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Algunas reflexiones desde la educación matemática en el centenario de la obra de Klein
Luis RicoUniversidad de Granada
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Roma, abril 1908: IV International Congress of Mathematicians
Se crea la Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique
Primer Presidente: F. Klein
La publicación oficial de ICMI es L'Enseignement Mathématique
La Comisión se propone iniciar su actividad llevando a cabo una encuesta y preparando un informe general sobre las etapas en la enseñanza de las matemáticas en distintos países, teniendo en cuenta todos los niveles de la escolaridad.
García Galdeano participa en la creación de ICMI
http://www.icmihistory.unito.it/timeline.php
Contexto del trabajo
La constitución de ICMI proporciona una plataforma a la educación matemática que se inicia como disciplina en estos años.
Félix Klein es uno de sus fundadores y pioneros.
Introduce cursos de metodología sobre educación matemática en varias universidades alemanas.
Como la propia educación matemática, la investigación en educación matemática comienza en las universidades. (Kilpatrick,1992)
Klein dirige el primer doctorado en educación matemática, defendido en 1911 en Gotinga.
"I believed that the whole sector of mathematics teaching, from its very beginnings at elementary school right through to the most advanced level research, should be organised as an organic whole. It grew ever clearer to me that, without this general perspective, even the purest scientific research would suffer, inasmuch as, by alienating itself from the various and lively cultural developments going on, it would be condemned to the dryness which afflicts a plant shut up in a cellar without sunlight” (Klein, 1923)
Como los grandes pioneros, varias disciplinas reconocen a Kleincomo precursor y fundador en su campo. La educación matemática debe a Klein su orientación inicial y partede sus problemas principales, proyectos, métodos y tareas.
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En este contexto, se edita en 1910 el libro: Matemática Elemental desde un puntode vista superior
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Se traduce y edita en España el primer tomo en 1927
Objetivo del libro de Klein:
“Explicar (…) desde el punto de vista de la ciencia moderna (…)tanto el contenido como los fundamentos de la materia (…) prestandola debida atención a los métodos de enseñanza más habituales”
“Llamar la atención de los profesores de matemáticas de secundariasobre la trascendencia de sus estudios académicos en su labor profesional, en particular de sus estudios de matemáticas puras”
Abordar las diferentes maneras en que el problema de la enseñanzapuede presentarse al matemático. Para ello se centra en los avances producidos en el objeto de esaenseñanza
Problema que plantea Klein
Diagnóstico. Doble discontinuidad: 1. Al pasar a la universidad el estudiante de matemáticas desecundaria, y2. Al comienzo del trabajo del profesor de matemáticas en el aula de secundaria.
Doble tratamiento: 1. Impregnar las materias que las escuelas enseñan con las ideas derivadas de los avances de la ciencia, y2. Tener en cuenta en la enseñanza universitaria las necesidades delos profesores de las escuelas.
Disfunciones entre los sistemas de enseñanza y formación de los estudiantes de matemáticas de secundaria y de los estudiantes dela universidad.
Tratamiento. Reforzar vínculos:“Mostrar el enlace mutuo entre los problemas de las diferentes disciplinas (…) y, más específicamente, hacer énfasis en la relaciónentre estos problemas y los de las matemáticas escolares”
Plan de trabajo:
Extraer del cuerpo de conocimientos (académicos) un estímulo vivopara la actividad docente. Influir sobre los problemas de la enseñanza.
Aprovechar la experiencia de los cursos impartidos en la universidad.Presentar en formato de libro los textos escritos para el logro de un conocimiento matemático avanzado de los profesores de secundaria.
Las principales ideas que se presentan en los dos Prólogos y en la Introducción de la obra, muestran a Klein como contemporáneo, cercano y certero, que presenta y desarrolla retos a la educación matemática al día de hoy.
Todas estas ideas muestran la gran fuerza de Klein, la enormeprofundidad de su pensamiento; su interés primordial por lograrbuenos y bien formados profesores de matemáticas.
Además de su alto nivel como matemático, dentro de una comunidad de matemáticos altamente cualificados, Klein muestrauna considerable capacidad para identificar problemas clave de laeducación matemática en una época donde no hay desarrollo dela disciplina y apenas expertos en este campo.
Resulta sorprendente evocar cuantos conocimientos matemáticos, centrales en este momento, eran desconocidos en esa época.
Modernidad de Klein: Principios/ consideraciones didácticas defendidos en su trabajo
Reivindica un estilo sencillo, estimulante, convincente.
Propone combinar la intuición geométrica con la precisión de las fórmulas aritméticas.
Establece seguir el desarrollo histórico de las distintas teorías paracomprender las diferencias entre los métodos de presentación que conviven en la enseñanza.
Subraya la importancia creciente de las matemáticas aplicadas dentro de la enseñanza en secundaria
Propugna una presentación comprensible e intuitiva
Defiende asociar las matemáticas en todos los niveles con aquello que interesa al alumno en cada momento concreto de su desarrollo
Defiende un mayor peso de las matemáticas aplicadas en la universidad
Requiere establecer conceptos clave - concepto de función- en el centro de la enseñanza, por su papel en el pensamiento matemático.
Subraya la importancia de los métodos gráficos para la representación de relaciones funcionales.
Apuesta por el desarrollo de la percepción espacial
Lo que hay de didáctico en el trabajo de Klein: su preocupación por la formación adecuada del profesor de matemáticas, singularmentedel profesor de secundaria.
Propuesta de Klein sobre formación de profesores de matemáticas
Ejemplo:Matemática elemental desde un punto de vista superiorTomo I: Aritmética. Álgebra. Análisis. Capítulo 1: Calculando con los números naturales, pp. 27- 46
Estrategia:“Aquí, como haremos siempre a lo largo de estas clases, nosplantearemos primero cómo se enseña este tema en las escuelas y luego examinaremos qué implica esto cuando se analiza desde un punto de vista superior”
Método: Análisis Didáctico
Considerar las matemáticas que se enseñan y aprenden en la escuela: las matemáticas escolares. Considerar las matemáticas escolares desde una perspectiva formal.
Foco: Análisis de Contenido
Desarrollo del capítulo/ ejemplificación del método en cuatro puntos
1º La introducción de los números en las escuelas
Aprendizaje de los números a partir de sus usosCaracterización inicial del método escolar como intuitivo y genético
Presentación progresiva de los contenidos de la aritmética escolarsegún niveles y complejidad de los aprendizajes
Fenomenología de Klein:Enfatizar las aplicaciones de los números en la vida prácticaTrabajar con números tomados de situaciones realesIntroducir cuestiones a las que los números dan respuestaProblemas en los que calcular algo que se pide; tipos
Nueva caracterización del conocimiento numérico: intuitivo, genéticoy aplicado
Objetivo del aprendizaje numérico:manejar con fiabilidad las operaciones elementalesdesarrollar las habilidades intelectuales
Problema didáctico: discontinuidad entre la formación dada en las Normales y la dada en la Facultad de Ciencias a los profesores.
Tratamiento: Buscar zonas de trabajo comúnAlta consideración al trabajo de los maestros
Paso de los números concretos a números abstractos, simbolizadospor letras; reglas y operaciones con estos números en 7º y 8º cursos.
Dominio del profesor:Las leyes lógicasLos fundamentos del cálculoLa teoría de los números enteros
2º. Las leyes fundamentales del cálculo
Segundo paso:Estructura conceptual de los naturales
Revisión de las once propiedades de las operaciones con naturales como estructura básica de todas las propiedades numéricas.Ejemplos.
Las once propiedades proporcionan base formal al cálculo aritmético.Necesidad de su exposición sistemática
Consideración de las once propiedades fundamentales de laaritmética escolar
3º Los fundamentos lógicos de las operaciones con números enteros
Las leyes fundamentales consideradas ¿cómo se justifican? ¿cuál es el concepto de número en que se sustentan?
Análisis conceptual y revisión histórica:El concepto de número y su origen. Dificultades
Planteamientos filosóficos:Noción de número, tiempo y secuencia temporalNoción de número y percepción espacial de objetosEspecial aptitud de la mente
Justificación de la estructura conceptual y de sus fundamentoslógicos a partir de las nociones anteriores
Estas tres aproximaciones básicas a la noción de número natural fundamentan la estructura conceptual de la aritmética escolar
1a. La noción de número tiene su origen en la sucesión temporal. Esta noción se basa en la percepción interior y la intuición. El principio de inducción completa extiende las reglas de cálculo. Es la intuición la que garantiza la seguridad de todo el edificio matemático. Kant y Hamilton representan esta aproximación.
1b. Variante del anterior: descompone los once principios en pasos mas pequeños; justifica los mas sencillos por intuición y deduce el resto mediante procedimientos lógicos. Encuadra en esta opción Los Principios de la Aritmética de Peano
2. El número es una propiedad de los conjuntos. La cardinalidad de los conjuntos finitos muestra el desarrollo de esta aproximación, que fundamenta las operaciones a partir de las propiedades generales de los conjuntos y de sus relaciones. Cantor y Dedekind se citan entre los precursores
3. Aproximación puramente formal a la noción de número. En este caso los números son entes abstractos que se representan por signos arbitrarios, letras, y se combinan y operan entre ellos siguiendo las reglas establecidas. El conjunto viene determinado por las reglas con las que opera. Leibnitz, como precursor, y Hilbert son exponentes de esta visión.
Lo importante, en este caso, es la consistencia lógica del sistema
Apuestas de Klein al concluir el análisis conceptual
El valor de la intuición:Se debe emplear siempre cierto grado de intuición incluso en la formulación más abstracta con los símbolos que se emplean en las operaciones con el objetivo de poder volver a reconocer los símbolos
Limitaciones de la fundamentación lógica:La aritmética real, la teoría de los números enteros actuales, ni ha quedado fundamentada ni lo será nunca mediante razonamientos denaturaleza lógica.
Logro alcanzado:Establecer axiomas o principios fundamentales independientes, apartir de los cuales se desarrolla la aritmética de manera consistente.Estos principios muestran la estructura lógica del sistema y dansentido a cualquier enunciado aritmético, es decir, permiten valorarsu veracidad o falsedad.
Advertencia de Klein:La justificación de la aplicación de esas propiedades a las condicionesreales, no se ha tocado, no ha quedado resuelta por los fundamentos
Klein insiste en que la fundamentación lógica es ineludible paradotar de sentido a las proposiciones aritméticas. Pero igualmente insiste en recordar que la mera evaluación semántica no dota de significado a la aritmética escolar ya que, sin referencias, estos contenidos carecen de significado para los escolares.
La parte viva de las matemáticas, su estímulo mas importante, su eficacia en todos los sentidos, depende totalmente de sus aplicaciones,es decir, de las relaciones mutuas entre los entes puramente lógicos ytodos los demás dominios.
4º La Práctica del cálculo con número enteros
Este cuarto apartado se dedica al desarrollo práctico del cálculoaritmético mediante una máquina de calcular, modelo Brunsviga
Dedica un apartado a su descripción técnica y modo de uso
A continuación explica con cierto detalle el paso de las decenas, detallando la traducción mecánica de algunos de los procedimientosalgorítmicos habituales.
Concluye con algunas reflexiones sobre la modelización medianteun mecanismo de las reglas de las operaciones aritméticas
El autor hace una buena descripción, pero no profundiza sobre elinterés formativo de modelos para presentación y tratamiento de conceptos y procedimientos matemáticos.
Balance
El problema que plantea F. Klein es el de la adecuada formacióninicial del profesor de matemáticas, de cualquier nivel educativo.
Reconoce la especificidad del trabajo del profesor e identifica algunoscortes y discontinuidades en el sistema vigente, debido a los diversosniveles del sistema educativo y a los distintos planes de formación.Denuncia que los planes de formación de profesores generan problemas al provocar desniveles y desencuentros.
Caracteriza, inicialmente, su método en base a la revisión de la práctica escolar y del análisis de sus contenidos.
El problema didáctico de Klein es la formación del profesorado. Su tratamiento se sustenta en el análisis de los contenidos de las matemáticas escolares.
Análisis de contenido
Considera tres tipos de análisis diferentes:
Análisis fenomenológico: situaciones/ fenómenos/ aplicación/contextos/ preguntas/ presencia real
Análisis histórico: aproximaciones epistemológicas; génesis de losconceptos implicados; raíces filosóficas
Estructura conceptual. Fundamentación lógico- formal de los conceptos y procedimientos.
Señalamos la ausencia de reflexión sobre las representaciones como objeto propio del análisis didáctico en el trabajo de Klein
Sentido de las proposiciones matemáticas y de los conocimientos
Complementariedad entre sentido y referencia en las matemáticasescolares.
En la escuela es imposible la división del trabajo entre matemática pura y aplicada y la especialización de cada profesor es imposible.Las propias necesidades de la enseñanza escolar exigen una visióngeneral del campo frente al excesivo desmenuzamiento de la ciencia.
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El punto de vista del espectador, lo que he querido mirar El punto de vista del especialista, lo que he pretendido transmitir
Google Earth: ¿una visión avanzada de problemas actuales?
