NWD Open Course Logic - Universiteit Utrecht...42 Open Course Logic in Action In de TIME-Magazine...

Nieuwe Wiskrant 30-1/oktober 2010 41

InleidingLogica wordt op Nederlandse universiteiten aan grotegroepen studenten onderwezen. Bij nieuwe interdisci-plinaire studies die veel studenten trekken, wordt logicavaak in het eerstejaarsprogramma opgenomen. In hetonderwijsproject ‘Logic in Action’ (logicinaction.org),dat medio 2009 op de Universiteit van Amsterdam vanstart ging, wordt modern lesmateriaal ontworpen,schriftelijk en elektronisch, voor inleidend logica-onderwijs aan deze groeiende groep studenten. Ditmateriaal lijkt ook de moeite waard voor sommige groe-pen leerlingen in het middelbaar onderwijs.

fig. 1 Aan verschillende universiteiten (Amsterdam, Beijing en Stanford) werden al colleges gegeven met behulp van het mate-riaal van ‘Logic in Action’. Hierboven de website van zo’n college aan het Amsterdam University College voor tweehonderd eer-stejaars studenten.

Achter deze ontwikkeling in het onderwijs schuilt eenevolutie in het wetenschappelijk onderzoek. Logica isniet langer alleen de discipline van exacte argumenta-tie in de grondslagen van de wiskunde en filosofie,maar een algemene wetenschap die zich richt oprepresentatie, analyse en overdracht van informatie.Die interesse wordt gevoed door vele contacten tus-sen logica en informatica, maar dan de moderne infor-matica als studie van communicerende ensamenwerkende ‘intelligent agents’, eerder dan de lou-tere ingenieurskunde van machines. De logica levertinmiddels modellerings- en rekenmethoden voor eenbreed bereik aan disciplines, van de wiskunde en

informatica tot de geestes- en menswetenschappen.Het recente ‘strategic research program’ LOGICCC

(Modeling Intelligent Interaction: Logic in the Huma-nities, Computational and Social Sciences) van deEuropean Science Foundation geeft hiervan eengoede indruk.

fig. 2 De cover van de Nederlandstalige versie van ‘Logicomix’.

De logici zelf mogen zich ook verheugen op een bredebelangstelling bij de belezen burger, zoals bijvoor-beeld blijkt uit het recente succes van Logicomix, eenstripverhaal over het leven van Bertrand Russell en degrondslagenstrijd in de wiskunde van rond de eeuw-wisseling.

fig. 3 Drie logici in de TIME-Magazine top-20 van belangrijkste personen van de twintigste eeuw. V.l.n.r. Gödel, Turing en Witt-genstein.

Open Course Logic in ActionLogicaonderwijs langs nieuwe wegen

De open course Logic in Action is in principe bedacht en geschreven voor eerstejaarsstu-denten van de Universiteit van Amsterdam die met logica te maken hebben. Logica isveel meer dan alleen een onderdeel van wiskunde of filosofie. Tijdens de openingslezingvan de vorige NWD werd duidelijk dat deze open course ook leerlingen uit het voortgezetonderwijs kan aanspreken. Johan van Benthem en Jan Jaspars laten zien waar deopen course over gaat.

42 Open Course Logic in Action

In de TIME-Magazine top-20 van belangrijkste intellec-tuelen van de twintigste eeuw stonden drie logici.Logica ligt soms ook wat dichter bij de student danandere vakken, door het aspect van ‘denken over jeeigen denken’. Illustratief is de volgende verzuchtingvan een student in een cursus aan het AmsterdamUniversity College:

“Een onvoldoende voor wiskunde vind ik aanvaardbaar. Ge-tallen, lijnen en grafieken behoren tot een externe wereld dieniet de mijne is. Maar logica gaat over mijn eigen denken. Eenonvoldoende hiervoor is een persoonlijke nederlaag.”

fig. 4 De voorkant van het Nederlandstalige boekje van de Open Universiteit Heerlen, Logica in Actie.

fig. 5 De uitvinding van het machinale binaire rekenen: de ‘me-chanica dyadica’ van Leibniz (1700, alleen op papier beschre-ven). Gelukkig waren oude filosofen als Leibniz niet vies van in-genieurswerk. Honderdvijftig jaar later pas werd de relatie tus-sen binair rekenen en logica gelegd (Boole), en pas honderd jaar daarna gebruikt om elektronische computers eenvoudig te laten rekenen.

Logica en wiskundeVan oudsher hebben logica en wiskunde nauwe con-tacten. Zo heeft Euclides’ Elementen naast echte meet-kundige principes, zoals het Parallellenpostulaat, ook‘algemene begrippen’, universele logische wetten zoalshet volgende principe van gelijkheid: “Twee objectendie beide gelijk zijn aan een derde object zijn gelijk aan

elkaar”. De grens tussen logica en wiskunde is dan ookvloeiend, en de moderne logica berust essentieel opwiskundige methoden. Logische begrippen als geldiggevolg of waarheid laten zich wiskundig bestuderen,een inzicht dat al teruggaat tot Leibniz (eind zeven-tiende eeuw) die het menselijk redeneren zag als reke-nen. ‘Leibniz’ droom’ was dat door formalisering vanonze natuurlijke taal en expliciet maken van redeneer-stappen foutieve conclusies zouden voorkomen kun-nen worden, en verschillen van mening beslechtzouden worden door objectieve berekening (“Calcule-mus!”). Hij veronderstelde zelfs dat dit rekenwerk uit-eindelijk overgelaten zou kunnen worden aanmachines.

fig. 6 George Boole op de voorkant van een moderne uitgave van zijn Laws of Thought (1846).

Halverwege de negentiende eeuw gaf George Boole inzijn vermaarde Laws of Thought inderdaad een systeemvan algebraïsche vergelijkingen dat simpele vormenvan logisch redeneren formaliseerde. De variabelenlopen niet meer over getallen, maar over beweringen(proposities) of eigenschappen (verzamelingen). Dealgebraïsche operaties weerspiegelen dan logischeoperaties als de voegwoorden ‘en’, ‘of’ en ‘niet’, ofkwantoren als ‘alle’, ‘sommige’ en ‘geen’. Latere logicihebben vele uitbreidingen voor het algebraïschesysteem van Boole bedacht, met Charles SaundersPeirce als een beroemde vertegenwoordiger. Verder inLeibniz’ meer praktische lijn, bouwde Stanley Jevonsde eerste redenerende machine, de ‘logische piano’,een houten apparaat waarmee de geldigheid van een-voudig gekwantificeerde gevolgtrekkingen (syllogis-men) berekend kon worden. De weg naar de modernecomputer lag in principe open, al zou dit nog eeneeuw duren.


fig. 7 De drie axioma’s in symbolische notatie. Het eerste zegt, ‘x blijft behouden nadat zij versterkt is met y’ (monotonie). De tweede stelt de transiviteit voor, ‘als .. dan ..’, en de derde is ‘con-trapositioneel redeneren’: indien y waar is, kan ik de waarheid van x aantonen door te laten zien dat de aanname dat x onwaar is tot een tegenspraak met y leidt . In het volgende beschrijven we kort de klassieke en moderne thema’s in de logica die samen komen in onze opencourse Logic in Action. Een meer uitgebreide versie is te vinden in het gratis downloadbare boekje Logica in Actie van de Open Universiteit te Heerlen.

Moderne logische systemen gebruiken doorgaansniet-algebraïsche notaties. In figuur 7 ziet u een kleinvoorbeeld, met een pijltje ( ) voor een logischeimplicatie, en een streepje (-) voor negatie. Het vol-gende systeem (afkomstig van Jan Lukasiewicz, 1910)bestaat uit slechts drie axioma’s en de afleidingsregel‘modus ponens’: “indien de uitspraak aange-toond is, en ook x, dan kan worden geconcludeerd toty’. De variabelen x, y,... staan voor willekeurige bewe-ringen. Gebruikmakend van de drie gegeven axioma’sen de modus ponens-regels komt men steeds weer totnieuwe logisch geldige principes. Het is nooit mogelijkom een ongeldige uitspraak af te leiden – het systeemis correct – en bovendien is er voor elk geldig principebetreffende implicatie en negatie een bewijs in ditsysteem te geven - het systeem is ‘volledig’. Zo’n ‘axiomatisch’ systeem kan weer vervangen wor-den door een zogenaamd natuurlijk deductiesysteem(Gerhard Gentzen, 1938) dat uit afleidingsregelsbestaat. Voor het implicatietaaltje van hierboven kun-nen de drie axioma’s vervangen worden door tweeregels zoals we die gebruiken in wiskundige bewijs-voering. Hierbij wordt gebruik gemaakt van hypothe-sen en veronderstellingen. De twee regels luiden:

is bewezen als y bewezen kan worden onder de ver-onderstelling dat x.x is bewezen als een tegenspraak bewezen kan worden uitde veronderstelling dat -x.

fig. 8 Gottlob Frege, met ter rechterzijde een originele notatie van het Begriffschrift. Tegenwoordig gebruikt men doorgaans een lineaire notatie, die ook gangbaar is in hedendaagse wis-kundeteksten.

De ware doorbraak van de logica binnen de wiskundewerd geïnitieerd door het werk van Gottlob Frege.Rond 1880 introduceerde hij het Begriffschrift, een veelrijker logisch formalisme dan dat van Boole. Binnende logica zelf was dit een verdere stap voorwaarts inde formalisering van menselijk redeneren, maar in deverhouding met de wiskunde ontstond een omkeringvan perspectief. Het logische systeem van Frege isvoldoende krachtig om iedere wiskundige beweringformeel te noteren. Daarmee leent zo’n systeem zichom wiskundige bewijzen te bestuderen, en daarmee degrondslagen van wiskundige theorieen, zoals vervol-gens gebeurde in het werk van Bertrand Russell enDavid Hilbert. Het ‘grondslagenonderzoek van dewiskunde’ zocht met name naar bewijzen dat wiskun-dig redeneren contradictievrij is, als sluitstuk op dehistorische beweging naar grotere precisie die de wis-kunde in de negentiende eeuw had gekenmerkt. Degrootste resultaten van deze periode werden geboektin de dertiger jaren. Centraal punt zijn de ‘onvolledig-heidsstellingen’ van Kurt Gödel die ruwweg zeggendat voldoende sterke wiskundige theorieën (die opzijn minst enige elementaire rekenkunde bevatten)niet alle ware beweringen in hun domein kunnenbewijzen, en voorts dat dergelijke theorieën, indienconsistent, niet in staat zijn hun eigen consistentie tebewijzen. Hoewel ‘negatief’ geformuleerd, zijn dezeresultaten het begin geworden van een stormachtigeontwikkeling van nieuwe methoden en inzichten ombewijskracht van wiskundige theorieën te bepalen,evenals hun relatie tot de wiskundige werkelijkheid.Zelfs als er geen wiskundige garanties zijn af te gevenvoor de consistentie van de wiskunde, dan kan mendit ook interpreteren als een vrijbrief voor creativiteit.Moderne theorieën van cognitie zien het wezen vanmenselijke intelligentie in ons vermogen, niet tot vlek-keloze correctheid, maar tot het corrigeren van geble-ken fouten.

fig. 9 Een programmaatje om kennis te maken met predikaten-logica (links) en een simpele Turing machine op de site van 'Lo-gic in Action'.

Er zijn in deze bloeiperiode overigens vele positieveresultaten geboekt van een algemenere logische strek-king. Het beroemdste voorbeeld komt weer vanGödel: in zijn proefschrift bewees hij dat Frege’s pre-

x y––

x y

x y


dikatenlogica een volledige beschrijving geeft van allegeldige principes voor redeneren met Boolese opera-ties en kwantoren over willekeurige structuren. Depredikatenlogica is daarmee nog steeds de kern vaniedere serieuze inleiding in de moderne logica.

Logica en informatica

fig. 10 Pioniers van de informatica. Links Tony Hoare van de ‘Hoare Logica’, een systeem voor het bewijzen van correctheid van computerprogramma’s, een voorganger van de dynami-sche logica. In het midden Edsger Dijkstra die systemen ontwik-kelde om correctheidsbewijzen dichter te laten aansluiten bij de programma’s zelf. Rechts John McCarthy, ontwerper van de programmeertaal LISP, gebaseerd op Church’ lambda calculus, en ook een der pioniers van de ‘kunstmatige intelligentie’.

Met de formele wiskundige studie van redenerenkwam ook de mechanisering ervan in beeld. AlanTuring gaf in de jaren dertig de eerste wiskundig pre-cieze definitie van rekenmachines. Weer kwamen toenin eerste instantie juist beperkingen op formele bere-kenbaarheid aan het licht: Turing bewees met name(in het voetspoor van Cantors en Gödels ‘diagonaalar-gumenten’) dat er geen mechanische methode bestaatom te testen of een gegeven rekenprogramma op eengegeven invoer ‘termineert’, dat wil zeggen, stopt meteen antwoord. In dezelfde geest bewees AlonzoChurch dat hiermee ook een eind komt aan ‘Leibniz’Droom’: geldigheid van gegeven gevolgtrekkingen inde predikatenlogica is in zijn volle algemeenheid nietmechanisch te berekenen. Maar weer bleek dit geeneind maar een begin: de machinemodellen van dezeperiode, en daarmee verbonden technieken als code-ren van bewijzen en gegevensstructuren in natuurlijkegetallen, stonden aan het begin van de moderne infor-matica. Turing zelf gebruikte zijn model na de TweedeWereldoorlog in zijn ontwerp voor de verwezenlijkingvan de eerste Britse computers. Het systeem vanChurch werd later in de zestiger jaren gebruikt bij deontwikkeling van geavanceerde programmeertalen.Met de formele wiskundige studie van redenerenkwam ook de mechanisering ervan in beeld. AlanTuring gaf in de jaren dertig de eerste wiskundigexacte definitie van rekenmachines. Weer kwamentoen in eerste instantie juist beperkingen op formeleberekenbaarheid aan het licht: Turing bewees metname (in het voetspoor van Cantors en Gödels ‘diago-naalargumenten’) dat er geen mechanische methodebestaat om te testen of een gegeven rekenprogramma

op een gegeven invoer ‘termineert’, dat wil zeggen,stopt met een antwoord. In dezelfde geest beweesAlonzo Church dat hiermee ook een eind komt aan‘Leibniz’ Droom’: geldigheid van gegeven gevolgtrek-kingen in de predikatenlogica is in zijn volle algemeen-heid niet mechanisch te berekenen. Maar weer bleekdit geen eind maar een begin: de machinemodellenvan deze periode, en daarmee verbonden techniekenals coderen van bewijzen en gegevensstructuren innatuurlijke getallen, stonden aan het begin van demoderne informatica.

Deze contacten tussen logica en informatica zijn in deloop der jaren alleen maar gegroeid. In de jaren 60 en70 werden logica’s gebruikt voor de beschrijving, ensoms zelfs het ontwerp van programma’s, in het werkvan Edsger Dijkstra, Tony Hoare, Amir Pnueli, enanderen. Tegelijkertijd werkten logici als Dana Scottaan diepe wiskundige theorieën van berekening eninformatie, vaak met gebruik van categorieëntheorie,en ontstonden logisch geïnspireerde theorieën vandatabases (nog steeds een florerend gebied met veletoepassingen). In de jaren 80 intensiveerde dit contact,onder meer met subtiele logische studies van concur-rency (een grote naam hier is Robin Milner): tegelijkrekenen door vele machines, en tegenwoordig ook:door vele min of meer intelligente processoren. Eenparallelle stroom was de opkomst van de kunstmatigeintelligentie, waaronder pioniers als John McCarthy,waarin vele nieuwe genres redeneren werden bestu-deerd in een poging machines dichter te brengen bijhet ‘common sense redeneren’ dat wij gebruiken bijhet oplossen van alledaagse problemen. Het meestelogica-onderzoek wereldwijd vindt tegenwoordigplaats op de rand met de informatica, en er is een langerij winnaars van de ‘Turing Award’ (de hoogste onder-scheiding binnen de informatica) die de vruchtbaar-heid van dit contact aantoont.

We noemen hier al deze namen, niet zozeer als ‘namedropping’, maar om een veel voorkomende exclusieveaandacht voor de grondslagenfase van de jaren 30 tecorrigeren. Dit bewijst niet dat er daarna niets meervan belang is gebeurd, maar eerder dat er tot nog toete weinig van de nieuwe prestaties in de algemene leer-boekcultuur is doorgedrongen.

In wat volgt bespreken we drie typische thema’s uit demoderne logica die uit deze latere periode stammen.Ze zijn als volgt te begrijpen. Klassieke systemen alspropositielogica of predikatenlogica zijn rijke talen omeen complexe wiskundige of zelfs alledaagse realiteitte beschrijven. Maar hoe gebruiken we zulke formalis-men? Dan komen de activiteiten in zicht van redene-


rende of communicerende actoren die taal gebruikenvoor bepaalde doelen. Drie van zulke belangrijkegebruiksthema’s zijn handelingen en hun effecten,kennis en informatie, en strategische interactie op lan-gere termijn tussen meerdere actoren in een spel.

Logica, verandering, en handelenKlassieke logische talen beschrijven waarheid in eenonveranderlijke wereld. Maar programma’s dienen omcomputers tot opeenvolgende handelingen te krijgen,en dus zijn nieuwe logica’s nodig die veranderingenbeschrijven door de tijd heen. Een belangrijke lijn indit onderzoek begon met de analyse van eenvoudigeprogramma’s voor rekentaken. Hier is een voorbeeldvan een eenvoudig stukje programmacode om eengetal te kwadrateren met alleen gebruikmaking vanoptelling:

y=1;while (x < n) {x=x+1; z=z+y; y=y+2}

De belofte is dat uitvoering in een begintoestand metwaarden 0 voor x en z uiteindelijk de waarde voorz oplevert. Maar kunnen we ook een garantie gevendat het werkt? Met behulp van dynamisch logischerekenregels kan een correctheidsgarantie geleverdworden. In dynamische logica schrijft men dit als

waarbij P staat voor hethier genoemde programma. De genoemde formuleleest nu als volgt: “Als dan zal (elke) uitvoering van het programmaP leiden tot een toestand waarin .”

fig. 11 Een animatie op logicinaction.org die een versimpelde versie van het Nederlandse OV-netwerk weergeeft. Ter kennis-making en oefening van de dynamische logica voor beginnende studenten.

Er blijkt nu een systeem van abstracte logische rede-neerwetten te bestaan dat precies beschrijft wat geldigis in deze combinatie van handelingen en beweringenover de diverse toestanden die voor en na een hande-ling kunnen optreden. Daarbij is van belang dat han-delingen opgebouwd kunnen zijn uit anderehandelingen (zoals in het voorbeeld kwadraterings-programmaatje P van hierboven, of de reispro-gramma’s die men kan samenstellen met behulp vanhet OV-netwerkje in het voorbeeld van figuur 11. In de‘dynamische logica’ worden drie standaardcombina-ties onderscheiden:

– P ; Q : voer eerst P uit en dan Q (compositie)– : doe P of Q (keuze).– P* : doe P een aantal (eventueel 0) keren achter

elkaar (iteratie).

Meer gestructureerde handelingen, waaronder debekende programmeerconstructie ‘IF test DO P ELSEDO Q’ en ‘WHILE test DO P’ kunnen gedefinieerd wor-den in termen van deze basiscombinaties. De ‘dyna-mische logica’ bestaat uit een uitbreiding van dewetgeving van de klassieke logica (zoals bijvoorbeeldgegeven in figuur 7) met principes die het gedrag vandeze combinaties van handelingen vastleggen. Tweeeenvoudige wetten voor compositie en keuze zijn:

––

Lastiger wordt het als iteratie in het spel komt. Eenbelangrijk axioma voor iteratie is het volgende ‘induc-tie’-principe:

–

Deze iteratiewet stelt dat als p in de huidige toestandhet geval is en dat na elke willekeurige herhaling vanP-handelingen p behouden blijft indien we P nog eenkeer uitvoeren, dan moet p waar zijn na elke P-iteratie.Dit is de logische essentie van het wiskundige begripinductie.

Dynamische logica is verwant aan zogenaamde‘modale logica’s’, oorspronkelijk ontwikkeld in de filo-sofie ter beschrijving van de begrippen ‘noodzakelijke’en ‘mogelijke’ waarheid. Inmiddels is dit systeem veelalgemener in gebruik als beschrijving van een breedbereik aan handelingen, niet alleen zuivere rekentaken,maar in feite ieder soort gestructureerd handelen.Dynamische logica’s worden gebruikt in de analysevan ‘agent systems’ om te redeneren over wat wijzelfen anderen doen, in de analyse van planningsproble-men in de kunstmatige intelligentie, maar ook in debeschrijving van de procedures waarmee wij natuur-lijke taal interpreteren (‘dynamische semantiek’).Nieuwe toepassingen, en meer uitgebreide systemenvan deze handelingenlogica zijn een nog steeds zeeractief onderzoeksgebied.

Logica, kennis en informatieDynamische logica beschrijft abstracte structuren inhandelingen en processen. Maar ons handelen wordtdoorgaans gedreven door informatie. Een anderebelangrijke uitbreiding van de klassieke logica is de‘kennislogica’ die beschrijft wat actoren weten over dewereld, en over elkaars kennis. Bijvoorbeeld, commu-

n2

x z 0= = P z n2 =

x z 0= =

z n2

=

P Q

P Q; p P Q pP Q p P p & Q q

p & P* P p P* p


nicatie in natuurlijke taal valt niet te begrijpen zonderte analyseren wat sprekers en hoorders al dan nietweten, inclusief wat zij denken over wat anderen aldan niet weten. Kennislogica heeft weer zijn oor-sprong in de filosofie (Jaakko Hintikka), maar is ookonafhankelijk herontdekt in de moderne economie(Robert Aumann won er zelfs een Nobelprijs mee).Dit keer werken we met verzamelingen toestandenvoor informatie die een persoon heeft: hoe meer toe-standen, des te meer onzekerheid, en dus minderinformatie. Neem ter illustratie de puzzel in figuur 12.

fig. 12 D ziet alleen B en C, C ziet alleen B, en A en B zien nie-mand. Publiekelijk wordt dit viertal verteld: “Twee van jullie dragen een witte hoed, de andere twee een rode”. De vraag aan deze vier spelers is :“Ken je de kleur van je eigen hoed?” Enige tijd blijft het stil, waarop een van de vier roept dat hij het ant-woord weet. Wie?

Persoon D ziet maar twee mogelijkheden, persoon Cdrie, de andere twee zes! Kennislogica is een uitbrei-ding van de klassieke propositielogica met kennis-operatoren waarbij staat voor de beweringdat agent weet dat p het geval is. In termen van indi-viduele onzekerheden betekent dat de bewering pwaar is in alle situaties die de agent voor mogelijkhoudt. Figuur 13 maakt dit duidelijk. Als betekentdat agent een rode hoed draagt, dan staat voor de uitspraak dat D weet dat hij een rode hoeddraagt. Deze bewering is in de situatie als gegeven infiguur 13 duidelijk onwaar. Een bewering die wel waaris, is dat als C een witte (niet rode) hoed draagt, ,dan zou wel waar zijn. In een kennisformule:

.

Symbolische rekensystemen voor kennislogicabestaan uit uitbreidingen van systemen voor klassiekelogica aangevuld met extra axioma’s zoals

.

Dit zegt dat actoren worden beschouwd als perfectelogische denkers: zij kennen dus de logische gevolgenvan hun eigen kennis. Het genoemde axioma toepas-sende op het raadseltje uit figuur 13, kunnen we toteen antwoord komen. Agent C weet immers dat als Dniet weet dat hij een rode hoed draagt, dat hijzelf eenrode hoed draagt. In een formule: ).Nadat het stil blijft, verwerft C de informatie dat Dniet weet dat hij de rode hoed draagt: . Op

grond van het hierboven genoemde principe van logi-sche perfectie levert dit de conclusie .

Fijnzinnig redeneren over kennis en onwetendheidvan anderen is niet voorbehouden aan puzzeltjes. Hetis onmisbaar bij het modelleren van alledaagse com-municatieve handelingen, waar kennis over anderenessentieel is, en zelfs vormen van ‘groepskennis’ voor-komen. De laatste jaren wordt uitgebreid onderzoekgedaan naar de manieren waarop informatie verandertin communicatie met natuurlijke taal. Dit wordtgemodelleerd door veranderingen in gegeven kennis-modellen, die doorgaans kleiner worden als nieuweinformatie binnenkomt. Hiermee komen we bij com-binaties van de eerdere dynamische en epistemischelogica’s, waarmee zeer complexe scenario’s zijn tebeschrijven, met mengsels van publieke en privé-informatie, zoals wanneer u e-mail gebruikt met eenbcc-ontvanger. En daarmee komt weer een verbandnaar voren met informatica en kunstmatige intelligen-tie: de studie van gedistribueerde systemen van men-sen, robots of andere autonome rekenapparatuur dieinformatie kunnen uitwisselen.

Logica en spel

fig. 13 Twee speltheoretische animaties uit Logic in Action. De eerste illustreert modellen voor zogenaamde gedetermineerde spelen, waarbij een van beide spelers een winnende strategie heeft, zoals in diverse bordspelen. De animatie laat zien hoe voor elk zo'n spel voor een van de spelers een winnende strategie gevonden kan worden (de stelling van Zermelo). De tweede illu-stratie is een model voor een simpel kaartspel. Bij kaartspelen speelt men veelal met verborgen informatie, wat ervoor zorgt dat de kennis verschilt per speler. Hier hebben we (dynamische) kennislogica nodig voor de modellering en berekening van de gedragingen van de verschillende deelnemers.

Met een logische beschrijving van informatie en han-delen met meerdere actoren ligt een laatste stap voorde hand, en wel naar sociaal gedrag. De bovenge-noemde systemen blijken goed aan te sluiten bij despeltheorie en sociale keuzetheorie, waar individuenen groepen handelen gedreven door informatie, maarook door hun voorkeuren over uitkomsten vangedrag. Om dit duidelijk te maken een klein voor-beeld: de Benelux kiest een nieuwe voorzitter. Debenoemingscommissie bestaat uit drie leden: een Belg,een Nederlander en een Luxemburger. De zittende

Kx Kxpx

xrx

x KDrD

rC–

KDrD

rC KDrD–

Kx p q & Kxp Kxq

KC KDrD rC–

KC KDrD–

KCrC


voorzitter is een Belg die ook weer aan de verkiezingdeelneemt. In de eerste speelronde wordt een tegen-kandidaat gekozen waarvoor een Nederlander en eenLuxemburger kandideren. De tegenkandidaat wordtgekozen door dezelfde commissie. In de hierondergegeven tabel zijn de verschillende voorkeuren van dedrie leden gegeven.

Ieder commissielid heeft de voorkeur voor een voor-zitter van eigen nationaliteit. In de kolommen van detabel is verder gegeven hoe de verdere voorkeuren lig-gen. Het Belgische commissielid prefereert de Neder-landse kandidaat boven de Luxemburgse. HetNederlandse commissielid de Belg boven de Luxem-burger. Het Luxemburgse lid ziet het liefst de zittendevoorzitter vertrekken. Deze individuele preferentieszijn bekend bij de gehele commissie.

Een oplossing voor rationele spelers valt te vinden inde speltheorie, met het zogenaamde algoritme van‘backward induction’ (zie ook de eerste animatie infiguur 14). Dergelijke algoritmes beschrijven hoe spe-lers kunnen (of moeten) redeneren om optimaalgedrag voor zichzelf en anderen te vinden. De laatstejaren blijkt dit heel goed aan te sluiten bij logischesystemen voor kennis, handelingen, en voorkeuren.Zulke systemen maken expliciet welk redeneren acto-ren gebruiken om tot optimaal ‘evenwichtsgedrag’ tekomen, met speltheoretische strategieën die zij nietmeer hoeven te veranderen.

Men kan dit speltheoretische perspectief beschouwenals een sterk verlegde grens van het logisch onderzoek,ver verwijderd van de klassieke interessen in wiskundigbewijs en grondslagen van berekenbaarheid. Maar dat isschijn! Zelfs fundamentele logische of wiskundige acti-viteiten hebben vaak meerdere spelers: denk maar aaneen argumentatie waar de een iets poneert en de anderdeze bewering bestrijdt. Wie wint hangt af van de waar-heid, maar evenzeer van strategieën voor argumentatie.Het is mogelijk gebleken zelfs de centrale logischenoties als waarheid en bewijs in deze speltermen tebeschrijven, waarbij de centrale noties uit de propositie-en predikatenlogica een herinterpretatie ondergaan. Bij-voorbeeld, verdedigen van een disjunctie A-of-B is eentypiche spelhandeling, het maken van een keuze welkvan de twee beweringen men gaat verdedigen. Aanval-len van een disjunctie laat deze keuze juist aan de tegen-speler: en dus is de sinds lang bekende wiskundigeanalogie tussen conjunctie (A-en-B) en disjunctie ver-

klaard. Het is in wezen dezelfde zet in een spel, maar hetverschil schuilt in de speler die de zet doet. Daarmee isdan natuurlijk ook een ander belangrijk spelaspect aande orde: het wisselen van rol tusen spelers. Ook dat cor-respondeert met een welbekende logische operatie, enwel de negatie. Soortgelijke spelanalyses bestaan voorde logische kantoren ‘alle’ en ‘sommige’. Spelen voorlogische noties zijn concreet en makkelijk te onderwij-zen, maar ze leggen tegelijkertijd een verband met hetbredere meerpersoonsperspectief dat we hierbovenhebben beschreven.

fig. 14 L.E.J. Brouwer op een recente Nederlandse postzegel, met als onderschrift de ongeldigheid van het uitgesloten derde in symbolische notatie.

Tenslotte, iets algemener denkend, gaan spelen overgedrag van meerdere personen, gecodeerd in strate-gieën, dat afhankelijkheden vertoont. Maar ooklogisch redeneren gaat typisch over conditioneleafhankelijkheden. Dit is geen toeval. Diverse funda-mentele resultaten over spelen hebben daarmee eennauw verband met de logica. Een mooi voorbeeld isde Stelling van Zermelo (zie ook figuur 13), die zegtdat elke spelboom van eindige diepte voor twee spe-lers met tegenstrijdige belangen (een zogenaamd‘extensief nulsom spel’) ‘gedetermineerd’ is: een vande twee spelers heeft een winstrategie die winst garan-deert, wat de ander ook doet. Dit resultaat, oorspron-kelijk bedacht door de logicus en verzamelings-theoreticus Zermelo (en onafhankelijk van hem her-ontdekt door de Nederlandse wereldkampioen scha-ken Max Euwe) heeft diepe verbanden met logischeprincipes als de wet van het Uitgesloten Derde. Ditlaatste principe lag nu juist onder vuur van de Neder-landse ‘intuïtionisten’ (met name L.E.J. Brouwer), eninderdaad valt hier veel meer te zeggen. We staan aaneen begin, niet aan een eind.

ConclusieDe logica in haar klassieke fase heeft nauwe verban-den met de wiskunde. De afgelopen eeuw zijn hiercontacten bijgekomen met de informatica in de vollebreedte van dat vak, maar ook met de filosofie, taal-kunde, en economie, en de laatste jaren zelfs de cog-nitiewetenschap. Hiermee verandert de basisinhouddie een logicacursus zou willen overdragen, wil hetvak zijn brede universitaire rol zichtbaar maken. Aande andere kant blijft de band tussen logica en wis-

BE NE LUX

BE NE LUX

NE BE NE

LUX LUX BE


kunde nog steeds een zeer speciale. Om te beginnen isde activiteit van werkende wiskundigen een mooivoorbeeld van rationele sociale interactie die al millen-nia bestaat en floreert, veel langer dan de meeste reli-gieuze of politieke bewegingen.

Maar nog belangrijker: de werkwijze van de logica,ook als het gaat over handelen, informatie of spel,blijft wiskundig. In de woorden van een Amsterdamsewiskundecursus voor een breder publiek (zie figuur16, eerste plaatje): “Niet alleen het Boek van deNatuur, maar ook het Boek van de Cognitie is in wis-kundige taal geschreven.”

Opzet van de cursus en een nieuw initiatief

fig. 15 Het Logic Education Project vervaardigt het materiaal voor Logic in Action. Op deze site vindt u ook de internationale contacten van onze groep.

De open course Logic in Action weerspiegelt de hierbeschreven inhouden. Er is een klassiek deel metbeschrijvingstalen voor structuren zoals propositielo-gica, syllogistiek, en predikatenlogica. Vervolgenskomt een modern deel met gebruikstalen zoals dyna-mische logica, kennislogica, en logica’s voor spelen.Dit besluit een mogelijke basiscursus. De websitebiedt echter modulair verder materiaal aan. Zo bevatde cursus ook een optioneel deel met algemenemethoden die door alle moderne toepassingen van delogica spelen, en ook is er een deel in constructie metcomputationele implementaties, waar gebruikers zelfeenvoudige programma’s kunnen schrijven en hands-on ervaring verwerven met ‘logica in actie’. Een anderinnovatief aspect van de cursus is niet de inhoud, maar

de vorm. In de vorm van een e-book worden ookallerlei animaties en illustraties aangeboden bij begrip-pen en resultaten, en ook kan men doorklikken naarverdiepingmateriaal over geschiedenis, historische enmoderne figuren, en connecties met cognitieweten-schap en andere bronnen van praktische redeneer-vaardigheden.

fig. 16 Nederlandstalige cursussen voor inleidend logica-onder-wijs dat gebruikt kan worden voor middelbaar schoolonder-wijs. Van links naar rechts: Denkpatronen: on-line cursus over wiskunde en logica met tekst en programmatuur (Van Benthem, Dijkgraaf), Denkende Machines: de geschiedenis van de reken-machine en computer, en de rol van de logica daarin (van Eijck e.a.), en Bewijzen en Inzien: inleidende tekst over de structuur van wiskundige bewijzen (Van Eijck, Visser).

Wij menen dat dit materiaal ook geschikt kan zijn voormiddelbare scholen. Een pilot in deze richting is in deplanningsfase in het EPGY-programma te Stanford datextra lesinhouden aanbiedt voor scholieren in veleleeftijdsgroepen over een breed scala van vakken. Wijzijn bijzonder geinteresseerd in contacten met VWO-leraren die ons materiaal op logicinaction.org (vooreen presentatie van het team, het Logic EducationProject, zie figuur 15) willen uitproberen. In figuur 16vindt u ook Nederlandstalige cursussen die specifiekvoor dit publiek bedoeld zijn, en die in een eerder sta-dium door de Logic Education Project werden ont-wikkeld.

Jan Jaspars,[email protected]

freelance logicus, AmsterdamJoham van Benthem,

[email protected] van Amsterdam

Noot[1] Dit artikel is een bewerking van de lezing die in

2010 door de auteurs is gegeven op de NWD. Vooreen volledige elektronische versie, met alle pro-grammatuur en hyperlinks, zie http://www.science.uva.nl/~jaspars/nwd/

NWD Open Course Logic - Universiteit Utrecht...42 Open Course Logic in Action In de TIME-Magazine...

Documents

Transcript of NWD Open Course Logic - Universiteit Utrecht...42 Open Course Logic in Action In de TIME-Magazine...