada onda constitutiva (es decir,amplitud, fase, frecuencia, etc.) influencian la forma ultima de la perturbacioncompuesta.

Es preciso recordar que cada componente del campo de una onda electro-magnetica (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz) satisface la ecuacion de onda diferencial tri-dimensional escalar.

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2=

1v2

∂2ψ

∂t2

Una caracterıstica muy significativa de esta expresion es que es lineal, es de-cir, ψ (~r, t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lotanto, si ψ1 (~r, t) , ψ2 (~r, t) , . . . , ψn (~r, t), son soluciones individuales de la ecua-cion (1.59), cualquier combinacion lineal de estas a su vez, sera una socucion.Entonces

ψ (~r, t) =n∑

i=1

Ciψi (~r, t) (4.1)

satisface la ecuacion de onda, donde los coeficientes Ci son simplemente cons-tantes arbitrarias. Esta propiedad, conocida como principio de superposicion,sugiere que la perturbacion resultante en cualquier punto de un medio es lasuma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Ahora solo se esta inte-resado en sistemas lineales donde el principio de superposicion es en realidadaplicable. Tengase en mente, sin embargo, que ondas de amplitud grande, biensean ondas de sonido u ondas de una cuerda, pueden generar una respuesta nolineal. El haz de un laser de alta intensidad enfocado (donde el campo electricopodrıa ser tan alto como 1010 V/cm) puede evocar efectos no lineales. Por com-paracion, el campo electrico asociado con la luz del sol aquı en la Tierra tieneuna amplitud de alrededor de 10 V/cm.

Hay muchos casos en los que no se necesita preocuparse con la naturalezavectorial de la luz y por el momento el estudio se restringira a tales casos. Porejemplo, si todas las ondas de luz se propagan a lo largo de la misma lınea ycomparten un plano comun constante de vibracion, cada una de ellas podrıaser descrita en terminos de una componente del campo electrico. Todas estaspodrıan ser paralelas o antiparalelas en cualquier instante y podrıan entoncesser tratadas como escalares. Mucho mas se dira acerca de este punto conformese progrese; por ahora se representara la perturbacion optica por una funcionescalar E (~r, t) que es una solucion de la ecuacion (1.59). Este procedimiento llevaa una teorıa escalar simple que es altamente util siempre que se sea cuidadosoal aplicarla.


4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA

SECCION 4.1

Suma de Ondas de la Misma Frecuencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 ElMetodo

Algebraico

Recuerdese que se puede escribir una solucion de la ecuacion diferencial deonda en la forma:

E(x, t) = E0 sin[ωt− (kx+ ε)] (4.2)

en la cual E0 es la amplitud de la perturbacion armonica que se propaga a lolargo de la direccion positiva del eje x. Alternativamente, hagase:

α(x, ε) = −(kx+ ε) (4.3)

tal que

E(x, t) = E0 sin[ωt+ α(x, ε)]. (4.4)

Supongase entonces que se tienen dos de tales ondas

E1 = E01 sin(ωt+ α1) (4.5)

y

E2 = E02 sin(ωt+ α2) (4.6)

las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiendose en el espacio. Laperturbacion resultante es la superposicion lineal de estas ondas. Entonces

E = E1 + E2

o, al desarrollar las ecuaciones (4.5) y (4.6)

E =E01(sinωt cosα1 + cosωt sinα1)+ E02(sinωt cosα2 + cosωt sinα2).

Por lo tanto

E =(E01 cosα1 + E02 cosα2) sinωt+ (E01 sinα1 + E02 sinα2) cosωt.

Ya que los terminos entre parentesis son constantes en el tiempo, se hace

E0 cosα = E01 cosα1 + E02 cosα2 (4.7)

y

E0 sinα = E01 sinα1 + E02 sinα2. (4.8)

Esta no es una sustitucion obvia pero sera legıtima siempre que se pueda despejarE0 y α. Con ese fin, se eleva al cuadrado y se suman las ecuaciones (4.7) y (4.8)para obtener

E20 = E2

01 + E202 + 2E01E02 cos(α2 − α1) (4.9)



y dividiendo la ecuacion (4.8) por la (4.7) se obtiene

tanα =E01 sinα1 + E02 sinα2

E01 cosα1 + E02 cosα2(4.10)

la perturbacion total queda entonces:

E = E0 cosα sinωt+ E0 sinα cosωt

o

E = E0 sin(ωt+ α). (4.11)

La onda compuesta (4.11) es armonica y de la misma frecuencia que las cons-titutivas aunque su amplitud y fase son diferentes. La densidad de flujo de unaonda de luz es proporcional a su amplitud al caudrado en virtud de la ecuacion(2.52). Entonces de deduce de la ecuacion (4.9) que la densidad de flujo resul-tante no es simplemente la suma de las densidades de flujo componentes —hayuna contribucion adicional 2E01E02 cos(α1 − α2) conocida como el termino deinterferencia. El factor crucial es la diferencia en fase entre las dos ondas queinterfieren E1 y E2 δ ≡ (α1 − α2). Cuando δ = 0,±2π,±4π, . . . la amplitudresultante es un maximo mientras que δ = ±π,±3π, . . . da un mınimo. En elprimer caso, se dice que las ondas estan en fase, cresta sobre cresta. En el ultimocaso las ondas estan 180o fuera de fase y los valles estan sobre las crestas. Ob-servese que la diferencia de fase puede aparecer por una diferncia en la longituddel camino atravesado por las dos ondas o tambien por una diferencia en la faseincial, es decir,

δ = (kx1 + ε1)− (kx2 + ε2) (4.12)

o

δ =2πλ

(x1 − x2) + (ε1 − ε2) (4.13)

Aquı x1 y x2 son las distancias desde las fuentes de las dos ondas hasta el puntode observacion y λ es la longitud de onda en el medio en que viajan. Si las ondasestan inicialmente en fase en sus emisores respectivos, entonces ε1 = ε2, y

δ =2πλ

(x1 − x2) (4.14)

Esto tambien se aplicarıa al caso donde dos perturbaciones de la misma fuenteviajen diferentes rutas antes de llegar al punto de observacion. Ya que n = c/v =λ0/λ

δ =2πλ0n(x1 − x2). (4.15)



La cantidad n(x1 − x2) se conoce como la diferencia de camino optico y seexpresara por la abreviatura D.C.O. o por el sımbolo Λ. Hay que recordar quees posible, en situaciones mas complicadas, que cada onda viaje a traves de unnumero de medios diferentes con espesores diferentes. Observese tambien queΛ/λ0 = (x1 − x2)/λ es el numero de ondas en el medio que corresponde a ladiferencia de camino. Ya que cada longitud de onda esta asociada con un cambiode fase de 2π radianes, δ = 2π(x1 − x2)/λ, o mas brevemente

δ = k0Λ, (4.16)

donde k0 es el numero de propagacion en el vacıo, es decir, 2π/λ0.Las ondas para las que ε1−ε2 es constante, independientemente de su valor,

son coherentes; una situacion que se supondra que se consigue en casi toda estadiscusion.

Hay un caso especial que es de algun interes y es la superposicion de lasondas

E1 = E01 sin[ωt− k(x+ ∆x)]

yE2 = E02 sin(ωt− kx),

donde en particular E01 = E02 y α1−α2 = k∆x. Se deja demostrar que en estecaso las ecuaciones (4.9), (4.10) y (4.11) llevan una onda resultante de

E = 2E01 cos(k∆x

2

)sin[ωt− k

(x+

∆x2

)]. (4.17)

Esto pone de manifiesto claramente el papel dominante que juega la diferencia decaminos, ∆x, especialmente cuando las ondas emitidas estan en fase (ε1 − ε2).Hay muchos casos practicos donde uno arregla justamente estas condicionescomo se vera mas tarde. Si ∆x� λ la resultante tiene una amplitud muy cercanaal valor 2E02; mientras que es cero si ∆x = λ/2. En la primera situacion se diceque hay interferencia constructiva mientras que en la ultima hay interferenciadestructiva.

Para aplicaciones repetidas del procedimiento usado para llegar a la ecua-cion (4.11) se puede demostrar que la superposicion de cualquier numero deondas armonicas coherentes que tienen una frecuencia dada y viajan en la mis-ma direccion lleva a una onda armonica de la misma frecuencia. Por simplecasualidad se ha escogido representar las dos ondas en terminos de funcionesseno pero el mismo resultado hubiese aparecido si se hubiese usado funcionescoseno. Entonces en general la suma de N de tales ondas,

E =N∑

i=1

E0i cos(αi ± ωt)

esta dada por

E = E0 cos(α± ωt) (4.18)

donde

E20 =

N∑i=1

E20i + 2

N∑j>i

N∑i=1

E0iE0j cos(αi − αj) (4.19)



y

tanα =

N∑i=1

E0i sinαi

N∑i=1

E0i cosαi

(4.20)

Hagase una pausa por un momento y contentese con que estas relaciones sonen efecto verdaderas. Imagınese que se tiene un numero muy grande de fuentesindependientes (N) donde los angulos de fase, αi, estan ahora completamente alazar. En otras palabras, la fase inicial para cada fuente puede tener cualquiervalor entre 0 y 2π en una forma que no tiene ninguna relacion con algunaotra fuente, o los emisores pueden estar localizados al azar, o ambas cosas.Aunque es aplicable a fuentes de luz, este arreglo se puede tambien visualizarcon generadores de microondas o aun con violines. Los resultados que se obtienense aplican bien sea que las amplitudes sean todas iguales o no, pero el primercaso es mas simple de apreciar. Por lo tanto, hagase que cada amplitud en laecuacion (4.19) sea E01. Si N es suficientemente grande, cos(αi − αj) tomaravalores tanto positivos como negativos con la misma probabilidad y el segundotermino en la ecuacion (4.19) se aproximara a cero. Por lo tanto:

E20 = NE2

01 (4.21)

La densidad de flujo resultante debida a N fuentes que tienen fases al azar estadada por N veces la densidad de flujo de cualquier fuente. En otras palabras, estadeterminada por la suma de las densidades de flujo individuales. Por ejemplo,la luz que emana de una fuente termica (en contraposicion con lo que sucede enun laser) esta compuesta de radiacion de un gran numero de emisores atomicos.Las ondas generadas por estas fuentes microscopicas tienen fases al azar y en-tonces sus densidades de flujo individuales se combinan en la manera que se haconsiderado para formar la densidad de flujo total.

Ademas, los emisores atomicos varıan en fase rapidamente y al azar y porconsiguiente tambien lo hace ası la onda total que resulta de la fuente. Dos o masfuentes termicas separadas (lamparas de descarga, iluminadores fotograficos,focos, etc.) seran incoherentes en virtud de estas rapidas variaciones en δ. Yaque la densidad de flujo es proporcional al promedio en el tiempo de E2

0 , tomadageneralmente sobre un intervalo de tiempo grande, y ya que las α son funcionesdel tiempo a traves de fases iniciales, cos [αi(t)− αj(t)] promediara de nuevo acero.

En el otro extremo, si las fuentes son coherentes y estan en fase en el puntode observacion, es decir, αi = αj , la ecuacion (4.19) quedara

E20 =

N∑i=1

E20i + 2

N∑j>i

N∑i=1

E0iE0j

o equivalentemente

E20 =

(N∑

i=1

E0i

)2

. (4.22)



De nuevo suponiendo que cada amplitud es E01, se obtiene

E20 = (NE01)2 = N2E2

01. (4.23)

En este caso de fuentes coherentes en fase se tiene una situacion en que lasamplitudes se suman primero y entonces se elevan al cuadrado para determinarla densidad de flujo resultante. La superposicion de ondas coherentes general-mente tiene el efecto de alterar la distribucion espacial de la energıa pero nola cantidad total presente. Si hay regiones donde la densidad de flujo es mayorque la suma de las densidades de flujo individuales, habra regiones donde seramenor que esa suma.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 ElMetodo

Complejo

A menudo es matematicamente conveniente hacer uso de la representacioncompleja de las funciones trigonometricas cuando se esta manejando la super-posicion de perturbaciones armonicas. La onda

E1 = E01 cos(kx± ωt+ ε1)

oE1 = E01 cos(α1 ∓ ωt)

se puede entonces escribir como:

E1 = E01ei(α1∓ωt), (4.24)

si se recuerda que se esta solamente interesado en la parte real. Supongase quehay N de tales ondas que se superponen con la misma frecuencia y viajando enla direccion positiva de x. La onda resultante esta dada por:

E = E0ei(α+ωt)

la cual es equivalente a la ecuacion (4.18) o despues de sumar las ondas compo-nentes

E =

N∑j=1

E0jeiαj

eiωt. (4.25)

La cantidad

E0eiα =

N∑j=1

E0jeiαj (4.26)

se conoce como la amplitud compleja de la onda compuesta y es simplemente lasuma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que

E20 = (E0e

iα)(E0eiα)∗, (4.27)

siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (4.26) y(4.27). Por ejemplo, si N = 2,

E20 = (E01e

iα1 + E02eiα2)(E01e

−iα1 + E02e−iα2),

de dondeE2

0 = E201 + E2

02 + E01E02

[ei(α1−α2) + e−i(α1−α2)

]o

E20 = E2

01 + E202 + 2E01E02 cos(α1 − α2),

la cual es identica a la ecuacion (4.9).



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3Suma deFasores

La suma descrita en la ecuacion (4.26) se puede representar graficamentecomo la suma de vectores en el plano complejo. En la jerga de la ingenierıaelectronica la amplitud compleja se conoce como fasor y se especifica por sumagnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la forma E0∠α. El me-todo de la suma de fasores que se va a desarrollar ahora se puede emplear sinapreciar su relacion con el formalismo de los numeros complejos. En bien de lasimplicidad, en su mayor parte se evitara el uso de esa interpretacion en lo quesigue. Imagınese entonces que se tiene una perturbacion descrita por:

E1 = E01 sin(ωt+ α1).

Se representa la onda por un vector de longitud E01 girando en sentido contrarioa los puntos de un reloj con una rapidez ω tal que su proyeccion en el ejevertical es E01 sin(ωt + α1). Si se hubiese trabajado con las ondas coseno, sehabrıa tomado la proyeccion sobre el eje horizontal. Incidentalemente, el vectorrotatorio es por supuesto el fasor E01∠α1 y las notaciones R e I denotan losejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda es

E2 = E02 sin(ωt+ α2)

La suma algebraica, E = E1+E2, es la proyeccion en el eje I del fasor resultantedeterminado por la suma de vectores de los fasores componentes. La ley de loscosenos aplicada al triangulo de lados E01, E02 y E0 da

E20 = E2

01 + E202 + 2E01E02 cos(α2 − α1),

donde se hizo uso del hecho de que cos[π − (α2 − α1)] = − cos(α2 − α1). Estaes identica a la ecuacion (4.9), como debe ser. Usando el mismo diagrama,observese que tanα esta dada tambien por la ecuacion (4.10). Generalmenteinteresa encontrar E0 en lugar de E(t) y ya que E0 no esta afectada por elconstante girar de todos los fasores, a menudo sera conveniente poner t = 0 yası eliminar esa rotacion.

Algunos esquemas muy elegantes como la curva de vibracion y la espiral deCornu seran explicados con la tecnica de la suma de fasores. Ademas, es unpunto de vista grafico que a menudo permite entender mejor el problema. Comoejemplo final se examinara brevemente la onda resultante de la suma de:

E1 = 5 sinωtE2 = 10 sin(ωt+ 45o)E3 = sin(ωt− 15o)E4 = 10 sin(ωt+ 120o)

yE5 = 8 sin(ωt+ 180o).

donde ω esta en grados por segundo. En los fasores 5∠0o, 10∠45o, 1∠120o y8∠180o cada angulo de fase, bien sea positivo o negativo, tiene como referenciala horizontal. Solo se necesita leer E0∠α con una escala y un transportador paraobtener E = E0 sin(ωt + α). Es evidente que esta tecnica ofrece una ventajatremenda en velocidad y simplicidad si no en precision.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4Ondas Es-tacionarias

Se vio que la solucion general de la ecuacion diferencial de onda consistıa enuna suma de ondas viajantes,

ψ(x, t) = C1f(x− vt) + C2g(x+ vt).

En particular se va a examinar dos ondas armonicas de la misma frecuenciapropagandose en direcciones opuestas. Una situacion de interes practico aparececuando la onda incidente se refleja hacia atras por algun tipo de espejo; unapared rıgida funcionarıa para ondas de sonido o una lamina conductora paraondas electromagneticas. Imagınese entonces que una onda incidente que viajaa la izquierda,

EI = E0I sin(kx+ ωt+ εI) (4.28)

llega a un espejo en x = 0 y se refleja hacia la derecha en la forma:

ER = E0R sin(kx− ωt+ εR). (4.29)

La onda compuesta en la region a la derecha del espejo es E = EI + ER. Sepodrıa efectuar la suma indicada y llegar a una solucion general en forma muyparecida a la de la seccion 4.1. Hay, sin embargo, algunos conocimientos fısicosque se pueden obtener tomando un camino ligeramente mas restringido.

La fase inicial εI se puede poner en cero simplemente poniendo en marchael reloj cuando EI = E0I sin kx. Hay algunas cualidades determinadas por elarreglo fısico que deben ser satisfechas por la solucion matematica y se cono-cen formalmente como condiciones de contorno. Por ejemplo, si se estuviesehablando de una cuerda con un extremo atado a una pared en x = 0, ese puntodebe tener siempre desplazamiento cero. Las dos ondas que se superponen, unaincidente y la otra reflejada, deben sumarse de tal manera que den una onda re-sultante cero en x = 0. Similarmente, en la frontera de una lamina perfectamenteconductora la onda electromagnetica resultante debe tener una componente delcampo electrico nula paralela a la superficie. Suponiendo que E0I = E0, lascondiciones de contorno requieren que en x = 0, E = 0 y ya que εI = 0 sededuce de las ecuaciones (4.28) y (4.29) que εR = 0. La perturbacion compuestaes entonces:

E = E0I [sin(kx+ ωt) + sin(kx− ωt)].

Aplicando ahora la identidad

sinα+ sinβ = 2 sin12(α+ β) cos

12(α− β)

se obtieneE(x, t) = 2E0I sin kx cosωt. (4.30)

Esta es la ecuacion de una onda estacionaria, en contraste con una onda viaje-ra. Su perfil no se mueve en el espacio; claramente no es de la forma f(x± vt).En cualquier punto x = x′ la amplitud es una constante igual a 2E0I sin kx′

y E(x′, t) varıa armonicamente con cosωt. En ciertos puntos, que son x =0, λ/2, λ, 3λ/2, . . ., la perturbacion sera cero en todo instante. Estos secono-cen como nodos o puntos nodales. A medio camino entrecada par adyacentede nodos, es decir, en x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . ., la amplitud tiene un valor de



±2E0I y esos puntos se conocen como antinodos. La perturbacion E(x, t) seracero para todos los valores de x donde quiera que cosωt = 0, es decir, cuandot = (2m+1)τ/4 donde m = 0, 2, 3, . . . y τ es el perıodo de las ondas componen-tes.

Si la reflexion en el espejo no es perfecta, como es a menudo el caso, la ondacompuesta tendra una componente viajera junto con la onda estacionaria. Bajotales condiciones habra una transferencia neta de energıa en contraste con laonda estacionaria pura donde no hay ninguna.

Fue mediante la medicion de las distancias entre los nodos de ondas esta-cionarias como Hertz pudo determinar la longitud de onda de la radiacion ensus historicos experimentos. Unos pocos anos mas tarde, en 1890, Otto Wie-ner demostro por primera vez la existencia de ondas estacionarias en las ondasluminosas. El arreglo que utilizo consiste en un haz paralelo de luz cuasimono-cromatica normalmente incidente reflejandose en un espejo plateado en la carafrontal al haz. Una pelıcula fotografica, transparente y delgada de menos deλ/20 de espesor se ha depositado en una placa de vidrio, inclinada con respectoal espejo con un angulo de 10−3 radianes. En esa forma la placa de pelıculaintersecta el patron de ondas planas estacionarias. Despues de revelar la emul-sion se encontraron una serie de bandas ennegrecidas paralelas, equidistantes.Estas correspondıan a las regiones donde la pelıcula fotografica habıa intersec-tado los planos antinodales. Muy significativamente, no hubo ennegrecimientode la emulsion en la superficie del espejo. Se puede demostrar que los nodos yantinodos de la componente del campo magnetico de una onda electromagne-tica estacionaria se alternan con los del campo electrico. Esto se podrıa habersospechado del hecho de que t = (2m+ 1)τ/4, E = 0 para todos los valores dex y ası para conservar energıa se deduce que B 6= 0. De acuerdo con la teorıa,Hertz (1888) previamente habıa determinado la existencia de un punto nodal delcampo electrico en la superficie de su reflector. Por consiguiente, Wiener pudoconcluir que las regiones ennegrecidas estaban asociadas con los antinodos delcampo ~E. Entonces es el campo electrico el que dispara el proceso fotoquımico.En una forma muy parecida Drude y Nernst demostraron que el campo ~E es elresponsable de la fluorescencia. Estas observaciones son tdas muy entendiblesya que la fuerza ejercida en un electron por la componente ~B del campo deuna onda electromagnetica es generalmente despreciable en comparacion con ladel campo ~E. Es por estas razones que se refiere al campo electrico como laperturbacion optica o campo de luz.

SECCION 4.2

Suma de Ondas de Diferente Frecuencia

Hasta ahora el analisis se ha restringido a la superposicion de ondas conla misma frecuencia. Sin embargo, en realidad nunca se tiene perturbaciones deningun tipo que sean estrictamente monocromaticas. Sera bastante mas realista,como se vera, hablar de luz cuasimonocromatica que esta compuesta de unestrecho rango de frecuencias. El estudio de tal luz llevara a los importantesconceptos de ancho de banda y tiempo de coherencia.

La habilidad para modular efectivamente la luz hace posible acoplar siste-mas electronicos y opticos en una forma que ciertamente tendran efectos de


4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

gran alcance sobre toda la tecnologıa en las decadas por venir. Ademas, conel advenimiento de las tecnicas electro-opticas, la luz esta comenzando a jugarun nuevo y significativo papel como transportador de informacion. Esta seccionesta dedicada a desarrollar algunas de las ideas matematicas que se necesitanpara apreciar este nuevo enfasis.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1Pulsos

Considerese ahora la perturbacion compuesta que aparece de la combinacionde las ondas:

E1 = E01 cos(k1x− ω1t)

E2 = E01 cos(k2x− ω2t)

las cuales tienen amplitudes iguales y fase inicial cero. La onda neta:

E = E01[cos(k1x− ω1t) + cos(k2x− ω2t)]

puede formularse de nuevo como

E = 2E01 cos12[(k1 + k2)x− (ω1 + ω2)t]

× cos12[(k1 − k2)x− (ω1 − ω2)t]

usando la identidad

cosα+ cosβ = 2 cos12(α+ β) cos

12(α− β).

Ahora se definen las cantidades ω y k, que son la frecuencia angular promedioy el numero de propagacion promedio, respectivamente. Similarmente las canti-dades ωm y km se designan como la frecuencia de modulacion y el numero depropagacion de modulacion. Por lo tanto, se hace

ω ≡ 12(ω1 + ω2) ωm ≡ 1

2(ω1 − ω2) (4.31)

y

k ≡ 12(k1 + k2) km ≡ 1

2(k1 − k2); (4.32)

entonces

E = 2E01 cos(kmx− ωmt) cos(kx− ωt). (4.33)

La perturbacion total se puede considerar como una onda viajera de frecuenciaω que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo E0(x, t) tal que

E(x, t) = E0(x, t) cos(kx− ωt), (4.34)

donde

E0(x, t) = 2E01(x, t) cos(kmx− ωmt). (4.35)

En las aplicaciones de interes aquı ω1 y ω2 siempre seran muy grandes. Ademas,si ellas son comparables entre sı, ω1 ≈ ω2, entonces ω � ωm y E0(x, t) cambiarıa



lentamente mientras que E(x, t) variarıa muy rapidamente. La irradiancia esproporcional a:

E20(x, t) = 4E2

01 cos2(kmx− ωmt)

oE2

0(x, t) = 2E201[1 + cos 2(kmx− ωmt)].

Observese que E20(x, t) oscila alrededor de un valor de 2E2

01 con una frecuencia2ωm o simplemente (ω1 − ω2) que se conoce como la frecuencia de palpitacion.En otras palabras, la frecuencia de modulacion, que corresponde a la envolventede la curva, es la mitad de la frecuencia de palpitacion. Podrıa parecer que,como la forma de la onda entre dos nodos consecutivos se repite a sı misma,esa distancia debe ser la longitud de onda de la envolvente, pero este no esgeneralmente el caso.

Las palpitaciones fueron observadas por primera vez usando luz en 1955 porForrester, Gudmundsen y Johnson. A fin de obtener dos ondas de frecuencialigeramente diferente usaron el efecto Zeeman. Cuando los atomos de una lam-para de descarga, en este caso mercurio, se sujetan a un campo magnetico, susniveles de energıa se dividen. Como resultado de ello la luz emitida contiene dosfrecuencias componentes ν1 y ν2 que difieren en proporcion a la magnitud delcampo aplicado. Cuando estas componentes se recombinan en la superficie deun tubo mezclador fotoelectrico la frecuencia de palpitacion, ν1 − ν2 se genera.Especıficamente, el campo estaba ajustado de tal manera que ν1 − ν2 = 1010

Hz que corresponde convenientemente a una senal de microondas de 3 cm. Lacorriente fotoelectrica registrada tenıa la misma forma que la curva E2

0(x).El advenimiento del laser ha hecho desde entonces considerablemente mas

facil la observacion de las palpitaciones usando luz. Aun una palpitacion de unospocos Hz en 1014 Hz se puede observar como una variacion en la corriente delfototubo. La observacion de las palpitaciones representa ahora un medio parti-cularmente simple y sensible de detectar pequenas diferencias en la fecuencia.El efecto Doppler, que explica el desplazamiento de frecuencia cuando la luz serefleja en una superficie movil, provee otra serie de aplicaciones de las palpita-ciones. Esparciendo luz con un objeto, bien sea solido, lıquido o incluso gaseoso,y mezclando entonces las ondas original y reflejada, se obtiene una medida pre-cisa de la velocidad del cuerpo. En forma muy parecida en escala atomica, la luzde laser cambiara su fase al interaccionar con ondas de sonido que se muevenen un material (este fenomeno se llama esparcimiento Brillouin). Entonces 2ωm

queda como una medida de la velocidad del sonido en el medio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2Velocidadde Grupo

La perturbacion examinada en la seccion anterior,

E(x, t) = E0(x, t) cos(kx− ωt),

consiste en una onda portadora de alta frecuencia (ω), modulada en amplitudpor una funcion coseno. Suponiendo, por un momento, que la onda no estuvieramodulada, es decir, E0 = constante. Cada pequena cresta en la portadorasviajarıa a la derecha con la velocidad de fase usual. En otras palabras:

v = −

(∂ϕ∂t

)x=cte(

∂ϕ∂x

)t=cte

.


4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

De la ecuacion (4.34) la fase esta dada por ϕ = (k − ωt) y por lo tanto

v =ω

k. (4.36)

Claramente, esta es la velocidad de fase bien sea que la portadora este moduladao no. en el caso anterior las crestas simplemente cambian periodicamente deamplitud conforme van viajando.

Evidentemente, hay otro movimiento en el que se esta interesado y es la pro-pagacion de la envolvente moduladora. Supongase que las ondas constitutivas,E1(x, t) y E2(x, t), avanzan con la misma velocidad, v1 = v2. Imagınese, si sequiere, las dos ondas armonicas con diferentes longitudes de onda y frecuenciasdibujadas en hojas separadas de plastico transparente. Cuando estas se super-ponen de cierta manera la resultante es un patron estacionario de palpitaciones.Si ambas hojas se mueven hacia la derecha con la misma velocidad para simularondas viajeras, las palpitaciones obviamente se moveran con la misma veloci-dad. La rapidez con la cual la envolvente de modulacion avanza se conoce comovelocidad de grupo o simbolicamente como vg. en este caso la velocidad de grupoes igual a la velocidad de fase de la portadora (la velocidad promedio, ω/k). Enotras palabras, vg = v = v1 = v2. Esto se aplica especıficamente a medios nodispersores en los cuales la velocidad de fase es independiente de la longitudde onda de tal forma que las dos ondas tengan la misma velocidad. Para unasolucion de aplicacion mas general se examinara la expresion para la envolventede modulacion:

E0(x, t) = 2E01(x, t) cos(kmx− ωmt).

La velocidad con la que se mueve la onda esta de nuevo dada por la ecuacion(1.32) donde ahora se donde ahora se puede olvidar de la onda portadora. Lamodulacion por consiguiente avanza con una rapidez dependiente de las fasesde la envolvente (kmx− ωmt) y ası:

vg =ωm

km

ovg =

ω1 − ω2

k1 − k2=

∆ω∆k

.

Observese, sin embargo, que ω puede ser dependiente de λ o, equivalentemente,de k. La funcion particular ω = ω(k) se llama relacion de dispersion. Cuandoel rango de frecuencia ∆ω, centrado alrededor de ω, es pequeno ∆ω/∆k esaproximadamente igual a la derivada de la relacion de dispersion, es decir

vg =dω

dk. (4.37)

La modulacion o senal se propaga con una velocidad vg que puede ser mayor,igual o menor que la velocidad de fase v, de la portadora. La ecuacion (4.37)es muy general y sera cierta, tambien, para cualquier grupo de ondas que sesuperponen siempre que su rango de frecuencia sea angosto.

Ya que ω = kv, la ecuacion (4.37) da

vg = v + kdv

dk. (4.38)



como una consecuencia, en medios no dispersores donde v es independiente deλ, dv/dk = 0 y vg = v. Especıficamente en el vacıo ω = kc, v = c y vg = c.En medios dispersores v1 6= v2, donde n(k) no se conoce, ω = kc/n y es utilreformular vg como:

vg =c

n− kc

n2

dn

dko

vg = v

(1− k

n

dn

dk

)(4.39)

Para medios opticos en regiones de dispersion normal, el ındice de refraccionaumenta con la frecuencia (dn/dk > 0) y como resultado vg < v. Claramente,se deberıa definir un ındice de refraccion de grupo

ng ≡c

vg(4.40)

que se debe distinguir cuidadosamente de n. A. A. Michelson en 1885 midio ng enbisulfuro de carbono usando pulsos de luz blanca y obtuvo 1.758 en comparacioncon 1.635.

La teorıa de la relatividad especial hace muy claro que bajo ninguna cir-cunstancia una senal se puede propagar con una velocidad mayor que c. Sinembargo, ya se ha visto que bajo ciertas circunstancias la velocidad de fase pue-de exceder a c. La contradiccion es solamente aparente y es debida al hecho deque mientras que una onda monocromatica puede en efecto tener una rapidezmayor que c, ella no puede llevar informacion. En contraste, una senal en laforma de cualquier onda modulada se propagara con la velocidad de grupo quees siempre menor que c en medios normalmente dispersores. 1

1En regiones de dispersion anomala donde dn/dk < 0, vg puede ser mayor que c. Aquı, sinembargo, la senal se propaga con otra velocidad mas, muy diferente, concida como la velocidadde senal vs. Entonces vs = vg excepto en una banda de absorcion de resonancia. En todos loscasos vg corresponde a la velocidad de transferencia de energıa y nunca excede a c.


CAPITULO 5

Interferencias

Indice General

5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . 78

5.3. Interferometros de Division de Frente de Onda . . 79

5.4. Pelıculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces . 83

5.4.1. Franjas de Igual Inclinacion . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . 86

73

CAPITULO 5. INTERFERENCIAS

SECCION 5.1

Consideraciones Generales

La luz es, por supuesto, un fenomeno vectorial; los campos electricos y mag-neticos son campos vectoriales. Una apreciacion de este hecho es fundamentalpara cualquier tipo de entendimiento intuitivo de la optica. No es necesario decirque hay muchas situaciones en las que el sistema optico en particular esta de talmanera configurado que la naturaleza vectorial de la luz es de poco significadopractico. Se deducira por lo tanto las ecuaciones de interferencia basicas dentrodel contexto del modelo vectorial, delineando despues las condiciones bajo lascuales el tratamiento escalar es aplicable.

De acuerdo con el principio de superposicion, la intensidad del campo elec-trico ~E, en un punto en el espacio que proviene de los campos separados ~E1, ~E,. . ., de varias fuentes que contribuyen, esta dada por:

~E = ~E1 + ~E2 + . . . .

Una vez mas se hace notar que la perturbacion optica, o campo luminoso ~E,varıa en un tiempo sumamente rapido, aproximadamente:

4,3× 1014 Hz a 7,5× 1014 Hz,

haciendo que el campo real sea una cantidad practicamente indetectable. Porotro lado, la irradiancia I puede ser medida directamente usando una gran va-riedad de sensores (por ejemplo, fotoceldas, bolometros, emulsiones fotograficasu ojos). Realmente, si se va a estudiar la interferencia, entonces es mejor que seataque el problema por medio de la irradiancia.

Gran parte del analisis que sigue se puede efectuar sin especificar la formaparticular de los frentes de onda y los resultados son por consiguiente muygenerales en su aplicabilidad. Sin embargo, con el proposito de simplificar, seconsideraran dos fuentes puntuales S1 y S2 emitiendo ondas monocromaticasde la misma frecuencia en un medio homogeneo. Ademas, permıtase que suseparacion a sea mucho mas grande que λ. Coloquese el punto de observacionP lo suficientemente lejos de las fuentes de tal forma que los frentes de ondaen P sean planos. Por el momento se consideraran solamente ondas linealmentepolarizadas de la forma:

~E1 (~r, t) = ~E01 cos(~k1 · ~r − ωt+ ε1

)y

~E2 (~r, t) = ~E02 cos(~k2 · ~r − ωt+ ε2

)Anteriormente se vio que la irradiancia en P esta dada por:

I = εv⟨~E2⟩

Puesto que solamente son concernientes las irradiancias relativas dentro delmismo medio, se despreciaran, al menos por el momento, las constantes y sepondra:

I =⟨~E2⟩.


5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

Lo que se quiere decir por⟨~E2⟩

es, por supuesto, el promedio en el tiempo de

la magnitud de la intensidad del campo electrico al cuadrado o⟨~E · ~E

⟩. Por

consiguiente,~E2 = ~E · ~E,

donde ahora~E2 =

(~E1 + ~E2

)·(~E1 + ~E2

)y por lo tanto:

~E2 = ~E21 + ~E2

2 + 2 ~E1 · ~E2

Tomando el promedio en el tiempo de ambos lados, la irradiancia queda:

I = I1 + I2 + I12 (5.1)

siempre que:

I1 =⟨~E2

1

⟩,

I2 =⟨~E2

2

⟩y

I12 = 2⟨~E1 · ~E2

⟩.

La ultima expresion se conoce como termino de interferencia. Para evaluarlo eneste caso especıfico, se forma:

~E1 · ~E2 = ~E01 · ~E02 cos(~k1 · ~r − ωt+ ε1

)× cos

(~k2 · ~r − ωt+ ε2

)o equivalentemente:

~E1 · ~E2 = ~E01 · ~E02[cos(~k1~r + ε1)× cosωt

+ sin(~k1 · ~r + ε1) sinωt]× [cos(~k2 · ~r + ε2) cosωt

+ sin(~k2 · ~r + ε2) sinωt].

(5.2)

Recordando que el promedio en el tiempo de alguna funcion f(t), tomado sobreun intervalo T , es:

〈f(t)〉 =1T

∫ t+T

t

f(t′)dt′. (5.3)

El perıodo τ de las funciones armonicas es 2π/ω y para la mayorıa de los pro-positos presentes T � τ . En ese caso el coeficiente 1/T frente a la integral tieneun efecto dominante. Despues de multiplicar y sacar el promedio, la ecuacion(5.2) queda: ⟨

~E1 · ~E2

⟩=

12~E01 · ~E02 cos

(~k1 · ~r + ε1 − ~k2 · ~r − ε2

),



donde se utilizo el hecho de que⟨cos2 ωt

⟩= 1

2 ,⟨sin2 ωt

⟩= 1

2 y 〈cosωt sinωt〉 =0. El termino de interferencia es:

I12 = ~E01 · ~E02 cos δ (5.4)

y δ, igual a(~k1 · ~r − ~k2 · ~r + ε1 − ε2

), es la diferencia de fase que proviene de

combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase incial.Observese que si ~E01 y ~E02 (y por consiguiente ~E1 y ~E2) son perpendiculares,I12 = 0 y I = I1 + I2. Dos estados ortogonales P tales se combinan paradar un estado R, L, P o E , pero la distribucion de densidad de flujo quedarainalterada.

La situacion que casi siempre ocurre en el trabajo que sigue corresponde a~E01 paralelo a ~E02. en ese caso, la irradiancia se reduce al valor encontrado enel tratamiento escalar. Bajo esas condiciones:

I12 = E01E02 cos δ.

Esto se puede escribir en una forma mas conveniente notando que:

I1 =⟨E2

1

⟩=E2

01

2

y

I2 =⟨E2

2

⟩=E2

02

2El termino de interferencia queda:

I12 = 2√I1I2 cos δ,

en donde la irradiancia total es:

I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos δ. (5.5)

En varios puntos en el espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menoro igual a I1 + I2 dependiendo del valor I12, es decir, dependiendo de δ. Unmaximo en la irradiancia se obtiene cuando cos δ = 1, tal que:

Imax = I1 + I2 + 2√I1I2.

cuandoδ = 0,±2π,±4π, . . . .

En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es un multiplo enterode 2π, y las perturbaciones estan en fase. Se habla de esto como interferenciaconstructiva total. Cuando 0 < cos δ < 1 las ondas estan fuera de fase, I1 +I2 < I < Imax y el resultado se conoce como interferencia constructiva. Enδ = π/2, cos δ = 0, las perturbaciones opticas estan 90o fuera de fase y I =I1 + I2. Para 0 > cos δ > −1 se tiene la condicion de interferencia destructiva,I1 + I2 > I > Imin. El mınimo en la irradiancia resulta cuando las ondas estan180o fuera de fase, valles sobre crestas, cos δ = −1, y

Imin = I1 + I2 − 2√I1I2.


5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

Esto, por supuesto, ocurre cuando δ = ±π,±3π± 5π, . . ., y recibe el nombre deinterferencia destructiva total.

Otro caso algo especial, aunque no muy importante aparece cuando las am-plitudes de ambas ondas que llegan a P son iguales, es decir, ~E01 = ~E02. Yaque las contribuciones a la irradiancia de ambas fuentes son entonces iguales,haciendo I1 = I2 = I0. La ecuacion (5.5) se puede ahora escribir como:

I = 2I0(1 + cos δ) = 4I0 cos2δ

2(5.6)

de lo cual se deduce que Imin = 0 y Imax = 4I0.La ecuacion (5.5) es igualmente valida para las ondas esfericas emitidas por

S1 y S2. Tales ondas se pueden expresar como:

~E1(r1, t) = ~E01(r1)ei(kr1−ωt+ε1)

y~E2(r2, t) = ~E02(r2)ei(kr2−ωt+ε2)

Los terminos r1 y r2 son los radios de los frentes de onda esfericos que se su-perponen en P , es decir, ellos especifican las distancias de las fuentes J . En estecaso:

δ = k(r1 − r2) + (ε1 − ε2).

La densidad de flujo en la region que rodea a S1 y S2 ciertamente variara depunto a punto al variar (r1 − r2). No obstante, del principio de conservacion dela energıa, se espera que el promedio espacial de I permanezca constante e igualal promedio de I1 + I2. El promedio espacial de I12 debe ser por lo tanto cero,una propiedad verificada por la ecuacion (5.4) ya que el promedio del terminodel coseno es, en efecto, cero.

La ecuacion (5.6) sera aplicable cuando la separacion entre S1 y S2 seapequena en comparacion con r1 y r2 y cuando, ademas, la region de interferenciatambien sea pequena en el mismo sentido. Bajo estas circunstancias ~E01 y ~E02

pueden considerarse independientes de la posicion, es decir, constantes en lapequena region examinada. Si las fuentes emisoras son de igual intensidad ~E01 =~E02, I1 = I2 = I0 y se tiene:

I = 4I0 cos212

[k(r1 − r2) + (ε1 − ε2)]

Los maximos de irradiancia ocurren cuando:

δ = 2πm

siempre que m = 0,±1,±2, . . .. Similarmente, los terminos para los cuales I = 0,aparecen cuando:

δ = π(2m+ 1).

Estas expresiones se pueden reescribir de tal forma que la maxima irradianciaocurre cuando:

(r1 − r2) =2πm+ (ε2 − ε2)

k(5.7)

y la mınima cuando

(r1 − r2) =π(2m+ 1) + (ε2 − ε2)

k



Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada una de lascuales es un hiperboloide de revolucion. Los vertices de los hiperboloides estanseparados por distancias iguales a los lados derechos de las ecuaciones (5.7). Losfocos estan localizados en S1 y S2. Si las ondas estan en fase al salir del emisorε1 − ε2 = 0, y las ecuaciones (5.7) se simplifican a:

(r1 − r2) =2πmk

= mλ

(r1 − r2) =π(2m+ 1)

k=(m+

12

)λ

para irradiancia maxima y mınima, respectivamente. Las zonas claras y oscurasque se verıan en una pantalla colocada en la region de interferencia se conocencomo franjas de interferencia.

SECCION 5.2

Condiciones para la Interferencia

Si el patron de interferencia que corresponde a las ecuaciones (5.7) es ob-servable, la diferencia de fase (ε1 − ε2) entre las dos fuentes debe permanecerbastante constante en el tiempo. Tales fuentes son coherentes. Dos haces quese superponen y que vienen de emisores separados interferiran, pero el patronresultante no se sostendra el tiempo suficiente para ser facilmente observable.Una fuente tıpica contiene un gran numero de atomos excitados, cada uno capazde radiar un tren de onda aproximadamente por 10−8 s. Dos fuentes distintaspor consiguiente podrıan mantener sus fases relativas, en el mejor de los casos,10−8 s. El patron de interferencia resultante serıa constante en espacio solamen-te durante ese lapso, antes de que varıe al cambiar la fase, y de ahı en adelantepermanecerıa estable por otro momento, solamente para cambiar de nuevo y asısucesivamente. Por consiguiente, serıa inutil intentar ver o fotografiar el patronde interferencia resultante de dos lamparas. Se han usado dos laseres separadospara generar patrones de interferencia. La forma mas comun de resolver el pro-blema, como se vera, es hacer que una fuente se utilice para producir dos fuentessecundarias coherentes.

Si dos haces deben interferir para producir un patron estable, deben tenercasi la misma frecuencia. Una diferencia de frecuencia significante resultarıa enuna diferencia de fase dependiente del tiempo, variando rapidamente el cual asu vez harıa que I12 se promediase a cero durante el intervalo de deteccion.

Los patrones mas claros existiran cuando las ondas que interfirieron tenganamplitudes iguales o casi iguales. Las regiones centrales de las franjas oscuras yclaras corresponden entonces a interferencia completamente destructiva o cons-tructiva, respectivamente, dando maximo contraste.

En la seccion previa se supuso que dos vectores de perturbaciones opticas su-perpuestos estaban linealmente polarizados y paralelos. No obstante, las formu-las de la seccion anterior se aplican tambien a situaciones mas complicadas;realmente el tratamiento es aplicable sin importar el estado de polarizacion delas ondas. Para apreciar esto, es preciso recordar que cualquier estado de po-larizacion se puede sintetizar en estados P ortogonales. Para luz natural (no


5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA

polarizada) estos estados P son mutuamente incoherentes, pero ello no repre-senta ninguna dificultad particular.

Supongase que cada onda tiene su vector de propagacion en el mismo planode tal forma se pueden marcar los estados P ortogonales constitutivos con res-pecto a ese plano, es decir, ~E‖ y ~E⊥, los cuales son paralelos y perpendiculares alplano respectivamente. Entonces, cualquier onda plana polarizada o no, se pue-de escribir en la forma ( ~E‖+ ~E⊥). Imagınese entonces que la sondas ( ~E‖1 + ~E⊥1)y ( ~E‖2 + ~E⊥2) emitidas desde dos fuentes coherentes identicas se superponenen la misma region del espacio. La distribucion de densidad de flujo resultanteconsistirıa de dos patrones de interferencia independientes, precisamente super-puestas,

⟨( ~E‖1 + ~E⊥1)2

⟩y⟨( ~E‖2 + ~E⊥2)2

⟩. Por consiguiente, puesto que se

dedujeron las ecuaciones en la seccion anterior, especıficamente para luz lineal,ellas son aplicables tambien, para cualquier estado de polarizacion incluyendoluz natural.

Observese que aunque ~E⊥1 y ~E⊥2 son siempre paralelas una a otra ~E‖1

y ~E‖2, las cuales estan en el plano de referencia, no necesariamente lo son.Seran paralelas solamente cuando los dos haces son paralelos entre sı (es decir,~k1 = ~k2). La naturaleza vectorial inherente del proceso de interferencia, comose manifiesta en la representacion del producto escalar (5.4) de I12, no puedepor consiguiente ignorarse. Como se vera, hay muchas situaciones practicas enlas que los dos haces son casi paralelos y para estos la teorıa escalar funcionaperfectamente.

Fresnel y Arago hicieron un estudio extensivo de las condiciones bajo las cua-les la interferencia de luz polarizada ocurre y sus conclusiones resumen algunasde las consideraciones anteriores. Las leyes de Fresnel-Arago son las siguientes:

1. Dos estados P coherentes ortogonales no pueden interfereir en el sentidode que I12 = 0 y no resulten franjas.

2. Dos estados P coherentes y paralelos interfieren en la misma forma que laluz natural.

3. dos estados P ortogonales constitutivos de la luz natural no pueden in-terferir para formar un patron facilmente observable aunque se giran paraalinearlos. Este ultimo punto es comprensible ya que estos estados P sonincoherentes.

SECCION 5.3

Interferometros de Division de Frente de Onda

La ecuacion(r1 − r2) = mλ

determinaba las superficies de irradiancia maxima. Ya que la longitud de ondaλ para la luz es muy pequena, un gran numero de superficies que correspondena los valores mas bajos de m existiran cerca y ambos lados del plano m = 0.Un numero de franjas paralelas y bastante rectas por consiguiente apareceranen una pantalla colocada perpendicularmente al plano (m = 0) y en la vecindadde el, y para este caso la aproximacion r1 ≈ r2 sera valida. Si S1 y S2 son



entonces desplazados normalmente a la lınea S1S2, las franjas solamente serandesplazadas paralelamente a sı mismas. Practicamente, dos rendijas angostaspor consiguiente aumentaran la irradiancia dejando esencialmente inalterada,por otro lado, la region central del patron de las dos fuentes puntuales.

Considerese una onda plana monocromatica hipotetica iluminando una ren-dija larga y angosta. De esa rendija primaria emergera una onda cilındrica; ysupongase que esta onda, a su vez, cae en dos rendijas S1 y S2 muy juntas,angostas y paralelas. Cuando existe simetrıa, los segmentos del frente de ondaprimario que llegan a las dos rendijas estaran exactamente en fase, y las rendi-jas constituiran dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quieraque las dos ondas que vienen de S1 y S2 se superpongan, ocurrira interferen-cia (siempre que la diferencia de camino optico sea menor que la longitud decoherencia, c∆t).

En una situacion fısica realista la distancia entre cada una de las pantallasserıa larga en comparacion con la distancia a entre las dos rendijas, y todaslas franjas estarıan bastante cerca del centro O de la pantalla. La diferencia decamino entre los rayos a lo largo de S1P y S2P se puede obtener, con buenaaproximacion, bajando una perpendicular desde S2 hasta S1P . Esta diferenciade camino esta dada por: (

S1B)

=(S1P

)−(S2P

)(5.8)

o (S1B

)= r1 − r2.

Continuando con esta aproximacion la diferencia de camino se puede expresarcomo:

r1 − r2 = aθ (5.9)

ya que θ ≈ sin θ.

Observese que

θ =y

s(5.10)

y ası

r1 − r2 =a

sy.

De acuerdo con la seccion (5.11), la interferencia constructiva ocurrira cuan-do:

r1 − r2 = mλ. (5.11)

Entonces, de las ultimas dos relaciones se obtiene:

ym =s

amλ. (5.12)


5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA

Esto da la posicion de la m-esima franja brillante sobre la pantalla si se cuentael maximo 0 como la franja cero. La posicon angular de la franja se obtienesustituyendo la ultima expresion en la ecuacion (5.10)

θm =mλ

a(5.13)

Esta relacion se puede obtener directamente mediante metodos geometricos.Para el orden m-esimo de interferencia, m longitudes de onda enteras debencaber dentro de la distancia r1 − r2. Por consiguiente, del triangulo S1S2B seobtiene:

θm =mλ

a.

El espacio entre franjas en la pantalla se puede obtener facilmente de laecuacion (5.12). La diferencia en las posiciones de dos maximos consecutivos es:

ym+1 − ym =s

a(m+ 1)λ− s

amλ

o∆y =

s

aλ. (5.14)

Ya que este patron es equivalente al obtenido para dos ondas esfericas su-perpuestas (al menos en la region r1 ≈ r2), se puede aplicar la ecuacion (5.6).Usando la diferencia de fase

δ = k(r1 − r2).

La ecuacion (5.6) se puede reescribir como:

I = 4I0 cos2k(r1 − r2)

2

siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan irradian-cias iguales a I0. Con

r1 − r2 = ya

s

la irradiancia resultante queda:

I = 4I0 cos2yaπ

sλ.

Los maximos consecutivos estan separados por la ∆y dada en la ecuacion (5.14).Una observacion visual directa del patron de las franjas se puede hacer per-

forando dos pequenos agujeros en una tarjeta delgada. Los agujeros deben seraproximadamente del tamano del tipo de imprenta usado para el punto en estapagina y con sus centros separados alrededor de 3 radios. Una lampara en lacalle, las luces de un automovil o un semaforo en la noche, localizados a pocosmetros de distancia servira como fuente de ondas planas. Esta tarjeta debe sercolocada directamente frente y muy cerca del ojo. El patron es mucho mas facilde observar usando rendijas, pero vale la pena ensayar los agujeritos.

Las microondas, debido a su gran longitud de onda, tmabien ofrecen unaforma facil de observar la interferencia de doble rendija. Dos rendijas (por ejem-plo, λ/2 de ancho por λ de largo, separados por 2λ) cortadas en un pedazo delamina u hoja metalica serviran muy bien como fuente de onda secundaria.



La configuracion interferometrica discutida antes, con fuentes puntuales o derendija, se conoce como experimento de Young. El principio fısico y las conside-raciones matematicas se aplican directamente a otros interferometros de divisionde frente de onda. Entre los mas comunes de ellos estan el espejo doble de Fres-nel, el prisma doble de Fresnel y el espejo de Lloyd.

El espejo doble de Fresnel consiste en dos espejos planos metalizados al frentee inclinados uno respecto al otro con un angulo muy pequeno. Una porcion delfrente de onda cilındrico proveniente de la rendija S se refleja en el primer espejo,mientras que otra porcion del frente de onda se refleja en el segundo espejo. Uncampo de interferencia existe en el espacio en la region deonde las dos ondasreflejadas se superponen una sobre la otra. Las imagenes (S1 y S2) de la rendija Sen los dos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas, colocadas conuna separacion a. De la ley de la reflexion se deduce que SA = S1A, SB = S2B,de tal forma que SA+AP = r1 y SB+BP = r2. La diferencia de camino opticoentre los dos rayos es simplemente r1−r2. Los maximos ocurren en r1−r2 = mλcomo era el caso para el interferometro de Young. De nuevo, la separacion delas franjas esta dada por:

∆y =s

aλ

donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales (S1, S2) y lapantalla. Notese que el angulo θ entre los espejos debe ser muy pequeno si losvectores de campo electrico para cada uno de los dos haces son paralelos o casiparalelos. Representese por ~E1 y ~E2 las ondas de luz emitidas por las fuentescoherentes virtuales S1 y S2. En cualquier instante de tiempo en el punto P en elespacio, cada uno de estos vectores se puede resolver en componentes, paralelasy perpendiculares al plano de la pagina. Con ~k1 y ~k2 paralelas a AP y BPrespectivamente, debe ser evidente que las componentes ~E1 y ~E2 en el plano dela pagina se acercan al paralelismo solamente para θ pequena.

El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismas unidos en lasbases. Un frente de onda cilındrico simple llega a ambos prismas. La porcionsuperior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmentoinferior se refracta hacia arriba. En la region de superposicion ocurre la interfe-rencia. Aquı de nuevo, existen dos fuentes virtuales, S1 y S2, separadas por unadistancia A la cual puede ser expresada en terminos del angulo α del prismadonde s � a. La expresion para la separacion de las franjas es la misma queantes.

El ultimo interferometro de division de frente de onda que se considerara esel espejo de Lloyd. Consiste en una pieza plana de dielectrico o metal que sirvecomo espejo, del cual se refleja una porcion del frente de onda cilındrico quesale de la rendija S. Otra porcion del frente de onda procede directamente dela rendija a la pantalla. Para la separacion a, entre las dos ondas coherentes, setoma la distancia entre la rendija real y su imagen S1 en el espejo. El espacioentre las franjas esta de nuevo dado por s

aλ. La caracterıstica que distingue aeste dispositivo es que a incidencia rasante (θi ≈ π/2) el haz reflejado sufre uncambio de fase de 180o (hay que recordar que el coeficiente de reflexion para lasamplitudes es entonces igual a -1). Con un cambio de fase adicional de ±π.

δ = k(r1 − r2)± π


5.4. PELICULAS DIELECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES

y la irradiancia queda:

I = 4I0 sin2(πaysλ

).

El patron de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del de inter-ferometro de Young; el maximo de de un patron existe para valores de y quecorresponden a los mınimos en el otro patron. La orilla superior del espejo esequivalente a y = 0 y sera el centro de una franja oscura en lugar del de unafranja brillante como en el sistema de Young. La mitad inferior del patron seraobsturida por la presencia del espejo mismo. Considerese, entonces, que pasarıasi una hoja delgada de material transparente se colocara en la trayectoria delos rayos que viajan directamente a la pantalla. La hoja transparente tendrıa elefecto de aumentar el numero de longitudes de onda en cada rayo directo. Elpatron entero se moverıa hacia arriba hasta donde los rayos reflejados viajarıanun poco mas antes de interferir. Debido a la simplicidad obvia inherente de estesistema se ha encontrado util en una region muy ancha del espectro electromag-netico. Las superficies reflectoras reales han variado de cristal por rayos X, devidrio comun para luz, de pantallas de alambre para microondas, a un lago oincluso la ionosfera de la tierra para ondas de radio.

Todos los interferometros anteriores se pueden demostrar muy facilmente.La fuente de luz debe ser fuerte; si no se dispone de un laser, una lampara dedescarga o un arco de carbon seguida por una celda de agua, para enfriar lascosas un poco, trabajarıa satisfactoriamente. La luz no es monocromatica, perolas franjas, que seran coloreadas, aun se pueden observar. Una aproximacionsatisfactoria a la luz monocromatica se puede obtener con un filtro colocadofrente al arco. Un laser He-Ne de baja potencia es quiza la fuente mas facil paratrabajar y con ella no se necesitara una celda de agua o filtro.

SECCION 5.4

Pelıculas Dielectricas. Interferencia de dos Haces

Los efectos de la interferencia se observan en materiales transparentes, elespesor de los cuales varıa en un amplio rango. El rango de valores va desdepelıculas con espesores menores que la longitud de onda de la luz (por ejemplo,para luz verde λ0 es aproximadamente igual a 1/150 el espesor de esta hoja depapel) hasta placas con varios centrımetros de espesor. Se dice que una capa dealgun material es una pelıcula delgada para cierta longitud de onda de radia-cion electromagnetica cuando su espesor es del orden de la longitud de onda.A cominezos de la decada de los cuarenta, el fenomeno asociado con pelıculasdelgadas dielectricas, aunque era bien conocido, habıa tenido aplicaciones limi-tadas. El despliegue espectacular de colores que aparece en las capas de aceite yen las pompas de jabon, aunque estetica y teoricamente son agradables, fueronpracticamente solo bellas curiosidades.

El advenimiento de tecnicas adecuadas de deposicion al vacıo en la decadade 1930 trajo consigo la capacidad de producir recubrimientos precisamentecontrolados a escala comercial y con eso, a su vez un renacimiento del interes.Durante la Segunda Gerra Mundial, ambos lados encontraban al enemigo conuna variedad de dispositivos opticos recubiertos y alrededor de 1960 se usabanprofusamente recubrimientos de multicapas.



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5.4.1Franjas de

IgualInclinacion

Inicialmente, se considerara el caso sencillo de una placa transparente yparalela de material dielectrico con un espesor d. Supongase que la pelıculaes no absorbente y que los coeficientes de reflexion de amplitud en las carasson tan bajos, que unicamente se necesitan considerarse los dos primeros hacesreflejados E1r y E2r (ambos han sufrido solo una reflexion). En la practica loshaces reflejados varias veces (E3r, etc.) por lo general decrecen muy rapidamente,como puede ser demostrado para las interfases entre aire-agua y aire-vidrio. Porel momento, se considerara a S como una fuente puntual monocromatica. Lapelıcula sirve como un dispositivo de division de amplitud, tal que E1r y E2r

pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtualescolocadas atras de la pelıcula. Los rayos reflejados son paralelos cuando dejan lapelıcula y se pueden unir en un punto P sobre el plano focal de un objetivo detelescopio o sobre la retina del ojo cuando esta enfocado al infinito. La diferenciade camino optico para los dos primeros rayos reflejados esta dada por:

Λ = nf

[(AB)

+(BC

)]− n1

(AD

)y puesto que

(AB)

=(BC

)= d/ cos θt,

Λ =2nfd

cos θt− n1

(AD

).

Ahora, para encontrar una expresion para(AD

), se escribe:(

AD)

=(AC)sin θi;

si se hace uso de la ley de Snell, esto se transforma en:(AD

)=(AC) nf

n1sin θi,

donde (AC)

= 2d tan θt. (5.15)

La expresion para Λ ahora es:

Λ =2nfd

cos θt(1− sin2 θt)

o finalmenteΛ = 2nfd cos θt. (5.16)

La diferencia de fase correspondiente y asociada con la diferencia de caminooptico es entonces justamente el producto del numero de propagacion del vacıoy Λ, es decir, k0Λ. Si la pelıcula esta sumergida en un solo medio, el ındice derefraccion se puede escribir simplemente como n1 = n2 = n. Hay que darsecuenta, por supuesto, que n puede ser menor que nf , como en el caso de lapompa de jabon en aire; o mayor que nf , como con una capa de aire entredos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habra un corrimiento adicionalen la fase como resultado de las reflexiones mismas. Hay que recordar que,independientemente de la polarizacion de la luz incidente, los dos haces, unoreflejado interna y el otro externamente, sufriran un cambio relativo de fase deπ radianes. De acuerdo a ello:

δ = k0Λ± π



y mas explicitamente

δ =4πnf

λ0d cos θt ± π (5.17)

o

δ =4πnf

λ0

√n2

f − n2 sin θi ± π (5.18)

El signo de corrimiento de fase no es relevante, de tal modo que se escogera elsigno negativo para hacer las ecuaciones un poco mas simples. En luz reflejadaun maximo de interferencia, un punto brillante, aparecera en P cuando δ = 2mπ,o sea, un multiplo par de π. En ese caso la ecuacion (5.17) puede ser arregladapara obtener

d cos θt = (2m+ 1)λf

4m = 0, 1, 2, . . . , maximos (5.19)

donde se ha usado el hecho de que λf = λ0/nf . Esto tambien corresponde amınimos en la luz transmitida. Los mınimos de interferencia en luz reflejada(maximos en transmitida) resultan cuando δ = (2m ± 1)π, es decir, multiplosimpares de π. Para tales casos la ecuacion (5.17) da:

d cos θt = 2mλf

4. (5.20)

El hecho de que aparezcan multiplos pares e impares de λf/4 en las ecuaciones(5.19) y (5.20) es bastante significativo, como se vera posteriormente. Se puede,por supuesto, tener una situacion donde n1 > nf > n2 o donde n1 < nf < n2

como en el caso de una pelıcula de fluorita depositada sobre un elemento opticosumergido en aire. El corrimiento de fase en π no se presentarıa y las ecuacionesanteriores tendrıan que ser modificadas apropiadamente.

Si la lente empleada para enfocar los rayos tiene una abertura pequena, lasfranjas de interferencia apareceran sobre una porcion pequena de la pelıcula.Solamente los rayos que salen de la fuente puntual, los cuales son reflejadosdirectamente hacia la lente, podran ser observados. Para una fuente extensa, laluz llegara a la lente desde varias direcciones y el patron de franjas se extenderapara cubrir una area mayor de la pelıcula.

El angulo θi o equivalentemente θt, determinado por la posicion de P , a suvez controlara δ. Las franjas que aparezcan en los puntos P1 y P2 son, corres-pondientemente, conocidas como franjas de igual inclinacion. Hay que recordarque cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respectoa las otras.

Observese que conforme la pelıcula se hace mas gruesa, la separacion(AC)

entre E1r y E2r tambien aumenta ya que:(AC)

= 2d tan θt.

Cuando solo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patron deinterferencia desaparecera. La lente mas grande de un telescopio puede ser usadaentonces para atrapar ambos rayos, haciendo una vez mas posible la observacion



del patron. La separacion tambien puede disminuirse reduciendo θt y por lo tantoθi, o sea, observando la pelıcula casi a incidencia normal. Las franjas de igualinclinacion observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como franjasde Haidinger. Con una fuente extendida ellas consisten de una serie de bandascirculares concentricas centradas sobre la perpendicular del ojo a la pelıcula.Conforme el observador se mueve, el patron tambien lo hace.

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5.4.2Franjas de

IgualEspesor

Existe toda una clase de franjas de interferencia para las cuales el espesoroptico, nfd, es el parametro dominante mas que θi. Estas se llaman franjasde igual espesor. Bajo iluminacion con luz blanca la iridiscencia de pompas dejabon, capas de aceite (con unas cuantas longitudes de onda gruesa), e inclu-so superficies de metal oxidado, todas ellas son resultados de variaciones en elespesor de la pelıcula. Las bandas de interferencia de este tipo son analogas alcontorno de lıneas de altura constante de un mapa topografico. Cada franja esel lugar geometrico de todos los puntos en la pelıcula para el cual el espesoroptico es constante. En general, nf no varıa, de tal modo que las franjas enrealidad corresponden a regiones de igual espesor en la pelıcula. Como tal, ellaspueden ser bastante utiles para determinar aspectos diferentes de la superficiede elementos opticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo, una superficie que va aser examinada se puede poner en contacto con un plano optico. 1 El aire entreel espacio de las dos superficies genera un patron de interferencia de pelıculasdelgadas. Si la superficie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas eigualmente espaciadas indicara una pelıcula de aire en forma de cuna, resultan-do proveniente, generalmente, del polvo entre los planos. Dos piezas de placasde vidrio separadas en un extremo por una tira de papel formaran una cunasatisfactoria con la cual se observaran estas bandas.

Cuando se ve casi a incidencia normal, los contornos provenientes de unapelıcula no uniforme se llaman franjas de Fizeau. Para una cuna delgada deangulo pequeno α, la diferencia de camino optico entre los dos rayos reflejadospuede ser aproximada por la ecuacion (5.16), donde d es el espesor para unpunto particular, es decir:

d = xα

Para angulos pequenos de θi la condicion para interferencia maxima es:(m+

12

)λ0 = 2nfdm

o (m+

12

)λ0 = 2αxmnf .

Puesto que nf = λ0/λf , xm puede escribirse como:

xm =(m+ 1

2

2α

)λf .

1Una superficie se dice que esta opticamente plana cuando se desvıa no mas de λ/4 res-pecto a un plano perfecto. En el pasado, los mejores planos fueron hechos de cuarzo fundidotransparente. Ahora hay disponibles materiales de vidrio-ceramica (por ejemplo, CER-VIT)que tiene coeficientes de expansion termica muy pequenos (alrededor de un sexto de los decuarzo). Se pueden hacer planos individuales de λ/200 o un poco mejores.



Los maximos ocurren a distancias del vertice dadas por λf/4α, 3λf/4α, etc., ylas franjas consecutivas estan separadas por una distancia ∆x, dada por:

∆x =λf

2α

Observese que la diferencia de espesor de la pelıcula entre maximos adyacenteses simplemente λf/2. Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruzala pelıcula dos veces (θi ≈ θt ≈ 0), los maximos adyacentes difieren en longitudde camino optico por λf . Tambien se observa que el espesor de la pelıcula paravarios maximos esta dado por:

dm = (m+12)λf

2

el cual es un multiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Cruzando lapelıcula dos veces se obtiene un cambio de fase de π el cual, cuando se suma alcorrimiento de π resultante de la reflexion, pone a los dos rayos en fase. Cuandouna pelıcula de jabon se ilumina con luz blanca las bandas son de varios colores.La region negra en la parte superior es una porcion donde el espesor de lapelıcula es menor que λf/4. Dos veces esto, mas corrimiento adicional de λf/2debido a la reflexion, es menor que una longitud de onda completa. Los rayosreflejados, por lo tanto, estan fuera de fase. Como el espesor decrece aun mas,la diferencia de fase total se aproxima a π. La irradiancia para el observadoralcanza un mınimo (5.5) y la pelıcula aparece negra en luz reflejada. 2

Si se presionan juntos dos portaobjetos de microscopio bien limpios. La pelı-cula de aire encerrada entre ambos generalmente no sera uniforme. con la ilumi-nacion ordinaria de una habitacion, una serie de bandas irregulares y coloreadas(franjas de igual espesor) seran claramente visibles sobre la superficie. Los por-taobjetos (laminas delgadas de vidrio) se distorsionaran si se someten a presiony por lo tanto las franjas se moveran y cambiaran. Es mas, si las dos piezas devidrio son presionadas juntas en un punto, por ejemplo, empleando la punta deun lapiz, se formara alrededor de ese punto una serie de franjas concentricas,casi circulares. Conocido como anillos de Newton. 3 Colocando una lente sobreun plano optico e iluminando a incidencia normal con luz cuasimonocromatica,la cantidad de uniformidad en el patron de cırculos concentricos es una medidadel grado de perfeccion en la forma de la lente. Siendo R el radio de curvaturade una lente convexa, la relacion entre la distancia x y el espesor d de la pelıculaesta dada por:

x2 = R2 − (R− d)2,

o mas simplemente por:x2 = 2Rd− d2

2El corrimiento relativo π de fase entre las reflexiones interna y externa es indispensablesi la densidad de flujo reflejada tiende a cero suavemente, conforme la pelıcula se hace masdelgada y finalmente desaparece.

3Robert Hooke (1635-1703) e Isaac Newton, ambos en forma independiente, estudiaronuna gama de fenomenos en pelıculas delgadas como pompas de jabon hasta pelıculas de aireentre lentes. Citando el libro Opticks de Newton:

Tome dos objetos de vidrio, el uno una lente plano-convexa para un telescopio de catorcepies, y el otro una lente doble-convexa para uno de quince pies; despues de esto, la otra con sulado plano hacia abajo, las presione lentamente hasta hacer aparecer colores en forma sucesivaque salıan de en medio de los cırculos.



Puesto que R� d esto se convierte en:

x2 = 2Rd.

Nuevamente se aproximara suponiendo que se necesita unicamente examinar losprimeros dos haces reflejados E1r y E2r. El m-esimo orden de interferencia paraun maximo ocurrira en la pelıcula delgada cuando su grueso este de acuerdo conla relacion:

2nfdm =(m+

12

)λ0.

El radio del m−esimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando lasdos ultimas expresiones para obtener:

xm =

√(m+

12

)λfR. (5.21)

Igualmente, el radio del m-esimo anillo negro es:

xm =√mλfR. (5.22)

Si las dos piezas de vidrio estan en buen contacto (sin polvo), la franja centralen ese punto (x0 = 0) claramente sera el mınimo de orden cero, un resultadocomprensible puesto que d se hace cero en ese punto. En luz transmitida, elpatron observador sera el complementario del de luz reflejada discutido antes,de tal modo que el centro aparecera ahora brillante.

Los anillos de Newton, que son franjas de Fizeau, pueden distinguirse delpatron circular de franjas de Haidinger por la manera como los diametros de losanillos varıan con el orden m. La region central en el patron de Haidinger co-rresponde al valor maximo de m mientras que justamente lo opuesto se aplicaraa los anillos de Newton.

Un taller de optica en el negocio de produccion de lentes tendra un conjuntode precisas placas esfericas de referencia o medidores. Un disenador puede en-tonces especificar la precision de la superficie de una lente nueva en terminos delnumero y regularidad de los anillos de Newton, los cuales seran observados conun instrumento de prueba particular. Se debe mencionar que el uso de placas deprueba en la manufactura de lentes de alta calidad da lugar a tecnicas muchomas complicadas incluyendo interferometros de laser.


CAPITULO 6

Difraccion

Indice General

6.1. Difraccion de Fraunhofer por una Rendija . . . . . 90

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CAPITULO 6. DIFRACCION

SECCION 6.1

Difraccion de Fraunhofer por una Rendija

Considerese que se ilumina una pantalla con un foco puntual y coherente S,de longitud de onda λ y se interpone entre dicho foco y la pantalla un diafragmaformado por una rendija de anchura a, de manera que la distancia L entre eldiafragma con la rendija y la pantalla sea mucho mayor que la anchura de larendija a.

Hechas estas consideraciones y teniendo en cuenta que la luz presenta doscomportamientos muy distintos la pregunta es ¿se observara en la pantalla lomismo si es uno u otro el modo de interaccion de la luz? Pues bien, dependiendode la naturaleza que supongamos para la luz dos son los posibles resultados deeste experimento, que se describiran a continuacion.

Atendiendo exclusivamente a la naturaleza corpuscular de la luz esto es loque se deberıa ocurrir: Los fotones se propagan en todas direcciones desde elfoco puntual S, extendiendose por todo el espacio; algunos de ellos viajaran endireccion a la pantalla, pero al estar interpuesto el diafragma entre el foco y lapantalla parte de estos ultimos se pegaran contra la placa del diafragma y ahıfinalizara su viaje, de manera que sobre la pantalla se proyectara la sombra deldiafragma; sin embargo, otros (los que salen del foco S formando un pequenoangulo) conseguiran pasar a traves de la rendija y llegaran a la pantalla ilumi-nandola. Segun esta descripcion el resultado final que cabe esperar es que seobserve una zona iluminada semejante a la abertura, con contornos nıtidos ybien delimitados entre la luz y la sombra.

Sin embargo si se atiende a la naturaleza ondulatoria de la luz, el estudiodel fenomeno es mas complicado, pues deberıa ocurrir lo siguiente: Un frente deondas esferico se propaga desde el foco puntual a traves del espacio, si ademasel foco puntual esta alejado del diafragma y la rendija de este es relativamentepequena, se puede considerar que el frente de ondas incidente sobre la rendijaes plano. De acuerdo con el principio de Huygens, cada punto sobre el frentede ondas realiza el mismo papel que un foco puntual, emitiendo a su vez, fren-tes de onda esfericos. Estos nuevos frentes de ondas producidos en la rendijaestan destinados a interaccionar unos con otros. Se produciran fenomenos deinterferencia en los cuales unos frentes de ondas al interferir con otros se re-forzaran (interferencia constructiva) mientras que en otros casos se debilitaran(interferencia destructiva).

La interferencia constructiva maxima entre dos frentes se producira cuandoambos frentes esten en fase, o lo que es lo mismo, cuando en las ondas de cadafrente coinciden espacialmente crestas y nodos; en este caso las amplitudes delas ondas se sumaran y la amplitud resultante sera maxima. La condicion deinterferencia constructiva entre dos frentes de ondas es que el angulo de desfaseentre ambos sea 0 o 2πm, siendo m un numero entero. Toda interferencia quese produzca entre dos frentes de ondas diferente de la descrita dara lugar a on-das con amplitud menor que la maxima, pudiendo incluso darse extinciones enel caso particular de que los frentes que interfieran esten desfasados en medialongitud de onda, (cuando las crestas de las ondas de un frente coinciden espa-cialmente con los valles de las ondas de otro frente) en este caso la suma de lasondas de dichos frentes dan lugar a amplitudes de radiacion mınimas, que seconoce como interferencia destructiva. La condicion de interferencia destructiva


6.1. DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA

entre dos frentes de ondas es que el angulo de desfase entre ambos sea π o πm,siendo m un numero entero.

Para analizar la distribucion de la intensidad luminosa en la pantalla traslas interferencias de los frentes de onda procedentes de la rendija, considereseun punto generico de la pantalla P situado en ella, de manera que el tren deondas procedente de uno de los focos se propaga hasta P formando un anguloθ con respecto a la normal a la rendija. Puesto que la rendija es pequena y lapantalla se encuentra muy alejada del diafragma, se puede considerar que losrayos (o mejor dicho, las lıneas directrices a lo largo de las cuales se propaganlas ondas luminosas) que llegan al punto P de la pantalla salen paralelos entresı de los focos puntuales situados en la rendija. Considerese tambien que larendija de anchura a se divide en N subintervalos iguales tales que en el mediode cada subintervalo haya un foco puntual emisor de ondas luminosas. Si sedenota por d a la distancia entre dos focos puntuales adyacentes y puesto quela anchura de la rendija es a, resulta que la distancia de separacion d entre dosfocos adyacentes es d = a/N . Esta distancia de separacion entre los focos haceque exista una diferencia de trayectos entre las ondas que de ellos salen haciael punto P , siendo, a su vez, esta diferencia de trayectos la causa de que entreestas ondas haya una diferencia de fase dada por:

δ =2πλd sin θ (6.1)

Se puede calcular la amplitud de la radiacion en el punto P , para el cual lasondas procedentes de dos fuentes adyacentes difieran en una fase igual a δ.La siguiente figura muestra el diagrama de fasores para la suma de N ondasprocedentes de los N focos puntuales que difieren de fase de la primera onda enδ, 2δ, . . . , (N − 1)δ. Cuando N es muy grande y δ muy pequena, el diagrama defasores es aproximadamente un arco de circunferencia, pero en cualquier casose puede escribir φ = (N − 1)δ, siendo φ la diferencia de fase existente entrela onda del primer foco y la onda del ultimo foco. La amplitud de la radiacionresultante en el punto generico P es Eθ, que resulta ser la longitud de la cuerdade este arco, y se calcula en funcion de la diferencia de fases entre la onda delprimer foco y la onda del ultimo foco.

Del anterior diagrama de fasores se tiene:

Eθ = 2r sin12φ (6.2)

Donde r es el radio del arco, que puede calcularse en funcion de la longitud delarco y el angulo de desfase φ entre la primera y ultima ondas.

r =NE0

φ(6.3)

Donde E0 es la amplitud de la radiacion de cada foco independiente de losdemas. Sustituyendo esta expresion en la precedente se obtiene:

Eθ = 2NE0

φsin

12φ⇒ Eθ =

NE012φ

sin12φ (6.4)



La amplitud maxima de la radiacion (y por tanto su intensidad) se dara en aquelpunto en el que todas las ondas interfieran constructivamente, de manera quese satisfaga que el desfase de todas las ondas es 0, situacion que se da cuandoθ = 0 y en este caso la amplitud maxima es NE0, y puesto que la intensidadde la radiacion en cualquier punto de la pantalla es proporcional al cuadradode la amplitud de la radiacion incidente en dicho punto, se obtiene la siguienteexpresion para la intensidad de la radiacion en el punto generico P :{

Imax ∝ (NE0)2

Iθ ∝ E2θ

⇒ IθImax

=E2

θ

(NE0)2⇒ Iθ = Imax

E2θ

(NE0)2⇒

⇒ Iθ = Imax1

(NE0)2

(NE0

12φ

sin12φ

)2

es decir:

Iθ = Imax

(sin 1

2φ12φ

)2

(6.5)

El segundo factor del segundo miembro no hace mas que modular la intensidadmaxima Imax, ya que toma valores entre 0 y 1 dependiendo del desfase φ entrela primera y ultima onda. El desfase φ depende del desfase existente entre dosondas de dos focos adyacentes, que a su vez, depende del angulo θ formadopor la lınea de propagacion de las ondas hasta un punto P en la pantalla y lanormal a la rendija. Esta dependencia de la intensidad con el angulo θ da lugar amaximos y mınimos de difraccion sobre la pantalla. A continuacion se hara unadiscusion acerca de las distintas situaciones que se pueden dar segun la anteriorexpresion:

1. Intensidad mınima. El valor mınimo posible de la intensidad en un puntoP de la pantalla es Iθ = 0. La situacion de intensidad mınima se producecuando el segundo factor de la expresion general de la intensidad vale0, que se produce cuando φ = 2πm, como bien puede comprobarse trassustituir dicho valor. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y eldesfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas porφ = (N − 1)δ, se llega a la conclusion de que φ = 2πm se cumple cuandoδ = 2πm/(N − 1) ≈ 2πm/N (cuando N es grande). Esto significa quetodos los fasores se hallan formando un polıgono regular cerrado. Por otrolado, como el desfase entre dos ondas adyacentes esta relacionado con elangulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situacion δ = 2πm/N se dacuando a sin θ = mλ:

δ =2πλd sin θ ⇒ 2πm

N=

2πλd sin θ ⇒ mλ = Nd sin θ

Puesto que d = a/N se obtiene finalmente:

a sin θ = mλ m = 1, 2, 3, . . . (6.6)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un angulo θcon respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresion anterior sehalla en oscuridad, es decir:

Iθ = 0 (6.7)


6.1. DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA

2. Maximos relativos de intensidad. En los puntos P de la pantalla en los queno se cumpla la anterior condicion es evidente que no habra oscuridad. Endichos puntos incidira siempre algo de radiacion, aunque sea muy poca, yel valor de su intensidad oscilara entre 0 < Iθ ≤ Imax. Esta situacion seproduce cuando el segundo factor de la expresion general de la intensidadvale entre 0 y 1, que se produce cuando φ 6= 2πm. De todos los valoresposibles que puede tomar φ, existen algunos para los que la intensidad enla pantalla presenta maximos relativos. Estos maximos relativos aparecencuando φ = 2π(m + 1

2 ). Como el desfase entre dos ondas adyacentes yel desfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas porφ = (N − 1)δ, se llega a la conclusion de que φ = 2π(m + 1

2 ) se cumplecuando δ = 2π(m+ 1

2 )/(N−1) ≈ 2π(m+ 12 )/N (cuando N es grande). Esto

significa que todos los fasores se hallan completando m circunferencias ymedia, aproximadamente. Por otro lado, como el desfase entre dos ondasadyacentes esta relacionado con el angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurreque la situacion δ = 2π(m+ 1

2 )/N se da cuando a sin θ = (m+ 12 )λ:

δ =2πλd sin θ ⇒

2π(m+ 1

2

)N

=2πλd sin θ ⇒

(m+

12

)λ = Nd sin θ

Puesto que d = a/N se obtiene finalmente:

a sin θ =(m+

12

)λ m = 1, 2, 3, . . . (6.8)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un angulo θcon respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresion anterior sehalla iluminado con la siguiente intensidad:

Iθ = Imax

[1(

m+ 12

)π

]2

m = 1, 2, 3, . . . (6.9)

Estos maximos relativos reciben el nombre de maximos secundarios de di-fraccion, lo hace suponer que debe existir un maximo principal. Pues bien,es a este maximo principal al que corresponde la situacion de iluminacioncon intensidad maxima en la pantalla.

3. Intensidad maxima. El valor maximo posible de la intensidad en un puntoP de la pantalla es Iθ = Imax. La situacion de intensidad maxima seproduce cuando el segundo factor de la expresion general de la intensidadvale 1, que se produce cuando φ = 0, como bien puede comprobarse trassustituir dicho valor y eliminar previamente la indeterminacion tipo 0

0mediante la regla de L‘Hopital. Como el desfase entre dos ondas adyacentesy el desfase entre las ondas del primer y ultimo foco esta relacionadas porφ = (N − 1)δ, se llega a la conclusion de que φ = 0 se cumple cuandoδ = 0. Esto significa que todos los fasores estan en lınea, o lo que es lomismo, que las ondas procedentes de todos los focos estan en fase. Por otrolado, como el desfase entre dos ondas adyacentes esta relacionado con elangulo θ por δ = 2π/λ ·d sin θ, ocurre que la situacion δ = 0 se da cuando:

δ =2πλd sin θ ⇒ 0 =

2πλd sin θ



Que ocurre cuando:θ = 0o (6.10)

Y como se decıa, la intensidad en este caso es:

Iθ = Imax (6.11)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un angulo θigual a 0 con respecto a la normal a la rendija, se halla iluminado porradiacion de intensidad maxima igual a Imax (y amplitud maxima NE0).

La distancia existente ∆y entre el maximo principal y el primer mınimo dedifraccion esta relacionada con el angulo θ y la distancia L que separa la rendijade la pantalla por:

tan θ =∆yL

Puesto que la pantalla esta bastante alejada del diafragma, el angulo θ es muypequeno y puede hacerse la aproximacion tan θ ≈ sin θ, de manera que la anteriorexpresion se convierte en:

sin θ =∆yL

Sustituyendo el valor de sin θ de la anterior ecuacion en la expresion que carac-teriza los mınimos de difraccion, se obtiene finalmente:

∆y =Lλ

a(6.12)

Finalmente, la descripcion del fenomeno que se observarıa es la siguiente: lamayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un maximo central dedifraccion ancho, aunque, existen bandas de maximos secundarios mas pequenosa cada lado del maximo central. Para una longitud de onda determinada λ, laanchura del maximo central varıa en razon inversa con la anchura de la rendija.Es decir, si se aumenta la anchura de la rendija a, disminuye el angulo θ en que laintensidad es por primera vez nula, originandose un maximo de difraccion centralmas estrecho. Inversamente, si disminuye la anchura de la rendija, aumentael angulo correspondiente al primer mınimo, dando ası un maximo central dedifraccion mas ancho. Cuando la rendija es muy pequena, no existen puntosde intensidad nula en el diagrama, pues en este caso la rendija actua comouna fuente lineal, radiando energıa luminosa esencialmente por igual en todasdirecciones. Si, por el contrario, la rendija es muy ancha (mucho mayor que lalongitud de onda de la radiacion), simplemente no se observaran los fenomenosde interferencia y difraccion.

Como puede verse, el tamano de los objetos que interaccionan con la luzinfluye en el comportamiento de esta, mostrandose fundamentalmente comocorpusculos (fotones) con objetos macroscopicos, y como ondas con objetos quetienen un tamano similar a la longitud de onda de la luz.


Bibliografıa

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