ICT, vaardigheden, inzicht:hot or not?

Christian Bokhove

NWD 2013

• Christian Bokhove

• 14 jaar lang docent St. Michaël College te Zaandam (havo/vwo) geweest

• Promotieonderzoek Dudoc: FI, Utrecht, december 2011 www.dudocprogramma.nl

• Werk nu in Zuid-Engeland, Universiteit van Southampton

IN/AANLEIDING

ONDERZOEK

ICTALGEBRAONDERZOEK

UITLEIDING

Aanleiding

“Wil je wat over je onderzoek vertellen?”

“Ja, maar ik maak me druk over recenteontwikkelingen. Mag ik die er in verwerken?”

Ik probeer deze zaken in 1 sessie te verwerken. Eerder een reis met vele stopovers dan slechts 1 bestemming.

IN/AANLEIDING

Vermoeiende discussies

• Ja maar jij hebt toch wel eens een Geogebracursus gegeven? Logisch dat je voor ICT bent!

• Ja maar jij werkt toch met die en die samen? Logisch dat je daar tegen bent.

• In VS verhit Khan, rote procedures, insight, Reform math, Math Wars. Al vroeg ideeën over.

IN/AANLEIDING

Actie

http://www.stanford.edu/~joboaler/ Petitie

IN/AANLEIDING

Actie=reactie

http://mathforum.org/kb/servlet/JiveServlet/download/206-2420462-7936509-

788386/Jo-Boaler-reveals-attacks-AccusationsResponse.pdf

Vermoeiende discussie

Nee, ik onderteken die petitie niet.

Nee, dat betekent niet dat ik het met de ‘tegenstander ‘ eens ben.

Nee, dat betekent niet dat ik het toch met de petitie eens ben.

Enzovoorts..

IN/AANLEIDING

Graag een streep eronder!

Stellingen

1. Inzicht is belangrijk

2. Vaardigheden zijn belangrijk

3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen

4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag

IN/AANLEIDING

Stellingen

1. ‘Met de hand’ technieken leren kan nuttig zijn, maar zijn dat soms niet

2. ICT gebruik kan nuttig zijn, maar soms ook niet

3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen

4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag

IN/AANLEIDING

Vaardigheden..…

De aanleiding voor mijn onderzoek

ONDERZOEK

ONDERZOEK

Maar ook als het deels goed gaat…

ONDERZOEK

ONDERZOEK

Kun je je afvragen of het goed gaat…

… inzicht …

ONDERZOEK

Tweede ontwikkeling…

ONDERZOEK

ICT gebruik

ONDERZOEK

Kunnen we niet naar de mogelijkheden van een combinatie

van die twee kijken?

Onderwerp van promotieonderzoek van 2007-2011

ONDERZOEK

Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?

ONDERZOEK

Wat valt eigenlijk onder algebra?Getallen?

5Rekenen? (Denk aan rekentoets)

3+7 =Symbolen?

a, xFormules, variabelenenz?

(x+3)(x-7)=0

ALGEBRA

Veel definitiesMany adults equate school algebra with symbol manipulation– solving complicated equations and simplifying algebraic expressions. Indeed, the algebraic symbols and the procedures for working with them are a towering , historic mathematical accomplishment and are critical in mathematical work. But algebra is more than moving symbols around. Students need to understand the conceptsof algebra, the structures and principles that govern the manipulation of the symbols, and how the symbols themselves can be used for recording ideas and gaining insights into situations. (NCTM, 2000, p. 37)

ALGEBRA

Wat gaat vaak mis

GETALLEN/REKENENProblemen met rekenvaardigheden:

– mintekens, breuken

SYMBOLENProblemen met notaties:

– Verschil tussen 2+x, 2x en x2

PATRONENWorden niet herkend

ALGEBRA

Dit is natuurlijkgeen uitputtende

lijst. Er is uitgebreide

literatuur over ‘misconceptions’.

Rekentoets

http://www.wiskundebrief.nl/618.htm#1

ALGEBRA

Rekentoetsen

• ICT gebruik

• Gigantische markt

ALGEBRA

Lewis Carroll

The red Queen says to Alice, “What’s one and

one and one and one and one and one and one

and one and one and one?”

“I don’t know”, said Alice, “I lost count.”

“She can’t do addition”, said the Queen.

ALGEBRA

• Begin met een getal met twee cijfers.

• Draai de cijfers om om een nieuw getal temaken.

• Tel ze op.

• Is het altijd een veelvoud van 11?

• Bewijs het!

Uitbreiding: Hoe zit het bij getallen met driecijfers?

91 19

ALGEBRA

We do not pay enough attention to the actual techniques involved in helping people gain facility in the handling of mathematical symbols. … In some contexts, what is required –eventually – is a fluency with mathematical symbols that is independent of any awareness of concurrent ‘external’ meaning.

Tahta, 1985, cited in Pimm, D. (1995). Symbols and Meanings in School Mathematics, London: Routledge

ALGEBRA

“Algebraic symbolism should be introduced from the very beginning in situations in which students can appreciate how empowering symbols can be in expressing generalities and justifications of arithmetical phenomena … in tasks of this nature, manipulations are at the service of structure and meanings.”

Arcavi, A. (1994). Symbol sense: informal sense

making in formal mathematics. For the Learning of

Mathematics, 14(3), pp.24-35.

ALGEBRA

Arcavi

Kop & Drijvers

Structure sense, e.g. Hoch & Dreyfus

ALGEBRA

Wat is algebraïsch denken?

The ability to generalise patterns, trends and relationships about numbers, shapes and measures, using symbols, graphs, and diagrams.

ALGEBRA

ALGEBRA

Visual en Pattern salience

Meer dan aantrekkelijke symbolen, ookbepaalde ‘patronen’ kunnen aantrekkelijk zijn

Hangt ook van voorkennis af

• (x+2)(x+4)=-1

• (x+2)(x+4)=7

• (x+2)2=16

• Worteltekens

• ax2+bx+c=0

ALGEBRA

Nog een voorbeeld

X2 - X - 2 = 0(X + 1)(X - 2) = 0X + 1 = 0 X – 2 = 0X = -1 X = 2

(X + 1)(X - 2) = 6X + 1 = 6 X – 2 = 6X = 5 X = 8

(5 + 1)(5 - 2) = 18 (8 + 1)(8 -2) = 54

ALGEBRA

Wat zou een leerling hier doen en wat zou deze moeten doen?

(x+4)(x-7)=(2x+3)(x+3)

(x+3)(x-7)=(2x+3)(x+3)

(x2-8x-20)(x-7)=(2x+3)(x2-8x-20)

(x2-8x-19)(x-7)=(2x+3)(x2-8x-20)

ALGEBRA

Taal

Schrijf een expressie met variabelen L en D die de volgende uitspraak uitdrukken: “Er zijn zeskeer zo veel leerlingen als docenten op dezeschool.” Gebruik L voor het aantal leerlingen en D voor het aantal docenten. (Clement, Lockhead, and Monk 1981).

6L=D

ALGEBRA

Rol van letters

• Welke rollen spelen de letters in y=ax+b?

• Hoe zit dat in deze vergelijkingen?

–3x+2=11

–0x=0

– y=3x+2

– 2rA

ALGEBRA

Dus…

Een paar problemen bij symbol sense

–Verschillen tussen gewone taal en algebraïsche uidrukkingen.

–Meerdere betekenissen bij letter symbolen.

–Moeilijkheden bij het vertalen van tekst in algebraïsche expressies.

ALGEBRA

Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?

ICT tool use- Instrumentatie- Task, technology, theory (Chevallard, 1991)

ICT

ICT: last of zegen

• Veel onderzoek dat:

– Positieve effecten

– Negatieve effecten

– Geen effecten

• Het zal wel van de omstandighedenafhangen..

ICT

Los op met de hand:ICT

Dus ICT nuttig?

• Sage (online)

• Geogebra

• GRM?

• Maxima

• Maple

• Mathematica

• Mathlab

• Enz.

ICT

Opzet eigen onderzoek

Cyclisch ontwerp:

Ronde 1: Welke software met welke eigenschappen?

Ronde 2: Kan het werken?

Ronde 3: Op welke manier kan het werken?

Ronde 4: Werkt het en waarom dan?

ONDERZOEK

Khan: flipping the classroom

(NB. Vi Hart, die prachtige films maakt, zit nu bij Khan. http://www.youtube.com/watch?v=ahXIMUkSXX0 )

ICT

#MTT2K

http://storify.com/audreywatters/critiquing-khan-mtt2k

ICT

• U gaat kijken naar enkele fragmenten

• Na elk fragment: bedenk goed/slecht

• Per tafel ca. 5 minuten de resultatenbespreken

• Ik bevraag geheel aselect enkele tafels

ICT

In één filmpje is geen ondertiteling.

KhanICT

6:20-9:05http://www.youtube.com/watch?v=eF6zYNzlZKQ&t=37

1

Bespreek Khan

Meer?

http://www.youtube.com/watch?v=nTFEUsudhfs

ICT

Khan

ICT

WolframKinderen echte wiskunde aanleren met computers

ICT

http://www.youtube.com/watch?v=60OVlfAUPJ

g

Bespreek WolframLaat computer het rekenwerk doen

“Get the Basics first”“Computers dumb math down”

“Hand calculating procedures teach understanding”

Hele verhaal: http://www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_co

mputers.html

ICT

Wolfram

ICT

Reflectie

• Is het cultuurgebonden, verschil VS, VK, NL?

• Grafische rekenmachine: ‘weapons of math destruction’? Maar ‘Weapons don’t kill people, people do’?

• Buchberger, Beeson

– Black box

– White box

– Glass Box

ICT

Meer over Buchberger

Software keuzeUitkomsten extern gevalideerd instrumentEerst weten wat we willen, daarna pas kijken wat er is. Deel van de eigenschappen:

–Klopt het wiskundig?–Opslaan leerlinggegevens;– Tussenstappen;–Auteursomgeving;– Intuitieve interface;–60+ tools bekeken en

uitgeprobeerd;

ONDERZOEK

Welke opgaven?

ONDERZOEK

Herschrijf:

• Maak de opgave

• Hoe zou een leerling dit doen?

• Wat komt er wel/niet kijken bij de opgave?

• Noteer opmerkingen en gedachten

ONDERZOEK

• Wat betekent ‘herschrijf’?

• Wat is ‘korter’?2(x+1) of 2x+2

• Is dit inzicht? Of patronenherkennen? Of *dus* alleen vaardigheid?

• Leerling had goedevaardigheid. Herschrijvengaf haar inzicht.

ONDERZOEK

Dus de omgeving laat meerdere strategieën toe…

ONDERZOEK

Opzet van de derde ronde• 324 leerlingen van 9 scholen (N=324)

6vwo wiskunde B

• Interventie 6 klokuren in 6 delen

• Wijze van inzet wisselde

• Data verzameling

– Scores van voor- enna-toets

– Scores en logbestanden

–Vragenlijsten

ONDERZOEK

ONDERZOEK

ONDERZOEK

Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?

ONDERZOEK

Enkele ontwerpprincipes

• Crises

• Formatieve scenario’s

• Feedback

ONDERZOEK

Eerste principe: crises“Failure is, in a sense, the highway to success, inasmuch as every discovery of what is false leads us to seek earnestly after what is true, and every fresh experience points out some form of error which we shall afterwards carefully avoid.” Keats

• Van Hiele: crisis of learning• Productive failure (Kapur)• Impasse (VanLehn et al)• Perturbation (Doll)• Disequilibrium (Piaget)

ONDERZOEK

Vóór de crisisopgave

Denk terug aan opgaven waar we mee begonnen…

ONDERZOEK

Crisis-opgaveONDERZOEK

Crisis overwinnen

Feedback

ONDERZOEK

Tweede principe: formatieve scenario’s

ONDERZOEK

• Hattie and Timperley: Power of Feedback

• Fading (Renkl et al)

Veel feedback Weinig feedbackZelf feedback oproepen

Derde principe: feedback• Black and William (1998)

• Assessment for learning

• Verschillende typen feedback

ONDERZOEK

ONDERZOEK

Min Max Mdn SD N

symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318

pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318

d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311

d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254

d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223

post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292

symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292

ONDERZOEK

Min Max Mdn SD N

symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318

pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318

d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311

d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254

d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223

post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292

symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292

ONDERZOEK

Min Max Mdn SD N

symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318

pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318

d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311

d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254

d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223

post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292

symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292

ONDERZOEK

Betere prestaties, maar da’s logisch, ze besteden er toch tijd aan!

Waar komt het door?

ONDERZOEK

Wel verschil door…

• Voorkennis

• Relatief veel tijd delen 5 en 6 besteed

• Houding tav. wiskunde

Geen verschil door…

• Geslacht

• Kennis van ICT

• Meer tijd aan gehele module

• Meer thuis of op school

ONDERZOEK

En nu?

• Zowel opgaven vaardigheid als inzicht

• Ongewone opgaven

• Feedback (computer en mens)

• Er is software die dit kan verbeteren

• Openstaan voor nieuwe ontwikkelingen, maar wel kritisch blijven

AFSLUITING

• Dragonbox

http://www.wired.com/geekdad/2012/06/dragonbox/all/

http://www.wewanttoknow.com/games/DragonBox/1.1.3/DragonBox.html

AFSLUITING

http://bokhove.net/2012/09/28/dabbling-in-

sketchometry/

AFSLUITING

Formule herkenning

http://www.mathpen.co.uk/MyPublicationsFolder/DE_2012_Poster.pdf

http://webdemo.visionobjects.com

AFSLUITING

Promoveren

• Promotiebeurs

• Ik raad het (niet) iedereen aan

• Het is wel intensief want onderzoek andere‘tak van sport’. En dan ook nog eens artikelenschrijven…

• Kun je de combinatie aan, dan doen!

AFSLUITING

Terug naar het begin

1. Inzicht is belangrijk

2. Vaardigheden zijn belangrijk

3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen

4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag

AFSLUITING

Stellingen

1. ‘Met de hand’ technieken leren kan nuttig zijn, maar zijn dat soms niet

2. ICT gebruik kan nuttig zijn, maar soms ook niet

3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen

4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag

AFSLUITING

Bedankt = Vragen/discussie

• Inzicht & Vaardigheden

• Nieuwe ontwikkelingen

• Theorie & Praktijk. Brug?

• Vragen en discussie

Christian BokhoveTwitter: @cbokhove

cbokhove@gmail.comwww.bokhove.net

AFSLUITING

EINDE

AFSLUITING

• Begin met breuken waarbij de teller en de noemer 1 verschillen

• Tel elke breuk op bij de ‘omgekeerde’

• Wat valt je op?

• Generaliseer en bewijs.

Uitbreiding: What als de teller en de noemermet meer dan 1 verschillen?

6

7

7

6

2

3

3

2

EXTRA ALGEBRA

Extra: uitstapje Buchberger

Meer over Gröbner bases

Zie ook http://math.berkeley.edu/~bernd/what-is.pdf

Gröbner Bases

• Methode voor het rekenen met multivariate polynomen

• Generalisatie van bekende algoritmes:

– Gauss-eliminatie (stelsel vgl bijvoorbeeld)

– Euclidische algoritme (berekenen ggd)

– Simplex algoritme (linear programmeren)

Idee

• Verzameling input polynomen F = {f1,…,fn}

• Verzameling output polynomen G = {g1,…,gm}

Informatie over F is makkelijker tebegrijpen door G te bestuderen.

Buchberger’s Algorithm

Gauss-eliminatie

• Voorbeeld:

2x+3y+4z = 5 & 3x+4y+5z = 2

x = z-14 & y = 11-2z

In Gröbner bases notatie

Input: F = {2x+3y+4z-5, 3x+4y+5z-2}Output: G = {x-z+14, y+2z-11}

Euclidean Algorithm

• Bereken de grootste gemene veelvoud van twee polynomen met 1 variabele.

• Voorbeeld: f1 = x4-12x3+49x2-78x+4,

f2 = x5-5x4+5x3+5x2-6x heeft

ggd(f1,f2) = x2-3x+2

In Gröbner bases notatie

Input: F = {x4-12x3+49x2-78x+40, x5-5x4+5x3+5x2-6x}

Output: G = {x2-3x+2}

http://math.berkeley.edu/~bernd/what

Extra opdracht: voorbeeld van een reeks

Leren door voorbeelden(Anne Watson)

Wiskundig werken

Voor welke waarden van a0 heeft deze reeks een limiet?

an+1= (an2 + 1)/2

Analyse (Watson & Chick ZDM)

an+1= (an2 + 1)/2 (voorbeeld van een reeks)

a0 = 1/2

a1 = 5/8

a2 = 89/128

a3 = …

Generaliseer

Abstracting from examples (Watson & Chick)

an+1= (an2 + 1)/2 converges when 0 <

a0 ≤ 1 and diverges when a0 > 1

an+1= (an2 + 1)/2

an+2= (an+12 + 1)/2

2(an+2 - an+1) = (an+1 – an)( an+1 + an) etc.

Goed voorbeeld

Bespreek Tanton

Tanton