Ontwerp van een directieve draadantenne met parasitaire ...

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep INTEC

Voorzitter: Prof. Dr. Ir. P. Lagasse

Ontwerp van een directieve draadantenne met

parasitaire stralers via een

optimalisatie-algoritme gebaseerd op het gedrag

van mierenkolonies

door

Jan AELTERMAN

Promotor: Prof. Dr. Ir. H. Rogier

Begeleider: Ir. R. Goossens

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van

burgerlijk elektrotechnisch ingenieur

Academiejaar 2006–2007

Voorwoord

Een jaar werken met mieren laat zijn sporen na op een mens. Dat jaar dan beeindigen zonderdiploma van bioloog maakt het zelfs nog meer bijzonder. Er is een gekende uitdrukking die luidt:

”life always finds a way”. Dat er veel waarheid zit in die uitspraak heb ik aan de lijve mogenondervinden. Zelfs virtuele mieren zijn in staat tot fantastische dingen, maar dat heeft ook eennegatieve kant. Zelfs bij een slecht of fout ontworpen algoritme zorgen de mechanismen achterde virtuele mieren ervoor dat het algoritme aanvaardbaar blijft werken. Daardoor is het zeermakkelijk om fouten te maken die onopgemerkt blijven of zelfs om een slecht ontworpen algoritmevoor te stellen als een correct, praktisch bruikbaar, werkend algoritme. Het was dus ook een jaarvan proberen en herbeginnen bij het zoeken naar een correcte methodologie om zo een probleemaan te pakken. Uiteindelijk meen ik die gevonden te hebben door een rigoureuze statistischeanalyse van convergentiefenomenen, getuige daarvan de hoeveelheid convergentiegrafieken indeze scriptie.

Teveel mensen (en virtuele diertjes) om op te noemen verdienen mijn dank. Eerst en vooralnatuurlijk mijn promotor prof. dr. ir. Hendrik Rogier en begeleider ir. Roald Goossens omwillevan de onvoorwaardelijke hulp, steun, tips en originele ideeen die zij aanbrachten en voor hetfeit dat zij altijd klaarstonden. Rest mij ook nog hen te bedanken voor de vrijheid die ze mijtoevertrouwden om de thesis te sturen in de richting waarin ik verkoos. Deze heeft ervoorgezorgd dat het ook een jaar van zelfstandig ontdekken en ervaring opdoen is geworden, op eenmanier die contrasteert met de klassieke manier van kennis opdoen aan de universiteit zoals iktot nu toe gewoon was, maar die naar mijn mening minstens even nuttig is.

Daarnaast wil ik ook nog mijn vrienden bedanken, in het bijzonder Evy, samen gestresseerd zijnis altijd leuker dan alleen, en Guus, de klaagmuur voor mijn thesis beslommeringen. Verder ooknog excuses aan Jasmien, Pieter, Jeroen, Wouter, Johan, Sander, Frederik, Mike, Erik, Sarah enalle mensen die ik dan nog vergeten ben voor alle ongemakken die mijn thesis jullie rechtstreeksof onrechtstreeks heeft aangedaan. Ik wens ook nog mijn ouders bedanken voor het geduld datzij met mij hebben gehad.

i

Toelating tot bruikleen

”De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen vande scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met be-trekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultatenuit deze scriptie.”

Jan Aelterman, mei 2007

ii

iii

Ontwerp van een directieve draadantennemet parasitaire stralers via een

optimalisatie-algoritme gebaseerd op hetgedrag van mierenkolonies

door

Jan AELTERMAN

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graadvan burgerlijk elektrotechnisch ingenieur

Academiejaar 2006–2007

Promotor: Prof. Dr. Ir. H. ROGIERBegeleider: Ir. R. GOOSSENS

Faculteit IngenieurswetenschappenUniversiteit Gent

Vakgroep InformatietechnologieVoorzitter: Prof. Dr. Ir. P. LAGASSE

Samenvatting

Het doel van deze thesis is het creeren en evalueren van een optimalisatiealgoritme waarmee hetontwerp van (draad)antennestructuren met parasitaire stralers kan worden aangepakt. Het be-treft een probabilistische optimalisatietechniek, Ant Colony Optimization genaamd, waarvan dealgemene principes en mogelijkheden in hoofdstuk 2 worden besproken. In hoofdstuk 3 wordtde fysica achter antenneroosters en meer specifiek UCA’s besproken. De kennis opgedaan inbeide hoofdstukken wordt dan gecombineerd in hoofdstuk 4 om een optimalisatiealgoritme, datoptimale fasesturing kan bepalen voor antenneroosters gestuurd met ideale stroombronnen, tecreeren en te perfectioneren. Daarnaast worden er technieken bekeken om het optimalisatiealgo-ritme complexe eisen op het stralingspatroon te laten optimaliseren. De keuze voor fasesturingvan stroombronnen is niet toevallig omdat het gelijkenissen vertoont qua eigenschappen vande zoekruimte met het type optimalisatieprobleem van hoofdstuk 5. In dat hoofdstuk wordthet in hoofdstuk 4 ontwikkelde algoritme aangepast om parasitaire stralers van antennestruc-turen te optimaliseren. Het algoritme wordt daar gebruikt om onbekende reactieve lasten tedimensioneren zodat gewenste effecten, die vrij ingewikkeld kunnen zijn, verkregen worden. Inhoofdstuk 6 worden de mogelijkheden van het algoritme bekeken, wordt het vergeleken metenkele bestaande technieken en worden tot slot enkele antennestructuren geoptimaliseerd.

Trefwoorden

Ant Colony Optimization, antenneroosters, bundelsturing, reactieve lasten, mutuele koppeling

Design of a directive wire antenna with parasiticradiators using an optimization algorithm based on

ant colony behaviourJan Aelterman

Supervisor(s): Prof. dr. ir. Hendrik Rogier, ir. Roald Goossens

Abstract—An Ant Colony Optimization(ACO) algorithm is implementedfor beamforming purposes in smart antenna systems. Special care has beentaken to create a reliable and fast implementation of the optimization algo-rithm. It has been applied to the optimization of reactive loads on parasiticradiators. The optimization technique is then used to evaluate the perfor-mance of reactive load beamforming in combination with complex radiatonpattern requirements.

Keywords—Ant Colony Optimization, antenna arrays, beamforming, re-active loads, mutual coupling

I. INTRODUCTION

SINCE the advent of mobile communications there has beenan ever growning demand for more users and higher data

rates. As it is quite undesirable, considering the price, of reserv-ing a larger piece of the electromagnetic spectrum for use in mo-bile communication systems, there is a growing interest in othertechniques for maintaining or increasing the channel capacitybetween the user device and the base station whilst keeping therequired bandwith limited. One of those techniques is the useof adaptive antenna systems. These systems use the combina-tion of DOA (direction of arrival) estimation techniques withadaptive beamforming techniques to create a truly ”intelligent”antenna system. New technologies, such as 4th generation ofmobile communications (4G) or the 802.11n (WLAN) standard,will rely heavily on intelligent antenna systems.

Fig. 1. used antenna array topology

We consider a UCA, consisting of 16 half-wavelength dipoleantennas around the center. In the center of the UCA, a voltage-driven dipole is placed. Each antenna of the UCA is loaded withan adjustable reactive load. The UCA is designed to operate at2.45GHz. By means of ACO, we determine the exact value ofthe loads such that the resulting radiation pattern satisfies theradiation pattern requirements.

II. ELECTROMAGNETIC MODEL UCA

A. Impedance matrix representation

The only driven antenna in the system is the center one, soone needs to calculate its effect on the parasitic radiators andvice versa in order to model the complete antenna system. Thisis done using the impedance matrix equivalent of the antennasystem. One effect of mutual coupling causes the impedancematrix to have non-diagonal elements that are non-zero. Anyimpedance added in series with an antenna port will result in thisimpedance being added as a diagonal element to the impedancematrix representation [1]. The set of reactances added to the par-asitic radiators is then regarded as a diagonal matrix jX beingadded to the impedance matrix. This formalism provides a wayto calculate the currents flowing through the antenna terminals.

I = (Z + jX)−1V (1)

V is the excitation vector, which only has one non-zero compo-nent V0 for the driven antenna.

B. Influence on radiation pattern

Mutual coupling, as described by the impedance matrix, haslarge impact on the radiation pattern, which we’re trying to con-trol. Splitting the effect of the center element from that of theUCA elements, this is calculated using the currents obtained in(1), circular symmetry and the superposition principle

Ftot(θ, φ) = I0F0(θ, φ) +N∑

n=1

InF1(θ, φ−n− 1

N2π) (2)

Where Fn(θ, φ) is the radiation pattern of the individual antennaelement n with the other antenna terminals being open-circuited.The presented algorithm calculates these once, using the NEC-2simulator, but they could just as well be derived from experi-mental data.

III. ANT COLONY OPTIMIZATION

A. Introduction

ACO is based on the behaviour of large groups of ants, morespecifically, the way in which they organize themselves gather-ing food. Real-life ants use pheromones to attract other ants topaths along which they are likely to find food. In the process,the attracted ants dispense their own pheromones, which leadsto more attracted ants. This is a positive feedback process thatquickly leads to the entire colony finding the optimal path to andfrom the food source.

iv

B. Implementation

The traditional food harvesting mechanism has been con-verted to a continuous ACO algorithm for beamforming pur-poses. In this article it’s used to optimize X for beamformingpurposes. A detailed explanation of the derived algorithm canbe found in [2].

IV. RADIATION PATTERN DEMANDS

Beamforming requirements are very often provided as a setof continuous demands on the radiation pattern. As digital sig-nal processing inevitably implies a discretisation of the radiationpattern, one also has to decide which sampling frequency to usefor the continuous demands. This is important because there is alinear relationship between the execution time and the samplingfrequency. In [3], it is proven that the radiation pattern is a bandlimited signal for the azimuth angle φ. In [2] this has been usedto propose a proportional relationship between the minimum re-quired sampling frequency fs and the electrical size k0r of auniform circular array.

fs >k0r

π(3)

k0rπ is equivalent to the Nyquist rate. Simply using the Nyquist

rate however, is not enough as it can still result in overshoot be-cause a sine function reaches its maximum in between samples.This is illustrated in figure 2 where the algorithm has attemptedto suppress the side lobe level by 20dB for azimuth angles be-tween φ = 90 and φ = 180. This optimization was performedfor the UCA fed by phase-controlled ideal current sources. Theradius of this array is λ, so the Nyquist rate is equal to 2 sam-ples/radian. In practice it hase been found that five times theNyquist rate gives very satisfactory results [2].

Fig. 2. comparison between optimisation using the Nyquist rate and using fivetimes Nyquist rate

V. RESULTS

A. Algorithm performance

The proposed algorithm combines superposition as in (1) and(2) with an implementation of the ACO technique, optimizedfor speed and predictability, to provide a fast convergence. Ithas been compared to the 4nec2 genetic optimizer for solutionquality in function of the number of iterations and was found toprovide similar convergence characteristics [2]. There is how-ever, a huge difference in execution time. While the 4nec2 op-timizer uses the nec engine for the evaluation of every iteration,which causes that optimization process to take several hours, the

proposed algorithm uses the proposed superposition technique,which takes only fractions of a second. In that sense the algo-rithm could even be adapted for real-time purposes.

B. Optimization results

Figure 4 shows the result of the antenna gain maximizationproblem in the direction φ = 0 (in the direction of a UCAelement) and also for φ = 11.25 (in between UCA elements).This optimization was performed for the UCA in function ofvariable reactances consisting of a fixed inductance of 5nH inseries with a variable capacitance between 0.1pF and 10pF.

Fig. 3. result of the gain maximalisation process for the UCA on figure 1

The difference in main lobe gain in the two situations is0.3dB. Aside from the obvious main beam directivity, two largeside lobes come into view. These are only 4.5dB suppressedwith respect to the main beam. Using the technique sketched in(IV), an attempt was made to suppress these side lobes by 10dB.

Fig. 4. result of the gain maximalisation/side lobe suppression process for theUCA on figure 1

The best attainable side lobe suppression, without signifi-cantly comprimising the main beam gain and/or causing otherside lobes, is 6.5dB.

VI. CONCLUSION

It has been shown that ACO is suitable for beamforming usingreactive loads and that it is able to do so considering complexsets of requirements in real-time.

REFERENCES

[1] R. Vahldieck, B. Schraer, K. Rambabu, J. Bornemann, Design of reactiveparasitic elements in Electronic beam steering arrays, IEEE transactionson antennas and propagation, Vol. 53, No.6, June 2005.

[2] J. Aelterman, ontwerp van een directieve draadantenne met parasitairestralers via een optimalisatie-algoritme gebaseerd op het gedrag vanmierenkolonies, M.S. thesis, Ghent University, 2007.

[3] H. Rogier, E. Bonek, Analytical spherical-mode-based compensation ofmutual coupling in uniform circular arrays for direction-of-arrival estima-tion, International journal of electronics and communications, Vol. 60, No.2, February 2006.

v

Inhoudsopgave

1 Inleiding 11.1 Evolutie in antennegebruik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gebruikte aanpak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Ant Colony Optimization 72.1 Achtergrond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 De natuur als leiddraad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Concrete Implementatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Implementatie voor continue problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Van discreet naar continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Feromoondistributies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Feromoon onderhoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Gedrag van mieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5 Definitie van een pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Uniform Circulair Antennerooster 193.1 Voorstelling van de roosters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Mutuele koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Effect op het stralingspatroon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Impedantiematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3 Impedantiematrix van een uniform circulair antennerooster . . . . . . . . 25

3.3 Verband tussen de verschillende stralingsvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Verre veld stralingsvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Antennewinst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 UCA met stroombronnen 324.1 Algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Referentieprobleem: maximaliseren uitstraling in 1 richting . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Resultaat van fasecompensatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Algoritme 1: het klassiek algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Algoritme 2: samenvatten van de resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.4 Resultaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

vi

Inhoudsopgave vii

4.3 Complexere kostfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 Maximalisatie en minimalisatie van het uitgestraald elektrisch veld in

meerdere richtingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Continue en verfijnde eisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.3 Optimalisatie naar antennewinst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Gebruik van Fourier technieken om de zoekruimte te verkleinen . . . . . . . . . . 66

5 Toepassing: UCA met centraal element en lasten 685.1 Bepaling stralingspatroon uit lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Bepaling antennewinst uit lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Aanpassing algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Maximaliseren stralingsvector in een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Maximaliseren antennewinst in een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6 Maximaliseren antennewinst bij complexe probleemopgave . . . . . . . . . . . . . 83

6 Resultaten en toepassingen 876.1 Vergelijking met een analytische methode met monopolen . . . . . . . . . . . . . 876.2 Vergelijking met andere optimalisatie algoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3 Toepassing: het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 Effect van discretisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5 Gemeenschappelijke optimalisatie naar andere parameters . . . . . . . . . . . . . 996.6 Optimalisatie van andere structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Besluit 104

A Gemiddelde convergentie random algoritme 107

B Boxplots 108

Bibliografie 109

Lijst van figuren 111

Lijst van tabellen 115

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Evolutie in antennegebruik

Intelligente antennesystemen (Smart antenna systems) is een term die gebruikt wordt bij anten-nesystemen, typisch roosters, die met de hulp van signaalverwerking in staat zijn om invalsricht-ing van een vlakke golf te schatten (algoritmes zoals MUSIC of ESPRIT). Daarnaast moet hetsysteem ook beschikken over de signaalverwerking en de nodige hardware om aan beamformingof bundelsturing te kunnen doen. Dit soort systemen wordt eigenlijk al lang gebruikt. Sinds deopkomst van tracking radar in de jaren ’30 wordt al gebruik gemaakt van systemen die hun stra-lingspatroon aanpassen aan externe factoren(het doelwit) tijdens de werking van het systeem.In die tijd gebeurde dat meestal op mechanische wijze.

Figuur 1.1: Wurzburg-D tracking radar

Niet-mechanische technieken om aan bundelsturing te doen, gebaseerd op antenneroosters eninterferentie, zijn in feite ook al oud. Reeds bij de vroegste vormen van sonar werden faseroostertechnieken gebruikt om aan akoestische bundelsturing te doen bij het opsporen van onderzee-boten. De gebruikte technieken zijn dus vaak ouder dan men meent te denken.

Wat wel sterk veranderd is de laatste jaren, is de vraag naar persoonlijke draadloze en mobielecommunicatie. Vandaag de dag heeft iedereen zijn persoonlijke GSM-toestel. Een kenmerk van

1

Hoofdstuk 1. Inleiding 2

de boom in mobiele communicatie is de toenemende vraag naar bandbreedte. Waar men zichin de begintijd van 2G (GSM e.d.) tevreden stelde met een 13kbit/s, volstaat dit de dag vanvandaag niet meer voor de toepassingen die men op het oog heeft. Men wil in staat zijn omvideobeelden te ontvangen, en dat liefst met een hoge resolutie, via internet te kunnen surfen,en dat liefst tegen hoge bitrates en dit alles met vele gebruikers tegelijk. Men kan niet toegevenaan deze alsmaar toenemende honger naar bandbreedte zonder het spectrum te verzadigen. Eennetwerk voor mobiele communicatie vereist immers bandbreedte per gebruiker in tegenstellingtot bijvoorbeeld een FM-radio zender waar alle ontvangers slechts een gebroadcast signaal ont-vangen. Bandbreedte in het elektromagnetisch spectrum is zeer duur, dus moet men proberenom de gestelde eisen in te lossen binnen de toegewezen band. Dit vereist creatieve oplossingenen in het verleden heeft men die gevonden. Voor de invoering van GSM heeft men bijvoorbeeldintensief gebruik gemaakt van het principe van een cellulair netwerk. Door het aardoppervlakte verdelen in kleine cellen, kan men spatiale diversiteit uitbuiten door de toegewezen band inelke cel te hergebruiken en de cellen onderling te verbinden via een bekabeld netwerk.

Figuur 1.2: spatiale diversiteit door een celstructuur

Dit was voldoende om elke gebruiker te voorzien van een aantal kbit/s data rate. De verschillendegebruikers in een cel delen echter wel nog steeds de bandbreedte binnen die cel. In een idealewereld zou men eigenlijk de hele toegewezen band kunnen geven aan elke gebruiker. Deze filosofieis gevisualieerd op figuur 1.3. Stel dat men elke gebruiker de hele band zou geven, dan zou eensterke interferentie het gevolg zijn. De idee is dan om deze sterke interferentie te onderdrukkendoor de inzet van intelligente antennesystemen met een sterke en flexibele directiviteit.


Figuur 1.3: schets van de toepassing van intelligente antennesystemen binnen een cel

Die intelligente antennesystemen kunnen dan gebruikt worden om stralingspatronen te genere-ren met hoge directiveit om die dan te richten naar een gebruiker of een zeer kleine groep. Alleaanwezige mobile devices in een cel vormen samen met het basis station een groep van mogelijkezender/ontvanger koppels. Beamforming wordt dan ingezet om zodanige stralingspatronen tevormen dat enkel bedoelde zender/ontvanger koppels grote antennewinsten noteren in elkaarsrichting. Bovendien zou het ideaal zijn om de stralingspatronen daarnaast nog eens zodanigbij te sturen dat de antennewinsten in de richting van niet bedoelde zender/ontvanger koppelsextra sterk onderdrukt worden. Men kan dit principe zien als een extreme vorm van spatialediversiteit waarbij men de cel onderverdeelt in zeer kleine gebieden die zich bovendien in de tijdwijzigen (figuur 1.3). In zo een zeer klein gebied kan dan de hele band gebruikt worden zondereen al te grote invloed van interferentie. Met de moderne mogelijkheden van digitale signaalver-werking en goedkope rekenkracht komen dit soort principes altijd maar meer in het gebied vande realiseerbare toepassingen. De aankomende standaard voor de vierde generatie van mobilecommunicatie (4G) alsook de nieuwe uitbreiding op de 802.11(Wi-Fi) standaard zijn verwachtom hun beloftes van hogere datarates (o.a.) in te lossen via intelligente antennesystemen [1][2].

In het licht van die vrij recente toename in interesse naar intelligente antennesystemen kanmen deze scriptie situeren. Een belangrijke groep intelligente antennesystemen zijn de anten-neroosters. Dit zijn systemen die behandeld worden als bestaande uit meerdere antennes diedoor hun nabijheid met elkaar interageren. Een facet van het onderzoek ernaar focusseert ophet bepalen van de optimale aansturing van een dergelijke antenne. In deze scriptie wordt ditprobleem aangepakt met behulp van een optimalisatiealgoritme. Een moeilijker probleem is ombeamforming te verwezenlijken door reactanties te varieren. In deze scriptie zal ingegaan wordenop een techniek die de aansturing van dit soort controlled reactance parasitic antennas [3] kanbepalen, steunend op het ontwikkelde optimalisatiealgoritme.


1.2 Gebruikte aanpak

In deze scriptie wordt eerst ingegaan op het ontwikkelen van het optimalisatiealgoritme. Omdathet een probabilistisch algoritme betreft dat evolutie naar een optimum modelleert, is er grotezorg besteed aan het ontwerp van het algoritme. Tijdens het ontwerp is immers naar bovengekomen dat probabilistische zoekalgoritmen zeer krachtig kunnen zijn, maar dat die eigenschaper ook voor zorgt dat ze verraderlijk kunnen zijn tijdens het ontwerp. Dit vereist enige toelicht-ing. Neem het extreme geval, waar men een algoritme bedenkt dat niets anders doet dan iteratiena iteratie random waarden kiezen en de beste waarde onthoudt. De kans dat er bij de k-de iter-atie een betere waarde wordt gevonden dan het tot dan toe gevonden optimum is 1

k . Bovendienzal de magnitude van de verbetering ook verkleinen (bij een uniforme zoekruimte). Beschouween probleem waarbij een variabele gekozen wordt tussen 0 en 1. Het optimum is de waardedie het dichtst bij 1 ligt. Het kan bewezen worden (zie bijlage A) dat de verwachting van demaximale waarde na k iteraties gegeven wordt door

xmax =k

k + 1(1.1)

Een eenvoudige manier om het effect van een zoekprobleem in meerdere dimensies in te zien,is door de kans op verbetering opnieuw te interpreteren. Voor een dimensie bedraagt deze 1

k .Als ondergrens kan men stellen dat er in meerdere dimensies pas verbetering optreedt als er inelk van de afzonderlijke dimensies tegelijk een verbetering optreedt. Die kans in N dimensieswordt dus 1

kN . Men kan dus stellen dat met k iteraties in het een-dimensioneel geval kN iteratiesin het multi-dimensionaal geval overeen komen. Anders gezegd, met k iteraties in het multi-dimensionaal geval komen N

√k iteraties in het een-dimensionaal geval overeen. Dit verband

voeren we als ruwe schatting in (1.1) en zo bekomen we de benadering (1.2) die de verwachtingvan de maximale waarde in een dimensie van een N-dimensionale zoekruimte geeft na k iteraties.

xmax ≈N√

kN√

k + 1(1.2)

Ter illustratie een schets van dit model naast een simulatie van een echt zes-dimensionaalzoekprobleem voor 50 000 iteraties.


Figuur 1.4: schetsmatige vergelijking van de convergentie van een random zoekalgoritme met het theo-retisch model ervan

Het model kent ruwweg hetzelfde verloop als de simulatie, dus is het bruikbaar om enkeleconclusies uit af te leiden. Het algoritme kent initieel een zeer snelle convergentie, maar stagneertook zeer snel. Het niveau waarbij die stagnatie optreedt is bovendien nog een eind verwijderdvan het optimum, wat misleidend is. Uitgaande van (1.2) kan men bepalen hoeveel iteraties hetduurt vooraleer men een bepaalde fractie f van het optimum bereikt (1.3) . Dit is getoond intabel 1.1.

k = (f

1− f)N (1.3)

% van optimum 1 dim 6 dim 16dim

70% 3 162 772021

80% 4 4096 4294967296

90% 9 531441 1853020189000000

99% 99 941480149400 85145777110000000000000000000000

Tabel 1.1: Convergentie van het random zoekalgoritme voor verschillende aantallen dimensies

Hier merken we weer de stagnatie op, bij zes dimensies duurt het slechts gemiddeld 162 iteratiesvooraleer 70% van het optimum bereikt is, convergentie naar 90% van het optimum duurt echtergrootteordes langer. Deze manier van convergeren moet steeds in het achterhoofd gehoudenworden bij het werken met probabilistische optimalisatietechnieken omdat ze zeer misleidendkan zijn. Het is niet omdat een gevonden maximale waarde schijnbaar geen wijzigingen meerondergaat, dat het optimum bereikt is. Dit verklaart de opmerking over het verraderlijk zijnvan dergelijke algoritmes bij het ontwerp ervan.


Het is in deze scriptie de bedoeling om een werkend optimalisatiealgoritme te gebruiken endaarom is er grote zorg besteed aan het convergentiegedrag tijdens het ontwerp van het algoritme.Het is immers belangrijk dat het onder alle omstandigheden en tijdens alle fases van de uitvoeringblijft werken. Veel meer dan men op het eerste gezicht zou denken, komt het namelijk voor dateen ondoordacht ontworpen algoritme, onder bepaalde omstandigheden, degenereert in een purerandom zoekmethode. Gezien het misleidend karakter van de pure random zoekmethode is eenfout dan snel gemaakt. Om convergentiefenomenen zichtbaar te maken, en zo inzicht te krijgenin de interne mechanismen van het algoritme, is een programma geschreven dat een statistischeanalyse maakt van de convergentie bij verschillende runs van het algoritme. Het gaat immers omeen probabilistisch algoritme en dus zal er spreiding bestaan tussen het convergentiegedrag vanverschillende runs. Op figuur 1.5 is het resultaat van een dergelijke analyse getoond. Dit soortgrafiek zal herhaaldelijk terugkomen doorheen deze scriptie. Ze toont de gemiddelde (tussen deverschillende runs) maximale oplossing op een bepaald percentage van de tijd die het algoritmegekregen heeft om uit te voeren. Daarnaast toont ze boxplots, dit zijn snapshots van de variantietussen de verschillende runs genomen op vaste tijdstippen (20%,40%,60%,80% en 100% van detotale uitvoeringstijd). Een uitleg over het principe van boxplots is terug te vinden in bijlageB. Voorts moet nog opgemerkt dat het programma in staat is om in te zoomen op gebieden endat is in sommige ook gevallen gebeurd.

Figuur 1.5: voorbeeld van een convergentiestatistiek

Met behulp van dit programma wordt het heel eenvoudig om op grote schaal statistische in-formatie uit het algoritme te halen (100den runs). Deze informatie is dan gebruikt om vat tekrijgen op de aan het werk zijnde mechanismen en zo gefundeerde beslissingen te maken omtrentde parameters van het algoritme. Deze manier van werken geeft een klare kijk op de werking vanhet algoritme, wat gezien het misleidend karakter van probabilistische optimalisatietechniekenniet overbodig is gebleken.

Hoofdstuk 2

Ant Colony Optimization

2.1 Achtergrond

Bij het oplossen van een probleem, in de ruimste betekenis van het woord, moet men steedsaan twee dingen aandacht schenken. Men zoekt eerst uit of er wel een oplossing is en probeertdie dan te zoeken. Daarnaast moet men zich afvragen of de gevonden oplossing ook de bestmogelijke oplossing is. De overgrote meerderheid van problemen die men kan ontmoeten zijnnamelijk van de soort dat er niet een oplossing is, maar dat er meerdere zijn. Het is dan dekunst om de beste oplossing te vinden.

Men zal typisch het probleem herleiden naar een wiskundige voorstelling ervan, al naargelanghet probleem kan deze uitgebreid of net heel eenvoudig zijn. Op die manier worden de parame-ters waarvan het probleem afhangt duidelijk zichtbaar. Men maakt dan een beslissing over deexacte definitie van het begrip beste oplossing. Dit kan bijvoorbeeld aan de hand van een kosten-functie. Een betere oplossing zal een set van parameters zijn die door de kostenfunctie wordengeevalueerd tot een lagere kost. Het komt er dus op aan om de minima van de kostenfunctie tevinden in functie van de geısoleerde parameters. Zo komt men bij de wiskundige discipline vande optimalisatietechnieken, deze zijn groot in aantal en zijn onder te verdelen in twee groepen.Men heeft enerzijds deterministische en anderzijds probabilistische methodes.

Deterministische methodes zullen vaak terugvallen op de gradient van de kostenfunctie. Mengaat op zoek naar de punten waar deze gradient nul wordt, dit zijn de extrema (2.1).

x ∈ Rn|∇kost(x) = 0 (2.1)

Men kan dan, bijvoorbeeld met de Hessiaanmatrix, evalueren of de gevonden extrema minima,maxima of zadelpunten zijn (2.2). Een dergelijke techniek wordt een gradient descent techniek

7

Hoofdstuk 2. Ant Colony Optimization 8

genoemd [4].

H(x) =

∂2kost

∂x20

· · · ∂2kost∂x0∂xN

.... . .

∂2kost∂xN∂x0

∂2kost∂x2

N

is positief definiet ⇒ x lokaal minimum

is negatief definiet ⇒ x lokaal maximum

positieve en negatieve eigenwaarden ⇒ x zadelpunt(2.2)

Omdat het niet de bedoeling is om dit soort deterministische optimalisatiemethodes toe tepassen, zullen we in wat volgt er ook niet verder op ingaan.

Het probleem is namelijk dat deze technieken een handelbare wiskundige voorstelling van dekostenfunctie in functie van de te optimaliseren parameters vereisen. Voor complexere problemenis die niet altijd voorhanden en moet men zijn toevlucht zoeken tot andere optimalisatietech-nieken. Het is voor deze omstandigheden dat de meeste probabilistische optimalisatietechniekenzijn bedacht.

2.1.1 De natuur als leiddraad

Eens het probleem op een wiskundige manier is voorgesteld, en men de n parameters waarvanhet probleem afhangt heeft geısoleerd, kan men het probleem voorstellen als een n-dimensionaleruimte waarin men een optimaal punt moet vinden. Dit is het soort situatie waarmee het dieren-rijk elke dag geconfronteerd wordt. Dieren gaan in hun omgeving (3-dimensionale zoekruimte)op zoek gaan naar het optimale plekje. Dit kan naargelang hun noden (het probleem), eenplek met drinkwater zijn, een plek waar voedsel aanwezig is of nog iets anders. Diersoorten dieefficienter zijn in deze zoektochten dan andere zullen het makkelijker hebben om te overleven.Natuurlijke selectie heeft er op die manier in de loop der millennia voor gezorgd dat de dier-soorten die we nu in de natuur zien hoogst efficiente zoekmethodes hebben ontwikkeld (figuur2.1). Het mag dan ook niet verbazen dat men zich bij een groot deel van de probabilistische opti-

Figuur 2.1: Charles Darwin


malisatietechnieken heeft laten inspireren door de natuur. Al deze methodes laten een oplossingevolueren tot wanneer ze aan de gestelde eisen voldoet. Een overzicht:

Evolutionary Algorithms(EA):

EA is een overkoepelende term voor probabilistische zoekmethodes met verschillende entiteitenwaarbij wordt gebruik gemaakt van random variaties op een oplossing en selectie van de betereoplossingen. Deze definitie is zeer algemeen en zorgt er ook voor dat men enorm veel algoritmenkan kaderen als een EA. Bij de verschillende EAs ziet men drie grote stromingen [5]:

1. Genetic Algorithms(GA): Dit is de meest populaire en meest mature soort van EA [6].Hetgeen GA onderscheidt van andere EA is de manier waarop de random variatie wordtuitgevoerd. Bij een GA modelleert men namelijk seksuele voortplanting op een genetischniveau. Dat wil zeggen dat men de oplossing van twee verschillende entiteiten gaat kruisen(cross-over) om zo nieuwe oplossingen te bekomen. Uit die nieuwe oplossingen (de off-spring) wordt dan een selectie gemaakt zodat enkel de beste zich kunnen voortplanten.Bovendien is er een kleine kans dat een nieuwe oplossing random is veranderd. Dit heetdan mutation.

2. Evolution Strategies(ES): ES verschilt op een aantal punten van GA. Men is hier nietmeer beperkt tot louter seksuele voortplanting, men kan zelfs meer dan twee ouders se-lecteren (panmictic). Bovendien wordt de dominante manier waarop men oplossingen zalveranderen mutation. Recombinatie krijgt hier een secundaire rol.

3. Evolutionary Programming(EP): Bij EP zal men enkel nog gebruik maken van mutationom aan nieuwe oplossingen te komen. Recombinatie of cross-over wordt compleet uit-geschakeld zodat de voortplanting hier aseksueel wordt. Men kan algoritmen zoals PSO(particle sawrm optimization) of ACO (ant colony optimization) zien als EP algoritmen.

Particle swarm optimization(PSO):

Dit type van algoritme modelleert het gedrag van zwermen of scholen in de natuur [7]. Elkeactor heeft een snelheid en een positie en zal zijn snelheid aanpassen naargelang de best gevondenpositie van de actor, de best gevonden positie van heel de zwerm en een random factor. Op diemanier zal de zwerm van actoren doorheen de zoekruimte bewegen om zo uiteindelijk optima tevinden.

Ant colony optimization(ACO):

Dit type algoritme modelleert het zoekgedrag van mieren naar voedsel. Initieel gaan mierenwillekeurig op zoek naar voedsel (figuur 2.2(a)). Terwijl mieren rondlopen scheiden ze fero-monen af. Feromonen zijn chemische stoffen die andere mieren aantrekken. De mier die hetsnelst voedsel vindt (figuur 2.2(b)) zal als eerste terugkeren naar het nest met een beetje voedsel


(figuur 2.2(c)). Omdat deze mier zo snel was heeft hij waarschijnlijk de dichtstbijzijnde voed-selbron gevonden. Wanneer hij dan weer vertrekt uit het nest om meer voedsel te gaan halen,zal hij de feromonen van alle mieren voelen, maar die van het pad dat hijzelf net had gelopentweemaal (gedeponeerd tijdens de heen- en de terugreis). Hij zal dus lichtjes meer geneigd zijnom (ongeveer) hetzelfde pad naar de bekende voedselbron te nemen (figuur 2.2(d)). Dit is eenpositief feedback mechanisme, goede paden worden vaak belopen en omdat ze vaak belopenworden liggen er meer feromonen en zullen mieren nog meer geneigd zijn om ze te volgen (figuur2.2(e)). Na verloop van tijd zullen alle mieren hetzelfde pad volgen naar de meest optimalevoedselbron. Het moet ook nog opgemerkt worden dat de mieren niet gebonden zijn aan de fer-omoonsporen, er is nog altijd een kleine kans dat een mier afwijkt van het feromoonspoor. Ditmechanisme laat toe dat mieren onverkende plaatsen bezoeken, maar ook dit zal veel waarschi-jnlijker gebeuren langs reeds bekende ”goede” paden zodat deze nog kunnen verbeteren. Alsextra mechanisme is er ook nog het ”verdampen” van feromonen. Na verloop van tijd vermin-dert de feromoonconcentratie van aangebrachte feromonen, wat helpt om weinig belopen en dusslechtere paden te onderdrukken.

2.2 Concrete Implementatie

Zoals de titel van deze scriptie al aangeeft, hebben we een Ant Colony Optimization (ACO)algoritme ontwikkeld. Om een idee te krijgen van hoe zo’n algoritme nu concreet het gedragvan mieren implementeert, zullen we nu een voorbeeld geven van een klassiek probleem en hoehet met ACO wordt opgelost. We zullen het zogenaamde Traveling Salesman Problem (TSP)oplossen [10]. TSP gaat over een set van n steden en een handelsreiziger die al deze steden moetaandoen. Hij wil dit zo snel mogelijk doen, dat wil zeggen door een zo klein mogelijke totaleafstand te moeten lopen. Voor elk koppel van twee steden is een afstand opgegeven (zie figuur2.3).

Figuur 2.3: schema van het TSP

Nu moet dit probleem vertaald worden in termen van mieren, paden en voedsel. Een permutatievan de n steden (met andere woorden, een mogelijke oplossing van het TSP) is de meest logischekeuze om te definieren als pad. Het concept voedsel zal typisch als een continu begrip beschouwdworden. Elk mogelijk pad krijgt een bepaalde kwaliteitswaarde of ”voedingswaarde”, zodat meneen continue waarde kan plakken op hoe goed een pad is. Dit zal men doen met een zogenaamde


(a) initieel lopen de mieren

willekeurig een richting uit bij

gebrek aan feromonen

(b) uiteindelijk vindt een mier

het voedsel, waarschijnlijk het

meest nabij gelegen voedsel

(c) een andere mier bemerkt

de verhoogde feromooncon-

centratie van de mier die reeds

tussen het nest en het voedsel

aan het lopen is

(d) meer mieren lopen over

het pad, de feromoonconcen-

tratie stijgt zodat nog meer

mieren zich tot het pad voelen

aangetrokken

(e) door het positief feedback

mechanisme zullen alle mieren

uiteindelijk het pad bewan-

delen zodat de mierenkolonie

de meest snelle manier heeft

gevonden om het voedsel naar

hun nest te brengen

Figuur 2.2: schets van het gedrag van mieren

kostenfunctie, deze is functie van een pad(dus aan een permutatie van de n steden) en evalueertwat de kost van dat pad is. De functie zal een hogere kost geven aan mogelijke paden die eengrote afstand voor de handelsreiziger tot gevolg hebben. Dit is nodig voor de goede werking,wanneer men aan een pad een binaire waarde zou hechten (goed of slecht), dan kan men er nietuit opmaken of men op de goede weg is naar een optimum of niet. Het algoritme is niet instaat om aan hill climbing te doen en verwatert van een gerichte zoekactie rond sub-optimaleoplossingen naar een volstrekte uniforme random zoektocht.

Men zou kunnen argumenteren dat het concept ”voedingswaarde” voor echte mieren niet con-tinue is en dat hun zoekmethode volgens de vorige redenering niet kan werken. Voor echtemieren heeft een pad ofwel voedsel ofwel geen voedsel, men zou dus kunnen denken dat hetconcept ”voedsel” discreet en zelfs binair is. Men moet echter bedenken dat een mier zal blijvendoorlopen, desnoods een aantal cirkeltjes zal lopen en hopeloze omwegen zal maken, om uitein-delijk toch aan de voedselbron te komen. De voedselwaarde (of kwaliteit) van dit pad zal dan


zeer laag zijn(de afstand is lang, dus de feromoonconcentratie is laag), maar cruciaal is dat elkpad ooit aan de voedselbron uitkomt. Zo ziet men dat echte mieren de ”voedingswaarde” vaneen pad in feite ook als continu beschouwen.

Nu de omgeving waarin de virtuele mieren zullen lopen gedefinieerd is, moeten de mieren zelfgedefinieerd worden. Een mier zal een een geprogrammeerde entiteit zijn die paden zal lopenin discrete tijd. Een pad is gedefinieerd als een permutatie van de n steden. Een mier zaldus een permutatie van die n steden uit figuur 2.3 construeren. Hij zal dit doen alsof hij dehandelsreiziger was, dat wil zeggen zich in de graaf verplaatsen van knoop tot knoop waarbij hijin elke knoop een zijde kiest om zijn pad te vervolledigen. Daarna zal de ”voedingswaarde” vandit pad bepaald worden aan de hand van de gedefinieerde kostenfunctie. Dan zal er op elke zijdevan het gekozen pad feromonen geplaatst worden afhankelijk van de kostenfunctie. Hoeveel ditis hangt af van een feromoonfunctie.

Figuur 2.4: mier moet een keuze maken

Daarmee is alles gedefinieerd wat een mier nodig heeft om een pad te belopen (om een permutatievan de n steden te kiezen). Zoals gezegd doet een mier dit zijde per zijde door een pad in de graafte lopen. Een mier moet dus in elke knoop van de graaf een keuze maken over welke zijde hijzal kiezen (figuur 2.4). Daarvoor gebruikt hij, zoals een echte mier, de feromonenconcentratie.Hij zal een kansverdeling opstellen aan de hand waarvan hij een keuze maakt. Dit kan iets zijnvan de vorm:

pi,j =

τi,j∑

k∈toegestaankτi,k

als j ∈ toegestaank

0 als j /∈ toegestaank

(2.3)

Specifiek voor het TSP is er ook de restrictie opgelegd dat een mier tijdens het opbouwen vanzijn pad een stad geen twee keer mag aandoen. Vandaar dat we ook over permutaties hebbengesproken en niet over herhalingsvariaties.

Met deze concepten kunnen we de decisieregel (2.3) toepassen op figuur 2.4 als voorbeeld. Degroene mier heeft tot nu toe al het gedeeltelijk pad ADE opgebouwd. Hij zit nu in knoop E enmoet kiezen of hij naar knoop B of naar knoop C gaat. Stel dat de feromoonconcentratie τe,b = 5en τe,c = 2, dan is de kans dat de mier knoop B kiest 71% en dat hij knoop C kiest 29% (2.3).Deze keuze legt ook de laatste keuze vast(er schiet dan maar een knoop over). Wanneer de mierknoop B kiest, is zijn geconstrueerde pad ADEBC wat een lengte van kost(ADEBC) = 325


mierenconcept TSP invulling voorbeeld

pad permutatie van n steden s s=cadbe

voedingswaarde kostenfunctie kost(s) kost(s) = |ca|+ |ad|+ |db|+ |be|feromoon-concentratie

aan elke zijde (i,j) van de graafis een getal τi,j verbonden

τd,b = 40.337

deponeren fe-romonen

feromoonfunctie f(kost(s))bepaalt de toename van τi,j

τd,b(t + 1) = τd,b(t) + ηkost(s)

feromoon-verdamping

functie τi,j = verdamp(τi,j)die τi,j doet verminderen

τd,b(t + 1) = στd,b(t)

gedrag mier kansverdeling waarmee eenzijde-keuze wordt gemaakt va-nuit een knoop

zie (2.3)

Tabel 2.1: vertaling van de cruciale concepten naar termen in het ACO algoritme

heeft. Dit zal aan τe,b(en aan de andere belopen zijden) η325 feromonen toevoegen. De andere

keuze resulteert in een totale lengte van kost(ADECB) = 350. De mier zal dan iets minderferomonen toevoegen langs de zijden van ADECB dan moest hij de andere keuze genomenhebben( η

350 tegen η325). De slechtere padkeuze zorgt voor minder feromonen en zal andere mieren

minder sterk aantrekken dan goede padkeuzes. Zo ontstaat de versterking van goede keuzes dieop zich weer zal leiden tot meer mieren die dezelfde goede keuzes zullen maken. De mierenzullen steeds in de buurt van goede oplossingen zoeken naar nog betere oplossingen.

Dit is een schets van een ACO algoritme waarmee TSP kan worden opgelost. Wanneer meneen ACO algoritme wil toepassen op een ander probleem, dan zal men steeds een keuze moetenmaken over hoe men de begrippen in tabel 2.1 zal interpreteren en implementeren. Voor eenACO algoritme, die om het even welk probleem oplost, zal men dan ook steeds een tabel zoalstabel 2.1 kunnen invullen.

2.3 Implementatie voor continue problemen

2.3.1 Van discreet naar continu

De eerste ACO algoritmen zijn geımplementeerd om te werken op een discrete zoekruimte (zoalsook het TSP). Wanneer men ACO algoritmen wil gebruiken om elektromagnetische problemenop te lossen zal men al snel de noodzaak voelen om te werken in continue zoekruimten. De meestvoor de hand liggende methode is om te kijken in tabel 2.1 welke punten men dient te veranderenom in een continue zoekruimte te werken. Het is makkelijk in te zien dat enkel het gedrag vande mieren, een uitdrukking van de vorm van (2.3), de mieren dwingt om zich te houden aandiscrete mogelijkheden. De mieren zullen daar wel continue waarden kiezen wanneer men nietzou werken met een discrete kansfunctie, zoals (2.3), maar met een continue kansdistributie of


probability density function(PDF) p(X).

Dit vereist ook een andere interpretatie van de feromoongetallen τ die we in het voorbeeld vanpunt 2.2 hebben gebruikt. Beschouwen we vanaf nu een eendimensionaal zoekprobleem.We zitten bijvoorbeeld in een discrete ruimte waar we een variabele X moeten kiezen uit 4keuzes(A,B,C,D), dan zal aan elke keuze een feromoongetal τ verbonden zijn. Deze discretekansverdeling noemen we PX . We kunnen dit visualiseren als figuur 2.5(a). Conceptueel kunnenwe dit ook voorstellen als een PDF, als de som van 4 geschaalde diracs (figuur 2.5(b)). Wanneerer aan de hand van die PDF een keuze maken wordt, dan komt men nog steeds uit bij die 4keuzes, dus is in de praktijk is er niets veranderd. Wat wel veranderd is, is dat er nu een kans isdat de mieren elk punt uit het continue domein van X zullen kiezen. Die kans is natuurlijk nulomdat er met dirac functies gewerkt wordt. Dit hoeft echter niet en zo komt men eenvoudig totde continue uitbreiding van het concept feromoongetal. De punten, waar men in het discretegeval een dirac zou plaatsen bij het aanbrengen van feromonen(zie tabel 2.1), gaan nu andersgeinterpreteerd worden als bvb. het gemiddelde van een normale distributie (figuur 2.5(c)) [11].

Zo kan men, via een lichtjes andere interpretatie van feromoongetallen, een PDF opstellen, ditwas de vereiste die we zonet hadden aangeduid. Het ACO algoritme werkt nu in een continuezoekruimte.

(a) Visualisatie van de 4

keuzes en hun respectievelijk

feromoongetal τ

(b) equivalent PDF van de

vorige situatie met geschaalde

diracs

(c) vervanging van dirac

PDFs door normale distribu-

ties zodat elke waarde voor X

kan bekomen worden

Figuur 2.5: Evolutie van discreet naar continu mierengedrag

2.3.2 Feromoondistributies

In de vorige paragraaf is het gebruik van normale distributies voorgesteld voor het deponerenvan feromonen. Een andere mogelijkheid voor het opbouwen van de kansdichtheidsfunctie is hetwerken met veel eenvoudigere driehoekdistributies. Deze vereisen ook minder rekentijd (al zijner zeer efficiente random getallen generatoren gebaseerd op bvb het box-muller algoritme [9]).


Er zijn nog vele andere mogelijkheden om als feromoondistributie te gebruiken.

Alle mogelijke feromoondistributies hebben echter een grotere complexiteit dan de feromoonge-tallen τ uit het discrete geval. Een normale distributie wordt bijvoorbeeld ook nog gekarak-teriseerd door een standaardafwijking. Ook bij driehoekdistributies (die men kan zien als eenbenadering van normale distributies) heeft men een soortgelijk concept, de breedte van de basisvan een driehoekje. Dit breedte-concept is een extra vrijheidsgraad die de ontwerper van hetcontinue ACO algoritme kan kiezen. Men kan deze simpelweg constant kiezen, of men kan debreedte laten afhangen van de kwaliteit van de oplossing,...

Een interessant voorstel dat in de literatuur [11] wordt gedaan is om de breedte te laten afhangenvan de spreiding van de mieren (2.4).

σ ≈ max(x1..N )−min(x1..N ) (2.4)

Hier is σ de breedte (of standaardafwijking) van de feromoonpiek en is xn de keuze die mier nmaakt in het zoekdomein X. Initieel zullen de mieren het hele zoekdomein uniform bestrijken,de spreiding van de mieren is groot, dus zullen zal de breedte van de feromoonpiek ook grootzijn. Later, wanneer de mieren rond een pad (een bepaald gebied van het zoekdomein) begin-nen te zwermen, is de spreiding kleiner en zal de breedte σ van de feromoonpiek ook kleinerzijn. Zo komt er een secundair effect van positieve terugkoppeling in het spel. Eens mieren eenveelbelovende oplossing vinden en ze errond beginnen zwermen, zullen de feromoonpieken vers-mallen zodat de mieren extra geneigd zullen zijn om nog meer rond die veelbelovende oplossingte zwermen (de kans is immers groter dat het optimum daar te vinden is).

2.3.3 Feromoon onderhoud

Feromoon onderhoud is een overkoepelende term voor alle mechanismen die de kansdistributiesp(X)(figuur 2.5(c)) of de discrete kansverdeling PX(figuur 2.5(a)) in de loop van het algoritmeveranderen. Ook hier kan de ontwerper van een ACO algoritme een heel aantal keuzes maken.Feromoon onderhoud kan worden opgesplitst in drie mechanismen:

1. De keuze van welke mieren er hoeveel feromonen mogen toevoegen. Men kan namelijk heelcomplexe systemen bedenken waarbij je de hoeveelheid feromonen die worden toegevoegdschaalt aan de hand van een aantal parameters. Deze parameters kunnen probleem-specifiek zijn, maar kunnen ook enkel het ACO algoritme betreffen.

2. Hoe er in het algoritme feromonen worden toegevoegd. In een continue variant vanhet algoritme is dit de manier waarop er nieuwe driehoek-of normale distributies wor-den toegevoegd aan de totale p(X) en bij de discrete variant komt dit neer op hoe men viadoor de feromoongetallen τ de kansverdeling PX aanpast.

3. Men kan niet eeuwig feromonen blijven toevoegen, dus moet er ook een mechanisme zijndat de feromoonniveaus doet dalen. Dit kan op verschillende manieren gebeuren. Men kan


een levensduur vaststellen en dan bij elke toevoeging van feromonen de oudst toegevoegdeferomoonpieken/getallen verwijderen. Men kan ook bij elke toevoeging de reeds aanwezigeferomonen schalen. Dit wordt evaporation genoemd. Een derde manier is om de reedsaanwezige feromoonpieken/getallen zodanig aan te passen (bijvoorbeeld door het verbredenvan de distributie in het continue geval door σ te vergroten) dat men na verloop van tijdeen uniforme kansverdeling krijgt. Dit wordt dissolving genoemd.

Het spreekt voor zich dat men bij dit manipuleren van de kansverdeling er steeds moet voorzorgen dat de normeringsvoorwaarde behouden blijft (de som van alle kansen blijft een). Watnu volgt is een uiteenzetting van de drie meest bekende varianten van het ACO algoritme en demanier waarop zij feromoon onderhoud aanpakken.

Het oorspronkelijke algoritme, in de literatuur het Ant System(AS)[10] genoemd, vertoont noghet meeste overeenkomsten met echte mieren. Hier laat men elke mier een volledige oplossingopbouwen. De oplossing wordt dan geevalueerd aan de hand van de kostenfunctie. Op diemanier wordt dan een kwaliteit aan een pad toegekend. Men zal dan alle N mieren feromonenlaten deponeren langs hun gekozen oplossing, de hoeveelheid hangt af van de kwaliteit van dedoor die mier gevonden oplossing. Bovendien wordt hier gebruik gemaakt van evaporation. voorhet discrete geval kan men dit uitdrukken als:

τi,j ← (1− ρevaporation)τi,j +N∑

k=1

(1

kost(padk)) (2.5)

Ant Colony System(ACS) [11] is een eerste aanpassing die voorgesteld is op AS. Hier heeft menzelfs een zeer specifieke aanpassing gemaakt aan de decisieregel van (2.3). Men zal de padkeuzedie het hoogste feromoonniveau heeft (hoogste τi,j en dus de best bekende keuze op dat punt)relatief nog meer invloed geven. Op die manier gaan meer mieren geneigd zijn die padkeuze temaken. Vooraleer men dit doet, moet men zeker weten dat dit best bekende pad ook een absoluutgoed pad is. Daarvoor gaat ACS goede paden hogere feromoonniveaus toekennen dankzij een

”offline” feromoon update. Dit is een extra toevoeging van feromonen naast de klassieke zoalsin AS (2.5) waarbij extra feromonen worden toegevoegd aan het pad dat de beste mier van dieiteratie heeft gevonden. Men maakt hier ook gebruik van evaporation.

Op dit laatste idee is ook de derde grote variant, MAX-MIN Ant System(MMAS)[11] gebaseerd.Hier zal enkel langs het pad van de beste mier van een iteratie nog feromonen worden gede-poneerd. Bovendien legt men in MMAS ook nog een boven- en ondergrens op voor de mogelijkeferomoon-niveaus. Deze grenzen worden meestal experimenteel bepaald.

Het is ondertussen duidelijk dat de ontwerper enorm veel vrijheid heeft in de manier waarophij feromoon onderhoud implementeert. De optimale manier vinden vereist dan ook veel tijd enexperimenteren.


2.3.4 Gedrag van mieren

Het gedrag van mieren omvat, zoals reeds gezegd, de manier waarop mieren een pad opstellen.Een pad kan vaak, maar zelfs dit niet altijd, worden gezien als een set van keuzes. In het TSPkan men bijvoorbeeld het opstellen van een pad opsplitsen in N keuzes van een zijde in de graafvan figuur 2.3 waarbij voor elke keuze (2.3) wordt gebruikt.

In het continue geval werkt men niet met een kansverdeling maar met een PDF. In de vorigeparagrafen is er al opgemerkt dat deze zal opgebouwd zijn als een (weliswaar geschaalde) somvan de gekozen feromoondistributies. Het continue analogon voor de decisieregel van (2.3)is dan bijvoorbeeld (2.6). De PDF bestaat hier uit normale distributies pn(xn, σn,Hn) alsferomoondistributie.

• xn duidt het gemiddelde aan van de distributie, dus de plaats waar de feromoonpiek isgeplaatst in de zoekruimte

• Hn drukt het relatieve belang uit van de feromoondistributie n in de totale PDF

• σn duidt de standaardafwijking aan van de feromoondistributie n, zoals beschreven inparagraaf 2.3.2

Het genereren van de keuze van een mier, met de totale PDF, gebeurt in twee fases:

1. Uit de totale PDF, die niets anders dan een som van individuele feromoondistributiesis, wordt een feromoondistributie gekozen met behulp van een kansverdeling die rekeninghoudt met de Hn (2.7)

2. Er wordt een probabilistische keuze gemaakt met de gekozen individuele feromoondistribu-tie. Deze keuze wordt de keuze van de mier (2.8)

p(xn, σn,Hn) =Hn

σn

√2π

exp(−(x− xn)2

2σ2n

) (2.6)

n′ ←

n′∑

n=1

Hn < random() <

N∑n=n′+1

Hn (2.7)

x′ ←

∫ x′

0p(x, σn′ ,Hn′ )dx = random() (2.8)

Het moet ook opgemerkt dat de decisieregel (2.3) net zo min absoluut is (2.7-2.8). Men kanbijvoorbeeld de idee van ACS (zie paragraaf 2.3.3) overnemen en ervoor zorgen dat belangri-jkste feromoonpiek (Hn′ = maxn=0..N Hn) een nog groter belang krijgt door die Hn′ relatief tevergroten. Men kan ook andere parameters bedenken die nuttig zouden zijn in de decisieregel.Wanneer men op een zeer eenvoudige manier kan voorspellen hoe een decisie x

′de kostenfunctie

zou beınvloeden, dan kan men deze informatie gebruiken in de decisie. Men kan bijvoorbeeldde kansverdeling schalen met een x-afhankelijke parameter µx. Deze µx zal dan typisch keuzes


x die voorspeld zijn als slecht kleiner maken en omgekeerd. Dit idee wordt aangeduid als het

”zicht” van de mieren omdat men het kan interpreteren als het geven van ogen aan de mierenzodat de mieren niet meer louter afgaan op de feromonen die ze voelen, maar ook op wat ze inhun onmiddellijke nabijheid(1 keuze verder) zien.

2.3.5 Definitie van een pad

Tot nu toe hebben we ter illustratie een eendimensionaal probleem beschouwd. Een echt prob-leem zal afhangen van vele (al dan niet continue) parameters. De uitbreiding is eenvoudig temaken. In plaats van een PDF of discrete kansverdeling zijn er dan n, een voor een keuze tekunnen maken in elke dimensie. Dit geeft extra mogelijkheden om het concept pad te definieren.Bij TSP (zie tabel 2.1), een n-dimensionaal probleem, is een pad gedefinieerd als een totaal vann keuzes. Dit is logisch, tenslotte zijn die n parameters nodig om een oplossing te evalueren.Toch kan het ook anders. Men kan n-a parameters overhouden uit de vorige evaluatie van demier en een pad definieren als de keuze van de overblijvende a parameters. Dit kan van belangzijn bij problemen met parameters die zich bij benadering onafhankelijk gedragen. Zo kan menvaststellen of men in de a dimensies een verbetering heeft gemaakt, onafhankelijk van de n-avaste parameters. Deze informatie kan men dan gebruiken in een aangepast feromoon onderhoudsysteem.

Alweer wordt duidelijk dat de ontwerper een grote vrijheid heeft om ACO aan te passen aan zijnspecifiek probleem. Bovendien staan de verschillende aspecten van ACO die in deze paragrafenuitgelegd zijn niet van elkaar los en kan (moet) men ze op elkaar en op het probleem lateninspelen.

Hoofdstuk 3

Uniform Circulair Antennerooster

Antenneroosters hebben een aantal unieke eigenschappen waardoor ze nuttig zijn in zeer spec-ifieke situaties. Door het combineren van een aantal kleinere antennes kan men een geheelvormen dat elektrisch groot is en daardoor de eigenschappen benutten die elektrisch grote an-tennes bezitten (mogelijkheid tot het halen van een grote gain). Door dit eenvoudig opzet hebbenantenneroosters een grote flexibiliteit. Deze flexbiliteit heeft zijn oorsprong in het grote aantalparameters van het rooster die men kan aanpassen [14]:

• de opstelling van de antennes tegenover elkaar (circulair, cilindrisch, lineair, ...)

• de excitatie van de antennes (fase en amplitude)

• het patroon van een individuele antenne

In dit hoofdstuk zullen de eigenschappen van een specifieke opstelling, namelijk de circulaireopstelling, nagegaan worden. Het circulair rooster heeft een vrij eenvoudige opstelling die hetvoordeel heeft over de meest eenvoudige opstelling (het lineair rooster) dat ze in staat is omzonder ambiguıteit de volledige 360 van het azimutvlak te bestrijken. Een punt van aandachtbij circulaire roosters is dat het effect van mutuele koppeling een grotere rol opeist. Dit komtvoornamelijk omdat de afstanden tussen de antennes onderling relatief klein zijn bij een cirkelopstelling in vergelijking met andere opstellingen. In veel gevallen is dit een nadelig effect wathet ontwerp ingewikkelder maakt. In hoofdstuk 5 zal geprobeerd worden om het effect om tebuigen in een manier om antennes te voeden. Daarom zal er in dit hoofdstuk dieper ingegaanworden op mutuele koppeling.

3.1 Voorstelling van de roosters

In de volgende hoofdstukken zal hoofdzakelijk gewerkt worden met twee roosters. Een eersterooster is het dipoolequivalent van een zestiendelig uniform circulair antennerooster dat ontwor-pen is voor intelligente antennesystemen [12]. Het bestaat uit dipoolantennes die op een straalr = λ van het middelpunt staan. De spatiering tussen twee elementen is 22.5. Dit rooster wordt

19

Hoofdstuk 3. Uniform Circulair Antennerooster 20

aangestuurd bij een frequentie van 2.45Ghz. We zullen dit rooster voortaan het zestiendeligrooster noemen.

Figuur 3.1: UCA van 16 elementen met straal λ

Een tweede rooster is een zesdelig uniform circulair antennerooster [13]. Het bestaat uit dipoolantennesdie op een straal r = λ

4 van het middelpunt staan. De spatiering tussen twee elementen is 60.Dit rooster wordt aangestuurd bij een frequentie van 2.484Ghz en we zullen het voortaan hetzesdelig rooster noemen.

Figuur 3.2: UCA van 6 elementen met straal λ4


3.2 Mutuele koppeling

Men stelt vast dat het stralingspatroon van een individuele antenne in een rooster afwijkt vandit wanneer men dezelfde individuele antenne uit het rooster zou halen en in de vrije ruimte zouplaatsen. Dit verschijnsel wordt veroorzaakt door mutuele koppeling en is te interpreteren alsde combinatie van twee effecten [15]:

1. Stroom in een roosterantenne wekt velden op en die velden veroorzaken een spanning overde naburige andere roosterantennes (figuur 3.5). Deze spanning wekt een stroom op indie andere antennes zodat deze ook beginnen uit te stralen en de stroom in de eersteantenne beınvloeden. Resultaat is dat het stralingspatroon van de ene antenne moetworden opgeteld bij die van de andere antennes en het resulterend stralingspatroon is dannatuurlijk niet meer gelijk aan dat van de losstaande antenne in vrije ruimte.

2. Wanneer men die geınduceerde stroom in de andere antennes verhindert door de theoretis-che veronderstelling te maken dat deze zijn afgesloten met een perfecte isolator, dan nogzal het stralingspatroon van een antenne in het rooster anders zijn. De andere antenneszijn immers nog steeds metalen draden en zullen door schaduw-en reflectie effecten hetstralingspatroon vervormen. Men kan het afsluiten van een antenne met een open ketenzelfs theoretisch interpreteren als het opsplitsen van die antenne in twee halve kortges-loten antennes. Met die benadering herleidt dit effect zich tot het eerste effect. Men zoudan kunnen afleiden dat dit tweede effect niet zo groot zal zijn als het eerste omdat dezeantennes van halve lengte geen goede elektrische lengte hebben om te resoneren en dusslechte stralers zijn. Dit secundair effect blijkt inderdaad klein te zijn.

3.2.1 Effect op het stralingspatroon

Beschouw het zesdelig rooster (figuur 3.2). De antennes in dit rooster zijn gewone dipoolantennesen hebben, wanneer ze uit de rooster opstelling genomen worden, een stralingsvector in het az-imutvlak onafhankelijk van de azimuthoek. Plaatst men ze in de roosteropstelling, dan worden dehierboven beschreven effecten zichtbaar (figuur 3.3). Deze simulatie toont het stralingspatroonvan een antenne, de antenne geplaatst onder φ = 0 wanneer de antennes rond de oorsprong zijngeplaatst. Deze antenne wordt aangestuurd met een spanningsbron van 1V terwijl de andere an-tennes in het rooster worden aangestuurd met een spanningsbron van 0V. Het stralingspatroondat voor deze eenheidsaansturing verkregen wordt, heet het Actief Element patroon FAE(90, φ)van de antenne.


Figuur 3.3: |FAE(90, φ)|, actief element stralingspatroon van het zesdelig rooster

Wat opvalt is de sterke verzwakking van de stralingsvector voor φ = 180. Uitgedrukt in gain isdit een verschil van maar liefst 18dB. Verwaarlozen van mutuele koppeling in deze situatie kanzware gevolgen hebben. Zoals al werd aangegeven kan het grootste effect vermeden worden door(zuiver theoretisch) te werken met ideale stroombronnen. In dit geval sturen we de antenne aanmet een bron van 1A en sluiten we de andere antennes in het rooster af met open ketens. Ditresulteert in het stralingspatroon van figuur 3.4. Er valt al op dat dit patroon meer lijkt op datvan een omnidirectionele antenne in het azimutvlak, toch is het nog niet gelijk door het bestaanvan het secundair mutuele koppelingseffect. F(θ, φ) is dus niet gelijk aan Fstandalone(θ, φ), watgeheel in lijn met de verwachtingen ligt en dit is een belangrijk aspect van het werken metantenneroosters.


Figuur 3.4: |F(90, φ)|, stralingspatroon van het zesdelig rooster

3.2.2 Impedantiematrix

Het eerste effect van mutuele koppeling kan men makkelijk modelleren [15]. Een stroom dooreen antenne induceert een spanning in de andere antennes van het rooster. Men kan dus eenstroomgestuurde spanningsbron voor elke andere antenne in het circuitmodel van een rooster-antenne plaatsen (figuur 3.5).


Figuur 3.5: Vervangschema van een driedelig antennerooster bij zenden

Een punt van belang is nog dat de ZAn, oftewel de antenneimpedantie van antenne n in hetrooster, niet gelijk is aan de antenneimpedantie van de standalone antenne. Dit is toe te schri-jven aan het secundair effect van mutuele koppeling. Een dergelijk circuitschema kunnen webeschrijven aan de hand van drie vergelijkingen:

V1 = (Zt + ZA1)I1 + Z12I2 + Z13I3 (3.1)

V2 = Z21I1 + (Zt + ZA2)I2 + Z23I3 (3.2)

V3 = Z31I1 + Z32I2 + (Zt + ZA3)I3 (3.3)

Dit stelsel valt te schrijven als een matrixvermenigvuldiging:

V = (Z + Zt) · I (3.4)

Men krijgt een matrix Z die een vector van spanningen V relateert tot een vector van stromen I.Zo komt men op natuurlijke wijze op wat men in de circuittheorie de impedantiematrix noemt.Logischerwijs kan men dan alle stellingen van de circuittheorie toepassen. Men kan controlerenof het systeem van antennes wel passief en reciprook is (wat het moet zijn). Bovendien kan mendan ook de admittantiematrix Y bepalen als de inverse van Z [16].De impedantiematrix is eenvoudig te bepalen en dit volgt ook uit de matrixvoorstelling. Bijhet aanleggen van een eenheidsstroom op een antenne en open ketens aan de andere antenneskan men nagaan dat men als spanningsvector een kolom van de impedantiematrix Z vindt.Analoog kan men dit doen voor de admittantiematrix met een eenheidsspanning op een antenneen kortsluitingen aan de andere antennes. Men vindt dan als stroomvector een kolom uit deadmittantiematrix Y .


3.2.3 Impedantiematrix van een uniform circulair antennerooster

Een UCA bezit een grote hoeveelheid symmetrie. Dit uit zich onder andere in de vorm van zijnimpedantiematrix. Beschouw een UCA van n elementen. De eerste kolom van de impedantiema-trix wordt verkregen door antenne 1 aan te sturen met 1A en de andere antennes met 0A endan de spanningen te bepalen. De tweede kolom door antenne 2 aan te sturen met 1A,... Hetrooster draaien over een veelvoud van 2π

n resulteert in fysisch hetzelfde rooster. Bijgevolg krijgtmen dezelfde spanningen voor elke kolom van de impedantiematrix. Het enige verschil zit hemin de benaming van de antennes, door het draaien van het rooster over 2π

n wordt de volgorde vande antennes cyclisch gepermuteerd. De spanningen blijven wel dezelfde, maar de benaming vande antenne verandert. Het resultaat is dat elke kolom van de Z-matrix een cyclische permutatieis van de vorige.

De kolommen van de impedantiematrix zelf hebben nog een interessante eigenschap. Door desymmetrie zal de spanning over het element links naast het aangestuurde element dezelfde zijn alsrechts. Dit komt omdat het vlak door de aangestuurde antenne en het centrum van het roostereen symmetrievlak is. Het resultaat is dat elke kolom van de impedantiematrix symmetrisch isrond het element dat correspondeert met het aangestuurde element.

Beide eigenschappen zorgen ervoor dat de impedantiematrix van een UCA een symmetrischematrix is. UCA’s hebben echter niet het monopolie op symmetrische impedantiematrices. Tengevolge van het reciprociteitsprincipe zal elke impedantiematrix die mutuele koppeling tussenantennes uitdrukt symmetrisch zijn.

3.3 Verband tussen de verschillende stralingsvectoren

In paragraaf 3.2.1 is kort getoond hoe het plaatsen van een antenne in een rooster het stra-lingspatroon van die antenne wijzigt. Bovendien werd daar ook vastgesteld dat het soort aan-sturing een grote invloed heeft op de vorm van dit stralingspatroon. Het totale stralingspatroonFrooster(θ, φ) van een roosteropstelling met meerdere antennes kan bepaald worden door super-positie. Heeft men bijvoorbeeld de stralingspatronen bepaald van elke antenne in het rooster,waarbij men telkens de beschouwde antenne heeft aangestuurd met een eenheidsstroombron ende andere antennes heeft open gelaten, dan bekomt men de stralingspatronen Fn(θ, φ). Als aldeze Fn(θ, φ) zijn gerefereerd in hetzelfde referentiestelsel met als oorsprong het centrum vanhet antennerooster, dan kan het totale stralingspatroon Frooster(θ, φ) geschreven worden als

Frooster(θ, φ) =N∑

n=0

InFn(θ, φ) (3.5)

Wanneer de stralingsvectoren zijn bepaald voor een aansturing van 1V op antenne n en kort-sluitingen op de andere antennes, dan bekomt men de stralingspatronen die tot nu toe FAE,n(θ, φ)genoemd zijn. Het totale stralingspatroon kan dan op analoge manier als bij (3.5) bekomen wor-den door superpositie. In de praktijk hoor er echter een bepaalde interne impedantie Zt bij


elke spanningsbron, deze staat in serie met de antenneimpedantie ZAn en zal dus de stroom diedoor de antenneterminals gaat (door de antenneimpedantie) beınvloeden. Bovendien is het diestroom die terugkomt in het model voor de mutuele koppeling (figuur 3.5). Het gevolg is dat dewaarde van Zt het stralingspatroon van een element beınvloedt. Men kan dan een FAE,n,Zt(θ, φ)definieren, waarbij de antenne n wordt aangestuurd met een spanningsbron van 1V en een in-terne impedantie van Zt en waarbij de andere antennes worden afgesloten op Zt. Ook metdeze stralingspatronen kan men een superpositieformule opgesteld worden, die dan geldt voorspanningsbronnen met inwendige impedantie Zt.


n=0

VnFAE,n,Zt(θ, φ) (3.6)

Voor (3.5) zijn de stralingspatronen Fn(θ, φ) verkregen door ideale stroombronnen. Het spreektvoor zich dat deze enkel te simuleren zijn. In deze scriptie zijn deze verkregen door simulatie metde Numerical Electromagnetics Code (NEC2) simulator. In de praktijk bestaan er geen idealestroombronnen, dus opgemeten stralingspatronen zullen altijd verkregen zijn voor spannings-bronnen met een bepaalde inwendige impedantie Zt. Wil men toch stromen opdringen zoals in(3.5), dan is dit niet onmogelijk, men moet de gemeten FAE,n,Zt(θ, φ) omrekenen naar Fn(θ, φ).De nde-kolom (en door symmetrie dus ook de n-de rij) in de impedantiematrix stelt de span-ningen voor bij een eenheidsstroom door antenne n. Met zo een vector van spanningen horendbij een eenheidsstroom kan dan (3.6) toegepast worden. Wat resulteert is het stralingspatroonvoor een eenheidsstroom, dus de Fn(θ, φ). In vectornotatie kan men dan een compacte formuleopstellen die alle Fn(θ, φ) relateert aan de gemeten FAE,n,Zt(θ, φ). Met deze formule kan menopgemeten stralingspatronen met behulp van de opgemeten impedantiematrix omzetten naar detheoretische Fn(θ, φ) voor ideale stroombronnen waarmee (3.5) kan worden toegepast.

F(θ, φ) = (Z + Zt) · FAE,Zt(θ, φ) (3.7)

3.4 Verre veld stralingsvector

Een antenne dient natuurlijk om uit te stralen. Het uitgestraald elektrisch verre veld wordtgerelateerd aan de antenne door de antenne-specifieke stralingsvector F(θ,φ) volgens (3.8)[17].

e(r) = F(θ, φ)e−jk|r|

|r|(3.8)

Zet men N antennes in een uniform circulair antennerooster en stuurt men ze aan met bronnenmet eenzelfde amplitude en een fase ejβn , dan kan men door superpositie het totale elektrischverre veld vinden als (3.9) [19]. Hier is Fn(θ, φ) de stralingsvector van antenne n waarbij deze inde oorsprong wordt geplaatst. De oorsprong van het assenstelsel waarin r en s worden bepaald ishet centrum van het rooster. Merk op dat de aard van de bronnen niet nader gespecifieerd is, ze


kunnen stroom- of spanningsbronnen zijn, en zolang de overeenkomstige stralingsvectorenFn gebruikt worden, is dit ook niet zo belangrijk.

e(r) =N∑

n=0

ejβnFn(θ, φ)e−jk|r−sn|

|r− sx|(3.9)

Uiteraard is Fn(θ,φ) hier de stralingsvector van antenne n in het rooster en is deze niet gelijkaan de stralingsvector van de alleenstaande antenne. Door de bijzondere symmetrie van eenuniform circulair antennerooster kunnen we stellen dat:

Fn(θ, φ) = F0(θ, φ−n2π

N) (3.10)

Men kan dan de verre veld benadering toepassen in (3.9). Dit houdt in dat men een benaderingvoor |r− sn| maakt door te stellen dat (zie figuur 3.6) [18]

|r− sn| =√|r|2 + |sn|2 − 2|r||sn| cos α ≈ |r| − |sn| cos α = |r| − sn · ur (3.11)

Figuur 3.6: Verre veld benadering

Voor de noemer van (3.9) kan men dan de benadering van (3.11) nog ruwer benaderen als|r− sn| ≈ |r|. Deze ruwere benadering wordt echter niet toegepast in het argument omdat hetverschil die de kleine term sn · ur kan maken groot kan zijn, uitgedrukt in radialen van hetargument.

e(r) =e−jk|r|

|r|

N∑n=0

F0(θ, φ−n2π

N)ejβnejk·sn (3.12)


hier is k = kur = 2πλ (cos φ sin θux + sinφ sin θuy + cos θuz). Men kan opmerken dat dit dezelfde

vorm heeft als (3.8) en men kan dan een stralingsvector Frooster(θ, φ) definieren:


n=0

F0(θ, φ−n2π

N)ejβnejk·sn (3.13)

Voor uniform circulaire roosters zijn de plaatsvectoren heel eenvoudig sn = r cos n2πN + r sin n2π

N .Daarmee komt men tot een compacte uitdrukking voor het argument:


n=0

F0(θ, φ−n2π

N)ejβnejkr sin θ cos(φ−n2π

N) (3.14)

Wil men nu de totale stralingsvector |Frooster(θ, φ)| maximaliseren door de fases βn te kiezendan kan men dit doen door ervoor te zorgen dat elke term van de som in fase is. Men past metandere woorden fasecompensatie toe:

βn = −kr sin θ cos(φ− n2π

N)− arg F0(θ, φ−

n2π

N) (3.15)

In het geval van omnidirectionele antenne-elementen en bij abstractie van mutuele koppeling isF0(θ, φ − n2π

N ) constant. In dat geval verandert de term niets aan de faseverschillen tussen deelementen. De formule herleidt zich dan tot de gekende uitdrukking voor fasecompensatie:

β′n = −kr sin θ cos(φ− n2π

N) (3.16)

Het wezenlijk verschil tussen (3.15) en (3.16) zit hem in het relatieve faseverschil dat de termF0(θ, φ − n2π

N ) veroorzaakt. We zullen dit refereren tegenover n = 0 en dan het faseverschiltussen βn − arg F0(θ, φ) en β

′n bepalen. Dit verschil noemen we δn en is een maat voor het

effect van de mutuele koppeling. Intuıtief voelt men aan dat die δn klein zal zijn, het is immersniet te verwachten dat mutuele koppeling de optimale waarden voor βn spectaculair zal doenveranderen tegenover β

′n. Dit stelt men ook vast in NEC-simulaties waarbij gebruikt wordt

gemaakt van stroombronnen (voor θ = 90 en φ = 0) (zie tabel 3.1).Hier valt op dat het zesdelig rooster, met een straal r = λ

4 en dus een grotere mutuele koppelingdan het zestiendelig rooster (straal r = λ), inderdaad grotere waarden voor δn heeft. Ook kloptde intuıtieve veronderstelling dat de waarden voor δn klein zijn. Ze zijn echter niet van die aarddat we ze kunnen verwaarlozen.


δn graden

δ1 1.828

δ2 -4.894

δ3 -9.001

δ4 -4.894

δ5 1.828

δn graden

δ1 -0.040

δ2 -1.423

δ3 -2.578

δ4 -2.361

δ5 -2.103

δ6 -5.609

δ7 -4.389

δ8 -6.429

δ9 -4.389

δ10 -5.609

δ11 -2.103

δ12 -2.361

δ13 -2.578

δ14 -1.423

δ15 -0.040

Tabel 3.1: faseverschil δn voor het zesdelig en het zestiendelig rooster

3.5 Antennewinst

De verre veld stralingsvector staat in verband met het uitgestraald elektrisch (verre) veld volgens(3.8). Dit uitgestraald elektrisch veld legt het uitgestraald vermogen vast (volgens de Poyntingvector):

p(r) =12e(r)× h(r) (3.17)

Voor een vlakke golf (zoals in het verre veld) kunnen e(r) en h(r) geschreven worden als:

e(r) = F(θ, φ)e−jk|u·r|

|r|(3.18)

h(r) =1Zc

u× F(θ, φ)e−jk|u·r|

|r|(3.19)

Hier is u de eenheidsvector en zijn θ en φ de richtingshoeken (elevatie en azimut) van de vectorr. Zodat (3.17) te herschrijven is als:

p(r) =|F(θ, φ)|2

2Zc|r|2u (3.20)

Bij communicatie zal het bijna altijd de signal-to-noise ratio(SNR), de verhouding van hetontvangen signaalvermogen tot het ruisvermogen, zijn dat van belang is wanneer men overkwaliteit van een verbinding spreekt. Bij digitale communicatie bepaalt de SNR bijvoorbeeldbijna volledig de Bit Error Ratio(BER) volgens een verband dat ruwweg van de vorm van (3.21)


is(in het geval van een eenvoudige modulatietechniek zoals 2-PAM).

BER ≈ Q(√

SNR) (3.21)

De Q functie is gedefinieerd als een integraal van een gaussiaanse curve:

1√2π

∫ x

∞exp(− t2

2)dt (3.22)

Visueel ziet een verband zoals (3.21) er bijvoorbeeld uit als figuur 3.7 [20].

Figuur 3.7: schetsmatig verloop van BER ifv SNR

Er zijn in de natuur verschillende ruismechanismen die bijdragen aan het ruisvermogen. Boven-dien zullen andere signalen dan het nuttig signaal ook beschouwd worden als ruis, vooral wanneerze groot in aantal zijn en zich meer en meer gedragen als ongecorreleerd in de tijd. Vandaar dateen goede antenne niet alleen een groot vermogen uitzendt in de bedoelde richtingen, maar ookeen zo laag vermogen in de andere richtingen. Een dubbel zo groot ruisvermogen is namelijkequivalent met een half zo groot ontvangen signaalvermogen volgens het verband van figuur 3.7.Terwijl een dubbel zo groot ruisvermogen in absolute waarde niet zo spectaculair kan lijken,moeten we dus vaststellen dat het effect op de BER toch zeer groot is. Het is dus zeer belangrijkdat de antenne eventuele andere ontvangers zo min mogelijk verstoort. Wegens het reciprociteit-stheorema voor antennes geldt dezelfde redenering voor een ontvangende antenne, deze zal danminder gestoord worden door eventuele stoorsignalen uit niet bedoelde richtingen.


Een goede maat om een antenne te karakteriseren zou dan iets zijn dat het uitgestraald vermogenin een bepaalde richting verhoudt tot het totaal uitgestraald vermogen. Dit heet de directiviteit.(3.20) geeft de vermogensflux in W

m2 . Wanneer deze flux wordt geıntegreerd over een boloppervlakmet voldoende grote straal verkrijgt men het totaal uitgestraald vermogen (in de vrije ruimte)

Ptot =1

2Zc

∫ 2π

0

∫ π

0|F(θ, φ)|2 sin θdθdφ (3.23)

Het oppervlak van een bol is 4π|r|2. De gemiddelde vermogensflux is dus Ptot

4π|r|2 . We kunnen dande directiviteit neerschrijven als [21]:

D(θ, φ) =p(r).u

Ptot

4π|r|2=

4π |F(θ,φ)|22Zc

Ptot(3.24)

Wegens het principe van behoud van energie kunnen we stellen dat het vermogen dat in eenantenne gaat ook wordt uitgestraald (op antenneverliezen na). Dit vermogen valt eenvoudigte bepalen. Wanneer we antenneverliezen buiten beschouwing laten, dan komt de definitie vandirectiviteit overeen met de definitie van antennewinst (power gain). In het algemeen wordt an-tennewinst gedefinieerd als 3.25. Hierbij is elosses een factor die het verschil tussen het ingestuurdvermogen en het uitgestraald vermogen in rekening brengt.

G(θ, φ) = D(θ, φ)elosses (3.25)

De conclusie is dat de stralingsvector een slechte kwaliteitsmaat is om een antenne te beoorde-len. Bovendien kan men verschillende resultaten verwachten tussen optimalisatie naar maximaaluitgestraald elektrisch veld en naar maximale antennewinst. Men kan maximaliseren naar an-tennewinst zien als maximaliseren van het uitgestraald elektrisch veld, maar met tegelijk eenminimalisatie van de uitstraling in de andere richtingen(door de factor Ptot in de noemer).In watvolgt (en in het algoritme) zal er gebruik gemaakt worden van directiviteit als kwaliteitsmaatvoor een antenne en dit zal, bij abstractie van antenneverliezen, vaak ook antennewinst genoemdworden.

Hoofdstuk 4

UCA met stroombronnen

In hoofdstuk 3 zijn de vrijheidsgraden die men heeft bij het ontwerp van een rooster uit dedoeken gedaan. Het zou nuttig zijn om een antenne te maken waarvan het stralingspatroonin ware tijd aanpasbaar is. Dit kan enkel door de excitatie van het rooster aan te passen. Inprincipe kan men ook de opstelling van het rooster veranderen, maar dit is grootteordes tragerdan de excitatie veranderen. Bovendien vereist dit motoren, wat de kostprijs verhoogt en debetrouwbaarheid vermindert.

Het is dan een kwestie van de juiste excitatie bepalen om een gewenst effect te bereiken ophet stralingspatroon. Voor eenvoudige eisen is het nog mogelijk om dit analytisch te doen (ziebijvoorbeeld paragraaf 3.4), maar bij complexere eisen of bij complexere roosters wordt dit alsnel te ingewikkeld. Vandaar dat er bij dit probleem vaak gebruik gemaakt wordt van numeriekeoptimalisatietechnieken. Zeker bij het probleem in hoofdstuk 5 wordt dit een noodzaak. In watvolgt zullen we ACO (hoofdstuk 2) toepassen om dit probleem op te lossen. We zullen ditin eerste instantie doen op een UCA met stroombronnen. Zo verminderen we het effect vanmutuele koppeling en kunnen we ons concentreren op het optimaliseren van het algoritme. Wezullen enkel aan fasesturing doen omdat dit het meest aansluit bij het probleem wat we zullenbestuderen in hoofdstuk 5.

4.1 Algoritme

De bedoeling is om een ACO algoritme te ontwikkelen dat door de fase-excitatie te veranderengewenste eisen aan het resulterende stralingspatroon van een UCA kan opleggen. Dit zal dantoegepast worden op de roosters die in hoofdstuk 3 zijn voorgesteld. Zoals in hoofdstuk 2 vermeldis, moeten we daarvoor beginnen door de ACO concepten te definieren in termen van het aante pakken probleem. We vullen daarvoor de tabel in (cfr. tabel 2.1).Zoals al gezegd is in hoofdstuk 2 is zo’n invulling zeker niet uniek. In deze invulling is gekozenvoor een soort MAX-MIN aanpak (zie paragraaf 2.3.3) waarbij enkel de beste mier (de mierwiens geconstrueerde oplossingsvector de laagste kost had uit de iteratie) wordt toegelaten omferomonen te deponeren. Er is hier gekozen voor een continue interpretatie van de zoekruimte,

32

Hoofdstuk 4. UCA met stroombronnen 33

mierenconcept invulling voorbeeld

pad keuze van fase voor alle N an-tennes

s=[0, π2 , π

8 , π3 , π

12 ]

voedingswaarde kostenfunctie kost(s) kost(s) = exp 1|F (θ,φ0)|

feromoon-concentratie

PDF Pa(x) samengestelduit feromoondistributiesp(Hn, xn, σn) voor elkeantenne a uit het rooster

zie (2.6)

deponeren fe-romonen

toevoegen nieuwe distributiep(Hn′ , xn′ , σn′ ) aan Pa(x)

aan elke Pa(x) wordt eenp(1, xa, 1) toegevoegd, met xa dea-de component uit de oploss-ingsvector met de laagste kostuit de iteratie

feromoon-verdamping

mechanisme om het belangvan de oudste distributies inelke Pa(x) te doen afnemen

elke Pa(x) wordt geimple-menteerd als een FIFO bufferzodat de oudste er uit wordtverwijderd bij een nieuwetoevoeging

gedrag mier kansverdeling waarmee eenmier zijn pad opbouwt

random keuze volgens de PDFPa(x) voor elke component a vaneen oplossing

Tabel 4.1: vertaling van de cruciale concepten naar termen in het ACO algoritme

tenslotte gaat het om fasesturing en is fase een continu begrip. Men kan echter ook kiezenom de zoekruimte te discretiseren door slechts een beperkt aantal fases toe te laten. Als fero-moondistributie is er gekozen voor de normale distributie, maar ook dit kan anders. Kortomal de aspecten van een ACO algoritme, die in paragraaf 2.3 zijn besproken in het kader vanhun verschillende invulling, kunnen we hier gaan aanpassen. In wat volgt zullen we een aantalmogelijkheden evalueren op een voor de hand liggend probleem.

4.2 Referentieprobleem: maximaliseren uitstraling in 1 richting

Het meest eenvoudige probleem wanneer men een stralingspatroon wil beınvloeden door fases-turing is om het uitgestraald elektrisch veld in een richting te maximaliseren. Daarom zal hetprobleem gebruikt worden als referentieprobleem tijdens de ontwikkeling van het algoritme, ditzal gebeuren voor de richting φ = 0. Het probleem heeft bovendien een analytische oplossing endaarmee kunnen we de kwaliteit van het algoritme verifieren. Het is dan logisch om te beginnenmet het bekijken van die analytische oplossing.


4.2.1 Resultaat van fasecompensatie

In hoofdstuk 3 is dit probleem al aangepakt. Bij fasesturing komt de optimale oplossing neerop fasecompensatie (3.16). We houden rekening met mutuele koppeling, dus we moeten de fasesaanpassen met de waarden δ uit tabel 3.1(voor θ = 90 en θ = 0). Dit geeft tabel 4.2 met alsresulterende stralingspatronen figuur 4.1.

βn graden

β0 0.0

β1 43.2

β2 139.9

β3 189.0

β4 139.9

β5 43.2

βn graden

β0 0.0

β1 27.4

β2 106.9

β3 224.8

β4 2.4

β5 139.9

β6 260.2

β7 337.0

β8 6.4

β9 337.0

β10 260.2

β11 139.9

β12 2.4

β13 224.8

β14 106.9

β15 27.4

Tabel 4.2: optimale fasesturing voor het zesdelig en het zestiendelig rooster

(a) zesdelig rooster (b) zestiendelig rooster

Figuur 4.1: |F(90, φ)| voor het zesdelig en het zestiendelig rooster met fasecompensatie


4.2.2 Algoritme 1: het klassiek algoritme

Nu gaan we algoritmen bouwen en proberen om het resultaat van fasecompensatie te evenarenvoor ons referentieprobleem. Het algoritme verloopt als volgt (voor het zestiendelig rooster)

• Initialisatie:Nieuwe run80 mieren, 16 PDFs (een voor elke dimensie van het zoekprobleem, d.i. elke antenne)samengesteld uit een constant aantal van 2x het aantal mieren aan normale distributies,dus als er meer worden toegevoegd wordt de oudste weggegooid.

• Hoofdlus:Nieuwe iteratieElke mier construeert een volledig pad s (een keuze voor elke dimensie van het zoekprob-leem, d.i. een fase voor elke antenne)Elke mier evalueert zijn pad zodat er een kost aan wordt toegekend (4.1).

kost(s) = exp(−|Frooster(90, 0, s)|) (4.1)

Elke mier voegt een normale distributie toe aan elke PDF. Deze PDF heeft als gemiddeldede waarde van de padkeuze van de mier in die dimensie en een constante standaardafwijking(σ).De invloedsfactor H(zie (2.6 - 2.8)) evalueren we als (4.2). Er is zo een rechtstreeks ver-band tussen de waarde van de kost van een pad en de invloedsfactor H van de toegevoegdeferomoondistributie langs het pad.

H(s) =1

kost(s)(4.2)

• Terminatie: Het pad dat in de loop van alle iteraties de laagste kost had, wordt hetresultaat van de optimalisatieprocedure.

Men kan dit ook schematisch voorstellen (figuur 4.2).


Figuur 4.2: schema van de werking van het algoritme

Standaardafwijking

Een eerste aandachtspunt is dat het niet zo voor de hand ligt om een keuze te maken voor destandaardafwijking σ (zie ook paragraaf 2.3.2). De meest eenvoudige keuze is een constantewaarde, maar de vraag is dan nog welke constante waarde. Een statistisch onderzoek levert deresultaten van figuur 4.4. Deze grafiek toont de kwaliteit ( 1

kost(s)) van de best gevonden oplossingin functie van de tijd (percentage van de tijd dat al is verlopen). Het algoritme is hier steedsgestopt nadat 200 000 paden gemaakt waren. Het algoritme is probabilistisch, dus moeten weeen statistische analyse doen, we hebben het algoritme steeds 25 keer laten lopen (runs) en degrafieken uitgemiddeld. Bovendien zijn er op vijf plaatsen boxplots gemaakt die de spreidinguitdrukken van de verschillende runs. Dit is gedaan voor drie variaties op het algoritme (metσ = 2π

1024 , σ = 2π64 en σ = 2π

16 ).


Figuur 4.3: Drie geteste standaardafwijkingen(genormaliseerd)

Figuur 4.4: statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen van figuur 4.3 voor 200 000 pad-constructies


Er is een snellere convergentie vast te stellen bij kleiner wordende σ. Dit is te verklaren omdatde PDFs meer op de uniforme distributie gaan lijken bij grote standaardafwijkingen, wat hetACO mechanisme uitschakelt.

Een mogelijke verklaring is die van figuur 4.5 en 4.6. In beide gevallen treedt het fenomeen van

”hill climbing” op, dit is het principe waarop ACO in het algemeen ook steunt. Beschouw eenPDF bestaande uit een feromoondistributie en een lineair verlopende kwaliteitsfunctie 1

kost(s) .Wanneer een mier de keuze maakt, dan is er een kans van 0.5 dat deze links van het gemiddeldevan de distributie zal kiezen. Dat is voor alle mieren zo. De keuzes links van het gemiddeldehebben een hogere kost, de mieren zullen dus op die posities distributies toevoegen met lagereinvloedsfactoren H(zie vergelijkingen 2.6 - 2.8). De keuzes rechts hebben een lagere kost en dusgroter invloedsfactoren H. Bij de volgende iteratie zullen de mieren meer geneigd zijn om rechts,rond de pieken met hogere invloedsfactor H, te gaan zwermen. Zo zullen de mieren in de loopvan verschillende iteraties opschuiven naar de posities rechts, waar de kostfunctie lager is. Zeklimmen als het ware de heuvel op.

Figuur 4.5: convergentie met smalle feromoondistributies bij een eendimensionaal probleem


Figuur 4.6: convergentie met brede feromoondistributies bij een eendimensionaal probleem

Bij gebruik van smalle distributies(kleine σ) zal dit ”hill climbing” trager zijn, maar zoals te zienis op figuur 4.5 stijgt ze wel gestaag en blijft dit mechanisme werken tot zeer nabij het optimum.In contrast daarmee staan de brede distributies(grote σ), de breedte stelt de mieren in staatom naast de kleine stapjes ook grote stappen ”bergop” te nemen. Vandaar dat het klimmenwat turbulenter verloopt. Bovendien gaat het principe van het ”hill climben” niet meer op in denabijheid van het optimum. Op een bepaald punt gaat de veronderstelling namelijk niet meer opdat de gebieden rechts van het gemiddelde altijd een lagere kost zullen hebben. Dit is omdat deuitlopers van de distributie al voorbij het optimum liggen. Hoe groter de σ, hoe groter de afstandtot het optimum waar dit gebeurt. Wanneer dit gebeurt, zullen de invloedsfactoren H van denieuw toegevoegde feromoondistributies rechts van het gemiddelde niet meer onvoorwaardelijkgroter zijn dan die van de nieuw toegevoegde feromoondistributies links. Het migreren van demieren naar het optimum toe vertraagt, de mieren hebben niet zozeer een voorkeur meer omnaar het optimum rechts te migreren. Ze zullen eerder ter plaatse blijven en in het brede gebiedrond de bestaande feromoondistributiegemiddelden blijven keuzes maken. Het is alsof er eenuniforme distributie was en het zoeken, in het weliswaar beperkte, maar toch nog relatief bredegebied, is een gewoon random zoeken geworden (cfr. het misleidend karakter van probabilistischeoptimalisatiealgoritmen in paragraaf 1.2).

Het resultaat van deze effecten is te zien op figuur 4.4. Bij de blauwe curve(hoort bij kleineσ) stijgt het gemiddelde veel geleidelijker (kleine stapjes bergop) tot zeer nabij het optimum.De rode curve(hoort bij grotere σ) stijgt initieel veel sneller (naast kleine stapjes zijn ook grotestappen mogelijk), maar door het zonet beschreven effect stagneert het stijgen in de buurt vanhet optimum waar de convergentie veel trager wordt. Aan de boxplots is ook te zien dat demieren run na run van het algoritme steeds hetzelfde optimum bereiken bij kleine σ, terwijl ereen grotere spreiding van de eindresultaten is bij grote σ. Ook dit is te verklaren aan de handvan het zonet beschreven effect.


Wat van belang is, is natuurlijk een zo snel mogelijke convergentie naar het optimum. Menkan concluderen dat dit sneller gaat naar mate men de standaardafwijking σ verkleint. Devraag is dan waar dit ophoudt. Daarvoor is een ander experiment uitgevoerd. Ditmaal heeftelk algoritme ook 25 runs, maar heeft elke run meer tijd gekregen (1 000 000 padconstructies).Hier zijn drie algoritmes vergeleken die weer enkel verschilden in standaardafwijking σ van deferomoondistributie (σ = 2π

1024 , σ = 2π4096 en σ = 2π

16384).

Figuur 4.7: statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen (σ = 2π1024 , σ = 2π

4096 en σ = 2π16384 )

voor 1 000 000 padconstructies

Hier valt op dat de convergentie sterk vertraagt bij zeer kleine σ. Bovendien is de spreiding tussende verschillende runs zeer groot geworden. Dit is waarschijnlijk toe te schrijven aan de zeer kleinestapjes die worden genomen bij het hill climben. Zoals op figuur 4.4 al te zien was, convergeerthet algoritme bij σ’s die klein genoeg zijn naar een oplossing (er is geen noemenswaardigespreiding meer te zien op de boxplots). Bij het inzoomen op het flinterdun bovenste randje vande linkergrafiek verkrijgen we de rechtergrafiek. Hier is nog op te zien dat het algoritme metde σ = 2π

4096 naar een nog iets betere oplossing convergeert (hoewel dit verschil verwaarloosbaarklein is) dan het algoritme met σ = 2π

1024 . Bovendien is de spreiding tussen de runs nog net ietskleiner.

Conclusie is dat er zowel aan grote σ’s als aan kleine σ’s voordelen verbonden zijn. Ideaal zouzijn om deze te combineren. Dit is de filosofie achter (2.4). Initieel willen we een grote σ, wathet hill climben versnelt en om te verfijnen naar het optimum willen we een kleine σ.

Aantal mieren

Tot nu toe is er steeds gewerkt met 80 mieren. De hoeveelheid mieren is nog een parameterdie voor optimalisatie vatbaar is. De betekenis van deze parameter in functie van convergen-tiesnelheid is dubbelzinnig. De meest tijdsverslindende stap in het algoritme is het creeren enevalueren van een pad. Daarom is de uitvoeringstijd in het vorige puntje over Standaardafwi-

jking uitgedrukt in aantal padconstructies. Elke mier construeert een nieuw pad op zichzelf en


daarvoor gebruikt hij de verschillende PDFs. Wanneer elke mier dit gedaan heeft, worden dePDFs geupdatet. Dan volgt de volgende iteratie van het algoritme.

In principe kan elke mier dus zijn taken (het creeren en het evalueren van een pad) volledigonafhankelijk van de andere mieren uitvoeren. Hier komt de zeer sterke mogelijkheid voorparallellisme naar voor. Wanneer elke mier parallel kan worden uitgevoerd (als parallel werkendeblokken op een FPGA bvb), dan is het uitdrukken van uitvoeringstijd in aantal padconstructieseen slechte keuze. In dat geval is de uitvoeringstijd evenredig met het aantal iteraties.

In het andere geval (wanneer het algoritme wordt uitgevoerd op een processor) is de uitvoer-ingstijd evenredig met het aantal padcreaties. Dit heeft zijn gevolgen. Wanneer men dan eenvergelijking wil maken naar uitvoeringstijd tussen een algoritme dat 800 mieren gebruikt en eendat 80 mieren gebruikt en men geeft ze beiden 200 000 padcreaties, dan wil dit zeggen dat hetalgoritme met 800 mieren 250 iteraties krijgt en het algoritme met 80 mieren 2500 iteraties.In het licht van de uiteenzetting over hill climbing in het puntje Standaardafwijking wil ditzeggen dat het geval met 80 mieren 10 keer meer ”stapjes” krijgt om de heuvel te beklimmen.Op het eind van elke iteratie komt immers een update van de PDFs en elke update stelt demieren in staat om een stapje verder op de heuvel te klimmen in de volgende iteratie (door eenverschuiving van de voornaamste feromoondistributies).

Om het aantal iteraties op te drijven zou men dus best het aantal mieren verlagen. De vraag isin hoeverre dit mogelijk is. Neem nu dezelfde situatie als in het puntje Standaardafwijking. Wehebben een dimensie, een feromoonpiek in onze PDF en een lineair stijgende kwaliteitsfunctie.Neem nu een mier. De mier zal een keuze maken. Ofwel kiest hij een keuze links van hetgemiddelde van de bestaande feromoonfunctie, ofwel rechts ervan (zie figuur 4.5). Het eerstegeval zorgt voor een nieuwe feromoonpiek met een lagere invloedsfactor H aan de linker (endus slechtere) kant van de vorige feromoonpiek. Globaal is de PDF dus slechter geworden voorde volgende iteratie. Dit effect zal de convergentie van het algoritme vertragen en is eigenlijkveroorzaakt omdat de nieuw toegevoegde feromoondistributies een slechte weergave geven vanhet verloop van de kwaliteitsfunctie rond de bestaande feromoondistributie. Om dit tegen tegaan is het nodig dat we voldoende mieren gebruiken. Gebruiken we n mieren, dan is dekans dat al die mieren de linkerkant(de slechte kant) kiezen 1

2n . De kans op een grote fout,zoals die geschetst is in het voorbeeld met een mier, verkleint dus met het aantal mieren n.Bovendien moet vastgesteld dat het effect van het vergroten van n al snel miniem wordt doorhet functieverloop van 1

2n . Een andere manier om deze convergentiefouten te vermijden is omenkel mieren die een pad creeren met een lage kost een feromoondistributie te laten toevoegenof om deze paden sterk te bevoordeligen. Zo zullen de PDFs nooit slechter worden zoals in hetgeschetste voorbeeld met een mier. Dit is de filosofie achter meer geavanceerde ACO algoritmenzoals MAX-MIN of ACS [11] (zie paragraaf 2.3.3).

Conclusie is dat er zowel een bovengrens als een ondergrens is voor het aantal mieren dat gebruiktwordt. In het geval dat er sprake is van parallelle uitvoering van elke mier zit de bovengrens


hem in de kost voor elke uitvoeringseenheid. Elke nieuwe uitvoeringseenheid brengt een kleinerewinst in uitvoeringstijd zodat er een punt komt dat het geen zin heeft om nog meer mierenen dus nog meer uitvoeringseenheden aan te brengen (cfr. het 1

2n verloop). In het geval dater sprake is van seriele uitvoering van de mieren zit de bovengrens hem in het feit dat meermieren zorgt voor minder iteraties in dezelfde tijdspanne. Hier is het aantal mieren dus eencruciale factor in de convergentiesnelheid van het algoritme en niet een ”hoe meer hoe beter”verhaal. De ondergrens zit hem natuurlijk in de overweging dat we geen fouten mogen makenzoals geschetst in het geval met een mier. De nieuw toegevoegde feromoondistributies moeteneen goede weergave zijn van de globale kostfunctie rond de aanwezige feromoondistributies endus moeten er voldoende mieren zijn.

Het bestaan van deze grenzen kan worden getest en het resultaat is te zien op de statistiek vanfiguur 4.8. Het effect van de relatieve vermindering van aantal iteraties door het vergroten vanhet aantal mieren bij een vast aantal padcreaties is hier goed te zien in de tragere convergentie vande statistiek van 800 mieren. Het optreden van convergentiefouten wordt ook heel goed zichtbaarwanneer er slechts 2 mieren zijn. Conclusie is dat de convergentiefouten al verwaarloosbaar zijnvanop het moment dat er een tiental mieren gebruikt worden.

Figuur 4.8: statistiek van het algoritme met verschillende aantallen mieren en een vast aantal van 200000 padcreaties

Feromoon onderhoud


Zoals in paragraaf 2.3.3 aangehaald is, bestaat feromoon onderhoud uit drie delen. Kijken weeven naar de manier waarop feromonen worden verwijderd. In het algoritme tot nu toe was ereen vast geheugen voorzien dat twee maal het aantal mieren aan feromoondistributies bijhield.Zo bleven de feromonen die bij een bepaald pad hoorden altijd gedurende 2 iteraties aanwezig.Dit is in paragraaf 2.3.3 aangeduid als de levensduur methode om feromonen te verwijderen.Daarnaast bestaat ook nog evaporation en dissolving. De eerste vraag is wat er zou gebeurenwanneer we de levensduur verlengen. Het antwoord zit hem weer in het hill climbing mechanisme.Een langere levensduur wil zeggen dat de feromoondistributies uit de vorige iteraties, die ”lager”op de heuvel zitten, nog even aanwezig blijven. Dit zorgt ervoor dat mieren een (relatief kleine)aantrekking voelen naar die paden met een hogere kost (”lager” op de heuvel). Een tragereconvergentie zal het gevolg zijn. Dit is ook te zien op grafiek 4.9. Deze is opgemeten voor 200000 padcreaties met 80 mieren. De tragere convergentie naarmate een langere levensduur wordtgebruikt is goed zichtbaar.

Figuur 4.9: statistiek voor verschillende feromoon levensduren (1,2 en 10 iteraties)

De snelste convergentie is te verkrijgen voor een levensduur van 1 iteratie. Wanneer men eenalgoritme nodig heeft dat snel convergeert, zal men dus kiezen voor deze levensduur. Dit wilook zeggen dat er geen plaats is voor evaporation of dissolving. Deze zullen immers ook deconvergentie vertragen door meer belang te hechten aan ”oude” feromoondistributies ”lager” opde heuvel.


Deze bemerking wil echter niet zeggen dat deze mechanismen nutteloos zijn. In deze paragraafhebben we tot nu toe steeds de keuze gemaakt die de convergentiesnelheid verhoogde. Bij elk vandeze keuzes ging dit gepaard met een vernauwing van de zoekruimte (minder feromoondistribu-ties, kleinere σ in de feromoondistributies). Dit is een uiting van wat soms het ”no free lunch”theorema wordt genoemd. Convergentiesnelheid wordt betaald in breedte van de zoekruimte.Bijgevolg wordt het algoritme gevoeliger om te blijven steken in een lokaal optimum. Bij ditspecifiek probleem is dit geen bezwaar aangezien er maar een optimum is in het zoekdomein.

In het puntje over Aantal mieren is vermeld waarom het misschien een betere keuze zou zijnom enkel die mieren die een pad creeren met lage kost feromonen te laten aanbrengen. Ditzullen we feromoonselectie noemen. Dit is een andere implementatie van het eerste puntje overferomoon onderhoud uit paragraaf 2.3.3 en bevindt zich in de geest van het ACS algoritme. Eenstatistische analyse geeft het resultaat van figuur 4.10. Bij deze test werd er genoeg geheugenvoorzien om de toegevoegde feromoondistributies een iteratie levensduur te geven, elke run kreeg50 000 padcreaties tijd. Wat gevarieerd werd is het aantal toegevoegde feromoondistributies.Het aantal mieren is constant op 80 gekozen, maar er werd een selectie gemaakt van de mieren diede beste paden hebben geconstrueerd en enkel deze werden toegelaten om feromoondistributiestoe te voegen. De grootte van deze selectie is hetgeen gevarieerd werd in deze test en is hierbovendien gelijk aan de grootte van het nodige geheugen.

Figuur 4.10: statistiek voor 80 mieren en verschillende aantallen feromoondistributies die wordentoegevoegd per iteratie


Zoals te verwachten was, geeft de selectietechniek een snellere convergentie. De winst is hetgrootst wanneer de beste helft van de mieren wordt toegelaten om een feromoondistributie toete voegen. Voor een verklaring kunnen we teruggrijpen naar het vereenvoudigd model van figuur4.5. De helft van de mieren zal een keuze maken rechts van het gemiddelde van de feromoonpiek.Dit zijn de keuzes met een lagere kost. Dit is met andere woorden de beste helft van de mieren.Wanneer we de andere mieren ook feromoondistributies laten toevoegen zal dit langs de slechtekant zijn van de bestaande distributie en dit zal de mieren naar de slechte kant lokken tijdens devolgende iteratie. Daardoor zou de convergentie vertragen. Een nog strengere feromoonselectieheeft dan nog weinig zin, en in het extreme geval dat enkel de beste mier wordt toegelaten omnog een feromoondistributie toe te voegen lijkt de convergentie zelfs weer een beetje te vertragen.

kostfunctie

De kostfunctie wordt gebruikt om de kwaliteit van een pad te bepalen. Een pad met een lagerekost dan een ander pad is een pad van betere kwaliteit. Het doel van de kostfunctie is eigenlijkom een ordening op te kunnen leggen aan de verzameling van mogelijke paden. Zo kan steeds hetbeste pad onthouden worden uit een set van twee paden. De absolute waarde van de kost vaneen pad of de grootte van het verschil tussen de kost van twee paden is helemaal niet belangrijk,het enige wat de kostfunctie moet doen is bepalen welk van twee paden de laagste kost heeft.

Tot nu toe is de kostfunctie van (4.1) gebruikt. Volgens het voorgaande is het exponentieelverband dus eigenlijk overbodig. Als exp(−|Frooster(90, 0, sa)|) > exp(−|Frooster(90, 0, sb)|)geldt, geldt immers ook −|Frooster(90, 0, sa)| > −|Frooster(90, 0, sb)|. Waar het exponentieelverband dan wel een verschil maakt is in de convergentie van het algoritme. Eerder werd alopgemerkt dat er in de besproken implementatie een rechtstreeks verband bestaat tussen dekostfunctie en de invloedsfactor H van een toegevoegde feromoondistributie (zie 4.2). Neem eeneendimensionaal probleem waar twee mieren reeds een feromoondistributie geplaatst hebben opdezelfde plaatsen s1 en s2. Op figuur 4.11 zijn die twee feromoondistributies aangebracht voordrie verschillende kostfuncties. Zo wordt duidelijk dat er een groot verschil is in de invloeds-factoren H, hoewel hetzelfde |Frooster(90, 0, s)| verloop gebruikt voor alle 3 de grafieken. Voorhet logaritmisch verband zijn de twee distributies bijna even ”hoog”, met andere woorden huninvloedsfactor H is ongeveer gelijk. Dit zal resulteren in een ongeveer gelijke verdeling van demieren over de twee distributies. Bij het exponentieel verband gaat dit niet meer op, nagenoegalle mieren zullen de rechtse distributie kiezen omdat de invloedsfactor H daar veel groter is.

Nu is vastgesteld dat de kostfunctie de convergentie kan beınvloeden, is de vraag nog in hoeverredit gebeurt. Daarvoor is een test uitgevoerd, waarbij is uitgegaan van het algoritme dat tot nutoe als optimaal werd bestempeld. Dat wil zeggen 10 mieren met een feromoon onderhoudsysteem waarbij de beste 5 mieren uit elke iteratie feromoondistributies toevoegen met eengeheugen van een iteratie. De standaardafwijking van die distributies σ is 2π

1024 . Weerom zijn 25runs uitgevoerd en zijn de resultaten in een grafiek gezet als statistiek (figuur 4.12).


(a) logaritmisch verband (b) lineair verband

(c) exponentieel verband

Figuur 4.11: schets van 3 mogelijke verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)|

Figuur 4.12: statistiek voor verschillende verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)|met feromoon-selectie


Het valt op dat de verschillende verbanden weinig invloed hebben. Dit is te verklaren. Zoalsreeds uitgelegd zorgt de kleine standaardafwijking σ van de feromoondistributies ervoor dathet hill climben met kleine stapjes gebeurt. Met andere woorden, de nieuw toegevoegde fero-moondistributies liggen zeer dicht bij elkaar en langs de rechtste kant van de feromoondistributie(zie puntje Feromoon onderhoud). Bijgevolg maakt het weinig uit welke distributie het relatievevoordeel krijgt door een grotere invloedsfactor H. Dit geeft het op het eerste zicht merkwaardigeresultaat dat het zelfs niet belangrijk is om een invloedsfactor H te gebruiken. Wanneer dezeconstant wordt gekozen blijft dit algoritme even goed werken.

Dit resultaat is zeer tegen-intuıtief. De verklaring is te vinden in de achterliggende bedoelingvan de invloedsfactor H. Deze is bedoeld om groot te zijn wanneer de mier andere mierenwil aantrekken naar zijn pad en klein te zijn wanneer dit niet de bedoeling is. Ze dient duseigenlijk om een onderscheid te kunnen maken tussen een slecht pad en een goed pad bij depadconstructie. In dit algoritme is dit onderscheid echter op een andere manier gemaakt. Deselectieprocedure van het feromoonselectie mechanisme, waarbij van de 10 mieren slechts de beste5 paden worden toegevoegd aan de PDFs (zoals uitgelegd in het puntje over puntje Feromoon

onderhoud), maakt dit onderscheid al. Vandaar is het niet zo verwonderlijk dat het uitschakelenvan de kostafhankelijke invloedsfactor het ACO algoritme niet doet mislukken.

Als deze redenering klopt, dan moeten we een nefast slechtere convergentie zien wanneer wezowel de invloedsfactor H uitschakelen (door deze constant te nemen) en geen feromoonselectieuitvoeren. Er is dan immers geen mechanisme meer dat de mieren in staat stelt goede paden vanslechte paden te onderscheiden bij hun padconstructie. De zoektocht zou dan een puur randomzoektocht moeten worden. Dit is dan ook getest. Het algoritme is hier hetzelfde als in de vorigetest, maar hier is elke mier toegelaten om een feromoondistributie toe te voegen.


Figuur 4.13: statistiek voor verschillende verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)| zonder selec-tieve feromoontoevoeging

Het vermoeden wordt bevestigd op figuur 4.13. De constante invloedsfactoren H zorgen inder-daad voor een nefast slechtere convergentie. Wat ook opvalt is dat de convergentie vertraagtwanneer een lineair varierende kostfunctie gebruikt wordt. Dit was niet het geval in de vorigetest. Dit valt te verklaren door nogmaals terug te komen op het principe van feromoonselectie.Bij feromoonselectie (zoals in de vorige test), uitgelegd in het puntje Feromoon onderhoud, zullende nieuwe feromoondistributies (gemiddeld) allemaal langs de betere kant van de bestaande dis-tributie liggen wanneer de helft van de mieren wordt toegelaten om een feromoondistributie toete voegen (cfr. de rechterkant van de distributie op figuur 4.5). Zonder selectie zal gemiddeldde helft van de nieuwe distributies links en de andere helft rechts liggen van de bestaande dis-tributie. De linkerkant heeft een hogere kost en zal dus zwaar gepenaliseerd worden door eenexponentieel kostfunctieverloop (Zoals te zien op figuur 4.11(c)). Het is bijna alsof de distribu-ties met een hogere kost niet aanwezig zijn. Dit brengt ons bij de situatie van feromoonselectie.Neem echter een lineair kostfunctieverloop (Zoals te zien op figuur 4.11(b)) en de distributiesmet hogere kost zullen wel prominent aanwezig zijn en mieren aantrekken naar de slechterelinkerkant. Dit zal de convergentie sterk vertragen (grafiek 4.13) en dit in tegenstelling tot hetgeval van feromoonselectie (grafiek 4.12), waar de distributies met hogere kost nooit werdentoegevoegd en dus niet aanwezig zijn bij het lineaire kostfunctieverloop.


4.2.3 Algoritme 2: samenvatten van de resultaten

In wat vooraf ging zijn de belangrijkste parameters van het voorgestelde ACO algoritme be-sproken op vlak van convergentiesnelheid. Het probleem dat opgelost wordt is nog steeds datvan maximaliseren van het uitgestraald elektrisch veld in een richting. Omdat het probleem eenoptimum heeft is een zo snel mogelijke convergentie nuttig. Nu zullen we de resultaten verkregenuit het evalueren van het eerste algoritme samenbrengen in een tweede algoritme:

• Initialisatie:Nieuwe run10 mieren, 16 PDFs (een voor elke dimensie van het zoekprobleem, d.i. elke antenne)samengesteld uit een constant aantal van 5 normale distributies volgens een FIFO systeem.

• Hoofdlus:Nieuwe iteratieElke mier construeert een volledig pad s (een keuze voor elke dimensie van het zoekprob-leem, d.i. een fase voor elke antenne)Elke mier evalueert zijn pad zodat er een kost aan wordt toegekend (4.1).De mieren met de 5 paden met de laagste kost voegen een feromoondistributie toe (fero-moonselectie). Deze normale distributie heeft als gemiddelde de waarde van de padkeuzevan de mier in die dimensie en een constante standaardafwijking(σ = 2π

1024). De invloeds-factor H(zie vergelijkingen 2.6 - 2.8) wordt constant genomen.

• Terminatie: Het pad dat in de loop van alle iteraties de laagste kost had, wordt hetresultaat van de optimalisatieprocedure.

Dynamische standaardafwijking

Een punt dat bij het eerste algoritme was aangeraakt, maar nog niet werd behandeld, is hetconcept van een dynamische standaardafwijking. Zoals toen gezegd zijn er zowel voordelenverbonden aan het nemen van een grote σ als aan een kleine σ. Ideaal zou zijn om deze in hetbegin groot te nemen en achteraf klein (zie ook grafiek 4.4). De reden waarom het effect van eendynamische standaardafwijking nog niet bekeken is, is omdat dynamische effecten moeilijker tevoorspellen zijn, vooral in combinatie met andere statische parameters die in de vorige paragraafzijn beschouwd. Nu de statische parameters gekozen zijn, kunnen we eens kijken naar het effectvan bijvoorbeeld een dynamische standaardafwijking.

In paragraaf 2.3.2 werd dit al even kort besproken. Men stelt namelijk voor om de standaardafwi-jking σ van de feromoondistributies te laten afhangen van de spreiding van de mieren. Hier ziteen logica achter, maken de mieren keuzes die ver uiteen liggen in een dimensie n, dan wildit zeggen dat de optimale keuze in die dimensie eender waar kan liggen en waarschijnlijk vervan de beste keuze in die dimensie tot dan toe. Een grote standaardafwijking is dan nuttig.Maken de mieren daareentegen keuzes die dicht bijeen liggen in die dimensie n, dan is een kleine


standaardafwijking te prefereren. Bij een grote standaardafwijking zou dan immers geen pro-gressie meer mogelijk zijn(cfr. hill climbing figuur 4.6). Dit was ook al geconcludeerd bij hetonderzoeken van een statische standaardafwijking (zie paragraaf 4.2.2).

Op de grafiek van figuur 4.14 is de convergentie te zien van de twee meest interessante statischestandaardafwijkingen uit het puntje over Standaardafwijking van paragraaf 4.2.2. Toen is aluitgelegd waarom de grote standaardafwijking (σ = 2π

64 ) initieel veel sneller convergeert. Deconvergentie vertraagt echter enorm zodat de kleine standaardafwijking (σ = 2π

1024) uiteindelijknog het eerst het optimum bereikt.

Figuur 4.14: statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen (σ = 2π1024 , σ = 2π

64 en een adap-tieve σ) voor 2 000 padconstructies

Ideaal zou zijn om deze twee eigenschappen te combineren in een standaardafwijking die hetalgoritme initieel zeer snel doet convergeren om dan onmiddellijk ook het optimum te bereiken.We opteren voor een adaptieve aanpak die gebruik maakt van de spreiding van de mieren.Daarvoor is het nuttig om eerst de spreiding van de mieren te bekijken (figuur 4.15). Er wordtvastgesteld dat de spreiding van de mieren stabiel blijft bij een constante standaardafwijking.Men kan ook nagaan dat een standaardafwijking, die op een constante factor na gelijk is aan despreiding van de mieren, ervoor zorgt dat de spreiding van de mieren zeer snel naar een bepaaldstabiel niveau gaat.


Conclusie is dat een relatie zoals (4.3) gewoon aanleiding geeft tot een stabiele standaardafwi-jking, terwijl we net wilden dat deze standaardafwijking kon varieren.

σ = a · (max(x1..N )−min(x1..N )) (4.3)

Een andere relatie dringt zich op. Wat we eigenlijk willen bereiken is een transitie van stan-daardafwijking σ = 2π

64 naar σ = 2π1024 . We willen met andere woorden de standaardafwijking (en

dus de spreiding van de mieren) met factor 102464 verkleinen in de loop van het algoritme. Gezien

het verloop van de convergentie op figuur 4.14 willen we dat de transitie halfweg is op ruwwegeen vierde van de verlopen tijd van het algoritme. Op dat punt zit de rode curve (σ = 2π

64 )immers al op het niveau dat de convergentie zeer vertraagt. Het hill climben is voltooid ende mieren doen een inefficiente uniforme zoektocht in een vrij breed gebied(figuur 4.6) zoalsis uitgelegd in het puntje over Standaardafwijking in paragraaf 4.2.2. We hebben twee eisen,dat de standaardafwijking met een factor 1024

64 moet verkleinen in de loop van het algoritme endat deze transitie halfweg moet zijn op een vierde van de verlopen tijd van het algoritme. Ditkunnen we verwezenlijken met een verband met een vierkantswortel. We gebruiken daarom derelatie van (4.4).

σ =max(x1..N )−min(x1..N )

3 + 3√

c(4.4)

Hierbij is c een getal tussen 0 en 1 dat de fractie van de tijd uitdrukt die al verlopen is. De getallenzijn zo gekozen dat de gevraagde factor 1024

64 verwezenlijkt wordt in termen van spreiding vande mieren. Met dit verband bekomen we dan ook de cyaan curve van figuur 4.15. De spreidingvan de mieren verplaatst zich inderdaad van die die hoort bij standaardafwijking σ = 2π

64 naardie die hoort bij σ = 2π

1024 .


Figuur 4.15: spreiding van de mieren bij verschillende standaardafwijking

Resultaat van deze adaptieve standaardafwijking is de blauwe curve van figuur 4.14. Zoalsde bedoeling was, combineert deze inderdaad het initieel snel convergeren van de grote stan-daardafwijking met het bereiken het ene optimum binnen aanvaardbare tijd zoals de kleinestandaardafwijking dat voordeed.

4.2.4 Resultaat

Het rest ons nu nog om de gevonden oplossing te bekijken. Het algoritme convergeert nu zeersnel naar een optimum dat in de meerderheid van de gevallen praktisch dezelfde oplossing is(exact hetzelfde kan nooit, aangezien het algoritme in een volledig continue zoekruimte werkt).Toch liggen de oplossingen daar zo dicht bijeen dat we gerust over dezelfde oplossing kunnenspreken na afronding. Die oplossing moet nu naast de theoretisch vooropgestelde oplossing uitparagraaf 4.2.1 gelegd worden. Het algoritme geeft als resultaat figuur 4.16.


Figuur 4.16: Resultaat van de optimalisatie naar maximaal elektrisch veld in een richting voor hetzesdelig rooster

Het valt op dat dit tot op een tiende van een graad overeenkomt met de vooropgestelde oplossing(tabel 4.2.1). Dit was voor een run van 20 000 padcreaties. Wanneer het resultaat tot op eentiende van een graad precies moet zijn komt dit overeen met een zoekruimte van 3600 puntenin elke dimensie. Gezien het hier een rooster van 6 antennes betreft, bestaat de zoekruimte uit36006 mogelijke paden. Dit maakt dat het algoritme de oplossing vindt na een fractie van 1e−17

van de zoekruimte geexploreerd te hebben.

Hetzelfde probleem kan ook opgelost worden voor het zestiendelig rooster. Het algoritme geefthier als resultaat figuur 4.17.

Figuur 4.17: Resultaat van de optimalisatie naar maximaal elektrisch veld in een richting voor hetzestiendelig rooster

Ook bij deze run zijn 20 000 padcreaties gedaan. Het resultaat is nu niet meer zo nauwkeurig alsbij het zesdelig rooster. Toch is het resultaat nog precies tot op een vijfde van een graad. Dezeprecisie komt overeen met 1800 punten in elke dimensie. Hier betreft het zestiendelig rooster, dusde zoekruimte bestaat dan uit 180016 mogelijke paden. Dit maakt dat het algoritme de oplossingvindt na een fractie van 1e−47 van de zoekruimte geexploreerd te hebben. Het uiteindelijke verreveld elektrisch veld stralingspatroon voor beide problemen komt op uit op de resultaten vanfiguur 4.1 omdat de door het algoritme gevonden oplossingen voldoende dicht aanleunen bij devooropgestelde van tabel 4.2.1.

4.3 Complexere kostfuncties

Tot nu toe is gewerkt met een kostfunctie die een optimum kent. Dit optimum was in hoofdstuk3 al bepaald. Op zich is het relatief eenvoudig te begrijpen waarom deze functie maar een


optimum kent. Volgens (3.14) is de stralingsvector immers te bepalen als een som van fasoren.Wil men zo’n som zo groot mogelijk maken, dan kan dit enkel door al de fasoren in fase teleggen, wijkt men daarvan af zal de totale resulterende fasor altijd kleiner in amplitude zijn.Een afwijking die het faseverschil verkleint zal bovendien altijd resulteren in een resulterendefasor die groter is in amplitude. Bijgevolg is er een monotoon verloop van de kostfunctie naareen uniek optimum. Dit is dan ook de reden waarom het algoritme zo goed werkt voor hetmaximaliseren van de stralingsvector in een richting. Zoals een aantal keer is vermeld bij hetoverlopen van de parameters van het algoritme, exploiteren we op een aantal punten het hillclimben van monotoon verlopende ”heuvels” in de kostfunctie.

4.3.1 Maximalisatie en minimalisatie van het uitgestraald elektrisch veld in

meerdere richtingen

Een complexer probleem is het maximaliseren van het elektrisch veld in meerdere richtingen ipvin een richting. De meest voor de hand liggende manier om dit te doen is door kostfunctie 4.1uit te breiden naar:

kost(s) = exp(−N−1∑n=0

|Frooster(90, φn, s)|) (4.5)

Eerst moet opgemerkt dat het exponentieel verloop niets verandert aan de plaats van ex-trema, het aantal extrema of het teken van de eerste afgeleide van de som van amplitudes|Frooster(90, φn, s)| ifv de fasekeuzes βk in de vector s. Het is dus voldoende om het verloopvan het argument van kost(s) te bekijken.

Neem nu (3.5) en beschouw de stralingsvector Fn(θ, φ). Stel dat we dit willen maximaliserendoor de fase β0 van stroom I0 te kiezen. We kunnen dan |Frooster(θ, φ)| schrijven als:

|Frooster(θ, φ)| = |N∑

n=0

InFn(θ, φ)|

Men kan dan de factor F0(θ, φ), onafhankelijk van de gekozen fase β0, wegdelen omdat die nietmeespeelt in de maximalisatie in β0.

|Frooster(θ, φ)| ≈ |I0 +N∑

n=1

InFn(θ, φ)F0(θ, φ)

|

De som in deze uitdrukking is onafhankelijk van β0 en kunnen we schrijven als een verderonbekend complex getal Aexp(jα) en aangezien I0 een eenheidsstroom is die enkel in fase bepaaldwordt kunnen we dit schrijven als:

|Frooster(θ, φ)| ≈ |exp(jβ0) + Aexp(jα)| =√

1 + A2 + 2A cos(α− β0)

Om de waarde β0 te vinden die deze uitdrukking maximaliseert, leiden we ze af naar β0

∂|Frooster(θ, φ)|∂β0

≈ A sin(α− β0)√1 + A2 + 2A cos(α− β0)


Het is makkelijk in te zien dat er in het domein, voor β0 tussen 0 en 2π, 2 waarden zijn die deafgeleide 0 maken. De noemer is altijd positief bij deze twee waarden en door het verloop vande sinus kunnen we zeggen dat een waarde een maximum en een waarde een minimum zal zijn.Dit is een bevestiging van wat we al wisten.

Bij maximalisatie van het elektrisch veld in meerdere richtingen volgens kostfunctie 4.5 draaithet om het maximaliseren van een som van N verschillende stralingsvectoren (geevalueerd in Nverschillende richtingen φn). Een analoge afleiding zoals in het enkelvoudig geval leidt dan totde uitdrukkingen:

N∑n=0

|Frooster(θ, φn)| ≈N∑

n=0

√1 + An

2 + 2An cos(αn − β0) (4.6)

∂∑N

n=0 |Frooster(θ, φn)|∂β0

≈N∑

n=0

An sin(αn − β0)√1 + An

2 + 2An cos(αn − β0)

Uit deze uitdrukking kunnen we een aantal zaken halen. In de buurt van het optimum zal An

groot zijn, tenslotte is An evenredig met |Frooster(θ, φn)| zonder de invloed van de stroom I0.Wanneer An groot is, zal de noemer van de uitdrukking ongevoeliger worden voor de cosinus.De uitdrukking voor de afgeleide wordt dus een som van sinussen met verschillende, maar bijbenadering constante amplitude. Zo een som van sinussen met gelijke frequentie stelt samen toteen sinus. Bij benadering kan men dus zeggen dat de som zich (in de buurt van het optimum)herleidt tot een sinus. Gezien het algoritme zeer snel convergeert naar paden die in de bredeomtrek van het optimum liggen, de breedte van de feromoondistributies is in het begin immersnog groot, zullen we ons praktisch altijd in het gebied bevinden waar de noemer bij benaderingconstant is. Bijgevolg kunnen we verwachten dat de maximalisatie van uitgestraald elektrischveld naar N richtingen zich net zoals in het geval van 1 richting gedraagt, de termen in de somstellen zich bij benadering samen tot een sinus en dus hebben we weer twee nulpunten, eenmaximum en een minimum en een sinusoıdaal verloop ertussen. Om die reden kunnen we zeergelijkaardige convergentie verwachten voor beide kostenfuncties.

Een probleem waarbij men de uitstraling in pakweg 60 verschillende richtingen wil maximalis-eren volgens kostfunctie 4.5 zou dus voor het algoritme bijna exact hetzelfde moeten zijn alseen probleem waarbij men de uitstraling in een richting wil maximaliseren. Deze conclusie isnatuurlijk aan een test onderworpen met als resulterende statistiek figuur 4.18. We zien datde convergentie van beide algoritmen inderdaad gelijk loopt. Belangrijker is dat er nauwelijksspreiding te noteren is tussen de convergentie van de 50 verschillende runs, dat wil zeggen datde convergentie tijdens geen een van de 50 runs verstoord is door de (eventuele) aanwezigheidvan lokale optima of zadelpunten.


Figuur 4.18: statistiek van het algoritme voor verschillende hoeveelheden te maximaliseren richtingenvan uitstraling, 50 runs van 5000 padcreaties

Een iets complexer probleem is om het maximaliseren van de uitstraling in een bepaalde richtingte combineren met het minimaliseren van de uitstraling in een andere richting. Dat hoeft ookniet moeilijk te zijn. Laten we de uitstraling in N richtingen minimaliseren. Dat wil zeggen datwe een som zoals (4.6) willen minimaliseren. We kunnen ook zeggen dat we het tegengestelde vandie uitdrukking willen maximaliseren. Het minteken kan dan opgenomen worden in het argumentvan de sinus in de uitdrukking voor de afgeleide, zo is in te zien dat er aan het functieverloopweinig verandert. Het probleem van het minimaliseren van de uitstraling in N richtingen herleidwordt naar het probleem van het maximaliseren van de uitstraling in N richtingen. Bovendienvalt op soortgelijke manier in te zien dat het mengen van maximalisatie- met minimalisatie-eisennaar het enkelvoudig maximalisatieprobleem herleid wordt. Al die problemen hebben dus bijbenadering een mooi verlopende kostfunctie met een optimum en zonder problematische lokaleextrema wanneer men uitgaat van de algemene kostfunctie-structuur van (4.5) (een som vanstralingsvectoren geevalueerd in verschillende richtingen).

4.3.2 Continue en verfijnde eisen

Een realistisch probleem zal echter meer zijn dan enkel een aantal richtingen waarin men moetmaximaliseren en een aantal richtingen waarin men moet minimaliseren. Een realistisch prob-leem zal meer verfijnde eisen opleggen, bijvoorbeeld aan de hand van een soort filterspecificatie


(figuur 4.19) waarbij wordt geeist dat het stralingspatroon zich niet in het gearceerde gebiedmag begeven.

Figuur 4.19: schets van een meer realistische probleemopgave

Een dergelijke probleemopgave verschilt op twee vlakken van de problemen die tot nu toe zijnbeschouwd.

1. Dergelijke eisen zijn niet altijd absolute maximalisaties of minimalisaties, meer waarschi-jnlijk worden er grenzen opgelegd. Zo’n eis zal dan eerder klinken als ”maximaliseerde uitstraling in richting a terwijl de uitstraling in richting b zeker 20dB lager wordtgehouden”.

2. De eis kan gesteld zijn over een continue interval in plaats over een set discrete richtingen.

Het is mogelijk om de reeds geschetste techniek, om verschillende discrete maxima en minimaop te leggen, uit te breiden om af te rekenen met die twee verschillen.

Tot nu toe was het algoritme enkel in staat om een zo groot mogelijke uitstraling of een zoklein mogelijke uitstraling in een richting te bekomen. Wil men bepaalde eisen eerder vervangendoor een optimalisatie naar een grens, dan kan men dat op een elegante manier doen, door hunrespectievelijke termen in de som van (4.5) te clippen wanneer ze hun vereiste waarde bereikthebben. Wil men bijvoorbeeld in een bepaalde richting verkrijgen dat de stralingsvector inabsolute waarde onder een bepaalde waarde Fmin blijft, dan kan men deze term in de som vande kostfunctie vervangen door die Fmin wanneer de eigenlijke waarde onder de eis zakt. Van ophet moment dat zo een stralingsvector dan aan zijn eis voldoet, speelt die waarde niet meer meein de kostfunctie (hij is constant) en is de overblijvende kostfunctie een die hetzelfde verloopheeft als (4.5), met een term minder in de som. Dat wil weerom zeggen, een mooi glad verloopzonder lokale extrema of zadelpunten, naar een optimum toe. Merk op dat dit niet noodzakelijkwil zeggen dat elke run hetzelfde optimum bereikt. Komt men tijdens een run in de situatie


dat de k-de term in de som van (4.5) aan zijn eis voldoet (en dus van dan af wordt constantgehouden zolang hij aan zijn eis voldoet), dan zal het algoritme naar een bepaald uniek optimumsk convergeren. Komt men in een andere run in de situatie dat de l-de term in de som aan zijneis voldoet, dan convergeert het algoritme ook naar een bepaald uniek optimum sl. Het is nietgegarandeerd dat sk en sl hetzelfde zijn. Wel is het zo dat wanneer dezelfde termen clippenin twee runs, de kostfunctie gelijk is voor de twee runs en dus een verloop naar een optimumzonder zadelpunten heeft. In het geval dat aan de opgelegde eisen kan worden voldaan, zullenalle termen in de som, die bedoeld waren van te clippen, geclipt zijn en hebben we een uniekoptimum bereikt. Conclusie is: als aan de eisen kan worden voldaan, dan zal het algoritme altijdnaar het ene unieke optimum convergeren. Bovendien zal het dit doen zonder zich vast te lopenin lokale optima of zadelpunten aangezien die niet bestaan bij de kostfunctie van het type van(4.5).

Om aan een complexe probleemopgave te voldoen moet nu nog een manier gevonden wordenom de continue eis altijd om te zetten naar een set van discrete eisen. Een computer bezitnu eenmaal geen oneindig groot geheugen om een continu stralingspatroon in op te slaan. Devraag is aan welke samplefrequentie men de continue eis kan discretiseren. Dit is onderzochtaan de hand van een optimalisatieprobleem waarbij de uitstraling werd geminimaliseerd tussenφ = 90 en φ = 180 en gemaximaliseerd in de richting φ = 0. Voor het zesdelig rooster is deeis opgelegd dat de uitstraling in het gedefinieerd gebied 20dB onder die van de richtig φ = 0

moet blijven. Er zijn sampleintervallen van 11.25, 45 en 90 gebruikt. De resultaten zijn tezien op figuren 4.20, 4.21 en 4.22.

Figuur 4.20: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 11.25 bijhet zesdelig rooster


Figuur 4.21: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 45 bijhet zesdelig rooster

Figuur 4.22: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 90 bijhet zesdelig rooster

Men kan concluderen dat het gebruik van een grotere samplefrequentie leidt tot een groterenauwkeurigheid wat betreft het volgen van de opgelegde eis. Toch blijft de overshoot beperkttot kleine fracties van een dB en dit zelfs bij lage samplefrequenties. Wanneer men echter naarzeer lage samplefrequenties gaat, dan bekomt men gebieden met grote overshoot. Voor hetzesdelig rooster, lijkt een samplefrequentie van 1 sample/45 voldoende. Voor het zestiendeligrooster is dezelfde optimalisatie utigevoerd. Er zijn sampleintervallen van 4.5, 7.5 en 30

gebruikt. De resultaten zijn te zien op figuren 4.23, 4.24 en 4.25.


Figuur 4.23: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 4.5 bijhet zestiendelig rooster

Figuur 4.24: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 7.5 bijhet zestiendelig rooster


Figuur 4.25: genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van 30 bijhet zestiendelig rooster

Men komt hier tot hetzelfde besluit als voor het zesdelig rooster. De overshoot verdwijnt ofblijft zeer beperkt, behalve bij de zeer lage samplefrequenties. Voor het zestiendelig roosterlijkt een samplefrequentie van 1 sample/7.5 voldoende. Het valt op dat voor het zestiendeligrooster een grotere samplefrequentie vereist is dan voor het zesdelig rooster. Men kan zich devraag stellen welke eigenschap van het rooster verantwoordelijk is voor dit verschil. Om datverschil te verklaren grijpen we terug naar |Frooster(θ, φ, s)|, wat kan beschouwd worden als eenperiodiek signaal in φ. Dit wil zeggen dat het mogelijk is om |Frooster(θ, φ, s)| te ontwikkelen alsFourierreeks.

|Frooster(90, φ, s)| =∞∑

m=−∞Fm(90, s)ejmφ (4.7)

Nu kan aangetoond worden [22] (uitgaande van de stroomverdeling en daaruit de bepaling van decoefficienten Fm(90, s), paragraaf 4.4) dat de som bij goede benadering kan afgebroken wordenvoor M > kr (met r de straal van het rooster).

|Frooster(90, φ, s)| =M∑

m=−M

Fm(90, s)ej2πm φ2π (4.8)

We kunnen dus stellen dat de stralingsvector een bandbeperkt signaal is in φ. Bijgevolg kan menhet signaal zonder verlies aan informatie voorstellen als een zeer klein aantal discrete samples(BW = kr

2π < fs/2). Bijgevolg moet fs > krπ wat neerkomt op een minimum van 2kr samples

die nodig zijn om een stralingspatroon (φ van 0 tot 2π) voor te stellen.

∆φmin <π

kr(4.9)

numsamples >2π

∆φmin= 2kr


Deze ondergrens voor de discretisatie van het stralingspatroon zou men kunnen gebruiken alssamplefrequentie van het de continue eis. Uit de tests van figuren 4.20-4.25 blijkt dat dit eente lage keuze is en dat komt omdat het maximum van een bandbeperkt continu signaal altijdtussen twee samples zal liggen. Toch zal de minimale sampling frequentie nauw verwant zijn metde ondergrens van (4.9). Uit de tests van figuren 4.20-4.25 blijkt dat vijf maal de ondergrenseen goede keuze is voor de discretisatie van de continue eis. Op die manier hebben we eenveilige methode gevonden om de continue eis om te zetten naar een eis op een aantal discretesamplepunten van het stralingspatroon.

Nu kunnen we deze bevindingen aan een experiment onderwerpen. We beschouwen het zestien-delig rooster en willen daarvoor een maximalisatie van |Frooster(90, 0, s)|, bovendien leggen wede eis op dat |Frooster(90, φ, s)| 20dB moet onderdrukt zijn tegenover |Frooster(90, 0, s)| tussenφ = 90 en φ = 180. Volgens het voorgaande is de stralingsvector een bandbeperkt signaal in φ.Voor het zestiendelig rooster resulteert het voorgaande erin dat het stralingspatroon minimaalmoet voorgesteld worden door 13 samples (zie (4.9)). Dit wil zeggen dat we de minimalisatie-eisin het tweede kwadrant kunnen vervangen door 5×13

4 = 16 discrete eisen, gezien is vastgestelddat we een aantal keer moeten oversamplen. We passen het clipping mechanisme toe voor deze16 eisen wanneer hun stralingsvector onder de vereiste 20dB zakt. Dit levert als resultaat figuur4.26 op.

Figuur 4.26: resulterend stralingspatroon voor het zestiendelig rooster bij een complexe probleemopgave

4.3.3 Optimalisatie naar antennewinst

Antennewinst is gedefinieerd als (3.24) wanneer we antenneverliezen buiten beschouwing laten.Antennewinst gebruikt het kwadraat van de stralingsvector, wat we in het voorgaande al op-


timaliseerden, en schaalt dit met het totaal uitgestraald vermogen. Nu zou men kunnen argu-menteren dat het totaal uitgestraald vermogen constant blijft voor de circulaire antenneroosters,aangestuurd met stroombronnen en enkel in fase stuurbaar. Dit vermogen kan immers bepaaldworden als

∑N−1k=0 <(Zkk)|Ik|2, waarbij N het aantal antennes is. Die uitdrukking is inderdaad

onafhankelijk van de gekozen fases en dus zou men verkeerdelijk de conclusie kunnen makendat optimaliseren naar antennewinst hier gelijk is aan optimaliseren naar uitgestraald elektrischveld. De fout zit hem in het feit dat de uitdrukking pas geldt bij afwezigheid van mutuelekoppeling.

Figuur 4.27: circuitequivalent van een antenne uit een rooster met mutuele koppeling

Is mutuele koppeling aanwezig, dan is op figuur 4.27 te zien dat <(Z00)|I0|2 niet het vermogenis dat geleverd wordt door de bron I0, de ingangsimpedantie die de bron ziet is veranderddoor de mutuele koppeling. De correcte uitdrukking wordt dan <(I∗0

∑N−1k=0 Z0kIk). De correcte

uitdrukking voor het totaal vermogen is dus niet∑N−1

k=0 <(Zkk)|Ik|2, maar uitdrukking 4.10.

Pt = <(N−1∑l=0

I∗l

N−1∑k=0

ZlkIk) (4.10)

Dat deze uitdrukking wel afhankelijk is van de gekozen fases is makkelijk na te gaan, namelijkdoor het vergelijken van een optimalisatie naar maximale antennewinst en een naar maximaaluitgestraald elektrisch veld (figuur 4.28).Er zijn zeer grote verschillen vast te stellen, optimalisatie naar antennewinst haalt bij benaderingeen 3dB hogere antennewinst dan optimalisatie naar maximaal elektrisch veld en het verschilin elektrisch veld scheelt omgekeerd dan weer ongeveer factor 2. Conclusie is dat (4.10) welafhankelijk is van de gekozen fases en dat is een opmerkelijke conclusie. Dit wil namelijk zeggendat een uitspraak van de vorm ”het gebruik van ideale stroombronnen schakelt mutuele koppelinguit” dan wel (grotendeels) mag kloppen voor de stralingsvector(zie paragraaf 3.2), ze klopt inhet geheel niet wat betreft antennewinst.

Nu duidelijk is vastgesteld dat optimalisatie naar antennewinst niet op hetzelfde neerkomt alsoptimalisatie naar elektrisch veld, zelfs niet bij stroombronnen, rijst de vraag wat het effectis op de convergentie van het algoritme. Daar waar de kostfunctie van (4.5) nog zeer mooie


(a) optimalisatie naar maximale elektrisch veld (b) optimalisatie naar maximale antennewinst

Figuur 4.28: vergelijking van optimalisatie naar maximaal elektrisch veld en naar maximale anten-newinst voor het zesdelig antennerooster

eigenschappen vertoonde hoeft dit bij het equivalente 4.11 niet meer zo te zijn.

kost(s) = exp(−N−1∑n=0

Gainrooster(90, φn, s)) (4.11)

De vraag is eigenlijk of er een verschil zit in de positie van de extrema en vooral in het aantal ex-trema van een Gainrooster(90, φn, s) tegenover een |Frooster(90, φn, s)|. De enige reden waaromdit verschil er zou zijn is omdat de factor 1

Ptot(s)van (3.24) een voldoende groot codomein ver-

toont om het verloop van |Frooster(90, φn, s)|2 drastisch te wijzigen. Vraag is dan hoe groot deinvloed is van de factor 1

Ptot(s). Volgens de vergelijking van figuur 4.28 is er zeker een invloed.

Ter illustratie een weergave van het verloop van de factor 1Ptot(s)

voor een twee-dimensionaledoorsnede van de zes-dimensionaale ruimte waarin s gekozen wordt bij het optimaliseren naarmaximaal elektrisch veld in een richting van het zesdelig antennerooster.


Figuur 4.29: verloop van 1Ptot(s)

Er is af te lezen dat deze factor 1Ptot(s)

kan zorgen voor een verschil van factor drie doorheen degekozen doorsnede van de zoekruimte. Of dit problematisch is hangt natuurlijk af van waar depiek van figuur 4.29 zich bevindt. De overeenkomstige antennewinst en |F (θ, φ)|2 zijn afgebeeldvoor dezelfde doorsnede van de zoekruimte op figuur 4.30. Hier is te zien dat de piek in hetverloop van 1

Ptot(s)een lager gelegen gebied van figuur 4.30(a) omhoog duwt en de bestaande

hoofdpiek van plaats doet verschuiven. Daaruit besluiten we dat de zoekruimte in het algemeenniet al te drastisch wijzigt van vorm, hoewel het optimum wel verschuift, door over te gaan naarantennewinst-optimalisatie van optimalisatie naar |F (θ, φ)|. Het is echter wel mogelijk dat erlokale optima ontstaan door gebieden die omhoog gestuwd zijn door de factor 1

Ptot(s), dit kan de

convergentie in bepaalde gevallen sterk vertragen.Nu we vermoeden dat optimalisatie naar antennewinst niet al te drastisch verschilt van optimali-satie naar maximaal uitgestraald elektrisch veld, met de nuance dat er een (kleine) mogelijkheidbestaat op extra lokale optima, kunnen we eens een optimalisatie uitvoeren. We vertrekkenvan figuur 4.28(b), daar is het zesdelig rooster geoptimaliseerd naar maximale antennewinst inrichting φ = 0. Er vallen grote zijloben op te merken. We zullen nu het algoritme gebruikenom deze te onderdrukken met de technieken geschetst in paragraaf 4.3.2. Resultaat van dezeoptimalisatie is te zien op figuur 4.31. Er is te zien dat de zijloben zich mooi aan de opgelegdeeis van maximaal 0dBi houden (dit niveau is afgebakend op de figuur).


(a) |F (θ, φ)|2 in functie van een doorsnede

van de zoekruimte

(b) antennewinst in functie van een

doorsnede van de zoekruimte

Figuur 4.30: Vergelijking tussen resulterende |F (θ, φ)|2 en antennewinst voor dezelfde willekeurigedoorsnede van de zoekruimte

Figuur 4.31: Optimalisatie naar maximale antennewinst met onderdrukking van de zijloben

4.4 Gebruik van Fourier technieken om de zoekruimte te verkleinen

Laten we even teruggrijpen naar uitdrukking 4.8. In die context werd al opgemerkt dat destralingsvector, als een periodiek signaal in φ, kan ontbonden worden in een Fourierreeks. Deafhankelijkheid in φ kan geschreven worden als

Frooster(θ, φ) =∞∑

m=−∞Fm(θ)ejmφ (4.12)

Het kan bewezen worden dat de stralingsvector Fm(de stralingsvector voor de m-de mode) vooreen UCA is bepaald door [22]

Fm(θ) = −jm−1ωµ0 sin θJm(k0r sin θ)∫ 2π

φ′=0

∫zC(r, φ

′, z)e−jmφ

′ek0z cos θdφ

′dz (4.13)


Uit deze uitdrukking kunnen een aantal belangrijke conclusies gehaald worden. Ten eerste komener Besselfuncties naar voor in de uitdrukking. Deze zijn gedefinieerd als

Jm(x) =12π

∫ 2π

0cos(mt− x sin t)dt (4.14)

Men kan nagaan dat de waarde van Jm(x) zeer klein blijft wanneer m, dat overeenkomt methet mode-getal, groter is dan zijn argument. Het argument dat gebruikt wordt in (4.13) isnamelijk begrensd tussen 0 en k0r. Dit resulteert in de vaststelling dat we Jm(x) kunnenverwaarlozen voor de modes m > k0r. Ten tweede is er de vaststelling dat de m-de mode van destralingsvector bepaald door de m-de mode van de stroomverdeling C(r, φ

′, z). Men kan (4.13)

immers herschrijven als

Fm(θ) = −jm−1ωµ0 sin θJm(k0r sin θ)∫

zCm(r, z)ek0z cos θdz (4.15)

De stroomverdeling wordt natuurlijk veroorzaakt door de gekozen aansturing, dus dit is eenbelangrijke conclusie. Gezien deze vaststellingen kan men Frooster(θ, φ) benaderen door eeneindige som met M > k0r.

Frooster(θ, φ) =M∑

m=−M

Fm(θ)ejmφ (4.16)

Zo blijven er 2M + 1 relevante modi over. Zoals gezegd zijn deze gerelateerd met de modi vandezelfde orde van de aansturing Cm(r, z). Er zijn 2M +1 verschillende, relevante modi zijn voorde aansturing. Dit wil zeggen dat we in het gediscretiseerde geval (de stroomverdeling is immersveroorzaakt door discrete antennes) ook minimaal 2M + 1 samples moeten hebben om deze teexciteren. Dit is een herformulering van het resultaat uit [23] in verband met het ontwerp vaneen antennerooster. Voldoen we niet aan de voorwaarde, dan zijn de modi niet te bepalen zonderambiguıteit (cfr. aliasing). Als N het aantal antennes is, dan moet een UCA voldoen aan

N >> 2k0r + 1 (4.17)

Eigenlijk zou men ervoor kunnen kiezen om een optimalisatiealgoritme dat de aansturing bepaaltte laten werken op de 2M + 1 mode-getallen van de aansturing in plaats van op de eigenlijkeaansturing van elke antenne. Vooral wanneer het aantal antennes dat gebruikt is veel groteris dan 2M + 1, kan dit een grote vereenvoudiging betekenen voor de zoekruimte. Voor hetzestiendelig antennerooster geldt dat N >> 4π + 1 en heeft men voor N 16 gekozen. Er zijneigenlijk 4π + 1, dus 15 relevante modi voor de aansturing. Door het ACO te laten werken inde ruimte van de modi van de aansturing kan men dus een winst halen omdat de zoekruimteeen dimensie kleiner is. Dit is niet zo een spectaculair voordeel, maar bij UCA’s waar hetaantal antennes zeer groot is kan deze winst wel enorm worden. Meestal zijn UCA’s echterontworpen met de ondergrens voor het aantal antennes indachtig, daarom besteden we verderweinig aandacht aan deze techniek.

Hoofdstuk 5

Toepassing: UCA met centraal

element en lasten

In hoofdstuk 4 is het ACO algoritme in de diepte besproken. Daardoor zijn we nu gewapendmet een goed begrip van de werking van het algoritme om een moeilijker soort probleem aan tepakken. Volgens hoofdstuk 3 kunnen we een antennerooster aanpassen door (o.a.) de aansturingvan de individuele antennes(fase/amplitude) aan te passen.De stromen In zijn met andere woorden de parameters die we beınvloeden door de excitatie temanipuleren. Beschouw een aansturing met spanningsbronnen. Het equivalent schema ziet erdan uit zoals figuur 5.1. De Vm’s zijn hier de spanningen veroorzaakt door mutuele koppelingmet de andere elementen (Vm1 = Z1cIc + Z12I2 en analoog voor Vmc en Vm2).

Figuur 5.1: equivalent circuit van een driedelig antennerooster met spanningsaansturing

Conceptueel kunnen we stellen dat we door middel van de spanningen Vn de stromen In beınvloedenen zo Frooster (3.5). Van een ander voorstel om hetzelfde te doen is het principe geschetst opfiguur 5.2. Het is duidelijk dat de stromen In beınvloed worden door de keuze van de impedantiesjXn, op die manier kunnen de impedanties jXn de resulterende stralingsvector Frooster van hetrooster beınvloeden (3.5).

68

Hoofdstuk 5. Toepassing: UCA met centraal element en lasten 69

Figuur 5.2: equivalent circuit van een driedelig antennerooster met impedantiesturing

Men kan nu een antennerooster geometrie bedenken waarbij elk element niet meer actief aanges-tuurd wordt, maar in de plaats een imaginaire impedantie krijgt. Volgens het voorgaande kanmen dan de stromen In beınvloeden. Dit klopt inderdaad, met die lichte nuance dat de stromenconstant 0A zullen zijn. Het probleem is namelijk dat er nergens vermogen in het systeemwordt gebracht. Bijgevolg zijn de door mutuele koppeling geınduceerde spanningensbronnenVmn 0 Volt en is het netwerk dood.

Er moet dus een manier gevonden worden om de spanningen Vmn op te wekken. Een manier isom centraal in het rooster een extra antenne aan te brengen die wel actief aangestuurd wordt. Zohebben we een sluitend systeem om het stralingspatroon van een antenne met passieve elementente beınvloeden.

5.1 Bepaling stralingspatroon uit lasten

De optimale waarden van die passieve elementen, om een bepaald effect op het stralingspatroonte bekomen, zijn natuurlijk niet rechttoe rechtaan te bepalen. Men zal zeker geen eenvoudige,gesloten wiskundige uitdrukking kunnen opstellen om die waarden te bepalen. Vandaar zal hetnodig zijn om een optimalisatietechniek zoals ACO te gebruiken. Ook in dat geval is er noodaan een manier om het stralingspatroon te berekenen uit een set van imaginaire impedanties.Daarvoor is de volgende techniek bedacht.

Neem een tweedelig rooster dat we op de voorgestelde manier willen aansturen. Er komt duseen extra antenne-element bij in het centrum van het rooster. We kunnen dan het equivalentschema opstellen en dit resulteert in figuur 5.2. Wanneer dit rooster op een klassieke, actievemanier zou worden aangestuurd (zoals op figuur 5.1), dan kunnen we zoals in hoofdstuk 3 eenimpedantiematrix opstellen.V1

V2

Vc

=

Z1 + Zt Z12 Z1c

Z21 Z2 + Zt Z2c

Zc1 Zc2 Zc + Zt

I1

I2

Ic

(5.1)


De parameters die kunnen aangepast worden zijn vet gedrukt. Het valt meteen op dat deextra impedantie Zt (de inwendige weerstand van de spanningsbron) terugkomt op de diagonaalvan de impedantiematrix. Dat is logisch, want deze extra impedanties komen in serie metde antenneimpedanties van hun respectievelijke antennes. Hetzelfde formalisme kan gebruiktworden om het rooster te beschrijven dat gestuurd wordt met impedanties (cfr. figuur 5.2). Wezien dat de toegevoegde impedanties in serie staan met de antenneimpedanties, dit is dezelfdesituatie als met de Zt’s. Bijgevolg worden deze ook opgeteld bij de diagonaalelementen van deimpedantiematrix. Op figuur 5.2 valt ook op dat de bronnen V1 en V2 verdwenen zijn tegenoverfiguur 5.1, men kan dit meenemen in de beschrijving door deze gewoon 0V te stellen. Deimpedantiematrixbeschrijving van figuur 5.2 wordt dan [13]:0V

0V

Vc

=

Z1 + jX1 Z12 Z1c

Z21 Z2 + jX2 Z2c

Zc1 Zc2 Zc + Zt

I1

I2

Ic

(5.2)

Weerom zijn de parameters die kunnen aangepast worden vet gedrukt. Het is duidelijk dat hetaantal parameters gelijk is gebleven. Om (3.5) te gebruiken, moeten we de stromen bepalen.Deze kunnen bepaald worden uit het formalisme van (5.2). Omdat de inverse van een impedantiema-trix, die mutuele koppeling tussen antennes beschrijft, altijd bestaat en na gebruik te makenvan symmetrie kunnen deze stromen bepaald worden (5.3).Z1 + jX1 Z12 Zc

Z12 Z2 + jX2 Zc

Zc Zc Zc + Zt

−1 0V

0V

Vc

=

I1

I2

Ic

(5.3)

Op die manier vindt men de stroom die door elke antenne vloeit, vertrekkende van de spanning ophet centraal element en de toegevoegde imaginaire impedanties. Met die stromen gebruikt mendan (3.5) en bekomt met de resulterende stralingsvector Frooster. Samengevat en in vectornotatielevert dit (5.4) Waarbij X de matrix is die de toegevoegde variabele reactanties bevat op dediagonaal en V de vector is die de excitatie bevat (dus een component die niet nul is, cfr (5.3)).

Frooster(θ, φ) = Vt · (Z + jX)−1

tF(θ, φ) (5.4)

5.2 Bepaling antennewinst uit lasten

Bij abstractie van antenneverliezen is antennewinst gelijk aan directiviteit. Dit is gedefinieerdin (3.24). Om de antennewinst te bepalen hebben we de totale stralingsvector van het roosterFrooster(θ, φ) nodig. Hoe die kan bepaald worden, is in de vorige paragraaf uitgelegd. Daarnaastis ook het totaal uitgestraald vermogen nodig. Omdat het rooster wordt gestuurd door te spelenmet passieve elementen en, zoals reeds geschetst is, slechts op een plaats vermogen in het systeemwordt gebracht, is dit eenvoudig te berekenen. Deze plaats is waar de centrale voedingsantenneis geplaatst. Wegens het principe van behoud van energie is het vermogen dat de bron aan dezevoedingsantenne levert het totaal uitgestraald vermogen van de antenne:

Ptot = <((Vc − IcZt) · I∗c ) (5.5)


Enige onbekende is dan Ic en die stroom is reeds bepaald bij de inversie van de impedantiematrix(5.3).

5.3 Aanpassing algoritme

Vooraleer keuzes te maken in verband met het algoritme loont het de moeite om eens naderte bekijken op welke manier men sturing met lasten kan interpreteren. Er is in de vorigeparagrafen wel een techniek getoond waarmee het effect van die lasten op het stralingspatroonen de antennewinst kan berekend worden, maar een meer intuıtieve interpretatie kan nooitkwaad.

Figuur 5.3: equivalent circuit van een antenne element in het rooster

Bekijk een antenne in het rooster (figuur 5.3). De antenneimpedantie krijgt stroom door deequivalente spanningsbron afkomstig van de totale mutuele koppeling Vm. Die stroom valt tebeınvloeden door de imaginaire impedantie jX1. Zonder verlies aan algemeenheid voor ditcircuit kan gesteld worden dat de V1 een eenheidsspanning van 1V met fase arg Za1 is. Op diemanier is de fase van de stroom I1 onmiddellijk ook de faseverschuiving veroorzaakt door hettoevoegen van jX1. Neem een Za van 75 Ω en beschouw capaciteitswaarden tussen 0.1pF en10pF(werkingsfrequentie is 2.45GHz), dan kan men de fase van de stroom veranderen volgenshet verband van figuur 5.4.


Figuur 5.4: mogelijke faseverschuivingen voor Za1 = 75Ω en 12πf10pF < X1 < 1

2πf0.1pF

Vanuit dit perspectief kunnen we sturing met lasten in feite beschouwen als fasesturing van eenrooster waarbij we een bereik van ongeveer π

2 kunnen bepalen. Merk op dat deze fases relatieftegenover de sturende equivalente spanningsbron zijn en niet absoluut tegenover eenvaste referentie. Natuurlijk beınvloedt een gekozen last ook de amplitude van de stroom volgenshet verband van figuur 5.5.


Figuur 5.5: amplitude van de stroom voor Za1 = 75Ω en 12πf10pF < X1 < 1

2πf0.1pF

Dit verband voor de amplitude van de stroom is een secundair effect dat in het spel komt. Wan-neer (3.5) gebruikt wordt en men wil het totaal uitgestraald elektrisch veld maximaliseren doorstroom I0 te varieren, dan komt dit neer op het zo groot mogelijk maken van |Frooster|. De ter-men

∑Nn=1 InFn(θ, φ) stellen samen tot een verder onbekend getal A

′exp(jβ

′). Om |Frooster| dan

zo groot mogelijk te maken is het noodzakelijk om de absolute waarde van de som van I0F0(θ, φ)met dit getal A

′exp(jβ

′) te maximaliseren. Men kan evengoed stellen dat het neerkomt op de

absolute waarde van som van I0 met A′exp(jβ

′)

F0(θ,φ) = Aexp(jβ) te maximaliseren. Bij fasesturingvan een rooster met stroombronnen is dit eenvoudig, zorg ervoor dat de fase van I0 gelijk wordtaan β (zoals ook uitgelegd in paragraaf 4.3). Bij sturing met lasten kunnen we ook de fasesturen tot op een bepaalde hoogte, maar zoals gezegd komt er een secundair effect in het speldat de amplitude schaalt. Het zou dus best kunnen zijn dat er meerdere optima zijn bij hetmaximaliseren van |Frooster|, een goed passende fase met een verlaagde amplitude en een mindergoed passende fase met een grotere amplitude bijvoorbeeld. Een andere keuze in I0 zou dan deresultante Aexp(jβ) voor keuzes van de andere In veranderen. In een situatie met veel dimensieszou dit leiden tot een exponentiele explosie van het aantal lokale optima waarin het algoritmekan verzeild raken. Zeker voor het algoritme opgesteld in hoofdstuk 4, dat een voorspelbare ensnelle convergentie beoogt en daardoor gevoelig is voor lokale optima, zou dit niet aanvaardbaarzijn. In dat geval zou een ander algoritme dat trager convergeert, maar minder gericht, brederen uniformer zoekt, moeten opgesteld worden.

Het loont dus te moeite om te kijken of het verloop van figuren 5.4 en 5.5 inderdaad aanleiding


geeft tot meervoudige optima. Zoals uitgelegd kan men schrijven:

|Frooster| ≈ |I0 + Aexp(jβ)|

Volgens een circuitequivalent zoals figuur 5.3 kan men de stroom I0 schrijven als:

|Frooster| ≈ |Vm,0

Za0 + jX0+ Aexp(jβ)|

Zonder verlies aan algemeenheid kan men de Vm,0 laten verdwijnen door hem op te nemen in deverder toch onbekende Aexp(jβ). Merk op dat er hier de veronderstelling wordt gemaakt datVm,0 onafhankelijk is van de keuze van X0. Dit is strikt gezien niet zo, want de keuze van X0

bepaalt de stroom I0 en die komt terug in een van de termen die de Vm,n in de andere antennesbepaalt. De stromen in de andere antennes hangen af van Vm,n en die beınvloeden dan weerVm,0. Deze invloed verwaarlozen we hier omdat die toch zeer klein is tegenover de invloed vande voedingsantenne in het rooster.

|Frooster| ≈ |1

Za0 + jX0+ Aexp(jβ)|

Za0 valt op te splitsen in een reeel Ra0 en imaginair deel Xa0. Dit imaginair deel nemen wesamen met X0 zodat:

|Frooster| ≈ |1

Ra0 + jX′0

+ Aexp(jβ)| = (A cos β +Ra0

Ra02 + X

′02 )2 + (A sinβ − X

′0

Ra02 + X

′02 )2

Wat te herleiden is naar:

|Frooster| ≈2A(Ra0 cos β −X

′0 sinβ) + A2(Ra0

2 + X′02)

Ra02 + X

′02

We willen weten of er een uniek optimum bestaat. Daarvoor nemen we de eerste afgeleide naarX

′0 wat zich herleidt tot de uitdrukking:

∂|Frooster|∂X

′0

≈ 2

(Ra02 + X

′02)2

(X′0

2A sinβ −X

′0(1 + 2Ra0A cos β)−A sinβRa0

2)

Bij het zoeken naar de nulpunten van deze uitdrukking kunnen we de voorfactor schrappenaangezien deze altijd positief is en nooit nul wordt. Wat overblijft is een kwadratische uit-drukking voor X

′0. We willen de nulpunten bepalen, dus bepalen we de discriminant:

D = 4Ra02A2 + 1 + 4Ra0A cos β

Wat de waarde van A of β ook is, het is eenvoudig in te zien dat de discriminant altijd positiefis. Er zijn dus altijd twee extrema. Aangezien het om een kwadratische uitdrukking gaat zalhet altijd gaan om een minimum en een maximum, wat ook logisch is. Dat wil dus zeggen dater geen tussenliggende lokale extrema of zadelpunten zijn, wat goed is voor de convergentie vanhet algoritme. Herriner dat X

′0 de som is van het imaginair deel van de antenneimpedantie Xa0


en de toegevoegde impedantie X0. Dit houdt slechts een translatie in en verandert niets aan deconclusie.

Het voorgaande indachtig kunnen we antwoorden op de vraag wat moet veranderen aan hetbestaande algoritme dat de optimale fasesturing met stroombronnen bepaalt. Gezien het feitdat we impedantiesturing kunnen beschouwen als fasesturing (van de relatieve fase tegenover deaansturende equivalente spanningsbron) moeten we in feite niet veel veranderen. We kunnende mieren inderdaad paden laten creeren in een fase-ruimte, maar daarvoor is een manier nodigom uit een gekozen fase de overeenkomstige imaginaire impedantie te bepalen. We kunnen defaseverschuiving tegenover de spanningsbron op figuur 5.3 schrijven als (5.6).

f = arg1

Za1 + jX1= − arctan

X1 + Xa1

Ra1(5.6)

X1 = −Xa −Ra tan f

De tangens legt een monotoon dalend verband op tussen X1 en f zodat de conclusie dat er geenlokale optima zijn in een dimensie blijft gelden wanneer we in een faseruimte gaan werken. Dereden waarom het beter is om in een faseruimte te werken, die fase dan om te rekenen naareen impedantie en dan met die impedantie het stralingspatroon bepalen via (5.4), is dat hetwerken met fases nauwer aansluit bij het reeds ontwikkelde algoritme. Als dat op zichzelf nietgenoeg reden is, zijn er nog andere voordelen verbonden aan het werken met fases. Om ditaan te tonen is er op figuur 5.6 een willekeurige twee-dimensionale doorsnede afgebeeld vande zes-dimensionale ruimte van het zesdelig antennerooster bij een optimalisatieprobleem naarmaximaal uitgestraald elektrisch veld.


Figuur 5.6: |Frooster(90, φ)| in functie van twee dimensies van de fase-zoekruimte

Vergelijk de figuur 5.6 met figuur 5.8. Op figuur 5.8 is ook een stijgend verloop te zien naar hetoptimum, maar dit is veel onregelmatiger. Er is zelfs een heel plateau op te merken waarde waarde van |Frooster(90, φ)| nauwelijks wijzigingen ondergaat in functie van de gekozenimpedanties. Bij gebruik van een klassiek ACO algoritme, waar de de kostfunctie, die nauwsamenhangt met |Frooster(90, φ)|, gebruikt wordt om de invloedsfactoren H(zie vergelijkingen2.6 - 2.8) van de feromoondistributies in te stellen, is dit een groot probleem. Omdat invloedsfac-toren H van nieuwe distributies op plaatsen dichter bij het optimum nauwelijks zullen afwijkenvan die van nieuwe distributies op plaatsen verder van het optimum zal de convergentie sterk ver-tragen (zie paragraaf 4.2.2 over hill climbing). Dit is geıllustreerd in de statistiek van figuur 5.7wat een vergelijking voorstelt tussen een algoritme dat opereert in een impedantie-zoekruimte eneen dat werkt in een fase-zoekruimte, telkens voor 50 runs, voor een probleem van maximalisatievan uitgestraald elektrisch veld voor het zesdelig rooster.


Figuur 5.7: statistiek van de convergentie van een algoritme dat werkt in een fase-zoekruimte en eendat werkt in een impedantie-zoekruimte voor 50 runs van 1000 padconstructies

Op figuur 5.7 moeten we nog een tweede conclusie maken. Ook de convergentie van het algoritmedat in de fase-zoekruimte werkt is niet perfect. Er valt een grote spreiding van de resultaten tenoteren. De meest waarschijnlijke oorzaak is hier de aanwezigheid van een aantal lokale optimain de zes-dimensionale zoekruimte. Dat er in een een-dimensionale doorsnede van die ruimtegeen meervoudige optima zitten, is aangetoond en daardoor vermijden we een onoverkomelijkaantal lokale optima, maar de lijn is niet door te trekken naar meerdere dimensies, zoals ditbij het probleem van de optimalisatie van de fases van stroombronnen wel het geval was. Ditwas ook al te zien op figuur 5.6 waar er geen meervoudige optima zijn op een-dimensionaledoorsnedes, maar wel duidelijk twee optima te zien zijn in het twee-dimensionaal geheel.


Figuur 5.8: |Frooster(90, φ)|in functie van twee dimensies van de impedantie-zoekruimte

De oorsprong van het plateau op figuur 5.8, dat zoals gezegd nefast is voor de convergentie,ligt in het verband tussen de fase/amplitude van de stroom en de impedantie, zie figuren 5.4en 5.5. Daarop is te zien hoe een zeer groot bereik aan capaciteitswaarden (ruwweg 4-10pF)aanleiding geeft tot zeer kleine wijziging in fase/amplitude, terwijl de grootste wijzigingen doorhet kleiner bereik van (ruwweg 0.1-4pF) verkregen worden. Het feit dat een bepaalde afstandin de parameterruimte niet overal overeen komt met een even groot resultaat op de kostfunctie,veroorzaakt het plateau. Dit niet isotroop karakter leidt tot de conclusie dat het niet optimaalzou zijn om de mieren absolute afstanden in de zoekruimte, zoals bijvoorbeeld absolute breedtesvan de feromoondistributies, te laten gebruiken doorheen heel de zoekruimte. Een oplossing zouzijn om niet uniforme afstanden te gaan gebruiken. Bijvoorbeeld om een standaardafwijkinggroter te maken naargelang de exacte plaats van de feromoondistributie in de zoekruimte. Ditzou echter moeilijk zijn om precies goed te krijgen en hetzelfde effect kan verkregen worden doorde zoekruimte gewoon te transformeren in een zoekruimte die op fases werkt. Conclusie is dathet de moeite loont om te werken in een fase-ruimte en niet in een impedantie-ruimte.

Naast capaciteiten kan men natuurlijk ook inductanties gebruiken. Daarmee kan men ook posi-tieve reactanties maken en het mogelijk fasebereik van de aansturing vergroten. Voegt men eenconstante inductantie van grootte L toe in serie met de toegevoegde capaciteit (cfr figuur 5.4),dan is de mogelijke faseverschuiving door de capaciteiten te varieren tussen 0.1 en 10pf afgebeeldop figuur 5.9.


Figuur 5.9: mogelijke faseverschuivingen voor Za1 = 75Ω en met capaciteiten tussen 0.1pF en 10pF eninductanties tussen 0 en 20nH

Met de keuze van een constante inductantie in serie te zetten met een varierende capaciteitkan men dus ongeveer het hele bereik van mogelijke faseverschuivingen door toevoeging vaneen last verkrijgen. Maximale faseverschuiving (relatief tegenover de aansturende equivalentespanningsbron) is dan net geen π

2 in beide richtingen.

5.4 Maximaliseren stralingsvector in een richting

Nu het algoritme is aangepast om te werken met fasesturing kunnen we de resultaten van eenoptimalisatie eens bekijken. De situatie is de volgende, we nemen het zesdelig antennerooster. Desturing zullen we bereiken door aan elk van de zes antennes van een te optimaliseren reactantiete plaatsen. Deze zal beschouwd worden als een capaciteit tussen 0.1pF en 10pF. Vermogenwordt in de roosterstructuur gebracht door het plaatsen van een centrale antenne, identiekaan de andere antennes in het zesdelig rooster, dat we aansturen met een spanningsbron metinterne impedantie Zt = 50Ω. Optimalisatie zal in eerste instantie naar maximaal elektrischveld in een bepaalde richting (φ = 15) zijn. Resultaat van de optimalisatie (50 runs van 5000padconstructies) is gegeven is te zien op figuur 5.10.


Figuur 5.10: resultaat van optimalisatie naar maximale |F (90, 15)| voor het zesdelig antennerooster

De convergentiestatistiek van deze 50 runs ziet eruit als figuur 5.11


Figuur 5.11: statistiek van de convergentie van de optimalisatie naar maximale |F (90, 15)| voor hetzesdelig antennerooster

Er moet meteen opgemerkt dat de convergentie van dit algoritme niet zo vlot verloopt, er iseen zekere spreiding vast te stellen tussen de resultaten. Bovendien lijkt de convergentie testagneren bij de sub-optimale oplossingen. Dit duidt op de aanwezigheid van lokale optima inde zoekruimte. Dat deze mogelijk waren in de meerdimensionale zoekruimte was al besproken,zo is er bijvoorbeeld een te zien op figuur 5.6.

Lokale optima

Een oplossing voor het probleem van de lokale optima is om het algoritme meerdere runs te latenuitvoeren en de beste oplossing bij te houden. In het geval dat het aantal lokale optima nietextreem groot is, is dit de beste optie. Een andere oplossing ligt in het ontwerpen van een nieuwACO algoritme dat in een keer convergeert naar het optimum. Om dit te doen moet het algoritmebreder zoeken. Om te beginnen mag de standaardafwijking van de feromoondistributies zekerniet klein gemaakt worden. Dit zorgt immers voor een concentratie van de mieren rond eenbepaalde oplossing en wanneer dit een lokaal optimum is, zullen de mieren nooit weglopenuit dit optimum, dit is te zien op figuur 5.11, het gemiddelde blijft constant dus geen enkelvan de runs haalt nog ene progressie. Daarnaast moet het algoritme de mieren ook in staatstellen om minder goede paden op te bouwen, om dus weg te lopen uit bestaande optima.Mechanismen zoals feromoonselectie zijn dus uit den boze. Al deze maatregelen houden in dathet algoritme trager, slechter en meer onvoorspelbaar convergeert. In essentie is men dan bezigmet maatregelen te nemen tegen de goede werking van ACO, ten voordele van een meer randomen meer onvoorspelbaar gedrag. Dit is de degeneratie naar een random zoekmethode waarvansprake in paragraaf 1.2. In zoekruimtes met veel lokale optima kan men dit niet vermijden omACO toch te laten werken.


5.5 Maximaliseren antennewinst in een richting

Optimalisatie naar maximaal elektrisch veld is natuurlijk op zichzelf weinig bruikbaar. Omdatantennewinst een veel betere kwaliteitsmaat is voor antennes, moet zeker nagegaan worden hoehet algoritme presteert bij optimalisatie naar antennewinst. Beschouw hetzelfde probleem alsin 5.4, maar ditmaal zal de optimalisatie uitgevoerd worden naar maximale antennewinst. Hetresultaat is te zien op figuur 5.12.

Figuur 5.12: resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 15 voor het zesdeligantennerooster

Het valt op dat het resultaat beter is dan bij optimalisatie naar maximaal uitgestraald elektrischveld (figuur 5.10). Er is nu echt sprake van een bundel in de richting van φ = 15. De moge-lijkheid voor het algoritme om het totaal uitgestraald vermogen te varieren levert blijkbaar eengrotere flexibiliteit. De convergentie van het algoritme is bovendien niet spectaculair verschillendvan de optimalisatie naar maximaal uitgestraald elektrisch veld. Dezelfde kenmerken zijn terugte vinden (figuur 5.13), namelijk ruwweg eenzelfde procentuele variatie tussen de runs en snelleconvergentie. Dat is natuurlijk een gevolg van de observatie dat optimalisatie naar antennewinsten optimalisatie naar uitgestraald elektrisch veld andere oplossingen genereren, maar geen sterkverschillende zoekruimte vertonen (zie paragraaf 4.3.3).


Figuur 5.13: statistiek van de convergentie van de optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 15

voor het zesdelig antennerooster

5.6 Maximaliseren antennewinst bij complexe probleemopgave

Uiteindelijk willen we natuurlijk weer complexe probleemstellingen gaan oplossen zoals in para-graaf 4.3.2. Beschouw het zestiendelig rooster met centraal een identieke antenne die vermogenin het systeem brengt. Het resultaat na een optimalisatie voor maximale antennewinst in derichting φ = 0 is te zien op figuur 5.14. Hierbij zijn capaciteitswaarden tussen 0.1pF en 10pFtoegestaan.


Figuur 5.14: resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het zestiendeligantennerooster

Er vallen zijloben te noteren in de richtingen φ = 55 en φ = 305. Een geschikte probleem-stelling is om deze te onderdrukken. We gebruiken hiervoor de techniek van paragraaf 4.3.2.Er wordt geprobeerd een onderdrukking van 10dB te bekomen van deze zijloben in de gebiedenφ = 45 tot φ = 60 en φ = 300 tot φ = 315 met een 4 samples per gebied. Het resultaat vandeze optimalisatie is, samen met het niveau van de onderdrukkingseis, te zien op figuur 5.15.


Figuur 5.15: resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het zestiendeligantennerooster met onderdrukking van zijloben

Deze optimalisatie is gelukt, de zijloben zijn onder het gevraagde niveau gezakt. Er is echtergeen sprake meer van directiviteit in de richting φ = 0. Dit komt omdat niet tegelijk kanworden voldaan aan de onderdrukkingseis en aan een maximalisatie van de antennewinst in derichting φ = 0. Men kan dan proberen van het belang van de maximalisatie in de som van dekostfunctie (4.11) te verhogen door deze te schalen tegenover de termen die gerelateerd zijn metde minimalisatie. Deze aanpassing levert het stralingspatroon dat op figuur 5.16 is afgebeeld.


Figuur 5.16: resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het zestiendeligantennerooster met minder belang voor onderdrukking van zijloben

Wat verwacht werd is hier bevestigd, er kan niet tegelijk voldaan worden aan de maximalisatie-eis en aan de onderdrukkingseis. Het algoritme doet wel zijn best, maar slaagt er niet in om denodige onderdrukking van 10dB te krijgen.

Hoofdstuk 6

Resultaten en toepassingen

Het doel van een werkend optimalisatiealgoritme te bouwen om bundelsturing te doen is bereikt.Het algoritme bezit de mogelijkheid om dit te doen met fasesturing van stroombronnen en doormiddel van toegevoegde lasten. De eigenlijke kwaliteit van het algoritme kan echter slechtsbeoordeeld worden tegen andere technieken die hetzelfde doen.

6.1 Vergelijking met een analytische methode met monopolen

Er zijn reeds pogingen gedaan om bundelsturing te doen met behulp van reactieve lasten [13].Daar werdt gewerkt met wat hier het zesdelig rooster is genoemd. Men heeft weerom een antennecentraal geplaatst en de optimale reactieve lasten bepaald voor verschillende richtingen op eenanalytische manier. Daarbij is er echter gewerkt met de equivalente kwart golflengte monopoolantennes op een geleidend grondvlak. Dat heeft praktische voordelen, maar bovendien heefthet ook een specifiek nut bij bundelsturing met reactieve lasten. Uit (5.6) valt immers op temaken dat het mogelijk bereik in faseverschuiving vergroot, tegenover de equivalente situatiemet dipoolantennes zonder geleidend grondvlak, omdat de antenneimpedantie Za1 is gehalveerdtegenover die situatie. Werken met monopolen geeft dus een extra flexibiliteit aan de mogelijkesturing.

Men heeft gekozen voor sturing met capaciteiten die een waarde kunnen aannemen tussen 0.1 en10pF. Optimalisatie naar maximale uitstraling in de richting φ = 15 geeft op deze analytischemanier de waarden van figuur 6.1 en het stralingspatroon van figuur 6.3. Hetzelfde probleemoplossen met het in de voorbije hoofdstukken ontwikkelde ACO algoritme levert het resultaatvan figuur 6.2 en het stralingspatroon van figuur 6.4. Er valt een groot verschil (bijna 3dB)te noteren in behaalde antennewinst, wat hier beschouwd wordt als de kwaliteitsmaat van deantenne. Dit is deels te verantwoorden door het feit dat de analytische methode het elektrischverre veld maximaliseert en niet de complexere antennewinst. Daardoor ook is het verschilin stralingsvector niet zo spectaculair. Conclusie is dat het ACO algoritme duidelijk betereresultaten behaalt, deels omdat het in staat is om antennewinst te maximaliseren.

87

Hoofdstuk 6. Resultaten en toepassingen 88

Figuur 6.1: resultaat van optimalisatie van zesdelig monopoolrooster op analytische manier

Figuur 6.2: resultaat van optimalisatie van zesdelig monopoolrooster met ACO algoritme


Figuur 6.3: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van zesdelig monopoolrooster op analytis-che manier


Figuur 6.4: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van zesdelig monopoolrooster met ACOalgoritme

6.2 Vergelijking met andere optimalisatie algoritmes

Een andere vergelijking is die met meer soortgelijke technieken. Zoals gezegd in hoofdstuk2, is een vaakgebruikte familie van optimalisatiealgoritmes deze van de genetische algoritmes.In het antennesimulatiepakket voor dunne draadantennes 4nec2x is zo een genetisch algoritmeingebouwd [25]. Niets verhindert ons dus om hiermee de lasten van een UCA met centraalelement te gaan optimaliseren. Tot nu toe is enkel gewerkt met UCA’s met enkelvoudigedraadantennes als elementen. Er is echter geen enkel bezwaar voor het ACO algoritme ommet complexere elementen te werken. Zolang de kostfunctie (iets zoals (4.1)) geevalueerd kanworden, en dit gebeurt aan de hand van een superpositie van stralingspatronen (zie (3.5)) waarbij


eventueel gebruik gemaakt wordt van een transformatie van de stralingspatronen met de equiv-alente impedantiematrix van het systeem(zie paragraaf 5.1 en 3.3), kan het algoritme werken.We zullen daarom eens een meer creatief rooster optimaliseren. Er wordt vertrokken van hetzestiendelig rooster en er wordt voor elke roosterantenne een extra straler toegevoegd tussen deantenne en het rooster op afstand lambda

10 van de antenne, deze afstand werd door trial en errorgekozen. Sturing wordt verkregen door lasten te varieren met een vaste inductantie van 5nH encapaciteiten tussen 0.1 en 10pF terwijl centraal in het rooster een antenne wordt geplaatst diegevoed wordt door een spanningsbron. Het rooster is te zien op figuur 6.5.

Figuur 6.5: Structuur van het te optimaliseren antennerooster met extra stralers

De optimalisatie-eis is een maximale antennewinst in de richting φ = 0. Dit probleem isopgelost door zowel het beschreven ACO algoritme als het vermeld genetisch algoritme. Beidealgoritmen is toegelaten om 2310 oplossingen te evalueren. De convergentie van beide algoritmenis afgebeeld op figuur 6.6.


Figuur 6.6: vergelijking tussen de convergentie van een genetisch algoritme en het beschreven ACOalgoritme

Er valt op te merken dat beide algoritmen goed in de buurt liggen van elkaar qua performantiein het beschouwde tijdsinterval. Gezien de convergentie van dergelijke algoritmes nogal eenslogaritmisch verloopt kan het mogelijk nog zeer lang duren vooraleer het genetisch algoritmede optimale oplossing bereikt die het ACO algoritme heeft bereikt. Voor het ACO algoritmeis er een statistiek gemaakt van 50 verschillende runs, vandaar de boxplots. Het genetischalgoritme is maar een run uitgevoerd. Dit heeft er alles mee te maken dat het genetisch algoritmegebruik maakt van de NEC engine om het stralingspatroon te bepalen voor elke creatie van eenoplossing. De uitvoering van de optimalisatie duurde dan ook 14 uur. Het beschreven ACOalgoritme daareentegen, maakt enkel in de intialisatie gebruik van de NEC engine om voor elkeantenne een stralingspatroon te bepalen zodat elke oplossing kan geevalueerd worden door hetsuperpositieprincipen (3.5). Dit werkt enorm veel sneller zodat de optimalisatieprocedure in ditgeval 0.4s per run in beslag nam. Het beste resultaat van deze optimalisatie is te lezen op figuur6.7 en levert het stralingspatroon van figuur 6.8.


Figuur 6.7: resultaat optimalisatie van het rooster van figuur 6.5 naar maximale antennewinst in eenrichting

Figuur 6.8: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van het rooster van figuur 6.5 met ACOalgoritme

Gezien het resultaat van figuur 6.9, wat eigenlijk dezelfde optimalisatie is, op een het roosterzonder de extra toegevoegde stralers, is de conclusie dat het gebruiken van andere antennestruc-turen, dan een eenvoudige dipool, kan bijdragen tot een beter reactief stuurbaar antennerooster.

6.3 Toepassing: het zestiendelig rooster

Nu is geverifieerd dat het ACO algoritme de vergelijking met een genetische algoritme doorstaat(paragraaf 6.2) en dat het bovendien goede resultaten levert bij het optimaliseren van parasitairestralers (paragraaf 6.1), kunnen pas echt uitspraken gedaan worden over de mogelijkheden vanantenneroosters in verband met reactantiesturing. Als voorbeeld zullen we het zestiendeligrooster evalueren. We gebruiken het algoritme om de antennewinst te maximaliseren in derichting φ = 0. Deze richting komt overeen met de richting van een antenne-element van hetrooster. Aangezien we het rooster willen sturen, moeten we dit ook doen voor het andere uiterste,


namelijk een richting tussen twee antenne-elementen in. We nemen φ = 11.25. Daarmee krijgenwe een beeld van hoe het rooster zich gedraagt voor beamforming in alle mogelijke verschillenderichtingen (door de symmetrie). De optimalisatie is gebeurd voor capaciteitswaarden tussen0.1pF en 10pF in serie met een vaste reactantie van 5nH. Het resultaat is te zien op figuur 6.9.

Figuur 6.9: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie naar maximale antennewinst van hetzestiendelig rooster in richtingen φ = 0 en φ = 11.25

Het resultaat van de optimalisatie is gegeven op figuren 6.10 en 6.11.

Figuur 6.10: resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 0


Figuur 6.11: resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 11.25

Er bestaat een verschil van 0.3dB tussen de antennewinst van de hoofdbundel van beide situaties.Op zich is dit niet zo spectaculair, zodat we gerust kunnen spreken van een techniek die hetrooster stuurbaar maakt. Voorts zijn enkele zijloben op te merken die een niveau bereiken van-4.5dB tegenover de hoofdbundel. Een interessant probleem zou dan zijn om deze zijloben teonderdrukken. Daarvoor is gebruik gemaakt van de techniek geschetst in paragraaf 4.3.2 omde uitstraling rond de richtingen φ = 53 en φ = 307 10dB te onderdrukken tegenover dehoofdbundel. Het resultaat is afgebeeld op figuur 6.12 en het resulterend stralingspatroon opfiguur 6.13.

Figuur 6.12: resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 0 met on-derdrukking van het zijlobeniveau


Figuur 6.13: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie naar maximale antennewinst van hetzestiendelig rooster in richtingen φ = 0 met onderdrukking van het zijlobeniveau

Het valt op dat de onderdrukking slechts 6.5dB bedraagt. Voor dit rooster blijkt het dus nietmogelijk om een sterke onderdrukking van zijlobes te krijgen. Sturing van de hoofdbundel inhet azimutvlak is echter wel mogelijk.

Het moet nog opgemerkt dat het programma is gemaakt om een dergelijke analyse van roost-ereigenschappen eenvoudig te maken voor om het even welk antennegeometrie. Een dergelijkeanalyse is dus zeker niet beperkt tot dit voorbeeld.

6.4 Effect van discretisering

In al het voorgaande is een continu verloop gebruikt van de mogelijke impedanties/fases die hetalgoritme gebruikt. In de praktijk is het aantal mogelijke impedanties echter beperkt tot eenklein aantal discrete waarden. Dit brengt het probleem van optimalisatie naar discrete waardennaar boven. Dit is niet zo eenvoudig als op het eerste gezicht lijkt. De eenvoudigste methodeis de oplossing, die gegeven is als een set van continue waarden, af te ronden naar de dichtstbijzijnde gediscretiseerde mogelijkheid. Men kan dit voor elke dimensie van het probleem apartdoen, maar dit heeft het grote nadeel dat men dan niet de optimale oplossing krijgt in hetgediscretiseerde geval, zelfs al is de continue oplossing wel de optimale oplossing. Dit is niet zoeen exotisch probleem en wordt typisch opgelost door de kwadratische fout tussen de vector vande gediscretiseerde oplossing en de continue oplossing te minimaliseren. Dat is echter op zichweer een nieuw optimalisatieprobleem. Men kan de vraag stellen of het niet eenvoudiger kan. Eeneerste mogelijkheid is om te werken met een klassiek, discreet ACO algoritme. Daarmee wordthet probleem immers compleet vermeden, jammer genoeg vindt men daar het optimum in een decontinue zoekruimte niet mee. Men kan echter wel een zeer fijne discretisatie toepassen, maar ditzal dan trager convergeren dan een continue implementatie van ACO. Nog een oplossing is omde discretisatie door het continue algoritme te laten uitvoeren bij elke padcreatie. Op die manierwerkt men met het continu algoritme, maar zal de evaluatie van het pad worden toegepast op degediscretiseerde versie. Deze techniek is eens getest, op het zesdelig rooster met centraal element,een constante conductantie van 5nH aan elke antenne en een variabele capaciteit tussen 0.1pF


en 10pF. Het te optimaliseren probleem was er een van het maximaliseren van de antennewinstin de richting φ = 0. De convergentiestatistiek is te zien op figuur 6.14.

Figuur 6.14: vergelijking tussen de convergentie van een continu algoritme en een dat elke padcreatiediscretiseert

Het valt op dat er een spectaculair slechtere convergentie is. Dit moet een reden hebben en dezeligt in het effect van de discretisatie op de zoekruimte. Vergelijk de tweedimensionale doorsnedevan de zesdimensionale zoekruimte van beide algoritmen op figuur 6.15.Het probleem zit hem in de plateaus die verschijnen door de discretisatie. Daardoor verdwijnt degradient in de kost/kwaliteitsfunctie en faalt het hill climbing mechanisme compleet (zie puntjeover standaardafwijking in paragraaf 4.2.2). Conclusie is dat deze techniek niet werkt om dezoekruimte te discretiseren. Een zwakte van het continu algoritme is dus de moeilijkheid omhet resultaat optimaal te discretiseren. Ter illustratie is het resultaat van de optimalisatie methet continu algoritme nog gegeven op figuur 6.16 en het resulterend stralingspatroon op figuur6.17.


(a) zoekruimte van een continu algoritme (b) zoekruimte van een algoritme waar elke padcreatie

wordt gediscretiseerd

Figuur 6.15: vergelijking tussen de zoekruimte van een continu algoritme en een dat elke padcreatiediscretiseert

Figuur 6.16: antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van het zesdelig rooster


Figuur 6.17: resultaat optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale antennewinst in een richting

6.5 Gemeenschappelijke optimalisatie naar andere parameters

Gezien het algoritme goed in staat is om optimalisatie naar antennewinst uit te voeren, zelfsmet een complexe eisenopgaven, kan de vraag gesteld worden of er nog moeilijker zaken kunnenworden geoptimaliseerd. Neem bijvoorbeeld de Friis formule die de verhouding uitdrukt tussenhet afgeleverd vermogen en de maximale hoeveelheid beschikbaar vermogen [26].

Pr

Pt,max= MrGr(−ui)L−1

0,rt(R)Qrt(ui)Gt(ui)Mt (6.1)

In deze uitdrukking komt de mismatchfactor M naar voor. Deze drukt de impedantiemismatchuit tussen de interne impedantie van de aansturende bron en de antenne zelf. Strikt gezien isenkel de antennewinst een relevante parameter bij het evalueren van een antenne en niet de mis-matchfactor M, deze heeft immers te maken heeft met de interne impedantie van de aansturendespanningsbron en die hoort strikt gezien niet tot de antenne zelf. Bij wijze van illustratie vanhet vermogen van het algoritme kunnen we eens de gemeenschappelijke optimalisatie doen naarGt(ui)Mt in plaats van enkel naar Gt(ui). De idee achter deze aanpak is dat reeds is vastgestelddat de aansturing van een rooster altijd de equivalente antenneimpedantie zal beınvloeden (zieparagraaf 4.3.3). De antenneimpedantie Za is natuurlijk wat de mismatchfactor M bepaaltvolgens [26]:

M =4RtRa

|Zt + Za|2(6.2)

Nu is er zo een optimalisatie naar Gt(ui)Mt uitgevoerd, meerbepaald voor de richting φ = 0 bijhet zesdelig rooster, voor sturing met lasten met een centrale antenne. Hierbij is een constanteconductantie van 5nH en een te optimaliseren capaciteit tussen 0.1 en 10pF toegevoegd aan deroosterantennes. De interne impedantie van de generator is gekozen op 50Ω. Resultaat van degemeenschappelijke optimalisatie is te zien op figuur 6.18 en het resulterend stralingspatroonop figuur 6.19. Ter vergelijking is dit dezelfde probleemstelling als bij figuren 6.16 en 6.17,


maar daar wordt enkel naar antennewinst geoptimaliseerd. Er valt ruwweg een factor 3 verschilte noteren in mismatchfactor tegen een factor 1

2 verschil in antennewinst. Het product is dusinderdaad verbeterd.

Figuur 6.18: antennewinst in het azimut vlak na gemeenschappelijke optimalisatie van het zesdeligrooster naar antennewinst en mismatchfactor

Figuur 6.19: resultaat optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale antennewinst en mismatch-factor in een richting

De convergentie van deze optimalisatie is afgebeeld op figuur 6.20. De convergentie vertoont eengrote spreiding en dat is ook normaal aangezien de zoekruimte nog meer is vervormd door de


mismatchfactor met een meer grillig verloop en meer lokale optima tot gevolg. Toch komen som-mige runs zeer dicht bij de goede oplossing, getuige daarvan bijvoorbeeld de symmetrie tegenoverφ = 0 in figuur 6.18. Een niet symmetrisch resultaat zou immers op ruimte voor verbeteringduiden. Conclusie is dat het zeker mogelijk is om andere parameters bij een optimalisatie tebetrekken zonder dat het ACO algoritme de mist in gaat.

Figuur 6.20: convergentie bij optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale antennewinst enmismatchfactor in een richting

6.6 Optimalisatie van andere structuren

Op zichzelf is de uitgewerkte optimalisatietechniek niet beperkt tot UCA’s. Superpositie vanstralingspatronen en het opstellen van een impedantiematrixbeschrijving zijn algemeen bruikbaretechnieken bij om het even welke opstelling van antennes. Om dit te illustreren is het algoritmeook een keer gebruikt om een Yagi-Uda antenne te verbeteren door het plaatsen van reactantiesaan de parasitaire stralers. Neem de structuur van figuur 6.21. Dit is een Yagi-Uda antennemet een spatiering van 10.3cm tussen de reflectoren, die 15.29cm lang zijn, en 7.96cm tussende directoren, die 13.94cm lang zijn. De voedingsantenne in de structuur is 14.8cm lang en dewerkingsfrequentie is 925MHz.


Figuur 6.21: structuur van de te optimaliseren Yagi-Uda antenne

Deze gegeven afmetingen zijn bekomen via het genetisch algoritme van 4nec2 waarbij geoptima-liseerd is naar maximale antennewinst. Zoals ze opgegeven is, geeft deze antenne het stralings-patroon van figuur 6.22.

Figuur 6.22: stralingspatroon van de niet geoptimaliseerde Yagi-Uda antenne

Als optimalisatie zal aan de directoren en reflectoren een reactantie toegevoegd wordt. Dewerkingsfrequentie is lager dan bij de tot nu toe gebruikte antennes, dus is de optimalisatieuitgevoerd voor een groter bereik aan capaciteitswaarden, tussen 0.1 en 100pF. In serie met diecapaciteiten wordt weerom een inductantie van 5nH geplaatst. Doel van de optimalisatie is deantennewinst vergroten in de richting van de directoren. Resultaat van deze optimalisatie is tezien op figuur 6.23 en het resulterende stralingspatroon is figuur 6.24.


Figuur 6.23: resultaat van de optimalisatie van de Yagi-Uda antenne

Figuur 6.24: stralingspatroon van de geoptimaliseerde Yagi-Uda antenne

De optimalisatie heeft een winst geboekt van 1dB in antennewinst, wat een toename is van 25%.

Hoofdstuk 7

Besluit

Tot slot kan gezegd worden dat het doel bereikt is. Er staat nu een algoritme dat het mogelijkmaakt om zeer verschillende antennestructuren te optimaliseren, dit voor zowel optimalisatievan stroombronnen als optimalisatie van variabele impedanties. Optimalisatie van spannings-bronnen komt op niets anders neer dan een optimalisatie van stroombronnen waarbij er eenmatrixinversie komt kijken (cfr. (3.6) en (3.7) met een willekeurige spanningsvector V ), dit isdan ook geımplementeerd. Al deze parameters zijn optimaliseerbaar zowel naar uitgestraaldelektrisch veld als naar antennewinst of zelfs naar meer exotische, gemengde parameters. Deprobleemopgave kan varieren van zeer eenvoudig, zoals een maximalisatie, tot zeer complex,zoals gecombineerde maximalisatie- en minimalisatie-eisen volgens een soort filterspecificatie.Daarbij is aangetoond dat er een lineair verband bestaat tussen de elektrische grootte kr vaneen UCA en de optimale samplefrequentie van optimalisatie-eisen bij continue probleemopgaven

fs > 5kr

π(7.1)

De implementatie van het ontworpen algoritme, in de programmeertaal C, is in staat om aldeze zaken te doen in een kwestie van seconden. Bovendien is er een GUI rond gebouwd, in deprogrammeertaal java, die input bestanden accepteert in de vorm van .nec bestanden, compatibelmet de 4nec2 antennesimulator. Het programma interpreteert deze bestanden en zet ze om in.inp vorm die de NEC engine kan lezen. Deze voert dan de elektromagnetische simulatie uit voorelke te optimaliseren straler en geeft de stralingspatronen terug, alsook de informatie waarmeede impedantiematrix kan worden opgebouwd. Optimalisatieparameters zijn visueel instelbaarvia de java GUI (figuur 7.1).

104

Hoofdstuk 7. Besluit 105

Figuur 7.1: Het venster om optimalisatieparameters in te stellen

Het programma voert na afloop een .nec bestand uit waar de geoptimaliseerde waarden inverschijnen. De java GUI is bovendien verantwoordelijk voor het on-the-fly afbeelden van deconvergentie terwijl het automatisch statistische informatie van verschillende runs genereert (ziede vele convergentiegrafieken in deze scriptie zoals bvb. figuur 4.8). Daarnaast toont ze naafloop van een optimalisatieprocedure (die kan gedefinieerd worden als verschillende runs) hetstralingspatroon, zowel antennewinst(ook in decibelschaal) als het elektrisch veld (in de vorm vanbvb. figuur 4.26). Het programma toont dan op grafische manier de geoptimaliseerde waarden enook de berekende antenneimpedantie, mismatch factor, SWR en uitgestraald vermogen (zoals opfiguur 6.10). Het merendeel van de grafieken en stralingspatronen die in deze scriptie afgebeeldzijn, werden gegenereerd door dit programma. De correctheid van de stralingspatronen en degeexporteerde data door het programma werden geverifieerd met de simulator 4nec2X.

Het ACO algoritme op zich, en dan vooral in zijn continue vorm, is in de loop van de scriptievooral naar voor gekomen als een zeer efficient, probabilistisch, hill climbing algoritme. HetACO algoritme daareentegen biedt het voordeel tegen gewone hill climbing algoritmen dat hetbeter in staat is om lokale optima te omzeilen. Dit geldt echter maar tot op zekere hoogte,maar men mag langs de andere kant ook niet verwachten dat er ook maar een algoritme kanbestaan dat in staat is om het optimum te vinden, in een zeer onregelmatige zoekruimte gevuldmet grote hoeveelheden lokale optima, zonder dat dit een aanpassing van de parameters vanhet algoritme vereist en een hoge een kost in performantie meebrengt. Hoe onregelmatiger de

Hoofdstuk 7. Besluit 106

zoekruimte immers wordt, hoe moeilijker het wordt om uit de evaluatie van een punt uit dezoekruimte meer te weten te komen over de lokatie van of richting waarin het optimum zichbevindt. Zo’n geval wordt dan meer een ”zoeken in het donker” en daarvoor is een randomzoekmethode (zoals in paragraaf 1.2) even goed als een complex optimalisatiealgoritme. Het isdan ook niet toevallig dat aanpassingen aan het ACO algoritme om meer robuust te zijn tegenlokale optima niets anders inhouden dan parameters instellen die de werking van het algoritmeteniet te doen (zie paragraaf 5.4). Zoals in paragraaf 1.2 is aangehaald, komt dit neer op hetdegenereren van het algoritme in een meer naar de random zoekmethode aanleunend algoritme.

Om te bepalen in hoeverre het algoritme robuust moest blijven tegen lokale optima is er onder-zocht wat het gedrag is van de zoekruimte bij diverse optimalisatieproblemen. Er is naar voorgekomen dat de zoekruimte zich bij alle besproken optimalisatieproblemen voldoende gedraagtals een zoekruimte met een regelmatig verloop naar een optimum om het gebruik van een sterkgeoptimaliseerd ACO algoritme te rechtvaardigen.

Het algoritme is vergeleken met een bestaande analytische techniek en met een genetisch op-timalisatiealgoritme. Het heeft de vergelijking met beide goed doorstaan. Tot slot zijn eenaantal zeer verschillende antennestructeren geoptimaliseerd waardoor een idee gecreeerd is vande mogelijkheden van reactance beamforming bij die verschillende antennestructuren.

Bijlage A

Gemiddelde convergentie random

algoritme

Het beschouwde probleem is een een-dimensionaal zoekprobleem waarbij een getal moet gekozenworden tussen 0 en a en waarbij het optimum a is. Het meest eenvoudige zoekalgoritme wordttoegepast, namelijk eentje dat volgens een uniforme distributie getallen kiest en iteratie naiteratie het beste overlopen getal bijhoudt. De gemiddelde convergentie van het algoritme isgedefinieerd als de gemiddelde maximale waarde die het algoritme heeft bereikt na k iteraties.Deze valt te bepalen via een omweg langs de cumulatieve distributiefunctie(cdf)

P [xmax < x] =k∏

i=0

P [xi < x] (A.1)

De cumulatieve distributiefunctie P [xi < x] is te bepalen als (gezien het een uniforme distributiebetreft)

P [xi < x] =∫ x

0

1adxi =

x

a(A.2)

waardoor de kans dat x kleiner is dan de maximaal gevonden waarde xmax kan geschrevenworden als

P [xmax < x] = (x

a)k (A.3)

De kansdichtheidsfunctie kan gevonden worden als

p[xmax] = −∂P [xmax < x]∂x

= kxk−1

ak(A.4)

De gemiddelde maximale waarde voor xmax is dan niets anders dan de verwachtingswaarde vandeze distributie

E[xmax] =∫ a

0xmaxp[xmax]dxmax =

ak

k + 1(A.5)

Wat voor a = 1 neerkomt op een verwachtingswaarde voor het maximum van kk+1

107

Bijlage B

Boxplots

Boxplots zijn een manier om statistische informatie uit steekproeven weer te geven zonder striktgebonden te zijn aan een voorafgaande veronderstelling van de distributie van die informatie. Zetoont vijf getallen die uitdrukking geven van de spreiding van de statistische informatie. Dit ishet minimum min, de eerste kwartielafstand q0.25, de tweede kwartielafstand(mediaan) q0.5, dederde kwartielafstand q0.75 en het maximum max. Deze vijf getallen worden aangeduidt met eenhorizontaal streepje (figuur B.1) waarbij er tussen q0.25 en q0.75 een rechthoekje wordt getekend,vandaar de naam boxplot.

Figuur B.1: een boxplot

De kwartielafstanden worden als volgt gedefinieerd. Stel dat men beschikking heeft over N

steekproeven. Dan ordent men deze van klein naar groot waarbij x1 de kleinste waarde en xN degrootste waarde wordt. Het maximum is dan natuurlijk xN , het minimum x1. De kwartielafstandqα is dan als volgt gedefinieerd. Eerst wordt de index van de relevante waarden van de steekproefbepaald. Daarvoor wordt het gehele deel van de uitdrukking i = integer((N +1)α) bepaald, danwordt het decimaal gedeelte f = (N +1)α− i bepaald. De kwartielafstand qα is dan gedefinieerdals [27]

qα = (1− f)xi + fxi+1 (B.1)

Dit is gewoon een formele uitdrukking die onder alle omstandigheden een bepaalde waardegeeft voor de mediaan, de eerste kwartielafstand, die kan gezien worden als de mediaan van desteekproefwaarden die onder de eigenlijke mediaan liggen, en de derde kwartielafstand, die kangezien worden als de mediaan van de steekproefwaarden die boven de eigenlijke mediaan liggen.De interkwartielafstand is gedefinieerd als q0.75 − q0.25. Op die manier kan men relatief veelstatistische informatie kwijt in de handige grafische voorstelling die de boxplot is.

108

Bibliografie

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/WiFi

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/4G

[3] D.V. Thiel, Switched parasitic antennas and controlled reactance parasitic antennas: a systemscomparison (IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Vol. 3,20-25 Juni2004).

[4] J.A. Snyman, Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theoryand Classical and New Gradient-Based Algorithms (Springer Publishing, 2005).

[5] A. Hoorfar, Evolutionary programming in electromagnetic optimization (IEEE transactions on an-tennas and propagation, Vol. 55, No.3, Maart 2007).

[6] C.M. Coleman, J.E. Ross, Investigation of simulated annealing, ant-colony optimization, and geneticalgorithms for self-structuring antennas (IEEE transactions on antennas and propagation, Vol. 52,No. 4, April 2004).

[7] A.P. Engelbrecht, Fundamentals of Computational Swarm Intelligence (John Wiley & Sons, 2006).

[8] O. Quevedo-Teruel, E. Rajo-Iglesias, Ant Colony Optimization in thinned array synthesis with min-imum sidelobe level (IEEE antennas and wireless propagation letters, Vol. 5, No. 1, December 2006).

[9] T. Shinzato, Box Muller Method (http://www.sp.dis.titech.ac.jp/ shinzato/boxmuller.pdf).

[10] M. Dorigo, Ant system: optimization by a colony of cooperating agents (IEEE transactions onsystems, man and cybernetics-part B: cybernetics, Vol. 26, No. 1, Februari 1996).

[11] K. Socha, ACO for Continuous and Mixed-Variable Optimization (Ant Colony, Optimization andSwarm Intelligence, Springer Berlin, Vol. 3172/2004, p25-36, 2004).

[12] S. Werbrouck, Ontwerp en bouw van uniform circulair antennerooster voor schatting (scriptie: Uni-versiteit Gent, Vakgroep INTEC, 2006).

[13] R. Vahldieck, B. Schraer, K. Rambabu, J. Bornemann, Design of reactive parasitic elements inElectronic beam steering arrays (IEEE transactions on antennas and propagation, Vol. 53, No.6,Juni 2005).

[14] H. Rogier, Antennas and Propagation (Chapter 3 Antenna arrays, p128-129, Universiteit Gent,Vakgroep INTEC, 2005-2006).

109

Bibliografie 110

[15] H. Rogier, Antennas and Propagation (Chapter 3 Antenna arrays, p140-144, Universiteit Gent,Vakgroep INTEC, 2005-2006).

[16] H. Rogier, Circuit- en EMC-concepten (Hoofdstuk 1 lineaire circuits, p1.20, Universiteit Gent, Vak-groep INTEC, 2005-2006).

[17] D. De Zutter, Applied Electromagnetics (Chapter 8 Antennas and radiation, p190, Universiteit Gent,Vakgroep INTEC, 2004-2005).

[18] D. De Zutter, Applied Electromagnetics (Chapter 8 Antennas and radiation, p168, Universiteit Gent,Vakgroep INTEC, 2004-2005).

[19] S. Werbrouck, Ontwerp en bouw van uniform circulair antennerooster voor schatting (scriptie: Uni-versiteit Gent, p6, Vakgroep INTEC, 2006).

[20] M. Moeneclaey, Modulation and detection (Chapter 4, p4-6, Universiteit Gent, Vakgroep TELIN).

[21] D. De Zutter, Applied Electromagnetics (Chapter 8 Antennas and radiation, p170-171, UniversiteitGent, Vakgroep INTEC, 2004-2005).

[22] H. Rogier, E. Bonek Analytical spherical-mode-based compensation of mutual coupling in uniformcircular arrays for direction-of-arrival estimation (International journal of electronics and commu-nications, Vol. 60, No. 2, February 2006).

[23] S. Werbrouck, Ontwerp en bouw van uniform circulair antennerooster voor schatting (scriptie: Uni-versiteit Gent, p19, Vakgroep INTEC, 2006).

[24] H. Rogier, Phase-mode-based construction of a coupling matrix for uniform circular arrays with acenter element (Microwave and optical technology letters, Vol. 48, No. 2, February 2006).

[25] A. Voors, http://home.ict.nl/ arivoors/4nec2.zip (4nec2.hlp, optimizer and sweeper, genetic algo-rithms).

[26] H. Rogier, Antennas and Propagation (Chapter 1 Antennas, p8-9, Universiteit Gent, VakgroepINTEC, 2005-2006).

[27] L. Taerwe, Waarschijnlijkheidsrekening en statistiek (Hoofdstuk 7 beschrijvende statistiek, p7.14-7.15, Universiteit Gent, Vakgroep bouwkundige constructies).

Lijst van figuren

1.1 Wurzburg-D tracking radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 spatiale diversiteit door een celstructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 schets van de toepassing van intelligente antennesystemen binnen een cel . . . . . 31.4 schetsmatige vergelijking van de convergentie van een random zoekalgoritme met

het theoretisch model ervan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 voorbeeld van een convergentiestatistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Charles Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 schema van het TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 schets van het gedrag van mieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 mier moet een keuze maken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Evolutie van discreet naar continu mierengedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 UCA van 16 elementen met straal λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 UCA van 6 elementen met straal λ

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 |FAE(90, φ)|, actief element stralingspatroon van het zesdelig rooster . . . . . . 223.4 |F(90, φ)|, stralingspatroon van het zesdelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Vervangschema van een driedelig antennerooster bij zenden . . . . . . . . . . . . 243.6 Verre veld benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 schetsmatig verloop van BER ifv SNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 |F(90, φ)| voor het zesdelig en het zestiendelig rooster met fasecompensatie . . . 344.2 schema van de werking van het algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Drie geteste standaardafwijkingen(genormaliseerd) . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen van figuur 4.3 voor 200

000 padconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 convergentie met smalle feromoondistributies bij een eendimensionaal probleem . 384.6 convergentie met brede feromoondistributies bij een eendimensionaal probleem . 394.7 statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen (σ = 2π

1024 , σ = 2π4096 en

σ = 2π16384) voor 1 000 000 padconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.8 statistiek van het algoritme met verschillende aantallen mieren en een vast aantalvan 200 000 padcreaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

111


4.9 statistiek voor verschillende feromoon levensduren (1,2 en 10 iteraties) . . . . . . 434.10 statistiek voor 80 mieren en verschillende aantallen feromoondistributies die wor-

den toegevoegd per iteratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.11 schets van 3 mogelijke verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)| . . . . . . 464.12 statistiek voor verschillende verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)| met

feromoonselectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.13 statistiek voor verschillende verbanden tussen H(s) en |Frooster(90, 0, sa)| zon-

der selectieve feromoontoevoeging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.14 statistiek van het algoritme met de standaardafwijkingen (σ = 2π

1024 , σ = 2π64 en

een adaptieve σ) voor 2 000 padconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.15 spreiding van de mieren bij verschillende standaardafwijking . . . . . . . . . . . . 524.16 Resultaat van de optimalisatie naar maximaal elektrisch veld in een richting voor

het zesdelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.17 Resultaat van de optimalisatie naar maximaal elektrisch veld in een richting voor

het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.18 statistiek van het algoritme voor verschillende hoeveelheden te maximaliseren

richtingen van uitstraling, 50 runs van 5000 padcreaties . . . . . . . . . . . . . . 564.19 schets van een meer realistische probleemopgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.20 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

11.25 bij het zesdelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.21 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

45 bij het zesdelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.22 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

90 bij het zesdelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.23 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

4.5 bij het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.24 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

7.5 bij het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.25 genormeerde antennewinst in functie van azimuthoek φ voor sampleinterval van

30 bij het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.26 resulterend stralingspatroon voor het zestiendelig rooster bij een complexe prob-

leemopgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.27 circuitequivalent van een antenne uit een rooster met mutuele koppeling . . . . . 634.28 vergelijking van optimalisatie naar maximaal elektrisch veld en naar maximale

antennewinst voor het zesdelig antennerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.29 verloop van 1

Ptot(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.30 Vergelijking tussen resulterende |F (θ, φ)|2 en antennewinst voor dezelfde willekeurigedoorsnede van de zoekruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.31 Optimalisatie naar maximale antennewinst met onderdrukking van de zijloben . 66

5.1 equivalent circuit van een driedelig antennerooster met spanningsaansturing . . . 68


5.2 equivalent circuit van een driedelig antennerooster met impedantiesturing . . . . 695.3 equivalent circuit van een antenne element in het rooster . . . . . . . . . . . . . . 715.4 mogelijke faseverschuivingen voor Za1 = 75Ω en 1

2πf10pF < X1 < 12πf0.1pF . . . . 72

5.5 amplitude van de stroom voor Za1 = 75Ω en 12πf10pF < X1 < 1

2πf0.1pF . . . . . . 735.6 |Frooster(90, φ)| in functie van twee dimensies van de fase-zoekruimte . . . . . . 765.7 statistiek van de convergentie van een algoritme dat werkt in een fase-zoekruimte

en een dat werkt in een impedantie-zoekruimte voor 50 runs van 1000 padcon-structies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.8 |Frooster(90, φ)|in functie van twee dimensies van de impedantie-zoekruimte . . . 785.9 mogelijke faseverschuivingen voor Za1 = 75Ω en met capaciteiten tussen 0.1pF

en 10pF en inductanties tussen 0 en 20nH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.10 resultaat van optimalisatie naar maximale |F (90, 15)| voor het zesdelig anten-

nerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.11 statistiek van de convergentie van de optimalisatie naar maximale |F (90, 15)|

voor het zesdelig antennerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.12 resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 15 voor het

zesdelig antennerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.13 statistiek van de convergentie van de optimalisatie naar maximale antennewinst

bij φ = 15 voor het zesdelig antennerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.14 resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het

zestiendelig antennerooster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.15 resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het

zestiendelig antennerooster met onderdrukking van zijloben . . . . . . . . . . . . 855.16 resultaat van optimalisatie naar maximale antennewinst bij φ = 0 voor het

zestiendelig antennerooster met minder belang voor onderdrukking van zijloben . 86

6.1 resultaat van optimalisatie van zesdelig monopoolrooster op analytische manier . 886.2 resultaat van optimalisatie van zesdelig monopoolrooster met ACO algoritme . . 886.3 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van zesdelig monopoolrooster

op analytische manier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van zesdelig monopoolrooster

met ACO algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5 Structuur van het te optimaliseren antennerooster met extra stralers . . . . . . . 916.6 vergelijking tussen de convergentie van een genetisch algoritme en het beschreven

ACO algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.7 resultaat optimalisatie van het rooster van figuur 6.5 naar maximale antennewinst

in een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.8 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van het rooster van figuur 6.5

met ACO algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.9 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie naar maximale antennewinst

van het zestiendelig rooster in richtingen φ = 0 en φ = 11.25 . . . . . . . . . . . 94


6.10 resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 0 . 946.11 resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 11.25 956.12 resultaat voor de optimalisatie van het zestiendelig antennerooster voor φ = 0

met onderdrukking van het zijlobeniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.13 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie naar maximale antennewinst

van het zestiendelig rooster in richtingen φ = 0 met onderdrukking van hetzijlobeniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.14 vergelijking tussen de convergentie van een continu algoritme en een dat elkepadcreatie discretiseert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.15 vergelijking tussen de zoekruimte van een continu algoritme en een dat elke pad-creatie discretiseert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.16 antennewinst in het azimut vlak na optimalisatie van het zesdelig rooster . . . . 986.17 resultaat optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale antennewinst in

een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.18 antennewinst in het azimut vlak na gemeenschappelijke optimalisatie van het

zesdelig rooster naar antennewinst en mismatchfactor . . . . . . . . . . . . . . . 1006.19 resultaat optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale antennewinst en

mismatchfactor in een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.20 convergentie bij optimalisatie van het zesdelig rooster naar maximale anten-

newinst en mismatchfactor in een richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.21 structuur van de te optimaliseren Yagi-Uda antenne . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.22 stralingspatroon van de niet geoptimaliseerde Yagi-Uda antenne . . . . . . . . . . 1026.23 resultaat van de optimalisatie van de Yagi-Uda antenne . . . . . . . . . . . . . . 1036.24 stralingspatroon van de geoptimaliseerde Yagi-Uda antenne . . . . . . . . . . . . 103

7.1 Het venster om optimalisatieparameters in te stellen . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B.1 een boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Lijst van tabellen

1.1 Convergentie van het random zoekalgoritme voor verschillende aantallen dimensies 5

2.1 vertaling van de cruciale concepten naar termen in het ACO algoritme . . . . . . 13

3.1 faseverschil δn voor het zesdelig en het zestiendelig rooster . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 vertaling van de cruciale concepten naar termen in het ACO algoritme . . . . . . 334.2 optimale fasesturing voor het zesdelig en het zestiendelig rooster . . . . . . . . . 34

115

Ontwerp van een directieve draadantenne met parasitaire ...

Documents

Transcript of Ontwerp van een directieve draadantenne met parasitaire ...