Luuk Hoevenaars, Hogeschool Utrecht [email protected] NWD 2014.
Nwd 010213 def
-
Upload
christian-bokhove -
Category
Documents
-
view
416 -
download
1
Transcript of Nwd 010213 def
ICT, vaardigheden, inzicht:hot or not?
Christian Bokhove
NWD 2013
• Christian Bokhove
• 14 jaar lang docent St. Michaël College te Zaandam (havo/vwo) geweest
• Promotieonderzoek Dudoc: FI, Utrecht, december 2011 www.dudocprogramma.nl
• Werk nu in Zuid-Engeland, Universiteit van Southampton
IN/AANLEIDING
ONDERZOEK
ICTALGEBRAONDERZOEK
UITLEIDING
Aanleiding
“Wil je wat over je onderzoek vertellen?”
“Ja, maar ik maak me druk over recenteontwikkelingen. Mag ik die er in verwerken?”
Ik probeer deze zaken in 1 sessie te verwerken. Eerder een reis met vele stopovers dan slechts 1 bestemming.
IN/AANLEIDING
Vermoeiende discussies
• Ja maar jij hebt toch wel eens een Geogebracursus gegeven? Logisch dat je voor ICT bent!
• Ja maar jij werkt toch met die en die samen? Logisch dat je daar tegen bent.
• In VS verhit Khan, rote procedures, insight, Reform math, Math Wars. Al vroeg ideeën over.
IN/AANLEIDING
Actie
http://www.stanford.edu/~joboaler/ Petitie
IN/AANLEIDING
Actie=reactie
http://mathforum.org/kb/servlet/JiveServlet/download/206-2420462-7936509-
788386/Jo-Boaler-reveals-attacks-AccusationsResponse.pdf
Vermoeiende discussie
Nee, ik onderteken die petitie niet.
Nee, dat betekent niet dat ik het met de ‘tegenstander ‘ eens ben.
Nee, dat betekent niet dat ik het toch met de petitie eens ben.
Enzovoorts..
IN/AANLEIDING
Graag een streep eronder!
Stellingen
1. Inzicht is belangrijk
2. Vaardigheden zijn belangrijk
3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen
4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag
IN/AANLEIDING
Stellingen
1. ‘Met de hand’ technieken leren kan nuttig zijn, maar zijn dat soms niet
2. ICT gebruik kan nuttig zijn, maar soms ook niet
3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen
4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag
IN/AANLEIDING
Vaardigheden..…
De aanleiding voor mijn onderzoek
ONDERZOEK
ONDERZOEK
Maar ook als het deels goed gaat…
ONDERZOEK
ONDERZOEK
Kun je je afvragen of het goed gaat…
… inzicht …
ONDERZOEK
Tweede ontwikkeling…
ONDERZOEK
ICT gebruik
ONDERZOEK
Kunnen we niet naar de mogelijkheden van een combinatie
van die twee kijken?
Onderwerp van promotieonderzoek van 2007-2011
ONDERZOEK
Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?
ONDERZOEK
Wat valt eigenlijk onder algebra?Getallen?
5Rekenen? (Denk aan rekentoets)
3+7 =Symbolen?
a, xFormules, variabelenenz?
(x+3)(x-7)=0
ALGEBRA
Veel definitiesMany adults equate school algebra with symbol manipulation– solving complicated equations and simplifying algebraic expressions. Indeed, the algebraic symbols and the procedures for working with them are a towering , historic mathematical accomplishment and are critical in mathematical work. But algebra is more than moving symbols around. Students need to understand the conceptsof algebra, the structures and principles that govern the manipulation of the symbols, and how the symbols themselves can be used for recording ideas and gaining insights into situations. (NCTM, 2000, p. 37)
ALGEBRA
Wat gaat vaak mis
GETALLEN/REKENENProblemen met rekenvaardigheden:
– mintekens, breuken
SYMBOLENProblemen met notaties:
– Verschil tussen 2+x, 2x en x2
PATRONENWorden niet herkend
ALGEBRA
Dit is natuurlijkgeen uitputtende
lijst. Er is uitgebreide
literatuur over ‘misconceptions’.
Rekentoets
http://www.wiskundebrief.nl/618.htm#1
ALGEBRA
Rekentoetsen
• ICT gebruik
• Gigantische markt
ALGEBRA
Lewis Carroll
The red Queen says to Alice, “What’s one and
one and one and one and one and one and one
and one and one and one?”
“I don’t know”, said Alice, “I lost count.”
“She can’t do addition”, said the Queen.
ALGEBRA
• Begin met een getal met twee cijfers.
• Draai de cijfers om om een nieuw getal temaken.
• Tel ze op.
• Is het altijd een veelvoud van 11?
• Bewijs het!
Uitbreiding: Hoe zit het bij getallen met driecijfers?
91 19
ALGEBRA
We do not pay enough attention to the actual techniques involved in helping people gain facility in the handling of mathematical symbols. … In some contexts, what is required –eventually – is a fluency with mathematical symbols that is independent of any awareness of concurrent ‘external’ meaning.
Tahta, 1985, cited in Pimm, D. (1995). Symbols and Meanings in School Mathematics, London: Routledge
ALGEBRA
“Algebraic symbolism should be introduced from the very beginning in situations in which students can appreciate how empowering symbols can be in expressing generalities and justifications of arithmetical phenomena … in tasks of this nature, manipulations are at the service of structure and meanings.”
Arcavi, A. (1994). Symbol sense: informal sense
making in formal mathematics. For the Learning of
Mathematics, 14(3), pp.24-35.
ALGEBRA
Arcavi
Kop & Drijvers
Structure sense, e.g. Hoch & Dreyfus
ALGEBRA
Wat is algebraïsch denken?
The ability to generalise patterns, trends and relationships about numbers, shapes and measures, using symbols, graphs, and diagrams.
ALGEBRA
ALGEBRA
Visual en Pattern salience
Meer dan aantrekkelijke symbolen, ookbepaalde ‘patronen’ kunnen aantrekkelijk zijn
Hangt ook van voorkennis af
• (x+2)(x+4)=-1
• (x+2)(x+4)=7
• (x+2)2=16
• Worteltekens
• ax2+bx+c=0
ALGEBRA
Nog een voorbeeld
X2 - X - 2 = 0(X + 1)(X - 2) = 0X + 1 = 0 X – 2 = 0X = -1 X = 2
(X + 1)(X - 2) = 6X + 1 = 6 X – 2 = 6X = 5 X = 8
(5 + 1)(5 - 2) = 18 (8 + 1)(8 -2) = 54
ALGEBRA
Wat zou een leerling hier doen en wat zou deze moeten doen?
(x+4)(x-7)=(2x+3)(x+3)
(x+3)(x-7)=(2x+3)(x+3)
(x2-8x-20)(x-7)=(2x+3)(x2-8x-20)
(x2-8x-19)(x-7)=(2x+3)(x2-8x-20)
ALGEBRA
Taal
Schrijf een expressie met variabelen L en D die de volgende uitspraak uitdrukken: “Er zijn zeskeer zo veel leerlingen als docenten op dezeschool.” Gebruik L voor het aantal leerlingen en D voor het aantal docenten. (Clement, Lockhead, and Monk 1981).
6L=D
ALGEBRA
Rol van letters
• Welke rollen spelen de letters in y=ax+b?
• Hoe zit dat in deze vergelijkingen?
–3x+2=11
–0x=0
– y=3x+2
– 2rA
ALGEBRA
Dus…
Een paar problemen bij symbol sense
–Verschillen tussen gewone taal en algebraïsche uidrukkingen.
–Meerdere betekenissen bij letter symbolen.
–Moeilijkheden bij het vertalen van tekst in algebraïsche expressies.
ALGEBRA
Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?
ICT tool use- Instrumentatie- Task, technology, theory (Chevallard, 1991)
ICT
ICT: last of zegen
• Veel onderzoek dat:
– Positieve effecten
– Negatieve effecten
– Geen effecten
• Het zal wel van de omstandighedenafhangen..
ICT
Los op met de hand:ICT
Dus ICT nuttig?
• Sage (online)
• Geogebra
• GRM?
• Maxima
• Maple
• Mathematica
• Mathlab
• Enz.
ICT
Opzet eigen onderzoek
Cyclisch ontwerp:
Ronde 1: Welke software met welke eigenschappen?
Ronde 2: Kan het werken?
Ronde 3: Op welke manier kan het werken?
Ronde 4: Werkt het en waarom dan?
ONDERZOEK
Khan: flipping the classroom
(NB. Vi Hart, die prachtige films maakt, zit nu bij Khan. http://www.youtube.com/watch?v=ahXIMUkSXX0 )
ICT
#MTT2K
http://storify.com/audreywatters/critiquing-khan-mtt2k
ICT
• U gaat kijken naar enkele fragmenten
• Na elk fragment: bedenk goed/slecht
• Per tafel ca. 5 minuten de resultatenbespreken
• Ik bevraag geheel aselect enkele tafels
ICT
In één filmpje is geen ondertiteling.
KhanICT
6:20-9:05http://www.youtube.com/watch?v=eF6zYNzlZKQ&t=37
1
Bespreek Khan
Meer?
http://www.youtube.com/watch?v=nTFEUsudhfs
ICT
Khan
ICT
WolframKinderen echte wiskunde aanleren met computers
ICT
http://www.youtube.com/watch?v=60OVlfAUPJ
g
Bespreek WolframLaat computer het rekenwerk doen
“Get the Basics first”“Computers dumb math down”
“Hand calculating procedures teach understanding”
Hele verhaal: http://www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_co
mputers.html
ICT
Wolfram
ICT
Reflectie
• Is het cultuurgebonden, verschil VS, VK, NL?
• Grafische rekenmachine: ‘weapons of math destruction’? Maar ‘Weapons don’t kill people, people do’?
• Buchberger, Beeson
– Black box
– White box
– Glass Box
ICT
Meer over Buchberger
Software keuzeUitkomsten extern gevalideerd instrumentEerst weten wat we willen, daarna pas kijken wat er is. Deel van de eigenschappen:
–Klopt het wiskundig?–Opslaan leerlinggegevens;– Tussenstappen;–Auteursomgeving;– Intuitieve interface;–60+ tools bekeken en
uitgeprobeerd;
ONDERZOEK
Welke opgaven?
ONDERZOEK
Herschrijf:
• Maak de opgave
• Hoe zou een leerling dit doen?
• Wat komt er wel/niet kijken bij de opgave?
• Noteer opmerkingen en gedachten
ONDERZOEK
• Wat betekent ‘herschrijf’?
• Wat is ‘korter’?2(x+1) of 2x+2
• Is dit inzicht? Of patronenherkennen? Of *dus* alleen vaardigheid?
• Leerling had goedevaardigheid. Herschrijvengaf haar inzicht.
ONDERZOEK
Dus de omgeving laat meerdere strategieën toe…
ONDERZOEK
Opzet van de derde ronde• 324 leerlingen van 9 scholen (N=324)
6vwo wiskunde B
• Interventie 6 klokuren in 6 delen
• Wijze van inzet wisselde
• Data verzameling
– Scores van voor- enna-toets
– Scores en logbestanden
–Vragenlijsten
ONDERZOEK
ONDERZOEK
ONDERZOEK
Op welke wijze kan ICT een rol spelen bij het verwerven, oefenen en toetsen van algebraïsche expertise?
ONDERZOEK
Enkele ontwerpprincipes
• Crises
• Formatieve scenario’s
• Feedback
ONDERZOEK
Eerste principe: crises“Failure is, in a sense, the highway to success, inasmuch as every discovery of what is false leads us to seek earnestly after what is true, and every fresh experience points out some form of error which we shall afterwards carefully avoid.” Keats
• Van Hiele: crisis of learning• Productive failure (Kapur)• Impasse (VanLehn et al)• Perturbation (Doll)• Disequilibrium (Piaget)
ONDERZOEK
Vóór de crisisopgave
Denk terug aan opgaven waar we mee begonnen…
ONDERZOEK
Crisis-opgaveONDERZOEK
Crisis overwinnen
Feedback
ONDERZOEK
Tweede principe: formatieve scenario’s
ONDERZOEK
• Hattie and Timperley: Power of Feedback
• Fading (Renkl et al)
Veel feedback Weinig feedbackZelf feedback oproepen
Derde principe: feedback• Black and William (1998)
• Assessment for learning
• Verschillende typen feedback
ONDERZOEK
ONDERZOEK
Min Max Mdn SD N
symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318
pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318
d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311
d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254
d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223
post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292
symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292
ONDERZOEK
Min Max Mdn SD N
symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318
pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318
d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311
d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254
d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223
post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292
symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292
ONDERZOEK
Min Max Mdn SD N
symsensepre -6.00 3.00 -1.00 2.35 318
pre-test 2.00 98.00 51.00 21.37 318
d1-d4 0.00 100.00 97.25 21.08 311
d5 0.00 106.00 48.50 31.89 254
d6 1.00 100.00 68.00 28.44 223
post-test 10.00 100.00 82.00 15.46 292
symsensepost -5.00 3.00 1.00 1.50 292
ONDERZOEK
Betere prestaties, maar da’s logisch, ze besteden er toch tijd aan!
Waar komt het door?
ONDERZOEK
Wel verschil door…
• Voorkennis
• Relatief veel tijd delen 5 en 6 besteed
• Houding tav. wiskunde
Geen verschil door…
• Geslacht
• Kennis van ICT
• Meer tijd aan gehele module
• Meer thuis of op school
ONDERZOEK
En nu?
• Zowel opgaven vaardigheid als inzicht
• Ongewone opgaven
• Feedback (computer en mens)
• Er is software die dit kan verbeteren
• Openstaan voor nieuwe ontwikkelingen, maar wel kritisch blijven
AFSLUITING
• Dragonbox
http://www.wired.com/geekdad/2012/06/dragonbox/all/
http://www.wewanttoknow.com/games/DragonBox/1.1.3/DragonBox.html
AFSLUITING
http://bokhove.net/2012/09/28/dabbling-in-
sketchometry/
AFSLUITING
Formule herkenning
http://www.mathpen.co.uk/MyPublicationsFolder/DE_2012_Poster.pdf
http://webdemo.visionobjects.com
AFSLUITING
Promoveren
• Promotiebeurs
• Ik raad het (niet) iedereen aan
• Het is wel intensief want onderzoek andere‘tak van sport’. En dan ook nog eens artikelenschrijven…
• Kun je de combinatie aan, dan doen!
AFSLUITING
Terug naar het begin
1. Inzicht is belangrijk
2. Vaardigheden zijn belangrijk
3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen
4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag
AFSLUITING
Stellingen
1. ‘Met de hand’ technieken leren kan nuttig zijn, maar zijn dat soms niet
2. ICT gebruik kan nuttig zijn, maar soms ook niet
3. Stellingen 1 & 2 mag je naar eigen goeddunken omwisselen
4. Nu is het over met energie verspillen en hebben we het over de ‘hoe?’ vraag
AFSLUITING
Bedankt = Vragen/discussie
• Inzicht & Vaardigheden
• Nieuwe ontwikkelingen
• Theorie & Praktijk. Brug?
• Vragen en discussie
Christian BokhoveTwitter: @cbokhove
AFSLUITING
EINDE
AFSLUITING
• Begin met breuken waarbij de teller en de noemer 1 verschillen
• Tel elke breuk op bij de ‘omgekeerde’
• Wat valt je op?
• Generaliseer en bewijs.
Uitbreiding: What als de teller en de noemermet meer dan 1 verschillen?
6
7
7
6
2
3
3
2
EXTRA ALGEBRA
Extra: uitstapje Buchberger
Meer over Gröbner bases
Zie ook http://math.berkeley.edu/~bernd/what-is.pdf
Gröbner Bases
• Methode voor het rekenen met multivariate polynomen
• Generalisatie van bekende algoritmes:
– Gauss-eliminatie (stelsel vgl bijvoorbeeld)
– Euclidische algoritme (berekenen ggd)
– Simplex algoritme (linear programmeren)
Idee
• Verzameling input polynomen F = {f1,…,fn}
• Verzameling output polynomen G = {g1,…,gm}
Informatie over F is makkelijker tebegrijpen door G te bestuderen.
Buchberger’s Algorithm
Gauss-eliminatie
• Voorbeeld:
2x+3y+4z = 5 & 3x+4y+5z = 2
x = z-14 & y = 11-2z
In Gröbner bases notatie
Input: F = {2x+3y+4z-5, 3x+4y+5z-2}Output: G = {x-z+14, y+2z-11}
Euclidean Algorithm
• Bereken de grootste gemene veelvoud van twee polynomen met 1 variabele.
• Voorbeeld: f1 = x4-12x3+49x2-78x+4,
f2 = x5-5x4+5x3+5x2-6x heeft
ggd(f1,f2) = x2-3x+2
In Gröbner bases notatie
Input: F = {x4-12x3+49x2-78x+40, x5-5x4+5x3+5x2-6x}
Output: G = {x2-3x+2}
http://math.berkeley.edu/~bernd/what
Extra opdracht: voorbeeld van een reeks
Leren door voorbeelden(Anne Watson)
Wiskundig werken
Voor welke waarden van a0 heeft deze reeks een limiet?
an+1= (an2 + 1)/2
Analyse (Watson & Chick ZDM)
an+1= (an2 + 1)/2 (voorbeeld van een reeks)
a0 = 1/2
a1 = 5/8
a2 = 89/128
a3 = …
Generaliseer
Abstracting from examples (Watson & Chick)
an+1= (an2 + 1)/2 converges when 0 <
a0 ≤ 1 and diverges when a0 > 1
an+1= (an2 + 1)/2
an+2= (an+12 + 1)/2
2(an+2 - an+1) = (an+1 – an)( an+1 + an) etc.
Goed voorbeeld
Bespreek Tanton
Tanton