Ontwerp van biodegradeerbare polymeer stents Nic Debusschere

Nic Debusschere

Ontwerp van biodegradeerbare polymeer stents

Academiejaar 2010-2011Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Voorzitter: prof. dr. Pierre De ClercqVakgroep Organische Chemie

Voorzitter: prof. dr. ir. Julien De RouckVakgroep Civiele Techniek

Master in de ingenieurswetenschappen: biomedische ingenieurstechnieken Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Begeleider: dr. Matthieu De BeulePromotoren: prof. dr. ir. Benedict Verhegghe, prof. dr. Peter Dubruel

Woord vooraf

Deze masterproef vormt het sluitstuk van mijn opleiding tot burgerlijk ingenieur, waarin

ik mijn interesse in materiaalkunde en biomedische technieken kon combineren. Het was

mijn begeleider Matthieu De Beule die mij meteen kon warm maken voor het onderwerp van

biodegradeerbare polymeerstents. Het ontwerpen van bioresorbeerbare stents is een onder-

zoeksdomein in volle ontwikkeling en levert toepassingen voor de behandeling van coronaire

atherosclerose, met stip doodsoorzaak nummer een wereldwijd.

In deze thesis ga ik op zoek naar een algemene methode voor het modelleren van de me-

chanische eigenschappen van een bioresorbeerbare stent tijdens degradatie. De rode draad

doorheen deze masterproef is de doctoraatsthesis van J.F. da Silva Soares over het modelleren

van biodegradeerbare polymeren voor het gebruik in cardiovasculaire stents. Zijn model voor

de degradatie van polymelkzuur vormt de basis voor mijn eigen onderzoek.

In de eerste plaats wil ik Matthieu De Beule bedanken voor het in goede banen leiden van dit

onderzoekswerk. Zijn goede raad en enthousiasmerende woorden hebben ervoor gezorgd dat

ik mij ten volle voor deze thesis kon inzetten. Ik bedank ook prof. Verhegghe, prof. Dubruel

en prof. Segers voor hun deskundige adviezen. Tim Desmet bedank ik voor de bereiding van

de PCL-proefmonsters en zijn hulp bij het uitvoeren van de trekproeven. Verder bedank ik

ook Sander De Bock voor zijn uitleg bij het gebruik van Abaqus.

Deze thesis behandelt een breed onderwerp waarin polymeerchemie, materiaalkunde en het

modelleren van stents met eindige elementen samenkomen. De verschillende bouwstenen

voor het ontwerp van biodegradeerbare polymeerstents werden samengebracht en dit leidde

tot enkele relatief eenvoudige simulaties in Abaqus. Dit werk levert enkele inzichten voor het

modelleren van bioresorbeerbare stents maar laat veel mogelijkheden voor verder onderzoek.

Ik hoop dan ook dat mijn thesis een hulp kan zijn voor studenten die hun masterproef doen

rond dit onderwerp.

Nic Debusschere

Gent 5 juni 2011

i

De auteur en promotor geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen

en delen ervan te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beper-

kingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting uitdrukkelijk

de bron te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.

The author and promoter give the permission to use this thesis for consultation and to copy

parts of it for personal use. Every other use is subject to the copyright laws, more specifically

the source must be extensively specified when using from this thesis.

Gent, Juni 2011

De promotor De begeleider De auteur

Prof. dr. ir. B. Verhegghe Dr. ir. M. De Beule Nic Debusschere

iii

Ontwerp van biodegradeerbare

polymeerstents

door

Nic Debusschere

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Master in de ingenieurswetenschappen: biomedische ingenieurstechnieken

Academiejaar 2010–2011

Promotoren: Prof. Dr. Ir. B. Verhegghe, Prof. Dr. P. Dubruel

Scriptiebegeleider: Dr. Ir. M. De Beule

Vakgroep Civiele Techniek

Voorzitter: Prof. Dr. Ir. J. De Rouck

Vakgroep Organische Chemie

Voorzitter: Prof. Dr. P. De Clercq

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Universiteit Gent

Samenvatting

In dit werk wordt een mechanisch model ontwikkeld voor het simuleren van de degradatievan bioresorbeerbare stents. Er werden trektesten uitgevoerd op poly-ε-caprolacton (PCL)om de mechanische eigenschappen van dit biodegradeerbare polymeer te bepalen. Een degra-datiemodel voor PCL werd geımplementeerd in de user subroutines UMAT en VUMAT voorhet uitvoeren van eindige-elementenberekeningen op een bioresorbeerbare stentgeometrie inAbaqus.

Trefwoorden

Biodegradeerbare stent, eindige-elementenmodel, poly-ε-caprolacton, bioresorbeerbare poly-

meren

Modelling of Biodegradable Polymer StentsNic Debusschere

Supervisor(s): Benedict Verhegghe, Matthieu De Beule, Peter Dubruel

Abstract— In this article a mechanical model is being developed for thesimulation of bioresorbable stent degradation. Tensile tests were performedto determine the mechanical characteristics of the bioresorbable polymerpoly-ε-caprolactone (PCL) with a molecular weight Mn = 80000 g/mol.UMAT and VUMAT user subroutines have been written to simulate thebehaviour of a PCL biodegradable stent geometry with finite element mod-elling using Abaqus.

Keywords—Biodegradable stent, finite element model, poly-ε-caprolactone,bioresorbable polymers

I. INTRODUCTION

WHEN having fulfilled the job of supporting the atheroscle-rotic blood vessel after angioplasty, the biodegrad-

able stent gradually disappears. Unlike permanent stents, thebiodegradable stent forms no obstacle for future interventions.The degradable stent material presents an ideal vehicle for lo-cal drug delivery. Several bioresorbable stents are being devel-oped or have been tested in clinical trials, such as the Igaki-Tamai stent, the Abbott Vascular everolimus-eluting BVS, theREVA stent, the IDEAL stent and the corrodable magnesiumAMS stents[1].

Finite element modelling is an important tool in the design ofnovel stents. To correctly simulate the behaviour of degradablestents a material model must be developed that incorporates theeffect of degradation on material characteristics.

This abstract presents a mechanical model for the hydrolyticdegradation of bioresorbable polymers. This model incorpo-rates the effect of the mechanical environment on degradation.The material models were implemented in the user subroutinesUMAT and VUMAT for finite element simulations with Abaqus.As it is a possible bioresorbable stent material, the mechanicalcharacteristics of high molecular weight PCL have been deter-mined during tensile testing. Finally, the biodegradable PCLmaterial model was applied on a realistic biodegradable stentgeometry using Abaqus.

II. DEGRADATION AND EROSION

Bioresorbable polyesters such as polylactic acid or poly-ε-caprolactone degrade in vivo via hydrolytic chain cleavagewhich causes a gradual decrease in molecular weight. Watermolecules diffuse into the polymer bulk where they attack thepolyester bonds. Consequently, the hydrolytic degradation ratewill depend on both the diffusion coefficient of water into thepolymer bulk and the hydrolysis reaction rate constant.

A. Bulk versus surface degradation

When diffusion of water into the polymer is much faster thanpolymer chain scission caused by hydrolysis, degradation takesplace homogeneously throughout the polymer material. Thisphenomenon is called bulk degradation. When the hydrolysisreaction is much faster than diffusion of water into the polymer,

only the surface will be affected by degradation. This is calledsurface degradation or erosion.

To quantitatively evaluate the difference between bulk andsurface degradation, a simple model can be presented. We de-fine degradation as the reduction of molecular weight W of thepolymer which is governed by the following rate equation:

W (c) = −βc (1)

In this equation c presents the local water concentration in thepolymer and β presents the reaction rate constant. The evolu-tion of the water concentration in the polymer with a diffusioncoefficient α is defined by Fick’s second law:

c = α∇2c (2)

If we consider the case of a polymer material with initialmolecular weight W0 and with a bulk which is infinite in the z-direction and which has a constant water concentration c0 at itsflat surface, an analytical solution to this problem can be found:

c(t, z) = c0erfc(z√4αt

) (3)

W (t, z) = W0 − βc0∫ t

0

erfc(z√4αs

)ds (4)

Here erfc stands for the complementary error function. Thedistribution of the molecular wheight at a time t = 1 is shownin figure 1 for different values of α and β. When α � βdegradation is restricted to the surface, which is moving in thez-direction (blue line). When α � β degradation is uniformthroughout the polymer bulk (green line). For α ' β there isa wide zone of non-uniform degradation. As for biodegradablepolyesters absorption of water proceeds much faster than hy-drolytic chain scission, bulk degradation can be assumed.

B. Influence of the mechanical environment upon degradation

Several studies have shown that bioresorbable sutures de-grade faster when under tension[2],[3],[4],[5]. When develop-ing a model for polymer degradation the mechanical environ-ment must be taken into account. Such a mechanical model hasbeen presented by Soares et al.[5]. A scalar degradation fieldd(x, t) which varies with position x and time t was introduced.d has values between zero and one where d = 0 stands for thevergin material and d = 1 represents the completely degradedmaterial. Degradation is governed by the degradation rate equa-tion:

∂d

∂t=

1

τD(1− d)D(εεε,σ) (5)

D(εεε,σ) is a measure for deformation or internal stress. Apossible measure of deformation can be the distortion γ which

Fig. 1. Molecular weight distribution in a biodegradable polymer at a certaintime t = 1 for different values of the diffusion coefficient α and the hydrol-ysis rate constant β.

is defined as the magnitude of the deviatoric strain tensor εεε. Themaximum shear stress τmax can be taken as a measure of inter-nal stress. The material parameters depend on the degradationparameter d and determine the material’s mechanical behaviour.For a linear elastic material we suppose Young’s modulus varieslinearly with d:

E ≡ E(d) = E0(1− d) (6)

The degradation model has been evaluated via finite ele-ment modeling of the inflation of a degradable cilinder withAbaqus/Explicit. The cilinder was first inflated in a quasi-staticway by applying a pressure on the inner wall. This situation wassustained for a certain degradation period. Regions at the insideof the cilinder were more affected by degradation because ofthe higher distortion or maximum shear stress. As degradationprogresses, the modulus of elasticity decreases which causes afurther expansion. As the pressure on the inner wall is removed,the cilinder regains its original shape.

III. MECHANICAL PROPERTIES OF PCL

High molecular weight PCL was chosen as a possible biore-sorbable stent material. PCL is a biodegradable polyester with arather long degradation period in vivo (> 2 years). To determinethe material characteristics of PCL tensile tests were performedat room temperature following the ISO 527 standard. A 2 mmthick film was made of the melt of PCL (Mn = 80000 g/mol).Test samples made out of this film were submitted to strain ratesof 20, 50 and 100 mm/min and the stress-strain curves were reg-istered. PCL appears to be a typical plastic material with a largestrain at fracture. Little influence of the strain rate was observed.The mechanical properties of PCL (Mn = 80000 g/mol) are rep-resented in table I.

IV. DEGRADATION OF A REAL STENT GEOMETRY

A stent geometry was designed based on the Abbott Vascu-lar BVS1.1 bioresorbable stent. The stent was modeled as linearelastic plastic with a modulus of 500 MPa, a Poisson modulus of0.475 and a yield stress of 13 MPa to simulate PCL behaviour.

TABLE IMATERIAL PROPERTIES OF POLY-ε-CAPROLACTON (Mn = 80000 g/mol).

Young’s modulus E 528± 41 MPaYield strain εy 18± 2 %Yield stress σy 13.09± 1.19 MPaTensile strength σT 24.1± 1.0 MPaStrain at fracture εF 870 %

The stent was expanded in a quasi-static way and the evolutionof the distortion driven degradation was observed. Figure 2 rep-resents the stent geometry and the distribution of the degrada-tion parameter in a section of the stent at a time t = 2.5τD. Thedistribution of the degradation field is non-uniform. Zones withlarge deformations degrade faster than zones who underwent lit-tle deformation.

Fig. 2. Original stent geometry and degradation distribution in a section of theexpanded stent at t = 2.5τD .

V. CONCLUSION AND FUTURE PROSPECTS

A constitutive model for bioresorbable polymer degradationhas been developed and successfuly applied to a real stent ge-ometry, with PCL as a possible biodegradable stent material.The model gives an insight into the different factors that are ofimportance in hydrolitic degradation. For a better understand-ing of bioresorbable stent degradation, the model must be mademore complex and other factors such as blood vessel wall pres-sure will have to be taken into consideration.

REFERENCES

[1] Y. Onuma, J. Ormiston, P. W. Serruys, Bioresorbable Scaffold Technolo-gies, Circulation Journal, 2009, vol. 75, pp. 509-520

[2] N.D. Miller, D.F. Williams, The in vivo and in vitro degradation ofpoly(glycolic acid) suture material as a function of applied strain, Bio-materials, 1984, vol. 5, pp. 365-368

[3] C.C. Chu, Strain-accelerated hydrolytic degradation of synthetic ab-sorbable sutures, Surgical research, recent developments: Proceedings ofthe First Annual Scientific Session of the Academy of Surgical Research,1985, pp. 111-115

[4] S.P. Zhong, The effect of applied strain on the degradation of absorbablesuture in vitro, Clin. Mater., 1993, vol. 14, pp. 183-189

[5] J.F. da Silva Soares, Constitutive modelling for biodegradable polymers forapplication in endovascular stents, Phd thesis at Texas A&M University,2008

Inhoudsopgave

Overzicht iii

1 Inleiding 1

1.1 Cardiovasculaire stents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Drug eluting stents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Biodegradeerbare stents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Klinische trials met bioresorbeerbare stents . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Mechanische eigenschappen van polymeren 9

2.1 Modellen voor mechanisch gedrag van polymeren . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Vervorming, rek en reksnelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Het hyperelastische materiaalmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Specifieke vormen van de energiefunctie U . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Visco-elastisch materiaalgedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Maxwell visco-elasticiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Kelvin-Voigt visco-elasticiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Boltzmann visco-elasticiteit en Zener visco-elasticiteit . . . . . . . . . 19

2.3.4 Beschrijving van visco-elasticiteit als een heriditaire integraal en de

Prony-reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.5 Voorbeeld: visco-elastisch materiaalmodel voor kleine rekken . . . . . 20

3 Biodegradeerbare polymeren 25

3.1 Biodegradeerbare, bioresorbeerbare, bioabsorbeerbare en bio-erodeerbare po-

lymeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Belangrijkste klasses biodegradeerbare polymeren . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Biodegradeerbare polyesters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Polyanhydrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.3 Polycarbonaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.4 Poly(ortho-esters) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.5 Polyurethanen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Degradatie en erosie 33

4.1 Hydrolytische degradatie van polymeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iv

Inhoudsopgave v

4.1.1 Analytische uitwerking van een eenvoudig model voor hydrolytische de-

gradatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.2 Numerieke uitwerking van een eenvoudig model voor hydrolytische de-

gradatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Oppervlaktedegradatiemodel voor bio-erodeerbare metalen . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Evolutie van degradatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2 Invloed van de schadeparameter D op de spanningstoestand . . . . . . 41

4.2.3 Elementeninterconnectiviteit in een VUMAT . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Invloed van de mechanische omgeving op de degradatie van polymeren . . . . 42

4.3.1 Constitutief model voor de degradatie van biopolymeren . . . . . . . . 43

4.3.2 Degradatie van een lineair elastische cylinder onder druk . . . . . . . . 44

5 Mechanische karakteristieken van poly-ε-caprolacton 57

5.1 Materiaaleigenschappen en proefopstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Expansie en degradatie van een reele stentgeometrie 63

6.1 Stentgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Materiaaleigenschappen van de stent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Expansie van de elastoplastische stent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4 Degradatie van de stent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.5 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Besluit en toekomstperspectieven 70

A Writing a UMAT 72

A.1 UMAT Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.2 UMAT conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.3 Example: small strain viscoelastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.3.1 Step 1: definition of the mechanical constitutive equations . . . . . . . 75

A.3.2 Step 2: Transformation into incremental equations . . . . . . . . . . . 75

A.3.3 Step 3: Implementation of the constitutive equations . . . . . . . . . . 77

A.3.4 Step 4: Validation of the user subroutine . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B Writing a VUMAT 82

B.1 UMAT Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.2 VUMAT conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B.3 Example: Degradable Neo-Hookean hyperelasticity . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.3.1 Step 1: definition of the mechanical constitutive equations . . . . . . . 84

B.3.2 Step 2: Transformation into incremental equations . . . . . . . . . . . 85

B.3.3 Step 3: Implementation of the constitutive equations . . . . . . . . . . 85

Bibliografie 89

Inhoudsopgave vi

Lijst van figuren 92

Lijst van tabellen 94

Hoofdstuk 1

Inleiding

Ischemie van de hartspier ten gevolge van coronaire atherosclerose is een van de belangrijkste

doodsoorzaken wereldwijd. De ziekte is het gevolg van de afzetting van atheromateuze pla-

ques op de binnenwanden van de coronaire arterien die het myocardium voorzien van zuurstof

en nutrienten. Ischemie van de hartspier kan uiteindelijk leiden tot een hartstilstand. Athero-

sclerose kan dus beschouwd worden als een systemische aandoening met een focale distributie

(Gheeraert (2010)). Risicofactoren voor atherosclerose zijn roken, een hoge bloeddruk, hoge

cholesterolwaarden, diabetes, obesitas en sedentarisme. Genetische aanleg speelt ook een rol.

Volgens geprojecteerde statistieken (Mathers & Loncar (2006)) zal ischemische cardiomyo-

pathie tegen het jaar 2030 verantwoordelijk zijn voor meer dan 13% van het aantal sterftes

wereldwijd, zoals geıllustreerd in figuur 1.1.

De behandeling van atherosclerose kent een snelle vooruitgang sinds de invoering van de co-

ronaire angioplastie in de jaren ’80. De uitvinding van de ballonangioplastie in 1977 door

Andreas Gruntzig was een enorme sprong voorwaarts in de behandeling van obstructieve co-

ronaire stenose en was zonder twijfel de eerste revolutie in de interventionele cardiologie. De

behandeling was echter beperkt door het risico op acute occlusie van het behandelde bloedvat

en de grote kans op restenose, hetgeen voorkwam in 30 tot 40% van de patienten (Grabow

et al. (2010)). De behandeling was daardoor in de beginjaren slechts toepasbaar op 5% van de

patienten met coronaire atherosclerose. Restenose na ballonangioplastie wordt veroorzaakt

door een constrictieve hermodellering van het bloedvat enerzijds en in mindere mate door

ogenblikkelijke elastische samentrekking van het bloedvat anderzijds. Om dit fenomeen tegen

te gaan werd de stent geıntroduceerd, een metalen cilindertje dat het bloedvat open houdt

na angioplastie en dat via een katheter geımplanteerd wordt da Silva Soares (2008).

De geringe efficientie van systemische geneesmidddelen voor het onderdrukken van stent-

trombose en in-stent restenose hebben tot de ontwikkeling van de drug eluting stents geleid.

Een volledig biodegradeerbare stent tenslotte ondersteunt het bloedvat zolang als nodig en

verdwijnt daarna vanzelf.

1

Hoofdstuk 1. Inleiding 2

Figuur 1.1: Aandeel van het totale aantal sterftes wereldwijd geprojecteerd naar het jaar 2030.

1.1 Cardiovasculaire stents

De eerste implantatie van een coronaire stent werd uitgevoerd in 1987 door Ulrich Sigwart en

zorgde voor een grote revolutie in de geneeskunde op het einde van de jaren ’90. De proce-

dure omvat de expansie van de sclerotische arterie met een ballonnetje en de plaatsing van een

permanente stent met behulp van een katheter. De belangrijkste functies van deze bare-metal

stents zijn de preventie van posttraumatische vasospasmen en de preventie van embolische

complicaties. Belangrijke hindernissen hierbij zijn het trombogene effect van het lichaams-

vreemde metalen voorwerp en in-stent restenose, waarbij neointimale proliferatie rondom

de stent optreedt als gevolg van de veranderde, niet-homeostatische mechanische omgeving

(da Silva Soares (2008)). De pathofysiologie van restenose is complex en nog niet helemaal

begrepen maar gaat gepaard met ogenblikkelijke elastische recoil , afzetting van bloedplaatjes,

vorming van bloedklonters en proliferatie van gladde spiercellen in combinatie met de vorming

van een extracellulaire matrix (da Silva Soares (2008)). Andere problemen met bare-metal

stents waren het gevolg van eventuele mechanische defecten van de stent.

De reactie van het lichaam op coronaire stents kan in vier fasen opgedeeld worden. In een

eerste fase is er een sterke toename van het aantal subendotheelcellen. Door blootstelling

van het metallische stentmateriaal aan de bloedstroom beginnen de bloedplaatjes te coagu-

leren waardoor bloedklonters gevormd worden. In een tweede fase treedt inflammatie van de


bloedvatwand op, met een piek een week na het plaatsen van de stent. De derde fase wordt

gekenmerkt door een proliferatie van de gladde spiercellen in de media en de intimima van

de coronaire slagader. Tijdens de laatste fase wordt het bloedvat gehermodelleerd. Dit is een

poging van het bloedvat om een nieuw homeostatisch evenwicht te bereiken als reactie op de

verandering in de omgeving ten gevolge van de aanwezigheid van de stent.

Bij de introductie van de eerste stents in het midden van de jaren ’90 bedroeg de resteno-

segraad 20%. De mate waarin stenttrombose voorkwam was initieel 16% maar dat aandeel

kon de daaropvolgende jaren geminimaliseerd worden door het gebruik van antitrombogene

geneesmiddelen. De in-stent restenose nam echter pas af met de opkomst van de drug eluting

stents.

1.2 Drug eluting stents

Het gebruik van systemische geneesmiddelen voor de preventie van restenose is weinig doel-

treffend wegens de geringe lokale doses. Bij een drug eluting stent (DES) is het metaal van

de stent gecoat met een al dan niet degradeerbaar polymeer dat een aantal medicijnen be-

vat die lokaal worden afgegeven over een langere periode. Zo voorkomt heparine de vorming

van bloedklonters, voorkomen dexamethasomen ontstekingen en voorkomen antimitotische

geneesmiddelen de proliferatie van gladde spiercellen. Door het gebruik van DES is de kli-

nische manifestatie van in-stent restenose afgenomen tot minder dan 5%. Dit succes heeft

ertoe geleid dat DES aangewend worden in 70 tot 90% van de interventionele procedures.

De evolutie van de ontwikkelingen binnen het gebied van de coronaire angioplastie worden

weergegeven in figuur 1.2. Het verloop van het aantal percutane coronaire interventies en het

aantal coronaire bypassinterventies staat in deze figuur weergegeven op de secundaire as. De

waarden opgenomen in de grafiek zijn afkomstig uit (Baim (2004)) en hebben betrekking op

de VS.

1.3 Biodegradeerbare stents

Ondanks het grote succes kwam de eerste generatie DES onder druk te staan, onder andere na

meldingen van myocardiale infarcten na DES-implantatie (Grabow et al. (2010)). Uitgestelde

trombose als gevolg van een onvolledige endothelialisatie van de stent en een langzamere

genezing werden aangeduid als mogelijke risicofactoren bij het gebruik van DES. Deze pro-

blemen worden nu aangepakt bij de ontwikkeling van de tweede generatie DES. Verbeterde

polymeercoatings en niet-polymere alternatieven in combinatie met nieuwe farmaceutische

ontwikkelingen zorgen voor een betere re-endothelialisatie na stentimplantatie.

Hoewel de huidige succesvolle stenttechnologie gebaseerd is op een permanent stentplatform

als dragende structuur is er klinische consensus over het feit dat de stent alleen nuttig is tijdens

de genezingsperiode na implantatie. Een bioabsorbeerbare stent kan volledig door weefsel in-


Figuur 1.2: Evolutie van het succes van coronaire angioplastie, stents en drug eluting stents.

genomen worden en zorgt aldus voor een positieve hermodellering van het gestente bloedvat.

Er zijn nog vele andere voordelen van zo’n tijdelijke stent: de stent vormt geen obstakel voor

eventuele toekomstige ingrepen, de gecontroleerde degradatie van het stentmateriaal is ideaal

voor de geleidelijke afgifte van medicijnen en de graduele versoepeling van de stent garandeert

een geleidelijke overdracht van de mechanische last op de stent naar de wand van de arterie.

Het idee van de biodegradeerbare stent bestaat al sinds de introductie van de eerste stents in

het midden van de jaren ’90. De praktische ontwikkeling van volledig absorbeerbare stents

is echter moeilijk gebleken wegens de inferieure mechanische eigenschappen van polymeren

en biocorrodeerbare metalen in vergelijking met de permanente stentmaterialen zoals roest-

vrij staal en kobalt-chroom. Met de ontwikkeling van nieuwe hoogwaardige biodegradeerbare

polymeren en copolymeren en biocorrodeerbare materialen is er de laatste jaren echter grote

vooruitgang geboekt op het gebied van biodegradeerbare stents.

Coronaire stents hebben in de eerste plaats als doel de acute occlusie van het bloedvat tegen

te gaan en om eventuele flarden van de intima tegen te houden. Deze dragende functie zou ten

minste enkele maanden moeten aangehouden worden. Een biodegradeerbare stent voorziet


zolang als nodig in de mechanische ondersteuning van het bloedvat, waarna het materiaal zijn

mechanische sterkte verliest om uiteindelijk volledig op te lossen en te verdwijnen. Als tweede

belangrijke functie voorziet de biodegradeerbare stent in de geleidelijke afgifte van medicijnen

om neointimale hyperplasie en dus restenose tegen te gaan. Eventuele andere voordelen van

de bioresorbeerbare stent zijn het tegengaan van stenttrombose zodanig dat een systemische

anti-bloedplaatjestherapie overbodig wordt. De stent vormt ook geen belemmering meer voor

eventuele latere behandelingen.

De eerste experimentele studies met bioresorbeerbare stents dateren reeds van 1992. Van

der Giessen et al. rapporteerden in 1996 over de negatieve gevolgen van implantatie van de

Wiktor-stent, gecoat met vijf types biodegradeerbare polymeren waaronder een poly(glycolide-

co-lactide) copolymeer en poly-ε-caprolacton (van der Giessen et al. (1996)). Al deze poly-

meercoatings lokten inflammatoire reacties uit en resulteerden in neointimale hyperplasie en

bloedklontervorming na implantatie bij varkens. Een coating met hoogmoleculair polymelk-

zuur werd goed verdragen terwijl de laagmoleculaire versie van hetzelfde polymeer hevige

ontstekingsreacties veroorzaakte. Gelijkaardige experimenten uitgevoerd door Yamawaki et

al. wezen in de richting van hoogmoleculair polymelkzuur als mogelijk biomateriaal voor het

vervaardigen van bioresorbeerbare stents (Yamawaki et al. (1998)). Door moeilijkheden bij

de aanmaak van dergelijke polymeren en door de opkomst van de drug eluting stents kwam de

ontwikkeling van volledig biodegradeerbare stents tijdelijk op een lager plan. Door de vooruit-

gang in de productie van hoogwaardige biomaterialen met incorporatie van geneesmiddelen

voor lokale afgifte is de ontwikkeling van bioresorbeerbare stents de laatste jaren weer in een

stroomversnelling terechtgekomen.

De huidige generatie bioresorbeerbare stents is vervaardigd uit een biodegradeerbaar poly-

meer of uit een biocorrodeerbare metaallegering. Tabel 1.1 geeft enkele biomaterialen weer

die kunnen gebruikt worden in bioresorbeerbare stents, met hun mechanische eigenschappen

(elasticiteitsmodulus en treksterkte) en degradatietijden. Ter vergelijking zijn ook de eigen-

schappen van enkele biostabiele stentmaterialen weergegeven. Ondanks hun hoogmoleculair

gewicht zijn de mechanische karakteristieken van de biopolymeren grootte-ordes lager dan die

van de metalen.

1.3.1 Klinische trials met bioresorbeerbare stents

De enige biodegradeerbare stent met een CE-label is een perifere stent en tot op heden is

geen enkele bioresorbeerbare stent goedgekeurd door het Amerikaanse FDA. Verschillende

cardiovasculaire bioresorbeerbare stents ondergaan op dit ogenblik klinische testen.

De Igaki-Tamai stent was de eerste volledig resorbeerbare stent die getest werd op men-

sen. Deze stent is vervaardigd uit poly-L-lactide (PLLA) en degradeert over een periode van


Tabel 1.1: Verschillende stentmaterialen en hun mechanische eigenschappen.

Elasticiteits-

modulus (GPa)

Treksterkte

(GPa)

Degradatietijd

(maanden)

poly(L-lactide) 3.1-3.7 60-70 24+

poly(DL-lactide) 3.1-3.7 45-55 12-16

polyglycolide 6.5-7.0 90-110 6-12

50/50 poly(DL-lactide/glycolide) 3.4-3.8 40-50 1-2

82/18 poly(L-lactide/glycolide) 3.3-3.5 60-70 12-18

70/30 poly(L-lactide/ε - caprolacton) 0.2-0.4 18-22 12-24

magnesiumlegering 40-45 220-330 1-3

kobalt-chroom 210-235 1449 biostabiel

roestvrij staal 316L 193 668 biostabiel

nitinol 45 700-1100 biostabiel

18 tot 24 maanden. De stent is niet ’drug-eluting’. De geometrie van de stent bestaat uit

een helixstructuur die verbonden is door zigzag bruggen. De stent is self-expandable mits

verhitting tot 70 ◦C. Dit gebeurt door hete contrastvloeistof via de catheter in de ballon te

spuiten. Tijdens de FIM-studie (First in Man) werden vijfentwintig stents ingeplant bij vijf-

tien patienten. De uitkomsten van het onderzoek waren positief: de stent lokte geen ernstige

inflammatoire reacties of neointimale hyperplasie uit. Na drie jaar bleken de stents volledig

verdwenen te zijn. Ondanks de goede resultaten is de stent niet verder gebruikt wegens de

omslachte methode van het verhitten van de stent om zelf-expansie te induceren. De verhit-

ting zou ook voor necrose van de cellen in de intimilaag kunnen zorgen en dus voor adhesie

van bloedplaatjes met eventueel trombusvorming tot gevolg. Dit fenomeen werd evenwel niet

vastgesteld tijdens de FIM-studie.

De Abbott Vascular everolimus-eluting BVS is een drug-eluting bioresorbeerbare stent.

BVS staat voor bioabsorbable vascular scaffold . Het stentmateriaal PLLA is gecoat met een

everolimus bevattende poly-D,L-lactidelaag. Er bestaan twee geometrieen voor deze stent:

beide bestaan uit zigzagstructuren in de omtrekrichting die verbonden zijn via rechte segmen-

ten in de lengterichting van de stent. Het eerste type stent werd getest bij dertig patienten

in de FIM ABSORB-studie. De studie toonde aan dat de stent klinisch veilig was. Na twee

jaar was wel slechts 35% van het stentmateriaal verdwenen. De degradatie was ook verre van

uniform. Deze bevindingen hebben geleid tot het tweede ontwerp van de stent. Dit tweede

type stent wordt momenteel getest bij 101 patienten. Men heeft ondertussen ook de ABSORB

EXTEND-trial opgestart die ca. duizend patienten uit vijftig centra wereldwijd zal omvatten.


De REVA stent bestaat uit het materiaal poly(geiodineerd desaminotyrosyl-tyrosine ethy-

lester)carbonaat dat als degradatieproducten het aminozuur tyrosine, water, koolstofdioxide

en ethanol heeft. Het iodineren van het desaminotyrosyl-tyrosine maakt de stent radio-opaak.

Het duurt ongeveer drie jaar vooraleer de stent volledig gedragadeerd is. De stent heeft een

ingenieus ’slide and locking’-ontwerp. De laatste versie van de stent is gecoat met everolimus.

De uitkomsten van enkele preklinische studies zijn positief en er worden verdere klinische

studies gepland.

De IDEAL stent bestaat uit een poly(anhydride ester) in combinatie met salicylzuur en een

sirolimuscoating. Het salicylzuur zet een rem op de inflammatoire reacties terwijl de siro-

limuscoating de neointimale celgroei controleert. Uit de eerste resultaten van een klinische

studie met elf patienten blijkt dat er inderdaad een betere onderdrukking is van de ontsteking

na implantatie in vergelijking met de conventionele stents. De sirolimusdosis zou evenwel

onvoldoende hoog zijn om de neointimale celgroei te beheersen. In de tweede generatie van

dit type stent heeft men hiermee rekening gehouden door de sirolimusdosis te verhogen. De

stentgeometrie wordt gekenmerkt door het grote strutoppervlak.

Op het vlak van biocorrodeerbare metallische stents moet de AMS-1 stent vermeld worden.

Deze stent bestaat uit een legering van magnesium (93%) en zeldzame aardmetalen. De

mechanische eigenschappen van dit materiaal zijn veel beter dan die van de polymeren en

evenwaardig aan andere metallische stentmaterialen zoals roestvrij staal en kobalt-chroom

(zie tabel 1.1). De stent degradeert over een periode van zestig dagen naar anorganische

zouten die door het lichaam worden verwijderd. De AMS-1 stent is getest in de PROGRESS

AMS-studie bij drieenzestig patienten. De veiligheid van de stent werd bevestigd na twaalf

maanden opvolging. Ondertussen zijn ook de AMS-2 en AMS-3 stents ontwikkeld. Zij

verschillen in ontwerp en op het vlak van medicijnenafgifte.


Tabel 1.2: Verschillende bioresorbeerbare stents (Tamai et al. (2000),Gomez-Lara et al. (2010),Garg

& Serruys (2010),Onuma et al. (2011),Gomez-Lara et al. (2011)).

StentStent-

materiaalDegradatietijd

Stent-

geometrie

Igaki-Tamai PLLA 2 jaar

Abbott

Vascular

BVS1.0

PLLA 2 jaar

Abbott

Vascular

BVS1.1

PLLA 2 jaar

REVApoly(tyrosine)-

carbonaat2 jaar

IDEAL BTIsalicylaat

polyester6 maanden

AMS-3magnesium-

legering4 maanden

Hoofdstuk 2

Mechanische eigenschappen van

polymeren

De mechanische eigenschappen van polymeren kunnen sterk verschillen van deze van metalen.

Toch wordt het mechanisch gedrag van polymeren meestal gespecifieerd door de parameters

die ook voor metalen van toepassing zijn, namelijk de elasticiteitsmodulus E0, de vloeigrens

(yield strength) σy en de reksterkte (tensile strength) σTS . Voor de meeste polymeren is het

mechanisch gedrag sterk afhankelijk van de temperatuur, de snelheid van belasting en de

chemische omgeving (aanwezigheid water, zuurstof, organische solventen . . .).

Polymeren kunnen opgedeeld worden in drie categorieen naargelang het mechanisch gedrag

(Callister (2007)). Brosse polymeren hebben een kleine rek bij breuk en vertonen geen plasti-

sche vervormingen. Plastische polymeren hebben een typische spanningsrekcurve waarin een

elastisch en een plastisch gebied kan onderscheiden worden. Deze curve bepaalt ook de waar-

den van de vloeigrens en de treksterkte. Elastomeren ondergaan geen blijvende plastische

vervormingen. De niet-lineaire elastische vervorming kan zeer groot zijn vooraleer breuk op-

treedt. De spanningsrekdiagrammen voor de drie types polymeren worden geschetst in figuur

2.1.

2.1 Modellen voor mechanisch gedrag van polymeren

Voor de beschrijving van de vervorming en de belasting van een polymeer is het eenvoudige

lineair elastische model vaak ontoereikend. Het verband tussen spanning en rek is meestal

niet-lineair en tijdsafhankelijk. In dit hoofdstuk ga ik in op twee modellen voor het beschrijven

van niet-lineair elastisch materiaalgedrag: het hyperelastische materiaalmodel en het visco-

elastische materiaalmodel. Voor de notatie baseer ik mij op de notatie in de theory manual

van Abaqus (Abaqus (2009)). Deze handleiding geeft onder andere een goed overzicht van

een groot aantal mechanische modellen. Ook de doctoraatsthesis van da Silva Soares (2008)

geeft een goede basis voor de modellering van het mechanisch gedrag van materialen. Ook de

9

Hoofdstuk 2. Mechanische eigenschappen van polymeren 10

Figuur 2.1: Schets van de rekspanningsdiagrammen voor de drie verschillende types polymeren:

brosse, plastische en elastomere polymeren.

cursus Mechanica van Materialen, gegeven in de bacheloropleiding burgerlijk ingenieur aan

de Universiteit Gent, is nuttig geweest bij het schrijven van dit hoofdstuk (Van Paepegem &

Degrieck (2007)).

2.1.1 Vervorming, rek en reksnelheid

Als een object vervormd wordt dan zal een materiaalpunt met de oorspronkelijke positie X

zich verplaatsen naar een nieuwe positie x. Er bestaat een een-een relatie tussen x en X

indien we veronderstellen dat geen materiaal verdwijnt of gevormd wordt. Het verloop van x

in de tijd kan dan geschreven worden als:

x = x(X, t) (2.1)

Deze relatie is inverteerbaar wegens de een-een relatie en dus we kunnen evengoed schrijven:

X = X(x, t) (2.2)

Twee naburige materiaaldeeltjes bevinden zich op posities X en X+ dX. Het verband tussen

dx en dX wordt dan gegeven door:

dx =∂x

∂XdX = F dX (2.3)


De matrix F wordt de vervormingsgradient genoemd. Een vervorming is isochoor of volume-

bewarend als de Jacobiaan gedefinieerd als de determinant van F onveranderd een blijft:

J ≡ det(F) = 1 , ∀t (2.4)

De snelheid en de versnelling van het materiaalpunt worden bepaald als:

v = x =d

dtx =

∂

∂tx(X, t) (2.5)

a = x =d

dtx =

∂2

∂t2x(X, t) (2.6)

De definities van de linker en rechter Cauchy-Green rektensoren B en C worden gegeven door:

B = FFT (2.7)

C = FTF (2.8)

De Green-rektensor εεεG wordt gedefinieerd als volgt:

εεεG =1

2(C− I) (2.9)

In de gelineariseerde vorm wordt de verplaatsingsvector u bepaald door:

u = x−X (2.10)

De vervormingsgradient F kan dan uitgedrukt worden als:

F = I +∂u

∂X(2.11)

∂u∂X is de verplaatsingsgradient ∇u en wordt infinitesimaal klein verondersteld. De gelineari-

seerde rektensor εεε wordt dan bepaald door:

εεε =1

2

(∇u +∇uT

)(2.12)

2.2 Het hyperelastische materiaalmodel

Met de vervormingsgradient gedefinieerd als F = ∂x∂X en de volumeverandering J = det(F)

kunnen we de vervormingsgradient waaruit de volumeverandering geelimineerd is bepalen als:

F = J−13 F (2.13)

De deviatorische linker Cauchy-Green tensor B wordt dan geschreven als:


B = FFT

(2.14)

De eerste invariant van de rek is het spoor van de matrix B.

I1 = tr(B) (2.15)

De tweede invariant wordt dan gedefinieerd als:

I2 =1

2

(I2

1 − tr(BB))

(2.16)

De virtuele verplaatsingsgradient δL is de plaatsverandering ten opzichte van de positie x.

δL =∂δu

∂x(2.17)

De virtuele rekverandering δD is het symmetrische deel van δL. Het assymetrische deel δW

noemen we de verandering in spin van een materiaal.

δD =1

2

(δL + δLT

)(2.18)

δW =1

2

(δL− δLT

)(2.19)

De virtuele deviatorische rekverandering is de rekverandering δD verminderd met de volume-

rekverandering δεvol.

δεvol = tr(δD) (2.20)

δe = δD− 1

3δεvolI (2.21)

Uit bovenstaande definities kunnen dan de veranderingen δB, δ(BB), δI1, δI2 en δJ berekend

worden.

δB = (δL− 1

3δεvolI)B + B(δLT − 1

3δεvolI) = δeB + Bδe + δWB− BδW

= H1 : δe + δWB− BδW (2.22)

δ(BB) = δe(BB) + 2BδeB + (BB)δe + δW(BB)− (BB)δW

= H2 : δe + δW(BB)− (BB)δW (2.23)

δI1 = 2B : δe (2.24)


δI2 = 2(I1B− BB) : δe (2.25)

δJ = Jδεvol (2.26)

Hierbij staat het teken ’:’ voor het scalair product van twee matrices, waarbij ieder element

van de ene matrix wordt vermenigvuldigd met het corresponderende element van de andere

matrix en vervolgens gesommeerd. De tensoren H1 en H2 die hierboven gedefinieerd worden

hebben de volgende elementen (H1)ijkl en (H2)ijkl:

(H1)ijkl =1

2

(δikBjl + Bikδjl + δilBjk + Bilδjk

)(2.27)

(H2)ijkl =1

2

(δikBjpBpl + BipBpkδjl + δilBjpBpk + BipBplδjk

)+ BikBjl + BilBjk (2.28)

De spanningstensor σ kan opgedeeld worden in een drukspanning p en een deviatorische

spanning S.

p = −1

3tr(σ) (2.29)

S = σ + pI (2.30)

Een hyperelastisch materiaal wordt volledig gedefinieerd door zijn energiefunctie U die ge-

schreven wordt als functie van de eerste en de tweede invariant van de Cauchy-Green tensor

I1 en I2 en van de volumeverandering J .

U = U(I1, I2, J) (2.31)

De verandering in inwendige energie van een materiaal kan berekend worden door de verrichte

arbeid σ : δD per volume-element te integreren over het volledige volume van het materiaal.

δWI =

∫Vσ : δDdV =

∫V0

Jσ : δDdV0 (2.32)

De term Jσ : δD is per definitie de verandering in de energiefunctie δU van het materiaal

voor een zeker volume-element. We kunnen dus schrijven:

δU = Jσ : δD = J(S : δe− pδεvol) (2.33)

Uit bovenstaande uitdrukking kan het verband tussen spanning en rek afgeleid worden. Voor

δU geldt immers:

δU =∂U

∂I1δI1 +

∂U

∂I2δI2 +

∂U

∂JδJ (2.34)


Met vergelijkingen 2.24, 2.25 en 2.26 bekomen we uiteindelijk:

δU = 2

[(∂U

∂I1+ I1

∂U

∂I2

)B− ∂U

∂I2BB

]: δe + J

∂U

∂Jδεvol (2.35)

Door vergelijking van 2.35 met 2.33 kunnen we meteen de uitdrukkingen voor S en p aflezen.

S =2

Jdev

[(∂U

∂I1+ I1

∂U

∂I2

)B− ∂U

∂I2BB

](2.36)

p = −∂U∂J

(2.37)

Hierbij staat de operator ’dev’ voor ’het deviatorische deel van’, dus de matrix tussen de

operatorhaakjes min een derde van het spoor van die matrix vermenigvuldigd met de een-

heidsmatrix. Voor de implementatie van een hyperelastisch materiaalmodel in Abaqus met

behulp van de user subroutine UMAT is naast de uitdrukkingen 2.36 en 2.37 voor de span-

ning ook de uitdrukking voor de variatie in de Kirchhoff-spanning δτ = δ(Jσ) = δ(JS−JpI)

vereist. Er kan aangetoond worden dat voor d(JS) en voor d(Jp) geldt dat:

d(JS) = J(CS : de + Qdεvol + dWS + SdW

)(2.38)

d(Jp) = −J(Q : de +Kdεvol

)(2.39)

De tensoren CS en Q en de scalaire factor K worden gegeven door:

CS =2

J

(∂U

∂I1+ I1

∂U

∂I2

)H1 −

2

J

∂U

∂I1H2 +

4

J

(∂2U

∂I21

+∂U

∂I1+ 2I1

∂2U

∂I1∂I2+ I1

∂2U

∂I22

)B.B

− 4

J

(∂2U

∂I1∂I2+ I1

∂2U

∂I22

)(BB.B + B.BB

)+

4

J

∂2U

∂I22

BB.BB

− 4

3J

[∂U

∂I1+ 2I1

∂U

∂I2+ I1

∂2U

∂I21

+(I2

1 + 2I2

) ∂2U

∂I1∂I2+ 2I1I2

∂2U

∂I22

] (I.B + B.I

)+

4

3J

(2∂U

∂I2+

∂2U

∂I1∂I2+ 2I2

∂2U

∂I22

)(I.BB + BB.I

)(2.40)

Q =∂JS

J= 2

(∂2U

∂I1∂J+ I1

∂2U

∂I2∂J

)B− 2

∂2U

∂I2∂JBB− 2

3

(I1

∂2U

∂I1∂J+ 2I2

∂2U

∂I2∂J

)I (2.41)

K = −(J∂p

∂J+ p

)= J

∂2U

∂J2+∂U

∂J(2.42)

In de bovenstaande uitdrukkingen stelt ’.’ het dyadische product voor van twee matrices

(indien A = B.C dan is Aijkl = BijCkl). Bovenstaande uitdrukkingen ogen ingewikkeld maar

zijn wel rechtstreeks implementeerbaar in de user subroutines UMAT voor Abaqus/Standard

en VUMAT voor Abaqus/Explicit. In wat volgt wordt dieper ingegaan op enkele mogelijke

vormen van de energiefunctie U(I1, I2, J).


2.2.1 Specifieke vormen van de energiefunctie U

De polynomiale vorm

Voor een isotroop materiaal waarbij de deviatorische component en de volumecomponent van

de energiefunctie additief zijn kan de energiefunctie algemeen geschreven worden als:

U(I1, I2, J) = f(I1 − 3, I2 − 3) + g(J − 1) (2.43)

Door g(J − 1) gelijk te stellen aan∑N

i=11Di

(J − 1)2i en door f(I1 − 3, I2 − 3) te ontwikkelen

in een Taylor-reeks bekomen we de polynomiale vorm voor de energiefunctie.

Upol(I1, I2, J) =

N∑i+j=1

Cij(I1 − 3)i(I2 − 3)j +

N∑i=1

1

Di(J − 1)2i (2.44)

De waarden van de initiele schuifmodulus µ0 en de bulkmodulus k0 worden enkel bepaald

door de termen bij N = 1, ongeacht de waarde van N . De uitdrukkingen voor µ0 en k0, en

daaruit volgend voor de elasticiteitsmodulus E0 en de Poisson-modulus ν0 zijn dus gelijk aan:

µ0 = 2 (C10 + C01) (2.45)

k0 =2

D1(2.46)

E0 =18 (C10 + C01)

3 +D1 (C10 + C01)(2.47)

ν0 =3

2

1−D1 (C10 + C01)

3 +D1 (C10 + C01)(2.48)

In het speciale geval dat N = 1 wordt de Mooney-Rivlin vorm van de energiefunctie

verkregen:

UMR(I1, I2, J) = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) +1

Di(J − 1)2 (2.49)

De Mooney-Rivlin vorm van de energiefunctie vertoont lineaire afhankelijkeid van de eerste

en de tweede invariant. Indien de factor C01 gelijk gesteld wordt aan nul bekomen we de

neo-Hooke uitdrukking voor de energiefunctie.

UNH(I1, J) = C10(I1 − 3) +1

Di(J − 1)2 (2.50)

De neo-Hooke vorm is het eenvoudigste voorbeeld van de gereduceerde polynomiale vorm

waarbij in de sommatieterm j = 0 genomen wordt:

Ured(I1, J) =N∑i=1

Ci0(I1 − 3)i +N∑i=1

1

Di(J − 1)2i (2.51)


Dit is de vorm die het vaakst gebruikt wordt op basis van experimentele data. Over het

algemeen is de afhankelijkheid van de tweede invariant I2 klein en bovendien moeilijk te

meten. De Yeoh-vorm van de energiefunctie is de gereduceerde polynomiale vorm waarbij

N = 3.

UY eoh(I1, J) =

3∑i=1

Ci0(I1 − 3)i +

3∑i=1

1

Di(J − 1)2i (2.52)

De Yeoh-vorm is in vele gevallen een voldoende accurate voorstelling van het materiaalgedrag,

ook voor grote rekken. Is C10 van de orde O(1) dan is de coefficient C20 negatief en een of

twee grootteordes kleiner (−O(0.1) of −O(0.01)). C30 is meestal twee grootteordes kleiner

dan C10 maar heeft een positief teken (+O(0.01)). De spanningsrekcurve vertoont dan de

typische S-vorm zoals geıllustreerd in figuur 2.1. Voor kleine rekken weegt C10 het sterkst

door vermits C20 en C30 een of twee grootteordes kleiner zijn. Bij grotere rekken gaat de term

C20 doorwegen en door het negatieve teken neemt de steilheid van de curve weer af. Bij nog

grotere rekken gaat positieve coefficient C30 van de derde-orde term doorwegen waardoor de

steilheid van de curve weer toeneemt.

De Ogden vorm

De Ogden vorm van de energiefunctie UOgden wordt uitgedrukt in termen van de hoofdrekken

λi met λ = 1 + ε.

UOgden(λ1, λ2, λ3, J) =N∑i=1

2µiα2i

(λαi1 + λαi2 + λαi3 − 3

)+

N∑i=1

1

Di(J − 1)2i (2.53)

Hierbij is λi = J−13λi, waaruit volgt dat λ1λ2λ3 = 1. Vermits I1 = λ2

1 + λ22 + λ2

3 en I2 =1λ2

1+ 1

λ22

+ 1λ2

3is eenvoudig in te zien dat de neo-Hooke vorm bekomen wordt als N = 1 en

α1 = 2 en de Mooney-Rivlin vorm bekomen wordt als N = 2 met α1 = 2 en α2 = −2. Bij de

Ogden vorm van de energiefunctie is de initiele schuifmodulus µ0 afhankelijk van alle moduli

µi en er geldt dat:

µ0 =N∑i=1

µi (2.54)

Arruda-Boyce vorm

Het Arruda-Boyce hyperelastische materiaalmodel werd ontwikkeld uitgaande van balkvor-

mige volume-elementen waarbij de hoeken van het element via acht veren verbonden zijn met

het centrum. De Arruda-Boyce vorm van de energiefunctie UAB wordt aldus gegeven door de

volgende uitdrukking:


UAB(I1, J) =

5∑i=1

Ci

λ2i−2m

(Ii1 − 3i

)+

1

D

(J − 1

2− ln(J)

)(2.55)

C1 =1

2C2 =

1

20C3 =

11

1050C4 =

19

7000C5 =

519

673750(2.56)

De waarden voor Ci met i = 1, . . . , 5 zijn afkomstig uit de reeksontwikkeling van de inverse

Langevin-functie die aan bod komt bij de statistische ontwikkeling van niet-Gaussiaanse ketens

(L(x) = coth(x) − 1x). De parameter λm wordt de locking stretch genoemd. Bij deze rek zal

de helling van de spanningsrekcurve aanzienlijk toenemen. Een typische waarde voor λm is

7. De intiele schuifmodulus µ0 is gerelateerd tot µ via de uitdrukking

µ0 = µ

(1 +

3

5λ2m

+99

175λ4m

+513

875λ6m

+42039

67375λ8m

)(2.57)

De intiele waarde van de bulkmodulus wordt gegeven door k0 = 2D .

Van der Waals vorm

De hyperelastische Van der Waals energiefunctie UVW wordt gegeven door:

UVW = µ

− (λ2m − 3

)[ln(1− η) + η]− 2

3a

(I − 3

2

) 32

+1

D

(J2 − 1

2− ln(J)

)(2.58)

Hierbij is I = (1 − β)I1 + βI2 en η =√

I−3λ2m−3

. De naam ’Van der Waals’ is afkomstig van

de analogie die bestaat tussen een rubber en een gas. In het geval van een ideaal gas is de

corresponderende energiefunctie de neo-Hooke vorm. In het geval van een reeel of Van der

Waals gas is de analoge hyperelastische energiefunctie de Van der Waals vorm. Twee extra

parameters zijn nodig om de energiefunctie te beschrijven, namelijk de locking stretch λm die

ook al aan bod kwam in de Arruda-Boyce energiefunctie en een globale interactieparameter

a. Voor λ → λm wordt η = 1 en gaat de energiefunctie naar ∞. De rek λ kan voor een

Van der Waals hyperelastisch materiaal dus nooit groter zijn dan λm en dit in tegenstelling

tot een Arruda-Boyce hyperelastisch materiaal waarbij de rek de locking stretch λm wel kan

overschrijden. De parameter β is een maat voor de relatieve bijdragen van I1 en I2 tot de

energiefunctie en bedraagt waarden tussen 0 en 1 (0 ≤ β ≤ 1). Voor β = 0 is de energiefunctie

enkel afhankelijk van de eerste invariant I1.

Naast de hierboven beschreven specifieke vormen voor de hyperelastische energiefunctie kun-

nen uiteraard nog vele andere vormen voor de energiefunctie bedacht worden zolang de voor-

waarden ∂U∂I1

> 0 en ∂U∂I2≥ 0 voldaan blijven. Soares (da Silva Soares (2008)) stelt de volgende


energiefunctie voor om het hyperelastische materiaalgedrag van het biodegradeerbare polyes-

ter PLLA te beschrijven:

UPLLA = µ1e−(I1−3) + µ2ln (1 + a(I1 − 3)) (2.59)

Het polymeer wordt onsamendrukbaar verondersteld (J ≡ 1) zodanig dat I1 = I1 en de J-

term verdwijnt. De waarden voor de parameters worden in het geval van PLLA gegeven door

µ1 = 17.999 MPa, µ2 = 0.17047 MPa, a = 477.28.

2.3 Visco-elastisch materiaalgedrag

Veel polymeren vertonen tijdsafhankelijk materiaalgedrag onder vervorming of belasting. Ze

vertonen als het ware karakteristieken van zowel elastische vaste stoffen als van viskeuze

vloeistoffen. Voor snelle vervormingen gedragen zij zich als elastische materialen terwijl het

viskeuze karakter meer doorweegt bij zeer langzame vervormingen. Kruip manifesteert zich als

de vervorming toeneemt onder een aanhoudende constante belasting. Spanningsrelaxatie doet

zich voor wanneer de spanningen in het materiaal afnemen onder een constante vervorming.

Bovendien wordt voor polymeren hysterese waargenomen in de spanningsrekcurves, een deel

van de geleverde arbeid wordt dus inwendig gedissipeerd. Een visco-elastisch materiaalmodel

combineert dus de wet van Hooke voor elasticiteit en de wet van Newton voor viscositeit:

σelas = Eε (2.60)

σvisco = ηdε

dt(2.61)

2.3.1 Maxwell visco-elasticiteit

Het Maxwell-model voor visco-elasticiteit kan voorgesteld worden door een ideale viskeuze

demper in serieschakeling met een lineair elastische veer. De totale rekverandering ε kan dan

uitgedrukt worden als de som van de elastische rekverandering εelas en de viskeuze rekveran-

dering εvisco:

ε = εelas + εvisco =σ

E+σ

η(2.62)

Het Maxwell-model vertoont lineaire kruip en volledige spanningsrelaxatie (σ → 0):

σ(t) = σ0 ⇒ ε(t) = ε0 +σ0

ηt = σ0

(1

E+

1

ηt

)(2.63)

ε(t) = ε0 ⇒ σ(t) = σ0e−Eηt

= Eε0e−Eηt

(2.64)


2.3.2 Kelvin-Voigt visco-elasticiteit

Het Kelvin-Voigt-model voor visco-elasticiteit kan voorgesteld worden door een ideale viskeuze

demper in parallelchakeling met een lineair elastische veer. De ogenblikkelijke totale spanning

σ kan dan uitgedrukt worden als de som van de elastische spanning σelas en de viskeuze

spanning σvisco:

σ = σelas + σvisco = Eε+ ηε (2.65)

Het kruipgedrag van het Kelvin-Voigt-model is niet-lineair en evolueert naar de plateauwaardeσ0E en vertoont ogenblikkelijke spanningsrelaxatie:

σ(t) = σ0 ⇒ ε(t) =1

E

(1− e−

Eηt)σ0 (2.66)

ε(t) = ε0 ⇒ σ(t) = Eε0 (2.67)

2.3.3 Boltzmann visco-elasticiteit en Zener visco-elasticiteit

Het Boltzmann-model voor visco-elasticiteit is voor te stellen als een lineair elastische veer

(E2) in serie geschakeld met het Kelvin-Voigt element (E1, η1). De spanning over beide

segmenten is gelijk. De totale rek ε is de som van de rek over beide segmenten ε1 en ε2.

De kruiprek is initieel gelijk aan σ0E2

en evolueert naar de plateauwaarde σ0

(1E1

+ 1E1

):

σ(t) = σ0 ⇒ ε(t) =

[1

E1

(1− e−

E1η1t)

+1

E2

]σ0 (2.68)

Bij spanningsrelaxatie is de initiele spanning gelijk aan E2ε0 waarna de spanning relaxeert

richting de waarde E1E2E1+E2

ε0:

ε(t) = ε0 ⇒ σ(t) =E2

E1 + E2

[E1 + E2e

−E1+E2η1

t]ε0 (2.69)

Het Zener-model of het SLS-model (Standard Linear Solid) voor hyperelasticiteit is voor te

stellen als een lineair elastische veer E2 in parallelschakeling met een Maxwell-element (E1,

η1). De rekverandering van beide elementen is dezelfde en de totale spanning σ is de som van

de spanningen over elk element σ1 en σ2.

De kruiprek is initieel gelijk aan σ0E1+E2

en evolueert naar de plateauwaarde σ0E2

:

σ(t) = σ0 ⇒ ε(t) =1

E2

[1− E1

E1 + E2e

(− E1E2E1+E2

1η1t)]σ0 (2.70)

ε(t) = ε0 ⇒ σ(t) =

[E1e

−E1η1t+ E2

]ε0 (2.71)


Een grafische voorstelling van het verloop van kruip en spanningsrelaxatie wordt gegeven in

tabel 2.1.

2.3.4 Beschrijving van visco-elasticiteit als een heriditaire integraal en de

Prony-reeks

De basisuitdrukking van lineair isotrope visco-elasticiteit maakt gebruik van de heriditaire

integraal:

σ =

∫ t

02G(t− s)eds+ I

∫ t

0K(t− s)εvolds (2.72)

K is de tijdsafhankelijke bulkmodulus, G is de tijdsafhankelijke schuifmodulus. e staat voor

het deviatorische deel van de rek, εvol staat voor de volumerek. De bulk- en de schuifmodulus

kunnen uitgedrukt worden als een reeks van exponentiele functies, de zogenaamde Prony-

reeks:

K(t) = K∞ +

NK∑i=1

Kie− t

τKi (2.73)

G(t) = G∞ +

NG∑i=1

Gie− t

τGi (2.74)

Het gedrag van het visco-elastische materiaal op tijdstip t hangt af van de volledige voorge-

schiedenis.

2.3.5 Voorbeeld: visco-elastisch materiaalmodel voor kleine rekken

In dit voorbeeld wordt aangetoond hoe de constitutieve vergelijking van een visco-elastisch

materiaalmodel kan gediscretiseerd worden, met het oog op implementatie in de user subrou-

tines UMAT en VUMAT in Abaqus.

Stap een: definitie van mechanische constitutieve vergelijking

Een goed materiaalmodel vertrekt van een robuuste definitie van de constitutieve vergelijking.

Het visco-elastische materiaalmodel heeft als belangrijkste eigenschappen de tijdsafhankelijk-

heid van spanning en rek en de hereditaire integraal. De tijdsafhankelijke Cauchy-spanning

σ(t) kan geschreven worden als:

σ(t) = S(t)− p(t)I (2.75)

Hierbij stelt S de deviatorische spanning en p(t) de drukspanning voor. De deviatorische

spanning S en de drukspanning p(t) worden gegeven door:


Tabel 2.1: Kruip en spanningsrelaxatie volgens enkele visco-elastische materiaalmodellen.

Kruip Spanningsrelaxatie

Maxwell

(E = 1,η = 1)

Kelvin-Voigt

(E = 1,η = 1)

Boltzmann

(E1 = 1,η1 = 1,E2 = 1)

Zener

(E1 = 1,η1 = 1,E2 = 1)


S(t) =

∫ t

02G(t− s)e ds (2.76)

p(t) = −∫ t

0K(t− s)εvol ds (2.77)

De volumerek εvol en de deviatorische rek e die in de bovenstaande uitdrukkingen voorkomen

worden gedefinieerd als:

εvol =

3∑i=1

εii (2.78)

e = εεε− 1

3εvolI (2.79)

G(t) en K(t) zijn de Prony-reeksen zoals geıntroduceerd in vergelijkingen 2.74 en 2.73. Ten

behoeve van de eenvoud herleiden we G(t) tot een eerste-orde reeks en K(t) tot een nulde-orde

reeks:

G(t) = G0

(1− g1

(1− e−

tτ1

))(2.80)

K(t) = K0 (2.81)

We kunnen dan de deviatorische spanning S herschrijven als:

S(t) = 2G0(e− g1e1) (2.82)

De rek e1 wordt gevat in de volgende uitdrukking:

e1 =

∫ t

0

(1− e

s−tτ1

) de

dsds (2.83)

e1 wordt ook wel de kruiprektensor genoemd.

Stap twee: Transformatie van de constitutieve vergelijking naar een incrementele

vergelijking

Om de implementatie van het materiaalmodel mogelijk te maken moeten we de constitutieve

vergelijkingen omzetten naar een discrete benadering. We bepalen de uitdrukking voor S op

het tijdstip tn+1 uitgaande van de vervormingstoestand en van het materiaal op het tijdstip

tn. De integraaluitdrukking voor de kruiprek e1 op het tijdstip tn+1 kan via definitie 2.83

geschreven worden als:

en+11 =

∫ tn+1

0

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds =

∫ tn

0

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds+

∫ tn+1

tn

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds


Met tn+1 = tn + ∆t kan de term binnen de integraal verder uitgewerkt worden:

1− es−tn+1

τ1 = 1− e∆tτ1 + e

∆tτ1

(1− e

s−tnτ1

)We nemen als benadering dat e lineair varieert tussen tn en tn+1. De factor de

ds in de laatste

integraal kan dan benaderd worden als ∆e∆t .

en+11 =

(1− e−

∆tτ1

)∫ tn

0

de

dsds+ e

−∆tτ1

∫ tn

0

(1− e

s−tnτ1

)de

dsds+

∆e

∆t

∫ tn+1

tn

(1− e

s−tn+1

τ1

)ds

De eerste integraal is de deviatorische rek op het tijdstip tn en schrijven we als en. In de tweede

integraal herkennen we de uitdrukking voor de kruiprek en1 op het tn. De laatste integraal

heeft als oplossing ∆t + τ1(e−∆t/τ1 − 1). Met ∆e1 = en+11 − en1 verkrijgen we uiteindelijk de

volgende benadering voor het increment van de kruiprek:

∆e1 =τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

)∆e +

(1− e−

∆tτ1

)(en − en1 ) (2.84)

Eens ∆e1 gekend is kan Sn+1 bepaald worden via de volgende uitdrukking:

∆S = 2G0 (∆e− g1∆e1) (2.85)

Sn+1 = Sn + ∆S (2.86)

Naast een uitdrukking voor de spanning is ook de uitdrukking voor de Jacobiaan ∂∆σ/∂∆εεε

vereist voor de implementatie in de user subroutine UMAT.

∂∆σ

∂∆εεε=∂∆S

∂∆e

∂∆e

∂∆εεε− ∂∆pI

∂∆εεε

∆e = ∆εεε− 1

3∆εvolI (2.87)

De termen termen van de Jacobiaan zijn dan gelijk aan:

∂∆σii∂∆εii

=2

3

(2G0

(1− g1

τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

)))+K0 (2.88)

∂∆σii∂∆εjj

= K0 i 6= j (2.89)

∂∆σii∂∆γij

= G0

(1− g1

τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

))i 6= j (2.90)

De overige termen van de Jacobiaan zijn gelijk aan nul. In 2.90 stelt γij de engineering shear

strain voor (γij = 2εij).


Stap drie: Implementatie van de constitutieve vergelijkingen

De bovenstaande uitdrukkingen voor de kruiprek, de spanningstensor en de Jacobiaan kunnen

nu geımplementeerd worden in de user subroutines UMAT of VUMAT. Deze subroutines

worden gecodeerd in de FORTRAN-programmeertaal. Voor meer uitleg over de implementatie

van een user subroutine verwijs ik naar de bijlage A.

Hoofdstuk 3

Biodegradeerbare polymeren

In dit hoofdstuk geef ik een overzicht van enkele biodegradeerbare polymeren die in aanmer-

king komen bij het ontwerp van biodegradeerbare polymeerstents. De belangrijkste klasse van

biodegradeerbare polymeren is die van de biodegradeerbare polyesters. In de literatuur wor-

den de begrippen biodegradeerbaar, bioresorbeerbaar, bioabsorbeerbaar en bio-erodeerbaar

vaak dooreen gebruikt. Deze termen hebben nochtans verschillende betekenissen. Om ver-

warring te vermijden worden de verschillende definities (Woodruff & Hutmacher (2010)) in

de onderstaande sectie verduidelijkt.

3.1 Biodegradeerbare, bioresorbeerbare, bioabsorbeerbare en

bio-erodeerbare polymeren

Naargelang de degradatiemechanismen en de biocompatibiliteit kunnen biopolymeren opge-

deeld worden in vier types (Woodruff & Hutmacher (2010)).

Biodegradeerbare polymeermaterialen worden afgebroken in vivo als gevolg van ma-

cromoleculaire degradatie. Er zijn echter geen tekenen dat de degradatieproducten verwij-

derd worden uit het lichaam (deze definitie sluit degradatie in het milieu door schimmels en

bacterien uit). Het polymeermateriaal wordt gedegenereerd door aanvallen van biologische

elementen. De afvalproducten kunnen verwijderd worden van de degradatieplaats maar niet

noodzakelijk uit het lichaam.

De term ’biodegradeerbaar’ wordt echter meestal in een ruimere betekenis gebruikt, namelijk

voor ieder materiaal dat op een biocompatibele wijze in vivo kan degraderen.

Bioresorbeerbare polymeermaterialen worden afgebroken door bulkdegradatie en wor-

den geresorbeerd in vivo. De degradatieproducten worden opgenomen en uit het lichaam

verwijderd via de biologische mechanismen. Bioresorbeerbaar is dus een begrip dat de volle-

dige eliminatie van het polymeermateriaal omvat en waarbij de degradatiebijproducten geen

residuele neveneffecten veroorzaken.

Bio-erodeerbare polymeren verschillen van bioresorbeerbare polymeren doordat zij de-

25

Hoofdstuk 3. Biodegradeerbare polymeren 26

graderen via oppervlaktedegradatie. De degradatieproducten worden ook volledig verwijderd

uit het lichaam via de biologische paden.

Bioabsorbeerbare polymeermaterialen kunnen worden opgenomen in het lichaam door

oplossing in de lichaamsvloeistoffen zonder dat het polymeer zelf degradeert door ketenbreuk

of enige afname in moleculaire massa. Een voorbeeld is de langzame afgifte van wateroplosbare

polymeren. Een bioabsorbeerbaar polymeer kan bioresorbeerbaar zijn als de gedispergeerde

macromolecules uit het lichaam geexcreteerd worden.

3.2 Belangrijkste klasses biodegradeerbare polymeren

3.2.1 Biodegradeerbare polyesters

De overgrote meerderheid van de ontwikkelde biodegradeerbare polymeren behoort tot de

klasse van de polyesters. Een polyestermolecule bestaat uit een keten van esterverbindingen.

Deze polymeerketen is het gevolg van ofwel de polycondensatie van een dicarbonzuur met een

diol ofwel van de polycondensatie van een groot aantal organische moleculen die zowel een

zuurgroep als een alcoholgroep bezitten. Niet-enzymatische degradatie van polyesters gebeurt

in een waterige omgeving door hydrolyse van de esterverbindingen.

Polyglycolide, polylactide en hun copolymeren

Polyglycolide (PGA) is een thermoplastisch materiaal met een hoge kristalliniteit (46-50%)

(Gunatillake & Adhikari (2003)). PGA heeft een glastransitietemperatuur van 31◦C en een

smeltpunt van 225◦C. Vanwege de hoge kristalliniteit is het polymeer onoplosbaar in de

meeste organische solventen, met uitzondering van sterk gefluorineerde organische solven-

ten zoals hexafluoro-isopropanol. De synthese van PGA gebeurt meestal door ringopenings-

polymerisatie van het cyclische dimeer glycolide, waarbij zowel oplossingspolymerisatie als

bulkpolymerisatie kunnen toegepast worden. PGA wordt via hydrolytische degradatie af-

gebroken tot glycolzuur, een natuurlijk metaboliet. Het glycolzuur wordt in het lichaam

verder afgebroken tot water en koolstofdioxide. Een belangrijke biomedische toepassing van

PGA is bioresorbeerbare hechtingsdraden. De degradatietijd van PGA in vivo bedraagt 6 tot

12 maanden. PGA heeft goede mechanische eigenschappen met een elasticiteitsmodulus tot

7 GPa. Het polymeer biedt dus mogelijkheden voor gebruik in bioresorbeerbare stents. De

structuurformules voor glycolide, polyglycolide en glycolzuur staan weergegeven in tabel 3.1.

Het biodegradeerbaar polyester polylactide of polymelkzuur (PLA) heeft drie isomere vormen:

poly(L)lactide, poly(D)lactide en de racemische vorm poly(D,L)lactide (Gunatillake & Adhi-

kari (2003)). Voor de meeste biomedische toepassingen wordt de isomere vorm poly(L)lactide

(PLLA) gebruikt omdat de degradatieproducten van PLLA het best gemetaboliseerd wor-

den in vivo. PLA wordt gesynthetiseerd door ringopeningspolymerisatie van het cyclische

dimeer lactide. Het degradatieproduct van PLA is melkzuur dat gemetaboliseerd wordt in


Tabel 3.1: Het cyclisch dimeer glycolide, het polymeer PGA en zijn degradatieproduct glycolzuur.

glycolide polyglycolide glycolzuur

het lichaam. De structuurformules voor lactide, polylactide en melkzuur staan weergegeven

in tabel 3.2. PLA is hydrofober dan PGA en dus resistenter tegen hydrolyse en dat vertaalt

zich in een langere degredatietijd van meer dan twee jaar voor PLLA en 12 tot 16 maanden

voor PDLLA. Met een elasticiteitsmodulus van 3 GPa is het een materiaal dat zich uitste-

kend leent tot gebruik in bioresorbeerbare hechtingsdraden. De Igaki-Tamai en de Abbott

Vascular BVS biodegradeerbare stents zijn vervaardigd uit PLA (Onuma et al. (2011)) (zie

ook 1.3.1). Er bestaat een breed spectrum aan poly(lactide-co-glycolide) copolymeren. Hoe

groter het aandeel van het glycolide monomeer in het copolymeer, hoe groter de hydrofiliciteit

van het polymeer en hoe korter de degradatietijd. Doordat de copolymeren niet-kristallijn

zijn, zijn hun degradatietijden langer dan die van de respectievelijke enkelvoudige polymeren.

De degradatietijden voor de copolymeren varieren tussen een en zes maanden.

Poly-ε-caprolacton

PCL wordt gesynthetiseerd via ringopeningspolymerisatie van het cyclische monomeer ε-

caprolacton. Tin(II)-ethylhexanoaat is een katalysator voor deze reactie. Door gebruik te

maken van laagmoleculaire alcoholen kan de polymerisatiegraad gecontroleerd worden. De

polymerisatiereactie is weergegeven in figuur 3.1 (Woodruff & Hutmacher (2010)).

Tabel 3.2: Het cyclisch dimeer lactide, het polymeer PLA en zijn degradatieproduct melkzuur.

lactide polylactide melkzuur


Figuur 3.1: Ringopeningspolymerisatie van ε-caprolacton.

PCL is een semi-kristallijn polymeer met een glastransitietemperatuur Tg van -60 °C en een

smeltpunt dat varieert van 59 tot 64 °C afhankelijk van de kristalliniteit. De moleculaire

massa van het polymeer kan gaan van 3000 tot 80000 g/mol. PCL is oplosbaar in chloroform,

dichloromethaan, benzeen, tolueen, cyclohexaan en 2-nitropropaan bij kamertemperatuur.

Het is moeilijk oplosbaar in aceton, 2-butanon, ethylacetaat, dymethylformamide en acetoni-

trile en is onoplosbaar in alcohol, petroleumether en diethylether (Woodruff & Hutmacher

(2010)).

PCL-materialen kunnen in het milieu afgebroken worden door organismen zoals schimmels en

bacterien. Ze zijn echter in de strikte betekenis niet biodegradeerbaar in vivo: wegens gebrek

aan de nodige enzymen wordt PCL niet op biologische wijze afgebroken in het lichaam van

dieren en mensen. PCL is wel bioresorbeerbaar omdat de polymeerketens worden afgebroken

via het relatief trage proces van hydrolytische degradatie. Hydrolytische degradatie van po-

lyesters kan gebeuren via bulk- of via oppervlaktedegradatie. Is de oplosbaarheid van water

in het polymeer relatief hoog en de degradatiesnelheid relatief klein dan degradeert het po-

lymeer via bulkdegradatie. Water dringt door tot in de bulk van het polymeer en zorgt voor

de hydrolytische splijting van de polymeerketens. Dit zorgt voor een geleidelijke algemene

afname van de moleculaire massa. Is de oplosbaarheid voor water in het polymeer klein en

de degradatiesnelheid relatief groot dan degenereert het polymeer via oppervlaktedegradatie.

Dit resulteert over het algemeen in een afname van het volume polymeermateriaal zonder

significante afname van de moleculaire massa van het polymeer. Het voordeel van dit type

polymeermaterialen is de voorspelbaarheid van het degradatieproces. Dergelijke types poly-

meren worden dan ook aangewend als vehikels voor de gecontroleerde afgifte van medicijnen.

Het homopolymeer PCL heeft een degradatietijd in vivo van twee a vier jaar afhankelijk van

het moleculair gewicht en is daarmee een van de langzamer degraderende bioresorbeerbare

polyesters. Aangezien de diffusie van water in de polymeermatrix vele grootteordes sneller

verloopt dan ketenbreuk door hydrolyse verloopt de degradatie van PCL via bulkdegrada-

tie. Experimenten hebben aangetoond dat de fysische vorm van het polymeermateriaal geen

invloed heeft op de degradatiesnelheid, hetgeen de hypothese van homogene bulkdegradatie


ondersteunt. Er zijn geen tekenen dat de degradatiereactie van PCL zou versneld worden door

autokatalyse. De degradatie van PCL in vivo kan opgedeeld worden in twee fasen: in de eerste

fase die het grootste deel van de degradatieperiode in beslag neemt worden de polymeerketens

afgebroken door de non-enzymatische hydrolyse van de estergroepen. De degradatie verloopt

gelijkaardig aan de degradatie van het polymeer bij 40°C in vitro en vertoont een eerste-orde

kinetiek. In een tweede fase, als de polymeerketens een voldoende laag moleculair gewicht

hebben bereikt (kleiner dan 3000), kan het polymeer intracellulair afgebroken worden.

Polypropyleenfumaraat

Het bekendste polyester op basis van fumaarzuur is polypropyleenfumaraat (PPF). Het is

het resultaat van de polycondensatie van fumaarzuur en propyleenglycol. Door hydrolytische

degradatie worden opnieuw de uitgangsproducten fumaarzuur en propyleenglycol gevormd.

Fumaarzuur komt van nature in het lichaam voor als onderdeel van de Krebscyclus (Gunatil-

lake & Adhikari (2003)). Propyleenglycol wordt vaak toegepast als diluent in geneesmiddelen.

De synthesereactie van PPF wordt geıllustreerd in figuur 3.2. Zoals te zien is in deze figuur

bevat de repeating unit van de polymeerketen een dubbele binding die kan gebruikt worden

om de polymeerketens te crosslinken. Het blijkt moeilijk om PPF te produceren met een mo-

leculair gewicht groter dan 1500 g/mol. Daarom is vernetting van het polymeer noodzakelijk

om goede mechanische karakteristieken te verkrijgen. De elasticiteitsmodulus van het poly-

meer onder compressie bereikt waarden tot 30 MPa. Voor biomedische toepassing gebruikt

men het polymeer meestal als composietmateriaal in combinatie met een keramisch materiaal

zoals β-tricalciumfosfaat.

Figuur 3.2: Synthesereactie van polypropyleenfumaraat.


3.2.2 Polyanhydrides

De polyanhydrides vormen een klasse van biodegradeerbare polymeren die quasi uitsluitend

gebruikt worden in biomedische en farmaceutische toepassingen. De polyahydrides worden

gekenmerkt door hun excellente biocompatibiliteit en uitstekende karakteristieken voor de

gecontroleerde afgifte van medicijnen. Polyanhydrides degraderen via oppervlaktedegradatie,

hetgeen ze erg geschikt maakt voor de gecontroleerde afgifte van geneesmiddelen. Voor een

gekende vorm en volume van het materiaal kan de degradatietijd nauwkeurig voorspeld wor-

den. Door dicarbonzuren of een mengsel van dicarbonzuren met elkaar te laten reageren in

de smelt verkrijgt men de polyanhydrydeketens. Het reactiemechanisme wordt schematisch

weergegeven in figuur 3.3. De polyanhydrydes hebben beperkte mechanische eigenschappen

(met een elasticiteitsmodulus van de grootte 1 MPa) hetgeen ze ongeschikt maakt voor belas-

tingsdragende toepassingen, zoals bijvoorbeeld in een bioresorbeerbare stent.

Figuur 3.3: Synthesereactie van polyanhydrides.

3.2.3 Polycarbonaten

Bioresorbeerbare polycarbonaten afgeleid van het aminozuur tyrosine hebben goede mecha-

nische karakteristieken en een dergelijk polymeer wordt ook gebruikt in de REVA bioresor-

beerbare polymeerstent (zie ook 1.3.1). Polycarbonaten ontstaan door polymerisatie van

monomeren met twee fenolgroepen met behulp van fosgeen. Tyrosine wordt eerst omgezet

in een monomeer met twee fenolgroepen waarna het samen met fosgeen en dichloormethaan

polymeriseert tot het tyrosine gebaseerde polycarbonaat. De structuurformules van tyro-

sine en een poly(tyrosine)carbonaat staan weergegeven in tabel 3.3. Het polymeer heeft drie


mogelijke bindingen die gehydrolyseerd kunnen worden: de amide-, de ester- en de carbo-

naatverbindingen. De hydrolyse van de carbonaatgroep gaat het snelst terwijl de hydrolyse

van de amidegroep niet vastgesteld werd in vitro. Door de R-groep in de structuurformule

voor poly(tyrosine)carbonaat te wijzigen kunnen de mechanische eigenschappen en de degra-

datiesnelheid aangepast worden. De degradatieproducten zijn tyrosine, CO2 en alcoholen.

Poly(tyrosine) carbonaten hebben een lange degradatietijd. De degradatietijd van de biore-

sorbeerbare REVA-stent is twee jaar of langer.

3.2.4 Poly(ortho-esters)

De poly(ortho-esters) zijn een andere klasse van biodegradeerbare polymeren die voldoende

mechnanische sterkte hebben om te kunnen toegepast worden in orthopedische toepassingen.

De poly(ortho-esters) degraderen via oppervlaktepolymerisatie. De degradatiesnelheid hangt

af van het aantal lactidesegmenten in de polymeerketen.

3.2.5 Polyurethanen

De stabiele polyurethanen (PUR) vormen een belangrijke klasse van synthetische elastome-

ren die vanwege hun biocompatibiliteit gebruikt worden in een grote varieteit aan medische

implantaten, gaande van pacemakers tot vasculaire grafts. Een polyurethaan ontstaat door

polycondensatie van een diisocyanaat met een diol. Voor elastomere PUR wordt uitgegaan

van een polyester of een polyether met twee eindstandige hydroxylgroepen (Du Prez (2008)).

Het polymere diisocyanaat reageert vervolgens met een diol of een diamine. Indien naast het

diol ook een geringe hoeveelheid polyol (vb. glycerol) wordt toegevoegd ontstaat een polyure-

thaannetwerk (figuur 3.4). Bioresorbeerbare PU kunnen verkregen worden door introductie

van functionele groepen in de polymeerketen die degradeerbaar zijn in een biologische om-

geving. Het grootste probleem bij bioresorbeerbare polyurethanen is de toxiciteit van de

degradatieproducten, voornamelijk vanwege de diisocyanaatcomponenten. Bioresorbeerbaar

PUR op basis van lysinediisocyanaat (LDI) en poly(glycolide-co-γ-caprolacton) bereikt een

treksterkte van 40 MPa en heeft een degradatietijd van een tot twee maanden.


Tabel 3.3: Het cyclisch dimeer lactide, het polymeer PLA en zijn degradatieproduct melkzuur.

tyrosine

poly(tyrosine)carbonaat

Figuur 3.4: Synthesereactie van polyurethanen.

Hoofdstuk 4

Degradatie en erosie

Biodegradeerbare polyesters zoals polymelkzuur (PLA) en poly-ε-caprolacton degraderen via

hydrolyse van de esterverbindingen. Degradatie grijpt dus enkel plaats daar waar water

in het polymeer is ingedrongen. De degradatiesnelheid zal dus afhankelijk zijn van zowel

de diffusiecoefficient voor water in het polymeer als van de reactiesnelheidsconstante voor

hydrolytische ketenbreuk van het polymeer.

4.1 Hydrolytische degradatie van polymeren

4.1.1 Analytische uitwerking van een eenvoudig model voor hydrolytische

degradatie

Veronderstel dat de absorptie van water in het polymeer onafhankelijk is van de moleculaire

massa van de polymeerketens en dus onafhankelijk is van de degradatiegraad. Diffusie en de-

gradatie kunnen dan gemodelleerd worden als twee onafhankelijke fenomenen. Veronderstel

dat de degradatiesnelheid evenredig is met de concentratie water c in het polymeer, met snel-

heidsconstante β. De degradatiesnelheid kunnen we voorstellen als de afname in moleculair

gewicht W van het polymeer:

W (c) = −βc (4.1)

De concentratie water c in het polymeer voldoet aan de volgende continuıteitsvergelijking, de

tweede wet van Fick:

c = α∇2c (4.2)

Hierbij is α de diffusiecoefficient van water in het polymeer, met α dus onafhankelijk van W .

Er wordt dus ook verondersteld dat de concentratie niet beınvloed wordt door het wegreageren

van het water bij de hydrolysereactie. Als voorbeeld zoek ik nu de analytische oplossing voor

een eenvoudig degradatievraagstuk. Hier grijpt degradatie plaats in de bulk van een polymeer.

33

Hoofdstuk 4. Degradatie en erosie 34

Het polymeer heeft een vlak oppervlak en de bulk strekt zich uit tot in het oneindige (de z-

richting). Aan het oppervlak is er een waterconcentratie c0 aanwezig. Water diffundeert door

de polymeerbulk en de waterconcentratie voldoet aan de continuıteitsvergelijking 4.2:

∂c

∂t= α

∂2c

∂z2(4.3)

De randvoorwaarden opgelegd aan deze vergelijking zijn:

c(t = 0, z) = 0 ∀z ∈ [0,∞)

c(t→∞, z) = c0 ∀z ∈ [0,∞) (4.4)

c(t, z = 0) = c0 ∀t ∈ [0,∞)

Oplossing van het diffusievraagstuk

De differentiaalvergelijking 4.3 met randvoorwaarden 4.4 heeft een analytische oplossing. De

vergelijking wordt opgelost door het invoeren van de dimensieloze parameters φ en η volgens:

φ =c

c0(4.5)

η =z√4αt

(4.6)

Hierbij geldt dat:

∂φ

∂t=∂φ

∂η

∂η

∂t= − 1

2tηφ′ (4.7)

∂2φ

∂z2=∂2φ

∂η2

∂η2

∂z2= − 1

4αtφ′′ (4.8)

φ′ en φ′′ staan respectievelijk voor de eerste en de tweede afgeleide van φ naar η. De con-

tinuıteitsvergelijking van Fick 4.3 kan dan herschreven worden als:

φ′′ + 2ηφ′ = 0 (4.9)

φ = 0, η =∞φ =∞, η = 0

(4.10)

De oplossing van deze vergelijking wordt gegeven door de complementaire errorfunctie φ(η) =

erfc(η) zodat de uiteindelijke oplossing kan geschreven worden als:

c(t, z) = c0erfc(z√4αt

) (4.11)


Het verloop van de moleculaire massa van het polymeer op een afstand z van het oppervlak

als functie van de tijd kan nu berekend worden uitgaande van 4.1:

W (t, z) = W0 − βc0

∫ t

0erfc(

z√4αs

)ds (4.12)

Bovenstaand oplossing is slechts geldig indien het polymeer nergens volledig gedegradeerd is,

dus voor t ∈ [0,W0/(βc0)]. Het verloop van c/c0 en W/W0 staat weergegeven in de figuren

4.1 en 4.2.

Figuur 4.1: Verloop van de concentratie als functie van de afstand tot het polymeeroppervlak voor

verschillende tijdstippen (α = 1).

4.1.2 Numerieke uitwerking van een eenvoudig model voor hydrolytische

degradatie

De bovenstaande analytische oplossing voor dit eenvoudige degradatievraagstuk heeft wel en-

kele ernstige beperkingen. De grootste beperking is dat de oplossing ophoudt van zodra het

moleculair gewicht van het polymeer aan het oppervlak de waarde nul heeft bereikt. Boven-

dien veronderstelt het model dat de diffusiecoefficient α onafhankelijk is van het moleculair

gewicht van het polymeer. Om dergelijke factoren in rekening te brengen is een numerieke


Figuur 4.2: Verloop van het moleculair gewicht als functie van de afstand tot het polymeeroppervlak

voor verschillende tijdstippen (α = 1, β = 1).

oplossing van het vraagstuk noodzakelijk. Daarom discretiseren we het vraagstuk. De z-as

wordt opgedeeld in gelijke stukjes met lengte ∆z. Het tijdsincrement noemen we ∆t. We

kunnen ∂2c/∂z2 benaderen als:

∂2c

∂z2→ c(t, z + ∆z)− 2c(t, z) + c(t, z −∆z)

∆z2(4.13)

De concentratie op het tijdstip t+ ∆t volgt dan uit:

c(t+ ∆t, z) = c(t, z) + αc(t, z + ∆z)− 2c(t, z) + c(t, z −∆z)

∆z2∆t (4.14)

De waarde voor W (t, z) kan berekend worden door middel van:

W (t, z) = W0 − β∑s

c(s, z)∆t (4.15)

De randvoorwaarde is dat de concentratie aan het oppervlak c0 is. Het oppervlak bevindt

zich daar waar de moleculaire massa een kritische waarde Wth bereikt heeft. We voeren de

berekening uit tot op een afstand L vanaf het polymeeroppervlak, met L een veelvoud van

∆z. De laplaciaan op positie L benaderen we als:


∂2c

∂z2(t, L)→ c(t, L)− 2c(t, L−∆z) + c(t, L− 2∆z)

∆z2(4.16)

Deze benadering is enkel geldig voor L voldoende groot. Indien het gebied z ∈ [0, a] moet on-

derzocht worden, kies dan L ≥ 4a. Het algoritme wordt hieronder weergegeven in MATLAB-

code:

int=0;

iopp=1;

for j=1:T/dt

for i=2:NZ*L

if W(i)<Wth

iopp=i;

end

c(iopp)=c0;

d2c(i)=(c(i+1)-2*c(i)+c(i-1))*NZ^2;

end

d2c(NZ*L+1)=d2c(NZ*L);

dc=alpha*d2c*dt;

c=c+dc;

int=int+c*dt;

W=W0-beta*int;

end

W(1:iopp-1)=0;

Het resultaat van een berekening met α = 1 en β = 1 en met Wth = 0 is weergegeven in figuur

4.3. De volle lijnen stellen het verloop van de moleculaire massa als functie van de afstand tot

het polymeeroppervlak voor. De gebroken lijnen stellen het verloop van de waterconcentratie

in het polymeer voor.

Dit eenvoudige model laat ons ook toe om kwantitatief de invloed van de parameters α en β

op het polymeerdegradatietype (oppervlakte- of bulkdegradatie) aan te tonen. Voor α � β

vertoont het polymeer oppervlaktedegradatie. Water kan dan niet diep in het polymeer

binnendringen en degradatie grijpt enkel plaats in een dunne zone nabij het oppervlak (groene

curve in figuur 4.4). Het degradatieoppervlak verplaatst zich in de positieve z-richting. Als

α � β dan vertoont het polymeer bulkdegradatie. Water kan homogeen diffunderen in het

polymeer voordat degradatie plaatsgrijpt. Het moleculair gewicht neemt gelijkmatig af in de

gehele bulk van het polymeer. Er is geen degradatieoppervlak en eenmaal de kritische waarde

Wth bereikt is verdwijnt het polymeer volledig (blauwe curve in figuur 4.4). De verschillende

types degradatie worden kwantitatief geıllustreerd in figuur 4.4 voor verschillende waarden

van α en β op het tijdstip t = 1.0.

Hieronder staat het degradatieverloop weergegeven voor een polymeerfilm met dikte 2L aan

weerszijden omringd door een waterconcentratie c0. Het polymeer lost op indien W de kritieke



voor verschillende tijdstippen (α = 1, β = 1).

waarde Wth = 0.2W0 bereikt heeft. De berekening werd uitgevoerd voor een hypothetisch

polymeer dat degradeert via bulkdegradatie (α = 1.0, β = 0.1) en een polymeer dat degradeert

via oppervlaktedegradatie (α = 0.1, β = 10.0). De resultaten worden getoond in figuren 4.5

en 4.6.

In figuur 4.5 neemt de moleculaire massa van het polymeer gestaag af over het volledige

volume van de bulk. Eenmaal de kritieke waarde Wth bereikt is op t = 8.0 neemt de dikte

van de polymeerfilm snel af om uiteindelijk volledig te verdwijnen op t = 8.5.

In figuur 4.6 neemt de dikte van het polymeer gestaag af. Het polymeer blijft onaangetast

in het midden van de film tot op t = 0.6. Daarna neemt ook de moleculaire massa in het

midden van de film snel af zodanig dat de film volledig verdwenen is op t = 0.95.

4.2 Oppervlaktedegradatiemodel voor bio-erodeerbare meta-

len

In het artikel A Corrosion Model for Bioabsorbable Metallic Stents (Grogan et al. (2011))wordt

een model voorgesteld voor de degradatie van biodegradeerbare metallische stents. Degradatie



voor verschillende combinaties van α en β op het tijdstip t = 1.0.

wordt in dit model gekarakteriseerd door de scalaire schadeparameter D. Corrosie is een

oppervlaktefenomeen dus degradatie is enkel aanwezig in de elementen die aan het oppervlak

gelegen zijn. Als de schadeparameter D de waarde een bereikt heeft wordt het element

verwijderd uit de mesh en wordt het onderliggende element een oppervlakte-element. Naast

de algemene degradatie is het model ook voorzien om pitting corrosie te modelleren.

4.2.1 Evolutie van degradatie

De oppervlakte-elementen zijn onderhevig aan degradatie. De degradatie is een nulde-orde

reactie met snelheidsconstante kU .

∂De

∂t=δULeλekU (4.17)

De parameters Le en δU zijn karakteristieken van de eindige elementenmethode. Le is de

karakteristieke lengte van een element en wordt in de user subroutine VUMAT gegeven door

charLength. δU is een materiaalkarakteristiek en wordt in het artikel gelijk genomen aan de

gemiddelde korrelgrootte van de metaallegering en is 0.017 mm. λe is een extra parameter die

de pitting corrosie bepaalt. Initieel wordt aan ieder element van het oppervlak at random een


Figuur 4.5: Verloop van het moleculair gewicht in een polymeerfilm met een oppervlak initieel gelegen

op positie z = 0 en met midden op positie z = 1, op verschillende tijdstippen (α = 1.0,

β = 0.1).

pitting parameter λe toebedeeld. De waarde van λe is verdeeld volgens een Weibull-distributie

met parameter γ gelijk aan vijf.

P [a ≤ λe ≤ b] =

∫ b

af(x) dx (4.18)

Met f(x) de Weibull-waarschijnlijkheiddichtheidsfunctie:

f(x) = γ xγ−1 e−xγ

(4.19)

Als de degradatieparameter de waarde een bereikt heeft wordt het element uit de mesh ver-

wijderd. Dit kan als de optionele parameter DELETE aanschakelt bij de *DEPVAR optie in

de Abaqus input file.

*DEPVAR, DELETE=2

Nu wordt de deletion flag gelezen uit SDV2, de tweede toestandsvariabele. Als het element

actief is moet deze flag gelijk zijn aan een. Het element wordt verwijderd als de deletion flag


Figuur 4.6: Verloop van het moleculair gewicht in een polymeerfilm met een oppervlak initieel gelegen

op positie z = 0 en met midden op positie z = 1, op verschillende tijdstippen (α = 0.1,

β = 10.0).

gelijk is aan nul. Als een element verwijderd wordt uit een oppervlak moet het onderliggende

element aan dat oppervlak toegevoegd worden. Stel dat λn de pitting parameter was van het

verwijderde element, dan krijgen de aangrenzende elementen een nieuwe pitting parameter

λe die zich tot λn verhoudt volgens:

λe = β λn (4.20)

Als β groter is dan een dan wordt de pitting corrosie versneld, is β kleiner dan een dan wordt

de pitting corrosie juist afgeremd.

4.2.2 Invloed van de schadeparameter D op de spanningstoestand

De waarde van de spanningstoestand in een element met schadeparameter D wordt gedefini-

eerd volgens:

σij =σij

1−D(4.21)


In de FORTRAN -code zal dat weergegeven worden door

do k1=ndir+nshr

stressNew(k1) = stressOld(k1)/(one+stateNew(1))

end do

en dit indien de geupdatete schadeparameter De als de eerste toestandsvariabele SDV1 op-

geslagen wordt. Dit model voor de invloed van de schadeparameter is naar analogie met een

balk die in de langsrichting belast wordt met een spanning σ. Indien A0 de initiele doorsnede-

oppervlakte van de balk is en A de nieuwe doorsnede dan zou de schadeparameter kunnen

gedefinieerd worden als:

De =A0 −AA0

(4.22)

4.2.3 Elementeninterconnectiviteit in een VUMAT

Om een nieuw oppervlak te definieren en om de nieuwe pitting parameters toe te kennen aan

de juiste elementen is kennis nodig over de interconnectiviteit van de elementen. Hiervoor

moeten in de eerste tijdstap de oppervlakte elementen en de knopen opgeslagen worden in

FORTRAN common block . In de volgende tijdstappen moeten deze blocks dan geudatet

worden.

4.3 Invloed van de mechanische omgeving op de degradatie

van polymeren

Uit experimenten met bioresorbeerbare hechtingsdraden is gebleken dat mechanische vervor-

ming van biodegradeerbare polymeren hydrolytische degradatie versnelt. De eerste studies

over het effect van een aangelegde rek op de degradatie van polyglycolide hechtingsdraden

werden uitgevoerd door Miller & Williams (1984). Hechtingsdraden werden uitgerokken on-

der 25 en 50% van de rek bij breuk. De degradatie werd na twee of drie weken geevalueerd

als de afname van de treksterkte σT . De draden die het sterkst vervormd waren verloren het

snelst hun mechanische sterkte. Chu (1985) onderzocht eveneens de invloed van mechanische

vervorming op de hydrolytische degradatie van alifatische polyesters zoals polylactide, polygy-

colide en poly(lactide-co-glycolide) copolymeren. Draden met een opgelegde rek degradeerden

sneller dan de onbelaste polymeerdraden. Zhong (1993) voerde gelijkaardige experimenten uit

op 10-90% poly(lactide-co-glycolide) hechtingsdraden met versnelde degradatie met behulp

van waterstofperoxide. Zij concludeerden dat de degradatie onder rekbelasting veel sneller

verliep dan in onbelaste toestand. da Silva Soares (2008) voerde degradatie-experimenten uit

op PLLA-hechtingsdraden onder verschillende rekbelastingen. De resultaten wezen eveneens

in de richting van een versnelde degradatie onder belasting, vooral bij de sterkst gerokken


draden. Het is dus duidelijk dat ook de mechanische omgeving in rekening moet gebracht

worden bij de modellering van hydrolytische degradatie.

4.3.1 Constitutief model voor de degradatie van biopolymeren

da Silva Soares (2008) ontwikkelde in zijn doctoraatsthesis een algemeen raamwerk voor de

modellering van hydrolytische degradatie van biopolymeren. In dit model staat de invloed van

de mechanische omgeving op de degradatiesnelheid centraal. Degradatie wordt gekarakteri-

seerd door de scalaire parameter d die een waarde heeft gelegen tussen 0 (niet gedegradeerd)

en 1 (volledig gedegradeerd). De degradatieparameter varieert in de tijd t en de positie binnen

het materiaal x.

d = d(x, t) (4.23)

Mechanische energie die overgedragen wordt op een polymeermateriaal kan op twee fysische

manieren gedissipeerd worden, namelijk het verschuiven van de polymeerketens ten opzichte

van elkaar en veranderingen in de ketenconformatie. Chemische veranderingen zoals keten-

breuk treden op wanneer voldoende energie geconcentreerd is in een segment van de macro-

molecule als gevolg van een niet-uniforme distributie van de inwendige spanningen. Verande-

ringen in de microstructuur van polymeren worden eveneens beınvloedt door thermische en

chemische omstandigheden, zoals de aanwezigheid van water voor hydrolytische degradatie.

Dit is zeker het geval bij alifatische polyesters, waar hydrolyse veruit het belangrijkste aandeel

aan degradatie levert. De diffusie van water in bioresorbeerbare polyesters verloopt meestal

grootte-ordes sneller dan de hydrolysereactie, zodat we bulkdegradatie mogen veronderstel-

len. In dit model laten we thermische degradatie buiten beschouwing en concentreren we ons

op hydrolytische degradatie en de invloed van de mechanische degradatie op hydrolyse. De

degradatiesnelheidsvergelijking kunnen we dus schrijven als:

∂d

∂t= D(d,F,σ) (4.24)

De degradatiesnelheid is afhankelijk van de ogenblikkelijke degradatietoestand en van de

mechanische toestand bepaald door de vervormingsgradient F en de inwendige spanningen σ.

De afhankelijkheid van de degradatietoestand volgt uit het feit dat langere polymeerketens

een grotere kans hebben op ketenscissie door hydrolyse dan kortere ketens. We veronderstellen

dat de degradatiesnelheid recht evenredig afneemt met toenemende degradatie:

∂d

∂t= (1− d)D(F,σ) (4.25)

De spanningstoestand van het materiaal zal op zijn beurt afhankelijk zijn van de degradatie-

toestand en de vervormingstoestand.

σ = F(F, d) (4.26)


4.3.2 Degradatie van een lineair elastische cylinder onder druk

In deze sectie beschrijf ik de ontwikkeling van een eenvoudig degradatiemodel voor een lineair

elastisch materiaal en de toepassing ervan op een cilinder onder druk. Dit model gaat uit van

drie basisveronderstellingen da Silva Soares (2008):

1. Er bestaat een scalair degradatieveld d dat lokaal en op ieder tijdstip de verhouding

bepaalt van het aantal gebroken ketenbindingen ten opzichte van het aantal oorspron-

kelijke verbindingen. Deze degradatieparameter d varieert tussen 0 (ongedegradeerde

toestand) en 1 (volledig gedegradeerde toestand).

d = d(x, t) : x ∈ κt(B) 7→ [0 1) (4.27)

Met andere woorden, het tijdsafhankelijke degradatieveld d wordt geassocieerd met de

locatie x binnen de configuratie κt(B) van het lichaam B.

2. Voor een gegeven vast niveau van degradatie gedraagt het materiaal zich als een lineair

elastische isotrope vaste stof, gekarakteriseerd door de elasticiteitsmodulus van Young

E en de modulus van Poisson ν.

σ =Eν

(1 + ν)(1− 2ν)εvolI +

E

1 + νεεε (4.28)

Hierbij is εεε de gelineariseerde rektensor en is de elasticiteitsmodulus afhankelijk van de

degradatietoestand:

E ≡ E(d) = E0(1− βd) (4.29)

3. De degradatiereactiesnelheidsvergelijking houdt rekening met de mechanische toestand

van het materiaal, bepaald door σ en εεε.

∂d

∂t= D(d,εεε,σ) (4.30)

Zoals reeds eerder vermeld veronderstellen we een inverse eerste-orde kinetiek voor de degra-

datieparameter d.

∂d

∂t=

1

τD(1− d)D(εεε,σ) (4.31)

τD kunnen we beschouwen als een degradatiesnelheidsconstante: als D(εεε,σ) ≡ 1, dan bepaalt

τD degradatiesnelheidsvergelijking volledig. Verder geldt dat D(0,0) = D0. D0/τD bepaalt de

degradatiesnelheid van het onvervormde en onbelaste materiaal. We veronderstellen D0 = 0

zodanig dat het effect van de mechanische ten volle tot uiting komt. Het model is achteraf


gemakkelijk uit te breiden naar de situatie waarbij D0 6= 0. Voor de uitdrukking van D(0,0)

moeten we een maat vinden voor de vervormings- of de spanningstoestand die onafhankelijk

is van het coordinatenstelsel of de geometrie van het materiaal. Een eenvoudig voorbeeld van

zo’n maat voor vervorming is de volumerek εvol:

εvol = tr(εεε) (4.32)

Voor quasi-onsamendrukbare materialen zoals polymeren is deze maat voor vervorming ech-

ter zeer klein. Zo is voor een onsamendrukbaar materiaal de volumerek identisch nul. De

volumerek als maat voor vervorming van polymeren is dus geen goede keuze. Zoals bespro-

ken bij de ontwikkeling van het visco-elastische materiaalmodel 2.3.5 wordt de deviatorische

rektensor εεε gegeven door:

εεε = εεε− 1

3I (4.33)

Per definitie is de eerste invariant van εεε gelijk aan nul (tr(εεε) = 0). Een onafhankelijke maat

voor de vervorming wordt gegeven door de grootte van de deviatorische rektensor εεε:

γ =√tr(εεεT εεε) (4.34)

γ wordt ook wel de distortie genoemd. We veronderstellen verder dat D(εεε,σ) = γ, zodanig

dat de degradatiesnelheid recht evenredig toeneemt met de distortie.

∂d

∂t=

1

τD(1− d)γ (4.35)

Om het degradatiemodel voor een lineair elastisch materiaal te evalueren ga ik analoog te

werk als Soares in zijn doctoraatsthesis (da Silva Soares (2008)). Hier past hij het degrada-

tiemodel toe op een cilindrische geometrie. Een cilinder met hoogte 2h, binnenstraal ri en

buitenstraal ro wordt aan de bovenzijde en de onderzijde vastgehouden. Op de binnenwand

van de cilinder wordt een druk ∆p = 0.1E0 aangelegd met E0 de initiele elasticiteitsmodulus.

Wegens de symmetrie kunnen we de randvoorwaarden voor het vraagstuk tot de volgende

situatie herleiden:

u|z=0 →

∂ur∂z = 0

uz = 0(4.36)

u|z=h →

ur = 0

uz = 0(4.37)

Als afmetingen voor de cilinder kies ik h = 4, ri = 1 en ro = 1.5. Voor de eindige-

elementenmethode delen we de axisymetrische geometrie op in 160 driehoekige elementen

en 100 knopen. De mesh wordt weergegeven in figuur 4.7.


Figuur 4.7: Opdeling van de axisymetrische geometrie van de cilinder in driehoekige elementen.

De eindige-elementenberekeningen worden uitgevoerd met behulp van Abaqus/Explicit. Er

wordt voor een quasi-statische expliciete integratiemethode gekozen. Voor de waarden van

de elasticiteitsmodulus en de modulus van Poisson kies ik ν = 0.475 en E0 = 10. Opdat de

bereking quasi-statisch zou zijn wordt er gekozen voor een kleine dichtheid ρ = 1 10−6. Om

na te gaan of aan de voorwaarde van quasi-statische expliciete benadering voldaan is leggen

we eerst een belasting op aan een niet-degraderende elastische cilinder. Het verloop van de

druk op de binnenwand in de loop van de tijd wordt gegeven door de uitdrukking:

∆p(t) =

(3t2 − 2t3)E0

10 0 ≤ t < 1

E010 1 ≤ t < 2

(1− (3(t− 2)2 − 2(t− 2)3))E010 2 ≤ t ≤ 3

(4.38)


De druk op de binnenwand wordt in een eerste stap geleidelijk opgevoerd naar de waarde

E0/10, waarna de druk wordt aangehouden op dit niveau. Tijdens een laatse stap wordt

de druk opnieuw geleidelijk afgebouwd tot nul. Indien de belasting quasi-statisch is spelen

traagheidseffecten geen rol en we verwachten dat de cilinder op het tijdstip t = 3 opnieuw de

oorspronkelijke spanningstoestand gelijk aan nul heeft. Het resultaat van de berekening met

Abaqus/Explicit is weergegeven in figuur 4.8. We zien dat de spanningstoestand inderdaad

gelijk is aan nul op t = 3. E0 en ρ zijn dus goed gekozen zodat we de opgelegde belasting

inderdaad als quasi-statisch mogen beschouwen.

Figuur 4.8: Von Mises spanning tijdens de quasi-statische expansie van een niet-degraderende cylin-

der voor verschillende tijdstippen. De spanningen worden weergegeven voor de tijdstip-

pen t = 0.5, t = 1.2, t = 2.2 en t = 3. Deze tijdstippen staan als cirkels weergegeven

op de curve die het verloop van de aangelegde druk weergeeft als functie van de tijd,

onderaan de figuur.

Om de keuze voor de distortie γ boven de volumerek εvol te funderen worden beide grootheden

geıllustreerd in figuur 4.9. De waarden van de distortie zijn groter dan die van de volumerek.

De variatie in de distortie is bovendien groter dan in de volumerek. Vandaar dat er gekozen

werd voor de distortie als drijvende kracht achter de degratie. Zoals te zien is in de figuur

verwachten we dat degradatie vooral zal plaatsgrijpen aan de binnenwand van de cilinder.


Figuur 4.9: Vergelijking van de distortie γ en de volumerek εvol als maat voor vervorming in een

cilinder onder druk.

Voor de implementatie van het lineair elastische degradatiemodel kunnen we gebruik maken

van de user subroutine VUMAT voor Abaqus/Explicit. We veronderstellen in dit model dat

het verband tussen de degradatieparameter d en de elasticiteitsmodulus E0 lineair is zoals in

vergelijking 4.29, met de parameter β = 0. Voor de discretisatie van de degradatiesnelheids-

vergelijking wordt de voorwaartse Eulermethode toegepast:

∂d

∂t=

1

τD(1− d)γ → dt+∆t = dt +

∆t

τD(1− dt)γ (4.39)

In de user subroutine VUMAT wordt de degradatieparameter opgeslagen als toestandsvaria-

bele in de arrays stateOld en stateNew . In iedere tijdstap wordt dt meegegeven in stateOld , zo-

dat we de nieuwe toestandsvariabele dt+∆t kunnen opslaan in stateNew . Na berekening van de

degradatieparameter bepalen we de nieuwe elasticiteitsmodulus als E(dt+∆t) = E0(1−dt+∆t).

De nieuwe spanningstoestand wordt opgeslagen in de array stressNew en wordt berekend door

toepassing van vergelijking 4.28 voor een lineair elastisch materiaal. In plaats van de user

subroutine VUMAT kunnen we ook de user subroutine VUSDFLD gebruiken om de degrada-

tieparameter te definieren als een scalair veld. De elasticiteitsmodulus maken we dan afhan-


kelijk van de veldwaarden. De elasticiteitsmodulus als functie van de veldparameter wordt

opgegeven via de Abaqus-input file. Beide methodes geven in principe hetzelfde resultaat.

Toegepast op de cilindergeometrie wordt een resultaat verkregen zoals weergegeven in figuur

4.10. Tijdens een eerste tijdstap werd aan de binnenwand van de cilinder een druk opgelegd

volgens (3t2 − 2t3)E010 voor 0 ≤ t ≤ 1. Tijdens deze stap werd de degradatie on hold gezet.

Degradatie startte wanneer de druk op de binnenwand de constante waarde 0.1E0 bereikt had.

De druk werd tot t = 3 aangehouden, met de waarde van de tijdsconstante τD = 10. Het

resultaat van de berekeningen is te zien in figuur 4.10. De rode gebieden wijzen op de plaatsen

waar de degradatie het verst gevorderd is, de blauwe gebieden zijn het minst gedegradeerd.

Vooral de binnenwand van de cilinder is onderhevig aan degradatie, omdat daar de grootste

vervormingen optreden.

Degradatie zorgt voor een afname van de elasticiteitsmodulus zodanig dat de cilinder verder

uitzet naarmate de degradatie vordert. Er treedt dus als het ware een soort van degradatie-

kruip op. Deze toename in vervorming is echter niet permanent: vermits de cilinder lineair

elastisch is zal de vervorming onder belasting zodanig zijn dat het materiaal terugkeert naar

de oorspronkelijke toestand indien de belasting weggenomen wordt. De radiale verplaatsing

van de binnenwand als functie van de tijd is weergegeven in figuur 4.11. Tijdens de eerste fase

is de radiale verplaatsing het gevolg van het aanleggen van de druk op de binnenwand. Tijdens

de tweede fase treedt degradatie op met als gevolg een afname van de elasticiteitsmodulus

en dus een toename van de radiale verplaatsing. Naarmate de degradatie toeneemt neemt de

radiale verplaatsing toe. Dit zorgt op zijn beurt voor een toename van de distortie zodat de

degradatiereactie versneld wordt. De toename van de distortie γ gaat sneller dan toename

van de degradatieparameter d (en dus de afname van 1 − d), zodat de degradatiesnelheid

∂d/∂t alsmaar toeneemt. In de laatste fase wordt de degradatie weer on hold gezet en wordt

de druk op de binnenwand van de cilinder afgebouwd tot nul. De vorm van de cilinder keert

terug naar zijn oorspronkelijke toestand. Het materiaal zelf is niet langer homogeen. Er zijn

nu gebieden met een hogere en een lagere elasticiteitsmodulus, zoals geıllustreerd in figuur

4.12.

Naast de vervorming als drijvende kracht achter de degradatie kunnen we ook de inwen-

dige spanningstoestand beschouwen als drijvende kracht. Een maat voor de spanningstoe-

stand onafhankelijk van het gekozen assenstelsel kan gegeven worde door de maximale schuif-

spanning τmax. De maximale schuifspanning kan berekend worden uit de hoofdspanningen

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3:

τmax =σ1 − σ3

2(4.40)

In een cilindrisch coordinatenstelsel worden σ1, σ2 en σ3 gegeven door:


Figuur 4.10: Verloop van distortiegedreven degradatie in een cilinder onder druk.

σ1 =σrr + σzz

2+√

(σrr − σ2zz) + 4σ2

rz (4.41)

σ2 = σθθ (4.42)

σ3 =σrr + σzz

2−√

(σrr − σ2zz) + 4σ2

rz (4.43)

Figuur 4.13 toont de maximale schuifspanningen τmax in de de opgeblazen cilinder. Zoals het

geval was bij de distortie γ is ook τmax het grootst aan de binnenwand van de cilinder. In

de degradatiesnelheidsvergelijking 4.31 is D(εεε,σ) = τmax. De degradatiesnelheidsvergelijking

wordt nu dus gegeven door:


∂d

∂t=

1

τD(1− d)τmax (4.44)

Analoog aan wat voorafging kunnen we ditmaal schuifspanningsgedreven degradatie in een

cilinder onder druk beschouwen. Toegepast op de cilindrische geometrie met een druk op

de binnenwand ∆p = 0.1E0 wordt een resultaat zoals in figuur 4.14 verkregen. Voor deze

berekening werd τD = 900 gekozen. τD heeft nu als dimensie spanning maal tijd. In het geval

van de distortie als maat voor vervorming heeft τD een tijdsdimensie. τmax kan dimensieloos

gemaakt worden door te delen door bijvoorbeeld de initiele elasticiteitsmodulus E0 of de

initiele schuifmodulus µ0. Figuur 4.14 toont het verloop van de radiale verplaatsing van de

binnen- en buitenwand van de cilinder ur|r=ri,z=0 en ur|r=ro,z=0 als functie van de tijd. Ook de

distributie van de degradatieparameter d als de druk op de binnenwand is weggenomen staat

weergegeven in deze figuur. Het resultaat van degradatie met de maximale schuifspanning

τmax als drijvende kracht is gelijkaardig aan dat van degradatie met de distortie γ als drijvende

kracht.

Uiteraard zijn nog vele andere uitdrukkingen te bedenken als maat voor de mechanische

toestand van het biodegradeerbare polymeer als drijvende kracht D(εεε,σ) achter hydrolytische

degradatie. Deze uitdrukkingen kunnen een maat zijn voor de vervorming, een maat voor de

inwendige spanningen of een combinatie van beide. Een realistische uitdrukking voor D(εεε,σ)

zou kunnen gegeven worden door:

D(εεε,σ) = D0(T, pH, . . .) + γτmax

µ0(4.45)

Het mechanisch model kan ook uitgebreid worden naar niet lineair elastische materialen. De

uitdrukking voor de degradatiesnelheid blijft hierbij van dezelfde vorm. Door de materi-

aalparameters al dan niet lineair te laten varieren met de degradatieparameter d kan het

materiaalmodel eenvoudig aangepast worden. Nemen we bijvoorbeeld een hyperelastisch ma-

teriaal van het type neo-Hooke dat degradeert. Het materiaalgedrag wordt beschreven door

de energiefunctie zoals voorgesteld in vergelijking 2.50. De energiefunctie heeft als parameters

C10 en D1. Het verband tussen de ogenblikkelijke elasticeitsmodulus E0 en de Poissonmodulus

ν enerzijds en de parameters C10 en D1 anderzijds wordt gegeven door:

C10 =E0

4(1 + ν)(4.46)

D1 = 61− 2ν

E0(4.47)

Het is logisch om de ogenblikkelijke elasticiteitsmodulus opnieuw lineair te laten varieren met

de degradatieparameter. De uitdrukkingen voor C10 en D1 als functie van de degradatiepa-

rameter d zouden dan gegeven worden door:


C10(d) = C010(1− d) (4.48)

D1(d) = D01

1

1− d(4.49)

Een analoge redenering kan doorgevoerd worden voor de degradatie van een visco-elastisch

materiaal. Hier kunnen we de parameters uit de Prony-reeksen Gi en Ki laten varieren als

functie van de degradatieparameter d. Voor de eenvoud kan het aangewezen zijn enkel de

eerste termen G0 en K0 uit de Prony-reeksen afhankelijk te maken van d. Deze termen

bepalen de ogenblikkelijke elastische respons. Het verband tussen G0 en K0 enerzijds en de

ogenblikkelijke elasticiteitsmodulus E0 en ν anderzijds wordt gegeven door:

G0 =E0

2(1 + ν)(4.50)

K0 =E0

3(1− 2ν)(4.51)

De uitdrukkingen voor G0 en K0 als functie van de degradatieparameter d zouden dus gegeven

kunnen worden door:

G0 = G00(1− d) (4.52)

K0 = K00 (1− d) (4.53)

De degradatiemodellen kunnen geımplementeerd worden in de user subroutine VUMAT voor

Abaqus/Explicit. Het gebruik van de user subroutine VUSDFLD voor de implementatie van

het user defined degradatieveld is weliswaar eenvoudiger in het geval van een lineair elastisch

materiaal, maar het is niet mogelijk de parameters van de in Abaqus voorgedefinieerde materi-

aalmodellen voor hyperelasticiteit en visco-elasticiteit te laten afhangen van een veldparame-

ter. Voor de meeste degradatiemodellen zullen we dus de constitutieve vergelijkingen volledig

moeten implementeren in de user subroutine VUMAT voor Abaqus/Explicit of UMAT voor

Abaqus/Standard.


Figuur 4.11: Radiale verplaatsing van de cilinderwand op ur|r=ri,z=0 en ur|r=ro,z=0 als functie van

de tijd.


Figuur 4.12: Distributie van de degradatieparameter d = E0−EE0

doorheen het materiaal van de

cilinder na degradatie onder druk.


Figuur 4.13: De maximale schuifspanning τmax als maat voor de spanningstoestand in een cilinder

onder druk.


Figuur 4.14: Verloop van de radiale verplaatsing van de binnen- en buitenwand van de

cilinderur|r=ri,z=0 en ur|r=ro,z=0 als functie van de tijd en distributie van de degrada-

tieparameter d op het tijdstip t = 4.

Hoofdstuk 5

Mechanische karakteristieken van

poly-ε-caprolacton

De bevindingen uit de voorgaande hoofdstukken over degradatie en het mechanisch gedrag

van polymeren en over het samenbrengen van deze aspecten in een model voor hydrolytische

degradatie van biodegradeerbare polyesters kunnen nu toegepast worden op een biopolymeer

dat eventueel zou kunnen gebruikt worden als materiaal voor bioresorbeerbare polymeerstents.

Via de onderzoeksgroep Polymeerchemie & Biomaterialen van de Universiteit Gent kon ik de

mechanische karakteristieken bepalen van het biomateriaal poly-ε-caprolacton (PCL). Op

dit polymeer wordt veel onderzoek uitgevoerd binnen het domein van de tissue engineering

Woodruff & Hutmacher (2010). Het gebruik van PCL als biomateriaal werd reeds besproken in

sectie 3.2.1. In dit hoofdstuk geef ik de resultaten weer van de trekproeven op PCL-monsters

voor de mechanische karakterisatie van poly-ε-caprolacton.

5.1 Materiaaleigenschappen en proefopstelling

Het geteste materiaal is PCL met een hoog moleculair gewicht Mn = 80000 g/mol. Dit

polymeer degradeert in vivo via hydrolytische degradatie. Het polymeer heeft een lange de-

gradatietijd van drie tot vier jaar. Uit degradatie-experimenten met grafts van PCL (Mn =

80000 g/mol, Mw = 120000 g/mol) in de arterieen van ratten (Pektok et al. (2008)) is geble-

ken dat na 24 weken Mn afgenomen was met 20% en Mw met 22%. Wat mechanische eigen-

schappen van PCL(Mn = 80000 g/mol) betreft geeft Rosa et al. (2004) voor de treksterkte

σT 16.9± 1.2 MPa, voor de rek bij breuk εF 393± 25 % en voor de elasticititeitsmodulus E

429.1± 24.8 MPa.

De karakterisatie van de mechanische eigenschappen van PCL(Mn = 80000 g/mol) gebeurde

volgens de ISO 527-2 norm. Uit de smelt van het polymeer werd een film gemaakt met een

dikt van ±2 mm. Uit deze film werden proefmonsters geponst van het type 5A uit de ISO 527-

57

Hoofdstuk 5. Mechanische karakteristieken van poly-ε-caprolacton 58

2 norm. De afmetingen van de proefmonsters staan weergegeven in figuur 5.1. Bij het ponsen

van de proefmonsters uit de polymeerfilm werd er op gelet dat de dikte van de monsters

uniform was en werden defecten zoals luchtbelletjes en onvolledig gesmolten polymeerkorrels

zoveel als mogelijk vermeden. Voor bevestiging in de trekbank werd ook telkens de dikte

van de monsters gemeten om de oppervlakte van dwarsdoorsnede te bepalen die nodig is bij

de berekening van de engineering stress. Vervolgens werden de spanningsrekcurves van PCL

opgemeten aan reksnelheden van 20 mm/min, 50 mm/min en 100 mm/min. Ieder experiment

werd vier keer herhaald zodat in totaal twaalf proefmonsters getest zijn. Alle experimenten

werden uitgevoerd bij 20 ◦C.

Figuur 5.1: Afmetingen van de proefmonsters van het type 5A uit de ISO 527-2 norm die gebruikt

werden voor de bepaling van de mechanische karakteristieken van poly-ε-caprolacton

(Mn = 80000 g/mol). De dikte van de proefmonsters is 2 mm.

5.2 Resultaten

De resultaten van de trekproeven staan weergegeven in figuur 5.2. Vooral bij de lagere rek-

snelheden zijn er wat afwijkingen in de spanningsrekcurves die kunnen te wijten zijn aan de

aanwezigheid van onzuiverheden zoals luchtbelletjes of onvolledig gesmolten polymeerkorrels,

of die veroorzaakt zijn door verschuivingen in de inklemming van de polymeermonsters. Bij

hogere reksnelheden worden deze effecten geminimaliseerd. Hoe dan ook vertonen de verschil-

lende metingen voldoende overeenkomsten zodat zinvolle conclusies mogelijk zijn. PCL(Mn =

80000 g/mol) is duidelijk een plastisch polymeer met een grote rek bij breuk. De meeste proef-

monsters schoten los uit de klemmen voordat breuk optrad. Bij drie monsters kwam het tot

een breuk bij een rek van ongeveer 870 %. Nekvorming (engels: necking) trad op bij een

vloeirek εy van 18 %. De vloeispanning σy is 13.09± 1.19 MPa. De elasticiteitsmodulus E

werd bepaald volgens de instructies van de ISO 527 norm na omzetting van de engineering

spanning σ in de werkelijke spanning σ′ via de volgende omzettingsformule:


σ(ε)→ σ′(ε′) (5.1)

ε′ = ln(1 + ε) (5.2)

Uiteindelijk wordt zo een globale elasticiteismodulus (dus zonder rekening te houden met de

reksnelheid) van 528± 41 MPa bekomen.

5.3 Conclusie

De frequentie van de metingen in het elastische gebied van de spanningsrekcurve was onvoelde

hoog om zinnige uitspraken te kunnen doen over de invloed van de belastingssnelheid op de

elasticiteitsmodulus. Tabel 5.1 geeft een overzicht van de opgemeten materiaalparameters

van PCL(Mn = 80000 g/mol).

Wat betreft de invloed van de reksnelheid op het mechanisch gedrag van poly-ε-caprolacton

verwijs ik naar figuren 5.3 en 5.4. Deze figuren tonen de spanningsrekcurves uitgemiddeld

over de vier meetreeksen per reksnelheid. Figuur 5.3 toont het volledige spanningsrekdia-

gram, terwijl figuur 5.4 enkel het eerste deel van de curve tot aan 50 % rek weergeeft. Een

eenduidig verband tussen de reksnelheid en de vorm van de spanningsrekcurve is moeilijk te

onderscheiden. De resolutie in het elastische gebied is onvoldoende groot om een uitspraak te

doen over de invloed van de reksnelheid op de elasticiteitsmodulus. De vloeigrens voor een

rekbelasting van 20 mm/min is wel lager dan de vloeigrens bij 50 mm/min of 100 mm/min.

De plastische vloeigrens σy lijkt dus toe te nemen bij toenemende belastingssnelheid, een

gedrag dat bij veel plastische polymeren wordt waargenomen. Voor de karakterisatie van de

tijdsafhankelijke mechanische eigenschappen van PCL zijn echter extra proeven nodig, zoals

kruip- en/of relaxatietesten.

Tabel 5.1: Materiaalparameters van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol).

Elasticiteitsmodulus E 528± 41 MPa

Vloeigrens εy 18± 2 %

Vloeispanning σy 13.09± 1.19 MPa

Treksterkte σT 24.1± 1.0 MPa

Rek bij breuk εF 870 %


Figuur 5.2: Spanningsrekcurves van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol) voor reksnelheden van

20 mm/min, 50 mm/min en 100 mm/min uitgevoerd op 12 proefmonsters met labels

PCL1, PCL2, . . ., PCL12.


Figuur 5.3: Spanningsrekcurves van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol) voor reksnelheden van

20 mm/min, 50 mm/min en 100 mm/min, uitgemiddeld over de vier waarnemingsreeksen

per reksnelheid.


Figuur 5.4: Detail van figuur 5.3 dat de overgang toont van het elastische gebied naar het plastische

gebied van de spanningsrekcurve.

Hoofdstuk 6

Expansie en degradatie van een

reele stentgeometrie

In dit hoofdstuk wordt het mechanisch model voor hydrolytische degradatie van een biore-

sorbeerbaar polymeer dat ontwikkeld werd in het vorige hoofdstuk toegepast op een reele

stentgeometrie met de materiaaleigenschappen van poly-ε-caprolacton. Voor het ontwerp van

de stentgeometrie baseer ik mij op de BVS 1.1 stent van Abbott Vascular (zie sectie 1.3.1

en tabel 1.2). Deze stent is vervaardigd uit poly-L-lactide. Dit polymeer is net als PCL een

polymeer uit de klasse van de bioresorbeerbare polyesters met een degradatietijd van meer

dan twee jaar. De vorm van de stent wordt vervaardigd met behulp van laserscissie.

6.1 Stentgeometrie

De geometrie van de BVS 1.1 bioabsorbeerbare stent wordt gekenmerkt door zigzagstructuren

in de omtreksrichting van de stent die verbonden worden door rechte struts in de lengterich-

ting van de stent. De zigzagstructuur zorgt voor de dragende functie van de stent terwijl

de rechte structuren vooral als doel hebben de zigstracturen met elkaar te verbinden. De

struts in de omtreksrichting zijn dan ook dikker dan de struts in de langsrichting omdat zij

onderhevig zijn aan de grootste vervormingen en spanningen. Het aantal struts per segment

in de omtreksrichting is twaalf, het aantal zigzagsegmenten in de stent heb ik gelijk aan tien

gekozen. De binnendiameter van de stent voor expansie is 1 mm. De dikte van de struts in de

radiale richting is 0.1 mm. De dikte van de struts in het zigzagsegment in de omtrekrichting

is gemiddeld 0.23 mm, de struts die de zigzagsegmenten samenhouden zijn met 0.12 mm half

zo dik. De stent is in totaal 16.4 mm lang. Figuur 6.1 toont de geometrie van de (halve) stent

voor en na expansie.

63

Hoofdstuk 6. Expansie en degradatie van een reele stentgeometrie 64

6.2 Materiaaleigenschappen van de stent

Als materiaal voor de stent kiezen we het bioresorbeerbare polymeer poly-ε-caprolacton met

een moleculair gewicht Mn gelijk aan 80000 g/mol, waarvoor de materiaaleigenschappen be-

paald werden in hoofdstuk 5. We nemen aan dat het niet gedegradeerde PCL-materiaal een

elasticiteitsmodulus E0 gelijk aan 500 MPa heeft en een vloeigrens σy gelijk aan 13 MPa.

Omdat de meeste polymeren als onsamendrukbaar mogen beschouwd worden nemen we een

grote Poisson-modulus gelijk aan 0.475. Voor de expansie van de stent beschouwen we het

materiaal als elastoplastisch. Na expansie treden normaal gezien geen plastische vervormin-

gen meer op en veronderstellen we dat het materiaal lineair elastisch is. Tijdens deze periode

is polymeer echter wel degradeerbaar. De degradatie wordt beınvloed door de distortie γ

in het materiaal. De elasticiteitsmodulus varieert lineair met de degradatieparameter d. De

materiaalparameters worden samengevat in tabel 6.1.

6.3 Expansie van de elastoplastische stent

In een eerste stap laat ik de stent expanderen als een elastoplastisch materiaal. Om de reken-

tijd te verminderen beperk ik mij tot een klein stukje van de stent zoals geıllustreerd in figuur

6.2. De stent heeft een tetraedrische mesh met een seed van 0.07 mm. Het aantal elementen

is 1581 en het aantal knopen is 5066. De elementen zijn van het type C3D10M in Abaqus.

De randvoorwaarden zorgen ervoor dat de symmetrie bewaard blijft in het cillindrische as-

senstelsel.

Vervolgens wordt de binnenwand van de stent aan een radiale verplaatsing ur|r=ri van 1 mm

onderworpen over een tijdspanne van 10 seconden op een quasi-statische manier. Het verloop

van de spanningen tijdens expansie wordt weergegeven in figuur 6.3. De hoogste spanningen

treden op in de zigzagsegmenten.

6.4 Degradatie van de stent

Als drijvende kracht achter degradatie nemen we de distortie γ. Nadat de de stent is opge-

blazen wordt de verplaatsingsvoorwaarde aangehouden en het verloop van de verdeling van

de degradatieparameter als functie van de tijd berekend. Het materiaal is nu lineair elastisch

Tabel 6.1: Materiaaleigenschappen van de bioresorbeerbare stent.

Elasticiteitsmodulus E 500 MPa

Vloeispanning σy (MPa) 13 MPa

Poissonmodulus ν 0.475

Dichtheid ρ 0.001 g/mm3


met de elasticiteitsmodulus die lineair varieert als functie van de degradatieparameter d en

met een Poissonmodulus gelijk aan 0.475.

E(d)[MPa] = 500(1− d), d ∈ [0, 1] (6.1)

Het verloop van de degradatieparameter als functie van de tijd staat weergegeven in figuur

6.4. Voor de berekening loopt de degradatie over een tijdspanne van 2.5 keer de degradatietijd

τD. Zoals te zien is in figuur 6.4 zijn er bepaalde plaatsen waar degradatie sneller verloopt,

zoals de hoeken in het zigzagsegment. De struts die de zigzagstructuren in de lengterich-

ting van de stent verbinden degraderen het traagst. Naarmate degradatie vordert neemt de

elasticiteitsmodulus af zodat spanningsrelaxatie optreedt in de stent. Het verloop van de

degradatieparameter en de spanning in een element van een zigzagsement en een element van

een recht segment staan weergegeven in figuur 6.5.

6.5 Conclusie

Een eenvoudig degradatiemodel kon toegepast worden op een reele stentgeometrie onder quasi-

statische belasting. Doordat de verdeling van de distortie γ in het stentmateriaal inhomo-

geen is zal ook het degradatieveld inhomogeen verdeeld zijn. De zigzagsegmenten zijn meer

onderhevig aan degradatie dan de rechte struts. Dit is echter slechts een eenvoudige belas-

tingsvoorwaarde. Om een goed inzicht te verkrijgen in de degradatie van bioresorbeerbare

stents zal het degradatiemodel moeten uitgebreid worden en moeten meer realistische belas-

tingsvoorwaarden aan de stent opgelegd worden.


Figuur 6.1: Geometrie van de helft van de stent voor en na expansie. Beide figuren hebben dezelfde

schaal.


Figuur 6.2: Stukje van de stent dat gebruikt werd voor de expansieberekening. De mesh is ook

geıllustreerd.


Figuur 6.3: Spanningen in de stent tijdens expansie op verschillende tijdsstippen.

Figuur 6.4: Het scalaire degradatieveld in de stent op verschillende tijdstippen.


Figuur 6.5: Verloop van de degradatieparameter en de spanning in een knoop in het zigzagsegment

(rood) en een knoop van een recht segment (blauw).

Hoofdstuk 7

Besluit en toekomstperspectieven

Zoals gebleken is uit het inleidende eerste hoofdstuk zijn bioresorbeerbare stents, die zolang als

nodig het bloedvat ondersteunen en daarna verdwijnen, een nieuwe stap vooruit in de ontwik-

kelingen binnen de corronaire angioplastie. Verschillende bioresorbeerbare stents, zowel metal-

lisch als polymeer van aard, worden op dit ogenblik getest in klinische studies. Bij het ontwerp

van bioresorbeerbare stents is een mechanisch model voor eindige-elementenberekeningen zeer

nuttig. Het doel van deze masterproef was het ontwikkelen van zo een mechanisch model voor

biodegradeerbare stents. Daarvoor moest ik inzichten verwerven in de degradatie van bio-

resorbeerbare polymeren en in de modellering van hun mechanische eigenschappen. Naast

het lineair elastische model moet het gebruik van een hyperelastisch of een visco-elastisch

model overwogen worden bij de modellering van polymeren. Ook werd kwantitatief het ver-

schil tussen bulk- en oppervlaktedegradatie aangetoond. We zagen dat de diffusie van water

in de bulk van de meeste bioresorbeerbare polyesters vele keren sneller verloopt dan de hy-

drolytische degradatiereactie en dat deze polymeren dus degraderen via bulkdegradatie. Het

degradatiemodel moet ook rekening houden met de mechanische vervormingen of de inwendige

spanningstoestand van het polymeer. De distortie γ kan daarbij gebruikt worden als maat

voor vervorming, terwijl de maximale schuifspanning τmax de inwendige spanningstoestand

kan karakteriseren.

Om de mechanische modellen toe te kunnen passen bij berekeningen met het eindige-elementen-

programma Abaqus moesten de mechanische modellen geımplementeerd worden in zoge-

naamde user subroutines zoals VUMAT voor Abaqus/Explicit en UMAT voor Abaqus/-

Standard. Deze subroutines worden gecodeerd in de FORTRAN-programmeertaal. Een groot

deel van deze masterproef bestond dan ook uit het schrijven en verifieren van de user sub-

routines. De bijlages A enB vormen een korte handleiding bij het schrijven van UMAT- en

VUMAT-codes.

Poly-ε-caprolacton is een biomateriaal dat vaak gebruikt wordt als scaffold en is een belangrijk

onderzoeksitem binnen het domein van de tissue engineering. Het materiaal zou ook kunnen

70

Hoofdstuk 7. Besluit en toekomstperspectieven 71

gebruikt worden als bioresorbeerbaar materiaal voor polymere stents. Om de mechanische

eigenschappen van hoogmoleculair PCL te bepalen werden de spanningsrekcurves opgemeten.

Daaruit kon besloten worden dat PCL zich gedraagt als een elastoplastisch materiaal met een

grote rek bij breuk en met een elasticiteitsmodulus van ongeveer 500 MPa.

Uiteindelijk werd een eerste stap gezet richting de toepassing van het mechanisch degratie-

model op een echte stentgeometrie. Als model voor de stent baseerde ik mij op de BVS1.1

bioresorbeerbare stent. De stent werd verondersteld uit PCL vervaardigd te zijn en werd on-

derworpen aan een eenvoudige expansie. Zo kon het verloop van het degradatieparameterveld

d in de stent worden berekend. Om een goed inzicht te verkrijgen in degradatie van de stent

zijn echter meer ingewikkelde belastingsvoorwaarden nodig. Er moet hierbij zeker gecontro-

leerd worden of het materiaal zich als quasi-statisch gedraagt tijdens de degradatieperiode.

Ook kan gekeken worden of de visco-elastische eigenschappen van PCL in rekening kunnen

gebracht worden. Het degradatiemodel zelf kan ook aangepast worden om te bekijken wat de

invloed is van de verschillende drijvende krachten achter degradatie.

Bijlage A

Writing a UMAT

In Abaqus/Standard, a user-defined material model can be implemented using the user sub-

routine UMAT. This interface makes it possible to define any constitutive model of arbitrary

complexity. The first step in writing a UMAT is the proper definition of the constitutive equa-

tion, which requires the explicit definition of the stress tensor σ. You will further need to

define the dependence on time, temperature or other field variables, including the self-defined

state variables. Rate equations will have to be transformed into incremental equations using a

suitable integration procedure. The UMAT user subroutine also requires the definition of the

consistent Jacobian C, defined as ∂∆σ/∂∆ε. This tensor is used to determine the direction

of convergence during the iteration process. For more information on writing a user subrou-

tine I refer to the Abaqus Manual and to the Abaqus Lecture Writing User Subroutines with

ABAQUS .

A.1 UMAT Structure

The UMAT-codes are implemented following the FORTRAN conventions. You can write

a UMAT using a text editor such as notepad, but it is recommended to use a tool such as

Silverfrost FTN95. This free software reduces the probability of making errors. The structure

of a UMAT is shown below. The FORTRAN code contains statements such as SUBROUTINE

or DIMENSION. The first six characters of each line are not read. The letter C defines the

beginning of a comment line. FORTRAN makes no difference between small and capital

letters.

SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,

1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,

2 STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,CMNAME,

3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT,

4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC)

C

72

Bijlage A. Writing a UMAT 73

INCLUDE ’ABA_PARAM.INC’

C

CHARACTER*8 CMNAME

DIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),

1 DDSDDE(NTENS,NTENS),

2 DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),

3 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),PREDEF(1),DPRED(1),

4 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)

DIMENSION DSTRES(6),D(3,3)

C

C Code to implement the material model

C

RETURN

END

The code starts by calling the subroutine UMAT which contains the arrays STRESS, STA-

TEV, DDSDDE and so on. The dimensions of the arrays are defined by the DIMENSION

statement. In FORTRAN, an array cannot have more than two dimensions. The INCLUDE

statement sets the definition for floating point variables. The material name CMNAME is

an 8-byte character variable. After the definition of the material constitutive model, the

subroutine is closed by the RETURN and END statements.

A.2 UMAT conventions

The UMAT user subroutine asks you to define at least the arrays STRESS and DDSDDE.

STRESS is the Cauchy stress tensor and is an array whith dimensions NTENS, which is

the sum of the number of direct stress components NDI and the number of shear stress

components NSHR. If a 3D stress tensor σ is given by:

σ =

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

(A.1)

Then the array STRESS is defined as:

STRESS =[σ11 σ22 σ33 σ12 σ13 σ23

](A.2)

The definition of the stress tensor will be based on the strain state of an element at the start

of a new increment. The engineering strain ε is given by the array STRAN:

ε =

ε11 γ12 γ13

γ12 ε22 γ23

γ13 γ23 ε33

(A.3)


STRAN =[ε11 ε22 ε33 γ12 γ13 γ23

](A.4)

Be aware of the fact that UMAT uses the engineering strain expression in which the shear

strain γij is defined as 2εij . The array DSTRAN defines the change in strain ∆ε.

DSTRAN =[∆ε11 ∆ε22 ∆ε33 ∆γ12 ∆γ13 ∆γ23

](A.5)

If DSTRESS were the array containing the change in Cauchy stress during an increment, the

twodimensional array DDSDDE(NTENS,NTENS) would be defined as:

DDSDDE(I, J) =∂DSTRESS(I)

∂DSTRAN(J)(A.6)

DDSDDE =

∂∆σ11∂∆ε11

∂∆σ11∂∆ε22

∂∆σ11∂∆ε33

∂∆σ11∂∆γ12

∂∆σ11∂∆γ13

∂∆σ11∂∆γ23

∂∆σ22∂∆ε11

∂∆σ22∂∆ε22

∂∆σ22∂∆ε33

∂∆σ22∂∆γ12

∂∆σ22∂∆γ13

∂∆σ22∂∆γ23

∂∆σ33∂∆ε11

∂∆σ33∂∆ε22

∂∆σ33∂∆ε33

∂∆σ33∂∆γ12

∂∆σ33∂∆γ13

∂∆σ33∂∆γ23

∂∆σ11∂∆ε11

∂∆σ11∂∆ε22

∂∆σ12∂∆ε33

∂∆σ12∂∆γ12

∂∆σ12∂∆γ13

∂∆σ12∂∆γ23

∂∆σ13∂∆ε11

∂∆σ13∂∆ε22

∂∆σ13∂∆ε33

∂∆σ13∂∆γ12

∂∆σ13∂∆γ13

∂∆σ13∂∆γ23

∂∆σ23∂∆ε11

∂∆σ23∂∆ε22

∂∆σ23∂∆ε33

∂∆σ23∂∆γ12

∂∆σ23∂∆γ13

∂∆σ23∂∆γ23

(A.7)

Material properties are stored in the PROPS array. These properties and the number of

properties NPROPS must be given in the Abaqus input-file. State dependent variables can

be stored in the STATEV(NSTATV) array. The number of state variables NSTATV must be

given in the input-file using the DEPVAR option. An example of the material section in the

input file is given below.

*Material, name="Viscoelastic Material"

*Density

1200.,

*Depvar

6,

*User Material, constants=4

1.,0.4,0.3,1.

A.3 Example: small strain viscoelastic model

In this section I will explain step by step how to implement a material’s constitutive model

into a UMAT user subroutine. As an example I have chosen a linear viscoelastic material, for

small strain deformations.


A.3.1 Step 1: definition of the mechanical constitutive equations

The time dependent Cauchy stress σ(t) is defined as:

σ(t) = S(t)− p(t)I (A.8)

The deviatoric stress S and the pressure p(t) are given by:

S(t) =

∫ t

02G(t− s)e ds (A.9)

p(t) = −∫ t

0K(t− s)εvol ds (A.10)

With the volumetric strain εvol and the deviatoric strain e defined as:

εvol =3∑i=1

εii (A.11)

e = ε− 1

3εvolI (A.12)

G(t) and K(t) are the Prony series which in this case are chosen of first and zeroth order:

G(t) = G0

(1− g1

(1− e−

tτ1

))(A.13)

K(t) = K0 (A.14)

We can rewrite S as:

S(t) = 2G0(e− g1e1) (A.15)

e1 =

∫ t

0

(1− e

s−tτ1

) de

dsds (A.16)

e1 is called the creep strain.

A.3.2 Step 2: Transformation into incremental equations

We will have to define the deviatoric stress S at the time step tn+1 given the new state of

deformation. The integral formulation of the creep strain e1 can be rewritten as:

en+11 =

∫ tn+1

0

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds =

∫ tn

0

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds+

∫ tn+1

tn

(1− e

s−tn+1

τ1

)de

dsds


1− es−tn+1

τ1 = 1− e∆tτ1 + e

∆tτ1

(1− e

s−tnτ1

)

en+11 =

(1− e−

∆tτ1

)∫ tn

0

de

dsds+ e

−∆tτ1

∫ tn

0

(1− e

s−tnτ1

)de

dsds+

∆e

∆t

∫ tn+1

tn

(1− e

s−tn+1

τ1

)ds

Finally we find:

∆e1 =τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

)∆e +

(1− e−

∆tτ1

)(en − en1 ) (A.17)

Once ∆e1 is known, Sn+1 can be defined through:

∆S = 2G0 (∆e− g1∆e1) (A.18)

Sn+1 = Sn + ∆S (A.19)

We still have to define the Jacobian ∂∆σ/∂∆ε.

∂∆σ

∂∆ε=∂∆S

∂∆e

∂∆e

∂∆ε− ∂∆pI

∂∆ε

∆e = ∆ε− 1

3∆εvolI (A.20)

We can now determine the terms in the Jacobian matrix:

∂∆σii∂∆εii

=2

3

(2G0

(1− g1

τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

)))+K0 (A.21)

∂∆σii∂∆εjj

= K0 i 6= j (A.22)

∂∆σii∂∆γij

= G0

(1− g1

τ1

∆t

(∆t

τ1+ e−∆tτ1 − 1

))i 6= j (A.23)

The other terms of the Jacobian are zero. Notice that the factor two in equation A.23 has

dissapeared because the engineering shear rate is used.


A.3.3 Step 3: Implementation of the constitutive equations

Now that we have all necessary equations to define our material model, we can start imple-

menting the UMAT user subroutine. The number of material properties is four, namely the

instantaneous elastic parameters G0 and K0, and the viscous parameters g1 and τ1. For con-

venience we use the elastic modulus E0 and Poisson’s modulus ν to define the linear elastic

material properties. G0 and K0 can be calculated through:

G0 =E0

2(1 + ν)(A.24)

K0 =E0

3(1− 2ν)(A.25)

PROPS =[E0 ν g1 τ

](A.26)

The UMAT user subroutine always starts with the same heading:

SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,

1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT,

2 STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED,CMNAME,

3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT,

4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC)

C

INCLUDE ’ABA_PARAM.INC’

C

CHARACTER*80 CMNAME

DIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV),

1 DDSDDE(NTENS,NTENS),

2 DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS),

3 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),PREDEF(1),DPRED(1),

4 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)

Next we dimension the local arrays to define e, ∆e, ∆e1, ∆S and ∆σ. The function of the

arrays is shown in the comment lines.

C ----------------------------------------------------------------------

C LOCAL ARRAYS:

C EDEV - DEVIATORIC STRAIN

C DEDEV - DEVIATORIC STRAIN INCREMENT

C DECR - CREEP STRAIN INCREMENT

C DDEVST - DEVIATORIC STRESS INCREMENT

C DSTRESS - STRESS INCREMENT

C ----------------------------------------------------------------------

DIMENSION EDEV(NTENS),DEDEV(NTENS),DECR(NTENS),DDEVST(NTENS),


1 DSTRESS(NTENS)

C

We can also define local parameters, such as numbers or physical constants, using the PA-

RAMETER statement.

PARAMETER(ZERO=0.D0, ONE=1.D0, TWO=2.D0, THREE=3.D0)

We state that the material properties are real values and we read them from the PROPS

array.

C ----------------------------------------------------------------------

C PROPERTY VALUES:

C PROPS(1) - E

C PROPS(2) - NU

C PROPS(3) - G1_PRONY

C PROPS(4) - TAU1_PRONY

C ----------------------------------------------------------------------

REAL G0,K0,GPRONY,TAU

C

C CALCULATE THE PARAMETERS

G0=PROPS(1)/(TWO*(ONE+PROPS(2)))

K0=PROPS(1)/(THREE*(ONE-TWO*PROPS(2)))

GPRONY=PROPS(3)

TAU=PROPS(4)

Next we define the deviatoric strain DEDEV. EVOL and DEVOL are εvol and ∆εvol. The

first DO loop is a summation of the direct strain components. The second and third DO

loops are for defining the deviatoric strain and its increment. We have to make a distinction

between the direct and the shear components of the strain tensor. The engineering shear

components are devided by two, eij = γij .

DO K1=1,NDI

EVOL = EVOL+STRAN(K1)

DEVOL = DEVOL+DSTRAN(K1)

END DO

C

DO K1=1,NDI

EDEV(K1) = STRAN(K1)-ONE/THREE*EVOL

DEDEV(K1) = DSTRAN(K1)-ONE/THREE*DEVOL

END DO

C

DO K1=NDI+1,NTENS

EDEV(K1) = STRAN(K1)/TWO

DEDEV(K1) = DSTRAN(K1)/TWO

END DO


The definition of the creep strain tensor is given by equation A.17. We need the old creep

strain to define the new creep strain, so we will have to store the creep strain as a state

dependent variable. The creep strain tensor has NTENS components. For a 3D problem, the

DEPVAR option will have to be set equal to six in the Abaqus input-file.

C EVALUATE NEW CREEP STRAIN TENSOR

C

TERM1 = TAU/DTIME*(DTIME/TAU+EXP(-DTIME/TAU)-ONE)

TERM2 = ONE-EXP(-DTIME/TAU)

C

DO K1=1,NTENS

DECR(K1) = TERM1*DEDEV(K1)+TERM2*(EDEV(K1)-STATEV(K1))

END DO

C

C STORE NEW CREEP STRAIN TENSOR

C

DO K1=1,NTENS

STATEV(K1) = STATEV(K1)+DECR(K1)

END DO

The deviatoric stress tensor can be evaluated following equation A.18.

C EVALUATE THE NEW DEVIATORIC STRESS TENSOR

C

DO K1=1,NTENS

DDEVST(K1) = TWO*G0*(DEDEV(K1)-GPRONY*DECR(K1))

END DO

C

The definition of the Cauchy stress is given by equation A.8. This array will be used to define

the new state of deformation.

C EVALUATE THE NEW STRESS TENSOR

C

DO K1=1,NTENS

DSTRESS(K1)=DDEVST(K1)

END DO

DO K1=1,NDI

DSTRESS(K1)=DSTRESS(K1)+K0*DEVOL

END DO

DO K1=1,NTENS

STRESS(K1)=STRESS(K1)+DSTRESS(K1)

END DO

C


Last but not least we have to implement the material’s Jacobian. This matrix is for conver-

gence purposes and has no influence on the exact outcome finite element calculations. If it is

not possible to calculate the exact Jacobian you can try to use an approximation.

C CALCULATE THE JACOBIAN

C

TERM1=TWO*G0*(ONE-

1 GPRONY*TAU/DTIME*(DTIME/TAU

2 +EXP(-DTIME/TAU)-ONE))

DO K1=1,NTENS

DO K2=1,NTENS

DDSDDE(K2,K1) = ZERO

END DO

END DO

C

DO K1=1,NDI

DDSDDE(K1,K1) = TWO/THREE*TERM1+K0

END DO

C

DO K1=2,NDI

N2 = K1

DO K2=1,N2

DDSDDE(K2,K1) = K0

DDSDDE(K1,K2) = K0

END DO

END DO

I1 = NDI

DO K1=1,NSHR

I1 = I1+1

DDSDDE(I1,I1) = TERM1/TWO

END DO

The subroutine is closed using the statements RETURN and END.

C

RETURN

END

A.3.4 Step 4: Validation of the user subroutine

It is recommended to first try out the UMAT subroutine on a single 3D element with simple

boundery conditions and small deformation in one direction. Possibly you will get error

messages. Mostly this is due to syntax errors. You can look for some clue in the Abaqus

.message-file, the .dat-file or the .log-file. Floating point errors are also common. Make sure


that a division by zero is never possible. Once all errors have dissapeared you can evaluate

the outcome by comparing to a similar material model in Abaqus if present. If this is not

possible you could compare the solution to an analytical solution. Load a single element in

extension, compression and shear. If the test on a single element have a positive outcome,

you should test the UMAT user subroutine for a mesh with multiple elements and with a

more complicated load.

Bijlage B

Writing a VUMAT

In Abaqus/Explicit, a user-defined material model can be implemented using the user subrou-

tine VUMAT. This interface makes it possible to define any constitutive model of arbitrary

complexity. The first step in writing a VUMAT is the proper definition of the constitutive

equation, which requires the explicit definition of the stress tensor σ. You will further need to

define the dependence on time, temperature or other field variables, including the self-defined

state variables. Rate equations will have to be transformed into incremental equations using

a suitable integration procedure. Unlike the user subroutine UMAT for Abaqus/Standard,

the VUMAT user subroutine does not require the definition of the consistent Jacobian C, de-

fined as ∂∆σ/∂∆ε. For more information on writing a user subroutine I refer to the Abaqus

Manual and to the Abaqus Lecture Writing User Subroutines with ABAQUS .

B.1 UMAT Structure

The structure of a VUMAT is similar to that of a UMAT and is shown below.

SUBROUTINE VUMAT(

C Read only -

1 NBLOCK, NDIR, NSHR, NSTATEV, NFIELDV, NPROPS, LANNEAL,

2 STEPTIME, TOTALTIME, DT, CMNAME, COORDMP, CHARLENGTH,

3 PROPS, DENSITY, STRAININC, RELSPININC,

4 TEMPOLD, STRETCHOLD, DEFGRADOLD, FIELDOLD,

5 STRESSOLD, STATEOLD, ENERINTERNOLD, ENERINELASOLD,

6 TEMPNEW, STRETCHNEW, DEFGRADNEW, FIELDNEW,

C Write only -

7 STRESSNEW, STATENEW, ENERINTERNNEW, ENERINELASNEW)

C

INCLUDE ’VABA_PARAM.INC’

C

DIMENSION PROPS(NPROPS), DENSITY(NBLOCK), COORDMP(NBLOCK),

82

Bijlage B. Writing a VUMAT 83

1 CHARLENGTH(NBLOCK), STRAININC(NBLOCK, NDIR+NSHR),

2 RELSPININC(NBLOCK, NSHR), TEMPOLD(NBLOCK),

3 STRETCHOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),DEFGRADOLD(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR),

4 FIELDOLD(NBLOCK, NFIELDV), STRESSOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),

5 STATEOLD(NBLOCK, NSTATEV), ENERINTERNOLD(NBLOCK),

6 ENERINELASOLD(NBLOCK), TEMPNEW(NBLOCK),

7 STRETCHNEW(NBLOCK, NDIR+NSHR),DEFGRADNEW(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR),

8 FIELDNEW(NBLOCK, NFIELDV), STRESSNEW(NBLOCK,NDIR+NSHR),

9 STATENEW(NBLOCK, NSTATEV), ENERINTERNNEW(NBLOCK),

1 ENERINELASNEW(NBLOCK)

C

C

C ----------------------------------------------------------------

C VUMAT CODE TO IMPLEMENT MATERIAL MODEL

C ----------------------------------------------------------------

C

RETURN

END

As you can see VUMAT uses a two-state architecture. The values at the beginning of the

time increment are given in the OLD arrays (e.g. STRESSOLD). The values at the and of

the increment must be stored in the NEW arrays (e.g. STRESSNEW). The data are passed

in and out in large blocks of dimension NBLOCK, which is typically equal to 64 or 128. Each

entry in an array of NBlOCK corresponds to a specific material point. This makes it possible

to vectorize the user subroutine. The constitutive equations are formulated in a corotational

framework so there is no need to rotate tensor variables. The time increment is given as DT

and cannot be redefined.

B.2 VUMAT conventions

The VUMAT user subroutine asks you to define at least the new expresion for the Cauchy

stress σ which most be stored in the array STRESSNEW. If the constitutive equation contains

any state dependend variables, these must be stored in the array STATENEW.The state

dependend variables are given as STATEOLD at the beginning of the time step. If the

Cauchy stress tensor is given by:

σ =

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

(B.1)

Then the stresses are stored as:

[σ11 σ22 σ33 σ12 σ23 σ31

](B.2)


Attention! This storage scheme is differs from that for the Abaqus/Standard user subroutines

such as UMAT. Also, unlike with UMAT where the shear strains are stored as engineering

shear strains γij , the shear strains are stored in VUMAT as tensor shear strains εij :

εij =1

2γij (B.3)

If the deformation tensor F is written as

F =

F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33

(B.4)

then the deformation tensors at the beginning and at the end of the time step are given by

the arrays DEFGRADOLD and DEFGRADNEW in which the elements of the deformation

tensor are stored as:

[F11 F22 F33 F12 F23 F31 F21 F32 F13

](B.5)

Material properties are stored in the PROPS array. These properties and the number of

properties NPROPS must be given in the Abaqus input-file. State dependent variables can

be stored in the STATENEW(NSTATEV) array. The number of state variables NSTATEV

must be given in the input-file using the DEPVAR option.

B.3 Example: Degradable Neo-Hookean hyperelasticity

In this section I will explain step by step how to implement a material’s constitutive model into

a VUMAT user subroutine. As an example I have chosen the Neo-Hookean hyperelasticity

model, with degradable material parameters.

B.3.1 Step 1: definition of the mechanical constitutive equations

The mechanical behaviour of a hyperelastic material is defined by its energy function U(I1, I2, J)

which for a Neo-Hookean material is given by:

U(I1, I2, J) = C10(I1 − 3) +1

D1(J − 1)2 (B.6)

I1 and I2 are the strain invariants expressed in termes of the Cauchy-Green strain tensor

B = FFT . J is the determinant of the deformation tensor F. For the Neo-Hookean material

model, the constitutive equation can be written directly in terms of the deformation gradient

F:

σij =2

JC10

(Bij −

1

3δijtr(B)

)+

2

D1(J − 1)δij (B.7)


Bij = Bij/J2/3 (B.8)

The material properties C10 and D1 will depend on the degradation parameter d which will

be stored as a state dependant variable:

C10(d) = C010(1− d) (B.9)

D1(d) = D01

1

1− d(B.10)

The degradation parameter itself has the following rate aquation:

∂d

∂t=

1

τD(1− d) (B.11)

B.3.2 Step 2: Transformation into incremental equations

In this example, the material time dependancy is restricted to the degradation parameter.

The degradation rate equation can be approximated as:

dt+∆t = dt +∆t

τD(1− dt) (B.12)

Once the new degradation parameter is known, the new material properties will be given by:

Ct+∆t10 = C0

10(1− dt+∆t) (B.13)

Dt+∆t1 = D0

1

1

1− dt+∆t(B.14)

These parameters will determine the outcome of the new stress tensor, which is written in

terms of the new deformation gradient:

σt+∆tij =

2

J t+∆tCt+∆t

10

(Bt+∆tij − 1

3δijtr(

¯Bt+∆t)

)+

2

Dt+∆t1

(J t+∆t − 1)δij (B.15)

B.3.3 Step 3: Implementation of the constitutive equations

Now that we have all necessary equations to define our material model, we can start imple-

menting the VUMAT user subroutine. The number of material properties is three, namely

the hyperelasticity parameters C010 and D0

1, and the degradation time τD. For convenience

we use the elastic modulus E0 and Poisson’s modulus ν to define the hyperelastic properties:

C10 =E0

4(1 + ν)(B.16)


D1 = 61− 2ν

E0(B.17)

PROPS =[E0 ν τD

](B.18)

The VUMAT user subroutine always starts with the same heading:

SUBROUTINE VUMAT(

C Read only -

1 NBLOCK, NDIR, NSHR, NSTATEV, NFIELDV, NPROPS, LANNEAL,

2 STEPTIME, TOTALTIME, DT, CMNAME, COORDMP, CHARLENGTH,

3 PROPS, DENSITY, STRAININC, RELSPININC,

4 TEMPOLD, STRETCHOLD, DEFGRADOLD, FIELDOLD,

5 STRESSOLD, STATEOLD, ENERINTERNOLD, ENERINELASOLD,

6 TEMPNEW, STRETCHNEW, DEFGRADNEW, FIELDNEW,

C Write only -

7 STRESSNEW, STATENEW, ENERINTERNNEW, ENERINELASNEW)

C

INCLUDE ’VABA_PARAM.INC’

C

DIMENSION PROPS(NPROPS), DENSITY(NBLOCK), COORDMP(NBLOCK),

1 CHARLENGTH(NBLOCK), STRAININC(NBLOCK, NDIR+NSHR),

2 RELSPININC(NBLOCK, NSHR), TEMPOLD(NBLOCK),

3 STRETCHOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),DEFGRADOLD(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR),

4 FIELDOLD(NBLOCK, NFIELDV), STRESSOLD(NBLOCK, NDIR+NSHR),

5 STATEOLD(NBLOCK, NSTATEV), ENERINTERNOLD(NBLOCK),

6 ENERINELASOLD(NBLOCK), TEMPNEW(NBLOCK),

7 STRETCHNEW(NBLOCK, NDIR+NSHR),DEFGRADNEW(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR),

8 FIELDNEW(NBLOCK, NFIELDV), STRESSNEW(NBLOCK,NDIR+NSHR),

9 STATENEW(NBLOCK, NSTATEV), ENERINTERNNEW(NBLOCK),

1 ENERINELASNEW(NBLOCK)

C

Next, it is comon practice to define some local parameters:

PARAMETER( ZERO = 0.D0, ONE = 1.D0, TWO = 2.D0, THREE = 3.D0,

1 THIRD = 1.D0/3.D0, SIX = 6.D0, TWO_THIRDS = 2.D0/3.D0)

The local arrays are introduced and the material properties are read from the PROPS array:

C ----------------------------------------------------------------

C PROPS(1) - E

C PROPS(2) - NU

C PROPS(3) - TAUD

C ----------------------------------------------------------------


C Local arrays

DIMENSION DISTGR(NBLOCK,NDIR+NSHR+NSHR), BBAR(NBLOCK,NDIR+NSHR)

C

C Elastic properties

EMOD = PROPS(1)

ENU = PROPS(2)

TAUD = PROPS(3)

C10 = EMOD/(FOUR*(ONE+ENU))

D1 = SIX*(ONE-TWO*ENU)/EMOD

We must calculate all values for each element in the vectors with length NBLOCK. First we

determine the determinant of the deformation gradient, the distortion gradient and the left

Cauchy-Green strain tensor:

C Jacobian calculation

DO i=1,NBLOCK

DET=DEFGRADNEW(i,1)*DEFGRADNEW(i,2)*DEFGRADNEW(i,3)

1 -DEFGRADNEW(i,4)*DEFGRADNEW(i,7)*DEFGRADNEW(i,3)

IF(NSHR.EQ.3) THEN

DET=DET+DEFGRADNEW(i,4)*DEFGRADNEW(i,5)*DEFGRADNEW(i,6)

1 +DEFGRADNEW(i,9)*DEFGRADNEW(i,8)*DEFGRADNEW(i,7)



END IF

SCALE=DET**(-THIRD)

DO j=1,NDIR+NSHR+NSHR

DISTGR(i,j)=SCALE*DEFGRADNEW(i,j)

END DO

C

C Calculate deviatoric left Cauchy-Green deformation tensor

C

BBAR(i,1)=DISTGR(i,1)**2+DISTGR(i,4)**2+DISTGR(i,9)**2



BBAR(i,4)=DISTGR(i,1)*DISTGR(i,7)+DISTGR(i,4)*DISTGR(i,2)

1 +DISTGR(i,9)*DISTGR(i,5)

IF(NSHR.EQ.3) THEN





END IF

The degradation parameter at the beginning of the time step is given as a state dependent

variable STATEOLD. The new degradation parameter DEGRAD is calculated as follows:


DEGRAD = STATEOLD(i,1)+(ONE-STATEOLD(i,1))*DT/TAUD

The new degradation parameter must be stored in de STATENEW array:

STATENEW(i,1)=DEGRAD

Finally the new stress tensor can be calculated :

C Calculate the new stress

TRBBAR=(BBAR(i,1)+BBAR(i,2)+BBAR(i,3))/THREE

EG=TWO*C10/DET*(ONE-DEGRAD)

EK=TWO/D1*(TWO*DET-ONE)*(ONE-DEGRAD)

PR=TWO/D1*(DET-ONE)*(ONE-DEGRAD)

DO j=1,NDIR

STRESSNEW(i,j)=EG*(BBAR(i,j)-TRBBAR)+PR

END DO

DO j=NDIR+1,NDIR+NSHR

STRESSNEW(i,j)=EG*BBAR(i,j)

END DO

END DO

RETURN

END

Bibliografie

Abaqus (2009). Abaqus Theory Manual. Dassault Systemes Simulia Corp., Providence, RI,

USA, 6.9 edition.

D. S. Baim (2004). New devices for percutaneous coronary intervention are rapidly making

bypass surgery obsolete. Current Opinion in Cardiology, 19(6):593 – 597.

W. D. Callister (2007). Materials Science and Engineering: An Introduction. John Wiley &

Sons, Inc., 7th edition.

C. Chu (1985). Strain-accelerated hydrolytic degradation of synthetic absorbable sutures.

C.W. Hall, (Ed), Surgical research, recent developments: Proceedings of the First Annual

Scientific Session of the Academy of Surgical Research, Pergamon Press, San Antonio, pp.

111–115.

J. da Silva Soares (2008). Constitutive modelling for biodegradable polymers for application

in endovascular stents. Doctoraatsthesis, Texas A&M University.

F. Du Prez (2008). Polymeren. Uitgeverij Acco, 2 edition.

S. Garg & P. W. Serruys (2010). Coronary stents: Looking forward. Journal of the American

College of Cardiology, 56(10, Supplement 1):S43 – S78. ISSN 0735-1097. Coronary Stents

- Current Status Looking Forward.

P. Gheeraert (2010). Atherosclerosis, hisory of the coronary stent and future prospectives.

Course on Artificial Organs, Master of Biomedical Engineering at Ghent University.

J. Gomez-Lara, S. Brugaletta, R. Diletti, S. Garg, Y. Onuma, B. D. Gogas, R. J. van Geuns,

C. Dorange, S. Veldhof, R. Rapoza, R. Whitbourn, S. Windecker, H. M. Garcia-Garcia,

E. Regar & P. W. Serruys (2011). A comparative assessment by optical coherence to-

mography of the performance of the first and second generation of the everolimus-eluting

bioresorbable vascular scaffolds. European Heart Journal, 32(3):294–304.

J. Gomez-Lara, H. M. Garcia-Garcia, Y. Onuma, S. Garg, E. Regar, B. D. Bruyne, S. Win-

decker, D. McClean, L. Thuesen, D. Dudek, J. Koolen, R. Whitbourn, P. C. Smits, B. Che-

89

Bibliografie 90

valier, C. Dorange, S. Veldhof, M.-A. Morel, T. de Vries, J. A. Ormiston & P. W. Ser-

ruys (2010). A comparison of the conformability of everolimus-eluting bioresorbable vas-

cular scaffolds to metal platform coronary stents. JACC: Cardiovascular Interventions,

3(11):1190 – 1198.

N. Grabow, D. P. Martin, K.-P. Schmitz & K. Sternberg (2010). Absorbable polymer stent

technologies for vascular regeneration. Journal of Chemical Technology & Biotechnology,

85(6):744–751. ISSN 1097-4660.

J. Grogan, B. O’Brien, S. Leen & P. McHugh (2011). A corrosion model for bioabsorbable

metallic stents. Acta Biomaterialia.

P. A. Gunatillake & R. Adhikari (2003). Biodegradable synthetic polymers for tissue engi-

neering. European cells materials, 5(1):1–16; discussion 16.

C. D. Mathers & D. Loncar (2006). Projections of global mortality and burden of disease

from 2002 to 2030. PLoS Med, 3(11):e442.

N. Miller & D. Williams (1984). The in vivo and in vitro degradation of poly(glycolic acid)

suture material as a function of applied strain. Biomaterials, 5:365–368.

Y. Onuma, J. Ormiston & P. W. Serruys (2011). Bioresorbable scaffold technologies. Circu-

lation Journal, 75(3):509–520.

E. Pektok, B. Nottelet, J.-C. Tille, R. Gurny, A. Kalangos, M. Moeller & B. H. Wal-

poth (2008). Degradation and healing characteristics of small-diameter poly(epsilon-

caprolactone) vascular grafts in the rat systemic arterial circulation. Circulation,

118(24):2563–2570.

D. S. Rosa, I. C. Neto, M. R. Calil, A. G. Pedroso, C. P. Fonseca & S. Neves (2004). Evaluation

of the thermal and mechanical properties of poly(e-caprolactone), low-density polyethylene,

and their blends. Journal of Applied Polymer Science, 91(6):3909–3914. ISSN 1097-4628.

H. Tamai, K. Igaki, E. Kyo, K. Kosuga, A. Kawashima, S. Matsui, H. Komori, T. Tsuji,

S. Motohara & H. Uehata (2000). Initial and 6-month results of biodegradable poly-l-lactic

acid coronary stents in humans. Circulation, 102:399–404.

W. J. van der Giessen, A. M. Lincoff, R. S. Schwartz, H. M. van Beusekom, P. W. Serruys,

D. R. Holmes, S. G. Ellis & E. J. Topol (1996). Marked inflammatory sequelae to im-

plantation of biodegradable and nonbiodegradable polymers in porcine coronary arteries.

Circulation, 94:1690–1697.

W. Van Paepegem & J. Degrieck (2007). Mechanica van Materialen. Universiteit Gent.

Bibliografie 91

M. A. Woodruff & D. W. Hutmacher (2010). The return of a forgotten polymer–

polycaprolactone in the 21st century. Progress in Polymer Science, 35(10):1217 – 1256.

ISSN 0079-6700.

T. Yamawaki, H. Shimokawa, T. Kozai, K. Miyata, T. Higo, E. Tanaka, K. Egashira, T. Shi-

raishi, H. Tamai, K. Igaki & A. Takeshita (1998). Intramural delivery of a specific tyrosine

kinase inhibitor with biodegradable stent suppresses the restenotic changes of the coronary

artery in pigs in vivo. J Am Coll Cardiol, 32(3):780–786.

S. Zhong (1993). The effect of applied strain on the degradation of absorbable suture in vitro.

Clin. Mater., 14:183–189.

Lijst van figuren

1.1 Aandeel van het totale aantal sterftes wereldwijd geprojecteerd naar het jaar

2030. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Evolutie van het succes van coronaire angioplastie, stents en drug eluting stents. 4

2.1 Schets van de rekspanningsdiagrammen voor de drie verschillende types poly-

meren: brosse, plastische en elastomere polymeren. . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Ringopeningspolymerisatie van ε-caprolacton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Synthesereactie van polypropyleenfumaraat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Synthesereactie van polyanhydrides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Synthesereactie van polyurethanen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Verloop van de concentratie als functie van de afstand tot het polymeeropper-

vlak voor verschillende tijdstippen (α = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Verloop van het moleculair gewicht als functie van de afstand tot het poly-

meeroppervlak voor verschillende tijdstippen (α = 1, β = 1). . . . . . . . . . 36

4.3 Verloop van het moleculair gewicht als functie van de afstand tot het poly-

meeroppervlak voor verschillende tijdstippen (α = 1, β = 1). . . . . . . . . . 38

4.4 Verloop van het moleculair gewicht als functie van de afstand tot het polymeer-

oppervlak voor verschillende combinaties van α en β op het tijdstip t = 1.0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Verloop van het moleculair gewicht in een polymeerfilm met een oppervlak

initieel gelegen op positie z = 0 en met midden op positie z = 1, op verschil-

lende tijdstippen (α = 1.0, β = 0.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Verloop van het moleculair gewicht in een polymeerfilm met een oppervlak

initieel gelegen op positie z = 0 en met midden op positie z = 1, op verschil-

lende tijdstippen (α = 0.1, β = 10.0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Opdeling van de axisymetrische geometrie van de cilinder in driehoekige ele-

menten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

92

Lijst van figuren 93

4.8 Von Mises spanning tijdens de quasi-statische expansie van een niet-degraderende

cylinder voor verschillende tijdstippen. De spanningen worden weergegeven

voor de tijdstippen t = 0.5, t = 1.2, t = 2.2 en t = 3. Deze tijdstippen staan

als cirkels weergegeven op de curve die het verloop van de aangelegde druk

weergeeft als functie van de tijd, onderaan de figuur. . . . . . . . . . . . . . 47

4.9 Vergelijking van de distortie γ en de volumerek εvol als maat voor vervorming

in een cilinder onder druk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.10 Verloop van distortiegedreven degradatie in een cilinder onder druk. . . . . . 50

4.11 Radiale verplaatsing van de cilinderwand op ur|r=ri,z=0 en ur|r=ro,z=0 als func-

tie van de tijd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.12 Distributie van de degradatieparameter d = E0−EE0

doorheen het materiaal van

de cilinder na degradatie onder druk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.13 De maximale schuifspanning τmax als maat voor de spanningstoestand in een

cilinder onder druk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.14 Verloop van de radiale verplaatsing van de binnen- en buitenwand van de

cilinderur|r=ri,z=0 en ur|r=ro,z=0 als functie van de tijd en distributie van de

degradatieparameter d op het tijdstip t = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Afmetingen van de proefmonsters van het type 5A uit de ISO 527-2 norm

die gebruikt werden voor de bepaling van de mechanische karakteristieken van

poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol). De dikte van de proefmonsters is

2 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Spanningsrekcurves van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol) voor reksnel-

heden van 20 mm/min, 50 mm/min en 100 mm/min uitgevoerd op 12 proef-

monsters met labels PCL1, PCL2, . . ., PCL12. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Spanningsrekcurves van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol) voor reksnel-

heden van 20 mm/min, 50 mm/min en 100 mm/min, uitgemiddeld over de vier

waarnemingsreeksen per reksnelheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Detail van figuur 5.3 dat de overgang toont van het elastische gebied naar het

plastische gebied van de spanningsrekcurve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.1 Geometrie van de helft van de stent voor en na expansie. Beide figuren hebben

dezelfde schaal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2 Stukje van de stent dat gebruikt werd voor de expansieberekening. De mesh is

ook geıllustreerd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Spanningen in de stent tijdens expansie op verschillende tijdsstippen. . . . . 68

6.4 Het scalaire degradatieveld in de stent op verschillende tijdstippen. . . . . . 68

6.5 Verloop van de degradatieparameter en de spanning in een knoop in het zig-

zagsegment (rood) en een knoop van een recht segment (blauw). . . . . . . . 69

Lijst van tabellen

1.1 Verschillende stentmaterialen en hun mechanische eigenschappen. . . . . . . . 6

1.2 Verschillende bioresorbeerbare stents (Tamai et al. (2000),Gomez-Lara et al.

(2010),Garg & Serruys (2010),Onuma et al. (2011),Gomez-Lara et al. (2011)). 8

2.1 Kruip en spanningsrelaxatie volgens enkele visco-elastische materiaalmodellen. 21

3.1 Het cyclisch dimeer glycolide, het polymeer PGA en zijn degradatieproduct

glycolzuur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Het cyclisch dimeer lactide, het polymeer PLA en zijn degradatieproduct melk-

zuur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Het cyclisch dimeer lactide, het polymeer PLA en zijn degradatieproduct melk-

zuur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1 Materiaalparameters van poly-ε-caprolacton (Mn = 80000 g/mol). . . . . . . 59

6.1 Materiaaleigenschappen van de bioresorbeerbare stent. . . . . . . . . . . . . . 64

94

Ontwerp van biodegradeerbare polymeer stents Nic Debusschere

Documents

Transcript of Ontwerp van biodegradeerbare polymeer stents Nic Debusschere